/
Автор: Барановська Г.Г.
Теги: математика вища математика навчальний посібник функціональний аналіз інтеграли
ISBN: 5-7763-4597-9
Год: 1997
Текст
...............
Г.Г. Барановська
Ряди
Приклади і задачі
->
___ 4тг 6л
Іо іо Іо
Г.Г. Барановська
Ряди
Приклади і задачі
Рекомендовано Міністерством освіти
України як навчальний посібник для
студентів вищих технічних учбових
закладів
СВІТ
Київ -1997
ББК 22.161 ЄЯ 73
С85
УДК 517.5
Барановська Г.Г. Ряди. Приклади і задачі: Навчальний посібник.
-К: Світ, 1997. -145с.
Посібник написаний відповідно до програми курсу “Вища
математика" для студентів технічних вузів і містить розділи:
числові та функціональні ряди, ряди Фур'є, інтеграл та
перетворення Фур’є.
В посібнику приведені основні відомості з вказаних розділів,
розв'язано понад 100 типових прикладів, підібрані вправи для
самостійної роботи студентів та варіанти завдань розрахункової
роботи (всього понад тисячу завдань).
Для студентів вищих технічних учбових закладів.
Бібліогр.: 23 назв. Іл 21.
І5ВН 5-7763-4597-9
Рецензенти: доктор фіз.-мат. Наук, проф. Стрижак Т.Г.
(кафедра вищої математики НТУУ "КПГ),
проф. Колєсник Т.В. (кафедра математичного
аналізу УДПУ ім. М.П. Драгоманова).
Ця робота була частково підтримана грантом АРІЇ 061005
Міжнародної Соросівської Програми підтримки освіти в галузі
точних наук в Україні.
Видання цієї книги стало можливим завдяки сприянню і
допомозі "Асоціації українських стипендіатів німецької служби
академічних обмінів (ОААО)".
с2202070500-011 щ-гз-ц-И ББк 22. 161.ЄЯ73
224 - 94
© Г.Г.Барановська, 1997.
Передмова.
До написання цього навчального посібника автора
спонукала відсутність у вузівських бібліотеках України достатньої
кількості підручників та навчальних посібників українською мовою
з курсу “Вища математика".
Посібник є збірником прикладів та задач з розділу “Ряди" і
складений у відповідності до програми'курсу вищої математики
для технічних вузів. Він є результатом багаторічного досвіду
роботи автора та його колег на кафедрі вищої математики
Національного технічного університету України “КПГ.
Навчальний посібник містить п'ять розділів: числові ряди,
функціональні ряди; тригонометричні ряду Фур'є, інтеграл та
перетворення Фур’є і завдання розрахункової роботи. В кожному
з розділів приводяться короткі теоретичні відомості, розв'язки
найбільш тилових прикладів, які можна використати для
аудиторної роботи студентів, вправи для самостійної роботи, до
яких даються відповіді. Початок і кінець розв'язання кожного
прикладу позначаються символом а. П'ятий розділ містить
варіанти завдань розрахункової роботи, всього 20 завдань, кожне
з яких має ЗО варіантів. Виконання кожним студентом групи
індивідуального варіанту розрахункової роботи сприятиме
активізації їх , самостійної роботи. Завдання виконуються
студентами частинами - паралельно із вивченням розділу і
перевіряються викладачем, а на завершальному етапі
здійснюється захист типового розрахунку (ТР).
У відомих збірниках завдань ТР С.О. Кузнсцова та
В.Ф. Чудесенко немає завдань з розділів “Ряди Фур'є, інтеграл та
перетворення Фур'є".
Навчальний посібник адресується студентам і викладачам
технічних вузів.
Автор розцінює свою роботу як спробу створення
методичного забезпечення курсу вищої математики українською
мовою І з вдячністю прийме всі зауваження та пропозиції.
. З
Розділ 1. Числові ряди.
§ 1. Загальні поняття.
Вираз £/|+С72називається числовим
Н=1
рядом. Дійсні або комплексні числа
називаються членами ряду, IIп - загальним членом ряду.
Суми перших п членів ря^у 8„ = <7, + С'2-...+Сг„, де
п = 1,2,3,..., називаються л-ми частинними сумами ряду. Якщо
послідовність частинних сум {5„} ряду збіжна і Ііт $„ = 5, то ряд
називається збіжним, а число 8 - його сумою. У протилежному
випадку, якщо ця границя не існує або нескінчена, ряд
називається розбіжним.
Якщо від числового ряду відкинути перші його п членів, то
отриманий ряд гл = і/л+|+(7лч,2+...= називається л-ним
залишком ряду.
Для збіжного ряду 1ітг„=0, а величина = є
абсолютною похибкою від заміни суми всього ряду його л-ою
частинною сумою.
Необхідна ознака збіжності ряду. Якщо числовий ряд
збіжний, то його загальний член прямує до нуля при л-»=о,
тобто Ііт і]п = 0.
Ця ознака дозволяє встановити розбіжність ряду, якщо ІІ„
не прямує до нуля при и -» со. Проте, якщо II „ -> 0 яри п -> ос,
то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.
Критерій Коші. Для збіжності ряду необхідно і
достатньо, щоб для довільного є>0 існував номер такий,
що для всіх л > N і довільного натурального числа т
справджувалася нерівність + ї/„2+.< в.
ДІЇ над рядами вводяться за правилами:
4
1 . = С-сопеі - добуток ряду на сталу;
2 - 2X4 + І.?. = + 1'.)- Ч™3 Ря«®'
з й-ЕК, = ЇМ - К.) - різниця рядів;
4 іу, &, = од+(од + од)+...+№+ОД_,+...+г/л)+---
* добуток рядів за Коші.
5. Часткою двох рядів називається ряд ^С„ такий,
Щ° •££„ • Члени цього ряду можна обчислювати за
формулами
с =Ц с ^я-єл-с2ии-,-...-ся.,и2
1 г/ 2 у1 Г)2 ’ " И
На практиці можна ділити ряд на ряд за правилом ділення
"кутом", як і ділення многочленів.
Основні властивості збіжних рядів.
1. Ряди 'І £€•(/„, де С-сопзІ, збіжні або розбіжні
одночасно.
2. Якщо ряди збіжні і мають відповідно суми 5 та <т,
то ряди + и«) ' ~ Гл) також збіжні і мають відповідно
суми 5 + а і 8-а.
3. У збіжному ряді можна довільно групувати члени, не змінюючи
їх порядку, при цьому збіжність і сума ряду не змінюються.
4. На збіжність ряду не впливає відкидання або приєднання
скінченної кількості членів. Звідси випливає, що ряд і довільний
його залишок збіжні або розбіжні одночасно.
5
Розглянемо основні тили задач із використанням наведених
нижче понять.
. Приклад 1. Дослідимо збіжність геометричного ряду
(нескінченно') геометричної прогресії):
а + ад + ад2+...+адп+..., а?0
П Знайдемо л-у частинну суму ряду
Л'„ ~а + ад+..лаап~' = ------,п = 1,2,...
1-4
Якщо к/І < 1, то існує Нм $„ - Ііт --- -
л-о ] - ([
, тобто ряд
1 -<7
збіжний і його сума 5 - —
1-ї
Якщо ]?| > 1, то Ііт ------- = », ряд розбіжний.
І- д
Якщо 4-І, то ряд має вигляд
а і а+а+...+аї...,5>п =а-п-> <п, при н >», тобто ряд
розбіжний
Якщо 4 = -І, то маємо ряд а-а і-а - и
Послідовність його частинних сум .5', -а,$2 =0,53 =
5’2,(Ч = а,32п = 0,... не має границі, ряд розбіжний.
Отже, геометричний ряд збіжний і має суму — , якщо
1-4
І4І < І, розбіжний, якщо |4| > І. □
Приклад 2. Доведемо за означенням збіжність ряду
«• 4-2" +5Л
£—— і знайдемо його суму.
л=і «О
□ Обчислимо л-у частинну суму ряду:
6
4-2 + 5 ! 4-22+52 ! ! 4-2" + 5" ї 2 ґ 2"|; , 2 у'У
ю + іо1 +"'+ ю" ІГоУю-1 4"чо7 У
Отже, ряд збіжний і його сума 5 = 2. О
Приклад 3. Користуючись критерієм Коші, доведемо
8Іп па
’біЖНІСТЬ ряду У-5—.
»=1 Л
Дослідимо виконання умови критерію Коші. Оцінимо
загальний член ряду
> І5Іп паї 11 11
у,=1——<--------------- =---прип>1. .
п п П(П-\) л~1 п
І оді
1'>ш(л + 1)а 5Іп(и + 2)сґ 8Іп(л + /л)а
। (л + 1)2 (л + 2)3 (л + т)2 І
і 1 ,1111
--- - + ——— +.., + — — - ——— < — — + -——— “~
(л + І)2 (л + 2)2 (л + т) л л + 1 л + 1
І ) ! 1 1^1 1.1
л + 2 л + т-1 л + т п п + т п
для довільного л є N і довільного т є N. Оскільки Ііт ~ = 0, то
для довільного £>0 існує номер = такий, що Уи > N і
ітеії ВИКОНУЄТЬСЯ нерівність |6,я+1+^и+2+-.-+^Я4.ЛІ|<г' За
критерієм Коші даний ряд збіжний. □
7
Приклад 4. Ряд 1 + - + -+--+-+•• називається
2 3 л
гармонічним. Доведемо, що цей ряд розбіжний.
□ І спосіб. За критерієм Коші, якщо існує є > 0 таке, що для
довільного к^ існує п>к і існує пеК, для яких
\0„+і+У„+2+...+Уя+т\>Є' Т<> РЯД розбіжний. Для довільного
к виберемо л = к і т = к.
Тоді 1(7 +1/ +...+(/ ! = □- + —!_+...+А>4.± = 1 то6то
І »»1 М 2Ц і + ] к + і 2к їк 2.
таке є = ->0 існує. Із заперечення критерію Коші випливає
розбіжність ряду.
II спосіб. Скористаємося тим, що в другій важливій границі
1іт(1 + ^ = е члени послідовності <е.
Прологарифмуємо цю нерівність
=> 1п^— < => > 1л(£ +1) - 1п к. Нехай
к = 1,2,...,л, тоді дістанемо:
1>1п2,
К4Р1
в цій нерівності
->1пЗ~1п2,
2
|>1п4-1пЗ,
— > 1п(л +1) - 1л л.
Додамо почленно нерівності: 8„ = 1 + -+--+->Іп(л + 1).
Якщо л —> оо, то Іл(л+ !)-> оо, отже, 8п стає більшою як завгодно
великого числа, тому Ііш 8„ = оо, ряд розбіжний. □
8
Приклад 5. Доведемо збіжність ряду
у------і.____
Й(Зл-2ХЗп + І)
знайдемо його суму.
1 Обмислимо п-ну частинну * суму ряду
'>' = ГЇ + 4?7 + 7ЇЇО+-+ +(^ХЗ» + 0 =| 3аСТ0СЇ“° Р03™Д
І І/Г-2)(3» І-1) ” зСл-2”Зл+ї)| ~
+_!______!_)=
ЗІ 4 4 7 7 10 Зи-2 Зл+Р
'ґі-г-Ц) Ііга5« = Нт^І---Ц1=^
3< Зл + Р «-»® л-»®3к 'Зл+1/ З
< )тже, ряд збіжний і його сума 5 = |. □
Приклад 8. Доведемо збіжність і знайдемо суму ряду
14
49м2 - 70л - 24
14
। Запишемо л-й член ряду у вигляді =------*——--------
49л - 70л - 24
14 ____1
(7л-12Х7л + 2) 7я-12 7л + 2'
І7Л-26 1п - іг) + (?л -19 7л~5^ +
_____к_)_ ІД _1_________1= з !_
І7л-12 1п + 1) 5 2 7л-5 7п + 2 10 7»-5
2 — Г. Г. Варйпокша
9
1 п . С |. ҐЗ 1 і > з в. ,
-------. Звідси 5 = Ііт----------------—- = —, ряд збіжний.
7л+ 2 п-»®\10 7л-5 7л + 2/ і О
Зверніть увагу на періодичність повторення доданків з
протилежними знаками (через кожні два). □
Приклад 7. Доведемо збіжність і знайдемо суму ряду
4л+ІО
„= л(л + 1)(л + 2)
□ Розкладемо и„ 'на суму елементарних дробів:
.. _ 4л+ 10
” = ф + 1Хп + 2) =
л л + 1 л + 2 \л л + 1/ \л + І л + 2>
8 14 18 |~ , 4л+І0
" 1-2-3 + 2-3-4 +л(л + 1(л + 2)
= 5—ї—Д+—і- = 45—і- + —
л+1 2 л+2 л+1 л+2
Сума ряду 5 = Іітґ45—— + ——| = 4.5, ряд збіжний, [і
"-»®\ л + 1 л + V
Приклад 8. Знайдемо л-у частинну суму і суму ряду
Мі-ЛЇ
я=2 V
□ Перетворимо
І/, = 1п(1 - = 1п = |„(„ -1) + 1п(и +1) -
- 21п л = (1п(л -1) - 1п л) - (1п л - Іп(л + 1)).
Тоді $„ = (Іпі - 1п2 + 1п2 - ІПЗ+-..+
10
+ 1п(л-І)-1пи)-(|п2-1пЗ+ІпЗ-Іп 4+...+ ІПЛ-Іп(л+1)) =
- -Іпп-1п2 + 1п(и + 1) = -Іп2 + Іп^^;
П *>
$ = Ііт = Іітґ-1п2 + 1п^—) = — іп 2, ряд збіжний. □
л~*со п—>оо\ П /
Приклад 9. Користуючись необхідною ознакою, доведемо
“ <Зл-2У
розбіжність ряду £ ------ .
' і Знайдемо
|,т —г
є-*»"*1 =е-ї * 0
Ряд розбіжний за необхідною ознакою. □
Приклад 10. Дослідимо на збіжність ряд
у_з__з+з + з+ +_з_+
“Іл + 2“ 3 4 5+’’+л + 2+”’
। Цей ряд дістанемо із гармонічного ряду У-1-, якщо його
л=|Л
домножити на 3 і відкинути перші два члени. Гармонічний ряд
розбіжний (приклад 4), а добуток ряду на число і відкидання
скінченної кількості членів не порушують його розбіжності. Тому
ряд розбіжний. □
Розв'яжіть самоєтійно вправи.
— Знайти 8п і суми 5 рядів:
, „ ІЗ 2" ч- З"
25 5"
2 1-1 + 1_±+... + НГ+...
.3 9 27 3й
11
з. -Г- + -1-+...+-2---------+...
1-3 3-5 (2п-1Х2л + 1)
4. —!— + —'—+•••+--------!-------+•••
2-5-8 5-8-11 (Зл-1Х3« + 2Х3” + 5)
51+± 1 ! 1
4 10 + І8+ +л2+и-2 +
6 12 12 12
П 85 + 36п2-12к-35+’"‘
,44 4
7. — + —(•••-(-т---
5 21 4л2+4л-3
8 14 18 4п +10
' 1-2-3+ 2-3-4 + '+л(л + 0(л + 2) +
9 7 , 8 , , (" + 0 ,
' 1-3-4 2-4-5 л(л + 2)(л + 3)
10. агсі£~ + агс/#~ + - +• -,
11. £(7^2-2^ + ^
13- X
— Користуючись критерієм Коші або необхідною ознакою,
довести розбіжність рядів.
14^л4(2"^)'
• и І « ю ( » \
16. і 17. +3)-іп( 1 + —г і.
Л‘ІуП +2/1 + 2 п®! * л >
і8.і^±1в'. «.пгл+зІЛ^-лІ
п + 3 п «=1 ' /
12
20 ^з" 8іп?Ь-
22. £„(1-00,1).
21. Х~-
П„2ІПЛ
$ 2. ЗнакододатнІ ряди.
Знакододатним називається ряд £{/„ із невід'ємними
П=1
членами У„ > 0, пєИ. Послідовність його частинних сум {5„}
неопадна, тому для збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб
•зона була обмежена зверху: 0< 5і, 5 Л/, лєЛ\ МєН.
Мають місце такі достатні ознаки збіжності знакододатних
рядів.
1. Ознака порівняння. Якщо, починаючи з деякого номера
к, для знакододатних рядів і виконуються нерівності
і) < Ип < У„, п^к, То Із збіжності ряду випливає збіжність
. и = |
ряду £(/„, а із розбіжності ряду випливає розбіжність ряду
"І "=І Л
Ь;.
2. Гранична ознака порівняння. Якщо для знакододатних
рядів £С/„ (С/„#0) І існує скінчена границя
Леї 4*1
ііт = С > 0, то ряди або збіжні, або розбіжні одночасно.
13
3. Ознака Д'Аламбера Якщо для ряду з додатними
членами існує границя Ііт ^^- = 2, то при Леї ряд збіжний,
п-х
при Л > 1 ряд розбіжний, випадок Л = І потребує додаткового
дослідження з використанням інших ознак.
4. Ознака Коші, Якщо для ряду з додатними членами
існує границя Ііт ^/<4 = Л, то при Л < 1 ряд збіжний, при Л > 1 -
розбіжний, випадок Л - 1 потребує додаткового дослідження.
5. Інтегральна ознака Коші. Якщо функція /(л) невід'ємна
і спадає на проміжку (щ-ню), де а £ І, причому /(и) - (/„ для всіх
лєЛІ, то ряд і невласний інтеграл |/(х)<Д збіжні або
розбіжні одночасно.
Зауважимо, що ознакою Д'Аламбера доцільно
користуватися, якщо містить л’ абд показникову функцію а".
Інколи доцільно використовувати формулу Стірлінга:
->/2лп е™а, 0<Й<1.
При використанні ознаки Коші користуються відомими
границями: Ііт ч/а = 1, а>0, 1іт^л = 1. Нагадуємо також, що
л-*« п-ив
показникова функція ал(а>1) при л-»а> зростає швидше
степеневої ла(а>0), а степенева л“(а>0) зростає швидше
логарифмічної функції іпп.
Розглянемо типові приклади.
Приклад 11. Дослідимо на збіжність ряд £ 2" ~зіп .
14
і Оскільки для |.тІ < справедлива нерівність |$іп л| < рг|, то
г, =2”-5Іпі<2".і = я--Н) = Г„. п>1. Ряд збіжний,
2 , „
нк геометричним, у якого ? = -<!. За ознакою порівняння даний
ряд збіжний. □
Приклад 12. Дослідимо на збіжність ряд У
п
Маємо Уя = -+ > 1 = при п>2. Ряд У- розбіжний
П П л«|Л
н армонічний). За ознакою порівнгчня даний ряд розбіжний. □
Приклад 13. Дослідимо на збіжність ряд Діріхле
л=|Л
Якщо а£0, то ряд розбіжний за необхідною ознакою, тому
що и„ не прямує до нуля. Якщо а>0, то функція Дл) = -^-
невід’ємна і спадає на проміжку [!;+«). Невласний Інтеграл £ ~
ібіжний при а>Гі розбіжний при 0<а<1. За інтегральною
• мнакою даний ряд збіжний лри а > 1 І розбіжний при а £ 1. П
В ознаках порівняння рядом Діріхле часто користуються як
« галоном для оцінки порядку мализни і/„ при п ->
’ Зп + 5
Приклад 14. Дослідимо на збіжність ряд У—»—.
л=1л7л + 7
11 У загального члена ряду виділимо головну частину = Д=.
Знайдемо Ііт — = Ііт
* З
= 1*0. Ряд розбіжний
15
(ряд Діріхле, а =
-<1). За граничною ознакою порівняння даний -
рад розбіжний. Г1
. х> І
Приклад 18. Дослідимо на збіжність ряд £----------.
„.і» - Іп п
(1 Виділимо головну частину (А - —-— = -7- , . - - - У„
п-іпп П
при п -> <ю | Ііт-— = 0|. Ряд У- розбіжний. За граничною
\"-»® п / я=1л
ознакою порівняння даний ряд розбіжний. □
Приклад 16. Дослідимо на збіжність ряд £ —.
О Скористаємося
ДАламбера:
,. І 1 ,
- І«т-----— — <і.
ознакою
= Ііт----------
л->хі /ь. і іА*1
1-3-5- -(2п-0
1!п (л + |)л*'
Отже, ряд збіжний. □
Приклад 17- Дослідимо на збіжність ряд У-----------------г.
и,і 2-5-8 --(Зп -1)
□ Скористаємося ознакою ДАламбера: ііт-—г =
Л-°°
1-3-5--{2л-іХ2” + 0-2-5-8--(3« + ‘) 2л + і 2 .
= Ііт------V------£----т------—т------4 = ііт-----= - < і.
«^2.5-8--(3/»-1ХЗл + 2)-1-3-5"(2л-і) -*»Зи + 2 З
Отже, ряд збіжний. □
/ > |\"2
Приклад 18. Дослідимо на збіжність ряд £ .
□ Скористаємося ознакою Коші:
(а±1Г і ґ IV Є
Ііт ?/С/л = Ііт 4 " ' = - ііт 1 + - І = - > І. Отже, ряд розбіжний.
»-♦« я-»» 2 2 я-*®\ п' 2
16
Приклад 19. Дослідимо на збіжність ряд У--—у, к є Я.
я=2п(Іп л)
її Якщо к<0, то ї7_=^^->- = И при п>3, тому ряд
• п п *
розбіжний за ознакою порівняння. Якщо £>0, то функція
, . 1
=-----приймає додати» значення, неперервна » спадає
Л(ІІ1Х)
а проміжку [2, +оо). Скористаємося інтегральною ознакою Коші:
Лх________ ? </(Іпх) ___[__________|оо
1 х(1пТ)* Ч(іПх)‘ =(і-;)(1пхГІ2
-----г----гт при к > І,
(і-І)(1п2)*'
оо при к < І.
* іоо
Якщо к = І, то | —— = Іп|Іп хі = оо.
1 ііхе, при к > І ряд збіжний, при к < і - розбіжний. О
Приклад 20. Дослідимо на збіжність ряд У т-у-^д------•
п=2ІЛ — Зііп п
Оцінимо загальний член ' ряду
5л 5л 5 .. - _ - 5
' ~7~і—і------->_5-----= ~;— = ^„, «^2. Ряд У--------------
ІЛ -31ІПЛ 'П ІПЛ ЛІПИ . ,1=2ЛІПИ
розбіжний (див. приклад 19). За ознакою порівняння даний ряд
розбіжний. □
Приклад 21. Дослідимо на збіжність ряд У ~-ук
яа|И зіп и
_ . . ,, 7л3 +1 л’г 1
। Оцінимо загальний член ряду с/п = -г—5— > —=- = -«• - К
’ и* зіп л л -7и
при л>і. Ряд У ’ розбіжний. За ознакою порівняння даний
я=1’/л
ряд розбіжний. □
Приклад 22. Дослідимо на збіжність ряд £ .
в=і7п5 +3л
З Г. Г. Варашжмв
17
□ Оскільки Іпл<яв при а>0 і /»-->ао, то, починаючи з
,, па 1 в З
деякого номера, £/„< — = -г— = 1„. Досить вибрати а<~,
п 2 п 2 “ ’ 2
щоб ряд — був збіжним. За ознакою порівняння даний ряд
л=1Л 2'°
також збіжний. □
Приклад 23. Дослідимо на збіжність ряд У -~=агсіе- 7-.
ІЇУп 4-У п
И Скористаємося еквівалентністю агсі&к - л при .т--»0, тоді
1 а я я з, 1
- ГГагс1§~ГГ~7зг^г =—“ = при Ряд
Ум 4х/п ІЇМп 4„ б
розбіжний (ряд Діріхле, в якому а = -<]). Даний ряд розбіжний
б
за граничною ознакою порівняння. □
Приклад 24. Дослідимо на збіжність ряд
Виділимо в II„ головну частину: (./„ ~ -- при Ряд
2,— дослідимо на збіжність за ознакою Коші:
— Ііт = — < 1, ряд збіжний. За граничною ознакою
порівняння даний ряд збіжний □
Приклад 25. Дослідимо на збіжність ряд .
□ Легко пересвідчитися в тому, що ознаки Д Аламбера і Коші
дають Я = 1, Скористаємося формулою Стірлінга
ПІ-'—у/іЛП, п
Ряд
тоді
розбіжний за граничною ознакою порівняння, із
Приклад 26. Користуючись збіжністю відповідного ряду,
. Р (2”)!! А '
‘доведемо, що ппі —— = 0.
п->> у
18
Нагадаємо, що (2л)!!=2-4'6. (2л+ !)!.'= 1-3-5. •_•(2л + 1).
. ® (2л)!!
Розглянемо числовий ряд £*—Застосуємо до ряду
и , (2л+2)!«/ . (2л+2)
□знаку Д’Аламбера: Ііт—2іі = Іілі1—--------= Ііт---гд г~ =0<1,
*-** я-*»3("+»Г ,(2л)!! "*" З
««скільки при п -+ оо степенева функція 2л + 2 зростає повільніше
показникової’ З2"4’. Отже, ряд збіжний За необхідною ознакою
(2п)!І
збіжності СІ„ -> 0 при п -> оо, тобто Ііт1= 0, що і треба було
довести. П
Розв'яжіть самостійно вправи.
• Дослідити на збіжність ряди:
» 1 п?іл(л + 5) 24 ^ТТ-ГТІ- П=1<М +>/л + 2
?5 + . л> 1 2е^.
21 £(3л + 2)(е!" 1) . “1 ‘1 28. £ -агс^зт^ я=і п +1 </л +1
29 №. П=2 уІП £ 1п п
_ “ І2п3+І 31. — »=1 V л 32
зз- л>| '/Л 34.'п:+зу
® 1 35. УЗ,'агс5Іп—. 4” 3\?,^Л'
м-.?М
19
39 у7 І31М6" + І) 40. ^: 'И. я —1 пі
- ЇШ 42 у£2М’ (3„)!
43. ХСО5~- н--| п 44. 2^1“-
«• хЛтт И=іїи +5 46. X ‘ (ТлТЇ-Тл).
47. + 2л + 3-/п2 + п +1 «=іл' ® „з 49. л=і2" І. 4В. У 1 1 ,и(3п -2X4 » + 5) 50. і ,> = !« Т3л+ 1
51 л«| П се / „ Ч2”*' 5\?ш • 52. У---. я^З-Л» ил Г ,,Л ' »?2" +3”'
55. М 2” 57. п=1УІГГ 56. 58 V । 5 9 -(4»-3) ' ,ч3.«.|3.. (5п-2
59. Я^3п+І/ ел 1 60. £— . 1>’2Л2 ІПЛ + ^ІП2 11
—Користуючись збіжністю справедливість таких границь: відповідного ряду,
61. Ііт-2”"' = 0. «-*» Пп в„ 1-3-5...(2л-П л 63. Ііт - = 0. "-** 3”л! 62. Ііт - - І). и-»се п 1 64. Ііт ’-’-і— - 0. С-ІІ У
довести
20
г-5. Ііт —= 0. 66. Ііт = 0.
«**(«!) "‘г п
§3. Знахозмінні ряди.
Знакозмінними називаються ряди, члени яких можуть мати
довільні знаки. До таких рядів, зокрема, належить ряд
' , -и2 > (У, - І-.', +.1)" Х(- І)" 'и„, де У„ > 0, знаки
П=І
«ненів якого чергуються.
Теорема Лейбніца. Якщо в числовому ряді:
і знаки членів чергуються,
члени дійсні і монотонно спадають (7, > І72 >...>£/„ > С/„4І >...,
1 Іііп(/Й =0,
' > такий ряд збіжний і його сума не перевищує першого члена
Ряди, для яких виконуються умови теореми, називаються
і'ідами Лейбніца.
Зауваження.. Якщо в наближених обчислення? суму ряду
и-'йбніца замінити л-ою частинною сумою, то абсолютна похибка
по перевищує модуля першого з членів, що відкидається, тобто
= [5 - 5Л| < |(/Л4||, п = 1.2,3,.... Знак гп співпадає зі знаком, що
юїть перед Ь'„^.
Для числових рядів з додатними членами, які
вдовольняють умови Інтегральної ознаки Коші, для и-го залишку
при и>Х ' справедливі оцінки гп <
і < г„ < (7,,„ + /Дл)А, де /(л) = и„.
Означення. Зиакозмінний ряд £(7И називається абсолютно
збіжним, якщо збігається ряд, складений із модулів його членів
21
Якщо знакозмінний ряд збіжний, а ряд
складений з'модулів його членів, розбіжний, то ряд
л І
називається умовно (або не абсолютно) збіжним.
Теорема. Якщо ряд із модулів членів збіжний, то і
знакозмінний ряд £С/„ також збіжний.
Для абсолютно збіжних рядів виконуються, крім наведених
вище властивостей збіжних рядів, ще такі властиаості-
1. Якщо ряд збіжний абсолютно, то члени його можна
переставляти довільним способом, при цьому дістанемо знову
абсолютно збіжний ряд, сума якого не зміниться;
2 Якщо ряди УС/„ і збіжні абсолютно, то їх добуток за
Коші є також абсолютно збіжний ряд.
Зауважимо, що умовно збіжні ряди переставної властивості
не мають. Більше того, для них справедлива теорема Рімана:
переставляючи члени в умовно збіжному ряді, можна зробити
його суму рівною довільному наперед заданому числу або ж
зробити ряд розбіжним.
Дослідження знакозмінних рядів на абсолютну або умовну
збіжність здійснюється за таким алгоритмом:
1. якщо Ііпі|(7„| * 11 то ряд розбіжний за необхідною ознакою,
інакше до п.2;
2 якщо ряд У |С'„| - збіжний, то даний ряд збігається абсолютно,
інакше до п. 3;
З якщо ряд є рядом Лейбніца, то він збігається умовно
ч-і
Зауваження. Якщо знаходження Іігп £/„ викликає труднощі,
то в деяких задачах доцільно спочатку виконати п 2. Якщо при
22
використанні ознак Д'Аламбера або Коші виявиться, що'
=о0 або Ііт «/!(/„! = », то Ііт 1/„ * 0 і ряд розбіжний
>-г| 11п | "-»» у ‘
Розглянемо приклади розв'язання основних типів задач.
Приклад 27. Дослідимо на збіжність знакозмінний ряд
До ряду із модулів членів даного ряду застосуємо
оінаку Д'Аламбера: Ііт~~ = Ііт— = 0<1. Ряд із
N "^(л + І)! 5"
модулів збіжний, тому даний ряд збіжний абсолютно. О
Приклад 28. Дослідимо на збіжність знакозмінний ряд
п-
л-І «
Маємо ІІт|С/„| = Ііт = 1 * 0. Ряд розбіжний за
'обхідною ознакою. □
Приклад 29. Дослідимо на збіжність знакозмінний ряд
уГУ
Маємо Ііт = 0. Ряд із модулів даного
ряяу
розбіжний (ряд Діріхле, в якому а-^<1). Даний
Лейбніца: знаки членів в ньому чергуються,
. і <
монотонно спадають 1 > > ••• > >
У2 ул
Отже, даний ряд збігається умовно. □
Приклад ЗО. Дослідимо на збіжність знакозмінний ряд
у ьіпяа
ряд є рядом
члени ряду
, крім того, 1іт|і/„|= 0.
23
£1 Оцінимо загальний член ряду, складеного із модулів:
,,, , іьіппаї 1 л 1
\и„ - ----, < - - — ~1' пє^. Ряд У---------- збіжний, як
1 " (ІпІО) (ІпІО) ” Лі(іпіО)”
геометричний ряд (<?-—-<1) Ряд із модулів збіжний за
' ІпІО 7
ознакою порівняння, тому даний ряд збіжний абсолютно із
Приклад 31. Обчислимо наближено суму ряду > ----------, з
“(»’ * І)’
ТОЧНІСТЮ £ - 0001.
Н Оскільки =«еЛ, то даний ряд
(,Ч) »
збігається абсолютно Зауважимо, що соз нп -{ \)“, тому знаки
членів чергуються, члени ряду монотонно спадають
' І Ііт——Отже, це ряд
4 81 („ і і) ’
Лейбніца. Абсолютна похибка від заміни суми ряду його л-ю
частинною сумою не перевищує модуля першого з членів, що
відкидається |гл| = |5-$л|< £ є. Підбираємо значення п для
якого------• < 0.001. Якщо и = 2, то 0.001, якщо
((лИ)3+|)2 283 784
п = 3, то —2 = < 0.001. Тому достатньо взяти три члени
ряду:
5’^-1 г ------Ь = -0.2500 + 0.0123-0.0012 = -02389 = 0.239.
4 81 784
(Проміжні обчислення потрібно виконувати з однією заласною
цифрою) Зауважимо, що г3 >0, тому 5 > -0.239 гі
24
Приклад 32. Обчислимо наближено суму ряду
. (я 'і
ьіпі - +пгИ
\ ——і—, обмежившись трьома його членами (я-3).
< цінимо абсолютну похибку.
Модулі членів даного ряду оцінимо членами збіжного ряду
іоінака ДАламбера). ——-=ИП, пе^. Даний ряд
мгається абсолютно. Крім того, + ля) = созшт = (-!)",
иіаки членів чергуються. Це ряд Лейбніца. Оцінимо абсолютну
І. 'Хибку суми при л - 3: = |5 - 53| = < 10\
І ІКИМ чином,
-с -1 + ----- = -0.3333 + 0.0555 - 0.0062 = -0.2840 « -0.284.
З 18 162
ілдповіді залишасмотри десяткові знаки. □
со І
Приклад 33. Для ряду визначимо, яку найменшу
п=| Л
। інькість членів треба взяти, щоб абсолютна похибка від заміни
< /ми 5 л-ою частинною сумою не перевищувала £-10 3.
Ряд з додатними членами задовольняє умови інтегральної
наки Коші, тому
-Ц - Х„| < = Т* = -і|" = і Й 1°Звідси п > 10і..
Оцінити г„ можна (таким способом: г----------; *-----, і
(л+1)2 (л,2)2
____1___+_______і____+ =_і________1_+^______і_+ =_г.
(п+1Х«+2) (л+2)(н+3) и+1 п+2 п+2 п-3 и+і’
< 1__________£____= 1 і | 1___________________1 =Ч
л(л + 1) (я+ !)(/»+2) п л + 1 м + 1 п-2 п
< — Г Г. Барановськд
25
Приклад 34. Для ряду £ - визначимо, яку найменшу
кількість членів треба взяти, щоб обчислити наближено його суму
з точністю Е~ 10*’.
□ Цей ряд з Додатними членами збіжний (ознака Д'Аламбера),
проте скористатися інтегральною оцінкою гп неможливо. Оцінимо
г„ геометричним рядом
= 1 1 »
Г" (л + І)!+(л + 2)Ґ (я + 3)! +
1 ҐГ1 1 ( 1_____+ (ь !_<. '-ьХ
(л + 1)!І п + 2 (л + 2)(л-*-3) 7 ("+І)\ (м + 2)2 * )
= ______________
(п+І)і(1-пЬ) (" + 1)(»+1)
ЯКЩО Я = 5, ТО ;-^7-----и -2— > |о \
(я+1)<,м 1) 4320
Якщо И = 6. ТО ;--------г = — = —— < Ю’.
(п + І)^ + 1) 717 4410
Отже, для досягнення заданої точності досить взяти 6 членів
ряду. □
Розв'яжіть самостійно вправи.
— Дослідити ряди на абсолютну або умовну збіжність
68
И.-І З 1 н
70.
(2»)1
«. Й-і)”1 п-- -
„І 1п(л + 1)
(, 1 'і 8Іп па
74. ЕіпІ І + г^ --------.
„,І \ Ми-1 п
26
+1 « і е|,/1+н):. „.ЛЗіг+з \ п ) „і лН п* - Іп п ІМГ‘^7- п=| 3 і Н£_. №Ії/и3 +1 +5ТП2 п - £ЬГ ,,-і Чп л-1 ну £^3-. ЛІ2" + л 76 ,“,л|і>г(я + 0 78 пИ Л 80. £ • 11 ^іліп(л + 2) 82 І(- л = І Л м £(-1)""««-’ и=і Зп в°>'Г2^ґ 88 П-1)"” р 9° І( І)” 'Д. Л=1 5л-6
Обчислити суми рядів > точністю е. Вказати найменшу
/(остатню кількість членів ряду: - -0 >. л=і 5л в зщИ + л*) .? 5.ЯІ ’ ^‘в1- Я=1 п -III іМ)"- £’ш'- л=(Г' І' в2. £"її^, П«> 5 И- «=о(л + 1) 96 Мт^Гг’ ‘=10,• „~(2л +1)11
27
99 І
1___
(2л-1)!’
£= ІО'3.
£=ІО
100 <>"’
§4. Числові ряди з комплексними членами.
Цпя ПОСЛІДОВНОСТІ комплексних чисел де
7„ = а„ + іЬ„, число 20 = а + іЬ називається границею при п - > оо,
якщо ДЛЯ ДОВІЛЬНОГО £>0 Існує Л;(£'), що для ВСІХ П > Л'(£-)
виконується нерівність |7„ -20\<е.
Для існування границі 1іт2п = 20 необхідно і достатньо,
щоб існували границі Ііт а„ = а і Ііт Ь„ = Ь.
Ряд із комплексних чисел називається збіжним, якщо
існує скінченна границя послідовності його частинних сум ,
де 8„ = 2| + +... + 2„ = , тобто існує
Ііт 8„ = 8 - а+ іЬ. Якщо границя не існує, то ряд
називається розбіжним.
Теорема. Для того, щоб ряд був збіжним і мав суму
»=і
8 = а + іЬ, необхідно і достатньо, щоб ряди і V/?,, були
збіжні і мали відповідно суми а та Ь.
Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається
ряд £|7„|, утворений Із модулів його членів. Якщо ряд ^7„
л = І (1-І
збігається, а ряд £|7„| розбіжний, то ряд називається
умовно збіжним.
28
Теорема. Якщо ряд збіжний, то збіжний і ряд £7„
Приклад 35. Доведемо збіжність і знайдемо суму ряду
Ряди з дійсними членами і збіжні як геометричні
' регресії і їх суми відповідно дорівнюють
-. Тому даний ряд з комплексними членами збіжний
і'їсолютно і його сума 8 = а + іЬ = - + і~. □
2 4
Приклад Зв. Доведемо збіжність і знайдемо суму ряду
п~о 2"
Даний ряд є геометричним із знаменником д = причому
2
-- =-д < 1. Отже, він збіжний Обчислимо його суму:
Гі
1-у 2
* п
Приклад 37. Дослідимо на збіжність ряд У ~.
я=і7л + ш
Знайдемо Ііт 7.п = Ііт —= Ііт -—г='*0. Ряд
л-»® »-»х -ул + ІІІ ЛІ + п і
розбіжний за необхідною ознакою. п
Приклад 38. Дослідимо на абсолютну або умовну збіжність
29
□ Застосуємо ознаку Коші до ряду із модулів членів:
Ііт г/ІгД = Ііт >Гп - — < І. Отже, ряд збіжний
п-^> * п-**> З 3 3
абсолютно. О
Приклад 39. Дослідимо на абсолютну або умовну збіжність
Л н"
Р«А —її-
»»!«! (е-/)
□ Застосуємо до ряду із модулів £|2„| ознаку Д Аламбера:
|іт =Ііт - г-і- с=1іт й:
•-»“ (2„| +1)’.|е - і} п" |е-»1 |е-і| уІє2 +1
Ряд збіжний абсолютно. П
Приклад 40. Дослідимо на абсолютну або умовну збіжність
ряд
и=і«
□ Ряд із модулів £Х,|=£- розбіжний, бо це гармонічний
ряд. Скористаємося тим, що |/| = І, агві = —, тому
П . . X пх . пх „ .
1= СОЗ- +18ІПЗВІДСИ І =0)8—4/3411 у. Крім ТОГО,
ПЖ і , пх ,,
СО5у=(-1) , ЯКЩО п = 2к і СОЗ-у = 0,
Аналогічно маємо, що віл у = ('-!)*“,
якщо п • непарне.
якщо п = 2к - 1, і
ПЛ п . .
8ш-у = 0, якщо п = 2к.
Даний ряд запишемо у вигляді суми рядів з дійсними членами
7'1= у соз^ .« $іпДК » (-1)* * (- 1)*и
п=. и +Д п 2к +'£і2і-ґ
ЗО
• (-іу <* (-П
Числові ряди , ' ї Збіжні умовно, бо це ряди
2к *=і 2А -1
ііейбніца. Отже, даний ряд збігається умовно. □
Виконайте самостійно вправи.
Дослідити ряди на абсолютну або умовну збіжність:
ки „н 3я Ц]? ^-С05 Н + /5ІПЛ о-І П їм , „т,1 (і+>)•»+з; Вказівка: $іп/л = - — . 2і 103 І 7^- я=і7« + / Ю5. л=і г.
Розділ 2. Функціональні ряди.
Збіжність і рівномірна збіжність функціонального ряду.
Нехай функції 1/и(х), н є визначені в області О.
нчраз (/](л) + (/2(л)+...+1/и(л)+...= £і/„(л) називається
Функціональним рядом Якщо яри х = х0єО числовий ряд
^(/„(т0) ібіжннй, то функціональний ряд називається збіжним в точці
ь, Множина А’сО всіх значень х, при яких функціональний ряд
ібіжннй, називається областю його збіжності. Ряд ££/„(*)
іквнваєгься абсолютно збіжним на множині X, якщо на цій множині
ібіжннй ряд £|</я(т)|.
31
Функції 5„(х) = ї/((х)+ ї/2(т)ь...+Ул(х). п-1,2,2,....
називаються л-ми частинними сумами ряду. Ряд
гл(.т) = Цн1(л) + Т7п<2(т) і ... називається п-м залишком ряду
Функціональний ряд УЦ>(-Г) називається збіжним на множині
V до функції 5(т), якщо на цій множині послідовність його
частинних сум {б’„(л)| збігається до 5(х). Це означає, що для
довільного 4>0 і л є X 3 такий, щодня всіх п>Х(£,х)
виконується нерівність |гДх)| — |Ь’(х) — < £
Зауважимо, що для кожного х е X існує свій номер М(£, х)
Така збіжність функціонального ряду називається точковою
Сума ряду 5'(ї);- £^»(А) визначена в області його збіжності
«=і
Д .
Для знаходження області абсолютної збіжності
функціонального ряду користуються достатніми ознаками збіжності
числових рядів (при цьому х вважається фіксованим). Наприклад,
за ознаками Д'Аламбера або Коші, якщо Ііт —’гу = -С') або
--Цх), то область збіжності знаходимо із нерівності
л(х)<і. В точках, для яких Я(х) = І, проводяться додаткові
дослідження.
Приклад 1. Мають місце рівності
ІтЛ...+Г+.. =р_, ле(
І-л >/-...+(-І)"х"+...= г±? хе(-І;І)
І і Дійсна, обидва ряди визначені при ВСІХ х єй, це геометричні
прогресії із знаменником відповідно д = х та ц-~х. Тому ці ряди
збігаються абсолютно при всіх х, для яких |і/| = |х| < І. □
32
Приклад'2. Знайдемо область збіжності ряду •
* ЛІХІ
Ряд визначений на множині /і. До ряду із модулів У,™
- л=і &
(л+іЦлі^”1 І
іастосусмо ознаку Д'Аламбера: Л(л)= ІітА-!—Ряд
Л--.Х *Д" ''*и|х| ег
ч-ігаеться абсолютно, якщо —-<1, тобто при х^О.
е1
і переконуємося, що при х = 0 ряд збіжний. Отже, область збіжності
\ -[0,+ю). □
Приклад 3. Знайдемо область збіжності ряду
,"£У'(ї"(2л)
£, Л -
Ряд визначений на множині X є2. До ряду із
х 4-3"} •І^/'(2х)!
-одулів У------------7=----1 застосуємо ознаку Коші:
«Ті V»
І|/д2х|<1. звідси -^««2зг<^, <‘(р2 'її’2*)’ кєІ'
Додатково досліджуємо кінцеві точки інтервалів. При х = -~ +
* (-1)4
дістанемо числовий ряд , який збігається умовно як* ряд -
иойбніца. При х = ^ + 4^ числовий ряд розбіжний. Таким
чином, даний ряд збігається на нескінченній множині інтервалів
^ = Й-Ї2 + ^’’и + ^) ^є2}' в ус“ їх ВНУТР‘ШН’Х точках ряд
збігається абсолютно. □
’ - Г Г. Барммсма
33
» 1
Приклад 4. Знайдемо область збіжності ряду £ -
„и 1п"(л -1)
□ Ряд визначений при х е(І;2)и(2;чда). Застосуємо ознаку Коші
до ряяу АМ=-Зв|дси
|І!і(.т-1)| > 1. Ця нерівність має розв'язки: л є^І;1 + ^с'(1 + е;+оо).
Дослідимо окремо точки, в яких Я(л)=І. Значенню л = 1>^
» ।
відповідає розбіжний числовий ряд £------------. Якщо л = 1 + е, то
,,=і(-1)
числовий ряд £1 також розбіжний.
п=1
Таким чином, даний ряд збігається абсолютно на множині
Приклад 5. Знайдемо область збіжності ряду у л" • п\.
л=0
О Ряд визначений при всіх л ей. До ряду £|л|" -пі застосуємо
и=0
. р+1 (и + ҐП
ознаку Д'Аламбера: Ійп —-----------
Ілі -лі
= |л| 1ІП1 (л + 1) = ОО, якщо л*0.
Отже, ряд збіжний лише 8 одній точці Л = 0. □
а, 1
Приклад 6. Знайдемо область збіжності ряду У---------------—.
„ )Л4 І + 81ПЛ
□ Ряд визначений при всіх лей. Оскільки Ц,(л)=-----;—й----
л+Ічяпл л+2
при всіх л єй, то ряд розбіжний при всіх л за ознакою порівняння,
тобто область його збіжності X = 0. □
” 1
Приклад 7. Знайдемо область збіжності ряду £•—
34
Ряд визначений на множині Я\(-і) Якщо то
ііпіЦ(х) * 0, ряд розбіжний за необхідною ознакою. При |т| >1 за
<знакою Коші дістанемо Я(х)= Ііт= Д< І. Отже, ряд
™ <і/М N
юіжний абсолютно на множині А' = (-со;-])о(І;-ю>). її
Функціональний ряд У.збіжний на множині А',
п=І
називається рівномірно збіжним на X до функції 5(х), якщо для
цивільного г'>0 існує номер Л'(<ь) не залежний від х, такий, що
дня всіх п>Х(£), та всіх хєХ виконується нерівність
І, (х)| = |5'„(л)-5(х)|< е. У випадку рівномірної збіжності
। - іристуються записом 8„(х) ф 8(х) на множині X.
Теорема Вейєрштрасса. Функціональний ряд £У„(х)
солютно і рівномірно збігається на множині X, якщо існує
Ніжний числовий ряд з додатними членами %а„-такий, що для
। и їх х є X, починаючи з деякого номера п0, мають місце нерівності
і ,(х]-<а„, пїп0> хєХ.
г>ід називається мажорантним для ряду £{/„(*).
Якщо для функціонального ряду можна довести його
рівномірну збіжність на X за ознакою Вейєрштрасса, то -ряд
називається правильно збіжним в області X. Зауважимо, що не
всякий рівномірно збіжний ряд буде правильно збіжним. Також не
всякий рівномірно збіжний на X ряд буде абсолютно збіжним.
Критерій Коші рівномірної збіжності ряду. Ряд £ї/„(л)
и = |
рівномірно збіжний на множині X тоді і тільки тоді, якщо для
довільного £>0 існує М(е), незалежний від х, такий, що для всіх
н>Х(є] і довільного тєії нерівність
35
ІУ,,, „(л) - У,(.т)| = )Ц, ц(л)+. • -+Ц-1 т(л)( < £ виконується для всіх
хєХ.
Якщо умова Коші не виконується, а саме
Зк > 0 V л0 еN 3 я > л(, ЗнієМ і знайдеться л єЛ', для якого
то ряд збігається на V нерівномірно. Зокрема,
якщо Зг^ОіЗ/ірєГС такі, що Уп>гі„ знайдеться послідовність
хп є X така, що > с, то ряд збігається на Л‘ нерівномірно
Розглянемо приклади розв'язання типових задач, пов'язаних з
рівномірною збіжністю ряду.
Приклад 8. Користуючись означенням, доведемо рівномірну
* І)"
збіжність ряду і—на всій числовій осі
и-.| Н + .X
П Ряд визначений при всіх х є /? і є рядом Лейбніца Оцінимо л-й
залишок: р;,(т)|<|С'п+|(л)[ = —-—2- <—< с для всіх \ є/С і для
п > Х(є) = --1} Тому ряд збігається рівномірно при всіх лє/?
Оскільки ІЦ,(х)І =•- —--- - - при всіх л є 1< і п - > а-, то ряд
П + Х п „ І
розбіжний. Отже, даний ряд збігається рівномірно, але не
абсолютно. □
Приклад 9. Користуючись означенням, доведемо рівномірну
°° 1
збіжність ряду У-----— - на проміжку .¥=[(). <-/-)
„,,(% + п)(х мі + І)
□ На множині X ряд визначений. Знайдемо його л-у частинну
суму
Л"м=(г+іх7; 2)+;?)(.,+1) і)г
1111 І І І І
—-------1.-----+ ••-*- — - — - —
Х + 1 Х + 2 Х + 2 Л-3 ЛПІ ЛгПЧІ Л4| Л4/л І
Сума ряду 8(л)= Ііт 5„(л)= -і
а п-й залишок
36
1 ( її) - ^„(л)! =-------при всіх л є[();+т),
л + п +1 п + І 1 '
к іинаючи з номера Л'(л) = р--і|
За означенням ряд збігається рівномірно на [(); ю.)
і наковуючи, що 1/я(л)~-^ при и->°о, даний ряд збігається і
і1 .'олютно на множині [0;ню]. □
Приклад 10. Користуючись критерієм Коші, доведемо, що ряд
з
'-т- збігається нерівномірно на множині X = (І.+<х>).
п-Лп 1 '
Ряд визначений для всіх лєЯ і збігається абсолютно на
। "і іжині /? за граничною ознакою порівняння: 0<|<7„(л)) - -~==
- • п. Виберемо х-хп=4нєХ,
при
ТОДІ
- N Г'п(г„) = агсіді = % * 0. Таким чином досить вибрати
< д , як для всіх я є N існує послідовність X = х„' = -Ул Є X, для
। / > £•, тобто умова критерію Коші не виконується. Ряд
•зється нерівномірно. П
Приклад 11. Користуючись означенням, доведемо рівномірну
юність ряду У(-1)"- * .. на відрізку [0;І]. Визначимо, при
П’І УІП-6
і п абсолютна величина залишкового члена ряду не перевищує
" І для всіх т є[0;і].
Якщо л>0, то ряд є рядом Лейбніца. Його п-й залишок за
ч лулем не перевищує тобто ДЛЯ всіх 0с.т<1
і у); <!(./,,,(х)І= , - , 1 <є, починаючи з
^(л + І)3.-6 ^/(л + І)3-6
д' лкого номера, оскільки .. .4. *, -> 0 при п -> а>.
37
Якщо х~0, то ряд також збіжний. Згідно з означенням ряд
збігається рівномірно на [0;1] Покладемо а = 0.1, тоді
Іг„(х)| <-7=^=1---~=^ < 01, якщо и>Ю.Отже, досить взяти 10 членів
ряду, щоб похибка при обчисленні суми ряду у довільній точці
х е[0;і] не перевищувала 0.1. □
Приклад 12. Користуючись ознакою Вейєрштрасса, дослідимо
ОО
на рівномірну збіжність ряд •
II Ряд визначений при всіх хе Я. Знайдемо область його
збіжності за ознакою Коші: Л(х) = Ііпіці— = < І, л>0 Якщо
л-0, то ряд збіжний. Отже, область збіжності X =[0;+оо).
Підберемо мажорантний числовий ряд:
е лх2), ІУ'„(х)- 0, якщо х = | або х - 0, при х = -
І'п(х) має максимуми. Отже, 0<С\,(.х)<Л7„[-) =~4— при нєЛ' і
\н/
4е 2
х є[0;+со). Мажорантний числовий ряд £—збіжний.
За ознакою Вейєрштрасса даний ряд збігається абсолютно і
рівномірно на множині X. □
„ „ л(я’-л)со82 пх Гл ,
Приклад 13. Для ряду ,......— на відрізку [0;я]
№ Ул’+1
знайдемо мажорантний числовий ряд.
О Якщо л ьН);я|, то -, < 'Т ‘'ч,, « = 1,2,3,...
^л7 + 1 и'4
Ряд збіжний Це шуканий мажорантний ряд. За ознакою
п = 1Н 4
Вейєрштрасса даний функціональний ряд збігається рівномірно на
відрізку [0; я]. П
за
Приклад 14. Дослідимо на рівномірну збіжність ряд
Даний ряд збігається абсолютно (див. приклад 2) на множині
\ =[0;4оо). Щоб відшукати можливий мажорантний ряд знайдемо
Л ті-хп)
И„\х)= , при переході через критичні точки
> =- похідна змінює знак з "+" на тобто х„=-єХ - точки
п я
максимуму С/„(л). Проте = Тому мажорантного
числового ряду не існує, за критерієм Коші ряд збігається
'"‘рівномірно на множині X. □
Розв'яжіть самостійно вправи.
Знайти області збіжності рядів:
Дослідити на рівномірну збіжність ряди у вказаній області:
£8ІПЛ2Х _ , «є'”**1
116 £--------- хєя 117. У------, хеН.
*=і п „=і л!
1,9
л=і і+Я X
- 2 < х < -кю.
39
о, -.2
120
л=11 + /І х
122. £ ге(О,2]
»-і \п*+5
§2. Степеневі ряди.
Степеневим рядом за степенями х називаєтеся функціональний
ряд с0 +с,х іс,х!+...+с„л"+...= £с„х", де с, е« (/ = 0,1,2,...) -
коефіцієнти ряду.
Теорема Абеля Якщо степеневий ряд Ус„х" збіжний при
/І=о
х - х0 * 0, то він абсолютно збіжний при всіх значеннях х, для яких
|х|<|т0|. Якщо при Л' = Х) степеневий ряд розбіжний, то він
розбіжний І при ВСІХ X , ДЛЯ ЯКИХ |.\* > їх,|.
Із теореми Абеля випливає, що існує число 0</?<+», для
якого при |х| < Я степеневий ряд абсолютно збіжний, а при І.т| > Я •
розбіжний.
Інтервал (- Я; Я) називається інтервалом збіжності
степеневого ряду, а число Я • радіусом збіжності ряду.
Радіус збіжності можна обчислювати за формулами:
Я = Ііт —-І, або Я =-----1 д-/—•.
я^спнІ
Збіжність степеневого ряду на кінцях інтервалу х = ± Я
досліджується для кожного ряду додатково.
Зауважимо, що коли нескінченна множина коефіцієнтів ряду
рівна нулеві, то користуватися наведеними формулами для
знаходження Я не можна. Для таких рядів застосовують
безпосередньо ознаки Д'Аламбера або Коші.
40
Степеневий ряд за степенями х - а :
с„ + с1(х-а) + с2(л-о)!+...+ с„и-«)"+...= £<•„(» -<і)“
«=0
п мається на інтервалі (а - Я; а -і К). Радіус інтервалу збіжності
11' ізолюється за такими ж формулами.
Теорема. Степеневий ряд рівномірно збігається на кожному
ііщрізку [- г;г], який належить його інтервалу збіжності (- Я; Я).
Дії над степеневими рядами IX(*-«)" і £Ьп(х~а)п в
,,=<!
і . і ній внутрішній точці їх спільного інтервалу збіжності
11, ионюються за правилами:
1 = ї(<аи„+Л,Х*-о)”, «,РєК',
.1-0 л=0 л-в
‘і л=і) гіН)
" “оі>п + ^А-і+---+«А;
'цілення рядів Іап(х - а)"/ - а)” = £с„(х а)"
и=О І л=0 П‘0
можна виконувати діленням "кутом", методом неозначених
<сфіціеитів £<.,(-> а)" = £ і„(х “Ї Х - “)" або
обчислювати коефіцієнти с„ за рекурентними формулами:
(,у с _ а\ - с<& ' _ ап ~с^п~сФп-\~'--~сп-}\
V ' ь, '' ’ " * ь„
Приклад 1 б. Знайдемо область збіжності ряду У------.
11 Знайдемо радіус інтервалу збіжності ряду
. , |с. І , (« + 1Х" + І)І (л + 1)2 .. ' .
А' І1Ш ——-І = ІІП1 -----~= Ііт------і- = со. Отже, ряд збіжний
,‘_**ІСп+ІІ л->л п'п' "*“ И
Н.І всій числовій осі. □
6 — Г. Г. Баранохька
41
Приклад 16. Знайдемо область збіжності ряду X -
□ Знайдемо радіус
Я =---Ц_ =------т-Т- = 2
і™'»!",1
(1-2; 3 + 2), Тобто (І; 5).
Інтервалу збіжності ряд>
Ряд збіжний на інтервал
В точці х -1 числовий ряд
ж(-І)”-2'' «Ґ-1Г
зб’жний абсолютно. В точці х =5 мисловиі
„н 2 п п=і л
оо 2" * 1
ряд У-—і-=У—5- збіжний абсолютно. Таким чином, числовий
пм2"-л2 ~іП2
ряд збігається на відрізку {(; 5]. □
ч Приклад 17. Знайдемо область збіжності степеневого ряду
Хг’-г2.
Л=1
П Оскільки нескінченна множина коефіцієнтів ряду рівна нулеві
то використання формул для обчислення Я неможливе. За ознакою
Коші ІІт^Зп^\х^ =Нт|Зх|'’ = 0<1 у випадку, якщо |3.г[<1, ряд
збігається абсолютно на інтервалі В граничних точках
інтервалу ряд розбіжний за необхідною ознакою. □
Приклад 18. Перемножимо ряди і £(и4І) лп. ।
л = 0 гг=О
О Обидва ряди збігаються при те(-|;1). Користуючись
формулою с„ = а$Ь„ +а1і)„_і+...+а„Ь0 (п = 0,1, 2,...), дістанемо
(1 + і + х1 + т’+...+х"+...) (1 + їх + Зл2 + 4т’ +...+(п І 1)т” +..,) =
= 1 +'(2 +І> + (3 + 2 + І)т2+.,.+((л + І)+ п + (п- І)+.,.+ і)т"+.„ т
= і+Зх+6л:2+...+ ‘ЇЙІІ’(„+1)т"+...= 1ЙлИ)^ + 2)+". ле(-|; І).
2 2„-о
□
42
Прикладів. Розділимо ряд £(л + 1Х» + 2Х'Н 3)і" наряд
Обидва ряди збіжні при х є(-І;І). Виконаємо ділення рядів
методом неозначених коефіцієнтів.
Нехай £(„ + іХл + 2)(л + 3)Є / Ь' = Ь,Л"
л«0 / л-<1
Тоді Х(п + 1)(п + 2)(п П)Г » £>" Ь„л-, або
л=0 л-0 п-І)
24Х + 60Х1 + 12Ох’+...+(» + 1)(» - 2)(„
Зрівнюємо коефіцієнти при однакових степенях .V в обох
11, тинах тотожності: си = 6, сц + Г| =24, звідси
18, с2 +С) +с0 = 60, звідси с2 = 36....,
, н с„_2+... + си = п(п + 1)(п -+ 2),
1'„-і+-- +с'о =(л + іХл + 2Хи + 3), звідси
- (н + ЇХ» + 2Х» + 3) - н(п + іХл 2) - 3(« + IXм г А
і іким чином, часткою цих рядів є ряд
<• । 18х + 36х2 + 60х3+...+3(н + ІХ« + 2)х"»...= 3£(п + ІХ« * 2)гл,
пий збігається при х е (- 1; 0)0(0; 1). □
Вправи для самостійної роботи.
Знайти області збіжності степеневих рядів:
124. £л!(х-2)п
43
128 Хт-2-^
Пі
130.
И = І
- Виконати дії над рядами і знайти області їх збіжності:
132. І£(-1)" «З. -1)" .^1- 1)"
ІпН) МІ ) "=о п- п = 0
134.' (і3":к+ЗЇІ КУНГ-2: :(*_+ 2)” 1.
(н=о мІ )/ ^То м! )
§3. Функціональні властивості суми рівномірно збіжних
рядів.
Розглянемо деякі властивості суми рівномірно збіжного
функціонального ряду.
І.Якщо всі члени ряду ££/„(л) є неперервні на відрізку [а; і];
г-І
функції, ряд збігається рівномірно на [а;Л], то його сума 5(х)<
також неперервна на [а; /?].
2. Якщо всі члени ряду є неперервні на [а;/?] функції, ряд
л = 1
рівномірно збігається на [а;/»] до 5(х), то ряд де,
п-- І Г(І
л0 е[о;Л], збігається рівномірно на відрізку [а;Л], причому
тобто ряд можна
почленно інтегрувати.
44
\ Якщо всі члени ряду ІУДх) мають неперервні похідні на р;А],
л=1
ряд збігається,на [а;А] до функції УС/„(х), а ряд похідних
збігається рівномірно на [щА], причому о-(х) = ^С/Дх), то
»=і
сума ряду 5(х) диференційовна на [а;А] і в усіх точках відрізка
виконується рівність 5’(х) = <т(х) = £ С/^(х), тобто такий ряд
можна почленно диференціювати.
Зокрема, сума степеневого ряду 5(х) = ^с„(х-а)” має
п=0
чмастивості:
і 5(х) неперервна на інтервалі збіжності;
’ степеневий ряд можна почленно інтегрувати на кожному відрізку,
який належить його інтервалу збіжності;
1 степеневий ряд можна почленно диференціювати довільну
'ільКІсть разів, не змінюючи його інтервалу збіжності, тобто сума
.тепеневого ряду нескінченно диференційовна всередині
інтервалу збіжності.
Приклад 20. Доведемо, що сума ряду $(х)=£——
1 п-о 2
^значена і неперервна при довільному х. Обчислимо значення
•((»), 5(я-), 5^). Визначимо, скільки членів ряду потрібно взяти,
ні >б наближено обчислити значення 5(х) при довільному х з
ГУЧНІСТЮ 0.001.
Даний функціональний ряд мажорується на всій числовій осі
_ Ісоз/нгі 1
«біжнмм геометричним рядом: 1 ,
х є Я. За ознакою
н»йєрил*расса ряд збігається рівномірно Ух є Я. Члени ряду є
Функції неперервні при всіх х, тому сума ряду 5(х) визначена і
45
неперервна при Обчислимо її значення в заданих точках
- п=о2" 2 2’ 2'
СО8И7Г _ у (* 1)" _. 14 1_ 1 (-1)" 1 _ 1__2.
„0”г „/2” 2+? "+ 2" + ~ї + |~3’
С5І "“5"І=І 11 .МГ, =_!_ = «
Ш Д, 2" 2і 2* 2:” 1 + 5 5'
Оцінимо н-й залишок ряду:
при всіх лей, отже, |ги(х)( = |5(х)“5я(х)|£ ~ <0.001, якщо
2" >1000, тобто при н>10. Таким чином, достатньо взяти 10
членів ряду, щоб наближено обчислити суму ряду при довільному
X з точністю 0.001. □
х я х1»-\
Приклад 21. Знайдемо суму ряду 8(х) - У. (- 1)"' - —
и = і 2и - 1
□ За ознакою Коші переконуємося, що ряд збігається на відрізку
[-1;|], причому рівномірно всередині відрізка, як степеневий ряд.
Згідно з теоремою про почленне диференціювання ряду
у(х)=Ь-іГ,'м=і-«’«,-<іГ'^*-=й7. 1>і
Томуед = /*і^ї = аг«8х, |х|<|. □
Приклад 22. Знайдемо суму ряду £пх".
□ Скористаємося рядом геометричної прогресії £хп = ^—,
»=і 1-х
збіжним на інтервалі (-1;1). Цей ряд на відрізку (-г;г], де 0< г < І,
збігається рівномірно, як степеневий ряд, тому його можна
46
ночленно диференціювати =- • , |д|<1, звідси
о
Приклад 23. Знайдемо суму ряду £п2х”.
л=|
Цей ряд збігається при |л|<1. Згідно з попереднім прикладом
' п Хл -—|т|<1. Диференціюємо почленно цей ряд,
(1-х)
ці'танемо Ул1хлЧ=-!7*-) |х|<1, звідси У7х"ІхІ<1.
Й (1-х)’ Й (1-х) И
Приклад 24. Користуючись почленним інтегруванням або
1 іференціюванням, обчислимо суму ряду
Х^”.?о(2» + 2)(2» + 3)'
За ознакою Коші знаходимо область
...«І»™ хе(-1;1).
збіжності ряду.
Безпосередньою
'ч евіркою переконуємося, що при х = ±І ряд збігається. Отже,
। збіжний абсолютно на відрізку [-1; І]. Це степеневий ряд, тому
" >< в усіх внутрішніх точках інтервалу (- І; 1) збігається рівномірно.
1 'епеневі ряди можна диференціювати довільну кількість разів,
’.шишемо суму ряду у вигляді:
1 ® 2п*3 і
<-)=7^(2п + 2)(2П + 3)--5’^ -» “
,Т) „?о(2и + 2Х2л + 3)
47
Внаслідок лочяенного диференціювання дістанемо
І/”*' - х + х> , х! + ... = г^т, |х|< 1.
Звідси 5,’(х)= І0'” -гл = - уЧ1 - *2)
Далі 5',(х) = - Іп(1 - <’)<* = - 1(71п(1 - й] =
=-'хі„(1-.^+(,41„^|=х4хЦІ-хфі^;;|.
Інтегрування здійснювалося вздовж довільного відрізка
[0;х]с(Таким чином, сума ряду
5(х)и1.5і(х)^1-'іп(і-х1)+^-іп|^!|, якщо хе( і;1) і х#0,
л(о)о г.і
Приклад 25. Користуючись почленним диференціюванням
або інтегруванням, обчислимо суму ряду
5(х) = £(«2 + 9п + 5)х'м1.
□ Переконуємося за ознакою Коші, що ряд збігається на
інтервалі (-1; 1), причому рівномірно, бо це степеневий ряд.
Запишемо даний ряд у вигляді алгебраїчної суми таких рядів
3(х) = £(„ + ЗХи + 2)х-‘ + 4І(п + 2)х- - 9 Ь"’‘
Якщо перший ряд двічі проінтегрувати вздовж довільного відрізка,
що лежить всередині інтервалу збіжності, то дістанемо
геометричний ряд, тому його сума дорівнює
£(» + ЗХ^2)х-=(Іх-*!) =(г<) =Цр^-), Н<1 .
Внаслідок інтегрування другого ряду дістанемо.
4Й" + 2)х”' ={Іх"1') =4[-іТ) = |х|<1. Знайдемо
и=о 'и^і ' 7«-х7 (1-х)
48
і-х'
і уму третього геометричного ряду: -9’£л"11 = -9-
л = 0
Іаким чином, сума даного ряду дорівнює
3,+3),М2 -‘) ^ 45 3<) М<1 п
’ (1-Х)’ (1-х)’ 1-Х (|-х)”М<1
Приклад 26. Доведемо, що сума ряду і’(х)=£«-2" '•х" 1
неперервна на інтервалі Обчислимо Інтеграл ^45’(л)<Д.
Знайдемо радіус інтервалу збіжності заданого степеневого
п 1 І «
і>нду: Я =---- .— = -, Переконуємося в тому, що в точках
Ііт^л-З"- 2
> ряд розбіжний. Таким чином, даний ряд збігається
іосолютно і рівномірно на інтервалі Тому його сума 5(х)
' неперервною функцією на вказаному інтервалі і ряд можна
пиїленно інтегрувати на відрізку
। ,ад*=і:/о*«-2""1
и=і и=|2 2 2 2
1 І
'"же,□
Приклад 27. Знайдемо суму ряду Д- + —Д +• • •+ —і— +• = 5,
1-3 2-3 л-3"
ниходячи із співвідношення ГА = ~і—.
4 .»•** И.Т”
1 — Г. Г. Баранмша
46
Розглянемо
геометричний
ряд
с/ X £ І 111 1
^гЧ“2-_^ї~"‘2+~+-4 + який збігається абсолютно
и=1-Т XXX х(х — і)
на інтервалі (-со;-1)о(!;+оо). На проміжку [3;-ко) цей ряд
збігається рівномірно, тому що він мажорується збіжним числовим
рядом Внаслідок почленного інтегрування отримаємо
уГ-_®=у_!_=Г
Таким чином, сума ряду
Вправи для самостійної роботи.
135. Довести, що сума ряду 4---? неперервна на всій
числовій осі. Обчислити £* $(*)<&. Вказівка. Скористатись
” 1 я2
рівністю — •
п=1П 6
136. Виходячи із рівності Ґхи4& = ——, знайти суму ряду
н + І
?(-Г
„=>Зл-2 '
Використовуючи почленне диференціювання або
інтегрування, знайти суми рядів і області їх збіжності:
«. -Іи-І ,
13? 138. £(» + !>"
и-|2м —І «=о
50
>9. £„(» + !>”*'
'1
І.ІЗ. £(2„г-»-2).г”*'
140.
142 У ’ *-
£1 4"(2л І)
144. У (У -І Ви І -і|
11 Довести, що сума ряду 5(х) = £агсі£ є диференційовною на
л = | П
всій числовій осі. Знайти 5'(х).
§4. Ряди Тейлора і Маклорена.
Рядом Тейлора функції /(х) за степенями (х - а) називається
2!
Для того, щоб-ряд Тейлора збігався на інтервалі, (и Ц-,о + К)
цп функції /(х), необхідно і достатньо, щоб /(х) була в цьому
ппсрвалі диференційовною безліч разів і щоб залишковий член
Формули Тейлора Я„(х) = ---(х • а)п н -> 0 при
і >оо. Зокрема, якщо /(х) має на (а-К-,а + ії} обмежені похідні
повільного порядку, тобто |/,л,(х)| < А/ і хе(«- »-/?),
іо ряд Тейлора збігається до /(х) на (а - Н,а+ Я). Якщо а= 0, то
ряд за степенями х
/іх)-гїоь'Ж+2Ж2+ +^Ж'‘+
717 І! 2! м! л!
називається рядом Маклорена.
51
Основні елементарні функції розвиваються у наступні ряди
Маклорена в зазначеній області:
2 п
1. ех = 14-х + — +•••+— +-.ІЄЙ;
2! к!
е — 1 + —______р -___р + _______+ І Є /?'
2 2! 4! (2м)!
2. сії х
ех-е-' х3 х5 х2и+‘
3. зНх~-—= х + — + — +-+7^-------—+'-,хє/?;
2 3! 5! (2л + І)!
2 4 2п
4. созх = І - — + -+(-1)" Л— +• • •, х є Я;
2! 4! ' ' (2л)!
З 5 2и+1
5. 8ІЛ,^-- + --..+(-І)-—н-.хеЯ;
6.
7 біноміальний ряд
п ) - 1 сгх І - 9 2 , ! о(а-0-(а-* + 1) „
к 7 2! л! ’ '
|х|< 1, а єК.
Зокрема, якщоа єУ, то дістанемо формулу бінома Ньютона,
коли функція (1 + х)" розвивається у многочлен
(1 1 ЛҐ-1 І пх І П^~^Х2І і »(я-0- -(л-^ + 1) * 1 „
' 2! к\
Важливі часткові випадки при а = -1 геометричних рядів:
^ = і-л+хг-...+Н)’х"+.., Н<І;
-^- = 1 + х + х!+--.+х”+.-., |х|<І.
Розвинення функцій у ряди Тейлора або Маклорена
грунтується на таких основних методах: безпосереднього
диференціювання функції і обчислення її коефіцієнтів Тейлора;
використання розкладів основних елементарних функцій і заміни
змінної; почленного диференціювання або інтегрування ряду;
розкладання раціонального дробу на суму елементарних дробів;
52
। ні користання дій над степеневими рядами, а також методі
неозначених коефіцієнтів.
Розглянено типові приклади на техніку розвинення функцій у
ряди Тейлора або Маклорена. *
Приклад 28. Розвинемо у ряд Маклорена функцію
/(*) = кв(зх+у).
। Обчислимо коефіцієнти Тейлора для /(х)і
і І(») = 3"-со^5і + у + »-^)1 п Д0) = оо5^=|,
’(0) = 3".и»(г+Л.^.
Переконуємося, що л-ий залишок
Зя+1-со/з& + ~ +
•І'ормули Тейлора К„(х) =-------------——
0 при
ФУНКЦІЇ
є Я, тому ряд Маклорена збігається на всій числовій осі до
Таким чином, маємо
я'
2.
і Я-
соя -
АЗ
Нл +
□
Приклад 21. Знайдемо перші три ненульові члени ряду
н-инора в окопі точки а = у (за степенями у) Для Функції
(і) - 1п(1 + зіпх).
Функція визначена ідиференційовне на інтервалі
< л.
... її коефіцієнти Тейлора:
'І ГИ*4^=0;
63
(і +8ІПЛ)
4
Підставимо значення цих коефіцієнтів у загальну форму
ряду Тейлора
л*М?)+4ї!(* 0і ')’+Ф*Л
дістанемо /(л)=іп2-^лі-- !4|л;,+ -., р - < к.. П
Приклад ЗО. Розвинемо у ряд Маклорена функцію
/(х)=соз3х.
□ Скористаємося рівністю соз3х=-созЗх + -со8х
розвиненням у ряд Маклорена функції созх. Дістанемо
1Ґ М’+(М1 ,(-!)”(<,
( 21 41 (2л)!
Лі К
4І, 21 41 (2л)! ')
Приклад 31. Розвинемо у ряд Тейлора за степенями х -
функцію /(х) = 8ІП®.
□ Зробимо заміну змінної х-2-і, тод
ЗІП ® - ЗІП (2 + /) = 8Іп|^ + і) - СО5 І.
Скористаємося розвиненням у ряд Маклорена функції созх
підставивши замість х вираз 4/ = 4(л-2); дістанемо
4 4
54
Л+(<ґк.,..+(.к2Ї"+..,х^к
4 \4/ 2! \4/ 4! ' \4/ (2м)!
Приклад 32. Розвинемо у ряд Маклорена функцію
' і Подамо функцію у вигляді /(х) - 2^1 ) і скористаємося
біноміальним рядом, підставивши замість х значення .
Дістанемо
_ 1 /х)3 _ ±/46 і-2-3-(Зл-4)Ьу» )
3\2/ 32\2/ Зн.п! \2І У
асть збіжності ряду визначаємо Із нерівності |^| <1, звідси
2. □
Приклад 33. Розвинемо у ряд Маклорена функцію
Дх)=анс£х.
Скористаємося геометричним рядом
, 1 ^ь?+/-...+(-ІіГЛ..., Н<1.
ироінтегруємо цей ряд на відрізку [0;х], де 0<х<1; отримаємо •
З „5 2я+1
н<1.
і >'посередньою перевіркою переконуємося, що ряд збігається
умовно на кінцях інтервалу, тобто ряд збіжний при х п ‘
Приклад 34. Розвинемо у ряд Тейлора за степенями х -1
Функцію /(х) - —І знайдемо область збіжності ряду.
55
Внаслідок заміни змінної
дістанемо
ї+2
Прі
цьому ми скористались геометричним рядом. Ряд збігається, якщ<
|*| < 1, звідси |л-1| < 3, тобто х є(-2;4). П
Приклад 35. Розвинемо у ряд Тейлора за степенями х + <
функцію /(л) - — 1—у і знайдемо область збіжності ряду.
Скористаємося рівністю -------р
Як
попередньому прикладі, функцію — розвинемо у ряд З)
степенями л + 2 внаслідок заміни х + 2 = /, х = і-2. і використанні
геометричного ряду:
Цей ряд збігається, якщо І- < І, звідси --
1, тобто х є (- 7; 3)
Продиференціюємо почленно отриманий ряд, дістанемо
= хе(-7;3).
Приклад Зв. Розвинемо у ряд Маклорена функцій
/(х) = ------і знайдемо область збіжності ряду.
х -х-6
□ Розкладемо раціональний дріб на суму елементарних дробів:
, ч 5х-5 3 2
Xі х -(> х + 2+і-3'
Кожний із дробів розвинемо у геометричний ряд і додамо ці ряди,
дістанемо:
5х-5 _ 3 ) 2 _3 1 2 1 х*хг , (,ял"( ]
<-х-6~х+2+х-3 21+* З 1-І 2І 2+4 1 ' 2" ’'Т
К З З2 ’ 3" ') Я 2"н 3^9
Перший із рядів збігається при |х| < 2, другий - при |х| < 3. Сума
р ідів збігається на перерізі цих множин, тобто при х є(-2;2). □
Приклад 37. Користуючись розвиненням у ряд Маклорена
функції /(х) = -—у, обчислимо значення /*и*(0).
Скористаємося очевидною рівністю:
Але всяке розвинення /(х) в степеневий ряд за степенями X
• п рядом Маклорена. Оскільки в ряді Маклорена при х14
.. . /">(0) ... .
у їй коефіцієнт -—х-і- і він згідно розкладу рівнин
14!
' ",|(0) = 141. □
Приклад 38. Розвинемо у ряд Маклорена
• І \) =----—7 і знайдемо область збіжності ряду.
1 + х + х
Виконаємо такі перетворення:
повинен
1, тому
функцію
У х^" — У.х3”*1
п =0 п=О
І'яд збігається при х є(-1;і).
□
Г. Г Барамовсь»
57
Приклад 39. Розвинемо у ряд Маклорена функцію
/(л) - 1п(3- 2л -л2) і знайдемо область збіжності ряду.
□ Здійснюємо такі перетворення:
Длг) = Іп(з-2л.?]- І„((3+лХ1-х)) = Іп(3 • ->)» Іп(І-х) =
= 1пЗ+ Іп(іі і Іп(І -л).
Скористаємося розвиненням у ряд Маклорена логарифмічної
функції. Дістанемо
14 4
=шз+іЯЦ^-1".
п=1И\, 3 7
Ряд збігається на спільній частині двох множин: |л| < 3 і |л| < І, тобто
при х е(-1;1). □
Приклад 40. Перемножуючи степеневі ряди, розвинемо у ряд
Маклорена функцію /(л) = 1п2(1-л) і знайдемо область збіжності
ряду.
□ За правилом добутку степеневих рядів піднесемо до квадрату
х
ряд 1п(І — л)= —.Дістанемо
-Н-И'-М..................
Цей ряд збігається на інтервалі (-1;1). П
Приклад 41. За допомогою ділення рядів знайдемо
коефіцієнти ряду Маклорена для функції /(л)= і%х до степеня /.
58
і Оскільки функція непарна і щл - і при \ ->0, го
-> , 5ІПЛ
/£ г = х + сгх + с5л‘ +..., крім Того і$х - — , тому ми \ - її; \ соь \
СО5 Л
Скористаємося розвиненнями зіпх та созт виряди Маклорена
' ^ + Ії+-=(-ї + V’ +^!+4' 'ІГ 4! Зрівнюємо
. і . 5 ‘ І III І
коефіцієнти при л- і х • —-с,--; - • -- -1 с« - с, Звідси
6 2 120 24 2
12 Xі "> 4
. - - , с« = —. Таким чином, іях - х +— і —х' +•••. її
З 5 15 3 15
Приклад 42. Розвинемо у ряд Маклорена функцію
Розвинемо у ряд Маклорена підінтегральну функцію і
.іроінтегруємо степеневий ряд Дістанемо:
3-3'1 + 5-5Ї’ ' (2п + І)(2н 4 ї)!
(2л + 1)(2в + І)!
Легко переконатися в тому, що ряд збігається на всій числовій осі
□
Вправи для самостійної роботи.
Наведені нижче функції розвинути у ряд Тейлора в околі точки
\ = а:
146. агсзіпх, а = 0. 147. х е2‘+і,а = 1.
59
148. .ї/Л.и-ІІ
150. -т—1— ,а = 1.
-Гіх-х1
152. ' .0=3.
2х + 5
149. аія^2х-^й = ^.
151. Ух,а = ].
153.
155.
и+2)г'
л2-4л + 2
156, Іл(5 + |0х), о = 0.
158.-------* о = 0
160. £-зіпЛі.а=0
157. 1п(х2+4х + 8)1а=- 2.
159. р + лг)огсТ# х, а - 0.
161. Використовуючи розвинення функції Дд) =
х1 + 4х + 5
В ряд
Тейлора за степенями л+2, обчислити значення її похідних
довільного порядку /^(-2), п є N.
162. Розвинути у ряд Маклорена функцію ^е',2сії і знайти область
збіжності ряду.
§5. Застосування степеневих рядів до наближених
обчислень.
а) Наближені обчислення значень функцій.
Нехай функцію /(л) можна розвинути у степеневий ряд і
значення л0 належить Інтервалу його збіжності. Для обчислення
/(хо) відставляють у ряд л = л0 І обмежуються необхідною
кількістю перших його п членів. Похибка наближення рівна
Якщ0 знаки чпенів РЙДУ чергуються, ряд е
рядом Лейбніца, ТО користуються ОЦІНКОЮ |гп(лІІ))5)ця+|(х0)|, де
• перший із відкинутих членів ряду. В усіх інших випадках
60
оцінюють (г„(х0)|, як правило, нескінченно спадною геометричною
прогресією. Наприклад, при обчисленні значень експоненти за
хг х"
наближеною формулою ех я ! + х — +-+-*р тєй, для х<0
маємо оцінку похибки |г„(х)|£ , а для 0<х<п+1
’ праведлива нерівність
І д" + 1 г" + 2 л"*3 І
= + + (^”+ 2)1 + (л + 3)!+ " Г
и! ( п ч 1 + (и + 1)(л + 2) (л + !)(» + 2)(л + 3) ) ~
Значення многочлена 5л(х) для відомого наперед п доцільно
' ••ислювати за схемою Горнера. Наприклад,
Приклад 43. Обчислимо наближено число е з точністю
ІО 5.
Підставимо у ряд для ех значення х = 1, дістанемо
наближення еа 1+ 1 + —+ — ++— та оцінку похибки к,0)1^——•
21 31 пі пкп
Підберемо п таким, щоб похибка не перевищувала І0~\ тобто,
щоб - < ІО’5. Переконуємося, що > Ю’5, а тгх<Ю‘5- Отже,
піп 71-7 8 г 8
достатньо взяти п = 8. Таким чином,
61
2+ ’_+ 1+_1+1 + 1 + 1 + £
2! З! 4! 5! 6! 7! 8!
« 2.71828.
Проміжні обчислення виконуються а точністю 10’6. У кінцевому
результаті записуємо п'ять десяткових знаків. □
Значення синуса та косинуса обчислюються за наближеними
формулами:
і 5 2л-І
8ІП X X------+---------+ (- її’ 1 ---Г-, А Є К,
З! 5! 1 1 (2и - 1)!
.2 г« г^п
СО8Х » І - — -+--------+(- 1)" Г-, X е /?.
2! 4! 1 ' (2л)!
Похибки їх оцінюються відповідно нерівностями
МФ рйТ2)!’
Зауважимо, що наведені наближені формули теоретично
придатні для довільних значень х, виражених в радіанах. Проте
практичне іх застосування для досить великих значень х
приводить до абсурдних результатів внаслідок надзвичайно
великих похибок округлень і втрати значущих цифр (у Д.Мак-
Кракена і У.Дорна обчислене значення зіпІ470°« 24.25401855).
Щоб уникнути цього, вибирають значення аргументу 0 < х < , що
завжди можна зробити, використовуючи періодичність, парність
функцій та формули зведення.
Приклад 44. Обчислимо наближено созІІбО0, обмежившись
двома членами ряду. Оцінимо похибку.
□ Оскільки
соз 1160°= со5(360°-3 + 80°) = №<90’-10°) = зіп 10°^ зіп «
62
7Г Я
' Ї8 183-б’ Т°
Ц/Нк.......” <10~\
ІЧ18Л 18’120
похибка оцінюється
нерівністю
_ 1. .£]. ± +1) А « 0.17365.
. 6 187 18 )
Таким чином, соз1І60°»
Обчислення виконувались за схемою Горнера. □
Для обчислення логарифмів користуватися рядом
2 З
Іп(1 кл) = х-у + у--+(-1) —+•••, ле(-1;4 незручно через
його повільну збіжність. Віднімемо від цього ряду такий ряд
ефективне ’ розвинення
/ І , \ ( З _5 2п-І Л
іц[ ----- = 2І л+ — +-—•+-+---+••• , лє(-1;1). Похибка цієї
Л-х) V 3 5 2п -І 7
формули оцінюється нерівністю
І 2лЯ „2/и-З | 2-М2"*1/ , . \ '2-іх(2"+*
’(7 = 2|2п + | + 2^7З +'Ф ~їнт('+* +Х (2и+1)(1-лг2)'
Якщо у розвиненні функції іпт~— вибрати д = * , гєДї,
1-х 2/ + 1
го дістанемо рекурентну формулу для обчислення логарифмів
послідовних натуральних чисел
іп(і + і)-1пі + 2^2( + ^ + --^ + |),+ +(2п_1)р, + ()і.-і+ ]'
похибку Г, П-'О залишку ї +
Для обчислення логарифмів за основою а (а>0,а*1)-
користуються формулою Іовя х = Іпл-Іово е, згідно з якою
обчислюються значення натурального логарифма, а потім
63
домножуються на сталий множник 1о@а е, зокрема » 0.43429448-
модуль переходу до десяткових логарифмів.
. Приклад 49. Обчислимо 1п 104 з точністю £ -10 5.
П Скористаємося рядом для 1п—— за умови, що 11 х - 1.04,
1-х 1-х
звідси х =
Дістанемо 1пі.04 = 2 —+ —Ц! , .1 Число
І51 3-513 5-515 (2н- І)5І2" ')
членів ряду п визначається нерівністю
к( А^~-----------у-------г-<Ю'. Цю нерівність задовольняють
1 '5ІЛ 5І“"(2„ , 1)(1-.!,)
п > 1. Таким чином, іп 1.04 « 2-- = О.О392І. 11
51
Приклад 46. Обчислимо Іе 5 з точністю £ = 10 4.
□ Оскільки Іц5 = І8^ = І-1в2 = 1-1@е1п2, то обчислимо Іп2
наближеною формулою {(= 1)
Іп2 = 1п1 + 2 Д + -2 + ‘+...+---’ _ І
(З З-З3 З-З5 (2л-1)зМ
Необхідну кількість члені» ряду визначимо із нерівності
іГ,,<1>і52 - 2 32"^~(2и + 1)<10 4 Пересвідчуємось, що при - 4
Мі)|<—і^<10'4.
І4'-Л 4.0.Т1
Отже, Іп2*2[; + —} «0.6931. Підставимо значення
КЗ З-З3 5 3 7-37/
Іп2 і І£е, отримаємо 185 = 1-0.4343 0.6931 = 0.6990. □
При обчисленні коренів користуються біноміальним рядом
О + Л)“ =, + аі + ?^^...+2(£гІН^-^±0г+...і н<]
' ’ ТІ „І ’ І І
64
Приклад 47- Обчислимо наближено 1/627. Оцінимо похибку
наближення, яке включає два члени ряду.
и Маємо 1/627 = 1/625 + 2 ^5Підставимо
с. . 1 2
у біноміальний ряд а = -. х = —, дістанемо
4 625
Лейбніца, його похибка не перевищує першого із доданків, який
викидається, тому = _3__<І0 «.
Таким чином, 1/627 = 5^1 + * 5.004000. П
Приклад 48. Доведемо тотожність = 4а/сі§ і - агсі§ .
користуючись цією тотожністю і розвиненням у ряд Маклорена
ІГСІ§Х, обчислимо число Я- з точністю є = ІО10.
11 Враховуючи, що -=агсі§}, агсід а + агсі§/3 = агсі§,
4 . і - а-р
„ , , 2«2а 4 «а (1-«в!а)
якщо а-В<\, іеАа =------— = —г—*—,--------зробимо таю
1-і8"2а ії'а-б^а + І
перетворення:
л _ 1 .1 120
4 * 8 239 = 81 + а ® 239 = П9’
4огс(й| = агеї^ & =огс,£]ї^- Прирівнюючи ліві частини
625"25 + І
цих співвідношень, отримаємо задану тотожність.
Функція агсщ х розвивається в ряд
9 — Г. Г Варааовська
69
Таким чином,
н]
<ІГС<і:5 5 3-5'+5-5! 7-5’%-5’ 11-5" +13-5" ~ ЦЄ РЯ,“
Лейбніца, тому знаходимо алгебраїчну суму тих його доданків, які
1п-ю • 1 210 1024
10 . Оскільки ----------т =------;- =—
115" 5510і" 55-10
більші
• 10
1 210
—її = <10 '" то достатньо взяти 6 доданків
агіс^-
«0.1973955598.
Аналогічно обчислюємо
огс/#---=----------7 +-------- - - •«------- « 0.0041840758,
239 239*3-2393 5-239' 239 3-239
враховуючи, що ®тже' я, = 16-ага&|-4-лгс/’£^— я
«3.1415926536. Зауважимо, що для обчислення числа я- можна
скористатись формулою Гаусса
л--48-агс/£—+ 32-ЯГСГ#—-20-лгс/#^-, у якій ряди для агсі%х
збігаються швидше. В "Арифметиці" Магніцького щоб запам'ятати
10 знаків числа ‘я пропонувалося підрахувати кількість букв у
словах: ”кто и шутя и скоро пожелаеть пи узнать число, ужь
знаеть".
б) Наближені обчислення Інтегралів.
Якщо в означеному інтегралі р/(л)^г підінтегральну функцію
/(.т) можна розвинути у степеневий ряд І відрізок належить
інтервалу збіжності ряду, то почлеино інтегруючи ряд і
обмежуючись скінченною кількістю його членів, обчислюють
інтеграл з наперед заданою точністю.
66
Приклад 49. Обчислимо з точністю с- 10 ' інтеграл
р,агсзіпх ,
Г Розвинемо функцію агсйіпх у ряд Маклорена
(і', <'.±з ч.,и_
Ч 2 2І-22 322’ л!-2" Л
13 4 І-3- (2я-1) । (2/. ІЗ'? л2"'1
~ * + 2 3 +11-2і "5 +"'+ пі2" • (2л+1) ' 4'' ~ (2л)» '' 2 л +ї ’
Розділимо цей ряд на л і лроінтегруемо на відрізку ЩО
належить області збіжності ряду, отримаємо
ґ.['1 + їі+АЛ.+А_х. + _?1 х.+„.+&!-0!^1+...к .
( 6 40 102 1152 (2л)І!(2л.+ 1) )
ХХ-+-Ч-4+ ’-хЧ т (2":Ч". + 14
І. 18 200' 7І4 (2л)!1(2л +1) 2л + ) і|о
£ 1 3 (2л-1)11___
2 + 144 + 6400 + +(2л)!4(2« + 1)2'22',+| +
Оцінимо п-й залишок ряду
/11 < (2»-1)І! ґ.+1 ‘ X_______________________(2*-і)н_1
(2и)П(2п + 1)2 2ги+і{< 22 24 / 3 (2л)’Ц2и+1)г .22"’1'
Нерівність 10 3 ВИКОНУЄТЬСЯ при п 2, тому беремо 2 члени
ряду для обчислення інтеграла з точністю є = 10’3:
/агсзіпх, 1 1 Л___ _
і--------сіх ® » 0307.0
х 2 144
07
Приклад 50. Обчислимо з точністю є = 10‘3 інтеграл
□ Розвинемо підінтегральну функцію у ряд Маклорена
1п(1 + х2) - „IX2"'2
—, |л| < і, і проінтегруємо ряд на відрізку
І|;| , що належить області його збіжності Дістанемо
' -Т „ = 1 /3 я „ = І
л'"'
- І)|Х
- у(-іу'-____________ґ ~_______—1 = у(-і)"-1. ?________—_____
7 п(2п - І)<22"-' з2”-’/ 7 л(2н - І) • б2"-'’
Цей ряд е рядом Лейбніца, тому для оцінки похибки
_ 22л*’*
справедлива нерівність |г„|<- —-—яка
виконується при п > 3.
„ІпП+х2) і 19 211
Такимчином, ;—чіт = 0.154. Є
’ X2 6 1296 116640
Приклад 51. Обчислимо з точністю є - 10’3 інтеграл
□ Оскільки хг2, то розвинемо підінтегральну функцію за
1
степенями
= 7'7+7--+О')'ртиМ>і-
68
Проінтегруємо цей ряд на проміжку [2;+оо), який належить
області збіжності ряду. Дістанемо
гіг (ІХ Vі * * * Г+®/ й'1 І і V'/ А"*1 1 Iе0
І (-0 ;«А=Х(-')
Для отриманого ряду Лейбніца знаходимо кількість членів п, для
"КИХ|г"|-(3»-ьЗ).2а-5 <І0"~
Дістанемо л > 2, тому |
1 - = О.119.1
8 3 2’
в) Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою
РЯДІВ.
У тих випадках, коли знайти розв'язки диференціального
івняння в елементарних функціях неможливо, для широкого класу
іанянь можна знаходити розв'язок (частковий або загальний) у
жгляді розвинення у степеневий ряд. Розглянемо два основні
яособи знаходження коефіцієнтів ряду.
1. Спосіб послідовного диференціювання.
Нехай, наприклад, потрібно знайти розв'язок задачі Коші для
диференціального рівняння у" ~ Дх,>,>•')• який задовольняє
початкові умови Дх0) = с0, /(х0)«с,. Якщо в околі точки (х0»с0»сі)
виконуються умови теореми Існування і єдиності розв'язку задачі
Коші і існує розв'язок рівняння у вигляді степеневого ряду, то його
» Д")(л )
можна знаходити у вигляді ряду Тейлора у(х) = ——-(л-л(і)”.
» и.о л!
Перші два коефіцієнти ряду визначаються початковими умовами, а
решту коефіцієнтів знаходимо послідовним диференціюванням
рівняння і обчисленням значень похідних в точці х0. Якщо
початкові умови не задані, то таким же способом знаходимо
загальний розв'язок, вважаючи с0 і с] довільними сталими
69
Цей метод не дозволяє, як правило, знайти загальний член
ряду, а тому дослідити збіжність ряду до розв'язку рівняння
неможливо.
Приклад 52. Знайдемо перші 5 членів розвинення у
степеневий ряд розв'язку задачі Коші для диференціального
рівняння у" = хг+уг, що задовольняє початкові умови. г(і) = І;
/(І) - 2. Відомо, що існує розв'язок рівняння у вигляді степеневого
ряду.
□ Розв'язок будемо шукати у вигляді ряду Тейлора
Хх)= • ’ "’н
Перші два коефіцієнти ряду задані початковими умовами
Підставимо у рівняння х = І, у(і) = І, знайдемо у"(1)-І-И-2.
Диференціюємо рівняння: у'" = 2х + 2уу‘. Підставимо значення
_і-1, )(і)- 1, /(!)-2, отримаємо /"(і) = 2 і-2-2 = 6. Ще раз
диференціюємо рівняння: уІУ - 2+2(/)2 +2)у" Підставимо
значення у і похідних при х=і, дістанемо
у/г(1) = 2 + 2-4ч 2-2 = 14 іт.д.
Підставимо знайдені значення похідних у ряд, отримаємо
' ' ' ' 2! З! 4!
2. Метод неозначених коефіцієнтів.
Якщо диференціальна рівняння лінійне відносно функції у і її
похідних, причому коефіцієнт при старшій похідній в точці ,г0 не
рівний нулеві, то розв'язок рівняння знаходимо у вигляді
загального степеневого ряду >(х)= 2^ся(х-л0)".
п=0
На прикладі рівняння о0(х)у’'+а|(л)/+о2(л)>’ = /(х) із
початковими умовами у(х0) = си, у'(.хо) = с| розглянемо спосіб
знаходження неозначених коефіцієнтів с„. Двічі диференціюємо
ряд із невідомими коефіцієнтами, отримаємо ряди для у' і у".
70
Розвиваємо коефіцієнти рівняння а,(.г) (і = 0,1.2) та функцію /(х)
у степеневі ряди за степенями Підставляємо всі ці ряди у
рівняння. Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х -л0 в
обох частинах рівності І визначаємо коефіцієнти с„. В теорії
диференціальних рівнянь доведено, й|О якщо функції
(Л) (/=0,1,2) і /(л) можна розвинути у степеневі ряди на
інтервалі - х0| < Я за степенями х - х0 і аДх) * 0, то існує єдиний
розв'язок у*у(х) задачі Коші, який можна подати у вигляді
степеневого ряду за степенями х-х0, що збігається при |л - л0| < г,
де 0<г<Я.
Приклад 63. Знайдемо частковий розв'язок диференціального
рівняння у" = 2ху' + 4у, що задовольняє початкові умови >>(0) = 0,
ґ(0)=І.
Будемо шукати розв'язок задачі Коші у вигляді ряду
Маклорена із неозначеними коефіцієнтами
і(х) = с0 + С)Х + <:2хг ч с3х3+-"+сих"+---. Йв'чі диференціюємо цей
ряд:
’(д)= С( + 2с2х + Зс3х2 + 4с4.ї3 + ... + «слх"‘1 + (л + 1)ся+1х"+...
. ”(л)= 2сг + бс-у* 4 12с4л 2+... + «{« - І)слЛЛ"2 + л(и + 1)сп4|ХП''1 +
' (п + і)(м + 2)си+2х"+...
Коефіцієнти рівняння є степенями х, тому їх подавати рядами не
потрібно. Підставимо ряди для у, у' І у" В рівняння, дістанемо
’< 2 + Ье-х Ак/і. ..+ п(п + (и + |)(п + 2)с„;і" +... =
- рс,.г 4 4сгх: + 6е3л3+...+2иснлп+...^ + (4си + 4с,л + 4с1хі+...+
ИЄ.Х"+)
У цій тотожності прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях
г, матимемо 2с2=4с0, 6с3=6с! 12с4 = 8с2,...г
(п + 1)(я 4- 2)с„ а - 2{п 4- 2)сл. Із початкових умов знаходимо
71
со = .у(О)-О, С|=/(О)=І, а із отриманих рівностей - такі
залежності: сп¥2 - л = 0,1,2,....
(л + 1)
Обчислюємо невідомі коефіцієнти:
Сй ~ с2 ~ С4 ~ ~ С2п = • • = СІ = І> С3 ~ 1»
_ і -І... _ 1
С‘ 2!’ С’ З!' І!’Сг"*‘ ЛГ "
Розв'язок задачі Коші розвивається у степеневий ряд
— +-=1|+Х2+^ +Х-\../’ |.Ь/
7 2! З! лі І 2! З! л! )
Цей ряд збігається до ; (-») на всій числовій осі. 11
Приклад 54. Знайдемо загальний розв'язок диференціального
рівняння у" + ху' + у = 0 у Вигляді ряду за степенями х та область
його збіжності.
□ Нехай у - с0 і с,х + с2х2 + с3х3 +сАх*+...и-„хп^.-., тоді
>•' -^1 ^с2*+3о,л! + 4с<х3+.,.+лс„л"4. (л + 1)с,„х"+...,
у" = 2с2 + 6с3х + 12с4х2 + 20сіх3+...+(и+ іХ« + 2)ся¥іхп+... .
Підставимо ці ряди у рівняння
(2с2 т6с3д + 12с+х2 +20с’5х3+...+л(л + 1)ся+|.хЛ І +(п + іХл + 2)сп+їх"+,..) +
+(с(х+2сгхг + Зс3х3 к. .+лс„хл+..і (сц + ^х +с2х2 + с3х3+.. .+спхл +...)-(!
Прирівнюємо до нуля коефіцієнти при однакових степенях х:
2с2 і-си = 0, 6с3 + 2С| = 0, 12с4 +Зс2 = 0, 20с, + 4с3 = 0,...,
(п + |)(п + 2)с„; + (» + І|і, = 0. із цих рівностей виразимо всі
коефіцієнти через Су І С|, вважаючи останні довільними сталими:
і 1 І І І і
2 “ 3 і 4 ' 2-4 0 ’ 5 3 3-5
1 (- І)ЛС (- І)''с
----Л. ЗВІДКИ С1. ^.,І = А- Л+; Підставимо
я+2 (2и)!і (2л + 1)І!
значення коефіцієнтів у ряд, дістанемо загальний розв'язок
72
раяння у вигляді ряду
” (-1Гх2я ® (-1Гх2"И
Розв'язки у,(л)- І,' и та у2(х) = 7 є частковими
„=о Цк)П їмо (2п + Ц’Л
розв'язками для диференціального рівняння, що утворюють
фундаментальну систему. За ознакою Д'Аламбера легко
пересвідчитись в тому, що обидва ряди збіжні на всій числовій осі.
О
Вправи для самостійної роботи.
— Обчислити наближено значення функцій із вказаною точністю е:
тез. і, і ., ні1. Це 164. Те, £ = 10’3.
166. зіп8І1°, &= І О’3. 166 соз108°, £=10
167. 1п4, £ = 10 5. 168. Іл 1.02, £=І0~5.
169. агсІ§1, « = І0-3. 170. Т27, £ = 10’3.
171. Ц/ЇСЮО, є — 10’5. 172. ТЇ02, £ = 10’6.
173. агс8Іп|, £ = 10’3.
— Обчислити з точністю є= ІО’3 означені інтеграли:
174 178 1^'
177. іДг* 177 178 * 180 181 і’ага^ііх. 179.
— Знайти перші чотири ненульоеі члени розвинення у степеневий
ряд розв'язку диференціального рівняння, що задовольняв вказані
початкові умови:
180. у" = усозх + х, >^0) = 1, У(0) = 0.
181. у"-ху' + у = е*, _у(0)=1, У(0) = 0.
10 — Г Г Баранокьсд
73
182. + *У. /ОМ-
— Знайти у вигляді степеневого ряду частковий розв'язок задачі
Коші та область збіжності ряду:
183. у'-лу' + г-1 = 0, ХО) = У(0) = 0.
184. у'=х-1у, у(0) = 0.
— Знайти у вигляді ряду Маклорена загальний розв'язок
диференціального рівняння та область збіжності ряду
185. у"-х/-2.у=0.
186. (і .?)/' 2.<т' 2г:.».
Розділ 3. Тригонометричні ряди Фур'Е.
§1. Деяк! допоміжні відомості.
Функція Дх), визначена на всій числовій осі, називається
періодичною, якщо існує таке число Т. що для всіх х- виконується
рівність Дл + Г)=Дх). Найменше додатне число Г, що
задовольняє цю умову, називається періодом функції. Із означення
випливає, що Дх) = Дх+Г) == Дх + лГ), де и є/.
Властивості періодичних функцій:
а) якщо Дх) має період Т, то функція Да>х) має період ,
б) сума, різниця, добуток і частка періодичних функцій періоду Т є
періодична функція періоду Т\
в) якщо побудований графік періодичної функції Дх) на
довільному відрізку [а;а + Г] довжини періоду, то її повний графік
отримаємо паралельним перенесенням кривої відносно осі Ох
вправо і вліво на відстані
г) якщо Дх) інтегровна на деякому відрізку довжини періоду Г, то
вона інтегровна на будь-якому іншому відрізку довжини Г, причому
величина інтеграла залишається незмінною, тобто
£*гДх)Л = ,С+Г/(ЛИГ ПРИ Довільних а та Ь. (Рис. 1.)
74
Рис. 1.
Найпростішою періодичною функцією є гармонічне коливання
(гармоніка) А&іп(ахс + у>), де |Л| - амплітуда гармоніки, о - частота, <р
- початкова фаза. Період гармоніки Т = 2я/
Сума виду асозлис + Ьзіпок подається у вигляді гармоніки:
, • /""7г/ л і
исозж + озіпла = Ча +о . , созйн, + —, „ . .зіпак
<7й2 + 62 7а2+62
-• л/а2 + 62(зіп^>созй» +соз0>зіпй»г)= Лзі»(<ах +-р)
. п—Гї . а Ь
цеА = у]а +о , зіп$0= —, созр= —.
А А
Для неперіодичної функції Дх), заданої на відрізку [а;и і /]
можна побудувати періодичну функцію 5(х) з періодом Т, що
співпадає з Дх) на відрізку [а;а + Т]. Геометрично виконується
перенесення графіка Дх) паралельно осі Ох вправо і вліво на
відстані Т,2Т....пТ,.... Цей процес називається періодичним
продовженням функції Дх) а періодом Т.
Розглянемо нескінченну систему функцій
р|(х),^2(х),...,^„(х). кусково неперервних на відрізку [<зд2>],
тобто неперервних скрізь на [а;і], за винятком скінченної кількості
точок, де вони можуть мати розриви лише першого роду. Ця
система функцій називається ортогональною на якщо
= к*п. __
Норма функції визначається таким чином ^ірДх)ііг.
Ортогональна система функцій називається ортонормованою,
якщо
10*
73
Класичним прикладом ортогональної на відрізку [- я: я]
системи функції е основна тригонометрична система
І, С08Л,8ІПХ,СОз2л, 5Іп2х, ... ,£О8ИХ,31П ЛХ, ...
Якщо кожну функцію розділити на її норму, то система стане
ортонормованою:
1 СО8Л 8ІПХ СО5 2х 5ІП 2л СОЗ ПХ 8ІПНХ „ , ,
... Всі функції цієї
системи мають спільний період Т = 1я.
На довільному скінченному відрізку [-/;/] є ортогональною
загальна тригонометрична система функцій із спільним періодом
„ , та . та 2та , 2та пта . пта
Т =21: 1, соз—, зіп—, СО5---, з п-,..., СО5— ...
’ і ’ і ’ і ’ і ’ ’ і
яка
зводиться
та . та
. 008—- 81П—
ДО
ПТа . ПТа
СО8—- 8(П---
ортонормованої
§2. Ряди Фур 'є для 2я-періодичних функцій.
Розвинення функції /(л) періоду Т = 2я в ряд за основною
тригонометричною системою функцій мав вигляд
/(х) = ~ + І(.апС08пх + Ь„8т пх).
2 я=і
Такий ряд називається тригонометричним рядом Фур'є для
функції /(х), а числа а0,а„,Ь„ (м = 1,2,3,...) - коефіцієнтами
Фур'є.
Якщо ряд Фур'є збігається на відрізку до функції /(х),
то він збігається до цієї ж функції на всій числовій осі, оскільки всі
члени ряду, як і сама функція, мають період Т= 2л.
Коефіцієнти Фур'є обчислюються за формулами Ейлера-
Фур'є: а0 = , ап = ^£^/(л)сознл<іг, о = І, 2, 3,
76
Ьп = — |’^Дл)біпплФ(, « = 1,2,3,....
Зауважимо, що при обчисленні коефіцієнтів Фур'є
інтегрування можна здійснювати на довільному відрізку [а;о+2я-]
довжини періоду.
Виявляється, що у ряд Фур'є можна розвинути досить
широкий клас функцій.
Теорема Діріхле (достатня умова розвинення функції у ряд
Фур'є). Нехай функція Дл) має період 2ІЇ, на відрізку [- я;я]
обмежена, кусково неперервна (має скінченну кількість точок
розриву першого роду) і кусково диференційовна (/’(л) існує і
неперервна, за винятком скінченної кількості точок, в яких існують
права і ліва односторонні похідні).
Тоді ряд Фур’є функції /(л) збіжний до функції Дл).
При цьому:
І) 8(х) = /(х) в усіх точках неперервності функції /(л);
2) якщо х0 - точка розриву /(л) І роду, То
5(^о) =2 (/(-•» -0) +/(*« + 0)). Д« і /(ч + о) - ліва і
права односторонні границі Дл);
3) $(- = 5(0 =, |(/(- * + (>) + /(„- 0));
4) на всякому відрізку неперервності /(х) ряд Фур'є збігається
абсолютно і рівномірно до Дл).
Для парних або непарних функцій скористаємося властивістю
інтеграла на симетричному відносно нуля Відрізку:
2_^Дл)о!х, якщо Дл) - парна,
0, якщо Дл)- непарна.
Якщо Дл) має період Г= 2я і парна, то її коефіцієнти Фур'є
обчислюються за формулами — |’Дл)<&,
77
а„ - — £’/(х)соїпх<&, і>„ - 0, я = 1,2,3,.... а ряд Фур'є має вигляд
+ £а„ соанї, тобто ряд містить лише косинуси.
Якщо /(л) має період 25і і непарна, то а0 -а„-0,
Ь„ = - |ол/(х)8Іпкл<&, п - 1,2,3,а ряд Фур’є містить лише
синуси /(х) -%Ьп зіп пх.
Л=1
Розвинення функцій у тригонометричні ряди (так званий
гармонічний аналіз) дозволяє складні періодичні рухи (коливання)
представити як результат накладання (суперпозиції) нескінченної
суми окремих гармонічних коливань
ап соз пх + Ьп зіп пх = Ап зіп(лх + ), я = 1,2,3,.... Частоти гармонік
и)„ - 0,1, 2,3,... утворюють дискретний спектр функції /(л), числа
“ 2
А, = № > (« = 1,2,3....)
амплітудний спектр, а
<р„ =агсі&-£- (п = 1, 2,3,...) - фазовий спектр функції. Період
першої гармоніки -зіп(л + ^і). яку в акустиці називають основним
тоном, співпадає із періодом /(л), а частоти решти гармонік, що
називаються обертонами і створюють тембр звуку, кратні основній
частоті
Геометрично амплітудний і фазовий спектри зображаються на
координатній площині в системах (я, А„) і (я, ?„), коли по вісі
абсцис відкладаються значення частот =п, а по вісі ординат
відповідні їм значення А„ або р„. Дістанемо так звані лінійчаті
спектри.
Наприклад:
78
На практиці періодичну функцію Дх) наближають л-ою сумою
ряду Фур'С Дх) =3-г1+ СО8Лх + 618ІпЛх) = Тп(х).
2 і=і
Величина <52
квадратичною похибкою такого наближення. Доведено, що серед
усіх тригонометричних многочленів Г„(х) л-го порядку найкраще
середнє квадратичне наближення Дх) дають частинні суми саме
ряду Фур'є (це властивість мінімальності коефіцієнтів Фур'є).
Зауваження. Якщо Дх) є сумою базисних функцій основної
тригонометричної системи, наприклад,
Дх) = 2зіпх-4созх+58ІпЗх, то її розвинення в ряд Фур'є з
періодом 2л співпадає із самою функцією (тут а, = -4,6, = 2,6, = 5,
решта коефіцієнтів .рівні нулеві).
Приклад 1. Розвинемо в ряд Фур'є функцію періоду 2л
□ Точки -л, я є точками розриву функції на відрізку [-я-;л].
Значення Дх) в них можуть бути не задані, оскільки не впливають
на її розвинення в ряд Фур'є.
Задана функція на відрізку кусково неперервна І
кусково диференційовна, тобто задовольняє умови теореми
Діріхле, тому її ряд Фур'є збігається саме до Дх) в усіх точках
числової осі, крім точок розриву Д2к + 1), к є 2.
У точках розриву сума ряду
79
Зобразимо графік суми ряду:
Рис. 3.
Обчислюємо коефіцієнти Фур'є:
1 ([0 п , [Я , \ 1 хг |я я
«о=-|| О Фг + І хсіх\ =-----
Н1" Іо І к 2 |о 2
а„ - -(Ґ 0 со8ях</х + [*хрозп.гфг1 = —І-зіпнхГ+Д созлхҐ
20 / я\п ]0 И2 |о>
ГО, и = 2і,
яп2' ' '-------г- « =
( яп
Тут враховано, щозіплтг-О, созл-г = (-і)'', пеК.
Запишемо розвинення функції у ряд ФурЧ.
_я 2^.соя(2л-1)х " Л*я^24 + |)’ хєЛ)
4 «„=! (2«1)2 и-і и ||\ х = я(2Л + 1), к є/.
Зокрема, при х = 0
7 2” І . і
•---У--------7, ЗВІДКИ 1 + — +
* *£1(2л-1)2 3і
Знайдемо амплітуди гармонік:
дістанемо числовий ряд
(2л-І)3
8
№(2н~1)4 (2л-і)2 я(2н-1)3
«=1,2,3,....
. Зокрема, Л=— у4 + ж2, А,А,=—\'Т+9т2: А, = -,...
я 2 9я 4
Побудуємо графік амплітудного частотного спектру функції
Рис. 4. □
Приклад 2. Розвинемо в ряд Фур'є 2л-леріодйчну функцію
/(х) = х, хе(-я,х), Дх+2я)=/(х).
О На відрізку (- я;л] функція задовольняє умови Діріхле, тому її
можна розвинути в ряд Фур'є. В точках -я і я /(т) не визначена.
Сума ряду Фур'є а точках розриву я-(2і+1), ке 2, дорівнює
5(^(2* + ф = 1(/(- ж + 0) >/{* - 0)) = = 0, * е 2.
Зобразимо графік суми ряду:
II Г Г Імрдіюгсма
В1
Оскільки /(.і) непарна, то вона розвивається в ряд лише за
синусами. Маємо
ао=О, а, = 0, л = 1,2,3»...,
, 2 (Я . , 2 ( х я- І , я-
о. «— п л8іппхах = — —созпх + —гзіп/іх
Д п 0 и2 0,
2
-С03«Д- =
Я-
= « = 1,2,3...
п
Запишемо розвинення функції в ряд Фур'е:
5(х) = 2£ -——— • зіп пх
п=і п
|7(4 хеН, х^я(21с-І І),
|о, Л = д(2і + і). к ^г.
Обчислюємо амплітуди гармонік Ло=О, 4^2. Л?-|. 4,
1 2
А, А і будуємо амплітудний частотний спектр
2 я
функції:
<?т "
"’2 3 4
Рис. 6
82
Підставивши в отриманий ряд значення л- - —, знайдемо суму
ряд4<-1Г‘ їМ- °
Приклад 3. Розвинемо в ряд Фур'е 2х-періодичну функцію
ч [х + 2я, X ЄІ-7Г,0І
□ Функцію можна задати єдиним аналітичним виразом /(т) - л,
х є (0,2 л-), /(л + 2я’) = /(*), а тому при обчисленні коефіцієнтів
Фур'є доцільно вибрати відрізок інтегрування [0;2я]. Для функції
виконуються умови Діріхле. Отже, ряд Фур'є збігається до /(л) в
точках неперервності, а в тачках розриву х = 2кп, к є 2, сума ряду
5(24»)=|(/(0-0) + /(0+ 0)) = і(2я . 0)-,?, * є2.
Побудуємо графік суми ряду 5(л):
.ад
Рис. 7.
Функція не є ні парною, ні непарною. Проте, якщо здійснити
паралельне перенесення графіка по вісі ОУ на я вниз
<р(л) = /(л) - я-, то р(л) є непарною функцією. Таким чином « ж,
а„ =0, п = і, 2,3,....
83
У такому спрощенні обчислень
І ,1« 1 хг 12*
= 2*,
легко пересвідчитися.
а„ - - хсоалхФс = [-8ІППХІ + Дсовлх | = 0. п = 1.2. З,....
п я}(> Іл |о п1 |о;
, 1 г2>г . , ( х 1 . ІЗ’#'! 2 і -і і
Ь„ ~ „ Х8іппхах =—созпх +—гзіпнх = 11 = 1,2.3,...
’ я-’0 к п [о л2 |0 ) п
Дістанемо розвинення функції в ряд Фур є.
,5М=ї-2х«=т^«.^2**. и
£ п І5> х = 2лк, к е 7..
Приклад 4. Розвинемо в ряд Фур'є функцію
/М = |5ІП Л|, X Е [~ *, 4 ,Г(Х + 2*) = /(х).
□ Функція неперервна при всіх х, кусково диференційовна і
парна. Ряд Фур'є збігається абсолютно і рівномірно до /(.?) при
всіх т єЛ.
Будуємо її графік:
Обчислимо коефіцієнти Фур'є, враховуючи, що }зіпл[ = 8іпх,
якщо х є{0,я]:
Ь„ - 0, л = 1,2,3,..., ав - — Гяттсіх = - —соях) =
л 0 Я 10 я
84
» —|^8ІПХСО8ЛХа&Г = -|*(8Іп(л+ і)х~8Іп(л-1)х)<А =}п*1| =
= 2^
Го, л = 2і + І,
г, П-Ік, * <;/•,
Для п = І інтеграл обчислюємо окремо
— (*5ІпхсозхФ( = — Ґзіп 2х<іх = —— соз2хГ = 0.
я* 2я 0
2 4® 1
Тому для всіх х є К І5іпх| =-У—г—-соз2пх. □
я я„сі4п -1
Зауваження. Дана функція періодична з періодом я. Її можна
було б розвинути як парну функцію в ряд за системою функцій
созЗпх, « = 0,1,2,..., обчислюючи коефіцієнти за формулами
а„ = ^^зіпхсо82лхі1г, л = 0Д2,.... Отримали б ряд Фур'є за
іншою системою функцій, проте цей ряд також збігався б
абсолютно і рівномірно до Дх) при всіх х еК.
§3. Ряди Фур'є дря 2/-періодичних функцій.
Нехай функція Дх) має період Т=21 і на відрізку [-/;/]
задовольняє умови теореми Діріхле. За допомогою відображення
у-^/і відрізка (-/;/} на [- я; я], дістанемо розвинення функції
Дх) у ряд Фур'є через загальну тригонометричну систему функцій,
ортогональну на відрізку [-/;/]
.. ї °0 £-( П!а і. ЛяД
Д-0=у+с03'“ + «’п —.
Коефіцієнти Фур'є обчислюються за формулами
85
“о ’'Ґ,/МЛ. «. = « = 1.2.1...,
*, = уҐ/Л-Ф'п^А, « = 1,2,3......
При обчисленні коефіцієнтів можна Інтегрувати на довільному
відрізку [д;а 12/] довжиною періоду.
Парна функція /(х) періоду Т = 21 розвивається в ряд за
> а0 Л иях 2 г/ .
косинусами: Дх)= ~ + 2.а„соз—, де аи -
*. =0. « = 1,2,3,....
Непарна функція /(.х) розвивається в ряд за синусами
х)=Х»„їіп-р, де 4, =у(|/(л)мп---Л, «о=а„=0,
п -1,2,3...Подамо загальний член ряду Фур'є у вигляді гармоніки
лях , . плх . . Г лях 'і .. . „ л 2я
а„ сая-^~ + Ьпзіп—^-= Ля«п^—— +?„). Частоти гармонік 0, ~ ,
утворюють дискретний частотний спектр функції -
так звані хвильові числа /(л), амплітуди Л = ^ Л = 7а! + ’
амплітудний спектр, а початкові фази - агсі^ -- (л — 1,2,3,...)
Ьп
відповідно фазовий спектр функції.
Для всякої Інтегровної на (-/;?] разом із своїм квадратом
функції /(л) для коефіцієнтів Фур'е справедливі нерівність
Бесселя та рівність Парсеваля-
Ляпуном ^-+Ї(о2+4.!) = ;І',/!МЛ
2 *=г •
Звідси випливав, що коефіцієнти Фур'е прямують до нуля при
л-->»: Нліа„ =0, Ііт6„=0
л-мо л-*<
88
Якщо періодична функція /(х) з періодом 21 неперервна при
х є/? разом із своїми похідними до к-го порядку включно (к>0), а
(£ + 1)-а похідна кусково диференційовна, то для коефіцієнтів
Фур'є виконуються співвідношення ап = = °(~їтг) ПрИ
п -> со .
У цьому випадку ряд Фур'є можна почленно диференціювати
не менше к разів.
В околі точок розриву функції /(х) має місце явище Пббса,
коли частинні суми Т„(х) ряду Фур'е значно відхиляються від ЇЇ
односторонніх границь внаслідок нерівномірної збіжності Т„(х) до
/(х) в цьому околі.
Приклад 5. Розвинемо в ряд Фур'є періодичну функцію
Дл)=|4 ^е(-2;2). Дч-«)=/(*)
П Маємо період Т = 4, півперіод / = 2.
Будуємо графік функції:
/(*)
Рис. 9.
Функція задовольняє умови Діріхле, при всіх х неперервна,
кусково диференційовна, тому ряд Фур'е збігається абсолютно і
рівномірно до /(х) на всій числовій осі. Оскільки /(х) парна, то
4„=0, п = 1,2,3,..., о0 = |£2лЛ = уР=2,
87
2 Ґхсо*-® «Л =— .чіпа«|2- 2 =
" 210 2 лж 2 Ю ЛЯ-*1 2
І2
Го, я = 2к,
п=2к
Запишемо розвинення функції
І, к е.21.
ряд Фур'є
О я> СОЗ - „ ‘
я п=і (2л-1)
., ,. п 2я Уя пя
Числа 0,
1 2 2 2
утворюють дискретний
8 8
часі отний спектр } (х), а числа Д> = ї, А,--—, Л2=0, Л3 =—г,
я 9я
8 8
Л4=0, А^ —, . Л2я_, = -у, ^п=^> - визначають її
‘я я (2л-1)
амплітудний спектр. О
Приклад 8. Розвинемо в ряд Фурс функцію
х6(-/і/| Дх + 2/) = /(х).
О Будуємо графік функції:
Рис. 10.
86
Функція неперервна при всіх х, тому ряд Фур'є збігається
абсолютно і рівномірно до /(х) при всіх хеН. Оскільки /(х)
парна, то Ьй = 0, п = 1,2,3,..., а0 = ~
ҐХ8ІП^4ЇХ І -
—зіп^І
ЛжЮ «2 , А" «2
“Тк =л?СО8'иг=(-')
І ' ПЯХг
=--------ХСО5і“І
пя\ пя і |0
п г 1,2,3,...
Запишемо розвинення функції в ряд Фур'є
/Н = Т+?^”ИКЙГ’ хєй
Якщо взяти 1 = я. то для функції /(х) = х2, хє[-я,лг|
/(х + 2т) = /(х) дістанемо ряд Фур'є
я2 “ (- І)"
/(х) =--ь4Уі—^-сознх, хєК.
З »=і п2
Підставивши значення
дістанемо числовий ряд
,, « 4гГУ і і і і і-п т
0= —+ 4£-~звідси —+...4-1—2—
З ..і л2 Iі 22 3і 42 л2 12
Якщо підставити значення х = я. то отримаємо суму ряду
22 З2 42 п1 6 '
Додамо ці два ряди, знайдемо суму такого ряду
І2 З2 52 (2л-1)2 8'
Скористаємося рівністю Парсеваля-Ляпунова при і = я:
2т4 ігг І І гя 4 , 2я* 2 4 ® і я4
---+ 1бУ-т = — | Х(ІХ----= -я, звідси У-т=—.□
9 £іи4 /Н' 5т 5 £л4 90
12
89
§4. Ряд Фур'є для неперіодичної' функції.
Нехай функція Дл) визначена на скінченому інтервалі (а,Ь) і
задовольняє на ньому умови теореми Діріхле. Розглянемо
періодичне продовження заданої функції на всю числову вісь з
періодом Т = Ь - а, вважаючи 5(х) = Дх) на (а; Ь), 8{х і 7) = 5(х).
Ряд Фур'є для періодичного продовження збігається до 5(л),
причому в усіх точках неперервності функції Дх) із інтервалу (а; Ь~)
сума ряду дорівнює Дл).
Зокрема, якщо Дх) визначена лише на інтервалі (0;/). то її
можна довизначити на інтервалі (-/;0) парним способом і
періодично продовжити, покладаючи
Г/(х), х е(0,/),
5(л)=1 /(- х), х е(- 1,0), Х(.« + 21) = 5(л),
7(0). х-0,
або непарним способом, якщо
[Дх), х е(0Л),
[/(0), х = 0,
Графік 5(л) на (-Н) буде відповідно симетричним відносно
осі О¥ або початку координат (рис. 11а, б):
ао
Знаходимо розвинення в ряд Фур'є функції 5(л) з періодом 21.
На інтервалі (0;/) дістанемо розвинення функції /(х) в ряд Фур'є,
що містить тільки косинуси або тільки синуси.
Приклад 7. Розвинемо функцію /(х)= І? х е(0;/) в ряд Фур'є
тільки за синусами. Побудуємо графіки перших трьох частинних
сум ряду 7](л), 72(х), Г,(х).
□ Будуємо непарне продовження /(х) на інтервалі (- /;0) з
наступним його періодичним продовженням (Г = 2/) на всю
числову вісь:
-/ >
!° 7 *2/
►1-і - ►
Рис. 12.
хН-^’н,о),
Функція 5(х) задовольняє умови теореми Діріхле.
Обчислюємо її коефіцієнти Фур'є
а0 = 0, а„ = 0, п = 1,2,3, ,
(0, п = 2к,
"І—, я2*1, іє2*.
Іл/Г
На Інтервалі (0,/) сума ряду Фур'є дорівнює /(х). При всіх
х є Я маємо
91
92
Рис. 13 в.
§5. Комплексна форма запису ряду Фур є.
За допомогою формул Ейлера соя5® = 4 7 ),
8Іп-® = ^-ґе'' ряд Фур'е для функції періоду її можна
записати у комплексній формі /(*)= ^спеі-г
де еа=^,с,=^,с.,=^<Я = 1,2,3„.’
Комплексні коефіцієнти Фур'є можна виразити єдиною
формулою: о, л = 0,±І,±2.
Дійсні коефіцієнти Фур'є можна виразити через с„: ^ = с0,
а, = 2Ие(с,), Ь, = -21т(с„), » = 1,2,3,.„.
Приклад 8. Розвинемо в ряд Фур'е функцію
/(х) = ем, хє(-я',я), а>0.
□ Функція неперервна на інтервалі (-»-.»), задовольняє умови
Діріхле. Для неї доцільно обчислити комплексні коефіцієнти Фур'е:'
с =±г ,1—-еі“''”>-|я’ =
2я]"я 2я3'я 2я(а-іп) |-я-
= -у-*—Леї-"1* - е4-*)=-ЬУ (<" - Г”) = І-4 /Ло*.
2я[а~іп}' ’ 2я(а-/л)' ’ л\а-іп)
93
л = 0,±1,±2..тут є*"” = созпя±ізіппя-(-1)".
Запишемо ряд Фур'є в комплексній формі:
я я=іа-іп
Знайдемо дійсні коефіцієнти Фур'є:
а0 зкая (~ї)я$Ная, . (-І)п2азЛая
^=с«=--------. Л---------її“ + '4 ( —і-
2 ая лід +н ) я[іг+п )
. (-1),,и2и.уЛая’ , ,
4, -2|<п(с,)^-----------и~. я-1,2,3,...
яіа +п і
У дійсній формі ряд Фур'є має вигляд:
якая 2$Ная 2. (-1)" , \ і \
е ------+-------У -у- -^-зіасозпх-лзтмх), іе( я;я).
ая я п=і«+н
Сума ряду Фур'є 5(х) є 2л-періодичною функцією, 5(х) = /(х)
при х е(-я;я), л((24-1)ж) = -—к&2.
Побудуємо графік суми ряду Фур'є:
8(х)
Приклад 9- Функція /(х) задовольняє умови /(-х) = /(х)
/(х + я) - -/(х), X € (- я-, я). Доведемо, щоб в її розвиненні Фур'є
Д,=о. °2я = 0. л = 1,2,3.
П Дійсно, згідно умови /(-х) = /(х). функція парна, а тому
Ья - 0, п = 1,2,3.Обчислимо коефіцієнти аг„:
94
а2п = “ {*, /(*)«» 2их оЬг = {.["„/(*) соз 2пх (іх +/’ /(л) соз2«х Лг|
У другому доданку зробимо заміну змінної х-і'+я. Тоді,
враховуючи умову /(х + я) - дістанем©
°2» = ~ (Д ДОСО3 2пт Л + /°я Л* + *) соз(2и/ + 2>ія)(їі[ =
= — |°я(/(х) - Дл)) соз 2ях <іх = 0, п = 1, 2,3,...,
що і треба було довести. □
Вправи для самостійної роботи.
— Наступні функції розвинути в ряд Фур'є:
187. Дх) = л2, хє(0;24 Дх + 2я)=Дл).
188. Дл)=|л|, лє(-я;4 Дл + 2ж) = Дл).
І я’, якщол є(-я;0],
я-х, якщо х е(0;4
{х, якщол є(0;4І
/ /У і
якщохє|^;яІ
Дд.+2»)=Л4
а) за косинусами;
б) за синусами.
191. /(х) = $іпаг (а не ціле число), х є(0;я), за косинусами.
192. /МД Лл + 4) = /М.
[З, якщол є(0;2),
. . (л, якщол є(<НІ-
193. /(*) = < / . за синусами.
[1-х, якщол €({;/>
. . [л, якщолє(0;11
194. /(л) = < 'за косинусами.
(2-л, якщол є(1;2),
95
{зіп у-, якщо х єгО;^І
] за синусами.
0, якщо х є І2’Ч ’
196. /[х} = скхі лє[-лг;л-}
197. /(х) = 2х, х е(0,1).
198. Дх) = х, хе(-/;/).
199. /(х)-х(л--х), хє(0;я).
200. /(х) = х(!-х), х є (0; 7), за синусами.
Розділ 4. Інтеграл Фур'є. Перетворення Фур'є.
§1 . Різні форми Інтеграла Фур'є.
Нехай функція /(/)
неперіодична і абсолютно
абсолютно інтегровною,
ИЛ'И=и < »
визначена на всій числовій осі,
інтегровна. Функція /(г) називається
якщо збіжний невласний інтеграл
Якщо на довільному скінченному інтервалі (-/; і) функція
задовольняє умови теореми Діріхле, то її можна розвинути в ряд
Фур'є, тобто подати у вигляді нескінченої суми гармонічних
. > Л я пя
коливань. Частоти гармонік 0,утворюють
геометричну прогресію з різницею Лй>я = —. При збільшенні І
відстані між частотами сусідніх гармонік зменшуються, дискретний
спектр хвильових чисел згущується.
Якщо ж сегмент розвинення, необмежено розширюючись в
обидві сторони, ОХОПИТЬ ВСЮ числову ВІСЬ, тобто /->403, ТО
Дй>п~>0, послідовність частот із дискретної перетвориться в
96
неперервну множину ДІЙСНИХ невід'ємних чисел:
Континуальним аналогом ряду Фур'є для неперіодичної, визначеної
на всій числовій осі функції /(і) є інтеграл Фур'є.
Теорема Фур'є. Якщо функція /(/) визначена на всій
числовій осі, обмежена, абсолютно інтегровна на ній і на
довільному скінченому інтервалі кусково неперервна і кусково
диференційовна, то вона розвивається в інтеграл Фур'є:
{/(/) - в т. неперервносн;
г(/('-0)+/(,+0)) - »і. розриву.
Подвійний інтеграл, що стоїть ліворуч, називається інтегралом
Фур'є функції /(/) в дійсній формі. Інтеграл Фур'є можна подати у
так званій тригонометричній формі:
Л')=Шй))сО8ГУ/ + ДЄ л(й)) - — | \/’(/)сО5й)/(Й ,
6(бу) = — - неперервні аналоги коефіцієнтів Фур'є,
а> є[0;+оо).
Зауважимо, що, згідно теореми Фур'є, рівність-справджується
лише у точках неперервності функції /(/), а в точках розриву
інтеграл дорівнює півсумі односторонніх границь функції.
Нехай /(/) визначена на всій числовій осі, задовольняє умови
теореми Фур'є і парна, тобто /(-»)-/(/). Тоді
а(<а) = — |*“/{г)со8гй<й, Xй) = 0.
/(?) = ^а((у)со8йХг/й) = — со8б*</й>£°/(і)созйМ- це так званий
косинус-інтеграл Фур'є для парної функції. Якщо /(/) непарна,
тобто /{-?) = -/(/), то и(аі)=0, К<0) = ~СВ’/0)8'°<агЛ, а ФУ"«ФЯ
розвивається у синус-інтеграл Фур'є
/(/) = Цш)зіпаіГс/ш = — £°зіпйХ^іа^“ /(/)8І»йХ Ш.
ІЗ — Г Г. Ьоріимсьм
97
Якщо функція /(/) визначена лише на інтервалі (0;+оо), то її
можна довизначити на інтервалі (-а>;0) парним або непарним
способом, дістанемо відповідно її розвинення в косинус- або синус-
інтеграл Фур’є.
Інтеграл Фур'є у тригонометричній формі зведемо до такого
вигляду
/(/) = |*(а(й>)со5<у/ + 6(<у)5Іпгуґ)і/й) = ^Я(й>)8Іп(би/ +
де = 7^ї(‘и)+ &ї(й’) «’((У)
°ХҐО)
Функція Л(о>) називається амплітудним частотним спектром
неперіодичної функції. Її графік є неперервною
неперервному інтервалі частот [0,+ »).
Таким чином, інтеграл Фур'є здійснює
неперіодичної функції /(г) у спектр неперервної
кривою на
розвинення
нескінченоі
множини гармонік за всіма частотами 0<а)<<х> (а не лише за
частотами, кратними основній частоті, як це було у періодичних
функцій). Амплітудний спектр Л(о>) характеризує інтенсивність
коливання, що відповідає заданій частоті со.
У комплексній формі інтеграл Фур'є має вигляд
до=
Зауважимо, що у зовнішньому інтегралі за змінною а>
береться головне значення інтеграла У.Р. згідно Коші
Користуючись формулами Ейлера, легко здійснити перехід від
дійсної до комплексної форми інтеграла Фур'є і, навпаки.
§2 . Перетворення Фур'е.
Із комплексної форми інтеграла Фур'є дістанемо пару
інтегральних перетворень:
/[У] а р(/®) = пРяме перетворення Фур'Є,
ПЛ-Д') =
/*^Е(їсу)е'мііа) • обернене перетворення Фур'є.
2я
Функція /(/) називається оригіналом, а /•[/] = Р(/л>)= /(г) -її
Фур'є-образом або зображенням.
Якщо пряме перетворення Фур'є розглядати як інтегральне
рівняння відносно невідомої функції 7(0> то обернене
перетворення визначає його розв'язок.
Комплексна функція Е(м>) дійсної змінної ш називається
спектральною щільністю функції /(<) (відіграє важливу роль в
застосуваннях). Якщо її виразити у показниковій формі
Г(йу) = - о. < (о < со, то модуль спектральної щільності
Л(д>) = |ї-(/л»)| називається амплітудним спектром, а аргумент
спряженої функції - аг§ Е(/<у) - фазовим спектром /(/). Вони
визначають відповідно амплітуду і фазу коливання з частотою <у.
Якщо в цих формулах від кругової частоти перейти до частоти
і зробити заміну <і) = 2лу. сій» = 2л-^ґ, то дістанемо
Графіки амплітудного Л(у) = |Е((і')| і фазового'^(і') - агцЕ(/г)
спектрів - неперервні криві, що є обвідними дискретного
амплітудного і фазового спектрів ряду Фур'є ді]я періодичної
функції /{і) = /(і т'Г) при Т ->оо.
В дійсній формі' маємо прямі перетворення Фур'є
а(«і)= -|+“/(/)со!>й«Лг, і(ш) = —£^/(/)зт<аГ<й і обернене
перетворення /(і) - |^(й(й))сО8й« + />(й))5ІПй)г)Ла, <У = 2яу.
Для парної функції ( /(-/) = /(г) ) із косинус-інтеграла Фур'є
маємо пряме косинус-перетворення Фур'є РДй)) = |“/(ї)сО8О)ГЛ,
та обернене косинус-перетворення Фур'є /(і) = — ^°Ес(й))сово*
ІЗ"
98
Для непарної функції ( /(- ?) = -/(/)) із синус-інтеграла Фур'є
отримуємо пряме синус-перетворення Фур'є Р5(а*) = ^/(г)5Іп«аґЛ
та обернене синус-перетворення Фур'є /(/) = —]^К,(<у)8іпляї/® .
Якщо /(г) визначена на проміжку (0;+оо), то її можна
продовжити на всю вісь парним або непарним способом І знайти
відповідно косинус- або синус-перетворення Фур'є.
Зауваження. В класичній літературі розглядаються
симетричні формули перетворень Фур'є в ортонормованій системі
нм=л • їїо=
р»=^ІГїї')™»®"*. її')=
р.(®)=^|гїї')5іі"°"/' її<)=^£Ор-(й’)®іп“я
Перетворення Фур'є знаходять широке застосування в
задачах математичної фізики, електротехніки, радіотехніки,
акустики, гідро- і радіолокації, цифрової обробки сигналів,
розпізнавання образів, теорії автоматичного регулювання, тощо.
§3. Властивості перетворення Фур'є.
Вважається, що функції та їх похідні задовольняють умови
теореми Фур'є.
1.Г[<?Г+^]=а/7[/]+^Г[р], а, 0-сопи-,
г. /(-')=р('®);
4. =
5. Д<).г»'=Г(;(и-и0));
100
6 (М* 44 ‘ = 1,2,3,...;
7. (-«)* /(<) = Г|1,(і<в). ‘ = 1,2.3, ;
Функція
£*/(т)-^(г-г)с/т називається згорткою
^171
функцій /(,) і Р0.
в. 4/«р]=44-44
Для функції двох змінних У(х,і) мають місце формули
перетворення частинних похідних:
9- 4е7.1== М4
44]=
44]=4;£>.МЄ-“і/< = ^44
10. Якщо /(г) задовольняє умови теореми Фур'є, то функція
[р(/й?)| - неперервна при є Л і Ііт |Г(й»)| = 0. ,
Ефективність застосування перетворення Фур'є для
розв'язання крайових задач математичної фізики зумовлена тим,
що рівняння в частинних похідних зводяться в операторній формі
до алгебраїчних рівнянь або звичайних диференціальних рівнянь,
розв'язок яких значно спрощується.
Незручність перетворення Фур'є викликана тим, що
найпростіші функції зіп/, созґ, /” не абсолютно інтегровні і не
розвиваються в інтеграл Фур'є. В таких випадках використовують
перетворення Далласа.
Наведемо приклади розв'язання типових задач на інтеграл і
перетворення Фур'є.
Для кожної із наведених нижче функцій знайдемо спектральну
щільність, розвинемо функцію в інтеграл Фур'є, побудуємо графіки
функції, її амплітудного та фазового частотних спектрів.
101
З - /о»
_ л , е'3‘> якщо і >0.
Приклад 1. 7(0 ~
10, якщо І < 0.
11 Переконуємося, що функція абсолютно інтегровна:
О-ЛОИ ~ Се 3‘- у задовольняє умови теореми Фур’є, тому
й можна розвинути у інтеграл Фур'є.
Знайдемо спектральну щільність функції
І(>Ш) = - I? .....;
Запишемо розвинення функції в інтеграл Фур є
І яки>° *єй\0,
2^ -ж9 + й?2 ’ ](, якщої = 0.
Таким чином графік інтеграла Фур'є відрізняється від графіка
/(/) лише в точці і - 0. Знаходимо амплітудний і фазовий частотні
спектри. ! є'*”*'*1, тому Л(л>) = = г-=—: .
79 +• а)2 79 і (0і
<р{и>) - аг£ Е(/(у) - агсі^^.
будуємо графіки вказаних функцій (рис 15у.
/(‘)
102
р, ЯКЩО |/| < д,
Приклад 2. /(і) = 2
0, якщо |/| >^. *
□ Функція абсолютна інтегровна - г0.
задовольняє умови теореми Фур'є і парна. Знайдемо її косинус-
перетворення Фур'є: 1;(<и) = £°/(/)созй#Л = £^СОЗЙ*Л = -яіп^.
Маємо розвинення /(і) в інтеграл Фур'є
2„ І . , [/(') <єЯ'(±|),
- І — 5ІП~2^ СО8<У/Лу ~ '
Я’ 0 а і , _ +'<і
Зокрема при / = 0 і /0=2 дістанемо — /ЇО) = 1,
я* ф '
Г®8ІП(У , Я . Г+®ЗІПЙ> ,
звідки І ----ащ = — і І -----аа> = я.
<у 2 Лес «а
Функція Ес(й>) - парна, приймає дійсні додатні або від'ємні
значення, тому = -Гс(®^ = |—зіп
[о, ЯКЩО -‘-5Іп“а > 0.
ІД, ЯКЩО ^8іп-< 0.
Нулі функції зіп^у- визначаємо із умори
™ Я г-у а! \
-~~яп, «Є4=>щ = —. У точках <у = —і-—, пє/^ Л(«»)
2 іо То
приймає значення— . Крім того, Ііт —
є» <у-*оіо 2
Будуємо графіки функцій /(/), Рс(ф). А((о), ?»(щ) (рис. 16).
103
/(>)
«Чл ' .4М ф
Рис. 16. □
{8МІҐ, ЯКЩО І/І 5 Л-,
п |,|
0, ЯКЩО |/| > я.
□ Функція абсолютно інтегровна і задовольняє умови теоремі
Фур'є, непарна. Знаходимо її синус-перетворення Фур'е
Рж(й>) = = ^зтиіпвМйк =-£(соз/(1 -а?) -со8»(1 + ю))Ли=
Іґ 1 . /, к і . А|* І/'ЗІПЯІ® 8ІПЛйЛ 5ІПЯШ ,
= ------ьт/ІІ-й))-----ЯПЛІ + в)) =- -----+------=------г, й>#1,
2Ч-й> ' 1 1+а> * 7/|0 2М-а> 1 + о)^ І-®1
г.О)=£ ™! «* - |Г(< - -1 - і“п.ПМ
Розвинемо функцію в Інтеграл Фур'
Рівність виконується при всіх значеннях І.
104
линем=1^1.
|1 — й) |
О, якщо > о,
1-&)2
я, якщо /о.
1-й»2
Будуємо графіки функцій /(/), Г,(й»), -Х^), «К*») (Рис 17).
Приклад 4. /(/) = е ", а > 0, г > 0.
□ Функція задовольняє умови теореми Фур'є.
Розглянемо парне продовження /(-/) = /(і) функції на всю
вісь і. Знайдемо 11' косинус-перетворення
Ь;(о>) = £е" ^^(іі - +е =
і(= |Г 1 + 1 = д
2\ ім-а іш + а 7|0 2\а-іа> а + ій)) а2+ш2
Дістанемо розвинення функції в косинус-інтеграл Фур'є
_ 2 £□ а со80і/(ій>, 1^0, а також значення важливого
яі0 а +(о
Н “ Г Блраноеська
105
невласного так званого інтеграла Лапласа. При цьому
2“«К®) = 0-
я + <у
Графіки парного продовження функції І приведені на рис. 18
При непарному продовженні функції на всю вісь /(- /) = -/(/)
дістанемо її синус-перетворення:
= ^е~“'= ~^е'аІ^е’м =
_і(, е-'1,'4Ій,П|°° = о>
іа>-а іа> + а _л0 а2+а>2
Отже, синус-інтеграл для Дг) має вигляд
-аі 2 і-® (!> . . , . _
Є =— п —5--------тЗІПйЯЩУ, Г>0.
я 0 а +(О
Ця рівність також є виразом невласного інтеграла Лапласа.
Графіки непарного продовження функції та спектральної щільності
приведені на рис. 19.
106
Приклад 5 /(;) = 5^п/- 5^п(/- 2)
[і, ї->0,
П Нагадаємо, що ь&и - Н), і - 0, тому
І. І, к
12, якщо 0 < і < 2,
1, якщо 1-0, 1-2,
0, якщо і < 0 і і > 2.
Невласний інтеграл - |22Л/--І збіжний, /(/)
задовольняє умови теореми Фур'є Знайдемо її переїворення
Фур'є в дійсній формі.
а(щ) = — [+* /'(Оєозглс/г = -- [22созш/Л = — зіп 2<у,
' яіо па>
Ь(іО) = -|*“/(ї)8ІПй)їс/ї ~ -|о:2зІП«МЛ = —(1-СО82іу).
Запишемо розвинення функції в інтеграл Фур'є в дійсній
формі:
г,, 2г«=/'зіп2а) і-соз2ш . ''і. 4 Гсо8Іпй) ( ,
Ш) = —| --------СО56Л/ +---------зіпйУ\а(0 - — ґ---созй>(ї -\}аа).
7V ; я-)й < ҐУ й) > ш ’
Значення функції і інтеграла Фур'є співпадають в усіх точках
числової осі.
Визначимо амплітудний і фазовий спектри функції.
107
Л(о>) = + Ь2(ґо) = ~
я’І <и І
р(й>) = агсІ§^^ = пгс/£^Щ~^
' ’ а\й>) $т2й)
= агсі£і§(0 ~(о, й) е (0. я-),
у(а) + «•) = <р(<у).
Будуємо графіки функцій /(/), А(а>), <р(<о):
Зауваження. Для /(/) можна знайти перетворення Фур'є
комплексній формі. Покажемо, що дістанемо такий же результат:
КМ=ІУСУ'-'Л=- і)=
= —(соз2<У - І - І5ІП 2<о) = — 8ІПД?(сО8(V - І8ІП ґо) = *8.‘Пй> е-'т.
(Ой) й)
Запишемо інтеграл Фур'є-
/0) = — Г^РМ^'^й) = - Г+вЗІПЙ? е^е'^'^й) =
7 ' ' 2л-' 7 я-(о
2 /+<®8ІП й) 1) і 2 ( л+*^81П й) / .. ,
---------е І = — Г ------СО8й>(/— 1)^07 +
п}"^ а> яЛ7-® а х ’
.,+«$№в) . , ... ї 4г»зіп(а ,
+1] —злі<й\і- 1)а<і^ = — ]0-со8<у(г- .
108
Другий інтеграл рівний нулеві, оскільки підінтегральна функція
непарна. Дістали такий же результат. Зауважимо, що
|Г(/<у)|= □
201.
Вправи для самостійної роботи.
— Наступні функції' розвинути в інтеграл Фур'є, знайти спектральну
щільність функції, побудувати графіки функції та її амплітудного і
фазового частотних спектрів:
р, якщо
[0, якщо |г| > І.
І + /, якщо і є(-І;0^
202. Д/) = Л-г, якщо ( є(0;1),
[0, якщо |4^1.
{С08ЛЇ, ЯКЩО 14 5
, 2
0, якщо |4>2*
204. Дґ) = зеп(г - а) - - Ь), а< Ь.
205 а>0'
Вказівка. Скористатися значенням інтеграла Лапласа із
прикладу 4.
206. Дґ) =
з^п/, якщо
0, якщо |/| > 1.
207. Дг) =
якщо |ґ| < а,
0, якщо > а.
‘ 109
Розділ 5. Розрахункова робота.
Завдання 1. Знайти л-у частинну суму 5„ і суму 5 ряду:
л і
1. Г.__±--.
Ьп2-1п
І
З У ------.
Й4л2+4п
5. і
2. У---—
Й9п2 +Зп-2
4. у—"!.1 ,.
ч.іл2(л І 2)'
6і.\
7. У- -
ІІ9яг И5лм 4'
9 .
Діб»2-4
11. і ' -
Йіби2 і24„ + 5'
13. У---------
„,25пг + І5„-4
х 4
15. £- -------.
я-і25л2 -5л-6
17. £--
36л2 4 24л-5
« і
19 У-----------.
«мЗбл2 412л-8
21 £---Л-------
п=о36и2 +48и + 7
Л 6
23 £—.
я=о36л2 - 24л - 5
25 У------,
18л2 4-6л-4
в. X-
ю У , -------.
й.24л2 -8л + 3
* 1
12- X--7”----•
^Ґіібл2 4 8л-З
14- іт4%-
16 ?'І25»’ -І5,| 4
16. £—і 6-----------.
,.і9п2 И2л-5
20.
22. У " --
24. У—-Л-----.
„І8.Г 6П 4
26. £— ------.
“і25»!+5л-6
110
27. X----5---
“,12л2-З
29. £-------------.
».»25л2+35л + 6
28. ї. ,-----
Й9л2+бл-8
£-г-7—
,ГЇ49л --35.. 6
Завдання 2. Знайти л-у частинну суму 5„ і суму 5 ряду:
і. £?Ц£. і=о 8 2 У І
' ;й(я+7з)(п+л/з + і)'
з. 00 І 1 І 4. Уіп 1 .
Л=1 л2+2л ... і (»+і)г;
5. у(.-'»"..12'. “•Ул + І-л/й 6.1 Гі— .
1=0 3 л-І "УЛ +Л
7 ,Й(П!-і)(л^2)' 8. їЬі);±г. л=0 6’
« 1
л») п +3п + 3 л=|И(л + 1Хп + ^)
.5.3"+(-4)”
11- X ,, л=0 •> £зл(л-1Хл + 1)*
л=о 4
15. У----________.
„:‘!п -1)(л- 2)
17. ЇР- + -Ц
ДЛ "з” п”!
п=о'3 2 /
.л £/л + 2-л/лТї
2' ґ . •.
и=0 -5
16 £-----?-----
,.,л(л + 1)(л + 2)'
,в у—3"-2 .
£л(л + 1Хи + 2)’
20 £------!-----
й (2л-І)2 (2 л +1)2
<е |
л?(н -Тз$ї^4з +1)
ні
» 2-4-" 23 дЙИ-й 24 і ’/ТПі '
25, 26. У— Й-в’-о
-><) 28 1і(пТ?2)(П +7Г-Ї)'
,0 £ Л + 2-7» зо)? 2|?‘ я=0 Є
^}і/л(л +1X^+2)
Завдання 3 Дослідити на збіжність ряд:
Л Зл + 5 ІЦ»2-!)' 2. 1-і - І^\п + 5>1п
3 Е 1 , „,1п(»+ 2) <• 14 ч=1 п
_ £ зіп2 п в.
, Лі . і 7. £—810-7=. в І-г Ч -
И.1П V» Яізл(п-2)
О> С 1 > 9. У 1-соз--т= .
+1)
£“Л 7л/
11. £ ’2 ї-.-Д—
„=1^0 + 2) Дп4/3» + 1
із. £(ЛЛ-і| 14 л=2Vи5
’5 їв. £ • |П(їі±Л яИ-чЛ ХЛ-1/
і?. £я.яп?ікй_. Л=і « .. у1г£й(»±Ч «=|- л2+2
112
^,іпу1п2 +2
п „ агссок - - 20. У 'И ! £ 2" + п
». п
• й/г/й -
22 £ р=-- 2
“іл/л2 -2п + 2
24 V
ті ~ ПЛ\
"’и^г-ь СОЗ---^
,іС “ І . 2 + (-1)"
26. У-. -^ііі—— --
«..V? б
Завдання 4. Дослідити на збіжність ряд:
«(2/3 -1)! «І ’ 2 V—- Й(« + 1)!
3-І--1- £(з»)ґ
® ип+і 5*(й- от >П1 в. и-І ЛІ
7 V . .У. ’ лГіЗ-(л + 2Л)‘ » V13 З ...{24-1) іі («+І)І
10 £1МО ІООІ -<»9+") Й 1 3 5...(.’<> 1)
ІЗ — Г. Г Бардедесіса
113
» 1000” ' П~Г н! із у2 5 8-^-1) „ 11 5 9 . ( Ь, І) „=і(к +1)! 17. £н.сагс5Іл—. л=2 П* 19. п=» 2"* 2 ^.(Зп 4-4)1 5’.„3 ' Л пі . д- 23. Етт-^-зіп—-. лн(2л)! 3” 25‘ їі(і + І)У5’' -Ж »=і 2 29. й 5" пг 12. Ж- м(2»)І * є” (6 їШІ-...(ІОл-9) (2п -Г)! 18. < . '2"»1 «>((« +1)!)’ ^3” її' 2“- Хт- А 5 иі 22. £ . -і 72” ч 1 ге. хД4- -м(2л)| 28. зо. ЇМ'™’ я=2^3/ и!
Завдання 5. Дослідити на збіжність ряд:
і. х— £(24-1)- л=Л И > 5 «А 2 ур^+іУ пг +1) 4. Хр-Ї' 6- „ і^Зп 4- 2-
114
7. х—!—. Й(л+2)" 9. „і Зп + 4 її. п" 3я 15^.. л=] 3 ® ,,5 17. У " . ЙІп'(» + 2) 19.У^С. Й(5Л2+3)” 21. V —. -(24)" 23. у['І±Ц-1". мі 1 + п’ ) 25 <•> 1 а. у 1_ - 10. уї—*--) . м<з» І г) р' 14. Я^ї'. Й<2л + і7 16. уАҐІІіу. „,5< п ) ж »|"2 -3" 18. ^(п + 2Г 20. Х~ ~ . ЙЗ" -о” “/ «У' 22. Яагйй-- . л=Л Н-»Р 24.ІУН" ' л=1'4 Зл 1' 26. УХ -зіп'1 --. л=£ Зл
г— В±* 27 29.^.™^. 28. я41І2л+з7 ЗО. (п + І)“.
)$•
116
Завдання 6. Дослідити на збіжність ряд:
® 1 Йл-1п2(л + 4) 3 у 2н + 1 и=г(3л2 +5)-1пи « ] 2. £ ~- „Ґзл-Іпл-Іп(іпл) 4 у_1" ~ 1 ' Л=ііп2(3л)
5 у ,„іЗЛ-7,п(2П+ 1) «• 1-СО§4 7'5 9 і. ,2»- І п=і(л3 + 4)-1п(2л) ц у_ . 3” + 2 ' „г(пг + 1)-1п(2л-1) ІЗ- І., П=і(3л2 +уіпл/л2 +1 - Цч?) 15. у \П+ІС „і^/1п(л + І) 17 у 2л2 + л + 1 Л=2^л3 + пг +іуіп3(2п-1) « 19 у » . ІП2(/. 4 4)' 21 ІА- 12’ 23. ±— я=2Л П + 1) 6 ’ л3+.Зл2 +2 _ Л=і(л‘1 + і)-іп ’(л + 2) 8. у п + і «=і(л2 +3)- 1п(и »• 1) 10 „,гІп (я + 3) 12. V ! л=](п + 2)-(1п2и + з) 14 у. ' Й(п2 +4)1п’(л + 3)' у п п=і(2л2 -1} Уїпл2 * 1 18' ?і(п + 2) і/їїі^+зУ «, агсзіїї 5 20. І -1" Г)л/Ц2л 4-3) 22. ±Є-~-. н-Г ^Л 24. у ''ІІ" . я=2(л + 2)-(1п3л + 5)
116
25. - Л = | ® 8ІП2(л/л + Й 26. и=] -у/П
27. п=1И2^1П3(л + і) 28. „=1 ЛІН +1 « 5ІП -- ЗО. У-—
Завдання 7. Дослідити ряд на абсолютну або умовну збіжність’
« 1)" 5ІП * 1 3 "у'нПіі2) Й іп(л + 4) ' х СОЗЯП-8ІП -—^= в V 4Уи Лл-1 7. у!"'-''3)' £| п'. и.і Ь£_. и=1 V/? .Ул + І із. £(-і)п-^±к "»1 7и5+л 15П-'Г|г 2 уЮ'-г-З'» -{Зл-І) \й |.5.9....{4л-3) 6. Х(-1)" 2?±1. »=1 п +1 ес 8ІОІ 5 + Яп) в. У—12—Л Зл-1 10. £(-1)"4' агсзІпґ-уХ^І „=і \7и + Ь 12. и-оиЦ1+і) 14.Ісо8Яй.^. П.» п л«2«-уІПЛ ® ( Тп \п 18. У|-—г”_| . 5л + 4У
117
20- Й-0"^.
ихі -4п
22
ПМП-ҐШН —7=
\'п
23 £(-1)”Х.
... ("+І)|
25
Л-І «
27 £ 1
“іліп(Зп)
24. У-<-Х
“21п(1пи)
26. ї(-І)*<»«4«иЛ
»=і +У
28. (і-со52).
ЗО. у—('-!>—
Й2"'(» + 1)
Завдання 8. Знайти наближено суму ряду з точністю є:
» Г-Іґил 1 о.ооі. л=І 1” •МГ1 3. У?—Ц-, £=0.01. і+«3 5. £ = 0.01. £їлЦз«+і)’ Л зігц? + лм| 7. У——г1, £ = 0.001. 9. У-Н2—. £ = 0.001. £(2нН2" * 5ІП(^ + ЯИ] П У—£ = 0.001. ... Я3-2” £„о = 4. у±_Ч £= о.ООІ. І-і(и+2) -МГ*'» в Г ’,.- ^оооі. я=| В. г^о.оі. £і. « ю. У-—^, £=0-001. "-|(1 >л2} 12.Я-0я^, £=0.01. в=і П
118
13. £= 0.001.
«1 (« + 3)І
15- Х(- 0”——• £=0.001.
л=| « 4 2н
ос (_ |У+І
17. У=—^—, £ = 0.001.
и=і(л + 3)"
14. £(- І)’-". 4 = 0.001.
16.ХТЗ, 0.001.
п=\П -З
19 Я-1)"—£=0.001.
7 я!-З”
21 £=00001.
23. І(-і)л7-4Л
£=0.001.
25 ^созлп £ = 000|
23л
27. їУ-У-£=0.001.
я=і (« + !)"
28. й-і)"4±і
л=І п + 6
£ = 0.001.
20. У(~І)" —Цг, 4 = 0001.
™і 1 + л‘
22 ХН)'т~р 4=0.0001.
М
оо 8Іп(^ + Ля)(п2+і)
26 £ (Яг- £=аіж
“ (-1Г41
28. ХЧ-2—’ £ = 0.001.
„=іи +3п
зо. Ї(-1)'^, і= 0.001.
л=1 о
Завдання 9. Знайти область збіжності функціонального ряду:
3-Ь"'«Г
5. 2л”р-1)”.
119
9 у
' м1" х
п ^(2"-іХ*г~2*-5)"
15.
«|Л + 1
17, £-4^
19- їЧрг-
..їм11
21. у.АЛ_ї__
я4 7л -(2сО5х)'
23 ,?'т
29
® СО8ЛШЙ +4}
271—ь---
29. П- іГ'*" 'Н
л=і 2
26.
Іі і +4
ге Й-іГ‘ (І+“4)-
ЗО. І^ х-1.
я»І
Завдання 10. Довести рівномірну збіжність функціонального ряду
на вказаному інтервалі:
120
8ІП ПХ
11. ^121—, Г0;і].
п+4 ’ 1 ’ 1
ю. ^х
л=і ' п>іпх '
®,(зіпх |-С05л)”
' V ~.п ’ V
«=1 2
’9. !(-!) '^,[04
00 «ШШ
21. ,
л>;лт п
® (ТЗзіпх-совлґ
23. 1' —— (-«5Н
>; і со).
12 [щ..)
ЛІ 1 І- Л Л
« іл1 +ЙсО5Н\
14-Г >( )
п. і 2 І І
1б- £“2 3'"-- (
п \Н «
18-І
<7 1
го.
ч=і 2 -п
£ 51П ПХ + Є08 ПХ
25. І———--- — .
«•4 И И
26. <( 5)
-і Л'+и’
(-со;юс).
27. ІЗ "-5ІПМЛХ, (-оо;нл).
Я=1
29- іг/4-^ (-^к
«=1І+Х п
28. Е- т, [0;№).
п
121
Завдання 11. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду:
і у <-і±!£ ' ,Й(л + 2)іп!(л + 2)' 3- ц.|Я 5 ^(г + |) + 1) 7. І5"(*-5)’. 9 Й9”(лг+1)' и. і-т+3)2"- и=1 Я! 2.Е^Х. к-І 3” « (я + 4)_ Лї2"(«г + |)1 ’ 6. І^-з)”. и-І я в. їИ иТІ Я-б” ю. І^(т-з)2"-1. 71 = 1"! 12. уГк^. я іп2 (я + і)
13- т". ^\п + з) 15. „=1 7я \ 3 / 17. Ьіп^(л + 2)". 19 2)" ... (л + І)3" 21 ^.(-1)’(Л+5Г л=1 я 23- (3^)'. 14. Іагае^-(л + 3)’. /1=1 і- їв. £(-'Пу;4Ґ п=1 л/я 18. п=І Я! * (л-3)2л 20. У . „1Л.2" Іп!п 22 ?(-!)>»• ' Й 3« + 5 ^(л!)У + ЗГ (2л)! '
26.^ІГ^Г.,
122
27. л=і « +2 * Ґх + П2" од у-ИТУ.... Йр+1)-9"' 28 І--— У Гі(і> І І)1п’(« 1 1) х ( — Н” у” зо. уАЛ--- . »=?(« + 1) Іім<
Завдання 12. Користуючись почленним інтегруванням або
диференціюванням ряду, знайти його суму та вказати область
збіжності:
1£3'„г 3. Х(л + І)рч1)"- я-»-!--;?- ,, 2«(л-і)
5 £<-«)" '" ' Й 4-+1) 9 і,. £1і£- 9^.. л=! 2И-І 13. £(п2+ит1)хп. л=о' ' 15. £(л!-2п-і)Г’‘. л=0 х (/І2 4 л)д" 1 6. -^т- • Л=1 3”* 8. !>«(.? > І)" ‘. 10 1 - 1 „=| ' и 11 І у 12. £(л2-г4„ і ЗП”’1. Л = 1 со 14. у . й(л + 1).х’"1 іУ.Г2"*2 16 уі-22-5- - ,^о9п(2« + 0
17. 18. £І. л=0 Л + 1
19. £(л2~мИ)х". л=0 20. £«(2я + І)х^2. л=0
!« 123
21',?.(»+їх» 23. £(о2+6іп Іо)х"*2. и-(і' х Х2п 22 ,?!(2п-ЗХ2п^2)' 24.
а, 25 у ;=(2о< |)(1пі 3) 27. п 29- у(М£ 5 ф+1) а і 26. £ ! . »=»п-(3 + 2л)" 28. зоіМ”4-1,. „_Д х ' п +1
Завдання 13. Розвинути функцію у ряд Тейлора за степеням
х - а, та вказати область збіжності ряду:
1. 8Іп3х, а = 0. 2. Ці-л-бл2). о = 0.
3. С05Х, а= 2’ 4. а = 0. ^Г+л2
.. * -» 5. , а = -2. лг + 4 7. Іп(л2 + 2л 2). о = -1. є 1±2—; о = і. х2 +5.Г + 4 8. —!—=, а = -2. (2-л)”
9. —, а = 0. л-1 10. 1п|л 4-л/і + л2). о = 0.
11. —І- 0 = о. (Ьл)1 13. 5ІП2Х, 0 = 4- 4 12. 1п(1 -2л-Зл1), о = 0. ,, 2л2-Зл-17- 14. : , 0=1. л2 -2л-3
15. А, о = 2. 16. Ііі(Зл-4), я = 2.
124
... х3+Зл + 6 ,, 17. -—. а = 0. І + л3 19. соф* + 2л), а = - І. 18. (1 + г')!, а--1. 20. (о + 2)е4 V2, о-2.
21. а = 0. 7і6 + л2 22. Іп^ — . а =-2. х2 + 4л + 5
23. а = 0. Зх + 5 25. агс/#р—, а - 0. 24. 0 = 0. (-< -з)г 2в їгТ-^—’ о = -г Ул2 + 4о + 12
27.—-, а = І. 2л+ 4 . л2 -2х + 5 29. 1п , а = 1. 2-х 28. --- Х - , о = 3. /х2 -6л + 10 ЗО. ї =; о = -2. (х2ч-4л + 5)
Завдання 14. Застосовуючи відповідні степеневі ряди, обчислити
з точністю е значення функції: 1. £=10”’. ^30 3. алс(8-Ь, є= Ю’5. 5. У832, £=10 *. 7. СО83750, £=10-5. 9. агсзіі»£ = 10”’. 4 11. л = ІО 4 13. соз2 2, 4 = 10 ’. 15. Уі, ї ї (І ’. 17. 1119, і -КІ 5 2 зіпІ5“, 4 = 10"!. 4. І83, 4=10 *. 6. 1п(І.0б), і = ІО '. 8. </630, 4 = 10’2. 10. віл2 95°, 4 = 10'’. 12. УЇ2, 4 = 10 ’. 14.7230,4 = 10“’. 16. сШ.2, 8=10 '. 18агсзіп|, е= 10“’.
125
19. Й6, л - 10 ' 20 зіп|, г=І0 *.
21. 1ЛІІ.5, ,10 22 игсІ£~, £ І0 ’.
23 ІпЛОЗ, £=І04. 24 -Х=, £=10 ’. 1/252
25. Іі> -1 , с =10 '. л 27. сіі!ОІ, £ = 10 '. 26. Л.05, л- - Іо " 28 і*1!, г=ІО 1
29. £=І0~5. ЗО соз545“, £ = 10 1
Завдання 15 Обчислити з точністю £ = |0’3 інтеграли.
02 1. і>-‘ 1. /1-ї-А. 01 Л 3 /А ці +-Ї 5. / |п(і + 4х)сіх. 0 2. |сО5з/х<&. 6 >7Г^-
7. |зіп.г2<Д. 8. А.
8 0І-Л 05 11. / VI 1 і2А 10. 12. |^Д.
13. 0 х ;і+х6 і«1п(і + Л) 14 / -1-у-^А. 6 16. | агсзіп 1 <іх.
126
17.
19.
О *
21. /
' -Уі ^32-х5'
25. І1"^.
0 х
о хі+хл
18. (--і--сіх.
о х
0 2
20. $хагсІ&((&.
о
22. |со8Л2«!г.
о
26. /хЧіпх2^.
Ч • 2
__ 7яіпх ,
29. ]-----(їх.
о х
ЗО. ^х1п^І + л2)аЕт.
о
Завдання 16. Знайти перші чотири ненульові члени розвинення у
степеневий ряд розв'язку задачі Коші:
1 .>" + >>СО8Х = 0, Х°) = 1-/(0) = 0.
2 . у'" = уе‘~ х(у)‘, у(0) = У(0) = /'(0) = ।
З .у" = со5у’ + у, у(0) = 1, у’(0) = 0.
4-у' + уС03Х-Зеї.}’2 - 5ІПХ = О, X®) = 1-
5. у"+2у2-Злу+ е* = О, у(0) = 1, ^'(0) = -1.
6-у" + 8ІПХ• у + СО8X = 0, у(^) = і, у'(л-) = 1.
7.у" = ус08у' + л, у(0)=1, у'(0)=|.
З.у' + соах-ху = 0, у(^)= *• У'(0) = -*•
9 . у" + - х1 у = 4, у(1) = у'(1) = 1.
1О .у"+/-ху2 =0, Х°)=2- =
127
11 у’хн Xі + у2, у(0)=1.
12 ..у"-і (1+л2)у-О, Я0) = - 2, у(0) = 2.
13. у" = уу'- Xі , >'(0) = 1, /(0) = 2.
14 (і + х2).г" 4л/-д> = 0, у(0)=/(0)=2.
15 г' х>н г(0) = О,
16(1 нх--у, Я“) = І
17 у" + ху-у'^й, >-(О) = 1. > (<!)- 0.
18 і'Ч уе‘ +4г’ = 0, .1(0)1 Х(») = -1.
19.у - у1 і х. .>(())= І.
20 г"' (їх -1) г - 1. 1'(0> = 0, /(0) = 1.
21 у"-ху! -- 0. 1<І)- 1, /(!) = -!.
22. у" + у соях - він X = 0, г(т) = І, у '(-х) = 0 .
23 41" г.'-’‘ , лг' О. Я0) = 2, У(О)=І.
24 у"-Зу'х1 + ху = О, XI)-0. >-'(1) = І.
25.Г + УСО8Л-Х = І. г'|(,')-2
26 у" ~ Зу1 - 4ху'+ е1, ХО) = -І. У(0) = 3.
27 (і4 х2)г"-3ло-2 г4у' = 0. >'(0)=2, >'(<>) - 2.
гв.у'^х + іу1 уе’, .г(0) = -1, У(І) = -1.
29 г"-4д>!+2у’ = г', ХО) = 0, >’(»)= -1.
ЗО. у" + А2 + / = О, Х«) = -2, У(0) = “1
Завдання 17. Функцію /(х) періоду 2л розвинути у ряд Фур в.
Побудувати графік суми ряду Фур'є:
1. /М = -”---< хе(..д;4 2/М = 'Г' Д£[
12 4
/(а) =
ЇО,
Ас(-ж;0],
л є (0; л-) /
4. /(х) =
|-л2, хе(-х;0),
[Л X е[0л).
З
128
5. /(і) = х‘ + 1, 6. /(х) = *-д, \-і((}:2тг)
7. /(х) = созах, хє(-,т,,т), а - не ціле число. 9 /(х)^*’ *Є("'Г;°1 Л ' [х-^лє(0;4 ,, (2, хє(-/г,01 ш, лЕ(-я;0], 17 /Н = ?+Л’”Ь^ 7и [^-х, хє(0;я). 19. /(х) = ж + х, х є(“.т;тг). 21. /(х) = х-я, хе(-я;4 ІСО8Х, IV < ’Т. 8/М= 2 |(), , ч [х+2л-, <є( ,т;0[. 10 ^-гН ; [а, х е(0;<). , ч (х, X е(0,’Л 12 -^н / Л [/г, х е(л,:2я’). Л+^, г 4-<;<>]. -^Ь.'Лм |л-, ч є(л-;2л-) 20./(х)=<-ї, іє)»;’/;). 22. Дл) = Я-?, ає(-^.г)
. . ґ-х, х е(-л;0І 23/<Н-(М 25. /{х) = х2~х2, лє[-л-;я| 5ІПХ, И5 ? 27./(х) = 0, |<М^. 29. /й = р 7е(-г,4 [-х + |, лє(--я,(|], 24.Дх)= 2 [•«+у. х є(и;*')- 26. /(х) = |созх|, X е(-/Т;7г). Іо, |х|<£ . 28. Дх)= 2 СО8Х, < |х| < П. ЗО. /(х) = л(2я_-х), хє[0;24
І7 -- С- Г &ар.іновсь«а 129
Завдання 18. Функцію /(л), зображену графічно на інтервалі
(О.Г) (рис. 21),розвинути в ряд Фур'є з періодом Т Побудувати
графік суми ряду Фур'є.
Завдання 19. Функцію Дл), зображену графічно на інтервалі
(0,Г) (див. рис. 21),розвинути в ряд Фур'є: а) за косинусами; б) за
синусами. В кожному випадку побудувати графік продовження і
суми ряду Фур'є.
130
131
Завдання 20. Функцію /(і) розвинути в інтеграл Фур'є.
Побудувати графіки функції та її амплітудного і фазового
частотних спектрів:
1- /(')=<• / єй. 2-/(')= СОЗ/, |/| 5 Я, о, И>*.
0, /<0, 0, і < -2,
3 ДО- зіп/, 0</</г, 4/(0 = 2, -25/<-І,
), 1 > я. 0, />-1.
-є1, / < 0, в-/(<)=! 2,яіп Зі, |/| < 2я,
= /(')= є'1, (>0. ), |/| > 2я.
7 /(') = 2-10^2. 0, И>2. 8. /(') = | 0, / < 0, соз/, 1 є[0;я-], 0, / > я.
д /(ґ)=58п(ґ-1)-8Вп(ґ-2), ' І&Н. ю./(0= ГЯ£ПС |/|<3, .0, И>з.
яіпі, И<2 12./(0 = -є-1'1, / є/г.
о.И>і СОЗ О/, |/|<—, 2 !І8Іп2(, :0, И>-
14. /(0 =
із./(0= 11 а о, И>^. 11 а
0, /<0, 2 + (, -2<і<0,
15/(0 = 3, 05/5 2, 16/(0 = 2-І, 0</<2,
0, і >2. 0, |/|>2.
17/(0 = [о, И>2. 18/(0 = 0, /<1. 5, 15/53,
0. />3.
132
19/(0 =
[3-М ЇМ і-
[о, |<|г1.
20. /(0 =
[4. И<І
(О, [і[>1.
21/(0 =
[соя 2/. ]/|<
л
2’
22 /(<) =
23 /(0 = 8ВЧ1-5Еп(' "3).
І є Я.
24. /(/) = .'’". І є 'х.
25/(0 =
27/(0 =
соз Зі,
о,
8ІП|<|, И<|,
0. !'!>/•
26/(0 =
26- /(0 =
29. /(0 =
[О, кО,
(е”, і ге.
зо. /(0 =
ММі
І0, |г|>2.
[4-М И<2,
Л |'|>2.
[258П/, |/| < З,
(0, >3.
Відповіді до вправ.
1.Ї.=У- б і+НГ'^4-
з.\4( ] !—15=-. 2л + 1/ 2
4Х"~60 + — [ -! !—1,5 = —. 18^3л + 5 Зп + 22 60
5- --Ї л ЗІ "-І-1 —1—1,5=11 6 и + 1 п + 2 п + Зу 18
133
6 5 =_4 1_ І _ 4
5 6л-І кп + 5’ 5'
7 . І = — 1---Ь-,5= -.
З 2п І 1 2п + З З
8у
2 п+2 л + З 2
9 < 7 * 1 . ! Л
6 л+1 л+2 л + 3 6
10.5,=огаї-^-,5 = ?
л + 1 4
Вказівка. Скористатись формулою агсі&а і- агсі^і - агсі#
методом математичної індукції.
11. .5» = І - Л + .5 - 1 - -її.
12. 5 =1п — -. Л - - ІпЗ.
я Зл
(лТ2)ґ5 =
математичної індукції.
23. Збіжний.
26. Розбіжний.
29. Розбіжний.
32. Збіжний.
35. Збіжний.
38. Розбіжний,
41. Розбіжний
44. Збіжний.
47. Розбіжний.
50. Розбіжний.
53. Збіжний.
56. Збіжний.
59. Збіжний.
67. Збіжний умовно.
69 Збіжний абсолютно.
71 Збіжний абсолютно.
Вказівка.
Знайти методом
13. \
25. Розбіжний.
28. Збіжний.
31. Збіжний.
34. Збіжний.
37. Розбіжний.
40. Розбіжний.
43. Розбіжний.
46. Збіжний.
49. Збіжний.
52. Збіжний.
55. Збіжний
58. Збіжний.
24. Розбіжний.
27. Розбіжний.
ЗО. Розбіжний.
33. Збіжний.
36. Збіжний.
39. Збіжний.
42. Збіжний.
45. Збіжний.
48. Збіжний.
51. Збіжний.
54. Збіжний.
57. Розбіжний.
60. Збіжний.
68. Збіжний абсолютно.
70. Збіжний абсолютно.
72. Збіжний умовно.
134
73. Збіжний умовно.
75. Збіжний умовно
77. Збіжний умовно
79. Збіжний умовно
81. Збіжний умовно.
83. Збіжний абсолютно.
85. Збіжний абсолютно.
87. Збіжний абсолютно.
89. Розбіжний.
91. 5 я 0.181, л = 5. 92
74. Збіжний абсолютно.
76. Збіжний абсолютно.
78. Збіжний абсолютно.
80 Збіжнмй^мовно.
82. Збіжний умовно.
84. Розбіжний.
86. Розбіжний.
88. Збіжний абсолютно.
90. Розбіжний.
5 я -0.14, п = 3. 93. 5 я 0.13, п = 3.
94. 5 я 0-597, п = 5.
97. 8 * 0.7, л - 5.
100. 8 я 1.28, п = 4.
102. Збіжний абсолютно.
104. Збіжний абсолютно.
106. х е(1;+оо).
108. х є(- ®;-3)и[-1;+®).
110. хє{- і;1).
112. х
[Л Я’ 1 „
— +ял;— + ллкле7.
6 6 1
116. Збігається рівномірно.
118. Збігається рівномірно.
120. Збігається рівномірно.
122. Збігається рівномірно.
123.хє(-3;3} 124.х = 2.
126. Г 4 2Л 127. х = 0.
ле[ З’ V
129. х є[-2;0].
96. 5 я 0.944, л = 3. 96. 5 я 0.148, я = 3.
98. 5 я 0.7249, л = 5. ^9. 8 я 1.175, л = 3.
101. Збіжний абсолютно.
132.
® еи «.'*
130. х £[-3;-1].
103. Розбіжний.
105. Розбіжний.
107. л єЯ.
109. х є (- а>;-3 - е] (є - 3;+®).
111. х е(0;+®).
113. х є(і;+®).
117. Збігається рівномірно.
119. Збігається рівномірно.
121. Збігається рівномірно.
125 ЧН)-'
128. х єЯ.
131. х є(-2;4).
і
і
І
і
Вказівка.
Скористатись рівністю
£с”
= 2”.
135
133. (х - |)я,л є Я. Вказівка. Скористатись рівністю
л-0 «
£с‘1п‘4-1іГ 1 3 - (Іп4 + ІпЗ)”.
л-о «!
136. ІЛ2 + 4-Ї
3 і-
138 Ч')і=(1Д|)!’М<1'
140. 5(лг) = 1п--5 л-|„|х-
141
143.5(х>^”^Дй<1.
145.
«=іл +х
135. - .
12
137. 4(л)^’|і,р-,И<І
139. ад= -2
якщо л * 0, 5(0) = 0, |.г| < І.
142.5(л)= |л| і 2.
144. ад = -^і4,н<і.
Ч />=о (л +1)! І
148
X, •)!»-! 2я
149 І Л
150
л=о І-ІЛ)!’
136
151. іЦ(х-о+і(-і)",2-5 о".' цм.
з И--2 з
152. - Х2"(л + 3)”,х є(-3.5;-2.5).
л=0
153. Д(-І)> + ІХ* + 1)",^(-2;О).
їм. £(-!)(’
л=о ^-2 '
155.І + Е(-1)"СМ(х-4)”,хє(3;5)
л=о '-2 '
156. Іп5 + £(-1Г'^",л
л=І п 4 2 / ]
157.Іп4+£(-1ГІ^",лР[-4;0}
+ 1;1]
160. У(- 1Ґ7—-------------„хєй.
} (2л + 1)!(4п + 3)
1
-і!
161. /(м(- 2) = (-1)” • (2п)!, /(2п’,)(- 2) = 0, п є N.
163.0,716. 164. 1,649. 165. 1,000. 166.0,30902
167.1,38630. 168.0,01980. 169.0,321. 170.5,196.
171.1,99527. 172.1,006622. 173.0,340 174.0,337.
175.0,247. 176.0,461. 177.0,494. 178.0,385.
179.0,182.
2 3 5
180. у(х) = 1 + — + — + — +•••
’ 2! З! 5!
18 _ Г Г Ьліимом'ЬкЗ
«
137
І
181. Хл)=| + —+ —+ —
' 6 24 40
183. у(л) = У-----------,
Д ’ £і2"(2п-1) л!
і84.^)=2Н)’^4’Ч+РеЛ
се ~2л <ю „2я41
185. Хх) = с„ + с,х + с„ £ — - +с, X 7 ,
лМ1'3---(2л —1) я.|2-4---(2я)
/" се у.2п-1 \
186. Хл) = сох + с,^І + х Х^—є(-1;1),
4О, ^Я* .ЛСО5ПХ . «
187. — >4Х;,----
З П*1 « Л = |
Г/(л), х є Я, л * 2кя,
[2л-!,^ = 2и, і е2.
51ПЛХ
П
2 я„=і (2л-І)
Зя 2 СО5(2л - [)л ® , 8ІП пх
189. і/ '4П~0 —~ =
4 я „=і (2п -1) я=і п
ґ/(л),лєЯ,л*(2*-1>,
\я/2,х = (2к-})я,ке2.
. Зя- 2 А 1 ( пя Л ч х
190. а)~+ ~£—^соз-у-Цсоз^ Дх),х €(0л)-,
а Яп=\П 2 /
2^.ґ 1 . пя (-1)"*1*) . ч ,л «
6) - Д -Г51П-— + і—2- 8щ пх - /(х), X є (0; ,-г).
ЯЇ^П* 2 2п ) > \ >
І-созая’Л -і £со52лл'1 _ І + созая ® соз(2я + 1)х
191.
~ї(х\х^-х\
138
192 2-і 4^8Іп(2/і-1)^ \/(х),х є(-2;0)^(0:2),
2п~\ '[2,х = 0.
193
194 . і - А -1 СО5(2» - 1)да = /(л), < є (0;2).
195 .
і І я„=І 4/і -1 І
і
2 і
196 . —5Ляі
— СОЗЛЇ
197 .!-^™^ = ^,,^).
198 75Ч^їіп!Т = Ж;ї6(^;')-
199 си82'“ = ЯАх е(°;Я
1 . (2л>-|)лж ,. ч
200 ^гГ-о’ 81'1 / =А4хе(о;0.
201. 2|/~ аіпйі/ /созщ/'
Я 0 х й) (і) ✓
/(/), І є К, І * ±/,
4
Я<°) =
ЗІПЙ^ І со&йЯ
-----------
п 8Їп<а/ І г л
0, якщо —т----------созгц/> 0,
й) (О
зіпсої І
Я, ЯКЩО-------------СО5<йі < 0.
аг а>
139
202. 2 725іп2«4
- І----5 --СО5Є«с7й> - /(/), і Є Я,
я о (О2 ' ’
Рс(<и) - Л(ю) - —-'Р 2.
а>‘
<р{(о) = 0.
СО8°^ , . .
203. 2) —Г^2 соз&’’ <*» = ДО,1 є
0% -й)
{ЖС05<
—5------V. ЯКЩО Л> */Т,
л—й)2
У4,яки»)а-я,
«<<») =
П 2
О, якщо ~—і-
7Г
008?',
Ж, ЯКЩО —7--< о,
ТГ-йГ
^Ж + (у) = (р((у).
2|81ПЙ?(6-/) + 8іПш(/-Я) , . .
204. --------1----1-----------’-^(о = ДО, і є Л,
сі. ч 4 . б)(Ь~а) -Іа-(ь->а)
гийЛ = — зіп—і------’~е 1
а 2
4®) = -—г—4.
Ж 0)
, ч 0}(Ь - а)
( 4ж А , .
+ а+ї) =
140
1 *
205. ~(е~а'" С08<іЛ<?<у - /(і), і є Я,
а о
ЕД<у) - - е
с' ' 2а
А{са) = --е-и’°,
2а
ф(а>) = 0.
206.
, ГЖґєй,ґ*±1,
272зіп2^ . ’
—--------&клаХ<іа> = < И, і = ],
Л І. (О і
р»=— X
й>
•. 28ІП2"<
^(й,) =-£2,
й)
^(й?) = 0.
207.
Р.Н=
Я’СОЗ'*',
-------у, ЯКУЮ (О * я,
7Г -6)
Х»якщо<а = Л’,
X І СО8< І
«<<!>) =
р(;т + а)) = ^(й>).
141
Література. •
1, .Берман Г Н. Сборник задач по курсу математического
анализа.-М.. Наука, 1985. -384с.
2. Бугров Я С., НикольскийСМ. Дифференциальньїе
уравнения Кратние интегральї. Рядьі. Функции комплексного
переменного. -М.: Наука, 1985.-464с.
3. Будак Б М., Фомин С.В. Кратньїе интегральї и ряди.
-М.: Наука, 1965.-605с.
4 Воробьев Н.Н. Теория рядов. -М.: Наука, 1979,-408с.
5 Данко П.Е , Попов А Г., Кожевникова Т.Я. Вьісщая
математика в упражнениях и задачах. Ч II -М: Вьісш. шк.,
1986.
6. Демидович Б П. Задачи и упражненмя по математическому
анализу (для ВТУЗов). -М: Наука, 1978, -479с.
7. Ильин В.А., Позняк З.Г. Основи математического анализа.
-М: Наука., 1980, -486с.
8. Кудрявцев Л Д. Курс Математического анализа. Т.2. -М:
Вьісш шк, 1988, -576с.
9 Кудрявцев Л.Д Курс Математического анализа Т.З. -М:
Вьісш. шк, 1989, -352с.
10 Кудрявцев Л.Д., Кутасоа А.Д., Чехлов В И., Шабунин М.И.
Сборник задач по математическому анализу. Интегральї
Рядьі. -М: Наука, 1986, -528с.
11. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по вьіснюй математике (ТР).
-М: Вьісш. шк., 1983, -174с.
12. Ляшко И.И., БоярчукА.Км Гай Я.Г., Головач Г.П.
Математический аналмз в примерах и задачах. 4.2. -К.: Вища
шк, 1977, -872с.
13. Методичні вказівки до вивчення розділів “Диференціальні
рівняння. Ряди". Варіанти типових завдань і контрольних
робіт. Укл.. Барановська Г.Г., Іванова 0.0., Коханенко Н.В.,
142
14,
15
16
17
18.
19.
20.
21.
22
23
Кнрнопич Л І , Бакун В В., Нефьодова ГД. -К. КПІ, 1992,
•92с
Моїодичиі вказівки до вивчення розділів "Ряди". Варіанти
типоиих завдань. Укл.: Якубенко О’А., Стремський В.В.,
Козюрії І П., Ремізова М.П., Терещенко Р.П. -К: КПІ, 1992,
-70с
Меюдичні вказівки до контрольної роботи “Числові та
функціональні ряди. Інтеграл та перетворення Фур'є”. Укл.:
Буценко Ю.П., Горленко С.В., Дрозд В.В., Великоіваненко 01.
-К. КПІ, 1995, -60с.
Овчинников П.Ф., Лисицьін Б М., Михайленко В.М. Вьісшая
математика. -К:, 1989, -679с.
Пискунов Н С. Дифференциальное и интегральное
исчисления. Т.2. -М: Наука, 1970,-576С.
Сборник задач по математике для втузов (Под ред. Ефимова
А.В. и Демидовича Б.П.). Т.2. -М:, 1986, -386с.
Сахарников Н.А. Вьісшая математика. Изд-во Ленингр. Ун-та,
1973,-472с.
Толстов Г.П. Злементьі математического анализа. Т.2. -М:
Наука, 1974, -472с.
Шипачев В.С. Вьісшая математика. -М: Вьісш. шк., 1985,
-471с.
Шкіль М І., Колесник Т.В. Вища математика: Визначений
інтеграл, функції багатьох змінних, диференціальні рівняння,
ряди. -К: Вища шк., 1986,-512с.
ІЛмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. -М,
В«сш Шк., 1983.
143
Зміст
Передмова....................................................3.
Розділ 1. Числові ряди.......................................4.
§1 . Загальні поняття.......................................4.
§2 . Знакододатні ряди.....................................13.
§3 . Знакозмінні ряди......................................21.
§. Числові ряди з комплексними членами......................28.
Розділ 2. Функціональні ряди................................31.
§1 . Збіжність і рівномірна збіжність функціонального ряду.31.
§2 . Степеневі ряди........................................40.
§3 . Функціональні властивості суми рівномірно
збіжних рядів......................................... 44.
§4 . Ряди Тейлора і Маклорена..............................51.
§5 . Застосування степеневих рядів до наближених
обчислень............................................60.
а) Наближені обчислення значень функцій.........
б) Наближені обчислення інтегралів..............
в) Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою
рядів............................................69.
§ 8
144
Розділ 3 Тригонометричні ряди Фур’є...................74.
§1 . Деякі допоміжні відомості......................74.
§2 . Ряди Фур’є для 2л-періодичних функцій..........76.
§3 . Ряди Фур’є для 21 -періодичних функцій.........85.
§4 Ряди Фур'є для неперіодичної функції.............90.
§5 . Комплексна форма запису ряду Фур’є.............93.
Розділ 4. Інтеграл Фур’є..............................96.
§1 . Різні форми інтеграла Фур’є..................--96.
§2 . Перетворення Фур’є.............................98.
§3 . Властивості перетворення Фур'є................100.
Розділ 5. Розрахункова робота........................110.
Відповіді до вправ...................................133.
Література...........................................142.
Зміст................................................144.