В. М. АЛЕКСЕЕВ
Э. М. ГАЛЕЕВ
В.М. ТИХОМИРОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
ОПТИМИЗАЦИИ
ТЕОРИЯ • ПРИМЕРЫ • ЗАДАЧИ
Допущено Министерством
высшего и среднего образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов математических специальностей
высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕР \ТУРЫ
19 8 4
22.18
A 47
УДК 519.6
Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи.
Учебное пособие. Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихо-
миров В. М.— М.: Наука. Главная редакция физико-математи-
ческой литературы, 1984.— 288 с.
В книге собрано примерно 700 задач на отыскание экстрему-
мов для конечномерного случая, для задач классического вариа-
ционного исчисления, оптимального управления и выпуклого про-
граммирования. Содержатся элементы функционального анализа,
дифференциального исчисления и выпуклого анализа.
В книге приведены теория, необходимая для решения задач,
и примеры. Основу решения всех задач составляет единый прин-
цип, восходящий к Лагранжу. Часть задач приведена с решения-
ми. Имеется большое количество трудных задач, которые могут
быть использованы в качестве курсовых и дипломных работ.
Для студентов вузов по специальностям «Математика» и «При-
кладная математика», а также для аы/иран;гов и научных работ-
ников.
Владимир Михайлович Алексеев, Элъфат Михайлович Галеев,
Владимир Михайлович Тихомиров
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОПТИМИЗАЦИИ
Редактор Н. Л. Григоренко
Техн, редактор Л. В. Лихачева.	Корректор Г. В. Подволъская
ИБ К. 12229
Сдано в набор 14.06 83. Подписано к печати 3101.84. Формат 84х108’/з2.
Бумага тип. № 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ.
л. 15,12. Условн. кр.-отт. 15,12. Уч.-изд. л. 17,9. Тираж 18 000 экз. Заказ
№ 677. Цена 90 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25
.1702070000 - 042
053(02)-84
67-83
©Издательство «Наука»,
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1984
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...............................  .	6
Введение. Принцип Лагранжа в теории экстремальных
задач	9
0.1. Основные понятия, связанные с экстремальными за-
дачами (9). 0.2. Принцип Лагранжа исследования задач
с ограничениями (13). Упражнения (19).
Глава I. Предварительные сведения и задачи с ограниче-
ниями ................................. ....	21
§ 1.	Элементы функционального анализа и дифференциаль-
ного исчисления.............................  21
1.4.	Нормированные и банаховы пространства (21). Уп-
ражнения (23). 1.2. Некоторые теоремы из геометрии и
функционального анализа (24). Упражнения (26).
1.3. Леммы (27). 1.4. Определения производных (28).
Упражнения (30). 1.5. Основные теоремы дифференци-
ального исчисления в нормированных пространствах
(31).
Задачи ........	; ...... .	35
§ 2.	Гладкие задачи...........................38
2.1.	Элементарные задачи (38). 2.2. Гладкая конечно-
мерная задача с ограничениями типа равенств (40).
2.3.	Гладкая задача с равенствами и неравенствами (об-
щий случай) (43). 2.4 Примеры (45). 2.5. Необходимые
условия высших порядков. Достаточные условия (47).
2.6, Примеры (51), 2.7. О методе Ньютона (52).
Задачи ............................. ........	53
§ 3.	Элементы выпуклою анализа................58
3.1.	Основные понятия (58). 3.2. Основные теоремы и
формулы выпуклого анализа (60). Упражнения (65).
Задачи ............................. ........	66
§ 4.	Выпуклые задачи..........................68
4.	1. Принцип Лагранжа в выпуклом программировании
(68	). 4.2. Теория двойственности (70). 4.3. Линейное
3
программирование (73). 4.4. Выпуклый анализ и теория
экстремальных задач (74).
Задачи...................................................82
Глава II. Классическое	вариационное'исчисление .	.	84
§ 5.	Простейшие задачи классического вариационного ис-
числения .	.	.	. .............................84
5.1.	Задача Больца (84). 5.2. Простейшая задача клас-
сического вариационного исчисления (90). 5.3. Приме-
ры (93). 5.4 Задачи с подвижными концами (97).
5.5.	Необходимые условия высших порядков и достаточ-
ные условия. Теорема Боголюбова (102). 5.6. Теория по-
ля. Уравнение Гамильтона — Якоби (107). 5.7. Приме-
ры (111).
Задачи................................................  113
§ 6.	Изопериметрические задачи..........................123
6.1.	Принцип Лагранжа для изопериметрических задач
(123). 6.2. Необходимые условия высших порядков и
достаточные условия (129).
Задачи..................................................132
§ 7.	Задачи со старшими производными....................135
7.1.	Необходимое условие первого порядка (135). 7.2.
Необходимые условия высших порядков и достаточные
условия (139).
Задачи..................................................143
Глава III. Задача Лагранжа и оптимальное управление 147
§ 8.	Задача Лагранжа....................................147
8.1.	Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа (147).
Задачи..................................................155
§ 9.	Ляпуновские задачи.................................157
9.1.	Элементарная задача оптимального управления
(157). 9.2. Принцип Лагранжа для ляпуновских задач
(158).
Задачи..................................................161
§ 10.	Задачи оптимального управления .................. 162
10.1.	Принцип максимума Понтрягина (1G2). 10.2. Прин-
цип максимума и необходимые условия минимума в
классическом вариационном исчислении (180). 10.3. До-
статочные условия минимума в классическом вариа-
ционном исчислении (187),
Задачи..................................................200
4
Глава TV. Сводный отдел и приложения.................205
§ 11.	Сводный отдел..................................205
§ 12.	Разные задачи..................................218
12.1. Некоторые теоремы анализа и алгебры (218).
12.2. Некоторые неравенства (222). 12.3. Неравенства
для производных (226). 12.4. Геометрические неравен-
ства (229). 12.5. Полиномы наилучшего приближения
(231).
Ответы, указания и решения...........................  .	234
Литература...............................................285
Список обозначений.......................................286
Предметный указатель.....................................287
ПРЕДИСЛОВИЕ
Роль методов оптимизации в экономике, технике,
естествознании и самой математике огромна. Поэтому
в наше время математическое образование немыслимо без
элементов теории оптимизации.
Теория оптимизации переживает период бурного раз-
вития. Всего лишь четверть века тому назад в курсах
математики касались лишь двух ее разделов — экстрему-
мов функций многих переменных и вариационного ис-
числения. За эти годы сформировались новые дисципли-
ны — выпуклый анализ, линейное и Нелинейное програм-
мирование, оптимальное управление. Ныне они находят
свое место в курсах высшей математики втузов и универ-
ситетов. Создание этих дисциплин должно, без сомнения,
внести новое в преподавание как традиционных разделов
теории экстремальных задач, так и некоторых частей
классического и функционального анализа.
Цель этой книги — способствовать тому, чтобы мето-
ды теории экстремальных задач заняли достойное место
в современном математическом образовании.
Мы рассчитываем иа то, что задачник будет исполь-
зован и в обычных технических вузах, и в технических
вузах с углубленным курсом математики, и в универси-
тетах. Нам представляется, что при любом уровне пре-
подавания математики должно найтись место для элемен-
тов теории экстремальных задач. В нашем задачнике
представлены важные разделы этой теории: в § 2 — мате-
матическое программирование, в §§ 5—7 — классическое
вариационное исчисление, в § 10 — оптимальное управле-
ние. Эти параграфы являются основными в задачнике.
Пункты «Постановка задачи» и «Правило решения» на-
званных параграфов, а также примеры, разобранные в
них, не требуют для своего понимания никаких специаль-
ных знаний, кроме основ математического анализа. Вместе
с тем они дают возможность решать большую часть задач
этой книги. Таким образом, решать основную массу за-
дач можно, опираясь лишь па обычный втузовский курс
дифференциального и интегрального исчисления.
6
В вузах с углубленным изучением математики могут
быть использованы теоретические разделы перечислен-
ных параграфов, относящиеся к необходимым условиям
экстремума. Этот материал мы старались тщательно от-
работать методически. При доказательствах используют-
ся лишь основополагающие факты классического анали-
за, среди которых важнейшее место занимают теоремы
об обратной и неявной функции.
Все остальное в теоретической части книги рассчита-
но на преподавание в университетах. § 1 посвящен 'ба-
зовым понятиям и теоремам функционального анализа,
с помощью которых доказываются важнейшие теоремы
теории экстремальных задач. На них же основывается
выпуклый анализ. Основам выпуклого анализа посвящен
§ 3. Роль выпуклого анализа в общей теории экстремаль-
ных задач раскрывается в §§ 4, 9. Этот материал можно
использовать в специальных курсах. § 8 посвящен общей
задаче классического вариационного исчисления — задаче
Лагранжа.
Материал § 12 призван показать, как можно исполь-
зовать элементы теории экстремальных задач в курсах
алгебры, анализа, геометрии, а также в различных ис-
следованиях теоретического и прикладного характера.
Несколько слов об особенностях этой книги. Главная
ее особенность состоит в том, что она построена на еди-
ной методологии, основывающейся на общем принципе
• исследования экстремальных задач, восходящем к Лагран-
жу. Сам принцип излагается во введении. Освоив его,
можно приступать сразу к решению задач любого разде-
ла. Сводный отдел (§ 11) как раз и приспособлен для
такой методики решения экстремальных задач.
Вторая важная особенность состоит в том, что мы стре-
мились дать исчерпывающее исследование задач. Поэто-
му в задачнике большее, чем обычно, внимание уделено
достаточным условиям.
И наконец, мы всюду, где это возможно, старались
подчеркивать плодотворность новых методов теории — вы-
пуклого анализа, выпуклого программирования и опти-
мального управления.
В задачнике около 700 задач. Практически все они
снабжены ответами. Часть задач приведена с решениями.
При написании книги нашел отражение опыт препо-
давания курсов оптимизации па механико-математиче-
ском факультете МГУ. Задачник примыкает к учебному
пособию «Оптимальное управление», написанному
7
В. М. Алексеевым, В. М. Тихомировым и С. В. Фоминым
/Наука, 1979 г.). Но, в отличие от этого пособия, задач-
ник рассчитан на более широкую аудиторию. Поэтому
в важнейших частях изложение материала независимо
от упомянутого пособия.
Работа над задачником едва лишь началась, когда в
расцвете своих творческих сил скончался В. М. Алексе-
ев, очень много сил отдавший разработке и постановке
на механико-математическом факультете лекционных кур-
сов и семинарских занятий. Общий замысел этой книги
и ее план принадлежат В. М. Тихомирову, теоретические
разделы явились плодом нашего совместного труда, в со-
ставлении и подборе задач большая доля принадлежит
Э. М. Галееву.
При работе над разделом «Задачи >> мы использовали
материалы из архива В. М. Алексеева, «Сборник задач
по оптимальному управлению», написанный Э. М. Гале-
евым, А. Г. Кушниренко и В. М. Тихомировым (рота-
принтное издание МГУ, 1980 г.), сборник из 100 задач,
подготовленный В. М. Алексеевым и В. М. Тихомировым
для французского издания учебного пособия, материалы
некоторых учебников и задачников (из тех, что приведе-
ны в списке литературы в разделе «Учебники и учебные
пособия») и некоторые ротапринтные издания по оптими-
зации, любезно присланные нам их авторами, в частно-
сти, пособия Казахского, Киевского и Ярославского уни-
верситетов.
Мы рады выразить свою благодарность сотрудникам
кафедры общих проблем управления механико-матема-
тического факультета за большую и разностороннюю по-
мощь, особенно — М. И. Зеликину, С. В. Конягину и
А. В. Фурсикову. Мы благодарны также студентам и ас-
пирантам кафедры — настоящим и бывшим — способство-
вавшим улучшению книги. И в первую очередь —
Ю. А. Александрову, С. А. Аюнцу, А. П. Буслаеву, Динь
Зунгу, Б. Лудереру, Г. Г. Магарил-Ильяеву, Е. Б. Пекарю
и А. А. Петросяну.
Мы будем очень признательны за любые замечания
и предложения, относящиеся к замыслу, плану и содер-
жанию книги.
Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров
Введение
ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА
В ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
0.1. Основные понятия, связанные с экстремальными
задачами. С задачами на максимум и минимум мы стал-
киваемся еще в школе. Рассмотрим для примера две
планиметрические задачи.
Задача 1. Найти на данной прямой такую точку,
чтобы сумма расстояний от нее до двух заданных точек
была минимальна (рис. 1).
Задача 2. Вписать в круг прямоугольник наиболь-
шей площади (рис. 2).
Первая задача — это задача на минимум, вторая — на
максимум. Слово maximum по латыни означает «наиболь-
шее», слово minimum — «наименьшее». Оба эти поня-
тия — максимум и минимум, наибольшее и наименьшее —
объединяются единым термином экстремум (от латинско-
го extremum, означающего «крайнее»). Иногда употреб-
ляют слово оптимальный, от латинского optimus, что оз-
начает наилучший, совершенный. Таким образом, задачи
1 и 2 — это экстремальные задачи, или задачи оптимиза-
ции. Теорию задач на отыскание наибольших и наимень-
ших величин называют или теорией экстремальных задач,
или теорией оптимизации, или иногда теорией оптималь-
ного управления. При употреблении последнего термина
9
обычно предполагается связь задач с практическими при-
ложениями.
Задачи 1 и 2 сформулированы словесно, без формул.
Экстремальные задачи, возникающие в естественных нау-
ках или на практике, обычно ставятся именно так — сло-
весно, в содержательных терминах той области, где дан-
ная задача возникла. Чтобы можно было воспользоваться
теорией, необходим перевод задач на математический
язык. Этот перевод называется формализацией. Одна и
та же задача может быть формализована разными спо-
собами, и простота решения зачастую сильно зависит от
того, насколько удачно она формализована.
Осуществим формализации задач 1 и 2. Начнем с за-
дачи 1. Направим ось Ох по заданной прямой, а ось Оу
проведем через точку А (см. рис. 1). Пусть координаты
точек А и В таковы: А *= (0, а) и В = (d, &); координата
точки С = (х, 0). Тогда мы приходим к следующей зада-
че: найти минимум функции
fix) = Уа2 4- х2 4- УЪ2 -Г (d — хУ
по всем х <= R.
Формализуем задачу 2. Пусть окружность описывает-
ся уравнением я2 + у2 =» г2. Направим оси Ох и Оу парал-
лельно сторонам прямоугольника и обозначим через
(х, у) координаты вершины прямоугольника, лежащей
в первом квадранте (см. рис. 2). Тогда площадь прямо-
угольника равна 4ху. Получаем такую задачу: найти мак-
симум функции f0(x, у) == 4ху при условиях
у) = х2 У у2 — г2 ~ 0, f2(x,y)=x>Q,
fs(x, у) = у > 0.
Нетрудно убедиться, что условия х 0, у > 0 излиш-
ни, и задача найти максимум кху при условии х2 4- у2 —
— г2 эквивалентна задаче с неравенствами.
Любая формализованная задача устроена аналогично.
Она включает в себя следующие элементы: функционал
j: X-+R (X — область определения функционала f) и
ограничение, т. е. подмножество С <= X.
Поясним некоторые встретившиеся здесь обозначения
и термины: R — это расширенная действительная (веще-
ственная) прямая, т. е. совокупность всех действитель-
ных чисел, дополненная значениями 4-°° и запись
F-. X -*• Y означает, что отображение F имеет область
определения X, a F(x) для каждого элемента х из X ле-
10
жит в множестве У; слово «функционал» мы употреб-
ляем для отображений в расширенную прямуй R. Таким
образом, формализовать экстремальную задачу — это зна-
чит точно описать ее элементы /, X и С.
Для формализованной задачи употребляется запись
fix) -* inf (sup), х^С.	(з)
Точки х е С называются допустимыми. Если С = X, то
задача называется задачей без ограничений.
Задачу на максимум всегда можно свести к задаче на
минимум, заменив задачу fix) -> sup, х s С, задачей
fix) -*• inf, х&С, где fix) = —fix). И, наоборот, задачу
на минимум можно аналогичным образом свести к зада-
че на максимум. Для определенности в тех случаях, когда
формулировки необходимых условий экстремума в зада-
чах на минимум и максимум разные, будем выписывать
их только для задачи на минимум. Если необходимо ис-
следовать обе задачи, то будем писать fix) -* extr, х <= С.
Приведем формализованные записи задач 1 и 2. Зада-
ча 1 (x = £ = R);
fix) — У а2 4- х2 + УЬ2 4- id — х)2	inf. (зЭ
Задача 2 iX — здесь двумерная плоскость, обознача-
емая R2):
4ху -> sup; х2-Уу2 = г2, я >0, у >0.	(з2)
Для задачи 2 имеется, как было сказано выше, другая
формализация:
4ху -*• sup; х2 4- у2 — г2.	(за)
Задача (31) — задача без ограничений, задача (з2) —
с ограничением С = {(д?, у) <= RM#2 4- у2 = г2, х 0, у > 0),
задаваемым в виде равенств и неравенств, задача (з2) —
с ограничением типа равенства.
Допустимая точка х называется абсолютным (или еще
говорят глобальным) минимумом iMaKCUMyMOM) в задаче
(з), если fix) > fix) для любого х&С (соответственно
fixXfix) для любого х&С). При этом мы пишем х<=
^absmins (absmaxs). Абсолютный минимум (максимум)
задачи будем называть решением задачи. Величина fix),
где х — решение задачи, называется численным значе-
нием задачи (иногда для сокращения говорим просто
значение задачи). Эту величину будем обозначать S3 или
i^min^max)’
И
В задаче 1 абсолютный минимум х, определяющий
искомую точку С — (х, 0), характеризуется, как извест-
но из геометрии, тем, что острые углы, образованные
отрезками [АС] и [СТ?] с осью Ох, равны («угол па-
дения равен углу отражения»); значение задачи <$31=
= V{а 4- б)2 + d2.
В задаче 2 искомым прямоугольником является квад-
рат (попробуйте доказать это геометрически); это соот-
ветствует решению х — г/112, у~г/У2, 532— 2 А
Кроме глобальных экстремумов будем также рассмат-
ривать локальные экстремумы. Дадим их строгое опреде-
ление. Пусть в задаче (з) X — нормированное простран-
ство. Говорят, что точка х доставляет в (з) локальный
минимум (максимум), и пишут яе!ост!пз (1остахз),
если х е С и Существует б > 0 такое, что для любой до-
пустимой точки х, для которой Ня — я11 < б, выполняется
неравенство /(я)>/(я) (/(я)^/(я)). Иными словами, ес-
ли яе1осгшпз Носшахз), то существует окрестность °U
точки х такая, что' я^аЬзттз' (absmax^') в задаче
/(я)-> inf (sup), яеб’П^.	(з')
Теория экстремальных задач дает правила нахожде-
ния решений экстремальных задач. В большинстве своем
эти правила выделяют некоторое подмножество точек,
среди которых должно содержаться решение задачи. Это
множество Точек, которое мы называем критическим,
возможно, несколько шире, чем множество абсолютных
и даже локальных экстремумов. После нахождения всех
критических точек надо выделить из них решения.
Найдем критические точки, локальные и абсолютные
экстремумы в следующей задаче.
3 а д а ч а 3.
/(я) = я3(я2 — 1)extr, — 1 С я < 2	(з3)
(рис. 3).
Абсолютный экстремум в задаче может достигаться
па концах отрезка или во внутренней точке. Если экстре-
мум достигается во внутренней точке, то в этой точке
производная должна равняться нулю, т. е.
f'(x) = 0	5я4 - Зя2 = 0 я е {—V375, 0, V3/5).
Таким образом, имеем 5 критических точек: Я! = —1,
я2 = —УЗ/5, я3 = 0, я4 = УЗ/5, я5 — 2, из которых точки
12
x2, x3t xi являются стационарными. Из графика функ-
ции / (см. рис. 3) видно, что Xi, £4 *= loc min Зз; х2,
<= Joe max з3; лг4 е abs min з3; х3 е abs max з3.
0.2. Принцип Лагранжа исследования задач с ограни-
чениями. Сущность принципа Лагранжа состоит в редук-
ции задач с ограничениями к ряду задач более простой
структуры (в большинстве случаев — к задачам без огра-
ничений).
Прежде чем переходить к описанию этого принципа,
покажем на примере задачи 1 (п. 0.1), как следует по-
ступать с задачами без ограничений. Функция f в фор-
мализации <3i) из п. 0.1 задачи 1 дифференцируема. Из
курса дифференциального исчисления известна теорема
Ферма, согласно которой, если точка х доставляет локаль-
ный экстремум дифференцируемой функции /, то выпол-
нено соотношение /'(;т) = 0. Имеем
1 \Х) = -7-==-------у -	 =-т=-,
Уаг + х2 yb2 + (d-xf
Уравнение / (аг) = 0 имеет единственное решение х, при
котором как раз и выполнено соотношение «угол падения
равен углу отражения» (см. рис. 1):
cos Ф1 = cosФ2 Ф1 = ф2-
Из сказанного вытекает, что если абсолютный мини-
мум существует, то им может быть лишь точка х’, другие
13
точки ле могут быть даже локальными минимумами.
Можно доказать, что в задаче (3J минимум действитель-
но существует. (Доказательство «теоремы существова-
ния» решения в (3J осуществляется, как и в большинстве
подобных случаев, с помощью теоремы Вейерштрасса —
см. далее п. 1.2.1.) Таким образом, задача (з^ решена
п х есть ее решение.
Все вышесказанное дает повод наметить план дей-
ствий для решения задач без ограничений и при наличии
некоторых простейших ограничений (такого рода задачи
мы далее называем элементарными).
1.	Формализовать задачу.
2.	Выписать необходимые условия экстремума.
3.	Найти все критические точки.
4.	Отыскать решения среди критических точек (на-
пример, доказав, что решение существует, и перебрав
’ значения функционала в критических точках) или пока-
зать, что решения нет.
Принцип Лагранжа — это правило исследования задач
с ограничениями путем сведения первоначальной задачи
к отысканию и исследованию критических точек неко-
торой элементарной задачи. Покажем, в чем состоит
принцип Лагранжа, на примере конечномерных задач с
ограничениями типа равенств.
Рассмотрим задачу (X = Rn)
f0(x) -> extr; fi(x)=Q, ..., fm(x)=O, (3)
где x=*(xt, ..., xj. Здесь ограничение задается системой
равенств С — {х Rnlf,(x) = 0, г = 1, ..., тп}. Функционал
/о и функции fi, задающие уравнения связи /,(ж) = 0, бу-
дем предполагать непрерывно дифференцируемыми (ина-
че говоря, такими, что все их частные производные пер-
вого порядка непрерывны).
Посмотрим, как предлагал решать эту задачу сам Ла-
гранж. Он пишет: «Можно высказать следующий общий
принцип. Если ищется максимум или минимум некоторой
функции многих переменных при условии, что между
этими переменными имеется связь, задаваемая одной или
несколькими функциями, то нужно прибавить к функции,
экстремум которой ищется, функции, задающие уравне-
ния связи, умноженные на неопределенные множители,
и искать затем максимум или минимум построенной сум-
мы, как если бы переменные были независимы. Полу-
ченные уравнения, присоединенные к уравнениям связи,
послужат для определения всех неизвестных».
14
Воспользуемся правилом Лагранжа (несколько уточ-
нив его). Первое, что нужно сделать согласно Лагранжу,
это «прибавить к функции, экстремум которой ищется,
функции, задающие уравнения связи, умноженные на
неопределенные множцтели». Составим функцию
тп
=	X = (Хо, ... Хт),
г=0
которую будем называть функцией Лагранжа. Числа Хг
называются множителями Лагранжа. Первое уточнение
состоит в том, что и функция, экстремум которой ищет-
ся, домножена на неопределенный множитель. Если не
сделать этого уточнения, то рецепт Лагранжа может
оказаться неверным (см. далее пример 1). При этом в
задаче на минимум следует брать Хо 0, в задаче на мак-
симум брать Хо < 0.
Второе, что необходимо сделать согласно Лагранжу,
это «искать максимум или минимум построенной суммы,
как если бы переменные были независимы». По замыслу
Лагранжа, следовательно, надо рассмотреть задачу
X)-> extr (по х}	(зэ)
(мысленно зафиксировав X).
Задача (зэ) проще, чем исходная, так как здесь огра-
ничений нет. Она относится к классу элементарных. Не
будем искать ее максимумы и минимумы (ибо может ока-
заться, что ее максимумы и минимумы не имеют отно-
шения к максимуму и минимуму исходной задачи — см.
далее пример 2). Поступим несколько иначе, будем искать
стационарные точки в задаче (зэ), т. е. напишем для эле-
ментарной задачи (з8) необходимое условие минимума
или максимума, выражающееся все в той же самой тео-
реме Ферма. Согласно этой теореме должны удовлетво-
ряться уравнения
S X (%, X) == 0 Ч=> Xj (^1, • • • , Xq, . . • , Xm) = 0,
i= 1, ...,n
(в которых не все множители Лагранжа равны нулю).
Полученные п уравнений, дополненные тп уравнениями
связи, и «послужат для определения всех неизвестных».
В самом деле, хотя неизвестных (х, X) на одно больше,
чем количество уравнений, но надо учесть то обстоятель-
ство, что множители Лагранжа можно умножать на лю-
бое число, отличное от нуля. И именно в силу этого чис-
15
ло уравнений равно числу неизвестных. В подобных
случаях мы будем говорить о полноте набора условий
для определения стационарных точек. Надо иметь в виду,
что наибольший интерес имеют те случаи, когда Хо О,
ибо при Хо = 0. соотношения принципа Лагранжа указы-
вают лишь на некоторую вырожденность ограничений (от
которой зачастую легко избавиться) и оказываются не
связанными с функционалом. Решения полученных урав-
нений (^хг = 0, г = 1, ...,n,	= 0, / = 1, ... ,ш)
и образуют совокупность стационарных точек.
Таким образом, для решения задачи (з) следует:
1.	Составить функцию Лагранжа:
m
& (*, X) = 2	(Я).
г=0
2.	Выписать необходимые условия экстремума:
VI	(ж)
1=0	3
3.	Найти стационарные точки, т. е. допустимые точки,
являющиеся решениями уравнений п. 2, в которых не все
%t, i = 0, 1, ..., тп, равны нулю. При этом бывает полезно
рассмотреть отдельно случаи Хо = 0 и Хо =/= 0. Во втором
случае можно в задаче на минимум положить Хо равным
единице или любой другой положительной константе,
в задаче на максимум — равным минус единице или лю-
бой другой отрицательной константе. *
4.	Отыскать решения среди всех стационарных точек
или доказать, что решений нет.
Описанная процедура и называется принципом Ла-
гранжа. Этот принцип применим не только к задаче (з),
но и к очень широкому кругу экстремальных задач. Боль-
шинство задач из этого задачника можно решить с по-
мощью этого принципа. Но при этом важно иметь в виду
следующее:
а)	Принцип Лагранжа применим, вообще говоря, не
всегда. В примере 3, приведенном ниже, решение задачи
существует, но принцип Лагранжа к нему не приводит.
б)	Сфера применимости принципа Лагранжа доста-
точно широка. Иногда к задаче нельзя применить имею-
щуюся теорему, однако принцип Лагранжа (примененный
без обоснования) тем не менее приводит к некоторым
точкам, подозрительным на экстремум, из которых мож-
но выделить решение.
16
Решим теперь с помощью принципа Лагранжа зада-
чу 2 п. 0.1.
1.	Рассмотрим более простую формализацию (з2) (где
множитель 4 при функционале отброшен):
ху -* sup; х2 + у2 — г2 — 0.
Составим функцию Лагранжа:
S — коху 4- К^х2 + у2 — г2).
2.	Выпишем необходимые условия:
Sx — 0, Sy — 0 Хоу + 2Х^ = 0, Кйх + 2Х1У = 0.
3.	Найдем стационарные точки. Если Хо = 0, то М =/= 0
(ибо не все множители Лагранжа равны пулю) и, значит,
х = у = 0. Но тогда условие х2 + у2 = г2 не удовлетворя-
ется. Следовательно, в случае Хо = 0 стационарных точек
нет. Положим Хо = —1. Необходимые условия переписы-
ваются в виде
у ~ 2Ktx, x = 2Kiy.
Из этих уравнений определяются 4 стационарные точки:
ir/f2, r/f2), (r/12, -г/Г2), i-r/f2, r/n\ (-r/П, -г/У2).
4.	Максимальное значение доставляют точки (г/У2,
г/У2) и (—г/У2, —г/Т2). Соответствующие прямоугольни-
ки являются квадратами. Обе точки действительно явля-
ются решениями, но это необходимо еще обосновать. Для
обоснования можно сослаться на теорему Вейерштрасса
о существовании решения в задаче. Можно поступить и
по-другому. Пусть я = (г/У2 + а), 1/ = (т7У2 4-£) и х2 +
+ у2 = г2. Тогда а2 + £2 = —2(а 4- £)г/У2 и, следовательно,
ху = (г/У2 + а)(г/У2 4- £) = т2/2 + а? - «72 - £72 г2/2,
т. е. U, у) = (г/У2, г/У2) есть решение задачи. Аналогич-
ные рассуждения можно провести и для второй точки.
Ответ. Решением задачи является квадрат.
В общем случае принцип Лагранжа применяется так:
1.	Формализовать задачу к виду
fix, и) -> inf; Fix, u) = 0, u^°U,
f: ХХ7-ЛУ F: XXQI-+Y, где X и Y — нормирован-
ные пространства. Это — задача с ограничениями типа
равенств, параметризованных некоторым множеством <2/.
Еще можно сказать,-что это задача с ограничениями типа
равенств и включений.
2 в. М. Алексеев и др.
17
Составить функцию Лагранжа:
2 — 2(х, и, у*, Хо) = Х0/(л’, и) + <?/*, Fix, п)>,
где у* — элемент сопряженного .пространства У*.
В функцию Лагранжа ограничения типа включений
и е °U не входят.
2.	Для задач
2(х, и, у*, Хо) -* inf (по х),
2(х, и, у*, Хо) -* inf, и^°и,
выписать необходимые условия.
3.	Найти критические точки, т. е. допустимые точки,
являющиеся решениями уравнений п. 2, в которых г/* и
Хо одновременно не равны нулю. При этом удобно бывает
рассмотреть отдельно случаи Хо = 0 и Хо ¥= 0. Во втором
случае можно положить Хо равным единице или любой
другой* положительной константе.
4,	Отыскать решения среди всех критических точек
или доказать, что решения нет.
В заключение приведем те три примера, о которых
говорилось выше.
Пример 1 (показывает, что в правиле множителей
Лагранжа йе всегда можно полагать Хо — 1).
= *i->inf; А (#1, z2) = *i ~ 4 - ° (X —R2).
Функции /о и Л непрерывно дифференцируемы. Легко
понять, что решение задачи х=(0, 0). Если прямо сле-
довать Лагранжу, то надо составить сумму 2 = хх +
+ &(#! — х%) и далее решать уравнения
•2’х11=3 0) 2 ха в 0 ч=> 1 -|- 3X^1 = 0, — 2X^2 = 0.
Но эти уравнения несовместны с уравнением связи х3 —
— л?2 — 0.
Пример 2 (показывает, что экстремум функции Ла-
гранжа как задачи без ограничений может не совпадать
с экстремумом исходной задачи с ограничениями).
/о (*i,*2) = xl — inf;
/i (^i»	= xi + xi ~ 0 (X — R ).
Ясно, что решение задачи х=* (0, 0). Функция Лагран-
жа: 2 = Х0(^2 — #i) + X(^i + х3). Необходимое условие
18
экстремума:
— 0, 2?х2 — О <=> — Хо + Х(1 + 3#i) — О, 2к0х2 = О.
Если Хо — О, то X т4 О и, следовательно, 1 +	= О —
противоречие. Значит, Хо =/= 0. Полагаем Хо = 1. Тогда
функция Лагранжа примет вид
= х2 — х± 4* X (^i +
Однако ни при каких X эта функция в точке х = (0, 0)
не имеет даже локального минимума.
Пример 3 (показывает, что принцип Лагранжа при
несоблюдении определенных условий может приводить к
невернЫхМ результатам).
Пусть
X — Y =	/ (®) = + жг/2 + ... + хп/п
(%) ~=- (®ь *^з/2) • • •, Xnln^ • • •)
(х = (®1, . . ., Хщ •••))•
Рассмотрим задачу
/(х) -> inf; F (х) = 0.
Здесь х — 0 есть единственный допустимый элемент, следователь-
но, он и является решением задачи. Если предположить, что су-
ществуют множители Лагранжа Хобйи у* е Z*, не равные
одновременно нулю и такие, что для элементарной задачи 3? —
Хо/(М + (у*, F(x)>->inf выполнено необходимое условие ми-
нимума 3?(х, Хо, у*) (теорема Ферма), то
2?х (®, Хо, J/*) == 0 Хо =я Jfl, • • •, Xq == У п.1 • • •,
1де у* = (г/1, ..., уп,	поскольку I* изоморфно 12 (КФ,
с. 177). Но эти условия противоречивы: либо Хо =/= 0, тогда у* ==
= (Хо, ..., Хо, ...)§£ либо Хо = 0, тогда у* — 0, т. е. оба мно-
жителя Лагранжа равны нулю. Здесь 12 — пространство всех по-
следовательностей х — (®i, ..., хп, ...), Дли которых || М —
(оо	\ 1/2
У, | хп |2 I <оо, I* —пространство, сопряженное к 12 (КФ,
п=1	/
с. 177).
Упражнения. В упр. 1—8 привести примеры задач
без ограничений об экстремуме бесконечно дифференци-
руемых функций одной или двух переменных, в которых
выполняются указанные ниже требования.
1.	Абсолютные максимум и минимум достигаются в
бесконечном числе точек.
2.	Функционал ограничен, абсолютный максимум до-
стигается, минимум — нет.
19
3.	Функционал ограничен, но абсолютные минимум и
и максимум не достигаются.
4.	Функционал ограничен, имеет критические точки,
но абсолютные минимум и максимум не достигаются.
5.	Функционал ограничен, имеет локальные максиму-
мы и минимумы, но глобальные максимум и минимум не
достигаются.
6.	Имеется единственный локальный экстремум, не
являющийся глобальным.
7.	Имеется бесконечное число локальных максимумов,
но нет ни одного локального минимума.
8.	Ограничение функции, заданной на плоскости, па
любую прямую, проходящую через начало координат,
имеет в нуле локальный минимум, но вместе с тем нача-
ло координат не является точкой локального минимума.
9.	Можно ли утверждать, что если функция одной
переменной имеет в какой-либо точке локальный мини-
мум, то в некоторой достаточно малой окрестности этой
точки слева от точки функция убывает, а справа возра-
стает? х
10.	Пусть функция / определена и дифференцируема
на Rn, удовлетворяет условию lim f(x) = +<» и f(x)
|х|->0О
имеет единственный нуль х. Доказать, что х является
точкой абсолютного минимума функции f.
11.	Пусть каждый функционал на некотором множе-
стве X достигает рвоего абсолютного минимума. Доказать,
что X — конечное множество.
Формализовать упр. 12—17.
12.	Найти кратчайшее расстояние от заданной точки
(1, 2) на плоскости до прямой 2#i + Зхг = 1.
13.	Найти кратчайшее расстояние от заданной точки
в трехмерном пространстве до заданной плоскости.
14.	Вписать в круг треугольник с наименьшей сум-
мой квадратов сторон.
15.	Найти на плоскости точку, сумма расстояний от
которой до трех заданных точек минимальна.
16.	Разделить заданное положительное число на две
части так, чтобы произведение произведения этих частей
на их разность было максимальным.
17.	Среди полиномов степени п со старшим коэффи-
циентом, равным единице, найти полином, имеющий наи-
меньшую норму в £г([—1, U).
Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
И ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Многие факты, отмеченные в этом параграфе, содер-
жатся в книге АТФ. Поэтому мы будем иногда ограничи-
ваться лишь формулировками теорем.
1.1. Нормированные и банаховы пространства.
1.1.1. Основные определения. Линейное пространство
X называется нормированным, если на X определен функ-
ционал Il-Il: X -* R, называемый нормой и удовлетворя-
ющий условиям:
a)	Цх||>о	и 1И1 = ° х = °;
б)	||ах|| = | а11]х|| Vae R, У,ке I;
в)	|| хх + хг ||< II хг II + II хг II Vxlt Хг е= X.
Иногда, чтобы подчеркнуть, что норма задана именно
на X, мы пишем II-Нх. Две нормы в X II 1^ и II-Н2 называ-
ются эквивалентными, если существуют такие положи-
тельные константы Ci и С2, что
С1||я||1<||.г||2<С2||.г||1 Чх^Х.
Всякое нормированное пространство становится мет-
рическим, если в нем ввести расстояние р(х1? х^} =
= На?! — х2П. Полное относительно введенного расстояния
пространство называется банаховым пространством.
1.1.2.	Примеры банаховых пространств.
Пример 1. Конечномерное пространство Rn, состо-
ящее из векторов х = (хь ..., хп), с нормой |х| =
/ П \ 1/2
=- (2 4) »
\ г=1	/
Пример 2. Пространство С(А, Rn) непрерывных
вектор-функций х(-): К -* Rn, заданных на компакте К,
с нормой Нх(-)Н0 = max |x(i)l.
’ tex
21
Пример 3. Пространство Cr(.lt0, Rn) г раз непре-
рывно дифференцируемых вектор-фупкцпй #(•): Uo, ij -*•
-*• R”, заданных на конечном отрезке [£0, с: R, с нормой
Ы-Я = шах{1Ы-Ж,
Пример 4. Пространство Z2, состоящее из последо-
00
вательностей х = (я1}..., хп,...), для которых 2
г=1
(00	\ 1/2
S Xi I •
i=l /
1.1.3.	Произведение пространств. Пусть X и Y — нор-
мированные пространства. Декартово произведение XX У
можно превратить в нормированное пространство, введя
норму
(1(^, у)Нлху — max {IIjjIIx, Hz/llу)
(легко проверить, что все аксиомы нормы выполняются).
Возможны и другие эквивалентные нормировки (см. далее
упр. 8).
Отметим очевидное утверждение: декартово произве-
дение банаховых пространств банахово.
1.1.4.	Сопряженное пространство и сопряженный опе-
ратор. Совокупность X * всех линейных непрерывных
функционалов на X образует сопряженное к X простран-
ство. Оно является банаховым пространством относитель-
но нормы = sup О*, #>,где <#*,#> означает деи-
Mz<i
ствие на х функционала х* (КФ, с. 171). Пространство,
сопряженное к конечномерному пространству Rn, изоморф-
но Rn. Скалярное произведение двух векторов у =
=» (yi, ..Уп) ^Rn и х — (xt, ..., xj <=Rn представляется
п	п
в виде суммы (у, х) =	Та же сумма 2-Уг#гбудет
'	г=1	1=1
обозначаться нами просто как ух, если у е Rn*, х е R”;
при этом следует х считать столбцом, у — строкой (и тог-
да ух есть не что иное, как произведение матриц).
Пусть X и Y —- нормированные пространства и А <=
е^(Х, Y) — линейный непрерывный оператор из X в У.
Тогда можно определить сопряженный onepafop A*: Y* ->•
-> X* такой, что <//*, Ат) --<А*у*, т> УгеХ (КФ,
с. 217).
Для линейного непрерывного функционала на произве-
дении пространств имеет место следующая очевидная
22
Лемма. Всякий функционал A<= (XX У)* однознач-
но представим в виде
<Л, {х, у)У <#*, хУ + < г/*, уУ, где е X* zz г/* е У*.
Упражнения.
1.	Какие из перечисленных ниже функций двух пере-
менных и при каких значениях параметров задают нор-
му в R2:
a)	N(x) = (|a;ilp + к21₽)1/р, р>0;
б)	N(x) = \ atiXi + а12х21 + IzWi + а22х2\;
в)	X(z) = max {la^i + <212^21, IzWi + a22xj};
г)	N (x) =	+ 2a12x1x2 + zz2^)1/2?
2.	Доказать, что нормы | х | = (х[ + ^2)1/2 и IbIL =
= max(lzj, |я2|) эквивалентны.
3.	Доказать, что если II-II — норма в Rn, то единичный
шар в этой норме В — {х^ Rn I Пд?11	1} является замкну-
тым выпуклым ограниченным центрально-симметричным
множеством, для которого центр — начало координат —
является внутренней точкой.
4.	Доказать, что если множество В является замкну-
тым выпуклым ограниченным центрально-симметричным
множеством в Rn, для которого центр — начало коорди-
нат — является внутренней точкой, то существует такая
норма, при которой В будет единичным шаром.
5.	Доказать, что все нормы в R2 эквивалентны.
6.	Доказать, что все конечномерные нормированные
пространства банаховы.
7.	Построить пример нормированного, но не банахова
пространства.
8.	Доказать, что если (X, ll-llj) и (У, II ПУ) — норми-
рованные пространства, то ЦИх + || у\\у и (||я|1х +
+ ||У||у)1/2 “ эквивалентные нормы в XX У.
9.	Пусть нормированное пространство X состоит из
непрерывных на отрезке [0, 1] функций с нормой Ня(.)Н =
1
= J 1 х (£) | dt. Принадлежит ли линейный функционал
о
(х*, Н-)> = НО) пространству X*?
10.	Чему равна норма IWI, х <= R2, если единичный
шар задается неравенствами:
a) B = {(,Xt, х2) —Qi^Xi^a^ —а2^х2^а2}\
В — (#1, £2)
?3
11.	Привести пример двумерного подпространства
С([0, 1]), единичным шаром которого является единич-
ный круг (или иначе: рассечь единичный шар простран-
ства С([0, И) плоскостью так, чтобы в сечении был круг).
12.	Пусть X = R2. Найти норму пространства, сопря-
женного к (X, 11-11), если норма в X задается соотноше-
ниями:
а)	Wk)MkJ2+ kj2)1/2;
б)	N(x) = max (kJ, kJ);
в)	N(x) ~ (kjp + k2lp)1/p, P>1‘,
r) N k) = (®n^i +	~b ^22-^2) / »
«11 > 0,	#11^22	a12 > 0-
1.2.	Некоторые теоремы из геометрии и функциональ-
ного анализа.
1.2.1.	Теоремы Вейерштрасса о достижении максиму-
ма и минимума. Чаще всего будет использована следую-
щая основная
Теорема Вейерштрасса. Непрерывная функ-
ция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве
конечномерного пространства достигает своих абсолют-
ных максимума и минимума (Н, т. 1, с. 235).
Выделим простое следствие из этой теоремы, которое
часто будем использовать.
Следствие. Если функция / непрерывна на'^ и
lim /(х) -= + оо Г lim /к) — — оо\, то f достигает
|х|-»оо	\|х|—»00	)
своего абсолютного минимума (максимума) на любом
замкнутом подмножестве R”.
Напомним, что множество А в метрическом простран-
стве называется компактом, если из всякой последова-
тельности элементов из А можно выбрать сходящуюся к
элементу из А подпоследовательность или (равносильное
определение) если из всякого покрытия А открытыми
множествами можно выбрать конечное подпокрытие.
Ограниченное и замкнутое подмножество конечномерно-
го пространства является компактом.
Функция /: X -* R, заданная на метрическом про-
странстве X, называется полунепрерывной снизу (сверху),
если для любого С множество {х е X\f(x) С} ({х<=
X\f(x) > О) замкнуто.
Следующая обобщенная теорема Вейерштрасса приме-
нима ко многим задачам вариационного исчисления и оп-
тимального управления.
24
Теорема Вейерштрасса (обобщенная). Полу-
непрерывная снизу (сверху) функция f, заданная в мет-
рическом пространстве X, достигает минимума (максиму-
ма) на всяком компакте, содержащемся в X. В частно-
сти, / достигает своего минимума (максимума) на всем X,
если для некоторого С множество {лН/Ся) < С} ({x\f(x) >
> О) непусто и компактно (АТФ, с. 251).
Теорема Вейерштрасса и следствие из нее сразу вы-
текают из этой обобщенной теоремы.
1.2.2.	Теоремы ртделимости. Введем понятия отдели-
мости и строгой отделимости двух множеств. Пусть А и
В — некоторые подмножества нормированного простран-
ства X, X* — сопряженное к X пространство (простран-
ство линейных непрерывных на X функционалов). Гово-
рят, что функционал х* е X* разделяет множества А и
В, если
(х*, хУ <1 (х*, уу Ух е А и У у <= В.
Функционал х* <= X* строго разделяет множества А и В,
если существует е > О такое, что
<#*, хУ <1 <#*, уУ — 8 Ух е А и У у <= В.
В первом случае множества А и В называются отдели-
мыми, во втором случае — строго отделимыми.
В конечномерном случае функционал х* можно отож-
дествить с вектором из Rn. Равенство (х*, х) — [J, где
х* =/= 0, р е В, определяет в Rn гиперплоскость, т. е. ли-
нейное многообразие размерности п — 1. Поэтому отдели-
мость множеств А и В означает существование гиперпло-
скости, делящей Rn на две части (полупространства),
в одной из которых находится множество А, а множество
В расположено в другой. Сформулируем теоремы отдели-
мости для конечномерного случая.
Теорема 1 (первая теорема отделимости в конечно-
мерном случае). Пусть А — непустое выпуклое множе-
ство в Rn, не содержащее точки b^W1. Тогда точку Ъ
можно отделить от множества А.
Теорема 2 (вторая теорема отделимости в конеч-
номерном случае). Пусть А — непустое замкнутое выпук-
лое множество в Rn и Ъ — точка, не принадлежащая А.
Тогда точку Ъ можно строго отделить от А.
Из теоремы Хана — Банаха (КФ, с. 127) выводятся
следующие теоремы отделимости в произвольном норми-
рованном пространстве.
Теорема Г (первая теорема отделимости). Пусть
X — нормированное пространство. Если множества А с= X
25
и В сХ выпуклы, непусты, не пересекаются между собой
и при этом А открыто, то существует ненулевой функци-
онал х*^Х*, разделяющий множества А и В (КФ, с. 130;
АТФ, с. 124).
Теорема 2' (вторая теорема отделимости). Пусть
X — нормированное пространство, А <= X — непустое замк-
нутое выпуклое подмножество и х^Х — точка, не при-
надлежащая А. Тогда найдется ненулевой функционал
х*<=Х*, строго разделяющий х и А, т. е. такой, что
sup (.х*, х) < (х*, х). (АТФ, с. 126).
хбА
Упражнения.
1.	Привести пример ограниченной непрерывной функ-
ции на ограниченном подмножестве прямой, для которой
нижняя и верхняя грани не достигаются.
2.	Привести пример ограниченной непрерывной функ-
ции на замкнутом подмножестве прямой, для которой
нижняя и верхняя грани не достигаются.
3.	Пусть X — некоторое подмножество прямой, не яв-
ляющееся компактом. Доказать, что найдется такая не-
прерывная на X функция, нижняя грань которой не
достигается.
' 4. Привести пример функции, полунепрерывной снизу,
но не непрерывной.
5.	Являются ли компактами следующие множества:
а)	полуинтервал [а, Ь);
б)	последовательность точек на прямой хп = 1/п, п =
= 1, 2, ...;
00
в)	подмножество прямой В— J [и, п + 1/п];
п=1
г)	в пространстве 12 эллипсоид Э = (я = {zk}k>i е
00
V 7.2 ~ 2
ства,
6.	Привести пример ограниченного замкнутого множе-
но являющегося компактом.
7.	Привести пример нормированного пространства X и
непрерывного функционала /: X R такого, что fix) ->
-> +оо при 1Ы1 оо} но нижняя грань функционала не
достигается.
8.	Доказать, что в конечномерном пространстве задача
о кратчайшем расстоянии от точки до замкнутого мно-
жества всегда имеет решение,
9.	Привести пример банахова пространства X, его
замкнутого подпространства L и точки х, не принадле-
жащей этому подпространству, таких, что задача о наи-
кратчайшем расстоянии от точки до подпространства не
имеет решенпя.	г
10.	Отделить точку (2, 3) от эллипсоида #2/4 + т/2/9 — 1.
И. Доказать, что в первой теореме отделимости мож-
но взять выпуклые непустые множества А и В такие, что
int А =# 0 и int А П 7? = 0.
12. Показать, что в первой теореме отделимости усло-
вие открытости отбросить нельзя.
1.3. Леммы. В теории экстремальных задач весьма
часто применяются следующие четыре леммы, являющиеся
следствиями из теорем отделимости и теоремы Банаха об
обратном операторе (КФ, с. 213).
1.3.1.	Лемма о нетривиальиости аннулятора. Напом-
ним, что аннулятором Ах подмножества А линейного
пространства X называется множество тех линейных
функционалов Z па X, для которых <Z, х'> = 0 Yx^A.
Отметим, что Ах всегда содержит 0 «= X*.
Лемма. Пусть L — замкнутое подпространство нор-
мированного пространства X, причем L¥^X. Тогда анну-
лятор ТА- содержит ненулевой элемент (АТФ, с. 127).
В конечномерном случае эта лемма означает, что если
L — собственное подпространство в Rn (т. е. Lt^R"), то
существуют числа ..., ап, не равные одновременно ну-
лю и такие, что а^А- .., + апхп ~ 0 Vx — (хг, .. .,хп)^
geeL .
1.3.2.	Лемма о правом обратном операторе. Пусть X и
Y—банаховы пространства, А — непрерывный линейный
эпиморфизм X на Y (Ае2’(Х, У), 1шА=У). Тогда су-
ществуют отображение М; Y -* X (вообще говоря, нели-
нейное и разрывное) и константа С > 0, удовлетворяю-
щие условиям'. ХМ ~ IY, Шг/Н СПу\\ для всех у е У
(АТФ, с. 128).
1,3.3.	Лемма о замкнутости образа. Пусть X, У, Z —-
банаховы пространства, А: XY и В: X-+Z — линей-
ные непрерывные операторы. Равенство Сх = (Ах, Вх)
определяет линейный непрерывный оператор С: X ->
У X Z.
Лемма. Если подпространство 1mA замкнуто в У и
подпространство В Ker А замкнуто в Z, то подпростран-
ство Im С замкнуто в Y XZ (АТФ, с. 129).
27
1.3.4.	Лемма об аннуляторе ядра регулярного опера-
тора. Пусть X и Y — банаховы пространства, А: X Y —
линейный непрерывный эпиморфизм. Тогда (KerA)J- =
= Im4* (АТФ, с. 130).
Оператор, являющийся линейным непрерывным эпи-
морфизмом, называется регулярным.
1.4. Определения производных.
1.4.1.	Производная Фреше. Пусть <2/ — окрестность
точки х —	..., хп) в Rn, F— отображение из в R'",
F — (Fit ..Fm). Говорят, что отображение F дифферен-
цируемо в точке х, если существует матрица А==(А.Ч),
i = 1, ..m, j = 1, ..п, такая, что
F&+h) =F[x) + Ah + r(h),
где
(п	' п	\
S МА, • • •, 2	), г (Л) = о(|й I) ч=>
/
<=> lim | r (h) |/| h | — 0,
л-»о
|Л| =
Если функция F дифференцируема, то, как легко по-
казать, матрица Л составлена из частных производных
- I dF*
г} ~ дх^
.,пг, 7=1,..., и. (2)
Ее обозначают F'(x). Матрица (2) называется матрицей
Якоби. Если тп = п, то определитель матрицы Якоби на-
зывают якобианом отображения F в точке х.
Пусть X и Y — нормированные пространства, 01 —
окрестность точки х. Отображение F: 01 -* Y называют
дифференцируемым по Фреше в точке х и пишут F е
^D(x), если существуют линейный непрерывный опера-
тор ЛизХв У (Де 3?(Х, У)) и отображение г некоторой
окрестности х в У такие, что
F(x + h) = F& + Ah + rUi),
(Г)
Ш)Н-о(Ш).
Оператор Л называется производной Фреше и обознача-
28
ется F'(x). Соотношения (Г) можно кратко записать так:
F(x + h) = F(x) + F'(.x)[h] + о(/г),
понимая о (/г) как элемент пространства У, для которого
Но(Л)Н = о(Л) при Н/г11-> 0. Через F'(x)[h] обозначено зна-
чение отображения F'(x') на элементе h. Если в каждой
точке х из открытого множества °U отображение F<=D(x)
и отображение x-+F'kx) непрерывно, то мы пишем
F^ClW).
1.4.2.	Строгая дифференцируемость. Пусть отображе-
ние F дифференцируемо по Фреше в точке х. Оно назы-
вается строго дифференцируемым в точке х (при этом
пишут F ^SD(.x)), если для любого е>0 найдется такое
б > 0, что для всех xt и х2, удовлетворяющих неравен-
ствам ll#i — #11 < б, П#2 — #11 < б, выполнено неравенство
llr(#i) — F(x2) — F'(x}\xl — #2]Н ell#! — #2И.
Уже в одномерном случае SD(x) D(x) (см. упр. 5).
1.4.3.	Вариация по Лагранжу и производная по Гато.
Пусть снова X и У — нормированные пространства, °U —
окрестность точки # в X, 'U^CKx, X), F\ °U-+Y. Гово-
рят, что F имеет в точке х вариацию по Лагранжу, если
для любого h <= X существует предел
6Г(#, h) = F' (х, h) = lim	.	(f)
X->0	л
При этом отображение h -> 6Г(#, h) называют вариацией
по Лагранжу. Если существует такой оператор As
е^(Х, У), что 6Л’(#, /г) = Л/г, то говорят, что F диффе-
ренцируемо по Гато в точке х. Тогда оператор Л назы-
вается производной Гато отображения F в точке х и
обозначается Гг(#). Таким образом, если F дифферен-
цируемо по Гато в точке #, то для любого фиксиро-
ванного h
Fkx + Ш = Г(#) + AF(#)UJ + г(Х),	(2)
где Нг(%)11 = о(Х) при X -*• 0.
Ясно, что из'дифференцируемости по Фреше следует
дифференцируемость по Гато. Уже в двумерном случае
эти два понятия различаются (см. упр. 4). Из дифферен-
цируемости по Гато по определению вытекает существо-
29
вание первой вариации по Лагранжу. И снова (уже
в двумерном случае) эти понятия различны (см. упр. 3).
1.4.4,	Производные высших порядков. Пусть — ок-
рестность. точки х =» (zb ..., хп) в Rn, /.• °U -* R — функ-
ция, определенная и непрерывно дифференцируемая на
°U. Говорят, что функция / дважды дифференцируема
в точке х, если существует квадратичная форма Q такая,
что
/	+ /г)	/ (х) + f (х) [7И + Q (h) + г (Л),
где г (/г) о (| h |2) <=> lim (| г (h) |/| h j2) = 0.
-	Л-*0
Квадратичная форма определяется симметричной, мат-
рицей iqt}), i, j — 1, ..., п, которая составлена из частных
52/(2)
производных
Переходим к бесконечномерному случаю. Пусть X и
У — нормированные пространства, с X — открытое
подмножество. Если отображение- У дифференци-
руемо в каждой точке х е то определено отображение
х -* fix) множества в пространство 3?iX, У). Посколь-
ку S?iX, У) также является нормированным простран-
ством, то можно ставить вопрос о существовании второй
производной
f"ix)=ff)'ix)<z£iX, ZiX, У)).
Для h^X f" ix)[ht] & 3?iX, У). Возьмем h2*=X; тогда
определено f" ix)lhi, h2] => f (#)[/iJU2]. Таким образом,
определено линейное по каждому аргументу отображение
f" ix)): XXX -*• У. Аналогично определяются производные
высших порядков.
Теорема (о смешанных производных). Если для
отображения f У существует вторая производная
fix), то для всех ht,h2&X
fG)[hlt h2]=fix)lh2, f\
(АТФ, с. 156).
Упражнения.
1.	Привести пример непрерывного отображения, не
имеющего в фиксированной точке производной ни по ка-
кому направлению.
2.	Привести пример отображения, имеющего производ-
ную по любому направлению, но не имеющего вариации
по Лагранжу.
30
3.	Привести пример отображения, имеющего вариацию
по Лагранжу, но не имеющего производной по Гато.
4.	Привести пример отображения, имеющего производ-
ную по Гато, но не имеющего производной по Фреше.
5.	Привести пример отображения, имеющего производ-
ную по Фреше, но не строго дифференцируемого.
1.5.	Основные теоремы дифференциального исчисле-
ния в нормированных пространствах. Приведем несколь-
ко теорем, наиболее часто используемых для решения
экстремальных задач.
1.5.1.	Теорема о суперпозиции. Пусть X, У, Z -— нор-
мированные пространства, °U окрестность точки х в X,
Т — окрестность точки у в У, ц>(х) = у, ф: V -*• Z, / =
— ф ° ф: °U -*• Z — суперпозиция отображений <р и ф.
Тогда, если ф дифференцируемо по Фреше в точке у,
а ср в точке х дифференцируемо по Фреше (дифференци-
руемо по Гато, имеет вариацию по Лагранжу), то f обла-
дает в точке х тем же свойством, что и ф, и при этом
соответственно
f (х) = ф' (у) ° ф' (х),
fr(x) = ф'(?)°фг(^)-
б/ (х, h) — ф' (у) [бф (х, h)] \fh^X,
Если ф строго дифференцируемо в у, а ф строго диф-
ференцируемо в х, то f строго дифференцируемо в х
(АТФ, с. 144).
Теорема о суперпозиции не имеет, вообще говоря, ме-
ста, если ф дифференцируемо лишь по Гато.
1.5.2.	Формула Тейлора. Если fn}(x) существует, то
/ G + h)=/(x) + /' (?) [AJ + 1 /" (?) [Л, М + ...
» • • +	, h] + г (fl),
где 11г(Л)11 = о(И/г11п) при h -* О (АТФ, с. 159).
1.5.3.	Конечномерные теоремы об обратной и неявной
функции. Теорема Люстерника. Теорема о касательном
пространстве.
Теорема (конечномерная теорема об обратной функ-
ции). Пусть °U с Rn — окрестность точки х = (х1у ...., хп),
F', °UW — отображение класса С1(Щ), Е(х) = у. Тогда,
31
если якобиан отображения F в точке х отличен от нуля,
то существуют такие е>0, 8 > 0 и К > 0, что для любого
у из шара \у — у\ <6 существует единственное х в шаре
|я — #1<е такое, что F(x) = y и при этом \х — х|
К\у - у\.
Замечание. Мы привели теорему об обратной
функции в той форме, в которой опа будет в дальнейшем
у нас использоваться. Обычно доказывают больше, в част-
ности, что гладкость обратного отображения будет такая
же, как и гладкость прямого, и формулу (Р~Уу)У —
-(/’'(/’-‘(у)))"1. •
Следствие (конечномерная теорема о неявной
функции). Пусть <= Rft X Rs — окрестность точки (х, у)—
= (^i, к.., xk, yh ..., ys), 4r:	ЧЧя, у) = О,
4^(2, у) — обратимая матрица. Тогда существуют К~>0,
б > 0 и такое отображение ф: В(х, б) -> Rs класса
СУВСх, б)), что
Т(х, ф(л:)) = 0, ф(я) — у, |ф(я) — у \ К\х —\г|.
< Положим п = k + s, z=(x, у) (x^Rh, yeRs),
F(z) = (x, TU)). Тогда функция F в точке z — (х, у) бу-
дет удовлетворять требованиям теоремы об обратной
функции, ибо
- [Z ч, G)'
F (z) =
IO ^(z)J
есть невырожденная матрица. По теореме об обратной
функции существуют такие б>0, 8>0иК>0, что если
|£ — х\ 4- |ц| < б, то найдется единственная пара {х, у),
для которой lx — xl + |у — уI <е и
F(x, у) = (|, ц) <=> х = Т(х, у) = т),
Ix — xl + ly — yl СЖ1£ — х! + IцI).
Положив Т] = 0, получим, что если 1х — xl < б, то имеется
единственное у = ф(л:), ly—yl<8, для которого
F(x, tp(x)) = (х, 0) <=> Ч7(х, (р(х)) = 0,
|у — у| К]х — #|.	>
Замечание. Из формулы для производной обрат-
ной функции немедленно следует, что
(p'(.z) = — lFy(x, ф(^))]-1[Гд:(^, ф(<г))1.
32
Теорема Люстерника. Пусть X, Z — банаховы
пространства, °U^Cix, X), F: ^U-^-Z. Если F^SDix) и
F'ix) является эпиморфизмом, то существуют окрестность
U точки х, число К> 0 и отображение <р: U -> X
такие, что
Fix + ф(#)) = Fix),
\\^ix)\\^K\\Fix)-Fix)\\.
<1 Доказательство этой теоремы основано на модифи-
цированном методе Ньютона.
А) Не ограничивая общности, считаем, что х = 0 и
Fix) = 0. Выберем е>0 столь малым, что BiO, и
И(ж')-?(/')-Г(0)(Ж'-^)|<±Ц'-Л (1)
при Ill'll < е, Ия"И<е (это возможно, поскольку Fe
^SDix)), где константа С>1 взята из леммы о правом
обратном операторе (п. 1.3.2) для оператора М, являю-
щегося правым обратным к F'(0). Положим для х <= U =
= 5(0, б):
|п+1 = Ь- MiFi^n)), п>0, Ъ = х, (2)
где б столь мало, что 1Ы! + C'IIZ',(£)II < е/2 при 1Ы1 < б.
Б) Докажем по индукции, что H|J<e Vn^O. Оче-
видно, что ИМ = IMI < е/2. При п = 1 из (2) и леммы
о правом обратном операторе получаем оценку
11^ - zll = Ш№)11 СИ№)И,	(3)
откуда IIIJI < е/2.
Пусть ll|tH < е при i — 0, 1, ..., k ik > 1). Выведем
отсюда, что < е. Для i = 0, 1, ..., к из (2) имеем
Г(0)(и1-^)+^(^) = 0,	(4)
откуда
II 5.+1 - 5. II < СИ «<) II	с IF (5.) - F -
(1) i
-F1
=>|| U1 - Ы < 2-{Н! - я|| <
i = l,...,к.	(
33
Отсюда в силу неравенства треугольника получаем
II II — II lfe+1 —	— Ik-1 + * ‘ * + 1з — 11 + 111|
< II lk+1 - Ы + II - lk-i II + - . + И2 - М + Иг II <
<2’(12'+^+ •“ +'?)+Т<Е-
Таким образом, мы получили, что 11^+1П < е, откуда по
индукции следует, что П|п11 < 8 у «5=0.
В) Из неравенств (5), (5') следует, что || £n+m —
II 1а+1 —* £п |	+ “2 + ... +	Ц£п+1 —	||
<-^-||li “ z||->0 при «->«>, т. е. (£п}„>0 — фундамен-
Li
тальная последовательность и, значит, она сходится в си-
лу банаховости X, Обозначим г|Чя) = lim gn; тогда
71'->ОО
Ilin — Il In ------ In-1 II + ||1п-1 — 1п-2 II + ... + II ?2 — 11 II +
(б'Т	/11	\
+ Ki - хII< Щ - X||	+ -Л_ + ... + 1 )<2fc-4
\ Li	Li	/
Переходя к пределу, получаем
(3)
ЦЫ - zll 211^ - zll 2CHFU)II = №(я)И,
причем
(3)
ЦЫП 1Ы1 + 2Ц, — яН < 8.
Отсюда и из (1) вытекает, что F непрерывна в точке
и поэтому из (4)
F Ц {х}) = lim F (gn) = — lim F' (0) (gn+1 — gn) = 0. >
П-+0О	n-»oo
Пусть X — нормированное пространство, M — некото-
рое его подмножество. Элемент h е X называется односто-
ронним касательным (полукасательным) вектором к мно-
жеству М в точке х<^ М, если существуют 8 > 0 и отобра-
жение г: [0, е] -* X такие, что
а)	х + th 4- г (tj е М Vt е [0, 8);
б)	Нг(^11 = o(f) при t -> +0.
Вектор h называется касательным к множеству М
в точке х, если векторы h и —h являются односторонними
касательными векторами к М в х. Множество Всех каса-
тельных векторов к М в точке х обозначается Т ^М, мнц-
34
жество односторонних касательных векторов Т^М. Оче-
видно, что Г-М и М — конусы. Если множество
Т~М является подпространством в X, то оно называется
касательным пространством к М в точке х.
Во многих случаях, в том числе и представляющих
значительный интерес для теории экстремальных задач,
множество касательных векторов может быть найдено
при помощи такого следствия из теоремы Люстерника.
/Теорема (о касательном пространстве). Пусть X,
Z — банаховы пространства, °U <= С{х, X), F:	Z, F <=
<= SD(x) и F Ах) — эпиморфизм, М — {x<^X\F(x) — FAc)}.
Тогда
Т~М = KerF' (£).
< А) Пусть h^T^M, г(-) — отображение из опреде-
ления касательного вектора. Так как F<=-SD(x), то при
малых а
F(x) = Fkx + ah + г(а)) == F(x) + aFAx)[h] + о(а).
Отсюда aF'(x)Lhl + о(а) = 0 и, значит, F' (х) [h] = 0, т. е
ТхМ cz Ker F' (х).
Б) Пусть h е KerF'(#). Положим г(а) = qAx + ah),
где ф — отображение, построенное в теореме Люстерника.
Тогда
F(x + ah + r(a)) = F(x),
llr(a)fl »c 11ф(д? + ah)II K\\F(x + ah) — 7г(я)П = o(a),
t. ejte T~M, >
A>	r
Задачи
В задачах 1.1 — 1.26 исследовать отображения на диф-
ференцируемость по Фреше и найти производные в слу-
чае дифференцируемости.
1.1.	/: Rn -> Rm, j(x) = Ах, А — матрица поряд-
ка m X п.
1.2.	(Р) /: X Y, j{x) — Ах, X, У — нормированные
пространства, A^SAX, У).
1.3.	/: R2->R2, / (а^, х2) = (зд, xf + х[), х = (1,2),
п
1.4.	/: R-^R, f(x)= 2^-
i=-l
. 35
3*
В задачах 1.5—1.9 Н — гильбертово пространство.
1.5.	/: Н -*• R, /(л) =— <а, х>, а а Н.
1.6.	/: Н - R, /(«) - <я, х>.
1.7.	(Р) /: Н -> R, fix) - Ы ~ Пх, х>.
1.8.	f: Н\{0}->Н, fix) — хМ
1.9.	/: Н -> R, fix) = <Ах, х>, А — самосопряженный
динейный непрерывный оператор.
1
1.10.	/: 2%([0,1])->R, f(x(-)) = j'x dt,
J/eS’jdO, 1]).
1
1.11.	/: S’2(|0, !])->R, /(x(.)) =
0
/ 1	\ 2
1.12.	/: ^([O.IJJ-^R, f(x(- )) = (] z(i)* .
40	/
/ 1 \3
1.13.	/: «2% ([0, !])-> R, /И0) = 1 р2(*И) ♦
1.14.	/: C([0, ID -> R, fixi-))=xi0)°.
1.15.	/: <7(10, 1J)-*R, fixi-)) = x2il).
1.16.	(P) /: C([0, ID -> R, fixi-))=xiO)xil).
1.17.	/: C([0, ID - R, fixi-)) = IHO)I.
1.18.	/: C([0, U)->R, /(ж(-)) = ех(0).
1.19.	/: C([0, ID ->R, /Gr(-)) = sinz(l).
1.20.	/: C([0, ID ->C(tO, ID, fixi-)) = cosx(-).
i
1.21.	f. C([0,l])->R, /(«(•))= j|«(0|Л,
хч	°	хч
х it) = at2 + bt + c, a,b,c^ R, f (#(»)) = ?
1.22.	/: C‘([0, ID C([0, ID, fixi-)) = VI + x4t).
1.23.	/: C([0, ID - C(LO, ID, fixi •)) = cp(^, xit)), ф(-) e
e £‘(R2).
1.24.	/: C((0,1])->R,
i
/(«(•))= j q>(«(0)di.fpt-JeC1 (R).
1.25.	(P) /: CQio.ijD^R,
/(«(•)) = <c(x(t6),x(t1)), <p(-)e C*(R2).
1.26	/: Cl(I«e. «J)-*»,
*1
/(^(D)= J Lit,xit),xit))dt, L (•) e C1 (R8).
*o
36
В задачах 1.27—1.29 указать точки, где функции
/: Rn -* R не дифференцируемы по Фреше.
1.27.	/(.UM'2,
1.28.	/(ж) = max J .
1Шп
1.2.9	/(*) = 2 |я, |.
1=1
В задачах 1 30—1.37 найти норму линейного непре-
рывного функционала х* на пространстве X.
1.30.	(Р) X = С Q0,1J),
1
<£*, #(•)> = я(0) + 3 J £ (t) dt — 4# (1).
о
1
1.31.	Х = С([0,1]), <£*,*(•)> = -2-(0)+ J x(t)dt.
1.32.	Х = С([0,Ц),
1
f	/1 \
(ж*, х (•)> = I x(t) sin nt dt — x l-s-l.
V	\ “ /
1.33.	X-C(10,l])“
n	c
<x*,x(-y> = 2р/^(тй) + \ q(t)x(t)dt, 0<тг<..,
ft—i	о
. ..<Tn<l, Pl, ...,pneR, ?(•)<= C([0,1]).
1.34.	X = l2,
<ж*, хУ = xt/2 + x2/k + x3/8 + ..,+ #n/2n + ...
1.35.	X = l2,	<x*, x> = (xt — xz)/2 + (x3 — £4)/4 +...
... + (Xin-t — x2n)/2n + ...
i
1.36.	(P) X ~ S’aQO, 1]), <#*, x (•)> = J x (t) sin ntdt.
о
1/2	1
1.37.	X = S2 ([0,11), {x*,x(-)) = §x(t)dt— 2 § x(t)dt.
0	1/2
1.38.	A: I2 -* I2, Xx={x2, x3, ..., xn, ...), где x=>
= (xt, x2, ...), A* — ?
1,39.	A: I2 -* I2, Ax = (xlt 0, x2, 0, xs, 0, ...), где x =
=» (.Xi, x2, ...), A* = ?
В задачах 1.40—1.54 найти касательные множества
Тили Т^М к множеству М в точке х.
1.40.	М = {(^i, х2} е R2\R+[xf + х\ < 1), 'х = (0,1),
Т^М, Т±М = ?
•37
1.41.	М = ((^, хг) g= R2\R1 | xl + xl < 1), х-(0, 0),
т~м> т$м = ?
1.42.	М е= {(zlt х2) е R21 х$ =*	, х = (0, 0), Т^М =?
1.43.	М= {(^,^2)eR2|4<^}, ^=(0,0),
1.44.
1.45.
1.46.
1.47.
1.48.
М = {(^,^2)eR2|^>4), £=(0,0), Т~М=?
М — {(zx, х2) е R2 х2 — 1}, х — ^2,
Т~М =?
X
М = х = (zj, ..., хп) е R"
£=(1,0, ..., 0), Т~М = ?
М — • х — (zt, ..., хп) е R"
х = (xlt ..., хп), Т~М = ?
п
S x2i = 1
i=l
п
г=1
М = и (•) е С" ([0,1]) I ж<”> (0 = ?"> (f)l,
5 е С* ([0,1]), T^M^I
1.49. (Р) Л1= х(-)еС([0,1])
1
J sin х (i) dt = 2/л ,
о
.г (г) = nt, т~м — ?
1.50.	М ~ {#(•) е С ([0,1]) | sin z(0) — cos я(1) = 0},
x(t)-=nt/2,	= ?
1.51. М — множество рациональных чисел, Т^М — ?
1.52.	(Р) М = к 1,1,...,!...}= R,^=0,r±M=?
1.53.	М = (0,1,-1, ...,Л . ,.1сК,; = 0, ГШ = ?
1.54.	М = ^0,1,-|,	...}c=R, ^ = 0, Т^М = ?
§ 2. ГЛАДКИЕ ЗАДАЧИ
2.1.	Элементарные задачи.
2.1.1.	Постановка гладкой элементарной задачи. Пусть
/: R -> R — функция одной действительной переменной,
обладающая некоторой гладкостью, т. е. определенными
свойствами дифференцируемости. Гладкой элементарной
задачей без ограничений называется задача об отыскании
экстремумов этой функции:
/(z) -> extr.	(з)
38
Аналогичная задача без ограничений возникает при
отыскании экстремумов функционала /, обладающего не-
которой гладкостью и определенного в нормированном
пространстве X.
2.1.2.	Правило решения.
1.	Формализовать задачу, т. е. привести ее к виду (з).
2.	Выписать необходимое условие /'(.г1) == 0.
3.	Найти стационарные точки, т. е. решения уравне-
ния fix) — 0.
4.	Отыскать решение среди стационарных точек или
доказать, что решения нет.
2.1.3.	Теорема Ферма.
Теорема 1. Пусть f—функция одного переменно-
го, определенная в некотором интервале, содержащем точ-
ку х, и дифференцируемая в точке х.
Тогда, если х есть точка локального экстремума функ-
ции f, то
/'U)=0.	(1)
<1 Допустим, что х <= loc min /, но fix) = а 0 и, для
определенности, а < 0. Задав e=lal/2, найдем из опре-
деления производной такое б > 0, что при 0< IM <6
fix + h) = fix) + ah + rih), Irih)I < lai • IM/2.
Тогда для 0 < h < б получаем
fix + h) = fix) 4- ah 4- rih) < fix) 4- ah 4- I al М2 =
= fix) — I al h/2 < fix),
t. e. x& loc min/. Полученное противоречие доказывает
теорему. Аналогично теорема доказывается для случая
х е loc max /. t>
Теорема Г (аналог теоремы Ферма для нормиро-
ванных пространств). Пусть X — нормированное простран-
ство, <U^OiX), x^°U, f: -* R и функционал f имеет
вариацию по Лагранжу iдuффepeнцupyeм по Фреше)
в точке х.
Тогда, если х <= loc extr /, то
6fix,x) = 0 УтеХ (/'(яг) = 0).	(Г)
< Если х е loc extr /, то Vx^X точка нуль является
локальным экстремумом функции одного переменного:
def
X*-* ф(Х; х) == fix + Хл:). Пользуясь определением вариации
39
по Лагранжу и соотношением (1), получим 6/(гг, х)=0.
В силу произвольности х приходим к (Г). Если функцио-
нал / дифференцируем по Фреше в точке х, то в этой
точке он имеет вариацию по Лагранжу. Поскольку х <=
<= loc extr /, то из уже доказанного следует, что эта вариа-
ция равна нулю. Отсюда /'(гс) = О в силу определения
дифференцируемости по Фреше (п. 1.4.1). >
Из теоремы 1 следует, что если точка х доставляет
локальный экстремум дифференцируемой функции не-
скольких переменных: /: Rn R, то все частные произ-
водные функции / в точке х обращаются в нуль, т. е.
/' fy = о = ... =	= о.
3 ' '	дхл	дх
1
2.1.4. Элементарная задача линейного программирова-
ния. В § 4 мы познакомимся с выпуклыми задачами,
частный подкласс которых образуют задачи линейного
программирования. Здесь будет рассмотрена самая про-
стая из задач этого класса. Она интересна тем, что при
ее рассмотрении мы познакомимся с важными условиями
экстремума, возникающими в задачах с неравенствами,—
условиями неотрицательности и дополняющей не-
жесткости.
Элементарной задачей линейного программирования
называется следующая задача:
inf,	i=l, ...,n (X = Rn)« (з)
i=i
Теорема. Для того чтобы точка х=Дхц ..., хп) до-
ставляла абсолютный минимум в задаче (з), необходимо и
достаточно, чтобы были выполнены:
а) условия дополняющей нежесткости atxt — 0, i =
1,' ..., п,
4б)	условия неотрицательности at^0, 7 = 1, ..., п.
Доказательство этой теоремы совершенно очевидно.
2.2.	Гладкая конечномерная задача с ограничениями
типа равенств.
2.2.1.	Постановка задачи. Пусть /<: Rn R, i= 0, 1, ,,.
..., тп,— функции п переменных, отображающие про-
странство Rn в R. Конечномерной экстремальной задачей
с ограничениями типа равенств называется следующая
40
задача в R”:
f0(x) -> extr; fax) — 0, i =* 1, ,.., m. (з)
Далее считаем, что все функции /, обладают определенной
гладкостью.
2.2.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лдгранжа:
т
2 (х, А) = 2
i=0
2.	Выписать необходимое условие:
т
(г, X) = 0	2 Kif (х) = 01	/ = 1,,.п.
г=0
3.	Найти стационарные точки, т. е. допустимые реше-
ния уравнений п. 2, в которых не все множители Лаг-
ранжа Хо, %i, ..., Хт равны нулю. При этом бывает полез-
но отдельно рассмотреть случаи Хо = О и Хо 0. Во вто-
ром случае можно положить Хо равным единице или лю-
бой другой положительной константе в задаче на минимум
и равным минус единице или любой другой отрицатель-
ной константе в задаче на максимум.
4.	Отыскать решение среди всех стационарных точек
или доказать, что решения нет.
Замечание. В правиле множителей Лагранжа для
задач с ограничениями типа равенств можно, вообще го-
воря, не обращать внимания на тип экстремума и, убе-
дившись, что Хо ¥= 0, полагать Хо равным любой отличной
от нуля константе. Для задач, где присутствуют нера-
венства и включения, знак Хо существен.
2.2.3.	Правило множителей Лагранжа.
Теорема. Пусть X = Rn,	x&°U, fa -+
-> R, i==0, 1, ..., m,—непрерывно дифференцируемые
функции в множестве °U (условие гладкости). Тогда, если
х есть точка локального экстремума в задаче (з), то су-
ществует ненулевой вектор X = (Хо, Хь ..., Хт) такой, что
2* (х, К) - 0	= 0, /=1,
m
2 Uf'x (S) = о. (i)
i=0
41
т
В соотношении (1) 2? (х, А) = 2 МЛ СО — функция
г-О
Лагранжа рассматриваемой задачи, а Ао, Аь • • ., Ап» —
множители Лагранжа.
<3 А) Обозначим через А линейное отображение из Rn
в Rm+1, определяемое соотношением
= (</о(^).^>, • • -,</т(Д z>) A Crlt .. .,хп) =
V dfQ(х) V?
2 дх.	дх. Xj\
Возможен один из двух случаев: 1) А отображает Rn
в собственное подпространство L пространства Rm+‘;
2) Л отображает Rn на все Rm+1.
Б) Если реализуется случай 1), то по лемме об анпу-
ляторе в конечномерном пространстве (п. 1.3,1) найдутся
числа Ао, Аь ..., Am, не все равные нулю и такие, что
т	т
v2 Ai?/i = 0 Vz/e L ч=> 2 Ai <Х (*),*> = о VzsR'1,
г=о	г=0
и теорема доказана.
В) Покажем, что случай 2) невозможен. Действи-
тельно, если образ Л есть все пространство, то ранг
соответствующей этому отображению матрицы А —
( df .Q) \
\	также равен т + 1. (Этот факт прямо
следует из известной в алгебре теоремы Кронекера —
Капелли.) Тогда по теореме о ранге существует минор
матрицы А порядка (тп + 1)Х(нг + 1), отличный от нуля.
Допустим для определенности, что этим минором является
минор, составленный из первых т + 1 столбцов матрицы А:
det
(х)	dfQ(x)
дхг ’ ' 1 * ’ дхт+1
dfm(x}	dtm№
дхх ’•••’5xm+1
= det М Ф О,
42
Положим
ф(^1,
(Фо(^, • • • , *Гт+1), • • •, Фт(^1, • • •, 3?т+1))
= (/о(#в • • •, <^т+1, ЗГт4-2» • • •) %п ) — /0U),
/11^1, • • >, •^'Ш+1, *^in4-2j • • • , *^n/j • • •
. •	• • •» Xm-)-if *^ni4-2, • • •, ^-n))»
Ф отображает некоторую окрестность точки Grt, .,.
, . ГГ7„ +1) Rm+* в Rm+1 и является (в силу условия глад-
кости теоремы) непрерывно дифференцируемым отобра-
жением в этой окрестности. При этом
dot	= det М* 0.
\	С,Х3	ч	,Wl+l
По теореме об обратной функции (п. 1,5.4) существуют
ео>0 и константа К > 0 такие, что V е'е [—е0, е0] най-
дется вектор (яДе), ..., #„1+{(е)), для которого
Ф(^! + ^i(e), . . ., Хт+1 + Ят+1(е)) = (8, 0, ..., 0) *=>
<=* /0(^1 + я/е), ..., rrw+1 + xm+i(е), жш+2, . •zn) — fo(x) = е,
ft(xt + iTi(e), ..., xm+i + ^n+J(e), x’m+2, ..., хп) — 0,
i = 1,..., т,
I m\-i	\ 1 2
и при этом I S х<г (е) I ^Х|е|.Из написанных соотно-
\ г—1	/
шений сразу следует, что вектор + яДе), ..., ^m+i +
+ ^m+1(e), хт+2, ..., х„) является допустимым в задаче (з)
и что вектор (х15 ..., xj = х не доставляет задаче экстре-
мума, ибо вблизи от него существуют допустимые векто-
ры, на которых функционал принимает значения и боль-
шие, п меньшие, чем f0U)- >
Замечание. Из соотношения (1) следует, что если
векюры /1 (я), ..., /т(^) линейно независимы, то Хо 0.
2.3.	Гладкая задача с равенствами и неравенствами
(общий случай).
2.3.1.	Постановка задачи. Пусть X, У — нормирован-
ные пространства, F\ X -* У, Д: X R, i = 0, 1, ..., т.
Гладкой задачей с равенствами и неравенствами называ-
ется задача
fo(x') -> inf; F(j:)=0, h(x) С 0, i — 1, ..., m, (з)
43
если отображение F и функционалы /, обладают некото-
рой гладкостью.
2.3.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
т
Z (z, У* А) = 2	(ж) + <у*. F (х)-),
1=0
где у* е У*, к — (Ло, ..Xm) — множители Лагранжа.
2.	Выписать необходимые условия:
а)	стационарности
т
2?х (%, у* д) = 0 <=> S kif'i(я) + (Ff (х))* у* о,
1=0
где (F'(x))* —• оператор, сопряженный к отображению
F'(x)-. У;
б)	дополняющей нежесткости
к^(х) = 0, i — 1, ..., т\
в)	неотрицательности
кг 0, i = 0,1,..т.
3.	Найти критические точки, т. е. допустимые точки,
удовлетворяющие необходимым условиям п. 2 с множите-
лями Лагранжа к и у*, одновременно не равными нулю.
При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи
к0 = 0 и ко ¥* 0. Во втором случае можно положить ко рав-
ным единице или любой другой положительной
константе.
4.	Отыскать решение среди критических точек или до-
казать, что его нет.
2.3.3.	Необходимые условия экстремума.
Теорема. Пусть X, Y — банаховы пространства
(условие банаховости), °U<^O(X), x^°U, F\°U-+Y,
<2Z->R, f,&SD(x), i = 0, 1, ..., m, F &SD(x, У) (усло-
вие гладкости) и F'(x)X замкнуто в У (ослабленное усло-
вие регулярности).
Тогда, если х есть точка локального экстремума в за-
даче (з), то существуют вектор ^(=Rm+1 и функционал
у* е Y*, не равные одновременно нулю и такие, что вы-
полнены условия-.
а)	стационарности
тп
у*д) = о Wi(^) + (F'(£))*у* = 0;
1=0
44
б)	дополняющей нежесткости
Х./.С#) =0, i = 1,..., m;
в)	неотрицательности
%. > 0, i = О, 1, ..., т.
Доказательство см. в АТФ, с. 257, а также п. 4.4.1.
2.	4. Примеры.
Пример 1. /(я) = ах2 + Ьх + с -> extr W0).
Решение. 1. Применяем правило решения гладких
задач без ограничений (п. 2.1.2).
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: f(x) =0
<=> 2ах + Ъ = 0.
3.	х = —&/(2а) — стационарная точка.
4.	Если а > 0, то /(#)->+<» при Ы -> По след-
ствию из теоремы Вейерштрасса (п. 1.2.1) решение задачи
существует. В силу единственности стационарной точки
х = — Ь/(2а) е abs min, Smla = с — &2/(4а), Smax = +«>.
Аналогично,
а < 0 =>- х — —b/(2a) abs max, »Smax = с — &2/(4а),
»$mln ~	°°-
Пример 2. xf + х} -> extr; х\ + х* = 1.
Решение. 1. Применяем правило решения гладких
задач с ограничениями типа равенств (п. 2.2.2), Функция
Лагранжа: 2? — Х0(^х + х2} + Х1(^х + xi — !)•
2.	Необходимое условие:
Sх ~	4“ 2Хх£х — 0, ^QX2 4~ 2X^2 ~ 0.
3.	Если Хо == 0, то Xi =/= 0, значит, из предыдущих урав-
нений Xi = хг = 0 — точка не является допустимой. Пола-
1аем Хо = 1. Тогда Ti = 0, z2 = ±l, или т2==0, Ti = ±l,
пли хг =/= 0, xt Ф 0, следовательно, х\— х% = —- 1/(2Хх), т. е.
|2,|=Ц2| = 2-1/‘.
4.	По теореме- Вейерштрасса существуют решения за-
дач на минимум и максимум. Рассматривая значения
функционала в стационарных точках, получаем
«Srmm = l, К±1, 0), (0, ±l)}eabsmin,
5max == V2, {(±2~1/4, ±2~1/z‘), (±2~1/4, =F2~1/4)} e abs max.
45
ПримерЗ. + #2 + х% -> inf; 2х^ — х2 4- х3 5,
xi + х2 + хз — 3.
Решение. 1. Применяем правило решения гладких
задач с ограничениями типа равенств и неравенств
(и. 2.3.2). Функция Лагранжа:
= X0(a:f + ^2 + #з) +
+ к1(2х1—х2 + х3—5)^2(х1 + х2 + х3~-3),
2.	Необходимые условия:
а)	стационарности
~ 2XqXi 4* 2Х^ 4- Х2 — О,
3?х2 = О *'=’’ 2Х0^2 4- Х2 Xj = О,
3?х3 ~ 0 <=> 2Х0^3 4- Х2 4- Xj = 0;
б)	дополняющей нежесткости Xi(2^i — х2 4- х3 — 5) = 0;
в) неотрицательности Хо > 0, Xt > 0.
а)
3.	Хо = 0 =* Xi — Х2 — 0 — все множители. Лагранжа —
б)
нули. Положим Хо = 1/2. Предположим Kl^Q=^2xi —
— х2 4- х3 — 5 = 0. Выражая х^, х2 и х3 из условия а) через
Xj и Х2 и подставляя их в уравнения Xi 4- х2 4- х3 = 3, 2xt —
— х2 4- х3 — 5 « 0/ получим Xi = —9/14 < 0 — противоречие
с условием в). Пусть Xt = 0. Тогда хх = х2 = гг3 = 1 — кри-
тическая точка.
4.	Функция f (х) — xj + х1 + xl стремится к 4-оо при
Ы ->• 4-оо, значит, по следствию из теоремы Вейерштрасса
(п. 1.2.1) решение задачи существует, а в силу единствен-
ности критической точки решением может быть только
она. Итак, х = (1, 1, 1) е abs min, Smin = 3.
Пример 4. {Ах, хУ -*• inf; {х, хУ = 1 (reR’. А —
— (aij)i?j=i— симметричная матрица).
Решение. 1. Существование решения х очевидно из
def
теоремы Вейерштрасса, ибо сфера S"-1 = {х е Rn| |х|2 —
def
= {х, хУ — 1} компактна. Функция Лагранжа:
3? = 'къ<Ах, хУ 4-Xi<rr, хУ,
2.	Необходимое условие:
* 3?А.х, Хо, Xi) = 0 -<=> Хо>1 х 4- XiX = 0,	Хо 0.
3.	Если Хо = 0, то Xi ¥= 0 и, значит, из уравнений п. 2
х = 0, что противоречит уравнению связи <z, хУ = 1. По-
46
ложпм /.о= 1. Тогда Ах ~ —мх. Таким образом, решением
является собственный вектор матрицы А.
4.	Домножив соотношение Ах = — KtX на х, полудим,
ню S3 — — иначе говоря, решением задачи на минимум
будет собственный вектор матрицы А, соответствующий
наименьшему собственному значению.
2.5.	Необходимые условия высших порядков. Доста-
точные условия.
2.5.1.	Одномерный случай в задаче без ограничений.
Теорема 1. Пусть f — функция одного переменного,
определенная в некотором интервале, содержащем точку
х, и дважды дифференцируемая в точке х.
Необходимые условия экстремума. Если х
есть точка лекального минимума (максимума) функции
f; то
f'(x) = O, f"(x)>0 (Г'(х)^О).
Достаточные условия экстремума. Если
/'(й = 0, /"(й>0 (/"G)<0),
то х — точка локального минимума (максимума) функции f.
<3 Докажем теорему для случая минимума. Случай
максимума доказывается аналогично.
Из определения двукратной дифференцируемости сле-
дует, что
/(х + х) = / (ж) + /' (*)х + — /•" (я) х2 + г (х),	(1)
г (х)/х2 -> 0 при х->0.
Необходимость. Поскольку я <= loc min/, то, во-
первых, по теореме Ферма (п. 2.1.3) f(x) = O; во-вторых,
существует б>0 такое, что из неравенства Ы <6 выте-
кает f(x + х) — f(x) > 0. Поэтому из формулы (1)
f(x + х) — f(x) =« 4 f(x)х2 4- г (х) 0 при Lrl < б. От-
сюда
Г (я) = lim	о.
х->о	х
Достаточность. Выберем б настолько малым, что-
бы в разложении (1) было ] г (х) j /" (х)х2 при М < б.
47
Тогда в силу условий f'{x) = 0 и /" {х) > 0 получаем
f(x + х)-~ f(x) == ~f"(x)x2 + г (я) >-г Г W я2 > 0.
А	*±
Значит, х е loc min /. >
В одномерном случае можно дать почти исчерпываю-
щий анализ вопроса о том, является ли данная точка х
локальным экстремумом или нет.
Теорема 2. Пусть j — функция одного переменного,
определенная в некотором интервале, содержащем точку
х, и п раз дифференцируемая в точке х.
Необходимые условия экстремума. Если х
есть точка локального минимума {максимума) функции /,
то либо f{x) = ...= f{n){x) = 0, либо
Г& =
у(2т~1)
(х) = 0,
(/(2П1)(Й < 0) (1)
/(2т)(я) >0
при некотором m 1, 2m п.
Достаточные условия экстремума. Если
выполняется условие (1), то х — точка локального мини-
мума {максимума) функции f.
’	<3 По формуле Тейлора для функции, п раз дифферен
цируемой в точке х, имеем следующее разложение:
п
f(x + х) = 2
k=0
(*)
xh + г {х),
г{?)
>0 при я->0.
Необходимость. При п = 1 необходимое условие
экстремума следует из теоремы Ферма (п. 2.1,3). Пусть,
далее, п> 1. Тогда либо f{x) =... = fn}{x) = 0, либо
f{x) = ... =fl~i){x) == 0, /(г) (л:) =И= 0, I п. Возможно одно
из двух: I нечетно или I четно. В первом случае положим
ф© = /(j + I'T), R-Тогда
ф © = 1 (5) + 2 /-хг^+г (т f)
h=l
— дифференцируемая в нуле функция. Поскольку х е
48
sloe min/, то 0 sloe min ф. По теореме Ферма ф'(0) =
~/(!)(ж)Д! =0, Полученное противоречие показывает, что
I должно быть четным: I *- 2т. Поэтому из формулы Тей-
лора
,.	\	,_ /(2т) (я) 2m . /к
/	%)	/	(2т)!	%
гг (х)/х2т -> 0 при x-+Q.
Так как f2m)(x) ¥= 0, то отсюда выводим, что /(2т)Сг)>0
при х s loc min / и f(2m) (х) < 0 при х s loc max f.
Достаточность. Поскольку f(x) — ...	(#) =
= 0, f2m)(.x) 0, то по формуле Тейлора
f (х + х) — / (х) = х2т + г2 (х),
\^11 V } I
r2{x')lx2m—> 0 при х->0.
Следовательно, если f(2m)(x) > 0, то f(x + х) — f(x) при
достаточно малых х, т. е. х sloe min/; если /(2т) (я) < 0,
то f(x + х) — /(я)	0 при достаточно малых х, т. е. х^
sloe max/. >
2.5.2.	Задача без ограничений (общий случай).
Теорема. Пусть X — нормированное пространство,
<U = CG, X), f:	f^D4x).
Необходимые условия экстремума. Если
х s loc min (max) /, то
/' (я) = 0, f" (х) fx, х] 0 (/" (х)[х, л:]^0) \fx^X,
Достаточные условия экстремума. Если
f(.x) —Qu
f"(x) [я, х] а || .г||2 (/"(лг) [х, х]	— а И .г ||2) \/х^Х (1)
при некотором а > 0, то х^ loc min (max) /.
< По формуле Тейлора (п. 1.5.3)
4- х) = f(x) + /' (х)[х] +-^f(x)[x, х] + г (х),
II г (я) 11= О (И2).
Докажем теорему для случая минимума.. Случай мак’
симума аналогичен.
Необходимость. Поскольку х s loc min /, то, во-
первых, по теореме Ферма (п. 2.1.3) /Тж) = 0; во-вторых,
49
положительной определенности матрицы
fix + kx) — fix') > 0 при достаточных малых X. Поэтому в
силу формулы Тейлора
f(x + A.r)— ](x)^-^f"(x)[x, я] + г (А.г)>0
при малых А. Отсюда f" (rr) [х, х] 0 ух еХ.
Достаточность. Так как fix') = 0, то по формуле
Тейлора в силу условия f"(x)lx, xl alWI2 имеем
f(x + х) — f(x) = j f"(x)[x,x] + г (х) > ~|| х||2 +г(я)>0
при достаточно малых х. Следовательно, х <= loc min f. >
Неотрицательная определенность второй производной
для функций п переменных означает неотрицательную он-
(q2 /
  1. Условие (1) называется
условием строгой положительности [отрицательности) вто-
рой производной в смысле Фреше функционала /.
Отметим, что в- конечномерных пространствах условие
52/ \
дхгдх}}' Т‘ е’
условие
П 2
2	...Д)еКп, h #=0,
г, з=1 г 3
гарантирует строгую положительность второго дифферен-
циала (и значит, является достаточным условием миниму-
ма в стационарной точке). В бесконечномерных простран-
ствах это не так (пример см. в АТФ, с. 242).
Положительная и отрицательная определенности мат-
рицы устанавливаются с помощью критерия Сильвестра.
Теорема (критерий Сильвестра). Матрица А являет-
ся положительно (отрицательно) определенной тогда и
только тогда, когда все ее главные миноры detAft, где
~(aij)i,i=i> к = 1,...,п, положительны ((—l)ftdetAft>
> 0, к — 1, ..., п).
Доказательство этого утверждения приведено в
п. 12.1.2.
2.5.3.	Гладкая задача с ограничениями типа равенств.
Теорема. Пусть X — банахово пространство, <=
&О(х, X), ft: °U -* R, ft е D2(x) П SDix), t = 0, 1, ..., m,
векторы fi(x)r i — 1, ..., m, линейно независимы.
50
Необходимые условия экстремума. Если
х <= loc min з в задаче
fo(x') -> inf; /г(х) = 0, i=l, ..т, (з)
т
то для функции Лагранжа 2 (#, X) = 2 XJ, (х) найдется
г—о
вектор Х = (1, Хь Хт) такой, что
2х (•£, X) = 0, 2хх(#, X) [ж, х] О
уж е L — {же Х| </г(я), £> = О, i = 1, ..,, аг}.
Достаточные условия экстремума. Если су-
ществует вектор Х = (1, Xi, ..., Хт) такой, что выполнено
соотношение (1) и для некоторого а>0
3? XX (а Ь)[*. ж]^а||ж||2 ужеЛ, ж=/=0,
то х е loc min з.
(Более общий результат см. в АТФ, с. 287, и далее в
п. 4.4.5.)
2.6.	Примеры.
Пример!. / (ж15 ж2) =" ж* + ж2 — (хг + ж2)2 -> extr.
Решение. 1. Очевидно, что 5'тах = +о°, а из следст-
вия теоремы Вейерштрасса вытекает, что минимум в за-
даче достигается.
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: /' (ж) = 0<=>
<=> 2x1 = хх Н- ж2, 2ж2 _ жг + ж2.
3.	Решая эти уравнения, находим стационарные точки
(О, 0), (1, 1), (-1, -1).
4.	Выпишем матрицы вторых производных в этих
точках:
<?W)V	h2*?-2
4f9rJu=i L -2
— 2
1222 - 2
4
0) = [-* 2г]<
Л2 = Л(1, 1) = Л(-1,-1) =
Матрица ~At является неотрицательно определенной, зна-
чит, точка (0, 0) удовлетворяет необходимому условию
второго порядка на максимум, но непосредственное рас-
смотрение функции / вблизи этой точки показывает, что
4*	51
(О, 0) loc extr. Матрица Аг является положительно опре-
деленной, следовательно, по достаточному условию точки
(1, 1) и (—1, —1) являются точками локального минимума,
а поскольку минимум существует, то они доставляют и
глобальный минимум.
Ответ. (О, 0)<^ loc extr; {(1, 1), (—1, — 1)} s abs min.
Пример 2. fix) — <Ах, хУ + <&, хУ + с -> extr (4 ==
= (aii)Zi=i“ обратимая симметричная матрица).
Стационарная точка здесь одна: fix) — 0 <=* Ах + b —
==0^х = — А~*Ь. Применяем достаточные условия. Име-
ем f"ix)[h, h] ~2<Ah, h>. Значит, для того, чтобы выпол-
нялось х sloe min необходимо, чтобы матрица А была не-
отрицательно определена (4 > 0). Но по условию 4 обра-
тима, т. е. х s loc min => 4 > 0. С другой стороны, если
4 > 0, То для некоторого а > 0 <Ах, хУ > а1Ы12 и, значит,
lim fix) =* оо. Тогда по теореме Вейерштрасса минимум
существует и, следовательно, х <= abs min. Аналогично до-
казывается, что х s abs max -*=► 4 < 0.
2.7.	О методе Ньютона. Для того чтобы решить задачу
без ограничений, нужно найти стационарные точки, т. е.
решения уравнения F'ix) ~ 0. Для решения таких урав-
нений существует один замечательный прием, принадле-
жащий Ньютону. Метод Ньютона рекуррентный. Для чис-
ловой функции F: ia, b)->R
Рис. 4.
он состоит в том, что после-
довательные приближения
ищутся по формуле
<^n+i = хп - iF'ixn))~lFixn),
n>0,	(1)
где за нулевое приближение
э берется некоторая достаточно
х близкая к корню х точка хъ.
Геометрический смысл этого
метода иллюстрирует рис. 4.
Метод Ньютона может
быть перенесен на уравнения
в банаховых пространствах. Для отображения F окрестно-
сти банахова пространства X в банахово пространство
Y можно написать соотношения, являющиеся полным
аналогом соотношений (1); следует лишь под iF'ixn))~l
52
понимать оператор, обратный к оператору F'(xn). Одна-
ко вычисление	в бесконечномерном случае обыч-
но бывает весьма трудоемким делом. Поэтому в бесконеч-
номерном (да и в конечномерном также) случае при
решении операторных уравнений пользуются модифици-
рованным методом Ньютона. Видоизменение состоит в
том, что вместо последовательности (1) рассматривают
последовательность, определяемую формулой
яп+1 = хп — (F'F(xn\ п > 0.	(2)
Здесь, как мы видим, участвует лишь один обратный опе-
ратор (F'(go)-)-1,	Модифицированным методом
Ньютона мы пользовались при доказательстве теоремы
Люстерника. Некоторые подробности о методе Ньютона
содержатся в КФ, § 3 гл. X.
Задачи
Решить задачи 2.1—2.20.
2.1.	х2 — ху + у2 — 2х + у extr.
2.2.	ху + 50Лг + 20/i/ extr.
2.3.	х2 — у2 — кх + Qy extr.
2.4.	5#2 + 4ху 4- у2 — 16х — 12у extr.
2.5.	Зя2 + 4ху + у2 — 8х — i2y extr.
2.6.	Xi + xl + х* — хгх2 +	— 2#3 -> extr.
2.7.	3xrx2 — x^x2 — хгх^ -> extr.
2.8.	kx + 3y extr; x2 P y2 = 1.
2.9.	x2 + y2 extr; 3x P 4г/ = 1.
2.10.	exv -* extr; x + y = l.
2.11.	5#2 + kxy + y2 -> extr; x + у = 1.
2.12.	3#2 P ^xy P yz -> extr; x P у — 1.
2.13.	xy2z3 -> extr; x + y+ z = 1.
2.14.	xyz -> extr; x2 + y2 + z2 — 1, x + у + z — 0.
2.15.	xyz extr; x2 + y2 + z2 < 1.
2.16.	2 я?-* extr; У, xf^l.
i=l	i=l
2.17.	2 a£->extr; 2 £?*C1.
i=l	i=l
2.18.	2xi + 2xt + 4r2 — З^з-> extr; 8^ — 3#2 P 3#3
40, — 2xr P x2 — xA= — 3, x2 0.
2.19.	e 1 2— xt — x2-^ extr; xt + x2^. 1, xt ^0,rr2^> 0.
2.20.	3#2 — ll^i — 3^2 — %з -* extr; хг — 7x2 + 3#3 +
4-7^0, 5^t + 2x2 — xz 2,	0.
53
2.21.	(Р) Разделить число 8 па две части так, чтобы
произведение их произведения па разность было макси-
мально (задача Тартальи).
2.22.	Найти прямоугольный треугольник наибольшей
площади, если сумма длин его катетов равна заданному
числу (задача Ферма). (Этой задачей Ферма иллюстриро-
вал свой метод нахождения минимумов — теорему Фер-
ма — в 1638 г.)
2.23.	На стороне ВС треугольника АВС найти точку
Е так, чтобы параллелограмм ADEF, у которого точки D
и F лежат соответственно на сторонах АВ и АС, имел
наибольшую площадь (задача Евклида). (Это — единствен-
ная задача на экстремум в «Началах» Евклида.)
2.24.	На некоторой фиксированной грани тетраэдра бе-
рется точка, через которую проводятся плоскости, парал-
лельные трем оставшимся граням. Выбрать точку таким
обр^ом, чтобы объем полученного параллелепипеда был
максимальным (обобщенная задача Евклида).
2.25.	Задача о полиноме Лежандра второй степени:
1
У (t2 4- xxt + ,r,)2 dt -> inf,
-i
2.26.	Задача о полиноме Лежандра третьей степени:
1
J (i3 4- xj2 4- x2t 4- д?3)2 dt-+ inf.
2.27.	Среди всех дискретных случайных величин, при-
нимающих п значений, н&йти случайную величину с наи-
большей энтропией. {Энтропией совокупности положитель-
ных чисел pi, ..., рп, в сумме равных единице, называет-
п
ся число Н — — 2 Рi In рг.)
i=l
2.28.	Найти закон преломления света па плоской гра-
нице двух однородных сред, пользуясь принципом Ферма,
согласно которому свет пз одной точки в другую попадает
за кратчайшее время.
2.29.	Вписать в круг прямоугольник максимально!!
площади.
2.30.	Вписать в круг треугольник максимальной пло-
щади.
2.31.	(Р) Среди цилиндров, вписанных в тар единич-
ного радйуса, найти цилиндр с максимальным объемом
(задача Кеплера). (Эха задача была поставлена и решена
54
Кеплером геометрически в «Стереометрии впнных бо-
чек» — 1615 г.)
2.32.	Вписать в единичный щар конус наибольшего
объема.
2.33.	Среди конусов, вписанных в шар единичного ра-
диуса, найти конус с максимальной боковой поверхностью.
2.34.	Вписать в единичный шар пространства Rn ци-
линдр наибольшего объема*) (обобщенная задача Кеп-
лера).
2.35.	Вписать в шар пространства R" прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
2.36.	Вписать в единичный шар пространства Rn конус
наибольшего объема *).
2.37.	Вписать в трехмерный шар тетраэдр наибольше-
го объема.
2.3$.	(Р) Вписать в шар пространства Rn симплекс
наибольшего объема.
2.39.	Среди треугольников данного периметра найти
треугольник наибольшей площади.
2.40.	Среди всех «-угольников, имеющих заданный пе-
риметр, найти «-угольник наибольшей площади (задача
Зенодора).
2.41.	Вписать в круг «-угольник наибольшей площади.
2.42.	(Р) Дан круг радиуса единица. На диаметре АВ
дана точка Е, через которую проведена хорда CD, Найти
положение хорды, при которой площадь четырехугольни-
ка ACBD максимальна. (Задача предлагалась на Всесоюз-
ной математической олимпиаде школьников в 1980 г. в
г. Саратове.)
2.43.	Найти в треугольнике такую точку, чтобы сумма
отношений длин сторон к расстояниям от этой точки до
соответствующих сторон была минимальной. (Задача пред-
лагалась на Международной математической олимпиаде
школьников в 1981 г. в г. Вашингтоне.)
2.44.	(Р) Вписать в круг треугольник с максимальной
суммой квадратов сторон.
2.45.	(Р) Даны угол и точка внутри него. Через эту
точку провести отрезок, имеющий концы на сторонах угла,
так, чтобы полученный треугольник имел наименьшую
площадь.
*) В задачах 2.34 и 2.36 возможны различные формализации,
связанные с разным пониманием терминов «цилиндр» и «конус».
У нас, далее цилиндр в Rn — произведение (и — 1)-мерного шара
на ортогональный отрезок, itonyc в Rn — выпуклая оболочка
(и — 1)-мерного шара и ортогонального ему отрезка.
55
2.46.	(Р) В задаче 2.45 минимизировать периметр тре-
угольника.
2*47. Найти наибольшую площадь четырехугольника
с заданными сторонами.
2.48.	(Р) Среди сегментов шаров, имеющих заданную
площадь боковой поверхности, найти сегмент наибольше-
го объема (задача Архимеда).
2.49.	На данной прямой найти точку С, чтобы сумма
расстояний от С до точек А и В была минимальной (за-
дача Герона).
2.50.	Среди всех тетраэдров с данными основанием и
высотой найти тетраэдр с наименьшей боковой поверх-
ностью.
2.51.	Среди всех тетраэдров с заданными основанием и
площадью боковой поверхности найти тетраэдр наиболь-
шего объема.
2.52.	Среди всех тетраэдров, имеющих заданную
площадь поверхности, найти тетраэдр наибольшего
объема.
2.53.	На плоскости даны три точки: х2 и х3. Найти
такую точку х0, чтобы сумма квадратов расстояний от х0
до Xi, х2, х3 была минимальной.
2.54.	В пространстве Rn задано N точек: хи ..., xN и
N положительных чисел: 7П(, ..., mN. Найти такую точку
х3, чтобы взвешенная сумма с весами пц квадратов рас-
стояний от х0 до xh ..., xN была наименьшей.
2,55.	Решить задачу 2.54 при условии, что искомая
точка х0 принадлежит единичному шару.
2.56.	Решить задачу 2.54 при условии, что искомая
точка х0 лежит на единичной сфере.
2.57.	Найти расстояние от точки до эллипса. Сколько
нормалей можно провести из точки к эллипсу (задача
Аполлония)?
2.58.	Решить задачу Аполлония для параболы.
2.59.	Решить задачу Аполлония для гиперболы.
2.60.	Найти расстояние от точки в пространстве Rn до
гиперплоскости.
2.61.	(Р) Найти расстояние от точки до гиперплоско-
сти в гильбертовом пространстве.
2.62.	Найти расстояние от точки в пространстве Rn до
прямой.
2.63.	Найти минимум линейного функционала I (х) =*
п
₽= 3 на единичном шаре.
г—1
56
2.64.	В эллипс х2/а2 + у2/Ъ2 — 1 вписать прямоугольник
наибольшей площади со сторонами, параллельными осям
координат.
2.65.	В эллипсоид х2/а2 +.y2/b2 4- z2/c2 ~ 1 вписать пря-
моугольный параллелепипед наибольшего объема с ребра-
ми, параллельными осям координат.
2.66.	На эллипсоиде х2/а2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 найти точ-
ку, наиболее удаленную от начала координат.
2.67.	(Р) Доказать неравенство для средних степенных:
2.68. Доказать неравенство:
О < q
средним арифмети-
2.69. Доказать неравенство между
ческим и средним геометрическим:
I = 1, ... ,п.
2.70. (Р) Доказать неравенство Гёльдера:
1<р.
2.71.	Доказать неравенство Минковского:
(п	\	1/р	/	п	\ 1/р	/ п	\
5 [ хг +	У г |Р I	I 2	| Xi	|₽ j	+	I 2	|	Уг Г I	5
1=1	/	\ 1=1	/	\1=1	/
1<р.
В задачах 2.72—2.76 методом Ньютона решить уравне-
ния с заданной начальной точкой х0.
2.72.	ех—2 = 0,	=
2.73.	5xi “Ь 2xiX% — 2xix3 4- 4^2 4* 4^2^з 4~ *^з 4" 2xi 4*
4-	хг 4- х9 = 0,	= (1,1,1).
2.74.	4^1 — 2xix%-{~ 2х%х3-1- Зх% 4" 2тд — Xi 4- х^ — х$ 0,
Xff ~ (1?	1»	1)*
57
2.75.	6^i +	— 2xvxz + 5x% + 6x2^3 + 4z?3 + 3.^ —
— 2x<2 + z3 = 0, x^ — (2,1,1).
2.76.	(2zt + x2 + £3)2 + (zt + x2 — x3Y + (xt — x2 + 3z3)2 =*
= 0, x0 — (—1, 1, —1).
2.77.	Вычислить методом Ньютона отрицательный ко-
рень уравнения я4 — Зх2 + 75х — 10 000 = 0 с пятью верны-
ми знаками.
2.78.	Найти по методу Ньютона наименьший положи-
тельный корень уравнения tg х = х с точностью до
0,00001.
2.79.	Вычислить с точностью до 0,0005 единственный
положительный корень уравнения х5 — х — 0,2 = 0.
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
3.1.	Основные понятия.
3.	1,1. Выпуклые множества и функции. Пусть X — ве-
щественное линейное пространство. Множество А с X на-
зывается выпуклым, если из условия .г,, х2<=А следует,
что [х1г х2] = {xlx — tzXi 4- (1 — а)^2, я <= (0, 11} <= А. Пусюе
множество выпукло по определению. Множество К а: X
называется конусом, если из х К следует, что ах е
еК V а > 0. Выпуклые конусы — это конусы, являю-
щиеся выпуклыми множествами.
С каждой функцией /: X -> R, принимающей значения
в расширенной области действительной прямой, связаны
два множества:
dom / = {x\f(x) < +°°},
epi / = {(а, х) <= R X Х|а > /(z), х <= dom /},
называемые эффективным множеством и надграфиком
(эпиграфом) функции /.
Функция / называется выпуклой, если epi / — выпуклое
множество в RXX. Функция, у которой dom/¥=0 и
/ (х) > — оо ух, называется собственной. Функцию
р: X -> R будем называть выпуклой однородной, если
epi р — выпуклый конус в R X X.
Простейшие свойства выпуклых множеств и функций,
а также ряд сопутствующих понятий (выпуклая, кониче-
ская, лпнейная и аффинная комбинации и оболочки,
выпуклый многогранник, симплекс п т. п.) описаны в
АТФ, с. 208-—216. Папомппм только два обозначения:
convA— выпуклая оболочка и cone А — коническая обо-
лочка множества А,
Пусть X — нормированное пространство, X* — к нему
сопряженное. Пересечение всех выпуклых замкнутых мно-
жеств, содержащих данное множество А, называется вы-
пуклым замыканием А и обозначается conv Л. Функция
/, определяемая условием epi / = epi /, называется замыка-
нием f, а функция conv/, задаваемая соотношением
epi conv / = conv epi /, называется выпуклым замыканием j.
Таким образом, conv/ есть наибольшая из выпуклых
замкнутых функций, не превосходящих /. Функция / на-
зывается замкнутой, если / = /.
3.	1.2. Основные операторы. Особенность выпуклых объ-
ектов состоит в возможности их двойного описания — в ос-
новном и сопряженном пространствах. В выпуклом ана-
лизе известно несколько преобразований, связанных с та-
кого рода двойными описаниями. Важнейшие среди них —
операции сопряжения для функций и конусов, поляры
для множеств и субдпфференцированпя для выпуклых .од-
нородных функций.
Преобразованием Лежандра — Юнга — Фенхеля функ-
ции j, или функцией, сопряженной с /, называется функ-
ция на сопряженном пространстве:
/*U*) — sup (<£*, хУ — jkxY).
х
Функция
f**{x) = sup (<#*, хУ — /*Сг*))
х*
называется второй сопряженной к f. Из определения со-
пряженной функции следует неравенство <х*, х> <
С /Ст) + f*(x*), называемое неравенством Юнга.
Полярой множества А называется следующее множе-
ство в X*:
А° — {х* е X* | <#*, х) 1 ViG/i}.
При этом /100=
Сопряженным конусом к конусу К называется конус
в X*:
К* = {х* е X* J (х*, х) 0 Vxe К}.
При этом К** = {х^ X] О*,	Vx* К*},
Субдифференциалом выпуклой однородной функции р
называется следующее множество в X*:
др = {х* е X* | <х*, х) ^р (х) Ух <=
59
Субдифференциалом выпуклой функции / в точке х
называется следующее множество в X*:
dfix) = {х* еХ*\Сх*, х — хУ fix) — fix')}.
Таким образом, если / выпукла и однородна, то df = 5/(0),
Пусть А — подмножество X. Важную роль в выпуклом
анализе играют следующие функции:
а)	индикаторная функция
6А (х) =
0, xgA,
+ оо, хф А;
б)	функция Минковского
рА (х) —
О, ах^А Va>0,
оо, ах ф A Va > О,
inf {а > 01 а-1# е Л} в остальных случаях;
в)	опорная функция
«Л (ж*) = sup <ж*, х}.
х=А
3.2.	Основные теоремы и формулы выпуклого анализа.
В этом пункте всюду X — нормированное пространство,
X* — его сопряженное.
3.2.1.	Теорема инволютивности. Напомним, что опера-
тор называется инволютивным, если его квадрат является
единичным оператором.
Теорема, а) Для того чтобы для собственной функ-
ции / имело место равенство f** — f, необходимо и доста-
точно, чтобы / была выпукла и замкнута.
б)	Для того чтобы для непустого множества А имело
место равенство А00 —А, необходимо и достаточно, чтобы
А было выпукло, замкнуто и содержало нуль.
в)	Для того чтобы для непустого конуса К имело мес-
то равенство X** — К, необходимо и достаточно, чтобы К
был выпуклым и замкнутым.
Утверждение а) называют теоремой Фенхеля — Моро.
3.2.2.	Двойственность опорной функции и субдифферен-
циала.
Теорема, а) Для того чтобы для некоторой однород-
ной функции имело место соотношение sdp — р, необхо-
димо и достаточно, чтобы р была выпуклой и замкнутой.
б)	Для того чтобы для множества А имело место со-
отношение dsA—A, необходимо и достаточно, чтобы А
было выпукло и замкнуто.
60
3.2.3.	Основные формулы субдифференциального ис-
числения. Обозначим (Л V fjtx) = max {fM,
Теорема 1. а) Пусть Д и — выпуклые' функции
на X и в некоторой точке х, где /2 конечна, функция Д
непрерывна. Тогда в любой точке х^Х имеет место
формула
d(fi + f2)(x) = djM + dfz(x).
б)	Пусть Д и /2 — выпуклые непрерывные в точке х
функции на X и fl(x) = f2(x'). Тогда имеет место формула
d(/i V J2)U) = conv (dfi(x) U df2(x)).
(Для выпуклых однородных функций х = 0, а фор-
мулы приобретают вид
d(pi + р2) — dpi + др2 и d(pi V р2) — convfdpt U дрг).)
Утверждение а) называют теоремой Моро — Рокафел-
лара, утверждение б) — теоремой Дубовицкого — Милю-
тина. Этот последний результат допускает значительное
усиление, принадлежащее в окончательной форме
В. Л. Левину.
Теорема 2 (об очистке). Пусть Т — компакт, (t, х) -*
j(t, х) — функция на Т X Rn, выпуклая и замкнутая
по х при каждом t, полунепрерывная сверху по t при
каждом x^Rn и такая, что функция x-+j(t, х) непре-
рывна в х при любом t^T. Положим /(я) =max/U, я),
t
Т0(х) = {te Т\Дх) — f(t, х)}. Тогда всякий элемент у&
Г
e-dftx') представим в виде у= 2 агУг, где г п + 1,
1=1
Г
аг>0, 2аг= 1. dxf(ti,x) (субдифференциал по х\
^1=1
ТДх), 1 = 1, ..., г.
3.2.4.	Основные формулы выпуклого анализа. Исчис-
ление выпуклых множеств и функций включает в себя
ряд формул, связывающих введенные в п. 3.1.2 преобра-
зования с операциями над множествами и функциями.
Определим сначала некоторые наиболее употребительные
операции.
Операции над функциями.
1)	Сумма: (^ + f2Hx) = fj(x) + f2(x).
2)	Конволюция:	(Д ®/2)(х) = inf {//Xi) + f2(x2)|x1+
4 x2 = x}.
61
3)	Максимум: (Д V/2)(:г) = max (/t(z), /2(я)).
4)	Выпуклая оболочка минимума: (Д conv Д f2)(x) =»
=® min{a/i(#i) + (1 — а)/2(.га) Ю С а С 1, tzxi + (1 — а)т2 =
— х}.
Операции над множествами.
1)	Сумма: At + А2 — {х\х — xL 4- х2, xx^Ai, х2<=А2}.
2)	Кцнволюция: Аг Г+| А2 = J (ах^ Г) (1 — а) 42).
3)	Выпуклая оболочка объединения: Л1сопуиЛ2 =
— conv (4i U 42).
Таблица
д(Р1 + Pa) = дР1 + др2,	д(рг V Ра) = дрг conv U др.2,
d(Pi V р2) = дР1 [+] др2,	д(рх conv А р2) = дрх Л др2\
s(x4i + Л2) = 5ЛХ + sx42,	в(Лх П Л2) £* sAt conv Д «А ££
sAt ф 5x42,
s(Ai |~+] Л2) = V 5x42,	s(4x conv 1Мг) = 5ЛХ V s^2,
(Лх +Л2)°= Л® ИЛ®,	(Л1ПЛ2)° ~ л; conv и л°;
(Лх Щ Л2)° ~ Л» + Л»,	(Лх conv U Л2)° = Л°_Л Л °;
ц(Лх + Л2) цЛ1 V цЛ2,	ц(Лх П Л2) = цЛ1 V М2,
ц(А [+]^Д— Ml + М‘2>	conv и А 2) = цЛ1 conv А
Д цЛ2 s цЛ1 ф цЛ2;
+ К2)* = п к}, (Я1№)*	< + К*.
Мы пишем = , если равенство имеет место без дополнительных
допущений, и s , если оно имеет место лишь при некоторых требо-
ваниях относительно непрерывности функций или наличия внутрен-
них точек множеств.
4)	Пересечение: x4j Л х42.
Операции над выпуклыми однородными функциями.
Помимо тех операций, которые имеют место для функ-
ций, введем еще одну:
Pi v Рг = sup {apj ® (1 — a)p2IO a 1).
Операции над конусами. Здесь имеются те же опера-
ции, что и в случае множеств, но при этом надо иметь
в виду, что для конусов копволюция равносильна пере-
сечению, а выпуклая оболочка объединения — сумме.
Результаты, относящиеся к операции сопряжения для
функций, выделим в виде теорем, а остальные сведем в
таблицу.
Теорема, а) Пусть fi и /2 —• функции на X. Тогда
(fi © /2)* — fi + /*• Если же fi и f2 — выпуклые соб-
62
ственные функции и существует точка х, в которой f2 ко-
нечна, a fi непрерывна, то (Д + Д)* ~ /1 ® Д-
б) Пусть Д и функции на X. Тогда (/xConv Д
Л /г)* ~ /* V /*• Если же Д и f2 выпуклы, конечны и
непрерывны на X, то (Д V Д)* = Д conv Д Д.
3.2.5.	Доказательств» теорем. Все утверждения, сфор-
мулированные в этом, пункте (за исключением теоремы
об очистке), мы редуцируем к теореме о свойствах пре-
образования Лежандра — Юнга — Фенхеля (пп. 3.2.1 и
3.2.4).
Для удобства полезно обозначить /* через If; А0 — че-
рез лА, К* — через оК. Далее, I, л, о, д, s, ц и б рас-
сматриваются как операторы, действующие па соответ-
ствующих объектах. Например, I переводит функции на
X (X*) в функции на X* (X), л переводит множества из
X (X*) в множества X* (X), д переводит выпуклые одно-
родные функции на X (X*) в множества из X* (X) и т.д.
Приведем несколько простейших формул, связываю-
щих введенные операторы (Л — множество, р — выпуклая
однородная функция, К — конус):
def
1.	Ш = sA.
2.	l[iA — блЛ.
< ДрЛ) (£*)==-- sup ({х*, х} — inf {а |а >• 0, х/а^ А}) =
[О, х* €= лЛ,
-а)= 1+оо,ж*^ЛЛ >
3.	О е= Л => sA = цлЛ.
< 0 Л => sA(x*) > 0. Если «Л(х*) = 0, то весь луч
ах* принадлежит поляре и, значит, цлЛ(х*) = 0. Пусть
уЛ(ж*)>-0. Тогда Va >» 0=> sA (rr*/a) = a~rsA (х*), т. е.
sA (х*) = inf {а | <х*/а, х")	лЛ} = ц лЛ (х*} >,
4.	1р — 8др.
< lp^ sup «я*, х) — р (х)) ~
0, <>*, р (лг), Ух, dGf
— ,	== 6 др >,
14~оо, в остальных случаях
_ def ,.
5.	<зК = — л/Г.
6.	sK = бпЛ.
7,	блХ^Ьх,
63
Пусть Ai и Л2 — множества в X. Тогда из определений
легко выводятся равенства:
8.	б(Л1 + Л2) = 6Л1®6Л2.
9.	6(Лi П Л2) = 6Лt V 6Л2 = 6Лt + 6Л2.
10.	6(Л1 conv U Л2) = 6Л1 conv А 6Л2.
Запишем теперь символически результаты теорем
1ш. 3.2Л и 3.2.4, касающиеся оператора I:
l2f=f,	(1)
Z(A + /2) = Z/1	Ф Z/2,	(2)
Z(A ® /2) = lh	+ Z/2,	(3)
Z(/i V/2) a* Ifi conv A lf2,	(4)
Z(/i conv A /2) =	Ifi V Ifz.	(5)
В (2) —(4) мы также пишем —, если равенство име-
ет место без дополнительных допущений, и =, если нуж-
но наложить некоторые требования относительно непре-
рывности функций /t и /2. (Утверждение (1) доказано в
АТФ, с. 227; см. также [13], с. 186. Утверждения (2) —
(5) доказаны в [13], с. 188—194.)
А теперь выведем из выписанных соотношений неко-
торые из сформулированных теорем, предоставив читате-
лю доказать остальные.
Теорема п. 3.2.1.
<1 Пункт а) есть теорема Фенхеля — Моро (1). Необхо-
димость пп. б) и в) очевидна. Докажем достаточность.
б) Пусть Л выпукло, замкнуто и содержит нуль.
Тогда
6л2Л = /рлЛ = IsA ± 1ЧА = 6Л => Л00 = Л.	(6)
в) Пусть К — выпуклый и замкнутый конус. Тогда
Ж~(-я)(-л)К = я2К~К. >
Теорема 1 п. 3.2.3. Докажем пункт а) теоремы для
выпуклых однородных функций.
< 6 (дрх + др^ = Ьдрг ф 6dp2 =^= Zpi ф 1р2
Z (pj + р2) = 6д (pj 4- р2). >
Для неоднородных функций результат теоремы 1
п. 3.2.3 следует из того обстоятельства, что для выпуклых
функций <9/(.г) = др, где р(х) — f'(x, х) = lim (/(я + ах) —
ж	«-! о
— f(x))a~i (подробности см. в [13], с. 207, 208),
64
Докажем теперь несколько формул из таблицы,
А)	Пусть pi и р2 — две конечные и непрерывные на
А’ выпуклые однородные функции. Тогда diptVр2)—
— dpi conv Д др2.
< (Pi V Рг)^1 (Pi V Рг) tPi conv Л ^2=
= Ьдрг conv Д Ьдр2	conv J dp2)t >
Б) Пусть Ai и А2 выпуклы и int А, П А2 ¥= 0, Тогда
s(Ai П А2) = sAi © sA2.
1	ft	(2^
< S (Л; П 4) = in (Л, П 4) — I (6Л, + 64) «
=— Z6Aj ф Z6A2 = sAx ф sA2.
В)	Пусть Ki и K2 — выпуклые конусы и int Ki Г) K2
¥ 0. Тогда (Кг П К2)* = К* + К2.
< п К2) -«(«, л К2) s. SK, ® SK2 i
= ПпК2 ф 6л6'2 — 6 (лХ, + пК2). >
Остальные формулы доказываются аналогично.
Упражнения.
1.	Доказать, что конус К является выпуклым тогда
и только тогда, когда из условия xit х2^К следует, что
Xi А- х2^ К.
2.	Доказать^ что для выпуклости собственной функ-
ции / необходимо и достаточно, чтобы неравенство Йен-
сена /(a^j + (1 — аж2)) а/Сж^ + (1 — а)/(ж2) выполня-
лось Уж1? ж2еА', Vae[0,l|.
3.	Доказать, что функция р является выпуклой одно-
родной на пространстве X тогда и только тогда, когда
р (аж) = ар (ж) Va > О, Уж<=Х и р (х± + ж2) р (жг) +
+ Р Ы ^ж1? х2 е X,
к. Доказать, что не существует выпуклой ограничен-
ной функции, определенной на всей прямой и отличной
от константы.
5.	Доказать, что любая выпуклая функция, конеч-
ная на всей прямой, непрерывна.
6.	Доказать, что сопряженная функция является вы-
пуклой и замкнутой.
7.	Доказать, что функция, сопряженная к собственной
функции, также является собственной.
8.	Доказать, что поляра множества А <= Rn является
выпуклым и замкнутым множеством в Rn.
5 В. м. Алексеев и др.
65
9.	Доказать, что субдифференциал выпуклой однород-
ной функции является выпуклым и замкнутым множе-
ством в Rn.
10.	Доказать, что индикаторная функция выпуклого
множества является выпуклой.
И. Доказать, что функция Минковского выпуклого
множества является выпуклой однородной.
12. Доказать, что опорная функция множества явля-
ется выпуклой.
13. Показать, что условие выпуклости в п. а) теоре-
мы п. 3.2.4 является существенным.
Задачи
3.1.	Выяснить, при каких значениях параметров дан-
ные функции являются выпуклыми:
а) /(х) »»ах2 + Ьх 4- с; б) f(x) « ае2х 4- Ьех 4- с;
в) f(Xi, ха) •* (lx1lp4- lxtlp)i/p, р>0;
Г) / (х^, Х2) в ®11^1 “Ь 2н^2Х^Х2	^28^2*
3.2.	Являются ли выпуклыми следующие функции:
а)	/(х) «= xlnx 4- (1 — х) In (1 — х), хе (0, 1);
б)	/ (х) — inf {xj 4- х\ | xt + х2 =» х}?
3.3.	Найти сопряженные функции от следующих функ-
ций одного переменного:
а)	ех; б) ахг + Ьх + с; в) [х|р/р, р > 0;
г)	6{0) — индикаторная функция множества А = {0};
— 1пх, х>0,
д)	б(а, &]; е)/(х)«	Q
’•’у” UAJ у	V*
3.4.	Найти сопряженные функции от следующих
функций многих переменных:
a)	aiXi + а2ха + Ъ;
б)	аих? 4- 2а12х1х2 4- л22х1; в) е
м) «11^1 -г	” ^гг 2’	' ”	’
г) 6В, где 5 = {(х!, ха) е R2I |x1/tz1lp4- lx2/a2lp 1),
д) f(xif ..., хп) *• max <xb ..., xn}.
3.5.	Найти Кторыё сопряженные функции от следую-
щих функций:
a) Vlxl; б) (х2—I)2; в) sinx;
г) 1/х2; д) |х[4-|х-а|; е) Нх| — 11.
3.6.	Найти сопряженную функцию от функции /:
С([0, U)-*R, /(х(’))= max x(t).

3.7.	Найти поляры следующих множеств на плоскости:
а) Л = {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)};
66
б)	А = ((я15 я2) | х{ + я* < Hl
в)	треугольник с вершинами в точках (1,0), (—1/2,
±Уз72)*
г)	Бр — {(хи x2)ll;rjp + |rr2Ip 1), р>1;
Д) А — {(хг, #2) I ^i/ai + ^2/^2	1} •
3.8.	Вычислить субдифференциалы следующих вы-
пуклых однородных функций одной переменной:
а) |ж|; б) тах{£, 0); в) max {—я, 0).
3.9.	Вычислить субдифференциалы следующих выпук-
лых однородных функций многих переменных:
def ( п V^2
а) ] х |I 2 %г I I б) max | хг
\г=1	/	г=1, ..,п
в) max хг; г) max {0, <а, х)}, аЕЕК\
г=1,..,,п
3.10.	Вычислить субдифференциал следующей выпук-
лой однородной функции в пространстве О([0,1]):
/(И-)) = maxrU).
#6[0 1]
3.11.	Найти субдифференциал нормы (как выпуклой
однородной функции) в нормированном пространстве.
3.12.	Найти суб дифференциал df(x) следующих вы-
пуклых функций:
a)	X = R, j{x) = max {ех, 1 — х},х = 0;
б)	Х = С([0, Н), /Ы-)) — max Ix(i)|, я(£) = sinЗл£.
#€=[0,1]
8.13.	Найти функцию Минковского для треугольника
с вершинами в точках (1, 0), (—1/2, ±V3/2).
3.14.	Найти сопряженную функцию от функции Мин-
ковского.
3.15.	Привести пример выпуклой замкнутой функ-
ции / и точки х таких, что 1/(2)1<°°, д](х') = 0.
3.16.	(Р) Доказать, что если /: Rn -> R и при этом
/*(#) «=/(л), то f(x) = |д?|2/2.
3.17.	(Р) Доказать, что если поляра множества в ев-
клидовом пространстве совпадает с самим множеством,
то это множество является единичным шаром.
3.18.	Привести пример выпуклой, но не замкнутой
функции.
3.19.	Показать на примере, что суперпозиция двух
выпуклых функций не всегда выпукла.
3.20.	Показать на примере, что сумма двух выпук-
лых замкнутых функций не всегда является выпуклой
замкнутой функцией.
67
§ 4. ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ
4.1.	Принцип Лагранжа в выпуклом программиро-
вании.
4.1.1.	Постановка задачи. Задачей выпуклого про-
граммирования (или выпуклой задачей) называется сле-
дующая экстремальная задача:
/0(х) -* inf; /<(ж)	0, ief, ..., т, х<=А.	(з)
Здесь X -> R, 1 = 0, 1, ..., т,—выпуклые функции
(функционалы), отображающие некоторое линейное (не
обязательно нормированное) пространство X в расши-
ренную прямую, А — выпуклое подмножество в X.
Поскольку из выпуклости функции / не следует, во-
обще говоря, выпуклость функции —/, то существенно,
что (з) — задача не максимизации, а минимизации.
Точка х называется допустимой в (з), если х<=А и
fi(x) О, :«1, ..., т.
Лемма. Пусть X — нормированное пространство.
В выпуклой задаче локальный минимум является и гло-
бальным.
< Пусть х е loc min з. Это означает, что существует
окрестность °U точки х такая, что —«® < /0(я) < /0(^) для
любой допустимой точки х е °11. Возьмем произвольную
допустимую точку х. Тогда при достаточно малом <х > О
вектор х = (1 — а)х + ах ® °U и является допустимым.
Следовательно, по неравенству Иенссена /0(z)^/0(x)<
< (1 — а)/0(^) + а/(я), откуда /0(я) < fo(x), >
Поэтому в дальнейшем в выпуклых задачах мы, го-
воря «минимум», имеем в виду абсолютный минимум.
4.1.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
ТП
3? (х, %) = 2 ^ifi (%)•
i=0
(СИраничение х&А в функцию Лагранжа не включа-
ется.)
2.	Выписать необходимые условия минимума:
а)	принцип минимума
min3?(х, X) =27(х, %);
Хе А
б)	условие дополняющей нежесткости
kjztx) == О, {=1, т;
68
в)	условие неотрицательности
Xt >0, i = 0, 1, ..т.
3.	Найти критические точки, т. е. допустимые точки,
удовлетворяющие условиям п. 2. При этом бывает по-
лезно рассмотреть отдельно случаи Хо = 0 и Хо 0.
Во втором случае можно положить Хо равным единице
пли любой другой положительной константе. Если вы-
полняется условие Слейтера, т. е. существует точка' х е
& А, для которой /г(л)<0, i~l, ..., т, то Хо^О.
4.	Если критическая точка найдена при Хо 0, то она
является решением задачи. Если она найдена при Хо — 0,
то требуется дополнительное рассмотрение того, достав-
ляет она минимум или нет.
Правило решения выписано в соответствии с прин-
ципом Лагранжа. Соотношение а) показывает, что необ-
ходимые условия минимума функционала в задаче с ог-
раничениями являются необходимыми условиями мини-
мума функции Лагранжа, в которую включены все ог-
раничения, кроме ограничения типа включения. Условия
б) и в) являются обычными условиями дополняющей
нежесткости и неотрицательности, присущими принципу
Лагранжа в задачах с неравенствами (см. § 2).
4.1.3.	Теорема Куна — Таккера.
Теорема. 1. Пусть X — линейное пространство,
fi‘ X -> R, i = 0, 1, ..., пг,—выпуклые функции на X,
А — выпуклое подмножество X.
Тогда, если х является решением задачи выпуклого
программирования, то найдется ненулевой вектор мно-
жителей Лагранжа X = (Хо, Хъ ..., Xm) такой, что вы-
полняются:
а)	принцип минимума для функции Лагранжа
minSHz, X) =3?(х,
хе а
б)	условие дополняющей нежесткости
KfAx) — 0, i = 1, ..., m;
в)	условие неотрицательности
X, 0, I == 0, 1, ..., т.
2.	Если Хо 0, то условия а) — в) достаточны для то-
го, чтобы допустимая точка х была решением задачи.
69
3.	Для того чтобы Л.о О, достаточно выполнения ус*
ловил Слейтера, т. е. существования точки $е4, оля
которой ftix) < 0, i =*= 1, ..., m (АТФ, с. 52).
4.1.4.	Задачи без ограничений. Выпуклой задачей без
ограничений называется следующая задача:
__	fix) -> inf.	(з)
Здесь /: X -* R — собственная выпуклая функция, ото-
бражающая некоторое линейное пространство X в рас-
ширенную прямую.
Теорема (аналог теоремы Ферма). Для того чтобы
точка х доставляла в задаче (з) абсолютный минимум,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
O&dfix).
<1 Необходимость. х& abs min з => /(х) — fix) >
> 0 = <0, х — 2> => 0е бДж).
Достаточность. 0 d/(z) =>/(я)— /(#)> <0, х —
— х> — (к=> х ® abs min з. >
4.2.	Теория двойственности.
4.2.1.	Двойственность экстремальных задач. В преды-
дущем параграфе говорилось о том, что выпуклые объ-
екты допускают возможность двойного описания. В част-
ности, это относится и к выпуклому программированию.
Основной принцип построения двойственной задачи со-
стоит в следующем. Пусть нам дана задача минимизации
/(я)-* inf, х&Х,	(з)
где X — некоторое линейное пространство, а /: X -* R —
функция на X. Ее включают в класс подобных задач,
зависящих от некоторого параметра (который мы обозна-
чим через у), пробегающего другое линейное простран-
ство Y. Иначе говоря, рассматривают серию задач
Fix, y)^inf, х&Х,	(s(z/))
где Г: X X Y R, Fix, 0) = fix).
Функцию F называют возмущением f, а серию {з(у)1 —
возмущением (з). Разумеется, возмущения можно выби-
рать самыми разными путями и в зависимости от этого
будут получаться различные двойственные задачи. Ста-
раются подобрать возмущение так, чтобы функция F бы-
ла выпуклой. Численное значение задачи iaiy)) обозна-
чают через Siy) и называют S-функцией серии {3iy)}e
70
Лемма 1. Пусть функция (х, y)\-*-F(x, у) выпук-
ла на произведении линейных пространств X и Y. Тогда
S-функция Sky) = inf/’(я, у) также выпукла на Y,
х
<1 Это — простое следствие определений; см. АТФ,
с. 264. >
Предположим теперь, что функция S замкнута вену-
ле, т. е. 5**(0) = 5(0). Это предположение, разумеется,
выполнено не всегда, но очень часто можно опереться на
следующий результат.
Лемма 2. Пусть X — нормированное пространство,
Ъ X->R.
а)	Для того чтобы собственная выпуклая функция
была замкнутой в некоторой точке, достаточно, чтобы
она была непрерывной в этой точке.
б)	Для того чтобы выпуклая функция была непре-
рывной во внутренней части своей эффективной области,
достаточно, чтобы она была конечной в некоторой точке
области и ограничена сверху в некоторой окрестности
этой точки (АТФ, с. 219).
Итак, пусть S выпукла и замкнута в нуле. Вычислим
сопряженную функцию 5*, предполагая, что X и Y —
нормированные пространства, а X*, У* — их сопряжен-
ные. Имеем
def
s* (y*)^sup«y*,y> — S (y))= sup«y*,y> — inf F{x, y))=
V	V	X
= su-p sup — F{x,y)) = sup (<y*,y> — F(x, y)) =
V X	(x,y)
def
= sup «0, xy + <y*, y) — F {x, y)) = F* (0, y*).
(х,У)
Отсюда S (0) = 5** (0) = sup (— F* (0, y*)).
v*
Таким образом, численное значение (з) оказывается
равным численному значению следующей задачи:
<р(у*)—> sup, у* е У*,	(з*)
где <р(у*) = —F*(0, у*). (з*) называют двойственной к
(з) по отношению к возмущению {з(у)}. Мы пришли к
следующей схеме:
(з) fkx) inff ср(у*)-> sup,	(з*)
(з(у)) Fkx, у) -> inf; Ф(х*, у*) — —F*kx*, у*) -> sup,
kz*kx*))
fkx) = Fkx, 0),
ср(у*) = Ф(0, у*).
71
Если S выпукла и замкнута в нуле, то значения пря-
мой и двойственной задач совпадают. Зачастую двой-
ственная задача проще исходной, а иногда у двойствен-
ной существует решение, в то время как у прямой ре-
шения нет. Далее мы применяем описанный метод к
обшей задаче выпуклого программирования.
Равенства 5(0) = 5(0) = 5**(0) основывают обычно
па теореме Фенхеля — Моро, о которой говорилось в
п. 3.2.1.
4.2.2. Теорема двойственности для задач выпуклого
программирования.-Пусть X и Y — нормированные про-
странства, X -* R, 2 = 0, 1, ..., т,— выпуклые функ-
ции на X, Л — линейный непрерывный оператор из X в
Y, A cr X — выпуклое множество, b е У, ах е R, 2 = 1, ...
..., т.
Задачу
/о(я)inf; Д(я) < <Zi, 2 = 1, ..., т, Хх=*=Ъ, х<=А, (з)
включим в семейство задач
/0Сг) -* inf;	(з(а, тр)
/,(#) 4-а» < а», 2 = 1, ...,т, Лл:+г| = Ь, х<=А.
Семейство {з(а, тр) является возмущением задачи
з = з(0, 0). Положим
если /г(х) 4- аг, Ах 4- г) = Ь, х<=А,
F (х* сс л) —\
' ’ ’ 17 1+оо в остальных случаях.
(1)
Тогда з(а, г|) можно записать в виде элементарной за-
дачи
(з(а, тр) <=> F{x\ а, гр inf (по х <= X).
Численное значение з(а, тр, т. е. inf f0(x), при ука-
занных ограничениях обозначим через S, S: Rm X Y -► R,
и будем называть 5-функцией:
5(а, rp=infjF(;r; а, тр.
X
Лемма 1. При сделанных выше допущениях функ-
ция F(x; а, тр, определяемая равенством (1), выпукла на
XXWXY (АТФ, с. 264).
Отсюда и из леммы 1 предыдущего пункта следует
выпуклость 5-функции семейства {з(а,тр}.
72
Лемма 2. Сопряженная функция к S-функции се-
мейства {з(а, ц)} имеет вид
'	m	\
— inf /0(я) +	&> »
х=А\	1=1	/
1+оо, A^R?.
<1 По определению,
5* (A, rj*) = sup (<А, а) + <л*> Л> — inf ? U’> а> Л)^ —
(а,В) \	х	J
= sup «А,а> + <Л*,Л> — ^(я;а,Л))^
(а,т],х)
— sup «А,а> + <Л*,Л> — W) =
аг<аг-/а(х)
xSA,Ax-bri=b
m
sup
х=А
- /о W - 2x,(/.w-a,)-<>!*,A^-i> , ?. е R”
1=1
l+oo, A^R?,
что и требовалось. >
Таким образом, в соответствии с общим правилом
п. 4.2.1 получаем двойственную задачу
ф(А, т]*) = inf 2?{х, ц*, 1, А)sup, А> 0, 1]*еУ*,
х=А
где А == (Alt ..., Am), S (х, ц*, 1, А) = /0 (х) + 2 М(Л(я) ~
— at) + <Т)*, Ах — Ь>.
Теорема двойственности. Если S-функция
семейства {з(а, т])} непрерывна в точке (0, 0), то для
любых (а, т]) <= int (dom S)
^(а,Л)= sup «А, а> + <п*,Л> + ф(А, П*))-
Х>О,т]*=У*
< Теорема сразу вытекает из сказанного в предыду-
щем пункте, а также лемм 1 и 2. >
4.3.	Линейное программирование. Важным классом
выпуклых задач являются задачи линейного программи-
рования, в которых ищутся экстремумы линейных функ-
ционалов при ограничениях типа равенств и неравенств,
задаваемых также линейными функционалами:
<с, х>-> sup (inf); Ах b (Ах^Ь),	(з)
73
где х s Rn, r£Rn, b s R\ А—матрица co столбцами
a\ ..an, a’s Rn, неравенства понимаются как коорди-
натные.
Теория задач типа (з) разработана детально и глубо-
ко. О теоремах существования и двойственности для (з)
см. АТФ, с. 269—275. Основным методом решения задач
линейного программирования является симплекс-метод.
Теория линейного программирования изложена в книгах
[6, 7, 11, 14] и др. В задачнике [12] имеется большое
количество задач по линейному программированию.
4.4.	Выпуклый анализ и теория экстремальных задач.
4.4.1.	Необходимые условия первого порядка в зада-
че с неравенствами. Рассмотрим задачу
f0(x) -* inf; ft(x) < 0, i = 1, ..., m, — О, (з)
где fit <и -* R, i = 0, 1, ..., m, F: °U-+Y-,
X и У — нормированные пространства. Функция Лагран-
жа этой задачи имеет вид:
m
i=0
Теорема. Пусть в (з) X и Y — банаховы простран-
ства, fi^SD(z), F е SD(x, У) и ImF(x)—замкнутое
подпространство. Тогда, если х е loc min з, то существует
ненулевой множитель Лагранжа X — (а, у*) <= Rm+1 X У*
такой, что выполнены:
а)	условие стационарности 3?х(х, Х) = 0;
б)	условие дополняющей нежесткости ajd.x)—0,
i>l;
в)	условие неотрицательности а, > 0, i > 0.
<1 Положим F' (х) — А, fdx) = х*, z^O. Не огра-
ничивая общности, можно считать, что /,(#) = 0, i > 0.
Действительно, если /0(^)	0, то следует рассмотреть
функцию /о(^) =/о(^) —/о(^), а если /го(#)<0, то это ог-
раничение можно отбросить, ибо если х<^ loc mins, то
очевидно, что х е loc min з0, где z0-e ограничение отбро-
шено. Таким образом, можно считать, что условие до-
полняющей нежесткости выполнено (следует положить
Х{ а 0 для тех г>1, для которых /,(д;)¥’0).
А)	Вырожденный случай. 1mA есть собствен-
ное подпространство У. Тогда по лемме о нетривиаль-
74
ности аннулятора найдется у* 0 такой, что
' <y*,Az> = 0 Vz А*?/* = 0 ч^.^х (z, X) = О,
где X = (0, у*).
Б) Пусть А отображает X на Y. Рассмотрим вспомога-
тельную задачу
max {х*, х) -> inf; Хх — 0.	(з')
0<1<т
Лемма. 0 е abs mins'.
« Пусть 0 abs min з'. Это означает, что имеется
элемент х, для которого . z) < 0, Az — 0. Но тогда
по теореме Люстерника найдется функция г(-): [—Хо,
Х01 X такая, что 11г(^)Н/^0 при t -> 0 и F(x + tx +
+ r(t))	0-, значит,
fi (х + tx + г (£)) = t (х*, х) + о (t) <0, f > 0,
для достаточно малых t, что противоречит условию, со-
гласно которому х <= loc min з. >>
В)	Результат теоремы следует из цепочки равенств,
являющихся следствием теорем выпуклого анализа и
леммы об аннуляторе ядра регулярного оператора:
0 е abs min з' -<=> 0 е д ( max (xf, z> + б К er A\ —
k i	/
= dmax<z*,z> + d6 Ker A—conv [я#, . .., z*} ^-(KerA)^ ч=>
оЗ;/*еУ*, a e 2ai — 1» Sa^i+A*^* — 0. >
i=0	i=0
Следствие. Пусть при условиях гладкости теоре-
мы оператор F'kx) сюръективен. Тогда множество мно-
(т
X — (а, у*) | а е R™+1, 2 ai ~ 1,
i=0
in
2 a{/^) + (F (£))*</• = 0
i=0
является непустым выпук-
лым компактом.
<<Э Непустота следует из п. В) доказательства теоре-
m
a е R™+11 2ai e 1
i=0
2-
и
мы. Рассмотрим симплекс
отображение (p:	задаваемое формулой ф (a) =
m
==2ai^i« По определению, (a, у*) = X e Л ф(а) +
i=0
J5
+ Л*г/*=зО. В силу замкнутости 1mA* и равенства
КегЛ* = {0}
(h* е Ker А* => (A* h*, х) ~ 0 \fx=> </г*, Ax') =0
V x=>h* — 0).
применима теорема Банаха.
По теореме Банаха отображение Л*: У*->1шЛ* име-
ет обратное, значит, подмножество A*-1(p(S) компактно,
а значит, компактно и множество {(а, у*) е Л} = {(а,
—Л*ф_1(а)) 1а е S}. Выпуклость Л очевидна. >>
4.4.2. Теорема двойственности в задаче о кратчайшем
расстоянии. Пусть X — нормированное пространство,
A <= X — непустое выпуклое множество. Величина
pA(x)=inf {Hz-|H|£g=A}
называется расстоянием от точки х до множества А.
Теорема. Величина рЛ(х) допускает следующее
двойственное представление:
рА(х) — sup {<х*, х) — sA (х*) I 1).
<1 Из определения конволюпии сразу следует, что
рЛ (z) = (А ® М)(я), N(x) = Ы. Применяя теорему Ле-
жандра — Юнга — Фенхеля о преобразовании конволю-
ции и формулу IN = SB*, где В* — шар сопряженного
пространства, получаем, что lp = SB* + sA. Вследствие
того, что рА ограничена сверху и снизу (ОСрЛ (х)С
СНя — £0Н, где £0 — произвольная точка из А), функция
рА непрерывна всюду на X, и, значит, по теореме Фен-
хеля — Моро
def
(рА)(л?) — l(lp)(x) = sup {<z*, х) — sA(x*)\x* & В*}. >
4.4.3, Лемма о сопряженном конусе и лемма Хоф-
фмана,
Лемма. Пусть X и Y—банаховы пространства,
A: X Y — линейный сюръективный оператор из X в Y,
х±, xs — элементы сопряженного пространства X* и
Эх е Кег А, <гг, х) < 0 Vt (условие Слейтера). Пусть
К = {х\{х*, х) ^.0, i = 1, ..., s, Ах = 0].
Тогда
<3 Обозначим П\— [я] <х*, хУ 0]. Тогда int и
8
К = 0 Щ П КегЛ. Применив теорему о конусе, со-
i=i
пряженном к пересечению конусов, и лемму об анну-
ляторе ядра регулярного оператора, получим
/ «	\	Л
а П ГЦ f] Ker Л = У, аПг + о (Ker Л) =s
\i=l	/	i=l
= — (conv [я*,	+ ImA*). >
Замечание. Утверждение леммы верно и без ус-
ловия Слейтера (см. АТФ, с. 277).
Лемма Хоффмана. Пусть выполнены те же ус-
ловия, что и в лемме о сопряженном конусе. Тогда для
функции расстояния от точки х до К справедливо нера-
венство
рК (х) < С ( 2 <^*, ж>+ + ЦЛя||).
\ г—1	/
< Применив формулу об опорной функции пересече-
• ния, формулы $П = 6 cone я, и формулу конволюции ин-
дикаторных функций, получим
sK == s I П ГЦ П Кег А ] = ф ЯГ* ф $Кег А=
\i=l	/	г—1
= ф 6 {cone я*} ф 6 Im А* =*
i=l
= б [х* | я* е cone {я*,,,., я*} + Im А*].
Следрвательно, по теореме двойственности для рА по-
лучим
рА (я) = sup{<£*, Я> I Я* = 2аг^* + А*у*, СЦ 0, [|я*||<1 .
I	i—1
Подпространство L = lin {ях, ..., я4 ] + Im А* замкнуто
как сумма конечномерного пространства и замкнутого,
1mA* = (КегА)х, аннулятор всегда замкнут. Значит,
L банахово. Оператор Ат: Rsxy*->L, Aj(a, у*) ==
$
2 агЯ{ + А*у*, линеен, непрерывен и сюръективен,
г г
отображает R4 X Y* на L. По лемме о правом обратном
существует Мр. L -> R* X Y* такое, что Ai9 ЛЦ — IL,
77
Тогда, если	1, то ЦМрг* HRexy* ==
S
= 2 I ai I + IIУ* li С- Таким образом, в выражении для
г=1
р можно считать, что О С а< С, 11^*11 С, откуда
рК (х) sup
I
О < а, < е.ИКП <
(S	\
2	, + ||Az|| . >
г=1	/
4.4.4. Лемма о минимаксе. Пусть X и Y — банаховы
пространства, Л: X -* Y — сюръективный оператор, s
е X*, £== 1, .,,, s, aeRs. Определим функцию S: IV X
X Y -* R равенством
S (а, У) ~ inf шах (а{ + (х*, я>).	(1)
Дх+у=о
Лемма. £ ели max <#*,£> для любого z^KerA,
то величина S(a, у) допускает следующее двойственное
представление:
S (а, у) = 8Л (а, у) = sup
где
m
+ <у*,у)\(а, р*)е Л
г==1
Л=!(а, z/*)eRexK* (aeR+, 2 «ial» 2 ai4 +A*i/*=o!.
I	i=l	i=i	J
При этом inf в (1) достигается на некотором (быть мо-
жет, не единственном) х — х(а, у) и существует такое
С>0 (не зависящее от а, у), что при подходящем вы-
боре х(а, у)
Пх(а, у)И < С(|а| + ПрН).
Первая часть легко следует из теорем выпуклого ана-
лиза. О второй части см. АТФ, с. 280.
4.4.5. Необходимые условия высших порядков и до-
статочные условия в задаче с неравенствами. Здесь про-
должается исследование задачи п. 4.4.1. При этом далее
используются обозначения, введенные ранее: Xi , А, Л.
Теорема (Левитин — Милютин — Осмоловский).
Пусть в задаче (з) п. 4.4.1 X и Y — банаховы простран-
ства, ft&D2(<U), F^Dzm, Y) и IraF'(x) == У.
78
Необходимое условие минимума. Если х&
е loc min з, то для любого вектора h & К = [х |
i — 0,1, ..., т, Ах = 0} выполнено условие неотрица-
тельности
max (х, X) [h, h\ 0.
хел
Достаточное условие минимума. Если Л =#
0 и выполнено условие положительности с некоторым
а > 0:
тзх хх %) [Л, h] а || h ft2 уЛе А,
хел
то х loc min з.
Непустота .множества Л, а также его компактность и
выпуклость были доказаны в п. 4.4.1.
<1 Необходимость. Снова считая, что ft(x) = 0,
i > 0, рассмотрим задачу
/(я) шах </0(Д ..., /m(z))~*inf, F(x) = Q. (зД
Лемма. Если х <= loc min з, то х е loc min з4.
<<J Если х Ф- loc min зъ то уе>-0 ^х&: хг — х <е,
F (ze)= 0, /г (хе) < 0,	loc min з. > >
Пусть h е К. Положим ~ -тт тах » 2 Х<?Л	У т F" (^) ^>) [hi ^]«
Рассмотрим задачу
max (<z*, х) + inf; Ах + У = 0.	(з2)
0<г<т
Вследствие сюръективности оператора А и леммы из до-
казательства теоремы п. 4.4.1 max (хг, х)~^0 ух^. Кет А,
О-Сг-Спг
т. е. к задаче (з2) применима лемма о минимаксе.
По лемме о минимаксе найдется элемент £ = обла-
дающий свойствами
max ((х*, £> + ai) — ¥(k).
По формуле Тейлора в силу соотношений А/г = О, А| +
79
+ у — 0 получаем при t > О
F{x + th + t*i) = F (J) + tF'(Jc)h+ i2F'(?)? +
+ yF'(?)[A,A] + о (П = о (*!).
Согласно теореме Люстерника существует отображе-
ние ф: U -* X окрестности точки х такое, что Fkx +
+ ф(я)) = 0 и, кроме- того, Нф(х)11	-йТН/Чя)!!. Полагая
г(£) » ф(я + th + f2£), получим:
Fk + £A + f2£ + r(f)) = 0,
II r( t) 11	KWFki + th + t2&\\ = okt2).
Тогда, применив формулу Тейлора к и используя (1),
получаем (вспомнив, что	z^O)
f(x + th + t2£ + r(f))= max (i <4, A> + i2(<4 Д>+«г) +
4- о (£2) < t2 max (<>г*, £> + a J + o(t2) = t2^ (h) + о (£2) < 0
0«i«m
при малых t, если допустить, что (А) < О в противоре-
чии с леммой. Необходимость доказана.
Достаточность. Покажем, что существует 6 > О
такое, что условия
/Дя + МсО, />0, Fkx + h)=Q ’	(2)
противоречивы при ИМ <6, h 0. Из этого сразу будет
следовать, что х е loc min з. Итак, пусть вектор h удов-
летворяет условиям (2) и НАН < 61( Тогда по формуле
Тейлора
A(S + А) = <4, А> + 7 ft (2) [А, А] + г, (А), ,1>о,
F (г + Л) = Ah + | F" (?) [Л, AJ + г (А),
и, полагая
«г = у fi &	(Л)’ 1 °’ 'У = 4 F"	^ + г(А),
получим
<яч,Л> +	=/{(z + А)<0, z>0, Ah + у = 0;	(3)
при этом
kJ ^CJIAH2, llz/II^CJIM*.
(4)
80
Рассмотрим задачу
max (<#i, £> + «{)-> inf; Ax + У — 0.	(.з3)
04i4m
m
Из равенства 2 CCi (Хг, Х>+(Л*у*,	Я)=0,	СС]>0,
i=0
т	т
2 ai — 1 вытекает, что 2 аг О’*, ХУ ~ О Yx е Ker Л.
г=О	г=0
Отсюда max <;q,;r>^0 угеКегЛ,и, значит, к зада-
0<г«/п
че .(з2) можно применить лемму о минимаксе. В итоге
получим
max fi{x + А)“ max (Oi, h) 4- #г)
ОКгКт	о<г<т
min max (<х*, х> + «О —
дх~Н/=о 0<г<т г
«= max
хел
т
У &XX(z, А)[А, А] + 2 «гГг(й) + <у*, г (А)>
(5)
Расстояние от h до конуса К оценим по лемме Хофф-
мана и затем по (4):
?К (h) < С2
т
2<ж*,а>+ + ИЧ
г=0
<с,1М2
(мы воспользовались тем, что если Оч,А> + а^0, то
Oi, А>_^_<(| aj, и равенством Ah = — у; см. (3)).
Таким образом, h^hi + h^, где h^K, а 11/г211 <
< Csll7zll2. Пусть б2 выбрано так, что из UAH С б2 следует
С3Ш V2. Тогда
HAJI > НА» - »А2Н > ИАН(1 - С3НА») > IIAH/2
и, значит,
11Л2Н С 4С3НА1Н2.
(6)
Наконец отметим, что из следствия теоремы п. 4.4.1
вытекает, что если ZeJI, то »г/*»СС\. Пусть б3 настоль-
ко мало, что из 11 А» 63 следует неравенство
m
У «гП(А) + <У*,Г(А)>
г=0
(7)
81 
Теперь соединим воедино условия теоремы (2), (5),
(6) и (7), обозначив С& — max || S'xx^x, Х)||:
Л G-Л
max
ЛеЛ
0>/(^ + /г)>
т	\
4-	gxxtz, %) [Ml + 2 airi(/z) + <^*, r (^)> I >
1=0	/
>4 max 2xx(x,\)[hx + hz,hx + ^21 —тИМ2>
z Хел	4
> -£ IIЫ2 -	I \ Р - 8С1Ф#- I h, [р > 0,
если только из НМ < 6 min (6Ь б2, б3) следует нера-
венство
Задачи
4.1.	(Р) х2 + ху + у2 + 31# + у + 21 -> inf.
4.2.	х2 + у2 + 2 max (х; у) -*• inf.
4.3.	х2 + у2 + 2V(х — аУ + (у — ЬУ -* inf.
4.4.	х2 + у2 + 2а1х+ у — Ц -> inf (а>0).
4.5.	Найти расстояние от точки (£ь £2, £з) 3° конуса
4“ #2-
4.6.	Найти расстояние от точки (£ь ..., |п), лежащей
вне эллипсоида x2J+ ... + Хп/аУп^ 1, до этого эллип-
соида.
4.7.	(Р) Найти минимум линейного функционала в
пространстве 1г на границе эллипсоида с длинами осей,
монотонно стремящимися к нулю. Всякая ли точка гра-
ницы эллипсоида имеет нормаль, т. е. может служить
точкой экстремума линейного функционала?
4.8.	Найти расстояние от точки х^, лежащей вне эл-
липсоида в гильбертовом пространстве, до этого эллип-
соида (обобщенная задача Аполлония). Эллипсоидом в
гильбертовом пространстве называется образ единичного
шара при таком линейном отображении пространства в
себя, что замыкание образа всего пространства при этом
отображении совпадает со всем пространством.
4.9.	Среди полиномов вида t2 + xj + хг найти поли-
ном, имеющий' наименьшую норму в пространстве
С([—1, И). '
82
4.10.	Вписать в единичный круг треугольник с мак-
симальной взвешенной с положительными весами сум-
мой квадратов сторон.
4.11.	На каждой из сторон заданного треугольника
найти по такой точке, чтобы образованный треугольник
имел минимальный периметр (задача Шварца).
4.12.	(Р) Найти в плоскости такую точку, чтобы сум-
ма расстояний от нее до трех заданных точек была ми-
нимальной (задача Штейнера).
4.13.	Найти такую точку в плоскости, чтобы сумма
расстояний от нее до четырех различных точек была
минимальной.
4.14.	Найти такую точку в плоскости, чтобы взвешен-
ная сумма расстояний с положительными весами от нее
до трех различных точек была минимальной (обобщен-
ная задача Штейнера).
4.15.	Найти в плоскости такую точку, чтобы сумма
расстояний до вершин правильного многоугольника была
минимальной.
Глава II
КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 5.	ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ КЛАССИЧЕСКОГО
ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
5.1.	Задача Больца.
5.1.1.	Постановка задачи. Задачей Больца называется
следующая экстремальная задача без ограничений в
пространстве непрерывно дифференцируемых функций
С‘([#о, £j) (кусочно-непрерывно дифференцируемых функ-
ций КС'(\Л0, £t]));
*i	*
= J £ (£, х (t), х (t)) dt 4- l(x (£0), x (tj)) -> extr. (з)
Здесь L — L(t, x, x) — функция трех, a l = l(x0, x3 —
функция двух переменных. Отрезок [£0, М предполага-
ется фиксированным и конечным, — оо < £0 < ^ < +оо. За-
дача Больца является элементарной задачей классиче-
ского вариационного исчисления.
Функцию Ъ называют интегрантом, функцию I — тер-
минантом, а функционал & — функционалом Больца.
Будем говорить, что функция ж(-) е СЧЩ М) до-
ставляет (слабый) локальный минимум (максимум) зада-
че (з), или, что то же самое, функционалу & в простран-
стве С1([#о, fj), и писать х( •) <= loc min з (loc max з), если
найдется 6>0 такое, что для любой функции х(-) &
е С'1([^о, ?(]), для которой IW-) — лт(')П1 < б, выполнено
неравенство
$(х(-))>Я(х(-)) Шх(‘))^^(х{-))).
Напомним, что если х(-) е С1([^о, ^J), то
k(-)Bi= max max{|z(£)|, |я(£) |}.
HW1]
При решении задач вариационного исчисления мы
употребляем далее термины «абсолютный экстремум»
84
пли «глобальный экстремум». В эти термины можно
вкладывать стандартный смысл, согласно которому най-
денная функция имеет экстремальное значение функцио-
нала среди всех допустимых функций (а у нас допусти-
мые функции принадлежат Сл или КС1). Однако, как
правило, функции, доставляющие абсолютный экстремум
в С1 или КС\ доставляют абсолютный экстремум и сре-
ди более широкого класса функций — среди всех абсо-
лютно непрерывных функций, на которых функционал
определен.
5.1.2.	Правило решения.
1. Формализовать задачу, т. е. привести ее к виду (з)
п. 5.1.1.
2. Выписать необходимые условия:
а) уравнение Эйлера
—	(0 + (0 “	х Х +
(А. \
t, х (£), х (i)J == О
(решения уравнения Эйлера называются экстремалями);
б) условия трансверсальности
х (*о)	^х0 <=> L(i0, х (^о), х (£0)) = lxQ(# (i0), х (tif),
L' (ti)	(г15 x (t1),x(t1)) = — lx(x(t0),x(t1)).
Л	А
3. Найти допустимые экстремали, т. е. решения урав-
нения Эйлера, удовлетворяющие на концах условиям
трансверсальности.
4. Доказать, что решением является одна из допусти-
мых экстремалей, или показать, что решения нет.
Набор условий для нахождения слабого локального
экстремума является полным. Действительно, уравнение
Эйлера — дифференциальное уравнение второго порядка.
Его обшее решение содержит две неизвестные констан-
ты. Для определения этих констант имеются два урав-
нения — условия трансверсальности.
Мы сформулировали правила решения для одномер-
ной задачи Больца. Укажем на необходимые изменения,
которые следует внести в правило решения задачи Боль-
па для векторного случая.
Пусть в задаче (з) п. 5.1.1 #(•)== (я/-), ..., хп(*)),
L = L(t, xt, ..., хп, xh ..., хп) — функция 2п+1 пере-
менных, 1*=1(х01, ,.хОп, Хц, ..., я1п) -“«функция 2п
• 85
переменных. Необходимые условия в векторной задаче
Больца состоят из системы уравнений Эйлера
-^2. (О+ £«,(«) = о, < = 1.........п,
I
и условий трансверсальности, задающихся системой урав-
нений
£• ft,) = (-1)”	* = о,1.
X I
Доказательство теоремы, касающейся необходимых ус-
ловий экстремума, проводится в следующем пункте для
одномерной задачи. Векторный случай тривиально реду-
цируется к одномерному.
5.1.3. Необходимые условия экстремума.
Теорема. Пусть °Н — открытое множество в про-
странстве R3, L: °U -> R — интегрант, определенный на
и непрерывный в °U вместе со своими частными про-
изводными Lx и Б ., Т — открытое множество в прост-
ранстве R2, I: У3 ->R — терминант, определенный и не-
прерывно дифференцируемый на Т, хБ) — непрерывно
дифференцируемая на [£0, М функция такая, что
[t, х (t), х (t))	[i0, и (x (i0), *x (ij) e T,
Тогда, если хБ) доставляет слабый локальный экст-
ремум в задаче Больца, то Б^ (•) <= С1 (р0, £J) и вы-
полнены:
а) уравнение Эйлера
- ± I. (0 + I. (0 = 0;
б)условия трансверсальности
£. (ik) = (-i)4«k, * = о,1.
X	п
<1 Доказательство теоремы разобьем па несколько
этапов.
А)	Определение первой вариации по Лаг-
ранжу. Пусть х(-)	£j). Поскольку х( ) &
sloe extra, то функция одного переменного:
Б /	л
ф (X) » £% (х (•) + кх (•)) = | L (/, х (t) + Хх (£), х (t) 4-
+ kx (£)) dt 4- l(x (£0) 4“^ (^o)» x (^i)	(^i))
86
имеет экстремум при X — 0. Положим F(t, X) —
= £(£, x(t) -b Ах(£), x(t) + Хж(^)). Из условий гладкости, на-
ложенных на Z, х(-), я(’), следует, что функция ф(Х) диф-
ференцируема в нуле. Действительно, функции F и F* не-
прерывны в некотором прямоугольнике [£0, U X [— Хо, Хо],
и, значит, по известной теореме из анализа можно
дифференцировать под знаком интеграла (Н, т. 2, с. 107).
Но тогда по теореме Ферма ф'(0)=0. Дифференцируя
функцию ср и полагая X = 0, получаем
ф' (0) = lim=
2.-^0	Л
fl
j [Lx(t)x(t) + L	+ lxQz(tQ) + lx1x(ti) — 0 (1)
‘о
V*(’)e С1 (1*0, М)«
Таким образом, мы вычислили вариацию по Лагран-
жу функционала Больца $ и выяснили, что необходи-
мым условием слабого локального экстремума этого
функционала в х(-) является равенство нулю его первой
вариации.
Б) Лемма Дюбуа — Реймона. Пусть на отрез-
ке [£0, функции <20(-) и <2i(-) непрерывны, и пусть для
любой непрерывно дифференцируемой функции #(•), для
которой x(tQ) «= xitj = 0, выполнено равенство
*1
J (а1 (t) х (t) 4- а0 (t) х (i)) dt = 0,
Тогда функция ах(-) непрерывно дифференцируема и
dax (t)
dt
г = 0.
« Возьмем функцию р(-) G=Cl(lta, £j) такую, что
p(t)=>a0(t) и J р (t) dt — J ах (t) dt. Тогда для любой
<о	#о
функции х( )еС‘(И0) /J), для которой rr(fo) — x(.ti) = 0,
87
по условию леммы должно выполняться равенство
О = J (flj (t)x (i) + а0 (i) х (0) dt = f ar (f)x (t) dt -p
fo	*o
H	h
+ j* * (0 dp (0 == j (ax (t) — p (i)) x (0 dt. (2)
*0	*o
Выберем функцию $(‘)eC‘(U», fj) такую, что x(t) =
a^t) — p(t), £(£o) = O. Тогда в силу выбора функции
р(-)
fi .	fi
х (^i) ~ J х (t)dt — J («! (i) — р (£)) dt = 0.
*о	*о
Значит, для функции #(•) = £(•) должно выполняться ра-
венство (2), т. е. J (аг (t) — р (tjfdt = 0. Из последнего
*о
соотношения следует, что flt(t)sp(t), т. е.
еСЖАО» -^fli(O + «o(O = 0- >>
В)	Завершение доказательства. Равенство
(1) выполняется для любой функции х{•) еC‘([fOj ^J),
а значит, и для всех функций х^ С} ([£0>	=
е С1 (По. ^il) I х^о) ~ xUi) ~ 0}- Следовательно, из (1)
вытекает, что
h
*о
По лемме Дюбуа — Реймона £• (')еС1 ([i0, JJ) и
dt м	~ 0’
Интегрируя по частям в равенстве (1) (оно стало воз-
можным в силу доказанного включения Л.(-)е
X
(t.x (f) X (t) + К (О X (о) dt = 0 ух (•) е CJ (Но, fj).
88
М) и учитывая (3), получим
ti
J (lx (t) х (t)
<0
4- L.x (Z) x (Z)l dt + lxox (t0) + ^x(tj) =
4
j (lx (Z) — ~L. (Z)} X (Z) dt + X (t) L.x (t)
fo
4
t0 + 1*0 x^o) +
4- lx^ (Zj) —	(Zi)4- z(ti) 4-^ L (tQ)+ Zxoj
^(Zo)=O
(4)
V^OgC1 ([Zo, Zj]).
Подставляя в (4) последовательно x(t) ^=t~t0 и x(t) ==»
= t — придем к условиям трансверсальности L. (Zo) —
~ 1хп и L. (Zj) = lx.. • О
и х	*
Замечание. Отметим, что эти три этапа доказа-
тельства теоремы будут в той или иной форме встречать-
ся при доказательстве и других теорем классического
вариационного исчисления и оптимального управления.
5.1.4. Пример.
1
1.	J (z(J) = j (г - dt 4- я2 (1) extr.
о
2.	Необходимые условия:
а) уравнение Эйлера — Tt^x + Lx — ® <=> 2х +1 = 0’,
б) условия трансверсальности
• (0) = U), L. (1) = — Zx(1) х (0) = 0, х (1) = — х (1).
X	X
3.	Общее решение уравнения Эйлера: x(t) == — Z2/4 4-
4- С it 4- С2. Из условий трансверсальности находим, что
Ci = 0, С8 = 3/4. Таким образом, имеется единственная
допустимая экстремаль x{t) = (3 — Z2)/4.
4.	Покажем, что она доставляет абсолютный мини-
мум в задаче. Действительно, если Л(-) е С'1([#о, tj), то
1 „ 1 1
3 {х (•) + h (•)) — (а: (•)) — [ dt + [ hzdt — \ h dt-\-
b	b b
+ 2x (1) h (1) + A2 (1).
89
Интегрируя по частям и учитывая, что x(t) = (3 — i2)/4,
получим
+ Д(-))-^(х(.)) = 2xh |0- J [2х + ijhdt +
о
1 '	1
+ J h2dt + 2х (1) h (1) + h2 (1) = J h2dt + h2 (1) > 0.
о	b
Ответ. x(i) == (3 — £2)/4 •= abs min, <Smai — +°°.
5.2.	Простейшая задача классического вариационного
исчисления.
5.2.1.	Постановка задачи. Простейшей задачей класси-
ческого вариационного исчисления называется следующая
экстремальная задача в C‘([f0, ij) (или в KCl(lt0, ij)):
*1
Sf (^ (•)) = J	х (0Iх (0) ”* extr; (з)
fo
x(t0) = Хо, x(tt) = Xt.
Здесь £ = £(£, х, х) — функция трех переменных, назы-
ваемая интегрантом. Экстремум в задаче рассматривает-
ся среди функций х(-) & Cl([to, ij), удовлетворяющих
условиям на концах, или краевым условиям x(tD) = х0,
x(ti) = хе, такие функции называются допустимыми.
Будем говорить, что допустимая функция х(-) достав-
ляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче
(з), и писать х(•) sloe minз (locmaxa), если существует
6>0 такое, что для любой допустимой функции х(-),
для которой Их(-) — х(-)П1 < 6, выполняется неравенство
^(х(-))>^(х(-)) G7UG)) С«7(х(-)П.
Наряду со слабым экстремумом в классическом ва-
риационном исчислении традиционно рассматривается
сильный экстремум. При этом несколько расширяется
класс функций, на которых рассматривается функцио-
нал И. Экстремум в задаче (з) ищется среди функций
х(-), принадлежащих классу KCl((to, tj), т. е. среди ку-
сочно-непрерывно дифференцируемых функций, удовлет-
воряющих условиям на концах.
Будем говорить, что допустимая функция х(-)<=
&KCl(lto, доставляет сильный локальный минимум,
90
(максимум}, если существует б>0 такое, что для любой
допустимой функции х( ) <= КС\\Лй, ^1), для которой
1к(0 — х( -)110 < б, выполняется неравенство
(№(•)) ^(£(-))),
Ясно, что если х( ) <= (71([^0, /J) доставляет сильный,
то она доставляет и слабый экстремум. Поэтому для та-
ких функций необходимое условие слабого экстремума
является необходимым условием сильного, а достаточное
условие сильного экстремума является достаточным усло-
вием слабого.
5.2.2.	Правило решения.
1.	Формализовать задачу, т. е. привести ее к виду (з)
п. 5.2.1.
2.	Выписать необходимое условие — уравнение Эйлера:
_*2.({) + Zx(t) = 0.
3.	Найти допустимые экстремали, т. е. решения урав-
нения Эйлера, являющиеся допустимыми функциями.
4.	Доказать, что решением является одна из допу-
стимых экстремалей, или показать, что решения нет.
Это правило находится в полном соответствии с прин-
ципом Лагранжа. Покажем это соответствие.
1.	Функция Лагранжа задачи (з) имеет вид
3? = ^0 J ^0 (^, %) dt 4" Go) 4"	(^1)*
*о
2.	Необходимые условия экстремума в задаче J27 -*
-> extr являются необходимыми условиями экстремума
в задаче Больца и записываются следующим образом:
к	О’
=	Ь0,1,
X
3,	4. Если Хо — 0, то из условий трансверсальности
следует, что pft = 0, к = 0, 1. Это противоречит тому, что
не все множители Лагранжа равны нулю. Полагаем
Хо = 1 и приходим к уравнению Эйлера, а условия транс-
версальности не информативны, они дают возможность
отыскать неизвестные множители Лагранжа ц0 и ръ ко-
торые нам в принципе не нужны. Осталось найти допус*
91
тимые экстремали и выбрать из них решение или пока-
зать, что решения нет.
Набор условий для нахождения допустимой экстре-
мали является полным. Уравнение Эйлера — дифферен-
циальное уравнение второго порядка. Его общее решение
содержит две неизвестные константы. Для определения
этих констант имеются два уравнения — условия на кон-
цах. Таким образом, чаще всего допустимая экстремаль
единственна.
Мы сформулировали правило решения для одномер-
ной простейшей задачи классического вариационного ис-
числения. Укажем на необходимые изменения для век-
торного случая.
Пусть в задаче (з) п. 5.2.1 я(-) = (яД-), .... хп{-')\
L «= L(t, Xt, ..., хп, xh ..., х„) — функция 2п + 1 перемен-
ных. Необходимые условия в простейшей векторной за-
даче состоят из системы уравнений Эйлера
dt + ^xi (0 ~ О» I ~ 1, . •., п.
Доказательство теоремы, как и в п. 5.1.3, проведем
в п. 5.2.3 в одномерном случае, ибо векторный тривиаль-
но к нему редуцируется.
5.2.3.	Необходимое условие экстремума.
Теорема. Пусть °U — открытое множество в про-
странстве R3, L: -> R — интегрант, определенный на
и непрерывный в вместе со своими частными
производными Lx и L х (•) — непрерывно дифферен-
цируемая на отрезке lt0, функция такая, что
[t,x (t),x (£)) е у£ е [£0, Тогда, если х(-) достав-
ляет слабый локальный экстремум в простейшей задаче
классического вариационного исчисления, то
<=С‘([£0, ij) и выполнено уравнение Эйлера
~~ di^x +	~ °’
<1 Рассуждаем совершенно аналогично тому, как мы
рассуждали в п. 5.1.3. Пусть х(-) е ([i0, ij). Тогда
х (•) + ’kx(-) — допустимая функция уХ е R. Положим
ф(Х) —	+ W-)). Из условия #(•)<= locextrз следу-
ет, что 0 е loc extr ф. Пользуясь дифференцируемостью
функции ф в нуле и выражением для вариации функцио-
92
нала из п. 5.1.3, получаем
*1 * .
<р' (0) = № (х (•), х (•)) — J [L^ (f) х (f) +	(0 х (t)j dt — 0
fo
Из леммы Дюбуа — Реймона следует, что L.(«)e
е С‘([^о, ^J), и выполнено уравнение Эйлера. >
5.2.4.	Интегралы уравнения Эйлера. Если интегрант
L~L{t, х, х) не зависит явно от одной из переменных,
то уравнение Эйлера сводится к более простым уравнениям.
1. Если интегрант L = Щ, х) не зависит явно от х,
то уравнение Эйлера сводится к уравнению
£Л(О = 0.
2. Если интегрант L=Л(£, х) не зависит явно от х,
то имеет место интеграл импульса
L.* (0 “= const*
3. Если интегрант L «= Их, х) не зависит явно от t,
то имеет место интеграл энергии (оба названия инте-
гралов взяты из классической механики)
xL. (t) — Z (t) =» const,
X
5.3. Примеры. В этом пункте на примерах рассмотрим
различные соотношения между решениями простейшей
задачи классического вариационного исчисления и экстре-
малями.
Пример 1 (допустимая экстремаль существует, един-
ственна и доставляет глобальный экстремум).
1
1.	<7(z(0)«p2^->inf; х(0) = 0, г(|)в1,
о
2.	Уравнение Эйлера: х«=0.
3.	Общее решение: х = Ctt + С2. Единственная допусти-
мая экстремаль: х = t.
4.	Экстремаль доставляет глобальный минимум в за-
даче. Действительно, пусть х(•) ® СЧЮ, 11), я(0) — 0,
93
#(1) »1. Тогда
^(•) = г(-) — ж(-) & ci([0,1]) =
= {z(.)eC*([0,l))|z(0) = z(l) = 0},
з U (.)) = э (х (.) + *(.)) = j (1 + iif dt = J di +
о	0
11 1
+ 2 J h dt + J h2dt == (x (•)) + J h2dt ^&(x(-)).
0	0	0
В этом примере все обстоит самым благополучным об-
разом. В дальнейших примерах встречаются различные
осложнения.
Пример 2 (допустимая экстремаль существует, един-
ственна, доставляет слабый, но не доставляет сильного
экстремума).
1
1.	$ (^(-)) “ f x3dt-+- inf; я(0) — 0, .г (1) == 1»
о
d •	*	•
2.	Уравнение Эйлера: Зя2 — 0 Зх2 = С <=*>£=const.
Q/l
3.	Общее решение: х = CJ + Сг. Единственная допусти-
мая экстремаль: х = t.
4.	Экстремаль доставляет слабый локальный минимум.
Действительно, пусть h (•) е С} ([0,1]). Тогда
1 11
<?(£(’) 4- &(.))= J(1 +А)3 dt = ^dt + 3 § h dt +
0	0	0
1 . 1
+ J A2 (3 + h) dt - J (x (•)) + J h2 (3 + h} dt.
о	0
Отсюда видно, что если НЫ-)Н1 < 3, то 3 + й(О>0 и, зна-
чит, У(х(-) 4- Д(-)) > ^(х(-)), т. е. х(') е locmin.
Покажем, что х(-) не доставляет сильного экстремума.
Рассмотрим последовательность функций
ie [0,1/тг),
gn (0 = о,
t
fe[l/n,l/2], hn (f) = J gn (t) dx, n>2,
о
2/ /п,
t e (1/2,1].
94
Легко понять, что /in(0)j== hn(i) = 0 и 11Лл(-)П0 -*• 0 при
п -* оо. Положим яп(-) =#(•) +М-). Получим последова-
тельность функций Un(-)}, для которых хп (0) = 0, хп (1)=
«1, М•)->«(•) в С([0,1]) и
* 1	1	1/п
(*п (•)) == 1 + 3 J g^dt + J $idt = 1 + J (Зп — п8'2) dt +
оо	о
1
+ f Ч-------’7=-') dt яв — Уп + О (1)-»—оо при п->оо,
1/2' п VnJ
т. е. Smib — —оо.
Пример 3 (экстремаль существует, единственна, до-
ставляет глобальный экстремум, но не является непрерыв-
но дифференцируемой функцией).
1
1,	J’ (#(•)) = J f2/8z2d£->inf; x(p)=O, £(1) = 1
о
(пример Гильберта").
2.	Уравнение Эйлера:	(2#2/3я) =» 0	t2/8x = С^
^‘т~СГ2‘\
3.	Общее решение: х = С^1/3 + С2- Единственная экстре-
маль, удовлетворяющая условиям на концах: х =* tl/3.
4.	Ясно, что экстремаль не является функцией класса
•
67*([О, 11), так как х(-) Ф С([0, U). Покажем тем не ме-
нее, что она доставляет глобальный минимум в задаче
среди всех абсолютно непрерывных функций ж(-), удов-
летворяющих краевым условиям, для которых интеграл
3 конечен. Действительно,
1
3 (г(.)) = 3 (S (•) + /»(•)) = J«г/3(^ + л)’й =
о
1 1
= 3 (•)) + | J h dt + J ti,3h2dt > З' (2 (•)).
О	о
Пример 4 (решения задачи и допустимой экстре-
мали не существует даже среди абсолютно непрерывных
функций).
95
I
1.	.7 (*(•)) = рЗДг-Hnf; z(0) = 0, x(l) = l
о
(пример Вейерштрасса).
2.	Уравнение Эйлера': (2t?x) = Q^t?x==C<=>x —
= С/t?.
3.	Общее решение: х = (\/1 + С2. Экстремали, удовлет-
воряющей краевому условию НО) = 0, не существует.
4.	Очевидно, что ^(л:(-)) > 0 и для любой абсолютно
непрерывной функции х(-) <JZ(;r(-)) > 0. Покажем, что
нижняя грань в задаче равна нулю. Рассмотрим последо-
вательность допустимых функций xn(t) = arctg nf/arctg п.
Имеем
1
S'(*„(•)) = 1	-----Т- Л<
J (1 + п 2t2) 2arctg2re
in	1
< f -А- + f -2'2 dt......2	°-
J arctg	n	J	n£t	arctg	n
о	i/n	6
Пример 5 (допустимая экстремаль существует, един-
ственна, но не доставляет экстремума).
ЗЯ 2
1.	^(^(.)) = f (i2-H)tZi->inf; z(0) = zfeKo.
0
2.	Уравнение Эйлера: x + x=*=0.
3.	Общее решение: х *= Ci sin t + Сг cos t. Единственная
допустимая экстремаль: х 0.
4.	Рассмотрим последовательность функций xn(t) =
— sin Очевидно, что хп — допустимые функции и
хп( )->х(')^0в С1 ([0, Зл/2]), но при этом
Из примера 5, в частности, видно, что уравнение
Эйлера — необходимое, но не достаточное условие экстре-
мума. Мы вернемся к обсуждению этого примера в п. 5.7.
В заключение приведем еще одип важный пример
задачи, где нет решения.
96
Пример 6.
Sf{x (•))== j ((1 - z2)2 + *2) dt -> inf; x (0) = 0, x (1) = 0.
о
Нижняя грань функционала равна здесь нулю. Чтобы
убедиться в этом, достаточно рассмотреть минимизирую-
щую последовательность функции из A'C’HLO, IDs
t
хп (t) == j* sign sin 2л/гт dx, n ~ 1,2, ...
о
Функции xn(-) равномерно стремятся к нулю, и |xn(i)l =
= 1, за исключением конечного числа точек, т. е.
3^(хп( •))-* 0. С другой стороны, если £0(О = 0, то
1
&(х0(-)) = 1, а если x(t) 0, то «9й (#(•)) J >• 0.
о
Таким образом, нижняя грань функционала не достига-
ется пи на одной допустимой функции.
Раскроем причины отсутствия решений в рассмотрен-
ных примерах. То, что в примере 2 численное значение
задачи равно — ©о, объясняется .тем, что овыпукление
интегранта тождественно равно — ©о (см. далее п. 5.5.3 —
теорему Боголюбова). Пример 3 показывает, что про-
странства С1 и КС1 не являются естественными для дан-
ной задачи и наводят на мысль (идущую от Гильберта),
что задачу следует, вообще говоря, исследовать в «своем»
пространстве. Причина же пегладкости решения в этом
примере и отсутствия решения в примере 4 связана с
нарушением условия Лежандра (обсуждение примеров
3 и 4 продолжается далее в задачах 9.10 и 9.11; об усло-
вии Лежандра см. п. 5.5). Отсутствие решения в приме-
ре 5 объясняется тем, что на экстремали имеется сопря-
женная точка (об этом см. п. 5 6). О примере 6 см. п. 5.5.3.
5.4. Задачи с подвижными концами.
5.4.1. Постановка задачи. Задачей с подвижными кон-
цами называется следующая задача в пространстве
C‘(A)XR2:
h
& (я(’), to, ^1) = J L(t, x(t),x(t)) dt +
+ ^o(tQ,x(to),ti,^(ti))-^^'	(з)
4,(?o, x(t0), tL, ^(fj))=O, f=l, ..., m. (1)
97
Здесь А — заданный конечный отрезок, L = L(t, х, х) —
функция трех, а гр, =	^о, tit #i) — четырех перемен-
ных, t0, ti е Д. В отличие от задачи Больца и простейшей
задачи классического вариационного исчисления, концы
отрезка Интегрирования являются подвижными и, следо-
вательно, решение задачи включает в себя некоторую
функцию х(-) и тот отрезок [ta, fj, на котором она рас-
сматривается. Значения функции х(-) в точках t0 и ti
в общем случае могут быть и не заданы. Частным слу-
чаем (заявляется задача, в которой один из концов t0
или tj, — подвижный, а другой закреплен.
Тройка (х(-), t0, t^ называется допустимой в (з),
если #(•)<= С‘(А), to, £i<=intA, to<ti, и выполняются
условия (1) на концах.
Будем говорить, что допустимая тройка (х(-), t0, ti)
доставляет слабый локальный минимум (максимум) в за-
даче (з) (в пространстве C1(A)XR2), если существует
б > 0 такое, что для любой другой допустимой тройки
(#(•), to, ti), ДЛЯ которой Ро ~1< б» | Ч — ill < б и
h(-) — ^(•)||С1(д)<б, выполняется неравенство
to, ti) > 3^(х(-), to, ti)
(Жх(-), to, ti) ^^(x(-), to, ti)).
При этом будем писать (х(-), t0, ?i)(= loc mins (1остахз).
Отметим, что если (х(-), t0, £t) е locextr з, то любая
допустимая тройка (х(-), t0, tt) такая, что ограничение
х(-) на Ио, совпадает с х(-), также будет доставлять
локальный экстремум. Поэтому при выписывании ответа
в (з) достаточно задавать х(-) только на [£0,
5.4.2. Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
, ^0 ’ ^1» М ~
m
hqL (t, x, x) dt -J- X p|?j (^o* % (*o), ^1»
<0	1=0
где X = (Xo, X\, ..., Xm) e Rm+1 — множители Лагранжа.
2.	Выписать необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера
+ W = 0;
98
б)	условия трансверсальности по xt
• ( t0) ~ ^x0J V ’ ( ^1) ~
X	X
т
ГДе I ~ I (t(j, #о,	= 2 ^i4i (*Ю ‘Г()> ’ *1)»
i=0
в)	условия стационарности по t0, tt:
т
S t() ~ 0	Go) + 2 М (Чг«0 + 4**0^ ^о)) = О,
г=о
т	.
Str — 0 *=* V G1) + .2	(Чпi + ЧгXjX (11) ) = О
> г=0
(условия стационарности выписываются только для под-
вижных концов).
3. Найти допустимые экстремали, т. е. решения урав-
нения Эйлера, являющиеся допустимыми функциями и
удовлетворяющие условиям б), в) с вектором множите-
лей Лагранжа %, не равным нулю. При этом бывает
удобно отдельно рассмотреть случаи Хо = О и Хо 0. Во
втором случае можно положить Хо равным единице или
любой другой, отличной от нуля константе.
4. Найти решение среди допустимых экстремалей или
доказать, что решения нет.
Покажем, что правило решения сформулировано в со-
ответствии с принципом Лагранжа. Действительно, со-
ставим функцию Лагранжа
Н , т
= Хо ) L(t,x, х) dt +	И, *(Н))-
У	г=0
т0
Из задачи ^(Д-), ?0, к) extr по х(-) (задача Больца)
вытекают необходимые условия а), б), а из задали
S(x(-), t0, t1} X)-* extr no t0, ti (элементарная гладкая
задача) вытекают необходимые условия в).
Набор условий для определения тройки, доставляю-
щей экстремум, является полным. Действительно, общее
решение дифференциального уравнения второго поряд-
ка — уравнения Эйлера — содержит две неизвестные кон-
станты интегрирования. Множители Лагранжа Хо, Xb (1.
..., -Хт определены с точностью до умножения на кон-
станту, следовательно, содержат т неизвестных. Таким
99
образом, включая два подвижных конца интегрирования,
имеем тп + 4 неизвестных. Для их отыскания у нас есть
также ти + 4 уравнений: тп условий в (1) п. 5.4.1, 2 усло-
вия трансверсальности и 2 условия стационарности по
tk, к = 0, 1.
5.4.3. Необходимые условия экстремума. В этом пунк-
те приведем доказательство необходимого условия экстре-
мума для следующего частного случая задачи с двумя
подвижными концами:
*1 *
(х (•), £0,	= J L (i, х (f), х (£)) dt-*- extr; (з)
*o
x(t0) = cp0(i0),
Общий случай рассмотрен в п. 8.1.3.
Теорема:	Пусть (U<=^CKW'),
(t, x (t), x (£)) <= °ll
°иг^.О (ti, R), фг: <иг ->R, срг(= Сг(3/г), xfjt) = фД?ч),
j==0,l.
Тогда, если (x{), t0, tj e loc extr з, то выполняются:
а) уравнение Эйлера
-	(t) + Lx (?) = 0 Ws[ k,
б) условия трансверсальности
= L ^(it)	— фг(?1)), 1 = 0, 1.
Нетрудно видеть, что эти условия трансверсальности
эквивалентны условиям трансверсальности п. 5.4.2 с уче-
том условий стационарности по t0 и, £t.
< Уравнение Эйлера выполняется в силу теоремы
п. 5.2.3, ибо х доставляет также локальный экстремум
функционалу & при фиксированных краевых условиях
x{td ='x(tl), 1 = 0, 1. Докажем условие трансверсальности
на правом конце — в точке tx. Доказательство условия
трансверсальности на левом конце — в точке t0 — прово-
дится аналогично.
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций
x(.t, С) ~ x(t) + C(t — t0) и функцию двух переменных
4(£lt C)=x(tt, О — ф1(£1). По условию, ф(?(, 0)“^)-
— ф1 (ti) = 0. Далее, 4c(ii, 0) =	0- По конечномерной
100
теореме о неявной функции (п. 1.5.3) существует непре-
рывно дифференцируемая функция t, -* CitJ такая, что
С(/1)=с0 и x(tlt C(£i)) -»<Р1(£1); при этом С'(^) “ (<p±(£i) —
— xkt^/Qs.
Положим
Л (fr) « 3 (х (•, С (£r)), tQ, fr) =*
р1	~ л
«= J L (t, x(t) + С (fj) (t — t0), x(t) + C (fx)) dt,
*0
Поскольку (я(-), ?0, £) €= locextr з, то e loc extr.4. От-
сюда по теореме Ферма (п. 2.1.3)	Дифферен-
цируя функцию Adj в точке ti — th имеем
*i
О == L (tj) + С' (f х) J (Lx (i) (t — t0) + L(£)^ dt.
*o
Интегрируя по частям с учетом уравнения Эйлера и под-
ставляя выражение для С"(^), получаем условие транс-
версальности на правом конце;
/ *i
О = Z () + С (t j) ( J [lx (t) —L (f)j (t — t0)dt +
+ (f - i0)Z. (i)	1= Z(?1) + (<P1(1)—-x(7i))Z.(Tx). >
?o/
т
5.4.4. Пример. (ж(-), T) — J (х2 — х + 1) dt-*- extr;
х (0) = 0.
Решение. 1. Функция Лагранжа;
т
[ Хо (х2 — х + 1) dt + Кх (0).
о
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера для интегранта L — Х0(х2 — х + 1):
~	0 Ао (2х + 1) = 0;
101
б)	условия трансверсальности по х для терминанта I =
— Xz(0):
I • (0) = 1хШ, £.(?)=- ?Х(Г) -и-	(0) = X,
2Xoi(T) = O;
в)	условие стационарности по Т (выписываем только •
для подвижного конца):
ЯЛТ) = 0 <=> X0(i2(T) - x(f) + 1) = 0.
3.	Если Хо = 0, то из б) следует, что X = 0 — все мно-
жители Лагранжа оказались нулями. Положим Хо = 1.
Тогда из а) вытекает, что х — —1/2. Общее решение это-
го дифференциального уравнения: х = —Z2/4 + CJ + С2.
Поскольку я(0) = 0, то С2 = 0. Для определения неизвест-
ных Ci и Т имеем два уравнения: ж(71) = 0 и х2(7') —
— хСТ) + 1 = 0. Решая эту систему уравнений, находим,
что 7 = 2, Ci = 1.
4.	В задаче имеется единственная допустимая экстре-
маль х~ — f/4 + t, рассматриваемая на отрезке [0, 2].
Покажем, что (я(-), Т) loc extr. Действительно, для
функции х(.С = t — С/^
т »
^(.),7) = J	dt =
о
т

(Т — 2)3
6
о
При Т, близких к 7 = 2, значения функционала ^(^(-),Г)
могут быть как меньше ^(ж(-), Т), так и больше ^(ж(-), Т).
Возьмем последовательность пар хДО ==t, Тп = п;
тогда &(хпС), Тп) -* —оо при п -> +<». Значит, 5Ш1П = — <».
Очевидно, что 5тах == +°°.
5.	5. Необходимые условия высших порядков и доста-
точные условия. Теорема Боголюбова.
102
_ - 5.5.1. Простейшая задача. Рассмотрим простейшую
задачу
(я (•)) = J L (i, £, я) di-> inf; х(;0) —.r0, x(t1)~x1,
<о
(з)
где L\ <U -> R, e tf(R2"+1).
Будем далее предполагать, что пнтегрант L по мень-
шей мере принадлежит классу СК0!/). Пусть х(-) е
<= C4lt0, tj, R”) — экстремаль (з), т. е. на х(-) удовлет-
воряется уравнение Эйлера.
Будем говорить, что на £«) выполнено условие Ле-
жандра, если L^(i)^0 Vie[i0, ij, п усиленное усло-
вие Лежандра, если L.^(t) > 0 Vie [i0, fj.
При наших допущениях относительно гладкости ин-
тегранта L функционал Л имеет вторую производную
в точке £«) следующего вида*):
*i
= j «Аг, £>4-2 (Сх, х) 4- {Вх, £» dt, (1)
'о
где Л (f) = I ((), В (t) = £ra(«), 2С (<) = L^(/) +	(«)•
Уравнение Эйлера для функционала Ж, т. е. урав-
нение
—~ (Ах 4- С*х) 4- Сх 4- Вх — 0,
называется уравнением Якоби для исходной задачи на
экстремали х(-).
*) Следует иметь в виду при этом, что L , =
XX
( дЧ \n	( d-L \п
= ------— I 5 L. = —----------- , а для матрицы D ~
\дхгдхзЬ,}=х хх \dxidxjJi,j=i
п
(dtj) справедливо <Dx, у) = У d^xjyu -
М=1
ЮЗ
Пусть на х(-) выполнено усиленное условие Лежанд-
ра. Точка т называется сопряженной к точке to, если су-
ществует нетривиальное решение h уравнения^ Якоби,
для которого h(tQ) = h(x) = 0. Говорят, что на #(•) вы-
полнено условие Якоби (усиленное условие Якоби), если
в интервале (ta, tt) (полуинтервале (t0, fj) нет точек,
сопряженных с tQ.
Уравнение Якоби — это линейное уравнение второго
порядка, которое (из-за усиленного условия Лежандра)
можно разрешить относительно второй производной.
Пусть H(t, t0) — матричное решение уравнения Якоби с
условиями H(tQ, tQ) == 0, H(t0, tQ) невырождена (обычно
полагают fi(t0, to)01*!). Очевидно, что точка т является
сопряженной к t0 тогда и только тогда, когда матрица
Н(х, tQ) является вырожденной. Это дает аналитическое
средство находить сопряженные точки.
Если y?/“FXRn, V е О (Rn+1) и функция £-*•
L(t, х, х) выпукла (строго выпукла) У (t,x)&.V, то
говорят, что интегрант L — квазирегулярен (регулярен)
на V.
Теорема 1. Необходимые условия слабо-
го минимума. Пусть в задаче (з) интегрант L удов-
летворяет условию гладкости L&C3(Qt). Если х(-)&
&C2(lt0, fj, Rn) и доставляет слабый минимум (з), то
функция х(-) должна быть экстремалью, на которой
удовлетворяются условия Лежандра и Якоби.
Достаточные условия сильного миниму-
ма. Пусть <?/==VXRn, FeO(R"+1), интегрантL&
&(?(%!) и квазирегулярен на V. Тогда, если х(-) ®
<sC3([*0, ij, Rn) и при этом х(-) — допустимая экстре-
маль, на которой удовлетворяются усиленные условия
Лежандра и Якоби, то х(-) доставляет сильный минимум
задаче (з).
Для квадратичных Л>ункционалов вида (1) задача мо-
жет быть исследована до конца.
Теорема 2. Пусть в (з) функционал имеет вид
(1), причем матрицы А и С непрерывно дифференцируе-
мы, матрица В непрерывна и выполнено усиленное усло-
вие Лежандра Л(£)>»0 Vie[f0, ij. Тогда, если не
выполнено условие Якоби, т. е. в интервале (t0, ti) есть
сопряженная точка, то нижняя грань в задаче равна
—оо. Если выполнено усиленное условие Якоби, то допу-
стимая экстремаль существует, единственна и доставляет
абсолютный минимум.
104
5.5.2.	Задача Больца. Рассмотрим задачу Больца
Ч *
Я (*(•)) = J (Z, х> x)dt + Z(z(Z0), z(Zi))->inf, (з)
*0
где L: 2Z + R, °U е tf(R2n+1), Z:r->R, ГеОТп).
Теорема 1. Необходимые условия слабо-
го минимума. Пусть в задаче (з) интегрант L и тер-
минам I удовлетворяют условию гладкости L^C3(°U),
1<=С2(Т). Если х(-) е C2([Z0, Zj, Rn) и доставляет слабый
минимум (з), то На ж(-) удовлетворяются уравнение Эй-
лера, условия трансверсальности, Лежандра и Якоби, а
если выполнено усиленное условие Якоби, то квадратич-
ная форма P + Q должна быть неотрицательна. Здесь
Q — Q (#о, xi) = Z (х (Zo), я (Zi)) К^о, xi)i fob *^1)1 >
р = Р (z0, *i) = <А (Zi) (Но (Zi) хи + Нг (Zx) xj, Я1> —
— <А (Zo) (HQ (t0) XQ+ (Zo) xj, x0> + <c(Zi) хг, Л?1> —
~<C(Z0), z0,z0>, 4(0-Z..(t), 2C(Z) = £t (Z) + ^.(Z),
Ht — матричное решение уравнения Якоби с условием
Ht(t3) “ б»/.
Достаточные условия сильного миниму-
ма. Пусть 62/==VXRn, Vs6?(Rn+1), интегрант L&
<= СЧ6^) и квазирегулярен на V. Тогда при условии, что
г(-) «= C3([Z0, Zj, R” ), на х(') удовлетворяются уравнение
Эйлера, условие трансверсальности, усиленные условия
Лежандра и Якоби и форма P + Q положительно опреде-
лена, то х(-) доставляет сильный минимум задаче (з).
И здесь выделим случай квадратичных функционалов
в отдельную теорему.
Теорема 2. Пусть в задаче (з) интегральный функ-
ционал имеет вид (1) п. 5.5.1, причем матрицы А и С
непрерывно дифференцируемы, а В непрерывна, терми-
нант l(x0, xj ~ <ах0, х0> + 2<^х0, Xi> + <.^xit х^, где а,
7 — матрицы размера пХп. Пусть, кроме того, выпол-
нено усиленное условие Лежандра A(t)>0. Тогда, если
в интервале (t0, ti) есть сопряженная точка, то значение
задачи равно —оо. Если же выполнено усиленное условие
Якоби и матрица Р + Q, введенная выше, неотрицательно
определена, то допустимая лкстремаль есть х( )»0.
105
Теоремы 1, 2 пп. 5.5.1, 5.5.2 будут доказаны в § 10.
Там же будет выведено необходимое условие Вейер-
штрасса сильного минимума.
5.5.3.	Теорема Боголюбова. Читатель мог заметить,
что в наших теоремах необходимые и достаточные усло-
вия различны: квазирегулярность не фигурирует в необ-
ходимых условиях, но присутствует в достаточных. Из
нижеследующей теоремы вытекает, что с теоретической
точки зрения интегранты в задачах вариационного исчис-
ления можно считать квазирегулярными: заменяя инте-
грант его квазирегуляризацией, т. е. овыпуклением по
производным, мы получаем новую задачу, у которой име-
ется то же самое численное значение, что и у перво-
начальной.
Теорема. Пусть е €?(R2n+1), L: -> R — непре-
рывный интегрант, E(t, х, •) — вторая сопряженная {в
смысле выпуклого анализа {см. п. 3.1.2)) функции Х'~*
I-* L(t, х, х),
3 (х(•))==	(t, х, x)dt-+inf; x(t0) =x0, xljj — xt, (з)
К
— простейшая задача с интегрантом Е. Тогда численное
значение в задаче
J (х(‘)) — L (t, x,x)dt-+-inf; x(t0) = x0, x^t^ — Xy, (з)
совпадает с численным значением задачи (з). Более того,
для любой функции х(-) е (Т([Л0, fj), x(t0) = х0, x(ti) = xlt
существует последовательность {хп{-)}n>i такая, что
хп(-) -* х(-) в пространстве C(lt0, fj) и lim5X(j?n(-)) =
= №(•)).
Из сформулированной теоремы немедленно вытекает,
что численное значение в примере 2 п. 5.3 равно —
В примере 6 того же пункта невыпуклость интегранта
явилась причиной несуществования решения. Там же
была построена последовательность функций, сходящая-
ся к функции, тождественно равной нулю, со значениями
интегралов, стремящимися к численному значению зада-
чи. Подобный метод применяется и при доказательстве
теоремы Боголюбова.
106
5.6. Теория поля. Уравнение Гамильтона — Якоби.
5.6.1.	Поле, функция наклона поля и S -функция.
Пусть
^(х(.)) = §L(t,x(t),x(t))dt, L: <2Z->R,	<7(R2n+1),
*0
есть функционал простейшей задачи классического вариа-
ционного исчисления и ж( )—некоторая экстремаль это-
го функционала из семейства экстремалей {.r(-, X)},
х(-,	U, R”), с параметром
Будем говорить, что хО окружена полем экстрема-
лей x(t, X), если существует окрестность G графика
= {(t, x(i)) е Rn+1 \t е [f0, М) такая, что для лю-
бой точки (т, |) из этой окрестности имеется единствен-
ная экстремаль семейства, проходящая через эту точку.
Точнее, существует функция k: G -> R’1, Х = А,(т, £), клас-
са CHG} такая, что ж(т, X) = £ <=>
u:G-> R", «(гД)= ^-г(гД(гД))
Х = Х(т, £)• Функция
, называется функ-
цией наклона поля.
Если существует такая точка х*\ что x(t*, к) =
~х* для всех к е А, то говорят, что я(-) окружена цент-
ральным полем экстремалей. Точка (£*, £*) называется
центром поля, семейство x(t, X) — центральным полем
экстремалей.
то
Пример. ЗС = 4 J (г’2 — £2) dt (гармонпче-
о
ский осциллятор).
Экстремали этого функционала имеют вид xkt) —
= Ci sin t + Сг cos t. Совокупность экстремалей x(t, k) =
= ksin t есть центральное поле экстремалей с центром
в точке (0, 0), включающее, в частности, экстремаль
ss 0, покрывающее полосу 0 < t < л. Функция накло-
на поля н(т, |), 0 < т < л, вычисляется так: надо взять
экстремаль поля, проходящую через точку (т, |) (т. е.
g sin £/sin т), и вычислить производную этой экстремали
в точке т. Таким образом, н(т, £) = £ctgT.
В п. 10.3.1, будет доказано, что если
#(•) s С3([£0, fj, R”) — экстремаль функционала 3 и вы-
полнены усиленные условия Лежандра и Якоби, то
107
экстремаль z(-) можно окружить (центральным) полем
экстремалей.
Отметим геометрический смысл сопряженной точки
при л-1. Сопряженная точка —это точка пересечения
«бесконечно близких» экстремалей. А именно, если рас-
смотреть центральное поле экстремалей xi-, А), удовлет-
воряющее условиям #(£*, А) == #(£*), X) = xit *) + X,
то сопряженные точки — это точки пересечения экстре-
мали с огибающей полученного семейства. Иначе говоря,
надо решить уравнения xKit, А)0. Подробнее об этом
см., например, в [1, с. 67].
Пусть я(«, А) — центральное поле, окружающее эк-
стремаль xi-) функционала 3. Положим
t
S (тД) = J L it, х (£, А (т, £)), х (t, А (т, £))) dt,
t*
Эту функцию называют S-функцией центрального поля
х(-, А). В п. 10.3.1 будет доказано, что (при указанных
выше допущениях на гладкость L и xi )) дифференциал
функции S имеет вид
б/5(т, £) = —Жт, £)с?т + <р(т, g),
где р (т, I) = L.x (т, £, и (т, 1)),Н (т, £) = <р (т, |), и (т, £)> —
—£(т,|,и(т, %)).
В рассмотренном выше примере (гармоническом ос-
цилляторе) для введенного там центрального поля
t2	,
8 (Т, £) = “Ctgx.
5,6.2.	Основная формула Вейерштрасса. Пусть /: R” ->
R — дифференцируемая функция п переменных. Функ-
цию
<§ГСг, х') — fix') — fix) — </'(#), х' — хУ (1)
назовем функцией Вейерштрасса, соответствующей /.
Геометрический смысл 8 таков: 8ix, х') — это разность
в точке х' между значением / и значением аффинной
функции, касательной к графику / в точке х. Отсюда
ясно, что если / выпукла, то
8 ix,x')^Q Vx,x' eRn.
Можно показать, что верно и обратное.
108
Пусть L — интегрант функционала .У простейшей за-
дачи классического вариационного исчисления. Функция
<£ it, х, и,х) = L it, х, х) — L it, х, и) — (L. it, х, и), х —
X
(Г)
называется функцией Вейерштрасса функционала 3. Из
сопоставления (1) и (Г) видно, что #(f, х, функ-
ция Вейерштрасса функции х -> Lit, х, х), где t, х игра-
ют роль параметров.
Из сказанного следует, что квазирегулярность (регу-
лярность) интегранта L в области V (п. 5.5.1) равносиль-
на тому, что
g it, х, и, х)^0 (с? (t, х, и, х) >• 0, х =£ и}
V it, х) <= V, {и, х) <= R2\
Пусть экстремаль xi-) окружена центральным полем,
экстремалей xi-, X) и xi-) е KClilt0, £j, Rn) — некоторая
функция, график которой расположен в достаточно ма-
лой окрестности графика и при этом xit0) = xit0),
xit{) — xitj. Тогда
fi ’	h	fi
J dS (t, x(0) =	j dS	(t, ~x (0) =	j	(- H Ц, x (0) +
i 0	*0	*0
Л Л
+ <p it, X it)), X (£)» dt = J iL it, X it), X it)) —
• •
— (pit^it)), X it)) + <pit,x{t)), xit)))dt~ (xi-)).
Отсюда
4
.7 (£(•))-S' (i(-)) =
<1	tjL
— J dS it, x (t)) ~ J iLit, x it), x (t)) — L{t, x it), и it, x it))) —
{x — и it, x it)), L. Ц, хЦ), и it, x it))))) dt =
Az
4
— f (g it, x it), и it, x it)), x it)) dt.
Эту формулу называют основной формулой Вейерштрасса.
109
В рассмотренном выше примере (гармоническом осцил-
ляторе) для xit) = О, Т0<п получаем тождество
то
УГ (^(•))=4/	~ #2(0Иг = U(0~ctg(^+6k(0)2^,
о	о
имеющее место для любой функции х(-) е KC'ilL, fj),
дт(О) = xiT0) — 0, если только е настолько мало, что
5.6.3. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби.
Пусть У — функционал, определенный в п. 5.6.1, с регу-
лярным интегрантом L. Тогда соотношения
p(t, x) — L. (t, x,u(t,x)),
X
—Hit, x) = Lit, x, uit, x)) — (pit, x\ uit, z)>,
полученные в п. 5.6.1, означают, что преобразование Ле-
жандра — Юнга — Фенхеля функции хLit, х, х), кото-
рую мы обозначим &it, х, р), обладает тем свойством,
что У&И, х, pit, ж)) — Hit, х). Но это значит, что 5-функ-
ция центрального поля удовлетворяет уравнению
(t,x, dS = о.
dt	\	dx I
Это уравнение называется уравнением Гамильтона —
Якоби. Этому уравнению удовлетворяют многие 5-функ-
ции, построенные по другим полям (не обязательно
центральным).
В рассмотренном выше примере (гармоническом ос-
цилляторе) уравнение Гамильтона — Якоби приобретает
вид
Якоби принадлежит метод нахождения общего реше-
ния уравнения Эйлера с помощью интегрирования урав-
нения Гамильтона — Якоби.
Теорема Якоби. Пусть семейство функций
Sit, х, а), зависящее от параметра a^Rn, удовлетворяет
в некоторой окрестности точки it0, х0) уравнению Гамиль-
тона — Якоби
dS jt, х, а)
dt
+ w[t,x,	= 0
\ ’ ’ dx /
110
для всех значений параметра а в некоторой окрестности
точки а0. Если функция S дважды непрерывно диффе-
ренцируема в некоторой окрестности V <= R2n+1 точки
dxda '
(,t0, x0, a0) и при этом в этой окрестности det
то соотношения Sa — р представляют в некоторой окрест-
ности точки t0 общее решение уравнения Эйлера [2, с, 9Д]«
В рассмотренном выше примере (гармоническом ос-
цилляторе) ищем полный интеграл уравнения Гамиль-
тона — Якоби в виде S — g(t) + /(ж). Тогда
.	2.
g' (i) 4- (аг ± Г И) = 0 => g (0 = —	+ alf
X
f (z) ~ J* /a2 — z2^ 4- a^,
о
Из уравнения Sa = £ получаем
/	X	\
A I	2. P ________________ \
p = — I —	4- J ]/a2 — z2 dz 4- a I => x — C sin (t 4- y),
'	о	/
Мы получил.и общее решение уравнения Эйлера.
5.7. Примеры.
Пример 1.
Т°
J (z2 — z2) dt -> inf; я(0) = 0, х (Го) — £, Т0>0
о
(гармонический осциллятор).
Решение. 1. L — x2 — z\
2. Необходимое условие — уравнение Эйлера х 4- х — 0.
3. Общее решение’ уравнения Эйлера: x(t) ~ С\ sin 14*
4- С2 cos t.
k. Применим достаточные условия. Условие Лежандра
выполнено, ибо Z^==2>0. Проверим выполнимость
условия Якоби. Уравнение Якоби здесь совпадает с урав-
нением Эйлера. Решение h уравнения Якобн с условиями
/г(0) = 0, /г(0) 0 есть МО ==.4 sin/, А ¥= 0. Точки — со-
пряженные с точкой нуль — нули уравнения sin t == 0.
Ближайшая к нулю точка — сопряженная точке ta —
это л.
Ответ. Из теоремы 2 п. 5.5.1 следует, что если
Г0<л, то xU) = с sin f/sin TQ е abs min; если To > л, то
111-
S’min = —При To = я, £ = 0 допустимые экстремали
имеют вид x(£) = Csini, 5mln e 0; при £ О 5Ш1П — —00.
Пример 2.
Т°
J (xi+ х22 + 2^2) dt -> extr;
о
Хг (0) = Хю, Xi (Т0) = Хц, I ~ 1, 2«
Решение. 1. Интегрант: L — х'г + х? + 2хгх2.
2.	Необходимое условие — система уравнений Эцлера
Х{ = Х2, Х2 = Xi => Xi — Xi, х2 — х2.
3.	Общее решение системы уравнений Эйлера: хДО в
= Ci sh t + С2 ch t + GsinJ + C4cos£, x2(O = C\ sh £ +
H- C2 ch t — C3 sin t — Ct cos t.
4.	Применим достаточные условия. Условие Лежанд-
ра выполнено, ибо матрица А — I — единичная. Система
уравнений Якоби совпадает с системой уравнений Эйле-
ра. В качестве H(t, 0) возьмем матрицу
sh t sin t
sh t — sin f J*
При этом
1 1
1 — 1
det Я (0,0) =
det H (t, 0) = — 2 sh t sin t.
Сопряженные точки: т = А'л, А <= N.
Ответ. При Тй < л существует единственная экстре-
маль, доставляющая абсолютный минимум;' при Тй>я
Smm == —°0. Случай То — л требует дополнительного ис-
следования, £тах = 0°.
Пример 3.
nz2
J (х2— х2) dt + ах2 (0) + (Зх2 + 2ух (0) х inf.
о
Решение. 1. Интегрант: L = х2 — х2; терминант: I =
= ах2(0) + рх2(л/2) + 27х(0)х(л/2).
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера х + х = 0;
б)	трансверсальность по х:
х(0) = ах(0) + ^х(л/2), х(л/2) = —рх(л/2) — ух(О).
112
3.	Общее решение уравнения Эйлера: x(t) — Ci sin t +
+ C2 cos t. Допустимые экстремали: если (у — I)2 — оф О,
- то хШМ; если (у — I)2 — оф = 0, то получается семей-
ство допустимых экстремалей^ зависящее от параметра.
4.	Применим достаточные условия. Усиленное условие
Лежандра Л.^=^2>0 выполнено, и, бойее того,
интегрант L квазирегулярен. Уравнение Якоби совпада-
ет с уравнением Эйлера. Решением уравнения Якоби
h 4- h = 0 с краевыми условиями Л0(л/2) = 0, ЛДО) = 1
и /i!(0) = 0, Ai(n/2) = 1 являются функции 7г0 — cos
hi — sin t. Квадратичная форма Р 4- Q имеет вид
п . /)*_ 2а 2у 2
F + V--" [2у - 2 20
Эта форма положительно определена при а > 0 и оф —
— (у — 1)2>0, не является неотрицательно определенной
при а < 0 или а > 0 и оф — ("f — I)2 < 0.^
Ответ, а > 0 и сф — (у - I)2 > 0 => x{t) = 0 е abs min;
со > 0 и оф — ("f — 1 )2 < 0 или а < 0 =>• х(Л) Ф loc extr;
*Smin = —
а>0 и оф —(у —1)2 = 0 или а = 0 и сф —(у —1)2>
> 0 => требуется дополнительное исследование.
Задачи
Решить задачи Больца 5.1—5.7.
1
5.1.	J x2dt 4- 4л;2 (0) — 5л:2 (1) -> extr.
о
1
5.2.	f (х2 4- х2) dt — 2х (1) sh 1 ->extr.
о
5.3.	J (л;2 4- л:2—4л; sin t)dt + 2x2(0)-]-2x(n)—л;2(л)->ех1г.
о
Л 2
5.4.	f (х2 — х2) dt 4- х2 (0) — х~ (	4- 4x(^-l-> extr.
о
5.5.	(P)J (х- + x2)dt + ах2(Т0)-^е^г'
/	о
8 В М Алексеев и др	113
1
5.6.	j (xix2 + ^1^2) + Zi (0) x2 (1) + (1) ^2 (О)-*" extr,
о
e
5.7.	J 2x (tx + x)dt 4- 3#2 (1) — x2 (e) — 4z (<?) -> extr.
1
В задачах Больца 5,8—5.10 найти допустимые экстре-
мали.
з
5.8.	J 4x2x2dt 4- х4 (0) — 8х (3) -> extr,
о
1
5.9.	[ exx2dt + 4/(0) + 32еГх(1)-> extr,
о
1
5.10.	J et+1 (х2 + 2x2)dt ± 2х(1)(х(0) + 1) -> extr.
о
Решить простейшие задачи классического вариацион-
ного исчисления 5.11—5.80.
1
5.11.	Jz2cft->extr; х (0) = 1, я(1) = О.
о
Г° .
5.12.	J -> extr; rr(O) = 0, x{TQ') = ^>.
о
1
5.13.	J (х — х2) dt -> extr; х (0) = х (1) = 0.
о
Г°
5.14.	У (х2 — х) dt->- extr; я(0) = 0, ж(7'0) = ^.
о
1
5.15.	(х2 + tx) dt-* extr; х (0) = х (1) = 0.
о
г
5.16.	j (t2x— #2) -> extr; # (0) = .г (1) = 0.
о
Г.° .
5.17.	( x3<ii->extr; я(0) = 0, х{Т0} = ^.
V
о
114
3/2
5.18.	j (x3 + 2x) dt-+ extr; x(0) = 0,
о
Г°
5.19.	J (xs — x2) dt-* extr; я(0) = 0, ^(Го) = ^.
о
Г°
5.20.	J (x3 4- x2) dt-* extr; ^(0) = 0, x(T^ = g.
о
e
5.21.	j* £#2d£->extr; x (1) — 0, ж(е) = 1,
i
i
5.22.	j* (1 + t) x2dt -> extr; #(0) — 0, x(l) = 1.
о
e
5.23.	J (to2 4- 2x) dt -> extr; a:(l) = 1, x(e) — 0.
i
e
5.24.	j* (x — to2) dt -> extr; #(1) = 1, x(e) = 2.
i
2
5.25.	J /to2a7-> extr; x(l) = 3, я (2) = 1»
i
з
5.26.	J (t2 — 1) x2dt-> extr; я (2) = 0, x(3)~ 1.
2
e
5.27.	J (2x — t2x2) dt -> extr; x (1) = e, x (e) = 0.
i
i
5.28.	J A:2cZ£->extr; x(0) = 1, z(l) = j/2.
о
4 3
5.29.	(P)J dt ->extr; x(0) = 1, r(y)=;=:4*
о x
i
5.30.	j exx2dt-^ extr; x (0) = 0, x(l) — In 4.
о
1
5.31.	J (x2 4- xx 4- 12to) c?f-> extr; #(0)= z(l) =0,
о
115
е
5.32.	J (tx2 4- xx)dt-*extr, л?(1) = 0, x(e) = 1.
i
i
5.33.	J (t2i2 -b 12z2) eft-> extr; x (0) = 0, x (1) - 1
о
(пример Гильберта).
i
5.34.	J (x2 4- x2) dt -> extr; x{—1)=л;(1) — 1.
-i
i
5.35.	J (ж2 4- 4л:2) dt -> extr; x(— !) = — !, x(l) = l.
-1
i
5.36.	У (x2 4- x2 4- 2x) dt -> extr; x (0) — x (1) = 0.
о
i
5.37.	J (x2 + x2 + tx) dt -> extr; x (0) = x (1) = 0.
о
i
5.38.	J (4л; sin t — x2 — x2) dt -> extr; x (0) = x (1) = 0.
о
i
5.39.	J (x2 + x2 4- 6x sh 2t) dt -+ extr; x (0) = x (1) = 0.
о
T°
5.40.	J (л:2 4- x2 — 4л; sin t) dt -> extr;
о
л;(0) = 0, х(Т0) = %.
T°
5.41.	J (л;2 4- x2 4- Qx sh 2t) dt -> extr;
о
a;(0) = О,л;(Го) = g.
i
5.42.	J (л;2 4- x2 4- 4л; sh t} dt -> extr;
о
л;(0) = -1, л:(1) = 0.
Г°
5.43.	J (л;2 4- x2 4- 4л?з111) dt-+ extr; л:(0) = 0, л;(Г0) = ^.
о
116
I
5.44.	J (я2 + x2 + 4xch t) dt-+ extr; x(0) = x(l) = 0.
о
Г°
5.45.	J (x2 + x2 + 4z ch t) dt -> extr;
о
z(0) = 0, x(T0) = %.
n/2
5.46.	J (x2 — x2) extr; х(0) = 1, x(~^ = 0.
о
5.47.	j (4x7 8-x2)^->extr; x'(0) = 1, x(~^ = 0.
о
л 4
5.48.	J (x2 — 4x2) dt -> extr; x(0) = 0, x^-^-) = l.
о
ЗЛ 4
5.49.	J (x2 — 4x2) dt -> extr; x(0) = 0, x^-~-j = — 1,
о
Л 2
5.50.	j* (2x + x2 — x2) dt -> extr; x (0) = x = 0.
0
Зл/2
5.51.	j (x2 — x2 — 2x) dt extr;
о
x (0) = 0, x ” 0*
Л 2
5.52.	J (x2 — x2 — tx) dt extr; a?(0) =	~ 0.
0
л'2
5.53. J (i2
0
— x2 + 4,r sh t) dt -> extr; x (0) = x
7°
5.54. j {x2 — x2 + \x sh Z) dt extr;
о
z(0) = 0, х(То) = g.
117
Я 2
5.55.	J (6# sin 2t + x2 — x-) dt -> extr; x (0) =	0.
о
ro
5.56.	J (ж2 — x2 — 6x sin 2f) dt -> extr;
X (0) = 0, z <T„) =
Л'2
5.57.	J (4x sin t 4- x2 — x2) dt -> extr; x (0) = x 0«
о
ЗЛ/2
5.58.	f (x2 — x2 — 4x sin t)dt-*extr, x (0) = x (4^-) = 0.
0
Л 2
5.59.	J (x2 — x2 + 4x cos t) dt -> extr; x(0) = x^^=0.
0
Л 2
5.60.	(x2 — x2 4- 4x cos t)dt-^ extr;
о
o-(O) = 0, 4^) =y-
ЗЛ 2
p	•
5.61.	j (x2 — 4x cos t — x2) dt-+ extr;
о
x (0) = 0, x I — I =-------2 *
T°
5.62.	J (x2 — x2 4- 4x cos t) dt -> extr;
x(0) = 0, x(7’0) = I.
i
5.63.	j (x2 4- 3x2) e2t dt -> extr; x(0) = 1, x (1) — e.
о
i
5.64.	J (x2 — x2) e2tdt-^ extr; x(0)~ 0, x(l) = ₽.
о
T°
5.65.	J (x2 — x2) e2tdt-+ extr; x(0) = 0, x(7’0) = £,
о
118
1
5.66.	f sin xdt -> extr; t(0) = 0, a:(l) = -^-«
о
i
5.67.	J cos xdt -> extr; z(0) = 0, z(l) = n.
о
Г°
5.68.	J sin xdt -> extr; z(0) = 0, x(7’0) = g.
о
ro
5.69.	J cos xdt -> extr; ж(0) = 0, x(TQ} = g.
о
T° , •
5.70.	J xex dt ->extr; ;r(0) = 0, x{T^) — t.
о
T°
5.71.	j* (ж5 + 5x) dt -> extr; ж(0) —0, x(T0}~
0
1
5.72.	(P) J (1 — #2)2df->extr; z(0)-0, z(l)-£.
0
T°
5.73.	J (x2— xx3} dt-> extr; x(0) = 0, x(T0}=0 (пссле-
0
довать на экстремум допустимую экстремаль xtt) 0)«
1
5	74. | (ж2 — 4z3x + 2ta4) dt extr; х (0) = 0, х (1) = О
о
(исследовать на экстремум допустимую экстремаль
x(t) ^0).
1/2 1/-----"~2	, ч
5.75.	f ——--------d£->extr; ж(0)==1,	=
О
л Г 1/ 1 + X2	/ 1 \	-1/з
5.76.	-----------dt -> extr; х/ут j =	, т(1) = 1.
1 2
f
5.77.	J----------d«->exlr; Jr((0) = a-0> x(t1) = a:1
*0
(rro>O, Л1>0).
119
- г0 __________
5.78.	J я]/1 4- i2^->extr; ^(To) = ^(- To) » В
-го
(задача о минимальной поверхности вращения).
dt -> extr; х (t0) = х0,
х (^i) = xi
(ж0 > 0, Xt > 0) (задача о брахистохроне).
5.80.
Y х 4- h ]/~ 1
+ х2 dt -> inf;
я(0) = 0, х{Т^ =
В задачах 5.81—5.86 найти допустимые экстремали.
1
5.81.	J ( х2 + х2 — 2<r1z2) dt -> extr;
о
хг (0) = х2 (0) = 0,	(1) — sh 1, хг (1) — — sh 1,
1
5.82.	(* (ж? + х\ + 2ххх2) dt-+ extr;
V
о
xi (0) = х2 (0) == 0,	(1) e х2 (1) — sh
1
extr;
о
xi (°) в (0) =» 1, Xi (1) = е, х2 (1) =
Л/2
5.84.	J (х^2 — хгх2) dt-+ extr;
о
xi (0) = х2 (0) = °, xi (у) = 1, Х2
1
5.85. J (Х]Х2 4-	4- 12х2^2) dt-+ extr;
о
Х1 (0) = Х2 (0) = О» Х1 (1) = Х2 (1) = 1-
Л/2
5.86. J (i; 4- Х3 4" ^х^х^ 4- 2^2*^'з)
о
а:3(0)=1,л<2(0)=—
extr; xL (0) =
120
Решить задачи с подвижными концами 5.87—5.107.
1
5.87.	J x2dt extr; ж(0) — 1.
о
1
5.88.	J x2dt + ах- (1) extr; т(0) = 0. -
о
т
5.89.	j x2dt->- extr; я(0) — О, Т + х(Т) + 1 — 0.
о
г
5.90.	j* x2dt-+ extr; z (0) = 0, (Г — 1) х2 (Т) 4- 2 = 0.
о
г
5.91.	j*£3c^->extr; T-{-x(T) — i, х(0)—0.
о
1
5.92.	j* (х2 + х) dt -> extr; ж(1)~0.
о
Т°
5.93.	(Р) У (х — х2 )dt -> extr; т(0) = 0.
о
т
5.94.	У (х2 4- х) dt-+ extr; х(0) — 1.
о
т
5.95.	j (х2 4- х) dt-+ extr; х(Т) — Т.
о
т
5.96.	У (х2 4- ж) dt -> extr; х (0) = 0, х (Г) = £.
о
т
5.97.	У (х2 4- х) dt -> extr; х (0) — 0, х(Т) = Т.
о
т
5.98.	У (х2 4- х 4- 2) dt -> extr; х (0) — 0.
о
Л 4
5.99.	j* {х2 — х2) dt-+ extr; ж(0) ~ 1.
о
Г?
5.100.	j (х2 — х2) dt extr; х (0) = 0.
о
121
Л'4
5.101.	j (я2 — х- 4- ix cos t) dt-+ extr; я(0)=0.
о
V •	/ \
5.102.	] (x- — x2 + kx sin t) dt -> extr; #1 — ) = 0.
я 4
1
5.103.	J (x2 4- x2) dt -* extr; x (0) == 1.
о
i
5.104.	J (x2 4- x2 4- 4z sh t) dt -> extr; x (0) = 0.
о
i
5.105.	J (x2 + x2 + ix ch t) dt -> extr; x (1) = 0.
о
i
5.106.	(P) J (x2 4- x2) dt — x2 (1) -> extr; x (0) = 1.
о
т
5.107.	J {x2 4- x2} dt -> extr; x(0) == 0, x(T) = 1.
о
В задачах 5.108—5.115 найти допустимые экстремали.
т
5.108.	J (х2 4- х2) dt extr; х (Т) 4- Т - 1 = 0.
. о
т
5.109.	J (i2 4- х2} dt-+ extr; z(0) - О, T 4- х (Т) 4- 1 = 0.
о
5.110.	JK1 4- i2^->extr; я(0) = 0, Vx(T) = i.
о
Си 1 4- х
5.111.	J -----t?£->extr; гс(0) = 1.
о
с У'i 4- х2
5.112.	j-—Z—^->extr; ж(0) = 1, 7’-^(7’)=l.
о
5.113.
r0 Л---------г-
J xV 1 4- x2 c?i->extr; x{T^—^.
122
С ( х* 4- ж2	\
5.114.	1 ( --0— — ххх21 c^->extr; (1) = z3(l) = 1.
J \ £i	/
0
5.115.	jt 1 —- — a:1a,2) dt -+ extr; z, (0) = x2 (0) = 1.
0
В задачах 5.116 — 5.120 выписать уравнение Гамиль-
тона — Якоби.
5.И6.
5.117.	f (^2 + я2)
4U fj »	/
5.118.	vf &-x-}dt.
“ «7 '	'
5.119.	j^Kl+ ? dt.
5.120.	jVcft.
В задачах 5.121 — 5.126 найти общее решение уравне-
ния Эйлера, решая уравнение Гамильтона — Якоби.
5.121.	1 j ?-cZi.
5.122.	+
5.123.	|J(i2-rr2)^.
f 1/1 4- P
5.124.	J -—J— dt.
5.125.	J jVl + i2 dt.
5.126.	(P) J /FTT2 /1 + > dt.
§ 6. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКПЕ ЗАДАЧИ
*
6.1.	Принцип Лагранжа для изопериметрических задач.
6.1.1.	Постановка задачи. Изопериметрической задачей
(с закрепленными концами) в классическом вариационном
исчислении называется следующая задача в пространстве
123
б'ЧПо, fj) (или KC'([t0, /J)):
<1
^о(я(-))== J f0(t,x(t),x (t))dt-+extr,	(a)
*0
«1
^i(z(-)) = j z(0, X (t)) dt = «i, f==l,	(1)
ro
x(t0) = xQ, z(^1) = O’i.	(2)
Здесь f(: R3 -> R, i * 0, 1, ..., т,— функции трех перемен-
ных. Константы а15 ..am — заданные фиксированные
числа.
Ограничения вида (1) называются изопериметрически-
ми. Функции I = 0, 1, ..., т, называются интегрантами.
Функции #(•)<= СЧИо, £j), удовлетворяющие изоперимеТ-
рическим условиям (1) и условиям на концах (2), называ-
ются допустимыми.
Будем говорить, что допустимая функция аг(-) достав-
ляет в задаче (з) слабый локальный минимум (максимум),
и писать х(-) s loc min з (loc max з), если существует
б>0 такое, что для любой допустимой функции х('), для
которой Ня(-) — Д')П1 < б, выполняется неравенство
^о(Д-)) > Ш)) G9№(-)) < ^о(Й-))).
6.1.2.	Правило решения.
1. Составить лагранжиан:
L ~ L (t, X, X , Л.) — 2	(^, •с), X = (Хо, Xj, < > . , Xm)«
i=0
2. Выписать необходимое условие экстремума — урав-
нение Эйлера для лагранжиана L:
(т	\
24-м +
i“0	/
+ 2 X{/ix(t) = 0.
i=0
3. Найти допустимые экстремали, т. е. допустимые ре-
шения уравнения Эйлера для лагранжиана L при векторе
множителей Лагранжа А, не равном нулю. При этом бы-
124
вает полезно отдельно рассмотреть случаи Хо = О и Хо 0.
Во втором случае можно положить Хо равным единице или
любой другой, отличной от нуля константе.
4. Отыскать решение среди найденных допустимых
экстремалей или доказать, что решения нет.
6.1.3. Правило множителей Лагранжа.
Теорема. Пусть °Н — открытое множество в прост-
ранстве R3,	-> R, i = 0, 1, ..., т,— функции, непре-
рывные в °U вместе со своими частными производными /1Х
и ^(условие гладкости), #() ^ СЧЩ £j), (f, х (£), х (i))e
yie [?0, ?J.
Тогда, если функция х(-) доставляет слабый локальный
экстремум в изопериметрической задаче (з), то найдутся
множители Лагранжа Хо, Xi, ..., X™, не все равные нулю и
пг
такие, что для лагранжиана L = Хг/г #) выполне-
но
но уравнение Эйлера
~~ Tt^x^ ~ о*
Если выполнено условие регулярности, состоящее в том,
что функции — л? ^(t) + Лх(^),	линейно
независимы, то Хо 0.
Эта теорема является очевидным следствием теоремы
п. 2.3.3, где сформулирован принцип Лагранжа для задач
с равенствами и неравенствами. Однако мы даем ниже ее
непосредственное доказательство.
< А) Вычисление вариаций по Лагранжу
функционалов Напомним, что согласно § 1 ва-
риацией по Лагранжу функционала Л в точке х(-) назы-
вается функционал «(•)->	х(-)), определяемый по
формуле б^Ы-), х(-)) = lim U7(#(-) + Х^(-)) — ^(^(-)))/Х.
х-»о
Фактически вариации интегральных функционалов вариа-
ционного исчисления были вычислены нами в пп. 5.1.3,
5.2.3. Применяя дифференцирование под знаком интегра-
ла, аналогично тому, как это было сделано выше, прихо-
дим к формуле
«',(£(•),*(•>) = J (/,.(«)*(() +ЛИО* wW
i = 0, 1, . . ., ni.
125
• Б) Построение конечномерного отобра-
жения и выделение вырожденного и ре-
гулярного случаев. Рассмотрим следующее линей-
ное отображение пространства Со (Но, £J) = {%(•) е
еС1 ([«О, *11) I * W) = *(У = 0) в Rra+1:
Лх(-) = (&70(z(-), х(-У), б«71(х(-), лт(•))..., 6<7т(Д-), я(-))).
Возможны два случая:
а)	отображение А является отображением на все R™+1,
т. е. Im A = Rrn+1 (регулярный случай);
б)	отображение А является отображением на часть
Rm+1 (вырожденный случай).
В) Доказательство теоремы в вырожден-
ном случае. Образ линейного пространства при линей-
ном отображении ‘является, как известно, подпространст-
вом. Значит, в вырожденном случае Im А есть собствен-
ное подпространство в R™+1. Но тогда по лемме о нетри-
виальное™ аннулятора в конечномерном пространстве
(п. 1.3.1) найдутся такие числа Хо, М, ..., Хт, не все рав-
ные нулю, что
т
yz = (zo,z1,...,zm)elm4.
1=0
Теперь, если вспомнить определение оператора А и выра-
жение для 6«9\(£(-), #(•)), то получим
tt т	.
[| 2 kJ/,. (О * W + 71х (*) х (о) ) dt = О
\ ))
Vz(-)e=Cj([f0, у).
Но тогда из леммы Дюбуа — Реймона (п. 5.1.3) следует,
ЧТО 2 w. • (•) Е с1 ((/„, У) И, значит,
i=o , гХ
/ т	\	т
м?.. (*) + (о = о.
\ 1=0	гх /	1=0
Г) Невозможность регулярного случая.
Выберем Xj (•) е С} (H03il) так, чтобы Д^(-) = где
е0 = (1, 0, ..., 0), ..., ет= (0, ..., О, 1) — канонический
базис в R™+1. Рассмотрим отобр*ажение Ф окрестности
нуля пз R™+1 в Rm+1:
Ф(0) = (фо(£о, 01, . . pm), Ф1(ро, 01, • • ., 0m); . . .
. . .. фт(ро, 01, . . ., 0m)),
126
где
фАЛ • • -,Pm) =	+ 3	«=0,1, ...,7П.
\	5=о	/
Нетрудно проверить, что функции д>г непрерывно диф-
ференцируемы и при этом
Ф(0) = («„,«!.....а<Л' ЗД? ()).
По теореме об обратной функции (п. 1.5.3) существу-
ют обратное гладкое отображение Ф-1 п константа К > О
такие, что
|Ф-1(г)I < K\z — zl
при малых z — z. В частности, для любого достаточно ма-
лого по модулю е найдется такой вектор £(е) = (р0(е),
..₽т(е)), что £(е) = Ф-1((а0 + е, аь ..., а™)), т. е.
(	т	\
*(’) + 2 Pj(e)^(-)1 =
5=о	/
= «^о(^ (’)) +
(т	\
£(-) + 2 РЛе)^(-) ==«1, *=1,
5=о	/
и при этом
I ₽(е) I ~ |Ф-1(а0 + 8, а4, ..ат)1 С Kiel.
Получилось, что в любой окрестности функции я(-) (в про-
странстве С‘(И0, ?1])) существует допустимая функция
т
(а именно #(•) + 2 ^5 (е) xj (’) при достаточно малом s),
5=о
для которой значение функционала как больше, так и
меньше, чем «‘Т'Дя (•)). Пришли к противоречию с допу-
щением, что £(•)<= loc extr. >
6.1.4. Пример.
1 ,	I
J -> extr; J х dt = 0, я(0) = 0, я(1) = 1,
о	о
Решение. 1. Лагранжиан: L = Х0х2 + Хх.
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера
—	(£) 4- Lx (£) = 0 <=> — 2Кох + X ~ 0.
127
3.	Если Ко — 0, то X = 0 — все множители Лагранжа —
нули. В этом случае допустимых экстремалей нет. Поло-
жим Хов 1/2. Тогда х = X. Общее решение: х — Cd2 + C2t +
+ Cs. Неизвестные константы Clf С2, С3 находим из усло-
вий на концах и изопериметрических условий
= 0=^C3 = 0t
z(l)=l^C1 + C2 = l,
В задаче имеется единственная допустимая экстремаль
х = 3t2 — 2t.
4.	Покажем, что х(‘) доставляет абсолютный минимум.
Действительно, возьмем допустимую функцию ж(-); тогда
1
х(-) — х (•) = h (•) е CJ ([0,1]) и §hdt = O. Далее,
о
о
о
1 . 1 1 ,
= J 2x'h dt 4- J h2dt ^2 J xh dt.
ООО
Интегрируя по частям, получим
1 . 1 , , 11.. 1
J 'хh dt — J х dh = x (t) h (t) — J x h dt — — 6 j h dt = 0.
oo	oo	о
Таким образом, ^(^(-)) > ^(^(-)) для любой допустимой
i ,
функции #('). Нетрудно получить, что 5min — J x-dt =
о
1
«=]* (б£ — 2)2d£ == 4.
о
Ответ. Функция х *= 3/‘2 — 2t доставляет в задаче аб-
солютный минимум; значение задачи iS,min = 4; очевидно,
что 5тах ==4-оо.
128
6.2. Необходимые условия высших порядков и доста-
точные условия.
6.2.1. Теория. Рассмотрим изопериметрическую задачу
^(•)) -*• inf; 3^(х(-)) = af, i = 1, ..., т;
x(t0) = х0, x(tt) = xt,	(з)
где
*
(•)) = J fi (t, x, x) dt, i =0,1, .. t,m,
fe.U-+R, ^ge(7(Rs).
Будем далее предполагать, что интегранты Д по мень-
шей мере принадлежат классу С2(<?/). Пусть х(-) е
&Cz(lt0, fj) — экстремаль задачи (з) с Хо = 1, т. е. на ней
выполнено уравнение Эйлера для интегранта L = /0 4-
т
+ 2 Wi с некоторыми множителями Лагранжа X,-. Гово-
i=i
рят, что на #(•) выполнено условие Лежандра (усиленное
условие Лежандра), если
£‘‘(0>0
XX	\ X X	j
При наших допущениях относительно гладкости интег-
Ч -
рантов /f функционал 3 (х (•))== J L dt имеет вторую про-
<о
изводную по Фреше в точке х(-):
(z(-)) = 5T(2(.))[*(•),z(-)] = j(^2 + 2Схх+ Bx*)dt,
*0
где A (f) = Z. . (f), C(t) — L. (f), B(t) = Lxx(t),
X X	X X
Если x(-) e loc min з, то по необходимому условию вто-
рого порядка в задачах с равенствами (п. 2.5.3) функция
х (•) s 0 е abs min в задаче
3"(2(-))Ж. *(•))-*inf;	=
= °-
129
Правило множителей Лагранжа, примененное1 к этой
задаче, приводит к уравнению
т
— At	~ О’
a it
г=1
где gi(0 — —	^(0 + /г«(0’ Это уравнение называется
(неоднородным) уравнением Якоби для (з) на экстремали
#(•).
Пусть на экстремали х( ) выполнено усиленное усло-
вие Лежандра. Точка т называется сопряженной к точке
t0, если существует нетривиальное решение h неоднород-
ного уравнения Якоби, для которого
X
У ^(t)h(t) dt — 0, f = 1, ...,тп, h (tQ) — h (т) = О*
о
Говорят, что на х( ) выполнено условие Якоби (уси-
ленное условие Якоби), если в интервале (t0, ft) (полуин-
тервале (t0, fj) нет точек, сопряженных с t0.
Дадим аналитическое средство нахождения сопряжен-
ных точек для случая, когда функции gi, i — 1, .,т, ли-
нейно независимы на отрезках [т0, rJ, t0 < т0 < Tj <
Пусть h0 — решение однородного уравнения Якоби (ц< = О,
1 — 1, ..., т) с краевыми условиями ho(to) = O, h0(tQ) — 1;
7Ц-) -—решение неоднородного уравнения Якоби с ц,= 1,
№ —0, и краевыми условиями h3(t0) — hj(to) — О,
j = l, ..., т. Нетрудно понять, что точка т является соп-
ряженной тогда и только тогда, когда матрица
# (т) =
h0 <т) • • • hm (х)
т.	т
У hog1(it... J hrng±dt
(0	*0
J ••• J h^mdt
*0	*0
является вырожденной.
Теорема 1. Необходимые условия слабо-
го минимума. Пусть в задаче (з) интегранты f{,
i — 0, 1, ..., т, удовлетворяют условию гладкости /, е
еС3(<%). Если х(-) еC2(U0, доставляет слабый мини-
130
мум (з) и при этом имеет место условие регулярности, за-
ключающееся в линейной независимости на любом отрез-
ке [i0, т], (т, ij при любом т функций
ёг	Т гх + ^гХ г‘ 1, • • • ,
то xi ) — экстремаль задачи (з), на которой удовлетворя-
ются условия Лежандра и Якоби.
Достаточные условия сильного миниму-
ма. Пусть <2/= V X R, V е <7(R2), интегрант L — fQ +
тп
+ 2 Н1Л е £4 (^) квазирегулярен для всех (i, х) е V и
1=1	„
на допустимой экстремали ж(-) C3([t0, ij) задачи (з) вы-
полнены усиленные условия Лежандра, Якоби и условие
регулярности. Тогда х( ) доставляет сильный минимум.
Теорема 2. Пусть в задаче (з) функционал 30
квадратичен:
^о(^(-)) = f GV2 + B0x2)dt,
*о
функционалы линейны:
(#(*)) — J (агх + ЬгХ) dt, i = 1,
причем функции Ао, а,, ..., ат непрерывно дифференци-
руемы, функции Во, bi, bm непрерывны и выполнены
усиленное условие Лежандра и условие регулярности.
Тогда, если не выполнено условие Якоби, т. е. в интервале
(t0, h) есть сопряженные точки, то нижняя грань в задаче
равна — оо. Если выполнено усиленное условие Якоби, то
допустимая экстремаль существует, единственна и достав-
ляет абсолютный минимум.
6.2.2. Пример.
1. J (х2 — х2) dt -> inf; j х dt — 0, x (0) — x (To) = 0.
о	. о
2. Необходимое условие — правило множителей Лаг-
ранжа: х + х — К — 0.
9*	131
3. Общее решение уравнения п. 2 с условием я(0) = О
есть x(t) — A sin t + В (cos t— 1). Среди допустимых экстре-
малей всегда имеется допустимая экстремаль x(t) » 0.
4. Применяем достаточные условия и. 6.2.1 (теорема 2).
Условие Лежандра выполнено: Л0 = 2>0. Проверим вы-
полнимость условия Якоби. Уравнение Якоби здесь совпа-
дает с уравнением Эйлера. Решение h0 однородного урав-
нения с условиями ho(O) — 0, 7го(О) = 1 есть sin t. Решение
hi неоднородного уравнения х + х + 1 — 0 с условиями
(0) — ЙДО) = 0 есть cos t — 1. Матрица H(f) имеет вид
Я(0 =
' ^(0
t
-о
\ (t) -
t
J hjdx
о
sin t
1 — cos t
cos t — 1
sin t — i]’
Таким образом, сопряженные точки — это решения
уравнения
det H(t) — 2 — 2 cos t — t sin t = 0 <=> sin t/2 — 0, t/2 — tg t/2.
Ближайшая к нулю сопряженная точка: t^ 2л.
Ответ. Из теоремы 2 п. 6.2.1 следует, что при
TQ < 2л #(•) 555 0 — единственная допустимая экстремаль,
доставляющая абсолютный минимум, 5т1п = 0; при 710>2л
S'min = — о°. Можно показать, что при То — 2л допустимые
экстремали имеют вид x(t) = С sin t и они доставляют аб-
солютный минимум, Smin — 0.
Примечание. Рассмотренную задачу заменой у — х,
у(0) «0 можно свести к задаче со старшими производ-
ными:
Т° ,
j* (у2 ~ ^2) dt-> inf; у(0) = у (0) = у(Т0) = у(Т0) = О,
о
а ее можно исследовать методами п. 7.2.2.
Задачи
Решить изопериметрические задачи 6.1—6.17.
6.1.	1 1 J х2 dt-+ extr; J х dt — 0, х (0) = 1, х (1) = 0.
6.2.	0	0 1 1 j х2 dt-> extr; § xdt — 3, ж(0) = 1, a;(l) = 6, 0	0
432
I	I
6.3.	J x2 dt- 0 i	>extr;	J tx dt = 0, 0 i	z(0)=0, x(l) = 1.
6.4.	J x2 dt-	> extr;	J txdt — 0,	rc(0) = -4, a;(l) = 4
	0		0	
	i		i	i
6.5.	j x2 dt-	> extr;	J xdt — 1,	J txdt = 0,
	0		0	0
x (0) = x (1) = 0.
i	i	i
6.6.	J x2 dt-+- extr; J xdt — — у, J tx dt = — 2,
ooo
z(0) = 2, z(l) = - 14.
Я	Л
6.7.	J x2 dt-+ extr; J x cos t dt —
о	о
я(0) = 1, я (л) = — 1«
6.8.	J x2 dt-> extr; j x sin t dt = 0,
о	о
x (0) = 0, x (л) — 1.
л	л
6.9.	f x sin t dt-> extr; Гл:2^=^,
о	0
#(0) = 0, х(л) = л.
Л	Л
6.10.	J x2 dt-+ extr; J x cos t dt — ~;
о	о
n
J x sin t dt— л + 2, x (0) = 2, x (л) = 0.
о
1	i
6.11	extr; J xe * dt — e,
о	о
z(l) = 2, z(0) = 2e + 1.
1	1
6.12.	j £2 extr; j xedt — 0, я(0) = 0, a?(l) = 1.
о	о
133
6.13.	(P) J (х2 + х2) dt-^extr, J xedt = e—~~,
О	0
.r(O) = О, ж(1) = e.
1	i
6.14.	J (ж2 + x^dt-* extr; J xe^dt — -——,
о	о
s(0) = 0, ®(1) = }.
2	2
6.15.	(P) J £2#2 ->extr, J txdt =
i	i
z(l) = 1, я (2) = 2.
2	2
6.16.	J t3x2 dt ->extr; j x dt = 2, x (1) — 4, x (2) — 1.
i	i
i	i
6.17.	(P) J x2 dt-*- extr; §x2dt=i, x (0) = x (1) = 0.
о	о
В задачах 6 18 — 6 25 найти допустимые экстремали.
6.18.	J (х2 — х2} dt -> extr, J х cos tdt=l,
о	о
x (0).= x (л) — 0.
Л/2	Л'2
6.19.	j (x2 — x2) -> extr; j x sin t dt — 1,
о	о
x (0) = x j = 0.
r0	r0 __________
6.20.	(P) J ^<7f->extr; J V 1 + ? dt = I,
-t0	-t0
x{— TQ) = x(T0) = 0 (задача Дидоны).
т0 __________ г» __________________
6.21,	f xV 1 4- x2 dt -* extr; f Vl + x’dt = l,
-t0	-r0
x(- То) = х(Т^)^О,
134
1	1
6.22.	j xYx2 dt-+ extr; J xt dt - 1, rx (0) = хг (1) — 0;
e-	о
i
J x2 dt— 0, x2 (0) = 0, x2 (1) = 1.
о
i	ii
6.23.	J ^1(r2 extr; J txr dt— J tx2 dt— 0,
0	0	0,
^i (°) =	(1)	*2 (0) = 0» ^2 (1) = 1-
i	i
6.24.	J + x2) dt -> extr; [^^2^ = 0,
о	*o
^i (0) = x2 (0) = 0» xi (1) = 1, x2 (1) = — 3.
i	i
6.25.	J t (x± — x2) dt -> extr; J xtx2 dt — — у,
о	о
^i (0) = x2 (0) = x2 (1) - 0, xt (1) = 2.
§ 7. ЗАДАЧИ CO СТАРШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
7.1.	Необходимое условие первого порядка.
7.1.1.	Постановка задачи. Задачей со старшими произ-
водными (с закрепленными концами) в классическом ва-
риационном исчислении называется следующая задача в
пространстве Cn([t0, fj):
h	#
3 (х (*)) — J	х (О» х (О» • • *»х(п) (0) dt -> extr;	(з)
Xм (t,) = х*, * = 0,1,...,п-1, / = 0,1.	(1)
Здесь L: R”+2 -* R — функция п + 2 переменных. Функ-
ция L называется интегрантом. Функции #(•) е Cn(lta, fj),
удовлетворяющие условиям (1) на концах отрезка [i0,
называются допустимыми.
Будем говорить, что допустимая функция х(-) достав-
ляет в (з) слабый локальный минимум (максимум) в про-
странстве fJ), если существует 6 > 0 такое, что для
любой допустимой функции х(-), для которой —
х (')ilcn([t0 fjj) < выполняется неравенство
Зах(-У)>Зах(-)) (J(x(:))^J(x( ))),
и будем писать при этом х(•) е loc min з (loc max з).
135
7.1.2.	Правило решения.
1.	Формализовать задачу, т. е. привести ее к виду (з)
п. 7.1.1.
2.	Выписать необходимое условие — уравнение Эйле-
ра — Пуассона'.
п /и
3.	Найти допустимые экстремали, т. е. решения урав-
нения Эйлера — Пуассона с заданными краевыми усло-
виями.
4.	Доказать, что решением является одна из допусти-
мых экстремалей, или'показать, что решения нет.
7.1.3.	Уравнение Эйлера — Пуассона.
Теорема. Пусть °U <= C4Rn+2), L: <2/-* R — интег-
рант, являющийся непрерывной функцией вместе со свои-
ми производными по х, х, ..., х{п} (условие гладкости),
(t, x(t),,x(t), .. .,x(n4t))	V£e[£0, Тогда, если
функция х(-) доставляет локальный экстремум в задаче
' со старшими производными (з) в пространстве С’ЧИо £j),
то выполнено следующее уравнение-.
” 7i Ti^x^	^)) +
+ ^х(п-2)	(0 — 0.
Если допустить, что Lxw(') s ^11),	0,1, •..
..., п, то получим уравнение Эйлера — Пуассона.
<1 А) Определение вариации по Лагран-
жу. Дифференцируя под знаком интеграла так же, как
мы это делали в пи. 5.1.3, 5.2.3, 6.1.3, приходим к следую-
щей формуле:
— (
dt\"
kw (0	(t) dt.
Б) Усиленная лемма Дюбуа —Реймона.
Пусть ah(-) е С([t0, £j), к = 0, 1, . . ., п, и для любой функ-
ции x(-)^Cn((ta, ^]), rr(J)(^)==O, / = 0, 1, ..., п— 1, / =
= 0, 1, выполняется равенство
/ п \
I 2 а* (()	(0 Й - 0.	(1)
136
Тогда на отрезке [£0, tj непрерывно дифференцируемы
функции
On (’)»	(’) + Un~i ( ')»
tZ । t/ f к	/\i
— dM— ~dtan^'	+ fln-2, • • •
и выполняется равенство
— dti ‘ ’ ’(—~dt (—Tt an (O + an-l (0) + an- 2(0) • • •) + a0 (0 = 0.
CM' \	\	U’4' \ tl'V	/	/	/
« Рассмотрим следующую систему из п линейных
дифференциальных уравнений:
— Ро + а0 = 0>
— Pi — Ро + ai= °,	(2)
— Рп —1 — Рп—2 + j — 0.
Система (2) легко решается с помощью последователь-
ного интегрирования уравнений, начиная с первого. При
этом функция Pn-i(-) определена с точностью до многочле-
на степени п — 1. Подберем этот многочлен таким образом,
чтобы для функции Pn-i(-) выполнялись соотношения
f (G — 'О* (Рп-1 СО — ап СО) dx = 0, к = 0,1, ..., п — 1.
to	(3)
Рассмотрим функцию у(0, определяемую по формуле
t
НО = 7Г=Й)Г I “ T)n-1(Pn-i (т) - ап (т) dr.
fo
Из определения функции р(-) вытекает,, что у(п)(0 ==
=»/?„-!(•)-йп(') и yw(t0) = 0, к^О, 1,	п-1. Вейлу
условий (3) pw(/i) = 0, к —0, 1, ..., п—1, т. е.
у (•) е Со ([t0, ^il). Следовательно, для р(-) выполняется
соотношение (1). Таким образом,
I п	\
° = И 2 ал (0 yw (0 dt =
to\fe=o	/
/«-1	\
= J 3 (0 yw (0 + (Pn-i (0 - yw (0) y{n} (0 dt.
tn \a=0	/
137
Заменяя в последнем интеграле аЛ(-) на их выражения
из системы (2), получим
ti	Ч
1/п—1	п—1	\
о = J 2 рк (0 у™ (О + 2 А (О »“+” (0 - (»<п> (О)2 Л =
t„\fe=o	k—о	/
‘о
fl	ч .	*1
Л у 7^— J	\*	х
= f 2 А (О yW W Л -. ^<п> dt-
io Vft““	7	»0
Учитывая, что y(h)(^) =0, к — О, 1, ..., п — 1, i — О, 1,
fi
из последнего соотношения следует, что [ (у(п) (О)2 dt ~
*о
Поэтому ywW = 0 и, значит, pn-i(£) — an{t). Из последне-
го уравнения системы (2) вытекает, что an(-) s С1 ((Л, £j).
Диалогично, из (2) следует непрерывная дифференцируе-
мость остальных, указанных в лемме функций и справед-
ливость дифференциального уравнения. >>
Очевидно, что лемма Дюбуа — Реймона из п. 5.1.3 яв-
ляется частным случаем усиленной леммы Дюбуа — Рей-
мона.
В) Завершение доказательства. Мы предпо-
ложили, что «(•) е loc extr з. Тогда из определения локаль-
ного экстремума'следует, что функция ф(Х) — 3^(х(-') +
+ Ъ:(-)) имеет локальный экстремум в нуле и, значит,
ф' (0)	6.7 (х(-), х(-У) ~ 0. В силу произвольности х(-) е
е С» (Ио, ^11) получаем, что
6^<(х(.),х(.)) = 0 V^(.)e^([Z03J).
Теперь, если сопоставить вид первой вариации &7(.г(-),
^(•)), выписанный в п. А), с усиленной леммой Дюбуа —
Реймона, то получится утверждение теоремы. >
7.	1.4. Пример.
1
J х2 dt-+ extr; х (0) = х (0) = х (1) = 0, х (1) = 1.
о
Решение. 1. Интегрант: L—x2.
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера — Пуас-
сона
4-	l-i w -	« + г. w=о *<4) (о = о.
3.	Общее решение уравнения Эйлера — Пуассона:
гг(О — С J3 4- C2t2 + C3t + G- Неизвестные константы Cit С2,
138
С3, Ci определяются из краевых условий
х (0) = 0 =>	= О,
i(0) = 0=^С3 = 0,
а?(1) = 0=>С\ + С2 = 0,	Cj_ = 1,
i (1) = 1 => ЗС*! + 2G = 1J	C2 = ~i.
Значит, в задаче имеется единственная допустимая экстре-
маль х — f — t2.
4.	Покажем, что она доставляет абсолютный минимум
в задаче. Действительно, если /?<(•) е С% ([0,1]), то
1 ••	1-2	1-..	1..
$ (х(‘) + ^(•))= J (х + h)2dt — § х dt + 2j xh dt +^h2dt.
О	ООО
С помощью двукратного интегрирования .по частям, учи-
тывая, что Л(0) = 7г( 1) = й(0) = й(1) = 0, получаем
1 .. 1 .. ..11 ...
РА ••	Р	А	— • Р •
\ xh dt = \ х dh ~ xh — \ xhdt ~
о	о	0	0
1	„11
= — \ xdh ~ — xh 4- f x^h dt — 0.
0	o 'o
Следовательно,
З'бМ + h(-'j) = 5'(2(-)) + J ъ? dt^ st
0
‘S'min = J x dt = (fit — 2)2 dt = 4.
о	0
Ответ. Функция x = t3 — t1 доставляет в задаче абсо-.
ЛЮТНЫЙ минимум, Smm == 4, 5гаах = + оо.
7.2.	Необходимые условия высших порядков и доста-
точные условия.
7.2.1.	Теория. Рассмотрим задачу со старшими произ-
водными:
h
(^(0) — J С(t, х, х, ..., x(n))di-+ inf;
*о
x(h) (tj) = x*, к = 0,1, ..., п, j = 0,1,	(з)
где L: ^->R, ^g^(R’i+2).
139
Будем далее предполагать, что интегрант L по ^тень-
шей мере принадлежит классу С2п ('?/). Пусть х(-) е
е=С2п(И0, U) — экстремаль (з), т. е. на ней выполнено
уравнение Эйлера — Пуассона.
Говорят, что на z(-) выполнено условие Лежандра
(усиленное условие Лежандра), если
•^х(П)х(п) (0 О х(п)х(п) •'*'* 0)	S [ tQ,
При наших допущениях относительно гладкости ин-
тегранта L функционал 3 имеет вторую производную в
точке х(-)'.
3"Сх(-))(х(-), Д.)] = Ж(х(-)),
где
п
^(ж(-)) = J 2 A,}zwx(iydt, Л,w = ^x(i)xO>№• (D-
t Ц5=0
l0
Уравнение Эйлера — Пуассона для функционала Ж назы-
вается уравнением ' Якоби для (з) на экстремали х(-).
Для квадратичного функционала, имеющего «диаго-
нальную» форму
«1
f 2 Ah (t)(zm(ty)2dt,	(Г)
«о ,|“0
уравнение Якоби приобретает вид
Пусть на х(-) выполнено усиленное условие Лежанд-
ра. Точка т называется сопряженной к точке t0, если су-
ществует нетривиальное решение h уравнения,Якоби, для
которого h('}(t0) = /г(г)(т) = 0, i = 0, 1, ..., п — 1. Говорят,
что на х(-) выполнено условйе Якоби (усиленное условие
Якоби), если в интервале (tQ, tt) (полуинтервале (t0, fj)
пет точек, сопряженных с tQ.
Уравнение Якоби — это линейное уравнение 2п-го по-
рядка, которое (из-за усиленного условия Лежандра) мож-
но разрешить относительно старшей производной. Пусть
^i(-), ..., hn(-) — решение уравнения Якоби, для которых
140
ЖА>) = 0, а Жп)(£0) — невырожденная матрица, где
*	(0 • • • (О
н (t) = ...................,
Щ'“'11 (4) ... h',r *> (4)
(t\ —	*<”> (4) ...	(4)
11 \1) —	
	-М2"-0 (4) ... й',2'-1’ (4) J
Очевидно, что точка т является сопряженной к tQ тогда
и только тогда, когда матрица Жт) является вырожден-
ной. Это дает аналитическое средство нахождения сопря-
женных точек.
Пусть ^^FXR, где V <= 67(R”+1). Мы назовем ин-
тегрант L: V X R -> R квазирегулярным на V, если функ-
ция <г(п) -> L(t, х, ..., х(п~^, х{п)) выпукла V (t, х, .
Наконец, мы скажем, что #(•) <= KCn(Xt0, fj) достав-
ляет сильный минимум в (з), если найдется 8>0 такое,
что для любой допустимой функцйи х( •) е KCn{lt0, tj)
такой, что ll^(’) — ^(•)|cn-i([t0,t1]) <8, выполнено нера-
венство Жх(-У) >	-)).
‘ Теорема 1. Необходимые условия слабого
минимума. Пусть в задаче (з) интегрант L удовлетво-
ряет условию гладкости L е Cn+z{°U). Если х( • )sC’2n(Ио,)
ц доставляет слабый минимум в (з), то функция х{-)
должна быть экстремалью, на которой выполнены усло-
вия Лежандра и Якоби.
Достаточные условия сильного миниму-
ма. Пусть <2/ = VXR, Ve(7(Rn+1) и в дополнение к ус-
ловию гладкости интегрант L квазирегулярен на V. Тогда,
если ж(-) e=C2n(lt0, £j) и при этом х(-) — допустимая экст-
ремаль, на которой выполнены усиленное условие Ле-
жандра и усиленное условие Якоби, то ж(-) доставляет
сильный минимум в задаче (з).
Теорема 2. Пусть в (з) функционал имеет вид (1'),
Xft(-) <=CA([i0, и выполнено усиленное условие Ле-
жандра (An(t)Z>® Vtfe[£0, £J). Тогда, если не выпол-
нено условие Якоби, т. е. в интервале (£0Л) есть сопря-
женная точка, то нижняя грань в задаче равна —оо. Если
выполнено усиленное условие Якоби, то допустимая экст-
ремаль существует, единственна и доставляет абсолют-
ный минимум.
141
Теоремы 1, 2 будут доказаны в § 10. Там же будет вы-
ведено необходимое условие Вейерштрасса для сильного
минимума.
7.2,2.	Пример.
З’о
1.	J (я2 — х2) dt -> extr; я(0) = х(0) = х(Т0) =х{То) = 0.
о
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера — Пуас-
сона х + х — 0.
3.	Общее решение уравнения Эйлера — Пуассона:
x(f) — Ci sin t 4- С2 cos t 4- C3t 4- C4. Среди допустимых экст-
ремалей всегда имеется допустимая экстремаль x(t) = 0.
4.	Применяем достаточные условия п. 7.2.1 (теорема
2*). Усиленное условие Лежандра выполнено: L.. ..(f) = 2Х>
> 0. Проверим выполнимость условия Якоби. Уравнение
Якоби здесь совпадает с уравнением Эйлера — Пуассона.
Положим
hM = 1 — cos f, /&2(f) = sin t - f,
\(0 M)
_/ц(0
____ 1 — cos t sin t — t
_sin t cos t — 1J‘
Тогда H(0) = 0,
det H (0) =
•’^(0)
*A2(0)
S(°)
Таким образом, сопряженные точки — это решения
уравнения
det Н (f) = 2 (cos t — 1) 4- t sin t — 0 ^=>sin 0,
Ближайшая к нулю сопряженная точка: Ц = 2л.
Ответ. Из теоремы 2 п. 7.2.1 следует, что при Та < 2л
хО 0 — единственная допустимая экстремаль, достав-
ляющая абсолютный минимум, 5mln = 0; при Тй > 2л
‘S'min = — °°. Можно показать, что при 7’0 = 2л допустимые
экстремали имеют вид x(f) — С(1 — cos f) и все они достав-
ляют абсолютный минимум, 5тах« + »,
142
Задачи
Решить задачи со старшими производными 7.1—7.27.
1
7.1.	J х2 dt-+ extr; z(0) — х (0) = я?(1) = 0, я(1) — 1.
о
1
7.2.	J х2 dt-+ extr; х (1) = х (1) = х (0) = 0, х (0) — 1.
о
1
7.3.	J (х2 — 48а;) dt -> extr;
о
х (1) — х (1) = 0, х (0) = 1, х (0) = — 4.
v 1
7.4.	У (48я— x-'jdt-^ extr;
о
z(0) = х (0) ------ 0, # (1) = 1, #(1) = 4.
1
extr;
о
z(0) = i(0) = *(!) = О, 1(1) = 4)-
1
7.6.	j (х2— 24tx) dt~+extr;
о
x (0) = x(0) = 0, z(l) = j, z(l) = l.
7.7.	У (x2 — x2) dt -> extr;
о
ж(0) = 0, z(0) = 1, ж (л) = sh л, х (л) — ch л.
7.8.	У {х2 — х2) dt -> extr;
о
х (0) = х (0) = 0, х (л) = ch л + 1, х (л) sh л.
го
7.9.	(Р)	{х2 — х-} dt -> extr;
о
.r(0) = i(0) = z(T0) = ;(ro) = 0.
143
л
7.10.	J (х2 — re2) dt -> extr;
о
ж(0) = х (0) = 0, х(л) = sh л, ж (л) — ch л + 1.
Г°
7.11.	J (ха + 4х2) dt -> extr;
о
or(0) = ог(0) = 0, х(Г0) = В0, ж(7’0) = ^1.
7.12.	| (я2 + 4я2) dt т> extr;
о
х (0) = — 1, х (0) = 0, х (л) = sh л, х (л) = ch л.
7.13.	J (х2 + 4яа) dt-+ extr;
о
z(0) = я(0) = я (л) = 0, х(л) = sh л.
Л/2
7.14.	j (х2 — я2) dt-> extr;
о
х(0) = i(0) = 1, х (-=-) =	= 0.
7.15.	J (х2— .r-) dt -> extr;
0
x(0) — x (0) = x (л) = 0, x (л) = 1.
i
7.16.	J (x2 + я2) dt -> extr;
о
z(O) = l, z(0) —0, z(l) = chl, x(l) = shl.
1
7.17.	J (x2 + x2) dt-+ extr;
о
x (0) = 0, x (0) = 1, x (1) = sh 1, x (1) = ch 1.
T°
7.18.	J (x2 + x2) dt-> extr;
x(0) = ж(0) = x(T0) = x(TQ) = 0.
144
I
7.19.	J -> extr;
о
z(0) = 0, z(0) — 1, a;(l) = e, x (1) = 2e.
i
7.20.	j e^x2dt -> extr; x (0) = x (0) — 1, x (1) = z(l) =et
о
i
7.21.	J (t 4- 1) x* dt-^extr,
о
x (0) = x (0) = 0, x (1) = 1, x (1) = 2.
i
7.22.	+ I)2 z2-> extr;
0
£(0) = 0, ^(1) — in 2, z(0) = 1, 2(1)=-^-.
7.23.	J (7 4- 1) tx~ dt~> extr;
i
#(!) —0, z(l) — 1, x(e) — e, x(e) — 2.
7.24.	J (t 4- I)3 extr;
®(0) = l, z(l) = |, i(0) = -l, г(1) = -1
1
7.25.	J хй dt~> extr; x (0) = x (0) = x (6) = 0,
о
x(1) == 1, #(!) = 3, #(!) = 6.
i
7.26.	J x* dt-> extr; x (0) == x (0) = x (0) = 0,
о
#(1) — 1, x (1) == 4, z(l) — 12.
i
7.27.	J (a;2 4- x2) dt -> extr; x (0) = x (0) = 0,
о
x (0) = 1, x (1) ~ ch 1, x (1) — x (1) ~ sh 1.
145
В задачах 7.28—7.30 найти допустимые экстремали.
П/2
7.28.	J (а?2 — х2) dt -> extr;
о
®(О) = i(0) =	= 0, х (0) =*(|)=и.
7.29.	J (я2 — trjdt—r extr;
О
а?(0) = я(0) =х(0) =х(л) = 0, а?(л) = л, я(л)=2.
7.30.	J (я2 — х2) dt-+ extr; х (0) — х (0) = х (0) — О,
о
х{п) = х(п) ~ sh л, х (л) = ch л 4- 1,-
Глава III
. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА
И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
§ 8. ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА
8.1.	Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа.
8.1.1 Постановка задачи. Задачей Лагранжа называ-
ется следующая экстремальная задача в пространстве
Е=СЧА, Rn)XC(A, ROXR2:
&о(х( ), u(-), t0, 4)-*inf;	(з)
Ф(Н-), и(-), t0, ti) = xtt) — ср(£, x(t), u(O) = 0,	(1)
u(-), to, О<0, i = l, иг',	(2)
&Ы-), u(-), t0, 4) = 0, i = m' + l, ..., m, (3)
где
*i
(“T (’)» ^ (’)»A, A) ~ J/г {t, x, u) dt + ipt (tQ, x (^o), A, (A))>
*o
i = 0, 1*, . . ., m.
Здесь A — заданный конечный отрезок, tQ, ti s A, ft: R X
XRn X Rr -* R — функции n + r + 1 переменных, ipu R X
X Rn X R XRn-> R — функции 2n + 2 переменных, <p:
jXRn X Rr -* R” — вектор-функция n + r + 1 переменных.
Ограничение (1) называется дифференциальной связью,
вектор-функция #(•) =«Gri(-), ,.хп(-))— фазовой пере-
менной, вектор-функция и( •) = (иД-), ..., иг(. )') —управ-
лением.
Четверка (х(-), u( ), t0, tj называется управляемым
процессом в задаче Лагранжа, если #(•) s СЧА, Rn), н( ) s
еС(А, Rr), to, ti sint A, t0 < ti, и всюду па отрезке [f0, Al
выполняется дифференциальная связь (1), и допустимым
управляемым процессом, если эта четверка является уп-
равляемым процессом и, кроме того, выполнены ограниче-
ция (2), (3).
Допустимый управляемый процесс | = (х(-), и( ), /0, Ч)
называется оптимальным (в слабом смысле) процессом,
или слабым минимумом в задаче (з), если существует
147
такое 6 > 0, что для любого допустимого управляемого
процесса £ = (х( ), u( ), ta, Zj, удовлетворяющего условию
ll£ — £На < 6, выполнено неравенство <$(£)> ^(|).
8.1.2. Правило решения.
1. Составить функцию Лагранжа:
/ т
3? (*) ? (*), Z0’ 1» Р (’) ’	~ J I -2 ^1/1 (Z, X, П)
t \г=О
’О
\	т
+ р (Z) (х — ф (Z, х, u)) ] dt + 2 Ml (*о, х (^о), ti, х (G)),
/	г=0
X = (Хо, Xi, ..Xj, р( ) е C‘([Z0, Zt], R”*).
2. Выписать необходимые условия оптимального в
слабом смысле процесса £= (х(-), u( ), t0, Zj:
а)	стационарности по х — уравнение Эйлера:
(о+zx(t) = о
,	т
^plt) = 2 Хг/1Х(0 — p(t) фх(0 \ft е [?о, ^1]
1=0
для лагранжиана
т
L = 2 Х,/г (С х, и) + р (t} {х — <р (С х, п));
г=0
б)	трансверсальности по х:
1)	x(tk) Р ^h) ~
т
= (-i)‘2 ft = о,1,
1=0
для терминанта
Z ~ 2 Xti}?! (Zq, х (Zg), Zj, х (Zj)),
1=0
в) стационарности по и:
ТП
Lu (Z) — 0	2 Хг/ги (Z) Р (Z) фи (Z) = 0 у Z (= [ Z о, Z 1],
1=0
148
г)	стационарности по tk:
т
=о«-(-1)‘+12 м,(?„) +
г=0
т /	♦	\
+ 2 М ('ФгОг 'ЬХ(*/?)‘Г ( tk)} = 0> /с = 0, 1
г=0	'	'
(условие стационарности по th выписывается только для
подвижных концов);
д)	дополняющей нежесткости:
Х,Ж(£) = 0, i = 1, ..., mf;
е)	неотрицательности:
Хг >0, i = 0, 1, ..т'.
3. Найти допустимые управляемые процессы, для ко-
торых выполняются условия п. 2 с множителями Лагран-
жа X и р(-), одновременно не равными нулю. При этом
бывает полезно отдельно рассмотреть случаи Хо = О и Х5=/=
0. Во втором случае можно положить Хо равным едини-
це или любой другой положительной константе.
4. Среди всех найденных в п. 3 допустимых экстре-
мальных процессов отыскать решение или доказать, что
решения нет.
Предлагаем проверить, что правило решения состав-
лено в полном соогветствии с общим принципом Лагран-
жа, о котором говорилось во введении.
Набор условий для нахождения оптимального процес-
са является полным Действительно, для определения не-
известных функций а:( ), р( ), п( ) мы имеем систему
из дифференциальных уравнений (1) п. 8.1.1 и условий
б), в). Выражая из последнего (разумеется, когда это мож-
но сделать, например, если выполнены условия теоремы
о неявной функции) п( ) через х( ) и р(-), мы получаем
систему из 2п скалярных дифференциальных уравнений.
Ее общее решение зависит от 2п произвольных постоян-
ных и еще от множителей Лагранжа Хг, среди которых
т независимых. Добавляя сюда еще tQ и th получаем
всего 2п + т + 2 неизвестных. Для их определения мы
имеем 2п условий трансверсальности б), т условий до-
полняющей нежесткости и заданных ограничений (3)
п. 8.1.1 и два условия стационарности по th. Таким обра-
зом, число неизвестных совпадает с числом уравнений.
(Разумеется, разрешимости полученной системы уравне-
ний указанное обстоятельство не гарантирует.)
149
8.1.3.	Необходимые условия экстремума.
Теоре.ма Эйлера —Лагранжа. Пусть £ = (#(),
н( ), t0,	— оптимальный (в слабом смысле) процесс в
задаче Лагранжа и при этом функции f,, i = 0, 1, ..m,
Ф и их частные производные по х и и непрерывны в не-
которой окрестности множества {(t, x(t), u(t))\t^lt0, ij},
а i = 0, 1, ..пг, непрерывно дифференцируемы в ок-
рестности точки (i0, ir(io), ii, z\ti)) (условие гладкости).
Тогда найдутся множители Лагранжа X = (Хо, ..Хт)
и p(-)^C\[ta, ij, Rn* ), не равные одновременно нулю и
такие, что для функции Лагранжа 3? (п. 8.1.2) выполнены
условия:
а)	стационарности по х:
Р (i) + р (t) фх (i) = 3 Хг/ гх (0;
г=0
б)	трансверсальности по х:
p(to) =	piti)^
в)	стационарности по и:
3 Хг/Ш (i) — р (i) фи (i) = 0;
г=0
г)	стационарности по th:
=0, k =0,1;
rv
д)	дополняющей нежесткости:
К^г(^) = 0, i = l,..., т'\
е)	неотрицательности:
h{ >0, i = 0, 1, ..пг',
<1 Рассмотрим следующую задачу с ограничениями
типа равенств и неравенств в пространстве S:
^0(^)->inf; Ф(£) = 0,
0, 1 = 1, ..., пг',	(з)
Д(|)=0, i = пг' + 1, ..., т.
Отображение Ф при этом действует в пространство Y =
= С(Д, Rn). Тогда § доставляет локальный минимум в за-
даче (з).
150
Покажем, что для задачи (з) выполняется принцип
Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа ра-
венств и неравенств, и выпишем согласно теореме п. 2.3.3
необходимые условия экстремума.
Действительно, банаховость пространств S и Y выте-
кает из утверждения о банаховости произведения банахо-
вых пространств (и. 1.1.3). Гладкость отображений и
Ф доказана в АТФ (§ 2.4). Там же получены формулы
для производных:
= J (7^ + hu»)dt + A (*i)ti — 7г(70)т0 +
1 о
+ $1<оТО + $’hTl +	+
+	(7о) т0 +	?i) Ti, i = о, 1, ..,, m,
Ф'(£)Н] = MO —	— $u(t) у (О,
где ц = (/1(-), 1А ), То, Ti)^E.
Замкнутость образа отображения Ф'(|) имеет место
в силу того, что образ Ф'(£)3 просто совпадает с Y, Дей-
ствительно, взяв произвольное р(-) е Y = С(Д, R”), поло-
жим у(')е0, То == Ti = 0. Уравнение
Ф'(Ш( ), 0, 0, 0] =у(-)
эквивалентно системе п линейных дифференциальных
уравнений hit) —	= y(t) с непрерывными коэффици-
ентами. Оно имеет решение h(-) ^СЧД, Rn) в силу теоре-
мы существования для линейных систем.
Таким образом, все условия теоремы п. 2.3.3 выпол-
няются. Согласно этой теореме найдутся множители Лаг-
ранжа Х = (Л0, •>., Хж), y*^Y*, одновременно не равные
нулю и такие, что для функции Лагранжа
S (S; У* Д) = S’ (МД 11 (Д Л» ti. У*, =
dt + l(tQ,x(t^, .г (О)) + */*°Ф
выполняются условия стационарности
Su = 0,	/с=0,1,
дополняющей нежесткости и неотрицательности.
151
Для доказательства теоремы покажем, что равенство
3?х = 0 эквивалентно а) и б); условие ^и = 0 эквивалент-
но в), а из соотношения S?th = 0 следует г).
Расшифруем условие стационарности 3? по х. Имеем
0 = Д [&(•)] =
*1
= J 0. (0 (0 dt + lx(tQjh ( ^о)“Ь	1) 4* <1/*,
*о
ТП
где g (0 = S Ьг?гх (О-
1=0
Определим функцию р(-) из условий
p(t)= —p(t) qx(t) + q(t), p (?i) = — Ц^).	(1)
В силу теоремы существования и единственности решения
задачи Коши для линейной неоднородной системы (АТФ,
с. 191) р(-) определяется нашими условиями однозначно,
С другой стороны, для любых a^R” и р(-) <=C(St0, tJ,Rn)
можно однозначно определить функцию h по условиям
Ш)=фхШ^) + ^), h(?0)=a.	(2)
Но тогда в силу (1), (2) имеем
* *1
J (р (£)М0)’ dt — p(h)ft(?i) —р(
*о
*1
= J (р (f) h (t) + р (£) h (£)) dt =
Л	* о
* 1
= j (“ Р (Офх (0 h (t) + q (£) h(t) + р (0 фх (0 h (£) +
#о
*1
+ Р (О У W) dt= § (q (t) h(t) + p (f) у (0) dt^
io
Выражая из последнего .соотношения J q(t)h(t)dt и
f о
подставляя полученное выражение в условие стационар-
152
ности по х, получим тождество по a^R" и у(-)е
е С([?о, £], Rn):
* 1
0=- J p(t)y(t)dt + <у*,у(-)> + (7Х(/0) — р(?о))а,
* о
Ч
Отсюда следует, что <У*,'у(-)>= J p(t)y(t)dt, «
~ <0
= p(t0}. Таким образом, 2? = 3? и, значит, условие г)
выполняется.
Расшифруем теперь условие стационарности по п,
учитывая вид у*\
y4)eC([t0, JJ, Rr).
Отсюда по лемме Дюбуа — Реймона (п. 5.1.3) вытекает
справедливость‘условия в). >
8.1.4. Пример.
и2 dt-+ extr; х + х~и, х{0) — х(0) = 0, Л у) = 1.
Решение. 1. Приведем задачу к виду задачи Лаг-
ранжа п. 8.1.1, сделав замену переменных Xt — x, х2 — х:
Л/2
j и2 dt-+ extr;
хх = х2 — и— хх, хх (0) = х2 (0) = 0, яЛ-у) s !•
\ м /
Функция Лагранжа:
=» (Лои2 + рх {хх — я2) + р2 (х2 + хх — и)) dt -Р
+	(0) + Х2х2 (0) +
153
2.	Необходимые условия:
а)	система уравнений Эйлера для лагранжиана £ =*
== Х0Н2 + Pi^Xi — Хг) + р2(.Х2 + xt — п):
d	9	•
— dt х ^xi~ 0’	—Pi + Рг=О» —Pz—Pi=0l
б)	трансверсальность по х для терминанта l^hiX^O) *h
+ X2rc2(0) + X3rr3(n/2):
р1(О) = Х1, р2(0) = Х2, рДу)-—А3, р2(у) = 0;
в)	стационарность по и:
Lu = 0 <=* 2X0u — р2 =* 0.
3.	Если Хо = 0, то из в) следует, что р2 0; тогда из
a) pt « 0, и, значит, в силу условия б) 7Ч = Х2 = л3 = 0 —
все множители Лагранжа — нули. Итак, при Хо = 0 до-
пустимых экстремалей нет. Положим Хо = 1/2. Из системы
уравнений Эйлера вытекает, что р2 + р2 — 0. Общее реше-
ние этого дифференциального уравнения: р2 = С' sin£ +
+ С cost Поскольку р2(л/2) = 0, то р2 = С cost. Значит, по
условию стационарности u = Ccost Таким образом, полу-
чили дифференциальное уравнение х + х — С cos t. Общее
решение: х = (Ct + C2t) sin t + C3 cos t. Неизвестные кон-
станты Ch C2, C3 определяются из заданных условий на
концах. Единственная допустимая экстремальная пара:
(£ (•), и (•)) = (~ f sin f,  cos f).
\ J t	J l>	1
4.	Покажем с помощью непосредственной проверки,
чтц (rd-), п(-)) е absmin. Возьмем такие функцию rd-)
и управление и(-), чтобы пара (rd-)+rd-), н(-)+ »(•))
была допустимой. Для этого надо взять функцию rd-)<=
<=С2([0, л/2]), гс(О) = х(0) == гс(л/2) = 0, и управление и —
=>х + х. Имеем
sr (2 (.) + «(-). «() + «(•))-=
Л/2	Л/2	Л/2
= 2 J ии dt + J u2d£^ 2 j и (rc + х) dt.
ООО
Интегрируя по частям в последнем интеграле с учетом
условий на концах функции гс( ) и управления н(-),
154
получим
Л/2
о
л'2 .	, .
j \хи — и х) dt —
о
Л 2
— — UX
а 1 J 4	'	'
о
Таким образом, 3^{х{ ) + х(-), и(-) + н(-)) >ЯЫ'), «(•))
и, следовательно, (х, и) е abs min, 5inax — + °°. Действи-
тельно, возьмем последовательность пар хп{-) — х(-) + пх(-),
ип{’) ~ н(-) + пи( ), и = х + х, где х{•) — некоторая функ-
ция из Cq ([0, л/2]) такая, что £ + #=/=0 (например,
x(t) = t2 (t — л/2)2, и = х + я); тогда	нп(-))->
Задачи
Решить задачи Лагранжа 8.1 — 8.21
1
8.1.	j и1 dt-> extr; х — х = и, х (0) — 1.
о
1
8.2	J u2dt~> extr; х—х—и, #(0)=1, х (0) = 0.
о
1
8.3.	J и2 dt -> ext г; х — х = и, х (0) = 0, х (1) = sh 1,
о
х (1) = chi + sh 1.
1
8.4.	j и2 dt~> extr; х — х = и, дт (0) = х (0) = О,
о
х (1) = sh 1, х (1) — ch 1 + sh 1.
Л 2
8.5.	J u2df->extr; x + x = u, x(0) = l.
о
л^
8.6.	J u2 dt->- extr; x + x = u, ;r(0) = 0,
о
155
П/2
J u2 dt-> extr;
о
О, х
; х + х = и, х
х х — и, х{0) — х
Л/2
8.8.	J
О
г(0) = 0, ®(0)=—
Л/2
8.9.	J и2 dt+ х2 (0) -> extr; х 4- х ~ и,
о
Л/2
8.10.	j u2dt+ х2 (0) -> extr; х + х=и, х
о
Л/2
8.11.	J u2dt 4- х2 (0) -> extr;
о
л
х
О,
О, х
х 4- х — и,
Л/2
J и2 dt 4- х2 (0) -> ext г;
о
х (0) = О, х
х 4- х = и, зц
1
8.13.	J и2^4-extr; х — х~и.
о
1
8.14.	J* и? dt-\- дт2 (0) -> extr; х — х — и, х (0) = 1.
о
1
8.15.	J и2 dt+ х2 (0) -> extr;
о
х — х = ut х (0) = х (1) = 0, х (1) = 1.
Л/2
8.16.	J и2 dt+ х2 (0) -> extr;
о
х 4- х = ut х (0) = 0, ач-у I = 1.
156
1
8.17.	J (x2 4- и2) dt -> extr; x — x 4- u, x (1) = 1.
о
i
8.18.	J(z2 4- 2u2) dt-+ extr; z==y^ + u’ я(0) = 1.
о
В задачах 8.19y 8.20 выписать экстремали и уравне-
ния для определения всех неизвестных констант. Опреде-
лить характер доставляемого экстремума.
1
8.19.	J (х2 + и2) cfr->extr; х 4- V2 х — и, х (0) = 1.
о
1
8.20.	J (х2 4- и2} dt ->extr; х — 1^2 х~ и, х (0) = 1»
о
т
8.21.	J и2 dt+ х2(Т)-*- extr; х 4- х — и, х (0) — 1,
о
В задачах 8.22, 8.23 найти допустимые экстремали.
Л/2
8.22.	У u2dt + я (0)-> extr;
' о
х 4- х = н, х (0) = 0,	—
1
8.23.	(Р) У (х2 4- у2) -> extr; ху — ух = 1,
о
z(0) = 0, z(l) = sinl, у(0) = 1, y(l) = cosl.
§ 9. ЛЯПУНОВСКИЕ ЗАДАЧИ
9.1.	Элементарная задача оптимального управления.
9.1.1.	Постановка задачи. Пусть 4^ — произвольное мно-
жество из Rr, <р: [£0, XRr->R. Задача в пространстве
KC\[ta, fj, RO:
h
/ (u (’)) = У Ф и (0) dt -> inf; и (t) е	(з)
*о
называется элементарной задачей оптимального управле-
ния.
157
9.1.2.	Правило решения. Для решения задачи (з) сле-
дует при каждом t «= [f0, ti\ найти такое u(f), что
ф(£, u(t)) = тшф(£, и).	(*)
и е %
Это н(-) п будет решением. Соотношение (*) назовем.
принципом минимума для (з).
9.1.3.	Необходимое и достаточное условие экстремума
в элементарной задаче оптимального управления.
Теорема, а) Пусть в задаче (з) функция ф непрерыв-
на в [i0, £ J X -^Z. Если функция «(•) доставляет абсолют-
ный минимум в задаче (з), то для любой точки непрерыв-
ности функции н(-) выполнено соотношение
пппф(£, п) == ф(£, ц(£)).	(1)
и G ‘И
б)	Пусть и(-) кусочно-непрерывна и в точках непре-
рывности и(-) выполнено соотношение (1). Тогда и(-)<=
® abs min з.
Замечание. Утверждения, аналогичные а) и б),
оказываются верными, если термины «кусочно-непрерыв-
на» и «для любой точки непрерывности» заменить на
термины «измерима» и «почти всюду».
<1	Докажем утверждение а) от противного. Пусть су-
ществуют т (где н(-) непрерывна) и	такие, что
ф(т, 1>)<ф(т, н(т)). Вследствие непрерывности функций
i ср(^, v) и £->ф(£, u(i)) (в окрестности точки т) най-
дется такой интервал Д = [т —6, т + 6], что <р(£, v) <
<фО, u(f)) при Положим u(O = u(i) при (£Ди
u(t) = p при (еД. Тогда /(£(•))< f(u(-)) вопреки мини-
мальности н(-). Утверждение б) очевидно.
Об измеримом случае см. в АТФ (с. 360). >
9.2.	Принцип Лагранжа для ляпуновских задач.
9.2.1.	Постановка задачи. Пусть Д — заданный отрезок
числовой прямой (конечный или бесконечный), $11 — про-
извольное множество из Rr, ft'. Д X Rr -> R, X — линейное
пространство, g,: X R — функции, выпуклые для i =
= 0, 1, ..., т' и аффинные для i = т' 4- 1, ,.т, А с
с X — выпуклое множество.
Экстремальную задачу
^(u(-)) + g0(x) = J f0(t,u(t)} dt + g0 (x) -> inf;
&
158
^г(и(-)) +?,(*)=-
(з)
= j Л (t, и (/)) dt 4- gt(x)
д
О, I = 1, ..., т',
— О, i = тп'+ 1, ..., т,
х е4, ukt)
называют ляпуновской задачей. К ним сводятся линей<
ные задачи оптимального управления (АТФ, с. 347).
9.2.2.	Правило решения.
1.	Составить функцию Лагранжа:
7П
3? (u(-), X, X) = 2	+ gi(x))>
г=0
2.	Выписать необходимые условия:
а)	принцип минимума по и и х\
т	т
min 2 Kft (*, = 2 Хг/г (C “ (0),	(*)
UG^ г=0	i=O
min 2 Kgi {x) = 2 Kg г Й;	(**)
x~A г=о	г—о
б)	дополняющей нежесткости:
Хг(&\(и( )) + gt(x)) — 0, 1 = 1,	т'\
в)	неотрицательности:
Хг > 0, г = 0, 1, ..., т',
3.	Найти допустимые экстремали, т. е. допустимые х
и н(-), удовлетворяющие необходимым условиям п. 2 с
множителями Лагранжа, не равными одновременно нулю.
При этом бывает удобно отдельно рассмотреть случаи
Хо = 0 и Хо 0. Во втором случае можно положить Хо рав- '
ным единице или лхдбой другой положительной константе.
4.	Отыскать решение среди найденных допустимых
экстремалей или показать, что его нет.
Выписанные условия находятся в полном соответствии
'с принципом Лагранжа. Действительно, в соответствии
с идеей Лагранжа следует рассмотреть две задачи:
^(н(-), х, X)inf;	(зД
S’(uC-), х, X) -> inf; х е А.	(з2)
Задача (si) — это элементарная задача оптимального
управления. Соотношение (*) есть не что иное, как прин-
цип минимума для (эД а соотношения б), в) и (**) -—не
159
что иное, как принцип Лагранжа для (з2) (напомним, что
в точности эту задачу мы исследовали в § 4).
9.2.3.	Необходимые и достаточные условия.
Теорема. Пусть функции fa Д X Rr -► R — непрерыв-
ные, gii X R — выпуклые для i= 0, 1, ..., т' й аффин-
ные для г==7и' + 1, ..., т, А <= X выпукло, Т — совокуп-
ность измеримых отображений и: X -+ для которых
функции t,-+fat, u(t)) суммируемы на Д.
Необходимые условия. Если пара (и(-), х) яв-
ляется решением' задачи (з) п. 9.2.1, то найдется ненуле-
вой вектор X = (Ао, At, ..Ат) такой, что выполнены соот-
ношения а) — в) п. 9.2.2.
Достаточные условия. Если (u(-), x)<=V°XA и
существует ненулевой вектор (Ао, Ai, ..Am), Ао 0, та-
кой, что выполняются соотношения а) — в) п. 9.2.2, то
(u(-), х) & abs min з (АТФ, с. 355).
9.2.4.	Теорема двойственности. Здесь мы ограничим се-
бя задачами вида
(“(•)) = j /о(А u(t))dt-+vai\
д
^i(u(-)) = j fi (*,	0, u(-)eF, г=1,...,тп.
д
Это — частный случай задачи (з) п. 9.2.1, когда g; = 0
и тп = тп'. Включим (з) в семейство задач
£Го(н(-)) -* inf; ^“г(и(-)) + а,<0.	(з(а))
Определим S'-функцию задачи (з(а)) равенством
S(a) = inf {&~0(и(•))|^(и(•)) + а4 < 0, и(•) еП, a s Rm.
Теоремадвойственностидляляпуновских
задач. Пусть Д — отрезок в R (конечный или бесконеч-
ный),^ °U — сепарабельное. топологическое пространство,
функции /<: Д X °U -> R, i = 0, 1, ..., тп, непрерывны, F —
совокупность измеримых отображений и: X Щ таких,
что функции t -* fat, u(t)) суммируемы на Д. Если функ-
ция a-^S(a) непрерывна в точке & = 0, то для любого
а <= int dom S
S (a) == sup f<p, a> + (* Ф (t, p) dt
u>o I	i
где Ф(£, |i)= inf |/0(^,w)+ 2 puA (^ u)) (АТФ, c. 363).
ng® \	1=1	/
160
Задачи
Решить задачи 9.1—9.7.
1
9.1.	J (х3 — 3t4x) dt -> extr.
i
9.2.	J (я2 + tx) dt -> extr; x (0) = x0, x (1) = xv
о
a
9.3.	J (t-x +- ж3/3 — a~x) dt-+ extr.
— a
ro
9.4.	J (6atx— x3) dtr+ extr.
о
i
9.5.	J t~x2dt-*- extr; ж(0) —0, ж(1) —1.
о
Л
9.6.	j cos2 tx2 dt -> extr; x (0)	0, ж(л) = 1.
о
9.7.	(P) J VWhV l + i2^->inf; x (0) - 0, z(l)=£.
о
Методом двойственности найти численные значения
задач 9.8—9.12.
1
С 2
9.8.	(Р) \^dt-+ inf; х = х + и, я(0) = 0, я(1) == £.
и
о
1 ..
9.9.	J dt -> inf;
о
х(0) =- z(0) =-- 0, г(1) = В1} д?(1) = В2<
С » ‘ ip
9.10.	(Р)
V	Р
о
*(0) = 0, я(1) = £ (а>0, |3>1)
(обобщенный пример Вейерштрасса; частные случаи: при-
мер 4 п. 5.3, задачи 5.21, 5.25, 9.5).
161
9.Ц.	(ф(7)>0), я(О) = о, *(1)М
о
(частный случай — задача 9.6).
1 . 1
9.12.	J-гд dt-+ inf; ^xdt~t, х (0) == х (1) — О.
о •	о
Решить задачи 9.13 — 9.16.
9.13.	Среди неотрицательных функций х(-), заданных
на отрезке [0, 1], принимающих нулевые значения на
концах и ограничивающих заданную площадь, найти кри-
вую минимальной длины (задача Дидоны).
9.14.	(Р) Доказать неравенство Карлсона:
имеющее место для любой функции #(•) из LZU), для ко-
торой J t2x2dt < оо, где I = R или R+, 7£(R+) — л2, 7£(R) —
° 4л2.
1
9.15.	f х2 dt-> inf; x (0) = x (0) = 0, #(Tftj = £ft,
о
0 < Ti Tin 1, R, & 1, • • •,
-(задача о сплайнах).
9.16.	(Р) Среди плотностей вероятности р(-) случай-
ных величин с нулевым математическим ожиданием и за-
данной дисперсией найти плотность с максимальной диф-
ференциальной энтропией (задача Шеннона).
Отметим, что большинство задач § 8 может быть реше
но сведением их к ляпуновской задаче.
§ 10. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
10.1.	Принцип максимума Понтрягина.
10.1.1.	Постановка задачи. Задачей оптимального уп-
равления (в понтрягинской форме) будем называть сле-
дующую задачу в пространстве Rn) X КС<Л, Rr) X
XR2:
^oU(-), u(-), i0, it)inf;	(з)
£(i) = <p(i, #(i), u(i)),	(1)
u(t)GW ViefWiL	(2)
162
ЯЦх( ), iz(-), t0,	0, t — 1,..m',	(3)
^tU(-), u(-), t0, ti) = 0, i — m' 4-1,..m, (4)
где
4
&(*(•). u(-), tQ, ti) - J 4(t,^(t), u(t))dt +
to
+ фг (t0, x (t0), t1} x (tj), I = 0,1, ,,,, m.
Здесь A — заданный конечный отрезок, t0, tt e A,
R X R” X Rr -> R — функции n + r + 1 переменных,
ф,: R X Rn X R X Rn -* R — функции 2n + 2 переменных,
<p: R X Rn X Rr -> Rn — вектор-функция n + r 4- 1 перемен-
ных, °U — произвольное множество из Rr. Частпым случа-
ем задачи (з) является задача, в коюрой один из концов
или даже оба закреплены.
Вектор-функция #(•) называется фазовой переменной,
и(-) — управлением. Уравнение (1), называемое диффе-
ренциальной связью, должно выполняться во всех точках
непрерывности управления н(-) на интервале (t0, 4) (это
множество в п. 10.1 будет обозначаться через Т).
Четверка (#(•), м(-), 4, 4) называется управляемым
процессом в задаче оптимального управления, ‘если
xl‘) е KCW, Rn), iz(-) еКС(Л, Rr) и выполняются диф-
ференциальная связь (1) и ограничение типа включения
(2). Управляемый процесс является допустимым, если,
кроме того, выполняются соотношения (3) и (4).
Допустимый управляемый процесс j *=(#(•), u(-), t0, 4)
называется (локально) оптимальным (или еще говорят
оптимальным в сильном смысле процессом), если суще-
ствует б > 0 такое, что для всякого допустимого управ-
ляемого процесса £ =» (ж(-), u(-), 4, 4), для которого
II(’Г (*)> Ч» Ч) Ч, Ч)Hc(a,r”)xr2
выполняется неравенство $0(£) > $0(|).
10.1.2.	Правило решения.
1. Составить функцию Лагранжа:
Ч / m	s	X
3? ~ J I 3 ^г/г (Ч х, и} 4- P (t) (х — ф (t, X, U)} j dt
m
3 (to, x (to), t1} x (Ч)), X == (Xq, it., Xm),
г—о
p^^KC1^, 4b Rn*).
11*
163
2. Выписать необходимые условия оптимальности про-
цесса g == (я( ), u( ), to, tj:
а)	стационарности по х ** уравнение Эйлера!
7П
—	(<) + Lx (0 = О р (0 = 2	(0 “ р (0 Фх (О
х	1—0
для лагранжиана
L = 2j Wi (А я, и) + Р (О (я — Ф (А х, и))',
1=0
б)	трансверсальности по х'.
т
£•(**) = (-1)‘Ч р(?*) = (- ф 2^,$,^, к = од,
х	1=0
для терминанта
т
1—1 {Iq, Xq, Х±) ~ 2 ^г'фг (^0, *^0’ At
1=0
в)	оптимальности по и — принцип минимума в лаг-
ранжевой форме:
• •
min L (t, x(t), x{t), u)~L (t, x(t), x(t), u(t)') <=>
(m
S ^fz(t,x(t),u)~ p(t) (£ (t, X (t), u)
г=0
>= S Wi(M(0,^(0) —р(0ф(Ая(£), и(о)
г=0
или в гамильтоновой (понтрягинской) форме в виде прин-
ципа максимума-.
max Н (t, х (f), и, Р (0) = Н (t,x{t), и (t), р (i)),
где
т
Н (t, Х,и, р) ~ РФ (t, Х,и)— S Xi/i (t, X, и)
г- О
— функция Понтрягина;
164
г)	стационарности по tk:
т	mt	•	\
S?2 ^г/г(^)+	(^)j^
г—О	г—0	'	•
= o^ff(«;)=(-i)'i+ir1/i, к = о,1
(условие стационарности выписывается только для по-
движных концов);
д)	дополняющей нежесткости:
Х,$((|) = 0, г = 1,..., ?п';
е)	неотрицательности:
X» О, г = 0,1,..., т'.
3 Найти допустимые управляемые процессы, для ко-
торых выполнены условия п. 2 с множителями Латран-
жа X и р( ), одновременно не равными нулю. При этом
бывает удобно отдельно рассмотреть случаи Хо = 0 и Хо
=#= 0. Во втором случае можно положить Хо равным едини-
це или любой другой положительной константе.
4 Отыскать решение среди найденных допустимых
экстремальных процессов или показать, что решения нет.
Можно показать, что описанное выше правило реше-
ния находится в полном соответствии с принципом Ла-
гранжа снятия ограничений.
10.1.3.	Необходимые условия экстремума.
Теорема (принцип максимума Понтрягина). Пусть
£ = (х( ), u(-), t0,	— оптимальный процесс в задаче оп-
тимального управления, функции р, i = 0, 1, ..., пг, ср
и их частные производные по х непрерывны в множестве
Т X °U, где Т — некоторая окрестность множества
* {(t, x(t))\t&	а функции г|\, i = 0, 1, ..., пг, непре-
рывно дифференцируемы в окрестности точки (?0, x(t0),
xCti)) (условие гладкости).
Тогда найдутся множители Лагранжа X = (Хо, Хь ...
..., Xm), р( )^KC\(t0,ti],^), не равные одновременно
нулю и такие, что для функции Лагранжа S? (п. 10.1.2)
выполнены условия'.
а)	стационарности по х — уравнение Эйлерах
p(t) + р (t)	(t) =ix(t) Vt(= Т,
165
где
т
f	~	(^1
г—о
б)	трансверсальности по z:
Р (^о) ~ ^о» Р G1) =	^1’
в)	оптимальности по и:
f{t,x(t), и) — p(t)q(t,x(t), u)>
>7(0 —P(0?(0 VfeZ, Vus;2/;
г)	стационарности по th, к = 0, 1,
— / Go) +	+ Ц)ФGo) — 0» / Gi) +	(0) — О‘>
д)	дополняющей нежесткости:
XI^I(f) = O, i=l,...» тп'\
е)	неотрицательности:
At>0, i = О, 1,..m't
10.1.4.	Доказательство принципа максимума Понтря-
гина для задачи со свободным концом. Приведем форму-
лировку и доказательство принципа максимума Понтря-
гина для частного случая задачи оптимального управле-
ния — задачи со свободным концом и закрепленным
временем:
h
(ж(•), и (•)) = J'/ (t, х (<), и (0) dt + ф (ж (^)) -> inf; (з)
Л? (£) = ф (£, Л? (£), U (£)),	x(tQ)~XQ.
Теорема. Пусть (х(-),и(-)) — оптимальный процесс
в задаче оптимального управления (з), функции /; ф и их
частные производные по х непрерывны в множестве
где V — некоторая окрестность множества
{(J, xit^t е По? £j}?	& Di.xttt')') (условие гладкости),
— произвольное множество из Rr.
Тогда выполняется условие оптимальности по и:
/(*,£(£), а) —р(*)ф(£, x(t), u)>
>f(t)-p(t)^(t) Vt&T, Vut=°U, (1)
где p(-) — единственное решение дифференциального
166
уравнения
р(О + р(О?х(О= 7х(0 Vie Г	(2)
с краевым условием
р(ц) = -$'(х(^)).	(3)
Отметим, что множитель Лагранжа Ао при функциона-
ле' $ оказывается равным единице, а условие трансвер-
сальности по re(i0) несущественно.
Единственность решения уравнения (2) с краевым
► условием (3) следует из теоремы существования и един-
ственности решения задачи Коши для линейных систем
(АТФ, с. 191).
< А) Игольчатые вариации. Зафиксируем точ-
дсу элемент °11 и такое малое число а > 0, чго
[т — а, т! cz Т.
Управление
u(i),	—а,т),
о, ie[T-cz,T),
назовем элементарной (игольчатой) вариацией управления
и(-). Пусть яа(t) — решение уравнения x(t) == тр(£, x(t),
ua(t)) с начальным условием x(t0) = х0. По локальной
теореме существования (АТФ, с. 186—189) функция ха(-)
определена при а < а0 в некоторой окрестности точки i0,
но из леммы 1, формулируемой ниже, следует, что на са-
мом деле вектор-функция ха(-) определяется единственным
образом па всем отрезке [i0, iJ. Вектор-функция ха(-)
называется элементарной (игольчатой) вариацией функ-
ции х(-), а пара (ха(-), иа(-)) — элементарной вариацией
процесса (х(-), u(-)k Пару (т, v), определяющую эту ва-
риацию, будем называть элементарной иголкой.
Б) Лемма 1 (о свойствах элементарной вариации).
Пусть (т, v) — фиксированная элементарная иголка. Тог-
да существует число а0 > 0 такое, что [т-а0, т1 с Т и для
любого а е [0, а0] выполнено следующее:
1)	функция Ха.(-) определена на всем отрезке [i0, ij;
при этом
xa(t)==x(t) ViGE [£0,т —а], [|яа (•) — a?(-)||c([t0,t1]) -> О
при а -> +0;
2)	xa(t) — x(t) = ay(t) 4- ra(t) Xfi «= [r, ij, причем
sup H _> Q при а-> + 0;
167
3)	функция ?/() кусочно-непрерывно дифференцируе-
ма на Ст, tj и удовлетворяет дифференциальному урав-
нению
У (t) =	(f) у (i) Vis [т, ij П Т	(4)
с начальным условием
у(х) = ф(т, ж(т), и) — ф(т) = Дф(т, и).
Доказательство леммы следует из двух основополага-
ющих фактов теории обыкновенных дифференциальных
уравнений: локальной теоремы существования и теоремы
о непрерывной дифференцируемости решения по началь-
ным данным. Мы не приводим их здесь, отсылая к АТФ,
с. 89-91.
В) Лемма 2 (о приращении функционала). Пусть
(т, к) — фиксированная элементарная иголка, /(а) =
= ^(а:а(-), ма(-)). Тогда функция %( ) дифференцируема
справа в нуле и
х'( + о) = /(т, х(х), и) — /(т) — р(.х)у(х).
« Используя теорему о среднем для числовых функ-
ций, правило дифференцирования под знаком интеграла
и лемму 1, получим
/*1
X' (0) = lim ~ Х (0) = lim -Ч Г/ (i, ха (i), иа (i)) dt—
а 10	а 1 о \ у
МО
h	\
Г	1	ф (к„ (t,\\ — ф (x(t\\
— j /(i, x(t), и (i)) dt I + lim —-—=
•/	/ а I 0	a
f0	/
(T
f (/(i,^a(i), v) — J(t))dt Ф
т-а
h	\
-T J (/ Xa (t), u (i)) — 7(i)) dt j + Ф' (x (ij) у (ij =
т	j
*1
/ (т, ?(t), v) — 7(t) + J 7x (i) у (i) dt 4- Ф' (x (ij) у {tr).
т
Выражая fx из уравнения (2) и учитывая уравнение (4),
168
имеем
г 
J Д (О У (t) dt J (Р (О Н Р (О фл (0) У (О dt =:
г	t
*i	fi
*= f (Р (0 y(t) + Р (О У (0) dt = f jp (р (t) у (0) dt =
%	т
=- р (*i) у (Д) - р W у
ti
Подставляя найденное значение J fxy dt в выражение
т
для х'(+0), с учетом условия (3) получим искомое пред-
ставление. >>
Г) Завершение доказательства. Из леммы
1 следует, что если а^ЕО, а0], то (та(-), иа(-)) — допусти-
мый управляемый процесс и та(-) равномерно стремится
к #(•). Поскольку (#(•), и{•)) — оптимальный процесс, то
при малых а > О
на(-)) > .$Ы-), и(-)) *=> х(а) > х(0).
Отсюда по лемме 2 х^+О^О, и из выражения для
Х'(+0) и р(т) вытекает, что
/(т, я(т), и) — /?(т)ф(т,£(т), р)>
7(т) ~ Р (т) Ф (т) Уте Г и Уне*?/,
т. е. выполняется соотношение (1). >
Переходим к доказательству принципа максимума в
общем случае.
10.1.5. Вспомогательные утверждения и построения.
А) Лемма о .центрированной системе.
Пусть К — компакт, {Ka}as^ — система замкнутых под-
множеств К, любая конечная подсистема которой имеет
непустое пересечение {центрированная система). Тогда
пересечение всех множеств системы {Ка}ае% непусто.
ОО Обозначим через СД дополнение к Ка в К (бД —
= А\Аа). Тогда СЛ открыто в К. Если П Ка ~ 0, то
aeSl
U Со. = К, т. е. {СДЛаеИ есть открытое покрытие компак-
а<=9С
та К. По определению компакта можно тогда найти такие
m	m
«1, ..a,n, что и ~ к, Но тогда П Ка ~ 0 в проти-
г=1	1=1
169
воречии с определением центрированной системы. Значит,
>>
а=51
Б) Игольчатые вариации. В предыдущем пунк-
те мы смогли обойтись одной июлкой. Здесь это невоз-
можно и приходится рассматривать наборы (пакеты) иго-
лок. Переходим к определению таких пакетов.
Пусть (ж(-), u(-), t0,ti) — оптимальный процесс. Выбе-
рем 8 > 0 столь малым, чтобы из 8-близости графиков
Г- и Гя для допустимого процесса (ж(-), н(-), t0, вытека-
ло неравенство ^0(х( ),и( ),t0,tl)'> ^0(х( ),и( ),t0,ti).
Продолжим п(-) на отрезок Ио —8, £i + e] константами
п(£0) и u(fi).
Включим процесс (ж(-), u(-), i03i) в конечно-парамет-
рическое семейство вариаций. Для этого фиксируем на-
туральное N и два набора: т = (ть ..., Tw), t0 < щ <
т2 <.. .С Tjy <	(т, g 7 с (t0, t^, где Т — множество
точек непрерывности п( )), и v = (щ, ..., vN), v^^U.
Пусть а = (at, ..aw), а» 0. Через lalt будем обозна-
чать 2 I аг |« Положим
г=1
ма(О = «г(^т, *>) =
u(t), £€=[£0--8,	+ 8]\ U Аг,
г=1
vlt	Аг = [Tt —(У —/)|а]1—аг, тг—(2V—i)|a|i).
Некоторые точки т» могут совпадать. Однако полуинтер-
валы Д, (имеющие длины а,)_ выбраны так, что они не
пересекаются и при малом lali лежат в Т. Рассмотрим
решение уравнения
х = ф (t, х, и- (t))
с начальным условием x(t0) = х0, где точка (t0, х0) нахо-
дится в 8-окрестности точки (t0, x(t0)). Это решение обо-
значим я,/-), где ц = (£0, #о, at,..., aN) е R^+n+1.
В) О системах дифференциальных урав-
нений. Рассмотрим задачу Коши
x = F(t,x), x(to)=xOt	(1)
где F-. G-+Rn (G е 6?(R X R”)) — непрерывная и непре-
рывно дифференцируемая по х функция. Тогда, если
170
jf.) — решение этой системы, график которого содержит-
ся в G, определенное на отрезке [Fo, FJ, то найдутся
такие б>0 и окрестность Gt графика вектор-функции
х(-), чт0 &ля любого (t0,xQ)^Gt существует единственное
решение X(-,tQ,xQ) задачи Коши (1), определенное на
Цо — б, tt + б], функция (t, t0, х0) '-*• X(t, t0, х0) непрерывно
Дифференцируема в области (tQ — б, Щ + б) X Gt и при
этом
дх Ч, хо)
о
эх ,	\
IqI ^о)
Oh
x0=x(f0)
_	—	& (t, to) F (t0, x (£0))f
xo=xOo)
где Q(t,t0) — фундаментальная система решений уравне-
ния в вариациях'.
£ ЩМо) = F,(t,i(0) Я (Мо), я («О, и = I.
Uli
Это — классическая теорема о существовании и не-
прерывно дифференцируемой зависимости решений диф-
ференциальных уравнений от начальных данных (АТФ,
с. 195-204).
Г) Лемма об игольчатой вариации. Пусть
N, Т = (Т1, . . ., Tjy), to < Tj	Tjy < ti, Xt&T, V •= (Vi, ...
..., vN), v^°U, фиксированы. Тогда существует такое
е0 > 0, что если 0<lali<80r k0 — »c(^)l < е0, |£0 —£ol<
< 80, то и, кроме того,
1. Траектория хц( ) определена на отрезке [£0 —е0,	4-
+ е0], и JM-) - ^•)11с([Г0-е0(?1+е0],н")^ 0 пРи
Л -> ц = (t0, x(t0), 0, ..., 0).
2. Отображение (t, ц) = it, t0, х0, аь ..aN) -* x^(t) про-
должается до непрерывно дифференцируемого отображе-
ния в некоторой окрестности (£,, ц) = (ti, t0, x(t0), 0,..., 0),
и при этом
= Q(t,Tk)\(p(Tk,vk),	(2)
n=n
=	(3)
— й (t, t0) ср (t0),	(4)
П=”||
д
(t)
dzQ
дх^ (t)
171
где й(£, tn) — фундаментальная система решений уравне-
ния в вариациях’.
Q(t,to) =^qx(t)£l(t,to\ Q(t,ta) — I.
Наметим путь доказательства леммы. Формула (2)
составляет содержание леммы о свойствах элементарной
вариации из предыдущего пункта. Действительно, если
зафиксировать t0 = t0, ха = ж(^0) и положить а = (0,...
..а,..0) (число а является k-ii компонентой вектора
а), то ц становится зависящим только от a, a a^C-) npe-i
вращается в жа(-) из предыдущего пункта. Тогда очевидно,
что утверждение 3) леммы о свойствах элементарной ва-
риации и формула (2) означают одно и то же. Формула
(5) сразу следует из определения. Предположим теперь,
что н(-) непрерывна. Тогда формулы (3) и (4) вытекают
из теоремы о дифференцируемой зависимости решений
от начальных данных, сформулированной в В). Если же
н(-) кусочно-непрерывна, то нужно применить теорему
из В) несколько раз на каждом участке непрерывности
и мы получим (3) и (4). Подробнее см. в АТФ, с. 335
и далее.
10Л.6. Завершение доказательства. Снова фиксируем
N и (т,г;)еГХГ.
А) Редукция к конечномерной задаче.
Обозначим
z — (ti, ц) = (ti, to, Хо, ah..., аД z e Rw+n+2>
положим
Я г — Ft (^i, £0, £o>	• • •»
*= j fi(t,xA(t), u-(t))dt + ^t(t0,x0, tuxn O
и рассмотрим задачу
F0(z) -* inf; F,(z)^0, i — 1,..., m',' F,(z) = 0,	.	.
i — m' + 1,..., m, a > 0.	T,r
В силу леммы об игольчатой вариации Ft е С1 (И7), где
W — окрестность точки z = (ti,t0, x(t0), 0,..., 0) в Rv+n+2.
Лемма. z = (tt, ц) = (?x, ?0, x (70), 0, ..., 0) e
e loc min 3--.
172
<< Пусть 8 выбрано так, что из е-близости графиков
Гх и Г(где k(-), u(-), to, — допустимый процесс)
следует неравенство $ok(-), и(-), to, Ц) ^0(т(-), н(-), £о,Л).
Выберем теперь 80 так, чтобы из соотношений (X l<x|i<
< 80, ko-?ol<e0, к0 — #Uo)l < е0 по п. 1 леммы об
игольчатой вариации следовало, что график ГХ|1 лежит
в 8-близости от графика Г^.
Выберем 81 так, чтобы из \z — z\ < Si следовали нера-
венства |ali<80, ко —iol<eo, ко — #Uo)I < е0. Тогда по-
лучается, что если z = (ti, тр будет допустимой точкой
в (з--)такой, что |z —z|<8i, то F0(z)>F0(z). »
Б) Применение правила множителей Ла-
гранжа к задаче (з--). В силу доказанной леммы
и теоремы о правиле множителей Лагранжа для гладкой
задачи с равенствами и неравенствами Сп. 2.3.3) найдутся
множители Лагранжа Хо,..., Х,п, рь ..., pN, не все равные
нулю (А1 = Х1(т, у), ц, = р/т, у)) и такие, что для функции
Лагранжа
т	N
3? ~ 2	2	Pj^J
г=о	5=1
выполнены условия стационарности — 0), неотрица-
тельности (А, > 0, г = 0,1,. .д, т', р3- > 0, j = 1,..., N) л
дополняющей нежесткости CkiFi(z) = 0, i = 1,..., тп').
Положим
т
~f(t, X, и) S Wi (t, X, и),
i~Q
т
I Go> к, *^1)	2 (ty, Хо, t^, Хг),
i=0
т
p(t)= 2^гРг(«),
г—о
где рг(*) — решение системы
Pi(i) + р»(кфх(к —
с краевым условием рД^) =* — 1^. Из этих определений
и определения для Q(f, i0) следует, что
р(0 + Р(0?х(0 =/х(0. р(к) = —Ц, (1)
173
~dt\P (0	*o)) — / X (0 (t, t0)f
#1 _	_	W
J / (t, xn, U-) dt + I (i0, ar0, tx, (fj) — 2 iw*
*o	1
Распишем условия стационарности функции Лагранжа У?
в точке z, учитывая лемму о приращении функционала
и формулы (2) —(5) предыдущего пункта:
= А/ (Ч, vh) — р (rft) Дф (rk, vk) — цй = 0,
uak Z—Z
k=i,...,N, (2)
(z)
z=z <	OX0
*0
is	dx ( t \
,s Я + I, +

P ( ^i)	*o) P ( *o) 4* 4 + lx$ (^i, t^) —
---p(^o)+ Ц, — o, (3)
__	fl
_—	== — j (£0) 4- I /ос (0 —Q-t—	dt 4- lt +
oro z=x	4.	Olo n=n 0
*0
dxn (Ta	zs
^X1 Tit	^ (^°) P (^i)	^1’ ^o) Ф (^o) +
ato n=n
+ P (/>) £ Uo) + Xo “ Zfi (ii, ?0) Ф (Q =
= — / Л) +p A) £&) + Xo = o, (4)
dtl
~ f Gl) +	+ к*! ф (^1) —
z	*• x
= "/ U1) + Xi — P fy £ (^1) = o. (5)
Очевидно, что A ¥= 0, ибо иначе из определений /, р
и соотношений (2) следовало бы, что р = 0, что невоз-
можно. Умножением на положительную константу нор-
т
мируем вектор А так, чтобы 2^1 — !•
о
174
Итак, доказано, что существует единичный вектор X
такой, что выполнены соотношения (1) —(5) и, кроме того,
Х/Д) == 0	= 0, i « 1, ..., т',	(6)
Х4>0, г = 0, 1,..., m'.	(7)
В) Окончание доказательства. Рассмотрим
в пространстве Rm+1 подмножества К(т, у), те Г,
7П
компактной сферы S = X 2
о
состоящие из тех
векторов X, для которых выполняются утверждения а)—е)
теоремы о принципе максимума Понтрягина, причем в
п. 2 взято t — т, и — V. Из определения множества /Пт, г)
нетрудно вывести, что они замкнуты. В силу условий
(1) —(7) любое конечное пересечение множеств A(tfe, щ),
к — 1,..., N, непусто. По лемме о центрированной системе
все множества v) имеют непустое пересечение. Зна-
чит, существуют ненулевой вектор X == (Хо,..., Хт) и функ-
ция р(-) е АСЧНо, £j, R"*) такие, что выполняются ут-
верждения теоремы а) — е) с условием оптимальности,
выполняющимся для любых т е Т, v^°U.
Замечание. Принцип максимума доказан в про-
странстве
АСЧИо, d, R”) X АС(И0, fj, Rr) X R2.
Незначительные изменения доказательства позволяют
обосновать его в пространстве
Tf’Lcti», М, В”)ХД<Ж, tj, IV) XIV.
10.1.7. Примеры.
Пример 1.
4
(х (•)) = J (я2 + х) dt -> inf; | х |	1, х (0) = 0.
о
Решение. 1. Приведем задачу к виду задач опти-
мального управления, введя.управление н(-);
4
J (и2 4- х) cZi-Hnf; х=и, не [—1,1], j?(O)s==O.
о
Функция Лагранжаг
4
2? = j* (Хо (и2 + х) + р (х — и)) dt + кх (0).
6
175
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера для лагранжиана L +2’) 4-
4- р(х — и):
— L+ Lx ~ 0 <=> р — Ао;
б)	трансверсальность по х\
L.x (t„) = (- 1)‘ к = 0,1 <* р (0) = X, р (4) = 0;
в), оптимальность по и:
min (Xou2 — ри) — Х0и2 — ри.
u=[-l,l]
3.	Если Хо = 0, то из а) р — 0 и из б) р = Х —0 —все
множители Лагранжа оказались нулями. Полагаем Хо = 1.
Тогда из а) р — 1 и из б) p = t — 4. Из условия в) следует,
что
(signр, |р/2|>1, л (— 1, 0^i<2,
[р/2, |р/2|<1,	^'е = ((«-4)/2, 2<(<4.
Из начального условия находим непрерывную функцию
x(t) =
— t, 0<£<2,
/2/4 —2^4-1, 2 <£<4.
4.	Здесь возможно несколько путей доказательства
того, что ’X е abs min. Во-первых, можно сослаться на
теорему существования из п. 10.3.5 и единственность кри-
тической точки. Во-вторых, можно Сослаться на то, что
наша задача выпуклая, а для задач выпуклого програм-
мирования необходимые условия минимума при Хо 0
являются достаточными (п, 4.1.3). Наконец, возможна не-
посредственная проверка. Проведем ее. Пусть Д-)4-
4-ж(-) — допустимая функция. Интегрируя по частям
с использованием того, что ДО) = 0 и x(t) = (t — 4)/2,
2 t < 4, получим
4 .
& (*) 4" х (*)) ~ J* ((# 4- i)2 4- х 4- х) dt =
о
4	4 .	4
₽=$(#(•)) 4- J x?dt+ J 2хх dt 4- xd(t — 4) «
00	о
176
4	4
—	(х (•)) + J x-dt 4- J (2х — t + 4) х dt =
о	о
—	$ (х (•)) 4- J x*dt + J (2 — f) xdt (я (•)),
о	о
ибо на участке [0, 2] х > 0. Итак, х е abs min.
Пример 2.
Т inf; |.rl 1, НО) - НО) = Ь, х(Т) = х(Т) = О
(простейшая задача о быстродействии).
Решение. 1. Приведем задачу к виду задач опти-
мального управления п. 10.1.1, сделав замену переменных
Xi = x, х2 = х и вводя управление и = х\
Т inf; Xt = ^2, Н = и, u е [—1, 1], я/О) — |1,
ж2(0)-^2, ^(Г)=^(Г) = 0.
Функция Лагранжа:
г
= & J (рх (тх — х^ + р2 (Н — и)) dt + 10Т +
+ Ъ (0) - ^) + а2 (х2 (0) - В2) + мх (П+М2(Л-
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера для лагранжиана L — p^Xt — х2) 4-
+ р2(Н — и)'.
+ ^i = 0’
=>Р2 (0 = Ct + Ct;
б)	трансверсальность по х для терминанта 1 = ^7 +
+ Xi{xs(0) — £i) 4-Х2(^2(0) — |г) 4- А3гс1(7') 4- Л^гС?1):
Pi(O)=Xi, р2(0) — Л2, pST) — Аз, р2^Т) — —’Ajj
в)	оптимальность по и (не зависящие от и слагаемые
не выписываем):
min (-р2(^)п) == -p2(/)u(O => u(t) == signp2{t)
uG[—1,1]
при p2(t) ¥= 0;
г)	стационарность по Т:
^т — 0 Ао 4- A3ii(7') 4- АлС^) ~ О,
12 в. М. Алексеев и др.	177
Учитывая то, что
х1(Г) = 0, Х4 = -р2(П, р2(ТМТ) = 1рг(П1,
получаем S?T — 0 Хо — Ipz^) 1 •
3.	Если Хо = О, то из г) следует, что р2(Т) = 0. При
этом р2 не может быть тождественным нулем, ибо иначе
все множители Лагранжа были бы нулями. Значит, из а)
p2(t) — C(t — Г), а тогда из в) следует, что u(t) == 1 или
1. Множество начальных условий, соответству-
ющих таким управлениям, описывается уравнением
?2 = ф(^1), ф(£1) =
-/2U ^>0,

^<0
(н (£)==-- 1 =>^г2 (£) = т - t, хг (0 = - (Т -02/2=> 0/2-
= Bij случай аналогичен).
Если же £2 ф(£1), то Хо=/=О, и мы полагаем Хо — 1.
Тогда из г) вытекает, что |р2(Т)| =1, т. е. имеются две
возможности;
pt(t) = C(t-T) + i,
Этим возможностям в силу в) соответствуют такие управ-
ления:
u+(f) =
о t < т,
т< t Т,
и (t) —
1, Ог^£<Т,
— 1, т< tТ,
Рассмотрим траектории, соответствующие оптималь-
ным управлениям и+ и и~ на плоскости (х15 х2), называе-
мой фазовой плоскостью (рис. 5).
Для тех значений t, для которых u(t) = 1, имеем
2	*
1=^ = 1., = ( + С'^х^1- + C't + С =	+ С.
ы	ы
Таким образом, фазовая траектория, соответствующая
этим значениям t, является куском параболы хг = Хъ/2 + С.
Направление движения по такой параболе определяется
из условия возрастания х2, так как в этом случае х2 — 1.
Аналогично получаем, что для тех значений t, для кото-
рых u(f) = —1, фазовая траектория — кусок параболы
- ^2/2 + С, а направление движения определяется из
условия убывания х2, так как х2 — ~ 1.
178
Укажем теперь то место на фазовой плоскости Gr1} хг\
где должно совершаться переключение управления. В ис-
комую точку (0, 0) ШУ) = х(Т) — 0) мы должны попасть
не более чем с одним переключением, двигаясь по фазо-
вой траектории по разрешенному направлению. Совокуп-
ность начальных усло-
вий, соответствующих
управлениям и+(-) и
описывается не-
равенствами £2 >
(для и+(-)) И £2 < ф(В1)
(для и_(-)) (см. рис. 5).
Переключения совер-
шаются на кривой £2 —
= <р(£1). При этом, как
нетрудно видеть, для	Рис 5.
каждого начального ус-
ловия имеется единственная фазовая кривая, приводящая
в точку (0, 0).
Поскольку всегда |f2| = 1 на оптимальной траектории,
то х2 — |i| + С и, значит, время движения Т = Var^r2.
4. Покажем, что оптимальная траектория, начинаю-
щаяся в точке (|i, |2), доставляет решение задаче. Пусть
этой траектории соответствует управление и(-) (для опре-
деленности «"()), функция х(-) и время Т. Предположим,
что имеется некоторый другой управляемый процесс
(#(•), u(-), Т), Т^Т. Доопределим функцию х{-) нулем
на отрезке [ Т, Т].
В силу условий на левом конце функции #(•) и #(•)
в точке т можно представить в виде
т
я (т) = J (т — $) .г (s) ds -j- £2т 4-
о
• •
Поскольку х (s) = 1 х ($) ys е [0, т), то
т
х (т) — х (т) = J (т — s) (1 — х ($')) ds 0,
о
причем равенство здесь возможно только, если во всех
точках непрерывности .г($) = i, а тогда х (t) = х (£) у t е
е [0,т]»
12*
179
Аналогично, с учетом условий на правом конце мож-
но представить функции ж(-) и ж( ) в точке т в виде
г
х (т) = J ($ — т) х (s) dst
т
••
Так как х ($)	— 1 = 'х (s) ys е (т,.?), то
т
х (т) -г- х (т) = J (s — т) (— 1 — х ($)) ds О,
т
причем и здесь равенство возможно лишь, если x(s) — 1
и х (t) х (i) \ft (= [т, Г].
Таким образом, имеем, что ^(т) = гс(т) и, следователь-
но, zU) s® x(t) yt е [О, Т]. Отсюда Т — Т.
10.2. Принцип максимума и необходимые условия ми-
нимума в классическом вариационном исчислении. В этом
пункте будет рассказано о необходимых условиях мини-
мума для задач, изучавшихся в §§ 5—7. Все необходимые
условия минимума будут выведены из принципа мак-
симума.
10.2.1. Простейшая задача. Докажем необходимость в
теореме 1 п. 5.5.1 и в дополнение к этому покажем, что
если х(-) доставляет сильный локальный минимум в за-
даче, то выполнено необходимое условие Вейерштрасса
& (t,x(t), х	yu(=Rn, [f0, fj,
(Определение функции Вейерштрасса было дано в
и. 5.6.2.)
А) Условие Вейерштрасса для сильного
минимума. Формализуем задачу (з) п. 5.5.1 как зада-
чу оптимального управления
fi
У L (t, х, и) dt-+ inf; х ~ и, x(t0) — xQ, x^t^—x^ (з')
to
Из условия, что х(л) доставляет сильный минимум в
•
(з) п. 5.5.1, следует, что пара (л?(•), и(*)), где u(t)~x(t),
является оптимальным процессом в (з'). Согласно прин-
ципу максимума Понтрягина найдутся множители Ла-
гранжа Хо, Xi, Х2 и /?(•)<= АСЧИо, Cl, Rn), не равные одно-
180
временно нулю и такие, что для функции Лагранжа
%? ~ J (Хо£ (t, U) +<Р (О» Х — иУ) dt + (Q + Х2£ (^1)
выполняются условия:
а)	стационарности по а: — уравнение Эйлера: р =
= Х«Ди);
б)	трансверсальности по х\ p(t0) = kh р(^) = —Х2;
*в) оптимальности по и:
'KqL (t, х (f), и) —	(f), иу
> Хо £ (0 — <р (t), х (0> Vм е Rn, V*е l*o, ^ib
Если Хо — 0, то из в) вытекает, что р = 0, а из б) —
что все множители Лагранжа — нули. Значит, Хо =/= 0. По-
лагаем Хо = 1. Тогда из в) следует, что р (f) — L
и условие в) с Хо — 1 и ptt)—Lx{t) оказывается не чем
иным, как условием Вейерштрасса.
• Б) Уравнение Эйлера и условие Лежан-
дра. Поскольку #(•) ^ loc min з, то для любой функции
#(•) е Cj([^o3iL Rn) функция ср(Х) =	+ Хя(-))
имеет локальный минимум в нуле. Тогда по необходимо-
му условию минимума функции одного переменного
(п. 2.6.1) ф'(0) = 0 и ф"(0) >0. Вп. 5.2.3 было показано,
что первое условие равносильно выполнению уравнения
Эйлера на функции х(-), а второе условие эквивалентно
(п. 5.5.1) неотрицательности функционала
к
Ж (•)) — J £> + 2 (Сх, хУ + (&х, £>) dt
fo
y£(.)eCj ([f0, М, Rn),
где
A(t) = L.. (f), 2C(t) = L* (t) + L . (0,
XX	XX	XX
В (t) = Lxx (f).
Неотрицательность Ж означает, что J(-)s0 доставля-
ет абсолютный минимум в задаче
^(^(•))-> inf; x(tP = x(.ti) = 0	(з")
в пространстве С1 ([£<>, М, Rn).
181
Поскольку в квадратичной задаче классического вариа-
ционного исчисления абсолютные минимумы в простран-
ствах С‘ и КС1 совпадают (ибо у кусочно-непрерывной
функции можно «сгладить углы» — см. АТФ, с. 69), то
х(-) доставляет в (з") и сильный минимум. Значит, в си-
лу уже доказанного п. г) для задачи (з") па экстремали
х(-) выполнено условие Вейерштрасса, которое в данном
случае сводится к неравенству <4 (t) u, О \fu е
G	0. Утверждение б) доказано.
Пусть, наконец, условие Якоби не выполнено и су-
ществует те [to, tj такое, что имеется нетривиальное ре-
шение й(-) уравнения Якоби, для которого httA — й(т) = 0.
Отметим, что из нетривиальности решения Л(-) однород-
ного линейного дифференциального уравнения второго
порядка с условием Zi(t0) = 0 вытекает: 7&(t0) =И=0. Положим
h(t) =
h(t), t g= [t0, т],
0, t^T.
Так как й(-) удовлетворяет уравнению Якоби, то
(%(.)) = j <- (Ah + C*hy + Ch + Bh, h) dt = 0.
*o
Таким образом, Ж(%( •))==(), а это означает, что %() до-
ставляет (наряду с функцией х(-) s0) сильный минимум
в (з");
И снова применяем принцип максимума (к экстремали
%(•)). Согласно принципу максимума найдется непрерыв-
ная вектор-функция р(-), для которой
p(t) = 2(4(t)%(t) + C*(t)%(t)).
Поскольку при t > т %(t) = 0, то р(т) — 0, откуда
4(т)Жт) = 0 => %(т) — 0 (ибо 4(т) обратима_из-за уси-
ленного условия Лежандра). То есть решение й(-) уравне-
ния Якоби обладает тем свойством, что Л(т) == Л(т) — 0 =>
=>7i(t)^0. Мы пришли к противоречию, ибо Mto)^O.
Таким образом, условие Якоби выполнено.
Замечание. Отметим, при какой гладкости инте-
гранта и экстремали могут быть выведены доказанные
утверждения.
Уравнение Эйлера п условие Вейерштрасса выводимы
при предположениях: L и Lx непрерывны в <2/, условия
182
Лежандра и Якоби — при допущении L е C2(°U), L^(«),
L . (•) и L. (•) e C1 ([/0, ^], R'J. Все условия выполни-
X X	Л X
jojch, если допуспиь, чю L С3(Л/), х(Э <= C'2([f0, ti), Rn).
10.2.2.	Задача Больца. Пусть в задаче
h
^U(-)) = J L (f, х, x)dt + 2(я(/0), rr (?i)) —s- inf
*o
интегрант L: Ш -> R (^/ s C?(R2n+1)) и терминант I: V* -*
>R (Fe=6?(R2")) удовлетворяют следующему условию
гладкости: L^C3(°U), l^C2(D. Тогда, если х(-)
е loc min з, то выполнены:
а)	система уравнений Эйлера — —L(£) + Lx(t) ~ 0
и условия трансверсальности!; (Q = (— 1)1Х(/г), г = 0,1;
б)	условие Лежандра <• (f)	0;.
в)	если имеет место усиленное условие Лежандра, то
удовлетворяется условие Якоби, согласно которому в ин-
тервале (t0, tA нет точек, сопряженных с t0;
г)	если удовлетворяются усиленные условия Лежандра
и Якоби, то квадратичная форма Р + Q, где
Q(x0, х^ = 1" (HU, х(Ц))[ (х0, Xt)],
Р(ха, х^ = <.A(ti)(no(ti)xo + ЙАЪ'М, x,> —
— <A(t0Hti0d0)x0 I- Hido^Xi), x0> + <C*(ti)Xi, xd —
- <C*(tQ)x0, x0>,
a Ht(-) — решения уравнения Якоби с краевыми условия-
ми Htd})=St}I (Ьц —символ Кронекера), должна быть
неотрицательна.
<1 Необходимость а) была установлена в п. 5.1, необ-
ходимость б) и в) немедленно следует из теоремы преды-
дущего пункта. Докажем г). По условию в (з) выполнены
усиленные условия Лежандра и Якоби.
Рассмотрим фундаментальную матрицу Ф(-, t0) реше-
ний уравнения Якоби, т. е. матрицу решений, удовлет-
воряющую условиям Ф(£о, t0) = 0, Ф(£о, tQ) = I. Вследствие
того, что выполнено усиленное условие Якоби, матрица
Ф(£, t0) невырождена при t^(t0, fj. Положим H^t) =
Ф(1,	t0)~l. Тогда ЯДО) = 0, Hi(ti) = I. Аналогич-
ным образом построим матрицу Нй: H^to)^!, H0(ti) = Q.
183
Тогда x(t, хп, х}) =	"I' 7Л(/)а будет решением
уравнения Якоби с краевыми условиями x(tt, х0, xt) — х,,
z = 0, 1. Вычислим	где
Я
Ж (х(•)) = J ((Ах, х) + 2 (Сх, х) + (Вх, х» dt,
f0
A~L..(t), 2С = L* (t) + Lx‘x(t), B~Lxx(t).
XX	XX
Имеем
h
Ж (x(‘,x0, xt)) [ (Ax + C*x, dx) +
*0
fi	,	Я
+ j* (Bx + Cx, x) dt — (Ax + C*x, x) = P (x0, x}).
*0	f0
В силу того, что для всякого х(-) C'([t0, £j, R") должно
быть верно неравенство
£#(£(•)+ М-))к-о =
«Л
= Ж (х (•)) + Q (х (Q, X(tx =(P + Q^x (/„), X (tx > 0,
приходим к г). >
10.2.3.	Изопериметрическая задача. Докажем необхо-
димость в теореме 1 п. 6.2.1. Формализуем задачу (з)
п. 6.2.1 как задачу оптимального управления
ti	<1
/0 (t, х, и) dt -> inf; j ft (t, x, и) dt ~ aif
<»	<0	(3')
t
x~u, x(t0) = x0, x^^-x-^.
Функция Лагранжа:
«г
= У Ldt + 0o^(Q + Oi^(^i),
to
ГД6
L -= 2 ^г/i, L = L + p(x — u).
1=0
Выпишем необходимые условия минимума в соответ-
ствии с принципом максимума:
184
а)	уравнение Эйлера:
- £ L (0 + L (I) = 0;	(1)
б)	условия трансверсальности:
/?(£о) = 0О, р(Ч) = —О/,	(2)
в)	оптимальность по и:
min (LU, z(t), и) — ри) = LU) — рх.	(3)
ueR
Из (3) н теоремы Ферма следует, что
P(t) = L> (t).	(4)
X
Если допустить, ЧТО Хо = 0, то из (1) и (4) получим
т
1-1 ' гх 7
т. е. линейную зависимость функций
+ «=1...............
По в условиях теоремы была оюворена их линейная не-
зависимость, откуда Хг = 0, i = 1, ..., т, и, значит, р(£) s
0 => 0о = 01 = 0. Все множители Лагранжа оказались
пулями, что противоречит утверждению принципа мак-
симума. Значит, Хо 0 и можно считать, что Хо = 1.
Тогда (1) и (3) с учетом (4) приводят к уравнению
Эйлера и условию Вейерштрасса для задачи (з) п. 6.2.1.
Двукратное дифференцирование по и в (3) доказывает
условие Лежандра. Осталось обосновать необходимость
условия Якоби.
Применим теорему о необходимых условиях второго
порядка для бесконечномерной задачи с равенствами
(и. 2.6.3) к задаче (з) п. 6.2.1. В соответствии с этой тео-
ремой из того, что х(-) доставляет минимум в задаче (з)
п. 6.2.1 в пространстве	следует, что численное
значение вспомогательной задачи
Ч
Ж U (’)) — j* + 2Схх ф Bxz) dt -> inf;
q	(Зв)
J (аг (t)x + Ьг (t) х) dt — 0, х (£0) — x(tU)~^,
1S5
где А — L» •, В — Lxxt С — В • , щ — f •, bi — f jx, рав-
X X	XX	2X
но нулю.
Допустим теперь, что существуют такие точка те
е (to, ti), числа Щ, . . , [1т и функция И( ), что
(.	\	•	тп	,
Ah + Ch) + Ch-Y Bh 4- 2 Цг (— ai + Д
i=i
ath + bji) dt — 0,
h (tQ) — h (t) = 0.
Тогда функция Тг, равная h при J т и равная нулю при
t > т, оказывается допустимой в задаче (звУ и при этом
<%”(%) = 0 (последнее получается, если произвести инте-
грирование по частям) Теперь следует применить прин-
цип максимума к задаче (зв) и экстремали h Тогда по-
лучим, что существуют такие функция р( ) и числа
vf, ..v,n, что
— р 4- Ch + Bh + 2 v Д = 0,
2=1
•	m
р ~ Ah + Ch + 2 v2a2 = 0*
2=1
m	/	\
Но тогда па{т, /J S щ + &г I — 0, откуда вследствие
1=1 '	'	~
требования теоремы о регулярности получаем, что Vj = 0,
и далее приходим к противоречию, подобно тому, как это
было проделано в п 10 2 1
10.2.4. Задача со старшими производными. Наметим
план доказательства необходимости в теореме 1 п 7 2.1;
рассуждения здесь подобны проведенным в трех преды-
дущих пунктах.
Формализуем задачу (з) п. 7 2 1 как задачу оптималь-
ного управления
2 Pt (xt — zl+1) + pn (xu -—u)]dt +
i=i	/
> Функция Лагранжа:
/
о/ +
zo 4
п-1 1
+ Zj 2 Цъ^г4-1 (Q*
1=0 }=0
Выписав необходимые условия в соответствии с прин-
ципом максимума Понтрягина и убедившись в том, что
Хо не может быть равным нулю, приходим к уравнению
Эйлера — Пуассона и условию Вейерштрасса. Продиф-
ференцировав условие оптимальности по н( ) дважды по
и, приходим к условию Лежандра. Далее следует рас-
смотреть квадратичную задачу
), *(•)]-> inf, z(lW = 0, Z)
i = 0, 1, ..., n — 1, / = 0,1.
Если допустить, что x(•) sOg abs min з", но суще-
ствует нетривиальное решение й(-) уравнения Якоби
(т. е. уравнения Эйлера — Пуассона задачи (з")), обра-
щающееся в нуль вместе со всеми производными до по-
рядка п — 1 в tt, £= О, 1, то можно показать, что функ-
ция %(£), равная й(£) при t т и обращающаяся в нуль
при t > т, является решением задачи (з"). Применение
принципа максимума Понтрягина к задаче (з") и экст-
ремали %(•) приводит к противоречию, ибо Л(п)( ) в точке т,
с одной стороны, должна быть непрерывна, а с другой —
разрывна.
10.3. Достаточные условия минимума в классическом
вариационном исчислении. В этом пункте будет расска-
зано о достаточных условиях минимума для задач, изу- '
чавшихся в §§ 5—7. Эти условия выводятся на основе
единой методологии, состоящей из построения поля, вве-
дения S'-функции, вычисления ее дифференциала и вы-
вода основной формулы Вейерштрасса.
10.3.1. Простейшая задача. <1 Докажем достаточность
в теореме 1 п. 5.5.1.
А) Построение центрального поля. Распи-
шем уравнение Эйлера
</ • * * •*
----гт L . (t, х, х) + Lx (t, х, х) = 0 <=> L. . (t, х,х) х +
Uf X	XX
4-	(t, х, х)х + L (t, x, x) — Lx (t, x, x) = 0,
187
Так как выполнено усиленное условие Лежандра,
т. е. неравенство	Vt е [tQ, ^], го в силу не-
прерывности функции (напомним, что АеС4(^/))
найдется такое
«1e67(R2’1+1), %cFxRn,
что L . * Ц, x, x) >• О V it, x, x) e Значит, в обла-
X X
сти уравнение Эйлера равносильно системе, разре-
шенной относительно производных
£ = У = ФИ, х, у\
где Ф(£,я, у) = L~\ {t,x, y)(Lx(t,x,y) — L . (t,x, у) —
X X	I X
~~Lxx V)'
В силу предположенной гладкости интегранта функ-
ция Ф (дважды) непрерывно дифференцируема, и, зна-
чит, по локальной теореме существования (АТФ, с. 186)
и глобальной теореме существования и непрерывной за-
висимости решения от начальных данных (АТФ, с. 195)
найдутся такие 8 > 0 и б > 0, что
а)	решение xi ) продолжимо на отрезок [£0 — 8, fi + el;
б)	для любого	(|Х|<6) на отрезке lt0 — 8,
ti 4- е] определено решение xi , X) уравнения Эйлера с
начальными данными х (£*) = #(£*), л (£*)= ж(^) + А,, где
£* —некоторая точка из интервала (£0 — 8, £0).
По теореме о дифференцируемой зависимости от на-
чальных данных (АТФ, с. 204), функция
it, Л) -> xit, \) = ixiit, М, ..Л„), ..Xnit, h, ..Л„))
непрерывно дифференцируема. Покажем, что экстремаль
xi ) окружена центральным полем экстремалей {#(-, Л)}
(определение этого термина см. в п. 5 6.1).
Дифференцируя функцию К xit, X) по К, полагая
К= 0 и обозначая
хк t, Л) |х=о = н it, £*)
дхг (t,k)
~дк„
получаем (поскольку t -> xit, X) — это экстремаль для
188
любого X, |Х| < 6)
OsA(-4i.{/,a:(/>x),^(t,x)) +
+ Lx (t, x (t, X), x (t, X))j,	=> (Ь • • (t) H (t, i#) +
-}- Ь • (t) H (i, t*)) + L . (t) H (t, t*) 4- Lxx {t) H (t, t*) = 0.
XX	X X
Получилось, что матрица H (• ,t*) удовлетворяет уравне-
нию Якоби. При этом выполнены следующие начальные
условия:
Н U* , £ф) д\ 1^—0	% (^*)	0}
•	д *	д А.
Н	д/. &	(^*) 4“
Пусть HU, t0) — матричное решение уравнения Якоби
с условиями HU0, t0) — О, HU0, t0) = I. Поскольку выпол-
нено усиленное условие Якоби, то не существует нетри-
виального решения h уравнения Якоби, удовлетворяюще-
го условиям hU0) — /г(т) = О, tQ < т t{ (п. 5.5.1). Таким
образом, усиленное условие Якоби равносильно невырож-
денности матрицы HU, tQ) при любом Uo, Лк Но тогда
снова в силу глобальной теоремы существования и не-
прерывной зависимости решения от начальных данных
(АТФ, с. 195) (для уравнения Якоби, которое тоже, оче-
видно, сводится к разрешенной системе первого порядка)
при достаточной близости t. к t0 матрица Н {ti t*) бу-
дет невырожденной для любого t$= [f0, fj.
Рассмотрим отображение WU, X) — U, xU, К)) в неко-
торой точке U, 0), t^lto, £j. Имеем
det T {t, 0) - det
1
(ti 0)
4
= det H (i, t*)	0.
Значит, по теореме об обратной функции найдется такое
д = 6(F) > 0, что если только И — т1 <6, l£ —.rU)|<6,
то существует единственное X —Х(т, £) такое, что
ЧНт, Х(т, |)) = (т, £) о z(t, Х(т, В)) = В.
В силу компактности графика Гх={(£, xU))\t^ [/0, М)
можно найти одно 60 такое, что для любой точки (т, В),
1В~я(т)1<60, существует (и как нетрудно понять— -
единственное) Х = Х(г, В), при котором х(х, Х(т, В)) = £-
При этом гладкость функции X такая же, как глад-
189
кость х, т. е. С2. Построение центрального поля, окружа-
ющего экстремаль, закончено. Остается положить и(х, |)=«
= 4^(«Д(гЛ))Ь=г.
Б) 5-функция и ее дифференциал. Положим
5(тД)--= j Ь((,х(«Д(т,й), а((Д(т,Й))Й.
t*
Функция (т, |) ->А(г, £) называется S-функцией. Вы-
числим ее дифференциал. Имеем по определению
я(т, Х(т, £)) = £,	(1)
—	х(х, Х(т, £)) = п(т, £).	(2)
Дифференцируя под знаком интеграла, используя непре-
рывность хк, вытекающую из того, что х <= С2, получим
т
-^ = J <ix (t, X ((, >. (т, D), X (/, X (г, 5))),
У)ХЕ (тД)> Л +
+ ( <Л. ((,г(«Д(тЛ)), г(«Д(т,И)),
*•, Л-
t*
^(^Д(тД)) (тД)> dt,
Интегрируя второе слагаемое по частям (используя (2),
то, что #(•, Л) есть экстремаль, а также то, что
•М**, Цт, 0), получим
^SL = {L.x (т, и (т, D), (т, X (т, D) /.< (т, а>.
Но из (1) следует равенство яДт, Л(т, £))А^(т, £) = 7, от-
куда окончательно имеем
^ТрТ = ^.(гД,и(гД))«р(г,5).
' Аналогично,
т
=	(т, Э) + f «ьх ((, X (t, Л (т, ?)),
и V
(т, £))),	(Т, \ (т, £))	(т, £)> +
190
+ <L . (t, x (t, К (т, £)), x (t, К (т, £))),
<MU(T> £)) XT (t, l\)}dt =s
*= L (т, %, и (r, £)) — <£• (т, £, и (т, В)), и (r, £)> = — H (t, B).
Здесь после интегрирования по частям с учетом (2) сле-
дует принять во внимание тождество а\(т, Х(т, £)) +
,+ ^л(т, Х(т, £))Мт, |) = 0. Итак,
dS(x, В) = <р(т, В), d&~H(x, Vdx.
В) Основная формула Вейерштрасса.
Пусть %2 — односвязная окрестность графика экстрема-
ли я(-), покрытая центральным полем экстремалей
#(•, X), и #(•) е= KC\[ta, fj, R”)—любая функция, график
которой расположен в этой окрестности; при этом x{ta) =
*=a:(fo), xtti) — x(ti). Тогда
7
S (*i, ^1) — S (t0, x0) = j dS (t, x (£)) =
f0
*1	*1	,
= J dS (i, x (t)) - J (- H (t, 2(/)) + <p (t, x («)), S(<)>) dt Ш
4	*0
def	Л	- A A
= J (L(t,x(t), x(t)) — (L. (t,x(t),x(t)),x(t)y +
*0
Л A	r1	A
+ <L. (t, x(t), x(t)), x(t)))dt — \L(t, x(t), x(t))dt = 3^(x{-)).
x	t
r0
Отсюда
3\x(’))—3^(x{ •)) = ]* L(t,x(t),x(t)) dt— J dS x (t)) =«
*o	*o
h
= ^(L(t,x(t),x(ty) — L(t,x(t),u(t,x(t))) —
*o
— {L . (7, x (7), и (t, x (£))), x (t) — и (t, x (£))->) dt =
h
— J S (J, x (i), и (Z, x (Z)), x (t))dt.
*o
Зту формулу называют основной формулой Вейерштрасса.
191
Г) Достаточные условия. Из квазирегулярности
пнтегранта следует, что если tt, х) е V, то S (С х, и, х)
^0 V (и, х) е R” XR?1- Если теперь выбрать 'ЗА лежа-
щей внутри V, то из формулы Вейерштрасса немедленно
последует, что для любой функции х(-) е 7№([/0, Ж,ЯП),
график которой лежит в %, ^Ст(-)) ^(я(-)), т. е. х(-)
доставляет сильный минимум.
Докажем теорему 2, т. е. исследуем задачу
*1
Ж (х (•)) = J ((Ах, хУ + 2 (Сх, ху + (Вх, ху) dt -> inf;
°	(з')
X (Ж — *0, ЖЖ —
А) Пусть не выполнено условие Якоби. Тогда по тео-
реме 1 и лемме о скруглении углов (АТФ, с. 69) суще-
ствует функция £(•)€= СДИо, Ж, Rn), £(Ж = £(Ж = о,
для которой	•)) < 0. Но тогда J$f(a£(-))при
а -* +°°, т. е. Smln =
Б) Пусть выполнено усиленное условие Якоби и
H(t, т) — матричное решение уравнения Эйлера задачи
«^Ж(-))-> inf; x(t0) = <г(Ж =- 0,
удовлетворяющее условиям Ж г, т) = 0, Жт, т)=7. Из
усиленного условия Якоби вытекает, чю матрицы H(t, t0)
и Hit, ti) певырождены для t^(t0, и [i0, td) cootbci-
ственно. П’оложим
nut) = на, t^H-uti, ж, HQ(t) = на, ж#-*(ж td>.
Тогда Ht(t,) — 6tJI, i, / = 0, 1, и, значит, xtt) = H0(t)x0 +
T НАОх, — допустимая экстремаль в (з'). Эта экстремаль
единственна, ибо если бы х(-) была другой допустимой
экстремалью, то у—х — х было бы нетривиальным реше-
нием уравнения Якоби с условиями y(t0) = yttd) = 0, а это
противоречит усиленному условию Якоби.
Пусть теперь х(-) —-любая функция из KCl([t0, Ж, Rn),
xtta) = xtt,) — 0. Поскольку х(•) — экстремаль, то нетруд-
но вывести, что
Семейство функций х(-, X) = Н( • ,t^) X, где на-
столько близко к t0, что матрица H(t,t^.) невырождепа
192
при	(см. доказательство теоремы 1), есть поле,
покрывающее всю полосу tQ tit Функция наклона
этого поля:
u(t,x) = H(t, t*)H 1 (t, t^x.
Отсюда по формуле Вейерштрасса (см. п. В) доказатель-
ства теоремы 1)
h
Г (х (•)) = J <Л (i) (i - H (t, t„) H~l (t, tt) x) J -
l0
— H (f, £*) H'1 (£, t*) x) dt > 0,
ибо A(t) > 0 по условию. Значит, J$f(£(-) 4-#(•)) >
>«W(-)). >
Далее (для задачи Больца, изопериметрической зада-
чи и задачи со старшими производными) мы не приводим
всех рассуждений детально, а указываем лишь на суще-
ственные новые моменты.
10.3.2. Задача Больца. Докажем достаточность в теоре-
ме 1 п. 5.5.2. Из условий теоремы, подобно тому, как это
было проделано при доказательстве теоремы 1 п. 5.5.1,
показывается, что существуют малые окрестности Vo и
точек х(Ло) и xitj такие, что для любых £0 е Vo, £i е Vt
существует единственное решение уравнения Эйлера
#(•, £1, &Л для которого x(tt, So, |i) = i — 0, 1.
Тогда, если график х(-) лежит в малой окрестности
графика х(‘), то
#Gr(-)) ==.?Gr(-)) 4- l(x(t0\ <ад=Ж)) -
— &(х(-, x(t0\	4-^U(-, х(Л0), Н^))) 4-
4- KHto), Ж)) =№(•)) -№(•, x(t0),	+	•
4-Ф(л;«о), ^(<i)),	(1)
где
*i
ф(5о, 11) = .[ L ((, X ((, |0,11), i ((, lr))dt + l (50Л).
*0
Производя дифференцирование под знаком интеграла в
этой формуле, затем интегрируя по частям с использова-
нием того, что {#( , |о, Bi)} — это семейство решений урав-
нения Эйлера, и, наконец, повторно дифференцируя,
193
получим
ф"(о, о)[ха, = (Р +t?)[x0, xj.
Теперь следует воспользоваться тем, что по формуле Вей-
ерштрасса
*i
(х(-)) — 3 (я(-,я(*0),я(*1))) = J
*о
Вследствие положительной определенности Р + Q, если
(х(£0), x(ij) лежит в малой окрестности (rr(i0), х^)), то
Ф(х(£0), х(£Э) > Ф(х(£0), xGJ) и мы приходим к тому,
что требовалось:
Теорема 2 доказывается аналогично теореме 2 п. 5.5.1.
10.3.3.	Изопериметрическая задача. Докажем доста-
точность в теореме 1 п. 6.2.1. Пусть х(-) — экстремаль за-
дачи (з) п. 6.2.1 и р = (pi, ..., р.т) — соответствующие
множители Лагранжа. Обозначим /==(/1, ..., /т).
А) Построение центрального поля. Рас-
пишем уравнение Эйлера для лагранжиана L(t, х, х, ц) =
«= f0(t, х, х) + <ц, /(£, х, х)> в виде системы
---Х' Х' + Lx Х’ Х’ = 0
х~ у, у = Ф(*,х, у, у), (1)
Ф(£, х, у, ц) = L~\x (£, X, у, ц) (Lx (t, х, у, ц) —
— L • (*, х, у, ц) — L. (t, х, у, ц) у).
л г	хх
Так можно сделать в некоторой окрестности графика
экстремали х при ц, достаточно близких к ц, вследствие
выполнимости усиленного условия Лежандра.
По теоремам из теории дифференциальных уравнений
(локальной теореме существования, теоремам о непрерыв-
ной и непрерывно дифференцируемой зависимости от на-
чальных данных и параметров) найдется е > 0 такое, что
для любых X, ц таких, что |Х| <е, |ц —ц|<е, решение
х(-, X, р) уравнения Эйлера (1) с начальными данными
х(^, X, р) = x(f*), x(f*, А, ц) = х(^) + X будет опреде-
лено на [^0, при близком к tQ,
194
Положим
у (т, X, р) = (Vi (Т, X, р), ..., ут (т, X, р)),
т
У|(т,Х, р)= J /г (^, я: (^, X, p),z(f,X, p))df, * = 1> ..., nt.
/♦
Из усиленного условия Якоби выводится (проверить это!),
что найдется такое 6 > О, что если только т^(£0, £j,
— z(t)I <6, |ц—ц(т)| <6, то существуют единственные
^=«Х(т, £, ц), р = р(т, £, ц) такие, что
а?(г, Х(т, £, т|), р(т, £, ц)) = £,
i/(r, Х(т, £, ц), Ц(т, £, т])) == П •
и при этом функции X и ц обладают нужной гладкостью.
Этим заканчивается построение поля. Функция
(т-, , л) =	Л)» Р , ?>, Л)) |<=т
называется функцией наклона поля xk-, X, р).
Б) S-функция и ее дифференциал. Поло-
жим
S (т, L л) = f /0 (£, х (t, X, р), х (?, X, р)) dt,
i*
X == Х(т, I, ц), ц = ц(г, |, ц).
Имеем по определению
5 (Т л, Л) + <Н (т»	л), Л> = J L (t, М н)> х
t*
Х = Х(т,^,л), ц = |1(т, £, л).
Дифференцируя по £ и применяя выкладки, подобные
проведенным в предыдущем пункте, получим
9S (т,£, Щ / дц (т, %, п) „\ _
+ \ dl ’ nZ
== L. (тД, и (т, £, Т]), ц (т, £, ц)) +	t п\
==>	= L -х (т Л, и (т, I, ц), ц (т Л, Т]))«
195
Аналогично,
м (т’6’11 = ь (Т л, U (т, L Ч), и (Г, I, Ч» -
(✓V	♦
— L. (т, |, и (т, %, ц), Ц(т, L П)) и (т, L ц),
х
Наконец,
М(^!11} =-нМ,ч).
В) Основная формула Вейерштрасса.
t
Пусть а=(аь ...» аД Уг (О = Jh ($, х(s), х (s))ds.
*0
Тогда, если рД) = a,-, xitf)—Xj, i = 1, ..т, ]=(), 1,
то
Т
£ (f1} хг, а) — 5 (t0, х0, 0) = J dS (t, х (t), у (£))
*о
и, следовательно,
= f & (t, х (i), у it}, и it, х (t), у (/)), х (/)) dt,
К
где
xkt^ = гс(^) = х}, 7 = 0,1,
t
J/i (0 = J / (s^ (SM (s))	J/i(^i)==ai, i = l,
fo
ё (?, X, у, u,x) = L (f, X, X, ц (i, X, y)) —
— L (7, x, u, ji(£, x, y)) — (x— u)L.x(t, x, x, i.i(t,x, y)),
Lit, x, x, p) = foit, x, x) 4- <p, fit, x, x)>.
Г) Достаточное условие в теореме 1 п. 6.2.1 немедлен-
но следует из квазирегулярности интегранта.
Теорема 2 доказывается подобно теореме 2 п. 5.5.1.
10.3.4.	Задача со старшими производными. Докажем
достаточность в теореме’1 п. 7.2.1.
196
А) Построение центрального поля. Рас-
писывая уравнение Эйлера — Пуассона
2 (-i)’1/,<»>(«. .........*W)	= 0
fe=0	at
и используя усиленное условие Лежандра, сводим его к
уравнению 2н-го порядка, разрешенному относительно
старшей производной. Это дает возможность построить
n-параметрическое семейство x(t, X) = x(t, Xi, ..., Xn)
функций, удовлетворяющих уравнению Эйлера — Пуассо-
на и краевым условиям
zw(t*,X) =	£== 0,1,	—1,
(^* , ~	№*) 4"	«+1» к — п, ..., 2w 1.
Продифференцируем функцию X -* xU, к) по X в точ-
ке А = 0 и обозначим
я’х (t5 М 1х=о — к (t, t*) f кт (t, t%) —
Ox (t, л)
x=o
Рассмотрим матрицу
Ж*) =
“^1 (^» ^*)	• • • M^*)
...	t*)
Тогда из условий (1) получим, что Н (t*) — 0,
Я(п) (£*) — Из усиленного условия Якоби следует, что
при t#, близком к to, ^*<t0, матрица HU) невырождена
vts[t0, tj. Это дает возможность найти экстремаль,
Для которой
xwUt, к) = |ч к —0, 1, ..., п — 1,
причем по (т, |), £ = (U ..., где 1g, - я(!)(т)| < б,
величина Х = Л(г, |) определяется однозначно. На этом
заканчивается построение поля. Остается положить
dn
197
Б) S'-функция и ее дифференциал. Поло-
жим
S (т Д) = J / (Г, х (t, X (т, £)), х (t, X (т, £)), ...
й
>..,х(п} (£,Х(т, £))) dt.
Дифференцируя под знаком интеграла, приходим к фор-
мулам •
^^- = р»(тД), * = о,1..........п-1,
«££ = -Я(г,5),
где
Рк^Л) =
= /x(ft) (Т, L и (т, £)) - ~ fx<h+1) (т, £, и (т, I)) |f=T + . . .
... + (- (4)п~* 4(») 5- “	|,_т,
— Н (т Д) = / (г, и (т, £)) — 3 Ph (т, 5) 5ft.
k=0
В) Основная формула Вейерштрасса. Она
приобретает вид
Ч
3 (х (•)) - Э (х(•)) = j g ((, х (t), i (#), ...
*0
..., z(n-1) (0, U (t, x (t), ..., x(n-1) (?)), x(n} (t)) dt,
где
S (?, ~x, u,x) = f (?, x, x) — f (?, xt u) — (x — u) fx(n} (t, x, u),
X = (xa, Xi, . . ., Xn-i).
Г) Достаточное условие. В теореме 1 п. 7.2.1
оно немедленно следует из квазирегулярности инте-
гранта. >
Теорема 2 доказывается, как и теорема 2 п. 5.5.1.
10.3.5.	Об одной теореме существования. Оптимальное
управление предоставляет новые возможности для иссле-
198
дования классических задач. Продемонстрируем это на
примере простейшей задачи
Ч
(х(-)) = J £ (£, х, х) inf; x{t0) = x0, x{t^ = xt
*o
(3)
с дополнительным ограничением |х| ^А.
Теорема. Пусть в (з) интегрант L определен и не-
прерывен в R2n+1, квазирегулярен в Rn+1 X Rn. Тогда, ес-
ли существует допустимая функция, то решение задачи
<з) существует {решением будет функция, удовлетворя-
ющая условию Липшица с константой А).
<1 Пусть {xn(-)}n>i — минимизирующая последователь-
ность. Из условий xn(tQ) = хй, 1x1^ А вытекает компакт-
ность {хп(-))п>1 в пространстве C([f0! М, Rn)- Значит,
можно считать, что хп(-) равномерно сходится к х(-).
При этом х(-) абсолютно непрерывна. Используя то, что
Л — выпуклая по х функция, и слабую сходимость хп{-)
• 
к х(-), легко выводится, что
^(x(.)Xlim^ (х„(-)),
П-*оо
Т. е. что х( ) — решение задачи. >
Эта простая теорема зачастую позволяет полностью
исследовать простейшую задачу классического вариаци-
онного исчисления, минуя теорию достаточных условий.
Поясним это. В п. 5.5 было рассказано, что с теоретиче-
ской точки зрения можно считать интегрант квазирегу-
лярным. Если интегрант квазирегулярен, то можно
Заложить «принудительное» ограничение 1x1 =СА. Тогда
Ио теореме существования решение задачи (з) (при до-
статочно большом А) существует. Значит, можно приме-
нять принцип максимума Понтрягина. Как правило, этот
Принцип выделяет конечное число решений х,(-, А), ...
• хА-, А). Среди них отбираем то, для которого функ-
ционал 3 минимален. Пусть хД-, А) и будет этим реше-
нием. Далее следует изучить поведение величины <р(А) =
в=5Х(х1(-, А)). Если <р(А)->'—ею при А -* +<», то 5тщ =
— оо. Если же ф ограничена снизу, то следует рассмот-
реть limxt(-, А)— х( ) (такие пределы обычно существу-
Ют), и мы приходим к решению задачи. Этим приемом мы
Пользуемся при решении задач.
199
Задачи
n
10.1	. f x sin t dt -> extr; (x |	1, а?(±л) = 0.
—Л
7^/4
10.2	. f x sin t dt -> extr; | x |	1, г(0)=?0.
о
10.3	. (P) J | x | dt -> inf;
о
x^A, rr(0) = 0, x(Tu) = l (X<0).
4
10.4	. J (i2 + я) c?£-> extr; 1, ^(4) = 0.
о
T°
10.5	. [ (x2 + x) dt -> extr;	^(0) —0.
о
T°
10.6	. j (x2 + x) dt -> extr;	;r(0)=g.
о
т
10.7	.	(x2 + x) dt -> extr;	^(0) = ^.
о
Г°
10.8	. j (x2 + x) dt-* extr; | x |	1, ж(Г0) = ^.
о
Г°
10.9	. j (x2 + x) dt -* extr;
о
|x]	1, ж(0) = 0, ж(Го) = О.
т
10.10	. J {x2 + x) dt -* extr; | x j 1, ж(0) = 0, л:(7’)=^.
о
Г°
10.11	. J (х2 + х2) dt -> extr;	ж(0)~
о
200
1
10.12	. J x dt -> extr; |xj^2, x (0) = x (0) = 0.
о
i
10.13	. J x dt -> extr; | x |	2, x (1) = x (1) = 0.
о
i
10.14	. f x dt -> extr; |x}^2, x (0) = x(l) = 0.
о
2
10.15	. §xdt-+extr; |x(^2, x (0) + x (2) — 0, x(2) = 0.
о
10.16	. J x dt -> extr; |x|^2, x (0) + x (2) = 0, x(0) —0,
о
i
10.17	. ^xdt-+ extr;
о
| x |	2, x (0) + x (1) = 0, x (0) 4- x (1) = 0.
10.18	= ^xdt-+extr; |i|<2, x(0) = x (0) = x (2) = 0.
0
2
10.19	. j xdt-+ extr,	x(0) = x(2) — x (2) = 0.
о
2
10.20	. (P) J inf; |i|<2, x(0) = i (0) = x(2) = 0.
о
4
10.21	. ^xdt-+ extr;
о
| x [	2, x (0) + x (4) = 0, x (0) — x (4) = 0.
10.22	. T -> inf; lx| C 2, x(-l) = 1, x{T) = -1,
i(-l) = i(n = 0.
10.23	. T -> inf; Ixl 2, x(-l) = -1, x(T) - 1,
x(-l)=x(T)=0.
201
10.24	. Г-> inf; Ixl С 2, х(0) = х(П = 0,
х(0) = 1, х(Т) = 3.
10.25	. Т -> inf; -UK 3, х(0) = 1,
х(0)«=х(Т)=0, х(П==-1.
10.26	. Т -> inf; -3 С х С 1, х(0) = 3,
х(0)=х(Т) = 0, х(Т) = -5.
10.27	. Т-* inf; 0<х<1,х(0) = ^,
x(0) = U НТ)=х(Т) = 0.
10.28	. inf; Ixl Cl, х(0)==^, х(0) = |2, х(7') = 0.
10.29	. T-*inf; Ixl С 1, х(0) = t, *(0) = Ь, НТ)~0.
2
10.30	. У | х j dt -> inf;
о
х>-2, х(0) = 0, х(2) = —1, х(2) = —-2.
2
10.31	. J|xl^->inf;
о
х — 2, х (0) — х (0) = 0, х (2) — — 3.
10.32	. J | х | dt -> inf;
о
х — 2, х (0) — х (2) = 0, х (2) == 3.
10.33	. J | х| dt-+ inf;
о
х<2, х(0) = 0, х(2) = 1, х(2)= 2.
10.34	. J | х | dt-*- inf;
о
х<2, х(0)=1, х(0) —— 2, х(2)=0.
202
1
10.35	. j" rr2c?i->inf;
о
ж<24, z(0) = 11, z(l) = i(l) = 0.
10.36	. j* x~dt -> inf; x ^6, x (0) = x (0) = 0, x (2) = 17.
о
i
10.37	. f x2dt -> inf;
t
0
| x | 1, x (0) = x (0) = 0, #(!) = —Ц-.
2
10.38	. x(2)->extr; \i^<2, J= 2, z(0) = 0.
0
r°
10.39	. x(T0) ->extr; J x2dt = 2, |i|< 1, z(0) = 0.
0
10.40	. (P) j + | i (J dt-> extr; z(l) = £.
a
T°
10.41	. J (xy — yx) dts\rp;
о
х(О) = я(Го), i/(0) = у (Го), x2 + y2^l.
Г°
10.42	. j (ху — yx) dt -> sup;
о
(i-^)2 + ?<l, z(0)~x(TQ), 1/(О) = у(Го).
Г°
10.43. J (ху — yx) dt -> sup;
о
203
т°
10.44	. [ (ху — ух} dt -> sup;
о
*(0) = х(Т0}, y(Q} = y(T0},
т°.
10.45	.	( (ху — ух} dt-> sup;
V
о
Ы + \у I<1, x(Q}= х(Т0}, у(0) = у(Т0),
то
10.46	. С-^4- -> inf; i>0, ^(0) = 0, х(Т0}=^1
oJ 1 +
(аэродинамическая задача Ньютона).-
1
10.47	. J x2dt-+- sup; |nr|^l, rr(O) = O
о
(найти допустимые экстремали).
Глава IV
СВОДНЫЙ ОТДЕЛ И ПРИЛОЖЕНИЯ
§ И. СВОДНЫЙ ОТДЕЛ
1 4
11.1.	Jx2di->extr; х(1) ~ 1.
о
1
11.2.	J (.? — х} dt —	-> extr,
о
1
11.3.	j x2dt -> extr;	rr(O) = 0, z(l) —£.
о
Г°
11.4.	J (х2 — x)dt-+ extr; х (0) == О.
о
Г°
11.5.	j {х2 — х) dt-+ extr; x(Q) = гг(Г0) = О.
о
Г°
11.6.	J (я2 — х) dt -> extr; |<1, я(О) = О.
о
г°
11.7.	J(i2 — х} dt -> extr; j х |	1, х (0) == х (Т^ = О.
6
т
11.8.	J (z2 — х) dt-> extr;	я(О) = О.
о
т
11.9.	J (х2 — х) dt-> extr; j х |	1, .г (0) — О, гг(Г) = О.
о
1	1
11.10.	J x2dt -> extr; ^xdt — i.
о	о
205
1	I
11.11.	J x2dt -	> extr;	xdt — 1, ;r(0) = 0.
	0		0
	i		1
11.12.	J x2dt-	> extr;	J x dt — 1, x (0) = x (1) — 0.
	0		0
	i		i
11.13.	j* x2dt -	> extr;	| tx dt = 1, x (0) = 0.
	0		0
	i		i
			
11.14.	J x2dt -	> extr;	j txdt ~ 1, x (0) = x (1) = 0.
	0		0
	i		i
11.15.	f x2dt -	► extr;	f txdt = 0, x (0) = 1.
0	0 i	.	i 11.16.	f	x2dt	-> extr;	\xdt~ ~	0	0 i	i 11.17.	[	x2dt -> extr;	^xdt = 0	0 i	i 11.18.	J x2dt -> extr; xdt — •0	0 z(0) = 0, z(l) = l. T	T 11.19.	J x2dt -> extr; ^xdt~ *-	0	0 T	T 11.20.	i x2dt -> extr; \xdt~	i J tx dt = 0, x (0) ~ 1. 0 i J txdt — 0, rr(l) = 1. 0 i j* tx dt =0, 0 1, z(0) = 3. 4, ^r)=i.
0 11.21.	J x2dt-+ extr; 0 11.22.	J x2dt -> extr; 0 11.23.	x2dt -> extr; z(0) = 0. 206	и	a 0 Л J x sin t dt — 1, x (0) — 0. 0 Л J x sin t dt = 1, x (0) = x (л) = 0. 0 Л	Л [ zsin	t dt =	(	xcos t dt = 0, 0	0
я	я
11.24. J x-dt -+ extr; j х cos t dt =
о	0
	я J x sin t dt — — 2, x (0) = 0. 0 i	i
11.25.	J x2dt -> extr; J xedt =1, x (0) = 0. 0	0 i	i
11.26.	J x2dt -> extr; У xedt = 1, x (0) = x (1) = 0. о	о e-1
11.27.	У (i 4- 1) x2dt + 2x (0) [x (e — 1) + 1] -> extr. 0
11.28.	J t2x2dt — 2x (1) + x2 (2) -> extr. 1
e 11.29. У (tx2 + 2x)dt- i	-> extr; x(l) = 0.
e 11.30.	(t*x22x) dt - i Л/2	-> extr; x (1) = x (e) = 0.
11.31. J {x2-x2-2x)dt-2x2(0)-x2[^j-^extrl 0 To	
11.32. У (i2 + x2)dt- e T	>extr; х(Т0) = g.
11.33. ^(i2 + x2}dt-> 0 To	- extr; x(T) = $.
11.34. У (z2 + x2}dt-i 0 T	extr; | x |< 1, x{T^ =
11.35. У(?- + а;2)Л-ч 0 TQ	-extr; U | < 1, x(T) =
11.36. f (x2 + x2)dt —	► extr; a;(0)=0, х(Тй) = %-
0
207
т
11.37.	(х2 4- х2) dt -> extr; х(0) = 0, а?(Т) = £.
L
О
г°
11.38.	j (ж2 + ж2) -> extr; | i|<l, я(О) = О, ^(Го) = |.
о
т
11.39.	J (i2 + z2)6?i->extr; |i|<l, z(O) = O, x(T) = %.
о
л
11.40.	j (х2 — х2) dt -> extr; | х (0) = 0.
о
Л 2
11.41.	J (х2 — a?2) dt -> extr; х (0) = 0,	=
о
ЗЛ 2
11.42.	J (х2 — х2} dt -> extr;
о
| х |	1, х (0) — х = 0.
Г°
11.43.	У (z2 — х2 — кх sin i) dt -+ extr;
a:(0) = 0, x(T0) = g.
Г°
11.44.	(P) У (x2 — x2) dt->- extr; J x I 1, z(0)=0.
о
Г° .
11.45.	У (x2 — a?2) dt -> extr; | x |	1, z(0) = x(TQ] = 0.
11.46.	i У x2dt -*	- extr;	i У x2dt 	= 1.
	0 i		0 i	1
11.47.	У x2dt—>	 extr;	У x2dt --	= 1, У x dt = 0.
11.48.	0 1 [ x2dt-+	- extr;	0 1 У x2dt -	0 = 1, Z(O)=: 0.
	0		0	
11.49.	fKi± J x 0	X2 — dt	-> extr;	# (1) = 1 (x> 0).
208
1
• 1
11.50.
x----6?i->extr; x (0) = x (1) = 1 (a?>0),
о
T
12
11.51.
11.52.
11.53.
J x
о
a?(0) = l, 2Г + а?(Г) = 2 (x>0).
i	i _________
f x dt -> extr; J 1 + x~ dt ~ ,
о
о _________
extr; J + x1 dt = y, ;
-i
-1
1
11.54.
a? (1) = 0.
0.
W2
2—- + x±x2 ] dt-* extr; xr (0) = x2 (0) = 1.
0
0
0
Л 2
0
*1 (°) = ^2 (0) = °,	(y) = 1, ^2 (y) =
1 11
11.56.	J x^x2dt—^~ extr; J xrdt — J x2dt = 0,
о	oo
^1 (0) = ^2 (0) = 0, ^1 (1) = 1, ^2 (1) = 2.
i
11.57.	J x2dt -> extr;
о
i
11.58.	J x2dt -> extr;
о
1
11.59.	J x~dt-> extr;
о
i
11.60.	-> extr;
о
a?(0) = a?(l) = 0, x (0) = - 1, a?(l) = l,
i
11.61.	J (a?2 — 48a?) dt -> extr; x (0) = x (1) =; 0.
о
x (0) — x (0) = 0, x (1) = 1.
x (0) = x (1) = 0, x (0) = 1.
a?(0) = a;(0)=0, a?(l) = l.
209
1
11.62.	j (ж2 — 48x) dt -> extr; x (0) = x (0) = x (1) — 0,
о
i
11.63.	j (x2 — 48a?) dt -> extr;
о
x (0) = x (0) = x(l) = x(l) = 0,
i
11.64.	J (x2 + 48x) dt -> extr; x(0) = 0, x(l) = 1,
о
в
11.65.	J tx2dt -> extr;
i
1	p2 ’
x(l) = e + j, x(e) = -y, x (1) = 1.
11.66.	J fx2d£-> extr; x(l) = 0, x(l)=l, x(e?) = 2.
i
e
11.67.	J ix2di-*extr;
i
x(l) = 0, x(l) = 1, x(e) = e, x (e) = 2.
e
11.68.	J t-x-dt-> extr; x(l) = —1, х(г) = х(1) = е.
i
e
11.69.	J t2x2dt-+ extr; x(l) = 0, x(l) = l, x(e) = ~«
i
e
11.70.	J t2x2dt •=> extr;
i
x (1) = 0, x (e) = x (1) = 1, x (e) =
e
11.71.	Г t2x2dt-> extr; x(l) —-у, x (г) =-7, x (г) =-y-.
1
e
11.72.	J Z3x2d£-> extr;
1
x(l) = l, x(l) = —1, x(e) =-----------V.
e
210
е
£1.73. J t3x2dt-+ extr;
i
x(l) = l, ж(1) = —1, zG?) = 7, z(e) =----------у.
e	e
11.74.	J (x2 + 4ж2) dt -> extr;
о
x (0) = x (0) =0, x (л) = sh л.
ft 1.75. j (x2 + 4r2) dt-+ extr;
о
x (0) = x (0) = 0, x (л) = sh л.
11.76.	J (x2 + 4т2) dt-+ extr;
о
x (0) =x$)=x (л) = 0, т(л) = зЬл.
11.77.	f (z2 — t2) c^-> extr,
о
T
11.78.	J (t2 — x2) dt -> extr.
о
11.79.	J (x2 — x2) dt -> extr;
о
11.80.	J (x2 — x2) dt -> extr; x (0) = 1.
о
11.81.	j (г2 — x2) dt -> extr; x (0) = 1.
о
11.82.	J (xl — x2) dt -> extr; ж(л) = 1.
о
11.83.	j* (x2—л:2) di-> extr; а;(л)—1.
о
211
Л/2
11.84.	J (х2 — z2) dt -> extr; .г(0) = 0,
о
Л/2
11.85.	J (х2 — х2) dt->extr; .г(0) — О, = 1,
о
л
11.86.	J (х2—х2} dt -> extr; rr(O)=O, а;(л) = 1.
о
11.87.	J (х2 — х2) dt -> extr; .г (0) = О, гг(л) = 1.
о
11.88.	J (х2 — х2) dt -> extr; х (0) = х (л) = О, х (0) = 1.
о
11.89.	J (х2 — х2) dt~+- extr;
о
х (0) = х (л) = 0, х (л) = 1.
11.90.	J (х2 — х2) dt extr; х(0) = 1, z(0) = .г (л) = 0.
о
11.91.	J (х2 — х2) di-> extr; z(0) = .г (л) = 0, .г (л) = 1.
о
Л/2
11.92. J (х2 — х2) dt -> extr;
о
Л/2
11.93.	J (х2 — х2} dt -> extr;
о
4т)=i. *(0)=;(0)==4т)=°-
il.94.	} (z2 — х2) dt-* extr;
О
x (0) •= x (л) = 0, х (0) = 1, х (л) = — 1.
212
1
11.95.	J (x2 + z2) (ft-> extr;
0
я(0) = 0, z(l) = shl, i(l) =chl.
i
11.96.	j* (x2 + x2) (ft-> extr;
о
z(O) = -shl, J(O) = chl, z(l) = O.
i
11.97.	J (x2 + x2) dt -> extr;
о
z(0) = J(0) = 0, i(l) = shl.
i
11.98.	f {x2 + x2) dt -> extr;
о
x (0) = sh 1, x (1) = x (1) = 0.
JT/2
11.99.	j* (x2 — x2} dt -> extr;
о
x (0) = 0, xfy = 1 + £,	1.
л/2
11.100.	J (x2 — x2) (ft-> extr;
о
z(0) = i(0) = 0,	=
Л/2
11.101.	J (x2 — x2} dt -> extr;
о
x(O) = i(0) =	= о, = 1.
4
11.102.	j x dt -> extr; ]x |	2, x (0) = x (4) = 0.
о
4
11.103.	f xdtextr; |x|<2, <r{0) = z(4) = z(4) = 0.
b
213
a
11.104.	\ xdt-	-> extr;
	0 | x [ 2, x (0) = x (0) — x (4) = x (4) — 0.	
11.105.	i J xdt -	i -> extr; f x2dt =1, x (0) = x (1) = 0.
11.106.	0 i xdt -	0 i -> extr; J x2dt — 1,
11.107.	0 z(0) = i \ x dt-	0 2(0) = 2(1) = 0. i -> extr; J x^dt = 1,
	0 #(0) =	0 i(0)=2(l)= 2(1)= 0.
11.108.	i J x2dt-	1 -> extr; §xdt=l, x(0)~0.
11.109.	0 i j* x2dt -	0 i -> extr; j x dt — 1, x (1) = x (0) = 0.
11.110.	0 i J x2dt-	0 i ->extr; J xdt = 1,
11.111.	0 я:(0) = i J x2dt-	0 2(0) = i(l) = 0. 1 ->extr; Jxdt = 1,
	0 x (0) =	0 2(0) = 2(1) = 2(1) = 0.
11.112.	i J x2dt -	1 > extr; J x2dt =1, 2 (0) = 2 (0) = 0.
11.113.	0 x2dt -	0 1 >extr; f x2dt — 1,
	0 2(0) =	0 2(0) = 2(1) = 2(1) = 0.
11.114.	1 J x2dt -	1 1 1 >extr; ^x^dt — i, j*2 dt — J txdt —
	0	*0	0	0
214
1 11.115. J. 0	1 1 x2di->extr; J x2dt — 1, 0	0 ♦ •
X	(0)-х(1), ^(0) = ^(l). T
11.116. T	-> extr; J x2dt = 4, 0
X	(0) = 0, i(O)=l, i(7) = -l. T
11.117. T	-> extr; J x2dt =1, x (0) = x (0) = 0, x (T) — 1, n
	и T
11.118. Т	->extr; \x2dt~i, 0
х\	'0)= i(0) = x(T) = 0, x(T) — 1. T
11.119. Т	-> extr; J x2dt = 4, 0
X 1	(0) —i(0) = 0, x(T) = i, x(T) = 2.
11.120. х	J (1) -> extr; J x2dt — 4, x (0) = x (0) = x (1) = 0. 0
11.121. х	i (1) -> extr; x-dt — 12, x (0) = x (0) = x (1) = 0. b
1 11.122.	[ 0 1 11.123.	J 0 1 11.124.	J п	x2dt-+ extr; x (0) = x (0) = x (0) = 0, x (1) = 1, x-dt -> extr; x (0) = x (0) = x (0), x (1) = 1. x2dt -> extr;
и X 1	(0) = x (0) = x (0) = 0, x (1) = 1.
11.125. f л	x-dt -> extr;
и X	(0) = i(0) - i’(0) = j(l) = 0, z(l) = 1.
215
1
11,126.	J x'-dt -> extr;
о
x (0) = x (0) = x (0) — x (1) = x (1) = 0, x (1) = 1.
11,127.	J?di->extr;
0
x (0) = x (0) = x (0) — x (1) — x (1) = 0, x (1) = 2.
11.128.	(P) Пусть H-) абсолютно непрерывна, Н-) е
eL2([0, 11) и НО) = 0; тогда имеет место точное нера-
венство
1 1
С х2 ,	1 С ,
j — dt — j Hai,
о	о
где X — минимальный корень уравнения 5''о(2УХ) = О,
S?о — функция Бесселя [19, с. 437].
11.129.	(Р) Пусть Н-) локально абсолютно непрерыв-
на, х(-) е Z2(R+) и НО) — 0; тогда имеет место точное
неравенство (неравенство Гильберта)
00	00
~ dt 4 §x2dt
о	о
[19, с. 212].'
11.130.	Пусть Н-) абсолютно непрерывна, Н-)<=
I/2([0, И) и НО) = 0. Тогда имеет место точное нера-
венство
1 1
(7 х \2 Г .
I ГоГ dt-^. | x2dt
о	о
[19, С. 437].
11.131.	Пусть Н-) абсолютно непрерывна на [0, 1],
H-)^Z2([0, П) и НО) = 0. Тогда имеют место следую-
щие точные неравенства ([19, с. 438]):
1 1
а)	J £ (2 — *) У J
о	о
б)	J	dt^§ x2dt,
Q	О
216
11.132.	Пусть #(•) абсолютно непрерывна на [О, И,
х( )е£2([0,11) и .г(О) = НО = 0. Тогда имеет место точ-
ное неравенство
1
dt 4- f x2dt.
& tJ
о
11.133.	(Р) Пусть х(-) локально абсолютно непрерыв-
на, x(')eLp(R+), р>1, и я(0) = 0; тогда имеет место
неравенство (неравенство Харди)
ОО	00
С * рр V С1 • iP^
I -т- dt	——г- | \х dt.
о	о
г
11.134.	(Р) J (1 + е | х i) dt -> inf;	1, z(0) = x0,
о
#(0) = v0, x (T) = x(T) — 0 (e>0). (При e = 0 получа-
ется классическая задача о быстродействии. Величина
т
е J | ж] dt характеризует расход топлива на поездку. Функ-
о
ционал здесь таков, что мы вынуждены одновременно
экономить время и топливо.)
т
11.135.	(Р) J(1 4- e/(i))t/i->inf; |i|<l, х(О) = хо,
О
2(0) ~ v0, x(T) = x(T)~0 (e>0);	/ — четная выпук-
лая функция.
2m+l	2m+l	2m+i	2m+ 1
11.136.	У Zj->inf; У хг = 2 £г = О, У Хг—i.
г=1	i=l	г=1	г~1
11.137.	Сто положительных чисел х{, ..., xi00 удовлет-
воряют условиям £?+...+	> Ю ООО, xt + ... +
4" ^юо < 300. Доказать, что среди них найдутся три
числа, сумма которых больше 100.
11.138.	Среди неотрицательных тригонометрических
полиномов вида x(t) = 1 + 2pj cos t + ... + 2pn cos nt найти
полином с наибольшим коэффициентом р(.
11.139.	Пусть ж(-)—невозрастающая функция на полу-
прямой; тогда для любого а > 0 справедливо неравенство
217
Гаусса
00	00
| х dt -— f t2x (i) dt.
J	Qa J
a	0
11.140.	Пусть ж(-) принадлежит L2(R+), а ее произ-
водная абсолютно непрерывна и х(-) s L2(R+); тогда
oo	/ оо	\ 1/2 / оо	\ 1/2
J x2dt 21 J x2dt j I J x2dt j
о	\о	/	\о	/
(неравенство Харди — Литтльвуда — Полна).
11.141.	z(O)->sup; ](а:2(0 + (а:(П)(0)2)^<1.
о
1
11.142.	J \ и\р dt-+ inf; х + их — 0, ж(0) = z(l) = О,
о
я(0) = 1 (р>1).
1
11.143.	j|ujdf->inf;
о
х + их = 0, .г(О) = я(1) = 0, x{Q} — 1.
§ 12.	РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
12.1.	Некоторые теоремы анализа и алгебры.
12.1.1.	Основная теорема алгебры.
Т е о р е м а. Каждый полином с комплексными коэф-
фициентами степени, не меньшей единицы, имеет комп-
лексный корень.
<	Пусть p(z) = а0 + a,z +...+ anzn — полипом степени
п > 1, у которого ап 0. Рассмотрим элементарную задачу
/(z) = |p(z)|2-> inf; z S с,	(з)
где С — множество комплексных чисел.
Лемм а. Решение задачи существует.
<	< В силу неравенства треугольника для модулей
имеем
/(г) = 1РЙ
= | а’|| г2” |(1 + 0(1/1 z|))-*-1 оо
218
при z -> +оо. Остается лишь сослаться на следствие из
.теоремы Вейерштрасса. >>
Пусть z — решение задачи з. Не ограничивая общно-
сти, можно считать, что z = 0 (иначе мы рассмотрели бы
полином g(z) = p(z —z)). Тогда
/(0)</(z) = | a0 + axz + ... + anzn |2 VzgC.
Если «о = 0, то точка z = 0 была бы корнем полинома
и все было бы доказано. Пусть ай =£ 0 и s — тот номер,
для которого =.. .= as-i = 0, as ¥* 0. Зафиксируем £ =
— егв и рассмотрим задачу
cp(i) = /(££) -> inf.
Из наших допущений следует, что 0 е abs min ср. При
атом _
<	₽<>) = -4<р = 4(«. + «.*** + 0(О)х
at t=o dt
x(Jo + iAT,,e + <эр’+1))= о, *=1........s-1, (1)
<	р'(0) = 2 (si) Re (a„ase“) = 2 (si) |a0| | a, | cos (s0 + ?). (Г)
Применим к задаче необходимое условие минимума
(и. 2.6.1). Согласно ему s должно быть четным и при
этом ф<а)(0) > 0. Из выражения (Iх) видно, что £ всегда
можно выбрать так, чтобы ф(а)(0) <0. Значит, 0^
£= loc min <р и, значит, а0 должно быть нулем. >
12.1.2.	Критерий Сильвестра. При формулировке ус-
ловий высших порядков приходится определять, является
второй дифференциал функционала положительно опре-
деленной квадратичной формой или нет (п. 2.5.2). В ко-
нечномерном случае критерий положительной определен-
ности дается известной теоремой Сильвестра. Покажем,
что эта теорема является простым следствием теоремы
Ферма для многомерных задач без ограничений.
Напомним, что симметричная матрица А =
называется положительно определенной, если квадратич-
m
ная форма Q (х)={Ах, х) = 2 аг1хгх3 положительна для
любого ненулевого вектора х е Rm. При этом пишут
А > 0. Определители det ДА, где Ah = (a„)iiJ=1, к = 1, ...
..., m, называются главными минорами матрицы А. Квад-
ратичную форму <Ahx, х~> (х е IV) обозначим Qh(x)
(Q = Qm),
219
Теорема Сильвестра. Матрица А положительно
определена тогда и только тогда, когда ее главные миноры
положительны.
Для матриц первого порядка утверждение теоремы
очевидно. Пусть оно доказано для матриц порядка п — 1
(п > 2). Докажем его для матриц порядка п.
Лемма. Пусть det > 0, k = 1, .... п — 1. Тогда
Лп>0 тогда и только тогда, когда detXn>0.
«1 1. Рассмотрим экстремальную задачу
Q^yt, • • •» Уп—ii 1)
= /(^) = <Ап-1У, у) + 2<ап, у) + апп -> inf, (з)
= уп-А eR”-1,
где ап = («щ, ..«пп-1). Это — гладкая задача без огра-
ничений.
Решение у задачи з существует. Действительно, по
предположению индукции An-i > 0. Вследствие того, что
определитель непрерывно зависит от элементов матрицы,
при малых е > 0 матрица Лп_1 — e/n-i (где In-i — единич-
ная (п—1)-мерная матрица) будет также положительно
определенной п, значит,
<(ЛП_! - eZn-Jy, у> > 0 уу s R"-1 =>- {An-iy, у) > еЛу\\
Отсюда в силу неравенства Коши — Буняковского f(y) >
> е!т/12 — 2|ая11^| — \апп| -> +<» при |у| -> +<», т. е. мож-
но применять следствие из теоремы Вейерштрасса.
2.	Необходимое условие — теорема Ферма — приводит
к равенствам /'(у) = 0 -*=> Ап-^ + ап = 0.
3.	В силу единственности стационарной точки у ~
= — AnIjCtnGabs min з, откуда значение задачи
*S*3 = / (у) = (ап, уУ + апп ~ аПп	(а-п, Ап—1апУ>
Разложим определитель матрицы Ап по последнему
столбцу:
п-1
det Ап = йдп det An—i 4" 2i a-m^i
i=i
и,	далее, каждый определитель Д,, i = 1, ..., п — 1,— по
последней строке. Тогда
п—1
det Ап = апп det Лп_х + 2
1,2=1
220
Если теперь воспользоваться определением обратной мат-
рицы к An-h то приходим к формуле
det Ап = det Ап_х (апп + <an, A~Lxan}).
Значит, доказано, что S3 = det ^4„/det An-lt
Таким образом, если Ап > 0, то
О < Qn(yh ..., yn-i, 1) = f(yh
., z/„-i) = S3 => det An > 0.
Если же det.4n>0, то для вектора х = (жь ...
..., л?п_!, 0) ¥= 0 получается неравенство Qn(x) > 0 по
предположению индукции. Для вектора х — (xh ..., хп),
хп Ф 0, обозначим у = kxjxn, ..., xn-i/xn) и получим
Qn (х) = Xnf (г/) > Xnf (у) = Хп det Л^/det Ап^ > 0,
а это означает положительную определенность А. >>
Теперь критерий Сильвестра выводится очень просто.
Пусть Ап > 0. Тогда очевидно, что An-i > 0 и, значит,
по предположению индукции detAh>0, к = 1, п— 1,
откуда по лемме следует, что det Ап > 0. Если же det Ак >
> 0, к — 1, ..., п, то из леммы сразу вытекает, что
Л„>0. >
12.1.3. Расстояние от точки до подпространства.
Теорема. Пусть X — гильбертово пространство,
х°, ..xk — линейно независимые элементы из X. Тогда
расстояние р от точки х° до подпространства, натянутого
на х1,..., х\ выражается формулой
р = (det(<^,^5>)t;=0/det(<a;i,a;?>)?ij=1)1/2.
< Рассмотрим экстремальную задачу
/«)=
h
х° + 2
г=1
-* inf, £ = (£,.........?>)	sR‘.
(з)
Это — гладкая п выпуклая задача. Имеем
Л£) =	£> + 2<аА, V + Ь,
где
А = (<Л	ak —, <а°, />),
b = <л°, x0)t
Заметим теперь, что в точности эту самую задачу мы
решали в п. 12 1 2. Там было показано, что S3 ~
= det 24fe+1/det Ak, где ЛА+1 — (<г?, х,'>У^0. Остается
лишь учесть, что S3 = р2. >
221
Замечания. 1. Определители detAk и detЛЛ+1 на-
зываются определителями Грама.
2. В § 2 были рассмотрены частные случаи этой тео-
ремы, когда были найдены расстояния до прямой и ih-
перплоскости.
12.1.4. Приведение квадратичной формы к главным
осям. Пусть А = (а„)" J==1 ~~ симметричная матрица
п
(atj — aJt) и Q(x) = {Ах, х) = 2 а,ихгх3—- квадратичная
t,j=i
форма, соответствующая матрице А.
Теорема. В пространстве R” существует ортонор-
мированный базис fh ..., fn, в котором форма Q допуска-
ет представление
п
<?(*) = 2 м <*,/.>’.
1=1
В базисе {/г}г=1 матрица формы Q диагональна. На-
правления вдоль векторов называются главными ося-
ми формы Q, а переход к базису / — приведением формы
к главным осям.
Подробное доказательство этой теоремы и ее обобще-
ний средствами теории экстремальных задач см. в 113,
с. 274-2773.
12.2.	Некоторые неравенства.
12.2.1.	Неравенство Вейля.
Теорема. Пусть I — это прямая R или полупрямая
R+, функция х<Л) локально абсолютно непрерывна, при-
чем xlt) и t'X^t) принадлежат £г(7). Тогда имеет место
неравенство
(1)
где tf(R) = 4, tf(R+ ) = 2; неравенство точное и достига-
ется для x(t) = 2?ехр (—/П2), А>0 (см. [19, с. 199]).
Неравенство (1) для Z = R выражает принцип неопре-
деленности в квантовой механике. Докажем (1) для 7 =
= R+. Случай 7 = R аналогичен.
<1 1, Рассмотрим экстремальную задачу
00	00
f x’dt -> inf; j (t2 — 1) x-dt = 1	(з)
о	о
222
и применим к ней принцип Лагранжа (хотя для беско-
нечного отрезка он в этой книге не обоснован). Функция
Лагранжа:
^ = J(V2 + Xi (^-l)^2) dt.
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера: —	+ X4(i2 — 1)х = 0;
б)	трансверсальность: х(0) = 0.
3.	Если Ц — 0, то х 0, что противоречит изопери-
метрическому условию. Значит, уравнение Эйлера сво-
дится к следующему: х + М1 — £2)# = 0. Непосредственно
можно убедиться, что функция ср(£) = ехр (—^/2) удовлет-
воряет этому уравнению с = 1 и условию трансверсаль-
ности в нуле, причем <р(0=/=0 V£eR+.
4.	Семейство функций «г (£, X) = Xcp(i) образует поле
экстремалей, удовлетворяющее условию трансверсально-
сти и покрывающее полуплоскость t > 0.
Выпишем равенство, соответствующее основной фор-
муле Вейерштрасса (п. 10.3.1):
J (я2 — (1 — i2) х2) dt =
*= f(i + txYdf^O. (2)
Y \4 /	J
Справедливость его нетрудно получить непосредственно,
интегрируя по частям.
Из (2) следует, что численное значение задачи равно
единице и что решение ее доставляет функция x(t) =
= С exp (—i2/2), где С выбрано из изопериметрического
условия
C2J(1 — i2) e~t2dt~i.
Подставив теперь в (2) вместо x(t) функцию у(£/и), по-
лучаем
j* у2 (т) dx — а\ f у- (т) dx + л4 ( т2у (т) с?т 0 V а > 0.
223
Применив условие неотрицательности квадратного трех-
члена, приходим к (1). >
12.2.2.	Обобщенное неравенство Вейля*).
Теорема. Пусть р > 1, s > О, функция х(,Т) локаль-
но абсолютно непрерывна на R+, причем функции x(t)
и is/p~1x(t) принадлежат LP(R+). Тогда имеет место не-
равенство
Ир + Ир' = 1.
Неравенство точное и достигается для x(t") —
= 2?ехр\— Atp~l ] (см. [19, с. 199], где (1) доказано
для х > 0).
<1 1. Рассмотрим экстремальную задачу
ОО
J х |р — аТ~11 х |р + btv's | х |р) dt -> inf. (з)
о
Это — задача Больца, правда, на бесконечном интервале.
Применим к ней принцип Лагранжа (хотя ранее задачи
Больца на бесконечном интервале мы не рассматривали).
2.	Необходимые условия:
а)	уравнение Эйлера:
— It О х l₽-1 sign — ^i8-11 х |р-1 sign х 4-
+ &ip 81 х |р-1 sign х = 0;
б)	трансверсальность: х(0) = 0.
3.	Ищем решение уравнений п. 2 в виде q>(i) —
= exp (—£&). Функция ф удовлетворяет условию трансвер-
сальности при (J > 1. Если подставить функцию ф в урав-
нение Эйлера, то получится, что оно удовлетворяется при
₽ =	(Р>1), « =	^(р-1)Г
4.	Семейство функций x{t, к) = k(p(t) образует поле
экстремалей, удовлетворяющее условию трансверсально-
сти и покрывающее полуплоскость t > 0. Выпишем ра-
венство, соответствующее основной формуле Вейерштрас-
*) Этот пункт написан А В. Брухтием.
224
са (функция наклона поля u(t, х) = ф(£).г/ф(£) — ~^~1х):
00
(ф’-’Г1- (Р-1)
О
оо
== J (Ыр — \u(t,x) |р —
о
— р (х — и (i, х)} \ и (i, х) |р-1 sign и (£, я)) dt. (2)
Это равенство также можно проверить непосредственно.
В силу выпуклости функции £ -> I £!р при р > 1 вы-
ражение 1х1р — |м|й — р(х — u)fulp~l sign и неотрицатель-
но, откуда и из (2) следует неравенство
J (I х |р - (ф”-1!'-1 - (р- 1)PV'S)( х|р) <Й> О
о
(₽ = i + p-4i)-	о)
Подставив в (3) вместо x{t) функцию z/(i/a), получаем
j* | у dx—z$pp-1 J г8"11 у ]p dx +
о	о
+ zp'|3p (/> — 1) J rsp'\ z/|p dr > 0 yz>0,	(4)
0
где z === ap+e-1.
Для завершения доказательства нужно доказать сле-
дующую лемму.
Лемма. Пусть А, В и С — положительные числа,
р' > 1. Тогда, если для любого z > О выражение f(z) =
= Azp’ — Bz + С неотрицательно, то
В<р' ’р1 ’’’А1 ’•'с1 ” = В =
1/р + 1/р' = 1.
1.	Рассмотрим экстремальную задачу
/(z) = Azp' — Bz + С -*• inf, z > 0.	(з')
Решение z этой задачи существует по следствию из тео-
ремы Вейерштрасса, ибо lim/(z)=oo. Ясно, что z¥=0
Z-»oo
(ибо /z(0) < 0).
?25
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: /'(z) = 0.
3.	Стадионарная точка z единственна:/'(z ) —0 <=>
- (в V/(P'-1)
Z = -7-Т
Vp л/	•
4.	В силу единственности стационарной точки z е=
е abs min в' и, следовательно (так как /(z) > 0 по ус-
ловию),
( в \р (в \i/(p'-D	х
0</(г) = А(^) -в(£)	+С=>в<в. >t>
Применение лемщы к (4) с
ОО
А = ₽”(р - 1) J гр'!|у 1”dr,
о
оо
В — «Р₽-1 J т®-11 у \р dxt
о
немедленно приводит к (1). >
ОО
С = j*| у |р dx
о
12.3.	Неравенства для производных.
12.3.1.	Неравенство Бернштейна. Для любого триго-
нометрического полинома #(•) степени п имеет место не-
равенство
8 я ||с([-л,л])	М х 11с(1-л,л])’
Неравенство точное и достигается на функциях
A sin (nt + у).
Доказательство этого неравенства средствами теории
экстремальных задач см. в [18, с. 109].
12.3.2.	Неравенство А. А. Маркова. Для алгебраиче-
ского полинома х(-) степени п имеет место неравенство
I я|о(1-1, U) < IIх 11с(Е-1,1])-
Неравенство точное и достигается на полиноме Чебышева
A cos (п arccos t).
Доказательство неравенства средствами теории экстре-
мальных задач см. в [18, с. 109].
12.3.3.	Одно неравенство для производных на полу-
прямой.
Теорема. Пусть Z = R или 1 = R+, функция х(-)
принадлежит L2(I), ее первая производная х( ) локаль-
но абсолютно непрерывна на 1 и вторая производная
х( ) принадлежит Z-W(Z). Тогда имеет место точное
226
неравенство
||1>. (1)
Далее будет описана экстремальная функция в нера-
венстве (1) (т. е. функция, на которой это неравенство
обращается в равенство), когда Z = R+. Случай Z = R
доказывается аналогично.
< 1. Рассмотрим экстремальную задачу
inf;
хг = и,
|п|<1, ^(0)=!.
(3)
^1 = #2,
Это — задача оптимального управления и одновременно
задача выпуклого программирования. Используя ограни-
ченность вторых производных и слабую полунеПрерыв-
ность снизу функционала, нетрудно доказать, что реше-
ние я?(-) задачи (з) существует. В силу строгой выпукло-
сти функционала оно единственно. Функция Лагранжа
задачи (з) имеет вид
ОО
Р И	•	« X
& J и + Р1 ~~	dt +	(°)
0
2.	Необходимые условия:
а) система уравнений Эйлера:
-Pi + Kxi = 0, ~pz =
б)	трансверсальность по х’. рДО) —	р2(0) = 0;
в)	оптимальность по u: sup р2и = p2u{t).
|и|<1
Замечание. Вследствие того, что задача рассмат-
ривается на бесконечном интервале, требуется обоснова-
ние выписанных соотношений. Это нетрудно осуществить
предельным переходом, рассматривая ограничение задачи
на конечный интервал (0, Т] и затем переходя к пределу
при Т -> +оо. При этом оказывается, что р2еД(В+).
3.	Если Ао = 0, то из а) и б) следует, что p2(i) = —
и поскольку ¥= 0, то либо w(f)sl, либо u($) =—1.
По ни то, ни другое невозможно, так как xt е L2(R+).
В итоге соотношения из п. 2 сводятся к следующему (если
р2 обозначить через р и положить Ао = 1):
р = -х,	£ = sign^ р(0)=0,	ж(0) = 1.	(2)
227
Следствием (2) является интеграл
хр — |р| + ^ = 0 у/еК;.	(3)
Действительно, если продифференцировать левую часть
(3) с учетом (2), то получится нуль, т. е. правая часть —
константа. Но из соотношений ^еЛ2(К+),
• • • •
р s Li(R+), p^L2(R+) следует, что хр s Lj(R+), поэтому
слева — суммируемая на R+ функция и, значит, констан-
та справа может быть только н^лем.
4.	В силу того, что в задаче выпуклого программиро-
вания необходимые условия минимума с Хо 0 являются
и достаточными, любое решение уравнений (2) приводит
к решению задачи (з), а из единственности этого реше-
ния следует и единственность решения системы (2).
Пусть т > 0 — такая точка, что р(т) = 0, я(т) 0.
* Тогда непосредственно убеждаемся, что функции
(x{x)Yxx[V|я(т)| £ + т),
(х (т))-2 sign х (т) р (]Л| х (т) 1t + т)
удовлетворяют (2). Значит, имеют место равенства
х (0 = (х (т))~х	t + т),
_____	(4)
p(i) = (z(T))~2signz(T)£[j/[z(T)|£ + т).
Из соотношений (2) —(4) нетрудно вывести, что суще-
ствует такая точка что p(t) > 0,	(0, tJ, p(rt) = 0,
arCrJ < 0, p(Ti) < 0. Отсюда и из (2) —(4) следует, что
r(i) == —p2^(pU — Ti)) и на [0, rj x(.f) =—t2/2 — at + 1,
где p = ((a — 2)/(a2 + 2))1/2, Ti = a(l + p) и aедин-
ственный корень уравнения
ti
p2 (^) - p a) +1 - j (i + p (£))2 + v (i + p (^)=2L
па (72, 2),
Таким образом, экстремальная функция х(-) такова,
что ее вторая производная х принимает значение (—1)А
228
на интервале (rft, Tft+i), к = О, 1, ..., т0 = О, rk—
А-1
= Ti S Р"8» x(t)==O при	тй.
8=0	А -> оо
Простая проверка показывает, что паилучшая кон-
станта в (1) имеет вид
Задача (з) для случая I = R без привлечения методов
теории экстремальных задач была решена В. Н. Габу-
птипым. На полупрямой (с использованием конструк-
ций теории экстремальных задач) эта задача была ре-
шена Г. Г. Магарил-Ильяевым.
12.4.	Геометрические неравенства.
12.4.1.	Неравенство Адамара. Пусть X =	—
произвольная квадратная матрица порядка п. Тогда име-
ет место неравенство
п / п	\
•	(detX)a<II 2(4)Г.	(1)
1=1 \1=1	/
Доказательство, основанное на теории экстремальных
задач, см. в [13, с. 444].
12.4.2.	Задача о центре тяжести.
Теорема. Через любую точку, лежащую внутри
выпуклого тела, расположенного в конечномерном про-
странстве, можно провести гиперплоскость так, чтобы эта
точка оказалась центром тяжести сечения.
<	Докажем теорему для выпуклого ограниченного
тела в Rn+1 с гладкой границей. Общий случай легко сво-
дится к атому. Обозначим рассматриваемое тело через А.
Не ограничивая общности, можно считать, что заданная
точка, принадлежащая intA, является нулем простран-
ства Rn+1. Введем обозначения: S” — единичная сфера
пространства Rn+1; со е S”;
Г(со) = {,r е R’,+11 <z, со> = 0)
—	гиперплоскость, проходящая через нуль и ортогональ-
ная со;
П(со) = {х е Rn+1| {х, со> > 0)
—	полупространство, ограниченное гиперплоскостью Г(со)
и содержащее вектор со; F(co) — объем тела А Г) П(со).
Рассмотрим экстремальную задачу
Г(со) -> inf,	со е S”.	(з)
Функция V непрерывна, S" — компакт, и, значит, суще-
229
ствование решения следует из теоремы Вейерштрасса,
Пусть со — решение (з), Г(ы) — экстремальная гиперпло-
скость и elf ..еп — базис в этой гиперплоскости. Обоз-
начим через Д подпространство, натянутое на векторы
еъ ..£1+1, ..еп. Сечение S” подпространством
Lj~ — это окружность, которую обозначим Ог. Она содер-
жит вектор со. Выберем в качестве параметра на Ot
угол (р, отсчитываемый в обе стороны от вектора со. Пусть
<х>г(ф) — это вектор из О{, образующий угол ф с со, —л <
ф Л, И /?г(ф) = Е((Ог(ф)).
Рассмотрим экстремальную задачу:
1. рг(ф) inf;	—л	ф л.
(з,)
Вследствие гладкости границы тела А функция рг будет
гладкой.
2.	Необходимое условие минимума — теорема Ферма:
рг(0) = 0.Вычислим, чему равна величина рг(Р). Подпро-
странство Lt делит гиперплоскость Г(ы) на две части.
При повороте гиперплоскости на угол dtp объем пересе-
чения А П П(сог(с?ср)), примыкающий к одной из частей,
увеличится, а к другой — уменьшится. Пусть dxi Л ...
... Д dxn — элемент «-мерного объема в Г(о), сосредо-
точенного около точки х = (^i, ..., хп). При повороте на
угол с?ф этот элемент — (н + 1)-мерный объем, равный
|z,| dx dtp. При этом в одном из полупространств' нужно
взять знак плюс, а в другом — минус. Суммируя эти
величины, приходим к соотношению
Pl (dcp) — рг (0) 4- [ J хг dX]_ Л • • • Л d(p + о (dtp),
\г(ш)ПА	/
3,	4. Таким образом,
со G= abs min з => J хг dxr /\ ... Д dxn =0, i = 1, ..., п,
Г(ш)а
т. е. 0 — это центр тяжести Г(со) Г)
Замечания. 1. Если А — конус, то можно дока-
зать, что сечение, описанное в теореме, единственно. Зна-
чит, в случае конуса мы приходим к неравенству
• р(л П П(а))>Г(4 п n(S)) yaeS",
где со — тот вектор из S”, при котором заданная точка
есть центр тяжести.
230
2. В § 2 были рассмотрены частные случаи этой тео-
ремы, когда А — угол на плоскости и трехгранпый угол
в R3.
12.4.3.	Неравенство Юнга.
Теорема. Для любого ограниченного замкнутого
множества А, расположенного в Rn, имеет место следую-
щее неравенство между диаметром 0(A) множества А и
радиусом R(A) описанного шара'.
0(Л)>У2-И±^Л(Л).
Доказательство, основанное на теории экстремальных
задач, см. в [13, с. 431].
12.5. Полиномы наилучшего приближения. В первых
трех разделах этого пункта речь идет о полиномах, наи-
менее уклоняющихся от нуля. Через Tnq обозначим по-
лином степени п со старшим коэффициентом, равным еди-
нице, наименее уклоняющийся в метрике Lg([—1, U),
т. е. решение следующей задачи:
п
«” + 2
Й = 1
-> inf.
Ьд([-1,И)
12.5.1.	Полиномы Лежандра.
Теорема. Имеет место следующее равенство:
2п (nl)2P„ (t)
Т —	п
(2и)!
— n! (d]n(^ _
(2n)| \dtj v 4
где Рп(-) — полином Лежандра.
Решение задачи, основанное на теории экстремальных
задач, см. в [18, с. 93].
12.5.2.	Полиномы Чебышева.
Теорема. Имеет место следующее равенство:
Tneo(t) = 2-(n-1) cos (п arccos t).
Полином Tnx(t) называется полиномом Чебышева.
Этот результат немедленно следует из теоремы об аль-
тернативе — п. 12.5.4.
12.5.3.	Полином Чебышева второго рода.
Теорема. Имеет место следующее равенство:
f.\ _ ^n+ioo (0 _ sin ((м + 1) arccos t)
П1()~ "+1
23]
Полиномы Tni называют полиномами Чебышева вто-
рого рода. Решение задачи, основанное на теории экстре-
мальных задач, см. в [18, с. 96].
12.5.4.	Теорема об альтернансе. Для того чтобы поли-
ном р(*) степени п — 1 наименее уклонялся от непрерыв-
ной функции z(-) в метрике пространства 67([#0, £j), не-
обходимо и достаточно, чтобы нашлось s > п + 1 точек,
в которых а?( ) — р( ) принимает, чередуясь, свои макси-
мальное и минимальное значения.
Напомним, что полином наименьшего уклонения в
C(Li0, £j) определяется соотношением
•) - Р ( ' ) ЬфсМ) = jrf, 1* () - Р (•)
< Необходимость. 1. Рассмотрим задачу
f(x)= max f(t,x) = \\x(-)--p(-)\\ =
/сРо *1]
= max
x(t)+ 3
fe=l
inf.
Функция /(•) — выпуклая, непрерывная и растет на бес-
конечности. Значит, по следствию из теоремы Вейерштрас-
са решение х задачи существует.
2.	Необходимое (и достаточное) условие: Оед/Ы.
3.	Применяем теорему об очистке. Согласно этой тео-
реме, если 0 s дДх), то найдется $ С п + 1 точек £0 ь <
< т2 <• • •< тв < ti, s чисел ..., Xs и s векторов уг е
д*/(т„ х) таких, что /(т,, х) = М-) — р{ )Н и
8	3
2 М = 1, 2 Му. - о.	(1)
г=1	г=1
Вследствие того, что /(т„ х) =/= 0, субдифференциал
совпадает с производной. Дифференцируя Дт,, х) по х
в точке х, получаем
Уг = sign (а; (тг)р (тг)) (1, тг, . . ., тгп-1)-	(2)
Из (1) и (2) вытекает, что система
2 М sign (х (тг) — р (тг)) т? = 0, к — 0,1, ..., п — 1,
г=1
(3)
имеет нетривиальное решение и, значит, 8 = п + 1. Рас-
г=1
если контур Г охватывает
n+i
смотрим полином П (i) = IJ (; — тг). Применяя теорию
вычетов, получаем, что
Ио, Jj, то
г
*+i f3
= 2я‘ Д Нчг
откуда немедленно следует, что X, sign (я(тг) — р(тг)) ==
= аП'(т,). Из последней формулы видно, что знаки
х(тг) — р(т{) либо совпадают, либо противоположны зна-
кам П'(т<), которые чередуются. Итак, нашлось п + 1 то-
чек Ti <.. .< тп+1, для которых Iя(т,) — р(тг) I =
= Ib(-) — р(-)И и знаки я(тг) — р(тг) чередуются.
Достаточность. Пусть в точках £0 С Ti < т2 <...
... < т„ С ii, s > п + 1, функция х( ) — /?(•) принимает,
чередуясь, максимальное и минимальное значения. Если
допустить, что для некоторого р(-)
Ь (•)-?(•) Ис([4оЛх]) < Ь (•)-?(•) lc([Wl])-
то окажется, что величины р(тг) — р(тг) являются попе-
ременно то отрицательными, то положительными. Но тогда
• •
по теореме Ролля производная р — р должна иметь не
менее п нулей. Этого, однако, не может быть, поскольку
• •
р — р — полином степени не менее п — 1; Получили про-
тиворечие, из которого следует требуемое. >
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
К введению
1. X = R, / (ж) = sin х. 2. X = R, / (ж) = 1/(1 + ж2). 3. X =
— R, / (ж) = arctg х. 4. X — R, / (я) = (arctg ^)3. 5. X—R,f(x) =
— arctg х-sin х. 6. X = R2, / (x) = x% — x% 2e X1, 7. X — R2,
/ (Xl’ x2) = sin x2~ Xr	/ (®1’ x2) = (*1 — x2) (X1 ~ 3xl)’
9. Нет. Рассмотреть функцию
/ (*) =
x2 ^2 + sin —j, x 7^=0,
0,	x = 0,
X = R.
12. X = R2, /0 (xr ^2) = V(l-^)2 +(2-z2)2^inf;
= 2x + 3x — 1 = 0. 13. X = R3, f (x , x , x ) =
X	*	V \	1	£> U /
-~V (Xl~£l)2+ (x2 -	+(X3 - ^з)2 inf’’ h (V x2’ Гз)^
= «1а:1+а2х2+азхз== b=Q 1 x~~£ I ->inf; <a> ^> = b.
14. X - R2, | Xх - x2 |2+ | x2 -x3 |2 + | ? -x3 |2-> inf; \x' |2 =
= 1, хг=(хг, хг \ 1=1, 2, 3.
\ A * /
15. X = R2, |x-VI + |x-E2|+l*-4’l-inf; 6'=(6*1>Й).
I '
1=1,2, 3 — заданные точки. 16. x (a—2x) (a~x) ->sup, 0^x^.a.
i / n	\2
17. X = Rn, J ^tn+ 2	rft->inf.
К упражнениям § 1
К и. 1.1. 1. Функция N задает норму при следующих значе-
ниях параметров: а) р > 1; б) и в) аца22 — а12а21 ¥= 0; г) ац > 0,
аиа22 ~ “12^ 0* 2- Эквивалентность норм следует из неравенства
IkH» С kl С V2 Ы оо. 4. Следует положить ||ж|| =inf{t > 0 |
x/t^B}. 7. Например, пространство непрерывных на отрезке
234
/ 1	\ 1/2
[О, 1] функций с нормой Цж (•)[[= I	—нормированное,
\о	/
но не
пым.
банахово. 9. Нет, ибо функционал не является ограничен-
/ I zi I lZ2 I \	/ / xi \2
10. а) |] х || = max  , г—-т- ; б) ]|ж|| = тах ~ ) +
+f-Y,
\а2/
оболочку
Х2
К
11. Надо взять, например, линейную
функций /1 (f) = sin 2л£,	/2(/) = cos 2л£. Тогда
К\(-)+V2<')h[oj])=l^z2i + 4 12- а> (И1Г+р212)1/2;
б) I I + I 1; в)( jz/x р+|z/2[4)Vg, Mp + Vq= 1; г) (ьпу?+
[Ь
+ 2&12^17/2 + &22,/2)1/2’ ГД6 В =
11 Ь12
^12 Й22
= А-1, А=
Й11 й12
Я12 Я22.
К п. 1.2. 1. f(x)=x, С == (—1, 1). 2. X = R, /(z) = arctgх.
(О, х <0,
4. / (х) = 1	5. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да. 6. Единичный
[1, х > 0.
шар в пространстве Z2 (и вообще — в любом бесконечномерном
пространстве).
7. Следует, например, вписать в единичный шар пространст-
ва Z2 бесконечное число В(хл, р), n > 1, непересекающихся шаров
фиксированного радиуса р и положить
1|«|| — И || «II > 1,
/(«) =
(1 — 1/n) (J ж — хп || - р), хе В(хп,р),
О в остальных случаях.
Тогда нижняя грань функционала / равняется — р, но не дости-
гается ни в какой точке.
9. X = С ([-1,1]), £=«(•)
sign t dt — О), х (/) = t.
10. Можно рассмотреть, например,
12. Рассмотреть в пространстве 12
функционал I (х, у) = х + у.
компактный эллипсоид А =
оо
и луч В = {х = {xh}k>l е h |
/i=i
xk = t/к, t > 0, к = 1, 2, ..
*’ . 1
К п. 1.4. 1. /: R -> R, / х) = х Sln~> х = 0. 2. /: R -> R, /(я) ==
2 *4 < 1
= |х|, х = 0. 3. /: R2->R в полярных координатах х = (xi, х2) =
— (rcos/p, rsmtp) определяется равенством /(х) — rcos3cp, % — 0.
П	(1 ж = X2, хп > 0, Л
4. /: R2-!!,/«=	1	2 2	?=(0,0).
1о в остальных случаях,
Iz2, х рационально,
0, х иррационально,
х~0.
235
1.1. /'(x) [x] = Ax, x = (xb ..xn).
1.2. Решение. Производную Фреше находим по опреде-
лению:
/(х х) — /(X) = А (£ + х) — Ах = Ах => /'(х) [ж] = Ах.
.	1.4. /' (х) [х] = 2 <х, х> =
1.3. f (х) [ж] = /х, А =
~ 2 2 хгхг> /' (я) [ж] — (а, х}.> 1.6. /' (х) [ж] = 2 <х, х).
1=1
1.7. Решение. Отображение f является суперпозицией ото-
бражений / = ф о g, g: Н ->R, g(x) = <х, х), ф: R->R, ф(/) = |7.
По теореме о суперпозиции при х #= О
/'(х) [ж] = ф'(0 [g'(x) [«]] = <£, х>/у/ = <£, «>/||х||, i = g(x).
1.8. f'(x )[«] = л/|| х|| —	х>/|| х||3. 1.9. f ('х) [х]~2(Ах^х}.
1 1
1.10.	/'(x(.))[x(.)]=Jx(/)y(Orft 1.11. /'(^(-))к(-)]=3у~x\t)x(t)dt.
о	о
1 1
1.12.	/'(*(•))	= dt	1.13. f (x(. ))[«(.)] =
о 0
/I	V I
X(t)x(t)dt. 1.14. f (x (•))[£(.)] =x(0).
= 6
1.15.	/' (•)) [^ (*)] = 2а: (1) а:(1).
1.16.	Решение. Производную Фреше находим по определе-
™°( ) +*()) - Ж )) = (-е(О) +г(0))(*(1) +г(1)) -
-*(0)х(4) »«(0)<(1) +s(l)i(0) +г(»),
г(х) = х(0)х(1) = о (||ж|| С([о, !]))=>
=*> Г (*(•)) !>(•)] = х(0)Х(1) + х(1)Х(0).
1.17*	£(0)=т*=0=>/'(*(•)) [*(•)] = я (0) sign х (0), х (0)=0 =>
=>/£D(x(.)). 1.18. /'(*(•)) [«(•)] =*(0) е*(0).
1.19.	f (7(.))[x(.)]=x(l)cosx(l).	1.20.	/'(*(•))[*(•)] =
1
=—х(-) sin х (•). 1.21. /' (х (•)) [я (•)] — J х (О signdt.
о
1.22.	f (^())[x(-)]^x(t)x(t)/Vr 1+х2(0.
|.23. /' (х(-)) [* (-)]=фх (*,£(*)W).
1
1.24.	/' («,(•)) [х (•)] ~ J ф' (х (0) х
о
236
1.25.	Решение. Отображение f является суперпозицией ото-
бражений f=kog, g: C([t0, ti])->R2, g(z(-)) = (ж(О), *(M),
к: R2->R, fc(T4, т2)=ф(Т1, т2). По теореме о суперпозиции
/'(*(•)) [*(•)]= к'(Х) [/(*(•)) [«(')]]» T = g(/(«)), Ж(т)[т] =
= Фт1(Ч)Т1+<Рт2(^2)Т2’ 8'	(•))[*(•)] =У(*о)’ ж(^1))=^/'^(-))Х
Х1Х(')] = Фх(/0) / (*о)’ Х (*1)) Х (*о) + Фх(^) (Х (*о)’ х С1)) Х (*1)’ 
*1
1.26.	(•)] = j* (Lx (/,?(/), 2(0) x(t) + L. (t, x (t),
*0
2(0) x (t)) dt. 1.27. « = 0. 1.28. / (x) = | хг |	| для некото-
рых i=#7. 1.29. {х = (х^х2,	••• *n=0}.
1.30.	Решение. Возьмем последовательность функций
(1,	t s [0, 1 —- 1/n],
М-)еС([0,1]>:	(s
Поскольку lla:n (•) ||C(r0 id= 1, T0 U* l|> bm <«*, xn (•)> = 8.
1	1 L ’ J	n->+<X>
С другой стороны, очевидно, что ||ж*||	8. Итак, ||ж*|| = 8.
п	1
1.31.3/2. 1.32. 1 + 2/л. 1.33. 2 |Pft| + J R(f) \dt-
fe=i	о
1.34.
В силу неравенства Коши — Буняков-
1/2
ского
1/1/3. 1.35. 1/2/V3.
1.36: Решение.
1
[ sin2nf dt
о
С другой стороны, || х* ||	1/2 sin n,t) — 1/1/2. Так как
V2sin лНку[0>1]) = !» т0 11^*11 = 1/1/2.
1.37. V5/2.
1.38.
1.3.9
1.40.
Л*: /2 -> ^2> Л*у = (0,	у2, ..у = (уг у2, ...).
Л*у= (угу3,... ,Z/2n-i’- • •)> У = (^1’ У2" • • ’ Уп' "
Т^М = {0}, г+м = R2 .
T^M=R+XR_, TtM = R2\R+-	1.42. cone{(0,1)}.
{0}. 1.44. R2.	1.45. lin{(4, —1)\
, elt...,en — стандартный базис. 1.47.
n	\
1.41.
1.43.
1.46. lin{e2,
г г
1=1
•	.....хп
1.49. Решение. Рассмотрим отображение F: С ([0,1]) -* R,
1
Р (ж (•)) = Jfelnх (0 dt. Тогда М—{х (• )еС([0,1]) | Р{х('У)=Р(х(-'))==
о
237
= 2/л}. Легко проверить, что F удовлетворяет всем условиям тео-
1
ремы о касательном пространстве и F' (ж(-)) Iх (•)] = J « (О X
о
X cos 'х (t) dt. Согласно этой теореме	~ ^ег	~
1

х (t) cos nt dt — 0}.
о
1.50. {&(.)«=£( О, 1])|Л(0) =Л(1) — 0}. 1.51. R.
1.52. Решение. По определению вектор h = 1 является од-
носторонним касательным вектором к множеству М в точке х — О,
если 36 > 0 и отображение г: (О, 6)->R такое, что a-pr(a) s М
и г (а) — о (а) при а->0. Положим для а е (0, 1):
Тогда а + г(а) е М, lim -——~ < lim	-—1—) — 0.
а-»о & п-»+оо 2 _\я	п -р 1 /
Таким образом, 1 е TiM => Ti.M — R+.
1.53. {0}. 1.54. {0}.
2.1. , (1, 0) е= abs min, ^min = ’—1, ‘S’max 4-oo. 2.2. (5, 2) e=
G loc mm,	-"°0, Siaax = 4'0O, 2.3. <5>min== — °°, ,S'max:==4“00,
стационарная точка: (2, 3) loc extr. 2.4. (—4, 14) e abs min,
Smax — 4- °°- 2.5. Smtn = —oo, 5Юах — 4-°°, стационарная точка:
(8, —10) ф loc extr. 2.6. (—2/3, -1/3, 1) e abs min, 5mln = —4/3,
$imx = 4-°°-. 2.7. (1, 1) €= loc max, ^max — 4-00,	== —°°, (0, 0),
(0, 3), (3, 0) loc extr. 2.8. (-4/5,-—3/5) s abs min, (4/5, 3/5) e
es abs max, fSjnax == *^min = 5. 2.0. (3/25, 4/25) ge abs min, =-3
= 1/25, 5max » 4-oo. 2.10. (1/2, 1/2) e abs max, 5max = e1/4, 5mIn = 0
не достигается. 2.11. (—1/2, 3/2)e abs min, Smax = +oo. 2.12. 5т1п =
e= —oo, 5max a₽= 4-oo. 2.13. (1/6, 1/3, 1/2) <= loc max, (t, 0, 1 — t) e
e loc max у t > 1 и t < 0, (t, 0, 1 — t) <=_loc min yO < t < 1,
5raax = 4-oo,_5mln==-oo. 2.14. {(Ш 1/У_6, -2/У6), (l/Д -2/ye,l/V6)_,
(-2/У6, 1/У6Л/У6)} eabsmin, {(—1/У6, -1/У6,2/У6), (-1/У6, 2/1.6,
-1/y^j, (2/Уб,-1/У6, - 1/У6)} s_absmax, 5^ « -Smln = l/(3y6).
2.15. {£-l/Д -1/УЗ, -1/УЗ)(1/уЗ, l/УЗ, -1/УЗ), (1/УЗ, -1/Д 1/}3_).
(-1/УЗ, 1/УЗ, _1/уЗ)} е abs min, {(1/У^ 1/уЗ,_1/УЗ)_(1/УЗ, -1/УЗ,
-1/УЗ), (- 1/уз, 1/УЗи-1/УЗ), (—1/уз; -rl/уз, 1/УЗ)} sabs max,
‘S’max = —5mln = 1/(ЗуЗ). 2.16. ^(0, ..x 0)eabsmin, 5min = 0,
(±n-1/4,.... ire"'174) eabsmax, 5шах=Уп. 2.17. (0,..., 0)s abs min,
-Smin — 0. {(±1, 0.....0), ..., (0, ..., 0, ±1)} s abs max, 5max = 1.
2.18. (—2, 0, 7) e abs min, 5max = 4-oo (xn = (—/г, 0, 2«4-3)).
2.19. (0, 1) sabs min, (1, 0) sabs max. 2.20. (0, 1, 0) e abs min,
*^max = 4-00’
238
2.21.	Решение. 1. Формалг^ация: /(ж) == ж(8 — х) (8 — 2х) ->
sup; 0 х 4. По теореме Вейерштрасса решение Я сущест-
вует. Ясно, что х =£= 0 и х =£ 4, ибо /(0) =/(4) =0, а функция /
принимает и положительные значения. 2. Необходимое условие —
теорема Ферма: /'(х) =0.
3.	/(х) = о о 3z2 — 24z + 32 = 0 => х == 4 — 4/УЗ.
4.	В силу существования решения и единственности стацио-
нарной точки х sabs max. Ответ. Одно числЪ равно 4 — 4/уЗ,
другое 4 + 4/УЗ.
Тарталья выразил ответ так: «Число (т. е. 8) надо разделить
пополам, квадрат этой половины, увеличенный на треть этого
квадрата, равен квадрату разности обеих Пастей». Действительно,
42 + 42/3 = 64/3 = ((4 + 4/V3) - (4 - 4/V3))2.
2.22.	Равнобедренный треугольник. 2.23. Точка Е — середина
[5С] (решение см. в АТФ, с. 31). 2.24. Центр тяжести зафиксиро-
ванной грани. 2.25. t2 — 1/3 s abs min. 2.26. t3 — 31/5 s abs min.
Общий случай см. в § 12. 2.27. р~ (pi, ..., рп) sabs max,
р1 == ... = рп = i/n. 2.28. В точке преломления выполнен закон
sin сс1 sin а2
Снеллиуса: —т Где а1 — угол падения, аг — угол
i	2	,
преломления, щ и р2 — скорости света в средах (см. АТФ, рис. 13).
2.29. Квадрат, 2.30. Правильный треугольник.
2.31.	Решение. Формализация: Е(х) = nx(l— x2/4)->sup,
0 х 2 (хвысота цилиндра). Далее, рассуждения аналогич-
ны рассуждениям в задаче 2.21. Ответ. Высота цилиндра
равна 2/]/3.
2.32.	Высота конуса равна 4/3. 2.33. Высота конуса равна 4/3.
2.34. Радиус основания равен ((п — 1)/п)1/2<. 2.35. Куб. 2.36. Высота
конуса равна 1 + 1/п. 2.37. Правильный тетраэдр.
2.38.	Решение. 1, Формализация:
V(	xt — е, ..., хп — е) = det(y1J)^1->sup; |zj2= 1, i = l,...n,
где е = (1,0, ..., 0), хг =	..., х^, у\ = х3., если j > 1 и yj =
=	xj — 1. В силу компактности множества допустимых элемен-
тов по теореме Вейерштрасса решение существует. Ф'ункция Лаг-
п
ранжа: 3 =	+-1 Ы xi Г*
1=1
2.	Необходимое условие: Зх^ — 0 44 АОКХ. + НЛ — 0.
3.	Если допустить, что Ао == 0, то для 10, для которого
получилось бы, что xjQ = 0, что противоречит | х^ | = 1. Положим
Хо = 1. Производная определителя по некоторой строке — это век-
тор, составленный из алгебраических дополнений к элементам
этой строки: Vx^ — (4J. ..., Яр) = При этом <А,. —е>=0,
i 4= д ибо это скалярное произведение есть детерминант матрицы
с двумя одинаковыми строками. Значит, из п. 2 следует, что век-
тор ki ортогонален всем векторам х3 — е, / i => Д J. х3 — Xk,
239
к #= i. Но тогда <хг, х7> = <х1? xh> и, значит,
1-4 — xj2 =г 2 — 2<х„ Xj> = 2 — 2<х„ xh> = |х, — 4|2;
далее,
<£„ х3 — е> = 0 => <х„ х7> = <хг, е> =>
=к |х, — е[2 = 2 — 2<х,, е> = 2 — 2<Л, х;> = |xf — х3|2.
Таким образом, у экстремального симплекса все ребра равны.
Ответ. Правильный симплекс.
2.39.	Правильный треугольник. 2.40. Правильный многоуголь-
ник. 2.41. Правильный многоугольник. _______________
2.42.	Решение. 1. Формализация: У1— a2 sin2 ф sin ф -> sup;
0 ф л/2 (а = |ОЕ|, угол СЕВ обозначен через ф, а площадь
четырехугольника, вписанного в окружность, равна полупроизве-
дению диагоналей на синус угла между ними). Делаем замену
азшф = и приходим к задаче /(г) = z(l — г) -> sup; 0 z
а2. По теореме Вейерштрасса решение z существует.
2.	Если 0 < & < а2, то необходимое условие — теорема Ферма:
/'(*) = 0.
3.	/'(2) =	= 1/2.
4.	В силу существованйя решения одна из критических точек
{0, 1/2, а2} доставляет абсолютный максимум в задаче. Сравнивая
значение функции / в этих точках, находим решение
Ответ. Если 0 а 1/У2, то £ — а2, т. е. ф = л/2; если
— 1
1/}'2 а 1, то £ = 1/2, т. е. ф = arcsin—Т/й’.
CL у 2
2.43.	Центр вписанного круга.
2.44.	Решение. 1. Формализация:
/(xi, я2) = |я1 — я2|2 + |zi — е|г + |я2 — е|2 -> sup;
K]2 = H,|2 = 1 (е = (1,0), x.eR2,.Z = l,2, | х | -= ]/ xf+
круг единичного радиуса). Функция Лагранжа:
•S	? = X0/(®i, хг) 4" М|ац|2 4- Х2 | х212.
2.	Необходимое условие:
= 0	Хо (*i “ *2 + *1 ~ е) + 4*1 = °’
°	Хо (я2 -	+ ж2 - е) + Л2ж2 = 0.
3.	Если Хо « 0, то Xi = Х2 == 0, все множители Лаграпжа —
2
нули. Полагаем Хо = —1 => (2 — Хх) aci = х2 + е, (2 — Х2)«2 — xi +
4- е => (подставляя х2 йз первого уравнения во второе) ((2—Xi)X
X (2—Х2) — Г)xi = е(3 —' Х2) => либо xi = ± е, либо Xi = Х2 =
= 3*=> «1 4- х2 = —е Получаем с точностью до переобозначения
экстремали: 1) xi = я2 = ±е; 2) х{ — —х2 — е; 3) хх — (—1/2,
|3/2), Х2= (-1/2, -]3/2).
4.	В силу компактности множества допустимых элементов по
теореме Вейерштрасса решение существует. Максимум функци-
оналу доставляет третья экстремаль
Ответ. Правильный треугольник.
240
2.45.	Решение. 1. Пусть М — заданная точка, лежащая внут-
ри угла АОВ, точки С и D лежат на лучах ОА и ОВ соответствен-
но и М е [CD]. Проведем череЗ М прямую, параллельную О А;
точку пересечения ее с ОВ обозначим через F. Пусть длина OF
равна а, длина FD есть х. Легко подсчитать, что площадь тре-
угольника OCD равна к (а + х)г]х, где к— некоторый коэффициент
пропорциональности. Рассмотрим задачу
5 (от) = к	-> inf; х 0.
х
Вследствие того, что S(x) непрерывна п S(x) ->4-оо при х-^4- оо
и «->0, решение х существует по теореме Вейерштрасса.
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: S' (х) = 0.
. 3. S'(x) = 0 <=>- х — а.
4.	'В силу единственности стационарной точки х е abs min.
Ответ. Искомая прямая обладает тем свойством, что ее от-
резок, заключенный между сторонами угла, делится заданной точ-
кой пополам. (Способ построения: |£>О| == 2] OF) )
2.	46. Решение. 1. Пусть Л/ — заданная точка, лежащая внут-
ри угла АОВ, точки С и D лежат на лучах ОА и ОВ соответствен-
но, М е [С, D] и величина угла CDB равна ср. Обозначим через
р(ф) периметр треугольника OCD. Рассмотрим задачу
р (ф) -> inf; фо ф sC л,
где фо — величина угла АОВ.
Вследствие того, что р непрерывна и р(ф)->-|-оо при ф = Фо
и ф л, решение ф задачи существует по теореме Вейерштрасса.
Кроме того, как нетрудно убедиться, функция р непрерывно диф-
ференцируема. Мы не выписываем самой функции р, так как нам
нужна лишь ее производная, а эту производную нетрудно вычис-
лить, "исследовав приращение р (ф + сйр) — р (ф).
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: р'(ф) = 0,
3.	Проверить, что
р' (ф) = li (1 4- cos ф) /sin ф — l2 (1 — cos ф) /sin ф,
где li	Z2=|Z)M|, ф —это
угол OCD (рис. 6).
4.	В силу единственности ста-
ционарной точки ф е abs min. Гео-
метрический смысл соотношения
р'(ф) =0 состоит в следующем: пер-
пендикуляр к CD, проведенный в
точке М, пересекается с биссектри-
сами внешних углов С и D в одной
точке О\ иначе говоря, вневписан-
ная окружность в треугольник OCD
проходит через точку М.
Ответ. Надо провести окруж-
ность через точку М (большего
радиуса из двух возможных), касающуюся сторон угла, и затем
провести отрезок [С?, /5), касающийся этой окружности.
2.47. Площадь четырехугольника, вписанного в круг.
241
2.	48. Решение. 1. Формализация: V\(R, h) = л Л.2(R — 7i/3)->
-> sup; 2n,Rh = a, Q h 2R (R — радиус шара, h — высота сег-
мента, a — заданная площадь боковой поверхности). Исключая R,
приходим к задаче
TZ / 7. \	ltd	ci
У (Л)	sup; 0<Л<Т/
Li	0	* JT
(последнее неравенство следует из того, что h 2R => a ^cth2).
2.	Необходимое условие — теорема Ферма: V'(Ji) = 0.
3.	?’(П) =	= У^/2л7
4.	По теореме Вейерштрасса решение К задачи существует.
Ясно, что /г =£ 0 и /г ]/а/л, ибо И(0) =0, а И(Уа/л) = а]/а/6Ул <
< И(]/а/2л) = аУа/Зу2л. Значит, а = 2л/г2; отсюда Н = R.
Ответ. Искомый шаровой сегмент — полушар.
2.	49. Если точки лежат по разные стороны от прямой, то ис-
комая точка есть пересечение, прямой АВ с данной. Пусть точки
лежат по одну сторону от прямой. Отразим одну из них, напри-
мер точку А, симметрично относительно заданной прямой. Полу-
чим точку А'. Пересечение прямой А'В с заданной и есть искомая
точка С. 2.50, 2.51. Вершина тетраэдра должна проектироваться
в центр круга, вписанного в основание. 2.52. Правильный тетра-
эдр. 2.53. х0 = (zi-f-яг + яз)/3 — центр тяжести треугольника xi
xi, XZ' 2.54. xQ — I
\1=1
N
г9
mi — центр масс. 2.55. Обозна-
/ N
чим ж =1
\ 1=1
/ W	\ / N
> 1, то х0 =х/|х|. 2.56. Обозначим я —( 2 mixi I / 2 тг' Если
\г=1	// 1—1
х — 0, то х0 — любое; если х =£ 0, то хо = х/|х|. 2.57. Из точки
с координатами (g1} g2) к эллипсу ж2/а2 + х\/а<^ = 1 («х > а2)
можно провести четыре нормали, если эта точка лежит внутри
астроидьЦ^а^2, 3 4~ (£2а2)2/3 = (а2 — «2)2 3;три нормали, если эта
точка лежит на астроиде (за исключением вершин); две нормали
в остальных случаях. 2.58. Из точки с координатами (£1? |2) к па-
раболе у = ах2 (а > 0) можно провести три нормали, если точ-
ка расположена выше кривой ^2 = 3-2~4/3a~1/3g2/3-j-2-1а~1;
две нормали из точек на этой кривой, кроме точки (0, 2-1а-1);
одну нормаль из точек ниже этой кривой и точки (0, 2~1а~1). 2.59.
\2	/ х \2
—— — — I = 1. Из точки
а1/ \аг!
с координатами (£i, £2) можно провести три нормали к ближай-
шей ветви гиперболы и одну к дальней, если	— (^г)^3 >
> (a2-{-а2)2/3; две нормали к ближайшей ветви и одну к дальней
из точек (ti, £2), для которых последнее неравенство обращается
(	а1 + й2
в равенство, исключая точки о, + —---------- > из всех остальных
\ а1 /
242
точек плоскости можно провести по одной нормали к каждой
ветвп гиперболы. 2.60. Расстояние от точки х = (ад, ..хп) до
71	71
гиперплоскости 2 a-ixi = & Гавняется 2 aixi~b
i=l	1=1
2.61.	Решение. 1. Пусть гиперплоскость задана уравнением
<а, х} — 6 = 0 (<а, х) — скалярное произведение векторов анх).
'Рассмотрим экстремальную задачу
\х — ж0|2 -*• inf; <а, х) — Ь = 0 (а 0).
Функция Лагранжа:
S’ =	1 « —	|2 + X <а, «>.
2.	Необходимое условие: Хо(х — ха) Х« = 0.
3.	Если Хо — 0, то а = 0 — противоречие. Полагаем
тогда х = х0 — Ха, X = ((а, х0> — Ъ)/(а, а).
4.	Непосредственной проверкой можно убедиться, что
Хо — 1;
х е abs min, 5min = (<«, «о> — 6)/<«, й>.
Искомое расстояние равно |<«, ж0> — Ь|/|«|* Эта тема исследует-
ся также в § 12.	ч
2.62.	Расстояние от точки- х до прямой at -f- b, a, b <= R”, рав-
няется (|x— 6|2—({x — b, a>/[«| )2)1/2.	2.63.	£ = —a/\a\&
sabs min, l(x) = ]«]. 2.64. Стороны —Прямоугольника: У2«, У26.
2.65. Стороны параллелепипеда: 2а/УЗ, 26/УЗ, 2с/УЗ. 2.66. (±а, 0,
0) е abs max, если а > Ь > с.
2.Q1.	Решение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу
п	п
S \ xi |р sup; S1 хг \q = а<1 (! < р < а > °)-
1=1	1=1
Множество допустимых элементов компактно, функционал непре-
рывен, значит, то теореме Вейерштрасса решение х задачи суще-
ствует. Функция Лагранжа:
^ = 4 2Ыр + 4з1ч!’-‘1'!
1=1 \1=1
2. Необходимое условие — стационарность по х:
= 0 ФФ ХОР| 'xi |р-1 sign Xi 4- Xq |	|9-1 Sign xt = 0, 1 < i < n.
2.
3.	4 = 0 => X# 0 .i = 0 не является допустимым элемен-
2.
том в задаче. Положим Хо = —1 => либо хг = 0, либо |х,| =
= (Х5/д)1/(р~'9).
4.	Максимум функционала достигается в критической точке.
Пусть у критической точки отлично от пуля ровно /с координат;
тогда у этих координат |х, | — ак~1/<3. При этом
(«) = «р max k1~Pl'q ~ apnl~p!q.
111Ы.Л	4 •
1«/Кп
<] Выведем из решения экстремальной задачи требуемое не-
равенство.
16*	243
A)	p > 1. Пусть 2 | xi j9 = a9’ Тогда
i—i
(n	\ 1/p	/ n	\ 1/p
2 I |7"	2 I1.1’	< »’1/P (’max Ю)’7’ =
i=l	/	\i=l	/
(n	\ 1/.
2 J xi \q/n i
i=i	/
Б) p = 1. Неравенство получается предельным переходом в не-
равенстве п. А).
В)	0 < р < 1. Положим yi — Тогда
Д) Устремляя р к 0, получаем, что • lim
р-*о
(п	\ 1/п
| xi |	, откуда, если р < 0 < д, то
i=l	/
2.68.	Неравенство доказывается, как и в 2.67. 2.69. Эта задача
является частным случаем задачи 2.67, (см. п. Д)).
2.70.	Решение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу
2 xiai -► sup; 2 1 $Р = bP (Р > 1, е= R, & > 0).
г=1	г=1
Множество допустимых элементов компактно, функционал непре-
рывен, значит, по теореме Вейерштрасса решение задачи существу-
ет. Функция Лагранжа:
п	п
i=l	i=l
244
2.	Необходимое условие — стационарность по х:
^xi = 0 «4 1^аг + Ар | sign xi = 0, i — 1, .,., п.
3.	Xo = O=>X=#O=>Jf = O не является допустимым элемен-
том. Положим Хо = —1. Тогда из п. 2 'хг = ц | аг |р sign аг,
п	/ п	\— 1/р
1/р+1/р'=1. Поскольку хг |Р = bP, То И = 6 2|аг|Р)
г=1	\г=1	/
4.	Критическая точка единственна, значит, х е abs max,
(п	\—1/р'
2 1 «г Г' • Таким образом,
1=1	/
п	/ / п	\	1/р\	/ п	'll/р 1 п	\1/р'
2 а1Хг <5гаах 11 2 I Х1 Г ) ) М 2| ХИР ) ( 2| а1 1₽ )
г=1	\ \ 1=1	/	/	\г —1	/	\1=1	/
Случаи р = 1 и р = + оо получаются предельным переходом.
2.71. Решение выводится из экстремальной задачи
п	п
21 zi + Mp_>sup; SI хг Г =аР,
1=1	1=1
2 | уг Г ~ ЬР (Р > а > °’ & > °)-
1=1
2.77. -10,201..2.78. 4,49343. 2.79. 1,045.
К упражнениям § 3
13. Пусть /1 и /г — функции па прямой, заданные равенства-
ми /1 (х\ — I |ж| — 11, fz(x) = \х|. Тогда
/Г (У) =
UK1,
IУI > I;
I у 1 > 1;'
1 X К 1,
Ы>1;
I У I 2,
I ^1 > 2.
(О,
оо
1И<1,
1 < | у\<2,
I У I > 2.
Л+'»)<*>={2’1 *1-1,
С другой стороны,
Таким образом, преобразование Лежандра — Юнга — Фенхеля сум-
мы невыпуклых функций (функция /1 певыпукла) может не сов-
падать с ивфимальной копволюцией сопряженных функций, даже
если исходные функции всюду непрерывны.
3.1. а) й>-0; б) а^О, 5>-0, с —любое; в) р>-1; г) а11>0}
а11а22 —а12>° или Я11 = а12	°’ й22^°- 3.2. а) да; б) да.
245
у (In у— 1), у > О,
3.3.	а) /* (у) =  0,	У = 0, б) а<0
,	'+<»,	У < 0;
а == 0 => /* (у) = 6 {Ь} — с; а > 0 => /* (у) — ty
> 1=>/* (у) = I У |р7/,
e) /* (y) =
3.4.	a) 6 {(.
= O-1y, y>M;
2
4a ~~C' B) P>
l/p+l//=l; ₽=!=>/* (y) = 6 [- 1, 1]; 0 <
Г) /*(y)^o
У > 0,
Д) f* (у) = max {ay, by}-
— 1—ln( —у), у < 0.
ai’ a2)} ~ b' 6)	> 0,
6ll>0> aixai2 ai2 ~ *
(<^-1y, y>/4, у s Im A,
l+oo,	y^Im4;
остальных случаях,
б11Я22 а12'> ^=^‘/*(У)~"
или an = a12 = 0, «22>
=> /* (У) = 6 {0}; /* (у) = + оо в
_ аи а12
а а „ ’
, а А .	2 Z j
611 ~ ai2 ~ a22 ~ 0=>
где A =
(X (In X — 1), (y1? y2) = X (a1? a2), X > 0,
в) /* (У) = jO,	у = 0,
I Ц- oo в остальных случаях;
n
Д) /* (y) =
i=l
Ц- оо в остальных случаях.
[(.г2 — 1)2, I х | > 1,
3.5. а) /** (а-)	0; б) /** (х) = Г
( и, I х | < 1,
в)/**(т)=-1;	г)/**(х)=0; Д) /**(*)== И + к - а|;
, (I I X I — 1 I, I х I > 1,
е)/**(^)=	0	, I а-1 <г!
L v,	w j **- j 1 •
( 1
О, <£*, х ()) = J х (f) d[i (;), где ц (0) — 0 и при
о
этом ц (•)—непрерывная справа (кроме, быть
может, нуля), монотонно возрастающая функция
вариации единица,
оо в остальных случаях.
3.7.	а) jyj + lz^l^l; б) ] ух р + | у2|а < 1; в) треуголь-
ник с вершпнамп(—2,0),(1 + Уз);г)5р, = {(у1,у2)Цу1|Р'4-
+ |^2|Р/^1’	+ 1/р' = 1); Д) (aiyx)2+(а2Уг)2<1.
3.8.	а) [-1,1]; б) [0,1]; в) [-1,0].
3.9.	а) б) »,[<!; в) 2 ц, <1, Si>0;
1=1	1=1
246
1
г) [0,а]. 3.10.	{.х-*|<гг*, х (•)> = J х (t) d[i (t),
о
где ц(0) = О и при этом ц (•)—непрерывная справа, монотонно
возрастающая функция (кроме, быть может, нуля) вариации еди-
ница}. З.Н. в*=[х* <= х* (V*	< О-3J2' а) ь-мвб>
€=С*([0, 1])| <ж*, х (•)> = ^ж (1/6) — ц2ж£1/2) + р3ж (5/6), Цг> О,
^1 + М2 + Н3 = !}• 3.13. max [ж14-ф/3'ж2,	— УЗ х^ — 2-rJ.
З.Д4. (цЛ)* = бЛ°.
х2,
3.15. / (ж) =
И<1,
И>1,
X = + 1.
3.16.	Решение. Из неравенства Юнга и условия сразу сле-
дует, что |ж|2/2	/(ж). Переходя к сопряженным функциям и
пользуясь тем, что ср ф => <р*	ф*, приходим к противополож-
ному неравенству /(ж) /2г (х 12/2, откуда и следует требуемое.
3.17.	Решение. Из условия сразу следует неравенство
<ж, уУ С 1 Уж.уеЛ, откуда из однородности получаем |жр
^ц2Л(ж) => В с Л, где В — единичный шар. Переходя в послед-
нем неравенстве к сопряженным функциям, приходим к проти-
воположному включению.
0, | х | < 1,
3.18.	/(ж) = { 1, |ж|- 1,
ОО , | Ж I > 1.
3.19.	f (t) = е-<, g (ж) = ж2, / g = е-х2.	3.20. /х (ж1? ж2) =
- 6ЛГ (жр ж2), /2 (жр ж2) = 6Л2 (жг ж2), Л1= {(жх, ж2) | жх > 0, ж >
>0, V>2>1}, Л2 = {(ж1,ж2)|ж1<0,	ж2>0, ж^^-!}.
4.1.	Решение. Эту задачу можно решить, раскрывая мо-
дуль. Но мы ее решим с помощью субдифференциалов.
1.	Функция /(ж, у) — ж2 ф- ху ф- у2 + 3|ж -}- у — 2| является
выпуклой (в этом легко убедиться, используя критерий Силь-
вестра).
2.	Необходимое и достаточное условие экстремума: 0 s
s 5/(ж, у).
3,	0е dj (х, у) <=>- (2ж 4- У, 2у 4- ж) 4“ За = 0,
где
(1, 1),	«’4-У > 2,
а = — (1, 1),	ж 4- у < 2,
4-(1,1), (1,1)], *4-у=2.
Если ж 4- У > 2, то 0 s <?/(ж, у) 2ж4-у4-3=х0, ж 4- 2у -f- 3 =
= 0 => ж 4- У = ~2 => решений нет. Аналогично показываем, что
в случае ж 4- у < 2 также стационарных точек нет. Если ж -j- у=2,
то 2ж 4- У + За = 0, 2у 4- z 4- За = 0, as [—1, 1] => ж = у = 1,
а = —1 — единственная критическая точка.
Ответ. (1, 1) s abs min.
4.2.	(—1/2, —1/2) sabs min. 4.3. a2 4-	1 => (a, b) s abs min;
a2 4-52 > 1 => (a/fa2 4- b2,	b/^a2 4- b2) s abs min. 4.4. 0 < a
^1/2 => (a, a) s abs min; a > 1/2 => (1/2, 1/2) s abs min.
247
4.5.	0=Е3+	+	<0=>(0, 0, ) s Oabsmin; р>0=>
Чк1/К2(5? + ^)- . ₽Ц]/2(?1 + Й), 0/1/2) е absmin.
4.6.	+ A), i = !,...,«, где A — единственный no-
-<	n
ложительный корень уравнения 2	+ ^)2 ~
i=l
4.7.	Решение. 1. Формализация:
ОО
<a	, x) -► inf; xk/bk = 1 (a e ^2’ a 0> I ПРИ A “► + °0).
fc=i
Функция Лагранжа:
3? — \ <«, «> + A 2 xk/bk'
A=1
2.	Необходимое условие: 3?х = 0 4=4 AQaft 4-2Ажа/ь£ = 0, k=*=
= 1,2, ...
3.	Если Xo = 0, to A =/= О и, следовательно, из п. 2 Xh = 0, к = .
= 1, 2, Получили точку, не лежащую на границе эллипсоида.
а=г=0
Положим далее Ао = 2; тогда aft+ hxk/b£ = 0 => А =/= 0 => xh —
oq
~ ~ akbk/^' х •= гРаниЦе эллипсоида =>	2 akbh = А2 => | А 1 ==
_______ fc==i
/ОО
2 °гЛ
fe=l
4.	Очевидно, что точка с координатами
доставляет абсолютный минимум функционалу, а нормали воз-
можны лишь в подпространстве Л~Ч2, где
4.8.	5mm = Iko— gll, где £ = Ay, у = (Л*Л + К1)~1А*х0, X —
единственное положительное решение уравнения || (Л*Л +
+ А7) Л*хо|| = 1. 4.9. t2 — 1/2 е abs min. 4.10. Если возможно постро-
ение треугольника с длинами сторон т^пг, тогпх, т0т2 и <х4, а2~
углы между сторонами с длинами т^тг, т^т\ и mim2, mom2 соот-
ветственно, то угол между векторами и е = (1,0) (вершины тре-
угольника хх, Х2, е) равен л — а4, а угол между х2 и е равен
л — а2. Если построение невозможно, то xi=x2==—е или е,
х2 = е. 4.11. В остроугольном треугольнике искомыми точками яв-
ляются основания высот. В прямоугольном и тупоугольном тре-
угольниках треугольник минимального периметра вырождается
в высоту, проведенную к большей стороне.
4.12.	Решение. 1. Формализация:
/ (х) = | х — х11 + | х — ж21 4- | х — х31 -> inf
(жг — (х\, Хг2) , г = 1,2,3, X = (Жр х^).
248
Получили выпуклую задачу без ограничений. В силу того, что
/(ж)->-|-оо при |ж|из следствия теоремы Вейерштрасса
следует, что решение задачи х существует.
2.	Необходимое условие экстремума: 0	<Э/(х).
3.	Возможно одно из двух: а) £ =£ ж1', 1 = 1, 2, 3; б) хе
, .	,	_	X —х1 х —хг
е {х1, хг, х3}. В случае a) df \х) =	-----И +	----57 +
I а: — х | I х — ж I
х — ж3
= 0, т. е. три единичных вектора, направленные из
(ж
х в ж1, ж2 и ж3, равны в сумме нулю. Отсюда вытекает, что из точки
х отрезки [х1,х2], [ж1, ж3] и [ж2, ж3] видны под углом 120°. Если все
углы треугольника меньше 120°, то такую точку Sc легко построить.
Ее называют точкой Торичелли. Рассмотрим случай б). Перенуме-
руем точки ж’ так, чтобы х = ж1. Из необходимого условия полу-
чим, что п + (х — ж2) /1 х — ж21 + (х — ж3) /1 .£ — ж31 == 0, где п е д | ж |
при ж = 0, т. е. |п|	1. Итак, сумма двух единичных векторов,
направленных из ж1 в ж2 и ж3, в сумме с вектором, по модулю не
превосходящим единицы, равна нулю. Отсюда следует, что угол
ж2ж‘ж3 больше или равен 120°.
4.	Вследствие того, что условие 0 s df (х) является достаточ-
ным условием экстремума, приходим к такому ответу: если все
углы треугольника меньше 120°, решением задачи является точка
Торичелли; если один пз углов треугольника больше или равен
120°, решение задачи совпадает с вершиной этого угла.
4.13.	Если точки образуют выпуклый четырехугольник, то ис-
комая точка — это точкй пересечения диагоналей; если четырех-
угольник не является выпуклым, то искомая точка — вершина с
максимальным углом. 4.14. После формализации
з
/ (ж) = 2	~ 1 (я^ > 0, I = 1, 2,3)
i—1
следует применить необходимое и достаточное условие минимума
0sd/(x) (минимум, как нетрудно показать, существует). Расшиф-
ровка полученного условия приводит к следующему ответу: пусть
существует треугольник с длинами сторон, равными m2, т5,
и пусть ссц — углы этого треугольника, образованные сторонами с
длинами т, и ту. Проведем дуги окружностей, из которых отрезки
[х{, х1] видны под углами л—а,у (соответственно). Если эти ду-
ги пересекаются внутри треугольника, то построенная точка явля-
ется искомой; если же дуги пересекаются вне треугольника или
если не существует треугольника с длинами сторон mi, т2 и т2,
то решение задачи совпадает с одной из вершин треугольника.
4.15. Центр многоугольника..
5.	1. х =s 0 — единственная экстремаль, и Sc ф. loc extr, 5пПп =
= —оо (жп я), б’тах = “Г оо. 5.2. С II t £ abs ШШ, ах “Т" оо.
5.3. е* + sin е abs min,. б’тах = + оо. 5.4. sin ? + cos t $= loc extr,
‘S'min ==	°® (Хп э я), iS'niax = “h oo.
5.	5. Решение. 1. L = x2 + ж2, I — аж2 (To).
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера; St — х — 0;
б) трансверсальность: х(0) =0, х(Т0) =—аж(Г0)-
3.	Общее решение уравнения Эйлера: ж = Ct ch t + С2 sh t. До-
пустимые экстремали; х( з 0, а — любое, £2 = С ch t при а —
= — th Tq.
249
4.	Рассмотрим условия второго порядка. Условие Лежандра
। L .. = 2 > (Й выполнено; более того, интегрант регулярен. Не-
\ X х	)
трудно убедиться также в том, что выполнено усиленное условие
Якоби. Проверим определенность квадратичной формы Q + Р.
Имеем hi = sh t/sh TQ, h0 — sh (To — £)/sh To. Матрица Q + P име-
ет вид
^cthT^ — 2/shr0
— 2/sh Го 2a + 2 cth T'
Из критерия Сильвестра следует, что матрица формы Q -f- Р поло-
жительно определена при а > —th То, неотрицательно определена
при а — th То и не является знакоопределенной при а < —th То.
Ответ. а>—thro => х == 0 s abs min, Smin =0; а =— th Т
=> C ch t s abs min VC s R, 5min =0; а<— th Го=> x s 0 loc min,
5min = “ 00 {xn = n ch 5max = + °°. Va-
5.6. x± ~'x2 == 0 loc extr, Smin = — oo, S'inax = 4-00. Ука-
зание. Воспользоваться теоремой Боголюбова. 5.7. In t -f-1 e
s abs min, Smax =4-00.
5.8.	ж2 = УГ+1.	5.9. 21n(H-l).
5.10. — eV(e34-l). 5.11. (1—t)s abs min, 5max=4-oo. 5.12. &ITQ s
e abs min, Smax = 4-00. 5.13. (t — e abs max, = — °°.
5.14. - i2/4 + $/Т0 + Г0/4) t s abs min, Smax = 4-00. 5.15 (t3 -
— i)/12 s abs min, ^тах —+ °°. 5.16. (t—i4)/24 sabsjnax, 5min =
— — oo. 5.17. х(1) = у/Т0— единственная экстремаль, £>0=>
=>'x s loc min, g < 0 => x s loc max, g = 0 =$ x ф loc extr, V| 'x —
не сильный loc extr, Smin = — 00, Smax = 4~ 00• 5.18. x= (2t/3)3/2
— единственная экстремаль, 'x s loc min, ^x — не сильный loc extr,
*S'min==~00’ ^тах = + °°- 5.19. £ = ^/7^— единственная экст-
ремаль, g > TJ3=$x s loc min, g < T ft => x s loc max, g —TJ3 =>
=> x loc extr, V£ x — не сильный loc extr, Smin= — 00, 5тах —
— 4- ooK 5.20. x=^t/TQ— единственная экстремаль, — To/3=>
=$>x s loc min, £ < — TQ/ 3 =^x s loc max, g= —TQl3=^x ф loc extr,
Vgz— не сильный экстремум, ^min = “ 00’ ^max = + °°-
5.21. In abs min, Smax = 4- 00• 5.22. (In (t 4-l))/ln 2 eabs min,
— + °°.	5.23. t — e In is abs min, 5	= 4~ °°*	5.24.
14~e 3 — t
——In t 4- —2—sabs max, ‘S’min=—5.25. 4/i—Is abs min,
‘S’max —+°°- 5.26. (In (3 (t—l)/(«4-l)))/ln (3/2) s abs min, 5юах =
— 4-ос.	5.27. e/i — In i s abs max, 5min = — °°. 5.28. x ~
= ~\/1 4- 1 s abs min, 5max = 4-00. Указание. При доказатель-
( * \2 / d x2 |2
стве минимальности можно воспользоваться тем, что \ хх) —	.
25Q
5.29.	Решение. 1. L — х/х2.
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера (интеграл энер-
гии) х/х2 — С.
3.	Общее решение уравнения Эйлера: х == (Cxt-\-C^2. Имеют-
ся две допустимые экстремали: = (t— I)2, х2 — (t— 2)2/4.
4.	Вторая экстремаль окружена полем; поэтому х2 доставляет
сильный локальный минимум. На первой экстремали не выполне-
но условие Якоби, ибо близкие экстремали пересекаются при
t = 1. Значит, %! loc extr. Из теоремы Боголюбова следует, что
5mtn = —°0, 5max == -J-00.
5.30.	2 In (t -f- 1) е abs min, 5шах = + oo. 5.31. t3— t s abs min,
5max = 4-oo. 5.32. In t e abs min, Sfflax = +°°. 5.33. t3 e abs min,
Smax = 4-0°. 5.34. ch t/ch 1 e abs min, 5max = +°o. 5.35. sh 2t/sh 2 s
sabs min, Smax = 4-00- 5.36. (e* 4- eI-i)/(l + e) — Is abs min.
5raax = 4- oo. 5.37.	(sh£/2	sh	1) — tf2 s abs min, 5max = 4- oo.
5.38. sin t — sin 1 sh t/sh 1 s abs max, 5min ==—oo. 5.39. sh2t —2
— sh 2 sh t/sh 1 s abs min, 5m ax = +oo. 5.40. sin t 4- (B — sin ^o) X
X sh t/sh To e abs min, 5max = +oo. 5.41. sh 2t 4- (B — sh 2T0) X
X sh t/sh To s abs min, 5max = 4-°°. 5.42. (t—1) ch t s abs min,
5max — 4-0°. 5.43. t ch t -f-(g — To ch T0)sh t/sh To s abs min, 5Шах =
= 00.5.44. (£—1) sh # s abs min, 5max= 4-oo. 5.45. ((g/sh7’o)“77o4-
4- 0 sh t s abs min, 5max = 4-°°. 5.46. cos t s abs min, 5max = +°°.
5.47. cos 2t s abs max, 5nnn = —oo. 5.48. sin 2t s abs min, 5max —
= 4-0°. 5.49. Smin — —°0, 5ma.x =-Roo; л/2— сопряженная точка
=ф- не выполнено необходимое условие Якоби => допустимая экс-
тремаль sin 2t ф loc extr. 5.50. cos t 4- sin t — 1 e abs max, 5mm =
= —oo, 5.51. 5mtn = — oo, 5max = 4-oo; л — сопряженная точка
=ф- не выполнено необходимое условие Якоби => допустимая экс-
тремаль cost—sin t — 1 loc extr. 5.52. (л sin t — 2t)/4 e abs min,
5max = 4-o°- 5.53. sh t — (sh л/2) sin t e abs min, 5max — 4-°°-
5.54.	0 < Tq < л => sh t -}- sin t (£ — sh 70)/sin To s hbs min; л —
сопряженная точка => при То > л не выполнено необходимое ус-
ловие Якоби => допустимые экстремали loc extr; То = л => при
| = shn f — sh 14- С sin t s abs min VCeR, при g¥=shn до-
пустимых экстремалей нет и 5mm = —оо, 5шах ~ 4-°°.
5.55. sin 2t s abs max, 5min=—oo. 5.56. О < To< л => £ = (£/sin To—
— 2 cos T^) sin t sin 2t e abs min; л — сопряженная точка => при
То > л не выполнено необходимое условие Якоби => допустимые
экстремали loc extr, 5шт — — °°; То = л => при £=0 х =
— sin 2t 4- С sin t s abs min VC «= R, при | О допустимых экст-
ремалей нот и 5шщ = —оо, 5max = 4-	5.57. t cos t s abs max,
5mm ——°0. 5.58. 5mm = —°®, 5Шах =+°°; л— сопряженная
точка => не выполнено необходимое условие Якоби => допусти-
мая экстремаль t cos t 0 loc extr. 5.59. t sin t — (л/2) sin t e abs min,
5max = 4-00. 5.60. tsin fe abs min, 5max = +°°- 5.61. л — сопря-
женная точка =ф- не выполнено необходимое условие Якоби => до-
пустимая экстремаль t sin t loc extr, 5mm = —oo, 5Шах = 4-°°-
5.62. 0 < Tq < л => (£/sin To — To) sin t 4-1 sin t e abs min; л — со-
пряженная точка => при То > л не выполнено необходимое условие
Якоби => допустимые экстремали не принадлежат loc extr, 5mm —
= —оо; То = л => при £ = 0 (t 4- C)sin t е abs min VCeR, 5mm =
=—л; при £=4=0, 5min =—oo, 5max = 4-oo. 5.63. e* s abs min, 5max =
t—^0
=4~o°- 5.64. te2~f s abs max, 5min = —°0- 5.65. t^e Tq s abs min,
5maX — 4~°o. 5.66. 5mm — — h 5max = +1,	= л£/2 s abs max.
5.67. 5щ1ц = —1, Smax == 4-1,	== abs min. 5.68. 5щщ = —Tq,
251
iSmax = 4~ To', 24л %,/To < я -]- 24л, к = 0, 1, ... => X = fy/To ge
e= loc max; —л + 24л < B/To < 24л, 4 = 1, 2, ... => х е loc min,
не выполнено необходимое условие Вейерштрасса => в обоих
случаях х — несильный loc extr; То = 4л, к — 1, 2, ... => тре-
буется дополнительное исследование. 5.69. Smin — —То\ —
= +Т0; ’ л/2 + 24л < £Т0 < Зл/2 + 24л, к = 0, 1, ...,=> к =
= В^/То е loc min; —л/2 4- 24л < |/Т0 < л/2 + 24л, 4 = 0, 1, ...
... => х е loc max; не выполнено необходимое условие Вейерштрас-
са =>• в обоих случаях х — несильный loc extr; То = л/2 4- 4л, 4 =
= 0, 1, ...=> требуется дополнительное исследование. 5.70. 5т|П —
= —оо; Smax =+<»; То > — В/2 => х = ^t/T0 s loc min; TQ <
< —-£/2 => л s loc max; не выполнено необходимое условие Вейер-
штрасса => в обоих случаях х — несильный loc extr; То — —В/2 =>
=> требуется дополнительное исследование. 5.71. 5mia = —оо,
Smax = 4-00,	£ > 4Г^4/5 =3»	= 4 ((* 4- С)5/4 - С5/4)/5 g= loc min,
В < — 4Т'У75=^ ^2 —	— (< 4- С)5/4)/б s loc max, где С опре-
деляется из уравнения 4((Г0 4- С)5/4 — С5/4)/5 = |£|. Необходимое
условие Вейерштрасса пе выполнено, так что в обоих случаях
Я — несильный loc extr. При | В | < 4Г®-/4^5 допустимых экстре-
малей нет.
5.72.	Решение. 1. По теореме Боголюбова численное значе-
ние задачи совпадает с численным значением простейшей задачи
с теми же краевыми условиями и интегрантом
zG)=h ч '71,
К х — 1)2, I х I > 1.
2.	Необходимое условие для интегранта L — уравнение Эй-
лера — имеет интеграл х — const.
3.	Общее решение уравнения Эйлера: х — C^t 4- С2.
4	Единственная допустимая экстремаль х = gi доставляет
absmin в новой задаче (возможна непосредственная проверка),
_J0,	R|<1,
’mln “ |(j2 _ j),, , j 1 > j.
В первоначальной задаче экстремаль доставляет loc max при
(Bl < 1/УЗ и locmin при|ВI > 1/УЗ; при |В| < 1 эта экстремаль
не доставляет сильного минимума, ибо условие Вейерштрасса не
выполнено.
5.73.	Краевым условиям удовлетворяет экстремаль / = 0. Но
она не является решением задачи: по теореме Боголюбова Smln =
— —оо, £тах = 4-ос. 5.74. Краевым условиям удовлетворяет экс-
тремаль х == 0. На этой экстремали выполнены достаточные усло-
вия слабого минимума, ибо поле x(t, X) з Ji окружает экстремаль
и условие Лежандра выполнено: L. . (£)==2>0. Необходимое ус-
X X
ловие Вейерштрасса также выполнено, ибо функция х2 4- 2ta4 вы-
пукла. Сильного минимума, однако, нет. Достаточно взять лома-
ную x{t\ к, 4) = kt/h при 0 t h и 4(1— i)/(l — h) при 4^
t 1 и для любого 4 > 0 подобрать 4 > 0 так, что (•, 4,
4)) < 0 5.75. yi — t2 е abs min, 5max = 4-°°. 5.76. y2i — t2 s
s abs min, 5тах == 4-°°. 6.77. Допустимая экстремаль — дуга ок-
252
*2
x = -L- (Д — cos x), t = —- (x — sin x) + с. Константы а п с одно-
ружности с центром на оси t, проходящая через точки (t0, х0)
и (<i, xt), доставляет absmin, Smax = 4-оо. Указание, В зада-
чах 5 75 — 5.77 допустимую эстремалц легко включить в поле экс-
тремалей, покрывающее полуполосу t0 t tlf х > 0; интегрант
регулярен. Основная формула Вейерштрасса приводит к тому, что
допустимая экстремаль доставляет abs min.
5.78.	Экстремали в задаче — цепные линии х = С ch(i 4- D)!C-
Константа D в задаче равна нулю, а константа С должна быть оп-
ределена из уравнения С ch Го/С. Если теперь а определить из сис-
темы уравнений x = cthx, a = shx, то при |^/Г0| > а имеются
две допустимые экстремали; при |£/Г0| = а имеется одна допусти-
мая экстремаль; при [^/Го! < а допустимых экстремалей нет. Под-
робное исследование задачи содержится в [13, с. 427]. 5.79. Экстре-
маль записывается в параметрической форме следующим образом:
2	2
---— (1 — cos х), t = — (х — sin х) 4* с. Константы а и с одно-
di	di
значно отыскиваются из начальных условий Допустимая экстре-
маль может быть включена в поле экстремалей, покрывающее поло-
су io t tt, х > 0; интегрант квазирегулярен. Основная форму-
ла Вейерштрасса приводит к тому, что допустимая экстремаль до-
ставляет abs min, 5тах = 4-оо. 5.80. Экстремали, удовлетворяющие
1 4- а2
начальному условию х(0) ~ 0, имеют вид х (i,a)=ai+ —Z.— t2.
w
Уравнение огибающей этого семейства имеет вид х — —h 4-
4- i2/(4/i) (в баллистике зта кривая носит наименование кривой
безопасности). Если точка (Го, |) лежит вне кривой безопасности,
допустимой экстремали нет; если эта точка лежит на кривой безо-
пасности, допустимая экстремаль единственна; под кривой безопас-
ности имеются две допустимые экстремали. При этом верхняя (навес-
ная) экстремаль имеет пересечение с огибающей, т. е. сопряжен-
ную точку внутри (О, То), и, значит, не дает сильного экстремума.
Нижняя дает сильный минимум. Вопрос об abs min требует до-
полнительного исследования. 5.81. х = (xb Jf2) = (sh t, —sh t)
s abs min, 5шах == 4-°°. 5.82. x = (x1? x2) = (sh t, sh t) , ‘S'niin —
= —oo (xn (i) =s £(t) 4- (sin rent, —sinjtni)), 5max = 4-oo (xn(t) =
= x(i) 4- (sinnni, sinrtni)). 5.83. x = (£i, x2) = (e‘, e_f), 5пнп =
= —oo (xn(t) = x(t) -f- (sinnnt, —sinnni)), Smax = 4~°° (xn (i) =
= #(i) + (sinnni, sinnni)). 5.84. x — (x1; x2) = (sin t, —sini),
^min = — °° (xn (t) = x(t) 4- (sin 2ni,	—sin2ni)),
(xn(i) = x(i) + (sin2ni, sin2ni)). 5.85. .*	‘
Smin = —00 (xn(t) = x(i) 4- (sinnni, — sin nnt)),
(.xn(t) = x(i) 4- (sinJtni, sinnni)). 5.86. x= (xb
4-	cOs t, —cos t, cos t — t), Smin = —oo (xn (i) = x(i)4- (0, — n sin 2t,
0)), Smax = 4-°°(«n (i) — *(i)4-(0, n sin2i, 0)). 5.87. xsl abs min,
Smax = -|-oo. 5.88. a > —1 => x 0 e abs min, a = —1 => x=C7 s
G= abs mm	<^mln Oj	1 ==^ ^mln == —°°,
= -[-oo. 5.89. T = 1, x = — 2t e abs min, 5max — 4-°°. 5.90. T = 1/2,
X = i4i S abs min, «Smex ~ 4“°°. 5.91. iSmln == —°°, Smax x= 4"00!
x sb 0 ф. loc extr. 5.92. (i2 — 1)/4 e abs min, Smax —+°°.
5.93.	P e ш e н и ё. 1. Функция Лагранжа!
, . , ^max = 4"°°
X = (*1, X2) = (t\ t3),
Smax — 4-oo
!2, *3) = (i 4-
£
Z ~ f (ж — ж2) di 4-	(0).
о
253
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: 2Хох + Хо = 0;
б) трансверсальность: —2Хох(О) = X, Kqx(T0) = 0.
3.	Хо = О=>Х = О — допустимых экстремалей нет. Полагаем
Хо =1. Общее решение уравнения Эйлера: х = — t2/i + Cxt + С2.
Единственная допустимая экстремаль: х — t(2T0—t)/4.
4.	Непосредственной проверкой убеждаемся, что х s abs max.
Действительно, если /г() еС’ЦО, Го]), h (0) = 0, то
*о то . . т0 .
J (х (•) -j- h (•)) — J (х (•)) = J h dt — J 2xh dt — § h 2dt —
oo	о
Очевидно, что 5min = —oo.
5.94.	5mm = —oo (xn(t') = 1 — t^Tn — «), Smax — +oo. Допус-
тимая экстремаль: x = Z2/4 — t + 1(T = 2) loc extr. 5.95. 5mln =
= — oo (xn (Z) = (t2 — n2)/4 + n, Tn = n), Smai = 4-ос. Допусти-
мая экстремаль: x = z2/4 — 8(7 == 8) loc extr.
5.96.	5т1„ = — oo
/	(—t, 0<z<l,	\
pn(t) = H1’ t^n~l, Tn = n, ).
\	[(£ 4- 1) (t — n 4-1) —-1, n —	t у
Допустимая экстремаль: £ = z2/4 (Г = 2У£, . | > 0) ф loc extr,
Smax = 4-0°. 5.97. Smln —= —OO (ж„ (Z) = (Z2— nZ)/4-H, __ГП ==^),
Smax = -Ь_°°. Допустимая экстремаль: x = Z2/4 — (1 4-1/5) t (T =
= 8 4-4У5) loc extr. 5.98. 5Шщ = — oo	(Z) ==_—Z^ Tn =_n),
‘S’max = 4-°°. Допустимая экстремаль: x == Z2/4 — У2 t (T = 2У2)
loc extr. 5.99. cos t 4- sin Z s abs min, 5шах —4-oo. 5.100. 5шах =
= 4-0°, To<. л/2 => x = 0 s abs min, To — n/2 => A sin t s abs min
VA e R; 5т1п = 0, TQ > л/2 => 5шт = — oo. ' 5.101. (Z — л/4 —
— 1) sin Z s abs min, 5max = 4-oo.	5.102, (Z — л/4 4- 1) cos t s
ch (Z — 1)
sabs max, Smin = —oo. 5.103.—— s abs min, 5max =4-o°.
5.104. Z ch Z — sh z(sh 1 4-ch l)/ch 1 s abs min, 5’шах=4-°о. 5.105.
t sh z — th 1 ch Z s abs min, Smax = 4-o°.
5.106. Решение. 1. Фупкция Лагранжа:
i
S’-J X0(^4-x2)dz-X0a;2(l)4-M* (0) - 1).
о
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: Xo(x— x) = 0;
б) трансверсальность: 2Л0х(0) = %, Xox(l) = X0;r(l).
б)
3.	Хо — 0 => X = 0— допустимых экстремалей нет. Полагаем
Хо = 1. Общее решение уравнения Эйлера:	Ci sh Z 4- С2 ch Z.
Единственная допустимая экстремаль: х = ch t 4- sh t — e*.-
4.	Покажем, что x s abs min. Действительно, для квадратично-
го функционала легко проверить, что
J(x (.) 4-ж (.)) = /(х (.))4-/(х(.)) Уд; (•) s С1 ([0,1]), х(0) = 0.
254
Формула Вейерштрасса приводит к тождеству
1
J (Р-f- x2}dt =
о
1
= J (ж — «cth t)2 dt + cth lx2 (1)
о
V^.JeC’dO, 1]),«(O)=O.
Отсюда J (х (•))	0 Ух (•) <= С1 ([0, 1]), «(0)= 0; поэтому 7(х(-)+
+ «(•)) < J(%(•)). Очевидно, ЧТО Smax = + °°.
5.107. Допустимых экстремалей нет. Smla — 1 (хп = sh t/sh Т,
tn = п), Sraax — +°°. 5.108. х — 2 sh 7* ch t, Т~— единственное ре-
шение уравнения sh 2Т 4- Т = 1. 5.109. £ = —2 ch Т sh t, Т —- един-
ственное решение уравнения sh2T = Г 4- 1. 5.110. £ — t/^2, Т —
= 2'/6. 5.111. £ = У2—(*—I)2. 5.112. £ = V2—( f-I)2, Т = 2.
t
5.113. Экстремали в задаче — цепные линии вида С ch jtt. Пусть
а определяется из уравнений а = sh т, т = cth т. Тогда, если
| £ | < аТ0, то экстремали нет, | £ | = аГ0 => экстремаль одна,
| £ | > аГо => имеются две экстремали. 5.114. « = (xv «2) =
__/cosjf £21_Л	5.115. "х — (х.,	= (cos «+tg 1 sin t, cos t +
\cosl cosl/	\ 1	27
ч-tgisint). 5.И6.	5.И7.
2 j	dt 2 \\dx /
7-j-	= 0. 5.119. f4- (
\\dx J J	\dt /	/
= x2p. 5.120. !^4-££-ln — —^ = 0. Указание. В задачах
dt dx dx dx
5.121—5.125 следует искать решение уравнения Гамильтона—Яко-
би в виде g (i) + /(2^). &.121. Сj -j- C$t. 5.122. Cj sh t 4- C2 ch t.
5.123. Cx sin 14- C2 cos t. 5.124. t=]/ C{ — (x — C2f.
X
5.125. t— a f ——2= =
— x2 =0. 5.118..
J l/g2p-a2
*o
5.126. Решение. Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
(ds\2 , (dS^ ,2 , 2
Ищем его решение в виде
S — -^(t2 sin а — 2tx cos а — х2 sin а).
Общий интеграл уравнения Эйлера согласно теореме Якоби имеет
вид
dS_ _ 1
dot ~ 2 Р’
255
откуда получаем
t2 cos а + 2tx sin а — x2 cos а = p.
6.1. 3t2 — it + 1 s abs min, 5max = -{-oo.	6.2. 3t2 + 2t + 1 s
s abs min, Smax = +°°. 6.3. (5t3 — 3t)/2 s abs min, Smax = +°°-
- 6.4. 5t3 4- 3t — 4 s abs min, 5max = 4-°°. 6.5. 60t3 — 96t2 4- 36t s
sabs min, Smax = 4-°°.	6.6. —10t^—— 12t2 + &t 4- 2 se abs min,
5max = 4-ОО. 6.7. cost sabs min, Smax = 4-oo. 6.8.'(t — 2 sin t)/n s
s abs min, 5тах = 4-°°. 6.9. t 4- sin t s abs max, t — sin t s abs min.
6.10.2 sin t -f- cos t 4* 1 s abs min, 5max = 4-°°. 6.11.2e1-( 4-1 —t e
e abs min, 5max = 4-°°. 6.12. 2(1 — ег)/(е2 —4e 4- 3) 4- (e— l)t/(e —
—3) s abs min, Smax = 4*°°-
6.13. Решение. 1. Лагранжиан: L = X0(x2 4- x2) 4- \xe*.
2. Уравнение Эйлера: 2Xo(—x 4- x) 4- he* — 0.	**
2. -
3. Xo = 0 => X = 0 — все множители Лагранжа — нули. Пола-
2.
гаем Хо = 1/2 => х — х = Xef. Общее решение: х = С{е* 4- С2е~* 4-
4- Cite*. Единственная допустимая экстремаль: х == te*.
i. Непосредственной проверкой убеждаемся, что tef s abs min,
*5max =^= 4~«>.
6.14. te~i s abs min, Smax =4-00.
6.15. Решен ие. 1. Лагранжиан: L — X0t2x2 4- Ktx,
d (
2. Уравнение Эйлера: — ^!2Xotzxj -]-Xt = O.
2.
3. XQ — О =>X=0— все множители Лагранжа — нули. Пола-
2,
гаем Хо — 1/2 => t2x — ht2/2 4- С => х = Х/2 4* Oft2. Общее решение:
х — С it 4- C2I t 4- С3. Единственная допустимая экстремаль: х = t.
- 4. Непосредственной проверкой убеждаемся, что t s abs min,
iSniax = 4-00.
6.1	6.4/t2 s abs min, Smax = 4-°°.
6.17	. Решенп e. 1. Лагранжиан: L = Xox2 4- Xx2.
2. Уравнение Эйлера: XqX — Xx == 0.
2.
3.	Xo = 0 => X — 0 — все множители Лагранжа — нули. Пола-
гаем Хо ='1 => х = Хх. Общее решение: а) X > 0 => х = Схе¥ к 1 4-
4- С2е~т-, б) X = 0 => х = Cit 4- С2; в) X < 0 => х = Ct sin ]/=Xt 4-
4- С2 cos У—Xt. В случаях а) и б) допустимых экстремалей нет.
В случае в) имеется бесконечное число допустимых экстремалей
х = У2 sin км>, к = zfcl, ±2, ...
4.	Абсолютный минимум доставляет функция — ±У2 sin ntr
что следует из тождества
1 1
J (х2 — л2х2) dt = J (х — л ctg Л^х)2 dt
о	о
Ух Неб/1 ([0,1]), х(0) = х(1) = 0,
являющегося следствием основной формулы Вейерштрасса. В спра-
ведливости тождества можно также убедиться непосредственной
проверкой. Smin = л2, 5тах = 4-00,
256
6.18.	— t sin t + C sin t\jCe=R. 6.19. — t cos t.
6.20.	Решение. 1, Лагранжиан: L = XQx -f- X у 1 + i2.
2.	Уравнение Эйлера: — — ——4- X = 0.
3.	Xo == 0 => либо X = 0 и тогда все множители Лагранжа — ну-
ли, либо х — const. Тогда из условий на концах и изопериметриче-
A vC
ского условия следует, что х а О, I = 2Т0- Хо = 1 => —	....—•.
Vi+i‘
t + cx
± jA2-^-^)2
Общее решение: (£ + G)2 +
9
-j- Cj x
+ (x + C2)2 = X2. Из условий на концах следует, что Ci = 0.
4.	При 2Х0 < I лГо имеется единственная (с точностью до
знака) экстремаль, являющаяся дугой длины I окружности, про-
ходящей через точки (±Т0, 0), с центром на Оси х. При I < 2Т0
и I > лТ0 экстремалей нет.
6.21.	I < 2Т0 — экстремалей нет, I ~2Т0=>х = 0, I > 2TQ =>
/	Т \
х = + С I ch X — ch _Р I,
\ С (s )
где коэффициент С > 0 определяется
единственным образом из уравнения 2С sh = I.
6.22. хг =
я- —б£2 + Gt, х 2= 3i2 — 2t — допустимая экстремаль, 5min = — оо,
£шах = 4-оо. 6.23. Xj = 0, х2 = 5t3/2 — 3t/2 — допустимая экстре-
маль, 5щ1п = —°°, 5шах = 4 оо. 6.24. х1	,gi)_(3£2—2t,
St2 _ 6f), x2 ~ i» ® г) = (“* 3t2 + ^t, — 3t2) — допустимые экс-
тремали, ^min= ~jx>’ £max~+°°- 6.25. x1 =(xJ, xj)=(3t —f3,
i3 —t),	x2 — (x2, x2) = (t34-f, — t3 4- t) — допустимые
ЭКСТремалИ, Smin = —°°, йпах = + °°.
7.1.	3t2 — 2t3 e abs min, Smax — + oo. 7.2. t(t — I)2 <= abs min,
5шах = 4-oo. 7.3. t4 — 4t3 + Gt2 — it 4- 1 e abs min, Smax = +°°.
7.4. i4 e abs max, SmIn = —oo. 7.5. t2(t3 — 2t 4- l)/10 e abs max,
5njin = —7.6. (t5 + 3t3 — 2t2)/10 e abs min, SmSiX = 4-oo. 7.7.
shfeabsmin, 5max= + oo. 7.8. ch t — cos t e abs min, Smax == 4-00.
7.9.	Решение. 1. L = x2 — x2.
2.	Необходимое условие — уравнение Эйлера — Пуассона
х — х — 0.
3.	Общее решение уравнения Эйлера — Пуассона: х =
= Сх sin t 4- С2 cos t 4- C3 sh t 4- C4 ch t. Если ch To cos To =^= 1, to
имеется единственная допустимая экстремаль х == 0. Если
ch То cos То = 1, то х = C((sh 70 — sin Го) (ch — cos Q — (ch Хо—
— cos То) (sh t — sin t)).
4.	Применим достаточные условия экстремума. Условие Ле-
жандра (L.. ..(£) = 2 > 0) выполнено; более того, интегрант
\ ОС X	J
257
регулярен. Проверим выполнимость условия Якоби. Уравнение Яко-
би совпадает в задаче с уравнением Эйлера — Пуассона. Положим
hi = ch t — cos t, h2 = sh t — sin tt
'hl
k
H =
^2 fch t — cos t sh £ — sin f
[sh t 4~ sin t ch t — cos t
[2
Тогда Я (0) = 0, Я(0) = I
женные точки определяются
01
— невырожденная матрица. Сопря-
u I
соотношением
det#(f) «= 0-$=>- (ch t — cos i)2 — (sh2t— sin21) = 0<=^cos t ch = l,
Ближайшая к нулю точка: ti е (Зл/2, 2л).
Ответ. То 4 =*-х == 0 е abs min, Smln = 0;	T0>t1=>
₽> 5щ1П = —Smax — 4"°°.
7.10.	sh t — gin t e abs min, Smax == 4-°°.
7.11.	Ci sh t sin t + C2 (ch t sin t — sh t cos t) e abs min,
2|0 sh 70 sin 70 -1/2^ (ch TQ sin TQ - sh TQ cos To)
C1 ~	sh2T0 - sin2T0
sh 7 8o sin y0 - Eq (ch r0 sin To + sh то cos Tp)
2	sh2T0 — sin2T0	*
Smax = 4-00-
7.12.—ch t cos t e abs min, ^max =* +°°.	7.13. — sinfslUe
6 abs min, Smax = 4- oo. 7.14. t + cos t e abs min, Smaj; = +°°. 7.15.
(1 — cos f)/2 e abs min, Smax = +°°. 7.16. ch fe abs min, Smax =
==4-oo. 7.17. sh £ sabs min, Smax = 4-°°- 7.18. i(f) sOeabsmin,
Smax = 4-°°- 7.19. te* s abs min, Smaj; = 4-°°. 7.20. e* e abs min,
<$max •=* 4-°°. 7.21. t2 e abs min, Smax = 4-00. 7.22. In (f 4- 1) <=
sabs min, Sm ax = 4-00. 7.23. f In f <= abs min, Smax = 4-00.
7.24. 1/(i + 1) s abs min, Smax = 4-°°. 7.25. t3 s abs min, Smax ==
= 4-oo. 7.26. t4 <= abs min, Smax = +00. 7.27. sh t <= abs min, Smax =
= 4-00. 7.28. 1 — cos t. 7.29. t — sin t. 7.30. sh t — sin t.
8.1. (4, й) = (ch t 4- C sh t, 0) s abs min yC s R, Smax = 4- 00.
8.2. (А й) = (ch t, 0) s abs min, Smax = 4-°°. 8.3. (x, й) = (t ch t,
2 sh t) s abs min, Smax = 4-°°- 8.4. (x, u) = (f sh t, 2 ch f)s abs min,
Smax = 4-°°. 8.5. (%,	= (sin 14- C cos f, 0) sabs min yCeR.
Smax — + OO. 8.6.	(x. U) — (sin t, 0) £= abs min, Smax = + oo.
8.7. (x, u) = (f cos t, —2 sin f) s abs min, Smax = +°о. 8.8. (£, u) =
/ ( л \	\
= 111 — ~2 I sin t, 2cos 11 e abs min, Smax = 4*°°. 8.9. (^,  й) =
= (C sin t, 0) e abs min VC e R, Smax = 4-°°. 8.10. (x, й) =
— (sin f, 0) e abs min, Smax = 4-°°.
rt ,	/—2 (f 4- 2) cos t 4sinf\
8.И. (x,u)=^----------------;,ГГГГаЬз min’ 5 6max=-l-°°-
„ ,	_ f(2tn 4- 4л) cos t 4- (4f — 2л) sin t
8.12. (x, u) - ------------------§---------,
\	4 — 4л — л
8 cos t — 4л sin t \
— -----------§— e abs min, S n = 4- oo,
4 — 4л — л j	шах *
258
8.13.
8.14.
8.15.
(x, й) = (C ch t, 0) s abs min V C e R, = 4-oo.
(x, й) = (ch t, 0) e abs min, Smax — +<»•
(3t sh 1 ch t-j-tt sh 1 — f ch 1 — sh 1 — 2 ch 1) sh ?
sh 2 + sh2l — 3
6 sh 1 sh t + 2 (sh 1 — ch 1) ch t \
-----Гь-2+-а1Л_3----------j * abs min, SmaI = + oo.
/ (4 + 2i) sin t 4cos£\ ,
8.16.	(x, и) = I -777^---, 4"+~я- ) e abs min, Smax= + oo.
о	/V2ch V2? + sh V2t
8-17' (r'“)=V VichV2 + shV2“’
sh ~\/2t	\
-г-т=——7-=---77=- €= abs min, Sma_ = -j- 00.
]/2chl/2H-shl/2 )	’ max >
sis Г /1Z2 ch (t - 1) + sh (t - 1)
8.18. (x, u) = --------------74-----»
у 2 ch 1 — sh 1
sh(i—1)	\	.
---------.7^-777 e abs min, Smax=+°o.
2 ch 1 — V 2 sh 1 /
8.19. (Д й) e abs min, где x — (Cxt 4- C2) ch t 4- (Czt 4- C4) sh t,
й = x + ]/ 2 x, неизвестные константы Сь С2, С3, С4 определяются
ИЗ УСЛОВИЙ х(0) = 1, Й(0) — u(l) — Й(1) — 0; Smax — +°°-
8.20. (х, и) е abs min, где х = (Cxt 4- С2) ch t 4* {Czt 4- С4) sh t, й =
==x — У2х, неизвестные константы Сь С2, С3, С4 определяются из
условий х(0) = 1, й(0) = «(1) — м(1) = 0; SmaL^== 4-°°. 8.21.
5mln в о, (х, й) (cos t— ctg'T sin t, 0) e abs min VT =£ ктс, к — 1.
/ / t t л\ .	1	\
2, . • •; Smax = 4~ 00 • 8.22. (x, и) — I ( 44~g I sin t, cos 11.
8.23. Решение. 1. Перейдем к полярным координатам х —
— г sin ср, у = т cos ф. Тогда х = f sin ф + гф cos ф, у = г cos ф —
» •
— гф sin ф и, следовательно, ху — ух ~ г2ф = 1, х2 4-#2 = г2 4-
4. г2ф2 = /2 ф таКпм образом, получили стандартную задачу
Лагранжа
1
'J u2 dt -> extr;
о
• 1 •
Ф =•—, r = u,
г (0) = г (1) = 1, ф(0)==0, <p(l) = l.
Функция Лагранжа:
1
J (zo“2 + Pi ~~	+ Р2 ( г ~ dt + V +
4-Х2г(1)4-Х3ф(0)4-Х4ф (1).
259
2.	Необходимые условия:
а)	система уравнений Эйлера:
d	d ~	„
~~dtL' +Lr = °> — 1TL- +	° P2 +2^ir =0’
T	ф
Pi = 0;
б)	трансверсальность по г и tp:
Pi(0) = X3, Pi(l) = — X4, Рг(О) = Ai, Рг(1) = —A2;
в)	стационарность no u: 2Xou — p2 = 0.
3.	Если Ao = 0, то из условий п. 2 следует, что все множители
Лагранжа — нули. Положим Хо = 1/2. Из условия стационарности
по и и уравнений Эйлера получаем следующее дифференциальное
уравнение: г — С/г3 = 0 => rr — Cf/r3 = О => г2 + С/г2 = С'. С дру-
гой стороны, rr — С/г2 = 0. Отсюда (г2/2)" = г2 + rr = С' и, следо-
вательно, г2 — C\t2 C2t + С2. Из начальных условий находим
. 1
г2 = А (1 — t)t + 1. Поэтому (р = ।	__ ty Поскольку ср(1) —
1
С dt
~ ' 1 + Л* (1 —'ТУ =	тоЛ==0’ значит,	ф(0 = С
о
Ответ. Единственная допустимая экстремаль: х = sin £, у =
= cos t.
9.1. t2 s loc min, — t2 e loc max, ^mln = —Smax — +°°.
9.2. Численное значение 5min = —1 и достигается на последо-
вательности функций
po + e^f,
*n (0 =
-t/2,
e2nf,
где 8,-1 или 8, = —1 в зависимости от х0 и zt, а т,п — абсцис-
сы точек пересечения прямых «о + егп£ и —1/2. 9.3. У a8—£2£
е loc min, — рд2 — t2<= loc max, Smin = — 00, Smaj = +<».
9.4. — f2at s loc min, ^2at e loc max, Smin = —<», Smax = +°°.
Замечание. В задачах 9.1—9.4 loc min й loc max — Это локаль-
ные минимум и максимум в пространстве С. 9.5. 5тщ = 0
’ Г nt, 0< t < 1/п,'
достигается на последовательности ««(0=	. .,
V 1, l/n< t < 1.
9.6.	5mm = 0 достигается на последовательности, подобной постро-
енной в 9.5.
9.7.	Решение. 1. Формализуем задачу как ляпуновскую:
1 ______ ______ 1
J "J/£ i г? dt -* inf; J и dt = |.
о	о
Функция Лагранжа:
1 __________________________________
s = J (а0 1/Г+Т /1 + и2 - Хи) dt.
о
260
2.	Необходимое условие:
х s abs min => inf (x Д/t -Д-h	— Xu) =
u °
== Xq ~fit -Д- h ~\f 1 -f- и (i) — Xu (£).
3.	Если Хо = 0, то из n. 2 следует, что X = 0 — противоречие.
Полагаем Хо — 1. Далее решаем задачу
yt -f- h у 1 -f- u2 — Xu —>- inf.
Эта задача имеет решение, если |Х|	}'Л и при этом d(f) =
== Х/Уг + h — X2. Если X = У^, приходим к неравенству
fi~+~h yi + u2 — уЛ и > (t + h)/fi— у! у1/уГ (1)
Пусть теперь х(-) — любая допустимая функция при 12> 2у&,
и — х. Интегрируя (1), получаем неравенство
/(*(•)) ^уТ(^2у7) +/(2yTi).	(2)
4.	При ||| 2уХ решением является
t
J /t + л-х2
где X подобрано так, чтобы выполнялось условие
ж(1) =	2Х(У1 + Л-Х2—y/г2 —X2)
Дпри этом |Х| ^УЛ). Если же ||| > 2fii, то значение задачи, как
это сразу следует из (2), достигается на последовательности
nt,
| — 2 Д/h + 2 Д/lfi тп ^t < 1,
где Tn — точка пересечения прямой х = ht и. кривой х = % —
— 2УХ + 21/ht. Таким образом, можно сказать, что при ||| >2]Х
имеется обобщенное решение
= | — 2у1 4- 2fit.
9.8.	Решение. 1. Формализуем задачу как ляпуновскую;
1 1
u2/2 dt -Hnf; J e~xu (т) dr = —
о	о
t
(ибо x = x + и, x (0) = 0 => x (t) = J e<-Tu (t) dt},
о
2. Необходимое условие:
inf (Xou2/2 — Xe~fu) = Хой2(О/2 — Xe-‘u(t).
W =
261
3. Если Ao = 0, то из п. 2 следует, что X = 0 — противоречие.
Полагаем Хо = 1. Тогда й(Г) = ке~*,
1
f е~хи (т) <h = l/e => X — -Д-.
J	sh 1
о
4. Вследствие того, что необходимое условие при Хо =/= 0 явля-
В
ется достаточным, u(i) =	abs min.
9.9. Smin =	- 6^2 + 2&
9.10. Решение. Задача сводится к следующей ляпуновской:
f ta | и р
J Р
dt -> inf;
1
J и dt = g.
о
Значение этой задачи обозначим 5(g). Очевидно, что S определе-
на и конечна на всей прямой. Применим метод двойственности.
Имеем
1
о
1
ta I и 1^ \ С (
—I—1— ] dt = | sup [ ur] —
P / J U \
0
Таким образом,
6{0},
a > 0 — 1,
a < P — 1,
откуда
a > p — 1,
5(g) =sup(gn-5*(n)) =
n
a < P — 1.
В последнем случае решение задачи:
[3-1-СС
х (i) = It ₽ 1
9.11. 5mjn
(0.
(t) dt,
Ф Lx ([0, 1]),
Ф"1 е= \ ([0, 1]).
2G2
9.12. Указание. Формализовав задачу следующим образом:
1
Jу2/2 dt -> inf; у (0) = j/(0) = У(1) =0, у(1)=»|
о
/ i \
I У (t) ~ J х (т) dx I,
\ О J
сводим ее к 9.9. 5ш1п = 6|2.
9.13. Указание. Задача допускает естественную формали-
зацию
J у 1 х2 dt-* inf J у х dt = ст, х (0) = х (1) =0, х 0.
о	о
Нетрудно понять, что если решение й(-) нижеследующей ляпу-
новской задачи
1 _______ 1 1
У ТК1 4- u2 dt -> inf; У и dt = О, У (1 — t) и dt == а
6	оо
i
окажется таковым, что х (t) =У и (т)	V/, то л(-) окажется
о
решением задачи Дидоны, ибо
11 1
и = у, х — у =4 У х dt ~ ст 44 У (1 — t) и dt — ст, У и dt = О,
оо	о
х (0) = х (1) = 0.
Далее следует применить рассуждения, аналогичные рассужде-
ниям, приведенным при решении задачи 9.7.
Ответ. При о л/2 решением является окружность с цент-
ром на прямой t = 1/2; при о > л/2 «обобщенным» решением яв-
ляется полуокружность (t — 1/2)2 + ж2 = 1/4, х 0, «приподня-
тая» на величину (ст —л/2)/2.
9.14.	Решение. Докажем неравенство для R+ (для R все
аналогично).
1.	Рассмотрим ляпуповскую задачу
— У xdt ->inf; j* x2dt ~ a2, j* t2x2dt = b2 (a>0, b >• 0).
R_|_	R-j-	R_|_
Функция Лагранжа:
z = f (- V + V2 + Ч*2*2)dt-
«+
2.	Необходимое условие экстремума:
X g= abs min => — X0X(f) 4- ZiX2(f) 4- K2t2x2(t) =
= min (—Kqx 4* K\X2 4~ Xj^2#2). (1)
263
3.	Хо = 0 => х = 0 — противоречие. Полагаем Хо == 1. Тогда из
(1) получаем
Л 2	а3/2&3/2
х (t) = -7= —з---5- е abs min
v 7 V л b2 + a2t
(в силу достаточности (1) при Хо 0) и при этом J х (t) dt —
R+
= (ha&)1/,2> откуда
xdt^^ х dt = ~]/л ~\/ab = J x2c?A'/4/J i2x2dA^4,
R+ R + \R+ / \R+ /
что и требовалось.
9.15.	Указание. Следует рассмотреть ляпуновскую задачу
1 1
Ju2di->inf; J (xk — т)+ и (т) dr — fc = l,
о	о
доказать существование в ней решения (которое следует из сла-
бой полунепрерывности снизу нормы и слабой компактности ша-
ров в L2([0, 1])) и применить необходимое условие в ляпуновской
задаче.
Ответ. Решением является интерполяционный сплайн с ус-
ловием х(0) — х(0) = 0, т. е. функция из С2, являющаяся поли-
номом третьей степени в интервалах (тл, th+i) и интерполирую-
щая заданные значения.
9.16.	Решение. 1. Рассмотрим ляпуновскую задачу
f р (х) In р (х) dx -*• inf; хгр (х) dx = а{, г = 0, 1, 2
R	R
(а0 — 1, <xi = 0, а2 — о3, р > 0).
Функция Лагранжа:
Z = [ (Хор In р + Х1Р + Х2^р X3z2p) dx.
R
2.	Необходимое условие:
р (•) s abs min => min (Хор In р 4- Xip + Х2хр + Х3х2р) =
р>0
= Хо^(ж) 1пр(а?) + Х1/3(ж) + К2хр(х) +
3.	Хо = 0 => X, = 0, i — 1, 2, 3,— противоречие. Полагаем
Хо = 1 => (р in р + Ххр + X2rp + x3^2p)^=^(x) = 0 =»
=> Р (^) = exp (a -j- bx -j- сх2),
причем с < 0 (иначе j* pdx=-f- оо). В итоге получаем
R
р(х) — (1/2ло)1/2 ехр (—х2/(2о))
(гауссова плотность).
264
4.	В силу достаточности необходимых условий в ляпуновской
задаче при Хо Ф 0 р (•) е abs min.
10.1.
Л “I- ti
-1,
х
— л t — л/2,
111 < л/2, xeabs min,— areabs max.
t — л,
10.2. *=(“*’
(f — л/2,
10.3. Решение. 1.
л/2 t л,
*<n/4, ~	.	-
x e abs mm, — xeabs max.
t > л/4,
Формализация:
T°
f | и | dt inf; x==u, u>4, x (0) = 0, x (T_ £ (4 < g).
Функция Лагранжа:
Г° ’
я = J (х01 и [ + р (х - и)) dt + х^ (0) + х2 (х (г0) - В).
о
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: р = 0 ч=>
<=>• р = pQ = const; б) трансверсальность по %:	р(0) — Хь
р(Т0)=— Х2; в) оптимальность по и: min (X0|u[ — ри) —
и^А
— Хо | й| — рй.
3.	Если Хо = 0, то ро^ 0 (иначе все множители Лагранжа —
нули). Пусть р0 > 0; тогда min (—рои) — —оо и условие оптим ал ь-
и^А
ности по и невыполнимо. Если же р0 < 0, то из в) следует, что
и & А, т. е. х = At, и, значит, допустимая экстремаль возможна
’лишь, если £ = АТ0. При £ < 4Т0 нет ни одной допустимой функ-
ции. При £ >АТй в случае Хо — 0 также нет допустимых экс-
тремалей.
Положим Xq = 1. Тогда из условия оптимальности по и: если
ро > 1, то условие в) невыполнимо; если ро = 1, то в качестве
й(-) можно взять любую неотрицательную функцию; если —1 <
< р0 < 1, то й == 0; если р0 = — 1, то и(-) — любая функция,
удовлетворяющая неравенству А u(t) 0; наконец, при Ро <
< —1 й ss А. Таким образом, для £ < АТ0 допустимых функций
нет; для £ = АТ0 имеется единственная допустимая функция —
экстремаль x(t) = At; при АТ0 < £ < 0 допустимой экстремалью
служит любая монотонно убывающая допустимая функция; при
£ == 0 имеется единственная допустимая экстремаль £ s 0; нако-
нец, если j > 0, то любая монотонно возрастающая функция яв-
ляется допустимой экстремалью.
Г° .
4.	Из соотношения J х dt = | следует неравенство | ^ | С
о
Г°
< J | х | dt, обращающееся в равенство на любой допустимой
о
экстремали. Значит, любая допустимая экстремаль доставляет
abs min.
265
10.4.	х = (	, 0< < , ж е abs min, 4—fsabsmax,
(f —4,	2<f<4,
/2	tT
10.5,	T 2 =Ф	— —JL e abs min*
T Q > 2 => x =
-i,	0<i<70-2,
.(' - T^/i +1 - ra, т,-гщт,,
10.6. To > 2=> x =
x e abs min, t eabs max.
-«+5,	0<f<r0-2,
(*-3"о)2Л4-1 +£ — ^0-
'x <= abs min; TQ < 2 => 'x — (i — ^0)2/4 -]- £ — 7^/4 e
e abs min,	absmax.
10.7.	5mln == °° (^-n (0 == В	Tn == n) > ^ruax = 4"°°
(xn(t) = £ 4-i, Tn “ n). £	0=> допустимых экстремалей нет;
0<|_<l»>^ = Г2/4 — fl* + — допустимая экстремаль; 7* =
= 2у^, £ > 1 ч= допустимая экстремаль
mIn t(t —1)2/4,	+5’
10.8.	TQ < 2 => 'x ~ t2/i + £ — T2/k e abs min;
T ^2=^-/?/4 + 1 + 5-7’o'
0	V+^-70,	2<t<T0,
ж e abs min, — t -f TQ + g abs max.
10.9.	TQ 4 => x = t (t — Г0)/4 s abs min; TQ > 4 =>
-t,	0<i<70/2-2,
^ ^ = (« - У0/2)74 +1 - V2’
70/2-2<t<70/2 + 2,
t,
10.10. 5min----------°0, 5max
x abs min; x =
70/2 + 2<«<T0,
0<»<Га/2,	_
x e abs max.
Л)/2<*<Го’
= + oo; £ C 0 => допустимых
ремалей нет; 0 < |	1 => допустимая экстремаль х = t2/4,
= 2f|; £ > 1 => допустимая экстремаль
экст-
Т =
^min —
^/4,
t-i,
0<
2 <
t < 2,
Т,

Т - 1 + £.
'	- В
10.11.	I g |< cth TQ => X ch y- ch (t — Го) €= abs min, | g| >
,k„ _~_h-*sign5,	0<f<i5)-/1 +'c2,
°	sign I ch (i-Ta), 151- Fl + C’<l<rt,
263
x e abs min, где C > 0 — корень уравнения C sh (| £ | — yi + С2 —
— То) == —4; | 4-1 е abs max. 10.12. — t2 e abs min, t2 e abs max.
10.13. —(t — I)2 e abs min, (i — I)2 e abs max. 10.14. t2— 2t <=
e= abs min, 2t — t2 e abs max. 10.15. (t — 2)2 — 2 e abs min, 2 — (t —
—2)2 e abs max. 10.16. t2 — 2e abs min, 2 — t2 s abs max. 10.17. t2 —
— t €= abs min, t — Z2 e abs max.
' f-A	0^г<2—~ 1/2,
10.18,	t	A
Ua -(8 — 41/2) t 4-12- 81/2, 2-1/2 <*<2,
x
e abs min, —x e abs max.
10.19. x =
A — 2,	0<i<l,-	,	.	.
leabsmin, —zeabsmax.
1<*<2,
10.20. Решение. 1. Формализация:
Ж1 = Ж2’ *2 = U’
J x^dt -* inf;
о
|u|^2, x1(0) = a:2(0) = x2(2)=0.
Функция Лагранжа:
= J (Mi + Pi Ai ~ *2) + (4 ~ u)) dt +
Н-АЛ(0)_+А2т2(0) + А3т2(2).
2.	Необходимый условия: а) система уравнений Эйлера: — р\ 4-
4- х0 = 0, —рг — р\ — 0; б) трансверсальность по х: рДО) = Ai,
pi(2) =0, р2(0) = А2, р2(2) = — А3; в) оптимальность по и:
min — р и = — ри.
|u|<2	2
б)	а)
3.	Если Ао = 0, то из а) следует (£) == const => p^t) ~ 0 =>
а)	/	в)	.»	.
=> /h(0 — 0 => р2(у = const =^= 0 => u(t) ~ ± 2 => х — ± t2 4- C\t 4-
4-	С2. Из условий/йа концах вытекает, что в этом случае допусти-
мых экстремалей нет. Положим AQ = 1 => pt = t 4- С' =Ф рг =
a)	if__9^2
-- t ~ 2=^- р2 = — -i—"г условия оптимальности по а
следует, что й = 2 sign р2. Поскольку при й ~ const допустимых
экстремалей нет, то остается рассмотреть случай, когда управле-
ние й на отрезке [0, 2] имеет переключение в некоторой точке т.
Из выражения для р2 видно, что это может быть только в том
случае, когда функция р2 меняет знак в точке т с минуса на
плюс. Итак,
~ f—2,
[2, т < t 2.
Дважды интегрируя функцию й, находим
4- Cxt 4- С2,	I—-A	O^ls^l,
X '	=:Ф X = 1
t +C3t + Cv T<f<2	((£ —2)2 —2, 1 < t < 2.
267
Неизвестные константы и точка т находятся из условий непре-
рывности х и х в точке т и условий на концах.
4.	Покажем с помощью непосредственной проверки, что х s
s abs min. Возьмем функцию х (•) такую, что £ (•) + х (•) является
допустимой. Интегрированием по частям с использованием соот-
ношений р(2) = 0, р — —1, х (0) = х (0) = х (2) = 0 | р — р„ ==>
\ *
приходим к тождеству
1 (t - 2)2 \
2	2	/
откуда следует, что
2
j(x (-)Н-я (’))—/(х(•))3 J — Рхdtо,
‘о
поскольку p(t) 0; х(£) >0 при te [0, 1] и p(t) >0, x(t) 0
при t s [1, 2].
Г- A
10.21. ж =j(i — 2)2 — 2,
I- (t - 4)2,
0< t <1,
1 t 3, «sabs min, — «s abs max.
3<f <4,
10.22.	x =
10.23.	=
10.24.	=
10.25.	I x —
— t2 — 2t,
t2 — 2t,
T = 1 I s abs min. ,
i2 + 2i,
— t2-$-2t,
- t2 +4t-1, 1 < t < 2,
s abs min.
— i2/2H-l,	0<f<V3,^_ 4
(V3i-- 4)2/2 -1, V3<f<?, Vi
s abs min.
i2 + l,
(— 3i2/2 4-3,	0<f<V3,	___8_\
l(f-8/y3)2/2-5, 2/1/3 < t < 81/3, T ~ 1/3 }
s abs min.
10.27.	Синтез задачи изображен на рис. 7.
10.28.	|2 > 0 (х = -t2/2 + Ы + Вь Т = |2) s abs min, £2 <
< 0 => (х = i2/2 "Ь == £2) s &bs min.
10.29.	Bi > 0	f2/2 + B2« + ^>	+	®
s abs min, Вх <	= *2/2 +	Т ~~~	^2—2^1) е
s abs min, B1=0=$>7’ = 0s abs min.
268
	' 0,	0</<1,
10.30. z = •	-	п хе abs min. [-(/ -I)1 2, 1< /<2, r— t2,	0</<l,^
10.31. х =	„ x s abs min, — 2/4- 1, 1 </<2, '2/,	0</<l, _
10.32. х =	9	„ x e abs min. 3 _ _ 2)2, 1< t C 2, 0,	0</<l,
10.33. х —	9	„ x e abs min. ((/-I)2, 1 < t < 2, [(/ — I)2, 0< f <1, ~ v .
10.34. ж =	x e abs min. 0,	l</<2,
10.35. х ~	8/3 — 18/4-11, 0</<l/2, -	,	. x e abs min. .12 (/—I)2,	l/2</<l, — /3 4- 6/2, 0 < /< 1, -
10.36. х =	x e abs min. ,3/24-3/— 1, 1 < t < 2, [~/2/2,	0</< 1/2,	.
10.37. х =	x e abs min. ,i3/3 - /2 4- //4 - 1/24, 1/2 < / < 1,
10.38. t <= abs max, — t e abs min. 10.39. TQ < 2 => допустимых
функций нет; To > 2 х = Р/21Тй е abs max, — х е abs min.
10.40. Решение. 1. Формализация:
1	2	2
У ^5	---И ul extr; х = и, х (1) = g.
о
Функция Лагранжа:
2
+ 1 u I I + Р (х — u) j dt 4*	(1).
269
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: — р 4-	= 0;
б)	трансверсальность по х: р(0)=0, р(1) =—X; в) оптималь-
ность по а:
min
usR
В)	б)
3.	Если Хо = О=>р==О=>Х = О, все множители Лагранжа —
В)
нули. Полагаем Хо = 1 в задаче на минимум =>
в)л
=> и — 
0,	| р| < 1,
Р— 1, Р> 1,
р+1,	Р<—1.
Поскольку р(0) =0, то d(t) = 0 при малых t. Значит, X(t) =С=>
= const, а из условий а) и б) р (t) = Ct при этих t. При t =
= 1/| С| модуль p(t) становится равным единице. Это точка не-
а)
реключения управления. Пусть [р|	1; тогда й — р=^-х— ж = 0.
Из непрерывности й = х находим, что « = Cch(t — 1/|С|). Кон-
станта С определяется из условия «(1)	%. Очевидно, что 5111ах =
= 4-00.
4.	Допустимая экстремаль: |£|	1 => хдащ = g, |£| > 1 =>
.	(С,	0<t<l/|C|,
min[Cch С]), 1/|С|<*<1,
где С определяется из уравнения Cch (1 — 1/|С|) = £. В силу
выпуклости задачи £min е abs min.
10	.41. Оптимальная траектория — окружность радиуса Т0'(2я).
Решение этой задачи и задач 10.42—10.45 см. в АТФ, с. 110. 10.42.
Оптимальная траектория — эллипс (х2 4- у2)1/2 — %>У — const. 10.43.
Оптимальная траектория — эллипс (х/Ь)2 4- (у/а)2 = R2. 10.44. Оп-
тимальная траектория — квадрат | х | 4- \ у\ = const. 10.45. Опти-
мальная траектория — квадрат |z|=const, |у| == const. 10.46.
х», р /	1	2	3 А 7	р / 1	2\
а: == — ’«j'lln—4ги4-"4”и)4-4Г^’ * ~	2 \ и )’
р < 0,— кривая Ньютона. Решение см. в АТФ, с. 99. 10.47. Допу-
стимые экстремали: х~п (J)= I sign cos (2п 4-1) 2L т ^т, п = О,
А
о
±1, ... При этом Х-о <= abs max.
11.1.	•£=== 1 е abs min, 5Ю1П = 0, 5гаах == 4-°°.	11.2. х =
= — (t24-3)/4loc extr, Smm = -<» (;гп(£)е=п), Smax = 4- °°-
11.3. I £ I > 1 «ф- допустимых функций пет. | £ | < 1 => Smax = 1
достигается на любой ломаной (|х(01 == ± 1 впе точек излома),
соединяющей точки (0, 0) и (1, £); 5тщ — £2, absmin.
11.4. (2^0 — f2)/4 s abs min, 5min = — ^o/12, 5max ~ + 00•
11.5. (f70 - f2)/4 s abs min, 5roin = - Tj/48, Smax = 4-
270
11.6.	TQ < 2 =» zmin = (2iT0 - t2)/4 e abs min, 5mIn =
—	/'q/12; Tq > 2 => я toln —
* min ® ftbs min, xmax = - t s abs max, 5max = 7’0 + 7’2/2.
11,7.	Го < 4 => xmln = (tTQ - i2)/4 e= abs min, 5min =-7^/48;
t >
0<#<Г0/2-2,
Л»> 4=>£min —
70/2-l-(f-710/2)2/4,7’0/2-2</<7’0/2+2,

*mineabsmin’ ^ax^^,
0<f<r0/2,
Л/2 < t < Го,
жшах s abs max> ^max Л) ^o/^*
11.8.	Допустимых экстремалей нет. 5m)n — — oo («(/)=/=>
=>/(«(•), T) = T — T2I2-*---oo при 7’-> + oo ЙЛИ x(t) = Xmln(0 —
допустимая экстремаль из ответа к задаче 11.6). 5тах = + °°
(4(f) = — t => /(«(•), Т) = Т 4- Т212-> + оо при Г->+ оо).
11.9.	Допустимых экстремалей нет. 5min — — оо (х (I) =
{t о < t < Т/2
i v j J /	V L у
допустимая экстремаль из ответа к задаче 11.7 => 7(ж(-), 71) со
при Т -> 4-со). 5max — +оо
/	(— t, 0	t /2,	о /,
*(«)= , -	т ^/(х(-),Г)=7Ч-Г2/4-+оопри7'->+<х.).
11.10. X 1 (Е~ abs Hlin, $min = 0, $тах === 4~ 00	(%n CO 33
—	(2n 4- 1) sin л (2n 4-1) 0- H-И- 3t — 3t2/2 e abs min, 5mm == 3,
Smax = 4~0° (^n (0 =* ~ (2n'4“ 1) sin л (2n 4~ l)i). 11.12. 6t — 6t2 e
e abs min, 5тщ = 12, SmaX=4~0° (xn(t) = ^-(2n 4-1) sin л X
X(2«4-l)0. И-13. 15i/4 — 5i3/4 s abs min, Snnn = 15/2, 5max —
к 4-00. 11.14. 15(^—Z3)/2 e abs min, Smin = 45, 5тах = 4-oo. 11.15.
Smax = +co, 5f3/8—15//8 4-le abs min. Smin = 15/8. 11.6. 5max ~
= 4-00, —20f3/3 4* 14#2 — 8t 4* 1 s abs min. 5min = 8. 11.17. Smax =
= 4-oo, 20i3/3 — Qt2 4-1/3 s abs min. Smin = 8. 11.18. 5max = 4-°o,
10i3 — 12i2 4- 3t s abs min. 11.19. x(t) =s= 3(7' = 1/3) e abs min,
Smax = + °°; имеется еще одна допустимая экстремаль 3(t — I)2
(f = l). 11.20. x(t) bs 1 (T = 1/3) e abs min, Smax = 4- °°; имеется
еще одна допустимая экстремаль t2 =	11.21. 5max = 4-oot
2
2(f 4-sin/)/(Зя) е absmin. 11.22.-5max = 4~ 00, “sin is abs min,
8	/	TT	\
11.23. 5тпят=4-оо,  -----—r 1 —cos / — —.(/ 4- sin t) e absmin.
IUdX	16 — 3л \	4	/
11.24. 5max = 4-oo, cos t — 1 e abs min. 11.25. Smax = 4-oo,
271
2(ef — ei — 1)/(е2 — 4е + 1) e abs mln. 11.26. Smax = + 00,
2 (te — t — e* -j" 1)/((3 — e) (e — 1)) g= abs min. 11.27. Smn = 4* °°t
In (t + 1) — le abs min. 1L28. Smax = + °°, 1/2 + 1/2 s abs min.
11.29. Smax = + °°, t — elni — 1 e abs min. 11.30. Smax = + 00,
t + (1 — e) In t — 1 e abs min. 11.31. Smax = + °°, Smin = —00
| ch t
(xn(t) ss n), X = COS t — 1 loc extr. 11.32. Smax == + 00, ch'/ g
e abs min, Smin = |2thT0. 11.33. | = 0 => x(Z) s= 0 (T > 0 — лю-
бое) г abs min; | =4= 0 => допустимых экстремалей нет.
Smin = 0-	=»/(*(•), Л = £2thr->0 при Т-> 0),
i	ch Г
(j;(J)=|=>J (x (•), T) = |2T -> + OO при T -> oj.
xv I ch T
< cth TQ => x ~ ThT" S a^s min; ||1 > cth Го =>
ch t
“T—, 0 < t T
sn T	’ x s abs min, где т отыс-
^max ' 00
11.34. |||
sign I
=> x ~
l| + (г - Го) sign |,
кивается из уравнения 111 = cth т — т + То. х = | —
— (i — 7’0)sign |sabs max. 11.35. | = 0=>x(£)==0 (Г>0 — любое) e
s abs min; |	0 => допустимых экстремалей нет. 5min = 0, Smax =
=4-oo, (x(t) = I => J(z(-), T) = |2Г->0 при T->0и /(«(•), T) ->
->4-00 при Г->4-оо). 11.36. (| sh t)/sn To e abs min. SmiD =
= I2 cth To, Smax = +00. 11.37. 1=0 => x(f) =0 (Г>0- лю-
бое) s abs min; | ф 0 => допустимых экстремалей нет. Smln = |2,
Smax «4-00 (j(f) = (I sh £)/sh T => Цх(-), T) = |2 cth Г-> |2 при
Г-». 4-o° и J(x(-), T) -»• +<» при Т+0).
11.38. 111 > То => допустимых функций нет. Hl^thT^^
=» е abs min, smin = |2 cth TQ, th TQ < 111 <70 => zmin =
sh t ,
= chTS® ’	^T’	(r — корень уравнения
,| 4- (г — f0) sign I, т <70
XV.	| | |3 th3 Т ХЧ
Г04-Лт-т = |||), xm{nsabs.min,Smin==||l+-—-—, xmax=
р sign I,	0<i<(704-|)/2,
ll 4- {TQ - t) sign I, (To 4- |)/2 < t < TQ,
x m„Y s abs max.
Шал
11.39. | = 0 => x(t) == 0 (T > 0 — любое) e abs min; | =4= 0 =>
I sh t
допустимых экстремалей нет. 11| < 1 => Smm — |2, ж =
=> J(x(-),T) = |2 cth Т|2 при Г->+оо; 111 > 1 => Smln =
— |Ц3/3 + |£| —1/3, x(t) — ^mm(0 из ответа к задаче 11.38 =>
=> /(«(•), Л ->Smin приГ->4-оо. Smax = + оо (ж(0=|#/Т=>
=>У(Ж(.), Т) = |2/Т4-В2ЛЗ->+~ при Г->4-оо).
t, о t т,
11.40. х = +
(т — решение уравнения
cos t
sin т’
т i С л
т tg т=~-1), zmin€=abs min, Smin= - т3/3, Smax = л.
272
11.41	. sin t e abs min, 5mIn = 0, 5max = -f- oo.
( t,	0 < t t,
11.42. x = +
cos (t — Зл/4)
sin (r — Зл/4)’
3л
т < t < у — r,
Зл/2—t, Зл/2— т t Зл/2
(т — корень уравнения Зл/2 = 2т + 2 arctg т~’) е abs min, Smin =
= -2Т3/3, Smax « ЗЛ/2.
I — Л) cos 70
11.43	. T < л =Ф--“г—7----- sin t + t cos t e abs min; To = л =>
=> при £ = —л t cos t + C sin t e abs min V C s R; To > л => до-
пустимые экстремали ф loc extr и 5т1п = —оо; Smax = 4-оо,
11.44	. Р е ш е н и е. 1. Формализация:
го
J (и2 — a:2) dt -► extr; х = и, и s [— 1, 1], х (0) = 0.
о
Функция Лагранжа:
го
ST — J Go (ц2 — я2) + Р + +-х (0).
о '	'
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: — р — 2Х0ж —0;
б) трансверсальность по х\ р(0) = Л, р(Г0) — 0; в) оптимальность
по и: min (\qu2 — ри) = X0u2 —- рй (Хо > 0 в задаче на минимум,
I и |<1
Хо 0 в задаче на максимум).
3.	Если Хо = 0, то все множители Лагранжа из-за необходи-
мых условий п. 2 равны нулю. Положим Хо — 1/2 в задаче на ми-
нимум. Тогда из условия оптимальности по и
- fsignp, |р|>1,
и = <
I р,.	|р|<1-
Рассмотрим поведение экстремальных траекторий на плоско-
сти х, р (рис. 8).
I.	j р j 1 => р = —х, х — р рр хх — 0 => р2 + ж2 == С.
Движение происходит по окружностям с угловой скоростью,
равной единице. Направление движения определяется при р > 0
из условия роста х; при р < 0 — из условия убывания х.
П. | р |	1 => р = —х,	х = ±1 => х = ± (£ + С'} =ф- р =
«= =F (t + С')2/2 + С = =Рж2/2 + С.
Движение происходит по параболам. Направление движения
определяется при р > 1 из условия роста х; при р < —1 — из ус-
ловия убывания х.
Оптимальное движение начинается на оси р(ж(0)=0) и за-
канчивается на оси х (р(Т0) =0); x(t) == 0 — допустимая экстре-
маль VT1 . При То— (X — 1/2)л, к е N, допустимыми экстремаля-
ми являются также функции x(i)=Csini, |С|	1. Пусть
{к — 1/2)л < То < (к + 1/2)л; тогда оптимальная траектория
Д,(-) может содержать нечетное число «четверть оборотов», п,
п — 1, 2, ..., к. Учитывая условия я(0) = 0, х(Г0) = 0 и непрерыв-
18 в. М. Алексеев и др.
273
ность функций х и Д получаем
1Н<тп,
*min(n)= ± l/l + ^sign t cos(£—Г0/(2п—1)), тп<Н|<Г0/(27г-1),
.далее антипериодично,
где тп—корень уравнения (2п— 1) (тп-j-arctgx"1) == Го, п ==
s= 1, , . к. Нетрудно видеть, что
(f	\
X (t) = I sign sin 2лптdx .
/t ' ' I °	I
0	/
4. В силу компактности ограничений и непрерывности функ-
ционала решение задачи на минимум существует. Вычисляя
значение функционала на экстремалях хп, находим J (хп ()') —
(	х*\	„	тз
=(2n— 1)^-—J (•)) = -
Л Л	л
Ответ. TQ < у =» х zzz 0 е abs min, 5min = 0; TQ — у =>
=> C sin /е abs min V |C|^1,
== +
t,
ь 1 + x2 cos (t — Т0У
^min “O’	> л => a: —
T>
x «= abs min (т — корень
уравнения т ctg (TQ t) = 1, те
с = т
umax л о*
11.45. TQ < л => 'x 0 s abs
=> C sin t s abs min V | C | < 1,
л \\	t3
^0 T’ ^0/J’ ^mln “	“»
min, ^min “0;	7’0 = л =>
^inin “ 0; TQ >n => x =
274
То — т, x sabs min
#,
xa ± /1 4- t2 cos (# - To/2),
(	t (	\	.
Iт — корень уравнения т tgI-у- — т I = 1, лежащий на отрезке
Г Л, Го В 2	( с	А
["Г—Г’ Т\)' 5тт^-Тт^таХ=Л) *„(*) = ] sign sin 2ллт</т..
\ о	/
11.46. х = ± 1 g abs min, Sraln =0. Sraas = 4- 00. Допустимы-
ми экстремалями _являются также функции ^(t) = ± |2 cos nkt,
к s N. 11.47. ±V2 cos nt е abs min, 5тщ = л2, 5max = +°°j_ Допу-
стимыми экстремалями являются также функции ± У2 cos nkt,
А; = 2, 3,... 11.48. Допустимые экстремали: хи = ± У2 sin (1/2 4- к) nt,
к г Z, Xi e abs min. Указание. Существование решения можно
доказать, вводя принудительное ограничение |ж| А; 5ипп = л2,
5щах =~ 4“°°. 11.49. iSnaax =я 4“®°, У2 #2 S abs min. 11.50. 5щах ==='
=» 4- °0, У1~— #2 4- * s abs min. 11.51. Smax = + оо, у2— (t — I)2 s
g abs min (7’ = 1 — У2/5. 11.52. yi — f2 s abs max, —yi —f2g
sabs min. 11.53. yi — t2 s abs max, —yi — t2 sabs min. 11.54.
( ch (t—1) ch (i — 1) \
sr™ = + “>• * = (*!• *2>= (—•.—лг~)s аЬзт1П-
11.55. Smas =4-oo, x = (xb x2) = (sin t, — sin t) e abs min. 11.56.
Smax = 4-oo, Smin== —о®. Допустимая экстремаль: z — (3i2 — 2t,
6f2 —4f). 11.57. ax == 4-0°, (3t2 — t3)/2 s absmin. 11.58. 5max ==-
= 4-00, t — t2/2 sabs min. 11.59. 5max = 4- oo, f2/2 gabs min,
5mIn = 1. 11.60. 5max =4-°°, t2~ #e abs min, 5min = 4. 11.61.
Smax =3 4“ oo, t* — 2t3 4- t S abs min, 5mln =	24/5. 11.62. -Smax =
= 4-oo, f4 — 5t3/2 4-3f2/2 e abs min, Smin =—9/5.11.63. 5max = 4-00,
f4 — 2t3 4- t2 e abs min, 5min ——4/5. 11.64. 5max = 4-oo, 2t3 — f4 e
sabs min. 11.65. 5m ax = +	t2/2 — et (In t — 1) s abs min. 11.66.
Smax= 4-00, tin t s abs min. 11.67. 5max= + 00, fin t s abs min. 11.68.
5max=4-o°, G4-e)ln* — t s abs min. 11.69. Smax = 4-oo, Infg
sabs min. 11.70. 5max = 4-°o, Inf sabs min. 11.71.	4- oo,
c/(2f)4-In f s abs min. 11.72. 5тах=4-°°, 1Д sabs min. 11.73. Smax =
= 4-oo, 1/fsabs min. 11.74.5max =-У00, th л (ch f sin f— shtcosf)/2—
— sh t sin t s abs min. 11.75. 5max = 4- oo, ch f sin t —
— sh t (th n sin t 4- cos t) s abs min. 11.76. 5max = 4- °o, ch f sin f —
— sh f cos t s abs min. 11.77. Допустимые экстремали: cos To ch To ф
4 1 => i = 0 loc extr, cos TQ ch To = 1 => x = C ((ch To — cos TQ) X
X (sh f 4- sin f) — (sh To — sin TQ) (ch t 4- cos f)) loc extr; Smin ~
= — oo, Smax = 4-oo. 11.78. Допустимая экстремаль: x(f)==O
(? > 0 — любое) ф. loc extr; 5mLn = — oo, 5max = 4. oo. 11.79. 5max =
= 4- 00; (sin f4- sh f)/24- ^1 — sh (cos t 4- ch t) /^2 ch -y j
loc extr; 5mln ==	00. 11.80. 5max == 4“ 00, Slnin = — 00; (cos t 4?
_j_ ch t —	— (sh#4-sin f))/2^locextr. 11.81, 5max = 4-°°,
1	sh л
I	л	ch f 4- ch (л — f) \	_
S , =—00; sin t 4- cth -9- cos t —--r—------ /2 loc extr.
mln \	‘	2	sh л J
18*
275
11.82.
(1 | ch jt
——(sh t + sin 0— ch/ —
-cost^2^1oc extr. 11.83. Smax=+oo,Smln=5_oo; (l+.c..h^ch^+cos/L
sh t + sin t ,	I
-------2----loc extr. 11.84. 5max = + oo, (sin 0/2-j-(sh 0/
I (2 sh y) s abs min. 11.85. 5max = 4-oo, 5mln = -oo; -
2sh-2
~ sh t sin t
x== 2 ch л “ ~2~
^loc extr; Smln-~=—oo^n (0 = x (0 + n [(ch t — cos 0 —
ch t cos t
= rEh^’—^loc extf;
.	।	sh я
5min = — 00 1гп (0 ~ x f0 + n [ch (л “ 0 + cos 1 — Thn'T'l X
cos t
—о—6* loc extr, 11.86. Sm„.
Z *	ШаХ
X(sht — sin 0 II. 11.87. Smax
X (sh (л — t) + sin 0 jb 11.88. Smax = + <»; sin t sabs min, Smin=
«= 0. 11,89. 5max = + 00; — sin t s abs min, Smln = 0. 11.90. Smax=
— + 00; 'x = cos t & loc extr; 5min = ~~ 00 (xn (0 = ж (0 +
I ,	sh л	\\
H-n(ch t — cos t — - i(sh f — sin t) Ij.	11.91. 5max = + 00;
x = — cos t loc extr; 5min — — oo I xn (t) = x (t
sh л	,	\\
4- cos t — •  _ . (sh (я — 0 + sin t) 11.	11.92.
Sin t GE abs min, $mln = 0.	11.93. Smax
‘S'max — +
/	Я
11 + sh ~2
11.94. iSmax —
sh t e abs min.
Smax = + 00 j
я
X (sin t — sh 0/2 + ch -^-(ch t — cos 0/2 s abs min.
sin t s abs min. 11.95. 5max = +°°;
max = 4-00; sh (t —. 1) s abs min. 11.97.
11.98- 5тах = +°°; 1—ch (t — 1)1 s abs min.
t + sin t s abs min. 11.100. 5max = +
11.101. 5max = + 00;	2(sinf —cost —
_	__J2.
max — 5mln — g > ^(0 ==
11.96. S_
ch t — Is abs min.
11.99.	iSmax — + 00
1 — cos t s abs min.
— t 4-1)/(4 — я) s abs min. 11.102. 5
= t2 — it e abs min, —x e abs max.
11.103. .Smax = - 5m,„ = 32 (2 -Т/Г)/3;
f2_j_ (8 — 81/2) t, 0</<2V2,
-(t-4)2,	21/2 <t<4,
# sabs min, — x abs max.
276
11.104.	‘S’^eix ‘S'min ""
X =
— f3, 0 < t <
(i-2)2-2, 1
x e abs min, — x s abs max.
11.105.	Smax = -Smln = 1/(21/30); ?= VS (г*-21s +
-f-f)/(2T/6) e abs max, —a?sabsmin. 11.106. Smax = — 5min ~
1
= ——x — ~]/5 (f4/3 — 5f3/6 + f2/2) s abs max, — a: s abs min.
8 |/5
“107. Лпах = ~ ’mln =	l/5?(l-l)72sabsmax,
— xe abs min. 11.108. Smax = + 00; 2t sabs min, Sinm = 0.
15
11.109.	Smax = + oo;5(f4 — 6f2 + 5)/16 s abs min, Smin = — • 11.110.
Smax=+0°; 15i2(f — 2)2/8 s abs min. Smin = 45. 11.111. Smax=-|-oo;
30f2(f— I)2 sabs min, 5min = 720.	11.112. 5,max= + o°;
C((sh(of—sin (of) (ch (o 4-cos (0) + (cos (of— ch (ot) (sh (0 + sin w))s
s abs min ((0 > 0 — минимальный корень уравнения ch (о cos (0 —
= —1, константа С определяется из изопериметрического условия);
Smln = и4. 11.113. Smex = +°°; С((ch (о — cos (о) (sh (o-f — sin (of) —
— (sh co — sin (0) (ch coi — cos (of)) s abs min ((0 — минимальный по-
ложительный корень уравнения ch со cos (о —1, С находится из изо-
периметрического условия); 5пнп = и4. 11.114. 5max = + <»; х —
= C((sh(of 4- sin (of) (ch (о — cosco) — (ch (of -f- cos (of) (sh (0 —
— sin (o)) s abs min ((о — минимальный положительный корень
уравнения ch (о cos (о = 1, С определяется из условия
1	\
x2dt — 1 I; Smin = (о4.	11.115. Допустимые экстремали: xk ~
о	/
= ~]/2 sin (2n/cf -f- у) Vy s R, xjs abs min; Smin= (2л)4, 5max= +00.
11.116. 5max = +°°; я = f (1 — f) (71 = l)s abs min. 11.117. 5max =
= 4-oo; x == f2/2(T — 1) s abs min. 11.118. 5max = 4-°°; x = f3/16 —
— РЩТ = 4) e abs min. 11.119. 5max=+00; x = f2(71 = l)s
e abs min. 11.120. f3 — f2eabsmax, f2 — f3 sabs min. 11.121.
3f2 — 2f3 s abs max, 2f3 — 3f2 sabs min. 11.122. 5тах = 4-°°;
f3/2 — f4/8 s abs min, 5min = 3. 11.123. Smax — 4-°°; (f2+2f4-2)/5 s
e abs min, Smm = 0. 11.124. Smax = 4-°°; (f5 — 5f4 4-10f3)/6 e
e abs min, 5min = 20. 11.125. Smax = 4~oo; (8f5 — 25f4 4-20f3)/3 s
s abs min, 5min = 320. 11.126. Smax = 4-°°; 6f5 — 15f4 4- 10f3 e
sabs min, Smin = 720. 11.127. 5max = 4-°°; f3(f — I)2 abs min,
$mln == 36.
11.128. Решение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу
i
J х2 — Л dt inf; х (0) = 0.
о
2. Уравнение Эйлера: х 4- hx/t = 0; условие трансверсально-
сти: ж(1) = 0.
277
8.	Решение, удовлетворяющее условию трансверсальности,
имеет вид ф(0 = V^i(2yXi), где 3f\ — функция Бесселя. При этом
^0(2УХ) — 0 => ф'(1) = 0 и ф не имеет нулей на [0, 1].
4.	Из основной формулы Вейерштрасса приходим к формуле
о	о
(7.	у
-Jr У^.(2УХ() х л'
О '	/
проверяемой непосредственно и приводящей к нужному нера-
венству.
Замечание. Здесь необходимое условие использовалось в
обстановке недостаточной гладкости, но оно привело к цели. То
же касается и других задач цикла.
11.129	. Решение,!. Рассмотрим экстремальную задачу
2.	Уравнение Эйлера: я-Ьу? = 0*
т: Г
3.	Уравнению Эйлера удовлетворяет функция ф(0 =\t (не-
посредственная проверка).
4.	Экстремаль ф (недопустимая, ибо ф^£2(К+)) приводит
к формуле
оо	оо	ОО
J(*2_47)dt = V(V) dt = ^x~"2t) dt' ж(0)=0’
о '	7 о	0
проверяемой непосредственно (скажем, для гладких финитных
функций) й приводящей к нужному неравенству.
11	.130. Указание. Приемом, использованным при решении
задачи 11.129, вывести тождество (ф(£) — j'f In t/e2— допустимая
экстремаль)
проверяемое непосредственно и приводящее к нужному нера-
венству.
11	.131. У к а з а н и е. а) Приемом, использованным при реше-
нии задачи 11.129, вывести тождество (ф(£)=£(2 — i)—допусти-
мая экстремаль)
1 1 1
Г/-2	2.? fp <t'WA2,.	С[- 2(1-0
J \	*(2-0/	Ф(0 / Д t (2- 0 )
0	0	0
278
проверяемое непосредственно и приводящее к нужному неравен-
ству.
б) Поступить аналогично а) с ф(£) = te~*.
11	.132. У к а з а н и е. Поступить аналогично предыдущей за-
даче с <р(г) = f(l —-1).
11	.133. Решение. 1. Рассмотрим экстремальную задачу
ОО
р/|« I» /р — 1\р1^|р\
I 11 х — ।-----] — ] dt -> inf; х (0) = 0,
J \	\ Р / 1г । /
о
2.	Уравнение Эйлера: ( 1sign«) +^"р^"k|p-1signх—0.
3	Ищем решение уравнения Эйлера вида ф(£)==/° и полу-
чаем, что а = (р — i)/p-
4.	Основная формула Вейерштрасса приводит к тождеству
приводящему к нужному неравенству.
Пример. При р = 4 имеем следующее тождество:
х (0) = 0.
т
11	.134. Ре ше н и е. (С. А. Аюнц). 1. J(lH-8|u|) eft-> inf;
о
X| = Ж2, Х2 — », | и I 1, Х{ (0) = «о, х2 (0) = Ро, Xi (Т) = Х2 (Т) = 0.
Функция Лагранжа:
т
S’ - J (М1 + 81 u I) + i ~ ж2) + (* 2 ~ u))dt +
о
+ \ (0) - *0) + \ («2 (0) - %) + (Л +	(Л•
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: pi = 0, рг +
Ч-Р1= 0 (<=*-/>2(0— at + Ъ)', б) принцип максимума: max (p2(0u—
|и|< 1
— Xos[u|) =p2(9^(Q — Хо8|й(9 |; в) трансверсальность: р2(0) =>.?,
У1(0)=Х1, р2(Т) =—ji2, p^f) =г) стационарность S’
Хо(1 + 8|Й(Т)|) +М(Л =0.
3.	д2(0 s 0 =$> все множители Лагранжа равны нулю, т.
рг(-) Й0. Если Хо = 0, то из б) и в) => (дг(Г) ] = 0 =>
=> Р2(Т) — 0, т. е. р2 (t)= a(t — Т) => й (t) = 1 или й (t) == —1. Итак,
279
^0 = 0 =» (x0, v0) S г= {(*1,*2)P1= 4I2' х2<^' или xi^
=~Xg/2, х2^0]. Если (ж0, Уо) Ф Г, то Ао 5^ 0 и полагаем Хо — 1.
Из •экстремальной задали pz(t)u — e|u| -► sup; |u| < 1, по-
лучаем
u (t) =
0,
sign p2 (t),
| p2 (0 |/e С 1,
| P2 (0 |/8 > I-
Условия трансверсальности с учетом того, что Хо == 1, таковы:
1 + е|Й(Г)| -р2(Т)й(Т) »0.
Отсюда следует, что случай й(Г) =0 невозможен, т. е.
М(П1 = !=> ЫП1 =1 + 8.
4. Опишем синтез в этой задаче. Возможны два случая: р2(Т) —
1 + е и р2(Т) — — (1 + е). Рассмотрим только первый. Случай
второй аналогичен. Из рис. 9 яс-
но, что траектория состоит из трех
частей: вначале (i е [0, т']) уп-
равление равно —1, затем (t е
е (т', т)) оно равно нулю и, на-
конец, в конце (£е[т, Т]) и(£)==1.
Из подобия треугольников АВС
и BDE получаем (т —	—
—т) — 2е. Обозначим Т — т че-
рез Y. Тогда второе переключе-
ние происходит, когда х2 = —у,
= +/2. При первом переключв’-
нии х2 также равно (ибо между
переключениями ускорение рав-
но нулю), a Xi = y2/2 + 2еу2 (ибо
аппарат двигался со скоростью
время движения 28^). Получаем, что кривая первых переклю-
х„ < 0. Синтез изображен на
А
МЬ
чений имеет вид хх = (2е + 1/2) х%,
рис. 10.
280
т
11	.135. Решение (С. А. Аюнц). 1. J (1 + 8/ (и)) dt -> inf;
о
Xt = Х2, хг ап и, |и| < 1, #1(0) = Хо, #2(0) = Vo, #1(Л — #2(Р) = 0.
Функция Лагранжа:
т
Z = J (%0 (1 + 8/ (u)) + Pj (a: j —	+ Р2 (ж 2 ~ “)) dt +
о
+ Aq(#1 (0) — #0) + Х2(#г(0) — Vo) + Ц1#1 (Т) 4* Ц2#2(^).
2.	Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: р\ = 0, р2 +
+ pi = 0	(ч=> p2(t) == at + Ъ); б) принцип максимума:
max (ps(t)u — Х08/(и)]i= p2(t)u(t) — Х08/(й(/)); в) трансверсаль-
14 <1
ность: p?(0) = X2, pi(0) — Xi, p2(T) — —H2, Pi(f) — —Ць г) ста-
ционарность 9?т\ Xo(1 + s/(u(f))) +	= 0.
3	p2(O ss0=> все множители Лагранжа — нули, т. е. р2(-)^0.
Если Хо = 0, то из б) и в) => |р2(?) | = 0 => р2(Г) — 0, т. е р2(^) =
= a(t —- Т) й {t)	1 или u(t) а> — 1. Итак, Хо = 0 => (х0, v0) <=
е Г = {(#1, х2) | #1= жз/2, х2 0, или #1= — x^/Z, #2 > 0]. Если
же (#0, vo) Г, то Хо =/= 0 и полагаем Хо = 1. Далее предположим
для простоты, что f строго монотонна. Общий случай требует лишь
некоторых уточнений. Рассмотрим экстремальную задачу
e/(u)—р2(0и—*-inf; |«| < 1,
Решив ее, получим
и (t) = < .
[signp2 (t),
p3(0|<s/'(i),
|р2 (t) |> 8/' (1),
трансверсальности с учетом то-
где g(y) = (/'(У))-1- Условия же
го, что Хо = 1, таковы: 1 +
+ 8/(й(Т))-рг(Т)й(Т) = 0. При
этом возможны два случая:
а') й(Г) = signp2(f); тогда
из б) => 1 + е/(1) — |p2(f) I =>
=> 1 + 8/(1) > 8/'(1);
б') й(Т) = g(p2(f)/e; тогда
из б) f*(p2(T)/e) = 1/е, где /*—
преобразование Лежандра — Юн-
га — Фенхеля /.
4.	Рассмотрим сначала пер-
вый случай, когда />2(Л=1 +
+ в/ (1) > 8/' (1) (рис. 11) (вари-
ант, когда р2(Т)	—1 — 8/(1),
аналогичен). Из рис 11 ясно, ^то
траектория состоит из трех час-
тей: начальной части (is [0, т']), когда управление равно минус
единице, средней части (<е (т7, т)), когда управление по модулю
меньше единицы, и третьей части (t е [т, Г]), когда управ-
ление равно единице и точка (xi(t), x2(t)) движется по кривой Г.
Вся траектория восстанавливается по двум параметрам: т и Т.
Р частности, т' определяется из подобия треугольников АВС и BDE".
2ef (1)
х— х	__}
Y~_~	Унра®716®116 па Участке [т'. т]
равно g(p2(0/s), а р (t) = е/ (1)4-—----------~,
1 — т
При этом, как это'легко усмотреть из выписанных формул, точки,
где происходят переключения (ti(t')i яг(т')), зависят от одного
нараметра у = Т — т, образуя кривую Г'. Синтез схематично изоб-
ражен на рис. 12.
Рассмотрим хеперь второй случай, когда 1 4- е/(1)	е/'(1). Тог-
да из п. 3 следует, что р2(Т) = е/*-1(1/е) = p(s, /) = р < е/'(1).
Пусть р > 0. Тогда, зафиксировав Т как параметр, опишем сово-
Положим и
купность точек (a:i(T), х2(Т)), из кото-
рых можно попасть в начало координат,
не переходя на режим ±1. Имеем
(рис. 13) верхнюю и нижнюю прямые:
р+ (i, т) =-tf (1)+
т
u± (f, Г) dt. Тогда иско-
fl	°
мое множество лежит между кривыми Т -►	(г),	(7))
и Т -+ (£" (г),	(г)). Сепаратрисой служит движение, когда
p®(t,p) = p. Синтез схематично изображен на рис. 14,
2&2

11.136. я = (1/~]/2т, ..., 1Л|/2т, —i/~l/2m, ...,—1/Д/2т, 0)s
т	т
abs<nin.
11.137	. Указание. Формализовать задачу: xt -J- х2 -j- xg ->
-* inf; 4 + ... +4)0> 10000, тх+ ... +х100<3,
...	х100	0, и применить принцип Лагранжа.
11.138	. Указание. По теореме Рисса неотрицательный поли-
ном по косинусам представляется в виде x(t) = |дсо + #ielt + •••
... + xneint j2, откуда следует, что задача допускает следующую
формализацию:
п—1	п
pi= 2 ^+i-”sup; S^ = 1-
fe=0	А=0
л
Ответ. рх — cos "'^2*
11,139	. Указание. Формализовать задачу:
00	ОО
— J (1 — 2Q0 aj (<)) х (t) dt -> inf; J t2x (<) dt < 1, x = u, —
о	о
и применить принцип Лагранжа.
11.140	. У к а з а н и е. Применив принцип Лагранжа к задаче
ОО	ОО
прийти к следующей формуле, являющейся следствием основной
283
формулы Вейерштрасса:
ОО	00
J (ж 2 — х2 4~ dt = J (ж ж -j- аА dt 4- (а: (0) 4“ х (0)^ »
О '	7 о '	7 к	7
а затем вместо x(t) подставить у (at), а > 0.
11.141	. При п = 1	х(Г)=е~*; при п — 2	х (<) =
_t//T	V	л, X
— е 'г л cos—т=. При произвольном п функция х(-) имеет вид
V &
П h-t
2	1 > где kj—корни уравнения к2п — (— 1)Г1+1, лежащие
3=1
в левой полуплоскости, a ajn являются решением некоторой сис-
темы линейных уравнений.
11.142	. Функция х(-) симметрична относительно прямой t =
*==1/2; на отрезке [0,1/2] эта функция является обратной кфунк-
X
Г* dz	z? I - 4
ции t = I	---, q — ' ' , а константа к определяется
J	р-1
из условий задачи.
11.143	. Решения задачи не существует. Если наложить «при-
нудительное» ограничение | и | А, то при А > л2 решение бу-
дет иметь вид
[ t >
= У Л cos (У Л (f - 1/2)),
11 - t,
О < t т (Л),
т (Л)< £<1— т (Л),
1 - Т (Л) < t < 1.
Переходя к пределу при Л -> 4-оо, получим, что численное значе-
ние задачи равно четырем и обобщенное управление есть йОб(1) =
= 46 (t — 1/2), а обобщенным решением будет хОб (0 == t при 0 <
sC t 1/2 и Гоб (t) == 1 — t при 1/2 t 1,
ЛИТЕРАТУРА
Учебники и учебные пособия
АТФ. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В.
Оптимальное управление.— М.: Наука, 1979.
КФ. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории
функций и функционального анализа.— М.: Наука, 1981.
Зор. Зорич В. А. Математический анализ, часть I.— М.: Нау-
ка, 1981.
Н.	Н и к о л ь с к и й С. М. Курс математического анализа, т. 1
и 2.— М.: Наука, 1975.
1.	А х и е з е р Н. И. Вариационное исчисление.— Харьков: Изд-
во Харьк. ун-та, 1981.
2.	А х и е з е р Н. И. Лекции по вариационному исчислению.—
М.: Наука, 1965.
3.	Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению.— М.:
ИЛ, 1950.
4.	Б у с л а е в В. С. Вариационное исчисление.— Л.: Изд-во ЛГУ,
1980.
5.	В а с и л ь е в Ф. П. Лекции по методам решения экстремаль-
ных задач.— М.: Изд-во МГУ, 1974.
6.	Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимизации.—
Минск: Изд-во БГУ, 1981.
7.	Г а с с С. Линейное программирование.— М.: Физматгиз, 1961.
8.	Г е л ь ф а н д И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисле-
ние.— М.: Физматгиз, 1961.
9.	Г ю н т е р Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по выс-
шей математике, т. 1 и 2.— М.: ГИТТЛ, 1957.
10.	Д е м и д о в и ч Б. П. Сборник задач и упражнений по мате-
матическому анализу.— М.: Наука, 1968.
И. Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию
линейного и выпуклого программирования.— М.: Наука, 1976.
12.	3 а с л а в с к и й Ю. Л. Сборник задач по линейному програм-
мированию.—М.: Наука, 1969.
13.	И о ф ф е А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремаль-
ных задан.— М.: Наука, 1974.
14.	К р а с н о в М. Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И.
Вариационное исчисление.— М.: Наука, 1973.
15.	Карманов В. Г. Математическое программирование.— М.:
Наука, 1975.
16.	Понтрягин Л. С. и др. Математическая теория оптималь-
ных процессов.— М.: Наука, 1976.
17.	Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.— М.: Мир, 1973.
18.	Т и х о м и р о в В. М. Некоторые вопросы теории приближе-
ний.— М.: Изд-во МГУ, 1976.
19.	X а р д и Г. Г., Л и т т л ь в у д Дж. Е., П о л и а Г. Неравен-
ства.— М.: ИЛ, 1948.
20.	Э к л а н д И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные
проблемы.— М.: Мир, 1979.
21.	Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории опти-
мального управления.—М.: Мир, 1974.
285
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
{ж|Р(ж)}—множество элементов х, обладающих свойст-
вом Р{х)
х(-) —обозначение, которым подчеркивается, что х(-) являет-
ся элементом функционального пространства
FoG — суперпозиция отображений G и F: (F°G) {х) = F{G{x')')
R = R(J{—оо, -|-оо}—расширенная числовая прямая
R^_—неотрицательный	ортант в Rn, R* — {x=(xv ..., хп} ЕЕ
е Rn | «г>0,г=1, ..., п}
Б{х, г) — {у|||а;— уII С 4—открытый шар с Центром х ра-
диуса г
о
В (ж, г) — {у |||ж — у || г}—открытый шар с центрам х ра-
диуса г
тхм(т+м)- множество касательных (односторонних каса-
тельных) векторов к множеству М в точке х
X* — пространство, сопряженное с X
<ж*, х) — значение линейного функционала х* на элементе х
Л-L = {%* е Х*| (х*, х) = 0	\/х е А} — аннулятор множе-
ства А
&(Х, Y)—пространство линейных непрерывных отображений
пространства X в пространство У; отображения из ^’(R’1^ Rm)
могут отождествляться с матрицами этих отображений
1 — единичный оператор (матрица)
Л* — оператор, сопряженный с -оператором Л, <Л*у*, х> =
= <у*, Лж>
О (X) — множество открыто в пространстве X
^и{х, X) — множество <%, содержащее элемент х, откры-
то в X
C([i0, ii])—пространство непрерывных функций на отрезке
[io, ii] с нормой Пж(-)||0= шах |г(/)|
•	iG(tot ti]
Cr([io, ii]) — пространство г раз непрерывно дифференцируе-
мых функций на отрезке [io, ill с нормой |k(-)||r = max{lk(-)||9,
11х(-)Но..Ik(r) (-)llo}
КС {[to, ij)—пространство кусочно-непрерывных на отрезке
[io, ii] функций, т. е. имеющих не более конечного числа разрывов
первого рода (в точках разрывов существуют конечные пределы
слева и справа)
8F(x, •) —вариация по Лагранжу отображения F в точке х
F е Dh (х) — отображение F дифференцируемо по Фреше
к раз {к > 1)
F^SD{x)—отображение F строго дифференцируемо по Фре-
ше в точке х
dF{x) —субдифференциал функции F в точке х
х s abs min (abs max, abs extr)—Sc доставляет абсолютный ми-
нимум (максимум, экстремум) в задаче
Sc s loc min (loc max, loc extr)—Sc доставляет локальный мини-
мум (максимум, экстремум) в задаче
8ч — численное значение задачи (з)
(Р) — задача, приведенная с решением
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аннулятор 27
Вариация по Лагранжу 29
Вектор касательный 34
— односторонний (полукаса-
тельный) 34
Дифференцируемость по Гато
29
—	по Фреше 28
—	строгая 29
Задача Аполлония 56
—	Архимеда 56
—	Больца 84
— выпуклого программирова-
ния 68
—	двойственная 71
—	Дидоны 134, 162
—	Евклида 54
—	изопериметрическая 123
—	Кеплера 54
—	Лагранжа 147
— линейного программирования
73
— ляпуновская 159
— Ньютона аэродинамическая
204
— о быстродействии 177
— оптимального управления 157
— о центре тяжести 229
— простейшая классического
вариационного исчисления 90
— со старшими производными
135
—	с подвижными концами 97
—	Тартальи 54
—	Ферма 54
*— Шеннона 162
Иголка элементарная 167
Игольчатая вариация управле-
ния 163
----функции 163
Интеграл импульса 93
— энергии 93
Интегрант квазирегулярный 104
регулярный 104
Конволюция 61
Конус сопряженный 59
Критерий Сильвестра 50, 219
Лагранжиан 124
Лемма Дюбуа — Реймона 87
------- усиленная 136
— об аннуляторе ядра регуляр-
ного оператора 27
— об игольчатой вариации 171
—	о замкнутости образа 27
—	о минимаксе 78
— о нетривиальности аннулято-
ра 27
— о правом обратном операторе
27
— о приращении функционала
168
— о сопряженном конусе 76
— о центрированной системе
169
—	Хоффмана 77
Максимум (минимум) 9
—	абсолютный И
—	локальный 12
—	сильный 90
—	слабый 84
Метод Ньютона 52
---модифицированный 53
Множество выпуклое 58
—	эффективное 58
Множители Лагранжа 15
Надграфик 58
Неравенство Адамара 229
—	Бернштейна 226
—	Вейля 222
—	Гельдера 57
—	Гильберта 216
—	для производных на полу-
прямой 226
—	для средних степенных 57
—	Йенсена 65
—	Карлсона 162
—	Маркова 226
— между средним арифметиче-
ским и средним геометриче-
ским 57
287
Неравенство Минковского 57
— Харди 217
—	Харди — Литтльвуда — По-
лна 218
—	Юнга 59
Оболочка выпуклая, коническая
58
Оператор инволютивный 60
—	регулярный 28
—	сопряженный 22
Пакет иголок 170
Поле экстремалей 107
---- центральное 107
Полиномы Лежандра 54, 231
—	Чебышева 231
—	Чебышева второго рода 231
Поляра 59
Преобразование Лежандра —
Юнга — Фенхеля 59
Принцип Лагранжа 12, 16
—	максимум Понтрягина 165
Субдифференциал 59
Теорема Боголюбова 106
—	Вейерштрасса 24
—	двойственности 72, 160
—	Дубовицкого — Милютина 61
—	Куна — Таккера 69
—	Моро — Рокафеллара 61
—	об альтернансе 232
—	об очистке 61
—	основная алгебры 218
— отделимости вторая 25
---- первая 25
Теорема существования 198
—	Фенхеля — Моро 60
—	Ферма 39
—	Эйлера — Лагранжа 150
—	Якоби 140
Терминант 84
Точки допустимые И
—	критические 12
—	сопряженные 104
—	стационарные 15
Уравнение Гамильтона — Якоби
НО
—	Эйлера 85
—	Эйлера — Пуассона 136
Условие дополняющей нежест-
кости 40
—	Лежандра 103
—	неотрицательности 40
—	Слейтера 69
—	стационарности 89
—	трансверсальности 85
—	Якоби 104
Формула Вейерштрасса основ-
ная 109
Функция Вейерштрасса 108
—	выпуклая 59
		однородная 58
—	замкнутая 59
—	индикаторная 60
—	Лагранжа 15
—	Минковского 60
—	наклона поля 107
—	опорная 60
—	полунепрерывная снизу 24
—	собственная 58
S-функция 107