С. А, ТЕЛЯКОВСКИП
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов математических специальностей
высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ 
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980
22.161.5
Т31
УДК 517.5
Сборник задач по теории функций действительного перемен-
ного. Теляковский С. А. — М.: Наука. Главная редакция
физико-математической литературы, 1980.
Сборник содержит задачи, относящиеся к элементам теории
множеств, теории меры, измеримым функциям, интегралу Лебега
и теории дифференцирования. Основное содержание сборника со-
ставляют задачи средней и повышенной трудности. Сборник пред-
назначается для проведения семинарских занятий и для само-
стоятельной работы студентов, изучающих курсы теории функций
действительного переменного, теории функции и функционального
анализа. анализа-П1.

© Наука,
Главная редакция
фнзико-математцческой
литературы» 1980
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория функций действительного переменного изу-
чается студентами математических специальностей
университетов и педагогических институтов в каче-
стве отдельной дисциплины или как составная часть
курсов теории функций и функционального анализа
или анализа-Ш.
Отдельные темы из теории функций действитель-
ного переменного — в первую очередь интеграл Ле-
бега — изучаются также студентами ряда универси-
тетов, специализирующимися в области механики и
теоретической физики, и студентами некоторых тех-
нических вузов с повышенной подготовкой по мате-
матике.
Это связано с тем, что изучение на современном
уровне ряда разделов анализа в широком понимании
этого слова (имеются в виду некоторые разделы тео-
рии вероятностей, дифференциальных уравнений и
т. д.) требует знания интеграла Лебега.
В последние годы наметилась тенденция включать
интеграл Лебега наряду с интегралом Римана в курс
математического анализа. Например, учебники мате-
матического анализа С. М. Никольского [8] и
В. А. Ильина и Э. Г. Позняка [4] содержат главы,
посвященные интегралу Лебега.
Важная роль интеграла Лебега в анализе обу-
словлена тем, что он хорошо приспособлен к опе-
рации предельного перехода и что пространства
функций, интегрируемых по Лебегу, полны.
Настоящий сборник задач составлен так, что ин-
теграл Лебега занимает в нем центральное место.
При этом избран наиболее часто употребляемый, тра-
диционный путь введения интеграла Лебега, когда
1*
8
сначала определяются измеримые множества и функ-
ции.
Расположение материала в сборнике таково.
Первые две главы являются вспомогательными.
Они посвящены теории множеств, поскольку для изу-
чения теории функций действительного переменного
необходимо владение элементами теории множеств.
В третьей главе вводится мера па кольцах мно-
жеств, затем строится лебегово продолжение меры и
рассматриваются свойства измеримых множеств.
Четвертая глава посвящена измеримым функ-
циям, в частности, вопросам сходимости последова-
тельностей измеримых функций.
В пятой главе дается определение интеграла Ле-
бега, изучаются свойства интегрируемых функций и
пространств интегрируемых функций, сравниваются
интегралы Лебега и Римана.
В последней, шестой главе рассматривается связь
интегрирования по Лебегу и дифференцирования
функций, изучается интеграл Римана — Стилтьеса.
Настоящий сборник задач предназначается для
проведения семинарских занятий и для самостоятель-
ной работы студентов при изучении теории функций
действительного переменного. Имеется в виду, что он
будет использоваться главным образом при первом
знакомстве с предметом. Поэтому во многих случаях
задачи ставятся не в самом общем виде.
Например, начиная со второй главы, предпола-
гается, что рассматриваемые множества лежат в ко-
нечномерных евклидовых пространствах £„, хотя в
большинстве задач, в которых нужны топологические
свойства множеств, можно было бы говорить о мно-
жествах из произвольных полных сепарабельных ме-
трических пространств. В сборнике даются общие
определения меры множеств (из Еп) и интеграла Ле-
бега, но когда нужны какие-либо дополнительные
свойства меры, мы ограничиваемся классической ме-
рой Лебега. В шестой главе, а также при сравнении
интегралов Лебега и Римана рассматриваются функ-
ции только одного переменного.
При желании можно упростить задачи, так или
иначе связанные с мерой, считая, что все они отно-
сятся к мере Лебега. При этом, разумеется, некото-
рые задачи нужно будет опустить.
4
Часть задач, помещенных в сборнике, — совсем
простые, но основное содержание составляют задачи
средней и повышенной трудности. Есть несколько
очень трудных задач, решение которых может соста-
вить, например, курсовую работу.
В большинстве задач предлагается доказать ка-
кое-либо утверждение. Ответы даны только в тех
немногих случаях, когда конечный результат не ука-
зан в формулировке задачи.
При составлении сборника в основном использо-
вались монографии и задачники, указанные в списке
литературы. Много задач взято из удачно подобран-
ных упражнений, имеющихся в книгах И. П. Натан-
сона [7] и П. Халмоша [12]. В качестве задач при-
ведены также многие утверждения из основного тек-
ста этих книг и учебников А. Н. Колмогорова и
С. В. Фомина [6] и У. Рудина [11]. Отметим также
задачники [3] и [9].
Часть задач была составлена специально для
этого сборника. При работе над сборником автор
использовал свой опыт чтения курса анализа-Ш и
спецкурсов по теории функций действительного пере-
менного (интегралу Лебега) в Московском физико-
техническом институте.
Задачи сборника охватывают основное содержа-
ние теории функций действительного переменного,
как оно обычно излагается в учебных курсах. Но йри
любом построении курса, как кратком, так и подроб-
ном, останется достаточное количество задач различ-
ной степени трудности, решение которых не войдет в
лекции и даст студентам возможность приобрести
навыки, необходимые для активного усвоения пред-
мета.
Авторы теорем указаны лишь тогда, когда, как
например, в случае теоремы Егорова, одного упоми-
нания фамилии автора достаточно для того, чтобы
понять, о каком утверждении идет речь.
Главы и параграфы начинаются с кратких вступ-
лений, в которых приводятся определения и обозна-
чения. Некоторые определения даются в текстах за-
дач. При первом упоминании терминов они выде-
ляются курсивом. В конце сборника помещен пред-
метный указатель.
5
В заключение мне приятно назвать лиц, содей-
ствовавших работе над книгой.
Составление задачника я начал несколько лет на-
зад по совету академика В. С. Владимирова. Мои уче-
ники К. И. Осколков и В. Н. Темляков читали главы
рукописи по мере их написания и сделали много цен-
ных замечаний, способствовавших улучшению книги.
Кроме того, К. И. Осколков предложил несколько
оригинальных задач, которые были включены в сбор-
ник. В. Л. Великин и В. И. Рубан познакомили меня
с составленным ими сборником задач по теории
функций и функциональному анализу, который ис-
пользуется в Днепропетровском государственном уни-
верситете при проведении семинарских занятий. Мною
было взято несколько задач из этого сборника. От-
дельные задачи предложили Л. Д. Кудрявцев и
Ю. Э. Липпус. Искренне благодарю всех названных
лиц, а также Р. И. Сорокину и Л. Н. Абрамочкину
за помощь при подготовке рукописи к печати.
Май 1979
С. А. Теляковский
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
§ 1. Операции над множествами
Используются следующие определения и обозна-
чения.
к е А — элемент х принадлежит множеству А,
х&А— элемент х не принадлежит множеству А.
Если каждый элемент множества Д принадлежит
множеству В, то А называют подмножеством множе-
ства В и пишут А 02 В или В 22> А.
Если А с: В и В 02 А, то множества А и В назы-
вают равными и пишут А == В.
Множество, не содержащее ни одного элемента,
называют пустым и обозначают 0.
Объединением множеств А и В называется мно-
жество всех элементов, принадлежащих хотя бы од-
ному из множеств Д и В. Это множество обозначают
A UB.
Объединением произвольного конечного или бес-
конечного семейства множеств {Да} называется мно-
жество всех элементов, принадлежащих хотя бы од-
ному из этих множеств. Объединение множеств
п
Дь Ап обозначают (J Aki объединение бесконеч-
оо
ной последовательности множеств Дь Д2, ... — U Ak.
Объединение семейства множеств {Да}, где индекс а
пробегает некоторое множество §1, обозначают [J Аа
аел
или просто [J Аа.
a
7
Пересечением множеств А и В называется мно-
жество всех элементов, принадлежащих обоим этим
множествам. Обозначают пересечение A f] В.
Пересечением произвольного семейства множеств
{Аа} называется множество всех элементов, принад-
лежащих всем этим множествам. Пересечение мно-
п
жеств Дь ..., Ап обозначают |~| Ак, пересечение
Л = 1
бесконечной последовательности множеств Аь А2, ...
со
... — П Ак. Пересечение семейства множеств {Аа},
Л = 1
где индекс а пробегает некоторое множество 21, обо-
значают Г| Аа или П Аа.
а е И	а
Непосредственно из определений операций (J и f]
следует их коммутативность и ассоциативность:
ЛиВ = В1М, ДС1й = ВПЛ
HUB)UC= AU(BUC) = AUBUC,
(алй)ас=дл(впс)=дпвлс.
Если множества А и В не имеют общих элемен-
тов, т. е. если А П В — 0, то эти множества назы-
ваются непересекающимися.
Разностью множеств А и В называется множество
всех тех элементов множества А, которые не принад-
лежат множеству В. Это множество обозначают А \ В.
Симметрической разностью множеств А и В назы-
вается множество всех элементов, которые принадле-
жат любому одному из этих множеств, но не принад-
лежат другому. Обозначают симметрическую раз-
ность А Д В. Непосредственно из определения сле-
дует коммутативность операции Д: А Д В = В Д А.
Если A cz X, то множество Х\А называют допол-
нением множества А до X. Иногда в случаях, когда
ясно, что рассматриваются только подмножества мно-
жества X, слова «до X» опускают.
Для подмножеств множества X вводится характе-
ристическая функция, определенная на X: характери-
стической функцией множества A cz X называется
функция
( 1, если хе А,
Хл (*) = х (А *) = { а	— л
Л ’	'	о, если хе А.
8
Верхним пределом последовательности множеств
Аь А2, ••• называется множество всех элементов, ко-
торые принадлежат бесконечному набору множеств
Ап, а нижним пределом — множество всех элементов,
которые принадлежат всем множествам Ап, начиная
с некоторого номера (своего для каждого элемента).
Верхний предел обозначают lim Ап, нижний предел
п	__
— lim Ап. Ясно, что всегда lim Ап <= lim А„. Если
п _______ ' п	п
lim Ап= lim Ап, то это множество называют пределом
п	п
последовательности Ai, А2, ... и обозначают limA„.
п
Последовательность множеств Аь А2, ... назы-
вается возрастающей, если Ап <= Ап+1 для всех п, и
убывающей, если Ап о Ап+1 для всех п.
Все множества в задачах этой главы предпола-
гаются произвольными, если не оговорено противное.
1.1. Доказать дистрибутивность операций U и Гр
1) (Аив)пс=илс)и(влс),
2) (лпв)ис=(лис)п(вио.
1.2. Доказать, что для произвольного семейства
множеств Аа справедливы равенства:
I) (уЧ)ПВ= у (АхЛВ),
2) (П Ах)ив= П (AxUB).
1.3.	Доказать, что (A (J В) \В = А в том и только
том случае, когда А Л В = 0.
1.4.	Доказать, что (A\B)(J В = А в том и только
том случае, когда В с. А.
1.5.	Доказать, что АЛВ = А\(А\В).
1.6.	Доказать, что А\(В\С) = (A\B)(J(A Л С).
1.7.	Доказать, что (А \ В) \ С = А \ (В U С).
1.8.	Доказать, что А\ (В U С) = (A\B)f)(A\C).
1.9.	Доказать, что А\ (В("]С) = (A\B)U(A\C).
1.10.	Доказать, что
(А\В)П(С\Д) = (АПС)\(ВиВ).
1.11.	Доказать, что А Д В = (А\ B)(J(B\ А) =
= (A U В) \ (А Л В),
2 С. А. Теляковскнй
9
1.12.	Доказать, что если С = ДДВ, тоЛАС =
= В.
1.13.	Доказать, что (А ДВ) АС = А Д (В Д С).
Это свойство позволяет писать А Д В Д С без скобок,
указывающих, в каком порядке производятся дей-
ствия.
1.14.	Доказать, что множество всех подмножеств
множества X образует группу относительно опера-
ции Д.
1.15.	Написать условия на характеристические
функции множеств, эквивалентные соотношениям:
1)	Л = 0,
2)	А с В,
3)	А = В.
1.16.	Представить характеристические функции
множеств
1)	А П В, 2) П Аа, 3) AUB,
а
4)	U А„, 5) А \ В, 6) А Д В
с помощью характеристических функций множеств А,
В и Аа. Решить задачи 1.1—1.13, выражая действия
над множествами через их характеристические функ-
ции.
1.17. Доказать, что для произвольных множеств
А, В, С справедливы равенства (дистрибутивность
относительно операций Пи \):
1)	(А\В)ПС=(АПС)\(ВПС),
2)	(А ДВ)ПС=(АПС)Л(ЙПС),
3)	(AUB)\C = (A\C)U(B\C),
4)	(АЛВ)\С = (А\С)П(В\С),
5)	(А\В)\С = (А\С)\(В\С),
6)	(А ЛВ)\С — (А\С) Д (В\С).
1.18.	Доказать, что следующие равенства в общем
случае неверны:
1)	AU(B\C) = (AUB)\(AUQ,
2)	AU(B ДС) = (АиВ) Д (AUQ,
3)	A\(b'uQ = (A\B)U(A\C),
10
4)	Л \ (BflQ —(Л\В)П(Л\С),
5)	А \ (В \ С) = (Л \ В) \ (Л \ С),
6) Л\(ВДС) = (Л\В)Д(Л\С),
7) Л Д (В U 0 = (Л Д В) U (Л Д С),
8) Л Д (ВЛС) = (Л ДВ)П(Л ДС),
9) 4 Д(В\С) = (А ДВ)\(4 ДС),
10) АА(ВАС) — (ААВ)А(ААС)
Можно ли утверждать, что множество, стоящее в од-
ной из частей этих соотношений, всегда содержит
множество из другой части? Найти необходимые и
достаточные условия на множества Л, В, С, при ко-
торых будет справедливо каждое из этих равенств.
1.19.	Пусть Akn — набор множеств, зависящих от
двух индексов. Доказать, что всегда
(J ( П <= п ( О
и что в общем случае здесь нельзя поставить знак
равенства.
1.20.	Для неотрицательных функций f(x) и g(x),
заданных на (—оо, оо), построим на плоскости мно-
жества A(f) и A(g), состоящие из точек, координаты
которых (х, у) удовлетворяют соответственно усло-
виям O^y^f(x) и O^y^g(x). Каким функциям
будут соответствовать множества Л (f)(J Л (g) и Л (/)П
fM(g)?
1.21.	Пусть Гл — множество точек на плоскости,
принадлежащих графику функции х~\ 0 < х < оо.
Найти множества:
1)	П Гл
Л>1
2)	U Гл
Х>1
3)	Г^ДГц, где Z !Л
4)	Гл, Д Гл2 Д Глз, где все Ал различны.
1.22. Даны множества Л, В, С. С помощью теоре-
тико-множественных операций записать множество
элементов, которые принадлежат;
2
II
1)	всем трем множествам;
2)	по крайней мере двум из этих множеств;
3)	любым двум из этих множеств, но не принад-
лежат всем трем;
4)	по крайней мере одному из этих множеств;
5)	любому одному из этих множеств, но не при-
надлежат двум остальным.
1.23. Непустой набор множеств R называется коль-
цом, если он замкнут относительно операций Д и Л,
т. е. если для любых множеств А и В из R к R при-
надлежат также А Д В и А П В. Доказать, что кольцо
замкнуто также относительно операций U и \.
1.24. Доказать, что получим эквивалентное опре-
деление кольца множеств, если потребовать замкну-
тость относительно операций
1)	II и \, 2) U и Д, 3) \ и Д.
1.25.	Доказать, что набор множеств, замкнутый от-
носительно операций
1)	U и Л,
2)	Л и \,
может не быть кольцом.
1.26.	Для заданной последовательности множеств
Ai,A?, ... построить последовательность попарно не-
пересекающихся множеств Вь В2, ... таких, что
Вп <= Ап и 0 Л„ = О Вп.
П«1	П=1
1.27.	Пусть {Ла} — произвольное семейство под-
множеств множества X. Доказать следующие свой-
ства дополнений множеств (законы двойственности):
1)	x\(U ло)=П(х\лв),
2)	Х\(П Ах)= У (Х\Л).
1.28.	Доказать, что если А и В являются подмно-
жествами множества X, то
1)	А \В=ЛП(Х\В),
' 2) Х\(Л \В) = (Х\Д)иВ,
3)	(X \ Л) Д (X \ В) = А Д В.
12
1.29.	Найти верхний и нижний пределы последова-
тельности множеств Ль А2, ..., если
1)	Ап = В для четных п и Ап = С для нечет-
ных п;
2)	Ап является множеством всех рациональных
чисел со знаменателем п, т. е. множеством чисел
вида k/n, где k — произвольное целое число;
3)	Ап является множеством чисел х, удовлетворяю-
щих условию |х — vn| 1, где {ц„}— произвольная
последовательность всех рациональных чисел из ин-
тервала (0, 1).
1.30.	Доказать, что если последовательность мно-
жеств {Л„} монотонна, т. е. множества Ап возрастают
или убывают, то
lim Ап — lim Ап.
При этом lim4„=U Ап, если Ап возрастают, и
п	п=1
оо
lim Л„ = П Ап, если Ап убывают.
п	п=1
1.31.	Доказать, что всегда
оо оо
1) lim Л„= П U Ak,
п	п=\ k=n	_
оо оо
2) lim Л„ = (J П Ak.
n=l k=n
1.32. Пусть Ль Л2, ... — последовательность под-
множеств множества X. Доказать следующие свой-
ства дополнений множеств:
1) X \ lim Л„ = lim (X \ Ап),
2) X \ lim Л„ = lim (X \ Ап).
1.33. Пусть на множестве Л задана функция f(x),
принимающая конечные значения. Для каждого , чис-
13
ла t определим множества At тех точек х е А, для
которых f(x)^ t. Доказать, что
1)	если s < t, то <= At\
2)	U At = А, П Л = 0;
t	t
з)	П а=л,
t>s
Доказать, что для каждого семейства множеств At cz
cz А, обладающего этими тремя свойствами, сущест-
вует единственная функция f(x), заданная на Л и
такая, что для всех t множества At являются множе-
ствами точек х, для которых f (х) t.
§ 2. Мощность множеств
Два множества называются эквивалентными или
имеющими одинаковую мощность, если между их эле-
ментами можно установить взаимно однозначное со-
ответствие. Если множества А и В эквивалентны, то
пишут А ~ В.'
Непосредственно из определения вытекает, что ко-
нечные множества (т. е. множества, имеющие конеч-
ное число элементов) эквивалентны в том и только
том случае, когда они имеют одинаковое число эле-
ментов.
Множество, эквивалентное множеству натураль-
ных чисел, называется счетным. Другими словами:
множество называется счетным, если все его эле-
менты можно представить в виде бесконечной после-
довательности а\, az, ...
Если множество конечно или счетно, то говорят,
что оно не более чем счетно.
Говорят, что множество имеет мощность контину-
ума, если оно эквивалентно множеству всех точек
отрезка [0, 1], или, другими словами, если оно экви-
валентно множеству всех действительных чисел х,
удовлетворяющих условиям 0 х 1.
Если множество А эквивалентно некоторому под-
множеству множества В, а сами множества А и В не
эквивалентны, то говорят, что В имеет большую мощ-
ность, чем А.
Предлагаемые ниже задачи следует решать неза-
висимо от гипотезы континуума, т. е. независимо от
того, допускается или не допускается существование
14
множеств., имеющих мощность, большую, чем счетные
множества, но меньшую, чем множества мощности
континуума.
1.34.	Пусть множество А имеет п элементов, п =
— 1, 2, ... Установив взаимно однозначное соответ-
ствие между подмножествами А и их дополнениями
(до Л), показать, что
Скп = СПгГк,
где Сп — число сочетаний из п элементов по k.
1.35.	Пусть множество А имеет п элементов, п =
= 0, 1, 2, ... (если п — 0, то А — 0). Доказать, что
множество всех подмножеств множества А имеет 2"
элементов. С помощью этого результата показать, что
С°„ + С^ + С^+ ... +С" = 2П,	/г=1,2, ...
1.36.	Доказать, что каждое бесконечное множе-
ство содержит счетное подмножество.
1.37.	Построить взаимно однозначное соответствие
между точками отрезка [0, 1] и интервала (0, 1).
1.38.	Доказать, что если множество А бесконечно,
а В счетно, то (Л U В) ~ А.
1.39.	Доказать, что множество бесконечно в том
и только том случае, когда оно эквивалентно некото-
рому своему собственному подмножеству (т. е. под-
множеству, не совпадающему с ним самим).
1.40.	Доказать, что счетное объединение попарно
непересекающихся конечных множеств счетно.
1.41.	Доказать, что объединение конечного или
счетного набора счетных множеств счетно.
1.42.	Доказать, что множество всех рациональных
чисел счетно.
1.43.	Доказать, что множество всех интервалов
(а, Ь) с рациональными концами а и b счетно.
1.44.	Доказать, что множество всех точек конечно-
мерного евклидова пространства, все координаты ко-
торых рациональны, счетно.
1.45.	Доказать счетность множества всех алгеб-
раических чисел (число называется алгебраическим,
если оно является корнем алгебраического много-
члена с целыми коэффициентами).
1.46.	Доказать, что множество точек разрыва мо-
нотонной функции f(x) не более чем счетно.
15
1.47.	Доказать, что произвольный набор попарно
непересекающихся интервалов (а, Ь) не более чем
счетен.
1.48.	Пусть функция f(x), заданная на отрезке
[О, 1], имеет в каждой точке локальный минимум
(т. е. для каждого хо е [0, 1 ] найдется такое е, что
/(x)^f(xo) для всех х, удовлетворяющих условию
|х— хо|<е). Доказать, что множество значений,
принимаемых функцией f, не более чем счетно.
1.49.	Доказать, что произвольное множество точек
на плоскости, расстояние между любыми двумя из
которых превосходит некоторое фиксированное число
а > 0, не более чем счетно.
1.50.	Пусть А — счетное множество точек на
(— оо, оо.). Доказать, что существуют такие а, что А
не имеет общих точек со сдвигом А на а, т. е. с мно-
жеством {х а}, х е А.
1.51.	Пусть А — счетное множество точек на
(—оо, оо). Доказать, что для каждого а > 0 можно
так выбрать точку х, что равномерная сетка с на-
чальной точкой х и шагом а, т. е. множество {х +
+ ат}; т = 0, ±1, ±2, ..., не будет содержать ни
одной точки множества А.
1.52.	Пусть на множестве А задано бесконечное
семейство функций {/ (х)}, равномерно ограниченных
на А. Доказать, что для каждого счетного множества
В с А из этого семейства можно выделить последо-
вательность функций, сходящуюся в каждой точке
хе В.
1.53.	Доказать, что если Л\ В\Л, то А ~
В.
1.54.	Доказать, что если A cz В с С и А ~ С, то
А ~ В.
1.55.	Доказать, что если у каждого из двух мно-
жеств имеется подмножество, эквивалентное другому
множеству, то сами эти множества эквивалентны.
1.56.	Доказать, что континуум несчетен.
1.57.	Доказать, что-множество точек любого ин-
тервала (а, Ь), —оо а < b оо, имеет мощность
континуума.
1.58.	Доказать, что объединение счетного набора
множеств мощности континуума имеет мощность кон-
тинуума.
16
1.59.	Доказать, что множество точек (х, у) единич-
ного квадрата {O^x^l, О у 1} имеет мощ-
ность континуума.
1.60.	Доказать, что множество всех точек конечно-
мерного евклидова пространства имеет мощность кон-
тинуума.
1.61.	Доказать, что объединение континуума мно-
жеств мощности континуума имеет мощность конти-
нуума.
1.62.	Доказать, что множество всех последователь-
ностей, составленных из 0 и 1, имеет мощность кон-
тинуума.
1.63.	Доказать, что мощность континуума имеет
множество всех чисел из (0, Г), в представлении ко-
торых бесконечной десятичной дробью участвуют
только две, три, ..., девять цифр.
1.64.	Доказать, что каждая последовательность
а\, а2, ... имеет континуум подпоследовательностей.
1.65.	Доказать, что множество всех подмножеств
счетного множества имеет мощность континуума.
1.66.	Доказать, что для каждого множества мно-
жество всех его подмножеств имеет мощность, боль-
шую, чем исходное множество.
1.67.	Доказать, что множество всех функций f(x),
заданных на отрезке, имеет мощность, большую, чем
мощность континуума.
1.68.	Доказать, что множество всех конечных под-
множеств счетного множества счетно.
1.69.	Доказать, что множество всех счетных под-
множеств множества мощности континуума имеет
мощность континуума.
1.70.	Доказать, что множество всех непрерывных
функций f(x), заданных на отрезке, имеет мощность
континуума.
1.71.	Доказать, что множество всех монотонных
функций f(x), заданных на отрезке, имеет мощность
континуума.
1.72.	Доказать, что мощность континуума имеет
множество всех подмножеств отрезка, являющихся
объединением не более чем счетного набора попарно
непересекающихся интервалов.
1.73.	Доказать, что множество всех последова-
тельностей непрерывных функций, заданных на от-
резке, имеет мощность континуума.
L7
1.74.	Доказать, что если A = B|JC и А имеет
мощность континуума, то по-крайней мере одно из
множеств В и С имеет мощность континуума,
оо
1.75.	Доказать, что если А = J Ап и А имеет
П=1
мощность континуума, то по крайней мере одно из
множеств Ап имеет мощность континуума.
Глава 2
МНОЖЕСТВА
В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Множества, рассматриваемые в этой и следующих
главах, предполагаются принадлежащими «-мерному
евклидову пространству Еп, п = 1,2, ...
Расстояние между точками х и у из Еп обозна-
чается р(х, i/),*t. е.
Р (х, у)='\/ Z (xk — ykY ,
где (%!....Хп) и (ух, ..., уп)—координаты точек
х и у (относительно прямоугольной системы коорди-
нат). Множество всех точек у, для которых р(х, у) <2
< е, е > 0, называется ъ-окрестностью точки х.
Точка х называется предельной точкой множества
A cz Е„, если каждая е-окрестность точки х содержит
бесконечное подмножество точек множества А. Мно-
жество всех предельных точек множества А обозна-
чается А'. Замыканием множества А называется мно-
жество А = A U А'. Множество А называется замкну-
тым, если А = А, и называется совершенным, если
А = А'.
Точка х&А называется изолированной точкой
множества А, если существует е-окрестность точки х,
которая не содержит других точек множества А,
кроме самой этой точки.
Точка х называется точкой конденсации множе-
ства А, если каждая ее е-окрестность содержит не-
счетное подмножество точек множества А.
Точка х называется внутренней точкой множества
А, если существует е-окрестность этой точки, целиком
принадлежащая множеству А. Множество А назы*
18
вается открытым, если каждая точка х g А является
его внутренней точкой.
Говорят, что семейство множеств {Ва} покрывает
множество А, если каждая точка множества А при-
надлежит по крайней мере одному из множеств се-
мейства (Ва}-
Расстоянием между точкой х и непустым множе-
ством А называют величину
Р (х, А) = inf р(х, у),
и^л
а расстоянием между произвольными непустыми мно-
жествами А и В — величину
р (Л, В) = inf р (х, у).
хе А
у^В
Множество А с Еп называется всюду плотным
(в Еп), если для каждой точки к е Еп любая ее
е-окрестность содержит точки множества А, т. е. если
А = Еп. Множество А а Еп называется нигде не
плотным (в Еп), если для каждой точки хе£я в
любой ее е-окрестности найдется такая точка у, неко-
торая ei-окрестность которой не содержит точек' мно-
жества А.
Говорят, что множество А имеет тип Fa, если су-
ществуют такие замкнутые множества Fi, F2, ...,
оо	.
что А = [J Fk, и А имеет тип G6, если существуют та-
s=i
оо
кие открытые множества Gb G2, .что А — П Gk.
k — l
оо
Если множество А представимо в виде А — П Bk,
где каждое множество Bk имеет тип Fa, то говорят,
что А имеет тип Fa&. Если А представимо в виде
оо
А = U где каждое множество ВЛ имеет тип Ge,
Й = 1
то говорят, что А имеет тип G6a.
Те задачи этой главы, в которых не указана явно
размерность пространства Еп, которому принадлежат
рассматриваемые множества, следует решать для
произвольного п. При этом иногда будет полезно рас-
смотреть сначала случай п — 1 и только после этого
переходить к пространствам большей размерности.
19
2.1.	Доказать, что замыкание произвольного мно-
жества А замкнуто, т. е. А = А.
2.2.	Доказать, что для произвольного множества А
множество всех его предельных точек А' замкнуто,
2.3. Доказать, что
1)	лйв = лив,
2)	(Л U В)' = A' U В'.
2.4.	Построить множество А такое, что все его
точки являются изолированными, а множество А' не-
пусто.
2.5.	Доказать, что множество изолированных то-
чек произвольного множества не более чем счетно.
2.6.	Доказать, что каждое бесконечное ограничен-
ное множество имеет по крайней мере одну предель-
ную точку (теорема Больцано — Вейерштрасса).
2.7.	Пусть А' — множество предельных точек мно-
жества А, А" — множество предельных точек А' и
т. д. Построить множество А, у которого
1)	А' непусто, а А" пусто;
2)	Д(п) непусто, а Д(га+1> пусто, п = 2, 3, ...;
3)	все Л(п) различны.
2.8.	Доказать, что если множество А' счетно, то и
А счетно.
2.9.	Построить счетное множество А такое, что
множество А' имеет мощность континуума и не пере-
секается с А.
2.10.	Доказать, что для каждого множества сово-
купность всех его внутренних точек открыта.
2.11.	Доказать, что дополнение замкнутого мно-
жества до всего пространства открыто, а дополнение
открытого множества замкнуто.
2.12.	Доказать, что если множество F замкнуто, а
множество G открыто, то F\G замкнуто, a G\F
открыто.
2.13.	Доказать, что как подмножества простран-
ства Ei отрезок [а, й] замкнут, интервал (а, Ь) от-
крыт, а полуотрезок [а, Ь) не является ни замкну-
тым, ни открытым множеством. Будут ли эти множе-
ства замкнутыми или открытыми как подмноже-
ства Е2?
20
2.14.	Доказать, что n-мерные шар и параллелепи-
пед, рассматриваемые вместе с их границами (т. е.
множества точек, координаты которых удовлетворяют
п
соответственно условиям У, (xft — л^)2 г2 и а*
хк bn, k — 1, ..., п), замкнуты. Эти же мно-
жества без граничных точек (т. е. когда соответ-
ствующие условия на ' координаты имеют вид
п	•
У (xk — x°k)2 <г2 И ak < Xk < bk, k=\..........ri)
открыты.
2.15.	Доказать, что пересечение произвольного на-
бора замкнутых множеств замкнуто.
2.16.	Доказать, что объединение конечного числа
замкнутых множеств замкнуто.
2.17.	Доказать, что объединение произвольного на-
бора открытых множеств открыто.
2.18.	Доказать, что пересечение конечного числа
открытых множеств открыто.
2.19.	Доказать, что замыкание произвольного мно-
жества А равно пересечению всех замкнутых мно-
жеств, содержащих А.
2.20.	Доказать, что предел убывающей последо-
вательности непустых замкнутых ограниченных мно-
жеств замкнут и непуст.
2.21.	Доказать, что если замкнутые ограниченные
множества Fi, F2, ... таковы, что пересечение произ-
оо
вольного конечного набора их непусто, то и ["] Fk
непусто.
2.22.	Доказать, что каждое открытое множество
на прямой представимо как объединение не более
чем счетного набора непересекающихся интервалов
(допускаются интервалы с одним или обоими беско-
нечными концами).
2.23.	Доказать, что каждое бесконечное замкнутое
множество на прямой является замыканием некото-
рого своего счетного подмножества.
2.24.	Доказать, что каждое открытое множество в
Еп представимо как объединение не более чем счет-
ного набора открытых шаров
21
открытых параллелепипедов (а* < Xk < bk, k —
= 1, ..., n).
2.25.	Построить в En такую последовательность от-
крытых множеств, что каждое открытое множество
можно представить как объединение множеств из не-
которой ее подпоследовательности.
2.26.	Представить отрезок [о,6] как пересечение
счетного набора открытых множеств. Сначала решить
задачу, рассматривая отрезок как подмножество пря-
мой, а затем как подмножество в Еп, п 2.
2.27.	Представить интервал (а, Ь) как объедине-
ние счетного набора замкнутых множеств.
2.28.	Доказать, что каждое открытое множество в
Еп можно представить как объединение счетного на-
бора замкнутых множеств (т. е. что открытое множе-
ство имеет тип Fa).
2.29.	Доказать, что каждое замкнутое множество
в Еп можно представить как пересечение счетного
набора открытых множеств (т; е. что замкнутое мно-
жество имеет тип G6).
2.30.	Пусть замкнутое ограниченное множество F
покрыто бесконечным набором открытых множеств
{Ga}. Доказать, что существует конечное число мно-
жеств Ga, которые покрывают F (теорема Гейне —
Бореля).
2.31.	Показать, что теорема Гейне — Бореля пере-
стает быть верной, если в ней отказаться от любого
из следующих трех условий, сохранив два остальных:
1)	множество F замкнуто,
2)	множество F ограничено,
3)	множества Ga открыты.
2.32.	Пусть (Га)— произвольное семейство замк-
нутых ограниченных множеств таких, что пересечение
любого их конечного набора непусто. Доказать, что
П Еа непусто,
а
2.33.	Доказать, что если множество А покрыто
бесконечным набором открытых множеств {Ga}, то
существует счетный набор множеств Ga, которые по-
крывают А.
2.34.	Доказать, что непустое множество A cz Е„
замкнуто в том и только том случае, когда для каж-
22
дой точки хе Еп найдется такая точка у е А, что
р(х,А) = р(х, у).
2.35.	Доказать, что если множества А и В не-
пусты, замкнуты и по крайней мере одно из них ог-
раничено, то существуют такие точки х & А и у е В,
что р(А, В) = р(х, у).
2.36.	Доказать, что если множества Л и В не-
пусты, замкнуты, не пересекаются и по крайней мере
одно из них ограничено, то р(А, В)> 0.
2.37.	Построить непустые замкнутые непересекаю-
щиеся множества А и В такие, что р(А, В)=0.
2.38.	Доказать, что для произвольного непустого
множества А с Еп функция f(x) = р(х, А) непре-
рывна на Еп.
2.39.	Доказать, что для произвольного непустого
множества А с Еп:
1)	для каждого е > 0 множество точек х s Еп,
для которых р(х, А)< е, открыто;
2)	для каждого е 0 множество точек х е Еп,
для которых р(х, А) е, замкнуто.
2.40.	Каждую точку х непустого множества А а:
а: Еп покроем замкнутым шаром радиуса е > 0 с
центром в точке х (т. е. множеством точек у, для ко-
торых р (х, у) е). Доказать, что объединение всех
этих шаров:
1)	открыто, если А открыто;
2)	замкнуто, если А замкнуто.
2.41.	Доказать, что произвольное непустое замк-
нутое множество А и произвольную точку хе А
можно покрыть непересекающимися открытыми мно-
жествами (т. е. существуют такие непересекающиеся
открытые множества G[ и G2, что А с G\ и хе G2).
2.42.	Доказать, что произвольные непустые замк-
нутые непересекающиеся множества А и В можно
покрыть открытыми множествами, которые также не
пересекаются (оба множества А и В могут быть не-
ограниченными).
2.43.	Пусть множество G открыто и ограничено, а
непустое множество F замкнуто и F cr G. Доказать,
что существует такое е > 0, что множество всех то-
чек х, для которых p(x,F)^e, будет содержаться
в G.
2.44.	Выпуклой оболочкой множества А называет-
ся пересечение всех выпуклых множеств, содержа-
23
щих А. Доказать, что для каждого открытого множе«
ства его выпуклая оболочка открыта.
2.45.	Доказать, что выпуклая оболочка каждого
замкнутого ограниченного множества замкнута.
2.46.	Доказать, что в пространствах Еп при п 2
существуют неограниченные замкнутые множества,
выпуклая оболочка которых незамкнута.
2.47.	Доказать, что для каждого непустого огра-
ниченного множества замыкание его выпуклой обо-
лочки совпадает с выпуклой оболочкой его замыка-
ния.
2.48.	Доказать, что если функция непрерывна в£„,
то множество точек, в которые она обращается в
нуль, замкнуто.
2.49.	Для произвольного замкнутого множества
F cz Еп построить непрерывную в Еп функцию, мно-
жество нулей которой совпадает с F.
2.50.	Пусть F — замкнутое множество на прямой
и функция f непрерывна на F. Построить непрерыв-
ное продолжение -функции f на всю прямую, т. е. по-
строить функцию <р, которая непрерывна на прямой
и такова, что <р(х) — f(x) для х е F.
2.51.	Пусть F — замкнутое множество в Еп и
функция f непрерывна на F. Построить непрерывное
продолжение функции f на Еп-
2.52.	Пусть F — замкнутое множество в Еп и
функция f непрерывна на F. Доказать, что для каж-
дого с множество тех точек х е F, для которых f (л)
с, замкнуто.
2.53.	Построить ца [й, Ь] разрывную функцию f(x)
такую, что для каждого с множества точек, в кото-
рых f(x) с и f(x)= с, замкнуты.
2.54.	Пусть функция f(x) задана на [а, Ь] и для
каждого с множества точек, в которых	и
замкнуты. Доказать, что функция [ непре-
рывна.
2.55.	Пусть на отрезке [й, 6] задана непрерывная
функция f(x). Доказать, что если множество A cz
с[й, 6]
1)	замкнуто, то замкнуто множество f(A) (образ
множества А при отображении, осуществляемом
функцией f);
2)	имеет тип Fa, то множество f(A) имеет тип Fa.
24
2.56.	Пусть на отрезке [а, Ь] задана непрерывная
строго возрастающая функция f(x). Доказать, что
если множество А сг[о, 6]
1)	всюду плотно на [о, 6], то [(A) всюду плотно
на [f(a),f(b)];
2)	нигде не плотно на [а, 6], то f(A) нигде не
плотно на [Да), Д6)].
2.57.	Доказать, что если множество А нигде не
плотно, то и его замыкание А нигде не плотно.
2.58.	Доказать, что если множество нигде не плот-
но, то его дополнение всюду плотно.
2.59.	Доказать, что если открытое множество
всюду плотно, то его дополнение нигде не плотно, а
для произвольных всюду плотных множеств это ут-
верждение неверно.
2.60.	' Пусть множества Аь А2 ... нигде не плотны.
оо
Доказать, что множество Еп \ (J Ak всюду плотно.
k=i
2.61.	Пусть множества Аь А2, ... всюду плотны,
Доказать, что их пересечение всюду плотно, если
каждое из множеств Ап
1)	открыто,
2)	имеет тип G6.
2.62.	Построить убывающую последовательность
всюду плотных множеств, пересечение которых пусто.
2.63.	Доказать, что для произвольного множества
A cz Еп объединение его дополнения до Еп и множе-
ства всех внутренних точек А всюду плотно в Еп-
2.64.	Чтобы построить на отрезке [0, 1] канторово
множество, сначала удаляют из этого отрезка интер-
вал (1/3, 2/3). Затем каждый из двух оставшихся
отрезков делят на три равные части и удаляют сред-
ние интервалы, т. е. (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9). На сле-
дующем шаге каждый из оставшихся отрезков опять
делят на три равные части и удаляют средние интер-
валы. Множество точек отрезка [0, 1], оставшихся
после неограниченного продолжения этого процесса,
называют канторовым. Доказать, что это множество:
1)	нигде не плотно,
2)	совершенно,
3)	имеет мощность континуума.
2.65.	Пусть F — непустое замкнутое ограниченное
множество на прямой и [а, Ь]—наименьший отрезок,
3 С. А. Теляковский	26
содержащий F. Доказать, что F совершенно в том и
только том случае, когда его можно получить, уда-
лив из [а, 6] не более чем счетное множество непере-
секающихся интервалов, не имеющих общих концов
ни друг с другом, ни с отрезком [й, Ь].
2.66.	Рассмотрим множество всех чисел из (0, 1),
в представлении которых бесконечной десятичной
дробью участвуют только две, три, ..., девять цифр.
Доказать, что если к этому множеству добавить чис-
ла 0 и 1, то полученное множество будет совершен-
ным.
2.67.	Доказать, что каждое непустое совершенное
множество имеет мощность континуума.
2.68.	Доказать, что если множества Fk замкнуты и
оо
Еп= U Fk, то хотя бы одно из Fk имеет внутренние
*=i
точки.
2.69.	Доказать, что отрезок [0, 1] нельзя предста-
вить в виде объединения счетного множества попарно
непересекающихся замкнутых множеств.
2.70.	Представить отрезок [0, 1] в виде объедине-
ния континуума попарно непересекающихся совер-
шенных множеств.
2.71.	Доказать, что множеством точек конденса-
ции объединения двух множеств является объедине-
ние их точек конденсации.
2.72.	Доказать, что каждое несчетное множество
имеет точки конденсации, принадлежащие этому мно-
жеству.
2.73.	Доказать, что множество точек конденсации
каждого несчетного множества совершенно.
2.74.	Доказать, что множество точек произволь-
ного несчетного множества, не являющихся его точ-
ками конденсации, не более чем счетно.
2.75.	Доказать, что каждое несчетное замкнутое
множество представимо как объединение совершен-
ного множества и не более чем счетного множества и,
значит, имеет мощность континуума.
2.76.	Доказать, что пересечение счетного множе-
ства множеств типа G6 имеет тип G6.
2.77.	Доказать, что объединение счетного множе-
ства множеств типа Fa имеет тип Fa.
2.78.	Доказать, что дополнение множества типа Fo
26
до Еп имеет тип G6, а дополнение множества типа G6
имеет тип Fo.
2.79.	Доказать, что множество всех рациональных
точек на (— оо, оо) является множеством типа Fa
и не является множеством типа G6.
2.80.	Доказать, что никакое счетное всюду плот-
ное в Еп множество не может иметь тип G6.
2.81.	Привести пример множества, не являющегося
ни множеством типа Fa, ни множеством типа G6.
2.82.	Доказать, что множество точек непрерывно-
сти произвольной функции имеет тип G6.
2.83.	Построить функцию f(x), непрерывную во
всех иррациональных и разрывную во всех рацио-
нальных точках.
2.84.	Для произвольного множества A cz Еп типа
Ge построить функцию, множество точек непрерывно-
сти которой совпадает с А.
2.85.	Доказать, что для произвольной последова-
тельности функций непрерывных в Еп, множе-
ство точек ее неограниченной расходимости (т. е. то-
чек х, в которых lim | fm (х) |= оо) имеет тип G6.
m->co
2.86.	Построить на (—оо, оо) последовательность
непрерывных функций, множеством точек неограни-
ченной расходимости которой является множество
всех иррациональных точек.
2.87.	'Для произвольного множества A cz Еп типа
G6 построить последовательность функций, непрерыв-
ных в Еп, множество точек неограниченной расходи-
мости которой совпадает с А.
’ 2.88. Доказать, что для произвольной последова-
тельности непрерывных функций множество точек
сходимости имеет тип FO6.
2.89.	Построить на (— <х>, оо) последовательность
непрерывных функций, множеством точек сходимости
которой является множество всех рациональных точек.
2.90.	Построить на (—оо, оо) последовательность
непрерывных функций, множеством точек сходимости
которой является множество всех иррациональных
точек.
2.91.	Для произвольного множества A cz Еп типа
Fa6 построить последовательность функций, непре-
рывных в Еп, множество точек сходимости которой
совпадает с А.
3*	27
Глава 3
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. Мера на кольцах
Непустой набор множеств R называется кольцом,
если для любых множеств А и В из R к R принад-
лежат А Л В и А П В. Можно доказать (этому была
посвящена задача 1.23), что к R будет принадлежать
также A U В, а значит, и объединение любого конеч-
ного набора множеств из R. Если для произвольной
последовательности множеств Аь А2......Ai е R, к
со
R принадлежит их объединение [J А{, то кольцо R
i=i
называют a-кольцом. Если среди элементов кольца
множеств R есть такое множество Е, что А сЕ для
каждого А е/?, то R называют алгеброй, а множе-
ство Е — единицей алгебры. Алгебру называют о-ал-
геброй, если кольцо R было о-кольцом.
Непустой набор множеств Р называют полуколь-
цом, если для любых множеств А и В из Р к Р при-
надлежит A Q В и найдется такой конечный набор
попарно непересекающихся множеств С\.......С* из
Р, что А \ В = Q Ct.
i=i
Определенная на кольце множеств R числовая
функция <р, которая может принимать и бесконечные
значения, но только одного знака, называется адди-
тивной (или конечно аддитивной), если для любых
попарно непересекающихся множеств Ah ...,Ak из У?
справедливо равенство
X	/г
ил)=Е<р(Л)-	(*)
1=1	/	£-1
Аналогично вводится определение аддитивности для
функций, заданных на полукольце Р, только в этом
случае требуется, чтобы равенство (*) выполнялось
для любых попарно непересекающихся множеств
k
Ai, ..., Ak из Р таких, что и [J Аг принадлежит к Р.
i1=31
Функция ф, заданная на кольце или полукольце мпо-
28
жеств, называется о-аддитивной (или счетно аддитив-
ной), если равенство
Z оо	X	оо
<₽ (U л) = S <₽ (Л)
\£ = 1 /	1^1
выполняется для любой последовательности попарно
непересекающихся множеств А1г А2, ... таких, что
оо
сами эти множества и их объединение (J А{ принад-
£ = 1
лежат этому кольцу или соответственно полукольцу,
Функция т, определенная на кольце множеств,
называется мерой, если она неотрицательна, а-адди-
тивна*и т(0) = 0.
В задачах 3.11 и 3.14 определены полукольца Р\
и Рп, в задачах 3.12 и 3.15 — полукольца б?! и Qn.
Эти обозначения используются в последующих зада-
чах этой главы без пояснений.
3.1.	Доказать, что для произвольного множества
множество всех его подмножеств образует а-алгебру,
3.2.	Доказать, что множество всех ограниченных
подмножеств прямой образует кольцо, но не является
ни о-кольцом, ни алгеброй.
3.3.	Пусть R — кольцо множеств, А е R и Ra-~
совокупность всех множеств вида	где В е R.
Доказать, что RA — алгебра, единицей которой яв-
ляется А, а если R было о-кольцом, то Ra будет о-ал-
геброй.
3.4.	Доказать, что для произвольного множества А
множество всех его конечных подмножеств образует
кольцо. При каком условии на множество А это
кольцо будет:
1) алгеброй, 2) о-кольцом?
3.5.	Доказать, что для произвольного бесконеч-
ного множества А множество всех его не б злее чем
счетных подмножеств образует о-кольцо. При каком
условии на множество А это кольцо будет алгеброй?
3.6.	Доказать, что для произвольного несчетного
множества А о-алгебру образует множество всех та-
ких подмножеств А, что либо само это подмножество,
либо его дополнение до_ А не более чем счетно.
3.7.	Доказать, что полукольцо множеств Р будет
кольцом, если объединение любых двух множеств из
Р принадлежит Р.
29
3.8.	Пусть множества A, Ait А/г принадлежат
полукольцу множеств Р, Aid А и множества А, по-
парно не пересекаются, i= 1, 2, ..., k. Доказать, что
в Р можно выбрать такие множества Ak+i, ... ,Ап,
п
что А == [J At и все множества Аь .... Ап попарно
i=i
не пересекаются.
3.9.	Пусть множества Ац ..., А* принадлежат по-
лукольцу множеств Р. Доказать, что в Р можно вы-
брать такие попарно непересекающиеся множества
Bi, ..., Вп, что каждое А, представимо как объеди-
нение некоторых В,.
3.10.	Пусть задано полукольцо множеств Р и R —
множество всех конечных объединений множеств из
Р. Доказать, что R — кольцо и что любое другое
кольцо, содержащее все множества из Р, будет со-
держать все элементы R, т. е. что R—минимальное
кольцо, содержащее Р. Говорят, что кольцо R по-
рождено полукольцом Р, обозначают его R(P).
3.11.	Пусть Pi — множество всех конечных полу-
интервалов вида [о, b) на прямой. Доказать, что Pi—
полукольцо, а порожденное им кольцо R(Pi) не яв-
ляется ни о-кольцом, ни алгеброй.
3.12.	Пусть Qi — множество всех конечных проме-
жутков вида (а, Ь), [а, Ь), (о, 6] и [а, 6], а Ь, на
прямой. Доказать, что Qi — полукольцо, а порож-
денное им кольцо R(Qi) не является ни о-кольцом,
ни алгеброй.
3.13.	Доказать, что для каждого из колец R(Pi)
и R(Qi) совокупность всех их элементов, являющихся
подмножествами отрезка [0, 1], образует алгебру.
Какие множества играют роль единиц в этих алгеб-
рах? Будут ли алгебрами совокупности всех элемен-
тов из R(Pi) и из R(Qi), являющихся подмножест-
вами интервала (0,1)?
3.14.	В ft-мерном евклидовом пространстве рас-
смотрим параллелепипеды, определяемые условиями
на координаты вида о* х* < bk, k=\, ..., п.
Пусть Рп — множество всех таких конечных парал-
лелепипедов. Доказать, что Рп — полукольцо, а по-
рожденное им кольцо R(Pn} не является ни о-коль-
цом, ни алгеброй.
3.15.	В /г-мерном евклидовом пространстве рас-
30
смотрим параллелепипеды, определяемые условиями
на координаты вида си Xk bk, k — 1, ..., п, при-
чем каждое из этих 2п нестрогих неравенств может
быть заменено на строгое, т. е. на С. Здесь ak < bk,
а если для некоторого k оба условия на координаты
заданы с нестрогими неравенствами, то допускается и
ak = bk. Пусть Q„ — множество всех таких конечных
параллелепипедов. Доказать, что Qfl — полукольцо, а
порожденное им кольцо 7?(Q«) не является ни о-
кольцом, ни алгеброй.
3.16.	Доказать, что совокупность всех тех элемен-
тов каждого из колец R(JPn) и R(Qn), которые при-
надлежат n-мерному единичному кубу {0	1,
k — 1, ..., п}, образует алгебру. Какие множества
играют роль единиц в этих алгебрах?
3.17.	Доказать, что для произвольной последова-
тельности элементов А2, ... из ст-кольца множеств
оо
R их пересечение f] Ak также’принадлежит R.
fe=i
3.18.	Доказать, что если алгебра множеств R та-
кова, что пересечение каждой последовательности эле-
ментов из R принадлежит R, то R есть о-алгебра.
3.19.	Построить кольцо множеств R, которое не
является о-кольцом, но пересечение каждой последо-
вательности элементов из R принадлежит R.
3.20.	Для произвольного непустого набора мно-
жеств {Ла} построить минимальное кольцо R, содер-
жащее все множества Аа в качестве своих элементов
(минимальность кольца R означает, что любое дру-
гое кольцо, элементами которого являются все Аа, со-
держит все элементы 7?).
3.21.	Множество А из евклидова пространства Еп
называется борелевским, если оно может быть полу-
чено из открытых множеств счетным применением
операций объединения, пересечения и перехода к до-
полнению. Доказать, что совокупность всех борелев-
ских множеств пространства Еп
1)	образует о-алгебру;
2)	является минимальной о-алгеброй, содержащей
все открытые множества;
3)	является минимальной о-алгеброй, содержа-
щей все замкнутые множества;
4)	имеет мощность континуума.
31
3.22.	Пусть ср — аддитивная функция, заданная на
кольце множеств Д Доказать, что
1)	если <р принимает конечное значение хотя бы
на одном элементе из 7?, то <р(0) = 0;
2)	для любых А и В из R
<р(Лий) + <р(ЛПВ) = <р(Д) + <Р(В);
3)	множество тех элементов из R, на которых <р
принимает конечные значения, образует кольцо.
3.23.	Пусть ср — аддитивная неотрицательная функ-
ция, заданная на кольце множеств R. Доказать, что
1)	если множества А и В принадлежат 7? и A cz В,
то <р (Д)	ф(73);
2)	если для множеств А и В из R имеем
<р(Л ДВ)= о,
то <р(Д) — <р(В);
3)	множество тех элементов из R, на которых <р
обращается в нуль, образует кольцо.
3.24.	Показать, что ни в одном из утверждений
задачи 3.23 нельзя отказаться от условия неотрица-
тельности функции ср.
3.25.	Пусть ср — аддитивная неотрицательная
функция, заданная на кольце множеств R, и попарно
непересекающиеся множества Ah А2, ... принадлв’
жат R. Доказать, что если A ^R и
k	k
1)	U А с А то Еф(Д«Хф(Д);
7 = 1
со	со
2)	U At cz А, то Е ф(Д«Хф(Д).
i=l	z = l
3.26.	Доказать, что для произвольной неотрица-
тельной аддитивной функции <р, заданной на кольце
множеств R, и для произвольных А, Дь ..., Ak, при-
надлежащих R, из A cz U At следует <р(Д) < Е ф (Д«).
1 = 1	/ = 1
3.27.	Пусть <р — неотрицательная аддитивная
функция, заданная на кольце множеств R. Доказать,
Что <р будет о-аддитивной в том и только том случае,
когда для произвольных множеств Д, Дь Д2, ..., при-
ОО	ОО
надлежащих R, из A cz (J Ak следует ф(Д)< Е <Р (ДА
/1 = 1	/1 = 1
32 •
3.28.	Пусть tn — мера на кольце R. Доказать, что
если Аь А2, ... —монотонная (т. е. возрастающая
или убывающая) последовательность множеств из/?,
имеющих конечную меру и таких, что lim Ап е R, то
п
tn (lim Ап) = lim тАп.
п	п
3.29.	Пусть <р — конечная неотрицательная адди-
тивная функция, заданная на кольце R. Доказать,
что любое из следующих условий достаточно для
о-аддитивности функции <р:
1)	для каждой возрастающей последовательности
множеств Ап из R такой, что lim Ап е R,
п
ф (lim Ап) = lim <р (А„);
п	п
2)	для каждой убывающей последовательности
множеств Ап из R такой, что lim Ап— 0,
п
Нт<р(Л„) = 0.
п
3.30.	На алгебре всех подмножеств рациональных
чисел из [0, 1] ввести меру так, чтобы мера каждого
рационального числа была положительна, а мера
множества всех рациональных чисел из [0, 1] равня-
лась 1.
3.31.	Определить неотрицательную аддитивную, но
не о-аддитивную функцию на алгебре всех подмно-
жеств рациональных чисел из [0, 1].
3.32.	Пусть <р — неотрицательная аддитивная функ-
ция, заданная на полукольце множеств Р. Доказать,
что <р можно, и притом единственным образом, про-
должить до аддитивной функции на кольце R(P), по-
рожденном Р. Если функция ф была о-аддитивна на
Р, то продолженная функция на R(P) будет о-адди-
тивной, т. е. будет мерой, если q>(0) — 0.
3.33.	Пусть на полукольце множеств Р задана не-
отрицательная функция ф. Доказать, что если для
каждых непересекающихся множеств А и В из Р
Ф(лив)=ФИ) + <р(В),	-
то ф аддитивна, т. е. для произвольных попарно не-
пересекающихся множеств Аь ..., Ak,	из Р
зз
k
таких, что [J At е Р, имеем
i=i 
\	/г
U л)=Е <р(А)-
« = 1	/ i=l
3.34.	Для множеств А, являющихся промежутками
вида (а,Ь), [а,Ь), (а, Ь] и [а,Ь], а Ь, положим
т(А)=Ь— а. Доказать о-аддитивность функции т
на каждом из полуколец Р\ и
3.35.	Пусть на (— оо, оо) задана неубывающая не-
прерывная слева функция g(x). Для множества А =
= [а, Ь) положим т(А)— g(b)— g(a). Доказать
g-аддитивность функции т на полукольце Р\.
3.36.	По заданной на полукольце Р} конечной ад-
дитивной неотрицательной функции tn построить на
(— оо, оо) неубывающую непрерывную слева функ-
цию g такую, чтобы для всех а < b выполнялось ра-
венство т ( [a, b)) — g(b)— g(a).
3.37.	Пусть на’ (— оо, оо.) задана неубывающая
функция g (л). Положим
т(Л) = §(й-0)-§(а + 0),
m(A) = g(b— 0) — g(a — 0),
т (Л) = g (b + 0) — g (а + 0),
fflH) = g(H0)-g(a-0),
если Л = (а, Ь),
если А = [а, Ь),
если А —(а, Ь],
если А —[а, Ь].
Доказать о-аддитивность функции т на полу-
кольце Qi.
3.38.	Для множества А, являющегося «-мерным
параллелепипедом, определяемым условиями на ко-
ординаты вида Xk bk, k = l, ..., п (где лю-
бые из 2ц знаков нестрогого неравенства могут быть
п
заменены на строгие), положим mA = Ц (bk — ak)-
*=i
Доказать а-аддитивность функции т на каждом из
полуколец Рп и Qn.
3.39.	Пусть о-аддитивные функции ть ..., тп за-
даны на полукольце Р\. Для «-мерного параллеле-
пипеда А, состоящего из точек, координаты которых
удовлетворяют условиям ак хк < bk, k = 1.......п,
п
положим т (А) = JJ^ mh (ЛА), где Ак =[aft, bk\, Дока-
34
зать о-аддитивность функции т на полукольце Рп.
Рассмотреть аналогичную задачу для случая, когда
функции mk заданы на полукольце Qb а функция т
определяется подобным образом на полукольце Qn.
3.40.	Пусть в «-мерном евклидовом пространстве
задана функция g(xif ..., хп) такая, что смешанная
dng
производная дхх ... дхп непрерывна и неотрицатель-
на. Для «-мерного параллелепипеда А, определяе-
мого условиями на координаты вида х* bk,
k=-\, ..., п (любые из 2« знаков нестрогого нера-
венства могут быть заменены на строгие), положим
т(Л)==Е(—l)v(c)g(ci...............с„),
где суммирование производится по всем точкам с —
= (ci, ..., сп), у которых каждое с* принимает зна-
чение ak или bk, и v (с) т— число тех координат, для
которых Ck — Доказать о-аддитивность функции
т на каждом из полуколец Рп и Qn.
§ 2.	Лебегово продолжение меры
Мера т, заданная на кольце R, называется конеч-
ной, если т(В)<оо для каждого элемента В е R.
Пусть R — алгебра множеств, Е — ее единица и
т — конечная мера, заданная на R. Для каждого
множества A cz Е положим
у.* (Л) = inf X mBk,
k
где нижняя грань берется по всевозможным последо-
вательностям В\, Bz, ... элементов из R таким, что
Л с: [J Bk. Число у* (Л) называется внешней мерой
множества Л. Внутренней мерой множества Л назы-
вается число
рДЛ) = т(£)-р*(5\Л).
Если ц*(Л)= р»(Л), то множество Л называют изме-
римым, а число ц*(Л) называют мерой множества Л
и обозначают ц(Л). При этом говорят, что мера у
является лебеговым продолжением меры т.
Во всех задачах этого параграфа до задачи 3.63
включительно имеются в виду множества, являющие-
35
ся подмножествами Е — единицы алгебры R, на кото-
рой была задана конечная мера т.
Лебегово продолжение меры т, заданной на коль-
це R, не являющемся алгеброй, определено в задаче.
3.64. В последующих задачах имеется в виду это бо-
лее общее определение меры.
3.41.	Доказать, что если А— элемент алгебры, то
= mA.
3.42.	Доказать, что если A cz В, то	и
3.43.	Доказать, что для произвольного множества
А и каждого е > 0 можно указать такую последова-
тельность попарно непересекающихся множеств Bi,
оо
В2,	... из R, что A cz U Bk и
Й=1
ОО
ц* (Л) X тВь — &•
k=\
3.44.	Доказать, что для произвольных множеств А
и В
и‘Иив)<н*(Л) + ц*(е).
3.45.	Доказать, что для произвольных множеств А
и В
3.46.	Доказать, что для произвольной последова-
тельности множеств Ау, Д2, ... из A cz J Ак следует
k
|Т‘Л < У И*Ак.
3.47.	Доказать, что для произвольных множеств А
и В и каждого е > 0 можно указать такую последо-
вательность попарно непересекающихся множеств
С], С2, ... из /?, что для некоторых ее подпоследо-
вательностей и {С/Д имеем
Со	оо
- A cz U Cki, В cz U Ct
f=i	‘	/=i '
и
оо	оо
> X mCk. — е, ц*В > У tnCi — е.
Z-1	‘	7-1	'
36
3.48.	Доказать, что для произвольных множеств А
и В
И* И U В) + [Г (А П В) < н (А) + р* (В).
3.49.	Доказать, что внешняя мера, вообще говоря,
неаддитивна.
3.50.	Доказать, что для произвольного множе-
ства А
МА)<Р*(А).
3.51.	Доказать, что множества А и Е\А одновре-
менно измеримы или неизмеримы. ,
3.52.	Доказать, что множество А измеримо в том
и только том случае, когда для каждого е > 0 суще-
ствует В <= R такое, что р* (А А В) < е.
3.53.	Доказать, что множество А измеримо в том
и только том случае, когда для каждого множества
ВаЕ
р* (В) = р* (А Г) В) + р* (В \ А).
3.54.	Доказать, что если множества А и В изме-
римы и A cz В, то рА рВ.
3.55.	Доказать, что если множество имеет нулевую
меру, то любое его подмножество измеримо.
3.56.	Доказать, что если множества А и В изме-
римы, то измеримы также множества:
1)	Л U В, 2) А П В, 3) А\В, 4) А А В,
т. е. измеримые множества образуют алгебру.
3.57.	Доказать, что если множества А и В изме-
римы и не пересекаются, то
1)	p(A|JB)=p(A)+p(B),
2)	для любого множества С р*( (A (J B)f| С) *=
= р*(А ПС)+р*(ВПС).
3.58.	Доказать, что если множества А и В изме-
римы, то
р (A U В)-|-р (А (] В) = р (А) 4-р (В).
3.59.	Доказать, что мера аддитивна на алгебре
всех измеримых множеств, т. е. если Аь Ak изме-
римы и попарно не пересекаются, то
(fe \ k
U а,]=ХНА,).
i-l /
87
3.60.	Доказать,"что из измеримости множеств Ль
оо
А2, ... вытекает измеримость множества U Ak, т. е.
что измеримые множества образуют сг-алгебру.
3.61.	Доказать, что мера о-аддитивна на алгебре
всех измеримых множеств, т. е. если множества Ль
Аг, ... измеримы и попарно не пересекаются, то
(со	\	оо
U Ak ) = £ и (Л).
k=i /	/;=1
3.62.	Доказать, что из измеримости множеств Ai,
оо
А2, ... вытекает измеримость множества f] Ak.
3.63.	Доказать, что если множество А измеримо,
то существует множество В такое, что A cz В, рА =
оо
— рВ и В—П Bk, где множества Bk монотонно убы-
Л=1
оо
вают Bi zz> В2 зэ ... и Bk= J Bki, множества Bkl яв-
i = l
ляются элементами алгебры R и при каждом k моно-
тонно возрастают Bk\ <= Bk2 с= ...
3.64.	Пусть на кольце множеств R задана конеч-
ная мера т, Ah А2, ... — возрастающая последова-
тельность элементов из R таких, что каждое множе-
оо
ство из R принадлежит [J Ak, и RAk~ алгебра всех
множеств вида Ak П С, где С е R. Если множество А
оо
таково', что A cz J и множества А р Ak измеримы
/г = 1
(как подмножества единицы алгебры Ra^), то
И (Л) = lim ц (А Р Ак)
/г->оо
(этот предел может оказаться и бесконечным) назы-
вают мерой множества А, а само это множество на-
зывают измеримым. Полученную меру называют ле-
беговым продолжением меры т. Доказать, что в этом
определении измеримость множества и значение
меры для измеримых множеств не зависят от выбора
последовательности Ah А2, ..., обладающей указан-
ными выше свойствами.
38
3.65.	Решить задачи 3.54—3.63, считая, что входя-
щие в них множества А, В, Ль А2, ... измеримы в
том смысле, как это определено в задаче 3.64.
3.66.	Доказать, что если Ль А2, ... — возрастаю-
щая последовательность измеримых множеств, то
множество А — lim Ak измеримо и
k
рЛ = lim pAk.
k
. 3.67. Доказать, что если Ль А2, ... — убывающая
последовательность измеримых множеств, то множе-
ство А = lim Ak измеримо и
k
1)	если цА1 < оо, то рЛ — ПтрЛ,,;
k
2)	если мера всех Ль А2, ... бесконечна, то мера А
может быть и конечной и бесконечной.
3.68.	Доказать, что для произвольной последова-
тельности измеримых множеств At, А2, ... множества
lim Ak и lim Atl измеримы и справедливы оценки
k	ь
р (lim Л*) < lim р (Л*) < lim р (Лй) < р (lim Ak).
~	k	k	k
Привести пример последовательности, для которой
во всех этих соотношениях имеют место строгие не-
равенства.
3.69.	Доказать, что если множества Ль Л2, ... из-
оо
меримы и X рЛА < оо, то р (lim Ak) — 0.
fe=i	k
§ 3.	Мера Лебега
Задачи этого параграфа относятся к частному, но
наиболее важному случаю меры, которую принято
называть мерой Лебега.
Мера Лебега вводится сначала на полукольце Рп
(или так, как это указано в задачах 3.34 (для
п = 1) и 3.38 (в n-мерном случае), т. е. мерой Ле-
бега n-мерного параллелепипеда (с границей или без
границы) называется его n-мерный объем. Затем
мера распространяется на кольцо, порожденное полу-
кольцом Pn(Qn), т. е. на множество всех конечных
объединений попарно непересекающихся п-мерных
39
параллелепипедов. После этого строится лебегово
продолжение этой меры так, как это указано во вве-
дении к § 2.
Последние две задачи параграфа относятся к по-
крытиям множеств в смысле Витали. Говорят, что си-
стема невырождающихся отрезков покрывает множе-
ство А в смысле .Витали, если для каждой точки
х А и для каждого е > 0 существует отрезок из
этой системы, содержащий точку х, длина которого
меньше е.
3.70.	Доказать, что все ограниченные открытые и
замкнутые множества на прямой измеримы.
3.71.	Доказать, что если G — ограниченное откры-
тое множество на прямой и G = |J (ak, bk) — его
представление в виде объединения попарно непересе-
кающихся интервалов, то
pG = Е (bk — ak).
k
3.72.	Доказать, что все ограниченные открытые и
замкнутые множества в n-мерном евклидовом про-
странстве измеримы.
3.73.	Доказать, что для произвольного ограничен-
ного множества А
= inf p.G,
о
где нижняя грань берется по всем открытым мно-
жествам G, содержащим А.
3.74.	Доказать, что для произвольного ограничен-
ного множества А
М = sup pF,
F
где верхняя грань берется по всем замкнутым мно-
жествам F, содержащимся в А.
3.75.	Доказать, что для измеримости ограничен-
ного множества А необходимо и достаточно, чтобы
для каждого е > 0 существовало такое замкнутое
множество F cz А, что р*(Л \F) < е.
3.76.	Доказать, что все ограниченные множества,
имеющие тип FQ или G6, измеримы,
40
3.77.	Доказать, что все ограниченные борелевские
множества измеримы.
3.78.	Доказать, что каждое счетное множество
имеет нулевую меру.
3.79.	Доказать, что каждое множество, лежащее в
(«—1)-мерном евклидовом пространстве, имеет ну-
левую «-мерную меру.
3.80.	Доказать, что канторово множество, постро-
енное в задаче 2.64, имеет нулевую меру.
3.81.	Найти меру множества точек из отрезка
[0, 1], в разложении которых в бесконечную десятич-
ную дробь не участвует какая-либо одна цифра.
3.82.	Доказать, что каждое множество положи-
тельной меры имеет мощность континуума.
3.83.	Доказать, что каждое замкнутое множество
меры нуль нигде не плотно.
3.84.	Построить на [0, 1] нигде неплотное множе-
ство меры нуль, замыкание которого имеет положи-
тельную меру.
3.85.	Доказать, что каждое непустое совершенное
множество содержит (непустое) совершенное под-
множество меры нуль.
3.86.	Доказать, что для каждого измеримого мно-
жества А существуют такие множества В типа Fa и
С типа G6, что В с: А с: С и ц(С\В) — 0.
3.87.	Пусть 0 а < 1. Построить на [0, 1] совер-
шенное нигде неплотное множество меры а.
3.88.	Пусть 0 а < 1. Построить на единичном
кубе «-мерного евклидова пространства совершенное
нигде неплотное множество «-мерной меры а.
3.89.	Пусть 0 < а < 1. Построить на [0, 1] мно-
жество А такое, что цЛ = а и для каждого отрезка
[a, d]cz[0, 1]
0 < и (А Л [а, &]) < b — а.
3.90.	Построить на [0, 1] счетную последователь-
ность попарно непересекающихся измеримых мно-
жеств таких, что пересечение произвольного отрезка
[a, d]c=[O, 1] с каждым из этих,множеств имеет по-
ложительную меру.
3.91.	Пусть множество Асд[0,1] измеримо. Дока-
зать, что функция f(x) = ц(А f][0, х]) непрерывна на
[0,1].
4 С. А. Теляковский
41
3.92.	Пусть множество А измеримо, цА = а > О И
О < р < а. Построить измеримое множество В а А
такое, что уВ = р.
3.93.	Доказать, что множество В в задаче 3.92
можно выбрать совершенным.
3.94.	Пусть Ai, ..., Ak—измеримые подмноже-
k
ства отрезка [0, 1], причем У, рА, > k— 1. Доказать,
3.95.	Доказать, что в каждом множестве А а
<=[0,1] положительной меры существует такая пара
точек, расстояние между которыми иррационально.
3.96.	Доказать, что в каждом множестве А <=
с= [0, 1 ] положительной меры существует такая пара
точек, расстояние между которыми рационально.
3.97.	Доказать, что множество всех измеримых
подмножеств отрезка [0, 1] имеет ту же мощность,
что и множество всех его подмножеств.
3.98.	Разобьем множество точек отрезка [0, 1] на
классы, относя точки х и у к одному классу, если
число х — у рационально. Доказать, что
1)	два класса либо не пересекаются, либо совпа-
дают;
2)	множество А, в которое входит по одной точке
каждого из построенных классов, неизмеримо.
3.99.	Построить на плоскости такое измеримое
множество, проекции которого на обе координатные
оси неизмеримы.
3.100.	Доказать, что если система невырождаю-
щихся отрезков покрывает ограниченное множество
А в смысле Витали, то из нее можно выбрать не бо-
лее чем счетный набор попарно непересекающихся
отрезков, которые покрывают все точки А, за исклю-
чением некоторого множества меры нуль.
3.101.	Доказать, что если система невырождаю-
щихся отрезков покрывает ограниченное множество А
в смысле Витали,* то для каждого е > 0 можно ука-
зать такой конечный набор попарно непересекаю-
щихся отрезков di, dk из этой системы, что
42
Глава 4
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Множество тех элементов х А, которые обла-
дают некоторым свойством Р, будем обозначать
А{х: Р}.
Функция f(x), заданная на множестве А, назы-
вается измеримой на этом множестве относительно
меры |л, если относительно этой меры измеримы само
множество А, а также множества А{х: f(x)<Z с} для
всех чисел с. Там, где это не может вызвать недо-
разумений, слова «относительно меры р» опускают.
Пусть множество А измеримо относительно меры
|л. Говорят, что некоторое свойство выполняется
почти всюду (относительно меры р) или р-почти
всюду на множестве А, если оно выполняется для
всех элементов х е А, за исключением, быть может,
элементов некоторого множества В а А меры нуль.
Чтобы не делать каждый раз оговорок, будем
предполагать, что при арифметических действиях над
функциями неопределенности вида 0-оо, (+оо)—
— (4-оо) и т. п. могут встречаться только на множе-
ствах меры нуль.
Последовательность функций fi(x), f2(x), ... на-
зывается сходящейся по мере (сходящейся по мере
|л) на множестве А к функции f(x), если функция
f(x), а также все функции fk(x), k— 1,2, ..., изме-
римы и почти всюду конечны на множестве А и для
каждого о > О
lim р, А {х: | fk (х) — f (х) | > о} == 0.
fe->oo
Отметим, что во всех определениях, данных выше,
мера множества А не предполагалась конечной.
4.1.	Доказать, что если функция измерима на не-
котором множестве, то она измерима и на каждом
его измеримом подмножестве.
4.2.	Доказать, что если функция измерима на
множествах Аь А2, ..., то она будет измеримой и на
множествах
оо	оо
U	П A-kt	Ai \ А2, Ai а а2.
k=l	fe=l
4*
43
4.3.	Доказать, что если функция f3 измерима, то и
f измерима.
4.4.	Доказать, что из измеримости функции р или
функции |/| не вытекает измеримость/.
4.5.	Пусть на измеримом множестве А задана
функция f. Доказать, что каждое из следующих ус-
ловий эквивалентно остальным:
1)	для каждого с множество А(х: f(x)< с} изме-
римо,
2)	для каждого с множество А{х: f(x)^c} изме-
римо,
3)	для каждого с множество А {х: [ (х) > с} изме-
римо,
4)	для каждого с множество А{х: f(x)^c} изме--
римо.
4.6.	Пусть на измеримом множестве А задана
функция f. Доказать, что f будет измеримой, если
измеримы множества А{х: f(x)Cc) для всех с из
некоторого множества, всюду плотного на прямой.
4.7.	Пусть функция f измерима и конечна почти
всюду на множестве А. Построить неубывающую по-
следовательность измеримых на А функций /*, схо-
дящуюся к f равномерно на А, и таких, что множе-
ство значений каждой функции fk не более чем
счетно.
4.8.	Доказать, что если функции f и g измеримы
на А, то измеримы множества А{х: f (х) < g(х)},
А{х: f(x)^g(x)j, А{х: f(х) = g(х)}.
4.9.	Доказать, что непрерывные функции в евкли-
довом пространстве Еп измеримы относительно меры
Лебега.
4.10. Доказать, что если функция f измерима на
множестве А относительно меры Лебега в евклидо-
вом пространстве Еп, то для' каждого борелевского
множества В на прямой измерим его полный прооб-
раз f~l(B) — совокупность всех хеА, для которых
f(x)eB.
4.11. Пусть А — неизмеримое множество на пря-
мой. Будет ли измерима функция
( х, если х е А,
f(x) = \	_
(. — х, если x s А?
4.12.	Пусть на измеримом множестве А задана
функция f. Доказать, что измеримость множеств
44
A{x: f(x) = с} для всех с недостаточна для измери-
мости f.
4.13.	Доказать, что если функции f и g измеримы,
то измеримы функции:
1)	f±g; 2) f-g- 3) f/g-, 4) |f|;
5)	Я(х) = max {f(x), g(x)};
6)	/i(x) = min {f(x),g(x)j;
7)	f(x)eM, если f(x) > 0.
4.14.	Построить на [0, 1] такую функцию, изме-
римую относительно меры Лебега, что она сама и
любая функция, совпадающая с ней почти всюду,
разрывны в каждой точке.
4.15.	Пусть функция f измерима на множестве А.
Доказать, что функция
<р (/) = |л А {х: f (х) < /}
не убывает и непрерывна слева, а функция
ф(/) = |лА{х: f(x)>t}
не возрастает и непрерывна справа.
4.16.	Для измеримой на [0, 1] функции f построить
на [0, 1] неубывающую равноизмеримую с ней функ-
цию g. Равноизмеримость f и g означает, что
И {х: f (х) < t} = р {х: g (х) < /}
для всех t. Функция g называется неубывающей пе-
рестановкой функции f. Доказать, что если f непре-
рывна, то непрерывна и ее неубывающая переста-
новка g.
4.17.	Пусть функция <р(/) непрерывна на прямой.
Доказать, что если функция f(x) измерима на неко-
тором множестве А «-мерного евклидова простран-
ства, то на А будет измеримой и функция <р(/(х)).
.4.18	. Пусть функция qp(/i, ...» tk) непрерывна в
/г-мерном евклидовом пространстве. Доказать, что
если функции flt ..., fk измеримы на некотором мно-
жестве А «-мерного евклидова пространства, то на А
будет измеримой и функция <p(fi(x), .... Д(х)).
4.19.	Канторовой функцией называется функция
с(х), определенная на отрезке [0, 1] следующим об-
разом. Представим число хе [0,1] бесконечной
оо
Za-
-у, а,- принимают значения
<-i 3
45
О, 1 и 2. Пусть k(x) — наименьший индекс в этом
представлении, для которого а* = 1, а если 'а; #=1
для всех i, то k(x) — оо.
Положим
k-i	1
Еа. 1
^7+т + ^Г
(при этом для тех х, для которых возможны два раз-
личных представления с помощью троичных дробей,
значение с(х) не зависит от выбора представления).
Доказать, что функция с(х) не убывает, непрерывна
и с'(х)= 0 для всех х, не принадлежащих канторову
множеству, построенному в задаче 2.64. Найти меру
Лебега образа канторова множества при отображе-
нии, осуществляемом функцией с(х).
4.20.	Построить на [0, 1] такую строго возрастаю-
щую непрерывную функцию f, что для некоторого
множества А сг[0, 1] лебеговой меры нуль множество
f(A) — образ множества А при отображении, осу-
ществляемом функцией f, — будет иметь положитель-
ную лебегову меру.
4.21.	Доказать, что из непрерывности функции f
на [0, 1] и измеримости множества A cz[0, 1] не вы-
текает измеримость множества f(A).
4.22.	Доказать, что для непрерывной на [0, I]
функции f и измеримого множества В из области зна-
чений функции f может быть неизмеримым множе-
ство f~l(B) — полный прообраз множества В при
отображении, осуществляемом функцией f.
4.23.	Доказать, что из' непрерывности функции <р
и измеримости функции f не вытекает измеримость
функции f(q(x)).
4.24.	Пусть ft (х), /г (*),	 — последовательность
функций, измеримых на множестве А. Доказать, что
на А измеримы функции supf^fx) и inf/fe(x).
4.25.	Пусть fi(x), fi(x), ... — последовательность
функций, измеримых на множестве А. Доказать, что
на А измеримы функции
•im fk(x) и ПтД(х).
fe->OO	fe-»oo
4.26.	Пусть fi(x), f2(x), .:. — последовательность
функций, измеримых на множестве А. Доказать изме-
46
рймость множества тех точек хе А, в которых суще-
ствует предел lim fk (х).
fe->oo	.
4.27.	Показать, что если — несчетное семейство
функций, измеримых на множестве А, то функции
sup f (х) и inf f (х)
fesm	fesm
могут быть неизмеримы на А.
4.28.	Пусть SCI — произвольное семейство функций,
непрерывных на [0, 1]. Доказать, что функции
sup f (х) и inf f (х)
f ж	f ж
измеримы на [0, 1] относительно меры Лебега.
4.29.	Построить на [0, 1] последовательность не-
прерывных функций, сходящуюся по мере Лебега и
расходящуюся в каждой точке.
4.30.	Доказать, что если последовательность функ-
ций сходится на множестве А по мере к двум функ-
циям f и g, то f(x) = g(x) почти всюду на А.
4.31.	Пусть на множестве А конечной меры после-
довательность функций fi (х), [г (х), ... сходится по
мере к функции f(x), а последовательность gi(x),
g2(x), ... сходится по мере к g(x). Доказать сходи-
мость по мере последовательностей:
1)	IM*)I к lf(x)|;
2)	ffeW + gfeW к fW + sW;
3)	fk (х) к 0, если f (х) — 0 почти всюду на А;
4)	fk(x)g(x) к f(x)g(x);
5)	fl(x) к f2(x);
fk(x)gk(x) к f(x)g(x).
4.32.	Доказать,' что при цЛ — оо первые три ут-
верждения задачи 4.31 остаются справедливыми, а
остальные в общем случае неверны.
4.33.	Доказать, что если последовательность функ-
ций fi(x), fz(x), ... сходится к функции f(x) по мере
на множестве А, то она фундаментальна (сходится в
себе) по мере, т. е. для каждых а > 0 и е > 0 можно
указать такое число N, что для всех i и k.> N будет
выполняться оценка
рА{х: \fi(x) — fft(x)|>o}<e.
4.34.	Пусть fi(x), fz(x), ... — последовательность
функций, измеримых и почти всюду конечных на мно-
47
Жестве А. Доказать, что если эта последовательность
фундаментальна по мере, то существует измеримая,
конечная на А функция f(x), к которой последова-
тельность {ffe(x)} сходится на А по мере.
4.35.	Пусть множество А измеримо, Alt А2, •  • —
последовательность его измеримых подмножеств и
Х*(х)—характеристическая функция множества А*.
Доказать, что последовательность {хь(х)} фундамен-
тальна по мере в том и только том случае, когда
|л(А(- A Ak)~+ 0 при i, /г оо.
4.36.	Пусть функции f(x), fi(х), fz(x), ... изме-
римы и конечны почти всюду на множестве А конеч-
ной меры. Доказать, что последовательность /\(х),
f2(x), ... сходится к f(x) почти всюду на А в том
и только том случае, когда для каждого о > О
lim |л I U А {х: | ft (х) — f (х) | > а} ) = 0.
£->оо	\i==k	’	/
4.37.	Пусть fi(x), f2(x), ... —последовательность
функций, измеримых и конечных почти всюду на мно-
жестве А конечной меры, сходящаяся почти всюду
на А к конечной почти всюду функции f(x). Дока-
зать, что последовательность {/>(х)} сходится к f(x)
по мере на множестве А (теорема Лебега).
4.38.	Доказать, что в теореме Лебега (задача 4.37)
нельзя опустить условие рА < оо.
4.39.	Пусть f 1 (х), f2(x), ... — последовательность
функций, измеримых и конечных почти всюду на мно-
жестве А конечной меры, сходящаяся почти всюду на
А к конечной почти всюду функции f(x). Доказать,
что для каждого е > 0 можно указать такое измери-
мое множество Ае <= А, что p(A\Ae)< е и на Ае по-
следовательность {/>(х)} сходится равномерно (тео-
рема Егорова).
4.40.	Пусть последовательность функций /\(х),
f2(x), ... удовлетворяет условиям теоремы Егорова
(задача 4.39). Доказать, что существуют измеримая,
конечная почти всюду функция Е(х) и монотонно
убывающая к нулю числовая последовательность
61, е2, ... такие, что для всех k справедлива оценка
I f W — f k (х) К F (х) ek.
48
4.41.	Доказать, что в теореме Егорова (задача
4.39) нельзя опустить условие цА < оо.
4.42.	Перенести теорему Егорова (задача 4.39) на
последовательность функций, сходящуюся к -f- оо
почти всюду на А.
4.43.	Пусть функции f(x), fi(x), fz(x), ... изме-
римы и почти всюду конечны на множестве А. Дока-
зать, что если для каждого е > 0 существует такое
измеримое множество АЕ а А, что ц(А\Ае)< е и на
Ае последовательность fi(л), fz(x), ... сходится к
f(x) равномерно, то эта последовательность сходится
к f(x) почти всюду на А.
4.44.	Доказать, что каждая последовательность
функций, сходящаяся на множестве А по мере, со-
держит подпоследовательность, сходящуюся на А
почти всюду (теорема Рисса).
4.45.	Доказать,' что если множество А измеримо и
имеет конечную меру, то для каждой функции f(x),
измеримой и конечной почти всюду на А, существует
последовательность непрерывных на А функций, схо-
дящаяся к f(x) почти всюду на А.
4.46.	Пусть множество А измеримо, имеет конеч-
ную меру и функция f(x) конечна почти всюду на А.
Доказать, что f(x) измерима на А в том и только том
случае, когда она обладает С-свойством Лузина, т. е.
когда для каждого е > 0 можно указать такое изме-
римое множество Ае cz А, что ц(А\АЕ) < е и f(x) как
функция, заданная на Ае, непрерывна (теорема Лу-
зина).
4.47.	Доказать, что в каждой из задач 4.45 и 4.46
нельзя опустить условие цА < оо.
4.48.	Пусть при каждом фиксированном k после-
довательность {ffe, i(x)j сходится при t->oo на мно-
жестве А по мере к функции Д(х), а последователь-
ность {М*)} сходится на А по мере к f(x). Дока-
зать, что из множества функций {Д, ( (х)} можно вы-
брать последовательность, сходящуюся к f(x) по мере.
4.49.	Пусть функция f(x) измерима на отрезке
[а, д] относительно меры Лебега. Доказать измери-
мость множества тех точек хе[а,Ь], в которых су-
ществует производная f'(x), и измеримость производ-
ной на этом множестве.
4.50.	Пусть функция f(x) измерима на отрезке
[a, ft] относительно меры Лебега. Доказать измери-
49
мость на [а, д] функций
й->0	"
и
Df (х) = lim /	~1 м.,
Л-»0	h
значениями которых являются соответственно верх-
нее и нижнее производные числа функции f(x).
4.51.	Построить на [0, 1] такую ограниченную из-
меримую функцию f(x), для которой последователь-
ность fk (х) = f (х —не является почти всюду
сходящейся.
Глава 5
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. Определение интеграла Лебега
Измеримую на множестве А функцию g называют
существенно ограниченной на А, если существует та-
кое число М, что |g(x) | М для почти всех хеЛ.
Точную нижнюю грань чисел М, для которых выпол-
нено это условие, обозначают
vrai sup | g (x) |
xe A
и называют существенной верхней гранью значений
функции |g(x) | на множестве А. Если функция g не
является существенно ограниченной, то пишут
vrai sup | g(x) |= оо.
хе А
Пусть множество А измеримо относительно меры
|л и |лА < оо. Заданная на А конечная функция <р
называется простой, если она измерима и множество
всех ее значений не более чем счетно.
Пусть .функция <р — простая на множестве А, сь
с2, • • • — последовательность всех ее значений и
Afe = A{x: <p(x) = cfe).
CO
Если СХОДИТСЯ ряд 22 I ck IpAfe, ТО функцию ср назы-
k=l
вают интегрируемой по Лебегу на множестве А по
do
мере ц, а сумму ряда ckpAk называют интегра-
/ k~ 1
лом Лебега от функции <р по множеству А относитель-
но меры ц и обозначают
'	оо	ш
Ф (х) dpi = ф dp = С&ЦА&.
А	Л	* = 1
Измеримая и конечная почти всюду на множестве
А конечной меры функция f называется интегрируе-
мой по Лебегу на множестве А по мере р, если су-
ществует простая интегрируемая на А функция ф та-
кая, что
vrai sup | f (x) — ф (x) | < co.
X E A
Если это условие выполнено, то *) интегралом Ле-
бега от функции f по множеству А относительно меры
р называют число, которое обозначают .
J f (х) dp или f dp,
А .	А
равное пределу
lim \ <pk dp,		(*)
J
где ф£ — такая последовательность простых интегри-
руемых функций, для которой
vrai sup| f (х) — Фй(х) |—>0 при £->со.	(**)
X Е А
Корректность этих определений обосновывается в
задачах 5.7 и 5.8, которые показывают, что свойство
функции быть интегрируемой не зависит от выбора
простой функции ф и что для любой последовательно-
сти простых функций фй, удовлетворяющих условию
(**), предел («) существует и его значение не зави-
сит от выбора последовательности ф*.
*) Таким образом, понятие интеграла вводится только для
интегрируемых функций. В некоторых руководствах принята дру-
гая терминология: интеграл (возможно, равный J-oo) опреде-
ляют для каждой измеримой неотрицательной функции и функ-
цию называют интегрируемой, если ее интеграл конечен.
5J
В приведенном определении интеграла Лебега ус-
ловие конечности меры множества Л было существен-
но. Последние две задачи параграфа показывают, что
в случае рЛ = со описанное выше построение не про-
ходит. Определение интеграла Лебега на множествах
бесконечной меры будет дано во втором параграфе
(см. задачи 5.31, 5.32), поскольку для обоснования
корректности этого определения нужны свойства ин-
тегралов, рассматриваемые во втором параграфе.
5.1.	Доказать, что если функции <р(х) и ф(х)
являются простыми на множестве А, то простыми на
А будут также <р(х) + ф(х), |<р(х)| и <р(х)- ф(х).
5.2.	Доказать, что если простая функция интегри-
руема на множестве А, то она интегрируема и на
каждом его измеримом подмножестве.
5.3.	Пусть рЛ < со. Доказать, что каждая простая
и ограниченная на множестве А функция <р интегри-
руема на А, и если К ц>(х) М для хе Л, то
} Ф dp < МцА.
А
5.4.	Пусть функция <р — простая на множестве А,
оо
A — [J Bk, множества В* измеримы и попарно не пе-
ресекаются и на каждом Вк функция <р принимает по-
стоянное значение dk (числа dk не предполагаются
различными). Доказать, что <р интегрируема на Л в
оо
том и только том случае, когда У idk\nBk < со, и
еесли это условие выполнено, то
оо
A	fc=l
5.5.	Пусть функция <р — простая на множестве А.
Доказать, что функции <р и |<р| интегрируемы или
неинтегрируемы на А одновременно, и если они ин-
тегрируемы, то
] I Ф |^ц.
л	А
52
5.6.	Доказать, что если ср и ф — простые, интег-
рируемые на множестве А функции, то для произ-
вольных чисел аир функция а<р + (Зф интегрируема
на А и
(а<р 4- РФ) dpi — а ^(pdpi + р j ф dp.
А	А	А
5.7.	Пусть функция f измерима и конечна почти
всюду на множестве А конечной меры. Доказать, что
либо все простые функции <р, для которых
vrai sup | f(x) — <p (x) | < co,
x e A
интегрируемы на А, либо все такие ср неинтегрируемы
на А.
5.8.	Пусть функция f измерима и конечна почти
всюду на множестве А конечной меры и существует
простая, интегрируемая на А функция <р такая, что
vrai sup iftx) —<р(х)|< ОО.
x e A
Доказать, что для каждой последовательности про-
стых функций <Р1 (х), <р2 (х), ..., сходящихся к f(x)
равномерно на А почти всюду, т. е. таких, что.
vrai sup | f (x) — <p* (x) | —> 0
x s A
при	будет существовать предел
lim \
k -> oo J
A
(Pfedpi
и значение этого предела будет одним и тем же для
каждой такой последовательности простых функций.
5.9.	Пусть функция f измерима на множестве А
конечной меры и
' а, если f (х) < а,
fba (х) = - f (х), если а < f (х) Ь,
Ь,
если

— срезка функции f. Доказать, что f интегрируема на
А в том и только том случае, когда существует ко-
нечный предел
lim \fba(x)d[i
63
(а и b стремятся к своим пределам независимо). При
этом, если f интегрируема, то
( f (х) dp = lim (	(х) dp.
X	а->—оо J
Л	Ь->+оо Л	0
5.10.	В определении простой функции можно опу-
стить условие рЛ < со. Для случая цД = оо простую
функцию <р называют интегрируемой на множестве А,
если (в тех же обозначениях, что и во введении к
этому параграфу)
£'| ск | pAk < оо,
где штрих у знака суммы означает, что в ней опу-
щено слагаемое, для которого ск = 0. Если указан-
ный ряд сходится, то интегралом от <р называют сум-
му ряда
Т! с kpAk.
k
Доказать, что при рЛ == оо утверждения задач 5.1,
5.2 и 5.4—5.6 остаются справедливыми, а утвержде-
ния задач 5.3 и 5.7 неверны.
5.11.	Построить последовательность простых, ин-
тегрируемых на множестве А бесконечной меры, огра-
ниченных функций <pi, <р2, ... таких, что эти функции
сходятся на А равномерно, а последовательность их
интегралов
<Р! dp, ф2 dp, ...
А	А
не сходится.
§ 2.	Основные свойства интеграла Лебега
Определение интеграла Лебега по множеству ко-
нечной меры приведено во введении к § 1. В задачах
5.31, 5.82 дано определение интеграла по множеству
о-конечной меры, т. е. по множеству, представимому
в виде объединения возрастающей последовательно-
сти множеств конечной меры. Отметим, что этот пере-
ход к множествам бесконечной меры не зависит от
того, как был введен интеграл по множествам конёч-
54
ной меры — с помощью интегралов от простых функ-
ций (как в § 1) или каким-либо другим способом.
Если функция f интегрируема по Лебегу на мно-
жестве А по мере ц, то это обозначают /еЕДЛ, ц).
В этом параграфе мы будем писать короче — f е
поскольку это не может вызвать недоразу-
мений.
Если интеграл берется по мере Лебега, то под
знаком интеграла вместо d[i пишем dx.
5.12.	Пусть цЛ < оо. Доказать, что если функция
f измерима и ограничена на А, то f^L(A). При
этом, если К f (х) М для почти всех х <= Л, то
К и Л J f d[i МцА.
А
и
5.13. Пусть функция f измерима на множестве Л,
	ГИД’	если	ZW2	SO,
	I 0,	если	f(x)<	0,
fW=|	( о, Ifto.	если если	f(x)-	>0, CO.
Доказать, что f интегрируема на Л в том и только
том случае, когда обе функции f+ и f~ интегрируемы.
При этом, если f интегрируема, то
f d[i = f+ d\i -ф f~ d[i.
A	A	A
5.14.	Пусть функция f измерима на множестве Л.
Доказать, что функции f и |/| интегрируемы или не-
интегрируемы на Л одновременно, и если они интег-
рируемы, то
\fd[i < |
А	А
5.15.	Доказать, что если функции fug интегри-
руемы на множестве Л, то для произвольных чисел а
и р функция af Ч- (3g интегрируема на Л и
J (af + 0g) d\i == а $ f dp + P j g dp.
A	A	A
55
5.16.	Доказать, что если f<=L(A), а функция g
измерима на А и |g(x) |	|/(х) | для почти всех
хе А, то g е L(A) и
j|f |ф-
А	А
5.17.	Доказать, что если функции f и g интегри-
руемы на А и g(x)^f(x) для почти всех хеЛ, то
f dp.
А	А
5.18.	Пусть f(x)^L(A). Доказать, что если для
измеримой функции h(x) почти всюду на А выпол-
няется условие |Л(х) | М, то f (x)/i(x)<= L(A) и
f (х) h (х) d\i Af | f (х) I d[i.
А	.А
5.19.	Пусть f(x)^L(A). Доказать, что если для
измеримой функции h(x) почти всюду на А выпол-
няются условия — оо < а h(x) (3 < оо, то
1)	(теорема о среднем) существует такое число
-у е[а, р], что
А	А
2)	может не найтись такого у, что
f (х) h (х) d\i — у f (х) d[i.
А	А
5.20.	Пусть измеримые на множестве А функции f
и g равноизмеримы на этом множестве, т. е. для
каждого числа с
цЛ {х: f (х) < с} — цЛ {х: g (х) < с}.
Доказать, что функции f и g одновременно интегри-
руемы или неинтегрируемы на Л, и если они интег-
рируемы, то
5 Мн =
А	А
5.21.	Доказать, что если функция интегрируема на
множестве Л, то она интегрируема и на каждом его
измеримом подмножестве.
56
5.22.	Пусть f^L(A), множество В cz А измеримо
и С = А\В. Доказать, что
f dn + f dp.
А	В	С
5.23.	Доказать, что если f е L (Л) и о > 0, то
М {х: I f (х) | > о} < 1 $ | Л rfM
А
(неравенство Чебышева).
5.24.	Доказать, что если функция f интегрируема
и неотрицательна на множестве А и
f d[x — О,
А
то f(x) = 0 почти всюду на А.
5.25.	Пусть f^L(A) и f(x)>0 для почти всех
х е А. Доказать, что если множество В а А изме-
римо и
^fdp = O,
в
то цВ = 0.
5.26.	Доказать, что если f е ЦА) и для каждого
измеримого множества В сг А
^fdp, = O,
в
то f (х) — 0 почти всюду на А.
оо
5.27.	Пусть f ^L(A) и A — J Ak, где все мно-
k=i
жества Ak измеримы и попарно не пересекаются. До-
казать, что справедливо равенство
оо
$ Мн =	/ du,
A	fe = l Ak
причем этот ряд абсолютно сходится. Таким обра-
зом, функция множества
<р(В)= jjfdp
*	в
57
<т-аддитпвна на о-алгебре всех измеримых подмно-
жеств множества А. Если f 0 почти всюду на А,
то функция ср будет мерой.
5.28.	Доказать абсолютную непрерывность интег-
рала Лебега-, если	то для каждого е>0
можно указать такое б > О, что для любого измери-
мого множества В с А такого, что рВ < б, будет
справедливо неравенство
5.29.	Пусть А[, А2, ... — последовательность изме-
римых, попарно непересекающихся множеств и f е
е L(Ak) для всех k. Доказать, что fe£(A), где
• оо
А = [J Ak, в том и только том случае, когда
k=i
оо
- fe = l Afe
и что если это условие выполнено, то
$ f dp = £
A	k=\
dp.
Ak
5.30.	Показать, что в задаче 5.29 абсолютная схо-
димость ряда
ОО
£
fe = l Ak
недостаточна для того, чтобы f е L(A).
5.31.	Пусть рА = со и А является пределом не-
убывающей последовательности измеримых множеств
41, А2, ..., мера каждого из которых конечна. Неот-
рицательная, измеримая на А функция f называется
интегрируемой по Лебегу на А, если f^L(Ak) для
всех k и
lim \ f dp < оо,
68
и если Эти условия выполнены, то по определению
интегралом Лебега называют число
\f dp = lim \ f dp.
J	k -> oo J
A	.	-
Доказать корректность этих определений, т. е. что
интегрируемость функции f и значение ее интеграла
не зависят от выбора последовательности {Д/J, обла-
дающей указанными выше свойствами.
5.32.	Определение интеграла от неотрицательных
функций по множеству А бесконечной меры, данное
в задаче 5.31, следующим образом распространяется
на функции, не -являющиеся неотрицательными. Функ-
ция f называется интегрируемой на А, если она из-
мерима и если интегрируемы функции f+ и |f~|, где
Г(х) =
f(x),
О,
если
если
f(x)>0,	.
f(x)<o,
и f-(x) = f(x)—f+(x). Если эти условия выполнены,
то по определению
J f dp = J f+ dp + Jf" dp.
A	A	A
Доказать, что результаты задач 5.14—5.30 спра-
ведливы и при цД = со.	.
5.33.	Пусть функция f измерима на множестве А
конечной меры. Доказать, что сходимость каждого
из рядов
1)	£
ы
оо
2)	Z MU: lf{x)|>A}
необходима и достаточна для интегрируемости /\наД.
5.34.	доказать, что утверждения задачи 5.33 не-
верны, если цД = со.
5.35.	Пусть функция f измерима на множестве А.
Доказать, что условие
М {х! I f (х) I > k} *= о (-£-) ,	k —> ео,
59
Является необходимым, но не является достаточным
для интегрируемости f на А.
5.36.	Доказать, что для каждой интегрируемой на
А функции f существует такая возрастающая на
[О, со) функция Ф(«), что lim ф(ц) = оо и
ОО
$ I f (х) |Ф(|/(х) |)dp < ОО.
А
5.37.	Пусть функции f, fh f2, ... измеримы на мно-
жестве А конечной меры. Доказать, что последова-
тельность fi,  сходится к f на А по мере в том
и только том случае, когда
lim Vt'L-i Г-f 1^ = 0-
5.38.	Показать, что утверждение задачи 5.37 не-
верно, если рА = со.
5.39.	Пусть Ai, Д2, ... — последовательность из-
меримых множеств и Bq, q = 1, 2, ..., — множество
тех точек, которые принадлежат не менее чем q мно-
жествам из Ak. Доказать, что множества Bq изме-
римы и
5.40.	Пусть функция f интегрируема и строго по-
ложительна на множестве А конечной меры и 0 <
< а цА. Доказать, что	,
inf ( f d\i > 0,
в ё
где нижняя грань берется по всем измеримым мно-
жествам Вс А, для которых цВ а.
5.41.	Показать, что утверждение задачи 5.40 не-
верно, если рА = со.
5.42.	Пусть функции f(x) и g(x) неотрицательны
и измеримы на множестве А. Доказать, что если
функция f(x)g(x) интегрируема на А и Ау — А{х:
g(x)^ у}, то функция
Ф(!/)= Jf(x)dH
60
определена для всех у > 0, интегрируема на (0, оо)
по мере Лебега и
оо
$ ф (у)dy= (х) g(х) dp.
о	А
5.43.	Пусть fb f2, ... — последовательность интег-
рируемых на множестве А функций, сходящихся поч-
ти всюду на А к функции f. Доказать, что если су-
ществует функция <р е L(A) такая, что для каждого k
I Ш |<ф(х)
для почти всех х е А, то f е L(A) и
\ f dp~ lim \ fkdp
(теорема Лебега; иногда ее называют теоремой Ле-
бега об ограниченной сходимости).
5.44.	Доказать, что в теореме Лебега (задача
5.43) сходимость функций fu f2, ... к f почти всюду
на А можно заменить сходимостью на А по мере.
5.45.	Пусть fb f2, ... — последовательность ин-
тегрируемых на множестве А функций, не убываю-
щих почти всюду на А, т. е. таких, что для каждого k
fk(x)^fk+1(x)
почти всюду на А. Доказать, что если существует та-
кое число А1, что для всех k
< М,
А
то почти всюду на А существует конечный предел
fe£(A) и
lim fk (х) = f (х),
k~>OG
lim \ fkdp = \ f dp
fe->OO J	J
A	A
(теорема Б. Леви; иногда ее называют теоремой Ле-
бега о монотонной сходимости).
5.46.	Доказать, что теорема Лебега (задача 5.43)
и теорема Б. Леви (задача 5.45) могут быть полу-
чены как следствия одна из другой.
61
5.47.	Пусть gi, g2, ... — последовательность ин-
тегрируемых на множестве А функций, неотрицатель-
ных почти всюду, и
g (х) = S gk (х).
Доказать, что g^L(A) в том и только том случае,
когда сходится ряд
оо
У, \gkdv,
fe = l А
и если это условие выполнено, то
оо
А	Л=1Л
5.48.	Пусть fi, fz,.... —последовательность интег-
рируемых на множестве А функций, неотрицательных
почти всюду. Доказать, что если существует такое
число М, что для всех k
^fkdn^ М,
А
то функция
fW = lim fk(x)
k-*<X> '
интегрируема и выполняется оценка
f du < lim dp
Л	A
(теорема Фату).
5.49.	Показать, что при условиях теоремы Фату
(задача 5.48) функция
F (х) = lim fk (х)
k-><x>
может оказаться неинтегрируемой.
5.50.	Показать, что в теореме Фату (задача 5.48)
нельзя утверждать справедливость равенства
f dp. — lim	f к d[i
a	д
62
даже в том случае, когда последовательность fi, fz,...
сходится в каждой точке и, таким образом,
f (х) = lim fh (х).
fc->oo
5.51.	Вывести теорему Лебега (задача 5.43) как
следствие из теоремы Фату (задача 5.48).
5.52.	Пусть функции Д, Д, ... интегрируемы на
множестве А и существует такая функция <ре£(Л),
что | fk (х)	<р(х) для каждого k почти всюду на А.
Доказать, что функции
Г (х) = lim fk (х) и f„ (х) = lim fk (х)
k-*°°
интегрируемы на А и имеют место оценки
\ ftdp< lim \ fkdp< lim \ffedp<\fdp.
Л	A	A	A
Показать, что в каждой из этих оценок возможно
строгое неравенство.
5.53.	Пусть функции f, f{, f2, .... интегрируемы на
А и последовательность fi, f2, ... сходится к f на А
по мере. Доказать, что если функции Д неотрица-
тельны почти всюду на А и
lim \ fkd[i = \ f dp,
fc->oo J	J
Д- Д
то для каждого измеримого множества В с~ А спра*
ведливо равенство
lim \ fk d[i = \ f dp.
5.54.	Показать, что в задаче 5.53 нельзя опустить
условие неотрицательности функций Д.
5.55.	Пусть функции f, fb f2, ... неотрицательны,
интегрируемы на множестве А конечной меры и по-
следовательность fi, f2,~... сходится к f на А по мере.
Доказать, что равенство
lim \ Д dp = \ f dp
J	J
имеет место в том и только том случае, когда функ-
ции fk имеют равностепенно абсолютно непрерывные
интегралы, т. е. для каждого е > 0 существует та-
кое число б, что для каждого измеримого В с А, для
которого уВ < б, для всех k справедлива оценка
$ fkdp
в
е.
5.56.	Показать, что в задаче 5.55 нельзя опустить
условие уА < оо.
5.57.	Пусть ЙЯ — некоторое семейство функций, ин-
тегрируемых на множестве А. Доказать, что функции
этого семейства имеют равностепенно абсолютно не-
прерывные интегралы в том и только том случае,
когда существует возрастающая на [0, оо) функция
Ф(ц), удовлетворяющая условию lim Ф(ц) = оо и та-
«->оо
кая, что
sup ( I f (х) IФ (| f (х) |) dp < ОО.
А
§ 3. Пространства интегрируемых функций
Пусть р 1. Множество функций f, измеримых
на множестве А по мере у и таких, что функция
|f(x)|D интегрируема на А по мере у,, обозначается
Lp (А, у) или просто Lp и называется пространством
функций; интегрируемых в р-й степени. Каждой функ-
ции f е Lp ставится в соответствие число
II f lip = 01 fM |p dyjlp
— норма этой функции. Если условиться считать од-
ним элементом все функции f е Lp, отличающиеся
друг от друга на множестве меры нуль, то LP(A, у)
будет банаховым пространством. С помощью нормы
можно задать метрику, определив расстояние между
функциями f и g из Lp как ||f — g||p.
Говорят, что последовательность функций /\, f2, ...
из пространства Lp сходится к функции f е Lp в
метрике Lp или по норме Lp, если ||f — Д||Р->0 при
k —♦ оо.
5.58.	Доказать следующие свойства пространства
А, (А, у) ;
64
1)	если функция f £ L и а — число, то af е Lx и
llaflh-lal.il/lh;
2)	если ||f||i =0, то Дх) = 0 почти всюду на мно-
жестве А;
3)	если функции f и g принадлежат Ц, то f + g е
e£i и
llf + glh<llflh + llglli
(неравенство треугольника).
5.59.	Доказать, что в неравенстве треугольника в
задаче 5.58 знак равенства достигается в том и толь-
ко том случае, когда f(x)g(x)^0 почти всюду на А.
5.60.	Доказать, что предел последовательности
функций, сходящейся в метрике АДА, у,), единствен
с точностью до значений на множестве меры нуль.
5.61.	Доказать, что если последовательность функ-
ций fi(x), fz(x), ... сходится к функции f(x) в мет-
рике 2, ДА, у), а функция h(x) измерима и
vrai sup | h(x) | <
x e A
то последовательность fi(x)h(x), f2(x)h(x), ... схо-
дится в метрике Ц к функции f(x)h(x).
5.62.	Построить последовательность функций из
пространства АДА, у), сходящуюся в метрике Ц, но
не сходящуюся ни в одной точке множества А.
5.63.	Доказать, что если последовательность функ-
ций сходится к функции f в метрике АДА, у), то она
сходится к f на множестве А по мере.
5.64.	Показать, что последовательность интегри-
руемых на множестве А функций fb f2, ... может схо-
диться на множестве А по мере, но не сходиться в
метрике L\ (А, у).
5.65.	Пусть функции f, fi, f2, ... принадлежат про-
странству Л ДА, у). Доказать, что если существует
такая функция g е Ц, что для всех k
I f k (х) К g (х)
почти всюду на А, то последовательность Д, f2, ...
сходится к функции f в метрике Ц в том и только
том случае, когда она сходится к f на А по мере.
5.66.	Построить последовательность функций, не-
отрицательных и интегрируемых на множестве А,
сходящуюся в каждой точке множества А к интегри-
65
руемой функции, но не сходящуюся в метрике
Ц(А, И)-
5.67.	Пусть функции /, Д, /2, • • • неотрицательны
и интегрируемы на множестве А'. Доказать, что если
последовательность Д, f2, . .• сходится к f почти
всюду на А и
то fk сходятся к f в метрике Ц (А, ц).
5.68.	Пусть функции f, fu f2, ... принадлежат про-
странству ЩА, ц). Доказать, что если последова-
тельность fi, f2, ... сходится к f в метрике Ц, то она
фундаментальна в - метрике Li, т. е. для каждого
е > 0 можно указать такое число N, что для всех
i,k> N справедлива оценка
ИА-М1<е.
5.69.	Доказать полноту пространства АДА, ц), т. е.
что каждая фундаментальная в метрике L\ последо-
вательность функций сходится в метрике Li к неко-
торой функции из L\.
5.70.	Доказать, что если функция f(x) измерима
на множестве А и для каждой функции g(x)^
<= L\(A, ц) имеем f(x)g(x) <= L\, то
vrai sup | f (x) | < oo.
x e A	•
5.71.	Пусть функция f существенно ограничена на
множестве А относительно меры ц. Доказать, что
vrai sup | f (x) | = sup \ f (x) g (x) dp,
x^A	g J
где верхняя грань берется по всем функциям g е
е£ДЛ, ц), для которых ||g||i^ 1. Привести при-
меры функций f, для которых эта верхняя грань до-
стигается для некоторой функции g и для которых
она не достигается.
5.72.	Найти условия на функцию f, необходимые
и достаточные для того, чтобы существовала функция
g, для которой достигается верхняя грань в за-
даче 5.71.
66
5.73.	Пусть функция f измерима и почти всюду
конечна на множестве А относительно меры р и
vraisupl f(x) |= оо.
х <= А
Доказать, что
sup \ f (х) g (х) du = оо,
g А
где верхняя грань берется по всем функциям g е
еАДА, р) таким, HTollglhsgl nf (x)g(x)e= Ц (Л, р).
5.74.	Пусть функция f Ц(А, р). Доказать, что
(| f (х) |dp =sup ( f (х) g(x)dp,
А	В А
где верхняя грань берется по всем функциям g, не-
прерывным на А и удовлетворяющим условию
| g (х) | С 1 Для х е А.
5.75.	Привести примеры функций f (принимаю-
щих значения разных знаков на множествах положи-
тельной меры), для которых верхняя грань в задаче
5.74 достигается и для которых она не достигается.
5.76.	Пусть функция f интегрируема на множестве
А по мере Лебега. Доказать, что для каждого е > О
можно найти такую непрерывную на А функцию g,
что
JlfW — g(x)\dx<E.
А
5.77.	Доказать, что в задаче 5.76 функция g мо-
жет быть выбрана бесконечно дифференцируемой,
а если множество А ограничено, то в качестве g
можно взять алгебраический многочлен.
5.78.	Доказать, что пространство АДА) с мерой
Лебега сепарабельно, т. е. в нем существует такая
последовательность функций <рь <р2, •. •, что для
каждой функции f е Ц и каждого е > 0 можно
найти функцию <р® из этой последовательности, для
которой
II f — q>fe Hi < е.
67
5.79.	Пусть функция f интегрируема на отрезке
[а, Ь] по мере Лебега. Доказать, что
b-h
lim ( | f (x + h) — f (x) | dx = 0.
л-»+о J	.
a
5.80.	Пусть функция f интегрируема на отрезке
[а, 6] по мере Лебега и
b-h
a (fi 6)1 — sup ( ,| f (х + h) — f (х) | dx
0<h<6 J
a
— ее модуль непрерывности в метрике Li([a, &]) . До-
казать, что
1)	lim ® (f, 6)t = 0;
6->0
2)	если © (f, 6) i — о (6) при б —* 0, то f (х) = с, где
с — некоторая постоянная, почти всюду на [а, б].
5.81.	Пусть функция f интегрируема на отрезке
[а, б] по мере Лебега. Доказать, что
1)	существует число с0 такое, что
ь	ь
inf \ | f (х) — с | dx — \ | f (х) — с01 dx;
С J	J
а	а
2)	если f непрерывна, то такое число с0 един-
ственно;
3)	если f непрерывна и для каждого числа с мера
множества точек, в которых f(x)=c, равна нулю, то
условие
ь
sign [f (х) — с0] dx = 0
а
необходимо и достаточно для того, чтобы число "со ре-
шало эту экстремальную задачу.
5.82.	Доказать следующие свойства пространств
Ьр(А,ц),р > 1:
1)	если функция f <= Lp и а — число, то af (= Lp и
l|af||p = |a|-||f||p;
2)	если ||f||p = 0, то f(x) — O почти всюду на мно-
жестве А.
68
5.83.	Пусть р> 1 и -A--J--1-= 1. Доказать, что
если f(x)e LP(A, ц) и g(x)e Lq(A, ц), то f(x)g(x)^
е L\ (А, ц) и справедлива оценка
f(x)g(x)4i <11 flip-UH,
(неравенство Гельдера; при p = q — 2 его называют
неравенством Коши — Буняковского).
5.84.	Доказать, что в неравенстве Гельдера (за-
дача 5.83) знак равенства достигается в том и только
том случае, когда почти всюду на А выполняются
соотношения:
О f(x)g(x)^ 0 или f(x)g(x)^ 0;
2)	для некоторых чисел а и р, не равных нулю
одновременно,
аИ(х)|р = Р|£(х)1’.
5.85.	Пусть функции f и g принадлежат простран-
ству LP(A, ц), 1 < р < оо. Доказать, что f -f- g е Lp
и справедлива оценка
Ilf+ gllp<llf llp + llgllp
(неравенство Минковского; его называют также не-
равенством треугольника).
5.86.	Доказать, что в неравенстве Минковского в
задаче 5.85 знак равенства достигается в том и толь-
ко том случае, когда для некоторых неотрицательных
чисел ct и р, не равных нулю одновременно, af(x)==
— ₽g(A) почти всюду на А.
5.87.	Пусть цА < оо и функция f<=Lp(A,p),
р > 1. Доказать существование и единственность чис-
ла с0, для которого
inf||f-c||p = ||f-c0||p.
С
5.88.	Доказать, что предел последовательности
функций, сходящейся в метрике Lp (А, ц), р > 1, един-
ствен с точностью до значений на множестве меры
нуль.
5.89.	Доказать, что если последовательность функ-
ций fi(x), fz(A), ••• сходится в метрике LP(A, ц),
р > 1, к функции f (х), а функция ft(x)e Lq(A, р),
~ _L = 1 г	то последовательность f i (х) h (х),
69
f2(x)h(x), ... сходится в метрике Ц(А, р) к функ-
ции f(x)h(x).
5.90.	Пусть последовательность функций fi(x),
f2(x), ... сходится в метрике LP(A, р), р > 1, к
функции f(x), а последовательность /гДх), /г2(х), ...
сходится в метрике Lq(A, р), -у + -±- = 1, к функции
h(x). Доказать, что последовательность fi(x)hi(x),
f2(x)h2(x), ... сходится в метрике Ц(А, р) к функ-
ции f (x)h(x).
5.91.	Пусть функция Ф(н) положительна и воз-
растает на (0, оо). Доказать, что если функции f, fi,
f2, ... измеримы на множестве А относительно меры
р и таковы, что при Л оо
А
то последовательность fi, f2, ... сходится к f на мно-
жестве А по мере.
5.92.	Пусть функции f, f2, ... принадлежат про-
странству LP(A, р), р > 1. Доказать, что если су-
ществует такая функция g е Lp, что для каждого k
IfftWKgW
почти всюду на А, то последовательность fi, f2, ...
сходится к функции f в метрике Lp в том и только
том случае, когда она сходится к f на А по мере.
5.93.	Пусть функции fi, f2, ... принадлежат про-
оо
странству LP(A, р), р 1, и У, ||/*||р< Доказать,
/с=1
оо
что ряд У fk(x) сходится абсолютно почти всюду
*=i
на множестве А и справедлива оценка
II оо	I	со
Е fk\ <Е Ш1Р.
|/г=1	|р	Ь1
5.94.	Пусть функции f, fi, f2, - ... принадлежат про-
странству LP(A, р), р > 1. Доказать, что если после-
довательность fa, f2, ... сходится к f в метрике Lp,
то она фундаментальна в метрике Lp.
5.95.	Доказать полноту пространства LP(A, р),
р > 1, т. е. что каждая фундаментальная в метрике
70
Lp последовательность функций сходится в метрике
Lp к некоторой функции из Lp.
5.96.	Пустьр — мера Лебега и f е LP(A, ц), р > 1.
Доказать, что для каждого е > 0 можно найти та-
кую непрерывную на А функцию, что ||f — g||p < е.
5.97.	Доказать, что в задаче 5.96 функция g может
быть выбрана бесконечно дифференцируемой, а если
множество А ограничено, то в качестве g можно
взять алгебраический многочлен.
5.98.	Доказать, что пространство LP(A), р> с
мерой Лебега сепарабельно, т. е. в нем существует
такая последовательность функций <рь <р2, . •., что
для каждой функции f е Lp и каждого е > 0 можно
найти функцию ф* из этой последовательности, для
которой
II f - 4>k lip < е.
5.99.	Пусть [х — мера Лебега и функция f е Lpr
р > 1, на отрезке [а, Ь]. Доказать, что
b—h
lim | f (х + /г) — f (х) \р dx = 0.
h-> +0
5.100.	Пусть ц — мера Лебега, функция f <= Lp,
р > 1, на отрезке [а, 6] и
/Ь—h	\t/p
®(f, &)р== sup I ( \f(x + h) — f(x)|₽dx]
\ a	/
— ее модуль непрерывности в метрике Lp([a, 6]). До-
казать, что
1)	lim<o(f, 6)р = 0;
6->0
2)	если co(f,6)р = о(6) при 6->0, то f(x) = c, где
с—некоторая постоянная, почти всюду на [а, 6].
5.101.	Доказать, что если функция /(х) измерима
на множестве А и для каждой функции g(x)e
еД(Д,ц), q>\, имеем f(x)g(x)e £ДД, р), то
f(x)e=Lp(4,p), А + ±=1.
5.102.	Пусть функция f LP(A, ц), р > 1. Дока-
зать, что
1)	ll/llp = sup \f(x)g(x)dp,
е А
71
где верхняя грань берется но всем функциям
ge=Lq(A, ц), у + у= 1, таким, что ||g||,<l;
2)	если ||f||p > 0, то существует единственная с
точностью до значений на множестве меры нуль
экстремальная функция g, для которой эта верхняя
грань достигается.
5.103.	Доказать, что в задаче 5.102 при нахожде-
нии верхней грани можно ограничиться рассмотре-
нием только непрерывных функций g, удовлетворяю-
щих условию ||g||9 -С 1, но при этом верхняя грань в
общем случае не будет достигаться.
5.104.	Пусть р > 1, функция f измерима и почти
всюду конечна на множестве А относительно меры ц
и f e=Lp(A, ц). Доказать, что sup \ f (х) g (х) dp = оо,
6 А
где верхняя грань берется по всем функциям g е
&Lq(A,p), у + у=1> таким, что ||g||9	1 и
f(x)g(x)eL1(X, ц).
5.105.	Пусть цД < оо и р > 1. Доказать, что если
функция f <= LP(A, ц) и I <р, то /е Lr (Д, ц), а
если последовательность функций сходится к f в мет-
рике LP(A, ц), то эта последовательность будет схо-
диться к f и в метрике Lr(A, ц).
5.106.	Пусть цД < оо, 1 г < р, функции f, fi,
f2, ... принадлежат пространству LP(A, ц) и их нор-
мы в метрике £р(Д,ц) равномерно ограничены:
sup || ffelln < оо. Доказать, что если последователь-
k
ность fi, f2,	сходится к функции f по мере на мно-
жестве Д, то эта последовательность сходится к функ-
ции f в метрике £Г(Д, ц).
5.107.	Пусть цД <; оо и р 1. Показать, что по-
следовательность функций fi, f2, ... из пространства
LP(A, ц) может сходиться почти всюду на множестве
А к функции /еЦД.р) и иметь равномерно огра-
ниченные нормы в ЛР(Д, ц), но не сходиться в мет-
рике LP(A, ц).
5.108.	Пусть цД — оо и р 1. Построить функ-
цию	и такую, что она не принадлежит
никакому пространству Lr(A, ц), г 1, при г =/= р.
5.109.	Пусть цД = оо и 1 sC s < р <С оо. Дока-
зать, что если функция f принадлежит пространствам
72
LS(A, p) и LP(A, р), то f^Lr(A, р) для каждого г
такого, что s < г < р, но f может не принадлежать
Lr(A, р) для других г.
5.110.	Доказать, что утверждение задачи 5.109
справедливо и при р = оо, если считать, что f е
е Loo (А, р) означает
vrai sup | f (х) | < оо.
х е А
5.111.	Построить функцию, которая принадлежит
пространствам LP(A, р) для всех р 1, но
vrai sup| f (х) |= оо.
х е А
5.112.	Доказать, что если функция f & LB(A, р)
для всех р р0, где р0 1, то
lim || flip = vrai sup | / (-к) I
p->oo	X e A
(обе части этого равенства могут быть конечны или
бесконечны).
5.113.	Пусть функция f измерима на множестве А
относительно меры р. Доказать, что если множество
тех р, для которых f е LP(A, р), непусто, то оно обра-
зует некоторый интервал, к которому, возможно, при-
надлежат какая-либо одна или обе граничные точки,
и для этих р функция ]|f||р как функция от р непре-
рывна.
5.114.	Доказать, что если в обозначениях задачи
5.113 рА = 1 и функция f не эквивалентна константе,
то ||f||р строго возрастает с ростом р.
5.115.	Пусть функция f интегрируема на (—оо, оо)
по мере Лебега. Введем функции Стеклова для функ-
ции f:
x+h
Доказать, что
1)	для почти всех х
Нт fh (х) = f (х);
fl—>0
2)	/АеМ(-оо, оо), || fh И, < || f И, и ||f-М(->0
при /г->0;
3)	если f <^Lp(— оо, оо), р > 1, то fh^Lp(— оо, оо),
llfAllp<llfllP и ||f-fAllp->0 при 7г-*0.
73
5.116.	Пусть функция f интегрируема на отрезке
[О, 1] по мере Лебега. Положим
(/ + !)/*
fAx) = k J
nk
если х е [у-, г + 1) , i = 0, 1, ..., k — 1; k — 1, 2, ...
Доказать, что
1)	для почти всех х
lim ffe(x) = f(x);
2)	Ilf — fjfelh—*0 при /г->оо;
3)	если feaLp([O, 1]), р>1, то ||f — ffellp->0 при
k->oo.
5.117.	Пусть функция f интегрируема на отрезке
[О, 1] по мере Лебега и имеет период 1. Положим
ik
8к(х) = 2~к^(х +^.
Доказать, что для почти всех х
lim Sk (x) = \f (0 dt.
Л->ОО	J
5.118.	Пусть функция f интегрируема на отрезке
[О, 1] по мере Лебега и имеет период 1. Доказать,
что последовательность функций
k
может расходиться почти всюду.
§ 4.	Произведения мер. Теорема Фубини
Прямым или декартовым произведением множеств
А и В называется множество всех пар (х,у), где
х е А и у е В. Обозначают прямое произведение мно’
жеств А X В.
Если имеются два семейства множеств, то их пря-
мым произведением называют совокупность всех мно-
74
жеств вида А X В, где А и В — произвольные мно-
жества из первого и второго семейств соответственно.
Прямое произведение мер определено в задаче
5.128. Для простоты рассматривается произведение
двух мер. Точно так же связь кратных и повторных
интегралов (теорема Фубини) рассматривается толь-
ко в случае, когда область интегрирования кратного
интеграла является прямым произведением двух мно-
жеств.
Обозначения, введенные в задачах 5.125, 5.126 и
5.128, используются в дальнейших задачах параграфа
без пояснений.
5.119.	Доказать, что
1)	(41 X Bi) П (А2 X В2) = (Д t П А2) X (fi! П В2),
2) (4! X fii) U (42 X fi2) = [(4! U 42) X (fi! П S2)l U
U [4, X (Й! \ fi2)l U [А2 X (В2 \ BJ],
3) (4i X fii) \ (42 X fi2) = [(Л 1 \ 42) X fi,] U
и[(41П42)Х(51\Ш
4) (4! X fii) A (42 X fi2) = [(4i A 42) X (fii П В2)] U
U[4!X(fii\fi2)]U[42X(^\fii)l.
5.120.	Доказать, что если 4Ь 42, В{, В2-~ непустые
множества, то (4i X fii)c= (42Х fi2) тогда и только
тогда, когда 4, cz 42 и fii с fi2.
5.121.	Пусть 4Ь 42, Bi, fi2 —непустые множества.
Доказать, что множества 4i X fii и 42 X В2 не пере-
секаются и
(4i Xfii)U(42Xfi2) = 4Xfi
в том и только том случае, когда
или 4[ и 42 = 4, 4] |~) 42 = 0 и В\ = В2 = В,
или fii (J fi2 = fi, fii П fi2 = 0 и 4| = Д2 == 4.
5.122.	Доказать, что если среди множеств 41( 42,
fii, В2 есть пустое, то утверждения задач 5.120 й
5.121, вообще говоря, неверны.
5.123.	Доказать, что прямое произведение полуко-
лец является полукольцом.
5.124.	Доказать, что прямое произведение колец
может не быть кольцом.
5.125.	Пусть S и Т — кольца множеств. Доказать, -
что множество U всех конечных объединений попар-
но непересекающихся множеств вида А X В, 4 s S,
В Т, является кольцом. При этом, если S и Т —
75
алгебры, то и U — алгебра, единицей которой Ev бу-
дет Es'XEt, где Es и Ет — единицы алгебр S и Т.
5.126.	Пусть алгебра U определена, как в задаче
5.125, по алгебрам S и Т и пг\ и т2—аддитивные
функции множеств, заданные на S и Т соответствен-
но. Если Ai е S, Bi^,T и множества Д, X Bit i = 1,
2, ..., k, попарно не пересекаются, то положим
/ k	X	k
m MJ (А X Bz) 1 = £ m, (A t) m2 (B;).
\z=i	/	z=i
Доказать, что для каждого элемента алгебры U при
различных представлениях его через элементы алгебр
S и Т получим одно и то же значение функции m и
что функция m аддитивна на U.
5.127.	Доказать, что если в задаче 5.126 функции
mi и т2 являются мерами, то функция m также бу-
дет мерой.
5.128.	Пусть меры ть т2 и т определены, как в
задаче 5.126, а pi, р2 и р— лебеговы продолжения
этих мер. Меру р в этом случае называют прямым
произведением мер pt и р2 и обозначают р = pi X Рг-
Доказать, что если множество А измеримо по
мере рь а множество В — по мере р2, то А X В изме-
римо по мере р = р, X р2 и
Р(Д XB) = pi(A)p2(B).
5.129.	Пусть АсЕи — подмножество единицы ал-
гебры U, измеримое по мере р. Доказать, что для
pi-почти всех х множества Ах={у: (х,у)^А} будут
р2-измеримы, функция <р(х)=р2Лх рризмерима и
рД = ^ф(х)^р1(
где Es — единица алгебры S. Аналогичные утвержде-
ния справедливы и для сечений
5.130.	Пусть функция f(x,y) интегрируема на
множестве А по мере р. Для упрощения дальнейших
обозначений положим f(x, у) — 0 для (х, у)^ Еи\А.
Доказать, что для щ-почти всех х е Es. функция
f(x,y) интегрируема на ЕТ по мере р2, функция
f (х, у) с?р2
76
(доопределенная произвольным образом для тех х,
для которых этот интеграл к не существует) интегри-
руема на Es по мере щ и справедливо равенство
^f(x,y)dii= j Н f
А	Ее \Ет	/
Аналогичные утверждения справедливы и при дру-
гом порядке интегрирования и
f(x, y)dyi )ф2
A
(теорема Фубини).
5.131.	Пусть p-измеримая на Ev функция f(x,y)
тйкова, что существует интеграл
Доказать, что функция f(x,y) интегрируема на Еи
‘ по мере ц, и значит, по теореме Фубини
j f (х, у) dy = И J f (х, у) dpz'j =
Еу	Es ' Ет	А
=	\ f (X, I/)4lA4l2.
5.132. Построить измеримую и неинтегрируемую
на Ец по мере ц функцию f(x,y) такую, что сущест-
вуют интегралы
If (х, y)\dyi
Es
j I f (x, у) | dy2
ET
для
для
Es Ет
всех
всех
т»
\f(x> У') dy2
Ет ES
и
Sj
и справедливо равенство
77
5.133.	Доказать, что если функция f(x) интегри-
руема на множестве А по мере а функция g(y)
интегрируема на множестве В по мере ц2, то функция
((х)ё(у) интегрируема на АХ В по мере ц = Ц1Х
X Ц2 и
f W ё (у) f W dm ё (У) dp2 •
АХВ	А	В
5.134.	Пусть функция f неотрицательна и интег-
рируема на отрезке [a, У] по линейной (одномерной)
мере Лебега. Доказать, что интеграл
6
f dx
а
равен плоской (двумерной) мере Лебега множества
точек на плоскости, координаты которых удовлетво-
ряют условиям а х <: Ь, О у X f (х).
5.135.	Распространить определение меры р =
— Pi X Р2 И теорему Фубини на множества, не обя-
зательно имеющие конечную меру, но представимые •
в виде предела возрастающей последовательности
множеств, мера каждого из которых конечна.
§ 5.	Сравнение интегралов Римана и Лебега
Интеграл Лебега при сравнении его с интегралом
Римана рассматривается по мере Лебега и это не
оговаривается в условиях задач. Для простоты срав-
нение интегралов Римана и Лебега проводится в
одномерном случае и интегрирование ведется на от-
резке или на полуоси.
5.136.	При каких значениях параметра а функция
f(x) = x-asinx интегрируема на [1,оо):
1)	по Лебегу,
2)	по Риману в несобственном смысле,
3)	абсолютно интегрируема по Риману в несоб-
ственном смысле?
5.137.	При каких значениях параметра а функ-
ция f (х) = х"‘ sin -у интегрируема на [0,1]:
1)	по Лебегу,
2)	по Риману в собственном смысле,
3)	по Риману в несобственном смысле,
7®
4)	абсолютно интегрируема по Риману в несоб-
ственном смысле?
5.138.	Пусть f — ограниченная на [0,1] функция и
=	^). k=l, 2, .... 2"; п=1, 2, ...
Определим на [0, 1) последовательность невозра-
стающих кусочно постоянных функций
7„(х)= sup f(i) при xt=on,k
t^n.k
и последовательность неубывающих кусочно постоян-
ных функций
fn (х) = inf f (t) При X GE <Т„, к.
* е % k
Пусть _	_
f (х) = lim fn (х) и f (х) = lim f_n (x).
n->co
Доказать, что
1)	функции f(x) и J(x) интегрируемы но Лебегу;
2)	функция f интегрируема по Риману в том и
только том случае, когда почти всюду f(x) = f(x).
5.139.	Доказать, что если функция интегрируема
на отрезке по Риману, то она интегрируема и по Ле-
бегу и значения ее интегралов по Риману и по Ле-
бегу совпадают.
5.140.	Доказать, что если функция неотрицательна
и интегрируема в несобственном смысле по Риману,
то она интегрируема и по Лебегу и значения ее ин-
тегралов по Риману и по Лебегу совпадают.
5.141.	Доказать, что если функция интегрируема
по Риману в несобственном смысле и интегрируема
по Лебегу, то значения обоих этих ее интегралов со-
впадают.
5.142.	Построить на [0, оо) ограниченную и интег-
рируемую по Риману в несобственном смысле функ-
цию такую, что она не принадлежит ни одному из
пространств Lp, 1 р < оо.
5.143.	Пусть функция f ограничена на [0, 1) и
f(x) и f(x)—функции, построенные в задаче 5.138.
Доказать, что если точка х0 не является двоично ра-
циональной, т. е. не является точкой вида k/2n, то
79
равенство f(x0) = f(x0) необходимо и достаточно для
непрерывности функции f в точке х0.
5.144.	Доказать, что функция интегрируема по
Риману на отрезке в том и только том случае, когда
она на этом отрезке ограничена и почти всюду непре-
рывна (теорема Лебега).
5.145.	Доказать, что характеристическая функция
канторова множества, построенного в задаче 2.64,
интегрируема по Риману.
5.146.	Пусть А — замкнутое множество нулевой
лебеговой меры, расположенное на [0, 1]. Доказать,
что характеристическая функция множества А интег- •
рируема по Риману.
5.147.	Построить интегрируемую по Риману функ-
цию, множество точек разрыва которой всюду плотно.
5.148.	Построить на [0, 1] функцию, дифференци-
руемую в каждой точке и такую, что ее производная
ограничена, но неинтегрируема по Риману.
5.149.	Пусть на отрезке [а, 6] .заданы функции f
и g, и пусть Л(х) = max(f(x), g(x)). При каком оп-
ределении интеграла — по Лебегу, по Риману в соб-
ственном и несобственном смысле — из интегрируе-
мости функций fug вытекает интегрируемость функ-
ции h, а при каком не вытекает?
5.150.	Пусть интегрируемые по Риману на отрезке
[а, 6] функции fi, f2, ... равномерно сходятся к функ-
ции f.
Доказать, что f интегрируема по Риману и
ь	ь
lim \ fk (х) dx = \ f (х) dx.
k~> ОО J	J
а	а
5.151.	Построить последовательность равномерно
ограниченных, интегрируемых на отрезке по Риману
функций, сходящихся в каждой точке и таких, что
предельная функция неинтегрируема по Риману.
5.152.	Доказать, что
1) измеримая на отрезке функция интегрируема
по Лебегу в том и только том случае, когда ее равно-
измеримая неубывающая перестановка интегрируема
по Риману (в несобственном смысле);
2) если обе эти функции интегрируемы, то соот-
ветствующие их интегралы равны.
80
Глава 6
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА.
ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
§ 1.	Функции с ограниченной вариацией
Для простоты и большей наглядности мы ограни-
чиваемся в этой главе рассмотрением функций толь-
ко от одной переменной. Отметим, что для функций
многих переменных некоторые из рассматриваемых
здесь вопросов существенно более сложны. В тех
случаях, когда говорится о мере множеств или об ин-
тегрируемости функций, имеются в виду мера Лебега
и интегрируемость по мере Лебега.
Пусть на отрезке [а, 6] задана функция f, при-
нимающая конечные значения. Для каждого разбие-
ния г отрезка [а, Ь]1
а = х0 < Xi < ... < Xk = Ь
построим сумму
к-1
Е I f (Xi) - f (xi+1) |.	(*)
1=0
Если функция f такова, что независимо от числа то-
чек разбиения г и от выбора этих точек все суммы
(*) равномерно ограничены, то говорят, что f яв-
ляется функцией с ограниченной вариацией (с огра-
ниченным изменением) или имеет ограниченную ва-
риацию на отрезке [а, 6]. В этом случае точная верх-
няя грань сумм (*) по всем разбиениям г называется
вариацией, точнее, полной вариацией функции f на
отрезке [а, 6] и обозначается
ь
Vf.
>	а
Если для функции f суммы (*) не являются равно-
мерно ограниченными, то говорят, что вариация функ-
ции f на отрезке [а, 6] неограничена.
Говорят, что функция f, заданная на отрезке
[а, 6], удовлетворяет на этом отрезке условию Лип-
шица порядка а, 0 < а 1, если существует такое
число М, что для любых х, у <= [а, 6] справедлива
81
оценка
I f (x) - fly) |< M| x-у |“.
Функция f, заданная на отрезке [a,b], называется
сингулярной на этом отрезке, если она непрерывна,
отлична от постоянной и f'(x)=0 почти всюду на
[а, 6]. Примером сингулярной функции является кан-
торова функция, построенная в задаче 4.19.
Если функция f определена в окрестности точки
х, то ее правым верхним производным числом Л+(х)
в этой точке называют верхний предел
й-»+о п
Аналогично определяются правое нижнее произ-
водное число
Л+(х) = lim ——'—т—
Л->+0	п
и' левые соответственно верхнее и нижнее производ-
ные числа
л i \	г— I (х + h) — f (х)
Л_ (х) = lim ———I—
h->-0	П
И
Л (х) = lim nx + ^-fM .
h->—0
6.1.	Пусть функция f имеет ограниченную варна-
цию на отрезке [а, 6]. Доказать, что равенство
ь
Vf = f(b) — f(a)
а
необходимо и достаточно для того, чтобы f не убы-
вала на [а, 6].
6.2.	Пусть функция f задана на отрезке [а, 6] и
существует такое разбиение этого отрезка а =
= Со < ci < ... < Ck = b, что на каждом отрезке
[с,-, с('+1] функция f не возрастает или не убывает. До-
казать, что f имеет на [а, Ь] ограниченную вариацию,
ь
и найти V f.
а
6.3.	Доказать, что если на отрезке [а, 6] функции
fug имеют ограниченную вариацию, то ограничен-
82
ную вариацию имеют функции f ± g и af, где а —
число, и при этом
Ь	b Ь
V (f ± g) < V f + V g,
а	а а
Ъ	Ъ
V af = | d I V f.
а	а
6.4.	Доказать, что если на отрезке [а, 6] функции
f и g имеют ограниченную вариацию, то ограничен-
ную вариацию имеют функции f-g и max(f, g).
6.5.	Доказать, что если на отрезке [а, Ь] функции
f и g имеют ограниченную вариацию и |g(x) а >
> 0 для всех А'е[а, 6], то функция f/g имеет огра-
ниченную вариацию, а условие g(x)=/=0 недостаточ-
но для того, чтобы f/g имела ограниченную вариа-
цию.
6.6.	Доказать, что если на отрезке [а, 6] функция
f имеет ограниченную вариацию, то функция |f|
имеет ограниченную-вариацию и
ь	ь
VlfKVf.
' а	а
6.7.	Пусть на отрезке [а, Ь] функция |f| имеет
ограниченную вариацию. Доказать, что
1)	вариация функции f может быть неограничена;
2)	если функция f непрерывна, то она имеет огра-
ниченную вариацию и
ь	ь
V|fl=Vf.
а	а
6.8.	Выяснить,	при	каких значениях	параметров	а
и р функция	f (х)	= ха	sin	имеет	ограниченную	ва-
риацию на [0, 1].
6.9.	Доказать, что функции, удовлетворяющие на
отрезке условию Липшица первого порядка, имеют
ограниченную вариацию.
6.10.	Пусть 0 < а < 1. Построить функцию, удов-
летворяющую на отрезке условию Липшица порядка
а, вариация которой неограничена.
6.11.	Построить на отрезке непрерывную функ-
цию ограниченной вариации, которая не удовлетво-
83
ряет условию Липшица порядка а ни при каком
а < 1.
6.12.	Пусть а < с < Ь. Доказать, что функция f
имеет на отрезке [а, 6] ограниченную вариацию тог-
да и только тогда, когда она имеет ограниченную
вариацию на каждом из отрезков [а, с] и [с, 6], и
если это условие выполнено, то
Ь	с	Ъ
Vf=Vf+Vf.
а	а	с
6.13.	Доказать, что если функция f имеет на от-
резке [а, 6] ограниченную вариацию, то функция
X
v (х) = V f не убывает на [а, 6].
а
6.14.	Доказать, что функция имеет ограниченную
вариацию в том и только том случае, когда она пред-
ставима в виде разности двух неубывающих функ-
ций.
6.15.	Представить в виде разности двух неубы-
вающих функций:
1)	функцию

при х = а,
при х#=а, где 0^а^1,
на отрезке [0, 1];
2)	функцию f(x) = sinx на отрезке [0,2л]. \
6.16.	Доказать, что если функция f имеет на от-
резке ограниченную вариацию, то f непрерывна в
каждой точке этого отрезка, за исключением не бо-
лее чем счетного множества точек, в которых она
может иметь разрывы первого рода.
6.17.	Доказать, что функция f имеет ограниченную
вариацию на отрезке [а, 6] тогда и только тогда,
когда существует возрастающая ограниченная на
[а, 6] функция <р такая, что если а х < у Ь, то
I f (у) — f (х) К ф (У) — Ф (х).
6.18.	Пусть функция f имеет ограниченную вариа-
цию на отрезке [а, 6] и хое[а, 6]. Указать необхо-
димые и достаточные условия для того, чтобы, изме-
няя значение функции в точке х0, можно было умень-
шить вариацию f.
84
6.19.	Пусть функция f имеет на [а, Ь] ограничен-
ную вариацию, а функция <р удовлетворяет на всей
оси условию Липшица первого порядка. Доказать,
что функция qj(f(x)) имеет на [а, Ь] ограниченную
вариацию.
6.20.	Показать, что в задаче 6.19 условие Лип-
шица первого порядка нельзя заменить на условие
Липшица никакого порядка а < 1.
6.21.	Доказать, что если функция f имеет ограни-
ченную вариацию на отрезке [я, Ь] и непрерывна в
X
точке хое[я, Ь], то функция u(x)=Vf непрерывна
а
в точке х0.
6.22.	Доказать, что если функция f имеет ограни-
ченную вариацию на отрезке [я, Ь] и разрывна в точ-
X
ке хое[я, Ь], то функция v (л) = V f разрывна в
а
точке Хо.
6.23.	Доказать, что непрерывная функция ограни-
ченной вариации может быть представлена в виде
разности двух неубывающих непрерывных функций.
6.24.	Пусть функция f имеет ограниченную вариа-
цию на отрезке [я, &] и Xi, х2, ... — последователь-
ность всех ее точек разрыва, принадлежащих интер-
валу (я, Ь). Пусть s(a) = 0 и
з(х) = /(я + 0)-Г(0)+ £ [f(Xft + 0)-f(xk —0)] +
k: Xk<X
+ f(x)-f(x-O)
для хе(а,&]. Функция s(x) называется функцией
скачков функции f или просто функцией скачков.
Доказать, что
1)	функция s(x) непрерывна во всех точках не-
прерывности функции f;
2)	функция f(x)—s(x) непрерывна и имеет огра-
ниченную вариацию;
3)	если функция f(x) не убывает, то функции
s(x) и f(x)—s(x) также не убывают.
6.25.	Построить на отрезке [0, 1] строго возра-
стающую функцию скачков, множество точек раз-
рыва которой совпадает с множеством рациональных
чисел из [0, 1].
6.26.	Доказать, что если функция f имеет ограни-
ченную вариацию на отрезке [я, Ь], то для ее инте-
85
трального модуля непрерывности в метрике АД [о, &])
справедлива оценка со (), 6) i= 0(6) при 6->0.
6.27.	Пусть функция f задана на отрезке [а, б].
Доказать, что если для ее интегрального модуля не-
прерывности в метрике Lj([a,6]) справедлива оцен-
ка a(f, 6) i= 0(6) при б —0, то f совпадает почти
всюду с некоторой, функцией ограниченной вариации.
6.28.	Пусть Д, f2, ... — последовательность не-
убывающих функций, равномерно ограниченных на
[а, Ь]. Доказать, что существует подпоследователь-
ность этой последовательности, сходящаяся в каж-
дой точке отрезка [а, 6].
6.29.	Пусть Д, Д, - - • — последовательность функ-
ций, имеющих ограниченную вариацию и равномерно
ограниченных на отрезке [а,Ь]. Доказать, что если
полная вариация всех функций Д равномерно ограни-
чена I т. е. sup V fk < 00 I • то из последовательности
\	k а	/
fi, f2, ... можно выделить подпоследовательность, схо-
дящуюся в каждой точке, причем предельная функ-
ция будет иметь ограниченную вариацию (теорема
Хелли).
6.30.	Пусть функции fi,fz, ... имеют ограничен-
ную вариацию на отрезке [а, Ь] и для каждого е 2> О
можно указать число N такое, что для всех i, k > N
справедлива оценка
ь
V(fi-fk)<e.
а
Доказать, что существует функция f ограниченной
вариации, для которой
ь
lim V (/,-/) = 0.
- й->оо а
6.31.	Пусть функция f непрерывна и имеет огра-
ниченную вариацию на отрезке [о, 6]. Для каждого
разбиения г отрезка
« = Хо<Х1< ... <xk — b
определим суммы
Л-1	Л-1
vr= Е l/Uz+i) — f(x,)l И Йг = Е (Mt — mt),
1=0	1=0
86
где Mi и mi — соответственно максимальное и мини-
мальное значения функции f на отрезке [х/, х,+1]. До-
казать, что если Лг = тах(л4+1 — х0~>0, то обе сум-
i
ь
мы Vr и Q, стремятся к V f.
Я
6.32.	Пусть функция f непрерывна на отрезке
[а, 6], а М и т — ее максимальное и минимальное
значения соответственно. Определим на [т, Af] функ-
цию N(y), равную числу тех хе[й, Ь], для которых
f(x)=y, если это число  конечно, и N(y)=<x>, если
f(x) — у для бесконечного множества точек хе[а, &].
Функция N(y) называется индикатрисой Банаха
функции f. Доказать, что
1)	функция N(у) измерима относительно меры
Лебега;
2)	интегрируемость функции A/(i/) на [т, М] яв-
ляется необходимым и достаточным условием огра-
ниченности вариации функции f;
3)	если N (у) интегрируема на [m, М], то
с1	»
\ N (у) dy=\/ f.
J	а
т
6.33.	Пусть на отрезке [a, ft] задана функция ог-
раниченной вариации g(x), непрерывная в концах от-
резка. Положим G (х) = max (g (х — 0), g(x), g(x-p
+ 0)). Пусть А — множество тех точек хе(й, Ь),
для которых существует точка £ > х такая, что
G(x) < g(£). Доказать, что А — открытое множество,
и если А = U (ak, bk) — представление множества А
k
в виде объединения непересекающихся интервалов,
то 4-0)^ G{bk).
6.34.	Пусть функция f(x) не убывает на интер-
вале (а, р) и Л+(х)—ее верхние правые производные
числа. Доказать, что множество тех точек хе(а, р),
в которых Л+(х)> С > 0, можно покрыть открытым
множеством Ас таким, что
Мс<.нр-0)-н«+°)..
6.35.	Пусть функция f(x) не убывает на отрезке
[а, 6] и Л+(х)—ее верхние правые производные чис-
ла. Доказать, что Л+(х) <оо почти всюду на [а, Ь].
87
6.36.	Пусть функция f(x) не убывает на отрезке
[а, Ь], Л+(х) и Х_(х)—ее верхние правые и нижние
левые производные числа соответственно. Доказать,
что если 0 < с < С, то множество тех точек х е
е [а, 6], в которых Л+(х)>С и Х-(х)<с, имеет
меру нуль.
6.37.	Доказать, что монотонная на отрезке функ-
ция имеет конечную производную почти всюду (тео-
рема Лебега).
6.38.	Пусть на отрезке [а, 6] задано множество А
меры нуль. Построить непрерывную возрастающую
на [а, 6] функцию f, для которой f'(x) — +оо для
всех х е А.
6.39.	Пусть на отрезке [а, 6] функции fb f2, ... не
оо
убывают, ряд fk(x) сходится в каждой точке и
f(x)— сумма этого ряда. Доказать, что почти всюду
на [а, 6]
оо
Е	(х).
k — 1
6.40.	Доказать, что производная функции скачков
почти всюду равна нулю.
6.41.	Доказать, что если функция f не убывает на
то ее производная интегрируема по Лебегу
а [с, 6] и справедлива оценка
ь
$f'(x)dx^f(b)-f(a).
а
6.42.	Доказать, что если функция имеет на отрез-
ке ограниченную вариацию, то ее производная суще-
ствует почти всюду и является интегрируемой функ-
цией.
6.43.	Доказать, что в оценке из задачи 6.41 имеет
место строгое неравенство, если функция f является
на отрезке [а, 6]:
1)	функцией скачков,
2)	сингулярной функцией.
6.44.	Построить на отрезке сингулярную функцию,
строго возрастающую в каждой точке.
88
§ 2.	Абсолютно непрерывные функции
Функция f (х), заданная на отрезке [а, 6], назы-
вается абсолютно непрерывной на этом отрезке, если
для каждого 8 > О можно указать такое б, что для
произвольного набора попарно непересекающихся от-
резков [а», fei]cz [а, б], i = 1, 2, k, для которых
k
—	< б, справедлива оценка
z=i
Х1НЬ,)-Г(аг)1<е.
i=i
Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, Ь].
Точка >'Е(а, fe) называется точкой Лебега функции
f, если значение f (х) в этой точке конечно и
lim -I- \ | f (/) - f (х) | dt = 0.
Л->+0
Пусть А — измеримое множество на прямой. Для
каждой точки х е(— оо, оо) введем функцию <р(х, ft),
ft > 0, — меру Лебега множества А П [х — ft, x-j-ft].
Точка х называется точкой плотности множества А,
если
lim ф.(х, Л)
2Л
Л->+0
6.45.	Доказать, что если функция удовлетворяет
условию Липшица первого порядка, то она абсолют-
но непрерывна.
6.46.	Пусть функция f задана на отрезке [а, Ь]
и для каждого 8 > 0 можно указать такое б, что для
произвольного набора попарно непересекающихся от-
резков [щ, bi] с [а, ft], i =l, ,2.k, для которых
k
У, (bt — а,) < 8, справедлива оценка
£[Ж)-Ж)]
i=i
Доказать, что функция f абсолютно непрерывна.
6.47.	Доказать, что. если на отрезке [а, б] функ-
ции fug абсолютно непрерывны, то абсолютно не-
прерывны функции: 1) f ± g, 2) f-g, 3) f/g, если g
не обращается в нуль на [а, Ь].
6.48.	Доказать, что если функция f абсолютно не-
прерывна, то функция |f| абсолютно непрерывна. .
6.49.	Доказать, что если на отрезке функция f
непрерывна, a |f| абсолютно непрерывна, то f абсо-
лютно непрерывна-.
6.50.	Пусть на отрезке [а, 6] заданы неубываю-
щие абсолютно непрерывные функции fb /2, ... До-
оо
казать; что если ряд £ fk (х) сходится для всех х е
Л = 1
<=[а,Ь] и f(x)—его сумма, то функция f абсолютно
непрерывна.
6.51.	Доказать, что абсолютно непрерывная функ-
ция имеет ограниченную вариацию.
6.52.	Доказать, что если функция f абсолютно не-
X
прерывна на [а, 6], то и функция v(x)—\/f абсо-
-  а
лютно непрерывна на [а, Ь\.
6.53.	Доказать, что абсолютно непрерывная функ-
ция представима в виде разности неубывающих аб-
солютно непрерывных функций.
6.54.	Пусть функция f абсолютно непрерывна на
отрезке [а, 6]. Доказать, что если функция <р удов-
летворяет на всей оси условию Липшица первого по-
рядка, то функция <р([(х)) абсолютно непрерывна на
[а, 6].
6.55.	Пусть функция f абсолютно непрерывна и
строго возрастает на отрезке [а, 6], а <р абсолютно не-
прерывна на [f(а),/(&)]. Доказать, что функция
<p(f(x)) абсолютно непрерывна на [а, 6].
6.56.	Показать, что в задаче 6.55 условие строгого
возрастания функции f можно заменить на ее неубы-
вание.
6.57.	Пусть функция <р, заданная на всей оси, та-
кова, что для каждой функции f(x), абсолютно непре-
рывной на отрезке [а, 6], функция <p(f(x)) абсолютно
непрерывна на [а, 6]. Доказать, что <р удовлетворяет
условию Липшица первого порядка.
6.58.	Пусть функция f задана на отрезке [а, 6]
и для каждого е > 0 можно указать такое б, что для
произвольного набора отрезков [а(, b,]cz[a, 6], I —
= 1, 2, k (а не только для попарно, непересе-
90
кающихся отрезков, как в определении абсолютной
k
непрерывности), для которых ^(bi— а£)<д, спра-
i=l
ведлива оценка
k
i=l
Доказать, что- функция f удовлетворяет на [а, Ь]
условию Липшица первого порядка.
6.59.	Пусть функция / задана на отрезке [а, Ь] и
для произвольного набора отрезков [а£, &£]cz[a, 6],
оо
i=l,2, ..,, такого, что У. (bt — а^) < оо, ряд
i = l
Z = 1
сходится. Доказать, что f удовлетворяет на [а, Ь]
условию Липшица первого порядка.
6.60.	Доказать, что если на отрезке функция аб-
солютно непрерывна, то и ее неубывающая переста-
новка абсолютно непрерывна.
6.61.	Доказать, что если на отрезке функция f
абсолютно непрерывна и f' (х) = 0 почти всюду, то f
постоянна.
6.62.	Пусть функция f абсолютно непрерывна на
[а, и множество A cz [а, имеет меру нуль. Дока-
зать, что [(A)—образ этого множества — имеет меру
нуль.
6.63.	Пусть функция f абсолютно непрерывна на
[а, &]. Доказать, что если множество А с [а, &] изме-
римо, то и множество [(А) измеримо.
6.64.	Пусть функция f непрерывна на отрезке
[а, &], имеет ограниченную вариацию и для каждого
множества Лс[а, Ь\ меры нуль мера множества
f(A) равна нулю. Доказать, что f абсолютно непре-
рывна.
6.65.	Доказать, что если функция f интегрируема
на [а, Ь], то ее неопределенный интеграл Лебега
F(x)=\f(t)dt + C
а
является абсолютно непрерывной функцией на (а, 6].
91
6.66.	Доказать, что если функция f интегрируема
на отрезке [а, Ь], то для почти, всех х
' X
а
6.67.	Доказать, что абсолютно непрерывная функ-
ция является неопределенным интегралом своей про-
изводной.
6.68.	Пусть функции f и g абсолютно непрерывны
на отрезке [а, Ь]. Доказать, что справедлива фор-
мула интегрирования по частям
ь	-	ь
5 f W g' М dx= f (х) g (*) la — f' M g W dx-
a	a
6.69.	Доказать, что функция удовлетворяет на от-
резке условию Липшица первого порядка в том и
только том случае, когда она является неопределен-
ным интегралом от измеримой ограниченной функ-
ции.
6.70.	Доказать, что если функция f непрерывна на
отрезке [а, 6] и имеет ограниченную вариацию, то
она единственным образом представляется в виде
суммы
f (х) = ф (х) + г (х),
где ф(а)== f(а), функция ф(х) абсолютно непрерыв-
на и г(х)—сингулярная функция или нуль.
6.71.	Пусть функция f имеет ограниченную вариа-
цию на отрезке [а, Ь] и
f (х) = ф(х)4-г(х) + «(х),
где функция ф абсолютно непрерывна, г сингулярна
и s — функция скачков. Доказать, что
ь	ь	ъ	ь
V/—Х/ф+Х/г+Х/в.
а	а	а	а *
6.72.	Пусть функции	 имеют ограничен-
ную вариацию на отрезке [а, и
ь
lim V(ffe-f) = O.
А-»0 а
92
Доказать, что если
1)	функции fi, /2, ••• являются функциями скач-
ков, то f является функцией скачков;
2)	функции fi, f2, ... абсолютно непрерывны, то f
абсолютно непрерывна;
3)	функции fi, f2, ... сингулярны, то f сингулярна.
6.73.	Пусть функция f не убывает на отрезке
[а, &]. Доказать, что если
ь
\f'(x)dx = f(b)-f(a),
а
то f абсолютно непрерывна.
6.74.	Доказать, что если функция f абсолютно не-
прерывна на [а, Ь], то
ь	ь
a	J
а
6.75.	Пусть функция f интегрируема на отрезке
[а, 6] и непрерывна в точке хе [а, Ь]. Доказать, что
точка х является точкой Лебега функции f.
6.76.	Доказать, что точки неустранимого разрыва
первого рода интегрируемой функции не являются ее
точками Лебега.
6.77.	Пусть функция feLi([a,6]). Доказать, что
почти все точки отрезка [а, являются точками Ле-
бега функции f.
6.78.	Пусть функция f е Lp{ [а, Ь]), р > 1. Дока-
зать, что для почти всех х е [a, bj выполняется соот-
ношение
x+h
lim-Ь \f(t)-f(x)\pdi = O.
h->0 п J
6.79.	Пусть функция f интегрируема на [а, 6]
Доказать, что в каждой точке Лебега функции f про
X
изводная ее неопределенного интеграла ^f (t) dt су-
а
Шествует и равна /(х).
6.80.	Привести пример интегрируемой функции f
и точки х, не являющейся точкой Лебега функции f,
93
но такой, что в этой точке производная неопределен-
ного интеграла функции f существует и равна f(x).
6.81.	Пусть А— измеримое множество на (—оо,
оо). Доказать, что почти все точки множества Л яв-
ляются его точками плотности.
6.82.	Пусть множество Ас(—оо, оо) измеримо и
х — его точка плотности. Доказать, что для произ-
вольной последовательности интервалов (as, 0й), со-
держащих х и таких, что 0s — при /г->ое,
lim в la НМ A(a*, 0а)) = 1 •
Pft «ft
6.83.	Пусть функция <р(/) абсолютно непрерывна
и не убывает на [а, 0], множество А а: [а, 0] изме-
римо и цф(А)—мера Лебега множества ф(А). Дока-
зать, что
pq> (А) = ф' (/) dt.
А
6.84.	Пусть функция ф(/) абсолютно непрерывна
и не убывает на [сс, 0]. Пусть множество Ас [а,0]
таково, что его образ ф(А) имеет меру нуль нВ —
множество тех точек /еЛ, в которых ф'(/)=0. До-
казать, что мера Лебега множества А\В равна нулю.
6.85.	Пусть функция ф(/) абсолютно непрерывна
и не убывает на [а, 0], ф(а)=а и ф(0)=6. Дока-
зать, что если функция f(x) интегрируема на [a, fe],
то справедлива формула интегрирования подстанов-
кой
ъ	₽
j f (х) dx — f (ф (/)) ф' (0 dt.
a	a
6.86.	Пусть функция f непрерывна и строго возра-
стает на отрезке [а, й] и А — множество точек х <=
е [а, 6], в которых f'(x) — оо. Доказать, что f абсо-
лютно непрерывна в том и только том случае, когда
мера множества f(A) равна нулю.
6.87.	Пусть функция f непрерывна и строго воз-
растает на отрезке [а, Ь] и А — множество точек
хе[а,й], в которых f(x)=0. Доказать, что обрат-
ная функция /-1 абсолютно непрерывна в том и
только том случае, когда мера множества А равна
нулю.
94
6.88.	Пусть функция f(x) имеет в каждой точке
отрезка [а, Ь] конечную производную и f'(x) интег-
рируема на [а, 6]. Доказать, что для всех xe[e,ft]
X
f(x)-f(a)=\f'(t)dt.
а
6.89.	Построить на отрезке [а, 6] такую функцию
Цх), имеющую в каждой точке конечную производ-
ную, что функция ['(х) неинтегрируема на [а, &].
6.90.	Пусть функция f имеет в каждой точке от-
резка [а, Ь] конечную производную. Доказать, что
для каждого множества А сз [а, Ь] меры нуль его
образ [(A) имеет меру нуль.
§ 3. Интеграл Римана — Стилтьеса
Пусть на отрезке [а, Ь] заданы функции / и ф,
принимающие конечные значения. Для каждого раз-
биения г отрезка [а, Ь]:
а = хй < Xi < ... < xk = b
в каждом из отрезков [х,, х/+1] выберем некоторую
точку и составим сумму
fe-i
Sr = X f (&) [ф (Xt +1) — ф (xz)].
z=o
Если существует такое число 1, что для каждого
е > 0 существует б > 0 такое, что для всех разбие-
ний' г, для которых max (xz+i — xz) < б, и для любых
i
чисел & е [xi, xz+1] будет справедлива оценка |7 —
— Sr|<e, то число I называют интегралом Рима-
на — Стилтьеса функции f по функции ф на отрезке
[а, б] и обозначают
ь	ь
f (х) d(f (х) или f d(f.
а	а
В этом случае пишут f е R (ф) и называют функцию
f интегрируемой по функции ф в смысле Римана —
Стилтьеса.
При ф(х) es х получаем обычный интеграл Ри-
мана от функции f.
95
6.91.	Доказать, что если f^R(tp) и ge^((fj, то
f ± g е R (ф) и
ь	ь	ь
$ [/ (х) ± g (х)] dtp (х) = f (х) С?ф (х) ± $ g (х) dtp (х)..
а	а	а
6.92.	Доказать, что если /е/?(ф), то для произ-
вольных чисел а и р af е R (Рф) и
ь	ь
af (х) d [Рф (х)] = ар (х) dtp (х).
а	а
6.93.	Доказать, что если f е R (ф) и f е R СФ). то
f еД(ф±ф) и
ь	ь	ь
f (х) d [ф (х) ± ф (х)] = f (х) с?ф (х) ± f (х) dty (х).
а	а	а
6.94.	Пусть на отрезке [а, Ь] функция ф имеет
ограниченную вариацию, a f Ограничена и /е/?(ф).
Доказать, что
гь	ь
w \ f dtp М V Ф,
где М = sup | f (х) |.
х g= [а, Ь]
6.95.	Пусть на отрезке [а, 6] функция ф не убы-
вает, f е /?(ф) и g е К(ф). Доказать, что если /<х)^
т0
b	ь
f dtp g dtp.
а	а
6.96.	Доказать, что если существует интеграл
ь
\f dtp,
а
то для каждого е, а < с < Ь, существуют интегралы
с	b
f dtp и f dtp.
а	с
96
и справедливо равенство
Ь	с	Ь
f dtp = f dtp + f dtp.
,	а	а	с
6.97.	Пусть точки а и p принадлежат отрезку
a,b], f(x)— характеристическая функция отрезка
а, b] и ф(х) — характеристическая функция отрезка
р, Ь] . Выяснить, при каких аир существует интег-
ь
рал j f dtp, и найти его значение в тех случаях, ког-
а
да он существует.
6.98.	Пусть а < с < b и функция ф(х) равна О
при х < с и равна 1 при х > с. Доказать, что
1)	независимо от того, как определена функция ср
в точке с, f е R(tp) в том и только том случае, когда
f непрерывна в точке с;
2)	если f непрерывна в точке с, то
ь
$ f (х) dtp (х) = f (с).
а
6.99.	Пусть f(x) и <р(х)—кусочно постоянные
функции на отрезке [а, 6]. Выяснить, при каких ус-
ловиях на точки разрыва этих функций существует
ь
интеграл ^f(x)dtp(x), и найти его значение в тех слу-
а
чаях, когда он существует.
6.100.	Пусть а < с < Ь.
ствования интегралов
С
f dtp и
а
не вытекает существование
а
вести соответствующие примеры, когда
1)	функции f и ф кусочно постоянны;
2)	функция <р непрерывна и имеет ограниченную
вариацию.
Показать, что из суще-
ft
$ Мф
С
b
интеграла \ f dtp. При-
97
6.101.	Пусть а < с < Ь. Доказать, что если функ-
ция f(x) ограничена, а функция ф(х) непрерывна в
точке с, то из существования интегралов
с	Ъ
f С?ф и f С?ф
а	с
вытекает существование интеграла
ь
$Мф.
а
6.102.	Доказать, что если /е/?(ф), то фе/?(/) и
справедливо равенство (формула интегрирования по
частям)
6	ь
$Ф<Д = Н*)ф(*)1а— $ Мф-
а	а
6.103.	Доказать, что если на отрезке [а, функ-
ция f непрерывна, а ф имеет ограниченную вариа-
цию, то f е R (ф).
6.104.	Пусть на отрезке [а, Ь] функция ф имеет
ограниченную вариацию, а функции fu f2, ... непре-
рывны и равномерно сходятся к функции f. Дока-
зать, что
ь	ь
lim \ fk dcp = \ f dtp.
Л->0О J	J
a	a
6.105.	Пусть на отрезке [a, b] функция f непре-
рывна, а ф кусочно постоянна. Найти значение ин-
теграла
J f С?ф.
а
6.106.	Пусть функция ф имеет ограниченную ва-
риацию на [0,2л]. Доказать, что для п = 1, 2,
справедлива оценка
2л
SI 2л
tp (х) cos nxdx ---V ф
о	П 0
и что эта оценка неулучшаема.
98	-
6.107.	Пусть функция ф имеет ограниченную ва-
риацию на [0,2л]. -Доказать, что для п=1, 2, ...
справедлива оценка
2 2л
Ф (х) sin nxdx — V ф
и что эта оценка неулучшаема. Доказать, что если
функция ф удовлетворяет условию ф(0) =ф(2л), то
справедлива неулучщаемая оценка
। 2л
Ф (х) sin пх dx — V ф.
п п
6.108.	Пусть на отрезке [а, Ь] функция f непре-
рывна, а ф имеет ограниченную вариацию. Доказать,
что функция

имеет ограниченную вариацию и непрерывна в точках
непрерывности функции ф.
6.109.	Пусть на отрезке [а, 6] функции f и g не-
прерывны, а ф имеет ограниченную вариацию Поло-
жим
ф (х) = \ f dtp.
Доказать, что
ь ь
(§с?ф = ( gfdtp.
6.110.	Пусть на отрезке [а, Ь] функция f непре-
рывна, а ф имеет в каждой точке производную, при-
чем ф' интегрируема по Риману. Доказать, что
е 7?(ф) и справедливо равенство
ь ь
f dtp = \ ftp' dx,
где последний интеграл является интегралом Римана.
6.111.	Пусть на отрезке [а, Ь] функция f непре-
рывна, а ф абсолютно непрерывна. Доказать, что
ь	ь
справедливо равенство f dtp = ftp' dx, где послед-
а	а
ний интеграл является интегралом Лебега.
6.112.	Доказать, что в задаче 6.111 условие не-
прерывности функции f можно заменить на ограни-
ченность вариации функции f.
6.113.	Пусть, на отрезке [а, функция f непре-
рывна, а функции фь ф2, ... имеют ограниченную
вариацию и сходятся в каждой точке к функции ф.
Доказать, что если вариация функций фй равномерно
ограничена I т. е. sup V Фй < 00 )• то
\ k а	/
Ъ	Ъ
lim \ f dtpk — \f dy
A->oo J	J
a	a
(теорема Хелли).
6.114.	Пусть Xi, x2, ... —последовательность раз-
личных точек интервала (а, Ь) и числа сь с2, ... та-
оо
ковы, что £ IQ К Положим
fe=l
( 1 при х > О,
ф(*)~ |о при
и
оо
ф W = £ М5 (* — Xk)-
k-1
Доказать, что для каждой функции f, непрерывной
на отрезке [а‘, 6],
Ь	оо
5 f dq> = £ ckf (х^.
а	/г = 1
6.115.	Пусть на отрезке [а, Ь] функция f непре-
рывна и /е7?(ф). Доказать, что значение интеграла
ь
рс?Ф
а
100
не изменится, если изменить значение функции ф
в произвольной внутренней точке отрезка [а,6]. Как
изменится этот интеграл, если изменить значение
функции ф в концах отрезка?
6.116.	Пусть на отрезке [а, 6] функция ср имеет
ограниченную вариацию и 5UI — множество всех не-
прерывных функций, удовлетворяющих условию
I f.(x) 1^1- Доказать, что
sup \ f dtp
= V(f‘,
где tp*(x)=tp(x) в концах отрезка [а, 6] й во всех
точках непрерывности функции ср, а если к — точка
разрыва функции <р, принадлежащая интервалу
(а, Ь), то значение ф*(х) заключено между ф(х— 0)
и ф(х + 0).
6.117.	Сохраним обозначения, принятые в задаче
6.116. Пусть 5П0 — множество всех функций f из 5UI,
удовлетворяющих условию f (а) = f (b). Доказать, что
sup
f <= Ж’
SD
f dtp = V Фо,
а
где фо(х) = ф*(х) во всех точках полуотрезка [а, Ь)
и tp*0(b) — tp(b), если [ф(6)—tp(b — 0)][ф(а) —
— ф(а + 0)]	0, а если это условие не выполняется,
то
Фо <6) = Ф (fe) — [ф («) — Ф (а + 0)].
6.118.	Пусть на отрезке [а, Ь] функция f удовлет-
воряет условию Липшица порядка а, а ф — условию
Липшица порядка [3. Доказать, что если а + ₽ > L
то/е/?(ф).
6.119.	Доказать, что в задаче 6.118 условие
а + [3 > 1 нельзя заменить на а + [3 = 1.
6.120.	Доказать, что если f<=R(tp), то |/|е7?(ф)
и f2^R(tp).
6.121.	Доказать, что если f^R(tp) и g^R(tp), то
fg е/?(ф), и если функция ф не убывает, то
ГЬ	-,2 b	b
Н f (х) g (х) dtp (х) < jj f2 (х) dtp (х) • $ g2 (х) dtp (х).
101
6.122.	Доказать, что если f(x)<=R(q>) и g(x)e
е R (ср), то функция max (f (х), g (х)) е R (ср).
6.123.	Доказать, что если ср(х) и ф (х)— неубываю-
щие функции на отрезке [а, 6] и f е R (ср + ф), то
f еR(cp) и f еК(ф).
6.124.	Пусть функция ср имеет ограниченную ва-
X
риацию на отрезке [а, 6] и v(x) = .Vcp. Доказать, что
а
для каждой функции f, заданной на [а, Ь], суще-
ствование одного из интегралов
ь	ь
f (х) dtp (х) и f (х) dv (х)
а	а
влечет существование другого.
6.125.	Можно ли в задаче 6.94 в качестве М взять
vrai sup | f (x) I?
x e [a, Z>I
6.126.	Пусть функция ср имеет ограниченную ва-
риацию на отрезке [0, 1 ], а функция f непрерывна на
[0,2]. Доказать, что функция
1
F (х) = / (х +1) dtp (/)
о
непрерывна на [0, 1].
6.127.	Останется ли верным утверждение задачи
6.126, если в ее условии вместо непрерывности f по-
требовать, чтобы функция f была ограничена на
[0, 2] и такова, что интеграл
1
^f(x + t)d<p(t)
о
существует для всех хg [0, 1]?
6.128.	Пусть функция ср имеет ограниченную ва*
риацию на отрезке [а, Ь]. Найти условия на функ-
цию <р, необходимые и достаточные для того, чтобы
для каждой непрерывной на [а, 6] функции f выпол-
нялось равенство
ь
f dtp = 0.
а
102
6.129.	Пусть функция ср имеет ограниченную вариа-
цию на отрезке [а, Ь]. Найти условия на функцию ср,
необходимые и достаточные для того, чтобы для каж-
дой непрерывной на [а, 6] функции f(x)^O выпол-
нялось неравенство
ь
^fdcp^O.
а
6.130.	Выяснить, при каких значениях а суще-
ствует интеграл	*
1
С „. . 1
\ хаа sin —.
о
6.131.	Выяснить, при каких значениях а существует
предел
1
lim \ xad sin —.
e->+oJ	х
е
6.132.	Пусть функции f(x) и ср(х) определены на
(—оо, оо). Если для произвольных чисел а и b суще-
ствует интеграл
ъ
J f dtp
а
и существует конечный предел
ъ
lim у f dtp,
а-> — сс J
Ь-> +оо а
когда а и b стремятся к своим пределам независимо,
то этот предел обозначают
со
j fd(p.
— оо
Доказать следующее утверждение, переносящее тео-
рему Хелли (задача 6.113) на функции, заданные на
(—оо,оо). Пусть функции срДх), <р2(х), ... сходятся
в каждой точке хе(-оо, оо) к функции <р(х) и имеют
103
ограниченную вариацию на каждом отрезке [a, ft],
причем
ь
sup V % < op.
a, b, k a
Если функция f непрерывна на (—оо, оо) и
Ь	ОО
lim	\ f dtpk = \ f dtpk
—	J	J
4~co a '	00
равномерно относительно 'k, то
co	co
lim \ f dtpk — \ f dtp.
J	J
— 00	“CO
6.133.	Пусть c(x)— канторова функция, построен-
ная в задаче 4.19. Вычислить интегралы
1	t	1
1)	^xrfc(x), 2) ^x2dc(x), 3)	с(1 — x)dc(x).
ООО
6.134.	Вычислить интеграл
п
sin х dtp (х),
о
где
х
<р (х) =	2
для х е [о, у),
л
ДЛЯ X — И X = я,
ДЛЯ XGR-, Л ) .
6.135.	Вычислить интегралы:
Л
1)	(х + 2) d (е* sign sin х),
— Л
л
2)	(х— l)d [(cos х) sign х].
oJ
ОТВЕТЫ
1.15. 1)х(Л,х)^б, 2) % (Л, х)<х (В, х), 3) (А, х) а % (В, х)
1.16.1) х (Л Л В, х) = % (Л, х)  х (В, x)=min (х(Л, х), х(В, х)},
2) X ( П Л“’ = *“f х (Л“’ х')’
3)	X (A U В, х) = % (А, х) + X (В, х) — х (Л, х) X (В, х) =
= max {% (Л, х), х (В, х)},
4)	х ( U Аа, = sup X (Ла, х),
5)	хИ\В. *) = Х(Л, х) (1 - X (В, х)>,
6)	X (Л Д В, х) = X (Л, х) + X (В, х) — 2х (Л, х) X (В, х).
1.18.	Множества в левых и правых частях соотношений 1),
2), 4), 5), 8) и 9) связаны знаком =>, соотношений 3) и 7) —
знаком с. В соотношениях 6) и 10) ни одно из этих множеств
в общем случае не содержит другое. Необходимое и достаточное
условие равенства в 1), 2), 6) и 10) —А = 0, в 3), 4), 7) и 8) —
А Л (В Д С) = 0, в 5) и 9) — Л \ (В Д С) = 0.
1.20.	Л (f) U A (g) соответствует функции max(/(x), g(x)),
Л(/) Л Л (g) — функции min(/(x), g(x)).
1.21.	1) Точка (1, 1); 2) множество точек (х, у), координа-
ты которых удовлетворяют одному из следующих условий:
0 < х < 1, у > х-1; х = 1, у — 1; 1 < х < оо, 0 < у sC х-1;
3) все точки графиков ГА и Г„, кроме точки (1, 1);
4) rA1UrA2Urv
1.22.	Эти множества можно записать следующим образом
(возможны и другие представления): 1) Л П В Л С, 2) (Л Л B)U
и (В л С) щеп А), 3) (Л ивиС)Х(ЛЛВДС), 4) Л U В U С,
5) (Л Д В Д С)\(Л л в Л С).
/П—1	X
1.26.	Вп — An\^U A^J,
1.29.	1) iimA„=BUC, НтЛ„ = ВПС;
___ « ~
2) lim Ап — множество всех рациональных чисел; Пт Ап —
п ~
множество всех целых чисел;
3) lim Ап — множество всех чисел х, удовлетворяющих усло-
п
вням — 1 < х < 2, Нт Ап — множество всех чисел х, удовлетво-
п
ряющнх условиям 0<х^1.
105
2.13. В Ег отрезок [а, Ь] замкнут, а интервал (а, Ь) и полу-
отрезок [а. Л) не являются ни замкнутыми, ни открытыми мно-
жествами.
3.4.	Множество А конечно.
3.5.	Множество А счетно.
3.13.	Единицами алгебр всех элементов из /?(Р4) н R(Qi),
принадлежащих [0, 1], являются соответственно [0, 1) и [0, 1].
Совокупность всех принадлежащих (0, 1) элементов из RIPi)
не является алгеброй, а из R(Qi) является алгеброй.
3.16.	Единицами алгебр всех элементов из R(Pn) и
принадлежащих кубу {0 Xk 1, k = 1, ..., п}, являются со-
ответственно кубы {0 =g: хк < 1, k = 1, ..., п} и {0 Xk 1,
k = 1	n}.
3.81.	Мера равна 0.
4.11.	Функция f неизмерима.
4.19.	Мера образа канторова множества равна 1.
5.72.	Если Ц./1 > 0, то необходима и достаточна положитель-
ность меры множества точек хе Д в которых
I f (*) I = vrai sup | f (x) |.
X E A
5.136.	1) a > 1, 2) a > 0, 3) a > 1.
5.137.	l a > —1, 2) a > 0, 3) a > —2, 4) a > —1.
5.149.	Из интегрируемости функций f и g вытекает интегри-
руемость функции h, если интеграл понимается как интеграл Ле-
бега или Римана в собственном смысле, и в общем случае не
вытекает для несобственного интеграла Римана.
6.2.
6	fe-1
vf = Z
a	i=0
6.8.	Вариация функции f ограничена при а> ₽ и при a =
= 0 С 0.
6.18.	Если хое (а,Ь), то вариацию функции f можно умень-
шить в том и только том случае, когда число f(x0) не заклю-
чено между f(x0— 0) и f(Xo-f-O). Если хо = а, то вариацию
можно уменьшить в том и только том случае,’ когда [(а) =£
=/=/(а + 0). Аналогично для х0 — Ь.
6.97.	Интеграл существует при а ф (5 и при a = 0 = а; он
равен 1 при к< р и равен 0 в остальных случаях.
ь
6.99.	Интеграл fd<p существует, если функции f и ф не
а
имеют общих точек разрыва. Пусть это условие выполнено и
Ci, ..., ск — все точки разрыва функции ф, принадлежащие ин- •
тервалу (а, Ь). Если ф непрерывна в концах отрезка [а, 6], то
интеграл равен сумме
k
£?(С/)[Ф(С/ + О)-Ф(ег-О)],
а если <р имеет разрыв в точке а, соответственно в точке Ь, то к
этой сумме нужно прибавить f (а) [ф (о + 0)— ф(а)], соответ-
ственно f(b) [ф(Ь)—ф(Ь — 0)].
106
6.105.	Если ci...... — все точки разрыва функции <р, при-
надлежащие интервалу (а, Ь), то
b
f ^<р = f (а) [<р (а + 0) — <р (а)] +
а
k
+ Xf(ci) [,P(cz + 0)-<P(cz-0)] + Hb)r<P(b)-<p(6-0)].
i«l
6.115.	При замене <р(а) на А и ср (6) на В к значению инте-
грала добавляется f (b) [В — ср (Ь) ] — f (а) [А — <р (а) ].
6.125.	Нельзя.
6.127.	Не останется.
6.128.	Можно так изменить значения функции ф в не более
чем счетном множестве точек из интервала (а, Ь), что она ста-
нет равной нулю на отрезке [а, Ь].
6.129.	Можно так изменить значения функции ф в не более
чем счетном множестве точек из интервала (а, Ь), что она ста-
нет неубывающей на отрезке [а, Ь].
6.130.	а > 0.
6.131.	а > 0.
14	1
6.133.	1)	2) 4; 3) -.
Z	О	Z
6.134.	2--^.
6.135.	1) 2 —еп — е~п: 2) 1 — л.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Александров П. С. Введение в общую теорию мно-
жеств и функций. — М. — Л.: Гостехиздат, 1948.
2.	Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение
в теорию функций действительного переменного. — М. — Л.: Гос-
техиздат, 1938.
3.	Б е р е з и н Ф. А., Гвишиани А. Д., Г о р н н Е. А.,
Кириллов А. А. Сборник задач по функциональному анали-
зу.— М.: Издательство МГУ, 1977.
4.	Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического
анализа, ч. 2. — М.: Наука, 1973.
5.	Камке Е. Интеграл Лебега — Стилтьеса. — М.: Физмат-
гиз, 1959.
6.	К о л м о г о р о в А. Н„ Фомин С. В. Элементы теории
функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1972.
7.	Натансон И. П. Теория функций вещественной пере-
менной.— М.: Гостехиздат, 1957.
8.	Н и к о л ь с к и й С. М. Курс математического анализа,
т. II. — М.: Наука, 1973.
9.	О ч а н Ю. С. Сборник задач и теорем по теории функ- .
ций действительного переменного. — М.: Просвещение, 1965.
10.	Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функ-
циональному анализу. — М., ИЛ, 1954.
11.	Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир,
1966.
12.	Ха л мош П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953.
13.	Хаусдорф Ф. Теория множеств.—М. — Л.: Гостех-
издат, 1937. •
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная непрерывность ин-
теграла Лебега 58
Абсолютно непрерывная функ-
ция 89
Аддитивная функция множеств
28
Алгебра множеств 28
Борелевское множество 31
Вариация функции 81
Верхний предел последователь-
ности множеств 9
Внешняя мера множества 35
Внутренняя мера множества 35
— точка множества 18
Возрастающая последователь-
ность множеств 9
Всюду плотное множество 19
Выпуклая оболочка множе-
ства 23
Дополнение множества 8
Единица алгебры множеств 28
Законы двойственности 12
Замкнутое множество 18
Замыкание множества 18
Измеримая функция 43
Измеримое множество 35, 38
Изолированная точка множе-
ства 18
Индикатриса Банаха функции
87
Интеграл Лебега 51, 59
— Римана — Стилтьеса 95
Интегрируемая по Лебегу функ-
ция 51, 58
Канторова функция 45
Канторово множество 25
Кольцо множеств 12
—'—, порожденное полуколь-
цом 30
Конечная мера 35
Лебегово продолжение меры
35, 38
Мера 35, 38
— Лебега 39
— на кольце множеств 29
Множества типа Fo, Fat,, Gj,
Gfia 19
—, имеющие одинаковую мощ-
ность 14
Множество мощности контину-
ума 14
Модуль непрерывности функ-
ции в Lp 68, 71
Монотонная последователь-
ность множеств 13
Неопределенный интеграл Ле-
бега 91
Неравенство Гельдера 69
— Коши—Буняковского 69
—	Минковского 69
—	треугольника 65, 69
—	Чебышева 57
Неубывающая перестановка
функции 45
Нигде не плотное множество
19
Нижний предел последователь-
ности множеств 9
Норма функции в Lp 64
109
Объединение множеств 7
Открытое множество 19
Пересечение множеств 8
Подмножество 7
Покрытие множеств 19
-----в смысле Витали 40
Полная вариация функции 81
Полнота пространства Lp 66,
70
Полный прообраз значений
функции 44
Полукольцо множеств 28
Почти всюду 43
Предел последовательности
множеств 9
Предельная точка множества
18
Производные числа функции
верхние, нижние, левые, Пра-
вые 50, 82
Простая функция 50
Пространство функций, интег-
рируемых в р-й степени 64
Прямое произведение мер 76
-----множеств 74
-----семейств множеств 74
Пустое множество 7
Равиоизмеримые функции 45
Равные множества 7
Разность множеств 8
Расстояние между множества-
ми 19
Сепарабельность пространства
Lp 67, 71
Симметрическая разность мно-
жеств 8
Сингулярная функция 82
Совершенное множество 18
Существенная верхняя грань
значений функции 50
Существенно ограниченная
функция 50
Сходимость функций в метри-
ке (по норме) Lp 64
----- по мере 43
Счетно аддитивная функция
множеств 29
Счетное множество 14
Теорема Больцано — Вейер-
штрасса 20
—	Гейне — Бореля 22
—	Егорова 48
— Лебега 48, 61, 80, 88
—	Б. Леви 61
—	Лузина 49
—	Рисса 49
—	Фату 62
—	Фубиии 77
—	Хелли 86, 100
Точка конденсации множества
18
—	Лебега функции 89
—	плотности множества 89
Убывающая последовательность
множеств 9
Условие Липшица порядка а
Фундаментальная относитель-
но сходимости по мере по-
следовательность функций 47
— в L последовательность
функций 66
Функция с ограниченной ва-
риацией 81
—	скачков 85
—	Стеклова 73
Характеристическая функция
множества 8
Эквивалентные множества 14
С-свойство Лузина 49
е-окрестность точки 18
ц-почти всюду 43
о-аддитивная функция мно-
жеств 29
а-алгебра множеств 28
с-кольцо множеств 28
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . ....................................... 3
Глава 1. Элементы теории множеств.................... 7
§ 1. Операции над множествами (7) § 2. Мощность
множеств (14)
Глава 2. Множества в евклидовых пространствах ...	18
Глава 3. Измеримые множества.........................28
§ 1. Мера на кольцах (28) § 2. Лебегово продолжение
меры (35) § 3. Мера Лебега (39)
Глава 4. Измеримые функции...........................43
Глава 5. Интеграл Лебега.............................50
§ 1. Определение интеграла Лебега (50) § 2. Основные
свойства интеграла Лебега (54) § 3. Пространства
интегрируемых функций (64) § 4. Произведения
мер. Теорема Фубини (74) § 5. Сравнение инте-
гралов Рнмана и Лебега (78)
Глава 6. Неопределенный интеграл Лебега. Теория диф-
ференцирования ........................................81
§ 1. Функции с ограниченной вариацией (81) §2. Абсо-
лютно непрерывные функции (89) § 3. Интеграл
Римана — Стилтьеса (95)
Ответы.............................................. 105
Литература...........................................108
Предметный указатель ................................109
Сергей Александрович Теляковский
Сборник; задач по теории функци й
действительного переменного
М., 1980 г., 112 стр.
Редакторы К. И. Осколков, М. М. Горячая
Технический редактор В. В. Морозова
Корректор Н. Д. Дорохова
ИБ № 11455
Сдано в набор 02.07.79. Подписано к печати 04.01.80.
Бумага 84X108’/3s, тип. № 3. Литературная гарни-
тура. Высокая печать. Условн. печ. л. 5,88.
Уч.-изд. л. 5,51. Тираж 26 000 экз. Заказ Ка 260.
Цена книги 20 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-матем этической литер атуры
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
ская типография К» 2 имени Евгении Соколовой
«Союзполиграфпрома» при Государственном коми-
тете СССР по . делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский прогпект, 29