Электрические системы. Электрические расчеты, программирование и оптимизация режимов. - Веников В.А.

Автор: Веников В.А.

Теги: электротехника электричество электрические сети энергетика

Год: 1973

Похожие

Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем

Переходные электромеханические процессы в электрических системах

Моделирование и машинный расчет электрических цепей

Техника высоких напряжений. Изоляция и перенапряжения в электрических системах

Текст

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
ЛАУРЕАТА ЛЕНИНСКОЙ ПРЕМИИ
ДОКТ. ТЕХН. НАУК
ПРОФ. В. А. ВЕНИКОВА
ЖСТШЕ РАСЧЕТЫ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
И ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ
ДОПУЩЕНО
МИНИСТЕРСТВОМ ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МОСКВА „ВЫСШАЯ ШША“ 1973
6П2.11
Э45
УДК 621.311
В. А. Веников, В. И. Горушкин, И. М. Маркович,
Н. А. Мельников |, Д. А. Федоров.
Э45 Электрические системы. Электрические расчеты, программи-
рование и оптимизация режимов. Под ред. В. А. Веникова.
Учебн. пособие для электроэнерг. вузов. М., «Высш, школа»,
1973.
320 с. с илл.
Перед загл. авт.: В. А. Веников, В. И. Горушкин, И. М. Мар-
кович, Н. А. Мельников \ , Д. А. Федоров.
Книга входит в единую серию учебных пособий «Электриче-
ские системы», но по своему изложению является самостоятель-
ной и может читаться и прорабатываться независимо от ос-
тальных.
В книге рассматриваются вопросы расчета электрических ре-
жимов, приводятся приемы формализации задач по определе-
нию потоков мощности, даются соображения о режимах элект-
рических систем и излагаются основные методы оптимизации
этих режимов.
Большое внимание уделяется использованию (для электро-
энергетических расчетов) вычислительных машин как цифро-
вых, так и аналоговых, описание функций которых дается
применительно к конкретным задачам эксплуатационного и
проектного анализа.
Книга предназначается для студентов электроэнергетических
специальностей вузов. Может быть полезна инженерам, за-
нимающимся проектированием и эксплуатацией электрических
систем, а также для научных работников данного профиля.
6П2.11
Э
0339—381
001(01)—73
115—73
Рецензенты:
кафедра электрических систем и сетей Киевского
политехнического института;
проф. Ф. Г. Гусейнов (Азербайджанский институт нефти
и химии)
© Издательство «Высшая школа», 1973.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга, являясь по своему содержанию и
изложению материала самостоятельной, в то же время входит в
серию книг «Электрические системы» *, служащих учебным посо-
бием по группе курсов, читаемых студентам специальностей 0302,
0304 и частично 0301, 0303, 0314.
Изучение настоящей книги облегчает знакомство с материалом,
изложенным в предшествующих выпусках упомянутой серии и
особенно в т. I, посвященном основам применения математических
методов в задачах электроэнергетики, и т. II, содержащем основы
методов расчета сетей электрических систем для простых случаев.
В первых главах книги изложены более сложные случаи при-
менения матричных методов, которые уже были рассмотрены для
относительно простых случаев в т. I и II. Необходимо подчеркнуть,
что если при решении сравнительно простых задач матричные
методы давали некоторые преимущества и удобства, позволяя
упростить запись, сократить математические преобразования и
обеспечить наглядность получаемых результатов и алгоритмов, то
при решении сложных задач исследования режимов использование
матричных методов часто становится необходимым. Указанные
выше преимущества в новых условиях открывают и новые возмож-
ности, которые приводят к появлению качественного скачка в тео-
рии электрических систем, позволяя иметь эффективные приемы
анализа. Материал настоящей книги развивает предыдущее изло-
жение. Он является более сложным и требует для усвоения серьез-
ного внимания и больших усилий учащегося.
Основная цель настоящего издания — показать большие прак-
тические возможности расчетов, вытекающих из более общего тео-
ретического анализа. Выбор инженером наиболее подходящего
приема анализа и метода расчета зависит от опыта и даже в неко-
торой мере от влияния имеющейся привычки и располагаемых ма-
териалов (например, наличия программ расчетов на соответствую-
* Выпущена издательством «Высшая школа». Под ред. В. А. Веникова.
Электрические системы, т. I — Математические задачи электроэнергетики (1970);
т. II — Электрические сети (1971); т. III — Передача энергии переменным и по-
стоянным током высокого напряжения (1972). Следует иметь в виду, что в т. III
ошибочно указана последовательность авторов. Должно быть: Анисимова Н. Д.,
Веников В. А., Худяков В. В.
В дальнейшем для краткости даются сноски — т. I, т. II, т. III.
5
щей машине и т. д.). Однако обычно наивыгоднейшая методика
расчета в значительной мере определяется все же особенностями
решаемой задачи.
В настоящее время по применению матричных методов в зада-
чах электроэнергетики накоплен весьма большой методический
материал. Изложить его в кратком учебном пособии невозможно.
Поэтому ниже приведены только некоторые методы и приемы, отоб-
ранные авторами на основе их инженерного и педагогического
опыта.
Дальнейшее рассмотрение оптимизации режимов требует раз-
вития ранее полученных представлений о расчетах нормальных
установившихся режимов. В плане этой задачи в гл. 2 даются све-
дения о простейших методах расчетов нормальных режимов элек-
трических систем, на базе которых в гл. 3—6 излагаются приемы
установления оптимальных режимов активной и реактивной мощ-
ностей в системе, исходя из условий экономичности и надежности
ее работы с обеспечением качества энергии, и наилучших условий
регулирования. Здесь опять-таки методы и приемы оптимизации
режимов не могли получить исчерпывающего отражения и авторы,
преследуя учебные цели, ограничились изложением только основ
оптимизации.
Практически применить методы расчетов и приемы оптимиза-
ции режимов в сложных электрических системах удается только с
помощью современных вычислительных машин — аналоговых
(АВМ) и цифровых (ЦВМ). Поэтому для завершения представле-
ний о путях реализации этих методов необходимо рассмотреть
применение АВМ и ЦВМ для инженерных энергетических расче-
тов. Это сделано в гл. 7 и 8, изложение которых предполагает, что
читатель знаком также и с основными дифференциальными урав-
нениями, дающими описание простейших переходных процессов в
электрических системах.
Построение книги предусматривает возможность ее изучения
по частям (гл. 1—2, 3—6, 7—8). Порядок изучения этих частей мо-
жет изменяться в зависимости от модификации учебных планов *.
Как и в других выпусках настоящего издания, дополнительно
рекомендуемая студентам литература (кроме т. I и II) дается по
главам. Эти ссылки, преследуя только учебные цели, не являются
ни библиографией данного вопроса, ни перечнем работ, которыми
пользовались авторы при написании своего труда.
Работа по написанию настоящей книги распределялась сле-
дующим образом.
Введение, гл. 1,2 написаны В. А. Вениковым и Н. А. Мельнико-
вым совместно; гл. 3—6 — И. М. Марковичем и Д. А. Федоровым
при участии В. А. Веникова; гл. 7 и 8 — В. И. Горушкиным.
* Так, в некоторых случаях материал гл. 7—8 может изучаться раньше
гл. 3—6. В связи с этим вопросы экономичного распределения нагрузок даны в
конце гл. 8 в более элементарном изложении.
6
Редакция рукописи и руководство работой по ее написанию
осуществлялись В. А. Вениковым, причем весь авторский коллектив
участвовал в ее отработке и обсуждении, которое проводилось
на заседании кафедры «Электрические системы» МЭИ.
Авторы просят читателей сообщать все замечания и пожелания
в Московский энергетический институт на кафедру «Электрические
системы» или в издательство «Высшая школа» и заранее выража-
ют свою благодарность всем, кто таким образом поможет станов-
лению и отработке единого учебного пособия по электрическим
системам.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
В т, I настоящего издания были даны определения
основных понятий электрических систем и их режимов, среди кото-
рых были выделены три основных вида режимов (нормальный,
послеаварийный и переходный). Эти определения под-
черкивали, что любой режим состоит из множества различных про-
цессов и характеризуется некоторыми показателями, называемыми
параметрами режима.
Параметры режима электрической системы зависят от способов
соединения между собой ее элементов, их свойств, отражаемых ко-
личественно в значениях параметров, иначе называемых парамет-
рами системы.
Основные задачи расчетов режимов электрических систем сво-
дятся главным образом к определению параметров режима, на-
хождению их взаимных функциональных связей и связей с пара-
метрами системы. В зависимости от постановки технической зада-
чи инженеру при расчетах режимов приходится прибегать к ма-
тематическим приемам и методам разной сложности. Способы рас-
четов электрических сетей относительно простой конфигурации,
представляемых схемами замещения с линейными пассивными эле-
ментами, были описаны в т. II. При этом применялись матричные
методы (т. I, см. гл. 1, 2, 3), которые в рассмотренных в т. II случа-
ях не являлись единственно возможными и потому совершенно не-
обходимыми, будучи, однако, весьма удобными. Переход к более
сложным задачам уже настоятельно требует применения
матричных методов. Это связано с повышением сложности расчетов
режимов, обусловленной следующими обстоятельствами:
1) усложнением структуры и схем коммутации сетей, которые
охватывают большие территории и становятся сложно-замкнутыми
сетями нескольких напряжений;
2) необходимостью учета фактической нелинейности элементов
системы или проведением их линеаризации;
3) появлением в схемах замещения тех или иных активных эле-
ментов;
4) необходимостью решения оптимизационных задач, требую-
щих отыскания экстремальных значений некоторых параметров
режима или некоторых их функций (минимум потерь электриче-
ской энергии);
8
5) необходимостью проверки устойчивости режима при малых
или больших возмущениях.
Рассмотрим перечисленные здесь обстоятельства подробнее.
Современные электрические системы, как правило, являются слож-
ными по своим энергетическим и топологическим структурам; по
схемам коммутации их сетей, они являются сложно-замкнутыми.
При этом замкнутыми оказываются сети различных номинальных
напряжений, которые на отдельных участках системы оказываются
включенными параллельно (через трансформаторы или автотранс-
форматоры). К такому положению обычно приводит стремление
обеспечить высокую надежность электроснабжения потребителей
при одновременном выполнении требований оптимизации, т. е.
снижения расчетных (или приведенных) затрат. При этом, вообще
говоря, должны улучшаться экономические показатели работы
электрических сетей и систем в целом, а также показатели качества
электрической энергии. Поэтому усложнение схем электрических
систем и их сетей можно считать вполне закономерным явлением,
имеющим тенденцию к дальнейшему развитию.
В настоящее время даже в отдельных энергетических системах
Советского Союза сети 110-220-500 кв содержат сотни узлов на-
грузки. В объединенных энергетических системах это число возра-
стает до нескольких тысяч. При этом происходит усложнение
структуры основных сетей крупных энергетических систем и их объ-
единений за счет развития сетей, содержащих напряжения 500 и
750 кв. В ближайшем будущем ожидается дальнейшее повышение
номинального напряжения на тех участках сети, где все большие
количества энергии должны передаваться на все возрастающие рас-
стояния. В первую очередь это должно касаться мощных внутри-
системных и межсистемных связей.
Сети более низких напряжений, однако, не утрачивают своего
значения, поэтому во многих энергетических системах передача и
распределение электрической энергии осуществляется одновремен-
но сетями трех-четырех номинальных напряжений, которые оказы-
ваются связанными во многих пунктах, что к тому же содействует
и улучшению условий устойчивости электрических систем. Только
при наличии достаточно жестких связей может быть поставлен во-
прос о размыкании сети ПО кв, что иногда может оказаться целе-
сообразным по соображениям снижения неоднородности.
В таких условиях анализ рабочих режимов электрических си-
стем связан с существенными трудностями. Прежде всего очень
сложными получаются схемы замещения электрических сетей, так
как приходится рассматривать совместную работу сетей несколь-
ких номинальных напряжений. Поэтому, как правило, отпадает
возможность ручного счета; затруднительным оказывается даже
составление всей расчетной схемы. Во многих случаях приходится
ориентироваться на аналитическое представление схем и широкое
применение современной вычислительной техники в виде АВМ,
ЦВМ и специальных автоматизированных расчетных моделей.
9
Формализация расчетов, связанная с применением матричных
методов и любых средств автоматизации расчетов, не должна,
однако, идти настолько далеко, чтобы лишить инженера обозри-
мости получаемых результатов и наглядности анализа. На это об-
стоятельство следует обратить особое внимание при проработке
книги.
ГЛАВА
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТОВ РЕЖИМОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Задачи, возникающие при расчетах рабочих режимов
сложных электрических систем, можно разделить на
следующие большие группы:
1) выбор учитываемых элементов системы и установление для
каждого из них математической модели (схемы замещения);
2) определение способа соединения между собой элементов,
т. е. составление расчетной схемы системы;
3) определение параметров всех элементов, входящих в расчет-
ную схему замещения;
4) выбор метода расчета — составление системы уравнений,
а в тех случаях, когда применяются обобщенные параметры, опре-
деление этих параметров или параметров преобразованной и упро-
щенной схем замещения;
4) выбор расчетного средства (модели, ЦВМ и т. д.).
Составление сложных схем замещения систем и определение
их параметров проводятся обычно так же, как и простых схем.
Существенные отличия могут появляться на последующих этапах
расчета и именно поэтому эти этапы здесь рассматриваются более
подробно.
Серьезным усложняющим фактором при решении перечислен-
ных выше задач является необходимость выполнения весьма зна-
чительного числа расчетов (например, в связи с оптимизацией те-
кущих режимов). При этом требуется достаточно большая скорость
расчета, для достижения которой необходима рационализация
приемов расчета и, в частности, применение обобщенных парамет-
ров, линеаризации, декомпозиции или эквивалентирования слож-
ных схем, а также использование приемов ускорения итеративных
процессов, при совместном применении моделей и цифровых вычи-
слительных машин.
Дополнительное затруднение вызывается увеличением протя-
женности электрических систем, происходящим, в частности, в свя-
зи с объединением отдельных энергетических систем внутри страны
и развитием международных энергетических объединений. Опыт
показывает, что в этих условиях иногда и не удается рассчитать
режим — найти его параметры обычными путями. Здесь приходит-
ся учитывать проявление таких факторов как нарушение условий
сходимости итеративных процессов и неоднозначность режима при
11
заданных условиях. Практически это иногда уже наблюдается при
расчетах режимов относительно простых сетей, расстояния между
отдельными пунктами которых достигают тысячи километров. Та-
кого рода трудности возникают при расчетах сложных и одновре-
менно протяженных сетей. Кроме того, необходимо учитывать в
расчетах изменяющиеся коэффициенты трансформации, что связа-
но с появлением регулируемых под нагрузкой трансформаторов
(РПН). При этом в перспективе можно предполагать появление
трансформаторов (вернее — регулируемы^ вольтодобавочных агре-
гатов) с продольно-поперечным изменением э. д. с., что в схемах
замещения отражается с помощью коэффициентов трансформации,
выраженных комплексными числами.
Решения оптимизационных задач (гл. 3—6), очень важные для
будущего инженера-энергетика, требуют большого внимания.
Здесь необходимо учесть, что управление энергосистемой должно
обеспечивать не только необходимые значения параметров режима
узловых точек, но и максимальную экономичность режима системы
в целом при полном удовлетворении потребителей энергией. Эко-
номичность определяется здесь величиной затрат на генерацию,
передачу и распределение энергии. При управлении режимом экс-
плуатируемой энергосистемы эти затраты складываются из затрат
на приобретение и перевозку топлива, амортизацию и ремонт обо-
рудования, заработную плату персонала электростанций и элект-
росетей с учетом накладных расходов и т. д. От распределения на-
грузок между электрическими станциями зависит расход топлива,
т. е. экономичность работы системы в целом.
Одной из важнейших задач расчета режима энергосистемы яв-
ляется установление условий, обеспечивающих минимум на-
роднохозяйственных затрат при снабжении всех потре-
бителей энергией, при допускаемых ее параметрах.
Существенным является также определение уровня надежности
энергоснабжения и выявление допустимого уровня отклонений от
оптимального качества энергии. Если ранее считалось возможным
исходить из заданных нормативов надежности и качества энергии,
то в настоящее время при более глубоком подходе считают, что
надежность и качество энергии также являются экономическими
категориями. Следовательно, не только может быть, но и должен
быть определен экономически оптимальный уровень как надежно-
сти, так и качества энергии.
Таким образом, достижение оптимального режима осущест-
вляется при минимуме народнохозяйственных затрат на производ-
ство, передачу и распределение энергии, а также при оптимальных
значениях надежности и качества энергии.
Оптимизацией в общем (математическом) смысле называется
отыскание значений аргументов некоторой сложной функции *,
соответствующих максимуму или минимуму этой функции. Если
функция может иметь несколько максимумов или минимумов (яв-
* Иногда она называется целевой функцией.
12
ляется многоэкстремальной), то при оптимизации должны быть
найдены значения аргументов, соответствующие наибольшему мак-
симуму или наименьшему минимуму этой функции. Аргументы
оптимизируемой функции могут быть независимыми или связанны-
ми какими-либо ограничениями в форме равенств или неравенств.
В соответствии с изложенным, оптимизацией называется отыс-
кание значений тех технических параметров, которые соответст-
вуют максимуму или минимуму некоторой связанной с ними функ-
ции. Как правило, эта функция имеет экономический характер и
представляет собой суммарные народнохозяйственные затраты
(при этом оптимизация равносильна минимизации); реже народ-
нохозяйственному выигрышу или экономии соответствует макси-
мизация.
Иногда под оптимизацией понимают отыскание таких функций
времени для отдельных изменяемых технических параметров, при
которых получается максимум или минимум функционала, связан-
ного с этими функциями. В этом случае для оптимизации применя-
ются методы вариационного исчисления. Матричная запись исполь-
зуется не во всех разделах книги. Так, оказалось возможным обой-
тись без нее в ряде вопросов, рассмотренных в гл. 4—6 и 7—8. Это
связано с тем, что в этих главах внимание сосредоточено на срав-
нительно простых случаях. При повышении сложности рассматри-
ваемых схем применение обобщенных параметров и матричной
записи становится все 'более и более полезным и необходимым.
В конечном счете обобщенные параметры определяются только
схемой коммутации и параметрами ее отдельных элементов.
В сложных схемах указанная задача оказывается весьма трудоем-
кой и успешно может быть разрешена только при использовании
цифровых вычислительных машин. Обычно алгоритм расчета
строится таким образом, что нужные значения находятся для сколь
угодно сложных цепей при любых значениях параметров отдель-
ных элементов схемы. В тех случаях, когда рассматриваемая цепь
оказывается слишком сложной, а память машины недостаточной
для одновременного полного расчета схемы, применяют уже упо-
минавшиеся выше преобразования сложных схем электрических
систем, упрощаемые матричной записью.
При исследованиях переходных процессов в сложных электри-
ческих системах матричные методы облегчают алгоритмирование
соответствующих расчетов и программирование задач при реше-
ниях на ЦВМ. Описание любых переходных процессов в сложных
электрических системах требует решения дифференциальных урав-
нений высоких порядков, что само по себе весьма затруднительно.
Существенным обстоятельством здесь является возможность про-
водить исследование переходных процессов в линейных цепях теми
же способами и приемами, которые использовались при алгорит-
мизации установившихся режимов. При этом эффективными ока-
зываются операторные методы с использованием узловых урав-
нений.
13
Решение нелинейных, трансцендентных дифференциальных
уравнений, составляемых при расчетах устойчивости сложных эле-
ктрических систем, требует применения численных методов, при
которых движение роторов всех машин электрической системы рас-
сматривается по отдельным интервалам. Изменение угла сдвига
ротора каждой машины в данном интервале принимается пропор-
циональным разности между вращающими моментами (мощностя-
ми) первичного двигателя и генератора. Электрическая мощность,
отдаваемая каким-либо генератором в систему, является функци-
ей углов взаимного сдвига роторов генераторов (сдвига их э. д. с.),
а также всех собственных и взаимных проводимостей электриче-
ской системы.
При изучении статической устойчивости электрической системы
нелинейные дифференциальные уравнения линеаризуются, и выяв-
ление условий устойчивости сводится к определению характеристи-
ческих чисел некоторой матрицы. Если все эти числа имеют отри-
цательные вещественные части, то система устойчива.
Все сказанное подчеркивает роль матричных методов, объеди-
няющих подход к решению основных задач расчета режимов
электрических систем. К этим основным задачам относятся рас-
четы:
1) параметров установившегося режима (перетоков мощности,
токов, напряжений) во всех элементах системы при заданных ис-
ходных условиях;
2) связанные с оптимизацией режимов и нахождением отве-
чающих тем или иным условиям оптимума параметров;
3) переходных процессов в электрических системах:
а) при больших возмущениях и больших отклонениях парамет-
ров режима (динамическая устойчивость);
б) при малых возмущениях и малых отклонениях параметров
режима (статическая устойчивость).
Все эти расчеты в случае сложных систем, как правило, выпол-
няются с помощью вычислительных машин — аналоговых (АВМ)
или цифровых (ЦВМ).
Применение ЦВМ требует разработки численных методов рас-
чета, необходимых для построения достаточно мощных алгорит-
мов. Одной из важнейших проблем здесь являются вопросы изы-
скания методов уменьшения избыточности в представлении инфор-
мации, вводимой в машину; отыскания наилучших способов
записи алгоритмов; оценки их погрешности; оценки скорости схо-
димости и т. д.
При этом определенные возможности открывают приемы деле-
ния сложных систем и схем на подсистемы и подсхемы *; методы
эквивалентирования, разрезания, декомпозиции, диакоптики и др.
При делении сложных систем или схем на подсистемы или под-
схемы рассматриваются отдельные составляющие системы раз-
* Здесь можно упомянуть ряд исследований (Г. Крона, Г. Е. Пухова,
С. А. Лебедева, Ф. Г. Гусейнова, Л. А. Жукова и др ).
14
дельно, с последующим учетом их взаимной связи в виде гранич-
ных условий. При этом решение в целом может быть сведено к
эквивалентированию отдельных подсхем и наложению указанных
граничных условий. Такой прием рассмотрения сложных задач
позволяет резко сократить объем одновременно получаемой и пе-
рерабатываемой информации, а следовательно, уменьшить суммар-
ное время расчета.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 1
1. И. М. Маркович. Режимы энергетических систем. «Энергия», 1969.
2. Под ред. В. А. Веникова. Режимы работы электрических систем. Сбор-
ник переводов. «Энергия», 1967.
3. И. С. Бессмертный. Схемы электрических сетей. «Энергия», 1963.
4. В. А. Дале, 3. П. Кр иш ан, О. Г. П а э г л е. Оптимизация электри-
ческих сетей при росте их нагрузок. Рига, Изд-во АН Латв. ССР, 1964.
ГЛАВА
РАСЧЕТЫ РАБОЧИХ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
§ 2-1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Рабочий режим электрической системы (сети) опреде-
ляется параметрами этого режима, т. е. значениями
полной мощности ПО' отдельным ветвям сети, напря-
жений в узлах, токов в ветвях и т. д. При этом задается схема
включения отдельных элементов, характеризующаяся их парамет-
рами, а также значениями полной мощности в узлах нагрузки и
источниках питания (кроме одного, который должен покрывать
потребление, связанное с потерями мощности в сети). Здесь обычно
имеются в виду условия нормальной работы (в отличие от аварий-
ных состояний) электрической системы, хотя не исключаются и
условия работы в послеаварийных режимах — после отключения
поврежденных элементов оборудования. Если нет дополнительных
оговорок, то предполагается рассмотрение только режима прямой
последовательности (даже при наличии довольно частого явления
несимметрии напряжений и токов).
Расчеты рабочих режимов выполняются как для проверки до-
пустимости показателей режима (значений напряжений, например,
по условиям работы изоляции; значений токов — по условиям на-
грева проводов; значений мощности — по условиям работы первич-
ных двигателей генераторов и т. д.), так и для обеспечения эконо-
мичности работы всей энергетической системы или отдельных ее
частей (если такое изолированное рассмотрение допустимо).
Рабочие режимы питающих сетей рассчитываются в зависимо-
сти от их конечной цели или назначения. Так как требования,
предъявляемые при этом, оказываются различными, то в каждом
конкретном случае необходимо найти наиболее подходящую мето-
дику расчета.
Можно различать следующие цели расчета рабочего режима
питающей сети:
1) оценка параметров режима в процессе проектирования сети
одного номинального напряжения или нескольких номинальных
напряжений;
2) выбор параметров регулирующих и компенсирующих уст-
ройств в процессе проектирования сети;
16
3) анализ эксплуатационных рабочих режимов сети в целях
их оптимизации;
4) оценка режимов работы генераторов системы для расчетов
устойчивости.
В первом случае наиболее существенным является вопрос о
технической допустимости таких параметров режима, как токи и
напряжения в послеаварийных режимах. Существенный интерес
представляет загрузка линий замкнутой части сети, особенно в
режиме наибольшей нагрузки. Большой точности при выполнении
таких расчетов не требуется. Это обусловлено, в частности, тем, что
невысокой является точность исходных данных о величинах на-
грузок. Нет необходимости и в большой скорости выполнения рас-
четов, так как процесс проектирования оказывается достаточно
длительным.
Во втором случае расчеты отличаются некоторой спецификой.
Так, для практических целей надо выявлять резерв реактивной
мощности по узлам питающей сети в характерных режимах (наи-
большей нагрузки, послеаварийном и т. п.), что может потребо-
вать даже учета статических характеристик нагрузок.
Следует отдельно рассмотреть режим наибольшей активной на-
грузки. Заметные принципиальные затруднения возникают при
определении потерь энергии в питающей сети, особенно в связи с
передачей реактивной мощности, характеристики (графики) кото-
рой отличаются от характеристик активной мощности и, как пра-
вило, остаются неизвестными.
В третьем случае расчет ведется на ближайшие сутки. При
этом величины нагрузок считаются достаточно точными (если не
учитываются случайные нерегулярные отклонения). Поэтому тре-
бования к точности оказываются наибольшими, особенно если эти
расчеты нужны для текущего ведения режима, который должен
быть экономически наивыгоднейшим.
Такие расчеты должны выполняться на каждый час суток
(в дальнейшем предполагается проведение их для каждого полу-
часа). Поэтому требования относительно скорости выполнения
расчета в данном случае оказываются самыми строгими. Большая
скорость проведения таких расчетов требуется в тех случаях, когда
рассматривается текущий рабочий режим.
В четвертом случае требования могут быть разными в зависи-
мости от конкретных условий. В процессе проектирования для ана-
лиза может оказаться необходимой некоторая вариация рассмат-
риваемых условий, так как известными могут быть только преде-
лы, в которых находятся отдельные параметры оборудования.
Большой точности расчетов, однако, здесь не будет.
Наоборот, в условиях эксплуатации может быть необходимым
достаточно тщательный анализ, например, при рассмотрении ава-
рийной ситуации, которая для получения обоснованных выводов
нуждается во всестороннем исследовании существовавшего режи-
ма. При этом как исходные данные, так и расчет должны быть до-
статочно точными.
17
Однако и в таком расчете существенными оказываются не все
параметры режима, а только некоторые (нагрузки источников пи-
тания, напряжения в отдельных пунктах сети и т. д.). Поэтому рас-
чет можно выполнять с некоторыми упрощениями, по эквивалент-
ной схеме и т. д.
В ряде случаев при выполнении расчетов возникают некоторые
технические трудности. К таким трудностям приводят, например,
большая протяженность сети и, следовательно, большие узловые
сопротивления схемы; параллельная работа сетей разных номи-
нальных напряжений (через трансформаторы или автотрансфор-
маторы) при разных коэффициентах трансформации на связях,
иногда выражаемых комплексными числами; наличие сетей сверх-
высоких напряжений, обладающих большими емкостными прово-
димостями; большая сложность сети (в настоящее время встреча-
ются сети, имеющие по несколько тысяч узлов).
Весьма существенно правильно выбрать метод расчета рабоче-
го режима. От этого зависит точность конечных результатов, ско-
рость выполнения расчета, а иногда и возможность получения
искомого режима. Поэтому выбору наиболее подходящего метода
расчета следует уделять достаточное внимание.
К сожалению, приходится отметить, что, несмотря на весьма
большой опыт выполнения расчетов для сетей разных напряжений,
нет еще достаточно четких сведений о преимуществах отдельных
методов и сопоставлении их с учетом возможности ручного счета и
применения статических расчетных моделей переменного и посто-
янного тока. Как показывает опыт, в некоторых случаях модели
могут оказаться даже более целесообразными, чем ЦВМ.
Для ручного счета приемлемым можно считать решение систе-
мы, состоящей из 10—15 уравнений. При этом большое значение
имеет использование обобщенных параметров, методов расщепле-
ния схемы, итеративных методов и приемов наложения, облегчаю-
щих расчет.
До настоящего времени обобщенные параметры рассчитыва-
лись на моделях сравнительно редко. Чаще модели использовались
для воспроизведения рассматриваемого режима полностью. Однако
это требовало сокращения объема задачи. Практически приемле-
мой при этом считалась схема, содержащая 50—100 узлов.
Наибольшие требования к скорости выполнения расчетов предъ-
являются при рассмотрении текущих режимов: расчет сколь угод-
но сложной схемы должен в этом случае выполняться не более чем
за несколько минут. При этом выбор метода расчета имеет решаю-
щее значение.
§ 2-2. УСЛОВИЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТА
Определение рабочего режима возможно только в
том случае, если число неизвестных (искомых величин) равно чис-
лу совместно решаемых уравнений, входящих в общую систему.
При этом все прочие величины, входящие в эти уравнения, должны
18
быть известны. Так, при решении полной системы уравнений (со-
ставленных по законам Кирхгофа), которые записываются в виде
одного матричного уравнения *,
AI=F,
где
можно определить матрицу токов в ветвях
ЬЛ'Р.
В этом случае для расчета в качестве исходных данных требу-
ются матрицы параметров системы А (пассивные параметры) и
матрица активных параметров F.
При решении системы узловых уравнений, которые записывают-
ся также в виде одного матричного уравнения
YU = j,
можно найти матрицу узловых напряжений:
UA = Y~1j.
После этого легко определить и матрицу токов в ветвях:
1 = Ш (2-1)
Аналогично, из контурного уравнения
zKiK=EK
получается матрица контурных токов
L-ZrU, (2-2)
а затем и матрица токов в ветвях
i=NjK.
В случае (2-1) предполагается, что схема не содержит в вет-
вях э. д. с. (Е = 0), в случае (2-2) —что схема не содержит задаю-
щих токов. Это можно обеспечить, в частности, с помощью правил
преобразования схемы.
В случае (2-1) для решения системы уравнений достаточно
иметь матрицу
Y = MZBMz,
* См. т. I, гл. 1, стр. 23—35.
19
а в случае (2-2) —матрицу
ZK=NZ Nz.
Однако для последующего определения других величин могут по-
требоваться и другие параметры.
Аналогично находятся остальные величины, входящие в те же
уравнения. Решение возможно, если число искомых величин равно
числу уравнений и остальные величины известны. Чтобы получить
другие величины, необходимо иметь соответствующие выражения
связи и дополнительные сведения. Так, например, решая контур-
ные уравнения, нельзя непосредственно определить узловые напря-
жения. Соответствующая матрица может быть найдена с помощью
выражения
Чд--Cg^ZKaNa/IK,
где Со/ = М^.
Как правило, условия расчета соответствуют постановке задачи.
Пусть расчет рабочего режима выполняется по схеме с известными
параметрами электрической системы. Это значит, что известными
являются матрица сопротивлений ветвей ZB, матрица задающих
токов J (если таковые имеются) и матрица э. д. с. в ветвях Ев (если
таковые имеются).
Для выполнения расчета с помощью ЦВМ в случае сложной
схемы нужны также матрицы М и N*. В случае простой схемы со-
ответствующие уравнения составляются непосредственно с по-
мощью графического ее представления. Получить графическое
представление сложной схемы в целом трудно.
Для практической оценки режима работы сети значения токов
в ветвях оказываются мало показательными. Более показательны-
ми являются значения полной мощности в ветвях — у передающих
концов, у приемных концов или посредине. Поэтому расчетные фор-
мулы приходится соответственно видоизменять.
Не всегда следует определять значения токов или мощностей по
ветвям. Так, в некоторых случаях искомыми являются э. д. с. в кон-
турах неоднородной замкнутой сети, приводящие к лучшему режи-
му работы сети, характеризуемому, например, наименьшей вели-
чиной потерь активной мощности. При этом пользуются дополни-
тельными условиями.
При оптимизации распределения реактивной мощности между
ее источниками в некотором режиме работы, заданном значениями
активной мощности по узлам сети, значения реактивной мощности
по узлам оказываются неизвестными. Их определяют из расчета,
пользуясь дополнительными условиями.
При исследовании устойчивости процессов электрической систе-
мы находят и значения активной мощности нагрузки электрических
станций, обусловленные соответствующими значениями э. д. с. гене-
* См. т. I, § 2-2 и 2-4.
20
риторов. Здесь приходится рассматривать целую серию промежу-
точных кратковременных режимов работы всей электрической сис-
темы. При этом условия расчета могут быть существенно различ-
ными.
В более общем случае как известными, так и искомыми могут
быть разные величины. Так, например, для одной части узлов (на-
грузочных) исходными могут быть значения полной мощности, а
для другой части узлов той же схемы — значения активной мощ-
ности и напряжений по модулю. Соответственно для первых узлов
искомыми являются значения напряжений (по модулю и аргумен-
ту), а для вторых — значения реактивной мощности и аргументы
напряжений.
При рассмотрении совместной работы сетей разных напряже-
ний (например, ПО и 220 кв или ПО, 220 и 500 кв) в качестве до-
полнительных параметров сети (в данном случае — трансформа-
торов или автотрансформаторов, связывающих эти сети) вводят в
расчеты значения коэффициентов трансформации (матрица К).
Могут быть случаи, когда эти коэффициенты трансформации
приходится выражать комплексными числами. Это, например, де-
лают при использовании вольтодобавочных устройств с продольно-
поперечным или поперечным регулированием э. д. с.
Возможны и такие случаи, когда коэффициенты трансформации
оказываются заранее неизвестными, и их надо получить в процессе
определения рабочего режима. Здесь типичным можно считать
случай оптимизации режима, поскольку именно выбором коэффи-
циентов трансформации изменяют напряжения и перераспределяют
нагрузки в замкнутой сети, а следовательно, и получают те или
иные технико-экономические показатели работы сети в рассматри-
ваемых режимах.
Выбор расчетной схемы зависит от цели расчета, требований в
отношении точности результатов и заданных параметров сети.
Конкретная методика и порядок расчета устанавливаются с учетом
применяемых расчетных устройств, наличия программ и подпро-
грамм, опыта расчетов и т. д.
Различают следующие типичные случаи расчета рабочего режи-
ма для питающих сетей (сетей энергетических систем) со сложны-
ми схемами коммутации, которые, как правило, являются сложно-
замкнутыми, но часто бывают неоднородными, а иногда содержат
и многократные трансформации:
1) приближенный расчет условно-линейной схемы, проводимый
для грубой оценки рабочего режима сети 110—220 кв — без учета
потерь мощности в сети или с ориентировочным их учетом. Здесь
могут применяться приближенные приемы расчета (например, рас-
щепления и другие упрощения схемы, приемы наложения и т. д.);
2) расчет «второго этапа», уточняющий решения, полученные
по условно-линейной схеме, решения при ориентировочном учете
потерь мощности в сети, в частности, по условно-разомкнутой схе-
ме. Обычно такой расчет проводится при номинальном напряже-
нии сети не выше 330 кв-,
21
3) расчет для линеаризованной схемы при представлении на-
грузок сети значениями полной мощности и условии независимости
их от напряжения. Предполагается, что осуществляется расчет на
ЦВМ, причем принимаемые допущения направлены на сокращение
числа итераций;
4) итеративные расчеты для случаев, требующих учета нели-
нейности нагрузок. Применяемые здесь методы обычно обладают
достаточно большими возможностями, но требуют хорошей сходи-
мости итеративного процесса; они допускают учет статических ха-
рактеристик нагрузок и обеспечивают требуемую точность резуль-
татов;
5) расчет рабочего режима для сети большой протяженности
(сверхвысокого номинального напряжения) требует предваритель-
ной оценки реактивной нагрузки по узлам и применения метода,
обеспечивающего сходимость итеративного процесса при больших
значениях узловых сопротивлений.
Почти во всех перечисленных случаях расчета могут быть по-
лезны вспомогательные приемы, позволяющие сократить время
расчета, объем памяти машины, число итераций, необходимое для
получения нужной точности результатов и т. д. К таким приемам
можно отнести упрощение схемы, введение в расчет обобщенных
параметров, использование принципа наложения, деление схемы
на подсхемы, приближенный учет нелинейностей и т. д. В дальней-
шем при рассмотрении теоретических основ расчетов и конкретных
практических рекомендаций по порядку их выполнения не будут
освещаться все существующие методы. Приведенный далее мате-
риал относится или к методам наиболее распространенным или
рекомендуемым авторами на основе имеющегося у них опыта и
общих соображений.
§ 2-3. УСЛОВНО-ЛИНЕЙНАЯ^СХЕМА
Наиболее распространенными и широко используе-
мыми являются воздушные сети с номинальными напряжениями
110 и 220 кв. Обычно эти сети проектируются и эксплуатируются
как сложно-замкнутые (хотя часто имеют и разомкнутые участки).
Значительная сложность их схем коммутации продолжает непре-
рывно увеличиваться.
Следует различать понятия замкнутой схемы сети и замкнутой
схемы замещения, предназначенной для выполнения расчета. Если
замкнутая схема сети предполагает возможность отключения по-
врежденного участка сети без прекращения электроснабжения по-
требителей, то замкнутая схема замещения получается при необхо
димости рассмотрения замкнутых контуров при расчете.
В частности, наличие двух цепей линии, даже идущих в одном
направлении (особенно при размещении их на разных опорах), сле-
дует считать признаком замкнутой сети. Однако с точки зрения
выполнения расчета это не является достаточным основанием для
22
составления схемы замещения как замкнутой, так как обе цепи
линии могут быть заменены одной эквивалентной.
Наоборот, при отключении цепи линии высокого напряжения,
когда не обеспечивается достаточная надежность электроснабже-
ния потребителей (что характерно для разомкнутой схемы сети),
составление схемы замещения для расчета рабочего режима может
приводить к цепочке, содержащей замкнутые контуры, и, следова-
тельно, являющейся замкнутой схемой замещения.
В некоторых случаях сети ПО и 220 кв удается рассматривать
независимо, раздельно. Это возможно, например, если связь между
сетями разных номинальных напряжений осуществляется только
в одном месте. Однако и в случаях включения связующих транс-
форматоров или автотрансформаторов в нескольких местах, но при
одинаковых коэффициентах трансформации, также возможно при-
ведение схемы замещения к «одному базисному напряжению».
Воздушные сети ПО кв характеризуются сравнительно неболь-
шой дальностью передачи энергии (30—120 км) и относительно ма-
лой величиной реактивной мощности, генерируемой емкостью на
отдельных участках *. Это дает возможность пользоваться упро-
щенными схемами замещения и приближенными методами расче-
та, особенно при проектировании сети.
Как правило, схема замещения линии напряжения до1 НО кв
длиной I составляется в виде сопротивления Z и двух одинаковых
источников реактивной мощности — Qc'=Qc/2 = и2ътлЬс1/2 [где Ьс —
погонная емкостная проводимость линии; 0/НОм— номинальное
(междуфазное )напряжение линии], включенных по его концам.
При этом
Z = zQl,
где Zq— погонное полное сопротивление линии.
При этом не учитывается распределенный характер параметров
линии, а при определении генерируемой реактивной мощности не
принимается во внимание и отличие действительного напряжения
в рассматриваемом рабочем режиме от номинального значения.
Поскольку в схеме замещения генерируемая реактивная мощ-
ность Qc может быть объединена с обычно имеющейся по концам
нагрузкой, то схема замещения и порядок расчета рабочего режи-
ма такой сети весьма похожи на соответствующие схемы и расчеты
распределительных сетей. Поэтому во многих случаях и, в частно-
сти, на первом этапе расчета рабочего режима питающей сети
НО кв (а иногда и 220 кв) приближенно можно применять тот же
прием линеаризации схем, который является основным для распре-
делительных сетей. Как известно, он заключается в том, что пред
полагается следующая зависимость:
s=K3u,,,Mj.
* См. т. II, § 3-6.
23
Это значит, что со значениями полной мощности можно опери-
ровать так же, как с сопряженными комплексными значениями то-
ков. Иными словами, рабочий режим можно рассчитывать без уче-
та потерь мощности в сети. В случае необходимости результаты
расчета уточняются путем учета влияния потерь мощности.
Порядок расчета следует из результатов линеаризации схемы с
нагрузками, заданными значениями полной мощности при условии
их независимости от значений напряжений. Если за основу принять
разложение функции J(U) в ряд с ограничением первыми двумя
членами и подставить его в узловое уравнение *
YUA=j=/7r1S-Z7r2SAUA,
то можно сделать следующие выводы:
1) приближенное решение (определяемое первым членом раз-
ложения в ряд) получается, если в качестве задающих токов ис-
пользовать значения, найденные по известной величине полной
мощности и базисному напряжению:
У=47Г‘§, (2-3)
т. е. по линейной схеме;
2) уточнение (определяемое вторым членом разложения в ряд)
сводится к изменению задающих токов, учитывающему потери
мощности (знак «минус» всегда означает потребление, а не гене-
рацию, которая соответствует задающему току);
aj0= —
где
д£= 47Г18дйд = ЛОдид (2-За)
является матрицей сопряженных значений потерь полной мощ-
ности.
Эти выводы являются основой метода расчета «в два этапа»
(см. ниже). Первый этап предусматривает расчет по линейной схе-
ме. Если пользоваться значениями полной мощности, то схему луч-
ше называть условно-линейной, в отличие от принципиально ли-
нейной, где в качестве активных элементов введены задающие токи.
Эта аналогия широко и продуктивно применяется в практике
анализа рабочих режимов электрических сетей. Однако она имеет
ограниченную область использования, за пределами которой тре-
буются уточнения представлений. В частности, некоторого измене-
ния представлений требует анализ работы сетей с номинальными
напряжениями выше 220 кв.
* В целях упрощения выражений множитель 3 опускается. При этом пред-
полагается, что все фазные токи умножены на | 3.
24
Разложение в ряд показывает возможности применения прин-
ципа наложения даже при рассмотрении нелинейной задачи, при
упрощении расчетов и небольших изменениях в исходных данных.
Чтобы получить исходные формулы для расчета по условно-ли-
нейной схеме, достаточно воспользоваться известными выражения-
ми, написанными по законам Кирхгофа, введя в них постоянный
множитель (7Н0М;
~ ^ном^
ИЛИ
MSB=S, (2-4)
где S — матрица значений полной мощности в узлах (подобно за-
дающему току полная мощность предполагается направленной к
соответствующему узлу схемы).
При отсутствии э. д. с. в ветвях схемы
Z76NZBi=0
или
NZBSB=0,
где SB — матрица значений полной мощности в ветвях схемы.
§ 2-4. РАЗВЕТВЛЕННЫЕ РАЗОМКНУТЫЕ СХЕМЫ.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
Разомкнутой, естественно, может быть только одно-
линейная схема, составленная на одну фазу. При этом она содер-
жит задающие токи, обусловливающие появление токов в отдель-
ных ветвях и падений напряжения в них. Такая схема отражает
работу сети, в которой каждая нагрузка получает питание, отвеча-
ющее определенному пути графа. Она обладает некоторыми осо-
бенностями и поэтому рассматривается отдельно.
Отличительная особенность расчета рабочего режима любой пи-
тающей сети заключается в том, что распределительные сети при-
соединяются к ним через понижающие трансформаторы. Посколь-
ку известными являются нагрузки распределительных сетей, то эти
нагрузки при составлении схемы замещения оказываются задан-
ными на стороне низкого напряжения подстанций. Поэтому при
расчетах прежде всего приходится приводить нагрузки к стороне
высшего напряжения подстанций.
Под приведением нагрузок понимается определение их значе-
ний в узлах питающей сети. Для этого к известной нагрузке Su на
шинах пониженного напряжения надо добавить потери мощности
AST в трансформаторах:
д<$т,
где
Д5Т=« (Д^х.х-ИРд/3к.з)Н“ j (Iо% 4~Р2^к%) ш$ном/100.
25
Здесь приняты следующие обозначения: ДРх.х — потери холос-
того хода в каждом трансформаторе; ДРк.з— потери короткого за-
мыкания для каждого трансформатора; 10%—ток холостого хода
трансформатора, %; ик% —напряжение короткого замыкания для
трансформатора, %; [3 — коэффициент загрузки трансформаторов:
fi=STI/(nSном); *5ном — номинальная мощность каждого' трансфор-
матора; п — число параллельно включенных (одинаковых) транс-
форматоров на данной подстанции.
Указанной операцией учитывается влияние трансформаторов,
поэтому схема замещения понижающих трансформаторов может и
не включаться в общую схему замещения сети; аналогично может
быть определено и напряжение на вторичной стороне трансформа-
торов (см. далее).
Поскольку для разомкнутой схемы матрица Мр является квад-
ратной, то из (2-4) следует, что
sb=m/s=cps.
Это значит, что полная мощность в каждой из ветвей разомкну-
той условно-линейной схемы получается простым суммированием
значений полной мощности всех нагрузок (приведенных к высшей
стороне), которые питаются по данному участку сети.
Это дает возможность найти потокораспределение (ана-
логично токораспределению в линейной схеме), т. е. полную мощ-
ность во всех ветвях сети, пользуясь только условием баланса мощ-
ности по узлам, начиная расчет с наиболее удаленных узлов.
По матрице значений полной мощности для всех ветвей можно
определить матрицу напряжений. При этом матрица узловых на-
пряжений
йд= H0MSB= U H0MCpZZBCpS,
где CpfZBCp = Zp — матрица полных сопротивлений путей графа
для данной схемы.
На этом фактически заканчивается расчет рабочего режима по
условно-линейной схеме. Однако расчет может быть сразу же уточ-
нен путем учета потерь мощности в сети. Получаемый при этом
результат можно считать приемлемым для сетей 220-4-330 кв.
Учет потерь мощности. Нетрудно видеть, что определение по-
терь мощности в сети по формуле (2-За) выполнить практически
нельзя, так как матрица LL до конца расчета остается неизвест-
ной. Поэтому второй этап расчета (учет потерь мощности в сети)
приходится выполнять приближенно (помимо того, что весь расчет
«в два этапа» является приближенным).
Потери мощности для каждой продольной ветви схемы можно
определить с относительно небольшой ошибкой, пользуясь номи-
нальным значением напряжения. Так, если известно значение пол-
ной мощности у приемного конца ветви, то значение полной мощ-
26
ности у ее передающего конца
*5/=5 «S'//-]- д£,
где потери мощности в ветви
^Лгом
Такой расчет можно произвести для каждой предыдущей ветви
(по пути передачи электрической энергии), начиная от наиболее
удаленных. В результате получается уточненное потокораспределе-
ние (с учетом потерь мощности в сети), т. е. совокупность значений
полной мощности у передающих и приемных концов всех ветвей
схемы.
Если применить прием расчета, рекомендуемый при анализе ре-
жимов работы распределительных сетей, т. е. определить ток на-
грузок и ветвей сети по номинальному напряжению —
-1
ном
то ошибка получится большей, так как ошибка в величине напря-
жения непосредственно отражается на величине полного тока.
Определение режима напряжений. Как правило, заданным яв-
ляется напряжение у передающего конца сети. Поэтому расчет це-
лесообразно выполнять в противоположном направлении — от пере-
дающего конца сети к приемным ее концам.
Для отдельной ветви, зная напряжение СД у ее передающего
конца, можно определить напряжение у ее приемного конца* **:
где падение напряжения
Продольная и поперечная составляющие падения напряжения
запишутся как
rf PjR + QjX „ P,X-QfR
U д =--------- , U д —--------.
Поэтому окончательно
/--------------^-"2 .„2
= У (U, - и'^+и'ь ~ и, - 1Л Н------?— = и, - и',+
2(и{ — 2tfH0M
* См. т. II, § 4-3.
** Здесь приведено более полное изложение материала, помещенного в т. И
(§ 4-3), при этом допущено обозначение падения напряжения, совпадающее с
обозначением узловых напряжений.
27
и потеря напряжения
LU=U,-Un=U'L-U’^4Un„.
В случае сети НО кв влияние поперечной составляющей паде-
ния напряжения часто не учитывается, так как оно вносит сравни-
тельно малую поправку. Знак этой поправки изменяется в зависи-
мости от того, с какого конца идет расчет. Если напряжение у пере-
дающего конца определяется по напряжению приемного конца, то
должен приниматься знак «плюс».
Расчет можно вести в следующем порядке:
1) составить схему замещения рассматриваемой сети и опреде-
лить нагрузки;
2) найти значения реактивной мощности, генерируемой каж-
дым участком линии, соединяющим два узла, и просуммировать
по узлам, а затем вычесть из приведенной нагрузки (получается
расчетная нагрузка с измененной реактивной мощностью);
3) за исходные принять концевые узлы сети; путем постепенно-
го перемещения от них к питающему концу определять потери пол-
ной мощности в ветвях, добавлять их к значениям мощности у
приемных концов и получать значения мощности у передающих
концов, т. е. потокораспределение;
4) за исходный принять питающий конец сети, где предполо-
жить известным напряжение; путем постепенного перемещения от
этого конца сети к концевым узлам определять падения (или поте-
ри) напряжения, вычитать их из значений напряжения у передаю-
щих концов и находить напряжения у приемных концов;
5) сделать выводы о технико-экономических показателях рас-
сматриваемого режима и (в случае надобности) о путях его улуч-
шения. По отклонениям напряжения у входа любого трансформа-
тора при известной нагрузке определить отклонение напряжения
у его выхода. Этот дает возможность проверить, насколько допус-
тимой является его регулировочная способность. Для этого доста-
точно выяснить, на каком ответвлении должен работать транс-
форматор.
Расчет можно выполнить в относительных единицах. Отклоне-
ние напряжения на вторичной стороне трансформатора
Vn=V!-д4/тфЕ\
где Vi — отклонение напряжения на первичной стороне трансфор-
матора (подведенного); Аt/т — потеря напряжения в трансформа-
торе при данной нагрузке; Е— добавка напряжения, обусловлен-
ная коэффициентом трансформации.
Потеря напряжения в трансформаторе *
* Продольная составляющая напряжения принята приближенно равной еди-
нице и поэтому не указана в знаменателе второго слагаемого.
28
где продольная и поперечная составляющие падения напряжения
запишутся как
лНт= X,-, U’^P,X.-Q,R,.
При этом относительные значения активной и реактивной мощ-
ности нагрузки будут соответственно
Р. = Р„/(я5„0м); Q.=Q„/(«SH0M).
Активное и реактивное сопротивления (%) можно представить
в виде
&Р к.з
^ном
100; X*—UK%.
Добавка напряжения
Е = IZ НОМ II- И НОМ I ^lE^,
регулирования
двух соседних
(разность
ответвлений).
^-,6+j3,7
Рис. 2.1.
где Уномп — разность между номинальными напряжениями вторич-
ной обмотки трансформатора и соответствующей сети; Уномг —
разность между номинальными напряжениями среднего вывода
первичной обмотки трансформатора и соответствующей сети; п—•
номер ответвления, которым первичная обмотка включена в сеть
высшего напряжения; — ступень
между номинальными напряжениями
Расчет в размерных единицах
(который выполняется аналогично
расчету для участка линии) в дан-
ном случае является менее показа-
тельным и поэтому не рекомендует-
ся. Определять сопротивления схе-
мы замещения трансформатора
здесь не требуется.
Часто разомкнутые схемы явля-
ются частями сложно-замкнутой.
Тогда расчет можно упростить путем
тей схемы, т. е. замены их соответствующими нагрузками, учиты-
вающими потери мощности в них (аналогично приведению нагру-
зок к шинам высшего напряжения подстанций).
Для этого в каждой разомкнутой части схемы надо найти пол-
приведения разомкнутых час-
ную мощность у ее питающего конца, т. е. выполнить первую часть
расчета рабочего режима разомкнутой схемы. Вторая часть этого
расчета проводится после установления параметров рабочего ре-
жима замкнутой части схемы.
Пример 2-1. Определить рабочий режим сети ПО кв, схема которой пред-
ставлена на рис. 2-1. На схеме приведены полные комплексные сопротивления
участков сети (ом) и нагрузки, отраженные значениями полной мощности (Мет
и Мвар). Сеть выполнена одноцепными линиями, длины которых (км) указаны на
той же схеме. На схеме обозначен базисный узел (б) и указаны узлы (1, 2, 3).
Нагрузки заданы значениями, приведенными к сети ПО кв, т. е. с учетом потерь
29
мощности в понижающих трансформаторах. Дополнительно требуется учесть ре-
активную мощность, генерируемую линиями и определяемую приближенно. Сум-
мируются половины длин линий, присоединенных к узлам сети:
1 50 + 45 + 40 67,5
1 = — 9 50 = 20 км.
45 22,5
По ним вычисляются значения генерируемой мощности:
Qc = 2,7-10~6-ПО2
67,5
20
22,5
2,21
0,65
0,74
Мвар.
Расчетные нагрузки получаются в виде следующей матрицы:
S = 25 + /10,2 4,6 + /3,7 -/ 2,21 0,65 — 25 + /7,99 4,6 + /3,05 Мва.
10,5 + /5,7 0,74 10,5 + /4,96
Расчет начинается с наиболее удаленных
стке 1-3:
узлов. Потери мощности на уча-
10,52 + 4,962
1102
(20 + /18) =0,22 + /0,20.
Мощность у передающего конца линии 1-3
(10,5 + /4,96) + (0,22 + /0,20) = 10,72 + /5,16.
Потери мощности в сопротивлении линии 1-2
4,62 + 3,052
' -~02- -- (18 + /16) = 0,04 + /0,04.
Полная мощность, протекающая по линии 1-2,
(4,6 + /3,05) + (0,04 + /0,04) =4,64 + /3,09.
Суммарная мощность у приемного конца линии 6-1, которая является голов*
ной для линий 1-2 и 1-3,
(25 + /7,99)+ (10,72 + /5,16) + (4,64 + /3,09) = 40,36 + /16,24.
Потери мощности в этой линии
40,362 + 16,242
’ - - (13,5 + /20) = 2,26 + /3,34.
Полная мощность у передающего конца б линии:
(40,36 + /16,24) + (2,26 + /3,34) = 42,62 + /19,58.
Напряжение в пункте питания б задано и равно 124 кв. Чтобы определить
напряжение в узле 1, необходимо вычислить продольную и поперечную составля-
ющие падения напряжения в линии.
Продольная составляющая
(42,62-13,5 + 19,58-20)/124 = 7,79 кв,
30
а поперечная
(42,62-20 — 19,58-13,5)/124 = 4,74 кв.
Без учета влияния поперечной составляющей напряжение в узле 1
124 —7,79= 116,21 кв.
Учет влияния поперечной составляющей дает значение
4,742
116,21 + --’-----= 116,31 кв.
2-116,21
Несмотря на сравнительно большое значение поперечной составляющей паде-
ния напряжения, его влияние оказывается практически ничтожным. ~
данном случае потерю напряжения в линиях сети можно приравнять
составляющей падения напряжения.
При этом потеря напряжения в линии 1-2
4,64-18 + 3,09-16
= 1,13 кв.
Поэтому в
продольной
116,31
Следовательно, напряжение в узле 2
116,31 — 1,13= 115,18 кв.
Потеря напряжения в линии 1-3 и в узле 3 соответственно
10,72-20 + 5,16-18 Л
------------------=2,65 кв;
116,31
116,31 — 2,65 = 113,66 кв.
Полученные параметры дают возможность сделать выводы о
допустимости их и экономичности работы сети в рассматриваемом режиме. Поте-
ри мощности в сети равны:
(0,04 + /0,04) + (0,22 + /0,20) + (2,26 + /3,34) = 2,52 + /3,58.
технической
§ 2-5. СЛОЖНО-ЗАМКНУТЫЕ СХЕМЫ
По таким схемам обычно’ строят сети НО—220 кв.
Сети более высоких номинальных напряжений, имеющие некоторые
особенности, требуют специального рассмотрения. Расчеты сложно-
замкнутых сетей можно вести, применяя поэтапный метод, варьи-
руемый в зависимости от постановки задачи. Число совместно ре-
шаемых уравнений может быть при этом сокращено соответствую-
щей заменой переменных, а ход решения упрощен итеративными
и различными приближенными приемами.
Обычно первый этап расчета (условно-линейной схемы) преду-
сматривает непосредственное определение параметров режима. Так,
из узлового уравнения *
YUA = j=£Vs
при иб=67бл и U6=Z761 получается Ua = ZJ=ZU^1S.
* См. т. II, § 5-6.
31
Здесь Y— матрица узловых проводимостей схемы; Z — матрицы
узловых сопротивлений схемы: Z = Y-1; Од — матрица узловых на-
пряжений: 11д = LJ—Об.
На основе контурного уравнения в матричной форме * можно
найти
67б1а== (1 _ N«/YKNaZaa) C0J4/6;
Z76Ip = NpZYKNaZaaCoj^6
или соответственно
Sa=(l-NaZYKNaZaa) C0S;
Sp = N₽zYKNa4aS.
(2-6)
Такой «прямой» расчет практически встречает некоторые затруд-
нения в связи с необходимостью вычисления обратной матрицы до-
статочно высокого порядка в комплексных числах.
В случае применения узлового уравнения по найденным узло-
вым напряжениям дополнительно определяют нагрузки ветвей:
1=УВМД или 8В=4ЛУВМД.
При использовании контурного уравнения дополнительно нахо-
дят узловые напряжения:
U д-gSa«
Если требуется уточнить решение, то выполняют второй этап
расчета, т. е. расчет с учетом потерь мощности в сети.
По приближенно найденному потокораспределению условно
делят схему. Пользуясь принципами, изложенными ранее для коль-
цевой схемы **, размыкают независимые контуры. В полученной та-
ким путем условно-разомкнутой схеме учитывают потери мощно-
сти, так же как в разомкнутой схеме (см. § 2-4), и находят средние
значения напряжений в местах деления схемы.
Следует отметить, что как подготовка схемы замещения к рас-
чету, так и выяснение возможностей получения допустимых откло-
нений напряжения на вторичной стороне трансформаторов прием-
ных подстанций здесь производятся так же, как и в случае разом-
кнутой схемы.
Метод расчета «в два этапа» не может считаться достаточно
удачным при выполнении вычислений на ЦВМ. Он в большей мере
приспособлен к расчету вручную или с применением статической
модели. Как уже указывалось, в случае использования ЦВМ наи-
большее признание находят итеративные методы расчета.
* См. т. II, § 5-7.
** См. т. I, § 4-5.
32
Известно и другое решение, позволяющее приближенно учесть
потери мощности в сети и не требующее выполнения второго этапа
расчета. Точность получаемого при этом результата зависит от име-
ющегося опыта расчета и наличия параметров режимов, достаточ-
но близких к исследуемому режиму (в условиях расчета рабочих
режимов существующей сети это не вызывает существенных затруд-
нений). Имеется в виду решение, основанное на предварительной
оценке потерь мощности во всех ветвях сети по параметрам близ-
кого режима. В этих условиях потери мощности могут быть учте-
ны в первом же расчете, который производится по условно-линей-
ной схеме. Это и исключает необходимость выполнения второго эта-
па расчета. Правильность расчета контролируется величиной сум-
марных падений напряжения по контурам.
В отличие от расчета «в два этапа» здесь потери мощности в
каждой ветви делят пополам и учитывают в виде дополнительных
нагрузок, размещаемых по ее концам (рис. 2-2).
При подготовке схемы к расчету эти дополнительные нагрузки,
так же как и источники реактивной мощности, отражающие дейст-
вие емкости линии, учитывают в значениях расчетных нагрузок, до-
бавляя их к приведенным нагрузкам в узлах.
Получаемая при этом схема и расчеты в принципе ничем не
отличаются от условно-линейной, применяемой на первом этапе
расчета «в два этапа». Однако при этом находят не действительные,
а средние значения полной мощности по ветвям:
\p=(5,+ S„)/2.
Такое осреднение не имеет принципиального значения, так как
результаты расчета, равно как и получаемая из него информация,
оказываются достаточно показательными. Но' сам расчет при этом
оказывается более простым.
При установлении падений напряжения в ветвях следовало бы
учитывать соответствующую величину дополнительной нагрузки,
определяя мощность в том месте, где известно напряжение. Но для
приближенных расчетов можно допускать упрощения, упомянутые
выше.
2—2757
33
(на
Пример 2-2. На рис. 2-3 показана схема сети ПО кв условно (для облегчения
техники расчета), представленная вещественными параметрами. Сопротивления
ветвей заданы в омах, а нагрузки — в мегаваттах. Требуется определить потоко-
распределение в схеме, предполагая ее условно-линейной
Нумерация дана на схеме.
1. Применение матрицы Z. По формулам (2-1)4-(2-3)
SB~YBMzZS.
Матрица проводимостей ветвей
первом этапе).
2,0
В --
1,6
1
1,8
1
1,2
1
2?2
первая матрица инциденций
— 1
м =
О
о
О
0
1
1
— 1
О
1
1
о
— 1
1
о
и матрица нагрузок
S= —
2,5
3,5
2,0
По известным правилам определяется матрица
1,2372
0,8391
0,9983
0,8392
1,2769
1,1020
Z:
0,9984
1,1018
1,7805
Z =
Следовательно,
0,5
0,625
0,5556
SB =
0,8333
О,4545
— 1
1
1
О
О
о
о
о
1
— 1
О
— 1
— 1
— 1
О
1,2372
0,8391
0,9983
0,8392
1,2769
1,1020
0,9984
1,1018
1,7805
4,01
0,46
1,05
0,95
3,99
34
2. Применение матрицы YIt. По формуле (2-6)
S₽ = YKNaZaaC0S.
В данном случае для дерева схемы

1
— 1
вторая матрица инциденций
— 1
1
О
— 1
матрица коэффициентов распределения
для дерева (при разомкнутых хордах)
1
О
1
Со =
1
О
О
О
О
1
матрица контурных проводимостей
24,12
7,2
4,2
4,2
5,8
К
1
и матрица сопротивлений ветвей дерева
Следовательно,
Sfi =------
₽ 24,12
7,2 4,2
4,2 5,8
2,0
2,
1,8
Stt = CqS — NcZSp =
что совпадает с результатами предыдуще-
го расчета.
Чтобы определить напряжения, сле-
дует осуществить второй этап расчета и
учесть потери мощности в сети. Прибли-
женно это можно выполнить по схеме,
показанной на рис. 2-4. Правила такого
расчета были изложены ранее (см. §2-4).
Рис. 2-4.
4,01
3,99
1,05
1DJ)
9,5
2'
35
.7
12
9.5

1
1
— 1
— 1
1
1 — 1
— 1 1
0
— 1
Определение режима работы источников питания. В тех случаях,
когда расчет режима может быть ограничен нахождением пара-
метров, характеризующих только работу источника питания (гене-
раторов, станций), всю сеть целесообразно рассматривать как мно-
2* 35
гополюсник, зажимы которого соответствуют местам включения
э. д. с. этих источников. При этом вместо матрицы LI для узлов на
границах многополюсника целесообразно пользоваться матрицей Е
э. д. с. источников питания.
Если представить многополюсник в форме Y, то режим будет ха-
рактеризоваться уравнением
I = YE. (2-7)
Здесь пассивные параметры, входящие в матрицу Y, могут рассмат-
риваться как узловые проводимости эквивалентной схемы.
Если представить многополюсник в форме Z, то режим будет
характеризоваться уравнением
E=zi.
Здесь пассивные параметры, входящие в матрицу Z, могут рассмат-
риваться как контурные сопротивления эквивалентной схемы.
Очевидно в данном случае
Z = Y-1.
Порядок определения одной из этих матриц можно выбрать про-
извольно, по соображениям упрощения вычислительной работы.
В частности, можно уменьшить число узлов (контуров) или вос-
пользоваться делением схемы (если она обладает большой слож-
ностью) на подсхемы с последующим преобразованием путем уст-
ранения общих узлов.
При отсутствии в рассматриваемой схеме поперечных ветвей
уравнения (2-7) записываются в предположении, что один из узлов
является базисным узлом, где напряжение (э. д. с.) должно быть
известно. В противном случае матрица Y получается особенной.
При наличии поперечных ветвей автоматически возникает доба-
вочный узел в виде нейтрали, потенциал которой равен нулю. При
этом дополнительно возникает и требование отсутствия задающего
тока в этом узле или равенства нулю суммы всех прочих задающих
токов:
П/j —~
Практически поперечные ветви всегда имеются в схеме, так как
обычно в таких расчетах нагрузки представляются неизменными (не
зависящими от искомых значений напряжений в узлах) проводимо-
стями *. Применять контурные уравнения здесь нецелесообразно
из-за резкого увеличения числа контуров.
* См. т. II, § з-з.
36
Схема при этом получается линейной, что облегчает выполне-
ние расчетов. Однако не вполне соответствуя характеристикам на-
грузок по активной мощности (как известно, зависимость от иско-
мых значений напряжений здесь должна быть малой), схема явля-
ется приближенной, дающей хорошие результаты только при срав-
нительно малых изменениях напряжений в узлах.
Часто бывает целесообразно пользоваться значениями полной
мощности для источников питания, тогда уравнение (2-7) приходит-
ся соответственно изменить:
$=ЁД1=ЁД¥Ё.
Это выражение применяется при определении полной мощности
нагрузки генераторов (станций), когда известны (по модулю и ар-
гументу) значения их э. д. с.
В развернутом виде это выражение можно записать для любого
источника питания i (другие источники питания отмечены индек-
сом /, причем /=/=/):
п
Pi=E]Gu^^ E.E^G^cos 8/y-Bt-7sin 8Z/);
п
Qi^E^Ba-Y^ EiEj(BtJcos sin 8.Д
где 6<j = 6i—Gij, Bij, а также Yij=Gij—jB-ij при i=/ обычно назы-
ваются собственными проводимостями ветвей источников питания,
а при г=/=/— взаимными.
Часто бывает достаточно определить активную мощность источ-
ников питания (например, для целей расчета устойчивости):
р = Ее5=Ке(ЁлУЁ).
Если можно пренебречь влиянием активных сопротивлений сети
(что в данном случае менее основательно, так как ветви нагрузок
обладают достаточно большими активными проводимостями), то
Р = Re (ЁД/-ВЁ).
Соответственно изменяются и выражения в развернутом виде.
§ 2-6. ПРИМЕНЕНИЕ ИТЕРАТИВНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РАСЧЕТА
РЕЖИМОВ
Расчет условно-линейных схем. Рабочий режим
можно определить итеративным путем, пользуясь уравнениями лю:
бого типа. В данном случае уравнения получаются линейными.
Итеративный путь здесь не является обязательным, но он упроща-
ет технику выполнения расчета.
37
Более простым получается решение матричного узлового урав-
нения *
YUs=j={77o!.,S.
Для выполнения расчета можно воспользоваться матрицей при-
ближенных значений узловых сопротивлений
Z'^V,
где Y„—диагональная часть матрицы Y.
При этом получается матрица приближенных значений узловых
напряжений
LU=Z'j,
которая приводит к небалансу токов в узлах схемы:
4j==j-YUl=(l-Z'Y) 1
Это дает возможность внести исправление и найти матрицу уточ-
ненных значений узловых напряжений:
01= 1Б+ дйд= UH-Z'J= 1Л + Z' (j —VU1)=
= Z'j-Hl-Z'Y)01.
п „ „ (2-8)
Для условно-линеинои схемы '
ill=liMMZ'S + (l-Z'Y) lj;=A + BUl. J
Если схема задана, то матрицы A = U~1HOMZ'S и В = 1 —Z'Y опре-
деляются только один раз. Чтобы выполнить очередную итерацию,
матрицу уточненных значений узловых напряжений Ua следует
умножить слева на матрицу В и добавить к матрице А. Эти опера-
ции повторяются до' получения нужной точности.
Из (2-8) можно также получить матрицу
Ul=Z'j+(l- Z,Y)Z,j=(2Z'-Z'YZ') J Z'j.
Это дает возможность итеративным путем уточнить матрицу узло-
вых сопротивлений:
Z"=2Z'-Z'YZ'.
При этом матрица узловых напряжений определяется непо-
средственно:
UA=zj=U7oLzS.
Однако для схем с большим числом узлов матрицы Y и Z получа-
ются достаточно высокого порядка, что затрудняет выполнение вы-
числений.
* Как следует из предыдущего, за номинальное напряжение {7Ном можно
принять напряжение базисного узла (7б.
38
Зная узловые напряжения, можно найти нагрузки ветвей схемы.
Л^атрица токов в ветвях
1 = ¥ВМД;
матрица значений полной мощности
^в= ином1 = ином¥вМ,ид.
Аналогичное решение получается и в случае применения мат-
ричного контурного уравнения:
Z I =Ё
Учитывая принцип дуальности, можно воспользоваться форму-
лой (2-8), в которой следует произвести замену матриц: J на
Ек, Щ на IK, Y на ZK и Z на YK. При этом матрица уточненных зна-
чений контурных токов
i^Y^+u-Y^zji;
Аналогично, для условно-линейной схемы
s'„=t„MK=u„0„v;eK+(1 - y;zj &
Смысл такого итеративного расчета заключается в том, что про-
верка получаемого результата производится точно' (с помощью
соответственно матрицы Y или ZK), а поправка вносится прибли-
женно (с помощью матрицы соответственно Z или YK).
Здесь матрица э. д. с. в ветвях находится соответственно по
одной из следующих формул:
Ё= -- \TafZaaCoj= -UhCmNo/ZaaCgS,
а матрица контурных э. д. с.
EK = NE.
Матрица приближенных значений контурных проводимостей
у' — 1
* К- ь к I ,
где ZKH— диагональная часть матрицы ZK.
Потокораспределение по ветвям определяется путем наложения:
SB=C0S+NfS„.
После этого может быть применен любой прием уточнения решения
(например, второй этап расчета).
Расчет схем с нелинейными нагрузками. Аналогично тому, как
в схемах с линейными нагрузками применение итеративного рас-
39
чета исключало необходимость определения матрицы обобщенных
параметров (определение параметров заменялось расчетом искомо-
го режима), так и в схемах с нелинейными нагрузками можно
исключить вторую (уточняющую) часть расчета.
Итеративный путь расчета режима позволяет попутно вводить
любые уточнения. Это, правда, приводит к некоторому замедлению
расчета, но зато делает его более однотипным, не требующим, на-
пример, дополнительного учета потерь мощности в сети. При этом
возможен даже учет статических характеристик нагрузки (если это
целесообразно, например, в связи с отсутствием регулируемых под
нагрузкой трансформаторов на некоторых понизительных подстан-
циях) и нелинейностей параметров сети.
Особенность данного расчета, проводимого на основе узловых
уравнений, заключается в том, что на каждом этапе (в пределах
каждой итерации) вместо номинального напряжения или напряже-
ния базисного узла используется уточненное значение напряжения
узла (когда определяются задающие токи узлов). При этом выра-
жение, положенное в основу итеративного расчета, получается не-
сколько иным. Его можно найти из (2-8), если произвести подста-
новку:
j=U71S.
При этом матрица уточненных значений напряжений в узлах
II" = иб + и;=U6+ Z' ( и; )~’S+(1 - Z' Y) =
= и6+ Z'S.KU'H-Hl - Z'Y) U1=U6+A' II (От111+ вй;.
Однако даже этот простой алгоритм в случае сложной схемы
реализуется с большим трудом, так как матрица Y имеет весьма
большой порядок (по числу независимых узлов). Квалифицирован-
но составленная и широко применяемая программа позволяет рас-
считать схему, содержащую не более 250 узлов.
Большим недостатком метода является сравнительно медленная
сходимость итеративного процесса. В случае достаточно сложных
схем число итераций может доходить до нескольких сотен (двух-
трех). Иногда сходимость не обеспечивается (решение не получа-
ется). Во многих случаях процесс сходимости удается улучшить
(ускорить).
Наиболее широко распространены следующие способы уско-
рения итеративного процесса: применение метода Зейделя и мето-
да ускоряющих коэффициентов. Если первый реализуется сравни-
тельно просто, почти автоматически, то второй требует некоторого
опыта.
При применении метода Зейделя реализация вновь най-
денных значений напряжений производится в пределах одного и
того же шага итеративного процесса. Каждое последующее значе-
40
ние Oj" напряжения вычисляется с помощью всех только что най-
денных предыдущих значений &i":
Ui при /</;
при />/.
а) Я)
Рис. 2-5.
При этом иногда число необходимых итераций сокращается почти
вдвое.
Введение ускоряющих коэффициентов в виде множи-
телей к обобщенным параметрам Z позволяет или усилить влияние
сети, или ослабить его. Если итеративный процесс имеет апериоди-
ческий характер (рис. 2-5, а),
то влияние сети следует уси-
лить, т. е. ввести коэффициент
/<>1. Если же процесс полу-
чается колебательным (рис.
2-5, б), то влияние сети следу-
ет ослабить, т. е. ввести коэф-
фициент К<1.
Трудность пользования ус-
коряющими коэффициентами
связана с выбором их целесо-
образного значения. Этот вы-
бор производится только после
когда становится ясным, какой характер имеет процесс и насколь-
ко его можно ускорить. При правильном применении ускоряющих
коэффициентов эффект получается достаточно большим.
выполнения нескольких итераций,
Пример 2-3. Определить рабочий режим сети 110 кв, схема которой была по-
казана на рис. 2-3. Значения сопротивлений указаны в омах, значения мощно-
сти— в мегаваттах. Напряжение в узле баланса задано и равно 124 кв. Расчет
выполнить итеративным путем.
1. Расчет без определения обратной матрицы. Для ускоре-
ния сходимости применяется метод Зейделя. Учитываются статические характе-
ристики нагрузок, заданные в аналитической форме:
Р = PQ [1+0,5 (U"IU' -1)],
где U' — исходное напряжение, соответствующее Ро; U" — действительное напря-
жение в данном пункте.
В исходном режиме нулевого приближения напряжения во всех независимых
узлах предполагаются одинаковыми и равными 115 кв.
Для данной схемы матрица узловых проводимостей
1 1 1 1 1
2 + 1,6 + 1,8 “ 1,6 “1,8
1 1 1 1 1
“1,6 1,6+1,2 + 2,2 “1,2
1 1 1 1
“1,8 “1,2 1,8+1,2
41
1,6806 —0,6250 —0,5556
— 0,6250 — 1,9128 —0,8333
— 0,5556 —0,8333 1,3889
Приближенная матрица узловых
матрицы узловых проводимостей:
сопротивлений получается из диагональной
1
1,6806
1,9128
1
1,3889
Постоянные матрицы: первая —
при
Щ = 124
в первом приближении
zs« =
вторая
0,5950
0,5228
0,7200
1
1
1
14,875
18,298
14,400
0 0,3719 0,3306
1 —ZY = 0,3267 0 0,4356
0,4000 0,6000 0
Первое приближение. Для узлов
шутся как
1, 2 и 3 соответственно
напряжения запи-
9
6^ = 124 —Ц0
0,3719
0,330611
9
9
^2= 124 — 110,3267 0
0,4356 ||
— — 14,875 = 124 — 7,616 = 116,384 кв;
115
7,616
9
9
— 18,298 =124— 8,000= 116,000 кв;
115
7,616
й'3= 124 — И 0,4
0,6
0Ц 8,0
— — 14,400 = 124 — 9,098 = 114,902 кв.
115
9,0
42
Второе приближение. Новое значение мощности для узла 1
Р[ = 25 [1 + 0,5 (116,384/115— 1)] = 25,15 Мвпг;
уточненное значение напряжения
7,616
Ux = 124 — 0,3719 0,3306 ||- 8,0
9,098
---------25,15
116,3842
124 — 7,269 =
= 116,73 кв\
новое значение мощности для узла 2
Р2 = 35 [1 + 0,5 (116,000/115— 1)] = 35,15 Мет-,
уточненное значение напряжения
й'2 = 124 — ||0,3267
0,43561|-
7,269 |
8,0
9,098
1
---------35,15 = 124 — 7,922 =
116,0002
= 116,078 кв‘,
новое значение мощности для узла 3
Р3 = 20[1 + 0,5(114,902/115— 1)] = 19,9 Мвт'>
уточненное значение напряжения
U'3 = 124 — || 0,4 0,6
0II-
7,269
7,922
9,098
1
114,9022
19,99 =
= 124—8,905 = 115,095 кв.
Аналогично выполняется и ряд последующих уточнений, при этом определя-
ются значения напряжений:
116,826
116,193 ;
115,195
116,865
116,251
115,245
116,941
116,298
115,304
Нетрудно заметить, что сходимость получается сравнительно медленная.
Только после одиннадцатой итерации можно признать точность расчета удовлет-
ворительной:
117,05
116,41
115,41
2. Расчет с применением обратной матрицы (узловых сопро-
тивлений) и м е т о д а 3 е й д е л я. Значения мощности нагрузок предполагают-
ся неизменными (не зависящими от искомых значений напряжений).
43
Первое приближение. Узел 1. В исходном режиме нулевого приближения на-
пряжение в каждом узле предполагается равным 115 кв. При этом
С7д! = 1,2370 0,8390 0,9982|| •
1 Ю
25
35
20
= 6,978;
£?1 = 124 — 6,978 = 117,022 кв.
Узел 2. С учетом найденного значения напряжения в узле 1
117,022
Гд2 = || 0,9981
1,1018 1,7803 у
1
116,404
= 7,596;
С7' = 124 — 7,596= 116,404 кв.
Узел 3. Аналогично определяются
£7д3 = || 1,2370 0,8390 0,9982 || •
117,022
= 124 — 8,541 = 115,459 кв.
Второе приближение. Узел 1
£7^=111,2370 0,8390 0.9982Ц-
1
117,0221
1
116,404
1
115,459
35 =6,894;
£7j = 124 — 6,894 = 117,106 кв.
Таким же путем находятся
£/2 = 116,459 кв; £73 = 115,474 кв.
Чтобы получить значения напряжений с двумя значащими
Чтобы получить значения напряжений с двумя значащими цифрами после
запятой, требуется выполнить и третье приближение. Последовательно определя-
ются напряжения для узлов 1, 2 и 3 соответственно:
£/, =107,11 кв; й9 =116,46 «в; U2 =115,47 кв.
z о
44
Учет статических характеристик нагрузок несколько удлиняет
расчет, так как сходимость итеративного процесса несколько за-
медляется. Однако даже на данном достаточно простом примере
видно, что применение матрицы узловых сопротивлений существен-
но уменьшает число необходимых итераций для получения приемле-
мого ответа.
Использование метода итераций при решении контурных уравне-
ний улучшает сходимость. Это объясняется более сильной зависи-
мостью узловых напряжений от задающих токов по сравнению с
аналогичной зависимостью небалансных э. д. с. по независимым
контурам. При этом предполагается, что независимые контуры вы-
бираются с учетом условий сходимости итеративного1 процесса. Для
этого общие сопротивления контуров должны быть по возможности
меньшими.
Приведенный ниже пример с применением коэффициентов рас-
пределения подтверждает это положение. Пример использования
контурных уравнений здесь не приводится, так как предполагается,
что расчет по коэффициентам распределения более целесообразен.
§ 2-7. ПРИМЕНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Как уже указывалось ранее, применение коэффи-
циентов распределения имеет определенные преимущества, в част-
ности, позволяет определять значения полной мощности по ветвям
рассматриваемой схемы. Кроме того, поскольку здесь за исходные
могут быть приняты величины полной мощности в узлах, которые
непосредственно вводятся в расчет, то значительно проще может
быть выполнен более точный расчет даже .при учете статических
характеристик нагрузок. Он практически сводится к выполнению
итеративного процесса.
Действительно, выражая напряжения в узлах (здесь опять же
целесообразно воспользоваться результатами расчета близкого ре-
жима) в матричной форме (матрица Uo), по статическим характе-
ристикам можно найти нагрузки, вводимые в расчет:
S=P(il0)+/Q(U0).
Приближенные значения задающих токов и токов в ветвях схе-
мы запишутся как
j0=Ur‘S; i=CJ0=CU„,S.
Практически достаточно найти только токи в ветвях дерева
схемы:
L=Cj0=CJUa,lS. (2-9)
Если принять упрощающее условие — отсутствие взаимных со-
противлений между ветвями дерева и хордами, т. е. считать
Zap---Zpa/---О,
45
то можно определить узловые напряжения и напряжения в узлах
схемы соответственно:
к1д-C0zZaKl"a= C0/ZaaCaU0/S;
и=Ц# + йд= йб/г+СоЛаСЖ1^,
(2-Ю)
(2-10а)
где п — столбцевая единичная матрица.
Далее можно найти приближенные значения полной мощности
у передающих и приемных концов каждой ветви схемы:
Sl=(M+1U),I=(M+<U),Cljr1S=ClS; (2-11)
s2= =(м_,й)дс иг ‘s=c2s, (2-11 a)
(2-14)
где M+ и M_ — части матрицы с положительными и отрицательны-
ми единицами соответственно; в последней матрице отрицательные
единицы заменяются положительными.
Проверка должна была бы показать, что баланс мощности в уз-
лах не соблюдается, так как полученные значения напряжений в
узлах при этом не соответствуют действительности:
AS=M_S2-M+S1- S =# 0. (2-12)
Это недоразумение легко устранить, если повторить расчет по
вновь найденным (уточненным) значениям напряжений:
й"= й6+cwz„c«s„ I иг’ ц=й6+а и йг1 ц, (2-13)
где
А= Co/ZctaCaSn
Формула (2-14) позволяет выполнить требуемое итеративное
уточнение. Можно предполагать, что необходимое число итераций
достаточно мало, так как токи в ветвях схемы (равно как и зада-
ющие токи) должны изменяться незначительно (при небольших
изменениях напряжений).
Таким образом, при небольших сдвигах напряжений по фазе
данный итеративный процесс должен сходиться достаточно быстро,
так как расчет сводится к нахождению более точных значений
токов в ветвях дерева схемы при уточнении значений напряжений
в узлах.
Достоинством данного метода расчета является сравнительно
малый порядок матрицы, для которой следует вычислять обратную
матрицу. Для каждой подстанции (предполагается, что сложная схе-
ма разделяется на подсхемы) порядок определяется числом неза-
висимых контуров. Следует отметить, что при разделении сложной
схемы на подсхемы дополнительно сокращается число контуров
для схемы в целом.
К недостаткам следует отнести тот факт, что в каждой подсхе-
ме приходится выделять свой базисный узел. Напряжения в этих
46
узлах, конечно, не являются взаимно независимыми, поэтому и по-
является необходимость в дополнительных условиях на границах.
Однако эти условия накладываются сравнительно просто и незна-
чительно усложняют решение.
Чтобы выполнить такой уточненный расчет, следует найти мат-
рицы коэффициентов распределения Ср и Са (см. т. I, § 3-4), а в
конечном счете определить матрицы контурных порводимостей YK.
Последующие вычисления представляются менее сложными.
Рассматриваемая методика расчета даже в случае учета стати-
ческих характеристик нагрузок не требует обязательного использо-
вания узловых уравнений и матрицы Y. Совместное применение
матриц YK и С дает возможность решить эту задачу несколько дру-
гим путем.
Пример 2-4. Для схемы, изображенной на рис. 2-3, определить рабочий режим
в предположении неизменности значений полной мощности в узлах. Расчет вы-
полняется итеративным путем с применением коэффициентов распределения.
Матрицы Си, Со и Zaa- считаются известными:
0,6186 0,4196 0,4992
0,3814 0,5804 0,5008
— 0,1327 0,1460 0,4345
2,0
2,2
],8
0
1
0
1

Матрица значений полной
мощности в узлах задана:
2,5
2,0
Из (2-10) определяется
0,6186 0,4196 0,4992
0,3814 0,5804 0,5008
— 0,1327 0,1460 . 0,4345
3,0930 2,9372 1,9968
2,0977 4,6691 2,2035
2,4959 3,8570 3,5610[
Если в нулевом приближении предположить —116 кв для всех узлов, то
по (2-9) при = 124 кв определяется:
124 6,9193
124 — 7,7324
124 8,5458
117,08
116,27
115,45
Сравнение полученных результатов с ранее найденными (см. пример 2-3) по-
казывает хорошее совпадение.
47
Уточнение (выполнение второй итерации) дает ничтожную поправку:
124 6,8976 117,02
124 — 7,7162 116,28
124 8,5337 115,47
Следовательно, в данном случае поправка
не требуется и можно ограничить-
ся первым решением.
Значения полной мощности по ветвям находятся для начальных вершин
по (2-11)
1124
124
117,02
117,02
116,28
2,5
3,5
2,0
для конечных вершин по
117,02
(2-11 а)
116,28
S2 =
0,6186
0,3814
— 0,1324
— 0,2487
0,1327
117,02-1
116,28-1
115,47-1
115,47
0,4196
0,5804
0,1460
0,4992
0,5008
0,4345
0,2736 0,0647
— 0,1457 0,5656
4,2765
4,2520
1,0643
0,4737
0,9589
116,28
115,47
0,6186 0,4196 0,4992 4,0358
0,3814 0,5804 0,5008 2,5 117,02-1 3,9874
— 0,1324 0,1460 0,4345 - 3,5 116,28-1 — 1,0502
— 0,2487 0,2736 0,0647 2,5 115,47-1 0,4704
0,1327 —»0,1457 0,5656 0,9522
Результаты расчета приведены на
рис. 2-6. Ошибки в балансе по узлам ока-
зываются приемлемыми.
Для практических целей часто достаточно
иметь приближенное потокораспределение:
s = cs =
4,0135
3,9865
1,0490
0,4653
0,9530
Рис. 2-6.
48
Правильность результатов расчета в достаточной
лансом мощности в узлах. Проверка по (2-12) дает:
мере характеризуется ба-
4,2765
4,2520
1,0643
0,4737
0,9589
0 0
1 0
0 1
4,0358
3,9874
1,0502
0,4704
0,9522
2,5
3,5
2,0
0,0022
0,0011
0,0024
Результат проверки можно признать вполне удовлетворительным, так как на-
грузки не могут быть заданы с большей точностью.
§ 2 8. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ
При повышении сложности схем целесообразно при-
менять разделение их на подсхемы. Для каждой из подсхем матри-
ца коэффициентов распределения определяется более просто, что
обусловлено, в частности, устранением ряда замкнутых контуров
при делении.
Каждая из подсхем характеризуется не только заданными соб-
ственными нагрузками (индекс «а»), но и неизвестными заранее
(искомыми) нагрузками нарушенных связей (индекс «6»), Поэтому
для каждой подсхемы выражение (2-13) приходится разделять на
блоки:
и* щ
^аа
В^й ^bb

(2-15)
где
^aa Вй^
В^д ®bb
^Qbt
7
|C„CrtJ-

Or.1
Из (2-15) следует, что для всех общих узлов (от которых отхо-
дят нарушенные связи)
Йдг> — 1Д — йб£ — йдо+ B^SC,
(2-16)
где
Йдо= COft/ZaaCatL
bb--Co^ZaaCaftUjm.
(2-17)
(2-18)
Поскольку каждая данная подсхема связана с несколькими дру-
гими, то приходится предусмотреть дальнейшее разделение этой
подматрицы на блоки:
||йд,||=ййдо||+1(в,л. iisji-
49
При этом каждая подсхема имеет свой базисный узел (он же
является и узлом баланса), который в дальнейшем будет учиты-
ваться (при сопоставлении узловых напряжений). Пока что все
уравнения (2-16) можно объединить:
|— (2-19)
В местах соединения подсхем напряжения дожны быть одинако-
выми в общих узлах, следовательно, можно подобрать такую мат-
рицу Г, при которой в каждом из общих узлов получается разность,
равная нулю:
гйдя=о= гйдоя-р rBw>sSt'X.
Соответственно, выбирая в качестве искомых неизвестных на-
грузки нарушаемых связей Scc, запишем
Sts —
При этом
0= Гйдоя+ ГВ^ГЛс- (2-20)
Матрица ГВЬЬеГ<; должна быть квадратной, неособенной, поэто-
му решение будет иметь вид:
s„= (ГВм1Ц)-ТиА0!!.
Решение (2-20) можно получить и другими путями. Однако в
связи с относительно небольшим числом нарушаемых связей вычис-
ление обратной матрицы не вызывает особых трудностей.
После этого вычисления определяется матрица
U ди = Ыдов B^sFyS^,
а затем и матрицы (с учетом действительных значений Об, кото-
рые находятся, если базисные узлы располагаются на границах
подсхем) для всех подсхем. Наконец, из (2-16) определяются и все
матрицы Ua. На этом заканчивается первая итерация. Результаты
расчета дают возможность уточнить матрицы А (по уточненным
значениям напряжений в узлах) и осуществить вторую итерацию.
Необходимость выполнения второй и последующих итераций
выясняется при проверке баланса мощности во всех узлах каждой
из подсхем. Небаланс должен быть меньше, чем возможная погреш-
ность определения мощности нагрузки.
Преимуществом данного метода расчета является то, что он не
требует повышения точности расчетов по условиям техники его
выполнения: во многих практических случаях удается ограничиться
только одним расчетом без дополнительных уточнений.
50
Пример 2-5. Рассматриваемая схема замещения сети и ее параметры пред-
ставлены на рис. 2-7, а. В процессе расчета она делится на две части (рис.
2-7, б, в). Если предположить, что напряжения во всех узлах схемы равны 116 кв,
то по (2-18) для первой части с учетом имеющихся данных (см. пример 2-4)
Bbb =
2,0
2,2
1,8
0,4196
0,5804
0,1460
0,4992
0,5008
0,4345
•116-1
1,1007
0,9499
0,9498
1,0693
О
1
1 О
О 1
для второй части
10 111
^>ьь ~
0,6
1,0
2,4
0,8
1 0 1
4,1376 3,275611
3,2756 4,48241).
Чтобы продолжить расчет, матрицы 1_1до надо представить в более полном
объеме (для всей схемы). Из (2-17) для первой части схемы получается
51
о о
1 о
О 1
идо= о
2,0
2,2
1,8
0,6186 0,4196 0,4992
0,3814 0,5804 0,5008
— 0,1327 0,1460 0,4345
2,5
3,5 -116-1 =
2,5
6,9193
7,5606
7,6147
для второй части
0—1101 0,6 0—100
— 1 0 111 1,0 — 1 0 0 0
иДо — 0 0 10 1 2,4 > 1 111 X
0 0 111 0,8 0 110
0 0 10 0 1,4 1 110
0 14,3954
0 15,0850
X 1,5 • 116-1 = 14,3954
1,0 15,0850
3,0 11,3784
При этом следует иметь в виду, что узлы с индексом «&» в первой части схе-
мы являются последними, а во второй — первыми.
Объединенное уравнение (2-19) имеет следующий вид:
^3 7,5602 11,007 0,9498 $3
^4 —— 7,6147 + 0,9499 1,0693 S4
14,3954 4,1376 3,2756 -s3
й4 15,0850 3,2756 4,4824 -s4
Причем матрица *
10—1 0
Г =
0 1 0—1
Следовательно, уравнение (2-20) запишется как
— 6,8352
— 7,4703
5,2383 4,2254
4,2255 5,5517
0 =
53
S4
Решение его дает
S3
S4
1
11,2270
5,5517
— 4,2255
— 4,2254
5,2383
— 6,8352
— 7,4703
— 0,5690
— 0,9129
* Поскольку базисные узлы для объединяемых
то Г8 = ft.
подсхем совпадают,
52
При этом по (2-16) для первой части получается
124 8,1166 115,88
U= 1 24 - - 9,0525 = 114,95
124 9,1314 114,87
для второй части
124 9,0508 114,95
124 9,1292 114,87
и 124 — 9,5413 114,46
124 9,6014 114,40
124 8,3126 115,69
В результате уточнения (второй итерации^ получается
- •$3 — 0,5685
S4 — 0,9129 .
Поскольку разница практически незначительна, дальнейший расчет не произво-
дится.
Расчет на этом не заканчивается (не определяются значения мощности для вет-
вей схемы), так как он не отличается принципиально от предыдущего (см. при-
мер 2-4). Можно отметить, что, несмотря на усложнение схемы, значительных
затруднений при расчете не наблюдается. Поэтому данный метод расчета оказы-
вается весьма перспективным, особенно для сложных схем.
§ 2-9. ИТЕРАТИВНЫЕ РАСЧЕТЫ СХЕМ С ЛИНЕАРИЗОВАННЫМИ
НАГРУЗКАМИ
Линеаризация здесь представляется весьма целесо-
образной. Опыт показывает, что итеративный расчет по линеаризо-
ванной схеме, как правило, имеет значительно более быструю схо-
димость: число итераций снижается до двух-четырех. Правда, рас-
чет в пределах каждой итерации несколько усложняется.
Схема получается линейной, однако, для расчета ее приходится
пользоваться только узловыми уравнениями, так как она не облада-
ет свойством взаимности, и граф с поперечными ветвями не может
быть получен непосредственно. Кроме того, в данном случае преи-
мущества контурных уравнений теряются, так как каждая попереч-
ная ветвь на единицу увеличивает число независимых контуров.
Число независимых контуров оказывается больше числа независи-
мых узлов.
Матричное узловое уравнение после подстановки в него линеари-
зованной зависимости запишется как
YUa = J0- ¥оид.
Это уравнение может быть решено относительно узловых напря-
жений только после разделения всех матриц на вещественные и
мнимые части:
Y=G —/В; Ua=U1 + ;u1;
Y0 = Gq уВ0; Jo = Jo /Jo-
53
Подстановка в исходное уравнение дает
(G - /В) (иг1 + Х)=Jo - JJ0 - (О0 - /Во) (- Д4).
Разделение на вещественную и мнимую части уравнения приво-
дит к двум матричным уравнениям, в которых имеются только ве-
щественные числа (что несколько упрощает задачу применения
ЦВМ):
GU1+ BU1 = Jo- G0Ul-h BU1;
— GUa+BUa=Jo—G0Ua—BUl.
Последнее выражение можно представить в виде блоковых мат-
риц:
| G В
||В — G
ч
Ua
Jo
Jo
Go
Во
о
и;
Это уравнение может быть упрощено:
В 4" Во — G Ц- Go
G + Go В—Во
U1!
и;
j;
Jo
Здесь мнимые составляющие намеренно помещены в первых
строках блоковых матриц, чтобы облегчить последующее решение.
Иными словами, полученное решение можно записать в следующем
виде:
YsUa = J0,
(2-21)
где
В+Во
G + Go
j;
Jo
Поскольку матрица пассивных параметров Ye получается не-
симметричной, то- соответствующая схема не обладает свойством
взаимности и, следовательно, в обычном виде не может быть запи-
сана. Это не мешает выполнению расчета с помощью ЦВМ, но на
обычной расчетной модели соответствующая схема замещения не
может быть набрана.
Решение уравнения (2-21) дает
U1=Yr1J0.
Несмотря на внешнюю простоту записи этого решения, его прак-
тическая реализации встречает существенные трудности, обуслов-
ленные, в частности, удвоением порядка матрицы Ye по сравнению
с матрицей Y. Поэтому наиболее приемлемым оказывается итера-
тивное решение. Исходное уравнение (2-21) имеет такой же вид, что
и обычное узловое уравнение в матричной форме (с той только раз-
54
ницей, что в нем все матрицы составлены из одних вещественных
чисел). Поэтому решение, описанное ранее (см. § 2-6), может быть
применено и в данном случае.
Рассматриваемая задача несколько упрощается, когда схема со-
держит только задающие токи (а не мощности в узлах):
U;=ZU0+(1-ZbYs) Ul’,
где
ZJ=YfA
Чтобы ускорить итеративный процесс, весьма важно в нулевом
приближении задаться значениями узловых напряжений, по воз-
можности приближающимися к искомым. Здесь могут помочь ре-
зультаты предварительных расчетов близких режимов.
Нетрудно видеть, что итеративный расчет упрощается в связи
с тем, что выражения Z'2J0 и 1 — Z2Y2 вычисляются только один
раз (для каждого данного случая). Чтобы облегчить расчет, можно
воспользоваться разделением матриц на блоки.
Следует иметь в виду, что получаемые результаты можно счи-
тать правильными только в том случае, если вычисленные напряже-
ния не выходят из зоны линеаризации. Приблизительно можно счи-
тать, что эти напряжения не должны отличаться от принятых при
линеаризации более чем на ±10% по модулю и на ±6 эл. град по
фазе.
В противном случае надо вновь определять задающие токи, вхо-
дящие в матрицу Jo в другой зоне, и матрицу пассивных парамет-
ров Ye . Однако это практически не является обязательным, так как
поправка ожидается сравнительно небольшой.
С точки зрения упрощения расчета выгоднее несколько раз из-
менять матрицу Jo, чем один раз изменить матрицу Ys .Принципи-
ально это означает, что приближение к искомому результату проис-
ходит не по касательной, а по прямой с несколько другим угловым
коэффициентом, которая соответственно перемещается параллельно
себе на условной координатной плоскости.
В принципе, исправление параметров близкого режима всегда
целесообразнее, чем выполнение нового расчета, еще и потому, что
дополнительный расчет может проводиться при пониженной точ-
ности, так как дополнительные нагрузки оказываются меньшими по
величине.
Очень важно задаться значениями исходных параметров (нуле-
вого приближения), возможно более близкими к искомым (правиль-
ным). Это существенно сокращает необходимое число итераций.
Использование параметров близких режимов здесь вполне целесо-
образно. Однако отсутствие условий сходимости даже при правиль-
но выбранных исходных параметрах режима приводит к расходи-
мости процесса:режим не подтверждается.
55
Пример 2-6. Определить рабочий режим сети ПО кв, схема которой приведена
на рис. 2-6. Применить прием линеаризации схемы. Значения полной мощности в
узлах принять неизменными (не зависящими от напряжений в узлах). Напряже-
ние в узле баланса считать равным 124 кв.
Чтобы устранить необходимость итеративного уточнения, расчет выполняется
в предположении равенства напряжений во всех независимых узлах (115 кв). Это
позволяет в большей мере охватить зоной линеаризации возможные значения
напряжений в узлах.
По ориентировочно заданным задающим токам определяются приближенные
значения напряжений в узлах
U' =U6 + ZU71S,
а затем вносится поправка, обусловленная изменением задающих токов:
AU = ZY0 (U — U').
Матрица приближенных значений задающих токов
Jo == 7 1 ~ 115 ’ 25 35 20 = 0,2174 0,3044 0,1739
матрица проводимостей (ветвей нагрузо к) 25 0,0019
¥о = 1 1152 ’ 35 20 = 0,0026 0,0015 .
По известной из предыдущих примеров (см., в частности, пример 2-3) мат-
рице узловых проводимостей
1,6806
0,6250
0,5555
— 0,6250 — 0,5556
1,9128 —0,8333
— 0,8333 1,3889
находится матрица приближенных значений напряжений в узлах
1Г=и6-11д =
117,021
116,371
115,380
где матрица узловых напряжений
ид — ZJ —
6,979
7,628
8,620
При этом поправки в напряжениях (по сравнению с принятыми за ис-
ходные)
AU = U' — 115 =
2,021
1,371
0,380
56
Воспользовавшись матрицей
0,0235 0,0159 0,0190
ZY0 =
0,0218
0,0150
0,0332
0,0165
0,0287
0,0267
можно определить и поправки в искомые
значения напряжений:
AU7 = ZY0AU =
0,070
0,109
0,063
Тогда искомые значения напряжений запишутся как
U" =U' + ди7 =
117,09
116,48
115,44
Из сравнения полученных значений с результатами предыдущего расчета
(см. пример 2-5) видно, что первое приближение при пользовании линеаризован-
ной схемой дает хороший итог.
§ 2-10. РАСЧЕТЫ СЕТЕЙ С УЧАСТКАМИ РАЗЛИЧНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ
Сначала рассматривается более простой случай,
когда сеть состоит из двух частей разных номинальных напряжений.
Эти части могут быть связаны как трансформаторами, так и авто-
трансформаторами (для расчета это принципиального значения не
имеет).
Как правило, схемы замещения такого рода сетей получаются
довольно сложными, поэтому все положения, приведенные в преды-
дущем параграфе, в значительной мере относятся и к рассматривае-
мому случаю. Практически сети такого вида встречаются настолько
часто, что рассмотренные выше схемы уже можно считать типовыми.
Для практической оценки рабочих режимов рассмотренных сетей
более целесообразно выполнять расчет по подробной схеме, без
приведения ее к одному базисному напряжению. Это значит, что
приходится составлять схемы, содержащие специальные элементы
трансформации (которые не могут быть заменены другими элемен-
тами схем замещения).
При этом схемы замещения получаются естественно разделенны-
ми на части (подсхемы), связанные элементами трансформации.
Каждая из подсхем отражает участок сети одного номинального
напряжения. Поэтому принципы упрощения каждой из подсхем ос-
таются прежними (такими же, как при сложной схеме сети одного
номинального напряжения).
При применении узловых уравнений для каждой из подсхем об-
щие принципы сохраняются, но разделение узлов на группы оказы-
вается более ограниченным: выделяются характерные узлы, не свя-
57
занные с элементами трансформации, и узлы, связанные с этими
элементами (отмечаются индексом «т»),— независимо от того, яв-
ляются они характерными или нет.
Уравнение для каждого многополюсника имеет тот же вид, что
и в случае сети одного напряжения:
Yii=J+t,
где U — матрица напряжений в узлах (в данном случае узловые
напряжения оказываются недостаточными).
Параметры трансформаторов связи (кроме элементов трансфор-
мации) учитываются в соответствующих схемах замещения сетей
и изображающие их многополюсники оказываются связанными
только трансформациями.
Чтобы получить граничные условия, надо различать подсхемы,
связанные с первичными (индекс «/») и со вторичными (индекс
«//») обмотками трансформаторов. В случае линейной схемы поль-
зуются следующими уравнениями связи:
для напряжений (э.д.с.)
UZ=KUZ/;
для токов
— К1гс = 1г7/ ИЛИ К1т/+1г// = 0,
где К — матрица коэффициентов трансформации (при одинаковой
нумерации первичных и вторичных зажимов— диагональная).
После разделения узлов на группы, отвечающие одинаковым со-
стояниям (узлы, связанные трансформациями, отмечаются индек-
сом т), получаются следующие матричные уравнения (их в два ра-
за больше числа узлов многополюсников):
YzU/+YTZUTz=j/;
Ут//П/ Y„zUT/ = iz+ L/;
Yz/Uzz-j- YtZ/Ut/z=Jzz;
Y.zz/Czz YTTz/UTzr= Jtz/ Lz/-
Учет граничных условий сводится к замене матрицы первичных
напряжений V/ произведением KUzz, а также к наложению .второго
требования для токов с соответствующим сокращением числа урав-
нений до трех. Это осуществляется с помощью матрицы граничных
условий (в данном случае это применяется с целью получения ре-
шения в более общем виде, допускающем увеличение числа под-
схем) :
58
1 о
о к
о о
о о
О 1
1 о
Y/U/+ YT/KUzz
Y^LI/+YT/KUvz
Yz/Uzz + Y.zA/z
YtZZZ U zz -|- YTTZZU tZZ
ООО
К О 1
О 1 О
J-zz“h Ья
1
0
0
Это уравнение можно записать в виде:
YiUs = Jz,
где матрицы параметров и искомых величин запишутся соответст-
венно как
Yz
KYT/z
О
YT/K О
KY,.zK + Y„zz Y.zzz
Ynzz ^iiit >
Порядок матрицы Y/ равен числу переменных, заключенных в
искомых матрицах Uz, UTzz и Uzz (вместе). Иными словами, число
уравнений равно числу неизвестных. Однако определить их из это-
го матричного уравнения нельзя, так как матрица Ye должна быть
особенной. Это объясняется тем, что все напряжения (потенциалы)
узлов найти нельзя; одно из них (в базисном узле) должно быть
задано.
Пусть задано напряжение Uq в узле 1 (это всегда можно обес-
печить при нумерации). Тогда можно записать
Y66 Y6
и6
откуда матрица всех остальных напряжений
y6a+vm= j;
и, следовательно,
U^Y^^-Ye/A).
Это решение нетрудно распространить и на более общий случай,
когда рассматриваемая сеть содержит несколько (больше двух)
участков с разными номинальными напряжениями. При этом полу-
чается несколько многополюсников, которыми замещаются отдель-
59
ные участки сети, связанные или непосредственно, или через тран-
сформации.
Узлы каждой из подсхем разделяются на группы по числу свя-
зей с другими подсхемами (кроме группы характерных собственных
узлов). Этому соответствует число матричных уравнений, образо-
ванных из исходного для каждого многополюсника. Матрица гра-
ничных условий приводит к сокращению числа уравнений, отражая
соединение подсхем.
Таким образом, матрица Г граничных условий здесь имеет ту
же структуру, что и в случае сложных схем замещения сетей одного
номинального напряжения. В ней лишь единичные матрицы мест
соединения заменены через элементы трансформации матрица-
ми К.
Кроме того, вместо общих матриц напряжений для общих узлов
(здесь для групп узлов), являющихся первичными зажимами тран-
сформаций, записываются приведенные матрицы напряжений, отно-
сящиеся к вторичным зажимам трансформаций.
Изложенное решение в целом остается справедливым и для
линеаризованных схем (имеется в виду только линеаризация нагру-
зок). Несимметричность матрицы Ye практически не отражается на
ходе решения, если для этого используется ЦВМ (только возра-
стает необходимая память машины).
В случае условно-линейной схемы решение приближается к пре-
дыдущему для сети одного номинального напряжения, так как при
этом граничное условие для нагрузок получается однотипным:
S/= — Sj/ или Sz-pSzz—0.
Следовательно, матрица граничных условий Г для нагрузок ос-
тается такой же, как и в случае сети одного напряжения. Измене-
ние касается только замены матрицы напряжений у входных зажи-
мов элементов трансформации матрицами приведенных значений
напряжений у их выходных зажимов.
Порядок решения в целом остается прежним. Соответствующие
матрицы К коэффициентов трансформации входят в матрицу YE в
виде множителей у подматриц YT для узлов, которые являются
входными у соответствующих трансформаций.
Применение контурных уравнений возможно только при рас-
смотрении линейных или условно-линейных схем. Для линеаризо-
ванной схемы такое решение не может быть выполнено из-за
отсутствия матриц инциденций.
При составлении контурных уравнений в соответствующих точ-
ках трансформации включаются э. д. с., связанные матрицей коэф-
фициентов трансформации. Поскольку уравнение для каждого мно-
гополюсника получается подобным предыдущему, т. е.
ZKSK-k ZktSkt = s-4-ет,
60
то и решение оказывается аналогичным. Из уравнения
определяется
SKs = ZK2 ®Е.
Чтобы уточнить результаты, расчет можно выполнить с учетом
средних значений полной мощности по ветвям, т. е. с учетом влия-
ния потерь мощности в сети путем соответствующего увеличения
нагрузок.
Расчет по схеме с элементами трансформации дает возможность
получать натуральные параметры режима без приведения их к
другой ступени напряжения. Это облегчает анализ рассматривае-
мых режимов работы сети. В тех случаях, когда определение нату-
ральных параметров режима вызывает затруднения (в связи с рез-
ко разным порядком числовых значений отдельных величин),
рекомендуется пользоваться системой относительных единиц. Тог-
да все величины можно получить близкими к единице.
5 2-11. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА СЕТЕЙ С НАПРЯЖЕНИЯМИ
ВЫШЕ 220 КВ
Сети очень высоких номинальных напряжений в на-
стоящее время только начинают формироваться. Достаточного опы-
та расчета их рабочих режимов еще нет. Тем не менее некоторые
особенности этих сетей являются настолько очевидными, что их не-
обходимо учитывать при выполнении расчетов. Первой особен-
ностью является то, что с увеличением напряжения линий в квад-
ратичной зависимости возрастает реактивная мощность, генери-
руемая ее емкостью на единице длины (погонная). В режиме на-
грузки натуральной мощностью вся реактивная мощность теряется
в индуктивном сопротивлении линии. Однако при изменении на-
грузки потери изменяются пропорционально квадрату нагрузки,
давая большую разность — положительную или отрицательную.
При нагрузках, ниже натуральной, получается большая избыточная
реактивная мощность, а при нагрузках, выше натуральной, обна-
руживается недостаток ее. Вместе с тем значительная протяжен-
ность сети обусловливает сравнительно высокие реактивные узло-
вые сопротивления. В результате передача реактивной мощности
по сети вызывает значительные потери напряжения. В то же время
в этих сетях по условиям работы изоляции не допускаются сущест-
венные повышения напряжения сверх номинальных значений.
Следовательно, в сетях очень высоких напряжений передача реак-
тивной мощности обычно нецелесообразна. Это значит, что как из-
быток, так и недостаток реактивной мощности в узлах таких сетей
должны в основном компенсироваться на месте. Размеры компенса-
ции заранее установить очень трудно, так как исследуемый режим
неизвестен, а возможные изменения по реактивной мощности вели-
61
ки. При этом обычные приемы расчета оказываются неприемлемы-
ми из-за нарушения условий сходимости.
В данных условиях приходится применять принципиально новые
методы расчета, которые давали бы возможность получать искомый
результат во всех возможных случаях. Иными приходится выби-
рать и исходные положения. Так, целесообразно предварительно
оценивать мощность компенсирующих устройств в узлах сети по ус-
ловиям поддержания в них напряжений, близких к номинальным
значениям:
U ^ном^»
где
ё= l|ej8'l|, z=l,..., z/,
если
8,=arg#,.
Здесь значения 6; заранее неизвестны и определяются из
расчета.
Второй особенностью сетей очень высоких номинальных напря-
жений являются относительно малые величины активных сопротив-
лений линий по сравнению с их индуктивными сопротивлениями
(в 15—20 раз меньше), что обусловлено большими сечениями про-
водов, расщепленных по фазам.
Это приводит к настолько малому влиянию активных сопротив-
лений на параметры режима, что в первом приближении с их влия-
нием можно не считаться и включать в схемы замещения только ре-
активные сопротивления. Приблизительно принимают Z = /X и, сле-
довательно,
Третьей особенностью сетей очень высоких номинальных напря-
жений являются достаточно большие величины углов 6 сдвига на-
пряжений по фазе, что обусловлено значительной активной мощно-
стью и дальностью передачи (порядка 60 эл. град на каждые
1000 км).
К особенностям линий высоких напряжений следует отнести
также заметное влияние распределенности параметров и емкостной
проводимости, которая может оказаться заметной уже при длинах
150—200 км. Поэтому при составлении схемы замещения сети при-
меняются цепочечные схемы замещения линий или вводятся попра-
вочные коэффициенты.
При оценке экономичности режима работы сети высокого нап-
ряжения в условиях плохой погоды необходимо считаться с влия-
нием потерь активной мощности вследствие короны на проводах.
Расчеты и измерения показывают, что эти потери оказываются со-
измеримыми с нагрузочными.
62
Предварительно при расчете рабочего режима можно исходить
из уравнения
U=t/110„e=Ullol,+;Xj, (2-22)
где матрица Uhom = 17Hom1i относится к базисному узлу схемы заме-
щения.
При почленном умножении этого уравнения на сопряженную
транспонированную матрицу задающих токов слева получается
условие баланса полной мощности:
Ji)=S=Р+j Q=J,U„„ + jJX J. (2-23)
Отсюда следует, что
P = ^UH0M=Pzn, или P = Z7H0MJ'.
Из приведенных уравнений непосредственно вытекает матрица
вещественных составляющих задающих токов:
J'=L'„«'„P.
Это дает возможность из (2-22) определить матрицу е:
e=n+t/™(XJ"+;XJ').
Следовательно,
Im e = sin 8 — 4/^mXJ'.
Если известно, что
sin 8=|| sin |i—С/номХР, откуда 8 = arcsin/7Н0мХР.
Далее из уравнения
cos8=n4-</^XJ"
находится матрица У' мнимых составляющих задающих токов:
r=_X-V/HOM(n-cos8).
В более общем случае
cos 5 = [1 — 1т2ед]1/2п.
После этого из (2-23) получается матрица значений реактивной
мощности по узлам:
Q=Xuh0M+Xxj,
или
q=^H0Mj^Xxj'+j;xj".
63
После подстановок и простых преобразований эта матрица за-
пишется как
Q=cos гдх~‘ (n — cos 8).
Здесь отражена и реактивная мощность, генерируемая емкостью
линий. Приблизительно
Qc=M„lt/L,S(, (2-24)
где Мо — матрица М, в которой все отрицательные единицы заме-
нены положительными: М0 = М+—М_; 1 — матрица длин линий.
Мощности компенсирующих устройств по узлам предварительно
определяются матрицей
Q«=Q-Qe-
Таким образом, по известным значениям полной мощности в
узлах находится потокораспределение в схеме и определяются на-
пряжения в узлах. При этом можно воспользоваться матрицей
коэффициентов распределения.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 2
1. Н. А. Мельников. Электрические сети и системы. «Энергия», 1969.
2. В. Г. Холмский. Применение регулируемых трансформаторов в элект-
рических сетях. «Энергия», 1950.
3. И. К. Архипов. Расчет городских сетей с учетом регулирующих уст-
ройств. «Энергия», 1957.
4. Н. Г. Максимович. Линейные электрические цепи и их преобразова-
ния. ГЭН, 1961.
Л ОПТИМИЗАЦИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ
ГЛАВА <
§ 3-1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ ОПТИМИЗАЦИИ
Методы определения оптимального режима энергети-
ческой системы базируются на отыскании минимума
народнохозяйственных затрат. Отыскание минимума
сложной функции представляет собой задачу оптимизации, поэто-
му и возникает термин «оптимизация режима энергетических си-
стем».
Знание методов оптимизации режимов энергетических систем
обязательно для всего инженерно-технического персонала, управ-
ляющего режимом энергосистемы: для ее руководящих работников,
для диспетчеров энергосистем и работников службы режимов, а
также для оперативного и технического персонала управляемых
объектов (электростанций и электросетей).
Материал этой главы предназначается для довольно широкого
круга студентов, специализирующихся по кибернетике энергосистем
и электрическим системам.
Для обеспечения максимальной экономичности режима в рас-
поряжении диспетчеров энергосистемы имеется ряд следующих воз-
можностей:
1) оптимальное распределение активной и реактивной мощно-
стей между генерирующими источниками, включенными в работу;
2) оптимальный выбор включенных в работу агрегатов (котлов,,
турбогенераторов);
3) оптимальное назначение оперативного резерва мощности в
энергосистеме;
4) выбор оптимальной схемы энергосистемы;
5) оптимальное регулирование частоты и напряжений.
Рассмотрим, в первую дчередь, методы установления оптималь-
ного распределения мощностей. Назначение оптимальных мощно-
стей для какой-либо станции имеет смысл лишь в том случае, если
при таком назначении распределение мощностей между отдельны-
ми агрегатами внутри электростанции также является оптималь-
ным и, кроме того, если режим нагрузки агрегата при заданной ему
оптимальной мощности по всем параметрам агрегата является оп-
тимальным. Это означает, что при заданной нагрузке котла выбра-
ны и поддерживаются оптимальные значения избытка воздуха и ве-
личины разрежения; при заданной нагрузке турбины — оптималь-
ное значение давления, температуры пара и вакуума и т. п.
3-2757 65
Оптимальное распределение мощностей внутри станции подчи-
няется тем же законам, что и оптимальное распределение мощно-
стей между станциями. В ряде случаев рассматривается распреде-
ление мощностей не между станциями, а между отдельными агре-
гатами всей энергосистемы.
Установление оптимальных параметров режима агрегата при
заданной ему нагрузке осуществляется оперативным персоналом,
обслуживающим агрегат, по нормальным эксплуатационным инст-
рукциям.
В данном курсе сначала излагаются методы оптимального рас-
пределения мощностей между отдельными электростанциями или
между отдельными агрегатами энергосистемы. Вопрос о выборе оп-
тимальных агрегатов рассматривается далее.
Решение задачи оптимального распределения мощностей может
базироваться на одном из излагаемых ниже общих методов. Все
эти методы обеспечивают получение таких значений мощностей, при
которых суммарные затраты достигают минимума. Таким образом,
с математической точки зрения задача сводится к отысканию мини-
мума функции многих переменных. Необходимо подчеркнуть, что
эти переменные не являются независимыми, а имеют целый ряд
ограничений или связей.
Для оптимизации режима нужно найти минимум затрат, завися-
щих от большого числа переменных, связанных условиями ограни-
чения.
§ 3-2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ОПТИ-
МИЗАЦИИ. ПРЯМОЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ
Математически можно сформулировать задачу оп-
тимизации следующим образом. Имеется функция п переменных —
Г(*1, %2, —, хп)- Эти переменные связаны между собой k уравне-
ниями или неравенствами связи:
Wx (хъ х2,..., хл)>0;
2 (%i, х2,..., 0;
(3-1)
^(хр х2>..., хл)>0
где W2,..., Wk— некоторые функции переменных хД/= 1,2,.... /г).
Требуется найти минимум функции F.
Решение задачи оптимизации при ограничениях в форме нера-
венств требует применения весьма сложных методов оптимизации
(метод Куна — Таккера и др.). В дальнейшем рассматриваются бо-
лее простые методы оптимизации при ограничениях переменных в
форме уравнений. В этом случае число уравнений k должно быть
меньше п.
Прямой метод оптимизации заключается в том, что с помощью
уравнений (3-1) в выражении для F исключаются k произвольных
66
неизвестных, например, xb х2, Xk. Остающиеся п — k неизвестных
при этом будут независимыми аргументами F. Пусть это будут не-
известные xft+i, х&+2, ..., хп. Тогда экстремум функции F определится
из условия равенства нулю частных производных функции F по всем
независимым переменным:
—=0; —=0;...; —=0. (3-2)
dxk+l dxk+2 дхп
Число этих уравнений соответствует числу неизвестных, что дает
возможность получить искомые неизвестные х&+1, х^+2, ...» хп, соот-
ветствующие экстремуму функции F. Вопрос о том, является ли
этот экстремум минимумом, будет рассмотрен далее. Остальные не-
известные Xi, х2, ..., xk находятся из уравнений связи (3-1).
Если функция F задана аналитически и дифференцируема, то
нет необходимости исключать k неизвестных — хь х2,..., xk. При этом
уравнения (3-2) можно записать как
где dFIdxk+i, dF/dxk+г, — полные частные производные от функ-
ции F, определяемые при неизменности остальных независимых пе-
ременных, но при изменениях зависимых переменных;
(dF/dxi)', (dF/dxh+i)',... — частные производные, определяемые
при неизменности всех остальных переменных (как зависимых, так
и независимых).
Чтобы найти частные производные dxi/dxh+i, dx2/dxft+1, ..., сле-
дует составить систему уравнений, взяв производные от уравнений
связи (3-1) по всем независимым переменным. Так, например, из
системы уравнений
получаются dxi/dxk+i, dx2/dxfe+b ... и т. д. Таких систем уравнений
можно составить (п — k) и, решив каждую, определить все иско-
мые частные производные, входящие в уравнения (3-3). Далее из
этих уравнений находятся значения независимых переменных.
Решим задачу распределения активной мощности между п теп-
ловыми электростанциями энергосистемы, соответствующего экст-
ремуму затрат на производство электроэнергии Т, с помощью пря-
мого метода оптимизации. При этом для простоты не будем учиты-
3* 67

вать изменений суммарной активной нагрузки узловых точек и
-потерь активной мощности в сетях ДР.
Затраты Т, очевидно, являются функцией активных мощностей
электростанций Рь Р2, ..., Рп'
T=f(Pit р,...Р„).
Искомые переменные связаны одним уравнением
»'=. + Р„-£Р„- дР=0,
соответствующим балансу активной мощности. Так Как в данном
случае имеется только одно уравнение связи, то можно исключить
только одну из неизвестных переменных мощностей. Выбор этой
исключаемой мощности произволен. Исключим, например, мощ-
ность Рп. Тогда условия экстремума Т по уравнениям (3-3) запи-
шутся как
дт =[ дг\' i / дТ V дРп =р-
дРх \ дРх) { \дРп) дРх
дТ ( дТ \’ [ дТ \' дРп п
---= 4- —— = 0
дР2 \дР2 1 к дРп дРх
При определении производных дРп/дРь дРп/дР2, ... по уравне-
ниям (3-4) получим
dW ( dW ( dW у дРп __ дРп _
дРх~\ dPiJ М дРп J дРх~ ‘ дРх ~ ’
dW _( dW \' , I dW У дРп _ 1 дРп =0.
дР2 ~~ \ дР2 J \ дРП ) дР2 ~ дР2~ ’
Следовательно,
дР/;
дРх дР2
Подставляя эти значения в условие экстремума, найдем
дТ ( дТ у_ ( у_^
dPi — к дРх J \ дРП ) ~ ’
дТ .( дТ \' I дТ y = Q.
дР2 \dP2 J кдРп) —
или
f дТ Y — ( дТ у_ _ / дТ у
к дРх У — к дР2 J ~ ' к дРп /
68
Так как T = 71i + 712 + ... + Tn, где Ti— затраты на станции I, за-
висящие только от Pi, то условия экстремума имеют вид
дТ\ дТ2
дРг дР2
дтп
дРп
Эти условия, как показано' далее, являются условиями равенст-
ва «удельных приростов затрат».
§ 3-3. МЕТОД ЛАГРАНЖА
При решении задач оптимизации режима широко
применяется метод неопределенных множителей Лагранжа. При
этом вместо условий экстремума функции F(x^ х2, хп) п пере-
менных, связанных между собой k соотношениями (3-1), ищут усло-
вия экстремума функции Лагранжа
(3-5)
где Xi (i=l, 2, ..., k) —постоянные множители, определяемые при
отыскании экстремума функции F.. Эти множители называются
неопределенными множителями Лагранжа.
Приравняв нулю частные производные от S по всем п перемен-
ным аргументам, получим следующие п уравнений:
dS dF
dxi
>,^1=0
дх\

(3-6)
дх2 дх2
дх2
Из п уравнений (3-6) и k уравнений связи (3-1) составим всего
(n+k) уравнений. Число неизвестных также равно (n+k), а имен-
но: п искомых значений переменных — х2, ..., хп — и k множите-
лей Лагранжа — Xi, Хг, ..., Х*.
Это дает возможность найти аргументы, соответствующие экст-
ремуму функции F. Но эти же значения, как известно, характеризу-
ют экстремум минимизируемой функции F.
В обоих рассмотренных выше методах определялись аргументы,
соответствующие экстремуму минимизируемой функции F. Чтобы
найденный экстремум действительно был бы минимумом, необхо-
димо проверить знак второго дифференциала функций F или S (в
методе Лагранжа). Если tZ277>0 или cPS>0, то данный экстремум
является минимумом.
Определение знака второго дифференциала в большинстве прак-
тических случаев оказывается очень сложным и поэтому на основа-
69
нии опыта исходят из ряда допущений, которые обычно позволяют
считать, что найденный ранее экстремум является минимумом.
В качестве примеров применения метода Лагранжа рассмотрим
ряд упрощенных задач по оптимизации распределения мощностей.
1. При неучете влияния изменения потерь в сетях ДР и суммар-
ных нагрузок узловых точек 2РН оптимальное распределение актив-
ной мощности может быть найдено1 следующим образом.
Обозначим суммарные затраты, минимум которых соответству-
ет оптимальному режиму, через Г. Искомыми переменными здесь
являются значения активной мощности отдельных агрегатов (или
станций) Рь Р2, •••> Рп, где п — число агрегатов (станций).
Допустим, что суммарные затраты зависят только от величины
активных мощностей, т. е.
r=f(P„P2,...,P„). (3-7)
Далее будем считать, что все станции тепловые.
Искомые переменные связаны одним уравнением баланса актив-
ных мощностей:
^ = Р1 + Р2+...+Рл-2Рн-ДР=0, (3-8)
где по допущению 5РН=const и ДР —const.
При этом функция Лагранжа
(3-9)
Условия экстремума соответствуют равенству нулю частных1
производных от S по всем п переменным:
dS _ дТ дРх дРх dS _ дТ дР2 ~ дР2 -А = UA=0; дРх дРх 1 , х 2^ = ^С + Х=0; дР2 дР2 1 (З-Ю)
Уравнения (3-10) можно записать иначе:
. дТ дТ дТ
— к ==---=-----= . . . =--
dPi дР2 дРп
Так как суммарные затраты равны сумме затрат по каждому из
агрегатов, т. е.
Л»
(3-12)
ТО
)== дТг = дТ2
дРх дР2
дТп
дРп
(3-13)
Частная производная от затрат на каком-либо агрегате по ак-
тивной мощности агрегата называется удельным приростом затрат
70
агрегата и обозначается буквой в. Она зависит от величины актив-
ной мощности:
ez=^z/^=/(Pz). (3-14)
При этом условия оптимального распределения активных мощ-
ностей записываются следующим образом:
ei = e2=-•-=еп; (3-15)
Pi + РЛ • • • (3-16)
Уравнения (3-15) и (3-16) определяют оптимальные значения
Pi, Р2, Рп активных мощностей отдельных агрегатов. Таким об-
разом, при неучете изменений суммарной нагрузки узловых точек
и потерь в сетях условием оптимального распределения активных
мощностей является принцип равенства удельных при-
ростов отдельных агрегатов.
Найдем условия, при которых в данном случае получается ми-
нимум затрат. Найдем знак второго дифференциала от S:
d’2S=d2T-}-\d2W, (3-17)
где
а!2Г = ^1_ (dP )2 + ^k (dP )2+ . . .
дР\ дР2
.. . Ц-2 -д2Г— (6/Р1-^Р2)4-2 д-— (dPx-dP^+ ....
1 dPvdP2 1 дРгдР3 11 31
Вторые смешанные частные производные от Т всегда равны ну-
лю, так как удельный прирост одного агрегата не зависит от мощ-
ности второго агрегата. Поэтому
d27- = _^L(t(Pi)2+^k(dp)2+..„ (3-18)
дР2 дР2
Очевидно также, что
d2w=-^~ (£/p1)2+_^L ... + 2 {dPxdP2n... = 0,
дР\ дР2 дРГдР2
так как
д\Р , дУР _ , д21Г _ _ АЯТ
dPi ~ ’ дР2~ ’ ~ дРГдР2~ 5 '*
Следовательно, условие с?25>0 имеет место, если
>0; ^->0; *Щ>0,
дР2 дР2 дР]
т. е. если из неубывающих кривых ei, Е2, ..., еп. хотя бы одна являет-
71
ся возрастающей. Это означает, что удельные приросты не снижа-
ются при росте активной мощности, а хотя бы у одного из агрега-
тов возрастают.
2. При учете влияния изменения потерь в сетях, но при неизмен-
ности активных нагрузок узловых точек оптимальное распределе-
ние активной мощности находится следующим образом.
Пусть суммарные потери активной мощности в сетях АР зави-
сят только от величины активных мощностей агрегатов, т. е.
д^=/(Л. ЛЛ
Тогда, исходя из уравнений (3-7) — (3-9), получим условия опти-
мального распределения активной мощности;
dS дТ , dW . , Л = рХ =е1Д-Л11 — dPi dPi dPi \ —( = 0; 1 opj 1
dS = дт 4-Х dw = е 4-Xfl дЬР \ п. 1 (3-19)
дР2 дР2 1 дР2 \ дР2 ) j
откуда
- Х=-------------------------= .... (3-20)
1 — d^PjdPi 1 — д&Р[дР2
Уравнения (3-20) совместно с уравнением (3-8) решают задачу
оптимального распределения активной мощности с учетом измене-
ния потерь в сетях. При этом необходимо знать не только зависи-
мости

но и зависимости потерь мощности и частных производных от по-
терь мощности по активным мощностям агрегатов от Pi, Р2, ..., Рп\
АР=®(РЪ Р2,..., Ря); dAP{dPi=fl(Pu Р2,..., Рп\
Физический смысл условий (3-15) и (3-20) будет рассмотрен
далее.
Заметим, что величина р = —X называется удельным приростом
энергосистемы при учете потерь в сетях, а выражение -—^р~др.—
соответственно удельным приростом агрегата i с учетом потерь в
сетях.
3. При наличии в энергосистеме гидростанций оптимальное рас-
пределение активной мощности усложняется. Это усложнение вы-
звано тем, что суммарный попуск воды через гидростанцию за сут-
ки ограничен заданной величиной. Если бы попуск воды не был
ничем ограничен, то следовало бы для максимального снижения за-
трат полностью использовать мощность гидростанций, а остальную
нагрузку энергосистемы распределить между тепловыми станциями
72
по принципам и критериям оптимального распределения, рассмот-
ренным ранее.
Однако такое решение принимается лишь в период паводка,
когда по возможности следует избегать холостых сбросов воды че-
рез плотину и выгодно полностью использовать мощность гидро-
станции круглосуточно.- В остальное время года на каждые сутки
задаются значения суммарного расхода воды по каждой гидростан-
ции. Эти расходы устанавливаются так, чтобы получить оптималь-
ную сработку водохранилища за год, соответствующую минимуму
затрат *.
Если суточный расход воды на гидростанциях задан, то появля-
ются ограничения вида
24
Z=1
24
W&=^Bl?~B^=0-
i=l
(3-21)
где а, [3, ... — индексы гидростанций; Bia—часовой расход воды в
г-й час на гидростанции а; В^ —заданный суммарный расход во-
ды на гидростанцию а за сутки.
При неизменности напора часовой расход воды однозначно оп-
ределяется расходной характеристикой ГЭС:
(3-22)
Частная производная от Ва по Ра (е«) называется удельным
приростом часового расхода воды на единицу увеличения активной
мощности:
&а=дВа1дРа. (3-23)
В отличие от случая, когда рассматривалось распределение ак-
тивной мощности между тепловыми электростанциями и оптимиза-
цию можно было проводить отдельно для каждого часа (так как ре-
жимы тепловых станций в разные часы не зависят друг от друга),
для гидростанций при жестко заданном суммарном расходе воды
такая зависимость есть. Поэтому будем искать минимум суммар-
ных затрат в энергосистеме, состоящей из тепло- и гидростанций не
за час, а за сутки.
Искомыми неизвестными будут активные мощности всех станций
за 24 ч. Пусть нагрузки потребителей за каждый час известны и не-
изменны. Тогда функция Лагранжа будет иметь вид
‘S' —7" 14-7^2 4~ • • • —Н 7^244-4“ • • • 4~ ^24^24 4~
4-\Ж4-М^₽4-.-., (3-24)
* Определение оптимальных суточных расходов воды связано с очень слож-
ными расчетами, осуществление которых возможно только на ЦВМ (см. гл. 8).
73
где Ti — затраты за час Z; Wi = O — уравнение ограничения по ба-
лансу активных мощностей в час г[см. (3-8)].
Возьмем частные производные от S по переменным Р\а, Рча,...
..., Р\Ъ, Ръъ, ..., Р1«< , — (где а, Ь, ...— индексы тепло-
вых станций; Pia — активная мощность тепловой станции а ® час i
и т. п.) и приравняем их нулю:
as
dS
дР^а
V дР1а
<^2а
(3-25)
dS
dS
^Рча
(3-26)
1
Из уравнений (3-25) можно получить следующие условия опти-
мального распределения мощностей:
__ _£1д_______________________Е1&___
1— 1-дьРтдР1а ~ 1-адл/а^
1 — адР2/дР2й 1 — dhPzjdPzb
(3-27)
Эти условия ничем не отличаются от условий (3-20). Из уравне-
ний (3-26) можно определить
^ае1а _____ ^p£ip
1 - dhPi/dPia ~ 1 - дЬР^дР^
^аг2а _____ ^ре2р
1-дьр21дР2а 1-адр2/ар2р
(3-28)
Окончательно условия оптимального распределения активных
мощностей запишутся как
И. £1с М1а .
11 — l-д^P^|дPla~^”,
е2й ^аЕ2а (3-29)
Г2 — 1 — д^Р21дР2а 1 — аДР2/^2а
74
Условия (3-29) представляют собой 24 (м—1) уравнений,
где п— число всех электростанций. Вместе с 24 уравнениями ба-
ланса мощности за каждый час и у уравнениями ограничений по
суммарному расходу воды они составят <(24п + у) уравнений. В чис-
ло неизвестных входят: 24п активных мощностей всех электростан-
ций и у неизвестных коэффициентов Ла, Лр, .... Таким образом, число
неизвестных равно числу уравнений, что позволяет определить все
неизвестные.
Из сравнения условий (3-27) и (3-28) видно, что они сходны по
форме и отличаются лишь тем, что для гидростанции а удельный
прирост расхода воды в разные часы (eia, 82а, ...) должен умножать-
ся на один и тот же коэффициент Ла; аналогично для гидростанции
[3 — на коэффициент Лр. Если коэффициенты Ла, Хр, ...были бы зара-
нее известны, то гидростанции можно было бы заменить эквива-
лентными тепловыми электростанциями, причем роль удельных при-
ростов затрат играло бы произведение соответствующего удельного
прироста часового расхода воды на коэффициент Ла.
Решение систем уравнений ,(3-8) и (3-29) для каждого часа
очень сложно, так как эти уравнения не являются линейными. По-
этому практически их решают методом последовательных прибли-
жений. Сначала произвольно задаются коэффициентами Ха, Ар,....
Также произвольно для 'первого часа принимают, что pi=—Лц где
Р4—так называемый удельный прирост системы, и по (3-29) нахо-
дят все значения мощностей Р\а, Pib,—, Рю, Р^, .... Подставляя их
в уравнение баланса мощности, для данного часа определяют, име-
ется ли баланс. Если баланса нет (например, суммарная мощность
всех электростанций недостаточна для покрытия баланса активной
мощности), то увеличивают величину pi до тех пор, пока баланс
активных мощностей в первый час не будет удовлетворяться. Затем
проводят аналогичные расчеты для последующих часов при тех же
значениях Ав, Хр, .... После окончания расчетов за все 24 ч проверя-
ют соблюдение условий (3-21). Если на какой-либо гидростанции а
за сутки израсходовано излишнее количество воды, то следует уве-
личить коэффициент Ла. Тогда удельные приросты как бы вырастут,
и мощности, задаваемые данной гидростанции, уменьшатся, что
приведет к снижению на ней суммарного расхода воды. Если сум-
марный расход воды, наоборот, ниже заданной величины, то коэф-
фициент Ла следует уменьшить. Далее повторяют расчеты за все
24 ч, вновь проверяют суммарные расходы и корректируют значе-
ния коэффициентов Аа, Хр, ... до тех пор, пока отклонения суммар-
ных расходов воды по всем гидростанциям от заданных значений не
станут достаточно малыми. Полученное распределение мощностей
будет оптимальным.
§ 3-4. ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД
Определение оптимального режима по методу Лаг-
ранжа связано с решением сложной системы нелинейных уравнений
путем последовательных приближений (итеративным способом).
75
Во многих случаях при большом числе ограничений этот способ
не может быть реализован из-за несходимости итеративного про-
цесса. В этом случае целесообразно пользоваться для решения та-
ких задач— градиентным методом.
Сущность градиентного метода заключается в том, что в нача-
ле расчета задаются некоторым исходным набором переменных,
удовлетворяющим заданным ограничениям. Для этого, задаваясь
произвольными величинами некоторых (п—k) независимых пере-
менных, из k уравнений связи (3-1) находят значения остальных
k зависимых переменных. Полученный набор величин, конечно, не
соответствует оптимуму. Далее определяют, пользуясь уравнения-
ми (3-3), частные производные:
dF/dXk+i; dF/dxk+ti..дГ)дхп,
которые в общем случае отличны от нуля. Затем изменяют неза-
висимые переменные на dxft+1, блд+2, ..., &хп так, чтобы знак этих
изменений соответствовал уменьшению минимизируемой функции F,
приводя к более экономичному режиму.
Для этой цели следует выбрать знак противоположный зна-
ку dF/dXk+i и т. п. Для быстрейшего перехода к оптимальному ре-
жиму необходимо подобрать такие значения 6xft+i, 6хл+2, ..., Ъхп,
чтобы при некоторой заданной величине шага, равной
Л=К(8л+1)2+(6х»+2)2+ ... + (8х„)2 (3-30)
и определяющей величину приближения к минимуму, изменение F,
т. е. 6F, было бы наибольшим и движение было бы обратным по от-
ношению к градиенту. Другими словами, нужно найти такие значе-
ния 6xft+b bxh+2, bxn, при которых величина &F будет минималь-
на, имея наибольшую абсолютную величину при отрицательном
знаке. Эти изменения ограничены условием
W7 = /z2-(8xfe+1)2-(^fe+2)2- ... -(Ю2. (3-31)
При достаточно малых изменениях независимых переменных,
пренебрегая высшими членами разложения, получим
(3-32)
^k+1 dxk+2 дхп}
Применим метод Лагранжа. Вместо минимума &F будем искать
минимум функции Лагранжа S:
где Й7=О — уравнение ограничения (3-31).
Условия минимума будут иметь следующий вид:
= dZF-----№>xk+j = _-------2^xk+1=0;
dBxft+i dbxk+l
dS dlF dF 5. n
—-----— ZZ------Х28х/г+2 = —-----2X8xfe+2 — 0;
76
откуда
___<2^______i
8л7г+1
dFldxk + 2 _
(3-33)
где X<0.
Решим совместно уравнения (3-30) и (3-33). Возведя (3-33) в
квадрат и подставив значения дхь+ь bxk+2, ... в (3-30), получим
(dFldxkvly + (dFldxk+2^ + ...
4А2
(3-34)
откуда найдем
р _ (dFldxk+ Q2 + (dFldxkj.2)2 + . • .
4Л2
V (dF!dxk. Q-2 + (dFldxk+2)2 +
2h
Следовательно, уравнение (3-33) можно преобразовать:
V (dFldxk±i)2 + (dFldxk+2)2 + •. • _dFjdxk+ г _ dFldxk¥2
8x^+1 S-V*-t-2
h
Искомые значения 6xk+i, 6x^+2,... запишутся как
s„ hdFldxk+1
°Xk+i=--------------- - - -------
V (dFldxk+1)2 + (PF/Pxa + 2)2 + ...
hdFldxk+2
k+2 =----------------------- ...---- - )
V (dF\dxkx. i)2 + (dF\dxk+2p + ...
(3-35)
Задаваясь произвольно значением h, по формулам (3-35) най-
дем величину и знак изменения независимых переменных.
При отыскании частных производных от F по независимым пере-
менным можно пользоваться уравнениями (3-3). Градиентный
метод, следовательно, требует предварительного определения неко-
торых произвольных исходных значений переменных, удовлетворя-
ющих всем ограничениям. Затем вычислим значения всех частных
производных dFldxh+i для независимых переменных Xk+\, хк+г, ...,х„
и описанным выше способом найдем изменения всех переменных
6xft+1, дХй+2,Ъхп. При новых изменившихся значениях переменных
получим новые значения зависимых переменных х2, ...» xh. Затем
повторим тот же цикл изменений переменных до тех пор, пока эти
изменения не станут меньше заранее заданных величин. Найденное
решение будет оптимальным *.
* Абсолютная (глобальная) оптимальность полученного решения имеет место
только при выпуклости минимизируемой функции и всех условий ограничения;
В противном случае решение соответствует локальному минимуму.
77
Для объяснения названия метода заметим, что, полагая F по-
тенциалом скалярного поля, условие движения в направлении, об-
ратном градиенту, получаем как раз в виде уравнения (3-33).
§ 3-5. УДЕЛЬНЫЕ ПРИРОСТЫ ЗАТРАТ. УДЕЛЬНЫЕ РАСХОДЫ
ЗАТРАТ
Ранее отмечалось, что удельным приростом затрат
называется частная производная от затрат по активной мощности
агрегата:
e^dTildPi. (3-36)
Чтобы определить удельный прирост агрегата, нужно знать его
расходную характеристику, представляющую собой зависимость ча-
совых затрат от активной мощности агрегата, т. е Ti=f(Pi)
(рис. 3-1).
Заметим, что при равенстве нулю мощности, выдаваемой агре-
гатом, все же имеются затраты на так называемый холостой ход аг-
регата— Ti0. По мере увеличения активной мощности Pi затраты
Ti растут. Скорость роста затрат характеризуется удельным прирос-
том затрат, т. е. производной от затрат по мощности. Таким обра-
зом, графически удельный прирост выражается тангенсом угла на-
клона а, касательной к расходной характеристике в точке, соответ-
ствующей данному значению активной мощности (см. рис. 3-1).
Практический смысл удельного прироста затрат заключается в том,
что он соответствует повышению затрат при увеличении активной
мощности агрегата на единицу. Принцип равенства удельных при-
ростов, как условие установления оптимального распределения ак-
тивных мощностей, можно просто объяснить. Если такого равенства
нет, то выгодно увеличивать активную мощность агрегата с мень-
шим удельным приростом, снижая ее у агрегата с большим прирос-
том, так как при этом уменьшаются затраты, т. е. получается эко-
номия. При этом у первого агрегата (с меньшим приростом)
удельный прирост увеличится, а у второго—снизится. Такое пере-
распределение выгодно продолжать до тех пор, пока все удельные
приросты не сравняются. Полученный режим будет оптимальным.
78
В отличие от удельного прироста удельный расход затрат, пред-
ставляющий собой расход затрат на единицу активной мощности,
т. е.
У1=Т,!РЬ (3-37)
в том же масштабе изображается тангенсом угла р наклона секу-
щей, проведенной из начала координат в данную точку расходной
характеристики (см. рис. 3-1).
Очевидно, что при малых нагрузках агрегата удельный расход
затрат превышает удельный прирост (рис. 3-2):
Yz>er
По мере роста нагрузки удельный расход (yi) снижается, а
удельный прирост (ег) возрастает.
В точке, в которой касательная к расходной характеристике про-
ходит через начало координат (рис. 3-2, точка Ь):
Yz = er
При этом удельный расход достигает минимального значения.
С ростом активной мощности
Т/О/,
т. е. удельный расход будет меньше удельного прироста.
Точка, в которой удельный расход минимален и при этом равен
удельному приросту, называется точкой экономического режима.
Так как
то затраты, зависящие от активной мощности,
pt
Л=Ло+| (3-38)
о
Действительные расходные характеристики станций представля-
ют собой криволинейные функции Ti=f(Pi), иногда с изломами
(рис. 3-3). Поэтому характеристики удельных приростов
станции могут иметь разрывы (рис. 3-4). Эти разрывы обычно соот-
ветствуют открытию дополнительных клапанов паровых турбин.
В точке разрыва удельный прирост имеет два значения: большее
соответствует росту нагрузки, меньшее — ее снижению. Если при-
нять, что при мощности, соответствующей разрыву, имеется беско-
нечное множество значений удельного прироста между этими край-
ними значениями, то принцип равенства удельных приростов, как
принцип оптимальности распределения активных мощностей, сохра-
няет силу.
Удельный прирост затрат тепловой электростанции строится на
основании характеристик удельных приростов котельной и машин-
79
ного зала, а также стоимости топлива. Если обозначить через ек и
Ем — удельные приросты котельной и машинного зала, 8Т— удель-
ные приросты затрат на единицу тепла в топливе, обычно равные
стоимости единицы тепла в топливе, то при неучетс собственного
расхода станции удельный прирост для станции
ест~е7^еЛ1- (3-39)
Обычно принимают, что часовые затраты представляют собой
стоимость часового расхода всего топлива Т. Стоимость часового
расхода топлива определяется часовым расходом имеющегося в
топливе суммарного тепла — Q, зависящего от часового расхода па-
ра D. Часовой расход пара связан с мощностью агрегата (станции)
Р. При этих допущениях имеем:
дТ дТ dQ dD лгл
ст дР dQ dD дР ’
Удельный прирост часового расхода затрат для данного вида
топлива на единицу прироста часового расхода тепла в котельной
zT = dTJdQ^TIQ=Tyli. (3-41)
Удельный прирост часового расхода тепла в котельной на едини-
цу прироста часового- расхода пара котельной
eK=dQldD. (3-42)
Удельный прирост часового расхода пара машинным залом на
единицу прироста активной мощности
zM=^dD!dP. (3-43)
Таким образом, выражения (3-39) и (3-40) тождественны. Если
учесть собственный расход электростанции (паровой), то
dT dT dQ dDK &Dm
п dp dQ dD# dDM dP
Т dQ d (Dm 4- DC.Q dDM dDc-p
У* 6DK dDM dP ’ dDM £с-₽-П’
80
где £>с.р — часовой расход пара на собственные нужды; ес.р.п—•
удельный прирост часового расхода пара на собственные нужды на
единицу прироста часового расхода пара в машинном зале.
Следовательно, удельный прирост станции
ест — ^удеАгО +ес.р.п)еЛ1- (3-44)
Если также учесть, что часть мощности агрегата идет на его
собственный расход, то, обозначив чистую отдачу мощности в сеть
через Рнетто, получим удельный прирост затрат на единицу:
где
дТ дТ dQ dDK дЕ>м dP
^нетто и" нетто ~ dQ dDK dD^ dP dPne-rro
дР
(Рнетто “Ь Рс.р)
-- 1 ®с.р.э
нетто
^Рнетто
Рнетто
(3-45)
Иначе говоря,
£нетто — Тулек (1 4- ес ' п) еЛ1 (1 Ц- ес.р.э)-
Здесь удельный прирост электрического собственного расхода на
еДИНИЦу прироста Рнетто
®с.р.э ^^с.р/^^нетто*
Формула (3-45) является наиболее общей. При неучете собст-
венного расхода (еСрП=0 и Всрэ^О) формула (3-45) переходит в
(3-39).
Величину ТУд можно считать практически неизменной и равной
стоимости единицы тепла в данном топливе.
§ 3-6. ПОТЕРИ В СЕТЯХ
При определении удельных приростов потерь в се-
тях нужно’ знать частную производную от суммарных потерь мощ-
ности в сетях по мощности (активной или реактивной), взятой в
данной узловой точке сети. Для этого следует записать в аналити-
ческой форме выражение потерь в сетях через все переменные мощ-
ности в узловых точках.
Суммарные потери активной мощности * в сетях ЛР непосредст-
венно определяются токами во всех ветвях и их активными сопро-
тивлениями. Сами токи ветвей, как известно, однозначно характери-
зуются токами, поступающими во все узловые точки сети. Ток одной
из узловых точек сети находится по I закону Кирхгофа геометриче-
ским суммированием токов всех остальных узловых точек. Эта точ-
* Здесь и в дальнейшем рассматриваются только потери, вызванные актив-
ным сопротивлением элементов сети, т. е. потери, зависящие от токов, так как
потери в стали и потери на корону в меньшей мере зависят от распределения
мощностей.
81
ка выбирается совершенно произвольно и обычно называется ба-
лансирующей точкой сети по токам, или балансирующей точкой.
При расчете удельных приростов потерь целесообразно найти
выражения суммарных потерь активной мощности не через токи, а
через узловые мощности. Узловые токи определяются через задан-
ные узловые мощности и известные узловые напряжения. Узловые
напряжения, в свою очередь, легко получаются при задании узло-
вых мощностей, но только в том случае, если напряжение в одной
из узловых точек задано или известно. В противном случае узловые
напряжения и, следовательно, узловые токи будут неопределенны-
ми. Поэтому помимо балансирующей точки, а именно точки, ток ко-
торой не влияет на величину потерь, следует выбрать точку, в кото-
рой напряжение задано или известно. Такая точка обычно называет-
ся точкой базисного напряжения, или базисной точкой. Базисная
точка может не совпадать с балансирующей. Совмещение этих двух
точек в одном узле сети во многих случаях упрощает расчеты.
В дальнейшем, если не будет специальной оговорки, будем считать
эти точки совмещенными.
Известное или заданное напряжение в базисной точке обозначим
через Со, причем Со=Со, т. е. сдвиг вектора напряжения Со примем
за нулевой.
Чтобы определить потери вначале через узловые токи, а затем
через узловые мощности, рассмотрим основные матричные уравне-
ния, связывающие векторы-столбцы узловых напряжений U, узло-
вых токов J, падений напряжений от узловых точек до базисной
точки Щ, токов ветвей I и падений напряжений в ветвях UB (см.
т. I и II):
j=MI;
UB=ZBI = MA;
й=и0дп4-йд,
(3-46)
где М — первая матрица инциденций (т. I, гл. 2); ZB — матрицы
сопротивлений ветвей; п — единичный вектор *.
Потери в сетях в комплексной форме AS, очевидно, равны гео-
метрической сумме всех узловых мощностей S. При отсутствии по-
терь в сетях эта сумма равнялась бы нулю, поэтому
AS = Uj. (3-47)
Из уравнений (3-46) следует, что
i=Zr‘MziJ4;
j=MZr1M/U4,
* Произведение диагональной матрицы иОд на единичный вектор дает век-
тор-столбец с компонентами Uo.
82
откуда
UA = (MZr1Mz)“1j=Z0.J.
(3-48)
Матрица (MZb-’MJ-1 называется матрицей узловых сопротив-
лений и обозначается через Zfj, где i, j — индексы узлов. Ее физи-
ческий смысл и методы определения компонентов будут рассмотре-
ны далее.
Таким образом, подставляя и J в (3-47), получим
aS= lM=[(UoM+ U«] J=
Первый член правой части равен нулю, так как он представляет
собой произведение По на сумму всех сопряженных узловых токов,
поэтому
aS—jzzfyZj.
(3-49)
Раскрывая значения матриц, найдем
Так как 2,^=2^, а сумма двух сопряженных комплексов
+ 4/;=2 Re cos 8zy,
где 6ij — относительный угол сдвига фаз векторов токов Л и Jj, то
&Р-р j'&Q=ZllJiZ22J2+ • • • 4_2-^12ЛЛcos ^124~
+ cos 813-|- ....
Таким образом, суммарные потери активной и реактивной мощ-
ности выражаются через узловые токи следующими формулами:
ДР=г11/?4-г22^2 4" • • +2ri2AAcosSi2 4’2r13/1/3cos8134- ... ; (3-50)
AQ == Xy]J\4~•^'12*^24~ • • • 4- 2а42*72 cos Bj24~ 2л?|3У|У3 cos ^i3'4~ • • • (3-51)
83
Зная комплексные узловые сопротивления

и величины узловых токов, можно ПО' (3-50) и (3-51) определить
суммарные потери активной и реактивной мощности в сетях.
Чтобы выразить потери в сетях через узловые мощности, запи-
шем узловые токи в (3-49) через узловые мощности и напряжения.
Вектор узловых мощностей S равен произведению диагональной
матрицы на вектор-столбец J:
откуда
S = Uj,
J=U71S; j=U71S;
Следовательно, потери в сетях
AS=S,Ur1Zy(ljr,S. (3-52)
Раскрывая значения матриц, найдем
Д§=р1§2$з. .. ||-
Перемножая матрицы, получим
S2 S2
= —^--f-Z22—+ ... -f-Z12
(3-53)
где

* Положительному знаку узловой мощности соответствует ее направление из
узловой точки в сети.
84
Определим сумму двух сопряженных комплексов:
_L2_ = 2Re —^-=
(Pi + JQi) (Pi-JQ,)
= 2Re-------—---------(cos sin Bl7)=
SiSf
‘ j
o (P.P/ + Q.Q.) cos - (Pfi)- P .Q,) sin by
---
где — угол сдвига фаз между векторами Ui и Uj.
Кроме того, Zij=Zji, поэтому окончательно
Pl + Ql у ,
——z22+...
°2
!±S=bP+}bQ=^—
u\
• • • + 2 (P1^ + Qlfe) Z12 cos S12 - 2 . Z12 sin a12+ ....
(3-54)
Отсюда, преобразовывая и разбивая уравнение (3-54) на веще-
ственную и мнимую составляющие, получим искомые формулы для
суммарных потерь активной и реактивной мощности:
Pl + Q2
ul
U2 ”
QP1Q2-Q1P2
uxu2
-2^=^^ sin 81з+.
Р\Ръ + Q1Q2 g _
ихи2 12 12
г 12 sin 5124-2^^±^r13cos 813-
(3-55)
P22 + Q2
----------x
u2
II
РуРч + Q1Q2 g __
rT rr Л12 LOS °12
Р1Р3 4” Q1Q3 - s
——-—%, ч cos 8,ч —
UXUZ 13 13
AQ = -L-t-
^i2
-2PiQ-2~QiP2% sin 8124-2
UXU2 12 12 T
_2 { 8 _p
uxu2 13 13 T
Теперь вернемся к матрице узловых сопротивлений:
Zy=(Mzr1M(r1-
Напомним, что в матрице инциденций М, определяющей конфи-
гурацию сетей, строки соответствуют узловым точкам, а столб-
цы— ветвям сети. В столбце сети числами «1» и «2» отмечаются
(3-56)
85
узлы начала и конца ветви (при произвольно выбранном ее поло-
жительном направлении). В матрице М строка, соответствующая
балансирующей узловой точке, для упрощения опускается, так как
узловой ток в этой точке находится как сумма узловых токов всех
остальных точек, взятая с обратным знаком.
Аналогично этому в матрице Щ опускается строка, соответст-
вующая базисной узловой точке с фиксированным напряжением.
Уравнение (3-48) в нематричной форме при выборе базисной и ба-
лансирующей точки для простоты в узле имеет вид:
Uп—1 — Uо— ^72—1, 1 + • • • “h Zn—1, •
Собственное сопротивление Zu узла 1 определяется разностью
напряжений узла 1 и базисной (балансирующей) точки при про-
хождении единичного тока из узла 1 через сеть в балансирующую
точку. Иначе говоря Zu — это полное сопротивление между узлом 1
и базисной (балансирующей) точкой при отсутствии узловых токов.
Сопротивление Zi2 находится как разность тех же напряжений,
но при прохождении единичного тока из узла 2 через сеть в балан-
сирующую точку. На основании принципа взаимности Z12 = Z2i.
В более общем случае, когда базисная и балансирующая точки
не совпадают, например при выборе балансирующей точки в узле /,
а базисной — в узле 2, уравнение (3-48) в нематричной форме за-
пишется следующим образом:
6/3—U2—Z21J Z22J2~\- • • • Т^2,
п—п—It
Теперь ZH определяется разностью напряжений узлов 1 и 2 при про-
хождении единичного тока из точки 1 через сеть в точку п и т. п.
Очевидно, что при этом значении соответствующие матрицы Z?-j бу-
дут другими, так как они зависят от выбора базисной и баланси-
рующей точек.
Заметим также, что в матрице Zij выпадает строка, соответст-
вующая базисной узловой точке, т. е. отсутствуют компоненты с
первым индексом от базисной точки, а в матрице токов J отсутст-
вует составляющая, отвечающая току в балансирующей узловой
точке. Формулы суммарных потерь активной и реактивной мощнос-
ти (3-55) и (3-56) можно упростить введением так называемых ко-
86
эффициентов потерь:
/* г
Bn =-^В— • В1}— cos В- •; Ci}=—— sin В..;
[В l] U.. 4 lJ U U. l}
и i i j i ]
Xij
u.u.
' J
sin
При этом потери могут быть выражены как
п—1 п—2 п—1
ДР = 2 МР? + <2?)+2 2 2 5;/P,P; + Q,Q;)-
/=1 / = 1 7=2
1^7
п— 2 п— 1
-2 2 2 c4(p‘Q)-Q‘p^
1=1 j=2
п—1 п—2 п—1
aQ=2 On(^+Q?)+2 2 2 АДЛРу+СЛр-
1=1 i=l j=2
n—2 n—1
-22 2F'>(p^-w
/=1 7=2
(3-58)
(3-59)
(3-60)
Если углы сдвига векторов узловых напряжений очень малы, то
формулы (3-59) и (3-60) можно значительно упростить, принимая
Тогда
др=2
1=1 /=1
AQ = 2 2 D:AP>P) + Q^-
i-1 7=1
(3-61)
(3-62)
При этом потери в сетях можно представить в виде суммы двух
составляющих, одна из которых зависит только от потокораспреде-
ления активных мощностей, а другая — только от потокораспреде-
ления реактивных мощностей.
§ 3-7. УДЕЛЬНЫЕ ПРИРОСТЫ ПОТЕРЬ В СЕТЯХ
Удельные приросты потерь определяются частными
производными от ДР или AQ [см. (3-61) и (3-62)] ПО' узловым ак-
тивным и реактивным мощностям.
87
Анализ выражений (3-61) и (3-62) показывает, что получить
точные выражения удельных приростов потерь затруднительно, так
как при вариации какой-либо узловой мощности (активной или ре-
активной) изменяются значения модулей и фазовых углов всех на-
пряжений, кроме базисного. Поэтому практически обычно пользу-
ются приближенными формулами для удельных приростов потерь,
исходя из допущения, что при малых отклонениях активной и реак-
тивной мощностей в узлах можно считать неизменными модули на-
пряжений и их фазовые углы во всех узловых точках. Тогда удель-
ные приросты потерь активной и реактивной мощности на единицу
увеличения узловой активной Pi или реактивной Qi мощности оп-
ределяются приближенно следующими формулами:
dap
dPx
=2Р1-^+2Л
ГТ*
Г1- - cos 8124-...
ад 1 1
1
-2Q2-H2_
ад
^-=2Q
dQi
sin B12- 2Q3 sin B13-[-.
T 2Q2 Г12 cos 8I24-...
' 2 12 '
2
Г12
^2
sin &I24-2P3-^-sin 813-.
(3-64)
Аналогично при замене Гц на Xij можно записать формулы для
dAQIdPi и dAQ/dQu
dAQ ._г) р
дР1 ~
^-4-2Р2 cos 8
С/2 т 2 иги2
... -2Q2-^-sin 8I2+ ... -2Q3-^- sin 8I3T ...;
U\U2 U\U2
^Q = 2q Л11- 1 2Q, - xi?— cos 8124- ...
+ 2P2 -Sy sin 8I2 — ... + 2P3 ya- sin 813+ ....
UiU2 ^1^2
(3-65)
(3-66)
При указанном выше допущении о неизменности модулей напря-
жений и их фазовых углов все коэффициенты потерь Вц, Bij, Cij и
Dij можно считать постоянными. Тогда удельные приросты потерь
по активной (Pi) и реактивной (QJ мощности запишутся как
y^=2(P1Su+P2BI2 + ...)-2(Q2C12+Q3C13+ ...); (3-67)
dPi
=2(Q1Bil + Q!B;2+ .. .)+2(P2C12+P3CI3+ ...). (3-68)
dQi
88
В общем виде соответственно
-^ = 2(PIB;,+P2Bi24-.. )-2(Q1C;i+Q2Ci2+ • •
dPi
• • • 4-Qz-iCz,/-i 4-QZ + lC/,/4-1 + (3-69)
4^=2(Q1e/1+Q2B,,+ ...)+
dQi
+ 2(P,C„ + P2Ci2+ ... 4-P/_1C,,,_1 + ...). (3-70)
При равенстве нулю коэффициентов потерь С получаются наи-
более простые выражения для удельных приростов потерь:
д^дР^^В.^Р.В^ ...); (3-71)
^P/^/=2(Q1Bt.1 + Q25/2+ ...). (3-72)
Аналогичные выражения можно записать для удельных прирос-
тов потерь реактивной мощности:
d^dP^^D^P.D^ ...);
(3-73)
^QW/=2(QAi+Q2Z)Z2+ • • J- (3-74)
Формулы (3-71) — (3-74) являются приближенными, однако они
широко применяются для оптимизации в вычислительных устрой-
ствах аналогового типа и при проведении приближенных расчетов
на ЦВМ. Чтобы вычислить Вц, Bij, Du, Dij, необходимо определить
все взаимные сопротивления а также все значения мо-
дулей напряжения и их фазовых углов для исходного режима. Та-
ким образом, при значительных отклонениях режима изменяются
модули напряжений, их фазовые углы и коэффициенты В, D. Если
пренебречь различием модулей напряжений узловых точек и их фаз,
а также принять бг-7-»0, cos6Zj«l, sin 6^j = 0, U\ = U2= •.. = U,
(где U — среднее эксплуатационное напряжение сети), то можно
записать выражения для коэффициентов В и D следующим образом:
Ви=— ; Ви=—DH=—; (3-75)
“ [J2 ’ Ч [J2 11 JJ2 ’ 4 (J2 '
Чтобы определять более точно удельные приросты потерь в сети,
необходимо учитывать изменения модулей узловых напряжений и
их фазовых углов. Чтобы выразить эти величины через активные и
реактивные мощности узловых точек и определить частные произ-
водные модулей, узловых напряжений и их фазовых углов по узло-
вым мощностям, поступим следующим образом.
89
Запишем уравнения (3-57), связывающие узловые напряжения
с узловыми токами:
(3-76)
где Uo— базисное напряжение в балансирующей точке п.
Выразим Jk через узловую мощность Su и узловое напряжение
./Qft(cos j sin 8ft) *
(3-77)
Тогда после подстановки
n— 1
и.
k=\
n—1
й = 1
(Pk~JQk) (cos j sin 8ft) (r^-j- jx2k)
(3-78)

Введем обозначения
(3-79)
и преобразуем комплексные уравнения (3-78) в вещественные.
Выделим действительную и мнимую части числителя (3-78):
(Pk~ JQk) (cos J sin 8ft) (r/ft + jxjk)=
= (Pk — JQk) [(rjk cos 8* - xjk sin 8ft) -h j (rjk sin 8fe -}- xjk cos3ft)] =
=(Pk ~ JQk) (.xjk 4- Jajk)=(Pkxjk+Qkajk) 4" J (Pkajk — Qkxjk), (3-80)
где
xjk=rjkcos^-xjksm bk^rjk- (3-81)
aj*=rjfesin 8fe4-^cos3&^x;fe. (3-82)
* Здесь для упрощения записи принято, что ёк — угол фазового сдвига век-
тора l)k по отношению к Uo, т. е. бл0-
90
Заметим, что приближенные значения Xjk~fjh и Qjh—Xjk уравне-
ний (3-81) и (3-82) соответствуют очень малым значениям углов
сдвига dk-
Уравнение (3-80) можно записать иначе:
л—1 п—1
t/;++ У ± + J У (Р^ - Qsr/s) ±, (3-83)
и k О /г
fe = l Л=1
откуда
л—1 л—1
и')=ий + V (Ptrjk+Q,^jlt) ± « и0 + У (P„rjk + Q^) ± ; (3-84)
Й=1
Л—1 Л—1
и',=У (/>»>- О»*/*) 7Т ~ У (3-85)
о fa Лет k
fe=l fe=l
Возводя в квадрат (3-84) и (3-85), а затем складывая, получим
Разделив (3-85) на (3-84), найдем
п-1 1
2 * "Rajk-^jk
tg8y=-^--------------------------------
(3-87)
/г = 1 R
Уравнения (3-86) и (3-87) позволяют определить модули и фа-
зы всех напряжений итеративным путем.
Нулевое приближение получается при подстановке
^> = гА; ^ = Xji- U^ = U0.
(3-88)
Первые приближения для Uj и 6j находятся из уравнений (3-86)
и (3-87) при подстановке в них (5-88), т. е.
(3-89)
91
2 ^Pkxjk
tg • (3-90)
u°+ 2 ^Pkrjk + Qbxjk>
Подставив полученные значения первого приближения (3-89) и
(3-90) в (3-81) и (3-82), получим первые приближения тд}, Од} и
далее по уравнениям (3-84) и (3-85) при подстановке в них тд(1),
од(1\ 6j(1) найдем вторые приближения П/2>, б/2) и т. д. Данный
алгоритм просто реализуется на ЭЦВМ.
Определим частные производные типа dUjjdPi и dbj/dPi. Возь-
мем производную от (3-86) по Pit
откуда
dU. Гт.. (LJ, d / дт.. т.. Агг \
_A=cos8, ——
дР, ’ U, 1 ^Ut\ дР, Uk дР, )
L k=\
--JJL sin § Г-^-+
uk \ dPi uk dPi / 1 Ui
v dUk^
2^ Uk \ dPi Uk ' dPi / Uk \ dPi Uk ‘ dPi /
fe=i
(3-91)
92
При малых значениях углов сдвига в сети
dU. X.. (Ръх .ъ + Q.a ..) лгг
] ji ' к jk ' ^к ]к' OU
ul
Ut ul ' <>Pi ’
k=l k
(3-92)
или, ввиду относительной малости выражения в круглых скобках,
дЩдР^г^.
(3-92а)
Аналогично производная от (3-87)
93
При малых значениях углов сдвига в сети
дЪ1 _ a]l _ Vl / Pfeg;fe~QfeTyfe \ dUk
dPi ~ UiUj 2л I UjUl I dPi
_ xn _ y, ( PkXik - QkrJk \ dUk
UiUj 2Д UjUl J dPi ’
или, ввиду малости выражений в круглых скобках,
d^/dP^x^U^.
(3-94)
(3-94а)
Частные производные, входящие в выражения (3-91), (3-93), оп-
ределяются из (3-81) и (3-82):
sin 8,; - xjk cos 8J - cJt ; (3-95)
^-=(-r>»cos8ft-x/)isin 8S) = (3-96)
Уравнения (3-91), (3-93), (3-95) и (3-96) позволяют вычислить
итеративным способом искомые частные производные dUj/dPi,
dbj/dPi. Для этого в качестве нулевого приближения найдем значе-
ния dUk/dPi и dbk/dPt по формулам (3-92а) и (3-94а):
^0) ,,„71
dPi Ut ’ dPt UkUi ' 1 '
Затем по (3-95) и (3-96) вычислим нулевые приближения:
^Y0)_ <> .
дР,- / dPi ’
dPi ) Jk dPi
Подставляя значения дх^/дРг, do^/dPi, dU^/dPi в уравне-
ния (3-91) и (3-93), получим первые приближения dU^/dPt,
dbjV/dPi для всех значений /. Далее найдем первые приближения
^T37i(1)/ddi, dojkldbi и вновь возвратимся к уравнениям (3-91) и (3-93)
И т. д.
Для расчетов средней точности можно пользоваться следующи-
ми приближенными формулами:
94
2 ^p^xjk ^rjk) u
k=i____________________к
л-l 1
^ + 2 ^Pkrjk + QkXjk)
(3-99)
dU. r..
J ~ J1
dPi ~ Ut
cos 8y-;
d?j. x.. cos 8 .
J JL J
dPi UtUj
(3-100)
Аналогично можно вычислить приближенно
dU. x..cos8. дб. r..cos 8.
___]_ __ J1 j . ____j __________ J1 J
dQi ~ Ut ’ dQi_U^j
(3-101)
При рассмотрении приближенного метода определения удельных
приростов потерь принималось допущение о неизменности модулей
и фаз всех узловых напряжений.
На основании выведенных ранее формул, характеризующих ча-
стные производные от модулей и фаз узловых напряжений по уз-
ловым мощностям, можно более точно определять удельные прирос-
ты потерь.
Суммарные потери активной мощности
ДР=" р2 ’ Г” + ^2 Г22+ • • • +2 ~ДД Г‘2 C<>S S12+ -
...-2P^~01-2-r12sin 1>12—.... (3-102)
ОДО 2
откуда, например, производная по мощности
д\р _ dPi ~ L 9 ?? + <?? 2 з Г11 С? 12 cos 812 и^и2 dUi о дР! _9Q /~12 Sin 612 и^2 - Р2 "Ь Q2 dU2 —— — . . . ul " <>Pl
.. .-2 piP2 + 0iftr cos а и^и2 dUx 12 дРг О Р\Р2 ~Ь Q1Q2 s 9 1 -Г 41V2 ri2COS gi2 dU2 dP.
...+2 1 31Q2 — Ql^*2 • I 19 Olli 8.2^4 1 dPt 1 0 -PiQz — Q1P2 • s* .9 1V2 VI 2ri2Slngi2 dU2 dP 1
9 Р1Р2 4- Q1Q2 - * (d82 \ г) P1Q2— Q1P2 v
U\U2 12 12 \дРг dpj UJJ2
. , <>, I (581- dl2 A
X^12cos Bp — — 1
12 1 \ dPx ^1;
95
После небольшого преобразования
d\P = 2Pj

Hl I 2P r 12 COS Ц2
rr2 Г 2 UyU2
r12 sin 812
ихи2
1
dUx
дРх
.2 । г>2
c/f
^i^ + QA cosg ।
/ ЬОэ Oj2
^^r13cos813+..
Ups
u\u2
_ 2 P1Q2 — Q1P2 : g _
• Z/ f 12 olll ’JiQ-
U\u2
r + Ql ,
-------------r22 +
t/23
dU2
дРх
__ 9 ^10з—Q1^3 j g _
-Z 9 Г13511] °13
и[и2
+ 2 Г12 cos 81з + 2^±0^ vos 8й+ ...
uxu\ ulu3
.. - 2 Р^ -5^ г sin 8-2 р^з-<?гРз
~2^.+ ^r12sin812+...
1/1О2
1^2
дР.
P\Q^ — QxPi
U,U2
дЪ2
дРх
r23sin 8i3— .
9 ^1^2 + Ql(?2
UXU2
9
2
ri2sin §12Ц- ..
.+2РА-0.ЛГ1гСОз81г+
С/1О2
(3-103)
Подсчету по формуле (3-103) должно предшествовать определе-
ние частных производных всех модулей и фаз узловых напряжений
по узловым мощностям.
Анализ показывает, что члены, содержащие частные производ-
ные, значительно меньше членов, заключенных в первых квадрат-
ных скобках. Так, например, сравним
2
и 2
dUx
дРх
Hi-
Подставляя вместо dU\ldPx приближенное его значение rX\IUx
[см. (3-100)], получим после преобразований
2 П, +
Таким образом, второй член составляет часть первого, равную
Гц : Pv
96
Очевидно, что эта часть очень невелика, так как доля потерь,
зависящая от Рх и Qi, как правило, значительно меньше Л. Други-
ми словами, в сетях с относительно небольшими потерями можно
не учитывать членов, содержащих частные производные от напря-
жений в формуле (3-103). То же справедливо и в отношении членов,
содержащих частные производные от углов. Поэтому в большинст-
ве случаев можно пользоваться выражениями (3-72) и (3-73).
§ 3-8. РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОЙ
МОЩНОСТИ В ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Рассматриваемая система (рис. 3-5) содержит две тепловые
станции ЭС2 и ЭС3, питающих по линиям НО кв нагрузку 70 Мет. Активное со-
противление линий между узлами 1 и 2 составляет 9,2 ом, между узлами 1 и 8 —
13,5 ом.
Рис. 3-5.
Необходимо распределить суммарную нагрузку системы между? двумя стан-
циями, если удельные приросты станций имеют следующие значения:
£ . 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56
Р2, Мет .... 22 29 34 34 34 34 34 34
Рз, Мет .... . 24,8 35 42 42 42 42 42 45
е . 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72
Р2, Мет .... 34 38 42 45 48 50 50 50
Рз, Мет .... 48 48 48 48 48 48 48 48
В данном случае критерий оптимального распределения запишется как
_______52_________________£з______
1 — д (ЬР)1дР2 ~ 1 — д (ДР)1дР3 ’
Примем за балансирующую и базисную точку узел 3. При этом мощность Рз
исключается из числа независимых переменных и критерий оптимального распре-
деления приобретает вид
е2
Ис 1— д(ЬР),дР2 Ез'
При определении потерь в линиях предполагаем, что напряжение в узлах
равно номинальному и что потери зависят только от активных мощностей.
В этом случае потери и удельные приросты потерь можно представить как
п—1 п—1
1
4—2757
97
где
д(ЬР)
dPi
п—1
В..Р.
ч г
В нашем случае (п = 3)
ДР = ВПР2 + В22Р2 + 2В12Р1Р2;
д (&Р){дР2 — 2В12Р1 + 2В22Р2,
^11 = г11/^2* ^22 = г22/^Г2> ^12=г12/^Г2»
Чтобы найти взаимные сопротивления Гц, Г22 и г 12, поочередно подадим еди-
ничные токи /1 = 1 и /2=1 в узлы / и 2 соответственно (рис. 3-6, а и б). Тогда из
рис. 3-6, а определим гц=Г12=13,5 ом, а из рис. 3-6, б — г22=22,7 ом.
Вычислим соответствующие коэффициенты потерь:
Ви = В12 = 13,5/1102 = 11,5-10-4;
В22 = 22,7/1102 = 18,75-10-4.
Искомое оптимальное распределение суммарной нагрузки системы между
станциями будем определять итеративным путем. В качестве начального прибли-
жения используем режим, полученный без учета потерь в линиях. Для этой цели
на рис. 3-7 построим графики удельных приростов станций ЭС2 (кривая 2), ЭС3
(кривая 5) и системы (кривая 1). По суммарной нагрузке системы (80 Мвт)
найдем, что цс = 0,548; Р2о=36 Мвт; PS0 = 44 Мвт.
Для заданного режима потери мощности в линиях и удельные приросты по-
терь составят
ДР = 11,5-10-4 ( — 70)2+ 18,74-10-4(36— 10)2 +
+ 2-11,15-10—4( — 70) (36— 10) =2,66 Мвт;
д (ДР)/дР2 = 2-11,15-10~4 ( — 70) + 2-18,75-10~4 (36 — 10) = — 0,058.
Отрицательный знак у д(/\Р)/дР2 означает, что увеличение мощности стан-
ции ЭС2 приводит к уменьшению потерь.
Небаланс мощности в системе
6Р =36 + 44—80 —2,66 = —2,66 Мвт.
Уточним значение е2 и д(\Р)1дР2 (с учетом потерь в линиях):
1) е2 = 0,548(1 + 0,058) =0,578 соответствует Р2 = 46,5 Мвт; д(ДР)1дР<2 —
= 2-11,15-10-4 ( — 70) + 2-18,75-10-4(46,5— 10)= —0,019;
г>7 г, 7
98
2) £2 = 0,548 (1 + 0,019) = 0,558; Р2 = 39,5 Л1вт; д (±Р)!дР2 = — 0,045;
3) е2 =0,548(1 + 0,045) =0,573; Р2 = 44,6 Мвт; д (ДР) дР2 = —0,026;
4) е2 = 0,548 (1 + 0,026) = 0,562; Р2 = 41 Мвт; д {ХР)'дР2 = — 0,040;
5) е2 = 0,548 (1 + 0,040) = 0,570; Р2 = 43,7 Мвт; д (\Р)!дР2 = — 0,03;
6) е2 = 0,548 (1 + 0,030) = 0,564; Р2 = 43 Мвт; д (ЬР)1дР2 = — 0,032.
Будем считать уточнение е2 законченным. При этом
ДР = 11,15 10-4 ( _ 70)2 + 18,75• 10-4 (43 — 10)2 +
+ 2-11,15-10-4( — 70) (43— 10) = 2,35 Мвт;
ЪР = 43 + 44 — 80 — 2,35 = 4,65 Мвт.
Знак небаланса мощности 6Р указывает на слишком большую загрузку
станций.
Уменьшим значение удельного прироста системы до значения р.с = 0,54, кото-
рому соответствует Р3=43,5 Мвт, и вновь повторим уточнение е2 и д(АР)/дР2’.
1) £2 = 0,54 (1 + 0,032) =0,557; Р2 = 39,2 Мвт; д(ЬР);дР2 = —0,047;
2) £2 = 0,54(1 +0,047) =0,565; Р2 = 42 Мвт; д (ЬРудР2 = —0,036 и т. д.
После ряда интераций получим ДР = 2,42 Мвт и 6Р = 2,08 Мвт. Это указывает
на необходимость дальнейшего уменьшения цс. Поэтому вновь снизим р,с до
величины цс=0,532 и повторим расчеты по уточнению 82 и д(ДР)/<ЭР2. В резуль-
тате получим небаланс мощности в системе 6Р= —0,21 Мвт. Полученное значение
можно считать приемлемым, а расчет на этом законченным.
Оптимальный режим рассматриваемой системы будет отвечать следующим
параметрам:
+ = £з = 0,532; Р3 = 43 Мвт; е2 = 0,557; Р2 = 39,2 Мвт; ДР = 2,4 Мвт.
§ 3-9. РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АКТИВНОЙ
МОЩНОСТИ В СМЕШАННОЙ СИСТЕМЕ
Рассматриваемая энергетическая система содержит две тепло-
вые станции ТЭС1 и ТЭС2 и одну гидростанцию ГЭС\, связанные между собой
4*
99

линиями НО кв, и питающие нагрузки /Л, Н2 и Я3. Схема системы с указанием
установленной мощности станций и сопротивлений линий представлена па
рис. 3-8.
Расходные характеристики станций имеют следующие значения:
е . 0,40 0,42 0,432 0,435 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52
Р.'Мвт . . 24,8 24,8 24,8 24,8 30,0 42,0 42,0 42,0 42,0
Вь г/ч . . 14,0 14,0 14,0 14,0 16,3 21,7 21,7 21,7 21,7
Р2,Мвт. . 22,0 22,0 22,0 23,4 26,0 34,0 34,0 34,0 34,0
В2, г/ч . . 26,8 26,8 26,8 27,1 27,7 33,1 33,1 33,1 33,1
е . . . . 0,54
Рь Мвт . 42,0
В1( т1ч . 21,7
Р2, Мвт .34,0
В2, т\ч . 33,1
0,56 0,58 0,60 0,62 0,63 0,66 0,68 0,70 0,72
45,0 48,0 48,0
23,4 25,1 25,1
34,0 34,0 38,0
33,1 33,1 35,4
48,0 48,0 48,0
25,1 25,1 25,1
42,0 44,0 44,0
37,9 39,1 39,1
48,0 48,0 48,0
25,1 25,1 25,1
47,2 50,0 50,1
41,5 43,4 43,4
Характеристики удельных приростов для одного агрегата гидростанции при-
водятся ниже:
е3 ............. 7,1 7,5 7,9 8,4 9,1 10,0 11,0 12,0
РА, Мвт .... 6 8 10 12 14 16 18 19
Qi, м?[сек .... 60 73 87 104 120 136 154 168
Здесь индекс «1» присвоен тепловой станции ТЭСЬ индекс «2» — ТЭС2,
индекс «3» — ГЭСь
Суточный график суммарной нагрузки системы (рис. 3.9) построен по данным
табл. 3-1.
Для ГЭСГ задан расход воды на рабочие сутки: фСр.сут=270 м^/сек.
Необходимо найти оптимальное распределение суммарной активной нагрузки
между станциями системы для заданного суточного графика.
Для простоты решим задачу без учета потерь в сети. В этом случае крите-
рием оптимального распределения активных мощностей между станциями в рас-
сматриваемой схеме является соотношение
4Z) = 4Z)-MZ).
которое должно выполняться для каждого /-го часа суточного графика. Помимо
этого должно выполняться условие заданного расхода воды гидростанции ГЭС\
в сутки:
Q = 270 - 24 • 3600 = 23 300 • 103 лР.
Выполнение второго условия обеспечивается соответствующим подбором ко-
эффициента Лз, характеризующего удельную экономию топлива на тепловых
станциях при увеличении расхода воды гидростанции.
100
Таблица 3-1
Нагрузка системы
по часам % Мвт по продолжительности
1 60,8 76 Мвт ч
2 60,8 76
3 60,8 76 76 7
4 60,8 76
5 60,8 76
6 74,0 92,5 92,5 4
7 78,8 98,6
8 88,0 ПО
95 2
9 91,0 113,6
10 88,0 110
И 74,0 92,5
98,6 5
12 76,0 95
13 78,8 98,6
14 78,8 98,6 ПО 3 •
15 78,8 98,6
16 76,0 95
17 60,8 76 113,6 1
18 60,8 76
19 74,0 92,5
20 78,8 98,6 118,6 1
21 88,0 ПО
22 100 125
125 1
23 95,0 118,6
24 74,0 92,5

101
По данным, приведенным в условии, построим расходные характеристики
(рис. 3-10) и характеристики удельных приростов (рис. 3-11) гидростанции ГЭС\
при различном числе работающих агрегатов.
Из рис. 3-10 видно, что при мощности 7эз>18,5 Мет целесообразно перехо-
дить на работу двумя агрегатами, а при мощности Р3>37 Мет — тремя агрега-
тами. В соответствии с этим кривая удельных приростов ГЭС\ имеет два разры-
ва непрерывности: при Р3=18,5 Мет и Р3 = 37 Мет. Заменим полученную характе-
ристику упрощенной, соблюдая равенство площадей Fi=Fi" и F2'=F2" (см.
рис. 3-11). При такой замене, очевидно, суммарный расход воды не изменится.
Рис. 3-11.
Действительно, если нагрузка ГЭС} возрастет с Р3' до Р3", то в соответствии с
действительной кривой удельных приростов расход воды увеличится на
J е3</Р3.
Величина этого интеграла определится площадью Р3'-0-1-2-3-Рз", к©то-
рую можно представить как
bF=«<°> (р-3 - р') + Л - г; = .<<» (р; - .
102
Построим на рис. 3-12 кривые удельных приростов тепловых станций ТЭС[
(кривая 7), ТЭС2 (кривая 2) и их суммарную характеристику (кривая 3). Задав-
шись значением коэффициента Х3 = 0,04, на том же рисунке нанесем кривую
83-0,04=f (Р3) (кривая 4), полученную по данным рис. 3-11 путем пересчета.
Суммируя мощности, отвечающие характеристикам 3 и 4 для различных значе-
ний 8, построим кривую 5, характеризующую удельный прирост всей системы.
Задаваясь величиной нагрузки системы для какого-либо часа суточного гра-
фика, найдем распределение нагрузки между станциями (см. рис. 3-12). Расход
воды и топлива определяется согласно рис. 3-10 и 3-13. Например, для 22-го часа
суммарная нагрузка системы составляет 125 Мет. По графику (см. рис. 3-12)
этому соответствует оптимальная мощность станций: Pi =37,5 Мет; Р2 = 31,5 Мет;
Р3 = 56 Мет. Расход воды в этом случае составляет Q3 = 480 мъ1сек (см.
рис. 3-10); расход топлива Bi = 19,4 т/ч, 52=31,2 т/ч (рис. 3-13).
Подобные расчеты повторяются для всех значений часовой нагрузки в соот-
ветствии с принятыми данными.
Полученные результаты сведены в табл. 3-2, из которой видно, что расход
воды за сутки при А3 = 0,04 составляет Q=32 600-103 At3, т. е. значительно превы-
шает заданную величину. Поэтому расчет повторяется с увеличением коэффици-
ента А3. Данные табл. 3-2 свидетельствуют о том, что распределение мощностей,
103
соответствующее %3=0,05, можно принять за оптимальное. Суточный расход воды
при этом определяется величиной 0=21 950-103 что составляет разницу с
заданным около 5%.
Таблица 3-2
X. _ Параметры режима t, ч
SP , Мет н Мет Р2, Мет Р2, Мет Bl, т/ч В2, т/ч Q», м*/сек
76 24,8 22 29,2 14,0 26,8 245 7
92,5 95 24,8 22 45,7 14,0 26,8 385 4
о 24,8 22 48,2 14,0 26,8 408 2
о 98,6 24,8 22 51,8 14,0 26,8 435 5
о к со 110 30 26 54 16,3 27,8 460 3
113,6 31 28 54,6 16,8 28,4 470 1
118,6 35 28,6 55 18,5 29,7 475 1
125 37,5 31,5 56 19,4 31,2 480 1
24 24
2 (В1+В2)=ЮН 1 т; 2 1 Q3=32600 103 м3
76 24,8 22 29,2 14,0 26,8 245 7
92,5 24,8 22 45,7 14,0 26,8 385 4
95 25 24 46 14,0 27,0 390 2
О 98,6 27,3 25,3 46 15,0 27,2 390 5
II со НО 35 29 46,5 17,8 28,8 393 3
113,6 35,5 31 47,1 18,7 30,4 397 1
118*6 39 32 47,6 20,3 31,6 400 1
125 42 34 49 21,7 33,1 415 1
94 24
2 (Bi+B2)=1035 1 т; 2 Q3= 1 =30 100-103 JW3
76 26 24 26 14,6 27,1 220 7
о 92,5 35,5 29,5 27,5 18,7 29,8 230 4
ю о 95 36,5 30,5 28 19,2 30,4 235 2
о 98,6 38,1 32 28,5 20,0 31,6 240 5
II 110 42 34 34 21,7 33,1 290 3
г< 113,6 42 34 37,6 21,7 33,1 320 1
118,6 42 34 42,6 21,7 33,1 360 1
125 42 34 49 21,7 33,1 415 1
24 24
S 1172 г s Q3=21 9э0-103 м* 1 1
§ 3-10. ТИЛЫ ОГРАНИЧЕНИЙ ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА
Ограничения наиболее общего характера определя-
ются балансом активных и реактивных мощностей в энергосистеме
и записываются следующими уравнениями связи:
«7p=p,+p2+...+p„-XPk-ap=0; (3-Ю4)
W'q=Q1+Q2+...+Q,-XQ»-&Q=0. (3-105)
где Pi, Qi — активная и реактивная мощность источника i\ HPн,
104
SQH — суммы мощностей нагрузок потребителей; ДР, AQ— суммар-
ные потери активной и реактивной мощности в сетях.
В общем случае сумма 2РН, ДР, AQ зависит от активных и
реактивных мощностей (см. ниже). Следовательно, частные произ-
водные' по независимым переменным от WP и WQ содержат также
частные производные от нагрузок и от потерь.
Если напряжения узловых точек ограничены некоторыми задан-
ными пределами допустимых значений, то при оптимизации режима
в ряде случаев приходится фикси-
ровать напряжение в данной уз-
ловой точке на одном из его пре-
делов. Тогда появляются уравне-
ния связи следующего вида
= Qi»
Q2,...)-^nP=o, (З-Юб)
где Ui=f(Pi, Р2, ...; Qi, Q2, ...);
^гпр — предельное значение Ui.
Если значения передаваемой
активной мощности (перетоки
мощности) по некоторым линиям
или углы сдвига фаз векторов на-
пряжения по концам линии долж-
ны быть ограничены условиями
устойчивости, то при оптимизации
режима иногда приходится фик-
сировать значение мощности
^перг.? или угла сдвига фаз на
верхнем пределе. При этом появ-
ляются уравнения связи:
В,т/ч
Р^-• ••• ft. ft- )-Р^ц^ (3-107)
где Pnepijnp — предельно допустимый по условиям устойчивости пе-
реток активной мощности; Рпер ц = 1 (Л, Р2, Qi, Q2, •••);
^8.;=^(РЪ р2,..Qb Q2,.. .)-Л;пр, (3-108)
где 6ij пр — предельный угол сдвига фаз; d,j = f(Pi, Р2, Qi, Q2, •••).
В уравнениях (3-107) и (3-108) Рпергз- и также зависят от
мощностей узловых точек.
При ограниченности водных или энергетических ресурсов на ка-
кой-либо станции также вводится учет ограничений (см. выше).
Уравнения ограничений используются в прямом методе оптимиза-
ции для исключения k зависимых переменных; в методе Лагранжа
эти уравнения вводятся в функцию Лагранжа и входят в общее чис-
ло (n + k) уравнений для определения оптимальных значений п пе-
ременных и k множителей Лагранжа; в градиентном методе они
используются для вычисления частных производных от минимизи-
руемой величины по всем независимым переменным.
105
§ 3-11. ПРИМЕНЕНИЕ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ
Ограничения, накладываемые на искомые перемен-
ные, могут учитываться с помощью так называемых штрафных
функций. Этот прием основывается на добавлении к минимизируе-
мой функции некоторой дополнительной функции (штрафной), до-
статочно' большой по величине за пределами допустимого изменения
переменного и равной нулю в задан-
ном диапазоне изменения перемен-
ного.
Штрафные функции можно зада-
вать различными способами. Главное
здесь состоит в том, чтобы размер
штрафа в недопустимой области изме-
нения переменного был достаточно ве-
лик. Кроме того, штрафная функция не
должна вносить посторонних решений,
т. е. приводить к появлению дополни-
тельных локальных экстремумов ми-
нимизируемой функции в области до-
пустимых режимов. Последнее опреде-
ляет то, что в этой области штрафная
функция должна быть вогнутой. Если имеется ограничение пере-
менного Xj
Xj мин Xj Х j ма с»
то обычно штрафная функция задается следующим образом
(рис. 3-14, а):
Шх} q (•^-у х j мин) при -Xj Xj мцн>
£
Шх1 = Ъ
при Xj мин Xj Xj макс,
(^•-^•ма.с) ПРИ Xj>Xj макс»
где kx и &2 — постоянные коэффициенты.
При этом производная штрафной функции запишется как
(рис. 3-14, б):
Шх] —k\ [Xj Xj М11н)
ZZ7w=0
При Xj Xj минj
При Xj M!iH Xj Xj Mai c’
LUxj k2(Xj Xj Макс)
При Xj Xj макс
Штрафные функции, учитывающие ограничения, накладываемые
на переменные, используются при решении задач оптимизации ре-
жима методом Лагранжа и градиентным методом. Если, например,
распределяется активная мощность в теплоэнергетической системе
по методу Лагранжа при заданном ограничении по пропускной спо-
106
собности некоторой линии I
i
I макс»
то штрафная функция
ш,
Причем £27г>0 при Л>Лмакс И ZZ/Z=O При Л^СЛмакс
Функция Лагранжа будет иметь следующий вид:
S=7’ + WP + 4(P,-P,MaKCE
£
где WP — ограничение по балансу активных мощностей.
Искомые значения мощностей определятся из частных произ-
водных:
(9 (ДР) \ \ ( п р (Pl — Pl макс) _
in I ~ГЛ|/ i — маьс/ -----—
е2-4- X (1 p j
\ dP2 J
d (Pl Pl макс) ____q.
dP2 ~ ’
Определяя мощность по линии PL как линейную комбинацию уз-
ловых мощностей
Л = «1/Л + «2/^2+ • • •*»
найдем, что
д (РI —Р/макс) . & (Р[ ~ Pl макс) г. .
----------------------1"97» ......
дР^ 11 дР2
Таким образом, получим критерий оптимального распределения
в виде
__ _у__ Е1 + ^alZ (Р/ — Pl макс) __ £2 + ka2i (Pl — Pl макс) _
Н'с~ 1 — д(ДР)/дР! ~ 1 — д(^Р)'дР1
Пример 3-1. В системе, показанной на рис. 3-15, нагрузка питается от тепло-
вых станций ТЭС[ и ТЭС2. Характеристики удельных приростов этих станций
приводятся ниже:
е 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,43 0,44 0,45
Р1г Мет . , . 120 120 202 240 240 240 258 270 280
Р2, Мет . 20 20 20 20 20 20 28 34 40
Е . . . . . 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60
Pi, Мет . . 280 280 280 280 288 300 300 300 300 300
Р2, Мет . 45,3 50 50 50 50 50 50 56 60 60
* В выражение для Pi не входит мощность балансирующей точки. Коэффи-
циенты ап, a2i называются коэффициентами распределения мощностей, или более
просто — коэффициентами распределения.
107
Необходимо найти оптимальное распределение нагрузки между станциями с
учетом потерь в линиях при условии, что переток мощности по линии 1-2 имеет
ограничение РгМакс=50 Мвт.
Для заданной системы примем за балансирующую и базисную точки узел 2.
В этом случае получим, что Гц = 6,5 ом, г33=2,7 ом, г13 = 0; Вп = 6,5/1102=0,537Х
ХЮ-3, 5зз=2,7/1102=0,223-10-3, В13=0.
Из решения этой задачи без учета ограничения по линии 1-2 можно найти
оптимальный режим, характеризующийся параметрами: Pi=253 Мвт, Р2=41 Мвт,
Ei =0,427, е2=0,452, д(ДР)/дРг =0,057.
При этом поток мощности по линии 1-2 составляет Р/=253—200=53 Мвт,
что превышает допускаемое значение Р/макс = 50 Мвт. Принимая этот режим за
исходный, будем искать оптимальное распределение нагрузки между станциями
с учетом ограничения перетока мощности по линии 1-2.
Критерий оптимального распределения имеет вид
е1 + kan (Р/ — Pl макс)
^с= 1 — д^Р)1дР1 = Е2’
Принимая k=0,02/3 и учитывая, что ац=1, получим
ej + 0,02 е1
е2 — Р-с =------V » ИЛИ £2 =-------~ »
2 1 — 0,057 2 1 — 0,057
где е/ отвечает новой характеристике (рис. 3-16) удельных приростов станции
ТЭСг (штриховая линия), смещенной относительно характеристики 61 (сплошная
линия).
Для исходного режима
е' — е2 (1 — 0,057) = 0,452 (1 — 0,057) =0,427,
что соответствует (см. рис. 3-16) Pi =240 Мвт. При этом
др = ВпР[ + B3SPl = 0,537 Ю-з (240 — 200)2 + 0,223- 10-з (_ 90)2 = 2, 67 Мвт
д ^Р)!дРг = 2ВЦР! = 2-0,537-10-3-40 = 0,043.
Небаланс мощности в системе составит
8Р = 240 + 41 — 200 — 90— 2,67= — 11,67 Мвт.
Поскольку небаланс мощности получился отрицательным, необходимо увели-
чить мощность станций.
Дальнейший ход расчета состоит в следующем. Увеличивая значение
найдем относительный прирост е/, мощности станций Pi и Р2, потери и удельные
приросты потерь ДР и д(ДР)/дРь а также небаланс мощности 6Р. После того
как итеративный процесс сойдется по 6Р, определим Рг и сравним с Р;Макс-
В данном расчете после ряда итераций будем иметь
Рг = 246 Мвт; Р2 = 47 Мвт; ДР = 2,95 Мвт.
При этом
8Р = 246 + 47 — 290 — 2,95 = 0,05 Мвт,
что можно считать удовлетворительным.
108
Поток МОЩНОСТИ по линии 1-2
Pt = 246 — 200 = 46 Мвт,
что значительно меньше допускаемого значения Лмакс- Поэтому повторим рас-
чет с целью увеличения потока мощности по линии 1-2. Для этого снизим коэф-
фициент штрафа до значения £ = 0,01/4, построим новую характеристику удель-
ных приростов станции ТЭС2 (на рис. 3-16 не показана). После ряда итераций
определим новый режим:
Рх — 249 Мвт\ Р2 = 44,5 Мвт', ДР = 3,3 Мвт.
В этом режиме получим удовлетворительные значения небаланса мощности в
системе и потока мощности по линии 1-2:
8Р = 249 + 44,5 — 290 — 3,3 = 0,2 Мвт; Pt = 249 — 200 = 49 Мвт.
§ 3-12. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКТИВНОЙ
МОЩНОСТИ. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРИБЛИЖЕННЫХ
КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
МОЩНОСТЕЙ
Наряду с задачей оптимального распределения ак-
тивной мощности может возникнуть частная задача оптимального
распределения реактивной мощности. Вопрос о том, допустимо ли
изолированное распределение отдельно активной и реактивной мощ-
ностей, будет рассмотрен далее.
Предположим сначала, что генерация реактивной мощности не
связана с какими-либо затратами. Тогда единственной целью опти-
мального распределения реактивной мощности может быть сниже-
ние потерь активной мощности в сетях, приводящее к уменьшению
затрат. Потери в сетях зависят как от активных, так и от реактив-
ных мощностей. Будем условно считать, что активные мощности
заданы и неизменны. Это допущение является приближенным, так
как изменение потерь в’сетях требует изменения активной мощнос-
109
ти какой-либо станции. При принятом же допущении потери зави-
сят только от реактивной мощности.
Пользуясь методом Лагранжа, будем искать минимум функции
где
5 = (3-109)
• • • +Qr-SQ;-aQ=o. (3-110)
Будем также приближенно считать, что 2QH=const. Тогда усло-
вия оптимального распределения запишутся как
=д^р । х / j
dQi ’ dQi Д
dLQ \___Q
dQi )
dS _ дкР
dQ2 dQ2
d^Q \ q
dO7 )
откуда
dhP/dQi _____ OAP/dQz
1 — dkQldQy 1 — dAQ/dQ2
(3-111)
(3-112)
Уравнения (3-111) и (3-112) дают возможность определить оп-
тимальные реактивные мощности всех источников, соответствую-
щие минимуму потерь активной мощности в сетях.
Изолированно рассматривать распределение реактивной мощ-
ности нельзя, так как ее генерация и ее потери в сетях влияют на
общие затраты по системе.
Если балансирующая точка выбрана в точке I с источником ре-
активной мощности, то для нее dkPldQi = Q и, следовательно, Х=0.
Условия оптимального распределения реактивной мощности по ми-
нимуму потерь в этом случае имеют вид:
d^PjdQ^d^PjdQ^ ... =0.
(3-113)
Рассмотрим смысл определенных ранее критериев оптимально-
го распределения мощностей. Начнем с критерия оптимального
распределения активной мощности между тепловыми электростан-
циями:
ei
х е2
1 — даР/дР^ 1 — ~дКр[дР2
(3-114)
Пусть активная мощность агрегата 1 получит некоторое неболь-
шое приращение ЬР\. Умножая числитель и знаменатель выраже-
ния (3-114) на ЪР\, получим
е1й^>1
11 =
к
длР
дРх
(3-115)

ПО
Так как Ei6Pi = 6Ti, где 6Ti — прирост затрат на агрегате 1 при
увеличении его активной мощности на 6Р1, а

где 6ЛР1 — изменение потерь в сети при увеличении активной мощ-
ности агрегата 1 на dPi, то
Знаменатель правой части выражения (3-116) имеет следующий
физический смысл. Пусть узловая активная мощность Р\ выросла
на 6Pi; эта дополнительная мощность должна быть где-то воспри-
нята. Примем, что она частично воспринимается в балансирующей
точке, а частично идет на изменение потерь 6ЛР1. Так как мощности
всех остальных узловых точек, кроме произвольно выбранной точ-
ки 1 и балансирующей точки, не изменяются, то в балансирующей
точке появится дополнительная нагрузка ЬР\—6ЛР1. Поскольку
часть прироста 6Р1 будет расходоваться на дополнительное увели-
чение потерь 6ЛР1 и только разность этих величин будет воспринята
в балансирующую точку, то увеличение нагрузки в балансирующей
точке вследствие прироста ЪР\
^Рбо (1) =
j/ЗРбо (ij-
(3-117)
(3-118)
Таким образом, удельный прирост затрат энергосистемы и с уче-
том потерь в сетях можно также называть удельным приростом за-
трат на единицу прироста нагрузки в балансирующей точке, или
удельным приростом, приведенным к балансирующей точке.
Равенство удельных приростов затрат всех агрегатов, приведен-
ных к балансирующей точке, является условием оптимального рас-
пределения мощностей при учете потерь в сетях. Если у двух ка-
ких-либо агрегатов (станций) это условие не выполняется, то сле-
дует увеличить нагрузку на агрегате I с меньшим цг-, что позволит
как бы принять некоторую фиктивную дополнительную нагрузку в
балансирующей точке, и затем уменьшить нагрузку на агрегате /
с большим значением pj до тех пор, пока эта фиктивная дополни-
тельная нагрузка в балансирующей точке не будет полностью сня-
та. Очевидно, что увеличение затрат на первом агрегате будет
меньше, чем их снижение на втором, т. е. такое перераспределение
мощностей будет выгодным. Продолжая такое перераспределение,
придем к режиму равенства всех значений рг- отдельных агрегатов,
т. е. к условию (3-114).
Рассмотрим критерий оптимального распределения активной
мощности в смешанной энергосистеме:
111
£а Ma
Р ==---------= . . . =---------
1 — д^Р'дРа 1 — дХР.дР^
Из (3-119) определим величину Ха'.
Р(1 - d&PIdPJ ъта 1-дьР1дРа
Ла=----------------= —-------- -----------, (о 1ZUJ
еа ВРбО (с) Еа
где а — индекс произвольной тепловой станции.
Умножим числитель и знаменатель правой части выражения
(3-120) на §Ра (где ЬРа — некоторое увеличение активной мощ-
ности на гидростанции а). Тогда, учитывая, что еаЪРа=ЬВа
(где бВа —соответствующее увеличение часового расхода воды),
получим
ЪТа ЪР«-МР(а) ъта 8Р60,„) .
В^б0(а) 8Лх ВЛ>0 (с) .
(3-119)
Здесь 6Рбо(а ) — увеличение нагрузки в балансирующей точке при
росте мощности ГЭСа на 6Ра-
Увеличим мощность гидростанции а за счет повышения нагрузки
балансирующей точки на 6РбО(«), а затем уменьшим нагрузку какой-
либо тепловой станции, например а, так чтобы снизить нагрузку ба-
лансирующей точки на ту же величину, т. е. перераспределим мощ-
ности, увеличив мощность на ГЭС и соответственно снизив мощ-
ность на ТЭС. При этом, очевидно, что
8Рбо («)= — 8Рбо (а), (3-122)
и, следовательно,
(3-123)
Таким образом, Ха —это отношение снижения затрат на тепло-
вой станции в связи с увеличением часового расхода воды на ГЭС.
Эта величина называется удельной экономией затрат за счет при-
роста расхода воды, или удельной экономией.
Очевидно, что эта величина должна быть одной и той же для
всех часов суток, иначе выгодно было при том же суммарном расхо-
де воды увеличить расход воды в тот час, когда удельная экономия
больше, и снизить его в другой час, когда удельная экономия мень-
ше. Повторяя такое перераспределение, придем к режиму постоян-
ства удельной экономии для данной ГЭС во все часы суток.
Аналогично можно показать, что критерий экономического рас-
пределения реактивной мощности (3-112) соответствует равенству
удельных приростов потерь в сетях, приведенных к увеличению ре-
активной нагрузки балансирующей точки, а критерий (3-113) —ра-
венству нулю удельных приростов потерь в сетях.
112
§ 3-13. ВЗАИМОСВЯЗЬ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
АКТИВНОЙ И РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТЕЙ.
КОМПЛЕКСНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТЕЙ
Задачей оптимального распределения мощности яв-
ляется достижение минимальности суммарных затрат на электро-
станциях энергосистемы. Если затраты на электростанциях можно
было бы разделить на две составляющие, из которых первая зави-
сит только от распределения активной мощности и не зависит от
реактивной, а вторая, наоборот, то тогда можно было бы независимо
распределять активную и реактивную мощности, и комплексное рас-
пределение их не требовалось бы.
Такая разбивка возможна только при принятии следующих уп-
рощающих допущений:
1) активные и реактивные нагрузки потребителей во всех узло-
вых точках не зависят от величины модулей напряжения в этих
точках;
2) потери активной мощности в сетях можно разделить на две
части, из которых одна зависит только от распределения реактив-
ных мощностей, другая — только- от распределения активных мощ-
ностей, а каждая из них не зависит от модулей и фазовых углов
векторов напряжений узловых точек;
3) генерация реактивной мощности не связана с какими-либо
затратами на электростанции или подстанции *.
Отказ от первого допущения означает необходимость учета из-
менений нагрузок потребителей при перераспределениях активных
или реактивных мощностей генерирующих источников, так как при
этом обязательно будут другими значения модулей напряжений и,
следовательно, активных и реактивных мощностей потребителей.
Поэтому всякое перераспределение одного вида мощностей влияет
на распределение другого вида мощностей, и независимое их рас-
пределение будет невозможно.
Недопустимость разбивки потерь на две части, каждая из кото-
рых зависит только от одного вида мощности, также не позволяет
проводить независимое оптимальное распределение активных и ре-
активных мощностей. Однако, если такая разбивка допустима, то
учет влияния вариаций узловых напряжений по модулю и фазе в
зависимости от распределения одного какого-либо вида мощности
не позволяет проводить независимое распределение мощностей, так
как изменение распределения мощностей одного вида влияет на по-
тери мощности обоих видов.
Учет затрат на генерацию реактивной мощности, как уже отме-
чалось, также не позволяет распределять мощности независимо.
Рассмотрим условия оптимальности комплексного распределе-
ния активной и реактивной мощностей в наиболее общей форме,
* На станциях эти затраты связаны главным образом с увеличением потерь
мощности в обмотке возбуждения и стали, а на подстанции — с потреблением
компенсаторами активной мощности.
113
т. е. при отказе от указанных упрощающих допущений. Затраты 7\
на электростанции i являются сложными функциями активной и ре-
активной мощностей:
<М-
(3-124)
Удельный прирост затрат по активной мощности будем по-преж-
нему обозначать через е<:
^dTJdP^fAP,. Qi), (3-125)
а удельный прирост затрат по реактивной мощности — через th:
Q,).
(3-126)
Пусть ограничивающими условиями будут только условия балан-
сов мощностей:
Wl=P^ + P2+...+P„-^PII-^P=0; (3-127)
lF2=Q1+Q2+...+Qr-EQH-aQ=0. (3-128)
При этом функция Лагранжа
S = Т 4- + Х2Ж. (3-129)
Условия оптимального распределения запишутся как
ds 1 ) йр1=Е‘+х'| 4 d-p* < dPi dhP \ ”1" \ ( <Wh <?aQ) = 0;
dPi / dP! dPd
dQ, I dQi d&P \ dQi -X2(l dQi d&Q > dQr } |=°; (3-130)
Из первых двух уравнений системы (3-130) можно определить
величины р =—Xj и v = — 7^:
( d'LQn d&Q \ (d-Qu dAQ \
Е1 I 1 — —• 1 “Н О 1 I ! ’ I
_X = _____________' dQi ^Qi / \дР1 _____________________
4 / д!Рн дАР\ / dSQH dAQ\ /dXQH dAQ\ [д?Рн d±P\',
\ dPx dPx / \ dQx \ dPx + дР-i ) \ dQi^~ dQi )
(3-131)
d^PH dhP \ (d'S.Pu di\P \
— '— I “H i 4— I
dPx dPx) 1 \ dQi dQx )
d^Py d\P \ f d£QH dAQ \
dPx dPx ) \ dQi dQx )
(dSQn dAQ \ (дТРл dkP \
\ dPx + dPx ) \ dQi + dQx )
(3-132)
114
Для упрощения введем следующие обозначения:
лл 1 дьр . г __ дЪРн ! дЬР .
Z dPi дР^ ’ dQi dQ, ’
। d&Q _ । dlQH d&Q l~ dPi dPi ' l~ dQi dQi ' (3-133)
Тогда условия оптимальности комплексного распределения мощ-
ностей будут иметь вид:
4~ e2^2 “1“ ®2-^2 M.]D\ — NM2D2 — N 2C2 + e161 + £26*2 — TV (C1 AI2P2—-N2^2 (3-134) (3-135)
или после деления числителей и знаменателей верхнего ряда на Dif
а нижнего на Mi
el 4“ 1/D\ £-2 4~ ^2-^2 D2 Л4 j — Л7 ]C 1 / D\ Л^2 — / D2 + e.]CilMy $2 4~ е2б>2/4^2 Di - N1C1IM1 D2 - 7V2C2/^2 (3-136) (3-137)
Если в системе имеются гидростанции, то величины 8 и О умно-
жаются на соответствующие коэффициенты X и, кроме того, для
каждой- гидростанции вводятся уравнения ограничений по воде.
Рассмотрим более подробно значения коэффициентов Miy Niy Сг
и входящих в выражения (3-136) (3-137). В этих коэффициен-
тах частные производные от суммарных нагрузок потребителей по
мощностям должны учитывать влияние изменений модулей напря-
жений в зависимости от мощностей. Так, например, в явном виде
= V dPk dUk
dPi Ъ dUk dPi ’
(3-138)
где Uh— модуль напряжения в. узловой точке k\ Pk — активная
мощность нагрузки потребителей в этой же точке, а суммирование
распространяется на все узловые точки с подключенными к ним на-
грузками.
Величина dPiJdUh может быть определена известными статичес-
кими характеристиками нагрузки по напряжению.
Получение производных типа dUk/dPi было рассмотрено ранее.
То же самое относится к аналогичным выражениям dhQJdPi,
dZPH/dQi, d^QJdQi.
При вычислении частных производных от суммарных потерь ак-
тивной АР и реактивной AQ мощностей по отдельным мощностям
узловых точек с учетом того, что
др=Л0% Qi. Ц, *>. (3-139)
Д<3=/2(Л. Qi. в,,.--), (3-140)
115
получим, например,
д^р (дьру , yi/ддру dUj , уиадру дъ1 (3141)
dPt \dPi) 1 L \ dUj J dPi L \ dbj ) dPi '
Здесь д\Р/дРг — полная частная производная, при определении
которой все мощности, кроме Р{ и мощностей в балансирующей
точке, считаются неизменными, но учитываются изменения модулей
и фаз всех узловых напряжений от влияния Pi, (д&Р/дРг)' — част-
ная производная, при определении которой считаются неизменны-
ми не только все узловые мощности, кроме Р{ и мощностей в ба-
лансирующей точке, но также модули и фазы всех узловых напря-
жений; (dAP/dUjY — частная производная, при получении которой
в формуле (3-139) учитывалась неизменность всех переменных, кро-
ме (dAP/dbj)' — частная производная, при получении которой
учитывалась неизменность всех переменных, входящих в (3-139),
кроме 6j.
Аналогично могут быть записаны выражения для полных част-
ных производных dkQJdPi, dkPIdQi, dAQ/dQi.
Далее можно доказать, что
__^б0(/) . дг____________ dQ6p (I) .
“ дР( ’____________dP-L ’
' _ ^60 (Z) . yj ^60 (i)
dQi ’ dQi
(3-142)
где Рбощ, <2бо(г) — дополнительные мощности нагрузки в баланси-
рующей точке, возникающие при увеличении мощности в точке i.
Для доказательства умножим и разделим, например, выражения
для Mi и Ni на 6Д-, где bPi— малое изменение узловой генерирую-
щей мощности Pi. Тогда
8Pt—= SSQH(l.)+8AQf
bPi ’ 1 ZPi
При изменении активной мощности электростанции i на 6Д- сум-
марная активная нагрузка изменяется на величину б2РН(г), а актив-
ные потери — на величину бДР(ц, и весь небаланс, равный
&Pi—frZPnd)—SAPi, будет отнесен на дополнительную нагрузку ба-
лансирующей точки.
Одновременно суммарная реактивная нагрузка изменяется на
6SQH(i), а потери реактивной мощности — на Для баланса не-
обходимо уменьшить реактивную нагрузку в балансирующей точке
па 6SQo(?) + 6AQi. Поэтому выражение для отрицательно. Вели-
чины бРсо(г) и б<2бо(г) представляют собой прирост нагрузки в балан-
сирующей точке при увеличении мощности Д- на бРг- и сохранении
неизменными всех остальных узловых мощностей источников, а так-
же при учете изменений модулей и фаз всех напряжений, кроме ба-
зисного.
116
При достаточной малости 6Рг-
д/ = 8Рб°(О дРт<) . дг _ 8^6°(t) dQ6o(f) 143а
‘ &Л dPi ’ 1 bPi dPi " ''
Аналогично выводятся значения Ci и Dt.
Раскроем смысл полученных выше условий оптимального комп-
лексного распределения (3-136) и (3-137). Для этой цели умножим,
например, выражение для pi, записанное для станции 1, в числите-
ле и знаменателе на 6Рь Тогда получим
eiBPi + »1 ЪРХ
р, — Р1 _ (Р) + Ъ7\ (Q) = ~ дТх
М ърsd 8P60(i)p—8P60(i);<? 8Рбо(1) дРб 0(1)
1 А 1
(3-144)
Произведение Ei6Pi представляет собой прирост затрат, вызван-
ный увеличением активной мощности станции 1 и равный бТцр);
7V16P1 — снижение реактивной нагрузки балансирующей точки в
связи с ростом реактивных нагрузок и потерь при возрастании
Очевидно, что величина Ni$Pl/Dx численно равна возрастанию ре-
активной мощности станции 1, которое скомпенсирует увеличение
реактивных нагрузок и потерь, а также даст в балансирующей точ-
ке компенсирующий прирост фбощ-
В целом произведение 6Pi определяет затраты на этот при-
D\
рост реактивной мощности bTXQ. В знаменателе ЛДбЛ = 6РбО(1), т. е.
прирост активной нагрузки в балансирующей точке вызван увели-
чением 6Р1. По-прежнему NxbPi/Dx характеризует прирост реактив-
ной мощности 6Qi, обеспечивающий ее баланс.
Произведение CjSQi отражает снижение реактивной нагрузки
балансирующей точки в связи с приростом активных нагрузок и по-
терь, вызванных появлением dQi, т. е. 6РбО(1)<?-
Разность между бРеор и бРбо<? в знаменателе характеризует ре-
зультирующий прирост активной нагрузки балансирующей точки
под влиянием дРх и dQi. В числителе получаются результирующие
затраты д7\, а в знаменателе — результирующее возрастание актив-
ной нагрузки балансирующей точки с учетом всех изменений актив-
ных и реактивных мощностей при увеличении Р\. При достаточно
малой величине бД
= j/йРб o(i) ~ дТх]дРь o(i).
Таким образом, — это удельный прирост затрат на любой
станции /, возникающий из-за роста ее активной мощности на еди-
ницу увеличения активной нагрузки в балансирующей точке.
Аналогично покажем, что
А = ^1/№ 0(1).
(3-145)
117
Следовательно, можно сформулировать принципы оптимальнос-
ти комплексного распределения мощностей: удельные приросты за-
трат при повышении активной (реактивной) мощности источника
на единицу соответствующего увеличения активной (реактивной)
нагрузки балансирующей точки должны быть одинаковы для всех
электростанций.
Выбирая балансирующую точку в месте присоединения свобод-
ных источников активной и реактивной мощности (например, точ-
ку /), придаем нулевое значение следующим производным:
д!Рн . дкР . dSQH . dhQ дЪРы . дкР . dhQ
dPj ’ dPj ’ dPj ’ dPj ’ dQj ’ dQj ’ dQj ’ dQj
При этом предполагается, что напряжения узловых точек и по-
тери не зависят от активной и реактивной мощности в балансирую-
щей узловой точке (см. выше).
С учетом сделанных допущений получим для балансирующей
точки j
Nj = ^ Су = 0; LJ—l.
Уравнения (3-136) и (3-137) приобретают иной вид:
__ eI + &pV1/Dt _
Mi — 7 ’
v=_ ai + ___ _q. __
Dl — NlCliD1 ’ ’ ' 7
(3-146)
(3-147)
(3-148)
Если при этом не учитывать затрат на генерацию реактивной
мощности, полагая, что удельные приросты затрат на генерацию ре-
активной мощности равны нулю, то условия (3-136) и (3-137) запи-
шутся как
|х=----------= . . .=£,-= ...; (3-149)
V=C^C2=...=O. (3-150)
Учитывая второе из условий, получим критерии комплексного
распределения мощностей для данного случая в очень простой
форме:
р=-^-=-^-=... =е7.= .. .; (3-151)
v==C1 = C2=...=0, (3-152)
или
1 — дЪРн1др! — dhPjdPx
д^Ри . <9ДР
(3-153)
(3-154)
118
Если, далее принять неизменность нагрузок потребителей, то
условия комплексного распределения можно представить следую-
щим образом:
р,=-----51---= (3-155)
1 — д^Р)дРг 1 к
ч=дкР1д(^= ... =0. (3-156)
Отличие условий (3-155) и (3-156) от приближенных условий,
полученных при раздельном нахождении оптимального распределе-
ния активных и реактивных мощностей, заключается только в том,
что потери в (3-155) и (3-156) зависят как от распределения актив-
ных и реактивных мощностей непосредственно, так и от модулей и
фаз напряжений, обусловленных принятым распределением мощ-
ностей.
Ввиду сложности оптимального комплексного распределения ак-
тивной и реактивной мощностей в простейших случаях (неучет за-
трат на генерацию реактивной мощности, неизменность нагрузок)
можно найти сначала оптимальное распределение активной, а затем
реактивной мощности при определенном ранее распределении ак-
тивной мощности. Эти расчеты необходимо повторять до получения
очень малых изменений распределения. Такая же схема может быть
применена и для более сложных задач.
Если кроме ограничений по балансу действуют другие ограни-
чения, например, по напряжению, углу сдвига фаз в передаче и т. д.,
то оптимальное распределение резко усложняется, так как растет
число неопределенных множителей Лагранжа. Кроме того, итераци-
онные методы решения сложных систем нелинейных уравнений при
комплексном распределении мощностей и учете изменений модулей
и фаз всех напряжений могут сходиться слишком медленно или да-
же расходиться. В этих случаях приходится отказаться от метода
Лагранжа и применять градиентный метод.
Рассмотрим некоторые частные случаи применения этого мето-
да. Пусть в энергосистеме фиксированы k напряжений и т углов
сдвига фаз в отдельных элементах сети. Введем следующие допу-
щения. Пусть k реактивных мощностей каких-то источников из чис-
ла г выделяются для поддержания неизменными k напряжений,
а т активных мощностей каких-то источников из числа п — для
фиксации т углов сдвига. Это означает, что указанные k реактив-
ных и т активных мощностей исключаются из числа независимых
переменных. Оставшиеся независимые переменные (п — т—1) ак-
тивных и (г — k — 1) реактивных мощностей (при учете поддержа-
ния балансов мощностей) должны быть выбраны так, чтобы полу-
чить минимум суммарных затрат Т.
Чтобы упростить дальнейшее рассмотрение, предположим, что
фиксировано только одно напряжение Ut в узловой точке I и для его
поддержания выделена реактивная мощность Qi, фиксирован толь-
ко один угол сдвига 6S и для его поддержания неизменным выделе-
на одна активная мощность Pt в точке I. Кроме того, для поддержа-
но
ния баланса мощности выделена станция п. Тогда полная произ-
водная от Т по какой-либо узловой активной мощности из числа
независимых переменных, например по Рх,
-|_е (3-157)
дРх z дРх 1 п дРх 1 1 дРх 1 п дРх k
где Рп, Qn — мощности балансирующей станции.
Входящие в (3-157) частные производные определятся из сле-
дующих соображений. Так как tA=const, то полная частная произ-
водная
dUt =
dPi
/ дР[ у । / oPi у dpt I idUi удРп I (dUi V dQi I
k dPx] k dPt J dPx ) dPt ’ к dQz ) dQ '
/ dUt Y dQn_ = a (3_ 158j
k dQn / dPx
Аналогично
ds5 dM' I f^Y dPt I \ dls Y dPn
dPx \dPx) '\dPtJ dPx '\dPnj dPx
। / d6s Y &Qi । ( dS^ Y dQn _q
4 k dQt J dP^ kdQj dPx '
(3-159)
Далее из уравнения баланса активных мощностей при неизмен-
ных нагрузках можно записать
^-=14
dPi
у
4 dPx
rd (ZPH + ЬРУ'
d (SPH + ДР)'
dPn
dPx
dPi L
rd(SPH+ДР)]'
дРп
rd(ZPH + ДР)]'
dQz
dPz
dQz
dPi
dQ«
dPx
(3-160)
drr2 = / dQz Y I / J2«_Y - d(SQH + AQ)' _ rd (XQh + AQ)T
dPi \ dPi /'к dPx ) dPx [ dPt
d (SQH + AQ)Y dPn rd (TQH + AQ)Y
dP„ J ’ dPx L dQt
_ d(£QH+AQ)V dQn
dP/
dPi
(3-161)
Из уравнений (3-158) — (3-161) можно найти искомые dPt/dPx,
дРп/дРх, dQJdPx, dQnldP\. Подставляя эти значения в (3-157), оп-
ределим искомую частную производную дТ1дРх.
Чтобы получить производные затрат по независимым перемен-
ным, необходимо знать производные от модулей и фаз напряжений
по активным и реактивным мощностям типа dUi/dPx, dbs/dPx, ....
О способе расчета таких производных сказано ранее.
120
Заметим, что если Рп и Qn выбраны в балансирующей точке, то
величины
д?Рп + ЬР + д^Рк + ДР dYQH + AQ дЩ
дРп ’ дРп ’ dQn ’ dQn ’ дРп
равны нулю.
Градиентный метод для рассматриваемого случая сводится к
следующему:
1) задаются (/г—2) значениями независимых переменных: ак-
тивных мощностей (кроме Pt и Рп) и (г—2) значениями реактив-
ных мощностей (кроме Qi и Qn)- Из уравнений ограничений полу-
чают:
р1+р2+...+Д+--- + Л1-2Л1-ДР=0;
Q1+Q2+...+Q,4-.--+Q,-2Q«-iQ=0;
UI (Р 1, Р2» • • • » Pfi • • • » Рni Qn Qb • • • > Qb • • • » =
МЛ, Л,---, Л,--, Л; Qb Qt,-, QJ=M,
где Ui3 и ds3 — заданные (фиксированные) значения Ui и ds. Нахо-
дят далее Pt, Рп, Qi, Qn, т. е. значения всех зависимых переменных.
Этот этап градиентного метода называют балансировкой. Если одна
из найденных величин, например Qr, превышает возможную макси-
мальную величину Фгмакс, то фиксируют Qr на максимальном уров-
не и т. п. Решение уравнений (3-162) производят итеративным
путем;
2) после окончания балансировки из уравнений типа (3-157)
находят значения частных производных от затрат по всем независи-
мым переменным — дТ)дР\, дТ)дР2, ..., dTIdQ^, dT/dQr. Для чего оп-
ределяют частные производные от модулей и фаз напряжений по
активным и реактивным мощностям узловых точек;
3) выбрав произвольный шаг изменений параметров независи-
мых переменных, определяют 6Pi, дР2, •••, 6Qi, 6Q2— по формулам:
—hdTidP1
8Л=— --- И т. д.;
1/\д Т/дРб2 + (д Т[дР2У + ...
4) после изменения всех независимых переменных, возвращают-
ся к балансировке, т. е. определяют новые измененные значения за-
висимых переменных — Pt, Рп, Qi, Qn- Далее находят новые значе-
ния производных дТ/дР^, дТ/дР2, ... и новые изменения независимых
переменных. Затем аналогичные расчеты повторяются до тех пор.
пока значения дТ/дР], ... не станут меньше, чем заранее заданные
минимальные. Все последовательно получаемые режимы будут со-
ответствовать снижению затрат. Последний из рассмотренных ре-
жимов будет очень близок к оптимальному.
121
§ 3-14. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО СОСТАВА АГРЕГАТОВ
До сих пор при рассмотрении оптимального распре-
деления мощностей предполагалось, что включенные в работу аг-
регаты (котлы, турбины, гидроагрегаты) заданы. Однако вопрос о
том, какие агрегаты следует держать включенными, может быть
решен также путем оптимизации режима. Выбор оптимальных аг-
регатов является гораздо более сложной задачей, чем оптимальное
распределение мощностей между заданными агрегатами. При этом
появляется осложнение, связанное с необходимостью учета пуско-
вых расходов для ТЭС. Котлы или турбины при остановке охлаж-
даются, а поэтому при новом пуске требуют дополнительное тепло.
Эти затраты тепла, называемые пусковыми расходами, зависят от
длительности остановки агрегата, если она меньше суток. Если
длительность больше суток, то обычно пусковые расходы не зави-
сят от продолжительности остановки.
Рассмотрим принципы выбора оптимальных агрегатов для про-
стейших случаев. Пусть все агрегаты установлены на тепловых
электростанциях. Нагрузку энергосистемы примем неизменной и
вначале не будем учитывать пусковые расходы. Далее примем, что
все активные мощности распределяются между включенными агре-
гатами оптимально по критерию
ei
р =
1 — д\Р1дРг
е2
1 — дЪРРР2
(3-163)
Введя обозначения
1 д\Р
-
1 дЬР
о9 = 1-------
дР2
(3-164)
получим критерий
El Ео
р = -1-= —
°2
(3-165)
При упрощенном приближенном учете потерь в сети
1 -25^-25^4- . .., (3-166)
где В3], Bj2, ... — постоянные коэффициенты.
Определим критерии выгодности остановки одного из работаю-
щих агрегатов, например агрегата /. Удельные расходы затрат бу-
дем обозначать через у, тогда
(3-167)
Пусть агрегат /, об остановке которого идет речь, работает до
остановки с мощностью Pj0 и с удельным расходом затрат у3-0- Тог-
да экономия затрат от остановки агрегата
(3-168)
дР1 ’

—ТдЛ/о-
122
При остановке агрегата j придется мощность возложить на
другие агрегаты энергосистемы по принципам оптимального распре-
деления мощностей.
Рассмотрим более детально этот процесс. Пусть мощность аг-
регата / получает малое приращение dPj при неизменности мощ-
ностей всех остальных агрегатов системы и нагрузок всех узловых
точек, кроме балансирующей. Такое положение может иметь место
только при отклонении нагрузки в балансирующей точке на йРн.б-
При этом изменятся и потери в сетях на величину
(3-169)
и
rfPB.e=dP,-rf(AP)=dP,-^-)rfP.=o//’,. (3-170)
J J дР] j j j
Процесс уменьшения мощности агрегата j на величину dPj рас-
смотрим в два этапа. На первом этане нагрузка балансирующей
точки снижается на величину OjdPj, а мощности остальных агрега-
тов и нагрузок не меняются. На втором этапе нагрузка балансирую-
щей точки увеличивается на OjdPj, т. е. восстанавливается факти-
ческая нагрузка, и для получения баланса мощности остальных аг-
регатов повышаются в соответствии с критерием экономического
распределения. При этом затраты возрастают на величину цоус?Рд
где ц— удельный прирост затрат системы на единицу увеличения
нагрузки балансирующей точки.
Таким образом, рост затрат в энергосистеме при остановке агре-
PjQ
гата / определяется интегралом \iGjdPj, где ц и оу зависят от Pj.
6
Если мощность агрегата / очень мала по сравнению с мощно-
стью энергосистемы, то ц изменяется очень мало, точно так же мало
изменяется величина коэффициента од Поэтому в этом случае
(3-171)
где
Здесь цо и цк — начальное и конечное значения удельного приро-
ста системы при остановке агрегата /; оуо и оук— начальное и ко-
нечное значения коэффициента оу.
Так как
ajo~ 1 2Ру2Р20 — • • • — — ...;
1 - 2В;1Р1К - 2Р;2Р2к - ... - 0-...,
то
=,-ер= 1 -2ВпР1с,-2ВлР2с;-.. .-2В11Р/012- ....
123
Если мощность агрегата / достаточно велика, то более точное
значение затрат при остановке агрегата /
= (3-173)
где суммирование ведется по интервалам снижения мощности дРд
а и Gj — с индексом «ср» — средние значения для каждого ин-
тервала SPj.
Остановка агрегата j выгодна при
Э ;о ‘З/о, (3-174)
т. е. если
Оо
Yyo/)yo> | ^jdPp (3-175)
о
или приближенно
Yyo^yO > Р-срс; ср^уО (3- 176)
или
Yyo Р'ср °; ср еу ср- (3-177)
Условие (3-177) является приближенным критерием выгодности
остановки. Остановка тем выгоднее, чем больше удельный расход
затрат останавливаемого агрегата и чем меньше среднее значение
удельного прироста системы. Экономия от остановки
3 = ^уо - Зуо=Pjo (Yyo - Н-ср°у ср)- (3-17 8)
Более точное условие выгодности остановки записывается как
YyOPyO>2>3y8Py
или
Yyo 2Р'Д р , (3-179)
при этом экономия от остановки
/ ЬР, \
3 = P10lxl0-^l—J-\. (3-180)
\ ^у0 /
На основе данного критерия можно принять следующий алго-
ритм выбора оптимальных агргегатов с использованием ЦВМ..
Для каждого часа рассматриваемого периода, например суток,
выбирают оптимальные агрегаты. Вначале предполагают, что все
агрегаты работают. Далее по специальной подпрограмме /7] нахо-
дят оптимальное распределение активных мощностей при работе
всех агрегатов и определяют для всех станций Pio, do, Yio, а для
всей системы — цо. Затем с помощью подпрограммы П2 находят
Ц4
экономию от остановки для каждого из агрегатов в отдельности по
формулам (3-178) и (3-180), а также удельную экономию на едини-
цу номинальной мощности:
Э Р •
Л = —-------=(Т/о - Нср°/ ср), (3-181)
j ном *j ном
ИЛИ
О р / SD \
= (3-182)
ном *] ном \ jo /
При остановке, в первую очередь, выбирают агрегат, дающий
наибольшую удельную экономию. Это обстоятельство важно по сле-
дущим причинам. В любой час можно остановить агрегаты с но-
минальной мощностью не более чем
SP = Р$ ном — Ръ— Rom, (3-183)
где /Дном— номинальная мощность всех агрегатов; Ре — нагрузка
потребителей системы с учетом потерь; /?опт— заданная величина
оптимального резерва мощности в энергосистеме.
Очевидно, что экономия от остановки агрегатов на номиналь-
ную мощность порядка дР тем больше, чем больше удельные эконо-
мии отдельных останавливаемых агрегатов.
После остановки первого агрегата, дающего наибольшую удель-
ную экономию, вновь по подпрограмме IR производят экономичес-
кое распределение, а по подпрограмме П<2 — расчет удельных эко-
номий от дальнейшей остановки агрегатов. Далее останавливают
агрегат, дающий наибольшую удельную экономию, и т. д. до тех
пор, пока или вообще не будет агрегатов, остановка которых дает
экономию, или остановка очередного агрегата не будет приводить к
недопустимому снижению резерва мощности.
Таким образом выясняется, какие агрегаты должны стоять в те-
чение отдельных часов суток. Далее для приближенного учета пус-
ковых расходов агрегатов, которые выгодно останавливать только
на некоторое число часов в сутки т, повышают в остальные часы
суток удельные расходы агрегата путем добавки к фактическим за-
тратам \jPj пусковых расходов за т часов, разделенных на число
рабочих часов.
Исправленный удельный расход для нагрузки Pj
(3-184)
где Гуд — пусковые расходы за час стоянки.
Затем производят новый выбор оптимальных агрегатов по изло-
женному способу. При этом может оказаться, что выгодно будет ос-
тановить данный агрегат в течение иного числа часов. Вновь кор-
125
ректируют удельные расходы до тех пор, пока состав агрегатов не
будет изменяться.
Для выбора оптимальных агрегатов ввиду большой сложности
расчетов необходимо пользоваться ЦВМ. В качестве подпрограммы
расчета должна применяться стандартная программа оптимально-
го распределения мощностей. По окончании выбора оптимальных
агрегатов производится оптимальное распределение мощностей, чем
заканчивается оптимизация режима на следующие сутки.
Приближенный выбор оптимальных агрегатов при учете пуско-
вых затрат (в предположении их линейной зависимости от времени
простоя) может осуществляться при замене действительной расход-
ной характеристики агрегата фиктивной *. Фиктивная характери-
стика, отвечающая касательной к действительной характеристике,
позволяет производить экономическое распределение нагрузок, ис-
пользуя обычные критерии оптимального распределения. Если при
этом
1) все агрегаты попадают на действительную характеристику,
то .полученное распределение оптимально;
2) только один из агрегатов попадает на участок фиктивной
характеристики, то этот агрегат и следует разгружать при умень-
шении нагрузки системы и, наоборот, нагружать, при росте на-
грузки системы. Оптимальность решения имеет приближенный
характер, но неточность в отношении минимальности затрат неве-
лика;
3) работа нескольких агрегатов отвечает участкам касательных
к действительным характеристикам, при одинаковом наклоне каса-
тельных можно, не меняя суммарных затрат, перераспределять
агрегаты так, чтобы на этих участках остался только один агрегат.
Перераспределение мощностей агрегатов, работающих с одинако-
вым удельным приростом, не меняет при этом суммарных затрат.
Такой подход к задаче требует небольшой перестройки харак-
теристик удельных приростов агрегатов и позволяет использовать
существующие программы расчетов на ЦВМ..
§ 3-15. ОЦЕНКА ОБЛАСТИ РАВНОЭКОНОМИЧНЫХ РЕЖИМОВ
Энергетические системы принадлежат к категории
больших искусственных систем, характеризующихся сложным взаи-
модействием составляющих их элементов и рядом особенностей,
обусловленных сложностью протекающих в них процессов.
Одна из особенностей энергетической системы, связанная с оп-
тимизацией ее установившегося режима, состоит в том, что затраты
на выработку мощности станциями в окрестности оптимального
режима представляются функцией, имеющей весьма пологий харак-
тер. Кроме того, исходные параметры системы и ее режима (со-
противления отдельных элементов, мощности нагрузок, экономичес-
* А. И. Лазебник. Оптимизация состава работающих агрегатов энерго-
систем. Материалы семинара по кибернетике. Вып. 20. РИО АН МССР, Кишинев
1970.
126
кие характеристики станций и т. д.) известны лишь приближенно
с определенным значением погрешности и носят вероятностный ха-
рактер. И, наконец, алгоритм, применяемый для определения опти-
мального режима, неизбежно содержащий те или иные допущения
и упрощения, также вносит в решение задачи некоторую неточ-
ность.
Эти обстоятельства свидетельствуют о том, что при рассмотре-
нии задачи оптимального распределения нагрузок в энергетической
системе существует некоторая неопределенность решения, связан-
ная с существованием не точки оптимума, а некоторой области рав-
ноэкономичных режимов. Если имеется область равноэкономичных
режимов, то, следовательно, существует и некоторый, отвечающий
этой области, диапазон изменения мощностей станций, входящих в
энергосистему. Иначе говоря, зная размеры области равноэконо-
мичных режимов, можно задавать точность реализации оптималь-
ного режима энергосистемы.
Определение взаимосвязи размеров области равноэкономичных
режимов с отклонениями мощностей станций представляет собой
весьма сложную задачу. Здесь ограничимся упрощенным решени-
ем ее.
Рассмотрим теплоэнергетическую систему, содержащую п стан-
ций. При определенных значениях активных мощностей станций
Pi = Pi0 затраты на их выработку минимальны:
... -\-Тп.
Для всех Pi=^P{Q значение Г>ГМИН. Пусть
Г-7'„„„=Д7’<е, (3-185)
где е — малая в сравнении с положительная величина.
Условие (3-185) вместе с уравнением баланса активной мощнос-
ти определит множество режимов, в которых затраты на выработку
активной мощности в энергосистеме не превосходят минимальных
на величину е. Это множество можно считать множеством режимов,
равноэкономичных (с точностью до е) с оптимальным.
Точное определение размеров этого множества представляет со-
бой чрезвычайно сложную задачу. Однако сравнительно просто
можно получить приближенную оценку размеров этой области, по-
строив ее в виде сферической окрестности точки, отвечающей мини-
муму затрат, т. е. в виде некоторой сферы с центром, находящимся
в точке оптимума.
Запишем экономические характеристики станций вблизи опти-
мальных значений мощностей Pi0 полиномами второй степени вида
= + + где /=1, 2,..., п.
При отклонении мощности станций от ее оптимального значе-
ния Р^ затраты изменятся на величину
127
дЛ=Л (Л) - Л 0%)=^+^- ил-о+ дЛ)+п- (Ло+ ДЛ-)2-
— at — />;Р/0 — с,Р?о=е/одР i + Ci ДР?, (3-186)
где его = ^г + 2сгР?о — удельный прирост затрат г-й станции в опти-
мальном режиме.
Отклонение режима от оптимального будет сопровождаться из-
менением потерь в сетях:
п п я п
<иде)=2 2В'>(Р«-+ДР;’ н/^+дД)~2 2 вчр‘»рк>=
1=1 j=l Z=1 j = l
п п п п
=2^2 (3-|87)
Z=lj=l 1 = 1 J = 1
Первый член в (3-187) можно представить следующим образом:
п п
^ДР,
ЙР;
(3-188)
где удельные приросты потерь д(АР)/дРг соответствуют изменению
мощностей станций вблизи оптимального режима * **. Изменение по-
терь в сетях должно быть равно изменению мощностей всех станций
энергосистемы:
п
8(ДР)=2йР'’
1=1
(3-189)
поэтому
У
BiAPi^P
откуда
(3-190)
Рассмотрим пространство (ц+1) измерений, в котором п изме-
рений соответствуют приращениям АД- мощностей п станций,
(п-Н)-е измерение — перерасходу затрат Л'Л За начало коорди-
нат в этом пространстве выберем точку, отвечающую оптимальному
режиму, который предполагается заранее известным. Перерасход
* В формуле потерь участвуют все п станций, включая балансирующую.
Если за балансирующую принята станция п, то коэффициенты Bin для всех
i=l, 2, ..., п принимаются равными нулю.
** При балансирующей станции п значение d(&P)JdPn=O.
128
затрат ДТ представит собой некоторую поверхность, имеющую ми-
нимум в начале координат (рис. 3-17) *. Переменные АРг связаны
уравнением баланса активных мощностей (3-189) и образуют так-
же некоторую поверхность рассматриваемого пространства. При
анализе величины приращения или перерасхода затрат АТ можно
рассматривать только точки, для которых выполняется условие ба-
ланса мощностей, т. е. точки, лежащие на пересечении обеих по-
верхностей (заштрихованное сечение на рис. 3-17).
Предположим, что вокруг точки оп-
тимального режима описана сфера ра-
диусом р, величина которого опреде-
ляет близость режима к оптимально-
му: _______
/ п
Р=У2^- (3-191)
Z=1
Пусть для значений АРг, удовлетво-
ряющих условию баланса мощностей
и неравенству
Рис. 3-17.
п
2 др? < р2,
имеет место условие

(3-192)
где М — число, подлежащее определению.
Если радиус сферы р выбрать в соответствии с равенством
р2./И=е,
то для всех АРг, лежащих внутри этой сферы, суммарный перерас-
ход затрат в энергосистеме не будет превосходить величины е:
дГ
Тем самым функция р=У е/Л4 определит размер сферической
окрестности, полностью лежащей внутри области равноэкономич-
ных (с точностью до е) режимов. Чтобы найти эту функцию, необ-
ходимо знать величину М, оценивающую [согласно (3-193)] рост
АТ с увеличением радиуса сферы р.
Рассмотрим оценку максимума АТ. Учитывая (3-186), получим
п
ДР = 2 (W^i+^P?)- (3-193)
i = l
* Рис. 3-17 соответствует п = 2.
5—2757
129
Так как в точке, соответствующей оптимальному режиму,
где [Тс — удельный прирост системы, то
е/оДЛ- 11 — д (ДРудРД LPi,
п п
V [1-<?(дР)/ЭР,.]дР,..
i 1 Z = 1
Принимая во внимание (3-190), запишем
п п п
2 ^Р, = Не У 2 ВЧ^РГ (3-194>
ЛИ jMBM ^OMf
« t 1 1 = 1 J = 1
Подставляя (3-194) в (3-193), найдем
n п п
2 2 B.^p^pj + ^ СДР1 (3-195)
i=l j=l i=l
Таким образом, перерасход затрат в энергосистеме определяет-
ся в виде квадратичной формы от переменных APi через матрицу
С1 + Р-с^11 Р-с#12 • • 0
Р'с^г! С12 4“ 19:^22 • • Рс/?2,/.'—1 О
V'c.P п—1,1 п—1,2 - . . I-НР'е^п—1,и—1 О
О о ... о о .
Если Хп-—максимальное собственное значение этой матрицы, то
оно может быть принято в качестве величины М в (3-192). В этом
случае
п
1=1
Однако такой путь оценки сложен, поскольку он связан с необходи-
мостью определения собственных значений матриц высоких поряд-
ков. Поэтому прибегнем к более простой, хотя и более грубой,
оценке. С этой целью рассмотрим раздельно оба слагаемых в выра-
жении (3-195), которое представим в матричной форме:
ДТ = А Р!В ДР, -j- A PZC; Д Р,, (3-196)
где ДР,- =
^Pi
дР2
ДРЛ
— матрица-столбец отклонений мощностей стан-
ций;
130
Hc^ll Нс^12 • • • О
Hc^2i Нс^22 • • • Р'с^2,|л—i О
Р'с^л—1, 1 tJ'c^/2—1,2 . . . Р'с'^л—1, >7—1 О
О о о о
квадратная матрица коэффициентов потерь, умноженных на удель-
ный прирост системы цс;
ki
।
— квадратная диагональная матрица ко-
эффициентов с;
APiz — транспонированная матрица.
Матрицы В и С, имеют порядок п, причем в первой из них пос-
ледние строка и столбец, соответствующие балансирующей станции,
содержат нулевые элементы.
Если в первом слагаемом (3-196) выбрать максимальный по ве-
личине коэффициент потерь и обозначить его через Вмакс, то сумма
элементов каждого столбца матрицы В, очевидно, будет меньше,
нежели
п
Р-с=2 Вамаке-
4=1
Следовательно, можно заменить матрицу В диагональной мат-
рицей с элементами, равными цс(п—1)ВМакс, т. е.
Нс(я-1)£макс О
Нс 1) ^макс
О ООО
При этом получим
^22 (з-197)
z=i;=i j=i •
Оценивая второе слагаемое, также из множества коэффициентов
с выберем максимальный и обозначим его через емакс. Тогда, оче-
видно, что
П П
2 < стс 2 А/''-
4=1 4 = 1
(3-198)
5*
131
С учетом (3-196) и (3-197) оценим перерасход затрат в виде
п
ДГ < [Ис (п. - 1) В с„а J 2 ДР?. (3-199)
/ = 1
П
При Л^*г2^Р и АТ<МР2 искомая величина
Z-1
Р'с (^ 1макс И- ^макс»
а радиус области равноэкономичных (с точностью до е) режимов
Р=1/-----------------------• (3-200)
Г Ис (« — 1) Диаке + Смакс
Полученное выражение позволяет проанализировать влияние
параметров системы и режима на величину радиуса оцениваемой
области равноэкономичных режимов. Если задаваться значениями
е, то при известных параметрах оптимального режима и системы
(5макс, сМакс, Цс) можно найти зависимость р(е) или обратную ей
зависимость е(р). При известных характеристиках р(е) или е(р)
возможны две задачи:
1) если известны отклонения мощностей станций от их опти-
/п
д/3/,
/==1
а затем величину получающегося при таких отклонениях мощностей
перерасхода затрат в энергосистеме е;
2) если задаться величиной перерасхода затрат е, то по величине
радиуса р можно найти отклонения мощностей станций, при которых
перерасход затрат не превысит заданной величины.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 3
1. И. М. Маркович. Режимы энергетических систем. «Энергия», 1969.
2. В. М. Г о р н in т е й н. Наивыгоднейшее распределение нагрузки между
параллельно работающими электростанциями. Госэнергоиздат, 1949.
3. В. М. Г о р н ш т е й н. Наивыгоднейшие режимы работы гидростанций в
энергетических системах. Госэнергоиздат, 1959.
4. В. П. Васин, И. С. Р о к о т я н, Д. А. Федоров. Оценка области
равноэкономичных режимов энергетической системы при оптимальном распределе-
нии активных нагрузок. Известия АН СССР. «Энергетика и транспорт», 1970,
№ 2 и 3.
5. Kirchmayer L. К- Economic Operation of Power Systems. Jon Welley
a Suns, 1958.
4
ГЛАВА
ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
И МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЩНОСТЕЙ
§ 4-1. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
Расчеты оптимального распределения мощностей в
энергосистеме с учетом потерь в сетях и ограничений
связаны с решением системы нелинейных уравнений
с большим числом переменных. Решение такой системы возможно
только методом последовательных приближений, требующим зна-
чительных вычислений. Во многих случаях (при учете ограничений)
этот метод не может быть применен вследствие того, что прибли-
жения не сходятся к решению. Использование градиентного метода
также требует очень большого объема вычислений. Поэтому в по-
следние годы начали внедряться различные автоматические уст-
ройства, выполняющие расчеты оптимального распределения мощ-
ностей. Эти устройства устанавливаются на диспетчерских пунктах
энергосистем и служат главным образом для оперативной инфор-
мации диспетчера. В отдельных случаях они используются как эле-
менты управляющей машины, дающей оперативно и самостоятельно
указания на электростанции об оптимальном для энергосистемы
значении активной мощности. Аналогичные устройства устанавли-
ваются и на электростанциях для оптимального распределения за-
данной диспетчером активной мощности между отдельными агре-
атами станции.
Подобные устройства в большинстве случаев используют анало-
говую технику (см. гл. 7). К этим устройствам относятся сумма-
торы, умножители, функциональные генераторы, дифференциаторы,
интеграторы и другие элементы АВМ, позволяющие непрерывно об-
рабатывать исходную информацию, вводимую диспетчером или по-
лучаемую с электростанций по телеканалам, для вычисления опти-
мального распределения мощностей. Наряду с этим, в последнее
время разрабатываются программы для ЦВМ, определяющие опти-
мально распределение мощностей. Создаваемые ранее программы
предусматривали решение задачи неоперативного распределения
мощностей на следующие сутки для составления диспетчерских гра-
фиков нагрузки электростанций, сообщаемых им накануне. По мере
того как такие программы, а также сами машины будут совершен-
133
ствоваться и время, потребное для ввода информации и выработки
ответа, снизится до нескольких минут, появится возможность ис-
пользования ЦВМ на диспетчерском пункте уже не только в каче-
стве консультанта, но и как элемента управляющей системы.
Рассмотрим применение аналоговых вычислительных устройств
для оптимального распределения только активной мощности при
приближенном учете потерь. Принципиальная схема такого устрой-
ства изображена на рис. 4-1.
Рис. 4-1.
В прибор D поступает одновременно суммарная фактическая на-
грузка станций Pi и сумма директив отдельным станциям У, Рдир.
Если У, Рдир отличается от Pi,, то на выходе прибора D появляет-
ся разность дР того или иного знака *. Прибор ц, к которому
подводится дР, работает по принципу
Pi - У Pz = &Р= TMdt, (4-1)
т. е. он представляет собой интегрирующий элемент, вырабатываю-
щий величину
t
+ (4-2)
и о
где ц—-удельный прирост системы с учетом потерь в сетях; ц0 —
начальное значение ц (при / = 0).
Из (4-1) видно, что при Pi >2Рг- величина ц возрастает, и нао-
борот. Как только Pi станет равно l^Pi, р перестанет изменяться.
Далее величина, получаемая на выходе интегрирующего элемента,
умножается в ряде отдельных умножителей для каждой из станций
на коэффициенты учета влияния потерь о2, <?з, вырабатывае-
мые прибором с. Эти коэффициенты определяются
az = 1 — д\Р')дР[ и т. п. (4-3)
Па выходе умножителей появляются удельные приросты затрат
отдельных электростанций ei, е2, ез, ..., соответствующие данному
* Вместо ?! к прибору D может быть подведено задание диспетчера Р3.
134
значению системного удельного прироста ц. Значения ei, 82, е3, ...
подводятся к функциональным генераторам Рь Р2, Рз, выраба-
тывающим по заданной экономической характеристике электростан-
ции Рг (е<) значения активной мощности, соответствующие данному
значению удельного прироста ег-. Эти мощности называются дирек-
тивными мощностями, или директивами. Сумма их 2РДИр, получае-
мая в сумматоре, направляется обратно в прибор D для сопостав-
ления с величиной Ps системы. Кроме того, все отдельные дирек-
тивные мощности -поступают также в специальное устройство о, от-
рабатывающее значения коэффициентов учета потерь щ, о2, оз,
а также в приборы диспетчерского пункта для информации дис-
петчера об оптимальных значениях активных мощностей электро-
станций. Если же устройство является элементом управляющей ма-
шины, то эти данные также передаются на станции по телеканалам
связи для воздействия на аналогичные станционные устройства,
распределяющие мощности между отдельными агрегатами, или для
оперативных указаний персоналу электростанции.
Устройство о обычно использует следующие приближенные
формулы:
о1= 1 — d^PjdP^ Х—ЧВ^Ру — ^В^Р^— ....
а2= 1 — д/\Р1дР2 = 1 - 2В21А - ЪВ'пРъ— ...;
о = 1 -дкР ,дР 3= 1 -22?31Р1-2В33Рз- ....
(4-4)
Коэффициенты Вп, В12, ... предварительно вычисляются и уста-
навливаются в приборе о от руки. Далее используются умножители
для получения произведений 2ВцРь 2В22Р2, 2В33Р3, ... и сумматоры
для получения щ, о2, 0з, по формулам (4-4). Найденные значе-
ния ci, g2, g3, ... передаются в умножители Хщ, Х02, Х'Пз,
Устройство работает следующим образом. Пусть в некоторый
момент осуществляется оптимальное распределение активной мощ-
ности и Ps —HPi. Если после этого нагрузка энергосистемы начнет
увеличиваться, то через некоторое время при нормальном регули-
ровании частоты за счет роста мощности частотных станций зна-
чение Ps станет заметно превышать 5Р<, т. е. на выходе прибора D
появится некоторая разность 6Р. Тогда ц постепенно будет возрас-
тать, причем тем быстрее, чем меньше постоянная времени интег-
рального элемента [см. (4-2)]. По мере роста ц повышаются ве-
личины ei, 82, е3, ... и соответственно Рь Р2, Р3, .... При этом одно-
временно изменяются значения оь g2, о3, что приводит к соответ-
ствующим отклонениям 81, 82, е3. Равновесие наступит при Ps =^Pi.
Распределение активной мощности по директивам удовлетворяет
условию:
(4-5)
1 — dhPj дР[ 1 — dhPj дР2
причем мощности Рр Р2, Р3, ... соответствуют значениям 81, 82, е3.
135
Достоинством аналоговых устройств является простота кон-
струкции, непрерывность действия, малые габариты и надежность.
Недостатком этих устройств является приближенный учет влияния
потерь в сетях (неучет изменений модулей и фаз напряжений при
перераспределениях мощности).
Регулируя прибор D и величину постоянной времени его интег-
рального элемента можно получать нужную чувствительность и
скорость отработки директив.
Рис. 4-2.
Точность аналогового устройства можно увеличить, введя сле-
дующее изменение в их схему (рис. 4-2). Пусть е<о — какое-то зна-
чение удельного прироста станции i, которое практически является
минимальным, и пусть
Р ’10=/>1(е1о)» f 2 (е2о)> • • • > P?>0 = f (езо)>
где Рю, Рго, Рзо— мощности электростанций при В1 = ею, 62 = 620,
63 = 630-
В приборах бе из удельного прироста ei вычитается ею. и раз-
ность 6e = 6i—ею подводится к функциональному генератору, оп-
ределяющему только изменение Р\ в зависимости от ei (начиная с
ею)- Полученная добавка 6Pj в приборе Р\ суммируется с Рю- Ре-
зультат является директивой для станции 1.
В этой схеме ошибка в функциональном генераторе меньше ока-
зывается на результатах отработки директив.
Принципиальная схема аналогового устройства для оптималь-
ного распределения реактивной мощности по критерию
v=. (4-6)
1 — dbQI dQi
представлена на рис. 4-3.
Рис. 4-3.
136
В приборе D сопоставляется суммарная реактивная нагрузка
Qe (или задание диспетчера) с суммой директив по реактивной
мощности 2Q. При неравенстве этих величин в интегральном при-
боре v отрабатывается соответствующее изменение v. Далее вели-
чина v умножается в приборах X'&i, Х'О'г, ХОз, ... на величины Оч,
й2> 'б'з,
^=1-^(2/^; 82=l-^AQ/dQ2; ^3= 1 — ^aQ/^Q3; ...,
что определяет значения d&P^/dPi, д&Р^/дР2, соответствующие
заданной величине v. Величины fti, Фз, ... отрабатываются в спе-
циальном устройстве ft:
f)1=l-2/9nQi-2£>12Q2-...:
П2 = 1 _ 2D2lQl - 2D22Q2 - . . .;
П — 1 -2D31Q3-2DS4Q2- ....
В приборах разности Fu F2, F3,... значения dAP^/dQi,
d/\P^/dQ2, ... при Qi, Q2, Qs, — сравниваются с аналогичными ве-
личинами, которые отрабатываются в специальном устройстве
(dAP/dQ) согласно выражениям
<MP/dQ1=2£11Q1 + 2£12Q2+ ...;
dLPIdQ2=2B2lQ^2B22Q2^ ...;
При наличии разности * в интегральных приборах (Д отрабаты-
ваются новые значения директив Qi, Q2, Q3,..., при которых на вы-
ходе F1} F2, F3,... разности будут невелики. Так, например, если
dAP^/dQi>dAP/dQi, то при dkP/dQ^O величина Qi будет расти,
и наоборот. Поэтому через некоторое время директивные значения
Qi, Q2, Q3, — будут соответствовать критерию (4-6) при данном v.
Значения Qi, Q2, Q3, ... заводятся в устройства ft, d&P/dQ и на при-
боры, измеряющие директивы по реактивной мощности. Измене-
ния v прекращаются при равенстве Qs и 2Q. При этом устройство
фиксирует оптимальные значения реактивных мощностей. Если в
качестве балансирующей выбрана точка со свободным источником
реактивной мощности, то критерий оптимального распределения
упрощается, и из схемы исключаются приборы -О4, ... и уст-
ройство й.
При применении ЦВМ. возможно как приближенное решение от-
дельных частных задач, так и точное решение общей задачи комп-
лексного оптимального распределения мощностей с учетом огра-
ничений и влияния потерь в сетях.
На рис. 4-4 представлена блок-схема программы для решения
на ЦВМ задачи оптимального распределения активных мощностей
* Между dAPW/dQi и dkP/dQi (из прибора d&P/dQ).
137
с приближенным учетом потерь и без учета ограничений. Как видно
из рисунка, здесь используется информация о произвольно выбран-
ных мощностях всех станций P/0) и всех узловых нагрузок Рн/0).
На основании этих данных отрабатываются значения всех коэффи-
циентов учета потерь щ, Gj. Одновременно вычисляется нулевое
приближение величины потерь активной мощности в сетях. Извест-
но, что
1-31=Вц^+р12р2+---;
1 — О2= В21Рг В 22^4 + • •
1 — °з= &31Р1+^32^2+ • • ••
Сложим эти равенства, предварительно умножив первое уравне-
ние на Рь второе — на Р2, ... и т. д. Суммарные потери при этом
V— 1
др=2 (> -
Й = 1
Далее в блок /7Р. вводится значение нулевого приближения
удельного прироста системы ц°. Умножение ц° на полученные зна-
чения од определяет в блоке /7е все величины ег-, а в блоке Pi все
Р;. Сравниваются 2Рг- и Ре (заданное к распределению значение
суммарной мощности всех станций). Если разность по абсолютной
величине оказывается больше заданной допустимой неточности а,
то в блоке /7р. отрабатывается с учетом знака разности изменение ц
на 6ц. Оно засылается в блок 77р.. Найденное значение ц умножает-
ся на прежние значения од> получаются новые значения ег-. Цикл
повторяется до тех пор, пока абсолютное значение разности SP^ и
Ре не станет меньше а. Тогда подсчитываются суммарные нагруз-
ки 2РН по уже известным разностям SP; и АР. Значения этой сум-
мы умножаются на коэффициенты kj, определенные в специальном
блоке, как отношение нагрузки потребителей узловой точки Рн; к
сумме этих нагрузок. Таким образом, вычисляются новые значения
Рнд Сравниваются все узловые мощности Рг- и Рщ с предыдущими
значениями. Если разность хотя бы в одной узловой точке по аб-
солютной величине превышает заданную меру неточности |3, то но-
вые значения Рг и Pj засылаются в блок, вычисляющий GiGj.
Также находится уточненное значение АР. Новые значения о пе-
ресылаются в блок П1Х, после чего пересчитываются активные мощ-
ности станций Р<. Затем все повторяют: расчет новых значений Рд
сравнение Pf и Pj с предыдущими значениями и т. д. Когда раз-
ность между новым значением узловой мощности и предыдущим
во всех точках окажется меньше [3, счет заканчивается и на печать
выводятся все значения Рц Рд АР.
На рис. 4-5 представлена упрощенная блок-схема программы
для определения на ЦВМ. комплексного оптимального распределе-
ния мощностей с учетом ограничений по градиентному методу.
138
В блок балансировки вводится вся информация, в том числе на-
чальные значения всех независимых переменных х/°). На основании
уравнений, отражающих ограничения по балансу мощностей, по
напряжениям и т. д., определяются все зависимые переменные xs,
соответствующие заданным независимым переменным хг.
В следующем блоке вычисляют-
ся dFfdxr> т. е. частные производные
от затрат по независимым перемен-
ным с учетом изменений всех зави-
симых переменных. Далее при выб-
ранном шаге h находятся значения
Ьхг. Согласно градиентному методу
hdFtdxr
Рис. 4-4.
ОХ,-
И т.
п.
Г (dF дхгУ + (дЛ/дхг+1)2 4- ...
Рис. 4-5.
Определяя затем новые значения независимых переменных хг,
засылают их в блок балансировки. После чего расчет повторяется
до тех пор, пока максимальное значение dFfdxr не станет меньше
заданного числа а. Тогда расчет прекращается и последние значе-
ния всех зависимых и независимых переменных, полученные в блоке
балансировки, выводятся на печать. Сами блоки представляют со-
бой сложные схемы, состоящие из отдельных подблоков.
139
Вопрос о наиболее целесообразных областях применения анало-
говой и цифровой техники при расчетах оптимального распределе-
ния мощностей еще не решен. Дальнейшие исследования должны
ответить на этот вопрос. Возможно, что наилучшим решением ока-
жется комбинация из элементов аналоговой и цифровой техники
или аналоговой техники и моделей.
В расчетах оптимального распределения мощностей (при приме-
нении как аналоговых устройств, так и ЦВМ) гидростанции при-
ближенно замещаются эквивалентными тепловыми электростан-
циями. Удельные приросты затрат этих эквивалентных ТЭС полу-
чаются умножением удельных приростов часовых расходов воды на
коэффициенты лр, .... Величины этих коэффициентов определя-
ются последовательными приближениями, причем контролем пра-
вильности принятой величины коэффициентов является соответствие
суммарного расхода воды за сутки заданной величине. В аналого-
вых устройствах между прибором Пе и Р для ГЭС вводится про-
межуточный умножитель на величину %. На ЦВМ коэффициенты л
вычисляются методом последовательных приближений.
При невозможности использования вычислительной техники оп-
тимальное распределение весьма приближенно проводится при по-
мощи специальных таблиц, в которых диапазоны мощностей всех
станций распределены в порядке возрастания удельных приростов
с учетом потерь в сетях. При этом распределение в указанных диа-
пазонах проводят сначала без учета потерь в сетях. Затем для раз-
личных небольших интервалов суммарной нагрузки по полученному
распределению мощностей и по расчетным коэффициентам Bij вы-
числяют значения о, которые для данного диапазона считают неиз-
менными. После чего корректируют удельные приросты, заменяя
на цг-> путем умножения e< на сц-. Это дает новое распределение мощ-
ностей. Затем уточняют о г и т. д.
В результате получают таблицы распределения диапазонов мощ-
ностей отдельных станций с грубым учетом потерь в сетях. По этим
таблицам можно разбивать графики на следующие сутки и произ-
водить оперативную их корректировку. Точность таблиц, естествен-
но, невелика, но при отсутствии вычислительной техники их приме-
нение дает определенную экономию.
§ 4-2. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
Оптимальное распределение нагрузки между стан-
циями может находиться с помощью статических и динамических
моделей энергосистем. При этом можно непосредственно определять
минимум функций затрат на выработку мощности, не используя
характеристик удельных приростов.
Для решения подобных задач на статических моделях (расчет-
ных столах) переменного тока последние должны быть оснащены
некоторыми дополнительными устройствами. Каждый генератор Г
моделируемой энергосистемы (рис. 4-6) снабжается функциональ-
но
ным преобразователем а, преобразующим его активную и реактив-
ную мощность в напряжения или токи, пропорциональные соот-
ветствующим затратам Т. Функциональные преобразователи всех
генераторов соединяются последовательно, сумма их показаний
2Г подается на сумматор затрат.
Таким образом, на статических моделях можно решать широкий
круг задач по определению оптимального режима энергосистем:
распределение активных и реактивных нагрузок, комплексное рас-
пределение активных и реактивных нагрузок. Оптимальный режим
работы энергосистемы соответ-
ствует минимальной величине
27, измеряемой сумматором
затрат.
Определение оптимального
режима на статической модели
переменного тока может про-
изводиться различными спосо-
бами. В частности, может быть
рекомендован следующий спо-
соб.
После того как собрана схе-
ма рассматриваемой энергоси-
стемы, заданы соответствую-
щие характеристики функцио-
нальных преобразователей и
установлен исходный режим,
начинают последовательный
обход генераторных станций в
произвольном, но определен-
ном порядке. С помощью фазорегулятора первой из станций изме-
няют ее активную мощность, следя при этом за показаниями сум-
матора затрат. В случае уменьшения показаний продолжают из-
менять мощность рассматриваемой станции до тех пор, пока пока-
зания сумматора не начнут расти или мощность станции не дойдет
до заданного предела. Далее регулируют мощность следующей
станции и т. д. По окончании регулирования мощностей всех стан-
ций обход повторяется в том же порядке. Практика расчетов пока-
зывает, что обычно не требуется более двух-трех обходов. В про-
цессе регулирования одной из станций мощности остальных, кроме
балансирующей, сохраняются неизменными с помощью их фазоре-
гуляторов. Напряжения на шинах станций поддерживаются посто-
янными за счет регулирования их э. д. с. Если не учитываются ста-
тические характеристики потребителей, то активные и реактивные
мощности нагрузок поддерживаются неизменными путем’соответ-
ствующего изменения их сопротивлений.
При наличии необходимых данных задача оптимизации режима
может решаться и с учетом возможного ущерба потребителей, свя-
занного с отклонениями напряжения в узлах нагрузки. Для этого
каждый нагрузочный элемент модели должен быть снабжен функ-
141
циональным преобразователем [> (см. рис. 4-6), преобразующим от-
клонение напряжения узла нагрузки Н в напряжения или токи,
пропорциональные ущербу потребителей. Сумма ущербов по-
дается на сумматор затрат. При этом оптимальный режим должен
отвечать минимальному значению (2Г~Ь2У).
Поиск оптимального режима на статической модели переменно-
го тока облегчается при автоматизированных генераторных и на-
грузочных ее элементах.
Точность учета потерь мощности на статических моделях зави-
сит от точности моделирования сети. Она может быть выше, чем
при применении аналоговых и даже цифровых вычислительных ма-
шин. Объем моделируемой энергосистемы определяется размером
статической модели.
Задача оптимального распределения нагрузок между станция-
ми может решаться и на динамических моделях энергосистем. Для
этого должно быть осуществлено моделирование затрат на выраба-
тываемую каждым агрегатом мощность. Это можно сделать кор-
ректировкой зависимости тока, потребляемого первичными двига-
телями генераторов модели от выдаваемой ими мощности или (так
же и в случае статических моделей) установкой дополнительных
функциональных преобразователей. Наиболее простым способом
такой корректировки может явиться включение в цепь статора пер-
вичных асинхронных двигателей активных сопротивлений, что поз-
воляет довольно точно изобразить желаемую зависимость.
Основное преимущество использования динамических моделей
для оптимизации режима заключается в возможности учета влия-
ния таких факторов, как стабильность характеристик, стабильность
режима, точность его реализации и т. д., т. е. в использовании
достоинств метода физического моделирования. Так же как и на
статических моделях, потери мощности в сетях здесь могут быть
определены с необходимой степенью точности
Недостаток динамических моделей обычно заключается в малом
объеме системы, которую можно исследовать, что связано с огра-
ничениями в составе оборудования применяемой динамической мо-
дели.
Более целесообразно создавать динамические модели в сочета-
нии с ЦВМ, используя их как модели управляемой энергетической
системы.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 4
1. И. М. Маркович. Режимы энергетических систем. «Энергия», 1969.
2. В. А. Вен и к о в, И. М. М а р к о в и ч. Экономическое моделирование
режима энергосистемы. Известия АН СССР. «Энергетика и транспорт», 1965, № 6.
ГЛАВА
ОПТИМАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ РАБОТЫ ЭНЕРГОСИСТЕМЫ
§ 5-1. ОПТИМИЗАЦИЯ УРОВНЯ НАДЕЖНОСТИ РАБОТЫ
ЭНЕРГОСИСТЕМЫ
Надежность работы энергосистемы определяется веро-
ятностью сохранения электроснабжения всех ее по-
требителей энергией удовлетворительного качества.
Если эта вероятность велика, то велика и надежность работы си-
стемы. Перерыв в питании потребителей электроэнергией может
быть вызван или авариями в питающей сети, или аварийным дефи-
цитом мощности в энергосистеме, или системной аварией с нару-
шением устойчивости работы энергосистемы либо ее части. Во всех
этих случаях причины нарушения питания потребителей являются
случайными событиями.
Увеличивая затраты в энергосистеме, можно повысить уровень
надежности ее работы. К этому приводит, например- увеличение
числа цепей, питающих какого-либо потребителя. Рост резерва
мощности в энергосистеме, а следовательно, и вероятности отсут-
ствия дефицита мощности, установка продольной емкостной ком-
пенсации, подключение автоматических регуляторов возбуждения
сильного действия и другие аналогичные меры ведут к большей на-
дежности.
Во всех таких случаях выбор оптимального решения облегчает-
ся экономическим сопоставлением изменения ущерба от перерывов
электроснабжения и затрат на повышение надежности.
Поясним эти соображения, предположив, что некоторая непре-
рывная переменная величина 7? характеризует уровень надежности.
При этом У — вероятный ущерб от перерывов электроснабжения за
какой-то период времени при данном значении R; 3 — расчетные
затраты за тот же период, необходимые для поддержания уровня
надежности R. Тогда за данный период времени суммарные затра-
ты народного хозяйства
СЗ=У-\-3. (5-1)
Оптимальный уровень надежности по условиям минимума при-
веденных затрат определится из равенства:
d (C3)/dR=dVldR^d3jdR=0, (5-2)
143
если, кроме того,
d4C3)=-^(W + ^-(<W>0.
Так как с ростом уровня надежности работы ущерб снижается,
а расчетные затраты увеличиваются, то
dV[dR<0; d3jdR>0.
Обычно условие (5-2) выполняется, так как кривые 3 (R) и У (R)
обращены выпуклостью книзу, т, е. d2yidR2>® и J23/t//?2>0. Поэ-
тому оптимальному значению R соответствует одно условие:
\dY\dR\=d3\dR, (5-3)
т. е. при оптимальном R величина удельного снижения ущерба
должна равняться величине удельного прироста расчетных затрат.
Если R меняется не непрерывно, а дискретно, и может, напри-
мер, принимать три значения (/?b R2 и /?з), а соответствующие ве-
роятные ущербы и расчетные затраты равны Уь У2, Уз; *?1, 32, З3, то
выбор оптимального значения определяется минимальностью одной
из трех величин (У1+Зь У2+32 и У3 + З3).
Уровень надежности R\ является оптимальным, если
У1+*^1^>^2+У1+31>У3-|-33.
Уровень R2 является оптимальным, если
УгЧ-^>yi + ^i; УгЧ-^УзЧ-^ и т- п-
Таковы общие критерии для выбора оптимального уровня на-
дежности.
При выявлении ущерба от перерывов электроснабжения следует
учитывать, что ущерб является случайной величиной, так как зави-
сит от случайных событий — аварийных повреждений оборудова-
ния. Поэтому величина ущерба У представляет собой математиче-
ское ожидание ущерба за определенный промежуток времени. Эта
величина получается на основании расчетов, использующих методы
теорий вероятностей и учитывающих действительный ущерб народ-
ного хозяйства от прекращения электроснабжения отдельных групп
потребителей, причем пользоваться «ущербом» при расчетах сле-
дует очень осторожно при достаточно достоверных его значениях.
§ 5-2. РЕЗЕРВ МОЩНОСТИ В ЭНЕРГОСИСТЕМЕ
Под резервом мощности R понимается разность
между располагаемой суммарной мощностью электростанций Ррасп
(с учетом ремонтов) и суммарной мощностью спроса Р (с учетом
потерь в сетях):
R=P^-P- (5'4>
144
Выбор оптимального резерва основан на сопоставлении расчет-
ных затрат на резерв и математического ожидания ущерба от пере-
рывов электроснабжения. Повышение имеющегося резерва на ве-
личину 6/? выгодно, если уменьшение математического ожидания
ущерба 6У за некоторый последующий период времени, вызванное
ростом резерва, превышает величину расчетных затрат на увеличе-
ние резерва за тот же период, т. е. если
|8У|>83. (5-5)
Чтобы определить оптимальное значение резерва, необходимо
найти математическое ожидание ущерба от перерывов электроснаб-
жения при различных дискретных значениях резерва.
При расчете математического ожидания ущерба нужно знать ве-
роятности различных дефицитов мощности при том или ином зна-
чении резерва.
Для упрощения расчетов примем за некоторую произвольную
небольшую дискретную расчетную ступень мощности величину е.
Желательно, чтобы значение е было наибольшим делителем мощно-
стей всех агрегатов.
На вероятность дефицита мощности влияют следующие случай-
ные события:
а) аварийные снижения мощности из-за аварийного поврежде-
ния отдельных агрегатов;
б) изменения нагрузки в зависимости от спроса;
в) ошибки прогнозирования спроса;
г) снижение мощности гидростанций из-за метеорологических
условий.
Вероятность дефицита мощности является непрерывной случай-
ной величиной, однако, для упрощения расчетов заменим ее экви-
валентной дискретной случайной величиной с шагом по мощности,
равным е. Поэтому будем рассматривать дискретные ряды вероят-
ностей аварийного снижения мощности, снижения нагрузок и ошиб-
ки прогнозирования с той же ступенью мощности в.
Дискретный ряд вероятностей аварийного снижения мощности в
энергосистеме запишем как
SoB, S*B, (5-6)
где верхний индекс «ав» означает аварийное снижение мощности,
нижний индекс — величину аварийного снижения мощности. Оче-
видно, что сумма всех членов этого ряда равна единице, так как он
охватывает вероятности любых событий.
Дискретный ряд вероятностей снижения нагрузок энергосисте-
мы по сравнению с наибольшей имеет вид:
SS, Sl2e,..., (5-7)
где верхний индекс означает снижение нагрузки. Сумма всех чле-
нов этого ряда также равна единице.
145
Дискретный ряд вероятностей ошибки прогнозирования можно
представить как
S12e, 5S, Sn+E, (5-8)
Верхний индекс соответствует ошибке прогнозирования, а ниж-
ний означает, насколько нагрузка превысила прогноз. Так, напри-
мер, величина S+2= показывает вероятность превышения нагруз-
кой прогноза на 2е. Сумма всех членов этого ряда также равна
единице.
Универсальное уравнение, позволяющее вычислить вероятности
дефицита любой мощности, записывается следующим образом:
+ ...)х
X(...+Sl. + 5S+S"+,+ ...)=l. (5-9)
Произведение трех любых членов многочленов левой части (5-9)
в соответствии с законами теории вероятностей определяет вероят-
ность совпадения трех каких-то событий. Так, например, Sse S—г X
XS+е определяет вероятность того, что в часы, когда нагрузка ниже
максимальной (на е), аварийное снижение мощности отвечает ве-
личине 2е, а ошибка прогнозирования +е.
Пусть в часы наибольших нагрузок резерва вообще не было.
Определим вероятность дефицита мощности при совпадении рас-
смотренных событий. Величина дефицита мощности, как можно до-
казать, равна сумме нижних индексов. Действительно, при аварий-
ном снижении мощности электростанций на 2е дефицит составил
бы 2е, если бы нагрузка была максимальной, но нагрузка снижена
на е, поэтому дефицит должен быть меньше 2е—е = е. Так как, од-
нако, нагрузка на е выше прогноза, то окончательно дефицит равен
2s — s-f-s = 2s.
Таким образом, суммируя нижние индексы произведения, можно
определить величину дефицита мощности.
Чтобы найти полную вероятность дефицита мощности при от-
сутствии резерва в часы наибольшей нагрузки в е, 2е, ..., ke Мет,
необходимо из произведения всех многочленов (5-9) выбрать члены,
имеющие сумму нижних индексов е, 2е, .., ke, и сложить их. Таким
образом, вероятность дефицита соответственно для е, 2е, ..., k& сос-
тавит:
5“*=5S(5o”Sj.+S.aB5S-|- ...)+
-|-51.(5Г5”+2.+5Г5"+.+ (5-10)
S'2*=s0B(sr$+2.+srs”.-|-...)+
+ 51.(So"S,;3.+ Sr^2.+ (5-11)
146
одеф qh / о>ав сп I ггирп . \ ,
о/ге =J0 1JO d(^-l)sT •••/ +
+ S^(SoaB^+1). + S£aBS^+ (5-12)
В формулах (5-10) — (5-12) разложение проведено по членам
ряда вероятностей снижения нагрузки, что более удобно, чем по
членам каких-либо других рядов.
Заметим, что при вычислении указанных вероятностей принима-
лось допущение, что с понижением нагрузки резерв возрастет. Это
допущение справедливо лишь в том случае, если при снижении на-
грузки ни один агрегат не останавливается. Если при значительном
снижении нагрузки останавливается часть агрегатов, то это' может
быть учтено в формулах (5-10) — (5-12) соответствующим измене-
нием суммы нижних индексов.
Если в часы наибольшей нагрузки имеется резерв мощности
/? = ге, то при выявлении вероятности дефицита е сумма нижних
индексов у S в выражении мощности должна быть (г+ 1)е, а при
получении дефицита kz— соответственно—(г+&) е. Поэтому ве-
роятности дефицита различных мощностей ® случае наличия резер-
ва с мощностью ге в часы максимальных нагрузок запишутся как
гл еф пи / Сав qh I СавСп । |
ОЕ = д(ДО0 O'r+1 )£“h О+ге~Г • • • ТОГ
фS_s (5'ов5'(т+2)еф S£ S(r4-i)E Ф ...)ф ...; (5-13)
с*Деф £>н / еан z->n । сп I \ I
О fee =О0\О0 O+(r+fe)e “Г^Е +(r + fe—1) £ | •••/“Г
Ф*$—£(So Ф(г+Н1)еФ S+(r-pfe)e-|- . . . )ф . . . • (5-14)
Формула (5-14) является наиболее общей; при г=0 она превра-
щается в формулу (5-12).
В частном случае при неучете ошибки прогнозирования в (5-9)
устраняется многочлен с вероятностями ошибок. Тогда
глеф ей пав . qh пав | /С 1
О fee -ОС|Дг-Г)еТ>ТОО(ТО|1)ЕТ • • (0-10;
При постоянстве нагрузки в (5-9) устраняется также многочлен
с вероятностями снижений нагрузки. При этом
^:*=5(7+t)s. (5-16
Математическое ожидание недоотпуска энергии (кв-ч) за пери-
од времени Т можно во всех случаях определить как
lFHM=(sr*e + 5-S:*2B-|-...)7-, (5-17
так как S, 7— число часов в периоде Т с дефицитом е и т. д.
Таким образом, формулы (5-14) — (5-17) позволяют рассчитать
вероятности любых дефицитов мощности, дискретно отличающих-
ся на ступень е, и математическое ожидание недоотпущен-
ной энергии, если известны дискретные ряды вероятностей, вхо-
дящие в (5-9).
147
Определим количественно указанные ряды. Дискретный ряд ве-
роятности аварийного снижения мощности в энергосистеме зависит
от структуры генерирующих мощностей, т. е. от числа агрегатов и
их мощности, а также от статистической вероятности аварийного
выхода из работы q. Величина q находится как средняя величина
для отдельных агрегатов данного типа:
<7=7’ав/(Гав+Граб), (5-18)
где Тав — суммарная длительность аварийного выхода из работы;
Траб — аналогичная длительность рабочего состояния за достаточно
длительный период статистических наблюдений Тс.
Статистическая вероятность пребывания в работе (т. е. проти-
воположного события)
p=\-q. (5-19)
Если в энергосистеме все агрегаты однотипные, т. е. имеется
лишь одна группа агрегатов с одинаковой мощностью и статистиче-
ской вероятностью аварийного состояния, то дискретный ряд вероят-
ности аварийного снижения мощности определяется из разложения
следующего бинома:
(/>+?)” = /7"+np*-'q+"("~ ° Р"~‘Ч'‘+ .... (5-20)
Первый член представляет собой вероятность того, что аварий-
ного снижения мощности нет, второй — вероятность аварийного вы-
хода одного агрегата из общего числа п, третий — вероятность ава-
рийного выхода двух агрегатов из общего числа п и т. п.
Если, например, мощность каждого агрегата равна Зе, то
£ов=/Л ^ав=0; SLB=O; S^=npn~'q-,....
Если, например, в энергосистеме имеются четыре агрегата, каж-
дый мощностью 8 и <7=0,01, р = 0,99, то
SoaB=O,994=O,96O; 5Г=4-0993-0,01 =0,0388 и т. п.
В более общем случае при произвольном числе групп агрегатов
дискретный ряд вероятностей аварийного снижения мощности мо-
жет быть получен из разложения произведения биномов:
+ (a+<72)”2- • • = !, (5-21)
где /11, п2, — число агрегатов в группе 1, 2, q{, q%, ...— соответ-
ствующая вероятность аварийного состояния.
Чтобы найти вероятности различного аварийного снижения мощ-
ности, необходимо определить вероятности аварийного выхода раз-
личных комбинаций агрегатов, имеющих суммарную мощность, рав-
ную заданной.
148
Пусть, например, в энергосистеме имеются два агрегата по
100 Мвт с <71 = 0,02, два агрегата по 50 Мвт с </2 = 0,015 и четыре аг-
регата по 25 Мвт с <7з = 0,010. Тогда (при е=25 Мвт)
S™=plpln3q3p33=0,9802 0,9852 • 4 • 0,993 -0,01 =0,0361;
Sit = p\2q 2р2р3-\- р\ р2 j-“ №=0,0275;
Slt=p\2q2p^q3pl-\-p\p\ ^з=0,0005 и т. п.
1 Z • О
В выражении для Se” учтены вероятности рабочего состояния
агрегатов 100 Мвт (pi2), агрегатов 50 Мвт (р22) и вероятность вы-
хода из работы одного агрегата 25 Мвт при сохранении в работе
трех остальных, причем число возможных выходов равно и3( т. е.
четырем), поэтому добавляется множитель «4».
Во втором выражении первый член
означает вероятность выхода одного
агрегата мощностью 50 Мвт, а вто-
рой — вероятность выхода двух агре-
гатов (любых) по 25 Мвт и т. д.
Снижение мощности ГЭС из-за ме-
теорологических условий может быть
учтено следующим образом. Обозна-
чим вероятность максимальной мощ-
ности ГЭС через р, а вероятность сни-
жений мощности на е, 2е, Зе,... через
qi, qi, qz,.... Тогда для данной ГЭС при
применении формулы (5-21) надо
учесть дополнительный множитель р +
+ <71 + <72 + <7з=1.
В настоящее время имеются программы для расчета на ЦВМ.
дискретного ряда вероятностей аварийного снижения мощности в
любой сложной энергосистеме. В практической работе можно поль-
зоваться этими программами.
Дискретный ряд вероятностей снижения нагрузки может быть
определен согласно кривой продолжительности нагрузок энерго-
системы за период времени Т при замене ее ступенчатой кривой с
высотой ступеньки е (рис. 5-1). Если горизонтальная длина первой
ступеньки равна 6ГЬ второй— 6Т2 и т. д., то
S'^TJT; SL£=bT2IT-,...
(5-22)
Дискретный ряд вероятностей ошибки прогнозирования может
быть записан, если имеются статистические данные о величине
среднеквадратичной ошибки прогнозирования о. Тогда, предпола-
гая, как обычно, нормальное распределение ошибок прогнозирова-
ния, получим следующие значения членов данного ряда:
149
где Ф(х)—интеграл вероятности, равный —— I и опре-
V 2л
деляемый по таблицам, имеющимся в справочниках.
Таким образом, можно найти значения членов всех трех дис-
кретных рядов вероятностей (5-6), (5-8), входящих в (5-9).
Для установления математического ожидания ущерба рассмот-
рим следующий наиболее типичный случай. Пусть коэффициент
ущерба (руб!квт-ч) составляет для первой группы потребителей
с мощностью в величину ах, для следующей группы с той же мощ-
ностью 8 — а2 и т. д. Причем ... Тогда математиче-
ское ожидание ущерба при мощности резерва во время максиму-
ма — ге за период Т
Ут= [5'e*«,e + srl’(aie + «2s)+ ... ]Г,
(5-24)
5деф
Ае записаны для резерва ге, или
Уг = еГ[<г1(5ГФ + «.еФ+ ...) + <z2(«.e*+5i'*+.(5-25)
Введем понятие интегральной вероятности дефицита /£еф, рав-
ной вероятности того, что дефицит составляет /ге и более. Тогда
(5-25)
Поэтому
Ут=гТ (axJT*+a2J%* +...). (5-27)
* Вероятность ошибки прогнозирования, характеризуемая величиной е, заме-
нена здесь вероятностью попадания этой ошибки в интервал е±е/2, так как не-
прерывная случайная величина ошибки прогнозирования заменена дискретной
ошибкой с интервалом 8.
150
Задаваясь различными значениями мощности резерва ге, по
формуле (5-28) можно найти соответствующее математическое
ожидание ущерба за период Т.
В частном случае, если коэффициент ущерба а одинаков для
всех групп потребителей, ущерб
Ут=агТ (Лдеф + ЛТЧ ...). (5-28)
Определим для данного частного случая изменение ущерба при
увеличении резерва на е. Очевидно, что такое изменение ущерба
при переходе от мощности резерва ге к (r-f-l)s составит
гУг=ае7-[У"Ф+ЛТФ+...-Л“ф'-Л'ф'- ...], (5-29)
где индекс «штрих» принят для мощности резерва (r+ 1) е.
Можно доказать, что /2е деф = /Едеф’и т. п. Так, например, при
неучете ошибок прогнозирования
JS*=[5SS(arB+2)>+SL.S(7+3).-|- ...] = Леф’. (5-30)
Аналогично можно доказать остальные равенства. Поэтому
ЪУг=аУГЛ^: (5-31)
Обозначим индексом «два штриха» вероятности дефицита мощ-
ности при мощности резерва (г— 1)е. Тогда, если принять, что рас-
четные затраты за период Т на установку нового агрегата рав-
ны b руб)Мвт -год, то- критерий оптимальности резерва с мощно-
стью ге выражается неравенством
аТЛдеф" > b > аТ 7деф. (5-32)
В более общем случае при различии коэффициентов ущерба раз-
ных групп потребителей изменение ущерба при переходе от мощ-
ности резерва /*е к (г+1)е
8Уг=г7'[а1(Л"ф)+а2(Леф)+ ... -а, (Л"ф )'-а2(/”ф =
= еГ [а, (5;1,ф+52"ф + ... - 5,,еф' +
+а2(№Ф+5(,ТФ+ ... - 5гф'-5Хф’- .. .]~
« еГ (а.15"Ф + «25ЙФ-|- ...) (5-33)
и критерий оптимальности резерва мощности ге определится нера-
венствами
Г(а15деф" + «2^Ееф"+ .. .)>^>Г(^* + ^*4-...), (5-34)
Практически расчет оптимального резерва мощности (как для
ручного, так и для машинного счета) проводят по следующей схеме:
1) определяют дискретный ряд вероятностей аварийного сни-
жения мощности SoaB, SEaB, S2£aB,... для существующих агрегатов
151
при отсутствии дополнительного ввода мощности с учетом вероят-
ностей изменения мощности гидроагрегатов;
2) находят дискретный ряд вероятностей снижения нагрузки
С н QH
OQ , О —е , О__2е, • • •»
3) получают дискретный ряд вероятностей ошибки прогнозиро-
вания (для эксплуатационных расчетов);
4) записывают дискретный ряд вероятностей различных дефи-
цитов мощности при существующих агрегатах, т. е. при существую-
щем резерве, и соответствующий ряд интегральных вероятностей
дефицитов;
5) определяют величину ущерба за период Т по (5-27) или
(5-28);
6) вводят в рассмотрение дополнительный резервный агрегат с
заданной мощностью и аварийностью q;
7) пересчитывают пункты 1, 4, 5;
8) находят изменение ущерба при вводе агрегата и сопостав-
ляют с расчетными затратами на его ввод. Если расчетные затраты
меньше изменения ущерба, то дополнительный агрегат следует
ввести, и наоборот;
9) вводят дополнительные агрегаты в заданной последователь-
ности до того момента, когда ввод оказывается невыгодным.
Расчетные затраты на вводимый агрегат должны учитывать не
только капиталовложения, но и изменения экономичности режима
энергосистемы. Ввиду трудности определения второго фактора часто
приближенно ограничиваются первым. Тогда расчетные затраты
b=kP^u (5-35)
8760 V 7
где k — удельная стоимость одного киловатта; Рдоп— мощность
дополнительного агрегата, кет; Т— расчетный период времени, ч\
а — коэффициент экономической эффективности (а=0,12).
§ 5-3. ОПТИМИЗАЦИЯ КАЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ЭНЕРГИИ
Энергосистемы должны обеспечить всех своих по-
требителей энергией надлежащего качества. Качество энергии, под-
водимой к потребительской установке, определяется модулем на-
пряжения в питающей точке и величиной частоты в энергосистеме.
Наряду с этим, для каждой установки имеются технические пре-
делы отклонений частоты и напряжения от номинальных значений,
при нарушении которых устройство может быть повреждено или
не сможет выполнить свое назначение. В указанных технических
пределах изменения напряжения или частоты приводят к измене-
нию экономичности работы установки.
Таким образом, для каждой установки имеется номинальное
значение частоты и напряжения, оптимальное их значение, соответ-
ствующее минимуму затрат потребителя, и технические пределы
отклонений от номинального значения.
152
Наилучшим решением задачи регулирования частоты и напря-
жений было бы поддержание у всех установок оптимальных для
данной установки качественных показателей. Однако это потребо-
вало бы неоправданно больших затрат, так как следовало бы
иметь более дорогие электрические сети, очень большое число спе-
циальных регулирующих устройств и пр. Поэтому приходится до-
пускать отклонения от оптимальных значений качественных пока-
зателей для данной установки. Чем больше допускаемые отклонения,
тем меньше затраты в энергосистеме, но тем больше ущерб потре-
бителей. Очевидно, что оптимальные отклонения соответствуют ми-
нимуму суммарных затрат народного хозяйства.
Одна величина максимальных отклонений от оптимального зна-
чения качественного параметра еще не характеризует ущерба по-
требителей. Очень важными показателями являются число и дли-
тельность каждого отклонения.
Назовем ущербом потребителя от недостаточного качества на-
пряжения разность его затрат при данном U (текущем) и опти-
мальном Uo значении напряжения. Разлагая в ряд значения затрат
при данном напряжении U, получим выражение затрат за некото-
рый интервал времени при (7=const:
3='3"+H8t/+T”^W+’--’ (5’36)
где 3 и Зо— затраты при напряжении U и оптимальные затраты
при (7=(7О; 6U=U—UO; частные производные определяются при
и=и0.
Ущерб за данный интервал времени
у=3-30 = — 8Z74- — .-^-(867)2-L .... (5-37)
0 dU 1 2 д№ 1 k
Если затраты 3 при U=UO действительно минимальны, то
дЗ/ди = 0 и, следовательно,
У=— _ (8£7)2^L . (8^)з_|_ . . ..
2 dU2 1 6 к ’ 1
Пренебрегая высшими членами разложения, при малых значе-
ниях 6(7 и U=UO получим
У= — . — (8Z7)2=± ,^L(U-U y. (5-38)
2 dU^ 2 dU^
Таким образом, величина ущерба пропорциональна квадрату
отклонения напряжения от оптимального значения в данном интер-
вале. Здесь предполагается, что в течение рассматриваемого ин-
тервала времени напряжение не изменяется. Обозначим коэффи-
циент пропорциональности через
153
тогда
y^K(U-Uoy.
Ущерб за некоторый период времени Т
т
Ут=^ К {U—U0}2dt.
6
(5-40)
(5-41)
Если задана характеристика U — f (/), то ущерб за период вре-
мени Т может быть определен по формуле (5-41). Преобразуем ее
следующим образом:
т
У
(5.42)
Рассматривая напряжение как случайную величину, введем
среднее значение напряжения Z7cp, т. е. математическое ожидание
(м. о.), дисперсию (7СК2 (квадрат среднеквадратичного отклонения
от среднего) и среднеквадратичное значение UCK:
т ; т
Ucf=~ \Udt-, D(U)=±^U-.Uctfdt=
о о*
откуда
D (U)=U2CX - 24/с2р+U\= Ul„ - U2„.
Подставляя в (5-42), получим
Ут=КТ (U2K - КТ [О (</) + U2t - 2J/„4/cp+^] =
= кт [D (U)+(Z/cp - ад=KT [n (U) + («л2р]=к J (и- uoydt,
(5-43)
154
где
Рис. 52.
т
(W\v=ucv-U^-L^U-UJdt.
о
Таким образом, ущерб представляет собой сумму двух состав-
ляющих. Одна пропорциональна дисперсии, т. е. среднеквадратич-
ному отклонению от среднего значения, а другая — квадрату сред-
него отклонения U от оптимального значения Uo. Поэтому умень-
шить ущерб можно двумя
путями: снижением «откло-
няемости» напряжения от
его среднего значения (дис-
персии) или снижением от-
клонения среднего значения
U от оптимального уровня.
Первое достигается приме-
нением специальных регу-
лирующих устройств, вто-
рое — установкой правиль-
ного коэффициента транс-
формации трансформатора,
а также регулировкой мощности компенсирующих устройств. Если
в разные часы периода Т оптимальное напряжение также изменя-
ется, то период нужно разбить на ряд интервалов с постоянным
значением оптимального напряжения.
Следовательно, квадрат среднеквадратичного отклонения на-
пряжения от оптимального значения
(5-44)
Можно измерить оба интеграла, входящие в уравнение (5-44).
На основании этих измерений легко получить значение D(U), не-
посредственное определение которого затруднительно.
Прибор, измеряющий оба указанных интеграла, называется
интегральным вольтметром. Схема его представлена на рис. 5-2.
В элементе D на выходе получается разность между текущим U
и оптимальным £7О* значениями напряжения. На выходе интегри-
т
рующего элемента Интх получается величина {(U — U0)di.
о
С помощью элемента, называемого квадратором Кв, величина
([7— Uо) возводится в квадрат и затем элементом Инт? интегри-
т
руется, на выходе получается j* (U — U0)2dt.
о
Этот интеграл, умноженный на К, дает непосредственно ущерб.
* Оптимальное значение напряжения Uo определяется специальными рас-
четами.
155
т
Интеграл ^(U—Uo)dt, деленный на Т и возведенный в квад-
o'
рат, используется для определения дисперсии
т [- т -.2
£>(0')=у
о L о
(5-45)
где 6с7ск.о и 6с7Ср.о — среднеквадратичное и среднее отклонения U
от оптимального значения.
Если известны D и (бП)Ср.о2, то можно решить, какие меро-
приятия наиболее актуальны для снижения ущерба. Пусть, на-
пример, измерения дали следующие результаты:
т
О
т
О
Тогда (Wcp.o = 4 (%')2, откуда D(U) =25 — 4 = 21 (%) \
Таким образом, основная доля ущерба (84%) вызвана боль-
шой отклоняемостью напряжения от своего среднего значения,
т. е. большой дисперсией. При этом ущерб, связанный с отклоне-
нием среднего значения от оптимального значения, относительно
невелик (16%).
§ 5-4. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧАСТОТЫ И НАПРЯЖЕНИЙ
Для оптимизации качественных показателей режи-
ма энергосистемы необходимо предварительно установить опти-
мальные значения качественных показателей для каждой узловой
точки и характеристику ущерба, вызванного отклонением качест-
венного показателя от его оптимального значения.
Для частоты обычно в качестве оптимального принимают но-
минальное значение. Это неправильно в отношении отдельных по-
требителей, так как в некоторых случаях небольшое повышение
частоты экономически оправдано. Однако, учитывая, что частота
одинакова для всех частей системы и колебания частоты приводят
к экономическим потерям на электростанциях, обычно считают
номинальное значение частоты оптимальным *.
* Если для какого-либо потребителя оптимальная частота резко отличается
от номинальной частоты сети, то целесообразно применять преобразователи
частоты.
156
В большинстве случаев номинальное напряжение сети не яв-
ляется оптимальным для данной потребительской установки. Во-
прос об оптимальном напряжении в питающей точке является очень
сложным, так как каждая узловая точка в питаемой сети имеет
свое оптимальное напряжение. Выбор так называемых контрольных
точек в сети, в которых следует поддерживать оптимальные значе-
ния напряжения, по практическим соображениям должен быть
ограничен очень небольшим числом, поскольку для каждой такой
точки следует иметь свой независимый источник регулирования на-
пряжения, а число таких источников (трансформаторов с регули-
рованием коэффициента трансформации под нагрузкой, синхрон-
ных компенсаторов, управляемых реакторов и конденсаторов, доба-
вочных трансформаторов) обычно еще ограничено.
Чтобы определить оптимальное напряжение в питающей узло-
вой точке сети и характеристики ущерба в связи с отклонениями
этого напряжения от своего оптимального значения, необходимо
прежде всего найти такие же показатели для всех узловых точек
с нагрузкой, входящих в состав сети, питаемой от данной «питаю-
щей» узловой точки. Вычисление их базируется на определении
ущерба, вызванного отклонением напряжения от своего оптималь-
ного значения для различных типов приемников, или на определении
удельных расчетных затрат данного потребителя (отнесенных к
единице выпускаемой им продукции) в функции напряжения. Ми-
нимум ущерба или удельных расчетных затрат соответствует опти-
мальному напряжению.
Рассмотрим в качестве примера два важнейших типа нагрузки.
Найдем для осветительной нагрузки удельную стоимость расчетных
затрат условно на 1 люмен-час, так как конечная продукция такой
нагрузки выражена в люмен-часах (1 лм-ч).
Введем следующие обозначения: а — удельная стоимость лам-
пы на 1 кв-ч горения, коп.; b — стоимость 1 кв-ч электрической
энергии; РНом, Р — номинальная и фактическая мощность лампы,
вт; Гном, Т — время горения при номинальном (7Ном и фактическом
U напряжении, ч\ Кном, К — светоотдача, номинальная и фактиче-
ская на 1 вт, лм.
Примем, что
(5-46)
Рассмотрим работу лампы за 1 ч с напряжением U. Так как
мощность лампы в функции напряжения
(5-47)
то световой поток {лм) соответственно
L=PK=Рном (t//t/H0M)1’9=
= ^ном^ном(^ЛоМ)3’5- (5-48)
157
Примем, что число часов работы при напряжении U, отличном
от Ином, Т= TSOM(UHON/U) 13>3 и что каждый час горения лампы с на-
пряжением U соответствует затрате 1/Т части срока службы.
Тогда амортизационные затраты для лампы за час ее горения с
напряжением U составят

— _аРт^
р ном
и
б ном
13,3
(5-49)
Экономической эффективностью за 1 ч можно пренебречь по
сравнению с амортизационными затратами, так как она равна
аРномО, 125/8760 и значительно меньше, чем аРпом/Т, где Т имеет
порядок 1000. Поэтому расчетные затраты за 1 ч
= ^Л_аР 1 ( U U Y’6 I аРном/ U У3-3,
1000 7Н0М \ ббном / 1000 \ б/ноМ/ Тнпм \ Рцом/
(5-50)
Удельные расчетные затраты, т. е. затраты на 1 лм-ч, равны,
учитывая (5-48):
b ( и а / и V3,3
О _3 1000 у £/ном / 4 бцом \ б^ном / _
уЛ~ ~ь~ / и \3,5
Ан<>м I |
\ U ном /
b / U \—1,9 .
юоодТом \ б/н0М /
a I U \9,8
Т'ном^ном \ б/ном /
(5-51)
Оптимальное
напряжение
б/ЗудМ(-^—) =0, т. е.
НОМ
_ I g_____-___( и^- V2’9 -0 9 8
’ 1000/<ном б/ном )
получится из условия
номд 4ном
U \П.7
Рном /
ИЛИ
_ 1 9____h-----р1
’ 1000/Сном
Обозначим По/(7ном через
зуется:
>,8----—
7номУ ном
х, тогда уравнение (5-52)
преобра-
9,8 —
7Ном
хи,7=1 9_L
юоо
(5-53)
откуда
о
ббцОМ
1,9^ном
\ 9,8^1000
11,7
НОМ
а 1000
(5-54)
Уравнение (5-54) определяет оптимальное напряжение б/0.
Пусть, например, tz = 0,5 копает -ч; коп/квт • ч; Т|НОМ=1000 ч.
158
Тогда

11,7 _______________
/~ 0,194-4-1000
0,5-10000
1,038/7НОМ.
Если энергия стоит в два раза дешевле (т. е. 6 = 2 коп!кет-ч),
то
t/6=0,9787Z7HOM.
Как видно из (5-54), оптимальное напряжение тем больше, чем
выше стоимость электроэнергии и нормальное число часов исполь-
зования лампы, и тем ниже, чем больше удельная стоимость лам-
пы на 1 квт-ч горения. Таким образом, при изменении стоимости
электроэнергии или стоимости ламп оптимальное напряжение ме-
няется.
Зависимость ущерба, вызванного отклонением напряжения от
оптимального значения, может быть определена из уравнений
(5-50) и (5-51).
Рассмотрим другой важный тип нагрузки — асинхронный дви-
гатель— при неучете насыщения и стоимости потерь реактивной
мощности.
Пусть экономический эффект (прибыль) для народного хозяй-
ства от работы привода может быть оценен в а руб. на кет-ч за-
траченной энергии. Из-за скольжения двигателя производитель-
ность привода несколько снижается. Это снижение называется
экономическими потерями «от скольжения». Часовые суммарные
экономические потери, руб. (ущерб), при постоянстве момента на
валу (Л4 = const), вызванные электрическими потерями в двигателе
и экономическими потерями из-за скольжения, составляют
У=[(f)2 (г> + rJ F+ IS+’ (5'55)
где S — мощность; U— напряжение на зажимах; Ь-—стоимость
потерь, коп!кет-ч\ гх и т2— активное сопротивление статора и ро-
тора двигателя; 6М — реактивная проводимость намагничивания;
g — активная проводимость, соответствующая потерям в стали;
s—скольжение в относительных единицах; 5б = 5Н0М; ^б = ^ном',
*8ном, кеа.
Первый член соответствует стоимости потерь в активном сопро-
тивлении обмоток статора и ротора (гь г2)', второй — стоимости
потерь в первичной обмотке от намагничивающего тока и потерь в
стали, а третий — экономическим потерям от скольжения (недовы-
работка продукции).
Примем приближенно1 s~Pr2jU2, тогда
У= 13б+£/2^^Г1+^ ioo+a(v)2r2 Shom’ (5’56)
* Все параметры в квадратных скобках, за исключением & и а, выражены в
относительных единицах.
159
Как видно из (5-56), учет экономических потерь из-за сколь-
жения можно заменить вводом фиктивного сопротивления г2 вмес-
то г2, так чтобы
r2bj 100 = r2bj 100 4- аг2=г2 (&/100 ф- а).
Следовательно, эквивалентное активное сопротивление рото-
ра, обеспечивающее учет экономических потерь от скольжения,
г2=г2(1 ф- Ю0а/6),
т. е. чем больше а, тем больше г2.
После такого преобразования часовой ущерб
У=[(ФТ (г1+ 6/100+^2 (й^+г) */юо] 5,„м-
(5-57)
(5-58)
При приближенном учете стоимости потерь реактивной мощно-
сти {коп/квар -ч) и насыщения
У = /(2LY2 Г(Г14- 4) — + х —1 ф- U2g—-г
|? 100 1 lOOj 6 100
(5-59)
В (5-59) принята кубическая зависимость тока намагничивания
от напряжения; х— суммарное индуктивное сопротивление статора
и ротора двигателя (в относительных единицах).
Оптимальное значение напряжения найдем из условия dytdU =
— 0, т. е. при иеучете потерь реактивной мощности и насыщения:
dyjdU= -ZPH^ + r'^U^U^b^r.+g)^,
откуда
u0=V pV
(5-60)
При приближенном учете стоимости потерь реактивной мощно-
сти и насыщения оптимальное напряжение определится подбором
из уравнения
dy _ 2Р2
~dU~ U*
(''i+r2+*4r)+2Z7o£' +
\ о /
V
(5-61)
Пусть, например, коэффициент загрузки асинхронного двигате
ля равен 0,6 при номинальном значении коэффициента мощности
0,9. Тогда в относительных единицах (при базисной мощности,
равной полной мощности двигателя SH0M в кет) Р = 0,6-0,9 = 0,54.
160
Далее приме.м в относительных единицах и = 0,03; Г2 = 0,05; Ьм =
= 0,35; £ = 0,03; с/b = 1/20; Ь = 1,0 коп) кет-ч\ а=0,1 руб/кет -ч; х=6,2.
Тогда получим следующее условие для оптимального напря-
жения:
2-0,542
0,03+ 0,05 1 + 100-
о,1
1,0
0,2— }
20 )
+ 2U0 - 0,3 + 4 • 0,35 - -L U30+6 - 0,03 • 0,ЗбЧД5=0.
Подбором определим Uo= 1,16 17Ном-
При неучете насыщения и стоимости реактивных потерь [см.
формулу (5-59)] получим в этом случае явно завышенное зна-
чение £/о=1,65 {7НОМ.
При неучете потерь от скольжения по формуле (5-60) найдем
(70 = 0,91 Пном.
Если известны значения оптимальных напряжений Uo в отдель-
ных точках питаемой сети и зависимости ущерба, появляющегося
в связи с отклонениями напряжений от их оптимальных значений,
то можно определить оптимальное напряжение в питающей узло-
вой точке и характеристики ущерба во всей сети от отклонения на-
пряжения в питающей точке. Для этого следует провести серию
расчетов потокораспределения и потерь активной и реактивной
мощности в сети при задании мощностей нагрузки их статическими
характеристиками, а также заданном напряжении в питающей точ-
ке. Такие расчеты могут быть произведены на статической модели
переменного тока или на ЦВМ. В результате может быть получена
зависимость суммарного ущерба от величины напряжения питаю-
щей точки. Этот ущерб состоит из ущерба потребителей, присое-
диненных в отдельных точках сети, и ущерба, связанного с потеря-
ми активной и реактивной мощности в питающей сети. По миниму-
му суммарного ущерба можно вычислить оптимальное напряжение
питающей узловой точки в различные часы суток и зависимость
суммарного ущерба из-за отклонения напряжения в этой точке от
оптимального его значения. Далее можно установить значения вто-
рой производной от ущерба по напряжению при оптимальном его
значении, найти коэффициенты ущерба по уравнению (5-39) для
отдельных питающих точек. Одновременно могут быть определены
предельные значения напряжения с точки зрения технических тре-
бований, предъявляемых потребителями.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 5
И. М. Маркович. Режимы энергетических систем. «Энергия», 1969.
6—2757
ГЛАВА
СВЯЗЬ ПРОБЛЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ ЧАСТОТЫ
С ПРОБЛЕМОЙ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
АКТИВНОЙ МОЩНОСТИ
§ 6-1. ИЗМЕНЕНИЕ ЧАСТОТЫ И ЕГО ПРИЧИНЫ
Частота в энергетических системах не может оста-
ваться неизменной, так как потребление активной
мощности в энергосистеме непрерывно' изменяется,
вызывая- нарушение равновесия моментов на валу турбогенерато-
ров и гидрогенераторов. Чтобы сохранить частоту постоянной, не-
обходимо принимать специальные меры. Так, равновесие вновь
устанавливается благодаря работе регуляторов скорости первич-
ных двигателей, причем влияние на процесс оказывают и измене-
ния нагрузки отдельных потребителей.
В результате действия синхронизирующих сил после каждого
изменения суммарного потребления мощности устанавливается но-
вое значение единой для всей энергосистемы частоты, причем это
значение может отличаться от номинального.
Для простоты сначала допустим, что в энергосистеме имеется
только один агрегат. Изменение мощности агрегата, вызванное
действием регулятора скорости, установленного на этом агрегате,
можно охарактеризовать следующим уравнением:
8РГ=-/<Г(8///НЭМ)РГ.НЭМ, (6-1)
где 6РГ— отклонение мощности генератора от его значения при
нормальной частоте; —-отклонение частоты от нормального зна-
чения; /’г.ном, /ном— номинальные значения мощности агрегата и
частоты; Кт — коэффициент крутизны регулятора скорости по час-
тоте:
|Кг1 = 1^г//>г.^|:|8//Лом|- (6-2)
Коэффициент крутизны регулятора скорости по частоте пред-
ставляет собой, следовательно, отношение относительного измене-
ния мощности агрегата к относительному изменению частоты. Если,
например, /Сг=20, то это означает, что отклонение частоты на 1 %
меняет мощность генератора на 20%.
Регулятор скорости устроен так, что при увеличении частоты он
уменьшает мощность генератора, а при уменьшении — увеличивает.
162
Именно поэтому в формуле (6-1) в правой части стоит знак «ми-
нус». Если мощность агрегата достигла верхнего предела, то
/Сг = О при df<ZO, но /Сг5^О при Приращение мощности на-
грузки 6РН при изменении частоты
^h=/Ch(Whom)^h
(6-3)
где коэффициент крутизны нагрузки по частоте pi( может быть
определен по статическим характеристикам нагрузки.
Очевидно, что
(6-4)
т. е. коэффициент крутизны нагрузки по частоте представляет со-
бой отношение относительного изменения мощности нагрузки к от-
носительному изменению частоты Если, например, /<н=1,5, то это
означает, что отклонение частоты на 1 % меняет мощность нагрузки
на 1,5%.
Как правило, с увеличением частоты растет и мощность нагруз-
ки, поэтому в формуле (6-3) стоит знак «плюс».
При изменении суммарной нагрузки энергосистемы частота сис-
темы меняется следующим образом. Обозначим отклонение сум-
марной нагрузки энергосистемы, вызванное присоединением новой
нагрузки, через бРх. Тогда, очевидно, что
&ps = &Pr-5PH,
(6-5)
где 6РГ— приращение мощности генератора, вызванное результи-
рующим изменением частоты б/; 6РН — отклонение мощности преж-
ней нагрузки, вызванное той же причиной.
При подстановке в (6-5) значений 6РГ и 6РИ из (6-1) и (6-3)
получим
8PS = - К г (Whom) ^г.ном - (Whom) Р„
Введем коэффициент резерва мощности
Р — ^г.ном/^н'
Тогда
8РЕ=-КГ -^.РР„-/<и7У-Р„= _2Дрн(Р/<г+/<к)
/ном J ном J ном
ИЛИ
В/ 1
У HIM Р И ррг + Кн
(6-6)
(6-7)
Таким образом, относительное изменение частоты тем больше,
чем больше относительное изменение нагрузки и меньше резерв
мощности, крутизна регулятора скорости и нагрузки.
6*
163
Если в энергосистеме имеется не один, а много агрегатов, то
отклонение их мощности бРгя можно выразить через изменения
мощностей отдельных агрегатов:
Г1— АГг1 (^/7/ном) ^°г,ном 1"»
г2 ^г2 (^///ном) ^г.ном 2’
Суммируя их, получим для всей энергосистемы
8₽гб=-----^УКГ,РГ.«О„,-
J ном
Так как
2 ^г.ном I hjm>
где Ps ном — номинальная мощность энергосистемы, то, вводя по-
нятие коэффициента крутизны генерации энергосистемы
(в-8)
I
определим изменение мощности генераторов для всей энергосисте-
мы [аналогично (6-1)]
8РгЯ= - Кг. (bf If Р. ном. (6-9)
Заметим, что, если нагрузка отдельных агрегатов достигла мак-
симума, то Кг—0 для них при увеличении нагрузки, но /Сг¥=0 при
ее уменьшении.
Далее найдем изменение частоты при изменении суммарной
нагрузки 6Ps:
8PS=8РгВ - 8РИ= - KrS (8///ном) ft юм - К, Р„.
При этом коэффициент резерва
Р Р% ном/^н*
Следовательно, отклонение частоты в энергосистеме опреде-
ляется следующим уравнением:
(6.10)
/н«м Р« рКгв + К« Рн Къ
где =рКг. +Кн представляет собой коэффициент крутизны
частотной характеристики всей энергосистемы. Коэффициент кру-
тизны по частоте составляет для гидрогенераторов 25—50, для тур-
богенераторов 15—20; для нагрузки 1—2,5.
Если, например, в энергосистеме средняя крутизна генератора
по частоте составляет Kri =18, а нагрузки Кн=2, и имеется воз-
можность менять мощность в обе стороны на всех агрегатах при
164
общем резерве мощности 5%, то
Къ = рКгъ 4- ^= 1,05 • 18 + 2= 20,9.
Следовательно, каждые 10% отклонения нагрузки изменяют час-
тоту приблизительно на 0,5%.
Если при тех же условиях имеется возможность повышения на-
грузки только на агрегатах, составляющих 25% по мощности, т. е.
KrS=0,25-18=4,5,
то при том же значении резерва
Кв= 1,05-4,5 + 2= 6,725.
Теперь при изменении нагрузки системы на 10% частота изме-
нится приблизительно на 1,5%
Если все генераторы дойдут до предельной мощности то /Сгв =
= 0. Теперь при уменьшении частоты /Са = КН-
Если КГ1 = 2, то при изменении нагрузки на 10% частота изме-
нится на 5%.
Величина коэффициента крутизны частотной характеристики
энергосистемы зависит от знака отклонения нагрузки системы, от
величины резерва мощности в системе и загрузки отдельных ее аг-
регатов. Величина эта оказывается различной в течение суток, в
разное время года и т. д.
Как видно из изложенного, непостоянство суммарной нагрузки
системы привело бы к существенным и явно недопустимым колеба-
ниям частоты, если бы не принимались специальные меры по ее
регулированию вручную или с помощью автоматических регуля-
торов.
§ 6-2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ЧАСТОТЫ
Автоматическое регулирование называют вторич-
ным, имея в виду, что некоторое ограничение отклонений частоты
уже осуществляется регуляторами скорости первичных двигателей,
которое считают первичным регулированием.
Целесообразность автоматического регулирования частоты
определяется рядом причин. При регулировании частоты вручную
на одной из электростанций электросистемы персонал должен не-
прерывно наблюдать за показаниями частотомера и при достаточно
заметном отклонении частоты соответственно менять мощность ге-
нераторов электростанции. Такое непрерывное наблюдение и регу-
лирование утомляет персонал и приводит в конце концов к низкому
качеству регулирования частоты. Кроме того, поручать регулиро-
вание частоты вручную можно только одной станции, что также
затрудняет поддержание частоты на номинальном уровне, особен-
но, если мощность регулирующей станции относительно невелика.
Автоматическое регулирование частоты устраняет указанные
недостатки, и, в частности, позволяет проводить регулирование час-
тоты одновременно для любого числа электростанций.
165
Автоматический регулятор частоты, устанавливаемый на элек-
тростанции, имеет измерительный элемент, определяющий df— ве-
личину отклонения частоты от номинального значения, а также
элементы, воздействующие на регулятор скорости первичного дви-
гателя и смещающие его характеристику должным образом.
Автоматический регулятор частоты может иметь различную на-
стройку, отвечающую принятому критерию регулирования. Этот
критерий определяет условия бездействия (равновесия) регулятора.
При астатической настройке критерий регулирования имеет вид
8/=0. (6-11)
Это означает, что регулятор бездействует только при нулевом
отклонении частоты от номинального значения. Если 6f=^=Q, то ре-
гулятор действует, смещая характеристику регулятора скорости,
т. е. изменяя мощность генератора в должном направлении — уве-
личивая ее при снижении частоты и уменьшая при увеличении
частоты.
Астатически можно настроить автоматический регулятор час-
тоты только на одной электростанции. При астатической настройке
регуляторов частоты на нескольких станциях устойчивость регу-
лирования не обеспечивается из-за неизбежного перерегулирова-
ния и стимулируемых им качаний и т. п. Распределение нагрузок
между отдельными агрегатами является неопределенным. Поэто-
му при необходимости применять автоматические регуляторы час-
тоты на ряде станций удобнее оказывается статическая настройка
регулятора. Критерий регулирования при статической настройке
автоматического регулятора частоты имеет следующий вид
5/ д ЪР 1
/ном Рцом ^АРЧ
где ЪР = Р — Ру — разность между фактическим Р и заданным Ру
значениями мощности; Карч—коэффициент крутизны автоматиче-
ского регулятора частоты.
Из условия (6-12) видно, что генератор- имеет заданную мощ-
ность только при значении частоты, равном номинальному. При
любом отклонении частоты от номинального значения мощность
генератора изменяется. При этом, если частота ниже номинальной
(6f-<0), то мощность генератора выше заданной (<5А>-0), и на-
оборот. Чем больше крутизна Карч, тем больше отличается мощ-
ность машины от заданного ее значения при данном отклонении
частоты, т. е. тем сильнее данный генератор участвует в регулиро-
вании частоты. Выбирая то или иное значение Карч, можно по же-
ланию получить сильное или слабое участие данного агрегата в
регулировании частоты. Если Карч = °о, то статический критерий
переходит в астатический. »
Устойчивость регулирования обеспечивается в случае статиче-
ской настройки при любом числе участвующих в регулировании
(6-12)
166
станций. Распределение нагрузок между агрегатами определяется
условиями (6-12), откуда
8Р=-(8///но„)Ря„м/<арЧ-
При статической настройке вторичных регуляторов частоты
можно устанавливать большие коэффициенты крутизны, например,
значения Карч можно принимать равными 50—100 независимо от
коэффициентов крутизны регуляторов скорости.
Благодаря этому применение АРЧ со статической настройкой,
не обеспечивая точного поддержания частоты, позволяет, однако,
сильно ограничить ее отклонения. Эквивалентное значение Карче
для энергосистемы [по аналогии с (6-8)]
Карч s=2j Карч «Л-.нш z/P2 НОМ > (6-13)
поэтому с учетом (6-10)
V 1
/ном Рн Р^АРЧЕ Рн
Если, например, Карче =50, р= 1,05, Кн=2, то
Ке = 50-1,05-]-2=52,25.
Суммарная нагрузка системы, меняясь на 10%, вызывает от-
клонение частоты лишь на 0,2%. Так как, однако, изменения сум-
марной нагрузки могут быть значительно выше, то желательно
иметь возможность астатического автоматического регулирования
частоты на многих электростанциях.
Имеется два метода астатического регулирования частоты на
нескольких электростанциях.
Первый метод называется регулированием по комбинированным
критериям (предложен Пилотти). Критерий регулирования каж-
дого агрегата при таком методе имеет вид
(6-14)
Иногда такую систему называют системой автоматического регу-
лирования частоты со статизмом по мощности и ошибке электри-
ческого времени.
Электрическим временем называют величину, равную
t
(6-16)
• ' J ЕОМ
0
Если частота равнялась бы своему номинальному значению, то
электрическое время равнялось бы астрономическому. Если
то электрическое время опережает, а если то отстает от
167
астрономического. Электрические часы действуют аналогично.
Ошибка электрического времени равна разности между электриче-
ским временем и астрономическим:
«„=<»-<• (6-17)
Следовательно,
t t
Ыэ= \ Zhom dt=С dt.
tl f HOM f HOM
0 0
Поэтому критерий (6-15) может быть записан как
°C I 1 I °^ЭЛ Q
/ном Р ном Кр Kt
(6-18)
(6-19)
При использовании комбинированного критерия действие АРЧ
осуществляется следующим образом. Пусть в начальный момент
6f = 0, 6Р = О и б/Эл = 0, т. е. частота имеет номинальное значение,
мощность агрегата равна заданной, и ошибка электрического вре-
мени равна нулю.
Если произойдет изменение частоты, например, ее снижение
(6/<0), то третий член левой части выражения (6-15) или (6-19)
будет изменяться настолько медленно, что его величиной можно
пренебречь. При этом регулирование идет как бы по статическому
критерию (6-12). По окончании этого этапа частота окажется не-
сколько отклоненной от нормального значения, а все агрегаты,
участвующие в регулировании, увеличат свою мощность в соот-
ветствии с величинами РНом и Лр. Однако постепенно интеграл от-
клонения частоты будет расти, оставаясь отрицательным, так как
Равновесия наступить не может и регуляторы будут повы-
шать мощность агрегатов до тех пор, пока третий член (6-15) или
(6-19) не перестанет изменяться и примет постоянное значение.
Это может иметь место только при 6f = 0. Если это условие не со-
блюдается, интеграл \—— at изменяется и равновесие невозмож-
- /ном
но. Как только будет выполнено условие 6f = 0, процесс регулиро-
вания закончится. При этом первый член левой части выражения
(6-15) или (6-19) будет равен нулю. Поэтому в положении равно-
весия
8Р
Р нем
(6-20)
(6-21)
Следовательно, после окончания процесса регулирования час-
тота станет нормальной, но изменение мощности всех агрегатов
будет пропорционально появляющимся ошибкам электрического
времени. Величина изменения тем больше, чем больше Люм и Кр,
и тем меньше, чем больше Kt-
168
Второй метод астатического регулирования, на многих станциях
называемый методом долевого статизма, имеет критерий
-11—. _L_ =о. (6-22)
f НОМ Р НОМ Рр
Здесь а — доля мощности данного агрегата в суммарной мощно-
сти всех агрегатов, участвующих в регулировании. Эта доля назна-
чается произвольно, но является неизменной. При этом обязатель-
но соблюдение условия
т. е. сумма всех назначенных долей равна единице. Можно дока-
зать, что при таком критерии вторичного регулирования частота
поддерживается точно. Решим уравнение (6-22) относительно
(Р-а2Р):
Р~а^Р=-^-Р.ЛтКР.
J ном
Напишем аналогичные выражения для всех агрегатов, участ-
вующих в регулировании:
Pt- а,2 Р= Р^Кр.Х
Р2-а^Р=~(Wm,) Р...
Сложим все эти уравнения, тогда
(6-23)
I ном
Так как Sa=l, то левая часть уравнения (6-23) равна нулю, а
это возможно только при 6f = 0.
Регулирование получается астатическим, так как заданная
мощность (в отличие от мощности при статическом регулировании)
непрерывно изменяется, оставаясь назначенной долей суммарной
мощности. Недостатком метода долевого статизма является необ-
ходимость передачи по телеканалам связи величины SP на все ре-
гулирующие станции.
§ 6-3. РЕГУЛИРОВАНИЕ ЧАСТОТЫ И ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМА
Регулирование частоты (ручное или автоматиче-
ское) связано с распределением активных мощностей (см. гл. 3).
Связь эта заключается в следующем. При непостоянстве нагрузки
энергосистемы необходимо выполнять две задачи: изменять мощ-
ности станций для поддержания частоты на номинальном уровне и
сохранять оптимальное распределение мощностей, обеспечивающее
минимум затрат. На первый взгляд может показаться, что обе за-
дачи должны осуществляться обязательно одновременно, т. е. что
169
регулировать частоту нужно именно на тех агрегатах, нагрузка
которых должна изменяться по условиям оптимального распреде-
ления мощностей. Однако такой вывод в большинстве случаев яв-
ляется неправильным. Дело в том, что на медленные монотонные
изменения суммарной нагрузки энергосистемы всегда накладыва-
ются нерегулярные случайные колебания. Опыты в энергосистемах
показали, что наряду с очень быстрыми нерегулярными колебания-
ми с амплитудой 0,1—0,5% и периодом 5—10 сек наблюдаются так-
же колебания нагрузки с амплитудой 0,5—1,5% и с периодом коле-
баний, измеряемым несколькими минутами. Если на быстрые ко-
лебания (Т«5—10 сек) никакое устройство вторичного регулиро-
вания не может реагировать, так как скорость вторичного регули-
рования должна быть 30—40 сек (чтобы обеспечить устойчивость
вторичного и первичного регулирования), то на более медленные
колебания суммарной нагрузки (7«5—10 мин) вторичные устрой-
ства будут реагировать. При этом на такие колебания не должно
реагировать только вторичное устройство, установленное на том
агрегате, который должен изменять свою мощность по условиям
оптимального распределения мощностей. Для такого агрегата 1 %
мощности системы уже составляет 30—50% его мощности, а быст-
рое изменение нагрузки агрегата на 30—50% в обе стороны неце-
лесообразно по условиям экономичности и, кроме того, один агре-
гат небольшой мощности не может обеспечить качественное под-
держание частоты.
Вследствие этого в большинстве случаев целесообразно разде-
лить функции вторичного регулирования (автоматическое регули-
рование частоты) и оптимального распределения мощностей, на-
зываемого третичным регулированием. Процесс оптимального рас-
пределения мощностей следует производить очень медленно:
например, проверку правильности распределения мощностей не
чаще одного раза в 15—20 мин или тогда, когда среднее значение
суммарной мощности изменится на 2—4%. Процесс же вторичного
регулирования должен происходить непрерывно и в нем должно
принять участие подавляющее большинство электростанций. При
таком условии обеспечивается высокое качество поддержания
частоты, а отклонение мощностей от оптимальных значений будет
очень невелико.
Если автоматическое регулирование осуществляется по стати-
ческому или комбинированному критерию, то при установлении
оптимального распределения активных мощностей величина опти-
мальной мощности вводится в АРЧ как заданная мощность Ру.
Таким образом, мощность агрегата колеблется вблизи оптималь-
ного значения. Это обеспечивает высокую экономичность режима.
Значения оптимальных мощностей должны проверяться 1 раз в
15—20 мин, и новые значения должны вводиться в ЛРЧ автомати-
чески или вручную. Если проверка оптимальных мощностей произ-
водится по отклонению суммарной нагрузки, то можно легко опре-
делить соответствующее изменение частоты (при статическом кри-
терии) или электрического времени (при комбинированном крите-
170
рпи). В самом деле, из условия (6-14) следует, что частота меняет-
ся пропорционально отклонению суммарной нагрузки, поэтому
можно найти новое значение частоты, соответствующее заданному
отклонению суммарной нагрузки, при котором следует проверить
экономическое распределение. Если, например, принять, что
6Ряз = 3% от Рн, а крутизна системы по частоте /(=30, то
_±L_=0,03-— = 0,001 или 0,1%.
/ном 30
Пока частота не изменится на 0,1%, оптимальное распределение
активных мощностей не следует проверять.
При пользовании комбинированным критерием можно опреде-
лить ошибку электрического времени, соответствующего заданному
изменению суммарной нагрузки. Из (6-20) очевидно, что
йр2=-^эл^4^рном/,
А//
откуда
8/э =-------—--------. (6-24)
У Kpi р .
К а пом 1
Величина б/эл может быть заранее вычислена, что позволяет
найти предельное значение ошибки электрического времени, при
достижении которой следует проверить оптимальное распределение
мощностей.
В очень редких случаях, при отсутствии заметных колебаний
суммарной нагрузки и при строго монотонном ее изменении можно
было бы объединить вторичное и третичное регулирование. При
этом отклонение частоты или ошибки электрического времени долж-
но изменять удельный прирост системы и, следовательно, опти-
мальное распределение мощностей. Однако и тогда устройство
должно работать весьма медленно во избежание перерегулирования
мощностей и колебаний частоты.
В объединении энергосистем со слабыми связями вместе с за-
дачей автоматического регулирования частоты возникает задача
регулирования потоков мощности по межсистемным связям. В на-
стоящее время широко внедрен критерий вторичного регулирова-
ния, имеющий вид
8//Гж,«+Х8Рп/Рйои=0, (6-25)
где 6РП — отклонение перетока мощности по связям в другие энер-
госистемы Рп от заданного значения Рп.у; /ном— номинальная мощ-
ность станций системы; X — произвольно выбираемый коэффициент
крутизны регулирования по перетоку.
Очевидно, что бРп=/’п — Рп.у.
171
При таком регулировании в случае отклонения частоты (df#=O)
переток мощности изменяется по сравнению с заданным значением,
причем с уменьшением частоты переток возрастает, т. е. при этом
обеспечивается помощь данной энергосистемы другим. Однако в
конечном счете регулирование получается астатическим. Из (6-25)
найдем отклонение перетока для отдельных энергосистем:
в/

Рном 1 . _ в/ Рнрм 2 .
/ном /ном ^2
Суммируя их, получим
+ «₽п2 + • • = (Л,. + ₽„2-Ь - - ) ~ (Л>.у 1 + Л,.у 2+ - • • )=
_ 8/ У р»°м ‘ (6-26)
/ном «
Так как ЛиЧ-АяН- ... =0, то при неучете потерь в межсистем-
ных связях или при разнесении этих потерь по концам связей имеем
^п.у х+Лт.у 2+ •.. =0.
Левая часть выражения (6-26) при этом равна нулю; но тогда
равновесие соответствует условию 6f = 0 и бРПг = О для всех энер-
госистем. Таким образом, выбирая уставки обменных потоков
мощности так, чтобы их алгебраическая сумма равнялась нулю,
можно обеспечить точное поддержание частоты и перетоков мощ-
ности. Это означает, что каждая система покрывает изменение
своей нагрузки. Поэтому необходимым признаком проверки опти-
мального распределения мощностей может быть только изменение
суммарной нагрузки данной энергосистемы. Перетоки мощности
должны обеспечить оптимальное распределение мощности между
энергосистемами.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 6
1. И. М. Маркович. Режимы энергетических систем. «Энергия», 1969.
РАСЧЕТЫ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ПРИМЕНЕНИЕМ АНАЛОГОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
МАШИН (АВМ)
§ 7-1. ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ РЕЖИМОВ НА АНАЛОГО 1ЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИНАХ
В основе действия аналоговых вычислительных машин
(АВМ) лежит аналогия между уравнениями, описы-
вающими процессы различной физической природы.
Например, движение материальной точки, подвешенной на пружи-
не в вязкой среде, описывается линейным дифференциальным урав-
нением второго порядка:
mt7’1)
0/2 dt
где т — масса; п — коэффициент трения; h — удельная сила пру-
жины; х — смещение точки; Xq — положение точки в покое при от-
сутствии внешней силы; F —сила.
Аналогичным уравнением описываются процессы в электриче-
ском колебательном контуре:
d2Q I р dQ
dt2 "г" dt
L
(7-2)
где L — индуктивность; /? — сопротивление; С — емкость; Е —
электродвижущая сила; Q — заряд.
Уравнения (7-1) и (7-2) сходны по форме и поэтому, наблюдая
за процессом в колебательном контуре, можно судить о движении
материальной точки, и наоборот. Заряд конденсатора будет изо-
бражать смещение, ток — скорость и т. д. Электрическими колеба-
ниями моделируются механические колебания.
В технике, в частности в электроэнергетике, широко применяет-
ся моделирование с помощью АВМ. При этом все искомые пере-
менные величины изображаются потенциалами постоянного тока,
а независимой переменной является время. Дифференциальные и
алгебраические уравнения, связывающие между собой потенциалы
узлов модели (АВМ), должны по форме совпадать с уравнениями,
описывающими процессы в натуре (в моделируемой системе).
173
Основным элементом АВМ является операционный усилитель
постоянного тока с глубокой отрицательной обратной связью. С по-
мощью этих усилителей осуществляются все операции моделиро-
вания.
Умножение на постоянный коэффициент осуществляется с по-
мощью усилителя (рис. 7-1, а), выходное и входное напряжение
которого связаны равенством
— —kll
вых вХ’
где k — коэффициент усиления (входное и выходное напряжения
имеют противоположные
знаки). При k=l усилитель
превращается в инвертор
(рис. 7-1, б).
Для сложения применя-
ется усилитель со .многими
входами. Если на вход пода-
ются величины t7j, U2, t/3
и т. д., то выходное напря-
жение (рис. 7-1, в)
^вых~ —(^/Л+^ЛЧ- •
+ ^з)>
где k2, k3 — коэффициен-
ты.
В частном случае, когда
k j = == . . • = kn ~ 1 ,
осуществляется простое сум-
мирование (рис. 7-1, г).
Для вычитания достаточ-
но подвести ко входу сум-
знаком.
связи вы-
матора напряжение с отрицательным
Операционный усилитель с емкостью в цепи обратной
полняет операцию интегрирования (рис. 7-1, д)
77 ых= ~ f U
или интегрирования с одновременным умножением на постоянный
коэффициент (рис. 7-1, с).
В большинстве АВМ предусматривается возможность введения
заданной функции искомой переменной вида
у=Р (*)
с помощью различного вида электромеханических или электрон-
ных устройств (рис. 7-1, ж}. Обычно используется аппроксимация
функции, причем не допускаются разрывы (скачки) функций.
174
Для получения нелинейных функций вида произведения двух
искомых переменных
У=*1
служат специальные блоки (рис. 7-1, з), называемые множитель-
ными устройствами. На входы таких блоков подаются сомножите-
ли Xi, Х2, а на выходе получается их произведение.
Во многих системах автоматического регулирования встреча-
ются звенья, для описания процессов которых приходится вводить
функции особого вида (рис. 7-1, и), функции времени (рис. 7-1, к),
Рис. 7-2.
различные ограничения, зоны нечувствительности, запаздывания
и т. п. (рис. 7-2), где х — входная величина; у — выходная. Для
воспроизведения этих зависимостей используются операционные
усилители с вентилями в цепи обратной связи и на входах. Комби-
нации преобразователя типа y=F(x) с множительным устройст-
Рис. 7-3. Рис. 7-4.
вом (рис. 7-3) позволяют получать не только произведение, но и
частное. Полагая у= l/jq и умножая у на Хэ, получим
г = (1/л:1)х2 = (л:2//х1).
Для введения заданной функции времени f (/) в некоторых АВМ
применяются специальные электромеханические устройства. Иног-
да заданная характеристика аппроксимируется какой-либо, напри-
мер ступенчатой, кривой с большим числом ступеней. Если нет спе-
175
циального устройства, то функцию времени можно получить, соеди-
нив интегрирующий элемент и функциональный преобразователь
У=Р(х)г как показано на рис. 7-4.
В некоторых случаях требуется найти не функцию по аргумен-
ту, а, наоборот, аргумент по функции. Например, надо получить 6
из уравнения
A sin 8=Р,
(7-3)
где А — заданное число; Р — входная величина.
Задачу можно решить, введя функцию
8 = arcsin (Р)А)
с помощью соответствующего функционального преобразователя.
Но возможен и другой способ (рис. 7-5). В цепь обратной связи
усилителя включен функциональный
Рис. 7-5.
преобразователь, дающий на выходе
синус входной величины. На вход пре-
образователя подается выходная вели-
чина усилителя — б. К входу усилите-
ля подведена разность (Asin б — Р).
При большом коэффициенте усиления
эта разность практически будет равна
нулю, а на выходе получится величи-
на б. При изменении Р будет изме-
няться и б, так что равенство (7-3) бу-
дет выполняться.
Равенство двух величин воспроиз-
водится непосредственным соединением шин или узлов, напряже-
ние на которых моделирует одинаковые величины (при условии
равенства масштабов).
Таким образом, блоки и элементы АВМ позволяют воспроизве-
сти практически все связи между искомыми переменными величи-
нами, задаваемые обыкновенными дифференциальными и алгебра-
ическими уравнениями. Наоборот, если составлена схема и извест-
ны коэффициенты усиления блоков, указанных на схеме, то можно
записать систему уравнений, описывающих процессы в модели.
176
Рассмотрим в качестве примера схему (рис. 7-6). Уравнения,
описывающие протекающие в ней процессы, имеют вид
dx2ldd= — *f,
dxs)dt— — *2;
xt= — (0,9*3 — 0,1*2 — 1).
Исключая и х2, получим уравнение
d2x3jdt2= 1 — 0,9*3 — ®,ldxs]dt,
равносильное уравнению
б/2*з/^24-0,1б/*3/^-|_0,9*з= 1.
Уравнения, описывающие изучаемые процессы, представленные
на модели, для краткости называются уравнениями модели. Между
коэффициентами в уравнениях модели и натуры существует опре-
деленная зависимость. Для перехода от уравнений модели к урав-
нениям натуры служат коэффициенты преобразования, называе-
мые иногда масштабными множителями, или масштабами: Л],
а2,..., ап. Обозначая через Xi, х2, х3,..., хп переменные в натуре, а
через у\, у2, уз,Уп переменные на модели, получим
p1 = 6ii*i; p2=iz2*2; у3=а3х3,...; уп = апхгс (/-4)
Иногда удобнее пользоваться обратными величинами масштаб-
ных коэффициентов-
п
и соответственно равенствами
^2 = ^2^2» -^3=^з7з’• • • •
На схемах соединения элементов АВМ даются обозначения мо-
делируемых величин, но надо помнить, что на самом деле они пред-
ставлены напряжениями. Напряжение в каждом из узлов схемы
моделирует какую-нибудь величину в определенном масштабе. На-
пример, если «1 = 2 в!а, то это значит, что один ампер натуры соот-
ветствует двум вольтам машины.
Производные переменных следует рассматривать как другие
переменные со своими масштабами. Функции тоже должны вво-
диться со своими масштабами. Таким образом, масштабы являют-
ся именованными величинами и показывают, сколько единиц на-
пряжения на модели изображают единицу моделируемой перемен-
ной в натуре.
Обычно напряжения на электронных моделях отсчитывают не
в вольтах, а в долях некоторой условной единицы (t7y), в качестве
которой выбирают наибольшее допустимое напряжение (равное в
большинстве случаев 100 в). От отсчета в вольтах можно просто
перейти к отсчету в условных (относительных) единицах: достаточ-
177
но уменьшить все напряжения и масштабные коэффициенты соот-
ветственно той величине, в долях которой ведется отсчет. Это рав-
носильно делению правых и левых частей равенств (7-4) на Uy.
При умножении двух величин (г/i и у^) на модели получаем
третью величину
Уз=У1Х У2-
Обычно блоки умножения строятся так, что если в условных еди-
ницах у\ = у2=1, то г/з=1. Практически это означает, что в боль-
шинстве АВМ при подаче на входы блока умножения напряжений
по 100 в каждое, на выходе получается тоже 100 в. Если бы отсчет
велся в вольтах, то для таких блоков пришлось бы при умноже-
нии в уравнения вводить множитель 0,01.
Рис. 7-7. Рис. 7-8.
При моделировании с помощью АВМ можно менять масштаб
времени. Время можно «растянуть» или сжать. Формально это де-
лается путем введения масштабного коэффициента времени at.
Если время в натуре обозначить через t, то время в долях единицы
на модели
^м = ^. (7-5)
Если Oz>l, то процесс на модели протекает медленнее, чем в на-
туре; при «z<l процесс, наоборот, ускоряется.
При выборе масштабов необходимо учитывать ряд факторов,
связанных с конструкцией модели, с одной стороны, и особенностя-
ми решаемой задачи — с другой. Значения моделирующих напря-
жений в процессе решения не должны выходить за допускаемые
конструкцией модели пределы (обычно от —100 в до +100 в). В то
же время следует избегать малых моделирующих напряжений
(менее 20 в), чтобы не затруднять отсчет и уменьшить влияние
абсолютной погрешности на получаемые результаты. Масштаб
времени желательно выбирать таким, чтобы весь исследуемый про-
цесс уложился в оптимальное для данной модели время (обычно
1—3 мин). При этом скорости изменения напряжений должны ле-
жать в пределах, допускаемых частотными характеристиками ма-
шин. Однако далеко не всегда можно ввести желаемые масштабы.
Надо еще учитывать ограничения величины коэффициентов урав-
нений, обусловленные конструкцией блоков АВМ.
Рассмотрим в качестве примера включение э. д. с. в цепи, изо-
браженной на рис. 7-7. Цепь включается на напряжение Е=180 в.
178
Величина сопротивления 7? = 0,5 ом, емкости L = 2 мгн = 0,002 гн,
начальное значение тока /о=О.
Уравнение, описывающее процесс, запишется как
LdRdt^RI=E,
или
0,002б///^+0,5/=180.
Для моделирования удобнее записать уравнение процесса в
виде
d!ldt = EIL~RIIL. (7-6)
Принципиальная схема соединения элементов модели показана
на рис. 7-8. Примем, как обычно, за единицу отсчета напряжения
на модели 100 в. Из схемы видно, что для напряжения Е, подводи-
мого от источника э. д. с., удобен масштаб 1/200 = 0,005 1/в.
Определим наибольшее значение тока: Е//? = 360 а. Следова-
тельно, для тока удобно выбрать масштаб 1/400 = 0,0025 l/а. Обоз-
начим моделирующие напряжения теми же буквами, что и модели-
руемые величины, но с добавлением индекса «м». Индексы в обоз-
начениях масштабов выберем совпадающими с обозначением со-
ответствующих переменных. Для данного примера переменные на
модели связаны с переменными в натуре равенствами
= = (7-7)
Подставляя выражения Е, /, t из (7-7) в (7-6), получим
d I м £м ,
af . dtw a^L a{L
ИЛИ
dR = al E__________R j _
dtu ata^L M a(L M
Коэффициенты при Ем и /м в последнем уравнении должны
быть установлены на АВМ (на входах сумматора). С одной сто-
роны, конструкция АВМ допускает установку значений коэффи-
циентов в ограниченных пределах (например, от 0,01 до 10). С дру-
гой стороны, надо так их подобрать, чтобы значение напряжения
diм/dtM не вышло за допустимые пределы, т. е. было не больше еди-
ницы. Наибольшим напряжение будет в начальный момент:
W =aiEJ(ataEL\
Учитывая, что Ем = аЕЕ = 0,9, выбираем aR (сцавЕ) = 1 или аг =
= аг/(ав£) =250. Коэффициент при /м есть R/(atL) =
= 0,5/(250-0,002) = !.
179
Выясним, допустим ли получившийся масштаб времени. В рас-
сматриваемой цепи ток будет нарастать по экспоненте с постоян-
ной времени L/R = 0,002/0,5 = 0,004 сек. Весь процесс практически
закончится за 5L/R = 5-0,004 = 0,02 сек. На модели процесс будет
продолжаться в 250 раз дольше, т. е. 0,02-250 = 5 сек, что вполне
допустимо и удобно.
На практике, особенно при решении сложных систем уравне-
ний, далеко не всегда удается подобрать удобные масштабы. Часто
условия, которым стараются подчинить этот выбор, оказываются
противоречивыми и приходится искать компромиссное решение.
Кроме того, обычно нельзя заранее сказать, как будет протекать
процесс. Приходится выбирать масштабы в значительной мере
наугад, согласуя их с допустимыми значениями коэффициентов
усиления операционных усилителей на модели, а затем опытным
путем подбирать их так, чтобы моделирующие напряжения были не
слишком малы, но и не выходили за допустимые пределы.
После выбора масштабов, вычисления коэффициентов и уста-
новки их на АВМ необходимо задать начальные значения пере-
менных — начальные условия. Количество начальных условий за-
висит от порядка дифференциальных уравнений исследуемой систе-
мы. Начальное значение каждой из зависимых переменных вводит-
ся путем заряда конденсатора цепи обратной связи интегрирующе-
го элемента: начальное напряжение на конденсаторе должно быть
равно начальному значению переменной, получающейся на выходе
элемента, в соответствующем масштабе. После сборки схемы, уста-
новки коэффициентов и введения начальных условий АВМ пере-
ключается в режим решения, и напряжения в узлах меняются во
времени в соответствии с моделируемыми уравнениями. Процесс
можно наблюдать с помощью катодного осциллографа, стрелочных
приборов, цифровых вольтметров или записывать с помощью реги-
стрирующих приборов.
На многих АВМ предусмотрена возможность остановки (пре-
рывания) процесса. Это достигается переключениями в схеме ин-
тегрирующих звеньев, обеспечивающими неизменность напряжения
на конденсаторах.
Технические характеристики некоторых АВМ, выпускаемых в
Советском Союзе, приведены в табл. 7-1.
МН-7 предназначена для моделирования процессов в системах
автоматического регулирования и снабжена элементами нелиней-
ностей специального вида (см. рис. 7-2), четырьмя элементами
z = x-y и четырьмя элементами F(x). Из последних восьми элемен-
тов одновременно можно включать любые четыре. Нелинейности
F (х) аппроксимируются ломаной кривой, состоящей из 11 отрез-
ков. Аппроксимирующая кривая представляется с помощью элек-
тронной схемы. Нелинейности специального типа вводятся с по-
мощью собранных на коммутационном поле схем, содержащих
операционные усилители и диоды. Машина снабжена восемью
диодными ячейками, что позволяет иметь от четырех до восьми не-
180
Таблица 7-1
Технические характеристики АВМ
Тип Число блоков ин- тегрирования Число функциональ- ных преобразователей Числю бло- ков для введения функций времени Площадь и место для установки
z=xy или z=x/y
МН-7 6 д* д* 0,5 м2, на столе (0,46X0,44) м2, на столе (2,35X5,2) м2 (без блока пи- тания)
МН-ЮМ 10 есть есть —
МН-14-2 20 50** 20 12
МН-17 40 96 30 — 45 м2 — комната
МН-18 10 8 10 — (1,71X0,53) м2
МНБ-1 9 есть есть — (3X1) м2, на столе
ЛМУ-1 9 — — 20 (0,62 X 1,23) м2, на столе
ЭМУ-10 24 есть есть — (3X1) м2
МПТ-9-3 16 — — 20 (5,4X1,23) м2
Аналог-1 10 2 1 — (без блока питания)
АВ К-2 (2) 20 g** 10 — (0,5 ХОД) м2, на столе 1,6 л*2 110 м2 (с цифровой машиной)
АЦЭМС-1 40 24 40 —
АЦЭМС-1М 20 12 20 — НО м2 (с цифровой машиной)
* Одновременно может быть использовано не более четырех функциональных пре-
образователей.
** Сюда входят блоки для умножения двух переменных, деления одной переменной на
другую и извлечения квадратного корня.
линейностей такого типа. Машина может быть установлена в ком-
нате на столе.
МН-1 ОМ выполнена на полупроводниках. По своим характери-
стикам она близка к машине МН-7, отличается от нее меньшим
весом и потреблением мощности. Диапазон изменения переменных
величин ±25 в (а не ±100 в, как в большинстве моделей). Маши-
на снабжена шестью диодными ячейками для сборки нелинейно-
стей специального вида.
МН-14-2 и МН-17 предназначены для моделирования сложных
динамических систем, описываемых обыкновенными нелинейными
дифференциальными уравнениями высоких (20-го и выше) поряд-
ков. Машины снабжены рядом специальных устройств:
а) тремя блоками постоянного запаздывания т;
б) четырьмя блоками нелинейности специального вида (см.
рис. 7-2);
в) шестью блоками для введения тригонометрических функций;
г) двенадцатью электронными время-импульсными следящими
системами, предназначенными для выполнения операций умноже-
ния и деления.
МН-18 выполнена на полупроводниках и может быть использо-
вана в составе аналого-цифрового вычислительного комплекса.
Помимо указанных в табл. 7-1 блоков, в состав машины входят
пять блоков воспроизведения типовых нелинейных зависимостей и
181
блок операции условного перехода. Имеются съемные коммутаци-
онные поля. Диапазон изменения переменных величин ±50 в.
Время-импульсные системы отличаются повышенной точностью.
МНБ-1, как и другие АВМ, предназначена для решения обыкно-
венных нелинейных дифференциальных уравнений. Машина имеет
блок для введения нелинейностей.
ЛМУ-1 применяется для решения обыкновенных дифференци-
альных уравнений. Предусмотрено введение до 20 переменных ко-
эффициентов и нелинейностей специального вида.
ЭМУ-10 предназначена для решения систем сложных нелиней-
ных дифференциальных уравнений. Машина снабжена устройст-
вом, позволяющим решать задачи с широким диапазоном измене-
ния переменных (до восьмого порядка). Имеются функциональные
преобразователи и множительные устройства, блоки управляемо-
го запаздывания, а также сменное наборное поле.
МПТ-9-3 применяется для решения обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений и не содержит блоков нелинейно-
стей. Секции для моделирования переменных коэффициентов по-
ставляются по желанию заказчика.
Аналог-1 относится к машинам малой мощности. Особенностью
этой машины является ее построение, обеспечивающее подбор ре-
шающих элементов в соответствии с характером поставленной за-
дачи. Машина очень компактна, так как блоки имеют небольшую
высоту и могут устанавливаться друг на друга.
АВК-2(2) содержит собранные на транзисторных усилителях
блоки, в число которых входит восемь блоков умножения, деления,
извлечения квадратного корня; шесть блоков для воспроизведения
функций одной переменной; четыре тригонометрических блока,
шесть блоков для операций сравнения, переключения цепей, выбо-
ра максимума или минимума и для введения ограничений. Машина
имеет съемные наборные поля. Предусмотрена возможность под-
ключения внешней аппаратуры.
АЦЭМС-1 — аналого-цифровая вычислительная система, пред-
назначенная для моделирования в реальном масштабе времени
сложных объектов. Система включает четыре машины МН-18 и ра-
ботает совместно с цифровой машиной М-220 или Урал-11. Обмен
информацией между аналоговой и цифровой частью комплекса
осуществляется по 60 каналам со скоростью 40 000 преобразова-
ний в секунду.
АЦЭМС-1М — модернизированный вариант системы АЦЭМС-1.
В его состав входят две машины МН-18. Работает совместно с циф-
ровой машиной М-220 или Урал-11Б.
§ 7-2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯВЛЕНИЯ КАК ОСНОВА
РАСЧЕТА
Моделирование воспроизводит действительный
процесс с некоторой погрешностью. Необходимо различать два
принципиально разных источника этих погрешностей. Один источ-
182
ник—несовершенство самой модели и ее элементов, вызывающее
ошибки в установке коэффициентов, измерениях и т. д. Эти погреш-
ности будут рассмотрены позже. Другой источник погрешности —
неизбежные неточности в математическом описании явлений. Лю-
бое уравнение описывает процессы при некоторых правильных
предположениях в отношении рассматриваемой системы. Так, про-
стейшее уравнение электрического колебательного контура верно
лишь при постоянстве его параметров (/?, L, С). Токи и напряже-
ния в цепях переменного тока принимаются строго синусоидаль-
ными. Уравнения длинной линии выводятся в предположении по-
стоянства ее индуктивности, емкости, проводимости и сопротивле-
ния на единицу длины.
Во многих случаях сложные системы заменяются более просты-
ми. Так, широко распространено представление длинной линии
с распределенными параметрами цепочечной схемой замещения.
В теории синхронных машин действие распределенных успокои-
тельных обмоток отражается контурами с сосредоточенными пара-
метрами.
Ряд упрощений вводится при исследовании сложных электро-
энергетических систем. Трехфазные системы считаются симметрич-
ными и представляются однофазными схемами. Многоагрегатные
электростанции эквивалентируются одним генератором. Множество
мелких приемников обычно замещается одним мощным приемни-
ком с характеристикой, подобранной соответствующим образом.
При решении задач перспективного планирования развития
энергетических систем приходится вводить уравнения, которые при-
ближенно отражают связи: мощности станций, их стоимости и
стоимости вырабатываемой энергии; стоимости линий и их про-
пускной способности; загрузки линий электропередач и текущих
расходов; загрузки средств транспорта энергетического топлива и
расходов и т. д.
Применение электронных моделей облегчает решение уравне-
ний, позволяет исследовать относительно сложные системы, но ни
в коей мере не снимает и не облегчает рассмотрения технической
задачи на этапе разработки математического описания явления.
Математическое описание явления, формулировка уравнений,
описывающих процессы, является самостоятельным этапом иссле-
дования, предшествующего численному решению инженерной зада-
чи с помощью математической машины. Совокупность математиче-
ских уравнений, описывающих в пределах принятых допущений
изучаемые явления, и установок для их решения называется в
дальнейшем математической моделью.
При разработке математической модели нецелесообразно опи-
сывать все детали процессов в рассматриваемой системе. Так, не-
правильно было бы пытаться изучать современную электроэнерге-
тическую систему, исследуя поведение каждого из приемников эле-
ктроэнергии и каждого из генераторов (так же, как
нецелесообразно при изучении движения твердого тела описывать
движение каждой молекулы). Необходимо в каждом случае иметь
183
математическое описание, позволяющее воспроизвести на модели те
особенности рассматриваемого явления, которые наиболее сущест-
венны для задач, стоящих перед исследователем. Здесь иногда воз-
никает противоречие. Математическая модель нужна для изучения
явлений, но для ее разработки нужно многое знать о явлении.
Противоречие разрешается практикой построения модели, которая
сначала строится на основе наблюдений, гипотез, свойств изучае-
мых объектов. Далее в процессе анализа решений, даваемых мо-
делью, сравнения их с экспериментальными данными и практиче-
ского использования результатов модели улучшаются, прибли-
жаясь к тому, что наблюдается в действительности. Так, в
процессе длительной творческой работы создаются математические
модели во всех областях техники.
Степень детализации математических моделей зависит от стоя-
щих перед исследователем задач. При изучении волновых процес-
сов в длинной линии необходимо пользоваться волновыми уравне-
ниями, а изучение электромеханических процессов в энергетической
системе позволяет полностью пренебречь переходными процессами
в линиях.
Если основное внимание обращается на процессы в синхронной
машине, то может понадобиться детальное описание переходных
процессов в цепях статора, ротора и успокоительной обмотки, а
остальную часть электрической системы в большинстве случаев
можно представить шинами неизменного напряжения.
При рассмотрении процессов в сложной электрической системе
уравнения генераторов обычно упрощают, но учитывают другие
факторы: взаимодействие генераторов, поведение нагрузки и т. п.
Динамическую устойчивость часто исследуют в предположении
постоянства частоты и мощности турбин, тогда как при изучении
асинхронного хода всегда необходимо принимать во внимание дей-
ствие регуляторов скорости.
Иначе выглядит математическая модель при исследовании про-
цессов регулирования частоты. Здесь можно не учитывать качаний
роторов генераторов при изменении их нагрузки.
Задачу экономического распределения нагрузок между стан-
циями системы решают, отвлекаясь от процессов регулирования
мощности и частоты.
Даже не считаясь с ограничениями возможностей вычислитель-
ных машин, можно сказать, что исключение второстепенных факто-
ров, разумное сокращение и упрощение математической модели
необходимы для того, чтобы иметь возможность изучать основные
закономерности, выделить характерные процессы. Существенное
значение имеют обозримость результатов и возможность ана-
лиза. Например, при моделировании на АВМ переходных процес-
сов просто невозможно было бы наблюдать одновременно за изме-
нениями сотен переменных и анализировать влияние различных
факторов и параметров на них.
Во многих случаях при разработке математической модели по-
является возможность существенно упростить уравнения и сокра-
184
тить число участвующих параметров путем математических преоб-
разований. Одним из примеров преобразований такого рода может
служить метод комплексных амплитуд в теории переменных токов,
когда совершается переход от уравнений, содержащих синусо-
идально меняющиеся во времени величины, к алгебраическим урав-
нениям с комплексными коэффициентами. Другим примером может
служить метод симметричных составляющих, особенно эффектив-
ный при исследовании установившихся режимов в симметричных
системах переменного тока, когда в результате преобразования
трехфазная система заменяется эквивалентной однофазной. Из-
вестны также методы преобразования координат синхронной ма-
шины, в результате которых существенно сокращается число урав-
нений и параметров, необходимых для описания процессов в сим-
метричной машине. Теория многополюсников позволяет исключить
из рассмотрения неизвестные величины, характеризующие проте-
кание процессов во внутренних звеньях, и выделяет токи и напря-
жения в узлах, соединенных с другими частями системы. Перечис-
ленные и подобные им методы имеют существенное значение и при
использовании электронных моделей.
Электронная модель позволяет относительно просто решать си-
стемы уравнений, которыми описывается процесс. При установлен-
ных на модели параметрах системы и начальных условиях резуль-
тат получается в численной форме. Для анализа явлений необхо-
димо исследовать процессы при разных значениях тех величин,
которые оказывают наибольшее влияние на протекание процессов.
При этом необходимо учитывать, что все выводы справедливы
лишь в той мере, в какой математическая модель отображает на-
туру. Недооценка этого положения может привести к серьезным
ошибкам. Так, замещение станции одним генератором в большин-
стве случаев дает правильный результат, когда исследуется систе-
ма, но при этом может остаться незамеченной возможность отно-
сительного раскачивания роторов генераторов в пределах станции.
А это явление может нарушить нормальную работу и всей системы.
Чтобы изучить систему, в которую включен четырехполюсник,
достаточно вычислить значения переменных на входе и выходе
четырехполюсника. Однако для определения токов и напряжений в
ветвях и узлах внутри реального устройства этих данных недоста-
точно. Требуются дополнительные сведения о схеме и параметрах
включенных в нее элементов.
Разработка математической модели тесно связана с определе-
нием численных параметров (коэффициентов уравнений) модели,
начальных и граничных условий и т. п. Однако все параметры для
реальных объектов известны лишь с некоторой погрешностью, за-
висящей от ряда причин. На некоторые параметры влияют внешние
условия. Так, нагрузки в узлах электроэнергетической системы не-
прерывно меняются. Любой расчет режима системы соответствует
некоторому предполагаемому сочетанию нагрузок или наблюдав-
шемуся ранее сочетанию, когда-то зафиксированному специальны-
ми измерениями. Обычно опыт инженера позволяет оценить, в ка-
185
кой мере результаты такого расчета отражают реальные процес-
сы, а также какая погрешность вносится неточностью задания ис-
ходных данных и упрощениями, принятыми при создании матема-
тической модели. Изучение новых вопросов требует специальных
исследований влияния этих факторов на результаты.
§ 7-3. ПОДГОТОВКА ЗАДАЧ К РЕШЕНИЮ НА АВМ
Подготовку задачи к решению с .помощью АВМ
можно условно разделить на несколько' этапов:
1) техническая формулировка задачи;
2) математическая формулировка задачи, задание исходных
данных для численного решения;
3) преобразование уравнений к виду, допускающему или упро-
щающему применение электронной модели;
4) составление принципиальной схемы для соединения элемен-
тов электронной модели;
5) предварительный подбор масштабов;
6) составление рабочей схемы с указанием значений коэффици-
ентов усиления;
7) экспериментальная проверка правильности выбора масшта-
бов, уточнения масштабов и коэффициентов усиления.
Рассмотрим каждый из этапов отдельно. Первый этап не тре-
бует пояснений. Ряд вопросов, относящихся ко второму этапу, рас-
смотрен в предыдущем параграфе. Следует лишь заметить, что
для большого числа часто встречающихся задач электроэнергети-
ки имеются хорошо разработанные и проверенные практикой мате-
матические модели. Когда решается задача такого рода, необходи-
мо лишь правильно написать известные из специальных разделов
теории электросистем уравнения, задать параметры и начальные
условия.
Третий этап требует более подробного рассмотрения. Электрон-
ная модель пригодна при представлении задачи линейными и нели-
нейными алгебраическими уравнениями с действительными коэф-
фициентами, а также обыкновенными дифференциальными урав-
нениями при заданных начальных условиях. Для каждой из этих
задач можно указать наиболее удобные формы записи уравнений.
Но, кроме того, есть некоторые важные задачи электроэнергетики,
рассмотрение которых требует более сложных преобразований.
К ним относится расчет установившегося режима сети переменного
тока, который сводится к решению системы алгебраических урав-
нений с комплексными коэффициентами. Уравнения такого типа
до ввода на модель должны быть приведены к системе с действи-
тельными коэффициентами. Специальные преобразования требу-
ются и при исследовании статической устойчивости системы. При
анализе динамической устойчивости возникает другая трудность.
Здесь заданными являются не начальные условия, а некоторые
требования в отношении характера протекания переходного про-
цесса. При этом необходима особая методика, сводящая постав-
186
ленную задачу к ряду последовательных задач, имеющих заданные
начальные условия.
При составлении принципиальной схемы для модели (четвер-
тый этап) необходимо учитывать, что все блоки модели действуют
направленно (от входа к выходу) и что нельзя автоматически
получить входную величину, меняя выходную. Этим этапом закан-
чивается та часть подготовительной работы, для которой не тре-
буется знания технических характеристик электронной модели.
Для выполнения остальных этапов надо знать, какие элементы
имеются в составе модели, какие коэффициенты усиления можно
устанавливать, какова оптимальная длительность процесса и т. п.
Рассмотрим подробно способы подготовки уравнений для реше-
ния ряда типичных, часто встречающихся задач, учитывая при этом
ограничения, связанные с использованием АВМ.
Переходные электромеханические процессы. Эти процессы в
электроэнергетических системах описываются обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями. Уравнения, записанные в привыч-
ной для инженера форме, обычно содержат вторые производные.
Таковы, например, уравнения движения ротора синхронной маши-
ны и уравнение колебательного контура. Могут встретиться и урав-
нения более высокого порядка. Следует все уравнения порядка,
выше первого, привести к системам уравнений первого порядка
путем введения новых переменных и соответствующих им дополни-
тельных уравнений. Так, например, уравнение второго порядка,
которое описывает движение ротора синхронной машины,
^-^-+^-^ + /(8)=^
dfi dt
преобразуем путем введения переменной
d^dt=s. (7-8)
При этом получим уравнение
О^ + ^' + /(8) = Л, (7-9)
dt
которое должно решаться совместно с (7-8).
Аналогично уравнение колебательного контура (7-2) преобра-
зуется путем введения переменной
dQ'dt=I, (7-10)
что дает уравнение
dr 1
L A_+/?/+-2-Q = E, (7-11)
dt С
решаемое совместно с (7-10).
Для замены производных высших порядков требуется несколь-
ко последовательных подстановок. В результате в общем случае
187
получается система нелинейных дифференциальных уравнений пер-
вого порядка:
Т>
1У-
(7-12)
Здесь может встретиться два случая. В более простом случае
система легко разрешается относительно первых производных.
Тогда после необходимых преобразований запишется эквивалент-
ная система
dxi
dt
Такая система очень удобна для моделирования. В общем виде
(без уточнения содержания блоков, вводящих функции Fn) прин-
ципиальная схема изображена на рис. 7-9. Каждый из блоков F
представляет собой
схему, содержащую
ряд элементов, с по-
мощью которых реали-
зуются операции, за-
данные соответствую-
щими уравнениями. На
шину В .подается по-
стоянное напряжение,
необходимое для вве-
дения в уравнения по-
стоянных слагаемых
(если они есть).
Некоторым недо-
статком схемы являет-
ся сложность выраже-
Рис. 7-9. ния получающихся ко-
эффициентов усиления
через параметры исходных уравнений.
Если разрешить уравнения (7-12) относительно первых произ'
водных трудно, то можно составить соответствующую схему без
преобразований. Для этого уравнения переписываются так, чтобы
каждое из них формально определило производную, соответствую-
щую его номеру:
— dxjdt— (-^j, -^2» • • • ’ dx2\dt, dx^dt,..., t),
— dx^jdt—^2 (-^i•> •^'3, • • •, dx-Jdt, 0, dx^dt,..., ^),
(7-13)
Нули в правых частях стоят на месте производных, вынесенных
в левую часть. Принципиальная схема изображена на рис. 7-10.
Сравнение ее со схемой, приведенной на рис. 7-9, показывает, что
188
моделирование уравнений, неразрешенных относительно производ-
ных, усложняет схему за счет введения дополнительных обратных
связей. В результате может нарушиться устойчивость самой схемы.
Однако переход к более простой и надежной схеме (см. рис. 7-9)
связан со сложными преобразованиями уравнений.
Рис. 7-10.
Если система (7-12) с постоянными коэффициентами линейна,
т. е. в матричной форме имеет вид
ax-f-b d xfdt-Y с=0,
где а и b—квадратные матрицы постоянных коэффициентов; х —
вектор переменных; dx/dt — вектор производных; с — заданный
вектор, то надо обратить матрицу b и помножить уравнение слева
на Ь-1. В результате получим
—d x/rZ/=b_1ax-|-b_1c.
Следовательно, каждый из коэффициентов преобразованной
системы зависит от всех коэффициентов исходной системы. Это,
как отмечалось, является недостатком метода. Кроме того, проде-
ланные вычисления очень трудоемки.
Если система (7-12) нелинейна или содержит переменные ко-
эффициенты, то ее решение относительно производных возможно
практически лишь в некоторых частных случаях.
Таким образом, каждый из двух методов имеет свои преимуще-
ства и недостатки и в каждом отдельном случае приходится ре-
шать, какой из них быстрее ведет к цели.
189
Сопоставим два описанных метода на простом примере расче-
та переходных процессов в двухконтурной цепи (рис. 7-11). Про-
цессы в цепи описываются уравнениями
4i4 Ll2) ——4 (ri4 /*12) Ц 712 г1—-74
— Z.12—-у- —/'12/i4(7247i2)
at
dl‘2
dt
]-(Г24-П2)/2= — ^2-
(7-14)
Эти уравнения не содержат вторых и
высших производных. Ре-
шим систему относитель-
но первых производных.
Умножим первое урав-
нение на (L2+£12), а вто-
рое— на £12 и получен-
ные уравнения сложим. В
новом уравнении не будет
производной тока 72.
Умножая далее первое
уравнение на £!2, а вто-
рое— на (£i + £i2) и скла-
дывая их, найдем второе
преобразованное уравне-
ние, в котором не будет производной тока 1\. Введем обозначения:
+/'12 —/'и; /"2+ /'12 — >'22', L\ + L\2 = L\i\ £2 + £12 — £22.
ные уравнения с новыми обозначениями запишутся
Преобразован-
как
2 \
(7ц722 £12) dl ^dt-\- (^ц£22 — г 12^12) 714
№
-л
сл
W
(7-15)
4 ( Г22^ 12 — Г 12^22) 72 — L-tfE.},
ri4i2 > 12^11) 7t4 (7ц£22 — £12) dl2/^4
4 (г2гТ-11
Решим их относительно первых производных:
dl^dt—[722£'i L-^E^ (/" ц£22 /*i27i2) 7i
(/*22712 f 12^22) 72] • (7ц£22 — 712);
dl^dt=\L^E 1 £11£’2 (/"1412 /" 127ц) I x —
(7-16)
При заданных э.д.с. эти уравнения имеют вид
di\!dt—14 ^i2724
dlWdt = a^I 14 а22^2~\~^2,
190
где
а Г П^22— г12^-12 .
11 2 ’
7ц712 — £-12
г 1Д12— г 12^11 .
7ц722 ^12
7j2Zj2 — 722fij
7ц722 — ^12
г 22^-12 — г 12^-22
7ц722 — -^12
г22^11 — Г 12^12
7ц722 — ^-12
7ц£2— ^12^1
7ц722 — ^12
В последних уравнениях коэффициенты ап и а22 положительны,
а остальные в зависимости от параметров схемы могут быть как по-
ложительными, так и отрицательными. Пусть они будут положи-
тельными. Тогда этим уравнениям будет соответствовать схема,
изображенная на рис. 7-12.
Решение. (7-14) относительно первых производных привело к
тому, что коэффициенты преобразованных уравнений (7-16) выра-
жаются через параметры схемы очень сложно. Для многоконтурных
цепей выражения будут еще сложнее.
Посмотрим, как будет выглядеть модель, если исходить непо-
средственно из уравнений (7-14). Напишем эти уравнения так, что-
бы слева в первом уравнении осталась производная от /1, а во вто-
ром — от /2:
dll Гц - I 1 712 dl<2 1 г12 А,
clt 7ц 7ц 7ц dt 7ц
dl<2 £2 г22 /2+- 712 dli । Г12 т
Z.22 722 L'T'22 dt Z-22
(7-17)
Схема моделирования этой системы изображена на рис. 7-13
При составлении использовалась возможность умножения на коэф-
фициенты в блоке суммирования. Поэтому в схеме нет блоков ум-
ножения на постоянный коэффициент. Основное отличие этой схе-
мы от предыдущей (см. рис. 7-12) заключается в разделении опера-
191
ций суммирования и интегрирования, так как каждая производная
не только интегрируется, но и входит в качестве слагаемого в сумму,
образующую другую производную. Преимущество этой схемы состо-
ит в том, что не требуются громоздкие преобразования уравнений
и вычисления коэффициентов. Кроме того, каждый коэффициент
моделируется непосредственно.
Рис. 7-13.
Для многоконтурных цепей модели строятся аналогично. Чем
сложнее цепь, тем больше операционных усилителей необходимо
иметь в модели. Число интегрирующих элементов равно порядку
системы дифференциальных уравнений. Кроме того, нужно еще
столько же сумматоров (для схемы типа, изображенной на
рис. 7-13) и инверторов. Возможности моделирования с помощью
АВМ определяются в основном числом интегрирующих элементов.
Установившийся режим в цепи постоянного тока с заданными
источниками. Этот режим описывается линейными алгебраическими
уравнениями с действительными коэффициентами: .
0ц*14- ЯЛ-Н1з*з+ ...=^;
021*1 4“ 022*2 4“ 023*3 4- • • • ~ ^2»
031*14“ 032*2 4^033*3 4“ • • • = ^3»
(7-18)
192
или в матричной форме
ах=Ь,
где а—матрица коэффициентов уравнений; х — неизвестный век-
тор; b — заданный вектор.
Для уравнений контурных токов или узловых потенциалов пас-
сивной электрической сети матрица а симметрична. При другой сис-
теме записи и решении других задач симметрия может и не соблю-
даться.
Решить систему (7-18) с помощью АВМ можно различными ме-
тодами. При этом оказывается, что решение иногда не получается,
несмотря на его существование, правильность расчета и сборки
схемы. Во всех основных методах возможность решения связывает-
ся со структурой матрицы коэффициентов.
Разделим каждое из уравнений (7-18) на коэффициент атт
(где т — номер строки) и запишем полученную систему:
•^1 +Аз*з + • • •
Aixi+х2 + Аз*з Ц- . •. = В2; (7-19)
Al-^l "Ь ^32^2~FX3 4“ • • • = -^з’>
Наиболее благоприятными для моделирования являются систе-
мы, для которых соблюдается одно из следующих неравенств:
k 1
2 । Атп I <h 2, 3,..., Л;
п=1
п^т
k
2 ।I <1; «='• з,...,
т = 1
т±п
k k
т= 1 л=1
гп^-п
(7-20)
где т — номер строки; п— номер столбца.
Условия (7-20) формулируются следующим образом:
1) сумма абсолютных величин всех коэффициентов (кроме диа-
гонального) для каждой строки меньше единицы;
2) сумма абсолютных величин всех коэффициентов (кроме диа-
гонального) для каждого столбца меньше единицы;
3) сумма квадратов всех коэффициентов (кроме диагональных)
меньше единицы.
Расположение уравнений в системе не безразлично. Желатель-
но их расположить так, чтобы наибольшие по абсолютной величине
коэффициенты оказались на диагонали матрицы. Тогда и коэффи-
циенты Атп, вычисляемые как отношения ctmnlamm, будут получать-
7—2757
193
ся наименьшими. В уравнениях контурных токов и узловых потен-
циалов автоматически получается нужный порядок. Иногда надо
начинать подготовку с перестановки уравнений, а затем уже делить
на диагональный элемент матрицы. Полезно бывает преобразовать
систему, заменяя некоторые из уравнений их линейными комбина-
циями. Далее по возможности следует «выравнять» недиагональные
элементы матрицы, вводя масштабы. Введем, например, в (7-19)
масштаб равенством У2=^2^2- Это даст систему
4" (As/TG) У2^ Аз*з4^ • • • = Вг;
U/7G) У2 4“ ^гз-^З 4“ • • • = ^2’
^31-^1 + (Л32/К2) + ^33-^3 4- • • =7?3;
в которой после умножения второго уравнения на К2 появится урав-
нение вида
7С2Д2ixi4" У2~^ 7*4Л2зЛ:з4~
— В2К2.
Введение масштаба Д2 привело к уменьшению в К2 раз недиаго-
нальных элементов второго столбца и к увеличению в /G раз ие-
диагональных элементов второй строки.
Дальнейшие преобразования зависят от выбора метода решения.
Если соблюдается хотя бы одно из условий (7-20), то лучше всего
применить метод моделирования. При использовании его
система уравнений (7-19) предварительно переписывается в следую-
щем виде:
— Xi = 04~7112a;2-|- Л13х3+ ... -— Вг',
— -^2=712ixi4“04-Д23х3-|- ... — В2;
— Лз = Л31Х14-Лз2Х2-40-}- ...—В3. .
(7-21)
Левые части уравнений получаются с помощью сумматоров, вы-
ходы которых замыкаются на шины, соединенные со входами. Прин-
Рис. 7-14.
194
ципиальная схема включения элементов модели для системы (7-21)
при положительных коэффициентах уравнений показана на
рис. 7-14.
Если одно из условий не соблюдается, то можно все же попы-
таться воспользоваться этим методом. В случае неудачи следует
применить метод последовательных приближений. При этом урав-
нения (7-19) не решаются относительно неизвестных, а записыва-
ются в виде
-ф-^12-^24" ^13^-34“ • • • — Т?! = 0;
4~-Х-2 4~ ^23-^3 4“ • • • —& 2=0;
^31-^1 4“ ^32-^2 4- Х3 4- • • • — В3=0. .
(7-22)
Суммы членов каждого из уравнений образуются с помощью
сумматоров, выходы которых остаются разомкнутыми. Этим урав-
нениям соответствует схема (рис. 7-15), составленная в предполо-
жении, что все коэффициенты положительны. В отличие от схемы,
приведенной на рис. 7-14,
здесь все шины, на кото-
рых моделируются иско-
мые неизвестные, пита-
ются от независимых ис-
точников э. д. с. Решение
сводится к подбору на-
пряжений %1, х2, х3,....
При этом наблюдают за
значениями напряжений
на выходе сумматоров.
Если уравнения удовлет-
воряются, то [см. (7-22)]
выходные напряжения
сумматоров будут равны
нулю. Сначала устанав-
ливают произвольные на-
пряжения источников, моделирующих неизвестные Xi, Х2,.... Затем
изменяют напряжение на шине %i путем регулирования источника
до тех пор, пока напряжение на выходе первого сумматора не ста-
нет равным нулю. И далее, изменяя Х2, доводят до нуля напряже-
ние на выходе второго сумматора. При этом напряжение на выходе
первого сумматора, конечно, отклонится от нуля. Если неизвестных
много, то, не обращая внимания на то, что первое уравнение уже
не удовлетворяется, переходят к регулированию х3, так чтобы на-
пряжение на выходе третьего сумматора стало равным нулю. Да-
лее аналогично поступают с %4, *5 и т. д. до конца обхода по всем
х, а затем повторяют процесс сначала. Процесс заканчивается, ког-
да на выходах всех усилителей одновременно будет нуль.
Процесс последовательных приближений не всегда дает искомое
решение. Последовательные исправления переменных могут привес-
ти не к уменьшению, а к увеличению сумм.
7*
195
Для сходимости описанного процесса достаточно выполнения
одного из условий (7-20). Однако при этом применимо и моделиро-
вание уравнений. В некоторых случаях метод пригоден и тогда, ког-
да ни одно из условий (7-20) не выполнено. Условия, при которых
описанный метод ведет к сходящемуся процессу и нарушение ко-
торых делает метод неприменимым (необходимые и достаточные
условия сходимости процесса), довольно сложны. Вместо их провер-
ки легче попытаться осуществить процесс. Если сходимость не
обеспечивается, то система уравнений должна быть преобразована.
Существует метод преобразования системы уравнений в такую, для
которой описанный процесс сходится. К сожалению, этот метод
очень громоздок и заключается в следующем. Каждое из уравне-
ний умножается на его первый коэффициент, затем складываются
все полученные таким путем уравнения. Сумма дает первое преоб-
разованное уравнение. Далее каждое из исходных уравнений умно-
жается на его второй коэффициент. Сумма дает второе преобразо-
ванное уравнение. Затем каждое из исходных уравнений умножает-
ся на его третий коэффициент и результаты складываются и т. д.
Описанное преобразование системы уравнений равносильно ум-
ножению на транспонированную матрицу коэффициентов at. В мат-
ричной форме преобразованное уравнение (7-18) запишется как
azax=azb.
В некоторых случаях хороший результат дает сведение задачи
к решению дифференциальных уравнений. Этот метод основан на
том, что решение системы дифференциальных уравнений при воз-
растании независимой переменной сводится к решению системы ал-
гебраических уравнений, если только первая система дает устойчи-
вый результат. Иными словами, можно собрать модель электриче-
ской цепи, в которой после затухания переходного процесса устано-
вится искомый режим.
Приравняем левые части уравнений (7-22) первым производным
•соответствующих переменных с обратным знаком:
— dx1jdt=x1-[- A12x2-j- Л13Ле4- • • • — -^1»
— dx2/d^ = A21x1-l-x2-j-A23x3-j- ... —В2',
— dx3fdt=А31хх-\- А3<^х2-\-х3-\-... —В3;
(7-23)
Эта система при обращении в нуль производных превращается
в исходную систему (7-22). На рис. 7-16 изображена схема соедине-
ний, соответствующая уравнениям (7-23). В отличие от других схем,
она содержит интегрирующие сумматоры. Знаки проставлены с уче-
том того, что они противоположны на входе и выходе усилителя.
На модели этот метод можно реализовать только в том случае, ког-
да решение дифференциальных уравнений устойчиво *.
* Об устойчивости решений см. т. I, гл. 7.
196
Если решение неустойчиво, то на модели будет наблюдаться не-
ограниченное возрастание переменных, напряжения дойдут до пре-
дела, допускаемого усилителями, и нормальная работа модели на-
рушится.
Установившийся режим в сети переменного тока. Этот режим
описывается системой линейных алгебраических уравнений с ком-
плексными коэффициентами, искомые переменные которой также
комплексные. Такую систему уравнений можно решить на АВМ
только после преобразования в систему с действительными коэф-
фициентами и переменными.
Запишем заданные уравнения в матричной форме:
Zi = E, (7-24)
где Z — матрица; I — искомая матрица-столбец; Е — заданный
столбец (все элементы матриц — комплексные числа).
Введем обозначения:
z=r+;x; ё=е'+;е".
Здесь R, X, Г, I", Е', Е"—матрицы с действительными элемен-
тами.
Выполняя умножение, получим уравнение
RI'-X1"+ j (RI"-|-XI') = E' + j E",
Чтобы равенство соблюдалось, должны выполняться равенства
отдельно для действительных и мнимых частей. Это приводит к
системе матричных уравнений:
RI'-XI"=E';
XI' + RI"=E".
(7-25)
Таким образом, система комплексных уравнений всегда может
быть преобразована в систему уравнений для действительных вели-
197
(7-26)
чин, но при этом удвоится число неизвестных и уравнений. Зная
матрицу Z, легко написать матрицу для (7-25). Обычно в сетях
переменного тока значения X превосходят R. В этом случае, помня
условия (7-20), целесообразно изменить порядок уравнений в систе-
ме (7-25), представив ее в виде:
XI' + RI"=E";
-RI' + XI"=-E'
Преобразованная система решается обычными методами, а затем
найденные действительные (Iх) и мнимые (1ХХ) составляющие ис-
пользуются для дальнейших вычислений.
В случае однородной сети для любого элемента матрицы спра-
ведливо равенство RijlXij=c. Из этого следует, что матрица
R=cX. (7-27)
Умножая первое из уравнений (7-26) на с и складывая резуль-
тат со вторым уравнением, получим
(X + с R) Г=с Е" - Е'. (7-28)
Умножим второе из уравнений (7-26) на с и вычтем результат
из первого. При этом запишем
(X + с R) Iх = Е" + с Е'. (7-29)
Подставляя значение R из (7-27) в (7-28) и (7-29), найдем си-
стему уравнений
(1 + с2)ХГ=сЕ"-Е'; 1
(14-c2)XI'=E"4-cE'. J (7'30)
Каждое из двух матричных уравнений (7-30) может решаться
независимо от другого. При этом достаточно один раз набрать схе-
му. Разница между V и 1ХХ будет обусловлена только разницей пра-
вых частей.
В случае совпадения аргументов комплексных чисел в правых
частях исходных уравнений (7-24) следует так выбрать начало от-
счета углов, чтобы элементы столбца Е стали действительными чис-
лами. Тогда Ё = ЕХ, а Е" = 0. В случае однородной сети получается
система
(1-Н2)Х1"=-Е';
(7-31)
Достаточно найти с помощью аналоговой машины значение I"
и затем, умножая его на коэффициент с, получить Iх.
Заметим, что модуль любого из элементов матрицы Z
Z,.,= | X,., 1 +
198
а модуль Л — \ Ц"| V 1 + c2. Уравнения (7-31) можно заменить урав-
нением для модулей
ZI = E, (7-32)
которое решается с помощью АВМ. Аргументы всех Ц будут одина-
ковыми.
Введем обозначения: Ц=Ц | ср. Уравнение (7-24) для
однородной сети при условии Е = Е можно записать в виде
Z I 1 |ф-|?=-Е,
откуда следует, что
<р= — ф. (7-33)
Таким образом, в случае однородной сети переменного тока при
одинаковых аргументах (фазах) в правых частях линейных урав-
нений, описывающих режим, задача нахождения неизвестных ком-
плексных значений I сводится к определению модулей I с помощью
уравнения (7-32) и аргумента (р по (7-33).
§ 7-4. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ И ВОЗМОЖНОСТИ АВМ
ПРИ АНАЛИЗЕ РЕЖИМОВ
Аналоговые вычислительные машины разных типов
применяются для решения широкого круга задач электроэнергетики.
При этом используются как универсальные машины, так и специа-
лизированные, пригодные лишь для частных задач. Некоторые ана-
логовые устройства по своему назначению и конструкции занимают
положение между •вычислительными машинами и регуляторами.
АВМ удобны прежде всего для исследования переходных элек-
тромеханических и электрических режимов, состоящих из следую-
щих процессов: электромагнитных в электрических цепях, электро-
механических, связанных с движением роторов генераторов, регу-
лирования возбуждения генераторов и скоростей турбин,
регулирования и управления в различных устройствах системной
автоматики.
Процессы в линейных электрических цепях. Для их описания
применяются системы обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений. Уравнение для каждого контура пассивной сети имеет
порядок не выше второго. Путем введения дополнительных пере-
менных системе придается вид уравнений (7-12). Если сеть состоит
только из элементов R и L, то сразу же получится система уравне-
ний, каждое из которых содержит производные не выше первого
порядка. Аналогичные уравнения составляются для узловых потен-
циалов при других формах записи основных уравнений. Далее си-
стема преобразуется по общим правилам. Размер задачи, которую
можно решить с помощью электронной модели, зависит в первую
очередь от числа имеющихся интегрирующих звеньев. Например,
19Э
модель МН-7 имеет шесть таких звеньев и на ней можно решить
уравнения шестиконтурной цепи, содержащей индуктивности и со-
противления, или трехконтурной цепи с емкостями.
Расчеты процессов в нелинейных цепях (в цепях, параметры
которых зависят от искомых переменных). Уравнения, к которым
приводят задачи этого типа, содержат нелинейные зависимости,
что значительно- усложняет схемы. Рассмотрим цепь с катушками
(рис. 7-17), потокосцепление которых является нелинейной функци-
Рис. 7-17.
ей тока, и составим для нее уравнения:
d ®ildi 4~ (^14“ ^з)
б/Ф2/б#4~(А>2 4_А>з)^ г4~^з^ i=^2’
Ф1=/ДЛ); ф2=/2(/2).
Для решения задачи удобно построить функции
Л=Л(ф1);
2--F2 (®2)
(7-34)
(7-35)
и собрать схему (рис. 7-18).
Рис. 7-18.
200
Добавим катушку в третью ветвь (рис. 7-19). Составим уравне-
ния для новой схемы:
Рис. 7-19.
и присоединим к ним уравнения (7-34) и (7-35). Перепишем (7-36)
и (7-37) в виде
d (Ф^Ф^/ад-/?1Л~/?зД; (7-40)
d (Ф2+ ^)di=E2 - R2I2 - ад• (7-41)
Уравнения (7-34), (7-35), (7-38) и (7-39) оставим без изменений.
Схема, соответствующая этой системе уравнений, изображена на
рис. 7-20.
201
Для решения систем нелинейных уравнений в каждом отдель-
ном случае надо искать подходящую схему. При этом надо’ иметь в
виду, что одна и та же задача может быть записана уравнениями
различного вида, решена с помощью различных схем, которые мо-
гут оказаться и не равноценными в отношении удобства работы,
точности получаемых результатов и объема требуемой аппаратуры.
Расчеты электромеханических переходных процессов. Такие
расчеты обычно требуют решения систем нелинейных уравнений.
Наиболее часто встречающаяся задача этого типа — проверка ди-
намической устойчивости синхронного генератора, работающего
через линию передачи на мощную систему. В простейшем случае,
когда не учитывается действие регуляторов скорости и предпола-
гается постоянство э. д. с. за переходной реактивностью, задача сво-
дится к решению уравнения
Tj — 4- Р+АЕ' sin 8-5 sin 28=Р ,
dft 1 d dt 1 4 7
где A, В, TJf Pd — заданные числа. Мощность турбины Рт и э. д. с.
Eq' считаются постоянными. Вводя дополнительную переменную
d^dt = s, (7-42)
получим уравнение первого порядка
-^- = B-(pt->l£';sin5+5sin28-P(/S), (7-43)
которое должно решаться совместно с (7-42).
Принципиальная схема изображена на рис. 7-21. Если бы требо-
валось получить кривую переходного процесса при заданных на-
чальных условиях и постоянных параметрах, то не было бы никако-
го принципиального отличия от ранее рассмотренных примеров. На
самом деле .задача сложнее.
202
Техническая задача заключается в определении движения рото-
ра из установившегося заданного режима при расчетном наруше-
нии режима (расчетном коротком замыкании) и в послеаварийном
режиме (после отключения короткого' замыкания). Это означает,
что уравнения (7-42) и (7-43) надо будет решать при трех значени-
ях параметров А и В и разных начальных условиях. Обозначим
эти параметры с индексами «1», «2» и «3» в доаварийно-м, аварий-
ном и послеаварийном режимах соответственно. Запишем ход ре-
шения задачи на модели:
1) найдем значение угла бо, в установившемся доаварийном ре-
жиме [so=O; (cZs/t/Z)о = 0] при значениях параметров Bi;
2) установим параметры А2, В2 и начальные значения б = бо,
s = So; модель переведем в режим решения и будем наблюдать про-
цесс в заданном интервале времени (до отключения короткого за-
мыкания) ;
3) решение прервем в момент времени, соответствующий отклю-
чению короткого замыкания, и зафиксируем значения переменных
б — бк.з, 5=5к.з;
4) установим значения параметров А3, В3, модель переведем в
режим решения и будем наблюдать развитие процесса. На осцилло-
графе по изменению угла б видно, сохраняется ли динамическая
устойчивость.
Если процессы описываются более подробно, то схема усложня-
ется, но последовательность операций в основном сохраняется. Так,
если учитывать переходные процессы в цепи ротора при постоянном
напряжении возбудителя генератора, то переходные процессы мож-
но описать уравнениями
Я2й ЯХ EJJ Ха — Ха
Tj—-A-Pd—--\------q—A^~U2 —---------- sin 28=Р •
dP dt 1 x' 2x x'a
T A- F —F • F —F’ Xd xd~ xd rr *
J dO ., I ^q— i-'qe-) q— q Г , U °’
at Xd Xd
где E'q, Eq, Fqe — поперечные э. д. с. за переходной и синхронной
реактивностью соответственно и напряжение возбудителя в относи-
тельных единицах.
В момент короткого замыкания и при его отключении скачком
будут меняться значения параметров ха, x'd, xq и U, что приведет к
изменениям значений соответствующих коэффициентов уравнений.
Преобразуя систему к виду, удобному для моделирования и, вводя
обозначения
_Е_ = Д; 4/2—— = В\ ^=а\ -d- t d U=b,
xd ^xqxd xd xd
203
получим систему
—= (Рт-Pds-AE'q sin 8-|- В sin 28);
dE’ \ ’ (7'44>
—= —£?); Eq=aE'Q — cos B.
at 1 dO
Принципиальная схема моделирования этих процессов изображе-
на на рис. 7-22. Обозначим, как и раньше, коэффициенты в доава-
рийном, аварийном и послеаварийном режимах с индексами «1»,
«2» и «3». Значения Eqe и Р? будем считать неизменными. Запишем
ход решения на модели:
1) установим значения коэффициентов Вь а\, Ь\ и найдем
установившийся режим, т. е. значения 6 = б0, Eq=Eq0' и 5 = 0;
2) установим значения коэффициентов Л2, В2, а2, Ь2 и начальные
значения б0, 50 = 0, EqGf’,
3) модель переведем в режим решения и зафиксируем протека-
ние процесса в заданном интервале времени. В момент, соответст-
вующий отключению поврежденного участка, решение прервем и
зафиксируем значения переменных 6ft, (Eq)k, sh;
4) установим параметры А3, В3, о3, Ь2 и начальные значения пе-
ременных 6ft, (Eq')h, sh;
5) модель переведем в режим решения для наблюдения за даль-
нейшим протеканием процесса.
Заметим, что три переменные, получаемые интегрированием, в
моменты короткого замыкания и отключения поврежденного участ-
ка в натуре не меняются, чему соответствует их неизменность в
204
этот момент и в модели. Другие переменные (Eq, dEq/dt, ds/dt) ме-
няются в эти моменты скачками.
Чтобы учесть действие регулятора возбуждения, надо ввести
уравнения, связывающие напряжение возбудителя Eqe с переменны-
ми, характеризующими режим генератора (током статора, напря-
жением, углом сдвига э. д. с.).
Изучить процессы в цепи статора генератора и учесть их влия-
ние на движение ротора можно с помощью более подробных урав-
нений:
Tjd28/dt2+ ®diq - Рт; (7-45)
d®гjl j=Uf, (7-46)
d^q\dt^rkqIkq^, (7-48)
E=fUd+b+f^ С7"49)
£'+х///=Ф/; (7-50)
Е 4" Xkdlkd= ®kd> t7"^ 1)
E+xsId-®d=^
Xaq (Jq~\~ kq}~\~ Xs^q %—9;
ф9+гЛ/=7/ sin 8;
®d-rIq=UZGS Ъ.
(7-52)
(7-53)
(7-54)
(7-55)
(7-56)
В этой системе уравнений неизвестными переменными являются
угол б, потокосцепление цепей статора по продольной Фа и попереч-
ной Фд осям, потокосцепление обмотки ротора Ф/, потокосцепление
успокоительной обмотки по продольной Фйй и поперечной Ф^ осям,
протекающие в этих обмотках токи Iq, Ц, hd, Ikq и потокосцепле-
ние взаимоиндукции обмоток по продольной оси Е (внутренняя
э. д. с. по продольной оси); f(Id+If+Ikd)—есть характеристика на-
магничивания машины по продольной оси. Остальные величины яв-
ляются заданными параметрами. Всего имеется 12 неизвестных пе-
ременных величин и 12 уравнений. На основании уравнений
(7-45) 4-(7-56) искомые переменные 6, Ф/, Ф/га и Ф/гч получатся в
результате интегрирования. Остальные восемь переменных находят-
ся из оставшихся восьми уравнений, в которых упомянутые четыре
переменные присутствуют в качестве меняющихся во времени пра-
вых частей. Принципиальную схему для решения уравнений соста-
вить нетрудно (рис. 7-23).
205
Рис. 7-23.
Чтобы получить напряжение на зажимах генератора, необходимо
воспользоваться еще тремя равенствами:
urd= — и sin 8 ++
UTq=U cos8-Vd4-r/9;
Z7r = /' Utd + U2^
где U — напряжение сети, на которую работает генератор; Ur—
напряжение на зажимах генератора; хл и гл — параметры соедини-
тельной линии.
Это требует введения в схему еще трех сумматоров и трех функ-
циональных преобразователей, как показано1 на рис. 7-24. Чтобы по-
лучить ток генератора, достаточно1 моделировать равенство
/=•/"/1+4-
20S
Для моделирования регулятора возбуждения надо' написать
соответствующие уравнения переходных процессов и воспроизвести
их на модели. То же можно сказать о регуляторе турбины.
Схема (см. рис. 7-23), составленная на основании уравнений
(7-45) -4- (7-56), не является единственно возможной. Существует ряд
эквивалентных форм записи уравнений и соответствующих схем
моделирования. Некоторые из них могут оказаться удобнее для
сборки или устойчивее по отношению к внешним воздействиям. Рас-
смотрим один вариант.
Рис. 7-24.
Решив (7-50), (7-51) и (7-53) относительно токов и сложив их,
получим уравнение
7fV I kd~\~ I d= ^kdlxkd~\~ фа!хз — E(Mxfs~\~ 4xkd~\~ ^lxs)- (7-57)
Исключая с помощью (7-57) сумму токов из (7-49), построим
зависимость
£=f(®//x/s+®sJxM+®JxJ. (7-58)
Далее, исключая Od и Фд из (7-53) и (7-54), с помощью (7-55) и
(7-56) найдем
Е+xsh - rlq=U cos 8; (7-59)
^(79+/^) + V9 + r7d=47sin 8. (7-60)
Запишем теперь уравнения (7-45) 4-(7-48), (7-50) 4-(7-52),
(7-55), (7-56), (7-58)-4-(7-60) в следующем виде:
£z28W/2=(PT-o/9+o/d)/^;
d®f\dt=Uf-rfIf, d^kdldt= —rkdIkd, d<S>kq[dt=—rkqIkq,
E=F ®kdlxkd~\~ ®dlxs)>
Xfsh=®f-E' xkJkd=^kd~E\ xsId=Uwsb-E-\-rIq,
(.Xaq~\~ Xkq) kq ®kq xaqlqi [Xaq~~\~ X s) I q 77 sin 8
Xaql kq 1d’
®q=U sin 8 — rld, Od=Z7cos 8 —
(7-61)
207
Потокосцепления Ф/, Фм, Ф/ig должны быть получены на выхо-
дах интегрирующих элементов. Величина Е образуется на выходе
функционального преобразователя. Остальные семь уравнений
представляют собой систему, линейную относительно пяти токов и
потокосцеплений Ф<? и Фд, и решаются совместно. Величины Uf и Рт
заданы.
Схема, моделирующая систему (7-61), отличается от схемы, при-
веденной на рис. 7-23, настройкой функционального преобразовате-
ля, дающего значение Е, и способом его включения в схему
(рис. 7-25).
sLnx
ы.пд'п=зспё‘
Рис. 7-27.
Асинхронный ход синхронного генератора. Исследование этого
режима требует введения тригонометрических функций неограни-
ченно изменяющегося угла б. Обычно для воспроизведения таких
функций используется принцип периодизации аргумента.
Пусть угол изменяется во времени, как это показано на рис. 7-26
линией бн (эта кривая заранее неизвестна). Для получения перио-
дической функции б, например sin б, используется блок интегриро-
вания с периодизацией и блок для введения функции (рис. 7-27),
настроенный на изменение входной величины в пределах периода
в одну сторону и на столько1 же в другую. Каждый раз, когда
аргумент б достигает по абсолютной величине значения 2 л, выход-
ная величина интегрирующего элемента с периодизацией (nJ) будет
возвращена к нулю. На выходе блока периодизации получается
бп=6 —2лп, где п — целое число, удовлетворяющее условию
—2л<б<2л (показано линией бп на рис. 7-26). В силу периодич-
208
ности тригонометрических функций на выходе блока sin х получится
sin 8n = sin (о —2jw)=sin 8.
Для исследования асинхронного хода можно выбрать любые
уравнения, отражающие процессы с достаточной точностью. Если
рассматриваются процессы в энергосистеме и поведение генератора
как элемента системы при не слишком больших и медленно меняю-
щихся скольжениях, то асинхронный момент можно ввести прибли-
женно, полагая его равным некоторой известной заранее функции
скольжения
Дас=^(5)-
Необходимо также ввести уравнения регулирования турбины и учи-
тывать действие регуляторов возбуждения.
Исследование динамической устойчивости агрегата. Ведется
по тем же уравнениям и схемам, что и проверка динамической ус-
тойчивости при заданных начальных условиях и параметрах. При-
ходится многократно решать уравнения, меняя каждый раз началь-
ные условия так, чтобы в итоге найти предельную допустимую
нагрузку. Порядок работы может быть, например, следующий:
1) проверяются устойчивость при произвольных, но практически
реализуемых в натуре, начальных условиях. Пусть эти условия оп-
ределяются мощностью Р\;
2) находятся новые начальные условия, соответствующие мощ-
ности Д2 = Д1+АР или Pz = Pi—АР. Знак « + » выбирается, если в
первом опыте устойчивость соблюдалась, а знак «—» — если устой-
чивость была нарушена. Величина АР произвольна (например, мож-
но выбрать АР=0,1 Pj);
3) проверяется динамическая устойчивость при начальных усло-
виях, соответствующих мощности Р%. Если результаты расчета при
мощностях Р\ и Р<2 качественно совпадают (если в обоих случаях
генератор был динамически устойчив или, наоборот, неустойчив),
то определяется новая мощность Р3 по правилам п. 2. Так делается
до тех пор, пока не будут найдены два значения мощности, одно из
которых меньше предельной (Рн<Рпр), а другое —больше предель-
ной (Ри>РПр) мощности. Очевидно, что искомая предельная мощ-
ность удовлетворяет неравенству
4) выбирается некоторое промежуточное значение мощности
Рс удовлетворяющее неравенству
Можно, например, положить Рс= (Л1+Ai)/2. Проверяется дина-
мическая устойчивость при начальных условиях, соответствую-
щих Рс. Если генератор динамически неустойчив, то предельная
мощность лежит между Рн и Рс и можно численное значение Рс под-
ставить вместо Рп в неравенство п. 3. Если генератор устойчив, то
численное значение Рс можно подставить вместо Рп;
209
5) п. 4 повторяется. Каждое повторение сужает границы для
поиска Рпр.
Такая методика позволяет найти предельную мощность.
Иногда удобнее задаваться значениями начального угла. Тогда
динамическая устойчивость проверяется при значениях угла, выби-
раемых по описанным правилам, а начальная мощность опреде-
ляется как функция начального значения угла.
Установившийся режим в электрической и электромеханической
системе. Этот режим можно рассматривать как решение диффе-
ренциальных уравнений при ?->оо (если только режим устойчив).
При этом все переходные процессы затухают, а значения перемен-
ных определяются как частные решения соответствующих диффе-
ренциальных уравнений. В принципе имеется возможность, моде-
лируя переходные процессы в системе, находить установившийся
режим. Но задачу можно решить проще. Достаточно воспользо-
ваться уравнениями (алгебраическими) установившегося режима.
Модель при этом получится проще. Например, на рис. 7-21 изобра-
жена схема для исследования динамической устойчивости на осно-
вании уравнений (7-42) и (7-43). Для отыскания установившегося
режима достаточно решить уравнение
AE'q sin 8 - В sin 28 = Рт (7-62)
с помощью схемы, приведенной на рис. 7-28. Кроме того, надо учи-
тывать, что для решения уравнений установившегося режима тре-
буется меньше исходных чисел, чем для исследования переходного
процесса. Так, в (7-62) не вошли постоянная инерции Tj и коэффи-
циент Pd.
При расчете режима электрической сети нецелесообразно ре-
шать дифференциальные уравнения, описывающие процессы. Осо-
бенно сложными получились бы схемы для сети переменного тока.
Пришлось бы вводить заданные периодические функции времени,
представляющие источники э. д. с., а решение получилось бы в
виде периодических кривых на осциллограммах. Правильнее сра-
зу написать алгебраические уравнения, описывающие режим, и
решать их (см. § 7.3). Представление режима сети переменного тока
с помощью комплексных уравнений и их решение дает действитель-
210
ную и мнимую составляющие искомых величин, что полностью
определяет их амплитуду и фазу.
Рассмотрим рис. 7-29. Прямоугольником изображена пассивная
сеть без источников. Все источники включены между общей точкой
О и узлами сети 1, 2,...,N. Напряжение Uo считается заданным.
Параметры сети заданы матрицей собственных и взаимных сопро-
тивлений Z. Режим описывается уравнениями
Zi=U-U0;
= k=\, 2, 3.....N,
где I и U — векторы токов и напряжений соответственно; Sk, Oh,
ik — мощность, напряжение и ток в узле k.
Чтобы найти режим, необходимо знать N (из 3N комплексных
чисел) значений /ft, Oh и Sh (или задать 2N из 67/ действительных
чисел). Если известен вектор S, то система уравнений оказывается
нелинейной, так как содержит произведения неизвестных th, Oh-
Решение этой задачи с помощью математической модели в общем
виде не разработано.
В некоторых случаях получается более простая задача: задает-
ся матрица Z и вектор U, а искомым является вектор I. Может
возникнуть обратная задача: решение матричного уравнения
Y (U—Uo) = I, в котором известны Y и I.
Кроме того, может встретиться случай, когда для части узлов
заданы напряжения, а для другой части — токи. При этом режим
описывается системой линейных комплексных уравнений.
Оптимизация режима электроэнергетической системы. Оптими-
зация требует решения еще более сложной системы уравнений.
Если не учитывать потери, то получается система уравнений
®1 (Л) = е2(Р2) = • • • =sw(/’w) = e; (7-63)
Л+Р2+... + Р„=О, (7-64)
где Бг(^г)—заданная характеристика относительных приростов
i-й станции; G — заданная суммарная мощность станций.
Схема, формально соответствующая этим уравнениям, изобра-
жена на рис. 7-30. Функциональные преобразователи дают мощ-
ность Pi как функцию Ег-, а на выходе сумматора получается вели-
чина G.
Изменяя источник (т. е. значение е) и следя за отклонением
выходной величины сумматора, получаем нужное значение. Одна-
ко практическая реализация схемы связана с рядом трудностей.
Прежде всего на характеристиках Р(в) могут быть участки с неиз-
менным е (отрезки 5-6 и 7-8 на рис. 7-31). Тогда для получения
мощности по заданному е нужны дополнительные условия и
211
устройства. Другая трудность заключается в недостаточной точно-
сти аналоговых устройств.
Учет потерь значительно усложняет задачу. В этом случае
вместо (7-63) имеются уравнения
Н/(1 -^) = е2/(1 (7-65)
где Oi = dn/dPi (л — потери активной мощности в сети).
Потери являются сложной функцией многих переменных, но
главная трудность заключается в определении частных производ-
ны?; о. При упрощенном решении задачи полагают
а = 2ВР,
(7-66)
где о и Р — векторы, В — матрица постоянных коэффициентов
потерь.
Рис. 7-32.
Рис. 7-33.
Таким образом, значения находятся как линейные комбина-
ции мощностей, что в принципе позволяет построить схему для по-
212
лучения значений Pi, удовлетворяющих критериям экономичности
режима. Возможны и другие технические решения поставленной
задачи. Устройства для решения такого рода задач получили
название распределителей активных нагрузок (РАН), или автома-
тических распределителей активных нагрузок (АРАН) и т. п.
Исследование процессов в сложных электрических системах.
Это исследование требует учета взаимодействия всех ее элементов.
Так, для схемы, приведенной на рис. 7-32, можно написать две
системы уравнений, описывающие процессы в генераторах и Гг.
В каждую из систем войдет напряжение узла Uy, которое не оста-
нется неизменным, и должно быть определено из уравнений, отве-
чающих векторной диаграмме для линии Л3 (рис. 7-33).
йу=йс-\-^/А
—Л + Л*
(7-67)
(7-68)
Предположим, для простоты, что генераторы сохраняют посто-
янное значение э. д. с. Eqf, роторы у них гладкие, а сопротивление
статорных цепей до узловой точки пренебрежимо мало. Тогда
уравнёния движения можно записать как
Тл Т^-+р“1Тт+sin (81 - ад - —~ sin 2 (8, - 83)=0;
d*2 d* Х1 2х1Х1
(7-69)
Гл^ + р,2 ~+—-^ Sin (82-83)-^—2 ( 82 - 83)=О;
dt2 dt х2 2х2х'
(7-70)
Чтобы определить токи, напишем уравнения:
=E'qi Uy cos (8t - 8J; (7-71)
Х1 Х1
7/у cos (82 —83); (7-72)
х2 ХЧ
—Uy\ (7-73)
jxJ2=Eq2-Uy. (7-74)
213
На АВМ нельзя непосредственно решать комплексные уравне-
ния. Поэтому в уравнениях (7-67), (7-68), (7-73) и (7-74) надо пе-
рейти к действительным величинам. Для одного генератора естест-
венным был выбор координат, связанных с ротором. Для системы
с несколькими машинами логичнее выбрать координаты, связан-
ные с синхронно вращающимся вектором Ес. Можно, например,
считать Сс действительным числом. Тогда не только l'Jy, h и /г бу-
дут комплексными, но Ёд\ и Ёдъ будут иметь действительные и
мнимые составляющие [в уравнения (7-69) 4-(7-72) войдут их мо-
дули]. Но такая форма записи существенно отличается от при-
вычной.
Если записывать уравнения каждого генератора в своих осях d,
q, то при сложении токов /1 и /2 придется переходить к какой-ни-
будь одной системе (которая может и не совпадать ни с одной из
первых двух), что требует введения соответствующих преобразо-
вателей при моделировании. Применяются и другие формы записи
уравнений.
Ответ на вопрос о том, какая форма является наиболее удоб-
ной для моделирования на АВМ, зависит от поставленной задачи,
имеющейся аппаратуры и
традиций.
Одним из хорошо разра-
ботанных является метод, в
котором основными пере-
менными, характеризующи-
ми режим системы, являют-
л
ит fa,______, Д; >'п
О -—I I------о
5% X Т’л
Рис. 7-34.
ся активные и реактивные
мощности, передаваемые по
линиям, эффективное значе-
ние напряжения и его фаза
в узлах.
Идея метода заключает-
ся в том, что синхронный ге-
нератор (рис. 7-34, а) пред-
ставляется на модели как
сложный блок. Входными величинами этого блока являются модуль
и фаза напряжения (7/, ср) в точке присоединения к системе; вра-
щающий момент турбины (Л4Т) и напряжение возбудителя Еае, а
выходными — активная и реактивная мощности (Р, Q), отдаваемые
в сеть (рис. 7-34, в). Нагрузка моделируется блоком (рис. 7-34, б),
который имеет на входе напряжение, заданное модулем (Ет) и фа-
зой ((pm), а на выходе — активную и реактивную мощность (Рп,
Qn) Участок сети между двумя узлами моделируется блоком,
входными величинами которого являются модуль и фаза напряже-
ния в начале линии cpm) и активная и реактивная мощность
в конце (Рп, Q-/J- Выходными величинами такого блока будут на-
пряжение в конце (Un, <рп) и мощности, поступающие в линию в ее
начале (Рт, Qm) (рис. 7-34, а).
214
Напишем уравнения участка линии между узлами тип:
Рт=—^-г-----U-m~n- (х sin Ъ 4-г cos S );
tP ГТ гт
Pn=-^-r^ -^-(xsin Ътп-г^Ътпу,
z2 zz
Qm= х^---^— (г sin Ътп — х cos 8тл);
г2 z2
Qn=-~г х —J7-^ (г sin 8m/I4-xcos8mn),
z2 г2 J
где r, x, z — активное, реак-
тивное и полное сопротивле-
ние участка линии соответ-
ственно; бжп — разность фаз
напряжений по1 концам ли-
нии.
В этих уравнениях Um,
Рп> Qn заданы, a Un, Рт> Qm
И Ьтп ЯВЛЯЮТСЯ ИСКОМЫМИ
неизвестными. Решим вто-
рое и четвертое уравнения
системы (7-75) совместно
относительно Ътп и Un. Для
этого воспользуемся усили-
телями, в которых цепь об-
ратной связи содержит
функциональные преобразо-
ватели (рис. 7-35). Значения
Рт и Qm получаются из пер-
вого и третьего уравнений с
помощью сумматоров. На
рисунке входные и выход-
ные величины показаны
жирными стрелками. Чтобы
определить фазу бон выход-
ного напряжения по отноше-
нию к некоторой оси отсче-
та, нужно знать фазу бото
входного напряжения:
Составить модель участ-
ка линии Лз (см. рис. 7-32)
можно подстановкой Um =
— Р с, ботп = О, бо?г=
fynn = 63.
Рис. 7-35.
215
Для моделирования генератора воспользуемся любой схемой,
в которую в качестве входной величины можно ввести эффектив-
ное значение и фазу напряжения в точке присоединения генерато-
ра, а в качестве выходных величин получить активную и реактив-
ную мощности. Можно, в частности, воспользоваться схемами типа
изображенных на рис. 7-23, рис. 7-25 и соответственно уравнения-
ми (7-61). При этом надо учесть, что интегрирование ускорения
ротора дает скольжение по отношению к синхронно вращающейся
оси. Поэтому вместо первого уравнения (7-61) для первого гене-
ратора (см. рис. 7-32) надо написать
(Рг1 - + WITn,
а в качестве аргумента тригонометрических функций взять раз-
ность (6]—бз). Аналогично для второго генератора в уравнение
Л/
| | | |
Uycost/r^)
рт
Рис. 7-36.
движения войдет величина бг, а аргу-
ментом тригонометрических функций
будет (62 — 63). Разорвем на схеме (см.
рис. 7-23) связь между шиной б и ши-
нами U cos б, U sin б, отсоединив в точ-
ке а функциональные преобразователи
sin и cos. Теперь представим схему в
виде блока, для которого входными ве-
личинами ДОЛЖНЫ быть Р-Г, Еде, а так-
же t/ysin (61 — б3) и t/ycos (61 — 63)
(вместо U sin 6 и U cos 6 соответствен-
но), а выходными — Фй, Фд, Id, Iq и 6,
(вместо б), как показано на рис. 7-36. При этом активная мощ-
ность
р — ф г ф г
1 1— L dl1 ql 1 qlJ dl,
(7-76)
а реактивная мощность
Qi = UyIql cos (8X - 83) 4- UyIdl sin (8X - 83). (7-77)
Дополнив блок, показанный на рис. 7-36, так, чтобы учитыва-
лись уравнения (7-76) и (7-77), и полагая, что входными величи-
нами являются напряжение Uy и его фаза 63, получим схему гене-
ратора Г1 (рис. 7-37), дающую на выходе Pi, Qi-
Аналогично строится схема для второго генератора Г2. Слож-
ные блоки, моделирующие Г\, Г2 и Л3, соединяются в единую схе-
му (рис. 7-38).
Описанный метод позволяет моделировать каждый элемент
электроэнергетической системы отдельно в виде сложного блока,
а затем последовательно соединять их в соответствии со схемой
системы. Каждый из генераторов можно моделировать с требую-
щейся степенью детализации и в любой системе координат; надо
только, чтобы входными и выходными были величины, указанные
на рис. 7-34.
216
Исследование статической устойчивости. Это исследование
можно свести к изучению характера переходных процессов. Пока-
жем это на простейшем примере.
Пусть проверяется устойчивость режима синхронного генерато-
ра, работающего на шины неизменного напряжения. Предположим,
что на АВМ собрана схема по уравнениям переходного процесса.
Начальные значения переменных величин отыскиваются из урав-
Рис. 7-37.
Рис. 7-38.
нений установившегося режима. Для синхронного генератора эти
условия найдутся из равенства электромагнитного момента вра-
щающему моменту турбины. Начальные условия устанавливаются
на АВМ. Одновременно вводится небольшое возмущение. Можно,
например, предположить, что вращающий момент турбины внезап-
но увеличился на небольшую величину АЛ4Т и быстро вернулся к
исходной величине Мт0. Если переходные процессы, вызванные
возмущением, затухают и все переменные величины (угол, э. д. с.,
ток, напряжение и т. д.), изображаемые напряжениями на АВМ,
217
стремятся к начальным значениям, то режим устойчив. Если же
переменные не возвращаются к начальным величинам, то режим
неустойчив. При этом может наблюдаться как апериодическое из-
менение переменных, так и колебательный процесс с нарастающей
амплитудой. В нелинейных системах процесс может закончиться в
какой-нибудь новой точке равновесия; система может перейти в
устойчивый режим со значениями переменных, отличающимися от
исходных. Так, если ввести начальные условия, соответствующие
неустойчивому равновесию (Л4 = МТ; <Ж/д6<0), то генератор пе-
рейдет либо в режим устойчивого равновесия (д/И/дб>0), либо в
режим асинхронного хода. Наблюдая процесс, вызванный возму-
щением, можно судить не только об устойчивости, но и о характере
протекания процесса и быстроте затухания возмущений.
Чаще всего исследование заключается в отыскании тех значе-
ний параметров регулятора (например, коэффициентов усиления
или регулирования), при которых обеспечивается сохранение ус-
тойчивости. Техника решения сводится к просмотру результатов,
полученных при значениях параметра, интересующего исследова-
теля, и фиксировании граничных значений параметра.
Можно видоизменить задачу об устойчивости, отыскивая об-
ласть параметров регулятора, соответствующую определенному
качеству регулирования, например, искать область, соответствую-
щую некоторой заданной скорости затухания переходных процес-
сов и т. п.
На практике описанный выше способ непригоден для исследо-
вания устойчивости режима синхронных генераторов, электроэнер-
гетических систем и вообще нелинейных систем. Основное затруд-
нение связано с необходимостью ограничиваться малыми возму-
щениями, так как при большом возмущении сказывается нелиней-
ность и меняется весь характер процесса. Например, большое воз-
мущение режима работы может привести к динамическому нару-
шению устойчивости и т. п. Если же ограничиться малым возмуще-
нием, то трудно вести наблюдения, а измерения становятся неточ-
ными. Другое затруднение вызвано неточостью моделирования не-
линейных зависимостей. Эти затруднения преодолеваются путем
линеаризации уравнений переходного процесса и сведения задачи
к исследованию системы линейных дифференциальных урав-
нений *.
В общей форме процессы в электрической системе обычно
описываются уравнениями вида
f\ (-^1, *^2, *3, • • • » ^1» ^2’ $3, • • • , — О?
*з,---> $1, «2, 53,..., /) = 0;
* Метод применим, так как в задачах электроэнергетики функции перемен-
ных вблизи точки равновесия обычно имеют производные.
218
где производные обозначены буквой s с соответствующим индек-
сом. Если положить si = s2=s3— ... =0, то получится система
fl > ^2» -^З, • • • , 0, . . . ) 0,
f*2 (-^1 > "^2э -^3’• • • > (-)>•••) 0,
из которой находятся значения переменных в положении равно-
весия.
Рассматривая движение системы вблизи точки равновесия, за-
пишем уравнения для приращений переменных:
Для некоторых задач электроэнергетики структура линеаризо-
ванных уравнений хорошо известна и ими можно непосредственно
пользоваться, не формулируя исходных нелинейных уравнений.
Так, линеаризованные уравнения, описывающие переходные про-
цессы в синхронном генераторе, записываются в виде известной
системы уравнений:
d^dt=S', Tj~ + Pds^t\P=t.P,-,
^-+д£',= д£да>
Xd Q at
где
о ^0 ~ I d Xq
SE =------cos 80-|------Z72 cos 28;
q Xd ' XdXq
EE‘ry fca —
Se= cos 80 -j- —q- IP cos 28.
x'd XdXQ
Некоторые общие вопросы исследования устойчивости рассмот-
рим на примере этой системы. Линеаризованные уравнения моде-
лируются обычными методами. Запишем их в виде, удобном для
решения на модели:
219
^-=Л_(дР1-ДР-Рй5):
dt TJ
(IE' 1
-^=(Д^е-Д^)-^-;
dt Г dO
ДР=------- Д^г/~Г 5£.-д8;
*d ч
(7-79)
^Я=^Р-5Е^
xj
U sin 80
Схема модели, соответствующая уравнениям (7-79), изображе-
на на рис. 7-39. Известно, что характер процесса в линейной систе-
ме не зависит от начальных условий (или от величины возмуще-
ния). Поэтому для исследования устойчивости режима достаточно
установить произвольные начальные условия, переключить модель
в положение «интегрирование» и наблюдать, как будет протекать
процесс. На схеме (см. рис. 7-39) произвольно могут быть установ-
лены значения s, Дб, AEq', т. е. величины, получаемые на выходах
интегрирующих блоков. Это соответствует заданию трех началь-
ных условий для решения системы дифференциальных уравнений
(7-79) третьего порядка. Остальные переменные (ДР, ДР^) выра-
жаются с помощью алгебраических уравнений (что автоматиче-
ски воспроизводится моделью) тремя величинами, полученными с
помощью интегрирующих блоков. Отклонение мощности турбины
ДРТ и напряжения возбудителя ДЕде по условиям данной задачи
должны быть нулевыми.
220
Если система устойчива, то переходные процессы будут зату-
хать, а значения переменных на АВМ — стремиться к нулю. При
неустойчивой системе переменные величины на АВМ будут воз-
растать. Процесс может быть как апериодическим, так и колеба-
тельным. Возрастание переменных происходит в пределах, допу-
скаемых ограничениями напряжений в операционных усилителях.
Чтобы упростить работу на АВМ, следует наблюдать процесс,
вызванный кратковременным изменением входных величин АРТ
или t\Eqe (или обеих) от нулевых значений при нулевых начальных
условиях. Величина возмущения подбирается так, чтобы отклоне-
ния переменных от нулевых значений не были малы, но и не выхо-
дили за пределы линейности усилителей модели.
Обычно схема на АВМ собирается не для проверки устойчиво-
сти одного какого-нибудь режима, а для исследования устойчиво-
сти при всех ожидаемых или возможных режимах. Так, в простей-
шем случае, когда исследуется устойчивость синхронной работы
без учета действия регулятора возбуждения и регулятора скорости
[ом. уравнение (7-79) и рис. 7-39], можно проверить устойчивость
при различных значениях Рто и Eqs0, т. е. при различных мощно-
стях турбины и напряжениях возбудителя.
В линеаризованных уравнениях нелинейных систем обычно име-
ются коэффициенты, величины которых зависят от значений пере-
менных в исследуемом равновесном режиме, или, иначе говоря, от
параметров режима. В уравнениях (7-79) параметрами режима
являются б0 и Едо. В соответствии с этим коэффициенты SEq , SE'q,
sin бо оказываются зависящими от режима, т. е. от величин Eq0
и Рт0.
Для исследования устойчивости удобно сначала подготовить
таблицу коэффициентов системы уравнений и коэффициентов, ус-
танавливаемых на АВМ для всех исследуемых режимов, а затем
уже наблюдать за характером процессов при выбранных парамет-
рах режима.
Исследование статической устойчивости синхронного генерато-
ра с учетом действия регулятора возбуждения требует дополнения
системы (7-79) уравнениями, описывающими процессы в цепи ре-
гулирования, и дополнения схемы моделирования.
Увеличение числа генераторов в схеме замещения тоже повы-
шает число уравнений и порядок системы, а соответственно и коли-
чество элементов, используемых при составлении схемы.
Методика исследования статической устойчивости системы с
помощью аналоговой машины на первый взгляд мало зависит от
сложности системы. Во всех случаях надо собрать соответствую-
щую схему и вести наблюдения за протеканием процессов при раз-
личных комбинациях тех параметров, которые можно или нужно
менять для получения надежного устойчивого режима. На самом
деле, с увеличением числа генераторов в схеме замещения труд-
ности возрастают. Порядок уравнений, описывающих процессы,
повышается приблизительно пропорционально числу эквивалент-
221
ных генераторов. Количество опытов или наблюдений равно числу
тех режимов, устойчивость которых надо проверить.
Если обозначить через т\ число значений одного из параметров
режима (например, угла б), при которых надо проверить устойчи-
вость, через т2 — число значений другого параметра и так для всех
параметров, то общее число наблюдений оценивается произведени-
ем miXm2XW... Таким образом, число наблюдений растет как
mh, где т — число наблюдений при варьировании одного парамет-
ра, a k — число параметров, возрастающее приблизительно про-
порционально числу эквивалентных генераторов. С увеличением
порядка исследуемых уравнений или числа элементов в системе
значение mh растет. Уже при четырех параметрах возникают серь-
езные затруднения. Для таких систем надо сравнивать не все воз-
можные режимы, а вести направленный поиск оптимальных реше-
ний. Разрабатываются специальные методы такого поиска.
Изучение процессов на АВМ с помощью линеаризованных
уравнений позволяет не только исследовать устойчивость, но и оце-
нить характер процесса: частоту колебаний, быстроту затухания
переходного процесса и т. п. Но при этом надо помнить, что все
эти оценки справедливы лишь до тех пор, пока действительная си-
стема испытывает лишь небольшие воздействия и незначительно
отклоняется от положения равновесия.
Разработана методика, позволяющая не только, решать алгеб-
раические уравнения и интегрировать дифференциальные уравне-
ния при заданных начальных условиях, но и определять пара-
метры системы и начальные условия, отвечающие заданным
требованиям в отношении протекания процесса. Такова, например,
рассмотренная уже задача отыскания предела динамической ус-
тойчивости. Известны также задачи нахождения предельных по
динамической устойчивости дальних передач параметров передаю-
щей станции (постоянной инерции, переходных индуктивностей
генераторов). Другая задача этого типа — установление границ
области, внутри которой параметры или начальные условия обес-
печивают статическую устойчивость. Можно, например, построить
области етатической устойчивости в плоскости коэффициентов ре-
гулирования возбуждения или области, для которых длительность
затухания переходных процессов не превосходит заданную вели-
чину.
Общим в задачах с неизвестными параметрами и начальными
условиями является многократное решение более простых задач.
Искомые параметры и начальные условия ищутся по методу после-
довательных приближений. Обычно граница разделяет качествен-
но различные решения, например, «устойчиво» и «неустойчи-
во». Найдя две точки, лежащие с двух сторон границы, получают
решения для промежуточных точек и последовательно сужают ин-
тервал, в котором должна лежать искомая точка (см., например,,
задачу о пределе динамической устойчивости). Обычно форма гра-
ничной кривой такова, что затруднений не возникает. Однако в
самом методе скрыта возможность ошибки. Предположим, что.
222
исследуется устойчивость в плоскости некоторых параметров и
/г2 (рис. 7-40) и что устойчивому состоянию соответствует заштри-
хованная область. Проверив устойчивость для точек М = 1 и &i=3
на линии k2 = 2, можно сделать ошибочное заключение, что прямая
fe2 = 2 не пересекает область устойчивости. Поэтому, если первона-
чальный поиск не дает результата, то приходится делать сетку
гуще. При этом, когда найдена точка на границе устойчивости,
стараются двигаться дальше вдоль границы, как, например, пока-
зано ступенчатой линией на рис. 7-40.
Из изложенного видно, что круг задач, поддающихся решению
на АВМ, довольно велик. Но надо иметь в виду, что с помощью
существующих машин решаются лишь
задачи сравнительно’ небольшого раз-
мера. Самая большая из моделей
(МН-17), параметры которых помеще-
ны в табл. 7-1, имеет 40 интегрирую-
щих элементов. Это позволяет модели-
ровать переходные процессы в линей-
ной сети с элементами R, L, С при ус-
ловии, что она состоит не более чем из
20 контуров или 20 узлов. Такие же
цифры получаются при моделировании
установившегося режима сети пере-
менного тока. Большие возможности
имеются для моделирования устано-
вившегося режима сети постоянного
тока.
Значительно больше элементов тре-
буется для моделирования синхронных генераторов. В простейшем
случае для модели одиночного генератора, работающего при E'q =
= const на шины неизменного напряжения, требуется не менее че-
тырех операционных усилителей и двух функциональных преобра-
зователей (см. рис. 7-21). При более подробном описании процес-
сов, когда учитывались только переходные процессы в цепи ротора
и успокоительной обмотке, потребовалось пять интеграторов, де-
вять сумматоров и другая аппаратура (см. рис. 7-23). Если же учи-
тывать переходные процессы в статоре и регулирование возбужде-
ния, то для одного’ генератора может потребоваться 12 интеграторов
и больше.
Особенно много аппаратуры требуется для моделирования гене-
раторов в сети; например, для моделирования участка линии необ-
ходимо иметь четыре операционных усилителя, три блока умноже-
ния и четыре функциональных преобразователя. Таким образом,
на больших аналоговых вычислительных машинах можно- модели'
ровать систему, содержащую весьма ограниченное число генерато-
ров. Маленькие машины типа МН-7, МН-ЮМ, МНБ-1 и т. д. .при-
годны лишь для исследования простейших систем регулирования.
223
При исследовании процессов в сложных электроэнергетических
системах требуется соединение нескольких моделей и использова-
ние специальных устройств.
Для расчета установившегося режима в электрических сетях и
системах используются расчетные столы постоянного и переменно-
го тока.
При заданных источниках э. д. с. или тока решение получается
быстро и просто. Можно моделировать систему, содержащую де-
сятки линий. Использование метода «шаг за шагом» позволяет
свести расчет переходного процесса в электрической системе к по-
следовательному расчету установившихся режимов. В этом случае
для решения требуется гораздо больше времени, чем для решения
с помощью АВМ.
Стремление расширить возможности АВМ и автоматизировать
некоторые операции привело к созданию АВМ, снабженных сменяе-
мыми коммутационными полями, устройствами преобразования
дискретных величин в непрерывные (и обратно), логическими эле-
ментами, сервомеханизмами и т. д. Реализована также идея объ-
единения в единый комплекс аналоговых и цифровых машин.
§ 7-5. ТОЧНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ НА АВМ
Аналоговые вычислительные машины дают решение
уравнений с погрешностью, зависящей от ряда причин. Коэффи-
циенты уравнений и начальные условия вводятся с погрешностя-
ми, обусловленными точностью калибровки и стабильностью со-
противлений и других элементов операционных усилителей. На их
работу может влиять температура, напряжение питания и пр. На-
пряжения тоже измеряются с погрешностью. Особенно большими
бывают погрешности, вносимые функциональными преобразовате-
лями. Считается, что диодные преобразователи, аппроксимирующие
функции ломаными линиями, дают ошибку порядка 1 % и больше.
Необходимо также считаться с погрешностями, вызванными дрей-
фом нуля усилителей. Последнее особенно заметно в схемах с боль-
шим числом последовательно соединенных усилителей и интеграто-
ров, так как ошибки складываются и усиливаются.
Недостаточно найти решение на модели, необходимо оценить
его точность и найти меры к уменьшению ошибок.
Проще всего можно проверить точность решения уравнений
установившихся режимов. Пусть решается система уравнений
/Дхр х2, х3,.. .) = 0;
/з(Х!, Х2, Х3,. . .)==0. .
(7-80)
На модели получим решение Х2, Х3,... с некоторой погреш-
ностью. После подстановки его в левую часть (7-80) запишем от-
224
личные от нуля значения:
Х3, • • • ) = ап
Х3, • • ) = а2»
• • -) = а35
Если решение точное, то а1 = а2 = аз = ... =0. Значения а в неко-
торой мере характеризуют погрешность. Опыт инженера позволя-
ет определить, допустима ли получающаяся ошибка.
При расчете режима сети с заданными источниками тока или
напряжения и в некоторых других задачах решается система ли-
нейных уравнений. Точность решения ее на АВМ. может быть зна-
чительно повышена, если повторить процесс, введя в качестве сво-
бодных членов ошибки первого решения.
Пусть при. решении системы (7-22) получены значения X/,
Х3', ... неизвестных. Подставив их в уравнения и произведя подсчет,
получим величины, отличные от нуля, что обусловлено имеющими-
ся погрешностями. Допустим, что это будут величины а/, а2',
аз',.... Перенося их в левую часть, убеждаемся, что получено точ-
ное решение уравнений
Аг14~7112Аг2-|- А13%зЦ- ... —(Вг -}- ai) — 0;
A21A3-j- Х24~ • • • — (^24“ аз) — 0;
А3Л1+ А32Х2-|-Хз — (Дз4~аз) = 0;
(7-81)
отличающихся от уравнений (7-22) величиной свободных членов.
Решим далее систему
•^i4~7112jc24- А13х3-р ... 4~ai = 0;
^21^1 4" 712зХ34~ ... -J-a2—0;
31^14~-^з2-х:2 4~л:з4~ • • •+аз=0;
(7-82)
В ней свободные члены представлены малыми числами. Систему
следует решать, используя укрупненные масштабы для изображе-
ния искомых переменных, что значительно уменьшает относитель-
ную ошибку. Пусть решение (7-82) дало числа Х/', Х2", Х3",.... Под-
ставив их в (7-28), получим числа а/', а2", аз",...:
АЗ-р а12л2-|- ^13X3 ... 4~а1=аь
А1Х14-Х2+ А23Х3-|- ... -f-a2=a2;
А32Х24-Хз4- ... Д-а3=а3;
(7-83)
8—2757
225
Просуммируем (7-81) и (7-83):
(а';+а-;)+л12(а'2+л'2)+л3(а'з+д-;)+...
Ai (Xi4-Xi) + (Л'г-г Лг) + Л23 (Хз + Лз)+ ... — /?2=аг; (7-84)
л31 (х;+X)+л32 (xi+%2)+(л-;+н-... - в3=а;;
Если бы уравнения (7-83) были решены точно, то в правых
частях (7-84) стояли бы нули. Первое решение (X/, Х2', Х3', •••)
является приближенным, а второе (Х\", Х%, Х3",...) дает поправ-
ки. Поправки тоже определяются с погрешностями, которые, одна-
ко, будут много меньше погрешностей первого решения. При необ-
ходимости можно находить вторые поправки, которые будут мень-
ше первых, затем третьи и т. д. Таким образом, можно существенно
повысить точность решения, получаемого на АВМ даже при отно-
сительной неточности самой машины. Практически часто достаточ-
но одной поправки.
Чтобы оценить точность расчета переходных процессов, следу-
ет выполнить контрольные решения при введении в расчет пара-
метров, при которых процесс известен или легко вычисляется. На-
пример, если в уравнении движения ротора (7-43) положить рав-
ным нулю успокоительный момент (Pd = 0), то нарушение равно-
весия при сохранении динамической устойчивости приведет к не-
линейным колебаниям с постоянной амплитудой и периодом. Не
нарушится это положение и в том случае, когда /?d=B = 0. Движе-
ние ротора для этих случаев поддается вычислению. Не представ-
ляет труда, собрав схему, установить значение коэффициента Pd =
= 0 и проверить точность решения. При расчете процессов в нели-
нейных электрических цепях целесообразно предварительно найти
и оценить решение при замене нелинейных элементов линейными.
В каждом отдельном случае приходится искать возможности для
выполнения контрольных решений, учитывая особенности конкрет-
ной задачи.
§ 7-6. ПРИМЕРЫ ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ НА АВМ
Каждая практическая задача, рассматриваемая на
АВМ, включает в себя вывод уравнений, подлежащих решению.
Эта часть задачи изучается в специальных курсах. Начнем со сле-
дующего этапа — записи уравнений.
Приближенный расчет потокораспределения в однородной сети с помощью
контурных уравнений. Рассмотрим участок сети, изображенный на рис. (7-41).
Сеть имеет три точки питания (/, II, III) и состоит из шести ветвей и трех узлов.
Значения сопротивлений ветвей и нагрузки в узлах приведены на рисунке. Поло-
жительные направления потоков, контуры и обозначения мощностей показаны на
рис. 7-42.
226
Составим контурные уравнения:
(1,12 + 2.48+ 1,12) +1 — 1,12+2— 1,12+3 + 1,12-526 — 1,12-269 =0;
— 1,12+1 + (1,12 + 3,13 + 1,68) +2 — 1,68+3 + 1,12-269— 1,68-440 = 0,
— 1,12+j — 1,68+2 + (1,12 + 17,35 + 1,68)+3+ 1,68-440 — 1,12-526 = 0
или
4,72+i — 1,12+2 — 1,12+3 + 288 = 0;
— 1,12+1 + 5,93+2— 1,68+з—438 = 0;
_ 1,12+!— 1,68+2 + 20,15+з— 150 = 0.
Уравнения удовлетворяют условиям (7-20) и, следовательно, могут быть ре-
шены с помощью метода моделирования.
Разделим каждое из уравнений на коэффициент, стоящий на диагонали. По-
лучим следующую систему:
+1 —0,237+2 —0,237+3 + 61,0 = 0;
— 0,189+1 + +2 — 0,283+3— 74,0 = 0;
— 0,055+1 —0,083+2 + +3 —7,44 = 0.
Все коэффициенты укладываются в границы между 0,001 и 1,000 и могут
быть установлены на АВМ. Однако свободные члены слишком велики. Эта труд-
ность преодолевается введением новых переменных:
+1 = 100xf, +2 = 100х2; +з = 100х3.
После подстановки и деления на 100 получим новую систему уравнений:
Xi — 0,237x2— 0,237х3 + 0,61 = 0; '
— 0,189x1 + ^2 — 0,283x3 — 0,74 = 0;
— 0,055x1 — 0,083х2 + х3 — 0,074 = 0
или
Х1 = О + 0,237х2 + 0,237хз—0,61;
х2 = 0,189x1 + 0 + 0,283х3 +0,74;
(7-85)
х3 = 0,055x1 + 0,083х2 + 0 + 0,074.
Схема модели приведена на рис. 7-43. Производя измерения, получим сле-
дующие данные: Xi= —0,425; х2 = 0,7; х3 = 0,1. Подстановка этих чисел в уравне-
8* 227
ния (7-85) показывает, что ответ был определен с небольшой ошибкой. Вместо
нуля в правой части имеем — 0,0046 в первом уравнении; 0,012 — во втором и
—0,0087 — в третьем. Мощности получаем умножением значений х на масштаб-
ный множитель: Pt=—42,5; Р2= +70,0; Р3=10,0. Результирующие потоки пока-
заны на рис. 7-44.
Рис. 7-43.
Расчет токов в электрической системе, питаемой синусоидальными э. д. с.
(рис. 7-45). В схеме заданы следующие значения сопротивлений и э. д. с.:
Параметры Е, 21 2, z» 24 2Б
кв ОМ
Действительная часть по 100 1,0 2,0 1,2 100 120
Мнимая часть 0 50 9,0 8,0 10,0 2,0 50
228
Задачу будем решать методом контурных токов. Контуры показаны на
рис. 7-46. Вычисляя собственные и взаимные сопротивления контуров, получим
ги = гп + J'xn = 101 + /9;
^22 = ^22 + А22 = *2 4- z4 + z5 = 222 + /58;
гзз = гзз + J-^зз = гз + г5 = 121,2 + J 60;
^12 = ^12 + Jxi2 = — z4 = — 100;
z23 = <23 + jx23 — — z5 — — 120 — j‘50.
Запишем систему уравнений в матричной форме (7-25):
Рис. 7-46.
101 — 100 0 — 9 0 0 Л ПО
— 100 222 — 120 0 — 58 50 0
0 — 120 121,2 0 50 — 60 ^3 100
9 0 0 101 — 100 0 4 0
0 58 — 50 — 100 222 — 120 4 0
0 — 50 60 0 — 120 121,2 >3 50
Разделив каждую строку на диагональный элемент, получим
1 — 0,990 0 — 0,089 0 0 1,090
— 0,450 1 — 0,540 0 — 0,261 0,225 ^2 0
0 — 0,990 1 0 0,412 — 0,495 73 0,825
0,089 0 0 1 — 0,990 0 X — 0
0 0,261 — 0,225 — 0,450 1 — 0,540 0
0 — 0,412 0,495 0 — 0,990 1 4 0,412
При моделировании выберем за единицу 100% напряжения на шкале АВМ.
Правая часть в первой строке оказывается при этом слишком большой. Введем
теперь вместо // переменную Xi=0,5//, а остальные переменные заменим равен-
ствами %2—^2 > хз=Ц', х4=Ц", Xz—Iz', х^Ц". После преобразования получим
систему
229
? 1 — 0,495 0 — 0,0445 0 0 0,545
— 0,900 1 — 0,540 0 — 0,261 0,225 *2 0
0 — 0,990 1 0 0,412 — 0,495 X/ *3 0,825
0,178 0 0 1 — 0,990 0 X 0
0 0,261 — 0,225 — 0,450 1 — 0,540 *5 0
0 — 0,412 0,495 0 — 0,990 1 *6 0,412
Выбор метода решения вызывает некоторые затруднения, так как ни один из
критериев (7-20) не соблюдается. Попробуем решить задачу с помощью одного
из рекомендованных методов. Если это окажется невозможным, то остается пре-
образовать уравнения, умножив систему на транспонированную матрицу коэффи-
циентов.
Расчет переходного процесса при включении простейшей цепи с нелинейным
элементом. Рассмотрим цепь (рис. 7-47) с катушкой, имеющей характеристику,
изображенную на рис. 7-48. Значения /? = 0,5 ом и £=180 в заданы.
Уравнения для этой схемы запишутся как
d$ldt 4- RI = Е;
1 = Е(Ф).
(7-86)
Рис. 7-49.
Принципиальная схема моделирования для этих уравнений приведена на
рис. 7-49. Функциональный преобразователь воспроизводит зависимость тока от
потокосцепления. Введем масштабы с помощью равенств
Ем — Ли —
/м = а^.
230
Подстановка в (7-86) после преобразований приводит к уравнению
6?ФМ аФ ^аФ
— —
dt-------------------atag-atai
(7-87)
Для э. д. с. и времени удобно выбрать масштабы аЕ = 0,005 1/e, ai —
= 0,0025 1/«, а<=250*. Л!асштаб аф выберем так, чтобы при максимальном токе
360 а потокосцепление было вблизи верхней границы, допускаемой устройством
модели. Удобно выбрать для такой масштаб, чтобы 0,9 единиц на модели
соответствовали 0,72 вб натуры:
аф =0,9/0,72= 1,25 lje6.
Подставляя масштабы в (7-87), получим
d<lyMldtM = Ем — /м,
= FМ СМ -
Коэффициенты на входе сумматора (см. рис. 7-49) должны быть равны единице.
В качестве начального принято условие /1 = Ф1 = 0.
Расчет движения ротора синхронного генератора. Требуется проверить дина-
мическую устойчивость синхронного генератора при отключении участка одной из
двух параллельных цепей, через которые генератор соединен с мощной системой
(рис. 7-50). Э. д. с. Eq', напряжение Uc и мощность турбины Р? можно считать
постоянными. Активным сопротивлением в цепи статора генератора и в линии пре-
небрегаем. При этих условиях процессы описываются уравнениями (7-42) и (7-43).
Принципиальная схема, соответствующая этим уравнениям, была изображена
на рис. 7-21.

Рис. 7-50.
Выбор масштабов искомых переменных (6, s) и масштаба времени произво-
дится по тем же принципам, что и в предыдущих примерах.
Параметры после отключения линии заданы в относительных единицах:
AEg'=l,3; /3 = 0,15; Рт = 1; Ра = 10; 7j = 4000, т. е. 12,7 сек. Начальные условия:
So = O; бо=зт/6 рад. Заранее неизвестно, в каких пределах будут изменяться пере-
менные s и б. Ориентировочно — 1<б<3; —0,01<s<0,02, т. е. —1% <s< +2%.
Процесс длится 314 рад. Масштабные множители введены, как и в предыдущем
примере, с помощью равенств
= sM—ass, Р i = а рР т, t^A-=ciit.
Для напряжений, моделирующих величину тригонометрических функций,
введем масштабы:
fi = bi sin В; /2 — ^2 sin 26.
Учитывая ожидаемые изменения искомых величин, выберем
я8 = 0,25 Ijpad; as = 50; ар = bt = — 0,5.
* О выборе масштабов сказано в § 7-1.
231
Масштаб времени выберем, принимая во внимание ожидаемую длительность
процесса (314 единиц): а<=0,25 сек. Подстановка масштабных множителей при-
водит к уравнениям
at dsK 1 / Рг Pd АЕ'л f ® \
as Tj \ар as b2 /
at dbM sM
a6 dtu as '
После подстановки числовых значений параметров и масштабов получаем
уравнения:
= 0,1 (Л-0,lsM- 1 ,ЗЛ + 0,15/2); dbMldtM = 0,02sM.
Коэффициенты не превышают тех пределов, которые обычно допускаются
конструкцией блоков. Если коэффициенты выходят за эти пределы, то надо ме-
нять масштабы.
Схема набора задачи (рис. 7-51) должна соответствовать преобразованным
уравнениям. В этой схеме имеются функциональные преобразователи ft и f2. Пре-
образователь fi получает на вход напряжение, представляющее собой в выбран-
ном масштабе угол б, а на выходе дает напряжение, пропорциональное sin б.
Аналогично преобразователь f2, получая на входе напряжение б, дает на выходе
напряжение, пропорциональное sin 26.
Пусть задача решается на АВМ МН-7. Прежде чем собирать схему на ком-
мутационном поле, надо подготовить функциональные преобразователи. В маши-
не МН-7 кривые аппроксимируются с помощью ломаных линий, состоящих не
более чем из 11 отрезков. Прежде всего надо вычертить график заданной функ-
ции с учетом выбранного масштаба переменных. В данном примере ординате
sin 6=1 соответствует 0,50 ед, а абсциссе в 1 рад — 0,25 ед.
График надо построить на достаточно большом листе (обычно на листе
нормального формата), чтобы не было большой погрешности при вычерчивании.
Аппроксимирующая ломаная линия строится графически: затем составляется
таблица, куда заносятся абсциссы и ординаты точек перелома с округлением до
0,001. Отдельно записываются ордината в точке 6 = 0 и наклон отрезка, прохо-
дящего через эту точку. По этим данным и производится настройка блока нели-
нейности.
Аналогично настраивается блок f2. После подготовки всех элементов наби-
рается схема и устанавливаются нужные значения коэффициентов.
232
В рассматриваемом примере начальные значения переменных отличаются от
нуля. По условиям задачи so = O, а бо=л/6. Начальные условия задаются путем
заряда конденсаторов интегрирующих блоков до разности потенциалов, соответ-
ствующей начальному значению переменной на выходе блока. В данном примере
конденсатор блока, дающего на выходе угол 6, должен быть заряжен до 3,14Х
Х25/6=13,1 в. Достигается это установкой соответствующего напряжения с по-
мощью одного из потенциометров начальных условий и соединением на коммута-
ционном поле клеммы «начальные условия» с клеммой интегрирующего блока.
Подача начальных условий производится с панели управления.
Нажатием кнопки «пуск» осуществляется процесс интегрирования. Результат
можно зафиксировать, сняв осциллограмму. Каждая кривая изображает процесс
при заданных параметрах и начальных условиях.
Если окажется, что переменные, в частности б и s, изменяются не в тех пре-
делах, которые предполагались при выборе масштабов, и моделирующие напря-
жения превышают 100 в или, наоборот, очень малы, то масштабы и соответственно
коэффициенты на модели приходится менять.
Проверка статической устойчивости. При исследовании статичес-
кой устойчивости режима синхронного генератора с регулятором
возбуждения влияние регуляторов турбины и сопротивление в цепи
статора обычно не учитывают.
Рис. 7-52.
Уравнение регулирования имеет вид:
T^E^dt+E^k^I-f^+ku (иг-иг0)+^. (7-88)
Для проверки устойчивости воспользуемся линеаризованными
уравнениями (7-79).
Приращения тока I и напряжения генератора Ur запишутся как
(^z/d В)о Д8 4- (7-89)
Д77г= (д/7г/д8)0д8-]-(^г/^9)0д^. (7-90)
233
Из (7-88) для приращений получим
<7Д£'сс/б//=(А’/Д/-Ь^Д^г-Г kss~— ^EQe)ITe. (7-91)
Принципиальная схема для решения системы уравнений (7-79)
и (7-89) 4-(7-91) приведена на рис. 7-52.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 7
1. В. И. Гор ушки н. Энергетические расчеты с помощью вычислительных
машин. «Высшая школа», 1965.
2. Под ред. В. А. Веникова. Электрические системы. Т. I. Математиче-
ские задачи энергетики. «Высшая школа», 1970.
3. Д. И. Азарьев. Математическое моделирование электрических си-
стем. Госэнергоиздат, 1962.
4. В. А. Веник ов. Переходные электромеханические процессы в электри-
ческих системах. «Высшая школа», 1970.
5. Б. Я- Каган. Электрические моделирующие устройства и их примене-
ние для исследования системы автоматического регулирования. Физматгиз, 1963.
6. И. М. Те тел ьб а ум. Электрическое моделирование. Физматгиз, 1959.
7. Под ред. Н. И. Соколова. Применение аналоговых вычислительных
машин в энергетических системах. «Энергия», 1970.
8. Г. Корн, Т. Корн. Электронные аналоговые и аналого-цифровые вы-
числительные машины. Т. I. Теория и основные функциональные блоки.
«Мир», 1967.
9. Г. Корн, Т. Корн. Электронные аналоговые и аналого-цифровые
вычислительные машины. Т. II. Быстродействующие вычислительные системы и
их применение. «Мир», 1968.
10. В. И. Груб ов, В. С. Кир дан. Электронные вычислительные маши-
ны и моделирующие устройства. «Паукова думка», 1969.
РАСЧЕТЫ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
МАШИН (ЦВМ)
§ 8-1. СВОЙСТВА И ОСОБЕННОСТИ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ЦВМ,
СУЩЕСТВЕННЫЕ ПРИ РАСЧЕТЕ РЕЖИМОВ
Цифровая вычислительная машина обладает свойст-
вами, которые делают ее мощным средством улучше-
ния и ускорения работы инженера и исследователя.
Эти свойства — быстрота выполнения вычислительных и логиче-
ских операций, высокая точность вычислений, возможность запоми-
нания информации. Машины выполняют такие объемы вычислений,
которые практически недоступны невооруженному техникой чело-
веку. Это повлекло за собой качественные изменения в постановке
работ: оказалось возможным ставить задачи, которые не поддава-
лись решению старыми средствами. Однако возможности любой
машины не безграничны. Оказывается, что во' многих случаях при-
ходится считаться с ограниченностью запоминающих устройств и
их точностью, с ограничениями во времени и с некоторыми прин-
ципиальными особенностями машинного счета.
ЦВМ, так же как и электронная модель, приспособлена, в пер-
вую очередь, для численного решения задач. Это означает, что все
исходные данные задаются числами и результат тоже получается в
численной форме. Так, при решении системы уравнений надо задать
коэффициенты системы и правые части: в результате будут получе-
ны численные значения искомых неизвестных. При интегрировании
обыкновенных дифференциальных уравнений ответ выдается в виде
последовательности координат точек интегральных кривых. Маши-
на не дает результатов в виде формул, представляющих в общем
виде совокупность решений. По этой причине для обнаружения
внутренних связей между различными факторами и параметрами
приходится выполнять большое число расчетов при различных зна-
чениях величин, влияние которых исследуется.
ЦВМ существенно отличается от АВМ возможностями в отно-
шении выполнения логических операций. Двоичная система счисле-
ния очень удобна для введения логических переменных, каждая из
которых может принимать только одно из двух значений: true (ис-
тина) или false (ложь). Условившись нулем (плюсом) изображать
значение true, а единицей (минусом) — false, получим готовый ме-
235
ханизм для запоминания логических переменных. Все цифровые
машины могут выполнять логическое сложение, логическое умноже-
ние и некоторые другие операции. Благодаря этому решаются зада-
чи фиксирования определенных признаков рассматриваемых объек-
тов, выборки и сортировки по этим признакам, фиксирования и
исследования топологии сетей и др.
ЦВМ автоматически осуществляет предусмотренную програм-
мой последовательность вычислительных (арифметических) и логи-
ческих операций. Но при этом возникает
вопрос, как выполнять условные опера-
ции или, иными словами, как в зависимо-
сти от значения (true или false), которое
принимает некоторое логическое выраже-
ние, выбрать для исполнения одну из
двух команд. Такая задача возникает,
например, при вычислении тока / в цепи
(рис. 8-1), содержащей выпрямитель и
сопротивление 7?, если значение э. д. с. Е
неизвестно заранее, а находится в резуль-
тате других вычислений. Тогда
если Е^>0, то I=EIR-,
если Е < 0, то /=0.
(8-В
В цифровой машине такая задача решается с помощью введения
логической переменной w и осуществления операции выбора (ус-
ловной передачи управления). При выполнении арифметических»
посылочных и логических операций переменная w принимает одно
из двух возможных значений в соответствии с определенными пра-
вилами. Так, можно условиться, что если в результате арифметичес-
кой операции получается положительное число или нуль, то w = 0;
в противном случае w = l. Операция условной передачи управления
состоит в выборе одной из двух команд в зависимости от значения,
которое приняла w. Следовательно, можно выбрать команду, с по-
мощью которой определяется I в формуле (8-1), в зависимости от
результата вычисления Е. Последовательный контроль позволяет
проверить выполнение сложных условий и выбрать одну из ряда
команд.
Логические возможности ЦВМ таковы, что с их помощью мож-
но не только делать вычисления, но и анализировать их результа-
ты, выбирать параметры и т. п.
Автоматизм в работе вычислительной машины имеет и обрат-
ную сторону. При ручном счете вычислитель сознательно или бес-
сознательно контролирует и анализирует промежуточные результа-
ты и учитывает их при дальнейших вычислениях. При машинном
счете промежуточные результаты скрыты от наблюдателя и необ-
ходимо анализировать их, вводя непосредственно в программу. Так,
при реализации методов последовательных приближений контроли-
руется величина поправок, численное интегрирование обыкновен-
236
ных дифференциальных уравнений связано с вычислением критери-
ев, по значению которых определяется момент для окончания счета,
в некоторых случаях до получения функции надо проверять, нахо-
дится ли аргумент в допустимых пределах и т. д.
Некоторые из задач энергетики характеризуются таким большим
числом параметров и переменных, что возникают затруднения при
их решении на машинах типа «Минск», «БЭСМ», «М» и др. Обычно
для таких задач и время счета оказывается чрезмерно большим.
Поэтому применение цифровых машин не снимает требования о
сокращении числа параметров и переменных величин при формули-
ровке задачи и отыскании алгоритмов, требующих выполнения наи-
меньшего числа операций.
При решении задач энергетики диапазон чисел в исходных дан-
ных, в промежуточных и окончательных результатах бывает весьма
велик. Машины, работающие с фиксированной запятой, практичес-
ки непригодны для их представления. По этой причине энергетики,
как правило, используют машины с плавающей запятой. С их по-
мощью можно обрабатывать числа, абсолютная величина которых
обычно лежит в пределах от 10-h до 10+ft (для многих машин 19).
В большинстве задач энергетики числа укладываются в эти преде-
лы, но возможные ограничения надо учитывать.
Точность вычислений тоже ограничена. В общем случае при ум-
ножении число разрядов, нужных для точной записи результатов,
удваивается. Но число разрядов в ячейке памяти машины ограниче-
но и поэтому неизбежны округления. Несмотря на то что мантисса
чисел обычно вводится .в машину 7—9-ю десятичными разрядами,
округление на промежуточных стадиях в процессе вычислений мо-
жет привести к заметным погрешностям в конечных результатах.
В табл. 8-1 даются технические характеристики некоторых ЦВМ,
выпускаемых в СССР.
Машины серии «Урал» могут работать каждая отдельно, но мо-
гут объединяться в комплекс в системе обработки информации. Ма-
шина Урал-16 может одновременно выполнять до семи программ.
Машины «Наири», «Мир» предназначены для относительно не-
сложных вычислений. Программирование и операторская работа
на них упрощены.
Машины М-220, Минск-22, Раздан-2 подходят для решения боль-
ших инженерных и научных задач. Минск-32 и Раздан-3 пригодны
как для выполнения больших инженерных, научных и экономичес-
ких задач, так и для обработки информации в составе системы ма-
шин. БЭСМ-6 отличается высоким быстродействием, что позволяет
решать научные и технические задачи, требующие большого числа
вычислительных операций.
§ 8-2. ПОДГОТОВКА ЗАДАЧ К РЕШЕНИЮ НА ЦВМ
Решение задач с помощью ЦВМ (так же, как с по-
мощью АВМ) начинается с математической формулировки и отра-
жает процессы и явления лишь в той мере, в какой они представле-
237
00
сЗ
S
Ч
\О
св
Технические характеристики ЦВМ
Тип машины
Северо.Донецк СМ СМ 1 1 I I - С со 1 1 Ю —' о -3- —
Мир "1^1111 1 II-4 о
Наири СТ —< I 1 „ СО I СМ О со 1 1 V « | СМ - т—<
Минск-32 CTs Ci © в 7 О J. 1 н о, t-~- 1 СМ О to СО 1 1 О СО О О 00 т—, К со щ _ , га т—' к . в
Минск-22 га т 2 2 к -°C 1 7 О га со со । t-д, 1 + см <м О ef 1 о " со ос g и
БЭСМ-6 14 О J3 JS « « С о см (- н о “ X >-< 1 1 । О СО CJ О П LQ 1 * 1 1 1 —' МЫ СТСМ к
БЭСМ-4 к Д Л • 00 Л CJ О СО Н Н I Q *7 Т СО 10 со £ CN и и Е 1 + со Е ОО § 1 1 1 1 ГО
Раз- лан-3 см _ СО Л Л оо оо " ю .1. ь н со ” 2 см о о g СТ 1 о со С Tf 1 + сою а со Щ ш О О т-> я '1 < М
Раз- лан-2 О -а о о £* ю <м I н со 7 X см о со 5 1 о с со 1 + см м Гт) Q о S — — •&
>4 £ СО 1 ,—। J2 сл со 1 о -|. н н _ “о ? X со о ю -д. <м 1 о о с 1 + со ОЩ Ц <М СМ м
Урал-16 S СО »-Q »£| |—। »—< СО Q .1. Ь Н < О О Ра 1 О U ’&« н 1 Ю GN м СО Щ Щ ° О Д
Урал-14 СО I Q J2 л г—< CN о ‘1‘ о о -& н о | 'со00 5 со щ Щ о el s
Урал-11 <О> >—? г-н л J2 СЧ S & -1- 5 5 & S | -1 S « Ш ш <м *"* 03
Характеристика машины Средняя скорость вы- числений, тыс. onepfceK. . Емкость оперативного запоминающего устрой- ства, К * Магнитные барабаны Магнитные ленты . . . Положение запятой ** Число двоичных разря- дов в ячейке Диапазон чисел, пред- ставляемых в машине . . Число адресов в коман- де Площадь для установ- ки, м2 Потребляемая мощ- ность, кет * /<=1024 ячейки с максим
238
ны в сформулированных уравнениях и логических условиях. Ма-
шинный счет позволяет применять детальные описания многих
процессов. Так, нет никаких принципиальных препятствий для ис-
пользования самых подробных уравнений синхронной машины при
описании переходных процессов. Но при изучении явлений и про-
цессов в сложных системах уже на стадии формулировки задачи
приходится считаться с ограничениями (см. § 8-1).
Подготовка математического описания, которое, с одной сторо-
ны, достаточно полно отражает изучаемые процессы, а, с другой
стороны, дает практические возможности для решения задачи, яв-
ляется важным первым этапом.
Второй этап подготовки задачи — разработка метода численно-
го решения. Надо найти такую последовательность простейших опе-
раций (арифметических, логических, выбора), в результате кото-
рых по исходным данным (числам и логическим значениям) полу-
чаются искомые результаты. Совокупность правил, по которым
некоторая исходная информация (числа и логические значения)
преобразуется в искомую информацию, называется алгоритмом. Та-
ким образом, второй этап подготовки задачи заключается в разра-
ботке алгоритма.
Алгоритмы многих часто встречающихся задач хорошо разрабо-
таны и описаны в руководствах по вычислительной математике.
К ним относятся следующие: определение наиболее распространен-
ных функций, вычисление определителей, обращение матриц, ре-
шение систем линейных алгебраических уравнений и обыкновенных
дифференциальных уравнений и др.
Разработка алгоритмов энергетики является содержанием мно-
гих научно-исследовательских работ. Здесь необходимо соединение
знаний и навыков математиков и инженеров. Выбор метода реше-
ния часто зависит от особенностей конкретных задач. Так, задача
расчета токов в сети с заданными источниками э. д. с. сводится к
решению системы линейных алгебраических уравнений. Примени-
мость некоторых методов решения этой задачи зависит от структу-
ры матрицы коэффициентов системы уравнений, которая, в свою
очередь, определяется свойствами рассматриваемой электрической
сети и формой записи уравнений. Если не дать никаких указаний в
отношении свойств матрицы, то придется выбирать самый общий
метод решения, пригодный для уравнений любой структуры. Ука-
зание, что матрица, например, симметричная или положительно-оп-
ределенная, позволяет выбрать более простой и эффективный ме-
тод. Часто разработка алгоритма заставляет вернуться к формули-
ровке задачи. Известно, что система уравнений узловых
потенциалов очень удобна для записи уравнений сложных электри-
ческих систем. Но известно и то, что в некоторых случаях при ре-
шении уравнений возникают затруднения, которые легче преодоле-
ваются, если выбрана более сложная для записи система контур-
ных токов.
После того как алгоритм выбран или разработан, начинается
третий этап — детализация алгоритма, его расчленение на более
239
или менее независимые части и составление блок-схемы, отражаю-
щей в общих чертах ход вычислений. В качестве простейшего при-
мера рассмотрим блок-схему вычисления функции F = sin6 при зна-
чениях 6 = 61, 62, 6з, 6г, .... 6fe (рис. 8-2).
В схеме выделен блок определения функции при некотором фик-
сированном значении аргумента 6г. Вычислению функции предшест-
вует увеличение на единицу индекса I. До начала
счета этот индекс полагается равным нулю- Пос-
ле нахождения и записи sin 6г проверяется,
все ли требующиеся значения функции подсчита-
ны. Для этого i сравнивается с максимальным
значением индекса k. Если i<k, то индекс увели-
чивается на единицу и вычисляется еще одно
значение функции. Если i=k, то счет и запись
значений функции окончены. На блок-схеме ясно
виден замкнутый цикл вычислений sin 6 при раз-
ных значениях аргумента и разветвление процес-
са счета в конце. В сложных задачах возникает
ряд циклов и разветвлений. Все они обязательно
должны быть отражены в схеме. Некоторые бло-
ки, как, например, блок Ei = sin6i (см. рис. 8-2),
могут сами иметь сложную структуру со своими
циклами и разветвления. Для них надо состав-
лять отдельные схемы.
К блок-схемам можно не предъявлять ника-
ких специальных требований, кроме наглядности
и соответствия алгоритму. Но при массовой раз-
работке алгоритмов и программ вырабатываются
стандартные обозначения и вводятся блоки, со-
ответствующие определенным сочетаниям и по-
следовательностям операций.
После подготовки блок-схемы осуществляется
дальнейшая детализация алгоритма, его расчле-
нение на простейшие операции. Это целесообразно делать для каж-
дого блока отдельно. В результате появляются таблицы, которые
по форме близки к формулярам для ручного счета. Например, таб-
лица для вычисления
sin 8-1- Xd--l- Ц* sin 28
xd ^xdxq
может иметь следующий вид:-
Номер Операция Результат
1 EqXU EqV
2 (1№ EqU '.xd
3 (2)Xsin8
4 Xd—Xq Xd—Xq
5 (4)Xt7 (Xd—Xq) U
240
Продолжение
Номер Операция \ 4 Результат
б \ (5)Xt/ (xd-xt.)H2
7 (6):2 (xd—Xq)U2:2
8 (7):xd ^Xd—Xq^U2.2xd
9 (8):х7 (%d 2xdXq
10 (9)Xsin25 (xd—xq)U2: 2xdxQX sin26
И (Ю) + (3) P=(10)+(3)
Цифры в скобках во второй графе показывают, из какой строки
(пункта) надо взять число. При детализации алгоритма в простей-
ших случаях можно не предъявлять никаких требований, кроме вы-
полнимости некоторой последовательности операции. На самом деле
при автоматическом счете последовательность операций может
иметь существенное значение.
Пусть, например, надо вычислить некоторую величину
. .ajb^.. .bn,
где «1, ..., ап и bi, ..., bn— заданные большие числа.
Если сначала определить произведение • • - ctn, то может по-
лучиться столь большое число, что его нельзя представить в нор-
мальной форме в машине. Если же вычислить сначала 1 : (bib2...bn),
то можно получить машинный нуль. По-видимому, лучший путь за-
ключается в попеременном делении и умножении, например,
[(й! : bi) Ха2]: Ь2... и т. д.
Выбор последовательности операций оказывается не безразлич-
ным и с точки зрения удобства их исполнения на конкретной маши-
не. Особенно это важно для одноадресных машин (серия «Урал»).
В каждой арифметической операции участвует два числа. Если эти
числа находятся в запоминающем устройстве (ЗУ) и результат на-
до запомнить, то, например, для сложения нужно выполнить три
операции: 1) послать первое слагаемое в арифметическое устройст-
во (АУ); 2) прибавить второе слагаемое к числу, находящемуся в
АУ; 3) результат операции переписать в ячейку ЗУ. Если же можно
использовать результат предыдущей операции, сохранившийся в ре-
гистре АУ, и результат вычислений не надо запоминать (так как он
сразу используется при исполнении следующей операции), то число
пересылок резко сокращается. Таблица составлена с учетом этой
особенности одноадресной машины.
Таким образом, детализация алгоритма должна проводиться с
учетом особенностей автоматического счета и характеристик дан-
ной машины.
При массовой разработке программ и алгоритмов принимают-
ся определенные правила и нормы для детальной записи всего про-
цесса. В некоторых случаях вводят ряд терминов, смысл которых
соответствует простейшим операциям с числами и логическими пе-
241
ременными, операциям выбора и т. д. Тогда детализация алгоритма
приобретает форму, называемую содержательным программирова-
нием. Более совершенная форма основана на использовании стан-
дартных символов и обозначений, с помощью которых задается
порядок вычислений. Цели, которые ставятся при разработке блок-
схем и дальнейшей детализации алгоритма, могут быть достигнуты
и несколько иными средствами. Известны, например, системы опе-
раторного программирования и различные формы алгоритмических
языков. Во всех случаях результатом должно быть задание после-
довательности операций для выполнения их машиной.
§ 8-3. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММ
Тщательная разработка алгоритма и его детализа-
ция дают основу для разработки программы. При ручном програм-
мировании дальнейшая работа заключается в составлении програм-
мы в коде операций используемой машины, проверке программы
(отладке) непосредственно в процессе ее исполнения машиной, вне-
сении исправлений и улучшений. Если программа предназначается
для многократного использования, то необходим некоторый период
для приобретения опыта в ее эксплуатации и доработка с целью
устранения выявленных недостатков. В некоторых случаях практи-
ка может привести к выводу о необходимости переработки алго-
ритма.
Рассмотрим кодирование программ и отладку несколько по-
дробнее.
При составлении программ команды и числа помещаются в оп-
ределенные ячейки запоминающего устройства. Но на этой стадии
неизвестно, сколько ячеек займут отдельные части программы и
программа в целом. Кроме того, бывает удобно сначала запрограм-
мировать отдельные блоки, а затем собрать всю программу. Иногда
часть блоков может готовиться параллельно несколькими лицами.
По этим причинам программы сначала пишутся в условных буквен-
ных адресах и только на стадии сборки всей программы адреса
всех частей программы согласуются между собой.
Отладка подготовленных таким путем задач расчета режима
электрических систем принципиально ничем не отличается от отла-
док любых других задач. Надо лишь иметь в виду, что и на этой
стадии целесообразно сочетание работы инженера, сформулиро-
вавшего задачу и знающего ее суть, и математики (лучше всего,
если эти специалисты сочетаются в одном лице). В процессе от-
ладки должны быть проверены все ветви программы в определен-
ном диапазоне значений исходных чисел и параметров, соответст-
вующем техническому содержанию задачи. Невозможно указать
годные для всех случаев формальные правила отладки. Приходится
в каждом отдельном случае отыскивать наиболее эффективный спо-
соб. Особенно трудно бывает обеспечить всестороннюю проверку
громоздких задач, требующих длительного счета при значительной
242
загрузке запоминающих устройств. К таким задачам можно отнес-
ти все расчеты режимов сложных энергосистем, задачи оптимиза-
ции планов развития энергетики, расчеты устойчивости сложных
систем и т. д. Здесь можно указать лишь несколько приемов, кото-
рые могут оказаться полезными при практической работе.
Каждую часть программы, которая может быть выделена как
имеющая в какой-то мере самостоятельное значение, следует про-
верять отдельно. На блок-схеме (см. рис. 8-2) такой частью может
быть блок .Fi = sin6t. После контроля всех основных блоков прове-
ряется их взаимодействие. Программы для задач большого разме-
ра предварительно апробируются в условиях исполнения маленьких
задач. При этом устанавливается правильность всей логической
схемы программы в условиях, когда счет требует относительно ма-
ло времени, что облегчает и ускоряет работу. В энергетике этот
прием обязателен при отладке всех задач, связанных с расчетами
режимов и процессов в электрических системах и сетях, с расчетами
обобщенных параметров сложных сетей, с оптимизацией планов ис-
пользования энергетических мощностей и планов развития энерге-
тических систем и сетей и т. п. В заключение необходимо попробо-
вать программу в условиях задачи полного объема. Может оказать-
ся, что программа, безошибочно исполняемая до конца при
небольших размерах задачи, практически невыполнима при боль-
ших размерах.
Большую помощь в отладке оказывает удачный выбор контроль-
ных примеров. Очень хорошо иметь варианты, для которых резуль-
таты получены другими путями. Некоторую ориентировку могут
дать экспериментальные данные. Иногда удается так подобрать
параметры или начальные условия, что результаты находятся путем
сравнительно простых вычислений. Можно, например, при расчете
режима сети задаться напряжениями во всех узловых точках и вы-
числить токи и мощности по относительно простой программе. По-
лученные результаты далее можно использовать как исходные дан-
ные в неотлаженной программе, где искомыми являются напря-
жения.
В процессе отладки обычно появляются изменения и исправле-
ния, которые вносятся в программу. Исправленную программу при-
ходится снова проверять.
По окончании отладки необходимо вернуться к блок-схеме и при-
вести ее в соответствие с программой.
Ручное программирование включает ряд простых, но достаточно
утомительных операций, могущих быть источником ошибок. Сюда
относится изменение расположения готовых программ в запоминаю-
щем устройстве, замена буквенных адресов цифровыми и т. п. Зна-
чительная часть этих операций может быть автоматизирована.
Формирование части команд по параметру задачи является первым
шагом автоматизации. Так, например, не составляются отдельно
программы для сложения матриц различного порядка; соответст-
вующая программа в качестве исходной информации предусматри-
вает число строк и столбцов в матрице, а команды, зависящие от
243
них, формируются при исполнении первой (формирующей) части
программы. Вторым шагом автоматизации является систематичес-
кое использование одних и тех же подпрограмм для вычисления
часто встречающихся функций, решения простейших задач и т. п.
В набор таких программ обычно входит перевод чисел из десятич-
ной системы в двоичную и из двоичной системы в десятичную,
вычисление функций sin х, cos х, tg х, arccos х, arcsin х, arctg х, ех,
_______ «_
1пх, У х, У х, решение системы линейных алгебраических уравнений,
интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений и др.
В каждой из этих подпрограмм находится одна функция одного ар-
гумента. Обычно перед обращением к ним аргумент засылается в
определенную ячейку или в сумматор арифметического устройства,
результат получается тоже в рабочей ячейке или в сумматоре.
При вычислении функции, зависящей от нескольких параметров,
обращение к подпрограмме выполняется сложнее.
При ручном программировании обязательно используются и
стандартные подпрограммы. Они либо вставляются в соответствую-
щие места основной программы с предварительным изменением ад-
ресов, либо (что бывает чаще) размещаются в запоминающем уст-
ройстве отдельно; в основной программе предусматривается пере-
ход к исполнению подпрограммы с возвратом в основную
программу.
Системы автоматизации, названные системами малой автомати-
зации программирования, являются развитием формирования ко-
манд и использования стандартных подпрограмм.
Получили развитие в основном два направления: метод состав-
ляющих программ и метод автоматического использования
библиотеки подпрограмм.
Прежде чем давать понятие об этих системах, рассмотрим неко-
торые вспомогательные операции.
Первая из них — автоматическое переписывание подпрограммы
из одного места оперативного запоминающего устройства в другое
с одновременным изменением адресов. Ее выполнение основано на
том, что если программа перемещается на п ячеек, то на эту же ве-
личину надо изменить все адреса в программе, за исключением тех,
которые не зависят от ее размещения.
Введем понятие массива. Под массивом будем понимать т-мер-
ную упорядоченную совокупность элементов с одинаковыми свойст-
вами. Например, массивом можно назвать группу последовательно
расположенных ячеек запоминающего устройства, упорядоченную
последовательность чисел, колоду перфокарт. Массив характеризу-
ется начальным анач и конечным пкон адресами. В массиве содер-
жится (Пкон —Онач+1) ячеек С номерами ЦНач, Янач+1, Пнач + 2, ...
..., пКОн—1, «кон- Будем считать, что подпрограмма занимает один
массив. Адреса в подпрограмме разделим на внутренние и внешние.
Внутренние адреса принадлежат массиву, занятому подпрограммой,
а внешние выходят за его пределы. Внешние адреса появляются,
когда имеется обращение к другим подпрограммам, перепись чисел
244
из других массивов и т. п. Заметим, что часть команд не содержит
адресов. Кроме того, программы содержат константы (числа или
коды), которые используются в программе, но не являются коман-
дами. Таковы, например, коэффициенты рядов, с помощью которых
подсчитываются некоторые функции, константы для формирования
команд и др. При пересылке подпрограммы изменению подлежат
только внутренние адреса. Если программа занимает массив
^нач 14-Цкон 1 и ее надо разместить в массиве авач 2^-^кон 2, то каж-
дая из команд и констант передвигается на п ячеек, где п —
— #нач 2 ^-нач 1. Соответственно все внутренние адреса тоже меня-
ются на п. Константы обычно располагают в конце массива и их
пересылают без изменения. Для шростоты ограничимся случаем,
когда подпрограмма не содержит внешних адресов. Тогда при пере-
сылке команд надо проверять, содержит ли она адрес. Для этого
достаточно проверить код операции. Если команда не содержит ад-
реса, то она пересылается без изменения. Адреса изменяются на п.
Подпрограмма для вычисления одной функции одного аргумента
легко может быть построена без использования внешних адресов,
если условиться, что перед обращением к ней аргумент засылается
в сумматор, а результат тоже получается в сумматоре арифметичес-
кого устройства. Но в ряде задач исходная информация представля-
ется массивом чисел, при этом результат тоже может представлять
массив (матрицу или вектор, например). Такова подпрограмма ре-
шения системы линейных уравнений, где надо использовать матри-
цу заданных коэффициентов и вектор правых частей: результат
тоже будет представлен вектором. В этом случае следует преду-
смотреть возможность размещения исходных чисел и результатов
вне программы, что влечет появление внешних адресов. Пересылка
самой подпрограммы не должна приводить к их изменению. Для
достижения этого можно условиться изменять на п только внутрен-
ние адреса и ввести соответствующие проверки в программу, с по-
мощью которых производится пересылка.
Вторая вспомогательная операция — обращение из основной
программы к подпрограмме, предварительно размещенной в опера-
тивном запоминающем устройстве. Способ обращения должен быть
согласован со способом, на который рассчитана подпрограмма.
Обычным для функций одного аргумента является обращение по
следующей схеме: а) аргумент засылается в сумматор чисел; б) осу-
ществляется переход к исполнению подпрограммы с одновременным
формированием команды возврата в основную программу; в) после
выполнения подпрограммы возобновляется исполнение основной
программы (при этом результат выполнения подпрограммы исполь-
зуется в основной программе).
При обращении к подпрограммам, содержащим внешние адре-
са, необходима дополнительная информация. Например, при обра-
щении к подпрограмме решения системы уравнений надо указать
начальный адрес массива, содержащего матрицу коэффициентов и
вектор правых частей (порядок расположения чисел должен соот-
ветствовать тому порядку, который предусмотрен подпрограммой),
245
и начальный адрес массива, содержащего результат. Необходимо
также задать порядок системы уравнений. Обращение из основной
программы к подпрограмме можно построить следующим образом:
а) написать команду засылки в сумматор адреса команды, с по-
мощью которой осуществляется переход к исполнению подпрограм-
мы; б) написать команду перехода; в) записать в последующие
строчки основной программы необходимую информацию о внешних
адресах (например, для системы уравнений — номер начальной
ячейки массива, содержащего исходные данные; номер начальной
ячейки массива, предназначенного для записи результата; порядок
системы). При этом в подпрограмме должно быть предусмотрено
формирование команды возврата в основную программу по номеру
ячейки, засланному в сумматор.
Рассмотрим вспомогательную операцию обращения к подпро-
грамме, записанной во внешнем запоминающем устройстве, с пере-
писью в выбранное место оперативного запоминающего устройства.
В этом случае нужна вспомогательная программа и дополнитель-
ная информация о расположении подпрограммы. Предположим, что
вспомогательная программа выполняет следующие функции: 1) пе-
реписывает подпрограмму с магнитного барабана в оперативное
запоминающее устройство с соответствующим изменением внутрен-
них адресов. При этом, конечно, должны задаваться начальные
номера ячеек в массивах для подпрограммы на барабане и в опера-
тивном запоминающем устройстве и число ячеек, занятых команда-
ми (для выделения внешних адресов); 2) передает в подпрограмму
информацию основной программы для формирования команды
возврата; 3) осуществляет переход к исполнению подпрограммы.
Пусть подпрограммы построены так, что в них а) на основании
информации, переданной вспомогательной программой, формирует-
ся команда возврата; б) на основании информации, почерпнутой из
основной программы, формируются внешние адреса (если они есть).
Тогда обращение к подпрограмме должно содержать обращение к
вспомогательной программе и следующую информацию: номер ячей-
ки для формирования команды возврата; начальный номер ячейки
массива, в котором расположена подпрограмма; начальный номер
ячейки массива для подпрограммы в оперативном запоминающем
устройстве; число ячеек, занятых командами; информацию для фор-
мирования внешних адресов; параметры для формирования команд,
зависящих от размеров задачи.
Описанные операции и вспомогательные программы поясняют
некоторые возможности в отношении малой автоматизации програм-
мирования. В действительности разработанные для этой цели про-
граммы богаче по своим возможностям и сложнее по структуре.
Система автоматического использования библиотеки стандарт-
ных подпрограмм предусматривает составление для каждой задачи
программы (основной), в которой широко используется обращение
к подпрограммам. Каждое обращение должно содержать всю необ-
ходимую информацию для переписи подпрограммы, выполнения
счета и возвращения в основную программу. Важнейшим элементом
246
системы является вспомогательная программа (одна и та же для
всех задач или для целого класса задач), с помощью которой осу-
ществляется перепись подпрограмм, изменение их адресов, форми-
рование некоторых команд и др. Эти программы часто определяют,
нужно ли вызывать подпрограмму из внешнего запоминающего
устройства или она сохранится после предшествующих вызовов и
поисков места для размещения подпрограммы. Все операции пере-
писи должны сопровождаться надежным контролем. Сохранность
подпрограмм на барабане или магнитной ленте тоже контролирует-
ся. Вспомогательная программа все время, пока исполняется ос-
новная программа, должна сохраняться в оперативном запоминаю-
щем устройстве или вызываться из внешнего запоминающего уст-
ройства по мере надобности.
Метод составляющих программ основан на другом принципе. На
вспомогательную (составляющую) программу возлагается более
сложная работа — составление всей программы, включая формиро-
вание команд. После того как составляющая программа исполнена,
в памяти машины оказывается программа в коде операций маши-
ны, подготовленная к решению конкретной задачи. Далее состав-
ляющая программа уже не нужна и занимаемое ею место может
быть использовано для других целей. При подготовке задачи к ре-
шению инженер-программист разрабатывает блок-схему, расчленяя
алгоритм на части, программирование каждой из которых преду-
смотрено составляющей программой.
Во многих случаях вместо блок-схемы или в дополнение к ней
пользуются операторной схемой. По смыслу она близка к блок-схе-
ме, но место каждого блока занимает буквенный оператор. Буквы
пишутся в строку в порядке выполнения операторов, а стрелки
сохраняются для обозначения переходов, нарушающих этот порядок
(при разветвлениях, в циклах и т. п.). Схемы получаются компакт-
ными, что облегчает их детализацию. Развитие системы приводит
к закреплению определенного содержания за каждым буквенным
обозначением.
Далее схема кодируется, причем каждый код сопровождается
необходимой информацией. Упрощенно можно представить кодиро-
вание как составление программы, в которой имеются только ко-
манды обращения в различные части составляющей программы и
информация, по которой составляющая программа формирует из
стандартных блоков (подпрограмм) рабочую программу.
Существует ряд вариантов методов малой автоматизации. Каж-
дый из них реализуется применительно к конкретным машинам.
Подготовленные для расшифровки коды для составляющих про-
грамм или подпрограмм в системе автоматического использования
библиотеки подпрограмм понятны только при сопоставлении с соот-
ветствующими вспомогательными программами.
Следующей ступенью автоматизации .программирования являет-
ся применение алгоритмического языка и транслятора. С помощью
алгоритмического языка записывается последовательность вычисле-
ний. Эта запись вводится в машину через специальную, одинаковую
247
для всех задач, программу (транслятор) и переводится (транслиру-
ется) на язык операций машины. Далее программа исполняется, вы-
давая искомый результат.
Алгоритмический язык принципиально отличается от языка алге-
браических формул тем, что задает последовательность арифмети-
ческих и логических операций, тогда как алгебраические формулы
устанавливают связь между величинами. Так, в алгебре можно
записать квадратное уравнение
ах^-^Ьх^-с—Ъ,
но можно записать и формулу для вычисления корней
-*4,2 =
— b + )Х2 — [4ас
2а
(8-2)
На алгоритмическом языке записывают не уравнения, а после-
довательность элементарных операций. На языке «Алгол-60» фор-
мула (8-2) выглядит как
х [1]: =( — 6-ф- sqri (Z>|2 —4 X cl X с))/(2 X cl)\
х [2]: = (— b — sqrt (£>f 2 — 4 X « X c))/(2 X cl).
Индексы при x стоят в строке в индексных (квадратных) скоб-
ках, деление обозначено косой чертой, символом f обозначено воз-
ведение в степень, а показатель степени тоже написан в строку;
корень квадратный записан в виде функции sqrt, аргумент которой
помещен в круглые скобки. Символ : = означает операцию присваи-
вания и читается «становится равным». Операции после знака : =
исполняются в последовательности, задаваемой скобками, а внутри
скобок — справа налево с учетом старшинства. Последнее означает,
что сначала производится возведение в степень, затем операции ум-
ножения и деления и .лишь после этого операции сложения и вы-
читания.
В отличие от алгебраических алгоритмические записи однознач-
но задают последовательность операций. В алгебре безразлично, в
каком порядке вести перемножение для получения произведения
4пс. На алгоритмическом языке запись 4ХаХс показывает, что ум-
ножение ведется в порядке (4ха) Хе.
Существует ряд алгоритмических языков, из которых один, упо-
минавшийся уже «Алгол-60» *, приобрел права международного
языка и рекомендуется для использования в Советском Союзе. По-
скольку алгоритмические языки большей частью предназначаются
для записи решения задачи в форме, пригодной для ввода в вычис-
лительную машину, при их разработке большое внимание обраща-
ется на краткость обозначений, сокращение числа основных симво-
лов, однозначность смысла записи. В Алголе не применяются
подстрочные и надстрочные индексы, горизонтальная черта для
* Далее для краткости опускаются кавычки и число «60».
248
обозначения дроби, знак корня. Трудность записи большого числа
переменных с помощью ограниченного числа букв преодолена ис-
пользованием для этой цели последовательностей букв и цифр. Так,
аЬ2 обозначает одну переменную, так как буквы и цифры не разде-
лены никакими знаками. В Алголе удалось ограничиться сравни-
тельно небольшим числом основных символов (немного больше
100), с помощью которых можно записать любой алгоритм.
В Алголе имеются стандартные функции, которые можно вво-
дить в запись просто их обозначениями без записи способа вычис-
ления: sin(x), 1пх и др. Предусмотрена также возможность введе-
ния процедур. Это значит, что, описав какой-нибудь вычислитель-
ный процесс, можно его потом использовать в любой другой
программе, не меняя обозначений. В сущности, это соответствует
практике использования стандартных подпрограмм в системах ма-
лой автоматизации.
Запись алгоритма на Алголе получается гораздо точнее, чем за-
пись обычными алгебраическими методами, так как исключает не-
однозначность смысла некоторых пояснений, не допускает пропуска
условий, которые иногда подразумеваются, но не записываются,
точно указывает последовательность всех операций или заключений.
В некотором смысле алгоритмическая запись приближается к запи-
си в коде операций машины, но отличается от нее гораздо большей
компактностью и наглядностью. Большим преимуществом записи
на Алголе (и на любом алгоритмическом языке) является независи-
мость от типа машины.
Применение Алгола облегчает общение авторов программ и об-
мен алгоритмами между разными странами, поскольку не требует
перевода, как это имеет место при описаниях на обычном языке с
использованием алгебраических формул и пояснений.
Большим преимуществом применения алгоритмического языка
надо считать упрощение и ускорение самого процесса программиро-
вания. Автор алгоритма, записав его, дает тем самым программу
для машины, снабженной транслятором. Все это способствует рас-
ширению круга лиц, пользующихся машинами, и ускоряет работу.
Однако использование алгоритмического языка усложняет экс-
плуатацию машины. Транслятор содержит тысячи и десятки тысяч
команд. Машину приходится снабжать специальным запоминающим
устройством для хранения транслятора и принимать меры для про-
верки его сохранности. Трансляция увеличивает требующееся ма-
шинное время.
Программы, написанные на алгоритмическом языке, расшифро-
вываются и переводятся на язык кодов машины по правилам, за-
ложенным в логике транслятора. При этом программа может ока-
заться и не наилучшей с точки зрения экономии места и времени.
Помимо алгоритмических языков (с помощью которых можно
описать любой алгоритм) и соответствующих им трансляторов су-
ществуют и другие языки, отличающиеся по форме или назначению.
В Советском Союзе в настоящее время широко распространен Ал-
гол, но применяются подъязыки, предназначенные для описания
249
алгоритмов определенного типа. Можно, например, представить
язык для описания вычислений по формулам. Такой язык будет от-
носительно простым, а соответствующий транслятор не будет гро-
моздким.
За рубежом для решения задач в области техники и, в частнос-
ти, в области электроэнергетики широко используется алгоритми-
ческий язык под названием «Фортран». Этот язык дает программи-
сту несколько меньшие возможности, чем Алгол, для записи алго-
ритмов. Так, индексы могут быть только положительными и сами
не должны иметь индексов. Массивы не должны иметь размерность
выше трех. Зато в Фортране точнее, чем в Алголе, определены раз-
личные операторы ввода и вывода, что позволяет программисту
представлять информацию в удобной для него форме. Ограничения,
имеющиеся в Фортране, практически не вызывают затруднений при
описании алгоритмов электроэнергетики, а программы после транс-
ляции оказываются короче, чем при трансляции с Алгола.
При систематическом использовании транслятора для решения
определенного круга задач целесообразно разработать ряд стан-
дартных подпрограмм на языке машины и использовать их в соче-
тании с программами на алгоритмическом языке. В Алголе такая
возможность предусмотрена в правилах составления процедур.
§ 8-4. СТАНДАРТНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЭНЕРГЕТИКИ
Каждая организация, пользующаяся ЦВМ, должна
иметь набор программ, предназначенных для решения часто встре-
чающихся математических задач. Эти программы должны быть
удобными для использования, содержать элементы объективного
контроля правильности получаемых результатов, формулы для
оценки длительности счета, оценку допустимых размеров задачи
и т. д.
Разработка таких программ ведется специализированными орга-
низациями, располагающими кадрами математиков-вычислителей.
Программы публикуются. Дело отраслевых, и в том числе энергети-
ческих, организаций использовать их.
В энергетике имеется ряд специфических задач, характерных для
отрасли. Многие из них должны решаться многократно и во многих
местах. Возникает задача создания набора (библиотеки) стандарт-
ных программ для энергетических задач. Структура и состав такой
библиотеки зависят от направления и содержания работы вычисли-
тельного центра или учреждения. В области энергетики работают
научные, проектные; строительные, эксплуатационные и другие ор-
ганизации и каждая из них имеет свои задачи.
В области электрических систем по характеру решаемых техни-
ческих задач можно наметить следующую классификацию про-
грамм:
1) вычисление параметров разветвленных электрических сетей.
Сюда относится получение матриц коэффициентов уравнений уста-
250
повившегося режима сети (уравнений узловых потенциалов, кон-
турных токов и др.), обобщенных параметров пассивной сети по от-
ношению к внешним узлам (собственных и взаимных сопротивле-
ний и проводимостей, входных сопротивлений и др.);
2) расчет установившегося режима в сети с заданными парамет-
рами и источниками. Сюда относятся расчеты рабочих режимов без
учета и с учетом ограничений по напряжениям и пропускной спо-
собности линий, кратковременных несимметричных' режимов, неко-
торых аварийных режимов (например, расчет тока короткого замы-
кания для некоторых случаев);
3) расчет установившихся режимов преобразовательных уст-
ройств (инверторов и выпрямителей);
4) расчет переходных процессов в электрических цепях, сетях и
установках. Сюда относятся многие расчеты процессов по опреде-
лению требований, предъявляемых к устройствам защиты и автома-
тики, расчеты процессов в синхронных машинах при постоянной
скорости и др.;
5) расчет режимов длинных линий, рассматриваемых как систе-
мы с распределенными параметрами;
6) расчет волновых процессов в линиях с распределенными па-
раметрами и в сетях;
7) расчет электромеханических переходных процессов в электри-
ческих системах. Сюда входят расчеты движения ротора синхронно-
го генератора с учетом и без учета действия регуляторов скорости
и возбуждения и, в том числе, расчеты динамической и результи-
рующей устойчивости, асинхронного хода, синхронизации и пр.;
8) расчеты статической устойчивости, включая устойчивость ре-
гулирования генератора, устойчивость регулирования группы гене-
раторов и сложных систем электрических машин;
9) оптимизация эксплуатационных режимов электрических сис-
тем при заданном составе оборудования. Здесь нужны программы
для упрощенной оптимизации режима по активным и отдельно по
реактивным мощностям, программы для оптимизации с учетом вза-
имной связи между распределением активных и реактивных мощно-
стей, а также с учетом всевозможных ограничений;
10) оптимизация режима с одновременной оптимизацией соста-
ва оборудования;
11) прогнозирование и планирование режимов на длительные
сроки;
12) планирование развития электрических систем, включая про-
гнозирование спроса на электроэнергию, оптимизацию размещения
энергетических установок и энергетических связей.
Для большинства групп необходимы алгоритмы и программы,
соответствующие разным формам постановки задачи и разным тре-
бованиям, связанным с уровнем детализации математических опи-
саний, размерами задачи и т. п. В научных исследованиях в области
электроэнергетики требуются алгоритмы и программы и для ряда
других задач.
251
Для оценки того математического аппарата, который необходи-
мо использовать при машинном решении задач электроэнергетики,
приведем классификацию некоторых программ и алгоритмов :по ма-
тематическим признакам:
1) решение задач линейной алгебры. Сюда относятся задачи по
вычислению параметров электрических сетей, расчет режима сети
с заданными источниками э. д. с. или тока;
2) решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Про-
водится при расчете режима сети с заданными мощностями источ-
ников и при расчете с нелинейными элементами;
3) периодические решения систем дифференциальных уравне-
ний. Сюда относится установившийся асинхронный ход, установив-
шиеся режимы преобразовательных устройств, несимметричные ус-
тановившиеся режимы в сетях переменного тока;
4) решение систем обыкновенных дифференциальных уравне-
ний при заданных начальных условиях. Включает в себя все расче-
ты переходных процессов в электрических цепях и системах, про-
верку динамической и результирующей устойчивости, расчет про-
цессов при синхронизации и др.;
5) проверка и анализ устойчивости равновесия по критериям ус-
тойчивости;
6) вычисление экстремума функции многих переменных при на-
личии ограничений в форме равенств и неравенств. Эта задача ре-
шается при оптимизации и планировании режимов и развитии элек-
тросистем;
7) решение задач математического программирования (линей-
ного, квадратичного, целочисленного и пр.), которое используется
при оптимизации планов развития электроэнергетических систем;
8) решение задач методами теории вероятности. Большинство
задач входит как составная часть в другие задачи. Вероятностные
методы используются для прогнозирования нагрузок в электросис-
теме, прогнозирования стока рек при планировании режима гидро-
станций и оценке необходимого резерва в электросистемах и т. п.;
9) решение уравнений в частных производных представляет со-
бой расчет электрических и электромагнитных полей, возникающих
в электрических установках;
10) решение логических задач, связанных с исследованием
свойств электрических сетей и цепей.
Таким образом, решение задач электроэнергетики на ЦВМ тре-
бует широкого использования многих разделов математики и осо-
бенно вычислительной математики.
§ 8-5. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ И БЛОК-СХЕМЫ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Прежде чем рассматривать алгоритмы и блок-схе-
мы программ, служащих для решения наиболее часто встречающих-
ся задач электроэнергетики, рассмотрим некоторые вспомогатель-
ные задачи.
252
Вычисление функций, заданных формулами. В технике вообще
и в электроэнергетике в частности при решении многих задач при-
ходится вычислять функции
y = f(X1, *2» •),
для которых задается ряд значений аргументов. Здесь обычно не
возникает вопрос о разработке алгоритма, а последовательность
вычислительных операций диктуется структурой формулы. Общее
время вычисления определяется временем вычисления одного зна-
чения функций и количеством комбинаций аргументов. Если ti\, tiz,
л3,... — количества значений аргументов Хц х2, х3,... соответствен-
но, то число значений функции, определяемое произведением N —
= И1Хп2Хн3, ..., растет очень быстро с увеличением числа аргумен-
тов. Так, чтобы получить статическую характеристику синхронного
генератора при заданных параметрах, достаточно вычислить функ-
цию, например, для 72-х значений угла (через 5°). Если нужны
семейства характеристик при различных законах изменения напря-
жения на зажимах генератора (пусть это будет 12 случаев), при
разных Xd и xq (20 значений) и разных значениях активного сопро-
тивления (ТО значений), то число значений N будет определяться
произведением
7V=72X 12Х20Х 10=172 800.
Вычисления в принципе не вызовут затруднений. Оценить тре-
бующееся время можно сразу же после разработки программы для
вычисления хотя бы одного значения у.
Наибольшие затраты времени и труда могут быть связаны с об-
работкой чисел, выданных (отпечатанных) машиной. Это тоже надо
учитывать при постановке задачи.
Вычисление элементарных функций. Это математическая задача,
решаемая одинаково во всех областях техники. Если необходимо,
например, определить z/=sin(x), где значение х получается на пре-
дыдущих этапах, то обращаются к соответствующей стандартной
подпрограмме. Стандартные подпрограммы составляются так, что-
бы вычисление функции давало минимальное число операций при
установленных требованиях к точности. Обычно алгоритм строится
на представлении функции приближенной формулой, требующей
выполнения лишь элементарных операций. Этот метод применим и
для таких функций как зависимость индукции в железе от напря-
женности поля, если удается подобрать формулу, хорошо выражаю-
щую эту зависимость.
Вычисление функции, заданной таблицей. В ряде случаев функ-
ции задаются таблицами или графиками. Таковы характеристики
холостого хода генераторов, характеристики относительных прирос-
тов станций, используемые при экономическом распределении на-
грузок, характеристики нагрузок в электросистеме и др. Машинный
счет допускает использование функций, заданных таблицами. По-
смотрим, как можно в этом случае построить программу для полу-
чения y=f(x).
253
Предположим, что значение аргумента однозначно задает иско-
мую функцию. Пусть таблица задана k точками с абсциссами xt, х2,
х3, xk и ординатами ylt у2, ySt ..., yk соответственно. Значения
абсцисс расположены в таблице в порядке возрастания так, что
Xf+i^x<. Расположим эти числа в последовательных ячейках в по-
рядке Xi, х2,..., xk, yi, у2,ук (всего будет 2k чисел). Исходным для
расчета примем некоторое заданное значение аргумента х3. В ре-
Стпоп
Рис. 8-3.
зультате надо получить соответствующее
значение функции у3.
При вычислении придется прибегнуть к
интерполированию, как это обычно делает-
ся при использовании таблиц. До составле-
ния программы необходимо выбрать способ
интерполирования, учитывая особенности
конкретной задачи и характер таблицы.
Проще всего выполнить линейное интерпо-
лирование. Если таблица достаточно под-
робная, то линейное интерполирование бу-
дет удовлетворительным и в отношении точ-
ности результата.
Пусть по характеру задачи выбрано ли-
нейное интерполирование. Теперь можно
наметить порядок вычислений (рис. 8-3):
1) проверить выполнение условия xi^C
а) если условие не выполнено, счет пре-
кращается;
б) если условие выполнено, счет продол-
жается (переход к п. 2);
2) заслать в ячейку-счетчик единицу:
•: =1;
3) увеличить I на единицу: i: = i+l;
4) сравнить х3 с Хг. Здесь возможны два
случая:
а) х3>Хг. Тогда i увеличивается на еди-
ницу и операции повторяются, т. е. исполня-
ется п. 3 и т. д.;
б) х3^Хг. Тогда исполняется следую-
щий п. 5;
5) извлечь из таблицы Xi, Хг-i, yi, yi-\,
6) вычислить
Уз — yt—l) 1 1 —У1~1 + (x3 *i-l)
Xl — X[—1
и прекратить счет.
Рассмотрим, как будут выполнены вычисления, если (что мало
вероятно) х3 точно совпадает с одним из значений Xf. Если х3=хь
254
то интерполирование произойдет при /=2 и будет получено
г/з=//1 + (^2 —//1) =
Х2 —
Если x3=Xk, то интерполирование произойдет при i = k и будет
получено
г/3= г/й-i + (yk — yk-i)—k~Xk~~l = yk.
Xk xk— 1
Для промежуточной точки
Уз= yi-i +(«// — yi-i) = у i.
X[ xi—i
Если график функции содержит горизонтальные участки (от-
резок 3-4 на рис. 8-4, а), то в таблице появятся одинаковые для раз»
ных точек значения ординат,
Рис. 8-4.
что не мешает правильному счету.
При наличии вертикальных участ-
ков (отрезок 2-3 на рис. 8-4, б) в
таблице будут одинаковый значения
аргумента. При исполнении про-
граммы будет выдано то значение
функции, которое соответствует пер-
вому из них. Тогда для функции
(см. рис. 8-4, б) при Хз = Х2 = Хз бу-
Рис. 8-5.
дем иметь уз=Уи (но не г/з = */з). Таким образом, программа пригод-
на и для вычисления функции со скачками. При этом из тех ее зна-
чений, которые соответствуют значению аргумента в месте скачка,
будет выдаваться в качестве решения первое из встречающихся при
движении по графику слева направо. Если при движении по гра-
фику аргумент может убывать, то нужны дополнительные условия
и другая логика в программе для вычисления функции.
Определение корня уравнения F(x) =0. Иногда задается функ-
ция, а ищется аргумент. Примером может служить вычисление угла
смещения ротора при заданной мощности и параметрах генерато-
255
ра. Если функция задана таблицей, то задача сводится к преды-
дущей с той лишь разницей, что абсциссы и ординаты меняются
местами. Если функция задана формулой, то для вычисления кор-
ня используется какой-нибудь из алгоритмов, предлагаемых вы-
числительной математикой, и соответствующая стандартная про-
грамма.
Для иллюстрации рассмотрим одну из возможных схем отыска-
ния корней нелинейного уравнения с одним неизвестным, которая
может быть использована для решения многих задач энергетики.
Предположим, что интервал изменения аргумента (рис. 8-5) ле-
жит между некоторыми значениями — хл (левое) и хп (правое):
Известно, что корень есть, и притом только один. Тогда неза-
висимо от вида функции (надо только, чтобы она была ограничен-
ной) решение может быть найдено по следующей схеме:
1) определяется функция Г(хл);
2) вычисляется функция посередине отрезка (точка Xi на ри-
сунке) и сравнивается ее знак со знаком ранее вычисленной вели-
чины Е(хл). Совпадение знаков показывает, что корень лежит спра-
ва от Xi, в противном случае корень лежит слева;
3) отрезок, в пределах которого находится корень, снова де-
лится пополам и определяется, в какой из его частей находится
искомый корень и т. д. Счет продолжается до получения корня с
желаемой точностью.
Последовательность вычислительных операций может быть
такой:
1) определяются Е(хл) и F (хп) и записываются в рабочие
ячейки;
2) находится среднее значение
•^ср (-^л Н- *^п)/2»
3) вычисляется функция в этой точке, т. е. Е(хср);
4) сравниваются знаки F(xcp) и Е(хл). Здесь может быть два
случая:
а) знаки совпали, тогда Е(хср) засылается вместо F(хл) и
хс — вместо хл;
б) знаки не совпали, тогда F(xcp) засылается вместо F(хп) и
хср — вместо хп;
5) вычисляется (хп— хл) и сравнивается с малым числом ос.
Здесь также возможны два случая:
а) хп— хл<ос— печатаются последние вычисленные значения
Хл, Xtjj Е(хл), Е(хп);
б) хп— Хд^ос — счет возобновляется с п. 2 и находится новое
значение аргумента. Процесс деления отрезка, на котором нахо-
дится корень, продолжается до получения желаемой точности ос.
На рис. 8-5 показаны последовательно получаемые значения Xi, х?,
Хз, Хл в середине отрезка.
Блок-схема программы изображена на рис. 8-6.
256
9—2757
Рис. 8-6.
Описанный здесь способ иногда называют делением отрезка по-
полам.
Программы, основанные на этом принципе, широко используют-
ся. Они пригодны для определения не только корней, но и точек,
в которых функция изменяется скачком, меняя при этом знак.
Например, если при х<2 значение F(х) =—1, а при х^2 значение
/?(х) = 4-1, то по программе деления отрезка пополам могут быть
выданы такие числа хл и хп, что
хл<2, ^п>2, ^п-^л<а, /7(хл)=-1, ^(^п)= + Ь
В п. 3 можно ввести сравнение абсолютной величины Е(хСр) с
малым числом и прекратить счет,
когда значение |Е(хср) | будет
достаточно мало, сохранив или
исключив сравнение с а в п. 5.
Если неизвестно, сколько кор-
ней имеется в интервале, то нуж-
на более сложная программа, в
которую описанная программа
войдет в качестве подпрограммы.
При этом надо указать величину
интервала изменения аргумента,
в котором будет не больше одно-
го корня.
Рис- 8-7- Пусть надо найти решение
уравнения F (х) =0 (рис. 8-7).
При этом заданы те пределы изменения х, в которых могут лежать
интересующие нас решения:
•%а
Кроме того известно, что в интервале изменения аргумента (Дх = й)
находится не больше одного корня уравнения.
Вычисления будем вести в следующем порядке: сначала под-
считаем Е(х) в точке х = ха и временно сохраним значение Е(ха),
а затем образуем сумму xa + h и вычислим F(xa + h). Это значение
функции сравним с предыдущим. Так как в интервале h по условию
может быть не больше одного корня, то совпадение знаков F (ха) и
F(xa + h) показывает, что в интервале между ха и (xa + h) нет ни
одного корня. Различие в знаках показывает, что корень обязатель-
но находится в данном интервале. На рисунке знаки Е(ха) и
F(xa+h) совпадают. В этом случае сохраняем функцию F(xa + h)
[Е(ха) больше не понадобится] и делаем следующий шаг до пере-
мены знака Е(х). На рис. 8-7 знак изменился при вычислении функ-
ции F(xa + 4h). Это показывает, что один корень лежит в интерва-
ле между (Ха + 3/i) и (ха + 4й). Чтобы найти корень, используем
подпрограмму деления отрезка пополам, для которой хл =xa-i-3h,
хп=ха + 4й. После того как вычислен корень Хь, возобновляется
счет по основной программе, причем в качестве абсциссы, с кото-
258
Рис. 8-8.
рой начинается счет, берется то значение, до которого раньше был
доведен поиск. На рис. 8-7 это будет точка (ха + 4А). Счет кончает-
ся, когда ха^хъ. Блок-схема программы изображена на рис. 8-8.
В результате счета по ней находятся все действительные корни, ле-
жащие в интервале от ха до хь, если в интервале h имеется не бо-
лее одного корня. Для поисков близких по значениям корней ин-
тервал h приходится уменьшать. Кратные корни, соответствующие
прикосновению в точке с, кривой F(х) к оси абсцисс (штриховая
линия иа рис. 8-7) не могут быть найдены с помощью описанной
программы. Для их поиска нужны другие методы.
§ 8-6. ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ ПРИ РАСЧЕТЕ РЕЖИМОВ
НА ЦВМ
В т. I (гл. 1-3) изложены основы применения мат-
риц для описания и расчета режимов электрических сетей. Матрич-
ная запись уравнений удобна для программирования алгоритмов
и вычислений с помощью ЦВМ. При этом необходимо точно зада-
вать правила размещения элементов матриц в запоминающих уст-
ройствах. Если матрица имеет комплексные элементы, то надо
учитывать, что каждое комплексное число записывается с помощью
двух действительных чисел, представляющих действительную и
мнимую части комплекса.
Размещение комплексных матриц в запоминающих устройствах.
Комплексная матрица размера тХп содержит (тХи)Х2 действи-
тельных чисел. Можно указать два способа размещения этих чисел.
Первый из них основан на представлении комплексной матрицы Z
в виде двух матриц: R и X. Матрица R содержит действительные
части элементов матрицы Z, а матрица X — мнимые. Каждая из
матриц R и X записывается по строкам в общепринятом порядке.
Так, для матрицы R размера 3x3 порядок будет следующий: 7?ц,
R\2, ^1з, R21, R22, R23, Rs\, R32, R33. В этом порядке числа пишутся
на бланках, перфорируются, вводятся и размещаются в запомина-
ющем устройстве. Каждая из действительных матриц вводится и
размещается отдельно.
Второй способ заключается в представлении комплексной мат-
рицы в виде трехразмерного массива, в котором каждый элемент
имеет три индекса. Первый индекс указывает номер строки, вто-
рой— номер столбца, а третий может иметь значение «1» или «2».
Можно, например, условиться, что «1» в третьем индексе будет у
действительных частей, «2» — у мнимых частей комплексов.
Обозначим элемент такой трехразмерной матрицы через Zijk.
Порядок записи и размещения чисел, представляющих комплекс-
ную матрицу, имеющую т строк и п столбцов, запишется как
£1,1,1J £1,1,2‘, £1,2,Г, £1,2,2;...; £l,n,i; £1,л,2’,
£2,1,1; £2,1,2; £2,2,1; £2,2,2;...; £2,л,1; £2,л,2 и T. Д.
260
В этой последовательности сначала меняется третий индекс (от
1 до 2), затем второй (от 1 до п) и только потом — первый (от 1
до т). Столбец т комплексных чисел представляется матрицей
с т строками и двумя столбцами.
Выбор способа записи комплексных матриц зависит от цели рас-
чета и используемых программ.
Действия с матрицами. Логика всех действий с матрицами,
кроме обращения матрицы, предельно проста, и составление про-
грамм не вызывает принципиальных затруднений. Для обращения
действительных матриц вычислительная математика предлагает
ряд методов. Составлены и опубликованы программы, реализую-
щие различные алгоритмы. При действиях с комплексными матри-
цами имеются две возможности.
Первая из них заключается в выполнении всей последователь-
ности операций, предусмотренной для действительных матриц, с
заменой каждой элементарной операции над действительными чис-
лами соответствующей операцией над комплексными числами.
Так, сложение двух комплексных чисел выполняется по формуле
Z1 ~VZ2=(r 14“ /Х1)4“ (Г:2 4“ JX2) ~ (Г 14“Гг) +
из которой видно, что эта операция разлагается на две операции
сложения действительных чисел. Операцию умножения комплекс-
ных чисел можно записать как
Z1 ?2 = (Г1 4~ /*1) (Г2 4“ М) = — *1*2) + j (П-^2 +
Из формулы видно, что при этом необходимо осуществить четы-
ре операции умножения и две операции сложения (вычитания)
действительных чисел. Деление требует еще большего числа эле-
ментарных операций:
+ jXi ГЦ-2 + *1*2 | j хгг2 — ГХХ2
Z2 г2 Т 7*2 r\ + X2 г2 + х%
Следовательно, здесь требуется выполнить шесть элементарных
операций умножения, три операции сложения (вычитания) и две
операции деления. При использовании этого принципа для дейст-
вий с комплексными матрицами нужны специальные программы.
Вторая возможность заключается в сведении действий с ком-
плексными матрицами к действиям с действительными матрицами.
Каждая комплексная матрица Z может быть представлена с по-
мощью двух действительных матриц R и X:
Z = RH-/X. (8-3)
Сложение двух комплексных матриц Zi и Z2 сводится к выпол-
нению операций с действительными матрицами:
Z = Z1+Z2=(R1+R2)+y(X1+X2),
261
откуда
R-R^R,; X -Х,4-Х2.
Таким образом, чтобы получить действительную и мнимую час-
ти суммы, надо сложить отдельно действительные и мнимые части
матриц. Аналогичные правила получаются для вычитания.
Умножение двух комплексных матриц Zi и Z2 делается по1 фор-
муле
Z = Z,Z2=(R1R2-X1X2) + /(R1X2+X1R2),
откуда
R=R1R2 —XjX2; Х=^Х24-К2ХР
При этом и необходимо соблюдать соответствующий
порядок умножения.
Формулы обращения комплексной матрицы с использованием
обращения действительной выведем из равенства
ZY=1, (8-4)
где 1 —единичная матрица, a Y = Z-1.
Вводя обозначение
Y=g + ;b, (8-5)
где g и b — действительные матрицы,
и подставляя (8-3) и (8-5) в (8-4), получим уравнение
Rg-Xb + ;(Rb + Xg)=l,
которое равносильно двум уравнениям с действительными матри-
цами:
Rg —ХЬ=1; (8-6)
Rb + Xg=0. (8-7)
Решим их относительно g и Ь. Для этого умножим (8-7) слева
на R-1, выразим из получившегося уравнения величину b и подста-
вим ее в (8-6). При этом получим
[R+XR“1X]g=l
или
g=[R-f-XR_1X]_1. (8-8)
Выражение для b запишем из (8-7):
b= —R-1Xg. (8-9)
262
Если с помощью (8-7) исключить g из (8-6), то получается еще
две формулы
b=-[RX“1R+X]"1;
g=—X-1Rb,
(8-10)
которые могут заменить (8-8) и (8-9). При использовании формул
(8-8) и (8-9) требуется обращение действительной матрицы R, а
при использовании (8-10) —обращение матрицы X. Чтобы подсчи-
тать g и Ь, необходимо дважды обратить действительную матрицу,
три раза умножить и один раз сложить действительные матрицы.
Таким образом, все действия с комплексными матрицами можно
свести к действиям с действительными матрицами. Программа бу-
дет состоять из обращений к стандартным подпрограммам и под
программам сложения, умножения и обращения действительных
матриц. Выбор метода зависит от поставленной задачи, ее разме-
ров, технических характеристик конкретной машины и подготов-
ленности программ. Способ записи исходных данных и результа-
тов должен быть увязан вместе со способом вычислений.
Запоминание матриц соединения. Матрицы соединения, приме
няемые в теории и расчетах электрических сетей, имеют две осо-
бенности, которые обычно используются при машинном счете.
Во-первых, в матрицах имеются только элементы «0», «4-1», «—1»
и, во-вторых, число нулевых элементов относительно велико. Обе
особенности используются для сокращения места, занимаемого мат-
рицей в запоминающем устройстве.
Для нуля или единицы вместе со знаком достаточно отвести два
разряда в ячейке запоминающего устройства. Таким образом, на-
пример, в сорокаразрядной ячейке можно сохранить 20 элементов
матрицы, а для запоминания матрицы размером 40X40 понадобит-
ся всего 80 таких ячеек вместо 1600, если единицу и нуль рассмат-
ривать как обычные числа.
При другом подходе можно указать, какие элементы отличны
от нуля и какой знак они имеют. Если в матрице как число строк,
так и число столбцов меньше 512, то самый большой номер в вось-
меричной системе будет трехзначным числом (511ю = 7778) и для
его записи понадобится 9 разрядов. Для записи номера строки и
номера столбца (где находится элемент матрицы соединений, от-
личный от нуля) вместе с его знаком потребуется 9-1-94-1 = 19 раз-
рядов. В 80 сорокаразрядных ячейках можно записать положение
160 отличных от нуля элементов. При небольшом заполнении мат-
рицы этот способ может оказаться удобнее и компактнее, чем
первый.
Рассмотрим в качестве примера сеть, имеющую 80 независимых
узлов и 250 ветвей, 10 из которых соединены с базисным узлом.
Подсчитаем число сорокаразрядных ячеек, необходимых для за-
писи матрицы М, представляющей соединения ветвей с узлами *.
* Т. I, § 2-2.
263
Эта матрица имеет 80x250 = 20 000 элементов. В каждом из столб-
цов, соответствующих ветви, соединенной с базисным узлом, будет
только один отличный от нуля элемент (таких столбцов 10).
В остальных столбцах будет по два отличных от нуля элемента.
Всего, таким образом, будет (240X2)4-10 = 490 ненулевых элемен-
тов. Для уплотненной записи всей матрицы надо 20 000:20 =
= 1000 ячеек. Для уплотненной записи положения ненулевых эле-
ментов надо 490:2 = 245 ячеек. Даже если для записи положения
каждого из ненулевых элементов отвести две ячейки (для записи
номера строки и номера столбца), то понадобится всего 490x2 =
= 980 ячеек, т. е. не больше, чем при уплотненной записи всей мат-
рицы.
Вычисление определителей. Для вычисления определителей,
как правило, используются стандартные программы, в которых
реализованы алгоритмы, предложенные вычислительной математи-
кой. Исходными данными при этом являются квадратная матрица
коэффициентов и порядок матрицы, а результатом — значение опре-
делителя (одно число).
Сравнение комплексных векторов. Во многих случаях в процес-
се счета надо добиться совпадения двух комплексных векторов.
Пусть, например, это будут векторы
Практически достаточно, чтобы равенство соблюдалось с некоторой
погрешностью, абсолютное значение которой задает инженер, ве-
дущий вычисления. Обозначим допустимую погрешность через а.
Тогда вместо равенств (8-11) следует записать неравенства
(8-12)
Сопоставление можно провести при помощи некоторой вспомо-
гательной переменной L, которая при выполнении условий (8-12)
равна нулю, в противном случае отлична от нуля. Порядок вычис-
лений для векторов с N комплексными компонентами будет сле-
дующим :
1) переменной L присваивается значение «нуль»;
2) индексу i присваивается значение «нуль»;
3) индекс i увеличивается на единицу;
4) вычисляется а—|//— J/|. Если разность отрицательна, то
к L прибавляется единица. В противном случае L не меняется;
264
5) вычисляется сс— \Ц"— Если разность отрицательна, то
к L прибавляется единица. В противном случае L не меняется;
6) индекс I сравнивается с N. Если i<Z.N, то делается переход
к п. 3. В противном случае сравнение заканчивается.
Значение L позволяет судить о результатах сравнения. Значе-
ние L = 0 указывает на выполнение условий (8-12).
Решение систем линейных уравнений. Вычислительная матема-
тика предлагает ряд методов для решения систем уравнений с дей-
ствительными коэффициентами. Эти методы можно разделить на
прямые и итеративные (методы последовательных приближений).
Среди прямых методов особый интерес представляет обра-
щение матрицы. Уравнение
Ах=у, (8-13)
где А — матрица коэффициентов; х — вектор-столбец искомых не-
известных; у — столбец правых частей, имеет решение
х=А-‘у, (8-14)
в котором А-1 — матрица, обратная матрице А.
Обращение матрицы позволяет не только подсчитать неизвест-
ные величины, но и найти их выражение через правые части.
Пусть, например, надо решить уравнение (8-13), в котором
Обращая матрицу, получим
0,2 -0,1
-0,1 о,о
Следовательно,
^1—— 0,1у2;
Х2— — 0,1 ух -J- 0, у2.
С помощью найденной обращенной матрицы легко вычислить
искомые неизвестные при любых значениях правых частей в урав-
нениях (8-13).
Другие методы дают лишь численные значения неизвестных х
при заданных А и у; при изменении значений правых частей надо
повторить все вычисления.
265
Прямые методы дают теоретически точные значения искомых
неизвестных. Практически, в силу неизбежных округлений при под-
счетах, ошибки могут быть значительными. При решении систем с
большим числом неизвестных даже применение цифровых машин
с большой точностью счета не позволяет полностью преодолеть это
затруднение.
По этой причине при практических расчетах часто прибегают
к итеративным методам. В § 7-3 уже был описан метод,
получивший распространение в электроэнергетике, при котором не-
известные последовательно уточняются. Если процесс сходится, то
можно найти решение с любой наперед заданной точностью. Неко-
торые достаточные условия сходимости даются формулами (7-20).
Для матриц коэффициентов уравнений контурных токов и узловых
потенциалов однородных сетей эти условия всегда выполняются.
Но даже если система уравнений имеет такой вид, что непосред-
ственное применение метода последовательных приближений ведет
к расходящемуся процессу, то затруднение преодолевается с по-
мощью преобразования системы уравнений по определенным пра-
вилам. В матричной форме это преобразование представляется как
умножение уравнения слева на транспонированную матрицу. Тогда
вместо (8-13) получается уравнение
AzAx=Ay, (8-15)
для которого процесс последовательных приближений с последо-
вательным уточнением переменных теоретически обязательно будет
сходящимся.
При машинном счете вычисление коэффициентов уравнения
(8-15) не вызывает затруднений, так же как не вызывает затруд-
нений и проведение итеративного решения. Не ясным остается лишь
вопрос о том, сколько приближений понадобится для получения
желаемой точности.
Возможно использование и других разновидностей метода по-
следовательных приближений с другими условиями сходимости.
При машинном счете удается решать системы уравнений весьма
высокого порядка, но ограничения, обусловленные главным обра-
зом емкостью запоминающих устройств существующих машин, все
же есть. С помощью средних машин [с емкостью запоминающего
устройства (накопителя) до 16 384 чисел в нормализованной форме]
можно решать систему уравнений с десятками неизвестных, не при-
бегая к использованию внешних запоминающих устройств. При
расчетах сложных электрических сетей часто приходится решать
системы уравнений с таким числом неизвестных, что применение
внешних запоминающих устройств становится неизбежным.
Автоматическое формирование матрицы коэффициентов уравне-
ний электрической цепи. Уравнения установившегося режима в
электрической сети удобно записывать в матричной форме с ис-
пользованием матриц соединений.
266
Уравнение контурных токов сети с источниками э. д. с. имеет
вид
zi = e, (8-16)
z = NZBNz; e = NE. (8-17)
В уравнениях (8-16)и (8-17) i — комплексный столбец контур-
ных токов; е—-столбец контурных э. д. с.; z— комплексная матри-
ца коэффициентов уравнений контурных токов; ZB— комплексная
матрица сопротивлений ветвей; Е — комплексный столбец э. д. с.
в ветвях; N — матрица соединений «контуры-ветви»; Nz—транспо-
нированная матрица N.
Уравнение узловых потенциалов для такой же сети запишет-
ся как
yii + MZy1E = 0, (8-18)
или
у = М2Г'М„ (8-19)
где М — матрица соединений узлы — ветви; и — комплексный стол-
бец узловых потенциалов; у— комплексная матрица коэффициен-
тов уравнений узловых потенциалов.
Матрицы z и у можно получить с помощью программ, в которых
исходным материалом служат матрица соединений (М или N) и
матрица сопротивлений ветвей ZB. В большинстве случаев матри-
ца ZB — диагональная, что следует использовать для сокращения и
упрощения программ.
Для сетей с небольшим числом узлов или контуров составление
матриц соединения N и М не вызывает затруднений. Однако для
сетей с десятками и сотнями узлов или контуров эта работа стано-
вится утомительной и может привести к ошибкам. Поэтому следует
автоматизировать и составление матриц соединения. Целесообраз-
но не выделять это в качестве самостоятельной задачи, а сделать
так, чтобы исходные данные задавались в простейшей форме и
затем на основании формул (8-17) и (8-19) автоматически вычис-
лялись матрицы z и у.
Рассмотрим, что представляют собой элементы матрицы у. Лю-
бой недиагональный элемент утп равен с обратным знаком прово-
димости ветви, соединяющей узлы тип. Диагональный элемент
утт равен ’сумме проводимостей всех ветвей, соединенных с узлом.
Таким образом, таблица, в которой даны параметры всех ветвей
схемы с указанием, какие узлы соединяются каждой ветвью, содер-
жит всю необходимую информацию для получения матрицы у.
Пронумеруем все узлы схемы, кроме базисного, в произвольном
267
порядке от 1 до /г; базисному узлу припишем номер k+L Составим
таблицу, содержащую следующие графы:
Номера узлов, соединен- ных ветвью Параметры ветви
т | п r та 1 хтп
Таблицу заполним в следующем порядке: сначала запишем все вет-
ви, примыкающие к первому узлу (т=1), кроме ветви, соединяю-
щей этот узел с опорным; затем запишем все ветви, примыкающие
ко второму узлу (т=2), кроме ветви, соединяющейся о опорным
узлом, и т. д. до узла k включительно. В конце записываются ветви,
примыкающие к узлу &+1 (к базисному узлу). Каждая из ветвей,
кроме соединенных с узлом k+1, войдет в таблицу два раза. Эти
данные вводятся в машину. Числа т и п — целые, используются
для формирования адресов, а гтп и хтп — обычные десятичные
числа. Построение проводится в следующем порядке:
1) определяются проводимости ветвей по формулам:
Smn -Хтп),
^тп= —Хтп/(г тп-^Г-Хтп)
и записываются на местах сопротивлений fmn и Хтп соответствен-
но с обратным знаком;
2) суммируются проводимости всех ветвей, примыкающих к
первому узлу; сумма, взятая с обратным знаком и представляющая
диагональный элемент матрицы у, записывается на место сопро-
тивления ветви, соединяющей этот узел с базисным;
3) проверяется, выполнено ли суммирование для всех узлов.
Возможны два случая:
а) не выполнено. Тогда суммирование проводится для следую-
щего узла;
б) выполнено. Исполняется следующий пункт;
4) в графе п номера, равные (&+1), заменяются номерами т
из той же строки.,
В результате получается таблица, в которую записаны все не-
нулевые элементы матрицы у. Номера т показывают строку, а
п — столбец, в которых расположен элемент.
Полученными значениями проводимостей можно пользоваться
для дальнейших вычислений. Если удобнее иметь полную матри-
цу у, в которой вписаны и нулевые элементы, то нужно выполнить
операции пересылки чисел, а также запись нулей в массив, выбран
ный для хранения матрицы. Всего требуется записать 2k2 чисел
(считая и нули), что значительно больше количества чисел в таб-
лице.
. Логика построения матрицы Z сопротивлений сети по отноше-
нию к внешним узлам гораздо сложнее. Существует несколько ал-
268
горитмов для этой задачи. Во всех случаях существенную роль
играет разделение графа сети на дерево и хорды. Рассмотрим один
из алгоритмов, в котором помимо матрицы Z получается в каче-
стве промежуточного результата и матрица соединений: контуры-
ветви. Предполагается, что схема замещения сети имеет свойства,
характерные для большинства электрических систем: схема одно-
связная, каждая из ветвей входит в какой-нибудь контур, нет
взаимной индуктивности между ветвями, все источники питания не
имеют внутреннего сопротивления и одним из полюсов (назовем
его первым) обязательно
присоединяются к базис-
ному узлу. Других огра-
ничений в отношении кон-
фигурации схемы нет. В
частности, в ней могут
быть ветви, соединенные
параллельно и последова-
тельно.
Ветви, содержащие ис-
точники питания, будем
называть внешними, а
остальные — внутренни-
ми. Соответственно узлы,
к которым присоединены источники питания (за исключением ба-
зисного), будем называть внешними, а остальные — внутренними.
Пусть схема имеет L внутренних ветвей, внешних ветвей и k
независимых узлов- Все внутренние ветви нумеруются в произволь-
ном порядке от 1 до L, узлы — в произвольном порядке от 1 дб
(6+1). Базисный узел может иметь любой из номеров. Пусть это
будет узел с номером А. Конфигурация сети задается таблицей,
имеющей структуру:
Номер ветви
Номер узла в начале
ветви
Номер узла в конце
ветви
Расположение номеров ветвей в таблице и выбор их начала и
конца произвольны. Сведения о внешних ветвях в таблицу не
включаются. Вместо этого отдельно задается вектор Н, элемен-
тами которого являются номера узлов, соединенных с источ-
никами питания вторым полюсом (первым они присоединены к ба-
зисному узлу). На рис. 8-9 изображен граф, содержащий восемь
внутренних и одну внешнюю ветви и четыре независимых узла. Но-
мера ветвей на рисунке обведены кружками. Базисный узел имеет
номер 3. Внешндд ветвь показана штриховой линией. Она соеди-
няет узел 1 с базисным узлом. Для этого графа L — 8, Li = l, 6 = 4»
Д=3. В табл. 8-2 проставлены номера ветвей и узлов.
269
Таблица 8-2
Номера узлов и ветвей
Номер ветви В Номер узла С Номер узла д Номер ветви В Номер узла С Номер узла д
1 1 2 5 3 4
2 2 5 6 3 4
3 4 5 7 3 2
4 4 2 8 4 5
Граф имеет внешний узел 1. Вектор внешних узлов представлен
компонентой Н\ = \. Отдельно должны быть заданы активные и ин-
дуктивные сопротивления ветвей.
Первый этап обработки исходных данных носит подготовитель-
ный характер. Табл. 8-2 преобразуется в табл. 8-3, в которой ветви
располагаются по радиальному принципу. Первыми в этой таблице
записываются все ветви, присоединенные к базисному узлу, кото-
рый при этом считается началом ветви. После чего читается номер
узла в конце ветви из первой строки табл. 8-3 и записываются все
ветви, присоединенные к этому узлу, кроме ветвей, записанных
раньше. Началом каждой из них считается узел, в котором кон-
чается ветвь из первой строки табл. 8-3. Затем переходят ко второй
строке табл. 8-3 и выполняют аналогичные операции. При этом
началом ветви считается узел, в котором кончается ветвь из второй
строки табл. 8-3. Такие операции выполняют для всех строк
табл. 8-3, пока в табл. 8-2 остаются непереписанные ветви.
Таблица 8-3
Радиальное размещение ветвей
Номер ветви В Номер узла С Номер узла Д
5 3 4
6 3 4
7 3 2
3 4 5
4 4 2
8 4 5
1 2 1
2 2 5
Второй этап заключается в разделении схемы на дерево и вет-
ви. Для этого формируется табл. 8-4 (ее можно сформировать иа
месте табл. 8-2). Дерево содержит ровно k ветвей. Соответственно
в таблице отводятся для дерева k первых строк, а для хорд
остальные. Первая строка из табл. 8-3 просто переносится в
табл. 8-4. Следующие строки из табл. 8-3 переносятся в первую или
270
вторую часть табл. 8-4 в зависимости от того, относятся они к де-
реву, или к хордам. Признак хорды — совпадение номера узла из
столбца Д (конец ветви) очередной ветви в табл. 8-3 с уже имею-
щимся номером узла в столбце Д табл. 8-4.
Таблица 8-4
Дерево и хорды
Номер ветви В Номер узла С Номер узла Д
5 3 4
7 3 2
3 4 5
1 2 1
6 3 4
4 4 2
8 4 5
2 2 5
На рис. 8-10 изображено получившееся дерево графа. Ветви 6,
4, 8, 2 (на рисунке не показаны) являются хордами. Каждая из
этих хорд замыкает внутренний контур. Внешняя ветвь тоже отно-
сится к хордам и замыкает
внешний контур. Токи хорд
являются одновременно кон-
турными токами.
Следующий этап — по-
строение матрицы соедине-
ний N, являющейся алгеб-
раическим представлением
контуров графа. Столбцы
этой матрицы соответствуют
ветвям, а строки — конту-
рам, включая и те, которые образованы внешними ветвями. В пер-
вых строках сверху вниз разместим контуры, образованные внеш-
ними ветвями, в той последовательности, в какой помещены номера
узлов в векторе Н. В данном примере это будет всего одна строка.
Остальные контуры займут строки в той последовательности, в ко-
торой появляются хорды в табл. 8-4. Элемент матрицы Na будет
иметь значение «0», если ветвь / не входит в контур I, или «±1» — в
противном случае. Знак « + » появится, если направление обхода
контура совпадет с направлением ветви, а «—», если направления
разные. Направление обхода выберем совпадающим с направле-
нием хорды. Каждая из хорд войдет в контур только один раз.
Для формирования матрицы N пронумеруем столбцы слева на-
право от 1 до (L + Li). Первые L номеров соответствуют внутрен-
ним ветвям, а остальные — внешним ветвям в том порядке, в ко-
тором в векторе Н даны узлы их присоединения. Можно сказать,
271
что внешние ветви получают номера от (L-Н) до (L+Lj). В рас-
сматриваемом примере внешняя ветвь будет иметь девятый номер.
Строки пронумеруем сверху вниз от 1 до (Li + k). Это будут номера
контуров.
Таким образом, матрица N содержит строк и (L + Li)
столбцов. Присвоим предварительно всем элементам Na значения
«О». Далее будем фор-
мировать контуры, при-
держиваясь следую-
щих правил. Обход
контура а начнем с хор-
ды b по направлению
хорды. Элементу Маь
присвоим значение
« + 1». От конца хорды
будем двигаться про-
тив направления вет-
вей до базисного узла.
Прохождение по ветви
С фиксируется с по-
мощью операций
Nac‘=Nac-l, в резуль-
тате которых элементы
строки а, соответству-
ющие пройденным вет-
вям дерева, получают
значения «—1». Так де-
лается для всех хорд.
После чего совершает-
ся второй обход, но те-
перь против направле-
ния хорды от ее нача-
ла по ветвям дерева к базисному узлу. При обходе контура а про-
хождение ветви С фиксируется операцией Nac‘ — Л^ас+ 1. В резуль-
тате для 'тех ветвей, которые пройдены дважды, сформируется «О»,
а для ветвей, пройденных только при движении против направления
хорды, —«+Д». Матрица N сформирована и ее можно вывести, как
промежуточный результат:
Номер строки Ветви
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 —1 0 0 0 0 0 ^-1 0 1
2 0 0 0 0 —1 1 0 0 0
3 0 0 0 1 1 0 -Т-1 0 ,0
4 0 0 —1 0 0 0 0 1 0
5 0 1 —1 0 —1 0 ' 1 0 0
Соответствующие контуры показаны на рис. 8-11.
272
Для получения Z можно воспользоваться формулой (8-17), где
ZB — диагональная матрица сопротивлений ветвей, в которой индек-
сы диагональных элементов совпадают с номером ветви. Умно-
жение N-ZB сводится к умножению каждого элемента /-го столбца
матрицы N на элемент матрицы ZB с индексами «//». Элемент Тц
матрицы Z получается в результате скалярного умножения
i-й строки матрицы (NZB) на /-й столбец матрицы N/ или, что то же
самое, на /-ю строку матрицы N. Таким образом, чтобы определить
Z, достаточно иметь матрицу N и векторы сопротивлений ветвей г
и х. Элемент матрицы вычисляется по формулам
z=i
z=i
где Rij и Xij — действительная и мнимая части комплекса
Следует учесть, что сопротив-
ления внешних ветвей равны ну-
лю. Поэтому достаточно суммиро-
вание вести до L, а не до (L +
Ч-Li). Соответственно можно от-
казаться от формирования пос-
ледних Li столбцов матрицы N.
При расчете электрических си-
стем часто встречаются задачи,
в которых достаточно определить
режим по отношению к внешним
узлам. Это позволяет заменить
сеть эквивалентным многополюс-
ником. Рассмотрим, например,
схему, изображенную на рис. 8-12.
По этой схеме от внешних ис-
точников в сеть поступают токи
t’i, г’з, /4. Можно считать, что в
узел II поступает ток h, равный
нулю. Три тока могут быть зада-
ны, а четвертый должен быть ра-
вен сумме остальных с обратным
знаком. Вектор-столбец токов, по-
ступающих в сеть,
Рис. 8-12.
273
(ток й в столбец не вводим, так как он полностью
определяется заданием остальных токов).
Первый закон Кирхгофа для схемы (см. рис.
8-12, а) можно записать как
MI=i,
(8-20)
где М — матрица соединений «узлы — ветви» для пассивной сети
(рис. 8-12, 6); I — столбец токов в ветвях.
Падения напряжения в ветвях равны внешним напряжениям:
2В1 = МД
Умножая это уравнение на MZB-1 слева и учитывая (8-20), полу-
чим уравнение

Используя обозначение (8-19), запишем уравнение
yu = i,
(8-21)
в котором потенциалы отсчитаны по отношению к узлу IV, а у —
матрица проводимостей сети — по отношению к внешним узлам
(/, II, III). То обстоятельство, что ток ^2=0, позволяет весьма прос-
то исключить из (8-21) напряжение иц. Запишем (8-21) в развер-
нутом виде:
УУ 12.4и + У1з4щ
^22^//4“ Уч^Чщ —0,
Ул\и1~\~ УюЦц-V УззЦ1П—1&
(8-22)
Исключим ин, пользуясь вторым уравнением (8-22). При этом
получим
' I, ^21 \ Л г У23 > Л ___;
У11 У12 . Iй/ Т 1^/13 У12 . 1111Ц Ч’
У22 ' \ У22 /
У si — Узг ) «/+( УЗЗ ~ У32 4Ц1= 13.
У 22 / \ У22 ’
Так можно исключить неизвестные потенциалы всех тех узлов,
которые не соединены с внешними источниками. Эту операцию мож-
но записать и в матричной форме. Пронумеруем узлы так, чтобы
сначала шли те из них, которые соединены с внешними источника-
ми. Тогда матричное уравнение узловых потенциалов представим
с помощью клеточных матриц:
274
Ун У12
У 21 У 22
1И й
“3 0
где ii — вектор-столбец токов, поступающих в сеть; щ— вектор-
столбец потенциалов узлов, через которые поступают в сеть токи;
н2 — вектор-столбец остальных потенциалов; ун, у12, y2i, У22 — под-
матрицы матрицы проводимостей.
Уравнение (8-23) равносильно двум уравнениям:
Упи14~У12и2—ip
yA + y22U2=0-
С помощью второго уравнения исключим и2:
й2— - Угг^Д;
(Ун У12У22 У21) ui = ip
Обозначая уц — У12У22-1У21 через Y, получим
YUi = ii-
(8-23)
(8-24)
(8-25)
Теперь сеть представлена с помощью обобщенных параметров —
проводимостей по отношению к узлам, через которые она соединя-
Рис. 8-14.
Рис. 8-13.
ется с внешними источниками. На рис. 8-13 изображена соответст-
вующая условная схема. Обратим матрицу Y и обозначим Y'^Z.
Умножая (8-25) на Z слева, получим уравнение
Zi1=u1, (8-26)
в котором неизвестными являются токи, текущие в сеть, а сеть
представлена матрицей сопротивления по отношению к внешним
275
узлам, как условно показано на рис. 8-14. Уравнение (8-26) по фор-
ме совпадает с (8-16).
Матрицу Z можно получить и непосредственно из уравнений кон-
турных токов, если исключить те контуры, которые не содержат
внешних ветвей. Рассмотрим, например, схему, изображенную на
рис. 8-15. Составим для нее уравнения контурных токов:
где
+ ° —ЗД=«1;
О —^22^2 —Г~ ^23^3 ~~
z\^ 1 “Ь ^зз^'з =
Здесь третий контур не содержит внешних ветвей. Исключим
ток г'з, пользуясь уравнением этого контура. При этом получим урав-
нения
которые в матричной форме можно записать в виде (8-26).
Если для сети (см. рис. 8-15) составить уравнения узловых по-
тенциалов и затем исключить потенциалы внутренних узлов из и
то можно получить уравнение (8-25) с матрицей, обратной по отно-
шению к .матрице коэффициентов в уравнении (8-26). Таким обра-
зом, вычисление матрицы параметров пассивной электрической сети
по отношению к внешним узлам заключается в формировании мат-
рицы уравнений узловых потенциалов или контурных токов и после-
дующем сокращении получающейся матрицы у в соответствии с фор-
мулой (8-24) или аналогичной формулой для матрицы z. Сокраще-
276
ние можно выполнять или сразу, как в (8-24), или последовательно,
понижая порядок матрицы на единицу.
При формировании матриц коэффициентов уравнений электри-
ческой цепи встречаются операции сложения (или вычитания)
комплексных матриц, умножения комплексной матрицы на комплек-
сный столбец, умножения и обращения комплексных матриц. Рас-
смотрим эти операции подробно.
Рис. 8-17.
Предположим, что мнимые и действительные части комплекс-
ных чисел размещаются парами. Этому соответствует запись ком-
плексной матрицы в виде трехразмерного массива, а комплексного
столбца — в виде двухразмерного массива.
Сложение комплексных матриц. Заданы матрицы Z1 и Z2.
Вычисляется Z = Z1+Z2. Это сводится к выполнению опе-
рации Zijfe: = Zhjfe + для всех значений i, j, k. Для этого
надо организовать циклическое изменение индексов, как показано
на рис. 8-16. Матрицы Z1 и Z2 имеют т строк и п столбцов.
Умножение комплексной матрицы на столбец. Заданы матри-
ца Z и столбец I. Вычисляется U = ZI по формуле
^• = 2 ^=1, 2,3,..., т. (8-27)
7=1
277
Учитывая способ размещения действительных и мнимых частей
элементов комплексных матриц, перепишем формулу (8-27):
п
~ Zy^)»
7=1
п
U 1,ъ— {Zi,j,ilуд) •
7 = 1
(8-28)
Блок-схема программы изображена на рис. 8-17, где т — число
строк в матрице; п — число столбцов в комплексной матрице. Пере-
менным Ui,i и Ui,2 сначала присваивается значение «О», а затем на
каждом витке внутреннего цикла к ним добавляются значения Ai и
А2 соответственно. После окончания цикла по / величины £7$,1 и Ui>2
приобретают значения действительной и мнимой частей r-ГО' элемен-
та комплексного столбца U. Внешний цикл по I обеспечивает вычис-
ление всех элементов U.
Умножение комплексных матриц. Заданы матрицы А размера
тХЛ и В размера ГХп. Вычисляется матрица С размера тХщ
каждый элемент которой
i
(8-29)
5 = 1
Учитывая размещение действительных и мнимых составляющих
каждого комплекса, формулу (8-29) надо переписать:
i
Сijti—-(A/iSji X — Ai,s,2 X Bs,j,2)5
5 = 1
1
5 = 1
;8-30)
Блок-схема программы изображена на рис. 8-18. В ней имеется
три вложенных друг в друга цикла. Внутренний цикл по s обеспечи-
вает вычисление двух элементов матрицы — результата. Циклы по /
и по i соответствуют столбцам и строкам комплексной матрицы С.
Обращение комплексной матрицы. Вычислительная математи-
ка предлагает ряд методов обращения действительной матрицы.
Аналогичные схемы могут быть реализованы для обращения ком-
плексных матриц. Но1 можно пойти и по другому пути, а именно —
воспользоваться формулами (8-8) и (8-9) или (8-10), с помощью
которых обращение комплексной матрицы сводится к действиям с
действительными матрицами. При этом программа строится так,
что обращение действительной матрицы будет выполняться с
помощью стандартной программы. Это дает некоторые преимуще-
ства, так как в зависимости от характера задачи и значения пара-
278
метров можно будет выбирать наиболее подходящий алгоритм ’ (и
подпрограмму) обращения действительной матрицы. Нужно, одна-
ко, учесть, что если по условию комплексная матрица представлена
трехмерным массивом, то придется предварительно ее перекомпоно-
вать. Аналогично в конце программы может понадобиться преобра-
зование двухмерного массива в трехмерный.
Рис. 8-18.
Рис. 8-19.
Пусть задана трехмерная матрица Z размера тХтХ2, в кото-
рой единица в третьем индексе указывает на действительную со-
ставляющую комплекса, двойка — на мнимую. Надо получить
матрицы R и X, первая из которых содержит действительные, а
вторая — мнимые части комплексных чисел. Для этого достаточно
положить Ri,j — Xitj = Zi,ji2.
Блок преобразования получается очень простым. Так же просто
выполняется и обратное преобразование Единственный недостаток
этих операций заключается в том, что, пока не закончена переком-
поновка, надо иметь место сразу для матриц Z, R и X.
279
Предположим теперь, что имеется программа обращения дей-
ствительной матрицы. Тогда укрупненную блок-схему всей програм-
мы можно представить рис. 8-19. Для матриц Т, R, X отводится мес-
то в запоминающем устройстве.
Массивы Zi и Z2 —рабочие, они располагаются на месте матри-
цы Z; R-1 занимает поле Zb Результат умножения X • R-1 занимает
поле Z2. Результат умножения Z2-X получается на месте первого
сомножителя, результат сложения (Z2+R) — тоже на месте Z2.
Затем g занимает место R, произведение X-g— место Z2 и b —
место X. После этого формиру-
ется матрица Y на месте Z:
' = ^г,3,2 ~ bitj.
Если нужно сохранить ис-
ходную матрицу, то надо вы-
Е3 делить еще поле и для Y.
Существуют программы, в
которых процессы формирова-
ния и сокращения матрицы ор-
ганически слиты. Схема и соот-
ветствующая ей матрица со-
противлений последовательно наращиваются. Если при этом появ-
ляется внутренний контур, то соответствующая переменная тут же
исключается, а матрица пересчитывается (но ее размер не увели-
чивается).
Автоматическое формирование уравнений переходных процес-
сов. Матрицы совпадений можно использовать не только для фор-
мирования алгебраических уравнений, описывающих установивший-
ся режим в электрической сети, но и для формирования уравнений
переходных процессов в сети. Рассмотрим, например, схему, приве-
денную на рис. 8-20. Напишем контурные уравнения для нее так,
чтобы потом было удобно перейти к матричной форме записи:
(0 + д) +(/?,+/?3) Z,+(-Ц + о) С i^dt+
а \ / J
+ L3 + R3i2 + 0 f i2dt = Et - Е3,
/7 г
4 -^-+₽А+о р.^+(£2+
at J dt
4 (#2 4^з) 40^ i2dt— — f2.
В матричной форме эти уравнения запишутся так:
1-—+ ri-4-s f it//=e,
(8-31)
где
280
Rj. L3
L3
Rs
*3 '^2^3
0
0 4-f-O
Матрицы коэффициентов можно получить по тем же правилам,
по каким была получена матрица z:
1 = NLNZ; r=NRNz; s=NSNz, (8-32)
где L, R, S — диагональные матрицы параметров ветвей:
0 0 0
0 CXJ -.J 0
0 0 l-3
Дальнейшее преобразование уравнения (8-31) и матриц (8-32)
требует большой осторожности, если оно вообще возможно. Напри-
мер, исключение части неизвестных уже не может производиться
так, как это делалось в случае алгебраических уравнений.
Расчет режима сети с заданными источниками э. д. с. Многие
задачи электроэнергетики сводятся к расчету режима сети с задан-
ными источниками. Так, расчет токов короткого замыкания пред-
ставляет собой расчет токов в сети с заданными параметрами и
э. д. с. Например, расчет переходных значений токов трехфазного
короткого замыкания осуществляется с помощью схемы прямой
последовательности сети, в которой генераторы замещены своими
переходными индуктивностями и э. д. с. за ними. В некоторых слу-
чаях в процессе расчетов приходится находить режим сети при на-
личии ряда источников тока. Иногда в эквивалентной схеме при-
сутствуют одновременно источники э. д. с. и тока. В большинстве
случаев такая техническая задача в конечном счете сводится к ма-
281
2’
Рис. 8-21.
Сеть, заданная
параметрама
t ^0’^0

тематическим задачам формирования уравнений, описывающих
режим, и решению получающейся системы линейных уравнений.
При расчете режима сети переменного тока получается система
уравнений с комплексными коэффициентами и неизвестными.
В некоторых случаях матрица коэффициентов может оказаться дей-
ствительной. Так, во многих случаях можно пренебречь реактивны-
ми составляющими сопротивлений при расчете режима сети низко-
го напряжения. Если, наоборот, пренебречь активными составляю-
щими сопротивлений, то матрица коэффициентов будет чисто
мнимой и после деления
или умножения всей си-
стемы на мнимую едини-
цу преобразуется в дей-
ствительную. Аналогич-
ное преобразование воз-
можно для однородной
сети (когда отношение
г/х во всех ветвях одина-
ковое). Для цепей посто-
янного тока получается
система уравнений с действительными коэффициентами и действи-
тельными неизвестными.
Комплексные уравнения можно решать по тем же вычислитель-
ным схемам, которые предлагаются для решения уравнений с дей-
ствительными коэффициентами, но выполнять все вычислительные
операции надо по правилам, существующим для комплексных чисел.
Другой путь заключается в сведении задачи к решению системы с
действительными коэффициентами в соответствии с формула-
ми (7-25).
При разработке алгоритмов, предназначенных для решения тех-
нических задач, следует использовать особенности последних для
упрощения программ. Для электроэнергетических задач характер-
на, например, симметрия матриц сопротивлений и проводимостей в
уравнениях электрических сетей, что позволяет почти вдвое сокра-
тить количество чисел, хранящихся в запоминающем устройстве.
Для ряда задач выполняются достаточные условия сходимости про-
цессов последовательных приближений. Часто источники можно вы-
вести во внешние ветви, как показано на рис. 8-21, а внутренние
контуры (или узлы) исключить и т. д.
Рассмотрим на примере программы расчета токов трехфазного
короткого замыкания, как используются особенности конкретных
технических задач. Задача ставится так: составить программу рас-
чета токов при трехфазном коротком замыкании в любом из узлов
системы. Поскольку не требуется рассчитывать токи несимметрич-
ных коротких замыканий, достаточно иметь схему прямой последо-
вательности. Но сформулированного выше задания еще недостаточ-
но для расчета. Ведь эффективное значение тока короткого замыка-
ния меняется во времени. Пусть уточненное задание заключается в
отыскании переходных токов.
282
Практически удобно представить режим короткого замыкания в
виде двух режимов: нормального режима (рис. 8-22, а) и режима,
созданного включением в точке короткого замыкания э. д. с., рав-
ной по величине и противоположной по знаку напряжению нормаль-
ного режима при равенстве нулю всех остальных э. д. с.
(рис. 8-22, б). При этом генераторы замещаются их переходными
сопротивлениями.
Чтобы найти ток Ik, надо в точке короткого замыкания в нор-
мальном режиме вычислить напряжение Uh, которое приближенно
можно просто принять равным
номинальному (Ином). Тогда оста-
нется только рассчитать токи по
схеме (см. рис. 8-22, б). Анало-
гично вычисляются и токи при
коротких замыканиях в других
узлах.
Пусть надо рассчитать схему
(рис. 8-23, а) с четырьмя узлами
Рис. 8-23.
Рис. 8-22.
/. 2, 3, 4, в которой генераторы присоединены не ко всем узлам
(только к узлам 3 и 4) Чтобы найти токи короткого замыкания,
воспользуемся методом контурных токов и схемой (рис. 8-23, б),
которая .получается из первоначальной схемы (рис. 8-23, а), при
обращении э. д. с. генераторов в нуль. Короткие замыкания в ка-
ком-нибудь одном узле соответствуют включению э. д. с. (пНом)
между точкой «О» и соответствующим узлом, как, например, пока-
зано штриховой линией для короткого замыкания в узле 4. Вклю-
чение такой ветви в схему одновременно означает появление нового
контура, содержащего эту ветвь. Вместо того чтобы программиро-
вать формирование нового контура, удобнее сразу составить и вве-
сти в машину матрицу совпадений для схемы, содержащей все
дополнительные ветви, моделирующие все короткие замыкания
(рис. 8-23, в). Контуры надо выбирать так, чтобы каждая дополни-
тельная ветвь входила только в один контур и чтобы каждый кон-
283
тур содержал не больше одной дополнительной ветви. Это всегда
можно сделать, например, замыкая контур через ветвь какого-ни-
будь генератора. Дополнительные ветви имеют сопротивление, рав-
ное нулю. В машину вводится матрица совпадений и диагональная
матрица сопротивления ветвей, включающая нулевые сопротивле-
ния дополнительных ветвей.
Для перехода от схемы, приведенной на рис. 8-23, в, к расчетной
схеме (рис. 8-23, б) надо разомкнуть все дополнительные ветви,
кроме той, в которую вводится э. д. с., равная UH0M. В программе
это реализуется путем вычеркивания в матрицах N и Z строк и
столбцов, соответствующих размыкаемым дополнительным ветвям.
Матрица контурных э. д. с. е тоже получается очень просто; она
имеет только один ненулевой элемент (—17ном) в контуре, модели-
рующем короткое замыкание. После подготовки матриц остается
решить полученную систему линейных уравнений.
Рассмотрим некоторые способы решения систем линейных урав-
нений с комплексными коэффициентами, получающихся в задачах
эл ектр оэнер гетики.
Пусть имеется матричное уравнение
ZI=e,
в котором матрица Z и вектор е заданы, al — вектор неизвестный.
Если задачу надо решить многократно с одной и той же матрицей Z
и разными е, то предпочтительней может оказаться метод, требую-
щий вычисления обратной матрицы. Тогда сразу будет получена
формула
I*= Z-е,
с помощью которой компоненты I выражаются через компоненты е.
Если вычисления ведутся при различных значениях элементов мат-
рицы Z, то удобнее может оказаться один из методов последова-
тельных приближений.
Рассмотрим метод простой итерации и метод последовательного
уточнения неизвестных. В обоих случаях каждое уравнение пишет-
ся в виде
п
(8-33)
/=1
где п — число уравнений.
В матричной форме Эти уравнения записываются как
1=z/ё - (Z?1 Z — Ё) I, (8-34)
где Ё — единичная матрица; ZH — диагональная матрица.
Затем задается исходное значение вектора неизвестных И1). По
методу простой итерации этот вектор подставляется в правую часть
284
уравнения (8-34) и находится второе приближение:
i<2) = Z-1e-(Zr1Z-E) 1(1),
после чего 1(2) сравнивается с Если сравнение показывает, что
поправки превосходят допустимые значения, то место 1(1) занимает
1(2> и счет повторяется. Когда поправки станут достаточно малыми,
счет прекращается и полученное значение 1<2> считается оконча-
тельным.
По методу последовательного уточнения неизвестных порядок
вычислений получается иной. Каждое неизвестное значение Л(2)
определяется отдельно и сразу же используется для получения оче-
редной компоненты комплексного вектора. При этом схема вычис-
лений будет следующей:
1) задается вектор К1);
2) переменной L присваивается значение «О»;
3) индексу i присваивается значение «О»;
4) индекс i увеличивается на единицу;
5) вычисляется Л(2) по формуле (8-33), в которой в правой час-
ти стоят значения компонент вектора И1). Заметим, что вычисление
включает образование цикла по Получается некоторое значе-
ние Н;
6) значение Н сравнивается с Л(1). Если поправка превышает
допустимую величину, то L увеличивается на единицу. В против-
ном случае L не меняется;
7) переменной присваивается значение Н;
8) индекс i сравнивается с п. Если t<n, то делается переход
к п. 4. Если t = n, то выполняется п. 9;
9) если L=#0, то делается переход к п. 2;
если L = 0, то счет прекращается. Полученный вектор К1) счита-
ется решением.
Возможна реализация и других вычислительных схем.
§ 8-7. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ И УСТОЙЧИВОСТИ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Переходные процессы в электрических системах и
сетях описываются обыкновенными дифференциальными уравне-
ниями, структура и способы составления которых рассматриваются
в других курсах. Проверка устойчивости связана с интегрировани-
ем и исследованием этих уравнений.
Теория и методы решения обыкновенных линейных дифферен-
циальных уравнений хорошо разработаны. Решение дифференци-
ального уравнения или системы дифференциальных уравнений име-
ет вид
+ . 4-Д,ге“^ 4-У7(/),
285
Рис. 8-24.
где ai, a2,..., an— корни характеристического уравнения; Дь А2,...
..., Ап — постоянные интегрирования; F (/) —частное решение урав-
нения или системы уравнений.
Согласно формуле задача делится на три части: определение
корней характеристического уравнения, вычисление постоянных
интегрирования, отыскание частного решения. Однако такой путь
оказывается излишне сложным,
и, кроме того, он невозможен для
решения нелинейных уравнений.
На практике этот метод примене-
ния не имеет. Обычно численным
интегрированием находится за-
висимость искомых переменных
от времени при заданных началь-
ных условиях. Для этой цели раз-
работано несколько методов, осо-
бенно широко распространен м е-
тод Рунге-Кутта. Рассмотрим, как решается уравнение перво-
го порядка по этому методу.
Задано уравнение
dyldx=®(x, у).
Ищется решение в интервале Xq^x^X при условии, что в точ-
ке х=хо, у—Уъ. Весь отрезок изменения переменной х разбивается
точками Xi, х2, ... на ряд интервалов h (рис. 8-24):
Значение функции в точке %f+i
где
k = (+ 2Л2 4- 2Л3 4- Л4)/6;
= yi)\
k2=h® (хх--|-0,5Л,
Л3=ЛФ (Xi -f- 0,5h, ^г-Ц-0,5Л2);
&4=ЛФ -I-Л, yi^-k3).
Величина k выражает приращение переменной у через величи-
ну Л и производную dyfdx с учетом точности построения кривой до
величины четвертого порядка включительно. Формула позволяет
вычислить значения yi, у2, ... при %i, х2, ... и т. д. шаг за шагом, на-
чиная с заданного значения уо в точке х0. Например, для решения
уравнения
dy]dx=x^A-by
286
при уо= 1; О^х^Ю и Л —0,1 запишем
yi+i — yi~i~k>
# = (#1-|-2#24-2#34-#1)/6;
*1=0,1 (х’+бу,);
*2=0,1 [(x, +0,05)’+ 5(2/, +0,5*,)];
Л3=0,1 [(xz-|-0,05)2-|-5 (z/z4-0,5#2)];
#4=0,1 [(xz-]-O,l)2 -[-5 (z/j + ^s)]-
Рис. 8-25.
Примерная блок-схема программы изображена на рис. 8-25.
Операции выполняются именно^ в той последовательности, которая
нужна для получения значений yi при значениях аргумента х<. Сна-
чала в рабочие ячейки засылаются начальные значения х0 и у0 и
величина шага h. Счетчики / номера k устанавливаются на нуль и
сразу же в них засылается единица, символически показывающая,
287
что подсчитывается ki. Далее вычисляется функция Ф при началь-
ных значениях х0 и уо и определяется &1=/гФ0. Проверка по счетчи-
ку показывает, что подсчитано значение ki, которое и отсылается в
предназначенную для его временного хранения ячейку.. Повторная
проверка по / показывает снова, что подсчитано k\. Тогда вычисля-
ются (хо+О,5Л) и (z/o + O,5^i) и отсылаются в рабочие ячейки. Пос-
ле этого в счетчик / добавляется единица и начинается подсчет /г2.
Определяются значения Ф(хо + О,5/д //0+0,5&i) и /г2, a k2 отсылает-
ся на временное хранение рядом с Zsj. После этого проверка пока-
зывает, что подсчитано k2(j = 2) и находится величина 0,5^2 и
(г/о+0,5&2), замещающая (г/о + 0,5^1) в рабочей ячейке. После это-
го в счетчике прибавляется единица и находятся значения Ф(х0 +
-Ь0,5/г, уо+0,5/г2) и k3. Так как /<4, то k3 отсылается для хранения
рядом с ki и k2. После двух новых проверок по j выясняется, что
/ = 3. В соответствии с этим вычисляется (x0+h) и (г/о+^з)- Они
заменяют в рабочих ячейках (xo + O,5h) и (yo+O,5k2). После этого
в счетчике добавляется единица и вычисляется Ф(хо+Л, г/о+^з) и
k4. Проверка по / показывает, что / = 4. В соответствии с этим
ki, k2, k3 извлекаются из ячеек, где они временно хранились, и вы-
числяется k. Далее определяется yif которое и печатается вместе со
значением Одновременно Х\ и yi записываются вместо х0 и уо.
Проверка на окончание счета показывает, что надо найти у2. В со-
ответствии с этим счетчики / устанавливаются в исходное нулевое
положение. Затем весь описанный процесс счета повторяется, но
вместо х0 и уо всюду будут стоять и у\. В результате счета будут
получены величины у2 и х2, которые являются начальными для сле-
дующего шага и т. д. Когда х сравняется с X, т. е. когда будет до-
стигнута граница заданного интервала изменения независимой пе-
ременной, счет прекратится.
Описанный метод распространяется на системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Предварительно система должна
быть решена относительно первых производных. Для систем ли-
нейных уравнений это, в принципе, всегда возможно. При разреше-
нии сложных нелинейных систем возможны затруднения.
Программа предусматривает вычисление приращений искомых
переменных в системе, разрешенной относительно первых произ-
водных, при изменении независимой переменной на величину h,
равную выбранному интервалу. Входными величинами при этом
являются значения искомых переменных в начале интервала, а вы-
ходными— их значения в конце интервала. Для определения произ-
водных, заданных функциями в правых частях уравнений, предус-
матривается обращение к подпрограммам. Сами подпрограммы
должны разрабатываться отдельно для каждой конкретной задачи.
Обращение к программе интегрирования дифференциальных
уравнений должно включать засылку порядка системы уравнений,
начальных значений переменных, информации о размещении под-
программ вычисления правых частей, шага интегрирования и ко-
манды перехода к исполнению программы. Результат (значения
переменных к концу интервала) удобно получать в тех же ячейках,
288
в которых находились начальные значения. Проверку по окончании
счета удобно вынести за пределы программы. Схема счета показа-
на на рис. 8-26. Часть в штриховом прямоугольнике представляет
собой программу интегрирования в пределах одного интервала из-
менения независимой переменной.
Помимо метода Рунге-Кутта, применяются и другие методы
численного решения дифференциальных уравнений. Все они осно-
Рис. 8-26.
ваны на вычислении приращений
функции при изменении независи-
мой переменной и отличаются боль-
шей или меньшей сложностью фор-
мул и точностью результатов. Про-
стейшим является метод, известный
в электроэнергетике под названием
метода последовательных
интервалов. Приращение
соответственно функция
У п+1-У п \ &Уп’
Рис. 8-27.
Метод требует минимального объема вычислений и удобен для
программирования. Его можно использовать для решения ряда за-
дач энергетики. Точность, конечно, получается ниже, чем при дру-
гих методах с таким же шагом А/.
Выбор шага влияет на точность и объем вычислений. При мед-
ленном изменении функций шаг берется больше, при быстром —
меньше. Если в разных интервалах изменения независимой пере-
менной производные резко различаются, то целесообразно менять
шаг. Для этой цели служат программы с автоматическим выбором
шага.
Подготовка дифференциальных уравнений, описывающих про-
цессы в простейших цепях, к численному интегрированию с помо'-
щыо ЦВМ не вызывает затруднений. Рассмотрим, например, цепь,
изображенную на рис. 8-27. Процессы в этой цепи описываются
уравнениями
10—2757
289
(£+£1)^+^+/?1)л+(^+^)р^-
(L + 1г) d-b + (/?+ /?2) /2 + (-1 + A.J $ r2dt -
^Lib_R! ± tildt=-E2,
dt C J
где£] и £2 — переменные э.д.с- одинаковой частоты:
£1 = K1sin (<«/4-<Р1);
£2=к2 sin (<о/-|-?2)- .
(8-35)
(8-36)
Чтобы исключить интегралы, введем новые переменные:
<2, = ^/,^; Q2=jM/. (8-37)
Очевидно, что
dQJdt=Ix\ dQ2ldt=/2. (8-38)
Уравнения (8-35) после подстановки Qi и Q2 из (8-37), Е{ и £2
из (8-36) превратятся в уравнения
dt \ С Су) dt
— ri2 —^Q2=ui sin И+?1);
, ял ! (8-39)
(i + i2)^+(/?+^) 4+ Уг+тг
dt \ С С2/ dt
— Rh — 7г sin H + %)-
О
Система (8-39) должна быть решена относительно первых про-
изводных. Рассматривая производные как искомые переменные, а
остальные величины как заданные числа уравнений, придем к за-
даче решения системы алгебраических уравнений. В данном при-
мере, чтобы получить уравнение, содержащее производную только
переменной /), достаточно умножить первое из двух уравнений на
(£+£2), а второе — на L и результаты сложить. Аналогично, чтобы
получить уравнение, содержащее производную только /2, необходи-
мо первое уравнение умножить на L, а второе — на (L-f-Lj) и ре-
зультаты сложить. Таким путем преобразуются уравнения и более
сложных цепей.
В качестве примера, в котором интегрируется нелинейное диф-
ференциальное уравнение, рассмотрим включение на постоянное
290
напряжение R—L-цеии, в которой индуктивность является нели-
нейной функцией тока. Дифференциальные уравнения этой цепи
d^ldt+RI=--E; Ф = Д(/)
запишем как
d®\dt=E—
где <р(Ф)—зависимость тока от потокосцепления, задается анали-
тически или таблицей.
При исследовании переходных процессов в сложных сетях и
системах возникает ряд трудностей. Рассмотрим в качестве приме-
ра линейной системы сложную электрическую сеть с постоянными
параметрами, имеющую индуктивности в каждой из ветвей. Сос-
тавляя контурные уравнения, запишем систему в матричном виде
(8-31). Вводя заряды конденсаторов в качестве дополнительных
переменных, получим систему уравнений
Ы1ДД=е —ri —sQ; d^]dt=i.
Задача разрешения системы относительно первых производных
сводится к отысканию обратной матрицы индуктивностей 1-1 и ум-
ножению на нее слева первого из уравнений. При этом
d ijdi = le— l-1ri — l-1sQ; dQjdi=i.
Вычислив I-1, l-1r, l_,s, получим выражения производных через
переменные (i и Q) и заданные э. д. с. е. В таком виде система при-
годна для интегрирования численными методами.
Уравнения электромеханических переходных процессов в элек-
троэнергетической системе содержат нелинейные функции перемен-
ных и, кроме того, число переменных больше числа/ дифференци-
альных уравнений. Система может быть записана в следующием
виде:
dxx'dt—л25---> х гУ> Уъ-’ч УмУ>
dxN)dt=fх2,..., xN] ух, у2,..., УмУ,
F -^2, •••, У\> =
FУ1г Ум) = ^'
(8-40)
Выразить величины i/b y2, ..., ум через х2, ..., xN очень трудно
или даже невозможно. Чтобы преодолеть эту трудность, необходи-
мо на каждом шаге интегрирования после определения значений
Хг к концу интервала численно решить систему из М уравнений'
^1(ХЬ Х2, Xn', У\, У2, —,Ум)-^-Ем(Х1, X2,...,Xn; У\, У2,-.;Ум), в ко-
торой неизвестными являются значения у г. Таким образом, слож-
ная задача численного решения системы нелинейных уравнений
выполняется многократно, вычислительный процесс усложняется и
Ю* 291
удлиняется. Необходимо хотя бы часть алгебраических преобразо-
ваний записать в общей форме, оставив для численного решения
систему возможно меньшего размера.
При исследовании процессов в электрических системах с боль-
шим числом искомых переменных трудности могут возникнуть при
обработке результатов численного интегрирования. Выводить из
машины вычисленные координаты точек на кривых, представляю-
щих переходные процессы, целесообразно только тогда, когда нуж-
но получить результаты для некоторых конкретных случаев при
заданных начальных условиях. Для анализа процессов следует ис-
пользовать логические возможности, заложенные в системе опера-
ций, выполняемых машиной. Например, если нужно знать только
время установления режима и известно, что переменные стремятся
к постоянным значениям, то можно использовать следующую схему.
Интегрирование дифференциальных уравнений ведется одним из
численных методов. На каждом шаге путем сравнения приращений
переменных с некоторыми достаточно малыми заданными числами
проверяется, закончен ли переходный процесс. Если все прираще-
ния малы, то значит малы производные, и уравнения установивше-
гося режима удовлетворяются с заданной точностью; счет прекра-
щается и печатается значение независимой переменной.
Выбор критерия, по которому ведется анализ, зависит от суще-
ства поставленной задачи.
Динамическая устойчивость простейшей системы. Рассмотрим
простейшую систему «генератор-линия передачи-шины неизменного
напряжения». Расчет динамической устойчивости сводится к расче-
ту ряда переходных процессов при последовательно изменяемых
начальных условиях. Ищется граница между начальными условия-
ми, при которых еще сохраняется динамическая устойчивость, и на-
чальными условиями, при которых устойчивость нарушается.
В § 7-4 уже рассматривалось решение этой задачи средствами ма-
тематического моделирования. При использовании ЦВМ ход вы-
полнения задачи сохраняется, но кривые движения ротора получа-
ются не в виде осциллограмм, а в виде таблиц чисел. При желании
можно отказаться от печатания цифр, представляющих кривые пе-
реходных процессов, а печатать только параметры, характеризую-
щие режим при предельной по условиям динамической устойчиво-
сти нагрузке синхронного генератора.
Программа вычислений должна содержать следующие части
(некоторые из них могут иметь форму подпрограмм):
1) засылку величин, определяющих начальный режим генера-
тора (например, мощности генератора и напряжения в начале ли-
нии, соединяющей генератор с системой);
2) вычисление режима генератора (например, необходимо оп-
ределить Едо' и угол 6о)
3) расчет переменных, характеризующих режим в первый мо-
мент после короткого замыкания (обязательно надо вычислить
электромагнитный момент);
292
отключения короткого замы-
данных начальных условиях,
от постановки
задачи. Если
4) определение движения ротора в период короткого замыка-
ния. Для этого обычно используют методы численного интегриро-
вания дифференциальных уравнений;
5) расчет режима генератора и электромагнитного момента сра-
зу же после отключения короткого замыкания;
6) расчет движения ротора после
кания;
7) проверку, окончен ли счет при
Выбор критерия окончания зависит
ограничиваться первым циклом дви-
жения ротора, то можно прекратить
вычисление процесса при выполне-
нии одного из следующих условий
(рис. 8-28):
а) скольжение s изменило знак
и динамическая устойчивость в пер-
вом цикле соблюдается (кривая а);
б) скольжение и ускорение одно-
временно близки нулю и ротор на-
ходится вблизи точки равновесия
(кривая б);
в) скольжение не изменило знак, хотя угол 6 достиг 3,14 рад и
система неустойчива (кривая в);
8) определение знака и величины ДР, на которую надо изме-
нить мощность генератора в доаварийном режиме для изменения
начальных условий. При этом надо руководствоваться следую-
щими правилами: мощность увеличивается на ДР, если соблюдает-
ся критерий «а»; мощность уменьшается на ДР, если соблюдается
критерий «в»; счет прекращается и результаты печатаются, если
соблюдается критерий «б»; значение ДР по абсолютной величине
равно некоторому наперед заданному числу до первого перехода
от признака «а» к признаку «в», или наоборот; после первого такого
перехода величина ДР определяется по правилам деления отрезка
пополам, описанным в § 8-5;
9) проверку на окончание счета с последующим выбором ветви
программы и печать последнего результата. Критерий окончания
счета можно выбрать по-разному. Можно, например, вести счет,по-
ка разница между начальными значениями угла б, при которых
были получены кривые устойчивого и неустойчивого переходов, бу-
дет не больше 1° или не больше, чем любая другая заданная вели-
чина. Если счет не окончен, то весь цикл повторяется, начиная
с п. 2;
10) печатание результатов и остановка (если счет окончен).
В результате счета по такой программе будет получен предел
динамической устойчивости с любой наперед заданной точностью.
Схема программы с укрупненными блоками изображена на
рис. 8-29. Пятым по ходу выполнения стоит блок «Один шаг в рас-
чете переходного процесса», соединенный с блоком «Вычисление
функций». Первый из них — стандартная подпрограмма (например,
293
по методу Рунке-Кутта) для вычисления переходного процесса, а
второй — программа для вычисления на каждом шаге функций от
переменных, через которые выражаются производные (в данном
случае это производные от Eq', б, s и, если нужно, от других вели-
чин). Первое обращение к подпрограмме включает засылку началь-
ных условий для расчета переходного процесса. Этому предшест-
вует засылка параметров аварийного режима для использования
в блоке «Вычисление функций». Второму обращению к подпрограм-
ме предшествует аналогичная засылка параметров послеаварий-
ного режима. Остальное ясно из приведенного рисунка.
Рис. 8-29.
Не представляет труда построить аналогичную программу по-
иска предельной по условиям динамической устойчивости форси-
ровки возбуждения при фиксированной начальной мощности, пре-
дельной длительности короткого замыкания и т. п. Можно по-
строить и более сложную программу для получения предела
динамической устойчивости в виде функции какого-нибудь пара-
метра.
Посмотрим, как будет, например, выглядеть блок-схема про-
граммы для вычисления предела динамической устойчивости как
функции постоянной инерции. Порядок вычислений будет следу-
ющий:
294
1) задать значения Tj, при которых надо найти предельную по
условиям динамической устойчивости мощность в доаварийном ре-
жиме Рпр;
2) вычислить соответствующий ряд предельных мощностей по
программе, схема которой дана на рис. 8-29.
Изобразим это в виде блок-схемы (рис. 8-30).
Пусть решено выполнить счет при значениях TJX, TJ2, ..., TJM
(всего при М значениях) и пусть эти значения уже находятся в за-
поминающем устройстве. Снача-
ла'первое из ряда значений Tj по-
сылается в соответствующую
ячейку для использования в про-
грамме вычисления РПр. Затем
вычисляется РПр и проверяется,
все ли нужные значения подсчи-
таны. В зависимости от результа-
тов проверки счет возобновляет-
ся с другим Tj или прекра-
щается.
Результирующая устойчивость
простейшей системы. Рассчитаем
результирующую устойчивость
простейшей системы, рассмотрен-
ной в предыдущем примере. В от-
личие от исследования динамиче-
ской устойчивости по первому
циклу для расчета результирую-
щей устойчивости необходимо бо-
лее подробное математическое
описание. Надо учесть действие
Стоп
Рис. 8-30.
регуляторов скорости и успокои-
тельных контуров, изменение средней скорости и т. д. Критерий для
отыскания предельной нагрузки по результирующей устойчивости
тоже будет сложнее. Наиболее надежным будет оценка, установил-
ся ли режим, но это потребует весьма длительного счета. Одновре-
менно надо проверить, не выходит ли длительность асинхронного
режима, а может быть и некоторые другие величины, характери-
зующие процесс, за допустимые пределы. В остальном вычисли-
тельная схема задачи близка к предыдущей.
Динамическая устойчивость сложной электроэнергетической си-
стемы. Расчет динамической устойчивости такой системы тоже под-
дается программированию, но время расчета, объем программы и
необходимой информации намного возрастут. Порядок расчета мо-
жет быть приблизительно следующим:
1) расчет установившегося доаварийного режима системы: вы-
числение всех э. д. с. Eqh' и углов по отношению к оси отсчета;
2) нахождение параметров аварийного режима при найденных
значениях Eqh' и 6ь;
3) вычисление ускорений роторов генераторов;
295
4) определение приращений 'переменных в пределах малого ин-
тервала времени;
5) новый расчет сложившегося режима при новых значениях
Е9л' и с повторением цикла вычислений п. 3, 4 и 5 до получения
искомого результата.
Как видно из сказанного, в одной программе объединяются про-
граммы расчета режима и переходных процессов.
Можно предложить и другие схемы расчета.
Расчет процессов в сложной системе тесно связан с выбором
формы записи уравнений. Эти вопросы подробно рассматриваются
при изучении переходных процессов *.
Задачи статической устойчивости. Эти задачи можно было бы
свести к расчету переходных процессов в линейной системе, как
это делается при исследованиях с помощью математических моде-
лей. Действительно, если заданы параметры системы и режим, то
для проверки устойчивости достаточно ввести возмущение и вы-
числить переходный процесс, что легко сделать, пользуясь типовы-
ми программами интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. По характеру процесса можно судить об устойчивости.
Недостаток такого метода заключается в сложности анализа про-
цессов без построения кривых, дающих изменение переменных во
времени. Этот метод не нашел применения.
Обычно используют оценки устойчивости с помощью алгебраи-
ческих или частотных критериев. При таком подходе в результате
счета получается один из трех ответов: система устойчива, неустой-
чива, находится на границе между устойчивым и неустойчивым
состоянием. Подготовка и решение задачи с помощью алгебраиче-
ских критериев включает следующие этапы:
1) математическое описание переходных процессов с помощью
дифференциальных уравнений;
2) линеаризацию уравнений (если они нелинейны);
3) вывод характеристического уравнения системы и определе-
ние его коэффициентов;
4) вычисления по критериям устойчивости.
Для ряда типовых задач энергетики известен вид и структура
линеаризованных уравнений возмущенного движения, что позво-
ляет пп. 1 и 2 заменить просто вычислением коэффициентов урав-
нений, выраженных через параметры системы.
Линеаризация дает систему линейных дифференциальных урав-
нений, в которой в качестве неизвестных присутствуют отклонения
переменных от положения равновесия и их производные, а коэф-
фициенты зависят от выбора точки, в которой исследуется устой-
чивость равновесия (см. § 7-4). В матричной форме эту систему
можно записать как
AtZx/rf/-]-Bx4-Cy=0;
Dx4-Hy=0.
* В. А. Веников. Переходные процессы в электрических системах. «Выс-
шая школа», 1970.
296
Здесь А, В, С, D, Н — матрицы коэффициентов линеаризованной
системы, х и у — векторы неизвестных переменных величин.
Если А и Н — неособенные матрицы, то система может быть ре-
шена относительно производных следующим образом. Умножая
второе уравнение слева на Н-1, получим у=—H-’Dx. Подстановка
этого выражения в первое уравнение и умножение на А-1 дает урав-
нение
d xldt= - А-1 (В - СЬГ'в) х,
или
dx/tZ/=—Ьх, (8-42)
где
Ь = А-1 (В —CH-1D).
Характеристическое уравнение получается при раскрытии опре-
делителя | b + Ер |, где р — аргумент характеристического урав-
нения:
рп + а1рп~1-^а2рп-2-[-... -|-ял-1Р4-ал=0.
Коэффициенты tzi, а2, ..., ап выражаются через коэффициенты
матрицы Ь, точнее — через ее главные миноры.
Покажем это на примере системы уравнений третьего порядка.
В этом случае
b-J- Е р=
Ьп-ГР
• ^21
^31
^12 ^13
^22 + Р ^23
^32 ^33 4“ Р
Раскрывая определитель матрицы, получим
/Ы = р3 + ^и + ^ + М/>2 +
^11^12
^11^13
^31^33
^22^23
32^33
^11
^21
^31
^12
^22
^32
^13
^23
КзЗ
+
Всегда коэффициент ап равен определителю матрицы b, czi
сумме диагональных элементов. Остальные коэффициенты харак-
теристического уравнения выражаются через главные миноры, по-
рядок которых k дополняет степень соответствующего множителя
рт до п так, что m + k = n.
Таким образом, разрешение системы линеаризованных уравне-
ний относительно первых производных в общем случае требует вы-
полнения ряда действий с матрицами, а получение коэффициентов
характеристического уравнения требует вычисления определителей
разных порядков.
Вычислительная математика предлагает несколько схем по-
лучения значений в которых экономится количество необходи-
мых арифметических и логических операций. Далее можно прове-
297
рить устойчивость с помощью какого-нибудь критерия. Возможно
использование как частотных, так и алгебраических критериев.
В первом случае вычисляются и анализируются частотные харак-
теристики. Частоты надо задавать так, чтобы по полученным точ-
кам можно было построить всю характеристику. Это иногда вызы-
вает трудности. Некоторые точки при построении ложатся слиш-
ком близко одна к другой, между другими образуются большие
расстояния. Использование критерия Гаусса требует построения из
коэффициентов щ матрицы порядка п и вычисления ее миноров.
Напомним как строится матрица.
В первой строке в порядке возрастания индекса пишутся коэф-
фициенты щ с нечетным индексом. Во второй строке пишутся тоже
в порядке возрастания коэффициенты с четным индексом. Заметим,
что в данном случае По=1. Третья и четвертая строки получаются
сдвигом первых двух строк на один столбец вправо. Следующая
пара строк образуется еще одним сдвигом тех же строк вправо
и т. д. Строки дополняются нулями. Матрица для уравнения пятой
степени запишется как
«3 «5 0 0
1 «2 а4 0 0
м(5>= 0 «1 а3 «5 0 (8-43)
0 1 #2 а4 0
0 0 «1 а3 а5
Далее надо определить диагональные миноры, которые полу-
чаются отчеркиванием строк и столбцов слева направо и сверху
вниз, как показано в матрице (8-43). Необходимым условием устой-
чивости является положительность всех сц. Поэтому если хотя бы
один коэффициент аг-<0, то вычисления можно прекращать. При
положительности всех необходимое и достаточное условие устой-
чивости заключается в положительности всех миноров (8-43). По-
этому вычисления можно прекращать как только встретится отри-
цательный минор.
В некоторых случаях удобнее пользоваться критерием Рауса.
Проверка и исследование устойчивости могут быть сведены к опре-
делению собственных чисел матрицы. Пусть система линеаризо
ванных уравнений, описывающих движение системы вблизи точки
равновесия, представлена в виде
d xjdt 4- bx = 0.
Характеристическое уравнение этой системы
I ь д-р | =0,
где р — диагональная матрица с одинаковыми элементами р на
диагонали (р — аргумент характеристического уравнения).
298
Собственные числа матрицы b определяются из уравнения
I b-к | =0,
где X — диагональная матрица.
Таким образом, корни характеристического уравнения системы
дифференциальных уравнений равны собственным числам матри-
цы Ь, взятым с обратным знаком.
Методам определения собственных чисел в пособиях по мате-
матике посвящаются специальные разделы. Эти методы можно раз-
делить на две группы. В первой группе определяются коэффициен-
ты характеристического уравнения, а затем его корни. Во второй
группе корни вычисляются итеративным путем без отыскания коэф-
фициентов характеристического уравнения. При использовании
ЦВМ алгоритмы, реализующие второй путь, удобнее, так как легче
программируются.
Рассмотрим без вывода один из итеративных методов. Выберем
некоторый, в общем произвольный, вектор уо и построим последова-
тельность векторов
У1=Ьу0; y2=byi;...; у,=ь*у0.
Допустим, что все собственные числа различны. Расположим их
в таком порядке, чтобы соблюдались неравенства
I I >1 */+1 I •
При этом могут быть три случая:
1) | Xi | > | А-21;
2) Zi и 72 равны по абсолютной величине, но имеют разные зна-
ки: Х] = —Т,2;
3) Xi и — сопряженные комплексные числа.
Соответственно при возрастании s вычисление ys будет давать
различные результаты. При | Xi | > 17.21 значение
У„! -> \ys-
Если оказывается, что операции ys=bys_j и y.s+i = b2ys_j равно-
сильны операциям ys=ys-i-a и ys+i = ys-i • а2, то процесс можно
считать законченным, а 7,1 = а.
Если Xi = —7.2, то при увеличении s в пределе будет выполнять-
ся равенство
ys+1=ys-i-c
и наибольшие по модулю собственные числа находятся по форму-
лам Z] = Ус, 7,2 =—V с.
Если 7,1 и 7.2 — сопряженные комплексные числа, то в пределе
выполняется равенство
ys+2+ys+j-/ + ys-A = 0.
299
После того как получены значения f и h, собственные числа на-
ходятся из уравнения
Х?+А + /г = 0.
Если несколько наибольших по модулю собственных значений
равны между собой, то в пределе выполняется то же равенство,
что и при разных собственных числах:
У5=У,_1*а.
Чтобы найти следующее собственное значение, формируется но-
вая матрица D, собственные числа которой совпадают с еще не
найденными собственными числами матрицы Ь. Если, например,
матрица b имела одно действительное наибольшее по модулю
число Zi, то вычисляют b — у-г, где у — собственный вектор мат-
рицы Ь, соответствующий величине Zi и нормированный так, что его
первая компонента равна единице; г — вектор-строка, элементы ко-
торого совпадают с элементами первой строки Ь.
В результате получается матрица с нулями в первой строке.
Первый столбец этой матрицы отбрасывается. Результат дает ис-
комую матрицу D. После нахождения наибольших по модулю соб-
ственных чисел матрицы D преобразования повторяются. Однако
точность вычисления каждого следующего собственного значения
снижается. Если результат оказывается неудовлетворительным, то
приходится использовать другие методы. При выборе метода надо
учитывать свойства исследуемой системы. Если заранее известно,
что все процессы апериодические, то незачем предусматривать воз-
можность появления комплексных собственных чисел. Симметрия
матриц позволяет выбирать более простые алгоритмы.
Вычислить все собственные числа матриц высокого порядка
очень трудно. Поэтому в большинстве случаев при анализе устой-
чивости равновесия предпочтение отдается алгебраическим или
частотным критериям.
Инженера и исследователя часто интересует не устойчивость
определенного режима при фиксированных параметрах, а область
параметров, в которой соблюдается устойчивость. Например, для
синхронного генератора, работающего на мощную систему и снаб-
женного регулятором возбуждения, можно строить область устой-
чивости в координатах (6, k), где 6 — угол смещения ротора, k —
коэффициент усиления в системе регулирования возбуждения. Час-
то возникает необходимость строить область устойчивости в трех
координатах, например утла 6, коэффициентов регулирования а и b
по параметру и его производной. Практически — строится ряд
областей устойчивости в плоскости двух параметров а, b при раз-
ных значениях третьей величины 6.
Чтобы построить область устойчивости в плоскости двух пара-
метров (ц и Ь), необходимо всю область возможных значений этих
параметров разбить достаточно мелкой сеткой на участки и про-
верить устойчивость для каждой пары параметров, соответствую-
300
щей узлам сетки (рис. 8-31). После этого можно, пользуясь, на-
пример, методом деления отрезка пополам, найти более точное
значение координат границы области устойчивости.
Если вид области устойчивости известен заранее, то объем вы-
числений можно значительно сократить; программа строится так,
чтобы можно было найти точку на границе области, а затем отыс-
кивать точку за точкой, не удаляясь от границы.
Пусть известно, что в плоскости двух параметров а и b имеется
одна область устойчивости и притом замкнутая (см. рис. 8-31).
Найдем предварительно какую-нибудь точку внутри области устой-
чивости. Для этого проверим условия устойчивости при координа-
тах, соответствующих узловым точкам сетки с относительно боль-
шим шагом. Проверку будем вести в определенной последователь-
ности (например, как показано на рис. 8-31) до получения точки,
соответствующей устойчивому состоянию системы (точка До). Да-
лее будем искать точку на границе области устойчивости. Это
легко сделать, проверяя устойчивость для точек на одной из коор-
динатных линий, проходящих через точку Ао (например, на линии
b = const). Нужное значение Д находится по методу деления отрез-
ка пополам. Пусть точка Д1 на границе области имеет координаты
«I, by (рис. 8-32). Найдем теперь еще одну точку на границе. Точ-
ка Д] найдена подбором при b = bQ и, следовательно, Ьу = Ь0. Про-
верим устойчивость в точках (<2i + /i, by), (ay-\-h, by— h), (ay—h,
by—h), (czi—/i, by), т. e. в точках с координатами вершин прямо-
угольника, который имеет стороны h и 2h. Сторона 2/г расположена
параллельно линии b[=^b\, а точка Ау лежит посередине этой сто-
роны. Точка Д2 может лежать на какой-нибудь другой стороне.
Пусть сопоставление результатов проверки устойчивости показало,
что граница пересекает сторону прямоугольника между точками
(ay — h, by — h), (ay — h, by). Координату b2 надо' искать путем де-
ления пополам отрезка между этими точками (при а = ау— h).
Найдем теперь точку Д3. Для этого снова проверим устойчивость
в точках, лежащих в вершинах прямоугольника hx2h. Длинную
сторону прямоугольника опять направим вдоль той координаты, по
которой перед этим осуществлялось деление отрезка пополам.
301
Координаты должны быть такими, чтобы новый прямоугольник не
пересекался с прежним. Пусть точка А3 лежит между точками
(a^—h, b2 — h) и (a2 — h, b2). Найдя методом деления отрезка
пополам координату Ь3 точки Л3, построим новый прямоугольник
и т. д. до обхода всего замкнутого контура. Критерием остановки
счета может служить приближение очередной точки А к точке Дь
Если одновременно
I ^i — ап | < | ах — а2 | ;
I ь1~ Ьп 1 < I Ьг~ Ь2 | ,
то счет можно прекратить.
При поиске границы разомкнутых областей устойчивости кри-
терий для прекращения счета, конечно, должен быть другой, но
способ перехода от точки к точке вдоль границы сохраняется.
Описанный способ может вызвать затруднения, если граничная
кривая дважды пересекает одну из сторон прямоугольника
(рис. 8-33, а). Трудность преодолевается поиском границы между
точками 1-1. Однако это может не дать результата в предельном
случае касания кривой (рис. 8-33, б). Поэтому в процессе счета
нужно проверить, не лежит ли точка А в вершине прямоугольника.
Если это случится, то надо сделать проверку устойчивости при
двух положениях прямоугольника (рис. 8-33, бив).
Программа получается достаточно сложная, и расчет может за-
нять относительно много времени. Поэтому использование особен-
ностей конкретных технических задач, упрощающих расчеты ста-
тической устойчивости, совершенно необходимо.
§ 8-8. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ РАСЧЕТЫ РЕЖИМОВ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Программы для оптимизационных расчетов режи-
мов электроэнергетических систем обычно включают многократно
выполняемые подпрограммы расчета режима при заданных мощ-
302
ностях генераторов и нагрузок. Рассмотрим отдельно алгоритм рас-
чета по такой подпрограмме. Особенность схемы замещения, ис-
пользуемая в этом случае, заключается в том, что генераторы и
нагрузки включены между узлами пассивной сети и общей точ-
кой— «землей» (рис. 8-34). На этой схеме изображены источники,
мощность которых задана, и пассивная сеть. Сеть может содер-
жать любое число ветвей, узлов или контуров. Положим, что урав-
нения, описывающие режим сети, уже преобразованы так, что часть
неизвестных исключена, а сеть задана параметрами по отношению
к внешним узлам. Потенциал Uo, измеренный относительно земли,
будем считать заданным. Тогда вектор-столбец токов и вектор-
столбец потенциалов будут содержать величины, относящиеся к
узлам 1, 2, 3:
h
Матрицы Z и Y имеют размер 3X3. Уравнения, описывающие
режим системы, запишем в матричной форме:
Y(U-U0) = i. (8-44)
Мощности источников заданы:
Sk=U„fk, *=1,2,3................. (8-45)
Мощность (так же как ток) источника, присоединенного к уз-
лу 0, нельзя задать произвольно. Эта величина получится из балан-
са мощностей в системе.
Математически задача сводится к решению системы уравнений
(8-44) и (8-45), в которой неизвестными являются напряжения в
узлах 1, 2, 3 и токи, текущие в сеть от источников 1, 2, 3. Урав-
нение (8-44)—линейное, а уравнения (8-45)—нелинейные. Систе-
ма в целом получается нелинейной. Решение системы нелинейных
алгебраических уравнений — одна из сложных задач вычислитель-
ной математики. Почти всегда бывает трудно сказать, сколько ре-
шений имеет система. Нельзя указать метод, одинаково пригодный
во всех случаях. Как правило, системы нелинейных уравнений ре-
шаются по методу последовательных приближений (схема вычис-
лений строится с учетом особенностей задачи). При этом количе-
ство итераций и даже результат зависят от того, насколько удачно
выбрано первое приближение.
Для решения сформулированной задачи расчета режима сети
можно предложить несколько схем расчета. Здесь приводятся две.
303
Расчет начинается с обращения матрицы Y. Пусть Y-1 = Z.
Тогда вместо уравнения (8-44) получим уравнение
ZI=U-U0, (8-46)
которое надо решать совместно с (8-45).
Метод поочередного вычисления столбцов-векторов U и I. Пер-
вое приближение для С выбирается произвольно, но по возможнос-
ти ближе к решению. Можно сначала полагать, что напряжения
во всех узлах равны напряжению в узле 0, т. е., что Uk = Uo (k =
= 1, 2, 3). Далее вычисления ведутся в следующем порядке:
а) определяются токи
ik=SkfUk, k=\, 2, 3,...; (8-47)
б) по найденным токам находятся значения напряжений в уз-
лах по отношению к напряжению в нулевом узле с помощью фор-
мулы (8-46);
в) вычисляются новые значения напряжений в узлах:
Uk=(U-U0)k^L/0.
Далее процесс повторяется с пункта «а» до тех пор, пока по-
правки к напряжениям станут достаточно малы. Опыт показывает,
что для систем с относительно короткими связями этот метод в
большинстве случаев дает достаточно быструю сходимость. Однако
при наличии мощных дальних передач сходимость получается не-
удовлетворительной. В некоторых случаях может иметь место рас-
ходящийся процесс.
Метод поочередного вычисления токов и напряжений в узлах.
Пусть система имеет три независимых внешних узла. Запишем
уравнения (8-46) в развернутой форме:
(8-48)
Выберем подходящие значения для токов, поступающих через
узлы в сеть. Можно, например, выбрать их равными той величине,
которая получится, если в узле будет номинальное напряжение и
заданная мощность. Обозначим их через /1, Л, h- Далее расчет ве-
дется в следующем порядке:
1) по первому из уравнений (8-48) определяется
2) по формуле (8-47) находится ток //;
3) по второй из формул (8-48) вычисляется напряжение Д2 (при
подсчете используется только что найденное значение // вмес-
то /О;
4) по формуле (8-47) находится ток /2';
304
5) по третьей из формул (8-48) вычисляется напряжение 17з
(при подсчете используются значения // и /2' вместо 1\ и /2);
6) по формуле (8-47) определяется новое значение тока /3'.
На этом заканчивается первый цикл вычислений. Вместо исход-
ных значений всех токов получились новые значения, которые ближе
(или должны быть ближе) к искомым. Если эти новые значения
заметно отличаются от прежних, то надо поставить вектор !' на
место I и повторить вычисления. Так делается до тех пор, пока по-
вторение цикла приводит к изменению значений токов. Величину
поправок следует оценивать сразу после определения очередно-
го j/.
Аналогично проводятся вычисления и при большем числе узлов.
На рис. 8-35 изображена блок-схема программы, где k— число
независимых узлов; а — допустимые поправки; А— промежуточная
переменная, L — переменная, которая сохраняет значение «О», если
поправки малы, и становится равной еди-
нице, если поправка больше допустимой.
Этот метод дает, как правило, лучшую
сходимость, чем предыдущий. Однако и
здесь нет гарантии сходимости во всех
случаях. Эксперименты показывают, что
в некоторых случаях сходимость недо-
статочна, иногда даже получается рас-
ходящийся процесс. Тогда приходится
прибегать к более сложным схемам вы-
числений.
Описанную схему легко видоизменить
так, чтобы ее можно было использовать
в том случае, когда мощности в узлах или
в части узлов заданы характеристиками
вида
^•=Л(^),
т. е. в форме функций от модуля напря-
жения. При этом после вычисления оче-
редного Ог надо определить его модуль.
Если характеристика задана аналитиче-
ски (формулой), то сразу же находится
А,, после чего можно переходить к сле-
дующему пункту, т. е. вычислять ток. Ес-
ли характеристика задана таблицей, то
нужно обратиться к подпрограмме опре-
деления функции по таблице. Таблица
должна иметь три строки, в которых со-
держатся значения активной и реактив-
ной мощности в качестве значений функ-
ции, и модуль Ui — в качестве аргу-
Рис. 8-35.
мента.
305
Этот метод применим при любом числе узлов, если позволяет
емкость запоминающих устройств. Сходимость процесса последо-
вательных приближений зависит от параметров сети, загрузки ли-
ний и вида характеристик.
Описанные вычислительные процессы легко программируются.
С помощью ЦВМ можно рассчитывать режимы сложных электри-
ческих сетей с заданными мощностями.
Задача расчета сложной электрической сети с сопротивлениями
(или проводимостями), зависящими от тока (или напряжения), в
Рис. 8-36.
общей постановке
сложнее, чем ранее
описанные задачи.
Часто расчет режи-
ма сети необходимо
сделать при более
сложных условиях. При
этом вводятся ограни-
чения напряжений по
эксплуатационным ус-
ловиям и ограничения мощности, передаваемой по некоторым ли-
ниям. Кроме того, иногда вместо реактивных мощностей задаются
модули напряжений. Могут быть и другие комбинации в задании
величин, определяющих режим. В результате получается система
нелинейных уравнений с ограничениями значений части искомых
величин. Нельзя указать способа решения такой задачи, который
был бы одинаково эффективен во всех случаях. Значения напряже-
ний и мощностей нельзя задавать произвольно; их надо' выбирать
такими, чтобы режим был физически осуществим. То же относится
и к ограничениям. Решить задачу можно только по методу после-
довательных приближений. Успех в значительной мере зависит от
удачного выбора исходных значений неизвестных.
Расчет экономического распределения нагрузок*. Распределе-
ние нагрузок между электростанциями электроэнергетической сис-
темы— задача, которая практически непрерывно решается во всех
системах. Дежурный инженер диспетчерского пункта стремится
так распределить нагрузки, чтобы стоимость производства элект-
роэнергии по системе в целом была минимальной. Техническая
задача заключается в следующем. Потребители получают мощно-
сти Рнь Рн2, через сеть от генераторов (рис. 8-36), которые от-
дают мощности Ргь Рг2, .... В точке 0 задано напряжение С70- Для
простоты будем считать, что мощность через узел 0 не поступает.
При этом должен соблюдаться баланс мощностей:
(8-49)
где ДР — потери мощности в сети.
* Более подробно эти вопросы рассмотрены в гл. III—V. Здесь даются более
элементарные сведения применительно к задачам, разрешаемым на ЭВМ.
306
Для каждого из эквивалентных генераторов схемы замещения
известна расходная характеристика G(p). Мощности потребителей
заданы. Требуется выбрать такие нагрузки генераторов, чтобы сум-
марные расходы для производства электроэнергии по системе были
минимальными. При этом надо учитывать, что мощности генера-
торов ограничены снизу и сверху:
(8-50)
Точное решение задачи связано с громоздкими вычислениями,
так как для определения потерь надо предварительно найти токи
so всех ветвях. Для решения этой задачи необходимо знать не
только активные, но и реактивные мощности потребителей. При
этом одновременно следует решать задачу о распределении реак-
тивных мощностей. Необходимо учесть и то, что пропускная спо-
собность некоторых линий может быть ограничена, а напряжения
в узлах должны лежать в определенных пределах.
При практических расчетах в большинстве случаев пренебре-
гают зависимостью активных потерь от изменения потоков реак-
тивной мощности и ряда других факторов и выражают их прибли-
женно через мощность нагрузок и генераторов:
AP=PZBP, (8-51)
где В — квадратная симметричная матрица коэффициентов потерь.
По смыслу элементы В близки к действительным составляю-
щим комплексов собственных и взаимных сопротивлений сети. Если
расчет ведется в относительных единицах и базисное напряжение
равно номинальному, то
В=г,
где г — матрица, составленная из действительных частей элементов
матрицы Z обобщенного уравнения контурных токов (8-46) сети
по отношению к внешним узлам.
Во многих случаях можно отказаться от проверки пропускной
способности линий передач и величины напряжений в процессе
расчета экономического распределения нагрузок. Тогда описанная
выше техническая задача сводится к математической задаче —
найти минимум функции многих переменных:
м
^ = У Ок(Рк), (8-52)
^4иИИ
Л=1
где k — индексы генераторов при соблюдении баланса мощностей
(8-49).
Потери АР даются формулой (8-51). При этом матрица В и
«функции Gh(Ph) заданы. Заметим, что вектор-столбец Р -в (8-51)
(и соответственно строка Р/) содержит все мощности генераторов
<и потребителей, а функция — только мощности генераторов. При
307
минимизации необходимо соблюдать ограничения мощностей гене-
раторов [см. (8-50)]. Решение задачи облегчается благодаря тому,
что наклон кривых Gk(Pk) увеличивается с ростом Ph (рис. 8-37, а).
При оптимизационных расчетах в концентрированных электро-
энергетических системах с малыми потерями иногда пренебрегают
величиной ДР. Получается задача экономического распределения
нагрузок без учета потерь, которая решается весьма просто. Усло-
вие минимума запишется как
ei = e2= • • • —ek— • • • =8Л1=?’ (8-53)
где е/г — относительные приросты, или производные расходов по
мощностям:
&k=dGk{Pk^dPk
(рис. 8-37, б). При этом должны соблюдаться ограничения (8-50)
и баланс мощностей:
Х^г + Х^к=0, (8-54)
получающийся из (8-49) при равенстве нулю потерь. Ограничения
приводят к тому, что если величина е по системе больше макси-
мальной величины для данного генератора, то у генератора сохра-
няется наибольшая допустимая мощность Рък. Наоборот, если ве-
личина е меньше минимально возможной для данного генератора,
то у генератора сохраняется наименьшая допустимая мощность
Р ак-
Чтобы решить задачу с помощью машины, можно в принципе
воспользоваться программой вычисления корня уравнения F(x)=0
(см. § 8-5). При этом роль аргумента будет играть значение отно-
сительного прироста е, а функции — величина
| (8-5б>
с помощью которой проверяется соблюдение баланса мощностей
(8-54). Но заранее известно, что корень будет только один. Это
позволяет немного упростить программу. Кроме того интересно
знать не само значение е, а соответствующие ему значения мощ-
ностей станций. Поэтому в программе нужно предусмотреть их со-
хранение.
Рассмотрим порядок вычисления Ра при некотором заданном
значении е. Кривые относительных приростов (см. рис. 8-37, б) да-
ются для каждой станции в виде графиков. Графики можно пред-
ставить таблицами, содержащими координаты точек, которые и
вводятся в машину. Для каждой станции будет отдельная таблица,
состоящая из ряда значений е и соответствующих им значений Рь-
По этим таблицам и будут вычисляться (см. § 8-5) значения мощ-
ностей, которые считаются функциями е.
Порядок вычислений Ре может быть, например, следующим:
1) записывается k-й номер станции, для которой нужно опре
делить Pk',
308
I
2) таблица зависимости Ph от е станции с номером /г переписы-
вается в рабочие ячейки;
3) по заданному е находится значение функции Ph из таблицы;
4) полученное значение Ph запоминается;
5) значение Ph прибавляется к сумме
мощностей станций (Р\ прибавляется к ну-
лю) ;
6) номер станции k сравнивается с чис-
лом станций М. Может быть два случая:
а) номер станции меньше М. Тогда к ве-
личине k прибавляется единица и счет во-
зобновляется с п. 2. При этом будет найде-
на мощность следующей станции, записана
в предназначенную для нее ячейку проме-
жуточных результатов и прибавлена к сум-
ме. Так продолжается до тех пор, пока не
будут выполнены вычисления для всех стан-
ций;
Из основной
программы
в основную
программу
Рис. 8-38.
Рис. 8-37.
б) номер k совпал с М. Это значит, что определение мощностей
М
при заданном е закончено и вычислена сумма »’
к = 1
7) находится ошибка в определении суммарной мощности по
формуле (8-55), т. е. Ре.
Описанный порядок расчета изображен в виде блок-схемы
(рис. 8-38).
309
Рассмотрим теперь возможный вариант вычислений экономи-
ческого распределения нагрузок без учета потерь с использованием
подпрограммы определения Ръ.
Задается некоторое начальное значение 8о, шаг поиска интер-
вала Лео, в котором находится искомый корень, точность Се вы-
числения е и допустимая погрешность в балансе мощностей Ср.
Счет ведется в следующем порядке:
1) полагаем е = ео, Ле = Лео, Рл = Рп = 0;
2) вычисляем Ръ;
3) сравниваем Ре с СР. Возможны два случая:
а) Ре — счетокончен,
б) Ре — исполняется следующий пункт;
4) определяем знак Ре. Возможны два случая:
а) Р2 >0 — при этом Р2 посылается в ячейку Рп,
б) Р2-<0— при этом Ре посылается в ячейку Рл;
5) проверяем, найден ли интервал, в котором находится е, для
чего определяем РЛХРП- Возможны два случая:
а) РлХРп = 0 — исполняется п. 6,
б) РлХРп=#0— исполняется п. 7;
6) вычисляем 8ti+i:
£п+1 —
Де, если Ре1>0;
en-J- Де, .если Р2<0.
Далее исполняется п. 2;
7) находим новое значение Де:
Д£л+1 = 0,5Де„;
8) вычисляем 871+1 по той же формуле, что и в п. 6;
9) определяем Ре;
10) сравниваем Р2 с СР:
а) Ре =ССр — счетокончен,
б) Ре >Ср — исполняется следующий пункт;
11) сравниваем Дб с СЕ. Если Де^СЕ, то счет окончен. Если
Ае>Се, то исполняем п. 7.
Блок-схема изображена на рис. 8-39. Счет оканчивается, когда
с заданной точностью соблюдается баланс мощностей или находит-
ся значение е. Последнее условие введено для того, чтобы иметь
возможность рассчитывать и в том случае, когда на характеристи-
ках относительных приростов имеются участки с неизменным 8.
Тогда может оказаться, что мощность, соответствующая заданно-
му значению б, будет неопределенной, а при использовании про-
граммы вычисления функции, заданной таблицей, никогда не полу-
чится баланс мощностей (|Ps|^Cp).
При счете по схеме, приведенной на рис. 8-39, после получения
результата надо еще проверить баланс и, если он не соблюдается,
изменить мощности станций, не меняя б.
Внесем соответствующие изменения в алгоритм и программу.
Для сохранения мощностей Рь, вычисляемых одновремено с не-
310
балансом Р$, отведем два массива по М ячеек. В один из них Р'
будем посылать мощности при Ръ <0, а в другой Р" — при >0.
Соответственно для 2Pfe тоже отведем две ячейки — 2/ и 2" куда
будем записывать накопленные суммы по тем же правилам. После
того как счет дойдет до выполнения условия Де^Се, проделаем
следующие операции:
Стоп
Рис. 8-39.
1) вычислим
^=(-2Л,-2')/(2"-2');
2) определим мощности станций:
31 Г
После этого баланс мощностей обязательно выполняется и счет
заканчивается.
Использование таблиц относительных приростов требует много
места в запоминающих устройствах и больших затрат времени на
переписывание таблиц.
Программу можно было бы существенно упростить, а счет уско-
рить, если бы кривые Рь(е) можно было представить аналитически
в виде непрерывных функций аргумента (например, в виде алге-
браических многочленов). Это можно сделать в некоторых случаях
для характеристик станций, но невозможно получить для характе-
ристик агрегатов.
Задача экономического распределения нагрузок с упрощенным
учетом потерь по формуле (8-51) решается гораздо сложнее.
В этом случае условие минимума будет следующим:
-------------------------------= ... = ------------------- (8-56)
1 — d^PjdPi 1 — д^Р1дР2---------1—д&Р1дРм
где Efe и Pk — относительный прирост и мощность станции k при со-
блюдении баланса мощностей (8-49) и ограничений (8-50).
Нагрузки считаются заданными. Программу решения этой за-
дачи в принципе можно построить на основе процесса последова-
тельных приближений с использованием программы решения ана-
логичной задачи без учета потерь и программы вычисления потерь.
Введем обозначение
dbP\dPk=--sk, (8-57)
откуда получим
£й Efe
1 — dXPjdPk 1 — °k
Из (8-51) следует, что вектор-столбец
ff = 2BP. (8-58)
В расчете нужны производные только по мощностям генерато-
ров. Однако для подсчета потерь надо вычислить весь столбец о.
Идея программы заключается в том, чтобы определять опти-
мальное распределение нагрузок при некоторых временно фикси-
рованных по найденным мощностям вычислять новые вь, затем
снова мощности Рь и т. д.
Рассмотрим сначала, как рассчитываются мощности отдельных
генераторов, когда заданы их суммарная мощность 2РГ=71 и ко-
эффициенты од. Единственным отличием от программы вычисления
без учета потерь будет различие в коэффициентах е для разных •
станций. Из (8-56) и (8-57) следует, что
(!-=»)• (8-59)
Чтобы учесть это, надо внести изменения в подпрограмму вы-
числения Ре, блок-схема которой изображена на рис. 8-38, вклю-
312
Рис. 8-41.
Рис. 8 40.
Рис. 8-42.
чив блок вычисления по (8-59). Если эту измененную подпро-
грамму включить в программу, изображенную на рис. 8-39, вместо
использовавшейся при расчете без учета потерь, а вместо —
е и Ле заслать +Л, ц и Др соответственно, то будут определяться
Pk при заданных вь и А. На рис. 8-40 и 8-41 изображены блок-схемы
программ вычисления и Pk при заданных оь и А для случая,
когда характеристики содержат участки с постоянным е.
Рассмотрим теперь, как организовать счет для решения всей
задачи экономического распределения с приближенным учетом
потерь. Можно предложить следующий порядок вычислений
(рис 8-42):
1) полагаем 0^ = 0;
2) выбираем некоторое подходящее значение А, р° и Др0;
3) пользуясь подпрограммой вычисления оптимального распре-
деления нагрузок при фиксированных ол и суммарной мощности Аг
находим значения мощностей станций и новое р;
4) сравниваем мощности с ранее найденными (в первом цикле
сравниваем с нулем). Если изменения малы (меньше а), то счет
прекращается и результаты печатаются. Если разница превосходит
допустимую, то значения Рк и р посылаются в рабочие ячейки
вместо старых;
5) по заданным нагрузкам потребителей и найденным нагруз-
кам станций вычисляем вь по формуле (8-58) и посылаем полу-
ченные значения в рабочие ячейки вместо старых;
6) определяем потери по формуле
др = р/(?/2,
которая получена из (8-51) и (8-58);
7) вычисляем новую суммарную мощность генеоаторов по фор-
м
муле (8-49), где ^Рк задана. Посылаем новую величину Pk в
к = 1
рабочую ячейку вместо числа А;
8) возобновляем счет с п. 3.
Описанные программы можно использовать и для расчета рас-
пределения нагрузок в системе с гидростанциями. Надо выполнить
расчет несколько раз при разных коэффициентах пересчета расхо-
да воды на расход топлива, с тем чтобы в итоге получить заданный
суточный расход воды.
Сходимость процесса последовательных приближений зависит
от ряда факторов и, в том числе, от относительной величины
потерь (от величины элементов матрицы В), от наклона характе-
ристик e(Ps) и пр. Задача намного усложняется, если надо учи-
тывать влияние потоков реактивной мощности на потери, ограни-
чения напряжений и нагрузок линий передач и т. д.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛ. 8
1. В. И. Горушкин. Энергетические расчеты с помощью вычислительных
машин. «Высшая школа», 1965.
2. Под ред. В. А. Веникова. Электрические системы. Т. I. Математиче-
ские задачи электроэнергетики. «Высшая школа», 1970.
3. Д. И. Азарьев. Математическое моделирование электрических си-
стем. Госэнергоиздат, 1962.
4. В. А. Веников. Переходные электромеханические процессы в электри-
ческих системах. «Высшая школа», 1970.
5. Н. С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений. Т. II. Физ-
матгиз, 1960.
6. Б. П. Демидович, И. А. Марон. Основы вычислительной матема-
тики. Физматгиз, 1960.
7. А. И. Китов, Н. А. К р и н и ц к и й. Электронные цифровые машины
и программирование. Физматгиз, 1961.
8. Е. И. Белявский, А. Б. Де ген, Ю. Б. Этин. АЛГОЛ-60. Гид-
рометеорологическое изд-во, 1966.
9. Д. М а к - К р а к е н. Программирование на АЛГОЛЕ. Вычислитель-
ный центр АН СССР, 1967.
10. Д. М а к - К р а к е н, У. Дорн. Программирование на ФОРТРАНе.
«Мир», 1969.
Оглавлени
Стр.
Предисловие......................................................... 5
Введение ........................................................... 8
Глава /. Основные задачи расчетов режимов электрических систем .... 11
Литература к гл. 1..................................................15
Глава 2. Расчеты рабочих режимов электрических систем...............16
§ 2-1. Исходные положения...........................................16
§ 2-2. Условия выполнения расчета...................................18
§ 2-3. Условно-линейная схема.......................................22
§ 2-4. Разветвленные разомкнутые схемы. Приближенное решение .... 25
§ 2-5. Сложно-замкнутые схемы.......................................31
§ 2-6. Применение итеративных методов для расчета режимов...........37
§ 2-7. Применение коэффициентов распределения.......................45
§ 2-8. Сложные схемы................................................49
§ 2-9. Итеративные расчеты схем с линеаризованными нагрузками .... 53
§ 2-10. Расчеты сетей с участками различных напряжений...............57
§ 2-11. Особенности расчета сетей с напряжениями выше 220 кв........61
Литература к гл. 2...................................................64
Глава 3. Оптимизация установившихся режимов..........................65
§ 3-1. Общая постановка задачи об оптимизации.......................65
§ 3-2. Математическая формулировка задачи оптимизации. Прямой метод
оптимизации.........................................................66
§ 3-3. Метод Лагранжа...............................................69
§ 3-4. Градиентный метод............................................75
§ 3-5. Удельные приросты затрат. Удельные расходы затрат............78
§ 3-6. Потери в сетях...............................................81
§ 3-7. Удельные приросты потерь в сетях..................87
§ 3-8. Расчет оптимального распределения активной мощности в теплоэнер-
гетической системе..................................................97
§ 3-9. Расчет оптимального распределения активной мощности в смешан-
ной системе.........................................................99
§ 3-10. Типы ограничений при оптимизации режима....................104
§ 3-11. Применение штрафных функций................106
§ 3-12. Оптимальное распределение реактивной мощности. Физический
смысл приближенных критериев оптимального распределения мощ-
ностей ............................................................109
§ 3-13. Взаимосвязь оптимального распределения активной и реактивной
мощностей. Комплексное распределение мощностей................113
§ 3-14. Выбор оптимального состава агрегатов.......................122
§ 3-15. Оценка области равноэкономичных режимов....................126
Литература к гл. 3.................................................132
317
Глава 4. Применение вычислительной техники и моделирования для опти-
мизации распределения мощностей......................................133
§ 4-1. Применение вычислительной техники............................133
§ 4-2. Применение статических и динамических моделей................140
Литература к гл. 4................................................. 142
Глава 5. Оптимальные условия работы энергосистемы............... . . 143
§ 5-1. Оптимизация уровня надежности работы энергосистемы...........143
§ 5-2. Резерв мощности в энергосистеме..............................144
§ 5-3. Оптимизация качественных показателей энергии.................152
§ 5-4. Оптимальные значения частоты и напряжений...................156-
Литература к гл. 5................................................. 161
Глава 6. Связь проблемы регулирования частоты с проблемой оптималь-
ного распределения активной мощности.................................162
§ 6-1. Изменение частоты и его причины..............................162
§ 6-2. Автоматическое регулирование частоты........................165-
§ 6-3. Регулирование частоты и оптимизация режима...................169
Литература к гл. 6................................................. 172
Глава 7. Расчеты режимов электрических систем с применением аналого-
вых вычислительных машин (АВМ) , ....................................173
§7-1. Основы моделирования режимов на аналоговых вычислительных ма-
шинах ........................................................ 173
§ 7-2. Математическая модель явления как основа расчета.............182
§ 7-3. Подготовка задач к решению на АВМ............................186
§ 7-4. Области применения и возможности АВМ при анализе режимов . . 199
§ 7-5. Точность решения электроэнергетических задач на АВМ..........224
§ 7-6. Примеры проведения исследований на АВМ..................... 226-
Литература к гл. 7 ... ,.......................................... 234-
Глава 8. Расчеты режимов электрических систем с применением цифровых
вычислительных машин (ЦВМ)...........................................235
§ 8-1. Свойства и особенности универсальной ЦВМ, существенные при рас-
чете режимов....................................................... 235-
§ 8-2. Подготовка задач к решению на ЦВМ............................237
§ 8-3. Разработка программ..........................................242
§ 8-4. Стандартные программы для решения задач энергетики.......... 250
§ 8-5. Вспомогательные алгоритмы и блок-схемы энергетических задач . . 252
§ 8-6. Операции с матрицами при расчете режимов на ЦВМ..............260
§ 8-7. Расчет переходных процессов и устойчивости в электрических си-
стемах ..............................................................285
§ 8-8. Оптимизационные расчеты режимов электроэнергетических систем . . 302
Литература к гл. 8.................*............................... 316
Веников Валентин Андреевич
Горушкин Вадим Иванович
Маркович Исаак Моисеевич
Мельников Николай Александрович
Федоров Дмитрий Анатольевич
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ,
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
И ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ
Редактор С. М. Оводова. Художник В. 3. Казакевич
Художественный редактор Н. К. Гуторов.
Технический редактор Э. М. Чижевский
Корректор М. М. Малиновская
Т-14131. Сдано в наб. 20/Ш— 73г. Подп. к печ. 10/IX—73 F-
Формат бОХЭО’/ш. Бумага типографская Ns 1.
Объем 20 печ. л. Уч.-изд. л. 18,75
Изд. № СТД—165. Тираж 22 000 экз. Цена 87 коп.
План выпуска литературы для вузов и техникумов
издательства «Высшая школа» на 1973 г. Позиция № 115-
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Московская типография № 8 «Союзполиграфпрома»
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли^
Хохловский пер., 7. Зак. 2757.