Текст
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
А.Г.СВЕШНИКОВ, А.Н.ТИХОНОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Под редакцией
А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА,
А. Г. СВЕШНИКОВА
ВЫПУСК 4
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974
А. Г. СВЕШНИКОВ, А. Н. ТИХОНОВ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
Цопущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
университетов, обучающихся по специальностям
«Физика» и «.Прикладная математика»
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974
517.2
С 24
517.53
© Издательство «Наука», 1974 г., с изменениями.
20203-009
053(0!)-74
23-73
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии ................................................ 8
Предисловие к третьему изданию ..................................... 9
Предисловие к первому изданию...................................... 10
Введение.......................................................... 11
Глава 1. Комплексная переменная и функции комплексной переменной
§ 1. Комплексное число и действия над комплексными числами .... 12
1. Понятие комплексного числа (12). 2. Действия над комплекс-
ными числами (12). 3. Геометрическая интерпретация комплекс-
ных чисел (14). 4. Извлечение корня из комплексного числа (15).
§ 2. Предел последовательности комплексных чисел................. 17
1. Определение сходящейся последовательности (17). 2. Крите-
рий Коши (19). 3. Бесконечно удаленная точка (20).
§ 3. Понятие функции комплексной переменной. Непрерывность ... 21
1. Основные определения (21). 2. Непрерывность (23). 3. При-
меры (26).
§ 4. Дифференцирование функции комплексной переменной.......... 30
1. Определение. Условия Коши — Римана (30). 2. Свойства ана-
литических функций (33). 3. Геометрический смысл производной
функции комплексной переменной (35). 4. Примеры (36).
§ 5. Интеграл по комплексной переменной.......................... 38
1. Основные свойства (38). 2. Теорема Коши (41). 3. Неопре-
деленный интеграл (43).
§ 6. Интеграл Коши.............................................. 46
1. Вывод формулы Коши (46). 2. Следствия из формулы Коши (48).
3. Принцип максимума модуля аналитической функции (49).
§ 7. Интегралы, зависящие от параметра........................... 51
1. Аналитическая зависимость от параметра (51). 2. Существо-
вание производных всех порядков у аналитической функции (53).
Глава 2. Ряды аналитических функций................................ 57
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной 57
1. Числовые ряды (57). 2. Функциональные ряды. Равномерная
сходимость (58). 3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Тео-
ремы Вейерштрасса (61). 4. Несобственные интегралы, завися-
щие от параметра (65).
§ 2. Степенные ряды. Ряд Тейлора................................. 66
1. Теорема Абеля (66). 2. Ряд Тейлора (70).
§ 3. Единственность определения аналитической функции............ 74
1. Нули аналитической функции (74). 2. Теорема единственно-
сти (75).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 3. Аналитическое продолжение. Элементарные функции комплекс-
ной переменной...................................................... 79
§ 1. Элементарные функции комплексной переменной. Продолжение
с действительной оси............................................... 79
1. Продолжение с действительной оси (79). 2. Продолжение со-
отношений (83). 3. Свойства элементарных функций (86). 4. Ото-
бражения элементарных функций (90).
§ 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности . . 94
I. Основные принципы. Понятие римановой поверхности (94).
2. Аналитическое продолжение через границу (97). 3. Примеры
построения аналитического продолжения. Продолжение через гра-
ницу (98). 4. Примеры построения аналитического продолжения.
Продолжение с помощью степенных рядов (103). 5. Правильные
и особые точки аналитической функции (105). 6. Понятие пол-
ной аналитической функции (109).
Глава 4. Ряд Лорана и изолированные особые точки................... 111
§ 1. Ряд Лорана................................................ 111
1. Область сходимости ряда Лорана (111). 2. Разложение анали-
тической функции в ряд Лорана (113).
§ 2. Классификация изолированных особых точек однозначной анали-
тической функции.............................................. 115
Глава 5. Теория вычетов и их приложения............................ 123
§ 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке . . 123
1. Определение и формулы вычисления вычета (123). 2. Основная
теорема теории вычетов (125).
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов .... 128
2л
1. Интегралы вида t R (cos б, sin 0) М (128). 2- Интегралы вида
0
СО 00
j f(x)dx (130). 3. Интегралы вида etaxf (х) dx. Лемма Жор-
—со —со
дана (132). 4. Случай многозначных функций (138).
§ 3. Логарифмический вычет ..................................... 143
1. Понятие логарифмического вычета (143). 2- Подсчет числа нулей
аналитической функции (145).
Глава 6. Конформное отображение................................... 148
§ 1. Общие свойства............................................. 148
1. Определение конформного отображения (148). 2. Простейшие
примеры (152). 3. Основные принципы (155). 4. Теорема Рима-
на (160).
§ 2. Дробно-линейная функция................................... 163
§ 3. Функция Жуковского....................................... 173
§ 4. Интеграл Шварца — Кристоффеля. Отображение многоугольни-
ков ............................................................ 175
Глава 7. Применение аналитических функций к решению краевых за-
дач .......................................................... 184
§ 1. . Общие положения.......................................... 184
1. Связь аналитических и гармонических функций (184). 2. Со-
хранение оператора Лапласа при конформном отображении (185).
3. Задача Дирихле (187). 4. Построение функции источника (190).
§ 2. Приложения к задачам механики и физики..................... 191
1. Плоское установившееся движение жидкости (191). 2. Плоское
электростатическое поле (203).
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Глава 8. Основные понятия операционного исчисления.............. 212
§ 1. Основные свойства преобразования Лапласа................ 212
1. Определение преобразования Лапласа (212). 2. Изображение
элементарных функций (216). 3. Свойства изображения (218).
4. Таблица свойств изображений (226). 5. Таблица изображе-
ний (226).
§ 2. Определение оригинала по изображению.................... 227
1. Формула Меллина (228). 2. Условия существования оригина-
ла (231). 3. Вычисление интеграла Меллина (234). 4. Случай ре-
гулярной на бесконечности функции (238).
§ 3. Решение задач для линейных дифференциальных уравнений опе-
рационным методом........................................... 241
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (241). 2. Уравне-
ние теплопроводности (245). 3. Краевая задача для уравнения
в частных производных (247).
Приложение 1. Метод перевала.................................... 249
1. Вводные замечания (249). 2. Метод Лапласа (252). 3. Метод
перевала (259).
Приложение 2. Метод Винера—Хопфа................................ 267
1. Вводные замечания (267). 2. Аналитические свойства преобразо-
вания Фурье (271). 3. Интегральные уравнения с ядром, зави-
сящим от разности аргументов (273). 4. Общая схема метода Ви-
нера— Хопфа (278). 5. Задачи, приводящие к интегральным
уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов (283).
5.1. Вывод уравнения Милна (283). 5.2. Исследование решения
уравнения Милна (287). 5.3. Дифракция на плоском экране (290).
6. Решение краевых задач для уравнений в частных производных
методом Винера —Хопфа (291).
Приложение 3. Функции многих комплексных переменных............ 296
1. Основные определения (296). 2. Понятие аналитической функ-
ции многих комплексных переменных (297). 3. Формула Ко-
ши (298), 4. Степенные ряды (300). 5. Ряд Тейлора (302). 6. Ана-
литическое продолжение (303).
Приложение 4. Метод Ватсона.............................. 306
Литература...................................................... 314
Предметный указатель............................................ 315
ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
Настоящая книга представляет собой четвертый
выпуск серии «Курс высшей математики и математи-
ческой физики» и посвящена изложению основ теории
функций комплексной переменной и операционного
исчисления. В книге также даны примеры применения
методов теории функций комплексной переменной
к задачам гидродинамики и электростатики и разоб-
раны некоторые вопросы метода перевала и метода
Винера — Хопфа.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В третьем издании книги устранены замеченные не-
точности изложения, добавлен ряд приложений теории
функций комплексной переменной (несобственные интег-
ралы, зависящие от параметра, преобразование Ватсона
и т. д.), а также дано представление об основных поня-
тиях теории функций многих комплексных переменных.
Мы глубоко благодарны редактору этой книги
С. Я. Секерж-Зеньковичу, работа которого способство-
вала улучшению ее содержания.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Содержание этого выпуска в основном соответствует курсу
лекций по теории функций комплексной переменной, читавшемуся
авторами в течение ряда лет на физическом факультете МГУ.
Изложение основного материала достаточно близко к традицион-
ному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элемен-
тарных функций комплексной -переменной в самом начале курса, как
это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функ-
ции комплексной переменной как непосредственное аналитическое
продолжение элементарных функций действительной переменной. Те-
оремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют еди-
нообразно перенести в комплексную область известные свойства эле-
ментарных функций действительной переменной.
Естественно, что стремление к цельности изложения заставило рас-
смотреть отдельные вопросы несколько подробнее, чем обычно
удается в рамках сжатой лекционной программы. В первую очередь
это относится к общим принципам конформного отображения и при-
менениям методов теории функций комплексной переменной к реше-
нию краевых задач гидродинамики и электростатики. Кроме то-
го, в книге имеются два приложения, посвященные изложению ме-
тода перевала и метода Винера — Хопфа, которыми физики обычно
весьма широко пользуются.
При работе над книгой мы пользовались советами многих наших
товарищей по кафедре, в первую очередь В. А. Ильина и Д. П. Кос-
томарова. Большую помощь оказали многочисленные и важные за-
мечания, сделанные Г. Л. Лунцем и М. В. Федорюком, прочитавшими
книгу в рукописи, а также тщательное редактирование текста книги,
проведенное С. Я. Секерж-Зеньковичем. Всем этим лицам мы выра-
жаем самую искреннюю благодарность.
Авторы,
ВВЕДЕНИЕ
В настоящем выпуске излагаются основные понятия теории функ-
ций комплексной переменной. Понятие комплексного числа возникло
в первую очередь в результате потребностей автоматизации вычи-
слений. Даже простейшие алгебраические операции над действитель-
ными числами выводят за пределы области действительных чисел.
Как известно, не всякое алгебраическое уравнение может быть раз-
решено в действительных числах. Тем самым надо или отказаться
от автоматического применения установленных методов решения
и каждый раз проводить подробное исследование возможности их
применения, или расширить область действительных чисел с тем,
чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы.
Таким расширением области действительных чисел являются Ком-
плексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел является
гот факт, что основные математические Операции над комплексными
числами не выводят из области комплексных чисел.
Введение комплексных чисел и функций комплексной переменной
удобно также при интегрировании элементарных функций, при реше-
нии дифференциальных уравнений и т. д., где часто приходится
выходить в область комплексных чисел. Комплексная форма записи
оказывается удобной и при математической формулировке многих
физических положений (например, в электро- и радиотехнике, электро-
динамике и т. д.).
Один из основных классов функций комплексной переменной —
аналитические функции — находится в тесной связи с решениями урав-
нения Лапласа, к которому приводятся многие задачи механики и
физики. Поэтому методы теории функций комплексной переменной
нашли весьма широкое и эффективное применение при решении боль-
шого круга задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, электро-
динамики и других естественных наук.
ГЛАВА 1
КОМПЛЕКСНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ
И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Комплексное число
и действия над комплексными числами
1. Понятие комплексного числа. Мы считаем, что с понятием
комплексного числа и определением арифметических действий над
комплексными числами читатель уже знаком. Комплексные числа
и действия над ними изложены в предыдущих выпусках курса *).
Однако из соображений цельности изложения имеет смысл еще раз
напомнить основные понятия.
Комплексным числом z называется пара действительных
чисел {а, Ь) с установленным порядком следования чисел а и Ь.
Это условно записывается в виде z = (а, Ь). Первое число а пары
(а, Ь) называется действительной частью комплексного числа z
и обозначается символом а = Re z; • второе число b пары (а, Ь) назы-
вается мнимой частью комплексного числа z и обозначается сим-
волом £> = Imz.
Два комплексных числа zY — (аъ Z>x) и z2 = (а2, Ь2) равны тогда
и только тогда, когда равны и их действительные и их мнимые части,
т. е. Zi = z2 лишь при ах = а2, Ь± = Ь2.
2. Действия над комплексными числами. Перейдем к опреде-
лению алгебраических операций над комплексными числами.
Суммой комплексных чисел z1 = (a1, Ьг) и z2 — (a2, b2) назы-
вается комплексное число z~(a, b), где a = al-{-a2, b = bi-\-b2.
Легко видеть, что при таком определении сохраняются перемести-
тельный и сочетательный законы сложения, т. е. zx z2 = z2 и
zi + (г2 + гз) = (г1 + + гз- Гак же, как и в области действительных
чисел, нулем называется такое комплексное число 0, сумма которого
с любым комплексным числом z равна этому числу г, т. е. z -f- 0 = z.
Очевидно, что существует единственное комплексное число 0 — (0, 0),
обладающее этим свойством.
•) См. вып. 1, стр. 195—199.
» П
КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО
13
Произведением комплексных чисел zr = (аь Z>i) и z2 = (а2, Ь2)
называется комплексное число z = (a,.b) такое, что п = а1а2 — Ьф2,
b ~ аф2 + аФ1- При таком определении произведения выполняются
переместительный: 2'1г2 = г2г1, сочетательный: zr (z2 • z3) = (zx • z2)z3
и распределительный: Ц-z2)z3 = z1z3 4-z2z3 законы.
Включим действительные числа в множество комплексных чисел,
рассматривая действительное число а как комплексное число а =
- (а, 0). Тогда, как следует из определения действий сложения и
умножения, для комплексных чисел сохраняются известные правила
действий над действительными числами. Поэтому множество ком-
плексных чисел рассматривается как расширение множества действи-
тельных чисел *). Заметим, что умножение на действительную еди-
ницу (1, 0) не меняет комплексного числа: z-l=z.
Комплексное число вида z = (0, Ь) называется чисто мнимым и
символически обозначается z = ib. Чисто мнимое число (0, b) = lb
можно рассматривать как .произведение мнимой единицы (0, 1) и
действительного числа (Ь, 0). Мнимую единицу обычно обозначают
символом (0, 1) = /. В силу определения произведения комплексных
чисел справедливо соотношение i-i — P ——1. Оно позволяет придать
прямой алгебраический смысл так называемой алгебраической форме
записи комплексного числа
z — (a, b) = a-}-ib (1.1)
и производить операции сложения и умножения комплексных чисел
по обычным правилам алгебры многочленов.
Комплексное число z = a — ib называется комплексно сопряжен-
ным числу z = a-\-lb.
Операция вычитания комплексных чисел определяется как опера-
ция, обратная сложению. Комплексное число z = а + lb называется
разностью комплексных чисел 2,1=а1 + ^1 и z2 = а2-\-ib2, если
а — ах — а2, b = Ь1 — Ь2.
Операция деления комплексных чисел определяется как операция,
обратная умножению. Комплексное число z = a-\-ib называется
частным комплексных чисел z1 = a1-j- 1Ь± и г2 = а2 + 1Ь2 #= 0, если
zx — z • z2. Отсюда следует, что действительная а и мнимая b части
частного z определяются из линейной системы алгебраических уравнений
а2а — Ь2Ь аь
b2a а2Ь = Ьг
с определителем a2-j-b2, отличным от нуля. Решив эту систему, получим
_ 5k _ + I ^1°2 — а1^2 , zi 2ч
г2 аа + ^2 +
*) Как будет следовать из дальнейших рассмотрений, множество комплекс-
ных чисел, в отличие от множества действительных чисел, не обладает свойст-
вом упорядоченности, так как не существует рациональной системы сравнения
комплексных чисел.
14
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. При
изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их
геометрическая интерпретация. Поскольку комплексное число опре-
деляется как пара действительных чисел, то естественной геометри-
ческой интерпретацией является изображение комплексного числа
z = a-\-ib точкой плоскости (х, у) с декартовыми координатами
х = а и у = Ь. Число z — 0 ставится в соответствие началу коорди-
нат данной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем
называть комплексной плоскостью, ось абсцисс — действительной,
а ось ординат — мнимой осью комплексной плоскости. При этом,
очевидно, устанавливается взаимно однозначное соответствие между
множеством всех комплексных чисел и множеством точек комплекс-
ной плоскости, а также между множеством всех комплексных чисел
z = a-\-ib и множеством свободных векторов, проекции х и у кото-
рых на оси абсцисс и ординат соответственно равны а и Ь.
Весьма важной является также другая форма представления ком-
плексных чисел. Для определения положения точки на плоскости
можно пользоваться полярными координатами (р, <р), где р —расстоя-
ние точки от начала координат, а <р — угол, который составляет
радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси
абсцисс. Положительным направлением изменения угла <р считается
направление против часовой стрелки (— оо < ф <; оо). Воспользовав-
шись связью декартовых и полярных координат: х = р cos ср, у = р sin <р,
получим так называемую тригонометрическую форму записи ком-
плексного числа:
z = р (cos ф +1 sin ф). (1.3)
При этом р обычно называют модулем, а ф — аргументом ком-
плексного числа и обозначают р = | z |, ф = Arg z. Предшествующие
формулы дают выражение действительной и мнимой частей ком-
плексного числа через его модуль и аргумент. Легко выразить
модуль и аргумент комплексного числа через его действительную
и мнимую части: р = аг + Z>2, tgф = -|- (при выборе из решений
последнего уравнения значения ф следует учесть знаки а и Ь). Отме-
тим, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а
с точностью до аддитивного слагаемого, кратного 2л. В ряде слу-
чаев удобно через arg z обозначать значение аргумента, заключенное
в пределах ф0 arg z < 2л + ф0, где ф0 — произвольное фиксирован-
ное число (например, фо = О илиф0 = —л). Тогда Arg z = arg z + 2Ал
(A = 0, ±1, ±2, ...). Аргумент комплексного числа z — 0 вообще не
определен, а его модуль равен нулю. Два отличных от нуля ком-
плексных числа равны между собой в том и только в том случае,
если равны их модули, а значения аргументов или равны, или отли-
чаются на число кратное 2л. Комплексно сопряженные числа имеют
один и тот же модуль, а значения их аргументов при соответствую-
КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО
15
тем выборе областей их изменения различаются знаком. Наконец,
используя известную формулу Эйлера *) eiv = cos ср 4- i sin ср, получаем
так называемую показательную форму записи комплексного числа:
z = peilF. (1.4)
Отмеченное выше соответствие между множеством всех комплекс-
ных чисел и плоскими векторами позволяет отождествить операции
сложения и вычитания комплексных
чисел с соответствующими операция-
ми над векторами (рис. 1.1). При
этом легко устанавливаются неравен-
ства треугольника:
I ^1 + ^2 |=£=| ^1 + 1^2 1>
Отметим, кроме того, очевид-
z2|. (1.5)
Модуль разности двух комплексных
чисел имеет геометрический смысл
расстояния между соответствующими
точками на комплексной плоскости,
ные неравенства | z | а, | г | Ь.
Для выполнения операции умножения удобно пользоваться три-
гонометрической формой представления комплексных чисел. Согласно
правилам умножения получаем **)
z = р (cos (р + i sin ф) = z± • z2 =
= Pi (cos ф! ~H Sin Ф1) p2 (cos ф2 4" i sin ф2) =
= pip2 (cos фх cos ф2 — sin Ф1 sin ф2) 4- /Р1Рг (sin фх cos ф2 4- cos фх sin ф2) =
= Pip2[cos (ф! 4- ф2) 4-1 sin (фх 4- Ф2)] = Pi p2 • el <ч»+фг>.
Отсюда p = pi • p2, Ф = ф14-(р2> т- e. модуль произведения равен
произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей.
В случае деления комплексных чисел при р2т^0 имеет место анало-
гичное соотношение:
—к = Дк et (<р i — <₽2)
z2 Рг
4. Извлечение корня из комплексного числа. Тригонометриче-
ская и показательная формы записи комплексного числа удобны при
рассмотрении алгебраических операций возведения комплексного числа
в целую положительную степень и извлечения корня из комплексного
числа. Так, если z — zf, то р = р" и ф = иф1.
*) Это выражение мы пока будем рассматривать как сокращенную
форму записи комплексного числа z = cos<p-)-< sin <р. Полный смысл этого
обозначения будет установлен в дальнейшем.
**) Эта формула показывает, что введенная выше функция е'Ф обладает
свойством e‘'tl . е'Ч>а
16
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. I
Комплексное число zx = y z называется корнем п-й степени из
комплексного числа z, если z = z". Из этого определения следует, что
р1 = угр и ф2 = S-. Как было отмечено выше, аргумент комплекс-
ного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного
слагаемого, кратного 2л. Поэтому из выражения для аргумента комп-
лексного числа zy
„ Ф . 2nk
где ф — одно из значений аргумента комплексного числа z, получим,
что существуют различные комплексные числа, которые при возве-
дении в п-ю степень равны одному и 'тому же комплексному числу z.
Модули этих комплексных чисел одинаковы и равны У р, ааргумен-
Рис. 1.2.
действительных чисел, чтобы
ты различаются на число, крат-
2л
ное Число различных значе-
ний корня я-й степени из ком-
плексного числа z равно п. Точки
на комплексной плоскости, соот-
ветствующие различным значениям
корня я-й степени из комплекс-
ного числа z, расположены в вер-
шинах правильного и-угольника,
вписанного в окружность радиу-
са [/р с центром в точке z = 0.
Соответствующие значения фй по-
лучаются при k, принимающем
значения k = 0, 1, ..., п— 1.
Классический анализ поставил
задачу так расширить множество
не только элементарные алгебраические
операции сложения и умножения, но и операция извлечения корня не
выводила из этого расширенного множества. Как мы видим, введение
комплексных чисел решает эту задачу.
Примеры: 1) Найти все значения УI. Записав в показательной
.Л.
форме комплексное число z = I = е 2, получим для значений квадрат-
л Ink
ного корня из данного комплексного числа выражения zk = е 4 2 ,
Л = 0, 1 (рис. 1.2), откуда
' а" Л , , . Л У 2 ,, , ..
= е 4 =cosT + /sinT = ^(1 ф-i),
. 5л .Л » ух
= =_е'Г==_>^(1 + 0.
§ 2]
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
17
откуда
2) Найти все значения 1, где р>0— целое число. Воспользо-
вавшись представлением 1 = е‘°, так же, как и в предыдущем при-
,2л ,
* — ® г,
мере, получим zk — е р , k = 0, ..., р —
•0 1 2л ... 2л
z0 = е‘° —1, ?! = е р = cos — +1 sin — ,
2 л „
— t — 2л . . 2л
= е р =cos-----ism—.
Р Р
То есть корень р-й степени из 1 имеет ровно р различных значений.
Эти комплексные числа соответствуют вершинам правильного /7-уголь-
ника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в точ-
ке г —О, причем одна из вершин лежит в точке 2 = 1.
3) Найти все значения К1 — /]/3. Так как г=1— /]/з =
-I*
= 2е 3, то для значений квадратного корня из данного комплекс-
(л2я~
ного числа получим выражения zk — ]f2e 6 2 , /е = 0, 1, откуда
1/тг if»! л . . л\ Кз—I
г0 = ]/2е в =]/2 ^cos^-isin-g j
,5Л I/O
Итак, для извлечения корня и-й степени из комплексного числа
надо перейти к показательной форме записи комплексного числа,
извлечь корень л-й степени из модуля данного комплексного числа
(берется арифметическое — действительное и положительное — значе-
ние корня), а аргумент данного комплексного числа разделить на л.
(Для получения всех значений корня надо иметь в виду многознач-
ность аргумента.)
§ 2. Предел последовательности комплексных чисел
1. Определение сходящейся последовательности. Для постро-
ения теории функций комплексной переменной большое значение
имеет перенесение основных идей анализа в комплексную область.
Одним из фундаментальных понятий анализа является понятие пре-
дела и, в частности, понятие сходящейся числовой последовательно-
сти. Аналогичную роль играют соответствующие понятия и в области
комплексных чисел. При этом многие определения, связанные с пре-
дельным переходом, полностью повторяют соответствующие опреде-
ления теории функций действительной переменной.
Последовательностью комплексных чисел называется перену-
мерованное бесконечное множество комплексных чисел. В даль-
18
ФУНКЦИИ комплексной переменной
[ГЛ. 1
нейшем последовательность комплексных чисел мы будем обозначать
символом {гп}. Комплексные числа zn, образующие последователь-
ность {z„}, называются ее элементами *).
Число z называется пределом последовательности {zn}, если
для любого положительного числа е можно указать такой номер
7V(e), начиная с которого все элементы zn этой последователь-
ности удовлетворяют неравенству
|z — zn[<Ze при я^ЛДе). (1.6)
Последовательность {г„}, имеющая предел, z, называется сходя-
щейся к числу z, что записывается в виде lim zn — z.
п-*ся
Для геометрической интерпретации предельного перехода в ком-
плексной области удобным оказывается понятие s-окрестности точки
комплексной плоскости.
Множество точек z комплексной плоскости, лежащих внутри
окружности радиуса е с центром в точке z0 (j z — z01 < e), назы-
вается Е-окрестностью точки zg.
Из этого определения следует, что точка z является пределом
сходящейся последовательности {zn}, если в любой е-окрестности
точки z лежат все элементы этой последовательности, начиная с не-
которого номера, зависящего от е.
Поскольку каждое комплексное число zn = апу~ ibn характери-
зуется парой действительных чисел ап и Ьп, то последовательности
комплексных чисел {ги} соответствуют две последовательности дейст-
вительных чисел {а„} и {/>„}, составленные соответственно из дейст-
вительных и мнимых частей элементов zn последовательности {zn}.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием сходи-
мости последовательности является сходимость последо-
вательностей действительных чисел {а„} и {£„} (zn — ап -|- 1Ьп).
Доказательство. В самом деле, если последовательность {zn}
сходится к числу z = а 4- lb, то для любого е > 0 \ап— а\^
^\zn — г|<;е и \bn — Ь\<е при н^АДе). Это и доказывает схо-
димость последовательностей {ап} и {£»„} к а и b соответст-
венно. Обратное утверждение следует из соотношения | zn — z | =
= ]/"(а„ — а)2 + (ftn — й)2, где а и b являются пределами последова-
тельностей {ага} и {£„} и z = a-\-ib.
Последовательность {гп} называется ограниченной, если суще-
ствует такое положительное число М, что для всех элементов
zn этой последовательности имеет место неравенство | zn | <Z М.
Основное свойство ограниченной последовательности характеризует
следующая теорема.
*) Определение последовательности не исключает возможности повторяю-
щихся элементов, и, в частности, все элементы последовательности могут сов-
падать между собой.
& 2] ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 19
Теорема 1.2. Из всякой ограниченной последовательности
можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Поскольку последовательность {zn} огра-
ничена, то ясно, что соответствующие ей действительные последова-
тельности {ап} и {Ьп} также ограничены. Рассмотрим последователь-
ность {ал}. Так как эта последовательность ограничена, то из нее
можно выделить сходящуюся подпоследовательность *) {«nJ, предел
которой обозначим а. Последовательности {«nJ соответствует после-
довательность {&„J, также являющаяся ограниченной. Поэтому из нее
можно в свою очередь выделить сходящуюся подпоследовательность
предел которой обозначим Ь. При этом соответствующая после-
довательность {«nft| по-прежнему сходится к а. Отсюда следует, что
последовательность комплексных чисел {^nft} = {ank + ^nk] также яв-
ляется сходящейся, причем lim zn —z = a-\-ib, что и доказывает
nA-oo ft
теорему.
2. Критерий Коши. При исследовании сходимости последователь-
ности во многих случаях удобным оказывается необходимый и доста-
точный признак сходимости последовательности, известный под назва-
нием критерия Коши.
Критерий Коши. Последовательность {zn} сходится тогда
и только тогда, если для любого е >• 0 можно указать такое
N{y), что
\zn — zn+m\<e (1.7)
при n^N(e) и для любого номера т^О.
Доказательство. Для доказательства критерия Коши мы
опять воспользуемся эквивалентностью сходимости последовательно-
сти {г„} и последовательностей действительных чисел. {ал} и {Ьп},
а также тем обстоятельством, что критерий Коши является необходи-
мым и достаточным признаком сходимости последовательности дейст-
вительных чисел **), Начнем с доказательства необходимости критерия
Коши. Так как последовательность {zn} сходится, то сходятся и пос-
ледовательности действительных чисел {ал} и {Ь„}. Отсюда следует, что
для любого е>0 и любого номера т > 0 | ап — ап^т | < при
n^Nr(y.) и | Ьп — Ьп-^т | < при п^^(е). Выбирая в качестве
N(e) наибольшее из Nx и N2, в силу неравенства треугольника полу-
чаем | zn—zn+m\<e, при w>7V(e).
Перейдем к доказательству достаточности признака Коши. Из
соотношения (1.7) при n^N следуют неравенства \ а„ — ап^т' -~^
^|гл —z„+m|<e и |6Л — bn+m^\zn—z„+m|<e, являющиеся
*) См. вып. 1, стр. 82.
**) См, вып. 1, стр. 85.
20
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. I
достаточными условиями сходимости последовательностей {а„| и {#„},
т. е. сходимости последовательности {гп}. Тем самым доказано, что
для сходимости последовательности {zn\ с комплексными элементами
необходимым и достаточным является выполнение критерия Коши.
3. Бесконечно удаленная точка. Введем понятие бесконечно
удаленной точки комплексной плоскости, существенное для дальней-
шего. Пусть дана последовательность комплексных чисел такая,
что для любого положительного числа найдется номер N, начиная
с которого члены последовательности удовлетворяют условию
при n^iN. Такую последовательность назовем неограни-
ченно возрастающей. Согласно введенным ранее определениям данная
последовательность, так же как и всякая ее подпоследовательность,
предела не имеет. Такое особое положение неограниченно возрастаю-
щей последовательности вызывает ряд неудобств. Чтобы избежать
этого, введем комплексное число z = oo и будем считать всякую
неограниченно возрастающую последовательность сходящейся
к этому числу, которому мы поставим в соответствие бесконечно
удаленную точку комплексной плоскости. Введем понятие полной
комплексной плоскости, состоящей из обычной комплексной плос-
кости, и единственного бесконечно удаленного элемента — бесконечно
удаленной точки *) z — оо. Если мы будем пользоваться геометриче-
ской иллюстрацией, ставя в соответствие элементам неограниченно
возрастающей последовательности {zn} точки комплексной плоскости,
то обнаружим, что точки рассматриваемой последовательности с воз-
растанием их номера располагаются вне концентрических кругов
с центром в начале координат, радиусы которых могут быть сколь
угодно большими. Отметим, что точки данной последовательности
стремятся к точке оо независимо от направления на полной ком-
плексной плоскости.
В связи с введенными понятиями естественно называть окрест-
ностью бесконечно удаленной точки множество точек z полной ком-
плексной плоскости, удовлетворяющих условию | z | > R, где R— дос-
таточно большое положительное число.
Определим алгебраические свойства числа z = со. Из элементов
неограниченно возрастающей последовательности {zn} составим после-
довательность Эта последовательность сходится к точке г = 0.
Действительно, из предыдущих рассмотрений следует, что для любо-
го е>0 можно указать такой номер N, что -|<е при n^N.
Очевидно и обратное утверждение, т. е. если последовательность
сходится к нулю и состоит из отличных от нуля элементов, то пос-
ледовательность | J-} сходится к бесконечно удаленной точке.
*) Заметим, что аргумент комплексного числа со не определен, так же
как и его действительная и мнимая части.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
21
В связи с этим полагают — = 0' и -А- = оо. Вообще для беско-
печно удаленной точки устанавливаются следующие соотношения:
г-00 = 00 при z=^Q и z-|-oo = oo, ~ = 0 при г=^оо, которые
естественны с точки зрения предельного перехода в операциях сло-
жения и умножения. С этой точки зрения операция —, естественно,
является неопределенной.
§ 3. Понятие функции комплексной переменной.
Непрерывность
1. Основные определения. Целью настоящего пункта является
введение понятия функции комплексной переменной. Это понятие
вводится так же как и понятие функции действительной переменной.
Будем говорить, что на множестве Е комплексной плоскости задана
функция комплексной переменной, если задан закон, ставящий в соот-
ветствие каждой точке множества Е некоторое комплексное число.
Множество Е будем называть множеством значений независимой пере-
менной. Структура этого множества может быть весьма сложной и
разнообразной, однако в теории функций комплексной переменной
рассматривают множества специальной структуры. Для дальнейшего
нам потребуется ряд вспомогательных понятий.
Точка z называется внутренней тонкой множества Е, если су-
ществует g-окрестность точки z, все точки которой принадлежат мно-
жеству Е. Например, точка z множества | z | sC 1 является внутрен-
ней, если |z|<l; точка z—1 не является внутренней точкой дан-
ного множества.
Множество Е называется областью, если выполняются сле-
дующие условия: 1) каждая тонка множества Е —внутренняя
тонка этого множества-, 2) любые две тонки множества Е мож-
но соединить ломаной, все тонки которой принадлежат Е.
В данном определении области второе требование является усло-
вием связности области. Например, множество точек | z | < 1 образует
область. Точно также и е-окрестность точки г0(|г—z0!<e) обра-
зует область. Множество точек | z | < 1 не является областью, так
как не все его точки являются внутренними. Также не являются
областями множество точек | z |=/= 1 и множество | z |< 1, | z — 4 | <; 2
(рис. 1.3), поскольку они не являются связными.
Для обозначения области обычно применяются буквы 2?, О, D.
Точка z называется внешней точкой области 3, если сущест-
вует такая е-окрестность точки z,. все точки которой не принадлежат
области 3.
Точка z называется, граничной точкой области 3, если в любой
ее е-окрестности содержатся как точки, принадлежащие области 3,
22
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
Рис. 1.3.
области**). Например, область \z — z |< 2 является
является окружность
кольцо 1 < | z | < 2
собой двухсвязную
так и точки, не принадлежащие области Например, точка z = 1
является граничной точкой области |г|<1. Совокупность всех
граничных точек образует границу области. В дальнейшем грани-
цу области мы будем обычно обо-
значать буквами у, Г, С. Простей-
шим примером границы области,
очевидно, является кривая; однако
граница области может состоять
и из дискретного множества то-
чек. Например, множество точек
|z | 5^ 0 образует на комплексной
плоскости область, границей ко-
торой является точка z = 0.
Множество, полученное при-
соединением к области всех ее
граничных точек, называется замкнутой областью. Замкнутую
область обычно будем обозначать, ставя черту над символом об-
ласти, например: 2?, G, D.
В дальнейшем мы будем рассматривать те случаи, когда граница
области представляет собой одну или несколько кусочно-гладких
кривых *), которые, в частности, могут вырождаться в отдельные
точки. При этом будут рассматриваться как односвязные, так и
многосвязные
односвязной областью, границей которой
\z— /|=2; круговое
(рис. 1.4) представляет
область; множество точек z у= 0 представляет
собой односвязную область и т. д.
Если область 3 целиком лежит внутри не-
которого круга конечного радиуса, то она на-
зывается ограниченной. В противном случае —
неограниченной.
Мы будем рассматривать в основном те
случаи, когда множество Е значений комплекс-
ной переменной представляет собой область 3
или замкнутую область 3 комплексной плос-
кости. Тогда однозначная функция комплексной переменной z, за-
данная в области 3, определяется законом, ставящим каждому
значению z из области 3 в соответствие определенное комплекс-
ное число w. Символически указанное соответствие будем записы-
вать в виде
те>=/(г).
(1-8)
*) Понятие кусочно-гладкой кривой см. вып. 2, стр. 150.
**) Понятие многосвязной области см. вып. 2, стр. 117.
§ 3] ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 23
I
Множество комплексных чисел -ив, соответствующих всем z е 3,
называется множеством значений функции /(г). Поскольку каждое
комплексное число характеризуется парой действительных чисел, то
задание комплексной функции ж’ = и-|-/ц комплексной переменной
z — x-\-ly эквивалентно заданию двух действительных функций двух
действительных переменных, что может быть записано в виде
®»(г) = и(х, j) + to(x, у). (1.9)
Функции и (х, у) и v (х, у) определены в области 3 плоскости дей-
ствительных переменных х, у, соответствующей области 3 комплекс-
ной плоскости z. Функция и(х, у) называется действительной,
а функция v (х, у) — мнимой частью функции w = /(г). В дальней-
шем, если это не оговорено особо, мы всегда будем пользоваться
представлением (1.9), обозначая действительную часть функции /(г)
символом и, мнимую — символом V.
Часто рассматривают многозначные функции комплексной пере-
менной, когда каждому значению z е 3 ставится в соответствие
несколько комплексных чисел. В настоящей главе мы будем рассмат-
ривать только однозначные функции комплексной переменной. Под-
робное рассмотрение многозначных функций будет проведено ниже.
Множество значений w функции /(г) на комплексной плоскости w
может иметь самую разнообразную структуру. В частности, это
может быть область G или замкнутая область Q. В дальнейшем мы
будем рассматривать только такие случаи.
Заданием функции да=/(г) устанавливается соответствие между
точками области 3 комплексной плоскости z и точками области О
комплексной плоскости №. Говорят, что при этом задано отображе-
ние области 3 на область Q. Очевидно, устанавливается и обратное
соответствие — каждой точке ®еО ставится в соответствие одна
или несколько точек z области 3. В последнем случае можно гово-
рить, что в области О задана многозначная функция комплексной
переменной w. Функция, осуществляющая отображение области О
комплексной плоскости w на область 3 комплексной плоскости z,
называется обратной функции /(г). В этой главе мы в основном
будем рассматривать тот случай, когда обратная функция
г = ф(да) (1-Ю)
является однозначной в области О. Тогда функция те> = /(г) осу-
ществляет взаимно однозначное отображение области 3 на область Q.
Функция f(z) называется однолистной функцией в области 3,
если в различных точках z этой области она принимает раз-
личные значения.
Из этого определения следует, что однолистная функция осу-
ществляет взаимно однозначное отображение.
2. Непрерывность. Перейдем к понятию непрерывности функции
комплексной переменной. Пусть функция f(z) определена на некотором
24 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. 1
множестве Е. Рассмотрим различные последовательности точек
этого множества {zn}, сходящиеся к некоторой точке z0 и состоящие
из точек zn, отличных *) от точки z0 (zn z0), и соответствующие
им последовательности значений функции {/(z„)}. Если независимо
от выбора последовательности {zn} существует единственный
предел lim /(z„) = w0, то этот предел называется предельным
ft о
значением, или пределом, функции f(z) в точке z0, что записы-
вается в виде
lim/(z) = w0. (1.11)
z-»z0
Часто употребляется и другое **) определение понятия предель-
ного значения (или предела) функции.
Число wn называется предельным значением функции f(z)
в точке z0, если для любого е > 0 можно указать такое 6 > О,
что для всех точек z Е и удовлетворяющих условию
О < | z — z0 ] < 6, имеет место равенство \f(z) — w01 < е. .
Докажем эквивалентность этих определений. Пусть функция f(z)
удовлетворяет второму определению. Возьмем произвольное положи-
тельное число е и выберем для него соответствующее б(е). Рассмот-
рим произвольную последовательность {zrt}->z0 и найдем А/[6(е)] =
= Л-'(е), начиная с которого 0 < | zn —- z01 < 6. Тогда по условию
|/(zn) — w№ | < e для a^N(e); а так как e > 0 — любое, то это
в силу произвольности выбора последовательности {г„} и означает,
что lim f(zn) = w0, т. е. функция /(z) удовлетворяет и первому опре-
делению. Тем самым из второго определения следует первое.
Докажем теперь, что из первого определения вытекает второе.
Предположим, что это не имеет места. Тогда можно указать такое
е0 > 0, что для любого 6п > 0 найдется такая точка zn е Е, что
при 0 < | zn—z01 < бп будет выполнено неравенство | f(z^—и»01 > е0.
Выберем стремящуюся к нулю последовательность —> 0 и соответ-
ствующую ей последовательность точек {z„}, удовлетворяющих при-
веденным выше неравенствам. Очевидно, {z„} -> z0, а последователь-
ность {/(z„)} не сходится к числу так как все члены этой
последовательности отличаются от w0 больше чем на е0. Но получен-
ный результат противоречит первому определению. Тем самым сде-
ланное предположение не имеет места, т. е. из первого определения
вытекает второе. Эквивалентность обоих определений доказана.
Так же, как и в случае действительной переменной, важную роль
играет понятие непрерывности функции. Начнем с понятия непрерыв-
*) При этом предполагается, что точка z0 является точкой сгущения мно-
жества Е, т. е. существуют последовательности {г„} точек этого множества,
сходящиеся к точке г0.
**) Заметим, что это определение, в отличие от первого, имеет смысл лишь
для конечных значений z0 и ша.
§ 3] ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 25
пости в точке. При этом будем считать, что точка ,г0) в которой
определяется это понятие, обязательно принадлежит множеству Е зада-
ния функции.
. Функция f(z), заданная на множестве Е, называется непре-
рывной в точке z0^E, если предельное значение этой функции
в точке z0 существует, конечно и совпадает со значением f(zQ)
функции f(z) в-точке z0, т. е. lim /(г)=/(г0).
Z —Zq
Это определение непрерывности распространяется как на внут-
ренние, так и на граничные точки множества *),
Если функция f(z), заданная на множестве Е, непрерывна во всех
точках этого множества, то говорят, что функция f(z) непрерывна
па множестве Е. В частности, мы будем рассматривать функции,
непрерывные в области, в замкнутой области и на кривой. Подчеркнем
еще раз, что в силу данных выше определений следует рассматри-
вать предельные значения функции /(г) лишь на последовательностях
точек, принадлежащих данному множеству (в последних случаях замк-
нутой области, кривой и т. д.).
С помощью е — 6-определения предельного значения условия
непрерывности функции /(г) в точке z0 можно также сформулировать
следующим образом. Функция f(z) непрерывна в точке z0, если
для любого е > 0 можно указать такое 6 > О, что для всех
точек z е Е, удовлетворяющих неравенству \z—z01 <; 6, имеет
место неравенство \f{z) — f (z^ | < е. Геометрически это означает,
что функция комплексной переменной, непрерывная в некоторой
точке **) г0, ставит в соответствие каждой точке из 6-окрестности
точки za некоторую точку, принадлежащую е-окрестности точки
®’о = /(2’о).
Из непрерывности функции комплексной переменной f(z) =
= u(x,y)-[-iv(x, у) следует непрерывность ее действительной и(х,у)
и мнимой v(x, у) частей по совокупности переменных х, у ***).
Имеет место и обратное утверждение, т. е. если и(х, у) и v(x, _у)
суть непрерывные функции по совокупности переменных х, у в неко-
торой точке (х0, _у0), то f(z) = u(x, у) ф- lv (х, у) является функцией
комплексной переменной z — x-\-iy, непрерывной в точке z0 = x0 +
-ф iy0. Данные утверждения являются следствием того, что
*) Если точка г0 является изолированной точкой множества Е (т. е. су-
ществует такая е-окрестность точки г0, в которой нет других точек множе-
ства Е), то функция / (г), по определению, считается непрерывной в точке г0.
**) Заметим, что данные определения понятия непрерывности функции f (г)
в точке г0 справедливы не только в случае конечной точки г0, но и в случае
бесконечно удаленной точки г0 = со. При этом под предельным значением функ-
ции f (г) в точке со, в силу определения на стр. 24, надо понимать предел
последовательности {/(zrt)}, где {г„} — любая неограниченно возрастающая
последовательность. Во втором определении непрерывности условие |г—г0 | < 6
надо заменить на условие | z | > R.
***) Определение непрерывности функции двух действительных переменных
по совокупности переменных см. вып. 1, стр. 471.
26
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
необходимым и достаточным условием сходимости последовательности
комплексных чисел является сходимость последовательностей их дей-
ствительных и мнимых частей.
Это позволяет перенести на функции комплексной переменной
основные свойства непрерывных функций двух действительных пере-
менных *). Так, сумма и произведение двух функций комплексной
переменной fi(z) и /2(д), непрерывных в области $, также явля-
ются непрерывными функциями в этой области; функция <р (z) =
Л (г)
fz (г)
непрерывна в тех точках области где /2(z)=4=0, функ-
ция f(z), непрерывная на замкнутом множестве Е, ограничена по
модулю на Е и т. д.
3. Примеры. Рассмотрим несколько простейших примеров.
1. В качестве первого примера функции комплексной переменной
рассмотрим линейную функцию
f(z) = w== az ф- b.
(1-12)
Здесь а и b—заданные комплексные постоянные. Будем считать, что
а О, так как в противном случае функция (1.12) ставит в соответ-
ствие всем точкам z комплексной плоскости одно и то же комплекс-
ное число Ь. Функция (1.12) определена при всех значениях незави-
симой переменной z. Областью ее задания является полная **)
комплексная плоскость z. Каждому значению z соответствует только
одно значение w, т. е. f(z) — однозначная функция z. Очевидно,
обратная функция tp(w) = z = ~w—~~ = ayw + обладает теми
же свойствами, что и /(г). Тем самым /(г) — однолистная функция z
на полной комплексной плоскости, устанавливающая взаимно одно-
значное соответствие между плоскостями z и -w. В силу непрерыв-
ности действительной и мнимой части /(z) по совокупности перемен-
ных х, у эта функция непрерывна на всей комплексной плоскости
(при любых конечных значениях х, у). Чтобы выяснить геометричес-
кий смысл данного соответствия, рассмотрим вспомогательную функ-
цию t = az. На основании правила умножения комплексных чисел имеем
£ = | а | • | 2 I • {cos (arg а + агё z) +1 sin (arg а + arg z)}.
Отсюда следует | £ | = | а | • | z |, arg £ = arg z 4- arg a. To есть функция
£ = az любому комплексному числу z ставит в соответствие комп-
лексное число £, модуль которого в | а | раз больше модуля z,
*) См. вып. 1, стр. 474.
**) В дальнейшем мы будем говорить, что функция комплексной пере-
менной f (г) определена на всей комплексной плоскости, если она определена
для всех значений комплексного аргумента г, ограниченных по модулю, и будем
говорить, что f(z) определена на полной комплексной плоскости, если она
задана и при z=co. В нашем примере f(co) = со.
§ 3]
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.НЕПРЕРЫВНОСТЬ
27
а аргумент получается из аргумента z прибавлением постоянного
слагаемого — аргумента комплексного числа а. Геометрический смысл
этого преобразования очевиден: подобное растяжение плоскости z
в | а | раз и поворот этой плоскости как целого вокруг точки z = О
па угол arg а.
Возвращаясь к функции (1.12), которую теперь можно записать
в виде w = С + видим, что геометрический смысл последнего пре-
образования состоит в сдвиге плоскости z, характеризуемом векто-
ром Ь.
Итак, линейная функция преобразует комплексную плоскость z
в комплексную плоскость w путем подобного растяжения, поворота
и сдвига.
2. В качестве следующего примера рассмотрим функцию
,w=f(z) = ~. (1.13)
Эта функция также определена на полной комплексной плоскости,
причем /(0) = оо и /(оо) = 0. Как и в первом примере, устанавливаем,
что /(г) является однозначной и однолистной функцией г, отобра-
жающей полную плоскость z на полную плоскость •w. Легко уста-
новить, что функция /(г) является непрерывной на полной комплексной
плоскости, за исключением точки г = 0. Для геометрической интер-
претации данной функции воспользуемся показательной формой
записи комплексных чисел: о» = ге^ = -у- е",(₽ (г = ре‘т). Это равенство
означает, что arg w = — arg z, | w j — -Д—. Полученные соотношения
Iг I
позволяют рассматривать отображение, осуществляемое данной функ-
цией, как совокупность двух отображений: £ = £ (z), где | £ | — | z |,
arg£ = — arg z, и w = w(C), где II ~ jy]-, arg'S’ = arg£. Первое
отображение имеет геометрический смысл зеркального отражения
относительно действительной оси, при котором точка z переходит
в точку z, а второе — инверсии *) в единичном круге, переводящей
точку z в точку ‘W=~ (рис. 1.5, 1.6). При этом точки плоскости г,
лежащие вне единичного круга, переходят в точки, лежащие внутри
единичного круга плоскости w, и наоборот.
3. Рассмотрим функцию
т’=/(г) = гг. (1.14)
Эта функция является однозначной функцией комплексной перемен-
ной z, определенной на полной комплексной плоскости г. Для изучения
*) Инверсией (или преобразованием обратных радиусов) в круге радиуса а
называется такое преобразование, при котором каждой точке внутри (вне) круга
ставится в соответствие точка вне (внутри) круга, лежащая на луче, прове-
денном из центра круга в данную точку так, что произведение расстояний от
этих точек до центра круга равно квадрату радиуса круга.
28
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
ее свойств опять удобно представить комплексные, числа в пока-
зательной форме: z = ре‘Ф, w = reW — р2е‘2<₽. Отсюда легко заключить,
что точки плоскости z, лежащие на луче, составляющем угол <р
с положительным направлением действительной оси, переходят в
точки плоскости w, лежащие на луче, составляющем с положитель-
ным направлением действительной оси угол 2ср. Поэтому точкам z
и — z, аргументы которых различаются на л, а модули одинаковы,
соответствует одно и то же значение w (ег2я = cos 2л-|-г sin 2л = 1).
Тем самым обратная функция оказывается многозначной. Рассмотрим
подробнее отображение, осуществляемое функцией w = z2. Верхняя
полуплоскость z вместе с действительной' осью переходит в полную
плоскость w. Положим для определенности, что в верхней полу-
плоскости аргумент z заключен в пределах 0<ф<;л. Тогда раз-
личным точкам области 0 < гр < л соответствуют различные значе-
ния w. Такая область изменения независимой переменной, различным
точкам которой соответствуют различные значения функции, назы-
вается областью однолистности функции. В предыдущих примерах
областью однолистности являлась вся область задания функции; в дан-
ном случае для функции тао = г2, областью задания которой является
полная комплексная плоскость z, областью однолистности служит
полуплоскость. Отметим, что в рассматриваемом случае границы
области однолистности — лучи <р = 0 и ф = л — переходят в одну и
ту же прямую — положительную часть действительной оси плоскости w.
Продолжая наши рассмотрения, легко показать, что функция w = z2
производит отображение и нижней полуплоскости z вместе с действи-
тельной осью на полную плоскость vd. Тем самым обратная функция
z^Vw, (1.15)
определенная на полной плоскости w, уже не является однозначной —
одной и той же точке плоскости w соответствуют две различные
точки плоскости z: одна —в верхней, другая — в нижней полупло-
скости.
Чтобы изучить отображение, осуществляемое данной функцией,
воспользуемся опять показательной формой записи комплексного
§ 3] ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 29
числа: w = re^. Тогда, согласно правилу извлечения корня из ком-
плексного числа, мы получаем два различных значения функции
-- —
г (да): zk=y re2 (k = 0,1) (заметим, что arg zr — arg z0 = л).
Рассмотрим на плоскости vs некоторую замкнутую кривую С, не
имеющую самопересечений. Фиксируем на ней точку w0, которой
припишем определенное значение аргумента ф0, найдем 20(да0), zt (да0)
и будем следить за изменением функций z0(w) и ^(да) при непре-
рывном движении точки vs по кривой С. Аргумент точки vs на кри-
вой С изменяется непрерывно. Поэтому, как легко видеть, функции
z0(w) и zt(vs) являются непрерывными функциями vs на крийой С.
При этом возможны два различных случая. В первом случае кри-
вая С не содержит внутри точку да = 0. Тогда после обхода кри-
вой С аргумент точки vsQ вернется к первоначальному значению
argw0 = i|)0. Следовательно, и значения функций z0(w) и ^(да) в
точке w — Wq после обхода кривой С будут равны их первоначаль-
ным значениям. Тем самым на кривой С в этом случае определены
две различные однозначные функции комплексной переменной vs:
лГ 4 лГ 4 №+2я) /1
z0 = у ге 2 и zx = у ге 2 (ф изменяется непрерывно на кри-
вой С, начиная от значения ф0 в точке да0). Очевидно, если область D
плоскости Vi) обладает тем свойством, что любая замкнутая кривая
в этой области не содержит точки да = 0, то в D определены две
различные однозначные непрерывные функции zQ(w) и zA (да). Функ-
ции z0 (vs) и Zi (да) называются ветвями многозначной функции
z (VS) = У W.
Во втором случае кривая С содержит внутри точку да = 0. Тогда
после обхода кривой С в положительном направлении значение аргу-
мента точки vs0 уже не вернется к первоначальному значению ф0,
а изменится на 2л: а^да0 = ф0-|-2л. Поэтому и значения функций
г0 (да) и Zi (да) в точке да0 в результате их непрерывного изменения
после обхода кривой С уже не будут равны их первоначальным зна-
чениям. Более точно, получим z0 (да0) = zn (да0) ein, z1(vs0) = z1(vs0)ein.
То есть функция z0(w) перейдет в функцию 2^ (да), и наоборот.
Если для точки zn можно указать такую е-окрестность, что при
однократном обходе точки по любому замкнутому контуру, цели-
ком лежащему в этой е-окрестности, одна ветвь многозначной функ-
ции переходит в другую, то точка г0 называется точкой разветвле-
ния (ветвления) данной многозначной функции. В окрестности
точки разветвления отдельные ветви многозначной функции уже нельзя
рассматривать как различные однозначные функции, поскольку при
обходе точки разветвления их значения меняются. В рассматриваемом
примере точкой разветвления является точка да = 0.
Заметим, что обход окружности | z | = R сколь угодно большого
радиуса соответствует обходу на плоскости £ = -- точки £ = 0 по
30
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
окружности |£| — р = —£-• Согласно пункту 2.3 имеет место соотно-
шение ~ — оо. Поэтому будем считать, что обход окружности бес-
конечно большого радиуса (/?->-со) есть обход бесконечно удален-
ной точки z = oo. Как легко видеть, в рассматриваемом примере при
обходе точки 10 = 00 одна ветвь функции г = ’|/"и> переходит в дру-
гую. Таким образом, второй точкой разветвления функции z = ]fw
на комплексной плоскости w является точка w = oo. Областью D,
в которой определены однозначные ветви функции z = ’|/w, является
любая область плоскости 10, в которой невозможен обход по замкну-
тому контуру точек разветвления ® = 0 и ® = со. Такой областью явля-
ется, например, вся плоскость w с разрезом вдоль положительной
части действительной оси. При этом берега разреза являются границей
данной области, так что при непрерывном движении внутри области
мы не можем пересекать разрез (границу области).
Если считать, что аргумент точек w для первой ветви изменяется
в пределах 0 < arg w < 2л, а для второй — в пределах 2л arg 10 <
<4л, то первая ветвь функции г = производит отображение
плоскости с разрезом на верхнюю полуплоскость z, а вторая ветвь
данной функции отображает ту же область на нижнюю полуплоскость z.
Аналогичным образом легко показать, что функция w = гл(л > 0 —
целое число) производит отображение любого сектора <argz<
. 2л (£4-1) ,, „ . ..
< —- (я = 0, 1, ..., И— 1) плоскости z на полную ПЛОСКОСТЬ 10,
разрезанную по положительной части действительной оси. Тем самым
эти секторы представляют собой области однолистности данной функ-
ции. Обратная функция z = yr'w является многозначной, и точки
ю = 0 и w = oo представляют собой ее точки разветвления.
§ 4. Дифференцирование функции комплексной переменной
1. Определение. Условия Коши—Римана. До сих пор теория
функций комплексной переменной строилась в полной аналогии
с теорией функций действительной переменной. Однако понятие диф-
ференцируемой функции комплексной переменной, введенное по анало-
гии с соответствующим понятием теории функций действительной пере-
менной, приводит к существенным различиям.
Дадим определение производной функции комплексной переменной.
Пусть в области £ комплексной плоскости z задана функция f(z).
Если для точки е 5 существует при \z-»-Q предел (предельное
значение) разностного отношения
f fa+Az) — /fa)
Az
§ 4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ функции комплексной переменной
31
то этот предел называется производной функции f(z) по комп-
лексной переменной z в точке z0 и обозначается f (г0), т. е.
/'(*<>) = 11m Пго+-АД~/(го). (1-16)
Дг —О аг
Функция f(z) в этом случае называется дифференцируемой в точке zQ.
Подчеркнем еще раз, что если существует предел (1.16), то он не зави-
сит от способа стремления Дг к нулю, т. е. от способа приближе-
ния точки г = г04-Дг к точке za. Требование дифференцируемости
функции комплексной переменной в точке г0 накладывает весьма важ-
ные условия на поведение действительной и мнимой частей этой
функции в окрестности точки (х0, у0). Эти условия известны под
названием условий Коши—Римана, которые могут быть сформулиро-
ваны в виде следующих теорем.
Теорема 1.3. Если функция f(z) = u(x, y)-\-iv(x, у) дифферен-
цируема в точке zti = ха-^-1у(>, то в точке(х0, у0) существуют
частные производные функций и (х, у) и v (х, у) по переменным х, у,
причем имеют место следующие соотношения *)
дп (х0, у0) ди (х0, у0) ди (х0, у0) де (х0, у0) .
дх ду ’ ду дх ' ( • )
Доказательство. По условию теоремы существует предел
(1.16), не зависящий от способа стремления Аг к нулю. Положим
Лг = Дх и рассмотрим выражение
yv, ч ijm ц(х0 + Дх, y0)-u(x0, у0) . г lim г>(хр + Дх, у0)-р(х0, у0)
V ° Дх-*0 Дх-»о
Из существования предела комплексного выражения следует суще-
ствование пределов его действительной и мнимой частей. Поэтому
в точке х0, у0 существуют частные производные по х функций и (х, у)
и v (х, у) и имеет место формула
f'(z0) = ux(x0, Уо) + ^х(хо, у0).
Полагая Дг = /Ду, находим
Г (*о) =
_z- lim и(хп, Уо + Ау) —»(х0, у0) . п р(х0, Уо + Ау)-и(х0, Уо) =
д^о Д//-0 л>
= — iuy(x0, y0) + vy(x0, у0).
Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости
соотношений (1.17).
Теорема 1.4. Если в точке (х0, у0) функции и (х, у) и v (х, у)
дифференцируемы, а их частные производные связаны соотноше-
ниями (1.17), то функция f(z) — u(x, y)-]-iv(x, _у) является
)Соотношения (1.17) обычно и называются соотношениями Коши—Римана.
32
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(ГЛ. I
дифференцируемой функцией комплексной переменной z в точке
z0 = x0-\- 1у0.
Доказательство. По определению дифференцируемости *),
приращения функций и (х, ф) и v (х, у) в окрестности точки (х0, ф0) мо-
гут быть записаны в виде
а (х0 + Ах, у0 4- Ау) - и (х0, у0) =
= чх (х0, у0) Ах 4- иу (х0, фо) Ау 4- £ (х, ф),
V (х0 4- Фо 4- Дф) - Т) (х0, Фо) =
= М*о, Уо)Ьху-Ъу(хо, ф0)Дф4-П(*> Л С1-18)
где функции £(х, у) и г](х, ф) стремятся к нулю при х->х0,
ф->Фо быстрее, чем Дх и Дф f lim ~ f r-r- = О, 1*т -,= О»
\lizH0 1Д21 |Дх|-0 iazl
Az | = ]/'(Дх)а4-(Дф)2^ • Составим теперь разностное отношение
f (z04“Az)—f (z«), где дг = Дх4-/Дф, и используя (1.18) и (1.17), пре-
образуем его к виду .
((го+Дг)-Нго) = , . йх+iAy i&x-Ay ,
Дг х \ °’ -У°' Дх4-»Ду ' х' °' Дху/Ду
+ ~'(Х’~Ах+(й}Х’ = Л) + /^<хо> Л) +
(£(*)=£(*, J')t4 (х, ф)).
Заметим, что при стремлении Az к нулю последнее слагаемое этой
формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому
1 • f (*о4-Дг) — f (z0) г,, ч
существует предел 1пп —— f (г0), что и доказывает
Дг-0 Дг
дифференцируемость функции /(г) в точке z0.
Если функция f(z) дифференцируема во всех точках некото-
рой области У, а ее производная непрерывна в этой области, то
функция f (z) называется аналитической функцией **) в области 5.
Как известно ***), непрерывность частных производных является
достаточным условием существования первого дифференциала (диффе-
*) См. вып. 1, стр. 479.
**) Приведенное здесь определение аналитической функции отличается от
обычно принятого в литературе дополнительным требованием непрерывности про-
изводной. Это сделано с целью облегчения последующих доказательств. Кроме
того, как это следует из более подробного исследования, математическое содер-
жание понятия аналитической функции при этом не меняется. В частности, можно
показать, что при дополнительном требовании непрерывности функции f (г)
в области & выполнение условий Коши — Римана (1.17) всюду в этой области
является необходимым и достаточным для аналитичности f (г) и непрерывности
всех ее производных в области .^. См. подробнее А. И. Маркушевич, Теория
аналитических функций, М., Гостехиздат, 1950.
***) См. вып. 1, стр. 483.
§ 4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
33
ренцируемости) функции многих переменных. Поэтому из теорем 1.3
и 1.4 следует, что необходимым и достаточным условием анали-
тичности функции f(z) = u(x, y)~\-iv(x, у) в области S является
существование в этой области непрерывных частных производных:
функций и(х, у) и v(x, у), связанных соотношениями Коши —
Римана. (1.17).
Понятие аналитической функции является основным понятием тео-
рии функций комплексной переменной в силу особой роли, которую
играет класс аналитических функций как при решении многочислен-
ных математических проблем, так и при различных приложениях
функций комплексной переменной в смежных областях естествознания.
Соотношения Коши — Римана часто используются при исследова-
нии различных свойств аналитических функций. При этом равенства
(1.17) не являются единственно возможной формой соотношений
Коши — Римана. Как может установить сам читатель, действительная и
мнимая части аналитической функции /(г) = и(р, cp)-f-zv(p, <р) ком-
плексной переменной z = ре1ф связаны соотношениями
ди l_du _____________dv л
dp~ pdip’ pdq>— др' ( )
где р и <р — полярные координаты точки (х, у). Аналогичным образом
легко установить, что модуль и аргумент аналитической функции
f(z) = R(x, у) е‘ф(х>1д связаны соотношениями
(1.20)
дх ду ’ ду дх ' '
Отметим также, что соотношения (1.17) позволяют получить раз-
личные выражения для производной функции комплексной переменной
Г (-г) = чх (х, у) + ivx (х, у) = vy (х, у) -ф ivx (х, у) =
= их (х, у) — itty (х, у) = vy (х, у) — iiiy (х, у). (1.21)
При этом каждый раз производная /' (г) выражается через частные
производные функций и(х, у) и v(x, у).
2. Свойства аналитических функций. Определение производ-
ной (1.16) позволяет перенести на аналитические функции комплекс-
ной переменной ряд свойств дифференцируемых функций действитель-
ной переменной.
1. Если функция f(z) является аналитической в области S, то она
непрерывна в этой области.
2. Если /г(г) и /2(г) суть аналитические функции в области S,
то их сумма и произведение также являются аналитическими функ-
циями в области S, а функция ф (г) = 4-4; является аналитической функ-
цией всюду, где /2 (г) =/= 0.
3. Если w =/(.?) является аналитической функцией в обла-
сти S плоскости комплексной переменной г, причем в области ее
34
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
значений G на плоскости да определена аналитическая функция
£ = <р (да), то функция F (г) = ср [/(г)] является аналитической функ-
цией комплексной переменной z в области S.
4. Если w = f(z) является аналитической функцией в области
причем \f'(z) | О в окрестности некоторой точки zQ е то
в окрестности точки да0=/(г0) области G значений функции /(г)
определена обратная функция z = <р (да), являющаяся аналитической
функцией комплексной переменной w. При этом имеет место соотно-
шение /'(г0) = —.
J v 07 ф'Ы
Доказательство. Для существования обратной функции не-
обходимо, чтобы уравнения и = и(х, у) и v = v (х, _у) можно было
разрешить относительно х, у в окрестности точки да0. Для этого
достаточно *), чтобы в окрестности точки г0 выполнялось условие
Uy
— uxvy — UyVx #= 0.
В силу соотношений (1.17) это условие можно переписать в виде
+ Но при условии \f (г) |^0 последнее имеет место. Тем
самым существование обратной функции г = <р(да) доказано. Соста-
Дг 1
вив разностное отношение д^ = д^;> легко доказать существование
Дг
и непрерывность производной <р'(да0) при условии \f' (z0) | 0.
5. Пусть в области 'S плоскости х, у задана функция и (х, у),
являющаяся действительной частью аналитической функции /(г). Тогда
мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной
постойнной. Действительно, в силу условий Коши — Римана по задан-
ной функции и(х,у) однозначно определяется полный дифференциал
неизвестной функции v (х, у):
dv — vxdx 4- Vydy = — Uydx 4- w^dy,
что и доказывает высказанное утверждение **).
6. Пусть функция f(z) является аналитической в области Рас-
смотрим в соответствующей области плоскости х, у семейства кри-
вых и(х, _у) = С и у) —С, представляющие собой линии уров-
ней действительной и мнимой частей функции f(z). С помощью соот-
ношений (1.17) легко показать, что во всех точках данной области
grad и grad г» = uxvx 4- uyvy = — uxiiy 4- иуих = 0. Так как градиент орто-
гонален линии уровня, то отсюда следует, что семейства кривых
и(х, у) = С и v (х, у) —С взаимно ортогональны.
*) Об условиях существования неявных функций см. вып. 1, стр. 538.
•*) Определение функции двух действительных переменных по ее полному
дифференциалу см. вып. 2, стр. 174.-
§ 4] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 35
3. Геометрический смысл производной функции комплексной
переменной. Пусть f(z) является аналитической функцией в некото-
рой области 3. Выберем какую-либо точку и проведем через
нее произвольную *) кривую фх, целиком лежащую в 3. Функция /(г)
производит отображение области 3 комплексной плоскости z на
некоторую область G комплексной плоскости да. Пусть точка z0 пере-
ходит в точку да0, а кривая ух — в проходящую через w0 кривую Гх
(рис. 1.7). По условию существует производная /' (г) функции w= f(z)
в точке z0. Предположим, что /' (z0) 0, и представим комплексное
число /' (г0) в показательной форме **):
/'(2о) = Пш ^ = ke‘« (1.22)
Az-0 az
Выберем такой способ стремления Дг к нулю, при котором точки
z = г0 -ф Дг лежат на кривой фх. Очевидно, соответствующие им точки
да = да0 -|- Дда лежат на кривой Гх. Комплексные числа Дг и Дда изо-
бражаются векторами секущих к кривым фх и Гх соответственно.
Заметим, что arg Дг и arg Дда имеют геометрический смысл углов
соответствующих векторов с положительными направлениями осей х
и и, а | Дг | и | Дда | представляют собой длины этих векторов. При
Дг —> 0 векторы секущих переходят в векторы касательных к соответ-
ствующим кривым. Из (1.22) следует, что
a = arg/'(z0)= lim argДда— lim arg Дг = Фх — <рх, (1.23)
Аг —О AZ-.0
т. е. аргумент а производной имеет геометрический смысл разности
угла Фх вектора касательной к кривой Гх в точке да0 с осью и и
угла q>x вектора касательной к кривой ух в точке г0 с осью х (рис. 1.7).
*) Здесь и в дальнейшем, если это не будет оговорено особо, под про-
извольной кривой мы понимаем гладкую кривую.
**) Условие /'(го)#=О необходимо для возможности такого представления.
36
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
Так как производная /' (z0) не зависит от способа предельного пере-
хода, то эта разность будет той же и для любой другой кривой, про-
ходящей через точку z0 (хотя значения самих углов Фх и <pt могут
измениться). Отсюда следует, что при отображении, осуществляемом
аналитической функцией /(г), удовлетворяющей условию /' (z0) ф О,
угол <р = <р3 — <pi между любыми кривыми у2, у1; пересекающимися
в точке гй, равен углу Ф==Ф2 — Фх между их образами (кривыми Г2
и ГД пересекающимися в точке — f(z^. Заметим, что при этом
сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми у2,
?! и их образами, но и направление углов. Это свойство данного
отображения носит название свойства сохранения углов.
Аналогично из соотношения (1.22) получим
* = |/'(*o)| = lim (1.24)
Az -»О I az I
То есть с точностью до величин более высокого порядка мало-
сти имеет место равенство | Aw | = k | Дд |. Заметим, что и это соот-
ношение не зависит от выбора кривой фр Геометрический смысл этого
соотношения состоит в том, что при отображении, осуществляемом
аналитической функцией, удовлетворяющей условию f (г0) ф 0, бес-
конечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом,
причем | f (zQ) | определяет коэффициент преобразования подобия. Это
свойство данного отображения носит название свойства' постоян-
ства растяжения.
Отображение окрестности точки z0 на окрестность точки w0,
осуществляемое аналитической функцией w=f(z) и обладающее
в точке д0 свойством сохранения углов и постоянством растя-
жений, называется конформным отображением. При конформном
отображении окрестности точки z0 на окрестность точки w0 беско-
нечно малые треугольники с вершиной в точке zQ преобразуются
в подобные им бесконечно малые треугольники с вершиной в точке w0.
Более подробное изложение основных понятий теории конформного
отображения будет дано в гл. 6'.
4. Примеры. В заключение данного параграфа отметим, что, как
легко проверить, линейная функция и функция w = z2, введенные
в предыдущем параграфе, являются аналитическими функциями на
всей комплексной плоскости; функция w='- является аналитической
всюду, за исключением точки г = 0. Так как определение производ-
ной (1.16) аналогично определению производной функции одной дей-
ствительной переменной, то для производных данных функций ком-
плексной переменной имеют место выражения:
(ад+ />)'== а, (г2)' = 2д, (1)'= - 1 (1.25)
Рассмотрим функцию комплексной переменной w=ег, широко
применяющуюся в приложениях. Определим эту функцию, задав
§ 4) ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 37
аналитические выражения ее действительной и мнимой частей:
и (х, у) = ех cos_y, xi(x, _у) = eAsin_y. (1-26)
1 la действительной оси эта функция совпадает с' действительной
функцией ех действительного аргумента х и, как будет показано
в дальнейшем, в комплексной области сохраняет основные свойства
экспоненты. Поэтому для нее естественно сохранить обозначение
ег — ех (cos_y ф-1 sin у) = ех eiy. (1-27)
Покажем, что ег является аналитической функцией на всей ком-
плексной плоскости z. Для этого проверим выполнение условий
Коши — Римана (1.17)
ди r dv ди „ . dv
г — ех cos v = д-, ъ- =— eAsinv = —
дх -г ду' ду J дх
и заметим, что все производные в этих равенствах непрерывны по
совокупности аргументов на всей плоскости х, у. Проводя вычисле-
ние производной ег по формулам (1.21), получаем
(ег/ — их ф- lvx — ех (cos_y ф-1 sin_у) = е?.
Аналогично
(еаг)' = ссеаг, (1.28)
где а—произвольная комплексная постоянная.
Рассмотрим еще две функции A(z) и /2(z), определенные с по-
мощью соотношений
/1 (*) =| (е,г Ф- f2 (z) = 1 (<?" - е~,г). (1.29)
Как легко видеть, для действительных значений комплексной пере-
менной г — х эти функции совпадают с cosx и sin х\ поэтому для
них естественно сохранить прежние обозначения. В дальнейшем мы
подробно изучим свойства этих функций, а сейчас лишь отметим,
что, как сложные функции от аналитической функции, cos г и sin Z
являются аналитическими на всей комплексной плоскости. Непосред-
ственной проверкой легко убедиться, что (cos z)' = — sin z. Действи-
тельно, с помощью (1.28) получим
Л (z) = i (е* - e-iz) = -f2 (z). (1.30)
Аналогично прямое вычисление дает
fUz)+fl(z)=it (1.31)
так как согласно правилу возведения комплексного числа в целую
степень из формулы (1.27) получим
(еаг)г — егаг_. (1.32)
38
ФУНКЦИИ комплексной переменной
[ГЛ. 1
§ 5. Интеграл по комплексной переменной
1. Основные свойства. Пусть на комплексной плоскости z зада-
на кусочно-гладкая кривая С конечной длины L. Используя параме-
трическое представление кривой С, зададим координаты £, т] каждой
ее точки уравнениями £ = ?(/), г| = г| (/), где £(/) и л (О— кусочно-
гладкие функции действительного параметра t, изменяющегося
в пределах t Р (а и [J могут соответственно принимать зна-
чения ± оо), удовлетворяющие условию [£' (О]2 + [л' (О]2 7^ 0- Задание
координат g, т] точек этой кривой С эквивалентно заданию комп-
лексной функции £(£) = £ (0 + гЛ (0 действительной переменной t.
Пусть в каждой точке £ кривой С определено значение функ-
ции /(£). Важным понятием в теории функций комплексной перемен-
ной является понятие интеграла от функции /(£) по кривой С. Это
понятие вводится следующим образом. Разобьем кривую С на п ча-
стичных дуг точками деления £0, £г, • • •, 'Qn< соответствующими воз-
растающим значениям параметра t (ti+1 > t,). Обозначим А£,- = £г —
и составим сумму
ЖЛП= (1-33)
»=1
где £* —произвольная точка г-й частичной дуги.
Если при maxJAtJ—>0 существует предел сумм (1.33), не за-
висящий ни от способа разбиения кривой С, ни от выбора то-
чек ZT> то этот предел называется интегралом от функции' f
по кривой С и обозначается
\f(№- (1.34)
с
Вопрос существования интеграла (1.34) сводится к вопросу о
существовании некоторых криволинейных интегралов от действитель-
ной и и мнимой v частей функции f(z). В самом деле, записав /(£*) =
•— u(PF)-\-iv(Pt~), А£; = Д£( + /Дгр, где Pt (£?, л*)~ точка кривой С
на плоскости х, у, мы можем представить выражение (1.33) в виде
s (Ci- С?) = £ {«(Pt) - v (Pt) Ал,} + / 5 {«(Pt) Ал, + v (Pt) д&}-
i = 1 i = 1
Действительная и мнимая части S (£,-, £/) представляют собой инте-
гральные суммы криволинейных интегралов, второго рода
\ud^ — vdc] и $ и гй]-J-г, (1.35)
с с
соответственно *), откуда и следует высказанное утверждение. Под-
*) Определение криволинейных интегралов и теорему существования
см, вып. 2, стр. 150.
ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
39
черкнем, что для существования криволинейных интегралов (1.35), а
тем самым и интеграла (1.34) по комплексной переменной достаточно
лишь кусочной непрерывности функций и и v действительных пере-
менных. Это означает, что интеграл (1.34) существует и в случае
пеаналитической функции f(z), если эта функция является кусочно-
непрерывной.
Итак, интеграл (1.34) представим в виде
У /(£) dt, = и dt, — v dr] 4- I § и dr] -ф v d%. (1.36)
с с с
Это соотношение может само служить определением интеграла от
функции /(г) по кривой С. Из него следует ряд свойств, являющихся
очевидным следствием соответствующих свойств криволинейных инте-
гралов:
1. У /(?)<*? = - (1.37)
АВ ВА
2. $/(?)</?+$/(?)<*? = $ /(?)<*?• (1-38)
3. Если а — комплексная постоянная, то
уа/(С)^ = а$/©^. (1.39)
с с
4. У {Л (?) + А (?)} <*? = У А (?) rf?+У А (?) (1-40)
С С с
5. $Я?М? (1.41)
с с
где ds — дифференциал длины дуги кривой С, а интеграл, стоящий
справа, является криволинейным интегралом первого рода. Действи-
тельно, в силу неравенства треугольника имеем
п
lim
max [ At; | ->0 / = 1
п
< lim 1Ж)||Л?<1=У1Л?)1^-
max | At/ [ —* 0 г == 1 С
Если max | /(£) | = М и L— длина дуги кривой С, то
tec
(1-42)
6. Имеет место следующая формула замены переменной интегри-
рования: 4
J/(z)^=J/[<p©]q>'©C (1-43)
с г
40 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. 1
где z = <р (£) — аналитическая функция £, устанавливающая взаимно-
однозначное соответствие между кривыми С и Г. В частности,
Р
$7(z)<fe = $/[z(0]z'(0dZ, 0-44)
С а
где z = z(t) есть параметрическое задание кривой С, a z (а) и z (fJ)
суть начальная и конечная точки последней.
Пример. В качестве существенного для дальнейшего примера
вычисления интеграла по комплексной переменной рассмотрим инте-
грал
7= { (1-45)
ср
где кривая Ср представляет собой окружность радиуса р с центром
в точке z0, обходимую против часовой стрелки. Воспользовавшись
параметрической формой задания кривой Ср: С = z0pe‘v (0^<р^
2л), получим
2л . 2л
7= </<₽== 2jn. (1.46)
о о
Отсюда следует, что интеграл (1.45) не зависит ни от р, ни от г0.
Замечание. Формула (1.36), в силу которой интеграл по ком-
плексной переменной представляет собой комплексное число, дей-
ствительная и мнимая части которого являются криволинейными инте-
гралами второго рода, а также соотношение (1-44) позволяют непо-
средственно перенести понятие несобственного интеграла от функции
действительной переменной *) на случай комплексной переменной.
В нашем курсе мы будем главным образом иметь дело с несобствен-
ными интегралами первого рода — интегралами по бесконечной кри-
вой С. Несобственный интеграл первого рода по бесконечной кривой С
называется сходящимся, если существует предел последовательности
интегралов /(£)</£ по любой последовательности конечных кри-
сл
вых С„, составляющих часть С, при Сп, стремящихся к С, причем этот пре-
дел не зависит от выбора последовательности {Сл}. Если лишь при
определенном выборе последовательности {Сл} существует предел
последовательности интегралов ^/(£)(/£, то несобственный интеграл
Сп
называется сходящимся в смысле главного значения.
В дальнейшем мы будем рассматривать интегралы от функций,
аналитических в некоторой ограниченной области, причем нас в основ-
ном будет интересовать тот случай, когда границей области является
) См. выл. 2, стр. 358.
$ 5] ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 41
кусочно-гладкая замкнутая кривая, не имеющая самопересечений.
Кусочно-гладкую замкнутую кривую, не имеющую точек само-
пересечения, будем называть замкнутым контуром. Если функ-
ция г (0 (а t Р) задает параметрически замкнутый контур, то она
удовлетворяет условию z (С) z (tk) при -ф. tk, за исключением случая
^ = а, ^* = Р- Интеграл (1.34) по замкнутому контуру часто назы-
вается контурным интегралом.
2. Теорема Коши. Поскольку значение контурного интеграла
зависит от направления интегрирования, условимся в качестве поло-
жительного направления обхода контура принимать направление,
при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым
контуром, остается слева от направления движения. Интегрирование
в положительном направлении будем обозначать символом ^f(z)dz
с+
или просто f(z) dz, интегрирование в отрицательном направлении —
с
символом f(z)dz.
с-
Свойства интегралов по замкнутому контуру от функций, анали-
тических внутри области, ограниченной данным контуром, во многом
определяются известными свойствами криволинейных интегралов вто-
рого рода *). Как известно **), для криволинейных интегралов по
замкнутому контуру имеет место следующее утверждение: если функ-
ции Р (х, у) и Q (х, _у) непрерывны в замкнутой области S, огра-
ниченной кусочно-гладким контуром С, а их частные производ-
ные первого порядка непрерывны в S, то
\pdx + Qdy=^$^--~}dxdy. (\А1)
с &
Перейдем теперь к доказательству основного положения данного
параграфа.
Теорема 1.5 (теорема Коши). Пусть в односвязной области S
задана однозначная аналитическая функция f(z). Тогда интеграл
от этой функции f(z) по любому замкнутому контуру Г, цели-
ком лежащему в области S, равен нулю.
Доказательство. Согласно формуле (1.36)
/(С) dt, = и dx — v dy + i v dx -|- и dy.
г г г
*) См. вып. 2, стр. 168. Напомним, что по принятому нами определению
контуры интегрирования всегда являются кусочно-гладкими кривыми.
**) В вып. 2 эта теорема доказана при дополнительном условии ограни-
ченности частных производных функций Р и Q в области введенном
с целью облегчения доказательства. В случае кусочно-гладкой границы это
условие может быть снято с помощью дополнительного предельного перехода.
Мы здесь не будем приводить подробное доказательство, а ограничимся лишь
данным замечанием.
42
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
Так как функция /(г) —аналитическая всюду внутри контура Г, то
функции и(х, у) и v(x, у) в области, ограниченной этим контуром,
обладают непрерывными частными производными первого порядка.
Поэтому к криволинейным интегралам, стоящим в правой части по-
следнего равенства, можно применить формулу (1.47). Кроме того,
частные производные функций и(х, у) и v(x, у) связаны соотноше-
ниями Коши — Римана. Поэтому
? udx-vdy = - ~}dxdy = Q
г &
и
$ vdx + udy^ - |’-}dxdy = o,
Г . g?
что и доказывает утверждение теоремы.
Итак, теорема 1.5 устанавливает факт равенства нулю интеграла
от аналитической функции по любому замкнутому контуру, целиком
лежащему в односвязной области ее аналитичности. При дополни-
тельном условии непрерывности функции в замкнутой области данное
утверждение справедливо и для замкнутого контура, являющегося
границей области аналитичности. Последнее утверждение фактически
является несколько видоизмененной формулировкой теоремы Коши,
но ввиду его важности для практических приложений мы выделим
это утверждение в отдельную теорему.
Теорема 1.6 (вторая формулировка теоремы Коши). Если
функция f(z) является аналитической функцией в односвязной
области 5, ограниченной кусочно-гладким контуром С, и непре-
рывна в замкнутой области то интеграл от функции f(z) по
границе С области & равен нулю:
$/(□^=0. (1.48)
с
Теорема Коши устанавливает одно из основных свойств аналити-
ческой функции комплексной переменной. Ее фундаментальное значе-
ние будет следовать из дальнейшего изложения, здесь же мы огра-
ничимся следующим замечанием.
Теорема формулировалась для односвязной области, однако ее
легко обобщить и на случай многосвязной области. В этом случае
полная граница области состоит из нескольких замкнутых контуров:
внешнего Со и внутренних Сх, С2, .... Сп. Положительным напра-
влением обхода полной границы многосвязной области будем назы-
вать такое направление движения, при котором область все время
остается слева. При этом внешний контур обходится в положи-
тельном, а внутренние —в отрицательном направлении.
§ 5]
ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
43
Теорема 1.7. Пусть f(z) является . аналитической функцией
в многосвязной области S, ограниченной извне контуром Со,
а изнутри контурами Съ С2, ..., Сп, и пусть f(z) непрерывна
в замкнутой области S. Тогда ^/(£)</£ = 0, где С — полная гра-
с
ница области S, состоящая из контуров Со, Сх, ..., Сп, причем
обход границы С происходит в
положительном направлении.
Доказательство. Проведем
гладкие кривые ух, ... , уп, соеди-
няющие контур Со с контурами Сх,
С2 и т. д. (рис. 1.8). Тогда об-
ласть, ограниченная Кривыми Со,
С1; ..., Сп и кривыми ур у2, ... , уп,
проходимыми дважды в противопо-
ложных направлениях, оказывается
односвязной*). В силу теоремы 1.6
интеграл по границе этой области
равен нулю. Но интегралы по вспо- Рис. 1.8.
могательным кривым ух, ..., уп про-
ходятся дважды в противоположных направлениях и при суммирова-
нии интегралов выпадают. Поэтому имеет место равенство
5/(04+ 5/(04 + ... +5/(04=0 (1.49)
С+- с- с-
(верхние индексы у Ct указывают направление обхода).
В заключение отметим, что если функция /(z) является аналити-
ческой в многосвязной области S и Г — произвольный замкнутый
контур, целиком лежащий в S, то интеграл 5/(04 может, вообще
г
говоря, оказаться отличным от нуля. Например, пусть область S
представляет собой круговое кольцо 1 < | z | <; 3. Функция /(z) = -^
является аналитической в этой области. В силу примера, рассмотрен-
ного на стр. 40, \ 0. Данное обстоятельство связано,
I 2 1=2 6
в частности, с тем, что контур | z | = 2 не образует полную границу
области аналитичности рассматриваемой функции.
3. Неопределенный интеграл. Важным следствием теоремы Коши
является следующее положение. Пусть функция /(z) является анали-
тической функцией в односвязной области S. Фиксируем в этой обла-
2
сти некоторую точку z0 и обозначим через 5 /(0 4 интеграл по
_______________ 2»
*) Как нетрудно убедиться, кривые уь ... ,уя всегда можно выбрать так,
чтобы они не пересекались, т. е. получим действительно односвязную область.
44
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
какой-либо кривой, целиком лежащей в 5 и соединяющей точки z и гй.
В силу теоремы Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой
интегрирования в области S' и является однозначной функцией z:
Z
(1.50)
/ «0
Теорема 1.8. Пусть функция f(y) определена и непрерывна
в некоторой односвязной области S, а интеграл от этой функ-
ции по любому замкнутому контуру Г, целиком лежащему в дан-
Z
ной области, равен нулю. Тогда функция Ф (z) = ^/O dt (z, za e S)
является аналитической функцией в области S и Ф'(г)=/(г).
Доказательство. Составим разностное отношение
(г+Дг z ) г-|-Дг
5 /О С-Л/ОС =4г /ос
Л •JI LA*' J
Zo Zq J Z
Последнее равенство имеет место в силу независимости значения ин-
теграла, определяющего функцию Ф (z), от пути интегрирования и
(1.38). Выберем в качестве пути интегрирования в последнем интег-
рале прямую, соединяющую точки z и z-\-\z. Такой путь интегри-
рования является удобным, поскольку имеет место очевидное соот-
z+^z
ношение § d£ = Az. Оценим выражение
Z
z-j-Дг
|ф^+_д£тф(г)-/(г)| = _^_| $ {/о-/«}с|^
Z
тах I/O—/(г)ЫМ= max |/О - f(z) |.
1 аг С е [z, z-Нг] Ч е [г, г-[-Дг]
В силу непрерывности функции f(z) в точке z для любого положи-
тельного числа е может быть указано такое значение 6 > 0, что при
|&z | <;6 max I/O—/(?) | <е> т. е. дЛя любого е>0 можно
С s [z, z4-Az]
указать такое 6 > 0, что
| ф(г+М~ф,(г) _/(г) | < е при 0 < | Az | <6.
Это и означает, что существует
lim Ф (г+~Ф(г)=Ф' (г) =/(z). (1.51)
Дг-»0 аг
Итак функция Ф(г), определенная интегралом (1.50), во всех точках
области S имеет непрерывную производную (функция /(z) по уело-
§ 5] ИНТЕГРАЛ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 45
нию теоремы непрерывна в 3>). Тём самым Ф(г) является аналитиче-
ской функцией в области S.
Доказанная теорема позволяет ввести понятие неопределенного
интеграла функции комплексной переменной. Аналитическая функция
Ф(г) называется первообразной функции f(z) в области если
в этой области имеет место соотношение Ф' (z)—f(z). Очевидно,
функция f(z) имеет множество различных первообразных, но, как
легко доказать, все первообразные этой функции различаются между
собой лишь постоянными слагаемыми *). Совокупность всех пер-
вообразных функции f(z) называется неопределенным интегра-
лом от функции f(z).
Так же, как и в случае функции действительной переменной,
имеег место формула
Z,
где F (а) —любая первообразная функции f(z). Действительно, ин-
теграл, стоящий слева, не зависит от пути интегрирования. Поэтому
его можно представить в виде
Zj Z1
Z1 Zq Zq
где 2'0 — произвольная точка области S.. Согласно (1.50) каждый из
интегралов в правой части этой формулы представляет собой значе-
ние определенной первообразной в соответствующих точках, а так
как все первообразные различаются лишь на постоянную, то безраз-
лично, какую первообразную мы подставим в данную формулу.
В качестве существенного для дальнейшего примера рассмотрим
функцию
2
(1-52)
1
Так как подынтегральная функция является аналитической на всей
комплексной плоскости z, за исключением точки z = 0, то выраже-
ние (1.52) имеет смысл при условии, что кривая интегрирования не
проходит через точку z = 0. При этом в любой односвязной области
S комплексной плоскости, не содержащей точку г —0, функция /(г)
является однозначной аналитической функцией z, не зависящей от
выбора пути интегрирования в формуле (1.52). В качестве такой
*) Действительно, так как Ф'(г) = Ф; (z) —Ф2 (z) = 0, где Ф1 (z) и Ф2(г)
суть различные первообразные функции f (z), то из (1.21) следует, что все
частные производные действительной и мнимой частей функции Ф (z) тождест-
венно равны нулю, откуда по известной теореме анализа (см. вып. 1, гл. 8)
получим Ф (z) = const.
46 ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. 1
области будем рассматривать полную комплексную плоскость z, раз-
резанную по отрицательной части действительной оси, т. е. область
— л < arg z < л. Будем считать, что путь, интегрирования в формуле
(1.52) лежит целиком в области —л < arg z < л, т. е. не пересекает
разреза и не проходит через точку z = 0. Тогда для действительных
положительных значений z — х, выбрав в качестве пути интегриро-
вания в формуле (1.52) соответствующий отрезок действительной
оси, получим
X
(1.53)
1
То есть для положительных значений своего аргумента функция f(z)
совпадает с логарифмической функцией действительной переменной.
Поэтому для функции (1.52) в рассматриваемой области (—л<;
< arg z < л) сохраним прежнее обозначение, положив
2
(• /fz
1пг=\у. (1.54)
i
Последнее равенство (в котором путь интегрирования выбирается
указанным выше способом) можно рассматривать как определение
логарифмической функции для всех комплексных значений ее аргу-
мента, за исключением значений, лежащих на отрицательной части
действительной оси z = xsgO. В дальнейшем (гл. 3) мы подробно
изучим свойства этой функции, а сейчас лишь отметим, что в силу
формулы (1.51) имеет место соотношение
(lnz)' = l, (1.55)
т. е. в области — л < arg z < л производная логарифмической функ-
ции имеет то же выражение, что и для действительных положитель-
ных значений аргумента. Ниже будет установлено, что функция (1.54)
является обратной к функции и» = ег, введенной в § 4 настоящей
главы.
§ 6. Интеграл Коши
1. Вывод формулы Коши. В предыдущем параграфе мы дока-
зали теорему Коши. Эта теорема влечет за собой ряд важных след-
ствий, в частности, позволяет установить определенную связь между
значениями аналитической функции во внутренних точках области ее
аналитичности и граничными значениями этой функции. К установ-
лению данного соотношения мы сейчас и перейдем.
Пусть функция /(z) является аналитической в односвязной обла-
сти 3>, ограниченной контуром С. Возьмем произвольную внутреннюю
точку z0 и построим замкнутый контур Г, целиком лежащий в S
ИНТЕГРАЛ КОШИ
47
и содержащий точку z0 внутри себя. Рассмотрим вспомогательную
функцию
Ф(^)=ГЙ-- (1-56)
Функция ф(г), очевидно, является аналитической функцией всюду
в области S', за исключением точки z0. Поэтому, если мы-в области S’
возьмем такой замкнутый контур у, лежащий внутри Г, чтобы точка
za попала внутрь области, ограниченной контуром у, то функция ф(г)
будет аналитической в двухсвязной области S*, заключенной между
контурами Г и у. Согласно теореме Коши интеграл от функции ф(г)
по кривой Г-]-у равен нулю:
Поскольку интеграл, стоящий слева, не за- Рис- 1-9.
висит от выбора контура у, то этим свой-
ством обладает и интеграл, стоящий справа. Для дальнейших рас-
смотрений удобно в качестве контура интегрирования у выбрать
окружность ур некоторого радиуса р с центром в точке z0 (рис. 1.9).
Положив £=.г0-)-рег<₽, имеем
С
J —«О
г+
2л
о
Последний интеграл преобразуем следующим образом:
2л 2Л 2л
j /(□ 6?ф = $ [/(□ — f (20)] </ф + f (г0) б/ф =
оо о
2л
= $[/(0-A*o)H<P + 2n/(*o). (1-58)
о
Устремим теперь, р к нулю. Так как f(z) — аналитическая, а следо-
вательно, непрерывная функция в области S', то для любого поло-
жительного числа е можно указать такое значение р, что | /(£) — f (г0) | <
е для | £ — z01 <; р. Отсюда следует, что при р 0 существует
предел
2Л
Пт $ [/(£)— /(z0)j </ф = 0.
Р^Оу
48
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
Так как в формуле (1.58) последнее слагаемое не зависит от р, то
2л
SC f (£}
/(£) dtp — 2л f(z№), а следовательно, V .'-Л*'- dt, — 2л1 f(z0). и согласно
*} ъ !
о V4"
(1-57)
о-59)
Интеграл, стоящий в правой части (1.59), выражает значение
аналитической функции f(z) в некоторой точке z0 через ее зна-
чения на любом контуре Г, лежащем в области аналитичности
функции f(z) и содержащем точку z0 внутри. Этот интеграл и
называется интегралом Коши. Формула (1.59) часто называется фор-
мулой Коши.
Замечание 1. В формуле (1.59) интегрирование производится
по замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области аналитич-
ности функции /(г) и содержащему внутри точку z0. При дополни-
тельном условии непрерывности f(z) в замкнутой области S анало-
гичная формула имеет место, в силу теоремы 1.6, и при интегриро-
вании по границе С области S.
Замечание 2. Проведенные рассмотрения остаются справедли-
выми и в случае многосвязной области S. При этом для вывода
основной формулы (1.59) слеЯует рассматривать такой замкнутый
контур Г, который может быть стянут к точке z0, все время оста-
ваясь в области S. Тогда легко показать, что при условии непрерыв-
ности функции f(z) в замкнутой области S с кусочно-гладкой границей
формула (1.59) остается справедливой при интегрировании в положи-
тельном направлении по полной границе С данной многосвязной области.
2. Следствия из формулы Коши. Сделаем ряд замечаний по
поводу формулы (1.59).
1. Интеграл вида \ /--• dt, по замкнутому контуру Г, цели-
г
ком лежащему в области S аналитичности функции /(с), имеет смысл
для любого положения точки z0 на комплексной плоскости при усло-
вии, что эта точка не лежит на контуре Г. При этом, если точка z0
лежит внутри Г, то значение интеграла равно /(г0); если точка z0
лежит вне Г, значение интеграла равно нулю, поскольку в этом слу-
чае подынтегральная функция является аналитической всюду внутри Г.
Итак,
1 С Ш I z0 —внутри Г,
--- 1 —дТ — /
2ш' J го ( 0, z0 — вне Г..
(1.60)
’ 1 Г f К}
При 20еГ интеграл J(z0)=- \ ?в обычном смысле
J Ь—Zq
не существует, однако при дополнительных требованиях' на поведе-
ИНТЕГРАЛ КОШИ
49
пие функции /(О на контуре Г этому интегралу может быть придан
определенный смысл. Так, если функция f(Q удовлетворяет на кон-
туре Г условию Гёльдера *)
I/(£1WO^I£1-0<т<1,
то существует главное значение по Коши интеграла Z(z0)
ге
где ГЕ представляет, собой часть контура Г, лежащую вне круга
\z— г0|<е. При этом
Кр./(г0) = 1/(г0).
2. Пусть f(z) — аналитическая функция в односвязной области &
и z0 — некоторая внутренняя точка этой области. Опишем из этой
точки как из центра окружность радиуса RQ, целиком лежащую в
области S. Тогда по формуле Коши получим
Но на окружности СЛо £ = z0Яое'ф, поэтому
2л
/Uo) = $ /(^0 + ^/ф) <*₽. (Г-61)
о
или
/<2'’>=ягЛ/®*- с-62*
Сд»
Эта формула носит название формулы среднего значения и выра-
жает значение аналитической функции в центре окружности как сред-
нее из ее граничных значений.
3. Принцип максимума модуля аналитической функции. Пусть
функция f(z) является аналитической в области S и непрерыв-
ной в замкнутой области S. Тогда или | f(z) | = const, или макси-
мальные значения |/(г)| достигаются только на границе области.
Действительная функция двух действительных переменных
| /(г) I = ]/u2(x,y) + v2 (х,у)
по условию является непрерывной в замкнутой области. Поэтому она
достигает своего максимального значения М в какой-либо точке
*) По поводу условий Гёльдера см. вып. 2.
50
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. 1
(х0, у о) данной области. То есть
2И=|/(г0)|>|/(г)|,
го=хо + /Уо,
z е >.
(1.63)
Предположим, что точка z0— внутренняя точка области S'. Построим
в области S круг Ко некоторого радиуса R с центром в точке z0
и запишем формулу среднего значения для z0 и R. Учтя (1.63),
получим
2л М =
2л
О
С f I/Ю I ^Ф < 2лМ
О
Следовательно,
2п
$|/Ю|йф=2лМ (1.64)
о
Из этого соотношения в силу непрерывности функции /(£) на кон-
туре интегрирования и неравенства (1.63) следует, что
|/(О \ = М при t, = z0-\-Rei4>. (1.65)
Действительно, по (1.63) функция |/(£)| не может быть больше М
ни в одной точке контура интегрирования. Если мы предположим,
что в какой-либо точке £0 контура интегрирования функция |/(£0)|
строго меньше М, то из непрерывности |/(£)| следует, что |/(£)|
строго меньше М и в некоторой окрестности точки t,0, т. е. можно
указать отрезок [фй, ф2] интегрирования, на котором
|Я£)|<Л1-8, е>0.
Тогда
2л Ф1 <р.1 2л
-с (М—е) (ф2 — фО + М. [2л — (ф2 — фх)] < 2лЛ4,
что противоречит (1.64). Итак, соотношение (1.65) действительно
имеет место. Это означает, что на окружности радиуса R с центром
в точке z0 функция \f(z) | имеет постоянное значение, равное своему
максимальному значению в области S'. То же будет иметь место и на
любой окружности меньшего радиуса с центром в точке z0, а следо-
вательно, и во всем круге ЛГ0. Теперь легко показать, что это же
значение функция]/(z) | имеет и в любой другой внутренней точке z*
области S. Для этого соединим точки z0 и z* кривой С, целиком
лежащей в области S и отстоящей от ее границы не меньше чем
на некоторое положительное число d. Возьмем точку zlt являющуюся
последней общей точкой кривой С и круга /Со (рис. 1.10). Поскольку
|/(zx) | = 7И, то, повторяя проведенные выше рассуждения, покажем,
§ 71
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
51
что внутри круга cz S с центром в точке zr радиуса R±^d
модуль функции f(z) принимает постоянное значение, равное макси-
мальному значению М. Взяв на кривой С точку являющуюся
последней общей точкой кривой С и круга и продолжая данный
процесс, мы в результате
внутри круга Кп, которому
венство |/(г)| = /И, что и
доказывает высказанное ут-
верждение.
Итак, мы показали, что
если | f(z) | принимает мак-
симальное значение М в не-
которой внутренней точке
области, то |/(z) | = М во
всей области *).
Таким образом, если
функция |/(z)| не является
постоянной величиной в об-
ласти S, то она не может
достигать своего максималь-
конечного числа шагов получим, что
принадлежит точка г*, имеет место ра-
Рис. 1.10.
ного значения во внутрен-
них точках S. Но так как функция, непрерывная в замкнутой об-
ласти, достигает своего максимального значения в какой-либо точке
этой области, то в последнем случае функция |/(г) | должна дости-
гать своего максимального значения в граничных точках.
В качестве последнего замечания отметим, что если аналитичес-
кая в области S функция f(z) не равна нулю ни в одной точке
этой, области и непрерывна в S, то имеет место принцип мини-
мума модуля этой функции. Для доказательства этого утвержде-
ния достаточно рассмотреть функцию ф(2) = ^у и воспользоваться
принципом максимума модуля этой функции.
§ 7. Интегралы, зависящие от параметра
1. Аналитическая зависимость от параметра. Рассматривая
интеграл Коши, мы видим, что подынтегральная функция зависит
от двух комплексных переменных: переменной интегрирования £ и
фиксированного значения переменной г0. Тем самым интеграл Ко-
ши является интегралом, зависящим от параметра Естественно
*) Как следует из соотношений (1.20), в этом случае и аргумент анали-
тической функции f (z) также сохраняет постоянное значение в области
откуда следует, что если модуль аналитической функции постоянен в некото-
рой области, то эта функция тождественно равна постоянной в данной области.
52 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (гл. 1
поставить вопрос об общих свойствах интегралов по комплексной
переменной, зависящих от параметра.
Пусть задана функция двух комплексных переменных *) ср (г, £),
однозначно определенная для значений комплексной переменной z —
= х-\-1у из области S и для значений комплексной переменной
£ = £-1-11], принадлежащих некоторой кусочно-гладкой кривой С.
Взаимное расположение области и кривой С может быть совер-
шенно произвольно. Пусть функция двух комплексных переменных
Ф (z, £) удовлетворяет следующим условиям:
а) Функция ф(г, £) при любом значении является ана-
литической функцией z в области S.
б) Функция ф (z, £) и ее производная ~(z, О являются непре-
рывными функциями по совокупности переменных z, £ при произ-
вольном изменении z в области S и £ на кривой С.
Условие б) означает, что действительная и мнимая части функции
(z, £) непрерывны по совокупности переменных х, у, т].
Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл от функ-
ции ф (z, £) по кривой С существует при любом z S и является
функцией комплексной переменной z:
Д(г) = ^Ф(2’> Qdt==U(x, y) + iV(x, у). (1.66)
с
Естественно поставить вопрос о свойствах функции F (г). Оказы-
вается, что при сделанных предположениях относительно функции
Ф (z, £) функция F (г) является аналитической функцией комп-
лексной переменной z в области S, причем производную функ-
ции F (z) можно вычислять при помощи дифференцирования под
знаком интеграла.
Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим криволи-
нейный интеграл
U(х, у) = \и(х, у, I, т|)— -о(х, у, £, т()di\.
с
Так как, по предположению, функции и и v обладают частными произ-
водными по х и у, непрерывными по совокупности переменных,
то частные пройзводные функции U(х, у) по переменным х, у
существуют и их можно вычислить при помощи дифференцирования
*) Функция двух комплексных переменных г, £ определяется законом,
ставящим в соответствие каждой паре значений z, £ из области их опреде-
ления некоторое комплексное число w. Подробнее о функциях многих комп-
лексных переменных см. Приложение 3.
§ 7] ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 53
1 . ' -
под знаком интеграла *):
Ux (х, у) = и*<%> — v^>
с
(х, j-) = tiydi, — vy(h].
с
Сами функции Ux и Uy являются непрерывными функциями перемен-
ных х, у в области .£**). На основании аналогичных свойств функ-
ции V(х, у) и используя условия Коши — Римана для функции <р (z, £)>
получим
Ру (х, у) = $ vydl + itydri = $ uxdl — vxdt] = Ux, -
c C (1-67)
Vx(x, y)—}vxdl + uxdi\ = — 5 — ~ Uy-
c c
Таким образом, для F (z) выполнены условия Коши —Римана (част-
ные производные функций U(x,y) и V(x, у) непрерывны и связаны
соотношениями (1.67)), что и доказывает аналитичность F(z) в об-
ласти &.
Заметим, что
F' (г) = Ux (х, у) +i Vx (х, у) =
= uxdl-vxdr\ + i С vxdl + uxdi}= ( ^(г, Qd£. (1.68)
г s г
Отсюда следует возможность вычисления производной от интеграла
путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру.
При этом, если удовлетворяет тем же условиям а) и б), что и
ср (г, £), то F (г) также является аналитической функцией в области Л
2. Существование производных всех порядков у аналитичес-
кой функции. Рассмотренное свойство интегралов, зависящих от пара-
метра, позволяет установить важные характеристики аналитических
функций. Как мы видели, значение функции /(г), аналитической
в некоторой области S, ограниченной контуром Г, и непрерывной
в замкнутой области S, во внутренних точках этой области может
быть выражено через граничные значения с помощью интеграла Коши:
Рассмотрим в области S некоторую замкнутую подобласть
расстояние всех точек которой от границы Г области & больше
*) Об условиях дифференцируемости по параметру интеграла, зависящего
от параметра, см. вып. 2, гл. 10.
**) См. вып. 2, гл. 10.
54
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(ГЛ. 1
некоторого положительного числа d (| z — £ | d > 0). Функция
является аналитической функцией z в области £', причем ее частная
производная
дг (С — z)2
в этой области является непрерывной функ-
цией своих аргументов. Тем самым в силу общих свойств интегра-
лов, зависящих от параметра, во внутренних точках области S' произ-
водная f’(z) может быть представлена в виде
С’ __1_ С f (£) ЛТ
I ( ) — 2лг J (Е -2)2
Г
(1-70)
Интеграл (1.70) опять является интегралом, зависящим от параметра,
причем его подынтегральная функция обладает теми же свойствами,
что и подынтегральная функция интеграла (1.69). Следовательно, f\z)
является аналитической функцией z в области S', причем для ее произ-
водной справедлива формула
7 v ’ 2ni } (g-г)3
г
(1-71)
Так как для любой внутренней точки z области может быть
построена соответствующая замкнутая подобласть^', то формулы (1.70)
и (1.71) справедливы в любой точке z. Имеет место и более общая
теорема.
Теорема 1.9. Пусть функция f(z) является аналитической
в области S и непрерывной в замкнутой области S. Тогда
во внутренних точках области S существует производная любого
порядка функции f(z), причем для нее имеет место формула
<t72)
Г
Для доказательства этой теоремы достаточно повторить преды-
дущие рассуждения соответствующее число раз.
Итак, если функция /(z) является аналитической функцией в об-
ласти S, то в этой области функция f(z) обладает непрерывными
производными всех порядков. Это свойство аналитической функции
комплексной переменной существенным образом отличает ее от функ-
ции действительной переменной, имеющей непрерывную первую произ-
водную в некоторой области. В последнем случае из существования
первой производной, вообще говоря, не следует существование выс-
ших производных.
§ 71
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
55
Рассмотрим ряд важных следствий установленного свойства ана-
литической функции комплексной переменной.
Теорема 1.10 (Морера). Пусть функция f(z) является
непрерывной в одноевязной области S и интеграл от f(z) по любому
замкнутому контуру, целиком принадлежащему S, равен нулю.
Тогда f(z) является аналитической функцией в области S.
Доказательство. Выше *) было доказано, что при условиях
теоремы функция
20
где z0 и z — произвольные точки области S, а интеграл берется
по любому пути, соединяющему эти точки в области S, является ана-
литической в этой области функцией, причем F (z)=f(z). Но, как
только, что было установлено, производная аналитической функции
также является аналитической функцией, т. е. существует непрерыв-
ная производная функции F'(z), а именно функция F" (z) =f(z), что
и доказывает теорему.
Отметим, что теорема 1.10 является в определенном смысле
обратной по отношению к теореме Коши. Ее легко обобщить и на
многосвязные области.
Теорема 1.11 (Лиувилля). Пусть на всей комплексной
плоскости функция f(z) является аналитической, а ее модуль,
равномерно ограничен. Тогда эта функция f(z) тождественно
равна постоянной.
Доказате льство. Запишем значение производной f (г) в про-
извольной точке z по формуле (1.70):
J ’ 2га J (? —г)а ’
ся
причем интегрирование будем вести по окружности некоторого
радиуса R с центром в точке z, т. е. | $ — z | = R. По условию тео-
ремы существует такая константа М, что |/(£)| --СЛ1 независимо от R
Поэтому
17 2л J № aS^ R‘
CR
Так как радиус R можно выбрать сколь угодно большим, a f' (z)
не зависит от R, то \f (z)| = 0. В силу произвольности выбора
точки z заключаем, что | (г)) = 0 на всей комплексной плоскости.
Отсюда следует, что /(г) == const.
*) См. теорему 1.8 стр. 44.
56
функции комплексной переменной
[ГЛ. 1
В § 4 мы ввели тригонометрические функции комплексной пере-
менной и показали, что они являются аналитическими функциями
на всей комплексной плоскости. В силу только что доказанной тео-
ремы эти функции не могут быть равномерно ограничены на всей
комплексной плоскости. Отсюда, в частности, следует, что найдутся
такие значения комплексной переменной z, для которых
|sinz|>l. (1-73)
Этим тригонометрические функции комплексной переменной сущест-
венно отличаются от соответствующих функций действительной пере-
менной.
ГЛАВА 2
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В настоящей главе будут рассмотрены основные свойства функ-
циональных рядов, члены которых являются функциями комплексной
переменной. Особую роль в теории функций комплексной перемен-
ной играют ряды аналитических функций и, в частности, степенные
00
ряды вида У, сп (z — z0)n, где сп — заданные комплексные постоян-
п = 0
ные, z0 — фиксированная точка комплексной плоскости. Изучение этих
рядов оказывается весьма существенным как для выяснения ряда
общих свойств функций комплексной переменной, так и для решения
различных задач, связанных с применением методов теории функций
комплексной переменной.
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды функций
комплексной переменной
1. Числовые ряды. Начнем с рассмотрения некоторых общих
свойств числовых рядов с комплексными членами, т. е. выражений
вида
S (2.1)
*= i
где {а*} — заданная числовая последовательность с комплексными
членами.
Ряд (2.1) называется сходящимся, если сходится последова-
п
тельность его частичных сумм б'д = У ак. При этом пре-
* = 1
дел 5 последовательности называется суммой ряда (2.1). Ряд
со
У ак называется п-м остатком ряда (2.1). В случае сходяще-
А = п-Ы
гося ряда сумму его n-го остатка обозначают гп и обычно также
называют остатком ряда (2.1). Для сходящегося ряда 5=6,п + гл и
58
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 2
для любого е 2> 0 можно указать такой номер К, что | гп |< е
при Из определения сходящегося ряда следует, что необхо-
димым и достаточным признаком Ого сходимости является критерий
Коши*). А именно, ряд (2.1) сходится тогда и только тогда, если
для любого е > 0 можно указать такой номер N, что
п + р
У ak
k — n
<е
при nJsA’ и любом натуральном р.
Необходимым условием сходимости ряда (2.1) является требо-
вание lim ап — 0. Действительно, из сходимости этого ряда, в силу
п —»оо
критерия Коши, следует, что для любого е > 0 можно указать такое N,
что |ап+1| = 15л+1-5л|<е при n^N.
Если сходится ряд
со
(2.2)
с действительными положительными членами, то, очевидно, сходится
и ряд (2.1), который в этом случае называется абсолютно сходя-
щимся. Одним из наиболее часто употребляемых способов исследо-
вания сходимости ряда с комплексными членами является рассмотре-
ние ряда с действительными членами, являющимися модулями членов
исходного ряда. Как известно **), достаточными признаками сходи-
мости ряда с действительными положительными членами являются
признаки Даламбера и Коши.
Согласно признаку Даламбера ряд (2.2) сходится, если, начиная
с некоторого номера N, отношение I I < 1 для всех п N.
I &п I
Отметим, что если, начиная с некоторого номера N, отношение
°”+1 1, то ряд (2.1) с комплексными членами расходится. Дейст-
I ап I
вительно, в этом случае все члены ряда (2.1), начиная с адг, удов-
летворяют соотношению | ап | | а^ | 0, т. е. не выполнен необхо-
димый признак сходимости ряда.
Согласно признаку Коши ряд (2.2) сходится, если ]/1 у < 1
для всех n^zN. Если, начиная с некоторого N, для всех гГ^К имеет
место соотношение у то ряд (2.1) расходится.
2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Перейдем
теперь к рассмотрению функциональных рядов, членами которых
являются функции комплексной переменной. Пусть в области 5 опре-
делена бесконечная последовательность однозначных функций комп-
*) Являющийся прямым следствием критерия Коши сходимости числовой
последовательности {5Я}; см. стр. 19.
**) См. вып. 1, гл. 13.
$ 1] РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ФУНКЦИЙ 59
лексной переменной {zzn(.z)}. Выражение вида
ОО
«„(г) (2.3)
п = 1
будем называть функциональным, рядом. При фиксированном зна-
чении ряд (2.3) превращается в числовой ряд вида (2.1).
Функциональный ряд (2.3) называется сходящимся в области
если при любом z е & соответствующий ему числовой ряд схо-
дится. Если ряд (2.3) сходится в области S, то в этой области
можно определить однозначную функцию f(z), значение которой
в каждой точке области & равно сумме соответствующего числового
ряда. Эта функция называется суммой ряда (2.3) в области S. В силу
данных определений в этом случае для любой фиксированной точки
z е S и любого заданного положительного числа е можно указать
такой номер N, что
Л
l/GO- 2 "*(г)1<е ПРИ «S=^(e, z).
4 = 1
Заметим, что . в общем случае N зависит и от е и от z.
В теории рядов функций комплексной переменной, так же как
и в случае действительной переменной, особую роль играет понятие
равномерной сходимости. Например, как помнит читатель из курса
анализа *), сходящийся ряд непрерывных функций далеко не всегда
сходится к непрерывной функции. В то же время сумма равномерно
сходящегося ряда непрерывных функций всегда является непрерыв-
ной функцией. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной
переменной, так же как и в случае действительной переменной, обла-
дают рядом весьма важных свойств, к изучению которых мы и перей-
дем. Начнем с определения.
Если для любого положительного числа е можно указать
такой номер N (у), что при n~ysN(e) неравенство
п
У, И*(г)|<е
4=1
выполняется сразу для всех точек z области S, то ряд (2.3)
называется равномерно сходящимся в области S.
ОО
Обозначив гп (г) = У, ик (г), условие равномерной сходимости
4=м-|-1
ряда (2.3) можем записать в виде |г„(г) |<е при w^N(e). Ниже
будет установлен ряд свойств равномерно сходящихся рядов.
Укажем важный для приложений достаточный признак равномер-
ной сходимости.
*) См. вып. 2, стр. 300,
60
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 2
Признак Вейерштрасса. Если всюду в области S члены
функционального ряда (2.3) могут быть мажорированы членами
абсолютно сходящегося числового ряда, то ряд (2.3) сходится
равномерно в области S.
Доказательство. По условию имеет место равномерная оценка
I (г) I I а„ (2.4)
СО
Так как ряд |ад| сходится, то для любого е>0 можно указать
п = 1
такое N, что У, | ak I < е при n^N. Но в силу (2.4) в области
А = п+1
S имеет место неравенство
У 5 |ti*(*)l=^ У I ak | <е
k — n+l k = n+\ k=n+l
при n'^N, что и доказывает равномерную сходимость ряда (2.3)
в области S.
QnenyQT иметь в виду, что признак Вейерштрасса является лишь
достаточным признаком равномерной сходимости. Имеет место сле-
дующий необходимый и достаточный признак равномерной сходи-
мости.
Критерий Коши. Для того чтобы ряд (2.3) сходился равно-
мерно в области S’, необходимо и достаточно, чтобы для любого
е>0 существовало такое N(y), что одновременно во всех гцоч-
ках области S выполняется соотношение
15n+m(z)-5„(z)|<e (2.5)
при n^N и для любого натурального т.
Доказательство. 1) Необходимость. Из равномерной
сходимости ряда (2.3) следует, что для любого е > 0 можно указать
такое 7V(e), что во всех точках z области S’ имеют место неравенства
I/С1 2) — 5„(z)| < |/Сг)-5п+т (г) |<|
при n^N и для любого натурального т, откуда и следует (2.5).
2) Достаточность. Из соотношения (2.5) в силу критерия
Коши для числовой последовательности с комплексными членами *)
следует, что при любом фиксированном z е S последовательность
{Sn (z)} является сходящейся. Следовательно, при выполнении (2.5)
ряд (2.3) сходится в области S к некоторой функции /(z) =
= lim Sn(z). Но в силу (2.5)
п -* со
1 im | Sn+m (z) -(z) | = |/(z) — Sn(z) | < e при n^N(e)
m —* co
*) См. гл. 1, стр. 19.
§ 1] РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ФУНКЦИЙ
61
но всех точках области & одновременно, что и доказывает равно-
мерную сходимость ряда (2.3) в области S.
3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейер-
штрасса. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых общих
свойств равномерно сходящихся рядов.
Теорема 2.1. Если функции un(z) непрерывны в области S,
со
а ряд 2 гг„(г) сходится в этой области равномерно к функции
п = 1
f(z), то f(z) также непрерывна в области S.
Доказательство. Рассмотрим выражение | f(z Дг) — /(г) I,
где точки z и г + Дг принадлежат области S. В силу равномерной
00
сходимости ряда ип (z), для любого е > 0 можно указать такое
п= 1
N, что одновременно имеют место неравенства
/(z-f-Az)- %uk(z + bz) <-J,
N
- 2н*
А = 1
<|(2.6)
для любых точек z и z-4-Дг, принадлежащих области S. В силу
непрерывности функций uk(z), в любой точке z е S для заданного е
и выбранного N можно указать такое б > О, что
N N N
2«А(г + Дг)- 2 < 2 + Су (2.7)
4 = 1 4 = 1 А == 1
при ]Дг|<б. Из (2.6), (2.7) и из того, что модуль суммы не пре-
восходит сумму модулей, следует, что для любого в > О можно ука-
зать такое б, что \f(z'+ Дг)—f(z) | < е при | Дг | <; б. Это и дока-
зывает непрерывность функции f(z) в области S.
Теорема 2.2. Если ряд (2.3) непрерывных функций ип(г) схо-
дится равномерно в области S к функции f(z), то интеграл от
этой функции по любой кусочно-гладкой кривой С, целиком лежа-
щей в области S, можно вычислить путем почленного интегри-
рования ряда „(2.3), т. е.
J]
С п = 1 С
Доказательство. Так как ряд (2.3) сходится равномерно, то
для любого заданного в > О можно указать такой номер N, что для
всех точек £ е S
I Г» (У I < ~ При n^=jV(8),
62 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ (ГЛ. 2
где L — длина дуги кривой С. Тогда
С k= 1 с с с
что и доказывает теорему.
Отметим, что свойства равномерно сходящихся рядов с комплекс-
ными членами, сформулированные в теоремах 2.1 и 2.2, совершенно
аналогичны соответствующим свойствам функциональных рядов с
действительными членами, и проведенные доказательства фактически
повторяют доказательства соответствующих теорем анализа *).
Перейдем теперь к рассмотрению важнейшего свойства равномерно
сходящихся рядов, характеризующего поведение ряда, членами кото-
рого являются аналитические функции.
Теорема 2.3 (теорема Вейерштрасса). Пусть функции un{z)
ОО
являются аналитическими в области S, а ряд 5? ип (z) сходится
____________________________________________ п= 1
равномерно в любой замкнутой подобласти S' области S к функ-
ции f(z). Тогда:
1) f(z) является аналитической функцией в области S.
2)/<*>(z) = ^(z).
п — 1
00
3) Ряд (z) сходится равномерно в любой замкнутой
п ~ 1
подобласти S' области S.
Доказательство. Проведем доказательство каждого из выше-
перечисленных утверждений.
1) Рассмотрим произвольную внутреннюю точку z0 е S и пост-
роим односвязную подобласть S' области S, содержащую точку г0
внутри.
В силу теоремы 2.1 f(z) является непрерывной функцией в обла-
сти S. Рассмотрим интеграл от f(z) по произвольному замкнутому
контуру С, целиком лежащему в области S'. По теореме 2.2 этот
интеграл можно вычислить путем почленного интегрирования ряда (2.3).
Тогда в силу аналитичности функций un{z) получим
оо
С n = 1С
Тем самым выполнены все условия теоремы Морера. Следовательно,
f(z) — функция аналитическая в окрестности S' точки zQ. В силу
произвольности выбора точки z0 отсюда следует аналитичность f(z)
в области S. Заметим, что для любого натурального числа п функ-
*) См. вып. 2, гл. 8.
§ и
РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ФУНКЦИЙ
63
со п
ция rn(z) — У У гг,- (г), представляющая собой
/=п+1 ; = 1
сумму конечного числа аналитических функций, также является ана-
литической функцией в области S.
2) Фиксируем произвольную точку zn е S и выберем произволь-
ный замкнутый контур С, целиком лежащий в построенной выше
подобласти У и содержащий точку z0 внутри. Минимальное расстоя-
ние от точки z0 до контура С обозначим через d. Рассмотрим ряд
f(z) _ V ип (г)
(z—z0)ft+1
п = 1
Так как min | z — z01 = с/ > 0, то этот ряд в силу условий теоремы
г е с
сходится равномерно на С. Поэтому, проинтегрировав его почленно
по контуру С и воспользовавшись
выражением производной аналитиче-
ской функции через интеграл Коши,
00
получим /(*)(г0)= 2 Так
п = 1
как z0 — произвольная точка области S,
то утверждение 2) доказано.
3) Рассмотрим произвольную под-
область S' области S и построим в об-
ласти S замкнутый контур С, содер-
Рис. 2.1.
жащий S' внутри, причем так, чтобы
расстояние от произвольной точки z е S' до любой точки
£ е С было бы не меньше некоторого положительного числа d,
\z — £|^=с?>0 (рис. 2.1) (очевидно, для любой подобласти S' обла-
сти S найдутся соответствующие контур С и число d). Так как rn(z)
является аналитической функцией в S, то для любой точки z S'
имеет место соотношение ~ ~ г(п' Причем, согласно
только что доказанному утверждению, (z) представляет собой
СО
остаток ряда J1, (г). В силу равномерной сходимости исходного
п = 1
со
ряда У, ип (г), для любого е > 0 можно указать такое N, что на
п = 1
контуре С при n^N имеет место равномерная оценка I гп (С) I <
2jidfe+1
<е - ,' где L—длина контура С. Тогда
i£-=^ds<e
64
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ.. 2
для всех z е S' одновременно, что и доказывает утверждение 3).
Приведенное доказательство относится к случаю односвязпой обла-
сти. S. Случай мнбгосвязной области рассматривается аналогично.
Итак, теорема доказана.
Заметим, что примененный метод доказательства позволяет дока-
зать равномерную сходимость ряда из производных лишь в любой
замкнутой подобласти S’ области S, даже если исходный ряд (2.3)
сходится равномерно и в замкнутой области. Как показывают про--
стые примеры, из равномерной сходимости ряда (2.3) в замкнутой
области S не следует равномерная сходимость в этой области ряда,
ОО
VI Zn
составленного из производных. Например, ряд > сходится равно-
п = 1
со
' VI Zn~l
мерно в круге | z | 1, а ряд , составленный из производных
п= 1
членов исходного ряда, не может сходиться равномерно в круге | z’[
1, так как он расходится при z=\. Таким образом, утверждение
пункта 3) теоремы о равномерной сходимости ряда, составленного
из производных, лишь в замкнутой подобласти исходной области не
может быть, вообще говоря, расширено.
Сделаем еще одно замечание. При доказательстве теоремы 2.3
мы предполагали равномерную сходимость ряда в любой замкнутой
подобласти S' области S. Ясно, что теорема тем более будет иметь
место при условии равномерной сходимости ряда (2.3) в замкнутой
области ~S. Как показывает нижеследующая теорема, последнее усло-
вие может быть заменено условием равномерной сходимости ряда
(2.3) на границе Г области S.
Теорема 2.4 (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функ-
ции un(z) являются аналитическими в области S, непрерывными
ОО
в S и ряд У, ип (z) сходится равномерно на границе Г этой обла-
п = I
СО
emu. Тогда ряд У ttn (z) сходится равномерно и в S.
п ~ 1
Доказательство. Разность частичных сумм данного ряда,
функция (z) —- (z), как конечная сумма аналитических функ-
ций, является аналитической в S и непрерывной в S. Из равномер-
ной сходимости на Г следует, что
I sn+p (?) - Sn (?) I = I un+p (?) + -.. + M„+1 (?) I < 8
при n^N для любого натурального p и всех точек ? е Г одновре-
менно. Следовательно, по теореме о максимуме модуля аналитической
функции | Sn+P(z) —• S„(z) | < e при n^N для любого натурального
<i I] РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ ФУНКЦИЙ 65
/> и для всех геЛ Тем самым для данного ряда выполнен крите-
рий Коши, что и доказывает теорему.
Замечание. Очевидно, что все доказанные выше свойства функ-
циональных рядов справедливы и для функциональных последова-
тельностей.
4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. В гл. 1
мы, рассматривая свойства интегралов, зависящих от параметра, огра-
ничились лишь случаем собственных интегралов по кривой С конеч-
ной длины. Теорема Вейерштрасса позволяет обобщить полученные
результаты на случай несобственных интегралов. Будем рассматри-
вать зависящий от параметра несобственный интеграл первого рода
/•' (z) = ^/(z, £)с/£ п0 неограниченной кривой С. Пусть функция двух
с
комплексных переменных /(г, £), определенная при г G и £еС,
удовлетворяет тем же условиям, что и ф(г, £) в § 7 гл. 1, а именно:
а) Функция f(z, £) при любом значении является аналити-
ческой функцией z в области •>.
б) Функция f(z, £) и ее производная (z, £) являются непрерыв-
ными функциями по совокупности переменных z, £ при ге! и £еС.
Пусть несобственный интеграл первого рода ^/(с, £)</£ сходится
с __
равномерно по параметру z в любой замкнутой подобласти S' обла-
сти S. Это означает, что при любом выборе последовательности
конечных, кривых Сп, составляющих часть. С, при Сп-+С функцио-
нальная последовательность ип (z) = /(г, £) rf£ сходится равномерно
Сп
в S' к функции F (г).
Легко показать, что при выполнении всех перечисленных7 усло-
вий функция F (г) является аналитической в S и
Г(г)= jg(z, £)</£.
Действительно, как доказано в § 7 гл. 1, собственные интегралы —
функции /гл(г) = ^ /(г, £)d£ являются аналитическими функциями в S
и п'п (г) = (г, £) d£. Последовательность {»л (г)} сходится к F (z)
Сп _
равномерно в любой S'. Следовательно, по теореме Вейерштрасса
функция F (г) — аналитическая в S и F'(z) = ? (z,
66
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 2
§ 2. Степенные ряды. Ряд Тейлора
1. Теорема Абеля. В предыдущем параграфе рассматривались
общие функциональные ряды (2.3), причем вид функций n„(z) не кон-
кретизировался. Очень важными являются так называемые степенные
ряды, для которых ип (z) = сп (z — z0)”, где сп — некоторые комплекс-
ные числа, a z0 — фиксированная точка комплексной плоскости. Члены
СО
ряда У, сп (z — z0)rt являются аналитическими функциями на всей
п = 0
комплексной плоскости, поэтому для исследования свойств данного
ряда могут быть применены общие теоремы предыдущего параграфа.
Как было установлено, многие важные свойства являются следствием
равномерной сходимости. Тем самым при исследовании степенного
ОО
ряда У сп (z — z0)n важно установить область его равномерной схо-
п = О
димости. Сразу заметим, что область сходимости степенного ряда
СО
определяется видом коэффициентов сп. Например, ряд У я! (z — z0)n
п = О
сходится лишь в одной точке z = z0. Действительно, отношение моду-
лей двух последовательных членов ряда | = («+•!) I z ~ zo I > 1
при любом фиксированном значении z =£ z0, начиная с некоторого
N (z), что, согласно рассмотрениям стр. 58, свидетельствует о расхо-
димости данного ряда. С другой стороны, с помощью признака Далам-
, « V (z — г„)л
бера легко установить абсолютную сходимость ряда У -—при
п = о
любом Z.
Для определения области сходимости степенного ряда существен-
ной оказывается следующая теорема.
Теорема 2.5 (теорема Абеля). Если степенной ряд
СО *
У, сп (z — z0)” сходится в некоторой точке Zj # z0, то он абсо-
п = О
лютно сходится и в любой точке z, удовлетворяю щей условию
\z — z0 | < | Zj — z0 причем в круге |z —z0|sgp радиуса p, мень-
шего | Zy — z0 |, ряд сходится равномерно.
Доказательство. Выберем произвольную точку z, удовлет-
СО
воряющую условию I Z — Zo I < I Zj — zQ |, и рассмотрим ряд У cn(z —
п — О
— z0)n. Обозначим I z — z01 — q | zx — z01, q < 1. В силу необходимого
СО
условия сходимости ряда У, сп (гг — г0)л его члены стремятся к нулю
П = О
§2]
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ, РЯД ТЕЙЛОРА
67
при л —> оо. Следовательно, существует такая константа М, что
I сп i • I zi ~ zo Iя Af. Отсюда для коэффициентов сп данного степен-
ного ряда получим оценку | сп | ;———Тогда
|21 I
"оо со 00
Усп(г-2оу У |^-|\ (2.8)
Ля ля лш | <1 — |
п = 0 п = 0 п = О
со
По условию теоремы число q = | у—у- | < !• Ряд У Яп> представ-
п = о
ляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со зна-
менателем, меньшим единицы, сходится. Тогда из (2.8) следует схо-
димость и рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную схо-
ОО
димость ряда У сп (z — z0)n в круге | z — z0 | С р < | — z01, доста-
п = О
точно, в силу признака Вейерштрасса, построить сходящийся число-
вой ряд, мажорирующий данный функциональный ряд в рассматри-
оо
ваемой области. Очевидно, таковым является ряд М / —£—г-,
4* \ —г0
п = О
также представляющий собой сумму бесконечной геометрической
прогрессии со знаменателем, меньшим единицы. Теорема полностью
доказана.
Из теоремы Абеля можно вывести ряд важных следствий.
ОО
Следствие 1. Если степенной ряд cn(z — z0)n расходится
« = о
в некоторой точке zt, то он расходится и во всех точках z, удов-
летворяющих неравенству ] z — z01 > | zL — z0 |.
Предполагая противное, получим, что по теореме Абеля ряд дол-
жен сходиться в любом круге радиуса р<|2,— zoj, в частности и
в точке что противоречит условию.
Рассмотрим точную верхнюю грань R расстояний | z — 20 [ от
СО
ТОЧКИ Zo ДО точек Z, в которых СХОДИТСЯ ряд 2 cn(z — zo)n- Если
п = О
R =/= оо, то во всех точках z’, удовлетворяющих условию | z' — г01 >R,
данный степенной ряд расходится. Пусть R строго больше нуля,
тогда наибольшей областью сходимости данного ряда является
круг | z — z01 < R. Всюду вне этого круга ряд расходится, в точ-
ках границы \z — z0| = R он может как сходиться, так и рас-
ходиться.
Область lz — z0 | < R (R>0) называется кругом сходимости
степенного ряда, а число R — его радиусом сходимости.
68
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 2
Итак, мы установили
Следствие 2. Для всякого степенного ряда существует такое
число R, что внутри круга | z — г0 | < R данный степенной ряд схо-
дится, а вне этого круга расходится.
В круге | z — г01 р < R любого радиуса р, меньшего, чем
00
радиус сходимости R, степенной ряд У, cn(z — z0)n сходится равно-
п=0
мерно. Отметим, что радиус сходимости степенного ряда в зависи-
мости от вида его коэффициентов может иметь любое значение
в пределах от 0 до оо. Первый предельный случай будет соответ-
ствовать ряду, сходящемуся лишь в точке za, второй — сходящемуся
на всей комплексной плоскости. Примеры соответствующих рядов
уже были приведены. Радиус сходимости степенного ряда может быть
определен через его коэффициенты сп.
Следствие 3. Внутри круга сходимости степенной ряд сходится
к аналитической функции. Действительно, члены степенного ряда
anU) = cn(~-2o)“ представляют собой функции, аналитические на
всей комплексной плоскости, ряд сходится равномерно в любой замк-
нутой подобласти круга сходимости. Следовательно, по первой тео-
реме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция.
Следствие 4. Степенной ряд внутри круга сходимости можно
почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, при-
чем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости
исходного ряда. Это свойство также является прямым следствием
теорем Абеля и Вейерштрасса.
СО
Следствие 5. Коэффициенты степенного ряда У cn(z — z0)n
п =0
выражаются через значения суммы ряда /(г) и ее производных
в центре круга сходимости по формулам
Cn = ^fn!(z0). ' (2-9)
Положив z = z0 в выражении суммы степенного ряда /(г) =
00
= У, cn(z — z0)n> получим /(г0) = с0; продифференцировав ряд по-
п =0
членно и положив z = z0 в выражении для производной f(z) =
СО
— У спп (z — Zo)”'1, получим f (г0) = cf, аналогично, положив z — z0
п = 1
в выражении для k-Vi производной
= У спп (п - 1)... (п - k 4-1) (г -
n = k
получим (z0) — ck • k\.
§ 2]
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯД ТЕЙЛОРА
69
со
Следствие 6. Радиус сходимости R степенного ряда cn(z — zo)n
_________________________________________ ______«=о
определяется формулой *) R — -^, где I— lim )/’| сп | есть верхний
Z2—>СО
предел **) последовательности {Ж|}.
- Предположим вначале, что 0 < I < оо. Нам надо показать, что
в любой точке zb удовлетворяющей условию | — z01 < у, ряд
сходится, а в любой точке z2, удовлетворяющей условию | г2 — z01 >
> у, — расходится. Так как / — верхний предел последовательности
1Ж|}. то для любого е > 0 можно указать номер N, начиная
с которого ]/~ \ сп | < 14- е. С другой стороны, для того же е най-
дется бесконечно много членов последовательности {у'| сп {}, ббльших
Z —е. Возьмем произвольную точку zlt удовлетворяющую неравенству
/1 — г0 I < 1, и выберем в качестве s число --4-—>• О-
Z I 21 — го I
Тогда
1И7Г| I zi - zo I < (7-4- *01 zi ~zo | = — — 2 ~-o! = g < 1-
CO
Отсюда следует, что ряд У, cn(z1 — z0)a мажорируется геометриче-
п=0
ОО
ской прогрессией У qn со знаменателем, меньшим единицы, что и
П = 0
доказывает его сходимость. Взяв теперь некоторую точку г2> удов-
летворяющую неравенству Z|z2 — г0|>1, и выбрав в качестве е
11 г« — г01 — 1.
число 1 ‘ —у -j— > 0, получим
Zlodl г?-г01>(/-е)|г2-г0| = 1
для бесконечного множества значений п. Отсюда | сп (z2 — z0)n | > 1,
что на основании необходимого признака сходимости свидетельст-
ОО
вует о расходимости ряда У сп (г2 — г0)п.
Замечание. Мы провели доказательство для случая 0</<со.
Рассмотрим теперь предельные случаи.
*) Зга формула часто называется формулой Коши — Адамара.
**) Напомним определение понятия верхнего предела числовой последо-
вательности. Верхним пределом х последовательности |х„) называется наи-
большая предельная точка этой последовательности (см. вып. 1, стр. 80).
70
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 2
' оо
При 1=0 ряд У cn(z — z0)n сходится в любой точке z, т. е.
п = 0
R = оо. Действительно, в этом случае для любого е > 0 может быть
указан такой номер N, начиная с которого у | сп | < е. Выбрав в
О XX
качестве 8 число 5—-—г, где z — произвольная точка комплексной
|z — Zol’
плоскости и 0 < q < 1, получим | сп (z — z0)n | < qn, что и доказы-
вает сходимость ряда У, cn(z — z0)n.
п = 0
ОО
При /=оо ряд У, c„(z — zg)n расходится в любой точке z=^z0,
п — О
т. е. R = 0. Действительно, в этом случае для любого числа М най-
дется бесконечно много коэффициентов сп таких, что у/ | сп | > 714.
Рассмотрим произвольную точку z Ф г0 и выберем М. так, чтобы
М | z — z01 = q > 1. Тогда бесконечное множество членов ряда
ею
У cn(z — z0)n удовлетворяет условию | cn(z — zn)n | >» 1, что и дока-
п=0
зывает его расходимость.
Итак, формула Коши —Адамара R = ~, где Z= lim у/ \сп |, спра-
“ п—>оо
ведлива при любом значении I.
В качестве примера, существенного для дальнейшего, рассмотрим
СО
степенной ряд У (z — z^1, все коэффициенты сп которого равны 1.
л=0
По признаку Даламбера получим, что данный ряд сходится в круге
| z— z01 < 1 к некоторой аналитической функции. Чтобы найти эту
функцию, применим прямое определение суммы ряда как предела
частичных сумм:
f(z} = lim Sn(z) = lim —г—т- (2-Ю)
„-со 1 —(z —zo) l-(z-zo) k '
Здесь мы воспользовались, очевидно, справедливой и в области ком-
плексных чисел формулой суммы геометрической прогрессии с конеч-
ным числом членов и возможностью предельного перехода в числи-
тели дроби, знаменатель которой отличен от нуля. Равенство (2.10)
означает, что формула для суммы бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии справедлива и в комплексной области.
2. Ряд Тейлора. Итак, степенной ряд внутри круга сходимости
определяет некоторую аналитическую функцию. Естественно поста-
вить вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого
круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к дан-
ной функции? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
§2]
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯД ТЕЙЛОРА
71
ВОЗМОЖНО.
Теорема 2.6 (теорема Тейлора). Функция f(z), аналити-
ческая внутри круга | z — z^ | < Я, может быть представлена
00
в этом круге сходящимся степенным рядом f(z) — У Сп (z - zoy,
n = 0
причем этот ряд определен однозначно.
Доказательство. Выберем произвольную точку z внутри
круга | z — z0 | < R и построим окружность Ср с центром в точке
z0 радиуса р < R, содержащую точку z внутри (рис. 2.2). Очевидно,
для любой точки z данной области такое построение
Так как точка z — внутренняя точка
области | z — zQ | < р, в которой
функция f(z) является аналитиче-
ской, то по формуле Коши имеем
РЮ
ср
Осуществим в подынтегральном вы-
ражении преобразование
1 = 1 . 1 =
£ — z г0' . г — г0
_ 1 V (г~го)я
£-z0 L (£—Zo)re*
п = 0
(2-12)
Здесь мы воспользовались формулой (2.10) и очевидным соотноше-
нием ! < 1. При ^еС„ ряд (2.12) сходится равномерно по £,
It — 2о I
2|Z —Zo |л
=------^-L-
п — О
(|г —г0|<р). Подставляя (2.12) в (2.11) и интегрируя почленно,
получаем
00
/(*) = 2 2л/ J (/-z0)"+1 ~ Z^’1'
n=0 <?р
Введя обозначение
Ср
(2.13)
(2-14)
перепишем (2.13) в виде сходящегося в выбранной точке z степен-
ного ряда:
СО
/ЧХ)= У сп(г-г0)л. (2.15)
п=0
72
, РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 2
В формуле (2.14) окружность Ср можно заменить, в силу теоремы
Коши, любым замкнутым контуром С, лежащим в области |z —г0|<;/?
и содержащим точку г0 внутри. Так как z — произвольная точка
данной области, то отсюда следует, что ряд (2.15) сходится к f(z}
всюду внутри круга | z — zQ | < R, причем в круге | z — za | р < R
этот ряд сходится равномерно. Итак, функция f(z), аналитическая
внутри круга | z — z0 | < R, разлагается в этом круге в сходящийся
степенной ряд. Коэффициенты разложения (2.14) на основании фор-
мулы (1.72) для производных аналитической функции имеют вид
С {<2
Cn~2ni .) (£-г0)л+1 ~ nl ’ v
с
Остается доказать единственность разложения (2.15). Предположим,
что имеет место другое разложение:
ОО
f(z) = У, с'п (z - z0)n, (2.15')
п = 0
где хотя бы один коэффицинет с'п ф сп. Степенной ряд (2.15') схо-
дится в круге |z — z0|<R, поэтому на основании формулы (2.9),
f<ZI) (2л)
сп ——^| > чт0 совпадает с выражением (2.16) для коэффициентов
сп. Тем самым единственность определения коэффициентов доказана.
Разложение функции, аналитической в круге | z — zQ | < R, в схо-
дящийся степенной ряд (2.15) часто называется разложением Тей-
лора, а сам ряд (2.15) — рядом Тейлора.
Доказанная теорема устанавливает взаимно однозначное соответ-
ствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой
точки г0, и степенным рядом с центром в этой точке. Это означает
эквивалентность понятий аналитической функции, как функции, бес-
конечное число раз дифференцируемой, и функции, представимой
в виде суммы степенного ряда *). Последнее имеет не только боль-
шое значение для построения теории аналитических функций, но и
находит широкое применение при решении многочисленных приклад-
ных вопросов.
*) Заметим, что аналогичная эквивалентность для функций действитель-
ной переменной не имеет места. Действительно, из существования на отрезке
[а, Ь] всех производных функции f (х) еще не следует возможность разложе-
ОО
ния этой функции в степенной ряд вида f (х) = сп (х —х0)'‘, где х0 ё [а, Ь],
п = 0
1
1 Дх2
сходящийся на всем отрезке [а, 6}. Например, функция f(x) =
при
любом действительном х имеет производные всех порядков, однако при хо = 0
оо
степенной ряд У (—1)пх2л сходится к данной функции лишь на интервале
п = 0
—1<х<1, а не на всей действительной оси х. Подробнее о разложении
функций действительной переменной в степенные ряды см. вып. 2, гл. 8.
§21
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯД ТЕЙЛОРА
73
Заметим, наконец, что если функция f(z) является аналитической
в области 'S и гй — внутренняя точка этой области, то радиус схо-
СО
—-^-(z — zn)n этой функции не
п=0
меньше, чем расстояние от точки zn до границы области 2?.
Пример 1. В качестве простейшего примера рассмотрим разло-
жения в ряд Тейлора функции /(г) — j^8 • Эта функция является
аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением
точек г112 = ±/, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Поэтому в любом круге на комплексной плоскости, не содержащем
точек = эта функция в силу теоремы 2.6 может быть раз-
ложена в ряд Тейлора. Начнем с круга |г|<1. При условии | z |< 1
выражение может рассматриваться как сумма бесконечно убы-
вающей геометрической прогрессии. Поэтому в силу (2.10)
ОО
- (2.17)
что и дает искомое разложение. Заметим, что радиус сходимости
ряда (2.17) равен 1, т. е. определяется расстоянием от центра раз-
ложения до границы области аналитичности функции f{z) =
Найдем теперь разложение функции /(г) = в ряд Тейлора
в круге | z — 1 | < 2. Определение коэффициентов сп ряда
со
У, сп (z — 1)" по формуле (2.16) в данном случае связано с довольно
п — 0
громоздкими вычислениями.
— —и воспользовавшись формулой
ном случае при условии |г — 1 | <; |/2, получим
поэтому, представив —Lj = 1 j-L _
(2.10), справедливой в дан-
—!— = V (______1 )п — Г-!----------!---1 (z — 1)"
14-г2 Ь v ' 2i L(l-»),,+1 (1+0п+1Г '
n=0
С помощью показательной формы записи комплексных чисел 1 — I =
.Л .л
,— — I — /— I —
= У 2 е 4, 1 -j-z = у 2 е 4, легко теперь получить
__1
T+Ti
“° sin {п 4- I)
= 1 (-D"—
/1=0 п 2
(2.IS)
74
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 2
Как следует из формулы Коши — Адамара, радиус сходимости ряда
(2.18) равен ]Л2, т. е. опять определяется расстоянием от центра
разложения до границы области аналитичности рассматриваемой
функции.
Пример 2. В качестве следующего примера рассмотрим раз-
2
ложение в ряд Тейлора функции f(z) = In z = \ —, введенной в
J ъ
1
гл. 1 (стр. 45). Выше было установлено, что эта функция является
аналитической на всей комплексной плоскости с разрезом по отри-
цательной части действительной оси, а следовательно, и внутри
круга |г— 1|<1. Полагая z0=l и вычисляя коэффициенты сп по
формуле (2.16), получаем
с0 = 1п 1 =0; сх = у |z=J = 1;
= 1)«-1(1=Д| = (— 1 )*-11, п = 2, 3, ...
п nl ' ' гп |г = 1 ' ' п’
Отсюда
00
1пг = 2
П = 1
(г- 1)"
п
(2-19)
Как легко убедиться с помощью признака Даламбера, кругом схо-
димости ряда (2.19) является круг | z—1|<1.
§ 3. Единственность определения аналитической функции
Уже изученные нами свойства функций комплексной переменной
позволяют заключить, что для определения функции, аналитической
в данной области, можно ограничиться заданием значений этой функ-
ции не во всей области. Например, задавая значения аналитической
функции на границе области, мы с помощью интеграла Коши можем
определить ее значения во всех внутренних точках области. Тем
самым функция, аналитическая в данной области, определяется зада-
нием неполной информации о ее значениях в этой области. Естест-
венно поставить вопрос: какова та «минимальная» информация, кото-
рую надо иметь, чтобы полностью определить функцию, аналити-
ческую в данной области?
1. Нули аналитической функции. Предварительно введем поня-
тие нуля аналитической функции. Пусть /(г) является аналитической
функцией в области 3?. Точка г0 е 3 называется нулем f(z), если
/(го) = О. Из разложения /(г) в окрестности точки г0 в степенной
СО
ряд, сп (z — z0)n, следует, что в данном случае коэффици-
л = 0
§ 3] ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 75
ент с0 — 0. Если не только коэффициент с0, но и коэффициенты clt
с2, , Ск1 равны нулю, а коэффициент ск отличен от нуля, то
точка z0 называется нулем k-го порядка функции f(z). Согласно
формуле (2.9) в нуле А-го порядка не только сама функция, но и
ее первые k — 1 производных равны нулю, а A-я производная отлична
от нуля. В окрестности нуля порядка k разложение функции f(z)
в степенной ряд имеет вид
СО
/(2) =2 Сп (2 - го)" =
п = k
со
= (г-г0)6 У, сп+к (z - z0)n = (z - z0)k ф (г), (2.20)
п=0
где ф(г) является аналитической функцией в окрестности точки г0>
со
разложение которой в степенной ряд имеет вид ф(г) = У] сл+*(г — г0)л,
п = 0
причем ф (г0) #= 0. Отметим, что последний ряд сходится в том же
круге, что и исходный.
2. Теорема единственности. Перейдем-теперь к формулировке
основного положения данного параграфа.
Теорема 2.7. Пусть функция f(z) является аналитической
в области и обращается в нуль в различных точках zn е
л=1, 2, ... Если последовательность {zn} сходится к пределу
а, принадлежащему той же области, то функция f(z) тожде-
ственно равна нулю в области %.
Доказательство. Так как а е 'S, то функцию f(z) можно
разложить в степенной ряд в окрестности данной точки: f(z) =
СО
— У cn(z~ а}п, причем радиус /?0 сходимости данного ряда не
п = 0
меньше расстояния от точки а до границы области. Из определения
непрерывности функции f(z) следует, что /(ц) = 0. Отсюда следует,
что со = О, и разложение функции f(z) в окрестности z — a имеет
вид
со
f(z) = (z - а) Д (z), где Д (z) = У с„+1 (z — а)п.
п—0
Будем предполагать, что все точки последовательности {zn} отличны
от а. Это не уменьшает общности наших рассмотрений, так как
только одна из этих точек могла быть равна а. В силу последнего
условия Д (zn) = 0, и по определению непрерывной функции Д (а) = 0.
Отсюда сх = 0, и разложение Д (г) в окрестности а принимает вид
СО
—а)/2(г), где Л(^)= У с„+а(,г —а)" Аналогично преды-
п = 0
76
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 2
дущему получим, что и /г(а) = 0> т- е- с2 = 0. Продолжая неограни-
ченно данный процесс, получим, что все коэффициенты сп в разло-
жении /(г) в степенной ряд
ОО
f(?)= у «’„(г-а)'1
п=»0
в окрестности точки а равны нулю. Отсюда следует, что /(г)=0
внутри круга |z —a|<R0.
Обратимся теперь к доказательству * **)) тождественного равен-
ства функции /(г) нулю во всей области 'S. Достаточно пока-
зать, что /(гх) = 0, где zx — произвольная точка области 'S, лежащая
вне круга [ z — а | < Ro. Для этого соединим точки а и гх спрямля-
емой кривой L, целиком лежащей в и отстоящей от ее границы
на расстояние d > 0. Поскольку любую точку круга | z — а | < Ro,
лежащую внутри области можно рассматривать как предел после-
довательности нулей функции f(z), то, выбрав в качестве нового
центра разложения последнюю точку z = ах пересечения кривой L
с окружностью \z — a \ = R0, получим, что /(z) = Q внутри круга
\z — ,«i I < Ri, где R1Szd. Продолжая аналогичным образом, покроем
всю кривую L конечным числом кругов, радиусов, не меньших d,
внутри которых /(г)=0. При этом точка z — z2 попадает внутрь
последнего круга, тем самым /(гх) = 0. Поскольку zx — произволь-
ная точка области $, отсюда следует, что f(z) = 0 в
Доказанная теорема имеет ряд важных следствий.
Следствие 1, Функция /(д)^0 и аналитическая в области 2?,
в любой замкнутой ограниченной подобласти области S? имеет
лишь конечное число нулей.
Если множество нулей функции /(г) в области бесконечно,
то по теореме 1.2 из него можно выделить сходящуюся последова-
тельность -> а, причем предел а этой последовательности при-
надлежит Отсюда /(z)s0 в 3?, что противоречит условию..
Следствие 2. Если точка z0 е 3? является нулем бесконечного
(ОО
т. е. в разложении f(z) = £ cn(z — z0)n
п = 0
в окрестности точки z0 все коэффициенты сп = 0^, то /(z) = 0
в области $.
Следствие 3. Аналитическая функция может иметь бесконечное
число нулей лишь в открытой или неограниченной области.
*) Это доказательство проводится аналогично доказательству на стр. 51.
**) Очевидно, при этом и сама функция f (г) и все ее производные в точке
г0 равны нулю.
§ 3] ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 77
Функция комплексной переменной,- аналитическая на всей ком-
плексной плоскости (z, =/= оо), называется целой функцией. Из преды-
дущих рассмотрений следует, что целая функция в любой ограничен-
ной части комплексной плоскости имеет лишь конечное число нулей.
Следовательно, все нули целой функции можно перенумеровать
в каком-либо порядке, например в порядке возрастания их абсолют-
ных величин. На полной плоскости целая функция может иметь лишь
счетное множество нулей, причем предельной точкой этого множества
является бесконечно удаленная точка комплексной плоскости. Целые
функции играют важную роль как в теории функций комплексной
переменной, так и в ее приложениях.
Теорема 2.8. Пусть функции f(z) и <р(г) являются аналити-
ческими в области S'. Если в S существует сходящаяся к неко-
торой точке a^S последовательность различных точек { zn },
в которых значения функций f(z) и ср (г) совпадают, то /(?) =
= <p(z) в S.
Для доказательства теоремы достаточно с помощью теоремы 2.7
установить, что функция ф(д)=/(д) — ф(д) = 0 в S.
Теорема 2.8 имеет чрезвычайно большое значение, поскольку она
означает, что в данной области S может существовать лишь единст-
венная аналитическая функция, принимающая заданные значения в по-
следовательности точек { zn }, сходящейся к точке а е S. Эту теорему
называют теоремой единственности определения аналитической
функции.
Часто применяются следующие следствия теоремы единствен-
ности.
Следствие 1. Если функции /j (г) и /2 (z), аналитические в области
S, совпадают на некоторой кривой L, принадлежащей данной области,
то они тождественно равны в области S.
Следствие 2. Если функции (г) и /2 (г), аналитические соот-
ветственно в областях Sj_ и S2, имеющих общую подобласть S, сов-
падают в S, то существует единственная аналитическая функция
F (г) такая, что
I /г (z), zt=S2.
Теореме единственности и ее следствиям можно придать также
следующие формы.
1° Пусть в области S выбрана сходящаяся к точке а е S после-
довательность различных точек zn е S. Тогда в этой области может
существовать лишь единственная аналитическая функция f(z), прини-
мающая в точках zn заданные значения.
2° Пусть в области S дана некоторая кривая L. Тогда в S может
существовать лишь единственная аналитическая функция /(г), прини-
мающая заданные значения на L.
78 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 1ГЛ. 2
3° Пусть в области S дана некоторая подобласть S'. Тогда
в области S может существовать лишь единственная ана-
литическая функция f(z), принимающая заданные значения в подоб-
ласти S’.
Если существует функция /(г), определенная в области S, о которой
говорилось в 1°, 2° и 3°, то она может быть названа аналитическим
продолжением в S с множества {zn}, линии L или подобласти S'.
Отметим, что задание значений аналитической функции на соот-
ветствующем множестве точек не может быть произведено произвольно.
Однако мы здесь не будем обсуждать требования, которым должны
удовлетворять эти значения, чтобы их можно было аналитически
продолжить в области S.
ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В этой главе мы рассмотрим ряд фундаментальных следствий
теоремы о единственности определения аналитической функции. Как
было установлено, аналитическая функция однозначно определяется
заданием ее значений на некотором множестве точек в области ее
определения. Это обстоятельство позволяет построить аналитическое
продолжение в комплексную область элементарных функций действи-
тельной переменной и выяснить их свойства в комплексной плоскости.
Мы также кратко рассмотрим общие принципы аналитического про-
должения.
§ 1. Элементарные функции комплексной
переменной. Продолжение с действительной оси
1. Продолжение с действительной оси. Теорема о единствен-
ности определения аналитической функции позволяет автоматически
распространить на комплексную область элементарные функции дей-
ствительной переменной. Предварительно, отметим справедливость сле-
дующего утверждения: пусть на отрезке [а, действительной оси х
задана непрерывная функция f (х) действительной переменной; тогда в
некоторой области S' комплексной плоскости, содержащей отрезок [а, Ь]
действительной оси, может существовать только одна аналитическая
функция /(г) комплексной переменной z, принимающая данные зна-
чения /(х) на отрезке [a, Z»]. Назовем функцию /(г) аналитическим
продолжением функции f(x) действительной переменной х в ком-
плексную область S.
Перейдем к рассмотрению примеров построения аналитических про-
должений элементарных функций действительной переменной. Среди
элементарных функций действительной переменной особую роль играют
показательная функция ех и тригонометрические функции sin х и cosx.
Как известно*), эти функции могут быть заданы своими разложениями
♦) Определение и основные свойства этих функций действительной перемен-
ной см. вып. 1, стр. 412.
80 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
в ряды Тейлора:
г = 2 г. <31)
п=0
оо
м»-'“2<-1)"етя’ (3-2>
п=0
со
W4 у2«
cos*= 2(-i)"(h’ (3-3)
причем эти ряды сходятся при всяком значении х.
Рассмотрим на комплексной плоскости следующие степенные ряды:
2 S' (3”
п~0
со
2jr2n+l
<-1 (Й+ПГ • <35>
п = 0
со
2 <3-6>
п = 0
При действительных z = x выражения (3.4), (3.5), (3.6) и (3.1), (3.2),
(3.3) соответственно совпадают.
Как следует из теоремы Абеля, областью сходимости рядов (3.4) —
(3.6) является вся плоскость комплексной переменной, т. е. эти ряды
представляют собой целые функции комплексной переменной z,
являющиеся аналитическим продолжением на всю комплексную пло-
скость элементарных функций действительной переменной ех, sin х и
cos х. Для введенных функций естественно сохранить прежние обо-
значения. Положим
(3.7)
СО
staz=2<-1)’cSW' <3-8>
п = 0
соьг=2 (-D"(W.
п = 0
(3.9)
§ 1] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
81
С помощью функции ег построим гиперболические функции комп-
лексной переменной:
chz = gg-+-~ (3.10)
И
Sh2 = ^-^-. (3.11)
В силу общих свойств аналитических функций эти функции также
являются целыми.
Аналогичным образом с помощью основных тригонометрических
функций sin z и cos z путем формального переноса в комплексную
область соответствующих определений могут быть построены и
, , sin г 1
остальные тригонометрические функции: = cosec г =
и т. д. Эти функции уже не являются целыми, поскольку их анали-
тичность нарушается в тех точках плоскости z, где знаменатели
определяющих их выражений обращаются в пуль.
Как будет показано ниже, для всех построенных функций комп-
лексной переменной сохраняются многие основные свойства соот-
ветствующих элементарных функций действительной переменной. Это
будет установлено на основании некоторых общих положений, а сей-
час мы построим продолжение на комплексную область еще двух
элементарных функций. Рассмотрим следующие степенные ряды:
ОО
У (—1)«-1 (3.12)
/г = 1
И
у 1 3 ... (2п—1) x2n+1 ,3131
2 2«-п!(2п+1) •
П = 1
Как известно, первый ряд*) сходится в интервале 0<х<2, а вто-
рой—в интервале —1<х<1 к функциям действительной перемен-
ной In х и arcsin х соответственно. Как легко установить, степен-
ные ряды
2 (— l)^1-^ (3.12')
п.= 1
И
V 1-3... (2л-1)^+1 (3 п
2 + 2'2<пГ(2п+1)~' }
п = 1
*) См. вып. 1, стр. 275, где приведено разложение In (1 +_у), замена
у—х—1 дает (3.12).
82
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
сходятся первый —внутри круга |2—1|<1, а второй — внутри
круга | z ] < 1 и на соответствующих отрезках действительной оси
совпадают с рядами (3.12) и (3.13). Поэтому аналитические функции
комплексной переменной z, определенные с помощью рядов (3.12')
и (3.13') внутри их кругов сходимости, являются аналитическим про-
должением на соответствующую комплексную область элементарных
функций In а: и arcsin х действительной переменной х. Для этих
функций мы также сохраним прежние обозначения, положив
СО
1пг = 2 (_1Г-1<£1_1)2.
П = 1
(3.14)
и
, V 1 3...(2n-l)z2'»+1
arcsin 2=г-}- 7 —. (3.15)
1 2™ • п! (2я+1) v '
п=\
Отметим, что функции (3.14) и (3.15), в отличие от введенных
выше функций (3.7) —(3.9), уже не являются целыми функциями, так
как определяющие их ряды сходятся не на всей комплексной пло-
скости, а лишь внутри кругов единичного радиуса. Свойства этих
функций также будут рассмотрены несколько позже. Отметим только,
что функция (3.14) в круге |2—1 |<1 совпадает с введенной иным
2
способом в гл. 1, стр. 45, функцией 1п2=^~, так как обе эти
1
аналитические функции определены в указанной области и совпадают
на общем интервале действительной оси 0 < х < 2 с одной и той
же функцией In х. Поэтому для обеих функций мы используем одно
2
И
то же обозначение. Тем самым и функция /(г) =
С
J 5
1
, определен-
ная на комплексной плоскости 2, разрезанной по отрицательной части
действительной оси, является аналитическим продолжением функ-
ции In х на соответствующую область.
В заключение заметим, что если функция /(х) действительной
переменной х задана своим степенным рядом
00
/(*) = 5 ап(х-х0)п,
п = 0
(3.16)
сходящимся на отрезке [а, Ь], то существует аналитическая функ-
ция /(2) комплексной переменной 2, являющаяся аналитическим
продолжением f(x) в комплексную область ’З, содержащую отре-
зок [а, Ь} действительной оси. Указанное обстоятельство позволяет
называть функцию действительной переменной /(х), представимую
§ 1] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 83
рядом (3.16), аналитической функцией. Напомним*), что функция
действительной переменной, представимая на отрезке [а, Ь] степен-
ным рядом (3.16), имеет на этом отрезке производные всех порядков.
Очевидно, аналитическим продолжением производной (х) в об-
ласть & является производная /(п) (г).
2. Продолжение соотношений. Перейдем к рассмотрению даль-
нейших следствий из теоремы о единственности определения аналити-
ческой функции. Эта теорема позволяет не только строить аналити-
ческие продолжения элементарных функций действительной переменной,
но и аналитически продолжать в комплексную область соотно-
шения, имеющие место между соответствующими функциями действи-
тельной переменной. В качестве типичных примеров рассмотрим,
во-первых, соотношения вида
sin2 х-ф-cos2 х = 1, (3.17)
e,njt = x (3.18)
и, во-вторых, соотношения вида
ех'. ех? = eXi+X2, (3.19)
cos (хх + х2) = cos хх • cos х2 — sin хх • sin х2. (3.20)
Соотношения (3.17) и (3.18) устанавливают связь между различными
функциями одной действительной переменной; в соотношения (3.19)
и (3.20) входят функции нескольких переменных. Это одни из основ-
ных соотношений для элементарных функций действительных пере-
менных. Естественно поставить вопрос: останутся ли они справедли-
выми для аналитических продолжений элементарных функций в комп-
лексную область?
Установим, что тождество (3.17) остается справедливым и в комп-
лексной области. Для этого рассмотрим функцию
F (z) = sin2 z + cos2 z — 1
комплексной переменной z. Согласно общим свойствам аналитических
функций (см. гл. 1 стр. 33) F (z) является целой функцией z, причем
для действительных значений z — x (в силу (3.17)) F(x) = 0. Отсюда
по теореме единственности мы и получим, что на всей комплексной
плоскости z выполняется соотношение
sin2 г + cos2 2= 1. (3-21)
Подобные же рассмотрения могут быть проведены и для доказатель-
ства справедливости в комплексной области выражения (3.18) и дру-
гих соотношений, связывающих различные аналитические функции
одной комплексной переменной. Однако нет нужды каждый раз про-
водить специальное исследование, а можно сформулировать общую
теорему.
) См. вып. 2, стр. 328.
84 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ- 3i
Пусть дана функция F , wn] комплексных переменных
а>х, ..., w„, аналитическая по каждой переменной *) w,- е D, и такая,
dF
что она сама и ее частные производные непрерывны по сово-
купности переменных .... wn. Обладающую указанными свой-
ствами функцию F[Wx, wn] будем называть аналитической функ-
цией многих комплексных переменных. Пусть даны п функций
АС2), •••> АА) комплексной переменной z, определенные в области S?
комплексной плоскости г, причем fi(z)^Di.
Будем говорить, что функции fa (z) удовлетворяют соотношению
F [/х (г), ..,, A (z)] = 0 на множестве М, если это соотношение
удовлетворяется во всех точках z&. М. В дальнейшем будем рас-
сматривать соотношения, задаваемые только аналитическими функ-
циями многих комплексных переменных. Имеет место
Теорема 3.1. Если функции fa (г) являются аналитическими
функциями z в области 9, содержащей отрезок [а, Ь\ действи-
тельной оси х, то из соотношения F [А (л), ..., А (х)] = 0 пРа
а^~-х^~Ь следует соотношение F [А А), • • •, А (2)] = 0 при z^.'S.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно
показать, что при сформулированных условиях функция Ф (z) =
= Д[А(2), ..., А А)] является аналитической функцией комплексной
переменной z в области 9. Доказательство проведем для случая
двух переменных т. е. когда Ф (г) = F [A (z), А А)]- Фиксируем
в области 9 произвольную точку z0 ge 9 и обозначаем A (z0) = и
А (2о) = Составим выражение
Ф(z0\z) — Ф (z0) = F [wjH- Ди^, Wj4" А^г] — F [®1> '“’a], (3.22)
где Awx, Aw2 суть приращения функций A (z) и А (г), соответствую-
щие приращению Az независимой переменной z. Так как, по пред-
положению, существуют частные производные функции F, непрерыв-
ные по совокупности переменных, то (3.22) можно преобразовать
к виду
, А р
Ф (z0 + Az) — Ф (zq) = — (w?, 11% 4- Aw2) Awj +
1 dF
+ T11AW1 + ^(W?, ^)Aw2 + t]2-Aw (3.23)
*) Назовем функцию многих комплексных переменных F (гх, ..., zn), опре-
деленную для значений г,- е Dit аналитической функцией каждой из своих
переменных z, (i — 1, 2, ..., т; если при любом i= 1, 2, ..., т соот-
ветствующая функция ф. (z(.)=F(zy, ..., Z'!_p г., z'^t, ..., г^) одной комп-
лексной переменной г;, получающаяся при произвольных фиксированных, зна-
чениях остальных переменных z^. = z'! (/ г), является аналитической функ-
цией данной переменной. Производные функции Ф, (zj) по соответствующим
переменным будем называть частными производными функции F (Zj, ..., гя)
д F (z z 1
многих комплексных переменных Ф(' (г;) =—Подробнее см. при-
ложение 3.
§ и ЭЛЕМЕНТАРНЕЙ; ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 85
где функции т]х и ц, бесконечно малы при Ддах и Aw2,стремящихся
к нулю, а тем самым и при Az—>0. Составив теперь разностное
ДФ
отношение и перейдя к пределу при Az->0, в силу непрерыв-
ности частных производных функции F по совокупности переменных,
получим
,, Ф (г0+Дг) — Ф (z0) dF , 0 0. . dF , „ 0. ,, , .
J-J 9— J= (w?> fi (Zo) + (wJ> д (го)>
что и доказывает существование производной Ф' (г0) в точке z0.
В силу сделанных предположений функция Ф' (г) непрерывна
в точке z0, а так как г0 —произвольная точка области 3?, отсюда и
следует аналитичность функции Ф(г) в области В случае боль-
шего числа переменных доказательство проводится совершенно
аналогично.
Теорема 3.1 позволяет аналитически продолжать в комплексную
область соотношения вида (3.17), (3.18) между элементарными функ-
циями одной действительной переменной, что существенно для изуче-
ния различных свойств элементарных функций комплексной перемен-
ной. Соответствующие примеры будут приведены ниже, а здесь
ограничимся лишь следующим замечанием, к теореме 3.1.
Следствие. Если выполнены условия теоремы 3.1 и функ-
ции fi(z) соответственно равны: fi(z)=f(z), fz(z)—f'(z), ...
..., /л+1 (z) = (z), то из соотношения
F [/(•*)> • • • > fw (х)] = 0 при а<.х<.Ь (3.24)
следует
F [f(z), (г)] = 0, z €= & (3.25)
Это означает, что если функция действительной переменной /(х)
является решением дифференциального уравнения (3.24), то ее анали-
тическое продолжение /(z) в область 'S удовлетворяет в этой области
дифференциальному уравнению (3.25), являющемуся аналитическим
продолжением уравнения (3.24) в область $.
Перейдем теперь к обоснованию аналитического продолжения
соотношений вида (3.19) й (3.20). Мы не будем рассматривать каждое
из этих соотношений в отдельности, а сразу сформулируем общую
теорему.
Теорема 3.2. Пусть функции ®х = /г (zx), ..., /„ (гп) яв-
ляются аналитическими функциями комплексных переменных
zlt ..., zn, в областях 3?х.....$п, содержащих отрезки [а,-, Ь(\
(/== 1, ..., «) действительной оси х. Пусть функция w„|
является аналитической функцией по каждой из переменных
а«х, .wn в области их изменения. Тогда из соотношения
F | fi (Xi).fn (х„)] = 0 при at^x^ bi следует соотношение
F [A(^), ..., /я(2л)] = 0 при zi^^i.
86 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
Доказательство. Для доказательства теоремы фиксируем
значения переменных х2 = х2> ..., хп = Хц и рассмотрим функцию
комплексной переменной Фх (zx) = F [Д (Zj), f2(x2), /л-(4)]. Эта
функция, как сложная функция комплексной переменной zlt в силу
утверждения гл. 1, стр. 33, является аналитической функцией ком-
плексной переменной zt е 1Д. Поэтому по теореме о единственности
определения аналитической функции из соотношения F[/x(xx),
Д (*2), < fn (-v^)l = 0 при ах s? хх < Ъг следует F [ Д (zx), Д (лф, ...
..., Д(х„)] = 0 при zx Е.Д. Заметим, что отсюда в силу произволь-
ности x°i....х°п вытекает, что F [/х (zx), Д (х2), ..., Д (х„)] = 0.
Фиксируем теперь произвольное значение комплексной переменной
zj Е ^х и рассмотрим функцию Ф2 (z2) = F | Д (zx),- Д (z2), Д(х3), ...
..., Д(_Д)] комплексной переменной z2 Е 2Д Так же как и Фх(гх),
функция Ф2 (z2) является аналитической функцией переменной z2 е !Д.
Поэтому из соотношения F [ Д (zj), Д (х2), Д (Д’), ..., Д (х„)] = О
при я2 «S х2 sg b2 следует F'[ Д (4)> А (^2), Д (*з)> • • • > fn (М)] = 0 при
z2 Е ЙД В силу произвольности выбора zj мы получим, что соот-
ношение F [ Д (хх), Д (х2), Д (Д), ..., Д (-4)] = 0 при ах «5 д Ьг,
а2 х2 sS Ь2 влечет за собой соотношение F [Д (zx), Д (z2), Д (х^),...
.. , fn (-*«)] — 0 при Zx Е Д, Z2 Е
Продолжая аналогичным образом, мы и докажем теорему. Заме-
тим, что доказательство теоремы не зависит от взаимного располо-
жения областей 1Д.
Теорема 3.2 позволяет строить аналитические продолжения соот-
ношений вида (3.19) и ‘(3-20). Рассмотрим, например, соотношение
(3.19) и введем функции wx, w2, w3 комплексных переменных zx, z2
и z3 = zx-(-z2:
wx = e2.i, w2 = e^, w3 — ez= = e2i+2». (3.26)
Рассмотрим функцию трех комплексных переменных
F[wx, w2, wa] = w3 — wx • w2. (3.27)
Поскольку функции (3.26), (3.27) являются целыми функциями своих
переменных, a F — 0 при zx = хь z2 = х2, z3 = х3 (— оо <С xt <Z со),
то выполнены все условия теоремы 3.2, что и доказывает справедли-
вость соотношения (3.19) при любых значениях комплексных пере-
менных zx и z2.
3. Свойства элементарных функций. Перейдем теперь к более
детальному изучению основных свойств введенных выше элементар-
ных функций комплексной переменной. В силу теорем 3.1 и 3.2 при
всех значениях комплексной переменной z имеют место соотношения
sin2 z cos2 z — 1, (3.28)
ch2z — sh2z=l. (3.29)
и другие известные тождества для различных тригонометрических и
§ 1] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 87
гиперболических функций одной комплексной переменной. Также
имеют место соотношения
£2,4-22=^.^ (3 30)
sin(21 + 22) = sin^1cosz24-cos^1sin^2, (3.31)
cos (гг -ф £2) = cos Д cos г2 — sin zr sin z2 (3.32)
и другие тригонометрические формулы, являющиеся аналитическим
продолжением в комплексную область известных соотношений для
элементарных функций действительной переменной.
Установим связь между показательной и тригонометрическими
функциями комплексной переменной. Для этого вернемся к выраже-
нию (3.7) для функции ег и сделаем в нем замену переменной, поло-
жив z — it,. Тогда
Разбив последний абсолютно сходящийся ряд на сумму двух рядов
получим
со оо
п=0 л==0
т. е.
e'£ = cos£-(-zsin£. (3.33)
Очевидно, это тождество имеет место для всех значений комплексной
переменной £.
Соотношение (3.33), устанавливающее связь между показательной
и тригонометрическими функциями комплексной переменной, носит
название формулы Эйлера. Из него следуют весьма важные для
приложений формулы *)
cos г — у (е‘г -ф ечг) (3.34)
и
sin z = ± (е‘г — е~‘г). (3.35)
С помощью этих формул и формул (3.10), (3.11) легко установить
следующие соотношения, связывающие тригонометрические и гипер-
болические функции комплексной переменной:
sin2 = — ishiz, cos z — ch tz. (3.36)
*) Напомним, что в гл. 1 мы с помощью этих формул определили функ-
ции cos 2 и sin z, а также формально ввели соотношение Эйлера.
88
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
В частности,
sin iy = i sh у, cos iy = ch_y.
(3.37)
Установим еще некоторые важные свойства рассматриваемых функ-
ций. Предварительно заметим, что в силу формулы (3.30) имеет место
соотношение
w = ег = е-*+1> = ех
(3.38)
Отсюда следует, что ех и arg w —у.
Рассмотрим теперь
функцию w = In z —
о
являющуюся анали-
тическим продолжением In х на комплексную плоскость, разрезанную
по отрицательной части действительной оси. Так как для действи-
тельных положительных х функция In х является обратной экспоненте,
то в силу теоремы 3.1 в области — л < arg z <Z л сохраняется соот-
ношение
elnz = z,
(3.39)
являющееся аналитическим продолжением соотношения е,п* = л"(х >0)
в комплексную область. Тем самым функция In z является обрат-
ной к функции ew.
Отметим важное следствие формулы (3.39). В силу этой формулы
и формулы (3.38) из соотношения w — rr + iv = In z следует
z = ew = eu+‘v = e“ eiv. (3.40)
Отсюда |z| = e“, argz = t>, а так как и и ^[ — действительные пере-
менные, окончательно получим
« = ln|z|, o = argz, (3.41)
где символ In | z | означает действительную логарифмическую функцию
действительного положительного аргумента. Тем самым для функции
комплексной переменной In z получим алгебраическую форму записи
в виде
In z — In | z Ц-/ arg z. (3.42)
Из (3.42) получим значения: lni = Z-^-, ln(l) = 0, In (—Z) =— i ,
In (1 + i) — in ]/2 4- i~ и т. д.
Аналогичным образом на основании теоремы 3.1 нетрудно пока-
зать, что и функция arcsinz, определенная формулой (3.15), является
обратной к функции sin z, т. е.
sin (arcsin z) = z. (3.43)
Выше была установлена связь между показательной и тригономет-
рическими функциями. Очевидно, и функции,1 обратные к данным, на-
§ 1] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 89
пример In г и arcsin z, также связаны между собой определенными
соотношениями.
В силу (3.43) из выражения w — arcsin z следует z = sinze>, что
согласно (3.35) можно переписать в виде
z = (eiw - е~™) ' (3.44)
или
<?2™-2/ze,o>-1 =0. (3.45)
Разрешив квадратное уравнение (3.45) относительно e‘w, получим
e'w = iz + У 1 - za. (3.46)
Мы не пишем знак ± перед корнем потому, что функция у 1 — г2
комплексной переменной z сама является многозначной функцией
(см. гл. 1, стр. 28). Выбор ветви многозначной функции ]/1 — z2 здесь
производится из условия, чтобы рассматриваемая функция w =
= arc sin z являлась аналитическим продолжением соответствующей
функции действительной .переменной. Из последнего условия следует,
что должно быть взято то значение корня, которое положительно
при положительных действительных значениях подкоренного выраже-
ния. Из (3.39) и (3.46) следует
iw = \n[iz + Vl - г2],
откуда окончательно получим
w = arcsin.z = — Zin [iz-^yi — г2]. (3.47)
Это выражение на первый взгляд довольно сложно, и невольно воз-
никает сомнение, дает ли оно, в частности, действительные значения
arcsinx для действительных значений z — х, удовлетворяющих усло-
вию | х 1. Однако" сомнение нетрудно рассеять. Обозначим £ ==
= lz + у 1 — z2. Для действительных значений z = х, удовлетворя-
ющих условию |x|sgl, получим |£| =]/х24-1—х2=1 и arg£ =
— arctg х = яге sin к. Отсюда в силу формулы (3.42) имеем
У 1— х2
— I In £ = — I [ 1 п 1 -4-1 arg £] = arg £ = arc sin x.
Так как функция (3.42) определена для всех значений своего ар-
гумента на комплексной плоскости с разрезом по отрицательной
части действительной оси, то формула (3.47) дает аналитическое
продолжение функции arcsin z на некоторую область плоскости z.
При этом точки z — ± 1 оказываются в определенном смысле осо-
быми. Действительно, в результате обхода любой из этих точек на
плоскости z по замкнутой кривой, принадлежащей достаточно малой
е-окрестности этой точки, при непрерывном изменении функции (3.47)
она изменит свое значение, так как при однократном обходе точки
90 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
z = 1 или z — — 1 функция 1 — г2 изменяет свое значение *). Поэтому
в качестве области однозначного определения функции (3.47) может
быть выбрана, например, полная плоскость z с разрезами вдоль
отрезков действительной оси [ — оо, — 1], [1, оо].
4. Отображения элементарных функций. В заключение данного
параграфа, посвященного элементарным функциям комплексной пере-
менной, рассмотрим некоторые геометрические свойства отображений,
осуществляемых этими функциями. Начнем с простейших примеров.
Пример 1. В гл. 1 была рассмотрена простейшая степенная
функция ®> = z2. Рассмотрим теперь отображение, осуществляемое
функцией
w = zn, (3.48)
где « — произвольное целое число. Эта функция, очевидно, является
целой функцией. Для изучения геометрических свойств ее отображе-
ния удобно воспользоваться показательной формой записи комплек-
сных чисел: z — ре"р, w = ге1^ = р”е"гч’, из которой следует, что
любой сектор **) с центральным углом а = ~ плоскости z дан-
ной функцией отображается на полную плоскость w. Различные
внутренние точки этого сектора отображаются на различные точки
плоскости ®>. При этом границы сектора переходят в один и тот
же луч ф = фо на плоскости w. Для установления взаимно одно-
значного соответствия между областью однолистности функции zn и
плоскостью w будем считать, что на плоскости w произведен разрез
по лучу ф — ф0 и границам данного сектора плоскости z сопоставлены
различные берега разреза. Например, сектор 0 sC ср — плоскости z
функцией (3.48) отображается на полную плоскость w, причем обе
границы этого сектора, лучи I и II на рис. 3.1, переходят в положи-
,, „ 2л 4л
тельную часть действительной оси и плоскости w, Сектор — —
также отображается на полную плоскость w и т. д. Поэтому геометри-
ческий образ функции w = zn представляет собой плоскость w, по-
вторенную п раз. Тем самым отображение полной плоскости z на
полную плоскость w, осуществляемое данной функцией, не является
взаимно однозначным. Однако, если в качестве геометрического образа
функции w рассматривать более сложное многообразие, чем обычная
комплексная плоскость, можно сохранить взаимную однозначность ото-
бражения. Будем считать, что мы имеем п экземпляров (листов) плос-
кости w, разрезанной по положительной части действительной оси, на
каждом из которых argw изменяется в пределах 2л (k—l)sgargwsc
2л
«с2л^, где k = 1, 2...п. Сектору — (k— 1)^<р=^ — k плоскости z
*) См. стр. 29—30.
**) Здесь под сектором мы понимаем замкнутую область вместе с ее гра-
ницами.
§ !] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
91
функция (3.48) ставит в соответствие k-Vi лист плоскости да; луч
Ф = — (k— 1) переходит в верхний берег разреза Л-го листа, а луч
Ф = —-----в нижний берег разреза этого же листа. Построим из этих
листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерыв-
ному движению точки на плоскости z соответствовало непрерывное дви-
жение точки да на данном многообразии. Для этого заметим, что нижний
берег разреза А-го листа и верхний берег разреза (ЛЦ-1)-го листа
имеют один и тот же аргумент фй = 2л • k. Когда точка z в своем
непрерывном движении по плоскости z переходит из одного сектора
в другой, соответствующая ей точка да переходит с одного листа плос-
кости да на соседний лист. Очевидно, чтобы сохранить непрерывность
отображения, мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний
берег разреза Л-го листа с верхним берегом разреза (А-|-1)-го листа.
При этом остаются свободными верхний берег разреза 1-го и нижний бе-
рег разреза л-го листов. Пусть точка z совершит на плоскости z полный
оборот вокруг точки z = 0, последовательно пройдя через все п секторов
этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему перво-
начальному положению. Тогда соответствующая ей точка да пройдет
п листов, и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить оставав-
шиеся свободными берега разрезов на 1-м и л-м листах. Тем самым полной
плоскости z функция да = zn ставит в соответствие л листов плоскости да,
склеенных указанным выше образом. Такое геометрическое многооб-
разие представляет собой частный случай так называемой римановой
поверхности. Функция да = zn является л-листной функцией.
Пример 2. Рассмотрим отображение, осуществляемое функцией
да = ег. Из представления (3.38) следует, что эта функция каждому
комплексному числу z = x-\-iy ставит в соответствие комплексное
число да, модуль которого есть ех, а аргумент у. Это означает, что
показательная функция да —ег производит отображение прямой у=
—Уо плоскости z на луч argw=_y0 плоскости да. Как легко видеть,
92
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
полоса плоскости z, ограниченная прямыми у = 0 и у = 2л, перейдет
в полную плоскость w, причем граничные прямые у = 0 и у = 2л будут
отображаться на один и тот же луч плоскости w — положительную
часть действительной оси и (рис. 3.2). При этом устанавливается вза-
имно однозначное отображение открытой области 0<_у<;2л на
плоскость w с выброшенной положительной частью действительной
оси и. Чтобы установить взаимно однозначное отображение соответ-
ствующих замкнутых областей, будем считать, что произведен разрез
по положительной части действительной оси и и установлено взаимно
однозначное соответствие между верхним берегом разреза и прямой
у — 0, а также между нижним берегом разреза и прямой у = 2л
плоскости z. Итак, показательная функция ez производит взаимно
однозначное отображение полосы 0 2л плоскости z на пол-
ную плоскость tu, разрезанную по положительной части действи-
тельной оси *). Аналогичным образом устанавливается, что показа-
тельная функция производит взаимно однозначное отображение любой
полосы 2л /г sg_y 2л (я + 1)(л = 0, ±1,...) плоскости z на ту же
полную плоскость w с разрезом вдоль положительной части действи-
тельной ОСИ и. При ЭТОМ ТОЧКИ 2'0 = X04-Z>0 И Z! = хо + I (Л + 2л&)
(А = ±1, ±2,...) переходят в одну и туже точку плоскости тс. Это
означает, что показательная функция является бесконечнолистной
периодической функцией комплексной переменной z с мнимым пе-
риодом 2л/. Областью ее однолистности является любая полоса _у0<
<j/<_y04-2n, отображающаяся на полную плоскость w с разрезом,
по лучу arg w =у9. Заметим, что аргумент w на плоскостях, соответ-
ствующих различным полосам 2л п -ё^у 2л (п-\-1) (п = 0, ±1, ...)
изменяется соответственно в различных пределах. Тем самым мы по-
лучаем бесконечный набор различных экземпляров плоскости w, раз-
*) При этом граница полосы у = 0 переходит в верхний, а граница
у — 2л — в нижний берег разреза плоскости и>.
§ 1)
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
93
резанной по положительной части действительной оси и. Чтобы не-
прерывному движению точки z на плоскости z, при котором она
переходит из одной полосы в другую, отвечало непрерывное
движение ч®, соответствующие экземпляры (листы) плоскости w
должны быть соединены между собой, причем, очевидно, верхний
берег разреза га-го листа должен быть соединен с нижним берегом
разреза (л — 1)-го листа и нижний берег разреза л-го листа—соеди-
нен с верхним берегом разреза (лф-1)-го листа. Полученное геомет-
рическое многообразие образует бесконечнолистную риманову по-
верхность.
Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для тригоно-
метрических функций комплексной переменной. Сразу заметим, что
в силу формул (3.34), (3.35) тригонометрические функции являются
бесконечнолистными функциями комплексной переменной z, перио-
дическими с действительным периодом 2л. Так же, как и в случае
функции ег, нетрудно рассмотреть геометрические свойства отобра-
жений, осуществляемых тригонометрическими функциями. Мы огра-
ничимся лишь функцией cosz. С помощью установленных выше
свойств тригонометрических функций получаем
cosz = cos (x-\-iy) = и (х, у) -\-iv (х,у) = cosx-ch_y — zsinjc-sh_y.
Отсюда следует, что прямую х — ха плоскости z функция cos z
отображает в ветвь гиперболы
и2 и2
COS2 Хи sin2 Хо
на плоскости w. При 0<;л'о<-у прямая х = хп переходит в правую
ветвь гиперболы, а прямая х = л — х0 — в ее левую ветвь. Как легко
установить, все гипербрлы (3.49) являются софокусными, причем их
фокусы лежат в точках ± 1 действительной оси и. Прямая х0 = -у
функцией cos z отображается на мнимую ось v плоскости w, а пря-
мые х0 = О и хй — л — в лучи [1,оо] и [ — оо,— 1] действительной
оси и плоскости w, причем при движении точки z по данной прямой
(например, по прямой х§ — 0) соответствующий луч проходится
дважды. Тем самым функция cosz осуществляет взаимно одно-
значное отображение полосы 0 eg х л плоскости z на полную
плоскость iso, разрезанную по лучам действительной оси [ 1,оо |
и [—оо, —1]. При этом верхняя полуполоса 0:Сх<л, _у>0 пере-
ходит в нижнюю полуплоскость v < 0, а нижняя полуполоса О «С х л,
—в верхнюю полуплоскость v > 0, что отмечено соответству-
ющей штриховкой на рис. 3.3. Как легко видеть, следующая полоса
л=^х^2л функцией cosz отображается на ту же полную плоскость
W с разрезами по лучам действительной оси [1,оо] и [— оо, — 1 ]. Так
как cos (z ф- л) = — cos z, то верхняя полуполоса л «С х 2л, у > О
переходит в верхнюю полуплоскость v > 0, а нижняя полуполоса
94
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
л х^ 2л, у < 0 — в нижнюю полуплоскость т<;0 (рис. 3.3). Ана-
логичное положение, очевидно, имеет место и для любой полосы
пл + 1)л. Отсюда следует, что областью однолистности
функции cos z является полоса пл <х<(п+ 1)л. Функция cosz
представляет собой бесконечнолистную функцию, а ее областью зна-
чений является бесконечнолистная риманова поверхность, получающаяся
путем склеивания плоскостей w, разрезанных по лучам действитель-
ной оси [ —со, — 1] и [1,оо], по соответствующим берегам разрезов.
В заключение наших рассмотрений основных свойств показатель-
ной и тригонометрических функций исследуем вопрос о нулях этих
функций. Показательная функция ю = ег не обращается в нуль ни
при каком значении комплексной переменной z, как это следует из
формулы (3.38). Все нули тригонометрических функций лежат на
действительной оси. В самом деле, если sinz = 0, то е,г — е~1г = О,
е1 2'г = 1. Но если комплексные числа равны, то их аргументы разли-
чаются на число, кратное 2л, откуда z — пл, что и доказывает выска-
занное утверждение.
§ 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой
поверхности
1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности.
Основной задачей аналитического продолжения является продолже-
ние значений функции f(z), заданной в некоторой области & на боль-
шую область Л
§ 2]
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
95
Пусть на комплексной плоскости даны две области Sx и Д, имею-
щие общую часть *) Д2 (рис. 3.4). Пусть однозначные аналитические
функции Д(г) и Д(г) заданы соответственно в областях Д и Д и
тождественно совпадают между собой в пересечении Д2. Тогда функ-
ция F (z), определенная соотношениями
^(г) =
Л (4
Д (4
Z е Д,
Д' Д,
(3.50)
является аналитической в расширенной области S ^Sx-\-S2 и совпа-
дает с Д (д) в Д и с Д (г) в Д.
Функция F (г) называется аналитическим продолжением функ-
ции fx (г) (Д (г)) на область S = Sx ф- Д. Функцию Д (г) (Д (г))
также называют аналитическим про-
должением функции Д(г) (Д(.г))
на область Д (Д)-
Как легко видеть, аналитическое
продолжение F (z) функции Д(г)
на область S = &х ф- Д определено единственным образом. Действи-
тельно, предположение о существовании в области S двух различных
функций, тождественно совпадающих с Д(г) в области Sx, приводит
к противоречию с теоремой о единственности определения аналити-
ческой функции, доказанной в предыдущей главе.
Данный способ аналитического продолжения функции Д(г) из
области Sx на более широкую область S представляет собой про-
стейшую форму принципа аналитического продолжения.
Обратимся теперь к случаю, когда функции Д (z) и Д(г) тож-
дественно совпадают лишь на части пересечения Д2 областей Sx
и S2 (рис. 3.5). Рассмотрим область S = Sx-\-S2 —SX2, где S'j2 —
= Д2 — S'M — та часть пересечения Д2, в которой функции Д (г) и
Д (г) различны. Согласно предыдущим рассмотрениям в & определена
единственная аналитическая функция F (г), являющаяся аналитическим
*) При этом могут быть различные случаи. Например: а) область &х
содержится в области Д, тогда Д2, очевидно, совпадает с областью &х;
б) пересечение Д.2 является односвязной или многосвязной областью; в) пере-
сечение Д2 состоит из нескольких (может быть, и бесконечного числа) отдель-
ных связных областей.
96
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ' ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
продолжением ft (г), заданной в области на область Л Эта
функция тождественно совпадает с функцией (г) в области — Зу*
и с А (г) в области ^2 — Функция F (г) может быть аналити-
чески продолжена на множество двумя способами:
f F (г), г е А
F1 “1/1 (г), z ее
ИЛИ
f F (г), z е
F2(Z)~l/2(4 ze^.
(3.51)
(3.52)
Это нас, естественно, приводит к необходимости рассмотрения мно-
гозначной аналитической функции F (z), определенной в области
^ = ^ + ^2 и принимающей различные значения в одних и тех же
точках части ^j2 области Л В частности, в данном случае мы полу-
чаем двухзначную аналитическую функцию F (z), принимающую
в одной и той же точке z0 е два различных значения, совпадаю-
щие со значениями функций А (г) или /2 (г) в этой точке.
Оперируя с многозначной функцией F (z), имеющей различные
значения в одной и той же точке комплексной плоскости, приходится
встречаться с трудностями выбора ее значений в данной точке. Для
удобства выбора этих значений часто пользуются понятием ветви
аналитической функции *), являющейся однозначной и непрерывной
функцией в соответствующей части области определения функции F (г).
Однако более удобным оказывается несколько иное представление,
позволяющее рассматривать данную функцию как' однозначную,
но определенную на более сложном многообразии, чем использовав-
шаяся до сих пор обычная плоскость комплексной переменной. Так,
возвращаясь к рассмотренному выше примеру двухзначной функ-
ции F (z), будем считать, что области и ^2 склеены по общей
части в которой функции А (г) и /2(г) совпадают, а два экзем-
пляра Э,2, принадлежащие областям и ^2, оставлены свободными.
Тогда на полученном геометрическом многообразии, представляю-
щем собой объединение областей и ^2, склеенных по &'1а (так
что точки, принадлежащие ^2> перекрыты дважды), функция F (z)
является однозначной аналитической функцией.
Построенное таким образом многообразие называется римановой
поверхностью аналитической функции F (z), являющейся аналити-
ческим продолжением функции Д(г) а отдельные экземпляры
повторяющихся областей — различными листами римановой поверх-
ности.
*) Например, такое рассмотрение мы проводили в гл. 1 при изучении
функции z = w-
§2]
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
97
та же область комплекс-
и
Рис. 3.6.
Таким Образом, вместо рассмотрения многозначной функции на
комплексной плоскости z мы можем рассматривать однозначную функ-
цию на римановой поверхности. Так же как и в простейшем случае,
рассмотренном в начале данного пункта, приведе.нный способ анали?
тического продолжения функции fx (z) из области на более широ-
кую область, представляющую собой уже риманову поверхность,
является частной формой общего принципа аналитического продол-
жения. Очевидно, можно аналогичным образом строить и аналити-
ческое продолжение- однозначных аналитических, функций, заданных
на римановой поверхности. При этом мы, естественно, придём к мно-
голистным римановым поверхностям, представляющим собой геоме-
трическое многообразие, в которое одна
ной плоскости входит уже не в двух,
а во многих экземплярах. Соответ-
ствующие примеры будут рассмотрены
в пункте 3 данного параграфа, а сейчас
рассмотрим ещ$ Один способ аналити-
ческого продолжения.
2. Аналитическое продолжение
через границу. В ряде случаев для
аналитического продолжения функции
/1 (г), первоначально заданной в об-
ласти используется также следую-
щий способ. Пусть области И ^2
имеют в качестве общего участка границы
вую Г13 (рис. 3.6) и в этих областях заданы
ции Д (г) и /8 (г), непрерывные соответственно
и совпадающие на Г12. Рассмотрим множество точек S == +
+ Г12. Так как точки геГ12 являются внутренними точками этого
множества, то множество S является областью. Покажем, что функ-
ция F (г), определенная с помощью соотношений
п, , ^^^1 + Гх2.
t fi (г)> Z ^2 + Гх2>
является аналитической в области ^ = ^х + ^г + Гх2. Очевидно, доста-
точно доказать, что для каждой точки z0 области S, лежащей на кри-
вой Г12, можно указать такую окрестность, в которой функция F (z)
является аналитической. Возьмем произвольную точку z0 е Г12 и
построим окружность Со с центром в этой . точке, целиком лежа-
щую в S. Рассмотрим интеграл типа интеграла Коши
Ф(г) = Л
' ' 2л1 J —г ь
кусочноглйдкую кри-
айалитические функ-
в Ч“Г12 и +
(3.53)
(3-54)
В силу установленных ранее свойств интегралов, зависящих от пара-
метра (гл. 1, стр. 52), функция Ф(г) является аналитической функ-
98 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
цией z при любом положении точки z, не лежащей на кривой Со.
Покажем, что когда точка z лежит внутри окружности Со, то
&(z) = F(z). Действительно, представим интеграл (3:54) в виде
-9—= ~ С + ~ (3.55)
2га .) г ® 2га J — г ® 1 2га J £ —г ?’ v '
Со Cj-f-Vja Т1в + Сй
где Сх и С2 суть части окружности Со, лежащие в и £2 (Со = Сх + С2),
а Via- часть кривой Г12, попавшая внутрь окружности Со. Если
точка z принадлежит области то в силу теоремы Коши *) получим
si S J (3.56)
Ci + Via Via +
откуда Ф (z) — /х(z) — F(z) при z e £x. Аналогично Ф(г) = /2(z) = F(z)
при z e ^2. В точке z0, принадлежащей yX2, в силу непрерывности
функций Ф (z), /х (z), /2 (z) внутри окружности Со, также будем иметь
ф (г0) = /х (z0) = /2 (Zq) = F (z0), откуда и следует, что F (z) является
аналитической функцией в области S.
И в этом случае, так же как и в предыдущих, мы будем говорить,
что функция /x(z) (А(г))> заданная в области ^х(^2), аналитически
продолжена на область ^2(^х). Построенная выше функция F (z)
является аналитическим продолжением функции f^lz) в область
S — ^i + ^2 + r12. Описанная конструкция представляет собой частную
форму общего принципа аналитического продолжения — аналити-
ческое продолжение через границу области. При этом, гак же
как и в предыдущих случаях, мы при продолжении через границу
можем прийти к необходимости рассмотрения однозначной аналити-
ческой функции на римановой поверхности в тех случаях, когда
области S\ и кроме общего участка границы ГХ2, имеют непустое
пересечение S12t в котором функции /х (z) и /2 (z) не равны тож-
дественно друг другу.
Рассмотрим теперь ряд примеров применения общих принципов
аналитического продолжения, приводящих как к многозначным, так и
однозначным функциям.
3. Примеры построения аналитического продолжения. Про-
должение через границу. Рассмотрим некоторые примеры построе-
ния аналитического продолжения функции (z), первоначально задан-
ной в области комплексной плоскости z. При этом, как было
отмечено выше, мы в ряде случаев приходим к необходимости рас-
смотрения функции, многозначной на комплексной плоскости.
В гл. 1 мы уже имели простейший пример многозначной функции
комплексной переменной — функцию w = ]/z, являющуюся**) обрат-
*) Применимость теоремы Коши к интегралам в правой части (3.55) оче-
видна в силу сделанного предположения о кусочной гладкости кривой Г12 и
выбора кривой Со.
**) Мы изменили здесь обозначения зависимой и независимой переменных.
§ 2]
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
99
ной степенной функции z = w2. Рассмотрим теперь эту и ряд других
функций с более общей точки зрения аналитического продолжения.
Пример 1. Функция w — y^z. Согласно правилу извлечения
корня я-й степени из комплексного числа одному значению z соответ-,
ствует п различных комплексных чисел ©/вычисленных по формуле
_ . <р + 2л&
w = ге^ = ре п (k = 0, 1, ..., п— 1), (3.57)
где z = pe‘‘f> и ф — одно из значений Arg z. Функция w = yr z
является многозначной функцией, имеющей я различных ветвей. Будем
считать, что ф изменяется в пределах О ф sg 2л, и выберем ту ветвь
п г—
функции п> = у z, которая является аналитическим продолжением дей-
ствительной функции н = угх действительной положительной пере-
менной лг>0. Очевидно, это будет
.ср
w1=y/rpel п (0<С(р< 2л). (3.58)
Областью определения функции ©х является плоскость z, разре-
занная по положительной части действительной оси х. Верхний берег
разреза соответствует значению arg 2 = 0, нижний — значению arg г = 2л.
Очевидно, функция wb являющаяся обратной функции z — wn, осу-
ществляет взаимно однозначное отображение замкнутой области Зу
плоскости г на сектор О arg w sg — плоскости ©. В силу общих
свойств аналитических функций (см. гл. 1, стр. 33) функция О)1
в области является однозначной аналитической функцией, произ-
, 1 --1 1 --1
водная которой вычисляется по формуле ©, (2) = — z п = — рп х
. 1 — п
Хе‘Ф ".
Рассмотрим теперь замкнутую область ^2— ту же плоскость z
с разрезом по положительной части действительной оси х, но на
которой аргумент z изменяется в пределах 2л arg z 4л. Верхний
берег разреза соответствует значению arg z = 2л, нижний — значению
arg z = 4л. Рассмотрим в этой области функцию
п - /ф+2я)
®2(г) = угре п (0е^фгС2л). (3.59)
Эта функция осуществляет взаимно однозначное отображение замкну-
той области <у2 на сектор — arg w sC — плоскости w и является
однозначной аналитической функцией z в области ^2. Замкнутые
области и имеют общую часть границы Г1>2 — луч arg z = 2л, —
на которой совпадают функции ©х и ©2, непрерывные в ^14~Г12
и ^2-|-Г12 соответственно, Поэтому в силу принципа аналитического
100
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
продолжения через границу функция w2(z) является аналитическим
продолжением функции (z) в область &2. С другой стороны,
и &2 фактически совпадают на плоскости z, так как точки комплекс-
ной плоскости с равными модулями и отличающимися на 2л аргу-
ментами совпадают. Поскольку функции (3.58) и (3.59) в одной и той
же точке z имеют различные значения, то согласно предыдущим рас-
смотрениям, для того чтобы функция
2 Ы_Г1|2,
2 ^а + Гцг,
Fx(*) =
(*)>
(3.60)
была однозначной в области определения ^2 Ц- Гь2, мы
должны считать, что многообразие Rj является римановой поверх-
ностью, склеенной из листов и ^2. Очевидно, что данное склеива-
ние следует произвести по общей части границы Г1>2 лучу arg z = 2л,
склеив нижний берег разреза области с верхним берегом разреза
области &2. Повторив наши рассмотрения, мы установим, что функция
п _ Sf + 2Kk
(г) = п (0е£ф=с2л), (3.61)
определенная в замкнутой области ^+j (2лА arg z 2л (&+ 1)),
является аналитическим продолжением функции w*(2), определенной
в Заметим, что функция wn+1 (z) тождественно совпадает с функ-
цией №х(г). Поэтому естественно рассматривать однозначную анали-
тическую функцию
w„(z), ге>я + Гм,да
определенную на римановой поверхности R — И- ^2 + • • • +
Ч“Г12-|-.. • 4-Гп_11П, склеенной указанным выше способом из л листов,
представляющих собой плоскость z с разрезом по положительной
части действительной оси х. При этом остаются свободными верхний
берег разреза (arg z = 0) на первом листе 3\ и нижний берег раз-
реза (arg z — 2лл) на л-м листе ^п. Чтобы сохранить непрерыв-
ность функции F (z) во всей области ее определения, мы произведем
склеивание этих берегов разрезов (рис. 3.7)*). Функцию (3.62) назы-
П Г-
вают полной аналитической функцией w — yz, а построенное ука-
занным выше способом замкнутое многообразие R —полной римановой
*) Для большей наглядности можно произвести указанные склеивания нг
разрезанных листах бумаги. При этом последнее склеивание оказываете*
физически невозможным и может быть произведено лишь мысленно.
§ 2]
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ„ПОВЕРХНОСТИ
.101
поверхностью этой функции. На каждом листе римановой поверх-
ности определена отдельная ветвь данной многозначной функции.
Отметим еще следующее обстоятельство. Фиксируем на плоскости
z некоторую точку z0 и проведем через нее замкнутую кривую С.
Тогда, если argz при движе-
нии по кривой С изменяется
непрерывным образом и кри-
вая С пересекает линию раз-
реза на плоскости z, то при
полном обходе кривой С ап-
риори возможны два случая
(рис. 3.8). В первом случае
точка 2 = 0 лежит вне кри-
вой С. Поэтому, выйдя из
точки z = z0 (arg z0 — <р0) на
k-м листе *), мы после об-
хода этой кривой вернемся
в исходную точку z0 на
том же Л-м (arg z0 = <pn)
листе, хотя в процессе движения мы, пересекая линию разреза,
переходили и на другие листы. Во втором случае точка z = 0 лежит
внутри кривой С. Поэтому, выйдя из точки z = z0 (arg z0 = ф0)
на k-м листе, мы после обхода кривой С вернемся в точку z = z0
уже не на исходном k-м, а например, на (А4-1)-м листе (arg20 =
= <р0 2л). Точка г0, при обходе которой по любой замкнутой кри-
вой в достаточно малой окрестности этой точки происходит переход
с одного листа римановой поверхности аналитической функции F (г)
на другой ее лист, называется точкой разветвления функции F (z).
Как легко видеть, это определение точки разветвления эквивалентно
определению, данному в гл. 1, стр. 29. Очевидно, в рассматриваемом
п /•—
примере функции VD — yz точками разветвления являются точки
2 = 0 и 2 = оо.
*) Рис, 3.8 соответствует случаю fe = l.
102 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
Пример 2. Функция w — Ln z.
Рассмотрим в замкнутой области Jo, представляющий собой пло-
скость z, разрезанную по отрицательной части действительной оси
— п arg z л, функцию In z, о которой шла речь в предыдущем
параграфе:
w0 = ln(z) = 1п | z | +1 arg z, — л sS arg z л. (3.63)
Как мы знаем, эта однозначная аналитическая функция является ана-
литическим продолжением действительной функции и = In х и обратна
функции z = ew. Поэтому функция (3.63) отображает область
плоскости z на полосу —л <; Im их; л плоскости w. Рассмотрим
в замкнутой области (л arg z Зл) функцию
Wj == 1пх (z) = In | z | + i arg z, л sg arg z «С 3л. (3.64)
Очевидно, функция (z) является аналитическим продолжением w0 (z)
в область Аналогично функция
w_i (z) — ln-i (.z) = 1ч I z I + i arg z> —3л sg arg z — Л, (3.64')
определенная в замкнутой области 5,_1(—3n^argz=C—л), является
аналитическим продолжением функции w0(z) в области^->_х. Также
и функция wk (z):
wk (z) = In* (z) = In | z | + Z argz, л (2k— 1) arg z sg л (2A-f-1),
(3.65)
определенная в замкнутой области ^*, л(2й — 1)=С arg z л (2k1),
•является аналитическим продолжением функции ®*_x (z). Функция w*(z),
однозначно отображающая область £* на полосу л(2&—l)<Imw<;
<л(2А-|-1), также является обратной функции z = ew. В отличие
от предыдущего, случая, ни одна из функций (z) (k Ф 0) не равна
тождественно функции w0 (г). Поэтому данный процесс аналитиче-
ского продолжения следует.вести неограниченно как для k > 0, так
и для k < 0. Тем самым полная аналитическая функция
(z), z е -^1 + Го,! + Гх, 2,
F(z) = Lnz = ln |z|4-Z Argz= w0(z), z<= + Гс,x + Го>_i,
W-1 (Z)> Z E ^-1 + Г0, _1 + r_i( _2,
(3.66)
является бесконечнозначной на обычной плоскости z и однозначной
со
на бесконечнолистной римановой поверхности /?= состав-
п=—со
ленной из бесконечного множества листов путем склеивания верх-
§ 2]
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
103
него берега разреза каждого (й-[-1)-го листа с нижним берегом
разреза предыдущего й-го листа. Как и в предыдущем случае, точки
z = 0 и z — сю являются точками разветвления функции Ln z.
Отметим еще раз, что функция w = Ln z является обратной функ-
ции z = ew. Это позволяет определить степенную функцию za для
любого комплексного значения а в виде
—— ^otLnz
(3.67)
4. Примеры построения аналитического продолжения. Продол-
жение с помощью степенных рядов. В рассмотренных примерах
различные ветви аналитической функции задавались в явном виде на
всей комплексной плоскости и построение аналитического продолже-
ния производилось путем соответствующего склеивания областей
определения этих ветвей. Рассмотрим теперь еще один метод кон-
кретного построения аналитического продолжения аналитической
функции, первоначально заданной в некоторой области комплекс-
ной плоскости z.
Рис. 3.9.
Пусть функция (z) является аналитической в области >х. Выбе-
ре'м произвольную точку zQ е А и разложим /х (г) в степенной ряд
в окрестности этой точки:
оо оо
A (г) = 2 сп (z - zoy> = 2 (* -*о)л- (3.68)
п—О п=0
Рассмотрим ряд, стоящий в правой части (3.68). Априори возможны
два случая (рис. 3.9). В первом случае радиус сходимости Ro ряда
(3.68) не превосходит расстояния от точки z0 до границы Гх обла-
сти А- В этом случае разложение (3.68) не выводит за границы
области А первоначального определения аналитической функции /х(г).
Во втором случае радиус сходимости Ro ряда (3.68) больше расстоя-
ния от точки z0 до границы Гх области 3\. В этом случае область Э-2,
представляющая собой круг | z — z01 < Ro, уже не является подоб-
ластью области А, а лишь имеет с ней общую часть ^12. В области
104 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
сходящийся степенной ряд (3.68) определяет аналитическую функ-
цию /2 (z), совпадающую с Д (z) в ^12. Эта функция /2 (z) является
аналитическим продолжением /х (z) в область £г. Следовательно,
в области S — ^ + ^2 определена аналитическая функция
F(z) =
Л (г),
/г (z)>
z&Slt
z<=S2.
(3.69)
Итак, в рассматриваемом случае разложение (3.68) выводит за гра-
ницу 1\ области первоначального определения аналитической
функции /х (z). Проведя аналогичные рассмотрения для некоторой
точки zx построенной области ^2, затем для точки z2 области S3 и
т. д., мы получим аналитическое продолжение функции /x(z) вдоль
цепочки областей' Sb Sn! ...При этом возможны такие взаим-
ные наложения областей цепочки, которые приводят к необходимости
рассматривать -функцию F (z) как однозначную аналитическую функ-
цию, определенную уже не на обычной комплексной плоскости z, а
на римановой поверхности.
Рассмотрим конкретный пример разобранного способа аналитиче-
ского продолжения.
Пример 3. Пусть первоначально функция /х (z) задана своим
степенным рядом ~ .
(3.70)
/1(^) = 2гЛ-
Этот ряд сходится внутри круга | z | < I к аналитической функции
ft (z) — . Всюду вне круга | z | < I ряд расходится; следова-
тельно, /1(г) не определена вне круга | z | < 1. Выберем некоторую
точку z0 внутри круга | z | •< 1 и построим разложение /г (z) в
СО '
степенной ряд У сп (z — z0)" с центром в этой точке. Вычислив коэф-
п=0
фициенты сп по формуле (2.16), получим е„ = т=-----та. Легко по-
, U zo)
казать, что радиус сходимости данного ряда p(z0) равен |1—z0|.
Как следует из элементарных геометрических соображений, в том
случае, когда точка z0 не лежит на отрезке действительной оси [0, 1],
круг сходимости данного ряда выйдет за пределы первоначального
СО
круга сходимости | z | < 1. Следовательно, функция f^z) — У
\ * *0/
п=0
является аналитическим продолжением функции /j(z) на область
Заметим, что степенной ряд, определяющий функцию /2 (z), также
легко суммируется, причем Л(г) = у~. Поэтому взяв в качестве
§4
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
105
нового центра разложений точку zx внутри круга |z—20|<| 1 — 20|,
оо
V (z — z1)n „ । ।
получим ряд / , сходящийся внутри круга I Z — I <
(A Zi)n
П=0
<|1—zt\ к функции f3 (z) = y—j, совпадающий c ft(z) и /i(z)
в общих частях круга \z— zt | < | 1—zt | и областей определения
соответствующих функций. Тем самым /3(2) является аналитическим
продолжением /х (z) на новую область. Отметим, что при любом
выборе точки zr граница соответ-
ствующего круга сходимости прой-
дет через точку z = l (рис. 3.10).
Поступая аналогичным обра-
зом, можно построить аналити-
ческое продолжение функции/х (z)
на полную плоскость комплексной
переменной, за исключением точки
2=1. При этом аналитическим
продолжением полученным
с помощью степенных рядов, яв-
ляется функция F(z) = > оп-
ределенная и аналитическая всюду,
за исключением точки 2=1.
Итак, нам удалось расширить
область первоначального задания
аналитической функции F (z) —
круг | 2 | < 1, в которой была
задана функция /х(г)> —на ббль-
шую область. Заметим, что, хотя
и имеют место многочисленные
взаимные наложения построенной цепочки областей, полученная ана-
литическая функция F (2) = —является однозначной во всей об-
ласти своего определения — на полной плоскости z с выброшенной
точкой 2=1. Дальнейшее аналитическое продолжение функции F (z)
на большую область уже невозможно. Точка 2=1, являющаяся гра-
ницей области аналитичности функции F (z), представляет собой в
определенном смысле особую точку этой функции. Поведение анали-
тической функции в окрестности таких точек заслуживает более
подробного изучения, что и будет проведено в дальнейшем.
5. Правильные и особые точки аналитической .функции.
Пусть функция /(z) задана в области S, ограниченной контуром Г.
Точка 20 £Е S называется правильной точкой функции f(z), если
СО
существует сходящийся степенной ряд сп — ^о)71, который в
п = 0
общей части области S и своего круга сходимости | 2 — z0 | < р (z0)
106
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
сходится к функции f(z). На значение числа р (z0) накладывается
единственное ограничение: р(г0) строго больше нуля. Точки z е S, не
являющиеся правильными точками функции f(z), называются ее осо-
быми точками. Ясно, что если f(z) — аналитическая в области S,
то все внутренние точки этой области суть правильные точки функ-
ции f(z). Точки границы Г могут быть как правильными, так и осо-
быми точками аналитической функции f(z). Очевидно, что все точки
границы Г, лежащие внутри круга | z — zg | < р (г0) с центром в не-
которой правильной точке zgе S, также являются правильными точ-
ками функции f(z). Так, в рассмотренном выше примере все точки
границы | z | = 1 области первоначального определения функции
00
/1(г)= 2 zn, за исключением точки z=l, являются правильными
точками. Единственной особой точкой этой функции может быть
лишь точка z = l. Она же является и особой точкой функции
F(z) = -p^, аналитического продолжения функции /х(^) на расши-
ренную область. Аналогично точки z = 0, со являются особыми
точками функций z и Ln z, рассмотренных в пункте 3.
Пусть аналитическая функция /х(г) первоначально задана в обла-
сти Sb и пусть все точки связного участка Г' границы Г этой обла-
сти являются правильными точками функции f^z). Тогда из прове-
денных выше рассмотрений следует, что функция /1(2) может быть
аналитически продолжена через Г' на ббльшую область. Может ока-
заться, что все точки границы Г области Sr первоначального задания
аналитической функции f(z) являются правильными. В этом случае
функцию f(z) будем называть аналитической в замкнутой обла-
сти Из предыдущих рассмотрений следует, что функцию, ана-
литическую в замкнутой области Sx, можно аналитически про-
должить на большую область S, содержащую область Sx.
Аналитическое продолжение через участок границы, содержащий
лишь особые точки функции (г), очевидно, невозможно.
Приведем пример аналитической функции, заданной в ограничен-
ной области, которую невозможно продолжить на ббльшую область.
Пример 4. Рассмотрим аналитическую функцию f(z), заданную
степенным рядом ,
(3.71)
М =0
Как легко определить с помощью простейших признаков, ряд (3.71)
сходится внутри круга |г|<1. При действительном х—>-1 сумма
СО
2 неограниченно возрастает, тем самым точка z = 1 является
п=0
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
107
£
особой точкой f(z). Покажем, что и точки z^, т~е 2 1 гДе /л = 1>
2, 3, ..., 2*, a k — любое натуральное число, являются особыми точ-
. 2Л
l~km
ками функции f(z). Для этого рассмотрим точку z*. т = р • е 2.
(0 < р.< 1) и представим значение функции /(z) в этой точке в виде
А — 1 со
"i+ S z<k. т- (3.72)
n=0 n~k
Первое слагаемое в (3.72), являющееся суммой конечного числа сла-
гаемых, по абсолютной величине ограничено, а второе, в силу вы-
бора точки z*, т, может быть преобразовано к виду
ОО со
s 2 р’“- (3.73)
n — k n = k
При р -> 1 сумма выражения, стоящего справа в (3.73), неограниченно
возрастает. Это и доказывает, что точки zk< т являются особыми
точками функции f(z). Но при k со эти точки всюду плотно *)
расположены на окружности |z | = 1. Отсюда следует, что функция
(3.71) действительно непродолжима ни через какую дугу этой окруж-
ности.
Строя аналитическое продолжение функции F (z) = с по-
мощью степенных рядов, мы видели, что граница круга сходимости
каждого ее элемента /ft(z) проходит через точку z = l, особую точ-
ку этой функции. Тем самым на границе круга сходимости любого
из построенных степенных рядов лежит особая точка аналитической
функции, к которой этот ряд сходится. Это свойство является общим
следствием следующей теоремы.
Теорема 3.3. На границе круга сходимости степенного ряда
лежит хотя бы одна особая точка аналитической функции F(z),
к которой сходится данный ряд.
Доказательство. Предположим, что все точки окружности
СО
Со круга Ко сходимости ряда /(z) = У] сп (z — z0)" являются пра-
я=0
вильными, т. е. для любой точки z Со существует такое р (z) > 0,
что в общей части круга Ко и своего круга сходимости | z — z | < р (z)
ОО
соответствующий ряд У cn(z')(z — z)n сходится к /(z). Пусть ра-
п=0
диус круга Ко есть /?0.
*) То есть в любой е-окрестности каждой точки окружности | z | =* 1
найдутся точки последовательности (z^, т}. .
108 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
Рассмотрим функцию p(z), определенную на окружности Со. По-
кажем, что для любых двух точек zx и z2 на окружности Со выпол-
нено условие
IР (л) - Р &)) < Г*1 - *21. (3.7 4)
Действительно, предположим, что это условие не выполнено, напри-
мер, р (z2) — р (z^ = ) Zi — 1 4- 6, где 6 > 0. Тогда круг | z — zx | <р (Zj)
00
сходимости ряда У сп (zx) (z — z-tf1 = /х (z) лежит внутри круга
п=0
I •? — z21 < р (z2) сходимости ряда 2 сп Сгг) (2 — = А (*) (рис.3.11).
' п—0
В общей части этих кругов и круга Ка оба ряда сходятся к одной
и той же функции f(z). Следовательно, функция /2(z) являет-
ся
функции /i(z). Это означает, что
в круге | z — zx | •< р (zx) -}- 6 оп-
ределена аналитическая функция
/2 (z), совпадающая с (z) в круге
Iz —,?i I < Р (г1)- В СИЛУ тео-
ремы Тейлора отсюда следует,
что радиус сходимости ряда
со
У сп (^т) (г—zx)" не меньше чем
п=0
р (Zx) 4- 6, что противоречит исход-
ным данным. Итак, условие (3.74)
установлено.
Из этого условия следует рав-
аналитическим продолжением
номерная непрерывность функции
р (z) на кривой Со. Действительно, соотношение | р (zj) — р (z2) | < е
выполняется _ для любого наперед заданного 8 >• 0, если только вы-
полнено условие |zx —z2|<e. Так как функция p(z)>0, то она
ограничена снизу и в силу непрерывности достигает на Со своей точ-
ной нижней грани *) р (z) р (z0) = р0 > 0. Последнее неравенство
имеет место, потому что для всех zeC0 выполняется строгое нера-
венство р (z) > 0.
В силу единственности аналитического продолжения можно утвер-
ждать, что в круге | z — z0 j < Ro 4~ Ро определена однозначная ана-
литическая функция F (z), совпадающая с функцией /(z) в круге
| z — z0 | < Ro. Следовательно, радиус сходимости исходного степен-
ного ряда У, c„(z — z0)n должен быть Ro4-po> а не Яо. Но это ПР°‘
п=0
*) См. вып. 1, стр. 250.
§ 2] - ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ " 10S
тиворечит условию теоремы. Итак, предположение, что все точки
границы круга сходимости правильные, приводит к противоречию.
Теорема доказана.
Из теоремы 3.3 следует, что радиус круга сходимости степен-
ного ряда определяется расстоянием от центра сходимости до
ближайшей особой точки той аналитической функции, к которой
сходится данный ряд.
6. Понятие полной аналитической функции. Предыдущие рас-
смотрения позволили построить аналитическое продолжение функ-
ции /i(z), заданной в области S\, на большую область S = Sr1SrS2
или соответствующую риманову поверхность. Как мы видели, можно
рассматривать аналитическое продолжение вдоль цепочки областей
•••> имеющих общие части ,+ь в которых совпадают ана-
литические функции /i (z), /2 (z), ..., fn (z), заданные в областях Sb
^2, ••> При этом мы получим в области & = ^1 + ^2 + • • • + ^л
или на соответствующей римановой поверхности R однозначную ана-
литическую функцию -^(z), являющуюся аналитическим продолжением
функции fi (z).
Если аналитическая функция /i(z) первоначально задана в обла-
сти то, строя различные цепочки областей, выходящие из обла-
сти мы можем получить/аналитическое продолжение функции /i(z)
на различные области, содержащие область При этом существен-
ным является понятие полной аналитической функции.
Функция F (z), полученная путем аналитического продолжения
вдоль всевозможных цепочек областей, выходящих из области
первоначального задания аналитической функции f\.(z), назы-
вается полной аналитической функцией. Ее область определения
R называется естественной областью существования полной
аналитической функции.
Согласно только что проведенным рассмотрениям естественная
область существования R полной аналитической функции F (z) может
быть римановой поверхностью. Отметим, что аналитическое продол-
жение функции F (z) за границу Г ее естественной области сущест-
вования R уже невозможно. При этом все точки этой границы яв-
ляются особыми точками функции F (z). Это легко доказать. Пред-
положим, что точка zoe Г является правильной точкой функции F (z).
В таком случае, по определению правильной точки, внутри круга
| z — z0 | < р (z0) существует некоторая аналитическая функция Ф (z),
совпадающая с F (z) в общей части данного круга и области S, Но
круг | z — z01 < р (z0) заведомо выходит из области S, поэтому Ф (z)
является аналитическим продолжением полной аналитической функции
через границу ее естественной области существования, чТо невоз-
можно.
В рассмотренных в предыдущих пунктах примерах мы построили
ряд полных аналитических функций и их естественные области суще-
ствования. Так, естественными областями существования полных
110 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 3
П у—
аналитических функций у z и Ln г являются соответственно л-листная
и бесконечнолистная римановы поверхности; естественной областью
существования полной аналитической функции — полная ком-
плексная плоскость с выброшенной точкой z=l; естественной об-
ластью существования функции (3.71), рассмотренной в примере 4,—
единичный круг |г|<1.
При этом в последнем примере область первоначального за-
дания аналитической функции ДД) такова, что невозможно аналити-
ческое продолжение функции ДД) за границу Гх области Это
и означает, что Д Д) — полная аналитическая функция и Д —её
естественная область существования. Если же область Д такова, что
возможно аналитическое продолжение Д Д) на ббльшую область, то
функцию ДД) называют элементом полной аналитической функ-
ции F (г). Аналитическое продолжение Д (г) функции Д (г), заданной
в области Д, на область Д, имеющую с Д общую часть Д2, будем
называть непосредственным аналитическим продолжением функ-
ции ДД).
ГЛАВА 4
РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
В этой главе будет изучено поведение однозначной аналитической
функции в окрестности ее изолированных особых точек. Знание этого
поведения не только позволяет глубже проникнуть в природу анали-
тических функций, но и находит прямое практическое применение
в многочисленных приложениях теории функций комплексной пере-
менной.
В предыдущих главах мы видели, какую большую роль играют
степенные ряды и, в частности, ряд Тейлора в изучении свойств ана-
литических функций в области, где отсутствуют особые точки иссле-
дуемых функций. Аналогичную роль при изучении свойств аналити-
ческих функций в окрестности их изолированных особых точек играет
ряд Лорана.
§ 1. Ряд Лорана
1. Область сходимости ряда Лорана. Рассмотрим ряд вида
2 cn(z-z.Y, (4.1)
п=-со
где z0 — фиксированная точка комплексной плоскости, сп — некото-
рые комплексные числа, а суммирование ведется как по положитель-
ным, так и по отрицательным значениям индекса п. Ряд (4.1) носщ
название ряда Лорана. Установим область сходимости этого ряда.
Для этого представим выражение (4.1) в виде
ОО со оо
2 сп (z - г0)« = 2 Сп (* - ztf + 2 (7^ • <4-2)
л = — ео п=0 п~'1
Очевидно, областью сходимости ряда (4.1) является общая часть обла-
стей сходимости каждого из слагаемых правой части (4.2) Областью
ОО
сходимости ряда У] cn(z — z^F является круг с центром в точке г0
п=0
некоторого радиуса /^(как было установлено в гл. 2, значение
112
РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
[ГЛ. 4
может, в частности, равняться нулю или бесконечности). Внутри круга
сходимости этот ряд сходится к некоторой аналитической функции
комплексной переменной
ОО
Л(г)= У, cn(z-z0)'t, \z-z0\<Ri. (4.3)
п=±0
Для определения области сходимости ряда У сделаем за-
мену переменной, положив £ =—-—. Тогда этот ряд примет вид
оо
У с_п£;л. То есть он представляет собой обычный степенной ряд,
сходящийся внутри своего круга сходимости к некоторой аналити-
ческой функции ср(£) комплексной переменной £. Обозначим радиус
сходимости полученного степенного ряда через
1 т.
о-. Тогда
Г<2
Ф(С)=У^« '(4.4)
п = 1
Возвращаясь к старой переменной и полагая <р (£ (z)) = f2 (z), получим
| z — z01 > R2-
(4.5)
oo
Отсюда следует, что областью сходимости
<”ra 2 по
п — \
ОТ-
рицательным степеням разности (z — z0) является область, внешняя
к окружности | z — z0 | = R2 (так же как и ^1, значение /?2 может,.
в частности, равняться нулю или бесконечности)
Итак, каждый из степенных рядов правой части (4.2) сходится
в своей области сходимости к соответствующей аналитической функ-
ции. Если R2 < /?х, то существует общая область сходимости этих
рядов — круговое кольцо R2<|z — z0 [</?!, в котором ряд (4.1)
сходится к аналитической функции
/(^) = Л (г) +/2.(г) = У с„ (z - z0)",
< I г — z01 < Ri. (4.6)
Так как ряды (4.3) и (4.4) являются обычными степенными рядами,
то в указанной области функция /(z) обладает всеми свойствами
суммы степенного ряда. Это означает, что ряд Лорана (4.1) сходится
внутри своего кольца сходимости к некоторой функции f(z),
аналитической в данном кольце.
Л = 1
§ и
РЯД ЛОРАНА
- ИЗ
4.1). Согласно
Если то ряды (4.3) и (4.5) общей области сходимости
не имеют. Тем самым в этом случае ряд (4.1) нигде не сходится к
какой-либо функции.
2. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Теперь
естественно поставить вопрос: можно ли функции, аналитической
в некотором круговом кольце;
сопоставить ряд Лорана, сходя-
щийся к этой функции в данном
кольце? Ответ на этот вопрос
дает следующая теорема.
Теорема 4.1. Функция f(z),
аналитическая в круговом коль-
це R2 < | z — z0 | < Rb однознач-
но представляется в этом
кольце сходящимся рядом Ло-
рана..
Доказательство. Фикси-
руем произвольную точку z вну-
три кольца Rt <Z | z — z„) < Rx и
ПОСТРОИМ ОКруЖНОСТИ Cflj и Cr-
с центрами в z0, радиусы кото-
рых удовлетворяют условиям R2 <;
< R2 < R'i < Ri, R2 < I z — z0 I < R\
Коши для многосвязчой области имеет место соотношение
сл;
(4.7)
На Cr- выполняется неравенство =—-2 ^^<1. Поэтому,
l I ь — zo I
А 1
вив дробь г.--- в виде
предста
I_________1__________ 1 1_______1 у (г — z0\n-
£-2 ~ (£-20)-(г-г0) ~ £-г0 г—г0 — £-г0 Z
"=° -
и проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равно-
мерной сходимости ряда по переменной £ (подробнее см. гл. 2),
получим
СО
AW-я $ 2 И-8»
п = 0
где '
= sM <%, п^о. (4.9)
" 2т,\ (С —г„)л+1 “ v '
114
РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
[ГЛ. 4
Так как на Ср/ выполняется неравенство I I < 1, то анало-
2 I 2 — г0 I
гично предыдущему имеем
1________!_ у
£ —z 2 — гв \z — zBJ •
п = О
В результате почленного интегрирования этого ряда получим
<4Л0>
СЛ/ п=1
где
с_„= J f^-z^d^. (4.11)
Ср/
Л2
Изменив направление интегрирования в (4.11), перепишем это выра-
жение в виде
с-п = Л 5 п > 0. (4.12)
" 2ш ) (g-z0) Лт1 v ’
Заметим, что подынтегральные функции в (4.9) и (4.12) являются
аналитическими в круговом кольце R2<Z | z — zB | < Rv Поэтому в
силу теоремы Коши значения соответствующих, интегралов не изме-
нятся при произвольной деформации контуров интегрирования в обла-
сти аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет объеди-
нить формулы (4.9) и (4.12):
.... <4ЛЗ>
С
где С — произвольный замкнутый контур, лажащий в кольце R2<Z
< | z — z01 < Rx и содержащий точку гй внутри. Возвратившись
к формуле (4.7), получим
СО СО 00
/(*) = 2 c^-z0)n-\- 2 = 2 сяО-*о)л> (4.14)
П = О Я = 1 Я = — 00
где коэффициенты сп для всех значений индекса п определяются
единообразной формулой (4.13). Так как z — произвольная точка
внутри кольца R2 < | z — z01 < Rlt то отсюда следует, что ряд (4.14)
сходится к функции f(z) всюду внутри данного кольца, причем
в замкнутом кольце R2 < R2 «с | z — г0 | Rj. < Ri ряд сходится
к функции f(z) равномерно. Остается доказать единственность раз-
§2] КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК 115
ложения (4.14). Предположим, что имеет место другое разложение:
/(*) = 2 c'n(z-z0)n,
п = — 00
где хотя бы один коэффициент с’п =?= сп. Тогда всюду внутри кольца
< I z — го I < Ri имеет место равенство
СО со
У G>(z-z0)" = У с„(г-г0)я. (4.15)
п — — со п = — со
Проведем окружность Cr радиуса R, R2<ZR<Z Ri, с центром в точке
z0. Ряды (4.15) сходятся на Cr равномерно. Умножим их на (г — г0)-т~1,
где /« — фиксированное целое число, и проинтегрируем почленно.
Рассмотрим § (z — z^m~x dz. Положив z — zQ = Re't, получим
Cr
$ (z - z0)n-m-1 dz = Rn~m I \ ? <n-m> *d<p = ( °’ ” m’ (4.16)
cR о ( 2л/, n = m.
Учтя (4.16), найдем, что после указанного интегрирования выражения
(4.15) отличными от нуля окажутся лишь по одному слагаемому из
бесконечных сумм в левой и правой частях этого выражения. Отсюда
получим: ст = с'т. Так как /« — произвольное число, то это и дока-
зывает единственность разложения (4.14). Теорема полностью доказана.
Из полученных результатов следует, что точной областью сходи-
мости ряда Лорана (4.1) является круговое кольцо R2 < | z — z01 < Rb
на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке ана-
литической функции /(г), к которой сходится ряд (4.1). Последнее
утверждение является следствием теоремы 3.3.
§ 2. Классификация изолированных особых точек
однозначной аналитической функции
Точка z0 называется изолированной особой точкой функции
f(z), если f(z) —однозначная и аналитическая в круговом кольце
О <; | z — | < /?!, а точка z0 является особой точкой функции
f(z). В самой точке z0 функция f(z) может быть не определена.
Изучим поведение функции /(г) в окрестности точки z0. Согласно
предыдущему параграфу функцию f(z) в окрестности точки z0 можно
разложить в ряд Лорана (4.14), сходящийся в кольце 0 < | z — z0 | <;
<ZRi- При этом возможны три различных случая:
1° Полученный ряд Лорана не содержит членов с отрицательными
степенями разности (г —z0).
2° Содержит конечное число членов с отрицательными степенями
разности (z — z0).
116 РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ. 4
3° Содержит бесконечное число членов с отрицательными степе-
нями разности (г — z0).
В зависимости от указанных возможностей и производится клас-
сификация изолированных особых точек. Перейдем к последователь-
ному рассмотрению каждого из указанных выше случаев.
1° Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной
особой точки г0 не содержит членов с отрицательными степенями
/ СО
разности (г — г0), т. е. f(z) — J1, сп (z — zn)n. Как легко, видеть, при
п — О
z -> z0 существует предельное значение функции f(z), причем это
предельное значение равно с0. Если функция f(z) не была опреде-
лена в точке z0, то доопределим ее, положив /(z0) = c0. Если перво-
начально заданное значение f(zQ) не совпадает с с0, то изменим зна-
чение функции f(z) в точке zQ, положив /(zg) = с0. Так определен-
ная функция /(г) будет аналитической всюду внутри круга | z — z0| <
</?i- Тем самым мы устранили разрыв функции /(z) в точке z0.
Поэтому изолированная особая точка z0 функции f(z), для которой
разложение f\z) в ряд Лорана в окрестности z0 не содержит членов
с отрицательными степенями разности (z — z0), называется устрани-
мой особой точкой.
Проведенные рассмотрения доказывают следующую теорему.
Теорема 4.2. Если точка z0 является устранимой особой
точкой аналитической функции f(z), то существует предельное
значение lim f{z) = cQ, причем | с01 <; оо.
z -> г„
Заметим, что в окрестности устранимой особой точки функция
/(г) ограничена и может быть представлени е виде
/(2) = (г-г0Г<р(г), (4.17)
где m 2s 0 — целое, число, a <p(zo)=/=O. При этом, если lim /(z) = 0,
2-»Z0
то в представлении (4.17)число т >• 0 определяет порядок нуля функ-
ции f (z) в точке г0.
Имеет место и обратная теорема, которую мы докажем в усилен-
ной формулировке.
Теорема 4.3. Если функция f(z), аналитическая в круговом
кольце 0 < | z — zQ | < Rb ограничена (| f(z) | < М при 0<|z—
— z01 < Ri), то точка z0 есть устранимая особая точка функ-
ции f(z).
Доказательство. Разложим функцию /(г) в ряд Лорана (4.14)
и рассмотрим выражение (4.13) для коэффициентов этого ряда:
с - 1 f f® dt
П 2™J(£-Zo)" + i
с
В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке г0
§2] КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК П?
радиуса р. Тогда в силу условия теоремы имеет место мажорантная
оценка
Ы<Мр-п. (4.18)
Будем рассматривать коэффициенты с отрицательным индексом п < 0.
Так как значение коэффициентов сп не зависит от р, то из (4.18)
получим'с„ = 0 при п < 0, что и доказывает теорему.
2° Ряд Лорана функции /(г) в окрестности ее изолированной
особой точки z0 содержит конечное число т членов с отрицательными
оо
степенями разности (z — z0), т. е. f(z) = cn(z — z0)n. В этом слу-
п = — т
чае точка z0 называется полюсом порядка т функции f(z). Поведение
аналитической функции в окрестности ее полюса определяется сле-
дующей теоремой.
Теорема 4.4. Если точка z0 является полюсом аналитической
функции f(z), то при z->z0 модуль функции f(z) неограниченно
возрастает независимо от способа стремления точки z к z0.
Доказательство. Представим функцию f(z) в окрестности
точки z0 в виде
= Ч - lf . + с. m+L Ч — г«) + + с-1 Ч — г«)т" *) +
со “ Ч.
+ Л<:’п(г-2-о)п = (г-2о)-т(р(г)+ • (4-19)
п—0 п=0
Функция ф(г), очевидно, является ограниченной аналитической функ-
цией в окрестности точки z0. Из представления (4.19) следует, что
при модуль функции f(z) неограниченно возрастает незави-
симо от способа стремления точки z к точке z0, что и доказывает
теорему. Заметим, что, если доопределить функцию <р(г) в точке г0,
положив <р (zg) — с_т 0, формула (4.19) может быть переписана
в виде
где ф (г) — аналитическая функция и ф (го)т^О; число т называется
порядком полюса.
Имеет место и теорема, обратная теореме 4.4.
Теорема 4.5. Если функция f{z), аналитическая в окрестно-
сти своей излированндй особой точки z0, неограниченно возрастает
по модулю независимо от способа стремления точки z к точке z0,
то точка z0 является полюсом функции f(z).
Доказательство. По условию теоремы для любого числа
Д >• 0 можно указать такую е-окрестность точки гй, в которой
118
РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
[ГЛ. 4
I f(z) I > А Рассмотрим функцию g(z) — 77-т. В указанной е-окре-
I \г)
стности точки z0 эта функция является аналитической и limg(z) = 0.
г->г0
Поэтому на основании теоремы 4.3 точка z0 является устранимой
особой точкой функции g(z), и функция g(z) в силу формулы (4.17)
в окрестности точки z0 может быть представлена в виде g(z) =
= (г — г0)тф (z), где <р (г) — аналитическая функция, причем <р (z0) 4 О,
а ги>0. Тогда в окрестности точки z0 для исходной функции f(z)
имеет место представление f(z) => —4 = • -4т. Оно в силу
g(z) (г — г0)т <р(г) 7
условия <р (г0) Ф 0 может быть переписано в виде /(г) = - , сов-
(Z ?o)
падающем с представлением (4.20), где ф (г) — аналитическая функция.
Отсюда и следует, что точка z0 является полюсом порядка т функ-
ции f(z). Теорема доказана.
Заметим, что точка z0, являющаяся нулем порядка т аналитичес-
кой функции g(z), является полюсом того же порядка т функции
/(z) = -^p и наоборот. Это устанавливает очень простую связь
между нулями и полюсами аналитических функций.
3° Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной
особой точки zn содержит бесконечное число членов с отрицатель-
ными степенями разности (г — z0) т. е. /(г) = У, сп (z — z0)n. В этом
П —— со
случае точка z0 называется существенно особой точкой функции
f(z). Поведение аналитической функции в окрестности ее существенно
особой точки описывается следующей теоремой.
Теорема 4.6 (теорема Сохоцкого — Вейерштрасса). Каково
бы ни было е > 0, в любой окрестности существенно особой точ-
ки z0 функции f(z) найдется хотя бы одна точка zlt в которой
значение функции f(z) отличается от произвольно заданного ком-
плексного числа В меньше чем на е.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна, т. е.
при заданном комплексном числе В и заданном е > 0 найдется такое
г]0 > 0, что во всех точках z из г|0-окрестности точки г0 значение
функции f(z) отличается от заданного В больше чем на е:
|/(г)-В|>е, |г-г0|<т]0.
(4-21)
Рассмотрим вспомогательную функцию ф(д) =
1
f(z)-B
. В силу (4.21)
функция ф (г) определена и ограничена в 1%-окрестности точки z0.
Следовательно, по теореме 4.3 точка z0 является устранимой особой
точкой функции ф(г). Это означает, что разложение функции ф(г)
в окрестности точки z0 имеет вид
ф (z) = (г - z0)m ф (z), ф (?о) # 0.
§2]. КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК Н9
Тогда, в силу определения функции ф (г), в данной окрестности
точки z0 имеет место следующее разложение функции /(г):
f(z) = (z — z0)~m<f(z)-j-B, (4.22)
где аналитическая функция <p(z) = -— ограничена в г)0-окрестности
ср(г)
точки z0. Но разложение (4.22) означает, что точка z0 является или
полюсом порядка т, или при т = 0 правильной точкой функции f(z),
и разложение в ряд Лорана последней должно содержать лишь ко-
нечное число членов, что противоречит условию теоремы. Полученное
противоречие и доказывает теорему.
Теорема 4.6 дает следующую характеристику поведения аналити-
ческой функции в окрестности | z — z01 < т]0 существенно особой
точки: в существенно особой точке z0 не существует конечного или
бесконечного предельного значения аналитической функции. В зависи-
мости от выбора последовательности точек, сходящейся к точке z0,
мы можем получить последовательности значений функции, сходящиеся
к различным пределам. При этом всегда можно выбрать последова-
тельность, сходящуюся к любому наперед заданному комплексному
числу, включая и оо.
Очевидно, нет необходимости доказывать теорему, обратную тео-
реме 4.6, так как если при z—>z0 не существует конечного или
бесконечного предела функции /(z), то в силу теорем 4.2 и 4.4
точка z0 не может .быть ни устранимой, ни полюсом.
Заметим также, что если точка z0 является существенно особой
точкой функции f(z), причем /(г) 0 в некоторой окрестности
точки г0, то и для функции g(z) — l/f(z) точка z0 является сущест-
венно особой точкой.
Рассмотренные три случая исчерпывают возможный вид разложения
аналитической функции в ряд Лорана в окрестности ее изолированной
особой точки и имеют решающее значение для выяснения общего хо-
да изменения аналитической функции в окрестности ее особых точек.
Из проведенных рассмотрений следует, что возможны две различ-
ные точки зрения на классификацию изолированных особых точек
однозначной аналитической функции, приводящие к одинаковым ре-
зультатам. Мы исходили из аналитической точки зрения, основанной
на характере разложения функции в ряд Лорана, и установили, как
ведет себя сама функция при стремлении к особой точке. Возможен
и другой, геометрический подход, при котором в основу классифика-
ции кладется поведение функции в окрестности ее изолированной
особой точки. При этом, если функция ограничена в окрестности
особой точки, то эта точка называется устранимой и, как следует из
теоремы 4.3, разложение данной функции в ряд Лорана в окрестно-
сти этой особой точки не содержит отрицательных степеней. Если
при стремлении к особой точке функция имеет бесконечный предел,
то эта точка —полюс и разложение в ряд Лорана имеет конечное
120 ряд ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ (ГЛ. 4
число отрицательных степеней. И наконец, если функция при стрем-
лении к особой точке не имеет конечного или бесконечного предела,,
то это — существенно особая точка, разложение в ряд-Лорана содер-
жит бесконечное число отрицательных степеней.
В заключение данного параграфа остановимся на вопросе о пове-
дении аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной
точки. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости яв-
ляется изолированной особой точкой однозначной аналитической
функции f(z), если можно указать такое значение R, что вне
круга | z | > R функция f(z) не имеет особых точек, находя-
щихся на конечном расстоянии от точки z = 0. Так как f(z)
является • аналитической функцией в круговом кольце R < | z | < со,
то ее можно разложить в ряд Лорана
ОО
/(*) = S cnzn, /?<|г|<оо, (4.23)
п = —со
сходящийся к f(z) в данном кольце. Так же как и для конечной
изолированной особой точки z0 здесь возможны три случая:
1° Точка z = oo называется устранимой особой точкой функ-
ции f(z), если разложение (4.23) не содержит членов с положитель-
00 оо
ными степенями z, т. е. /(г)= = или если при
п=0 п=|
z -> оо существует конечное предельное значение функции f(z), не
зависящее от способа предельного перехода. Если с0 = с_х =...
.. .= с_т+1 = 0, с_т ф 0, то бесконечно удаленная точка является нулем
/n-го порядка функции f(z).
2° Точка.£ = 00 называется полюсом порядка т функции f(z),
если разложение (4.23) содержит конечное т число членов с поло-
m
жительными степенями z, т. е. f(z) = У, cnzn, (т > 0) или если
П =— ОО
эта функция неограниченно возрастает по модулю при z оо неза-
висимо от способа предельного перехода.
3° Точка £ = оо называется существенно особой точкой функ-
ции f(z), если разложение (4.23) содержит бесконечное число членов
СО
с положительными степенями z, т. ё. f(z)= У cnzn, или если
П=—00
в зависимости от выбора последовательности {zn} -> со можно полу-
чить последовательность значений {/(гп)}, сходящуюся к любому
наперед заданному пределу.
Очевидно, доказательство эквивалентности всех приведенных выше
определений характера изолированной особой точки z = oo может
быть проведено так же, как и для случая конечной изолированной
особой точки.
§21 .
КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК
121
Кроме того, как легко видеть, преобразование г— -j- переводит точку оо
плоскости z в точку £ = 0, характер же особой точки при этом преобразова-
нии не меняется в силу следующей общей теоремы.
Теорема 4.7. Пусть точка г0 является изолированной особой точкой функ-
ции /(г), аналитической в области Пусть аналитическая функция £ = ф (г)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью & и обла-
стью комплексной плоскости £, в которой определена .обратная функция
г = ф(£). Тогда точка Со—'Ф (го) является изолированной особой точкой анали-
тической функции F (£)=/ [ф (С)]- причем характер этой особой точки тот
же, что и точки г0.
Эта теорема является очевидным следствием свойства аналитических функ-
ций, установленного в гл. 1, в силу которого аналитическая функция от
аналитической функции является аналитической, а также геометрических свойств
аналитической функции в окрестности изолированной особой точки.
Пример. Рассмотрим функцию /(г) = • Данная много-
значная функция имеет две точки разветвления z = ±l. Точка- г—
= оо — ее правильная точка. Поэтому в круговом кольце 1 < | z | < оо
определены две ветви этой функции, являющиеся однозначными ана-
литическими функциями в данном кольце. Выберем ветвь, являющуюся
непосредственным аналитическим продолжением действительной функ-
ции 'р-р" действительной переменной х > 1, и построим ее раз-
ложение в ряд Лорана в окрестности точки г = оо. Для этого, по-
дожив $ = отобразим данное кольцо на круг единичного радиуса
на плоскости £ (при этом точка г = оо переходит в точку £ = 0) и
разложим функцию <р (£) — ----- - = в Ряд Тейлора в ок-
x(n,(®)L=0
рестности ее правильной точки $ = 0. Предварительно заметим, что
функция <р (g) является производной функции ф (£) = ]/1 С2- (При
этом наш выбор ветви исходной функции f(z) определяет выбор той
ветви функции ф(£), для которой ф(0)=4-1.) Чтобы разложить
функцию ф(£) в ряд Тейлора, положим w = £2 и рассмотрим функ-
цию х (®) = У 1 + W. Вычисляя производные функции x(w)> получаем
-л+1 i(l+w)2~"| =
/ |о>=0
— 1
__ / 1 У* “1 2)!
’ k J 22я'*(л—l)f‘
Тогда разложение выбранной ветви функции х(®0 в круге |w|<l
принимает' вид
X (w) = V1 + w
, (2n-2)!w"
' 22«-1(л— 1)1 п! '
п = 1
122 РЯД ЛОРАНА И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ [ГЛ, 4
Отсюда для функции ф (£) при | £ | < 1 получим
со
*«)=ИТ+?-1+
П=1
и для функции ф(£)
т © - ♦' © - рХ= _ 2 (-!)• -
г 1ъ П=1
— У ( 1У>-1 (2п —2)1 ~2п-1 у / (2£)! <.аЛ+1
Ч 2«"-2[(Л-1)1]а ь ’ 22ft (&!)2 ®
n—i k=0
Наконец, для выбранной ветви функции /(г) в кольце 1 < | z | < оо
получаем разложение в ряд Лорана
= 1 га* (L)2' (4-24)
л=о
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Вычет аналитической функции в изолированной
особой точке
1. Определение и формулы вычисления вычета. Введем важное
для приложений понятие вычета однозначной аналитической функции
в изолированной особой точке.
Пусть точка г0 является изолированной особой точкой однознач-
ной аналитической функции f(z). Согласно предыдущим рассмотре-
ниям в окрестности этой точки функция /(г) может быть единствен-
ным образом разложена в ряд Лорана
где
и, в частности,
/(г)= 5 cn{z-zQ)n,
—00
_ 1
Сп 2ш
(5.1)
(5.2)
(5-3)
__£19—d?
Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой
точке z0 называется комплексное число, равное значению инте-
грала ~ f(g) d^, взятому в положительном направлении по лю-
т
бому лежащему в области аналитичности функции f(z) замкну-
тому контуру у, содержащему единственную особую точку z0
функции f(z). Для обозначения вычета обычно применяются выраже-
ния Выч[/(г), z0] или res l/(z), z0|. Мы в дальнейшем будем поль-
зоваться первым обозначением. Очевидно, что если точка za является
правильной или устранимой особой точкой функции f(z), то вычет
f(z) в этой точке равен нулю. Для вычисления вычета функции f(z)
124 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 5\
в ее изолированной особой точке может быть применена формула (5.3):;
Выч[/(г), г0] = ^ (5.4)
Однако в ряде случаев может быть указан более простой способ
вычисления вычета, сводящийся к дифференцированию функции /(г)
в окрестности точки z0. Тем самым вычисление контурного интеграла
от аналитической функции может быть заменено вычислением произ-
водных от этой функции в некоторых точках, лежащих внутри кон-
тура интегрирования. Это обстоятельство определяет одно из основ-
ных приложений теории вычетов. Перейдем к рассмотрению указан-
ных случаев.
1° Пусть точка z0 является полюсом первого порядка функции
f(z). Тогда в окрестности этой точки имеет место разложение
/(-г) = с-1 (-г - А))"1 + + ci (г - z0) +..., (5.5)
Умножив обе части (5.5) на (z — z0) и перейдя к пределу при z-*-z0,
получим
с_!= lim (z — z0)f(z). (5.6)
Заметим, что в данном случае функция /(г) в окрестности точки z0
может быть представлена в виде отношения двух аналитических
функций:
(5-7)
причем <р (z0) 0, а точка z0 является нулем первого порядка функ-
ции ф(г), т. е.
ф (z) = (г — z0) ф' (z0) + * 2(г°)- (z — z0)2 +..., ф' (г0) 0. (5.8)
Тогда из (5.6)—(5.8) получим следующую формулу.
Формула вычисления вычета в полюсе первого порядка:
Выч (/и. z.| - (/(г) - Ц-). (5.9)
Пример 1. Пусть /(г) = . Особыми точками функции /(г)
. 2лй
являются точки zk = y^\ ~е п (Л = 0, 1, ..., п — 1), причем все
эти точки представляют собой полюсы первого порядка. Найдем
Выч [/(г), zk]. Согласно формуле (5.9) получим
. 4 л*
Bu4[f(z), zk] = -^ = --Zi = ~e - (z»=l). (5.10)
§ 1] ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ В ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ 125
2° Пусть точка z0 является полюсом порядка т функции f(z).
Согласно предыдущему в окрестности этой точки имеет место раз-
ложение
f(z) = с~т (z - z0) m + ... + c_1(z — z0) 1 + ^о + ^1(-г — г0)+... (5.11)
Умножив обе части (5.11) на (z — z0)m, получим
(z - za)mf(z) = с_т 4- c_m+i (z - z0) 4-... + c_j (z z0)m-i 4-... (5.12)
Взяв производную порядка (nt — 1) от обеих частей этого равенства
и перейдя к пределу при z—>z0, окончательно получим следующую
формулу.
Формула вычисления вычета в полюсе порядка т:
Выч [/(z), z0] = lim ^.[(z-ZorAz)]. (5.13)
Как легко видеть, формула (5.6) является частным случаем последней
формулы.
Пример
ции являются
собой полюсы
лучим
2. Пусть f(z) = -0-_рг^п • Особыми точками этой функ-
точки zJ(2 = ±/, причем обе эти точки представляют
порядка п. Вычислим Выч [/(z), /]. Согласно (5.13) по-
. /I = —Цтг lim / ? [ (z — 1)п Т.
' J (п-1)! z^t dz" i [ ’ (1
_ 1 r d'1'1 Г 1
“ (п- 1)! zn“t- da"-1 L(z + i)'t
( пл-1П-(п4-1)...(2п-2)'
= (—о -------------ft-j)f -
(2п—2)1 1_
5Л-1
‘ (г4-»)2ге-1 |г = 1 =
__/____1 yi-i и»—____________________________, (2га — 2)1
1______' [(п— 1)!]а ' (2i)2/,_1_____22п Ц(«—1)1]2 '
(5.14)
3. Основная теорема теории вычетов. Перейдем теперь к рас-
смотрению важнейших применений введенных понятий. Для многих
теоретических рассмотрений и практических применений весьма су-
щественной является следующая
Теорема 5.1 (основная теорема теории вычетов). Пусть
функция f(z) является аналитической всюду в замкнутой
области S, за исключением конечного числа изолированных особых
точек zk (k= 1, ..., N), лежащих внутри области S.
Т огда
N
\f&)d£ = 2nl £Выч[/(г), zk], (5.15)
г+ k = \
где Г+ представляет собой полную границу области S, проходи-
мую в положительном направлении.
126
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 6
Доказательство. Напомним, что если функция f(z) является
аналитической в замкнутой области •>, то все точки границы Г этой
области суть правильные точки функции /(г). Выделим каждую из
особых точек zk функции f(z) замкнутым контуром не содержа-
щим внутри других особых точек, кроме точки zk.
В замкнутой многосвязной области, ограниченной контуром Г и
всеми контурами (рис. 5.1) функция f(z) является всюду анали-
тической.
Поэтому по второй теореме Коши получим
N
$/(□^+£$/©^ = 0. (5.16)
г+ *=ц-
Перенеся второе слагаемое в (5.16) направо, мы в силу формулы
(5.4) и получим утверждение теоремы:
N
$/(С)</£ = 2л/£Выч[/(2), *4
Г+ fe = t
Большое практическое значение этой формулы заключается в том,
что во многих случаях оказывается гораздо проще вычислить вычеты
Рис. 5.1.
Вычетом аналитической
функции f(z) в особых точках,
лежащих внутри области интег-
рирования, чем непосредственно
вычислять интеграл, стоящий в
левой части (5.15). В дальнейшем
мы рассмотрим ряд важных при-
ложений полученной формулы, а
сейчас введем еще одно поня-
тие — понятие вычета в бесконеч-
но- удаленной точке.
Пусть точка z = оо является
изолированной особой точкой
аналитической функции f(z).
функции f(z) в точке z — oo назы-
вается комплексное число, равное значению интеграла
с- с+
где контур С — произвольный замкнутый контур, вне которого
функция f(z) является аналитической и не имеет особых точек,
отличных от оо. Очевидно, в силу определения коэффициентов
ряда Лорана имеет место формула
Выч|/(г), oo]==-^/(M = -c_v (5.17)
с+
§ 1] ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ В ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ х 127
Отсюда, в частности, следует, что если точка z = оо является
устранимой особой точкой функции f(z), то Выч [/(z), оо] может
оказаться отличным от нуля, в то время как вычет в конечной устра-
нимой особой точке всегда равен нулю.
Формулы (5.15) и (5.17) позволяют доказать следующую теорему.
Теорема 5.2. Пусть функция f(z) является аналитической
на полной комплексной плоскости, за исключением конечного
числа изолированных особых точек zk (.k—1, 2, ..., N), включая
и z = oo (zn ~ оо). Тогда
N
ЦВыч[/(г), zft] = 0. (5.18)
*=i
Доказательство. Действительно, рассмотрим замкнутый кон-
тур С, содержащий внутри все (N— 1) особые точки zk, расположен-
ные на конечнОхМ расстоянии от точки z = 0. По теореме 5.1
лг-1
-2^/с)^= 2Выч[/(г)>
с+ k = 1
Но, в силу (5.17), интеграл, стоящий слева, равен вычету функции
/(г) в точке z = оо, взятому с обратным знаком, откуда и получим
утверждение теоремы 5.2.
Доказанная теорема иногда позволяет упростить вычисление инте-
грала от функции комплексной переменной по замкнутому контуру.
Пусть функция /(z) является однозначной и аналитической на полной
комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолирован-
ных особых точек, и требуется вычислить интеграл от f(z) по неко-
торому замкнутому контуру Г. Если внутри Г содержится много
особых точек функции f(z), то применение формулы (5.15) может
быть сопряжено с весьма трудоемкими вычислениями. При этом можег
оказаться, что вне Г функция f(z) имеет лишь несколько особых
точек zk (A=l, 2, ..., tri), значение вычетов в которых, а также
вычет в бесконечно удаленной точке определяются достаточно просто.
Тогда удобнее вместо прямого вычисления искомого интеграла по
формуле (5.15) воспользоваться очевидным следствием формул (5.15)
и (5.18):
т
= —2л/Выч ]/(z), zk] — 2ш Выч [/(г), оо]. (5.19)
Г+ * = 1
Формула (5.19) позволяет легко получить обобщение формулы
Коши (см. гл. 1, § 6, формулы (1.59), (1.60)) на случай неограничен-
ной области. Рассмотрим функцию f(z), аналитическую вне замкну-
того контура Г, являющегося границей ограниченной области 5.
Пусть все точки Г — правильные точки функции /(z), а точка z '=
= оо — ее устранимая особая точка. Обозначим lim/(z) =/(оо).
12Ц ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ . (ГЛ. 5
£ / 2>\
Построим вне Г функцию <р (z) = --, где z0 — произвольная точка
г — Zq
комплексной плоскости. Очевидно, что точка z — со является устра-
нимой особой точкой и функции <р (z), причем Выч (ф(г), оо] =
= -/(оо)- ’
Если точка z0 лежит внутри Г, то функция <p(z) других особых
точек не имеет. Если точка zfl — вне Г, то z = z0 является полюсом
не выше первого порядка функции го (z), причем Выч (го (z), z0] — f(z0).
Рассмотрим интеграл \ ф(£)^С = \ > — -- d£, в котором контур Г
J J t г»
Г+ Г4*
обходится таким образом, что область & остается слева. В силу фор-
мулы (5.19) получим
1 С /(□ (/(оо), z0-внутри Г,
___ \ —L-iH'— de — <
гч I/(оо)—/(z0), z0 — вне Г.
(5.20)
Формула (5.20) и является обобщением интегральной формулы Коши
на случай функции f(z); аналитической в неограниченной области.
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов
Доказанные в предыдущем параграфе теоремы находят многочис-
ленные применения не только при вычислении интегралов от функ-
ций комплексной переменной, но и при вычислении различных опре-
деленных интегралов от функций действительной переменной, причем
часто удается достаточно просто получить ответ и в тех случаях,
когда применение других методов анализа оказывается затруднитель-
ным. Рассмотрим ряд типичных случаев.
2Л
1. Интегралы вида J/?(cos0, sin6)d0. Рассмотрим интеграл
о
2л
/=^R(cos6, sin 6) rf0, (5.21)
о
где R — рациональная функция своих аргументов. -Интегралы типа
(5.21) легко могут быть сведены к интегралам от аналитической
функции комплексной переменной по. замкнутому контуру. Для этого
сделаем замену переменной интегрирования, введя комплексную пере-
менную z, связанную с переменной 0 соотношением z = е’’а. Очевидно,
d0 = TV'< cos0 = 4-(^e + ^‘-e) = -H^+|k sin8=^-fz-у).
При изменении 8 от 0 до 2л комплексная переменная z пробегает
замкнутый контур — окружность | z | = 1 в положительном направле-
нии. Таким образом, интеграл (5.21) переходит в интеграл по замкну-
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
129
тому контуру от функции комплексной переменной:
z= j- $ <5-22)
|г; = 1
В силу общих свойств аналитических функций подынтегральная функ-
ция в (5.22), являющаяся, очевидно, рациональной функцией
Д(г) = ^+^ + -с + ^> (5.23)
'' bo + b^ + .-. + brnZ"1 ’ ' '
представляет собой функцию, аналитическую внутри круга | z | = 1
всюду, за исключением конечного N-^m числа особых точек zk,
являющихся нулями знаменателя в (5.23). Поэтому в силу теоремы 5.1
N
1= 2л 2 Выч [Я (2)> zk\- (5.24)
Точки zk являются полюсами функции R (г). Пусть ак — порядок
/ N • \
полюса zk (очевидно, . Тогда на основании формулы (5.13)
\ *=i <
можно переписать (5.24) в виде
n -1
'“2" 2-бДП)Г,“Т (5.23)
А = 1 *
Пример 1. Вычислить интеграл
2л
I— ( М
J 1 -р a cos в ’
(5.26)
Положив z = е‘д, получим
(5-27)
Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-
теля г12 =— -^-±1/^^-—1. Это полюсы первого порядка. Так
как ^-^2=1, то лишь одна из этих точек лежит внутри круга
|z| = 1. Как легко видеть, это —точка гх = — "у + j/ По-
этому в силу теоремы 5.1
/= 4л Выч I------!----,
[аг2 + 2г ф а
Zt = 4л-----------
J а(г — г2)
г =Zt
(5.28)
130
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
оо
2. Интегралы вида f(x)dx. В этом пункте мы рассмотрим
— ОО
применение теории вычетов к вычислению несобственных интегралов
ОО
первого рода*) вида f(x)dx. Мы будем рассматривать тот слу-
— оо
чай, когда функция f(x) задана на всей действительной оси и может
быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость так, что
ее продолжение удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.
Эти условия будут сформулированы
IУ ниже в теореме 5.3.
pt Для дальнейших рассмотрений
х''"___________________нам потребуются некоторые вспомо-
/ гательные положения.
/ / \ Лемма 1. Пусть функция f(z)
/ . /У \ является аналитической, в верх-
I / 1 ней полуплоскости Im z > 0 всюду,
-------г=и '~~ix за исключением конечного числа
изолированных особых точек, и
Рис. 5.2. существуют такие положитель-
ные числа Ro, М и Ь, что для
всех точек верхней полуплоскости, удовлетворяющих условию
j z | > Ro, имеет место оценка
И >R«- <5-29>
- I
Т огда
lim \/(£)d£ = 0, (5.30)
Я-оо/,
где контур интегрирования Сд представляет собой полуокруж-
ность | z | = R, Im z > 0 в верхней полуплоскости z (рис. 5.2).
Действительно, в силу (1.41) и условий леммы при
J |/©|<й<^-=^^о,
с£ c’R ’
что и доказывает лемму.
Замечание 1. Если условия леммы выполнены в каком-либо
секторе ф1 < arg z <Z. ф2 плоскости z, то формула (5.30) имеет место
при интегрировании по дуге CR окружности, лежащей в данном
секторе.
Замечание 2. Условия леммы, очевидно, будут выполнены,
если функция f(z) является аналитической в окрестности бесконечно
*) Определение несобственных интегралов см. вып. 2, стр. 358.
§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 131
удаленной точки и точка z = co представляет собой нуль не ниже
второго порядка функции f(z). Действительно, в этом случае разло-
жение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности z = оо имеет вид
7(*) = |? + ^+
причем | ф (г) | < М, откуда и следует оценка (5.29) при 6=1.
Лемма 1 находит широкое применение при вычислении ряда
ОО
несобственных интегралов вида j f(x)dx.
— со
Теорема 5.3. Пусть функция fix'), заданная на всей действи-
тельной оси — оо < х <Z оо, может быть аналитически продол-
жена на верхнюю полуплоскость Im z 0, причем ее аналити-
ческое продолжение, функция f(z), удовлетворяет условиям леммы
1 и не имеет особых точек на действительной оси. Тогда не-
ОО
собственный интеграл первого рода J f(x)dx существует и
— ОО
равен
, оо W
f(x) dx = 2л7 У Выч [f(z), zk], (5.31)
— 00 А = 1
где zk — особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости.
Доказательство. По условию теоремы функция /(г) в верх-
ней полуплоскости имеет конечное число особых точек zk, причем
все они удовлетворяют условию | zh | < Ro. Рассмотрим замкнутый
контур, состоящий из отрезка действительной оси — R sC х R
(R > Ro) и полуокружности Сд, | z | = R, в верхней полуплоскости.
В силу основной теоремы теории вычетов
R N
5 f(x)dxy- J f(z)dz = 2nl У, Выч[/(г), zk]. (5.32)
-н c'R *=i
Так как выполнены условия леммы 1, то предел второго слагаемого
в левой части (5.32) при R—>-оо равен нулю; правая часть (5.32)
при R > Ro от R не зависит. Отсюда следует, что предел первого сла-
гаемого существует и его значение определяется формулой (5.31).
Теорема доказана.
Пример 2. Вычислить интеграл
со
/= £ -^Ц-. (5.33)
x4 + l v '
— 00
Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верхнюю
полуплоскость, функция /(•?) = гД-г, очевидно, удовлетворяет уело-
* Т" 1
132
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
виям теоремы 5.3. Ее особыми точками в верхней полуплоскости
л_+2л*
являются точки гОд = е 4 (£ = 0, 1), причем обе эти точки —
полюсы первого порядка. Поэтому
Замечание 1. Если функция f(x) является
и удовлетворяет условиям теоремы 5.3, то
ОО Л7
5 /(х) dx = ш 2 Выч [f(z), zk].
О k=l
ф. (5.34)
четной функцией
(5.35)
Действительно, если f(x)— четная функция, то
ОО 00
^/(x)dx = ~ f(x)dx,
О —оо
откуда и следует формула (5.35).
Замечание 2. Очевидно, имеет место аналогичная теорема и
в том случае, когда аналитическое продолжение функции f(x) в ниж-
нюю полуплоскость удовлетворяет условиям леммы, аналогичной
лемме 1.
00
3. Интегралы вида § elaxf (х) dx. Лемма Жордана. Вычисле-
— ОО
ние следующего важного класса несобственных интегралов с помощью
теории вычетов основано на применении так называемой леммы Жор-
дана, к доказательству которой мы сейчас перейдем.
Лемма 2 (лемма Жордана). Пусть функция f(z) является
аналитической в верхней полуплоскости Im z > 0, за исключением
конечного числа изолированных особых точек, и равномерно
относительно arg z (О -С arg z л) стремится к нулю при | z | -> оо.
Тогда при а>0
Hm = (5.36)
в___<
где С я — дуга полуокружности | z j = R в верхней полуплоскости z.
Доказательство. Условие равномерного стремления f(z)
к нулю означает, что при | z | = R имеет место оценка
|/(г) \z\ = R, (5.37)
где р#—>0 при R—>оо. С помощью соотношения (5.37) оценим ис-
следуемый интеграл. Сделаем замену переменной, положив £ = Reil₽,
§ 2]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
133
и воспользуемся очевидным соотношением
.. 2
sin m 5s —
л
при
(5.38)
Тогда получим
$ <Ня-R51 ।d(f =
CR
о
я
п/2
= [lr R $e-aJ?sin«’rf<p = 2p;r/? jj e-a/?sin(Prf(p<
о b
я/2 2a R
0 /?->oo
(5.39)
по дуге полуокруж-
широко использованы
что и доказывает лемму.
Замечание 1. Если а<0, а функция f(z) удовлетворяет
условиям леммы Жордана в нижней полуплоскости Im z 0, то фор-
мула (5.36) имеет место при интегрировании
ности C'r в нижней полуплоскости z. Ана-
логичные утверждения имеют место и при
a = ±za(a>0) при интегрировании соот-
ветственно в правой (Re z ’32 0, рис. 5.3) или
левой (Re z sS 0) полуплоскости z. Доказа-
тельства этих утверждений проводятся совер-
шенно аналогично предыдущему, и мы пре-
доставляем их читателю. Выпишем только
важную для дальнейших приложений форму
леммы Жордана, относящуюся к интегриро-
ванию в правой полуплоскости:
lim $ е-а£/©^ = 0,
R-.OO А
CR
где C'R — дуга полуокружности | z | = R в
правой полуплоскости Re z 0. Формула
(5.40) и ряд последующих, в частности, будут
в гл. 8 при вычислении различных интегралов, играющих важную
(5.40)
роль в операционном исчислении.
Замечание 2. Лемма Жордана остается справедливой и в том
случае, когда функция f(z) удовлетворяет сформулированным выше
условиям в полуплоскости 1тг2а_у0 (_у0 — фиксированное число, ко-
торое может быть как положительным, так и отрицательным), а интег-
рирование производится по дуге полуокружности | z — iy01 = R в полу-
плоскости Im z 'Уг=уп. Доказательство проводится аналогично преды-
дущему, причем при оценке интеграла следует сделать замену
переменной интегрирования £ = Re141 -|- iy0.
134
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Замечание 3. Лемма Жордана остается справедливой и при
ослабленных условиях на функцию f(z). Пусть функция /(г) в верх-
ней полуплоскости Im z >_у0 при | z | > Ro равномерно относительно
аргумента z — 1у± стремится к нулю при |z| —>оо в секторах — <р0=^
arg (z — Zyx) фх, л — ф, arg (z — iyx) л + ф0 и равномерно
ограничена в секторе фх arg (г — /ух) л — (р2> где ф0, фх и ф2 —
заданные положительные числа О«5фо, <рх, ф2=Су и _ух >_у0. Тогда
интеграл eia^f(t) dt, по дуге CR окружности | z — iyY | = R, 1m г
CR
стремится к нулю при а>0 и R—>-оо.
Для доказательства разобьем этот интеграл на сумму /—/хН-/2 +
+ 4 + 4 + 4 интегралов по дугам C# (_ух > Im z >у0, arg (г — iy^ <;
< 0), C%' (0 < arg (z - /У1)<фх), Or (<px < arg (z - ly^ < л - ф2),
Cr4' (n — <p2 < arg (z - iyi) < л) и Cfi' (уг > Im г >_y0, arg (z — iy^ > л)
и докажем сходимость к нулю каждого интеграла в отдельности.
Для интеграла /х получим |/х | -<= р.ке’-а-,’»ДД|, где —длина кри-
вой Сд’. При R—>оо величина L'R остается ограниченной и стре-
мится к значению _ух — _у0. Поэтому | /х | —► 0 при R—>-оо. Аналогично
/5—>-0. Сходимость к нулю интегралов 1г и /4 устанавливается при-
емом, использованным в доказательстве леммы Жордана. Для интег-
рала /3 легко получить-оценку | !31 <ZCe~aRsin(P‘R(n — фх —- ф2), где
I /(£)|< С и ф* = пнп{<рх, ф2}, из которой следует, что /3->0 при
R->oo.
Итак, лемма Жордана имеет место при значительно более слабых
ограничениях на функцию f(z), чем в случае леммы 1. Это связано
с наличием в подынтегральной функции дополнительного множителя
eia\ который при а>0 обеспечивает достаточно быстрое убывание
подынтегральной функции в секторе 0 < фх arg (г — Zyx) л — ф2
при I Z >со.
Лемма Жордана находит многочисленные применения при вычис-
лении широкого класса несобственных интегралов.
Теорема 5.4. Пусть функция f(x), заданная на всей действи-
тельной оси — оо <Z х < оо, может быть аналитически продол-
жена на верхнюю полуплоскость Im .г 3=0, а ее аналитическое
продолжение f(z) в верхней полуплоскости удовлетворяет усло-
виям леммы. ТКордана и не имеет особых точек на действитель-
ной оси. Тогда интеграл eiaxj\x)dx, а>0, существует и равен
— 00
jj eiaxf(x) dx = 2ni У, Выч \eiazf(z), zk\, (5.41)
— со А = 1
где zk — особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости z.
Доказательство. По условию теоремы особые точки zk
функции /(г) в верхней полуплоскости удовлетворяют условию
§ 2]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
135
| zk | < Ro. Рассмотрим в верхней полуплоскости z замкнутый контур,
состоящий из отрезка действительной оси —R^x^R, R>R0 и
дуги Сд полуокружности | z | — R в верхней полуплоскости z. По
основной теореме теории вычетов
R п
e‘a*f(x)dx + = Bbi4[e‘^/(2), zk]. (5.42)
—R с'ц * = i
По лемме Жордана предел второго слагаемого в левой части (5.42)
при R—> оо равен нулю. Отсюда и следует утверждение теоремы.
Пример 3. Вычислить интеграл
cos ах ,
тд—vdx,
ха4~аа ’
а > 0, а > 0.
(5.43)
Чтобы иметь возможность воспользоваться леммой Жордана, заме-
тим, что в силу формулы Эйлера
ОО
Р piax
/ = Re/1 = Re J £^dx.
— co
(5.44)
Аналитическое продолжение подынтеграральной функции интеграла
Л__ функция е‘аг~2^
удовлетворяет условиям теоремы 5.4 и имеет
в верхней полуплоскости единственную особую точку — 1а явля-
ющуюся полюсом первого порядка. Поэтому
[огаг 'I р-аа п
-т-т—j, ia = 2ni = — е аа.
гг_|_а2> j 2ш а
Отсюда
Z = Re/1 = — е~аа.
а
(5.45)
Замечание 1. Если f(x) является четной функцией, удовлет-
воряющей условиям теоремы 5.4, то при а>0
f(x) cos ах dx = nRez У, Выч [eiazf(z),zk] =
О А=1
= — nlm У, Выч [eiazf(z), zk]. ’ (5.46)
*=Г
Замечание 2. Если /(х) является нечетной функцией, удовле-
творяющей условиям теоремы 5.4, то при а > 0
$ f(x) sin ах dx = лВе У Выч [eiazj\z), дА]. (5.47)
о *=1
136
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Мы доказали леммы 1 и 2, предполагая, что функция f(x) имеет
лишь конечное число особых точек в верхней плоскости. Однако,
как легко видеть, при незначительном изменении формулировок этих
лемм они остаются справедливыми и в случае бесконечного числа изо-
лированных особых точек функции f(z). Потребуем, чтобы существо-
вала такая неограниченно возрастающая при п—>оо последователь-
ность чисел /?„, что на дугах полуокружностей C'Rn в верхней полу-
плоскости выполнялись бы условия (5.29) или (5.37) соответственно.
Тогда утверждения (5.30) или соответственно (5.36) лемм 1 и 2 будут
иметь место при условии, что предельный переход в рассматриваемых
интегралах совершается по последовательности дуг С’цп ПрИ д_>оо.
Очевидно также, что в случае существования соответствующих ин-
тегралов мы можем распространить рассматриваемые методы интегри-
рования и на случай функций с бесконечным числом изолированных
особых точек. Важным классом таких функций являются так назы-
ваемые мероморфные функции.
Функция комплексной переменной f(x) называется мероморф-
ной, если она определена на всей комплексной плоскости и не
имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от
полюсов. Как легко видеть, в любой ограниченной области комплекс-
ной плоскости мероморфная функция имеет конечное число особых
точек. Действительно, если бы число особых точек в ограниченной
области было бесконечным, то согласно теореме 1.2 в этой области
существовала бы предельная точка данного множества, которая тем
Рис. 5.4.
самым не была бы уже изоли-
рованной особой точкой, что
противоречит условию. При-
мерами мероморфных функций
являются дробно-рациональные
функции, тригонометрические
функции tg z, sec z.
При доказательстве теорем
5.3 и 5.4 мы предполагали, что
функция f(x) не имеет особых
точек на действительной оси.
Однако незначительные допол-
нительные рассмотрения позво-
ляют применять доказанные выше теоремы к вычислению несобствен-
ных интегралов и в том случае, когда функция /(х) имеет несколько
особых точек на действительной оси.
Проиллюстрируем высказанное утверждение на простом примере.
Пример 4. Вычислить интеграл
о
sin ах ,
------ах,
х
а > 0.
(5.48)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
137
Воспользовавшись формулой Эйлера и свойством четности подын-
тегральной функции, осуществим формальное преобразование
г 1 г F 1 т г
2 j х 2 1
—оо
(5.49)
Заметим, что интеграл 4 имеет смысл лишь как главное значение
несобственного интеграла второго рода *):
<• piax I (• piax Р piax ]
4 = V. р. \---------dx = lim J \ --------dx-}- \------- dx\ (5.50)
J x p-о J x J x
fl-oo P J
Рассмотрим в верхней полуплоскости Imz^O замкнутый контур
Г, состоящий из отрезков действительной оси [ — R, — р], [р, R] и дуг
полуокружностей С'р, | z | = р, и Cr, | г| = R (рис. 5.4). Функция-^—,
являющаяся аналитическим продолжением в верхнюю полуплоскость
giax
Im z > 0 функции —— , заданной на положительной части действи-
тельной оси 0 < х < оо, в области, ограниченной контуром Г, осо-
бых точек не имеет. Поэтому на основании теоремы Коши
7 <•
/т = \
-я ф р
ja-x С piafc С p’ai
-—dx+\ ~dt+\ =
x ’ J £ ъ 1 J £ ®
c._
(5.51)
Последнее слагаемое левой части (5.51) стремится к нулю при R—^oo
в силу леммы Жордана. Рассмотрим третье слагаемое. Заметив, что
в этом интеграле полуокружность Ср проходится в отрицательном
направлении (по часовой стрелке), и сделав замену переменной интег-
рирования £ = ре,<р, получим
С С
73 = \ -j-d^ — i \ eto₽<cos4>+'Sinф)
с- л
р
(5.52)
Подынтегральная функция в (5.52) является непрерывной функцией
параметра р, и при р—>0 ее предел равен 1. Поэтому
lim /3 = — 1л.
р-0
(5.53)
Перейдя в (5.51) к пределу при р—-0 и R — оо, согласно (5.50)
и (5.53) получим
ОО
С pi<zx
= \ ——dx = iu, а>0, (5.54)
— СО
) См. вып. 2, стр. 383-
138
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 6
откуда
С sin ах , л
\---------dx = “о ,
j х 2 ’
о
При а < 0 имеет место формула
со
С sin ах , л
\-------ах= —-к-,
J х 2 ’
о
(5.55)
(5.56)
в чем легко убедиться при помощи изменения знака у а в формуле
(5.55).
4. Случай многозначных функций. Во всех предыдущих рас-
смотрениях мы фактически основывались на формуле Коши, справед-
лишь однозначную ветвь /(г)
ливой для однозначной аналитиче-
ской функций. Следовательно, рас-
смотренные методы можно приме-
нять лишь тогда, когда аналитическое
продолжение f(z) функции f(x)
с действительной оси в область,
ограниченную контуром интегриро-
вания, является однозначной анали-
тической функцией. В тех же слу-
чаях, когда полная аналитическая
функция F (г) оказывается много-
значной на полной комплексной плос-
кости г, надо так выбирать кон-
тур интегрирования, чтобы внутри
его не содержалось точек разветв-
ления функции F (z), и рассматривать
полной аналитической функции F(z),
являющуюся непосредственным аналитическим продолжением функ-
ции f(x) в комплексную область. Эти соображения позволяют рас-
пространить рассмотренные выше методы на ряд несобственных
интегралов, часто встречающихся в приложениях. Рассмотрим несколько
типичных случаев.
1° Интегралы вида
I — xa~\f (х) dx, 0<а<1. (5.57)
о
Пусть функция f(x), заданная на положительной части действитель-
ной оси, может быть аналитически продолжена на всю комплексную
плоскость. Пусть ее аналитическое продолжение /(г) является одно-
значной аналитической функцией, за исключением конечного числа
изолированных особых точек zk (&=!, ..., и), не лежащих на поло-
жительной части действительной оси, и z = <x> является нулем не ниже
§ 2]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
13$
первого порядка функции f(z), а точка z = 0 — устранимой особой
точкой. Функция
<р(г) = га-1/(г) (5.58)
в области г$ [0 < arg z < 2л], представляющей собой плоскость z
с разрезом по положительной части действительной оси, очевидно,
является аналитическим продолжением подынтегральной функции, сов-
падающей с ней на верхнем берегу разреза (arg z = 0). Функция <р (г)
является однозначной функцией в области S?, и ее особые точки
совпадают с особыми точками zk функции f(z). Рассмотрим в обла-
сти замкнутый контур Г, составленный из отрезков действительной
оси [р, R] на верхнем и нижнем берегах разреза и разомкнутых ок-
ружностей Ср, |z| = p, и С^, |z| = /? (рис. 5.5). По основной теоре-
ме теории вычетов
R Р
ИМ (х) dx + ?“-!/(:) d$ + J (0 dZ +
ГР С+ Я
п
+ 5 = 2л/ 2 Выч [z^flz), zk]. (5.59)
Рассмотрим каждое из слагаемых левой части равенства (5.59).
$ ГУМ
слк
мра-1
= 2л/И7?“-1 — 0,
К
(5.60)
так как по условию в окрестности точки z — oo для функции f(z)
имеет место оценка l/C?) | <г~г- Третье слагаемое в (5.59) пред-
I2 I
ставляет собой интеграл по нижнему берегу разреза, где arg z — 2л,
т. е. z = х • е'2Я (х > 0) и г01'1 = №-1 • Поэтому
р Л
J dl = - J xa~lf(x) dx. (5.61)
Л . р
Наконец,
J < лг1ра-,2лр —► о, (5.62)
c- p P-0
так как в окрестности точки z = 0 имеет место оценка |/(г)|<Л41
и а > 0.
Перейдя к пределу в (5.59) при р—>0 и 7? —оо, на основании
(5.60) — (5.62) окончательно получим
оо N
ха~У(х) dx = —У Выч (z), zk]. (5.63)
0 k=l .
140
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Пример 5. Вычислить интеграл
ОО
Р vCC-l
I — \ гп—dx, 0<а< 1.
j 1+х
о
(5.64)
Подынтегральная функция в (5.64) удовлетворяет всем перечислен-
ным выше условиям. Поэтому
т 2ш п Гга-1 2ше'я<а-11 л
~ 1— eb*aBbI4[l + z’ J~ 1—е'ала ~ sin ал’ (5-65)
2° Интегралы вида *)
1
^“^(l —xy^f^dx,
о
0<а< 1.
(5.66)
Пусть функция /(х), заданная на отрезке действительной оси (0, 1),
может быть аналитически продолжена на всю комплексную пло-
Рис. 5.6.
скость. Пусть ее аналитическое
продолжение является однознач-
ной аналитической функцией, за
исключением конечного числа изо-
лированных особых точек zk(k = 1,
2, ..., TV), не лежащих на отрезке
0?Сх^;1, а точка z — <x> —
устранимая особая точка функции
/(г). Тогда интеграл (5.66) легко
может быть вычислен методами,
аналогичными разобранным выше.
Заметим, что аналитическое про-
должение подынтегральной функ-
ции Ф (г) = z06-1 (1 — z)-af (г)
имеет две точки разветвления: z = 0
и z=l. Точка z — оо является
устранимой особой точкой функ-
ции Ф (z). Действительно, полный
обход по окружности достаточно большого радиуса, содержащий внутри
обе точки разветвления z — О и г=1, не меняет значения функции
Ф(г). Рассмотрим область S?, представляющую собой полную плоскость
z с разрезом по отрезку действительной оси [0, 1]. Ветвь функции
Ф(г), совпадающая на верхнем берегу разреза с подынтегральной
функцией (5.66) действительной переменной х, является однозначной
аналитической функцией в Выберем в 'S замкнутый контур Г, сос-
*) Как легко видеть, данный интеграл с помощью замены у = —- может
быть сведен к интегралу типа (5.57), однако в ряде случаев проще произвести
непосредственное вычисление интеграла (5.66), что и делается в этом пункте.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
141
тоящий из обоих берегов разреза [0, 1], замыкающих их окружно-
стей Ср, | z | = р, и С'р, | z — 1 | = р, достаточно малого радиуса р
и окружности Сд, |z|=/?, содержащей внутри отрезок [0, 1] и все
особые точки функции /(z) (рис. 5,6). По основной теореме теории
вычетов
i-р
S x“-4i-x)-“/u)^+ 5 ф©^+
Г р С"- ,
р
р
+ 5 ф©^+ $ ф(о^+ $Фан£=
*-р сР-
N
= 2ni Выч [z*-1 (1 - г)-“ f(z), zk\. (5.67)
Л=1
Рассмотрим каждое слагаемое в левой части равенства (5.67). По
условию z = оо — устранимая особая точка f(z), т. е. в окрестности
z — оо имеет место разложение
/(г) = а0 + ^-4-..., (5.68)
где а0 = lim f(z).
Z—*00
Рассмотрим функцию
^z^z'-Hy-zC^U^^, (5.69)
являющуюся указанной выше ветвью функции Ф(г)//(г). Точка
z = oo является правильной точкой выбранной ветви функции <р(г);
поэтому в окрестности точки z = cc> функция cp(z) может быть пред-
ставлена в виде
Ф(^) = ^ + ^. (5.70)
где ф! (z) — ограниченная аналитическая функция в окрестности точки
z = oo. Отсюда для разложения функции Ф(г) в ряд Лорана в окре-
стности точки z= оо получаем выражение
Ф(г) = а0-^- + 1^-> (5.71)
где ф(г) — ограниченная аналитическая функция в окрестности точки
z = oo. Из (5.71) находим
Выч [Ф (г), оо] = — аое'л<х. (5.72)
Поэтому по формуле (5.17)
ФС)^=2л/а0^.
142
теория вычетов и их Приложения
(ГЛ. 5
Так как при обходе точки z=I по часовой стрелке аргумент выра-
жения (1 — г) меняется на —2л, то аргумент функции Ф(д) на ниж-
нем берегу разреза больше аргумента на верхнем берегу разреза на
2ла. Поэтому
р i-р
5 Ф (£Ж = - е*'2яа $ Ф (х) dx. (5.74)
1 -р р
Как легко показать с помощью опенок, аналогичных (5.62), при 0<
< а < 1 интегралы по малым окружностям С'р и Ср стремятся к нулю
при р — 0. Тогда, переходя в (5.67) к пределу при р—>0, получаем
N
(1 _ е‘2яа) /-}-2лй?‘яаа0 — 2m ^ыч[^a-1 (1 — zyaf(z), zk\,
откуда
N
/ = _Д2о_ + —. У Выч [г01-* 1 (1 - д)-“/(4 ^], (5.75)
sin ла 1 J _ е>гпа 1 v ' J v v '
*=l
где a0 = lim/(z).
z-*oo
Пример 6. Вычислить интеграл *)
i
/= $ Xй-1 (1 - x)-“ dx, 0 < a < 1. (5.76)
о
Так как выполнены все сформулированные выше условия и а0=1,
то,
3° Интегралы вида
I = ^/(х) In х dx. (5.78)
о
Пусть функция f(x) является четной функцией и может быть анали-
тически продолжена на верхнюю полуплоскость Im z > 0, причем ее
аналитическое продолжение удовлетворяет условиям леммы 1. Рас-
смотрим в верхней полуплоскости замкнутый контур Г, состоящий
из отрезков действительной оси |— R, — р|, |р, R] и соединяющих
их полуокружностей Ср, | z | = р, и Сд, | z | = R. Функция Ф(г), явля-
ющаяся ветвью полной аналитической функции и совпадающая с /(х) 1п х
на положительной части действительной оси (х>0), на отрииатель-
*) Заметим, что рассматриваемый интеграл является частным случаем
6-функции (см. вып. 2, стр 434):
1
fi(p, <?) = Jx₽-i(l-x)9^dx.
о
§ 3)
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ
143
ной части действительной оси при z = | z | е'я = хе‘я — — х (х > 0)
принимает значение
Ф (-г) |г=хг»'я=f(x) In (xein) = /(х) [In х-Нл].
Поэтому
я я
$OQd£ = $/(x)lnxdx+ 5 Ф(СИС-Н/(х)[1пх + ш]4х +
Г Р с$ о
N
+ $ Ф(£)с!С = 2л/ S Выч [/(z) In г, zk\. (5.79)
Ср- А=1
Рассмотрим второе слагаемое в левой части (5.79)
л л
$ Ф(М $ |1nC|ds=^ ^|ln/?-Harg£|rfs^
0 °*
+ (5.80)
Проведя аналогичные оценки, легко показать, что и последнее сла-
гаемое в левой части (5.79) стремится к нулю при р —0. Наконец,
оо
несобственный интеграл существует и в силу (5.35) равен
о
оо М
^f(x)dx = л/^ Выч [f(z), Z/t]. (5.81)
о *=1
Поэтому, перейдя в (5.79) к пределу при р —0 и R —оо, получим
оо М
I = ( /(х) In xdx = л/£ Выч j/(z)(ln z — (5.82)
0 А=1
Пример 7. Вычислить интеграл
СО
7=\ -;Л\, (/-У. (5.83)
J (1+х2)2 ' '
о
Согласно проведенным выше рассуждениям
I = ш Выч t н-1га)2- (in г - , f] = - . (5.84)
§ 3. Логарифмический вычет
1. Понятие логарифмического вычета. Пусть в области $ задана
однозначная функция f(z), аналитическая всюду в 2?, за исключением
конечного числа изолированных особых точек zk(k=\, р), при-
чем все Zk являются полюсами. Предположим, что на границе Г
144
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
области 3 нет ни нулей, ни особых точек функции f(z), и рассмот-
рим вспомогательную функцию
(5-85).
Функцию ф(г) часто называют логарифмической производной функ-
ции/(г), а вычеты функциии ф(д) в ее особых точках zm (т = 1,...,
М) — логарифмическими вычетами функции /(г). Определим осо-
бые точки функции <р (z) в области 3. В силу общих свойств ана-
литических функций ясно, что особыми точками функции ф (г) будут нули
zA(ft=l, я) и полюсы zk(k—l, ...,р) функции f(z). Найдем
значение вычета функции ф (г) в каждой из ее особых точек. Пусть
точка z = zk является нулем порядка пк функции /(z). Тогда в окре-
стности этой точки функция f(z) имеет вид
f(z) = (z - z*)Vi (*), fi (ik) #=0, (5.86)
причем точка zk является правильной точкой функции Д (г). Вычисляя
функцию ф (г) в окрестности точки z = zk по формуле (5.85), полу-
чаем
Ф (z) = (ln/(z))' = nk (in (г - zA))' + (In Д)' = .
г-г* ft (г)
Отсюда следует, что точка zk является полюсом первого порядка
функции ф (z), причем вычет функции ф (z) в этой точке равен nk.
Итак, в нуле порядка nk функции /(z) ее логарифмический вычет
равен nk, т. е. порядку нуля:
Выч [-^-,2*]== (5.87)
Пусть точка zk является полюсом порядка pk функции f(z). Тогда
в окрестности этой точки функция /(z) имеет вид
f(z) = °’ (5.88)
причем точка zk является правильной точкой функции Д (z). Поэтому
для логарифмической производной функции /(z) в окрестности точки
z = zk получим выражение
<₽(*)= +
2— zk h \z)
Отсюда следует, что точка zft также является полюсом первого
порядка функции ф(г), причем вычет в этой точке равен — pk. Итак,
в полюсе порядка pR функции /(z) ее логарифмический вычет равен
порядку полюса, взятому со знаком минус:
BbI4[wp г*]= ~Рк' (5.89)
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ
145
2. Подсчет числа нулей аналитической функции. Полученные
результаты позволяют доказать' следующую важную теорему.
Теорема 5.5. Пусть функция f(z) является аналитической
всюду в замкнутой области 3, за исключением конеч ого числа
лежащих внутри 3 изолированных особых точек zk, которые
все являются полюсами, и пусть f(z) не обращается в нуль ни
в одной точке границы Г области 3. Тогда разность между
полным числом нулей и полным числом полюсов функции f(z)
в области 3 определяется выражением
N~P^TW^ (МО)
г+
Под полным числом нулей (полюсов) понимается число нулей W
(полюсов Р) с учетом их кратности:
п р
Р = ^рк.
А=1 k=\
(5.91)
Доказательство. Для доказательства теоремы заметим, что
интеграл по Г от функции <р(г)
f (г) X
, ; / может быть вычислен с по-
((z)
мощью основной теоремы теории вычетов, причем так как все осо-
бые точки функции <p(z) —это нули и полюсы функции f(z), а вычеты
в этих точках определяются формулами (5.87) и (5.89), то
М / п р \
ф (£) dt, = 2nl У, Выч [ф(г), zm] = 2га J У nk - У pk\ = 2га (N— Р),
Г+ m=l U=1 А=1 )
что и доказывает теорему.
Отметим простой геометрический смысл доказанной теоремы, для
чего преобразуем интеграл, стоящий в правой части (5.90):
i $10^ = 25 5 = а $ rf(ln|/K)l+/arg/(O) =
г+ г+ г+
- i in I /«) 1 + 4; $ Я0- (5.92)
Г+ г+
Действительная функция In | f(£) | является однозначной функцией,
поэтому ее вариация (изменение) при обходе точкой £ замкнутого
контура Г равна нулю. Следовательно, первое слагаемое в правой
части (5.92) равно нулю. Второе слагаемое представляет собой пол-
ную вариацию аргумента функции /(£) при' обходе точкой £ замкну-
того контура Г, деленную на 2л. Итак,
N-p = 2?TVar[arg^)]r+. (5.93)
146
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Будем изображать значения функции ъи = f(z) точками на комплек-
сной плоскости 'w. Так как функция f(z} непрерывна на контуре Г,
то при полном обходе точкой z контура Г на плоскости z соответ-
ствующая ей точка на плоскости w описывает некоторый замкнутый
контур С. При этом точка w = 0 может оказаться как вне, так
и внутри области, ограниченной контуром С. В первом случае вариа-
ция аргумента w при полном обходе С, очевидно, равна нулю. Во
втором случае вариация аргумента w определяется числом полных
обходов вокруг точки = 0, которые совершает точка w при своем
движении по контуру С. При этом точка w может обходить точку
w = 0 как против часовой стрелки (в положительном направлении),
так и по часовой стрелке (в отрицательном направлении). Итак, раз-
ность между полным числом нулей и полюсов функции f(z) в обла-
сти 3 определяется числом оборотов, которые совершает точка
w=/(z) вокруг точки w = 0 при положительном обходе точкой z
контура Г. Эти соображения часто оказываются существенными при
подсчете полного числа нулей аналитической функции в заданной
области. При этом во многих случаях соответствующие вычисления
можно значительно облегчить благодаря следующей теореме.
Теорема 5.6 (теорема Руше). Пусть функции f(z) и ф(г)
являются аналитическими в замкнутой области 3, причем на
границе Г области 3 имеет место неравенство
1/СО | г > I ф О) |г- (5.94)
Тогда полное число нулей в области 3 функции F (z) — f(z) + гр (z)
равно полному числу нулей функции f(z).
Доказательство. Для функций f(z) и F (z) =f(z) <р (z)
выполнены все условия теоремы 5.5. Действительно, функция f(z)
не имеет особых точек на Г (она аналитическая в 3) и не обращается
в нуль на Г в силу (5.94). Эти условия также выполнены для функ-
ции F{z), так как | F (г) |г = | /(г) + ср (z) | Ss | f(z) |г — | <р (z) |г > 0.
Поэтому на основании формулы (5.93) получим
N\f(z) + V (^) I = 2JT Var[arg(/+<p)]r и N[/(z)] = ~ Var [arg/(z)]r.
Рассмотрим разность
^[/(2) + <p(z)]-N[/(z)] =
= 2^Var[arg(/+<p)-arg/]r = 2SVar[arg (1 +у-)]г.
(arg (/+<p) - arg/= arg
Введем функцию w = 1 . Как легко видеть, при обходе точ-
кой z контура Г соответствующая ей точка w опишет замкнутую
§ 31
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ВЫЧЕТ
147
кривую С, которая в силу условия (5.94) будет целиком лежать
внутри некоторого круга |w—l[sgp0<;l (рис. 5.7). Тем самым
точка w = 0 лежит вне кривой С. Следовательно, Varfarg w]r = О,
что и доказывает теорему.
Пример. Найти полное число нулей функции F(z) = za — 5г5 —
— 2z 4-1 внутри единичного круга |г|<1. Представим функцию
F (г) в виде F (г) = /(?) + <р (z), положив f(z) = — 5г5 4-1 и
Ф (г) — za — 2г. Тогда
|/(г)||г| = 1^| - 5г5||2| = 1 — 1 = 4,
| Ф(z) ||z। =, | г811Z| = 1 4-1 2г 11 г। = 1 = 3,
откуда |/(г) 11 г । = i > I ф (4) 11 z । = i > О- Следовательно, полное число
нулей в области | г | <;1 функции F (г) равно полному числу нулей
функции f(z), но последняя имеет,
очевидно, ровно пять нулей:
(Л = 0, 1, ..., 4).
Важным принципиальным след-
ствием теоремы Руше является
Основная теорема высшей
алгебры. Полином п-ой степени
имеет на комплексной плоскости
ровно п нулей (с учетом их
кратности).
Доказательство. Пред-
ставим полином F (z) = aozn
4- arzn~x... 4- ап в виде F (г) =7(4) 4- ф (z)> положив /(г) = аогл, ф (г) =
= a1z'l~14-... 4- ап- Составим отношение = ‘ ~ 4'-• + — • -4 •
1 1 1 ” f (г) а» г 1 1 а0 гп
Как легко видеть, при любых заданных значениях коэффициентов
а0, аь ..., ап всегда найдется такое значение /?0, что для всех зна-
чений |г|=^>/?0 имеет место неравенство
((г) ||г|=Я
(5.95)
В силу теоремы Руше из (5.95) следует, что полное число нулей
функции F (z) в круге | г | = R равно числу нулей в этом круге
функции /(г) = аогл. Но функция f(z) — aozn на всей комплексной
плоскости имеет единственный n-кратный нуль—точку 7 = 0. Отсюда
в силу произвольности R^R0 и следует утверждение теоремы.
ГЛАВА 6
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Как при построении общей теории функций комплексной пере-
менной, так и в ее многочисленных приложениях, в частности к ре-
шению задач механики и физики, большое значение имеет изучение
геометрических свойств конформных отображений, осуществляемых
аналитическими функциями. В гл. 1 было введено понятие конформ-
ного отображения, обладающего свойствами сохранения углов и
постоянства растяжений. Фундаментальной задачей теории конформных
отображений является следующая. Даны две области комплексной
плоскости, и требуется найти функцию, осуществляющую взаимно
однозначное и конформное отображение одной области на другую.
При этом, конечно, возникают вопросы об условиях существования
и однозначного определения такой функции.
В этой главе будут кратко изложены основные понятия теории
конформного отображения. Мы также рассмотрим некоторые геомет-
рические свойства отображений, осуществляемых рядом аналитических
функций, находящих наиболее широкое применение в приложениях.
§ 1. Общие свойства
1. Определение конформного отображения. В гл. 1 при рас-
смотрении геометрического смысла модуля и аргумента производной
было введено понятие конформного отображения. Было показано, что
если функция да=/(г) является однозначной и аналитической в окре-
стности некоторой точки z0 и f (z0) 0, то отображение, осущест-
вляемое данной функцией, в точке z0 обладает свойствами сохране-
ния углов и постоянства растяжений. То есть угол между любыми
двумя гладкими кривыми, пересекающимися в точке z0, равен и по
абсолютной величине и по направлению углу между их образами
на плоскости w в точке ,w0=f(z0), а бесконечно малые линейные
элементы, выходящие из точки z0, преобразуются подобным образом.
Это означает, что при рассматриваемом отображении любой беско-
нечно малый треугольник с вершиной в точке z0 преобразуется
в подобный ему бесконечно малый треугольник с вершиной в точке w0.
§ 1] ОБЩИЕ СВОЙСТВА 149
Отметим, что в силу общих свойств аналитических функций *)
в окрестности точки w0 определена однозначная аналитическая функ-
ция z = ф (w). Тем самым между окрестностями точек z0 и w0
установлено взаимно однозначное соответствие. Введем следующее
фундаментальное определение.
Взаимно однозначное отображение области У комплексной
плоскости z на область G комплексной плоскости w называется
конформным, если это отображение во всех точках z ^.У обла-
дает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.
Подчеркнем, что данное определение подразумевает непрерывность
рассматриваемого отображения.
Из предыдущего ясно, что при конформном отображении области
У на область G бесконечно малые плоские фигуры области У пре-
образуются в подобные им бесконечно малые, фигуры области Q.
Также легко видеть, что при конформном отображении сохраняется
свойство взаимной ортогональности системы кривых на плоскости.
Действительно, пусть в области У плоскости z (z — x-j-iy) заданы
два взаимно ортогональных однопараметрических семейства кривых
Ф (х> У) — с и Ф (х> .У) = с> причем через любую точку области У про-
ходят по одной кривой каждого семейства. Тогда при конформном
отображении области У на некоторую область G плоскости w
(w = и iv) образы данных кривых на плоскости w — кривые
ф (ц, и) = с и Т {и, о) = с — на основании свойства сохранения углов
также будут взаимно ортогональны. Это означает, что если в области У
введена некоторая ортогональная криволинейная система координат,
то при конформном отображении эта система координат перейдет
также в ортогональную систему.
Выясним теперь, какими свойствами должна обладать функция
комплексной переменной для того, чтобы отображение, осущест-
вляемое этой функцией, было конформным.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 6.1. Пусть функция 'f(z) является однозначной и
однолистной аналитической функцией в области У и f (z)y=0
при z У. Тогда функция f(z) производит конформное отобра-
жение области У на область G комплексной плоскости w,
представляющую собой область значений функции w—f(z) при
z еЛ
Доказательство. Действительно, в силу условия f (z) О
при z <= У отображение, осуществляемое функцией f(z), во всех
точках области У обладает свойствами сохранения углов и постоян-
ства растяжений, что и доказывает теорему.
Итак, условия аналитичности, однолистности и отличия от нуля
производной функции комплексной переменной являются достаточ-
ными условиями конформности отображения, осуществляемого этой
*) См. гл. 1, стр. 33.
150
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
функцией. Естественно поставить вопрос, являются ли эти условия
необходимыми. На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема 6.2. Пусть функция f(z) осуществляет конформное
отображение области S комплексной плоскости z на область О
комплексной плоскости w и ограничена в S. Тогда функция f(z)
является однолистной и аналитической в области S, причем
/' (г) 0 при z е S. -
Доказательство. Так как отображение, осуществляемое функ-
цией f(z), является конформным, то оно является взаимно однознач-
ным, и в любой точке z0 <= S выполняются свойства сохранения углов
и постоянства растяжений. Следовательно, для любых точек zx и z2,
принадлежащих окрестности точки z0, с точностью до бесконечно
малых величин выполняются соотношения
arg Дте’2 — arg Д = arg Az2 — arg Дгх (6.1)
и
|Дг2| | Дг! |
(6-2)
где Дгх = гх —г0 и &z2 — z2 — z0 суть бесконечно малые линейные
элементы, выходящие из точки z0, а Ддех и Aw2 — их образы (рис. 6.1).
wB №
аг/
в точках z0 и w0
Заметим, что в силу (6.1) соответствующие углы
равны не только по. абсолютной величине, но и по направлению.
Обозначив arg через а, из (6.1) найдем, что и arg = а. Дей-
ствительно,
arg =arg Aw2 ~arg =arg —arg =arg z^1==a- (6-3>
Из (6.2) и (6 3) получим, что с точностью до бесконечно малых
величин имеет место соотношение
Ди,2 _ _ г,-од
Дг, Дгх ‘
В силу произвольности выбора точек гх и z2 в окрестности точки z0
соотношение (6.4) означает, что существует предел разностного отно-
шения при Дг—>0. Этот предел по определению является произ-
(6-4)
§ 1] ОБЩИЕ СВОЙСТВА 151
водной функции /(г) в точке z0. Так как Л =# О, то эта производная
отлична от нуля:
lim ~=/'(го)^О. (6.5)
Дг-0 аг
Точка z0 — произвольная точка области поэтому из (6.5) следует,
что функция f(z) является аналитической *) в области S и /' (г) 7= О
при z G S'. Однолистность /(г) следует из взаимной однозначности
отображения. Теорема доказана.
Итак, конформное отображение области S комплексной пло-
скости z на область О комплексной плоскости w осуществляется
только однолистными аналитическими функциями комплексной
переменной с производной, отличной от нуля во всех точках
области S.
Отметим, что условие f (г) 0 всюду в области S является необ-
ходимым, но недостаточным условием конформности отображения
области S на область О, осуществляемого функцией f(z). Очевидно,
если функция /(г) является аналитической в области S и f (z) =£ 0
всюду в S, но функция f(z) не является однолистной в S, то отобра-
жение, осуществляемое этой функцией, не будет взаимно однозначным,
а тем самым не будет и конформным. Таким простейшим примером
является функция w = г4, заданная в полукольце 1 гС | z | 2, О
arg z л. Эта функция аналитична в данной области, и w' = 4z3 О
всюду в данном полукольце. Однако эта функция отображает данное
полукольцо на область 1 | w | 16, 0 arg 4л, т. е. область,
дважды покрывающую соответствующее кольцо на плоскости w, что
и нарушает взаимно однозначное соответствие.
Итак, однолистность однозначной аналитической функции в об-
ласти S является важнейшим условием конформного отображения.
Как будет показано ниже (см. теорему 6.3 —принцип взаимно одно-
значного соответствия), это условие является необходимым и доста-
точным условием конформности отображения.
Как было отмечено выше, свойство сохранения углов означает,
что сохраняется не только абсолютная величина углов между кри-
выми, пересекающимися в точке z0, и. их образами, но и их направ-
ление. Отображение, при котором сохраняются абсолютные величины
углов между кривыми и их образами, но направление углов меняется
на противоположное, называется конформным отображением вто-
рого рода. Рассмотренное выше отображение называется конформным
отображением первого рода.
Нетрудно показать, что конформное отображение второго рода
осуществляется функциями комплексной переменной, являющимися
комплексно сопряженными аналитическим функциям с отличной от
нуля производной. Действительно, пусть функция w = f(z) осущест-
вляет конформное отображение второго рода некоторой области S
') См. сноску на стр. 32.
152
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
комплексной плоскости z на область О комплексной плоскости
Рассмотрим функцию wx= w, отображающую область G на область G*
комплексной плоскости Wp Очевидно, геометрический смысл последнего
отображения заключается в зеркальном отражении области G относи-
тельно действительной оси и плоскости w. Но при зеркальном
отражении направление всех углов меняется на противоположное
при сохранении их абсолютной величины. Это означает, что отобра-
жение области & на область О*, осуществляемое функцией
ср (2) = Wi = w = f(z), z е (6.6)
является конформным отображением первого рода. Тем самым функ-
ция ср (?) должна быть аналитической в области 5, причем ф' (г) =#0,
Но из (6.6) следует, что /(г) = ф(г), что и доказывает выска-
занное утверждение. До сих пор мы предполагали, что производятся
конформные отображения ограниченной области 5 на ограниченную
область G. В некоторых случаях приходится рассматривать отобра-
жение окрестности точки z0 на окрестность точки w = оо (или
наоборот). При этом мы будем называть данное отображение конформ-
ным, если окрестность точки г0 конформно отображается на окрест-
ность точки £ — 0, где £= —. Аналогично определяется конформное
отображение окрестности точки z = оо на окрестность точки w = оо.
2. Простейшие примеры. В предыдущих главах мы уже рассмот-
рели некоторые геометрические свойства отображений, осуществляе-
мых рядом элементарных функций. Выясним теперь, являются ли эти
отображения конформными, и если да, то в каких областях.
Как легко видеть, линейная функция w =f(z) = az + & (а 0 и
b — произвольные комплексные постоянные) осуществляет конформное
отображение полной комплексной плоскости z на полную плоскость w,
поскольку эта функция однолистна и ее производная f (г) = а
отлична от нуля во всех точках плоскости z. Чтобы убедиться
в сохранении конформности отображения окрестности точки z — оо
на окрестность точки w = оо, положим (следуя сделанному выше
замечанию) t = ±- и £ = —. Функция w = az-{-b перейдет в функцию
g = которая осуществляет конформное отображение окрестности
точки t = Q на окрестность точки £ = 0 (точка / = 0 является пра-
вильной точкой этой функции, и g'(t) lz_0 = 4- =# 0 ).
а /
Выше мы видели, что геометрический смысл отображения, осу-
ществляемого линейной функцией, заключается в подобном растяжении
и сдвиге плоскости z. Поэтому данная функция может быть приме-
нена для построения конформных отображений подобных фигур.
Пример 1. Построить функцию, осуществляющую конформное
отображение круга | z — 1 — 11 2 на единичный круг [ w | eg 1.
§ И
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
153
Так как области & и Q представляют собой подобные фигуры, то
задача может быть решена при помощи линейной функции, которая
осуществляет подобное растяжение плоскости z и сдвиг начала коор-
динат. Как легко видеть, искомая функция имеет вид
w = a(z — 1— /),
। । 1
где I а | =2", а аргумент комплексного числа а может иметь любое
значение, определяя поворот плоскости w вокруг точки ® = 0.
Рассмотрим степенную функцию w — f(z) = zn, где п > 1 — целое
число. Как следует из рассмотрений, проведенных в гл. 1 и 3, эта
функция осуществляет взаимно однозначное отображение области
2л
своей однолистности — сектора ф0 < arg z < ф0 -ф — — на полную пло-
скость w, разрезанную по лучу arg w = яф0. Ее производная f (z) =
— nzn~l отлична от нуля и ограничена всюду внутри данного сектора
и в точках его границы, за исключением точек г = 0 и z = oo.
Поэтому данная функция осуществляет конформное отображение
области внутри указанного сектора на разрезанную плоскость w.
Любая бесконечно малая плоская фигура, лежащая внутри данного
сектора, переходит в подобную ей бесконечно малую фигуру на пло-
скости w, например параллелограмм ABCD, сторонами которого
являются координатные линии полярной системы координат (рис. 6.2),
перейдет в подобный ему бесконечно малый параллелограмм А'В'СD',
сторонами которого также являются координатные линии полярной
системы координат на плоскости w. Однако в граничной точке z = О
конформность отображения нарушается. Действительно, рассмотрим
кривые и у2, лежащие внутри данного сектора и пересекающиеся
в точке z = 0 под углом <р0 (рис. 6.3). Как легко видеть, функцией
w = z” эти кривые переводятся в кривые Г\ и Г2, пересекающиеся
в точке w = 0 под углом Фо = шр0 ф0. Тем самым бесконечно
154
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
малый треугольник с вершиной в точке z — 0 данной функцией
отображается на треугольник, который уже не является подобным
исходному. Отметим, что в точке г = 0, где нарушается конформность
отображения, производная функции f(zj — zn равна нулю. Продолжая
наши рассмотрения, легко установить, что функция w = z" осущест-
вляет конформное отображение области комплексной плоскости z,
представляющей собой полную плоскость z, кроме точек z — 0 и
z = oo, на л-листную риманову поверхность обратной функции z —
= у®. Причем точкам z = 0 и z = oo, в которых нарушается кон-
формность отображения, соответствуют точки - но = 0 и w = оо,
являющиеся точками разветвления обратной функции.
Рис. 6.3.
В общем случае степенная функция ву = /(г) = z“, где а > 0 —
заданное действительное число, осуществляет отображение сектора
2зт 2 л
— k < arg z <Z. — (£+ 1) (A = 0, ±1, ...) своей римановой поверх-
ности (бесконечнолистной для иррационального а, конечнолистной
для рационального дробного а и обычной плоскости z для целого а)
на полную плоскость ву 1луч argz = — k отображается на положи-
тельную часть действительной оси^. Ее производная /' (z) = aza-1
существует и отлична от нуля всюду внутри данного сектора, кроме
точек z = 0 и z = oo. Тем самым и эта функция осуществляет кон-
формное отображение данного сектора на разрезанную плоскость w.
В точках z — Q и z = оо, так же как и для функции ву = zn,
конформность отображения нарушается.
Пример. 2. Построить функцию, конформно отображающую
первый квадрант плоскости z (Re z > 0, Im z > 0) на верхнюю полу-
плоскость щ (Im w > 0).
Легко видеть, что функция
-w = az2 + b,
§ 1]
.ОБЩИЕ СВОЙСТВА
155
где а > 0 и b — произвольные действительные постоянные, дает реше-
ние этой задачи. В точках z = 0 и z = oo конформность отображе-
ния нарушается.
В гл. 3 мы "рассмотрели отображение, осуществляемое показа-
тельной функцией w=f(z) = es. Было показано, что эта функция
осуществляет взаимно однозначное отображение любой своей области
однолистности — полосы _у0 < Im z < у0 -ф- 2л плоскости z — на пол-
ную плоскость w, разрезанную по лучу argw=_y0. Так как произ-
водная рассматриваемой функции f (z) = ег отлична от нуля всюду
внутри данной полосы, то это отображение является конформным.
Как легко видеть, при данном отображении ортогональная сетка
декартовых координат x = Clt у = С2 внутри рассматриваемой полосы
переходит в ортогональную сетку полярных координат | w | = ес*,
arg w = C2 на плоскости w. Полная аналитическая функция F(z) = ez,
являющаяся целой функцией на плоскости г, осуществляет конформ-
ное отображение полной плоскости z на бесконечнолистную рима-
нову поверхность обратной функции*) z = Lnw. Заметим, что кон-
формность отображения нарушается в окрестности точек ® = 0 и
w = co плоскости vu, являющихся точками разветвления функции
Ln w, где отображение не является взаимно однозначным.
Пример 3. Построить функцию, конформно отображающую
полосу 0 < Re z < а на верхнюю полуплоскость Im w > 0.
Функция Zi — ^-z отображает исходную полосу на полосу 0 <
<С Re zx < л. Функция г2 — переводит полученную полосу в полосу
0 < Im z2 <Z л. Наконец, функция w = ег= осуществляет конформное
отображение данной полосы на верхнюю полуплоскость Im w > 0.
Поэтому функция, осуществляющая заданное конформное отображе-
ние, может быть взята в виде
. л
I --- Z
w = е а .
3. Основные принципы. Мы рассмотрели некоторые простейшие
примеры функций, осуществляющих конформные отображения, и
с их помощью решили основную задачу конформного отображения
для ряда простейших областей. Рассмотрение более сложных приме-
ров требует использования общих принципов конформного отобра-
жения, к изложению которых мы переходим. При этом в ряде слу-
чаев ограничимся лишь формулировкой соответствующих положений,
не проводя их строгого обоснования, что значительно выходит за
рамки настоящего курса.
а) Взаимно однозначное соответствие. Как было
отмечено, при конформном отображении области 'S комплексной пло-
скости z на область G плоскости w, осуществляемом' аналитической
*) Построение римановой поверхности функции Ln а», см., гл. 3, стр. 102.
156
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
в $ функцией f(z), устанавливается взаимно однозначное соответ-
ствие этих областей. Тем самым условие однолистности функции
f(z) в области $ является необходимым условием конформности
отображения. Оказывается, что это условие является и достаточным.
Теорема 6.3. Пусть функция f(z) является однозначной
аналитической функцией в области 3, осуществляющей взаимно
однозначное отображение области 3 на область О комплексной
плоскости и'. Тогда это отображение является конформным.
Доказательство. Для доказательства теоремы, очевидно,
достаточно показать, что при выполнении условий теоремы произ-
водная функции f(z) отлична от нуля всюду в области 3. Предпо-
ложим, что это не имеет места, т. е. что в области 3 существует
такая точка z0, в которой /'(~о) = 0. Так как f(z) является анали-
тической в области 3, то в силу сделанного предположения ее раз-
ложение в степенной ряд в окрестности точки z0 должно иметь вид
f СО = а0 ф- ak (г - z0)ft + ak+1 (z - z^1 +..., (6.7)
причем /г Js 2 и ak Ф 0. Если /' (г) =£ 0, то точка z0 не может быть
предельной точкой нулей функции /' (z). Это означает, что можно
указать такое значение 6', что /' (г) =/= 0 во всех точках z zn
внутри круга | z — z01 < 6'. Кроме того, очевидно, можно выбрать
такое значение 6", чтобы имело место неравенство
Ф (О = аь + (* - z0) +... =/= 0
при | z — | <Z 8".
Выбрав б = min {б', б"}, получим
f (z) ф 0 при z z0, 1
> при z — zn -С б. (6.8)
t(^ = ^ + ak+1(z-zo) + ...^O I 1 01
Из последнего соотношения следует в силу непрерывности функ-
ции ф(г), что
min | (z - z0)k ф (z) || 2_2o |=б = m > 0.
Выберем некоторое комплексное число а, удовлетворяющее условию
| а | < т. Согласно теореме Руше аналитическая функция
ф (z) = (z — z0)ft ф (z) — а = f(z) — а0 — а (6.9)
имеет внутри круга | z — z0 | sg б столько же нулей, сколько и функ-
ция (z — z0)k ф (z). Последняя в силу условия (6.8) имеет в этом
круге k нулей —точка z = z0 является ее нулем А-го порядка. Тогда
из (6.9) следует, что уравнение
/(z) = a0 + a (6.10)
имеет k корней в круге | z — z0 | -С б, причем все эти корни 'простые,
так как точка z = zti не является корнем уравнения (6.10) и в силу
§ И
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
157
(6.8) f (z) 5^ 0 в остальных точках данного круга. Это означает, что
в k различных точках круга | z — z0 | -С 6 функция f(z) принимает
одно и то же значение /(z) — а0 -|- а. Но последнее противоречит
условию взаимной однозначности отображения области 2? на область
G, что и доказывает теорему.
Итак, из доказанной теоремы следует, что необходимым и доста-
точным условием того, чтобы однозначная функция f(z), аналитиче-
ская в области 2?, осуществляла конформное отображение этой
области на некоторую область G плоскости w, является условие одно-
листности f(z) в области 2?.
б) Принцип соответствия границ. При решении кон-
кретных задач конформного отображения заданной области 3 на
заданную область G обычно следят лишь за тем, чтобы искомая функ-
ция /(z) производила отображение границы у области $ на гра-
ницу Г области G, не рассматривая специально отображения внутрен-
них точек. Это можно делать в силу так называемого принципа соот-
ветствия границ, доказательство которого будет проведено ниже.
Предварительно сделаем следующее замечание. Пусть в области $
задана однозначная непрерывная функция w=/(z). Очевидно, эта
функция переводит любую замкнутую кривую у, целиком лежащую
в области 3, также в замкнутую кривую Г на плоскости ж Мы
будем говорить, что при отображении кривой у, осуществляемом
функцией /(z), сохраняется направление обхода, если при непрерыв-
ном движении точки в положительном направлении вдоль кривой у
соответствующая ей точка обходит кривую Г также в положи-
тельном направлении. Перейдем теперь к рассмотрению самого
принципа.
Теорема 6.4* Пусть в конечной области 3, ограниченной кон-
туром у, задана однозначная аналитическая функция f(z), непре-
рывная в 3 и осуществляющая взаимно однозначное отображе-
ние контура у на некоторый контур Г комплексной плоскости vd.
Тогда, если при данном отображении контуров сохраняется
направление обхода, то функция f(z) осуществляет конформное
отображение области 3, на внутреннюю область О, ограничен-
ную контуром Г.
Доказательство. Очевидно, для доказательства теоремы
достаточно показать, что функция /(z) устанавливает взаимно одно-
значное соответствие между областями 3 и G, т. е. надо показать,
что функция /(z) каждому значению zeS ставит в соответствие
некоторую точку гв е О и для каждой точки е О найдется, и
притом только одна, точка zx е 3 такая, что /(zx) == wv Для этого рас-
смотрим две произвольные точки £ G и G (рис. 6.4) и
построим в области 3 вспомогательные функции
Fi(2)=/(z)-tt>1, z^3,
F 8 (z) = f(z) — w8, z e 3.
158
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
Подсчитаем число нулей этих функций в области 3, для чего вос-
пользуемся формулой (5.93). Так как в силу условий теоремы поло-
жительному обходу контура у соответствует положительный обход
контура Г, получим
N [Fx (*)] = ~ Var [arg (f- ^)]7 = 1 (6.12)
и
N [F2 (г)] = Var [arg (/- wa)]v = 0. (6.13)
Из (6.13) в силу произвольности выбора точки w2 вне области G
следует, что все значения функции f(z) при zeS принадлежат
области Q. Из (6.12) следует, что
для любой точки ®jEG в области 2?
найдется одна и только одна точ-
ка Zj, для которой /(^1) = Wi, что и
доказывает взаимную однозначность
данного отображения. Теорема до-
казана.
Замечание. Если функция
/(z) является аналитической в обла-
сти 2?, за исключением единствен-
ной особой точки z0, являющейся
полюсом первого порядка, и при
отображении границы области 2?,
контура у, на контур Г плоскости w направление обхода меняется
на противоположное, то функция /(г) осуществляет конформное ото-
бражение области 3 на область О', внешнюю к контуру Г, на пло-
скости ® (при этом точка г0 соответствует точке гг» = оо).
Данное утверждение доказывается аналогично предыдущей тео-
реме, причем вместо (6.12) и (6.13) получим соотношения
N [Fi (г)] - 1 = ~ Var [arg (/- wx)]Y = -1 (6.14)
И
N [F2 (г)] - 1 = Var [arg (/- w2)]v = 0, (6.15)
из которых и следует справедливость высказанного утверждения.
Приведем без доказательства утверждение, в известном смысле
обратное доказанной теореме.
Теорема 6.5. Если функция f(z) осуществляет конформное
отображение области 3 комплексной, плоскости z на ограничен-
ную область G плоскости w, граница которой не содержит
точки w = oo, то функция f(z) непрерывна на границе области 3
и осуществляет непрерывное и взаимно однозначное соответст-
вие границ у и Г областей 3 и Q,
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
159
в) Принцип симметрии. Этот принцип находит многочис-
ленные применения при решении задач конформного отображения
областей, границы которых имеют прямолинейные участки. Пусть
граница у области $ имеет прямолинейный участок у' (рис. 6.5).
Область полученную путем зеркального отражения области 2?
относительно прямой, на которой лежит отрезок у', будем называть
областью, симметричной области 2? относительно у’. Симметрию
точек областей $ и$ будем обозначать символом z «-» z. Принцип
симметрии может быть сформулирован в
виде следующей теоремы.
Теорема 6.6. Пусть в замкнутой
области <3, граница у которой имеет
прямолинейный участок у', задана не-
прерывная функция. f(z), осуществляю-
щая конформное отображение области $
на область О комплексной плоскости w,
при котором участок у' границы у пе-
реходит также в прямолинейный уча-
сток Г' границы Г области Q. Тогда в
области симметричной ’S относи-
тельно отрезка у', можно построить
функцию f(z), являющуюся аналити-
ческим продолжением функции f(z) из
области 'S в область %, осуществляющую
конформное отобра-
жение области $ на область G комплексной плоскости w, сим-
метричную области Q относительно, отрезка Г'.
Заметим, что полученная таким образом область 2? = 2?-[-2? может
иметь участок ^12, принадлежащий одновременно областям $ и
Тогда полная аналитическая функция F(z), полученная аналитическим
продолжением функции /(г) в область должна рассматриваться
на соответствующей римановой поверхности (то же относится и
к областям О и О).
Перейдем теперь к доказательству теоремы.
Доказательство. Сопоставим каждой точке z е S симмет-
ричную ей относительно отрезка у' точку z е а точке —
симметричную ей относительно отрезка Г' точку weft
z «-> z, w <-> w.
(6.16)
Определим в области $ функцию f (z), задавая ее значения для
каждого 2е$ по схеме z о z; z->w=/(z); w «-> w, J (z) = w.
Как легко видеть, построенная функция f (z) является аналитической
в области 2?. Действительно, в силу соответствий (6.16) из сущест-
160
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
вования предела разностного отношения следует существование
предела разностного отношения Аналитические функции f(z),
z^.'S, и f (z), z^-S, совпадают и непрерывны на общем участке
у' границ областей и 'S. Поэтому в силу принципа аналитического
продолжения функция f (z) и является аналитическим продолжением
функции /(z) из области 27 в область 3?. Первая часть утверждения
теоремы доказана. В силу (6.16) отображение области 27 на область G,
осуществляемое функцией f (z), является взаимно однозначным. Сле-
довательно, на основании теоремы 6.3 это отображение является
конформным. Теорема полностью доказана.
Замечание. Доказанная теорема остается справедливой и
в том случае, если в формулировке теоремы прямолинейный отре-
зок у' заменить на отрезок дуги окружности. При этом симметрию
относительно отрезка дуги окружности надо понимать как зеркаль-
ное отражение в данной окружности, осуществляемое преобразова-
нием инверсии. Как будет показано ниже, всегда можно осуществить
конформное отображение области 27 на новую область 27х так, чтобы
отрезок у' дуги окружности, являющийся частью границы у области ’S,
перешел в прямолинейный отрезок yj, являющийся частью границы ух
области 37х. Это и докажет справедливость высказанного утверж-
дения.
4. Теорема Римана. До сих пор мы проводили наши рассмотре-
ния, предполагая, что существует функция /(z), осуществляющая
конформное отображение данной области 27 комплексной плоскости z
на заданную область G комплексной плоскости w. Сейчас мы сфор-
мулируем условия, гарантирующие существование и единственность
такого отображения. Соответствующая теорема, являющаяся фунда-
ментальной теоремой теории конформных отображений, была дока-
зана Риманом в 1851 г. Доказательство существования конформного
отображения выходит за рамки нашего курса, поэтому мы ограни-
чимся лишь формулировкой теоремы *).
Теорема 6.7 (теорема Римана). Всякую односвязную об-
ласть 'S комплексной плоскости z, граница которой состоит
более чем из одной точки, можно конформно отобразить на
внутренность единичного круга | w | < 1 плоскости w.
Очевидно, из данной теоремы следует возможность конформного
отображения данной односвязной области & плоскости z на задан-
ную односвязную область G комплексной плоскости чю, если граница
каждой из этих областей состоит более чем из одной точки. Дей-
ствительно, отобразив области 'S и О на вспомогательный круг
*) Подробное доказательство см.-, например, А. В. Бицадзе, Основы
теории аналитических функций комплексного переменного, «Наука», 1972.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА
161
| £ I < 1 (что возможно в силу теоремы Римана), мы и получим тре-
буемое отображение.
Условие ' односвязности областей & и Q является существенным,
так как предположение о возможности конформного отображения
многосвязной области $ на односвязную область G приводит к про-
тиворечию. Действительно, возьмем в *3 замкнутый контур у, внутри
которого лежат граничные точки области 2?. Контур у отобража-
ется на некоторую замкнутую кривую Г, целиком лежащую в одно-
связной области Q (рис. 6.6). Будем стягивать Г к некоторой внут-
ренней точке w0 области G; тогда в силу непрерывности отображе-
ния контур у также должен стягиваться к некоторой внутренней
точке г0 области 2?, оставаясь все время внутри этой области, что,
очевидно, невозможно в силу многосвязности области 2? и указан-
ного выбора контура у. Итак, конформное отображение многосвяз-
пой области на односвязную невозможно. Однако, как будет пока-
зано ниже, в ряде случаев возможно конформное отображение обла-
стей одинаковой связности.
Перейдем теперь к определению условий, однозначно определя-
ющих функцию, осуществляющую заданное конформное отображение.
Ясно, что такие условия необходимы, поскольку, как видно из пре-
дыдущих примеров, единичный круг с помощью простейшего линей-
ного преобразования, заключающегося в повороте комплексной пло-
скости, можно конформно отобразить сам на себя. Поэтому, если
функция f(z) осуществляет конформное отображение заданной обла-
сти 2? на единичный круг, то и любая функция, полученная из f(z)
с помощью указанного линейного преобразования, будет осуществ-
лять конформное отображение области 22 на тот же единичный круг.
Теорема 6.8. Функция f(z), осуществляющая конформное
отображение заданной односвязной области 2? (граница которой
состоит более чем из одной точки) на единичный круг 1
так, что f(zQ) = d и = (где и а0 — заданное
действительное число), определена единственным образом.
Доказательство. Предположим, что в области 22 сущест-
вуют две различные функции wx= Л (г) и.®г= А (г), осуществляющие
162
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
заданное конформное отображение, т. е.
/1(^о) = О, arg/1'(z0) = a0, |/х(г)|у=1,
A(^o) = O, arg/2 (z0) = а0, |/2(z)|v=l.
Заметим, что в силу теоремы 6.5 функции те,1=/1(г) и •Wz=fz(z)
устанавливают взаимно однозначное и непрерывное соответствие
между границей у области и окружностями | | = 1 и | 1 = 1
соответственно.
Так как при конформном отображении устанавливается взаимно
однозначное соответствие, то тем самым установлено и взаимно одно-
значное соответствие между точками единичных кругов |о»х^г^1 и
1. Значит, установленные соответствия определяют аналити-
ческую функцию w2 = <р (®i), осуществляющую конформное отобра-
жение единичного круга ] | <11 на единичный круг | < 1,
причем
ф(0) = 0, |<p(w1)||a,1|=:1 = 1.
Заметим, что, кроме того, в силу взаимно однозначного соответст-
вия областей | wx | <; 1 и j w21 < 1 имеет место условие
ф (wx) =/= 0 при Wi =# 0.
/
n „ dau
Вычисляя значение производной — по правилу определения произ-
водной от сложной функции, получаем
Аш2
dtp I = da>2 I = и Дг = fe2ela° = fe2 Q
dw^wi^O dwt |ai,=0 дг-o^l йх^а" *1
Дг
Отсюда следует, что производная в точке ®»х = 0 является поло-
жительным действительным числом. Рассмотрим вспомогательную
функцию, определенную при |wx|sgl,
Ф(®х)'=^ф(®’1).
(6.17)
Очевидно, функция ф(о>х) является однозначной аналитической функ-
цией в области 0 < | W! | < 1. Точка wx = 0 —устранимая особая
точка этой функции. Доопределим ф(тех) при wx = 0 по непрерыв-
ности. Разложим ф(дах) в окрестности wx = 0 в ряд Тейлора:
®2 = ф(№х) = ф(0)+^|1е11 = Лх+...=^|1а1=Лх + ..„
Переходя к пределу при wx -> 0, получаем
ф(0)= lim = £>0. (6.18)
ш,-0 wi da’ik, = o йх v >
§ 2] ДРОБНО-линейная функция 163
Функция ф(®х) непрерывна в замкнутой области причем
в этой области ф (wY) #= 0 и
|Ф(«’1)1|®.1 = 1 = L (6.19)
В силу принципа максимума и минимума модуля аналитической функ-
ции из (6.19) следует, что
| ф (®'х) | == 1 при I 1,
откуда в силу замечания на стр. 51 (гл. 1) получим, что
ф (wj == const при | wx | 1. (6.20)
Чтобы найти эту постоянную, заметим, что в силу (6.18) она равна
т. е. является положительным действительным числом. Согласно
(6.19) модуль этого числа равен единице. Отсюда следует, что
ф(®1) = 1. Следовательно, w2 = (p(w1) = w1. Это и доказывает, что
не существует двух различных функций, осуществляющих заданное
конформное отображение данной области 3 на внутренность единич-
ного -круга.
Замечание. Сформулированные выше условия однозначного
определения функции f(z), осуществляющей конформное отображе-
ние заданной односвязной области 2? на внутренность единичного
круга | та | < 1, можно заменить требованием соответствия трех гра-
ничных точек границы у области 3 трем точкам окружности |та| = 1.
Мы ограничимся лишь формулировкой данного утверждения, не
приводя его доказательства.
Мы рассмотрели ряд основных общих, свойств конформного ото-
бражения. Однако проведенные рассмотрения не дают общих рецеп-
тов решения основной задачи построения конформного отображения
данной области 3 комплексной плоскости z на заданную область G
плоскости w. В самом общем случае указать такой рецепт и не
представляется возможным, для решения конкретных задач приходится
прибегать к различным специальным методам. При этом большую
пользу оказывает достаточно полное представление о геометрических
свойствах ряда функций комплексной переменной, наиболее часто ис-
пользуемых при решении практических задач.
§ 2. Дробно-линейная функция
Так называется функция комплексной переменной, имеющая вид
где а, Ь, с, d — заданные комплексные постоянные, которые, оче-
видно, должны удовлетворять условию
(в-22)
164 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ [ГЛ. 6
так как в противном случае функция f(z) тождественно равна постоян-
ной. Без ограничения общности можно считать, что b 0 и d^O,
ибо в противном случае w переходит в уже изученные линейную
функцию и функцию w = y. Итак, можно записать (6.21) в эквива-
лентной форме:
= “ = 0 = 7- а^₽- <6'23)
Функция (6.21), (6.23) является однозначной аналитической функ-
цией на полной комплексной плоскости z, имеющей единственную
особую точку —полюс первого порядка г0 = — ——р. Обратная
функция
также является дробно-линейной функцией, определенной на полной
плоскости 'W. При этом точка z0 = — = — Р переходит в точку
~ ь
w = oo, а точка z = co переходит в точку w0 = A — -j.
Найдем производную функции w=f(z):
= (6-25)
В силу условия (6.22) производная дробно-линейной функции от-
лична от нуля во всех конечных точках плоскости z. Это означает,
что дробно-линейная функция осуществляет конформное отобра-
жение плоскости z на плоскость w. Конформность отображения
в бесконечно удаленных точках легко проверяется указанным выше
способом.
В выражение дробно-линейной функции входят три произволь-
ных параметра X, а, р, тем самым существует бесконечное множество
дробно-линейных функций, осуществляющих конформное отображение
полной плоскости z на полную плоскость w. Естественно поставить
вопрос об условиях, однозначно определяющих дробно-линейную
функцию.
Теорема 6.9. Заданием соответствия трем различным точ-
кам плоскости z трех различных точек плоскости w дробно-
линейная функция определена однозначно.
Доказательство. Мы должны доказать, что условия
= /(^) = w2, /(г3) = да3, (6,26)
где Zj, z2, zs и -wr, w2> w3 —заданные комплексные числа, однознач-
но определяют значения параметров X, а, р. Составим выражения
<6-27>
<6-28’
§ 2] ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 165
Разделив (6.27) на (6.28), получим
bfi—w3 = г1~г3 р + г3 б 29
ьг)2 —ш3 г2 —z3 ' в + гх ' . ' ‘ J
Для произвольной точки z можем записать аналогичное соотношение:
Шг — W Z2 — Z р 4- Zj V '
Исключив из соотношений (6.29) и (6.30) параметр (3, окончательно
получим
wY — w . а,!—шя = 21—z . zt — z3 6 31-
а>2 — w ' ву2 — щ3 z2 — z ' г2 — г3 ’ ' ‘ '
Соотношение (6.31) и представляет собой неявное выражение иско-
мой дробно-линейной функции. Очевидно, разрешив (6.31) относи-
тельно w, мы получим явное выражение коэффициентов Л, а, (3, дроб-
но-линейной функции через заданные числа гь г2, z3, wlt w2, W
что и доказывает теорему.
Заметим, что поскольку дробно-линейная функция осуществляет
конформное отображение полной плоскости z на полную плоскость w,
то одна из точек г,- и одна из точек wt, заданием которых опреде-
ляется дробно-линейная функция, могут быть бесконечно удаленными
точками.
Рассмотрим геометрические свойства отображения, осуществля-
емого дробно-линейной функцией. Для этого несколько преобразуем
выражение (6.23), представив его в виде
= (6’32)
и введем вспомогательные функции
гх = р4-г, z2 = -~, г3 = ^(а —P)z,H-X. (6.33)
zi
Из соотношений (6.33) следует, что отображение, осуществляемое
дробно-линейной функцией, представляет собой совокупность прос-
тейших отображений, осуществляемых линейными функциями zx и z3
и функцией рассмотренными в гл. 1. Тем самым рассматриваемое
отображение слагается из подобных растяжений, поворотов и сдви-
гов комплексной плоскости, а также преобразования инверсии в круге.
При этом данное отображение обладает рядом важных свойств, на
которых мы остановимся подробнее.
Теорема 6.10 (круговое свойство дробно-линейной функции).
Дробно-линейная функция переводит окружности на плоскости z
в окружности на плоскости w. При этом мы включаем прямые в
семейство окружностей, рассматривая прямые как окружности беско-
нечно большого радиуса.
166
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
Доказательство. Очевидно, для доказательства теоремы до-
статочно показать, что преобразование инверсии, осуществляемое функ-
цией w = y> обладает круговым свойством, так как сохранение ок-
ружности при линейном преобразовании не может вызывать сомнений.
Рассмотрим произвольную окружность, уравнение которой на плос-
кости z имеет вид
Д(ха+У)Ч-5х + Су + Д = 0, (6.34)
где А, В, С, D — действительные числа, удовлетворяющие условиям
А О, В2 4- С2 > 440. При А = 0 мы, очевидно, получим прямую;
при D = 0 окружность (6.34) проходит через начало координат (точ-
ку z = 0). При преобразовании, осуществляемом функцией w = u-|-
Ц- lv = , координаты х, у связаны с координатами и, v соотноше-
ниями
х — + & > У ~~ и2+^2 (6.35)
Поэтому окружность (6.34) в новых координатах примет вид
£)(и2 + т>2)4-Дгг-СЧ> + Д = 0, ’ (6.36)
что и доказывает утверждение теоремы.
Заметим, что при D = 0 уравнение (6.36) представляет уравнение
прямой, т. е. окружность, проходящая через точку z = 0, функцией
1 '
w = — отображается в прямую.
Рассмотренное свойство дробно-линейной функции находит широ-
кое применение при решении многих конкретных задач конформных
отображений, связанных с отображением областей с круговыми гра-
ницами. Действительно, пусть надо осуществить конформное отобра-
жение области ограниченной окружностью у, на плоскости z на
область G, ограниченную окружностью Г, на плоскости ж Как изве-
стно, положение окружности на плоскости полностью определяется
заданием трех точек. С другой стороны, в силу теоремы 6.9, задав
соответствие трех точек zk плоскости z, лежащих на окружности у,
трем точкам W/, плоскости w, лежащим на окружности Г, мы полнос-
тью определим дробно-линейную функцию, осуществляющую конформ-
ное отображение плоскости z на плоскость w. При этом согласно
теореме 6.10 окружность у перейдет в окружность Г. Если при этом
соответствие точек zk и те'д, выбрано так, что сохранено направление
обхода, то в силу теоремы 6.4 данная функция осуществляет конформ-
ное отображение области на область G. Заметим, что при этом
область, внешняя окружности у на плоскости z, конформно отобра-
жается на область, внешнюю окружности Г на плоскости w. Если
соответствие точек zk и установлено так, что направления обхода
§ 2] ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 167
окружностей у и Г противоположны,, то область конформно ото-
бражается на область, внешнюю окружности Г на плоскости да.
Пример 1. Найти функцию, конформно отображающую единич-
ный круг | z | < 1 на верхнюю полуплоскость Im да>0.
Для решения поставленной задачи установим следующее соот-
ветствие граничных точек данных областей (рис. 6.7):
г1 = 1->да1 = 0, (6.37')
г2 = г->да2=1, (6,37”)
za =—1->-да3 = оо, (6.37'”)
и найдем коэффициенты X, а, Р дробно-линейной функции, осущест-
вляющей искомое отображение. Как легко видеть из условий (6.37')
и (6.37”'), сразу определяются значения аир, после чего искомая
функция принимает вид
Последний коэффициент X определяется из условия (6.37”):
откуда X = — I. Тем самым функция, осуществляющая искомое ото-
бражение, имеет вид
да-/^|. (6.38)
Отметим, что функция (6.38) осуществляет конформное отображение
области |z|>l на нижнюю полуплоскость Im да<0.
Как следует из рассмотренного примера, построение искомой
дробно-линейной функций проводится наиболее просто в том случае,
168
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
когда заданными точками плоскости w являются точки w — 0 и w = оо.
В этом случае сразу определяются значения коэффициентов а и 0.
Следующее свойство дробно-линейной функции заключается в со-
хранении точек, симметричных относительно окружности. Напомним,
что точки Р и р' называются симметричными относительно окружности С,
если они лежат на общем луче, проходящем через центр О окруж-
ности С, и произведение их расстояний
от центра равно квадрату радиуса ок-
ружности: ОР OP' = R2. Имеет место
Теорема 6.11. При отображении,
осуществляемом дробно-линейной
функцией, точки, симметричные от-
носительно любой окружности, пере-
ходят в точки, симметричные отно-
сительно образа этой окружности.
Доказательство. Воспользуем-
ся следующими вспомогательными ут-
верждениями элементарной геометрии.
Утверждение 1. Любая окружность С, проходящая через
точки Р и Р', ортогональна окружности С.
Действительно, проведя луч ОР' и радиус ОА в точку пересече-
ния окружностей С и С' (рис. 6.8), мы в силу симметрии точек Р и Р'
относительно окружности С получим
ОР-ОР' = (ОЛ)2=Д2.
Но это, согласно известной теореме элементарной геометрии *), озна-
чает, что ОА является касательной к окружности С, проведенной из
точки О, откуда и следует, что С I С. •
Утверждение 2. Две взаимно пересекающиеся окружности С
и С", ортогональные одной и той же окружности С, пересекаются
в точках Р и Р', симметричных относительно окружности С.
Проведем через точку Р пересечения окружностей С и С", лежа-
щую внутри окружности С, луч ОР. Предположим, что луч ОР пере-
секает окружности С и С" в различных точках, соответственно Р*
и Р** (рис. 6.9). Так как окружности С и С" ортогональны окруж-
ности С, то по указанной выше теореме элементарной геометрии
имеют место соотношения
ОР.ОР* = /?2, (6.39)
OP-OP** =R2. (6.40)
Но, так как точки Р* и Р** лежат на одном луче, равенства (6.39)
и (6.40) возможны только в том случае, когда точки Р* и Р** сов-
падают, р* = р** — рг> что и доказывает утверждение.
*) Произведение отрезков секущей, проведенной из внешней точки ок-
ружности, равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.
§ 2]
ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
169
силу утверж-
в
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Пусть точки Р и Р'
симметричны относительно окружности С. Проведем через эти точки
две вспомогательные окружности С' и С". В силу утверждения 1
окружности С' и С ортогональны С. При конформном отображении,
осуществляемом какой-либо дробно-линейной функцией, окружности
С, С' и С’ перейдут соответственно в окружности К, К’ и К", при-
чем окружности К' и К" будут ортогональны окружности К. Точки
Р и Рг пересечения окружностей С и С’ перейдут в точки Q и Q'
пересечения их образов — окружностей К’ и К". Но
дения 2 точки Q и Q' дол-
жны быть симметричны отно-
сительно окружности К, что
и доказывает теорему.
Очевидно, доказанная тео-
рема остается справедливой и
в том случае, когда рассмат-
риваются и окружности бес-
конечно большого радиуса, т. е.
прямые.
Доказанная теорема находит
многочисленные применения при
решении конкретных задач кон-
формных отображений, и мы
будем в дальнейшем неоднократно к ней прибегать. Здесь же огра-
ничимся лишь двумя примерами.
Пример 2. Найти функцию, конформно отображающую единич-
ный круг | z | < 1 сам на себя так, чтобы заданная внутренняя точка
z0 перешла в центр круга.
Очевидно, для решения задачи можно воспользоваться дробно-
линейной функцией. При этом точка г0 и точка zlt симметричная ей
относительно окружности |г| = 1, перейдут в точки, симметричные
относительно окружности [w|=l. Но поскольку точка, симметрич-
ная центру окружности, есть бесконечно удаленная точка, а точка г0
должна перейти в тючку w = 0, то точка z± должна перейти в точку
w — oo. Следовательно, искомая дробно-линейная функция имеет вид
w = X^—f-°. (6.41)
г гг
Так как z{= —, то (6.41) можно переписать в виде
z°
^ = Кгй Jp г?-. (6.42)
Для того чтобы при отображении (6.42) окружность | z | — 1 пере-
шла также в окружность | w | = 1 единичного радиуса, должно выпол-
няться условие
!I I I = I I “1 I “1
170
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
(6.43)
Отсюда Xz0 —е‘“, где а —произвольное действительное число, и реше-
ние нашей задачи получаем в виде
Заметим, что мы получили решение, определенное с точностью до
одного произвольного параметра а, который, очевидно, определяет
поворот окружности | w | — 1 вокруг центра. Задание значения аргу-
мента производной функции w в точке z = z0 полностью определяет
функцию w.
Пример 3. Найти функцию, конформно отображающую экс-
центрическое кольцо
Пусть требуется
ограниченной двумя
Рис. 6.10.
Рг(г=хг)
на концентрическое,
построить конформное отображение области,
окружностями с несовпадающими центрами (рис.
6.10), на какое-либо концентриче-
ское кольцо. Поскольку мы имеем
дело с двухсвязными областями, то
теорема Римана о существовании
конформного отображения здесь
уже не имеет места и, как мы уви-
дим, нельзя произвольно задать
х отношение радиусов окружностей
концентрического кольца, на ко-
торое требуется конформно отобра-
зить заданное эксцентрическое
кольцо. Для удобства дальнейших
рассмотрений положим, что центр
большей окружности С находится
в точке z — 0, ее радиус равен R, а центр меньшей окружности С',
радиуса г, лежит в точке г = а на действительной оси. Найдем точки
и Р2, которые являются симметричными одновременно относительно
обеих окружностей С и С. Очевидно, эти точки лежат на действи-
тельной оси (рис. 6.10). Тогда их абсциссы хг и х2 должны удов-
летворять соотношениям
(Xl — а) (х2 — а) — г2, (6.44)
Xi • х2 = R2. (6.45)
Из (6.44) и (6.45) следует, что и х2 являются корнями квадрат-
ного уравнения
ах2 —- (R2 — г2 -ф- а2) х -j- aR2 = 0. (6.46)
Дискриминант этого уравнения (R2 — г2 ф- а2)2 — 4а2/?2 положителен,
так как имеет место очевидное соотношение R — г > а. Построим
дробно-линейную функцию
г — Х-,
W — X-----1
г—х,
(6.47)
§ 2]
ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
171
где Ху и х2 — абсциссы точек Рт и Р2, найденные из уравнения (6.46).
При отображении, осуществляемом функцией (6.47), окружности С и
С/ перейдут в некоторые окружности К и К' плоскости w, внешняя
к окружностям С и С' точка Р2 — в точку w = со. Симметричная
относительно окружностей С и С' точке Р2 точка должна при
этом перейти в точку, симметричную точке w = относительно
окружностей К и Л7. Но точка, симметричная бесконечно удаленной
точке, есть центр окружности. Следовательно, при отображении (6.47)
точка Рг перейдет в общий центр окружностей К и К'. Тем самым
искомое отображение построено. Заметим, что в выражении (6.47)
у нас остался произвол в определении параметра %, однако изменение
последнего приводит лишь к подобному растяжению плоскости w,
что не может изменить отношения радиусов окружностей получен-
ного концентрического кольца.
Рис. 6.12.
В заключение данного параграфа рассмотрим вопрос о примене-
нии дробно-линейной функции для построения конформного отобра-
жения двуугольников. Двуугольником называется плоская фигура,
образованная пересечением дуг двух окружностей, вообще говоря,
разных радиусов (рис. 6.11). Очевидно, углы при вершинах двууголь-
ника равны друг другу. Пусть дан двуугольник с вершинами в точ-
ках А (гх) и В (г2) и углом а при вершине и требуется построить
конформное отображение внутренней области данного двуугольника
на верхнюю полуплоскбсть Im w > 0. Рассмотрим вспомогательную
функцию
£ = (£ = £ + *!)• (6-48)
?2 — *
Дробно-линейная функция (6.48) производит конформное отображение
полной плоскости z на полную плоскость £, при котором точка z = Zx
переходит в точку £ = 0, а точка z = z2 — в точку £ ±= оо. В силу
кругового свойства дробно-линейной функции при отображении (6.48)
окружности, образующие двуугольник, переходят также в окружности.
172 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ [ГЛ. 6
Но окружность, проходящая через точки £ = О и £ = оо, имеет бес-
конечно большой радиус. Это означает, что при отображении (6.48)
стороны двуугольника перейдут в лучи (/ и //), выходящие из точки
£ = 0, причем угол между этими лучами равен углу а при вершине
двуугольника (рис. 6.12). Итак, функция (6.48) осуществляет конформ-
ное отображение данного двуугольника на плоскости z на сектор
с центральным углом а на плоскости £, причем луч / составляет
с положительным направлением оси £ угол а0, значение которого
определяется положением вершин А и В двуугольника. Как мы видели
выше (гл. 6, стр. 155), функция
Л
w = £ “
(6.49)
являющаяся непосредственным аналитическим продолжением действи-
• Л
тельной функции х “, х >• 0, осуществляет конформное отображение
области внутри сектора а0 < arg £ < а0 Ц-а на полуплоскость ~ л <;
<Z arg w < ~ л + л. Остается перевести полученную полуплоскость
в полуплоскость Im > 0, для чего достаточно произвести поворот
всей плоскости как целое на угол — л, что может быть осуще-
ствлено путем умножения функции (6.49) на комплексное число
е а зт. Итак, окончательно, искомая функция, осуществляющая кон-
формное отображение двуугольника АВ на верхнюю полуплоскость
Im w > 0, принимает вид
(6.50)
Отметим, что конформность отображения нарушается в точках и z2.
Пример 4. Построить конформное отображение верхней поло-
вины круга 1, 1тг>0, на верхнюю полуплоскость Imw>0.
Очевидно, данная область представляет собой двуугольник с вер-
шинами в точках — 1 и г2—1 и углом а = ~ при вершине.
Вспомогательная функция
1+?
Г—г
(6.51)
осуществляет конформное отображение этого двуугольника на пер-
вый квадрант плоскости £, а функция
/1 -4-Z-.2
(6.52)
и дает искомое отображение.
§ 3]
ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО
173
§ 3. Функция Жуковского
Так называется функция комплексной переменной
(6.53)
Эта функция была широко использована Н. Е. Жуковским при реше-
нии многих задач гидро- и аэродинамики.
Функция (6.53), очевидно, является аналитической на всей ком-
плексной плоскости, за исключением точки z ~ 0, представляющей
собой полюс первого порядка данной функции. Вычисляя производ-
ную функции (6.53), получаем
<6-54)
Отсюда следует, что производная функции Жуковского отлична от
пуля во всех точках плоскости z, кроме точек ± 1. Тем самым
отображение, осуществляемое этой функцией, является конформным
в окрестности любой точки z, за исключением, этих двух точек.
Найдем области однолистности функции Жуковского. Предположим,
что две различные точки комплексной плоскости ф г2 переводятся
функцией /(г) в одну и ту же точку плоскости го, т. е.
, 1 .1
Д + т- >
ИЛИ
= (6.55)
Так как zx #= z2, то из соотношения (6.55) следует
г1-га=1. (6.56)
Полученное соотношение означает, что областями однолистности
функции Жуковского являются, в частности, области внутри (|г|<1)
и вне (|г|>1) единичного круга. Обе эти области функцией (6.53)
отображаются конформно на одну и ту же область плоскости w.
Чтобы определить эту область, рассмотрим отображение окружностей
| z | = г0, осуществляемое функцией (6.53). Для этого перейдем к пока-
зательной форме записи комплексных чисел: z = ге{ф — и найдем выра-
жение действительной и мнимой частей функции (6.53):
и (г, <р) = у (r+y) cos ср, v(r, (р) = 1(г —y)sin<p. (6.57)
Положив г = г0 и исключив параметр <р, получим
Т/ “2 + ' (6-58)
174 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ [ГЛ. 6
Из соотношения (6.58) следует, что функция (6.53) отображает кон-
центрические окружности | z | = г0 в эллипсы. Как легко видеть,
фокусы всех эллипсов (6.58) лежат в одних и тех же точках дейст-
вительной оси и:
с = (6.59)
Тем самым функция (6.53) производит отображение семейства кон-
центрических окружностей | z | = г0 плоскости z на семейство софо-
кусных эллипсов плоскости w. При этом, если Г!< 1, то положи-
тельному направлению обхода окружности | z | = соответствует
отрицательное направление обхода эллипса (6.58); если г2 = --~У>^>
то положительному направлению обхода окружности | z | = г2 соот-
ветствует положительное направление обхода эллипса (6.58). При
гх—> 1 эллипс (6.58) вырождается в отрезок [ — 1, 1] действительной
оси и, проходимый дважды. При гх -> 0 эллипс (6.58) переходит
в окружность бесконечно большого радиуса. Тем самым функция
(6.58) производит конформное отображение области внутри еди-
ничного круга | z | < 1 на плоскости z на плоскость w, разрезан-
ную по отрезку [—1, 1] действительной оси. Граница области —
окружность | z | = 1 — отображается на этот отрезок, причем верхняя
полуокружность отображается ' на нижний, а нижняя — на верхний
берег разреза. Аналогично область | z | >» 1 вне единичного круга на
плоскости z отображается на второй экземпляр плоскости w, разре-
занной по отрезку [ — 1, 1] действительной оси, причем верхняя полу-
окружность |г| = 1, 1тг>0, отображается на верхний берег, а ниж-
няя полуокружность | z | = 1, Imz-CO, — на нижний берег разреза.
Тем самым функция Жуковского (6.53) осуществляет конформное
отображение полной плоскости z на риманову поверхность обратной
функции
z = ср (w) = — 1. (6.60)
Риманова поверхность функции (6.60) представляет собой двулистную
поверхность, составленную из двух экземпляров плоскости раз-
резанной вдоль отрезка [— 1, 1] действительной оси. Нижний берег
разреза одного листа склеен с верхним берегом разреза другого
листа, и наоборот. Функция (6.60) является однозначной аналитиче-
ской функцией на своей римановой поверхности, имеющей две точки
разветвления w = ±l, при обходе каждой из которых происходит
переход с одного листа этой римановой поверхности на ее другой
лист. Заметим, что при одновременном обходе обеих точек разветв-
ления w = ± 1 по замкнутой кривой, не пересекающей отрезка [— 1,1],
мы все время находимся на одном и том же листе.
Итак, функции (6.53) и (6.60) устанавливают взаимно однозначное
соответствие между полной плоскостью z и данной римановой поверх-
ностью. Отображение, осуществляемое этими функциями, является
§ 4] ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 175
всюду конформным, за исключением точек z — ± 1, в которых произ-
водная функции (6.53) равна нулю. Заметим, что этим точкам соот-
ветствуют точки w = ±l, являющиеся точками разветвления функ-
ции (6.60), обратной по отношению к функции (6.53).
В заключение найдем образ лучей arg z = <р0 при отображении,
осуществляемом функцией Жуковского. Для этого исключим из соот-
ношений (6.57) параметр г и положим <р = ср0. Тогд!а
cos2 ф0 sin2 фо ‘ 1 7
Соотношение (6.61) означает, что при отображении (6.53) отрезки
лучей arg z = ср0 переходят в ветви гиперболы (6.61). Отметим, что
при любом значении ср0 фокусы этой гиперболы находятся в точ-
ках ± 1. Тем самым функция Жуковского осуществляет преобразо-
вание ортогональной системы полярных координат на плоскости z
в ортогональную криволинейную систему координат, координатными
линиями которой являются софокусные семейства эллипсов (6.58) и
гипербол (6.61).
Как уже отмечалось, функция Жуковского находит весьма широ-
кое применение при решении многих конкретных задач конформных
отображений, особенно связанных с исследованием гидродинамических
проблем. На этих вопросах мы остановимся несколько позже, а сей-
час рассмотрим еще одну функцию, находящую многочисленные при-
ложения.
§ 4. Интеграл Шварца — Кристоффеля. Отображение
многоугольников
Пусть на комплексной плоскости w задан «-угольник с верши-
нами в точках Аъ А2, ..Ап и внутренними углами при этих вер-
п
шинах ct-iJr, a2Jr, .... апп соответственно. (Очевидно, У, аг = л — 2,
г=1
п > 2.) Пусть требуется построить конформное отображение верхней
полуплоскости z на внутренность такого многоугольника. Эта задача
решается с помощью так называемого интеграла Шварца —Кристоф-
феля, изучение некоторых свойств которого и составляет содержание
настоящего параграфа.
Рассмотрим функцию комплексной переменной z, определенную
в верхней полуплоскости '^ с помощью выражения
г
w=/(2) = C + (6.62)
z0
Здесь г0, С, ^ — заданные комплексные постоянные; аъ ..., ап —
действительные числа, расположенные в порядке возрастания; aj, .,.
176
КОНФОРМНОЕ отображение
[ГЛ. 6
ап — положительные постоянные, удовлетворяющие условиям
У az = п - 2, (6.63)
<=1
О < az < 2. (6.64)
В подынтегральном выражении выбраны те ветви функций (£ — az)“z-
которые являются непосредственным аналитическим продолжением
в верхнюю полуплоскость действительных функций (х — а,)“/_| дей-
ствительной переменной х > az. В таком случае функция (6.62)
является однозначной аналитической функцией в верхней полупло-
скости Im z 2> 0. Точки az, лежащие на действительной оси, являются
особыми точками этой функции. Функция (6.62) и называется инте-
гралом Шварца — Кристоффеля. Функция (6.62) при соответствующем
выборе точек az осуществляет конформное отображение верхней полу-
плоскости Imz>0 на область внутри некоторого п-угольника
на плоскости w. Будем вначале считать, что все числа ограничены.
Покажем, что при этом функция (6.62) остается ограниченной всюду
при Im z 2s 0. В силу условия (6.64) интеграл (6.62) остается огра-
ниченным в окрестности особых точек az. Убедимся, что инте-
грал (6.62) остается ограниченным и при z—► оо. Преобразуем подын-
тегральную функцию, использовав условие (6.63):
<ко-С“.+ +%-" (i _
’ -^-$-’...(1(6.65)
Из полученного выражения и следует сходимость интеграла при z-> оо.
Таким образом, интеграл (6.62), являющийся однозначной аналити-
ческой функцией z в верхней полуплоскости Im z > 0, осуществляет
отображение этой полуплоскости на некоторую ограниченную область &
плоскости w.
Посмотрим, в какую кривую при этом переходит действительная
ось плоскости z. Рассмотрим выражение производной функции (6.62):
f (z) = C(z — ai)«i - ‘ ... (z - a„)“„ - >. (6.66)
Из этого выражения следует, что производная функции f(jz) отлична
от нуля всюду в верхней полуплоскости Im z 2= 0, за исключением
особых точек az, в которых она обращается в нуль или бесконеч-
ность. При изменении z на каждом из интервалов < х аА+1
(й=1, ..., п— 1) действительной оси аргумент производной не
меняется. Действительно, в силу указанного выше выбора ветвей
функций (z —а,)“‘-1 аргумент этих функций на данных интервалах
действительной оси принимает значения
(6.67)
| 0, х > aif
§ 4J
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
177
что и доказывает высказанное утверждение. В силу геометрического
смысла аргумента производной *) это означает, что отрезки действи-
тельной оси ah<ix <Ca.kJrl функцией f(z) отображаются также
на прямолинейные отрезки плоскости w. При этом точки ak действи-
тельной оси функцией (6.62) переводятся в точки Ak плоскости w—•
концы соответствующих прямолинейных отрезков на которые
функция (6.62) отображает отрезки действительной оси [ak,
Тем самым функция (6.62), непрерывная и однозначная на действи-
тельной оси, производит отображение действительной оси пло-
скости z на некоторую замкнутую ломаную А^я ... Ап, звеньями
При этом, когда точка z проходит всю действительную ось в поло-
жительном направлении, соответствующая ей точка w совершает пол-
ный обход замкнутой ломаной Лх/12... Ап. Заметим, что, вообще
говоря, ломаная ... Ап может . иметь точки самопересечения
(рис. 6.13, б).
Определим теперь величину углов между соседними отрезками
полученной ломаной. Для' этого рассмотрим, как меняется аргумент
производной (6.66) при переходе z через точку аг Из (6.67) следует,
что при движении точки z по действительной оси в положительном
направлении, при котором особая точка обходится по дуге беско-
нечно малого радиуса в верхней полуплоскости, аргумент производ-
ной изменяет свое значение на величину — л(а,- — 1). В силу геомет-
рического смысла аргумента производной это означает, что величина
угла между направлениями векторов**) А^А, и АгА,-+£ равна
*) Аргумент производной функции f (г) в точке г0 определяет величину
угла, на который нужно повернуть касательную к любой гладкой кривой у,
проходящей через точку z0, чтобы получить касательную к образу этой кри-
вой в точке w0 = f(z0).
**) При этом под углом между направлениями пересекающихся прямых &1г
Ь2 мы понимаем величину угла наикратчайшего поворота, совмещающего пря-
мую bj с прямой Ьг.
.178
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
— л(аг —1). При этом при а;<1 переход от направления вектора
Aj-^i к направлению вектора Д;Д/+1 происходит в положительном
(рис. 6.14, а), а при аг > 1 в отрицательном (рис. 6.14, б) направлении.
Как легко видеть, в обоих случаях величина угла при переходе
в положительном направлении от направления вектора к направ-
лению вектора AiAi-1 равна лаг (рис. 6.14). Если замкнутая ломаная
AjA2 ... Ап не имеет самопересечений, то она ограничивает неко-
торый л-угольник. Если, кроме того, движению точки z в положи-
тельном направлении действительной оси соответствует обход ломаной
AiA2 А„ в положительном направлении, то внутренний угол
Рис. 6.14.
данного л-угольника при вершине Дг, на которую отображается
точка а,- действительной оси плоскости г, равен В силу условия
(6.63) при этом сумма всех внутренних углов данного л-угольника
равна (л — 2) л, как и должно быть.
На основании принципа соответствия границ (теорема 6.4) можно
утверждать, что если ломаная AtA2 ... Ап, на которую функция (6.62)
отображает действительную ось плоскости z, не имеет точек само-
пересечения и сохраняется направление обхода, то функция (6.62)
осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости 1тг>0
на внутренность л-угольника, ограниченного ломаной А^2 ... Ап.
Как показывает детальное исследование, если на плоскости w
задан произвольный л-угольник (известно положение его вершин
А2, ..., Ап и углы при этих вершинах), то всегда можно задать зна-
чения постоянных С, Сх и точки alt ..., а„ действительной оси так,
чтобы соответствующим образом построенная функция (6.62) осу-
ществляла конформное отображение верхней полуплоскости Im z > О
на внутренность данного л-угольника. Мы не будем останавливаться
на доказательстве этого положения *), а ограничимся лишь некото-
рыми замечаниями и примерами.
*) См., например' И. И. Привалов, Введение в теорию функций ком'
плетеного переменного, «Наука», 1967,
§ 4] отображение многоугольников 179
Замечание 1. В формулу (6.62) входит ряд постоянных. Однако
при построении конформного отображения верхней полуплоскости
Im z > 0 на заданный многоугольник ... Ап плоскости w можно
произвольно задавать лишь три точки at, су, ак действительной оси х,
переходящие в какие-либо три выбранные вершины многоуголь-
ника Ait Aj, Ак. При этом остальные постоянные в формуле (6.62)
определяются однозначно. Действительно, (6.62) определяет функцию
2
f(z), связанную с функцией / (z) = (£ — aj)®!_ 1 ... (£ — ал)“л ~1 dt,
линейным преобразованием, представляющим собой преобразование
подобного растяжения, поворота и параллельного переноса. Следова-
тельно, если функция /(z) отображает верхнюю полуплоскость Imz>0
на заданный многоугольник плоскости w, то функция f(z) отобра-
жает эту полуплоскость на многоугольник, подобный данному. При
заданных значениях cq для того, чтобы л-звенная замкнутая ломаная,
на которую отображается функцией /(z) действительная ось, пред-
ставляла бы собой многоугольник, подобный данному, достаточно,
чтобы п — 2 звена этой ломаной были пропорциональны соответствую-
щим сторонам многоугольника. (Два крайних звена полностью опре-
деляются заданием их направлений.) Тём самым мы имеем л—3 урав-
нения относительно л постоянных аг. Если произвольно задать три
из этих постоянных, то остальные из соответствующих уравнений
определятся однозначно. Данное обстоятельство является также след-
ствием теоремы Римана об однозначном определении функции, осу-
ществляющей конформное отображение односвязных областей, при
задании соответствия трех точек границы одной области трем точ-
кам границы другой области. Заметим, кроме того, что положение
заданного многоугольника (заданы длины сторон и величина углов
при вершинах) на плоскости однозначно определяется положением
трех его вершин.
Замечание 2. Мы предполагали, что все числа а,- в фор-
муле (6.62) являются положительными. При этом интеграл (6.62) схо-
дится при всех значениях Im z 0. Если какое-либо число ак отри-
цательно, то при z -> ак интеграл (6.62) расходится. Это означает,
что соответствующая вершина Ак многоугольника Аг ... Ап лежит
в бесконечно удаленной точке w = oo. При этом величину угла при
вершине Ак мы полагаем равной взятой со знаком минус величине
угла между продолжением отрезков АкАк^1 и АкАк+1 в конечной
точке их пересечения. Как легко видеть, при таком определении угол
при вершине Ак равен акл (ак < 0), и в силу условия (6.63) сумма внут-
ренних углов полученного «-угольника с вершиной Ак в бесконечно уда-
ленной точке по-прежнему равна (л —2) л. Данное замечание остается
в силе и в том случае, когда несколько чисел ак отрицательны.
Замечание 3. При исследовании формулы (6.62) мы предпо-
лагали, что все точки а, конечны. Легко освободиться от этого
180
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
условия. Введем новую комплексную переменную t, связанную с z
соотношением
z = a„ —(6.68)
При этом точка z = an переходит в точку t = оо. Данное преобра-
зование означает, что при отображении верхней полуплоскости Im t Z> 0
на внутренность многоугольника •• Ап плоскости w бесконечно
удаленная точка7 = оо отображается на вершину Ап. На комплекс-
ной плоскости t функция (6.62) имеет вид
t
! 1 \“1 - 1 / 1 \ап-1 - 1 ( 1 \“л ~ 1 dt .
w = C\ (ап— ai-- 1 “V 75 +
1 \ I / \ */ \ * / v
1а
t
-ф-Сф = А — ... (т — (/тф-Ср (6.69)
^0
Здесь использовано соотношение (6.63) и введены обозначения
a'i = (а„ - Д/Г1, t0 = —Цг,
ап. 20
,..(a„-a„_x)%_1-i(-l)a„-i.
Соотношение (6.69) означает, что в том случае, когда при конформ-
ном отображении верхней полуплоскости на внутренность много-
угольника ДХД2 А„ бесконечно удаленная точка t = оо переходит
в одну из вершин (Ап), это отображение осуществляется интегралом
Шварца — Кристоффеля (6.69), в подынтегральной функции которого
опущен множитель, соответствующий данной вершине (Д„). Это
обстоятельство часто используется на практике, поскольку, как мы
отметили выше (замечание 1), при решении задач о построении кон-
формного отображения верхней полуплоскости Im z > 0 на заданный
многоугольник плоскости w приходится, в случае большого числа
вершин многоугольника, определять большое число неизвестных.
Рассмотрим некоторые простейшие примеры.
Пример 1. Найти функцию, конформно отображающую верхнюю
полуплоскость Im z > 0 на сектор 0 <; arg w < ал, 0 < а <; 2.
Так как данный сектор представляет собой многоугольник с вер-
шинами Дх (-да = 0) и Д2 (w = °°)> то для решения задачи можно при-
менить интеграл Шварца — Кристоффеля. Установим следующее соот-
ветствие точек действительной оси z вершинам данного многоугольника:
(670)
а2 (z — оо) -> А2 (w = оо).
Тогда согласно (6.69) отображающая функция принимает вид
г
да=/(г) = С^“-1^ + С1.
2о
§ !] ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 181
Положив zo = O и использовав (6.70), найдем, что постоянная СА
равна пулю. Отсюда
= С J = (6.71)
о
Функция (6.71) определена с точностью до постоянного множителя,
определяющего преобразование подобия. Данный произвол связан
с тем, что условия (6.70) содержат требование соответствия лишь
двух граничных точек, а, как мы видели (см. замечание на стр. 163),
функция, осуществляющая конформное отображение, однозначно опре-
деляется заданием соответствия трех граничных точек. Потребовав,
например, чтобы наряду с (6.70) имело место дополнительное соот-
ветствие граничных точек
Z = 1 -> ио = 1,
определим значение оставшейся в (6.71) произвольной постоянной
С —а.
Итак, окончательно, функция
w = za (6.72)
осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости Imz>0
на заданный сектор плоскости ву. При этом в силу указанного выше
выбора ветвей в подынтегральной функции интеграла Шварца —
Кристоффеля (6.62) должна быть взята та ветвь многозначной функ-
ции (6.72)^ которая является непосредственным аналитическим продол-
жением действительной функции ха действительной положительной
переменной х.
Пример 2. Найти функцию, конформно отображающую верхнюю
полуплоскость Imz>0 на прямоугольник А1Д2Д3Д4 (рис. 6.15).
Пусть вершины прямоугольника на плоскости w расположены
в точках A1(w^=a), A2(w = a-\-ib), A3(w = — a-\-ib), A4(w =— a).
Положим, что с помощью некоторой функции (z) произведено кон-
формное отображение первого квадранта плоскости z (Re z > 0,
Im z > 0) на правую половину ОА4А2О’ прямоугольника (рис. 6.15),
при котором положительная часть мнимой оси плоскости z перешла
в отрезок ОО’. Тогда на основании принципа симметрии (см. стр. 159)
функция, являющаяся аналитическим продолжением fi(z) в область
(Re z < 0, Im z > 0), осуществляет конформное отображение данной
области на левую часть исходного прямоугольника. При этом в вер-
шины At и А4 переходят соответственно симметричные точки действи-
тельной оси z. То же имеет место для вершин А2 и А3. Поэтому
можем установить следующее соответствие точек:
a4(z = —At(w — — a).
182
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
[ГЛ. 6
Кроме того, очевидно, должно иметь место соответствие
z = 0 -> w = 0.
(6.74)
Соотношения (6.73), (6.74) устанавливают соответствие трех гранич-
ных точек. Поэтому произвольно задать точку а2 на действительной
оси z, переходящую в вершину А2 прямоугольника, уже нельзя.
Положим, что в вершину А2 переходит точка а2 действительной
1 » й
оси z, имеющая координату у, значение которой будет определено
в дальнейшем. Очевидно, 0<Л<1.
z~~ z=-1 Z=0 Z=1
n ri
Рис. 6.15.
Итак, функция, осуществляющая конформное отображение верх-
ней полуплоскости на заданный прямоугольник, может быть пред-
ставлена в виде
о-=/(г) = С' §(£-1)2 '(5 + 1)^ '(&+1)* ‘ +
Zo
г
+ С1 = С ^=Д=- + Сг (6.75)
Положив го = 0 и использовав соотношение (6.74), получим С^О.
Тогда
Остается определить постоянные С и k из соответствия точек а1
и а2 действительной оси z вершинам и А2. Отметим, что интеграл
(6.76) не выражается в элементарных функциях. Это так называемый
эллиптический интеграл *) I рода, который обычно обозначается
г
F (z, k)= £ . . - = . (6.77)
J К(1-^)(1-^2)
*) См. вып. 1, стр. 236.
§4]
отображение многоугольников.
183
Условия (6.73) дают
dj
(6.78)
Интеграл, стоящий справа, так называемый полный
интеграл I рода
эллиптический
(6.79)
является хорошо изученной и табулированной функцией. Соответ-
ствие точек а.2 (z = -jH А2 (да = а-{- lb) позволяет записать
a “I- lb — (j
£
1 k
di , C di
Г(I - £2) (I - A2£2) J HI - £2) (1 - ^a).
(6.80)
откуда, учтя (6.78), получим
k
ь = с[ Г . Д ---== = cf(-, k\,
J K(£’-i)(r-*2Ca) Г
(6.81)
где через-F^, обозначен интеграл в формуле (6.81). Из (6.78)
и (6.81) при заданных величинах а и b можем, решив трансцендент-
ное уравнение
k\ = bK(k), (6.82)
определить значения постоянных k и С. Тем самым функция (6.76),
осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскости
Im z > 0 на заданный прямоугольник плоскости да, полностью опре-
делена. С другой стороны, если в формуле (6.76) заданы величины k
и С, то эта функция осуществляет конформное отображение верхней
полуплоскости Im z > 0 на прямоугольник плоскости да, отношение
сторон . которого определяется формулой (6.82), а абсолютная
величина сторон — постоянной С. Произвольно изменяя значение этих
постоянных, можно получить конформное отображение верхней полу-
плоскости Im z > 0 на любой прямоугольник плоскости да.
1
о
ГЛАВА 7
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
К РЕШЕНИЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Методы теории функций комплексной переменной весьма широко
и эффективно применяются для решения большого числа математи-
ческих задач, возникающих в различных областях естествознания.
В частности, применение аналитических функций дает во многих слу-
чаях достаточно простые способы решения краевых задач для урав-
нения Лапласа, к которым приводятся различные задачи гидро- и аэро-
динамики, теории упругости, электростатики и т. д. Это определятся тес-
ной связью, существующей между аналитическими функциями комплекс-
ной переменной и гармоническими функциями двух действительных
переменных. В настоящей главе мы остановимся на некоторых общих
вопросах применения аналитических функций .к решению краевых
задач для уравнения Лапласа и приведем ряд примеров решения
физических и механических задач.
§ 1. Общие положения
1. Связь аналитических и гармонических функций. Пусть
в области 2? комплексной плоскости z задана аналитическая функция
f (z) = u.(x, y)-\-iv(x, у). Тогда всюду в этой области функции и и v
связаны условиями Коши — Римана:
ди ди ди dv
дх~ ду’ ду дх'
(7-1)
Так как аналитическая функция имеет в области 2? производные всех
порядков, то и действительные функции и (х, у) и v (х, у) имеют
в соответствующей области плоскости х, у частные производные
любо’го порядка. Это позволяет дифференцировать выражения (7.1)
по переменным х, у любое число раз. Продифференцировав первое
из равенств (7.1) по х, второе —по у и сложив, получим
= х,у^. (7.2)
дхг ' дуг ’ J ' 1
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
185
Аналогично продифференцировав первое из равенств (7.1) по у, вто-
рое — по х и вычтя одно из другого, получим
d2v дги п /701
+ д-2 = °> X, У <=3, (7.3)
дх2 ' ду2 ’ '
откуда следует, чт<г функции и(х, у) и и(х, у) являются гармони-
ческими в данной области плоскости х, у. Итак, действительная
и мнимая части функции f(z), аналитической в области 2?, являются
гармоническими функциями в соответствующей области плоскости
х,. у. При этом данные гармонические функции связаны условиями
(7.1). С другой стороны, если в области 2? плоскости х, у заданы
две гармонические функции и (х, у) и v(x,y), удовлетворяющие в этой
области условиям (7.1), то функция f (?) = и (х, у) iv (х, у) комплекс-
ной переменной z — х1у является аналитической в соответствующей
области плоскости z. Тем самым необходимым и достаточным
условием аналитичности функции f(z) = и (х, у) iv (х, у) в обла-
сти $ является требование, чтобы функции и(х, у) и v(x, у)
были гармоническими и удовлетворяли условиям (7.1) в соответ-
ствующей области плоскости х, у. В гл. 1 (см. стр. 34) было
показано, что заданием лишь одной действительной (или одной мни-
мой) части аналитической функции комплексной переменной последняя
определяется с точностью до постоянного слагаемого. Отсюда сле-
дует, что все аналитические функции комплексной переменной, для
которых заданная гармоническая функция двух действительных пере-
менных является действительной (или мнимой) частью, различаются
только на аддитивную постоянную.
Установленная связь между аналитическими и гармоническими функ-
циями позволяет использовать для изучения различных свойств гар-
монических функций свойства аналитических функций. Так, например,
из формулы среднего значения аналитической функции (см. гл. 1,
стр. 48) непосредственно получается формула среднего значения для
гармонической функции
н(хв, j/0)==^- w(g, Т])</з, (7.4)
°сДо
где точка х0, у0 является центром круга С^о радиуса Ro, целиком
лежащего в области гармоничности функции и (х, у).
2. Сохранение оператора Лапласа при конформном отобра-
жении. Пусть в области 2? плоскости х, у задана гармоническая
функция и(х, у)', т. е.
A« = J“+f24 = 0, х,уе^. (7.5)
дх2 1 ду2 '
С помощью невырожденного преобразования независимых переменных
= у), T] = П (х> У)’ (7-6)
186 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7г
отобразим область 3 плоскости х, у на новую область 3? плоскости
£, т|. Заметим, что задание двух действительных функций (7.6), двух
действительных переменных х, у, эквивалентно заданию в области 3
комплексной плоскости z одной функции £ ~f(z) = £ (х, _у) + гт) (х>У)
комплексной переменной z = xy-iy. При этом функция /(г) осуще-
ствляет отображение области 3 комплексной плоскости z на область
3' комплексной плоскости £. В силу условия (7.7) уравнения (7.6)
однозначно разрешимы относительно старых переменных, и тем самым
в области 3', плоскости %, г] определена функция U (£, т]) — и [х (£, т]),
_у(£, »])]. Выясним, при каких условиях на преобразование (7.6) функ-
ция U (£, т]) будет гармонической функцией переменных £, т). Пред-
полагая, что функции (7.6) дважды непрерывно дифференцируемы
в области 3, выразим частные производные второго порядка от функ-
ции и(х, у) по старым переменным через производные от функции
U (|, г|) по новым переменным:
. д*и т о W е , d2U , .. . ди е . ди
дх2 ~ д£2 ”^2^аг| + dr|2 Ol*) + + dq Лхр
д*и d*U х2 ! О W , d2U \2 I ди t I ди (7’8)
ду2 ~ д12 "* 2 dg <?Т] Му + aq2 М + dq
Подставив эти выражения в (7.5), получим следующее уравнение для
функции U (£, т)):
+ ^(и + ^) + ^(Лхх + М = °- (7-9)
Для того чтобы это уравнение было уравнением Лапласа, должны
выполняться следующие соотношения:
£х» + £ху = 0> »Ы + Л» = °> (7-Ю)
&Л1х + &Яу = ° (7-П)
и
Й + Й = + (7.12)
Соотношения (7.10) означают, что функции £(х, у) и ф (х, у) должны
быть гармоническими в области 3. Перепишем (7.11) в виде
-^- = р(х, J/), (7.13)
41/ rbf
где [г (х, _у) — некоторая, пока неизвестная функция. Тогда соотноше-
ние (7.12) дает
+ = + = + Ф 0.
Отсюда р2 (х, у)= 1 при х, у е 3. Таким образом, неизвестная функ-
ция р(х, у) определена: р = ±1. При р = 1 соотношения (7.13) дают
В* = Др = —.Лх»
§ 1)
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
187
г. е. гармонические в области 3 функции £ и т] должны удовлетво-
рять в этой области условиям Коши — Римана. Это означает, что
функция /(z) = £(x, _y)-|-Zr|(x, ,_у) должна быть аналитической функ-
цией в области 3 комплексной плоскости z. Заметим, что из (7.7)
и (7.12) следует, что отображение области $ на 3' должно быть вза-
имно однозначным, а производная функции /(г) должна удовлетворять
условию /' (г) 0 всюду в области 3. Тем самым отображение
области 2? плоскости z на область 3' плоскости £, осуществляемое
функцией f(z), должно быть конформным.
При р = —1 соотношения (7.13) дают
—Пр ^ = Ла:-
Как легко видеть, в этом случае функция f(z) = | (х, _у) — гт) (х, j»)
должна быть аналитической, а отображение, осуществляемое функ-
цией /(z) = g(x, _y) + ZTl (х, у), должно быть конформным отображе-
нием П рода.
Итак, мы получили окончательный ответ на вопрос, поставленный
в начале этого пункта. При отображении области 3 плоскости z
на область 3' плоскости осуществляемом функцией f(z) —
£ (х, .у) + zr) (х, у), уравнение Лапласа для функции и (х, _у) перей-
дет в уравнение Лапласа для функции U (§, г|) = и [х (£, г|), у (£, т|)]
лишь в том случае, если данное отображение является конформ-
ным отображением I или II рода. Заметим, что при данных отобра-
жениях оператор Лапласа &ху переходит в оператор | f (z) |2 Д^ =
— । Д^п, где z = ср (£) — обратная функция, осуществляющая
конформное отображение области 3' на область 3\ Тем самым даже
простейшее уравнение эллиптического типа с постоянными коэффи-
циентами Ди-|-си = 0, с = const ф 0, при конформном отображении
перейдет, вообще говоря, в уравнение с переменным коэффициентом
Д^Т/ + с|ф'(0|2^ = 0.
3. Задача Дирихле. Полученные в предыдущем пункте резуль-
таты позволяют применить метод конформных преобразований к реше-
нию краевых задач для гармонических функций. Рассмотрим основ-
ную идею этого метода на примере решения задачи Дирихле.
Пусть требуется найти функцию и(х, z), удовлетворяющую
уравнению Лапласа
Д« = 0
в области 3, непрерывную в замкнутой области 3 — 3 Г
и принимающую заданные значения на границе Г:
и(Р)|г = а(Р), (7.14)
где а (Р) — заданная непрерывная функция точки Р контура Г. Как
известно *), решение этой задачи методом разделения переменных
*) См. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математи-
ческой физики, «Наука», 1972.
188
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
может быть получено лишь для ограниченного класса областей
с достаточно простой границей Г.
Метод конформных преобразований дает достаточно универсаль-
ный алгоритм решения, задачи Дирихле для плоских областей. Начнем
с решения задачи Дирихле для круга радиуса а. Введем полярную
систему координат г, ср с началом в центре круга. Тогда функция
а(Р) будет функцией лишь переменной ф. Постараемся выразить зна-
чение неизвестной функции и (г, ф) в произвольной внутренней точке
(г0, Фо) круга через ее граничные значения а(ф). Для этого построим
конформное отображение заданного круга на единичный круг | w | < 1
плоскости w, при котором точка г0, ф0 перейдет в центр w = 0.
Решение этой задачи легко получить с помощью дробно-линейной
функции, рассмотренной в гл. 6 (см. § 2). Отображающая функция
имеет вид
®=/0 = ^ =
г— —
«о
г —гое,(р°
Z-- е‘-<Ро’
(7-15)
где постоянная X выбирается из условия, чтобы граничные точки
z = ae,v заданного круга перешли в граничные точки | w | = 1 еди-
ничного круга плоскости w; при этом = a arg X, определяю-
го
щий поворот круга | w | -g 1 вокруг его центра w = 0, может быть
выбран произвольным. В результате произведенного преобразования
искомая функция и (г, ф) перейдет в функцию U (р, ф) = и [г (р, ф),
Ф(р, ф)|, где р, ф—полярные координаты на плоскости w, связанные
с координатами г, ф соотношением (7.15). При этом заданная гра-
ничная функция а(ф) перейдет в функцию Д(ф) = а[ф(1, ф)]. Так
как функция U (р, ф) является гармонической функцией своих пере-
менных, то ее значение в центре круга может быть найдено по фор-
муле среднего значения (7.4), откуда
2л
и(г0. Фо)==^|®~о==2^ § Л(ф)<7ф. (7.16)
о
Из (7.16) мы получим явное выражение решения задачи Дирихле для
круга, если выразим функцию Л(ф) через первоначально заданную
функцию а(ф). Заметим, что для соответствия граничных точек круга
l^jga и круга | w | eg 1 формула (7.15) дает
а ае^-г^
г0ае‘ч>-а2-
Го
откуда
</ф = 2 , > о—--------------------г <7ф.
а2 + г5 — 2arQ cos (ф — фо) v
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
189
Поэтому, сделав в интеграле (7.16) замену переменной интегрирова-
ния ф = ф (ср), где связь переменных ф и ср определяется формулой
(7.17), получим
2л
1 с л2__rS
И (Го, фо) = $ a2 + rg_2afoC^(y_ ) а (Ф) Лр. (7-18)
о
Формула (7.18) и дает явное аналитическое выражение решения
задачи Дирихле для круга радиуса а через функцию граничных усло-
вий а(ф). Эта формула, носящая название интеграла Пуассона, может
быть получена и рядом других способов, например методом разде-
ления переменных или с помощью функции источника *).
Полученные результаты позволяют в принципе решить задачу
Дирихле для любой области 3, которую можно конформно отобра-
зить на единичный круг | w | 1 плоскости w. Действительно, при
конформном отображении уравнение Лапласа сохраняется, а решение
задачи Дирихле для круга нами получено. Совершив в интеграле
(7.18) или (7.16) замену переменной интегрирования, исходя из связи
граничных точек области 3 и единичной окружности | | = 1 при
данном конформном отображении, мы и получим выражение реше-
ния задачи Дирихле во внутренних точках области через граничную
функцию (7.14).
Пример 1. Решение задачи Дирихле для полуплоскости. Пусть
требуется определить ограниченную на бесконечности функцию и (х, _у),
гармоническую в верхней полуплоскости у Z> 0, непрерывную при
уisO и принимающую заданные значения:
п(х, 0) = сс(х) при_у = 0. (7.19)
Отобразим конформно верхнюю полуплоскость Im z > 0 на внут-
ренность единичного круга | w | <; 1 так, чтобы заданная точка д0 =
~хо-|-гУо (_Уо>О) перешла в центр ®> = 0 этого круга. Как легко
видеть, это преобразование осуществляется дробно-линейной функ-
цией:
®’=/^) = Вт0- . (7-2°)
При этом граничные точки связаны соотношением
e<’1’ = ±z£» (7.21)
X — z0
и граничная функция а(х) переходит в функцию А (ф) = а [х (ф)],
где х(ф) определяется из соотношения (7.21). Заметим, что соотно-
шение (7.21) дает
</ф = ----dx. (7.22)
Y (х-x0)2 + z/j v ’
*) См. A. H. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнение математиче-
ской физики, «Наука», 1972.
190 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Значение искомой функции и (х, .у) в точке х0, у0 определяется интег-
ралом (7.16). Произведя в нем замену переменной интегрирования по
формулам (7.21), (7.22), получим
ОО
« (*о> Jo) = (х х}г,и, a(x)dx, (7.23)
JI J ----Лц)
— СО
что и дает решение поставленной задачи. Формула (7.23), дающая
решение задачи Дирихле для полуплоскости, носит также название
интеграла Пуассона.
4. Построение функции источника. Методы конформного ото-
бражения позволяют построить функцию источника первой краевой
задачи для уравнения Лапласа в плоской области S?, которую можно
конформно отобразить на единичный круг | w | < 1 плоскости w.
Как известно, функция источника О(Л40, М) данной задачи опреде-
ляется следующими условиями:
1)
ДлООИо, Ж) = 0 при М=£М0- (7.24)
2) в окрестности точки Л10
G (7И0, М) = ± In -L- + v (Мп, М), (7.25)
гм„м
где функция v (Af0, М) является гармонической функцией точки М
всюду в области
3)
О(М0, Af)|M6r = O, (7.26)
где Г — граница области 5?. Имеет место следующая теорема.
Теорема 7.1. Если функция w — f (z0, z) осуществляет кон-
формное отображение заданной области г$ плоскости z на внут-
ренность единичного круга | w | < 1 так, что точка z„^.rS пере-
ходит в центр w = 0 этого круга, то функция
0{М„ Л1)_211„[п1_ут (7.27)
является функцией источника первой краевой задачи для уравне-
ния Лапласа в области ’S. Здесь координаты точки М е $ суть
х, у и z = х Ц- 1у.
Доказательство. Для доказательства теоремы проверим, что
функция, определенная формулой (7.27), удовлетворяет условиям
(7-24)—(7.26). Функция f(z, zQ), осуществляющая данное конформное
отображение, является аналитической функцией, причем f(z, г0) ^0
при z z0. Отсюда следует, что и функция
^о) = 1п|/(г, z0)\ + iargf(z, z0)
§ 2] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 191
является аналитической функцией всюду в области 37, за исключением
точки z0. Так как действительная часть аналитической функции есть
функция гармоническая, то условие (7.24) выполнено. Поскольку
/' (г, z0) 0 всюду в области 37, включая и точку z — z0, a f(z, z0) = О,
то точка zn является нулем первого порядка данной функции, т. е.
в окрестности этой точки имеет место разложение
/(z, z0) = [z - z0) ф (z, z0),
где ф (z, zj) — аналитическая в окрестности точки z0 функция, причем
<р(г0, z0) 0. Отсюда следует выполнение условия (7.25) для функ-
ции (7.27). Наконец, так как |/(z, z0)|r = l, то функция (7.27) удов-
летворяет и условию (7.26). Теорема доказана.
Приведем пример применения доказанной теоремы.
Пример 2. Построить функцию источника первой краевой за-
дачи для уравнения Лапласа в полосе —оо <Z.x < оо, 0<_у<л.
Согласно только что доказанной теореме для решения задачи надо
построить конформное отображение данной полосы плоскости z на
внутренность единичного круга |w|< 1, при котором заданная
точка z0 переходила бы в центр круга w — 0. Как легко видеть,
функция, осуществляющая требуемое отображение, имеет вид
f(z0, (7.28)
е2—ег°
Поскольку имеет место соотношение
| ez — ег° | = {(ех cosy — ех° cos_y0)2 -|-(^x sin_y — ех° sin_y0)2}*/« —
Х + Хд _
= е 2 У2 {ch(x-x0)-cos(j/-j/0)}4
то после элементарных преобразований получим искомую функцию
в виде
Ci (М Л/П 1 in 1 1 in ch (* x<>) С08(у + у«) /7 осп
° /И) = 2л 1,1 |/(2о, zj| - 4S 1П ch (x-x0)-cos(</-«/„) •
§ 2. Приложения к задачам механики и физики
1. Плоское установившееся движение жидкости. Будем рас-
сматривать плоское потенциальное установившееся течение несжима-
емой идеальной жидкости. Как известно, в случае потенциального
движения в области, свободной от источников, вектор скорости v (х, у)
удовлетворяет уравнениям *)
rot v = 0,. (7.30)
divv = 0. (7.31)
*) См. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский, Уравнения матема-
тической физики, «Наука», 1972.
192
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
Так как движение потенциальное, то существует скалярная функция
и(х, у), называемая потенциалом скоростей, связанная с вектором
скорости v соотношением
v = grad и (х,у),
(7.32)
т. е. ди ди V- = dx и V> = ^- <7-33>
При этом вектор скорости v в каждой точке течения направлен по
нормали к линии уровня и (х, у) = const потенциала скоростей. Под-
ставив (7.32) в уравнение (7.31), получим
^ + ^==0, (7.34) дх2 ду3 4 7
т. е. в рассматриваемом случае потенциал скоростей является гармо-
нической функцией.
Построим аналитическую функцию комплексной переменной /(z) =
= п(х, y)-\-iv(x, у), для которой потенциал и(х, у) рассматриваемого
течения является действительной частью. Как было отмечено (см.
стр. 34), при этом функция /(г) определена с точностью до по-
стоянного слагаемого. Ранее (см. стр. 35) было показано, что линии
уровня и (х, у) = const и v (х, у) = const действительной и мнимой
частей аналитической функции взаимно ортогональны. Поэтому вектор
скорости v в каждой точке течения направлен по касательной к ли-
нии уровня v(x, у) = const, проходящей через данную точку. Функция
г>(х, _у), являющаяся мнимой частью построенной таким образом ана-
литической функции /(?), называется функцией тока, а сама функция
f(z) комплексным потенциалом течения.
Область течения, ограниченная двумя линиями тока v(x, _у)=С'1
и v(x, у) = С2, называется трубкой тока. Так как скорость жидкости
в любой точке направлена по касательной к линии тока, то в силу
несжимаемости жидкости и станционарного характера движения коли-
чество жидкости, протекающее за единицу времени через любые два
поперечных сечения и S2 трубки тока, остается постоянным. Та-
ким образом, разность значений постоянных и С2 определяет рас-
ход жидкости в данной трубке тока.
Из условий Коши — Римана и формул (7.33) следует, что компо-
ненты скорости могут быть выражены через частные производные от
функции тока:
__ди dv ди ди
дх ду’ ду ~ дх'
(7-35)
Как было отмечено в гл. 1, комплексное число ‘W = vx-]rivy
можно интерпретировать как плоский вектор с компонентами vx и vy.
Имеет место очевидное соотношение
, . ди , . ди ди . dv г, , . „А.
w = Vx ф- iv v = =- ф-I д- = ч-----I -- f (z), (7.36)
л ' У дх ду дх дх J ’
§ 2] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ - 193
которое связывает вектор скорости и производную от комплексного
потенциала течения.
В гидродинамике существенную роль играют понятия циркуляции
и потока вектора скорости. Дадим выражение этих величин через
комплексный потенциал течения.
Рассмотрим кусочно-гладкую плоскую кривую С (разомкнутую
или замкнутую) и введем на ней векторы дифференциалов дуги ds
и нормали dn с помощью соотношений
ds = i dx 4- j dy, (7.37)
dn = i dy — j dx. (7.38)
Имеет место очевидное соотношение n ds — c?n, где п — единичная
нормаль к кривой С, a ds — дифференциал длины дуги этой кривой.
При положительном обходе замкнутой кривой С формула (7.38)
дает направление внешней нормали.
Потоком вектора скорости v через кривую С (разомкнутую или
замкнутую) называется криволинейный интеграл от нормальной состав-
ляющей скорости
Nc = (v • п) ds. (7.39)
с
Очевидно, этот интеграл определяет количество жидкости, протекаю-
щей через кривую С за единицу времени. Интеграл (7.39) запишем
в виде .
Nc = ? v dn = f vx dy — v,, dx = \ ~ dy — ~ dx = ? dx -ф dy.
c J j 5 У dx dy У dx ' dx
c c c . c
(7.40)
При определении подъемной силы, действующей со стороны по-
тока жидкости на обтекаемое им тело, большое значение имеет сте-
пень завихренности потока, которая характеризуется значением цир-
куляции. Циркуляцией вектора скорости вдоль кривой С называется
криволинейный интеграл от касательной составляющей вектора ско-
рости:
rc = $v-ds. . (7.41)
с
Выражая скорость v через комплексный потенциал, получим
Гс == v ds = vv dx -j- vv dy = ? f- dx -ф dy = ? dx — dy.
G J J x 1 y j dx 1 dy J У dx dx
- c c c c
(7-42)
Рассмотрим на комплексной плоскости интеграл вдоль кривой С от
производной комплексного потенциала:
^f'(z)dz= \pxdx-fxdy + i\d^dx+d^dy. (7.43)
С С с
194 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 7
Сравнение (7.40), (7.42) и (7.43) приводит к формуле
[f'(z)dz^rc + i^c- . (7.44)
с
Эта формула, дающая выражейие циркуляции и потока вектора ско-
рости через производную комплексного потенциала, находит много-
численные применения в гидродинамике. Заметим, что если область
в которой рассматривается движение, является односвязной, то интег-
рал (7.44) по любой замкнутой кривой С, целиком лежащей' в 2?,
равен нулю в силу теоремы Коши. В случае движения в многосвяз-
ной области & интеграл по замкнутой кривой С, целиком лежащей
в может быть отличен' от нуля. Это будет иметь место, когда
внутри кривой С содержится область не принадлежащая в ко-
торой находятся источники и вихревые точки рассматриваемого те-
чения. В этой области, очевидно, нарушаются уравнения (7.30) и (7.31).
В частном случае область может состоять из отдельных точек,
которые при этом являются изолированными особыми точками ана-
литической функции f(z) — комплексного потенциала течения.
Итак, всякое плоское потенциальное течение в области, в ко-
торой отсутствуют источники и вихревые точки, может быть
описано с помощью комплексного потенциала, являющегося ана-
литической функцией комплексной переменной. Тем самым для
изучения данногр класса течений может быть использован весь аппа-
рат теории аналитических функций.
Рассмотрим ряд примеров простейших течений,
описываемых элементарными функциями комплекс-
но й п е р е м е н н о й.
а) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид
/(г) = аг, ' (7.45)
где а = -ф ia2 — заданное комплексное число. Тогда
и (х, у) = агх — а%у, v (х, у) — а2х + а2у
и линии тока v (х, у) = С представляют собой прямые, угол наклона
которых к оси х определяется выражением tgoc =——Фор-
ai
мула (7.36) дает
да = vx + ivy=f' (z) = a = ai- ia2, . (7.46)
откуда следует, что скорость течения постоянна и направление век-
тора скорости совпадает с прямыми v (х, у) = С. Итак функция (7.45)
определяет плоскопараллельное течение.'
б) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид
f(z) = a In z, (7.47)
где а — действительное число. Тогда, перейдя к показательной форме
записи z = reI<f>, получим выражение потенциала и функции тока
§2] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ . 195
в полярных координатах: >
к (r> ф) = a In г, v (г, ф) = аф.
Отсюда следует, что линии тока представляют собой лучи, выходящие
из начала координат, а эквипотенциальные линии — окружности
с центром в. начале координат. Абсолютная величина скорости при
этом равна z
(7.48)
а вектор скорости направлен по лучу ф = const. Из (7.48) следует,
что в начале координат скорость обращается в бесконечность. Точка
г = 0, особая точка функции f(z), в этом случае является источником
течения (положительным источником при а > 0, когда скорость на-
правлена от начала координат, и отрицательным источником или сто-
ком при а<0, когда скорость направлена к началу координат). Взяв
произвольный замкнутый контур С, содержащий точку z — О внутри,
по формуле (7.44) получим
f f (z) dz — f — dz — 12ла ,^= Гс iNc.
ё ё 2
Отсюда Д7с = 2ла. Тем самым в рассматриваемом случае поток жид-
кости через любой замкнутый контур, содержащий внутри источник,
постоянен и равен 2ла. Эту величину называют мощностью источника.
в) Пусть комплексный потенциал имеет вид
f(z) = la in z, (7.49)
где а— действительное число. В этом случае линии тока представ-
ляют собой концентрические окружности с центром в начале коор-
динат. Из формулы (7.44), так же как и в предыдущем случае, по-
лучим Nc — 0, Гс = —2ла. Точка z = 0 в этом случае называется
вихревой точкой течения.
г) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид \
f(z) = a In (z + h) — a In (z — h), (7.50)
где a — положительное действительное число, a h — некоторая комп-
лексная постоянная. Согласно предыдущему этот потенциал опреде-
ляет течение с положительным источником в точке z = — h и стоком
в точке z = -\-h, причем мощность источника и стока одинакова и
равна 2ла. Перепишем (7.50) в виде
/(г) = а2й-^(^^1п-<г--й>
и перейдем к пределу при h -> 0, полагая, что мощность источника
и стока при этом возрастает так, что величина т — a2h остается
19$
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
постоянной. В результате получим
/о(г)=™- (7-51)
Функция (7.51) представляет собой комплексный потенциал диполя
мощности т, находящегося в начале координат. Линии тока диполя,
очевидно, определяются уравнениями
_ ту -с
&+у2
или
С'(х24->2) + /77у = 0, (7.52)
т. е. представляют собой окружности с центрами на оси у, касаю-
щиеся оси х в начале координат. При этом абсолютная величина
скорости, равная
<7.53)
стремится к нулю на бесконечности.
д) Рассмотрим течение^ комплексный потенциал которого имеет
вид
/(г) = У00г + -^, v (7.54)
где vra и т — положительные действительные числа. Очевидно, это
течение представляет собой суперпозицию плоскопараллельного тече-
ния со скоростью, параллельной оси х и равной v^, и течения, соз-
даваемого диполем мощности т, находящимся в начале^ координат.
Линии тока этого течения определяются уравнениями
= (7.55)
Значению С — 0 соответствует линия тока, уравнение которой имеет
вид
/ т \ п
Она распадается на прямую у = 0 и окружность х2 +_у2 = а2, где
ft tTt Гр
а2 —-----. 1 ак как
Voo
f (г) = Vco--jp = Vco1 - (7.56)
то на бесконечности скорость течения равна и направлена вдоль
оси х. В точках окружности х2 -\-у2 = а2, являющейся линией тока,
скорость направлена по касательной к этой окружности. Для абсо-
лютной величины скорости в точках окружности z = ае1ф из фор-
§ 2] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 197
мул (7.36) и (7.56) получим
Iw 11 и = а = \f4z)\ I и = a = vOT I 1 - I = 2vco I sin Ф I. (7.57)
В рассмотренных примерах мы-по заданному комплексному потен-
циалу определяли гидродинамические характеристики течения. Перей-
дем теперь к решению в определенном смысле обратной задачи,
задачи об определении комплексного потенциала течения по его
гидродинамическим характеристикам. Заметим, что поскольку физи-
ческая скорость течения выражается через производную комплексного
потенциала (см. формулу (7.36)), то сам комплексный потенциал для
заданного течения определяется неоднозначно. Однако его производ-
ная является однозначной аналитической - функцией. Это означает,
что в окрестности любой правильной точки течения имеет место раз-
ложение
СО
f'W=- 2 an(z-Zo)n, (7.58)
n = 1
а в окрестности изолированной особой точки— разложение
оо
/'(z)= 2 bn(z — z0)n. , (7.59)
п = — со
Из (7.59) для комплексного потенциала в окрестности особой точки z0
получим разложение
• со
/(г) = />_11п(г-г0)+ 2 cn(z-z„')n. (7.60)
п = — 00
В частности, если бесконечно удаленная точка zrja принадлежит обла-
сти течения и комплексная скорость
= (vjco + i (v^co
течения в этой точке ограничена, то разложение комплексного по-
тенциала в окрестности точки _гот имеет вид
ОО
f(z) = + In z + (7.61)
п=0
Отсюда получим
jj f (г) dz = (7.62)
CR
где CR — окружность | z j = R достаточно большого радиуса R, вне
которой нет особых точек функции f(z), за исключением точки zx.
С другой стороны, в силу формулы (7.44) интеграл (7.62) определяет
поток и циркуляцию вектора скорости через кривую С %. Так как
198 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИЙ [ГЛ.-7
скорость в точке Зое ограничена, то эта точка не является источником,
поэтому поток вектора скорости через кривую Сд равен нулю, и
формула (7.62) дает
= Го,.
Выпишем окончательное разложение комплексного потенциала в окре-
стности бесконечно удаленной точки, являющейся правильной точкой
течения:
Г 00
/(г) = ^ + 2“1пг+2 <7-63)
л=0
Рассмотрим теперь задачу обтекания замкнутого контура пло-
скопараллельным потоком. Пусть поток, имеющий на бесконечности
заданную скорость и циркуляцию Г», обтекает тело S, ограни-
ченное замкнутым контуром С. Требуется определить скорость в любой
точке потока по заданным гидродинамическим характеристикам на
бесконечности при условии, что в точках контура С скорость течения
направлена по касательной к контуру С. Последнее условие означает,
что кривая С представляет собой линию тока рассматриваемого тече-
ния, т. е. мнимая часть комплексного потенциала, описывающего данное
течение, должна сохранять постоянное значение на кривой С
' v (х, у) |с = const. (7.64)
Задача сводится к определению вне контура С на комплексной пло-
скости аналитической функции f(z), в разложении (7.63) которой за-
даны значения и Гю, а на контуре С выполняется условие (7.64).
Так как комплексный потенциал определен с точностью до постоян-
ного слагаемого, то значение постоянной в условии (7.64) можно по-
ложить равным нулю.
Начнем с задачи обтекания кругового Цилиндра радиуса R с цент-
ром в начале координат. Пусть скорость потока на бесконечности
равна ует и направлена параллельно оси х, а циркуляция отсутствует,
Гео = 0. Мы должны найти комплексный потенциал, разложение ко-
торого в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид
СО .
/(z) = Vooz+ 2 > - (7-65)
п=0
и мнимая часть которого обращается в нуль при |г|=Я Комплекс-
ный потенциал такого типа был нами уже рассмотрен в примере д)
на стр. 196. Поэтому решение данной задачи имеет вид
= + (7.66)
При этом скорость в точках, лежащих на обтекаемом цилиндре, оп-
ределяется формулой (7.57), откуда следует, что она обращается
§ 2] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И. ФИЗИКИ 199
в нуль в двух критических точках: в точке z = — R, в которрй ли-
ния тока у = 0 разветвляется на две линии тока, совпадающие с верх-
ней и нижней полуокружностями | z I = R, и в точке z — R, в которой
эти линии тока сходятся опять в прямую у = 0. Эти точки назы-
ваются точкой разветвления и точкой схода соответственно. Заметим,
что если скорость потока па бесконечности не параллельна оси х,
а имеет вид = v00e‘4>°, то с помощью преобразования £ =
мы приходим к уже рассмотренной задаче на плоскости £. Тогда для
решения исходной задачи получим выражение
ш У?2
,(7.67)
Пусть теперь циркуляция Гот не равна нулю. Как мы видели выше
(см. пример в) на стр. 195), линии тока у течения с комплексным по-
тенциалом la In z (а — действительное число) представляют собой кон-
центрические окружности- с центром в начале координат. Поэтому
комплексный потенциал течения, обтекающего круговой цилиндр
радиуса R с заданной скоростью на бесконечности v^, и заданной
циркуляцией Гет, имеет вид
/ /?2\ Г
/(г) = Voo (г + + 2^ I" (7:68)
Найдем критические точки течения, в которых скорость течения об-
ращается в нуль. Согласно формуле (7.36) имеем
/ 7?2' Г
Отсюда
г
+ = 0 (7.69).
1 2mvOT .
И
(7.70)
кр 4nvM у 16n2vj-,
При RS^
4nvco
подкоренное выражение в (7.70) положительно. По-
этому
I гкр I = у/ R2 — 16л2у^ + 16n2V^
т. е. обе критические точки находятся на окружности | z | = R обте-
каемого цилиндра, причем при Гот>0 (Voo>0) обе точки лежат на
верхней, а при Г«,<0 (у«,>0)-на нижней полуокружности. Тем
самым наличие циркуляции сближает точки разветвления и схода ли-
200
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
ги
4nv,
ний тока (рис. 7.1). При
дают (с точкой z = iR при Гоо>0 или точкой z —— IR при Гсо<; 0).
Наконец, при
критическая точка, лежащая па мнимой оси у. (Как следует из урав-
нения (7.69), произведение корней этого уравнения равно — R2, по-
этому вторая критическая точка лежит внутри окружности | z | — R.)
Через эту точку проходит линия тока,
отделяющая замкнутые линии тока
течения от незамкнутых (рис. 7.2).
Гоо
4лу,
= 7? обе критические точки совпа-
>7? в области | z | > R остается лишь одна
Рис. 7.2.
Полученные результаты позволяют в принципе решить задачу об-
текания произвольного замкнутого контура С. Действительно, пусть
функция £ = <р (г) осуществляет конформное отображение области S
комплексной плоскости z, внешней контуру С, на область S' пло-
скости £, внешнюю единичной окружности |£!=1, так что <р(оо) =
= оо. Тогда, очевидно, рассматриваемая задача оказывается эквива-
лентной задаче обтекания кругового цилиндра единичного радиуса.
При этом скорость потока на бесконечности, которая, вообще говоря,
изменится, может быть легко определена. Комплексный потенциал f(z)
исходного течения при данном конформном преобразовании перейдет
в функцию F (£) = f[z (£)]. Поэтому по формуле (7.36) найдем
_ df I _ df_ I dz I - - dz I
00 dt, k = co dz |г = оэйСк=со 12,00
и
W'co =
dz
В силу формул (7.67) и (7.68) решение преобразованной задачи
имеет вид
F(O=l« + -f
§ 2]
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ.. И ФИЗИКИ
201
Отсюда для решения исходной задачи получим выражение
/(2) = F К И] = g |t _ <р и Ч----------+ £ ш ф ы. (7.71)
В качестве примера рассмотрим бесциркуляционное обтекание
бесконечной пластинки плоским потоком жидкости. Пусть плоскость
х, у пересекает пластинку по отрезку — a х «g а, а вектор ско-
рости потока лежит в плоскости х, у. и на бесконечности имеет за-
данное значение Как следует из рассмотрения свойств функции
Жуковского (см. гл. 6, стр. 173), функция
осуществляет конформное отображение внешности единичного круга
плоскости £ на плоскость г, разрезанную по отрезку — а й" х а.
При этом ф(оо) = оо и ~ = о~. Поэтому рассматриваемая за-
ас, |£ = ео 2
дача эквивалентна задаче обтекания без циркуляции кругового ци-
линдра единичного радиуса на плоскости £ потоком, имеющим на
бесконечности комплексную скорость Комплексный по-
тенциал последней задачи имеет вид
а / ai \
Р ® = '2 \те’=°£ + ' t ’
Подставим сюда вместо £ и
* найденные из (7.72) величины
5. г -|- Уг2 — о2 1 z — |Tz2 — а2
а ’ X а '
Здесь Дг2 —а2>0 при z — x>a. Разобьем на действительную
и мнимую части:
И’с» = (Vx)oo +1 (уДо.
Тогда для комплексного потенциала исходной задачи получим окон-
чательное выражение
/(2') = (vJo=2’ —^(У^ооК-г2 —а2. (7.73)
В заключение найдем силу, действующую со стороны потока на
обтекаемое им тело. Сила давления, действующая на элемент ds дуги
контура С, пропорциональна гидродинамическому давлению р в дан-
ной точке потока и направлена по направлению внутренней нормали
— dn = —i dy -f- j dx. Поэтому для компонент силы, действующей на
контур С, получим выражения
Rx = — \pdy, Ry = \pdx.
с с
202 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Определив гидродинамическое давление р из интеграла Бернулли:
. pv2
Р = А-^,
где А — постоянная, а р —плотность жидкости, и введя комплексную
величину R = Ry + IRX> получим
R = — у ( v2 (dx — idy) = — -j-- ? v2 dz. (7.74)
с ' 'с
(Интеграл от постоянной А по замкнутому контуру С, очевидно, ра-
вен нулю.) Преобразуем интеграл (7.74). Так как в точках контура С
скорость направлена по касательной к контуру, то комплексная ско-
рость течения и» связана с величиной физической скорости v соот-
ношением w = ve,t₽, где ср —угол между касательной к контуру и
осью х. Тогда формула (7.36) дает ve~i<( — f (z). G другой стороны,
dz — dse~i<f. Поэтому v2 dz = v2e~i2>f ds eiif =f'2 dz,' и формула (7.74)
примет вид
R = ?/'2(z)<fe. (7.75)
ё
Это так называемая формула. Чаплыгина, выражающая силу, дейст-
вующую со стороны потока на обтекаемое им тело, через производ-
ную комплексного потенциала. Из выражения (7.63) для комплексного
потенциала вне обтекаемого тела получим
ОО
. /Чг)=^+~-т+ 2^.
л-= 2
Г V Ьп
2-А- -
п =2
Следовательно,
$/'2(г)<7г = 2^юГю.
с
Подставив это выражение в формулу (7.75) и отделив
ную и мнимую части, найдем
Rx = р (Уу)ооГСХЭ) Ry — Р Се^ооГоо.
Отсюда
I R I ~ Р I voo ; • I Гоо !.
действитель-
нее)
(7.77)
Формула (7.77) представляет собой теорему Жуковского о подъем-
ной силе: сила давления безвихревого потока, имеющего на беско-
нечности скорость vOT и обтекающего контур С с циркуляцией
§ 2] ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 203
Г, выражается формулой | R | = р | Vo, | • | Г [. Направление этой силы
получается поворотом вектора на прямой угол в сторону, проти-
воположную циркуляции.
Использование аппарата аналитических функций комплексной пе-
ременной позволило Н. Е. Жуковскому и С. А. Чаплыгину развить
методы решения задач гидро- и аэродинамики, послуживших теоре-
тической основой для практики авиастроения. Тем самым методы
теории функций комплексного переменного -сыграли огромную роль
в развитии современной авиации.
2. Плоское электростатическое поле. Методы теории функций
комплексной переменной, использованные в.предыдущем пункте для
изучения плоского потенциального течения идеальной жидкости, могут
быть столь же успешно применены и при исследовании любого
плоского векторного поля иной физической природы. В этом пункте
мы рассмотрим применение данных методов к решению некоторых
задач электростатики.
Задачи электростатики заключаются в определении стационарного
электрического поля, создаваемого в среде заданным распределением
зарядов. В зависимости от постановки конкретной физической задачи
задаются или плотность распределения 'зарядов как функция коорди-
нат, или полный заряд, распределенный на поверхности идеального
проводника. В последнем случае основная цель исследования заклю-
чается в определении плотности распределения зарядов на поверх-
ности проводника.
Чтобы"получить основные уравнения для вектора напряженности
электростатического поля, будем исходить из общей системы урав-
нений Максвелла *) в изотропной среде:
.u 1 3D । 4л .гт . , г- 1. дВ
rot Н = ~ 4- — jCT, rot Е -------1
л: dt 1 с J ’ с St ’
div D = 4лр, div В = 0,
D = еЕ, В — pH.
В случае стационарного электромагнитного поля уравнения Макс-
велла для вектора Е напряженности электрического поля в одно-
родной среде принимают вид
rotE = 0, divE = ^p, (7.78)
где е — диэлектрическая постоянная среды, а р —плотность стати-
ческих зарядов, создающих данное поле. В дальнейшем будем считать
е = 1 и будем рассматривать плоскую задачу, когда заряды, создающие
поле, распределены в пространстве так, что плотность их распреде-
ления не зависит от одной из координат (например, от координаты г),
а является функцией лишь двух других координат, т. е. р = р (х, у).
*) См. И. Е. Тамм, Основы теории электричества, «Наука», 1966.
204
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
Очевидно, при этом вектор Е имеет лишь две отличные от нуля
компоненты, которые также являются функциями лишь координат х, у:
Е (х, у) = \ЕХ (х, у) + \Еу (х, у). (7.79)
В силу первого из уравнений (7.78) поле Е является потенциальным:
Е (*, У) = ~ grad v (х, у), £'л = —£>== —g, (7.80)
причем па основании второго из уравнений (7.78) функция v(x, у)
удовлетворяет уравнению
Ди = — 4лр (х, у). (7-81)
Из (7.81) следует, что в области, свободной от зарядов, потенциаль-
ная функция v(x, у) является гармонической. Поэтому в этой области
можно построить аналитическую функцию комплексной переменной
/(г) = и (х, у) -ф iv (х, у), (7.82)
для которой потенциальная функция v(x, у) данного электростати-
ческого поля является мнимой частью.
Функция (7.82) называется комплексным потенциалом электро-
статического поля. Линии уровня v(x, у) = С называется эквипо-
тенциальными линиями данного поля. Из формул (7.80) следует, что
вектор напряженности Е в'каждой точке эквипотенциальной линии
ц(х,. у)=-С направлен по нормали к этой линии. Так как линии
ц(х, у)~С и и(х, у) = С взаимно ортогональны, то направление
вектора Е совпадает с касательной к линии и(х, у) —С в каждой
точке этой кривой. Поэтому линии и(х, у) = С являются силовыми
линиями данного поля.
Сопоставим вектору Е комплексное число w = Ех ф- 1Еу. Тогда на
основании (7.80) и условий Коши —Римана получим
г. , . г. dv . dv dv . ди
W — Ex-{ iEy — — дх~1ду ~ “ di~ldx~
= — i - i= — z/7^). (7.83)
\dx dx] j \ \ /
Отсюда
|E| = |/W (7.84)
Формулы (7.83) и (7.84) дают выражение компонент вектора на-
пряженности электростатического поля в области, свободной от за-
рядов, через производную комплексного потенциала.
Пусть заряды, создающие данное электростатическое поле, сосре-
доточены в некоторой области, ограниченной замкнутой кривой Со *)•
*) Это означает, что в пространстве заряды распределены .внутри беско-
нечного цилиндра, контуром поперечного сечения которого является кривая
Со, причем плотность распределения зарядов не зависит от координаты 2
вдоль образующей цилиндра, а является лишь функцией координат х, у в
поперечном сечении.
§2] приложения к задачам механики и физики 205
Тогда интеграл по любому замкнутому контуру С, содержащему Со
внутри, от нормальной составляющей напряженности электрического
поля, согласно теореме Гаусса *), равен суммарному заряду (отне-
сенному к единице длины цилиндра, в котором распределены заряды
в пространстве):
\Ends = 4jte. (7.85)
с
На основании формул (7.80), (7.37), (7.38), учитывая соотношения
Коши—Римана, получим
ft,, Г ди , dv ,
\ Е„ ds = \ ах — dy.
J " J дх дх J
С с
Так как электростатическое поле всюду потенциально, то циркуляция
этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е.
? Esds — — dx Jr ди- dy — 0.
.) 5 л дх 1 дх J
с с
Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру С от производной комп-
лексного потенциала:
[f'(z)dz = i-dx-^dy + li ^dx + ~dy. (7.86)
) J v 7 J dx дх у dx 1 dx v 7
c C C
Сравнение приведенных выше формул дает
§ f (z) dz = Jj En ds — 4ле, (7.87)
c c
т. e. заряд, заключенный внутри области, ограниченной контуром
С, определяется интегралом по этому контуру от производной
комплексного потенциала электростатического поля, создаваемого
данным распределением заряда. Если Со представляет собой контур
поперечного сечения идеально проводящего цилиндра, то весь заряд
сосредоточен на его поверхности с поверхностной плотностью о($),
причем
^a(s)ds = e. (7.88)
с„
Как известно **), имеет место соотношение
(L89)
С другой стороны, из (7.83) и (7.89) получим
Q(S) = ±_4L|/'(z)1Ca. (7.90)
*) См. сноску на стр. 203.
**) См. сноску на стр. 203.
206
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ’ФУНКЦИЙ ' [ГЛ. 7
Знак в формуле (7.90) определяется знаком суммарного заряда е,
распределенного на поверхности данного идеально проводящего про-
водника. Формула (7.90) .находит многочисленные приложения при
решении различных задач электростатики.
Заметим, наконец, что, так же как и в задачах гидродинамики,
производная комплексного потенциала f (z) на основании (7.83) яв-
ляется однозначной аналитической функцией z. Если напряженность'
данного электростатического поля ограничена на бесконечности, то
разложение f (г) в окрестности точки z = оо имеет вид
СО
п = 1
Отсюда для самого комплексного потенциала получим разложение
/(г) = + е0 + A In z + > • <7-9 9
п = 1
Так как
СЯ
где контур Сд содержит все заряды, создающие данное поле, внутри,
то из (7.87) получим окончательное разложение комплексного потен-
циала в окрестности точки z = со в виде
СО '
/(z)==a>0Oz-/2Hnz+ 2 (7.92)
п — 0
Как мы видим, комплексный потенциал электростатического поля
имеет чрезвычайно много общего с комплексным гидродинамическим
потенциалом *). Поэтому исследование плоского электростатического
поля с помощью комплексного потенциала может быть проведено
теми же методами, что и решение соответствующих гидродинамиче-
ских задач. Так, все примеры течений, рассмотренные на стр. 194—
196, допускают простую электростатическую интерпретацию.
Например, рассмотрим электростатическое поле, описываемое
комплексным потенциалом
f(z) = — 12е In z, <?>0. (7.93)
*) Очевидно, то, что потенциальная функция в электростатике является
мнимой частью комплексного потенциала, а в гидродинамике потенциал ско-
рости является действительной частью комплексного потециала, представляет
собой несущественное различие, которое может быть устранено введением до-
полнительного множителя, равного —i. Однако мы придерживаемся установив-
шейся терминологии, при которой имеет место указанное различие.
§2] ПРИЛОЖЕНИЯ К,ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И'ФИЗИКИ ' 207
Введя полярные координаты г, ф и учтя, что z = получим
v (г> ф) = — 2е In | г | = 2е In у, и (г, ср) = 2е arg z = 2еср.
Отсюда следует, что эквипотенциальными поверхностями данного
поля являются концентрические окружности с центром в начале ко-
ординат, а силовыми линиями —лучи ф== const. Вектор Е в каждой
точке z -ф 0 направлен по лучу ф = const, а по абсолютной величине
в силу формулы (7.84) равен
. |Е| = |/'(Х>| = у-
Так кщс интеграл по любой окружности | z | == г от нормальной,
составляющей напряженности данного поля имеет постоянное значе-
ние, равное 4ле, то, очевидно, это поле создается точечным зарядом
величины е, находящимся в начале’ координат (в пространстве заряды,
создающие данное поле, распределены с постоянной плотностью е
вдоль прямой, перпендикулярной плоскости х, у и проходящей через
начало координат).
Рассмотрим некоторые типичные задачи элект-
ростатики, которые могут быть решены с помощью
комплексного потенциала.
а) Определение плотности распределения заряда на идеально
проводящем проводнике. Пусть боковая поверхность идеально про-
водящего проводника представляет собой бесконечный цилиндр, попе-
речное сечение которого ограничено контуром С. Предположим, что
плотность распределения заряда постоянна вдоль образующих цилин-
дра и на единицу длины цилиндра приходится заряд е. Требуется
определить поверхностную плотность заряда cr(s) на контуре С попе-
речного сечения. Очевидно, решение данной задачи дается формулой
(7.90) при нормировочном условии (7.88). Тем самым задача сво-
дится к построению комплексного потенциала f(z), являющегося
аналитической функцией вне контура С, при условии, что мнимая
часть /(z) имеет постоянное значение на контуре Сив окрестности
точки z = co разложение /(z) дается формулой (7.92), где «>00 = 0,
а коэффициент е равен заряду, приходящемуся на единицу длины
проводника.
Начнем с простейшего случая, когда проводник представляет собой
круговой цилиндр единичного радй'уса. Выше было показано
(см. стр. 206), лто эквипотенциальные линии комплексного потен-
циала (7.93) представляют собой концентрические окружности с цент-
ром в начале координат. Поэтому, чтобы удовлетворить условию
на границе проводника, естественно искать потенциал данного поля
в виде
/(z) = —IC in z,
208
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
где С — постоянная, подлежащая определению. Из условия на беско-
нечности (7.92) получим С — 2е. Тогда формула (7.90) дает очевидный
результат
Если контур поперечного сечения проводника представляет собой
произвольную замкнутую кривую С, то осуществив с помощью
функции £ = <p(z) конформное отображение области вне контура С
на внешность единичного круга | £ | > 1 так, чтобы удовлетворялось
условие <р(оо) = оо, мы сведем задачу к только что решенной. Тем
самым комплексный потенциал будет иметь вид
f(z) = — 12е In ср (г), (7.94)
а для плотности поверхностных зарядов согласно (7.90) получим вы-
ражение
, , 1 I л , м в I 1 dU е I dt, | е 1 dz I-1 п_.
— 4л ^\с~ 2л |ф(г) ' dz |с — 2л | dz |с ~ 2л | Д |;E| = i ’ (7-95)
В качестве примера рассмотрим задачу об определении плотности
заряда на полосе ширины 2а. Пусть данная полоса пересекает пло-
скость х, у по отрезку —a <х <Za. Функция
производит конформное отображение внешности единичного круга
плоскости £ на плоскость z, разрезанную по отрезку действительной
оси —a<Zx <ia. Поэтому формула (7.95) дает
°(х) = 2л Ын1 = 1 = = 1 • (7’9б)
Так как
® а
и
С2 -1 = 1 - а2+Z = ^F-g2 U + ,
то формула (7.96) дает
, ч еа 1 1 el
О (х) = — • - . — • j-—7-—- ----------= — • -г- — . (7.97)
2л р а2 —х2 I x-f-i l^a2 — х2 |_а<х<а 2л а2— х2
Заметим, что плотность заряда неограниченно возрастает при прибли-
жении к краю пластины. Этот факт имеет простой физический смысл.
Край пластины .имеет бесконечную кривизну, и для того, чтобы за-
рядить его до некоторого потенциала, надо поместить на него беско-
нечный заряд.
§ 2] .ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
209
б) Определение поля бесконечного плоского конденсатора.
Пусть требуется найти электростатическое поле между двумя заряжен-
ными до некоторого потенциала идеально проводящими непересекаю-
щимися цилиндрическими поверхностями, образующие которых парал-
лельны между- собой, а направляющие проходят через бесконечно
удаленную точку плоскости z (рис. 7.3). В этом случае задача со-
стоит в определении в криволинейной полосе $ комплексного потен-
циала /(г), представляющего собой аналитическую функцию, мнимая
часть которой принимает постоянные значения и v2 на кривых
С\ и С2. Очевидно, аналитическая функция w=f(z) осуществляет
конформное отображение данной криволинейной полосы плоскости z
на полосу плоскости а>, ограниченную прямыми Imw = w1, lmtiy = T>2.
Тем самым для решения данной задачи достаточно построить указан-
ное конформное отображение.
В качестве примера найдем поле конденсатора, изображенного на
рис. 7.4, если значения потенциала на кривых С\ и С2 соответственно
равны 0 и 1. Предварительно найдем функцию 2' = tp(g), осущест-
вляющую конформное отображение верхней полуплоскости £, 1т£>0,
на данную криволинейную полосу 3 плоскости z. Так как область 3
представляет собой треугольник *) т0 искомое отображение
можно получить при помощи интеграла Шварца — Кристоффеля (см.
гл. 5, § 4). Установим следующее соответствие точек действительной
оси плоскости t, и вершин треугольника:
А->С = о,
Л2->£ = со,
Так как углы при вершинах треугольника соответственно равны
ла1 = 0, ла2 =—ла и ла3 — л (1 -ф а), то искомый интеграл должен
иметь вид
£
г = С $^(1-ф£)“</£ +С(. (7.98)
So
*) Заметим, что вершины AL и Аг находятся в бесконечности.
210 ; ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ [ГЛ. 1
Из соответствия точек A3(z = lh) и 2 =—1 следует, что при 2о —
= —1 получим
. z = C J ^^-dZ + lh. (7.9.9)
— i
Чтобы определить постоянную С, заметим, что обходу точки 2 = 0
в верхней полуплоскости по дуге полуокружности бесконечно малого
радиуса р в направлении против часовой стрелки соответствует пере-
ход со стороны А2Аг на сторону А±А3. При этом приращение z равно
Аг = ih!
С другой стороны, из (7.99), положив £ = и перейдя к пределу
при р—>0, получим
Дг = iC lim ((1 регф)а dtp = inC.
p->ooJ
Отсюда C = -^-, .и окончательное выражение для интеграла (7.99)
имеет вид
г = А ^<!+01d£+/ft.
Я J 5
— 1
Функция 2 = еяк> осуществляет конформное отображение полосы
0< Im w< 1 плоскости w на верхнюю полуплоскость £. Поэтому функция
ettw
z = - С (1+^а^-|-//г (7.100)
л V ь
— 1
осуществляет конформное отображение полосы 0<Imw<l пло-
скости w на данную криволинейную полосу 2? плоскости г. При этом
прямая Imw = 0 переходит в нижнюю обкладку конденсатора Д1А,,
а прямая Im w= 1 —- в верхнюю обкладку, представляющую собой
ломаную Из формулы (7.100) при v — Im w = const получим
параметрические уравнения потенциальных кривых данного электро-
статического поля. Например, в частном случае при а = 1 интеграл
(7.100) вычисляется в элементарных функциях:
г = (1 4~ л w -J- enw).
Тогда параметрические уравнения эквипотенциальной кривой v = v0 =
— const (0 1) принимают вид
h
х = — (1 -j- mt -|- cos лт>о • еяи),
А —оо<и<;оо,
^ = - - (лп0 + sin лт»о • ея“).
§ 2) ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 2Н
В частности, уравнение средней эквипотенциальной линии
имеет вид
h , h ~сх~х
У—2 + пеН
Эквипотенциальные линии, соответствующие различным значениям v,
приведены на рис. 7.5. При
•Гтах ПО формуле
_ h [ 1 \ '
Vmax л 11 \ COS Jll'o / ‘
Полученные результаты
легко позволяют определить
то расстояние от края кон-
денсатора, изображенного
на рис. 7.5, на котором поле
конденсатора с заданной
степенью точности можно
считать плоским.
Вообще, методы кон-
формных отображений ши-
роко используются при ра-
счете плоских электростатических и магнитостатических линз, при-
меняемых для фокусировки электронных пучков, что необходимо для
работы многих физических устройств.
ГЛАВА 8
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Методы операционного исчисления представляют собой своеоб-
разный способ решения различных математических задач, в первую
очередь дифференциальных уравнений, получивший довольно широ-
кое распространение. В основе этих методов лежит идея интеграль-
ных преобразований, связанная с сопоставлением решению исходной
задачи, функции /(£) действительной переменной, некоторой функции
F (р) комплексной переменной так, что обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение для функции f(t) переходит в алгебраическое урав-
нение для F (р"). Аналогично уравнению в частных производных для
функции двух действительных переменных может быть сопоставлено
обыкновенное дифференциальное уравнение и т. д. Это позволяет
облегчить технику вычислений. Основную роль в операционном ис-
числении играет преобразование Лапласа, с изучения свойств кото-
рого мы и начнем изложение.
§ 1. Основные свойства преобразования Лапласа
1. Определение преобразования Лапласа. Преобразование Лап-
ласа ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t
функцию F (р) комплексной переменной р с помощью соотношения
СО
о
Естественно, что не для всякой функции /(/) этот интеграл имеет
смысл. Поэтому мы начнем с определения класса функций f(f), для
которых данное преобразование заведомо реализуемо. Будем рас-
сматривать функции f(t), определенные для всех значений действи-
тельной переменной —-оо <Z t < со и удовлетворяющие следующим
условиям:
1. При I <0 /(0 = 0.
2. При 0 функция /(0 на любом конечном, участке оси t
имеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
213
3. При t—>оо функция f(t) имеет ограниченную степень роста,
т. е. для каждой функции рассматриваемого класса существуют такие
положительные постоянные М и а, что для всех t > О
\f(f)\^Nleat.
(8.1)
Точная нижняя грань тех значений а, для которых имеет место
неравенство (8.1), называется показателем степени роста, функции
/(/). Легко, в частности, видеть, что показатель степени роста сте-
пенной функции — равен нулю.
Отметим, что функция f(t) может быть комплексной функцией
действительной переменной t :f(f) =fi (0 + If2 (0> где /1(0 и A(0 —
действительные функции.
Введем основное определение.
Преобразованием Лапласа заданной функции f{t) действитель-
ной переменной t называется преобразование, ставящее в соот-
ветствие функции f(t) функцию F (р) комплексной переменной р,
определенную с помощью интеграла
СО
F^=\e^flt}dt. (8.2)
о
Заметим, что интеграл (8.2) является несобственным интегралом,
зависящим от переменной р как от параметра. Очевидно, интеграл
(8.2), вообще говоря, сходится не при всех значениях параметра р.
Действительно, если функция /(/) стремится при к отличному
от нуля пределу, a Re р < 0, то интеграл заведомо расходится. По-
этому естественно поставить вопрос об области сходимости интеграла
(8.2), а тем самым об области определения функции F (р).
Теорема 8.1. Интеграл (8.2) сходится в области Rep > а,
где а — показатель степени роста функции f(t), причем для лю-
бого х0> а интеграл (8.2) в области Repx^x0>a сходится
равномерно.
Доказательство. Для любого р = х-\-1у при х~у>а можно
указать *) такое 8 > 0, что х > аг = а -ф е, причем | f(t) | < Meaf
Тогда, воспользовавшись признаком сравнения сходимости несобст-
венных интегралов **), получим
\1ЧР)\ =
е ptf(t) dt sg TH e xtea^ dt = * M
о 0 1
X>0-i,
(8-3)
*) Это позволяет рассматривать и неограниченные функции, показатель
степени роста которых равен нулю. >
**) См. вып. 2, стр. 367.
214 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8.
что и дает основание сделать заключение о сходимости интеграла'
(8,2) при х>а, Если х х0> а, то аналогичная оценка дает
ОО
|F (р) | /И е~(х» —ai)^ dt
о
М
х0 — «1 ’
(8.4>
что и доказывает в силу признака Вейерштрасса *) равномерную
сходимость интеграла (8.2) по параметру р в области Re р х() > а.
Приведенное доказательство существенно опиралось на условия 2 и 3
определения рассматриваемого класса функций f (t) действительной перемен-
ной t. Однако можно расширить класс функций f (/), допускающих преобра-
зование Лапласа. Для этого предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть функция f (t) действительной переменной t определена для-
всех t>-0, и пусть существует такое комплексное число pQ, что сходится ин-
теграл
J e-P^f (/) dt < М.
О
(8.5).
Тогда для всех р, удовлетворяющих условию Rep>Rep0, сходится ин-
теграл
Г е-Р‘1 (/) dt. (8.6)
б
Доказательство. Обозначим <р (/) (t) и введем вспомогатель-
- СО
ную функцию F (t)=z—<р(т)<Ц. Заметим, что F'(f) = q>(t). Кроме того,
t
в силу сходимости интеграла (8.5), очевидно, для заданного е'>0.можно
указать такое Тй, что j F (Jf) I < е' при t^TQ.
Рассмотрим теперь интеграл J e~plf (/) dt, где 7\ и Т\—произвольные
действительные числа, удовлетворяющие условию 7’2>7’1, и представим его
в виде
Т2 ^2 2 •>
j e-P‘f(f)dt= J е-,р-:р«нф(/) d/= J e-^-P^^F' (t)dt.
Д r, r,
Вычисляя последний интеграл по частям, получаем
г2 -
( e-^-Po^F' (/) dt =
=e-(P-Po)Taf -g-iP-pJT, FtT^+fp-p^ ( e-tP-P^F (f)dt.
*) См. вып. 2, стр. 424.
т,
§ 1J ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 215
Отсюда при Tlt Т2>Т0 и Re(p —р0)>0 получим
(е~ Re (р — р„) Г, е— Re (р — р0) Т g/
Л- е' IP~Pol (с—Re(p —р«) Г, д—Re(p —рп) Тл
Re(p-p0)v '
г' I 2 + JP.~PoH е~т°.
L Re(p-p0)J
Очевидно, всегда можно так выбрать значение То, чтобы полученное выраже-
ние было меньше любого наперед заданного е > 0. Это на основании признака
Коши *) и доказывает сходимость интеграла (8.6).
Можно доказать и равномерную по параметру р сходимость интеграла
(8.6) в области Re р 2; Re Pi > Re р0.
На основании доказанной леммы можно в качестве основного класса
функций f (/) действительной переменной t, для которых строится преобразо-
вание Лапласа (8.2), рассматривать функции, удовлетворяющие условию (8.51.
Функции, удовлетворяющие данному условию, будем называть принадлежа-
щими классу А (р0).
Итак, с помощью преобразования (8.2) функция F (р) комплекс-
ной переменной р определена в полуплоскости комплексной плоско-
сти р правее прямой Rep = a, параллельной мнимой оси.
Заметим, что из формулы (8.3) следует, что |F(p)|->0 при
Re р -> оо.
Функция F (р), определенная через функцию f(t) с помощью пре-
образования (8.2), называется изображением Лапласа функции f(t).
Функция f(t) называется оригиналом функции F (р). Связь функций
f(t) и F(p) будем символически обозначать следующим образом**):
f(t) = F(p) или F(p) = /(0- (8-7)
Отметим, что в практических приложениях часто пользуются так
называемым преобразованием Хевисайда'.
ОО
F(p)=p\ e~ptf(t)dt, (8.8)
о
отличающимся от преобразования Лапласа дополнительным множите-
лем р. Очевидно, область определения функции F (р) та же, что и
для функции F (р). В дальнейшем мы будем рассматривать только
преобразование Лапласа (8.2). Свойства преобразования Хевисайда (8.8)
легко могут быть получены на основании рассматриваемых ниже
свойств преобразования Лапласа.
*) Признак Коши сходимости несобственных интегралов см. вып. 2,
стр. 364.
**) В литературе встречаются и другие символические обозначения) на-
пример: F (р) — f (/), F(p)-Ff (/), F (р) || / (/) и т. д.
216 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
Как мы видели, наиболее важным классом функций комплексной
переменной являются аналитические функции. Выясним, является ли
функция F (р) аналитической.
Теорема8.2. Изображение Лапласа (8.2) функции f(t) является
аналитической, функцией комплексной переменной р в области
Re р >- а, где а — показатель степени роста функции /(0.
Доказательство. В силу теоремы 8.1 несобственный интег-
рал (8.2) сходится в области Rep>a. Разобьем интервал интегри-
рования на отрезки [th произвольной конечной длины, причем
0 = 0, tn->oo при п—>со. Тогда функция F (р) при Rep>a пред-
ставляет собой сумму сходящегося ряда
со 0.Ц со
F(P)=^ $ dt = Un(p). (8.9)
п=0 С п — о
ft
оо
Заметим, что поскольку л-й остаток ряда (8.9) равен e~ptf (0 dt,
0+i
то согласно теореме 8.1 ряд (8.9) сходится равномерно в области
Rep>=x0>a. Каждая из функций
0+1
«л(/0 = e~ptf(f)dt
0
определена как интеграл, зависящий от параметра р, по отрезку ко-
нечной длины на комплексной плоскости t. На основании общих
свойств интегралов от функций двух Комплексных переменных, зави-
сящих от параметра*), функции ип(р) являются целыми функциями/1.
Из проведенных рассуждений следует, что ряд (8.9) в области Rep>• а
удовлетворяет всем условиям теоремы Вейерштрасса **), а значит,
функция F (р) является аналитической в области Re р > а и ее про-
изводные можно вычислять, дифференцируя подынтегральную функ-
цию в (8.2) по параметру р.
2. Изображение элементарных функций. Пользуясь определе-
нием (8.2), найдем изображение ряда элементарных функций действи-
тельной переменной.
а) Единичная функция Хевисайда. Пусть
( 0, t < О,
/(0 = <To(0=j t (8.10)
Тогда
СО
а0^р(р)=$е-«л=|,
о
*) См. гл. 1 стр. 52.
**) См. гл. 2 стр. 62.
§ 1] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
217
причем функция F (р~), очевидно, определена в области Re р > 0. Итак,
( 0, t<Q j
G°(0 = l 1, ^0^7’ ReP>°- (8-n)
Отметим, что если вместо преобразования Лапласа (8.2) пользоваться
преобразованием Хевисайда (8.8), то изображением единичной функ-
ции о0(7) будет функция F(p)=l. Этим объясняется достаточно ши-
рокое применение преобразования Хевисайда. Однако в случае пре-
образования Хевисайда (8.8) усложняется ряд других формул, в част-
ности формула обратного преобразования, формула изображения
свертки (см. ниже стр. 223).
Условимся всюду в дальнейшем, если это не оговорено особо,
под функцией f(t) понимать произведение /(/) • о0 (/), т. е. функцию,
тождественно равную нулю, при £<0, не отмечая это специально
в соответствующих формулах.
б) П о к а з а т е л ь н а я ф у н к ц и я
f(t) = eat. (8.12)
Вычисляя интеграл (8.2), получаем:
F (р) = e~pieat dt = , Re/» > Re а;
о
eat Re/»>Rea. (8.13)
в) Степенная функция
= v>— 1. (8.14)
В этом случае интеграл (8.2) имеет вид
F(p) = \ e~pif(t)dt = \ e~p'tvdt, Rep>0. (8.15)
o ' о
Заметим, что при v<0 функция (8.14) уже не удовлетворяет усло-
вию 2 стр. 212 (точка / = 0 является точкой разрыва второго рода
этой функции) и тем самым не принадлежит основному рассматри-
ваемому классу функции действительной переменной, для которых
существует изображение Лапласа. Однако, как легко видеть, при v >
>—1 эта функция принадлежит расширенному классу, введенному
на стр. 214 (интеграл (8.15) сходится при Re/?>0 и —1).
Поэтому и в случае —1 <; v < 0 изображение Лапласа функции (8.14)
в области Rep>0 существует и определяется формулой (8.15),
Перейдем к вычислению интеграла (8.15). Начнем со случая, когда
переменная р принимает действительное значение р = х>0. Сделав
218 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ,[ГЛ. |
в интеграле (8.15) замену переменной интегрирования xt — s, получим
F(x)= e~xtF dt = —f e~ssv ds = , (8.16)
о 0
где Г (v +1) — гамма-функция *) Эйлера. Так как функция F (р),
определенная формулой (8.15), является аналитической в области
Rep>0, имеющей на положительной части действительной оси х>0
значение (8.16), то в силу единственности аналитического продолжения
для функции F (р) в области Rep>0 получим выражение
F(p)= ^е-р<ГЛ==Г(у4 1)." (8Д7)
о
При этом в случае дробных v следует выбирать ту ветвь многознач-
ной функции —которая является непосредственным аналитическим
г- 4
продолжением в область Rep>0 действительной функции дей-
ствительной переменной х > 0. Итак,
v>-l, Rep>0. (8.18)
Для целых v = n из формулы (8,18) получим
= Rep>0. (8.19)
Вычисляя интеграл (8.2), можно получить изображение еще ряда
функций действительной переменной, однако во многих случаях для
вычисления изображения заданной функции удобнее, оказывается,
пользоваться общими свойствами изображения Лапласа, к рассмот*
рению которых мы и перейдем.
3. Свойства изображения.
а) Линейность изображения. В силу известных свойств
определенных интегралов, имеет место
Свойство 1. Если Fi(p)^fi(t), Repeat (i =* 1, ..., п), то
п п
F (Р) = Z a‘F‘ Z a‘f‘ Re Р > шах аь (8.20)
i = 1 i = 1
где а, —заданные постоянные числа (действительные или комплекс-
ные), а, — показатели степени роста функций fi(t).
Данйое свойство позволяет по найденным изображениям функций (8.13),
(8.18), (8.19) найти изображения многочлена, тригонометрических и гипербо-
лических функций.
*) Определение и свойства гамма-функции см. вып. 2, стр. 434.
§1] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 219
Например, с помощью (8.13) получим
cos art = |- ( —U- 4----= ~Л ,
Rep>|Imo>;. (8.21)
Аналогично
sin си/, Rep>ilm<oi. (8.22)
''б) Свойство'2. Пусть F (р) = /(/), Rep > а, тогда
«>0, Rep>a. . (8.23)
Действительно,
со ОО р
e~pl f(at)dt = ~ е а Т /(т) dr = F (-£\.
о о
в) Свойство 3 (теорема запаздывания). Пусть F(р) ==
==f(t), Rep^>a и задана функция
( 0, t < т, т > О,
А(0 = | t:^x.
Тогда
A(0 = /7t(p) = ₽-M/7(/’).
Действительно,
Рх (Р) = f e'pt fx (О dt = f e~pt f(t - t) dt.
о T
(8.24)
(8.25)
Сделаем в последнем интеграле замену переменной, положив
t — r — t'. Тогда
ОО
Рх (Р) = 5 ^₽(Z'+t) /а') dt' = е-Р* F (р),
о
что и доказывает свойство 3.
В качестве первого примера рассмотрим изображение ступенчатой функции
(О, t <т,
/Z-(.nfo, пт sc t < (п +1) т, п=1, 2, ... ^8‘26).
Представим / (/) с помощью единичной функции Хевисайда <т0:
/(0=/оИо (t~т) + <т0(/ — 2т) + -..].
Использовав свойство линейности и теорему запаздывания, получим
H0^A(P)=?oe-ptl+/(|e-2PT.l+...=L_^L_. ,(8.27)
220
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
Аналогично легко показать, что изображением периодической функции
( f0, 2пт t < (2пф- 1) т,
f(t) = { 10 л=0, 1, 2......
I -fo> (2»+ 1) т s£ t < (2п + 2) т
является функция
f(/)=f(p) = ^th^.
(8.28)
(8.29)
Теорема запаздывания позволяет получить и довольно общую формулу для
изображения периодической функции. Предварительно рассмотрим тот случай,
когда функция f (/) действительной переменной t имеет вид
0, (8'30)
Обозначим изображения функций ф (/) -:’-ф (р) и <p (t -р'т) =: Фт (р). Пере-
пишем (8.30) в виде
(О, 0 : t < т,
^^Ч-Ф^ + г-т),
Воспользовавшись линейностью изображения и теоремой запаздывания, получим
f(0^F(p) = ®(p)-e^Ot(p). (8.31)
Пусть теперь функция ф (/) является периодической функцией t с периодом т,
ф(/ф-т) = ф(/). ' (8.32)
Тогда фт(р) = ф(р), и формула (8.31) позволяет выразить изображение Ф (р)
периодической функции ф (/) через изображение F (р) функции / (/), равной
функции ф (t) на первом периоде 0i4/sgr и нулю вне его при / :> т:
ф(Р) = тЧ^- <8'33>
В качестве примера найдем изображение функции
ф (/) = | sin (nt |,
Эта функция является периодической при
со > а. (8.34)
зт
/>0с периодом -• Предварительно
найдем изображение функции
f (0 =
sin со/,
0,
(8.35)
/ л \
С помощью формул (8.31), (8.22) и равенства sin со । Iф-4 = — sin со/ получим
f (/) ~ А (о)—-__—_____\-е Р а____—__=_____—___(14-е “
tW-fW р2 + ач+е ра-|-со2 р2ф-со2^ Н /•
Отсюда по формуле (8.33) получим
л
--------------------------------------------р
. . , , . со 1 +е “ со рл •.
sin со/ I — „ „ ------— — —о ' к” • (8.36)
1 1 р2ф-со2 _я р р2ф-со2 2со
1-е °
§ 1] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 221
г) Изображение производной. Сейчас будет доказано
одно из основных свойств изображения, позволяющее заменить диф-
ференцирование оригинала умножением изображения на независимую
переменную.
Свойство 4. Если функция f (f) удовлетворяет, условиям
существования изображения и f(t)y=F(p'), Кер>а, то
f'(t)=PF(p)-f(O), Rep>a. (8.37)
Действительно, интегрируя по частям,, получаем
со со со '
/'(0 = $ е-р7'(0^==^/(0 М ^/(0^=pF(p)-/(0),
О 0 0
что и доказывает данное свойство.
Аналогично может быть доказано
Свойство 4'. Если функция /<•"> (f) удовлетворяет условиям
существования изображения и f(t)==F(p), КерУ>а, то
fW (t) = рп (р)- Ш -... - , Кер > а. ‘(8.38)
Формула (8.38) особенно упрощается в том случае, когда /(0) =
= /'(0) = ... =/(«-!> (0) = 0:
ф^(Р)=рпР (у). (8.39)
Полученный результат находит многочисленные применения.
Рассмотрим, например, решение следующей задачи Коши для обык-
новенного дифференциального уравнения, линейного с постоянными
коэффициентами:
аоУя) + а1Уя'1)+... + а^(0=/(0, . (8-40)
_у(0)=У (0) = .,.=Уп-1>(0) = 0, (8.41)
где /(0 —заданная при функция t. Положив, что f(t) = 0 при
^<0, мы в том случае, если f(t) удовлетворяет условиям существо-
вания изображения, можем построить изображение F (р) функции f(f).
Предположим, что функция у (f), являющаяся решением задачи (8.40),
(8.41), и все ее производные до п-го порядка удовлетворяют усло-
виям существования изображения. Тогда, умножив обе части уравне-
ния (8.40) на e~pt и проинтегрировав по t- от 0 до оо, в силу
линейности изображения и начальных условий (8.40) получим
Y (Р) {аоРп + aiPnl +... + ап} = F (р),
- оо
где через У (р) = $ e~pt у (t)dt обозначено изображение искомого реше-
о
ния задачи (8.40), (8.41)? Обозначив Рп (р) = аьрп + а^р*1'14-.. • + ап>
получим
. (8.42)
222 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
Формула (8.42) дает достаточно простое выражение изображения
искомого решения y(t) через известные функции-полином Рп(р),
коэффициента которого определяются уравнением (8.40), и изображе-
ние F (р) заданной правой части уравнения. Тем самым, если мы
сможем определить неизвестный оригинал y(f) по его известному
изображению Y (р), то задача (8.40), (8.41) будет решена. Ниже мы
рассмотрим различные способы определения оригинала по заданному
изображению, а сейчас продолжим рассмотрение, еще ряда общих
свойств изображения. (
д) Изображение интеграла.
Свойство 5. Пусть f(t) = F(p), Rep>a. Тогда
i
ф(0= ^/(T)rf^ = -“F(p), Rep>a. (8.43)
о 4
Действительно, легко проверить, что функция <р (0 удовлетворяет
всем условия»! существования изображения, причем ер (f) имеет тот же
показатель степени роста, что и f(ty. Вычислив изображение функ-
ции <р(0 по формуле (8.2), получим
t со t .
/(т) dx =1 § e~pt dt § /(т) dx.
о о о
Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования *), полу-
чаем
t . оо 00 со
/(т) dx = /(т) dx e~pt dt — е~рх f(x)dx = ~F(p),
О О Т о
что и доказывает формулу <(8.43).
Аналогичным образом может быть доказано
Свойство 5'. Пусть f(t) = F(p), RepZ>a; тогда
е 6 ‘п-л
^dt^dt^...^ f(tn)dtn = ±F(p), Rep>a. (8.44)
о о о
Свойства 5 и 5' находят многочисленные применения при вычислении
изображений различных функций.
Например, найдем изображение пилообразной функции f (t), представляющей
собой периодически повторяющийся равнобедренный треугольник с основанием
2т и высотой фт. Как легко видеть, эта функция представляет собой интеграл
от 0 до t от функции (8.28), изображение которой дается формулой (8.29).
Поэтому
<8'45>
р *
*) Возможность изменения порядка интегрирования следует из теоремы 10.9,
вып. 2, выполнение условий которой в данном случае легко проверяется.
§ 1] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 223
е) Изображение свертки. Сверткой функций /х(f) и /2(0
называется функция ср (t), определенная соотношением
t t
ф (0 = $ f1 /r(f - т) /2 (т) dx. (8.46)
0 0
В справедливости последнего равенства легко убедиться, сделав
в первом интеграле замену переменной интегрирования t—x = t'.
Имеет место следующее
Свойство 6. Если Л(О = Л(Р)> Rep>ax, А(О==Лг(».
Re р > а2, то
t
ф(0 = $Л(т)/г(^-^)^=:Г1(р)Р2(р), Re/>>max{a1, а2}. (8.47)
о .
Свертка. функций /х(/) и /2(/) с ограниченной степенью роста
также является функцией с ограниченной степенью роста. Действи-
тельно,
t ‘t
5 fi W/2 (t — т) dx ea^ea‘d-^ dx =
0 0 . '
_ M1M2 eai 1 j
ax— a2 1 1 1 1 .
Степень роста свертки, очевидно, равна наибольшей степени роста
функций /х (t) и /2 (t). Легко видеть, что q> (t) удовлетворяет и осталь-
ным условиям существования изображения. Для вычисления изобра-
жения свертки воспользуемся формулой (8.2) и изменим порядок
интегрирования *):
ij е~р! dt $ Л (т) f2 (t — т) dx = $ /x (t) dx $ e~pt f2 (t — x) dt.
00 or.
Сделав замену переменных t — x = t' во внутреннем интеграле, окон-
чательно получим
t СО 00
fl (?) /2 (t - Т) dx == $ е~рх А (т) dx $ е-р‘' f2 (t') dt' (р) F2 (р),
о о о ...
что и доказывает свойство 6.
В приложениях формула (8.47) часто используется для определе-
ния оригинала по заданному изображению, когда заданное изображе-
ние удается разбить на сомножители, для которых оригиналы известны.
Например, пусть требуется найти оригинал функции
F(P)
Р<£>
(Р2+^)2‘
*) О возможности изменения порядка интегрирования см. ссылку на стр. 222.
224 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
Ранее мы нашли (см. формулы (8.21) и (8.22)), что
р . . со . . .
p2-|-<o2 p2 + co2 •
Поэтому
t
F (p) -f sin сот • cos co (t — t) dx = — sin cot
0
Рассмотрим еще ряд общих свойств изображений,
ж) Дифференцирование изображения.
Свойство 7. Пусть F(p)-f^f{t), R&p~J>a. Тогда
F' (р) =L — tf(t), R&p^>a.
(8.48)
Действительно, выше мы отмечали, что производную аналитической
функции F(р) в области ее определения Rep > а можно вычислять,
дифференцируя подынтегральную функцию в несобственном интеграле
(8.2) по параметру. Проделав это, получим
СО
F'(p)^ =
6
что и доказывает свойство 7. Заметив, что умножение функции f(t)
на любую степенную функцию tn не меняет ее степени роста, получим
Свойство 7'. Если F (р) = /(£), Re р > а, то
(р) (— 1)« f(t). (8.49)
Формулы (8.48) и (8.49) могут быть применены для вычисления
изображения от произведения tn на функцию /(/), для которой
изображение известно. В дальнейшем мы получим общую формулу,
выражающую изображение произведения через изображения сомножи-
телей, а сейчас рассмотрим еще одно свойство изображений.
з) Интегрирование изображения.
Свойство 8. Если функция ЦД удовлетворяет условиям суще-
ствования изображения и f(f)^==F(p), Rep>a, то
СО
С е-Р<
1 „)
о
ф dt = J F (q) dq.
р
(8.50)
Обозначим
I(p)
оо’
е~Р‘ L^-dt.
(8.51)
По теореме 8.2 функция / (р) является аналитической в области
Rep>a, причем в силу замечания на стр. 215 7(оо) = 0. Найдем
225
§ И
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
производную функции 1(р), дифференцируя интеграл (8.51) по пара-
метру:
I'(p)= — ^e~ptf(f)dt — -F(p).
о
Отсюда, учитывая условие /(оо) = 0, получаем
р со
/(р) = /(со)-$ F(q)dq = \ F(q)dq,
СО р
что и доказывает свойство 8.
В качестве примера найдем изображение функции sin ®t.
1 ак как sin a>t — —г-—-. то
• р2 + со2’
ОО
Тsin - Я dP = У - arctg I • (8-52)
р
С помощью свойства 5 из выражения (8.52) получаем
t
. , С sin т . . 1 /' л , \ ,о
si t— \ dx — (у — arctgp 1. (8.53)
о
Функция si t носит название интегрального синуса.
и) Последнее свойство изображений, которое будет рассмотрено
в данном параграфе, носит название теоремы смещения.
Свойство 9. Если Rep^>a, то для любого комп-
лексного числа А
F(p + ty = e-uf(t), Rep > a-Re А. (8.54)
Действительно, функция <р (/) = е~^ f(t), очевидно, удовлетворяет усло-
виям существования изображения, которое по формуле (8.2) определено
в области Re р > а — Re А, но
f <?-pZ <?"w /(0 dt = f f(t) dt = F(p + А),
о о
что и доказывает теорему смещения.
Формула (8.54) может быть применена для определения изображения произ-
ведения функции е~и на функцию f (/), для которой изображение известно. Так,
с помощью этой формулы и уже полученных изображений можно найти
fe<X< (р — a)2 ’ Re р > Re а, >(8.55)
№ = (П Rep>Rea, (8.56)
‘ e~at sin со/ = .—।—j, Rep> |Im uo] — Rea. (8.57)
• (р4-а)2-)-(а2’ 1 1
И Т. д.
226
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
В заключение данного .параграфа приведем таблицу рассмотренных
свойств изображений и таблицу изображений ряда элементарных и
специальных функций, наиболее часто используемых в приложениях.
4. Таблица свойств изображений. Пусть f (t) = F (р). Тогда
!) У ttifi (0 = У аЛ (р)> а< = const;
i = 1 i ---1
2) /(at) = — F (—Y a = const, a>0;
' 7 v ' • a \a/’
( 0, T>t,
3) A(0 = {Z(t_T)- A(0 = .-«F(rt;
t
5) ( f(x)dx = ~F(p);
9J Г
0
6) 5 /i W /2 (* - r) dx = $ A (t - r) A (x) dx == Fx {p) F2 (p);
7) F^p) = (-irt»f(ty,
CO
8) ^(р)(/р=Ш;
9) F(p + K)==e-Mf(t).
5. Таблица изображений.
1) 1=1 Rep>0;
2) = v>-l, Rep>0;
3) ^n=7=~^+i, п — целое, Rep>0;
г
4) eat = —— Re p > Re a;
' p —a’ r ’
5) sin ®t = , Rep>|Im®|;
6) cosot = -^1^, Rep > I Im 10
7) shXt^^l^, Rep > I Re X |;
8) = Rep>|Re%|;
9) ineat = -(pzty^< > ^a;
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 227
10) tfsinco£ = 2pa> (p2-|_ 0,2)8 > Rep Im <o [;
11) fcosco£ = p2 —CO2 (pa + to2)2’ Rep>-1 Im to 1;
12) sin a>t == CO (p —X)24-co2’ Rep >» (Re A +1 Im co |);
13) ewcosart = p— Л Re p > (Re X 4-1 Im co |);
(p-X)2+<o2>
14) 511^ = Л , p 2 arct^W’ Rep2> | Im co _
Г 1, 2Ат^<(2* + 1)т] j рх
{—I, (2А+ 1)Т ==U<(2£4-2)tJ Re^>0>
Л = 0, 1, 2,
16)
П)
18)
19)
20)
'sirW!^^q4?cth Rep>|lmco|;
e-a^ К" |1 - Ф ;
1 2 \ \2«//
e~^ 1
V nt У p + <x’
e-2a/7 । «!, / w \\
i ep /1 _ф/ « V|.
V nt Vp \ \Vpj)
70(a/)^—L^;
' /a2-|-p2
21) J0(2]/^^-±e-y>
22) =
»+l
23) -------arctgp;
24) <t>(Yat)=-^=:-,
pVp+a
25) 1 -ф(—“ Ule-»1^
\2 Vt ) . P
При действительных значениях параметров, входящих в функции
f(t) в формулах 17) — 25), изображения соответствующих функций
заведомо определены в области Re р > 0.
§ 2. Определение оригинала по изображению
В этом параграфе мы рассмотрим методы определения оригинала
по заданному изображению, а также приведем некоторые достаточ-
ные условия, при которых заданная функция F (р) комплексной пере-
228
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
менной р является изображением функции f(t) действительной пере-
менной t.
Во-первых, отметим, что имеются различные таблицы изображе-
ний наиболее часто встречающихся в приложениях функций, так что
при решении конкретных задач часто удается найти в соответствую-
щем справочнике *) выражение оригинала для полученного изображения.
Во-вторых, приведенные в предыдущем параграфе свойства изоб-
ражений 1)—9) во многих случаях позволяют решить и обратную
задачу построения оригинала по заданному изображению. В первую
очередь это относится к теореме смещения, интегрированию и диф-
ференцированию изображения и изображению свертки функций. Ряд
примеров был уже рассмотрен' в § 1, некоторые примеры будут
приведены в дальнейшем.
Однако все эти методы, по существу, являются методами подбора.
Основной целью данного параграфа является изложение общего
метода построения оригинала по изображению.
1. Формула Меллина. Начнем с того случая, когда по усло-
виям задачи известно, что заданная функция F (р) комплексной пере-
менной р является изображением кусочно-гладкой функции f(t)
с органиченной степенью роста \f(t) | < Meat, причем значение пос-
тоянной а задано. Требуется по заданной функции F (р) построить
искомую функцию f(t). Эта задача решается с помощью следующей
теоремы.
Теорема 8.3. Пусть известно, что заданная функция F (р) в
области Re р > а является изображением кусочно-гладкой функции
f (t) действительной переменной t, обладающей степенью роста а.
Т огда
x-\-ico
= § et>tF(p)dp, х>а. (8.58)
х — i оо
Доказательство. По условию теоремы функция f(f) суще-
ствует и нам известна ее степень роста. Рассмотрим вспомогатель-
ную функцию <p(t) — e~xi f(f), х>а. Эта функция является кусочно-
гладкой, на любом ограниченном участке оси t имеет конечное число
точек разрыва первого рода и экспоненциально стремится к нулю при
i->oo. Она может быть представлена с помощью интеграла Фурье **)
со со
<р(0 = -9^- dl ф (Г|) е^<( -
— ОО — ОО
(8.59)
*) Достаточно подробные таблицы читатель может найти в книге В. А. Дит-
кина и А. П. Прудникова «Интегральные преобразования и операционное
исчисление», Физматгиз, 1961. Там же приведен и подробный список спра-
вочной литературы по операционному исчислению.
**) Определение интеграла Фурье и обоснование интегральной формулы
(8.59) см. вып. 2, стр. 510.
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 229
Подставляя в (8.59) выражение функции <р (t) через искомую функ-
цию f(f), получаем
— 00 — оо
е’ (х + 1^ ”/(r]) dr), (8.60)
— оо О
так как f (г|) = 0 при г] < 0.
Обозначим р — х-\-1^ и заметим, что внутренний интеграл в (8.60)
представляет собой заданное изображение F (р) искомой функции f(t).
Тогда выражение (8.60). принимает вид
оо х 4- i оо
= = $ eptF(p)dp,
— со х — i оо
что и доказывает теорему. Заметим, что в формуле (8.58) интегри-
рование производится на комплексной плоскости р по прямой, парал-
лельной мнимой оси и проходящей правее прямой Rep = a. Значе-
ние интеграла (8.58), очевидно, не зависит от величины х при усло-
вии, что прямая интегрирования лежит правее прямой Re/> = a.
Формула (8.58) часто называется формулой Меллина, она явля-
ется в определенном смысле обратной преобразованию Лапласа (фор-
мула (8.2)), так как выражает оригинал через заданное изображение.
Отметим, что поскольку мы в процессе вывода формулы Меллина
от самой неизвестной функции f(t) перешли к ее интегралу Фурье,
сходящемуся к функции f(t) лишь в точках непрерывности этой
функции, то и интеграл (8.58) совпадает с функцией f (t) лишь в точ-
ках ее непрерывности.
В качестве примера применения доказанной теоремы рассмотрим
вопрос об определении изображения произведения по известным
изображениям сомножителей.
Теорема 8.4. Пусть fi(t)^Fi(p), Re^>ax и f2(f)== F2(p),
Re p > a2. Tогда
x-\-i<x>
= = F^F^p-q^dq^
x— ico
x + i oo
= $ F1(p-q)F2{q)dq, (8.61)
X — L CO
причем функция F (p) определена и аналитична в области Rep>
> at + аъ q, интегрирование производится по любой прямой,
параллельной мнимой оси, лежащей правее прямых Rep —а!
и Rep — a2.
230
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1ГЛ. 8
Доказательство. Так как функция f(t) удовлетворяет всем
условиям существования изображения, то для нее имеет место
преобразование Лапласа
СО
= (8.62)
о
Представляя в (8.62) функцию f± (t) в виде ее интеграла Меллина
(8.58) и меняя порядок интегрирования, что возможно в силу равно-
мерной сходимости данных несобственных интегралов, зависящих от
параметра, получаем
оо X + i 05
F (р) = f2 (0 dt е<( Fi (?) dq ==
О х — i оо
х 4- i оо со
= -i $ Fx(?)rf? =
x — i co 0
* + •’ o°
= $ Fi^F^P-q^dq. (8.63)
X— I co
Заметим, что в (8.63) Re? — x>alt а функция F2(p — q) определена
при Re (/> — ?)> a2, откуда Re/?>ai + a2. Заменив в (8.62) функцию
/2 (/) по формуле обращения, можно получить второе равенство
в (8.61). Теорема доказана. Отметим, что доказанная теорема в
известном смысле обратна свойству 6.
Пример 1. Пусть Д (/) = cos a>t, f2 (t) = t. Найдем изображение
функции f(t) = t cos (Ot.
Так как cosco^^ f f = ю
P24-cv2 ’ P2
= (’-S’)
л —ioo
где Re p j Im co |, а интегрирование производится по любой прямой,
параллельной мнимой оси и лежащей правее прямой Re ? = | Im со |.
В качестве такой прямой интегрирования выберем прямую, прохо-
дящую левее точки q — p, и рассмотрим на комплексной плоскости
? замкнутый контур Г, состоящий из отрезка [x — iR, x-[-iR] дан-
ной прямой и замыкающей его в правой полуплоскости дуги полу-
окружности |? —х|=/?. Внутри данного контура подынтегральная
функция из (8.64) является всюду аналитической, кроме точки q—p,
которая есть полюс второго порядка данной функции. Точка ? = оо
является нулем третьего порядка этой функции. Поэтому в силу
леммы 1 гл. 5 значение интеграла (8.64) определяется вычетом
в особой точке подынтегральной функции. Заметив, что обход
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 231
контура Г совершается в отрицательном направлении, получим
F(р) _____£- Г__1___1 » Рг~ма
Итак,
(8.65)
2. Условия существования оригинала. В настоящем пункте мы
рассмотрим некоторые достаточные условия, при которых заданная
функция F (у) комплексной переменной р является изображением
некоторой функции f(t) действительной переменной t, и покажем,
как найти последнюю.
Теорема 8.5. Пусть функция F (р) комплексной переменной
р — х-\-1у удовлетворяет следующим условиям:
a) F (р) — аналитическая функция в области Re (р) > а;
б) в области Rep'y>a функция F (р) стремится к нулю при
|р|—► ооравномерно относительно argp;
в) для всех Rep = x>a сходится интеграл*)
| F (р) | dy < М, х>а. (8.66)
X—I СО
Тогда функция F(p) при Rep>a является изображением функ-
ции f(t) действительной переменной t, которая определяется
выражением
x-\-i<x>
/(0 = ^- 5 ePtp^dP’x>a- (8-67)
х — i оо
Доказательство. Итак, надо доказать, что интеграл (8.67)
является оригиналом функции F(p). Первым делом возникает вопрос
о существовании этого несобственного интеграла**). Очевидно,
X + i 00 X + t 00
li J eP‘FP>dp\^4r $
X — iso X — I 00
x + i co
= J \F(p)\dy<J^e* (8.68)
X — i co
*) Интеграл (8.66) представляет собой несобственный интеграл первого рода
по прямой Re p=i=x от действительной функции | F (р);.
**) Несобственный интеграл (8.67) вычисляется вдоль прямой Rep = x
и понимается в смысле главного значения, т. е.
' *4- too х + <‘А
С ePtFiyjdp^ lim ( eP(F(p)dp.
x~iso
232
ОСНОВНЫЕ понятия ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
откуда и следует сходимость интеграла (8.67) при любом х>а.
Отметим для дальнейшего, что из опенки (8.68) следует равномерная
сходимость интеграла (8.67) по параметру t на любом конечном про-
межутке 0 t Т.
Для того чтобы доказать, что интеграл (8.67) является оригина-
лом заданной функции F (р), следует установить, что:
1 Интеграл (8.67) не зависит от х и определяет функцию f (t)
лишь одной переменной t, причем эта функция обладает ограничен-
ной степенью роста.
2° При t<Q f(t)=E10.
3 Изображением Лапласа функции f(f) является-заданная функ-
ция F (р).
Докажем каждое из высказанных утверждений.
1° Рассмотрим в области Rep>a замкнутый контур Г, состоя-
щий из отрезков прямых [xi — iA, хг + г'А] и [x2 — iA, x2-j-iA],
параллельных мнимой оси, и соединяющих их отрезков прямых
[Х1_/д x2 — iA], [Xi-НД х2 + /Д], параллельных действительной
оси (рис. 8.1). Здесь А>0, хь х2 — произвольные числа, большие а.
Так как функция F(p) является аналитической в области Rep>a, то
в силу теоремы Коши интеграл от функции е?‘F (р) по контуру Г
равен нулю. Устремим А к бесконечности, оставляя фиксирован-
ными х12 х2 Тогда по условию б) теоремы интегралы по горизон-
тальным отрезкам пути интегрирования дадут в пределе нуль. В то
же время интегралы по вертикальным прямым переходят в интеграл
(8.67). Отсюда
xt + i х2 + i оо
ept F (р) dp = F (р) dp,
Xi — i со xa — i co
§2]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
233
что в силу произвольности Xi и х2 доказывает утверждение 1°.
Итак, интеграл (8.67) является функцией лишь одной переменной t.
Отметим, что при этом из оценки (8.68) сразу следует, что интеграл
(8.67) представляет собой функцию ограниченной степени роста по t,
причем показатель степени роста этой функции равен а.
2° Рассмотрим значение интеграла (8.67) при t < 0. Для этого
в области Re/? > а рассмотрим замкнутый контур С, состоящий из
отрезка прямой [х — IR, x + zR], х~>а, и замыкающей его дуги С\
полуокружности \р — x\ = R (рис. 8.2). По теореме Коши интеграл
от функции ept F (р) по данному контуру равен нулю. В силу заме-
чания к лемме Жордана (см. гл. 5, стр. 133) при R —>оо интеграл
по дуге С'ц стремится к нулю при t <Z 0. Поэтому
х 4- i оо
/(0==’2^f ept F (p) dp = O, f<0, Rep>a, (8.69)
X — I 00
и утверждение 29 доказано.
3° Построим изображение Лапласа функции (8.67) и рассмотрим
его значение при некотором произвольном р0, где Reр0 > а:
J е-р°‘ f (0 dt = -JL J е~р°‘ dt е pt F (р) dp. (8.70)
О 0 х — i оо
Внутренний интеграл в (8.70) не зависит от х. Выберем значение х,
удовлетворяющее условию а <; х < Rep0, и изменим порядок инте-
грирования, что возможно в силу равномерной сходимости соответст-
вующих интегралов; получим
00 X + zoo ОО х -|- zoo
О х — Zoo 0 х — zoo
(8-71)
Интеграл (8.71) может быть вычислен с помощью вычетов, так как
в силу условия б) теоремы подынтегральная функция стремится к нулю
при | р | -> оо быстрее, чем функция ~.
Поэтому, учтя, что единствен-
ной особой точкой подынтегральной функции — полюсом первого по-
рядка — является точка р=рп и при замыкании (8.71) в правой по-
луплоскости интегрирование производится в отрицательном направле-
нии, получим
СО
/(0 = \e^‘f(t) dt = F(p0).
о
(8.72)
Поскольку р0 — произвольная точка в области Re/?>a, теорема дока-
зана. Естественно, что интеграл (8.67) совпадает с формулой Мелли-
234
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
на (8.58), выведенный в предположении существования оригинала. Итак,
нами установлены некоторые достаточные условия, при которых за-
данная функция F (р) комплексной переменной р является изображе-
нием.
3. Вычисление интеграла Меллина. Во многих практически важ-
ных случаях интеграл (8.58), (8.67), дающий выражение оригинала
по заданной функции F (р) комплексной переменной, может быть вы-
числен с помощью рассмотренных выше (см. гл. 5) методов вычис-
ления контурных интегралов от функции комплексной переменной.
Пусть функция F(p), первоначально заданная в области Rep > а, может
быть аналитически продолжена на всю плоскость р. Пусть ее анали-
тическое продолжение удовлетворяет при Rep < а условиям леммы
Жордана. Тогда при t > О
еР‘ F (Р) dP °> R °°’ (8.73)
где Сд —дуга полуокружности \р — = в левой полуплоскости.
В этом случае интеграл (8.67) может быть вычислен с помощью тео-
рии вычетов. Рассмотрим ряд примеров.
Пример 2. Найти оригинал функции F (р) = , Rep >0,
ш2>0. Так как условия теоремы 8.5 выполнены, то
X 4- Zco
F(Р)^/(0 = 5^ ePt idp, x >0.
vr/ • J 4 7 2л i J p2 + ar r
x — Zoo
Аналитическое продолжение функции F(p) в левую полуплоскость
<г>
р2+CG2
Rep < 0, функция
, удовлетворяет условиям леммы Жордана
и имеет две особые точки — полюсы первого порядка при р112 = ±/ю.
Поэтому при tО
2
/(0= У Выч [ePi —Л г
J ' 7 L ps + w2
*=i
1 сое1®7 юг-1®1"
= 2<w 2<ш
tSsO.
sin со£,
Условия теоремы 8.5, в частности условие в), являются достаточ-
ными условиями существования оригинала аналитической в области
Rep>a функции F (р). Нетрудно привести примеры, показывающие,
что, если это условие не имеет место, функция F (р) может все же
быть изображением некоторой функции действительной переменной.
Пример 3. Найти оригинал функции F (р) = , — 1 < а < О,
Rep > 0. Эта функция является многозначной в рассматриваемой обла-
сти. Мы будем понимать под функцией F (р) ту ветвь данной много-
значной функции, которая является непосредственным аналитическим
§ 2]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
235
продолжением в область Rep > 0 действительной функции ^4+1 действи-
тельной переменной х > 0. При этом мы, очевидно, должны считать
argр — 0 при р — х, х > 0. Функция F (р) не удовлетворяет условию
в) теоремы 8.5. Покажем, однако, что функция
Х-Н’оо
X—/оо
х > 0,
(8-74)
является оригиналом заданной функции F (р).
Аналитическое продолжение функции F(p) на левую полуплоскость
Rep < 0 является многозначной функцией, имеющей точками разветв-
ления точки р = 0 и р = оо. Будем
рассматривать в области представ-
ляющей собой комплексную плос-
кость р с разрезом по .отрицательной
части действительной оси, ту ветвь
X л. 1
многозначной функции -^> которая
Р
является непосредственным аналити-
ческим продолжением функции F (р),
первоначально заданной в правой
полуплоскости Rep > 0. В области &
рассмотрим замкнутый контур Г, со-
стоящий из отрезка прямой [х—iR',
х + iR' ], х > 0, отрезков — R <.
— р на берегах разреза и
замыкающих их дуги окружности С'р,
[р| = р, и дуг окружности C"r,
|р—x\ = R', соединяющих берега
разреза с вертикальным отрезком
[х — iR', х + //?'] (рис. 8.3). Так как
функция еР‘ -~-х в области $ особых
точек не имеет, то по теореме Коши
интеграл от этой функции по контуру Г равен нулю. Устремим R'
к бесконечности, а р к нулю. В силу леммы Жордана интегралы по
кривым С£' дадут в пределе нуль. Оценим интеграл по окружности
Ср, положив р = pe‘<f:
л
2лр“ J т
—л
Так как — 1<а<0, то интеграл по Ср также стремится к нулю
при р —> 0. Тем самым остаются лишь интегралы по прямолинейным
участкам контура интегрирования. Заметим, что на нижнем берегу
236
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
разреза argp =— л, на верхнем arg/?==n. Поэтому получим
/(0 =
~ 2л1
о
С dx
} е (_x)a+le>na
J еХ/
о
dx
(— х)а+1 е-1ла Н
= -J—. J е ,яа ? е xt х “ 1 dx — е'яа
2ш 1 J
е xt х “ 1 dx
о
= яп(-ла) Г e_xtx_^dXt
л J
о
Сделав в интеграле (8.75) замену переменной интегрирования
получим
(8.75)
xt = s,
/ (/) = Р 5*п<-яст) г (— а).
Воспользовавшись равенством *)
Г (— а) Г (1 -фа) = —г,
' ’ 4 1 ' sm (— ла) ’
(8.76)
окончательно получим формулу
1 f (f\ —____________________________—___
ptx+i J W Г(1+а)’
являющуюся обращением формулы (8.18), что и доказывает наше утвер-
ждение.
Пример 4. Найти оригинал функции F(p) = ~ e—aFp, a > 0,
Rep>0. При этом, так же как и в предыдущем примере, мы рас-
сматриваем ту ветвь многозначной функции У/>, которая является не-
посредственным аналитическим продолжением в область Re/? > 0 дей-
ствительной функции х действительной переменной х>0. Напом-
ним, что в этом случае мы должны положить arg р = 0 при р = х > 0.
Аналитическое продолжение функции F (р) в левую полуплоскость
Rep<0 опять имеет точками разветвления точки р = 0 и р = оо.
Будем рассматривать область — плоскость р с разрезом вдоль отри-
цательной части действительной оси. В этой области определена одно-
значная аналитическая функция у е~а^Р, являющаяся непосредствен-
ным аналитическим продолжением функции F (/?). Отметим, что функ-
ция F (р) при Re/?>0 удовлетворяет условиям теоремы 8.5, а ее
аналитическое продолжение в области Э- в левой полуплоскости
) См. вып. 2, стр. 441.
§ 2]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
237
Rep < 0 при t > 0 удовлетворяет условиям леммы Жордана. Поэтому,
выбрав тот же контур интегрирования Г, что и в предыдущем при-
мере, и заметив, что на верхнем берегу разреза argp = n, что дает
я
]/р ==]/r^e 2=7|/"|, а на нижнем берегу разреза
—< —
arg р = — л, что дает р = = — £, Ур = 2 = — I Уg (£ > 0),
получим
х-|-/оо
лк) I'*' ») г
х—ico
1 (F -Е/е-гаП’ ,е F ,J ... If
— л- \ e y—=—rZc— \ e *—e—rfcJ-T-lim K- -. \ e#----dp.
~ni J I J £ д р-о2л1 J P
0 0 J p c
p
Так как
lim ~ ? e9tel<v £—lpei<f dtp — 1,
o^02m J ре'ч> ‘ v
—Л
TO
/(0 = -И + L
Jl J ъ
0
Сделаем в этом интеграле замену переменной, положив — х, уч-
тем, что
ОО
sin ах С о го
—— = k cos рл* <7р,
о
и изменим порядок интегрирования. Получим
со ____ а со
= 2 d$ e~tx' cos px dx. (8.77)
о об
Внутренний интеграл в (8.77) легко может быть вычислен *). Он равен
Р 1 . Г7Г -t2
\ e~tx‘cosp-rdx = -g-1/ ye 4t,
о
Отсюда
_________________а ра
л/)=,-^иНГ5<
о
*) Например, дифференцированием по параметру. См. вып. 2.
238
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
Положив = окончательно получим
F (о) = 1е-«/р= 1—Ф
г р W t
(8.78)
где функция
(8.79)
2
Ф (z) = -£= е'1'2 dq
Гл J
есть так называемая функция ошибок *).
4. Случай регулярной на бесконечности функции. Рассмотрим
еще один частный случай, когда определение оригинала для заданной
функции F(p) комплексной переменной производится особенно просто.
Пусть аналитическое продолжение первоначально заданной в области
Rep>a функции F (р) является однозначной функцией на полной
плоскости комплексной переменной р, причем точка р = оо— правиль-
ная точка функции F (р). Это означает, что разложение функции F (р)
в ряд Лорана в окрестности точки р — оо имеет вид
п=0
(8.80)
При рассмотрений свойств изображения было отмечено, что | F (р) | -> 0
при Rep -»-4-оо. Поэтому в разложении (8.80) коэффициент с0 равен
нулю и
п= 1
(8.81)
Легко найти функцию f(t) действительной переменной t, для которой
функция (8.81) является изображением.
Теорема 8.6.Если точка р = оо является правильной точкой
функции F (р) и F(co) = 0, то функция F (р) представляет собой
изображение Лапласа функции действительной переменной
f® =
00
2^
С«+1 п1 ,
п=0
t < О,
*>0,
(8.82)
где сп суть коэффициенты разложения функции F (р) в ряд Ло-
рана (8.81) в окрестности точки р — оо.
*) Определение и свойства функции Ф (г) см. А. Н. Т и х о н о в,
А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
§2]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
239
Доказательство. Выше было показано, что коэффициенты
разложения (8.81) определяются формулой*)
c^^l\F^Pn~ldP'
где Сц—окружность \р | — R, вне которой нет особых точек функ-
ции F (/?). Так как точка р — со является нулем функции F (/>), то
при |г|>Я Поэтому формула для сп дает
| сп | < MR"-1.
Из этой оценки следует сходимость ряда (8.82). Действительно,
ОО СО со
п=0 п=0 п=0
Отсюда же следует, что в круге любого конечного радиуса ряд (8.82)
сходится равномерно, тем самым определяя некоторую целую функ-
цию комплексной переменной t;
n=0
(Заметим, что функцию f(t), определенную формулой (8.82), мы можем
рассматривать как произведение функции f(t) на единичную функцию
Хевисайда <то(О-)
Умножив функцию /(0 на е~р1 и проинтегрировав по t равномерно
сходящийся ряд (8.82) почленно, на основании соотношения **)
получим
оо бо со
y^p-”'-rw. (S.S3)
л=0 п=0 л'=1
что и доказывает теорему.
Пример 5. Пусть
’ (8М)
Эта функция имеет две особые точки Д1|2 = ±/ и является однознач-
ной аналитической функцией в окрестности точки р = оо, причем
в окрестности этой точки, как было показано выше***), функция Д(р)
*) См. стр. 114.
**) См. формулу (8.19).
***)(См. пример на стр. 121.
240
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(ГЛ, 8
может быть разложена в ряд Лорана:
ОО
^ (?) = 2 ( 22ft (Al)2' ‘
k=o
Поэтому формула (8,83) дает
ОО « (L\2k
7= 2 (-1)А WF = 2 (-1)й -W- (О5)
Г 1 Т А = 0 А=0
Ряд, стоящий справа в (8.85), представляет собой разложение весьма
важной специальной функции — так называемой функции Бесселя*)
нулевого порядка
* = 0
Итак,
^=^ = 7,(0. (8-86)
Заметим, что, представив
1 = 1_____________________________________1
р2+1 ут+т ’
и воспользовавшись изображением функции sin£ (см. формулу (8.22)),
на основании теоремы о свертке получим
t
Уо (т) (t — — sin t.
о
Пример 6. Пусть
1 --
F(p) = |e ".
Эта функция, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 8.6, причем
ОО
F(p)=
П = 1
Тогда
/ 2 VT \2k
| СО оо I Г " j
1 в" р = 2 О" (^ = 2 (-1)* (fe|)/ - = Л (2УТ). (8.87)
п=0 h=0
*) Определение и свойства функции Бесселя см. А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
§ 3] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 241
§ 3. Решение задач для линейных дифференциальных
уравнений операционным методом
В этом параграфе будут рассмотрены применения методов опе-
рационного исчисления к решению ряда задач для линейных диффе-
ренциальных уравнений.
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В § 1 мы уже
видели, как с помощью операционных методов можно свести задачу
Коши с нулевыми начальными условиями для линейного дифферен-
циального уравнения к простейшей алгебраической задаче для изо-
бражения. Рассмотрим более общую задачу Коши:
а0Ул) (0 + (О + • • + апу (0 (8.88)
У (0) =л. У' (0) = Уь • • •, У^ (0) = Уп-ь (8.89)
где а0, а1г ап, _у0, _ух, ..., _уп_х — заданные постоянные, /(^ — за-
данная функция независимой переменной t, которую мы будем пола-
гать удовлетворяющей всем условиям существования изображения *).
Поскольку задача (8.88), (8.89) является линейной, можно отдельно
рассматривать решение однородного уравнения с начальными усло-
виями (8.89) и решение неоднородного уравнения (8.88) с нулевыми
начальными условиями.
Начнем с решения первой задачи. Как известно **), для ее реше-
ния достаточно построить фундаментальную систему решений одно-
родного уравнения (8.88). В качестве таковой выберем решения одно-
родного уравнения
+ + + = л = о, 1, ..., « — 1, (8.90)
удовлетворяющие начальным условиям
А = 0, 1, ..., п — 1,
«’«»=««. у=о, 1, <8-9')
где
( 1, k=j,
( 0, j.
Очевидно, функции (Z) образуют фундаментальную систему, так как
их определитель Вронского при t = 0 заведомо отличен от нуля.
Решение задачи (8.88), (8.89) при /(/) = 0 через эти функции выра-
жается наиболее просто:
п — 1
v (0 = (0-
А = 0
*) Об условиях существования изображения см. стр. 212.
) См. вып. 3, стр. 99.
242
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
Для определения функций фА (t) применим операционный метод.
Имея в виду, что функция фй (t) и все ее производные до и-го по-
рядка удовлетворяют условиям существования изображения *),
в силу (8.91) и формулы (8.38) получим
Фа (О = (Р), Ф^,(0 = Р'[ЧГа(/’)~ ^г]’ J=1> 2’ •••’
где
| 0, у sg k,
( 1, j>k.
Умножив обе части уравнения (8.90) на е~р‘ и проинтегрировав по t,
получим
^к(р)Рп(р} = Рк(р), (8-92)
где полиномы Р„(р) и Pk(p) соответственно равны
Рп (р) = аоРп + а1Рп~1 + • • + «л
и
Pk(p) = aopn-^ + a1pn-^2> + ... + an_(ll+iy (8.93)
Из (8.92)
^а(р) = ^-, А = 0, 1, ..., л-1 (8.94)
и, в частности,
= = (««’)
Формула (8.95) будет использована в дальнейшем. Оригиналы функ-
ций (р) могут быть найдены по формуле Меллина:
ж 4-Zoo
^(?)=Фа(0 = ^ 5 ePlK^)dp’ Х>а> (8-96)
х —ico
где прямая х = а проходит правее всех особых точек подынтеграль-
ной функции из (8.96). Так как функция (8.94) представляет собой
отношение двух полиномов, то ее особыми точками могут быть лишь
нули знаменателя Рп(р), причем все они являются полюсами. Кроме
того, при t > 0 подынтегральная функция из (8.96), очевидно, удов-
летворяет условиям леммы Жордана в левой полуплоскости Re/> <; а.
Поэтому
Л
Фа (0 = 2 Выч [ept , J, (8.97)
Х = 1
где pi — нули полинома Рп(р)-
*) Действительно, функции ф* (0, как решения уравнения (8.90), явля-
ются гладкими функциями, растущими на бесконечности не быстрее, чем
экспонента с линейным показателем. (Подробнее о свойствах решений линей-
ных уравнений с постоянными коэффициентами см. вып. 3.)
§ 3] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 243
Если все нули pt полинома Рп(р) являются простыми, то, пред-
п
ставив его в виде произведения Рп (р) = а0 (р — р/), из формулы
/=1
(8.97) получим
ФИО= Za^P,J> (8-98)
1 = 1
где
= —. (8.99)
аоП(Р1-Р/)
Если нули pi полинома Рп(р) являются кратными, то разложение
т
полинома имеет вид Р„ (р) = ап П(? — pif1, где <х; — кратность соот-
i = l
ветствующего нуля, причем ai = п. В этом случае, пользуясь пра-
« = 1
вилом вычисления вычета в полюсе порядка k > 1 и вычисляя про-
изводную от произведения по формуле Лейбница, получаем
г = 1
где полиномы quit) имеют вид
4kl (0 = b). ki^1 1 + ^1, kit*1' 2 + • • • + ^а; — 1, hi>
причем коэффициенты Z»OTr i вычисляются по формуле
ь . = 1 dm Г Pk (р) 1
т’ ‘ — dpm i —т а
(8.100)
(8.101)
(8.102)
«о 11 (Р—Р/) >
i^i Jp = ₽i
Отметим, что нули pt полинома Рп(р) совпадают с нулями харак-
теристического многочлена для уравнения (8.90). Поэтому формулы
(8.98) и (8.100) дают представление каждого из частных решений
уравнения (8.90), удовлетворяющих начальным условиям (8.91), через
частные решения уравнения (8.90), полученные с помощью характе-
ристического уравнения *).
Пример 1. Решить задачу Коши
У(1У) + 2^"+^ = 0, _у(0)=У (0)=У'(0)=0, У"(0)=1.
*) О характеристическом уравнении см. вып. 3, стр. 107.
244
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
Очевидно, решением задачи является функция ф3 (/), которая может быть
найдена по формуле (8.96):
х 4- 1со
J'W-’MO-i J р.+^,+ 1 0ЮЗ)
х — ia>
Подынтегральная функция в (8.103) имеет две особые точки рь 2=± I, явля-
ющиеся полюсами второго порядка. Поэтому
y(t)= р—!— I + d I—I = 1 (sin/-/cost). (8.104)
dp| (p + 02 l₽ = i rfp L (P-02Jp = -<' 2
Перейдем теперь к решению задачи Коши с нулевыми началь-
ными условиями для неоднородного уравнения (8.88):
В силу нулевых начальных условий, перейдя к изображениям *)
^ (?) J (0> получим
Y (р) Рп(Р) —F (р),
откуда
(8J05)
Так как функция Y(р) является изображением, то ее оригинал в силу
теоремы 8.3 может быть найден с помощью интеграла Меллина.
Однако в данном случае можно обойтись без вычисления этого ин-
представляет
собой изображение функции (/) — решения задачи Коши для одно-
родного уравнения (8.90) с начальными условиями специального вида:
ф'/11(0) = бя_1>/, / = 0, 1,.
Поэтому по теореме о свертке из (8.105) получим
t
Y(p)==y(t) = ±-\ фя_1 (t — т)/(т) dr.
ао J
О
теграла. Действительно, согласно (8.95) функция „
*) Заметим, что для существования изображения F (р) правой части урав-
нения (8.88), функции f (/), во многих случаях несущественно поведение этой
функции при / —оо. Действительно, нас часто интересует решение уравнения
(8.88) лишь на ограниченном отрезке времени 0 / sS Т, которое полностью
определяется заданием функции f (/) на этом отрезке и не зависит от поведения
функции f (/) при t>T. Поэтому мы можем изменять значения функции f (/)
при t>T как угодно, лишь бы условия существования изображения F (р)
функции f (/) были выполнены. Например, можно положить f (/)=0 при t>T.
(Подчеркнем, что для определения изображения F (р) функция f (/) должна
быть задана на всем бесконечном промежутке 0 t < оз.) При этом мы, конеч-
но, будем получать различные изображения, однако их оригиналы, естественно,
совпадают при t:~T. Следует иметь в виду, что указанное положение от-
носится не только к случаю уравнения (8.88), но и ко многим другим физиче-
ским задачам, в которых решение ищется на ограниченном промежутке изменения
времени.
§ 3] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 245
Функция ф„_1(^) часто цазывается функцией единичного точечного
источника для уравнения (8.90) и обозначается g(t). Приняв это обо-
значение, перепишем решение задачи Коши с нулевыми начальными
условиями для уравнения (8.88) в виде
t
(8.106)
ао 0
о
Формула (8.106) носит название интеграла Дюгамеля*).
Пример 2. Решить задачу Коши
у" = sin t, у (0) =у' (0) = 0.
Найдем функцию g(t)'.
/ + ^=о, g(0) = 0, g'(0)=l.
Для ее изображения G(p) по формуле (8.95) получим
Отсюда с помощью таблицы изображений находим G(/?) = sinZ и тем
самым '
t
y(t)= sin (Z — т) sin Xdx — (sin t — t cos t).
0
2. Уравнение теплопроводности. Рассмотрим применение опера-
ционного метода при решении краевых задач для уравнения тепло-
проводности на примере распространения краевого режима по полу-
бесконечному стержню.
Пусть требуется найти распределение температуры в полубеско-
нечном стержне 0 < х < оо, если начиная с момента времени t = 0
на его левом конце х — 0 поддерживается заданный температурный
режим. Начальная температура стержня равна нулю. Математическая
задача заключается в определении ограниченного для 0 «С х < оо,
решения и(х, t) уравнения
щ = агихх, х > 0, t > 0, - (8.107)
с дополнительными условиями
и(х, 0) = 0, и(0, t) = q(t), (8.108)
где q (t) — заданная функция времени, которую мы будем предпола-
гать удовлетворяющей условиям существования преобразования Лап-
ласа. Предположим, что искомое решение и(х, t), а также его про-
*) О применении интеграла Дюгамеля в задачах математической физики
см. также А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математиче-
ской физики, «Наука», 1972.
246
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(ГЛ. 8
изводные, входящие в уравнение (8.107), удовлетворяют условиям
существования преобразования Лапласа по t, причем условия ограни-
ченности степени роста по t функции и(х, t) и ее производных не
зависят от х. Тогда получим
и (х, f)==U (х, р),
ut(x, f)=±pU (х, р), (8.109)
^ХХ (-^, 0 UXX (-V, Р)-
Вторая из формул (8.109) получена с учетом нулевого начального
условия (8.108). Последняя из формул (8.109) имеет место в силу
того, что сделанных предположений достаточно для вычисления про-
изводных несобственных интегралов, зависящих от параметра, путем
дифференцирования по параметру подынтегральных функций *).
Переходя к изображениям, вместо задачи (8.107), (8.108) для
функции и (х, t) получаем краевую задачу для изображения U (х, р):
Uxx(x, p)-^U(x, р) = 0, (8.110)
U(0,p) = Q(p), \U(x,p)\<M. (8.111)
Это —краевая задача для обыкновенного дифференциального уравне-
ния, в которой переменная р играет роль параметра. Как легко
видеть, решение задачи (8.110), (8.111) имеет вид
-^х
U (х, p) = Q(p)e а • (8.112)
Решение и(х, t) исходной задачи может быть найдено по его изо-
бражению (8.112) с помощью формулы Меллина, однако в случае
произвольной функции Q (р) вычисление соответствующего интеграла
может привести к значительным трудностям. Поэтому естественно
попытаться обойти прямое вычисление интеграла Меллина для опре-
деления оригинала функции (8.112). Заметим, что выше мы нашли
оригинал для функции (см. пример 4, стр. 236)
а
2/Г
P^4i
Поэтому, представив U (х, р) = Q (р) -р • е* а 1— и учтя, что со-
гласно (8.113)
1 -^х / \
р а = (8Д14)
*) См. вып. 2, стр. 416.
§ ЗрРЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 247
на основании теорем об изображении производной и свертки получим
t
U (х, р) = и (х, 0 = О (х, t — т) q (т) dx.
о
Подставив явное выражение (8.114) функции G(x, t) и произведя
дифференцирование, получим выражение решения задачи*) (8.107),
(8.108) в виде
* X2
и (x, t) = _2f_ С е~ w dx. (8.115)
2al л J
о
3. Краевая задача для уравнения в частных производных.
Изложенный в предыдущем пункте метод может быть формально
перенесен и на решение краевой задачи для уравнения в частных
производных более общего вида.
Рассмотрим уравнение
Рп[и(х, f)] — L2[u(x, f)]=f.(x, t\ (8.116)
где Рп [«] — линейный дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами вида
„ г , дпи , дп~хи , , ди
Рп [HJ — Т а1 fan-i “Г ’ • + >’
La[н] — линейный дифференциальный оператор второго порядка**)
вида
i-г [и] = Ьо (х) (х)~ + Ь2 (х) и (х, f),
коэффициенты Ь, (х) которого являются функциями лишь одной неза-
висимой переменной х; /(х, /) —заданная функция переменных х,
t, достаточно гладкая в области решения задачи. Будем искать реше-
ние м(х, t) уравнения (8.116) в области ***) t > 0, а <; х < Ь, удов-
летворяющее начальным
и (х, 0) = <р0 (х), ~ (х, 0) = <рх (х),..., (х, 0) = qvi (х)
*) Заметим, что данное выражение получено в предположении существова-
ния решения, тем самым проведенные рассмотрения являются фактически дока-
зательством единственности решения данной задачи в рассматриваемом классе
функций. Если заранее не известно существование решения поставленной задачи,
то необходимо показать, что формально полученное выражение (8.115) действи-
тельно представляет собой решение рассматриваемой задачи.
**) рассматриваемый метод не зависит от порядка дифференциального опе-
ратора L, так же как и Р, однако для большей наглядности изложения и ввиду
особой важности для приложений мы ограничимся случаем оператора L второго
порядка.
***) Рассматриваемый метод может быть применен и в том случае, когда
4 = — со или &= -|-со или одновременно а= — со, 6= -фоо.
248 ОСНОВНЫЕ понятая ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
и граничным условиям
а1-д~х(а> 0+ ₽!«(«> 0=Ч’1(0> 0 + ₽2«(*. 0 = ^2(0-
Будем предполагать, что начальные и граничные условия задачи,
а также функция f(x, f) таковы, что существуют изображения
Лапласа по t функции и(х, t) и всех ее производных, входящих
в уравнение (8.116):
00 а ? л
и (х, t) = U (х, р) = \ е~р(- и (х, t) dt, \ e~pt / (х, f)dt (8.117)
мл л мл
О о
и т. д., причем предположим, что условия ограниченности степени
роста по t функции и(х, f) и ее производных не зависят от х. Тогда
в силу равномерной сходимости по параметру х интеграла (8.117)
получим
ди . ... dU , . д2и , . d2U, .
^(х, Ох-^-(х, р), t)~^-(x,p)
и
(-V, о = pkU (*, р) - Ркл Фо (-V) - рь-2 Фх (х) -... - ср* -i (х). ,
Кроме того, предположим, что существуют изображения по t функ-
ций f(x, t), фх(О и ф2(/):
/ (х, t) = F (х, р), фх (0 = Фх (р), ф2 (/) = ф2 (р).
Тогда, перейдя в уравнении (8.116) к изображениям, получим обык-
новенное дифференциальное уравнение по независимой переменной х
для функции U (х, р)-.
-Pn(p)U(p) + L2[U(x, р)]=-F(x, p)~F0(x, р), (8.118)
где
п — 1
F0(x, р)= У, Рк (р) фп^-х (х),
k = о
а полиномы Рк(р) определяются формулой (8.93).
Уравнение (8.118) надо решать с граничными условиями
«Л (a, р) + Рх^ (а, Р) = (р),
^их {b, Р) 4- р2(7 (&, р) = Ф2 (р). (8.119)
Краевая задача (8.118), (8,119), в которой р играет роль параметра,
решается обычными методами решения краевых задач для обыкно-
венных дифференциальных уравнений *). Обратный переход от изо-
бражения 0 (х, р) к решению исходной задачи может быть произве-
ден с помощью формулы обращения (8.67).
*) См. вып. 3, стр. 159.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Метод перевала широко применяется для построения асимптоти-
ческих разложений *) некоторых контурных **) интегралов от функ-
ций комплексной переменной. Мы будем рассматривать интегралы
вида
F (X) = <р (г) (2) dz, (1)
с
где <р(г)*и /(z) — функции комплексной переменной z, аналитические
в некоторой области S, содержащей кривую С, которая может быть
и неограниченной; X — большое положительное число. Будем предпо-
лагать, что интеграл (1) существует, и поставим своей целью полу-
чить асимптотическое разложение функции F (X) по обратным степе-
ням параметра X. С интегралами типа (1) часто приходится встре-
чаться при исследовании интегральных представлений ряда специаль-
ных функций, а также при решении многих задач математической
физики и других разделов математики.
1. Вводные замечания. Начнем с некоторых наводящих сообра-
жений. Рассмотрим интеграл, определяющий гамма-функцию Эйле-
ра ***}
Г (p-\-l) = ^xpe~xdx, (2)
о
и попробуем найти для него приближенное выражение при больших
положительных значениях р. Заметим, что, представив хр = ер'пх, мы
*) Напомним, что асимптотическим разложением функции f (х) в окрест-
N
ности точки ха называется представление вида /(х) = 2 ak4k (x)-f-o (qw (х)),
k = 1
где af! — постоянные коэффициенты, а функции <pfe (х) при х —>• х() удовлетворяют
условию tpfc+i (х) = о (<рА (х)) (подробнее об асимптотических разложениях см.
вып. 2, стр. 556).
**) Следуя установившейся терминологии, мы здесь под контуром интегри-
рования понимаем не обязательно замкнутую кривую.
***) См. вып. 2, стр. 434.
250
ПРИЛОЖЕНИЕ i
приведем рассматриваемый интеграл (2) к виду (1). Подынтегральная
функция в (2) стремится к нулю при х—>0 и х—>-оо. Поэтому вели-
чина этого интеграла в основном определяется значением подынтег-
ральной функции в окрестности ее максимума. Преобразуем подын-
тегральную функцию к виду
= еР ы х — х _ ef (л)_
Максимальное значение функции f(x) достигается при х=р, причем
/(/?)=/Ип/>-/7, /,(х)|х=р = 0, /*'(х)!х=р = -у. (4)
Разложив функцию f(x) в 6-окрестности точки х—р в ряд Тейлора
и, ограничившись первыми членами разложения, получим
Г(Р+1)~
р — в
р + а _ (х — р)2
dx — рре~р j е 2р dx^
р — Ь
со __ (х — р)2
~рре~р е 2р dx.
— со
(5)
Приближенные равенства имеют место вследствии того, что подын-
тегральная функция при |х—р|>6 мала и быстро стремится к нулю.
Сделаем в интеграле (5) замену переменной интегрирования, положив
Гр^х~р^у- Тогда
Г(р+1)^У2ррре-р\е-Р^у = У2лр[-рДР. (6)
— ОО ' '
Формула (6) и дает приближенное выражение интеграла (2) при боль-
ших значениях р. Как будет показано ниже, она представляет собой
первый член .асимптотического разложения интеграла (2). Эта фор-
мула часто называется формулой Стирлцнга.
При выводе этой формулы мы не оценивали точность сделанных
приближений, поэтому наши рассмотрения носят лишь иллюстратив-
ный характер. В дальнейшем будет проведена оценка точности фор-
мулы (6), а, сейчас сделаем еще несколько замечаний, позволяющих
легче понять основную идею метода перевала. Формула (6) выражает
приближенное значение интеграла (2) через значение подынтеграль-
ной функции в точке ее максимума (рре~р) и некоторый дополнитель-
ный множитель, соответствующий длине того отрезка интегрирования,
на котором значение подынтегральной функции достаточно близко
к максимальному.
Обратимся теперь к интегралу (1), в котором подынтегральная
функция является аналитической в области & комплексной плоскости
z. Этот интеграл также может быть приближенно вычислен через
максимальное значение модуля подынтегральной функции с поправ-
кой на быстроту ее убывания на контуре интегрирования. Если путь
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
251
интегрирования, соединяющий точки zt и г2, таков, что на неболь-
шом его участке абсолютная величина подынтегральной, функции
достигает наибольшего значения, а затем быстро спадает, то естест-
венно предположить, что найденная величина дает хорошее прибли-
жение. Так как функция /(д) является аналитической в области S,
то в силу теоремы Коши значение интеграла (1) определяется лишь
заданием начальной Zj и конечной г2 точек пути интегрирования,
а не видом кривой С. Отсюда следует, что для заданного интеграла
(1) возможность его приближенного вычисления с помощью рассмат-
риваемых методов связана с возможностью выбора такого контура
интегрирования, чтобы он удовлетворял указанным выше требова-
ниям. Нас интересуют значения интеграла (1) при больших положи-
тельных значениях параметра X, стоящего в показателе у экспоненты.
Поэтому естественно ожидать, что основной вклад в значение инте-
грала дадут те участки пути интегрирования, на которых функция
и (х, у) — действительная часть функции f(z) = u(x, y)-\-iv(x, у)—
достигает наибольших значений. При этом следует иметь в виду, что
функция и (х, у), являясь гармонической в области S, не может дости-
гать абсолютного максимума во внутренних точках этой области, т. е.
внутри области S нет точек, в которых функция и(х, у) возрастала
бы или убывала по всем направлениям. Поверхность функции и (х, у)
может иметь лишь седловые тонки *).
Пусть точка z0 — хй-\- 1у0 является единственной седловой точкой
поверхности и (х, у) в области S. Рассмотрим линии постоянных зна-
чений и (х, у) = и (х0, jo) = const функции и (х, у), проходящие через
эту точку. В силу принципа максимума для гармонических функций **)
эти линии не могут образовывать замкнутых кривых (мы не рассмат-
риваем тривиальный случай /= const в S), т. е. они либо упираются
в границу области S, либо уходят на бесконечность в случае неог-
раниченной области. Кривые п(х, у) — н(х0, _у0) разбивают область S
на секторы, внутри которых значения функции ц(х, у) соответст-
венно или меньше, или больше значения tt(x0, _у0). Первые секторы
будем называть отрицательными, вторые — положительными.
Если граничные точки zt и z2 кривой интегрирования лежат в одном
секторе и функция и (х, j) принимает в этих точках различные зна-
чения, то, очевидно, можно так деформировать контур, чтобы на нем
функция и(х, у) изменялась монотонно. При этом основной вклад
в значение интеграла дает окрестность той граничной точки, в кото-
рой значение функции и(х, у) наибольшее. То же положение имеет
место и в том случае, когда точки zx и z2 лежат одна в положи-
тельном, а другая в отрицательном секторах. Метод перевала приме-
няется в том случае, когда точки и z2 лежат в различных отри-
*) Определение седловой точки поверхности см. вып. 2, стр. 137.
**) См. А. Н. Тихонов, А. А. С а м а р с к и й, Уравнения математи-
ческой физики, «Наука», 1972.
252
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
нагельных секторах, что дает возможность выбрать такой контур
интегрирования, проходящий через седловую точку х0, _у0, на кото-
ром значение функции и(х, у) является максимальным в точке х0, у0
и быстро спадает по направлению к граничным точкам. Очевидно,
в этом случае основной вклад в значение интеграла (1) будет давать
малый участок в окрестности седловой точки, причем последний можно
выбрать тем меньше, чем быстрее спадают значения функции и (х, _у)
вдоль кривой интегрирования. Метод перевала также иногда называ-
ется методом наибыстрейшего спуска. Эта «альпинистская» терми-
нология, очевидно, связана с топографией поверхности функции и (х,у)
в окрестности ее седловой точки. Мы ограничимся здесь этими
вводными замечаниями, а сейчас проведем оценку точности метода,
при помощи которого была получена асимптотическая формула (6).
При этом будет установлен ряд положений, лежащих в основе метода
перевала.
2. Метод Лапласа. Докажем ряд вспомогательных положений,
лежащих в основе так называемого метода Лапласса асимптотической
оценки интегралов от функций действительной переменной.
Лемма 1. При /?>0 и Д-*-оо имеет место асимптотиче-
ская формула *)
xP~xe~xdx = Г (р) + О (е 2 j • (7)
о
Доказательство.- Оценим при р > 1 интеграл **)
fе~ххр-Чх = л fе-У (у + Ay-1 dy < е~А (2Ау-'е-Чу +
до 1о
+ fРуУ-'е-Чу} = е~А {(2Ау-1 (1 - е~А) + 2р-1Г (р)}. (8)
о
Отсюда при Ap<ZeA^ и следует (7).
В дальнейшем большую роль будут играть интегралы вида
Ф (X) = § <р (f) е~и'~ dt, 0 < a <Z оо.
—а
Имеет место следующая лемма.
*) Символ О (t2) или, более общо, О (tn) в разложении вида <р (t) =
п — 1
= У ChtkA-0 (tn) означает, что при 111 sg 6 имеет место равномерная оценка
k = о
п ~ 1
<р(/) — S cktk < С t j", где С—постоянная.
k = о
(е Ххр ldx^\e Xdx=e А,
I А
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
253
Лемма 2. Пусть при 11\ -С 6 функция ф (0 может быть
представлена в виде
<р(0==с0 + ^ + О(^2) (9)
и для некоторого Хо > О сходится интеграл
$ | ф (/) ] е-V* dt < М. (10)
— а
Тогда для Х>Х0 имеет место асимптотическая формула
Ф(Х) = ф(Ое-«2Л = с0 |Л^4-О(Х-з/2). (11)
—а
Доказательство. Главный член формулы (11) легко может
быть получен из следующих наводящих соображений. Если функция
ф (/) ограничена при 111 > а, то естественно ожидать, что значение
интеграла (11) изменится незначительно, если заменить пределы инте-
грирования — а и а на — оо, оо соответственно. Тогда первый член
разложения (9) дает главный член формулы (11), интеграл от второго
члена в силу нечетности подынтегральной функции равен нулю и
остается оценить остаточный член. Эта оценка и возможность ука-
занной замены пределов интегрирования и составляют основное
содержание леммы. Перейдем к ее строгому доказательству.
Разобьем интеграл Ф(Х) на три слагаемых:
— 6 6 а
Ф(Х) = $ <p(Z)e-W2<Z/+ J <р(/)е-^аЛ+^ф(0е-х/2^, (12)
. —а —6 6
где 6 > 0 — некоторое фиксированное число. Оценим последнее сла-
гаемое:
ф (t) е~dt
е
е— (А—х0)б2 | <р (^) | g—V2 dt •-<
в
Ме'-^‘ е~м‘ = О (е-М2).
(13)
Здесь мы воспользовались условием (10) и очевидным неравенством
X/2 = хб2 + X (t2 - б2) > лб2 4- Х„ (t2 - б2) = (X - Ао) 62 + М2,
имеющим место при X > Хо, t > б. Аналогично оценивается и первое
слагаемое в (12). Отсюда следует, что при достаточно больших X
основной вклад в значение интеграла Ф (X) дает второе слагаемое,
в то время как крайние слагаемые в (12) экспоненциально стремятся
к нулю при X—>оо.
254
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Перейдем к рассмотрению главного члена в (12). Подставив вместо
функции <р(/) ее разложение (9), получим
6
Ф2(Х) = <р(/)е-«’^= ’
-в
в в в
= с0$ e-^dt-l-Ci J e~Ki,tdt-\- $ О (t2) e~Kt’dt. (14)
-6 -в -й
Второй интеграл в (14) в силу нечетности подынтегральной функ-
ции равен нулю. Для оценки первого интеграла сделаем в нем замену
переменной интегрирования, положив W2 = r. Получим
б й ?.б2 ]
( е~м‘ dt = 2 ? e~u*dt = -±= т 2e~TdT.
Но в силу леммы 1 при Х->оо имеет место асимптотическая
\ т 2e-xdt = Г (-к- )4- О2 ) = 1/л 4-Ol.e 2 )•
(15)
формула
(16)
Так как при любом фиксированном б функция е 2 при
стремится к нулю быстрее, чем 3/2 то можем записать
с0 J е~к/’ dt = с0 У J + О (У2).
Остается оценить последнее слагаемое в (14):
б б с
O(t2)e-Wdt<C t2e~M’dt = 2C\t2e~M* dt.
-б -б о
(17)
(18)
В интеграле (18) опять сделаем замену переменной интегрирования,
положив №2 = т. Тогда получим
б Хб»
2 J е-«2 dt = -Ь ( т1/2б-т dx_ (i9)
0^0
Интеграл (19) также удовлетворяет условиям леммы 1. Поэтому
окончательно получим
с I -3\
\ 0(^)e-w</(=C-^ + 0^ 2 ; = 2). (20)
Формулы (13), (17). и (20) после подстановки их в (12) и доказывают
лемму.
Сделаем ряд замечаний к доказанной лемме.
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
255
Замечание 1. Повторяя проведенные рассуждения, можно
доказать, что если функция ф(0 при |0^б разлагается в строку
Тейлора
л —1
Ф(0=У^ + О(П (21)
А==0
то имеет место асимптотическое разложение
Ф(А)= \ Ф(0е-*'Ч/ = У с2т----------f^ + O^ 2 ), (22)
— а т = 0 /” + 2
Гп—11 ,
где символ —означает наибольшее целое число, меньшее или
п— 1
равное ——.
В частности, при л=1, когда разложение функции ф (0 имеет
вид <р(0 = со+О(0, остаточный член в формуле (22) имеет порядок
X-1, поскольку при оценке остатка главную роль играет интеграл
б б б
O(t)e~u‘dt<C \t \е~К1г dt— 2С ^te—^ dt.
-б -б о
Замечание 2. Лемма остается справедливой и в том случае,
когда интегрирование проводится по отрезку [alt а2], где ^<0,
а2 > 0 и — ar а2. Следующее замечание настолько существенно для
дальнейшего, что мы сформулируем его в виде самостоятельной
леммы.
Лемма 3. Пусть на отрезке 111 б0 функции ф (0 и ц (0
представимы в виде
Ф(0 = со + С1/ + О(*2), (9)
ц (0 = ^4-0(0), (23)
и пусть при А->оо функция б (Л) <;б0 удовлетворяет условиям*)
Аб2 (X) -> оо, Аб3 (X) -> 0. (24)
Тогда при А->оо имеет место асимптотическая формула
___________________________________________ / з\
7(A) = ( ф(0еН-^+м(О]^ = со|/ ^4_o^-2J. (25)
-б (А.)
Доказательство. Как легко видеть, при выполнении условий
(9), (23) и (24) на отрезке 111 б (А) имеет место равенство
ф (0 <0 = с0 + C1t + сос3А0 + О (t2) + О (А20) + О (А0). (26)
*) Как легко видеть, например, функция д(А) = А“2/5 удовлетворяет
условиям (24).
256
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Тогда, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 2,
получим, что при подстановке разложения (26) в формулу (25) пер-
вое слагаемое в силу условия (24) даст главный член правой части
(25); второй и третий члены полученного выражения обратятся в нуль
в силу нечетности подынтегральных функций; последние три слагаемых
имеют одинаковый .порядок малости О(Х~3/2). Лемма доказана.
Доказанные леммы позволяют доказать следующую теорему,
являющуюся основной в методе Лапласа асимптотического разложения
интегралов от функций действительной переменной.
Теорема 1. Пусть функция f(t), заданная на отрезке [а, 6],
достигает своего абсолютного максимума в некоторой внутрен-
ней точке tn, причем f" (/0)<0, и пусть существует такое б0>0,
что при 11 —t(> | < 60 имеет место представление
+ + (27)
Тогда, если функции ср (t) и р (f) при [ t —t01 < 60 удовлетворяют
условиям леммы 3, т. е.
(f)(t)=c0 + c1(t-t0) + O[(t-t0n (9)
p(O = c3a-m-W-;on (23)
то имеет место асимптотическая формула
Ъ t з \
Т(Х)= ( = + (28)
J к Г '*/ VO/ J
а
если выполнены следующие дополнительные условия:
а) для данного 60 одновременно выполняются соотношения
при \t-t0\^t>0 |р(0[<-О^((-^, (29)
при / —/0!>60 /^о)—/(02s/2>°;
б) для некоторого Хо>0 сходится интеграл
ь
5 I Ф (О I dt М. (30)
а
Доказательство. Разобьем интеграл в (28) на сумму следую-
щих слагаемых:
ъ и—в<, ц-вдю
Т(Х)=5ф(0^1°Л= $ <p(OeV(Z)^+ <P(0«W)^ +
а а —
Iq -J- 6 (^) ^0 “Ь Ь
+ ф (f) e}-fд) dt§ q(t)eKtд'* dtср (7) eW) dt, (31)
Г»-б(Я.) t»+6(X) t, + et
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
257
где функция 6 (%) удовлетворяет условиям (24) леммы 3. Крайние
интегралы в (31) оцениваются' так же, как и в лемме 2. Действи-
тельно, используя очевидное неравенство
* ГЖ)-Ж]=(* - Ч) [Ж) Г(01 + МЖ) -Ж]
^й(Х-Ьо) + *оЖ)-ЬоЖ, (32)
имеющее место при a^t ^t^ — 6У и А.>Л0, получаем
ф (/) | ф (/) | f(t)\dt
а а
4— 6о_
<*• ^(X — X0)f (^) —Л(Х —Хо) | ф (t) | (Ц
+ — ХЛ —_ (^—Лйу (33)'
Так же оценивается и интеграл по отрезку [^о + бо, Ь\. Для оценки
второго интеграла воспользуемся условиями (27), (29), в силу кото-
рых при f0 — — б (А) имеет место неравенство
Ж)Ж(0>-Ч^^-^г^-Ч^б2(^ <34)
Поэтому, повторив выкладки, проведенные при выводе формулы (33),
получим
?о-в(М
. ^0 — бо
ф (f) ек1^1 dt
= eM(M0(e-cu'(l>),
С>0.
(35)
Но в силу условия (24) величина в правой части (35) также имеет
экспоненциальный порядок малости *). Аналогичным образом оцени-
вается и четвертый интеграл.
Перейдем к рассмотрению основного интеграла формулы (31):
/0 + 6(Х)
Т3(Х)= $ ф(/)е«И^. (36)
/о-д(Х)
В силу условия (27) этот интеграл можем переписать в виде
^о+в(А) ,[7"(Л>)„
W3(X) = eV(W jj ф(0е L 2 (t to}+^t}\dt. (37)
/0-в(А)
Приведем интеграл (37) к виду (25), сделав замену переменной
— g 9- (t —10)2 = т2. Как легко видеть, полученный при этом интег-
рал удовлетворяет всем условиям леммы 3. Поэтому окончательно
получим
ад)=^) {j/7-Ж_ф(^) + Ор-2/2)}. (38)
*) При д (Х) = А~2/5 получим О (e~cV/5).
258
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Поскольку Т3(А) отличается от оцениваемого интеграла на величину
экспоненциального порядка малости, формула (38) и доказывает
теорему.
Замечание 1. Теорема остается справедливой и в том случае,
когда один или оба предела интегрирования равны бесконечности,
поскольку оценка интеграла (33) остается справедливой и при а =
= — оо.
Замечание 2. Мы получили лишь первый член асимптоти-
ческого разложения интеграла (28). Аналогичным образом можно
получить выражение и для последующих членов асимптотического
разложения, однако мы на этом останавливаться не будем.
Замечание 3. Проведенное доказательство может быть пере-
несено и на тот случай, когда максимальное значение функции f(t)
достигается в какой-либо из граничных точек отрезка [а, Ь]. При
этом в формуле (28) появляется дополнительный множитель
Замечание 4. В том случае, когда функция f(f) внутри отрезка
[а, Ь] имеет несколько максимумов, равных по величине, асимптоти-
ческое разложение интеграла (28) по обратным степеням большого
параметра к можно получить, оценивая интегралы типа (36) по 6-
окрестности каждой из точек максимума и суммируя результаты.
Рассмотрим пример применения доказанной теоремы.
Пример 1. Получить асимптотическое разложение гамма-функ-
ции Эйлера
Г (Р + 1) = -хре~х dx. (2)
о
Представим подынтегральную функцию в виде хре~х = ер[пх~х
и сделаем замену переменной, положив x=pt. Тогда интеграл (2)
преобразуется к виду
Г(/? +1)=р₽+1^е₽С1п#—° dt- (39)
о
Это интеграл типа (28) с <р(^)=1 и — — Функция f(t)
достигает своего максимального значения при £0=1, причем
7(1) = -i, /W-i = o, /"(Ok-i = -i- (40)
Поэтому по формуле (28) получаем
Г (р + 1) = е~р + О (р~ з/2)}pP+i = {1 + о (1)}. (41)
Тем самым мы получили асимптотическую оценку точности получен-
ной ранее из наводящих соображений формулы (6). Как было ука-
зано выше, рассмотренные методы позволяют получить и последующие
МЕТОД ПЕРЕВАЛА 259
члены асимптотического разложения. Приведем без вывода несколько
первых членов формулы Стирлинга:
= + 12р + 288рЗ ~ 51 840р3 + ••'}• (42)
3. Метод перевала. Перейдем теперь к рассмотрению самого
метода перевала получения асимптотических разложений интегралов
вида (1):
F (X) = <р (z) ек^ dz.
с
В силу наводящих рассмотрений пункта 1 естественно предположить,
что если контур С таков, что на небольшом его участке значения
действительной части и (х, у) функции /(г) = и (х, "у) 4- iv (х, у)
достигают наибольшей величины и затем быстро спадают, а мнимая
часть v (х, у) остается постоянной (чтобы обеспечить отсутствие неже-
лательных быстрых осцилляций подынтегральной функции), то основ-
ной вклад в величину интеграла (1) и дает интегрирование по дан-
ному участку контура С. Поэтому для приближенного вычисления
интеграла (1) следует деформировать контур С так, чтобы подынте-
гральная функция на нем обладала указанными свойствами. При этом,
как было установлено нашими предыдущими рассмотрениями, необ-
ходимая деформация контура С определяется в первую' очередь
топографией поверхности уровня функции и (х, у). В частности, кон-
тур интегрирования должен проходить через седловую точку поверх-
ности функции п(х, у) в направлении наибыстрейшего изменения
этой функции.
Остановимся подробнее на топографии поверхности гармонической
функции и (х, _у) в окрестности ее седловой точки 7И0 (х0, _у0). Опре-
делим направления наибыстрейшего изменения этой функции, прохо-
дящие через точку Мо. Эти направления, 'как известно, определяются
направлением вектора grad и. Пусть gradtr^O. Так как для анали-
тической функции Vh-Vtj = 0 (см. стр. 34), то направление вектора
grad и определяет кривую v (х, у) = const. Итак, если на кривой
v (х> У) — const, grad и yt 0, то функция и (х, _у) изменяется вдоль
этой кривой наиболее быстро. Однако в самой седловой точке
Л10 (Хц, _у0) поверхности функции и (х, .у) вектор grad и (Л40) = 0. Рас-
смотрим подробнее поведение функций п(х, у) и п(х, у) в окрест-
ности этой точки. Очевидно, в точке Мо производные функций и (х, у)
и v(x, у) по направлению / касательной к кривой ц(х, у) = const,
проходящей через точку Л40, равны нулю:
>о, Л) =0, J(x0, Л) = 0. (43)
Так как производная аналитической функции не зависит от направ-
ления, то отсюда следует, что
f(zo) = O. (44)
260
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Следовательно, разложение функции f(z) в окрестности точки z0
имеет вид .
/(г)=/(го)4-(г-го)»’{co + q(г-г0)+ (45)
где р^2 и с0 + 0. Положив cn = rneien, п = 0, 1,..z — z0 — ре'/
получим
f(z)—f(zo) — pp {roe‘<p<₽ + 9o> -]-pr1et’[(P+ Dv + SiJ ..}. (46)
Запишем уравнения кривых и (х, у) = const и v (х, у) = const, про-
ходящих через точку z0, с помощью введенных обозначений. Имеем
^(Р> ф) = г0 cos (РФ + 0») + PH cos [(/> + 1) ф +.61] + ... = 0, (47)
V(p, ф) == rosin(рф + 60) + p^sin [(/> + 1)ф + 61] + ... = 0. (48)
Здесь
«(*, У) - и (-/ь Л) = Р₽ (Р> ф)>
v(*> y)-v(x0, y0) = ppV(p, ф).
Так как функция соз(рф + 60) при изменении ф от 0 до 2зт меняет знак
2р раз, то из формулы (47) следует, что окрестность точки zu разби-
вается на 2р криволинейных секторов, внутри которых функ-
ция U (р,- ф) сохраняет знак. Границы этих секторов определяются
из решения уравнения (47). Секторы, в которых U (р, ф) <; 0, будем
по-прежнему называть отрицательными, а секторы, в которых
U(р, ф) > 0, — положительными. Направления'наибыстрейшего убыва-
ния (наибыстрейшего спуска) функции и(х, у), очевидно, лежат
в отрицательных секторах и определяются теми значениями угла ф,
при которых в окрестности точки (х0, _у0) V (р, ф) = 0 и U(р, ф) <; 0,
т. е. cos (рф + 60) — —1. Эти значения равны
фя=- р -|-----т = 0, 1, ..., р— 1. (49)
Отметим, что направления наибыстрейшего спуска совпадают с бис-
сектрисами отрицательных секторов.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь случай р = 2, когда
/’(г0) + 0. При этом c0 = ±f(z0) и 60 = arg/" (д0). В этом случае
имеются лишь два отрицательных сектора, внутри которых проходит
линия наибыстрейшего спуска функции и(х, у). Направление каса-
тельной к этой линии в точке z0 согласно формуле (49) опреде-
ляется углами
Фо=—у— И Ф1=—= ф0 + л. (50)
Очевидно, выбор угла ф0 или ф1 определяется заданием направления
интегрирования вдоль линии наибыстрейшего спуска.
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы метода
перевала.
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
261
Теорема 2. Пусть функции <р(г) и f(z) = ii(x, y)-\-iv(x, j/)
являются аналитическими в области S и 'удовлетворяют сле-
дующим условиям:
1) Поверхность функции и(х, у) имеет внутри S единствен-
ную седловую точку г^ = хп^1уа, причем f"{z^^<d.
2) Существует такое 6 > О, что на линии L постоянного
значения функции v (х, y) = v(x0, у0), проходящей через точку Zq,
в обоих отрицательных секторах этой точки функция и(х, у)
вне ^-окрестности точки z0 удовлетворяет условию
и(х0, у0) — и(х, y)^h^>0. (51)
3) При некотором значении Ао > О сходится криволинейный
интеграл
51 <Р (-г) | еК°и //) ds<ZM, (52)
с
где кривая С целиком лежит в области S, причем ее началь-
ная (z-l) и конечная (z2) точки расположены в различных отри-
цательных секторах точки z0 так, чт‘о их можно соединить
с кривой L кривыми Yj и у2 конечной длины, на которых функ-
ция и(х, _у) удовлетворяет условию (51).
Тогда для всех А Ао имеет место асимптотическая формула
F (А) = ( ф (z) е^ (*> dz = е^ <г°> (1/” , . . ф (z0) е^т + О (А- 3/2)},
(53)
где = тп (m = 0, 1) и 0О = arg/ " (z0). Выбор значения фт
определяет знак в формуле (53) и, естественно, зависит от направле-
ния интегрирования вдоль контура С.
Доказательство. Интеграл (53) не изменит своего значения,
если деформировать кривую интегрирования С в кривую Г = L ух у2.
В силу условия (51) для интегралов по кривым ух и Тг имеет место
оценка '
Ф (z) eKf (z) dz — e^ О (е~Xft). (54)
V1.2
Рассмотрим интеграл
Fi (А) = ф (z) екНг> dz. (55)
L
Введем на кривой L натуральный параметр *) $, причем будем
считать, что точке z0 соответствует значение s = 0. Уравнение кри-
вой L запишем в виде z = z(s). Произведя в интеграле (55) замену
*) Понятие натурального параметра см. вып. 1, стр. 359,
262
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
переменной 'интегрирования, положив z — z (s), получим
ь
рх (X) = еа°v«> Ф (s) е'-и <s> ds,
— а
(56)
где
Ф (s) = ср [z (s)], U ($) = и [х ($), у (s)],
О < а <; оо, 0 <;/><; оо.
Интеграл (56) удовлетворяет всем условиям теоремы 1, причем
функция U(s) достигает своего максимального значения в точке s = О,
d2U I . „
а < О-
ds2 |s=o
Тогда согласно (28)
F1 (X) = Ы {]/' - Ф (0) z' (0) + О (V з/?)}, (57)
и остается выразить входящие в (57) величины через значения функ-
ций <р(г) и f(z) в точке z0. Очевидно, Ф (0) = ср (z0). Так как
d2V I п
- = 0, то
ds2 \l
<58>
Отсюда в силу (44) получим
-^1 Г- (59)
ds2 |s=o v L\ds/s = o] v ’
Так как в окрестности точки д0 с точностью до величин высшего
порядка малости имеет место соотношение z — z0 = sei(f, то
| ° = е'Ф, и остается определить направление касательной к кри-
вой L в точке z0. Но по самому способу построения кривой L каса-
тельная к этой кривой в точке z0 совпадает с направлением наибыст-
рейшего изменения функции и(х, >). Тогда из (50) для угла фт
получим формулу
Фт — + tnn, т = 0, 1, (60)
где 0О = arg f" (z0), а значение т определяется направлением интегри-
рования. Заметим, что О<0 и |^| 0 = 1> Тогда форму-
лу (59) можно записать в виде
I
<61>
Итак, окончательно получим
F (Z) = еК {]/ ф (г0) е^т + О з/2)}, (62)
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
263
где значение угла срт дается формулой (60). Знак главного члена
в правой части (62) определяется выбором значения т и зависит
от направления интегрирования вдоль кривой С.
Сделаем ряд замечаний по поводу доказанной теоремы.
Замечание 1. Из доказанной теоремы следует, что если обе
граничные точки zr й г2 кривой интегрирования С лежат в одном и
том же отрицательном секторе седловой точки г0, то для интеграла (1)
имеет место оценка (54).
Замечание 2. В приложениях особенно часто приходится рас-
сматривать интегралы типа (1) в неограниченной области с кривой
интегрирования С, уходящей в бесконечность. Из проведенных рас-
смотрений очевидно, что в этом случае для сходимости интеграла(1)
необходимо, чтобы кривая интегрирования уходила в бесконечность
в отрицательных секторах седловой точки z0. При этом теорема 2
“и формула (53) сохраняют силу.
Замечание 3. Теорема 2 была доказана в предположении, что
точка г0 является единственной седловой точкой поверхности функ-
ции и(х, у) в области и /"(го)^О. Если эти предположения
не выполнены, то могут быть проведены аналогичные рассмотрения,
которые приводят к асимптотическим разложениям интеграла (1),
подобным формуле (53). Однако когда в области S имеется несколько
седловых точек, то выбор контура интегрирования требует специаль-
ного исследования. Если контур интегрирования проходит через
несколько седловых точек, то асимптотическое разложение инте-
грала (1) может содержать несколько слагаемых типа первого
члена (53), имеющих один и тот же порядок, что может существенно
изменить окончательный результат.
Рассмотрим ряд примеров применения полученных результатов.
Пример 2. Асимптотическая формула для функции Ханкеля.
Как известно*), функция Ханкеля первого рода H-j1 (х) может
быть представлена с помощью интеграла
Н;'(х)= ^ e£xs'n z~ivzdz, (63)
с
где контур интегрирования С на комплексной плоскости z переходит
из полуполосы — у< Re z <у, Im z >0 в полуполосу у< Re z •< у л,
Im z < 0 через точку = у (рис. Г). Эта точка является седловой точ-
кой функции f(z) — I sin z в полосе 0 < Re z < л, так как f fyj = 0,
/"lyj —— I # 0. Указанные выше полуполосы представляют собой
*) См. А. Н. Тихонов, А. А. С а м а р с к и й, Уравнения математиче-
ской физики, «Наука», 1972.
264
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
отрицательные секторы этой седловой точки, что, в частности, обе-
спечивает сходимость данного несобственного интеграла. Найдем
асимптотическое значение
этого интеграла при больших положитель-
ных значениях х | v |.' Данный интеграл,
где f(z) = Z sin z, <р(г) = e~ivs, очевидно,
удовлетворяет условиям теоремы 2. По-
этому для его вычисления может быть при-
менен метод перевала. Так как f'(z) =
л _ 3 '
= I cos z, то в полосе — 2 < Re г < у л
находится лишь одна седловая точка
г0=^. При ЭТОМ /(г0) = /, f (zo) = O,
Зл
\f" (го) i — So = Учитывая направле-
ние интегрирования, из (50) получим
<р0= — ”. Отметим, что это направление
совпадает с биссектрисой отрицательного сектора сёдловой точки
Л
г0= 2-. Окончательно на основании формулы (53) получим
= Г"+О(^3'2)}= -
<б4>
Формула (64) находит весьма широкое применение при решении раз-
личных задач, в которых приходится использовать асимптотические
представления цилиндрических функций.
Пример 3. Асимптотическая формула для полиномов Ле-
жандра *).
Будем исходить из интегрального представления **) полиномов
Лежандра
Pn(cos6) = -lTy е - -й</ф, 0<6<л. (65)
л у 2 —е V cos ф — cos 6
Как легко видеть, подынтегральная функция имеет интегрируемую
особенность при ср = ± 0. Нашей целью является получение асимпто-
тического выражения для функции Pra(cos6) при больших значениях
индекса п. Рассмотрим аналитическое продолжение подынтегральной
*) Определение полиномов Лежандра и их основные свойства см. А. Н. Т и-
хонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука»,
1972.
**) См. Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их приложения,
Гостехиздат, 1953, стр. 76.
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
265
функции на комплексную плоскость z = х + iy.
vd (z) = ______ —
У cos z — cos В ’
(66)
Функция w является аналитической в верхней полуплоскости 1тг>0.
Поэтому интеграл по любому замкнутому контуру, целиком лежащему
в верхней полуплоскости, от этой,
функции равен нулю. Выберем зам-
кнутый контур *) Г, состоящий из
отрезка (_у = 0, —OsXxsxS) дей-
ствительной оси, вертикальных от-
резков (х = — 6, 0 ^у Н), (х — 6,'
параллельных мнимой
оси, и замыкающего горизонталь-
ного отрезка (у = Н, — 6 -С х 8)
(рис. 2). Как легко видеть, на по-
следнем отрезке модуль
| V) I - - —^===^г (67)
| Vcos (х + iH) — cos В |
при Н—* оо. Поэтому, перейдя
экспоненциально стремится к нулю
к пределу при И —► оо, получим
где
о ./ . 1 \
7= \ е 4 2У
—8 j/ cos ф — COS 6
с?<р — -|- /2,
У cos (В —iy) — cos 6
00
]/ COS (0 + и/) — cos 6
dy.
(68)
(69)
(70)
и
A —
О
Для приближенного вычисления интегралов /х и /2 при больших зна-
чениях п применим метод перевала. Рассмотрим интеграл /х (/2 вычи-
сляется аналогично). Положим y = t2 и обозначим = Тогда
из (69) получим
ч оо й
, ft / rtf
У(Л)=-/e^/x = 2 — tat (71)
J V cos (6 — it2) — cos 0
0
*) При этом особые точки z = ±6 обходим по дугам окружностей беско-
нечно малого радиуса, который затем устремляем к нулю.
266
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Интеграл (71), очевидно, удовлетворяет всем условиям теоремы 1,
причем f(t)= — t* и точка tn = G, в которой функция f(f) достигает
своего максимального значения /(0) = 0, совпадает с граничной точ-
кой интервала интегрирования. При этом f" (0) = —2, а
.л
<p (Q = Ит = - 4= (72)
г—о p cos (9 — it2) — cosS J/ sin 6 '
Поэтому по формуле (28), в которой надо ввести дополнительный
множитель-i , так как точка t0 совпадает с граничной точкой интер-
вала интегрирования, ’ получим
^(Х) = 1/Г4.-74=е-ЛЧ-О(^з/2), (73)
г А у sm 9
откуда
71 = /е“'('’+т)е ( । f ------------е“' г+О(«-3/2)] (74)
j У [п 4- sin 9 J •
Аналогично
4 = - ie ("+ 7----А------е< 4 + О («-3/'2)1 (75)
(n4-yjsin6 j
Тогда после простых преобразований, учтя, что — птли-
чается от "|/~на величину порядка О(п~3/2), получим окончатель-
ную асимптотическую формулу для многочленов Лежандра, справед-
ливую при я 1 и 0 <; 0 <; л:
Р, (cos 0) = {cos [{„ +е _ + о . (те)
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
МЕТОД ВИНЕРА —ХОПФА
Данный метод находит широкое применение при решении неко-
торых интегральных уравнений и различных краевых задач матема-
тической физики с помощью интегральных преобразований Лапласа,
Фурье и ряда других. Первоначально этот метод был применен
в совместной работе Н. Винера и Э. Хопфа (1931 г.) к решению
интегральных уравнений с ядром, зависящим от разности аргументов,
в случае полубесконечного промежутка
ОО
и (х) = X v (х — $) и (s) ds f(x).
о
В дальнейшем уравнения подобного вида рассматривались В. А. Фо-
ком *), внесшим большой вклад в развитие общих методов их решения.
Общий метод решения функциональных уравнений, получивший
название метода Винера — Хопфа или метода факторизации, был с успе-
хом использован при решении многих задач дифракции и теории
упругости, краевых задач для уравнения теплопроводности, интеграль-
ных уравнений теории переноса излучения (так называемая проблема
Милна) и многих других задач математической физики **). Не ставя
своей целью строгое математическое обоснование метода Винера —
Хопфа, мы изложим его основную идею на примерах решения ряда
практически важных задач.
1. Вводные замечания. Начнем с наводящих соображений,
иллюстрирующих применение методов интегральных преобразований
при решении интегральных уравнений. Рассмотрим интегральное урав-
нение вида
«(х) = л § v(x — s)u(s)ds-\-f{x) (1)
—со
*) В. А. Фок, О некоторых интегральных уравнениях математической
физики. Машем. сборник 14 (1944), стр. 1.
**) Большое количество примеров применения метода Винера — Хопфа можно
найти в книге Б. Нобла, где приведена достаточно подробная библиография.
(Б. Нобл, Применение метода Винера — Хопфа для решения дифференциальных
уравнений в частных производных, ИЛ, 1962.)
268
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
с ядром v (х — $), зависящим от разности аргументов. Мы не будем
здесь исследовать условий разрешимости этого уравнения и прово-
дить обоснование методов его решения, а лишь укажем, что для
действительных значений Л при выполнении условий
5 I/(-v) I2 <Z А, к. | ц(Т) | dt <Z 1, (2)
—оо —со
где А — произвольное фиксированное число, уравнение (1) имеет
единственное решение*) п(х), интегрируемое с квадратом в беско-
нечном промежутке
$ | и (х) |2 dx < оа. (3)
—СО
Будем считать, что существуют преобразования Фурье **) всех
функций, входящих в уравнение (1):
ОО
$ u(x)eikxdx, (4)
1/(Л) = -1=- {v(f)eiktdt, (5)
I 2л J
—ОО
co
\f{x)e^xdx. (6)
V 2л J
—co
Тогда, умножив (1) на
промежутку, получим
1 eikx
р'2л
и проинтегрировав по бесконечному
со со
U (k) — F (k) + —^= \ eikx dx ( v (х — s) и (s) ds — F (k) -j-1 (k). (7)
l 2л J J
—co —co
Изменив в последнем слагаемом порядок интегрирования, представим
этот интеграл в вйде
СО СО
I (k) — -£=. и (s) ds \ eikxv (х — s) dx. (8)
Г 2л J J
—со ---—co
/ '
Сделаем замену переменной интегрирования, положив х — s — t. Тогда
*) Подробно этот вопрос изложен, например, в кн.: В. Т и т ч м а р ш, Введение
в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948.
**) Определение преобразования Фурье и его основные свойства см. вып. 2,
стр. 518.
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
269
в силу (4) и (5)
ds v(t)eiktdt = kV2n U(k) V(k).
—00
(9)
Формула (9) фактически означает, что в случае преобразования
Фурье справедлива формула преобразования свертки, полученная нами
для одностороннего преобразования Лапласа (см. стр. 223).
. Теперь формулу (7) можно переписать в виде
U(k) = F(k)+WS2nU(k)V(k). (10)
Итак, с помощью преобразования Фурье нам удалось свести реше-
ние исходного интегрального уравнения (1) к решению алгебраического
уравнения (10) для преобразования Фурье искомого решения. Реше-
ние -последнего уравнения не представляет труда:
1/(А) =------------. (И)
1— Х|/2л V(k) . . 7
Тем самым преобразование Фурье (11) решения исходного инте-
грального уравнения оказалось выраженным через преобразования
Фурье заданных функций — ядра и правой части уравнения. Само
решение может быть легко выражено через его преобразование Фурье
С помощью известной формулы обратного преобразования*):
। •
1 С F(k)e~'kx „
—• _ 1 х ' rjb
У”2л 2л V (k)
и (х) = и (A) e~ikx dk
) 2л
(12)
Формула (12) фактически решает задачу, однако она не всегда удобна
для использования, так как требует вычисления преобразования Фурье
F(k) для каждой правой части /(х). Во многих случаях более удоб-
ным оказывается представление решения неоднородного интеграль-
ного уравнения через ядро {резольвенту) исходного уравнения:
и(х)=/(х) + % jj g{x~s)f{s)ds. (13)
—ОО
Чтобы, получить требуемое представление, заметим, что формула (10)
может быть преобразована к виду
U{k)-F (A:) = X/2SF(A)0(A), (14)
где
О(£) =-----Ц9-----. (15)
1.-М/2лГ(£) ’
*) См. вып. 2, стр. 518.
270 ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Из соотношения (14) с помощью формулы обратного преобразо-
вания (12), замечая, что в силу формулы (9) оригиналом функции
p^2n F (k) G (k) является функция
ё(х~s)f(s)ds,
—ОО
где
00
= S O(k)e-^dk, (16)
—co
получим
u(x)=/(x)-/X g(x — s)f(s)ds. (13)
—00
Таким образом, для определения решения исходного интегрального
уравнения (1) достаточно найти функцию g(t), определенную форму-
лой (16).
Функция g(t) представляет собой решение уравнения (1) при спе-
циальном виде функции /(х). Действительно, из формул (11) и (15)
следует, что при U (k) = Q (k) функция F (k) равна V (k). Это озна-
чает, что решением уравнения (1) при /(х) = и (х) является функция
w(x)sg(x), т. е. резольвента уравнения (1) удовлетворяет инте-
гральному уравнению
СО
g(x) = v(x — s)g(s)ds + v(x). (17)
Пример 1. Решить интегральное уравнение
1 w(x) = X jj v (х — s) и (s) ds +/(х), (18)
—00
где
,т)(^) = е-аП1, а>о: (19)
Найдем функцию g(f), для чего вычислим
V(k) = ~}= ( eikldt = -L= ——. (20)
/2л J у 2л a2-J-fe2 4 ’
—со •
Тогда по формуле (15)
О (k) =----КВ------= -U--------, (21)
I-b/2nV(fe) /2л /г2 + а2 —2аХ '
откуда
gm=vn ~ т
—ОО —00
МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА
271
Положим, что у. Тогда интеграл (22) имеет смысл и легко
может быть вычислен с помощью теории вычетов путем применения
леммы Жордана. После простых выкладок найдем
„-1 /1 Va“-2cA
g(t) = ge—=_.
]Ах2—2аЬ
(23)
и, окончательно,
со
u(x)=f(x)+~—-------- \ e-fx-s^'^=^f(s)ds. (24)
V а2 —2сЛ J
—со
Итак, применение рассмотренного метода, сводящего решение
исходного интегрального уравнения (1) к решению алгебраического
уравнения, было связано с возможностью применения преобразова-
ния Фурье к входящим в это уравнение функциям и использования
формулы свертки. Нашей ближайшей целью является перенесение
рассматриваемых методов на решение интегральных уравнений с ядром,
зависящим от разности аргументов, в случае полубесконечного про-
межутка
СО
и (х) = X v (х — s) и (s) ds -ф/(х). (25)
о
Однако для этого нам понадобятся некоторые аналитические свой-
ства преобразования Фурье, в частности определение областей ана-
литичности преобразования Фурье функций действительной перемен-
ной, как убывающих, так и возрастающих на бесконечности.
2. Аналитические свойства преобразования Фурье. Пусть
функция /(х) определена при всех значениях — оо < х < оо. Рас-
смотрим преобразование Фурье этой функции
ОО
F(A) = --U \f(x)elkxdx.
У 2л J
(26)
При этом будем считать, что параметр А, входящий в преобразова-
ние (26), вообще говоря, может принимать и комплексные значения.
Поставим вопрос о свойствах функции F(k), рассматриваемой как
функция комплексной переменной k. Для этого представим функцию
/(х) в виде
f(x)=f+(x)+f_(x), (27)
где функции /~(х) и /+(х) соответственно равны
/-(*) =
/(х), х < О,
О, х > О,
( 0, х < О,
/+(х) = (
1/(х), х>0.
•212
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Преобразование Фурье F (k) функции f(x) при этом, очевидно, равно,
сумме преобразований Фурье F^(k), F-(k) функций /~(х) и f-(x).
Мы выясним аналитические свойства функции F(£), установив анали-
тические свойства функций F+ (А) и F- (k). Итак, рассмотрим функцию
( 0, х<0,
А(х) = ’ . ’ (28)
\f(x), х>0.
Ее преобразованием Фурье является функция
1 С
1 2л 3
М)
/+ (х) eikx dx.
(29)
Повторяя рассуждения теорем 8.1 и 8.2, легко показать, что если
функция /+(х) удовлетворяет условию
| /+ (х) | CAfe*-* при х —- оо, . (30)
то функция F+ (&), определенная формулой (29), является аналитиче-
ской функцией комплексной переменной k = <j-}-iz в области 1тЛ>>
>т_, причем в этой области F±(k)—>0 при | k |—>оо. С помощью
рассуждений, аналогичных проведенным в теореме 8ф, можно пока-
зать, что функции Д(х) и F+(k) связаны обратным соотношением:
оо+/т
/+(x)=-L £ F + (k) e~ikx <%k, (31)
У 2л J х
• —co-|~ZT
где интегрирование производится по любой прямой 1тА = т>т_,
параллельной действительной оси на комплексной плоскости k.
При т_ < 0 (т. е. для убывающих на бесконечности функций /(х))
область аналитичности функции F+(£) содержит действительную ось
и в формуле (31) можно проводить интегрирование вдоль действи-
тельной оси. Если т_ > 0 (т. е. функция /+ (х) растет на бесконеч-
ности, но не быстрее, чем экспонента с линейным показателем), то
область аналитичности функции F^(k') лежит над действительной
осью комплексной плоскости k (при этом на действительной оси k
интеграл (29) может расходиться). Аналогично, если функция
f , . ( /(х), х<0,
/ (х) = {
\ 0, х>0
удовлетворяет условию
/_ (х) < Л4ег+Х при х -> — оо,
то ее преобразование Фурье, функция
о
F_ (fe) — f-'(x) eikx dx,
/2л J
— 00
(32)
(33)
(34)
МЕТОД-ВИНЕРА - ХОПФА
273
является аналитической функцией комплексной переменной k в обла-
сти Im k < т+. Функция /_ (х) выражается через функцию F- (х)
с помощью соотношения
оо 4- ix
/_(*) = 4= F_(k)e~ikxdk,
р 2л J
—- оо -j- ix
где Im k = т < т+.
Если т+>»0, то область аналитичности функции F~(K) содержит
действительную ось. -
Очевидно, при т_<т+ функция F (k), определенная по .фор-
муле (26), является аналитической функцией комплексной перемен-
ной k в полосе т-•< 1m & < т+. При этом функции /(х) и F (k) свя-
заны обратным преобразованием Фурье:
/(•*)
1
У-'2 л
OO-J--ZT
F (k) e~ikx dk,
— CO 4-ft
(36)
где интегрирование производится по любой прямой, параллельной
действительной оси комплексной плоскости k, лежащей в полосе
Т-< Im k = т< т+. В частности, при т-<0 и т+>'0 функция F(k)
является аналитической в полосе, содержащей 'действительную ось
комплексной плоскости k.
Так, функция V(x) — e~a'F при а>0 обладает преобразова-
нием Фурье
V^) = -L-._^_, (37)
ф 2л “ +
являющимся аналитической функцией комплексной переменной k
в полосе — а < Im k < а, содержащей действительную ось.
Перейдем теперь к изложению основной идеи метода Винера —
Хопфа. Мы продемонстрируем ее сначала на примере решения интег-
рального уравнения специального типа.
3. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности
аргументов. Начнем с рассмотрения однородного интегрального
уравнения вида
и (х) = Л v (х — s) и (s) ds, (38)
о
ядро которого, функция v (х — S), зависит от разности х — s. = g и
определено для всех значений- своего аргумента — оо <; £ < оо.
Решение этого уравнения, очевидно, находится с точностью до про-
извольного множителя; он может быть найден из дополнительных
условий задачи, например условий нормировки. Будем Считать,
что уравнение (38) определяет функцию и(х) для всех значений
переменной х, как положительных, так и отрицательных. Введем
274
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
функции и- и и+:
( и (х), х <С 0, ( 0, х < О,
U- (х) = < и+ (х) = <
( О, х > О, ( и (х), х > О.
(39)
Очевидно, и (х) = zz+(х) 4” и-(-V), и уравнение (38) можно переписать
в виде
со
и+ (х) — X v (х — s) и+ (s) ds, х > 0, (40)
о
ОО
и_ (х) = А. v (х — s) и+ (s) ds, х<0. (41)
6
(42)
(43)
(44)
То есть функция н+(х) определяется из решения интегрального урав-
нения (40), а функция и_(х) выражается через функции м+(х) и
V (х) с помощью квадратурной формулы (41). При этом имеет место
соотношение
ОО
и+ (х) + и- (х) = А, § v (х — s) и+ (s) ds,
о
эквивалентное исходному уравнению (38).
Пусть функция v (5) удовлетворяет условиям
| т» (|) | < Мех~^ при £ оо
| v (£) | < 7Иет+^ при’ £ -> — оо,
где т_<0, Т+> 0. Тогда функция
ОО
V(A) = -L ( v®eikUl,
У 2л J
—со
является аналитической в полосе т_ < Im k < т+.
Будем искать решение уравнения (38), удовлетворяющее условию *)
| «+ (х) | < при х —> оо, (45)
где ц < т+. При этом интегралы в правых частях соотношений (40)
и (41), как несложно проверить, являются сходящимися, причем для
функции и_ (х) имеет место оценка
|«_ (х) | < M2ex+X при х ->--оо. (46)
Из условий (45) и (46) следует, что преобразование Фурье (7+ (Л) и
t/_(A) функций »+(х) и п_(х) являются аналитическими функциями
комплексной переменной k при Im k > |.i и Im k < т+ соответственно
(на рис. 1 для определенности положено р, >» т_).
*) Мы не останавливаемся на доказательстве существования решения
уравнения' (40), обладающего указанным свойством. Подробнее см., например,
цитированную выше статью В. А- Фока.
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
275
Перейдем теперь к решению интегрального уравнения (38) или
эквивалентного ему уравнения (42), для чего воспользуемся преобра-
зованием Фурье. С помощью формулы (9) преобразования свертки,
в справедливости которой в рассматриваемом случае полубесконечного
промежутка легко убедиться непосредственно, получим из (42)
U+(k) -ф f/_(A) = /2лKV(A) U+(k),
или
L(A)t/+(A)+t/_(A) = O, (47)
где
L(A)= 1—/2^XV(A). (48)
Итак, с помощью преобразования Фурье мы опять перешли от
исходного интегрального уравнения к алгебраическому уравнению для
преобразований. Однако теперь в уравнение (47) входят уже две не-
известные функции. Вообще говоря, из одного алгебраического урав-
нения нельзя однозначно определить две
неизвестные функции. Метод Винера —
Хопфа позволяет решить эту задачу для
определенного класса функций. Он в пер-
вую очередь связан с изучением областей
аналитичности входящих в уравнение
функций и специальным представлением
этого уравнения. Основная идея метода
Винера — Хопфа заключается в следующем.
Пусть удалось представить уравне-
ние (47) в виде
/ (k) U+ (k) = — L_ (k) U_ (k), (49)
где левая часть является аналитической
в верхней полуплоскости ImA>p, а пра-
вая — аналитической в нижней полуплос-
кости 1щ/г<т+, причем р.<т+, так что существует общая полоса
аналитичности этих функций р. <; Im k <Z т+. Тогда в силу единственности
аналитического продолжения можно утверждать, что существует един-
ственная целая функция комплексной переменной, совпадающая с левой
частью (49) в верхней и правой частью (49) в нижней полуплоскости
соответственно. Если при этом известно, что функции, входящие в (49),
растут на бесконечности не быстрее, чем конечная степень kn, то в силу
теоремы Лиувилля данная целая функция определяется с точностью
до постоянных множителей. В частности, в случае ограниченной
на бесконечности функции получим
L+ (k) U+ (А) = — L_ (A) U_ (А) = const. (50)
Отсюда функции /(А) и t7_(A) определяются однозначно.
ПРИЛОЖЕНИЕ-2
276
Итак, применим, данную схему к решению уравнения (47). Из про-
веденных выше рассмотрений следует, что области аналитичности
функций U+ (k), U_(k) и L (/г) = 1 — ]/~2л X V(k) соответственно пред-
ставляют собой верхнюю полуплоскость Im k > ц, нижнюю полупло-
скость 1тЛ<;т+ и полосу т_<1тХ<т+. Тем самым это уравнение
справедливо в полосе *) ц < 1т А < т+, являющейся общей областью
аналитичности всех входящих в это уравнение функций. Для преоб-
разования уравнения (47) к виду (49) предположим, что возможно
разложение функции L (А):
= . (51)
где функции Х+(й) и L_(k) являются аналитическими при 1тА>|х
и 1тХ<т+ соответственно. Кроме того, предположим, что в обла-
стях своей аналитичности эти функции на бесконечности растут не
быстрее, чем kn, где п — некоторое положительное целое число. Раз-
биение (51) аналитической функции L(k) обычно называется факто-
ризацией. Возможность факторизации заданной аналитической функ-
ции комплексной переменной будет обоснована ниже (ем. леммы 1
и 2 на стр. 279, 280).
Итак, в результате факторизации исходное уравнение приведено
К виду
L+(X) Z7+(А) = — L-(k)U_(k). (49)
Из предыдущих рассмотрений следует, что оно определяет неко-
торую целую функцию комплексной переменной k.
Так как {7+(Х)->-0 при | k | -► со, a L+(k) растут на бесконеч-
ности, как конечная степень kn, то данная целая функция может быть
лишь полиномом Рп_1(/г) степени не выше п—1.
Если функции L±(k) растут на бесконечности, лишь как первая
степень переменной k, то из соотношений (50) в силу теоремы Лиу-
вилля следует, что соответствующая целая функция есть постоянная С.
Тогда для неизвестных 6Т(Л) и £7_(А) получим выражения
CTi). <52>
определяющие преобразования Фурье искомого решения с точностью
до постоянного множителя, который может быть найден хотя бы из
условий нормировки.- В общем случае выражения
= Ш U-W— (53)
определяют преобразования Фурье искомого решения интегрального
уравнения (38) с точностью до неопределенных постоянных, которые
*) Мы для определенности положим jx > т_. В противном случае общей
областью аналитичности будет полоса т_ < Im k < t+.
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
277
можно найти из дополнительных условий задачи. Само решение опре-
деляется с помощью обратного преобразования Фурье (31) и (35).
Рассмотрим пример применения изложенного метода.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
и (х) = X § е~ । х~s hi ($) ds, (54)
о
ядро которого имеет вид г»(£) = е~1£1.
Найдем преобразование Фурье функции v (|):
V(A) = -7L f —----------. (55)
К2л(*2 + 1)
Функция V (/г) (55) является аналитической функцией комплексной
переменной k в полосе — 1<1тА<1. Представим выражение
L (&) = 1 — ]/1>л ЛР(Л) = (66)
в виде (51), где
(А) = L- (k) = k - i. (57)
Функция 1+(А) в (57) является аналитической и отличной от нуля
функцией k в области 1m Л > Im ')/ 2Х— 1. При < эта об-
ласть определяется условием Im k > у 1 — 2л, причем ]/ 1 — 2Х
^ц<1. При функция L+(A) является аналитической и от-
личной от нуля в области Im k > 0. Функция L_ (k), очевидно, пред-
ставляет собой отличную от нуля аналитическую функцию в области
1тЛ< 1. Поэтому при обе функции удовлетворяют тре-
буемым условиям в полосе p.<ImA<l.
При -|-<Х общей областью аналитичности функций,Т+(£)и L_(k)
является полоса 0<1тй<1. Таким образом, необходимая фактори-
зация функции (56) произведена.
Рассмотрим выражения U±(k) L±(k). Так как (А)-> 0 при
| k | ->- оо, a L± (k), согласно (57), растут на бесконечности, как пер-
вая степень k, то . целая функция Pn(k), совпадающая с U+(k)L+(k)
при Im k >р. и с U_(k) L_(k) при ImA<l, может быть лишь поли-
номом нулевой степени. Поэтому
Отсюда
Щ (A) L+(A) = C.
k + ^)~Cfc2—П-Н
(58)
(59)
278
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
и, согласно (31),
и+ (.г)
ОО-Н'Т
С (• k + i
/2S ' fe3-(2X-l)
—СО +
e~tkx dk,
(60)
где p, <т< 1.
Для вычисления интеграла (60) можно применить методы гл. 5.
Замкнув контур интегрирования при х Z> 0 дугой полуокружности
в нижней полуплоскости и оценив интеграл по этой дуге с помощью
леммы Жордана, после элементарных вычислений получим
, , । sin р^2Л,—1 х
и (х) = D 1 cos у 2Л — 1 х Ч-——
+ | Д2Х-1
(61)
где D — новая постоянная. При 0 <Д < у это решение экспоненци-
ально возрастает с ростом х, при -1 < X < со — ограничено на бес-
конечности.
Итак, уже пример решения однородного интегрального уравне-
ния (38) выявляет основную идею метода Винера — Хопфа, заключаю-
щуюся в представлении с помощью факторизации исходного функцио-
нального уравнения (47) в виде целой функции (49). Дадим теперь
обоснование возможности факторизации аналитической функции ком-
плексной переменной, причем будем исходить из несколько более
общего функционального уравнения, чем уравнение (47).
4. Общая схема метода Винера—Хопфа. В общем случае за-
дача, решаемая методом Винера — Хопфа, сводится к следующей.
Требуется определить функции Ф.Д^) и Т_(А) комплексной пере-
менной k, аналитические соответственно в полуплоскостях 1тЛ>т_
и 1тЛ<т+ (т_<т+), стремящиес'я к нулю при |А|->оо в своих об-
ластях аналитичности и удовлетворяющие в полосе (т_ < Im k <; т+)
функциональному уравнению
Д(А)Т+(А)Ч-5(Л)Чг_(Л) + С(Л) = 0. (62)
Здесь А (А), В (k\ С (k) — заданные функции комплексной пере-
менной k, аналитические в полосе т_ < Im k <; т+, причем A (k) и
В (В), отличны от нуля в этой полосе.
Основная идея решения этой задачи основана на возможности
факторизации выражения A(k)/B(k), т. е. возможности представить
его в виде
АЩ = L+(fe)
В (/г) £_ (/г) -
(63)
где функции L+(A) и L_(k) являются аналитическими и отличными от
нуля соответственно в полуплоскостях Im /г > т_ и Im k <; тф, причем
полосы т_<1тА<т+ и т! <"ImA<;T* имеют общую часть. Тогда
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
279
с помощью (63) уравнение (62) можно переписать в виде
L+(k)^+(k) + L_(k)^_(k) + L_(k)^ = O. (64)
Если последнее слагаемое в (64) можно представить в виде
LAk)^=D+(k) + D_(k), (65)
где функции D+ (А) и D_ (k) являются аналитическими в полуплоско-
стях 1тЛ>т". и 1тЛ<т+ соответственно, и все три полосы т_<
< Im k < т+, т2 < Im k <Z тц. и tL <; Im k < т^. имеют общую часть
— полосу т!_ < Im k < т^, то в этой полосе име'ет место функцио-
нальное уравнение
L+ (k) Т+ (А) 4- О+ (А) = —L_ (k) Т_ (А) - О_ (й). (66)
Левая часть (66) представляет собой функцию, аналитическую в полу-
плоскости т2_ < Im k, правая — функцию, аналитическую в области
Im k < Из равенства этих функций в полосе т2_ < Im k < сле-
дует, что существует единственная целая функция Р (£), совпадающая
соответственно с левой и правой частями (66) в областях их анали-
тичности. Если все функции, входящие в правые части (63) и (65),
растут на бесконечности в своих областях аналитичности не быстрее,
чем /гга+1, то из условия 4*+ (k) -> 0 при |А[->схэ следует, что Р(£)
является полиномом Pn(k) степени не выше п. Тем самым равенства
Т+(£)
_P„(fe)-Z\(fe)
£+ (й)
(67)
Т_(А)
L- (k)
(68)
определяют искомые функции с точностью до постоянных. Последние
могут быть найдены из дополнительных условий задачи.
Итак, применение метода Винера —Хопфа основано на представ-
лениях (63) и (65). Возможность этих представлений обеспечивается
следующими леммами.
Лемма 1. Пусть функция F (F) является аналитической в по-
лосе т_ < Im & < т+, причем в этой полосе F (k) равномерно стре-
мится к нулю при | k | —> оо. Тогда в данной полосе возможно
представление
Е(/г) = Е+(А) + Е_(£), (69)
где функция F+ (fe) — аналитическая в полуплоскости Im k Z> т_,
а функция F_ (/г) — в полуплоскости Im k < т+.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку k0, лежа-
щую в данной полосе, и построим прямоугольник abed, содержащий
точку kQ, внутри и ограниченный отрезками прямых Im k =Т—, 1шА —
280
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
= тф, Re k = —A, Re k = A,
муле Коши
A 4- ir'_ ‘
F^=it c
Д + ix'+
Д 4- LX’_
—A-r-ix\ -~A~ix'_
i ГТ^’ + й <7p>
4711 J — Rq 2Л1 J
<4 + rt'u — Д-Н'т'
Перейдем в (70) к пределу при 4->оо. Так как по условию леммы
F(k) равномерно стремится к нулю при |Л|—>оо, то предел второго
и четвертого слагаемых в правой части (70) равен нулю, и мы по-
лучим
F(A0) = F+(£0)-|-F_(*0), (7.1)
где
со +
F^ = Si S (’2)
—CO-J-fT^.
co + rtl
F-^-s ) ртЛ (”>
Интегралы (72) и (73), как интегралы, зависящие от параметра *),
определяют аналитические функции комплексной переменной /?0 при
условии, что точка k() не
лежит на контуре интегри-
рования.
В частности, F+(£o) яв-
ляется аналитической функ-
цией в полуплоскости
Im k0 > xl, a F_ (Ло) —-в
полуплоскости Im k0 < тф.
В силу произвольности вы-
бора точки k0 и прямых xL
ихф соотношения (71)—(73)
и доказывают лемму.
Замечание 1. Заме-
тим, что из сходимости ин-
1 i t'+
-А к=0 d
г TL J
Рис. ^2.
тегралов (72) и (73) сле-
дует ограниченность построенных таким образом функций F+(A) и
F_(k) при |й|->оо в данной полосе.
Лемма 2. Пусть функция Ф(&) является аналитической и
отличной от нуля в полосе х_ < Im k < г+, причем Ф (k) равно-
*) См. стр. 52,
МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА
281
мерно в этой полосе стремится к единице при |А|->оо. Тогда
в данной полосе имеет место представление
Ф(А) = Ф+(А)-Ф_(А), j (74)
где функции Ф+(А) и Ф_(А) являются аналитическими и отлич-
ными от нуля соответственно в полуплоскостях Im А > т_ и
1тА<т+.
Доказательство. Рассмотрим функцию Л (А) = In Ф (А), кото-
рая, очевидно, удовлетворяет всем условиям леммы 1. Поэтому для
функции F (А) возможно представление (71)—(73). Полагая
Ф+ (А) = exp (А)}, Ф_ (А) = ехр (А)}, (75)
где. функции Д+(А) и Д_(А) определены формулами (72), (73), по-
лучаем
1пФ+(А) = Р+(А), 1пФ_(А) = Д_(А). (76)
Тогда формула (7.1) дает
1пФ(А) = 1пФ+(А) + 1пФ_(А), (77)
откуда и следует соотношение (74). Так как функции F+ (А) и F_ (А),
согласно лемме 1, являются аналитическими в полуплоскостях Im А>т_
и Im А <С т+ соответственно, то и функции Ф+ (А) и Ф_ (А), определен-
ные по формулам (75), будут обладать требуемыми свойствами.
Лемма доказана.
Замечание 2. Возможность факторизации (74) сохраняется в том
случае, когда функция Ф(А) имеет конечное число нулей А,- в по-
лосе т_ < Im А т+.
Для доказательства леммы 2 в этом случае достаточно ввести
вспомогательную функцию
F (k) = In +^)-./2 ф (А)1, (78)
|П(*—'
где а, —кратность нулей kp, N—иотюо. число нулей с учетом их
кратности; положительная постоянная b Д>|-т_|, | т+1 выбирается из
условия, чтобы функция, стоящая под знаком логарифма, не имела
дополнительных нулей в полосе т_<1тА<;т+. Последняя функция,
очевидно, стремится на бесконечности к единице. Построенная таким
образом функция 5(A) по-прежнему удовлетворяет всем условиям
леммы 1.
Доказанные леммы и определяют возможность представлений (63),
(65), составляющих основу метода Винера — Хопфа.
Мы рассмотрели применение метода Винера — Хопфа для решения
функционального уравнения (62). Легко видеть, что к этому уравне-
нию сводится и неоднородное интегральное уравнение
на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности
282
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
аргументов:
и (х) = % J v (х — s) и (s) ds ф- f(x).
о
(79)
Будем предполагать, что ядро уравнения (79) и функция f(x)
удовлетворяют условиям (43), и будем искать решение уравнения
(79), удовлетворяющее условию*)
| п+ (-*0 | <
при
х —> оо
(80)
(Н < т+)-
Тогда, проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям при вы-
воде функционального уравнения (47) для однородного интегрального
уравнения, получаем, что в случае уравнения (79) в полосе р.<1тА<;т+
должно удовлетворяться функциональное уравнение
(7+ (k) ф- U_ (А) = X/2л V (k) U+ (А) + F+ (k) ф- (А) (81)
или
Т(А)(7+(А)ф-{/_(А)-Д(А) = 0, (82)
где
L(k)=l-V2nKV(k). (83)
Уравнение (82) является частным случаем уравнения (62). Функ-
ция L (А) в полосе т_<1тА<т+ является аналитической и равно-
мерно стремится к единице при |А|->-оо, так как | У(А)|—>0 при
| А | -> оо. Если, кроме того, функция V (k) имеет конечное число
нулей в этой полосе, то все условия леммы 2 выполнены и функцию
L (k) можно представить в виде
L(A)
L+(k)
(*)’
(84)
где L+(k) является аналитической функцией в верхней полуплоскости
lmA>r_, a L_(A) —в нижней полуплоскости 1тА<;т+. Тогда урав-
нение (82) принимает вид
L+ (A) U+ (k) ф- L_ (A) U. (А) - L_ (А) (А) - Л+ (А) (А) = 0. (85)
Для приведения последнего уравнения к виду (66) достаточно разло-
жить последнее слагаемое:
7ф (A) L_ (А) = D+ (k) ф- (А), (8 6)
на сумму функций D+(k) и Л_(А), являющихся аналитическими в
полуплоскостях Im А > р. и Im А <; т+ соответственно.
*) Мы опять не останавливаемся на обосновании существования решения
уравнения (79), удовлетворяющего условию (80).
МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА
283
Для обоснования возможности такого представления заметим, что
в силу условия (43) функция F+ (k) является аналитической в верхней
полуплоскости Im k > т_ и равномерно стремится к нулю при | k | -> оо.
Функция L_(k) является аналитической в нижней полуплоскости
Im k < т+, и по способу ее построения в силу леммы 2 и замечания
к лемме 1 можно так провести факторизацию (84), чтобы L(A)
оставалась ограниченной в полосе т„<!тА<;т+ при | k | -> со.
Отсюда следует, что для функции F+ (k) L_ (k) в полосе т_ < Im k < т+
выполнены все условия леммы 1, что и достаточно для обоснования
представления (86).
Проведенные рассмотрения позволяют при дополнительных усло-
виях, что функции L+(k) растут на бесконечности не быстрее, чем
kn, представить преобразования Фурье решения неоднородного интег-
рального уравнения (79) в виде
= ^W=-^(fe)+S(T(fe)+D-(fe). (87)
L+ (к) L_ (к)
Само решение может быть получено из (87) с помощью формул
(31) и (35) обратного преобразования Фурье.
5. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям с ядром,
зависящим от разности аргументов,
5.1. Вывод уравнения Милна. К интегральным уравнениям с ядром,
зависящим от разности аргументов, сводится большое число физи-
ческих задач. В качестве первого примера укажем классическую
проблему Милна, описывающую процесс переноса нейтронов (или
излучения) через вещество.
Пусть в полупространстве х>0, заполненном однородным веще-
ством, плотность которого определяется числом п0 частиц в единице
объема, распространяется поток нейтронов. Будем считать, что частицы
вещества являются тяжелыми атомами, рассеивающими нейтроны так,
что абсолютная величина скорости нейтронов остается постоянной,
а меняется лишь ее направление. Рассмотрим стационарный процесс
и предположим, что все нейтроны имеют одну и ту же абсолютную
величину скорости т>0 = 1 и плотность их распределения зависит лишь
от одной координаты х. Введем функцию /(х, р)5 характеризующую
плотность нейтронов - в сечении х, скорость которых составляет
с положительным направлением оси х угол 0, где p = cos0 *). Число
нейтронов в единице объема в данном сечении, направление скорости
которых лежит в пределах (и, и <Zp), определяется величиной
f(x, р) dp.
Полная плотность нейтронов р (х) в данном сечении равна
' 1
р(х) = f(x, p)rfp. (88)
-i
* ) Очевидно, — 1 Ц 1 При 0 sg 0 л.
284
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Нашей ближайшей целью является 'вывод уравнения для функции
распределения f(x, р.). Для этого составим соотношение полного
баланса числа нейтронов, имеющих направление скорости в интервале
(р, ja-J-6fp.) и находящихся в слое между сечениями х и x^f-dx.
В силу стационарности процесса поток Нейтронов, выходящих из
данного слоя
р/(х +dx, р) dp —р/(х, р) dp, • (89)
определяется разностью Между числом нейтронов, приобретших ско-
рость в заданном направлении (р, p-j-dp) в результате рассеяния на
частицах вещества в данном слое, и числом нейтронов, имевших
скорость в заданном направлении и изменивших это направление
после рассеяния. Мы будем считать, что рассеяние нейтронов на
частицах вещества является изотропным, т. е. оно равновероятно
во всех направлениях, и вероятность рассеяния нейтрона на одной
частице характеризуется эффективным сечением рассеяния Q. Тогда
число нейтронов, имевших заданное направление скорости (р, р + dp)
и рассеянных в данном слое, очевидно, равно
f(x, р) dp • Qnodx, (90)
а число нейтронов, приобретших в результате рассеяния скорость
в требуемом направлении, равно
1
ydpQ-«odx \ f (х, p')dp'. (91)
— 1
На основании (89), (90) и (91) уравнение баланса запишется в виде
рf(x + dx, р) dp — р/(х, р) dp =
= —Q'K0/(x, p)dpdx-|--^-dpdx /(х, p')dp'. (92)
Разделим обе части равенства на dp dx и перейдем к пределу при
dx -> 0. Учтя (88), получим уравнение для функции распределения
нейтронов в виде
Н = - Qnof(x, р) + р (х). (93)
Это уравнение часто называется уравнением переноса или транс-
портным уравнением. Оно справедливо не только в случае рассмот-
ренной конкретной физической задачи, но и для многих других
физических процессов, связанных с переносом вещества или излу-
чения *).
Для дальнейшего удобно переписать уравнение (93) в несколько
ином виде, введя безразмерную пространственную координату £,
*) Подробный вывод уравнения переноса для более общих случаев см.,
например, Морс и Фешбах, Методы теоретической физики, т. 1, ИЛ, 1958.
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
285
связанную с х соотношением х = Ц, где Х = —L—средняя длина
свободного пробега. Тогда уравнение переноса примет вид *)
df 1
p-g£-= — /(£, jO + yPtB)-
(94)
Функция f(5, р) должна быть подчинена граничным условиям,
вытекающим из физической постановки задачи. Будем считать, .что
поток нейтронов из внешнего полупространства £ < О равен нулю,
а при £ -> оо имеется постоянный поток нейтронов единичной мощ-
ности в отрицательном направлении оси £ (т. е. при £ —► со отсутст-
вуют нейтроны, направление скорости которых составляет с отрица-
тельным направлением оси £ острый угол, отличный от нуля). Тогда
граничные условия для функции /(£, р) запишутся в виде
/(О, р) = 0, р 0,
/(оо, р) = 0, — 1 < р < 0.
(95)
Установим важные следствия уравнения (94) и условий (95), для
чего сначала проинтегрируем (94) цо р:
1 1.1
§ /(£, р) р </р = — § /& р) dp + 4" Р (&) J =
= -р© + р© = 0. (96)
1
Так как интеграл y(g)= ^/(£, р) р (Zp равен потоку нейтронов через
— 1
данное сечение, то уравнение (96) дает
= 0 или j (£) = const. (97)
В силу условий нормировки (при —> оо) получим /(|)==—1
(единичный поток при g->--|-oo' направлен в отрицательном направ-
лении оси |).
Теперь умножим (94) на р и снова проинтегрируем от —1 до 1.
Введя обозначение /<(£) = $/(£, p)p2dp, получим
— 1
1 = 1 й.™ К(В) = /С(О) + В, (98)
где в силу (95)
о
ЛГ(О)= 5/(0, р)р2^р. (99)
— 1
*) Мы сохранили для функции f (£, р,) старое обозначение.
286
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Уравнение (94) является интегро-дифференциальным, так как неиз-
вестные функции р (£) и /(£, ц) связаны интегральным соотношением
(88). Однако легко получить интегральное уравнение для функции
р(5). Решая обыкновенное дифференциальное уравнение (94) относи-
тельно функции /(£, |х), в силу (95) получим
Л1. и)-^
&
$ е w р (т]) dt},
о
со Т1 —I
— J е . р (т|) <7г|,
р > О,
р < 0.
(100)
Проинтегрировав (100) по р от —1 до 1, получим интегральное
уравнение для функции р(£):
< е с° -I S — n I .
Р(£) = -2- \ \ Р(п)е ц (101)
о’ б’ И
Изменив в (101) порядок интегрирования, получим окончательное
уравнение для плотности нейтронов в сечении
P(?)=J^^-n)P(1l) d4-
о
(102)
Как видим, это есть интегральное уравнение в полубесконечном про-
межутке с ядром, зависящим от разности:
1 <! । >
f(^-n)= 2’ J ц (ЮЗ)
' о
Уравнение (102) обычно называется уравнением Милна, который
впервые получил это уравнение при исследовании процессов пере-
носа излучения в звездной атмосфере.
Отметим, что во многих случаях удобным оказывается несколько
иное представление ядра, получающееся при замене в интеграле
С - — du 1
X(t) = \ е t* — переменной интегрирования р.= . Тогда
ОН
о
ОО
X(O-J (Ю4)
1
Интеграл (104) часто называется функцией Хопфа. Интегрирова-
нием по частям легко может быть получено его асимптотическое
разложение при больших положительных значениях 1-.
^(0 = т{1“7+ <105)
МЕТОД ВИНЕРА —ХОПФА
287
5.2. Исследование решения уравнения Милна. Уравнение (102)
принадлежит к типу уравнений, рассмотренных в п. 3, и для его
решения может быть применен общий алгоритм метода Винера —
Хопфа. Мы не будем проводить здесь подробного решения этого
уравнения и исследования его физического смысла *), а ограничимся
лишь рядом замечаний.
Во многих практических задачах основной интерес представляет
определение лишь функции распределения нейтронов, выходящих из
данной среды, т. е. функции /(0, ц) при р. < 0. Согласно (100) эта
функция определется выражением
/(0, ц) =
1 с -Т 1 С 11
21Г И1Лр(П)‘/П=2ТЙтК р<0, (106)
о ' о
Как легко видеть, в силу (29) последний интеграл есть не что иное, как
одностороннее преобразование Фурье функции р(т]) при k = -^—,,T. е.
I ИI
(Ю7)
/(0, р) =
Тем самым в указанных задачах достаточно найти не само реше-
ние интегрального уравнения (102), а лишь его преобразование Фурье.
Согласно общей схеме метода Винера —Хопфа для решения по-
следней задачи следует найти преобразование Фурье ядра интеграль-
ного уравнения, а затем произвести факторизацию (51) функции L(k) =
= 1 — ]/2лKV(k). В нашем случае Х=1 и
со 0
eikx
dxSe/d^+
о
dii_ 1 arctg k _
И2 ~ /2 л “
etkx dx
о
= • ( '
“J J
г
> • ln-Щ (108)
/2л l~tk
Поэтому
L (А) = 1 - У2л X V (k) = k aJctg k
(109)
Функция L (k), очевидно, является аналитической в полосе —1 < Im k <Z
< 1, стремящейся к нулю в этой полосе при |А|->оо. Точка £ = 0
является нулем второго порядка этой функции. Последнее обстоятель-
ство несколько затрудняет факторизацию функции L (k).
*) Подробнее см., например, широко известную работу Хопфа: Hopf,
Mathematical Problems of Radiative Equilibrium, Cambridge, 1934.
288
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Согласно замечанию 2 (стр. 281) построим вспомогательную функ-
^2 1 .
цию L (k), удовлетворяющую всем условиям леммы 2, и рассмот-
рим функцию
Ф(А) = 1п = 1п[^(1 - aj^)]. (ИО)
которую легко представить в виде Ф (А) = Ф_ (k) -ф Ф+ (£), где функ-
ции Ф_ (А) и Ф+ (/г) являются аналитическими соответственно в нижней
1тй<т+<;1 и верхней 1т А > т_ > — 1 полуплоскостях. При этом
оо -J- ft-
Ф*<4> = -2Я J Ф®-ГТ.
— ОО 4- /т_
а функция L+(k), являющаяся числителем в формуле факторизации
(51) функции L (k):
может быть выбрана в виде
L+(k) = ^-e^. (Ill)
Функция L+(k) является аналитической в верхней полуплоскости.
1тА>т_ и при |А|-> со растет, как первая степень k, поскольку
в силу сходимости интеграла (ИО') Ф+(/г) ограничена при |А|—>со.
Поэтому функция R+(k) определяется по формуле (52):
^^=^=л¥гФ+<ч <112>
Отсюда следует, что для определения функции распределения нейт-
ронов, выходящих из полупространства х > 0, необходимо найти
Ф+(£). Это может быть сделано с помощью формулы (ИО'). Для вы-
числения этого интеграла положим т_ = 0 и приведем его к следую-
щему виду:
со Г 0 со ’J
s ф«ч£г+$ф«>-£г }•
(113)
Воспользовавшись четностыр функции Ф (£) и сделав в первом ин-
теграле замену переменной интегрирования Q =—£, окончательно
получим
СО
фл*)-4$ф®А'- <114>
б
Последний интеграл может быть легко табулирован, что и позво-
ляет найти /(0, р) при р < 0 с точностью до постоянного множи-
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
289
теля А. Для определения последнего воспользуемся условием норми-
ровки (97) и следующими соображениями. Умножим уравнение (94),
справедливое при |>0, на —и проинтегрируем его по | от
V 2л
О до оо. Пусть А —комплексная величина с малой положительной
мнимой частью. Тогда, применив формулу интегрирования по частям
СО
У(0, tf-ikF+(k, и), (115)
У 2Л
получим
-i^F+(k, p)--L/(0, и) = -/ад И) +1 /ад, (116)
у 2л z
ИЛИ
(117)
Результат интегрирования (117) по д от —1 до 1 в силу очевид-
1
ного соотношения R+(k)~ F+(k, ii)du и условия (95) дает
— I
/ 1 1—1 о
R (k) = [1-1 4= '1(0’ Г'-Н^- (118)
+ ' 7 у 2 J l — у р 2л .1 1—' 7
Так как
I
If dp _ 1 . 1-НА _ arctgfe /Ппч
2 J 1-йц, — 2ik l-ik k ’ k 7
— 1
то окончательно получим
о
R*(4)=vk(1“i!ITi)"' jras11”''1- (120)
у 2л \ K / 1
Разложим правую часть (120) в ряд Лорана в окрестности точки
А = 0. Воспользовавшись равенством*)
о 1
/(0, p)pdp.= $/(0, p.)p,dp.=j(O) = — 1 (121)
, 1 •“ 1
и введенным ранее обозначением (99), получим
ад = -^1{1ад(0).А+...}. (122)
*) Равенство (121) имеет место в силу (95) и условия нормировки (97).
290
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
С другой стороны, можно найти первые члены разложения в ряд
Лорана в окрестности точки k = 0 функции, стоящей в правой части
формулы (112).
Вычислим сначала Ф+(0). Обратимся к формуле (110') и выберем
в качестве пути интегрирования действительную ось с обходом точки
£ = 0 по дуге полуокружности в нижней полуплоскости. Устремив
радиус последней к пулю и учтя, что в силу нечетности подынтег-
ральной функции интеграл по участкам действительной оси равен
нулю, получим
Ф+(0) = | Нт1пГ^±1(1-а-^)] = 1п-|=. (123)
Используя (123), находим, что разложение функции R^(k) в окрест-
ности точки k = 0 имеет вид
= AlVi ^{1+iCk+ (124)
Сравнив (122) и (124), определим значение постоянной А:
о25)
у 2л
Подставив полученные результаты в формулы (107), (112), (114),
окончательно получим при < 0
/(°, |Х) =
_1^3 /1 । I.. |\ И С in I 1 /1 arctg (A nr..
что и дает функцию углового распределения нейтронов, выходящих
из полупространства х>0.
5.3. Дифракция на плоском экране. Рассмотренные до сих пор
интегральные уравнения являются уравнениями Фредгольма второго
рода. Однако ряд физических задач естественным образом приводит
к интегральным уравнениям первого рода в полубесконечном про-
межутке с ядром, зависящим от разности аргументов. В качестве
примера рассмотрим задачу дифракции электромагнитных волн на
плоском экране. Пусть в однородном пространстве помещен плоский
идеально проводящий экран, совпадающий с полуплоскостью х>0,
_у = 0, —схэ<2<оо. Пусть вне экрана расположены локальные
источники электромагнитного поля, создающие периодические электро-
магнитные колебания частоты со, поляризованные таким образом,
что вектор Е напряженности электрического поля параллелен оси z
и не зависит от координаты z. Тогда для амплитуды и(х, у) вектора
Е получим скалярную задачу
Ди + А2и = — f(x, у),
и (ус, 0) = 0, х>0.
МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА
291
Кроме того, функция и (х, _у) должна удовлетворять условиям излу-
чения на бесконечности, определяющим отсутствие волн, приходящих
из бесконечности *). Здесь k = — — волновое число (с — скорость
света в среде вне экрана), f{x, у) — заданная функция, определяющая
плотность источников. Будем искать решение задачи (127) в виде
и(х, р) = п0(х, y')-1r'v(x> У), где функция и0(х, _у) —поле, создавае-
мое заданными источниками в отсутствие экрана, которое через
функцию f(x, у) выражается в виде волнового потенциала **)
«о(*> -У) = И J W’(*r)ZU, Т])<ЗД> (128)
где — функция Ханкеля первого рода, г = [(а; — £)2 ф-(у — г])г]1/г>
а интегрирование ведется по всей области 51, в которой расположены
источники. Для функции v(x, у) получим задачу
Ли ф- k2v = О,
(129)
v (х, 0) = — и0 (х, 0), х > 0.
Кроме того, v(x, у) должна удовлетворять условиям излучения на
бесконечности. Решение задачи (129) будем искать в виде волнового
потенциала простого слоя
ОО
ф, _у)=$ ад’(ЮрЙ)^> (130)
о
где г' = [(х — £)2+_уа]1/а> а р. (^) — неизвестная плотность, для опре-
деления которой с помощью граничного условия при у = 0, х > 0
получим интегральное уравнение первого рода
\W(k\х —£|)р(£)</| = -и0(х, 0), х>0. (131)
о
Мы опять получили неоднородное интегральное уравнение в полу-
бесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргумен-
тов. Однако, в отличие от (79), это уже уравнение первого рода.
Данное уравнение также может быть решено с помощью метода
Винера —Хопфа, однако мы не будем останавливаться на деталях
этого исследования.
6. Решение краевых задач для уравнений в частных произ-
водных методом Винера — Хопфа. Метод Винера — Хопфа может
быть с успехом применен не только для решения интегральных урав-
нений, но и для решения краевых задач для уравнений в частных
*) Подробнее постановку задач дифракции см. А. Н. Тихонов,
А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
**) Определение и свойства волновых потенциалов см. там же.
292
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
производных. При этом конкретная форма применения данного
метода может несколько отличаться от изложенной выше, хотя общая
идея, заключающаяся в факторизации выражений вида (63), (65), всегда
составляет основу метода. В качестве типичного примера рассмотрим
следующую краевую задачу для уравнения Лапласа.
Пример 3. В верхней полуплоскости у > 0 найти гармониче-
скую функцию, удовлетворяющую при _у = 0 смешанным краевым
условиям •
и(х, О) = е~ах, а>0, х>0, (132)
0) = 0, х<0, (133)
и стремящуюся к нулю при у -> со.
Для решения этой задачи мы воспользуемся приемом, часто упот-
ребляемым в математической физике. Решим сначала краевую задачу
(132), (133) для уравнения
Ди — х2н = 0, (134)
где х2 = iv0, v0 > 0, а затем в полученных формулах перейдем
к пределу при х -+ 0. С помощью метода разделения переменных *)
легко получить интегральное представление общего решения уравне-
ния (134), убывающего при у -> оо, в виде
ОО '
и(х, у)= 5 f(k)e-Weikxdk, ' (135)
— со
где /(А) — произвольная функция параметра k, а р = ]/ А2 + и2, при-
чем взята та ветвь корня, которая является непосредственным анали-
тическим продолжением арифметического значения корня р, = | k | при
х=0. Отметим, что при этом Rep,>0 при —оо<Л<оо, что и
обеспечивает убывание функции (135) при оо. Функция (135)
будет удовлетворять граничным условиям (132), (133), если функция
удовлетворяет функциональным уравнениям
5 /(£) е*кх dk = е~ах> •* > 0, 0 36)
— ОО
f{k)L{k)eikxdk — Q, х<0, (137)
— ОО
где введено обозначение L (/г) = р, (6) = ]/А2 + х2. Решение задачи
(136), (137) легко может быть построено, если функция L(k) является
аналитической функцией комплексной переменной k в полосе т_.<;
С Im k <т+(т_< 0, т+ > 0) и в этой полосе может быть представлена
*) См. А. Н. Тихонов, А. А. С а м а р с к и й, Уравнения математи-
ческой физики, «Наука», 1972.
МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА
293
в виде
L(k) = (k2 + a2)L+(k)-L_(k), (138)
где L+ (А) — функция, отличная от нуля и аналитическая в верхней
полуплоскости Im k Z> Т-, причем при | k | -> оо L+ (А) стремится к нулю
медленнее, чем А~2, а функция L... (k) — аналитическая в нижней полу-
плоскости Im k < т+, равномерно стремящаяся к нулю на бесконеч-
ности.
При выполнении этих условий непосредственной проверкой легко
убедиться, что уравнениям (136), (137) удовлетворяет функция
= (А2 + а2) Д+ (k) = L(k) ’ 39)
где постоянная С определяется из условия
C=a-L+(ta). (140)
Действительно, подставляя в интеграл (136) первое из равенств (139),
замыкая контур интегрирования дугой полуокружности бесконечно
большого радиуса в верхней полуплоскости, интеграл по которой
в силу леммы Жордана равен нулю, на основании (140) получаем,
что интеграл (136) равен е~ах при х>0. Аналогично с помощью
леммы Жордана, примененной к интегралу по дуге полуокружности
бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости, при х <Z 0
легко установить справедливость (137) для функции f(k), определен-
ной второй формулой (139). Итак, решение рассматриваемой задачи
связано с возможностью представления (138). В данном случае функ-
ция L (А) = )/ А2 + х2 в силу указанного выше выбора ветви корня
является однозначной аналитической функцией, отличной от нуля в по-
лосе Im (zx) < Im k <_ — Im (zx) (Im (zx) < 0). Рассмотрим функцию
г M*) ,14n
Y k2+a2 Yk2 + a3
Эта функция при a> —Im (zx) также является аналитической и отлич-
ной от нуля в данной полосе, причем L(А)—> 1 при | А | —> оо. По-
этому в силу леммы 2 требуемая факторизация функции L (А), а сле-
довательно, и L (А) возможна. Легко видеть, что функции
(142>
tv /V Ivv
удовлетворяют всем поставленным требованиям. Тогда на основании
формул (135), (139), (142) получим интегральное представление ре-
шения уравнения (134), удовлетворяющего условиям (132), (133) и
294
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
убывающего при _y^--Roo, в виде
С
________ e-^'eikx dk,
У k + tx (k — id)
(143)
где постоянная С на основании (140), (142) равна
~ Via-diy
2ni '
к пределу при х -> 0, получим
исходной задачи
(144)
Перейдя в (143), (144)
представление решения
. ч У~а ’
«(X,
0-1 k I V
eikx dk =
У k(k — ia)
3л 9
интегральное
— /я
— тг--;1- » — - dk' -У е 4 i ——-----------------аку
2п j _^y—k'(k'-ia) yyk(k-ia) j
Сделаем в первом интеграле (145) замену переменной интегрирова-
ния, положив k' — —k. Так как
0 оо с©
С* pk'y+ik'x . Р fi~ky~ikx . р fi-ky-ikx
i — - dk.r ~~~_ i г/ь ->-т- . - ль
J y_k'(k' — ia) }yk{k+ia) Ж(Ж>) ’
gk'y+ik'x
g-ky+ikx
dk\. (145)
e-ky~ikx
(146)
то (145) принимает вид
w оо *
, \ гТ е~кУ~‘кх . -<тС е~кУ*кх ,,
и(х, — 4 \-т=--------dk-\-e 4 \ —-----------dk
| J yk(k-)-ia) J yk(k — ia}
f —‘-r C e-hy+ikx
=— Rele 4 \ -----------------dk\.
я I <5 У k (k — ia)
(147)
Для вычисления интеграла (147) рассмотрим интеграл
J (a, ₽)= -J—------dl
§ m+₽)
Этот интеграл заменой переменной интегрирования =
быть приведен к виду
J (а, р) = еа₽/(а, Р),
(148)
может
(149)
где
\ —г- dn.
J т] J/л — Р
р
(150)
МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
295
Интеграл (150) может быть вычислен с помощью дифференцирования
по параметру *):
д! =
да
e-“n
7==dT] = —
(151)
Так как
7(0, р)=Л .^j________= 4--.
(152)
то, проинтегрировав (Г51), получим
^«-Д[1-Ф(Кад,
Г a ИР
/<«. p>-i
2
2 С
где Ф(г) = ^= \ е~хг dx — функция ошибок. Отсюда
Ж 0) = Лр^[1-Ф(Ка₽)]-
V р
Возвратившись к (147), получим
и(х, у) = Re {е~аг [1 — Ф ()/— яг)]},
где z — x-rly.
(153)
(154)
(155)
*) Вычисление интегралов с помощью дифференцирования по параметру
см. вып. 2, стр. 409.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Теория функций многих комплексных переменных, являющаяся
естественным развитием теории функций одной комплексной перемен-
ной, в последнее время представляет значительный интерес благодаря
эффективным применениям методов этой теории в различных облас-
тях естествознания, в частности в квантовой теории поля. В настоя-
щем приложении дается краткий обзор основ теории функций мно-
гих комплексных переменных.
1. Основные определения.
Будем рассматривать /V-мерное комплексное пространство CN,
точки которого z = (Zy z2, ..., zN) представляют собой упорядоченную
совокупность комплексных переменных zk = хк + iyk- Комплексное про-
странство CN можно интерпретировать как обычное евклидово прост-
ранство действительных переменных х1; уг, ..., х^, у к размерности 2N.
Поэтому понятия открытой и замкнутой области, внутренней, внеш-
ней и граничной точки, 6-окрестности и т. д. вводятся так же, как
и в теории функций многих действительных переменных *). Так,
6-окрестностью точки z° будем называть множество С (6, zu) точек
z^CN, удовлетворяющих условию
|za-4|<6a k=l,
Под символом 6 — (6р ..., бдг) мы понимаем упорядоченную совокуп-
ность действительных чисел 6ft > 0. Множество точек z е CN, удов-
летворяющих условию \ zk~ zk\<Z гк (гк > 0) называется поликругом
К (г, г°)_радиуса г = (г1; ..., rN) с центром в точке z° = (zi, ..., zfo).
Функция w = f(z) =f{z^, ..., zN) многих комплексных перемен-
ных z = (zi, ..., заданная на множестве Е с CN, определяется
законом, ставящим в соответствие каждому значению z &.Е
определенное комплексное число w е С1. Так как комплексное
число w представляет собой пару действительных чисел и и v
(w — и + iv), то задание функции /(г) на множестве EaCN есть
одновременное задание на соответствующем множестве 2Ммерного
♦) См. вып. 2.
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
297
евклидова пространства двух действительных функций н(х{, _ух, ...
хдг, _удг), у1г ..., Хх, у х) от 2N действительных перемен-
ных Х1, Ук Хх, Ух
f(z) = и (Xi, ..., Ух) + iv (Xi, .... Ух). (1)
Функции и(х{, ..., ух) и v(xb ..., ух) называются соответственно
действительной и мнимой частями функции f(z).
Очевидно, что ряд понятий и свойств функций многих действи-
тельных переменных может быть перенесен и на функции многих
комплексных переменных. Так, функция f(z), заданная на множестве
Е с CN, непрерывна в точке z° е Е, по совокупности переменных
?!, ..., Zx, если для любого е>0 можно указать такое б = (б1( ...
..бдг), что для всех z е С(6, z°) имеет место неравенство
’ |/(г)-/(г°)|<е. (2)
В дальнейшем функцию f(z), непрерывную по совокупности пере-
менных Zi, Zx, мы будем просто называть непрерывной функцией.
Если функция f(z) непрерывна в каждой точке z е Е, то она
называется непрерывной на множестве Е. Справедлива
Теорема 1. Необходимым и достаточным условием непрерыв-
ности функции f(z) = и (х1; ..., _Уд-) 4- iv (хь ..., ух) на множестве
Ec.CN яв'ляется непрерывность по совокупности переменных
действительных функций и (хх, ..., _y,v) и v (хх, ..., yN) 2N дейст-
вительных переменных на соответствующем множестве евкли-
дова пространства размерности 2N.
Свойства непрерывных функций одной комплексной переменной
непосредственно переносятся на случай многих комплексных пере-
менных. Так, равномерно сходящийся в области G ряд непрерывных
функций многих комплексных переменных сходится к непрерывной
функции.
2. Понятие аналитической функции многих комплексных
переменных. Так же как и в случае одной комплексной переменной
в теории функций многих комплексных переменных одним из основ-
ных понятий является понятие аналитической функции.
Пусть в области QczCN задана функция w=f(z) многих комп-
лексных переменных. Если мы фиксируем значения переменных zf, ..,
..., zl—\, Zi^x, ..., г°х, то получим функцию
fi(Zi)=f(Zl, ..., zl-x, zt, 4+i, .... zaN)
одной комплексной переменной z,-, заданную в некоторой области Qt
комплексной плоскости zz. Пусть при любых фиксированных значе-
ниях z'(, ..., z’_i, z’4.1.zQx каждая функция fi(zi) (Z = 1, 2, ...
..., N) является аналитической функцией комплексной переменной
zt е G;. В этом случае функцию f(z) будем называть аналитической
по каждой переменной в области G. Производные ft (zt) функции
298
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
fi (z;) по переменной zt будем называть частными производными функ-
ции f(z) и обозначать . Очевидно,
О'? j
df f(Zi.....zi_it 2i + &zit zt+i, zN)-/(?!......zv)
4— = lim -------------.-----------7---------------. (о)
dzi
Частные производные могут быть выражены через частные про-
изводные функций и(хь _Удг) и Ц(Хх, _Ул’):
1 , /4ч
dii dxt' dxi' ' '
причем для них выполняются условия Коши — Римана
ди dv ди ди
5— = ч— , 5- = — Ъ— . (5)
оф(-’ dyi дх^ ' 7
Введем теперь основное определение:
Функцию f(z) многих комплексных переменных z = (z1: ..., zN~)
будем называть аналитической *) в Области О, если в этой области
функция f(z) аналитична по каждой переменной zh а все ее част-
, df
ные производные ~ непрерывны.
Аналитические функции многих комплексных переменных обладают
рядом замечательных свойств, подобных свойствам аналитической
функции одной комплексной переменной. Ниже будет дан краткий
обзор этих свойств, причем для простоты изложения будем рассмат-
ривать случай двух независимых переменных. Для большего числа
переменных все рассуждения сохраняют силу.
3. Формула Коши. Пусть f(zlt z2) является аналитической функ-
цией в области О = О1хО2, причем области и О2 являются од-
носвязными. Возьмем в областях и О2 произвольные замк-
нутые контуры Ci и С2 соответственно и рассмотрим повторный
интеграл
С; С 2
f(£t.
(г1 — S1) (г2 — Ы
^2,
(6)
где zt и z2 — произвольные точки, лежащие внутри контуров Сх и
С2 соответственно.
*) Так же как и в случае одной комплексной переменной, мы с целью
облегчения последующих доказательств включили в определение аналитической
функции многих комплексных переменных лишнее условие непрерывности част-
ных производных, что, однако, не сужает рассматриваемого класса функций,
как это следует из так называемой теоремы Гартогса (см., например, В. С, Вл а-
д и м и р о в, Методы теории функций многих комплексных переменных, «Наука»,
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
299
Подынтегральная функция в (6) непрерывна по совокупности переменных,
что является достаточным условием для возможности изменения порядка
интегрирования в данном повторном интеграле *). Следовательно,
' ,6’’
с2 с.
Так как функция /(^, £2) аналитична по каждой переменной,
внутренний интеграл в (6) в силу формулы Коши (1.59) равен
С Jgl’Js) = 2ш L&i-g. (7)
(2х — fei) (г2 — Сг) (г1 £1)
Ci
Воспользовавшись еще раз формулой Коши, получим окончательно
'= № 5 = (3)
Cl c2
что можно переписать в виде
/Ох. i И $ (9)
с3
Аналогично в случае W переменных имеет место формула
• Я*) =Я^........... • • • $ J®^N- , (10)
См П (zfe Lk)
где точки zk лежат внутри замкнутых контуров Ск, принадлежащих
односвязным областям Gk, и функция /(г) является аналитичной
в области G = Gx X... X G,v- Формулы (9) и (10) и представляют
собой обобщения формулы Коши (1.59) на случай многих комплекс-
ных переменных.
Из этих формул можно получить ряд важных свойств аналити-
ческой функции многих комплексных переменных. В частности, как
и в случае одной комплексной переменной с помощью формулы (9)
можно показать, что аналитическая функция двух комплексных
переменных имеет частные производные всех порядков, для которых
справедливы выражения
dn+fflf(Zx. г2) _ _ С U) <2 п , у
дгпдгт 4л2 J J (Zx —£x)n+1 (z2 —g2)m+1 ‘ k '
1 “ Ci сг
Аналогично устанавливается справедливость принципа максимума
модуля и т. д.
Соответствующие результаты получаются из формулы (10) для
аналитической функции многих комплексных переменных.
*) См. вып. 2.
300
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
4. Степенные ряды. В случае двух независимых переменных
степенным рядом назовем выражение
5С„,от(г£-й1)я(^-«2П (12)
п=0т=0
где СП} т, ai, а2 —заданные комплексные числа. Имеет место утвер-
ждение, аналогичное теореме Абеля (теорема 2.5).
Теорема 2. Если ряд (12) сходится абсолютно в точке
z° = (z° alt z% #= а2), то он абсолютно сходится внутри поли-
круга К(г°, а) радиуса г0 = (| — аг |, | г2 — а2|), причем в любом
поликруге меньшего радиуса *) с центром в точке а ряд сходится
равномерно.
Доказательство. В силу абсолютной сходимости ряда (12)
в точке z° все члены ряда в этой точке равномерно ограничены.
Поэтому имеет место оценка коэффициентов ряда (12)
|го_а1|„.|го_аа|т; (13)
с общей константой М для всех коэффициентов. Возьмем произволь-
ную точку г = (г1, г2) внутри поликруга /С(г°, а) и- положим
I — «11 = <7i I 4 - Й11, | г2 —а21 = q2 | 4 —а2|,
где O-c^-cl, 0<^2<1. Тогда, пользуясь оценкой (13), для вы-
бранной точки z получим
оо оо со оо
S Ц Сп,т(г1-й1.)'>(г2-а2)т 2 =
л=0т=0 n=0m=0
М
(1-<71)(1-?г)’
(Н)
что и доказывает сходимость ряда (12) в точке z.
Так как z — произвольная точка поликруга АГ(г°, а), то отсюда
следует абсолютная сходимость ряда (12) внутри К(гй, а). Равномер-
ная сходимость ряда (12) в любом поликруге /С(г(1), а) меньшего
радиуса доказывается с помощью (14) так же, как и в случае одной
комплексной переменной (теорема 2.5).
•Доказанная теорема позволяет установить, что областью сходи-
мости степенного ряда является поликруг К (R, я) радиуса R = (А\, /?2).
Внутри А7 (/?, а) ряд (12) абсолютно сходится, вне данного поли-
круга — расходится, в любой замкнутой подобласти K(R, а) ряд (12)
сходится равномерно. Отметим, что радиусы Rx и R2 определяются
совместно и не могут быть, вообще говоря, определены каждый в
отдельности.
*) Будем говорить, что радиус г'11 поликруга (г'1’, а) меньше радиуса
г'21 поликруга К (г12’, а), если г'^1 < r'f’, rfr'cr'fa'.
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
301
В качестве примера рассмотрим степенной ряд
ОО со
'«-Птзг"» <15>
л=0т=0
коэффициенты которого представляют собой биномиальные коэффициенты.
Так как внутри своего поликруга сходимости ряд сходится абсолютно,
то ряд с положительными членами
00 оо
2 2тйг-1г-|”'1г-1” <1б>
/1 = 0 т=0
является сходящимся в поликруге сходимости ряда (15). Сгруппировав члены
ряда (16), у которых сумма степеней « + « = «, получим
£ (1*1 1 + 1*2 |Г. (16’)
s = 0
откуда следует, что радиусы и поликруга сходимости ряда (15) опре-
деляются из условия /?1+/?2=1, т. е. при уменьшении R± значение /?2
увеличивается и наоборот.
Рассмотрим ряд (12) внутри его поликруга сходимости K(R, а).
Воспользовавшись абсолютной сходимостью ряда, сгруппируем те его
члены, у которых сумма степеней п + т = s,
f(z)=f(zi, z2) = У us(zb z2). (17)
s=0
Выражение (17) дает представление исходного ряда в виде ряда
однородных полиномов относительно переменных = Zj, — аь z2 =
= z2 — а2
Us (*+ Z2) = У1, ckt s_k z\zs2 - * (18)
. k = o
Так как функции us(zlt z2) являются аналитическими по каждой
переменной и ряд сходится равномерно внутри поликруга АГ (/?, а),
то в силу теоремы Вейерштрасса (теорема 2.3) функция /(г) также
является аналитической по каждой переменной внутри К (R, а),
причем ее частные производные можно вычислить путем почленного
дифференцирования ряда (17). Как легко видеть, при этом радиус
сходимости полученного ряда равен радиусу сходимости ряда (12), и
df df ism \ г\
частные производные и ~ непрерывны внутри К (R, а). Отсюда
следует, что внутри поликруга сходимости степенной ряд (12)
сходится к аналитической функции многих комплексных пере-
менных.
Так же как и в случае одной комплексной переменной, легко уста-
новить, что коэффициенты степенного ряда (12) выражаются через
302
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
значения частных производных его суммы в центре поликруга сходи-
мости — точке а = (аь а2) — по формулам
Сп.т п\т\ dzndzm-f
1 2
(19)
5. Ряд Тейлора. Покажем теперь, что функции, аналитической
в некотором поликруге K(R, а), может быть сопоставлен степенной
ряд, сходящийся к данной функции внутри R(R, а). Имеет место
Теорема 3. Функция /(г), аналитическая внутри поликруга
К (R, а), единственным образом представляется внутри К (R, а)
в виде суммы абсолютно сходящегося степенного ряда
ОО оо
U Сп. т (*! - Й1)л (?2 -
п = 0т=0
Доказательство. Возьмем произвольную точку z е К (R, а).
По формуле (9) имеем
' = (20)
с; с'.
где С; и Сг — окружности с центрами в точках а{ и а2 радиусов RJ
и R'?, удовлетворяющих условиям \ —a1\<ZR'i<ZRi и | z2 — а21 <
<R2<Ra- Из предыдущих рассуждений следует, что рациональная
дробь _г^ может быть разложена в абсолютно и равно-
мёрно сходящийся относительно и £2 степенной ряд
ОО оо
1 _ V V (гг-fli)" (z2-ga)m
(£1-?1)(&-гг) Zi L. (Si-a1)^4S2-c2)m+1 •
n=0 m=0
(21)
Подставляя разложение (21) в (20) и повторно производя почленное
интегрирование соответствующих равномерно сходящихся рядов,
получаем
ОО 00
Z(^)= Z1 S (22)
п=0т=0
где через С„, т обозначены выражения
q —____________________L f л? С ________((^’ Ез)______лг
^П.т— 4л8 J J g1-a1)',+1(E2-«2)'n+i
C'l С2
что в силу (11) можно переписать в виде
1 дп+т f (г)
т л! т\ дг^дгт
1 8
(23)
(24)
z = a’
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
303
Так как z — произвольная точка К (R, а), то из формулы (22) и
следует разложимость функции, аналитической в поликруге K(R, а),
в сходящийся степенной ряд.
Сопоставление формул (24) и (19) приводит к заключению об един-
ственности разложения. Теорема доказана.
По аналогии с результатами, полученными для функции одной ком-
плексной переменной (см. теорему 2.6), разложение (22) естественно
назвать рядом Тейлора функции f(z).
В заключение заметим, что радиус сходимости R° ряда (22) может
оказаться больше радиуса R поликруга K(R, а). В этом случае сумма
этого ряда будет представлять собой функцию, аналитическую в поли-
круге К (R0, а) и совпадающую с исходной аналитической функцией
/(г) в поликруге К (R, а) меньшего радиуса.
Проведенные рассмотрения непосредственно переносятся и на слу-
чай многих комплексных переменных.
6. Аналитическое продолжение. Представление аналитической
функции многих комплексных переменных с помощью степенного ряда
позволяет, так же как и в случае одной комплексной переменной,
выяснить вопрос об единственности определения аналитической функ-
ции (см. теорему 2.8). Так, если в области О заданы, две анали-
тические функции /х (zlt z2) и /2 (zx, z2), совпадающие в подобласти
О' области G, то легко показать, что /х (гх, z2) = /2 (гх, z2) при
z — (zt, z2) е G. На основании этого положения можно в следующей
форме ввести
Принцип аналитического продолжения. Пусть в областях G(1)
и G(2), имеющих общую подобласть G'1’2', заданы аналитические функ-
ции /х(г) и f2(z), совпадающие в G'bS>. Тогда эти функции являются
аналитическим продолжением одна другой, т. е. в области G = G(1) Ц-О(2)
существует единственная аналитическая функция f(z), совпадающая
с fx(z) в G(1) и /2(г) в G(2).
Так же как и в случае одной комплексной переменной, можно
строить аналитическое продолжение первоначально заданной в некото-
рой области G(1) аналитической функции /х (г) вдоль всевозможных
выходящих из области G(1) цепочек областей, имеющих попарно общие
части.
Такое аналитическое продолжение можно, например, получить, разлагая
функцию / (г) в степенной ряд Тейлора (22) в окрестности различных точек
г1" е G11’. Если радиус поликруга сходимости какого-либо из этих разложений
окажется больше расстояния точки а1" до границы области G(1), то мы и получим
аналитическое продолжение f (г) на большую область G, содержащую G11'.
При этом мы приходим к понятию полной аналитической функ-
ции F (г) и ее естественной области существования G, или, как гово-
рят, области аналитичности (или, как иногда говорят, области голо-
морфности). Вообще говоря, аналитическое продолжение может при-
вести и к многозначной функции, областью аналитичности которой
304
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
является некоторое неоднолистное многообразие, получающееся путем
введения так называемых областей наложения *).
В приложениях теории функций многих комплексных переменных,
в частности в квантовой теории поля, существенным оказывается воп-
рос, является ли заданная область О областью аналитичности. Други-
ми словами, найдется ли такая функция f(z), аналитическая в G, для
которой область G является естественной областью существования. Если
область О не является областью аналитичности, то всякая аналити-
ческая в G функция f(z) может быть аналитически продолжена па
большую область О*, содержащую область G.
Как мы видели (см. пример 4 § 2 гл. 3), в случае одной комплекс-
ной переменной единичный круг | z I < 1 является областью аналитич-
ности. Пользуясь теоремой Римана о возможности конформного ото-
бражения произвольной области на единичный круг, легко показать,
что в случае одной комплексной переменной всякая область есть
область аналитичности. '
В случае многих комплексных переменных данное утверждение уже
не имеет места.
Чтобы это доказать, покажем, что уже в С2 область
G: {z = (zx,z2): 1 < | z | = (| zr |2 +1 z212)‘/« < 5}
не является областью аналитичности **). Для этого достаточно доказать,
что всякая функция, аналитическая в G, может быть аналитически про-
должена в большую область G*, содержащую G, например в шар
И < 5-
Итак, пусть /(г) — произвольная функция, аналитическая в G. Рас-
смотрим функцию
<р (г) = ф (zi, z2) = —р f (25)
i£il=4
Функция ср (z) представляет собой интеграл, зависящий от перемен-
ных zx и z2 как от параметров. Подобласть {| | = 4, | z21 < 3} при-
надлежит G (см. рис. 1). Поэтому функция <р(г) является аналитической
по каждой переменной zx и z2 в поликруге К: { | zx | < 4, [ z2 | < 3}.
Легко видеть, что частные производные функции ф (z) при этом непре-
рывны. Отсюда следует, что в поликруге К: {| zx | < 4; | z21 < 3} функ-
ция ф(г) является аналитической функцией двух комплексных пере-
менных Zi и z2. В частности, ф(г) является аналитической и в замкну-
*) Подробнее см. В. С. В л а д и м и р о в, Методы теории функций многих
комплексных переменных, «Наука», 1954.
**) Данный пример является незначительной модификацией примера, рас-
смотренного в книге С. Бохнера и У. Т. Мартина «Функции многих комплекс-
ных переменных», ИЛ, 1951. См. также В. С. Владимиров, Методы теории
функций многих комплексных переменных, Наука, 1964.
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
305
той области о': {| 4, 1 | z2 | 3}, принадлежащей одновременно
поликругу К и исходной области G. В силу формулы Коши (1.59)
в G' имеет место равенство
1 5 (26)
1511=4
Отсюда следует, что в G' аналитиче-
ские функции /(г) и <р(г) совпадают.
Тем самым в расширенной области G*
(шаре | z | < 5), содержащей исходную
область G, определена аналитическая
функция F(z), равная /(г) в G и ф(г)
в К, являющаяся аналитическим про-
должением /(г) в G*. Что и требова-
лось доказать.
Итак, в случае многих комплекс-
ных переменных не всякая область
является областью аналитичности. Этот факт существенно от-
личает теорию функций многих комплексных переменных от теории
функций одной комплексной переменной.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
МЕТОД ВАТСОНА
Метод Ватсона применяется главным образом при суммировании
и асимптотическом анализе рядов. Первоначально этот метод был пред-
ложен Г. Н. Ватсоном в 1919 г. при исследовании задачи о дифрак-
ции радиоволн на сфере. Методом разделения переменных легко полу-
чить аналитическое представление решения этой задачи в виде ряда
по собственным функциям. Однако при длине падающей волны, мно-
гим меньшей радиуса сферы, что имеет, например, место в задачах
о дифракции радиоволн на поверхности Земли, полученный ряд схо-
дится чрезвычайно медленно. Ватсону удалось разработать метод, позво-
ляющий преобразовать этот медленно сходящийся ряд в другой ряд,
сходящийся достаточно быстро. Этот метод и получил впоследствии
название метода Ватсона.
Основная идея метода Ватсона необычайно проста и основывается
на том факте, что при вычислении интеграла по комплексной пере-
менной с помощью теории вычетов можно, различным образом замы-
кая контур интегрирования, получать представление исходного интег-
рала в виде различных рядов. Однако, несмотря на простоту основ-
ной идеи метода Ватсона, его реализация во многих конкретных слу-
чаях требует большого искусства.
Проиллюстрируем основные положения метода Ватсона на доста-
точно простых примерах*). Пусть требуется просуммировать ряд
СО
2
п = —со
где а —некоторое положительное число.
Заметим, что при а^>1 численное суммирование ряда (1) с вы-
сокой точностью представляет собой не совсем тривиальную задачу.
Рассмотрим вспомогательный интеграл
1 с 1
I = s- \ -Vi—5 --dv, (2)
2i \ т2+а2 smnv v '
______________ +х~
*) Приведенные ниже примеры применения метода Ватсона были предложены
С. Я. Секерж-Зеньковичем, которому авторы приносят искреннюю
благодарность.
МЕТОД ВАТСОНА
307
где интегрирование производится на комплексной плоскости v по
прямым <Х’+ и Х~, параллельным действительной оси и отстоящим
от нее на расстоянии d в верхней и нижней полуплоскостях, причем
d<Z.a (рис. 1). По прямой Х+ интегрирование ведется справа налево,
а по прямой — в противоположном направлении. Несобственный
интеграл (2) является абсолютно сходящимся. Действительно, имеет
место .очевидная оценка
I егЯУ I_____________2_________ 2
I sin nv| Imv = d — | I |Imv = (/ '
Аналогичная оценка имеет место и при Im v = — d. Итак второй
сомножитель в подынтегральной функции (2) ограничен, а первый
стремится к нулю, как 1/| v |2, что и обеспечивает абсолютную сходи-
мость интеграла (2).
Покажем, что интеграл (2) равен сумме исходного ряда (1).
Построим вспомогательный интеграл
г 1 С 1 е'т л z-n
2i J v2-|-aa sin nv V
rN
по замкнутому контуру Гдг, составленному из отрезков и <5?#
прямых и между точками
= A"=(-7V-|, d), =
Л"=^+у, -d)
соответственно и соединяющих их вертикальных отрезков фу(А^А^)
и (рис. 1). Внутри области, ограниченной контуром Г,у,
подынтегральная функция (4) имеет полюсы первого порядка в
точкахУц — k (А = 0, ±1,...,±Л/). Поэтому, вычисляя интеграл (4) с
308
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
помощью теории вычетов, получим
W Д' *
2 выч[4^.4^, л]= 2 4т., <5)
k=—N k=—N
откуда следует, что сумма S ряда (1) равна lim IN.
N -> оо
С другой стороны, предел интеграла In при Af->6o равен инте-
гралу (2). Действительно, в силу абсолютной сходимости несобствен-
ного интеграла (2) имеем
lim
N -< оо
1 С 1
2i \ v2 + fe2
^А+Хц
ginv
sin Jiv
dv — I,
(6)
а интегралы по прямым y,v и Ym стремятся к нулю при Af->oo, что
легко установить на основании опенки
ijtv ] nlmv -.—nlmv
_____ = : Г________ — -L__________ < eK<l
sin л v | , sin л (Re v-j-i Im v) I yN ch (nlmv) yN ~~~
(7)
Итак
CO
S= У -U—5- = /, (8)
n2 + a3 ’ v '
ZI = — 00
и исходная задача суммирования ряда (1) сводится к вычислению
интеграла (2). Последняя задача может быть решена опять с помо-
щью теории вычетов. Заметим, что подынтегральная функция в (2),
кроме особых точек на действительной оси, имеет еще два полюса
в точках v = ±/a. Для вычисления интеграла по прямой Х* рас-
смотрим в верхней полуплоскости замкнутый контур CN, состоящий
из отрезка ХА и замыкающей его дуги полуокружности СА- Легко
видеть, что при Im v d имеет место опенка, аналогичная (3)
|einv I 2
sin nv [Im v d e2Itd — 1 > (9)
откуда следует, что интеграл по дуге СА стремится к нулю при
N—>оо. Поэтому, вычисляя интеграл по прямой Х~ с помощью тео-
рии вычетов, получим
_1
21
1
v2 + a2
einv , 2л»„ Г 1 eim , 1
—----dv ------Выч —гл—Г • -л--------, 1й =
sin nv 2i Lv2+a2 sin nv ’ J
1 е~ла n е~яа
। " 1 — —— • 1
2ia sin ina 2a sh ла ‘
Аналогично
1 £ 1
2i J v2 + a2
x~
e‘nv , л еяа
------fl V = — • --------
sin nv 2a sh ла ’
(10)
(И)
МЕТОД ВАТСОНА
309
откуда
ITT
4—rfv = —- cth ла, (12)
sin nv a v
что и решает исходную задачу суммирования ряда (1).
Рассмотренный пример, несмотря на его простоту, содержит все
основные элементы метода Ватсона. Этот метод асимптотического ис-
следования рядов состоит из ряда этапов. На первом этапе надо по-
строить интеграл по комплексной переменной, равный сумме исход-
ного ряда. Подынтегральная функция этого интеграла должна со-
держать множителем аналитическое продолжение общего члена ряда
в комплексную плоскость его номера. Следующий этап заключается
в независимом вычислении построенного интеграла. Во многих слу-
чаях удается получить выражение искомого интеграла через сумму
вычетов подынтегральной функции в особых точках аналитического
продолжения общего члена ряда. Если число таких особых точек
конечно, то мы получаем явное выражение для суммы исходного
ряда, если число этих особых точек бесконечно, то мы преобразуем
исходный ряд в новый, который может оказаться более простым для
асимптотического исследования.
В качестве следующего примера рассмотрим задачу вычисления ряда
г<»)-2 (13)
п — 1
где О 6 < л, а а — заданное положительное число, удовлетворяющее
условию а<^1. Ряд (13) является типичным для многих задач мате-
матической физики, решение которых строится методом разделения
переменных. Как легко видеть, в силу условия a 1 большое число
первых членов ряда имеет один и тот же порядок (например, при
а=10~4 и 0 = 0 первые 1000 членов ряда по абсолютной величине
изменяются от 1 до 0,995). Поэтому прямое численное суммирование
ряда (13) при а<4 оказывается весьма затруднительным. Однако,
применяя метод Ватсона, можно преобразовать ряд (13) в новый ряд,
для которого легко получить асимптотическое представление при
a <4. — -
Рассмотрим вспомогательный интеграл
п
COS V0 ,
-г-------.----dv,
ch av sin vn
(14)
где контур интегрирования П на комплексной плоскости v пред-
ставляет собой бесконечную петлю, охватывающую положительную
часть действительной оси (рис. 2) и пересекающую действительную
ось в точке v=l/2. Интегрирование по контуру П производится
в положительном направлении так, что действительная ось остается
310
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
слева от направления движения. Легко видеть, что интеграл (14)
равен исходному ряду (13). Действительно, рассмотрим интеграл
, ,,1Х If cosvO ,
/л(б) = ‘гг~\ —t:(15)
п v ' 2t j ch av sin vn v ’
n„
n
по замкнутому контуру Пп, состоящему из конечного участка петли П
и замыкающего его вертикального отрезка А^, пересекающего дей-
ствительную ось в точке v = »4--|-. Подынтегральная функция /(v)
в (15) является аналитической функцией комплексной переменной у
внутри контура интегрирования, за исключением конечного числа
изолированных особых точек v,= Z(/=l, 2, ..., л), представляющих
собой полюсы первого порядка. Поэтому, применяя теорему в вычетах,
получим
п
1м= 2 (-‘/-и- <16»
Л = 1
Оценим значение функции /(v) в (15) на отрезке А1А2. Так как
на этом отрезке Rev = n-|-l/2, то, воспользовавшись соотношением
sin vet | ре v_n_|_ = sin (2л -J- 1) -g- ch (n Im v) 4-
4-zsh(n Imv)cos(2n+l)y = (—1)" ch (n Im v), (17)
МЕТОД ВАТСОНА
311
получим
| sin vn = ch (л Im v).
Имеет место очевидная опенка
(18)
(19)
откуда
I cosvB I ев| lmvl
I sin vji UiAa ' ch (л Im v)
С другой стороны, очевидно,
I ch av | лхл, = у еа + |/2) | 1 + e~2av |л, а, >
_ 1 , ,
2е-|1ту|(л-е))Л1Лг<2.
(20)
(21)
В силу (20) и (21) подынтегральная функция в (15) на отрезке А2А2
экспоненциально убывает при п—>со. Поэтому, переходя к пределу
при п—>оо в выражении (15), получим
;(0)= 2 (-1)"тйг=Г(0)’ <22)
k = 1
что и доказывает равенство исходного ряда (13) интегралу (14).
Перейдем теперь к вычислению интеграла (14). Для этого анали-
тически продолжим подынтегральную функцию (14) на всю комп-
лексную плоскость v и определим особые точки функции /(v) =
= , cos У-— вне петли П. Очевидно, таковыми являются точки
ch av sin vn
= n (« = 0, -1, —2, ...), va = /1(2A4-1).| (£ = 0, ±1, ±2, ...),
причем все эти точки — полюсы первого порядка. Заметим, кроме
того, что подынтегральная функция f(y) является нечетной функцией
комплексной переменной v.
Построим на комплексной плоскости v замкнутый контур Г„ т,
состоящий из конечного участка Пга петли П между точками и А2
(см. рис. 2), прямолинейных отрезков А2А3, |дз = ^/г4-у,
<4,4, = -ililli)}; Л,Л,{л, = („ + ±,
и контура А4А5АвА7, представляющего собой прямолинейный отре-
зок Д4.47 с обходом точки v = 0 по дуге полуокружности достаточно
малого радиуса р.
Рассмотрим интеграл
Л,п(б) = 4- ----dV, (23)
’ \ 2t J ch av sin vn ' J
гд, n
312
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
где интегрирование производится в отрицательном направлении. Оче-
видно,
1п, т (6) = - л {Выч [/(V), 0] + 2 Выч [/(v), v*]|. (24)
k = 0
С другой стороны (см. рис. 2),
л? л®
4, т (0) = { § /(v) dv + ? /(v) dv + /(v) dv +
Пд Л1 л?
+ § /(v) dv + /(v) dv -4- f(y) dv + /(v) rfv}. (25)
Ср Л# Л4 Лз
В силу нечетности функции /(v)
лв Л4
/(v)rfv+/(v)o!v = O. (26)
Л7 Лз
Кроме того, очевидно,
lim , cos vB-------------------------dv = — l. (27)
р -4. 0 ' ch av sin vn v '
CP
Оценим оставшиеся интегралы. В силу проведенных выше оценок
(см. формулы (20), (21)) функция f(y) экспоненциально стремится
к нулю при п->оо на отрезках АгА7 и ЛаД2- Для оценки функции/^)
на отрезке Д3Д4 заметим, что аналогично (17)
|chav |imv = mn/a = ch(aRe v)> 1. (28)
Кроме того, очевидно,
|cosv9'imv = mn/a^e“0’ (29>
а
|sinvn |imv = mn/a>y | 1 - e~im^ | > 1 е^л’/a. (30)
Из (29) и (30) получим
(31)
| Sin VJl |lmv = /nn/a v 7
В силу (28) и (31) заключаем, что функция /(v) на отрезке А3А4
экспоненциально стремится к нулю при т~>оо и 6<;л.
МЕТОД ВАТСОНА
313
Переходя в (25) к пределу при и, со и р -> О и учтя (24)
и (15), получим в силу приведенных оценок
ОО
/ (е) _ 1 = _ Л {выч [/(V), 0] + 2 Выч [/(*)> Ц • (32)
k = 0
Так как
Выч [Vcosv6 ,
L ch av sm vn ’
(33)
и
cos vS -
ch av sin vji ’
ch
sh
то окончательно получим
i ж-i ch
2(e)=F(e) = -4+^y (-i)s-
Л=о sh
£(2^+1)
(35)
Очевидно, члены ряда (35) имеют асимптотический порядок
-8) АЛ Л
е n v = / при а—>0, что и обеспечивает быструю сходимость
ряда (35) при 0 <л. При достаточно малом а для практических
расчетов можно ограничиться лишь первыми членами этого ряда.
Следует подчеркнуть, что конкретные применения метода Ват-
сона в каждом отдельном случае могут быть различными — по-раз-
ному можно строить интеграл, эквивалентный исходному ряду, раз-
личными способами можно проводить его вычисление. Наиболее эф-
фективный путь реализации метода в каждом конкретном случае
должен выбираться, исходя из специфики исследуемого ряда.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. В. Бицадзе, Основы теории аналитических функций комплексного
переменного, «Наука», 1972.
2. И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного перемен-
ного, изд. 11, «Наука», 1967.
3. М. А. Лаврентьев и Б. В. Ш а б а т, Методы теории функций комп-
лексного переменного, Физматгиз, 1972.
4. А. И. М а р к у ш е в и ч, Теория аналитических функций, Гостехиздат,
1950.
5. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 3, ч. 2 изд. 9, «Наука»,
1967.
6. С. Стоил ов, Теория функций комплексного переменного. Перевод с
рум., ИЛ', 1962.
7. Г. М. Г о л у з и н, Геометрическая теория функций комплексного пере-
менного, «Наука» 1966.
8. Р. Курант, Геометрическая теория функций комплексной переменной,
перев. с нем., ОНТИ, 1934.
9. А. Н. Тихонов и А. А. С а м а р с к и й, Уравнения математической
физики, «Наука», 1972.
10. Ф. М. Морс и Г. Фешбах, Методы теоретической физики, перев. с
англ., ИЛ, 1958.
11. В. А. Диткин и А. П. П р уд н и к о в, Интегральные преобразования
и операционное исчисление, Физматгиз, 1961.
12. Б.- В а н-дер-Поль иХ. Бремер, Операционное исчисление на ос-
нове двустороннего преобразования Лапласа, перев. с англ., ИЛ, 1952.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля теорема 66
Алгебраическая форма комплексного
числа 13
Алгебры основная теорема 147
Аналитическая функция в области 32
----полная 109
----, существование производных всех
порядков 53
Аналитических функций свойства 33
Аналитическое продолжение 94
— — непосредственное 110
— — с действительной оси 79
----соотношений 83
— — с помощью степенных рядов 103
— — через границу 97, 98
Аналитической функции нули 74
---- особые точки 106
— — риманова поверхность 91, 96
— — теорема единственности 75
Аргумент комплексного числа 14
Асимптотическая формула полиномов
Лежандра 264
----функций Ханкеля 263
Асимптотическое разложение 249
----гамма-функции 258
----функции Хопфа 286
Бесконечно удаленная точка 20
Бесконечнолистная функция 92
Бесселя функции 240
Ватсона метод 306
Вейерштрасса признак 60
— теорема 62
---- вторая 64
Ветвления точка 29
Ветвь многозначной функции 29
Винера — Хопфа метода общая схе-
ма 278 л
Внешняя точка 21
Внутренняя точка 21
Вычет 123
Вычет логарифмический 143
— относительно бесконечно удаленной
точки 126
Вычетов сумма на полной комплексной
плоскости 127
— теории оснбвная теорема 125
Вычисление интегралов с помощью
вычетов 128
------- от многозначных функций 138
Вычитание комплексных чисел 13
Гамма-функции асимптотическое раз-
ложение 258
Гармонической функции и аналити-
ческой связь 184
Гаусса теорема 205
Геометрическая интерпретация комп-
лексных чисел 14
---- функции комплексной перемен-
ной 23
Геометрический смысл производной 35
Гиперболические функции 81
Граница области 22
Граничная точка 21
Даламбера признак 58
Двуугольника отображение 171
Действительная ось 14
— часть комплексного числа 12
Действия над комплексными числами 12
Деление комплексных чисел 13
Дирихле задача 187
---- для круга 188
— полуплоскости 189
Дифракция на плоском экране 290
Дифференцирование изображения 224
Дробно-линейная функция 163
-------, круговое свойство 165
Естественная область существования
полной аналитической функции 109
316
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Жордана лемма 132
Жуковского теорема 202
— функция 173
Запаздывания теорема 219
Извлечение корня из комплексного
числа 15
Изображение по Лапласу интеграла 222
— производной 221
— свертки 223
— функции 215
Изолированная особая точка 115
Инверсия 27
Интеграл Дюгамеля 245
— контурный 41, 249
— Коши 48
— неопределенный 43
— несобственный 40
— по комплексной переменной 38
— Шварца — Кристоффеля 175
— эллиптический 182
Интеграла главное значение 49
— изображение 222
— Меллина вычисление 234, 238
— по комплексной переменной свой-
ства 39
Интегралы, зависящие от параметра 51
— ,------несобственные 65
Интегральные уравнения с ядром,
зависящим от разности аргументов
267, 273, 282
Интегрирование изображения 224
Источник 195
Классификация изолированных осо-
бых точек 115
Комплексная переменная 21
— плоскость 14
----полная 20, 26
Комплексное число 12
Комплексного числа алгебраическая
форма 13
---- аргумент 14
---- модуль 14 -
------- показательная форма 15
----тригонометрическая форма 14
Комплексно сопряженные числа 13
Комплексный потенциал течения 192
----электростатического поля 204
Комплексных чисел вычитание 13
----геометрическая интерпретация
14
---- деление 13
Комплексных чисел последователь-
ность 17
---- равенство 12
---- сложение 12
----умножение 13
Контур замкнутый 41
Контурный интеграл 41, 249
Конформное отображение 36, 148
----в бесконечно удаленной точке 152
----, взаимно однозначное соответ-
ствие 155
---- второго рода 151
----, основные принципы 155
----, принцип симметрии 159
----, соответствия границ 157
Коши интеграл 48
— критерий равномерной сходимости
ряда 60
----сходимости последовательности
19
— признак 58
— теорема 41
----для многосвязной области 43
— теоремы вторая формулировка 42
Коши — Адамара формула 69
Коши — Римана условия 31
Критерий Коши равномерной сходи-
мости ряда 60
----сходимости последовательности
19
Круг сходимости 67
Лапласа изображение функции 215
— метод асимптотических разложе-
ний 252
Лемма Жордана 132
Линейная функция 26, 152
Линия тока 192
Листы римановой поверхности 96
Лиувилля теорема 55
Логарифмическая функция 46, 88, 102
Логарифмический вычет 143
Лорана ряд 111
Максимума модуля принцип 49
Меллина интеграла вычисление234, 238
— формула 228
Мероморфная функция 136
Метод Винера — Хопфа 267, 278
— Лапласа 252
— наибыстрейшего спуска 252
— перевала 259
Милна уравнение 283, 287
Мнимая единица 13
— ось 14
— часть комплексного числа 12
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
317
Многих переменных ряд степенной
. 300
— ------ Тейлора 302
-----функция аналитическая 298
----- непрерывная 297
Многозначная функция 23
Множество значений независимой пере-
менной 21
----функции 23
Модуль комплексного числа 14
Морера теорема 55
Наибыстрейшего спуска метод 252
----- направление 260
Необходимое и достаточное условие
аналитичности функции 33, 185
-----------сходимости последова-
тельности 19
-------------числового ряда 58
Непрерывность функции в бесконечно
удаленной точке 25
----- — точке 25
-----на множестве 25
Неравенства треугольника 15
Нули аналитической функции 74
Нуля аналитической функции поря-
док 75
Область 21
— замкнутая 22
— неограниченная 22
— ограниченная 22
Обратная функция 23
Обтекание кругового цилиндра 198
— произвольного замкнутого контура
200
Обхода полной границы области поло-
жительное направление 42
Однолистная функция 23
Окрестность точки 18
Операционный метод для линейных
дифференциальных уравнений 241
Оригинал-функция 215
Основная теорема теории вычетов 125
Остаток ряда 57
Отображение конформное 36, 148
-----в бесконечно удаленной точке 152
------- второго рода 151
Отображения элементарных функций 90
Отражение зеркальное 27
Первообразная функция 45
Перевала метод 259
Плоское потенциальное течение
жидкости 191
— электростатическое поле 203
Плотность распределения заряда 207
Поверхность Римана 91
Показательная форма комплексного
числа 15
Поле бесконечного плоского конденса-
тора 209 .
Полная комплексная плоскость 20, 26
Положительное направление обхода
контура 41
--------полной границы области 42
Полюс 117
Порядок нуля аналитической функции
75
Последовательность комплексных чи-
сел 17
— неограниченно возрастающая 20
— ограниченная 18
Постоянства растяжений свойство 36
Потенциал комплексный течения 192
-----электростатического поля 204
Поток вектора скорости 193
Предел последовательности 18
— функции 24
Предельное значение функции в бес-
конечно удаленной точке 25
Преобразование Лапласа 212
— Фурье 268
-----, аналитические свойства 271
----- обратное 272
— Хевисайда 215
Признак Вейерштрасса 60
— Даламбера 58
— Коши 58
Принцип максимума модуля 49
— минимума модуля 51
Продолжение аналитическое 94
Производная функции комплексной пе-
ременной 31
Производной изображение по Лап-
ласу 221
— функции геометрический смысл 35
Равенство комплексных чисел 12
Равномерная сходимость ряда 58
Радиус сходимости 67
Разветвления точка 29, 101
Резольвента 269
Римана поверхность 91, 96
----- бесконечнолистная 93
-----, листы 93
— теорема 160
Руше теорема 146
Ряд Лорана 111
318
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ряд равномерно сходящийся 59
— степенной 66
— Тейлора 70
— функциональный 58
— числовой 57
Свертки изображение по Лапласу 223
Свойства аналитических функций 33
— изображения 218
— интеграла по комплексной пере-
менной 39
— непрерывных функций 26
— равномерно сходящихся рядов 61
— элементарных функций 86
Свойство постоянства растяжений 36
— сохранения углов 36
Сила воздействия потока на обтекаемое
тело 201
Система решений фундаментальная 241
Сложение комплексных чисел 12
Смещения теорема 225
Сохоцкого — Вейерштрасса теорема
118
Сохранения углов свойство 36
Среднего значения формула 49
Степенная функция 103
Степенные ряды 66
Стирлинга формула 250
Сток 195
Сумма ряда функционального 59
--- числового 57
Существенно особая точка 118
Существование производных всех по-
рядков у аналитической функции 53
Таблица изображений 226
— свойства изображений 226
Тейлора ряд 70
— теорема 71
Теорема Абеля 66
— Вейерштрасса 62
--- вторая 64
— Гаусса 205
— единственности аналитических
функций 75
— Жуковского 202
— запаздывания 219
— Коши 41
— —, вторая формулировка 42
---для многосвязных областей 43
— Лиувилля 55
— Морера 55
— основная алгебры 147
— — теории вычетов 125
Теорема Римана 160
— Руше 146
— смещения 225
— Сохоцкого — Вейерштрасса 118
— Тейлора 71
Точка бесконечно удаленная 20
— вихревая течения 195
— внешняя 21
— внутренняя 21
— граничная 21
— особая 106
--- бесконечно удаленная 120
--- изолированная 115
--- устранимая 116
— правильная 105
— разветвления 29
— существенно особая 118
Точки критические течения 199
— седловые поверхности 251
Тригонометрическая форма комплекс-
ного числа 14
Тригонометрические функции 37, 79
Трубка тока 192
Уравнение Милна 283
Условия Коши — Римана 31
— существования изображения 212
--- оригинала 231
Факторизация 276, 279
Формула вычисления вычета 125
---коэффициентов степенного ряда
68
— Коши — Адамара 69
— Меллина 228
— среднего значения 49
— Стирлинга 250
— Чаплыгина 202
— Эйлера 15, 87
Функции Бесселя 240
— геометрическая интерпретация 23
— гиперболические 81
— , множество значений 23
— предел 24
— производная 31
— тригонометрические 37, 79
Функция аналитическая в замкнутой
области 106
---в области 32
---многих комплексных переменных
84, 297
— — многозначная 96
'--полная 109
— бесконечнолистная 92
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 319
Функция гармоническая (связь с
аналитической) 184
— дробно-линейная 163
---, круговое свойство 165
— единичная Хевисайда 216
— Жуковского 173
— источника задачи Дирихле 190
— комплексной переменной 21, 23
— логарифмическая 46, 88, 102
— мероморфная 132
— многозначная 23
— обратная 23, 34
— однолистная 23
— степенная 103
— целая 77
Фурье преобразование 268
---, аналитические свойства 271
--- обратное 272
Хевисайда единичная функция 216
— преобразование 215
Целая функция 77
Циркуляция вектора скорости 193
Чаплыгина формула 202
Число нулей и полюсов аналитической
функции 145
Чисто мнимое число 13
Шварца — Кристоффеля интеграл 175
Эйлера формула 15, 87
Элемент полной аналитической функ-
ции 110
Алексей Георгиевич Свешников
Андрей Николаевич Тихонов
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
М., 1974 г., 320 стр. с илл.
Редактор С. Я- Секерж-Зенькович
Техн, редактор Е. Н. Земская
Корректор Н. Д. Дорохова
Сдано в набор 23/VII 1973 г. Подписано
к печати 7/1 1974 г.
Бумага бОхЭО1/^. тип. № 2. Физ.-печ. л. 20.
Условн . печ. л. 20. Уч.-изд. л. 19,15.
Тираж 30 000 экэ. Цена книги 83 коп.
Заказ № 942.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор»
имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская
ул., 26.