В. Л. КОЛМОГОРОВ
МЕХАНИКА
ОБРАБОТКИ
МЕТАЛЛОВ
ДАВЛЕНИЕМ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по специальности «Обработка металлов давлением»
&
МОСКВА «МЕТАЛЛУРГИЯ»" 1986

УДК 621.771 (075.8)
Рецензенты: Кафедра пластической обработки металлов
Ленинградского ордена Ленина политехнического института имени М. И.
Калинина. Член-корреспондент АН СССР А. А. Поздеев
УДК 621.771 (075.8)
Механика обработки металлов давлением. Учебник для вузов.
Колмогоров В. Л. М.: Металлургия, 1986. 688 с.
Изложены теория пластичности и в общих положениях теория
обработки металлов давлением. Показано единство расчетных и
экспериментальных методов, их сочетание в инженерной работе. Изложены
новые направления в теории обработки металлов давлением. Материал
иллюстрирован примерами, снабжен методическими указаниями,
приведены решения конкретных практических задач.
Учебник предназначен для студентов, специализирующихся в
области обработки металлов давлением, может быть полезен аспирантам.
Ил. 228. Табл. 4. Библиогр. список: 77 назв.
2704030000—190
К 64—86
040(01)—86
© Издательство «Металлургия», 1986

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 8
Часть I. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Глава 1. Элементы тензорного исчисления , , 12
1.1. Буквенные подстрочные индексы, соглашение о суммировании,
символ Кронекера ... 12
1.2. Преобразование ортонормированного базиса . ... 14
1.3. Полилинейные формы и тензоры 17
1.4. Действия над тензорами 21
1.5. Линейные преобразования векторного пространства и
тензоры второй валентности . 25
1.6. Собственные векторы и собственные значения линейного
преобразования. Инварианты тензора второго ранга 30
1.7. Тензорное поле и его дифференцирование . 34
Глава 2. Теория напряженного и деформированного состояния 39
2.1. Основные определения. Тензор напряжения 39
2.2. Главные нормальные напряжения. Девиатор напряжений.
Инварианты 46
2.3. Круги Мора. Главные касательные напряжения . . .52
2.4. Дифференциальные уравнения движения 55
2.5. Кинематика деформируемой среды. Тензор скорости
деформации 59
2.6. Траектория. Переменные Эйлера и Лагранжа. Ускорение. Диф- ч-
ференциальное уравнение неразрывности 68
2.7. Теория течения в приращениях перемещений .... 71
Глава 3. Физические уравнения связи напряженного и
деформированного состояний. Краевая задача теории пластичности . 77
3.1. Формулировка общих физических уравнений для изотропных
материалов 79
3.2. Уравнения связи напряженного и деформированного
состояний некоторых материалов- 85
3.3. Первое начало термодинамики. Дифференциальное уравнение
теплопроводности 93
3.4. Экспериментальная проверка основных гипотез, лежащих в
основе физических уравнений 98
3.5. Система дифференциальных уравнений теории пластичности . 104
3.6. Начальные и граничные условия для уравнений теории
пластичности « , 108
3.7. Упрощения системы уравнений теории пластичности ... 114
3.8. Пластическая деформация толстостенной трубы ... 119
3.9. Остаточные напряжения в трубе (теорема о разгрузке) . . 122
3.10. Охлаждение катанки 125
3.11. Течение тонкого слоя по жестким поверхностям . . 134
Глава 4. Плоская задача: метод линий скольжения и
безвихревое течение несжимаемого материала 139
4.1. Уравнение Генки и Гейрингер 140
4.2. Конечно-разностный метод решения уравнений Генки и
Гейрингер . . .147
1*
3

4.3. Условия на внешней и внутренней границах. Разрывы п^ля
скоростей 153
4.4. Внедрение жесткого штампа в пластическое полупространство 159
4.5. Волочение с малыми обжатиями полосы через гладкую
матрицу с прямыми образующими . . . 164
4.6. Аналитический метод решения 174
4.7. Функции комплексного переменного, их дифференцирование
и интегрирование ... v ... . 178
4.8. Конформные отображения ... ..... 183
4.9. Плоское потенциальное течение 187
4.10. Деформированное состояние при выдавливании полосы . 191
Глава 5. Элементы вариационного исчисления 197
5.1. Общие сведения 197
5.2. Необходимое условие экстремума функционала: уравнение
Эйлера .201
5.3. Простейшая задача со свободными концами и задача с
односторонней вариацией 204
5.4. Изопериметрическая задача — задача на условный экстремум 208
5.5. Сложные задачи вариационного исчисления . 213
5.6. Прямые вариационные методы . .216
Глава 6. Вариационные методы теории пластичности 221
6.1. Принцип виртуальных скоростей и напряжений . . . . 221
6.2. Функционал и вариационное уравнение принципа
виртуальных скоростей и напряжений ] 227
6.3. Минимальные свойства функционала принципа виртуальных
скоростей и напряжений 236
6.4. О единственности решения технологических задач теории
пластичности . . . - 240
6.5. Принцип виртуальных перемещений и напряжений . . . 244
6.6. Принцип виртуальных скоростей , 248
6.7. Принцип виртуальных напряжений 257
6.8. Экстремальные и вариационные теоремы идеальной
пластичности. Разрывные решения 264
6.9. Метод верхней и нижней оценки силы деформирования . . 271
6.10. Принцип минимума полной мощности. Закон наименьшего
сопротивления 276
6.11. Разрывные решения для общей краевой задачи идеальной
пластичности 286
6.12. Принцип виртуальных скоростей и напряжений для
идеального несжимаемого материала и «сухого» трения . . . 295
6.13. Напряженное и деформированное состояние при осадке
параллелепипеда . .301
Часть II. ТЕОРИЯ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Глава 7. Теория пластичности в криволинейных косоугольных
координатах „ ..»..«. 312
7.1. Элементы тензорного исчисления в криволинейной
косоугольной системе координат . . 312
7.2. Уравнения механики сплошных сред , . . 322
4

7.3. Постановка краевой задачи механики обработки металлов
давлением 333
7.4. Принцип виртуальных скоростей и напряжений.
Вариационное уравнение принципа 337
7.5. Минимальные свойства функционала принципа виртуальных
скоростей и напряжений. Единственность решения задач
механики обработки металлов давлением. Принцип виртуальных
перемещений и напряжений . . . 344
Глава 8. Основы экспериментальных методов теории
обработки металлов давлением . .... 353
8.1. Теория подобия и физического моделирования пластической
деформации 353
8.2. Применение теории подобия и моделирования. Трудности
моделирования . ... .361
8.3. Анализ размерностей 369
8.4. Применение анализа размерностей к процессу прокатки
полосы 375
8.5. Аппроксимация функциями опытных данных . . 379
8.6. Планирование экспериментов ... . 385
8.7. Элементы математической статистики 393
8.8. Идентификация , 400
Глава 9. Экспериментальные методы теории обработки
металлов давлением , . . ... 412
9.1. Тензометрия 412
9.2. Оптический метод исследования напряженного и
деформированного состояний . 420
9.3. Метод координатных (делительных) сеток . 428
9.4. Визиопластичность. Метод муар . 435
9.5. Аналоги . . , . 443
Глава 10. Сопротивление металлов пластической деформации . 451
10.1. Физические уравнения связи и сопротивление металлов
пластической деформации . 452
10.2. Методы определения сопротивления деформации металлов в
холодном состоянии 456
10.3. Сопротивление деформации при высоких температурах . . -463
10.4. Функционал сопротивления металла пластической
деформации наследственного типа 470
10.5. Идентификация сопротивления металла пластической
деформации 477
10.6. Физические уравнения связи для некомпактных материалов
(порошков, гранул и т. п.) ... . . 485
Глава 11. Трение об инструмент при обработке металлов
давлением . . . 493
11.1. Виды трения. Фнзико-химическце особенности граничного
трения . 494
11.2. Механика граничного трения 499
11.3. Жидкостное трение и гидродинамический эффект смазки на
примере волочения проволоки ... . 506
5

11.4. Трение при прокатке. Элементы теории прокатки . / . 520
11.5. Трение в других процессах обработки металлов давлением 533
11.6. Трение при обработке давлением некомпактных материалов 541
Глава 12. Модели формирования качества продукции.
Разрушение металлов и их пластичность . . .545
12.1. Основные определения 546
12.2. Модель разрушения металла в процессе большой
пластической деформации 549
12.3. Методы экспериментального определения пластических
характеристик металла ЛР = ЛР(&, \i0) и a — a(k> |л0) . 559
12.4. Модель восстановления запаса пластичности при отжиге хо-
лоднодеформированных изделий 569
12.5. Пластичность металла при горячей деформации 577
12.6. Примеры решения задач деформируемости 583
Глава 13. Оптимальное управление процессами обработки
металлов давлением . . . 594
13.1. Элементы математического программирования .... 597
13.2. Оптимальное распределение деформаций на многократной
проволоковолочильной машине со скольжением . . 604
13.3. Управление движением линейных систем 609
13.4. Оптимальное управление по быстродействию 612
13.5. Оптимальное быстродействие рольганга и главного привода
реверсивного прокатного стана в отдельном пропуске . . 616
13.6. Оптимальное управление по наилучшему приближению к цели 626
13.7. Оптимальный нагрев металла в камерной печи .... 628
13.8. Оптимальное управление по расходу ресурсов на движение.
Условие управляемости линейной системы 635
13.9. Реверсивная прокатка с оптимальным расходом
электроэнергии 640
13.10. Динамическое программирование 644
13.11. Оптимальный по быстродействию режим работы
реверсивного прокатного стана . 648
Краткая историческая справка по главам .... . 657
Рекомендательный библиографический список . . . 678
Указатель номеров рисунков , ... 681
Предметный указатель . . . 684

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга объединяет тесно связанные друг с другом предметы
«Теория пластичности» и «Теория обработки металлов давлением» в общих
их положениях в рамках учебного плана по специальности «Обработка
металлов давлением». В книге освещены некоторые вопросы, входящие
в новые предметы «Организация эксперимента» (гл. 8, 9) и «Теория
систем» (гл. 13).
В основу книги положены материалы лекций для
инженеров-производственников и инженеров-исследователей и результаты многолетнего
преподавания указанных выше предметов в Уральском орденов
Трудового Красного Знамени СССР и МНР политехническом институте им.
С. М. Кирова. Опыт показал, что содержание лекций хорошо
усваивается студентами II—III курсов.
Современная отечественная наука об обработке металлов
давлением развилась благодаря усилиям крупных научных школ, находящихся
в Москве, Ленинграде, Минске, Свердловске, Днепропетровске, Туле,
Магнитогорске, Новокузнецке и других городах СССР. Имея общую
платформу, каждая школа развивает преимущественно какую-то
определенную сторону науки. В книге рассмотрены, по мнению автора, все
основные положения, составляющие общую платформу отечественной
теории обработки металлов давлением.
Курс математики, читаемый в вузах, довольно широкий и общий,
поэтому некоторым частным положениям, которые особенно нужны в
той или иной прикладной науке, не уделено должного внимания. Автор
в книге обратился к некоторым математическим вопросам, чтобы
избежать разрыва между общностью преподавания математики по программе,
утвержденной в 1979 г., и конкретной потребностью в ряде
специальных приложений. Автор полагает, что книга может быть полезной при
формировании рабочих программ спецкурсов высшей математики на
последних семестрах ее изучения студентами, специализирующимися в
области обработки металлов давлением. Материал, относящийся к
математике, выходящий за рамки программ указанных теоретических
курсов специальности и носящий вводный характер, выделен петитом
(гл. 1, 5, частично 4, 7 и 13).
В книге помещены дополнительные материалы, предназначенные для
аспирантов и преподавателей и для проведения факультативных
занятий.
Эти разделы также выделены петитом. В конце каждого пункта
приведены упражнения, а в конце глав — контрольные вопросы.
Во второй части (гл. 7) материалу придано более общее и строгое
изложение.
В некоторых случаях даны математические выкладки, необходимые
для того, чтобы не создавать читателю дополнительные трудности при
освоении такого сложного курса, как «Теория обработки металлов
давлением».
Автор признателен А. В. Коновалову, С. И. Паршакову, Ю. Н.
Логинову, Б. А. Мигачеву, которые оказали помощь в создании книги.
Особенно благодарен А. В. Выдрину, Р. Е. Лаповок, В. Г. Зубаревой и
Е. А. Воробьевой за помощь в оформлении рукописи.
7

ВВЕДЕНИЕ
Из курса «Введение в специальность» известно, что
обработка металлов давлением является одним из основных
и завершающих этапов (переделов) металлургического
производства и предназначена для того, чтобы придать
слитку или заготовке простейшего вида новую
геометрическую форму и размеры, а также чтобы сформировать у
изделия определенные физические свойства. Обработка
металлов давлением, как и в целом металлургия, является
одной из основных отраслей народного хозяйства СССР. В
итогах выполнения годовых и пятилетних планов в числе
первых указываются задачи или достижения черной и
цветной металлургии по производству проката, листов, труб и
других изделий.
Инженерная деятельность специалистов по обработке
металлов давлением, как впрочем и в других отраслях
хозяйства, многообразна. Он должен быть организатором
производственного коллектива; воспитателем и
наставником своих подчиненных; первой инстанцией в научном
анализе проблем, возникающих на производстве;
рационализатором и изобретателем, постоянно
совершенствующим технику и технологию; эрудитом, обеспечивающим
использование на своем участке научно-технических новшеств.
Современные учебные планы высшей школы, в основном,
обеспечивают подготовку именно такого инженера.
Специалистам по обработке металлов давлением на
производстве, в проектных и исследовательских
организациях приходится решать широкий круг вопросов: какие
силы развивает машина, обрабатывающая металл; как
распределены эти силы по поверхности инструмента; какой
мощности электродвигатель обеспечит нужную
производительность машины; как будет менять форму металл,
особенно в той части слитка или заготовки, которая не
ограничена инструментом; как будут распределены деформации
в объеме обрабатываемого изделия и к каким изменениям
в свойствах металла это приведет; какие условия следует
создать при обработке, чтобы получить нужную точность
размеров профилей или деталей, требуемые физические
свойства; как формируется качество поверхности
деформируемого металла; какие условия необходимо создать,
чтобы можно было пластически деформировать хрупкие
(малопластичные) металлы и множество других подобных
задач. Со способами их решения знакомят «Теория
пластичности» «Теория обработки металлов давлением» — предме-
8

ты, существо которых рассмотрено в настоящем учебнике.
Известно, что металлы представляют собой
совокупность атомов, упорядоченно расположенных в
кристаллической решетке. Они имеют дискретное (прерывистое)
строение. Между атомами существует определенное силовое
взаимодействие. Оно довольно сложное и не описывается
законами классической (ньютоновской) механики. Казалось
бы, что решать задачи, о которых шла речь, следует на
базе представлений о дискретном строении металлов. Однако
этот путь очень сложный и не разработанный должным
образом современной физикой.
Практику пока не интересует движение отдельных
атомов, ее вполне удовлетворяют средние показатели
движения довольно больших групп атомов. Это позволяет
строить теорию и расчетный аппарат не на атомном
(субмикроскопическом), а на макроскопическом уровне. Для этого
вводится гипотеза сплошности: металл (и другие тела)
можно рассматривать как среду, заполняющую часть
пространства не дискретным, а сплошным образом. Эта
идеализация позволяет движение частиц металла описывать
непрерывными функциями, а для их определения использовать
аппарат дифференциального и интегрального исчисления.
Для сплошной среды применима классическая механика.
Специфические для сплошной среды уравнения и законы
классической механики составляют науку — механику
сплошных сред. Статика, динамика и кинематика сплошной
среды будут рассмотрены в гл. 2.
Сплошной средой может считаться газ, жидкость,
твердое тело, деформирующееся упруго или обратимо, твердое
тело, которое деформируется пластически или необратимым
образом. Отличие этих сплошных сред друг от друга
проявляется в рамках механики сплошных сред в группе так
называемых физических уравнений. Отличие физических
уравнений для газа, жидкости и твердых тел,
деформируемых упруго или пластически, предопределяет выделение в
механике сплошных сред ее разделов: аэродинамики,
гидродинамики, теории упругости, теории ползучести и теории
пластичности. В гл. 3 приведены физические уравнения для
теории пластичности.
Физические уравнения механики сплошных сред
устанавливают связь кинематичеких характеристик
(деформированного состояния) с силовыми (напряженным
состоянием). Эта связь получается не на основе изучения
взаимодействия атомов деформируемого тела на
субмикроскопическом уровне, а на макроскопическом, путем приня-
9

тия специальных гипотез и постановки соответствующие
экспериментов. Такие физические уравнения называют фе,
номенологическими уравнениями1. Разделы механику
сплошных сред, основанные на феноменологических физи.)
ческих уравнениях, являются эффективными средствами
решения практически важных задач, и полученные с их,
помощью результаты хорошо согласуются с опытом. В этом]
читатель имел возможность убедиться, изучая предмет]
«Сопротивление материалов» — прикладной раздел теория
упругости. Кстати, формулы обощенного закона Гука,
связывающие напряжения и деформации, — это и есть
физические уравнения теории упругости. Предположение о том,
что связь между напряжениями и деформациями
однозначно устанавливается, если известны две константы матери-
ала — модуль Юнга и коэффициент Пуассона, — это
продуктивная гипотеза феноменологического характера.
Константы материала, как известно, определяются в простых
опытах по растяжению образцов в пределах их упругих
деформаций.
В задачу теории пластичности входит расчет
напряжений и деформаций при пластическом формоизменении
твердого тела. Для решения этой задачи первоначально
выводят соответствующие уравнения, затем разрабатывают
методы решения уравнений. Теория пластичности развилась
под сильным влиянием теории упругости и потребностей
инженерной практики в расчете деталей машин и
строительных конструкций. При достаточно высоких нагрузках
детали, конструкции и т. п. испытывают деформации,
которые не всегда будут обратимыми; прочностные расчеты
должны учитывать в этом случае пластические
деформации. Потребность в прочностных расчетах сказывается на
содержании многих книг по теории пластичности, однако
они не теряют от этого достаточной общности и могут
служить отличными источниками для углубленного изучения
предмета. Позже теорию пластичности стали применять для
анализа технологических процессов пластического
формоизменения тел — пластического течения. В настоящей
книге теория пластичности изложена только исходя из
потребностей пластической обработки металлов, которой
свойственны большие (развитые) пластические деформации
(пластическое течение).
Итак, первая часть книги дает расчетный аппарат
теории обработки металлов давлением.
1 Феномен — философское понятие, означающее явление,
постигаемое в чувствительном опыте, Феноменология — это учение о феноменах.
10

Решение вопросов, возникающих перед специалистом,
должно производиться в соответствии с возможностями,
которыми он располагает (временем на решение, степенью
важности и ответственности за расчет,
экспериментальными и вычислительными возможностями, наличием
помощников и т. д.). Поэтому специалист должен наряду с
теоретическими методами владеть методами современного
эксперимента и быть всесторонне подготовленным. Как
правило, инженеру приходится решать задачи оптимизации,
выбирать лучшие параметры или условия. Об этих методах
(теории моделирования, теории планирования и
обработки экспериментальных данных, теории экспериментального
и расчетного оптимума) говорится во второй части. Она
содержит главы, в которых рассмотрены важнейшие
вопросы, связанные с сопротивлением металла пластическим
деформациям, со способностью металла деформироваться без
разрушения или образования дефектов, с формированием
нужных физических свойств изделий и со взаимодействием
обрабатываемого металла и инструмента. Во второй
части методами, изложенными в предыдущих главах,
решаются различные технологические задачи, с которыми
сталкивается специалист по обработке металлов давлением.
Материал этих глав вводит читателей в предмет «Теория
специализации».

ЧАСТЬ I ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Изучая механику движения материальной точки, а затем
твердого тела, можно заметить, какое важное место в этой
науке занимает векторное исчисление. Обобщение
механики на сплошную среду потребовало в свое время обобщить
понятие вектора и действия над ним. Так родилось
тензорное исчисление. Тензор явился обобщением понятия
вектор.
В данной главе читатель познакомится с тензорами и
действиями над ними (исчислением). Предполагается, чтс|
он подготовлен в рамках курса «Высшая математика», осо^
бенно по его разделу «Матрицы». В тензорном исчислении
широко пользуются специальными обозначениями
(индексами), которые делают рассуждения и доказательства очень
компактными, такими, что в выкладках не теряется
физический смысл описываемого объекта или явления.
1.1. Буквенные подстрочные индексы, соглашение
о суммировании, символ Кронекера
Любой вектор а задается его проекциями на оси декартовой
системы координат1: ах, ау, аг. Подстрочный индекс у проекций вектора
обязательно поочередно принимает значения х> у, z. Значит, вектор а
его проекциями можно представить как щ} где i=x; у, z, или все
проекции вектора а записать просто щ. Индекс i называется свободным
индексом; подразумевается, что он поочередно обязательно принимает
значения х, у, z, а выражение at означает тройку величин ах, ау, аг. Для
обозначения свободных индексов будем применять буквы i, j и так
далее по алфавиту.
Рассмотрим случаи применения свободного индекса. Пусть в
декартовой системе координат по осям заданы единичные векторы ех> еу> ez-
Применяя свободный индекс, тройку единичных векторов можно
записать кратко в/. Подстрочных свободных индексов у величин может быть
несколько. Если встретились два свободных индекса, то это означает,
что имеет место набор из девяти величин (каждый индекс принимает
три значения). Например, записи a,j, в которой i и /—свободные
индексы, соответствует набор величин, который может быть представлен
в виде матрицы
1 Система координат, как правило, декартовая.
12

ихх иху uxz
аух ауу ayz
azx azy azz
Эта матрица может быть также записана а//. Обратим внимание на
матрицу: первый индекс по строкам фиксирован и означает номер строки,
а второй — столбца. Для трех свободных индексов число компонентов
будет 27 и т. д.
Величина 6ij, определяемая равенствами
П при i = j;
в'' = 10при**/; (1Л)
называется симметричным символом Кронекера; она образует квадрат-
ную единичную матрицу
/10 0
(М=(° Х ° |=£> (1.2)
\ 0 0 1
симметричную относительно главной диагонали. На главной диагонали
квадратной матрицы /=/—номера строки и столбца одинаковы; в
рассматриваемой матрице (1.2) на главной диагонали стоят единицы.
Симметричный символ Кронекера соответствует скалярному произведению
единичных взаимно ортогональных (перпендикулярных) векторов ех, еу,
ег. Действительно, набор таких скалярных произведений дает матрицу
(1.2)
ех
*у
е2
ех
1
0
0
еу
0
1
0
е>*
0
0
1
Итак, скалярные произведения единичных векторов могут быть
записаны в виде
7i7j = 6ij. (1.3)
В векторном и тензорном исчислениях встречаются характерные
суммы. Например,
- z
a = ax7x + aye>y+azez= 2 ai ^ .О"-4)
i—x
-> -> 2
a- b = axbx + ayby + azbz = 2-.М* О-5)
i—x
И Т. Д. *
z
В подобных характерных суммах условились знак S опускать и
i=x
ввели соглашение о суммировании: если подстрочные индексы i, /
13

Заметим, что проекции вектора
на оси координат (а равно и
тензора) зависят от системы координат и
не инварианты преобразованию
координат. Физические законы
механики сплошной среды инвариантны
преобразованию координат (законы при- . ,i/_—*-—-^s\a
роды существуют объективно, а си- О/ "*^-у ^ **'У
стема координат выбирается
субъективно). Вектор и тензор, характери- "У ^^^rccos^K
зуют состояние материи в некоторой
точке пространства (скорость
перемещения, силу и т. п.) и являются
объектами, не зависящими
(инвариантными) от выбора системы координат. Важно выделить в векторах и
тензорах, представленных их составляющими, свойства, не зависящие от
преобразования координат.
Рассмотрим преобразование ортонормированного базиса или
системы координат. Пусть в трехмерном пространстве наряду с ортонормиро-
ванным базисом £«• (рис. 1.1) задан другой (новый) базис er{i'=(x',
//', z'). Каждый из трех векторов нового базиса е-х [см. формулу (1.6)],
может быть разложен по векторам старого базиса
4 = Ухи^г V = V/ ^: *V = b'i ev _ (1-9)
где у — проекции векторов нового базиса на старый базис е,-.
Поскольку проецируются единичные векторы, то проекции численно равны
косинусам углов между векторами нового и старого базиса. Например,
коэффициенты в первом равенстве выражения (1.9) (см. рис. 1.1)
Vx'x = cos (*х" eJ* У*'У = C0S t*x' > %)'> Чх'г = C0S (ех' > eJ-
Формулы (1.9) можно записать еще более кратко
Я-<=Ъ'^- (1Л°)
Теперь выразим векторы старого базиса et через векторы нового
базиса et. Если проекции векторов ы на et> обозначить уи^ то аналогично
формуле (1.10) можно записать
^=?/Д- • (1.11)
Коэффициенты yri\\ у.и,ъ формулах (1.10) и (1.11) образуют
соответственно квадратные матрицы
'Чх'хУ*уУх'г\ /?х*УхгУхг'\
Уу'х У,/у Уу'г I = Г; I V-' Уу>/ Ъ* ) = Г"1. (1.12)
Wz'xVz'y У г'г / \Угх' Угу' Угг' /
Матрицы Г и Г-1 взаимно обратны, так как их произведение ГГ-1^
= £ (рекомендуем доказать это самостоятельно прямым
перемножением матриц по формулам (1.12) с учетом указанного выше
геометрического смысла коэффициентов у и условия (1.13). Поскольку cos(e,-/, et) =
= cos(e/,7l-, )» т0
15

Ъч = V .
(1 I
т. е. при перемене местами индексов коэффициенты у не меняют свосг^
значения. Это значит, что матрица Г-1 может быть получена из матрц;
цы Г путем ее транспортирования и наоборот.
Рассмотрим определитель матрицы Г. Вспомним, что смешанное ищ
изведение трех векторов (аХЬ)-с дает скаляр, численно равный объеме
параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, взятому со знаков
« + », если векторы образуют правую тройку. Смешанное произведение
как известно, может быть представлено в виде определителя 1
[aXb) -Г=
ах ау аг
bx by b2
Сх Су cz
Итак, рассмотрим определитель матрицы Г
1П=|Ъч
Ух'х Ух'у Ух'г
Уу'хУу'у Уу'г
Уг'х У г'у У z' z
Поскольку строки определителя составлены из проекций векторо^
Су на направления еи то определитель равен смешанному произведеник)
векторов
lrl = (^><V )-^=Ь 0-141
как объем куба, построенного на единичных векторах е{>
Выясним теперь как преобразуются проекции (координаты) a/ iie-i
которого вектора а в трехмерном пространстве при переходе от базиса!
ei к базису ег. Запишем разложение вектора а в каждом из этих двуЯ
базисов в виде
are?
(1Л5
Приравнивая правые части этих равенств и заменяя векторы et по.
формулам (1.11), получим (щу и—ас>)ег=0. Так как векторы
билинейно независимы (базис), то выражение в круглых скобках
обязательно равно нулю (в силу определения линейно независимых векторов;.
Получим, если учесть условие (1.13), формулу'пересчета новых
составляющих (проекций) вектора а по старым при изменении системы
координат
ае = Ъчаг (1Лб)
Если сделать замену ву в формуле (1.15) по формулам (1.10), то
получим выражение старых составляющих (проекций) через новые
а1 = Уи-а1<- (1.17)
16

1. Пусть a, ft, с —три линейно независимых вектора трехмерного
пространства. При каком значении а векторы х=аа + 4Ь + 2с и у =
= a+ab—c линейно зависимы (коллинеарны)? Указание: условие
коллинеарности векторов х и у будет х=уу. Ответ: а = —2.
, 2. Доказать линейную независимость векторов (at) = (2, 1, 1);
(ft/) = (1,2, 1);с,= (1, 1,2). Указание: составить условие (1.8) для
проекции; показать, что определитель полученной системы линейных
однородных уравнений отличен от нуля; следовательно, а= (3=^ = 0.
3. Написать матрицы Г и Г-1 преобразования ортонормированного
базиса, если еxr—ey, еу'——ех, е z>—ez. Ответ:
0 1 0
Г =|-1 0 0 |; г-1=|
0 0 1
4. Вычислить проекции вектора в новом базисе, который в старом
базисе был представлен а,= (1, 1, 1), если матрица преобразования
(1/2 1/2 VT/2
1/2 1/2_ _|Л2/2
V2/2 —V2I2 0
Ответ: (а^ = {\ + "|/2/2, 1 —1/"2/2, 0).
1.3. Полилинейные формы и тензоры
Совокупность векторов образует линейное (или векторное)
пространство, если умножение любого из векторов этой совокупности на
действительное число и их сложение друг с другом дают новые векторы, не
выходящие из этой совокупности. Будем считать, что все векторы
совокупности исходят из одной общей 'дочки, т. е. начала координат.
Пример. Совокупность всех векторов, лежащих в одной
плоскости, образует линейное пространство L2. Совокупность же векторов,
лежащих, например, в первой четверти этой плоскости, такого
пространства не образует, так как умножение векторов совокупности на
отрицательное число выводит их за пределы первой четверти.
Основываясь на известных действиях над векторами, можно
сконструировать некоторые скалярные функции векторного аргумента, т. е.
такие функции, операции которых над векторами дают скаляр. Говорят,
что в линейном пространстве задана скалярная функция векторного
аргумента ы, если каждому вектору пространства поставлено в
соответствие некоторое число ср. Рассмотрим теперь в трехмерном пространстве
скалярную функцию от р векторных аргументов ф = ф(и, u,...,«i).
Функция ф = ф(Х v,...,w) называется полилинейной формой, если она
линейна по каждому из своих аргументов, т. е. если для каждого из
аргументов выполнены два условия такого вида (например, для v):
2—382
17

1)Фш, vL -f- v2, ... , w) = ф U, vlf ... , до) -Ь
+ Ф \и, v2, ... , w);
2) ф U, к/х у ... , ш) = tap (и, i^ , ... , ш),
где А, — скалярный множитель.
Число аргументов р называется степенью полилинейной формы гр:
если р=1, то имеет место линейная форма, если р=2— билинейная.
Пример. Проверим, будет ли линейной формой скалярная
функция векторного аргумента q> = a-u, в которой а — фиксированный
вектор, а вектор и — аргумент. Представим вектор и в виде суммы
векторов и\ и и2. Тогда
Ф = a- \ui + и2 ) = [а- и± + а-и2 = фшх) + фш2 )•
Теперь сделаем подстановку и = %щ и получим
ц = a* (ta/J = к \a-uj = Хф \иг ).
Оба условия выполнены. Следовательно, ф = а-и— линейная
форма. Легко убедиться, что другая скалярная функция ф = фо+а-и не
будет линейной формой. Действительно,
Ф = ф0 + а-ш-L + и2 J = ф0 + а-MjL + а <и2 =
= ф (ui) + а • ч Ф ф ("l) + ф (и2);
ф = Фо + 0- U"i ) = ^ \ф<Л + а# "l ) ¥= ^Ф
Запишем полилинейную форму в ортонормированном базисе ei.
Каждый из р векторов-аргументов может быть записан так:
и = щ ег\ v = Vj еуу ... ; w = до^.
Здесь немые индексы выбраны различными для удобства
дальнейших выкладок, так как в одночлене один и тот же индекс не должен
встречаться более двух раз. В силу линейности формы по всем
аргументам
Ф = ф(и^, vj ejy ... ,wheh)=uivj...wky\euej, ... yek).
Если обозначить
фк, ejy ... yek) =au...ky
то полинейная форма запишется в виде
<р(и, vy ... , w) =CLif„. кЩ Vj ... wh. (1.18)
18

Коэффициенты ai/...к имеют р подстрочник индексов, каждый из
которых принимает в трехмерном пространстве три значения (я, (/, z).
Всего полилинейная форма (1.18) будет иметь Зр коэффициентов и
такое же число слагаемых. Доказать справедливость формулы (1.18)
можно на примере линейной формы
Ф = фЫ =ц>\ще-) = ц\ихех + иуеу + uzez) =
= ф [их ех ) + ф \иу еу ) + ф \и2 е) = их ц{ех) +
+ иу Ф (V + «z Ф (V = ui 4>U) = а* и».
Билинейная форма запишется так
y^dijUiVj (1.19)
или
ф = ахх их vx + а^ их vy + aX2 иЛ vz + а^ ыу % + ауу иу vy +
+ ayz иу vz + azx uz vx + а2У uz vy + a22 w2 vz. (1.20)
Коэффициенты би'линейной формы, которая для нас будет иметь
особое значение, могут быть записаны в виде квадратной матрицы
третьего порядка
ахх аху axz
А = (atj) = ( аух ауу Qyz
azx &zy azz
которую будем называть матрицей коэффициентов билинейной формы.
Как следует из формулы (1.20), билинейная форма — это однородный
многочлен первой степени относительно проекций на оси координат двух
-*> . —*■
векторов-аргументов и и v.
При изменении базиса будут меняться коэффициенты полилинейной
формы. В базисе е^ио определению
Но при переходе к новому базису связь со старым определена
формулами
ег=Уп~ег «/'=?/'/ Я: '•• ; «ft^Yft'ftV
Поэтому, используя свойства линейности формы ф, получим
ЪГ-.Н^УпУп ••• Y*'*<p(v */• ••• •"«*)■
Итак, при переходе к новому базису коэффициенты полилинейной
формы преобразуются в соответствии с формулой
"V/
.ft'=Vr/V/v- Yft'ft fl//... ft • 0-21>
Для коэффициентов линейной и билинейной форм эта формула
соответственно принимает вид
а(< ^Упаг О-22)
2* 19

а1-г = ЪчЫаи- (I-23i
Некоторый физический объект, который определяется совокупно^
стью коэффициентов ац„.н полилинейной формы, записанных в некого^
ром ортонормированном базисе, называют ортогональным тензором, а шщ
ла ац...н называют компонентами (или составляющими) этого тензора^
Коэффициенты ац...к имеют р подстрочных индексов, поэтому тен->
зор, соответствующий полилинейной форме с р векторами-аргументами^
называют тензором валентности или ранга р. В трехмерном простращ
стве он имеет Зр компонент. Не всякий набор коэффициентов (напри*>
мер, какая-то матрица) является, судя по определению, тензором. Для)
доказательства того, что группа величин, характеризующих какой- го>
физический объект, определяет тензор, необходимо показать, что назван,)
ная группа величина есть коэффициенты полилинейной формы.
Пример. Не определяет ли некоторый тензор симметричный сим-j
вол Кронекера б// и квадратная единичная матрица £?
Составим билинейную форму вида
<р = ы- "v. (1.24)
Запишем условие (1.24) в некотором базисе ei через составляющие
векторов-аргументов по формуле (1.5)
^=uxvx + uyvy + u2v2.
Сопоставим последний результат, свойственный конкретной
билинейной форме (1.24), с общей формулой (1.20). В рассматриваемом
случае коэффициенты ац имеют значения
ахх = ауу — azz= 1J аху = аух = axz — azx = ayz = azy = 0.
Тогда матрица запишется в виде
/1 0 0\
А= 0 1 0 =£.
\0 0 1/
Оказалось, что дц и Е — набор коэффициентов некоторого тензора,
который принято называть единичным тензором.
Дадим еще одно определение: тензором называют физическую или
геометрическую величины, определяемые набором чисел ацщ..ь
(компонентов или составляющих), которые при изменении системы координат
преобразуются согласно формуле
ai>j> ...Л' = УпУп ••• yk>kaij...k •
Определение помогает порой выделить из физических величин те,
которые обладают тензорными свойствами.
Пример. Рассмотрим, не является ли тензором известный
читателю вектор в трехмерном пространстве? Выше было установлено, что
при изменении базиса составляющие вектора изменяются в
соответствии с выражением (1.16). В соответствии с последним определением
вектор — это тензор первой валентности или ранга. Отметим, что ска-
лярная величина называется тензором нулевой валентности.
Упражнения
1. Можно ли назвать совокупность векторов с общим началом,
лежащих на прямой бесконечной протяженности, линейным
пространством? Ответ: да (такое пространство обозначают L\). А если прямая
ограничена? Ответ: нет.
20

2. Доказать, что (p = u-v, где ы, v — векторы-аргументы,
билинейная форма.
3. Будет ли линейной формой скалярная функция (р(и)=их?
Ответ: нет.
4. Показать, что если <р — билинейная форма, а г|)— линейная
форма, то ф-tj) будет трилинейной формой.
5. Записать матрицу коэффициентов билинейной формы ф(м, v) =
c=(pi(w) фг(у), где ф! = свд и q>2=&/tJ/ — линейные формы. Ответ:
(<*xbx O'xby axbz\
aybx ayby aybz
az bx az by az bz
6. Доказать, что компоненты б// единичного тензора имеют одни и
те же значения в любом базисе. Указание: применить формулы
(1.23) и (1.1); учесть геометрический смысл коэффициентов ус>с.
1.4. Действия над тензорами
Рассмотрим алгебраические действия над тензорами, ограничившись
тензорами ранга (валентности) не больше двух.
Суммой двух тензоров (обязательно одного ранга) называют
третий тензор, составляющие (компоненты) которого подсчитывают по
формуле
сц = <Ч1 + Ьи. (1.25)
Пусть ф = ф(«, v) и ^=i|?( и, v) две билинейные формы от одних и
тех же векторных аргументов. Им соответствуют коэффициенты ац и
Ьц. Сумму билинейных форм можно записать в виде
Ф + г|> = аи ut vj + btj щ vj = (аи + btj) щ vs.
В круглых скобках последнего выражения, являющегося также
билинейной формой, стоят коэффициенты, которые выше названы
составляющие суммы двух тензоров. При суммировании тензоров,
представленных матрицами своих составляющих, почленно складываются
компоненты, стоящие в матрицах на одинаковых местах (одинаковые
номера строки и столбца).
Произведением тензора с составляющими ац на число А, называют
тензор, составляющие которого подсчитывают по формуле
bij=K-atJ. (1.26)
Покажем, что введенное действие не противоречит определению
тензора, т. е. Ьц тоже является тензором. Умножим билинейную форму
Ф = ф(и, v) на действительное число Я,
*,.ф = latj щ vj = (KatJ) ut vj.
В круглых скобках последнего выражения, являющегося также
билинейной формой, стоят коэффициенты, которые выше были обозначены
Ьц и названы составляющими произведения тензора на действительное
число. При умножении тензора на число на него умножается каждый
компонент тензора.
21

Произведением двух тензоров с составляющими ац и f)k называю^
тензор, составляющие которого подсчитывают по формуле
сик = аиЬл. (1.27)
Действительно, составляющие ац определяют билинейную форму <р-
a bh — линейную форму ф, тогда ф-г|? — трилинейная форма:
<p.i|>= (aub^UiVjWk;
Ее коэффициенты подсчитывают по формуле (1.27). При умножении
тензоров их ранг складывается (умножение тензоров второго и первого
рангов дает тензор третьего ранга). При умножении тензоров каждый
компонент одного тензора-сомножителя перемножается со всеми
компонентами другого тензора-сомножителя.
Операцию свертывания (свертку) тензора с компонентами о.цн..л
(ранга не менее двух) производят путем приравнивания друг к другу
двух индексов (например i и /), по которым производят свертывание,
и осуществления суммирования по повторяющемуся индексу; в
результате получается новый тензор (ранга на две единицы меньше),
компоненты которого подсчитывают по формуле
К.л = **,* ... / + ayyk ... / + azzk ... / • (1-28)
Пусть задан тензор с компонентами ацн, его свертывание по первым
двум индексам дает
aiih = axxk + ayyk + azzk-
Поскольку справа остался один свободный индекс k, то а»»л = 0*.
Можно показать, что bk — это компоненты тензора первого ранга.
Полилинейная форма, как уже известно, это однородный многочлен первой
степени относительно координат векторов-аргументов. Если в
полилинейной форме поменять местами аргументы, то получится новая также
полилинейная форма с новыми коэффициентами. Например, билинейная
форма имеет вид
где
ф = фШ, V) =aijUiVj,
Поменяем местами аргументы и и и, тогда получим новую
билинейную форму
ф' =ajtVjUiy
где ^
В общем случае ац = ац.
Билинейную форму <р = ф(и, v) называют симметричной, если для
векторов и и v "может быть сделана перестановка аргументов без
изменения результата
фШ, V ) = ф(у, и).
22

Для симметричной билинейной формы по определению
ФЦ, ej ) = фЦ, еХ
а это значит
аи = ап.
Тензор, соответствующий симметричной билинейной форме,
называют симметричным тензором. Симметричная матрица (ац) компонент
симметричного тензора подробно может быть записана в виде
(ахх аху axz
(аи) = \ аху ауу ayz у (1>29)
2XZ ajJZ aZ2
так как аху = ауХу axz = azx, ayz = azy. Матрица компонент
симметричного тензора второго ранга симметрична относительно главной
диагонали (на главной диагонали стоят компоненты ахх, ауу, azz). Симметричный
тензор второго ранга имеет шесть (а не девять) существенных
компонент.
Билинейную форму (р = у(и, v) называют антисимметричной, если
перестановка векторов и и v приводит только к изменению знака формы
Ф [и, v ) =— ф [v , и ).
По определению антисимметричной формы
ф(^> е;) =— ф(еу, et).
Следовательно
аи=-ап. (1.30)
Тензор, соответствующий антисимметричной форме, называют
антисимметричным (кососимметричным) тензором. Антисимметричная
матрица (ац) подробно может быть записана в виде
(' 0 <*ху а
—аху 0 ayz у (1 31)
— axz — ayz 0
Антисимметричный тензор имеет лишь три существенных
компонента.
Введем еще две операции над тензорами.
Симметрирование тензора — это построение по тензору с
компонентами ац симметричного тензора, компоненты которого определяют по
формуле
аип= ("и+ "»)!*■ С-32)
При симметрировании тензора элементы матрицы его компонент на
главной диагонали не изменяются, а*остальные элементы,
расположенные симметрично главной диагонали, попарно усредняются.
Альтернирование тензора — это построение по тензору с
компонентами ац кососимметричного тензора, компоненты которого определяют
по формуле
23

aun = (*tj-"jl)P' 0-33J
Легко убедиться, складывая уравнения (1.32) и (1.33), что
аи=ат + ат- (1-34)!
Следовательно, любой тензор второго ранга можно представить в>
виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров.
Пример. Разложим тензор с матрицей
/ 2 3 2^
(аи) =5 7-2
V 4 -4 Оу
на симметричный и кососимметричный тензоры. Для этого транспони-;
руем заданную матрицу и, используя формулы (1.32) и (1.33), получим)
/ 2 4 3\ /0—1 — Р
Результаты можно проверить по выражению (1.34)
/2 3 2\
(«<«+'««/])=( \ _7А -2j=(^-).
Упражнения
1. Пусть дан тензор третьего ранга с компонентами aijk и тензор
второго ранга с компонентами bim. Получить из них путем умножения
и свертывания компоненты тензоров пятого, третьего и первого ранга.
Ответ: ui]kbim\ cit/kbim\ cnjhbu; ацкЬ}т\ aijkbi/; ацьЪш; ciijkbik',
CLijkbij\ atjkbji; aifkbjk'y cLijkbkj\ aijkbik\ ciijkbki.
2. Построить путем свертывания инвариант (скаляр) тензора
второго ранга, если он задан матрицей своих составляющих
/2 10
(аи) = 3-5 6
\—7 0 4
Ответ: 1.
3. Дан тензор второго ранга, матрица компонентов которого в
некотором базисе равна
/2 0 3
и два тензора первой валентности с компонентами в том же базисе
(&«■) = (2, 1, 4) и (с,) = (3, 7, —1). Найти: а) ацЬг> б) ацЬх\ в) аца;
г) ацсг, д) aijbiCj; е) atICibj; ж) ацЬц\ з) ац—бцаи2/6\ и) (а<,—
-Ьцаи*1ь)Ъъ к) (ац—ЬцаиЧйЬщ. Ответ: a) (16, 19, 41); б) (25,
21,36); в) (37,2, 16); г) (3, 20, 40); д) 186; е) 1'40; ж) 10; з)
/_2 -4 -1\
1 _3 -2 ; и) (-3, 1,8); к) -10.
\ 0 1 ЗУ
24

4. Дана матрица коэффициентов Л=(аг/), построить в развернутом
виде матрицу А—КЕ (К — скаляр). Ответ:
(°хх - ь
"ух
К azx
а*у
avy-%
azy
axz
ayz
aZz~
1.5. Линейные преобразования векторного
пространства и тензоры второй валентности
Обратимся к векторным функциям векторного аргумента. В линейном
пространстве, например L$, задана векторная функция А векторного
аргумента ы, если каждому вектору и этого пространства поставлен в
соответствие некоторый вектор v = A(u) этого же пространства.
Векторную функцию векторного аргумента называют линейным
преобразованием, если она обладает следующими свойствами:
Ахи) = Лшх + и2 ) = A\ui) + А\и2 ); А {аи) = аА [и)9
где «1 и и2 — произвольные векторы линейного пространства; а —
любое действительное число.
Пример. Дано преобразование v=A(u), которое вектору и =
= ихех + иуеу+игег ставит в соответствие вектор v = Х1ихех + К2иуеу +
+Хъигег (представляет собой геометрическое растяжение) или сжатие
пространства L3 вдоль координатных направлений). Докажем, что это
преобразование — линейное преобразование векторного пространства.
Представим вектор-аргумент в виде суммы двух векторов (u = U\ + u2)
a[u± + u2) = %1 (uxi + ux2)ex + k2 (uyl + uy2) ey +
+ h ("21 + Uz2)ez = *1 Ux)}x + К Uyl ey +
+ К Uzl ez+ К "x2 ex + К UV2 ey + XS «z2 ez =
= л(^ ) + a{Z2 ).
Первое свойство выполняется. Теперь вектор-аргумент представим
в виде произведения вектора и действительного числа (и = аи\)
А (аих ) = \ {аих1)ех + k2 (auyl)ey + Х3 (auzl) ez =
= ос UA их1 ех + %2 иу1 еу + %3 uzl ej = а А (^ ).
Выполняется также второе свойство. По определению заданная в
примере функция является линейным преобразованием векторного
пространства. Если в рассмотренном примере принять коэффициенты А,,=
= Л2 = ^з™1, то получится так называемое тождественное линейное
преобразование (v = u), которое обозначим
25

Е\и) = и.
0.»
Пусть с пространства L3 выбран некоторый ортонормированный т
зис ей Вектор-аргумент и и линейное преобразование v = A(u) соотв^
ственно можно записать в виде
и=*щ et; i
v=vi ei = A{u*) = A{ui~ei ) = uiA[7i). (l.|
Разложим векторы A{e{) на составляющие по исходному базису
Здесь коэффициенты а/, означают проекцию на ось / вектора А(е])
Подставим последнее и уравнение (1.36)
проекции вектора v на направления векторов базиса ej будут
4 = <*лщ (1.3J|
или подробно
Vx = ахх "х + аху иу + ахг uz; \
vy = ayXux + ayyUy + ayzuz\ \ (\щ
v2 = azxux + azyuy + azzuz. )
Итак, проекции вектора v линейного преобразования v=A(u) e&tt
ражаются через проекции вектора-аргумента и линейно и однородно.
Матрицу коэффициентов ац в формулах (1.38) называют матрице^
линейного преобразования А и обозначают
/ ахх аху axz \ *
А=(ал)=[ аух ауу ayz I. (1.39
\ azx cizy azz I
Каждое линейное преобразование имеет свою матрицу и обратно
Пример. Для линейного преобразования из предыдущего приме;
ра свойственно, что
vx = kx их\ vy = Х2иу> vz-=\zuz.
Сравнение последнего с равенствами (1.38) показывает, что матрй
ца рассматриваемого линейного преобразования имеет вид
/А,! 0 0
А = О Я2 О
\ о о х3
Матрица тождественного преобразования
/10 0
£=010
\0 0 1
26

Ma основе линейного преобразования v = A(u), введя еще один
вектор-аргумент w, можно построить билинейную форму
ср = w' tT= w- А (и). (Ь40)
Докажем, что компоненты тензора второго ранга, определяемого
билинейной формой (1.40), совпадают с элементами матрицы линейного
преобразования А. Действительно, скалярное произведение векторов
(1.40) с учетом условия (1.37) можно записать в виде
y = wjvj = ajiuiwj,
что доказывает это положение, так как последний результат совпадает
с формулой (1.19).
Матрица А = (ац) коэффициентов линейного преобразования
определяет тензор второго ранга. Справедливо и обратное утверждение:
всякий тензор второго ранга определяет в линейном пространстве lz
линейное преобразование.
Линейное преобразование v=A(u) называют симметричным, если
образованная на его основе билинейная форма y = w-A(u) не
изменяется при перестановке местами аргументов w и и. Если матрица (1.39)
симметричная, т. е. (ац) = (ау;), то соответствующее ей линейное
преобразование также симметрично. Действительно, wA(u)=Wi(aijUj) —
= Wi (ajiUj) = Uj (aijWi) =u-A(w).
Линейное преобразование А переводит любой вектор и линейного
пространства L3 в другой вектор v этого же пространства. На вектор и
можно подействовать еще другим преобразованием В и получить
новый вектор, например, w, того же пространства
w = b{v) = b[a[u)].
Это сокращение можно записать в виде
w = B~a{u) =с[и).
'Линейное преобразование С, состоящее из последовательно
проведенных линейных преобразований А, а потом В, называют
произведением линейных преобразований А и В. В нем сомножители пишут и
читают справа налево в том. порядке, в каком производят
соответствующие преобразования. Уместность здесь слова «произведение» будет
понятна из последующего.
Линейному преобразованию С отвечает матрица С. Найдем, как
выражаются элементы матрицы С через элементы матриц В и А. Пусть
линейному преобразованию А в некотором ортонормированном базисе
отвечает формула vk = akiUit а преобразованию В в том же базисе —
формула <Oj = bjkVk. Тогда преобразование С в рассматриваемом
базисе запишется в виде
Wj=bjhakiUi. (1.41)
27

Коэффициенты, стоящие в формуле (1.41) перед проекциями §{
тора-аргумента w, образуют матрицу
C=(cji) = (bjkahi).
1
Ясно, что величины Cji представляют компоненты тензора втор0]
ранга, который получается при умножении тензоров, компоненты koJ
рых bjk и aki с последующим свертыванием результата по индексу /е.
Запишем подробней элементы матрицы С (развернем сумму):
СН — bfx axi
Так как
+ bjy ayi + bjz az
B =
xx uxy uxz
uyx uyy uyz
axx axy axz
ayx ayy ayz
azx azy azz
то можно заметить, что элемент сц матрицы С получается путем уц|
ножения элементов /-той строки матрицы В на соответствующие эля
менты f-того столбца матрицы А и суммирования полученных произвя
дений, т. е. имеет место известное из курса «Высшая математика» yjj
ножение матриц. Поэтому линейное преобразование С называется nod
изведением преобразований. .
Докажем еще одно важное положение: при умножении матриц ил
определители перемножаются (теорема об умножении опребелителещ
Пусть А и В — квадратные матрицы, например второго порядка (для
простоты доказательства). Им будут соответствовать линейные преоб)
разования А и В в пространстве L2. Произведение линейных преобра|
зований — новое линейное преобразование С=ВА, которое имеет свою
матрицу С, а последняя — определитель \С\. Итак,
л_( ахх аху \ в=( bxx bxy \ ^
\ аух ауу У \ byxbyy )'
С = В'А =
bxx аХх + bXy CLyx bXx <*xy + bXy Ctyy
byx axx + byy ayx byx aXy -f- byy ayy
Oyy\
ayy J
В силу известных свойств определителей
+
+
bxx ахх Ьх
иух ихх
хху
byx аху
+
ЬхХ аХХ ЬХу 0.уу
byx аХх byy аУу
,а,
ху иух ихх иху
,а
ах
+
'уу иух иух "ху
ЬхХ аХХ Ьху йуу
byX аХх byy ayy
,а
+
'ху иух "ху "уу
ууаух Ьууауу |
bxy CLyx bXx &ху
byy ayx byx axy
\ +
= axx ayy
aXx a
"xx uxy
Ьух byy
+ a
yx uxy
xx uxy
ayx ayy
bxx bxy
byx byy
bxy bxx
byy byx
l*l-MI-
+
28

Умножение матриц дает возможность записать в новом виде
формулы преобразования компонент матрицы линейного преобразования А
при переходе к новому базису. Матрица A = (aii) линейного
преобразования Л представляет тензор второго ранга. При переходе от орто-
нормированного базиса et к новому ортонормированному базису е^
компоненты тензора, как было показано выше, обязательно
преобразуются по формуле (1.23)
где Y/'i — компоненты матрицы r=(Yj'x-)» определяющей преобразование
базиса.
Для матрицы Г справедливо соотношение Уа—Уц'-, где Y а" ~эле"
менты матрицы Г-1, определяющей переход от нового базиса к
старому. Формула (1.23) может быть записана в виде
а.,-, = у.,.а.. V-/-.
Рассмотрим правую часть этих формул. Легко видеть, что она
представляет собой результат умножения матриц Г, Л и Г-1. Если через А'
обозначить матрицу линейного преобразования Л в новом базисе е t, , то
можно переписать последнюю формулу в виде
Л'=ГЛГ-1'. (1.42)
Из последней формулы вытекает, что определитель, составленный
из коэффициентов матрицы линейного преобразования, инвариантен
преобразованию координат. Действительно, по теореме об умножении
определителей получаем
|Л'| = |Г|.|Л|.|Г-1|.
по
|Г| = |Г-1|=1;
поэтому
|Л'| = |Л|.
Упражнения
1. Установить, являются или нет линейными следующие
преобразования векторного пространства (здесь а — фиксированный вектор; и —
вектор-аргумент): a) v=(a-u)a; б) v=(a-u)u-y в) v = a-u; г) и =
— ихех+иуеу\ д) v — uxex—иуеу—-2игег; е) v^=u^ey\-u2e2. Ответы:
а) да; б) нет; в) да; г) да; д) да; е) нет.
2. Записать матрицы линейных преобразований, рассмотренных в
предыдущей задаче. Ответы:
aW аХауаха
а)
а а
х у
а а а а
х z у
/10 0'
г) 0 1 0 ; д)
10 0 о'
29

3. Выяснить геометрический смысл линейных преобразование
упражнении 1; указать симметричные и кососимметричные матру
Ответы: а) проецирование на а и последующее растяжение J
раз; матрица симметричная; в) построение совокупности векторов, J
пендикулярных плоскости векторов а, и; матрица кососимметричуг
г) проецирование на плоскость хоу\ матрица симметричная и диагонд!
ная; д) построение вектора, расположенного симметрично и относитЛ
но плоскости xoz (отражение), с последующим отражением от плоЛ
сти хоу и растяжением вдоль оси г в 2 раза; матрица симметричная
диагональная. р
1.6. Собственные векторы и собственные значения
линейного преобразования. Инварианты тензора
второго ранга
Пусть имеем некоторое линейное преобразование A(u)*=v. Вектщ
иФО называют собственным вектором линейного преобразования, есЫ
л(^Г) = я«, (1.4|
где X — некоторое действительное число, являющееся собственным з\
чением вектора и. Это означает, что собственный вектор и при npei
разовании А переходит в коллинеарный вектор, причем, собствен^
значение равно коэффициенту растяжения собственного вектора в
зультате преобразования А.
Покажем, что если и — собственный вектор преобразования Л, т|
и любой коллинеарный ему вектор *и'=аи (ос — любое действительно!
число, отличное от нуля) будет также собственным вектором с тем ж|
собственным значением Я, что и и. Действительно, в силу линейностр
преобразования имеем
I
1
стр
А [и ) = А [ аи ) = а А [и ) = а% и = X (а и ) = Я и'.
Как определить собственные векторы и собственные значения дай
,1
ного линейного преобразования? С заданным преобразованием А свя|
зана в некотором ортонормированном базисе ei матрица Л = (а,^). В ко4
ординатной форме уравнение (1.43) можно записать в виде
аи uj= Xut
или развернуто, собрав все члены в левую часть уравнений,
(ахх — Х)их + аху иу + axz uz = 0; j i
ayXux + (ayy — k)uy + ayzuz = 0; 1. (1.44)
azx "x + azy uy + (azz — X)uz = 0 J
Эти же уравнения можно записать в сокращенной форме
30

Уравнения (1.44) представляют систему трех линейных однородных
уравнений с тремя неизвестными щ. Поскольку по предположению
система (1.44) имеет ненулевое решение (м=И=0), то определитель этой
системы должен быть равен нулю
или кратко
\A-XE\-
"ху
ауу — ^
агу
uyz
= 0
(1.45)
:0.
Итак, всякое собственное значение К линейного преобразования Л
удовлетворяет уравнению (1.45), которое называют характеристическим.
Для нахождения собственных значений X надо решить
характеристическое уравнение (1.45). Раскроем определитель, стоящий в левой части
уравнения (1.45), тогда получим
Я3-/Д2 + /<Д — /3 = 0,
где
h = аХх + ауу + а.
h-
/s =
ахх аху
аух ауу
ихх иху uxz
аух ауу ayz
uzx uzy
+
ауу ayz
azy axz
(1.46)
(1.47)
Многочлен третьей степени, стоящий в левой части уравнения
(1.46), называют характеристическим многочленом. Для симметричных
линейных преобразований корни характеристического уравнения (1.46)
всегда будут действительные.
Вычислив корни К\, Х2 и Х3 уравнения (1.46) или три собственных
значения, можно для каждого из них определить собственные векторы.
Для этого достаточно поочередно подставить А/ вместо значени К в
систему уравнений (1.44) и решить ее. Решение линейных однородных
уравнений, как известно, не единственно. В силу доказанного выше, что
все коллинеарные векторы — собственные, уравнения (1.44) можно
дополнить условием, что длина собственного вектора равна единице, т. е.
<4 + 4 + "г=1-
Собственные векторы симметричного линейного преобразования,
соответствующие различным собственным значениям, ортогональны меж-
ду собой. Действительно, пусть Х\ и Лг — два любые различные
собственные значения симметричного линейного преобразования A, aui и w2 —
соответствующие им собственные векторы. Тогда /4(wi)=Ai«i и А(и2) =
= X2tt2- Умножим первое уравнение скалярно на «2, а второе на ии
получим
ur ~А (uj) = Х^- и2 и и±-А \иг) = Хги^их. (1-48)
31

В силу симметричности преобразования А левые части
венств равны, значит, равны и правые части
этих
Aj#l• #2 — 2 ^1' ^2
ИЛИ
Но мы условились, что Х\ФХ2, значит Ui-u2 = 0y что означает ц
пендикулярность собственных векторов и\ и и2. Заметим, что теор^
справедлива для всех отличных друг от друга собственных значец(
Так, для симметричного линейного преобразования пространства Ц^
торое имеет три различных собственных значения, соответствующие)
три собственные вектора будут попарно перпендикулярны.
Покажем, что характеристический многочлен, а также, следов
тельно, его корни не зависят от выбора базиса. В самом деле, хараод
ристический многочлен есть определитель матрицы А—ХЕ. При пред
разовании базиса матрица А переходит в матрицу А', компоненты jj
торой подсчитывают по формулам at-'/'=Yt'tY/'/2'/ или Л' = 17ЦЯ
Аналогично Е' = ТЕТ~К
Поэтому в новом базисе матрица характеристического многочлена О]
дет (напомним, что X— скаляр)
Л' — ХЕ' = ГЛГ-1 — Г (ХЕ) Г-1 = Г (Л — ХЕ) Г-1.
Используем теорему об определителе произведения
\А' —КЕ'\ = \Г\\А — Щ\Г-1\.
Но | Г—11 = IГ | = 1, поэтому
\А' — ХЕ' | = | Л — ХЕ\.
Итак, характеристический многочлен не зависит от преобразован®
координат.
Из инвариантности характеристического многочлена следует инварй
антность его коэффициентов /ь /г, /з, которые называют инвариантам!
тензора второго ранга:
г = а + а + a =a„,Y,
1 XX ' VII ' ZL хх
h-
УУ
ахх аху
аУХ 0>уу
ах*х'- ах'у'
ау'х* ау'у'
*хх иху uxz
*ух
+ ау'У + а
+
+
Z Z у
2уу ауъ
хгУ
лх'х' "х'г*
xz'z'
*ZX "сУ
ах'х' ах'у' а
ау'х' ау'у'
a^,v, я
+
x'z'
y'z'
гу'у' uy'z'
~z'y'
~z'x' ™z'y' ™z'
Таким образом, матрица линейного преобразования в пространен
Lz имеет три инварианта, которые называют инвариантами тензора в^1
рого ранга. \
Рассмотрим случай, когда все три корня характеристического ур*Ч
нения действительны и различны и покажем, как с помощью преобр^
32

зования базиса можно упростить матрицу линейного преобразования.
Пусть Хи Х2, Я3 — три различных собственных значения симметричного
преобразования А и щ, и2, иъ — соответствующие им собственные
векторы, т. е.
4Ui) = ^i"i; Л[и2) =К2и2\ л(«3)=^з"з-
Попарно ортогональные линейно независимые векторы щ> и2 и w3
можно избрать за новый базис. Произвольный вектор и
относительно нового базиса иь и2, и5 имеет проекции £ь |2, 5з и может быть за*
писан в виде
" = li "1 + ^2 "2 + £з"з-
Аналогично образ этого произвольного вектора в результате
линейного преобразования А, т. е. вектор vt в новом базисе можно
представить выражением
где т]ь 112, Лз — проекции вектора с.
Поскольку у=Л(«)> то
~v = ~A [Ъм + \2и2 + 13иг) = gi!(«!)+ £2 Л («2) + ga Л (а3) •
Векторы нового базиса иь ы2, w3 являются собственными векторами для
преобразования Л, следовательно,
и = h Ел + Я2б2И2 + А3£з"з>
т. е. получаем следующее координатное представление преобразования
А в базисе uh и2) иъ\
Л1 = ^1 + (К2 + о.|3;
л2 = о.^ + ^з + о^з;
% = 0.^ + 0.^ + ^3.
Следовательно, в базисе, состоящем из собственных векторов,
отвечающих различным собственным значениям, матрица линейного
преобразования приводится к простейшему (диагональному) виду
/A.J 0 0
А = 0 Х2 0
\0 0 к3/
С учетом уравнения (1.48) инварианты тензора второго ранга
можно записать
It — Кг + Я2 + Я3;
/3 — Я^Яз-
Собственные векторы и собственные значения линейных
преобразований играют важную роль, в чём убедимся, когда будем рассматривать
3-382 33

в следующих главах тензоры напряжений и тензоры деформирован^
состояния.
Упражнения
1. Найти собственные значения и собственные векторы линейц0.
преобразования р = аХ«, где а — фиксированный вектор. Отве.
Х = 0\ собственные векторы коллинеарны а.
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейных щ
образований, которым в некотором базисе соответствуют матрицы; ,
а) (2 П. б) /2 —1 —1\ в) /1 2 3\ i
\2 З)9 0—1 0 ; 2 13.
\0 2 1/ \3 3 6/
Ответ: a) Xi = l; Я2=4; «1= (X—7у)/]/Г2; и2= (ех+2еу)1У\
б) Я1 = 2; Я2=1; А3=—1; «I = eL; U2=?ex+7Z)/V 2; иъ={еу—7Z)/Vt
с) Xj==0; Я2 = —1; Л3 = 9; Ji= (7х + е*г-ez)/V3; u2='(e*—ey)/V2\uJ[
= (ex+ey + 27z)/V 6.
1.7. Тензорное поле и его дифференцирование
До сих пор при рассмотрении тензоров не оговаривалось, в какой то4
ке области V физического пространства заданы тензоры. Можно счи|
тать, что все введенные выше операции над тензорами (тензорная ал|
гебра) осуществлялись в одной точке физического пространства. Нерей]
дем от тензорной алгебры к элементам тензорного анализа. Говорят, чтй
в области V задано тензорное поле, если каждой ее точке поставлен
в соответствие тензор одного того же ранга. В этом случае тензор и еп|
составляющие будут функциями координат точки М из У (Me К)
<*и = <*и(М) = аи(х, у, г). (1.49)
Тензорное поле называют однородным в области V, если aij(M)=*\
= const для всех точек Mel/. Будем считать, что функции (1.49), за-j
дающие тензорное поле (в данном случае для примера поле тензору
второго ранга), непрерывны и имеют непрерывные частные производи
ные любого нужного порядка по всем аргументам. Алгебраически^
действия над тензорами, определенные в п. 1.4, распространяются и на
тензорные поля: действия производят над тензорным полем в каждой
точке области V.
Операция вычисления производных тензорного поля вводится слс
дующим образом. Декартов тензор отличается тем, что он рассматрй'
вается в такой системе координат, у которой в каждой точке поля ба'
зис один и тот же ех, еуу ег. Например, тензор первого ранга -=- вектор
а = о.хех + ауеу + аг ez
имеет переменными лишь составляющие а/, поэтому дифференцировз'
ние тензора сводится к дифференцированию его составляющих (комло'
нент). Обозначим через Да*/ приращения, которыми отличаются компо'
ненты тензора в двух достаточно близких точках, отличающихся лиШ*
координатами k. Производной по координате k (частной произвоОной)
тензорного поля aij-aij(M) будем считать предел отношения Да,-/ ^
Ak, когда Д&->0. В тензорном исчислении частные производные по кО'
ординатам принято обозначать подстрочной запятой с -индексом: ац,*
34

(это набор величин: дац1дх\ дац/ду; дац/dz). Значения ац,к (в данном
случае их 27) определяют поле тензора тертьего ранга, который
называют тензором абсолютной производной поля ац = ац(М).
Рассмотрим дифференцирование скалярного поля — поля тензора
нулевого ранга ф = ф(#, у, z). Абсолютная производная скалярного
поля ф,; является полем тензора первого ранга (векторным полем). Это
поле называют градиентом скалярного поля grad ф = ф,/е*. Из основного
курса высшей математики известно, что градиент скалярного поля в
данной точке М — это вектор, в направлении которого скалярное поле
возрастает с наибольшей скоростью и модуль которого равен этой
наибольшей скорости.
Рассмотрим теперь дифференцирование векторного поля (тензорного
поля первого ранга), компоненты которого ai = ai(M). Абсолютная
производная векторного поля является тензором второго ранга, матрицу
компонент которого подробно можно записать в виде
(дах/дх дах/ду дах/дг\
дау/дх дау/ду day/dz \ . (1.50)
да~/дх daz/dy daz/dzj
Свертку тензорного поля с компонентами а1%1 по индексам I и j
называют дивергенцией (расходимостью) векторного поля а
div а = а11—дах1дх-\-дау1ду-^-да21дг, (1.51)
Покажем физический смысл формулы дивергенции (1.51). Поток
вектора а через некоторую замкнутую поверхность можно подсчитать
по формуле
Q = j>an dS,
S _^
где ап — проекция вектора а в
точке поверхности S на внешнюю
нормаль к поверхности в этой же
точке. Если окажется, что Q>0,
то внутри объема V,
ограниченного замкнутой поверхностью S,
имеется источник; если же Q<0, то
там—сток векторных линий.
Представляет интерес определить в
некоторой точке пространства
величину lim AQ/ДК, характеризую-
щ!ую наличие в ней источников
или стоков (здесь ДК —
элементарный объем; Д(2 — поток
вектора а через поверхность,
ограничивающую AV). Форма элементарного объема несущественна,
этому рассмотрим элементарный параллелепипед (рис. 1.2).
ток вектора через грани параллелепипеда Дг/Д.г будет
(ах -j- дах/дх&х) Д*/Дг — ах Дг/Дг = дах/дх-АхАуАг,
а через грани ДхДг и Д*Д# соответственно дау/ду&хАу&г,
ldz&x\y\z. Отношение Д(3/ДК после предельного перехода даст
-§А*
ПО-
По-
daj
3*
35

lim AQ/AV = dajdx + дау/ду + даг1дг = au = divZ
AV->0.
Действительно, формула (1.51) показывает расходимость (расцщрЛ
ние) векторного поля а в данной точке. Представим себе, что тело, ш
ем которого 1/, а граничивающая его поверхность S, разделено мыслм
но на части V\> V2,...tVn (рис. 1.3). Можно подсчитать поток вектЗ
ра а через замкнутую поверхность S ;
2 § ап dS = <j> ап dS
i
(здесь Si — поверхность, ограничивающая обя
ем Vi)y так как потоки на границе области
уничтожаются (из одной вектор «вытекает:!
а в другой — «втекает»). Дробление облаете!
можно довести до размеров элементарном
объема A V{ = AxAyAz, тогда '
AQt =<£ ап dS = div a-AxAyAz.
Осуществив после подстановки последнего выражения в предыдущей
предельный переход при /г->оо и max (Ах, Ar/, Az)-+Q *, получим важ]
ную для дальнейших рассуждений формулу Гаусса—Остроградского >
[div a dV= & ап dS (1.521
V S
или
\aiti dV = &аь щ dS (1.52,а)]
v ' s 1
и, наконец, в подробной записи
J (дах/дх + дау1ду + даг/дг) dV = <j> (ах пх + ау пу +az nz) dS.
V s
(1.52,6)
До сих пор рассматривались стационарные тензорные поля — это
поля, тензоры которых зависят от положения точки в пространстве, но не
зависят от момента времени, в который рассматривается это поле. Если
тензор в поле зависит не только от положения точки пространства, но
и от времени, то поле называют нестационарным. Компоненты
нестационарного тензорного поля являются функциями координат ху у, z точки
и времени t. Скорость изменения тензорного поля во времени в неко*
торой фиксированной точке пространства описывается частными
производными daaldt, которые снова образуют тензорное поле того же
ранга, что и исходное.
Предположим, что нестационарное тензорное поле описывает
некоторое свойство материальной среды, частицы которой находятся в
движении. Определим, как изменяются компоненты тензора, связанные с
1 К нулю стремится наибольший из размеров элементарного
параллелепипеда.
36

некоторой частицей, при ее движении. Пусть траектория движения этой
частицы описывается уравнениями x = x(l); y = y(t)\ z = z(t). Тогда
скорость изменения компонент тензора аЦу связанных с частицей (суб-
стацнональная или материальная производная), будет равна1
dau/dt = datj/dt + даи/дх-dx/dt -f- datj/dy- dyldt + дац! z-dz/dt,
(1.53)
или
datldt = datjldt + aijk vht (1.53,a)
так как дх/dt, dyldt, dz/dt компоненты скорости перемещения
движущейся частицы материальной среды, которые обозначены vk (k = x, у> z).
Первый член в правой части последней формулы описывает скорость
изменения во времени компонент тензора ац в фиксированной точке
пространства, а второй член описывает скорость изменения, связанную
с движением частицы в пространстве и называется переносным или
трансляционным членом. Для нестационарного векторного поля а =
=а(М, t) формула аналогична выражению (1.53, а)
datldt = datldt + atj vj. (1.54)
Для нестационарного скалярного поля у = у(М, t) можно записать
dy/dt = dy/dt + yiVi% (1.55)
или
dyldt = dyldt + v- grad ф.
(1.55,а)
Тензорное исчисление — развитая математическая дисциплина, ьго
содержание более сложно и многообразно. Оно имеет дело с
тензорами произвольного ранга в общей косоугольной криволинейной системе
координат.
Упражнения
1. Доказать следующие формулы: a) grad (ф+ф) = grad ф +
+ grad\|?; б) div(a + &)=diva + div6; в) div(grad ф) =Дф (&=д21дхг +
4-d2/dy2+d2/dz2 — оператор Лапласа).
2. Твердое тело вращается вокруг оси z (рис. 1.4). Записать
векторное поле скорости перемещения частиц v = v(x, у, z) и вычислить
его абсолютную производную. Ответ:
vy = (йг Х] vz = 0;
/ 0 —со2 0\
(vu) = ю2 0 0 .
V 0 0 0/
3. Твердое тело испытывает
сложное вращательное движение с
угловыми скоростями вращения вокруг осей
координат со*, о)у и сог. Записать абсо- ^ х х
лютную производную векторного поля скорости перемещения частиц
1 Производная от сложной функции
а//= а,/[/,*(/),«/(/), г (0].
37

и найти дивергенцию этого поля. Ответ:
/ 0 —со2 (йу\ ,_^
(vitj) = \ <*г 0 — со* ; divit/J = 0.
\— (Цу йх 0 /
4. Сплошная среда растекается от начала координат так, что вщ
торное поле скорости перемещения материальных частиц описываем
формулой v = %uxex + %22yey + %Mzez. Определить тензор абсолютной npJ
изводной и его дивергенцию. Ответ:
In 0 0 \ ,_м
О §22 0 ; div ( if J = Е1х + Ей + Ь».
О 0 Бзз/
Контрольные вопросы
1. Какие индексы называют свободным, немым?
2. Как определен символ Кронекера?
3. Какие векторы называют линейно зависимыми, линейно незав^
симыми?
4. Что такое инвариант? Инвариантны ли преобразованию коордй
нат вектор, тензор, их составляющие? I
5. Запишите формулы прямого и обратного преобразования орто|
нормированного базиса. '
6. Как преобразуются компоненты вектора при изменении базиса!
7. Дайте определение линейного пространства, линейной, би- и по!
лилинейной форм. Приведите примеры.
8. Что такое тензор (.дать все определения)?
9. Как определена операция сложения тензоров?
10. Как осуществляется операция умножения тензоров, включая ум}
ножение на скаляр? Что такое свертка?
11. Дайте определение операции: симметрирования, альтернировав
ния и разложения тензора на симметричную и кососимметричную]
части.
12. Как определено линейное преобразование векторного
пространства? Приведите примеры.
13. Чем является матрица коэффициентов линейного
преобразования? Почему?
14. Какой вектор называется собственным вектором линейного
преобразования?
15. Что такое собственное значение линейного преобразования и как
его можно определить?
16. Как определить собственные векторы?
17. Сколько собственных значений и собственных векторов имее*
в общем случае линейное преобразование? Под каким углом
пересекаются между собой собственные векторы симметричного линейного прс
образования?
18. Как выглядит матрица составляющих тензора второго ранга 0
базисе собственных векторов?
19. Приведите формулы инвариантов тензора второго ранга в коМ*
понентах, записанных в произвольном ортонормированном базисе и р
базисе собственных векторов.
38

Г л з. в а 2
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО
И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Расчет напряжений, возникающих в деформируемом теле
(иногда говорят «напряженного состояния»), необходимая
предпосылка для ответа на целый ряд вопросов, с
которыми сталкивается инженер: какие силы необходимы для
обработки давлением? не приведет ли пластическая
деформация по избранному режиму к разрушению металла и
возникновению дефектов из-за неблагоприятного
напряженного состояния? В данной главе разберем содержание
понятия «напряженное состояние». В этой же главе рассмотрим
кинематику деформируемой среды. Как известно из курса
«Теоретическая механика», движение твердого, недеформи-
руемого тела можно представить суммой поступательного
и вращательного движений. Если тело деформируется, то
движение будет более сложным. Для каждой частицы и в
этом случае также можно выделить поступательное и
вращательное движения, но будет еще дополнительное
движение, обусловленное деформацией материала, которое
заслуживает подробного рассмотрения. Результаты этой
главы справедливы не только для теории пластичности, но и
в целом для всей механики сплошных сред. Они являются
прямым обобщением ньютоновской механики твердого
тела на сплошную среду.
Предполагается, что читатель хорошо знаком с курсом
«теоретическая механика» и элементами тензорного
исчисления в рамках предыдущей главы.
2.1. Основные определения. Тензор напряжения
Из курса «Сопротивление материалов» известны метод
сечений и понятие «напряжение». Для определения вектора
напряжения в некоторой материальной точке М
(скрепленной с телом) деформируемого тела V в момент времени г
последнее мысленно разделяется сечением, проходящим
через точку М, на две части, одна из частей мысленно
отбрасывается и ее действие на оставшуюся часть заменяется
силой. Вектором напряоюения, действующего в точке М
некоторого сечения, проведенного через деформируемое тело,
называют величину
7- HmAf/AS. (2Л>
AS-0
39

На рис. 2.1 показаны оставшаяся часть тела, вектор erf
лы А/7, который действует от отброшенной части тела J
элемент поверхности сечения AS, внешняя единичная ноы
маль к которому п. Проекции единичного вектора п на оси
координат tit численно равны косинусам углов между ня
правлением п и координатными направлениями
пх = cos (/г, ~ej; пу = cos {п, ~еу); nz = cos (/г, ~ez), (2.|
которые называют направляющими косинусами.
Через точку М деформируемого тела можно провести
бесконечно много сечений. Для каждого сечения в соответ--!
ствии с определением (2.1) будет получаться свой вектор!
напряжения в точке М. Таким образом, в точке М сущест-;
вует некоторая векторная функция f от векторного аргу;
мента п
7 = А[п). (2.3)
Найдем эту функцию, рассмотрев в окрестности точк0
М деформируемого тела бесконечно малый тетраэдр (рис
2.2). На каждой грани выделенного из тела тетраэдра дей'
ствуют свои векторы напряжения /, ох, ау и а2. Подстрок
ный индекс у ах, Оу, а2 показывает, какую ориентацию име'
ет нормаль к площадке, на которой действует напряжение-
Каждый из векторов напряжений f, Oi молено задать его
проекциями на координатные оси (рис, 2.3). Так, проекции
векторов Oi будут а*;, следовательно
40

°х=охх ех + оху ey + oxze2;
°u = vyx ex + ouy ey + gijz ez;
^z^^zx~ex-\-ozlJey + (jzzez.
(2.4)
Второй подстрочный индекс у проекции Oij указывает
координатную ось, на которую проецируется напряжение
at. Величины Оху, Oxz, Оух, Оуху Огх и ozy компоненты векто-
ра напряжения, лежащие в плоскостях сечений, называют
касательными напряжениями. Величины аХхУ оуу и azz
являются компонентами напряжений ах, оУ) az,
перпендикулярными к сечениям, их
называют нормальными
напряжениями.
Для напряжений а//
(/, j=x, у, z) принято
следующее правило зна-
mfixx —
^/5 '^
ков, отличающееся от известного правила знаков для
проекций сил: если внешняя нормаль к площадке
совпадает с положительным направлением координатной оси,
то за положительное направление напряжений,
действующих на этой площадке, принимают положительное
направление соответствующих осей и наоборот, если внешняя
нормаль к площадке направлена в отрицательную сторону
некоторой оси, то за положительное направление для
напряжений по этой площадке принимают отрицательное
направление осей. Необходимость введения такого правила
знаков вытекает из третьего закона динамики о действии
и противодействии. Например, ^ело подвержено
растяжению вдоль оси х и сдвигу в плоскости хоу (рис. 2.4) (эти
нагрузки на рисунке не указаны). Для определения в
точке М соответствующих напряжений мысленно проведем
через нее сечение (на рисунке условно тело по сечению слег-
41

ка раздвинуто). Поскольку тело подвержено Названной ь
грузке и справедлив третий закон динамики, то напря^!
ния от воздействия друг на друга частей тела соответств)
ют указанным на рисунке стрелкам. Одно и тоже напр,
жение обозначается стрелками разного направления. Q
нако противоречия не возникает, если принять указан^
выше правило знаков.
Положительные нормальные напряжения называют ра|
тягивающими, а отрицательные — сжимающими.
Векторную функцию (2.3) можно получить, если coctj
вить для выделенного из тела бесконечно малого тетраэд|
(рис. 2.2) уравнение движения его центра масс (второй з;
кон динамики), которое должно выполняться в целом д,
тела и для любой из его частей. Обозначим: AV— элеме]
тарный объем тетраэдра; AS— площадь наклонной гра
ABC; ASXt ASyy ASZ— площади граней соответствен
ВМС, АМС и АМВ; р — массовая плотность материала
окрестности точки М
р = lim Am/AV; (2 J
AV-0
Am— масса элементарного объема AV. Используя извес
ное уравнение движения тела массой m под действием а
лы F
F = mw, (2.(|
где w — вектор ускорения центра массы, напишем его длф
тетраэдра (рис. 2.2)
/AS + ох ASX + оу ASy + az ASZ + gpAV = pAVw, (2.4
Здесь учтена наряду с поверхностными силами массо|
вая сила gpAV (например, гравитационная сила),
распределенная в объеме тетраэдра. Если устремить к нулю все]
размеры тетраэдра, то слагаемые, содержащие AV,
можно отбросить как бесконечно малые более высокого поряд|
ка, чем слагаемые, содержащие AS. Поделив уравнение
(2.7) на AS, получим
/ = ох (- ASJAS) + оу (- ASy/AS) + az (- ASJAS). (2.4
Здесь — ASX/AS =—cos(/z, — ex) = cos(/z, ex) =nx\ —ASyl\
/HS = ...=ny; —AS2/AS = ...=nz.
Имея это в виду, можем записать указанное выше век1
торное уравнение (2.8) в проекциях
42

fy=^ynx + Oyyny+Ozynz; \ (2.9)
fz = 0Xznx + Gyzny+Ozznz.
Вспомним линейное преобразование v=A(u) (см. гл.
1, п. 1.5), записанное в координатой форме (1.38).
Соотношения (2.9) также линейны и однородны относительно
координат вектора п. Формулы (2.9) осуществляют искомое
линейное преобразование (2.3). Сокращенно
преобразование (2.9) запишется
f, = Ojtnj. (2.10)
Известно, что коэффициенты линейного преобразования
определяют тензор второго ранга. Коэффициенты
линейного преобразования (2.10) называют компонентами тензора
напряжений, которые обозначают матрицей
/<*хх °ух °zx\
То = \о о о . (2.11)
I ^ХУ ^уу Vzy I \ /
\Vxi °yz °d
Столбцы матрицы (2.9) соответствуют компонентам
векторов напряжений на трех взаимно перпендикулярных
площадках, параллельных координатным плоскостям,
проходящих через точку М деформируемого тела (2.4).
Из уравнений (2.9) вытекает важное заключение: если
задан тензор напряжений (т. е. компоненты напряжений по
трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим
через данную точку деформируемого тела), то можно
подсчитать напряжения на любой площадке, наклонной к
координатным плоскостям и заданной направляющими
косинусами п\. Таким образом, тензор напряжения полностью
описывает напряженное состояние в точке
деформируемого тела.
Покажем, что тензор, представленный матрицей
компонент (2.11), — симметричный. Для этого рассмотрим
вторую группу уравнений движения, связанную с вращением.
В произвольной точке тела, в которой был рассмотрен
тетраэдр, выделим элементарный параллелепипед (рис. 2.5).
На рисунке показаны только касательные напряжения, так
как только они образуют пары сил, стремящиеся
повернуть параллелепипед вокруг осей, проходящих через его
центр. Составим одно из уравнений динамики
вращательного движения вокруг оси z (рис. 2.5)
43

MZ = IZ^ (2.1
где lz — момент инерции; coz—угл
вое ускорение; Mz — момент сн
Известно, что
1г = pAxAyAz(\x2 + Д*/2)/12.
Момент сил, действующих на в*
деленный элемент1 j
Ms = (аху AyAz) Ах — (вухАхАгЩ
Следовательно, уравнение (2.1JJ
примет вид 1
а^-а^ = р(Д*2 + Д</2)сог/12.
Устремив бесконечно малые
пределе получим
величины Да: и Ду-^0,
'ху
о
ух-
Если рассмотреть таким же образом вращение относителу
но осей л: и у, то получим
= cl
<г„„ = о*
'уг "zy
Итак, последние три равенства показывают, что компса
ненты матрицы (2.11) симметричны относительно главной
диагонали. Тензор напряжений симметричен, т.е. оц = оц\
Следовательно, окончательно тензор напряжений своим^
компонентами может быть представлен в виде
г„ = |
®хх ®ху ®xz }
°ху °уу
Jyz
yz
(2ЛЗ)|
и содержит шесть существенных и различных в общем
случае компонент, а напряжения на наклонной площадке
ft-оцп,. (2.11)
Следует указать, что в матрице компонент тензора
напряжений (2.13) на главной диагонали записывают три
нормальных, а на остальных местах три касательных
напряжения. В более общем случае между соседними элемен-
тами в виде тетраэдров или параллелепипедов может быть
еще вращательное взаимодействие, когда по граням и ъ
объеме действуют распределенные моменты. Учет этого
1 Предполагается, что к телу не приложены другие распределенные
объемные моменты (например, магнитные).
44

Обстоятельства на практике может потребоваться для
изучения пластической деформации, например, сильными
магнитными полями.
Напомним, что изменение ортонормированного базиса
et на новый ортонормиррванный базис е ег, заданное
матрицей преобразования Г=уп, приводит к изменению
компонент тензора в соответствии с формулой
ос г =УпУпои. (2.15)
Например, компонент оХ'х' подсчитывают так
о , , = yv,,y ,.о.. = у , у ,-о . + у , у ,-о . + у , у ,.о . =
х'х' *х i *х i i/ •х'х *x'j xj ' *х'у *х / у! ' *x'z *Х'] ZJ
= У , У , О -\~ У , V г О 4-V/T/CT + Y , Y , СГ +
*х'х *х'х хх ' *х'х *х'уху ' *х'х *x'z xz ' *х'у * х'х ух •
* *х'у *х'у уу "г *х'у *x'z yz * Ix'z У х'х zx ' • x'z *х'у zy '
Упражнения
1. Тело находится под действием растягивающего усилия,
направленного вдоль единичного вектора / = /*£* и вызывающего нормальное
напряжение, равное o*i. Записать матрицу компонент тензора
напряжений в базисе U и в базисе ei%
Ответы:
, /ц 0 0\
r(J=^OOoj„r0 = (^,a1).
Указание: воспользоваться формулой oa=y(i< Y/y °V/' пРе"
образования матрицы Га в матрицу Т0 ; a t-'y=o"i, если i'=j' = x', в
остальных случаях at-/y-, =0; '«fy =Yi*' у^ о*ь Y/д;-==cos(^» 0='<»
2. Тело подвергается чистому сдвигу в плоскости хоу. Записать
матрицу компонент тензора напряжений в базисе еь а затем в базисе
ei,y повернутом по часовой стрелке вокруг оси z на угол я/4. Ответы:
/ ° <*ху 0\ , /—Оху 0 0
Г0= а*У 0 0 и Г0= 0 аху 0
\ 0 0 0/ \ 0 0 0
Указание: avr = Y ;'* ?/'//°"*у+Y г/ ?/'* а^
1/]/Т -1/VT 0
i/J/Т i/VT о
о ° ° ,
45

3. Доказать, что произвольное напряженное состояние, опреде»
мое тензором с компонентами оц, может быть представлено суц$
растяжения по трем взаимно перпендикулярным направлениям и J)
тых сдвигов. Ответ: ^
/0Хх 0Ху Oxz\
Оху Оуу Oyz 1
\Oxz Oyz Ozz J
/0 0 0 \
+ 0 0 0 +
\0 0 a J
(охх 0
= 0 0
V о о
/ 0 оху 0\
Оху 0 0
V 0 0 0/
0\ / 0 0 0N
0 + ОвууО
0/ \ о о о,
/ 0 0 GXZ\
+ ооо
\ Oxz 0 0/
к
4s
0 0
0 ауг
Oyz 0
4. Записать кратко нормальное напряжение на наклонной плоцы
ке, выраженное через компоненты тензора напряжений. Ответ: ]
on = fini = оапЬ1ц.
2.2. Главные нормальные напряжения. Девиатор
напряжений. Инварианты
Линейное преобразование, в том числе (2.14), обладает)
как известно (см. гл. 1, п. 1.6), тремя собственными векта
рами и собственными значениями. Причем, в силу симмея
рии тензора напряжений его собственные векторы взаимн
ортогональны, а собственные значения — действительны!
числа. Если некоторый единичный вектор п{ будет собст]
венным для линейного преобразования, заданного своим!
коэффициентами (2.13), то вектор напряжений / на пло
щадке с нормалью пх будет коллинеарен п{ или перпенди
кулярен площадке, а его длина равна собственному значе'
нию <тц. Действительно,
/ = А (пг ) = Хг п = оп п1л
Следовательно, на площадке с нормалью щ будут от-]
сутствовать касательные компоненты вектора напряже;|
ния f.
Собственные значения, а\и #22 « сгзз линейного преобрй]
зования fi = Gijrij называют главными нормальными напр#
жениями. Площадки, на которых отсутствуют касательные
напряжения, а единичные нормали к ним являются собсп
венными векторами преобразования fi = Oijnj, называю^
площадками главных нормальных напряжений. Направлю
ния собственных векторов пь п2 и я3 называют направлю
ниями главными нормальных напряжений о\и 022, ^зз- Htf
дексы при главных нормальных напряжениях назначаю^
по правилу
46

а11 > <*22 > °-
J33>
т.е. индекс «1» присваивают большему в алгебраическом
смысле из собственных значений, а «3» — меньшему.
Правила поиска направлений и действующих по ним главных
нормальных напряжений уже известны (см. гл. 1, п. 1.6) —
это правила поиска собственных значений и собственных
векторов.
Тензор напряжения (его компоненты), приведенный к
простейшему виду, т. е. записанный в системе координат,
совпадающей с направлениями главных нормальных
напряжений, будет иметь вид
оп0 О
То = 0 а22 О
V 0 0 ам
(2Л6)
Это означает, что напряженное состояние в любой
точке деформируемого тела вызвано чистым растяжением или
сжатием по трем взаимно перпендикулярным главным
направлениям, так как на главной диагонали стоят главные
нормальные напряжения, а на остальных местах (местах
касательных напряжений)—нули. Выпишем, основываясь
на формулах (1.47), инварианты тензора напряжений,
представленного матрицей (2.13), в произвольном
ортонормированном базисе е-{ и в ортонормированном базисе п\у п2,
/z3 — направлений главных нормальных напряжений
h (Та ) = Охх + Gyy + Gzz = °П + °22 + 0:
33»
12(Та)
вхх °ху\
°ху °уу\
+
\°xz QZ1
= aUa22 + аПаЗЗ + °22а33;
+
'УУ "УЦ
У г
1,(То) =
а
ху
ху
5УУ
О
xz\
yz\
| (2.17)
Эти инварианты иногда называют соответственно
линейным, квадратичным и кубическим инвариантами
тензора напряжений. Инварианты (2.17) дают полную
характеристику напряженного состояния материальной частицы.
Вообще говоря, формулы (2.17) —это не единственный
способ инвариантного представления напряженного состояния.
Так его могут характеризовать главные нормальные нап-
47

ряжения (Гц, а22 и сгзз. Покажем еще один ойособ опис^
напряженного состояния. '
Величину, составленную из линейного инварианту
формуле
о = (охх + оуу + aJ/3 = (<ru + a22 + a33)/3, (2;,
называют средним нормальным напряжением (или —0ч
=р — гидростатическим давлением) в точке. Она цщ
большое значение в теории пластичности и теории об&
ботки металлов давлением. С помощью тензорных симь
лов ее можно записать в виде
о = Оц/3 = ои8и/3.
Среднее нормальное напряжение — инвариантная щ
чина — характеризует уровень нормальных напряжений!
некоторой точке деформируемого тела. Соображения, ц
торые будут изложены в следующей главе, делают целеед
образным, представление тензора напряжений в виде cyi
мы двух тензоров. Следовательно, в виде суммы можс
быть представлена матрица (2.13)
To = oE + D0. (2.1[
Тензор, определенный матрицей
/1 0 0\ /о О 0\
a£ = a 010 U ОаО , (2.21
VOOiy \0 0а/
называют шаровым. Для него любое направление являет
ся собственным. Действительно, по определению тождес?
венного линейного преобразования Е(ц)=и (см. гл. 1, &
1.5), т.е. любой вектор и для преобразования Е—
собственный. Итак, в любом базисе матрица компонент шар^
вого тензора имеет один и тот же вид (2.20). Шаровой те*1'
зор имеет один независимый инвариант /1=3а, второй*
третий инварианты зависимы и выражаются через а и^
л.
Тензор, определенный матрицей
(Gxx — ° °ху Gxz \ .,
А>= a... а....-а а... . (2.21»
°хх
°ху
Vxz
— ° Оху
°уу-
°yz
°xz
а *уг
<>zz
Л
называют девиатором напряжений. Складывая тензор
(2.21) и (2.20), можно убедиться в справедливости урав^е
48

ния (2.19) с учетом тензора (2.13). Компоненты D<j
обозначим s,-/, тогда из соотношения (2.19) получим
+ оби.
(2.22)
Инварианты девиатора напряжений будут [см. уравнения
(1.47) и (2.21)]
ЛРа) = 0;
к
+ {ои -
о о
а о
ХУ
о„„ — а
+
<У„ — о
+
= (°П — О) (^22 — «г) +
<У)(о33 — о) + (о22 — о)(а33
о
■or);
I3(Do) =
— а) (а
22
ож* —ст оху
ст*у О^
°хг Оуг
-о)(о3з —о).
'яг
(<*11 —
(2.23)
Напряженное состояние, как было указано,
характеризуют инварианты тензора напряжений (2.17). Вместо них
можно принять для характеристики напряженного
состояния а —инвариант шарового тензора, а также второй и
третий инварианты девиатора напряжений (2.23). Принято
говорить, что девиатор характеризует в основном
касательные напряжения, так как сумма диагональных компонент,
на которых стоят нормальные составляющие девиатора
напряжений, /i (Do) =0.
Большую роль в теории пластичности играет второй
инвариант. Неотрицательную величину, составленную из
второго инварианта девиатора напряжений по формуле
т=У|/2(Д,)| = Ц/б"х
х]/К,-ода)2 + (% - ав)»+ (ав- oxxf +
(2.24)
называют интенсивностью касательных напряжений.
Величина Т в главных напряжениях
Т = 1/]/б У(аи - <т22)2 + (о-22 - ст33)2 + (о33 - ои)2. (2.25)
Можно показать, что "с помощью тензорных символов
4-382 49

формула интенсивности касательных напряжений запищу
ся в виде1
T = J/W2- (2-26]
Пример. Вычислим Т в некоторых случаях напряженного coctq,
яния. Пусть напряженное состояние характеризуется всесторонним ра^
тяжением или сжатием, т.е. 0\ 1 = 022 = 033 = о. Как следует из форму^
(2.25) Т=0. Для чистого сдвига ац=т, о22 = 0, о3з=—т, где т — Kaqj
тельное напряжение чистого сдвига. Следовательно, ]
Т = т (2
В случае одноосного растяжения в направлении, например, оси х (
= 0, кроме охх=оп)
Т = ап/]/Т,
в случае сжатия в том же направлении
т = ы/VT.
Рассмотрим теперь в некоторой точке тела площадку,]
одинаково наклоненную к направлениям 1, 2, 3 главных]
нормальных напряжений (рис. 2.6). Такие площадки мож-
'/=(/»Л,/з)
(2.27J
но провести в каждом октанте на одинаковом расстояний
от точки М, они образуют правильный восьмигранник —
октаэдр. Грань октаэдра называют октаэдрическои
площадкой. Направляющие косинусы единичной нормали п к
указанной на рисунке октаэдрическои площадке связаны
2 2 2
условием п 1-)-/г2+Яз=1, а так как ni = n2 = n3t то
nt
1/]/3(/ = 1,2,3).
Проекции вектора напряжения f, действующего на этой
площадке (рис. 2.6), согласно формул (2.14)
1 Формулы (2.24) — (2.26) рекомендуется получить самостоятельно.
50

/i = on/V3 ; f2 = a22/K3 ; f3 = a33/K3 .
Для того, чтобы найти нормальное напряжение на
октаэдрической площадке, достаточно спроецировать /ь \г
и /з на нормаль и результаты сложить
<*окт = U ni = fan + ^22 + ^ззУЗ = ст. (2.29)
Следовательно, нормальное напряжение на октаэдриче-
ской площадке равно среднему нормальному напряжению
и инвариантно. Заметим, что нормальное напряжение на
любой наклонной площадке, проходящей через заданную
точку, on=fini(i=x, у, г)
или, имея в виду формулы (2.14),
°п = <Уип1пг (2.30)
Полное касательное напряжение на той же площадке
Тп = 1Л2-^, (2.31)
где f2=f2x+fl+f2z=fifi. Если применить формулу (2.31)
к октаэдрической площадке, то можно показать, что
касательное напряжение на октаэдрической площадке
*окт = К273~Т. (2.32)
Итак, если мысленно выделить из деформируемого тела
материальную частицу в виде правильного восьмигранника
(рис. 2.7), то по его граням будут действовать
нормальные и касательные напряжения в соответствии с
формулами (2.29) и (2.32).
Упражнения
1. В базисе е% тензор напряжений имеет следующую-матрицу
/ 7-4 0Х
—4 5 4
V 0 4 3/
Найти главные направления и главные напряжения этого тензора.
Записать матрицу компонент тензора в базисе главных напряжений.
Вычислить инварианты. Записать девиатор и вычислить его инварианты.
Ответ: «!-(%, 7з, 7з); л2=(-%, 2/з, Vs); я3= (~7з, -7з, 2/з); ап =
= 11; о*22=5; о"зз=—1.
2. Доказать, что собственные векторы Т и D совпадают, с
собственные значения отличаются на o;_(sii = o~ii—a, s22=o22—о*; $33=033—°^'
3. Вывести формулу т0кт =
4. Развернуть формулу T=V sfiSij/2 и привести ее к виду (2.24).
4*
51

2.3. Круги Мора. Главные касательные напряжения
Наглядное представление об области возможных значенщ
нормальных и касательных напряжений (оп и тп) на раз,
личных площадках, проходящих через некоторую точку де,
формируемого тела, дает диаграмма Мора. Пусть в этоц,
точке заданы главные нормальные напряжения, а коордц,!
натные оси совпадают с их направлениями (см. рис. 2.6)1
Тогда согласно формуле (2.14) составляющие напряжения
на площадке, направляющие косинусы которой п\, я2 и пЛ
будут: /i = aii/zi; /2 = а22/г2; /з = азз"з. [
Если теперь учесть формулы (2.30) и (2.31), то можня
записать следующую систему:
<"\ + °1Л + <*Ъ*1 = °1 + Ъ
Л2 + Л2 + Л2 = 1- J
Последние три уравнения можно решить относительно]
квадратов направляющих косинусов (уравнения линейны]
относительно этих величин). Произведя очевидные вычис-j
ления, получим
п\ = [%1 + (ап - <т22) (оп - азз)]/(ап - аи) (аи - а^); |
П\ = [Т1 + {°п - ^33) К - аи)]/(а22 - азз) (а22 ~ °ll)>
*3 = К + К - ап) [°п - а22)]/(<*33 - °ll) (а33 - а22)' J
(2.33)
Так как ап^а22^азз, то знаменатели формул (2.33)
удовлетворяют неравенства
(а11— a22)(all — °Г33)>°;
(^22 — а3з) (^22 — °ll) < 0;
(08В—<*ц)(<*ав—*22)>°-
Поскольку формулы (2.33) дают положительные
значения, то должны выполняться условия
Преобразуем эти неравенства и получим
-о33)>0;
-оя)>0.
52

< + К - К + *ззУ2]2 - [(ая - а3з)/2]2 > °;
^ + К ~ К + азз)/2]2 - [Ki - %з)/2]2 < 0;
*2 + К - (°п + ^)/2]2 - [(аи - а22)/2]2 > 0.
(2.34)
Неравенства (2.34) ограничивают область значений от,
и тя, которые они могут принимать на различных
площадках, проходящих через некоторую точку, при
определенных заданных значениях главных нормальных напряжений
(Гц, 0*22, азз .(на рис. 2.8 эта область отмечена штриховкой).
Выражения (2.34), взятые со знаком равенства
представляют собой уравнения окружностей. Например, первому
неравенству отвечает окружность, радиус которой (а22—
азз)/2, а центр смещен относительно начала координат на
величину (а22+азз)/2. Причем, значения оп и хп должны
быть такими, чтобы удовлетворялось условие
<1 + [°п - Ы + *зз)/2Г > [(** - о3з)/2]2,
т. е. точки возможных значений оп и хп должны лежать
выше окружности
< + К - К + °ззУ2]2 = [(оп - а33)/2]2.
Итак, возможные значения нормальных оп и
касательных Хп напряжений лежат внутри области, ограниченной
тремя окружностями (рис. 2.8), которые называют кругами
Мора.
Рассмотрим рис. 2.8. Касательные напряжения хп
имеют три экстремальных значения:
а2з = (<у22 — а33)/2; а13 = (а^ — а33)/2;
°12^(ои-о22)/2, (2.35)
которые называют главными касательными напряжениями.
53

Наибольшее из них является максимальным/касательн{)1
напряжением *
^шах = (<*п — азз)/2 = (Ji3. (2.3^
Нормальные напряжения а« на площадках, на которЬ1
действуют а2з, СТ13, 0\2 — главные касательные напряжен^
равны соответственно (а22+сг3з)/2; (<7ц+азз)/2; .((Тп+агг)/}'
Направляющие косинусы, подсчитанные по формулу'
(2.33), показывают, что площадки, по которым действу^
главные касательные напряжения агз, 0\ъ> оп> делят попо|
лам углы между направлениями соответственно а22 и о3|
0ц и а3з, о\ 1 и а22. Действительно, подставим в формуле
(2.33), например тя = (о22—стзз)/2 и а«= (а22+сзз)/2, полу!
чим д?=0; п22 = п1 с=!/2. На рис. 2.9_показаны площадки!
для которых ni=0; п2 = пз=± 1/1*^2; на них действующ
напряжения хп = (а22—<?зз)/2 и оп= (сг22+азз)/2.
Отметим, что, как следует из рис. 2.8, нормальные на]
пряжения an и а3з являются экстремальными, первое—]
максимальным, а второе минимальным нормальным на!
пряжением из всех возможных значений <зп. \
Форма диаграммы Мора (рис. 2.8) может быть охарам
теризована одним числом, составленным как отношение
разности диаметров малых кругов Мора (а22—азз)—.(<тц—1
(J22) я диаметру большого круга оц—азз
\io =2 (а22 — а33)/(а11 — а33) — 1, (2.37)1
которое называют коэффициентом Лоде. Этот коэффици-!
ент показывает относительное положение точки диаграммы
Мора с координатами оп=о22, тп=0. Коэффициент \х0 (рис.
2.8) меняется в пределах от —1 до +1. При наложении на
тело дополнительного всестороннего растяжения или
сжатия (к каждому значению <тц, 022 и азз добавляют
величину Ао) радиусы окружностей, очевидно, не меняются, а все
фигуры смещаются вдоль горизонтальной оси на величину
Да. Все полученные подобным образом диаграммы Мора
имеют одинаковое значение коэффициента ца. Заметим»
что при наложении на тело дополнительно всестороннее
растяжения или сжатия Да девиатор не меняется. ПоэтО'
му считают, что jLia характеризует форму девиатора напрЯ'
жений.
Пример. Определим jj,a в частных случаях. Он терЯ'
ет смысл в случае напряженного состояния всестороннее
сжатия или растяжения, когда ац = а22 = азз. Для одноос
ного растяжения (ац>0; а22 = ог3з=0) [Ха=—1; для одно'
54

осного сжатия (ац = а22 = 0; а33<0) \ia=l\ для чистого
сдвига (ац=—азз; а22 = 0) (ыа =0. Коэффициент Лоде
выражается через второй и третий инварианты девиатора
напряжений, так как они связаны уравнением
М1-!#9)=-3МОа)/2 V4(D0).
(2.38)
Итак, для характеристики напряженного состояния в
зависимости от обстоятельств можно принять либо три
инварианта тензора напряжений (2.17), либо три главных
нормальных напряжения, либо инвариант шарового тензора со
вторым и третьим инвариантами девиатора напряжений,
либо набор величин а, Т и jig. Возможны и другие способы
представления напряженного состояния тремя
независимыми инвариантными величинами. Однако, инварианты (2.17)
принято считать основными или базовыми.
Упражнения
1. Показать, что выполняются
неравенства, установленные А. А.
Ильюшиным, 1<Т/ттах<1,15.
Указание: Воспользоваться
формулами (2.25) и (2.36), исследовать на
экстремум функцию Т/ттах Двух
безразмерных переменных ац/а22 и азз/
/а22, область возможных значений
которых определена условием Оц>
>0"22>0"зз-
2. Назвать площадки,
изображенные на рис. 2.10, указать
действующие на них нормальные и
касательные напряжения. Ответ: 1 —
площадки главных нормальных
напряжений; On равно соответственно
&ib СТ22* о"зз; касательных
.напряжений нет; 2 — октаэдрические площадки; оп = (У;
3 —площадки главных касательных напряжений; оп равно
соответственно (о~ц4-а22)/2, (а22-Ьа3з)/2, (а33+аи)/2; a хп— (оп—
—а22)/2, (а22—а33)/2, (<Хц—а33)/2.
38 Доказать справедливость формулы (2.38).
2.4. Дифференциальные уравнения движения
До сих пор в этой главе рассматривалось напряженное
состояние в окрестности точки деформируемого тела в
предположении, что поле напряжений однородно (см. гл. 1, п.
1.7). В общем случае деформации материала его
напряженное состояние неоднородно. Существуют «перепады
давления», создающие причины течения материала. Эти
перепады или градиенты напряжений и ускорения частиц, как бу-
т„ =
- V2UT;
55

дет показано ниже, связаны между собой. Вгювь вернем^
к обобщению динамики на сплошную среду, однако по^
напряжений будем считать уже неоднородным. Вниман^
акцентируем лишь на новых, дополнительных положения^
В некоторый фиксированный момент времени paccMOtj
рим окрестность произвольной точки М деформируемо^
тела, имеющую форму параллелепипеда с гранями, п^
раллельными коорди!
ь+W**
&-%**>
Ъ+$*!1
Xs
7 '-&-&*)
проходящим через точку
натным плоскостям). На
натным плоскостям, §
центром с точке М
длинами ребер 2Д*]
2Д#, 2Дг (рис. 2.11)
Пусть напряженно!
состояние в точке щ
характеризуется ком^
понентами тензора
напряжений Gij (состав!
ляющими векторов на]
пряжений а по тревд
взаимно
перпендикулярным площадкам,
параллельным коорди-
2.11 указаны векторы]
М и
рис.
напряжения на гранях параллелепипеда, которые
несколько отличаются от напряжений gl в точке М, так как грани]
отстоят от центра на расстояниях ±Д*, ±Д#, ±Дг.
Предположим, что компоненты тензора напряжений Gij — Gij^
i/, z) гладкие функции, и их можно разложить в ряде Тей-j
лора, а для параллелепипеда с бесконечно малыми разме-]
рами существенную роль играют слагаемые с производные
ми не выше первого порядка
<*и (х> У> z) = GtJ \м + dGu/dx \м Д* +
+ даи/ду \м &У + dGtj/dz \м Дг. (2,39)
На рис. 2.11 указан также вектор удельной массовой
силы g (например, силы тяжести) и вектор ускорения w>
Как уже отмечалось, уравнение движения
рассматриваемого параллелепипеда вытекает из второго закона Ньютон^
г = тхю,
где F — сумма всех сил, действующих на параллелепипед
т — его масса; w — ускорение. Напряжения на противсг
56

положных гранях отличаются друг от друга незначительно
по модулю, но имеют противоположное направление. В
случае однородного напряженного состояния (не меняющегося
от точки к точке значений сг/) напряжения на
противоположных гранях равны по модулю и обратны по
направлению. При составлении уравнения движения для
параллелепипеда получим
(2doJdx-bx) 4Д*/Дг + [2доу/ду-Ьу) 4Д*Дг +
+ [2dajdz* Дг) 4ДхД# + g8Axky&zp = w8AxkyAzp,
или после сокращения на 8AxAyAz
dj + 9S = pa;.
В проекциях на координатные оси последнее векторное
уравнение можно записать в виде
*tu + Р81 = РЩ> (2-40)
или подробно
dajdx + доху/ду + dojdz + pgx = pwx, \
dovJdx + dajdy + dojdz + pgy = pwy; (2-41)
dozx/dx + dojdy + dojdz + pgz = pwz. J
Уравнения (2.40) называют дифференциальными
уравнениями движения. Возникающие в деформируемом теле
напряжения обязательно распределяются в объеме V так,
что тензорное поле ац = ац (х, у, г) тождественно
удовлетворяет уравнению (2.40) или является их решением.
Уравнение (2.40) не образуют тюка замкнутой системы,
пригодной для решения, так как три уравнения связывают десять
неизвестных функций: шесть для а,/, три wi, а также
плотность р. Массовую силу g будем считать известной. В
последующих главах система дифференциальных уравнений
движения будет дополнена другими уравнениями и
возникает принципиальная возможность их решения.
Большинству процессов обработки металлов давлением
свойственно то, что удельные массовые силы g и
ускорения w достаточно малы и ими можно пренебречь. Тогда
дифференциальные уравнения ^2.40) или (2.41)
превращаются в дифференциальные уравнения равновесия
aUJ = 0 (2.42)
57

или
dojdx + даху1ду + dajdz = 0; j
доух/дх + дауу/ду + дауг/дг = 0; (2
dojdx + dozy Idy + dojdz = 0. J
В гл. 2, п. 2.1 было показано, что тензор напряже*
симметричен. Однако, результат нуждается в обобщу
на случай неоднор,
ного напряженного
I/ ХУ дх
стояния. Для ЭТОГО |
обходимо состав^
уравнения динами
вращательного двил
ния для элементарно
параллелепипеда. С
ставим одно из так|
уравнений для оси
проходящей через то
ку М (рис. 2.12). Дл
простоты оставлен
лишь те напряжения, которые дают момент, вращающи
параллелепипед вокруг оси z. Итак, уравнение (2.12) i
данном случае принимает вид
к*ху + (доху/дх) Ах] AyAzAx + 1оху—(даху/дх) Ах] AyAzAx-
— 1<Уух + (доух/ду) Ay] AxAzAy —
— loyx — (доух1ду) Ay] AxAzAy =pcoz AxAyAz (Ax2 + Ay2)I\l
Сокращая последнее на AxAyAz и пренебрегая беско
нечно малыми, с учетом ограниченности р и о*, получи»
оху = Оух. Аналогично доказывается условие парности к*
сательных напряжений при рассмотрении вращения вокрУ
осей х и у. Итак, условие симметрии тензора напряжение
тождественно удовлетворяет уравнения динамики вращЗ'
тельного движения частиц сплошной среды в общем ел уча'
неоднородного поля тензора напряжения.
Упражнения
1. Будут ли напряжения, заданные формулами
°хх = ао + 0i* + а2у + a3z; оху = d0 + dvx + d2y + d3z;
Jyy
= b0 + bxx + b2y + b3z; ayz = e0 + вуХ + e2y + e$\
= c0 + cxx + c2y + c3z; oxz = /0 + fxx +f2y + fszt
статически возможными, т. е. удовлетворять дифференциальным ур^'
нениям равновесия? Ответ: будут, если только коэффициенты удо*'
летворяют уравнениям
58

fli + <*2 + /3 = 0;
rfi + ^2 + ^3=°;
fi + e2 + c3 = 0.
2. Поле тензора напряжений в деформируемом теле представлено
следующим образом:
охх^д*Ф/ду*\ оху = -д*Ф/дхду; oi
уу ■
■■ д2Ф/дх2;
Ozz = (°уу + аг/у)/2; oxz = oyz = О,
где Ф = Ф(*, у)—функция напряжений (функция Эри). Показать, что
представленное поле напряжений тождественно удовлетворяет
уравнениям равновесия.
3. Пусть в теле, деформируемом без массовых сил и достаточно
медленно, заданы касательные напряжения следующими формулами:
**у = ~Суху (1 - х2/а2) (1 - у*/Ь*)\ oyz = - c2yz (1 - уЧЬ*)\
Чему будут равны нормальные напряжения? Указание: поле
тензора напряжений обязательно должно удовлетворять уравнениям (2.43),
следовательно охх, ОуУ и azz можно определить, решая эти уравнения.
Ответ:
охх =-. а (1 - х2/2а2) (1 —ЗуЧЬ*) хУ2 + с3 (1 — х2/2а2)л:2/2+ /х (*/,г);
Оуу = cs (1 - Зх2/а2) (I - </2/2£2) */2/2 + с2(\- уЧ2&) уЧ2 +/2(*, г);
ОЪ = c3z2 (1 -Зх2/а2)/2 + c2z2 (1 - 3*/W)/2 + h (*, У),
где fu /2, !г — произвольные функции указанных аргументов.
2.5. Кинематика деформируемой среды.
Тензор скорости деформации
Обратимся к кинематике движения сплошной
деформируемой среды. Известно, что движение твердого недефор-
мируемого тела можно
представить суммой поступательного и
вращательного движений'. Если
же тело деформируется, то
движение будет сложным. Для
каждой частицы, как будет показано
ниже в этой главе, также
можно выделить поступательное
и вращательное движения, но
будет еще движение,
обусловленное деформацией материала.
Рассмотрим его более подробно.
Пусть деформируемое тело ^в
некоторый момент времени t имело объем V и было
ограничено поверхностью S (рис. 2.13). При деформации в
нем в этот момент времени имеет место векторное поле ckq.
$9

рости перемещения материальных частиц и с координата]
(проекциями или скоростями перемещения в направлен
осей координат) v-L. Рассмотрим точку М деформируемо
тела вместе с ее окрестностью AV. Ее положение мо^,
задать радиусом-вектором г с координатами х, у, г. Бесц
нечно малая окрестность окружает точку М. Положен]
произвольной точки Mi в этой окрестности можно задд.
дополнительным вектором Аг с координатами Ах, Ау, д
Пусть в точке М скорости перемещения частиц Vt. Скород
в точке Mi будут отличаться от скоростей в точке М ^
величину kvi. Установим, в каком соответствии находя^
векторы Аг и Av или их проекции?
Предположим, что в малой окрестности точки М фун|
ции vx = vx (х, У,.г), Vy = vy(x, у, z), vz = vz(x, у, г) доста
точно гладкие и их можно разложить в ряд Тейлора, огра
ничившись первыми (линейными) членами,
vx = vx + [dvJdx] Ах + (dvJdy)Ay +[dvjdz) Az\ ]
v'y = vv + [dvyldx] Ax + {dvyldlJ) АУ + idvyldz) Az*> (2.41
v'z = vz + {dvJdx)Ax + [dvJdy) ау + [dvJdz) д*;
где v i — проекции вектора скорости точки Мг из рассмат-
риваемой окрестности. Из последних соотношений вытекает
Avx = (dvJdx) Ах + (dvJdy) Ay + (dv/dz) Az\ \
Avy = (dVy/дх) Ax + {dvyldy) Ay + (dvy/dz) Az\ (2-45l
Avz = (dvJdx) Ax + (dvJdy) Ay + (dvJdz) Az. J
Уравнения (2.45) представляют собой линейное
преобразование векторного пространства Av=A(Ar)y записан'
ное в координатной форме. Матрица коэффициентов в
выражении (2.45) представляет тензор второго ранга — теН'
зор абсолютной производной векторного поля v и записЫ'
вается в виде
(dvJdx dvJdy dvjdz\
dvJdx dvyldy dvyldz у (2-4Й
dvJdx dvJdy dvJdz J
Тензор абсолютной производной как любой тензор м°'
жет быть представлен в виде суммы симметричной (с
матрицей Г| ) и кососимметричной (с матрицей Г J lia°
60

тей. Матрицы Г| и Та (см. гл. 1, п. 1.4) в символической
записи будут иметь вид
П = (Kj + vu)l2); (2.47)
T0) = ((ViJ-vu)/2). (2.48)
Назовем первый тензор (матрицу составляющих Т*)
тензором скорости деформации, а второй тензор (матрицу
составляющих Та\ тензором вращения. Покажем, что эти
названия тензорам даны не случайно. Начнем с кососим-
метричного тензора вращения и его матрицы
О
{dvjdy — диу/дх)/2
О
— (dVy/dz — dvjdy)l2
Ta=[-(dvx/dy~dvy/dx)/2
К,— (dvjdz — dvjdx)l2
(dvjdz — dvjdx)l2 \
...{dvyldz — dvzldy)l2 (2.49)
0 /
Выясним геометрический смысл, например, компонента
(dvxldy-—dvy/dx)/2. На рис. 2.14 показаны составляющие
#f
О
М2 Avx
Ду<
-М
\Avy
~Ах
<МГ
скорости движения материальных точек М{ и М2
относительно точки М. Очевидно, что Avx/Ay — это угловая
скорость вращения по часовой стрелке отрезка Ау вокруг
точки М, a &Vy/Ax — то же, для отрезка Длг, но против
часовой стрелки1. После предельного перехода средняя угловая
скорость вращения окрестности точки М вокруг оси,
параллельной оси г, получится
lim (— Avjby + ДоУДх)/2 = (— dvjdy + duJdx)/2 = coz.
1 Положительное направление вращения — против часовой стрелки.
61

Аналогично можно показать, что остальное два сущ(
венных компонента из матрицы (2.48)—это другие
проекции со*, Ыу вектора средней угловой скорости вра]
ния w бесконечно малой материальной области AV вок
точки М (рис. 2.13).
Рассмотрим подробней тензор скорости деформац
Его компоненты обозначим g/;- и представим в виде матрц
(Ъхх ъху bxz\
a a a (2j
ъху Ъуу byz I» х '"
^>XZ ъу* ^>ZZ/
а также в развернутой форме
Ъхх = dvjdx; Ъуу = dvyldy\ lzz = dvjdz; ]
txy = (dvjdy + dvy/dx)/2; \uz = (dvy/dz + (2.5
+ dvz/dy)/2; %,x = (dvjdx + dvJdz)/2. J
Компоненты тензора скорости деформации, стоящие«
главной диагонали матрицы Т%, \хх, %Уу, \%г называют с®
ростями относительного удлинения в направлении осей а
ответственно х, у> г, а компоненты %Ху, lyz, Ъгх на остальт
местах матрицы Тъ — половинными значениями скоросп
сдвига в плоскостях соответственно хоу, yoz и zox. Пояс
ним это определение на примере \хх, Ъуу и \ху. Для этой
вновь рассмотрим бесконечно близко расположенные дру
около друга точки М, М{ и М2 (см. рис. 2.15). Точка А
движется вдоль оси х быстрее точки М на величину Да*
вызывая растяжение материала на участке Ах. Точка Л
опережая точку М в своем движении вдоль оси у, расти'
гивает материальный отрезок Ау. Отношения AvxjAx"
Avy/Ay — это скорости относительных удлинений матер*
альных отрезков Ах и Ау соответственно. В пределе полУ'
чаем скорости относительного удлинения материала в точ^
М вдоль координатных направлений.
lim (AvJAx) = dvjdx = lxx; lim (AvJAy) = dv Idy = gif
Л*-0 Ay->0 J У
Выше было показано (рис. 2.14), что Avx/Ay и Avy/Axy9
это угловые скорости вращения материальных отрезку
ЛШг и ММ[ соответственно. Сумма же этих величин ^
казывает скорость изменения прямого угла М{ММ2, я
пределе получаем — скорость сдвига в плоскости хоу ^
териала в точке М.
62 I

lim (AvJ(Ay + toy/Ax) = dvjdy + dvjdx = 2£
Д1/-О
Формулы (2.51) называют геометрическими или
кинематическими соотношениями (уравнениями) связи скоростей
течения и компонентов тензора скорости деформации.
Следовательно, движение окрестности точки М
деформируемой сплошной среды состоит из чистой деформации,
определяемой тензором скорости деформации, вращения
области относительно точки Му определяемого тензором
вращения, и поступательного движения, определяемого
вектором скорости v точки М, как центра окрестности. Тензор
скорости деформации — это тензор второго ранга; его
компоненты при изменении базиса будут меняться согласно
формуле
lw = ynynhi, (2.52)
в которой yi'i или Y/7 — компоненты матрицы Т={уп )
косинусов углов между осями координат новой и старой
системы. С помощью формулы (2.52) можно подсчитать
скорость удлинения в любом направлении и скорости
сдвига в любой плоскости, проходящей через точку М, если
известен тензор с компонентами £ц и матрица Г. Так,
скорость удлинения в направлении х' с направляющими
косинусами ухч
t yl I I у2 t I „2 I I 2Y, V , ? +
*х х *х'х ъхх ' *х'у^уу ' *xz ~zz ' *х'х *х'у^ху 1
4- 2v , y Л + 2y , y , £ . (2.53)
г • *'* *x'z*xz * *х'у *x'z •-yz' v ' '
Тензор скорости деформации как любой симметричный
тензор второго ранга uMeefTpu взаимно перпендикулярные
собственные вектора и три собственные значения, которые
называют соответственно направлениями главных
скоростей относительных удлинений и главными скоростями
относительных удлинений £ц, £22, |зз- Индексация главных
скоростей относительных удлинений принята такой: %\{^
^Ьт^Ъг- Деформация материала в единицу времени в
любой точке тела можно представить удлинением или
укорочением по трем взаимно перпендикулярным
направлениям главных скоростей относительных удлинений
П = | о |22 о
О 0 |33/
63

Порядок определения главных скоростей удлинены
их направления изложен в гл. 1, п. 1.6, а также в гл. j
2.2, где он применен для поиска главных нормальных \
пряжений и их направлений. По матрице (2.50) составу,
инварианты
МП)
МП) =
МП) =
*хх
IE 5
Ъху Ъуу
+
ЪХХ Uy 1 xz
6«
-г/у -г/г
»
• I Ьосх ~я
(24
которые являются коэффициентами характеристическои
уравнения
^3_/1Х2+/2Л, — /3=0.
Максимальный (в алгебраическом смысле) из корней;
этого кубического уравнения будет |ц, минимальный &
средний ^22. Для каждого А,, равного in, I22, £зз поочеред
но следует решить следующую систему уравнений относ»
тельно составляющих вектора их, иу, uz:
(Ixx — Ц "х + Ъху Uy + txz Uz = °;
Ixy "х + (Ъуу — Ь) "у + lyz »z = °;
Ixz Ux + lyz Uy + (1и — К) Uz = °;
—> -*
Три единичных попарно ортогональных вектора ии й
из, соответствующих h\ = hu ^2 = 622 и Аз = £зз, будут Н*'
правлениями главных скоростей отН°
сительных удлинений.
Особое значение в прикладной те0
рии пластичности играет первый и^'
линейный инвариант (2.54). Подс^'
таем скорость относительного измеИ^
ния объема элементарного материа/
ного параллелепипеда*, выделенное
так, что его ребра совпадают с ^
правлениями главных скоростей удлинения (рис. 2.1б)'
Скорости перемещения видимых граней параллелепипед,
относительно невидимых соответственно равны Indt
4ггаЬ'
64

t;22flte'l 1зъ(1х\ Тогда скорость абсолютного изменения
объема будет.
liVdy' dxf dz' + %22-dz' dxr dy' + l^'dx' dy' dz\
а скорость относительного изменения объема
I = £11 + £22 + £зз-
Первый инвариант тензора скорости деформации
характеризует скорость относительного изменения объема.
Выделим из тензора скорости деформации новый
тензор, который связан только с изменением формы и
называется девиатором скорости деформации
T^ZE/3 + Dt, (2.55)
где £ —матрица составляющих единичного тензора.
Компоненты девиатора скорости деформации D\ можно
представить в виде
или более подробно
/txx-w ixy isi \
DH £*„ Sw-5/3 ivl
\ £« 1уг 6«—Б/3/
Тензор, определенный матрицей ££, называют
шаровым. Он характеризует изменение объема; в то же время
первый инвариант (сумма диагональных компонент)
тензора с матрицей D| равен нулю, следовательно, девиатор
D% характеризует лишь изменение формы (собственно
деформацию) окрестности некоторой частицы без изменения
объема.
Если материал несжимаем (это довольно
распространенная гипотеза в механике сплошных сред), то 1 = 0 и
D^ ~Тт: , т. е. компоненты девиатора и тензора скорости
деформации совпадают e// = gf/- Направления главных
скоростей относительных удлинений девиатора скорости
деформации и тензора скорости деформации совпадают.
Действительно, это следует из уравнения (2.56), так как для
единичного тензора направлением главной скорости
удлинения будет любое направление. Единичной матрице Е
соответствует тождественное преобразование Е(и)=иу а для
Него любой вектор — собственный, собственное же
значение равно единице. Известным способом можно записать
инварианты D|
(2.56)
(2.57)
5-382
65

Л.(06) = О;
W) =
fexx "
ЭОД
+
i/3 Е,7
6/3
+
1,*-£/з
}(2A
- £w)a + (5W - 6*)* + (S„ - Wl/6 4-
+ 6i, + 6», + 6L) =- [(6u - У2 + (6« - 1з.)2+
+ (Е»-Ы*]/б;
I Ix* — £/3 Lj, £*г
7з(°|)= гху i^-i/з iyz
= (£ц-|/3)(|22-£/3)(|33-£/3).
Большую роль в теории пластичности играет второе
вариант I2(Di). Неотрицательную величину, составленную
из второго инварианта девиатора скорости деформации щ
по формуле
называют интенсивностью скоростей деформации сдвига
Можно показать, что справедливы формулы
н = V\gxx - lyyf + {lyy - U' + (£» - ix-.x)2l 2/3 +"'
4-4(6^ + 6»,+^; (2.51
H = V[(ln - In? + (5ffl - &зз)а +(|зз -Iii)212/3; (2.6°l
С помощью тензорных символов формула интенсивна
сти скоростей деформации сдвига запишется в виде
Н= 1/2^7 (2.61)
а для несжимаемого материала
н = УЩЬг (2-б2)
Пример. Подсчитаем величину Н в некоторых хара#'
терных случаях деформации. Интенсивность скоростей Де'
формации сдвига обращается в нуль, если материал рас'
ширяется или сжимается одинаково в трех взаимно пер'
пендикулярных направлениях £и = £22 = £зз- Для чистое
сдвига, когда £/у = 0, кроме, например, %хуф0, И=2\1ху\^
66

^=z\dvKldy-\-dvyldx\. Для одноЪсного растяжения несжима*
емого материала, когда 1пф0, 622 = 633=—Su/2, Н =
=)/~3£и, Для одноосного сжатия Н = Кз|£зз|.
Можно продолжить описание свойств тензора скорости
деформации. Они такие же как и у тензора напряжений.
Например, можно было бы построить для 7| круги Мора.
Ограничимся лишь тем, что укажем: разности £п—£22> &22—
£зз, £п—£зз называют главными скоростями сдвига;
наибольшую из этих величин £ц—£зз называют
максимальной скоростью сдвига.
Упражнения
1. Тензор абсолютной производной векторного поля скорости
перемещения в некоторой точке и некотором базисе имеет такую
матрицу компонент:
[ 1 6 0 | 1/с
\-5 О О/
Определить матрицу компонент тензора скорости деформации;
матрицу угловых скоростей вращения. Ответ:
/80 —3\ /0—1 2\
7\= 0 6 0 1/с; 7^= 1 0 0 1/с.
• V-3 0 0/ \-2 о о/
2. В некоторой окрестности деформируемого тела поле скоростей
перемещений частиц описывается формулами
»* = «о + «i х + а2 у + а3 г;
vy=^bo + bix + b2y+k3z;
vz = c0 + CiX + c2y + c3z.
Вычислить (Vi,j), 74 и Т^ . Будет ли поле тензора скорости
деформации в этой окрестности однородным? Ответ:
(ai а2 аъ
h ь2
ч с2
( Ч (а2 + 6х)/2 (Ci + az)/2\
^- (а2 + ^)/2 b2 (Ь3 + с2)/2 ;
V (ci + a3)/2 (b3 + c2)/2 с3 /
( 0 (a2-b1)/2 (a3-Ci)/2 \
Г» = - (*2 ~^)/2 0 (fti-c2)/2 ;
\-(а3-с2)/2 -(&3-с2)/2 0 /
поле будет однородным (а0, ,.., с3 — постоянные).
3. Подсчитать компоненты тензора скорости деформации, если
vx=vx(xt у); vy~Vy(xt у)\ vz = 0. Ответ:
/ dvjdx (dvx/dy + 3vy!dx)l2 0 \
\dVy/dx + dvx/dy)/2 dvy/ду 0 .
\ 0 0 0/
5* 67

4. Для условия примера 1 подсчитать Л(7^), /2(r^),g, Н. 0Тв
/1==14; /2=39; Н=^Тб4/3.
5. Доказать тождественность формул Н = 2у \I2(D^)\t (2.59)
(2.61).
2.6. Траектория. Переменные Эйлера и Лагранжа.
Ускорение. Дифференциальное уравнение
неразрывности
По известному полю скоростей можно установить траект!
рии движения частиц и конечные перемещения их> иу и k
Действительно, пусть какая-нибудь материальная частиц
при / = 0 имела координаты х0, Уо и г0, а при />0 —х, у,<
Скорости движения материальной частицы vx=dx/dt; vy*
=dy/dt; vz=dz/dt. Следовательно, имеем три обыкновен
ных дифференциальных уравнения
dxldt = vx(x,y,z,t); ]
dy/dt = vy(x,y,zj); (263]
dzldt = vz (x, r/, z, t) J
при начальных условиях: для t = 0 х=х0, у=Уоу z=z0.
Поскольку скорости Vi известны, т. е. известны правые части
уравнения (2.63), то интегрируя выражения (2.63) при
указанных начальных условиях, можно получить:
* ^0=/1 (*0> Уоч ^0» Ч\ ]
у—у» = М*о.Уо.*о.О; (2-64'
2 ^0 ~ /З \*0» Уу^ОуЧу )
причем, входящие в левые части равенств (2.64) величины
суть конечные перемещения рассматриваемой точки. Фор'
мулы (2.64) дают параметрические уравнения траекторий
движения частицы, находящейся в начальный момент
времени в точке с координатами Хо, f/o, z0, Роль параметра иГ'
рает t.
В механике сплошных сред нашли применение две эК'
Бивалентные друг другу точки зрения на движение дефор'
мируемого материала: точка зрения Эйлера и точка зренй^
Лагранжа. Когда внимание концентрируют на данной то1*'
ке пространства, в которую приходят разные частицы д$'
формируемой сплошной среды, это сущность точки зренй^
Эйлера на изучаемое движение сплошной среды. ДвиженИе
с точки зрения Эйлера считается известным, если скорости
ускорение, температура и другие интересующие величине
68

заданы как функции координат х> уу z точки пространства
и времени t. Величины х, у, г, t называют переменными
Эйлера.
Когда внимание концентрируют на конкретной частице
сплошной среды и интересуются историей ее
деформирования и движения вообще, это сущность точки зрения Лаг-
ранжа на изучаемое движение. Координаты х0у уо, г0 [см.
уравнения (2.64)], индивидуализирующие точки сплошной
среды, и время t называют переменными Лагранжа.
Переменные Эйлера можно выразить через переменные
Лагранжа с помощью формул (2.64). Для обратного перехода
уравнения следует решить относительно дсо, Уо и г0. Выбор
вида переменных или точки зрения делают на основании
характера задачи, которую предстоит решать инженеру.
Подчеркнем специально, что точка зрения Лагранжа на
изучение движения сплошной среды лежит в основе
физических законов, так как они связаны с движением
индивидуальных материальных частиц.
Определим ускорение w частиц среды. Поскольку нас
интересует ускорение конкретной частицы, то в этом
случае необходимо смотреть на движение с точки зрения
Лагранжа. Компоненты ускорения (по определению) w\— это
производные от Vi(x, г/, z, t) по времени t. При
вычислении производных следует иметь в виду, что ху у, z —
координаты частицы, которые меняются во времени. Итак,
дифференцируя сложную функцию, получим
щ = dvtldt = dvtldt + dvtldx dxldt + dvtldy dyldt +
+ dvi/dzdz/dt.
Имея в виду, что vx=?dx/dt\ vy=dy/dt\ vz = dz/dty и
пользуясь тензорной символикой, запишем
Щ = dvtldt + vtjVj (2.65)
Вычисленное ускорение материальной частицы входит
в уравнения движения сплошной среды, о которых речь
шла в гл. 2, п. 2.4.
Обратимся к выводу дифференциального уравнения
неразрывности. Деформируемый материал обладает массой.
Массовая плотность р, определенная равенством (2.5),
вообще говоря, переменная величина; она может быть
неоднородно распределенной по ,телу, может изменяться во
времени, так как материалы уплотняются или
разрыхляются в процессе пластической обработки. Однако в целом
масса деформируемого ;тела остается постоянной — это
69

один из фундаментальных законов ньютоновский механик
Выразим этот закон в категориях, установленных выше ц
сплошной среды. Пусть р=р(х, у, zy t) —массовая пщ
ность, a v = v(x, у, z9 t)—скорость частицы среды, нах^
дящейся в точке М с координатами (х, у, г) пространств^
занятого телом, в момент времени t. Функции р и v пщ
полагаются непрерывными и достаточное число раз Щ
ференцируемыми. Выделим мысленно в теле в момент'вр^,
мени / достаточно малую окрестность точки М объемо^
AV(i)\ масса материала этой окрестности Am с точность^
до бесконечно малых величин высших порядков Дт = рД1/
Масса Am остается постоянной, т. е.
dAmldt = dp/dt • AV + р • dAV/dt = 0. (2.6ц
По определению
d AVIdt = lim \[AV (t + At) — AV (t)]/At],
Д/—0
где AV(t-j-At)—объем выделенной окрестности точки И
в момент времени t-\-At. Напомним, что скорость
относительного изменения объема
I = div"^ - lim \[AV (t + At) — AV (t)V[AV (t) At]}. (2,67)
Д/—0
Сопоставляя это с предыдущим выражением, получим
dAV/dt = divv-AV. (2.68)
Если внести эту величину в уравнение (2.66) и
сократить на AVy то получим
dp/dt+ pdivv = 0. (2.69)
Это уравнение называют дифференциальным
уравнением неразрывности. Следует иметь в виду, что dp/dt^
полная (субстанциональная) производная по времени, поД'
считываемая по формуле (1.55), a div v определяется Я0
формуле (1.51). Поэтому уравнение (2.67) можно записав
в иной форме
dp/dt + pvu = 0, (2.69,^
или
dp/dt + ри vt + pvu = 0;
dp/dt + (pvi),i = 0. (2.69,^
Уравнение неразрывности (2.69), (2.69, а) или "(2.69, ^
в частном случае деформации материала, плотность кот0'
70

рого не изменяется (p=cnnQf т* л ui л^
В условие Р nSt И dPM = 0), превращается
t/t^==0 (2.70)
или
dvjdx + dvvldy + dvjdz = О, (2.70,а)
которое называют условием несжимаемости или
постоянства объема, так как левая часть формул (2.70) и
(2.70, а)—это скорость относительного изменения объема.
/Можно также сказать, что для несжимаемого материала
при divf=0, из уравнения (2.69) вытекает, что dp/dt=0
и, следовательно, р = const.
Упражнения
1. При осадке параллелепипеда плоскими бойками (штампами)
поле скоростейчматериальных частиц описывается формулами vx =
=a(jc; v(J=a2y; v*z = —a3z (ai, я2, аз — const). Вычислить траектории
движения частиц. Какими кривыми представляются их проекции на
горизонтальную и вертикальную координатные плоскости?
Ответ: x = x0eait; у = у0еа^\ z = z0e а-1 . Параболами вида у=*
=Уо(х/х0)а^а1; гиперболами вида z = z0(x0/x)a3/ai соответственно.
2. Вычислить ускорения для условий предыдущей задачи, а также
если a1 = a1(^); a2 = a2(t)\ a3 = a3(t). Ответ: wx = a\x\ wv=a?^\ wz =
«<ф, а также wx =[a1 + afj x\ wjf = (a2 + a]) y\ wz = [a\ — a8) z.
3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение неразрывности
для условий первой задачи, а затем в общем случае. Ответ: р =
=poe~~(ai~*~a2~ai)('—'о) , где ро = р/ t=tQ ; в общем случае
Р = Ро е и
2.7. Теория течения в приращениях перемещений
Представленная в гл. 2, п. 2.5 теория деформированного
состояния называется теорией течения в скоростях. Она,
как вскоре увидим, в случае, когда механические
свойства металлов зависят не только от скорости деформации,
но и от величины самой деформации, нуждается в
дополнении. Такое дополнение дает теория течения в
приращениях перемещений.
Рассмотрим некоторый MOivfeHT времени /. Введем
малый (для того чтобы теория оставалась достаточно
точной), но конечный промежуток времени At. За Д/ частица
материала, находившаяся до этого в некоторой точке де-
71

формируемого тела, получила приращения дгремещен^
Аих = vx At; Аиу = vy At; Auz = vz At. (2.7
Если повторить-все выкладки, приведенные в гл. 2,,
2.5, но для приращения перемещений, то можно показа^
что деформированное состояние в окрестности точки jtt
рактеризуется симметричным тензором приращения дефо,
мации, составляющие которого
хг \
ТАе= Uexy А*уу Агу\ (2.72
\texz Де1/г Ae2z/
где
Де„ = (Аии + Дым)/2. (2.7J)
Кроме того, частицы окрестности произвольной точки по.
лучат поступательное смещение на величину Ащ и поворот,
тензор которого имеет компоненты
TA9~(Auu — Auitt)/2. (2.74)
Как всякий симметричный тензор, тензор приращении
деформации имеет три ортогональные направления, вдоль
которых материал, выделенный в виде элементарного
параллелепипеда, получает удлинение сторон без искажении
прямых углов между гранями — эти направления
называются направлениями главных приращений удлинении.
Матрица Гд8 в ортонормированном базисе, совпадающем
с направленияхми главных приращений удлинений, имеет
вид
Где=1
Правило присвоения индексов главным приращение
удлинений (Аец^Де22^Дезз), а также порядок их поиск*
остаются прежними. Тензор приращения деформации име'
ет три инварианта. Первый инвариант тензора npupaaf
ния деформации выражает приращение относительного Ф'
менения объема
I, (Где) = Де„ + Агуу + Аггг = Деи + Ае22 + Де33. (2.7$)
Девиатор приращения деформации
#де = Где - АгЕ/3. (2.7fi)
Деп
0
0
0
Ае22
0
0
0
Ае33.
72

Его компоненты равны A3ij=Aeij—Ae-6ij/3. Девиатор
приращения деформации имеет свои инварианты. Так,
второй инвариант
/2 (Оде) =- ([(Агхх - Aeyyf + (Агуу - Де22)* +
+ (Ч. - Д^)2]/6 + А^ + Аг'1г + Аву =
=- [(Аеи - Де22)2 + (Де22 - Ае33)2 + (А833 - Ави)*]/6.
(2.77)
Приращением степени деформации сдвига некоторой
частицы за время At называют величину, подсчитываемую
по формуле
AA = 2Vr|/a(DAe)|, (2.78)
или
АЛ = V2A3tj Дэ„. (2.79)
Если материал несжимаем (Де=0), то можно показать
справедливость формулы
АЛ = У2Аги Аги. (2.80)
В настоящем пункте рассматриваем достаточно малый
промежуток времени At. Величина At играет роль
параметра Где=А/7% ; Aeij=lijAt. Следовательно, из
формулы (2.80) вытекает
AA = A/l/"2|^> = Afflf (2.81)
где £u=0. Аналогичная формула имеет место и для
сжимаемого материала (1и¥=0). Чтобы убедиться в этом,
достаточно в (2.79) подставить Аэг/ = в//Д/ и результат
сравнить с формулой (2.61). При движении частицы в поле
тензора скорости деформации в ней будет накапливаться
деформация. Величину, определяемую формулой
t
Л - j* Н (т) dr, (2.82)
6
в которой интегрирование производится вдоль траектории
движения частицы, называют степенью деформации
сдвига. Интенсивность скоростей деформации сдвига,
используя формулы (1.55) и (2.82), можно представить в виде
Н = dA/dt = дЛ/dt + vx дА/дх + vy дА/ду + vz дМдг =
= dA/dt + ViAti. (2.83)
73

Пример. Вычислим степень деформацииусдвига пр
однородной пластической деформации — осадке паралл^
лепипеда (рис. 2.17). Поле скоростей пусть соответствуй
упражнению 1 гл. 2, п. 2.6. Легко убедиться самостояте^^
но, что координатные напраа
ления во время осадки буду
направлениями главных скор0>
стей удлинения g,,, £22 и ^
что они будут постоянны; что
материальные частицы не бу.
дут поворачиваться относи,
тельно осей х, у, г. Осадка па.
раллелепипеда осуществляет,
ся в условиях так называемой
монотонной деформации.
Следуя определениям А. А. Иль.
юшина и Г. А. Смирнова — Аляева, монотонной дефорт
цией называют такую, когда на каждой ступени в процессе
значительного пластического формоизменения остаются
постоянными отношения £ц: £22^33 и направлениях
главных скоростей удлинения связаны с одними и теми же
материальными волокнами. Продолжим вычисление Л при
осадке. Поскольку деформация монотонная, то
И = 5и х
X УЩ - Win)' + «и - 1*Ди)2 + ИгЛп - 1)г] 2/3;
л = VW - Win)2 4- «и - £зз/&н)г +(W5u - 1)212/зх
х f |ц dx.
(2.84)
Очевидно, что
Ъп = (!//) dlldx; j ln dx = f dill = In (lxllQ).
Аналогично
t
^ =' (lib) dbldx; J 1ггdx = In [bjb0);
0
t
l33 = (1 /h) dhldx; f £зд dx = In (hjh^.
74

Здесь /о, Ь0, Н0 Ц L U fa
до И ПОСЛе Деформации Z;1 —РазмеРЫ параллелепипеда
\nllJI \/]n(h /и\ Шщ Учитывая также, что gn/g22==
^ln(/i//o)/ln(61/ft0) и т>д>> получим из уравнений (2 84)
Л = VWik/lo) — Jn (Vfeo)P + [In (V&o) - In (Ai/Ma + "
"+Ип(А1/Л0) —In(Vgp}2/3. (2.85)
Как видно из изложенного в гл. 2, п. 2.5 и 2.7, между
теорией деформированного состояния в скоростях течения
и в приращениях перемещений имеет место аналогия.
Следуя этому, можно всегда дополнить описанную в этом
параграфе теорию недостающими уравнениями, заменив в
выражениях п. 2.5 1и на Де^.
Для описания упругих и малых упруго-пластических
деформаций используют теорию малых деформаций.
Деформации, вызванные конечными перемещениями их, иу,
иг, называются малыми, если наибольшая из элементов
матрицы (uij) значительно меньше единицы, т. е. max
(\т,з\ при i, j=x, у, z)<Cl. Малые деформации частиц
среды характеризуются симметричным тензором, матрица
компонент которого Te = (eij), где е^== (Ht,j+".m)/2. Здесь
е*х, гуу, £zz представляют относительные удлинения
частицы соответственно вдоль направлений х, у, г\ 2гху, 2eyz и
2ezx — сдвиги или изменения прямого угла между
волокнами, первоначально параллельными координатным осям.
Все формулы и понятия теории малых деформаций
формально эквивалентны соответствующим соотношениям
теории течения, отличие состоит лишь в обозначениях. Если
сделать в теории течения замену £,-/ на е;/, то получим
равенства и уравнения теории малых деформаций.
Последняя имеет ограниченное применение для решения задач
обработки металлов давлением. Технологическим процессам
пластического формоизменения свойственны большие
деформации и условие |Wi,j|<Cl, как правило, не
выполняется. Однако она эффективно и достаточно обоснованно
применяется для анализа малых упруго-пластических
деформаций.
В теории течения в приращениях перемещений
используют параметр At (малый, но конечный промежуток
времени). Его выбирают так, чтобы деформации за At были
малыми в указанном выше смысле. Например, At можно
назначить из условия
max (| Auij | при f, / = А у, г) < 0,01 - 0,10, (2.86)
75

или /
Д/тах(|^,/| при /, / = х,у, г)< 0,01 —0,10, (28?
где х, у, г— координаты точек деформируемого тела. В На
стоящее время правая часть неравенств однозначно щ
не определена в зависимости от требуемой точности рещ
ния — это одна из важных теоретических задач.
Упражнения
1. Вычислить для частицы с исходными координатами x0t y0t г.
траекторию движения, степень деформации сдвига и относительное из!
менение объема е= \ldXy если поле скоростей перемещения частиц
о
описывается формулами vx=^a{x2\ vv=a2y; vz = 0. Ответ: х*
= 1/(1/лг0—а^2/2); у = уоеа*<; z = z0;
t f t
Л = 2 f у (4а? х2 — 2а, а х + а?2)/3 dx\ е = Г (2aj; х + а2) dx,
где *=1/(1/*о—aiT2/2).
2. Определить величину М по отношению (2.87), если тело имеет
размеры f.v|<l, 0<*/^1, а поле скоростей описывается формулами
vx=x2; vv = — у\ vz = 0.
Ответ: Д/<0,005—0,050.
3. Даны два различных линейных преобразования v=A(u) и
w = B(u), причем собственный вектор щ у них одинаковый, а
собственные значения соответственно равны Ка и Я&. Каким будет собственный
вектор и собственное значение преобразования С, определенного
равенством С (и) = А (и) + В (и)?
Ответ: Преобразование С будет иметь тот же собственный вектор,
что и преобразования А и В, собственное же значение равно Ка+к-
4. Доказать, опираясь на предыдущее решение, что девиатор и
тензор приращений деформации имеют одинаковые направления главных
приращений удлинений, а их главные приращения удлинений связан^
так: Дец = Дэц + Де/3; Де22=Дэ22+Де/3; Де3з = Дэзз + Де/3.
Контрольные вопросы
1. Что называется напряжением?
2. Показать, что напряжение на наклонной площадке — это линей'
ное преобразование вектора п — единичной нормали к площадке.
3. Что такое тензор напряжений?
4. Что выражают индексы в обозначениях компонент тензора наП'
ряжения?
5. Приведите правило знаков для компонент тензора напряжений'
6. Как называются собственные векторы и собственные значение
тензора напряжений?
7. Приведите правило присвоения индексов главным нормальны^
напряжениям.
8. В чем состоит механический смысл первого инварианта тензор*
напряжений? ?
9. Что такое девиатор напряжений? Что он характеризует? ПочсмУ'
76

10. Что называется интенсивностью касательных напряжений?
11. Сколько площадок главных касательных напряжений можно
указать в некоторой точке деформируемого тела?
12. Чему равно максимальное касательное напряжение,
нормальное напряжение на площадке, по которой оно действует?
13. Что является следствием обобщения динамики твердого тела
на сплошную деформируемую среду?
14. Что общего между условием симметрии тензора напряжений и
дифференциальными уравнениями движения?
15. Чем отличаются дифференциальные уравнения движения от
дифференциальных уравнений равновесия?
16. Что такое тензор абсолютной производной векторного поля
скорости?
17. Как называется симметричная и кососимметричная части
тензора абсолютной производной векторного поля скорости? Почему?
18. Какой имеют механический смысл и как называются
компоненты тензора скорости деформации?
19. В чем состоит механический смысл первого инварианта тензора
скорости деформации?
20. Приведите формулы трех базовых инвариантов тензора
скорости деформации.
21. Дайте определение девиатора скорости деформации.
22. Чему равен первый инвариант девиатора скорости деформации?
23. Что характеризует девиатор скорости деформации?
24. Что называется интенсивностью скорости деформации сдвига?
25. Что такое степень деформации сдвига?
26. Какой закон положен в основу вывода дифференциального
уравнения неразрывности?
27. Как называются собственные векторы и собственные значения
тензора скорости деформации?
28. Как подсчитать ускорение частицы сплошной среды, если
задано векторное поле скорости течения?
29. Составьте дифференциальные уравнения траектории движения
материальной частицы.
30. Какая конечная деформация называется малой?
Глава 3
ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СВЯЗИ
НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЙ. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧНОСТИ
Будем считать, что в задачу теории пластичности входит
определение напряженного и деформированного состояний
в любой момент времени / в любой точке М(х, у, г)
обрабатываемого тела объемом V с ограничивающей его
поверхностью S. Напряженное состояние описывается
тензором напряжений. Действительно, зная компоненты
симметричного тензора напряжений gij может определить все его
инварианты, подсчитать напряжения на любой наклонной
Площадке и т.д. Деформированное состояние будет полно-
77

стью определено, если будет известен закон движения, т.е
траектории перемещений всех материальных частиц, из ^
торых состоит тело, х=х(х0, у0у z0y t), у = у(х0у у0у z0> /)
z=z(x0y yoy z0, t) индивидуализированных своими началь!
ными (при £ = 0) координатами х0у y0l z0. По траектория^,
можно определить поле скоростей vx = dx/dty vv = dy/dt
vz=dz/dt, поле компонент тензора скорости деформации
£,:j, ускорения W{ и т. п. Для тел переменной плотности еле.
дует определить поле распределения плотности р в объеме
тела и во времени.
Итак, в задачу теории пластичности входит определи
ние десяти функций 1
x = x(x0,y0,z0,t)\
У = У(хо>Уо> z0,0;
г = г(х0,у0,г0,()\
Р = p(x,y,z9f),
(3.1)
которые должны быть найдены в объеме деформируемого
тела V вместе с его границей S в любой момент времени t
и которые называют искомыми механическими
переменными. Функции (3.1) не могут быть любыми. Они связаны
некоторыми соотношениями, установленными в
предыдущей главе, а именно: дифференциальными уравнениями
движения и дифференциальными уравнения неразрывности
*//./ + 9§i = РЩ\ } (3 2)
dp/dt + pvu = 0.
Найти функции (3.1)—это значит удовлетворить
четыре дифференциальные уравнения (3.2). Однако их
однозначное решение невозможно2, так как система (3.2) непол*
ная, и в общем случае может существовать бесконечно
много решений. Необходимо иметь, по крайней мере, еще
шесть уравнений. Такими уравнениями, замыкающими
систему, являются так называемые физические уравнения
связи напряженного и деформированного состояний (и*
иногда называют определяющими реологическими).
1 При подсчете следует учесть, что первая строка содержит шест*
функций, так как i, j — свободные индексы, а тензор напряжений сиМ'
метричный.
2 Практику интересует, как правило, решение, дающее ответ, "»
причем, единственный.
78

Формулировка физических уравнений связи
осуществляется путем экспериментального изучения механических
свойств деформируемых материалов, в частности
материалов, обрабатываемых пластически. При этом используют
положения механики, математики и физики. Построение
физических уравнений (математической модели среды)
производят также с учетом трудностей решения сложных
уравнений теории пластичности. В отличие от теории
напряженного и деформированного состояний, изложенной
в предыдущей главе и имеющей законченный вид в
рамках ньютоновской механики, физические уравнения,
которым посвящается эта глава, — приближенные. Все более
точная формулировка физических уравнений связи, полнее
описывающая свойства деформируемых материалов, — это
актуальная область научного поиска, разработка которой
по силам хорошо подготовленным студентам и аспирантам.
3.1. Формулировка общих физических уравнений
для изотропных материалов
Напряжения otj и скорости деформации £{,j (а также
другие характеристики деформированного состояния) связаны
между собой некоторыми неизвестными пока,
определяемыми из опытов, функциями (физическими уравнениями)
°u = fu<£*d. (3.3)
Эти функции очевидно не могут быть любыми, для них
должно выполняться условие сохранения тензорной
размерности: в результате действий над компонентами
симметричного тензора второго ранга %м, предусмотренных
функциями fij, должны получиться компоненты Oij
тензора, причем, симметричного и второго ранга.
В гл. 1, п. 1.4 были рассмотрены действия над
тензорами. Тензорная алгебра дает возможность выбора
функции fij, удовлетворяющих условию сохранения тензорной
размерности. Предположим, что формулы (3.3)
представлены в виде сходящихся бесконечных рядов вида
°и = «о 8и + ai hj + <*2 h'k Ikj + аз lik hi lu +..., (3.4)
в которых До, Яь 02, аз»-> — некоторые скалярные
коэффициенты; 6t-j — компоненты единичного тензора. То, что в
правой части выражения (3.4) каждое слагаемое и сумма
в Целом — составляющие тензора второго ранга, достаточ-
Но очевидно. Симметрия первых двух слагаемых бесспор-
79

на. Тензор; представленный составляющими/%fa\k-h Та
симметричный. Действительно, ' ^
\bili bkj) == Kbix bxj ~Т~ biy byj ~Г biz Ъ*и') ==
Ъхх Ъхх "г" Ъху Ъух ~Г Ъхг Ъ>гх Ъхх Ъху • Ъху Ъуу "~Г Ъ.\> Ъгу
bf/vx bjcx ~Г fei/i/ Ьух i byz bzx Ъух Ъху "Г Ьг/т/ Ьуу
^Ьгос Ьдя ~Г bZy Ъух Т" Ь22 ^гя Ъгх Ъху "Г Ь2у Ь^/у Т~ Ьг2 Ьгу
Ьл-jc £#z ~г Ьод Ьг/г "г Sxz Ъгг
Ъух Ъхг "т" b^j/ Ъуг ~~Г Ъуг Ъгг
Ъгх Ъхг ~Т~ Ъгу Ъуг ~i &zz Ъгг
Симметрия последней матрицы вытекает из симметрц;
lij — lji. Подобным образом можно показать, что и все пс
следующие слагаемые в выражении (3.4)—матрицы со
ставляющих симметричных тензоров второго ранга. Итак
уравнения (3.4) удовлетворяют условию сохранения
тензорной размерности. Уравнения (3.3) могут быть
записаны иначе, чем выражение (3.4). Забегая вперед укажем.
что физические уравнения (3.4) справедливы только дл,-
так называемых изотропных материалов. Для материалов
обладающих анизотропией, формулы (3.4) не подходят, к
должны быть построены иначе.
Материал называют изотропным, если его
механические свойства одинаковы во всех направлениях, если же
механические свойства материала зависят от направления, к
такой материал называют анизотропным. Кристаллическое
строение металлов предопределяет анизотропию и*
свойств. Количество атомов на единицу длины в
различных направлениях кристалла разное. У кристаллов
проявляется анизотропия механических свойств. Достаточно
крупные изделия из металла, которые подвергают пласти*
ческой деформации, состоят из множества мелких зерен
(кристаллитов), которые имеют различную ориентации
кристаллографических плоскостей и направлений. Mexv
нические свойства мелкозернистых изделий, несмотря ^
анизотропию свойств в отдельных зернах, примерно одИ'
наковы в различных направлениях (статистически у сред'
нены), поэтому такие тела называют квазиизотропныФ
Она сохраняется по мере уменьшения размера рассматр^1'
ваемого элементарного объема до тех пор, пока он с одер'
жит достаточное количество различным образом ориент!1'
рованных кристаллов.
В прикладной теории пластичности, рассматривают^
технологические задачи деформации металлов, принимает^
80

го материала: материал на n^3°Tpmuu деФ°Рм»РУемо-
тамого объема nfinnTnt а любом Уровне размера эле-мен-
Inuu ul*T 0бладает изотропными механическими
свойствами. Результаты расчета
напряженно-деформированного состояния будут справедливы лишь на
макроскопическом уровне: механические переменные будут найдены при
достаточно точном, решении задачи не в каждой точке
деформируемого тела, а усреднены для элементарного
объема. Этот объем настолько мал, чтобы имели смысл
операции дифференцирования, но и настолько велик, чтобы
содержал, по крайней мере, несколько различным образом
ориентированных кристаллов. Результаты расчета
механических переменных будут грубо приближенными для
отдельных зерен. Гипотеза об изотропии существенно
упрощает математический аппарат расчета напряженного и
деформированного состояния при решении многих
технологических задач, однако в ряде случаев она не приемлема.
Например, когда деформируемое тело является
монокристаллическим или размер зерен довольно велик. Для
определения напряженно-деформированного состояния в
этих случаях следует применять теорию пластичности
анизотропного материала, знакомство с которой выходит за
рамки программы и этой книги.
Из допущения об изотропии вытекает важная
гипотеза о коаксиальности тензоров напряжений Oij и скоростей
деформации g2J\ Проведем мысленный опыт. Пусть в
некоторой точке изотропного деформируемого тела имеют
место главные напряжения стц, а22, сгзз, действие которых на
прямоугольный элементарный объем показано на рис. 3.1.
Трудно себе представить, чтобы элементарный
материальный объем, подверженный/действию только нормальных к
граням напряжений, будет искажать под действием этих
бн
«**/2 L6„
81
в—382

сил прямые углы. Поэтому кажется достаточна обоснов^.
ной для изотропного материала гипотеза коаксиальное
тензоров напряжений и скорости деформации: направлен^
главных нормальных напряжений и главных скоростей ^
носительных удлинений для изотропной сплошной сред,'
совпадают.
Эта гипотеза не справедлива в случае деформации щ
зотропных материалов. Если, например, материал име^
некоторые плоскости наиболее легкого скольжения (^
рис. 3.2 они изображены штриховкой), то нагружение э%
ментарного объема из такого материала только норма%
ными напряжениями (аи) приведет к возникновению пре.
имущественного скольжения по указанным плоскостям^
сдвигу и повороту, при этом первоначально прямые до де.
формации углы параллелепипеда исказятся. Такая карти.
на особенно четко наблюдается при деформации монокри-
сталлов с гексагональной решеткой (например, Zn, Ti, Mg,
Be и др.).
Продолжим обсуждение тензорных функций,
представленных в виде выражения (3.4). Оказывается, тензорная
функция (3.4) может быть представлена в виде конечной
суммы
о^^А^ + А^ + А^ги. <3.5)
в которой А0, Аи А2 — скалярные функции инвариантов
тензора скорости деформации и тензора напряжений, которые
можно, например, подобрать на основании
экспериментальных фактов или теоретических соображений. Покажем, что
уравнения (3.5) автоматически удовлетворяют условию
(гипотезе) коаксиальности тензоров напряжений и
скоростей деформации, т.е. их собственные векторы совпадаю?
Для этого достаточно показать, что собственные векторь1
для тензора, компоненты которого стоят в правой части
уравнений — это собственные векторы тензора скорости Де'
формации.
Действительно, компоненты единичного тензора 6,-j^
это набор коэффициентов тождественного преобразование1
Е(и)=иу для которого любой вектор (в том числе и соб'
ственный тензора скорости деформации) является собсТ'
венным. Матрицы (Axlij) и (lij) также имеют одинаков^
собственные векторы (скалярный множитель роли не игр^'
ет). Матрица (£/*Ь/)—это коэффициенты линейного пре'
образования А (и), умноженного самого на себя АА(и)'
82

Если вектор и является собственным для А (и) или для
(lij), т.е. A[ui)—kiU{, то он будет также собственным для
преобразования АА (и). На самом деле, АА(и{) =А (X[U{) =
===== Л, ft/1 - Итак, доказано, что собственные векторы правой
части уравнения (3.5), равной (оц), совпадают с
собственными векторами (£;;), т.е. уравнения (3.5) автоматически
удовлетворяют условию коаксиальности тензоров
напряжения и скорости деформации.
Естественно ожидать, что при прочих равных условиях
большему нормальному напряжению должна отвечать
большая скорость относительной деформации удлинения
(рис. 3.1). Напрашивается предположение
пропорциональности напряжений сгц, а22, <т3з и скоростей деформации |ц,
Ы> Ы (в алгебраическом смысле: растягивающим
напряжениям соответствует удлинение, а сжимающим —
укорочение). Но оно не подтверждается на опыте. Представим
себе, что деформируется несжимаемый материал. Для
него обязательно должно выполняться условие |п+^22+5зз =
=0, а это значит, главные скорости относительного
удлинения должны обязательно иметь разные знаки. Материал
же может быть нагружен только растягивающими или
только сжимающими напряжениями, т.е. пропорциональность
будет отсутствовать.
Специальные опыты показывают, что с достаточной для
многих случаев степенью точности имеет место
пропорциональность компонентов девиаторов напряжения и скорости
деформации — это положение в теории пластичности носит
название гипотезы пропорциональности девиаторов
напряжения и скорости деформации.
Таким образом, из гипотезы пропорциональности или
гипотезы подобия девиаторов напряжения и скорости
деформации следует
snfen = s22/e22 === s33/^33 = ty;
Ли 0 0\ /en 0 0\
0 *22 0 =+ 0 e22 0 .
1° 0 SJ \o 0 ej
Do = Щ, (3.6)
где ^ — скалярный множитель. Если учесть определение
Девиаторов и представить условия подобия в базисе
декартовой системы координат,"а не в базисе собственных век-
G*
83

/
торов, то условие пропорциональности Do и D $ можно ц
писать в виде
ои-о6и = у(1и-Ъ6и/3). (3.j
Величина \р может быть выражена через известные ц
варианты. Действительно, из формулы (2.26), если учест
выражение (3.7) и (2.6), получим
Т = VI^/2 = Уфеие^2 = ф 1^2^/2 = фН/2,
Следовательно
Ч? = 2Т/Н. (3,8)
Могут ли выражения (3.7) служить искомыми физиче-
скими уравнениями (их должно быть шесть)? В системе
(3.7) независимых уравнений пять. Действительно, девиа-
тор имеет пять существенных и независимых компонент
(сумма диагональных составляющих девиатора
обязательно равна нулю). В уравнения (3.7) введена еще одна
неизвестная величина ф. Для того, чтобы систему (3.7) можно
было рассматривать в качестве физических уравнений,
замыкающую систему уравнения теории пластичности, ее
следует дополнить еще двумя соотношениями. Первым
соотношением служит связь первых инвариантов тензоров
напряжения и скорости деформации (это естественно, так как
выражения (3.7) связывают только девиаторы)
о = а(£,..0. (3.9)
Точки в выражениях (3.9) и (3.10) означают, что эти
функции, отражающие аналитическим образом
экспериментальные данные, могут содержать в качестве аргументов eiitf
иные инвариантные характеристики
напряженно-деформированного состояния. В дальнейшем точки в формула*
(3.9) и (3.10) будем ради краткости опускать. Второе
соотношение, определяемое из опытов — это связь между 0'
тенсивностью касательных напряжений Т и интенсивно'
стью скоростей деформации сдвига
Т = Т(Н,...) (3.1°)
Экспериментальному определению функций (3.9) ,!
(3.10) помогает гипотеза единой кривой: функции Т^
=Т(Н) и о=о(1), связывающие инвариантные характера
стики напряженного и деформированного состояний и опР\
деляемые экспериментально, не зависят от вида дефор№
ции (растяжение, сжатия, кручения и т. п.) и напряженно^
84

состояния и могут быть найдены в простейших опытах, а
результаты могут быть распространены на общий случай.
Гипотеза единой кривой имеет много экспериментальных
подтверждений.
Итак, физические уравнения сформулированы в
достаточном количестве
ау-ав,; = 2Т(|у~6ву/3)/Н;
Т = Т(Н); 0 = 0(1).
Проверим, удовлетворяют ли уравнения (3.11)
тензорным функциями (3.5). Первое соотношение (3.11) после
подстановки Т=Т(Н) и о = о(1) можно записать в виде
аи = [о (I) - 2Т (Н) £/ЗН] 6и + [2Т (Н)/Н] Ъи.
Сравнение этого результата с уравнением (3.5)
показывает, что если принять скалярные функции Л0, А{ и А2
в виде
4=a(g)-2T(H)E/3H;1
^=2T(H)/H; Л2 = 0,| <*! '
то уравнения (3.11) тождественно удовлетворяют
уравнениям (3.5) и вписываются в общую схему построения
изотропных тензорных функций.
В заключение заметим, что принципиально возможна
иная, отличная от уравнения (3.11), формулировка
физических уравнений связи напряженного и
деформированного состояния, которая может основываться на иных
гипотезах, лучше соответствующих экспериментальным данным.
Упражнение
Самостоятельно провести рассуждения, подобные изложенным в
гл. 3, п. 3.1, приняв, что в виде-бесконечных рядов представлены
компоненты тензора скорости деформации
til ~ bo $и + ъ\ aU + b2Oik °hj + Ьг oik ам Gij +...
Как будут выглядеть физические уравнения в этом случае? Ответ:
Ь;-Б^/3«Н'(а^-аб,/)/2Т;
Н-Н(Т); Б = 6(а),
где б=5(а) и Н = Н(Т) —функции, обратные уравнениям (3.9) и
(3.10) соответственно.
3.2. Уравнения связи напряженного
и деформированного состояний некоторых материалов
Рассмотренные до сих пор уравнения, включая и
уравнения предыдущего параграфа, были получены для любых
изотропных деформируемых материалов и относятся к
механике сплошной среды в келом.
85
(3.11)

Рассмотрим некоторые физические уравнения^. Начнем
с жидкостей (деформация металлов в нагретом состоянии
занимает некоторое среднее положение между деформаци.
ей холодного металла и деформацией расплава — жидко-
сти, физические уравнения для жидкостей необходимо
рассмотреть еще и потому, что при обработке металлов
давлением используют часто смазочно-охлаждающие
жидкости). Жидкости, как правило, не имеют «памяти», т. е.
не имеют деформационного упрочнения (наклепа, как у
металлов). Действительно, сколько бы не перемешивали
воду в стакане, она будет сопротивляться одинаково,
несмотря на все накапливающуюся в воде деформацию.
Сопротивление деформации жидкостей в значительной
степени зависит от скорости деформации. Для жидкостей, как
показали эксперименты, зависимость (3.10) имеет вид
Т = ц(а,в)Н, (3.13)
где (л — «коэффициент» вязкости, который зависит от
среднего нормального напряжения а и температуры Э.
Жидкость, для которой «кривая течения» Т=Т(Н) выражается
уравнением Т=ц.Н, называют ньютоновской линейно вяз-
кой жидкостью. Заметим, что между Т и Н имеет место
прямая пропорциональная зависимость (рис. 3.3). Исследо-
а Н s Н б Г,& е Л
вания показывают, что между а и степенью объемного
сжатия е= [ Idx имеет место прямая пропорциональная зави-
0
симость. Жидкости проявляют вязкость объемной
деформации, т.е. связь между а и £ в формуле (3.9) такая, что
до/д1>0. Если среднее нормальное напряжение в
жидкости умеренной величины 2, то вместо уравнения (3.9) мо-
1 Только уравнения (3.9) и (3.10), так как условие подобия девиа-
торов (3-7) — общее свойство для всех рассматриваемых в этой книге
материалов. "
2 При высоких давлениях, например, I960 МН/м2, объем жидкостей
изменяется на 10—30%. При давлении 1176 МН/м2 вода уменьшает
свой объем на 20 %, а эфир на 30 %.
86

^еТ быть принято условие несжимаемости
g = 0 (3.14)
Известны два основных метода получения вязкостных
характеристик жидкостей.
Первый метод — непосредственное установление связи
касательного напряжения со скоростью сдвига путем
приложения к образцу однородного сдвига в специально
сконструированном приборе (вискозиметре) и измерения
соответствующего напряжения сдвига. Вискозиметры,
использующие этот принцип, представляют собой ротационные
устройства в виде соосных цилиндров (рис. 3.4, а), один
из которых неподвижен, цли конуса и неподвижной
пластины (рис. 3.4,6).
В соосно-цилиндрических вискозиметрах исследуемое
вещество помещают в зазор между длинными
цилиндрами. Внутренний цилиндр- вращают с постоянной скоростью
(о. В зазоре толщиной h<^R имеет место чистый сдвиг со
скоростью 2£Jn/ = G)/?//i (система координат для зазора
имеет ось х по радиусу цилиндров и ось у по
направлению окружной скорости вращения). В примере (гл. 2,
п. 2.5) было показано, что // = 2£xy = co/?/ft. Из-за вязкости
Жидкости в зазоре наружный цилиндр стремится
повернуться. По моменту закручивания М можно судить о
величине касательных напряжений в зазоре /г, так как оху =
^M/RF, где F — площадь боковой поверхности
внутреннего цилиндра. В примере (гл. 2, п. 2.2) было показано,
что T=x=oXy-=M/RF. Варьируя скорость со и фиксируя
в каждом опыте М, можно получить опытную зависимость
Т от Н, а выразив ее формулой, найти «единую кривую»
Т=Т(Н).
87

Прибор обычно помещают в термостат, чтобы уст^
вить зависимость вязкостных свойств от температуры. Д ;
определения зависимости вязкости от давления вискози^'
ры рассмотренного типа непригодны. В этом случае прр
меняют второй метод, основанный на косвенном опреде^'
нии зависимости Т = Т(Н) по измерению перепада давле
ния и расхода жидкости в капиллярной трубке.
Многие материалы, например, металлические мыла, ц
торые в практике обработки металлов давлением наряду.
с жидкостями используются в качестве смазки, не облада"
ют текучестью, они в обычных условиях твердые. Для та.
ких тел при Н = 0, ТфО. Кривая течения для них может
быть представлена одним из простейших уравнений
Т-Л(а,6) + В(а,9)Н. (3.15)
Вещество, для которого кривая течения выражает
уравнением Т=Л+ВН, называют телом Шведова — Бин-
гама или бингамовым пластиком. Для бингамового
пластика также существенно скоростное упрочнение, т. е. рост Т
с увеличением скорости деформации или Н (рис. 3.3,6),
Тело Шведова — Бингама обладает сжимаемостью, но
меньшей, чем сжимаемость жидкостей. Вещества типа
бингамового пластика называют иногда вязкопластическимн
с линейным скоростным упрочнением.
Коэффициенты р,, Л, В в уравнениях (3.13) и (3.15)
называют реологическими. Они определяются в опытах с
использованием гипотезы о единой кривой в специальных
приборах, которые также называют вискозиметрами. Согласно
гипотезе результаты экспериментов на конкретном
вискозиметре распространяются на все случаи течения.
Изучением реологических свойств веществ занимается реолО'
гия — наука о механических свойствах вещества, опредс
ляющих его текучесть.
Обратимся к физическим уравнениям линейной теори11
упругости. Для описания упруго деформированного состоя*
ния применяют теорию малых деформаций (см. гл. 2, ^
2.7). Эту теорию используют также для описания упруг0'
пластической деформации. Поле перемещений щ в те^
вызывает деформации, тензор которых называют тензора
деформации. Он имеет компоненты е,/ = (iiij-{-Ujj)/2. 1W
вый инвариант тензора деформации e = eij6;j выражает °\
носительное изменение объема. Важной характеристик1
деформированного состояния является интенсивность $,
формации сдвига, которая составляется из компонент Д
88

виатора деформации 3ij = 8fj—еб^/З по формуле Г =
= V^Sijdij. Теория малых деформаций формально
эквивалентна теории течения в скоростях, отличие состоит
лишь в обозначениях и размерности величин. Повторив все
рассуждения о физических уравнениях, содержащихся в
настоящей главе, для теории упругости эти уравнения
можно записать в виде
а0.-абг7 = 2Т(ег.,-еб,,/3)/Г;
Т = Т(Г); о = в(г).
Установлено, что связь между Т и Г, а также между о
и е для многих материалов прямо пропорциональна (см.
рис. 3.3, б). Приняв это положение, уравнения (3.16)
можно записать
0.. _ оЬи = 2G (е„ — е60./3); о = в/Зй, (3.17)
где G, k — константы материала. Уравнения (3.17)
выражают обобщенный закон Гука. Модуль упругости на сдвиг
G и вторая константа материала k выражаются через
модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v. Константы G \\k
определяются согласно гипотезе о единой кривой. Единая
кривая — это прямая, исходящая из начала координат и
имеющая тангенс угла наклона, равный G и 1/3&
соответственно, который однозначно определяет кривую из опытов
на одноосное растяжение. При одноосном растяжении
опФО, (Т22=Озз = 0, гцфО. По определению
Е = аи/еп; v = — e22/eu = — e33/eu (3« 18)
и находятся опытным путем. Из формулы (3.17), записан-
ной в базисе главных напряжений, учитывая, что сг = ац/3
и е=ец+е22+езз=(1—2v)en, следует
ац —a = 2G(eu —е/3);
on = 2G(l+v)Elu
или
au/en = 2G(l + v). (3.19)
Сопоставляя этот результат с первой формулой в
уравнении (3.18), получаем
G = £/2(l +v). (3.20)
Если подставить а = ац/3 ие=(1—2v)en в последнюю
формулу в системе (3.17), то ее можно представить в виде
au = [(l—2v)/ft]eu,
89
(ЗЛ6)

а, учитывая закон Гука (3.18), получаем выражение д,,.
второй константы материала
k = (1 — 2v)IE. (3.2|
Согласно гипотезе о единой кривой результаты уравн^
ний (3.20) и (3.21) можно использовать в общих формула,
(3.17), справедливых для произвольного напряженно-д^
формированного состояния. Физические уравнения линей.
ной теории упругости (3.17) с учетом (3.20) и (3.21) имею)
не только познавательное значение. Они будут необходим^
в дальнейшем для вычисления остаточных напряжений
после окончания пластической обработки.
Реологические свойства пластически обрабатываемых
металлов существенно сложней. Подробно они будут изло.
жены в специальной главе. Здесь остановимся лишь на об.
щих свойствах, знание которых необходимо для понима-
ния дальнейшего. Инженеру, специалисту по технологии
пластической обработки металлов, приходится иметь дело
с компактными и некомпактными металлическими
материалами. Компактные (без существенных пор, несплошностей}
металлы называют просто металлами. Металлические
материалы в виде порошков или гранул называют
некомпактными металлами.
Металлы, как показывают опыты, проявляют
деформационное и скоростное упрочнение. При наклепе с ростом
накопленной в металле пластической деформации
увеличивается его прочность или сопротивление деформации.
Причем, деформационное упрочнение интенсивней проявляется
у металлов в холодном состоянии. Накопленную
пластическую деформацию можно характеризовать степенью
деформации сдвига Л. При деформации металлы проявляю?
также вязкостные свойства, т.е. сопротивление деформацр1
при прочих равных условиях всегда больше при большей
скорости деформации или при большем значении Н (см. рис
рис. 3.3, г). Интенсивность скоростного упрочнения выШе
при горячей пластической деформации. Пластическую д?
формацию металлов называют горячей, если она осущес?
вляется при температуре, равной или выше температура
начала рекристаллизации; деформацию при температуру
ниже температуры рекристаллизации, называют холодно^
деформацией. а
Эксперименты показывают, что на зависимость Т от "
и Л при деформации металлов мало влияет среднее ноР
мальное напряжение о и третий инвариант девиаторов "
90

и D§ Казалось бы, что для металлов функция типа (3.10|
может быть представлена в виде формулы
Т-Т(Л,Н,6), (3.22)
описывающей функциональную зависимость Т от
существенных инвариантных характеристик. Однако, строго
говоря, для горячей деформации металлов связь между Т, с
одной стороны, и Л, Н, 6, с другой, не может быть
представлена в виде функции (3.22). Величина Т относится к так
называемым функционалам. Интенсивность касательных
напряжений Т в момент времени t зависит не просто от
Л, Н и 0, в этот момент, а от функций развития этих
величин во времени 0^т=^. Это объясняется тем, что горячую
пластическую деформацию сопровождают наряду с
упрочнением процессы разупрочнения за счет рекристаллизации,
отдыха, релаксации напряжений. Соотношение между
этими противоположно идущими процессами зависит от
закона, по которому возрастает деформация, что и исключает
однозначное соответствие между напряжением Т и,
например, деформацией Л к моменту времени t. В теории
обработки металлов давлением А. А. Поздееву и его ученикам
принадлежит первый опыт формулировки зависимости Т
отЛ(т), где О^т^/, в виде функционала. Наиболее общая
теория принадлежит Ю. Н. Работнову. Зависимость Т =
=Т(Л, Н, 6) становится обычной функцией при
фиксированных законах развития деформации, например, при Н =
=const (тогда Л = Нт) и при 0 = const. На рис. 3.3, г
изображена подобная зависимость.
Компактным металлическим материалам свойственна
сравнительно малая сжимаемость, причем, она упругая
(обратимая). Связь между Ъ и относительным изменением
объема б близка к линейной. В процессах обработки
металлов давлением обычно а редко достигает 1960 МН/м2.
В этих условиях сжимаемость железа не составляет даже
1 %. Столь же незначительно сжимаются другие металлы,
которые подвергаются пластической обработке. Тонкие
физические опыты показывают, что при развитой
пластической деформации металлов происходит их некоторое
«разрыхление», в структуре накапливаются несовершенства в
виде пор, микротрещин и т.п. Однако изменение объема
за счет этого разрыхления весьма мало. Поэтому, ввиду
малости эффекта сжимаемости и разрыхления, в теории
пластичности нашла широкое применение гипотеза (точнее.
Допущение) о несжимаемости металлов при их обработке
Давлением. Для металлов'вместо уравнения (3.9) прини-
91

мают условие (3.14). О физических уравнениях (3.9) ^
(3.10) для некомпактных металлов можно сказать, что ot^
качественно такие же, как и для компактных, так как пр^
обработке гранулированного материала пластически дефор,
мируются частицы, проявляя описанные выше свойства
Некомпактные материалы пластически сжимаемы, приче^
показывают существенную объемную вязкость (да/д£>0):
чем интенсивней (быстрей) производится сжатие, тем силь.
ней проявляется скоростное упрочнение деформирующих
гранул и тем трудней вытесняется воздух из промежутков
между частицами.
До сих пор были рассмотрены законы течения материа-
лов в скоростях. Как было отмечено ранее, характеристик
ка течения материала, упрочняющего еще и от пластичео
кой деформации, должна быть дополнена категориями
теории течения в приращениях перемещений, поэтому
физические уравнения (3.3) имеют более общий вид
а„ = МБ„,Детеп). (3.23)
Построение тензорных функций (3.23), связывающих
тензор напряжений с тензором скорости деформации и
тензором приращения деформации, может быть
осуществлено примерно по той же схеме, которая была изложена
выше в этой главе. Конечно, функции (3.23) более
громоздки, чем (3.3), и решение технологических задач
достигается с большими затратами. В настоящем курсе физические
уравнения приняты либо в форме (3.3), либо в
предположении, что вязкостные свойства металла несущественны
(например, при холодной пластической деформации), и
тензорные функции (3.23) можно принять в упрощенном
виде
а„ = /„(Ае«). (3.24)
Упражнения
1. Линейно упругий анизотропный материал имеет тензорную
функцию связи Gij и ец вида Oij = CijhiEki. Будет ли набор коэффициентов
Cijia просто матрицей или тензором? Сколько существенных компонент
имеет матрица (сг^/)? Ответ с указанием: набор
коэффициентов djhi представляет собой набор составляющих тензора четвертого
ранга. Матрицы (оц) и (ел*) симметричные, имеют по шесть
существенных составляющих, таким образом матрица (сцы) имеет 6X6 = 36
существенных компонент.
2. Чему будет равна интенсивность скоростей деформации сдвига
Н и интенсивность касательных напряжений Т в слое смазки в
вискозиметре, схема которого дана на рис. 3.4,6? Ответ: H = co/tga; Т^
= ЗМ/2л/?3.
3. Для определения кривой течения при горячей деформации при'
меняют испытание на осадку цилиндрических образцов начальной высо"
92

ты По при постоянной скорости относительно деформации —v/h — C] в
условиях однородной деформации, где h — текущая высота цилиндра,
V — скорость перемещения верхнего штампа. По какому закону должен
перемещаться верхний штамп, чтобы обеспечить указанный закон
деформации? Чему равны интенсивность скоростей деформации сдвига Н,
интенсивность касательных напряжений Т и степень деформации
сдвига Л? Ответ: h = fiQe~Clt ; Н= V Зс,; Т = РЛ//ЗУ; Л= V3\n(h0[h), где
Р — сила осадки; V — объем образца.
3.3. Первое начало термодинамики. Дифференциальное
уравнение теплопроводности
Вместе с физическими уравнениями, выведенными выше,
вошла в рассмотрение новая неизвестная величина —
температура G. От температуры существенным образом
зависят механические свойства материалов. Деформация
сопровождается тепловым эффектом — разогревом
материала. В объеме деформируемого тела V в общем случае
имеет место неизвестное нестационарное (изменяющееся
во времени) температурное поле 0 = 6 (х, уу z, t), которое во
многом предопределяет течение материала и его
напряженное состояние. Система уравнений теории пластичности
должна быть дополнена еще одним уравнением, чтобы
можно было определить в числе механических переменных
еще и температуру. Функции (3.1) и температуру 8=6 (х,
yt z, t) назовем термомеханическими переменными.
Искомое уравнение можно получить из первого закона
(начала) термодинамики или из закона сохранения
энергии. Первое начало термодинамики или закон сохранения
энергии в случае пластической деформации тела
утверждает: работа приложенных к телу поверхностных и
распределенных в объеме внешних сил, а также приток извне
других видов энергии через поверхность или массу тела, за-
трачиваются на приращение кинетической, а также
внутренней энергии. Первое начало термодинамики — это
постулат, который неизменно находит подтверждение на
опыте и приобрел значение физического закона.
Будем считать, что существенную роль в процессе
пластической обработки, кроме механической энергии, играет
лишь тепловая энергия. Изложенные выше уравнения
динамики сплошной среды тождественно удовлетворяют
условию (закону) сохранения механической энергии.
Покажем это. Умножим дифференциальные уравнения
движения скалярно на vdt, где v — вектор скорости перемещения
Материальных частиц деформируемого тела;
проинтегрировав результат по V, получим
93

f (<*/./ + Pgt ~ PW) VidtdV = 0.
Проведем следующие формальные преобразования:
f (atJид,,dtdV + l pgtVidtdV = j pwtutdtdV +
V V V
-f J GijVc/dtdV.
V
Применим к первому интегралу формулу Гаусса — Ост,
роградского, а первый и второй интегралы в правой части
преобразуем, используя симметрию тензора напряжений
<7i7 vi'i = °ij v^i/2 + °U v^i12 =■ °iJ v^i12 + GJi vi^2 =
=s<*ti(vttf + vitt)/2 = outiJ
и определение ускорения Wi=dvi/dt. Получим
j ou tij Vi dt dS + j pgt vt dt dV = J pd (ut vt) dV/2 -f
S V V
+ $eiJhjdtdV.
v
Наконец, с учетом того, что /г==аг;тг; и pdK=const,
последнее уравнение приобретает вид
f ft vt dtdS + f 981 Vi dtdV = § dip dVvt vt/2) +
S V V
+ \<5ijlijdtdV.
V
Этот результат означает следующее: раоота
приложенных к телу поверхностных сил (первый интеграл) и
распределенных в объеме массовых сил (второй интеграл)
затрачивается на изменение кинетической энергии тела
(третий интеграл) и на работу деформации тела. Это
выражение закона сохранения механической энергии.
Необходимо сформулировать дополнительно закон
сохранения тепловой энергии. Для тепловой энергии этот
закон утверждает: тепло, возникшее в единицу времени при
деформации некоторой материальной частицы, Q{ частично
(Q2) отводится за счет теплопроводности в соседние
объемы тела, а оставшаяся часть Qs идет на повышение ев
температуры, т. е. выполняется равенство
<?i = Q2 + <?з. (3.25)
94

Подсчитаем тепло Qb которое выделится в единицу
времени в элементарном материальном параллелепипеде
объемом &V=AxAykz за счет его деформации.
В специальных опытах установлено, что упругие
деформации, осуществленные адиабатическим способом (без
теплообмена с окружающей средой), сопровождаются
изменением температуры. Как правило, при упругом сжатии
температура повышается, а при растяжении снижается.
Причем изменение температуры прямо пропорционально
величине деформации. При одноосном быстром растяжении и
сжатии до начала пластической деформации, например
малоуглеродистой стали, находившейся при комнатной
температуре, температура образца изменяется на 6—10°.
С другой стороны, нагрев или охлаждение ненагруженного
образца на указанную величину приводит к изменению его
линейных размеров, в точности соответствующему
изменению размеров в опытах на растяжение или сжатие.
Изменения температуры при упругой деформации могут быть
обратимы. После снятия нагрузки, деформировавшей
образец упруго, его температура становится равной исходной
температуре (если соблюдены условия протекания
процесса).
Пластическая деформация всегда сопровождается
выделением тепла, причем, необратимо. Повышение
температуры может достигать (в зависимости от величины
деформации и свойств материала) нескольких десятков и даже
сотен градусов. Калориметрические опыты показали, что
свыше 90 % всей механической работы, затраченной на
пластическую деформацию, переходит в тепло. Небольшая
ее часть (не выше 10 %) преобразуется в упругую энергию
искажения кристаллической решетки. Пластические
деформации, которые имеют место в процессах обработки
металлов давлением, весьма велики по сравнению с упругими
деформациями. Так, относительная деформация,
например, при одноосном растяжении или сжатии, до
возникновения заметных остаточных деформаций составляет для
стали несколько десятых долей процента. В то же время
пластические деформации (относительные остаточные
изменения линейных размеров изделий) при обработке
давлением составляют десятки и даже сотни процентов. Поэтому в
прикладной теории пластичности для определения
напряженно-деформированного ^состояния в процессе течения,
пренебрегают упругой частью деформации и
соответствующими тепловыми эффектами. Также принимают, что вся
механическая работа деформации (пластической)
переходит в тепло.
95

Итак, мощность теплового эффекта от пластической де.
формации элементарного параллелепипеда, как следует из
четвертого интеграла в уравнении (3.24), будет
Q^OtjttjAxAyAz. (3.26)
Тепло, выделившееся в материальной частице единич*
кого объема в единицу времени за счет пластической де~
формации, называют плотностью мощности теплового ис~
точника от пластической деформации и выражают форму*
лой D = Gij£)ij. Плотность мощности теплового источника от
пластической деформации называют диссипативной 1 функ*
цией. Обратимся к расходной (правой) части уравнения
(3.25). Определим потерю тепла в единицу времени за
счет теплопроводности Q2
№№§№»
*!%"**
д
£(-ф<М
^Шу
элементарным материала
ным параллелепипедом.
Согласно закону,
установленному Фурье,
количество тепла, проходящее за
счет теплопроводности
через единичную площадку,
перпендикулярную
координатной оси /, в
единицу времени, равно
<7|=-Ье,,, (3.27)
где К — коэффициент теплопроводности; 9,« — градиент
температуры в соответствующем координатном
направлении (дв/дх, дд/ду, дв/dz). Удельный тепловой поток qt
пропорционален перепаду температур и направлен от более
горячей части тела к холодной.
Размеры элементарного параллелепипеда (рис, 3.5)
бесконечно малые. Удельный тепловой поток — гладкая
дифференцируемая функция — может быть представлена
в виде ряда Тейлора. Если, например, через заднюю грань
параллелепипеда удельный тепловой поток равен qx^
=—Хдв/дх, то через противоположную переднюю грань он
составит qrx={—/kdQ/dx)+d(—lkdQ/dx)/dxAx) т.е. как
отрезок ряда, в котором отброшены бесконечно малые более
высоких порядков, чем Ах. На рис. 3.5 изображены
тепловые потоки через все грани параллелепипеда. ТеплопотерИ
1 Диссипацией энергии называется переход макроскопического
упорядоченного движения в хаотическое атомно-молекулярное (тепловое)
движение.
96

(разность между потоками, исходящими через переднюю
грань и входящими через заднюю) вдоль оси х будут
Q2X = [д/дх (— Ш/дх)] Ах Ау Az.
Если подобным образом подсчитать теплопотери в
остальных направлениях, то в итоге получим
Q2 =— [dldx (Ш/дх) + д/ду (Ш/ду) +
+ d/dz (Ш/dz)] Ах Ay Az. (3.28)
Подсчитаем последнюю составляющую энергетического
баланса (3.25) Q3 — тепло, которое расходуется в единицу
времени на повышение температуры материального
параллелепипеда на рис. 3.5.
Удельной массовой теплоемкостью с называют
количество тепла, которое необходимо подвести к единице массы,
чтобы повысить ее температуру на 1 °С. Для того, чтобы
нагреть единицу массы металла до температуры Э,
необходимо потратить количество тепла
е
о
так как удельная массовая теплоемкость в общем случае
является функцией температуры. Скорость нагрева
единицы массы (производная от сложной функции)
dqldt = d№ I f с dQ j dQ/dt = cdQ/dt.
Возвратимся к элементарному параллелепипеду. Учитывая
последнее выражение, тепло, которое расходуется в
единицу времени на повышение температуры материального
параллелепипеда, будет
<?з = с (dQ/dt) р Ах Ay Az (3.29)
Подставим значения составляющих баланса (3.26),
(3.28) и (3.29) в уравнение (3.25), сократим результат на
AxAyAzy устремим размеры параллелепипеда к нулю, в
результате получим дифференциальное уравнение
теплопроводности, записанное для произвольной точки
деформируемого тела в произвольный момент времени
ср dQ/dt = д/дх (Ш/дх) + д/ду (Ш/ду) +
+ d/dz (Ш/dz) + ои lu. * (3.30)
Диссипативная функция 0 = оцЬ>ц может быть
выражена через инварианты."Действительно,
7—382
97

=i|> еи еи + ol = (2Т/Н) е„ ец + о$ = ТН + org. (3.31)
Здесь учтено, что $/А7 = в//6// = 0 (как сумма диаго.
нальных компонентов девиаторов), б//б//=3. Заметим, что
в уравнении (3.30) с и Я — некоторые известные функции fl
и других условий деформации. Часто при решении техни-
ческих задач их принимают постоянными, потому они на*
зываются соответственно коэффициентами теплоемкости и
теплопроводности. Если ^=const, то уравнение (3.30)
можно представить в виде
ср dQ/dt = V 9 + °tj Ъф (3-32)
где S72 = d2/dx2+.d2/dy2+d2/dz2 — обозначает
дифференциальный опертор Лапласа. Существенно то, что
уравнение (3.30) выводилось для материальной частицы, поэтому
производная по времени здесь полная или
субстанциональная. Температура частицы 6 = 6 (я, у, г, t) —сложная
функция, так как координаты частицы во времени изменяются
по некоторому закону течения x=x(t), y=y(t), z=z(t).
Следовательно,
d Qldt = dQ/dt + vxdd/dx + vydQldy + vzdQ/dz. (3.33)
Упражнения
1. Как запишется дифференциальное уравнение теплопроводности
для адиабатического процесса деформирования? Указание:
адиабатический процесс деформирования — это процесс без теплообмена,
например, процесс будет адиабатическим для каждой частицы, если
принять Я=0, Ответ: cpdQ/dt=Oijb,n.
2. Как необходимо осуществить интегрирование
дифференциального уравнения предыдущего упражнения и чему будет равен результат?
Ответ: 6 = 60+ Г {<5цЪз1ср)<1%, интегрирование ведется вдоль траекто-
0
рии движения частицы, 0О=9|*=О.
3. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности для
неподвижного тела без тепловых источников. Ответ: cpd%/dt =
4. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности для
предыдущего упражнения в случае стационарного процесса. Ответ:
(яе,,),г=о.
5. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности для
предыдущего упражнения в случае плоского температурного поля и
X=const. Ответ: d2Q/dx2+d2Q/dy2=0.
3.4. Экспериментальная проверка основных гипотез,
лежащих в основе физических уравнений
Одной из основных гипотез изотропной теории
пластичности является гипотеза о подобии девиаторов напряжения и
скорости деформации. В теории течения в приращениях
98

перемещений эта гипотеза постулирует подобие девиато-
ров напряжения и приращения деформации, а в теории
малых деформаций — девиаторов напряжения и
деформации. Согласно этой гипотезы соответствующие компоненты
девиаторов прямо пропорциональны друг другу с
одинаковым коэффициентом пропорциональности -ф (3.6).
Оказывается, что если справедлива эта гипотеза, то
тождественно равны друг другу коэффициенты Лоде (2.37) для
напряженного и деформированного состояний.
Действительно, учитывая, что on=S\i+o; a22 = s22+a; (х3з = 5зз+а, а
также sn=tyen; s22 = tye22\ $33=^33 и еп = £п—§/3; еж =
= £22—£/3;_ £зз = £зз—g/З, получим цепочку равенств
fXa == 2 (ог22 — 033)/(оп — °гз) — 1=2 (%22 — Бва)/(6ц —
-W —1 =№• (3.34)
Аналогично можно показать, что [ua = [лле для теории
течения в приращениях перемещений и \i0 = [ie для теории
малых деформаций.
t №
1 А*
4<?
1 4*
j о,$
\ 0,2
i i 1 1 J
1 -0,8 -O,6-OA-O0t2j&
Ооо/0,2
у Ж -°>*
За/ ~б,в
Г "^
8 -12 \
А
/Л
о/
У °
Уоо
/о °
к$ ■ ■ ■
3/7?Z 0гЧ 0,6 0,8 ju6\
Первые опыты по проверке гипотезы были проведены
В. Лоде. Испытаниям пластической деформацией
подвергались тонкостенные (s<Cd) стальные, медные и никелевые
трубы. Их нагружали продольной растягивающей силой Р
и внутренним давлением р (рис. 3.6). Это позволило
осуществить различные двухосные напряженные состояния.
Напряжения в трубе подсчитывали по формулам
оа = P/nds; a22 = pd/2s; о
J23
0.
(3,35)
7*
99

Относительные деформации определяли ptf выражений
8П = А///0; е22 = Ad/d0; е33 = As/s0, (3.36).
т. е. отношения абсолютного изменения соответствующего
размера к его исходной величине.
По результатам испытания с помощью формул (3.34) и
(3.35) определяли параметр р,а, а по формулам (3.36) (ie<
Пропорциональность девиаторов, как следует из уравнения
(3.34), изображается прямой (рис. 3.7), уравнение которой
№е == jlact. Экспериментальные точки действительно группи-
руются вблизи указанной прямой, хотя все же заметно их
систематическое отклонение. Так, при р,а>0 точки, в
основном, ниже прямой, а при р,а<0 — выше. Таким обра,
зом, опыты Лоде, а также многих других исследователей
в основном подтверждают гипотезу о подобии девиаторов.
Обратимся к специальным опытам о проверке гипотезы
единой кривой. Рассмотрим экспериментальные данные
А. А. Жукова. При деформации тонкостенных труб [рис. 3.6
формулы (3.35) и (3.36)] поддерживалось постоянным
соотношение между Р и р так, что величина оц/о22 была
неизменной. Однако от опыта к опыту величину ац/а22
изменяли и придавали ей значения 0,0; 0,1; 0,3; 1,0 и оо. В
процессе деформирования при некотором значении ац/о22
регистрировались Р и р, вычислялись напряжения по
формулам (3.35) и интенсивность касательных напряжений
Т = Vl(Gn - а22)2 + (<т22 - су33)2 + (а33 - аи)2]/6, (3.37)
Регистрировали также размеры трубы, вычисляли
относительные деформации по формулам (3.36) и
интенсивность деформации сдвига
Г = Vl(Bu ~ ЧгТ + (е22 ~ езз)2 + (езз - *ц)Ч2/3. (3.38)
Опытные точки для всех экспериментов с различными
значениями ои/022 (рис. 3.8) легли около единой кривой с
довольно малым отклонением от нее. В литературе
опубликовано много опытных данных, которые подтверждают
справедливость как гипотезы о подобии девиаторов, так и
гипотезы о единой кривой.
Однако гипотеза о единой кривой имеет ограниченную
область действия. Она справедлива, как показали
эксперименты, с достаточно высокой точностью в случае
монотонного процесса деформирования или близкого к
монотонному (см. гл. 2, п. 2.7). Процессом, близким к
монотонному, называют такой процесс пластического течения, npi1
котором деформации материальных частиц развиваются &
100

одном направлении. Гипотеза о единой кривой
существенно нарушается, если в процессе пластического течения
направление пластического деформирования изменяется на
обратное. При этом проявляется эффект Баушингера,
который состоит в том, что предварительная пластическая
деформация одного знака уменьшается сопротивляемость
150
$00
250
лЛ!
Г
£
8
Г .j
б„/б2г
% оо 1
х/
О 0,3
А 0,7
г " t т 1
0,07 0,02 0,03 0,04 Г//3
Г, МН/м*
350
280
210
740
- j^
4а
-"""^
jrE\
I Ьл 1
70 \ 1
1 L_U
и—.—1
0,04 0,08 0,12 0,16 0,2
Л=Г7+Г2
металла в отношении последующей пластической
деформации обратного знака. Так, пластическое растяжение
стержня сопровождается заметным снижением напряжения
при последующем его сжатии.
На рис. 3.9 приведены опытные данные А. Надаи,
полученные по результатам кручения трубчатых образцов
из стали. После достижения интенсивностью деформации
сдвига величины Гх = 0,10 (точка В на диаграмме),
дальнейшее кручение производили в другую сторону. Если бы
выполнялась в этом случае гипотеза о единой кривой, то
ход кривой Т~Л сбответствовал бы на втором этапе после
смены направления деформирования пунктирной линии.
Однако, вследствие эффекта Баушингера, кривая Т~Л
лежит значительно ниже.
Процессам обработки металлов давлением свойственна
знакопеременная деформация. В этих случаях проявляется
эффект Баушингера, т.е. нарушается единая кривая.
Правда, между сменами направления деформации процесс
течения близок к монотонному, в этот период времени
выполняется гипотеза о единой кривой (правда своей,
свойственной промежутку деформации между сменами ее
направления). Поэтому гипотеза о единой кривой не
утратила значения для описания пластического течения в
процессах обработки металлов давлением. В теории обра-
101

ботки металлов давлением нет данных о том./как преоб>
разуется единая кривая в. результате смены ^направление
деформации. Вероятно они могут быть установлены по ре.
зультатам специальных исследований с учетом накоплен,
ного в теории пластичности опыта циклического
деформирования.
Обратимся к экспериментальной проверке еще одного
допущения. Оправданно ли пренебрежение упругими де>
формациями в условиях развитого пластического течения?
На рис. 3.8 и 3.9 показаны диаграммы деформирования,
включающие как упругие, так и пластические деформации,
На рис. 3.9 отрезок ОА показывает связь упругой дефор-
мации с напряжением, на участке АВУ наряду с упругой
деформацией, развивается пластическая деформация,
участок ВС соответствует разгрузке образца. Разгрузка
осуществляется упруго, отрезок ВС параллелен отрезку АО,
Участок нового упругого деформирования CD, переходит
в ветвь DE связи Ли Т при пластическом течении. О
величине упругих деформаций, сопровождающих
пластическое течение, свидетельствуют горизонтальные проекции
линий АО, ВС и DC. Их величина в рассматриваемом
случае Ле = Г^0,004—0,005. Указанную величину Ае, или в
случае малых деформаций Ге (в общем случае больших
п
пластических деформаций Л = Vr,-, где Г/ — интенсив-
ность малой деформации сдвига на j-tom этапе), легче
ощутить в эквивалентном выражении — относительном
удлинении при растяжении в процентах. При одноосном
растяжении несжимаемого металла еп=Д///0; 622 = 833 =
=—А//2/0_(811+е22+езз=0), тогда согласно формуле (3.38)
Г=УгЗД///0. Итак,
8, = (Д///0) 100% = (TJV3) 100%.
Отсюда следует, что упругие деформации составляют
при пластическом течении 6<? = 0,25—0,29%. Если учесть,
что при обработке давлением разовые (за одно движение
инструмента) деформации составляют десятки и сотни
процентов, то долями процента упругой деформации
действительно можно пренебречь.
Разберем еще один экспериментальный факт. Было
замечено, что переход от упругих деформаций к
пластическим происходит, довольно резко. Особенно это наглядно
видно на рис. 3.8. При любой схеме деформирования пла-
102

стическое течение начинается при некотором значении Т=
^=const, и на кривой Т~Г наблюдается резкий перелом.
Уравнение, записанное с учетом формулы (3.37),
/К% - *а)" + («Ъ - °зз)2 + (<Ъ - *u)8l/6 = const (3.39)
называют условием пластичности. Постоянный параметр в
уравнении (3.39) может быть определен в простейших
опытах. Так, если провести одноосное растяжение и определить
напряжение начала пластического течения (предел
текучести при растяжении) os, то из формулы. (З.ЗУ) получим
(aii=ors; а22=азз=0)
/IK - *22)2 + (<?22 - ^зз)2 + (ст« - au)4/6 = ajVK (3.40)
Условие пластичности (3.39) и (3.40) можно записать
в произвольном декартовом базисе
VUPxx - °уу)2 + (Оуу - О2 - (*„ - аяя)Ч/6 + ~*
~*+ <&, + <4 + <& = as/K3. (3.40,a)
Если осуществить эксперимент на чистый сдвиг (оХх =
=Oyy = Ozz = oyz = Ozx = 0, ОхуфО) и зафиксировать
касательное напряжение начала пластического течения оху =
=%s (предел текучести при чистом сдвиге), то из условия
пластичности (3.40, а) получают формулу
тв = а,/КЗ = 0,577 о„ (3.41)
связывающую пределы текучести при чистом сдвиге и
одноосном растяжении. Условие пластичности Т=т* можно
записать в виде
/fyS^-*, = 0,v: (3.42)
используя формулу (2.26). По ассоциации с физическим
трехмерным пространством можно ввести пятимерное
пространство девиатора напряжений (девиатор имеет пять
независимых компонент, так как на шесть его
составляющих накладывается одно ограничение — сумма
диагональных компонент равна нулю). В таком воображаемом
пространстве условие (3.42) можно назвать поверхностью
текучести (также как в трехмерном физическом
пространстве уравнение F(xt у, г) =0 выражает некоторую
поверхность). Известно, что составляющие вектора, нормального
к поверхности /(s„)=(T, пропорциональны величинам
df/dsii. В случае поверхности текучести, выражаемой
формулой (3.42),
1№

df/dstj = s,/2T. / (3.43)
Вспомним физические уравнения, связывающие девиатор^
ец = Usu/2T = Wdfldstj. (3,44)
Последнее можно интерпретировать так: составляющие
девиатора скорости деформации в пространстве девиаточ
ров направлены по нормали к поверхности текучести,
Функцию f(sij) в уравнении поверхности текучести иногда
называют пластическим потенциалом. Содержание дан*
ного абзаца называют ассоциированным законом пласти*
ческого течения.
Упражнения
1. Как выглядит поверхность текучести (3.40) в координатах аи>
о~22, азз? Ответ: цилиндрическая поверхность, ось цилиндра равно на.
клонена к направлениям сгц, 022 и сг3з, поверхность отсекает отрезки
осей координат, длиною равные a.s-.
2. Как осуществить пластическую деформацию в условиях чистого
сдвига? Ответ: можно осуществить пластическое кручение
тонкостенной трубы.
3. Запишите и обоснуйте цепочки равенств, аналогичные уравнению
(3.34), доказывающие, что ца = |1Де и jna =|ы8.
3.5. Система дифференциальных уравнений
теории пластичности
Сведем в замкнутую или полную систему
дифференциальные уравнения теории пластичности, решение которых
должно дать термомеханические переменные в каждой
точке обрабатываемого тела в любой момент его
деформации. Система может иметь решение только при
соответствующем задании начальных и граничных условий, о чем
будет сказано далее. В конце главы будут даны решения
некоторых простейших задач теории обработки металлов
давлением.
Выше было установлено, что в любом месте очага
деформации и в любой момент времени тензор напряжения
должен быть симметричным o,i = Gij и удовлетворять
дифференциальным уравнениям движения
где р—массовая плотность деформируемого материала;
gi — компоненты вектора заданной распределенной
массовой силы; Wi — компоненты вектора ускорения движения
материальной частицы
wi = dvi/dt + viJVj (3.46)
104

Уравнения (3.45) и условие симметрии являются
обобщением законов ньютоновской динамики на течение
сплошной среды.
В данной главе были получены уравнения,
связывающие для изотропной среды напряженное и
деформированное состояния,
al;-oel;-(|u-EV3)2T/H;
o = o(t); Т = Т(И), '
в которых o = Oij8ij/3 = oa/3 — первый инвариант тензора
напряжения или среднее нормальное напряжение; g =
=lij8ij = hi — первый инвариант тензора скорости
деформации или скорость относительного изменения объема;
Т= (sijSij/2)1/2 — интенсивность касательных напряжений,
второй инвариант девиатора напряжения, компоненты
которого Sij = Oij — o6ij\ Н= (2ецец)х/2 — интенсивность
скоростей деформации сдвига, второй инвариант девиатора
скорости деформации с компонентами ец = \ц—\Ьц\Ъ.
Будем считать, что система (3.47), выражающая компоненты
тензора напряжения через составляющие тензора скорости
деформации, может быть решена относительно £//. Для
этого необходимо, чтобы существовали функции, обратные
функциям Т = Т(Н) и о=оЦ). Тогда
Ъи-1ЩЗ = (ои-о6и)Н/2Т;
Тензор скорости деформации своими компонентами
определяется по полю скоростей
1ц = (Vi,j + 0/.<)/2 (3.49)
Систему уравнений (3.45) — (3.49) можно
преобразовать, подставив в левую часть (3.49) значения £,•/,
выраженные из физических уравнений (3.48). Далее, в
дифференциальные- уравнения движения можно подставить
значения оц, выраженные через деформированное состояние с
помощью уравнений (3.47). Итак, вместо системы
уравнений (3.45) — (3.49) запишется группа из девяти
уравнений
s*jH (Т)/2Т + | (о) б,7,/3 _ (Viti + vM)/2 = 0; J 3 50)
leu 2Т (Н)/Н + о (?) б,,],, + р (£, ■- Wi) = О, J
которая содержит 11 неизвестных функций (оцу Vi, р, б)
Координат и времени. Система уравнений (3.50)
дополняется дифференциальным уравнением теплопроводности,
(3.47)
(3.48)
105

выражакодим первое начало термодинамики, или закон
сохранения тепловой энергии
cpdQ/dt = (M9i)9i + оиЪи, (3.51)
где G — температура материальной частицы
деформируемого тела; с и X — известные коэффициенты теплоемкости
и теплопроводности деформируемого материала. Течение
сплошной среды (поля вектора скорости vt частиц и их
массовой плотности р) обязательно должно удовлетворять
уравнению неразрывности
dp/dt + pvu = О, (3.52)
которое выражает закон сохранения массы.
Изменение формы тела во времени и перемещения
частиц описываются траекториями их движения,
удовлетворяющими уравнениям
dxldt = их; dyldt = vy; dzldt-= vz, (3.53)
где Vi — функции координат и времени, удовлетворяющие
уравнениям (3.50) — (3.52).
Систему дифференциальных уравнений (3.50)—(3.53),
объединяющую уравнения движения, физические
уравнения связи напряженного и деформированного состояний,
кинематические уравнения, уравнение неразрывности,
уравнение теплопроводности и дифференциальные
уравнения траекторий движения частиц, называют замкнутой или
полной системой дифференциальных уравнений теории
пластичности (число уравнений и неизвестных функций
одинаково).
Физические процессы, изученные теоретиками, имеют
математическое описание. Оно включает
дифференциальные уравнения в частных производных. Исследованием
свойств этих уравнений и методов их решения занимается
отрасль математики «Математическая физика». К ней
относятся уравнения теории пластичности и теории
обработки металлов давлением. Уравнения и методы
математической физики чрезвычайно многообразны и непрерывно
развиваются вслед за познанием природы.
Возвратимся к уравнениям (3.50)—-■ (3,53), но прежде вспомним
некоторые положения из теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, т. е. уравнений, связывающих неизвестную функцию одной
независимой переменной у=у(х), ее производные у\ у" и т. д., а также
независимую переменную х. Дифференциальное уравнение первого
порядка y' = f(xt у), имеет само по себе бесконечное множество решений,
определяемых формулой, содержащей одну произвольную постоянную:
у = у(х} с). Аналогично общее решение дифференциального уравнения
второго порядка y"=f(x, у, у') содержит две "произвольные постоянные:
106

У^у(х, съ с2). Выделение частного решения производят путем задания
граничных условии, которые, например, для уравнения второго порядка,
обычно имеют вид: у/ х=Хо = уо, y'/Xss:Xo=* у$. Подставляя х0, у о и у0
в общее решение и в его первую производную, получим два уравнения
для отыскания произвольных постоянных с.\ и Съ
Частное решение, необходимое для практики, должно быть
единственным, чтобы решить однозначно какую-то задачу К Для получения
единственного решения должны быть соответствующим образом
сформулированы дифференциальное уравнение и граничные условия.
Известна на этот счет теорема существования и единственности решения
дифференциального уравнения (например, второго порядка): если правая
часть уравнения y"=f(x, уу у') непрерывна в некоторой окрестности
значений Хо, г/о и #о и имеет там непрерывные частные производные дЦду
и df/ду', то существует единственное частное решение,
удовлетворяющее граничным условиям у/х==х =#о» У' I х=х ==^о*
Дифференциальные уравнения теории пластичности — это
уравнения с частными производными, т. е. уравнения, содержащие неизвестные
функции Oij, Vi, р и 6 от четырех переменных ху у, z, I и их частные
производные по этим переменным. Коренное отличие дифференциальных
уравнений с частными производными от обыкновенных
дифференциальных уравнений состоит в том, что общее решение первого содержит
произвольные функции, а второго — произвольные постоянные.
Рассмотрим для примера простейшее уравнение с частной
производной
ди/дх = / (*), (3.54)
где w —искомая, а / (я)—заданная функции. Все функции и =
= u(x,y,ztt), удовлетворяющие уравнению (3.54), имеют вид
u=*$f(x)dx + y(y9 г, *), (3.55)
где ф — произвольная функция. В том, что выражение (3.55) является
общим решением уравнения (3.54), легко убедиться прямой его
подстановкой в уравнение (3.54). После получения общего решения (либо
простейших уравнений, либо уравнений теории пластичности) остается
не менее важная задача — выделение единственного частного решения.
Выделение единственного решения обеспечивает теорема существования
и единственности. Она, как^это показано на примере обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка, накладывает
определенные требования на вид дифференциальных уравнений, а также
формулирует дополнительные (краевые) условия для исключения
произвольных функций в общих решениях и указывает алгоритм (порядок
вычисления) решения уравнений.
Упражнения
1. Найти общее решение уравнения d2ujdxdy=0. Ответ: и=^
= ф(#, 2, /)4ф(л:, 2, t), где ф и ф— произвольные функции.
2. Какими должны быть физические уравнения связи напряженного
и деформированного состояний, чтобы можно было уравнения теории
Пластичности представить в виде системы (3.50). Ответ: функций
Т=Т(И) и сг=о(§) должны иметь обратные П=:Н(Т) и £=£(о).
1 В некоторых случаях получение не единственного решения также
Может иметь практический смысл, например, в. исследовании
устойчивости каких-либо .процессов.
,107

3. Для таких термомеханических переменных полная' система
уравнений теории пластичности (3.50) — (3.53) имеет частные производные
по времени. Ответ: х, у, z; vi\ р; 0.
3.6. Начальные и граничные условия
для уравнений теории пластичности
Для уравнений теории пластичности применительно к
задачам теории обработки металлов давлением может быть
сформулирована теорема существовав
ния и единственности решения. Но
прежде рассмотрим, какие имеют
место физические условия на границе S
пластически деформируемого тела:
Граничные условия — это
формализованные физические условия на
границе, или их математическая модель,
которые наряду с прочим позволяют
получить решение, причем
единственное.
Деформируемое тело 1 в некоторый
момент времени t занимает в
пространстве объем I/, ограниченный
поверхностью S (рис. 3.10), состоящей
из двух частей: контактной
поверхности с жестким инструментом (S^U^s) и поверхности S/,
свободной от воздействия инструмента 2 или
подверженной действию заданных поверхностных напряжений *.
Движение инструмента задано, т. е. известна скорость всех его
частиц М как функция координат и времени vi = v i(M, /).
Поскольку инструмент принимается жестким, то поле
скорости его частиц имеет постоянный в объеме, но
переменный во времени вектор угловой скорости вращения
<о1 ■= [vtj — vjti)l2 = col (0,
где свободные индексы /г, /, / осуществляют циклическую
перестановку, принимая соответственно значения х\ у, г\
у, <г, х\ г, х, у, и нулевой тензор скорости деформации с
компонентами
in = {vh + vitt)l2 = 0.
Известно, что в некоторых условиях на части
контактной поверхности имеет место прилипание деформируемого
1 Математический знак U означает объединение поверхностей 6'У и
S5, составляющих вместе контактную поверхность.
108

металла к поверхности инструмента Sv. Следовательно, на
Sv известны скорости движения частиц деформируемого
тела, равные скорости инструмента. Итак, в каждой точке
М, принадлежащей поверхности SV) задано Vt = v*. Это
кратко можно записать так
уЛ1 6 5, vt = v\. (3.56)
Известно также, что на контактной поверхности может
иметь место скольжение металла по поверхности
инструмента. Эту часть поверхности обозначим S5; на ней
нормальные составляющие скорости инструмента и
деформируемого металла равны. Скорость инструмента и его
геометрия известны, тогда известна на 5S нормальная
составляющая скорости v*v = v*tii.— проекция полной
скорости инструмента на направление нормали к поверхности
Ss. Скорость деформируемого металла vx в карательной
плоскости к поверхности Ss неизвестна и отличается от
скорости инструмента vx в этой же плоскости на вектор
vs=vT—v% —скольжение инструмента по
деформируемому металлу. На поверхности скольжения S5 на
деформируемый металл действует напряжение трения/т,
направление которого совпадает с вектором vs или с его единичным
вектором i=vs/vs. Модуль напряжения трения /х
зависит от условий на поверхности 55; напряжения
нормального давления /v, скорости скольжения vs и от других
величин. Зависимость /х от /v известна из курсов физики и
теоретической механики, например, в виде закона Кулона
fx—lifv, где |л — коэффициент трения. В процессах
обработки металлов давлением зависимость /т от [v более
сложная (нелинейная). Инструмент, применяемый для
пластической обработки, обладает шероховатостью. При
скольжении инструмента по поверхности Ss на его неровности
действуют силы, вызванные сопротивлением продвижению
неровностей со стороны прилегающих к ним областей
обрабатываемого металла. Выше было отмечено, что
металлы обладают вязкими свойствами: большая скорость
деформации при прочих равных условиях требует большей
силы. Следовательно, зависимость /т от скорости
скольжения vs является некоторой возрастающей функцией fT =
"=fx(fvy ^s), для которой можно принять, что df^/dVs^O.
Предположим, что зависимость /т от vs представлена
аналитически (аппроксимирована) так, что существует обрат-
109

ная функция vs — vs(fv, ft), она возрастающая, т^
dvs/dfx>0.
Итак, граничные условия на Ss, изложенные в предыду,
щем абзаце, кратко можно сформулировать в виде
VM 6 S8 Vv = v*v, 7т = /т (/v , vjl (3.57)
Равенство /ч=/т(/Ч, vs)i называют условием или за*
коном трения. Поверхность Sv можно считать той частью
контактной поверхности, на которой имеет место трение по-
коя, а на Ss действует трение скольжения. Известно, что
трение покоя меньше трения скольжения при прочих
равных условиях. На границе между S9 и Ss возникает
пороговое касательное напряжение, разделяющее, с одной
стороны, зону трения покоя, а с другой, — зону трения
скольжения. Вообще говоря, границы между частями поверхности
S=SV(JSS\JS1 неизвестны. Для их определения должны
быть сформулированы специальные условия, которые
будут рассмотрены далее. Здесь же ради простоты будем
считать, что Sv, Ss и Sf вместе со своими границами заданы.
Обратимся к физическим условиям на границе Sf. В
общем случае будем считать, что на Sf в каждой точке М в
любой момент времени / задан вектор поверхностного
напряжения f*(M, t). В наиболее часто встречающемся
случае f* = 0, т.е. поверхность Sf свободна от нагрузок.
Заданные поверхностные напряжения /* накладывают
ограничения на составляющие тензора напряжения в металле около
поверхности Sf. Действительно, около некоторой точки
поверхности 5/ можно мысленно выделить с помощью
плоскостей, параллельных координатным, бесконечно малый
тетраэдр (см. рис. 2.2 и 2.3). Грань ABC будет частью
поверхности Sf. Тогда в силу тех же обстоятельств (см. гл. 2,
п. 2.1), согласно которым были получены формулы (2.9),
(2.Ю) и (2.14), можем записать
yAieS, /, = а,Л = /1. (3.58)
где п,—единичная внешняя нормаль к поверхности Sf в
некоторой ее точке М, а оц — компоненты тензора
напряжения в той же точке.
Рассмотрим температурные условия на границе
деформируемого тела. Они показывают в формализованном виде
в каждой точке поверхности S тепловое взаимодействие
деформируемого тела и окружающей среды.
Простейшее условие {граничное условие первого рода)
ПО

такое: на части поверхности тела Si задается температура
в виде
уМ € Si 9 = 0* (3.59)
где 0* — заданная функция положения точки М на
поверхности S\ и времени t. Поверхностью типа S{ может быть,
например, контактная поверхность обрабатываемого тела
и инструмента S^U^s. Если в соприкосновение приходят
два тела с различной, но известной температурой
(например, холодный штамп пресса и горячая заготовка), то
можно считать, что на контакте сразу же устанавливается и
остается постоянным некоторое время среднее
арифметическое значение температуры. В течение этого отрезка
времени на SvDSs можно принять условие (3.59).
Согласно граничному условию второго рода на
некоторой поверхности S2 задается удельный (на единицу
поверхности в единицу времени) тепловой поток q* как функция
положения точки М на 52 и времени t. Граничное условие
на S2 можно записать в виде
уЛ4 6 52 Ш/дп =±q*9 (3.60)
где частная производная вычисляется по направлению
внешней к поверхности 52 нормали («+» означает подвод
тепла, «—» отвод тепла от тела). Левая часть условия
(3.60) — удельный поток теплопроводностью через
поверхность 52. Граничное условие второго рода имеет место,
например, при охлаждении металла на воздухе при горячей
обработке массивных изделий. Некоторое время
температура поверхности изделия меняется мало и можно принять,
что удельный тепловой поток q* постоянный и
пропорционален разности температур цеха и изделия в четвертой
степени (закон теплоизлучения Кирхгоффа).
Граничные условия третьего рода задают на
поверхности S3 в виде
уМ 6 S3 Ш/дп = а (в* — 0) (3.61)
где а — коэффициент теплообмена, который является
функцией координат точки на поверхности 5з и времени; 0* —
заданная температура окружающей среды. Условие (3.61)
Имеет место, например, на свободной поверхности
деформируемого тела при умеренных температурах: теплопотери
пропорциональны разности температуры цеха (0*) и.
поверхности металла (0). В частном случае, если поверхность
5з теплоизолирована, то условия (3.60) и (3.61)
записываются в виде
ш

dQ/дп = 0.
(3.62)
Граничные условия четвертого рода — это условия на
поверхности контакта двух твердых тел 54. В рассматри,
ваемом случае пластической обработки металлов — это ус,
ловия на поверхности S4 — SV[}SS. Если на контактной по,
верхности имеет место идеальный тепловой контакт, то
температуры инструмента и тела на поверхности их кон,
такта равны. Кроме того, согласно закону сохранения теп,
ловой энергии, удельные тепловые потоки связаны
уравнением теплового баланса: выделившееся в единицу времени
на единице поверхности тепло от трения рассеивается теп,
лопроводностью в инструмент и в деформируемое тело.
Итак,
уМ6 54 еи=ет;
/т v8 = Кд%/дп — ЬлдВя/дп
где индексы «и» и «т» относятся к инструменту и
обрабатываемому телу; п — общая нормаль к поверхности
контакта (внешняя нормаль к поверхности обрабатываемого
тела); fxvs— мощность теплового источника от налряже-
ния трения, которая всегда положительна. В
справедливости второго равенства в (3.63) можно убедиться на
примерах. Пусть контактирующие тела холодны, а разогрев
поверхности происходит лишь от трения. Тогда абсолютные
значения потоков теплоотвода в инструмент и
деформируемое тело должны складываться арифметически. Это же
следует из второго равенства (3.63) с учетом того, что
dQjdn<0. На рис. 3.11, а изображено изменение
температуры вдоль п. Если тело, более горячее, чем инструмент
(рис. 3.11,6), то тепло, подведенное к поверхности
контакта от деформируемого тела, и тепло, выделившееся от
трения, разогревают инструмент. Естественно, что в зоне
прилипания Sv в условиях (3.63) fzVs = 0t так как us=Q,
Для получения частного решения уравнения (3.50)-"
(3.53) должны быть заданы помимо граничных еще
начальные условия. Начальными условиями называют
значения искомых механических переменных в каждой точке М
деформируемого тела в начальный момент времени (t^O)
*|/=а = х0; y\t=o = у0\ *к=о = z.o;
Vi\t=o = v°i(Xo, 9ъ 20);: pUo = p°(*o, Уо> *0);
%=o = e°(*0, y0i.z0).
(3.63)
(3.64)
112

Начальные условия назначают, исходя из физической
обстановки, сопутствующей моменту начала деформации.
Они формализуют эту обстановку. Формулировка
начальных условий — задача не тривиальная, она упрощается,
если в начальный момент тело находится в покое v°c=0 и в
каждой точке тела 6° = const, p°=const.
Вопрос о правильности (корректности) задания
начальных и граничных условий для поиска частного
решения полной системы
дифференциальных уравнений теории
пластичности (или для решения
краевой задачи) не простой.
Практика и последующий,
содержащийся в главе 6, материал
показывают, что описанные в этом
параграфе условия обеспечивают во
многих случаях получение
решения и причем единственного.
Граничные условия,
сформулированные выше, являются
математической моделью сложных
физических процессов
взаимодействия деформируемого тела с
окружающей средой. Эта модель
может быть усовершенствована
а граничные условия записаны
по-новому. Однако новая
редакция граничных условий должна
быть такой, чтобы обеспечивалось существование и
единственность решения задач.
Упражнения
1. Записать граничные условия для осадки параллелепипеда (см.
рис. 2.17) верхним штампом, скорость которого v. Осадка происходит в
условиях однородного деформированного состояния, которое имеет
место, если штампы абсолютно гладкие. Указание: верхне и нижнее
основания параллелепипеда относятся к поверхности типа Ss', боковые
поверхности — типа Sf.
При х=1/2 /* = 0. Значит
fx = <*ххПх + Oxytiy + oXznz = 0; )
fy = вхупх + Gyyriy -f oyznz = 0;
fz = ахгПХ + Oyzny -f O";
= 0
(3.64,a)
Для передней грани проекции на оси координат единичной нормали
будут пх~\у пу=пг = 0. Следовательно, на передней грани граничные
условия в (3.64fa): Oxx~Gxy=Oxz = 0. Аналогичные условия и на задней
пх=—1, ny=nz = 0. При у=±Ь/2 тоже /* = 0.
грани параллелепипеда:
8-382
113

Можно также показать, что на левой (пу——1, nx = nz=?ti) и правой
(Ду=1, пх=Пг = 0) гранях граничные условия oyy=cxv=oyz=0. На верх,
нем основании параллелепипеда (nz=\t пх=пу = 0) /т=0, следовательно
fx=fy=Оу а из этого следует охг = оуг = 0. Такие же условия по на»
пряжениям будут на нижнем основании (п*=%=0, я2 = — 1). На
нижнем штампе vv=0, т. е. v2=0. Следовательно, граничное условие по
скоростям (нормальным) на нижнем штампе у5—0. Верхний штамп
смещается параллельно самому себе вниз vv——vn, где п — единичная
внешняя нормаль к верхнему основанию параллелепипеда. Граничное
условие по скоростям vz =—v.
2. Записать граничные условия на верхнем и нижнем основаниях
параллелепипеда (см. рис. 2.17), если там имеет место прилипание.
Ответ: при z = 0 vx = vy = vz = 0\ при z = h vx=vy = 0, vz = —v.
3. Записать граничные условия на верхнем и нижнем основаниях
параллелепипеда (см. рис. 2.17), если там имеет место закон трения
/x = ji-/v (модуль напряжения трения пропорционален модую
нормального напряжения или давления, \i — коэффициент трения)-. Ответ:
при z=0 vz = 0\
о = ц\а \v / 1/ vl + vl-
XZ ri Z21 XI ' х ' У>
о = u|o lv /]/ vl + v]; при г = h t> = — я;
yz r zzl у' г х ' У> ^ г
3.7. Упрощения системы уравнений теории
пластичности
В связи с математическими трудностями решения краевой
задачи теории пластичности оправданы поиски
упрощающих допущений, которые бы не находились в большом
противоречии с физикой конкретного изучаемого
пластического течения, но в, то же время облегчали бы вычисления.
К числу таких допущений относятся предположения об
идеальной пластичности, об изотермичности течения
материала, о его несжимаемости, о достаточно медленном
течении без массовых сил, о плоских деформированном и
напряженном состояниях.
Физические уравнения связи напряжений со
скоростями деформации sz/=2T^///H или с малыми деформациями
Si/ = 2T3;//r содержат функции Т = Т(Н) или Т = Т(Г),
описывающие упрочнение материала (см. гл. 3, п. 3.2).
Аппроксимация1 опытных данных указанными функциями
,4 О правилах аналитического выражения опытных данных, т. е-
аппроксимации, см. в ч. II.
114

должна решать дилемму: аппроксимация должна быть, по
возможности, точной и в то же время не быть слишком
сложной. Существенное упрощение системы уравнений
теории пластичности, позволяющее порой получать даже
аналитическое решение задач, дает предположение об
идеальной пластичности.
Гипотетический материал называют идеально пластичным,
если он не проявляет упрочнения, т. е. по мере
изменения Н или по мере накопления Л
Т = const (3.65)
Допущение об идеальной пластичности—удобная
абстракция.
Исторически теория идеальной пластичности
развивалась из потребностей задач сопротивления материалов.
Известно, что упруго деформируемый материал по мере
роста напряжений довольно резко переходит из упругого
состояния в пластическое (см. рис. 3.8 и 3.9). Ряд
материалов обнаруживают площадку текучести: по мере
развития пластической деформации некоторое время
упрочнение материала не наступает. Переход материалов в
пластическое состояние характеризуется некоторым
напряженным состоянием, интенсивность касательных
напряжений для которого T = const (см. гл. 3, п. 3.4).
Условие идеальной пластичности выражается
известными формулами (3.40) или (3.40, а). Приведем еще одну
запись условий идеальной пластичности, которая вытекает
из оценки интенсивности касательных напряжений по
приближенной формуле А. А. Ильюшина Т= (1,00-ь 1,15)ттах
или, так как ттах= (сгц—<гзз)/2, 0ц—а3з= (1,00-f- l,15)os.
(3.66)
Уравнения (3.40)г (3.40, а) и (3.66) являются разной
записью условия идеальной пластичности, или условия,
которым связаны между собой напряжения к моменту
перехода материала в пластическое состояние. Это условие
называют условием пластичности Губера — Мизеса,
условием текучести. Часто условие идеальной пластичности
Используют при решении технологических задач ОМД.
Конечно, условие идеальной пластичности является довольно
грубым приближением действительной картины развитой
пластической деформации металлов, которая обычно
сопровождается упрочнением. Однако простота условия
пластичности и хорошо разработанная математическая теория
Решения конкретных задач делают допущение об идеаль-
ной пластичности деформируемых металлов вполне
оправданным.
8* 115

Иногда анализ напряженно-деформированного состоя,
ния для упрощения делают в предположении об изотерм^
ческом характере течения. Течение называют изотермичен
ким, если все время деформации в любой точке деформцщ
руемого тела 0 = const, т.е. разогрев от работы деформации
и теплообмен с окружающей средой в расчет не принима.
ют. Это допущение в некоторых случаях оказывается оп,
равданным. Однако в каждом конкретном случае следует
проверять его справедливость. В изотермическом случае
температуру считают известной, и нет надобности решать
дифференциальное уравнение теплопроводности.
Система дифференциальных уравнений теории
пластичности несколько упрощается, если рассматривается дефор.
мация компактного металла, т. е. не в виде неуплотненных
порошков или гранул. С достаточной степенью точности
для многих случаев подтверждается допущение о
несжимаемости материала. Вместо уравнения неразрывности
dp/dt-\-pVi}i=0 и физического уравнения связи скорости
относительной пластической сжимаемости со средним
нормальным напряжением £==£ (а) в состав полной системы
уравнений теории пластичности входит условие
несжимаемости Viti = 0 (или £ = 0); плотность считают постоянной
и известной.
Процессы ОМД являются достаточно медленными, т. е.
плотность массовых сил инерции рдо,- мала и не оказывает
существенного влияния на напряженно-деформированное
состояние. Обычно мала также и плотность других
массовых сил pgi, например, сил тяжести. Если течение
достаточно медленное и без массовых сил, то дифференциальные
уравнения движения несколько упрощаются и называются
дифференциальными уравнениями равновесия, они имеют
вид 011,1=0. Предположение о медленном течении может
дать существенную ошибку при изучении ударного
импульсного деформирования, штамповки взрывом и в
других подобных случаях.
Решение технологических задач может быть упрощено,
если их можно представить в виде задач на плоское
деформированное или плоское напряженное состояния.
Деформированное состояние называют плоским, если
векторы скорости течения всех частиц лежат в
параллельных плоскостях, например координатной плоскости хоу,
и тогда vx = vx(xy у), vy = vy(x) у), v2 = 0. Подобное
состояние возникает в длинных призматических телах,
ориентированных длинной стороной вдоль оси 2, если
нагрузки действуют в плоскостях, параллельных плоскости
Ш

ХОу и во всех этих плоскостях они одинаковы. Плоское
деформированное состояние реализуется, например, при
прокатке листа (рис. 3.12). Очаг пластической деформации
(ОПД) имеет в этом случае характерную для плоского
деформированного состояния призматическую форму.
Из определения плоского
деформированного состояния и
формул (2.51) имеем
1хг = %г = I» = 0- (3-67)
Формула интенсивности
скорости деформации сдвига (2:59)
для плоского
деформированного состояния и
несжимаемого материала (1хх=—1УУ)
запишется в виде
т>ху.
(3.68)
(3.69)
4ts2;
Так как для изотропного
несжимаемого материала Si,- =
=2Т£;//Н, то при условии
,(3.67)
°хг = °уг. = °> °zz ~ ° = °-
Следовательно, так как о = (оХх-{~Оуу~\-Огг)/3, то
°а=(охх + оуу)/2 = о (370)
Если учесть формулы (3.69) и {3.70) в условии
идеальной пластичности, то получим
2 '2
(<* хх — °уу) + 4°ху =
ан — азз = 1»15 as...
В силу условий (3.69), имея в виду, что оц не зависит
от координаты z, дифференциальные уравнения
равновесия примут вид
дохх/дх + доху/ду = 0;
доху/дх + диуу/ду = 0.
Также значительно упрощается система уравнений
теории пластичности, если имеет место плоское напряженное
состояние. Напряженное состояние называется плоским,
если Ozz:=<Jzx = Ozy = 0> а остальные компоненты ац не
зависят от г. Плоское напряженное состояние реализуется,
Например, в тонких пластинах, для которых размер вдоль
оси'2 значительно меньше, чем в направлениях х и у, а
деформирующие силы лежат в их срединной плоскости.
(3.71)
(3.72)
(3.73)
117

Дифференциальные уравнения равновесия дли плос^0
го напряженного состояния те же, что и для плоского де'
формированного состояния (3.73).
Условие пластичности для плоского напряженного СОч
стояния запишется в виде
У [{°хх — Oyyf + Оуу + aL]/6 + oly = Tsf
или
охх — ОххОуу + оУу -j- За^г/ = 3ts,
а в главных напряжениях an +<Jn(T22r+tf22 =as. Интен*
сивность скорости деформации сдвига для плоского напря.
женного состояния (если материал несжимаем)
В некоторых случаях решение краевой задачи теории
пластичности осуществляется проще, если воспользоваться
не декартовой, а криволинейной системой координат.
Общей теории криволинейных косоугольных координат
в теории пластичности будет посвящена первая глава
второй части. В данном случае без вывода приведем основные
уравнения теории пластичности в цилиндрических
координатах Г, ф, 2.
Кинематические уравнения, связывающие компоненты
тензора скорости деформации с компонентами скорости.
перемещения, имеют вид
Егг = dvr/dr; £гф = (dvr/dq> -Mr — vq)/r+ dv<$ /дг)/2; 1
ЕФФ = dvcp/dtp- Mr + VjJr; Нф2 =z(dv^ldz + dvjdcp* l/r)/2;
l2Z = dvjdz\ lTZ = (dvjdr + dvr/dz)/29 J
(3.74)
уравнение неразрывности
dp/dt + p (dvr/dr + vTlr + dv<p /d<p* Mr + dvjdz) = 0, (3.75)
дифференциальные уравнения движения
датт1дг + dar4>/d(p-Mr + darz/dz +
+ (отг — 0(рф)/г + grp = wrp;
дагч>/дг -f доуц/дц -1 /г +да9г/дг -f
+ 2ar$/r + gyp =м\рр;
дагг1дг + дащ/дуМг + dajdz +
(3.76)
-1:18

^ТГНТЬН°е УРаВНеНИе «члопроводностн
cpdmt = l (dmr.i/r + м/дг* + cw/ftp,. „,. + эю/^) +
+ д*Д> (3.77)
Остальные формулы теории пластичности, приведенные
в- гл. 2 и 3, имеют в цилиндрических координатах то же
написание, что и в декартовых, только индексы лг, у
следует заменить на г, ф соответственно.
Упражнения
1. В некоторой точке пластически деформируемого идеально
пластического материала компоненты тензора напряжений, Н/мм2
300 20 10\
20 —100 —30
10 —30 50/.
Определить as этого материала при одноосном напряженном
состоянии (растяжении или сжатии). Ответ: 356 Н/мм2.
2. Записать матрицы компонент тензора напряжения и тензора
скорости деформации для плоского деформированного состояния.
3. Записать матрицы компонент тензоров напряжения и скорости
деформации* для плоского напряженного состояния.
3.8. Пластическая деформация толстостенной трубы
Рассмотрим несколько примеров решения технологических
задач теории пластичности. Задачи, с которыми
сталкивается инженер в своей практической деятельности, не имеют
математической формулировки. Они возникают перед ним
в терминах техники и связаны с решением
производственных задач: роста производительности агрегата, повышения
качества выпускаемой продукции, улучшения условий
труда и т. д. Очень важно, столкнувшись с технической
задачей, определить возможность ее решения средствами
математической теории пластичности, правильно ее
сформулировать в соответствующих терминах, разумно привлекая
упрощающие допущения. В дальнейшем, рассматривая
конкретные задачи, будем стремиться исходить из
производственных проблем, с которыми может повстречаться инженер1.
Теоретическому решению будет предшествовать постановка
математической задачи — важнейший этап инженерного
анализа.
Интенсивное развитие машиностроения и
автотракторной промышленности потребовало увеличить выпуск
стальных труб для топливопроводов двигателей внутреннего
сгорания. Готовые трубы имеют, например, такие размеры
1 Задачи и их решение, в основном, преследуют учебные цели.
119

(наружный диаметр и толщину стенки): 6,0X2; 7,0X2,5 щ
и т. д. Их получают горячей прокаткой из сплошной зато*
товки круглого поперечного сечения. Затем трубы подвер,
гают холодной прокатке и волочению. Последние операции
волочения труб осуществляют без оправки (рис. 3.13). По*
еле отделки (отжига, правки, резки и т. п.) продукцию пе>
редают потребителю. Обнаружилось, что внутренняя по.
верхность труб порой поражается трещинами. Трещины
внутри трубы — труднообнаруживаемый и опасный вид
брака. Необходимо установить при горячей ли прокатке, при
холодной ли деформации или во время отделки труб
возникли трещины и причины разрушения металла.
В первую очередь целесообразно проанализировать
напряженно-деформированное состояние при волочении труб
без оправки, поскольку эта операция пластической
обработки является последней. Оправка — твердый недеформируе-
мый стержень, участвующий наряду с прокатными валками
или волокой в деформации трубы — обжатии ее стенки; во-
лока — втулка с коническим отверстием, сквозь которое
осуществляется протягивание изделия. В отличие от других
операций деформации труб, безоправочному волочению
свойственно существенное различие в напряженном
состоянии внутри и снаружи: если по наружной поверхности со
стороны волоки действуют сжимающие нормальные
напряжения, то внутри на поверхность такого воздействия нет.
Предположим, что материал трубы идеально пластичный и
несжимаемый, она деформируется без удлинения, течение
изотермическое и достаточно медленное. Все эти допущение
лишь в некоторой степени правдоподобны, но существенно
упрощают последующий анализ.
Определим напряженное состояние и поле скороаеп в
сечении трубы в. некоторый момент, времени (рис. 3.14)*
Пусть имеет место осесимметричное плоское течение во всеМ
120

объеме и на поверхности 1/ф=0; vz=0 и агф=0. Для
решения задачи достаточно иметь следующие граничные
условия: при r==/-H vr=—v, при г=гъ fr = 0. Внешняя
поверхность типа Sv, внутренняя — Sf. Полная система
дифференциальных уравнений вырождается в систему1:
дотт1дг + (агг -— афф)7л = 0; огг — афф = 1,15а5;
dvjdr + vr/r = 0,
в которой первое уравнение — уравнение равновесия,
второе—условие идеальной пластичности (предел текучести
о$ —задан), третье уравнение — условие несжимаемости.
Система (3.78) включает одномерные, зависящие только от
г, искомые функции огг, <тФФ и vr, поэтому
дифференциальные уравнения — обыкновенные.
Интегрируем первое уравнение, используя условие
пластичности,
dorr/dr+ l,15oe/r = 0;
огг = — l,15aelnr + с1#
Известно, что при r = rB fr = Orrnr +orq)n4)-\-<jrznz=0, атак
как лг = — 1, /гф=П2=0, то оГг = 0. Тогда окончательно
получим
агг = —1,15 <та In (r/rj, (3.79)
и из условия пластичности
афф = _ 1,15 os [ 1 + In (r/rB)]. (3.80)
Давление или напряжение осадки трубы fr=arr/r=r
(на внешней поверхности пг=\)
fr = -Ll5osln(rB/rj: (3.81)
Опыты показывают, что способность металлов
деформироваться без разрушения зависит от величины c/xs
(показателя напряженного состояния): чем меньше этот показатель,
тем большую деформацию может выдержать металл без
разрушения. Действительно, о — среднее нормальное
напряжение в точке. Чем оно меньше (например меньше
нуля), тем большую роль играют сжимающие напряжения;
при а>0 превалируют растягивающие напряжения.
1 Рекомендуется самостоятельно получить первое уравнение в (3.Y8)
из (3.76), а третье — из (3.75). Второе уравнение вытекает из (д.712),
если правильно (по физическому смыслу) назначить оп = оГг, а 033==
(3.78)
121

Сделаем оценку показателя напряженного ебстояния ^
теле трубы. Так как а— (аГг+офф)/2, то, учитывая выра.
жения (3.79), (3.80) и т5=0,58сг5, получим o/xs=—[1^
+21п(г/гв)]. Показатель монотонно меняется от —1 на
внутренней поверхности до — [1+21п(гн/гв)] на наружной,
С точки зрения деформации без разрушения напряженное
состояние трубы в любой момент времени на внутренней
поверхности наименее благоприятное.
Однако не только напряженное состояние ответственно
за разрушение металла. Может оказаться, что деформации
на внутренней поверхности трубы будут малыми и не пре.
взойдут предельных величин. Проинтегрируем условие
несжимаемости в системе (3.78) для определения деформиро.
ванного состояния dvr/dr=—vr/r, dVr/Vr^—dr/r, vr = c2/r\
При r = rH vr=—v, окончательно получим
vr = —vrjr; |
Irr = vra/r*; £ФФ = — vrjr2\ (3.82)
H = 2vrjr* J
Интенсивность скорости деформации сдвига на
внутренней поверхности (при r = rB) HB=2t;rH/r^ а на наружной
(при г=ги)Нн=2и/гн. В любой момент времени
интенсивность скорости деформации UJEH — rl/rl >1. На
внутренней поверхности степень деформации сдвига (Л —
= J IWt) накапливается быстрей, после деформации обя-
о
зательно будет ЛВ>ЛН.
Итак, имея в виду худшее напряженное состояние и
более интенсивное накопление степени деформации на
внутренней поверхности, становится очевидным, что разрушение
металла трубы при безоправочном волочении прежде всего
необходимо ждать на внутренней поверхности.
3.9. Остаточные напряжения в трубе
(теорема о разгрузке)
Продолжим анализ возможности возникновения дефектов of
разрушения металла трубы после безоправочного
волочения. Известно, что пластические деформации
сопровождаются постепенным накоплением субмикроскопических
нарушений сплошности и их развитием. После пластической
деформации в изделии возникают остаточные напряжения-
Значительные остаточные напряжения, как noKa3bieaef
122

практика, могут вызвать развитие субмякро- и
микроскопических трещин и появление макродефектов. Определим в
трубе поле остаточных напряжений после ее деформации.
Расчет остаточных напряжений помогает сделать
теорема о разгрузке: чтобы вычислить остаточные напряжения
в пластически деформированном теле после снятия
нагрузки, надо к напряжениям, которые имелись в теле при
пластической деформации перед разгрузкой, прибавить в
алгебраическом смысле напряжения, которые были бы в теле
под действием внешней нагрузки противоположного знака,
но в предположении совершенно упругих свойств тела.
Теорема предполагает, что при разгрузке не возникают
вторичные деформации и она осуществляется только упруго.
В трубе в последний момент ее пластической деформации
действовали напряжения (3.79) и (3.80), внешняя нагрузка
(давление) соответствовала формуле (3.81). На рис. 3.15, а
приведено распределение этих напряжений.
Следуя теореме, вычислим поле напряжений в трубе,
находящейся под воздействием внешней нагрузки обратного,
чем в формуле (3.81), знака
/Г = 1,15а81п(гн/Гв), (3.83)
но уже в предположении, что материал трубы находится в
Упругом состоянии. Система уравнений для упругого
материала, находящегося в условиях плоского
деформированного состояния, имеет вид
доп/дг + {оГГ — <7фф)/г = 0; |
arr.-a=2G(attr/ar-e/3);
vw^o~2G(ur/r-z/3yu
aa_o = 2G(-e/3);
8 == 3ka, '
(3.84)
123

где ur — упругое перемещение при разгрузке; е^егг+еФФ+
+&zz — относительное изменение объема; еГг=диг/дг\
E<w=ur/r', а= (arr+<T(p(p+Gzz)/3. Система должна быть про'
интегрирована с учетом граничных условий: при r=rH /r=5s
=агг=1,15аЛпг„/гв, при r = rB fr=—Grr = 0. Механические
переменные зависят лишь От г.
Если подставить во второе и третье уравнения системы
'(3.84) значение 2G(—е/3) из четвертого уравнения, то они
приобретут вид
дит1дг - (arr — ozz)/2G;)
urlr = {o^-ozz)l2G )' (3>85)
Исключим из системы (3.85) переменную иг. Для этого
продифференцируем последнюю формулу в выражении
(3.85) по г, разрешив предварительно его относительно иь
и вычтем полученный результат из первого уравнения. По
лучим
°гг = °'фф + г(до<ю/дг — дог2/дг)ш (3.86)
Объединим последние два уравнения в системе (3.84),
подставив е в четвертое уравнение, а(1—2Gk)=ozz. Если
теперь учесть, что g= (orr^zw+Ozz) /3, то из последнего
уравнения имеем
°zz = v (оггг + о-фф). (3.87)
Подставим уравнение (3.87) в (3.86). Тогда
(отг — афф)//- = д/дг [афф — v (<хгг + афф)]. (3.88)
Преобразованиями систему (3.84) удалось свести к двум
уравнениям — уравнению (3.88) и первому уравнению в
системе (3.84). Их совместное решение можно осуществить,
подставив уравнение (3.88) в дифференциальное уравнение
равновесия (1^-\)д/дг(вгг^о<(>(р) = 0.
Тогда
огт + (тфф = 2 А = const. (3.89)
Учтем последний результат в дифференциальном
уравнении равновесия гдогг1дгг\-2оГг=2А, которое после этого
легко интегрируется и имеет вид
д/дг (г2огг) = 2Аг,
orr = A + В1г\ (3.90)
Частное решение выделим из общих интегралов (3.89)
и (3.90) системы уравнений с помощью граничных условий:
при г-=гнагг = 1>-15а-Лпгн/гв, при г=гва,т = 0. Тогда напрГ
124

женил d у-руго деформируемой tdv6p uo
воздействием внешнего давления !' нах°Дящеися под
примут ВИД Деления fr [см. уравнение (3.83)],
^-//2(1-^)/(г2-г2);|
aw=//2(l+r2B/r2)/(r2-r2);!
^==V//h/(^h~/'b)-
(3.91)
На рис. 3.15,6 показано распределение напряжений
упругой разгрузки, подсчитанных по этим формулам.
Согласно теореме о разгрузке остаточные напряжения будут
равны алгебраической сумме напряжений пластической
деформации (3.79), (3.80) и напряжений упругой разгрузки
(3.91). На рис. 3.15, в приведены эпюры остаточных
напряжений.
Возвращаясь к причинам возникновения трещин на
внутренней поверхности толстостенных труб после безопра-
вочного волочения, можно дополнительно отметить, что на
внутренней поверхности труб имеют место значительные
растягивающие остаточные напряжения афф, которые,
несомненно, способствуют развитию трещин.
Итак, анализ показал, что безоправочное волочение, как
одна из завершающих операций производства
толстостенных труб для топливопроводов, обладает существенными
недостатками, предопределяющими получение дефектов на
внутренней поверхности. Это обстоятельство послужило
основанием применения в технологии оправочного волочения
труб вместо безоправочного.
ЗЛО. Охлаждение катанки
Прокат, получаемый на станах горячей прокатки, порой
целесообразно ускоренно охлаждать. Этому подвергают, в
частности, катанку — заготовку круглого поперечного сечения,
для последующего холодного волочения проволоки.
Охлаждение катанки, выходящей из последней клети прокатного
стана 1У осуществляют в устройстве 2 (например,
интенсивным потоком воды); затем катанку на смоточном
приспособлении 3 формируют в бунт 4 большой массы (рис. 3.16).
Ускоренное охлаждение катанки перед ее смоткой в бунт
способствует уменьшению окисления поверхности. С
окалиной теряется металл, который можно было бы превратить
в прокатную продукцию. Кроме того, окалина должна быть
перед волочением удалена с поверхности изделия. Чем боль-
125

ше будет окалины, тем меньше производите^й>ность и бол^
ше затраты при подготовке катанки к волочению.
Действительно, катанка, смотанная в массивный бун^
сразу же после прокатки, будет очень медленно охлаждать.
ся, и образуется довольно много окалины. Известно, что
интенсивное окалинообразование происходит при 9>500°С.
Можно получить на катанке окалины значительно меньше,
если ее интенсивно охлаждать перед смоткой в бунт до тех
пор, пока средняя темпера-
в=в =const тУРа по сечению катанки не
уменьшится до 500 °С.
После деформации катанки
диаметром 5—8 мм скорость ее
выхода из прокатного стана
30—50 м/с при температуре
1000—1100 °С.
Очень важно определить длину L устройства ускоренного
охлаждения катанки, от которой зависит планировка
прокатного агрегата и размеры цеха. Решим эту задачу в
следующей формулировке (рис. 3.17): катанка перед
попаданием в устройство ускоренного охлаждения имеет постоянную
по сечению температуру 60, в устройстве ее поверхность
мгновенно приобретает температуру 6П и далее эта
температура остается постоянной (граничные условия первого
рода). Требуется определить положение сечения
(расстояние L), средняя температура в котором равна некоторому
заданному значению (например, 500°С). Расчет сделаем
для различных Эп. В частности, если принять 0П равной
температуре кипения охлаждающей воды (самое низкое
из возможных значений), то рассчитанное L будет,
вероятно, нижней оценкой необходимой длины.
Определим поле температур в катанке. Для этого
воспользуемся дифференциальным уравнением
теплопроводности (3.77) и замечанием к формуле (3.33), Задачу рассмог
126

рим в цилиндрических координатах. Она обладает осевой
симметрией и сводится к интегрированию уравнения
рсидв/дг = Я, (д2в/дг2 + 1/г>дд/дг + d*Q/dz2)
или, если К/рс = а — коэффициент
температуропроводности, то
дЩ/дг2 + Mr . дв/дг + d2Q/dz2 — via • d9/dz = 0. (3.92)
Действительно, в катанке нет тепловых источников от
работы пластической деформации (a*/£*j = 0), ее движение и
температурное поле стационарны (dQ/dt=0) и движение
осуществляется лишь вдоль оси 2(^ = ^ = 0; vz=v).
Уравнение (3.92) не изменится, если ввести относительную
температуру по формулам
в = е-еп; вр = е0-9п. (з.эз)
Граничные условия примут вид
при г = tf/2 9 = 0;
При 2 == 0 0 = 0О;
при z-> оо 9-^0.
(3.94)
Не будем вводить новых обозначений, считая, что в
уравнении (3.92) принята относительная температура
Для решения уравнения (3.92) можно использовать
метод Фурье, т. ~е. метод разделения переменных. Он
принадлежит к числу распространенных методов решения
уравнений математической физики. Но не каждая задача
интегрирования дифференциальных уравнений в частных
производных может быть решена этим методом.
Согласно методулФурье решение ищется в виде
произведения двух функций^ 6(2, r)=0(z) -0(г), а
дифференциальное уравнение в частных производных сводится к
обыкновенным дифференциальным уравнениям. Подставив
последнее выражение в дифференциальное уравнение (3.92),
получим
9"(л)/6(г) + Ur-B'(r)/Q(r) = —9"(е)/9(г) + vla*V{z)IQ{z). (3.95)
Величина a/a = const. Слева уравнении в (3.95) — функция
лишь от г, справа — только от z, следовательно, правая и
левая части этого уравнения равны некоторой постоянной
размерной величине —e2j
в"(г)/в(г) + l/nQ'(r)/Q(r) =-е2; J

Таким образом, для определения температурного поля в
рассматриваемом случае получены два обыкновенных
дифференциальных уравнения:
в>) + 1/г-еЧг)+е«в(г)=0; 1
9"(г) — via • 9'(z) — e29 (z) = 0. J J
Второе дифференциальное уравнение — линейное
однородное второго порядка с постоянными коэффициентами —
известно из основного курса «Высшая математика». Его
решение достигают на основе характеристического
уравнения б2—v/a-б—е2 = 0, корни которого
бх = v/2a + J/V/4a2 + e2;
б2 = v/2a — Vv2/4a* + еа.
Тогда решением второго уравнения (3.96) будет
выражение
0 (г) = с/* + с/*\
или
8(z) = сх exp (6xz) + <?2 ехР Ф&)- (3-^
Из физических соображений в решении (3.97) следует
отбросить член с положительным корнем бь так как при
г-*оо охлаждение катанки практически завершится и
относительная температура 9 = 0—9п->0. Итак, используя
граничные условия при г->оо, запишем (ci=0)
9(z)--=£2exp(62z). ' (3.98)
Первое уравнение в системе (3.96) —это уравнение
Бесселя с нулевым параметром; его решением является
периодическая функция Бесселя первого рода нулевого порядка1:
e(r)=<v/0(er). (3.99)
Константа е2 в первом уравнении (3.96) несущественна,
так как решение можно искать для независимой
переменной гг.
Дифференциальные уравнения Бесселя и специальные
функции Бесселя часто встречаются пои решении
уравнений математической физики. Кратко рассмотрим эти новые
понятия. Функции Бесселя являются решениями линейного
1 Общее решение уравнения (3.96) сложней; формула (3.99)
справедлива для рассматриваемой задачи.
128

нифференцкального уравнения второго порядка с
переменными коэффициентами
tf + (W + (1 — k2/*2)y = 0. (3.100)
Это уравнение называют уравнением Бесселя. Решения
уравнения при заданном численном значении k называют
5есселевыми функциями порядка k (иногда их называют
дилиндрическими функциями). Рассмотрим детально лишь
наиболее простые случаи, когда 4=0 и 1. Уравнение
Бесселя нулевого порядка имеет вид
у" + (1/х)у' + у = 0. (3.101)
При *=0 коэффициент при первой производной терпит
разрыв и точка х = 0 для уравнения (3.101) является
особой. Уравнение (3.101) не принадлежит ни к одному из
типов уравнений второго порядка, допускающих решение про-
:тыми приемами, оно решается при помощи степенных
рядов. Предположим, что решение можно представить в виде
ряда
у = с0 + с1х + с^ + сгх* +...+ спх» +.... (З.Ю2)
Продифференцируем этот ряд дважды и подставим
результаты в дифференциальное уравнение (3.101):
(2с2 + 3-2с3х + 4-Зс4х2 + ... + я (л—1) спх"-* + ...) +
+ Ш.(сх + 2с2х + ЗсуР + 4с4*3 + ... +пспх»-*+...) +
+ (с0 + с±х + czx* + с*х* + ... + спх* + ...) = 0. (3.103)
Если уравнение (3.102) является решением уравнения
(3.101), то оно при подстановке должно обращаться в
тождество, поэтому, приравнивая нулю коэффициенты при всех
степенях х в выражении (3.103), получим систему
уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов с0, с[у
с2,.... Начнем с члена, содержащего х~\ где ci=0. Выпишем
коэффициенты при нечетных степенях х: х, хъ и т. д.
З^Сз + Зсз + с, =0;
5-4c6 + &76 + cs = 0;
Поскольку ci = 0, то и все последующие коэффициенты
с нечетными индексами равны нулю:
Ci - с3 = с, = ... = сач-i = ... = 0. (3.104)
Перейдем к отысканию коэффициентов с четными
индексами. Последовательно выбирая слагаемые, содержащие
9-382 129

свободный член (*°), х2, х4, х* и т. д., составим систему
уравнений
2с2 + 2с2 + с0 = 0;
4-Зс4 + 4с, + с2 = 0;
6-5св + 6с6 + с4 = 0;
Оставляя коэффициент с0 произвольным, последователь,
но выразим через него все остальные четные коэффициенты;
с2 = - сД\ с, = - с2К* = с0/2Ч*; св = - ф* =
= — с0/224262;...
в общем виде
с2п = (— 1)" <У224262... (2я)2 = (— 1 )п ф2"{п! )2. (3.105)
Таким образом, найдено решение уравнения Бесселя при
k = 0:
у = ф— х2/22 + xV2* (2! )2 — *6/26(3!)* + ... +
оо
4- (_ 1)^2"/22«(п!)2+...] =с02 (— 1)пх*Ч22»(п\)\ (3.106)
Принято 0! считать равным 1. Можно показать, что ряд
(3.106) сходится при всех значениях х. Постоянная с0
может быть выбрана, исходя из граничных условий. Функцию
оо
Jq(x) = 2 (— 1)п х^22п(п О2 (3.107)
называют функцией Бесселя первого рода нулевого поряд*
ка. Она является решением уравнения (3.101). Для функции
Бесселя /0(*) составлены подробные таблицы. График
функции /о(*) приведен на рис. 3.18. Он похож на график
изменения амплитуды затухающих колебаний/ Функции
Бесселя /0(*) четная, и поэтому на рисунке изображен^
только половина графика, соответствующая положительные
130

значениям х. Функция /0(*) имеет бесчисленное количество
корней [Xiy удовлетворяющих уравнению 10(х)—0, которые
играют важную роль. Значения этих корней следующие:
i
Vi
i
Vi
1
2,4048
6
18,0711
2
5,5201
7
21,2116
3
8,6537
8
24,3525
4
11,7915
9
27,4935
5
14,9309
10
30,6346
Отметим» что с увеличением номера i разность jmt-—{лг_1->я.
Функция Бесселя первого рода первого порядка J\(x) является
решением дифференциального уравнения
У" + (1/х) У + (1 - I/*2) * = 0 (3.103)
и имеет вид
оо
Ш = 2 (-1)пх2п+1/22п+1 п\ (п + 1)! (3.109)
я--=0
Для функции Бесселя справедливы формулы
Jf0(x) = -J1(x); (3.110)
х "^
§xJ0(x)dx = хЩх). (ЗЛИ)
о
8 этом можно удостовериться, сравнивая уравнения (3.107) и
(3.109).
Возвратимся к рассмотрению первого уравнения в
системе (3.96). Решением этого уравнения будет функция
Бесселя (3.99). Итак, решение уравнения (3.92) получено в
виде
9 (г, г) = AJ0 (ег) ехр (б2г), (3.112)
где А = с0-с2. Исключим из формулы (3.112) две
неизвестные постоянные А и ё, воспользовавшись граничными
условиями (3.94). Так, при r = d/2 0 = 0, следовательно,
i4/0(ed/2)exp(622) =0, а так как А ехр (б2)«г^=0, то
обязательно должно быть J0(ed/2)=0. Следовательно, е
принимает такие значения е/, чтобы, в свою очередь, величины
Eid/2 являлись корнями функции Бесселя е^/2 = [гг-. Каждое
значение ei=2\ii/d удовлетворяет граничному условию,
поэтому решение (3.112) следует составить в виде суммы
частных решений
сю
Нг,г) =2^f/(|*f2r/d).X
X ехр {\vdl2a - ]f(vd/2a)* + 4ц? ] zld]. (3.113)
9* 131

Удовлетворим граничные условия при z=0 ^уравнении
(3.94), Для начального сечения должно выполняться ус-
ловие
оо
во = 2 AiJo fafrld) = const. (З.П4)
Прежде чем определять коэффициенты At без
доказательства укажем, что функции Бесселя нулевого порядка
обладают свойством ортогональности; если ри, 1^2, ]^з, ...,
\хп —• последовательность корней бесселевой функции
(3.107), то последовательность бесселевых функций Jo(\x\x),
Jo(\i2x), 1о(№Х)>»ч1о(\1пХ) удовлетворяет на интервале
[0, 1] условиям
1
I^o (Vk*) Jо (^пх)dx = °> если k Ф п\
]xJlbikx)dx=[Jo(\ik)]2/2.
о
(3.115)
Воспользуемся этим свойством для определения
коэффициентов Аи Умножим правую и левую части уравнения
(3.114) на Jo(\n2r/d)2r/d и возьмем от правой и левой частей
интеграл от 0 до 1. Согласно условию (3.115) получим
1 1
{%JQ(\ii2r/d)-2r/d.d(2r/d) = Ail2rld^l{\xi2rld)-d{2rld)>
о
Применим к правой части последнего выражения условие
(3.110), а в левой части изменим переменную
интегрирования. Тогда получим
е0 ho(t) tdt/tf = a J- л ы]2/2.
о
В левой части последнего равенства учтем условие
(3.111)
Тогда окончательно получим
At = 2%/VLiJl(lLi). (3.116)
Таким образом, подставив выражение (3.116) и (3.113)»
132

получим формулу искомого распределения температуры в
проволоке
оо
в (г, г) =2 290У0(^2г/^ЛЫ X
X ехр {[ы/2а — У (vd/2a)2 + 4|i?] г/d}.
Во всех рассуждениях от формул '(3.93) до формулы
(3.116) имели дело с относительными температурами
(отсчет вели от On), если перейти к первоначальному отсчету,
то последнее выражение можно представить в виде
оо
е = 0п + (в0 - в„) 2 2Jo №rid)ivnh М х
t=l
X ехр {— []/Ре2+16^ — Ре] zl2d\ (3.117)
где Pe=vd/a — безразмерный параметр, который называ*
ют критерием Пекле.
Определим среднюю по сечению температуру катанки
на некотором расстоянии z/d по формуле
2я d/2
0СР = (4Ы2)[ f Ordtpdr,
о о
которая после подстановки выражения (3.117) примет вид
оо
всР = вп + 4 (в0 - 6„) 2 ехр {- [ ^Реа + 161*?- Ре] X
t=l
X z/2d}/^Ji Ы J Jfafirld) iifir/d.d (jifir/ф.
о
Если учесть формулу (3.111), согласно которой
) J0 (iifir/d) pfir/d-dfafir/d) = WiJ, ((г,),
о
то средняя температура по сечению
оо
всР = в„ + 4 (80 - 6J 2 ехр {- [|/Ре2 + 16 у? - Ре] X
1=1
Xz/2d}/\il (3.118)
133

На рис. 3.19 приведены данные расчета дйя стальной
катанки по формуле (3.118) при условиях: d = 8 мм; Оо=
= 1100°С; Вп = 0—500°С; Ре = 5,2-104 (и = 40 м/с, а = 2,2х
ХЮ-2 м2/ч). Если температу.
ра поверхности 6п=100ос
(температура кипения воды),
то для достижения 6ср = 500 СС
потребуется секция, длина
которой будет 18 м. В
действительности охлаждение идет
менее интенсивно. Полученный
результат расчета (L=18 м)
можно считать нижней оцен-
юоо 2000 зроо шо L/d к°й длины секции ускоренного
i 1 i i j водяного охлаждения. Заме-
10
20
30
l,m тим, что длина секции
ускоренного охлаждения катанки —
достаточно важная
характеристика прокатного стана, так как она отчасти определяет
длину цеха и, следовательно, его стоимость.
3.11. Течение тонкого слоя по жестким поверхностям
Примеры, рассмотренные в предыдущих трех пунктах,
показали, что даже простейшие задачи теории пластичности
решаются трудно. Поэтому необходимо искать допущения,
упрощающие систему уравнения теории пластичности и их
решение. Ряд из них был рассмотрен в п. 3.7, однако они не
исчерпывают всех возможностей. Примером удачного
упрощения может служить теория течения тонкого слоя по
жестким поверхностям, излагаемая в данном пункте и
предложенная А. А. Ильюшиным, истоки которой лежат еще в
работах Т. Кармана.
Ряд технологических процессов (штамповка
тонкостенных панелей, проката тонкого листа и т. п.) можно
рассматривать как задачи о пластическом течении тонкого слоя
металла, толщина которого значительно меньше двух
других его размеров, заключенного между жесткими
поверхностями инструмента пресса, прокатного стана и других
машин для обработки давлением. Обратимся к случаю течение
деформируемого металла в виде тонкого слоя между двумя
жесткими плоскими бойками, текущее уменьшающееся р^1С"
стояние между которыми Н. Расположим систему координат
хоу на поверхности одного из бойков и выделим элемент
обрабатываемого материала с размерами dxy^dyYJi (pllC#
134

3.20). Размеры dx и dy— бесконечно малые, a h —
конечный размер, q — напряжения, действующие на боковые
грани элемента. Примем допущения: 1) эти напряжения
являются главными нормальными напряжениями; 2) они
одинаковы как в направлении оси х (на грани yoz)y так и в
направлении у (на грани xoz), 3) по направлению г они по-
*$"
Л
У////////////Л
\\\\\\\\\\\\\\
^4
////Л////////У
ж
dx
IWWWVSN
щ
стоянны, в плоскости же хоу — переменны q = q(x, у). На
верехнюю и нижнюю грани элемента действуют со стороны
бойков нормальное р и касательное т напряжения.
Последнее является напряжением трения и направлено в сторону
скольжения инструмента по металлу vs. Составим
уравнения равновесия элемента, предположив, что течение
достаточно медленное без массовых сил. Сумма проекций всех
сил, действующих на элемент, на ось х
qdyh — (q + dqldx-dx) dyh + 2xdxdyvx/vr = 0,
а на ось у
qdxh — (q + dqldy-dy) dxh + 2xdxdyvylvs = 0.
После деления на hdxdy дифференциальные уравнения
равновесия элемента будут
dqldx == 2wx/hvs;
dq/ду = 2xvy/hvs
Возводя эти уравнения в квадрат и складывая
результаты, получим
(dqldxf + (dqldyf = 4t2//i2. (3.120)
Дифференциальное уравнение (3.120), являющееся
следствием дифференциальных уравнений равновесия (3.119),
в теории течения тонкого длоя по жестким поверхностям
решается совместно с условием пластичности an—азз = а<>.
В рассматриваемом случае ац=—q, а22 =—<7> азз=—р и
Условие пластичности имеет вид
(3.119)
135

p — q = v8 / (3.121)
Тогда из уравнения (3.120) с учетом (3.121) получаем ос*
новной результат теории
(др/дх)2 + (др/ду)* - 4%4h\ (3.122)
Это единственное дифференциальное уравнение, обоб*
щающее уравнения равновесия и условие пластичности, бу.
дучи проинтегрировано с учетом граничных условий на кон*
туре слоя (например с7 = 0, и, как следует из уравнения
(3.121), p = os) и с учетом закона трения (например т=
=i|)Ts, t=|ip и т.п. где я|) и (я — соответствующие коэф*
фициенты трения, а т<? — предел текучести при чистом сдви.
ге для обрабатываемого металла, известный по условию
задачи), определяет распределение нормального
напряжения р на поверхности контакта бойков и деформируемого
слоя. Полученная функция р=р(х, у) позволяет найти об-
щую силу деформации Р, как равнодействующую, и точку
ее приложения на контактной поверхности. Интегрирование
уравнения (3.122) в общем случае не входит в рассматривав,
мую задачу. Оно будет решено во второй части учебника.
Обратимся к частному случаю — плоскому
деформированному состоянию и доведем решение в качестве примера
до конца. Выделим в слое деформируемого металла элемент
(рис. 3.21). Направление напряжений т предопределено тем,
что при обжатии слоя он растекается в стороны.
Дифференциальное уравнение равновесия элемента (сумма проекции
всех сил, действующих на элемент, на ось х равна нулю)
имеет вид dqldx=—2т/А. (3.123) Условие пластичности для
плоского деформированного состояния оц—a33=l,15as в
рассматриваемом случае р — g=l,15as. (3.124) Тогда
уравнение (3.123) можно записать в виде dp/dx=—2т/А.
(3.125)
Проинтегрировав последнее уравнение, задаваясь
законом трения т=фт5, где -ф — заданный коэффициент
трения, r5 = 0,58as, получим
p==—2ypxsx/h + c. (3.126)
Заметим, что т при х = 0 скачком меняет свой знак,
поэтому формулы (3.123) — (3.126) справедливы для 0<л;<я.
При х=а граничное условие следующее: <7 = 0, а вследствие
выражения (3.124) р=1,15сг5. Это позволяет определить
произвольную постоянную £==l,15as+2,i|rtsa//i и записать
частное решение в виде
p = l,l5os + 2y\>xs(a-x)/h, 0<x<a. (3.127)
136

Аналогично можно получить результат для левой
половины слоя (рекомендуется вычисления
сделать самостоятельно)
р = 1,15 os + 2o|rcs (а + x)/h9 — а < * < 0. (3.128)
Ha рис. 3.22, а приведена эпюра нормального
напряжения p=Pix)> действующего на слой со стороны верхнего
штампа.
f/iv;/а л / хх///////;м;
«Ж
J А\<Ср(г)
а _
77
S
Обратимся ко второму примеру. Пусть пластической
деформации подвергается слой, форма которого в плане ■—
круг диаметром d (рис. 3.23). Выделим элемент и изобразим
действующие на его грани напряжения. Условие
равновесия элемента в направлении г
qhrdtp • cos (d(p/4) — (q + dqldr • dr) h(r + dr) dcp cos (dcp/4) +
+ 2 (q + dq) hdr • sin (dq>/2) — 2t (r + dr/2) dqdr = 0. (3.129)
Если учесть, что4£os (dcp/4) « 1, sin(d(p/2) ttdy/2,
пренебречь бесконечно малыми высших порядков малости, чем
drdy, то уравнение (3.129) существенно упростится
dq/dr=—2x/h. ' (3.130)
Условие пластичности в случае деформации осесимметрич-
ного слоя
P-q = os. (3.131)
С учетом последнего дифференциальное уравнение (3.130)
примет вид
др/дг=—2т/к. (3.132)
Примем закон трения %=\хр, где \х — заданный
коэффициент трения. Тогда получим
dp/p ==— 2\idr/h.
137

Интегрирование последнего обыкновенного дифференциалы
ного уравнения с учетом граничных условий (при r = d/2,
q = Q, a p = os) позволяет получить формулу распределения
нормального напряжения на контакте с бойком
р = а8 exp [2|х (d/2 — r)/h]. (3.133)
Характер эпюры приведен на рис. 3.22, б. В теории ОМД
метод определения нормальных напряжений на контакте с
инструментом, в основу которого положена теория течения
тонкого слоя по жестким поверхностям, называют
инженерным методом.
Упражнения
1. Вывести формулу для нормального напряжения на боек при
осадке полосы в условиях плоского деформированного состояния, если
трение задано по закону Кулона т = [лр. 'Ответ: р= l,15o"sexp[2ji(a—
—x)lh] при 0<x<a\ p=ltl5Gsexp[2ix(a+x)/h] при — а<х<0.
2. Вывести формулу для нормального напряжения на боек при
осадке низкого кругового цилиндра, если трение задано по закону Зи-
беля t=o|?ts. О тв ет: p=os+i|rcs(d—2r)/h. *
3. Вывести формулу силы деформации для условий упражнения 2.
Ответ: P = as(l+0,i9\|^//i)rcd2/4.
Контрольные вопросы
1. Зачем необходимы физические уравнения связи напряженного
и деформированного состояний?
2. В чем принципиальная разница между упругими и пластическими
деформациями?
3. В каких случаях деформации может быть принята гипотеза об
изотропии?
4. Приведите опытные данные о сжимаемости материалов?
5. Насколько отличается тепловой эффект упругой и пластической
деформации?
6. Будут ли совпадать направления главных нормальных
напряжений с направлениями главных скоростей относительных удлинений, с
направлениями главных удлинений и почему?
7. В чем существо гипотезы о единой кривой?
8. В каких случаях справедлива гипотеза о единой кривой?
9. В чем существо гипотезы о пропорциональности девиаторов?
10. Что общего и в чем различие между теорией упругости, теорией
пластичности и гидродинамикой?
11. Сформулируйте и запишите закон сохранения механических
видов энергии.
12. Что выражает дифференциальное уравнение теплопроводности?
12. Что называется теплопроводностью, теплоемкостью?
14. Сформулируйте (запишите) уравнения связи а,-/ и ^ц.
15.- Сформулируйте полную систему дифференциальных уравнений
теории пластичности.
16. Запишите начальные условия для краевой задачи теории
пластичности.
17. Как заданы граничные условия для этой же задачи (в том
числе и температурные) ?
138

18. Может ли быть сформулирована краевая задача теории
пластичности так, что на части поверхности, ограничивающей тело, не будут
заданы ни vif ни /*?
19. Какие известны допущения, упрощающие задачу теории
пластичности?
20. Запишите условие идеальной пластичности во всех известных
формах.
21. В чем основная особенность метода Фурье, метода решения
некоторых дифференциальных уравнений в частных производных?
22. Какие функции называются функциями Бесселя, уравнениями
Бесселя?
Глава 4
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА: МЕТОД ЛИНИЙ
СКОЛЬЖЕНИЯ И БЕЗВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ
НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
Б настоящее время хорошо развита математическая теория
плоского течения или плоского деформированного
состояния. Для идеально пластичного несжимаемого материала
она разработана настолько подробно, что позволяет решить
практически любую технологическую задачу по расчету
напряженного и деформированного состояния с высокой
точностью. Метод решения этих задач называют методом
линии скольжения или методом характеристик. Первая
половина настоящей главы будет посвящена рассмотрению
этого метода.
Идеально пластичней материал — грубая абстракция,
от которой можно отказаться и точнее учесть реологические
свойства деформируемого материала. Однако для того,
чтобы справиться с математическими трудностями решения
необходимо ввести упрощение: например, принять течение
безвихревым, т. е. считать, что жесткого вращения частиц
нет. Решение задач плоского безвихревого течения
несжимаемого материала достигается с использованием теории
функций комплексного переменного. Этому будет
посвящена вторая часть настоящей главы.
Оба вида течения имеют определенный практический, а
также теоретический интерес. Результаты решения по
обоим методам (линии скольжения и с помощью теории
функции комплексного переменного) могут оказаться полезными
при отработке приближенных численных методов решения
более общих задач трехмерного течения.
139

4.1. Уравнение Генки и Гейрингер
В предыдущей главе была рассмотрена полная система
дифференциальных и конечных уравнений теории пластичности
для случая изотермического плоского течения без массовых
сил идеально пластичного несжимаемого материала.
Запишем еще раз эти уравнения [смысл последнего уравнения
станет ясен, если вспомнить гипотезу о пропорциональности
девиаторов для плоского течения несжимаемого материала
в котором следует учесть, что а= {(Ухх-\-оуу)/2, a £**=
=dvx/dx, lxy=dvxfdy+dvyfdx)]
dojdx + доху1ду = 0; доху/дх + дауу/ду = 0; (4.1)
dvjdx + dvvldy = 0\ (4.2)
(a —g )2 + 4o2 =4t2; (4.3)
V xx yy) ~ "xy ^s» v * '
(gxx — GyyV^xy = 4 (dvx/dx)/(dvx/dy + dvyldx). (4.4)
Уравнения равновесия (4.1) и условие пластичности
(4.3) образуют полную, или замкнутую, систему трех
уравнений относительно трех неизвестных — напряжений. За-
дачу, которую можно решить интегрированием одних
только уравнений равновесия вместе с условием пластичности
при граничных условиях, заданных в напряжениях,
называют статически определимой. В более сложных случаях
задания смешенных граничных условий, когда на границе
заданы напряжения и скорости, приходится рассматривать
одновременно все уравнения системы (4.1) — (4.4).
Рассмотрим уравнения (4.1) и (4.3), найдем общие
интегралы этих уравнений, которые называют уравнениями
Генки. Для этого сделаем замену переменных по формулам
аях = а —тв sin 2ф; 1
°ху = Ts C0S 2Ф. J
Легко убедиться, что такой выбор формул для
напряжений тождественно удовлетворяет условию пластичности, а
два уравнения (4.1) после подстановки выражения (4.5)
будут содержать две неизвестные функции координат а=^
=а(лг, у) и ф = ф(#, у). Покажем механический смысл
новых переменных а и ф. Смысл а очевиден. Если подсчитать
полусумму нормальных напряжений (4.5), то получим
(<Ухх + °УуУ2 = °> (4«б)
140

т. е. а в формулах (4.5) —это действительно среднее
нормальное напряжение. Для выяснения смысла ф рассмотрим
в некоторой точке деформируемого тела площадку главных
нормальных напряжений (аи или сгзз, поэтому напряжение
обозначено ац,зз), на которой нет касательных напряжений
и нормаль к которой п образует с осью х угол а (рис, 4.1).
Известно, что под углом ±я/4 к площадке главных
нормальных напряжений наклонены две площадки главных
касательных напряжений. На наклонной площадке, единичная
нормаль к которой п имеет составляющие щ (рис. 4.1, а),
поверхностные напряжения равны
В то же время /* = ац,зз пх\ fy = Oi\tzzny. Приравнивая
соответствующие выражения друг другу, получим систему
однородных линейных уравнений относительно ni(i=x, у)
(^-^1.33)^+^^=0;! (4J)
Р*А+(%-ап,ззК = °- )
Из уравнений (4.7) следует, что определитель этой
системы должен быть равен нулю, так как одновременно все
составляющие tit не могут быть равны нулю (площадки
главных нормальных напряжений обязательно существуют).
\°хх ап,зз °ху — о
Раскрыв определитель и решив полученное уравнение
относительно сгц,зз, найдем
141

Используя формулы (4.3) и (4.6), запишем последний
результат проще
^iif3ie=or±V (4'8)
Известно, что главное (оно же и максимальное) каса*
тельное напряжение, действующее по площадкам, наклсь
ненным под углом ±я/4 к площадке главных нормальных
напряжений, Tmax=(crii—ст3з)/2. Откуда следует, если
учесть уравнение (4.8), что Tmax=Ts.
Возвратимся к выяснению механического смысла пере-
менной ф. Исключим из системы (4.7) ац,зз, умножив пер*
вое уравнение на пу, а второе на —пх, и сложив
результаты, получим
°хх Пх % + Оху [4 — nD — Gyy Пх % = 0. (4.9)
Согласно рис. 4.1, а, п^ = соза, ny = cos{nf2—a)=sina.
Тогда условие (4.9) примет вид
tg2a = 2oxl//(axx-avy). (4.10)
Подставив в соотношение (4.10) значения напряжений
,'(4.5), получим, что tg2a=—с!ё2ф. Существенные корни
этого трансцендентного уравнения
<р = а±л/4. (4.11)
Итак, ф — угол наклона к оси х площадок, по которым
действуют главные (максимальные) касательные
напряжения. В каждой точке М деформируемого тела можно
указать в плоскости хоу два взаимно перпендикулярных на*
правления действия главных нормальных напряжений. Под
углом я/4 к этим направлениям проходят две площадки
главных (максимальных) касательных напряжений.
Переходя последовательно от точки к точке вдоль направлений
максимальных касательных напряжений, можно провести
через все деформируемое тело две линии, пересекающиеся
под прямым углом в точке М, которые называют линиями
скольжения. Рассмотрим все точки деформируемого тела И
их линии скольжения.
Полем линии скольжения называют бесконечно
густую сетку, образованную двумя семействами взаимно
ортогональных линий, касательные к которым совпадают в
любой точке с направлением максимальных касательные
напряжений.
Одно из семейств линии скольжения обозначим а,
второе (ортогональное к первому) р. За положительное на'
правление линии скольжения примем такое направление!
142

которое в каждой точке деформируемого тела дает
локальную правую систему координат (поворот
положительного направления линии а до совпадения с
положительным направлением линии р должен осуществляться на
угол я/2 против часовой стрелки). Угол ср в данной
точке—угол между осью х и положительным направлением
линии а, отсчитываемый против часовой стрелки.
Установив механический смысл новых переменных а и ф,
подставим значения (4.5) в дифференциальные уравнения
равновесия, которые превратятся в два дифференциальных
нелинейных уравнения первого порядка относительно
функции Ойф
до/дх — 2xs (cos 2ф • дц/дх + sin 2ф • dyjdy) = 0; 1 /4 12Ъ
до/ду — 2ts (sin 2ф • дц/дх — cos 2ф • дц/ду) = 0. { *
Эти уравнения (4.12) относится к так называемым
уравнениям в частных производных гиперболического
типа. Для них свойственно существование двух семейств
пересекающихся линий, называемых характеристиками,
вдоль которых искомые функции (© нашем случае о и ф)
связаны простым легко интегрируемым
дифференциальным соотношением. Изложенные ниже рассуждения во
многом свойственны всем уравнениям в частных
производных гиперболического типа. Характеристиками для
системы (4.12) являются линии скольжения.
Введем в произвольной точке М локальную систему
ортогональных координат SaMS$, причем направления MSa
и MS$ совпадают с касательными к линиям скольжения
аир соответственно. Учитывая, что направление 5а
играет роль направления^^, а Sp — у, а также, что отсчет угла
Ф следует вести от Sa и, поэтому ф=0, система (4.12)
приобретает вид
do/dSa — 2xs <VdSa = 0;
do/dSp+.2Tsd<p/aSp = 0,
или
d/3Sa (о-2т, q>)=0; |
й'&э(а + 2твФ)=0. J
Из этого вытекает важный результат, который был
поручен Г. Генки и называется уравнением Генки: вдоль ли-
нии скольжения а выполняется условие
°-2Teq> = £ = const, (414)
143
(4ЛЗ)

а вдоль линии р —
а + 2тв ф = л = const. (4.15)
Уравнения (4.14) и (4.15) являются общим интегралом
дифференциальных уравнений равновесия. Если в неко*
торой точке известны параметр g и т], то можно решить
уравнения (4.14) и (4.15) относительно а и <р и наоборот,
Следует заметить, что параметры | и г] остаются постояв
ными вдоль конкретных линий соответственно а и р. На
других линиях семейств а и |3 соответственно параметры
£ и г) будут иными.
Для решения задач полезно знать свойства линии
скольжения.
1. Вдоль линии скольжения изменение а
пропорционально изменению угла наклона касательной к оси х:
do/dSa = 2ts d<p/dSa; до/dS^ =— 2х$ ду/dSy (4.16)
2. Если переходить от одной линии скольжения к
другой вдоль любой линии семейства, например р от А\ к Аг
или от Л4 к Л3 (рис. 4.2), то <р и а будут меняться на одну
и ту же величину. Решая уравнения (4.14) и (4.15)
относительно а и ф, получим:
а = (Е + я)/2; Ф = (л-Е)/4тв. (4.17)
В точке Ль a='(£i+Tji)/2; ф= (r|i—Ы/4т5; в точке Лг-
о= (Ь+тц)/2; Ф= (Л1—Ы/4т5. Следовательно Аа= (^
—gi)/2; Acp = iii—Ы/4т5. С другой стороны, в точке А\-
a = il\+J\2)№ ф=(Л2—Si)/4ts; в точке Л3: а= (^г+Лг)/2'
Ф=(ч12—&2)/4ts. Следовательно, Да= (£2—Ы/2; Дф=^
= (£i—Ы/4т5, что подтверждает высказанное свойство-
Аналогично можно убедиться в справедливости этого
свойства, проследив за изменением а и ф при переходе о?
точки А\ к Л4 и от Ач к Л3.
3. Если задана сетка (поле) линий скольжения, а так*
же значение а в некоторой точке А, то а может быть вЫ'
144

числено всюду в поле, занятом сеткой линий скольжения
(рис. 4.3). Пусть С — произвольная точка на сетке линий
скольжения. В точке А можно подсчитать значение
параметров 1а и г]л, так как здесь задано а, а по заданным
линиям скольжения можно определить ф. Из точки А можно
попасть в точку С по пути, указанном на рис. 4.3
стрелками, делая при этом вычисления ов = —2т5фя+т1я; г\в=Ца\
1в~Ов—2т*ф5; ос=— 2т5фс+£в.
4. Если некоторый отрезок линии скольжения —
прямой, то вдоль него постоянны ф, а, |, т), оХХу аууу оху. А
если в некоторой области оба семейства линий
скольжения— прямые, то в этой области постоянны £ и т], а
напряжения распределены однородно. Действительно, на
прямой, являющейся линией скольжения, например
семейства, a, g=const и ф = сопб1, следовательно, а=2т5ф+£ =
=const. А так как a=const, то r) = a+2T^ = const. По
формулам (4.5) компоненты тензора напряжений
постоянны.
5. Если отрезок АВ линии скольжения, например
семейства р, прямой, то все соответствующие отрезки линий
р, отсекаемые линиями семейства а, проходящими через
точки Л и В, также прямые (рис. 4.4). По второму
свойству при переходе вдоль линий семейства р от линии а\
к линии а2 угол ф изменяется на одну и ту же величину,
это означает, что угол между касательными к линиям р
остается неизменным при движении от линии ai к линии а2.
Значит соседствующие с АВ в указанном смысле линии
будут тоже прямыми.
Известен еще ряд геометрических свойств линии
скольжения, однако органичимся использованием лишь
приведенных свойств.
Ю—382
145

Выше подробно было рассмотрено интегрирование диф.
ференциальных уравнений (4.1) и (4.3). Обратимся теперь
к поиску поля скоростей, для чего рассмотрим оставшиеся
два уравнения (4.2) и (4.4). Если использовать подста*
новку (4.5), то эти уравнения примут вид
2dvjdx + tg 2ф • (dvjdy + dvyldx) = 0; dvjdx +
+ dvy/dy = 0. (4.18)
Система уравнений (4.18) также относится к
уравнениям в частных производных гиперболического типа. Ее ха-
рактеристки — также линии скольжения.
Вновь в произвольной точке М деформируемого тела
введем локальную систему координат SaMS$. Пусть
направления Sa и Sp совпадают с касательными к линиям а
и р. Имея в виду, что в точке М угол ф = 0 (между линией
а и направлением Sa), а проекции скорости на
направления 5а и 5р соответственно можно обозначить 1>аиир,
уравнения (4.18) в локальной системе координат примут вид
2dvJdSa = 0; dvJdSa + dvf/dSfi = 0,
или
dvJdSa = 0; ■ dv^ = 0. (4.19)
Соотношения (4,19) показывают, что скорости
относительных удлинений вдоль линии скольжения равны нулю.
Но уравнения (4.19) не указывают на то, что va и v$
постоянны вдоль линий скольжения. Они были бы
постоянными, если бы речь шла о скалярных величинах, как это
было при выводе уравнения Генки (4.14) и (4.15), или
если бы дифференцирование велось в декартовых
координатах. Дифференцирование векторных величин в
криволинейных координатах осуществляется не так как в
декартовых, о чем можно прочесть во второй части настоящего
издания.
Представим уравнения (4.19) в иной форме, связав иХ
с углом ф. Рассмотрим бесконечно малый материальный
отрезок линии аД5а (рис. 4.5). Скорость относительного
удлинения этого отрезка
AvJASa = [{va + Ava) • cos (Дф/2) - (^ + Д^) X
x sin (Дф/2) — ya.cos (Дф/2) — v^ -sin (Acp/2)]/ASa « 0.
Проецирование скоростей в точках М и М' осуществ'
лено на направление хорды ММ', Если пренебречь бескс
146

нечно малыми второго порядка, учесть, что cosAq>/2«l;
a sin Аф/2«Дф/2, то последний результат можно записать
в виде Даа—ирДср^О. В пределе при М'-*М получим
dva—v$dy=0. Аналогичным образом для линии р можно
вывести из второго уравнения (4.19) соотношение dv$+
+ vad<p=0.
Итак, получены уравнения Гейрингер: вдоль линий
скольжения аир соответственно выполняются условия
dv —Vodw = 0; )
13 (4.20)
dv^ + va(kp = 0. j
Упражнения
1. Как изобразится поле линий скольжения в призматическом
образце, который подвергается одноосному пластическому растяжению или
сжатию в условиях плоского деформированного состояния? Ответ:
поле линий скольжения изобразится взаимно перпендикулярными
прямыми линиями, наклоненными под углом я/4 к оси растяжения или
сжатия.
2. Как изобразится поле линий скольжения в призматическом
образце, который подвергается пластическому чистому сдвигу в условиях
плоского деформированного состояния? Ответ: взаимно
перпендикулярные прямые линии, одно из семейств которых будет параллельно па-
правлению сдвига.
3. Чему будет равно а при условиях упражнений 1 и 2? Ответ:
a=±Ts при растяжении и сжатии и а=0 ири чистом сдвиге.
4.2. Конечно-разностный метод решения уравнений
Генки и Гейрингер
Весьма эффективным и универсальным методом решения
практически задач плоского течения идеально
пластичного несжимаемого материала является конечно-разностный
метод. При проведении расчетов приходится встречаться
стремя типами краевых задач.
Первая краевая задача (задача Коши) (рис. 4.6, а):
задана дуга MN, которая не является линией скольжения,
на ней известны а, ер, va и v$; требуется определить поле
напряжений и поле скоростей в окрестности линии MN и
Щ окрестность.
Дугу MN разбивают на ряд конечных отрезков. Точки
Деления (узлы) нумеруют (0,0), (1,1), (2,2) и т.д. Из
каждой такой точки выходит по две линии скольжения.
Определим сг и ф в точках (узлай) пересечения линий
скольжения. Возьмем произвольную точку пересечения с номером
(Ч п), которая лежит на пересечении линий скольжения,
проходящих через точки (m, ш) и {п, п) Вдоль линии
1Q*
147

(4.21)
скольжения имеют место соотношения Генки 14.14) ц
Х4.15), поэтому можно записать
G(m,m) 2Ts Ф(т,т) = °(т,п) *Xs Ф(т,я)»
СГ ч + 2т ф, ч = G, v + 2т ф,
(/г,/г) ' s т(/г,л) (m,/i) l ST(m,/j)»
Для определения примем, что MP линия семейства а,
а АФ — р. В этих линейных алгебраических уравнениях
°"^&Г^!'^^т "*
п
неизвестны лишь а(т п) и Ф(тп)
. Остальные величины
известны из краевых условий на линии MN. Решая систему
алгебраических линейных уравнений (4.21) получим
Ф<«.„> = (а(л.Я) - a(m,m))/4Ts + (ф(т,т) + Ф<*,п))/2' |
Таким образом можно найти а и ф во всех узлах сетки.
Зная о и ф, можно найти по формулам (4.5) все компоненты
тензора напряжений в узлах сетки криволинейного
треугольника MNP. Аналогично можно найти напряжения в
треугольнике MNO. Итак, задача Коши решается в
криволинейном четырехугольнике OMPN, ограниченном
линиями скольжения, проходящими через крайние узлы
линии MN. Определим координаты узлов — точек
пересечения линий скольжения. Дифференциальные уравнения
линий можно написать, используя следующие
соображения. Наклон касательной к линии скольжения семейства
а отсчитывается от оси х и составляет угол ф.
Следовательно, для линии семейства а, уравнение которой у=&
=у(х), можно записать
dr//dx = tg ф. (4.23)
148

Для линий скольжения второго семейства (J
дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx=tg {ср+я/2), или
dy/dx=—ctg<p. (4.24)
Заметим, что ф в дифференциальных уравнениях (4.23) и
(4.24) — это угол наклона касательной к линии а,
отсчитываемый от оси х против часовой стрелки. Для
численного расчета дифференциальные уравнения линий
скольжения заменим уравнениями в конечных разностях. Начнем
расчет с узлов соседних к заданной линии MN. Рассмотрим
например, узел с номером (0,1) Для линии, проходящей
через узлы (0,0) и (0,1), запишем уравнение (4.23) в
конечных разностях Ay/Axtttgy; (*/o,i—Уо,о)/(х0,\—х0,о)~
«tgcp. Значение ф на участке (0, 1) — (0, 0) принимаем
постоянным и равным среднему значению ф= (фо,о+Фол)/2.
Подобным образом можно в конечных разностях
записать уравнение (4.24) второй линии, которая соединяет
узлы (0, 1) и (1, 1). Получим два линейных алгебраических
уравнения относительно искомых величин
*<0.1> tg [(Ф(0.0) + Ф(0,1) У2] - У'(0.D =
= *(0.0) te [(Ф(0,0) + Ф(0.1> У2] — У'(0.0) 5
*<o.n ct2 [ (Ф(1.1) + Ф(0Л) У2] + У юл) =
= *<u> ct8[(Ф(1.1) + Фо,1))/2] + Уцл)> )
(4.25)
из которых можно определить *(o,i) и y(o,i) — координаты
узла (0,1). Можно таким же образом определить
координаты узлов (1,2) и (2,3) и т. д. для всего первого
соседнего с MN ряда. Затем можно найти координаты узлов
второго ряда. Так, точка (0,2) будет определена, если
записать в конечных разностях уравнения линий
скольжения, соединяющих ее с узлами (0,1) и (1,2), координаты
которых уже определены.
Задача для скоростей решается так. На MN из
условий задачи известны скорости va и v^. Тогда для узла
(О, 1) можно записать вдоль линии, скользящей узлы (0, 0)
И (0, 1), первое уравнение Гейрингер (4.20) в конечных
разностях
V,
а(0,1)
^(о,о)=^(Ф(0,1)-Ф(о,оо))- <4-26>
За величину t>P принимают среднее значение *а=(*э<ол) +
+оКо,0))/2 Вдоль линии, соединяющей узлы {1,1) и <0, 1),
149

справедливо второе уравнение (4.20), которое в конечных
разностях будет
^(0,1) - *3<1.1> =- (Ф(0.1) — Ф(1.1))(°а(0.1) + Va(L»)/2- (4.27)
Из уравнений (4.26) и (4.27) можно определить две
неизвестные: ya(0,i) и У£<о,1). Далее аналогичным образом
определяется скорость в узле (1,2) и т.д. во всем ряду
узлов по соседству с линией MN, затем в следующем ряду.
Решение задачи Коши для скоростей описанным выше
способом можно сделать для криволинейного четырех*
угольника MPNO.
Вторая краевая задача (задача Римана) (рис. 4.6, б):
даны две линии скольжения, пересекающиеся в точке О
(ОМ—a, ON—13), на них известны о, <р и нормальные к
заданным линиям скольжения скорости (на ОМ—vp, на
ON—va)'i требуется определить поля напряжений и
скоростей, в окрестности заданных линий скольжения и эту ок-
крестность.
Разделим заданные линии скольжения на некоторое
число малых дуг узлами, номера которых (0,0), (1,0),
(2,0),... на одной линии и (0,0), (0,1), (0,2),..,— на
другой. Тогда узел с номером (т, п) лежит на пересечении
линий скольжения, проходящих через узлы (т, 0) и (0, п).
Вдоль (0, п) — (т, п) имеет место соотношение а—2т5ср =
= const, а вдоль (т, 0) — (т, п) —a + 2x5(p = const.
Следовательно, можно записать
a(0,n) — 2ts Ф(0.п) = °(т,п) — 2Ts Ф<«, „) '.
°(т.0) + 2*s Ф(т,0) = a(m,n) + 2Ts Ф(«,й) •
Отсюда С(т,п) и ф(т,я) можно выразить через граничные
условия
Ф(«.«) = (Ф(«.0) + Ф(0„))/2 + (a(m,0)- ao,n)/4V>| 2g)
°(т,п) = (a(m,0) + a(0,«/2 + Ts (ф(«,0) ~ Ф(0.л))- )
После определения по формулам (4.28) а и <р во все*
узлах сетки линий скольжения находятся координаты
узловых точек по методу, аналогичному описанному выше»
Начиная с узла (1.1) можно записать
(</<1,1) - У(0Л) )/(*(!.!) "~ *(0.1) ) = tg [(^l.D + Ф(0,1) )/2]»
(У(1.1) —У(1,о)№(1.1> —x(i.o>) =—С*8[(Ф(1.1, + Ф(1.0)У2].
150

Из этих уравнений определяют X(itt) и t/(i,i). Затем
можно определить координаты узлов (2,1) или L(l,2) и т.д.
Предпочтительнее определять последовательно
координаты узлов вдоль одной линии скольжения, а потом
переходить к другой.
Рассмотрим частный (вырожденный) случай второй
краевой задачи, когда точка N стремится к точке О,
радиус кривизны одной из линий скольжения, например ON,
стремится к нулю, в то время как ф(л-)=^=Ф(0). Тогда точка
О является особой точкой — все характеристики
пересекаются в точке О (рис. 4.6, в). В этой точке напряжения о
однозначно не определены. Можно сказать, что в условиях
задачи дана линия скольжения ОМ и особая точка О.
Теперь ф(о,«) — угол между линиями ОМ и ОР в точке О;
Р — произвольная точка с номером (т, п).
Расчет можно начать с определения углов наклона
линий скольжения в узлах. По второму свойству линии
скольжения ф'(т,п) = ф(т,о)+Ф(о,л>—Ф(о,о). После этого
следует определить о на линии, например семейства р,
проходящей через узел (1,0). Для этого в узле (1,0) подсчитывают
ло формуле (4.15) параметр ц. Он остается постоянным
на всей линии семейства р, это дает основание подсчитать
0 в узлах линии, так как ф уже известно. Дальше решают
обычную вторую краевую задачу, в которой роль линии
скольжения ON играет линия р, проходящия через узел
(1, 0) (рис. 4.6, в). Метод вычисления координат узлов
тот же, что и ранее. Поле, заданное линией ОМ и особой
точкой О можно продолжить на любой угол вокруг точки
О, пока его не ограничат другие краевые условия.
Во второй краевой задаче задают нормальные
компоненты скоростей на характеристиках ОМ и ON (рис. 4.6, б).
На линии ОМ задана величина up, а на ON — иа.
Применением уравнения Гейрингер (4.20) вдоль граничных
характеристик ОМ и ON можно определить иана ОМ и up на
ON. После этого, заменяя уравнения Гейрингер
уравнениями в конечных разностях, определяют иа и up во всех
узлах сетки. Для узла (т, п) можно определить иа(т?п) и
0р(т,л), если уже известны иа и up в узлах (т—1, п) и
(т, п—1).
Вторую краевую задачу можно решить в
криволинейной четырехугольной области OMKN (рис. 4.6,6),
ограниченной линиями скольжения!
Третья краевая задача (рис. 4.6, г): дана линия
скольжения ОМ, на которой известны а, ф и нормальная к ОМ
составляющая скорости, кроме того, задана линия ON, на
151

которой известно только ф, а также, соотнои/ение между ь
и v$, требуется определить поля напряжений и скоросщ
в окрестности линии ОМ, ON и эту окрестность.
Для решения задачи линия ОМ разделяют на некото*
рое число дуг точками (0,0), (1,0), (2,0) и т.д., которые
определяют точки (1, I), (2,2), (3,3) и т.д. на линии OiV
Затем из точки (1,0) проводят линию скольжения, coot,'
ветствующую величине ф = ф0 в (1, 0), и определяют точку
Pi ее пересечения с ON (первое приближение). Далее на*
ходят фЬ соответствующее точке Р\ (ф на ON известно),
Теперь проводят из (1,0) линию скольжения, соответствуй
ющую ф=(ф0 + ф1)/2 и находят точку Р% (второе
приближение) и соответствующее ей значение ф2. Далее проводят
из точки (1, 0) отрезок, соответствующий ф=(фо+Ф2)/2и
т. д. Этот процесс повторяют, пока различие между
последовательными приближениями станет достаточно малым.
Определив в точке Рп (после n-го приближения) значение <р
можно в этой же точке найти и а, так как на линии
(1,0) — (1, 1) постоянен параметр £ (или г]), который, в
свою очередь, можно определить из граничных условий в
точке (1,0). В задачах этого типа уже нельзя независимо
определить а, ф, а потом координаты узловых точек;
расчет следует производить, определяя а, ф, х, у
одновременно.
Так как ф известно на ОМ и известно на ON, то может
оказаться, что величины ф на ОМ и ON в точке 0
равны, тогда имеет место поле, приведенное на рис. 4.6, г.
Если же эти величины неравные и направление линии а к
кривой ОМ в точке О лежит внутри угла NOM 1, то точка
О особая (рис. 4.6,(9). В угле MfOM имеет место
вырожденная вторая краевая задача, а в угле NOM/ —
рассматриваемый тип задачи.
Относительно определения скорости можно сказать
следующее. Если на ОМ (рис. 4.6, г) дан нормальный
компонент up, а на ON соотношение между у« и Ур в виде
f(va, ^р)=0, то задача имеет решение, если точка О не
является особой. При численных расчетах применяют уже
рассмотренные уравнения в конечных разностях.
Например, для точки (1, 1) на линии ON система уравнений длЯ
определения ua(i,i) и yp<i,i) имеет вид
*0<Ы)- yP(i.o) — Кы) +"«(1.0) (Ф(1.1) - Ф(1.0))/2; |
i Здесь принято, что линия ОМ принадлежит семейству а,
152:

После определения механических переменных в точке
л 1) может быть решена вторая краевая задача для
полосы, заключенной между характеристикой ОМ и
характеристикой, проходящей через точку Рп. Затем задачу ре-
шают для точки (2,2) и вновь рассматривают в
следующей полосе вторую краевую задачу и т. д.
Позже будет приведено решение ряда задач с помощью
изложенных выше численных методов.
Упражнения
1. Линия MN в задаче Коши — прямая (рис. 4.6, а), на которой о
и ф постоянны. В какой области достигается решение задачи и чему
оно равно? Ответ; решение достигается в прямоугольнике,
диагональю которого будет линия MN, линии скольжения — взаимно
ортогональные прямые линии, напряженно-деформированное состояние —
однородное (постоянное) внутри прямоугольника.
2. Линия ОМ в задаче Римана — прямая, точка О — особая (рис.
4.6,б). В какой области достигается решение? Ответ: в секторе;
линии скольжения прямые, исходящие из точки О, которая является
центром дуг концентрических окружностей, которые являются вторым
семейством линии скольжения.
4.3. Условия на внешней и внутренней границах.
Разрывы поля скоростей
Численное решение задач методом линий скольжения
начинается обычно с внешней границы S деформируемого
тела или с внутренней границы Sg, которая разделяет очаг
пластической деформации Va (часть тела перешедшую в
пластическое состояние) и часть тела остающуюся жесткой,
не деформирующейся пластически Vh(V=Vdl}Vh).
Граничные условия на внешней границе для задач,
решаемых методом линий скольжения, задаются либо в
скоростях— на Sv, либо в напряжениях — на S/. В
декартовых координатах они'записываются в виде
VAf€S,i>,=i>;; (4.29)
vMesfG..n* = rp (4.зо)
где t, /=аг, у; Sv{]Sf = S.
Механические переменные в методе линий
скольжения—это va, up, оиф. Граничные условия (4.29) и (4.30)
Для них должны быть преобразованы к этим механическим
беременным. Так, граничные значения для скоростей в
Криволинейных ортогональных координатах,
образованных сеткой линий скольжения аир,
(4.31)
*'Де i'=a, р.; *=*, У\ Yn=cos \i\ i).
153

Обратимся к граничным условиям на Sf 'для перемен,
ных о и ф. Напомним, что граничные условия на Sf—-Ли'
нии С {рис. 4.7) задают вектором поверхностного напря,
жения f* с компонентами fх и f у. Линия С задана, поэто.
му можно подсчитать компоненты нормального и касатель
ного напряжений
П,=УпП> (4.32)
где T=v,t; i=xt у; y*ri=cos. [i'f i).
В формуле (4.32) коэффициенты у*,, известны
(отмечены звездочкой), так как контур С задан и известен
косинусы между нормалью и касательной, с одной стороны,
и осями декоративных координат — с другой. В формуле
(4.31) направления а и р на контуре С не известны.
Известно, что компоненты вектора напряжения на заданной
границе можно записать в виде (/t- =Oijn], где i, j=x, у):
IX
°хх'К + °хуП*у'>
I у ^ ху х * "уу У
В то же время, как
следует из рис. 4.7,
'v Iх lx \ IуV
'т ' х у п ' у х'
Следовательно,
'V хх х [ уу у ' ху х у*
'? \ УУ хх) х у~ ху\ х у)'
Имея в виду, что n* = cos y*> n*y=siny*9 (рис. 4.7) поЛУ"
чим 1
fl = °хх cos2 у* + ouu sin2 у* + (Т sin 2f ;
уу
ху
Подставим в последние выражения компоненты тензор3
напряжений, выраженные с помощью формул (4.5) чере3
новые-переменые оиф, тогда получим
1 Не следует путать угол у* и коэффициенты в уравнении (4.^'
154

/; = <т- rssin 2 (ф-v*);
/; = tscos2(cp-Y*).
(4.33)
Граничные условия для а* и ср* на контуре С или на Sp
определяется из решения уравнения (4.33) относительно
я и ф. Заметим, что а* и ф* (а, следовательно, и
напряжения Охх, ОуУ, оХу) определяются из уравнения (4.33)
неоднозначно
Ф* = V* ± (arccos/*/rs)/2 + тп-Л
a* = /; + Tssin2(9*-f),
(4,34)
где под arccos понимают его главное значение, am —
произвольное целое число 0, ±1, ±2,.... Для выбора знака и
числа т необходимы дополнительные условия, которые не
формализованы, и их следует заимствовать всякий раз из
механического смысла задачи.
В частном случае, когда на контуре касательное
напряжение /*=0, формулы (4.34) упрощаются
ср* == у* + л/4 + тл;
а* = /•+. х .
'V — S*
(4.34,а)
Они становятся еще проще, если на контуре С вообще
отсутствуют поверхностные напряжения {/*=/* = 0)
Ф* = Y* ± я/4 + тщ
(0,0)
(4.34,6)
4iv
Пластическая
область (т,т)
а
Жесткая
область
уХт+^т-И)
Жесткая7
область
&=var
Пластическая
области
rs=cpnsty
Обратимся к условиям на внутренней границе между
Жесткой и пластической областью деформируемого тела.
Пусть Sg — граница раздела жесткой и пластической
части тела (рис. 4.8). Предположим, что Sg не совпадает с
линией скольжения, а в жесткой области v = Q, т.е. vx=*
==Uy=Ucc = yp=0 (последнего можно добиться наложени-
155

ем переносного движения, обратного движению жесткой
области).
Решим задачу Коши для скоростей в пластической об*
ласти.
Уа(т,/п+1) ^a(m+l,m+l) = (УР(т,т+1) '
"•" УР(т+1,т+1 )(Ф(т,т-И Ф(т+1.т+1) У »
У13(т,т+1) U(3(m,m) ==~"~ Га(т.т-Н) "Г"
+ Уа(т,т )(ф(т.т+1) ~ Ф(т,т))/2'
(4.35)
Ограничимся случаем непрерывного поля скоростей,
Если в жесткой части тела va = v$=0, то это условие дей-
ствует и на границе Sg. Значит va(m,m) = ир(т,от) =
= Уо(т+1,т+1) = ир{«+1,т+1)=0; тогда уравнение (4.35)
примет вид
ya(m,m-H) — (ф(т,т+1) Ф(/я+1.т+1) ) *У3(т,т+1) '^ = УМ /^ ggv
(ф(т,т+1) Ф(т,т).) Уа(т,т-Н)'^ + V$(m,m+\) = "' J
Уравнение (4.36) образуют систему линейных
однородных уравнений, определитель которой при достаточно
малых расстояниях между точками с номерами (/n+1, т+1)
и (m, т+1) а также (т, т) и (т, т+1).
1 — (ф(те,т+1) — Ф(т+1.т+1) )/S
(ф(т,т+1)—Ф(т,т))/2 !
*0.
Следовательно, в окрестности границы Sg со стороны
пластической области в любой произвольной точке с
номером (m, m+l)ua(m,m+i, =yP(mtm+1) =0, т. е. в пластической
области нет течения. Но это противоречит предположению.
Следовательно, предположение о том, что граница Sg
между жесткой и пластической областями не совпадает с
линией скольжения, не верно. Линия Sg должна обязательно
быть линией скольжения или огибающей линий
скольжения.
Итак, пусть линия Sg — граница пластической области,
отделяющая ее от жесткой части тела; Sg является линией
скольжения, например а (рис. 4.9). По определению н0
линии скольжения касательное напряжение равно ттах=^
= ,(011—сг3з)/2=т5. Нормальное напряжение на площадке,
на которой действует tmax, равно (см. гл. 2, п. 2.3) (ац +
;+а3з)/2 = а.
156

Следовательно, на границе пластической и жесткой
областей касательное напряжение постоянно и равно /т=т5;
нормальное же к границе напряжение равно /v = o и
изменяется вдоль границы в соответствии с уравнениями
Генки. Установленные выше и изображенные на рис. 4.9
условия на внутренней границе были получены для
непрерывного поля скоростей.
Рассмотрим второй случай, когда на линии раздела
жесткой и пластической областей Sg поле скоростей имеет
разрыв. Разрыв
(скачкообразное изменение) скорости при
прохождении взгляда
наблюдателя через линию Sg может
быть лишь в касательной
составляющей vt (рис. 4.10),
ибо разрыв в нормальной
составляющей означает
появление пустот или бесконечно
большого сжатия материала, а
этого не допускает условие
несжимаемости. Границу Sg можно при этом представить как
предельное положение тонкого слоя при Д/г-Я), где п —
нормаль, t—касательная (рис. 4.10). В нем касательная
скорость vt изменяется по толщине быстро, но непрерывно,
а нормальная vn почти постоянна. Очевидно, что с
уменьшением толщины слоя А/г при постоянном перепаде Avt
скорость сдвига gnt будет неограниченно возрастать
1т = (dvjdt + dvt/dn)/2 = lim (dvjdt + Aut/A/i)/2 =
Лл-*0
= (dvJdt)/2 + lim [ffi— uj-)/2A/i] = oo, (4.37)
Art->0
в то время как остальные компоненты скорости
деформации будут почти неизменными и ограниченными»
Следовательно,
H=2l/gll +6i=oo. (4.38)
Определим касательную составляющую тензора
напряжений из физических уравнений аЛ/=2тв6л//Н.
Как следует из равенств (4.37) и (4.38), при Дл_0
2уы = lim {[dvjdt + {vf-vT)l^n]l2 х
Д/г-0
Следовательно a«/=ts.
157

Итак, линия разрыва скоростей является линией сколь,
жения, либо огибающей линий скольжения. Внутренняя
граница между жесткой и пластической областями всегда
является линией скольжения или огибающей линий сколь*
ОтСения.
Описанные рассуждения и выводы могут быть повторно
приведены в случае, если линия разрыва скоростей L не
совпадает с границей жесткой и пластической частей
тела Sg. Так как линия L — это линия скольжения, например,
семейства а, то в дальнейшем можно писать vn=v$y vt^
= va. По условию существования разрывов на линии I
может терпеть разрыв только va (если L совпадает с
линией а). Из уравнения Гейрингер, интегрируя его вдоль
линии L, первый раз оставаясь все время правее и выше
линии (рис. 4.10), т. е. в области, отмеченной знаком «+»,
а второй раз — в области со знаком «—», имеем
fa = J^d9 + ^;
Va =§vj dq> + с2.
Интегралы в правой части этих выражений будут
одинаковы, так как нормальная составляющая не терпит
разрыва v~p=vp~. Следовательно, и+ — v~=c\—c2 = const.
Скачок скорости в касательной составляющей вдоль линии,
разрыва скоростей остается постоянным.
Подсчитаем приращение степени деформации сдвига,
которую получает частица при пересечении линии разрыва
скоростей. Пусть частица, двигаясь по некоторой
траектории в очаге деформации, в некоторой точке вышла на
линию L разрыва скоростей. Известно, что линия разрыва
скоростей схематично представляет собой полосу сильных
сдвиговых деформаций (рис. 4.10). Интенсивность
скоростей деформации сдвига в этой полосе определяется
компонентом Int. В то же время, как следует из выражения
(4.37), |я*«(а+—vf)/2An. Следовательно Н«|и+—уН/ДЯ.
Тогда при пересечении частицей поверхности разрыва при-
ращение степени деформации сдвига (Л= f Hdt) имеет виД
ДЛ = [| vt - vT | /Д*](Д/i/i; J = | Ья)% | /vn,
где принято, что H = const, а &n/vn — время пребывания
частицы в пределах слоя сильных сдвиговых деформаций.
Упражнения
1. При внедрении плоского штампа в пластическое
полупространство (рис. 4.11) области правее и левее штампа будут в состоянии пластй-
158

ческого течения. Если решение начать с линии НС и DE> то как
запишутся на них граничные условия (4.34)? Ответ: ф* = ±л/4-Ьтл;
а*=—Ts (по смыслу задачи в этих областях будет сжатие вследствие
вытекания металла из-под штампа).
2. Как запишутся граничные условия для а* [второе равенство в
условии (4.34)] на поверхностях, на которых fv=fT = Oy в примерах на
рис. 4.12. Ответ: для а, б, в, д, е о* =—т3; для г а*=+т8.
4.4. Внедрение жесткого штампа
в пластическое полупространство
Рассмотрим задачу о наступлении пластической
деформации в поверхностном слое массивного тела с плоской
границей АВ, в которое внедряется со скоростью v0 жесткий
Штамп шириной 2а*(рис. 4.11). Полагаем, что трение на
Поверхности контакта отсутствует. Следует определить
глубину проникновения пластической деформации,
потребную для деформации силу, интенсивность деформации в
: 159

различных местах пластической зоны, найряженпое. Со>
стояние.
Из курса «Металловедение» известно испытание металлов
на твердость. Задача о внедрении жесткого штампа, буду,
чи решенной, дает математическую модель этого испытания,
Испытание на твердость теперь имеет особое значение,
У большинства видов продукции цехов по обработке
металлов давлением регламентированы механические свой*
ства. Для их определения перед сдачей готовой продукции
отбирают отрезки готовых изделий, из которых делают
стандартные образцы для проведения механических испьь
таний. При этом задерживается отправка продукции
потребителю, на испытание расходуют металл в виде годных
изделий и трудовые средства. Между показателем
твердости металла и некоторыми его механическими свойствами
существует довольно тесная связь. Если ее установить, то
можно будет судить о некоторых механических свойствах
изделий по результатам их испытаний на твердость в
потоке производства без отбора образцов. Естественно
возникает возражение, что внедряя, индентер при испытании
на твердость, изделие в некоторой своей части из-за
дополнительной пластической деформации будет менять свои
свойства. На вопрос, какова протяженность зоны влияния
индентера на изделие позволит ответить приведенная ниже
математическая модель испытания на твердость.
Задачи, решаемые далее, представляют интерес также
и для техники обработки металлов давлением.
Практикуется упрочнение поверхностного слоя массивных деталей
пластической деформацией за счет обкатки поверхности
роликами или за счет иного воздействия инструмента. При
производстве некоторого вида штамповок имеют место
операции выдавливания канавок и т. п. Рассматриваемое
ниже решение относится к самым ранним работам по
плоской задаче и выполнено в основной своей части Г. Генкй
и Л. Прандтлем.
Перед решением задачи сформулируем граничные
условия. На свободных поверхностях АС и DB отсутствуют
внешние нагрузки (поверхность типа Sf, на которой fx ^
=f*y—f*v=f*x=0). На контактной поверхности (типа Ss)
задана нормальная составляющая скорости v*v = v*y=—vo
и условие трения /*=0. Пластической деформацией будет
охвачена также зона, не находящаяся непосредственно поД
штампом, а прилагающая к нему. В этой зоне будет иметь
место состояние сжатия за счет вытекающего из-под штам*
160

па металла. Граница DE' свободна от поверхностных
напряжений (в силу симметрии решение составим для
правой части). Согласно выведенным выше граничным
условиям ,(4.34), на линии DE' имеют место значения ф* =
= ±jt/4+mn, а*=—xs. Линии скольжения, наклон которых
к оси х ф*=я/4, назовем линиями семейства а
(последующее решение покажет, что выбор ф* = я/4 сделан удачно).
Нам пока еще неизвестно положение точки Е'— крайней
точки очага пластической деформации.
Итак, задание на линии £>£/ф*=:гт/4 и о* =—xs
позволяет решить в треугольной области DE'F' задачу Коши.
Если обратиться к формулам (4.22), то можно видеть, что
в любой произвольной точке области DE'F' а и ф остаются
постоянными и равными а=—т5, ф=я/4. Это означает, что
в треугольной области DE'F' линии скольжения прямые, а
названная область представляет собой равнобедренный
прямоугольный треугольник. Напряжения в этой области
[см. формулы (4.5)] имеет вид охх = —1,15 os) оуу = 0;
Рассмотрим теперь область под штампом. Линия CD—
площадка главных нормальных напряжений, так как f*x=0.
В силу первого условия (4.34) ф* = ±я/4+тя, т. е. линии
скольжения наклонены к горизонту под углом ±л/4 на всей
линии CD. В точках С и D, соответствующих кромкам
штампов, нормальные к поверхности полупространства
напряжения изменяются скачком (вне штампа резко падают
до нуля). Как известно (гл. 4, п. 4.2), такие точки являются
особыми точками, из них выходит пучек линий скольжения.
Но одна из линий этого пучка — это прямая DEF'. Значит,
в соответствии со свойством 5 линий скольжения (см. гл. 4,
п. 4.1), все линии скольжения, принадлежащие пучку, —
прямые. Естественно, что второе семейство линий
скольжения, ортогональных линиям пучка, — дуги концентрических
окружностей. Итак, из особых точек С и D, как из центров,
построены круговые секторы сеток линии скольжения. В
секторе решается вырожденная задача Римана, так как
дана линия скольжения DFy на которой известны а и ф, а
также особая точка D.
Дальше решается третья краевая задача: дана линия
скольжения DG, на которой уже определены а и ф, и линия
CD, не являющейся линией скольжения, на которой
известно ф. Опять в силу свойства 5 линий скольжения одно из
семейств линий в треугольнике CDG — прямые, так как
^иния DGy принадлежащая семейству, — прямая.
Поскольку все линии скольжения упомянутого семейства пересека-
П—382 161

ют отрезок CD под углом я/4, то третья краевая задаЧа
решается в равнобедренном треугольнике CDG, а угол при
вершине D сектора DGF равен я/2.
Итак, выбрано поле линий скольжения. Линия CGFE
является крайней линией, определяющей границу очага де.
формации GFE. Участок FEE'F' к полю линий скольжения
не принадлежит, в этом месте нет пластического течения.
Поскольку на линии DE а*=—xs, то в силу свойства 3 ли*
ний скольжения во всем поле линий скольжения можно
подсчитать а. Вычислим значение а для области CDG,
Вдоль линии а параметр £ в уравнении Генки (4.14) оста*
ется постоянным, следовательно а—2%s (—я/4) =—xs—
—2т5(я/4), откуда cr=—xs (1+я). Следовательно, в обла-
сти CDG напряжения такие (для линий а в области CDG
<р=— я/4); охх=— т5я; oyy=—ts (2+я); оху=0.
Сила внедрения штампа в расчете на единицу его длины в
пластическое полупространство
Р = 2axs (2 + я). (4.39)
Нормальное напряжение на контакте штампа составит
/v=2,96 Os, т. е. почти в три раза больше, чем при
одноосном сжатии (/v=as). Для того чтобы штамп оставался же-
стким, его предел текучести должен быть в 2,57 (2,96/1,15)
раза больше, чем у материала деформируемого
полупространства. Формула (4.39) позволяет определить xs
испытываемого материала в условиях производства без отбора
образцов. Действительно, для этого достаточно замерять силу
внедрения индентера Р и знать его размер а.
Завершим определение напряженного состояния в
области DFG. На прямых линиях скольжения семейства р, в
силу четвертого свойства а, ф, охх, ауу и оху остаются
постоянными. Изменения напряженного состояния будут
происходить вдоль линий семейства а. На линии DG параметр £ =
= — xs (1+я)— 2xs(—я/4)=— Xs (1+я/2). На некотором
радиусе под углом г|э к DG о—2xs (—я/4-Ьг|?)=£.
Следовательно, на этом радиусе a=—xs (1+я)+2т51{). Итак, в
области DGF а меняется пропорционально углу г|), его
значение позволяет определить по формулам (4.5) все
компоненты тензора напряжений.
Найдем распределение скоростей. Под штампом —
однородное деформированное состояние, которое описывается
формулами
vx = v0 х/а; Vy=—v(y(l + у/а);
hx = v</a; lyy =— vja\ I = 0.
162

(4.40)
установим ограничения» накладываемые на скорости
0 и t>|$ в связи с граничными условиями v* =—v0 при х =
^а...+а и у = 0. На рис. 4.11 видно
Ч \CD ^Vx\cd «*<*'*) ~ *„ |CD C0S (*'*) =
V& \CD = Vx \CD C0S (Я/4) + Vy \CD C0S (Я/4) =
^v0(x/a—l)/V2.
Здесь и дальше x — абсцисса точки на линии CD, из
которой исходит линия скольжения, соответственно а и р. В
треугольной области CDG линии скольжения прямые.
Тогда в силу уравнений Гейрингер dva—v$d(p=0; dv$-\-
+0ad<p = O получается t>a=consi вдоль линии а и vy =
=const вдоль линии р, так как на прямой линии
скольжения d<p=0. Если учесть условия {4.40), в треугольнике
CDG поле скоростей будет (на линиях аир
соответственно)
хь = 1Ь(х/а+1)/У2; ) (4 41)
Обратимся к области GFED.'B ней линии семейства
Р — прямые. На границе области, на линии GFEy 2^=0.
Следовательно во всей области 1г>=0 (4.42). Из первого
уравнения Гейрингер (4.42) вытекает, что dva=0 или v* =
=const. Так как va на границе DG области известно (см.
первую формулу (4.41)], то в четырехугольнике GFED
va = vo(x/a + l)/V2^ (4.43)
Итак, определено поле скоростей. Пластической
деформацией охвачен участок, ширина которого в три раза
превышает ширину индентера, а глубина проникновения
деформации равна а у 2. Очаг пластической деформации
Имеет границу по линиям EFGH. Компоненты тензора
скорости вычисляются просто. В треугольнике CDG они уже
Вычислены.
В секторе %ц удобнее вычислять в цилиндрических ко-
°рдинатах по формулам (3.74). Поскольку va и ор
определены формулами (4.42) и (4.43), то иг=.ир = 0, а иф = уа =
^v0(x/a-\-l)/ У2. Если £—это абсцисса точки, в
которую выходит на CD (рис 4.1£) линия скольжения, тогда
^ (а—х)1 У 2 или * = а—г|/2. Итак, в секторе
U*
163

Or = 0; уф = v0 [(a — r V2 )la + 1 ]/|/2; /
rr '<рф »
Егф =— v0{l/V2r— \la) =—Vox/a(a — x).
В треугольнике FDE можно принять декартову систем*,
координат: FD—y'-y FE—x'. Тогда у
V* = 0О (*/« + 1)/К2; гу = 0.
Но так как f/r+r=a- у"2, или y, = {a±x)JV\ то
Эту же задачу — внедрение штампа в пластическое по.
лупространство — позже рассмотрел Р. Хилл. Результат
его решения (рис. 4.12, а) несколько отличается от рас-
смотренного {рис. 4.12, б), но не уступает ему по строгости.
По Р. Хиллу очаг пластической деформации ограничен
линиями скольжения KOL (рис. 4.11), сила же внедрения
совпала в найденной Л. Прандтлем. Этот пример показывает,
что решение круга задач, присущего данной главе,
изложенным в этой главе методом не обладает единственностью.
В то же время нельзя не заметить, что решение краевых
задач, описанных в п. 4.2, в большинстве случаев должно
быть единственным1.
Подобно рассмотренному решению задачи о внедрении
жесткого штампа в пластическое полупространство можно
самостоятельно решить задачи, изображенные на рис. 4.12,
в, г, д, е, для которых показаны поля линий скольжения.
4.5. Волочение с малыми обжатиями полосы
через гладкую волоку с прямыми образующими
Рассмотрим волочение полосы сквозь суживающуюся щель,
которая образована, с одной стороны, волокой, а с
другой, — оправкой. Решение сделаем для волочения без
трения, т. е. полагая, что инструмент (волока и оправка)
абсолютно гладкий (рис. 4.13). Полоса испытывает
пластическую деформацию — толщина уменьшается с so до S\. УгоЛ
наклона образующей волоки равен б. В некотором
отдалении от щели части полосы движутся, подобно твердому те-
1 Пока еще не сформулированы теоремы, показывающие рубеж, з^
которым решение рассматриваемых в данной главе задач перестае?
быть единственным.
s
164

лу> со скоростями Vo и v{. Движение полосы стационарное.
Вследствие несжимаемости материала скорости связаны
условием Vq==v{Si/so. В решении принято, что вдоль АВ
поверхностное нормальное напряжение fv постоянно.
Решение покажет, что при этом допущении удовлетворяются все
условия.
Задача может быть истолкована как задача о волочении
тонкостенных труб 1 на оправке 2 через волоку 3 (рис.
4.14). Тонкостенными можно считать трубы, толщина
стенки которых не превышает 10 % диаметра. Течение металла
при деформации таких труб будет мало отличаться от
плоского деформированного состояния. Сила волочения Р
приложена к телу трубы. Она зависит от деформации:
по-видимому, чем больше обжатие 1—sjs0, тем больше требуется
сила. Предельным значением силы волочения будет (на
единицу периметра) P* = l,15 ossu при котором выходящий
конец трубы перейдет в пластическое состояние и труба
порвется. Этому предельному значению силы будет
отвечать при данном угле наклона образующей матрицы
некоторое предельное обжатие: Важно знать его, чтобы
осуществлять волочение по возможности с большими обжатиями
за один проход, но без опасности обрывов. Обрывы влекут
за собой потерю производительности и металла. Низкие
обжатия также нежелательны, так как требуют
увеличенного числа проходов волочения при фиксированных
размерах заготовки и готовой трубы.
Коль скоро принято, что на АВ /v=const, а /*=0, в
треугольнике ABC на рис. 4.13 имеет место однородное
напряженное состояние (на том же основании, что и в
предыдущей задаче в треугольника GDC на рис. 4.11). Вдоль АС
И ВС присоединяем центрированные поля ACD и ВСЕ,
примем углы Э и г|) пока неизвестны. Для четырехугольника
CEOD имеем вторую краевую задачу по данным на линиях
165

скольжения CD и СЕ. Точка О лежит на поверхности кон>
такта с оправкой, а линии скольжения в этой точке накло>
нены к оси волочения под углом я/4. Это условие позволяет
установить связь 6=ip—0. Действительно, в треугольник^
ABC для линий а ф=—б—я/4. Величину пока неизвестно,
го среднего нормального напряжения в ABC обозначим о',
параметры g и ц в этом треугольнике постоянны и соответ!
ственно равны [см. уравнения (4.14) и (4.15)]
Г = а'+ 2т, (6 +я/4);
Я'=а' —2тв(6 + я/4).
Далее, в области ACD параметры rj = const=y)/ вдоль
линий р; вдоль прямой AD ф==—б—я/4—0, а среднее нор.
мальное напряжение о" постоянно. Приравнивая соответ-
ствующие значения ц по второму уравнению Генки (4.15)
а" — 2ts (б + я/4 + в) = о' — 2т5 (б + я/4),
получим ct72ts = g72ts+0. В точке D £d = g"+2ts (6+
^+^/4+0), или
%D = а' + 2ts (б + я/4 + 20). (4.44)
Аналогично для области ВСЕ g = const = £' вдоль линий
а; на прямой линии BE а постоянно и равно а"'=а'-\-2х$%
Тогда в точке Е имеем ti£=g///+2ts (—6—я/4 + гр)
или т|В = a'-HZts (—б—я/4+2г|>). (4.45)
Наконец, в точке О ф=—я/4, а aD — неизвестное среднее
нормальное напряжение. Соответствующие значения
параметров I и г] в точке О
I =<тп + 2т я/4; )
Ь° ° s (4.46)
Но вдоль ЛОО £ = const, вдоль же BZTD ц = const,
следовательно £o = £d, а г]о=т1е. Приравнивая
соответствующие значения уравнений (4.44) — (4.46), получим
ао = а' + 2т5(б + 20);
а0 = а' + 2т5(-б + 2г|)),
откуда б=^—О-
На правой границе очага деформации (линии ВЕО)
\LdS = P,
ВЕО
166

а на левой границе ADO
UxdS = 0,
ADO
если левая часть полосы не испытывает действия внешних
сил. Легко видеть, что P=fv (so—Si).
Искомое нормальное напряжение на АВ fv и один из
углов (например 0) находят по условиям, что сумма
горизонтальных составляющих
поверхностных напряжений по линии ADO ?/р*
равна нулю, а точка О лежит на °>5-
осевой линии. Это требует числен-
ных расчетов, если решение для че- '
тырехугольника DCEO достигается
конечно-разностным методом. На '
рис. 4.15 приведены результаты
расчетов, выполненных Р. Хиллом, от- '
носительной силы волочения по- qj
ЛОСЫ. 0,7 0,2 0,5 0,4
Покажем, что поле скоростей '7-sf/sa
согласуется с полученным полем
напряжений. На ADO и ВЕО
нормальные составляющие скорости непрерывны и,
следовательно, известны, ибо заданы скорости движения жестких
частей; по этим данным на DO и ЕО определяем поле
скоростей в четырехугольнике ODCEy т. е. решаем вторую
краевую задачу. Далее находим скорости в
центрированных полях. После решения второй краевой задачи на DC
будет известно значение va, которое в центрированном
поле остается постоянным вдоль радиусов. Аналогично на СЕ
будет известно up, которое будет оставаться неизменным на
каждом из радиусов центрированного поля в СВЕ. Вдоль
Прямых AD и BE нормальные составляющие скорости
постоянны, тогда согласно уравнениям Гейрингер на прямых
4С и ВС нормальные скорости также постоянны. Это
означает, что в треугольнике ABC va и v$ будут постоянны и он
будет двигаться как твердое тело.
Поле скоростей удовлетворяет условию несжимаемости.
Благодаря принятому соотношению между скоростями
правой и левой частей полосы v0So = V\Sit поток массы через
ADO равен потоку через ВЕО, поэтому поток через АВ
должен равняться нулю. Так как в треугольнике ABC скорость
Постоянна, то она направлена вдоль линии контакта АВ,
Что является необходимым условием правильности поля
167

скоростей. Заметим, что касательная составляющая скоро,
сти вдоль линий скольжения ADO и ВЕО разрывна.
Значения скорости перемещения частиц в узловых точч
ках сетки линий скольжения, координаты этих точек и углы
Ф позволяют вычислить средние по ячейке (рис. 4.16, б)
значения компонент тензора скорости деформации в декар.
товых координатах.
Начнем с 1УУ. Рассмотрим интеграл f (dvy/dy)dS. Здесь
5 — площадь ячейки, верхний контур которой у=у2(х),а
нижний у=у\(х) х{1) и х(3) — абсциссы узлов 1 и 3 ячейки
на рис. 4.16, б. Очевидны следующие преобразования
*(3) Гу2(х) 1
$(dvy/dy)dS = J } (dvy/dy)dy \dx =
S *(1)|_1М*> J
*<з>
= f Ivy (x, y2 (x)) — vy (x, yt (x)] dx =
= f vu (x, y2(x))dx— f vy (x, y1 (x))dx =
(123) (143)
= f vy (xy y2 (x)) dx + f vy (xt yL (x)) dx. (4.47)
(123) (341)
Итак, если иметь в виду, что сумма двух последних
интегралов — это криволинейный интеграл, который
вычисляется по замкнутому контуру (1234) или L ячейки S по
часовой стрелке, то
$(диу/ду) dS = §vy (х, у) dx. (4.48)
Выражение (4.48) называют формулой Грина.
Для достаточно малой ячейки можно успешно применить
168

е0рему о среднем, тогда выражение (4.48) можно записать
1ияде
dojdy « [W + v?)(x™-x") + [vf + ,<3>) X
X (*<3)-*<2>)■+ № + v?>) (*<4> -*<3>) + (,<<> + tf>) X
х(х(1,-*(4))]/25.
Здесь v(j\ i=l, ..., 4, — скорость перемещения частиц
0доль оси у в узлах 1, ..., 4 ячейки на рис. 4.16, б.
Если спрямить стороны ячейки, то ее площадь
5 = [(У(1) + У™)(х(2) -*П)) + (У(2> + У(3))(*(3> -*<2)) +
+ (У<3) + у^)(х{4)-П + (У(4) + У(1Ъа) -х{4)№
Итак,
<Vd*«gw« Гд; (4'')+^'+1))(^'+1)-^))1/
|[i(/') + f/('+I))(^+1)-^))| (4-49)
Практически повторяя дословно рассуждения
предыдущего абзаца, можно показать справедливость формулы
Грина в более общем виде
S(dfIdy)dS = §f(x9y)dx9 (4.50)
из которой, в частности, получается
dojdy » Г 2 (*<?> + rf+1>)(^'+1> - *«>)1/
Напомним, что в формулах (4.49) и (4.51) обход узлов
ячейки осуществляют по часовой стрелке.
Рассмотрим теперь интеграл j (dfldx)dS по той же
ячейке, обозначив левый ее контур х=Х\{у)> а правый —
х^х2{у)
^2) fxt(y) "I
j (df/dx)dS = j J (df/dx)dx\dy=>
169

|Д2>
= j \f(x2{y), y)—f(xl(y),y)]dy =
= J f(*2(y)>y)dy— j f(*i(y)> y)dy =■
(432) (412)
— J / (*i (»)' #) d# — J / (x2 (У)> У) dy-
Итак,
${dffdx)dS.= $f(x,y)dy:
(4.52)
Обход контура L осуществляют по часовой стрелке.
Применим формулу Грина (4.52), приняв f=vy, и теорему
о среднем, тогда получим
доу1дх « Г| (4° + vri})(y(i+1) -Л]/
(4.53)
Итак, определены все составляющие тензоры скорости
деформации: g^ — формулой {4.49); g**=—1УУ\ %xy~
= (dvx/dy+dvy/dx)/2, т.е. формулами (4.51) и (4.53).
Средняя угловая скорость жесткого вращения
материальных частиц в ячейке определена формулой <u = \dvxldy—
—dvy/dx)/2. Выразим их и vy через i/a и и^, которые у#е
известны в каждом узле сетки линий скольжения из
решения краевой задачи численным методом. В соответствий с
формулой (1.16) преобразования компонент вектора при
изменении базиса можем записать v?. =уп v-t (i,=x, J/»
t' = a, (3),
т. е.
или
^ = cos фУа — sm фс^;
^ =sin<p0a + cosq>t/|-,
(4.54)
170

так как
Уха = cos (*> «) = cos Ф; y,p = cos (*> Р) =
= cos (ф + л/2) = — sin ф;
V = cos (У» а) = sin ф; Уу3 = cos (У. Р) = cos ф.
В табл. 4.1 (рис. 4.16) приведены результаты расчета
напряженно-деформированного состояния при волочении
полосы с коэффициентом вытяжки X = vJvq=U37 (v0 =
5=1,00) через гладкую волоку с прямой образующей,
наклоненной к оси волочения под углом 6=15°
(рекомендуется читателю для закрепления знаний
решить эту же задачу при более редкой
сетке самостоятельно).
Для характеристики деформированного состояния
целесообразно построить траектории движения материальных
частиц, вдоль траекторий вычислить степень деформации
сдвига Л, накопленную частицей при волочении, а также
угол жесткого поворота материальной частицы. В пределах
достаточно малой ячейки (рис. 4.16, б) траектория может
быть принята в виде отрезка прямой линии FG,
направление которой совпадает с направлением полного вектора
скорости v среднего для ячейки. Время пребывания
частицы в пределах ячейки At = FG/\u\. Степень деформации
сдвига, полученную частицей при прохождении всей
траектории, подсчитывают по формуле
где AAi и ДЛг — приращения степени деформации сдвига
при пересечении левой (ODC) и правой (ВЕС) границ оча-
а
171

о
о
X
ffl
о
О.
s
о 4
•е-w
S oq
л 4
5 s
а- о
°
3 =
So
5 л
• °
о
CO G.
-s
F
Г
со.
=>8
8-
fc
4
CO
>>
<u !
я
/ I§Sg5Siis§gg§isg§ggg§gg§?gsl5liSliii
oooooooooooooooooooooooooooooooooooo
' §£§§§ШШ5Е1ё§ШШ§Ш£3§ШШё
ГтТПТт?ТПТ?ЧТтТПтНТ?Т?ГП
г§ш§ё5ёШ§Ш1§ш^е§&Шг§Шё 1
о о о о о о о ©~ о сГо о сГо о о о осГо о ©о о*о о о о о*о о о о о о о 1
гШ»Ш§Зё£ШШг§гШ1Ш§Шг§5& 1
оооооооооооооооооооо^ооо—*о оо ^^оо^^^о
§§зШ§»Ш1ШШ13ёШШ§Ш£§Ш
ТТТТ7ТТТ<Г7ТТН?77?7?<Г?НИ<т<Г???<Г7?
оооооооо?ооооооооооооооТоооооооооооо
\ 1
^^^^^^^^^^^^^^^^^w.^^^ci.c^'* "Iе* со ^ — см со ^f —• см со Tf
^, ^ ^ ^ ©f©f of of со со со со t^^^^io in ю ю^ю со <ог^1>Г^г^оо"схГ<» oo оГо^оГаГ
л
Он
к
s
к
к
д
к
ч
к
о
X
а
а
2
с*
ч
CQ
~
'■—V
<з
л
СО
^
о.
N—
к
К
03
3*
н
К
CL
о
X
о
Он
с:
М
>»
Он
о
н
о
м
S
5S
си
D*
<Я
Он
си
S
о
в
1
I
—»
^
Е-ГэК
03
2
сх
о
-в*
О)
fc*
(Л
и
си
о
о
Он
о
«
о
оз счЗ
ffl а"
^ 7 о, ^ ^
<у н а -
3 5 * £ о
АО а "^ а
в * >>?о.
о х а си
§ о-
g CU^ 3 S
* " О « I
си to 5 £ 5
^^ Он о s
о £ « =3
g I s «
3 s § II §
0 03 Зч
в * «*
CJ \С
03
К с*
О си С 0
« Q £ R &
5 о о У £
к о о н со
CU >г V
g 5 к 2 2
►-J _ ^н Uh '—«
CU *-» « т4
ОнР a g ^
о
си К
о о
с* О О >>
оз «о о к
5. о °
03
а
О О «Uj^.
а « <Q е

Я
Mi»
3
1 ^
1
a*
1 °
\
\
CO —« CO
OiOO<N
| CO CO r^
o~o О
CO о —
CONO
r- —< CM
1 cToo
Ml
CM ^ CO
О О О
1 О О О
1
ЮСТ> —-
OlON
СОС^О
1 ооо
1 1
— СТ5 00
Ю 1^. см
1 СО Ю со
ооо
00 О —
СО Ю О
— —. о
1 о о о
1 1 1
СО t*- Г^
— СМ ОО
ооо
1 о* о" о*
1
""* t^ Tf
О) ^ —•
СМ СМ СО
1 о о о
1 1 1
— г^ г^
1 СО Ю Ю
ооо
О СО см
спо со
о — —•
1 о о" о"
1 1 1
Ю 00 Tt«
— —.СМ
ооо
1 оо о
о оо а>
ООСО СО
СМ см см
1 о"о о
1 1 1
^ см о
оо со о
1 ююю
ооо
оо оо
ю о> о
1 чя,-
1 оо о
1 1 1
г^ СО 00
о —« —
ооо
1 ооо
1 1
i^ о а»
оо ю см
см см см
1 о^оо
1 1 1
СО Tf —«
^f о оо
о о" о"
ото
СО Ю ОО
ооо
1 o~o~o~
1 1 1
rf ^ 00
СМ О —
ооо
1 о~о~о~
1 1
— Ю СО
t^ ^ см
см см СМ
1 о оо"
1 1 1
00 СМ —•
1 Ю^тГ
ооо
СО —«О
осм ю
ооо
1 о~о""о~
1 1
00 Ю ^
см — о
ооо
1 ооо
1 1 1
оо ю о
см см см
1 о оо
1 1 1
t^ ^ ю
О СО тг
ооо
со см <о
СОО см
1 ООО
1
юг^ со
со см —<
ООО
1 ООО
1 1 1
— СО —|
Ю СО СМ
см СМ см
1 ооо
1 1 1
см СП ел
00 Т Г-
Tf Tf СО
ооо
со со со
tJ<(MO
ооо
о~оо
1
Ю00 СМ
^ СО СМ
ооо
ооо
1 1 1
Г>- СО О
со см оо
СМ СМ —
ооо
1 1 1
III!
IMI
MM
MM
O-'C0ЮOC0c0CD-<ЮOC0-нCD'-<NON't0)a^NЮC^CDNЮ^ЮЮC0^00'tЮ00
Оа0с0^а>^ЮСО00СОЮС0^Ют^СМСОтрС0'^'^С0СЧ'^С^<^
COCNJ(MC4CMCSCMC^CNCMCNCMCNCMcMCN1CV1CNC^
ооооооооооооооооооооооооо оо о о о о:о о о о о
1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 Г 1 1 1 1 1
OC^^C0CVDC0Tt<0000^h-a>O<^C^^cr3<>lC>}
смоост>сосм — — ^сосм — со^сосог^сою^сх>г^союст>аог^соост>оог^ — оаэоо
\
1
H су
\о ^
СО X
Он 3
VO щ
О д
О)
к со Я ~
g Я Оч Я
су
су
S
- О ^ а)
к Э
£< = -
ОнО> х я csi
о о.а ?-;
О) л Я _ ^
^^^ со я \о «
"* со Т* ^
я
н
о
о
я
Я
о
СО
с
я
я
о,
о
су
о
я
я*
о л а>
я о 3
и о
Он cj
О
H О)
СО
а.
су я
>> к
с я
О к.
3
о я
ч я
к« й
с 3 *
^ су су
я
Н со
О у
Я со
^ •** ZZ ^
Он со Он е^
>>*< £ СО
со а _
о. о со
а> t5 Он
Я со
*» н
СО s
о
ч
о
0Q
СО
. гг
СО СО
Он СО
~* <^ т
СО 5
05
сС
су
о
я
я
>»
н
су
о
СО
т
о
я
СУ
Р5
get 2
«< М
О X »Я
Я со су
н 3
SOh^ gvo §
О я 23 а) со н
с( я S е( ау
S о Д? о* а> ^^ се
ы {- '—' с со СР ж

тода линий скольжения, кроме того, в ней можбо найти
описание графического метода построения сетки линии
скольжения. Интересные решения задач приведены в
статьях И. П. Ренне.
4.6. Аналитический метод решения
Арсенал способов решения задач методом линий скольжения не
исчерпывается численными приемами. Разработаны аналитические методы.
В зависимости от краевых условий можно вывести точные формулы
для «одсчета координат узловых точек поля линий скольжения,
компонент скорости перемещения частиц в любой точке тела и кривизны ли-
ний скольжения. Формулы содержат интегралы, которые во многих
случаях могут быть вычислены лишь
численно. Аналитический метод по своей
трудоемкости в общем случае не имеет,
вероятно, особых преимуществ перед
численным методом, однако в некоторых
случаях ему можно отдавать
предпочтение.
Познакомимся с аналитическим
интегрированием уравнения плоской
деформации. Введем криволинейные
координаты а, р произвольной точки М
деформируемого тела (рис. 4.18). Пусть а точки
М будет равна углу ср в точке А,
лежащей на пересечении линии а, проходящей через начало координат о,
и линии 13, проходящей через точку Л1 Пусть р это угол ф в точке В
пересечения линии а, проходящей через точку М, с линией р,
проходящей через точку О. При таком выборе криволинейных координа г а
будет оставаться постоянной вдоль линии р, а р вдоль линии а.
В частности, при сс = 0 получаем линию р, а при р = 0 линию а,
отмеченные на рис. 4.18. Связь между декартовыми координатами
ху у и криволинейными а, Р будет при данном способе их выбора
однозначной, если только одно из семейств линии скольжения не состоит из
прямых.
Согласно свойств линии скольжения, во-первых, приращение угла <р
при движении взгляда наблюдателя по дугам ВМ и О А одинаково, т. е.
Ф—Р = а, во-вторых, по значению о=о0 в точке О можно при заданных
линиях скольжения определить о в точке М. Действительно, из
уравнения Генки для линии ОА оА—2ява = а0 , а для линии AM a+2Ts(a-t-
+ Р)=аА + 2т,а.
Тогда о = а0 +2т,(а—Р) (4.55).
Если решить это уравнение и учесть условие ф = а + р относительно
криволинейных координат, то можно записать
2а = ф + (сг — а0)/2т ; )
У 0) s (4.56)
2Р = ф-(а-а0)/2тл. J
Введем.еще один метод определения положения точки М в
деформируемом теле. Примем следующие формулы;
х = хсо8ф + у sin ф; )
у =— х sin Ф + у cos ф /
(4,57)
174

Геометрическая интерпретация новых координат, х, у ясна из
построений на рис. 4.18. Новые координаты — это расстояния,
отсчитываемые от осей, проходящих через точку О и параллельных к_асательным
к линиям скольжения в точке М. Вычислим дифференциал у в формуле
(4.57) вдоль линии скольжения а, имея в виду ее дифференциальное
уравнение линии скольжения dy = dx tg q\ которое можно представить
как — sin ф dx — cos ф dy = 0, dy = —sin ф dx + cos г|з dy — (x cos ф +
4-^/sin_ф)^ф=—xdq. Аналогичным образом можно получить
дифференциал х вдоль линии скольжения р. В результате получим два
дифференциальных уравнения линий скольжения в новых переменных х и у
dy + xdq> = 0 вдоль линии а;
dx — у dy = 0 вдоль линии Р.
Преобразуем уравнения (4.58). Вдоль линии а координата р будет
оставаться постоянной. Поэтому из условия ф=а + Р следует, что dq=
=da. Вдоль линий р аналогично будет ^ф = с?р. Тогда уравнения (4.58)
примут вид
ду/да + х = 0; дх1д§ — у = 0. (4. 5Ш
Продифференцируем первое уравнение по Р, а второе по а. Если
учесть уравнения (4.59), то получим
а2 ~у/дад$ + у = 0\ д2~х/дад$ + х = 0. (4.60)
Итак, координаты х, у линий скольжений обязательно должны
удовлетворять дифференциальным уравнениям (4.60), являющимися
уравнениями одного типа
а2//ааар + / = о. (4.61)
Это уравнение в специальной литературе получило название
«телеграфное уравнение». К телеграфному уравнению (4.61) приводятся
также уравнения Гейрингер, Действительно, dy=da на линии а, с£ф =
=^Р на линии Р, поэтому уравнения (4.20) примут вид
dVa /da - up = 0, dvp /ар + va = 0, (4.62)
или
а2 va /ааар + va = о, а2 и3 /ааар + ^ = о. (4. бз>
К телеграфному же уравнению приводятся дифференциальные
уравнения, связывающие радиусы кривизны линий скольжения. Уравнение
(4.61) интегрируется аналитически по методу Римана. Рассмотрим
задачу Коши. На_некоторой линии АВ, не являющейся линией
скольжения, заданы х, у или va, v$. Задание указанных пар значений, судя по
Уравнения^ (4.59) и (4.62), дает автоматически также значения
производных ду/да, длс/ар или dvaJda, dv /ар. Можно показать, что по
значению / на заданной линии АВ и одной из частных производных по a
Или р определяется также вторая частная производная. Итак, задача
Коши для телеграфного уравнения такова: на АВ, не являющейся
линией скольжения, заданы /, df/да и д/А9Р; требуется найти решение
Уравнения (4.61) в окрестности АВ.
Задачу интегрирования уравнения (4.61) наглядной осуществить в
Плоскости (а, р) (рис. 4.19). На ней линии скольжения изображаются
(4.58)
175

прямыми, параллельными осям координат. Линия АВ с физической
плоскости отобразится на отрезок А'В' на плоскости (а, Р). Пусть
М(а,Ь) —точка, в которой требуется вычислить значение / в
зависимости от условий на А'В', причем LM и MN — две линии скольжения,
проходящие через М. Представим, что существует, но пока неизвестна,
некоторая функция G = G(a, р), которая является решением
телеграфного уравнения
d2 G/dadP + G = О (4.64)
и удовлетворяет условиям на LM при a-а
и на MN при р = 6, G(a, p) = G(a, 6) = 1 (ее
-<^М(а%Ь) называют функцией Грина). Тогда следует,
что выражение
{Gdf/da — fdG/да) da +
+ (fdG/d$ — Gdf/d$)d$ (4.65)
является полным дифференциалом.
Необходимым и достаточным условием для этого
будет d/d$(Gdf/da — fdG/да) =d/da(fdGl
/d$—Gdf/d$). Осуществив
дифференцирование и учитывая выражения (4.61) и (4.64), можно показать, что
необходимое и достаточное условие выполняется тождественно и поэтому
выражение (4.65) — полный дифференциал. Интеграл от полного
дифференциала по замкнутому контуру (например, по контуру LMN на
рис. 4.19) равен нулю. Следовательно,
§ [(G dflda - / dG/да) da + (f dG/d$ - G df/др) d$] = 0
LMN
ИЛИ
f (fdG/d$ — Gdf/d$)d$ + [ (Gdf/da-fdG/da)da +
LM MN
+ f [Gdflda — fdG/da)da+(fdG/d$ — GdfId$)d$] = 0, (4.66)
NL
так как на LM da = 0, а на MN dp=0.
В силу условий для функции Грина, имеем: на LM G=l, dG/dp = 0 и
на MN G = l, 6G/да = 0. Последнее позволяет проинтегрировать в
формуле (4.66) первые два интеграла и получить решение этого уравнения
относительно / в точке М
f (М) = [/ (N) + f(L)]/2 + f [{Gdf/да - / dG/da)da + (f dG/d$ -
NL
— Gdfld$)d$}l2. (4.67)
Это и есть аналитическое выражение искомой функции f(xy у, v0, или
с»г.) в точке М(а, Ь), составленное по ее значениям вместе с
производными на заданной линии А'В'. Для того, чтобы можно было
пользоваться формулой (4.67), необходимо определить функцию G. Она имеет
вид
G (a, р) 9 /0 [2~V(a-a)(b-P)], (4.68)
где Jq(z)—функция Бесселя нулевого порядка (см. гл. 3, п. 3.10).
Действительно, путем непосредственного дифференцирования можно
176

показать, что уравнение (4.68) удовлетворяет дифференциальному
уравнению (4.64)
dG/da = /0 dzlda =— j'0 ]/>_р)/(я — a);
a2 G/да d$ =— /0 (дг/д$) }/~(Ь — p)/(a — a) +
+ /0/2 ]/(a~a)(6~P)= 4 + V z;
a2 G/a« ар + g = fQ + f0/z + /0 == o.
Кроме того, уравнение (4.68) удовлетворяет условиям: при a = a и
Р=6 (?(а, p) = G(a, &)=/0(0) = 1. Примерно таким же образом молено
получить аналитическое решение второй краевой задачи, когда заданы
две линии скольжения (на рис. 4.19 показаны штриховой линией) и
краевые условия на этих линиях. Имеем
а о
f (М) = {[f(N) + f (L)] + f (G df/да - / dG/da)da + f (G d//dp -
*+j
-/aG/ap)rfp}/2.
Интегрируя по частям, найдем
f(a>b) = /о (2 "Ka*) / (0,0) + J /0 [2/(0 - a) ft] (d//da) da +
о
+ J /0 [2 Katf-P)] (а//ар) dp. (4.69)
В работе P. Хилла приведены результаты расчета координат
узловых точек поля линий скольжения по заданным линиям скольжения OL
и ON (рис. 4.19), имеющим в физической плоскости вид дуг
окружностей 1.
Упражнение
Вычислить декартовы координаты узловых точек поля линий
скольжения на рис. 4.20, определяемого при помощи линий скольжения —
дуг ОА и ОВ окружностей единичного радиуса, узловые точки которых
(т, 0) и (0, п) расположены через 15°. Ответ:
{т, п) х у (т, п) х у (т, п) х у
(1.1)
(1,2)
(1.3)
0.4)
(1,5)
(1,6)
(2,2)
0,428
0,647
0,792
0,845
0,789
0,617
1,018
0
0,286
0,639
1,040
1,464
1,880
0
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
1,333
1,552
1,634
1,545
1,867
2,338
2,673
0,413
0,944
1,571
2,256
0
0,615
1,429
(3,6)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,5)
(5,6)
(6,6)
2,804
3,13
3,85
4,37
5,06
6,17
8,04
2,414
0
0,937
2,205
0
1,453
0
1 С эффективным применением аналитических методов для решения
технологических задач теории ОМД можно познакомиться в раОоте
Ь. М. Сегала, с теорией пространственного течения и с общими
теоремами идеально пластичного материала в работе Д. Д. Ивлева.
12-382
177

4.7. Функции комплексного переменного, '
их дифференцирование и интегрирование
В работах Л. И. Седова, Г. Я. Гуна и др. показана эффективность
теории функций комплексного переменного для исследований плоских
течений (плоского деформированного состояния). Эта теория после при-
нятия некоторых допущений позволяет точно определить деформирован,
нее состояние. Такие решения, обладая определенным практическим
значением, дают точное решение задач, которые могут быть использованы
как тестовые для налаживания приближенных методов решения.
(о,п)
<т,оу
Число
z = х + iy,
(4.70)
где х и у — любые действительные числа, a i=V—1—мнимая
единица, называют комплексным числом. В формуле (4.70) и на рис. 4.21
x=Rez — действительная часть комплексного числа 2, a r/=Im г
—мнимая *. Комплексное число, как следует из рис. 4.21, можно представить
в тригонометрической форме
г = г (соз ф + i sin ф).
(4.71)
Кроме того, существует еще показательная форма записи комплексных
ч-исел
z=rei(i). (4.72)
Числа гиф называют соответственно модулем и аргументом
комплексного числа. Аргумент y=Argz=argz + 2k4i где argz означает главное
значение, k — произвольное целое число.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
производится по правилам действия над алгебраическими многочленами
вида (4.70) и они определены формулами
(*i + iyi) ± (*2 + Ш = (*i ± *г) +' (Уг ± У2)1 \
(*i + iyi) (х2 + iy2) = (*i х2 — Ух У2) + i (*i Уг + х2 yj;
(xi х2 + У1УАХ1 + $ + * К h -
(*1 + %)/(*2 + *2):
-хху2У№+А)-
(4.73)
При умножении (делении) комплексных чисел, записанных в
тригонометрической форме, их модули перемножают (делят), а аргументы
складывают (вычитают). Из правил умножения и деления следует
действие возведения в целую степень
гп _ rn (cos щ _j_ i sjn щ^ ^ ^4.74)
178

Формула (4.74) справедлива при п^О. Извлечение корня целой
положительной степени — действие, обратное возведению в степень
УГ7=- /г [cos ( (ф + 2kn)/n ) + / sin ( (ф + 2kn)/n ) ], (4.75)
где k — любое целое число. Корень (4.75) имеет п различных значений.
Если каждому значению переменной г, принадлежащему некоторой
области плоскости комплексного переменного, соответствует одно или
несколько значений другой комплексной переменной w, то w — функция
комплексной переменной w=f(z). Функция w=f(z) осуществляет
отображение точек плоскости z на соответствующие точки плоскости w.
Зависимость w=f(z) представляют в виде
w = u(x, у) + iv(xty). (4.76)
Функции комплексного переменного могут быть построены,
например, с помощью упомянутых выше алгебраических действий над
комплексными числами.
Пример. Если w = z2, то как следует из второй формулы (4.73)
w=(x2—у2) + i2xy. Если эта функция задана на значениях z из сектора
D (рис. 4.22), то значения w займут область Е*. Прямые х=С\ и у=С2
отобразятся на два семейства п«рабол
и = с\ — v2/4c}, .и = v2/icl — 4 (4.77)
2
Действительно, при х~С\ u = ci—у2\ v = 2c\y. Исключив из последних
Двух равенств у, получим первую формулу (4.77). Аналогично
получается вторая формула. Семейства (4.77) образуют криволинейную сет-
КУ из парабол, которая является отображением сетки декартовых
координат. К некоторым функциям комплексного переменного обратимся
в п. 4.8.
Познакомимся с дифференцированием функции комплексного
переменного. Определение производной функции комплексного переменного
11 действительного переменного совпадают. Поэтому почти все теоремы
J* формулы дифференциального исчисления распространяются и на
Функции комплексного переменного. Однако дифференцируемые функции
комплексного переменного обладают многими дополнительными свой-
ствами.
Дадим независимому переменному z = x + iy приращение Az = &x +
* На рис. 4.21 и далее буква в кружке означает, что изображена
Плоскость соответствующей комплексной переменной, например z.
12*
179

+ iAy и вычислим вызванное им приращение однозначной функции
w = f(z) =u+iv
Aw^=f(z + Az)-f(z)t
Aw = An + iAv = [и (x + Д*, у -f- Ay) — и (#, у)] +
+ / [у (х + Ли, */ + Д</) — у (х, */)].
Если существует предел отношения Aw/Az при стремлении Az к нулю
по любому закону, то этот предел называют производной функции f(z)
в точке z
Г (г) = lim (Aw/Az) = lim [(Да + iAv)/(Ax + iAy)]. (4.78)
2Л->0 Д*->0
Требование независимости предела (4.78) от закона стремления Аг
к нулю накладывает на функцию f(z) значительно более сильное огра-
i чение, чем аналогичное требование для
У \ функции у=ц(х) действительно пере*
Z+AZ менного х. Так, если функция #=ф(;е)
л имеет производную, то это значит, что
, ~*Л существует предел отношения Ау\Ах при
yAZ^lAt/l AZ=AX приближении точки х+Ах к точке х по
6< ^ о двум направлениям (слева и справа) и
Z Z+AZ что эти пределы совпадают. Требования
же существования производной для
функции f(z) комплексного переменного
__ _ означает существование предела
отношения Aw/Az при приближении точки
О
* z + Az к точке z по любому пути, в
частности, по любому из бесконечного множества различных лучей, и
совпадение этих пределов.
Пусть функция f(z) имеет производную в точке г\ тогда предел
(4.78) существует и не зависит от закона стремления Az=Ax-\-iAy к
нулю; в частности, при Az=Axy т. е. при приближении точки z-f-Аг к
точке z по прямой, параллельной оси ох (рис. 4.23), получим
/' (г) = lim (Aw/Az) = lim [(Аи + iAv)/Ax] =
Az-*0 Д*-*0
= lim (Au/Ax) + / lim (Ди/Д*) = ди/дх + i dv/dx. (4.79)
Дл:-*0 Дл:->0
В другом частном случае, выбрав Az=iAyy т. е. устремляя точку
z+Az к точке z по прямой, параллельной оси оу (рис. 4.23), получим
/' (z) = lim (Aw/Az) = lim [(Аи +i Av)/iAy] == dv/dy~i ди/ду. (4.80)
Az-*0 Дг/->0
Так как предел отношения Aw/Az при Дг-И) не зависит от закона
стремления Az к нулю, то следует равенство правых частей формул
(4.79) и (4.80), а если равны комплексные числа, то равны их
действительные и мнимые части, т. е. du/dx=dv/dy> dv/dx=—ди/ду (4.81).
Эти условия, называемые условиями Коши—Римана или условиями
Даламбера—Эйлера, должны быть выполнены в каждой точке, в которой
функция f(z) дифференцируема (имеет производную). Если функция
дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой
окрестности этой точки, то ее называют аналитической в данной точке. Функ*
цию, аналитическую во всех точках некоторой области, называют
аналитической в этой области. Точки плоскости z% в которй функция f(z]
180

является аналитической, называют правильными точками этой функции,
а точки, в которых не является аналитической (в частности, точки, в
которых f(z) не определена) —особыми точками.
Пример 1. Показать, что для аналитической функции w = z2
выполняется условие Коши—Римана
u + iv=(x + iy)2 = х2 — у2 + i2xy;
и = х2 — у2; v — 2ху\
ди/дх = 2х = dv/ду; ди/ду =— 2у =— dv/dx.
Условия (4.81) выполнены во всех точках плоскости, _
Пример 2. Выяснить, является ли аналитической функция w~z7
u-\-iv — х — iy; и = х; v =— у;
ди/дх = 1; dv/dy =— 1; dv/dx = 0; ди/ду = 0.
Первое условие (4.81) не выполнено. Функция ш=2 не дифференцируем
ма ни в одной точке плоскости.
Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функций
комплексного переменного, а определение производной функции
комплексного переменного также не отличается от соответствующего
определения фля функции действительного переменного, то нетрудно
проверить, что известные правила дифференцирования всех рассмотренных
выше функций остаются справедливыми и в случае комплексного пе*
ременного.
Действительная и мнимая часть аналитической в некоторой области
D функции f (z) ■•= u+iv являются в этой области решениями уравнения
Лапласа
д2д/дх2 + д2 е/д*/2 = 0. (4.82)
Действительно, функции и и v связаны в области D условиями Коши—
Римана (4.81). Дифференцируя первое из них по у, а второе по я1, и
складывая, получим
d2v/dx2 + d2v/dy2 = 0.
Дифференцируя первое из тех же тождеств по х, а второе по у и
вычитая, будем иметь
д2и/дх2 + д2и/д^ = 0.
Решения уравнения Лапласа называют гармоническими
функциями. Следовательно, действительная и мнимая части аналитической
функции являются гармоническими функциями. Однако, если и(х, у) и
v(x,y) являются произвольно выбранными гармоническими функциями,
то функция u-\-iv не будет аналитической функцией, так как условия
(4.81) могут не выполняться (из условий (4.81) вытекает уравнение
Лапласа, а не наоборот, т. е. обратной теоремы не существует и
понятия аналитическая и гармоническая функции не эквивалентны).
Укажем геометрический смысл производной функции w=\(z). Это
тоже функция комплексного переменного. Аргумент, производной равен
Углу, на который надо повернуть касательную в точке z0 к любой
кривой, проходящей через эту точку в плоскости г, чтобы получить на-
1 Существование и непрерывность частных производных второго
порядка следует из того, что аналитическую функцию можно
дифференцировать любое число раз.
181

правление касательной в соответствующей точке w0=f(zo) к образу
данной кривой в плоскости w при отображении w^=f(z) (есдц
arg/'(z)>0, то поворот происходит против часовой стрелки). Если
представить себе, что через точку z0 проходит несколько пересекающих,
ся кривых, то касательная к каждой из кривых повернется при отобра,
жении на один и тот же угол и углы между кривыми сохранятся
неизменными. Модуль производной равен коэффициенту растяжения в точке
zQ при отображении w = f(z). Если |/'(<г)|>1, то в достаточно малой
окрестности точки z0 расстояния между точками
при отображении увеличиваются, если //'(z)/<
<1, то отображение в окрестности точки
приводит к сжатию. Коэффициент растяжения оди<
наков во всех направлениях окрестности точки.
Отображение w=f(z), при котором фигуры в
бесконечно малой окрестности плоскости z
преобразуются в себе подобные, но лишь
повернутые, на плоскости w, называют конформ-
^ ным. Итак, аналитические функции
обеспечивает ют конформное отображение.
Рассмотрим интеграл от функции
комплексного переменного. Предположим, что в
плоскости z дана дуга С, которую будем считать гладкой или
кусочно-гладой (рис. 4.24). Граничные точки кривой
обозначим zq и zn; если кривая замкнута, то z0 = zn. Одну из этих точек,
например z0 будем считать начальной, а другую — конечной; тем самым
установим положительное направление на кривой С, которое на
чертеже отмечено стрелкой. Предположим, что функция непрерывна во всех
точках дуги С.
Произвольно разобьем дугу С на п элементарных дуг и
пронумеруем точки давления z0, гь г2, ..., zn в направлении от начальной точки
к конечной, причем zx—z0 = Azi, z2—Zi = Az2, ..., zn—Zn-i = Azn. Число
Azk изображают вектором, идущим от точки zA_r в точку г*, а |Az*| —
длина этого вектора, т. е. длина хорды, стягивающей элементарную
дугу. Внутри этой дуги выберем по одной точке g:, |2, •••> £п- Предел сум-
п
мы ^f(lh)-Azk. вычисленной при условии, что п->оо, а длина наиболь-
k=\
шей из элементарных дуг стремится к нулю, называют интегралом
функции f(z) по дуге С
) /(z)dr= lira 2 /(bt)A2fe.
С /2=1
max | AZfr |-*0
(4.83)
Вычисление интеграла (4.83) сводится к определению
криволинейных интегралов от действительных функций действительных
переменных. Пусть z=x+iy\ dz=dx-\-idy\ /(г)=и+^, где и и у —функции
переменных х и у\ u=u(xt у)\ v = v(x, у). Тогда
j) (z) dz = \ [и (х,у) + iv (*, у)] (dx + idy) =
с с
= [ udx — vdy + * j* vdx + udy.
(4.84)
Упражнения . . -. б) ^л^з;'
1. Где расположены точки г, для которых: a) \z\^o, j i
182

начал! кооолинагТДеТ: &) ВНе КруГа РадиУсом 5 е*ИНИ1< с центром в
начале координат, б) внутри круга радиусом 3 с центром в точке i;
в) вне круга радиусом 2 с центром в точке — 21 и на окружности
этого круга.
2. На какие линии плоскости до отображаются с помощью
функции а; =1/2 следующие линии плоскости z: а) #2+*/2=4; б) # = *.
Ответ: a) u2+v2=l/A; б) и=— и.
3. Найти аналитические функции переменной z = x+iy,
действительная часть которых равна: а) хъ—2>ху2\ б) х2—у2 + 2х. Ответ: а) до =
=z3+ic; б) до = г2+2г+а.
4. Найти угол поворота и коэффициент растяжения при
отображении с помощью функции до = 22 в каждой из следующих точек: а) 2=1;
5) 2=72. Ответ: а) коэффициент растяжения 2, угол поворота
О рад; б) коэффициент растяжения 1, угол поворота 0 рад.
4.8. Конформные отображения
Выше было показано, что всякая функция комплексного переменного
w=j(z) осуществляет отображение точек плоскости z на плоскость до.
То отображение, которое сохраняет углы между пересекающимися
кривыми и форму бесконечно малой окрестности, называют
конформным. Например, некоторая функция w = f(z), осуществляющая
конформное отображение, переведет декартову прямоугольную сетку из
плоскости 2 в такую же ортогональную сетку, но уже криволинейную,
плоскости до. Напомним, что если производная функции комплексного
переменного существует и отлична от нуля, то эта функция
обеспечивает конформное отображение.
Рассмотрим ряд функций комплексного переменного,
осуществляющих конформное отображение.
Линейная функция имеет вид
w=az + b (4.85)
где а и b — комплексные постоянные, афО. Рассмотрим частные
случаи линейных преобразований, причем для наглядности будем считать
плоскости w, совмещенной с плоскостью 2.
Первый случай
w = z+b. (4.86)
Сложение комплексных чисел сводится к сложению векторов, поэтому
отображение (4.86) определяет смещение некоторой точки z в точку до
с помощью вектора сдвига, изображающего комплексное число Ь.
В виду того, что b постоянно, т. е. вектор сдвига одинаков для всех
точек, формула (4.86) дает преобразование параллельного переноса
плоскости.
Второй случай
до = е'аг, (4-87)
где а — действительное фиксированное число. Так как еш —
комплексное число с модулем, равным единице, а аргументом а, то в
соответствии с правилом умножения комплексных чисел переход от точки z к
точке до осуществляется с помощью поворота точки z на угол а около
Начала координат. Величина а постоянна, следовательно,
преобразование в соответствии с формулой (4.87) реализуют поворотом плоскости
вокруг начала координат.
183

Третий случай
/
w = rzt (4-88)
где г — действительное положительное число (argr = 0). Следова.
тельно, в соответствии с умножением комплексных чисел Arg ш^
=Argz; \w\=r\z\. Рассматриваемое преобразование (4.88) является
преобразованием подобия — растяжением или сжатием плоскости с
коэффициентом г.
Общий случай линейной функции комплексного переменного (4.85)
сводится к рассмотренным преобразованиям: сдвигу, повороту и пре-
образованию подобия с центром в начале координат.
Рассмотрим преобразование
w=l/z. (4.89)
Для этого необходимо внести определение симметрии двух точек
относительно окружности: тонки называют симметричными относительно
окружности, если они лежат на одном луне, выходящем из центра
окружности, и произведение их расстояний от центра окружности равно
квадрату ее радиуса. Центру _окружности симметрична бесконечно
удаленная точка. Точки z и \fz симметричны относительно окружности
единичного радиуса с центром в начале координат. Действительно
| г | = |ге*ф | = г; | 1/5 | = | l/ге^ | = | e^lr \=\/п
И] \/z\=r\/r= 1;
Arg z = Arg (reiq) = ф;
Argz = Arg (l/z) = ф.
Arg(l/2) = Arg(e/(p//-);
В то же время точка l/z
симметрична относительно действительной оси
точке l/z. Таким образом, преобразование
(4.89) состоит из двух симметричных
отражений: относительно единичной
окружности и относительно действительной оси
(рис. 4.25). Производная функции (4.89)
dwjdz=—!/г2 существует и отлична от
нуля во всех точках плоскости, кроме
точки z = 0 и точки z=oo. Поэтому
отображение, осуществленное функцией l/z,
является конформным во всей плоскости,
если считать, что угол между линиями в бесконечно удаленной точке
равен углу между отображениями этих линий с помощью функции
ш=1/г в начале координат.
Дробно-линейная функция имеет вид
ю = (az-\- b)/(cz + d),
(4.90)
где a, b, с, d — комплексные постоянные. Она осуществляет взаимно
однозначное отображение всей плоскости z на всю плоскость w.
Действительно, разрешив уравнение (4.90) относительно z, получим
z=(dw—b)/(—cw + a), т.е. не только всякому г соответствует
единственное значение до, но и каждому w соответствует единственное
значение z. Дробно-линейное преобразование (4.90) может быть
получено путем последовательного применения линейных преобразований я
преобразования l/z. Действительно, преобразование (4,90) приводит*
ся к виду
184

w = (аг + b)/(cz + d) = [a (cz + d) + (be - ad)]lc (cz + d) =
= ale + [(6c — ad)/c]/(cz + d),
т.е. к преобразованию (4.90) можно придти путем последовательных
преобразований: t^cz+d\ T=\/t; w=AT+B.
Дробно-линейное преобразование или функция обладает круговым
свойством, состоящим в том, что с помощью этого преобразования
окружность \z—a\=R всегда отображается также на окружность,
если прямую считать частным случаем (окружностью бесконечного
радиуса). Для доказательства этого свойства достаточно проверить, что
круговое свойство выполнено при преобразовании w=\/z, так как для
всех остальных простейших преобразований, из которых состоит
дробно-линейное преобразование, круговое свойство очевидно.
Действительно z—1/w и уравнение окружности \z—a\=R примет в плоскости w
вид \l/w—a\=R, где а — комплексное число; R — действительное
число (радиус окружности). Модуль комплексного числа — число
действительное. Тогда (\a\/\w\)\l/a—w\=R; \w—a'\=R' т.е., введя
обозначения, вновь получим (уже в плоскости w) уравнение окружности.
Всякая окружность делит плоскость на две области: внутренность
круга и внешность круга, если радиус конечен, или две полуплоскости,
если радиус бесконечен. При отображении с помощью дробно-линейной
функции каждая из двух областей, ограниченных окружностью в
плоскости z, отображается на одну из двух областей, ограниченных
соответствующей окружностью в плоскости w. Так, из сказанного
выше относительно отображения, осуществляемого функцией w—\/zt
следует, что с помощью этой функции единичная окружность \z\ = l
отображается сама на себя (т. е. на единичную окружность в
плоскости w, причем внутренность единичного круга плоскости z
отображается на внешность единичного круга плоскости w, а внешность
единичного круга в плоскости z — на внутренность единичного круга в
плоскости w. Дробно-линейная функция обладает свойствами
симметрии: две точки, симметричные относительно окружности С в плоскости
z, отображаются с помощью дробно-линейной функции в точки,
симметричные относительно образа той же окружности в плоскости т.
Общая формула (4.90) дробно-линейного отображения зависит, от
трех комплексных параметров. В самом деле, любой из ее
коэффициентов, отличный от нуля, можно считать равным 1, деля в противном
случае на него числитеЛь и знаменатель в формуле (4.90). Простейшей
задачей на построение'дробно-линейного отображения является
следующая: на плоскости z заданы три различные точки z\, z2, z3, а на
плоскости w — три различные точки wu w2, w3; требуется найти
отображение (4.90), преобразующее zk в wh(k=\, 2, 3). Существует
только одно дробно-линейное отображение, преобразующее три
различные точки zk в три различные точки wu. Это отображение выражается
формулой
(w — wx) (w3 — W2)l(w — W2) (w3 — w±) =
-(2-zi)(z3-z2)/(z-z2)(z3-z1). (4.91)
Показательная функция w = e2. Отображение, осуществляемой
этой функцией конформно во всей плоскости, так как производная
Этой функции существует и дтлична от нуля во всякой конечной точке
Плоскости z. Введя в плоскости z декартовы, а в плоскости w
полярные координаты, т.е. положив z—x-Yiy\ w — pel , получим
peiQ == ex+iy = ех -eiy.
185

У\
0
i
X
Следовательно, /
р = ех; 0 = # (4.92)
Из равенств (4.92) следует, что прямые, параллельные мнимой
оси оу (рис. 4.26) плоскости z(x=const), переходят при отображении
w = ez в окружности с центром в нулевой точке плоскости до (р = const),
а прямые, параллельные действительной оси ox[y = const)—в лучи,
выходящие из начала координат (0 = const). Прямоугольник со
сторонами у=у\\ у=уъ x=xi\ х=х2, параллельными осям координат
плоскости z, отображается на область плоскости w, ограниченную лучами
0i=#i; 02=#2 и дугами окружностей, радиусы которых p{ = eXl\ р2=*
=е*2. Действительная ось плоскости z(y=Q) отображается на
действительную полуось (0=0) плоско-
сти w, прямая у=а— на лучи 0=
=а. Следовательно, полоса
шириной а(и<2л), прилегающая к
действительной оси, 0<*/<а,
отображается конформно и взаимно од-
нозначно на угол 0<9<а с
вершиной в начале координат, одной
из сторон которого является
действительная положительная
полуось. В частности, полоса 0<у<л
шириной л отображается функцией w=ez взаимно и однозначно
на верхнюю полуплоскость, а полоса 0<у<2л шириной 2л —
на всю плоскость с разрезом по положительной действительной
полуоси: 0<0<2я. Отображение всей плоскости z на плоскость w
не является взаимно однозначным: всякой точке w (кроме точек ш=0
и ш = оо) соответствует бесконечное множество точек
z = Ln 1 w | = \n/w + / Arg w = \n\w\ + iargw + i2kn
(6 = 0, ± 1, ±2,...).
Для того, чтобы область плоскости z отображалась функцией
w=ez на соответствующую область плоскости w взаимно однозначно,
необходимо и достаточно, чтобы она не содержала никаких двух
точек, абсциссы которых одинаковы, а ординаты отличаются друг от
друга на величину, кратную 2я, так как eZx=ez% лишь при z2=
=Z\ + i2kn (k — 0, ±1; ±2,...). Такому условию, в частности
удовлетворяет всякая область, заключенная в полосе 2kn<y<2(k+ 1)я.
Интеграл Шварца—Кристоффеля. В теории функции комплексного
переменного известна функция, носящая название интеграла Шварца—
Кристоффеля, которая осуществляет конформное отображение верхней
полуплоскости lmz>0 на внутренность многоугольника в плоскости
w (рис. 4.27).
w = с { (г - а^*-1 (z - а2)а*~~1... (г - anfn-1 dz + съ (4.93)
где а1} а2,..., ап — точки на действительной оси в плоскости z, обра*
зами которых в плоскости w являются вершины Аи Аъ..., Ап
многоугольника; аь а2)..., ап величины углов многоугольника при ег0
вершинах, выраженные в долях я (если лучи Ak-iAk и An+iAk
параллельны, то а*=0; угол между расходящимися лучами — актс; при та^
ком определении углов- в бесконечности остается справедливой формУ
186

ла элементарной геометрии ai-f а2+...-\-а,п=п—2); с, С\ и z0 — некоторые
постоянные. Если одна из точек щ на действительной оси плоскости z
лежит в бесконечности (например ая=оо), то в формуле (4.93)
соответствующий подынтегральный сомножитель выпадает и она
приобретает вид
Z
w - с J (z - а^-1 (z - а2)а>-1... (г - а^)^-!"1 dz + Ci.
(4.94)
В задачах на конформные отображения обычно задают вершины
многоугольника Ль Л2,..., Лп и углы при вершинах cti, a2,..., ап.
7J777777?777777777}77^X 0
О
Для построения функции (4.93) три точки щ на действительной оси
плоскости z (например а\, а2, аз) назначают произвольно (с
соблюдением порядка обхода вершин многоугольника), остальные точки, а
также произвольные постоянные с> С\ назначают из условий конкретной
задачи. Постоянную z0 можно зафиксировать, приняв z0 = 0.
Этим ограничим рассмотрение элементов теории функций
комплексного переменного и перейдем к некоторым приложениям.
Упражнения
1. Отобразить верхнюю полуплоскость плоскости z на круг |о>|<1
так, чтобы точке z=i и направлению, идущему из этой точки
параллельно действительная оси в положительную сторону, соответствовали
точка w = 0 и выходящая из точки до = 0 положительное направление
мнимой оси. Ответ: w=(i—z)l(i-^-z).
2. Отобразить на верхнюю полуплоскость полосу 0<#<1 с
разрезом по лучу х= У2, /i<#<oo. Ответ:
w*=*Ve2niz+e~2nih.
4.9. Плоское потенциальное течение
Рассмотрим плоское течение, например, выдавливание металла из
контейнера через матрицу в условиях плоского деформированного
состояния и стационарного течения (рис. 4.28,а). Каждой точке М
физической плоскости, занятой деформируемой полосой, будет соответствовать
Лектор скорости v с составляющими по координатным осям v* и vy.
187

Считаем, что физическая плоскость — это плоскости комплексной пере^
менной z. В этой- плоскости положение точки М может быть задано
комплексным числом z=x+iy. Каждой точке полосы, в том числе и
точке М, соответствует некоторый вектор скорости~v с компонентами
vx и vy, который можно представить (как и всякий вектор на плоско*
сти) в комплексной форме v = vx-\-ivy.
Предположим такое течение металла, что в каждой точке компо*
ненты вектора v(vx, vy) связаны между собой условием
dvx/dy = dvy/dx. ~ (4.95)
^7777^7777777777777777777 777777777777777,
А'2-
Р
О
СО
Известно, (см. гл. 2, п. 2.5), что угловая скорость жесткого
вращения частицы среды
со == (dvx/dy — dvy/dx)/2.
Исходя из условия (4.95), видно, что если течение принять в
соответствии со сделанными предположением, то оно будет происходить
без жесткого вращения материальных частиц. Такое течение называют
безвихревым или потенциальным. В действительности со не равно нулю,
и условие (4.95) является допущением. В ряде случаев это допущение
не правомочно. Например,'если в результате расчетов необходимо
определить повороты частиц в итоге большой пластической деформации,
то принятые гипотезы (4.95) лишено смысла.
Сделаем некоторые формальные рассуждения. Рассмотрим
выражение vxdx+vydy. Известно, что если выполняется условие (4.95), то
выражение является полным дифференциалом некоторой функции ср{х,
у), которую называют потенциалом. Можно написать
dtp = vxdx-t- vy dy = (ду/дх) dx + (ду/ду) dy. (4.96)
К условию (4.95), которое является грубым допущением, можно
добавить еще одно условие (несжимаемости)
dvx/dx~-=—dvy/dy. (4.97)
188

Поле скоростей, которое удовлетворяет условию (4.97), называют
соленоидалькым. Осуществим формальное построение vxdy—vydx.
Если выполняется условие (4.97), то последнее выражение также
является полным дифференциалом некоторой функции я|?(лг, у), которую
называют функцией тока
dty ~vxdy — vy dx = (dty/dy) dy + (dty/дх) dx.
Составим из ф и г|) функцию комплексного переменного,
называемую комплексным потенциалом
w = / (г) = ф (х, у) + п|) (х, у). (4.98)
Легко убедиться, что функция w=f(z) является аналитической.
Действительно,
dyldx = д^/ду = vx; дц/ду =— d^ldx = vy, (4.99)
а это является в данном случае необходимым условием дифференци-
руемости и аналитичности функции комплексного переменного ш = /(г).
Всякая аналитическая функция комплексного переменного, в том числе
и комплексный потенциал w=f(z), определяет конформное
отображение области D физической плоскости z на область Е в плоскости
потенциала w (см. рис. 4.28,6). В плоскости w=f(z) линии 9 = const и
*|)=const образуют прямолинейную ортогональную сетку. Если
комплексный потенциал осуществляет конформное отображение
(сохраняющее -углы), то прообразом этой прямолинейной координатной сетки в
физической плоскости будет криволинейная ортогональная сетка,
образованная линиями
*<*•">-*• ) - (4.100)
Установим механический смысл линий (4.100). Если известен
комплексный потенциал (4.98), т.е. известны функции ф=ф(лг, у) и ^=г|э(#,
у), то соответствующее ему векторное поле скоростей v = vx-)rivy легко
определяется дифференцированием уравнения (4.98)
/' (г) = дц/дх + i dty/дх = vx — ivy.
Итак,
о «/'(г), (4.101)
Обозначим через р угол между вектором скорости v в точке М и
осью х (рис. 4.28,а). Тогда можно написать
vxS=:vcos$=*d<p/dx = dWdy; |
vy = р sin р = дф/dt/=— dty/дх. j
Будем наблюдать за движением частиц вдоль траектории
(обозначена на рис. 4.28,а штриховой линией со стрелками). При этом
бесконечно малые приращения координат в физической плоскости z будут
dx = dSy cos Р;
dy= dSv sin P,
tye dSy —дифференциал дуги траектории. Из уравнений (4.102) и
Последних равенств следует
189

dq> = (ду/дх) dx + {ду/ду) dy = v cos2 p «&ф +
Ж|> = (дЦ/дх) dx + (дф/а^) dy =
=— и sin p cos P с(5ф + v sin p cos P dS^ = 0.
(4.103)
Таким образом, вдоль траектории в физической плоскости функция
тока г|) сохраняет постояннное значение, а ф возрастает в направлении
скорости.
Теперь посмотрим, как будут изменяться ф и \|) вдоль линии,
ортогональной к траектории. Дифференциалы координат вдоль этой линии
можно представить в виде
dx = cos (р + л/2) dSy =— sin р dS^ ;
dy = sin(& + я/2) dS^ = cos p dS^ ,
где dSq — дифференциал дуги линии, ортогональной к траектории.
Из последних равенств и выражения (4.102) следует
<*
d(p = (ду/дх) dx + (ду/ду) dy =
=—v cos р sin р dS^ + у sin р cos Р dS^ = 0; I
d-ф = (дф/ах) d* + (ая|)/а^) ^ =
= v sin2 р d^ + v cos2 Р dS^ = v dS.^ ,
(4.104)
Как следует из первого равенства, вдоль линии ортогональной
траектории функция ф (потенциал) остается постоянной, поэтому эту
линию называют линией равного потенциала (эквипотенциалью).
Второе равенство (4.104) показывает, что значение \|) — это есть расход
движущейся среды, возрастающий в том направлении
эквипотенциальной линии, которое получим, если повернуть вектор скорости против
часовой стрелки на угол я/2. Таким образом, расход движущейся
среды между двумя траекториями равен разности значений функции тока
на этих линиях. Если принять, что на линии A\A2AsA4l функция тока
ф = 0, тогда значение функции тока на оси симметрии ty = vih[ (см.
рис. 4.28, а и б).
Итак, линии ф = const и г|) = const, образующие декартову сетку в
плоскости комплексного потенциала w (рис. 4.28,6), имеют своим про*
образом в физической плоскости z траектории движения частиц и
линии равного потенциала.
Безвихревое течение несжимаемого материала, свойства которого
были описаны выше — это продуктивная приближенная модель течения
сплошной среды, позволяющая исследовать очень сложные задачи
гидродинамики. Г. Я. Гун предложил применить эту модель для приблИ'
женного описания поля скоростей металла при обработке его
давлением. Реальные металлы практически точно удовлетворяют условию
(4.97), условие же (4.95) не выполняется. Однако приняв это условие
в качестве допущения, некоторые задачи теории ОМД приводятся к
строгому и хорошо разработанному аппарату теории функции
комплексного переменного.
Проследим за дальнейшим ходом рассуждений. Опишем с помощь^
т

комплексного потенциала (4.98) деформированное состояние.
Продифференцируем комплексный потенциал дважды
/" (z) = dvx/dx — i dvy/дх. (4.105)
Из последнего следует
^=-1гл/"(*)< (4.107)
Символы Re и 1т означают действительную и мнимую части
комплексной величины выражения (4.105). Интенсивность скоростей
деформации сдвига при плоском течении несжимаемого материала
которая может быть написана с учетом формул (4.106) и (4.107) в виде
H = 2|f(z)|. (4.108)
Таким образом, если удалось построить
комплексный потенциал w = f(z)f то
формулы (4.102, 4.106 — 4.108) позволяют
определить деформированное состояние.
Заметим, что эти формулы являются функциями
действительного аргумента.
Упражнения
1. Составить комплексный потенциал и
подсчитать деформированное состояние в
потоке металла, обтекающем препятствие в
виде полуокружности (рис. 4.29). Ответ:
«» = *оо(2+Я2/г).
2. Найти с помощью комплексного потенциала деформированное
состояние в полосе течения материала (трубке тока), ограниченной
параболами х=у2—]U и *=*/2/4—1, если расход материала равен Q.
Ответ: m = 2Qv z. .
4.10. Деформированное состояние
при выдавливании полосы
Рассмотрим выдавливание панели (рис. 4.28, а). В силу симметрии
можно ограничить рассмотрение лишь ее половиной. Выдавливание или
Прессование панелей из алюминиевых сплавов производят из плоского
слитка 1, который помещается в контейнер 2 и с помощью пресс-
Штемпеля 3 выдавливается через щелевидную матрицу 4. В углу,
образованном стенками контейнера и матрицей, наблюдается так
называемая «мертвая зона» (МЗ), в которой обрабатываемый металл не
деформируется пластически, а по линии Л2Л3 осуществляется срез.
Протяженность МЗ характеризуется положением точки Л2, которое может
быть определено методами, описываемыми в следующих разделах.
Считаем, что координаты точки Л2 известны. Протяженность панели в
Направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, значительно пре-
т

вышает поперечный размер hu поэтому с достаточной точностью мож-
но считать, что течение металла осуществляется в условиях плоского
деформированного состояния.
При выдавливании панелей и других профилей обрабатываемый
металл получает весьма большую пластическую деформацию. Она
вызывает его значительный разогрев. Температура металла может
достигать значений, при которых его пластичность (способность дефор*
мироваться без разрушения) очень низкая. Падение пластичности из-за
разогрева может вызвать образование на изделии разрывов, трещин
и других дефектов. Можно оценить величину разгорева металла от
пластической деформации и ввести коррективы в технологию, если будет
известно деформированное состояние, в частности траектории движения
частиц и их степень деформации сдвига.
Область течения полосы — это четырехугольник D с вершинами
Аи А2, Л3, Л4, две из которых Л[ и Л4 лежат в бесконечности. Линии
AiA2A3AA и А[АА являются траекториями движения частиц.
Следовательно, многоугольник D отображается на плоскость комплексного
потенциала w в виде полосы (рис. 4.28,6). Решение задачи сводится к
построению этого отображения. Покажем, что можно ограничиться
обратным отображением F. Отметим, что F'=l//'; F" = —f"/(f')*. F"\F'~
=-Г7(Г)2; \Г(г) \/[f'(z)]*= \F"(w)/F'(w)\. (4.109)
Построим функцию 2=F((p-H4|?), осуществляющую обратное
отображение области Е на область D. Для этого рассмотрим
вспомогательное отображение, которое дает показательная функция
£ = eW7t^hK (4.110)
Она отображает конформно и взаимно однозначно полосу Е шириной
V\h\ на верхнюю половину плоскости с,. В то же время, формула
Шварца—Кристоффеля отображает полуплоскость Im£>0 на внутренность
многоугольника D с углами аля(0<аь<2; 6=1, 2,..., п) при вершинах
Ah, причем должны быть известны точки ак действительной оси в
плоскости £, соответствующие вершинам многоугольника D:
С
z=c \'a-a1)^-ltt-a2f*-1...(t--anFn-4Z + ci, (4.111)
Со
где с, с\ и £0 — некоторые неизвестные постоянные, определяемые из
условий задачи. Подставив уравнение (4.110) в (4.111), получим искомую
функцию z=F(w).
Конкретизируем формулу (4.111) для условия рассматриваемой
задачи. В ней три точки аи могут быть назначены произвольно. Примем
fli = 0, «з="-1, «4 = °°. Пусть а2=а — неизвестная величина. По условию
задачи cti = 0, а2=1—а, а3=1 + а, а4 = 0. Таким образом, формула
(4.111) примет вид
С
z=c\ [(£_!)/(£-а)]а^/£ + ^. (4.112)
Со
Поскольку С\ — произвольная постоянная, то можно принять любое зна;
чение £о, например £о=1. Тогда при £ = £0=1 z=cb но £=£о=Яз, а этой
точке в плоскости z соответствует точка AZt в которой z = 0. Итак, в
формуле (4.112) £о=1, a Ci = 0. Определим из условий задачи величины
с и а, содержащиеся в формуле (4.112). Следует заметить, что
определение параметров сна сложная задача, она решается точно и довольно
просто лишь для треугольной и в некоторых случаях (в том числе в
данном) для четырехугольной области D.
192

дифференциал функции /4 1 ] ОЧ
Л-^[(С-1)/(С^а)]^/С. (4.113)
Устремим £-+0, тогда в пределе дифференциал запишется в виде
dz = (c/a*)dV'Q. (4ЛИ)
Имеем в виду, что £ = Ре/е. Вычислим приращение Az по формуле (4.114),
обойдя полукруг Сг (рис. 4.28, в). Дифференциал £ при движении по
кругу (p = const, 0 = var)^=pe/e^9, тогда из формулы (4.114) dz =
= (c/atQ)idQ, или после интегрирования
Дг= (с/аа)т. (4.115)
В то же время переход с луча А2А\ на луч А\АА в бесконечности (рис.
4.28, а) сопровождается приращением Az = ih0. Объединив последние два
равенства, получим
h0=—cn/aa. (4.116)
Вновь рассмотрим дифференциал (4.113), но устремим £-><*>, тогда
dz^cdlll (4.117)
Вычислим приращение Дг при движении по полукругу cR (р = оо) (рис.
4.28,в). Дифференциал dz при движении по большому кругу dz = cidQ.
После интегрирования по полукругу cR получим Az = cln. В то же время
переход с луча А\Аа на луч АаМ в бесконечности сопровождается
приращением Az = ihi. Объединив последние два равенства, получим
с=— hjn. (4.118)
Тогда из уравнения (4.116)
а= faMo)1'" (4Л19)
Таким образом, определив константы с и а, строим интеграл
Шварца-—Кристоффеля для рассматриваемого случая отображения
полуплоскости £ на четырехугольник D в плоскости z (рис. 4.28, а и в)
t
'--,v4h-<J,>'"]
<£/С, (4.120)
. L Ь— Vh/n0) ' J
где £ по формуле (4.110) отображает конформно и взаимно однозначно
Полосу Е на верхнюю полуплоскость £ (рис. 4.28,6 и в). Установим
Положение точек А{> А2, А3 и Л4 на плоскости до, которые являются
образами точек А\, А2, А3 и Л4 на плоскости z. Если £=1, то до = 0
(точка Лзнаходится вначале координат плоскости до); если £=0, то до =
ss=—оо (точка А^ находится слева в бесконечности); если £ = оо, то до =
^оо (точка А4 находится справа в бесконечности). Если £= (/ii/Zio)1^,
То из уравнения. {4.110) следует
^ -ф = 0, a <ps=vih\\n(hi/ho)/ал. Итак, точка А2 в плоскости до имеет
Координаты (oi/nln(Ai//io)/an, 0)
итак найдена функция z = F(w). Это сложная функция, определяе-
^ формулами (4.120) и (4.110). Привлекая формулы (4.109) по выра-
193
13—382

жени ям (4.101, 4.106—4.108) можно определить деформированное
состояние. Представляет интерес вычисление степени деформации сдвига,
которую претерпевает частица металла при прессовании
t
о
Интеграл вычислим вдоль траектории движения частиц. Было уста нов-
лено, что Н = 2|///(г)|. Дифференциал времени dx=dSq)/\v\y где dS ^
дифференциал дуги линии тока или траектории частицы, a M = |/'(z)|.
В то же время, согласно (4.103) dSy=dql\v\. Тогда можно написать
А = 2 j' (1П*)1/[Г (*)]*) *Р. (4.121)
Фо
Следует завершить переход в интеграле (4.121) к переменным ф и
\|). Выше было сказано, что подынтегральное выражение может быть
преобразовано по последнему соотношению в (4.109). Тогда
Ф1
Л = 2 j \F"(w)lF' (w)\dy. (4.122)
Фо
Итак, степень деформации может быть определена, так как известно
отображение полосы Е комплексного потенциала на многоугольник
физической полосы, т. е. функция z=F((p-\-ity). Интеграл (4.122) удоб-
нее вычислить во вспомогательной плоскости £. Перейдем к новым
переменным р и 0. Обозначим формулу (4.120) г=Ф(£), или г=
*=<S>(ewnM*)=F(w). Тогда
F' (ш) = Ф' ewn/v*h* n/Vi hx = Ф' Zn/Vi ht\
F" (w) = (ф" £2 + Ф' E) n2lv\h{\
I F" (w)/Ff (w) | = | Ф" С/Ф' + 11 n/vihi = | Ф"/Ф' + \ll | pji/flj hit
(4.123)
так как модуль точки £— радиус-вектор р (рис. 4.28, в). Из формулы
(4.120) имеем
Ф' =_ {hjn) {(с - i)/fe - (Л1/Ло),/а]}а/С. -
Прологарифмируем последнее выражение
In Ф' = In (- hja) + а 1п (С - 1) — a In [С — (hjhtfl"] - In £.
Далее
d In ф' ldt> = Ф"/Ф' = aid - 1) - а/К - №iMo)1/ot] - 1/С
Итак, если учесть последний результат, то формула (4.123) имеет вид
IГ IF' ! =|а/(Е - 1) - а/Ц - (folk*)1**] | ря/»х ^ ^ | [1 -
- (/iiMo)1/a]/(£ - 1) К - (*iMo)1/all <*P^i Лх= U —
- №i//io)1/a] сшр/^i /»i | (С - 1) [С ~ (/*i//to)1/a] I • (4.124)
Формулу (4.110) можно написать в виде
ре& = е(Ф+*^)я/1»1Л1 __ вФяМЛ1 ^n/vxht9
194

откуда следует
р=^оА; Q = *n/vlhi. (4125)
Дифференцируя первое выражение, получим
ф = (вФяМЛ1 „/^ Лх) dq) = {pn/Vi hi) dy. (4 12б)
Возвратимся к интегралу (4.122). Если учесть (4.124) и (4.126) то
оо
Л = 2« [1 - (Л1Мо)^] J ,tt_1)K*(ta/Ae)„«1, • (4.127)
О
Преобразуем знаменатель подынтегрального выражения
1С — 1 | = | р cos в — 1 Ч- *Р sin в | = VV — 2р cos 6 + 1;
IС ~ (fh/h0)l/a | = | р cos 9 - (/il//i0)1/a + Ф sin 61 =
= У Р2 - 2 (V/lo)1^ Р COS 9 + (/l!//l0)2/a.
Подставив последние результаты в выражение (4.127), окончательно
можно написать формулу для расчета степени деформации сдвига
некоторой частицы в виде
A = 2a[l-(A1/^o)1/aJ X
ч-
dp
W - 2р cos 6 + 1 ]/"р2 - 2 (hjho)1/а р cos Э + (V&o)2/a
(4.128)
Лучи, исходящие из начала координат в плоскости £ (рис.
4.28,в), — это образы линий тока (траекторий). Величина 0 является
параметром, определяющим линию тока. Каждой такой линии будет
отвечать свой параметр 6. Осевой линии симметрии соответствует 0=я,
внешнему контуру полосы —6=0. Свяжем значение параметра 0 с рас-
стоянием к некоторой линии тока от оси симметрии (рис. 4.28, а). На
этой линии значение функции тока ^ = vik (рис. 4.28,6). Тогда из
второй формулы в выражении (4.125) следует
Q = nk/hi. (4.129)
Итак, задача подсчета степени деформации при прессовании
решена. Интеграл, входящий в (4.128) —это интеграл действительного
переменного, он может быть вычислен известными методами интегрального
исчисления.
Оценим разогрев металла в процессе выдавливания панелей. Для
конкретного процесса выдавливания (т. е. для известных h0, hi и а) и
для различных траекторий, меняя от расчета к расчету величину k или
9 [см. формулу (4.129) ], определяется максимальное значение Л. В
лаборатории с такой же степенью деформации сдвига следует
осуществить достаточно быстро, чтобы процесс был близок к адиабатическому
осадку цилиндрического образца в условиях хорошей смазки.
Зафиксировав повышение температуры образца, определим тем самым разогрев,
свойственный рассматриваемому процессу выдавливания. Такое
определение температуры разогрева будет лишь оценочным, поскольку в
реальных условиях прессование осуществляется сравнительно медленно и
выделяющееся за счет деформации тепло частично будет отводиться от
13*
195

обрабатываемого материала в инструмент. Кроме того, при осадке труд.
но полностью исключить трение об инструмент, которое обеспечит не-
который дополнительный разогрев образца при выдавливании.
Теория функции комплексного переменного имеет еще два аспекта
практического применения: с ее помощью можно получить точное
решение плоских задач стационарной теплопроводности и линейной теории
упругости. Действительно, в случае плоского установившегося темпера-
турного поля в неподвижной среде уравнение теплопроводности [см.
формулу. (3.32) и упражнение 5 в гл. 3, п. 3.3] имеет вид
а2 е/д*2 + а2 е/а#2 = о. (4.1зо)
Соответствующая рассматриваемой тепловой задаче аналитическая
функция комплексного переменного будет гармонической, т. е. являться
решением уравнения (4.130).
Пример. Требуется определить температурное поле в стенке бес*
конечной протяженности, одна сторона которой изображается ломаной
линией Л1Л2Л3Л4 (см. рис. 4.28, а), а вторая — прямой А\А^ отмеченной
штриховой линией (здесь умышленно использован рисунок другой зада-
чи). На обеих стенках заданы температуры. Решение задачи
доставляет функция комплексного переменного, осуществляющая
отображение полосы в плоскости w на стенку в физической плоскости z.
Решение совпадает с решением задачи данного пункта, траектории
движения частиц в последнем случае будут изотермами.
Плоская задача линейной теории упругости сводится к решению
бигармонического уравнения. Его решение также достигается с
помощью двух аналитических функций комплексного переменного (см., на-
пример, работы М. А. Лаврентьева, Г. Я. Гуна). Отметим, что В. П. По*
лухин решил таким образом задачу о напряженном и деформированном
состоянии листопрокатного валка.
Контрольные вопросы
1. Дайте определения плоского деформированного состояния и
идеально пластичного материала.
2. Напишите полную систему дифференциальных уравнений теории
пластичности, которая разрешима методом линий скольжения.
3. Какие задачи называют статически определимыми?
4. Какой механический смысл имеют переменные о и ф?
5. Какие линии называют линиями скольжения?
6. Напишите решения дифференциальных уравнений равновесия
вдоль линий скольжения. Как называют эти решения?
7. Перечислите свойства линий скольжения.
8. Запишите уравнение Гейрингер и укажите их механический смысл.
9. Возможны ли разрывные решения для поля скоростей? Какие
допускаются разрывы?
10. Может ли линия разрыва скоростей пересекаться линиями
скольжения?
11. Чем является граница между жесткой и деформируемой частями
обрабатываемого тела?
12. Сформулируйте первую краевую задачу.
13. Расскажите о численном решении задачи Коши.
14. Сформулируйте вторую краевую задачу.
14. Расскажите о численном решении задачи Римана.
16. Расскажите о третьей краевой задаче, решаемой численным ме"
тодом.
196

17. Обеспечит ли задание нормального и касательного напряжений
на внешней границе единственность определения там о и ф?
18. Докажите, что решение задач, рассматриваемых в данной
главе, методом линий скольжения не единственно.
19. Приведите сетку линий скольжения для задачи внедрения
штампа в пластическое полупространство.
20. Во сколько раз среднее напряжение внедрения штампа в
пластическое полупространство будет больше предела текучести при
одноосном сжатии?
21. Приведите сетку линий скольжения для задачи волочения
полосы через гладкую матрицу с прямой образующей.
Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В гл. 4 были рассмотрены методы решения задач теории пластичности.
Однако класс задач, решаемых методом линий скольжения, все же
узкий: материал обрабатываемого тела предполагается идеально
пластичным., течение плоское, медленное и изотермическое. Теория функций
комплексного переменного также применима пока для плоских задач.
Полностью задача решается (определяется напряженное и
деформированное состояние) только в плоской линейной теории упругости.
Температурное поле может быть найдено в неподвижной среде, находящейся
в стационарном температурном состоянии. Пластическое течение
определяется только для стационарного, изотермического движения в
предположении, что частицы среды не испытывают вращения.
Известно, что металлы при пластической деформации испытывают
упрочнение, течение, как правило, трехмерное. Поэтому изложенные в
гл. 4 методы решения задач теории пластичности в общем случае не
применимы. Решение системы дифференциальных уравнений теории
пластичности представляет собой сложную математическую проблему. Пока
еще не найдены общие приемы точного интегрирования этих уравнений.
Однако приближенный метод решения задач практически любой
сложности существует. Он основан на идеях вариационного исчисления и его
прямых (приближенных) методах.
5.1. Общие сведения
В теории пластичности, а также в других науках, играют важную роль
функционалы. Функционал задан, если каждой функции (или кривой)
из некоторого множества функций поставлено в соответствие
определенное число. Функционалом является, например, длина кривой,
соединяющей две заданные точки A(xCf уо) и В(х\> у\)>
хх
/= \V\ + (y')2dx. (5.1)
В зависимости от вида подставляемой в формулу (5.1) функции у = у(х),
проходящей через две заданные точки, получается свое число /.
Функционал (5.1) задан в данном примере на множестве функций или
кривых, проходящих через точки А и В. Более того, эти функции должны
быть дифференцируемы хотя бы один раз, а интеграл в выражении (5.1)
Должен существовать.
197

Другим примером функционала является площадь под кривой
заданной длины /, соединяющей заданные точки А и Bt
/ = J ydx. (5.2)
Функционал (5.2) также задан на множестве функций у^у(х),
проходящих через точки л и В и имеющих заданную длину /.
Далее будем рассматривать функционалы, характерной чертой
формул которых будет операция вычисления определенного интеграла. Вид
подынтегральной функции может быть различным, поэтому
функционалы (5.1) и (5.2) и им подобные запишем в общем виде
*.»
J= f F(x%y% y')dxy (5.3)
где функция F имеет в рассмотренных примерах значения: в первом
F= j/"l + (у')2, во втором F = y. Еще более кратко функционал можно
записать в виде
J = Jly{*)h (5.4)
Функционалы типа (5.3) — простейшие. В более сложных случаях они
могут содержать в выражении F производных более высоких порядков.
Функционалы могут быть определены кратными интегралами.
В вариационном исчислении считается, что функции (см. выше ар*
гументы у=у(х)—это функции, дифференцируемые определенное
количество раз (в первом примере один раз), а интегралы существуют.
Предметом вариационного исчисления является разработка способов
исследования функционалов на минимум или максимум (на экстремум или на
стационарное состояние). Рассмотренные выше примеры уместно
продолжить и поставить задачу на поиск экстремума. В первом примере
надо найти кривую, соединяющую точки А и В, которая имеет
минимальную длину; во втором — найти кривую также проходящую через
точки Л и Б, но заданной длины (это существенное дополнительное
ограничение на множество кривых, из которых следует выбрать одну
нужную кривую), которая охватывает максимальную площадь. Ответы
на эти экстремальные задачи в данных случаях очевидны, в первом
случае функционал будет минимален на прямой, во втором случае
кривой, сообщающей максимум функционалу, будет дуга окружности.
В общем же случае ответ не очевиден. Экстремалью называют функцию,
сообщающую экстремум функционалу. Кривые или функции, из которых
выбирается экстремаль называют кривыми (функциями) сравнения.
Для функционалов в вариационном исчислении важную роль
играет понятие непрерывности. Для того, чтобы сформулировать это
понятие для функционалов, необходимо ввести понятие функционального
пространства и понятие близости его элементов — кривых (функций)
сравнения. Последнее можно сделать, введя для функции понятие
нормы— аналог расстояния между точками в эклидовом пространстве.
Множество функций сравнения образует линейное функциональное
пространство, если умножение любой функции из этого множества на
действительное число и сложение любых функций множества между
собой дают новые функции, не выходящие из этого множества.
Например, множество определено как совокупность всех
непрерывных функций. Из анализа известно, что умножение непрерывной фун#"
ции на действительное число, а также сложение непрерывных функции,
198

дают новые функции, причем они также непрерывные. Такое множество
составляет по определению функциональное пространство. Другой
пример. Пусть множество определено как совокупность функций, имеющих
одну точку разрыва. Такое множество не образует функционального
пространства, так как сумма например двух функций может иметь уже
две точки разрыва. Положение в этом примере изменилось бы на
обратное, если бы точки разрыва всех функций множества имели одни и те
же аргументы.
Функциональное пространство и его норма конструируются, исходя
из особенностей решаемой задачи1. Функциональное пространство, в
котором введена некоторая норма, называют нормированным
функциональным пространством. Например, может быть введено нормированное
функциональное пространство D0 как пространство, состоящее из всех
непрерывных функций, определенных на некотором отрезке [л:0, х\],
норма которого определена как максимум модуля для функции у = у(х)
\\y\\o = max\y(x)\.
x0<x<xt
Считается, что в пространстве D0 функция у(х) близка к функции у0 (х),
если ее график (см. рис. 5.1) целиком лежит внутри полосы, шириной
2е (по вертикали), окружающей график уо(х). Иными словами, норма
разности этих функций меньше е \\у—*/оНо<Ж
В качестве другого пирмера может быть указано пространство Dt,
которое состоит из всех функций, определенных на некотором отрезке
[*о> *i] и непрерывных на этом отрезке вместе со своей первой
производной. Норма этого пространства определяется формулой
|| у ||! = max | у (х) | + max | у' (х) |.
хй<.х<хх x0<x<€xt
Близость функций в пространстве D\ означает, что близки как значения
Функций, так и их первые производные. Действительно, если \\у—t/olh<
<е, то в силу определения нормы
II У — Уо Hi = max | у (х) — у0 (х) | +
x0<x<xt
+ тах|*/' (*) —#о(*)1<е,
вытекает
max | у (х) — у0 (х) ] < е;
1 Особенности конструирования норм будут рассмотрены ниже.
199

max I у' (x) — jiJW|<8.
Например, функция y = y(x)y график которой изображен на рис. 5.2,
близка к функции у=уо(х) в пространстве D0 и далека в пространстве
D\. Можно ввести целый ряд иных пространств.
После того, как в линейном функциональном пространстве
введена норма, для функционалов вводят понятие непрерывности: функцио-
нал J[y(x)] называют непрерывным в «точке» уо(х), принадлежащей*
пространству D(y0(x)^D), если для любого бесконечно малого е>0
существует бесконечно малое число 6>0, что \J[y(x)]—J[yo(x)]\<t
как только \\у—Уо\\<&. Для того, чтобы иметь возможность
пользоваться обычными аналитическими методами, например предельным перехо.
дом, выбирают пространство так, чтобы рассматриваемый функционал
был непрерывен.
Основная лемма вариационного исчисления следующая: если а(х)-^
непрерывная функция и
xi
J а (х) h (х) dx = 0 (5.5)
для любой непрерывной и произвольной функции h(x), удовлетворяю»
щей ряду ограничения, например, имеющей непрерывную производную
и удовлетворяющей условию h(x0)=h(x\)=Ot то а(х) = 0.
Рассмотрим доказательство этой леммы от противного. Пусть в
некоторой точке С а(С)Ф0, например а(С)>0, тогда найдется в силу
непрерывности функции а(х) интервал £0<C<£i, содержащийся в
интервале (х0у Х\), в котором а(х)>0. В силу произвольности функции
п(х), положим h(x) = (£o—*)2(.ii— х)2 на интервале (|0, 1\) и h(x)=0
вне этого интервала. Тогда интеграл (5.5) примет вид
U
^а(х)(10-х)Щ1-х)^х>01
U
так как под интегралом стоит положительная непрерывная функция.
Полученное противоречит условию леммы, что и доказывает ее.
Пусть D — линейное нормированное функциональное пространство
и пусть каждому элементу у=у(х) из D поставлено в соответствие
число J [у], т.е. задан функционал. Функционал J [у] называют
линейным, если он непрерывен и для любых У\(х) и Уъ{х), принадлежащих
D, удовлетворяет условиям
J\yi + yd = ПуЛ + J[y2b
J[ky] = kJ[y].
Так, функционал
хг1
J [у] = j a(x)y(x)dx,
где а(х) — фиксированная функция, будет линейным.
Введем определение вариации функционала. Рассмотрим
некоторый функционал J[y(x)] и его приращение
AJ = J[y + h]-J[y],
200

вечающее приращению h независимой переменной (рис. 5.3). Прира-
ение Д/ также будет функционалом. Если у — фиксировано, то Д/
,дет функционалом только от h = h(x) В общем случае функционал
Щ будет нелинейным. Вариацией б/
щкционала J называют главную линейную У |
\сть приращения Д/ функционала J, т. е. '
шейный функционал, отличающийся от Д/
i бесконечно малую величину порядка вы-
е первого по отношению к \\h\\. Таким об-
130М
Д/[Л] = 6У[Л} + а||Л||,
[е а-*0, когда ||А||-Ц). Бесконечно малое
шращение функции-аргумента h(x) назы-
т вариацией функции у(х) и обозначают
/. Вариация 6у является некоторой функ-
m от х.
пражнения
1. Кривая y=y(x)t проходящая через заданные точки А(х0, у0) и
(*ь У\)у вращается вокруг оси х. Составить функционал, выражающий
ющадь поверхности, которую описывает эта кривая. Ответ: J —
хх ■
:2я[ yV \ + (y')*dx.
2. Тяжелый гибкий трос подвешен между точками А(х0, г/о) и
(jcj, у\). Написать функционал для потенциальной энергии этого тро-
з, если масса единицы длины троса р = р(х). Ответ:
= fpyVl + (y')*dx.
3. Тонкая балка лежит на двух опорах, расположенных на рассто-
яии / друг от друга. Записать функционал потенциальной энергии уп-
угой деформации балки. Ответ: /=cj (y")2dx, где с = const.
о
.2. Необходимое условие экстремума функционала:
равнение Эйлера
функционал на некоторой кривой у=Уо(х) может достигать
экстренного значения. Функционал на кривой у=у0(х) из некоторого
функционального пространства D функций у=у(х) имеет относительный
аксимум, если AJ=J[y]—1[уо]<0 на всех кривых, близких к у =
~~Уо(х); с другой стороны, если эта разность AJ^O, то на кривой у=
-Уо(х) функционал достигает относительного минимума1.
В математическом анализе были рассмотрены экстремальные свой-
гва функций. Экстремумы обычных функций могут быть (рис. 5.4)
Стрыми (а) и гладкими (б). С помощью дифференциального исчисле-
ия могут быть найдены толькд экстремумы типа б, такие точки эк-
^Ремума еще называют стационарными. Укажем, что с помощью ме-
4°в вариационного исчисления поддаются исследованию функциона-
, * В данной главе рассматриваются только относительные экстрему-
Функционалов, а не абсолютные.
201

\s.
лы, которые обладают гладким экстремумом, аналогичным экстремуму
б на рис. 5.4. Поэтому, чтобы выделить гладкие экстремумы, назовем
их стационарным значением функционала.
Теорема: Если функционал J [у] при у = у0(х) достигает стацио*
парного значения, то его вариация (если она существует) обращается
в нуль при у=Уо(х), т. е. б /н=0 при у=уо(х)
Рассмотрим случай минимума. Если J [у] при у=у0(х) достигает
минимума, то это значит, что J[yo+h]—J[yo]^0 для всех А, в том
числе и для тех, для которых норма \\h\\ достаточно мала. Но, по
определению вариации,
J [Уо + h] - J [у0] = Ы + а\\п\\ > О
, и а-^0 при ||Л||->0. Предположим, что
У-У{Х) 67^0. При стремлени ЦЛЦ-Ю знак
выражения
б/+ а ||/i|| (5.6)
определяется знаком первого
(главного) члена. Но б/ — линейный
функционал от h=h(x), значит
б/[—h\=—6/|А]. Следовательно, если
6/^0, то выражение (5.6) может
быть как положительным, так и
отрицательным при сколь угодно малых
h, т. е. экстремум в этом случае
невозможен. Остается одно: б/=0 при
У=Уо(х).
Изучение конкретных задач вариационного исчисления обычно
начинают с простейшей задачи: среди всех непрерывных функций у=у(х),
имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих условиям
У(хо)=Уо\ */(*i)T=#i, найти ту функцию, которая доставляет экстремум
функционалу
«П</]=| F{x,yty')dx. (5.7)
Дадим функции у(х) некоторое малое приращение 6у(х). Для
того, чтобы функция у(х)+бу(х) по-прежнему удовлетворяла
граничным условиям, нужно, чтобы $y(xo)=$y(xi) =0. Вычислим приращение
функционала (5.7):
M = fF(x9y+6yty'+6y')dx-]lF(x9y9y')dx =
= / [F (х, у,у') + Fy (х, у,у')Ьу + Fy> (*, */, у') by* +
г1
+ ...-F{xty,y')]dx = ] lFy(x,.y,y')-dy +
+ Ft/(x,y,y')6y']dx + ... .
Здесь сделано следующее: функция F(xt уу у') в первом интеграл^
разложена в ряд Тейлора, ограничились линейными членами разложг
ния (остальные отмечены многоточием), частные производные отмече'
202

ны соответствующим индексом (например, Fy=dF/dy и т. д.).
Выражение
((Fy6y+Fy>&y')dx
представляет собой главную линейную часть приращения А/
функционала /, т. е. ее вариацию б/. Кстати, вариация 6/ равна интегралу от
dF~Fyby-\-Fу,§у'—дифференциала F при изменении у и у'. Это
обстоятельство удобно использовать при вычислении главной части
приращения функционала. Осуществим над подынтегральным выражением
6/ следующие преобразования:
о7 - J [Fy by + d/dx (Fy' by) - (dFy'ldx) by] dx =
= / (Fy - dFy/dx) вуdx + (V %02 = I (Fy ~ dFsldx) *ydx-
(5.8)
Здесь использовано условие, что 6y(x0)=6y(xi)=0 и d(6y)/dx=6y'.
Справедливость последнего вытекает из следующего:
- бг/' = 6 lim [(*/+ — у~)/Ьх],
где Ал: — длина интервала со средней точкой х\ у+ и у- — значения
функции на правом и левом концах интервала. По определению
определенного интервала у' в подынтегральном выражении имеется в виду
при некотором фиксированном значении х. Варьирование по этой же
причине — изокоординатное, т. е. при фиксированном х. Следовательно,
последний результат можно представить в виде
lim [(Ьу+ — ду-)/Ах\ = d ifiy)ldx.
Согласно последней теореме необходимым условием экстремума
функционала является равенство б/ = 0. Приравняем выражение (5.8)
к нулю, тогда по основной лемме вариационного исчисления (6у —
произвольная функция)*
Fy-dFy>ldx = 0 (5.9)
Выражение (5.9) называют уравнением Эйлера. Таким образом,
установлена следующая теорема: для того, чтобы функционал
Н
Пу\^\ F(x9y,y')dx9
определенный на множестве непрерывных функций у=у(х), имеющих
непрерывную производную и удовлетворяющих условиям у(х0) = уо\
У(х0^У\, достигал на функции у=у(х) стационарного значения,
необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера Fv—
Пример. Найдем уравнение линии, соединяющей две заданные
^^и Л(х0, Уо) и В(хи у{) и имеющей наименьшую длину1. Функцио-
■ Решение задачи — это прямая линия, что позволит проконтроли-
Ровать ответ.
203

над для этой задачи дается формулой (5.1), Функция f{x, у, у')-т.
ет вид F=j/~\ + (У)2, поэтому
Fy = dFldy = 0; Fy' = dF/ду' = у'lV \ + (Л2-
Уравнение Эйлера (5.8) имеет вид
d/dx[y'/Vl + (y')*] = 09
или у'IV 1 + (#')2 = c = const.
Очевидно следующее: у'=у/~с2/(1—с2)=с{\ интегрируя, получим у?
= С[Х + С2. Для исключения произвольных постоянных воспользуемся ус
ловиями, что линия должна проходить через две заданные точки Л и £
Тогда получим решение вариационной задачи, названной в условия:
примера
У = Уо + [(Уо — yi)/(x0 — хх)] (х — х0).
Упражнения
1. Составить уравнение Эйлера для функционала
J = f [У~\ + {У')Ч УЧу\ d*>
причем все кривые сравнения проходят через заданные точки А (х0, #0)
nB(xltyi). Ответ: у[\ + (у')г]=с.
2. Решить уравнение Эйлера из предыдущей задачи.
3. Исследовать на экстремум функционал
J = fy Vl + (y')*dx
на классе достаточно гладких функций, проходящих через две
фиксированные точки. Ответ: y=cch[(x + Cx)/c].
4. Исследовать на экстремум функционал
*i
<f= fj(y+xy')dx на классе дифференцируемых функций, ПрОХОДЯ-
щих через точки А(х0, уо) и В(хи У\). Ответ: стационарной точки
(гладкого экстремума и соотвествующей экстремали) функционал не
имеет.
5.3. Простейшая задача со свободными концами
и задача с односторонней вариацией
Рассмотрим более общий случай вариационной задачи — задачу со
свободными концами. Обратимся к простейшей задаче поиска
стационарной точки функционала (5.7). Однако, будем считать, что концы тех
кривых, на которых определен функционал, могут свободно и
произвольно передвигаться. Все рассматриваемые кривые будем полагать
гладкими, а расстоянием (нормой) между кривыми у(х) и у*(х)
назовем величину
P = max|y-yJ + max|f/'~^| + p(p0, Р0*) + Р(/>х, Ры), (5.10)
204

где р{ро, Ро*) и p(/?i, /?и)—расстояние в обычном понимании между
соответственно левыми и правыми концами р0, ро*', Ри Pi*, кривых у и
//>. Так как функция у (экстремаль) и у* (кривая сравнения)
определены на разных интервалах, то для того, чтобы формула (5.10) всегда
имела смысл, эти кривые нужно продолжить на общий для обеих
функций интервал (чтобы на нем были определены обе кривые), проведя,
например, для этого касательные в конечных точках кривых (рис. 5.5).
х0 х0-+#х0
Xj Xj+(Fxt
X0 X0 + <?XQ Xj X^fXy X
Определим вариацию функционала (5.7) как выражение, линейное
относительно вариации by функции у и относительно приращений
координат концов, отличающееся от полного приращения А/ функционала
][у] на величину выше первого порядка малости по сравнению с
расстоянием (нормой) между функциями у и у+by. Обозначим координаты
концов кривой у(х) через (*0, у0) и (*ь г/i), а координаты концов про-
варьированной кривой у + by через (х0+6х0, Уо + Ьу0) и (*i 4-6*1, У\+,
+Ц) соответственно. Найдем приращение функционала J [у]:
ДУ= J F(x, y + by, y' + by')dx- \F(x, yt y') dx =
= J [F (x, у + 8y, y' + by') - F (x, у, y')] dx +
+ j F (x, у + by, У + by') dx- I F(x, y + by, y' + by') dx.
xi x0
Воспользовавшись формулой разложения в ряд Тейлора и отбрасывая
Члены выше первого порядка малости, получим
67
= J (Fyby + Fy,by') dx + F\x=xbxx - ^=,o6*0
~ I lpy ~ dFv'ld*\ 6ydx + IFy&yYEll + F\x=Xi bxx - F\x=XobxQ,
xo
Во втором слагаемом последнего выражения by(x0) и 6#(*i) — эта
вариация функции при фиксированных абсциссах. Они связаны (см.
Рис. 5.5) с полными варицаиями Ьу0 и byi следующими соотношениями
(с точностью до бесконечно малых второго порядка малости):
Ьу (*о) = ЬУо — У'(х0) 6*0; &У (xi) = fy/i — У (*i) &*i-
205

Окончательно можно записать общую формулу вариации для простей*
шего функционала
6J4 {Fy-dFy'ldx) bydx + Fy>\x=xbyi-Fy,\x=xby0+
+ С7 - ^')U=А - (* - Fyy')U=x0K
(5.
Рассмотрим более конкретную задачу. Пусть дан функционал (5.7),
определенный на достаточно гладких кривых, концы которых Ро и р,
не свободны, а лежат на двух заданных линиях у=Ц>(х) и г/=г|э(^).
Требуется найти экстремум функционала. Воспользуемся выражением
(5.11). Вариации дх0, ду0 и дхи Ьу\ будут попарно связаны друге
другом— концы скользят по заданным кривым у—(р{х) и у=^(х),
С точностью до линейных членов эта связь может быть выражена (рис.
5.6) в виде
Следовательно, если учесть последние соотношения, то необходимое
условие стационарности (б/=0) примет для этой задачи вид
Г (Fv - dFvldx) bvdx + CV*'+F -у'Ы\*-х,**1 -
Так как ду на интервале (хо, хх), а также 6*i и блг0 на" концах кривой
произвольны, то последнее уравнение может быть выполнено лишь
тогда, когда
0;
Fy-*Fy>l*x-
(Fy,r+F-y'Fy,)\x=Xi = 0;
(Fy,<p' + F-y'Fy,)\x==Xo=0.
(5.12)
№r
Первое уравнение — дифференциальное
уравнение Эйлера, а два других конечных
уравнения, которые называют условиями
трансверсальности, служат для определения
двух произвольных постоянных,
получающихся в результате интегрирования
уравнений Эйлера.
Пример, (рис. 5.7). Определим крат-
\х чайшее расстояние между кривыми у-хг И
у=—\-\-х. Следует исследовать на минимум
функционал, выражающий длину кривой
(5.1). В первом примере п. 5.2 было найде'
но общее решение вариационной задачи:
экстремалью является прямая линия у*
= с\х+с2. Воспользуемся условиями транс
нереальности (5.12) и исключим из последней формулы произвольны^
постоянные. В рассматриваемом примере
1 ч V
[ 0,5
5v
/ ч
■хА
и
F = V\ + (у')2\ Ф = х2; ^ = — \ + х\
Fy>=ylV\+(y'r\ y' = ct.
206

тогда условия трансверсальности примут вид
cjVl + cf + l/"l + ^ -c?/lA + c? = 0,
или
l + 2x0Ci = 0; |
l + (?i = 0. j
Отсюда следует, что ci = — 1; *0=1/2; #o=1/4 (У=*2)- Из общего
уравнения прямой, подставив в него координаты точки (х0, у0), найдем
коэффициент ,с2=5/а- Вторая граничная точка экстремали будет на
пересечении экстремали и прямой у——\+х
У —Jt = — 1;|
у + х*=г/4,)
т.е. Xi—7I8\ ух——Ve- Итак, экстремальное значение функционала
71 7/
; = j V\ + (y')*dx=\ 1,41 d* = 0,53.
7* 7,
На практике встречаются задачи, в которых на класс допустимых
кривых сравнения наложено ограничение, запрещающее им проходить
через точки некоторой области. В этих задачах, называемых задачами
с односторонней вариацией, возникают две ситуации. Во-первых,
экстремаль может проходить целиком вне запрещенной области вместе с ее
границей. Отыскание такой экстремали осуществляется описанным
выше способом. Во втором случае экстремаль может состоять из дуг,
лежащих вне запрещенной области, и их дуг, являющихся ее границей.
Части искомой экстремали, которые лежат вне запрещенной области,
удовлетворяют уравнению Эйлера и являются его решением. Остальные
части экстремали лежат на границе запрещенной области, уравнение
которой известно из условий задачи. Для построения экстремали в
целом необходимо найти условия в точках перехода экстремали на
границу запрещенной области. Эти условия можно получить с помощью
описанного выше аппарата решения задач с подвижными границами,
причем экстремаль сопрягается с границей запрещенной области
плавно, по касательной.
Пример. Определим кратчайшее расстояние между точками с
координатами #о=#о=0 и Х\=\\ #1=0,75. Причем экстремаль не
должна вторгаться в запрещенную область у>х2 (рис. 5.7). Функционал
этой задачи, а также общий интеграл уравнения Эйлера известен.
Экстремалью вне запрещенной области будет прямая линия у=С\х+с2.
Легко убедиться (см. рис. 5.7), что экстермаль не может на всем своем
протяжении быть прямой, она неизбежно войдет, в запрещенную
область. Итак, имеет место задача с односторонней вариацией. Найдем
точку сопряжения прямой (экстремали) и границы запрещенной
области, уравнение которой у=х2.*В точке сопряжения касательные к этим
Двум линиям совпадают, следовательно 2х=с\. Итак, координаты точки
сопряжения xh=Ci/2; yn^cf/l. Константы сх и с2, входящие в
уравнение прямой, из условия ее прохождения через точки (xk, ук) и (хи *л).
Находят из системы
207

cJ/4 + c2-0; j
^ + ^==3/4. J
Легко определить, что корни будут Ci = l, с2=—1/4, а координаты
точки сопряжения: лг*=1/2; #&=1/4. Экстремаль изображена на рис. 5.7
штриховой линией.
Упражнения
1. Исследовать на экстремум функционал
/=Д]А + ол2/г/К
о
причем у(0)=0, a #i=*i — 5. Ответ: у=± j^IOx—x2.
2. По какой плоской кривой точка должна скатываться вниз из
положения А (0,0) для того, чтобы в кратчайшее время достигнуть
вертикальной прямой х = Ь'?
Ответ: Искомая кривая в параметрической форме имеет вид: л*=
= b(6—siir9)/ji; y=b(l—cos9)/jt.
3. Найти функцию, на которой может достигаться экстремум
функционала
л/4
о
при условии, что #(0)=0, а вторая граничная точка экстремали
скользит по прямой #=л/4.
Ответ: у = 0.
5.4. Изопериметрическая задача — задача
на условный экстремум
Введем понятие вариационной производной. Вариационную задачу
можно рассматривать как задачу на поиск экстремума функций с
бесконечным множеством переменных. Действительно, пусть имеем простейший
функционал
ь
J [у] =]>(*, у, У')*х. (5.13)
а
Разобьем отрезок а, Ъ на /г+1 равных частей Ал: точками л'о=Д»
дгь *2, ..., хп. Xn+\ = b (kx=Xi+i—Xi) и заменим гладкую кривую у = у(х)
ломаной линией с вершинами, ординаты которых уа, у\> У2,—, Уп, уп+1**
= уь. Функционал (5.13) можно заменить приближенно суммой
п
J \У] -2 F{xi9 yi9 (yt+i-yi)/bx)bx, (5.14)
1=0
при этом функционал превратится в обыкновенную функцию п пере-
ц&шых J(y\t У2,..., Уп). При увеличении числа отрезков деления
интервала или при Ajc-)-0 число значений yt растет и приближенное значение
функционала (5.14) будет стремиться к точному значению.
206

(5.15)
*~х
х0=а х,
Вычислим частные производные по yk от (5.14) и посмотрим, что
происходит с этими производными при Ддс->0. Заметим, что ук в
выражении (5.14) входит только в два слагаемых, индексы которых i=lt
и l=k—1, тогда получим
dJ/dyk = Fy(xk, yki (yh+l — yh)/^x)Ax —
~~F!/ (**, Ук> (y^i-yhV^) + Fy (**-ь %_b (yk-yk-x)/bx)u
Разделим последнее равенство на Ах
дЛдУ/Ьх = Fy (хь уь (yk+l - yj/Sx) -
~ [*У (хь уь (%+i - Ун)!**) - /у (xk^)t
ft-i, (yk-yk_l)^x)]/^x.
Заметим, что выражение дукАх,
стоящее в знаменателе уравнения
(5.15) слева, имеет ясный
геометрический смысл; это площадь
между сплошной и штрихозой
ломаными (рис. 5.8), связанная с
приращением дук. При Ах->0
выражение (5.15) стремится к
пределу, равному Fy(x, у, y')—d/dx
[Fy'(x> У* У'1- Этот предел и
называют вариационной производной функционала (5.13) в точке Xk.
Вариационную производную обозначают символом
bJ/6y=Fy — dFy,/dx. (5.16)
Ясно, что полученное выражение вариационной производной
представляет собой левую часть уравнения Эйлера. Следовательно,
уравнение Эйлера означает равенство нулю в каждой точке интервала [а, Ь]
вариационной производной соответствующего функционала. Точно так
же в анализе необходимым условием экстремума функции п
переменных является равенство нулю всех ее частных производных.
Дадим определение вариационной производной. Сообщим функции
у приращение by, отличное от нуля лишь в окрестности некоторой
точки Xk, и вычислим соответствующее приращение функционала J[y +
+by}—J[y]. Разделив это приращение на площадь о, ограниченную
кривой Ьу и осью х, получим отношение
(J[y + dy]-J[y])/o. (5.17)
Если при G-+0 величина (5.17) стремится к какому-то пределу, то
этот предел называют вариационной производной функционала J[y] в
точке xk.
Из определения вариационной производной ясно, что если Ьу
отлично от нуля в некоторой окрестности точки xk и ограничивает
площадь а, то
Д./ = / [у + Ьу] - J [у] = [(Fy - dFy,ldx)\x=Xh + е] а, (5.18)
где е-Я), когда стремится к нулю Ьи и длина интервала, на котором
В простейших задачах вариационного исчисления, которые были
Рассмотрены выше, класс допустимых линий, помимо тех или иных
требований гладкости, определялся условиями, задаваемыми на коч-
14-382
209

цах этих линий. Однако часто приложение вариационного исчисления
приводит к задачам, в которох на допустимые кривые, кроме граничных
условий, накладываются условия совсем иного типа. Подобный случай
был представлен вторым примером в начале главы. Рассмотрим так
называемую изопериметрическую задачу: среди всех кривых,
удовлетворяющих условиям у(а)=уау у{Ь)=уь, на которых функционал
ь
K=\G(x, у, y')dx (5.19)
а
принимает заданное значение /, найти ту, для которой другой
функционал
ь
J =\F(x, у, y')dx (5.20)
а
достигает экстремума.
Первоначально под изопериметрической задачей понималась
следующая частная задача: среди всех замкнутых кривых, имеющих
заданную длину, найти ту, которая охватывает наибольшую площадь.
Отсюда и само название «изопериметрическая задача» (т. е. задача с
фиксированным периметром). В терминах изопериметрической задачи
второй пример, приведенный в начале главы, можно сформулировать
так: найти кривую, проходящую через точки А(хо, у0) и В(хи У\) и
имеющую заданную длину
J У l + (y')2dx=lt
которая сообщает максимум функционалу
г1
J = \ ydx.
При решении изопериметрической задачи предположим, что
функции G и F, определяющие функционалы (5.19) и (5.20), имеют
непрерывные производные первого и второго порядков при а<сх<Ь и при
произвольных значениях у и у\ Кроме того, предположим, что
искомая кривая не является экстремалью функционала (5.19).
Решение поставленной задачи дает следующая теорема.
Если кривая у=у(х) дает экстремум интегралу
ь
НУ] =]>(*> У, y')dx9
а
удовлетворяет условиям
ь
К [у] = \G(x, у, y')dx= /, y(a) = yai у (Ь) = уь
а
и не является экстремалью функционала К [у], то существует такая
постоянная К, что эта же кривая у~у(х) является экстремалью функ*
ционала
ь
\ (F + Щ dx.
а
210

Рассмотрим доказательство этой теоремы. Пусть кривая у=у(х)
дает экстремум функционалу (5.20) при условии К[у]=1. Возьмем в
интервале [а, Ь] две произвольные точки х{ и х2 и придадим у(х)
приращение Sy—SXiy+Sx2 У» отличное от нуля лишь в окрестностях этих
точек. Согласно формуле (5.18) приращение Д/ функционала / можно
представить в виде
Д/ = [(Fy - dFy,/dx)x=Xi + sj al+[(Fy-dF^/dx)x^X2+E2\G2y (5.21)
ь ь
где о-! = ^6Xiydx, б2= {бх ydx и Ei,e2->0 при olto2-+0.
а а
Потребуем теперь, чтобы проварьированная кривая у*(х) =у(х) +
4-бд; У+$х2У Удовлетворяла изопериметрическому условию, при АК =
=К[У*]—К[у]=0. Приращение функционала К[у] можно представить в
виде, аналогичном формуле (5.21). Таким образом, получаем
А* = i(Gy - dGy,/dx)x^Xi + е[] aL +
+ [{°у- dGy'/dx)X=Xl + 4] *2 = ° • (5■ 22)
где Ер е2->0 при <ть а2->0. Выберем точку ^=х2 так, чтобы (Су—
—dGy'/dx)x=x2 Ф0. Такая точка существует, так как по условию у—
-у(х) не является экстремалью функционала /С При таком выборе
точки х2 условию (5.22) можно придать вид
*2 = -
(Gy-dGy,/dx)x=Xt
{Gy-dGy,ldx)x=Xt
+ e'
(5.23)
где ё'-)-0 при ai->0.
Подставим в формулу (5.21) вместо а2 выражение (5.23). Введя
обозначение
(F« — dFu'/dx)x-x
получим
U = [(Fy - dFy,jdx)x=Xi + %(Gy- dGy.ldx)x=Xi + e] ^.
Первые два слагаемых в квадратной скобке представляют собой
главную линейную относительно ду часть Д/, т. е. вариацию функционала.
Так как функционал / достигает экстремума, то его вариация равна
нулю, а так как o~i#0, то для произвольной точки на интервале [а, Ь]
Fy - dFy>ldx + X(Gy- dGy>Vdx = °>
или (?i=const)
(F + %G)y - d/dx (F + XG)y> = 0, (5.25)
Что и требовалось доказать.
Полученный результат используется при решении той или иной
изопериметрической задачи бедующим образом. Составив
дифференциальное уравнение (5.25), находят его общее решение, которое будет
содержать параметр X и еще две произвольные постоянные. Эти три
Величины определяются из граничных условий у(а)=уа, у(Ь)=уь, а
также из условия К[у]=1.
14* 211

Пример. Найти кривую в верхней полуплоскости, проводящую
через точки (—а, 0) и (а, 0), имеющую заданную длину 2/(/>а) и
охватывающую вместе с отрезком [—а, а] максимальную площадь, т.е.
необходимо найти функцию у = у(х)у для которой
а
L [у] = | У 1 + (У')4х = 2/, (/ (- а) = j/ (а) = 0,
—а
а интеграл J[y]= J #flf# принимает максимальное значение. В соответст-
—а
вии с изложенным выше составляем новый функционал
j [у + Я)Л + (0')?] <fr.
—а
Уравнение Эйлера для этого функционала
1 - Xd/dxfo'/Kl + (у')а) = °-
Откуда
или
у' = — (Ci — x)/Vx*-(c1-x)\
Интегрируя, получим уравнение окружности (х—с\)2+(у—с2)2=Х2.
Значения си с2 и X можно определить из условий у(—а)=0, у(а)=0,
Цу]=21.
Упражнения
1. Найти кривую у=у(х) заданной длины /, ограничивающую
вместе с заданной кривой y=f(x) максимальную площадь. Обе кривые
проходят через заданные точки Л и В. Ответ: дуга окружности.
2. Найти форму абсолютного гибкого, нерастяжимого, однородного
каната длиной /, подвешенного в точках А и В. Ответ: цепная линия
y+k=cich[(x—c2)/ci]:
3. Найти экстремали изопериметрической задачи
1
J=$[(y')* + x*]dx
1
при условии J y2dx=2, г/(0)=0, у(\) = 0. О тв ет: у =±2 sin ппх,
о
где п — целое число.
4. Написать дифференциальное уравнение экстремалей
изопериметрической задачи об экстремуме функционала
-J=([p(x)(y')2 + gWy2]dx
о
при условии fj r(x)y2dx=\, #(0)=0, у(х\)=0. Ответ: d/dx[p(x)y']+
H^(x)-g(x)]y=0.
212

5.5. Сложные задачи вариационного исчисления
Выше были рассмотрены простейшие задачи вариационного
исчисления. Практическое значение задач подобного типа не велико. Однако,
их подробное рассмотрение было целесообразно, так как способы
доказательства или выводы необходимых условий экстремума более
сложных функционалов остаются те же. Рассмотрим без
доказательства ряд более общих вариационных задач, укажем необходимые
условия экстремума и процедуру поиска экстремалей.
1. В практических приложениях встречаются задачи исследования
на экстремум таких функционалов:
" ь
J[yv У2 Уп] = J F (*, У1 У2> • • •. Уп, Уг> %»•••» Уп) dx* (5-26)
а
Для получения необходимых условий экстремума при заданных
граничных значениях всех функций
У\ (а) = Уы\ Уг (а) = Уга\ • • •; Уп (а) = Упа\
УхФ) = у1Ъ; у2 (Ь) = уя>\....; уп(Ь) = Упъ-
поочередно варьируют лишь одну из функций yt(x)t оставляя остальные
неизменными. При этом функционал (5.26) становится зависящим
лишь от одной варьируемой функции, например от у\(х), и,
следовательно, функция, реализующая экстремум, должна удовлетворять
уравнению Эйлера
F -d/dxFyl = 0.
Так как это рассуждение применимо к любой функции */*(/=1, 2,..., п),
то получается система дифференциальных уравнений второго порядка
Р — d/dxFy, = ° 0" = 1,2,..., я), (5.27)
i.
определяющая семейство экстремалей данной вариационной задачи.
2. Следующий тип более общих задач отличается тем, что
требуется исследовать на. экстремум функционал, который содержит
производные от искомой/функции выше первого порядка,
b
J[y) =j F(x9y,y'9 ..., y{n))dx, (5.28)
a
где функцию F будем считать достаточное число раз
дифференцируемой по всем аргументам и будем предполагать, что граничные
условия имеют вид
УМ = Уа',у{а)=Уа1'~1 У{п-1На)=У<п~1); \
у(Ь)=уь; у(Ь) = у'ь;...; y<n~lHb) - у{ьп~1\ } (5*29)
т. е. в граничных точках заданы значения не только функции, но и ее
Производных до порядка п—1 включительно. Можно доказать, что
Функция у=у(х), реализующая экстремум функционала (5.28), должна
быть решением дифференциального уравнения
Fy - d/dxFf + dWFf +...+ (- l)ndn/dxnF^n) = 0. (5.30)
213

/
Общее решение этого уравнения содержит 2я произвольных постоянных,
которые могут быть определены из 2/г граничных условий (5.29).
3. В задачах математической физики, к которым относятся задачи
теории пластичности, рассматривают функционалы, зависящие от
функции нескольких независимых переменных и их частных производных.
Далее будут рассмотрены некоторые конкретные сложные функционалы,
а сейчас ограничимся одним из простейших. Требуется исследовать на
экстремум функционал
J [г (х9 у)} = Jf F (х, у, z, dzldx, dz/ду) dxdy, (5.31)
D
причем на границе С области D значения функции z=z(x, у) заданы,
т. е. задан пространственный контур С, через который должны
проходить все допустимые поверхности. Введем обозначения: dz/dx=py
dz/dy=q. Функцию F и поверхности сравнения z=z(x, у) будем
предполагать достаточное число раз дифференцируемыми. Необходимое
условие экстремума функционала (5.31) в этом случае имеет вид:
Fz — dFp/дх — dFq/dy = 0. (5.32)
Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных
производных, которому должна удовлетворять функция z=z(x, у).
4. В предыдущем пункте была рассмотрена одна из простейших
задач на условный экстремум — изопериметрическая. Приведем более
сложные случаи. Вариационными задачами на условный экстремум
называют такие, где требуется найти экстремум функционала /, причем
на функции, от которых зависит функционал /, наложены некоторые
связи. Например, требуется исследовать на экстремум функционал
ь
JК *2>-. vJ = $F (*, у» V"» Уп, Уи %,..., у'п) dx (5-33)
а
при наличии условий
Фг (х, Уи У2,---,Уп)=*Ъ (*=1,2,..., т\ т<п). (5.34)
Для решения этой задачи составляют вспомогательный функционал
ь
J' = iJF'dx,
а
т
F' = F+2 VPm (5.35)
i=l
который уже исследуют на безусловный экстремум с помощью
уравнений Эйлера
■Fyj-dF'y'.dx = Q (/=1,2, ..., п) (5.36)
дополнительных уравнений связей
ф. = 0 (/=1,2,..., т) (5.37)
Число уравнений т + п достаточно для определения т-\-п неизвестных
функций уи У2,..., Уп и Ль Л2,..., А,т, а граничные условия, которые не
должны противоречить уравнениям связи, позволяют определить
произвольные интегрирования в общем решении уравнения Эйлера.
Функции h называют множителями Лагранжа.
214

Процедура поиска экстремума функционала в том случае, когда
уравнения связи (5.34) являются дифференциальными уравнениями
Ь (*. yi> V--> Уп> у'и У*... Уп) = ° (* = 1.2,... m; m < л),
остается такой же. Задачи на условный экстремум можно решать
иначе. Система (5.34) в некоторых случаях может быть решена
относительно уи #2,.», Ут (или каких-нибудь других т функций у г).
Подставляя полученный результат в функционал (5.33), можно его
выразить через п—т независимых функций ут+и Утл-ъ... > Уп. Исследование
такого функционала производят уже на безусловный экстремум.
Упражнения
1. Найти экстремаль в изопериметрической задаче об экстремуме
функционала
J [У (х), 2 (х)] = \ К*/')2 + (г')2 - № - 4z] dx
о
при условии
1
( К*/')2 - XI/ - (г')2] dx = 2; у (0) = 0; г (0) = 0;
г/(1)=1; 2(1)= 1.
Ответ: y=—5x2I2+7x/2; z = x.
2. Найти экстремали функционала
Ну(х), z(x)) = j F{y\z')dx.
Ответ: два семействта прямых линий.
3. Определить экстремаль функционала
я/2
•П</(*)]= j 1(У"Г-У* + *\(Ь,
Удовлетворяющую условиям
у(0) = 1; |/Ч0)^0; у(я/2) = 0; у'(л/2) = -\.
Ответ: y=cosx.
4. Вывести уравнение типа Эйлера для функционала
J [г (х, у)) = ft [{dzldx)* + (дг/ду)* + 2*./ (*, у)] <**</*/,
D
На границе области D функция z задана.
Ответ: d2z/dx2+d2zldyz=f(x, у).
5. Составить систему уравнений типа Эйлера для функционала
т
J"Tj (*y — y*)d<9
о *
На экстремали *=x(0; У = У(1)\ а = а(/) наложены ограничения в виде
Дифференциальных уравнений *=y0cos а+а; # = y0sin а (v0 и а —
Известные постоянные величины, а — неизвестная функция). Ответ:
U—dldt(—1/+Л1)=0; —х—fiVd/(*+A,2)=0; Я,! sin a—A,2cos а=0.
215

5.6. Прямые вариационные методы
Все вариационные задачи сводятся к решению дифференциальных
уравнений. Они порой весьма сложны и интегрируются без затруднения
лишь в простейших случаях. В связи с этим в инженерном деле
используют так называемые прямые методы решения вариационных задач.
Искомые экстремали в вариационных задачах могут быть представ,
лены в виде разложения в ряд, например в степенной
у = а0+ а1х + а2х2+..,+ апх? + •••. (5.38)"
или в ряд Фурье
оо
у = а02 + 2 (#icos *х + bi sin ix)» (5 • Щ
или в ряд вида
оо
У = 2 atfdx). (5.40)
t=0
Характерным для этих разложений в ряд является то, что известны
функции-множители при постоянных коэффициентах а\, а2, — , dh ...,
которые называют координатными функциями. Если подставить такую
приближенную запись экстремали в функционал, то он превратится в
функцию коэффициентов J(a0, аи а2,..., а,-,...). Следовательно,
необходимое условие экстремума такого функционала запишется в виде
dJ/da0 = 0; dJ/da1 = 0;...; dJ/dat = 0;... . (5.41)
Дифференцируя функционал по неизвестным коэффициентам, получим
систему алгебраических уравнений или конечных уравнений, для
определения коэффициентов а0у аь а2,... , щ,.... Определив эти
коэффициенты и подставив их в уравнения (5.38) — (5.40), получим приближенное
выражение для искомой экстремали. Если число членов разложения в
ряд будет стремиться к бесконечности, то при определенных условиях,
которые накладываются на выбор координатных функций /0, /i, /2,...,
//,..., можно получить точное значение экстремали.
Вариационное исчисление рассматривает, по-существу, условия
экстремума функции от бесконечно большого числа параметров. Можно
показать, что предельным переходом при i-+oo из конечных уравнении
(5.41) получаются дифференциальные уравнения Эйлера. Если
ограничиться конечным числом членов разложения в ряд, то получается
приближенное уравнение экстремали. В дальнейшем будем составлять
именно такие приближенные решения инженерных задач.
Как уже отмечалось, прямые методы вариационного исчисления
приводят к рассмотрению системы конечных, возможно алгебраических,
уравнений (5.41). Решение таких систем в общем случае нелинейных,
тоже задача сложная, но проще, чем интегрирование системы
нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Известно много различных прямых методов вариационного
исчисления (вариационно-разностный метод, методы Ритца, Галеркина,
Канторовича и др.). Рассмотрение ограничим пока первыми двумя
методами.
Метод Ритца заключается в том, что значения некоторого функцио-
216

га-па /[у<*)1 рассматриваются на кривых, представленных в виде ряда
п
где /о и // — известные координатные функции, at — неизвестные
варьируемые коэффициенты. По методу Ритца, как это видно из формулы
(5.42), разложение в ряд ограничивается п членами. Координатные
функции U и fi (i—U 2, ..., п) должны удовлетворять граничным
условиям и всем другим ограничениям, которые накладываются условиями
задачи. Вопрос о сходимости приближенных решений, получаемых по
методу Ритца, к точному решению вариационной задачи, а также об
оценке степени точности этих приближенных решений, является весьма
сложным. Насчитывается немного случаев, когда доказывается
сводимость приближенного решения по методу Ритца. В инженерных расчетах
сходимость проверяется путем сопоставления результатов решений в п
и л+1 приближениях. Если отличие экстремалей невелико и
удовлетворяет запросам практики, то считают, что получено достаточно точное
решение.
Пример: Определим методом Ритца, на каких кривых
достигается экстремум функционала
я/2
ЛУ]= ][(У')*-У*]*х (5.43)
о
при условии */(0)=0, у(я/2) = 1. Сопоставим решение в 1-м и 2-м
приближениях с точным решением этой задачи. Сопоставление произведем
по модулям точной и приближенной функций и по производным этих
функций, т. е. установим близость нулевого и первого порядка.
Подберем координатные функции в разложении
Пусть функция /о удовлетворяет граничным условиям, представим ее
в виде fo = 2x/n. Последовательность функций fi должна иметь нулевые
значения на границе при х=0 и х=п/2) и пусть будет такой: х(х—я/2),
хг(х—я/2), ... . Составим..решение в первом приближении, т. е.
разложение в ряд представим в виде
у = 2х/п + ахх (х — я/2). (5.44)
Подставим приближенное значение экстремали (5.44) в функционал
(5.43) и получим J-=J(a{). Дифференцируя последний результат по аи
имеем dJ/dai = 2(0,323 + а}-0,97)= 0, откуда ai = —0,33. Итак, в первом
приближении искомая экстремаль имеет вид
*/= 1,16 д: — 0,33 х2. (5.45)
Исследование точными методами функционала (5.43) дает значение
экстремали
y—smx. ^ (5.46)
Сопоставляя точное значение экстремали (5.46) с приближенным
(5.45), а также их первые производные, видим, что (см. рис. 5.9 и 5.10)
точность полученного решения в смысле нулевого порядка очень высока
(max| At/1 = 0,025), в то время как точность в смысле первого поря/лка
217

/
значительно ниже (max\&у'\ =0,150). Решение во 2-м приближении и
оценку точности решения читателю целесообразно произвести самосто-
ятельно.
Вариационно-разностный метод заключается в том, что значение
какого-то функционала J[y(x)] рассматривается па функциях, приближен-
но изображаемых в виде ломаных линий. Пусть рассматривается фуик-
ционал
ь
J={F(x,yty')dx, (5.47)
причем, у(а)=уа, у(Ь)=^уь. Для решения вариационно-разностным
методом задачи о поиске экстремума данного функционала необходимо
участок интегрирования разбить на п-t-l частей (см. рис. 5.8) Дх=
= (&—а)/(п+1), тогда
хг — a -f А*;
х2 = а + 2Д*;
хп — я + пкх-
Каждому значению аргумента **(t=l,2...., п) будет отвечать
определенное, но пока неизвестное, значение функции у, т. е. ух\ у2\...; у»
Соединив прямыми линиями точки с координатами (а, уа)\ (хи У\)\
-.; (Хп, Уп)\ (Ь> уь) получим ломаную линию, приближенно
изображающую функцию сравнения. При таком изображении функций сравнения
функционал превращается в функцию величин у\\ уг\ ...; уп. Значения
величин у г, у2\ ...; у,%, приближенно определяющих экстремаль в виде
ломаной линии, могут быть определены путем решения системы
уравнений
дЛдуг = 0; дЛду2 = 0;...; dJ/dyn = 0. (5.48)
Предельным переходом при п-+<х> можно получить сколь угодно
близкое к действительному изображение экстремали.
Пример. Решим предыдущую задачу вариационно-разностным
методом, т. е. будем рассматривать функционал
Я/2
J=\ l(y')2-y2]dx
6
218

„ условии, что все кривые сравнения проходят через две заданные
очки х/(0) =0; */(я/2) = 1. Разобьем участок интегрирования пополам.
Интеграл (5.43) представим в виде суммы двух интегралов
Л/4 Л/2
; = J W)*-y*\dx+\ [(y')*-y2]dx. (5.49)
0 я/4
Определим среднее значение функции и производных на каждом
участке- На первом участке y^(yi + 0)/2=y\/2\ у'^Ау\1п. На втором участке
i/s(l + «/i)/2; #'=4(1—г/0/я. Используя теорему о среднем значении
определенного интеграла, вычислим
/ = [(4ft/*J2 - (W/2)>J я/4 + [16 (1 —yJVn* - (1 + r/!)2/4J я/4.
(5.50)
Продифференцируем уравнение (5.50) по у\ и результат приравняем
нулю. Откуда получим t/ =0,68. Построим ломаную линию (см. рис. 5.9
и 5.10) и сравним результаты точного и приближенного решения и их
производных, Оказывается, что в смысле нулевого порядка
максимальная разница результатов составляет ~0.1, в смысле близости первого
порядка результат приближенного вычисления оказался весьма грубым.
Рекомендуем самостоятельно решить эту задачу вариационо-разност-
ным методом во втором приближении и произвести сравнение
полученного решения с точным.
Заканчивая краткое рассмотрение элементов вариационного
исчисления необходимо отметить, что равенство нулю первой вариации
функционала, на котором основывались рассуждения, является
необходимым, но еще недостаточным условием экстремума. Из
математического анализа известно, что у функции могут быть точки, в которых
первая производная равна нулю, но в них не достигается экстремум.
Это точки перегиба. Дополнительным условием экстремума в анализе
является знак второй производной. В точке максимума вторая
производная меньше нуля, в точке минимума — больше нуля и в точке
перегиба—равна нулю. В вариационном исчислении также при
необходимости производится исследование знака второй вариации, вычисленной
на экстремали, чтобы установть существование экстремума того или
иного вида. .Минимуму функционала отвечает условие 52/>0,
максимуму-б2/<0.
Упражнения
1. Найти приближенное решение дифференциального уравнения
d2zldxz+d2z/dy2=—1, внутри квадрата — а<х<а, —а<у<а,
обращающееся в нуль на границе этого квадрата. При решении использовать
вариационно-разностный метод и метод Ритца. Указание: см.
упражнение 4 п. 5.4; приближенное решение методом Ритца можно искать
в виде 2=а, (*2—а2) (у2—а2). Ответ: а, = 5/16а\
2. Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала
1
J - f [*V)2+ ЮО ху* - 20*у] dxt у (1) = 0'(l) = 0.
о
^Ри решении использовать метод Ритца. Указание: решение искать
* виде у~ (л:— l)2(ao-f й\Х-\-...+апхп), вычисления провести при л=1.
°твет: //=(*— l)2(0,124 + 0,218jt).
3. Найти приближенное решение методами Ритца и вариационно-
^зностным о стационарном значении функционала
219

1
J = f 1(У')2 -У2- 2xy] dx, y(0) = y(\) = 0
6
ii сравнить с точным решением t/ = sinx/sin 1—х. Указание:
приближенное решение искать по методу Ритца в виде У=х(\—х)(а0+
Н-а\Х + ... + апхп)\ вычисления провести при п = 0 и 1.
4. Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала
2
J = (' М</')2 - (*2 - О </2/* - №у] dxy у(\) = у (2) = 0. Си
i
Указание: решение можно искать в виде у=ао(х—1)(*—2).
Контрольные вопросы
1. Дать определение функционала. Привести примеры
функционалов.
2. В чем состоит основная задача вариационного исчисления?
Привести понятие экстремали функционала.
3. Что такое функциональное пространство?
4. Дать определение непрерывности функционала.
5. Привести основную лемму вариационного исчисления.
6. Приращение и первая вариация функционала, как они
соотносятся между собой?
7. Необходимое условие стационарного состояния функционала.
8. Привести уравнение Эйлера для простейшего функционала
J = | F(x, y,y')dx.
9. Записать уравнения Эйлера для случаев F(x, у), F(y')t F(x,y'),
F(y,y')-
10. Привести необходимое условие экстремума простейшего
функционала для задачи со свободными концами.
11. Какой существует порядок поиска экстремума в изопериметри-
ческой задаче?
12. Привести уравнения типа Эйлера для функционалов
b b
]>(*> у, z, у', г') dx\ $F(x9 у, у'уу") dx;
о а
\\ F (х, у, г, dz/дх, dz/ду) dxdy.
■D
13. Какой существует порядок 'поиска экстремума функционала
b
\F(x, у, z, у', z')dx, если лс, у, z связаны условием ф(я, уу z, у\ z') =0?
а
14. Опишите порядок поиска экстремума прямым методом —
методом Ритца.
15. Опишите порядок поиска экстремума прямым методом
—вариационно-разностным.
16. Как отличить вид экстремума функционала?
220

Глава 6
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧНОСТИ
Теория пластичности решает две задачи: выводит
уравнения (первая задача) и решает их (вторая задача),
позволяя установить напряженное и деформированное состояние
металла при пластической деформации. Вторая задача
курса пока не получила нужного освещения: не был указан
достаточно универсальный метод решения в общем случае
трехмерного пластического течения. Восполним этот
пробел.
Предположим, что система уравнений теории
пластичности может быть истолкована как система уравнений типа
Эйлера для некоторого функционала (в п. 6.2 будет
получен такой функционал). Тогда, исследуя функционал на
экстремум одним из прямых методов, в частности методами
Ритца или вариационно-разностным, можно получить
приближенное решение общей задачи теории пластичности.
Создадим такой способ приближенного интегрирования
системы уравнений теории пластичности. При этом получим
дополнительно ряд важных положений о корректности
постановки краевой задачи теории пластичности и, в
частности, теории обработки металлов давлением.
6.1. Принцип виртуальных скоростей и напряжений {
Задача интегрирования системы уравнений теории
пластичности очень сложная, поэтому оправданы некоторые
ограничения, которые будут наложены на формулировку
физических уравнений связи напряженного и деформированного
состояния, а также на условия трения скольжения
инструмента по обрабатываемому материалу. Будем считать, что
материал упрочняется, все время большого
формоизменения остается изотропным, тензоры напряжения и скорости
Деформации коаксиальны, а их девиаторы подобны, т. е.
справедливы следующие физические уравнения (для девиа-
торной части тензоров)2;
«у - е„2Т (Н)/Н, еи = s„H (Т)/2Т. (6.1)
* Для облегчения усвоения материала этой главы следует вспом-
ить материал гл. 3, п. 3.5 и 3.6.
2 В ч. II ограничение об изотропности материала (с вытекающими
3 этого гипотезами коаксиальности и подобия) будет снято.
221

Будем считать также, что
Т = Т(Н) и Н = Н(Т). (6.2)
известные функции (соответственно прямая и обратная^
выбранные на основании экспериментов. Они могут вклю!
чать в качестве параметров любые другие инварианты тен,
зоров напряжения и скорости деформации. Однако в выра,
жениях (6.2) указаны лишь аргументы, существенные для
дальнейших рассуждений. Будем считать, что материал об,
ладает значительной пластической сжимаемостью, а также
известны из опытов прямая и обратная функции, связыва*
ющие шаровые составляющие тензоров
о = о® и 6 = 6(a), ' (6.3)
которые также включают в свой состав в качестве парамет*
ров любые другие инварианты. Наложим на характер
функций (6.2) и (6.3) ограничения: примем, что эти функции от
указанных аргументов возрастающие. Это ограничение
хорошо согласуется с опытом, металлы проявляют вязкие
свойства: чем выше скорость деформации, тем выше при
прочих равных условиях их сопротивление деформирующим
воздействиям.
На части поверхности Ss контакта обрабатываемого
металла с инструментом имеет место проскальзывание
контактирующих тел. На ней действует закон трения
скольжения, связывающий касательное напряжение f% с
нормальным fv и со скольжением инструмента по обрабатываемому
металлу vs. Будем считать, что закон трения и обратная
ему функция известны
fx=fr(vs,N)uvs = vs(fx,fv) (6.4)
и являются возрастающими по первому аргументу в
формулах (6.4). Это допущение также хорошо согласуется с
опытом, так как и смазки, и обрабатываемый материал в той
или иной мере проявляют вязкость; большей скорости
скольжения при прочих равных условиях отвечает
большее касательное напряжение.
Итак, будем считать, что физические уравнения связИ
и условие трения имеют прямую и обратную возрастающие
функции.
Отметим важную особенность функции (6.1) — (6.4):
они в общем случае нелинейны. К формулам (6.1) следуй
добавить, что U = +Y2eiieij и Т = + VsijSij/2, тогда не'
линейность зависимости sij от вц и обратно становится осе
бенно очевидной. Их нелинейность предопределяет основ'
222

РУДНОсти интегрирования системы дифференциальных
уравнении теории пластичности, так как остальные
уравнения линейны. Действительно, дифференциальное
уравнение движения Gifj+p (gi—Wi)=0 (6.5) связывают
механические переменные (р, gi, w-i) и производные
напряжения {oijj) в первой степени. Кинематические уравнения,
связывающие компоненты тензора скорости деформации
&; и производные вектора скорости перемещения vt, также
линейны
tu=(VU + Vj;)/2 (6.6)
И Т. п.
Приступим к формулировке принципа виртуальных
скоростей и напряжений. Рассмотрим произвольный, но
фиксированный момент времени t. Будем считать, что к
рассматриваемому моменту времени t каждая частица
обрабатываемого металла получила некоторое перемещение и
деформацию, сформировались во всех геометрических
особенностях объем деформируемого тела V с поверхностью S
и поверхность его контакта с инструментом SsllSt>-
Инструмент занял определенное положение в соответствии с
заданным законом движения. В обрабатываемом теле к моменту
времени t установилось температурное поле 0, поля
распределения массовой плотности р и ускорения w. Каждая
частица обрабатываемого материала к моменту t обрела
некоторые реологические свойства, сформировалось условие
трения — все это выражается аналитически
соответствующими конкретными формулами (6.2) — (6.4). В момент
времени / в деформируемом теле имеют место поля
напряжений вц, скорости перемещения материальных частиц v и
скорости деформации \ц.
Описанное выше напряженно-деформированное
состояние является действительным, т. е. реализующимся в
физическом процессе. В то же время, оно является решением
системы уравнений теории пластичности, являющейся
математической моделью физического процесса. Напомним эту
систему. Механические переменные оц и vi в
фиксированный момент времени t являются решением следующих
девяти уравнений:
Н (Т) s,/2T + I (о) 6и/3'= (vu + vu)/2;
[2Т (Н) еи/Я + о (I) 6u]tJ + р (gi - wd = О
пРи граничных условиях
223
(67)

на Sf ft =fc (68^
на Sv vt = v]\ (6 9)
на 5, i/w = vvl, % = /t (v8, /v ) i. (6.10.
Первая строчка в (6.7) — это кинематические уравнения
(6.6), в которых gt-/ выражено с помощью физических
уравнений связи через напряжения; вторая строчка в (6.7) —
это дифференциальные уравнения движения (6.5), в кото-
рых oij выражено с помощью физических уравнений через
компоненты тензора скорости деформации. Кстати заметим,
что в граничных условиях (6.8) — (6.10) все соотношения
линейны, кроме условия трения, т. е. второго равенства в
условии (6.10). В фиксированный момент времени t р, 8
[от 6 зависят функции (6.2) — (6.4)] и w-t — это некоторые
функции координат х, у, г. Если их считать известными, то
девять уравнений (6.7) можно интегрировать с учетом
граничных условий (6.8) — (6.10) в объеме деформируемого
тела относительно девяти неизвестных оц и v-t. Это
интегрирование будет заменено с помощью принципа виртуальных
скоростей и напряжений исследованием на экстремум
некоторого функционала.
Полная система дифференциальных уравнений теории
пластичности, помимо уравнений (6.7), включает уравнение
теплопроводности
срс1дШ=ои1и + (10у1)н (6.11)
с известными краевыми условиями, уравнение
неразрывности
dp!dt + pvu = 0 (6.12)
и дифференциальные уравнения траекторий движения
материальных частиц
dx/dt = vx\ dy/dt = vy\ dzldt = vz\
dvtldt = wiy
для которых известны начальные условия. Их
интегрирование во времени может быть осуществлено после решения
уравнений (6.7) шаговым методом, о чем будет сказано 0
конце главы.
Сосредоточим основное внимание в этой главе на ctf'
стеме (6.7) и ее граничных условиях (6.8) — (6.10), пострО'
им вариационный метод ее решения. Введем определение:
решение системы дифференциальных уравнений теории плй'
(6.13)
224

стичности называют действительным
напряженно-деформированным состоянием.
Для действительного напряженно-деформированного
состояния справедливо следующее тождество:
f [ot£u + p(w,:- gi) vt\ dV -1 ftvtdS = 0. (6.14)
V s
Применим к поверхностному интегралу в тождестве
(6.14) формулу Гаусса-Остроградского, заменив fi = Oijrij\
учтем симметрию тензора напряжений оц = о/1,
дифференциальные уравнения движения (6.5) и кинематические
соотношения (6.6). Тогда %
I (oijVi) rtjdS = J (ouVi)tJdV = I (oijVcj + oifjVi) dV =
S V V
= I l°ij (vu + viti)/2 + p (wt - gi) vt] dV =
= 1 ^ijlij + 9^i — ei)Vi\dVy
что доказывает тождество (6.14). Обратим внимание на то,
что в основе тождества (6.14) лежат уравнения движения,
которым удовлетворяют напряжения, и кинематические
уравнения, связывающие vL и \ц\
°w + Р (gi — Щ) = °;
°и = °jh
ft = <*цпу,
hj = (vu + Vjti)/2.
(6.15)
Эти уравнения образуют не замкнутую систему (уравнений
меньше, чем переменных), составляющую лишь часть
системы (6.7); она не замкнута физическими уравнениями
связи напряженного и деформированного состояний.
Поэтому можно представить бесконечное множество полей,
которые формально будут удовлетворять уравнениям (6.15) и
тождеству (6.14). В числе этих полей может быть то,
которое удовлетворит физические уравнения связи и явится
решением уравнения (6.7).
Введем внутри и на поверхности деформируемого тела в
Момент времени t некоторое расчетное (формальное, не
реализующееся в физическом процессе)
напряженно-деформированное состояние (обозначим его о'ф }[, v\ и |].у.)
такое, что выполняются для него уравнения {6.15), т. е. бу-
%т справедливы соотношения
15-382
225

o'tU + p(gt— wd =0; 1
ft = (УцпГ,
bj = [v'u + vi%i)l2.
/
(6Л6)
Для такого состояния можно записать тождество, аналогии,
ное тождеству (6.14):
I [oiilu + p(wt- gt) vt] dV -J fadS ^ 0. (6.17)
\ s
Потребуем, чтобы расчетные, формально построенные,
поля о*/9 f\y v\ и %j удовлетворяли, наряду с условиями
(6.16), граничным условиям (6.8) — (6.10), кроме условия
трения, т. е. будет справедливо следующее:
naSf fc=frt (6.18)
на 5, Vi=va (6.19)
на Ss vVi = Vvi. (6.20)
Преобразуем поверхностный интеграл в тождестве (6.17)
J f\vtdS = J fio'idS + j fWidS + \fiv\dS = ^fWcdS +
s sf sv ss sy
+ j fWidS + j [fvivvi + f'M dS. (6.21)
Действительно, S=SfU^(jS<?,
fiVi = {f'vi + fti){vVi + VXi) = f'vflvi + ftiVxt ,
так как нормальные /'v/, v*vi и касательные f'xi, v'Tl к
поверхности Ss составляющие ортогональны друг к другу и
Виртуальным напряженно-деформированным
состоянием или виртуальными полями a'ijt f'.f v. и £*. называю?
формально построенные поля, удовлетворяющие в объеме
и на поверхности тела уравнениям движения а'. i +
'r\-p(gi — wi) =0, ft = °'iinj9 °\j = a/7» кинематическим
соотношениям i'ij =(ve{ j+Vjti)/2t граничным условиям на Sf
f\ ==//» Ha Sjf't = fj» на Ssvvi = у*.. Заметим, что вирту
альное напряженно-деформированное состояние удовлеТ'
воряет всем линейным дифференциальным уравнениям И
226

линейным граничным условиям теории пластичности и
может не удовлетворять физическим уравнениям связи
напряженного и деформированного состояний и условию
трения, которым присуща в общем случае нелинейность.
Действительное напряженно-деформированное состояние
является также виртуальным (см. определение), но оно
удовлетворяет физическим уравнениям и условию трения.
Задача состоит в том, чтобы из всех виртуальных
напряженно-деформированных состояний выбрать то, которое
удовлетворит физическим уравнениям связи и условию
трения и, таким образом, явится решением системы уравнений
(6.7) при граничных условиях (6.8) — (6.10).
Для виртуального напряженно-деформированного
состояния справедливо тождество (6.17), которое с учетом
L(6.21) имеет вид
Я0// й + Р К' - ft) v'i] dV~\ П v't dS -
- J ftVidS - J {fvivlc + fxiv«) dS s 0. (6.22)
Тождество (6.22) выражает принцип виртуальных скоростей
и напряжений.
Упражнения
1. Вывести уравнения (6.7) из уравнений §о = (0i,* + 0f,j)/2 и вц,}-г
•b?(gi—wt)=0. *
2. Доказать тождество j7^i<lS = §Oi£ijdV. и указать, в каком
s v
случае оно справедливо.
3. Доказать тождестзо (6.17).
4. Показать, что для симметричного тензора напряжений GijVifj =
6.2. Функционал и вариационное уравнение принципа
виртуальных скоростей и напряжений
В этом параграфе выведем функционал J, исследование ко-
торого на стационарное состояние с помощью
вариационного уравнения б/=0 будет эквивалентно решению краевой
задачи (6.7) — (6.10). Доказательство эквивалентности
содержит прямую и обратную теоремы: если напряженно-
Деформированное состояние является решением системы
(6.7) — (6.10), то оно сообщает функционалу / стационарное
состояние 6/=0; с другой стороны, если функционал /
достигает стационарного состояния, то соответствующее ему
Напряженно-деформированное состояние является
решением системы (6.7) —(6.10). Рассмотрим прямую теорему. Бу-
15*
227

дем считать, что виртуальное состояние, отмеченное
штрихами и рассмотренное в п. 6.1 бесконечно мало отличается
от действительного (без штрихов)
°'ц = о и + 6otj; U = ft + 6ft; J
v] = vt + 6vt; la = la + blih }
где 8оцу б//, бо,- и бg// — бесконечно малые вариации.
Вариации по условию осуществляются в фиксированный мо-
мент времени t и называются изохронными. Мыслятся раз-
личные напряжения ст., f. и скорости v\> l'i}- в один и тот
же момент времени в одной и той же точке пространства,
занятого деформируемым телом. В этом случае операции
дифференцирования и варьирования можно менять места-
ми без изменения результата [см. гл. 5, п. 5.2, где показано
что б (dy/dx) =d8y/dx].
Пусть напряженно-деформированное состояние обраба-
тываемого тела удовлетворяет уравнениям (6.16) и
условиям (6.18) — (6.20), тогда для него, как для виртуального
состояния, будет справедливо тождество (6.22). Вычтем из
него аналогичное тождество, но записанное для
действительного состояния [достаточно убрать штрихи в тождестве
(6.22)]. Если при этом учесть уравнение (6.23) и
пренебречь бесконечно малыми высшего порядка малости, чем
б а//, б У/, б//, 6gt/, то получим
\ lotfilti + hfiotj + Р (Щ — gd 6vt] dV—[ fMdS —
V sf
- j 6ftVidS - f [dfvivli + Utbthi + bU<pxi) dS = 0. (6.24)
Sv К
Потребуем, чтобы полученный результат (6.24)
удовлетворял физическим уравнениям связи напряженного и
деформированного состояния и условию трения, т. е. тому, что
наряду с уравнениями (6.16) и (6.18) —(6.20), делает
рассматриваемое напряженно-деформированное состояние
решением полной системы уравнений теории пластичности
{6.7) при граничных условиях (6.8) — (6.10).
Предварительно сделаем некоторые преобразования
* А = (su + о*и) Феи + в£в|//3> = stfietj + аб£; 1
llMj = (еи + Бб„/3) (bsu + баб,/) = eu6su + 18а. \ ( •
Здесь учтено следующее: тензор может быть представлен 0
виде суммы девиатора и шарового тензора; сумма
диагональных компонент девиатора равна нулю, а 6,76,7=3. Под'
228

ставим в формулы (6.25) физические уравнения связи (6.1)
И (6.3), получим
oifilu = т (Щ2еа&еи/и + а (Б) 6£ = Т (Н) 6Н + а(£) 6g; J
Еуба4/ = Н (Т) S|/6s„/2T + Б (а) ба = Н (Т) бТ + £(а) ба.|
(6.26)
Здесь учтено, что
6Н = б (К2^~) = 2еи6ец/У2^ = 2е„&?„/Н;
6Т = б (V siysiy/2 ) = S//6s,//2 KW2~ = si/6Sf//2T.
Вариация вычисляется так же, как и полный
дифференциал.
Обратимся к двум последним слагаемым в интеграле по
5S выражения (6.24). Как было принято выше (гл. 3, п. 3.6),
Vxi = щ —vSi, где vTi — скорость перемещения
инструмента; ■ vSi — скорость скольжения инструмента по металлу
Vxi — полная скорость обрабатываемого металла, все в
касательной к 5S плоскости. Движение инструмента задано,
следовательно би*£. =о, тогда 6vTi=—6vsi. Итак, последние
слагаемые можно записать в виде
fxfivxt + &hcVxc = bhiVxi — vxfifTi — fxfivSi. (6.27)
Учтем условия трения (6.4), будем считать, что vsi
выражено с помощью закона трения через fT/, а fXi в формуле
(6.27)—через vsi. Соответствующие формулы, как следует
из рис. 6.1 и закона трения (6.4), будут иметь вид
k = fx(vsJv)vsi/vs; | (628)
где v8 = Vv8iv8h а /т = Vhifu — модули скольжения и
напряжения трения. Выражения (6.28) вытекают из
подобия параллелепипедов на рис. 6.1, диагонали которых
/т и vs коллинеарны. Ради краткости формулы (6.28)
представим в виде
f« = h(v);vet = v,t(f). (6.29)
Итак, уравнение (6.27) запишем в виде
/тАч< + Ьи*ы = bfutbt - vsi(f) 8fxi - Ш 8vsi. (6.30)
С учетом выражений (6.26) и (6.30) уравнение (6.24)
Приобретает вид
229

(6.3
f [T (H) 6Н + Н (Т) 6Т + а (I) б| + Б (а) бет + р (а,, -
V
- ^ &»,] dK - j fMds - J t»:e/fds - j [^б/i -
S/ Sv Ss
-vsi(f)6fxi-fxi(v)8vsi]dS = 0,
где *;«/,= (»;+tQ (6/x,+6/V(.) =<,6/T1.+<,.6/V[..
Уравнение (6.31) —это вариация (главная, линейная часть
некоторого функционала, который можно получить, есл
вынести знак вариации:
(ГН' Т' V о'
J I f Т ft) dti + j Н (т) dt + J о (a) da + J £ (р) d р +
+ р (Ш; — £,) У,-
dv-I/;t»;ds-I/;t»;ds
f «й - f vtl (/) d/ - J /„ (v) dv\ dS = 0. (6.32)
ss L б' о J )
Принято, что пределы
интегрирования в уравнении (6.31)
не варьируются1. В
квадратных скобках уравнения (6.32)
варьирование осуществляется
по верхним пределам
интегралов. Напомним, что р, wiy gi и
значения, отмеченные
звездочкой, не варьируются.
Варьируемые величины в уравнений
(6.32) отмечены штрихами.
Выражение (6.32) является
вариационным уравнением
принципа виртуальных
скоростей и напряжений, а содержание фигурной скобки —
функционалом этого принципа.
Итак, получен результат: на действительном
напряженно-деформированном состоянии, являющемся решением
системы (6.7) — (6.10), функционал / принципа виртуальны*
Щ\<\
1 В ч. II это ограничение будет снято, однако результат
вычисления уравнения (6.32) при некоторых дополнительных условиях
останется там же.
230

скоростей и напряжений достигает стационарного значения
6/=0.
Обратимся к обратной теореме. Если функционал / под-
считывается на виртуальном
напряженно-деформированном состоянии и при этом обладает стационарным
значением (б/==0), то стационарной «точке» отвечает
действительное напряженно-деформированное состояние.
Действительное состояние отличается от общего виртуального лишь
тем, что дополнительно удовлетворяет физическим
уравнениям связи и условию трения.
функционал на виртуальном состоянии имеет вид
ГН' Т' g' &
/=} J T(T])dTI+ JH(x)dr+ j o(a)da + j £(M +
+ P(u>t—gi
•t)vi\dV-§ fWidS-^fddS-
.[
hi
vif't-$vtt(f)df-$fxl(v)
dv
4S.
(6.33)
Варьируемые функции (отмечены штрихами) связаны
между собой условиями (6.16), а на поверхности —
равенствами (6.18) — (6.20). Функционал обладает условным
экстремумом. Примем за независимые варьируемые функции
o'tj и v'., функции же f; и %.. просто вычисляются по
указанным формулам и выражаются через о^ и v\. Эти
результаты позже будут подставлены в функционал, также
будут учтены граничные условия. Первую строчку условий
(6.16) учтем с помощью пока неизвестных и неварьируемых
множителей Лагранжа Ki, где i принимает поочередно
значения х, у, z. Первая строчка условий (6.16) содержит три
равенства, выражающих динамику поступательного
движения материальной частицы в направлениях осей
координат. Таким образом, необходимое условие экстремума
Функционала (6.33) при указанных условиях запишется в
*иде
к.
V о
I*
f T(ii)dn+ \ H(t)rfr + \a(a)da+ f KpVP +
j б * о о
+ P(wt-gd v't + bi Wuj + P(ffi-">t)])dV ~
231

-J/^'dS-JfAdS-J
/
^-j val(f)df-
- j* hi (v)
dv
dS = 0.
(6.34)
Операция варьирования в уравнения (6.34) (с неболь,
шим отличием, связанным с множителями Лагранжа) осу,
ществляется в обратном порядке по сравнению с той, кото,
рая имела место при преобразовании (6.31) — (6.32).
j [Т (Н') 6Н' + Н (Г) 6Т' + о (£') 6£' + £ (а') 6а' +
v
+ Р (Щ — gd bv'i + hfio'm] dV — J fidv'cdS —
sf
- j e/'^ds -J Ke/; - vsi (/') б/;, - Ui [v) bvsi] ds=o.
(6.35)
Выполним над элементами уравнения (6.35) некоторые
преобразования, идея которых — выделение независимых
вариаций 8v\к ба^у
Т (Н') 6Н' = Т (Н') 2е'ц6е'ц/Н' = Т (н) еи {Ьоц +
+ &• ,)/Н# = 2Т (н) e^/H = [2Т (н') etfivt/H']j —
-[2Т(Н>;//Н/]>;. (6.36)
Здесь использованы формула Н* = у 2е'це'ц\ условие
e\jbe\i=e]j(be[j+bl'biilZ)=e\jbiih так как вцЬц^\
последнее условие в выражении (6.16), с помощью
которого можно представить б|/. = .(61^+60^ )/2; симметрии
ец} из которой следует ец (бо/,/+биг/) =^/б^,/.
Примерно таким же образом преобразуем
II (Т) 6Т = Н (Т ) siy6si//2T* - Н (Т ) stj [Ьац —
- 6а'6,у)/2Т' = II (Т ) s'tfioijVT'; (6.37)
Здесь учтено, что Т' = l/s-yS///2, s/y6// = 0;
а (Г) 6Г = а (Г) бБ;Ду = а (Г) б„ (6'i>„ + 6i/.,)/2 =
232

„ с Ю Wj = [о (60 *№Ь ~ № Ч№ <6-38>
g ((/) ба' = I (о') ва;Д/3 = [| (а') 6../3] бсу, (6.39)
-[{Ьи + ЧЩЬ'ф (6-40>
леднее справедливо потому, что виртуальное напряжен-
п° с0стояние выражается симметричным тензором напря-
жении.
Подставим результаты преобразований (6.36) — (6.40) в
уравнение (6.35). Заметим, что при этом были учтены
условия первой, второй и четвертой строк выражения (6.16),
накладываемые на виртуальные состояния
f ([2Т (И') </Н' + а (&') б,..] &>; + bfio'l}\jdV -
V
- { { < [2Т (Н') е'./Я' + о (Г) 6t,]j + Р <gt - w() ) бе! -
V
- [Н (Г) <./2Т' + | (а') 6./3 - (X. , + Х..)/2] 6a'tJ) dV -
-1 f?v'AS ~ j 6/^dS - J [«ЭД - 0- (/') б/;£ -
s/ s, Ss
~fTi(v')bvsi]dS = 0.
Применим к первому интегралу формулу Гаусса-Остроград-
ского
]|[2Т (Н') е\рХ + о (£') 6U] п,Ьо\ + Xfiofo) dS -... = 0.
(6.41)
^пользуем третье условие в выражении (6.16) 6ai;n;=
^Щ и граничные условия (6.18) — (6.20). Учтем, что S =
-1 (<[2Т (Н') e'.-Jll' + о (£') б,,.],. + р (gr, - ш,) > Ьо\ -
- [Н (Г) S;./2T' + £ (а') б(7/3 - (\. + \t)/2]6a'tl} dV +
+ J < [2Т (Н') е:/Н' + а (Г) 6„] л, - /! > bv'AS +
+ j (х, - *j) 6/;as + j < (A; -,;) б/; + [t>,. (/') - %si] 6/;.+
233

+ [/* И - /хД')] Ч; > dS = 0. / (6.42)
Здесь выражение в фигурных скобках уравнения (6.41)
на поверхности Ss обозначено и преобразовано к виду
[2Т (Н') <./!!' + о (Г) 6„] про\ + \ба(:д = /, (£') 6с/. +
+¥/; = /««') ч,-+/«(Г) ч- + м/v,-+* а =
=- ш <ч,+w+(^ - м б/;(-=w -
-/х,- (6') ч-мг*.
В квадратной скобке этого выражения стоят компоненты
тензора напряжения, вычисленные через виртуальное
деформированное состояние. Аргумент функции fi (£') услов.
но обозначает, это. По граничным условиям 6uv/=0 —
нормальная составляющая скорости перемещения металла
Vvi на поверхности S5 равна известной для инструмента
составляющей и*/# Неизвестный пока вектор % с
составляющими может быть представлен в виде суммы нормальной
и касательной составляющих A,=^v+?4, a kxi по аналогии
с vxi формально записано Хп=Кс—Kt, где в правой
части также неизвестные пока функции. Формально запишем
При выводе уравнения (6.42) были учтены все
ограничения, накладываемые на вариации. Следовательно, теперь
они произвольны и независимы. Поэтому по основной
лемме вариационного исчисления все сомножители при
вариациях в выражении (6.42) должны быть равны нулю. Итак,
в объеме V имеем следующие дифференциальные
уравнения:
[2Т (Н') е',ПГ + о (Г) б,], + р (g, - wt) = 0;j
Н (Г) </2Г + Б (а') уз = (Ки + Х..)/2, j {ЬЛ }
а на поверхности 5 естественные граничные условия:
на S,[2T (Н') e'tj/W + о (£') в„] п, = f- (6.44)
на Sv К, = »;; (6.45)
на Ss Kt = uj; ^ = vsi if'); Ш = /Ж). (6.46)
Можно заключить, особенно сопоставив выражения
(6.43) и (6.7), что обратная теорема доказана. Однако
проведем рассуждения формально. Для исключения
множителей Лагранжа к системе уравнений (6.43) следует добавите
234

первое условие в (6.16). Сопоставление его с первой
строчкой уравнения (6.43) показывает, что
о]].==2Т(П')е'./Н'+о(1')8ф (6.47)
Это означает, что в стационарной точке функционала
принципа виртуальных скоростей и напряжений виртуальные
напряжения о]}. и виртуальные скорости перемещения v\
связаны между собой физическими уравнениями (6.47).
Равенство (6.44) показывает, что физические уравнения связи
удовлетворяются не только в объеме V, но и на
поверхности Sf. В начале данного пункта было сделано
предположение, что физические уравнения (6.4) разрешимы, т. е.
можно записать обратные
Г.. = Н (Г) S../2T' + Б (о') уз. (6.48)
Сравнение последнего уравнения со второй строчкой
выражения (6.43) и последней строчкой выражения (6.16)
показывает, что в объеме V Xi=Vi. Формула (6.45) и две
первые формулы (6.46) говорят о том же, но для поверхности
Sv и Ss. И, наконец, второе равенство в (6.46) показывает,
что виртуальное скольжение в стационарной «точке»
функционала согласовано с обратной функцией закона трения,
а третье равенство здесь же показывает, что виртуальное
касательное напряжение соответствует условию трения.
Таким образом, доказана обратная теорема ив целом
утверждение о том, что решение системы
дифференциальных уравнений теории пластичности (6.7) при граничных
условиях (6.8) —(6.10) эквивалентно исследованию на
стационарное состояние функционала принципа виртуальных
скоростей и напряжений.
Упражнения
1. Доказать справедливость равенств: 6цдц=3\ Sij6ij=£/j6i/ = 0;
н о
Ч/2ецец)=2ецЬец1П; б{ Т(т|)<*П=Т(Н)6Н; 6 J 6(Р)<ф = Е(а)ба.
Указание: в последних случаях варьирование осуществляется по
Н и а соответственно.
2. Записать вариационное уравнение, если виртуальное состояние
°пРеделено так, что Оц=Оц (напряженное состояние действительное и
Не варьируется). Ответ:
1С"'
\ T(t,)rfn + f°(a)«fa+P(w,-e,)»;
dV-
235

3. Записать вариационное уравнение, если виртуальное состояние огь
ределено там, что vi=vi (поле скоростей перемещений не варьируется,
т. е. действительное). Ответ:
~Т" а'
•I
J Н(т)Л + /б(Р)<ф
О
J sD
6.3. Минимальные свойства функционала принципа
виртуальных скоростей и напряжений
Как было установлено, функционал / принципа
виртуальных скоростей и напряжений на действительном напряжен,
но-деформированном состоянии достигает стационарного
состояния. Для решения конкретных задач порой важно
знать, достигается ли минимум, максимум или седловая
«точка» на действительном состоянии, а также является
ли экстремум относительным или абсолютным? Покажем,
что на любом виртуальном напряженно-деформированном
состоянии, даже сильно отличающемся от действительного,
/>0 w обращается в нуль, достигая абсолютного
минимума, на действительном состоянии, являющимся решением
рассматриваемой краевой задачи теории пластичности.
Вычислим функционал уравнения (6.32) в фигурных
скобках на некотором виртуальном
напряженно-деформированном состоянии, которое существенно отличается от
действительного и отмечено штрихами
У = j } T(T|)dir|+ JH(T)dT+fa(a)da + j l(p)d|3 +
+ 9{wi-gi)vi
dV
-^fcdS-^ fft
dS —
-i
«-j\m<v-f/4M
dv
dS,
(6.49)
где
1Г = II + AH; T' = T + AT; a' = о + Дет; £' = Б + Д?1
236

виртуальные напряжения, скорости деформации и скорости
перемещения. Знак Л подчеркивает, что вариации
принимаются не малыми. Согласно принципу виртуальных
скоростей и напряжений для этого же произвольного
виртуального состояния справедливо тождество (6.22), которое, если
учесть, что
« = К/ + *\)К/ + Е'У3) = V* + ^ -
= [2Т'<./Н'] etj + o'l' = Т'Н' + аТ; *т, - v\t
r.v*.+ f'xf. = /V
"xt st I
можно записать в виде
j [Т'Н' + а'Г + р (ш, - ft) ?;р - J r^ds -
v st
(6.50)
Если вычесть из выражения (6.49) тождество (6.50), то
получим
/= j(| j Т(л)А| —ТАН+ fH(T)rfx —HAT —АТДН +
v ILh t J
j о (a) da — oA|+ j g (p) dp — |Aa — АаД|
dK +
+J
j" hi (») dv - /«A»,, + j »,,tf) d/ -
hi
-»,|Л/ч-А/А(
dS.
(6.51)
Заметим, что суммирование осуществляется по индексу,
Повторяющемуся в подынтегральном выражении и в
пределах интегрирования. Справедливость (6.51) можно
подтвердить, пронаблюдав за преобразованием содержимого одной
Из трех квадратных скобок, имеющих однотипное строение,
Так,
Н' т£ * н* т*
JT(Tj)dT)+ 1Н(т)Л —ГН' = JT(ri)dr]+ [Н(т)Л —
237

тн ■
ТДН — HAT — ДТДН = j Т (ц) dr\ + JII (т) dl_
ДТДН =
— J Т (л) dn — f Н(т)Л —ТДН —НДТ —
=■ jT(rOdn —ТДН+ f H(x)dT — НДТ — ДТДН
Из формулы (6.51) можно сделать важное заключение.
Если виртуальное напряженно-деформированное состояние
совпадает с действительным (ДН = ДТ=Д£==Да==Ду^=
= AfTi =0), то функционал принципа виртуальных скоро
стей и напряжений / = 0.
Установим знак правой части выражения (6.51), в
случае, если функционал будет подсчитан на виртуальном на-
пряженно-деформированном состоянии, но отличном от
действительного. Знак предопределяется видом подынтег*
ральных функций Т(Н), Н(Т), a(g), g(a), fn (v), v8t{f).
Как было установлено в п. 6.1, четыре первые функции —
возрастающие (рис. 6.2, а и б). Покажем, что дре последние
| fH(r)dr-HAT>0
3
jT(q)dq-TAH>
-Дб l\^\ fri
ДК
б
функции также возрастающие. На рис. 6.1 изображен
вектор скольжения vs инструмента по деформируемому телу в
точке О поверхности Ss и вектор напряжения трения /ч,
которые коллинеарны. Тогда функции fxi(v) и vSi(f)
вследствие подобия указанных на рисунке параллелепипедов
соответственно будут выражаться формулами (6.28).
Структура этих функций такова: первый сомножитель связывает
модули напряжения трения и скольжения законом треииЯ
/t=/t(0s, /v) или его обратной функцией vs = vs(fx, /v),
238

закон трения является в случае пластической обработки,
как правило, возрастающей функцией vs\ второй
сомножитель — возрастающая функция вида у=х/ У х2+а2{ V#2+,
С(Га2=0), следовательно функции f%i(v) и vsi({) —
возрастающие.
Заметим, что в случае сухого трения /х не зависит от vs
и нет обратной функции vst(f). В функциях (6.28) первая
их группа возрастающая, а вторая vsi = vSi(f} —
отсутствует.
Для выяснения знака выражения (6.51) обратимся к
построениям на рис. 6.2. Точкой 1 обозначено действительное
напряженно-деформированное состояние; точкой 2 —
состояние, вызванное варьированием поля скоростей; точкой
3 — состояние, вызванное независимым варьированием
поля напряжений. Выражение (6.51) содержит три
квадратные скобки одинаковой структуры. Содержание этих
скобок интерпретировано на рис. 6.2 соответствующими
позициями а, б, в. Штриховкой показаны некоторые слагаемые
выражения (6.51) и приведен их знак. Обратимся,
например, к первой скобке: пусть ДТ>0 и ДН>0, тогда
Н< т*
J Т (л) dr\ — ТДН + J Н (т) dx — НДТ > ДТДН,
н т
т. е. скобка положительна (рис. 6.2, а). Если перебрать все
варианты варьирования ДТ^О и ДН^О, то содержание
квадратной скобки будет оставаться положительным. На
рис. 6.2, бив показаны варианты, во-первых, когда
вариации имеют разный знак (Да<0, Д£>0) и, во-вторых, когда
они обе отрицательные (Д/тг<0, AvSi<0). Однако
содержание второй и третьей квадратных "скобок и в этом случае
будет положительным (рекомендуется
самостоятельно провести доказательство).
Итак, интегралы по V и Ss от положительных
квадратных скобок будут обязательно больше нуля. Функционал J
принципа виртуальных скоростей и напряжений на любом
виртуальном состоянии (даже сильно отличающемся от
действительного) по'ложителен и достигает абсолютного
минимума, равного нулю, на действительном напряженно-
деформированном состоянии, при котором виртуальные на~
пряжения и скорости течения удовлетворяют физическим
Уравнениям связи напряженного и деформированного со-
стояний в объеме тела и условию трения на его
поверхности.
239

Упражнения /
1. Доказать, что функция у=х/-{-у/ х2+аг возрастающая.
2. Будут ли равны нулю функционалы, приведенные в упражнении
2 и 3 п. 6.3, на действительном напряженно-деформированном
состоянии? Ответ: нет, не будут, а сумма функционалов будет равна нулю.
3. Чему будет равна вторая вариация функционала (6.49) на дей-
ствительном состоянии? Ответ: 62/>0.
4. Какой геометрический смысл имеют интегралы в квадратных
скобках функционала (6.49) ?
6.4. О единственности решения технологических задач
теории пластичности
Учитывая вышеизложенные теоремы и формулы установим,
будут ли поля dj и vu являющиеся решением уравнений
теории пластичности и сообщающие
У\ абсолютный минимум функционалу
к/, единственным; не имеет ли место
У=*(^ I ситуация, подобная изображенной на
/ рис. 6.3. Можно представить функцию
/ одной независимой переменной у=
j У =f(x), которая касается оси х на
о а ь х отрезке fa, Ь'\ у'=0, и функция
достигает абсолютного минимума у = 0.
Однако эта кривая имеет не одну точку
минимума, а бесконечное множество на отрезке [а, Ь].
Ниже будет установлено, что решение указанной выше
краевой задачи теории пластичности будет единственным,
чт© функционал как бы касается «оси аргументов» лишь в
единственной «точке».
Приведем доказательство от противного. Предположим,
что существует два решения задачи теории пластичности,
т. е. два варианта полей gij и vu найденные с помощью с
вариационного уравнения принципа виртуальных скоростей
и напряжений, которые удовлетворяют системе уравнений
(6.7) и граничным условиям (6.8) — (6.10). Если это
предположение приведет к противоречию, то остается одно:
двух или более решений быть не может, оно — единственно.
Пусть в известном объеме V с ограничивающей его
поверхностью 5 в некоторый фиксированный момент времени
/ имеет место два решения: 1) sjj}; e\V\ a(1); £(1); /Ф; v\p И
2) s}p\ effi\ a<2); £(2); f[f\ vW. Вычтем в каждой точке
тела из одного (например, первого) решения другое.
Получим разности: As,7; Де,7; Да; Д£; Д/ч,-; Avsi . Поскольку
обрабатываемые давлением материалы обладают свойствами»
240

показанными на рис. 6.2, то оба решения лежат на кривых,
а раэности As,-/ и Аещ Да и Д£; Afxi и Ду^ попарно
имеют одинаковые знаки. Поэтому можно записать следующее
строгое неравенство:
j (As,,. Ae.j + ДоД|) dV + j Д/х. A^.dS > 0. (6.52)
у Ss
Покажем противоречивость этого неравенства и,
следовательно, единственность решения. Можно доказать, что
J {AsifAeij + AoAt) dV = j Ao.Av^dV.
V v
Действительно:
Да.. До, , = Да.. (Да . + Av. Л/2 = Да.. Д^.. =
ij U ij \ I./ ' hi)'- ij *ij
= (As,/+ Да6г7) Agfy = Astj А%и + ДаД£ - Astj (Aeu +
+ Д£ V3) + ДаД£ = Asu Aeu + AoAt
Здесь использовано условие симметрии тензора,
компоненты которого Аоц, разложение тензора на девиатор и
шаровой тензор, а также условие равенства нулю суммы
диагональных компонентов девиаторов. Итак, неравенство
(6.52) можно переписать в виде
j Да.. AvtJ dV + \ Д/т, AvsidS > 0. (6.53)
V Ss
Применим к первому интегралу формулу Гаусса —
Остроградского, учитывая, что
Да До. ="f Да.. Av. ) .— Да.. .Av..
Тогда вместо неравенства (6.53) получим
j Ааи Avc nfdS - f Да.. j Avc dV + f Д/т, AvsidS > 0. (6.54)
Оба решения, полученные, например, с
использованием принципа виртуальных скоростей и напряжений,
обязательно удовлетворяют уравнения движения, причем с
одинаковыми ускорениями ш* и одинаковыми заданными
массовыми силами guojj) +pgi = pWi\ oil) +Pgi = Pwi, откуда
следует, что Дсг,7>/ = 0; в то же время Даг7я/=/<. В обоих
решениях в фиксированный момент времени деформируемое
^6 382 241

тело имело одну и ту же форму, сложившуюся^к этому
моменту обработки. Решения были найдены с помощью
принципа виртуальных скоростей и напряжений, поэтому
перемещения не варьировались и tij было одинаковым для
обоих решений. Неравенство (6.54) можно переписать
следующим образом:
f AfiAvt dS + [ Afxi Avsi dS > 0. (6.55)
Решения удовлетворяют граничным условиям на S =
=Sf{JSv(JSs. На Sffil)=fl2)=f*HAfi=0; на Svvll) = vl2)^
= vi и Avi = 0. Преобразуем AfiAvt на Ss, используя условие
ортогональности векторов, которые нормальны к
поверхности Ss (отмечены индексом v), и векторов, лежащих в
касательной к Ss плоскости (отмечены индексом т), AfifiVi —
= (Ajvi+AtXi)(Avvi+AvXi) =AfviAvvi+AfTiAvXi, но на
Ssvi}} = Vvf=Vvi и, следовательно, Auv/ = 0. Итак, если
учесть граничные условия, то неравенство (6.55) примет
вид
$Afxl(AvxC + Avsi)dS>0. (6.56)
По определению скорость материала в касательной к
Ss плоскости равна vxi = v*xi—vu, где vxi —заданная
скорость инструмента. Тогда v{))=v*xt—v^\ ^?)==t;x/—us/}»
следовательно Avxi——Avst. Подставив последнее
условие в неравенство (6.56), получим результат 0>0. Это
свидетельствует о том, что неверно исходное предположение
о существовании двух решений задачи интегрирования в
объеме V в произвольный момент времени t уравнений
(6.7) при граничных условиях (6.8) — (6.10); решение
единственно (если оно существует1).
Итак, показана единственность решения по
определению полей gtj и оц. Докажем, что единственность в
определении поля 6ij(^(/) = 5//2); д^"/=0) обеспечивает также
единственность поля Vi в рассматриваемой краевой задаче.^Так,
если Д£о-=0, то ^-^^(v^+v^^-^+vjJ})^^
= (Avij-\-Avj>i)/2 = 0. Последнее справедливо потому, что
производная от разности двух функций равна разности
производных от этих функций. Подробная запись этого
положения такова
1 Без доказательства сообщим, что решение существует,
242

dAvJdx = 0; dAVy/ду = 0; dAvJdz = 0;
дЛУх% + dAvyldx = 0; dA^/dz + dAvJdy = 0;
<5AyJd* + dAvJdz = 0.
(6.57)
Из соотношений, стоящих в первой строке, получаем
to* = Ди, (у, г); Д^ = Д^ (*, г); Дуг = Д?2 (у, х). (6.58)
Из равенств второй и третей строк (6.57) с учетом
последнего следует, что Да* линейно зависит от у, a &vy от #; что
Д% линейно зависит от г, а Ду2 от у; что Avz линейно
зависит от х, a Avx от г. Таким образом,
^vx=ax + a2y + a3z + a^yz\ 1
Avy=ab + aex + a1z + a8xz\ ^6-59^
Ду2 = а9 + а10 х + ап у + а12 *#, J
причем коэффициенты Яг+const (* = 1—12) в этих
многочленах связаны между собой условиями, составляющими
вторую и третью строчки соотношений (6.57).
Действительно, из соотношений (6.57) и (6.59) следует
a2 + a^z =—а6 —а8г\
а7 + авх=— аХ1 — а12х;
aw + a12y=—a3 — aiy.
Сравнение правых и левых частей показывает
а2== аъ> а*= а8\ ai — а\ъ | (6 60)
Сравнение второго равенства в выражении (6.60) с
последним дает #8=012, в то же время должно выполняться
четвертое равенство а8=—а[2. А это возможно лишь при
а8=а12 = а4=0. Окончательно выражение (6.59) примет
вид
д^ =a1 + 0-x + a2y — a1Qz; 1
Avy=a5 — а2х + 0.у — а7г; (ОД
Диг = а9 + а10 х + а7 г/ + 0-z. J
Последнее означает, что поля скоростей а*1* и iH2), яв-
К)щиеся по предположению различными решениями рас-,
сматриваемой краевой задачи, отличаются друг от друга
На постоянную в объеме V скорость поступательного дви-
16* 243

жения с составляющими (аь а5> а9) и постоянною скорость
вращательного движения с составляющими
— а2 0 — а- I
а10 а7 0 /.
Однако эти постоянные скорости поступательного и
вращательного движений равны нулю, так как на Sv даны
граничные условия: v\l) =v^} =v'i9 в силу которых Ди* = иР)—
_t;(^)=0. Итак, поле v{ будет определено в объеме V
деформируемого тела в произвольный момент времени t
решением уравнений (6.7) при граничных условиях (6.8) —
(6.10) единственным образом.
Обратимся теперь от интегрирования системы
уравнений теории пластичности в объеме V в некоторый
фиксированный может момент времени /, чему были посвящены
п. 6.1—6.4, к интегрированию во времени. Для этого
эффективно может быть применен принцип виртуальных
перемещений и напряжений.
Упражнения
1. Докажите единственность решения задачи для несжимаемого
материала £ = 0.
2. Докажите единственность решения задачи в случае сухого
трения, т. е. если /T=/T(/v)-
3. Расскажите о единственности решения задачи пластического
течения идеально пластичного несжимаемого материала?
6.5. Принцип виртуальных перемещений и напряжений
Между рассматриваемыми принципами много общего. Итак,
пусть пластической обработке подвергается тело объемом
V с поверхностью S(S=Su{jSf\JSs), Рассмотрим
напряженно-деформированное состояние в каждой частице тела за
весь период его деформации [/'о, t]. Для этого применим
уравнения механики сплошных сред, которые позволяют решить
задачу теперь в варианте деформационной теории.
Рассмотрим малый промежуток времени [/0, *i], содержащийся в
отрезке [t0, t], в течение которого деформации тела были
достаточно малыми для применения геометрически линейной
деформационной теории. Известно,что
VP6Vвыполняются дифференциальные уравнения движения
aiU = P[wi — 8t)i <6-62)
244

кинематические соотношения для малых деформаций
(линейные)
% - К/ + «/.|)/2. (6-63)
где sij — компоненты тензора относительной деформации;
щ — компоненты вектора перемещения; физические
уравнения связи
Т = Т(Г), о = о(г), (6.64)
где Г==]/2э0э0.— интенсивность деформации сдвига;
э<у и е — компоненты девиатора относительной деформации
и относительное изменение объема соответственно,
вызванные полем перемещений щ. Считаем, что функции (6.64)
имеют обратные
Г=Г(Т), е = е(о), (6.65)
являются дифференцируемыми, для них выполняются
условия
<ЭгШГ>0, до/дг>0, (6.66)
и они описывают необратимые пластические деформации.
Уравнения (6.62) — (6.63) можно представить в виде
[2Т(Г)э,/Г + о(е)б,], = рК-^.);(
Г (Т) S./2T + е (а) 6../3 = (и<>/ + «. .)/2.|
Пусть граничные условия заданы в виде
ut = ul,VP£Sa] (6.68)
h=fi,VPeSf; (6.69)
«w = С /,=:Л:(/».«.)* VP€5s. (6.70)
Граница L между Sf, 5U и 55 известна1, поверхностные
напряжения и перемещения на L непрерывны.
Полная система дифференциальных уравнений теории
Пластичности помимо уравнений (6.67) включает
дифференциальное уравнение теплопроводности
cpde/df = a,.£,.+(Ь9Д, (6.71)
со своими известными краевыми условиями, уравнение
неразрывности
dp/dt + pvu =0 * (6.72)
1 Это ограничение будет сияю в ч. II.
245

и дифференциальные соотношения х
dx/dt = vx; dyldt = vy\ dz/dt = vz9 (6.73)
dvjdt = wu (6.74)
которые в рассматриваемом случае принимаются в конечно,
разностном виде с учетом того, что dx&&x = ux; Л/«Д# =
= Uy] dzttAz = uz; At = t{—/0. Начальные условия
формулируются по-прежнему: в исходный момент времени при t = t0
заданы координаты всех частиц деформируемого тела, их
скорость, плотность и температура.
Для решния краевой задачи, записанной уравнения-
ми (6.67) — (6.70) на отрезке времени |70, i{\ служит принцип
виртуальных перемещений и напряжений. Возможное
напряженное состояние удовлетворяет дифференциальные
уравнения движения
oti.j = P(m — gi). (6-75)
В этом принципе р, w-t и Vi не варьируются. В
деформационной теории абсолютные деформации, вследствие малости
перемещений и0 относятся к исходным на начало периода
t0 размерам и состоянию. Виртуальные, напряжения у\}
удовлетворяют также граничные условия (6.69), т. е.
°'ijnj\sf = Гр а возможные перемещения и. —
кинематические уравнения г'Г] = .(и!у. +ttj с)/2, и гргничные условия
(6.68) и (6.70), т.е. и\\зи=и]у uvi\ss^-uvi. Вариации
приняты изохронными и изокоординатными, т. е. в
фиксированный момент времени t0 для фиксированной
материальной частицы с координатами х, у, г.
Вариационное уравнение принципа может быть
получено известным уже способом в виде
/ |-т, Г> & г>,
б f f Г (г) dx + Г Т (V) dy + f е (a) da + j о (е) de +
vv Lo о о о
\dV — J fW ds — \ f'tuidS —
+ 9{wi—gl)ui
-J
- s..
si 'xi
f'xi Uvt + f%i u%i — j fxi(u) du — f u,
if)df
dS =0.
(6.76)
Здесь также, как и в принципе виртуальных скоростей и
напряжений, варьирование специальное (варьируемые ве-
246

личины отмечены штрихом); uxi—u*Ti—usi\ их —
перемещение металла в плоскости, касательной к поверхности
контакта с инструментом; и\ — то же, но задано перемещение
инструмента; us — относительное перемещение инструмента
по металлу (скольжение).
Вариационный принцип сформулирован в
предположении малых деформаций, т. е. не превышающие, например,
О, 10. Поэтому можно подобрать соответствующий им
промежуток времени [/0, U\ Если провести рассуждения в
таком же порядке, как это было сделано в п. 6.2—6.4, то
можно показать, что вариационное уравнение (6.76)
эквивалентно краевой задаче [см. уравнения (6.67} — (6.70)], что
функционал / в фигурных скобках вариационного
уравнения (6.76) принципа виртуальных перемещений и
напряжений на действительном состоянии абсолютно минимален и
равен нулю. Также можно показать, что вариационное
решение единственно. Можно порекомендовать читателю все
это проделать самостоятельно.
Для того, чтобы решить задачу теории пластичности до
конца с помощью принципов, изложенных выше,
необходимо учесть, что величины р и wi определены формулами
(6.72) — (6.74), т. е. необходимо рассматривать
вариационные уравнения совместно с этими формулами. Решение
задач большого формоизменения можно достичь шаговым
методом. Получив результат на первом шаге в интервале
времени [t0, t{] с помощью принципа виртуальных
перемещений и напряжений и в момент времени t\ с помощью
принципа виртуальных скоростей и напряжений, будем
иметь начальные условия типа (6.72) в момент времени t{
Для решения задачи в последующем, достаточно малом
временном интервале [t{, t2] и т. д.
До сих пор не было указано одно важное
обстоятельство: как формируются в процессе большого формоизменения
контактная с инструментом поверхность тела 5S|JSW (или для
решения в скоростях Ss|jSv). Для этого применяют условие
Непроникновения частиц деформируемого тела в
инструмент. Перемещение частиц, находящихся на поверхности
Sf, может приводить их в контакт с инструментом и
расширять поверхность SS[)SU. Однако перемещение частиц,
Располагающихся на поверхности S^U^u, М0ГУТ приводить
К отрыву их от контактной поверхности и расширению,
таким образом, поверхности Sf. Было принято допущение, что
Поверхности Sf, SSt Su (Sv) во время большого пластиче-
247

ского формоизменения были связаны с одними и теми же
материальными частицами*.
Решение задачи механики ОМД с помощью
вариационных принципов не включало часть, связанную с тепловыми
явлениями, происходящими в теле. Это не значит, что
решение справедливо лишь для изотермических процессов.
Любое однозначно определенное эволюционирующее во
времени поле температур даст свое решение задачи о
напряженно-деформированном состоянии тела, причем
единственным образом.
6.6. Принцип виртуальных скоростей
В классической теории пластичности в отличие от
вышеизложенного рассматривают краевую задачу, в которой на
известной поверхности S=Sv\JSf тела объемом V заданы на
Sv — скорости, на Sf — поверхностные напряжения.
Поверхность типа 5S в этой задаче не фигурирует. Кроме того,
в ней считается, что течение происходит без массовых сил
{pWi = pgi = 0), а обрабатываемый материал —
несжимаемый (£ = g(a) =0). Эта краевая задача имеет ограниченное
значение для теории ОМД, но она проста и полезна для
лучшего усвоения материала.
В классической теории пластичности предложены
вариационные принципы, которые будут рассмотрены ниже.
Принцип виртуальных скоростей предполагает
варьирование лишь деформированного состояния (оц не
варьируется, следовательно не варьируются Т, о и /,-, так как f,=
= a//M/, T=YsijSijf2, а 5// = а//—аб//, а = а*/6///3).
Учитывая сказанное из общего вариационного уравнения (6.32)
получим вариационное уравнение принципа виртуальных
скоростей
6 {if J Т (Г1) йУ] 1 dV ~ I ^ "' dS i = °- (677)
Функционал рассматриваемого принципа
J Wt] = f П Т (ТО drll W-$ft v't dS. (6.78)
V L 0 J Sf
Выражение (6.78) является функционалом только деформи-
* Это ограничение будет снято в гл. 1 ч. II.
248

рованного состояния — поля скоростей v\. Он обладает
эстремумом (минимумом) на виртуальном поле скоростей,
которое называют кинематически возможным.
Кинематически возможным полем скоростей называют такое поле, ко-
торое удовлетворяет в объеме V условию несжимаемости
v. . =0, на поверхности Sv кинематическим граничным ус-
ловиям v'.—v*. и для которого выполняется соотношение
Исследование на условный в указанном смысле
экстремум функционала (6.78) дает следующие
дифференциальные уравнения (типа Эйлера):
а также естественные граничные условия на поверхности Sf
м») + м„]я, = /;. (6.80)
Здесь Sij(v) означает, что компоненты девиатора
напряжений выражены через скорости течения так: 5^=2Т(Н)^//
/Н, U=V2bfrh е//=Ь/-ф//3, 1 = Ь,6и, lif=(vij+
+у*\/)/2. Для исключения множителя Лагранжа к
уравнению (6.79) добавляется условие несжимаемости. Оказалось,
что множитель Лагранжа для этой задачи эквивалентен а.
Уравнение (6.79) означает, что в «точке» экстремума
функционала (6.78) или на решении вариационного уравнения
(6.77) поле скоростей удовлетворяет дифференциальные
уравнения равновесия. Естественное граничное условие
(6.80) показывает, что поле скоростей удовлетворяет также
граничные условия в напряжениях. Действительно, в левой
части уравнения .,(6.80) стоит поверхностное напряжение /,-,
выраженное через деформированное состояние или поле
скоростей.
Итак, решение задачи интегрирования
дифференциальных уравнений в произвольный момент времени (для тела
заданной формы с заданными механическими свойствами)
(5//(и)+а6/;],/=0, и/,/ = 0, при граничных условиях Vi\sv =
*=v*i и fi(v)\sf = /* может быть заменено задачей поиска
абсолютного минимума или стационарного состояния
функционала
J= \\\ т(л)А| \dv-\f*v;:ds
v L о J sf
h классе кинематически возможных скоростей.
249

Указанную в начале данного пункта краейую задачу
можно решать в приращениях перемещений с помощью
принципа виртуальных перемещений, из которого следует,
что решение задачи интегрирования дифференциальных
уравнений за малый промежуток времени Kt (для тела
заданной формы с заданными механическими свойствами)
[5<7.(м)+а6«/],/ = 0; Uiti = 0, при граничных условиях
Щ = и] на Su;
U {и) = ft на Sj,
где sij(u) =2Т(Г)э,7/(Г), Г= У2эиэи, эи = гц—еб/у/З,
e = Bij8u, гц= (uitj+uiti)/2f fi(u) =оц(и)п}-у ац(и) =
=Sij(u)-\-a8ijy может быть заменено задачей поиска
экстремума функционала
-г*
dV - f /* и* dS, (6.81)
J= 1 1 Т(7)
.0
в классе кинематически возможных приращений
перемещений, т. е. удовлетворяющих условию несжимаемости,
граничным условиям на Su и соотношениям е^=(и^у+
+и'..)/2.
Из прямых методов численной реализации
вариационного принципа виртуальных скоростей наибольшее
распространение в теории ОМД получил метод Ритца. Искомые
функции скоростей, обеспечивающие экстремум
функционалу (6.78) определяют среди следующих виртуальных или
кинематически возможных скоростей
41
1=1
п
/=i
vz =—J (dv'xldx + dv'yldy) dz + y(x,y).
(6.82)
Здесь di и bj — варьируемые неизвестные коэффициенты;
Vxi и Vyj — последовательности известных функций, которые
называют подходящими, или координатными. Произвольную
функцию ф {х, у) определяют из граничных условий или
задают в виде функционального ряда с варьируемыми
коэффициентами. Выражения (6.82) должны отвечать всем
граничным условиям задачи в скоростях, т. е. соответствующим
250

образом должны быть выбраны функциональные ряды v'x
и v', Поэтому функции Vxb vVj названы «подходящими».
Равенства (6.82) автоматически удовлетворяют условию
несжимаемости. Заметим, что в виде рядов может быть
задала любая пара из vXf vy и vz, а не только vx и vy, как это
сделано в выражении (6.82). Если подставим (6.82) в
функционал (6.78), то он обратится в функцию J=J(ah 67), и
задача сводится к определению минимума функции конечного
числа переменных, которую решают путем совместного
рассмотрения уравнений
dJIdcit = 0 (i = 1, ..., /и); dJ/dbj = 0 (/ =* 1, ..., п). (6.83)
Число уравнений в этой системе т+гс, оно равно числу
искомых коэффициентов aif bj. Для общего случая
пластической деформации металла уравнения (6.83) нелинейны, и
их решение усложняется с ростом числа варьируемых
коэффициентов.
Решение вариационного уравнения, осуществленное
описанным выше методом, обеспечивает приближенное опреде-
ление деформированного состояния в объеме тела: полей
вектора скорости перемещения, тензора скорости
деформации, его инвариантов и др. Подсчитать же напряжения для
Несжимаемого материала нельзя. Действительно, по
деформированному состоянию, зная £,•/ и Н, можно также
приближенно определить девиатор напряжений 5/у = 2T(H)|«v/H,
Но не тензор напряжений а//=5//+аб^, так как остается
неизвестной одна из важнейших характеристик
напряженного состояния — величина а. Для расчета напряженного
состояния можно воспользоваться другим вариационным
Принципом, который рассмотрим в следующем пункте.
Для иллюстрации решим задачу расчета
деформированного состояния полосы прямоугольного сечения при
кузнечной протяжке. Схема ковки полосы показана на рис. 6.4.
Ковкой называют процесс обжатия заготовки 2 на плоских
бойках 1, который осуществляют на прессах или молотах.
251

Главное преимущество ковки состоит в возможности обра,
батывать давлением крупные слитки, масса которых состав,
ляет десятки и сотни тонн. Ковка должна обеспечить изме*
нение формы слитка или заготовки и нужное качество
изделия (макроструктуру, механические свойства и т. п.).
Протяжку применяют с целью увеличения длины поковки
за счет уменьшения ее поперечного сечения. Протяжку осу.
ществляют на бойках /, имеющих возвратно-поступательное
движение. Поковка 2 подается вперед в момент расхожде.
ния бойков на некоторую величину (подачу), меньшую, чем
ширина бойка /. Периодическое обжатие поковки по длине
сопровождается ее поворотом (кантовкой) вокруг
продольной оси z на угол я/2. При ковке полос с кантовкой порой
возникают дефекты в виде трещин. Эти дефекты (ковочные
кресты) локализуются в зонах, примыкающих к
диагоналям поперечного сечения. Решение указанной выше
задачи позволит вскрыть одну из причин образования брака
этого вида. Для простоты рассмотрим ковку в условиях
плоского деформированного состояния полосы с отношением
размеров b/h^ 1 (рис. 6.5).
Гр.аничные условия задачи учитывают, что боковые
поверхности полосы свободны от нагрузок /* =0. На
поверхности контакта с бойками, как показывают опыты,
реализуется прилипание, т. е. металл полосы не скользит по
шероховатым бойкам. На контактных поверхностях металл
деформируемой полосы движется с заданной скоростью
инструмента
vl\y=±h = °> vl\y=±h = + vo-
Будем считать, что кривую упрочнения Т=Т(Н) можно
аппроксимировать функцией1
Т = l^H1/3.
Эта зависимость соответствует деформации стали марки 45
при 1100°С.
Функционал (6.78) для рассматриваемого случая
J - f Г IMW^dxdy, (6.84)
-Ь-h
где
1 Коэффициент 1,88 — размерный.
252

Выберем кинематически возможное поле скоростей.
Назначим в виде ряда компоненты скорости v'x. Как видно из
схемы деформации, v'x должны быть четной функцией у и
нечетной функцией х. По граничным условиям vx = 0 при
y^zth. Подходящей последовательностью функций,
удовлетворяющей указанным ограничениям, будет
v'x = а0 (1 — yW) xlb + а, (1 — yW) xlb + ... . (6.85)
Ограничим функциональный ряд (6.85) двумя членами.
Второй компонент вектора скорости определим из условия
несжимаемости. В случае плоского деформированного
состояния \'гг = 0, а \'хх =—%у Очевидно, что из выражения
(6.85) следует
Б« = dv'Jdx = "о(1- У^)>ь + ai О - WW = - Ъ'у1Г
Тогда
*У~\Ъ'УУЛУ + Ч(Х)
или
v'v= ~J fa<!-уЩ2уь + ai(l-y4/h*)/b]dy + v(*)>
ъ'у=-аЛУ- y*i'№)lb ~ах{у^ y*lbh*)lb + <p(x). (6.86)
Течение симметрично i^|y=0=0, следовательно ф(х)=0.
Известно, что при y = ±h vy = 4zVoy тогда из выражения
(6.86) v0=2h/3b)a0+(4h/5b)al. Исключим один из
параметров, например, a0=3bv0/2h—6#i/5. Окончательно
кинематически возможное поле скоростей имеет вид
vx = (1 — y2/h2) 30" x/2h — а± (1/5 — 6г/2/5Л2 +
+ yVh4) xlb;
v'y = -(l-yV3h*)3v0yl2h +
+ a, (1/5 — 2yV5h2 + yV5h*) gib.
Компоненты тензора скорости деформации
^ = -4 = (,-^/Л2>3у«/2/г-
- ах (1/5 — 6у2/5Л2 + yVh^b;
t'xy = -3v0xy/2h*- '
— 2а1Ху(ут* — 3/5)/Ы1\
(6.87)
(6.88)
253

Итак, деформированное состояние описывается прибли.
женно формулам (6.87) и (6.88), которые содержат один
варьируемый коэффициент аь Определим а{ из условия
экстремума функционала (6.84), для чего подставим урав.
нение (6.88) в (6.84)
d/daL
(6.89)
-b ~-h
Задача свелась к поиску корня уравнения вида
+b+h
■J f f(x, У, a1)dxdy = 0.
(6.90)
—b —h
Приближенно корень этого уравнения можно определить
методом хорд. Вычисляем левую часть уравнения (6.90),
4,16
%16 2,31 1]36 2,31 %76
которую обозначим Ф, для двух некоторых произвольных
значений а\{) и а[2). Через точки А и В (см. рис. 66)
проводим прямую, пересечение которой с осью а\ дает первое
приближенное значение корня а[3). Его можно определить
аналитически по формуле а?) = (а[1)Ф2—a!2)0i)/(02—Ф1).
Подсчитав Ф3 для а!3)> можно аналогичным образом найти
а[4)и так далее до получения приближенного значения
корня1 а(1Г1)-^а[0)[а(1()) — точное значение корня уравнения
(6.90)]. Уравнение (6.89) было решено для случая
осадки полосы квадратного сечения b = h. Оказалось, что
а{°) =0,73 vq. Итак, подставив значение а[0) в формулы
(6.87) и (6.88) получим решение задачи по определению
деформированного состояния полосы при ее ковке плоски-
1 Считается, что корень найден, если а\
заданная точность вычислений.
(п-н
,(л)
<Д, где Д —
254

ми бойками. Компоненты тензора скорости деформации
оказались следующими:
Ъхх = (1,36 — 0fi2yW — 0,74*/V/i4) vjh\
Ъху = - (°>62 + 1,46*/W) v0xy/bh\
По этим формулам с помощью выражения Н=2у1хх + %ху
было подсчитано распределение интенсивности скорости
деформации сдвига по сечению поковки. Эти данные для
характерных точек приведены в виде соотношения
n/(2v0/h):
x/b
0,5 0,75 J_
1,04 1,56 2,08
0,95 1,12 1,33
1,19 1,23 1,27
1,32 1,33 1,33
1,36 1,36 1,36
Как видно из этих данных, деформирование металла
поковки происходит неоднородно. Если бы осадка
происходила без сдвигов с однородным распределением
деформации (g^ = o, t,Xx = Vo/h), то было бы Н = 2у0/Л. К бойкам
примыкают зоны затрудненной деформации I Н/—— < 1).
Наибольшая интенсивность скорости деформации сдвига
имеет место в углах поковки. На рис. 6.7 приведены
данные о суммарной^ относительной интенсивности скорости
Деформации сдвига в сечении полосы за два обжатия с
кантовкой полосы между ними на 90°. Здесь же отмечены
Штриховой линией зоны максимальной относительной
интенсивности, эти зоны примыкают к диагональным
плоскостям.
По картине деформированного состояния еще нельзя
сУДить о причине разрушения материала и образования
Дефекта (ковочного креста). Следует сделать расчет
напряженного состояния, чтобы определить причины
возникновения дефекта (это будет сделано в п. 6.7).
Определив деформированное состояние, можно найти
приближенно силу, необходимую для деформирования.
Для этого пользуются принципом виртуальных скоростей и
y/h
1,00
1,00
0,75
0,50
0,25
0
0_
0
0,78
1,17
1,32
1,36
0,25
0,52
0,82
1,18
1,32
1,36
255

напряжений (см. п. 6.1), который для Действительного
состояния несжимаемого материала
J /. Vi dS = J THdV. (6.91)
S V
Если на Sv yf*=const, то последнее соотношение примет
вид
p/ = (JTiw-j/:,,dS)/c;;,
V sf
где Pj — компоненты силы деформирования
P, = $fjdS.
Sv
Воспользуемся соотношением (6.91) для определения
силы деформирования в рассматриваемом случае ковки
полосы квадратного поперечного сечения (рис. 6.5). На Sf
f*. =0, значит сила на единицу длины полосы Р составит
2Pv0 = |* Г THdxdy,
-Ь-h
p = (\/2v0) j f l,18H*fidxdy.
-b-h
Последний интеграл вычислен приближенно и
Р^ 11,6(у0/Л)1/3 Ь9 кг/мм.
Упражнения
1. Выведите дифференциальные уравнения типа уравнений Эйлера
и естественные граничные условия, исследуя на минимум функционал
н
' Т (л) dr\ \dV — f /* v. dS
v
в классе так называемых кинематически возможных скоростей, т. е.
удовлетворяющих условию несжимаемости ut,f = 0 в каждой точке
объема V деформируемого тела и граничным условиям по скоростям v~Vi
в каждой точке поверхности S0 (поверхность тела S=SuljS/> на Sf—
—/t=/J • Ответ: уравнения (su + ^6tj),j = 0; естественные граничные
условия на Sf— (Sij-±l6ij)nj = f*i, где Sij = 2T(H)el7/H; Н = ')/Г2ецеп;
eif^hi—55u/3; £ = £7j6fj; 6-:i= (^/f/-f wjtf)/2; А,— множитель Лагранжа,
который, исключается с помощью условия несжимаемости.
2. Покажите, что поле скоростей, определенное с помощью формул
(6.82), тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению
viti = 0.
256

6.7. Принцип виртуальных напряжений
рассмотренная классическая краевая задача теории
пластичности может быть решена в напряжениях. Граничные
условия этой краевой задачи предопределяют, что на
поверхности Sv заданы скорости, на Sf — напряжения;
поверхность S, состоящая из Sv и Sf и ограничивающая
объем деформируемого тела V, известна.
Принцип виртуальных напряжений предполагает
варьирование лишь напряженного состояния а'и. Поле
скоростей vt не варьируется, следовательно, не варьируется Н
и g, так как %ц= (vij+vJti)/29 g = gt7a«/, еи = 1и—18ц/3.,
U = V2eijeij' Виртуальное поле напряжений ац называют
статически возможным, если оно в объеме тела V
удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия a'rjj =
=0 и условно симметрии o'.j=a'..t на поверхности Sf-^
граничным условиям в напряжениях aunj=fi. Из общего
вариационного уравнения (6.32) получим вариационное
уравнение принципа возможным изменений напряженного
состояния (принцип виртуальных напряжений)
б (f Г f Н (т) dx 1 dV - J /; и] dS J = 0, (6.92)
VvVo J sD j
где Г = l/s;7s;/2;
s'u = o'u — о 6ц a' = a'ifiif/3; f\ = а'цЩ.
Оказалось, что исследование на стационарное состояние
(минимум1) функционала в уравнении (6.92) в классе
статически возможных напряжений эквивалентно решению
задачи интегрирования дифференциальных уравнений
теории пластичности
Н (Т) (аи - о&и)/2Т = (vij + vu)/2; (6
°tu = °
1 Доказательство минимума функциональна как в данном случае,
так и для функционала принципа виртуальных скоростей, не требуется,
так как оно вытекает из общего случая и соответствующего принципа
Виртуальных скоростей и напряжений (см. п. 6.3). Однако,
функционалы в фигурных скобках выражений (6.77) и (6.92) на действительном
состоянии не равны нулю, а их сумма — нуль.
17-382
257

для тела заданной формы с заданными механическими
свойствами при граничных условиях
Ч, = <* //Is, = Я-
(6.94)
Приближенное решение вариационного уравнения прин^
ципа виртуальных напряжений (6.92) можно строить,
например, в следующем виде. Задают касательные
напряжения в виде функциональных рядов
ху
^ t ху>
yz ^4 J уг> {
п
zx ^ k^zx >
(6.95)
где о1\]1У о$, o[kJ —известные подходящие координатные
"У У^ ^
функции; а„ fcj, ck — неизвестные варьируемые
коэффициенты. На ряды накладывают требование об удовлетворении
граничных условий, заданных на 5/. Получают нормальные
напряжения
ахх = —$ [д°ху/дУ + d°'xz/dz) dX + <Pl (У* Z) > ]
°'yy = ~~ I [д°'ху!дХ + d°'zy/dz) ^ + Ч>2'(*> гУ> \, (6.96)
o'zz = — J (do'Jdx + do'Jdy) dz + ф3 (x, y)
интегрированием дифференциальных уравнений
равновесия, полагая, что о'ху, а'2, o'zx —заданы формулами (6.95).
Часть произвольных функций интегрирования фЬ ф2, фз
может быть определена из граничных условий, заданных я
напряжениях. Остальные произвольные функции могут
быть представлены в виде отрезков рядов с варьируемыми
коэффициентами. Напряжения по формулам (6.95) й
(6.96) являются статически возможными. Подставив
формулы (6.95) и (6.96) в функционал, стоящий в фигурных
скобках выражения (6.92), обращают его в обыкновенную
функцию искомых параметров щ, bj, Ck, а также
параметров из произвольных функций ф/ (/=1, 2, 3). Эта функция
на действительном напряженном состоянии обладает
экстремумом. Дифференцируя ее по параметрам aif bj, ck и из
ф/ и приравнивая производные нулю, получают систему
258

конечных уравнений, достаточную для определения aif bu
ck и ф/. После этого возвращаются к формулам (6.95) и
(6.96). Подставив в них aif bjf ck и фь получают
приближенную картину напряженного состояния, которое лучшим
образом в выбранном классе координатных функций
удовлетворяет первой группе дифференциальных уравнений
(6.93), а также граничным условиям на Sv выражения
(6.94). Поле напряжений будет точно удовлетворять
дифференциальным уравнениям равновесия и граничным
условиям в напряжениях [вторая группа уравнения (6.93) и
условий (6.94)].
Заметим, что, определив приближенно описанным
способом напряженное состояние oij, можно по физическим
уравнениям для несжимаемого материала определить также
приближенно тензор скорости деформации g/j = H(T)Sjj/2T,
где Т= I^SijSij/2; Sij = Oi/—odij; а = а,уб///3. Поле скоростей
перемещения частиц металла однозначно определить не
удается, так как три компонента вектора скорости Vi
связаны шестью геометрическими соотношениями vifj + Vjii =
=2gi> Система переопределена и может не иметь
решения, т.е. число уравнений больше числа неизвестных.
Продолжим решение задачи о
напряженно-деформированном состоянии металла при ковке полосы плоскими
бойками (рис. 6.4 и 6.5). Рассмотрим случай, когда Ь«А.
Граничные условия задачи предопределяют, что на Sf ft =
=/* =0, на Sv реализуется прилипание, т.е. vx\y=±h = 0J
vy \y=±h = =fvo. Известно, что прилипание охватывает всю
контактную поверхность, если /z/fr>0,5. В опытах Е. П.
Унксова образцы с /i/b>0,5 даже при осадке со смазкой
не показали скольжения на контактной поверхности.
Функционал для рассматриваемой задачи имеет вид
J J j Н (т) dx dxdy + 2 j v0 o'yy \y==fj dx, (6.97)
где T' = у [oxx — в'уу)1^ + G'xy Действительно, на
верхней части контактной поверхности
j f\ v] dS = f о'., п. v; dS = J (a'xx nx v\ + o'xy ny vx +
—b
+6
+% % "i+%n» «x-*dx=-1 *'» ^ v°dx
-—0
17*
259

* * /
так как vx—0; ny=l-y пх—0; vy=*—Vo. Аналогично на
нижнем основании
j f'iV*dS = - ]o'yy\y^hv,dxy
так как vx = 0\ пу=—\\ пх = 0; vy = v0.
Будем считать, что кривую упрочнения можно
аппроксимировать функцией, как в примере п. 6.6. и обратное
выражение
Н = 0,15Т3.
Тогда в функционале (6.97)
Н (т) d% .=± J 0,15Л*т = 0,15 (т4/4)|^ = 0,037ТЧ,
\
и он приобретает вид
J = j f 0.037Т'4 dxdy + 2 j v0 a'yy \y=h dx. (6.98)
—ft -ft -ft
Для того, чтобы составить решение в виде (6.95) и
(6.96) с минимальным числом параметров, необходимо, по
возможности, ближе к действительности или точному
решению подобрать подходящие функции а™. Можно
использовать экспериментальный материал.
Е. П. Унксов и другие исследователи изучили процесс
осадки полос в условиях плоского деформированного
состояния. Были определены эпюры касательных
напряжений на контактной поверхности. Касательные напряжения
оху на контакте с инструментом плавно нарастают от нуля
в центре контактной поверхности до максимума у кромки
образца и резко падают до нуля в угловой точке полосы.
Благодаря симметричности схемы деформации полосы
о^ должны быть нечетными относительно х и у. В этом
легко убедиться на примере оху на контактной поверхности
(стрелки на рис. 6.5), применив известное правило знаков
для напряжений. Экспериментальные данные об эпюрах
напряжений на контакте полосы и инструмента позволили
подобрать подходящие функции для о'ху> которые отлича*
ются малым числом параметров
о'ху = а, (1 — x^/b10) xy/bh + а2 (1 — х10/Ь10) хуШ3. (6.99)
260

Для определения охх решим одно из
дифференциальных уравнений равновесия
dojdx + даху/ду = 0;
0'xx^ — l{dv'Xyldy)dx + yx{y).
Подставив выражение (6.99) в последнее соотношение,
получим а'хх ■=■ —ax(x*l2b—x}2l\2bn)lh — a2(x2/2b —
-^^12/l2bll)3r/2//i3+<pi(f/); Произвольную функцию
интегрирования исключим из граничного условия а^===0 при
#=±6, получим ф! (г/) =ai5&/12/i + a215&t/2/12/i3. Тогда ;
охх = {ах + a23yVh2) (1 — 6хУ5Ь* + х^1ЬЩЪЫ№. • (6:100)
Аналогичным!образом поступим с оуу. Из уравнения
до'ху1дх±до'уу1ду = 0 ясно, что
а^ = -1(3ог^)^ + Ф-2^).
Если использовать формулу (6.99), то
aw = - С - • lxl0/bl°) (2ai + a2^2) Уг1^ + ф2 (*). (6.Ю1)
В частности, при y=±h (нормальные напряжения на
контакте с бойком)
а'п\у-±н = -11 - j\х«ЧЩ(2а1 + a2)h/4b + ъ(х). (6.102)
Поскольку в функционал уравнения (6.92) искомые
функции входят без производных, то уравнения Эйлера будут
Конечными (Fy=ft так как Fy> =0 и следовательно,
dFy> /dx=0), и можно произвольную функцию q>2,(x)
определить целиком, не представляя ее в виде ряда.
Итак, напряженное состояние описывается формулами
(6.99) — (6.101), в которые входят два варьируемых пара-
Метра й\, а2 и функция ф2(^). Подставив выражения
(6.99) — (6.102) в функционал (6.98), сведем задачу к
поиску решения системы уравнений д//да\=0; д//да2==0;
д/7Фф2 = 0. В общем виде решить эту систему
относительно ф2(#) трудно. Целесообразно заменить произвольную
функцию ф2 (я) некоторой координатной функцией с
варьируемым параметром #3- Координатную функцию можно
Назначить, решив задачу об осадке полосы в условиях
Плоского деформированного состояния, но для линейно
вязкой среды, для которой H = T/fi, где \х = const — ко:эф-
261

фициент вязкости. Функционал (6.97) приобретает в этом
случае вид
+b +h +b
J = j f (TWtfdxdy + 2 J" v0o'yy\y=h dx,
-b -h —b
или
(l/2rt +j +f [«, - о'уу)Щ + o£] <Шу +
-b-h
+ 2f»o^Udx- (6-103>
Если подставить уравнения (6.99) — (6.102) в функционал
(6.103), то он превратится в обыкновенную функцию
второй степени параметров а,\, #2 и функции фгС*).
Варьирование (точнее дифференцирование) по аь а2 и фгС*) с
целью поиска экстремума этой функции дает три линейных
алгебраических уравнения относительно аи а2 и фгМ1.
Решение этих уравнений для b = h таково: a\l) =0,356\iv0lh\
fl(i)=4,61|xu0/A; фУ\(*)=[—4 + 2,08(1— 6*2/5b2 + *12/5b12) +
+ 0,23(1—1 ljc10/fe10)]fxfо/Л. Используем квадратную скобку
последнего выражения в качестве координатной функции
для ф2(#) в формуле (6.101). Итак, примем для основной
задачи
Ф2 (*) = а3 [— 4 + 2,08 (1 — 6x45b2 + х12/5Ь12) +
+ 0,23(1 — 11*10/610)1. (6.104)
Для продолжения исследования на экстремум
основного функционала нашей задачи (6,-98) подставим в него
формулы (6.99), (6.102) и (6.104). Он превратился в
обыкновенную функцию коэффициентов аъ а2, 0з> которая
обладает экстремумом. Точку экстремума определим из
решения уравнений: d//dai = 0; dJ/da2 = 0\ dj/da3 = 0. После
дифференцирования по аь а2 и а3, а также после
интегрирования по х и у, последние уравнения примут вид:
Ф, (а19 а2, а3) = 0; ]
Ф2(а19 а2У а3) = 0; (6.Ю5)
Ф3 (а19 а2, а3) = 0. J
1 Функционал, в который искомые функции входят в виде
многочлена второй степени [как в уравнении (6.103)], называют
квадратичным. Решение экстремальной задачи для такого функционала методом
Ритца приводит к системе линейных алгебраических уравнений, которые
легко разрешимы.
262

Решение системы уравнений (6.105) может быть
достигнуто методом итераций. Для этого каждое уравнение
перестраивают так, что выделяется в левую часть одна из
известных
Л1 = Ф1 («1» av аз)\ 1
*2=Ф2(«1>*2.аа); (6Л06)
йз = ФзК, «2, я3). >
При удачном выделении аь а2, аг по формулам (6.106)
может быть построен итеративный процесс. Задают нулевое
приближение а^Ка^\а^ по формулам (6.106)
подсчитывают первое приближение
аП)=ф1(о{°>, fl.f, of);
fl(') = Ф2 («{°>, «f, of);
а51»=Фз(а{»), af, 40)).
По формулам (6.106) и значениям a[l), а[р иа^ подсчиты-
ют второе приближение и т.д. Если при увеличении числа
итераций i а[1\ а^\ а^ стремятся к какому-то пределу,
метод итераций сходится к точному решению. Для
того чтобы получить решение с нужой точностью,
практически продолжают процесс до тех пор, пока два
последовательных приближения не совпадут друг с другом с
заданной точностью.
Численные расчеты позволили для b = h приближенно
определить зачения корней уравнений (6.105).
Подстановкой ab а2, а3 в формулы (6.99) — (6.101) и (6.104)
завершается решение задачи о расчете напряженного состояния
при осадке полосы .плоскими бойками. В частности, на рис.
6.8 показана эпюра нормальных напряжений на
поверхности контакта полосы со штампом, вычисленная по
формуле (6.102). Общая сила осадки заготовки, рассчитанная на
единицу ее длины:
+ь
Р= J oyv\y=hdx.
—ь
По полученным выше формулам для условий,
приведенных на рис. 6.7, был сделан расчет среднего показателя
Напряженного состояния a/Т за два обжатия с кантовкой,
Значения которого показаны на рис. 6.9. Чем интенсивней
Действуют сжимающие напряжения, тем меньше в
алгебраическом смысле величина показателя напряженного состоя-
263

ния а/Т и тем благоприятней схема напряженного состоя^
ния. для деформации металла без разрушения. Наименее
благоприятными, с точки зрения напряженного состояния,
областями при ковке оказались области, примыкающие к
углам и расположенные в центре (густая штриховая линия
ria рис. 6.9).
Итак, разрушение наиболее вероятно в углах и центре
поковки. Именно там самое неблагоприятное
напряженное состояние, при котором развивается наибольшая
деформация. Возникшие в этих местах трещины
объединяются и образуют дефект, получивший название «ковочный
,#рест>>.
Упражнения
1. Выведите дифференциальные уравнения типа уравнений Эйлера и
естественные граничные условия, исследуя на минимум функционал
/= | Г Н(т) dx Ltf — J f.v.dS
в классе статически возможных напряжений. Ответ: уравнения
H(T)(<Tfj—o6fj)/2T=(tafj + A,j,,-)/2; естественные граничные условия на
Sv Ki = vi9 где Ki — множители Лагранжа, которые исключаются с
помощью дифференциальных уравнений равновесия.
2. Покажите, что поле напряжений, определенное с помощью
формул (6.95) и (6.96), тождественно удовлетворяет дифференциальным
уравнениям равновесия.
3. Можно ли для составления статически бозможных напряжений
взять иные три функции, а не касательные напряжения как в формуле
(6.95), а остальные определить интегрируя управления равновесия?
Ответ: можно.
6.8. Экстремальные и вариационные теоремы
идеальной пластичности. Разрывные решения
Необходимость отдельного рассмотрения экстремальных и
вариационных теорем идеальной пластичности
обусловлена теми обстоятельствами, что, во-первых, принципы^ из-
.264

ЛОЖенные выше в этой главе, строго говоря, не
справедливы Для идеально пластичного материала. Действительно,
при выводе и доказательстве принципов считалось, что
«единая кривая» Т = Т(Н) имеет обратную функцию Н =
==Н(Т)'. Для идеально пластичного материала единая
кривая— T=x.s = const, а обратной функции Н = Н(Т) нет. Во-
вторых, гипотеза об идеальной пластичности
—распространенное положение теориц пластичности, имеющее ortpeie-
ленное практическое значение. Также как и в п. 6.6 и '6.7,
здесь рассматривается краевая задача в произвольной и
фиксированный момент времени t для тела объемом У,
находящегося целиком в пластическом состоянии. Тело
имеет известную границу S=Sv[)Sj с условиями Vi\s =
= уг и Msy=./*-; материал тела несжимаемый^;Отличие
в том, что деформируемый материал —идеально|иластич-
ный. ' ! !
В рассматриваемом случае для кинематически;
возможного поля скоростей вариационное1 уравнение (667) имеет
вид ;
8/fx HOdV— Г f*vpdS\ = 0, (6.107)
\nTgHOdV-] /;w?dSJ = 0f
но
так как Т(т])=т5 и [ T(r])dr|=TsH0. В этом параграфе
виртуальное состояние Н' и v\ удобнее обозначить Н° и
уР. Аналогично вариационное уравнение (6.92) для
статически возможного напряженного состояния о9 запишется
в виде
в/-J {•v*dS)^0t (6.108)
т#
так как J H(x)rfx— площадь над кривой упрочения (см.
о
рис. 6.2), а она для идеально пластичного материала равна
Нулю. Уточним определение статически возможного
напряженного состояния для данного случая. Поле
напряжений 0# называют статически возможным, если оно удов-
летворяет условию равновесия а*П/=0, o*tij=f?t а* =
*=а#, условия пластичности T*=ts и граничным у слови-
ям на поверхности Sf <j*ttj=/t*. Определение статически
возможного поля напряжений в этом случае отличается от
аналогичного определения в п. 6.7. Кинематически
возможное поле скоростей определена так ж, как и в п. 6.6.
;' '265

Докажем следующие две экстремальные теоремы иде^
альной пластичности. Первая утверждает, что среди всех
статически допустимых (или возможных) полей
напряжений о9 действительным полем (решением
соответствующей краевой задачи) будет то, для которого выражение
J? =— la*nv\dS (6.109)
Sv
принимает минимальное значение, т. е.
Значение J\ получится, если в правой части уравнения
(6.109) о^1 заменить действительным полем напряжений
Составим разность /i—/Г. Имея в виду, что на Sf
o*nj = Oijnj=fi, эту разность можно представить в виде
5
Применив к последнему формулу Гаусса —
Остроградского, учитывая что <т#,/=а9,/ = 0, тензоры напряжений
симметричны и (£>/,;/+ ^,0/2 = ^, получим
V
где vi — действительное поле скоростей; g/j —
соответствующее ему действительное поле скоростей деформации.
Уравнение (6.110) можно представить в виде
Jt - /• = - J [Hsv (s, - sf>)/2tJ dV. (6.111)
V
Действительно, для несжимаемого материала ^ц = ец,
поэтому £;j = Hs/j/2ts; наконец, вследствие несжимаемости
материала
<*и Ъи = (Sij + oSij) hj = stJ hj + o8u lu = stj %tj
и аналогично
Применим для оценки правой части (6.111)
неравенство Коши — Шварца — Буняковского
st]*?,<V*tisu V4VS» (6.112)
266

где знак равенства имеет место только тогда, если
st^cs... (6.113)
Неравенство Коши — Шварца — Буняковского легко
доказывается для частного случая
ъЬ^Уа^УЩ'. (6Л14)
Действительно, afti можно представить как скалярное
произведение двух векторов a*b; aiui и bjbj—результат
скалярного умножения векторов а и b на самих себя, или
]/"ata/= |а|, ]fbjbj=\b\. Известно, что a-b=\a\\b\x
Xcosy; поскольку cos^^l, то это доказывает
неравенство (6.114). Можно получить доказательство и для более
сложного случая [неравенства (6.112)].
Так как sij и s® удовлетворяют условию У stjSij/2 =
= у s9 sf-12 = ts, то правая часть неравенства (6.112)
равна 2x'2s. Условие пластичности выполняется всюду в
объеме V, следовательно, в выражении (6.113) с=\.
Отсюда ясно, что в подынтегральном выражении (6.111).
где знак равенства имеет место только в том случае, если
s* =sij. Так как Н/2т5 есть величина положительная, то
(6.115) показывает, что подынтегральное выражение в
формуле (6.111) не может быть отрицательным.
Следовательно, J\—J\ ^0 и Ji^lf.Теорема будет доказана, если
установить, что в условиях рассматриваемой краевой
задачи из равенства s^=s* получается равенство <j/j = a®.
Это действительно так:
°W = SUJ + GJ 6и = sw + °л = °- (6-116)
Так как напряжения о$ также удовлетворяют условиям
равновесия, то
Если в каждой точке V s* =Sij, то из равенств (6.116) и
(6.117) видно
° i — °Фс = (° — a#) i = 0» или a — о9 = const.
Это означает, что в случае s* =Sij поля напряжений, ка
Залось бы, могут отличаться на величину постоянного
среднего нормального напряжения. Однако граничное условие
267

ff\s==f* исключает это. Следовательно, из равенства
s^=±sij в данной краевой задаче (при S)=£0) получаем,
что ofj=Gij, т.е. теорема доказана.
Вторая экстремальная теорема идеальной
пластичности утверждает, что среди всех кинематически возможных
полей скоростей vQ действительным полем будет то, для
которого выражение
^^[хУЩщЖ- lf]vOdS (6.118)
V sf
принимает минимальное значение.
.Заменим в уравнении (6Л18) Щ полем
действительных скоростей деформации g/, и составим разность
■у. v
-jW-^)dV (6Л19)
Имея в виду, что на Sv v(?=v*, применим К
поверхностному интегралу в (6,119) формулу Гаусса —
Остроградского, тогда получим
v
V v
- \%%,) dV - J [2т Л/ W - У/H] W.
V
После очевидных преобразований
jo - j2 = у 2 xs j КУЩ" Vh^- щ%и)1
.... v
lVtmnZmn}dV. (6.120)
Согласно неравенству Коши — Шварца — Буняковско-
го, числитель подынтегрального выражения в формуле
(6.120) не может быть отрицательным; он может
обращаться ;в нуль только в том случае, если £$ =с&р тле с—
скалярный коэффициент пропорциональности, который
может быть функцией координат. Это доказывает теорему и
показывает, что решение задачи может быть
неединственным.
£68

Итак, решение, классической^ краевой задачи для
идеально пластичного материала с помощью экстремальных
теорем дает единственным образом распределение
напряжений, решение же по деформированному состоянию мо-
ottet быть неединственным.
Практическая значимость экстремальных и
вариационных теорем идеальной пластичности состоит в том, что,
несмотря на неединственность, решение может дать
полезную информацию. Кроме того, идеально пластичное тело
позволяет строить разрывные решения. Эффективны
приближенные разрывные решения.
Рассмотрим изменения вариационных уравнений к
которым приводит принятие разрывного поля напряжения
и скоростей. Исходным положением при выводе
вариационных уравнений является принцип виртуальных
скоростей и напряжений (6.14), который для несжимаемого
идеально пластичного материала и достаточно медленных
течений без массовых сил имеет вид
{jrsHdV— j7,flidS = 0. (6.121)
V 5
Проанализируем случай, когда на некоторых
поверхностях внутри тела разрывно поле напряжений сг^ и
непрерывно поле скоростей и,-. Допускаются такие разрывы,
которые не нарушают законы классической динамики, т.е.
напряжения /т~, действующие с одной стороны элемента
поверхности dSk, должны быть равны по модулю и обрат-
ны по знаку напряжениям ff, находящимся на другой
стороне. Это условие имеет вид
или в компонентах тензора напряжений ojjnr +oin^ =
= Aar,ttj—О,
где tiOij = ojj—сг+, n-r = —n-l-=njy так как единичные
нормали пу и nf противонаправлены. Если составить
уравнение типа (6.121) для всех частей тела объемом V,
разделенных поверхностями Sk, затем сложить эти уравнения,
то все интегралы по поверхностям Sk из-за непрерывности
Ноля скоростей и условия (6.122) сократятся. Таким
образом, наличие разрывов в напряжениях не сказывается на
Форме принципа виртуальных скоростей и напряжений
(6.121) и на форме всех вытекающих из него
функционалов. Однако следует иметь в виду, что на скачки
напряжений ' Да// на Sk накладываются условия Да///1/ = 0.
269

Определим разрывы поля скоростей на некоторых по-
верхностях SL. Разрыв поля скоростей vt для
несжимаемого материала возможен лишь в составляющей скорости,
лежащей на плоскости, касательной к Si, иначе в теле
образуются пустоты и нарушится условие сохранения
объема. Нормальная к Si составляющая скорости остается
непрерывной (см. гл. 4, п. 4.3).
Проведем в некоторой точке поверхности разрыва St
локальную систему координат п, р, t, направив ось п по
нормали к поверхности, а ось / вдоль вектора
относительной скорости Av = v+—v~, где i/+ и v~ — касательные
составляющие скорости соответственно с одной и другой
стороны поверхности 5/. Составляющие вектора скачка
Avn = 0, Д^р = 0, Avt = vf — vj.
Поверхность разрыва следует рассматривать как
предельное состояние тонкого слоя с непрерывным, но резким
изменением скорости по толщине слоя. Резкое изменение
претерпевает лишь составляющая vt, a vn и vp почти
постоянны по толщине слоя. При стремлении толщины слоя
к нулю H->|2g«/|-^oo, а остальные компоненты тензора
скорости деформации остаются ограниченными. Если
среда подчиняется условию идеальной пластичности, то из
уравнений а,7 = 2т5|«//Н следует, что ann = GPp = ott = o'y
enp = opt=0; Gnt=xs, т.е. поверхность разрыва является
поверхностью максимального касательного напряжения.
Рассмотрим первое слагаемое уравнения (6.121).
Поверхность разрыва можно представить в виде тонкого слоя
толщиной An, интенсивность скоростей деформации
сдвига по толщине которого Н=2|£^| = | Avt |/Дя. Тогда
можно записать
|ЧЯ UdV = f ts UdV + f xs (\Avt\/An) AndS,
v K v sl
где V=V'\JAnSi. Устремим Д/г-Ю, тогда получим V-+V и
формулу принципа виртуальных скоростей и напряжений
для разрывного поля скоростей
(4,IW+ fxJAuJdS— \f,vtdS = 0,
v * sl ' 5
где SL— все повехности разрыва поля скоростей в
деформируемом теле. Функционал второй экстремальной
теоремы, который обладает минимумом на действительном
(из всех кинематически возможных) поле скоростей, для
разрывного поля скоростей имеет вид
270

JQ = f \ ТЮ dV + f т< ]Aup| dS — f /! yP dS.
V sz ' 'sf
упражнения 1. Выведите, следуя рассуждениям, указанным в п. 6.1
и 6.2, уравнение (6.107) и соответствующий функционал.
2. Аналогичным образом получите функционал и уравнение (6.108).
3. Выведите дифференциальные уравнения типа уравнений Эйлера
и естественные граничные условия, эквивалентные вариационному
уравнению (6.107) в классе кинематически возможных полей скоростей.
Ответ: см. ответ к упражнению 1 п. 6.6, имея в виду, что T(H)=ts.
4. Выведите дифференциальные уравнения типа уравнений Эйлера и
естественные граничные условия, эквивалентные вариационному
уравнению (6.108) в классе статически возможных напряжений. Ответ:
уравнения Х(оц—абг->)/2тв= (/,,,,- +Л j,/)/2: естественные граничные
условия на Sv ki = Vi, где а, Х{ — множители Лагранжа, которые
исключаются соответственно с помощью условия Т—ts = 0 и оц,з = 0.
6.9. Метод верхней и нижней оценки
силы деформирования
Экстремальные теоремы теории идеальной пластичности,
изложенные в п. 6.8, позволяют сделать верхнюю и
нижнюю оценки силы и мощности деформирования в
некотором процессе. Действительно, на основании первой
экстремальной теоремы [см. формулу (6.109)]
$ffv;ds<$ ftv*tds. (6.123)
Пусть действие твердого инструмента на деформируемое
тело осуществляется через поверхность Sv. Неравенство
(6.123) означает, что любое статически возможное поле
напряжений оФ (включающее поверхностное напряжение
ff), например, выбранное из каких-либо соображений,
дает значение мощности деформирования тела инструментом
меньше действительного (соответствующего точному
решению краевой задачи). В неравенстве (6.123) стоят
интегралы от скалярных произведений векторов, они одинаковы
в любой системе координат. Выберем ее такой, чтобы
одна из осей (например р) проходила параллельно полной
скорости инструмента v*, модуль которой у*. Учитывая,
что инструмент твердый и, если u* = const, то из
соотношения (6.123) получим
f /• dS < J fp dS, или РШ < P. (6.124)
Sv Sv
Сила деформирования P*, вычисленная с использованием
статически возможного варианта напряжений, дает ниж-
271

нюю оценку действиГельной силы деформирования Р,
которая неизвестна и интересует исследователя.
Из второй экстремальной теоремы (6.118) следует
j* rs EdV — J /; v. dS < j xs HO dV — J ft vp dS. (6.125)
V Sj V sf
Если учесть принцип виртуальных скоростей и
напряжений (6.121), записанный для действительного состояния и'
рассматриваемой краевой задачи (5=S/(J5V)
v sf sv
то неравенство (6.125) примет вид
f ft v* dS < J xs HO dV — f /; vp dS. (6.126)
Кинематически возможное поле скоростей позволяет
подсчитать правую часть неравенства. Она будет верхней
оценкой действительной мощности деформации. Из
неравенства (6.126) получаем верхнюю оценку силы
деформирования
P<7j\HOdV- §f*vpds\/v\ или Р<РО. (6.127)
Итак, действительная сила деформирования Р
находится в пределах
Р#<Р<ро,
f ffdS<Р < ( J xs HOdV - j f*vp ds'W .
Приведем пример использования верхней и нижней
оценки силы деформирования.
Для производства канатов используют проволоку из
высокоуглеродистой стали. Работоспособность их
(грузоподъемность) значительно зависит от предела
текучести материала, из которого они изготовлены.
Проволока канатов в состоянии эксплуатации имеет структуру
типа перлита: чередующиеся пластинки твердого
цементита и мягкого феррита (темные и светлые полосы на рис
6.10). Известно, что степень дисперсности пластин
цементита и феррита в значительной степени определяет прочность
канатов. Патентирование—специальная обработка
канатной стали, которая обеспечивает получение высокой дис-
272

перености пластинчатой ферритно-цементитной структуры.
Сделаем анализ «упрочняющего» влияния степени дис:
персности твердых и мягких прослоек. Рассмотрим
пластину, состоящую из мягкого феррита и расположенную
между твердыми пластинами цементита (рис. 6.11). При
определении силы Р, при которой пластина феррита
перейдет в пластическое состояние, будем считать, что це-
ментитные пластины остаются в упругом состоянии, а
между слоями цементита и феррита имеется хорошее
сцепление. Предел текучести материала прослойки а*. При
растяжении прослойка переходит в пластическое состояние.
Рассмотрим напряженное состояние прослойки объемом V с
границей с жесткими (упругими) частями Sv и боковой
границей Sf,ua которых vi\sv=v*i; /,|S/=/* =0 (v*x =0;
Воспользуемся оценкой при помощи выражения (6.124).
Построим статически возможное напряженное состояние.
Напряжения должны удовлетворять двум
дифференциальным уравнениям равновесия и условию пластичности
до*х/дх + до*/ду^0;
dofjdx + dof/ду = 0;
Jxy'
УУ
\^хх уу) * ху s
(6.128)
Кроме того, на боковой поверхности (при л:=±а)
поверхностные напряжения должны быть: ff=fx=0 и /• =
—/* = 0. Если заштрихованная часть образца остается
Жесткой, то граница между прослойкой и жесткой частью
является огибающей линией скольжения, на которой
1 В целях упрощения задача рассматривается в варианте плоского
Деформированного состояния.
18-382
273

Примем следующее поле напряжений в первой четверти
мягкой прослойки, учитывая условие (6.129):
oft = т< У/к'
°t = Ts^2 + ^s(a^-xfh);
УУ
■2xsV\ — УЩ* + xs я/2 + ts (a/h — xlh).
(6.130)
Легко убедиться, что формула (6.130) удовлетворяют
уравнениям (6.128). Граничные условия на боковой
поверхности удовлетворяются лишь приближенно: при х = а,
вместо ff=ofxnx+ofyny=0 и ff='Ofynx + ofyny=0 или
(так как пх—\, а %=0 при х=а)
(6.131)
°! = °и о» = о,
имеет место
(6yy)cpl6s
20
70
+А
P,9f
4?
4r
^ I
(6Sy)cpl^s
\6'yy)cpl6S
I I
Jo«U^ = 0H
-л
JO
BQ
..... ^=-°>
-л
т. е. граничные условия
(6.131) на поверхности Sf
удовлетворяются лишь в
среднем.
Итак, принятый статически возможный вариант
напряжений (6.130) позволяет записать неравенство (6.124) в
виде:
90
а//т
$f*dx<P; ${**nx + d*ny)dx<P/2;
и
f aj> dx < P/2; ts (л/2 + al2h) 2a < />;
0,58 (я/2 + a/2ft) 2aas < P.
На рис. 6.12 сплошной линией показаны результаты
подсчета величины (ofy )ср/а5 = 0,58(я/2+а/2/1), которая
показывает нижнюю оценку напряжения начала
пластического течения перлита со степенью дисперсности пластиЯ
феррита, характеризуемую величиной a/h.
Основываясь на экстремальных свойствах
кинематически возможного поля скоростей, сделаем верхнюю оценку
274

среднего напряжения перехода в пластическое состояние,
опираясь на неравенство (6.127). На Sf f*=0. Так как
Р= (вуу)ср\у=нС1у следует
(Pyy)Jy=h < (1/да*) f f xs НО шу. (6.132)
о 6
Выберем кинематически возможное поле скоростей в
мягкой прослойке. Составим вариант верхней оценки,
применив в качестве кинематически возможного поля
скоростей разрывное. Для такого поля скоростей оценка (6.132)
имеет вид
(vWU < (f Iт< EOdxdy +1 т* \Av?\ dx)/av*- <6- 133>
\0 6 0
Если в кинематически возможном поле скоростей принять
vO = v*ylh, тогда ё°=?*/А; l°=—v*/h. Интегрируя
последнее получим
v? = J Е£<** + / (у); о? = - of */Л.
Произвольная функция f(y)=09 так как из-за симметрии
при х=0 vO = 0. Следовательно, £° =0. Итак,
HO = 2y*//z. (6.134)
Скачок скорости на границе с жесткой частью образца
(при y = ±h) равен
|Дир| =v*x/h. (6.135)
Если подставить^уравнение (6.134) и (6.135) в
неравенство (6.133), то
КЛр1*=*Ч< 1.15(1 +о/4Л).
Правая часть неравенства, дающая верхнюю оценку
{^y)cp\y=h/cfsj изображена на рис. 6.12. пунктирной
линией.
Результаты расчета (oyy)c^\y=hlos делают понятным,
Почему с повышением дисперсности прослоек цементита и
феррита, т. е. с уменьшением параметра Л, происходит
повышение напряжения, при котором сталь переходит в
пластическое состояние. Полученный результат не следует
абсолютизировать, так как при некоторой степени
дисперсности цементит обретает способность, так же как и
феррит, к пластической деформации и действительное значе-
18*
275

ние [oyM)wlys=h/<y.s. при больших a/h будет ниже тех
значений, которые изображены на рис. 6.12.
У п р а ж н е ни я
1. Докажите, что на действительном состоянии справедливо
равенство
и т
J" Т(г|)<*т|+ f H-(x).dx = TH.
2. Будет ли выполняться это равенство на любом виртуальном
состоянии (статически возможном для напряжения и кинематически
возможным для скоростей перемещения)? Ответ: нет, так как
виртуальные состояния (Т''и И') не согласованы между собой физическими
уравнениями.
т Т
3. Как лшжно назвать величины ТН, т«Н, J Т(ц)ёг) и [ H(x)rfx?
о о
Ответ: плотность мощности пластической деформации; то же, но для
идеально пластичного материала; последние две — некоторые величины,
имеющие размерность плотности мощности пластической деформации, по
равные ей лишь в сумме.
6.10. Принцип минимума полной мощности.
Закон наименьшего сопротивления
Вариационные принципы, рассмотренные в п. 6.6—6.9,
являются следствием принципа виртуальных скоростей и
напряжений. Они вытекают из него при рассмотрении такого
класса краевых задач: на части поверхности тела Sf
заданы поверхностные напряжения, а на оставшейся Sv(Si,U
(}Sf=S) — скорости перемещения. Кроме того, в этих
принципах течение принимается без массовых сил (рдо,=
==р£,- = о), а обрабатываемый материал — несжимаемый
[|' = |(о')=0]. Функционалы принципов получились не
смешанными: выражены либо только через кинематически
возможные скорости перемещения [см. формулы (6.78) и
(6.107)], либо только через статически возможные
напряжения [см. формулы (6.92) и (6.108)]. Оказывается, что не
смешанные функционалы могут получиться также в более
сложном случае, когда наряду с поверхностями Sf и Sv
существует поверхность скольжения Ss, на которой заданы
напряжение трения т*, как функции координат точки на
поверхности 5S
Тх = т*1 (6.136)
(где i — единичный вектор скольжения), и нормальная
составляющая скорости перемещения.
276

Рассмотрим эту краевую задачу и вариационное
уравнение (6.32) принципа виртуальных скоростей и
напряжений. Интегралы в подынтегральном выражении интеграла
по Ss существенно упростятся. Действительно,
'хС хх '%у 'хг
f vt!(f)df= f vsx(f)df+ j v,y(f)df+ j v3
о о о о
(/)<# =
fr
fdf
0 : Vf'+fL+'fl
+
x-
fdf
xy I 'TZ
4
Чу
+ j *.(/*/*)
w
Ю?, +/?„ + /»
= o,:
r 'uT* Т/и Г IXX 1 'ту,
(6Л37)
так как функция (6.136) не имеет обратной vs = vs(fv, tx): ==
=0. Затем,
St S« SI/ S3
j fxi(v)dv = J /WW*+ j' fxy(v) + yfX2(v)dv =
vdv
v2 4- v2
wsy r ^sz
yrfy
ucfo
]A4+t,2+u22
Воспользуемся выражением (6.136), а также тем, что
Варьирование осуществляется по верхним пределам
последних интегралов. Тогда
J ь <°>
dv
t-X*{V'sx^'sxlV'V2 + V^+V'sl +
+ ъ 8v' /l/V2 + Vй* + v"2 + v bv I l/V2 + v"2 + v"A =
~ sy sy l У vsx * sy n sz * sz sz f У st ' sy ' sz)
= T*
^-:*:.+-^-ep'+-^-eic.j-^w..
dyc
dvc
dvc
277

Итак,
j fxi(v)dv = %*v8.
(6.138)
Вариационное уравнение (6.32) для рассматриваемой
задачи, в которой наряду с известными условиями на
поверхностях Sf и Sv задано напряжение трения (6.136) и
нормальная составляющая скорости на SSf будет
РГ Т' "1
j'T(Yi)dr] + j H(x)dT \dV — j MclS —
.0 0 J Sy
- j /; <>; <« - j (/; v*-t*v's) ds\ = 0, (6.139)
Заметим, что функционал в фигурных скобках состоит из
слагаемых, каждое из которых зависит только от
варьируемого поля скоростей, либо только от варьируемого поля
напряжений. Варьирование скоростей осуществляется
независимо. Допустим, что в уравнении (6.139) варьирование
осуществляется только по v'., а напряжения не
варьируются, т. е. 6T'|i/ = 6/[.|sy = 6/\|ss=0 (величины, отмеченные
звездочкой, заданы и не варьируются), тогда получим
аналог уравнения (6.77), только для рассматриваемой
более сложной краевой задачи
6 (if! T^^ll^-j f*iv'idSJr jV^sj-O. (6.140)
\V Lo J Sf ss )
Если дополнительно предположить, что деформируемый
материал идеально пластичный T=ts, то получим аналог
уравнения (6.107)
effx.H'dK— yfividS+ j'x'osdS) =0. (6.141)
. (j ts H dV - f j] v't dS + f x v's dS)
\v sf ss J
Выражения в фигурных скобках уравнений (6.140) и
(6.141) являются функционалами только
деформированного состояния — поля скоростей иД Они обладают
минимумом на действительном поле скоростей (являющемся
решением задачи теории пластичности), которое выбирается
из кинематически возможных полей скростей v'v
Кинематически возможное поле скоростей в объеме V удовлетво-
278

ряет условию несжимаемости, на Sv — заданным скоростям,
а на 56 — заданной нормальной составляющей скорости;
£ЛЯ него справедливы кинематические соотношения |!. ==
^iVu + v',,t)/2.
Допустим теперь, что в уравнении (6.139) варьирование
осуществляется только по o'i/y а скорости не варьируются,
т. е. 6Н'1 v = bv\ \Sf =bv\\sa =0, а также б/! |S/ =8v! |5р и Ss =
==бт* |s = 0, тогда получим аналог уравнения (6.92)
для рассматриваемой краевой задачи
т Г J Н (т) dx 1 dK — J /,' vl dS - f Л- v* dS 1=0. (6.142)
Если дополнительно предположить, что в задаче
рассматривается идеально пластичный материал (T'=ts, 6Т' = 0),
то получим аналог уравнения (6.108)
б (— f /,' v* dS — J U v) dS) = 0. (6.143)
Содержание фигурных скобок в (6.142) и (6.143) —
функционалы, выраженные через статически возможные
напряжения. Они обладают минимумом, который
достигается на действительном поле напряжений. Статически
возможные напряжения в данном случае в объеме V
удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, на
Sf — заданным поверхностным напряжениям, на 5S —
заданным касательным напряжениям (6.136), а
поверхностные напряжения и компоненты тензора напряжений
связаны условием f[ =Оц tij. Статически возможные
напряжения в случае идеальной пластичности дополнительно
Удовлетворяют условию Т/=т5.
Покажем, что, опираясь на минимальные свойства
функционала в уравнении (6.141), можно получить и в
рассматриваемом более сложном случае верхнюю оценку
действительной силы деформации тела. Из минимального
свойства следует
(\H'dI/- ^f£V]dS+ \%vsdS> (4SIW —
v sf *s8 V
~-$f*VidS+ \v*vsdS. (6.144)
sf *Ss
279

Используя принцип виртуальных скоростей и
напряжений [см. формулу (6.121)] на действительном напряженно-
деформированном состоянии, имеем
j тв UdV — | /I vt dS — ^ ft v] dS — ^ft щ dS = 0. (6.145)
v sf s» Ss
Преобразуем в последнем интеграле выражение /<и,=
=*fvt<i+fxtv,HvtKi+f и Kt —"si) =fvitfr+/T/V«-Tl Vs-
Здесь сделано разложение каждого из векторов / и v на
нормальную и касательную к S5 составляющие;
звездочками отмечены заданные составляющие скорости
перемещения инструмента и напряжение трения. Имея* ввиду,
что f^&i'f'fvKi^f'tf (6Л45) можно написать:
j%ttdV~j f*vrdS+,\ xvsdS -J hvld$ +
у Sf 'Ss Sv
+ £/#<& (6.146)
Если Sv[}Ss—Sk составляют контактную поверхность с
инструментом, который совершает поступательное движение
со скоростью и*, то, направив одну из осей координат,
например х, вдоль этого вектора, получим
j ft'vU$ + § UvtdS = v { fxdS = vP. (6.147)
Sv V 'Sh
Итак, неравенство (6.144) с учетом формул (6.146) и
(6.147) позволяет получить верхнюю оценку
действительной силы Р, которую развивает инструмент, пластически
деформируя тело объемом V с поверхностью S=S/USi>l)Ss:
Р < / f т К dV - f ftv'i dS + [ x v's dS\ /v. (6.148)
n^udv-lfU'i
\v sf
s„
Для оценки достаточно выбрать кинематически возможное
поле скоростей и вычислить правую часть неравенства.
Сделаем нижнюю оценку силы Р для рассматриваемой
задачи. Из условия минимальности функционала в
уравнении (6.143) на действительном состоянии следует
_ f -fads - j fiv] dS > - j ./, ©J dS -^ j /, v] dS,
К Ss So St
и
Hfiv:dS+piv}dS\/v.
или
<Я. (6.U9)
[i" ' ' i" r J/
: R60

^\//////s\
¥■
'////////у/////;?//;
vi
E
У*
L
Для получения нижней оценки Р достаточно выбрать
статически возможное поле напряжений и подставить его в
левую часть неравенства (6.149).
Вариационное уравнение (6.141) и неравенство (6.148)
получили широкое применение в теории ОМД для
определения формоизменения обрабатываемого тела и силы
деформирования. Уравнение (6.141) выражает принцип
минимума полной мощности. Действительно, функционал
выражает всю мощность, затрачиваемую на пластическую
деформацию. На действительном течении полная мощность
минимальна. Если поделить фун- ^ 7 хр
кционал на заданную величину
v*-— модуль поступательной
скорости перемещения
инструмента, то можно сказать, что на
действительном состоянии
минимальна сила Р, развиваемая
инструментом при деформации.
Сила равна сопротивлению,
которое встречает инструмент при
деформации. В теории ОМД в
ранние годы ее7 развития был
высказан эвристический закон наименьшего сопротивления,
который не имел достаточно строгой аналитической
формулировки, А. Ф. Головин в 1933 г. писал: «Перемещение
частиц при пластической деформации подчиняется закону
наименьшего сопротивления», а С. И. Губкин в 1947 г.
закон формулирует так: «В случае возможности
перемещения точек деформируемого тела в различных
направлениях каждая точка,деформируемого тела перемещается в
направлении наименьшего сопротивления». Содержание
настоящего пункта, по мнению автора, дает обоснование
закону наименьшего сопротивления.
Сделаем расчет формоизменения и силы деформации
при осадке прямоугольного параллелепипеда (рис. 6,13).
Осадкой называют технологическую операцию, при
которой между сближающимися бойками с плоской
поверхностью происходит деформация тела, сопровождающаяся
Уменьшением его высоты при одновременном увеличении
длины и ширины. Пусть нижний боек неподвижен, верхний
Перемещается поступательно вниз на величину Ah
(обжатие) со скоростью у*.* Определим изменение длины и
ширины параллелепипеда, а также силу осадки Р. Предцолр-
>ким, что материал параллелепипеда идеально пластичный
T=Ts = const, на контактной поверхности с бойками р^али-
•»Ш

зуется скольжение (поверхность типа Ss) и да^о
напряжение трения T*=x|rTs, где г|) — некоторый известный и
постоянный коэффициент (коэффициент трения), is —
известный предел текучести при чистом сдвиге. Боковая
поверхность параллелепипеда — это поверхность типа Sf на
которой /* =0. Как показывает опыт, на контактной
поверхности почти всюду, кроме ее центральной зоны, реализуется
скольжение, если /i0<&o и /г0</о- Таким образом, в
примере рассмотрим осадку низкого параллелепипеда.
Для определения формоизменения воспользуемся
вариационным принципом минимума полной мощности (6.141),
который в рассматриваемом примере имеет вид
6 f f тв U dV + f t|>Te v's dS) = 0, (6.150)
и методом Ритца. Функционал в фигурных скобках
уравнения (6.150) записан для некоторого фиксированного
момента времени t и обладает минимумом, если его
подсчитать в рамках кинематически возможных полей скоростей
v'> То поле скоростей, на котором функционал имеет
минимум и удовлетворяет уравнению (6.150), является
решением задачи теории пластичности вообще и решением
примера в частности для момента времени t. В п. 6.6 был
описан алгоритм выбора кинематически возможного поля
скоростей. Две составляющие вектора скорости
перемещения vx и v'z назначаются с учетом граничных условий
в виде отрезков функциональных рядов; третью
составляющую можно найти, интегрируя условие .несжимаемости
dv'x /дх '+ dv'Jdy + dv'Jdz = 0,
v'y =— j [dvx /дх + dv'Jdz) dy + Ф (x, г), (6.151)
где произвольная функция интегрирования ф (х, г)
определяется из граничных условий или, если их нет, то
назначается в виде отрезка функционального ряда. Назначим
конечный функциональный ряд для i/ Учтем симметрию
задачи. Как видно на рис. 6.13, vx —нечетная функция ог
х и четная от у. Действительно, в точкх Л и В, абсцисса
х которых отличается только знаком, значения vx также
отличаются только знаком, что свойственно нечетной
функции; в точках же В и С, в которых отличаются знаком зна-
282

чения ординаты у, vx одинаково, как подобает четной по у
функции. Точки Л, В, С имеют одинаковое значение г.
Итак, примем
v'x = «1 ху° z + а2 Xs у z + а3 ху2 z +
+ аАху°г+ ... +amxpyrz\ (6.152)
где аь а2, а3, ..., ат — варьируемые коэффициенты.
Подходящие или координатные функции приняты в виде
последовательности степенных функций, у которых постепенно
повышаются степени с учетом симметрии задачи (нулевая
степень считается четной). Граничных условий для v'x нет.
Назначим второй конечный функциональный ряд для v'z9
имея ввиду граничные условия (при z = h v'z =—и* при z =
=0 v'z = 0) и его четность от х и у:
v'z =— vzlh + bi х° y°z(h — z) + b2 x2 y°z(h — z) +
+ b3x°y2z(h — z) + b^x у zl (h — z) +
+ ... + bnx?yuzv{h-z), (6.153)
где h — текущая высота параллелепипеда. Первое
слагаемое подобрано так, чтобы удовлетворить граничным
условиям, а все остальные части ряда снабжены множителем
z(h—z), обращающим их в нуль на границах при z = 0 и
г=й. Как следует из формулы (6.151)
Щ =— atУ — а2у6,3 — а3#—.. + v ylh — bxy(h — 2z) —
— b2x2y(h — 2z)-b:iy*(h-2z)/3—... + ф(,г, z). (6.154)
Из условия симметрии течения должно быть v' \у=0 = 0.
Это требование будет удовлетворено, если принять
произвольную функцию (р(х, г)=0, так как остальные
слагаемые в формуле (6.154) обращаются в нуль при у = 0.
Формулы (6.152) — (6.154) дают бесконечное множество
Вариантов кинематически возможных полей скоростей, так
как содержит неопределенные (варьируемые) параметры
аь а2,..., а™, Ь\у Ь2у..., Ьп. Задача состоит в том, чтобы
Найти такой их набор (конкретные числа) а°1У а°п ..., ог^,
&?,.&2, ..., Ь°п, который сообщает минимум выражению в
фигурных скобках уравнения (6.150). Эти числа, будучи
подставленными в формулы (6.152) — (6.154), дают
приближенное решение задачи теории пластичности.
Опыт решения задач по определению формоизменения и
сйлы деформации — («интегральных» характеристик де-
283

формированного и напряженного состояния) с помощью
принципа минимума полной мощности дает часто вполне
приемлемый результат (с ошибкой до 15 %) в первом или
втором приближении (один—два варьируемых параметра).
Ограничимся в примере одним варьируемым параметром
0,1=0, т. е. остальные a2 = a3 = ... = am = bl = b2 = ... = bn — 0.
Тогда кинематически возможные поля скоростей опишутся
простейшими формулами:
yv'x = ах; v'y =*:.(% —а) у; v'2=— gz, (6.155)
где l = v*/h. Выразим через эти формулы (6.155) Н' и v[y
входящие в вариационное уравнение. Знак вариаций б в
этом случае следует заменить на знак д/да частной
производной по единственному варьируемому параметру а,
входящему в формулы (6.155). Компоненты тензора скорости
деформации■£ц=К^,/+*;/,/)/? бУДУт
£*лт — 0; £^=р(£— 0); Izz — — \\ \ху = %уг == \гх= 0.
©.156)
Тогда
и' - К2 Ш'хх— lyyf + {1уу-1гг)2+ Цгг - £,Г]/3 + "
*+4{&+&,.+ l'&) =2j/ra2-flg+:6a. (6.157)
Выбранное приближенное кинематически возможное поле
скоростей (6.155) таково, что скорости сдвигов в формуле
(6.156) равны нулю, т. е. в любой момент времени прямые
урлы между гранями параллелепипеда не искажаются, во
время деформирования параллелепипед остается
прямоугольным. Последнее упрощает решение задачи. Модуль
вектора скольжения инструмента по металлу на контакте
с верхним и нижним бойками одинаков
<т=+ Vv'x+v? |*=о = 1/02 ** + (£-а) V- (6.158)
\z=h
Итак, подстановка выражений (6.157) и (6.158) в
вариационное, уравнение (6.150) дает
( h +ь +/
д/да Ц f f т,-2 Va2 — og. + I2 dxdydz +
ДО -aft ^l
>+ 2 j \l^%y a*.x* + {i-ayy* dxdy ) = 0,

или
2lbh (2а - I) JVa*-al + l*+ ф J f Wax* -
— (I —a) y2]/Va* x* + (%- afy2) dxdy = 0, (6.159)
где I, b, h — размеры параллелепипеда в момент времени t
(в исходный момент времени они соответственно равны /0,
b0l А0).
Уравнение (6.159) содержит одну неизвестную а
(предполагается, что двойной интеграл вычислен; размеры
параллелепипеда /, 6, А, коэффициент
трения if, а также l = v*fh —
известные величины) и его можно
решить численно. На рис. 6.14
приведен результат решения в виде
отношения a/g. Величина а,
определенная по графикам, будучи
подставленной в формулы (6.155) — (6.157),
описывает деформированное состо- "'"/"г з- * i/ь
яние (скорости перемещения
частиц, компоненты тензора скорости деформации,
интенсивность скорости деформации сдвига) в момент времени /.
Расчет формоизменения параллелепипеда при осадке на
конечную величину ДА может быть сделан шаговым
методом. Для этого ДА разбивают на части (шаги) так, что на
каждом из них относительная деформация ДА//А/ известна
и достаточно мала: | ДАг/А/| <0,1, где ДА/ = А/+1—А,-,
п
2 ДЛ< =—ДА. В пределах шага можно считать, что —£**/
1=0
/Ь*=я/Б«—Де**/Де«, где Аехх и Дегг — приращения
деформаций (см. гл. 2, п. 2.7). Зная исходные размеры
параллелепипеда /0, Ь0 и А0, можно определить с помощью
графиков на рис. 6.14.
Агхх = Ду/0 =— (ДА0/Л0) •/ (У&0. М>о. *).) (6 160)
Де^ = &b0/b0 =-- ДА0/Л0 — Д/0//0, J
где в правой части первого равенства содержится известная
функция a/l=f(l/b, h/b, \|>) при Z = /0 b = b0 и Л=Л0.
Затем подсчитывают абсолютную деформацию Д/0 и Д&о, а так-
^Ке размеры параллелепипеда к началу следующего шага
*ь Ь{ и h\. Аналогично определяют Д/i/Zi =—(AAi/Ai)X
\l{h/b\, h\/bu \|з) и т. д., решая в итоге задачу расчета
формоизменения параллелепипеда.
285

^>
Определим силу деформации при осадке
параллелепипеда. В рассматриваемом случае с учетом неравенства (6.148)
действительная сила осадки
h +ь +/
f J f T$2V a*-at + l* dxdydz +
6 — b'—l
+b +/ ~| /
+ 2j f цху a*x* + (l-afy* dxdyUv*,
~b+l J/
или
+Ь +/ _
P<[8Ka2 — al + l* lbh + 2^ \ f Va2x* + (% — а2)у2 X
X dxdy] xjv*.
Правая часть неравенства дает верхнюю оценку
действительной силы деформации в момент времени t. Входящие в
нее величины известны из условия задачи (xs, 'ф, 0*, Л, £ =
= v*/h) или найдены в результате расчета формоизменения
(/,&,а).
Упражнения
1. Запишите верхнюю оценку силы Р (6.148) для случая, когда по
поверхности 5/ действует гидростатическое давление р жидкости, в
которой осуществляется деформирование тела. Ответ:
Р <: (\ ts Я dV +р \ v'vdS+\ т* vs dS)/v\
Vv sf " 's8
2. Нельзя ли сделать верхнюю и нижнюю оценки, если инструмент
совершает не поступательное, а вращательное движение в случае
прокатки в гладких валках? Ответ: можно, в общем случае для
идеально пластичного материала будет иметь оценку мощность деформации, а
при прокатке — момент прокатки, приложенный к валкам.
3. Можно ли сказать, что в случае упрочняющегося материала
вариационное уравнение (6.140) выражает условие минимума полной
мощности? Ответ: нет нельзя, так как первый интеграл не равен
мощности пластической деформации и поэтому в целом содержание
фигурной скобки не равно полной мощности, затрачиваемой на
преодоление внутренних и внешних сопротивлений.
6.11. Разрывные решения для общей краевой задачи
идеальной пластичности
В п. 6.8 было показано, что решение краевых задач теории
пластичности можно выполнить в разрывных функциях. На
разрывы поля напряжений и поля скоростей перемещений
накладываются некоторые ограничения. Так, разрывы поля
скоростей возможны только для идеально пластичного ма-
286

териала; для несжимаемого материала недопустимы
разрывы нормальной к поверхности разрыва составляющей
скорости перемещения и т. п. В случае разрывных решений
может менять свою форму функционал. Правда, в п. 6.7
разрывные решения были показаны для упрощенных
краевых задач: течение предполагалось достаточно медленным
без массовых сил, а материал — несжимаемым.
Рассмотрим еще раз разрывы поля скоростей, но без указанных
упрощений.
Вариационное уравнение принципа виртуальных
скоростей и напряжений в общем случае [уравнение (6.32)] для
момента времени t записывается в виде
б J f J Т (л) dr\ + f Н (т) dx + С о (a) da +
Yv Lo о о
э/
jfiVidS-$
к
ftvt- \vhi{I)df- \h(v)dv
о 0
dS =0.
Пусть деформируемый материал идеально пластичный,
точнее, Т не зависит от Н и нет обратной функции Н =
= Н(Т). Кроме того, пусть а не зависит от £ и нет
обратной функции £=£(а). Т и а могут зависеть от истории
развития деформации во времени, например, в соответствии с
упрочнением металла от накопленной деформации. Все это
свойственно холодной пластической деформации.
Вариационное уравнение принципа виртуальных скоростей и
напряжений в этом случае приобретает вид
б
J [ТН + о% + р (wt - gt) v'i] dV—lft vt dS -
_j/;^ds-f
fit- [vBi{f)df- [Ui{v)dv
dS - 0.
(6.161)
Здесь T и а не варьируются; их значение определено
историей развития деформации во времени. Это накладывает
Дополнительные ограничения на виртуальные напряжения
287

ortj: они должны быть такими, чтобы наряду с
-ограничениями, свойственными виртуальному состоянию, выполнялись
условия ТГ=Т и о'=о. Используем разрывные решения
вариационного уравнения (6.161). Оказывается, что функцио-
нал / в выражении (6.161) претерпит в этом случае изме-
нения.
Пусть на поверхности Si в объеме V имеет место
сильный разрыв поля скорости перемещения частиц. Для
сжимаемого материала разрыв допустим как в касательном к
St; так и нормальном направлениях. Производные по
направлению нормали к поверхности Si от составляющих
скорости перемещения обратятся в бесконечность. Однако, как
увидим ниже, функционал в уравнении (6.161) будет
существовать, т. е. он будет иметь конечное значение, и
сохранится возможность получать решение задач теории
пластичности. Поверхность разрыва Si представим как предельное
состояние слоя толщиной An, который окружает
поверхность и который обращается в эту поверхность при Дя->0.
Рассмотрим указанный слой, пусть скорость перемещения
теперь непрерывна, по толщине An меняется резко и
линейно. Из функционала / выражения (6.161) выделим часть
объемного интеграла, относящегося к слою:
[[ТК +о%' + p(wi-gi)v'i]AndS. (6.162)
'si
Вычислим предельное значение подынтегрального
выражения (6.162), устремив Ап-+0. Для этого на Si разместим
локальную ортогональную систему координат Iran,
направив п по нормали к St, а I вдоль разрыва скорости в
касательной к 5/ плоскости. Как следует из формулы (.2.59.)
Н = V[{dv'ildl — dv'jdmf + {dv'jdtn — dv'n Idnf +
~Ч [dv'n /dn—dv't/dl)2] 2/3 + [dv\ldm + dv'jdl)2 +*
+ [dvjdn + dv'n I dm)1 + [dvn Idl + dv\ldnf ,
все производные в ней ограничены при Д/г->0, кроме dv'l
/dn = lim (Av' /Ап)-*-оо, dv' /dn = l\m (Ди)/Дп)-^оо, где
Дгс->0 Дя->0 l
Av'n , Av't —разрывы, или «скачки», составляющих
вектора скорости перемещения на поверхности Si, причем
Av'm = 0, так как направление оси / выбрано вдоль разрыва
288

скорости перемещения и поэтому ее составляющая v'm
непрерывна. Следовательно,
(6.163)
lim (ТУГ An) = Т ]/ Av'n2 4/3 + Av'* ■
lim (olf An) = lim \o (dvn Idn + dv'ldtn +
+ dv'Jdl} An] = lim [o [At/ + (dv'm/dm") An +
+ {dv'Jdl)bn]) =oAv'ny
(6.165)
(6.164)
так как производные в круглых скобках последней строчки
ограничены. Подсчитаем lim [p{Wi—gi)v',An]. В соот-
ветствии с формулами (2.65) имеем
wl = dv\ldt + (dv'Jdl) v\ + {dv\ldtn} vm +
+ (dv'/dn)v'n;
®m = dvjdt + (dv'Jdl) v\ + (dvjdm)v'm +
+ (dv'm/dn)v'n;
wn = dvn Idi + (dvn Idl) v\ + \dvn I dm) vm +
+ (dv'Jdn) vn .
Здесь все величины, стоящие в правой части формул (6.165),
ограниченные, кроме dv'Jdn и dv'Jdn. Поэтому
limi [р (ш. -g.) vt An]** lim (p [(w, - gt) v\ +
= lim j p [(Ди^/ДЛ) v'n v\ An -f {Av'n I An j t/ t/ Щ } =
= p (Av. vn v\ + Av\ v'n v'n ), (6.166)
где v't и v'n — средняя скорость перемещения в
соответствующем направлении по толщине слоя или ее среднее
арифметическое значение по обе стороны поверхности S/ в
некоторой точке.
В результате выделения в объеме V около поверхности
5< слоя толщиной An уравнение (6.161) будет иметь вид
6| j [Т1Г + at + p*[w( - Si) v\] dV + j [TH' + o? +
+ 9{wi — gi)vt] &ndS— .
19-382
= 0.
Ш

где V~\J(AndS=V. Если осуществить предельный переход
при Дд->0, то V~--+V, а интеграл по 5/ приобретет
выражение в соответствии с формулами (6.163), (6.164) и
(6.166). Вариационное уравнение (6.161) принципа
виртуальных скоростей и напряжений для идеально пластичного
материала и общей краевой задачи в случае применения
4»tда<,
%
z —
vtgct
разрывных функций, описывающих виртуальное поле
скорости перемещения частиц, запишется в виде
б(у + j [т Vton 4/3 + Av? + oAv'n +
+ P[(Av]vn)v[ + (Av<nvn)v'n]d.s\=0,
(6.167)
где / — значение функционала из уравнения (6.161):
Пример. Определим силу и формоизменение тела при
его ударе о жесткую преграду. Тело имеет в исходном
состоянии прямоугольную форму (рис. 6.15, а), его размер h
в направлении оси z велик. Перед встречей с преградой оно
двигалось со скоростью v0. Материал тела несжимаемый
(1/ = 0) и идеально пластичный, не имеющий ни
скоростного, ни деформационного упрочнения (Т=т8) преграда
идеально гладкая. Вариационное уравнение (6.161) в
некоторый фиксированный момент времени в рассматриваемом
случае примет вид
б[
J(TfH' + pa;^;)dK]=0.
Здесь учтено, что распределенная массовая сила pgi (в
данном случае сила притяжения к земле) мала и ею можно
пренебречь. Вся поверхность тела, кроме контакта с
преградой, Sf, на которой /* =0. Поверхности типа Sv нет;
поверхность контакта с преградой (неподвижной) — это
поверхность типа Ss, которая идеально гладкая, поэтому послед-
290

0.
них двух интегралов в уравнении (6.161) нет; кроме того
v] =0 (преграда играет роль покоящегося инструмента).
Решение примера сделаем разрывным. Для
разрывного поля скоростей перемещений функционал, стоящий в
квадратной скобке последнего уравнения, как следует из
(6.167), будет иметь добавку и уравнение приобретет вид
бГ j(Tj н' + gwtv\) av + f (ts | дУ; i + Рд*;v\ vn) ds'
I v s}
(6.168)
Функционал принципа в данном случае зависит лишь от
поля скоростей перемещений. Примем предположение о
плоском деформированном состоянии. Представим поле
виртуальных скоростей перемещения частиц в момент времени t
таким (рис. 6.15, б):
v'2x=~v; v2y = 0; \ (6.169)
Индексы 1—3 относятся к отдельным частям тела в
соответствии с рис. 6.15, на котором тело изображено в начале
удара (а) и в некоторый произвольный момент времени t
в течение удара (б). Как следует из формул (6.169), части
/—3 движутся так, что скорости деформации в пределах
их протяженности £-,• = (v'( j+v',- f)/2 = 0. Следовательно,
класс рассматриваемых полей скоростей таков, что Н/ = 0
VAleV. Вся пластическая деформация (скорость)
сосредоточена на границе „частей /—3 тела. Поскольку материал
несжимаем, то на указанной линии разрыва скоростей
должна быть непрерывна нормальная составляющая скорости
перемещения. Проверим это условие. Действительно,
v\„ = v\„ cos а = v tg a cos а = v sin a- )
\n ly * '. (6.170)
v2n =— v2x sin a = v sin a. j
Средняя скорость перемещения по нормали к поверхности
разрыва скоростей в соответствии с уравнениями (6.170)
V'n ==V\n=:V2n = VS'ma' (6.171)
Аналогичное положение будет на границе частей 2 и 3.
Подсчитаем скорости перемещения вдоль линии разрыва: v'xl =
= otga sina; v'2l =—ycosa. Следовательно, среднее значе-
19*
291

ние на соответствующих линиях разрыва скоростей и
скачок следующие:
v, = v (sin2 а — cos2 а)/2 cos а; 1
', (6.172)
Ду^ = vloos а. I
Аналогичное положение на границе частей 2 и 3:
v,=— v (sin2 а — cos2 а)/2 cos а; )
1 (6.173)
Av'; =— а/cosa. J
Итак, выбрано одно из простейших разрывных полей
скоростей перемещений. Оно содержит одну варьируемую
величину: a — угол, определяющий в момент времени t
границу частей тела, на которой скорость терпит разрыв.
Составляющие ускорений:
Щх = dv'Jdt + {dvu/dx) v\x + {fo'Jdy) %;
wiy = dv'Jdt + idv'Jdx) v'i* + [д%1дУ) V
™2x = dV:2x/dt + {dV2X/dX) V2X + {M^fdy) V2y-
Щ = d%/dt + {Щу/рХ) °2Х + {д%,Щ%у-,
«>3* = dV'*Xldt + {dVSX/dX) V*X + [ЩхМ ^
Щ = d%ldt + [d%ldX) VSX + {dV3yldy) %>
с учетом формул (6.169) имеют вид
wlx = 0; wiy = v tg a -f ca/cos2 a;
Щх = ^ ^зу =— a tg a — эдх/cos2 a.
(6.174)
Подставим полученные выражения (6.169) — (6.174) в
вариационное уравнение (6.168). Учитывая, что
варьирование теперь осуществляется по а, имеем
д/да {р (v tg а + aa/cos2 а) у tg a2Sj + pvvS2 +
+ (ts у/cos a) 2L + p (u/cos a)[v (sin2 a — cos2 a)/
/2 cos ale; sin a2L\ = 0, (6.175)
где «Si — площадь, занимаемая на рис. 6.15, б частью
тела /; S2 — то же для части 2 (кстати, 25iU52=b0/o); 2L —
длина линии разрыва, разграничивающая части 2 одной
стороны, и 1,3 — с другой. Если осуществить в уравнении
:292

(6.175) дифференцирование по а, то получится громоздкое
дифференциальное уравнение, приведенное лишь условно
f{vy vy a, a, SVL) = 0.
(6.176)
Ha этом вариационная часть решения закончена.
Продолжим решение, так как рассматриваемая задача имеет
практическое значение. &
Прокатываемый металл,
например, на
современных станах
перемещается вдоль своей оси с
большой скоростью. Его
остановка обусловливается ударом о преграду. Какова сила
удара? Будет ли в результате существенно искажаться
форма полосы?
Составим уравнения движения для отдельных частей
рассматриваемого в примере тела (рис. 6.16)
рЬ — TsLcosa,-—oL sin а = 0;
oL cos a — xsL sin a = p5x [o tg a + va/cos2 a);
2aL sin a + 2xs L cos a =— p (b010 — 2SL) v.
(6.177)
Здесь два первых уравнения относятся к части 1, третье —
одно из уравнений для части 2, второе уравнение для
части 2 из-за симметрии обращается в тождество. Уравнения
для части 3 совпадают с уравнениями для части /ив
систему (6.177) не включены. Направление напряжений на
рис. 6.16 было аыбрано произвольно. Если сг получится в
результате решения положительным, то это будет означать,
что направление для а выбрано верно. Напряжения на
линии L приняты постоянными.
Системы (6.176) и (6.177), включающие четыре
дифференциальных и конечных уравнений, могут быть решены
Шаговым методом. Положим при /=0 а = ао=я/4. Тогда
2Si = 6^, S2 = Wo—b*. Имея в виду, что при t=0 v = vQ,
систему решим относительно a, v, р и а. Выберем достаточно
малый шаг времени Д/. Тогда в момент времени tA = At
(Xi = ao+aA^ vi = v0-{-vAt. К моменту времени t\
сформируется уже деформиррванный контур тела (см. рис. 6.17) за
счет того, что часть 2 тела сместится влево на v0At, а части
1 и 3—по вертикали на votga0At каждая. Проведя из точки
О линию разрыва под углом аи найдем Lu а также новое
293

значение Su S2. Вновь решим систему (6.176) и (6^177)
относительно a, v, р и а. Тогда к моменту времени *2 = 2Д/
имеем a2 = ai+aA*, 02 = 0i + t;A*. Сформируется новый кон.
тур тела и т. д. Решение продолжается до тех пор, пока не
выполнится условие vn = 0, т. е. пока тело не остановится.
В результате решения можно определить форму тела, про-
должительность и силу удара.
Пример конкретной численной реализации приведен на рис. 6.18
при следующих исходных данных: Уо = 700 м/с; /о = 0,1 м; Ь0 = 0,01 м;
t=0
Р-Ю^кг/м
Л
Л
|
Л
А
Л
tr=At
t2=2Af
V
&
tj-Ш
0,25 0,50 0,75 7,OOt-70?C
h=\ м; ts = 5 МПа; p= 11,3-103 кг-с2/м4; A/=10"5 с. Удар продолжался
0,125-lb-3 с. Сила удара при * = 0 составила 5,8-107 кг/м, максимальное
ее значение 9,9-107 кг/м. Решение задач в малом приближении не
снимает вопроса точности расчета
и необходимости
экспериментальной проверки полученного
результата- или сравнения его
с таким же решением,
полученным другим методом. Для
тех же условий, что и в нашем
примере по В. Н. Ионову и
П. Ы. Огибалову удалось
сделать расчет силы. Сила удара
при / = 0 P=pbQh и его
продолжительность оказались
соответственно 5,5*107 кг/м и
0,143-Ю-3 с. Модели, положенные в основу расчетов, вероятно,
правдоподобны, так как результаты оказались близкими.
Упражнение
Самостоятельно проведите рассуждения для подобной задачи, но
в отличие от рассмотренного примера пусть тело будет абсолютно
жестким (не деформирующимся), а преграда — идеальной пластичной.
Решение пусть будет разрьпзным, схему течения можно принять в
соответствии с рис. 6?19 (изображены половина тела и преграды), а поле ско-
ттжш
294

ростей таким: Vix=r-— v\ vly = 0; v<2x = 0; v2y = vtga) v3x = v tg a tg (3;
v3y=0. Исходные данные для численной реализации те же, что и в
предыдущем примере. Ответ: продолжительность удара 0,145-Ю-3 с;
глубина внедрения тела в преграду 0,013 м; ударная сила при / = 0
5,8-Ю7 кг/м
6.12. Принцип виртуальных скоростей и напряжений
для идеального несжимаемого материала
и «сухого» трения
Несколько предыдущих параграфов было посвящено вариационным и
экстремальным методам решения краевых задач для идеально
пластичного несжимаемого материала. В одном случае, к тому же, был
использован закон трения, в котором напряжение трения не зависело от
скольжения (такое трение называют сухим). В указанных случаях исходили
из вариационного уравнения принципа виртуальных скоростей и
напряжений. Однако вариационный принцип был сформулирован для случая,
в котором материал не обладал свойством идеальной пластичности (он
упрочнялся) и был сжимаемым, а напряжение трения зависело от
скольжения. Поэтому в настоящем пункте будет дано строгое
обоснование применению принципа для идеально пластичного несжимаемого
материала и сухого трения об инструмент.
Вариационное уравнение рассматриваемого принципа виртуальных
скоростей и напряжений эквивалентно следующей краевой задаче:
требуется найти в фиксированный и произвольный момент времени t поле
напряжений оц и поле скоростей перемещения частиц vi в теле
объемом V, ограниченным поверхностью S. Ход рассуждений будет тем же,
какой был использован в п. 6.1—6.3.
Краевая задача сводится к интегрированию системы уравнений
(6.7), которая в рассматриваемом случае имеет вид
mij/2Ts = (vij + vjJ)/2;
(2тв Ь//Н + оби) J + Р (Si - Щ) = 0,
при граничных условиях
mSf ft = ft; v. (6.179)
на Sv vl = v*; (6.180)
HaSs vvi = v'vi;7T = fx (/v)7. (6.181)
В n. 6.1 для любого виртуального состояния, обозначенного Оц >
fit vt и \ц была показана справедливость тождества
I [ay itl +P{w. -g.)t/.] dV - f Г, v't dS -1 /; v' dS -
-I. (44,+/>;(>s-o.
Такое же тождество справедливо для действительного состояния ац,
fi, Vi и £,j, являющегося решением системы (6.178). Вычитая его из
предыдущего выражения и считая вариации 6ац~оС1-—оц, dfi=fi—U>
(6.178)
295

GviSSVi—vi и 6£ij = E/y —E*i бесконечно малыми, получаем уравнение в
вариациях
{ V>u % + iy 6с« + р («"i - *ч) *Vldv - [ £ бу* <*5 ~
- Г в/, v) dS - 1 (e/v, <• + /Ti 4,- + 6fxi vri) dS ш 0.
v s
(6.182)
Наложим на виртуальные состояния, определенные равенствами
(6.16), (6.13) — (6.20), дополнительные ограничения. Пусть в объеме V
деформируемого тела напряжения а у удовлетворяют еще условию
пластичности Т'«т. <г-^/**//2' ^=^-а\-, а
^Д//3)'скорости перемещения частиц v£ — условию несжимаемости vit—0 (или
|' = 0, где 1' = 1'£16ц9 б|/=К,/+»/^)/2), а на поверхности Ss о'ц и
i/~ условию трения txs=fx(fv) *', где *'—fs/| ^ |- в этом случае
выражение (6.182) приобретает иной вид. Учитывая, что
% 8hj = °и &у + аб» = (2Тео/н) 6еУ = *. 6Н;
t.. 6а.. = et) 6stj + Iba = (Hs,/2T) &у = HST = Нбт, = 0;
Ui Ч; + bfn vxi = б (fxi vxi) = 6 [^xi K* - ^ )] •
a также вынося знак вариации, получим'
б Я [ts к + р (», - g.) »j] dv -1 />; ds - f /; „; ds -
-l{fWi-f>'s)ds} = °- (6.183)
Покажем эквивалентность вариационного уравнения (6.183)
рассматриваемой краевой задаче (6.178) — (6.181). Для этого выведем
формулы типа уравнений Эйлера из вариационного уравнения (6.183).
На варьируемые функции наложены в объеме V некоторые условия
(поле виртуальных скоростей перемещения частиц удовлетворяет
условию несжимаемости и/д=0, а поле виртуальных напряжений —
дифференциальным уравнениям движения a^y + pfgi—до*) =0 и условию
пластичности у SfjSfj/2 — т =0). Поэтому введем множители Лагранжа
h (i=xt */, 2), Х4, А*. Ограничения на вариации на поверхности S будут
учтены позже. Вариационная задача (6.183) свелась к задаче на
безусловный экстремум в
6 < J К Н + р (wt - gt) v\ + \t [о],-,; + p (*, - wt)} +
+-Mu+MT'-'*)} dv-l^vids-l />;
dS
1 Варьируемые функции отмечены штрихами.
296

-i{f'lv;-^vs)ds>^o.
Вариации в объеме V уже не связаны между собой условиями, т. е.
варьирование безусловное. Далее будет
J [ts 6Н' + р (w( -£.) 6vl + Я, ва;л/ + Х4 Ьо\л + Х5 6Т] JK -
S1 Sv Ss
(6.184)
Можно показать, что
tf вН' = (2т, е\, Л^/Н*),, - (2xs ву/н'),,- 8v't; (6.185)
*< Ч./ = К *%)./- if w+х/ л)/21 Ч-; <6 •186)
h Ц.<= (ЧЦ)./ -Ч; &V- <6-187J
Х5 6Т = Хь s'{/ 6ay/2T'. (6.188)
Подставим эти выражения в уравнение (6.184) и применим к части
объемного интеграла формулу Гаусса—Остроградского
- I I [(Л, e'ti/H' + Х4 б..),/+ р (*4 - ш.) j б,; +
+ [(V/ + \\.-)/2 - Ч 4-/2Т'] Ц,) «/V +
+ J [(2ts4/H? + \- 6Ц) я, 8»; + \. б/;] dS - ... = 0. (6.189)
Здесь записана лишь часть уравнения (6.184), соответствующая
объемному интегралу. Учтем ограничения для 6у£- и 6/t- на поверхности 5
из-за граничных условий: 6vi =0 на Sv; б/' = 0 на 5/; 6v Vt = 0, а б/т,
6i>3 и 6/v связаны^ условием трения на 5в. После группировки
уравнение (6.189) приобретает вид
-[ {[{**,'»№'+ \*tjh +H§i -»,)] Ц +
+'[(Ч/ + V.-V2 - \ Sy/2T'] Цу} dV + f [/, (|0 - f\] б,; dS +
+ J (*« -»;) б/; ds+j {(%; - v]) б/;.+(„;_*,) e/;+
+ [/*,-/,(£') ]6i>;)dS = 0. (6.190)
Преобразования аналогичны выражению (6.42), но с учетом, что
виртуальное касательное йаиряжение трения коллинеарно виртуальному
скольжению инструмента по обрабатываемому металлу. В уравнении
(6.190) все вариации произвольны и независимы, поэтому по основной
лемме вариационного исчисления можно написать уравнения
297

v м е v /
, • , - N (6.191)
(2V,7/H+My),/ + Pfc-^=0,J
v м esf
ft(0 = U (6.192)
VM6S0
K, = vt; (6.193)
V M£SS
K = »l*.t = K' f\ = fAl')- (6194)
Нетрудно убедиться, что Ki = vu Я.4=(т> Я5=Н. Таким образом,
решение системы дифференциальных уравнений (6.178) при граничных
условиях (6.179) — (6.181) можно заменить эквивалентной задачей
исследования на экстремум некоторого функционала в соответствии с
вариационным уравнением (6.183). Следовательно, применение вариационного
принципа виртуальных скоростей и напряжений для идеально
пластичного несжимаемого материала и сухого трения, сделанное в
предыдущих параграфах имеет достаточное обоснование.
Рассмотрим вопрос о типе экстремума функционала и
единственности решения с помощью соответствующего вариационного принципа
в случае идеально пластичного несжимаемого материала и сухого
трения. Покажем, что функционал в фигурной скобке уравнения (6.183)
имеет при действительном состоянии относительный минимум. При
некотором виртуалыюм состоянии, мало отличающемся от
действительного, функционал имеет значение
^ = f[xeHf+P(»|-^W]dV-J f]vtdS-
v Sf
4 MdS-S\M-M)dS.
s„ s
V s
Вычтем из него значение функционала, подсчитанное при
действительном состоянии:
/ - J = f [xs (Н' - Н) + р («в, - gi)(v] - v,)] dV -
-f W-*t)*s-$ ft-/,)*;«-J [(/;-/,к-
Sf Sv Ss
-{f>'s-frvs)]dS. (6.195)
Убедимся, что J'—/>0.
Интеграл no Ss в последнем выражении представим следующим
образом:
Г [(4 - Ц <с + f'xl 4— fxt *,/] dS = J [{f'vi - fvi) vvi +
Ss Ss
+ f'xi v'xi - fxi vxl + fvt (»if - vvi) + hi v'xi~ hi v'xt ] dS =
298

= \ [(4 - fvt) »W + [t'xt - txt) v'%l + fvi (vvi - vvi) +
S3
+ы (4 - *,/)] ^=r [(/; - /,) v\+/,. (»; -0/)] ds.
Ss
Здесь учтено, что fiVt=fvi vvi +fxi vu; vTi =v*xi —vsi; v'vi =vvi=vvi на
Ss. Если подставить новое значение интеграла по S3 в уравнение (6.195),
а также вычесть из него значение
J {f't-ft)»\dS+l Цо,-«,()<й=0
/ и
(это достаточно очевидно, так как на Sf /,• =A = /i> а на 5V Uj- = Ut = wt-)»
то получим
у' -J=J К(н' - я> + р к - *i) К: - р<)]dK -
- j' /< ft - «,) dS - f /, ft - vt) dS - J /, ft - v.) dS -
sf Sv ss
- [ (/'/ - //) < dS - j" ft - ft) v\ dS = J [ts (H' - H ) +
So SS V
+ p к - §d ft - °t)\dv - J/i ft - u<)d5 -
-Wi-h)v'idS- (6Л96>
s
Применим к последним поверхностным интегралам формулу
Гаусса—Остроградского имеем
j7t. ft -.,) ds.=j- К- ft - „,)] ^=/к,,. ft -,,.) +
+ °ц ft./ - vi.f)] & = I[P К -**)ft ~ »<) + °ci ft/ - lii)]&V.
Аналогично, имея в виду o,yty —o*tj,j = 0, так как ускорение и массовые
силы не варьируются, получим
l[f\-ft)v\ dS = I [о'ц-о^^Чу.
s V
С учетом последних выкладок уравнение (6.196) можно представить
в виде
У - J = f xs (н' - Н) dV -1 atJ ft,- - У «V -
299

Для проведения дальнейших рассуждений изменим^ обозначения
IV, Ь,ц и Gjj. В общем случае виртуальное деформированное состояние
Н', £,-,• и виртуальное напряженное состояние Оц не согласованы
между собой, они варьируются независимо почти во всем объеме тела.
Согласование произойдет при достижении виртуальными состояниями
решения задачи, при этом они будут согласованы физическими
уравнениями связи В дальнейшем Н/=Н<^, ^ц =gQ$ a'.j = а*. Виртуальное
состояние, отмеченное светлым кружком, называется кинематически
возможным, а отмеченное темным кружком — статически возможным.
В связи с отмеченным должно быть понятно, что
$ К - Ы = # ($ - %) = (н° #*.)( «fr - «<,};
Здесь учтено, что на действительном и виртуальном состояниях
выполняется условие несжимаемости. Компоненты девиатора напряжений
s9. подсчитаны по кинематически возможному состоянию (S^/V=s*).
Итак, уравнение (6.196) имеет вид
,-j\vi*Vmv4
Viuiii
Ы
V
-7р sv{sn-su)\dv<
Согласно неравенству Коши—Шварца—Буняковского первое слагаемое
в квадратной скобке положительно. Полагая малое отличие
виртуального состояния от действительного, положительно также и второе
слагаемое. Действительно,
% ( Ч - $) = ( »и + «#)[ *Ц - ( s«7 + Mf)] ж
«- s„ &JJ= s.. (s(/ - *•) = sw sw - s.. s« ^ 2т* -
-Л7 4f ~ V~№ ^ 5«7 s* - s,7 s* > °-
Таким образом, действительное напряженно-деформированное
состояние сообщает функционалу принципа виртуальных скоростей и
напряжений в случае идеально пластичного несжимаемого материала и
сухого трения относительный минимум.
У п ражнения
1. Докажите, что на действительном напряженно-деформированном
состоянии функционал
/ = f If, Н-+ р (ш. -g.) vt] dV - f /* v( dS -
v Sf
- f fividS-\ ( /, v] - fx vs) dS = 0. (0.197)
300

Указание: соберите интегралы по Sf, Sv, Ss в общий интеграл по
S=Sf\jSv{jSs; преобразуйте его в объемный; учтите дифференциальные
уравнения движения и условие симметрии тензора напряжений;
используйте физические уравнения связи, включая условия несжимаемости
и идеальной пластичности, и подставьте результат вместо
поверхностных интегралов.
2. Докажите, что вариационное решение описанной в данном
параграфе задачи не единственно. Указание: сделайте предположение
о существовании двух решений; запишите для обоих решений
выражения (6.197) и вычтите одно из другого; проведите такие же
преобразования, какие были сделаны с выражением (6.195).
6.13. Напряженное и деформированное состояние
при осадке параллелепипеда
Подобная задача рассмотрена в п. 6.10. Она
иллюстрировала применение принципа минимума полной мощности.
Осадка — распространенная операция свободной ковки
на молотах и прессах. Она может быть завершающей
операцией, например, при изготовлении так называемых штам-
повых кубиков — заготовок для изготовления строганием,
фрезерованием штампового инструмента (бойков). При
проектировании технологии инженер должен уметь
рассчитывать изменение размеров поковки, силу деформации,
прогнозировать формирование макроструктуры с целью
придания металлу определенных механических свойств
(твердости, ударной вязкости и т. д.). Для решения этих
вопросов надо уметь рассчитывать распределение
напряжений и деформаций в объеме обрабатываемого тела. Осадка
параллелепипеда характеризуется наиболее простыми
формами поковки и инструмента, а также простым законом его
движения. В тсь же время, ей свойственно — трехмерное
течение материала.
Приведем расчет напряженного и деформированного
состояния при осадке параллелепипеда. Как и в п. 6.10, будем
считать, течение достаточно медленным, без массовых сил
lp(wi—g,)=0]. Параллелепипед выбран низким, поэтому,
как показывает опыт, на контакте с инструментом (см. рис.
6.13) превалирует зона скольжения Ss, зона Sv,
примыкающая к центру верхнего и нижнего оснований, практически
отсутствует (Sv=0). Боковая поверхность
параллелепипеда типа Sfl на ней /*=0. Материал параллелепипеда
несжимаемый, однако для большей общности будем считать
его упрочняющимся *в соответствии с уравнением (см. рис.
3.3,6).
Т = тв + рН (Н>0). (6.198)
k>i

где ts и р известные из опыта величины. Обратная функция
имеет вид
Н = (Т-т8)/р (Т>т8). (6.199)
Следует отметить, что область определения в выражении
(6.199) для Т (эта величина по определению больше нуля)
начинается с ts и выше, так как Н по определению (см.
гл. 2, п. 2.5) не отрицательная величина. Пусть закон
трения выражается также простейшей формулой и описывает
сухое трение
/х = /„+(*/* (6-20°)
где fo и \х — известные величины (эмпирические коэффици-
циенты); /т и fv— модули векторов, касательного и
нормального напряжений на Ss.
Вариационное уравнение принципа виртуальных
скоростей и напряжений (6.32), записанное для медленного
течения без массовых сил несжимаемого материала при сухом
трении об инструмент, имеет вид
6il [I T(Tl)dn + I Н (T)dT I dV ~ f №v*~ № Ц= °-
lv L.o о J ss j
(6.201)
Отличие от уравнения (6.139) состоит в том, что
напряжение трения здесь принято в более общем виде [см.
уравнение (6.200)], связывающем его с нормальным напряжением,
а не в виде некоторой заданной функции /т=т* координат
точки на поверхности Ss. В отличие от примера,
рассмотренного в п. 6.10, здесь невозможно отделььо определить
деформированное состояние (поле скоростей перемещения
частиц) или поле напряжений. Действительно, варьируя,
например, только поле скорости, как это было в п. 6.10, из
формулы (6.201) получим уравнение
T(T|)dTi \dV + j/xMSi = 0,
( Гн'
w 1_о
которое в отличие от аналогичного уравнения (6.140), не
может быть однозначно решено относительно поля Vi, так
как в функционал, стоящий в фигурных скобках, входит
неизвестное напряжение /'х на SSt выражающееся через а'п-
в объеме V, включая поверхность 5. Общие задачи,
требующие определения полей скорости перемещения частиц и
напряжений, дающих решение всех уравнений теории пластич-
302

ности, следует решать с помощью уравнений типа (6.201),
выражающих вариационный принцип виртуальных
скоростей и напряжений и позволяющих совместно определять
Vi и Оц.
Для решения задачи расчета полей скоростей и
напряжений при осадке параллелепипеда используем уравнение
(6.201). Назначим виртуальное состояние; примем поле
скоростей таким же как в п. 6.10:
vx = ах х\ Vy = (l — aj у\ vz =— &z, (6-202)
где l = v*/h. Тогда
Е* =2Уа1-а1Ъ + ? ; v\ = Vа\х2 + (l-atfy2 .
(6.203)
Отметим, что для виртуального поля скоростей скорости
сдвигов 2^=2^=2^ =0. Прямые углы
параллелепипеда в рассмотренном приближении не искажаются, во
время деформирования параллелепипед остается
прямоугольным, это несколько упрощает учет граничных условий на
его боковой поверхности по напряжениям, так как на Sf при
#=+/ п*=±\\ ny = nz = 0\ при y = ±b ny=±l, а
nx = nz = 0.
Выберем виртуальное поле напряжений. Оно должно
удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия
в объеме
дохХ/дх + доХу1ду + doxzldz = 0;
до'ух/дх + до'уу/ду + до'у2/дг = 0;
doZx/dx -f до£у1ду + dozz[dz = 0,
граничным условиям на 5/ aj. я/ = 0,
При X = ± / Охх = Оух = ®гх = 0,
а при у = ± b Оху = Оуу =--огу = 0
и условию трения на Ss
/i = (/o+^v)o>;.
Из-за линейности условий (6.204) и (6.205) их
удовлетворить просто, несколько сложней с удовлетворением условия
трения (6.206). Трудности возрастают если /т =/х (/v) —
нелинейная функция.
В рассматриваемом случае можно назначить в виде от-
или
(6.201)
(6.205)
(6.206)
зоз

резков рядов три составляющие для касательных
напряжений о' , о . о'гХ1 удовлетворяя соответствующим гранич-
ным условиям (6.205) и условию коллинеарности векторов
/т и vs на Ss (при г=0 и z = h); проинтегрировать три
уравнения равновесия (6.204), исключая две произвольные
функции интегрирования из граничных условий для о'хх и
о' в (6.205), а третью, используя условие трения /v =
= (N~M/ii.
Назначим а'гг в виде отрезка ряда на контактных по*
верхностях при z = 0 и г=А. Рассуждения, аналогичные
тем, которые проводились в п. 6.7, позволяют считать, что
g'zz I z=o,/i является четной функцией по х и у (рекомендуем
читателю провести самостоятельно доказательство этого
положения).
<т«|г=о.л = а2 + а3 х2 + а4у2 + аъх2у2 + ... +атхр у\ .
(6.207)
где р и q — четные числа. Выразим посредством уравнения
(6.207) модули нормального f'v и касательного напряжения
f'x на верхнем и нижнем основании параллелепипеда. На
верхнем основании (при z = h) nx = ny=0, nz=\y из
формулы f. = о'.}.П] следует, что
fx = <*xz \z=h ; fy = Oyz \z=h ; fz = Ozz \z=h ; (6.208)
аналогично на нижнем основании (nx = ny=0, яг=—Л)
fx=— Oxz |г=о; fy =— ff</z|z=o; fz =—■<*« |г=Ю. (6.209)
Вектор поверхностных напряжений /', составляющие
которого для верхнего основания даны формулами (6.208), а
для нижнего— (6.209), имеет вид7'=^/ч>+/т. Вектор /v
имеет компоненты /^=/'^=0; f'V2=f'2f тогда его модуль
/; = УШ^= VTI- J/"(<4U,*)2. (6.2Ю)
Из условия трения (6.206) получим
/т=/0+^]/"Кг|2=о,Л)2. (6.211)
Итак, с помощью отрезка ряда (6.207) удалось выразить
модули нормального и касательного напряжений.
Выберем виртуальные касательные напряжения. Из-за
симметрии задачи а' — нечетная функция по х и у и чет-
304

ная по (г—h/2)\ axz — нечетная функция по л: и (г—А/2)
и четная по у\ о'г —четная по л: и нечетная по у и (г—
^-А/2). Их можно принять следующими
Оху = fflm+1 *# + Ят+2 *# (2 — А/2)2 + ... +
+ ап xr ys (г - Л/2)'] (1 - *7/2)( 1 - у W), (6.212)
где а, «* —нечетные, а ^ — четное число; нетрудно
убедиться, что уравнения (6.212) удовлетворяют граничным
условиям (6.205):
ахг =-fi(2zlh- 1) [vx/yvx2-\-vy2}2=0;h ; (6.213)
о'у, =~h (2z/A - 1) [v'yl Vv2 + Vy ]z=0:* . (6.214)
Так как параллелепипед низкий (Л<&, А<С/), принято, что
по z o'xz и о' изменяются линейно. Убедимся, что
последние две формулы удовлетворяют условию трения.
Действительно,
О кг |г=0;Л = Q [v?/[vx2 + Vy2)]z=o-h V
Oyz |г=0;Л = /т [Vyl\vx2 + v'y)]2=0;fi \
V (ОсЛ + Oyz)z=0;h = /т.
Однако, уравнения (6.213) и (6.214) не удовлетворяют
соответствующим граничным условиям (6.205): o'xz и o'yz не
обращаются в нуль на боковой поверхности. Эта
погрешность для тонкого параллелепипеда не столь велика, так как
граничные условий удовлетворены по Сен-Венану: интеграл
от o'xz и o'yz по боковой поверхности равен нулю.
Проинтегрируем систему (6.204) с целью определения виртуальных
нормальных напряжений
g'xx = — I [доходу + dajdz) dx + /x (у, z)\
так как o'xx\x=±i=0, то получим
/i (У,г) = [J {до'Ху/ду + do'Jdz) dx]x==! ,
следовательно
oxx =-J {доХу1ду + do'xz/дг) dx. (6.215)
X
29-382 305r

Аналогично получаем
ь
v'yy = J {даХу/дх + doyzldz) dy9 (6.216)
у
e'zz=—i {do'xz/dx + дОугIdy) dz + f3 (x, y),
Так как при z=0 и h o'2z\z=0)h определено формулой
(6.207), то
/з (*, у) = о'гг \z=o;h + [J [дахг1дх + доуг/ду) dz]z==0.h
II
h
e'zz = (4 \z=o-,h + j [до'хг/дх + doyz/dy) dz. (6.217)
Итак, описано виртуальное напряженное состояние,
выражаемое формулами (6.212) —(6.217). В формулы (6.213)
и (6.214) должны быть подставлены выражения (6.202) и
(6.211), а в последнее — ряд (6.207). Кроме того, в
формулы (6.215) — (6.217) следует подставить выражения
(6.212) — (6.214) и осуществить операции
дифференцирования и интегрирования. Операцию интегрирования можно не
осуществлять аналитически, а выполнить численно при
решении вариационных уравнений. Виртуальное напряженно-
деформированное состояние выражается с помощью
варьируемых параметров аь а2, ..., ат, ят+ь •••> ап. Подстановка
формул, описывающих виртуальное состояние, в уравнение
(6.201) сводит задачу к решению конечных уравнений
dJIdai = 0, i = 1,2, ... , m, т + 1, ... , я, (6.218)
где /—функционал в фигурных скобках уравнения (6.201),
обращающийся в рассматриваемом случае в функцию
многих переменных а,(1=1, 2, ..., т, т+1, ..., /г), обладающую
абсолютным минимумом. Функционал J в рассматриваемом
случае имеет вид
h +b+l Ш' Т' \
J=ll !' 1 (T. + Nd*l+f[(T-xe)/pldT X
0-6-/10 т J
Xdxdydz+ Г j <т'г2 |2==Л и* dxdt/+ 2 f f fxvsdxdy. (6.219)
-^ —/ -6 —/
Корни уравнений (6.218) а°х, а°2, ..., cfim, a°m+v ..., а^
будучи подставленными в формулы виртуального напряжен-
306

но-деформированного состояния, дают приближенное
решение рассматриваемой задачи.
На рис. 6.20 показана эпюра нормальных напряжений
/v, полученная в одном из невысоких приближений (три
варьируемых параметра).
Эпюра имеет характерный
для деформации тонких тел,
когда имеет место развитое
скольжение на контакте с
инструментом,
куполообразный вид. На рис. 6.20
показана лишь часть результата.
Основной результат состоит
в том, что во всем теле
найдено деформированное
состояние и поле тензора
напряжений.
Задача расчета напряженного и деформированного
состояний, в частности при осадке параллелепипеда, может
быть поставлена по другому. Закон трения (6.200) может
быть дан в более общем виде: наряду с /v существенное
влияние может оказывать на /т скольжение vs. Например,
в простейшем виде эта зависимость имеет вид
U = /о + tfv+ <R. (6.220)
Здесь область возможных значений vs>0. Закон трения
имеет обратную функцию
», = (/,-/о-мШ. <6-221)
для которой /x>-?o+M'/v. Казалось бы более сложный
закон трения должен повлечь за собой дополнительные
трудности. Однако принцип виртуальных скоростей и
напряжений таков, что в этом случае выбор виртуального поля
напряжений становится существенно проще. Виртуальные
напряжения могут не удовлетворять на Ss закон трения
(6.220), вектор виртуальных касательных напряжений fi
может быть не коллинеарен v*s.
Для выбора виртуальных напряжений могут быть
приняты формулы (6.207) и (6.212). Касательные напряжения
°*г и V следующие: я
o'xz = (1 _ х*ll1)[an+i x(z- А/2) + ап+-2 ху2 (г - А/2) +
+ ...+арх'ук(г-Ы2)'\; (6.222)
20*
307

о'уг = {1 — У1 lb2) [flp+i У (г — Л/2) + ар+2 х2 у {г -Л/2) +
+ ... +aqxfyg(z-h/2)dl (6.223)
где k, f — четные, a i, I, dy g — нечетные целые показатели
степени. Нормальные виртуальные напряжения получить
просто: достаточно проинтегрировать дифференциальные
уравнения равновесия с использованием формул (6.212),
(6.222) и (6.223), граничные условия (6.205) позволят
исключить произвольные функции интегрирования f\ (у, z) и
f2(xy z), а ряд (6.207) — произвольную функцию f$(x, у).
Виртуальные напряжения строго удовлетворяют всем
граничным условиям в напряжениях и дифференциальным
уравнениям равновесия. Виртуальные скорости
перемещения и напряжения в случае более сложного закона трения
следует подставить в вариационное уравнение принципа
виртуальных скоростей и напряжений
.6 j f f f T (n) dx\ + J H (x) dx 1 dV - j \fc vc-
rlfTi(v)dv— Clvsi(f)df \dS 1 = 0, (6.224)
о 0
которое отличается от уравнения (6.201) последним
слагаемым. Запишем это слагаемое подробней:
',*
j f%i(v)dv + j vsl(f)df= j /„(# +
о 0
V f f
sy 'xx 'xy
+ j /,„<«)*> + j vsx(f)df+ j vry(f)df = ...
0 0 0
Здес|э осуществлено суммирование по повторяющемуся
индексу и учтено, что v'sz^vSz(f) =0. Далее,
I
'/,(/;. V*-m)r7^=- +
V i
* I r,'^
ни
Ш

+ и.Ь,\Пч1»)-ря= +
V?+f?
'ту
0
f'xy
+ (4(/;. v^+/2)
Здесь fTl- выражено через vsi и наоборот через закон
трения с использованием условия коллинеарности f% и us.
Наконец, если учесть уравнения, (6.220) и (6.221), а также
что o'sx=-f'x, v'54 =—v'y, f'xx --- ГЛ, ГХУ=ГУ> то последние два
интеграла в уравнении (6.224) будут иметь вид
'2
—v
У
+ п/о+^ +*^+^Ьт^=- + Г [(v>+V-
о
-W;)/,]^L+
fy
+ П( К/? + /2~^- ^)/+] /* • (6-225>
J Ktf+/2
и
Итак, выбрав виртуальные поля скоростей перемещения
частиц и напряжений, следует их подставить в функционал
(G.219), в котором следует заменить f\v\ выражением
309

(6.225). Если осуществить дифференцирование /л1о пара^
метрам а,(/=1, 2,..., m, m+1,..., п, n+l,...,p, p^h...,q)
и решить систему конечных уравнений dJ/dai = Oy то их
корни дадут решение задачи. Напомним, что
дифференцирование по параметрам at функционала производится по
верхним пределам интегралов в квадратных скобках выражения
(6,224). Так, уравнение д1/да{ = 0 запишется в виде
j[T (НО дЬГ/дах + Н (Г) дТ1дах\ dV - J [{df'Jda^ v] -
v Ss
- fu (V) dv'Jda, - vsi(ff) dfjda,] dS = 0
и аналогично по остальным параметрам.
Контрольные вопросы
1. Какое напряженно-деформированное состояние называют
действительным?
2. Дайте определение виртуального напряженно-деформированного
состояния.
3. Чем отличаются друг от друга действительное и виртуальное
напряженно-деформированное состояния?
4. Запишите вариационное уравнение принципа виртуальных
скоростей и напряжений. Покажите функционал этого вариационного
принципа.
5. Запишите принцип виртуальных скоростей и напряжений.
6. Какой эквивалентной математической операцией можно заменить
интегрирование системы дифференциальных уравнений теории
пластичности в объеме деформируемого тела в некоторый фиксированный
момент времени?
7. Чему равен функционал принципа виртуальных скоростей и
напряжений на действительном напряженно-деформированном состоянии?
8. Какой вид экстремума имеет функционал принципа виртуальных
скоростей и напряжений?
9. При каких условиях задача теории пластичности решается с
помощью вариационного принципа виртуальных скоростей и напряжений
единственным образом?
10. Чем отличается принцип виртуальных перемещений и
напряжений от принципа виртуальных скоростей и напряжений и что в них
общего?
11. Для решения какой краевой задачи можно отдельно применять
принцип виртуальных скоростей и принцип виртуальных напряжений?
12. Какое поле скоростей называют кинематически возможным?
13. Напишите вариационное уравнение принципа виртуальных
скоростей.
14. Можно ли однозначно определить поле напряжений по полю
скоростей течения несжимаемого материала с помощью физических
уравнений?-
15. Какое поле напряжений называют статически возможным?
16. Запишите вариационное уравнение принципа виртуальных
напряжений.
17. Какой вид экстремума имеют функционалы принципа виртуаль-
310

ных скоростей и виртуальных напряжений, чему равны эти функционалы
на действительном состоянии и в сумме?
18. Чем отличается статически возможное поле напряжений для
идеально пластичного материала?
19. К каким изменениям в вариационных уравнениях приводит
принятие полей скоростей и напряжений с разрывами?
20. Какие ограничения накладываются на разрывы при достаточно
медленном течении несжимаемого материала?
21. Какую оценку силы деформирования позволяет сделать
кинематически возможное поле скоростей и статически возможное поле
напряжений?
22. Запишите вариационное уравнение принципа минимума полной
мощности.
23. Почему функционал этого принципа назван полной мощностью?
24. Можно ли решать общую краевую задачу (имеются поверхности
5/, Sv и Ss) по определению только деформированного состояния с
помощью принципов виртуальных скоростей или минимума полной
мощности? В каком случае это возможно?
25. Покажите на примерах порядок построения виртуального
напряженно-деформированного состояния.
26. Какие уравнения теории пластичности удовлетворяются точно,
а какие приближенно, при решении практических задач с помощью
принципа виртуальных скоростей и напряжений?

часть и ТЕОРИЯ ОБРАБОТКИ /
МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Глава 7
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КОСОУГОЛЬНЫХ
КООРДИНАТАХ
Задачам обработки металлов давлением свойственны большие
пластические деформации. Металлы обладают сложными
физико-механическими свойствами, которые изменяются в процессе деформации.
Необходимо иметь расчетный аппарат, который позволил бы наблюдать за
процессом пластического формоизменения каждой отдельной частицы, из
которых, состой г обрабатываемое тело. Кроме того, механика сплошных
сред формирует многие законы (сохранения массы и т. п.) для
материальных частиц. Удобна в этом смысле так называемая сопутствующая
система координат, которая связана с материальными частицами и
деформируется вместе с обрабатываемым телом. В сопутствующей
системе координаты материальных частиц обрабатываемого тела постоянны
во время деформации. Положение материальной частицы в
пространстве определяется как положение геометрической точки.
Допустим, деформируемое тело в исходном состоянии
рассматривалось в декартовой системе координат, связанной с материальными
частицами тела (подобно делительной сетке, которую применяют в
экспериментах). Тогда в процессе формоизменения тела декартова система
координат исказится и обратится в криволинейную косоугольную
систему координат, которая является сопутствующей.
7.1. Элементы тензорного исчисления
в криволинейной косоугольной системе координат
Пусть в некоторой точке А обрабатываемого тела в некоторый момент
времени / по касательным к координатным линиям криволинейной
косоугольной системы координат,
например сопутствующей, принят
базис из векторов ei (/=1, 2, 3).
Тогда любой вектор в этой точке
можно представить на основании
сложения векторов в форме
(рис. 7.1) >
а = а1 е1 + а2 е2 + а3 е3 = а1 е-ь.
(7.1)
Величины а1 в формуле (7.1) и на
рис. 7.1 — компоненты вектора в
1 Здесь и далее будем пользоваться соглашением о суммировании
по по0тоРяюЩемУся немому индексу, причем индексы суммирования
будут надстрочными и подстрочными [формула (7,1)].
312

косоугольной системе координат или косоугольные проекции.
Косоугольные проекции (компоненты) вектора а в косоугольной системе координат
называют контравариантными компонентами вектора а. Вектор а
можно также однозначно задать системой из трех величин, определяемых
по формуле
а^ = <Г^.(|= 1, 2, 3) (7.2)
и дающих ортогональные т-роекъии вектора а на оазис <?*.
Действительно, вектор а выражается через составляющие at
а = аг72X?3/V + а27гх TjV + а3*iXeJ/K, (7-3)
где
V = £(V^3 ) (7-4)
— объем параллелепипеда, построенного на векторах базиса е,.
В справедливости формулы (7.3) можно убедиться, если подставить ее
в равенство (7.2). Получится тождество. Величины aif определенные по
формуле (7.2) и дающие ортогональные проекции вектора а на базис ей
называют ковариантными компонентами вектора а.
Векторы-сомножители при а,- в правой части выражения (7.3)
образуют некоторый координатный базис. Координатный базис, который
определяется по формуле
'ef^eiXehlVi (7.5)
где \, i, k составляют циклическую перестановку чисел 1, 2, 3,
называют взаимным базисом. Следовательно, равенство (7.3) может быть
представлено в виде
a = aj~P (7.6)
В декартовой системе координат контравариантные и ковариантные
компоненты вектора совпадают, поэтому индексы для обозначения
компонент векторов и вообще тензоров применяют только одного типа —
подстрочные. Компоненты одного и того же вектора зависят от выбора
координатной системы. В первую очередь рассмотрим, как
преобразуется базис при изменении системы координат. Пусть ef- — базис новой
системы координат; каждый вектор этого базиса можно представить в
виде суммы векторов по направлениям старого базиса е*
^;=«/*v (7.7)
где ау — матрица контравариантных компонент векторов e'j по
направлениям старого базиса '. Аналогично можно представить векторы
старого базиса в виде разложения по направлениям нового базиса
1,. = р/1;. (7.8)
1 В декартовой системе координат значения а;- численно равны
косинусам углов между векторами нового и старого базиса.
313

Между коэффициентами прямого а} и обратного р' преобразований
существует связь. Если в формулу (7.8) подставить выражение (7.7), то
а*й'-{°(''*/); ,7<Л
а/Р*-\1 (/=/). <7-9>
Аналогично
Подставив формулу (7.8) в уравнение (7.1), получим формулы
преобразования контравариантных компонент вектора а при изменении
базиса
а''=Р{а'. (7.11)
Подобным образом
а1=а)ач. (7.12)
Формулы (7.11) дают преобразование компонент вектора а из системы
со старым базисом в систему с новым базисом (прямое
преобразование), а формулы (7.12)—из системы с новым базисом в систему со
старым базисом (обратное преобразование). Формулы (7.11) прямого
преобразования используют коэффициенты р£ обратного
преобразования (7.8), а формулы (7.12) обратного преобразования используют
коэффициенты alj прямого преобразования (7.7). Этим объясняется
возникновение названия «контравариантный компонент».
Обратимся к преобразованию ковариантных компонент вектора а
в связи с изменением базиса. Подставив в формулу (7.2) выражение
(7.8), получим
a.= a^fer
а если учесть, что
то получим формулы обратного преобразования
a,= pje). (7.13)
Формулы прямого преобразования можно получить аналогично
а)=а)аг (7.14)
Формулы обратного (7.13) и прямого (7.14) преобразований
осуществляются с помощью коэффициентов обратного и прямого преобразований
соответственно; это предопределило возникновение названия «ковариант-
ный компонент».
Как следует из формул (7.1) и (7 6), скалярное произведение двух
векторов а и b можно представить в следующих четырех вариантах:
а*6=ег еьа1Ьк — eLekaib^^ei'ekalb)i — e'- .eu.atbk.
314

Обозначим набор скалярных коэффициентов
V«* = *№ ~*e^ek = gik;7.Tek=g?. (7Л5)
Из последней формулы с учетом выражения (7.5) получаем
_> /_* _> ч , 11 если i = /г;
gki^ei-[e.<el)/y = \' . и (7.16)
61 l v J /у [0, если t#A.
Набор коэффициентов g* — это символ Кронекера. Таким образом,
если учесть формулы (7.15) и (7.16), получим скалярное произведение
fl-~S = gihcf bk = gikat bh = a' ^ = at bl. (7,17)
Установим зависимость между контравариантами и ковариантными
компонентами вектора. Очевидно, что
ai = era=lv'ekak = gihak . (7.18)
Обратная зависимость контравариантных компонент от ковариантных
имеет вид
а) =Г?'.а =~eJ.~ek ak = gik ak. (7.19)
Рассмотрим равенства (7.18) как систему линейных алгебраических
уравнений относительно аК Решая эту систему, получим
aJ' = ahGik/g, (7.20)
где g — определитель, составленный из коэффициентов системы (7.18);
Gik — алгебраическое дополнение элемента gjk определителя g.
Сопоставляя равенства (7.19) и (7.20), найдем
gJk = Gik/g. (7.21)
Формула (7.21) позволяет определить по компонентам gtj
компоненты g1*.
Тензором называют физическую или геометрическую величины,
определяющиеся набором чисел Т^ , которые при изменении системы
координат преобразуются согласно формулам
где X, (л, v,... — немалые индексы. Ранг тензора равен числу над- и
подстрочных индексов (сумме). Вектор — тензор первого ранга [см.
формулы (7.11) —(7.14)]. Скаляр принято считать тензором нулевого ранга.
Наборы чисел, определяющие тензоры, различают по строению. Так,
Tik — контравариантные компоненты тензора второго ранга; Tik — кова-
риантиые компоненты тензора второго ранга; Т \ и Т)1 —смешанные
компоненты тензора второго ранга. Точка помогает обозначить порядок
следования индексов; например, в случае Т\ индекс k следует считать
вторым (номер столбца при записи компонент тензора в виде матрицы).
У Т'ь1 индекс k уже первый, а индекс / — второй.
Дадим второе определение тензора, которое удобно для распозна*
вания тензора. Пусть а1, &/?,... являются компонентами произвольных и
независимых векторов, если при посредстве величин Т. ^/' можно
образовать скаляр
315

то эти величины будут компонентами тензора. Известно еще одно опре-
деление тензора. Оно вводится с помощью понятия полиадного
произведения векторов базиса (см. работу Л. И. Седова).
Известно, что скалярные величины — инварианты; тензор любого
ранга тоже инвариант. Тензор описывает какое-то объективное
состояние материи в данной точке пространства и поэтому не зависит от
выбора системы координат, т. е. является инвариантом. Компоненты же
тензора зависят от выбранной системы координат.
Возвратимся к величинам, определенным формулами (7.15). С их
помощью составляется скалярное произведение произвольных векторов
(7.17). Как следует из выражения (7.23), величины g являются
компонентами тензора. Величины glk = erek являются ковариантными со*
став^ляющими тензора, который называют метрическим. По определению
[см. формулы (7.15)] он является симметричным тензором (gik==gki)t
Аналогично, симметричными являются матрицы (gik) и (&Д. Тензор
называют антисимметричным, если выполняется равенство Г»/1 =—Ты.
Почему тензор назван метрическим? Рассмотрим достаточно малый
вектор Аг, соединяющий две точки пространства А(у\ у2, у3) и В(у{ + Ау{;
у2+Ау2; У3 + Ау3):
Аг = Ay1 7t,
где у1 — косоугольные координаты точки (рис. 7.1). Модуль этого
вектора равен расстоянию между точками А и В, a
| А;)2 = £.ArArgih Ay Ayk > 0, (7.24)
Если обозначить координаты относительно взаимного координатного
базиса уи то аналогично получим
| Д?|2 = gik Ayt Ayk =_- V Aft • (7.25)
Набор коэффициентов gik определяет метрику пространства, так как с
его помощью, зная координаты двух близких точек, можно найти
расстояние между ними.
Рассмотрим операции над тензорами, в результате которых вновь
получаются тензоры. Алгебра тензоров в косоугольных координатах
формально та же, поэтому в данном пункте по существу будут лишь
перечислены некоторые операции над тензорами.
Перестановка индексов — простейшая операция тензорной алгебры.
Например, меняя местами индексы у Tik, получим новый тензор,
обладающий матрицей компонент Tki, транспонированной по отношению к
матрице Tlk. Если тензор симметричный, то перестановка индексов
сводится к тождественному преобразованию исходного тензора.
Операция сложения осуществляется над тензорами одинакового
ранга и матрицами компонент одинакового наименования
(ковариантными, контравариантными и смешанными). Чтобы сложить
несколько тензоров, достаточно сложить их одноименные компоненты.
Произвольный тензор второго ранга можно разложить на
симметричную и антисимметричную части
Tik = Wik + Tki) + iTlk - TMW2 = Tl(k) + Tm . (7.26)
Формирование симметричного тензора {см. первое слагаемое выражения
316

(7.26)] называют операцией симметрирования, а формирование
антисимметричного тензора (второе слагаемое) — операцией
альтернирования.
Умножение осуществляют с тензорами любого ранга и строения.
При умножении перемножают компоненты каждого
тензора-сомножителя, результаты располагают согласно порядка индексов
тензора-произведения. При умножении тензора на скаляр на него умножают
каждый компонент. Так, умножение на скаляр 1/2 использовано в формуле
(7.26).
Свертывание осуществляют лишь над тензорами, представленными
смешанными компонентами. В результате свертывания ранг тензора
уменьшается на две единицы. Чтобы осуществить свертывание,
достаточно приравнять один из контравариантных индексов одному из ко-
вариантных индексов исходного набора компонентов тензора, а затем
осуществить суммирование по одинаковому индексу.
Существует операция опускания или поднятия индексов, которой
не пользовались при изучении тензоров в ортогональных декартовых
координатах. Ее осуществляют умножением некоторого тензора на
метрический тензор и последующего свертывания по паре индексов. Пусть,
например, требуется из контравариантных компонент тензора второго
ранга Tik получить смешанные компоненты Т\ тензора. Для этого
выполняют операцию опускания индекса i:
g.jTik=Tf. (7.27)
Аналогичным образом можно получить еще две формулы
*» «я Tii = г*/; *'* «" т» = тЫ • *'* ти = fkj ■ <* 28)
Физические законы инвариантны преобразованию координат. Их
математическая запись, если законы описывают взаимодействие
тензорных величин, должна содержать инварианты тензоров. Выделение
инвариантов — одна из основных задач тензорного исчисления.
Обратимся к тензорам второго ранга, которые имеют для нас особенно важное
значение. Их инварианты записывают в виде
/х = Г';; /2 = Т[) T[i; /3 = Т\) Т^Тк:. (7.29)
Рассмотренные^ выше все свойства тензоров и операции над ними
относились как бь1 к; некоторой фиксированной отдельной точке
пространства. Далее будем рассматривать тензоры и их свойства во всем
пространстве (тензорные поля), т.е. будем предполагать, что в каждой
точке пространства задан тензор; тогда каждая составляющая тензора
будет являться функцией координат точек пространства и времени. Но,
в то же время, в отдельной точке будут справедливы все указанные
выше закономерности.
Допустим, что точки пространства однозначно и непрерывно
определены системой параметров у1 (i=l, 2, 3) произвольной природы.
Эти параметры можно считать криволинейными координатами. Радиус-
вектор произвольной точки есть функция криволинейных координат
~Р=7(</). (7.30)
Геометрическое место тЪчек, для которых одна из координат изменяет*
ся, а две другие постоянны, называют координатной линией.
Геометрическое место точек, для которых две координаты переменны, а одна
остается постоянной, называют координатной поверхностью.
• 317

Построим в каждой точке пространства базис. Для этого
продифференцируем выражение (7.30) частным образом по у\ в результате
получим векторы, направленные в точке у1 (*=1, 2, 3) вдоль
касательных к координатным линиям, которые примем за базис ei. Итак,
\ = д7{ду1. (7.31)
Обратимся к формулам преобразования компонент векторов, сделаем их
вывод, исходя из новых соображений. Пусть система координат
подвергается взаимно однозначному точечному преобразованию от
действующей (так называемой старой) у1 к новой у f и наоборот
/ = </'V); У'^У'Ъ')- (7-32)
Тогда можно, опираясь на определение базиса в криволинейных
координатах (7.31), записать
7f =--- frldy1 =-- д~*г/ду1 • ду'/ду'1 = ду{/дуч 7.. (7.33)
Сравнив формулы (7.33) и (7.7), видим, что коэффициенты
преобразования
а) = дуЧдуч. (7.34)
Аналогично можно получить такой же результат для коэффициентов
обратного преобразования
PH^W- (7.35)
Как следует из формул (7.30) и (7.31),
сГг = dyl д7/дус = dyret,
тогда
d7-dr = gikdyidyk . (7.36)
Вычислим абсолютный дифференциал поля тензора первого ранга
(вектора). Пусть вектор выражен через свои контрвариантные
компоненты
а = a1 et.
Имея в виду,> что векторы базиса ei в пространстве в общем случае и в
отличие от декартовых координат переменные, получим
da = et da1 -f- a1 det.
Умножим скалярно правую и левую части последнего равенства на
векторы взаимного базиса. На основании того, что
da- ei = [da) ; е. ef = g(;
'ei-d7^=~ef {d7Jdyk ) dyk = 7 {d*7ldyl dyk) dyk = v{kdyk = V}ki dyk ,
где Pik — символы Кристоффеля второго рода, можем записать
[£1У ^da'+ThaUtf. (7.37)
318

Равенство (7.37) определяем контравариантные компопенты
абсолютного дифференциала поля вектора а. Аналогично можно вычислить кова-
риантные компоненты абсолютного дифференциала поля вектора а
(^)/ = ^-Г{.Ла,<*И. (7-38)
Рассмотрим абсолютный дифференциал поля тензора более
высокого ранга. Абсолютный дифференциал поля тензора Г1//е определяется
формулой
DT\jk = dT[ih + Г^ T«.ft dfi - Г« T\ak dy* - Г«, T*Ja dyh (7.39)
Абсолютный дифференциал поля тензора содержит два слагаемых.
Первое (da}\ daj, dTljku т. п.)—это изменение компонент тензора
вследствие его внутренних свойств. Второе (все остальное) — это
изменение компонент тензора вследствие изменения базиса от точки к точке
пространства.
Символы Кристоффеля выражают через компоненты метрического
тензора. Действительно,
Г{* = gai {dgaildyk + dgjdy1 -dgik/dya)/2. (7.40)
Следует заметить, что символы Кристоффеля не являются
компонентами тензора. Это видно из того, что в одной и той же точке
пространства они в декартовой системе координат (базис постоянный) равны
нулю, а в криволинейной отличны от нуля.
Абсолютный дифференциал поля тензора второго ранга gik имеет
вид
D8ik = *1* ~ Ги §ak V - It/ Sia V • (7-41)
Абсолютный дифференциал поля метрического тензора равен нулю
(теорема Риччи)
Dgik = (<W<V - Г« gak - Г« g.a) dyi=0. (7.42)
В последнем легко убедиться, подставив значения Tfj и Г£7- из (7.40),
сделав соответствующую: замену индексов, имея в виду симметрию
метрического тензора и учтя условие (7.16).
Компоненты тензора являются функциями координат точки поля,
поэтому в формулах абсолютного дифференциала полей вектора (7.37),
(7.38) и тензора более высокого ранга (7.39) можно записать
da* = (dai/dyk) dyk\ daj = (dcij/dyk) dyk;
В результате формулы примут вид
{da)1 = (да'/дук + Г{к а1) dy"; {da)j = (daj/dyk - Tljkat) dyk;
Круглые скобки в правой части последних формул называют ковариант*
ной производной соответствующих компонент вектора а и компонент
319

Tj^ тензора соответственно. Итак, ковариантной производной контра-
вариантных компонент поля вектора называют величину
?ка<=да1/дук+Г>ка* (7.43)
являющуюся набором смешанных составляющих тензора второго ранга;
ковариантная производная ковариантных компонент — набор
ковариаитных компонент тензора второго ранга
Ska. = da}ldyk-r)kai; (7.44)
ковариантная производная смешанных компонент тензора, например,
третьего ранга — есть набор компонент тензора четвертого ранга
Vp 1*jk = дТУ^ + rip П* ~ Г/З'^о* " Г& Т%. (7.45)
Ранг ковариантной производной тензора i на единицу выше ранга
дифференцируемого тензора.
Полезны для дальнейшего некоторые свойства ковариантных
производных. Производная от суммы тензоров равна сумме производных.
Правило дифференцирования произведения, известное из
математического анализа, остается справедливым и для ковариантного
дифференцирования. По теореме Риччи ковариантная производная метрического
тензора равна нулю, поэтому при ковариантном дифференцировании
надо его рассматривать как постоянную величину. При повторном
ковариантном дифференцировании результат зависит от
последовательности действий дифференцирования.
Рассмотрим некоторые дифференциальные операторы в
криволинейной косоугольной системе координат. Ковариантную производную
тензора нулевого ранга (скаляра)
у« Ф = дЩду1 ~ (gra^d ф )t, (7.46)
называют ковариантными составляющими вектора градиента
скалярного поля. Ковариантная производная контравариантных компонент
тензора первого ранга (вектора) дает смешанные компоненты тензора
второго ранга (7.43). Линейный инвариант, составленный из компонент
тензора второго ранга,
V,- ас = даЧду1 + Tlki а* = div а (7.47)
называют дивергенцией векторного поля а. Ковариантная производная
ковариантных компонент тензора первого ранга выражается формулой
(7.44). Альтернирование компонент V*a/ тензора второго ранга дает
выражение
®kj = Vk aj — S/j <*h = rot a,
которое называют вихрем, или ротором, векторного поля а.
Обратимся к формуле Гаусса—Остроградского
\%7dS= $ divAdV, (7.48)
5 v
1 «Производные поля тензора» в дальнейшем именуются
«производные тензора».
329

где S и V — поверхность и объем деформируемого тела; п — вектор
единичной внешней к S нормали; А — векторое поле любой природы, но
непрерывное и дифференцируемое. Заметим, что формула (7.48) имеет
инвариантное представление. В связи с этим, формула
Гаусса—Остроградского в криволинейных косоугольных координатах имеет вид
f А1щ dS-= \viAcdV. (7.49)
5 V
Важна формула дифференцирования по времени интеграла по
подвижному объему функции f(yi, t). Поскольку объем подвижен, то
пределы интегрирования зависят от времени. Если vl скорость
перемещения, то упомянутая формула будет
dldt \ f(yl, t)dV=\ [dfldt + vt (fv1)] dV (7.50)
V V
или
d/dt\f(y't t)dV ^^(df/dt + fviV^dV, (7.51)
v v
dfldt = dfldi + vi Vi f
есть выражение полной производной от функции f по времени t в
произвольной системе координат.
Упражнения
1. Доказать справедливость формулы (7.16).
2. Вычислите коэффициенты ау преобразования декартового
базиса в базис цилиндрической системы координат. Ответ:
(cos ф — r sin ф О
sin ф г cos ф О
0 0 1
3. Записать на^-основании предыдущего результата векторы базиса
цилиндрической системы координат. Ответ:
ег = cos ф ех + sin ф еу\
^ =_ г sin ф ех + г cos уеу\
(7.52)
4. Вычислить метрический тензор цилиндрической системы
координат, представленный матрицей (gij). Ответ;
/10 0
Ш = 0 г* 0
\0 0 1
5. Определить взаимный базис базису, представленному
формулами (7.52), Ответ: er = sin фбу + cos (рех\ е = (cos ф/г)еу— (sin q>/r)e.<\
ez—ez.
21-382 321

6. Вычислить символы Крйстоффеля второго ранга для
рассматриваемой в данных упражнениях цилиндрической системы координат.
Ответ: Г?ф = Г^=1/г; Г£ф=-г; остальные Г^=0.
7.2. Уравнения механики сплошных сред
Обратимся к категориям механики сплошных сред. Ранее они были
рассмотрены в декартовой системе координат. Вследствие тензорных
свойств механических переменных (скорости течения и деформации,
напряжения и т.п.), входящих в законы механики сплошных сред, и
самих законов, их механический смысл остается одним и тем же в любой
системе координат, т. е. является инвариантным. Отличие будет
состоять лишь в написании формул и уравнений, связанных с применением
криволинейной и неортогональной системы координат. Итак, отразим
формальную сторону уравнений механики сплошных сред.
Движение всегда определяется по отношению к некоторой системе
координат. За систему отсчета примем неподвижную декартову систему
координат xl (i=l, 2, 3). Частица движется относительно системы
отсчета или системы координат л:1, х2, х3, следовательно ее координаты
меняются в зависимости от времени t
*' = *'(*)• (7.53)
Движущаяся материальная частица в разные моменты времени
совпадает с разными точками пространства. Движение частицы считается
известным, если известны функции (7.53); они выражают траекторию
движения частицы, заданную в параметрической форме. Переменные,
входящие в формулы (7.53), называют переменными Эйлера.
Деформируемое тело представляет совокупность материальных частиц. Важно
индивидуализировать движение каждой частицы деформируемого тела.
Это достигается заданием ее координат в начальный момент времени
t = t0yj (/=1, 2, 3). Тогда формулы (7.53) можно представить в виде
x? = xl(yf,t) (/,/=1,2,3). (7.54)
Траектории всех материальных частиц, из которых состоит
деформируемое тело V, xi = xi(yI, t) y'^V, называют законом движения.
Переменные у1 (/=1, 2, 3). / называют переменным Лагранжа. Основная
задача состоит в определении функций (7.54), описывающих
формоизменение тела при обработке. При ее решении пользуются дифференциальным
и интегральным исчислением, поэтому предполагается, что функции
(7.54) непрерывны и дифференцируемы по всем аргументам.
Из физических соображений ясно, что должно быть взаимно
однозначное соответствие в фиксированный момент времени между
координатами х1 и у\ т. е. формулы (7.54) должны быть разрешимы
относительно
у* = у*(х*, 0 (/, /=1, 2, 3), (7.55)
а это значит, что якобиан 4
det||a^/a^|| фО.
Кривые, описываемые уравнениями (7.54) при yf = const, образуют
материальную криволинейную сетку координат, деформирующуюся
вместе с телом, которую называют сопутствующей системой координат
(рис. 7.2).
Символ det означает определитель.
322

Наряду с понятиями закона движения введем понятие скорости и
ускорения. Они вычисляются относительно системы отсчета, при
фиксированных уК т. е. для конкретных материальных частиц. По
определению вектор скорости
v = drldt = (dx4dt) 9t = v* st,
(7.56)
yy=const
y*=COnst
yf= const
y2=COnst '
//(xl=\rar; yL=const]
y^const \ x
т7в,хга,хза; у\у2,у*}
где r — радиус-вектор рассматриваемой частицы; э-ь — базис системы
координат отсчета (если система отсчета — это декартова система
координат, то базис Э{ будет постоянным в каждой точке пространства); и1'—
компоненты вектора скорости в базисе векторов э/. Далее, также по
определению, вектор ускорения материальной частицы
dv/dt = (dvi/dt)3i = wi зг
(7.57)
Рассмотрим в фиксированный
и произвольный момент времени t
бесконечно малую частицу
сплошной среды (рис. 7.3). Бесконечно
малой частицей называют
совокупность точек сплошной среды с
относительными координатами
(относительно центра М и частицы)
А*/'<а, где а— бесконечно малая
величина. Поле скоростей
предполагаем непрерывным и
дифференцируемым. Пусть v — скорость
материальной точки М.
Рассмотрим вопрос о распределении
скоростей в бесконечно малой
^частице. Если </ — скорость некоторой
точки М' частицы, то, сделав разложение поля скоростей в частице
по формуле Тейлора, около точки М и пренебрегая бесконечно малыми
высших порядков, можно записать
21*
323

v' = v + [dv/dyi ) Ay{, (7.58)
где у1 — криволинейные неортогональные сопутствующие координаты в
рассматриваемой частице.
Перепишем формулу (7.58) в виде
v' --= Г+ [д {vf7j)/dy( ] Ay1 = v+[d [у/э1)'/ду*] Ay1 =
= 7+ (Vi y7') V э/ = iT+ Ay1 э/ (у^ 0/ + Vj vt)/2 +
+ Ay^i(Vivj-VJvi)/2i (7.59)
где э' — постоянный базис системы отсчета. В выражении (7.59)
выделена из тензора с составляющими V*0/ его симметричная и кососим-
метричная части. Можно показать, что кососимметричный тензор (V/U/—
—Vy-u/)/2 остается кососимметричным в любом базисе, в том числе и
ортогональном. Известно, что кососимметричный тензор, образованный
по цепочке равенств (7.59) в декартовой системе координат,
характеризует жесткое вращение частицы как целого. Итак, тензор, компоненты
которого
ltJ = (ViVj + VJVt)/2. (7-6°)
характеризует скорость деформации частицы, называют тензором
скоростей деформации. Его компоненты написаны в произвольной системе
координат. Существование направлений трех главных скоростей
деформации, вдоль которых материальная частица испытывает чистое
растяжение или сжатие, а также свойства тензора скоростей деформаций,
очевидны.
В рамках ньютоновской механики масса любого материального
объема m = const. Массовой плотностью называют величину
р= lim (Am/Al/),
где AV — объем, занятый массой Am. Закон сохранения массы
деформируемого тела объемом V выражается в виде
dldt
(Jp^)=o-
Используя формулу (7.50) или (7.51) в последнем выражении, имеем
\(dp/dt + pVivi)dV = 0.
V
Поскольку последнее равенство справедливо для любого материального
объема внутри тела, то для сплошной среды выполняется как следствие
закона сохранения массы дифференциальное уравнение неразрывности
dp/dt + p div tT= 0. (7.61)
Приведем уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. В
начальный момент времени t0 в произвольной точке М можно построить
элементарный параллелепипед на малых векторах базиса сопутствующей
системы координат e\dyx, e?2dy2, e®dy3. Его объем
^0 = 7i.{^Xel)dy1dyidy\
324

В произвольный момент времени t тот же материальный объем
ДК = £- Кх^з) dy1 dy* dy*.
По закону сохранения массы р0Д1/о=рАУ, следовательно
р = PqI? • [l^l7t ■ [\xl3). (7.62)
Радиус-вектор г в системе отсчета xl (i=l, 2, 3) с векторами базиса э/
можно представить в виде
г = х1эь.
Как видно из рис. 7.4, в точке Л4 в момент времени t векторы базиса ei
будут
7j= dr/dyi = (dx4dyi)~9i9
а в момент t0 они были
^I = dr°/dyf=(dxiQ/dyi)si.
Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах имеет вид
р = р0 det || dxi0/dyi ||/det || дх* /ду11|,
где х1о и xk (i, k=\, 2, 3) определены формулами (7.54).
(7.63)
dr/dj'-e,
Движение материальной частицы массой Am согласно второму
закону Ньютона подчиняется дифференциальному уравнению движения
Amdv/dt = F
или, так как Am — const, d'fdt (Д/ntT) = ~F.
(7.64)
Уравнения (7.64) можно просуммировать для всех частиц, составляющих
деформируемое тело объемом V и массой М. Следует учесть, что силы
контактного взаимодействия частиц по третьему закону Ньютона
существуют попарно и при суммировании уничтожаются. Кроме того, из
закона сохранения массы следует
f [duldt] dm = d/dt \~vdm = d/dt \~vpdV.
'м m v
Тогда для тела в целом можно написать
325

dldt \ podV == I pgdV +\ldS, (7.65)
V v s
где g— вектор плотности массовых сил; / — вектор поверхностных
напряжений.
Уравнение (7.65) можно представить для элементарного бесконечно
малого материального тетраэдра, образованного в криволинейной
косоугольной системе координат координатными площадками и наклонной
площадкой с единичной внешней нормалью п (рис. 7.5). Получим
известную формулу
7=7Ч-> (7.66)
где Hi — косинусы угла наклона единичной нормали п к направлениям
у1 или ее ковариантные составляющие; / — вектор напряжения на
наклонной площадке; fl — вектор напряжения на координатной площадке
тетраэдра. Разложим векторы /' по направлениям базиса et
криволинейной косоугольной (например сопутствующей) системы координат
~fi = aik^hu (7.67)
Если аналогично разложить вектор fy то тогда векторное уравнение
(7.66) для напряжений на наклонной площадке имеет вид
fk ek = oik ек Щ,
а для составляющих
fk = 0ikn^ (7.68)
Составляющие векторов напряжений, действующих по координатным
площадкам, проходящим через некоторую точку деформируемого тела,
cik называют контравариантными компонентами тензора напряжений в
этой точке.
Применим к последнему интегралу уравнения (7.65) формулу
Гаусса—Остроградского
f IdS = f ~Jl щ dS=\sjt ll dV.
s s v
Тогда
([v«7'+ p{g-<to/dt)]dV = 09
а поскольку выражение справедливо для любой части деформируемого
тела, то из него следует
Vjl + p{g-dv/dt)=0. (7.69)
Уравнение (7.69) это дифференциальное уравнение движения в
векторном-виде. В каждой точке деформируемого его можно представить,
разложив входящие в него векторы по векторам базиса ei, криволинейной
системы координат (не следует забывать, что ускорение dv/dt
определено выше в системе отсчета)
[sjiOik + p{gk-wk)]7h = Q.
326

Так как р (k=\ 2 3) независимы, то получим дифференциальные у рае-
нения движения \в проекциях) в криволинейной системе координат
ViOik + p(gk-wk) = Q (7-7°)
Рассмотрим уравнения (7.64) движения материальной частицы.
Если умножить правую и левую его части на радиус-вектор г, то получим
уравнение моментов количества движения для материальной частицы
(7хш) Am = rXF.
Просуммируем подобные уравнения для всех материальных частиц,
составляющих рассматриваемое тело. При отсутствии распределенных
внутренних и внешних моментов оказывается, что тензор напряжений
симметричен, так как его компоненты связаны условием
0ik = 0ki я
Тензор напряжений путем преобразования координат может быть
представлен своими составляющими в декартовых координатах, а затем
можно найти для него главные нормальные напряжения и их направления.
В задачу механики сплошных сред входит вывод уравнений,
описывающих движение, в частности, металла при его пластической
обработке. Она сводит механические задачи к задачам математическим с
целью отыскания механических переменных, входящих в эти уравнения.
В настоящее время специалист будет удовлетворен, если аппарат
механики сплошных сред позволит определить перемещение центра
каждой частицы обрабатываемого тела, распределение в теле деформаций,
поворотов отдельных частиц, напряженное состояние каждой
материальной частицы. Эта информация, будучи включенной в модели, например,
разрушения, текстурообразования, формирования механических свойств
и т. п., может оказать существенное влияние на усовершенствование
технологий.
Для дальнейшего изучения вопроса напомним соотношения
механики сплошных сред. Движение материальных частиц деформируемого
тела определяется законом (7.54), который записан в системе отсчета х1
или координатах Эйлера, а индивидуализирован координатами Лагран-
жа уК С законом движения по определению связаны скорости и
ускорения материальных частиц
vl = ЬхЧЫ I /; & з= dv4dt\ j = д2 хЧдР | , , (7.71)
где подстрочный индекс у! указывает на то, что производные берутся
для конкретных материальных частиц с координатами Лагранжа */> =
=const (/ = 1, 2, 3). Деформированное состояние характеризуется
компонентами тензора скоростей деформации, вычисленными в
сопутствующей системе координат по уравнению (7.60). Условие сохранения
массы позволяет определить текущую плотность материала по формуле
(7.63), в которой xl0 = xl\t = u (i=U 2, 3)—Эйлеровы координаты
частицы и ро — ее плотность в исходном состоянии. Принятие закона
движения в виде трех формул определяет всю кинетику деформации.
Динамика материальных частиц деформируемого тела представлена
дифференциальными уравнениями движения в сопутствующей системе
координат
V* а"'= р («;>-*■'). (7.72)
где gi (/=1, 2, 3) —компоненты заданной массовой силы, и условием
симметрии тензора напряжений Gii = o,it
327

Можно принять за искомые функции девять механических
переменных х1 и о'1. Для их определения пользуются тремя уравнениями
движения (7.72). Указанных уравнений недостаточно для их решения и
описания сплошной среды; система не замкнута. Необходимо иметь, по
крайней мере, еще шесть уравнений. Замыкают систему
дифференциальных уравнений механики сплошных сред физические уравнения связи
напряо/се иного и деформированного состояний, которые дают
математическую модель пластически деформируемого металла. Построение
физических уравнений связано с экспериментальным изучением механических
свойств металлов, обрабатываемых пластическим образом. При этом
следует использовать общие принципы механики и физики. Построение
математической модели среды должно производиться также с учетом
возможности решения уравнений замкнутой системы.
Будем считать, что физические уравнения связи в некоторый
фиксированный момент времени представлены тензорными функциями
s4 = stl{eMi Дэтл, р, Э, ...); (7.73)
<х=а(Б, Де, р, 0, ...), (7.74)
в которых sif и ем. Дэтп,— контравариантные и ковариантные
компоненты девиаторов напряжений и скоростей деформации, а также девиатора
приращения деформации за малый отрезок времени А/, о и £, Де —
первые инварианты тензоров напряжений и скоростей деформации, а
также тензора приращения деформации, 0 — температура. Девиаторы
имеют вид
sU = о"' — og(I (а = а1'/ g^/3); (7.75)
eu = la-Ual^ (t = hjg,!)\ (7.76)
Дэ;7- = Аеи - Аг§(]/3 (Де = Де^ g*l). (7.77)
В формуле (7.73) имеется пять независимых соотношений, а всего шесть
физических уравнений (7.73) и (7.74) замыкают систему, описывающую
движение сплошной среды. Известно, что мало замкнуть систему. Она
должна иметь решение, и только одно, иначе практическое значение
математической модели будет невелико. Поэтому в данной работе посту-
лируется, что физические уравнения связи (7.73) и (7.74)
1) разрешимы относительно ец и \, а также Аэтп и Де, соответственно
eu = eU(sk'), 1 = 1(0),
/±эи = Аэи-(зк1), Де = Де(а);
2) имеют ограниченные производные ds'f/dem', да/д%; ds'i/d&Ski; да/дАе,
3) выражают вязкие свойства и способность к упрочнению материалов:
д&/дем\м > 0, ds4№9M\i=k > 0; )
\i=i \i=i 1 (7.79)
до/д1>0; до7дДе>0 )
4) описывают необратимые пластические деформации. Условия (7.79)
подтверждаются на опыте. Приведенные постулаты (наряду с другими
условиями) обеспечивают существование и единственность решения1.
Динамические уравнения движения сплошной среды имеют важное
следствие, которое называют теоремой об изменении кинетической
энергии или живых сил.
1 Эти вопросы методами функционального анализа рассмотрены
В. П. Федотовым.
(7.78)
328

Пусть dr = vdt — вектор бесконечно малого перемещения
материальной частицы деформируемого тела. Умножив скалярно на эту
величину дифференциальное уравнение движения (7.70) и интегрируя
результат по объему тела Vy получим
\(Vi <*ik) l'k dtdV + \pgk vk dtdV — f pwk vk dtdV = 0. (7.80)
V v v
Используя формулу Гаусса—Остроградского и условие симметрии
тензора напряжений, уравнение (7.80) можно представить в виде
f /* vk didS + f pgk vh dtdV = f oik lih dtdV + dEt (7.81)
s V v
т. е. работа приложенных к телу поверхностных и распределенных в
объеме внешних сил [левая часть уравнения (7.81)] расходуется на
работу деформации тела и приращение его кинетической энергии dE —
это утверждение называют теоремой об изменении кинетической
энергии или «эюивых сил». Теорема является следствием уравнений движения
и представляет уравнение баланса механической энергии. Она имеет
энергетическую природу, но не является законом сохранения энергии.
Теорему можно трактовать как закон сохранения энергии только в том
случае, когда другими видами энергии при деформации сплошной
среды можно пренебречь. Закон сохранения энергии в общем случае
распадается на два: закон сохранения механической энергии (7.81) и закон
сохранения немеханической энергии.
В общем случае деформации сплошной среды наряду с
механической энергией следует учитывать другие виды энергии. Первое начало
термодинамики или закон сохранения энергии утверждает: работа
приложенных к телу поверхностных и распределенных в объеме внешних
сил, а также приток извне других видов энергии через поверхность или
массу тела затрачиваются на приращение кинетической, а также
внутренней энергии тела. Первое начало термодинамики — это постулат,
который находит подтверждение на опыте и приобрел значение
физического закона.
Итак, согласно с приведенным утверждением можно записать
f /* vk dtdS + f pgk vh dtdV + dQ = dE + dU, (7.82)
5 V ^
где dQ — приток к телу других (немеханических) видов энергии; dU—■
приращение внутренней энергии тела. Если вычесть из уравнения (7.82)
уравнение (7.81), получим закон сохранения немеханических видов
энергии
dQ = dU — .f oik lik dtdV. (7.83)
Приращение (изменение) внутренней энергии представляют
интегралом
dU = f p(du/dt)dtdV. (7.84)
v
Приток к телу других видов энергии через поверхность можно
представить в виде 1
1 В задачах ОМД под dQ следует понимать приток тепловой
энергии через поверхность.
329

dQ =— \~q- ndtdS =— f q{ n* dtdS.
S S
В формулах и — удельная (на единицу массы) внутренняя энергия;
djdt — субстанциональная (материальная) производная; q — вектор
плотности (на единицу поверхности) энергетического (теплового)
потока; п — вектор единичной внешней нормали. Если в последнем
выражении использовать формулу Гаусса—Остроградского, то оно имеет вид
dQ=— \ s/iq{ dtdV. (7.85)
v
Подставим выражения (7.84) и (7.85) в уравнение (7.83), получим
С (— Vi Я£ — Pduldt + oik lik) dtdV = 0.
v
Последнее справедливо для любой части объема деформируемого тела,
следовательно из него получается дифференциальное уравнение
pdu/dt=-Viqi + aikliky (7.86)
которое называют дифференциальным уравнением энергии.
Учтем наряду с механической только тепловую энергию. Законы,
определяющие вектор плотности теплового потока q, могут быть
различными. Известен закон Фурье
^=-—Х grade,
где 9 — температурное поле в деформируемом теле, Я — коэффициент
теплопроводности. Если иметь в виду, что V,<7' = div д, то
Vi ql =— div ( К grad 9 ). (7.87)
Если считать, что внутренняя энергия — это только накопленная
тепловая энергия, то
0
и= \ cdft,
о
где с — массовая теплоемкость, т. е. количество тепла, которое надо
подвести к единице массы, чтобы повысить ее температуру на один
градус. Из этого следует
du/dt = { d/dQ\ cdQ] dQ/dt = cdQ/dt. (7.88)
При развитом пластическом течении можно пренебречь
упругими—обратимыми деформациями, тогда можно считать, что oik%ik характеризуют
диссипацию (рассеяние) механической энергии, т. е. необратимое ее
превращение в тепловую энергию.
Итак, в частном случае уравнение энергии (7.86) превращается в
известное дифференциальное уравнение теплопроводности в
криволинейной системе координат
cpdQ/dt = div ( X grad 0 ) + oik lih. (7.89)
330

Добавление уравнения теплопроводности (7.89) к полной системе
дифференциальных уравнений механики сплошных сред вновь делает ее
замкнутой, так как введение температуры 0 сопровождается
добавлением уравнения (7.89).
В данной главе ограничимся изложенной выше интерпретацией
основных положений механики сплошных сред. Даже такая постановка
задач механики обработки металлов давлением вызывает большие
трудности их решения и не является исчерпывающей.
Первое начало термодинамики постулирует взаимный переход
механической и тепловой энергии. Этот переход описывается уравнением
энергии (7.86) или в упрощенном виде уравнением теплопроводности
(7.89). Однако неясно обратим этот переход или необратим. В
некоторых случаях эффективной является идеализация, т. е. представление
процесса обратимым. В частности, упругие деформации металлов и теп-
ловые эффекты, которые их сопровождают, могут быть приняты за
обратимый процесс. Наоборот, пластические деформации сопровождаются
необратимым выделением тепловой энергии и процесс пластического
формоизменения следует считать необратимым.
Второе начало термодинамики утверждает, что невозможно
устройство, которое переводило бы тепло от тела с меньшей температурой к
телу с большей температурой без каких-либо изменений в других телах.
Второй закон термодинамики вводит две функции состояния:
абсолютную температуру Т и энтропию S. Основной критерий необратимости
содержится в ограничениях, которые накладывают на приращение
энтропии.
В механике сплошных сред считают, что энтропия обладает
свойством аддитивности, т. е. полная энтропия системы равна сумме энтропии
ее частей. Вводится понятие плотности энтропии или удельной энтропии
(на единицу массы) s. Скорость изменения энтропии тела:
dSldt = dldt f spdV = f \{dq{e)ldt + dq{i)/dt) р/Т] dV, (7.90)
V v
где dqW — приток тепла к частице извне; dqW — тепловыделение,
вызванное внутренними процессами (например от работы пластической
деформации). Для обратимых процессов
dS/dt = 0,
а для необратимых —
dS/dt>0. (7.91)
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение формулы (7.90)
и условия протекания необратимых процессов (7.91).
Пример 1. Пусть dqW = 0 и нет теплообмена с окружающей
средой через поверхность тела 5. Известно, что dq(e) = —div qdt/p.
Из формулы (7.90) следует
dSldt =—f {diw'q/т) dV =— f {'q-n/r) dS +
v s
+ I f.grad (\IT) dV ==~ f ( ?.grad TIT*) dV > 0,
v v
т. е. тепловой поток q и вектор grad T противонаправлены. Следует
иметь в виду, что
331

div U/Г) = у* (q4T) = (Vi д()/т + ql v, {\IT) =
= (div^)/r+"^grld(l/r).
Необратимый процесс перераспределения тепла внутри тела, который
мы только что рассмотрели, характеризуется приростом энтропии.
Пример 2. Пусть имеет место адиабатический процесс
пластической деформации, т. е. dq{e) = 0. Пластическая деформация любой
частицы тела V осуществляется необратимо, поэтому из уравнения (7.90)
следует
dq^/dt = Giklik/p>0.
В данном случае упругими деформациями пренебрегли. Чтобы условие
dS/dt>0 было выполнено, необходимо соответствующим образом
формулировать физические уравнения. Условия (7.79) автоматически
удовлетворяют второе начало термодинамики.
Пример 3. Пусть имеет место процесс, в котором существенное
значение имеет трение между деформируемым телом и инструментом на
поверхности S$, тогда для системы тело—инструмент можно записать
dSldt=\ [1TfJT)dS>Q9
ss
где vs и fx — векторы скольжения и напряжения трения соответственно.
Это значит, что работа трения необратимо превращается в тепло.
Поскольку это имеет место в любой точке поверхности Ss, то
v)t>0. (7.92)
Итак, чтобы условие (7.91) выполнялось, закон трения для fx должен
быть сформулирован соответствующим образом. Так, принятие
коллинеарности векторов vs и fT автоматически обеспечивает выполнение
указанного условия.
Упражнения
1. Записать формулы для подсчета компонентов тензора скоростей
деформации в цилиндрической системе координат (г, ф, z) по полю
скоростей перемещения частиц (iv, £>ф> vz). Ответ:
Кг = dVrldr> ?ФФ = д% /ГдУ + Vrlr>
lzz = dvjdz; £Лф = [rd (vr/r)/dr + dvr/rdy]/2;
l^z = (dvjrdy + dv^ /dz)/2; lzr = (dvr/dz + dojdr)/2.
2. Записать дифференциальные уравнения движения в
цилиндрической системе координат. Ответ:
dojdr + dojrdy + dajdz + (агг - афф)/л + Р/г = pwr;
torJdr + дОфф/^Ф + do(pJdz + 2офг/А + р/ф = ршф ;
dojdr + dOyJrdy + dojdz + ajr + pfz = ри»2.
3. Записать в цилиндрической системе координат граничные
условия в напряжениях. Ответ:
332

0ггПг+0г^ + аггП7=Гг;
V'V + Vp'V+V'W^
°zrnr + Gzv% + °zznz = f*z.
4., Чем будут отличаться остальные формулы и уравнения теории
пластичности, известные ранее в декартовых координатах, но
записанные в цилиндрических координатах. Ответ: только тем, что в
отличие от декартовых координат индексы х, у, z будут заменены на г,
ср, г.
7.3. Постановка краевой задачи механики обработки
металлов давлением
Изложенный выше материал дает математическую формулировку
задачи механики сплошных сред. Задача состоит в интегрировании
дифференциальных уравнений движения металла (7.75), механические
свойства которого выражаются тензорными функциями (7.76)
соответствующего типа [см. постулаты (7.78) — (7.79)]. Преобразуя уравнения (7.75)
с помощью формул (7.76) и (7.77), получим
V* lsiJ {ем) + о (I) gij] = Р (wl - g*). (7. 93>
Как нетрудно убедиться, при заданных массовых силах gl три
уравнения (7.93) связывают три неизвестные функции (7.54) (через закон
движения с помощью (7.72), (7.73) и (7.77) выражаются ец, |, Лэ,-/,
Д.е, w'1). В общем случае система (7.93) не может быть
проинтегрирована (решена однозначно) с целью определения закона движения (7.71),
так как часть граничных условий дана в напряжениях. Следовательно,
задача определения кинематики течения связана с задачей определения
напряженного состояния. Система (7.93) может быть дополнена
уравнениями
ей (skl) + I (а) gu/г = (у, vj + w vt)/2, (7.94)
которые получаются из формул (7.73) после подстановки в них
выражений (7.77) и (7.f8)> Шесть уравнений (7.94) связывают шесть
составляющих тензора напряжений.
Таким образом, уравнения (7.93) и (7.94) дают замкнутую систему
дифференциальных уравнений механики пластической обработки
материала. Плотность р определяют, по формуле (7.74). Температурная часть
задачи решается с использованием уравнения теплопроводности.
Система должна быть проинтегрирована по подвижной области У и по
времени от начала обработки ta до конца /о, где V — объем
деформируемого тела. Для получения единственного решения должны быть
заданы краевые условия: граничные условия в любой момент времени
*а <t<tfi на поверхности 5, ограничивающей объем V, и начальные
условия при t — ta. Ниже будет сделана попытка доказать достаточность
задания краевых условий в следующем виде.
Пусть при t = ta дано Положение (координаты) каждой
материальной частицы, из которых состоит деформируемое тело V, их скорость и
плотность
333

/
Простейшие начальные условия: тело находится в покое, плотность
распределена по телу однородно.
Для примера показана прокатка полосы / между двумя
цилиндрическими валками 2 и 3 (рис. 7.6). Граничные условия являются
математической моделью взаимодействия деформируемого тела через
поверхность S, ограничивающей V, с окружающей средой и, в первую
очередь, с инструментом. Они формулируются на основе
экспериментальных данных с учетом требований, которые предъявляют
математические соображения существования и единственности решения.
Поверхность деформируемого тела 5 в каждый момент времени /а</</^
можно подразделить на три части: Sf, Sv и Ss. Будем считать, что на
поверхности Sf в любой момент времени заданы поверхностные
напряжения /'*, как функции координат точки на Sf
fc = f{*. (7.96)
В наиболее распространенном случае fl* = 0. Опыт показывает, что часть
поверхности S-? может находиться в контакте с инструментом и при
этом может иметь место скольжение инструмента по обрабатываемому
металлу. На другой части контактной поверхности Sv образуется зона
прилипания. Движение инструмента задано, поэтому на Sv в любой
момент времени скорости
vc = v* (7.97)
являются известными функциями координат точки на Sv. На
поверхности скольжения 5<? заданы нормальная составляющая скорости
металла, равная нормальной к поверхности составляющей скорости
инструмента
334

условие трения
И
fx -fx(fv » vs)i, (7.99)
где fx(fv,vs) — модуль напряжения трения, зависящий от нормального
к Ss напряжения fv и скорости скольжения vs (известный из опытов
закон трения); i — единичный вектор скольжения vs — v*—vx (vx и v х —
векторы скорости перемещения соответственно инструмента и
деформируемого металла в касательной к 5S плоскости). Будем считать, что
функция /хв уравнении (7.99) такова:
*, = M'vM (7Л00)
dfx/dvs>0. (7.101)
Условие (7.101) подтверждает на опыте, т. е. проявляются вязкие
свойства деформируемого металла и смазки 4.
Граничные условия краевой задачи механики ОМД давлением
отличается тем, что перед решением задачи поверхности S/, Sv и Ss, на
которых соответственно заданы уравнения (7.96) —(7.98) с (7.99),
неизвестны. Известно лишь, что в любой момент времени /а </</о S/U
UStjUSs = S ограничивает объем V обрабатываемого тела. Эти
поверхности определяются в процессе решения. В начальный момент времени
ta вся поверхность S=S/. Она известна, так как известна
конфигурация тела до обработки (координаты всех его частиц). По мере развития
процесса возникает, растет, а при t^ исчезает поверхность контакта
обрабатываемого тела с инструментом. После окончания процесса в
момент исчезновения контактной поверхности опять S = S/, но уже эта
поверхность неизвестна, так как неизвестна конфигурация тела после
обработки.
Необходимым и достаточным условием пребывания частицы
обрабатываемого тела на контактной поверхности с инструментом является
равенство координат х* частицы и некоторой точки на поверхности
инструмента х t. Контактной поверхностью называют геометрическое место
точек деформируемого тела и инструмента, имеющих одинаковые
координаты х1=х1 На контактной поверхности с инструментом находятся
полностью поверхности Sv и 5S. Часть контактной поверхности, на
которой vv<vl (здесь vv и у* —скорости деформируемого металла и
инструмента соответственно по направлению внешней к металлу
нормали), будем относить к поверхности типа Sf. Последнее означает, что,
если vv =£ vvnpK xi = xt1 то деформируемый металл своими шерохова-
1 Напряжение трения fx может также функционально зависеть от
относительного перемещения инструмента по металлу Aus на малом
интервале времени [/, /н-Д/] /т = /T(/v, vs, Aus)
Предположим, что это соотношение имеет также обратную функцию.,
&us = kus(fv , /т , Vs), которая возрастающая
dfx/dMs>Q.
335

тостями как бы мгновенно выходит из зацепления с шероховатостями
инструмента.
И еще одна особенность достаточно общей краевой задачи
механики ОМД. В произвольный, но фиксированный момент времени t
пластическим течением охвачен не весь объем V деформируемого тела,
а лишь его часть Vd, которую называют очагом деформации.
Остальная часть Vh движется как твердое (жесткое) тело. При этом Vd\JVh =
= V. Упругими деформациями пренебрегаем. Части тела Vd и Vh
отделяет друг от друга поверхность Sg. В период обработки, за
исключением начального момента ta, неизвестна форма и положение
деформируемого тела У, его частей Vd, Vh и граничной поверхности Sg.
Известно, что в начальный момент времени ta в момент касания с
инструментом, V=Vh, a Vd=0. В конце обработки тела при /^ опять
V=Vh, a Vd = 0, но форма тела и его положение после обработки, в
отличие от начального момента времени, неизвестны. Частицы
обрабатываемого материала на поверхности Sg имеют напряженное состояние,
удовлетворяющее некоторому условию текучести f(oli)=0. Для
определенности считаем, что объем Vd ограничен в момент времени t
поверхностью Sg\jSf }{}Ss\JSv, что Sf = Sf1\JSf2.
На рис. 7.6 показана прокатка полосы в цилиндрических валках,
вращающихся в разные стороны (в правом верхнем углу). Основная
часть рисунка занята полосой / в аксонометрии с убранными условно
валками 2 и 3). Контактная поверхность заштрихована. Граница S.^
условно показана плоской; Lg — граница между Sv и Ss, а К — между
Sf и Ss. Эти поверхности и линии показаны условно, они не являются
решением задачи или результатом эксперимента.
Итак, граничные и начальные условия механической части задачи
ОМД сформулированы. Тепловая задача формулируется известным
образом (см. ч. I) и здесь не рассматривается.
Задача механики ОМД, или задача механики сплошных сред, выше
сведена к математической задаче. В настоящее время автору не
известно иных продуктивных способов решения рассматриваемой сложнейшей
математической задачи, кроме способов, основанных на прямых методах
вариационного исчисления и соответствующих вариационных принципах.
Ниже будут изложены некоторые теоретические предпосылки для
получения решения. По ходу рассуждения сделаем обоснование тех
положений, которые были сформулированы в п. 7.2.
Упражнения
1. Идентифицировать, где находится частичка металла
прокатываемой полосы (на Sf> Sv или Ss), если она имеет *1 = 0; x2=h/2\ v\=*
= 1,1^со; 1>2 = 0 (см. рис. 7.6, толщина полосы после прокатки h;
угловая частота вращения валка о). Ответ: на контактной поверхности,
так как х1 = х * = 0; х2 = х1=к/2\ на поверхности Ss, так как в этом
месте валок имеет v<2 = 0, т. е. vv=v v, a v %фхз т,
2. Как записать условие сухого трения вместо выражения (7.99)?
Ответ: fT = f T(/V)t.
3. Написать физические уравнения связи напряженного и
деформированного состояний для части тела Vh, если предположить, что
обрабатываемый материал обладает упруго-пластическими свойствами. О т-
вет: см. формулы (3.17) ч. I.
336

7 4. Принцип виртуальных скоростей и напряжений.
Вариационное уравнение принципа
Проведем подготовку для решения задачи интегрирования полной
системы уравнений механики пластической обработки металлов (7.93) —
(7.99). Задачу разобьем на две части. В первой части в фиксированный
момент времени t осуществим интегрирование системы в объеме V
деформируемого тела, а затем интегрирование полученного результата во
времени с учетом начальных условий (7.95).
Итак, рассмотрим некоторый произвольный, но фиксированный
момент t обработки тела. Решение полной системы дифференциальных
уравнений теории пластичности с соответствующими краевыми
условиями называют действительным напряженно-деформированным
состоянием. Для него справедливо следующее важное тождество. Умножим
уравнения движения (7.75) на vf и проинтегрируем их по области V.
Так как уравнения движения справедливы для каждой частицы, то
I [(V* <*") Vj + Р (gl - wi) vj) dV = 0. (7.102)
Очевидно, что справедливы следующие формальные преобразования
(имея в виду симметрию тензора напряжений, кинематические
соотношения и понятие девиаторов):
V; (oi! Vj) = (V< a'/) *>j + vij (V, Vj) = (V, <*") ^ + <**' 6,/.
*" ltj = (si} + <*") (etJ + tgtj/3) = s" е.. + ag.
Тогда выражение (7.102) можно представить в виде
I [s*leif+ og + р (wi -gi) v] dV-\ Vf (а''»Д dV = 0,
у lJ J у l x J'
а, если применить ко второму слагаемому формулу Гаусса
ского, то окончательно тождество примет вид (оИщ = {*):
I к*' е.. + о% + р (wi — gi) v.] dV — f fi v.dS = 0.
у lJ J С J
Обратим внимание на то, что в основе вывода тождества (7.103)
лежат дифференциальные уравнения движения, условие симметрии
тензора напряжений, условие о1]'п, = }1, а также кинематическое
соотношение lij=(ViVj + VjVi)/2. Эти уравнения, условия и соотношения не со^
ставляют полной или замкнутой системы дифференциальных уравнений,
а являются лишь частью системы (7.93) — (7.99). Например, тензоры
напряжений и скоростей деформации при выводе (7.103) не были
согласованы между собой физическими уравнениями связи. Формально
можно представить бесчисленное множество полей напряжений о1*' и полей
скоростей vt, которые будут удовлетворять указанным условиям
у. а1"/' + р (gi — wi) = 0; а"' = а'7'
и, следовательно, тождеству
\Uij'eu +о'ъ' +p(w*-g>)v'f\dV-$ /4ds = 0- (7Л05>
у L ' ,А S
■Остроград-
(7.103)
(7.104)
22-382
337

Напряжения о1!' и скорости течения v t, удовлетворяющие уравно-
ниям (7.104) или тождеству (7.105), называют виртуальными.
Действительные поля напряжений и скоростей являются некоторым частным
случаем виртуальных. Тождество (7.105) аналитически выражает
принцип виртуальных* скоростей и напряжений: мощность всех виртуальных
и заданных внутренних и внешних сил, включая силы инерции, и
напряжений на соответствующих виртуальных и заданных скоростях
перемещений и скоростях деформаций в деформируемом теле в любой
момент времени равна нулю. Ради удобства решения задачи варьируются
только поля напряжений и скоростей. Можно ввести принцип, в
котором будут варьироваться напряжения и перемещения, и т. д.
Опираясь на указанный принцип виртуальных скоростей и
напряжений, можно предложить способ решения задачи теории пластичности,
т. е. интегрирования ее общей системы уравнений в объеме V в
фиксированный произвольный момент времени t. Для этого выведем
соответствующее вариационное уравнение.
Наложим на виртуальное напряженно-деформированное состояние
еще ряд важных дополнительных ограничений. Будем считать, что в
области VW и vt бесконечно мало отличаются от действительных
а1' и vi
где ба'', 6vit 6£r/, 6{l — бесконечно малые вариации механических
переменных. Поля а1*' и v i выбраны так, что виртуальные части объема V,
испытывающие пластическое течение Vd и остающаяся жесткой Vh,
также бесконечно мало отличаются от действительных Vd и Vh, т. е.
v'd = VdU6Vj Vh=VhU6Vh,
но
QVd=-6Vh, (7.106)
так как
v'dUV'h=VdUVh = V = const.
Будем считать, что на границе Sg между Vd\i Vh судя как по
напряжениям, так и по скоростям, пластического течения нет, что на границе
Sg скорости v . и поверхностные напряжения fif непрерывны. Будем
считать, что о11' и v . удовлетворяют части граничных условий в
следующем смысле. В любой произвольный фиксированный момент
времени t для тела объемом V, ограниченного поверхностью S, часть
поверхности Sv|JSs является контактной с инструментом. Граница L между
S» и Ss неизвестна, пусть она варьируется, вариации же 6SV и 6SS
бесконечно малые. Итак,
Sv = SoU6Sv; s;=5U6Ss,
НО
6S„=-6SS, (7-107)
338

так как
S U5' = S US = const.
V ъ V s
Здесь сделано предположение, что S^U^s образуют контактную
поверхность, что поверхность Sv расположена в окружении поверхности Ss,
как на рис. 7.6, что варьирование поля скоростей влечет за собой
варьирование лишь границы L. Однако может варьироваться в том же
смысле граница К между Ss и Sf. Возможно также существование
границы М (на рис. 7.6 не показана), разделяющей Sf и SVt которая также
варьируется. Ради краткости показано варьирование лишь границы L,
варьирование границ К и М приводит к аналогичным результатам.
Будем считать, что на поверхности Sf удовлетворяется граничное условие
(7.96), т.е.
/'"' =/*'*. (7.108)
На поверхности Ss—условие (7.97), т. е.
v\ = vt-9 (7.109)
а на поверхности Ss—только условие (7.98), т.е.
%=Л*Ч. (7.110)
Пусть условие трения (7.99) в виртуальном состоянии не удовлетворено.
Пусть также на границе U между Svn S s скорости течения vi и
поверхностные напряжения f1' непрерывны, а виртуальное напряжение
трения покоя меньше трения скольжения. Предполагаем, что
виртуальные поля напряжений и скоростей являются такими функциями
координат частиц и времени, что существуют интегралы типа интегралов
работы всех внутренних и внешних сил на соответствующих перемещениях.
Итак, в рассматриваемом вариационном принципе виртуальные
поля напряжений о11' и скоростей перемещения частиц v t не согласованы
между собой физическими уравнениями связи напряженного и
деформированного состояний в объеме тела и условием трения на
поверхности Ss. Заметим,.что принято варьирование изохронное и изокоординат-
ное: мыслятся различные напряжения и скорости течения в один и тот
же момент времени для одной и той же материальной частицы
(координаты Лагранжа постоянны — в этом основная причина использования
сопутствующих координат). В этом случае, как известно, операции
дифференцирования и варьирования можно менять местами.
Обратимся к тождеству (7.105). Так как V=V'd[}V'ht S = Sf{)S'v\JS's
а f!'v * = (/v +/ x ) (y v* +y t/)=/v v'vi+f x v'ii в СИЛУ ортогональности
векторов fvt vT и /T, vv, а также принимая во внимание граничные
условия, которые удовлетворяют виртуальные состояния, уравнение (7.105)
примет вид
]' [s'V е'и + а £ + р (wJ - ёЩ dV+ { р (wJ - gJ) v) dV
- Г fj.iS- J f v)dS- I ( Kv^+f!;v'xt)dS = 0. (7.111)
22*
с s
S< bv s
f 339

Аналогичное тождество можно записать и для действительного
напряженно-деформированного состояния. Если вычесть его из уравнения
(7.111) и пренебречь бесконечно малыми высших порядков, то
I [*" betJ + е.. 6s<7 + а6£ + £<5а + р (и>/ - g>) 6v.] dV +
vd
+ !,[■
у i eu +ol + p(w'- g>) v] dV +
+ I p (wi — gi) 60. dV + I p (w> - g1) 0, <*K -
— \ fi*dv.dS— f v":6fi dS— f f v'dS —
sf J sD 6SD '
65„
(7.112)
j
Итак, при выводе тождества (7.112) были использованы почти все
уравнения теории пластического течения, кроме физических уравнений
связи полей напряжений и скоростей течения и условий трения на
поверхности Ss. Теперь будем считать, что s'', ец и а, £ попарно связаны
функциями (7.73) и (7.74), a fv vsi — законом трения (7.99), (7.100).
Преобразуем подынтегральное выражение в предпоследнем слагаемом
уравнения (7.112). Так как полная скорость металла в касательной к
55 плоскости v Ti = v Ti—Vsiy где vTi—заданная скорость перемещения
инструмента в касательной к Ss плоскости, а —vSi — скорость
скольжения металла по инструменту, то
/т «% + »т* ft = <i ft - /т Ч; - ».,«£•
Ниже будет показано, что интегралы в уравнении (7.112) по 6Vd и
6Vh, $SV и 65s попарно уничтожаются из-за принятого способа
варьирования. А пока интегралы попарно первый и второй, третий и четвертый,
шестой и седьмой, восьмой и девятый представляют результат
варьирования интегралов по параметрам, содержащимся также в пределах
интегрирования.
Таким образом, из уравнения (7.112) получается вариационное
уравнение принципа виртуальных скоростей и напряжений для задач
механики ОМД
6
е..
о
j" s'/ (е) de + j1 e.j (s) ds+ f a (a) da -
+ f £(P)d(J+ 9(wJ-gj)v)
b
[ (7.113)
dV +
340

+ I P W - g!) v, dV - f f/* < dS _ J- ,/< . rfS_
-I
/i
о
rf5 } = 0.
(7.113)
Суммирование осуществляется по индексам / и /, стоящим в верхнем
пределе интегралов и в подынтегральном выражении. Штрихами
отмечены величины, по которым должно осуществляться варьирование
функционала в фигурных скобках уравнения (7.113)4.
В данном пункте выше показано, что варьированию напряженно-
деформированного состояния около действительного состояния отвечает
равенство нулю первой вариации функционала принципа виртуальных
скоростей и напряжений [выражение в фигурных скобках уравнения
(7.113). Докажем обратное утверждение, что из условия
стационарности функционала в выражении (7.113) появляется краевая задача
теории пластичности (7.93) — (7.99). Доказательство покажет
эквивалентность решения краевой задачи (7.93) — (7.99) и результата
исследования на экстремум функционала принципа виртуальных скоростей и
напряжений.
Осуществим варьирование функционала в уравнении (7.113). При
этом учтем, что Vd, Vht SVy Ss пока варьируются при условиях (7.106) и
(7.107). Согласно первому уравнению (7.104) вариации напряжений
связаны условием V«6a^==0. Включив это условие в вариационное
уравнение с множителями Лагранжа А,/, получим
I
[s4 (е) 6etJ + etJ (s) 6s"" + a (%) 6? + g (a) 60 +
: г ea
+ P (wl-gl) 6o*+-'A,,Vi 6a'i\ dV+ M f s'7 («) de +
} 3 sg L °
+ I е.. (s) ds + .f a (a) da + {g (P) dp + p(wl -g!) Vj X
X on. dS + I p (bw' — gi) 6v. dV + f p (a»/ — g/>. (— 6n.) dS—
Vh ] Sg '^ v
- .f /'* to. dS — f 6/' v* dS — f /' t»; 6n2 dL -
- I [6/i 4 + 6/< <,- £ (v) 6vsi - oI((fl tfT] rfS -
1 Штрихи при Vd, Vh, Sv, Ss опущены из-за ненадобности, как уже
упоминалось и как будет показано ниже.
341

"f f>'vC
L L
«*
:+fxvxt- \ fx(P)dv- ^vsi(f)df\(-6n2)dS=0.
6 6 J
(7.114)
Здесь sl'(e) и eij(s)—соответственно, компоненты девиатора
напряжений, выраженные физическими уравнениями через компоненты девиатора
скоростей деформации, и компоненты девиатора скоростей деформации,
выраженные обратными функциями через компоненты девиатора напря,
жений; / \(v) и vSi(f) — составляющие касательных напряжений и со*
ставляющие скольжения, выраженные с помощью закона трения и его
обратной функции через составляющие скольжения и касательного
напряжения соответственно. Следует подчеркнуть, что вариации объемов
Vd и Vh, а также поверхностей Sv и Ss, принимаются малыми в том
смысле, что 6Vd — это тонкий слой толщиной 6tti около поверхности
Sg, разграничивающей объемы Vd и Vhy a 6SV — это узкая полоса
шириной 6tt2, которая лежит на контактной поверхности около границы L
между Sv и Ss.
В связи с принятым способом варьирования на Sg нет пластических
деформаций ef/ = £ = 0, а напряжения его не вызывают eu(s) = %(o) =
= 0, поэтому интегралы в формуле (7.114) по Sg уничтожаются; на L
непрерывны скорости и поверхностные напряжения, т. е. 6vSi = vSi(f) =
= 0, a f,'vi= ffv vVj+f{ vTj, поэтому уничтожаются интегралы по L; для
части тела Vh, находящейся в жестком состоянии, справедливо
тождество
f p(wi — gf)6v,dV— f f>*8v.dS— f (fldv. + 6f*v.)dS = 0t
vh ' sf2 J V J J)
(7.115
свидетельствующее о том, что для Vh в любом виртуальном состоянии
обязательно выполняется уравнение движения, а в теле (Vh) нет
пластического течения (здесь Sf2—поверхность части тела Vh, на которой
заданы напряжения, Sf [}Sg замыкают объем Vh)\ поверхностные
напряжения на границе Sg непрерывны или, другими словами,
взаимодействие частей Vd и Vh равно по модулю и обратно по знаку; на Sg
непрерывны скорости. Поэтому уравнение (7.114) с учетом (7.115) можно
представить в виде
I U'/ (е) Ье..+ е.. (s) fis'/ + a (g) <£+ g (а) 6а + р (ш' -g/) 6vf +
Vd и и j
+ % у. 6а'7] dV - I fJ* & j dS - f (/> &v. + 6/> vj) dS -
- I W'v*dS~\ [б/;4 + «/т<— fU^K-Vsi^^}dS-0'
Sv Ss
(7.116)
Здесь учтено, что Sft — часть поверхности S/, относящаяся к очагу
деформации Vd(Sf = Sf1\jSf 2). Выполним над элементами уравнения
(7.116) некоторые преобразования, учтя, что
s</ (е) Ыа = Vi [s'/ (е) foj] - foj Vi [SV (*)]; eu (s) &'/ = eu (s) 6o«/;
342

<у (Э б£ - V,' V © 2ij *VA - 6v* V* 1° (Э giJH
I (0)60 = I (a) gu oa<7/3;
\j Vf (6a") = Vr (^ 6(T°) ~ (V* ^ + Vj *i) в^/2
и применив формулу Гаусса—Остроградского. Тогда уравнение примет
вид
I <- toy (v,- [s" (в) + о © цЩ + р (gi - w*)} + 6a"' [еи (s) +
+ E (a) fty/3 - (Vf h + VJ h)H] > dV + J {[sV (e) + a (g) g</] x
X nt 617 + A, 6a" я.} dS — ... = 0. (7.117)
Здесь ради краткости многоточием отмечены остальные слагаемые
уравнения (7.116), кроме объемного .интеграла. Поверхность 5 в выражении
(7.117) ограничивает очаг деформации Vd, т.е. S = S/jUS*U«Si/USs-
Продолжим преобразование уравнения (7.117). Учтем, что вариации
бо/ и бег'/ в интеграле по 5 удовлетворяют граничным условиям: 6ff==
= 6a///2/ = 0 на Sfu &v, = 0 на Sv, §vvi = Q на Ss. Тогда после
группировки получим
Г <- &», {V. [& (в) + а (|) g*J] + p (g/ - w')} +6a'7 [e , (5) +
vd
4- E (o) *w/3 - (Vf Я,, + V/ \)I4>dV +
+ I < {[sV (e) + a (Q g'/l n. - f'} to, + (X. - v,) 6fl > dS +
+ 1 Us'7 (e) + a (|) gU] щ - //*} 6^. dS + J (Xy - v*) 6? dS +
+ J" U^v/ -%•) 6/4+(>.;,- - <7) 6/4 + [ f{{v)-fix(i)} 8vsi+
s
+ [vj (f) - XJ bftf'dS = 0. (7.118)
Здесь принято, что подынтегральное выражение в интеграле по S в
выражении (7.117) можно обозначить и представить в виде
[s" (*)+о© 8*1] п. to, + X. 6аЧп. = // (|) 6», +
+ я,-«/'' = fi, (i) bvvj + /; (i) bvxj + x;.s/4 + xxi 6/( =- /((6)&s/+
+ K/ sfC + (*;, - xs,) 6f{ = x*vi б/i + ^ 6/'T - f{ (i) & ,-^y e/'t.
Преобразуя уравнение (7.113) окончательно в (7.118),
использовали все ограничения, которые накладываются на вариации.
Следовательно, 6oif, б/1", 6vl, dvsi в уравнении (7.118) независимые и
произвольные, поэтому по основной лемме вариационного исчисления все
сомножители при вариациях равны нулю. Предполагается, что все интегралы
в уравнении (7.118) существуют. Итак, получились уравнения типа
уравнений Эйлера в объеме
343

Vi [giJ («) + a О g") •= p W - ej); l '
e,/ (s) + I (°) ff"/3 = (V, */ + V/ *,)/2 ) (?•''9)
и естественные граничные условия на Ss
f[ (v) = fx (I); \. = vt} (/); \'vi = t-^; X*T/ = vxj, (7.120)
на поверхности Sv
Ay =v*r (7.121)
на поверхности Sfl
lsi!(e) + o®gil]ni = fJ* (7.122)
и на поверхности Sg
[s" (в) + (j (g) g<7] /i, = fi, fy = vj. (7.123)
Выражения (7.119) — (7.123) с учетом способа варьирования
представляют краевую задачу, рассмотренную выше. Отличие лишь в
обозначениях. Оказалось, что множители Лагранжа — скорости течения
материала. Поиск решения в классе виртуальных состояний — это отыскание
такого состояния, которое удовлетворяет физическим уравнениям и
условию трения, а, следовательно, всем уравнениям и условиям задачи.
Итак, исследование на экстремум функционала принципа
виртуальных скоростей и напряжений эквивалентно решению краевой задачи
теории пластичности в фиксированный момент времени / в объеме V.
Упражнение
Сделать рассуждения, подобные приведенным в данном пункте
главы, но допуская варьирование положения линий /С, L, М, отделяющих
друг от друга Sf, Sv, Ss, в связи с варьированием поля скоростей и
напряжений. Записать вариационное уравнение. Чем оно отличается от
уравнения (7.113)? Ответ:
( Г е'а s"' 6'
б f \sU(e)de+ [ eu(s)ds+ \o(a.)da + f | (P) <*P +
I vd L .6 о о b
+ P W - «0 v't \dV + f P У - g0 v't dV - f fv. dS -
J "" sf
Г v'si fT
- f /'" v\ dS- f fv\ - f fx (v) dv - f v (!) df
s„ ssL о b '
= 0; ничем.
7.5. Минимальные свойства функционала принципа
виртуальных скоростей и напряжений.
Единственность решения задач механики обработки
металлов давлением. Принцип виртуальных
перемещений и напряжений
Выше было установлено, что функционал / рассматриваемого принципа
на действительном напряженно-деформированном состоянии достигает
dS ==
344

экстремума. Важно знать вид экстремума (минимум или максимум),
является ли он относительным или абсолютным. Покажем, что на
любом виртуальном напряженно-деформированном состоянии, даже
сильно отличающемся от действительного, />0 и обращается в нуль,
достигая абсолютного минимума, на действительном состоянии, являющемся
решением рассматриваемой краевой задачи механики ОМД.
Вычислим функционал / в фигурных скобках уравнения (7.113) на
некотором виртуальном напряженно-деформированном состоянии,
которое существенно отличается от действительного и отмечено штрихами
/=f
И I
\ s</ (е) de + f еи (s) ds+ \ о (a) da +
L о о 6
о' "1
Ь f Е (Р) * + Р W ~gJ) v) \dV+\ р (wJ-gJ) vf dV ■
0 J Vh
-f rv)dS-[ fv*dS- f K<t + ft<t-
Sf Sv Ss L
- f* fx(v)dv- \ v (f)df\dS.
b 6 J
(7 Л 24)
Согласно принципу виртуальных скоростей и напряжений для
этого же виртуального состояния справедливо тождество (7.111). Если
вычесть из выражения (7.124) тождество (7.111), то функционал будет
иметь вид
е..
s4
s4(e)de-siiAeu+ f еи (s) ds-eu As'V -
UJ
s4
— As" Ae;
-AaAg
+
jV(a).da-aAg+| g (P) dp _ £Aa-
dV+ |
f />)^-/<А^.+
+ | ^.(/)d/-,s.AfT-A/^A,s.
dS.
(7.125)
Заметим, что суммирование осуществляется по индексу,
повторяющемуся в подынтегральном выражении и в пределах интегрирования. Знак А
Подчеркивает, что здесь вариации принимаются не малыми.
Из формулы (7.125) получаем важное положение: если виртуаль-
345

ное напряженно-деформированное состояние совпадает с действитель*
ным (AKd = ASs = A^7 = As'7 = Ag = Ao"==AySi = A/^. =0), то
функционал принципа виртуальных скоростей и напряжений J=0.
Установим знак правой части выражения (7.125) в случае, если
функционал будет подсчитан на виртуальном
напряженно-деформированном состоянии, но отличном от действительного. Знак
предопределяется видом подынтегральных функций sif(e), eij(s), о(£), 5(о), f%(v),
vsi(f). Выше постулировалось [см. формулы (7.73) — (7.79)], что
первые четыре подынтегральные функции в уравнении (7.125)
возрастающие. Можно показать, что flT(v) и vSi(f) также возрастающие
функции (см. гл. 6, п. 6.3).
Заметим, что в случае сухого трения /т не зависит от vs и нет
обратной функции vSi(f), функция же f^v) остается возрастающей. При
этом имеет место связь fT = /T(/v)> которая в виртуальном
состоянии должна быть выполнена. Выводы настоящего пункта справедливы
и для сухого трения с указанными здесь замечаниями.
Для выяснения знака выражения (7.125) обратимся к построениям
на рис. 7.7. Точкой 1 обозначено действительное
напряженно-деформированное состояние; точки 2 —
■ -( состояние, вызванное варьиро-
. .i
sLJ
f eL;(s)ds-euAslJ>(J
slJ J J
ванием поля скоростей; точкой
3 — состояние, вызванное
независимым варьированием поля
напряжений. Выражение
(7.125) содержит три квадрат-
.v tt #, ные скобки одинаковой струк-
/ S^Mdff'S^Mu^H туры. Значения этих скобок
*■•■• геометрически
интерпретированы на рис. 7.7. Обратимся,
например, к первой скобке; пусть
As?-/>0 H.Ae,j>0, тогда, как
следует из рис. 7.7, а
У
eij
Ml
W
\ s(i (e)de — sii Дв.;. +
W4J
rA<?A$>ff
j^(ji)dfi-^Ae>0
i-Щ
l %Ш*-4 Avsi>0
Ijsi(f)df-vsiApO
Ъ -Msi Vii V&
346

+ f eij(s)ds-eijAsii>Asii Aeijf
т. е. скобка положительна. Если перебрать все варианты варьирования
As'7^0, Aet/ ^ 0, то неизменно первая квадратная скобка будет
оставаться положительной. На рис. 7.7, б для примера показан случай,
когда Асу<0, а А£>0. Так как До<0 и а'<а, то
а'
-(' 1(р)<*Р-1Л0>О;
а
очевидно, что
[ а (а) da — аД£ > 0 и — AaAg > О,
6
следовательно, вторая квадратная скобка положительна. Также
положительность квадратных скобок в уравнении (7.125) можно показать и
в случае Af [<0, &vSi<0 (рис. 7.7, в). Действительно, поскольку kvsi<Ot
vsi<vSi, то
v'si
[ f>)d,-fTA,s.= /^|A,s.|
аналогично
f \i(f)df-vSiA?l*>°<
4
«>,д/<>д/!>й,
Следовательно, в целом квадратная скобка положительна.
Итак, интегралы по Vd и Ss в уравнении (7.125) от существенно
положительных величин обязательно больше нуля. Функционал принципа
виртуальных скоростей и напряжений на любом виртуальном состоянии
(даже сильно отличающемся от действительного) положителен и до-
стигает абсолютного минимума, равного нулю, на действительном
напряженно-деформированном состоянии.
Выше были установлены важные теоремы: сформулирован
функционал /, условие стационарности которого позволяет найти поля ut- и
а'/, которые являются решением краевой задачи механики ОМД в
некоторый фиксированный момент времени t; стало известно, что
стационарное значение / является абсолютно минимальным и равным нулю.
Было также установлено, что решение задачи рассмотренным методом
- f f>)cfo>0;
а из схемы на рис. 7.7, в видно, что
j ?x(v)dv-?xAvsi+ J v$i(f)df-
t
347

существует. Однако будет ли вариационное решение краевой задачи,
сообщающее абсолютный минимум функционалу У, единственным?
Доказательство проведем от противного. Предположим, что
существуют два решения краевой задачи. Это предположение, как увидим
ниже, приводит к противоречию, что свидетельствует о невозможности
существования двух и более решений одной и той же задачи механики
ОМД, решение будет единственным. Итак, пусть в области V в
произвольный момент времени t имеется два решения. Вычтем из одного
решения (например, первого) второе. Обозначим разности так: As", Де,-/,
Да, Д£, A/', Avi, Af\., Avst. По-видимому, будет справедливо
неравенство
$(AsiJ' Ае.. + AoAl) dV + I bf\ &vsi dS>0. (7.126)
Действительно, в любой фиксированный момент времени имеется
два решения для очага деформации V ^ и V d рамках общего
известного материального объема V. Следовательно, в теле можно
выделить в каждый момент времени три зоны. В первой — оба решения
пластические, значит As11 и Аец, Да и Д§ попарно имеют одинаковые знаки
(см. рис. 7.7, а и б), следовательно AsVAei^O, ДаД§>0. Допустим, во
второй зоне второе решение пластическое, а первое решение
показывает, что в этой зоне материал находится в жестком состоянии, т. е. ец =
=:g(i) = 0, a sf/(1> и а(1> таковы, что не вызывают пластического
течения. Следовательно, Аец = —е(--\ Д£ = — £<2>, s"'2)^^1), о^2)>о^) и
Asif<0, Да<0. Отсюда получим, что во второй зоне AsifAeij>Oy ДаД£>0.
В третьей зоне оба решения показывают, что материал не
деформируется пластически и е^-) = б[у)=§(1) = ^(2) = 0, тогда Д5'/Де;/ = ДаД£ = 0.
Итак, в неравенстве (7.126)
f (As{i Aet / + AoAQdV > 0.
v
Проверим знак поверхностного интеграла в выражении (7.126). На
части поверхности тела Sf заданы поверхностные напряжения, ее
протяженность здесь не варьируется. Оба решения удовлетворяют
граничным условиям, следовательно fm) = }*(*) = ft* и Д/|' = 0. Остальную
часть всей поверхности, ограничивающей тело, S*,|jSs можно
подразделить на три зоны. В первой зоне по обоим решениям пусть имеет место
скольжение. Из-за того, что функции f\(v) и vSi(f) возрастающие
(см. рис. 7.7, в), большему скольжению будет соответствовать большее
напряжение трения и наоборот, поэтому в любой точке первой зоны
Af lx\Vsi>0. Во второй зоне предположим, что по первому решению
имеет место прилипание и^О, а по второму v [р=£0. Тогда
"'x usi \ lx >x ) si >x usi 'x usi ^ ^*
так как /!^2) v^—скалярное произведение однонаправленных векторов,
а в произведении f^X) i>(s2) векторы-сомножители не коллинеарны,
кроме того, модуль вектора напряжения трения покоя ft} * меньше модуля
вектора напряжения трения скольжения /*/2*.В третьей зоне по обоим
348

решениям имеет место прилипание и, следовательно, v ^. =и 0 = Ду51- =
= 0. Итак, показана положительность интеграла по поверхности S в
неравенстве (7.126) и в целом справедливость этого неравенства, если
предположить существование двух различных решений задачи теории
пластичности.
Покажем противоречивость неравенства (7.126) и единственность
решения. Несложно доказать, что
[ (AslJ Аец + ДаД£) dV = J Ао(1'у. (Av .) dV.
у у l v J/
Тогда неравенство (7.126) можно переписать следующим образом:
J Да'7 v. (Д^) dV + .('д/£ ^s^5 > °- (7 л2?)
Применим к первому интегралу формулу Гаусса—Остроградского,
но перед этим учтем, что
Да'7 Vf (Д^.) = Vt (&oi]' Аиу-) — &v. у. (Да*7).
Тогда вместо уравнения (7.127) имеем
J До'7 л, Ди. dS — f Ду. V; (До'О <W + f Af" At/„dS > 0. (7.128)
s J V 7 s
Оба решения были получены вариационным методом с
использованием принципа виртуальных скоростей и напряжений. Оба решения
обязательно удовлетворяют дифференциальным уравнениям движения,
причем с одинаковыми р, wf и g* (варьируются только скорости и
напряжения; ускорения и закон движения, который определяет р, не
варьируются). Следовательно,
у.(Да'/)=0. (7.129)
Учитывая последнее, а также, что Да^'/гг = Д/', уравнение (7.128) примет
вид
f Д// Av. dS + \ Д/£ AvsidS > 0. (7.130)
S 3 S '
Подынтегральное выражение в первом слагаемом неравенства
(7.130), учитывая ортогональность соответствующих векторов, можно
записать в виде
Д/'Д^Д/^. + ЧД^.,
а все неравенство следующим образом:
1 [ДД, Д^, + А/'т (&o4t + Avsi)] dS > 0. (7.131)
Решения удовлетворяют граничным условиям. Поверхность S
имеет части: 5/ и 5^1)^. На 5/ А)Р^=Д/^=0, так как здесь заданы
поверхностные напряжения. На S^U^s задана нормальная составляющая
скорости, следовательно Avvl =0. Итак, неравенство (7.131) с учетом
всех ограничений, накладываемых на решения, можно записать в
окончательном виде
j Afir^vxl + Avs.)dS>0. (7.132)
349

По определению скорость материала в касательной к S^USs плос-
кости равна v xi=vxi—vst, где vxl—заданная скорость инструмента.
Следовательно, Av xi=—AvSi и по уравнению (7.132) получается неверный
результат. Полученное противоречие свидетельствует, что исходное
предположение о существовании двух решений для g,-/ и oif задачи механики
ОМД в фиксированный момент времени / неверно. Поля £,-/ и о*'7
определяются с помощью принципа виртуальных скоростей и напряжений
единственным образом. Наконец, единственность поля £// обеспечивает
определение единственным образом поля vt, если заданы граничные
условия vt = v £-на поверхности Sv.
Итак, выше предложен способ решения части задачи теории
пластичности, относящейся к фиксированному моменту времени, который
обеспечивает вычисление напряженного состояния и поля скоростей.
Рассмотрим, как определить эволюцию напряжений и деформации в
течение времени обработки материала, как назначить р и Wi в решении,
относящемся к фиксированному моменту времени /. Выделим малый
промежуток времени А/, в течение которого приращения деформации
тела были бы достаточно малыми для применения геометрически
линейной деформационной теории
*U = (Vtuj + 4jui)'2' (7ЛЗЗ)
где eij — компоненты тензора приращений относительной деформации,
ui — компоненты вектора приращений перемещения за промежуток
времени А/. Иногда приращения относительной деформации и приращения
перемещения обозначают соответственно Aet/ и А«/, здесь ради
краткости знак А и термин «приращение» будут опущены. Построим для этого
промежутка времени принцип виртуальных перемещений и напряжений.
За отрезок времени А? инструмент совершит известное перемещение.
Выберем виртуальное поле тензора напряжений и поле вектора
перемещения (виртуальные поля отмечены штрихами) такими, чтобы они
удовлетворяли в объеме тела условиям
v. а'/' + р (gf — wf) = 0; о1" = of" ;}
о"-*,-/'-; e^(v^;+v,«;)/2. I (7Л34)
(7.135)
Виртуальные напряжения удовлетворяют, как видно из выражений
(7.134) и (7.135), линейным ограничениям. Виртуальные о"' и и{ не
удовлетворяют известным из условий задачи физическим уравнениям в
объеме тела
-с"=0'/(еЫ, Imn. .-.) (7-136)
и условию трения на поверхности Ss
1=mvvmvv (7Л37)
а на поверхности условиям
Su ui = "i '-
sf f = f;
Ss uv{ = uvl.
►
350

Заметим, что в этом принципе не варьируются р, w'\ vt. Вариации
приняты изохронными и изокоординатными. Способ варьирования выбран
таким, чтобы удалось с помощью принципа решить задачу, причем
единственным образом на отрезке времени Д/.
Если вариации принять бесконечно малыми, то уже известным
образом (см. гл. 6) получается вариационное уравнение принципа
виртуальных перемещений и напряжений
*ч'
j> J! (е) de + г эи (S) ds + j- а (а) da +
обо
MI
b
l'-g0«-
dV+{ p(wi-gi)uidV~
Г V
f «si(/)d/
dS =0.
(7.138)
Здесь суммирование осуществляется по индексам i и /, стоящим в
верхнем пределе интегралов и в подынтегральном выражении (штрихами
отмечены величины, по которым должно осуществляться варьирование).
Решение уравнения (7.138) эквивалентно решению краевой задачи
(7.134) —(7.137). Причем выражения (7.136) будут уравнениями типа
уравнений Эйлера, а (7.137)—естественными граничными условиями
для вариационной задачи (7.138). Функционал в фигурных скобках
уравнения (7.138) на действительном состоянии (решение краевой
задачи) абсолютно минимален и равен нулю. Также можно показать, что
решение единственно.
Рассмотрим решение задачи теории пластичности в целом с
помощью принципа виртуальных скоростей,и напряжений и принципа
виртуальных перемещений^ напряжений. Решение может быть составлено
шаговым методом. Выберем отрезок времени |70, *i], где At = ti—10 мало в
указанном выше смысле. Для момента времени /t применим принцип
виртуальных скоростей и напряжений, а для отрезка времени Д^ —
принцип виртуальных перемещений и напряжений. Поля скоростей в
моменты времени to и tx (в момент времени tt скорости виртуальные, а в
момент времени t0 заданы начальными условиями) дают возможность
представить ускорение в виде
wt ж Avt/ At.
(7.139)
Виртуальные перемещения на отрезке времени At дают координаты
частиц и плотность к моменту t\. О способе варьирования в принципе
виртуальных скоростей и напряжений указано выше. Следует подчеркнуть,
что варьируемые параметры или функции могут входить в величины,
в которых они не варьируются [например в формулу ускорения (7.139)].
В принципе виртуальных перемещений и напряжений ускорение может
быть принято по формуле (7.139), скорости — средними
арифметическими для моментов t0 и tu плотность — исходной в момент времени U.
Решив задачу совместным рассмотрением принципов виртуальных
351

скоростей и напряжений, а также виртуальных перемещений и напрп,
жений, можно перейти к следующему временному отрезку [tu t2] и т. д%
до решения всей задачи большого пластического формоизменения.
Упражнения
1. Доказать, что функционал принципа виртуальных скоростей и ца.
пряжений положителен и достигает абсолютного минимума, равного
нулю, в таких частных случаях: материал несжимаемый; сухое трение;
отсутствует поверхность Ss; нет поверхности Sv или Sfi
2. Доказать, что решение задачи с помощью принципа виртуаль-
ных скоростей и напряжений будет единственным в частных случаях,
указанных в предыдущем упражнении.
Контрольные вопросы
1. Какую систему косоугольных криволинейных координат называ
ют сопутствующей?
2. Что называют контравариантными компонентами вектора?
3. Что называют ковариантными компонентами вектора?
4. Дайте определение тензора.
5. Как определен метрический тензор? Почему он так назван?
6. Дайте определение координатной линии и координатной
поверхности криволинейной косоугольной системы координат.
7. Приведите формулы ковариантной производной векторного поля.
Запишите формулы дивергенции и ротора векторного поля.
8. Что называют законом движения?
9. Как подсчитать компоненты тензора скоростей деформации?
10. Запишите уравнение неразрывности в лагранжевых
координатах.
И. Как называют косоугольные составляющие векторов
напряжений, действующих по трем координатным площадкам, проходящим
через некоторую точку деформируемого тела?
12. Запишите дифференциальные уравнения движения в проекциях
на оси криволинейной косоугольной системы координат.
13. Какое назначение имеют физические уравнения связи
напряженного и деформированного состояний?
14. Какие постулаты о виде физических уравнений связи выдвинуты
данной главе?
15. Приведите теорему об изменении кинетической энергии.
16. Что утверждает первое начало термодинамики?
17. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности.
18. Что утверждает второе начало термодинамики?
19. Приведите критерий обратимости и необратимости процессов.
20. Сформулируйте краевую задачу механики обработки металлов
давлением.
21. Какое напряженно-деформированное состояние называют
действительным?
22. Сформулируйте принцип виртуальных скоростей и напряжений.
23. Какое напряженно-деформированное состояние называют
виртуальным?
24. Приведите вариационное уравнение принципа виртуальных
скоростей и напряжений.
~25. Запишите функционал принципа виртуальных скоростей и
напряжений.
26. Чему равен функционал на действительном и виртуальном
состояниях?
27. Что можно сказать о единственности решения краевой задачи
механики обработки металлов давлением?
352

Глава 8
ОСНОВЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
ТЕОРИИ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Задачей предмета «Теория обработки металлов давлением»
является подготовка будущего инженера к практической
деятельности, вооружение его методами научного анализа.
На производстве инженер обязан обеспечивать постоянный
рост производительности действующих и создавать новые
лучшие технологии и агрегаты по производству поковок,
проката, труб, метизов и т. д.; обеспечивать, чтобы рост
производительности сопровождался улучшением качества
продукции и снижением ее себестоимости; обеспечивать на
своем участке материализацию социальных достижений
нашего общества. Умелое сочетание теоретических методов,
эксперимента и профессиональных знаний особенностей
данного производства позволяет инженеру своевременно и с
высокой надежностью найти решение технических задач,
которые перед ним постоянно выдвигает практическая
деятельность.
В предыдущих главах были изложены некоторые
теоретические методы расчета технологических параметров
процессов ОМД. Ниже будут рассмотрены дополнительно
некоторые другие расчетные методы. Все они позволяют
осуществлять так называемое математическое моделирование.
Математическое моделирование — это приближенное
описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью
математических символов и соотношений, с целью его
познания и оптимизации. Этот метод, сводящий исследование
явлений к математическим задачам, занимает ведущее место
среди других методов исследования, особенно в связи с
появлением ЭВМ. Он позволяет усовершенствовать
действующие и проектировать новые технические средства,
работающие в оптимальных режимах.
8.1. Теория подобия и физического моделирования
пластической деформации
Физическое моделирование пластической деформации —
это воспроизведение некоторого реального объекта
(натуры) с помощью устройства (модели), действие которого
основано на тех же физических принципах, что и натуры, с
Целью изучения закономерностей на модели и перенесения
полученных результатов на натуру. Моделями, например,
23-382

могут быть лабораторные установки (прессы, прокатные,
волочильные станы, нагревательные устройства и т. п.), на
которых осуществляется изучение реальных
производственных процессов. Лабораторный прокатный стан может быть
моделью, например, блюминга, так как они работают по
одинаковому физическому принципу. Этот же стан не может
быть моделью пресса, так как основные части этих машин
и инструмент имеют разную форму и действуют по
разному: валки прокатного стана имеют вращательное движение,
а бойки пресса — поступательное. Модели, как правило,
проще и дешевле натуры; они отличаются от натуры
второстепенными деталями, например модель может быть в
несколько раз меньше натуры, но основные физические
принципы работы модели и натуры должны быть
одинаковы. Физическое моделирование имеет большое значение:
только в условиях лаборатории можно изучить вновь
создаваемые процессы или реализовать экстремальные ситуации
для действующих уникальных машин; в лаборатории,
осуществляя физическое моделирование, можно поставить
широкие эксперименты по поиску оптимальных режимов
деформации металлов; результаты физического
моделирования обладают большой убедительностью.
На вопросы какой смысл вкладывается в слова «те же
физические принципы»? каким образом возможно
перенесение лабораторных данных или данных, полученных на
модели, на натуру дает ответ теория подобия и физического
моделирования, изложенная, например, в работах А. А.
Ильюшина и Л. И. Седова.
Две геометрические фигуры называют подобными, если
отношения длин всех их сходственных отрезков
одинаковы и если, осуществляя мысленное однородное растяжение
или сжатие по всем координатным направлениям фигур,
они совпадут при наложении друг с другом вместе со всеми
сходственными отрезками. Если известен коэффициент
расширения или сжатия (отношение сходственных длин), т. е.
масштаб, то простым умножением размеров одной
геометрической фигуры (модели) на величину масштаба
получают размеры другой, ей подобной фигуры (натуры). Будем
считать, что физическое подобие является обобщением
геометрического подобия и физически подобные объекты
обязательно подобны друг другу геометрически. Перед тем ка#
ввести определение физического подобия проведем
некоторые предварительные рассуждения.
Пластическое деформирование металла при его
обработке, моделирование которого необходимо осуществить,
354

описывают дифференциальные уравнения и краевые
условия. Предварительно проделаем следующие операции.
1. Приведем полную систему дифференциальных
уравнений теории пластичности и краевые условия для задачи
ОМД. Будем считать, что материал деформируемого тела
объемом V обладает свойствами идеальной пластичности и
несжимаем; имеет место сухое трение с законом /т = fx (/v),
например, вида fT =|V{), где jx и rj — эмпирические
коэффициенты, размерность которых такова, что закон трения
однороден по размерности (размерность правой и левой
частей одинаковы); на поверхности Sf нет нагрузки /^=0;
течение изотермическое и достаточно медленное. В систему
входят: физические уравнения связи с кинематическими
соотношениями
а„-а6„ = 2твЕ,//Н, (8.1)
где Н =/51^7. hj=(vu+vu)/2.
причем gr/6/j = g = 0; дифференциальные уравнения
равновесия для симметричного тензора напряжений,
удовлетворяющего условие идеальной пластичности T=rs,
дифференциальные уравнения траекторий материальных
точек (частиц)
dx/dt = vx; dyldt = vy; dzldt = vt. (8.3)
Граничные условия на S=Sf USolISs таковы:
VM6S, ounj = 0; (8.4)
YMeS„», = i£ (8.5)
VAi€S,i>v = i>;; ГТ = ^Г (8.6)
Начальные условия при /=0
ЪМеУх\м = х0; y\t=0 = yQ; 4=о=^ (8.7)
где x0l y0l zq — заданные координаты материальной точки
До деформации. Система (8.1) — (8.3) является полной.
2. Преобразуем все напряжения (8.1) — (8.7) к
безразмерному виду. Для этого введем безразмерные величины
^отмечены чертой сверху) следующим образом: х=х/1;
У~у/Ь\ z=z/h\ l=t/t^;~Vi = Vi/v\ ои=оц/2х39 где I, b, h —
характерные размеры обрабатываемого тела по трем
координатным направлениям {длина, ширина и высота перед
23*
355

обработкой); t$ — характерное время (продолжительность
деформации); v —характерная скорость (окружная ско*
рость прокатного валка в случае установившегося процес,
са прокатки); 2xs — характерное напряжение, т.е. удвоен,
ный предел текучести при чистом сдвиге. Указанные харак-
терные параметры известны и постоянны. Подставим в
соотношения (8Л) —(8.7) x=x-l; y=y-b; z=z-h\ t=t-i^
Vi = vi:v\ Oij = Gir2xs, тогда после элементарных преобра^
зований получаем
- - h dvx /тт.
хх I дх I
°х» =
Ъ $~У
OVv
I дх
dvv
2Н;
'»!/
ду
а-/й;
где 11
I дг Ь ду J/
дг I
= ГА *£. + _**]/2iT,
I 1 дх дг J/
= l/jL Г / Jk_ А *» JL.Y +
" 3 |Д ох I д'у Ь )-
(8.1а)
+
dvy ft
ду ь
dvz
дг
+
dvz
dz
dvx h
дх l
+ 4
dvx h
d'y b
+
дх l
122L _}-
dv„
dvT
dz ду Ь
+
dvz
дх
- dz
П
*> дх
h do
дг
= 0:
%
xy j Л_ dOyy
do
дх
+ T
3a,
f. w>« =0;
Wz
в*
дг
дг
(8.2a)
356

dx
= & — *„: -^_-~, » '/
Л ""^ / T'* (8.3a)
<*xx Пх + <*xy % + 0XZ nz=0;
°хуПх + Ьу1/Пу+ЪугПг=:0;
°xznx + ayzny + Ozznz = Oy
(8.4a)
(8.6a)
vi = vi » (8.5a)
Vxnx + Vyny + Vzflz = VXHX + vytly -f vlnz;}
i|7s=o=x0; ~y\T=o = 'y0; z|r=0 = 50. (8.7a)
Система (8.1a) —(8.7a) отличается от системы (8.1) —(8.7)
лишь некоторыми постоянными величинами, составленными
из известных характерных параметров h/lf h/b, vt$/l,
|i/(2т.)'-п.
3. Заметим, что системы (8.1) —(8.7) и (8.1а) — (8.7а)
имеют решения; могут быть найдены траектории движения
каждой частицы, принадлежащей V, поля скоростей
перемещения этих частиц и поля напряжений в любой момент
времени. Обозначим их соответственно а и а. Например,
для системы (8.1) — (8.7) можно сказать, что в точке
пространства с координатами х> у, z, в момент времени £
искомая такая — то величина будет а = а(л:, у, z, t), здесь
правая часть покажет, как подсчитать по х, у, z и t эту
величину. Аналогично можно сказать и о системе (8.1а) —
,(8.7а) и записать a = a(*, у, z, t). Решение системы (8.1а) —
(8.7а) можно записать в виде
а = а [х, у, г, /, h/l, h/Ь, vttfl, р/(2%8)1^]. (8.8)
Заметим, что составлять конкретное решение уравнения
(8.8) не нужно, важно записать величины, от которых
зависит решение а задачи теории пластичности.
В определении геометрического подобия говорилось о
сходственных отрезках подобных фигур, которые
совпадают друг с другом при наложении фигур после однородного
растяжения (или сжатия) по всем координатным
направлениям одной из них до полного совпадения этих фигур. Так-
357

же можно говорить и о сходственных точках подобных
фигур. Договоримся, что начало координат для подобных
фигур будет размещаться в сходственных точках, а
направления осей будут совпадать с направлениями сходственных
отрезков. На рис. 8.1 показаны две подобные фигуры. Точки
Ин
Ъ\ц\Ри
шш/Щ.
Зн
777777777777777777777/
Им
ч
'L
И„
I
Рн
шщгШ
О и О1 — сходственные, через них проходят оси выбранной
системы декартовых координат. Будем считать, что для
подобных фигур характерные размеры I, b, h — это
сходственные размеры. Теперь можно заключить, что сходственные
точки подобных_фигур имеют одинаковые безразмерные
координаты х, у, г. Сходственное время — это безразмерное
время t=t/t$; отсчет времени ^(и t) будем производить от
нуля в момент начала деформации.
Пластически деформируемые тела называют подобными,
если они геометрически подобны в любой сходственный
момент времени и если во всех их сходственных точках в
любой сходственный момент времени безразмерные
механические переменные одинаковы.
Рассмотрим необходимое условие подобия двух
пластически деформируемых тел — натуры и модели. Если они
подобны, то по определению безразмерные механические
переменные уравнения (8.8) одинаковы во всех
сходственных точках с координатами х, у, z и в любой сходственный
момент времени t. Итак, ан = ам. Из этого следует, что
натура и модель должны иметь
[ ц/(2т5)'-"]н = [ р/&у-%.
(8.9)
358

Критериями подобия называют безразмерные
коэффициенты (8.9), составленные из характерных постоянных
параметров процесса (в рассматриваемом случае I, b, h, v, t$t
2т5, |ы, т]), равенство которых для натуры и модели
является необходимым условием их подобия. Итак, если два
пластически деформируемых тела подобны, то они имеют
одинаковыми критерии подобия. Равенство критериев
подобия для натуры и модели лишь необходимое, а не достаточ<
ное условие подобия процессов пластического
деформирования, т. е. обеспечение равенства критериев подобия в
модельном эксперименте и в натуре может не привести,
вообще говоря, к подобному протеканию процессов
пластического деформирования. Однако такая ситуация, вероятно,
будет встречаться редко. Можно с небольшим риском
считать, что удовлетворение критериев подобия обеспечит
достаточные условия протекания модельного процесса подобно
натурному.
Выясним, как результаты модельного эксперимента
перенести на натуру, т. е. как можно прогнозировать
значения механических переменных в натурном процессе,
определяя их лишь на модели. Рассмотрим напряжения. Пусть
в модельном эксперименте соблюдены условия подобия.
Тогда в сходственных точках (оц)н= (оц)м, или (<г///2тв)н =
= (Gij/2xs)m. Отсюда следует, что напряжения в натуре и
модели так относятся друг к другу, как пределы текучести
на сдвиг материала натуры и материала модели
Ын/(ау)м = (тМ^ (8Л°)
Компоненты тензора напряжений оц полностью определяют
напряженнре состояние, в том числе и нормальное
напряжение на контактной поверхности с инструментом fv —
важную характеристику процесса. Действительно,
/*=W> U = ftnt = °t,ntnr
Натура и модель подобны, поэтому в сходственных точках
поверхности имеет место равенство направляющих
косинусов т. Следовательно,
(/v)„/(/v)M = КУК-)» = Ы„/К)«- (8-Ц)
Итак, нормальные напряжения на инструмент натуры и
модели относятся друг к другу так же, как пределы текучести
Натуры и модели.
Для практических целей представляет большой интерес.
Установление правил пересчета некоторых интегральных
359,

характеристик: силы деформации, крутящего момента при
прокатке, мощности развиваемой приводом, затраченной на
деформацию работы и т. п. Рассмотрим, например, силу
осадки (рис. 8.1)
P = UydS>
где 5 — поверхность контакта заготовки с верхним по*
движным бойком. Воспользовавшись теоремой о среднем,
можно написать P=fcf S. Соответственно для натуры и
модели можем записать
P» = {f?)»SH; Pm = (/c/)mSm. (8.12)
Пусть выполнены критерии подобия и процессы протекают
подобным образом. Тогда напряжения в сходственных
точках
№)J(ff)u = Ын/Ым-
Из элементарной математики известно, что
SH/SM = т\
где т = /н//м — масштаб моделирования. Используя
последние результаты, отношение Рн и Рм (8.12) можно
представить в виде
Рп/Рм=т*(т8)н/(т8)м. (8J3)
В частном случае, если моделирование ведется с тем же
материалом, из которого выполнена натура, то (ts)h/(ts)m=U
и формула (8.13) упрощается
Ря/Рм=т\ (8.13а)
Рассмотрим мощность деформации при осадке N = Pv.
Отношение мощностей деформации натуры и модели
^HAVM=mM(Ts)H/(Ts)M](yH/t;M),
или, если учесть, что
v = dyldt = {dyldt){blt^) = v (ft//p)f
то
NJK = ^[К)„/(^)„][(Ч)н/(^Р)м]- (8-,4>
Предположим, что моделирование осуществляется на ton*
же материале, из которого состоит натура, и время
деформации (размерное) одинаково, тогда
NK/Nn = m3. (8.14а)
360

Формулы (8.11), (8.13а) и (8.14а) известны под
названием закона подобия при деформации геометрически
подобных тел, установленного в 1874 г. В. Л. Кирпичевым.
Здесь рассмотрена теория подобия и физического
моделирования на упрощенном примере достаточно медленной
деформации идеально пластичного несжимаемого
материала при сухом трении об инструмент вида /т=|я/п в
условиях изотермического течения. В действительности процессы
ОМД сложней. Однако порядок построения теории подобия
и моделирования остается одним для процессов ОМД
любой сложности. Для любых физических процессов
составляется полная математическая модель процесса
(дифференциальные уравнения и краевые условия); она приводится к
безразмерному виду; выделяются критерии подобия и
составляются пересчетные формулы.
Упражнения
1. Почему равенство критериев подобия для натуры и модели
является необходимым, а не достаточным условием подобия двух
процессов пластического деформирования? В каком случае критерии подобия
дадут достаточные условия? Ответ: вывод критериев подобия
осуществлялся в предположении, что существуют решения краевых задач
для натуры и модели и они физически подобны; если решение краевых
задач будет единственным.
2. Как будут соотноситься между собой деформации в результате
пластической обработки в модельном теле и натуре? Ответ:
отношение абсолютных изменений размеров натуры и модели будет равно
масштабу т\ относительные деформации (например, отношение
абсолютного изменения некоторого размера к его исходному размеру)
модели и натуры будут равны.
8.2. Применение теории подобия и моделирования.
Трудности моделирования
Решение задачи повышения обжатий (деформаций) при
производстве проката, поковок и т. п., необходимость
освоения производства новых изделий по форме, размеру или
из нового материала нередко сопровождается увеличением
нагрузок на машины и их детали. Естественно, что
повышение нагрузок не может быть беспредельным, оно
ограничено прочностью машин. Величины допустимых нагрузок
определяют соответствующими расчетами. Иногда такие
расчеты недостаточны. В этих случаях полезно определение
предельных разрушающих нагрузок путем моделирования.
Интересной иллюстрацией к сказанному может служить
случай, описанный Ю. М. Чижиковым. При прокатке
слитков на блюминге одного из заводов во время опробования
Нового режима обжатий (повышенных, обеспечивающих бо-
361

лее высокую производительность) была обнаружена
трещина в нижней поперечине станины. Появление трещины
пытались объяснить высокими обжатиями, которые
применили при опытах. Тем более это казалось убедительным
потому, что трещина была в той станине из двух, которая
испытывает большие нагрузки. Были проведены испытания
нескольких экземпляров модели станины, которую отлили
в масштабе 1 : 10 из той же стали, из которой была отлита
станина в натуре. Специальным устройством модели
станины подвергали нагружению до разрушения. При этом
сначала постепенно выжимался нажимной винт из верхней
поперечины, которая в средней части получила остаточную
деформацию. При дальнейшем увеличении давления
началась заметная деформация стоек станины и, наконец,
произошел их разрыв. Нижняя поперечина не разрушилась.
При испытании определили силу, при которой произошел
разрыв модели. Она составила 92—98 т. Согласно теории
подобия и моделирования (см. п. 8.1) для станины в
натуре разрушающая сила была бы Рн=Рмт2= (92—98) • 102 =
=9200—9800 т. Испытание модели станины показало, что
наиболее слабым местом у станины являются ее стойки.
Трещина в нижней поперечине станины возникла не в
результате ее эксплуатации с перегрузками. Повышенные
режимы обжатий были реабилитированы. Позже удалось
установить, что трещина возникла еще при изготовлении
станины.
Разрушающая нагрузка была определена с помощью
теории подобия и моделирования, разработанной в п. 8.1
для пластически деформируемого тела* Аналогичным
образом можно составить теорию подобия и моделирования для
конструкций, работающих в области упругих деформаций.
Уравнения теории упругости в большей части совпадают с
уравнениями теории пластичности, отличие состоит только
в физических уравнениях1. Упругая относительная
деформация объема е связана со средним нормальным
напряжением а законом Гука
e = 3to, (8.15)
где k — константа материала (размерность обратна
размерности напряжения). Коэффициент пропорциональности
компонент девиатора напряжений и девиатора деформаций
для задач линейной теории упругости принимают постоян-
1 ^юсь также принимается изотермическая, достаточно медленна*1
до' 1-моиия. Влияние гравитационных сил пока не учитывается.
ш

ным и равным 2G, где G — вторая константа материала —
модуль упругости на сдвиг, размерности напряжения.
Компоненты девиаторов связаны соотношением
аи - а6и =■- 2G (ги - е&и/3). (8.16)
Уравнения (8.15) и (8.16) являются физическими
уравнениями линейной теории упругости, связывающими
напряжения G,j и деформации гц. Коэффициенты k и G
выражают через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v k =
==(1—2v)/£; G = £/2(l+v). Приведем уравнения (8.15) и
(8.16) к безразмерному виду
е = 3(1—2v)a; (8.15a)
ои - G6tj = (8,7. - вб,,/3)/(1 + v), (8.16a)
где oij=oij/E, о=а/Е; относительные деформации е и
е// — безразмерны.
Граничные условия для конструкций, работающих в
упругой области, задают обычно в виде системы сил Л.
Приведение этих условий к безразмерному виду показывает, что
каждая из сил будет характеризоваться безразмерным
параметром Pi/Ed2, в котором d — некоторый характерный
линейный размер конструкции (высота, ширина, длина
и т. п.).
Итак, если полную систему уравнений теории упругости
решить относительно искомых переменных а,у и щ
(перемещений), то будут получены аналогично формуле (8.8)
функции вида
а = а (*, #, ~гХ Щ h/Ь, v, РЬ1ЕЯ). (8.17)
Для того, чтобы в сходственных точках натуры и модели в
любой сходственный момент времени функции (8.17) были
одинаковы, должно обеспечиваться равенство vH=vM и
(PifEd^U=(Pi/Ed^)u.
Пусть моделирование осуществляется на конструкции из
того же материала, из которого построена натура. Тогда
автоматически Vh=vm, Ен=Ем. Для того, чтобы был выполнен
последний критерий подобия, следует нагрузки Pi на
модели выбрать такими, чтобы отношение Р/н и Рш было равно
квадрату масштаба моделирования (если модель, например,
в 10 раз меньше натуры, то нагрузки Pi на модели должны
быть в 100 раз меньше, ^ем на натуре). Пересчет
напряжений с модели на натуру в этом случае осуществляют по
формуле (оц)н = Ен(оц)м/Ем=[оц)ш напряжения в
модели и натуре будут одинаковы.
363

Не всегда столь просто удается осуществить моделиро,
вание работы упругих конструкций. Осложнения
возникают, когда существенную роль играет масса конструкции Q
(гравитационная нагрузка). Если в полной системе
дифференциальных уравнений теории упругости учесть массу, то
после сведения уравнений к безразмерному виду возникает
еще один критерий подобия E/pgd, в котором g —
ускорение силы тяжести, d — характерный размер конструкции,
р — массовая плотность вещества конструкции. При
выполнении необходимых условий подобия v = idem1, Pt/Ed2=:
= idem, £'/pg'd = idem все относительные деформации
модели и натуры будут одинаковыми, равными будут и
безразмерные напряжения oij=oij/E.
Если модель и сооружение в натуре выполнены из
одного и того же материала, то значения р, v, Е одинаковы на
модели и в натуре, и поэтому для физического подобия
должно быть выполнено условие gd=idem. В обычных
условиях моделирования g = idem, следовательно, для
соблюдения физического подобия должно быть d = idem, т. е.
модель должна совпадать с натурой. Иначе говоря, при
постоянном g моделирование на одном и том .же материале
невозможно. Изменение g можно получить искусственным
путем, если, например, заставить модель вращаться с
постоянной угловой скоростью, поместив ее на центробежную
машину. При достаточно малых размерах модели и
большом радиусе вращения центробежные силы инерции
элементов модели можно считать параллельными.
Осуществляя вращение около вертикальной оси, получим, что в
состоянии относительного равновесия модели (по
отношении к центробежной машине) на модель будут действовать
постоянные массовые силы, аналогичные силе тяжести, но
с другим ускорением. Выбором угловой скорости вращения
можно получать любые большие значения ускорения и
осуществлять моделирование при тф\ на том же материале,
из которого сделана натура. Обратный эффект (уменьшение
g) можно получить погружением модели в жидкость.
Рассмотрим случай моделирования скоростных
процессов пластической деформации. Как и в п. 8.1, материал
будем считать идеально пластичным, скоростное
упрочнение во внимание принимать не будем, течение принимаем
изотермическим, соответствующим холодной деформации.
Отличие полной системы уравнений для этой задачи
от случая, рассмотренного в п. 8.1, состоит в том, что вместо
1 Латинское выражение idem означает одно и то же.
364

уравнения равновесия в системе буДУт Уравнения движения
а,.. = рш., (8.18)
где р — массовая плотность частиц деформируемого
материала; Wi — ускорение этих частиц
w{ = dvi'/dt + vi/vr (8.19)
Начальные условия (8.7) в этом случае должны быть
дополнены заданием поля скоростей в начальный момент
времени. Примем для определенности
^=о=°- (8-2°)
Введем безразмерные переменные по формулам х=х/1;
y=y/b; z = z/h; Vi = vi/v; Оц=сц/2х8\ 7=///р. Может
оказаться, что время окончания процесса деформации t$
неизвестно, тогда характерное время t$ = h/vt где h характерный
размер заготовки (высота); v — характерная скорость
штампа в момент встречи с заготовкой. Подставим
значения Gijy Vi, х, у, z и /, выраженные через безразмерные
переменные, в уравнения (8.1), (8.3) —(8.7), (8.18) —(8.20).
Анализ полной системы дифференциальных уравнений
быстрого пластического течения в безразмерном виде
показывает, что наряду с критериями подобия, которые были
установлены в п. 8.1, для выполнения подобия модельного
эксперимента быстрого течения должен выполняться также
критерий pi>2/T5 = idem.
Рассмотрим моделирование процессов горячей
пластической деформации металлов. Будем полагать, что изучаемое
течение достаточно медленное, позволяющее не принимать
в расчет инерционные нагрузки. При этом учтем
скоростное упрочнение металла и тепловые эффекты. Данная
задача моделирования имеет особенности, отличающие ее от
задачи в п. 8.1. Материал, деформируемый в горячем
состоянии, не подчиняется условию идеальной пластичности.
В физических уравнениях связи напряжений и скоростей
деформации
аи-абу = 2Т(Н,в)||уН (8.21)
Существенную роль играет функция Т = Т(Н, 6),
описывающая так называемую едиуую кривую, т. е. зависимость
интенсивности касательных напряжений Т от интенсивности
скоростей деформации сдвига Н и температуры 0.
Применим безразмерные переменные для напряжений в
соответствии с формулами п. 8,1, полагая, например, что %s предел
365

текучести при чистом сдвиге в условиях статических испьк
таний (Н-Я)). Тогда
а0.~абг7 = 2Т(Н,е)^/т,Н (8.22)
Примем, что единую кривую как для материала модели,
так и натуры можно описать формулой
Т = xs + ЛН* (8.23)
в которой эмпирические коэффициенты rs, А, В являются
функциями температуры и имеют такую размерность, что
уравнение (8.23) однородно по размерности. Объединяя
уравнения (8.22) и (8.23), получим
*и - riu = [1 + (A/rs)(v/hfEB] 1,,/Н, (8.24)
где lij = hlij/vy H. = hH/v, a v — известная характерная
скорость, например, встречи бойка с заготовкой. Физическое
подобие требует, чтобы о,/, £,•/, Н были одинаковыми как
для модели, так и для натуры. Поэтому из выражения (8.24)
получаем критерий подобия
Яг = (A/%s)(v/hf = idem. (8.25)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
теплопроводности.
X (д2 Q/dx2 + д2 в/ду2 + д2 Q/dz2) + ТН = рс (dQ/dt +
+vxdQ/dx + vy dQ/dy + vz dQ/dz). (8.26)
Будем считать, что Л, с и р — постоянные величины.
Введем безразмерные величины, кроме того примем
Т = VsijSij/2 ; в = Э/90; t = tv/h,
где v — характерная скорость, например скорость встречи
штампа с заготовкой; 6о — характерная температура,
например, температура заготовки перед осадкой,
распределенная однородно по ее объему.
Уравнение (8.26) в безразмерном виде имеет вид
(Л//)2 д2 Q/dx2 + (h/b)2 д2 ё/ду2 + д2 Q/dz2 +
+ 2 (тв vh!%%) Т Н = (pcvh/K) [dQ/dt + {hit) vx dQ/dx +
+ (h/b) vy дв/ду + vz dQ/dz]. (8.27)
Физическое подобие требует, чтобы в сходственных точках
и в сходственные моменты времени безразмерные
переменные 6, оц, Vi, Т и Н для модели и натуры были одинаковы-
566

ми. Если решения уравнений (8.27) относительно 9 для
модели и натуры будут одинаковыми, то постоянные
безразмерные коэффициенты этого уравнения идентичны как
для модели, так и для натуры. Следовательно, значит,
должны выполняться следующие критерии подобия:
#2 = (т* vh/XQo) = idem; (8.28)
Я3 = (pcvh/X) = idem. (8.29)
Установим граничные условия тепловой части задачи.
Боковая поверхность заготовки (рис. 8.1), теряет тепло
излучением и конвекцией. Однако эти потери не велики по
сравнению с потерями в месте контакта заготовки 3 с
холодным инструментом И. Ради простоты не будем
учитывать потери тепла через боковую поверхность.
Следовательно, через боковую поверхность отсутствует тепловой поток
дв/дп = 0, (8.30)
где п — внешняя к телу нормаль. В безразмерном виде,
приняв n=nfi, имеем
дв/дп = 0. (8.30а)
Условие (8.30а) совершенно идентично как для модели, так
и для натуры. Из этого соотношения не получается
никаких дополнительных критериев. Пусть на контактной
поверхности с инструментом имеет место прилипание.
Граничные условия тепловой части задачи таковы:
— (Ш/дп)ъ + (Ш/дп)и = 0;
0з =■ 9И.
(8.31)
Выделим критерий подобия из условия (8.31). Оно в без
размерном виде следующее:
— д\/дп + (Хи/К3) dQJdn = 0;
- - , (8.31а)
9з = би
Отсюда получаем критерий подобия
#4 = (V*a) = idem (8.32)
т. е. отношение коэффициентов теплопроводности
инструмента и деформируемого металла должно быть одинаково
в модели и в натуре.
Примем начальные условия тепловой задачи
М*. У, 2)|,=0=e0 = const;
еи.(*. i/^)|/==0=ei = const-
367

В безразмерном виде начальные условия имеют вид
Щ-=0= 1;
Эксперимент должен быть построен так, чтобы для моде*
ли и натуры выполнялось условие
#5 = е./Эо = idem. (8.33)
Итак, для того, чтобы осуществить модельный
эксперимент по горячей деформации металла, следует подобрать
условия опыта: модель должна быть геометрически
подобна натуре, а также должны выполняться критерии подобия
lR\y R2> Rs, R* и /?5- Подбор материала модели, который бы
удовлетворял всем требованиям, довольно сложная задача.
Можно ли осуществить строгий модельный эксперимент,
если модель и натура выполнены из одного и того же
материала? В этом случае АН=АМ\ BH = BU\ t5h=tsm; 7с3.н=
===Аз.м5 А,и.н== А,и.м! Рн==Рм| ^н==^м.
Температуры натуры и модели в исходном состоянии
одинаковы. Критерии подобия в этом частном случае
приобретут вид (четвертый и пятый критерии удовлетворяются
автоматически) :
R[ = (v/h)H = (v/h)M; (8.34)
R2 = & --= (vh)H = (vh)M. (8.35)
Легко обнаружить, что эти критерии противоречивы и
удовлетворить их одновременно при тф\ невозможно.
Действительно, пусть моделирование осуществляется так,
что hK>hM. Из условия (8.34) следует, что в модельном
опыте должно быть vM<vH во столько же раз, во сколько
hH>hM. Но это противоречит условию (8.35), из которого
следует, что если уменьшаются размеры модели, то во
столько же раз должна быть увеличена скорость v.
Модельный эксперимент по горячей деформации на том
же материале при тф\ иногда возможен. Если, например,
скоростное упрочнение не столь велико, то условие (8.34)
можно исключить, а учитывать только условие (8.35).
Такой случай вполне возможен, так как многие металлы
проявляют существенно скоростное упрочнение только в
результате изменения скорости деформации на порядок й
больше.
В другом случае, когда температурные условия не
играют существенного значения, то из двух противоречивы*
368

условий: выбирают только условие (8.34). Это имеет место
при изучении механических свойств металлов при высоких
температурах. Опыт стремятся провести в условиях,
близких к изотермическим, предупреждая охлаждение образца
(подогревая бойки и т. п.). В этом случае теплового
движения практически нет и,его не принимают в расчет.
Практическое моделирование в большинстве случаев
возможно только при условии приближенного подобия, особенно
в связи с нарушением подобия теплофизических
процессов.
Упражнения
1. Вывести критерии подобия для стационарного быстрого течения
несжимаемой линейно вязкой жидкости при условии прилипания ее к
поверхности твердых тел, ограничивающих поток жидкости. Ответ;
в этом случае будет один критерий подобия (критерий Рейнольдса)
R=vdp/A, где t\ d, р, Л — характерные скорость, линейный размер,
плотность, коэффициент вязкости соответственно.
2. Как следует изменить уравнения и условия (8.1) — (8.7) при
выводе критериев подобия для моделирования обработки давлением
некомпактных материалов (порошков, гранул и т. п.) ? О т в е т: в
уравнениях (8.1) следует считать, что т., — величина переменная например,
Ts=Ts(p); вместо условия несжимаемости £=0 следует ввести
дифференциальное уравнение неразрывности ф/^+р£ = 0; надо учесть, что
а —известная функция, например вида о=о(р).
3. Вывести специфические критерии подобия для предыдущего
случая, полагая, что т5 = ае6, cr=ced, где а, Ь, с, d — эмпирические
коэффициенты; е=Г|^т. Ответ: a/Tso = idem; c/Tso — idem; p°/p0=idem, где
о
Tso и р0 —предел текучести на сдвиг и плотность некомпактного
материала в исходном состоянии.
4. Удастся ли вывести критерии подобия для условий первого
примера, но медленного течения? О т в ет: нет, их не будет; медленное
течение будет автомодельным; для моделирования достаточно обеспечить
лишь геометрическое подобие; любое геометрически подобное течение
будет подобным в физическом смысле.
8.3. Анализ размерностей
Не всегда экспериментальному изучению того или иного
процесса может предшествовать формулировка
соответствующей системы уравнений и условий с целью выделения
критериев подобия. В этом случае критерии подобия
могут быть установлены с помощью анализа размерностей.
Теория анализа размерностей имеет еще один аспект
применения. Эксперимент связан с затратой времени
исследователя и материальных средств. Анализ размерностей
Позволяет сократить число переменных, которые
необходимо варьировать от опыта к опыту, без ущерба для
полноты полученных результатов.
24-382
369

Величины, численное значение которых зависит от
принятых масштабов, т. е. от системы единиц измерения,
называют размерными. Размерными величинами будут длина
отрезка, масса тела, время, сила и т.д. Величины,
численное значение которых не зависит от применяемой системы
единиц измерения, называют безразмерными.
Безразмерными будут отношения размеров тела, квадрата длины
тела к площади его поверхности, упругого напряжения к
модулю упругости, относительная деформация (отношение
абсолютного удлинения к длине тела) и т.д. Подразделение
величин на размерные и безразмерные является условным.
Например, угол можно измерять в градусах (он будет
размерным) и в радианах (безразмерным). Единицу
измерения размерной величины называют размерностью.
Размерную величину представляют в виде произведения ее
числового значения на размерность.
Различные физические величины связаны между собой
соотношениями. Размерности основных физических
величин называют основными размерностями, а размерности
производных физических величин — производными.
Подразделение физических величин и размерностей на
основные и производные условно. Государственным
стандартом СССР (ГОСТ 9867—61) введена Международная
система единиц СИ.
В теории размерностей важное значение имеет теорема:
если какое-либо уравнение однородно относительно
размерностей, то его можно преобразовать к соотношению,
содержащему набор безразмерных величин. Однородным
относительно размерностей является уравнение, форма
которого не зависит от выбора основных единиц.
Вторая теорема, или теорема Букингема
формулируется так: если размерная величина а является функцией
независимых между собой размерных величин аи а2, ..., я*
*^f((*i,a2, ... , ап)9 (8.36)
причем среди размерных величин аь аъ ..., ап k величин
(k^n) имеют основные или независимые размерности, то
эта функциональная зависимость может быть
представлена в виде
где я, jti, яг, ..., Пп-k— безразмерные комбинации из м+1
размерных величин а, аи а2>...... ап. В правую часть функции
(8.36) могут входить также безразмерные величины. Он#
в расчет не принимаются, автоматически переходят в пра*
370

вую часть формулы (8.37) и в ней не отмечены. Теорема
Букингема известна как я-теорема. Рассмотрим ее
доказательство.
Пусть для определенности среди размерных величин
01, «2, •••> ап первые k величин (k^.n) имеют основные или
независимые размерности (число основных размерностей
должно быть не меньше k). Обозначим основные
размерности следующим образом:
\ах] = Ах\ [а2\ = Л2; ... ; lak) = Ak.
Размерности остальных величин будут производными
[а]=А?1А%> ... А*р\
[ап]=А№...А'к\
Изменим единицы измерения величин аь а2у ..., ал
соответственно в oti, a2j ..., ak раз; численные значения всех
величин в формуле (8.36) будут следующие:
а[ = at ах; а = a?* ctf* ... а%к а;
а-2 = а2а2; a'k+i = а?1 <*22 ... aftak+x\
dk = akak; a'n = af* afe -•• aft an.
Физические закономерности, связывающие размерные
величины, не зависят от избранной исследователем системы
единиц измерения; Поэтому функцию (8.36) можно
записать в виде
а' = /(аь <&.... ,а'п) (8.38)
или
а?1 ар ... akh а = /foa, а2я2, ... ,akak,
а?» а£2... а?* аЛ+ъ ... , а?» оф... aft ап).
Масштабы аь а2, ...» а* произвольны. Поэтому положим
ai = l/ai; а2=1/а2\ ..*; а* = 1/а*, т. е. выберем систему
единиц измерения аь а2, ..., я* таким образом, чтобы эти
величины равнялись единице. Для простоты примем, что аи а2у
..., ak ограничены и отличны от нуля, но л-теорема верна и
в общем случае. Тогда
24* 371

ш=1; a =a/afa?2... af*;
a-2 = 1; ak+i= ak+i/a?i a%2... apkk;
a'k=l; an = anla\i ap ... afy .
Нетрудно убедиться, что вторая колонка величин в
системе (8.39) безразмерна. Действительно,
[а] = [аш] = ... = [ап} = А?^ А^т> ...
A>nh-mk = Л?1"р1 Л§2-"2 ... AIT"* =
= Л?1^1 Л^2 ... Л^~^ = >М... А°к.
Если ее элементы обозначить соответственно я, Яь ..., nn-k
и подставить в "функцию (8.38), то получим я=/(яь я2, •••>
Яя-л), что доказывает теорему. Чем меньше п, тем проще
вести исследование. Пусть, n = k. В этом случае нельзя
сформировать в правой части выражения (8.37) функцию
от безразмерных параметров, правая часть будет
постоянной и (8.37) примет вид л = с.
Итак, физическое соотношение между размерными
величинами можно сформулировать как соотношение между
безразмерными величинами, число которых меньше, чем
размерных величин. В этом источник полезных
приложений анализа размерности.
Рассмотрим задачу об определении аналитической
связи между путем s, проходимым свободно падающим телом,
временем его падения / и другими обстоятельствами.
Галилей экспериментально доказал, что этот путь можно
определить по формуле
s = gtV2y (8.40)
где g — ускорение силы тяжести. Выведем формулу (8.40),
применив метод анализа размерностей. При попытке
экспериментально определить эту зависимость нужно было бы
априорно в результате размышлений перечислить
факторы, от которых может зависеть s, затем организовать
серию экспериментов с фиксацией изменения s в зависимости
от этих факторов и, наконец, попытаться
аппроксимировать опытные данные аналитической зависимостью.
Первым этапом решения поставленной задачи методом
анализа размерностей является априорное, интуитивное
выявление физических величин, от которых может зависеть
изучаемое явление. Можно полагать, что s зависит от t И
(8.39)
372

от g. Итак, будем считать, что s является неизвестной и
искомой функцией вида
s = /feO. (8.41)
Вид функции (8.41) можно определить таким образом:
избрать диапазон изменения gut; назначить значения этих
аргументов в указанном диапазоне (допустим назначить
i значений g и / значений t); при всех сочетаниях
назначенных gut (их было бы ij) осуществить lj опытов с
фиксацией значения s (пути, пройденного телом при падении);
через опытные точки в трехмерном пространстве sgt
провести поверхность, которая лучшим образом соответствовала
бы опытным данным. Уравнение поверхности дало бы
искомую зависимость (8.41).
Воспользуемся я-теоремой и существенно упростим
задачу экспериментального определения зависимости (8.41).
Размерности [s] = L, [g] = LT~2, [t] = T. В нашем случае
п=2. По я-теореме k — это число независимых
размерностей величин под знаком функции в выражении (8.41),
Размерности [g] и [t] независимы: нельзя, например,
размерность [g]=LT~2 выразить только через [t] = T9
поэтому k=2. Согласно я-теореме функция (8.41) имеет вид
я - с, (8.42)
где я — безразмерная величина, составленная из s, g, t\
с — константа. Значение я можно получить составив
отношение s/gt2. Итак, искомая функция (8.41) в
безразмерных величинах имеет вид
s/gt* = с,
или
s = cgt\ (8.43)
Достаточно всего лишь одного опыта, в котором были бы
зарегистрированы s, g, t, чтобы по формуле (8.43) можно
было определить s/gt2 = с и получить искомый, но
приближенный (так как в опытах с« 1/2) результат.
Рассмотрим еще пример. В практике кузнечно-штампот
вочного производства молот преобразует потенциальную
энергию Е массы падающих частей Q с высоты Н в
кинетическую энергию, которая расходуется на пластическую
деформацию Ah обрабатыбаемого тела (рис. 8.2). Важно
правильно выбрать характеристики молота (Q и Я),
обеспечивающие его предназначение. Искомая потенциальная
Энергия E=QH будет зависеть от размеров обрабатывав-
373

I
мого тела (их представим обобщенно как объем паковки
V), деформации АЛ, сопротивления пластической
деформации <js материала поковки (предела текучести при
одноосном растяжении), массовой плотности
E = f(Vy АЛ, оа, р). (8.44)
Размерности величин, входящих в
функцию (8.44), следующие: [Е] =
= ML*T-2; [V]=L3; [A/i]=L; [os] =
= ML-T-2; [p]=ML-3. Из четырех
аргументов V, АЛ, as и р три имеют
независимые размерности: [ДЛ]=1;
[as] = ML-17"2; [p]=ML-3. Чтобы
убедиться в этом, предположим, что
эти размерности зависимые. Это
означает, что из двух размерностей,
возводя их в степени аФО и ЬФО
соответственно и умножая результаты,
получим размерность
L = (MLrlT-'*f (AJL-3)6 , (8.45)
«
777777777777777777
или
L = 1-а-ЗЬМа+ЬТ-2аф
Приравняем показатели степени правой и левой частей
1=—а—36; 0 = а+6; 0=—2а. Решения последней
системы не существует, следовательно, степенной одночлен
(8.45) свидетельствующий о зависимости размерностей
[АЛ], [os] и [р], составить нельзя. Размерности этих величин
независимые. Размерность [V] зависима от упомянутых
выше размерностей. Чтобы проверить это положение
составим степенной одночлен [а5]Л[рР[ДЛ]с и приравняем его
[V]. Получим
L3 = (ML-lT~*y {ML~y V ,
или
V = и
-36+с
'М°*ЪТ
•2а
Из последнего вытекает система уравнений 3=—а—ЪЬ-\-с\
0 = а+6; 0=—2а, решение которой существует: а=0;
6=0; с = 3. Размерность [V] зависима от размерности
остальных аргументов в выражении (8.44).
Согласно л-теореме зависимость (8.44) можно
представить так (/г = 4, &=3):
я = / (л,). (8.46)
374

Составим безразмерные величины я и л\
л = E/oaV; щ = &hp°/frv = AA/V^V.
Величины Q и Н связаны с условием ковки зависимостью
QH = f(Ah/frV)osV. (8.47)
Задача экспериментального определения функции / одной
независимой переменной (8.47) значительно проще, чем
функции четырех аргументов (8.44).
Упражнения
1. Рассмотреть еще раз с помощью л-теоремы свободное падение
тела. При этом сделать предположение, что в формулу (8.41) входит в
качестве аргумента его масса т (как будто бы тяжелое тело падает
быстрее или наоборот). Ответ: зависимость (8.41) в безразмерной
форме будет иметь вид л=const, или s/gt2=const.
2. В какой форме можно искать эмпирическую зависимость
деформации ДА поковки с os на молоте с заданными Q и Н. Ответ: ДА/tf =
=f(QlosH>).
3. В какой форме можно искать эмпирическую зависимость
максимальной силы удара Ртах на молоте, если v — скорость падающих
частей которого при встрече с поковкой. Поковка имеет объем V,
массовая плотность и предел текучести материала поковки р и о~3
соответственно. Ответ: Pmnx/OsV2/3=f(pv2/os).
8.4. Применение анализа размерностей
к процессу прокатки полосы
В теории прокатки одной из основных задач является
расчет уширения металла. Даже самый тесный калибр,
образованный валками, не может полностью замкнуть сечение,
прокатываемой полосы. Тем более не столь стеснено
течение металла в направлении ширины полосы при прокатке
в гладких, не калиброванных валках (см. рис. 7.6). В
свободное пространство, не ограниченное валками,
вытесняется металл. Для технолога важно знать, на какую величину
изменяется соответствующий размер полосы в результате
прокатки, а также уширение &b = b\—b0, где Ь0 и Ь\ —
ширина полосы до и после прокатки.
Определим вид эмпирической формулы для уширения,
которую получим методом анализа размерностей, и
выделим вновь критерии подобия. Для определенности
рассмотрим наиболее распространенный случай прокатки в
стационарной (установившейся) станции. В общем виде эта
характеристика деформированного состояния может быть
представлена в виде
Д6 = /(60,й0,Д/1, Д а„ /х), (8.48)
375

где b0 и h0 — размеры полосы до прокатки; A/t=/i0—/4—-
обжатие полосы; D — диаметр валков; os — сопротивление
металла деформации или предел текучести
обрабатываемого металла; fT = ji(/v)n —условие трения
прокатываемого металла об инструмент; fT и fv — соответственно
средние касательное и нормальное напряжения на
поверхности контакта прокатываемой полосы и валка; \х и г) —
эмпирические коэффициенты.
Функция (8.48) может быть представлена в виде
отрезка степенного ряда
п
Ab = ^ cfithtiAhWioltft, (8.49)
1=1
где ci, aiy р/, yi, б/, е, и £,• — неизвестные пока
коэффициенты. Каждое из слагаемых суммы в правой части должно
быть одной размерности и соответствовать размерности
[Ab] = L в силу однородности формулы по размерности.
Следовательно, для произвольного i-того члена ряда
можно записать уравнение размерностей
L = Lat l}i Lyt L*t ( ШГ'Т-2)8! [М1Г1Т2)\ (8.50)
где Ci — безразмерные коэффициенты. Из последнего
получаются три уравнения вследствие равенства показателей
степеней справа и слева: •
l=ai + $i + yi + 8i- ъ—Ъ; 1
0 = Bt + h; (8.51)
0=2в| + 2^ J
Последние два уравнения линейно зависимы, из них
следует, что е/ =—£*. От системы (8.51) остается одно
уравнение на четыре неизвестные величины
«! + & + % + «*= 1.
Решим его, например, относительно
Р, = 1— at— yt— 6t.
С учетом полученных результатов формула (8.49)
приобретет вид
п
аь = 2c(W^'^1~в'Aft?iDa^Г5'/S^
i=l
376

ИЛИ
или
Имея общие формулы уширения (8.52) и (8.53), можем
указать критерии подобия для стационарного
(установившегося) процесса прокатки. Из условий 60/^o = idem; Ah/
/Ao=idem; D/h0 = idem; fT/os = idem получим, что Ab/Ah =
= idem. Для обеспечения подобия уширения натуры и
модели необходимо, чтобы выполнялось геометрическое
подобие натуры и модели и подобие условия трения.
Выражения (8.52) и (8.53) являются достаточно
общими. Из них можно получить ряд формул, придавая
конкретные значения параметрам С/, а/, у/, 6*, £,-. Выбор этих
параметров может быть произвольным и каждый раз они будут
соответствовать правилам анализа размерностей. Ниже
будет показано, что на практике эти параметры подбирают,
исходя из лучшей аппроксимации опытных данных.
Если с2 = с3 = ... = сп = 0; а; = 6г = ^=0; yi = l, то
простейшая эмпирическая формула имеет вид
Ab = ClAhy (8.54)
Она известна как формула Жеза. Коэффициент сх
подбирают из опытных данных. Формула (8.54) будет
справедлива в довольйо узких пределах изменения условий
прокатки.
Если принять на основании опытов С. И. Губкина С\ =
==Сз= 1, С2 = с4=—1/2, c5 = CQ = ... = cn = 0] а1 = а2 = аз =
= а4=1, а5 = а6 = ... = а„ = 0; yi=Y3=Y4 = 5/2, Y2 = 2, уъ =
=Y6 = ...=Y* = 0; б1 = бз=1/2, 62 = 64 = ... = 6Л = 0; Ei=63 =
= 1, 12 = £>4 = ..-=Ъп=0) то после алгебраических
преобразований имеем
AblAh = (b0/h0) (1 + Aft/Ao) (\i ]/ AhD/hl — Ah/2h0), (8.55)
причем fT=iifv (r| = l). Если в выражении (8.55) принять
bo//i0=l, то оно сЪвпадает с эмпирической формулой
С. И. Губкина.
Расчет уширения — это задачи вывода формул или
получения табличных или графических зависимостей ушире-
377

ния от основных параметров прокатки. Метод анализа раз-
мерностей позволяет установить обоснованность той или
иной эмпирической формулы.
Рассмотрим два важных параметра: силу Р и момент
прокатки М. Сила прокатки — это равнодействующая
поверхностных напряжений на контакте прокатного валка и
полосы; момент прокатки — это крутящий момент,
который необходимо приложить к валкам, чтобы
осуществлялась прокатка полосы между валками. Можно
предположить, что на эти параметры влияют те же аргументы, что
и на уширение. Следовательно,
P = f(b0,h0,Ah,D,osJT). (8.56)
В правой части шесть размерных аргументов (м=6)
имеют две основные независимые размерности (k=2).
Уравнение сводится к безразмерному виду согласно л-теореме
n = f(nlt л2, л3, л4). (8.57)
Конструирование безразмерных параметров л, п\, ...,
Я4 проведем по правилу, предложенному Релеем.
Аргументы в функции (8.56) входят в степенях
P = f{blhi Ah\D\olfl). (8.58)
Учитывая размерности всех величин в последнем
выражении, можно написать
MLT~2= f [La, /Д L\ L\ (М1Г1Т~2)е, (ML~lT-2)1}. (8.59)
Приравнивая показатели степени при М, L и Т справа и
слева, получим систему уравнений
l=a + p + v + 6-e — £; (8.60)
_2 = -2e-2g, J
из которой получим
е=1—|; y = 2 — а — р — 6.
При составлении системы (8.60) принимаем, что
размерности под знаком функции в формуле (8.59)
перемножаются, т. е. функция (8.59) может быть представлена в
виде степенного ряда, как это было продемонстрировано на
примере уширения. Используя последний результат в
формуле (8.58)
P = f(blhiAh2~^-\D\ol-\f\)>
получим ее в безразмерных параметрах
m

Р/Мг\ - /[(VAA)a, (hIMif , (D/AA)« , (/T /a,)* ].
Безразмерные л1 = (b0/Ah)a, л2 = (h0/Ah)V, я3 = (Z)/Aft)e
характеризуют геометрию прокатываемой полосы и валков,
Jt4== (fi/vs)* — условие трения.
Упражнение
Самостоятельно рассмотреть методом анализа размерностей
зависимость момента прокатки от параметров процесса.
8.5. Аппроксимация функциями опытных данных
Метод анализа размерностей позволяет указать
минимальное число и вид параметров, от которых зависит
изучаемая величина. Так формула (8.57) указывает, что
безразмерная сила л может быть функцией четырех безразмерных
параметров, характеризующих процесс прокатки. Однако
исследователю необходима конкретная формула-функция,
по которой можно было бы подсчитать л по значениям яь
.,., Л4, реализующимся в каком-либо конкретном случае. Эту
эмпирическую формулу (математическую модель) можно
получить, аппроксимируя (приближая) опытные данные
некоторой математической зависимостью.
В данном пункте будем считать, что изучаемое явление
для исследователя столь ново, что он практически не
имеет информации о виде искомой зависимости, например л =
=/(ль Л2, лз). Для ее получения необходим достаточно
обширный эксперимент по следующему плану. Для
аргументов изучаемой зависимости (их иногда называют
факторами) назначают область возможных значений, например, в
. ':* min ^ ^ max miu ^~ - max
виде параллелепипеда т ^л^Л1 , ..., лз Мз^лз
Интервал изменения каждого из факторов делят на части
(уровни), например, равномерно с шагом (л™3*—яГ11")/^.
..., (лтах—nf'xn)ln. Параллелепипед как бы рассекается
плоскостями, параллельными его граням. В местах
пересечения этих плоскостей образуются узлы или точки. В
каждой точке осуществляется эксперимент и фиксируется
эмпирическое значение искомой функции л. Нетрудно
убедиться на примере трех факторов, что минимальное число
опытов равно 23 (рис. 8.3, а), где 2 — число уровней
фактора, 3 — число факторов в функциональной зависимости л =
^/(яь л2, лз). Если каждый из факторов рассматривать на
трех уровнях, что означает разбиение диапазона изменения
фактора на два участка (рис. 8.3,6), то число опытов бу-
Дет равно З3. Нетрудно догадаться, что число опытов для
379

трех факторов в общем случае будет t3, здесь I — число
уровней варьирования факторов. Тогда число эксперимент
тов N=ik, где k — число факторов или аргументов в об-
щем случае изучаемой функции.
Для получения математических моделей проводят
активный эксперимент, т. е. опыты осуществляют при строго
#JJ
:l:
•),
У .
'т max
Ж2ШХ
/
yS Яг
/С*
^
фиксированных и заранее назначенных значениях
факторов.. Абсолютно точно назначить и поддерживать в опыте
значения факторов практически невозможно, но
предполагается, что их колебание незначительно и они мало
влияют на значение изучаемой величины. Экспериментальные
значения изучаемой величины называют откликом.
Экспериментальные значения функции при повторении опытов в
одних и тех же условиях дает некоторое «рассеяние». Оно
подчиняется закону, близкому к нормальному закону
распределения случайных величин. Подбор аналитической
зависимости в этом случае может осуществляться по
методу наименьших квадратов.
Рассмотрим аппроксимацию на примере функции одной
независимой переменной y=f(x) или у—у{х) (здесь
используем классические обозначения). В частности, х и у
могут быть безразмерными величинами jti и я,
полученными методом анализа размерностей.
Пусть из опытов найден ряд значений неслучайных ве
личин хэ и уэ, связанных неизвестной пока
функциональной зависимостью y=f(x). Опытные значения хэ и уэ
содержат некоторую ошибку, поэтому они могут не лежать
на одной кривой. Требуется подобрать формулу,
отражающую наиболее вероятное представление искомой
функциональной зависимости.
Решение этой задачи осуществляют в три этапа: подбор
типа формулы, содержащей некоторые неизвестные посто-
380

янные; определение этих параметров и проверка
удовлетворительности полученной формулы. Выбор формулы
может быть начат с нанесения опытных значений хэ и уэ на
бумагу с сеткой декартовых координат. Если об
аналитическом виде формулы ничего не известно, то ее вид
подбирают по общему расположению опытных точек на
плоскости хоу. Наилучшей ситуацией считают такую, при
которой опытные точки группируются около прямой линии.
Такая ситуация возникает не всегда, но, как будет показано
ниже, к ней во многих случаях можно свести задачу
аппроксимации опытных данных формулой. Прямая линия
у=ах-\-Ь является, предпочтительной потому, что,
во-первых, определение неизвестных пока параметров а и Ь
сводится по методу наименьших квадратов к довольно
простому решению линейных алгебраических уравнений,
во-вторых, аппарат так называемого планированного эксперимента
становится проще и точней. Предположим, что тип
формулы выбран
у^ах + Ь. (8.61)
На втором этапе необходимо получить такие значения
а и Ьу чтобы сумма квадратов отклонений п опытных
значений от соответствующих ординат на этой прямой была
минимальной
2(fe-
■ ахя.
bf
min.
t=i
Минимум по а и b в этом случае определяют
дифференциального исчисления
методами
д/да^(Уэ{ — ax3i — б)2 = 0:
п
д/дЬ^(уэС-ахэ1-Ь)2 = 0.
t=i
Последняя система — это система линейных
алгебраических уравнений относительно а и b
п. \ "
2 х* )<*+пь = 2у*и
w=i
t=i
381

решение которой достигается легко и оно равно
Ь =
= Л 2 Х*У* ~ 2 х*
п f п \2"1
n^xlt— i^x3i I ;
2*** 2^ — 2*** 2 х*у*
U2**-(2***) •
} (8.62)
)
Определив по формулам (8.62) параметры а и Ь в модели
(8.61), следует сделать на третьем этапе оценку качества
аппроксимации опытных данных. Для этого вычисляют
среднюю квадратичную ошибку аппроксимации по формуле
Г/ \^(Уэ1-ахэ1-Ы \ (п-
т),
(8.63)
где т — число параметров (в рассматриваемом случае
т=2). Если s не очень превышает абсолютные значения
ошибок при регистрации y9i, то математическую модель
или эмпирическую формулу (8.61) можно считать
удовлетворительной. В противном случае следует подбирать
другую формулу.
Неудовлетворительная аппроксимация означает, что
опытные точки существенно отклоняются от прямой линии.
Следует опробовать другую формулу для аппроксимаций,
например,
у = Ьха . (8.64)
Приняв какую-либо нелинейную модель по а, & и х,
следует попытаться ее линеаризовать заменой переменных.
Линеаризуем формулу (8.64). Прологарифмируем уравнение
(8.64) и получим In y=aln *+_ln &,
или
у = ах + Ь,
(8.65)
где у=\пу, х=\пх — новые переменные. Выразив в
новых переменных массив экспериментальных данных и
пересчитав их по формулам хэ<—1пхэ*, */э*=1п ysiXi*3!* 2, ...»
382

n)f применим метод наименьших квадратов. По формулам
(8.62) вычислим наилучшие значения а и b в модели (8.64),
подставив в них вместо х& и уъ1 соответственно лгэ; и y3i.
Качество новой аппроксимации опытных данных формулой
(8.64) можно установить по средней квадратичной ошибке
s =
/
2 [y3i — bx°i)2
i=i
(п — т).
Если s будет меньше подсчитанного по формуле (8.63) для
предыдущего варианта аппроксимации, то модель (8.64)
считают предпочтительней.
Перебор различных математических моделей может
быть продолжен. Из их конечного множества следует оста-
-новиться на том варианте аппроксимации, которому
отвечает минимальное значение s. Некоторые математические
модели и новые переменные, которых их линеаризуют,
приведены ниже:
Модель
у = Ьха
у = Ьеах
y==x/(a+jbx)
y=*a + bx-\-'
+ СХ2
y = x/(a+bx)+
у = aebx + схг
X
х— lnx
х — х
х= \/х
Х = X
х—Мх
Х = X
Новые переменные
У
у = \пу
У= \пу
y=Uy
У = {у — а)1(Ь +
+ сх)
у= \1{у — с)
у = (\пу — \па)/х
Процесс перебора моделей и выбора лучшей по
критерию минимума величины 5 может осуществляться на ЭВМ.
Эффективность линеаризации экспериментальных
данных заменой переменных иллюстрирует рис. 8.4. Здесь
показаны результаты опытов (точки) по нагреву некоторого
Тела (рис. 8.4, а). Можно убедиться, что точки существен-
383

Т,°с
375
315
260
205
Г •
V 1**'
••••
\?
1 - ..
•
_1_
•
•
•
•
•
а
j 1
О
20
W 60
Lnuh
дО
но отклоняются от прямой линии. Однако Стоило эти же
данные нанести на специальную бумагу с логарифмической
шкалой по оси абсцисс, как они расположились практичен
ки точно на отрезках прямых линий (рис. 8.4, б)1. Заметим,
что экспериментальные данные в новых переменных
выявили некоторый эффект: существенное изменение интенсивно-,
сти нагрева с пятнадцатой минуты (отмечен стрелкой),
который на рис. 8.4 а не виден. Как показал разбор эксперт
мента, эффект был обусловлен
отнюдь не фазовыми
превращениями в металле, не
экзотермическими реакциями, не
повышением расхода энергии
на нагрев и т. п. причинами,
которые могли иметь место.
Просто потенциометр
переключился на другую шкалу, цена
делений которой нуждалась в
уточнении.
Пример на рис. 8.4
показывает, что можно практиковать
с успехом аппроксимацию
кусочно гладкими кривыми,
которые на отдельных участках
описываются либо разными
моделями, либо той же
моделью, но с иными параметрами (как в рассматриваемом
случае).
Упражнения
1. Вывести формулы для определения параметров а0, fli, 02, ац
моделей y=ao~\-aiX]+a2X2 и y=a0 + alXi + a2X2+cii2XiX2 по опытным данным
п 2 XU 2 хы
/
2 J 4 6 810 2030W6080
t,MUH
методом
наименьших квадратов
Ответ:
a0 =
n
ЪУ1
1 = 1
tl
2 hih
i=i
n
2v<
;=i
n П | /|
2j xil J^j x2i
i=l i=\
n n
2 XU 2 Xil*2i
r=l 1=1
n n
2*1**2*2%
i=l i=l
I 1
;... и
\2jXii2jXU 2*liA
I 1=1 1=1 1=1
n n n
\2jX2i 2*1^212%
t=l t=l t=l
1 Рекомендуем самостоятельно подобрать математическую модель
для опытных данных на рис. 8.4. а.
п п \
384

ап —
1—1 1=1
I—i t=i i—i t-=1
i=i 1=1
п
2
2> 24 2v* 2*?л«
i=i
t=l i=l
2jX2i *J XliX2i 2jX2C ZjX\iX\
i=i
n
i=l
/г
i=l
i=l
n
2jXliX2i 2jXUX2i 2j XliX'U Zjxlix2l
t=l i=\ i=l i=l
Остальные коэффициенты можно записать по формуле Крамера.
2. Предложить новые переменные для формул у = с+Ьха и у = с-\-
+ Ьеах, приводящие к линейной зависимости у от х.
8.6. Планирование экспериментов
Как было уже отмечено, приступая к моделированию,
следует позаботиться предварительно о том, чтобы модель и
натура были подобны друг другу и чтобы было ясно, как
перенести данные с модели на натурный процесс.
Исследование сложных явлений с большим числом аргументов,
влияющих на изучаемую функцию, побуждает к
сокращению числа переменных с помощью методов анализа
размерностей без ущерба для полноты экспериментальных
данных. Часто эксперимент необходим для создания
математической модели изучаемого явления. Поэтому перед
Началом эксперимента следует подумать о предстоящей
аппроксимации опытных данных, в частности обеспечить
активный эксперимент.
В этом пункте будут рассмотрены два новых аспекта
организации эксперимента, которые по традиции называются
планированием эксперимента. Однако эти аспекты не ис-
25-382
385

черпывают всей предварительной работы перед постанов-
кой опытов.
Говоря о первом аспекте, представим себе, что вид
математической модели для аппроксимации опытных данных
уже известен. Имеются математические модели и для боль-
шинства категорий теории ОМД. Так, известно, что
прочностные свойства металла с ростом температуры
изменяются по экспоненте, они же с накоплением пластической
деформации в холодном состоянии растут по степенному
закону и т. д. Если математическая модель известна, то
заменой переменных ее можно свести к линейной, если не
совершенно точно, то при высокой степени приближения.
Будем считать, что используются переменные, которые
линеаризуют математическую модель. В этом случае нет
необходимости в массированном эксперименте.
Действительно, модель линейная или близка к ней, для ее
однозначного определения, например, в случае однофакторной
зависимости [определения параметров а и & в выражении
(8.61)] достаточно двух опытов. В этом состоит одна из
основных идей планированного эксперимента.
Результаты планированного в указанном смысле
эксперимента представляют уравнением регрессии (на примере
трехфакторной зависимости):
з
У = во + 2 uiXi + ^ aUXiXJ + Я123*1*2Л*3> (8-66)
1=1 *.</'
где а0 — характеризует средний уровень у; аь —
коэффициенты регрессии, показывающие > силу и направленность
влияния изучаемых факторов; aih а123 — коэффициенты,
учитывающие эффекты взаимодействия факторов (в тех
случаях, когда сила влияния одного фактора зависит от
уровня, на котором находятся другие факторы, эти
коэффициенты отличаются от нуля). Слагаемые в уравнений
(8.66) с коэффициентами аи и ax2z отражают некоторую
нелинейность, оставшуюся после введения новых
переменных. В формуле (8.66) суммирование в третьем слагаемом
осуществляют так, чтобы строго выполнялось условие i<j$
a i, /=1, 2, 3. Коэффициенты в уравнении регрессии
определяют методом наименьших квадратов. Опыты для
определения коэффициентов регрессии осуществляют не при
любом значении факторов xi, а только лишь при xi=xf*
и Xi=x?in. Для упрощения записи условий эксперимента,
факторы представляют в кодированной форме
386

Xt = 2 (xt - xi0)/(x™* - xf"), (8 67)
где Xi=xf™ или xpn ; хю=(х™х:\-х?{п)/2—среднее значе-
ние фактора в интервале его изменения от x™iu до х™х.
Кодированное значение факторов, при которых
осуществляют эксперименты, следующее: Xi =— 1; + 1. Иногда
принято единицу опускать, тогда Xi =—; +. Опыты в
случае трехфакторного эксперимента осуществляют в
вершинах куба факторного пространства, кодированного по
формуле (8.67), в соответствии с рис. 8.5; в случае двухфак-
4(-7;-7rV
h
J 2Н;*1;+1)
| /А №+/;-
*2
ТО
?Мг7;-7) Ч+п+1'ri)
торного—в вершинах квадрата; в случае многофакторного
(свыше трех) — в вершинах гиперкуба. Порядок
проведения опытов должен быть случайным
(рандомизированным).
Условия эксперимента принято записывать в виде
матрицы, в которой строки соответствуют различным опытам, а
столбцы значениям факторов (табл. 8.1). Эту матрицу
называют планом эксперимента. План двухфакторного опыта
отмечен яркими линиями в левом верхнем углу. План
трехфакторного эксперимента строят так: ниже матрицы
двухфакторного эксперимента записывают эту же матрицу; для
верхней матрицы третий фактор принимают на верхнем
уровне (+), а для нижней матрицы — на нижнем (—).
Аналогично строят матрицу четырехфакторного и любого
многофакторного экспериментов. Осуществив
эксперименты в соответствии с планом (табл. 8.1), вычислив по методу
наименьших квадратов коэффициенты уравнения
регрессии, получим математическую модель изучаемой
функциональной зависимости. Может оказаться, что
математическая модель в соответствующих переменных линейная или
25*
387

Таблица 8.1. Планы двух-, трех-, четырех- и пятифакторных
экспериментов
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
*i
+
+
—
+
+
+
—
+
+
+
хг
+
+
—*
+
+
—
—
+
+
—
+
+
х3
+ 1
+
+
+
—
—
—
+
+
+
+
—
—
*1
+
+
+
+
+
+
+
1 +
—
—
—
—
—
—
х,
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Номер
опыта
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
xi
—
+
—
+
+
—
+
+
—
+
—
+
—
+
х2
—
+
+
+
+
+ i
+ 1
—
—
+
+
—
х,
—
+
+
+
+
—
—
+
_1_
1
+
+ 1
—
—
—
х*
+
+
+
1
+
+
+
+
—
—
—
—
—
—
—
ХЬ
[7
—
—-
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
близка к ней и взаимодействие факторов незначимо
[можно принять, что в выражении (8.66) ац&0 а^з^О]. В этом
случае полный факторный эксперимент становится
излишним, применяют не полные факторные эксперименты, т. е.
дробные реплики. Так, в трехфакторном эксперименте
можно опыты ставить в вершинах тэтраэдра (см. рис. 8.5, б)«
Уравнение регрессии для такого случая имеет линейный
вид
п
</ = я0 + 2ад, (8.68)
где п — число факторов в модели.
Рассмотрим второй аспект применения так называемого
планированного эксперимента. Встречаются задачи, когда
неизвестная и подлежащая экспериментальному одределе-
388

нию функция нужна только для того, чтобы установить ее
экстремальные значения. Например, важно знать, при
каком химическом составе или при каких параметрах
технологического процесса можно получить сталь с макси:
мальной прочностью,
пластичностью или другими
технологическими и
эксплуатационными свойствами.
Задачи этого класса можно
решать с помощью приема,
предложенного в 1951 г.
американским химиком и
математиком Боксом. Этот
прием не ставит своей
задачей нахождение функции
(математической модели) в
целом, а предлагает способ
определения лишь ее
экстремального значения. Рассмотрим этот прием на примере
двухфакторной зависимости.
Допустим, что объективно существует неизвестная
функциональная зависимость y=f(xu х2), например,
некоторое свойство стали в зависимости от химического
состава, для которой важно узнать значения факторов, при
которых у достигает максимума. Пусть область допустимых
о 1 гп i п ^^- ^^ ma х т i п ^- ^^
значении факторов такова: х\ ^Х\^х\ ; х2 ^х2^
^д-max Искомая функция (поверхность отклика)
неизвестная, но реально существующая, могла бы быть
изображена (рис. 8.6), линиями равного уровня значений у.
На практике функция y=f{xu х2) обязательно в области
допустимых значений факторов достигает максимума; их
может быть несколько. Интересно, как правило, самое
большое значение функции. Поиск максимума неизвестной
функции начинают из некоторой произвольно выбранной
точки 1 в области допустимых значений факторов. В этой
точке, координаты которой х[1) и х^\ осуществляется
двухфакторный эксперимент в соответствии с планом из
табл. 8.1. Для этого подбирают достаточно малый шаг
варьирования ±A*i и ±Ах2, чтобы исподьзовать линейную
модель вида
у = а0 + аххг + а2х2. (8.69)
В результате эксперимента, после определения
коэффициентов регрессии а{01), а\1) и а^ и их статистической оцеп-
389

ки, получается модель вида
у = ар+а«)Х1+арх.г,
описывающая функцию y=f(x\> х2) в окрестности точки
1 (х[1)—Ахх^х^х\1)+АХи х¥] ~Ах2^х2^х(2[)\+Ах2).
Коэффициенты а[1) и а^ показывают приближенно
составляющие вектора-градиента т\ функции y=f(x\> х2) или
его проекции на плоскость Х\Ох2. Вдоль проекции вектора-
градиента на плоскости факторов (в области допустимых
значений) исследуют точку 2 с координатами х[2) и х&\
В окрестности этой точки вновь осуществляется двухфак-
торный эксперимент и определяется модель (8.69).
y = a^+a^Xl + a^x29
которая указывает коэффициентами а^ и а£2)
направление перемещения внимания экспериментатора к точке 3
на плоскости факторов или, как говорят, направление
наиболее крутого «восхождения» по поверхности отклика.
Таким образом, повторяя ту же процедуру в точках <?, 4 и
т.д., можно выйти в малую область изменения факторов,
в которой интересующая исследователя функция y=f(x]y
х2) имеет экстремум. В общем задача считается решенной,
однако с помощью процедуры Бокса может быть
достигнут локальный, а не глобальный экстремум. Так, в
рассмотренном на рис. 8.6 случае достаточно было первую
точку в области определения факторов взять иную (/'),
как последовательное проведение экспериментов привело
бы к другой области максимальных значений у. И это
новое значение r/max могло быть не самым большим, так как
вид функции y=f(xu х2) со всеми ее деталями остается
в результате решения не определенным и возможно
существование других точек экстремума. Во многих случаях
исследователь может быть удовлетворен локальным
экстремумом, в противном случае он может продолжить опыты
по процедуре Бокса, меняя исходную точку восхождения.
Упражнения
1. Привести формулы для коэффициентов уравнений регрессии в
упражнении 1 п. 8.5, если все факторы принимают значения лишь *» =
= ± 1. Ответ:
а0 =
У1 + У2 + Уг + У* О О
У1 + У2-и*~У* 4 0 /|0 4 0|-.(У1+У2+%+Й/4;..-я
У\ — Уг — Уъ + Уь 0 4|
1 /
/
1/
4 0 01
0 4 0
0 0 4
390

ап =
1 /
/
/
1/
4 0 0 01
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 41
^(#]+4/2+Ы-*/4)/4;
У\ + Уг + Уз + У\ 0 О О
</i + Уг — Уз — У* 4 О О
У1 — У2 — Уз + У*ЪЮ
У1 — Уг + Уз — У400*
Остальные коэффициенты можно легко записать, используя формулу
Крамера.
2. Известно, что при комнатной температуре в свинце протекают
процессы рекристаллизации, поэтому его применяют для
соответствующего моделирования.
Необходимо подобрать химический состав сплава на основе
свинца—процентное содержание сурьмы х\, температуру его пластической
обработки #2 и длительность гомогенизирующего отжига лгз,
выравнивающего химический состав и свойства по объему слитка, чтобы
пластичность Лр этого сплава (способность деформироваться без
разрушения, выраженная через степень накопленной пластической деформации
к моменту разрушения) соответствовала пластичности натурного сплава,
который подвергается обработке в кузнечно-прессовом цехе одного из
заводов. Для решения этого вопроса достаточно получить
математическую модель
Ар = Ар(хц х2, х3).
Попытаемся решить задачу, используя методологию
многофакторного эксперимента, варьируя факторы на двух уровнях (табл. 8.2).
Методология требует постановки восьми опытов — 23 (два уровня
варьирования трех факторов). Порядок проведения указанных опытов
должен быть случайным. Для назначения случайного порядка реализации
опытов вершины куба (рис. 8.5, а) были занумерованы (число перед
скобкой), а порядок проведения опытов определен по мере следования
этих номеров в таблице случайных чисел. В результате опытов
получены данные о пластичности, приведенные в табл. 8.3. Каждый опыт был
осуществлен трижды.
Таблица 8.2. Условия эксперимента при исследовании пластичности
свинцово-сурьм ян истого сплава
Факторы
название
Концентрация сурьмы, %
Температура деформации,
Длительность отжига, ч .


начение
*1
х3
Уровни
ymin
3,0
100
0,25
rmax
6,0
240
1,00
(*™Х-*™П)/2
1,5
70
0,375
Зависимость пластичности от условий опытов можно представить
Уравнением регрессии
з
Лр = h + Ц btXt + 2 buXiXj + Ь123Х,Х2Х3, (8.70)
гДе факторы записаны в кодированной безразмерной форме;
^о, ..., &з, 6i2, ^13, 62з, &123 — коэффициенты регрессии. Формулы для под-
391

Таблица 8.3. План трехфакторного эксперимента и результаты
опытов по исследованию пластичности свинцово-сурьмянистого сплава
8
Н
3
с
о
8"06
1
2
3
4
5
6
7
8
1 о
«я
к н
аЗ
о с
с о
« п
Я*
7
8
2
3
6
5
1
4

Содержание
сурьмы, %
*i
+ 1
— 1
+ 1
— 1
"Ы
— 1
+ 1
— 1
хг
6
3
6
3
6
3
6
3

Температура

формации, °с
Хя
+ 1
+ 1
— 1
— 1
+ 1
+ 1
— 1
—1
х2
240
240
100
100
240
240
100
100

Длительность
отжига, ч
х9
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
— 1
— 1
— 1
— 1
*»
1,00
1,00
1,00
1,00
0,25
0,25
0,25
0,25
Результаты эксперимента
повторные опыты
0,54
2,26
0,19
1,06
0,30
1,82
0,33
1,02
0,58
2,54
0,26
1,10
0,41
1,90
0,27
0,94
0,68
2,40
0,30
1,17
0,40
1,86
0,24
0,95
О со н
о О, Н
0,60
2,40
0,25
1,11
0,37
1,86
0,28
0,97
счета коэффициентов регрессии несложно получить самостоятельно,
пользуясь методом наименьших квадратов. Подсчитаем численные
значения коэффициентов регрессии на основании данных табл. 8.3 по
формуле
где k — номер опыта в матрице планирования; АРк — среднее значение
пластичности в &-том опыте (последний столбец в табл. 8.3); Хцг —
кодированное значение /-того фактора в /г-том опыте. Среднее
арифметическое значение пластичности по всем опытам
Ь0 = (0,60 + 2,40 + 0,25+ 1,11 + 0,37+ 1,86 + 0,28 + 0,97)/8 =
= 0,98.
Итак,
*!=[(+ 1)0,60 +(-1)2,40 + (+1)0,25 +(-1)1,11 + (+1)0,37+
+ (—1) 1,86 + (+1) 0,28+ (—1) 0,97]/8 = — 0,61;
Ьг =[(+1)0,60 + (+1)2,40 +(-1)0,25 + (-1)1,11 + (+1)0,37+
+ (+ 1) 1,86 + (—1)0,28 + (—1)0,97]/8 = 0,33;
Ьъ = [(+1) 0,60 + (+1) 2,40 + (+1) 0,25 + (+1) 1,11 +
+ (—1) 0,37+ (—1) 1,86 + (—1) 0,28+ (—1) 0,97]/8 = 0,11.
Для вычисления коэффициентов парных взаимодействий служит
формула
bU = ( 2 XihXjkApk J /8»
392

В результате
bi2 ^[(+1) (+1)0,60 + (_1)(+1) 2,40 + (+1)(-1) 0,25 +
+ ei)(-l)l,ll + (+l)(+l)0,37 + (~l)(+l)l,86 + (+l)(-l)X
X 0,28 + (—1)(—1) 0,97]/8 = — 0,22;
£i3==[(+l)(+l) 0,60+ (_1)(+1)2,40+(+1)(+1) 0,25 +(—1)(+1)Х
X 1,И+ (+!)(-!) 0,37 +(-1)(-1) 1,86+(+1)(-1) 0,28 +
+ (-1)(-1)0,97]/8-=-0,06;
^s =[(+1)(+1) 0,60+(+1)(+1) 2,40 (-1)(+1) 0,25+(-1)(+1)Х
XI,И + (+1)(-0 0,37+ (+1)(-1) 1,86+ (-1)(-1) 0,28 +
+ (-1) (—1)0,97]/8 = 0,08.
Наконец,
^123= (S xihX2hX3h^Pk)/^ = [(+!)(+!)(+О 0,60 +
+ (-1)(+1)(+1) 2,40 + (+i)(-l)(+l) 0,25 + (_1)(-1)(+1) 1,11 +
+ (+1)(+1)(-1) 0,37+(-1)(+1)(-1) 1,86+(+1)(-1)(-1) 0,28 +
+ (—1)(_1)(_1) 0,97]/8 = — 0,02.
Если подставить полученные значения коэффициентов b в
уравнение регрессии (8.70) и перейти от кодированных значений факторов к
натуральным, то получим искомую математическую модель зависимости
пластичности свинца от процентного содержания сурьмы хи от
температуры деформации Л'г, °С и продолжительности гомогенизирующего
отжига *3, ч
Лр = 0,98 + 0,61 [(я; — 4,5)/1,5] + 0,33 [(х3 — 170)/70 + 0,11] х
X [(дг3 —0,625)/0,375] — 0,22 [(^ — 4,5)/1,5] [(л:2— 170)/70] —
— 0,06 [(я* — 4,5)/1,5][(*3 — 0,625)/0,375] + 0,08[(jc2— 170)/70] X
X [(х3 — 0,625)/0,375] — 0,02[(л:1 — 4,5)/1,5] [(х2 — 170)/70]Х
X [(*3 — 0,625)/0",375]. (8.71)
8.7. Элементы математической статистики
В п. 2.5 и 2.6 были использованы математическая статистика и теория
вероятностей. Метод наименьших квадратов дает наилучшее
приближение, если случайная величина у подчиняется нормальному закону.
Возникают вопросы: распределено ли Ар в предыдущем примере по
нормальному закону? Если нет, то велика ли ошибка? Адекватна
(тождественна) ли модель (8.71)? Математика не может дать просто
однозначный ответ на эти и другие подобные вопросы без оговорки
уровня значимости или уровня риска ошибки в однозначном ответе. Для
того, чтобы все же дать ответ на возникшие вопросы рассмотрим
элементы математической статистики.
Меру объективной возможности того, что произойдет событие А,
называют его вероятностью Р(Л). Если существует возможность
провести N испытаний и определить количество К исходов с
осуществлением события А, то величину
393

WA=.K/N (8.72)
называют частостью, которая является оценкой вероятности Р(А).
Основные аксиомы теории вероятностей следующие.
1. О < Р (А) < 1.
2. Р(и) = 1; P(V)=oi
где U — достоверное, а V — невозможное событие.
3. Р (A1UA2[]A3) = Р (А±) + Р (А2) + Р (Л3),
если события несовместимы — Ai[)Aj=V, где JJ — знак логической
суммы (или); П — знак логического произведения (и).
Математическая статистика занимается исследованием
закономерностей, свойственных случайным величинам. Случайная величина будет
задана, если заданы вероятности ее возможных значений; тогда говорят,
что известен закон распределения случайной величины.
Функцию
р (Х) = linn [Р (х < I < х+Ах)/Ах], (8.73)
Д#->0
где Р(х<Ъ)<х+Ах)— вероятность попадания случайной величины g в
интервал (х, х+Ах), называют плотностью распределения непрерывной
случайной величины. Естественно, что
§ р (х) dx= \.
—оо
Величину
P(Xk)= j P(x)dx (8.74)
—оо
называют интегральной функцией распределения непрерывной
случайной величины. Законы распределения (8.73) и (8.74) могут быть
самыми разнообразными. Величину z называют дискретной случайной
величиной, если множество ее возможных значений представляет собой
конечную или бесконечную последовательность чисел г0, гь z2, •••» *ь ••• й
если каждое событие zi имеет определенную вероятность p(zi).
Законы распределения характеризуются центром группирования
случайной величины, ее рассеянием относительно этого центра,
симметрией рассеивания около центра и т. п. Центр распределения
характеризуют математическим ожиданием
+°°
v= ] хр(х) dx, (8.75)
—с»
которое на практике оценивают средним значением результатов
наблюдений
(!*)/"■
(8.76)
Рассеяние случайной величины характеризуется дисперсией
-foo
а2 = | (* —v)*p(*)dx, (8.77)
394

а о называют среднехвадратичным отклонением. Дисперсия дискретных
наблюдений определяется по формуле
Г^ - 1 /
a2«s2= 2(*;-*)2 / (N—\). (8.78)
L i=i у
Симметрия рассеивания случайной величины характеризуется величиной
+оо
Л= j (x — v)*p(x)dx9 (8.79)
•—оо
которую называют асимметрией. Для дискретных наблюдений ее
подсчитывают по формуле
N
Л « 2 (*i — *)8/#s3. (8.80)
Крутость распределения характеризуется параметром
+ 0О
,9 = J' (* — v)*/?W^- 3, (8.81)
■—оо
называемым эксцессом. Для дискретных наблюдений формула принимает
вид
N __
Э « 2 (*« — *)4/ЛЪ4 — 3. (8.82)'
i=l
Центральное место среди законов распределения занимает
нормальный закон распределения
p(x) = {\/oV2njexpl-(x-v)42o*]. (8.83)
Для задания случайной величины, распределенной по нормальному
закону распределения, достаточно двух параметров: v и а (Л=3 = 0).
Известно довольно много законов распределения непрерывных случайных
величин: логарифмическое нормальное, полунормальное,
гамма-распределение, бета-распределение и др.
На практике приходится иметь дело с ограниченными частями
обширных совокупностей объектов, наделенных определенными
признаками, а результаты исследований распространять на всю совокупность.
Поэтому все статистические характеристики, относящиеся к
совокупности (генеральные характеристики), оцениваются выборочными данными
и, следовательно, приближенно. Оценка точности может быть точечной,
когда генеральная характеристика оценивается одним числом, или
интегральной, когда используется так называемый доверительный
интервал, в котором с определенной вероятностью содержится значение
оцениваемой характеристики. Характеристики, полученные с помощью
выборок— случайные величины. Важно знать законы их распределения.
Установлено, что выборочное среднее при известной генеральной
дисперсии распределено по нормальному закону с дисперсией o2/N. Если
же о*2 неизвестна, то величина /, характеризующая выборочное среднее
/= [(I_v)/s])/0v— 1, (8.84)
распределена по закону ^-распределения (распределения Стыодента).
Оно сходится к нормальному при N-^oo (практически при N^100 и
395

больше). Для оценки достоверности дисперсий известно так называемое
^-распределение, описывающее вероятности параметра Ns2/g2 и
зависящее от числа степеней свободы (N—1). Важное значение имеет
/^распределение (распределение Фишера), описывающее вероятность
распределения величины
F = s\lsl (8.85)
2 2
где 5 j и s2— выборочные дисперсии.
Достоверность выводов в статистике обычно основывают на
проверке высказанных априори гипотез, например, о равенстве
математических ожиданий случайных величин, их дисперсий и др. Рассмотрим
некоторые случаи проверки гипотез. __ _
Сравнение двух средних, если известны Х\у х2, $i> s2> ^»» ^2- Вы-
двигают гипотезу, что практически Jti=.v2, Ax'=jci—Хо~0 при уровне
вероятности а (обычно а = 0,05) допустить ошибку. Вследствие того,
что Ах распределена по закону Стыодента с дисперсией s2(l/Afi+l/Af2),
где
s2 = [^ _ !) s2 + ^ _ ^ s2j/(;Vi + Л^2 — 2) (8.86)
— средневзвешенная дисперсия, то выбираем характеристику
t = (Дх — 0) /s V\IN1+ \IN2. (8.87)
Она имеет /-распределение с f=Ni + N2—2 степенями свободы.
Критическую область определяют по таблицам /-распределения в соответствии
со значениями f и а. Если вычисленная по формуле (8.87) величина- t
содержится в _интервале критической области, то принимают гипотезу о
том, что х\ и х2 статистически не отличаются. Приведенный пример
проверки гипотезы равенства двух средних значений выполнен правильно,
если выборочные дисперсии статистически не отличаются. В ином случае
для проверки гипотезы применяют другие характеристики.
Сравнение дисперсий производят по тем же правилам, что и
сравнение средних, но в качестве рабочей гипотезы выдвигают положение,
что sjs^l. Известно, что это отношение распределяется по закону
Фишера, поэтому для проверки гипотезы выбирают характеристику F
при уровне вероятности а совершить ошибку и, если оказывается, что
F=sl/s2>-F алЛ'./г)' где ^a,(/i;/2)—табличное значение F при принятом
а и fi = Ni—\ и f2 = N2—\, то гипотеза отвергается. Для сравнения не-'
скольких дисперсий выбирают другие характеристики: критерий Барт-
лета или критерий Кохрена, однако порядок проверки гипотезы об
адекватности дисперсий остается таким же.
Критерии согласия законов распределения случайных чисел служат
для проверки соответствия результатов эксперимента предполагаемому
теоретическому распределению. Применяют критерий Пирсона
где пц — эмпирические частоты; т1—теоретические частоты в i-том
интервале разбиения числовой оси случайной величины на k интервалов;
критерий Романовского
396

(х2-/)/2/<3 (8.89)
и другие критерии.
Дисперсионный анализ базируется на соотношении
4 = 2 sly+sl> (8-9°)
=1
„2
где sy — сумма квадратов отклонений величины у, зафиксированных в
,опыте, от среднего значения; siy—п — кратная сумма квадратов
отклонений, связанная с изменением фактора /: Sg — остаточная (случайная)
сумма квадратов отклонений. С помощью дисперсионного анализа
можно решать ряд следующих задач: определение значимости влияния
фактора / путем вычисления
М4/*в)-(/е//г)»^,(/;М. <8-91>
где / — соответствующие степени свободы; определение существенности
и неслучайности улучшения описания выбранной математической мо-
Л
делью у по сравнению с. моделью у, подсчитывая
F={sVsi)-(?elf)>Fa,(f;hy (8-92)
определение целесообразности поиска более совершенной модели в
рамках рассматриваемых факторов, вычисляя
F={sVsl)-(fblfe)>Fa,{fe;fbh (8.93)
где sB//B—дисперсия воспроизводимости, подсчитанная по опытам в
строго определенных условиях. Соответствующие величины в
выражениях (8.90) —- (8.93) вычисляют по формулам •
N
Ач
%=2{ук-уГ' (895)
N
4 = 2 [ук-у)х< <8-96>
h^Pt-1' fs^N-^ff-Uf =N-lt (8.97)
1 = 1
где riij —- число измерений на уровне / фактора i\ у if — среднее
значение, вычисленное по этим измерениям; р%— число уровней фактора i;
. л
R -— индекс единичного измерения; N — общее число измерений; у —
детерминированное значение у} соответствующее математической модели\
У — общее среднее во всех опытах; т — число переменных
Упражнение
Продолжим рассмотрение упражнения 2 из предыдущего пункта.
Чтобы судить о точности и адекватности модели (8.71) необходимо
397

сделать некоторые статистические оценки. Во-первых, Проверить
гипотезу о нормальном законе распределения пластичности АР. Учитывая,
что число измерений невелико, применим проверку по значению
асимметрии (А) и эксцесса (Э)у а также по критерию Вилькоксона. В
рассматриваемом случае, опираясь на результаты экспериментов, помешен-
ные в табл. 4, а также на формулы (8.76), (8.78), (8.80) и (8.82), имеем
Л =b=0,98;s^ = [(0,54-0,98)'2+(0,58-0,98)2+
Р и р
+ (0,68 — 0,98)+ ... + (1,02 —0,98)2+(0,94 +0,98)2 +
+ (0,95 —0,98)2]/(24— 1) = 13,3/23 = 0,578;
s. = 1/"0,578 = 0,76; А = [(0,54 — 0,98)3 + (0,58 — 0,98)3 +
Р
+ (0,68 — 0,98)3 + ...+ (1,02 — 0,98)3 + (0,94 — 0,98)3 +
+ (0,95-0,98)3]/24-0,763 = 13,47/10,1 = 1,33;
Э = [(0,54 — 0,98)4 + (0,58 — 0,98)* + (0,68 — 0,98)* + ...
...+ (1,02 —0,98)4+(0,94 — 0,98)*+(0,95 —0,98)4]/24-0,764 —
— 3= 16,23/7,24 — 3 = — 0,77.
Известно, что если
\А\ < 3 ]/б (#-!)/(#+l)(tf + 3);
\Э\ < 5 V24,V (N — 2) (Л/ — 3)/(jV — 1)2(/V + 3) (N + 5),
то нельзя отвергать гипотезу о нормальности распределения случайной
величины. Учитывая, что в рассматриваемом случае значение А и Э
находятся в пределах указанного доверительного интервала (|А| = 1,33<
<1,36; |Э| =0,77<4,0), гипотеза нормального распределения по этим
критериям принимается.
Для проверки по критерию Вилькоксона. возьмем 24 (N = 24)
нормально распределенных случайных числа х:
1,276
1,099
1,664
0,681
1,218
0,314
1,391
1,129
0,453
0,394
0,382
1,377
0,350
0,633
0,733
1,257
0,723
0,318
0,653
0,495
6,766
0,799
0,219
0,139
Определим число инверсий, образуемых этими числами с
значениями Ар из табл. 4 (также 24 числа). Для этого перепишем в табл. 8.4 в
порядке возрастания АР из табл. 8.3 и значения х. Если какому-то
значению х из табл. 8.4 предшествует в этой таблице Лр, то эта пара дает
инверсию. В данном случае сумма инверсий по всем х будет «=0+1 +
+ 6 + 6+7 + 7 + 7 + 9 + 9+11 + 11 + 12+12+12+12+16+17+18+18+ 18 +
+ 18+18+18+24 = 287. Известно, что число инверсий двух выборок из
совокупностей, подчиняющихся_одному закону, распределено нормально
с математическим ожиданием u = ab/2 и дисперсий su = ab(q + b + \)/\2,
где а и b — количество чисел в выборках. В рассматриваемом случае
а = 6 = 24, поэтому и = 288; su=2352. Следовательно, доверительный
интервал для и при уровне вероятности а=0,05 будет
398

X а б л и„Ца 8.4. К определению числа инверсий для х в ряду
значении Лр
0,139
0,190
0,382 0,394
0,219
0,400
0,240
0,260
0,270
0,300
0,300
0,314
0,318
0.410
0,453
0,495
0,540
0,580
0,633
0,330
0,653
0,680
0,350
0,681
0,723 0.733 0,799
0,940 0,950
1,020
,060
1,099
1,100
1,129
1,170
1,218
1,257
1,276
1,377
1,391
1,664
1,820
1,860
1,900
2,260
2,400
2,540
6,766
Аи = и ± t Y sl = 288 ± J »96 1^2352 = 288 ± 95.
Число инверсий и=287, образованное в нашем случае, находится в
пределах доверительного интервала. Гипотеза о том, что Лр распределяется
по нормальному закону, принимается.
Однородность дисперсии проверим по критерию Кохрена
*=4n«/i^ <*«(*.»), (8-98>
1 1=1..
где s^max — наибольшее значение дисперсии в одном из восьми опы-
k
тов; У\ sj— сумма дисперсий всех восьми различных опытов (& = 8).
i=i
° рассматриваемом случае #=0,0196/0,040 = 0,490. Для уровня
значимости а=0,05; & = 8 при числе повторных опытов п = 3 табличное
значение g=0,516, поэтому гипотеза об однородности дисперсии может
бь*ть принята.
Для данного вида планирования эксперимента доверительный
интервал коэффициентов регрессии определяется по формуле
Лб=± ty %/k, (8.99)
гДе s*—ошибка эксперимента, подсчитываемая по формуле
k п
3~[1/А(л-1)]2 2(Лр|/-Лр)а§
t=i /=1
(8.100)
399

где п — число параллельных опытов в &-той строке матрицы
планирования эксперимента (см. табл. 8.3). В нашем случае
4= К0»54 — 0,60)2+(0,58 — 0,60)2+ (0,68 — 0,60)2+ ...
...+ (1,02 — 0,97)2 + (0,94 — 0,97)2 + (0,95 — 0,97)*]/8 (3 — 1) =
= 0,005.
С учетом сказанного при уровне значимости а = 0,05 значение
доверительного интервала
Д6= ±2,12 Ко,005/8= ±0,053,
где / = 2,12 — табличное значенье критерия Стьюдента при а=0,05 и
число степеней свободы f=k(n—1) =8(3—1) = 16. Следовательно, за
исключением коэффициента 6123=—0,02 в модели (8.71) все коэффициенты
регрессии могут считаться статистически значимыми. Остаточная
дисперсия для модели, не содержащей один член Х\Х2Хгу запишется в виде
24
'(24 — т — 1), (8.101)
•2-
2(л,,-л<р->)*
1=1
где Лр{, Л^расч) — значение пластичности в любом из 24 опытов и
расчетное по модели (8.71) соответственно; т — число значимых членов в
уравнении регрессии. В нашем случае
si = [(0,54 — 0,62)2+ (0,58 — 0,62)2 + (0,68 - 0,62)2+...
...+ (1,02 — 0,96)2 + (0,94 — 0,96)2 + (0,95 — 0,96)2]/(24 —
— 6—1) = 0,0052.
Поэтому критерий, характеризующий адекватность модели в рамках
рассматриваемых параметров, имеет величину F = s\js^=0,0052/0,0050 =
= 1,04, что меньше табличного Fau j )=2,29 при a = 0,05;fi=24—т— 1 =
= 17; f2=^(n—1) =8(3—1) = 16. Отношение дисперсий s\ к sj? в
рассматриваемом случае ^=0,578/0,0052= 111,2, что больше табличного
Fa,(ft.f2) =2,19 при a=0,05, fi = N— 1 =24—1=23; /2= 17. Выполненная
проверка показывает, что по краям интервалов варьирования факторов
полученное уравнение (8.71) достаточно точно описывает наблюдения.
8.8. Идентификация
В п. 8.5 и 8.6 речь шла о выражении опытных данных
некоторой функциональной зависимостью — математической
моделью. Математические модели — более обширное
понятие, чем просто функция некоторого числа переменных.
Например, математической моделью пластического течения
является полная система дифференциальных уровнений
теории пластичности с соответствующими краевыми
условиями. Еще более общая и обширная модель может быть
составлена, если к уравнениям и условиям теории
пластичности добавить уравнения динамики, например, прокатного
400

стана, на котором осуществляется пластическая
деформация металла. Можно добавить математическую модель
нагревательного устройства, которым обязательно оснащены
участки горячей прокатки металла и т. п.
Рассмотрим математические модели, составленные из
системы обыкновенных дифференциальных уравнений и
начальных условий,
которые приближенно
описывают некоторый
натурный процесс.
Математическая модель такого
рода может включать в
свой состав некоторые
параметры. Возникает
задача: подобрать1
параметры так, чтобы
математическая модель в виде
системы обыкновенных дифференциальных уравнений и
начальных условий наилучшим образом соответствовала
функционированию натурного процесса. Эта задача
относится к разделу прикладной математики, который
называется идентификацией 1.
В качестве примера составим и идентифицируем
математическую модель работы камерной электрической
нагревательной печи (рис. 8.7) участка горячей штамповки
алюминиевых сплавов. На стенках корпуса /, печи
футерованного огнеупорным кирпичом, размещены электрические
нагреватели 2, которые стальным экраном 3 отделены от
алюминиевых заготовок 4.
Печь оборудована вентилятором 5, обеспечивающим
циркуляцию воздуха в рабочем пространстве печи и лучшую
теплопередачу от нагревателей к заготовкам.
Математическая модель процесса нагрева с большой точностью могла
бы быть представлена дифференциальными уравнениями
теплопроводности для корпуса печи, экрана и нагреваемых
заготовок, дополненными условиями теплопередачи от
нагревателей к воздуху рабочего пространства, от него —
экрану, кладке печи и нагреваемому металлу, кроме того,
должна быть учтена теплопередача от печи в атмосферу
Цеха. Модель сложная, состоящая из системы
дифференциальных уравнений в частных производных. Упрощая задачу
составим один из'простейших вариантов
математической модели работы камерной печи. Удовлетворимся опре-
1 От латинского identificare -
До'бление.
26-382
• отождествление, приравнивание, упо-
401

делением средней температуры печи 9П, экрана 9Э и нагре-
ваемых заготовок 6М. Пусть известна температура воздуха
цеха 9в* Если W— мощность, выделяемая на нагревателях;
Сп, Сэ, См — общая (не удельная) теплоемкость печи,
экрана и металла соответственно; t-—время; К, T3i Тм—не-
которые коэффициенты пропорциональности, то согласно
первому началу термодинамики напишем уравнение
сохранения тепловой энергии: тепловая мощность нагревателей
расходуется на нагрев металла (CMdQM/di), экрана (СэбШэ/
Idt) печи (Cnden/dt) и на тепловые потери в атмосферу
цеха, которые пропорциональны разности температур
[К(вп—6в)]. Следовательно,
W = C^dBJdt + CjdQJdt + CndQJdt + К (вп — вв). (8.102)
Температуры при нагреве алюминия невысокие.
Теплопередача, в основном, осуществляется конвекцией.
Скорости нагрева металла и экрана пропорциональны разности
температуры печи 6П, с одной стороны, и температуры
металла 6М и экрана 9Э соответственно, с другой стороны.
Поэтому можно написать
Уравнения (8.102) и (8.103) представляют систему
линейных дифференциальных уравнений, которая после ряда
преобразований [если учесть выражение (8.103) в (8.102),
ввести безразмерные величины и новые переменные]
может быть представлена в каноническом виде (точка
означает производную по времени):
х* = я»*! + я22*2 + я2з*з + Ь2и;
*3 = «81*1 + ^32*2 + а33*3 + b*U>
(8.104)
где ац, bi (iy /=1, 2, 3) —постоянные коэффициенты,
характеризующие теплофизические свойства печи, экрана и
нагреваемого металла; x-t (t=l, 2, 3) —новые переменные,
характеризующие температуру печи, экрана и металла;
u = u(t)—переменная, соответствующая мощности печи.
Система (8.104) может быть написана в матричном виде.
Вектор х представляется матрицей-столбцом его
составляющих, умножение матриц осуществляется так:
402

а11 «12 «1з\ АЛ /«11*1 + Я12*2 + «13*з\
А X = [ «21 «22«23 |.| *2 I = | а^! + «22*2 + ^23*3 ]>
«31 «32 «Зз/ \*8/ \«31*1 + «32*2 + «33*з/
а сложение матриц и умножение матрицы на скаляр
Производится так:
^ «11*1 + «12*2 + «13*3\ /V
«21*1 + «22*2 + «23*3 + U \Ь2
ка31хг + а32х2 + OuXj \by
/ anxi + al2x2 + avsx3 + bxu
= I «21*1 + «22*2 + «23*3 + b2U
\ tf3l*l + «32*2 + «33*3 + b3U
Таким образом, система (8.104) в матричном виде
следующая
х = Ах + Ьи. (8.105)
Система (8.105) дополняется начальными условиями
4=,а=л-( (8.106)
или при t=ta в начале процесса
*i = *?; x2 = jq; х3=х*, (8.107)
где xf, х*9 х*— значения переменных, соответствующие
температурам 9п, 6Э и 9М в начале процесса нагрева
очередной садки металла. Если известна мощность, подаваемая
на печь, то известна скалярная функция u = u(t). Если
известны матрицы А и b коэффициентов системы, то задача
интегрирования "системы (8.105) с начальными условиями
(8.106) разрешима, причем решение единственно.
Можно найти опытным путем значения коэффициентов в
матрицах А и Ь, а также начальные условия (8.107),
которые будут лучшим образом по некоторому параметру
описывать процесс нагрева металла в конкретной камерной печи.
Для этого следует выполнить параметрическую
идентификацию, которая состоит в следующем.
Некоторый процесс описывается системой обыкновенных
в общем случае нелинейных дифференциальных уравнений и
начальными условиями
* = /(*, «, р, /); x(ta) = x*, (8.108)
где x(t)—/2-мерный вектор, который называют фазовым,
Или вектором состояний процесса; u(t)—^-мерный вектор,
26* 403

называемый управлением; р—m-мерный постоянный вектор
неизвестных параметров; / — заданная ^-мерная векторная
функция; t—время. Часто экспериментатор не может
наблюдать за работой системы по значениям вектора х, а
наблюдает некоторую нелинейную функцию от фазового вектора
х и вектора управления и
У = У(х,и), (8.109)
где у—/-мерный вектор (1<п). Задача идентификации
сводится к отысканию таких численных значений вектора
параметров р и начального вектора состояний хау при которых
выход модели у наилучшим способом приближался бы к
выходу системы или натуры z при некотором управлении и.
Выход системы или натуры г, определяемый
экспериментально, можно сравнить с выходом модели у, введя
скалярный критерий ошибки /, который равен интегралу от
некоторой разности между векторами модели и системы при
заданном управлении u(t), где ta ^t^.t$(t$ —время
окончания процесса):
У= J H(y,z)dt, (8.110)
Скалярную положительно определенную меру ошибки Н
выбирают в виде суммы квадратов компонент вектора ошибки
Я = 2>-</«)2. (8.111)
Для определения набора параметров pi (/=1, 2,..., т) и и
(t=l, 2,..., п) можно воспользоваться необходимым
условием минимума
'Э
dJldPi= J фН1дУ]){ду;1дхк){дхк1дР1)(И = 0, i= 1,2,...,m
dJ/дх? = J (dH/dyj)(dyj/dxk)(dxk/dx?) dt = 0, i = 1,2,..., n
(8.112)'
Здесь использовано правило суммирования по
повторяющемуся индексу, а под интегралом дифференцируется
сложная функция. Частные производные дН/ду^ и dtjj/дхь
404

можно вычислить без особого труда, так как функции # =
=#(#, г) и у=у(х, и) известны. Частные производные
dxjdpi и dxk/dx?, которые называют коэффициентами
чувствительности, можно определить, если обратиться к
дифференциальным уравнениям (8.108). Вычисляя частные
производные по компонентам р от обеих частей, получим
систему
dldt (dxk/dPi) --= (dfk/dxj) (dxj/дрд + дЫдри (8.113)
где й=1„2,..., п\ t=l, 2,..., m. Аналогично, вычисляя
частные производные уравнений (8.108) по xf, получим
дополнительно п-п уравнений
dldt (dXfJdxf) = {д!к1дх}) [дх/dxf]. (8.114)
Правая часть уравнения (8.108) не содержит явно
начальных условий, поэтому dfk/dx?=Q. Введем обозначения
dxh/dpi=Kkiy dxk/dxf=lki, dfkldxj = akiy dfk/dpi = $ki,
тогда из выражений (8.113) и (8.114) получим линейные
дифференциальные уравнения с переменными
коэффициентами
Tike = akjKjt + Р/гГ, 1 (8 115)
ш = ahj Ь/п J
где i=l, 2,..., т\ /, k=l, 2,..., п относительно
коэффициентов чувствительности. Для интегрирования этих уравнений
служат начальные условия
К«(*а)=0; )
ЪыУсс) = V»
(8.116)
где 8ki=l при k = i\ 6ki = 0 при кфь. Решив
дифференциальные уравнения (8.115) с начальными условиями
(8.116), можно воспользоваться условиями (8.112) для
определения коэффициентов pi и х?9 минимизирующих
квадратичную ошибку и дающих после подстановки в
уравнение (8.108) лучшую идентификацию математической
модели натурному процессу. Минимизация функции (8.110)
может осуществляться прямыми методами, в частности,
каким-либо вариантом градиентного метода. Прямые
методы минимизации (без решения системы конечных
уравнений вида dJ/dp = 0; д//дха = 0) являются единственно
приемлемыми, когда конечных уравнений (8.112) довольно
много и они нелинейны, и возможными, когда функция
(8.110) не дифференцируема.
405

Возвратимся к примеру, рассмотрение которого было
начато выше. В нашем случае система (8.108) —это систе-
ма линейных дифференциальных уравнений (8.105) с
постоянными коэффициентами, которая в развернутом виде
представлена выражением (8.104), и начальные условия
(8.106). Вектор x(t) трехмерный п = 3, х=(хи х2, х3)'. Его
безразмерные составляющие обозначают приведенные не-
которыми выражениями температуру печи, экрана и
металла. Вектор представлен матрицей-столбцом его
составляющих, которая будучи транспонированной (отмечена
штрихом) обращается в матрицу-строку и наоборот. Вектор
управления одномерный (#=1) -скаляр; он выражает
приведенным безразмерным образом мощность, подаваемую
на электронагреватели печи. Матрица 6=(0, 0, &з)'.
Вектор р неизвестных параметров, по которым осуществляется
поиск лучшего описания моделью (8.105) работы
нагревательной печи, в общем случае содержит 9 коэффициентов
а»7 в системе (8.104), т. е. т=9. Идентификацию
осуществляли, наблюдая температуру печи и металла. Поэтому
вектор у в выражении (8.109) в составляющих (/=2)
имеет вид
У1=х1, У2 = хз- (8.117)
Функцию, (8.110), минимизация которой обеспечивает
лучшую идентификацию, можно записать следующим образом
(8.118)
j = f l(Zl-Xj* + (22-Xj*](U9
где Zi, z2 — зафиксированная в опыте температура печи и
металла соответственно как функции времени to^t^.t$,
w, Рассмотрим численные ре-
кВт зультаты идентификации
работы камерной электрической
печи участка штамповки деталей
из алюминиевых сплавов.
Эксперимент проводили
следующим образом. На под печи
поместили девять
цилиндрических заготовок диаметром
200 мм, высотой 150 мм, из
сплава Д16, которые имели
начальную температуру 50 °С
В шести заготовках, равно-
Т/С
500
400
ZOO
'200
дои
с
1
P^v
У
1
1
3 S
AT
^^^■»
"-П
,ч
oJ
200
100
О
70 20 30 40 501, мин
406

мерно расположенных на поду печи, зачеканили
термопары. Температуру печи контролировали двумя
термопарами, стационарно установленными в своде печи. Мощность
нагревателей во времени изменяли согласно графику рис.
8.8 (кривая /), т. е. до момента времени U (25 мин)
нагреватели были включены на полную мощность (180 кВт), а
затем- были отключены. Показания термопар непрерывно
записывали во времени. Температуру металла брали
среднюю по шести, а печи — по двум термопарам. Эксперимент
повторяли три раза, усредненные результаты приведены
на рис. 8.8 (сплошные линии 2 и 3).
До идентификации упростили математическую модель
печи [так как при равенстве температур металла и печи
теплообмен между ними отсутствует, т. е. #i=0, то из
первого уравнения (8.104) следует ац =—а13 и т. д.].
Система уравнений (8.104) приобрела вид
Х± — Я i^i I #1-^3»
*2 == #2*2 ' #2*3»
*3 = #3*1 + #4*2 — (й3 + #4 + V20) *3 + abU + #6
или в матричной форме
x = Ax + bu+d. (8.120)
Задача идентификации в данном случае заключается в
определении параметров аь..., ав системы (8.119) и вектора
начальных условий x(ta)=xa= (xf\ х%\ х%)' по наблюде*
ниям за Z\=Zi(t)^ и z2=z2(t) в течение времени ta^t^.f$
при заданном режиме подачи мощности на печь u = u(t).
Параметры аь.., а6у хЬ *2 и *з вычислили из условия
минимума критерия ошибки между результатами наблюдения
%и г2 и модельными значениями этих же характеристик,
т. е. Xi и Хз при заданном законе u = u(i)
'з
| [(Zi-*i)2 + (z2-*3)2]*. (8.121)
(8.119)
t
а
Минимум функции / вычисляли одним из прямых
методов— методом сопряженных градиентов, т. е. одним из так
Называемых градиентных методов поиска экстремума
функций многих независимых переменных довольно общего
ьида (см. п. 8.6). Идея градиентного метода использована
в процедуре Бокса. Так, на рис. 8.6 изображена некоторая
407

поверхность, по которой было осуществлено с помощью
процедуры Бокса восхождение к ее экстремумам. Направ-
ление восхождения в некоторой точке п определялось пу-
тем вычисления в ней вектора градиента
rn = gracf/ (xlt х2) \п = (df/dx^; дЦдх2\п)'.
- Движение в плоскости аргу~
2 ментов на малый шаг Д
осуществлялось вдоль
вектора градиента. Так была
получена траектория
восхождения 1—2—3—4—5,
изображенная на рис. 8.9.
Траектория может быть
существенно сглажена и
результат достигнут быстрее,
если направление
восхождения на некотором п-пом
шаге определять, полнее
учитывая особенности поверх-
1*1 ности отклика. В частности,
направление восхождения
-можно принять с учетом градиента, как в точке я, так и в
точке п—1.
7; = grad7{xv х2) \п + {[grad/ [xv *2)|J/[grad/ (xlt
X2)l-l\Trn-V
На рис. 8.9 показан вектор n и его составляющие,
полученные по последней формуле. Такой метод определения
направления восхождения называют методом сопряженных
градиентов.
Определим минимум функции (8.121) методом
сопряженных градиентов. Частные производные от этой
функции, используемые в методе сопряженных градиентов,
вычисляли с помощью формул
dJ/dcti = 2 j 1(х, — z±) dxjdai +
t
а
+ (хъ — г2) дх3/даг] dt, i = 1, ..., 6;
408

'э
dJ/dxf = 2 j [(x, - 2,) a*,/^ +
'a
+ (x3 — z2) dx3/dxf] dt, /=1,2,3.
(8.122)
В них входят функции — коэффциенты чувствительности
дХк/даи dxjdxf (k = l, 3). Их можно определить
интегрируя дифференциальные уравнения, которые получаются
путем вычисления частных производных от обеих частей
(8.120) по соответствующим параметрам а и ха:
dldt (дх/да) = н = Ак + G;
dldt {дх1дха) = \=А\
(8.123)
0
0
хл
Х2
0
0
—
хз
0
0
п
1-
0 '
0
-х3/20
при начальных условиях
dx/dalt = к (t) = 0; dxldx^l, = £ (П = £, (8.124)
где Е=(8ц) —единичная матрица (i, / = 1, 2, 3); дх/да =
=x= (dXi/daj)—матрица размерности 3X6, так как i=
= 1, 2, 3; /=1,..., 6; дх/дх%=1= (dxi/dx?) — матрица
размерности 3X3, так как i, /=1, 2, 3;
/— хх + х3 0
G = 0 — х2 + х3
\ 0 0 ,vx
Системы (8.123) и (8.124), а также систему (8.119),
решали методом Рунге—Кутта. Интегралы в (8.122)
вычисляли методом Симпсона. В результате минимизации
функции (8.121) получили следующие значения
параметров и начальных условий: ai = 4,019-10-4с-1; а2 = 5,485Х
ХЮ-Пг-1; а3 = 1,663-Ю^с-1; а4 = 1,177-Ю^с"1; а5 =
= 1,493-Ю-3 град/кДж; а6 = 2,51Ы0-3 град/с; х?=43°С;
*£=406°С; ^=472 °С.
Для этих значений параметров и начальных условий
Модели рассчитали изменение температуры печи (2) и
металла (3) в процессе нагрева при изменении мощности
Нагревателей — кривая 1 (рис. 8.8). Расчетные данные —
Штриховые линии. Видно, что отклонения расчетных
значений температуры от опытных данных не превышают для
Печи 7°С, а для металла 10 °С. Поскольку температурный
Интервал штамповки алюминиевых сплавов более 100 °С
^например, для сплавов АМЦ, АМГ1, АК6 он равен 300—
409

470 °С) и перепад температуры в рабочей зоне печи
согласно заводской инструкции не должен превышать 15—25 °С
при условии обеспечения температуры металла в пределах
интервала штамповки, то полученная точность расчетов по
модели соответствует производственным требованиям.
Идентификация осуществлена удовлетворительно.
Метод Рунге—Кутта — распространенный метод-численного
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Если дако уравнение простейшего типа y'—f(x, у) и начальные
условия при х=Хо у=уо, то его можно решить шаговым методом. По
значению х и у в начальной точке можно вычислить производную
у'\ х-.х =f{x0, уо). Если задаться шагом h изменения х, то изменение
функции к концу первого шага k=f(x0, i/o)h, так как kjh^y'\x=x .
Получив координаты Xi = xQ + h, #i = */o + 6 вычислим у'\х=х =/(*ь У\).
Имеем k^f(xu y\)hy следовательно, и координаты следующей точки х2 =
—X\+h, у2=У\-\-к. Продолжая таким образом вычисления, получим
серию точек, образующих ломаную линию у=у(х), являющуюся
приближенным решением дифференциального уравнения y'=f(x, у) по методу
Эйлера.
Повышение точности метода приближенного решения
дифференциального уравнения y'=f(x, у) может быть достигнуто за счет того, что
производная у/—{(хПууп) будет вычисляться не для начальной точки
х„, уп интервала п+\, длина которого hy а для некоторой средней
точки с абсциссой Xn-hah (0<а<1). На этом основаны многие другие
методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, в
частности, метод Рунге—Кутта. Решение по этому методу начинается из
заданной точки хо, уо и выполняются вычисления при выбранном шаге
h = f(xQ, y0)h;
k2 = f(x0 + h/2, y0 + k1/2)h;
h = f(x0 + h/2, y0 + k2l2)h\
k4 = f(x0 + h, y0 + k3)h;
Ьу = У1~Уо= (*i + 2k2 + 2kz + kA)/6.
Далее полагая X\ = xo+ht ух = уо + ку, вычисления проводят по
формулам (8.125), в правой части которых следует заменить х0 и уо на х\ и у\
соответственно. Затем переходят к точке х%% Уъ и т. д.
Аналогичным образом интегрируются по Рунге и Кутту системы
дифференциальных уравнений, например двух уравнений
* = Л С, х, у); у = f2(t, х, у).
Приращения Дл; и Дг/, соответствующие выбранному приращению Д^
независимой переменной, отыскивают при известных значениях хп, У*
путем вычисления величин
*1=:Л('п> хп, уп)Ы\
h = h Vn + А*/2, хп + V2, уп + U2) Ы;
h = h itn + Д*/2, хп + k2l2y уп + /2/2) Д^;
^4 = А Уп + АЛ хп + *3. уп + у Д^;
h = /2 Сл» хПУ уп)Ы;
(8.125)
410

k = /2 (in + A//2, *д ■+ £,/2, t/n -J- /,/2) Д/;
/3 = /2 (in + &/2t xn + k2/2, f/n + /2/2) A/;
*4 = /2 (*П + A'» *7l + *з» Уп + k) &.
Далее принимают
дх»(Л1+2Л2+2Л3+Л4)/6; Д*/= (/i +2/2+2/3+/4)/6, затем *n+i=**+£*;
Нетрудно распространить описание метода Рунге—Кутта на
систему дифференциальных уравнений более высокого порядка.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение математического моделирования?
2. Что такое физическое моделирование?
3. Вспомните определение геометрического подобия.
4. Приведите определение физического подобия.
5. Что является необходимым условием физического подобия?
6. Приведите примеры критериез подобия.
7. Напишите расчетные формулы для определения параметров
натурного процесса по данным, полученным на физической модели.
8. В чем состоят трудности физического моделирования?
9. Возможно ли физическое моделирование в самом общем случае
пластической обработки металлов давлением?
10. Когда и как осуществляется приближенное моделирование?
11. Какое место занимает метод анализа размерностей в
физическом моделировании?
12. Какие величины называют размерными и безразмерными?
13. Что такое размерность? Какие размерности называют
основными, а какие — производными?
14. Можно ли какое-либо уравнение механики или физики вообще
привести к безразмерному виду?
15. Приведите я-теорему.
16. Какие практические результаты дает метод анализа
размерностей и его теоремы? Приведите примеры.
17. Запишите простейшую формулу для расчета уширения при
прокатке. '■
18. В зависимости от каких безразмерных параметров следует
экспериментально определить силу и момент прокатки;1
19. Что такое аппроксимация и идентификация?
20. Какой эксперимент называют активным?
21. Что такое отклик и фактор в эксперименте?
22. Какой смысл в подборе новых переменных с целью
линеаризации математической модели?
23. Проиллюстрируйте метод наименьших квадратов на примере
однофакторного эксперимента.
24. Какие два полезных аспекта применения имеет так называемое
Планирование эксперимента?
25. Приведите матрицу полного двухфакторного эксперимента. Как
построить матрицы полных многофакторных экспериментов?
26. Зачем применяюд кодирование факторов?
27. В каком случае эффективно применение дробных реплик — не
Полных факторных экспериментов?
28. Как осуществляют экстремальный многофакторный
эксперимент? В чем состоит процедура Бокса?
29. Что такое вероятность? Как ее оценить в эксперименте?
411

30. Что такое закон распределение случайной величины?
Приведите пример нормального распределения.
31. Приведите характеристики законов распределения случайной
величины (математическое ожидание, дисперсию, асимметрию, эксцесс).
32. Приведите формулы указанных в вопросе 31 характеристик для
выборок.
33. Детерминированная или случайная величина — характеристика
выборки.
34. Как осуществляют проверку гипотез в математической
статистике?
35. Какова задача дисперсионного анализа?
36. Что такое идентификация?
37. Сформулируйте задачу идентификации.
38. Приведите порядок идентификации.
Глава 9
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Успешная деятельность инженера во многом
предопределяется его подготовкой, как в области расчетных, так и
экспериментальных методов. В данной главе продолжаем
рассмотрение экспериментальных приемов исследования
технологических процессов ОМД. Если ранее речь шла в
основном о теории эксперимента, то в данной главе — о
материальной, технической части опытов.
Экспериментальные методы можно разделить на
методы определения напряженно-деформированного состояния
материала модели, которая обладает физическими
свойствами пластичного тела, и на методы, основанные на
аналогах. Аналоги — это приборы, которые не обладают
физическими свойствами пластически деформируемого тела,
общность состоит только в том, что процессы,
происходящие в аналогах и в пластически обрабатываемых телах,
описываются одними и теми же уравнениями. Аналоги
будут рассмотрены в конце главы.
9.1. Тензометрия
Сила деформации, момент прокатки, нагрузки на
инструмент и детали машин для ОМД относятся к важнейшие
характеристикам технологического процесса. Для их
определения применяют различные силоизмерители. Силоизмс-
рители со вспомогательными и регистрирующими приборо-
412

ми в целом называют тензометрической аппаратурой1.
Силоизмерители (месдозы) преобразуют действующую на
нее нагрузку в упругую деформацию, фиксируемую в виде
электрического сигнала. На рис. 9.1 показана месдоза,
установленная в прокатном стане для определения силы
прокатки Р. Стан имеет станину 1\ нажимной винт 2;
подпятник 3; датчики сопротивления 4, наклеенные на поверх-
2
ности месдозы 5 балочного типа; опорные ролики 6\
подушку верхнего валка 7. Сила Р изгибает балку 5; при
этом в верхних ее частях возникают деформации сжатия,
а в нижних — растяжения. Такие же деформации
соответственно испытывают датчики сопротивления 4,
преобразующие упругие деформации в электрический сигнал (рис.
9.2). Это происходит следующим образом. Датчик
сопротивления состоит из фольгового или проволочного
проводника У, который вклеивают между двумя слоями тонкого
диэлектрика 2 (бумаги и т. п.). Размеры датчика таковы,
что /;§>#. Фольга или проволочка датчика выполнены из
сплава, обладающего тензоэффектом (например, констан-
тана). Тензоэффектом называют обратимое изменение со-
противления проводника от механических упругих
деформаций. Обратимое изменение сопротивления происходит не
только вследствие изменения геометрических размеров, но
и за счет удельного сопротивления. Растяжение датчика
вдоль направления / сопровождается увеличением его
сопротивления, а сжатие — уменьшением.
Датчик сопротивления тщательно приклеивают к
поверхности детали (в данном случае к поверхности
упругого элемента месдозы), ен воспринимает ее деформации.
Основным узлом тензометрической аппаратуры, предназна-
1 Тензометрия — измерение деформаций.
413

ченной для измерения сил, является мостовая электричек
кая схема (рис, 9.3), чтобы преобразовать изменение
электрического сопротивления датчика в электрический
сигнал. Датчики, наклеенные на упругий элемент месдозы
(рис. 9.1), включают в мостовую схему (рис. 9.3). В исход-
. ном состоянии, когда на месдозу не действуют нагрузки,
сопротивления плеч моста АВ, ВС, CD, DA
сбалансированы вспомогательными сопротивлениями (на схеме не
показаны) так, что по диагонали BD ток не течет.
Электрический ток, вызванный напряжением на клеммах Л и С моста,
в исходном состоянии показан на рис. 9.3 (штриховая
линия). Сила Р, действующая на месдозу (рис. 9.1),
приводит к уменьшению сопротивления Rc сжатого датчика (ой
наклеен вдоль балочки 5, параллельно чертежу) и
увеличению сопротивления Rp растянутого датчика. Если
датчики будут включены в мостовую схему так, как это
изображено на рис. 9.3, то балансировка моста от нагрузки Р
будет нарушена и возникает ток через диагональ BD,
направление которого на схеме показано сплошными
стрелками. Свойства датчиков и жесткость упругого элемента
месдозы подбирают так, чтобы сила тока была
пропорциональна нагрузке Р. Коэффициент пропорциональности
определяют заблаговременно тарировкой (для
фиксированной точно определенной нагрузки Р замеряют силу тока
через диагональ моста).
Упругие элементы силоизмерителей могут быть
различных типов. Вместо балочки, например, (рис. 9.1) можно
использовать месдозу цилиндрического типа, совместив ось
414

цилиндра с линией действия силы Р и наклеив датчики Rc
вдоль образующей (они будут воспринимать деформации
сжатия), a Rp — по окружности цилиндра (они будут
растягиваться, так как цилиндр при сжатии вдоль оси
увеличивает свой диаметр). В качестве упругого элемента мес-
дозы может быть использована какая-либо деталь машины,
например, станина прокатного стана, которая
подвергается упругой деформации действующими на нее силами
прокатки. Однако отдельный упругий элемент пониженной
жесткости (например, балочного типа) повышает
чувствительность силоизмерителя. Итак, месдоза состоит из
упругого элемента пониженной жесткости с наклеенными на
нее тензодатчиками, в которых происходит преобразование
силового воздействия на месдозу в изменение сдпротивле-
ния датчиков.
Тензометрическая аппаратура может успешно
применяться также для определения моментов, передаваемых
валами (например, шпинделем прокатного стана). На рис.
9.4 изображен участок валопровода, который передает
момент М. Из курса сопротивления материалов известно, что
поверхность вала круглого поперечного сечения
испытывает от момента М деформацию чистого сдвига, а это значит,
что по направлениям под углом 45° к образующей вала
имеют место максимальные деформации удлинения и
сжатия равные по модулю. Если датчики наклеить на
поверхность вала так, как это изображено на рис. 9.4, и включить
в мостовую схему (рис. 9.3), то можно успешно
регистрировать момент, передаваемый валом.
Ток, возникающий в диагонали BD моста (рис. 9.3),
фиксируют в простейшем случае медленно протекающих
процессов с помощью гальванометра. В случае, когда
необходимо зафиксировать быстро протекающие процессы,
вместо гальванометра, якорь которого обладает большим
моментом инерции, часто применяют осциллограф, с
помощью которого записывают отклонение луча
малоинерционного гальванометра на движущуюся фоточувствительную
пленку или бумагу. Для расшифровки показаний
гальванометра или осциллографа применяют тарировочные
графики, связывающие показания приборов с величиной
известной градуировочной нагрузки.
Техника тензометрического эксперимента развита
настолько, что инженеру доступно измерение не только сил и
Моментов, но и напряжений на поверхности контакта
Инструмента с деформируемым изделием. Один из способов
определения напряжений на контакте с инструментом
415

состоит в следующем (рис. 9.5). В инструмент /,
деформирующий металл 2, встраивается малогабаритная месдоза,
т. е. универсальный штифт 3, на поверхности которого (см!
упражнение и рис. 9.6) наклеивают датчики 4. Штифт кре-
пят гайкой 5, гайка и основание штифта имеют отверстия
для вывода
электрических проводников 6,
соединяющих датчики в imo^
стовые схемы. Датчики
размещены на боковой
поверхности штифта так,
что позволяют
регистрировать силы от
нормального fv и касательного fx
напряжений отдельно
(кстати, сила от
касательного напряжения
регистрируется двумя
взаимно перпендикулярными
составляющими fTl и /ч2,
которые изгибают штифт
в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях). Штифт выполняют из той
же стали, что и деформирующий инструмент, и размещают
в полос™ инструмента с зазором, который подбирают так,
1 ftt
ж
l/fy
V/////,\V///y/s 77777777777? Ъ7777ф7777?
а (Г fi
ft2
77777
V/^c
Y7777?
чтобы упругая деформация штифта и инструмента при
работе не приводила их в соприкосновение. Площадь
торца штифта, находящегося на границе между инструментом
-и обрабатываемым металлом, известна. Это позволяет по
силе, действующей на торец, подсчитать среднее
нормальное fv и касательное fx напряжение. Установка системы
штифтов в инструменте позволяет получать приближенную
,(по отдельным точкам) картину (эпюры) распределения
416

напряжений на поверхности контакта инструмента и
обрабатываемого тела.
Описанный выше способ определения внешних
поверхностных напряжений не лишен недостатков. Инструмент
теряет сплошность и это не может не вызвать некоторое
возмущение в напряженно-деформированное состояние, которое
трудно оценить. Методика непроста и требует ювелирной
работы при изготовлении деталей, их монтаже и проведении
опытов.
Операции сбора, накопления и обработки
экспериментальной информации (не только тензометрической) долгое
время оставались узким местом исследовательской работы,
определяющим ее продолжительность и качество. Это
побудило создать автоматизированные системы сбора и
обработки результатов измерения (АССОРИ), которые выполняют
сбор и накопление экспериментальных данных; их
машинную обработку; выдачу результатов в удобном для
исследователя виде; контроль системы или отдельных устройств;
управление ими. Система содержит датчики или устройства
измерительные и предварительной обработки информации,
преобразователи непрерывной (аналоговой) информации в
цифровую, программно-технические средства, управляющие
функционированием системы, устройства внешние
запоминающие и для отображения информации (дисплеи,
графопостроители), а также аппараты, обеспечивающие диалог
между системой и экспериментатором.
Типичная схема АССОРИ приведена на рис. 9.7. В этой
системе применяют микро-ЭВМ. К устройствам
предварительной обработки относят усилитель, фильтр отсечки
помех, ограничитель величины сигнала. Коммутатор
предназначен для цередачи сигналов от датчиков в микро-ЭВМ
в заданном порядке и числе раз. Информация о номере
канала, номере отсчета, контрольные коды и отсчет
поступают в микро-ЭВМ через общую шину в заданной
последовательности.
Аналогичная, но более простая система для обработки
тензометрической информации, изображена на рис. 9.8.
Она разработана на основе измерительной
информационной системы (ИИС). В качестве управляющего устройства
используют микро-ЭВМ /. Диалог исследователя с
системой ведется через алфавитно-цифровой дисплей 2 или
электрифицированную цишущую машинку (ЭПМ) 3. Входной
коммутатор 4 предназначен для подключения датчиков к
Цифровому мосту в соответствии с выбранной схемой их
включения и заданным режимом работы ИИС, а также
27-382
417

для передачи в микро-ЭВМ показаний (отсчётов) с
затребованной микро-ЭВМ сопроводительной информацией
(номеров канала, отсчета, устройства, контрольных кодов,
нагрузки и т. п.). Цифровой мост 5 предназначен для
измерения величины сопротивления датчиков и выдачи
Измеряемая
величина Л/
■9 •
Измеряемая
величина л^
Датчик
•
•
Датчик
Дисплей
Цирропечатающее
устройстбо
1 Устройстбо
отображения
графической
информации
Измерительная
линия
• *
Измерительная
линия
i
1
!
4!Ч
%
I
^
<ч>
"
\
Накопитель
на л
шги
леь
(tit
fumnc
ime
1Л)
ш
Усилитель
h.
, 1 %п
Фильтр
Ограничитель
\[Xf].'.\H„]
Аналогово-
цирровой
преобразователь
1 Коммутатор
\[Xi]M<Pp\ Приказы
Микро-ЭВМ
\
г
Накопитель
на гибки
магнитнь
дискам (ИГ
К
/X
МД)
i
i
результата в двоичном коде для обработки на микро-ЭВМ.
Система может эксплуатироваться в режимах
непрерывного или однократного опросов всех каналов; и опроса по
выбранным адресам. Наибольшее число каналов 127,
наибольшая частота отсчетов 100 в секунду.
Дальнейшее развитие АССОРИ идет по пути создания
распределенных микропроцессорных систем с параллель-
418

ной обработкой данных. В таких системах иС^Ь7к?пери-
кальные микропроцессоры, обеспечивающие сии/ аботку и
ментальных данных с датчиков, их частичную ° /сслеД(/ва_
vпpaвлeниe заданными параметрами объекта "
Ун/Я Центральная ЭВМ производит опрос локальных
микропроцессоров, дальнейшую обработку информации и
Дает оператору возможность наблюдать за ходом любого
локального процесса. Перспективным является^ применение
микропроцессоров для реализаций функций цифровой
фильтрации, повышения скорости вычисления, для
аппроксимации и идентификации экспериментальных данных,
автоматической тарировки датчиков и т. д.
Следует подчеркнуть, что тензометрические методы име-
Ют ограниченные возможности для исследования
напряженного состояния (только на поверхности контакта с ин-
стРументом). Одной из труднейших задач остается
экспериментальное определение напряженного состояния в объ-
еме Деформируемого тела. Отчасти решает эту проблему
0птический метод, который будет рассмотрен далее.
"Раж не иия
Рабгу ^ри?ести схему наклейки датчиков на упругий элемент месдозы,
Рис о3-!0^"" на сжатие. Ответ; см. рис. 9.6, а (схему наклейки) и
• у-<-> (схему включения).
27*
419

2. Привести схему наклейки датчиков сопротивления на
универсальный штифт для отдельной независимой регистрации fXl, fx и fv.
Ответ: см. рис. 9.6, б, в и г (схемы наклейки) и рис. 9.3 (схему
включения).
9.2. Оптический метод исследования напряженного
и деформированного состояний
Для исследования напряженного и деформированного
состояний в объеме модели деформируемого тела применяют
оптический метод. В его основе лежат оптические явления:
поляризации света и эффект двойного лучепреломления.
Поэтому этот метод называют поляризационно-оптическим.
Согласно электромагнитной теории световые волны
сопровождаются перемещением периодически меняющих
свою длину взаимно перпендикулярных векторов
напряженности электрического и магнитного полей. Оба эти
вектора направлены перпендикулярно лучу, т. е.
распространение света в некотором роде — распространение
поперечных волн. Если вектор напряженности, с которым обычно
связывают распространение света, совершает хаотические
колебания в плоскости перпендикулярной лучу, то имеет
место естественный или неполяризованный свет. Если
колебания вектора напряженности происходят в
определенной закономерности, то свет называют поляризованным.
Плоско поляризованный свет отличается тем, что вектор
напряженности совершает колебания в одном направлении
(по линии) в плоскости, перпендикулярной линии
распространения луча света.
Плоско поляризованный свет можно получить при
отражении от стеклянной пластинки, зачерненной с тыльной
стороны, при падении луча под определенным углом. В
отраженном луче колебания перпендикулярны плоскости,
проходящей через падающий луч и нормаль к отражающей
поверхности — плоскости падения. В современных поляри-
зационно-оптических приборах для получения плоско
поляризованного света используют поляроиды, пропускающие
световые колебания только в одной плоскости. В качестве
поляроидов используют специальные призмы,
изготовленные из исландского шпата или кальцита (призмы Николя
и др.). Совершенными источниками поляризованного света
могут служить генераторы когерентного оптического
излучения (лазеры). Если на пути луча, прошедшего через
поляроид, поставить второй так, чтобы плоскости
поляризации поляроидов были взаимно перпендикулярны, то
получим полное гашение света (скрещенные поляроиды).
420

Второе физическое явление—искусственное двойное
лучепреломление — известно из курса физики и положено
в основу поляризационно-оптического метода исследования
напряжений и деформаций. Этим свойством обладают в
той или иной мере все естественные и искусственные
прозрачные материалы, подверженные действию внешних
нагрузок. При действии поля напряжений изотропные
аморфные материалы становятся оптически анизотропными и
ведут себя как двоякопреломляющая кристаллическая
пластинка. При пропускании света через прозрачную
кристаллическую пластинку световая волна разлагается на
две взаимно перпендикулярные волны со взаимно
перпендикулярными плоскостями колебаний,
распространяющиеся внутри кристалла с различными скоростями. То же
происходит с нагруженной прозрачной моделью из
аморфного материала.
Установлено, что главные оси оптической анизотропии
нагруженной по периметру плоской прозрачной модели
совпадают с осями главных нормальных напряжений и
что составляющие скоростей распространения света по
этим осям отличаются друг от друга и являются
линейными функциями от главных нормальных напряжений. Луч
света, падая на прозрачную нагруженную модель, как бы
расщепляется на два луча, колебания в каждом из
которых совершаются по направлениям действия главных
нормальных напряжений. По выходе лучей из прозрачной
модели они приобретут некоторую разность хода б, которая
пропорциональна толщине модели t и разности главных
нормальных напряжений ац—азз, действующих в теле
модели
б = са/(аи-'4>- (9.1)
Таким образом, устанавливается некоторая связь
напряженного состояния прозрачной модели (точнее
разности главных нормальных напряжений) с оптическим
эффектом в виде разности хода лучей б. Проявляется и
фиксируется эта разность хода лучей с помощью приборов,
которые называют полярископами. Разность главных
нормальных напряжений можно было бы получить из
формулы (9.1) при известных с о и t% если бы удалось определить
разность хода б. Для измерения этой величины необходимо
получить интерференцию лучей. По законам иетерферен-
Ции поляризованного света два луча, поляризованных во
взаимно перпендикулярных плоскостях, не интерферируют.
Если два луча поляризованы в одной плоскости, то они
42!

интерферируют. Поэтому на пути двух лучей, вышедших
из напряжений модели, ставят второй поляроид,
называемый анализатором, который, пропуская колебания света
только в одном направлении, дает возможность на выходе
из него получить два поляризованных в одной плоскости
луча со сдвигом хода б, которые теперь уже
интерферируют.
На рис. 9.9 приведена принципиальная схема
полярископа, где 1 — источник света; 2— поляроид; 3 — модель в
виде пластины из прозрачного материала, нагруженная по
периметру; 4 — второй поляроид или анализатор.
Изображение просвечиваемой модели проецируется на экран.
Обычно плоскости поляризации поляроидов 2 и 4
скрещены, т. к. располагаются под углом 90°. Штриховка на них,
изображенная на рис. 9.9, показывает направление
поляризации света. На рис. 9.10 дан общий вид полярископа.
Луч белого света можно считать состоящим из
нескольких лучей различных цветов с разной длиной волны.
Поэтому при изучении модели в полярископе с источником
белого света каждая его составляющая интерферирует
после прохождения через анализатор, давая на экране
полосы разной окраски.
Одноцветные полосы на экране полярископа,
проходящие через изображение модели, называют изохромами,
являющимися геометрическим местом точек с одинаковой
разностью главных нормальных напряжений. На экране
видна модель, покрытая разноцветными полосами.
Может оказаться, что в некоторых точках напряженной
модели, когда она находится в условиях неоднородного
напряженного состояния, направление одного из главных
нормальных напряжений совпадает с плоскостью
поляризации поляроида 2. Тогда луч света, проходя через модель,
не будет разлагаться на два луча, а сохранит свою плос-
422

кость поляризации. Поскольку у него на пути к экрану
ст0ит скрещенный поляроид, то этот луч гасится. На
экране будут видны темные полосы. Темные полосы на экране
полярископа, проходящие через изображение модели,
называют изоклинами, являющимися геометрическим местом
точек с одинаковым направлением главных нормальных
напряжений.
Порядок экспериментирования на полярископе
следующий. Из оптически активного материала готовят модель
Деформируемоготела. Предварительно материал тарируют,
т. е. устанавливают связь цвета изохромы с величиной
максимального касательного напряжения Ттах или
разности главных нормальных напряжений Ттах=(ац—а3з)/2.
Для этого готовят простейший образец, например, на
одноосное растяжение. Растягивая его силами разной
интенсивности и просвечивая образец на полярископе,
устанавливают связь Ттах = ац/2, где Си — напряжение при
растяжении образца, с цветом окраски изображения образца на
экране. После этого изображение нагруженной системой
сил модели, покрытое на экране цветными полосами,
расшифровывают: тот или иной цвет изохромы соответствует
Известному уже из т^рировочных опытов значению Ттах.
Как уже отмечалось, на изображении модели наряду с
Цзохромами видны темные линии (изоклины). Главные
нормальные напряжения в точках на этих линиях
направлены параллельно плоскости поляризации в поляроиде 2
423

(рис. 9.9). Если, оставив модель неподвижной, синхронно
вращать поляроиды 2 и 4, то на изображении модели мож-
но получить семейство изоклин, каждой из которых будет
соответствовать свой угол наклона плоскости поляризации
к горизонту 0. Этот угол называют параметром изоклины.
Полученные оптическим методом картины изохром и
изоклин различных
параметров при известных
граничных условиях позволяют
определить для изотропной
среды компоненты
напряжений в каждой точке модели.
Рассмотрим это на примере
плоского напряженного
состояния.
Пусть в произвольной
точке Л (рис. 9.11а)
изображения модели на экране по-
лярископа будет известен
угол 6 наклона направления
главного нормального на-
У%
f
//////Л//////////,
1 /С/пах=(ЪГ622)/2 I
\/'/7М//Л
9\
/////////У////////
%
#
7777777777}
пряжения (информацию получают по номеру изоклины,
проходящей через точку А) и разность главных
нормальных напряжений огц—азз=2ттах (данные получают по
цвету изохром). Покажем, что это определит напряженное
состояние в произвольной точке А модели с точностью до
среднего нормального напряжения ст.
Из теории напряженного состояния известно (см. ч. I,
424

гл. 2), что под углом ±я/4 к направлению главного
нормального напряжения проходят площадки максимального
касательного напряжения, на которых касательное
напряжение Хп=(ои—<тзз)/2=Ттах, а нормальное Gn=(0\\ +
>+озз)/2 = а (см. рис. 9.11,6). Можно считать, что в
некотором базисе, система координат которого х'оу\ имеем
компоненты тензора напряжений
Переход от системы кординат х'оу' к системе хоу задается
матрицей преобразования
(Ухх* УгиЛ /cos а — sina\
r=(Y«0= У )= . - (9.3)
V V/ Vsina cosa
Компоненты тензора напряжений в базисе декартовой
системы координат хоу будут
где аур —определены значениями (9.2), а направляющие
косинусы у матрицей (9.3). Таким образом, компоненты
тензора напряжений в базисе-декартовой системы
координат с учетом значений (9.2) следующие (суммирование по
'"и Л
°Ц = У1х> V °х>х> + ?/*' V <W +V V °Ух> + V У/у' °у>у>
или с учетом матрицы (9.3)
ояя = <х —sin2a-Tmax; л
оуу = о + sia2a.Tmax; (9-5)
a^-cos2a-Tmax. J
Здесь i', \' принимают значения х\ у', г /, /—х9 у. Формулы
(9.5) выражают все существенные компоненты тензора
напряжений (рис. 9.11в) в случае плоского напряженного
состояния через определенные экспериментальные функции
оь=а(#, у) и Tmax=Tmax(*, у). Эти формулы содержат
неизвестную функцию о=о(х, у) —среднее нормальное
напряжение. Итак, компоненты тензора напряжений
определены с помощью оптического метода с точностью до
среднего нормального нанряжения а.
Обработка опытных данных в оптическом методе
определения напряженного состояния сводится к определению
функции о=о(х, у). Она должна быть такой, чтобы
выполнялись дифференциальные уравнения равновесия
425

dajdx + даху/ду = 0; даху/дх + dojdy = 0 (9.6)
в объеме V модели из оптически активного материала, а
также граничные условия на поверхности So, свободной от
поверхностных напряжений // = а/утг/ = 0
<*хх пх + <*ху ПУ = 0; аху пх + оуу пу = 0, (9.7)
и на поверхности Sf с воздействием внешних сил F (эта
часть поверхности на рис. 9.11 отмечена штриховой
линией; предполагается, что F задано в опыте)
J (<*ххпх+ Оху пу) dS = Fx; j (охупх+ оуу пу) dS = Fy, (9.8)
SF SF
где tit — составляющие внешней к поверхности модели
вектора единичной нормали или косинусы углов между осью
х и п (пх) и осью у И П (Пу) .
Решение этой задачи получить не просто; система (9.6)
переопределена ( на одну неизвестную два
дифференциальных уравнения). Можно найти лучшее приближенное
решение, потребовав, чтобы квадрат невязки уравнений [левая
часть в уравнениях (9.6)] был минимальным. Итак,
следует минимизировать функционал
J = J Kdajdx + doxyldyf + (доху/дх + dojdyf] dV (9.9)
v
на классе функций о=о(х, у), удовлетворяющих
граничным условиям (9.7) и (9.8). Следует иметь в виду, что в
функционале (9.9) компоненты тензора напряжений
выражены формулами (9.5). Функционал
(9.9)—квадратичный, следовательно приближенное решение методом Ритца
или вариационно-разностным методом сведется к решению
линейных алгебраических уравнений относительно
варьируемых параметров. Если экспериментальная информация о
tmax и а в формулах (9.5) будет дискретной, то возникнут
трудности вычисления производных в функционале (9.9).
Трудности преодолимые, но это отдельная тема.
Определив в оптическом методе компоненты тензора
напряжений, с помощью физических уравнений связи
можно подсчитать компоненты тензора деформации.
Итак, был рассмотрен оптический метод определения
напряжений при деформации модели, находящейся в
условиях плоского напряженного состояния, когда нет ни
нормальных, ни касательных напряжений в плоскости модели.
Этот случай довольно редкий в практике ОМД.
426

Возможно исследование напряжений также и в задачах
плоского деформированного состояния. В этом случае
используют метод «замораживания напряжений».
Материалы, которые применяют в оптическом методе исследования
напряжений, обладают свойством фиксировать свое
деформированное состояние в результате медленного
охлаждения. Если модель подвергнуть воздействию внешних
нагрузок, потом, не снимая их, охладить ее, а затем убрать
нагрузки и вырезать (избегая нагрева) поперечный темп-
лет, соответствующий плоскости течения, то
просвечивание его в полярископе покажет ту же картину
напряженного состояния, которая была в теле при нагружении (до
охлаждения и вырезки образца).
Описанный выше в данном пункте метод исследования
напряженного и деформированного состояний называют
еще фотоупругостью. Он был изобретен для изучения
работоспособности деталей машин, материал которых не
переходит в пластическое состояние. Оказалось, что оптические
эффекты возникают в прозрачных телах и при больших
деформациях (в несколько единиц и даже десятков
процентов), в том числе пластических. Оптический метод в
этом случае называют фотопластичностью.
В настоящее время созданы разнообразные оптически
чувствительные материалы, наиболее удачными из которых
следует признать материалы на основе эпоксидных смол.
Для изготовления фотопластических моделей используют
целлулоид, полистирол, нитрат целлюлозы и другие
высокомолекулярные аморфные соединения. К оптически
чувствительным материалам предъявляют ряд специальных
требований: доступность материала, его однородность,
обрабатываемость, гпдастичность, соответствие реологических
свойств модели и натуры в аспекте теории моделирования
и подобия, достаточная оптическая чувствительность и т. п.
В настоящее время есть теория моделирования для
задач фотоупругости, в фотопластичности нет достаточно
хорошо развитой теории моделирования для переноса
результатов исследования с модели на натуру. Такой перенос
во многом упрощается при использовании нового
экспериментального направления в фотопластичности, основанного
на использовании метода прозрачных оптически
чувствительных слоев или пленок, наклеиваемых на реальный или
модельный пластически деформируемый объект. В этом
случае пластическая деформация металла копируется
слоем оптически чувствительного покрытия, который и
исследуют в поляризованном свете. Применение оптически
427

чувствительных покрытий предполагает, что деформации
по толщине покрытия распределены однородно и равны
деформациям на поверхности исследуемого объекта.
Однако действительное распределение деформаций по толщине
покрытия в общем случае неоднородно, что вносит
некоторую погрешность в результаты экспериментов. Полученные
с оптически чувствительного покрытия картины изохром и
изоклин при достаточно малой толщине пленок дают
возможность с высокой точностью определить разность
главных деформаций и угол наклона одной из главных
деформаций к заданной системе координат. По этим данным
производят расчет поля напряжений и деформаций
методами теории пластичности.
Однако и метод оптически чувствительных покрытий
обладает недостатками: невозможно исследовать
напряжения и деформации внутри детали или деформируемого
тела, т. е. возможности ограничены поверхностью тела;
невозможно точно определить компоненты напряженного
состояния в пластической области, так как покрытие
остается упругим и не фиксирует накопленную пластическую
деформацию немонотонно деформированного
металлического образца.
Более подробно с оптическим методом можно
познакомиться по упоминавшейся монографии под редакцией
Е. П. Унксова (см. библиографический список к гл. 9),
а также по монографиям П. И. Полухина, В. К. Воронцова
с сотрудниками, внесших значительный вклад в развитие
экспериментальных методов.
Упражнение
Провести все рассуждения, подобные тем, которые были сделаны
выше, но, имея в виду, что просвечиваемая пластинка была вырезана из
«замороженного» образца, подвергавшегося плоской деформации. Чему
будет равно в этом случае нормальное напряжение ozz и касательные
напряжения oxz и oyz? Ответ: ozz=v{axx+oyy); a*z=o*i/z=0, где v --
коэффициент Пуассона.
9.3. Метод координатных (делительных) сеток
Экспериментальное изучение деформированного состояния1
в теории ОМД проводят с помощью координатных
(делительных) сеток. Методы определения деформированного
состояния с помощью координатных сеток хорошо разрабо-
1 Здесь и дальше под деформированным состоянием или просто
деформациями понимается совокупность всех его характеристик: поля
вектора скорости перемещения, тензора скорости деформации, степени
деформации, соответствующих инвариантов, и т. п.
428

таны для плоского деформированного и напряженного
состояний, осесимметричного течения, для определения
деформаций поверхности обрабатываемого тела, свободной
от воздействия инструмента, и деформаций по плоскостям
симметрии объемного течения. Рассмотрим указанный круг
экспериментальных задач.
Координатную или делительную сетку наносят на
поверхность образцов типографским способом,
фотоспособом или с помощью тонкозаточенных резцов. Наиболее
распространенная сетка с квадратной ячейкой. При
исследовании плоского деформированного, осесимметричного
течения и в случае изучения деформированного состояния
в плоскости симметрии трехмерного течения сетку
размещают соответственно в плоскости течения, в плоскости,
проходящей через ось симметрии, и плоскости симметрии
образца. Для этого образец делают составным. Сетку
наносят на плоскость разъема частей образца. Если
исследование проводят на свинцовых моделях, то части образца
спаивают легкоплавким сплавом Вуда. Если же заранее
известно, что при деформации составного образца не
возникнут нормальные растягивающие и значительные
касательные напряжения по поверхности разъема, то
скрепление частей образца может быть более простым.
Изучим деформированное состояние при стационарном
или установившемся течениях. На рис. 9.12 показана коор-
«Йй
—* ТЙ^а^
динатная сетка на плоскости разъема образца,
остановленного в некоторый момент обработки, извлеченного из
инструмента. Сетка до деформации была декартовой;
поскольку она скреплена с образцом, то является
сопутствующей. На рис. 9.12 изображены только два ряда ячеек,
заключенные между тремя траекториями или, поскольку
процесс установившийся, линиями тока. Сравнение двух
любых соседствующих ячеек в продольном направлении
показывает ее деформацию за некоторый интервал
времени. Схема будет одинаковой как для осесимметричного,
429

так и для плоского течений. Отличие будет специально ого-
ворено.
Рассмотрим деформацию отдельной ячейки сетки. Сде-
лаем допущение, что в пределах ячейки она однородна ц
равна среднему значению по объему, ограниченному ячей-
кой. Точность определения такой локальной
характеристики зависит от степени неоднородности деформации и
должна увеличиться с уменьшением размера ячейки
координатной сетки. Точность получаемых результатов зависит
также и от относительной точности измерения размеров
ячейки, а она падает с уменьшением ее размеров. В то же
время, если изучается деформация поликристаллического
тела, которое принимается квазиизотропным, то
минимальные размеры ячейки должны быть значительно больше
линейных размеров зерен, иначе будет сильно проявляться
анизотропия. Строгих правил для назначения размеров
сетки, к сожалению, не существует.
На некоторой стадии, когда сетка вошла в зону
интенсивной пластической деформации (очага деформации),
опыт прекращают. Образец извлекают из деформирующей
машины и вскрывают поверхность разъема, отделив друг
от друга части образца. На поверхности разъема видна
деформированная координатная сетка.
Определим тензор скорости деформации в некоторой
ячейке.
По теории течения в приращениях перемещений (см.
ч. I, п. 2.7) при перемещении ячейки из положения k—1 в
соседнее положение k она получает приращение
деформаций. Вызванное этим приращение деформаций вдоль
траекторий ABC и DEF в направлении а для исследуемой
ячейки можно подсчитать так:
Ага = In (СВ/ВА) « (СВ — ВА)/ВА\ Аг"а = In (FE/ED) «
~ (FE — ED)/ED; А&а = (Ае'а + де;)/2, (9.10)
где СВ, ВА, FE и ED — расстояние сетки между
соответствующими узлами, измеренные с помощью
инструментального микроскопа (рис. 9.13). Аналогично можно подсчитать
приращение удлинения поперечных рисок в направлении Ъ\
Де, = In (BE/AD) « (BE — AD)/AD; As"b = In (CF/BE) «
~ (CF—BE)/BE; Де6 = (Де; + &Q/2. (9.11)
Определим углы, образованные направлениями а и b с
осью х. Обозначим угол между осью х и направлением (X
(положительный угол отсчитывается против часовой стрел-
430

ч ttj а между направлением Ь и осью л: — (3. Угол а равен
еднему арифметическому угла наклона к оси х отрезков
°aR ВС DE и EF, ар — среднему наклону к оси х отрезков
da\eb,fc. ш
Воспользуемся полученной информацией и подсчитаем
составляющие тензора Гдев декартовых координатах: Де**,
Де^, Дб/zy. Заметим, что из условия несжимаемости для
плоской деформации Де^=—Де^. Ранее было показано,
как подсчитать по компонентам тензора Где, записанного
в координатах хоу, удлинение в некотором произвольном
направлении, косинусы которого пх и пу [см. ч. I, формулы
(2.52) и (2.53)]. Так, приращение удлинения вдоль направ-
ления а имеет вид
Деа = A*W = Vet V/7 Де// ('" = /" = *'\ *> 1 ■■= x> У)\
Ага^^ххп1 + ^ууп1 + 2Агхупхпу
или
Ч = Aexx cos 2a + Де^ sin 2a.
Логично вдоль направления b
Ч - Дежк cos 2р + Дезд sin 2(J.
уРавне
опр^нения
(9.12)
(9.13)
Ные "пГИЯ ^-^) и (9.13) можно рассматривать как линей-
Павнения относительно Де** и Де*у, так как аир
ены замером углов наклона элементов сетки, а Деа
431

и Де& подсчитаны с помощью экспериментальных данных
по формулам (9.10) и (9.11).
Таким образом, получаем
Агхх = (Деа sin 2р — Де6 sin 2a)/sin 2 (р — а) =— Аеуу; (9.14)
Агху = (Агь cos 2а — Деа cos 2p)/sin 2 (Р — а). (9.15)
По определению приращение деформации Агц=1цМ.
Время перехода ячейки в соседние положения At=h/vQ}
где v0 — скорость движения недеформированной части
образца; h — шаг сетки (см. рис. 9.12). Итак, тензор
скорости деформации определен составляющими
Е« = - %у = Де~ V* ^ = Ле„ °Л (9.16)
Подсчитаем степень деформации сдвига, накопленную
ячейкой BCFE к моменту попадания ее в положение к.
Легко видеть, что
лА=2АЛ'> (9Л7>
где ДЛг = 2 Y'i^L)2 + (Аеед)2- Полная степень
деформации сдвига, полученная ячейкой к концу процесса, составит
Определение деформированного состояния осесиммет-
ричного образца с помощью координатной сетки,
нанесенной на плоскость разъема образца, проходящую через ось
симметрии, производят таким образом. Пусть на рис. 9.12
изображена координатная сетка при осесимметричном
течении. Приращения удлинений ячейки при ее перемещений
в соседнее положение будет подсчитываться по формулам
(9.10) и (9.11). Также будут определяться углы между осью
х и направлениями а и Ь. Отличие состоит в том, что из
условия несжимаемости в этом случае следует
где
-Деее = Ди/г;
Аеео = [1п {гвЫ + 1п [гс1гв) + 1п {геЫ +
+ I" (V*)]/4 « [{rB-rA)/(rB + rA) + (rc-rB)/
432

I(rc + г в) + (гв - rD)l{rE + г о) + [rF - rE)l{rF + гЕ)]12.
(9.20)
Удлинения вдоль направлений а и b в этом случае
составляют
Деа — Aexx cos2 а + Дегг sin2 а + 2ДеЛГ cos а sin а; | /о о п
Де6 = ДеЛЗС cos2 р + Дегг sin2 р + 2кгхг cos р sin р. J
Если добавить к этим выражениям условие несжимаемости
A8** + 4r = -*eee. (9-22)
где Деее определено формулой (9.20), то выражения (9.21)
и (9.22) можно считать системой линейных уравнений
относительно Де*х, Дегг, Де*г решением которой определяется
в &-той ячейке деформированное состояние. Компоненты
тензора скорости деформации и степень деформации
сдвига, накопленная ячейкой к данному моменту, определяют по
той же схеме, как и в предыдущем случае плоского
деформированного состояния.
Проследим за порядком определения координат тензора
приращений деформации (а также и тензора скорости
деформации) на примере плоского деформированного
состояния. В случае плоского деформированного состояния
матрица тензора ТАг содержит две существенные величины
Де*х и Агхуу так как &еуу=—Де**, Aezz=Aexz = Aey* = 0.
Определить замером приращения деформаций в направлении
координатных осей не представляется возможным, но
сравнительно просто это сделать по направлениям
деформированной сетки так, как это рекомендовано выше. Известно,
что приращениб'удлинения (или скорость удлинения) в
каком-то направлении с заданными направляющими
косинусами выражается с помощью компонент тензора ГДе,
записанного в координатах хоу, линейным образом.
Поэтому, если определить приращения удлинения вдоль двух
известных направлений а и ft, то можно, решив
соответствующие линейные алгебраические уравнения, найти Де** и
Де*у, а затем все остальные характеристики
деформированного состояния.
В задачах осесимметричного течения тензор ТАг
содержит три существенные составляющие Дех*, ДеГг, Де™,
так как Деее=—Д&*—ДеГг, Дег9 = Де*е = 0. Их можно
определить, решая систему трех линейных алгебраических
Уравнений (9.21) и (9.22).
Такая же схема определения 7де и, следовательно, Т%
28-382
433

/может быть использована при исследовании^деформирован-
ного состояния на поверхности изделия при
установившемся течении. В этом случае тензоры содержат три существен,
ные величины, поэтому для их определения необходимо,
помимо приращения удлинения по направлениям а и Ь,
определить приращение удлинения в третьем направлении,
т. е. в направлении нормали к четырехугольной ячейке.
Приращение удлинения по нормали можно определить по
относительному изменению площади ячейки при переходе
ее из положения k—1 в &-тое.
Выше были рассмотрены методы определения
деформированного состояния для стационарных или
установившихся процессов, например, прокатки, волочения, прессования
и т. п. Отличие методов исследования деформированного
состояния нестационарных процессов (ковки, штамповки и
т. д.) заключается в следующем. На всю поверхность
разъема составного образца или на ее часть наносят
координатную сетку. Деформацию дробят на малые ступени так,
чтобы на каждой из них был применим аппарат теории течения
в приращениях деформаций. Средние для ячейки (рис. 9.14)
приращения деформаций в направлении а и b на i-той
ступени составляют Ае^ =\п(а"/а') « (а"—а')\а'\ еД£ =
= 1п (Ь"1Ь')ж(Ь"—b')/b'. Компоненты тензора приращений
деформаций в декартовых координатах определяются так
же, как в случае стационарных процессов. Причем средние
углы наклона отрезков координатной сетки на i-той ступени
принимаются такими а= (а'^-а")/^; р= (P/fcrbp//)/2.
Степень деформации сдвига металла той или иной ячейки за
k ступеней будет
t=i
434

Тензор скорости деформации на /е-той ступени определен
компонентами
I] 1}
где bdk — продолжительность й-той ступени деформации
образца.
Упражнения
1. Вывести формулу для определения приращения удлинения по
направлению нормали к поверхности для четырехугольной ячейки,
координаты вершин которой в касательной к поверхности плоскости
известны до деформации А(ха, Уа)у B(xBt ув), Е(хЕ, Уе), D(xd, Уи) и после
малой деформации Л'(х'А, у'а)* &'{хв> Ув)>Е'[хе* Уе)> D'[xd> Уо)-
Указание: площадь ячейки со может быть представлена как
результат векторного произведения отрезков АВ и AD: co~AB-AD sin а, где
а — угол между отрезками.
2. Привести рассуждения об определении деформированного
состояния, аналогичные тем, которые были сделаны в начале параграфа, но
для случая плоского напряженного состояния.
9.4. Визиопластичность. Метод муар
Э. Томсеном, К. Янгом, Ш. Кобаяши был предложен метод
экспериментального определения деформированного и
напряженного состояний в стационарных процессах плоского
или осесимметричного течения, получивший название
визиопластичность. Он заключается в том, что опытным путем
устанавливают векторное поле скорости перемещения
частиц в очаге деформации. Для этого, например, на плоскость
разъема образца, подвергшегося деформации не до конца,
наносят координатную сетку. Части образца вновь
скрепляют и после^этого подвергают его дальнейшей, но малой
деформации. Образец извлекают из деформирующего
инструмента, разъединяют и замеряют перемещения узловых
точек сетки Ди .(Ди*, &иу). Поскольку деформация мала, то
Aw приближенно пропорционально скорости v, поэтому
v « Д и1М%
где &t = d/vo> d — смещение жесткой части образца при
малой деформации, v0 — скорость этого смещения.
Дальнейший ход определения деформированного
состояния по методу визиопластичности состоит в следущем.
Полученные в узловых точках сетки образца значения
компонент скорости vx и vy математически обрабатывают. На
основании опыта аппроксимируют функциональную связь
28*
435

vx = vx(xt у); J (923)
vy = vy (x, y). J
Далее, обычным способом вычисляют компоненты тензора
скорости деформации
hj = (Pij + Чд/29 i, j = x, у. (9.24)
Авторы метода визиопластичности получив картину
деформированного состояния по формулам (9.23) и (9.24),
пытаются определить напряженное состояние. Для этого с
помощью физических уравнений вычисляют девиатор
напряжений в каждой точке образца
s„ = 2T(H)E„/H, i, / = х, у, (9.25)
где для несжимаемого материала Н= 1/"2£«/£<7» Т =
= Т(Н) — известная функция, описывающая единой
кривой реологические свойства материала модели. Если было
бы известно значение среднего нормального напряжения
а в каждой точке, то задача расчета напряженного
состояния была бы решена, так как ш/=5//+аб//. Для
определения недостающей неизвестной авторы метода предлагают
использовать одно из дифференциальных уравнений
равновесия
д (*хх + о)/дх + д&ху1ду = 0; j (9 26)
dsxy/dx + д (syy + а)/ду = 0, J
а именно то, для которого имеются достаточно четкие
граничные условия.
Следует заметить, что произвол в выборе одного из
дифференциальных уравнений с целью его точного
удовлетворения путем решения относительно о и игнорирование
второго уравнения, которое не может быть тождественно
удовлетворено, не может быть обосновано. В этом случае
правильнее (см. п. 9.2) минимизировать по о функционал
/, выражающий невязку в удовлетворении
дифференциальных уравнений равновесия (9.26)
J = j [\д(sxx + о)/дх + dsxy/dy\* +
+ [dsxy/dx + д (syy + <т)/%]2} dV -> min. (9.27)
При этом минимизация уравнения (9.27) по а должна
производиться на множестве тех функций, которые
удовлетворяют граничным условиям в напряжениях. Функционал
(9.27) достаточно хороший — квадратичный.
436

Второе замечание, которое возникает по методу
визиопластичности, состоит в следующем. Определение
напряженного состояния может сопровождаться существенными
погрешностями. Действительно, для того, чтобы напряжения
были подсчитаны достаточно точно, необходимо обеспечить
аппроксимацию опытных данных о скоростях течения
формулами (9.23) с высокой точностью, так как выражения
|(9.23) далее в формулах (9.24) и уравнениях (9.26)
дважды подвергают дифференцированию. Аппроксимация
должна обеспечить близость функций (9.23) по их значению, а
также по значениям первых и вторых производных по
координатам, к опытным данным, полученным в опытах
дискретным образом. В то же время, точность приближения
должна быть разумной, так как опытное определение
приращений перемещений &иХу Аиу, а также координат
узловых точек, содержит некоторую ошибку.
Определение напряженного состояния по методу
визиопластичности и оптическим методом можно считать
экспериментально-теоретическим. Остается актуальным
поиск прямых методов замера
напряжений внутри деформируемого тела —
модели, хотя бы шаровой части тензоранапря-
жений. Актуальной является также задача
автоматизации эксперимента в оптическом методе, визиопластичности
и методе муар при изучении напряженно-деформированного
состояния обрабатываемых изделий.
Промежуточное место в экспериментальных методах
исследования напряженно-деформированного состояния меж-
ду оптическим методом и методом координатных сеток
занимает метод муар. В основу метода положена
механическая интерферейция, возникающая при наложении
деформированной вместе с образцом густой, мелкой сетки
на исходную недеформированную эталонную сетку.
Французское слово муар {moire) обычно используют для
названия шелковой ткани, имеющей меняющийся, волнообразный
узор, если смотреть на свет сквозь два лоскутка тканого
материала. Роль таких лоскутков в методе муар играют
фотографические изображения на фотопленке эталонной
сетки с мелкими ячейками и той же сетки, претерпевшей
вместе с изделием пластическую деформацию.
Эталонная сетка (растр или решетка) на фотопленке,
применяемая в методе'муар — это густая система прямых
черных (непрозрачных) линий от 4 до 40 на миллиметр со
светлыми (прозрачными) промежутками. Ширина линий и
величина промежутка между ними одного порядка. Эталон-
437

ную сетку фотографическим методом переносят на поверх*
ность исследуемого образца, который затем подвергают
пластической деформации. Деформированный образец
(поверхность с сеткой) фотографируют. Наложение пленок с
эталонной и деформированной сеткой дает муаровый эф,
фект — муаровые полосы. На рис. 9.15 показаны муаровые
полосы, образованные вследствие чистого сдвига в
плоскости сетки. Линии растра на фотографии едва различимы,
темных муаровых полос на фотографии.
Для выяснения природы муарового эффекта достаточно
рассмотреть случай наложения под некоторым углом дву>
одинаковых растров в увеличенном масштабе (рис. 9.16).
Черные непрозрачные линии растра условно показаны на
рисунке параллельными близко расположенными друг ь
другу шестью линиями. В результате наложения образуется
система прозрачных и непрозрачных ромбов, причем
непрозрачные ромбы получаются двухслойными (перекрест
ная штриховка) и однослойными. Можно указать направ
ления 1 и 2, проходящие через малые диагонали ромбов
Вдоль направления 1 чередуются участки прозрачные \
непрозрачные, а направление 2 проходит только через не
прозрачные участки. Направления / воспринимаются нево
оружейным глазом как светлые муаровые полосы, а 2—ка*
темные муаровые полосы. Можно было бы провести подоб
ные направления через большие диагонали ромбов и гово
рить о светлых и темных полосах второго муара. Однакс
человеческий глаз воспринимает лишь муаровые полосы
438

проходящие через малые диагонали ромбов. Этот видимый
муар называют эффективным.
В общем случае, когда линии одной из решеток не
являются вследствие деформации прямыми, механизм
образования муаровых полос остается тем же, ромбы
становятся криволинейными четырехугольниками, короткие
диагонали которых соответствуют муаровым полосам. Муаровые
полосы позволяют определить перемещения материальных
точек деформируемого тела. Рассмотрим процесс
образования муаровой картины и нахождение по ней
перемещений, например иу — вдоль оси у (рис. 9.17). Пусть до
деформации на поверхность образца нанесена сетка линий,
параллельных оси х и имеющих шаг р. Пусть линии сетки
имеют номера k0, равные 1, 2, ... и т. д. Образец подвергли
плоской деформации. Линии растра, напечатанные на его
поверхности, искривились в соответствии с деформацией
образца. Такую сетку фотографируют, а ее изображение на
пленке, совмещенное с сеткой до деформации, также
напечатанной на пленке, дает картину муар. Предположим, что
левая кромка образца, совпадающая с осью у, не имела
перемещений. В том же порядке занумеруем искривленную
сетку. Пусть номер линии деформированной сетки теперь
обозначен k. Учитывая, что муаровые полосы пройдут по
Малым диагоналям цараллелепипедов, изобразим их на
рисунке волнистыми линиями. Муаровые полосы будем
нумеровать буквой п и определим n = k—k0. Тогда муаровая
полоса, совпадающая с осью у9 будет иметь п = 0.
Перемещение точек деформированного тела на этой полосе иу = 0.
439

Следующая полоса будет иметь номер п = \—2=2—3 =
= ...=—1. Она будет геометрическим местом точек,
получившим перемещение на одну и ту же величину иу=—1 р.
Муаровая полоса п=—2 объединяет точки, сместившиеся
вниз на два шага р иу =—2р. Перемещения на следующей
муаровой полосе п——3 будут иу =—Зр и т. д. Муаровые
полосы в рассмотренном случае — это геометрические
места точек, имеющих одинаковое вертикальное перемещение
иу = (k— k0) р, или иу = пр. (9.28)
Разность значений перемещений между соседними
муаровыми полосами постоянна и равна шагу эталонной сетки.
Аналогичным образом можно показать, что для
получения перемещений материальных частиц вдоль оси х—их
следует применить сетку, состоящую из прямых линий,
параллельных оси у. Если'шаг сетки р, а / и 10 — номера
линий соответственно деформированной и эталонной сеток,
то перемещение частиц вдоль оси х на муаровой полосе с
номером т = 1—10 будет
их = (/— /0)р, или их = тр. (9.29)
Муаровые полосы и постоянные значения перемещений
на них будем относить к деформированному телу. В теории
ОМД часто используют теорию течения в приращениях
перемещений. Деформации на отдельном этапе приращения
перемещений назначают малые, поэтому несущественно,
относятся ли приращения перемещений к телу в начале
некоторого этапа или к его концу, т. е. к
деформированному телу.
Применение метода муар вместо обычных делительных
сеток дает лучшую информацию о поле приращений
перемещений или скоростей течения частиц в очаге деформации.
Действительно, вместо дискретного значения Аих и Аиу в
узлах сетки в методе муар имеем непрерывное значение
Aa* = const и A^ = const на соответствующих полосах
муара. Правда, от полосы к полосе Ащ меняется дискретно.
Полученное поле приращений перемещений по методу
муар может обрабатываться так же, как в методе визиопла-
стичности.
Проиллюстрируем технику определения поля
приращений перемещений или скоростей перемещения частиц в
очаге деформации, например при установившейся
прокатке широкой полосы (плоское деформированное состояние).
Полоса из модельного материала сплава свинца с сурьмой,
теллуром и другими элементами останавливается в прокат-
440

ном стане (недокат). После извлечения из валков ее
разделяют на две части вдоль направления прокатки.
Поверхность реза шлифуют, после этого на поверхность реза
одной части образца наносят горизонтальную густую сетку
линий путем царапания резцом на строгальном станке или
специальной делительной машинке для определения поля
приращений перемещений Аиу. На плоскость реза второй
половины образца таким же образом наносят сетку
вертикальных линий для определения &их. Сетки
горизонтальных и вертикальных линий фотографируют. Половинки
образцов складывают в общий образец, причем между
плоскостями реза вставляют прокладку из фольги того же
модельного материала, чтобы риски одной части образца
не отпечатались на поверхности реза второй части.
Соединяют половинки образца с фольгой и между собой
легкоплавким сплавом Вуда.
Составной образец вставляют в валки лабораторного
прокатного стана, который имеет то же расстояние между
валками, которое было при изготовлении недоката.
Валкам сообщают такой поворот, чтобы металл в очаге
деформации получил малые деформации (например,
перемещение полосы было бы на Vs—Vio длины очага деформации).
Образец, получивший малую деформацию, разъединяют на
части в горячей воде, так как температура плавления
сплава Вуда 73 °С. Поверхности разъема образца зачищают от
остатков сплава тампоном и подвергают
фотографированию. Наложение полученных изображений на фотопленке
с соответствующим изображением исходных сеток дает
муаровый эффект.
Дискретная or одной муаровой полосы к другой
информация о поле приращений перемещений, будучи
аппроксимированной непрерывными функциями, позволяет
определить после соответствующего дифференцирования [Де;/ =
= (Aw/f/+AH/,/)/2] компоненты тензора приращений
деформаций. Метод муар позволяет избежать эту процедуру и
определить частные производные Aui}j в указанной
формуле непосредственно экспериментальным методом.
Рассмотрим один из первых методов получения частных
производных. Совмещая изображения деформированной и
эталонной сеток, получим муаровые полосы равных
перемещений их и иу в соответствии с формулами (9.28) и
(9.29). Изображения муаровых полос для м* = const и для
wi/ = const печатают в двух экземплярах на фотопленке.
Берут первую пару одинаковых изображений муаровых по-
441

лос (например, для w* = const). Совмещая муаровую
картинку обеих пленок, осуществляют сдвиг одной из пленок
на А*. Муаровые полосы будут играть роль сетки, которая
в результате сдвига дает новый муар Aw* = const. Если т{
и rtij — номера пересекающихся муаровых полос, которые
теперь играют роль сетки, то получим так же как и при
определении перемещений
Аих = {mt — rrtj) р, (9.30)
где р — шаг начальной сетки. Разделив уравнение (9.30)
на величину сдвига Ах получим
dujdx « AuJAx = (mt — mj) pi Ax, (9.31)
Аналогично, но сдвигая изображения первичного муара
(их = const) на Ау, получим формулу для дих/ду. Если
осуществить подобные же действия с одинаковыми
изображениями муара иу = const, то найдем диу/дх и диу/ду.
Итак, на фоне изображения очага пластической
деформации получается по способу, описанному выше, система
муаровых полос, на которых постоянны частные
производные dAux/dx-y дАих/ду, дАиу/дх, дАиу/ду. Значения их на
каждой полосе можно подсчитать по формулам,
аналогичным формуле (9.31). Аппроксимируя полученные
экспериментальным путем значения частных производных
функциями Aui,j = AUi,j (л:, у), по известным формулам можно
подсчитать Де//=Де// (х, у). Задача определения
деформированного состояния методом муар, в основном, решена. Ее
решение получено более эффективным методом муар, чем
координатных сеток. Можно продолжить изучение течения
материала и попытаться найти напряженное состояние.
Эта задача самостоятельная, ее решение лежит за
рамками метода муар и осуществляется примерно так, как это
показано в начале пункта. Отличие состоит лишь в том, что
аппроксимируются функциями не скорости перемещения
частиц (9.23), а компоненты тензора скорости деформаций
£<7 = £*/(*» У)- При этом одна операция дифференцирования
дискретной экспериментальной информации исключается—
это существенно для повышения точности определения
напряженного состояния. Представляется, что
актуален поиск путей в рамках метода муар
исключения второй и последней операции
дифференцирования, которая имеет место
в уравнениях (9.26).
Упражнения
1. Две прямолинейные сетки наложены друг на друга под углом а.
Ширины линий и просветов между ними соответственно равны bu Ь2 й
442

си с2. Определить: шаг муаровых полос р и угол ср их наклона к
линиям первой сетки. Указание: начертите схему как на рис. 9.16,
перекрещивающиеся сетки должны иметь разный шаг pi = bH-ci¥=
Фр2^Ь2+с2. Ответ:
Р = PihlV Л + А — 2РгР2 cos а; tg ^ = Pi sin aliPicos а — P2).
2. Пусть первая сетка предыдущего упражнения эталонная, ее
параметры известны. В опытах определены р и ср муаровых полос. Какие
параметры имела вторая сетка, которая скреплена с деформируемым
телом? Какие деформации характеризуют эти параметры? Ответ: р2
и а —решение системы из ответа предыдущего упражнения; р2—
характеризует относительное удлинение поперек сетки [&Xx~(pi—Р2)/рг];
а —сдвиг деформируемого тела.
9.5. Аналоги
Известно, что технологические задачи ОМД и более
общие задачи теории пластичности сводятся к решению
соответствующих дифференциальных уравнений.
Примечательно, что одними и теми же
дифференциальными уравнениями могут описываться различные
физические явления. Например, в некоторых случаях
электромагнитные колебания в соответствующих приборах и
механические колебания маятника описываются одними и теми же
дифференциальными уравнениями; правда, переменные в
этих уравнениях имеют различный физический смысл.
Изучая, например, более доступные в некоторых случаях для
регистрации электромагнитные колебания, можно сделать
определенные выводы и о механических колебаниях. В этом
случае электромагнитные колебания моделируют
механические колебания. Может быть обратная картина, когда
механические колебания служат моделью электромагнитных
колебаний. Как уже указывалось во введении к главе,
приборы или устройства, которые используют для
моделирования изучаемого явления, имеющего другую физическую
природу, но описываемого теми же уравнениями, называют
аналогами.
К сожалению, универсальных аналогов для решения
задач теории ОМД не существует. Здесь будут рассмотрены
три случая моделирования на аналогах.
Рассмотрим одно из простейших аналоговых устройств—
гидравлический интегратор для решения некоторых задач,
в том числе тепловых. *
В случае, если тело неподвижно (у£==0), не
деформируется и*7 = 0), коэффициенты теплопроводности Я и
массовой теплоемкости с постоянны, а движение тепла в про-
443

странстве одномерное (например, вдоль оси #), то уравнен
ние (3.30) (см. ч. 1) записывается в виде
dQ/dt = ад2в/дх\ (9.32)
где а=Х/ср— коэффициент температуропроводности. Диф,
ференциальное уравнение (9.32) интегрируется при
некоторых заданных начальных условиях при £=0
e = e0(*)f хл^хкхв (9.зз)
и заданных граничных условиях, например третьего рода:
при х = хА q = XdQ/dx = а[0л (t) — в];
при х = хв q = XdQ/dx = a [QB (t) — в].
где 6о = 0о(*)—функция, показывающая начальное
распределение температуры по толщине тела; QA = QA(t) и
ВБ = 9В(/)—заданные функции изменения во времени
температуры окружающей среды (рис. 9.18).
(9.34)
*л
Ы\
.,.п-1п
°В I
Дифференциальное уравнение теплопроводности или
один из его простейших вариантов (9.32) обобщают: 1)
закон сохранения тепловой энергии; 2) закон Фурье
передачи тепла теплопроводностью
<7 = —A,grade, (9.35)
которое можно записать для частного случая передачи
тепла только вдоль оси х приближенно
q = — Хдд/дх « - X фп — 0П^), (9.36)
где q — поток (расход) тепла через единичную площадку,
перпендикулярно оси х в единицу времени 0Л и вл—i —
температура в точках на оси л: до и после единичной площадки
на единичном расстоянии друг от друга; 3) условие, что
бесконечно малое приращение теплосодержания
единичного объема пропорционально бесконечно малому изменению
444

температуры dq = cpdQ, которое приближенно в конечных,
но малых разностях, можно представить в виде
Aq = срДб. (9.37)
Нет особой надобности показывать эквивалентность
уравнения (9.32), с одной стороны, и уравнений (9.36) и
(9.37) вместе с законом сохранения тепловой энергии, — с
другой. Это было сделано в более общем виде при выводе
дифференциального уравнения теплопроводности.
Аналоговое устройство — гидравлический интегратор—
состоит из последовательно соединенных между собой
гибкими трубками стеклянных сосудов, открытых сверху (рис.
9.19). Уровень окрашенной жидкости в этих сосудах моде-
£ fn-1 fn
fa
ГУ
\ Р12
Pol
1ТК -
'—Чр—'
Р(п-1)п
^
w
**f
Т
лирует распределение температуры по толщине тела
натуры. Число сосудов равно числу условно выделенных в теле
слоев. Поперечное; сечение сосудов моделирует
теплоемкость слоев тела. 'Жидкость может перетекать из сосуда в
сосуд по гибким трубкам, снабженными кранами р.
Сопротивление этих кранов и гибких трубок моделирует
тепловое сопротивление. Крайние сосуды А и В интегратора
могут перемещаться вверх и вниз по определенному закону,
они предназначены для моделирования граничных
условий— теплового взаимодействия тела со средой.
При перетекании жидкости из сосуда в сосуд
выполняются следующие условия: 1) сохранения количества
жидкости в приборе; 2) поток жидкости в единицу времени
(расход) через трубочку, соединяющую сосуды п и п—1, в
Которых уровень жидкости соответственно hn и hn-u
пропорционален разности hn — Л/i—1
(9.38)
g^ — k(hn — hn-x);
445

3) приращение содержания жидкости в сосуде
Ag = /АЛ, (3.39)
где / — площадь поперечного сечения сосуда. Законы,
перечисленные здесь совпадают с законами, управляющими
тепловым движением и перечисленными выше [см. форму.
лу (3.30) и сопровождающий текст]. Поэтому на
гидравлическом интеграторе (рис. 9.19) можно моделировать
нестационарные процессы распространения тепла в одномерных
(по х) телах. Другими словами, ничего не вычисляя,
можно получить решение дифференциального уравнения (3.32)
при краевых условиях (3.33) и (3.34).
Решение с помощью гидроинтегратора осуществляется
так. Исследуемую область разбивают на элементарные
участки (рис. 9.18). В соответствии с теплоемкостью
каждого слоя подбирают площади сечения трубок интегратора
/ь ■••, fn-u fny ..., fw Тепловое сопротивление моделируют
кранами р0ь ..., Р(«-1)л, •••, р«о- Граничные условия,
изменяющиеся во времени, задают положением подвижных
сосудов А и В и, следовательно, положением уровня жидкости
на краях модели. Начальные условия моделируют
соответствующим заполнением трубок к началу модельного опыта
перед открытием кранов р. Полученное после начала опыта
(открытия всех кранов р) изменяющееся во времени и
от сосуда к сосуду распределение уровней жидкости будет
соответствовать приближенному нестационарному полю
температур в натуре.
Кроме указанного, на модели может быть учтена
скрытая теплота (например, от работы пластической
деформации). Это достигается приливанием или отливанием
жидкости в сосуды. Этот процесс может осуществляться
автоматически. Конструкция модели позволяет изменить
сечение сосудов, гидравлические сопротивления кранов,
схемы соединения и другие параметры модели. На таком
принципе могут быть построены не только одномерные, но
и двумерные модели — гидравлические интеграторы. При
помощи такой модели могут решаться не только тепловые
задачи, но и другие, удовлетворяющие уравнению
д/дх (адср/дх) + д/ду фдср/ду) + f (х, у, /) - dyldt (9.40)
с соответствующими краевыми условиями.
Как спроектировать гидроинтегратор и как перенести
результаты опытов, полученных на нем, на натурный
процесс? Процедура решения этих вопросов та же, что и о
теории физического моделирования. Уравнения (9.32) -—
446

(9.37), а также соответствующие уравнения (9.38) и
другие аля гидроинтегратора приводятся к безразмерному
виду. Требуется в соответствии с теорией подобия, чтобы
безразмерные переменные натуры и модели были
одинаковыми. Из этого условия вытекают критерии подобия,
необходимые для создания гидроинтегратора. Это же условие
дает связь между размерными величинами натуры и
гидроинтегратора1.
Второй аналог — песчаная насыпь. В случае
штамповки сложных в плане тонких деталей, например панелей,
важно знать силу штамповки и место ее приложения, как
равнодействующей поверхностных напряжений. Это
необходимо для выбора типа штамповочного пресса и правильной
установки штампа между колоннами пресса,
обеспечивающей одинаковую нагрузку на колонны и исключение
перекосов траверзы пресса.
В ч. 1, п. 3.11 была рассмотрена# приближенная теория
течения пластического слоя по ж'естким поверхностям,
предложенная А. А. Ильюшиным. Слой — это тонкая
штампуемая пластина, жесткие поверхности — это штампы.
Существо теории состоит в том, что касательные напряжения
оХу в слое оказываются малыми сравнительно с
нормальными напряжениями ахх и оуу, причем эти нормальные
напряжения можно полагать приближенно равными между
собой. Итак, оХу~0; GXx~Oyy~q. Третье нормальное
напряжение постоянно по толщине слоя gZz = Ozz (х, у),
численно равно давлению слоя на инструмент р и определяется
из условия пластичности (ап—азз=<ь; ап =—Q\ ст3з==—р)
ou = p = q-ot. (9.41)
Рассмотрев равновесие элементарного объема
пластического слоя, можно составить дифференциальное уравнение
относительно давления на инструмент
(dpldxf + (др/ду)2 = 4tW, (9.42)
где h — толщина слоя; т — касательное напряжение или
Напряжение трения.
В рассматриваемом случае штамповки тонких деталей
Можно принять x=Ts. На границе Г рассматриваемой
детали 9 = 0, поэтому из уравнения (9.41) получаем краевые
Условия
Р\Г - <тв. (9,43)
Рекомендуется проделать это самостоятельно.
447

Уравнение (9.42) указывает на существование аналоги^
между эпюрой давления р и поверхностью песчаной наеьь
пи. Если представить, что на горизонтальную площадку
форма которой соответствует форме штамповки в плане,
свободно насыпан песок, то образуется насыпь с поверхно*
стью z = z (х, у), удовлетворяющей дифференциальному
уравнению
(dzldxf + (dzldyf = f2, (9.44)
где / — коэффициент трения песка, который равен танген*
су угла наклона песчаной насыпи к горизонту. Сопоставлю
ние дифференциальных уравнений (9.42) и (9.44) указывав
ет на то, что они идентичны, отличие лишь в обозначениях.
В рассматриваемом случае t=Ts = const, /i = const и
f=const. Очевидны следующие результаты:
[д/дх {phl2xs)\* + [д/ду (ph/2xs)]* = 1; (9.45)
[д/дх (г//)]2 + [д/ду (г//)]2 = 1. (9.46)
Песчаная насыпь будет моделировать эпюру давлений,
если принять
ph/2xs - zlf. (9.47
Тогда давление в некоторой точке
р(х, у)= 2tsz(*, y)lhf. (9.48)
Кроме того, должны быть подобраны соответствующим
образом граничные условия для песчаной насыпи, чтобы
выполнить условце на контуре Г p = os. Из последнего
условия и формулы (9.47) следует, что на кромке контура Г
модели с песчаной насыпью должен быть сделан барьер
высотой
z0 = fosh/2xs = 0,87/ft. (9.49)
Аналогия с песчаной насыпью позволяет довольно
просто в лабораторных условиях определить силу штамповки
по (объему насыпи) и координаты точки приложения этой
силы (центр тяжести насыпи). На рис. 9.20 приведена
фотография песчаной насыпи, моделирующей давление на
штамп при штамповке изделия.
В работе Г. Я. Гуна и др. предложено использовать для
решения одной из задач теории ОМД известный из
гидродинамики прибор ЭГДА (электрогидродинамическую
аналогию). Напомним, что Г. Я. Гуном предложено
использовать для решения некоторых задач в качестве
кинематически возможного поля скоростей установившегося плоского
<Нс5

ения безвихревое соленоидальное течение — поле ско-
Тбстей без вращения и несжимаемое (см. ч. I, п. 4.7—4.10).
Безвихревое соленоидальное течение полностью
описывайся комплексным потенциалом
а; = /(*) = Ф (*. 0) + *Ф(х> У)> (9-5°)
где ф(*> У) — потенциал; г|э(л:, у) — функция тока. Поле
скоростей, а следовательно, и все деформированное
состояние выражается с помощью функций ф и я|)
vx ^ дф/д* = dty/ду; vy = ду/ду = — д^/дх. (9.51)
Метод использования прибора ЭГДА основан на
существовании аналогии между безвихревым соленоидальным
течением материала и законами протекания электрическо-
Го тока в электропроводящей среде. Моделирование с
помощью прибора ЭГДА осуществляют следующим образом.
Допустим, следует определить деформированное состояние
"Ри волочении или прессовании в предположении, что
течение безвихревое соленоидальное (рис. 9.21). Из токопро-
одящей бумаги вырезают в определенном масштабе об-
насть течения. На края области (на рис. 9.21
заштриховали накладывают шины, к которым подводят разность
тенциалов. С помощью нуль-индикатора (щупа)
замеряет потенциал в различных частях области. Линии равного
ттенЦиала будут соответствовать линиям тока или траек-
Пъ*П?я частиц при течении материала. Градиент потенциа-
\^/dxy dty/ду) позволяет определить по формулам

(9.51) скорости течения материала. Переход от электричек
ских величин с модели на натуру сделать просто. Разность
потенциалов на шинах модели соответствует расходу ма*
териала v0H0 на натуре.
V//////////J
У//////////
Упражнения
1. Сконструировать схему гидроинтегратора для моделирования
нагрева заготовок под штамповку в камерной электрической печи (см.
рис. 8.7).
2. Осуществляется штамповка панелей одинаковых свойств. В
первом случае штампы плоские (открытые), во втором — нижний штамп
закрытый (имеет углубление для штампуемой детали). На какую
величину будет отличаться сила штамповки в этих случаях? Почему это
произойдет? Ответ: см. рис. 9.22.
-7777777777777777
Контрольные вопросы
1. Что входит в состав тензометрической аппаратуры?
2. Что такое тензоэффект?
3. Какое назначение месдозы и как она устроена?
4. Как наклеить датчики сопротивления на поверхности вала для
измерения крутящего момента?
5. Как разместить тензодатчики на поверхности универсального
штифта, чтобы можно было экспериментально определить вектор
поверхностного напряжения?
6. Каковы назначение и принципиальная схема автоматизированной
системы сбора и обработки результатов измерений?
7. Расскажите об оптических явлениях поляризации света и
двойного лучепреломлении.
450

8. Как устроен полярископ?
9. Что такое изо.хрома?
10. Что такое изоклина?
11. Как производят обработку изображения модели на экране
полярископа?
12. Что удается определить оптическим методом непосредственно,
а что — расчетным путем?
13. В чем существо метода «замораживания напряжений»?
14. В чем существо метода координатных сеток?
15. Что можно определить методом координатных (делительных)
сеток?
16. В каких случаях пластического течения эффективно применение
метода координатных сеток?
17. Что такое визиопластичность?
18. Каковы трудности определения напряжений в методе визио-
пластичности?
19. Что такое муар, растр, механическая интерференция?
20. Объясните механизм образования муаровых полос.
21. Как определить методом муара поле приращений перемещений
в случае установившегося плоского течения?
22. Как определить методом муара поле тензора приращения
деформации?
23. Какие физические модели называют аналогами?
24. Приведите примеры аналоговых моделей для решения задач
теории обработки металлов давлением? Почему такой ограниченный
список примеров?
25. Как устроен гидравлический интегратор?
26. Какие задачи можно решать на этом аналоговом устройстве?
27. Как следовало бы реконструировать гидроинтегратор, чтобы
моделировать тепловые задачи с граничными условиями первого рода?
28. Какие допущения приняты при разработке теории течения по
жестким поверхностям?
29. Приведите дифференциальное уравнение для определения
давления на штамп, исходя из теории течения по жестким поверхностям.
30. Чем отличается последнее уравнение от дифференциального
Уравнения поверхности песчаной насыпи?
31. Какие условия следует выполнить, чтобы эпюр давлений при
Штамповке был подсобен песчаной насыпи?
32. Какие задачи можно решать на приборе ЭГДА?
33. Какой принцип положен в основу прибора ЭГДА?
Глава 10
СОПРОТИВЛЕНИЕ МЕТАЛЛОВ
ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Тема, поставленная в название главы, актуальна для
теории ОМД по двум причинам. Во-первых, она посвящена так
Называемым физичесгким уравнениям связи напряженного
и деформированного состояний теории пластичности, о
которых, в общих чертах, речь шла в ч. I, гл. 3, без
формулировки которых на основании опытов невозможно ре-
29*
451

шение краевых задач теории ОМД, так как уравнения ме-
ханики сплошных сред остаются без них незамкнутыми ц
неразрешимыми. Во-вторых, по названию главы ясно, что
речь идет о прочности металлов, о тех нагрузках, которые
необходимо развить, чтобы осуществить пластическую де*
формацию металлов. Сопротивление деформации — важная
характеристика свойств обрабатываемого металла.
10.1. Физические уравнения связи
и сопротивление металлов пластической деформации
Физические уравнения связи напряженного и
деформированного состояний, замыкающие систему
дифференциальных уравнений теории пластичности, не нашли еще
достаточно хорошего выражения. В книге используется
предположение, что в некоторый фиксированный момент времени
физические уравнения связи выражаются функциями
or,/ = ст./ (%ки Aem«) где i, /, k, /, m, n=#, у, z9
обладающими рядом свойств. В частности в категориях теории течения
в скоростях они связывают компоненты тензора
напряжений а/ и компоненты тензора скорости деформации %ц
тензорными функциями
°и = <*и (Sfcz), i, U k,l = xf уу z, (10.1)
которые должны быть определены в специальных опытах.
Тензорные функции (10.1) имеют высокую размерность
(шесть функций, причем каждая имеет минимум шесть
аргументов), они до сих пор для развитого пластического
течения металлов в процессах ОМД в полной мере не
установлены. Тем не менее, желание замкнуть систему
уравнений теории пластичности и дать решение практических
задач привели к упрощенной формулировке уравнений
(10.1). Путем введения ряда гипотез или точнее допущений
удалось свести задачу экспериментального нахождения
физических уравнений к определению одной скалярной
функции, которую называют кривой течения, кривой упрочнения,
единой кривой и т. п. Согласно упомянутым гипотезам
предполагается, что материал все время пластического
течения остается несжимаемым и изотропным.
Действительно, в макроопытах трудно уловить пластическое
разрыхление или уплотнение материалов. Гипотеза кажется
правдоподобной. Однако исследования микроструктуры
пластически обрабатываемого металла показывают, что в металле
происходит пластическое разрыхление и уплотнение.
Фактов в оправдание гипотезы сохранения изотропии металла
452

в процессе большой пластической деформации, имеющей,
как правило, однонаправленное итоговое формоизменение
(например, полосы при прокатке, проволоки при волочении,
некоторого сложного профиля при выдавливании и т.п.)
очень мало. Механические свойства прутков, проволоки,
листов и т. п. в продольном и поперечных направлениях, как
правило, различны. При ОМД возникает и усугубляется
анизотропия механических свойств.
Приняв гипотезу об изотропии, естественным кажется
принятие следующих гипотез: о коаксиальности тензоров
напряжений и скорости деформации (направления главных
напряжений и направления главных скоростей удлинений
совпадают) и о подобии девиаторов напряжений и
скорости деформации (пропорциональности их компонент с
одним коэффициентом пропорциональности г|э). Установлено,
что эти гипотезы подтверждаются на опыте в условиях так
называемого простого нагружения, которое на практике
реализуется не всегда.
Упрощение физических уравнений состоит в следующем.
Из подобия девиаторов для несжимаемого материала
следует
su = 1йу. (Ю.2)
Скалярный коэффициент пропорциональности г|)
выражается через инварианты. Действительно, интенсивность
касательных напряжений Т с учетом уравнения (10.2)
т = V W2 = V№uliii2 = W2) УЩЬ7>
а так как интенсивность скоростей деформации сдвига Н =
г|) = 2Т/Н. (10.3)
Физические уравнения связи (ЮЛ) в рассматриваемом
упрощенном варианте при a«7=s//+cr6<7 имеет вид
s<y=2TVHf (10.4)
или в виде обратных функций
ЕУ = Шг/2Т. (10.5)
В уравнениях (10.4) или (10.5) следует использовать
скалярную функцию Т = Т(Н), которую (единственную)
определяют из опыта, или обратную ей Н = Н(Т). Итак,
гипотезы позволили сфЪрмулировать физические уравнения
так, что в опытах следует определить лишь одну скалярную
Функцию скалярного аргумента
Т = Т(Н). (Ю.б)
453

Функция (10.6) может включать в состав аргументов Л—-
степень деформации сдвига, накопленную металлом при
пластическом деформировании; 9 — температуру и другие
скалярные величины.
Физические уравнения связи напряженного и
деформированного состояний могут быть сформулированы в
категориях теории течения в приращениях перемещений
аг] = ои (ДеЛ[), /, /, k, 1 = х, уу z, (10.7)
где Агц — компоненты тензора приращения деформации. С
помощью гипотез, о которых говорилось выше, задача
экспериментального определения тензорных функций (10.7)
сводится к более простой—определению скалярной функции
Т = Т(ДЛ), (10.8)
где ДЛ=НД* — приращение степени деформации сдвига
за достаточно малый отрезок времени At пластического
деформирования тела.
Определение функций (10.6) и (10.8) в экспериментах
основывается еще на гипотезе единой кривой: эти функции
Т = Т(Н) и Т = Т(ДЛ)4 могут быть определены в каком-
либо простейшем опыте (при одноосном растяжении или
сжатии, кручении), а результаты распространены на
любое сложное напряженное и деформированное состояния.
Строго говори, эта гипотеза, как и некоторые из
указанных выше, не всегда подтверждаются в опытах. Например,
в ч. I упоминался эффект Баушингера: смена направления
деформирования (переход к сжатию по той же оси при
одноосном растяжении и т. п.) приводит к существенному
падению напряжения пластического течения. Ход кривой
Т = Т(ДЛ) при знакопеременной деформации будет
существенно отличаться от кривой однонаправленного течения,
т. е. гипотеза единой кривой не выполняется.
Введение в терию пластичности гипотез об изотропии,
коаксиальности, подобии и о единой кривой приводит к
существенному упрощению физических уравнений связи, что
приводит к снижению точности определения напряженного
и деформированного состояний.
Основное содержание главы посвящено установлению
функций (10.6) и (10.8), которые получаются в условиях
простого нагружения и которые не имеют пока
альтернативы — более точного описания реологических свойств.
Создание более точной и общей теории
физических уравнений связи
напряженного и деформированного состояний явля-
454

ется одной из фундаментальных проблем
современной теории ОМ Д.
Сопротивлением металла os пластической деформации
называют напряжение одноосного растяжения или сжатия
в условиях развитой пластической деформации. Вычислим
интенсивность касательных напряжений, соответствующую
сопротивлению металлов пластической деформации
Т = V[(On- *22)2 + (*22~ <*33)2 + (СТЗЗ- ^ll)2l/6. (Ю.9)
Так как при одноосном растяжении вп=о5, а22 = сУзз = 0, а
при одноосном сжатии о,11=а22 = 0, азз=—<Ь> то Т=-
=а5/ 1^3^0,58 а*. Эта величина равна пределу текучести
при чистом сдвиге т5, следовательно, сопротивление
деформации gs= V~3 Ts~ 1,73ts.
В теории пластичности и теории ОМД наряду с
интенсивностью касательных напряжений Т и интенсивностью
скоростей деформации сдвига Н применяют аналогичные
инвариантные характеристики, которые называют
интенсивностью напряжений аи= У^ЗТ и интенсивностью
скоростей деформации gw=H/ ]/"3. Заметим, что удельная (на
единицу объема материала) мощность деформации
несжимаемого материала TH = awgM. Наряду со степенью дефор-
t
мации сдвига Л= jHdt применяют характеристику всей
о
накопленной материальной частицей деформации —
степень деформации
е„= \tudj = A/V3. (10.10)
Упражнения
1. Подсчитать, чему будет численно равна работа пластической
деформации единичного объема хматериала, если все время деформации
Т=1? А если о*и=1? Ответ: Л — степени деформации сдвига; еи —
степени деформации.
2. В лаборатории при изучении курса «Сопротивление материалов»
осуществляли разрыв образцов (исходная длина рабочей части образ-
Нов /0, площадь поперечного сечения F0) с получением диаграммы
сила— абсолютное удлинение (Р~Л/). Как перестроить эту диаграмму в
Координатах au~6u? Привести формулы для преобразования
переменных. Ответ: аи = Р((р + Д/)№>/о; 8и = 1п(1+Д///0).
3. Какой существует недостаток в испытании на кручение с целью
определения зависимости ои от еи? Ответ: деформированное
состояние по объему образца неоднородное: на оси образца деформации
равны нулю, а на его поверхности максимальны.
455

10.2. Методы определения сопротивления деформации
металлов в холодном состоянии
Под холодной деформацией понимают пластическую
обработку, которую производят без принятия специальных мер
по нагреву металла внешними источниками тепла. Горячей
пластической деформацией называют пластическую
обработку металла, которую производят с принятием мер по
нагреву металла и которая сопровождается температурой
выше температуры его рекристаллизации. Теплая деформация
занимает промежуточное положение между горячей и
холодной пластической обработкой.
Методов определения сопротивления деформации ме-
таллов много, часто они не стандартизованы, так как идет
поиск лучших видов испытания: простых, точных и
достаточно полных. Однако ряд методов испытания металлов уже
стандартизован. Испытание на растяжение является
одним из распространенных и простых методов определения
прочностных и пластических характеристик металлов и
сплавов. Этим способом проще всего достигается одноосное
напряженное состояние при развитом пластическом
течении, которое сохраняется в образце до образования шейки.
Для испытания на растяжение при комнатной температуре
(в холодном состоянии) используют ГОСТ 1497—73, а
также ряд других стандартов для испытания на растяжение
тонких листов, проволоки и труб. Для испытания на
растяжение применяют испытательные машины, например УМЭ-
10ТМ, 1231У-10, 1958У-10-Г, 1246Р-2/2500 и др., оснащенные
силоизмерительными устройствами. Современные
испытательные машины включают в
информационно-вычислительные системы для автоматизированного сбора и обработки
опытных данных.
Обработав соответствующим образом первичную
диаграмму растяжения в координатах сила — абсолютное
удлинение, можно получить диаграмму истинных напряжений.
При растяжении во всем образце имеет место однородное
одноосное напряженное состояние, ось образца совпадает
с одной из осей главных нормальных напряжений и
главных удлинений
оп = PIF = as; a22 - о33 - 0; ои = os; ) ^
ln = v/l; £22 =l33 = — v/2l; lu = v/l, ' J
где Р — сила растяжения образца; F — его текущая
площадь поперечного сечения; v — скорость движения одного
из захватов испытательной машины относительно другого;
456

/ — текущая длина образца; /0 — длина образца до
испытания. При развитом пластическом растяжении степень
деформации
t i
ги = f Ъи dx = j (v/l) (dl/v) = In (l/l0). (10.12)
о /о
Диаграмма истинных напряжений aw~ew путем изменения
масштаба превращается в соответствии с приведенными
выше формулами в диаграмму Т~Л.
Опыты показывают, что для большинства металлов (для
которых комнатная температура не равна и не выше
температуры рекристаллизации) зависимость Ои~&и не
чувствительна к скорости испытания. Металлы в холодном
состоянии не проявляют вязких свойств. Математическая
модель, удовлетворительно описывающая зависимость
Gu~&u (кривую упрочнения) имеет вид
ав = а + 6е« (10.13)
Для развитых деформаций, существенно превышающих
упругие, зависимость (10.13) может быть принята в более
простом виде
*, = <*;}, (Ю.14)
где а, 6, с, т, п — эмпирические коэффициенты, которые
выбирают из условия лучшей аппроксимации опытных
данных.
Значения коэффициента п в формуле (10.14) для
некоторых сплавов приведены ниже:
Алюминиевый сплав, %: Mg 1,0; Si 0,6; Си 0,25; Сг 0,25 (в
отожженном состоянии) , 0,20
Тот же сплав после закалки и искусственного старения .... 0,05
Алюминиевый сплав, %: Си 4,5; Mg 1,5; Мп 0,6 (после закалки
и естественного старения до стабильного состояния) , , . 0,05
Латунь, содержащая 30—37 %; Zn 0,34
Сталь, %: С 0,13; Мп 0,7—1,0; Р 0,07—0,12; S 0,16—0,23 %'
(отожженная) . . , . 0,19
Та же сталь, но холоднокатаная 0,08
Сталь, %: С 0,33—0,38; Мп 0,70—0,90; Р 0,040; S 0,040; Si
0,20—0,35; Сг 0,80—1,10; Мо 0,15—0,25 (отожженная) . ... 0,17
Несмотря на прбстоту и отработанность методики
экспериментирования, испытание на растяжение обладает
одним существенным недостатком. При сравнительно
небольшой деформации растяжения нарушается однородность рас-
457

пределения деформации, образуется шейка, деформация
локализуется, напряженное состояние значительно откло-
няется от одноосного растяжения. По этой причине
испытание на растяжение не может быть безоговорочно
использован в качестве универсального метода для экспери.
ментального определения
кривой упрочнения ои~ги.
В ряде случаев, когда
кривая упрочнения нужна для
описания сравнительно
малых деформаций, опыты на
одноосное растяжение могут
оказаться полезными.
Целесообразно
установить диапазон деформаций,
при которых растяжение
образцов протекает устойчиво,
без образования шейки.
Вопрос об устойчивости
процесса растяжения интересен потому, что иногда
растяжение применяют для правки изделий (уменьшения их
кривизны) и важно знать допустимые величины удлинения,
которые не приводят к местным сужениям.
Начало образования шейки при растяжении совпадает
с достижением Р максимума на первичной диаграмме
растяжения (точка А на рис. 10.1). В момент достижения
нагрузкой Р максимума и начала образования шейки
dP/d(Al) = 0. (10.15)
Решим это уравнение относительно деформации и найдем
ее критическое значение. Учтем, что P = ouF. Правую часть
этого равенства выразим через Д/. Примем, что кривая
упрочнения описывается формулой (10.14). Поскольку f =
=/Уо/('о+ДО из-за сохранения объема образца при
пластической деформации, а при одноосном растяжении е^
= 1п (1+Д///0), то условие (10.15) наступления момента
локализации деформации и начала формирования шейки
имеет вид
did (ДО [с [In (1 + Ш0)]« F0l0/(l0 + Д/)} = 0,
или
did(Д/) ([In (1 + Ш0)]« /(/0 + ДО) = 0.
Решение этого уравнения после'дифференцирования и
очевидных преобразований примет вид
1п(1 + Д/кр//0)=/1. ~* (10.16)
у
i
i
U
/
1 l_Jk
\
^^^^В
__1 I
458

Последнее можно истолковать так, что критическое
значение е*р = 1п(1+Д/кр//0), при котором начинается
образование шейки, равно показателю степени в формуле (10.14),
аналитически выражающей кривую упрочнения сплава
степенным одночленом. Следовательно,
е*р = п. (10.17)
«Итак, для рассматриваемых сплавов, имеющих значение
п в пределах 0,05—0,34, критическая степень деформации,
при которой произойдет потеря устойчивости при
растяжении, будет находиться в интервале в£р =0,05—0,34, или
(Д/кр//о) • 100 % =5—40%. Для алюминиевых сплавов и
сталей этот диапазон составляет 5—20 %. Особо
выделяется способностью однородно удлиняться без образования
шейки латунь. Материалы с крутой кривой упрочнения
могут выдержать большие деформации до образования
шейки по сравнению с материалами, у которых кривая
упрочнения более пологая.
Степень деформации до потери устойчивости
однородного течения при растяжении следует признать малой. На
практике обработка металлов давлением осуществляется
чаще всего с деформациями большей величины. Поэтому
сопротивление деформации, определенное в опытах на
растяжение до потери устойчивости, не будет в полной мере
соответствовать условиям технологических процессов.
Иногда сопротивление деформации определяют также
после образования шейки, т. е. на ветви АВ диаграммы
растяжения (рис. 10.1). При этом сопротивление деформации
определяют косвенно из решения краевой задачи
пластического растяжения образца с выточкой, имитирующей
шейку (см. гл. 12).
Рассмотрим другой метод испытания металлов с целью
определения сопротивления деформации, позволяющий
осуществить деформацию до значительно больших величин,
чем при растяжении, т. е. осадку цилиндрических образцов
плоскими полированными и смазанными бойками
(штампами). Испытание на осадку регламентировано ГОСТ
8817—73 и осуществляется на тех же машинах, что и
растяжение.
Для испытания применяются цилиндрические образцы
с отношением высоты к диаметру l<h/d<2, осадка низких
образцов сопровождается существенным искажением
опытных данных о сопротивлении деформации из-за влияния
трения (см. ч. I, п. 3.11). Высокие образцы теряют устойчи-
459

вость, получают продольный изгиб, при этом существенно
нарушаются условия однородной деформации. К сожале-
нию, указанные меры снижения трения об инструмент не
столь радикальны: нормальное напряжение при осадке
несколько выше сопротивления деформации, причем
отклонение будет тем существенней, чем ниже цилиндр. Осадку
образца обычно осуществляют до тех пор, пока его высота
не уменьшится на 50—70 %. Большая осадка не
рекомендуется из-за роста влияния трения на напряжение осадки.
После осадки деформированный образец обтачивают до
получения l<A/d<2 и продолжают его осадку. Так можно
получить большие степени пластической деформации. Для
предупреждения выдавливания смазки с контактной
поверхности, на торцах образцов нарезают концентрические
круговые канавки. Применение канавок для смазки можно
сочетать с использованием тонких пленок полиэтилена или
свинцовой фольги, играющих роль твердой пластической
смазки.
Предположим, что удалось существенно снизить трение,
тогда осадка цилиндра с A/d=l—2 будет происходить в
условиях, близких к однородной деформации. Диаграмма
Р~ДА (сила осадки — уменьшение высоты цилиндра или
обжатие), зафиксированная в опыте, может быть легко
перестроена в переменных Ои/щ^'бы- Действительно, при осадке
без трения ац = а22=0; азз =—P/F. Текущая площадь
поперечного сечения цилиндра F=F0ho/(h0—ДА). Тогда а« =
= P(h0—Ah)/F0h0, aew = ln [h0/(hQ—ДА)].
В настоящее время накоплен обширный материал о
механических свойствах металлов после холодной
пластической деформации. Данные о пределе прочности ав, условном
пределе текучести ао,2, твердости НВ, относительном
удлинении пяти- и десятикратных образцов 65 и бю, числе
перегибов до разрушения п, приведенные А. В. Третьяковым и
В. И. Зюзиным, получены на основании испытаний
образцов, изготовленных из холоднокатаного металла. Авторы
полагают, что увеличение числа проходов при прокатке на
изменение механических характеристик влияет
незначительно. Они считают, что механические свойства металлов
после прокатки определяются лишь обжатием е=[(А0—А)/
/Ао] 100%, где А0 и А — толщина полосы до и после
прокатки. На основании многочисленных опытных данных
авторы пришли к выводу, что на механические свойства
полосы после прокатки практически не оказывают влияния ни
скорость деформации, ни качество смазки. Данные о
механических свойствах относятся к образцам, вырезанным
460

вдоль направления прокатки. Авторы справочника приводят
обширные сведения в виде графиков изменения указанных
свойств от величины обжатия г отожженного металла (рис.
10.2).
Нас интересует сопротивление деформации и упрочнение
металлов, т. е. зависимость сг0,2 (условного предела
текучести) от е (обжатия при холодной прокатке), на основании
S-[(h0-b)/h0]WO%
которой можно получить связь (7w~eu или Т~ Л.
Обобщение экспериментального материала, имевшегося в
распоряжении авторов, привело их к модели
о02 = а + Ьгт. (10.18)
Согласно гипотезе о единой кривой зависимость Ои~ги,
или Т~Л, можно получить при любом способе
деформирования, в том числе и при растяжении после холодной
прокатки. Важно лишь правильно подсчитать степень
деформации и интенсивгость напряжений. В рассматриваемых
опытах определяли предел текучести на растяжение а0,2.
Эта величина, как следует из определения, равна аи
(сопротивлению деформации на первых этапах развитого
пластического течения).
Сделаем оценку степени деформации при прокатке
широкой тонкой полосы (рис. 10.3). При прокатке таких полос
реализуется плоское деформированное состояние, для
которого 12г=1хг=1У2 = 0у а 1ХХ=—ЪУУ. Интенсивность
скорости деформации сдвига
Замечено, что при прокатке тонких полос £**/<£ хх> ПОЭТОМу
последнюю формулу можно приближенно выразить в виде
H = 2gM = -2g„„. (10.19)
461

Замечено также, что по толщине полосы деформации рас-
пределены довольно однородно. Тогда
lvv = 2vv{x)lh{x)9
где 2vy(x)=dh(<x)/dt — удвоенная вертикальная составляв
ющая скорости перемещения частиц металла на
поверхности полосы; h(x) — текущее значение толщины полосы в
пределах очага деформации. Таким образом, оценка
степени деформации сдвига при прокатке имеет вид
h __
Л - — 2 Г dh (x)lh (х) = — 21n (А/А0) = 21п (АД) = *и V^ .
(10.20)
Таким образом, формулу (10.18) можно преобразовать
и привести к виду ои~еи, применив подстановки
а02 - аи; е = l(h0 — h)/h0] 100% -
= (1 — А/Ао) Ю0% = (l — e~V**u/2) 100%. (10.21)
Ha рис. 10.4 представлены кривые упрочнения некоторых
сталей (рис. 10.4, а) и алюминиевых сплавов (рис. 10.4, б)
по данным А. В. Третьякова и В. И. Зюзина после преобра
зования переменных.
Упражнения
1. Пользуясь результатами упражнений 2 и 3 (ч. I, п. 3.11)
определить i|? в условии трения t=i|)ts, которое обеспечило бы при осадке
цилиндра с h/d-=\—2 условие РсР= (1,00-5-1,10)о*в, т. е. достаточно
высокую точность определения сопротивления деформации os по среднему
нормальному напряжению рСр при осадке цилиндра. Ответ: г|;<0,53.
2. Согласно теории течения в приращениях перемещений эксперт*
менты должны обеспечить получение зависимости Т = Т(ДЛ). Как ?е
найти, используя выкладки п. 10.2? Ответ: Т=Т(Л) +Т'(Л)ЛЛ, где
462

Т (А) — экспериментально найденная зависимость (см., например,
рис. 10.4); Л — степень деформации, накопленная частицей к
рассматриваемому этапу малой деформации; Т'(Л) =дТ(Л)/дЛ — производная
к началу этого же этапа, подсчитанная по зависимости Т(Л). Другими
словами, кривая течения на малом этапе деформирования заменяется
прямой Т=Л + 5ДЛ, коэффициенты которой А и В выбирают в
соответствии с достигнутой к началу этапа степенью деформации сдвига Л.
Можно повысить степень полинома разложения в ряд Маклорена Т^=
^гТ(А)+Т(А)АА-\-1/2Т/(А)АА2 и т.д.
10.3. Сопротивление деформации
при высоких температурах
В общем случае сопротивление деформации gs или ои
зависит от степени деформации ги (при холодной деформации
в основном от этого), температуры Э, скорости деформации
1и и истории деформирования eu(t). Знать сопротивление
деформации при высоких температурах особенно важно,
так как практически весь выплавляемый металл, если он
подвергается пластической деформации, проходит стадию
обработки давлением при высоких температурах.
Для удобства анализа механических свойств в
зависимости от температуры применяют__ понятие гомологической
или сходственной температуры 6, т. е. отношения текущей
изучаемой температуры 0 к температуре плавления ЭПл
данного металла в градусах Кельвина 0 = 8/9Пл. Известно
правило А. А. Бочвара, согласно которому сходственная
температура рекристаллизации металлов Эрек = 0,4. Если
6<0,4, то деформация будет холодной или теплой, если же
6>0,4, то деформация осуществляется вместе с
рекристаллизацией и является горячей.
Известно большое число работ, в которых показано
влияние температуры на сопротивление металлов и сплавов
пластической деформации. Эта зависимость, если иметь в
виду широкий интервал температур, отличается большой
сложностью. Одна из таких зависимостей для
низкоуглеродистой стали показана на рис. 10.5. Из графика видно, что
увеличение температуры углеродистой стали примерно до
100 °С несколько уменьшает сопротивление деформации, в
частности, временного сопротивления. Дальнейшее
увеличение температуры (примерно до 300 °С) приводит к
значительному увеличению прочности (одновременно
происходит снижение пластических свойств стали). Зону около
300 °С называют областью синеломкости. Это явление
Некоторыми учеными объясняется выпадением
мельчайших частиц карбидов по плоскостям скольжения, ана-
463

логично процессу старения. Дальнейшее повышение
температуры приводит к монотонному и значительному уменьшу
нию показателей прочности. При увеличении температуры
на 1000 °С временное сопротивление уменьшается почти в
10 раз. При температуре фазовых превращений (700-^
800 °С) наблюдается нарушение монотонного падения со^
I i i i _j i I
О 200 400 600 800 1000 о;О
противления деформации с ростом температуры. Далее
вновь устанавливается монотонное падение прочностных
характеристик. Каждый сплав имеет свои особенности,
нарушающие в некоторых узких температурных интервалах
монотонный характер изменения сопротивления
деформации от температуры. Широкие области монотонного
падения сопротивления деформации с ростом температуры
пластической деформации для большинства металлов и
сплавов хорошо описываются экспонентой.
В теории ОМД принято сопротивление металлов при
горячей деформации ои представлять в зависимости от
степени деформации при постоянных скорости (£w=const) И
температуре (В = const) испытания. Зависимости Ои— Ои (ба/
при gw = const и 0 = const получают на специальных
испытательных машинах, которые называют пластометрамй.
Обычные типовые испытательные машины не позволяют
осуществлять испытания при скоростях, характерных горячей
пластической обработке металлов давлением. Это побудило
создать пластометры.
Рассмотрим пластометр конструкции Уральского
завода тяжелого машиностроения (УЗТМ). Основные узлЫ
пластометра (рис. 10.6): 1 — шток с поршнем, имеющий
возможность совершать возвратно, поступательное
движение вдоль вертикальной оси цилиндра под воздействие^
464

жидкости; 2 — плунжер, совершающий в своем цилиндре
возвратно-поступательное движение и передающий
движение через жидкость штоку; 3 — ролик, воспринимающий
усилие от кулачка 4, размещенного на маховике машины, и
передающий его плунжеру 2. Электрический двигатель
постоянного тока приводит во вращение с нужной скоростью
маховик. Специальное устройство, после достижения
заданной скорости вращения, выдвигает в рабочее положение
кулачок, который имеет особую профилировку и утоплен в
исходном положении в тело маховика. Кулачок через
ролик сообщает движение плунжеру, а последний через
жидкость приводит в движение шток. Нижняя часть штока
приспособлена для осадки испытуемого образца, а верхняя —
для растяжения.
Испытание металлов в горячем состоянии на пластомет-
рах выдвигает определенные требования к точности
нагрева и поддержания в процессе опыта
температуры образца. Пластометры
обладают малой мощностью, поэтому способны
деформировать только малые образцы.
В связи с трудностью предупреждения
их остывания, образцы деформируются
осадкой в контейнере (рис. 10.7),
который нагревают в муфельной печи вместе
с образцом. Контейнер существенно
задерживает остывание образца после
извлечения из печи; он состоит из корпуса
2, пуансона 1 и двух бойков 3 и 6> между
которыми размещается испытуемый
образец 5. Корпус и пуансон изготовлены из
высоколегированной стали, например, марки 12Х18Н10Т, а
бойки — из жаропрочного сплава марки ЭИ661. В корпусе
контейнера имеется отверстие, в котором размещена
термопара 4. Нагретый в печи контейнер с образцом вынимают
из печи и устанавливают в пластометр, маховик которого
уже имеет необходимую скорость вращения, включается
кулачок и производится испытание. Осадку осуществляют
со смазкой, в качестве которой применяется стекло. Оно
проявляет при температуре испытаний хорошие
смазывающие свойства. Кулачок пластометра имеет специальную
профилировку, обеспечивающую во время осадки
постоянство скорости деформации gM = y/A = const, где v —
скорость перемещения пуансона / с бойком 3, h — текущая
высота образца.
Пластометр снабжен тензометрической аппаратурой,
30-382
465

осуществляющей регистрацию силы осадки Р, перемещения
или высоты образца h и скорости движения бойка.
Современные пластометры включены в АССОРИ. Напряжение
осадки или сопротивление деформации
0s = ou = Ph/Foho, (Ю.22)
где Fq — площадь поперечного сечения образца до
испытания. Интенсивность скорости деформации составляет
lu=--vlh, (10.23)
а степень деформации
eu = ln(VA). (Ю.24)
0,7 0,2 0,3 Oft
0,7 0,2 0,3 Oft
lnlhg/h)
0,7 0,2 0,3
9l0 £lO
На рис. 10.8 приведены кривые сопротивления
деформации для стали марки Ст4, полученные при gw= 10(7) и
100 с-1 (2) и температуре 6=900 (а), 1000 (б) и 1100°С
(б). На рис. 10.9 аналогичные данные для стали марки Р12
при gtt=10, 40 и 60 с-1 при
9=900 °С (кривые У, 2, 3) и
при 9= 1200 °С (кривые 4, 5,6).
Анализ многочисленных
экспериментальных данных о
сопротивлении деформации
позволяет сделать несколько
выводов о характере этой
зависимости: 1) сопротивление
деформации увеличивается с по-
ш1% вышением скорости
деформации при всех температурах и
степенях деформации, эта зависимость хорошо
аппроксимируется степенной функцией; 2) упрочнение, т. е. рост
сопротивления деформации с увеличением степени
деформации, характерно для всех сталей и сплавов в пределах
изменения еи от 0 до 0,3—0,4; 3) интенсивность упрочнения
с развитием деформации уменьшается, при некоторой
степени деформации достигается предел упрочнения, после
466

чего сопротивление деформации остается практически
постоянным или даже уменьшается. Падение сопротивления
деформации характерно чаще всего для
высоколегированных сплавов. Пока еще нет хороших объяснений этого
феномена. Ясно, что при деформации идут динамические
процессы разупрочнения, которые при увеличении деформации
ускоряются настолько, что не только нивелируют
дальнейший прирост сопротивления деформации, но и отчасти
снимают упрочнение, достигнутое на предыдущих этапах
деформации.
Обилие экспериментальных данных о сопротивлении
деформации os в зависимости от скорости деформации %а =
= vlh9 относительной деформации ги= (Ло—h)/h0 и
температуры Э побудило многих исследователей к аппроксимации
опытных данных формулами. Так, А. В. Третьяковым и В.И.
Зюзиным предложена формула
оя=аг*Ъ1ег**, (10.25)
которая рекомендована для ем=0,05—0,40; g« = 0,1 —
—100 с-1 и для различной стали характеризуется
следующим:
Сталь
45
12ХНЗА
4X13
Х17Н2
Х18Н9Т
е,
1000-
900-
900-
900-
900-
°с
-1200
-1200
-1200
-1200
-1200
а
133
230
430
705
325
k
0,252
0,252
0,280
0,280
0,280
1
0,143
0,143
0,087
0,087
0,087
т
0,0025
0,0029
0,0033
0,0037
0,0028
Экспериментальные данные подобные тем, которые
приведены на рис. 10.8 и 10.9 или формулой (10.25),
используют в технологических расчетах. Так, если удалось
подсчитать среднюю ркорость деформации, например, при прокат,
ке (см. рис. 10.3), то используют кривую упрочнения,
которая соответствует этой скорости. Среднее значение
скорости деформации gw, с-1 для различных случаев горячей
обработки давлением следующее:
Пресс:
гидравлический , . . . « 0,03—0,06
механический ...... 1—10
Молот ....»,».. 10—250
Стан:
обжимной и крупносортный 1—5
среднесортный и листовой . 8—25
непрерывный 70—300
Точность таких расчетов во многих случаях
удовлетворяет практику.
Процессы прокатки, ковки осуществляют путем много-
30*
467

ных станах
этом случае
кратного деформирования полосы с паузами между пропус*
ками. В случае, если паузы имеют достаточно большую
продолжительность, то разупрочнение металла может про*
исходить полностью. При больших скоростях обработки
продолжительность пауз может быть малой (например, на
мелкосортных непрерыв-
и т. п.). В
разупрочне.
ние металла может быть
неполным. В связи с этим
между фактическим со-
противлением деформа-
ции и рассчитанным по
данным, приведенным
выше, будет расхождение,
нарастающее от прохода
к проходу, так как порой
считают, что в течение
пауз полностью заверша
ется разупрочнение. Раз
упрочнение в паузах меж
ду деформациями изуча
ют на пластометрах, ко
торые позволяют осуще
ствлять многократное де
формирование одного и
того же образца с паузой
между обжатиями
различной величины. На рис.
10.10 приведена схема
исполнительного
устройства пластометра
конструкции Челябинского политехнического института.
Рабочие кулачки 1 пластометра, шарнирно закреплен*
ные на барабане 2, приводятся в рабочее положение с
помощью диска 5, который расположен соосно внутри
барабана и вращается в одном с ним направлении, но с
несколько другой угловой скоростью. На диске установлены
управляющие ролики 4, которые в заданный момент
догоняют рабочие кулачки и приводят их в рабочее положение,
обкатывая по участку аб. Ролики смещены относительно
друг друга по окружности диска и находятся в
параллельных плоскостях вращения. При этом каждый управляющий
ролик взаимодействует только с тем рабочим кулачком,
который расположен в его плоскости {разрез Б—Б рис
m^a^s^
468

10.10). Поочередное включение рабочих кулачков
обеспечивает многократную деформацию образца с плавно
изменяющимися от опыта к опыту паузами между
деформациями.
На рис. 10.11 приведена типичная диаграмма
сопротивления деформации низкоуглеродистой стали марки СтЗ в
зависимости от степени деформации при двух обжатиях од-
ЛПа
196
157
118
/^
-/ \
/ ,•
■о / 1
г46'
_ 1 __ i j
О 0,2 0,t 0,6
in(hofh)
мпа\
т\
78
39 \
IV
^s
СтЗ
1 ^ rJ
0 12 3 <«
ного образца с паузой между обжатиями т=1,2 с. За
критерий процесса разупрочнения можно взять Да (остаточное
упрочнение). При деформации с нулевой паузой Да=Дао,
где Да0 — упрочнение, достигнутое на некотором этапе
деформирования, в этом случае разупрочнения нет.
Путем измерения величины Да в зависимости от
температуры, продолжительности паузы, величин ги и ^и
получены экспериментальные кривые разупрочнения стали (рис.
10.12) для е=-ДАо—А)/Ао] -ЮО %=30 %, £,= 10 с-1; при
6 = 900 (1), 1000 {2) и 1100 °С (3). При продолжительности
паузы т=1—4 с кривые разупрочнения для обжатия е==
5=210—50 % отличаются незначительно от кривой
разупрочнения, показанной на рис. 10.12.
Оказалось, что разупрочнение легированных сталей
протекает значительно медленней, чем стали марки СтЗ. На
рис. 10.13 показаны кривые разупрочнения для стали
Марки ЭИ437Б, полученные при скорости деформации
£и=10 с-1 и температуре 0=900 (/), 1000 (2) и 1100 °С (3).
Опыты показали, что кривые разупрочнения с хорошей
точностью описываюуся уравнением
Да - Да0<ГтЛг = Да0 ехр (— т//г), (10.26)
Где т — длительность паузы между обжатиями, с; Да0 —
величина упрочнений в момент времени г=0; п — величи-
469

на постоянная для данного металла и температуры. Для
стали марки СтЗ она оказалась равной следующим значе^
ниям:
е, °с 900 юоо ню
п 0,90 0,50 0,18
Некоторые авторы рекомегь
дуют при расчетах учитывать
разупрочнение так: если в
течение паузы к ее концу
остаточное упрочнение в соответст.
вии с формулой (10.26)
составило Да, то его следует
добавить к сопротивлению деорма-
ции на следующей ступени,
последнее же определяется для'
сответствующих условий по
кривым упрочнения, подобным
приведенным на рис. 10.8 и 10.9. Более строгий подход к
определению сопротивления деормации изложен в
следующих пунктах.
Упражнения
Сделать расчет профиля кулачков пластометра (рис. 10.6) [г=
= г(а) —радиус в зависимости от центрального угла а,
отсчитываемого от начала кулачка] обеспечивающих: а) постоянную скорость
перемещении бойка y = const, б) постоянную скорость деформации £„ =
-= и/Л=const. Радиус маховика г0; его угловая скорость со; диаметры
поршня у штока 1 и плунжера 2 одинаковы; высота образца h0;
обжатие Дя; центральный угол, приходящийся на кулачок cti—сс0. Ответ:
а) г=г0+ДЛ(а—а0)/(а,—а0); б) r=r0+/i0{l— expj— (а—а„)Е«/ю]}.
10.4. Функционал сопротивления металла
пластической деформации наследственного типа
Выше было сказано, что сопротивление деформации в
данный момент времени t зависит от истории, т. е. от того,
как развивалась деформация во времени. Следовательно,
сопротивление деформации— это функционал, т. е. число,
зависящее от функции ги = еи(т) описывающей историю
развития деформации при 0<т^/. Это предопределено тем,
что при горячей пластической деформации параллельно
идут процессы упрочнения и разупрочнения, соотношение
между которыми зависит от пути развития деформации.
Это исключает существование функциональной
зависимости ои = ои(еиу 1и, 9). (10.27)
Действительно, пусть нас интересует сопротивление де-
470

формации при конкретных значениях е^ и ^(зависимость
от температуры 6 здесь не рассматриваем). Если бы
существовала функциональная зависимость, то числам е^и
£0) соответствовало бы значение о\^\ подсчитываемое по
формуле (10.27). Будет ли иметь место такое соответствие,
свойственное функции, если рассмотреть процессы
упрочнения и разупрочнения? Пусть заданную степень
деформации е(1) достигают разными путями (рис. 10.14). В первом
случае деформация развивается с постоянной скоростью
g(i) и достигает значения степени деформации е^. Этот
случай соответствует пластометрическому испытанию.
В конце деформации ои = Ои). Во втором случае основная
часть деформации развивается очень медленно со
скоростью ^2)<СЦ1}, так, что успевают происходить процессы
разупрочнения. Лишь в последний момент поднимают
скорость деформации до Ц!). Сопротивление деформации а{и2)
к моменту достижения степени деформации г™ будет,
вероятно, меньше o{JK несмотря на то, что в обоих процессах
имели в конце одинаковые е^ и £</>, так как во втором
случае довольно полно
происходило разупрочнение
практически все время
деформирования. В третьем
случае основная часть
деформации развивается при
скорости деформации Е«3) 3>
>££!)и лишь в последний
момент скорость
-деформации уменьшают до g(w!). Надо
полагать, что к концу
процесса деформации в
третьем случае произошло
меньшее разупрочнение, хотя бы потому, что время деформации
в третьем случае было меньше. Следовательно, о^3) >а<гХ) >
\>о{и2). Можно избрать бесчисленное множество различных
путей деформирования, и каждый раз при одних и тех же
значениях е^!) и 1(и1) в конце пути будем иметь различные
значения au. Это свидетельствует о том, что сопротивление
Деформации ои зависит от истории развития деформации
во времени, т.е. Ou^Cuit) является не функцией, а
функционалом от еи = еи.(т) и, возможно, от еи = |и=£м(т), где
1 ^ ^^
^ ^х \
I'
~*
-13)
J1)
6и
471

0<т^, т. е. от истории развития деформации до момента
времени i.
Выведем функционал сопротивления металла пластиче-
ской деформации, который в литературе называют
функционалом наследственного типа. Пусть при весьма
высокой скорости деформации (при бесконечно большой) не
успевают протекать процессы разупрочнения, поэтому
связь между ои и ги определяется однозначно функцией
°и = ф(г„). (10.28)
Если eu = eu(t) подставить в уравнение (10.28), то ои
будет однозначной функцией времени / (сложной функцией).
Итак, формула (10.28) учитывает только упрочнение
деформируемого металла.
Из опытов известно, что при возрастании %и нарастание
ои замедляется. Это позволяет считать какую-то
ограниченную, но достаточно большую скорость деформации
предельной. Ею может быть, например, скорость деформации
при осадке образца на максимальной скорости, которую
может развить пластометр.
Итак, к моменту времени t произведена деформация со
степенью еи(0- Если бы в металле не происходили
процессы разупрочнения, то сопротивление деформации
можно было бы подсчитать по формуле (10.28). В реальных
процессах идет разупрочнение. Учтем разупрочнение в
течение некоторого малого интервала времени [т, т+Дт]
(значительно меньшего, чем интервал [0, t]).
Предположим, что разупрочнение пропорционально величине
сопротивления деформации ou(i) (выше было установлено:
чем больше ои> тем интенсивней идет.разупрочнение) и
продолжительности интервала Дт. Следовательно,
сопротивление деформации в момент времени t (число, а не
функция)
ou(t) = 4>(ev(t))-K<Ju(i;)bTy (10.29)
где К — коэффициент пропорциональности. Разупрочнение
идет все время деформации от 0 до t, а не только в момент
времени т за промежуток Дт. Разобьем интервал [0, t] на
п малых интервалов Дт, и учтем, что в течение каждого
из них будет происходить разупрочнение. Тогда
сопротивление деформации
°и (о = ф к (0) - 2 * * а« (*«)А^- (10-3°)
Совершим предельный переход, устремив тахДт;-Я).
Тогда вместо суммы в уравнении (10.30) можно записать
472

определенный интеграл. Естественно предположить, что
влияние предшествующей деформации на величину
сопротивления деформации в данный момент времени t тем
больше, чем ближе по времени отстоят друг от друга моменты
х и /. Поэтому К в формулах (10.29) и (10.30) является
убывающей функцией аргумента (t — т). Итак,
t
<Уи (0 = Ф (е„ (0) ~ f K(t- т) аи (т) dr. (10.31)
6
Будем считать, что функции K{t — т) и ф(еи) известны из
опытов. Однако задача конструирования функционала
сопротивления деформации еще не решена. Поскольку
искомая величина ои входит под интеграл правой части, то
уравнение (10.31) называют интегральным уравнением
Вольтерра. Его решение имеет вид:
t
<*и (0 = Ф К (0) - f Я (* - т) <Р (ев (т)) dr. (10.32)
6
Решение интегрального уравнения (10.31) может быть
достигнуто методом последовательных приближений1.
Пусть в* нулевом приближении искомое сопротивление
деформации
<)(0=ф(еы(0).
тогда по формуле (10.31) можно подсчитать его в первом
приближении
*<" (0 = Ф (в„ (0) - J К (t - т) ф (вв (т)) dr. (10.33)
о
При известных <р(еи.) и K(t — т) формула (10.33) дает
искомый функционал в аналитическом виде
(приближенное его выражение). Во втором приближении
сопротивление деформации имеет вид:
°<2) (0 = Ф (е„ (0) - f К (t - т) а</> (т) dr.
6
Аналогично можно подсчитать сопротивление деформации
в третьем приближении а^3)(/)и любом более высоком
приближении o{n)(t). Если устремить п->оо, то получим реше-
1 Единственное решение достигается в том случае, если функции
K(t—%) и ф(еи) отвечают некоторым условиям, которые
удовлетворяются без особого труда.
473

ние интегрального уравнения (10.31) в виде (10.32), в
котором
/?(/-T)=2Km(*-T), (10-34)
где Km(t — т) определяется рекуррентной формулой
t
Kl(t-%)=K(t — т); К2 (t — т) = [ К (t — s) Кг (s—t) ds;...
т
».; Km(t-%) = §K(t-s)Km-1(s-x)ds. (10.35)
где s — промежуточная переменная интегрирования (т^
Итак, формула (10.32) дает искомый функционал
наследственного типа1 для определения сопротивления де*
формации ои в некоторый момент времени t, если известен
закон нарастания во времени степени деформации ои =
=еы(т) в интервале О^т^.
Рассмотрим, каким образом можно из опытов
определить две функции ф(би) и R(t — т), входящие в
функционал (10.32). Функцию ф(еи) можно получить, например,
при деформировании образца на пластометре с
максимально возможной скоростью испытания. Итак, известна
функциональная зависимость ои = ои(ги) =ф(еи). Функция
R{t — т) может быть определена из опытов по
разупрочнению. В них к началу собственно интервала
разупрочнения [0, /] деформация задана е£0), она остается постоянной
все время разупрочнения. Следуя формуле (10.32)
сопротивление деформации к концу интервала (в момент
времени /)
ои (0 = Ф (е(°>)- f R (t - т) Ф (e<°>) dv.
6
Если обозначить ф(е£0)) =а£0) и иметь в виду, что о{и0) =*
=const (сопротивление деформации к началу интервала
[0,/]),то
1 Термин, позаимствованный из теории ползучести, показывает, что
сопротивление деформации в момент времени t предопределено историей
деформирования к моменту времени t*
474

*„(0-<т>0)[
i
1— i R(t — x)d%
0
(10.36)
В описанных в п. 10.3 опытах по разупрочнению было
установлено Ao = Goe~~t/n,
где Да0— упрочнение к моменту времени ^ = 0, т. е. к
началу периода разупрочнения (без деформации); t — время;
п — эмпирический коэффициент, который может быть
подобран из условий лучшей аппроксимации опытных
кривых разупрочнения экспонентой; Да — остаточное
упрочнение. Если материал перед периодом разупрочнения уп-
* (0) * (0) i (0)
рочнился, то на величину Аа0=ои —kol , где kou
—исходное сопротивление деформации (предел текучести) перед
этапом деформации, коэффициент k можно определить по
кривой упрочнения. Итак, разупрочнение можно описать
следующим образом:
Да = gu (t) — kaM = (а(°) — to<°>) (г*'п,
откуда
°и (0 = К0) + 0 - *) °{и0) e-tln- (Ю.37)
Подставив формулу (10.37) в (10.36), получим
t
k + (l — k) е-*/п =\—\R{t — %)d%.
о
Продифференцируем последнее выражение по t. При этом
следует иметь ввиду формулу дифференцирования
интеграла по параметру, когда параметр а входит в пределы
интегрирования и под знак интеграла
*i(a) f
F(a) = \ /(*, a)dxt
х0(сс)
xx{a)
F' (a) = f /' (x, a)dx + f (xi9 a) dxjda — f(x0, a) dxjda.
x0\a)
В результате дифференцирования получим
t
— (1 — *) ег-*/«/п = — ^R'(t — T)dx—R (0),
о
или
о
— (1 — ft) e-U»ln = ^R'(t—T)d(t — %) — R (0),
/
475

#(0 = [(1 — k)/n]e-V».
Итак, на основании опытов по разупрочнению получили
искомую функцию
R (t — %) == [(1 — k)/n] *-«-*>/», (10.38)
которая наряду с функцией ф(е«) ==cru(ew), описывающей
кривую упрочнения при высокой скорости деформации,
полностью определяет функционал сопротивления деформации
наследственного типа (10.32).
Теория ОМД еще не накопила достаточно данных о
разупрочнении металлов при горячей пластической деформации,
В литературе, однако, есть много данных о кривых
упрочнения в координатах ои — еи, полученных при постоянных
скоростях деформации £п на пластометрах. В монографии
А. А. Поздеева с сотрудниками предложен способ
определения функции R(t — т) по указанным кривым упрочнения
при различных (но постоянных в каждом опыте) |и.
Конструирование функционалов
(точнее — операторов), описывающих
сопротивление металлов пластической деформации
во всех сложностях этого явления, —
важная научная проблема. Функционал
сопротивление деформации наследственного типа, описанный в п. 10.3,
является этапом на пути решения этой проблемы. Он не
дает исчерпывающего описания сопротивления металлов
пластической деформации в горячем состоянии.
Действительно, сопротивление деформации, судя по формуле
■(10.32), будет числом, которое определяется степенью
деформации еи в момент времени t и историей развития этой
деформации ги(%) в предшествующий период времени
О^т^Л Сопротивление деформации не зависит от
скорости деформации в момент t, т. е. функционал
наследственного типа (10.32) не полностью отвечает
экспериментальным фактам.
Вызывает также некоторые замечания описанный выше
способ нахождения функции ф и /?, определяющих вид
функционала. Первую находят в опытах с технически
максимальной скоростью деформации, а вторую — в опытах
на разупрочнение. Функционал сопротивления деформации
наследственного типа, как, впрочем, и других видов,
следовало бы определять с привлечением аппарата
идентификации (см. п. 8.8).
Учесть вязкостные свойства несложно. Пусть
функционал, описывающий сопротивление металла пластической
деформации, выражается следующим образом:
476

<ru (0 = Ф (е« (0) - f Я (* - т) «р (еи(т)) dr + ф (gB (0). (10.39)
О
Как показали эксперименты, ф хорошо описывается
стеленной функцией
Ф (е J = fl + (ft _ fl) (1 _ ^)—«, (10.40)
где а, 6, с — эмпирические коэффициенты, подлежащие
определению. Коэффициент а является тем наименьшим
напряжением, при котором начинается деформация;
коэффициент b — то наибольшее напряжение, которое может
достигнуть сопротивление деформации (предел упрочнения).
Выше было показано, что согласно опытам по
разупрочнению функция R хорошо описывается экспонентой
R(t — %)=ge^{i"x\ (10.41)
Функция if», вносящая вклад в сопротивление деформации
от вязкости металла, может быть представлена, например,
в соответствии с уравнением (10.25) в виде
В последних двух формулах d, g, f, h — эмпирические
коэффициенты. Функционал (10.39) обладает большей
общностью, чем функционал (10.32). Но ни тот ни другой
функционалы не отражают их зависимость от температуры,
которая изменяется, как в испытаниях металла с целью
определения на пластометре сопротивления деформации,
так и в реальных технологических процессах.
Упражнения
1. Составить таблицу эквивалентных значений обжатия при
однородной одноосной-деформации e=[(h0—h)/h0] 100 %, степени
деформации еи и степени деформации сдвига Л (шаг изменения е = 10 %) -
2. Попытайтесь определить функцию R(t—T) в формуле (10.32)
сопротивления деформации наследственного типа по результатам плас-
тометрических испытаний, при которых £u = c = const, a eti = cx.
Функция ф(еи) известна и выражается степенной зависимостью.
3. Как определить закон, по которому должна развиваться
деформация ett(x) 0<т</, чтобы cru(/)=c=const при любом />0, т.е.
чтобы разупрочнение успевало «снимать» упрочнение в процессе
деформации? Ответ: следует решить интегральное уравнение (10.32).
, 10.5. Идентификация сопротивления металла
пластической деформации
Сопротивление деформации, вычисляемое по формуле
(10.39), учитывает процессы упрочнения и разупрочнения,
Происходящие при пластической деформации металлов.
477

Так, первое слагаемое учитывает упрочнение металла от
накопленной деформации. Если пластическую обработку
осуществляют в холодном состоянии, то сопротивление
деформации описывается лишь этим слагаемым
*и(0 = Ф(вв(0). (Ю.43)
Отметим, что буква ф в уравнении (10.43) представляет
набор алгебраических операций, которые осуществляются
над функцией su(t), выражающей закон изменения
(накопления) пластической деформации во времени. В резуль^
тате этих операций, например как в формуле (10.40), вьь
числяется напряжение ou{t). Функцию ср называют
оператором, который ставит в соответствие функции еи(0
функцию ou{t).
Второе слагаемое описывает процесс разупрочнения.
Оно выражается с помощью интегрального функционала,
который также является оператором, но уже интегральным:
над функцией ги(х) осуществляют алгебраические
действия, а затем производят интегрирование по отрезку
времени [0, t]. Значение au(t) будет определяться тем, как
изменялась на отрезке О^т^ функция еи(т), а не
только значением ем(т) \%=t=eu(t), как это имело место в
первом слагаемом (4.39).
Третье слагаемое в (10.39) показывает вязкостные
свойства обрабатываемого материала: оно дает зависимость
сопротивления деформации в фиксированный момент
времени t от скорости деформации £>u=deu/dt некоторой
материальной частицы. Это слагаемое также показывает
определенные алгебраические операции г|> над gM(0» как на*
пример, в формуле (10.42). Однако третье слагаемое
можно истолковать уже как дифференциальный оператор,
так как в нем с помощью алгебраических операций и
дифференцирования d/dt осуществляется преобразование
функции eu(t) в ou(t) [при условии, если другие слагаемые
кроме ij>, в формуле (10.39) отсутствуют].
В общем случае выражение (10.39)—интегродиффе-
ренциальный оператор, с помощью которого по функций
8и(0, описывающей развитие деформации во времени,
подсчитывают сопротивление деформации ou(t).
Оператор — более широкое обобщающее понятие, чем функция
и функционал.
Выше не было указано корректного способа
определения коэффициентов, входящих в оператор (10.39), который
в п. 10.4 был назван функционалом сопротивления дефор-
478

мации наследственного типа1. Эти коэффициенты или
параметры могут быть определены методами идентификации.
Применение метода идентификации требует, во-первых,
создания математической модели в виде системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, которая описывала
бы изучаемый динамический объект. Таким объектом в
рассматриваемом случае является частица пластически
деформируемого металла. Модель должна описать с точностью
до неизвестных пока параметров (коэффициентов)
основные эффекты, интересующие исследователя: упрочнение,
разупрочнение, вязкость. После того как модель создана,
подбирают значения параметров (коэффициентов), которые
позволяют лучшим образом описать моделью
функционирование реального объекта во времени.
Исходя из сложившихся в настоящее время
представлений о процессах упрочнения и разупрочнения металлов
при горячей пластической деформации, составим
математическую модель в виде системы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Эта операция не формальная, а
эвристическая, т. е. использующая систему логических приемов
и методических правил теоретического исследования,
подобных тем, которые применяют при изобретении.
Пусть за малый отрезок времени Д^ произошло
пластическое деформирование частицы и изменилось ее
сопротивление деформации (интенсивность напряжений) на
Ави=ае »Аеи + с (ои - d)f At + [g/(h + gj] Ми + kAQ.
(10.44)
Первое слагаемое в правой части учитывает
деформационное упрочнение металла. За время At произошло
приращение накопленной деформации на величину Деи.
Известно, что с ростом ои интенсивность упрочнения уменьшав
ется. Уменьшение интенсивности упрочнения от Аги
предусмотрено в первом слагаемом по экспоненте ехр (Ьои).
В результате идентификации может оказаться, что
коэффициент 6<0.
Второе слагаемое в уравнение (10.440 учитывает
разупрочнение. Оно пропорционально Д^ и протекает тем
сильней, чем больше разность (аи — d), где d —
предельное напряжение, к которому стремится аи при разупрочне-
1 Имеются в виду коэффициенты а, Ь, с, d, f, g, h, входящие в
формулы (10.40) — (10.42). Эти коэффициенты могут быть функциями
температуры и аппроксимированы, например, линейными двучленами а =
s==Pi+P20 и т. д. Тогда следует говорить об определении
коэффициентов ри р2 и т. п.
479

s
нии. Здесь предусмотрена возможность того, что f>0>
а с^О.
Третье слагаемое учитывает вязкостные свойства
металла. За Д^ секунд произойдет изменение интенсивности
скорости деформации на величину Д£и. Известно, что связь
Дай и Д£и в материалах, проявляющих вязкостные
свойства, как правило, убывает с ростом £м. Это обстоятельство
учтено дробно-линейной функцией g/(h+lu).
За At секунд может произойти изменение температуры
металла на Д9 градусов. Это приведет к изменению ои, что
учитывается последним слагаемым в уравнении (10.44).
Поделим правую и левую части уравнения (10.44) на Д/ и
устремим Д/-Я). В пределе получим
ои = аеНи + с(ои- d)f + [g/(h + EJ] Бв + fee (10.45)
где deu/dl = £>u. Уравнение (10.45) будет
идентифицироваться (будут определяться неизвестные коэффициенты а, &,
с> d, f, g, h, k) в опытах, например, на осадку образцов на
пластометре. Условия опытов по осадке на пластометре
будем считать адиабатическими, а течение материала
однородным. Примем, что вся работа пластической
деформации переходит в тепло. Тогда дифференциальное уравнение
теплопроводности имеет вид
cpe = a„gB, (10.46)
где с и р — теплоемкость и массовая плотность
соответственно. Добавим к уравнениям (10.45) и (10.46) еще одно
уравнение
1„ = и. (10.47)
Итак, получилась система дифференциальных
уравнений (10.45) — (10.47). В соответствии с принятым в
идентификации изменим обозначения. Кроме того, учтем
возможную зависимость искомых в модели (10.45) — (10.47)
коэффициентов от температуры a=Pi+P20; —'» &=Pi3+Pu0-
Таким образом, математическая модель сопротивления
металла пластической деформации выражается системой
обыкновенных дифференциальных уравнений
xi = (Pi + Р2 *з) е{РМ)Хх *2+ (Рз+ Рс *з) X ]
X (*! -Р7-Р8 Х3){Р^М + [{рп + р12 X,)/
/(Pi3 + Pi4*з + х^и +KPi5 + PiA)/cp)x2x2; } (10-48)
x2 = u\
x3 = (\lc$)x1x2t.
480

Начальные условия при t=ta для системы (10.48)
следующие: x(ta) = №, *£, *3а)' = (*?> 5?, в»),где|« в«-
известные в начальный момент времени величины; х*—
неизвестная величина, подлежащая определению наряду с
вектором р=(рь..., pie)'.
Согласно терминологии теории идентификации, система
(10.48) является моделью динамического объекта —
сопротивления металла пластической деформации, определяемого
в опыте на пластометре; вектор х—вектором состояния
модели; и — можно считать управлением. Выход объекта z =
= (гь г2, 2з)/ отличается от выхода модели х= (хи х2, хг)\
так как последняя описывает функционирование объекта
приближенно и содержит неопределенные величины р и х'{.
Задача идентификации заключается в определении вектора
параметров р и начального условия х* модели (10.48) таким
образом, чтобы вычисленные выходы модели х точнее
соответствовали фактическим выходам объекта z при
воздействии управления u(t) на всем интервале времени
В процессе опытов исследователь наблюдает изменение
размеров образца и силу его деформирования во времени.
По известным методикам эти величины пересчитывают в
ou(t). При этом предполагается, что хорошая смазка
обеспечивает однородную деформацию цилиндрического
образца. Поэтому можно считать, что на выходе объекта в
эксперименте наблюдается z{(t)t Величина z2 не
наблюдается, так как она совпадает с х2 и однозначно определяется
заданной функцией и (t). Поскольку в третьем уравнении
системы (10.48) нет параметров, то нет необходимости в
их оценке и, следовательно, в наблюдении г3.
Процедура определения параметров р и начального
условия х% является отличительной особенностью
идентификации динамических объектов по сравнению с
методами наименьших квадратов. По алгоритму, основанному на
использовании коэффициентов чувствительности модели
(10.48), определение параметров pi,...,pi6 и Х\ производят
из условия минимума функции
J = j{pi>... ,ftn,*?)= J (*i-*i)8*. (Ю.49)
Для поиска точки минимума функции (10.49) с
неизвестными координатами pj,..., Р?6, *?° может быть использован
какой-либо градиентный метод, например, метод сопряжен-
31-382
481

ных градиентов. Согласно функции (10.49) составляющие
вектора градиента вычисляют по формулам
dJ/dPi = 2 j {x1-zl)(dxjdpi)dti i = 1, ... , 16;
дЛдх? = 2 f (хг - гд{дхх/.дх¥) dt.
Функции dxjdpi, dxi/dxf (/=1,..., 16) называют
параметрическими коэффициентами чувствительности. Их 1вы-
числяют, решая следующие дифференциальные уравнения
чувсгвительности, получаемые при вычислении частных
производных от обеих частей системы (10.48) по
параметрам Pi(i=U...,16) и начальному условию xf :
ddt (дх^др^ = {dfjdx^dxjdpd + (dfjdxz) x
X {dxjdpt) + dfjdpt\
ddt(dx3/dPi) = (dfjdxjidxjdpi);
ddt [dxjdxt) = {dfjdxj [dxjdxf) +
-(dh/dxjidxz/dx?);
ddt {дх3/дх?) = (dfjdxd {дх^дх? ),
при начальных условиях
toi/dpt \t=ta = dxjdpt Ца = 0 (/ = 1, ... , 16);
д*х1дхЧ \Ma = 1; dxjdxt |«а = 0.
В приведенных выражениях fi и /3 — правые части первого
и третьего дифференциальных уравнений системы (10.48).
Отметим отличительную особенность проведения
экспериментов при использовании процедуры идентификации.
Описанный алгоритм обработки опытных данных
специально рассчитан на динамический характер эксперимента.
Поэтому опыт должен быть организован так, чтобы %и и 0
изменялись во времени в одном опыте. При этом для
определения параметров модели достаточно одного опыта, а с
учетом требований воспроизводимости — трех-пяти.
Полученные параметры модели (10.48) будут справедливы для
тех интервалов изменения gu и 6, которые имели место в
течение опыта. Поэтому желательно, чтобы эксперимент
проводился в течение длительного времени с переменными
482

во времени величинами gtt'(0 и е.(0, изменяющимися в
достаточно широких пределах.
Описанный выше метод идентификации был применен
А. В. Коноваловым для создания модели, описывающей
сопротивление металлов горячей пластической деформации.
Модель автора, незначительно отличающаяся от
описанной выше, была идентифицирована для опытных данных
сопротивления деформации аи
при осадке цилиндрических
образцов из стали 45 при
1000 °С. Отклонение расчетных
значений аи от опытных не
превышало 2 %.
На рис. 10.15, а показаны
расчетные кривые изменения
сопротивления деформации.
чПинии /, 2, 3 соответствуют
О 0,15 0}15 0,30 0,30 0,45 OfiSt^
в
Ъи, равному 0,05; 7,9 и 140 с-1 в момент достижения ew =
=0,05. Полученная модель описывает характерное
поведение кривых упрочнения (см. рис. 10.8 и 10.9): рост ои с
увеличением еи на первых этапах деформирования,
наличие максимума и последующее падение ам.
Кривые на рис. 10.15, б изображают характерное (см.
опытные данные на рис. 10.12 и 10.13) изменение
сопротивления деформации во время паузы т после
предварительного нагружения со скоростью 7,9 с-1 до еи, равного 0,1 (1);
0,15 (2); 0,20 (3) и 0,30 (4). Видно, что чем больше
величина пластической деформации, тем больше достигается
скорость разупрочнения.
На рис. 10.15, в приведены кривые изменения ои при
дробном нагружении с паузами 0,6 с и одинаковыми де-
31*
483

формациями Eu = 0,15 на каждой из четырех ступеней
обжатия I — IV (£и = 7,9 с-1). Вследствие специфики задания
начальных условий для системы (10.48) кривые ои~ги
для каждой ступени обжатия рассчитывали с еы = 0,05.
Упражнения
1. Какой вид может иметь правая часть дифференциального
уравнения (10.45), если: а) материал обладает чисто вязкими свойствами;
б) в материале не протекают процессы разупрочнения и он не обладает
вязкими свойствами? Какому случаю деформации (горячей, теплой или
холодной) отвечают эти условия. Ответ: а) течению жидкости
(например, расплава); б) холодной деформации металлов.
2. Для условия б предыдущего упражнения проинтегрировать
дифференциальное уравнение (10.45). Что получится в результате? Ответ:
кривая упрочнения, описываемая формулой
аи = a In (с2 еи + съ), где сг, с2, съ — const.
3. Показать, при каких условиях функционал
t
x(t)— ф(/) =— J R(ty т)ф(т)с?т (10.50)
может быть заменен линейным неоднородным дифференциальным
уравнением
'y = a(t)y + 4>(t) (10.51)
с начальным условием у(0)—0. Решение. Запишем заданный
функционал в виде x(t)—y(t)=—y(t). Продифференцируем y(t) по
времени
Г t
у = dldt
[ R(t, т)ф(т) dt
t
у = [ [dR (t, <t)ldt] ф"(т) dx + R (t, t) ф (t). (10.52)
b
Сопоставляя уравнения (10.52) и (10.51) видим, что, если
R(t, t) = \ (10.53)
и
t
a(t)y = f [dR (/, T)/dt] ф (x) dXi (10.54)
b
то из функционала (10.50) может быть получено дифференциальное
уравнение (10.51). Преобразуем выражение (10.54). Учтем, что
*/ = J R(t, т)ф(т) di,
тогда из выражения (10.54), внося a(t) под знак интеграла (это
можно сделать, так как интегрирование производится не по tt а по
переменной т), получим
t t
f a (t) R (/, т) Ф (т) di = f [dR (t, %)/dt] Ф (x) dr.
о 6
484

Поскольку это равенство должно выполняться для каждого t, то
a (t)R (t, т) = дД(/, T)ldt.
Отсюда R(tt т) наряду с условием (10.53) должно обладать вторым
свойством: [\/R(ty x)]dR(t, t)/dt — есть функция только t. В этом
случае функционал (10.50) может быть заменен дифференциальным
уравнением (10.51).
10.6. Физические уравнения связи
для некомпактных материалов (порошков, гранул и т.п.)
В последние десятилетия интенсивно развивается
порошковая металлургия и производство изделий из порошков,
гранул и других некомпактных (немонолитных металлических
материалов). Сыпучие некомпактные исходные
металлические материалы подвергают штамповке, прокатке и
другим методом обработки давлением. В случае прокатки
Крис. 10.16) оси валков лежат в горизонтальной плоскости,
порошок насыпают сверху в щель между валками, изделия
получается в виде полосы. Штамповку осуществляют в
закрытом штампе. В нижний штамп — матрицу 1 —
засыпают исходный материал 2 и пуансоном 3 осуществляют
его сжатие. Происходит компактирование (повышение
плотности) материала и придание изделию необходимой
формы. Подразделение штампов на открытые и закрытые
принято в кузнечно-штамповочном производстве. На рис. 10.17
показано: слева штамп открытого типа, а справа штамп
закрытого типа для штамповки поковки одного вида — за-
485

готовки для изготовления зубчатого колеса 5. Для
открытого штампа характерно то, что разъем (поверхность смы-
кания или раздела) верхнего 1 и нижнего 2 штампов
плоский, углубление обоих штампов (гравюра) примерно оди^
наковое. Для закрытого штампа разъем штампов 3 и 4 не
плоский, гравюра штампа 4 более глубокая, чем штампа 2.
После деформации некомпактных материалов, изделия
подвергают спеканию
(термической обработке, приводящей к
взаимной диффузии материала
частиц, находящихся в плотном
контакте, и диффузионной сварке).
После спекания изделия могут
подвергаться дальнейшей
пластической обработке. Нередко
спеченные материалы не обладают
плотностью монолита, имеют
поры. Деформация таких спеченных
изделий в механическом смысле, о котором дальше пойдет
речь, во многом схожа с деформацией порошка или
гранулированного материала.
Для описания деформации некомпактных
металлических материалов (порошка, гранул, спеченных изделий
и т. п.) может быть применен аппарат механики сплошных
сред, в частности теории пластичности. Можно условно
отказаться от дискретного распределения массы по частицам
в порошке или гранулах и считать массу распределенной
в объеме непрерывным образом. При этом плотность
достаточно малого объема материала принимают средней
для частиц и пустот. Естественно, что решение задачи о
напряженно-деформированном состоянии изделия из
некомпактного материала не может быть распространено на
отдельную частицу, а лишь на достаточно большой объем,
содержащий несколько частиц.
Итак, процесс формования изделий из некомпактного
материала может быть описан с помощью
дифференциальных уравнений механики сплошных сред. Полную систему
этих уравнений замыкают физические уравнения связи
напряженного и деформированного состояний. Поскольку
некомпактный материал, в отличие от компактного,
обладает способностью изменять объем пластическим образом,
так как изменение объема сохраняется после снятия
нагрузки, то физические уравнения для него будут иметь
особенности.
В рамках используемых в учебнике гипотез об изотро-
486

пии, коаксиальности и подобии, физические уравнения для
некомпактного материала нуждаются не в одной, а в двух
скалярных функциях, определяемых из специальных опытов
T=*T(Hf ...); о = о{Ъ, ...), (10.55)
где Т — интенсивность касательных напряжений; Н —
интенсивность скоростей деформации сдвига; а — среднее
нормальное напряжение; | — скорость относительного
изменения объема. Первое равенство можно было бы привести в
эквивалентных переменных аи и gu. Точками обозначены
иные (иногда главные) аргументы из инвариантов
напряженного и деформированного состояний.
Деформацию некомпактных материалов осуществляют,
как правило, в холодном состоянии. Опыты показывают,
что Т и о при холодной деформации порошков, гранул
являются функциями от исходной (перед деформацией)
плотности материала р0, степени деформации сдвига Л и степени
объемной деформации е
Т = Т (р0, Л, е); о = о (р0, Л, е). (10.56)
Степенью объемной деформации называют величину,
подсчитываемую вдоль траектории движения элементарного
материального объема по формуле
e = fgdt, (10.57)
6
которая показывает относительное изменение объема в
результате пластической деформации. Большинство
исследователей отмечает значительное влияние плотности р и
наклепа частиц обрабатываемого некомпактного
металлического материала на зависимости (10.56). Влияние наклепа
учитывается величиной Л. В случае сжимаемого материала
в систему уравнений теории пластичности входит условие
неразрывности
dp/dt = pvUt (10.58)
которое может быть проинтегрировано вдоль траектории
движения элементарного материального объема:
dp/р = vt.idt,
р ==р0ехр/Jiv.fdxL
487

а так как степень объемной деформации
/
{vudr = f Idx = е,
6 о
то уравнение (10.58) приобретает вид
р = р0ехре. (10.59)
Итак, параметры р0 и е, входящие в формулы (10.56)
показывают влияние плотности обрабатываемого материала
на Т и а.
2
'//////
1
1
1
\Ч^
0
\\\
1
\///////
-V'
\\V
■■2R
~V
\\^г
'/.
',
'/
v
U
—*■-
k
\Y
1 п
„
• к'
Г 7
0
■\\\
[\\^
2R
-* »-
^
/
/
'/Я
i
\\г
Приближенная и простая методика
экспериментального определения зависимостей (10.56) состоит в следующем.
Осуществляется осадка цилиндрических образцов
плоскими бойками в закрытом штампе (рис. 10.18, б); при этом
применяют полированный инструмент и хорошую смазку,
обеспечивающие распределение в объеме деформаций и
напряжений близкое к однородному.
Опишем деформированное и напряженное состояния
при осадке цилиндра из пористого материала плоскими
бойками (рис. 10.18, а). В предположении однородного
деформированного состояния с учетом граничных условий
и осевой симметрии
^Uo = °;
v9 Lu =
Ч=о = °;
ur \r=R
поле скоростей перемещения частиц можно записать в
виде
vz= — v' zlh\ vr - v" r/R, (10.60)
где v' и v" — скорости перемещения бойка и образующей
образца, которые могут быть зарегистрированы в опыте.
488

Компоненты тензора скорости деформации, подсчитанные
по формуле 1ц= (^,/+и/,»)/2, имеют вид
6„ = «V*; 1г2=-"7Л; lw = v"lR; \гг = 0. (10.61)
Тогда скорость относительного изменения объема такова
I = 6„ + gw + 6„ = 21Л/7? - t//A, (10.62)
а интенсивность скорости деформации сдвига
Н = + 1/2[[1п - lwf + (|фф- 6Я)« + (6Я - 6ГГ)>]/ "*
"*/3 + 46?, =2|£ГГ-У/К3.
Поскольку в любой момент времени при осадке Irr^O,
a £zz<0, то можно освободиться от знака модуля:
Н = 2 (xjT/R + v'lh)lVZ. (Ю.63)
Используя это уравнение, подсчитаем степень деформации
сдвига, имея в виду, что dx——dh/v'=dR/v";
t /Rt ht \
Л = f Hdx = (2//3) j d/?/# — j dfc/A -
6 \Ro К J
= (2/1/3) [In (Rx/R0) - In (ЛДо)] = (2/1^3 ) X
X In fahJRohJ, (10.64)
а также степень объемной деформации
t Rt ht
e = J Idx = 2 f d/?AR + j dft/A = 2 In (Rx/R0) +
+ In (VAo) =^:ln {RlhjRoho), (10.65)
где /?0, ^o и /?i, Л1 — размеры образца до и после испытания.
Итак, зная исходную плотность материала р0, также
размеры образца до и после деформации, можно с помощью
формул (10.64) и (10.65) в любой момент деформации
определить аргументы искомых функций (10.56). Значения Т
и а легко определяются в опыте по наблюдаемой силе Р.
Так как при одноосном сжатии о\ 1 = 022 = 0, сгзз = —P/nR\,
то
о =—/>/Зя/??; Т = Р'1УЪ я/??, (10.66)
здесь Р — арифметическое значение силы осадки.
Рассмотренное испытание на осадку обладает рядом
Недостатков: трудно обеспечить абсолютно однородную
489

деформацию; образец не может быть приготовлен из
порошка или гранул — сыпучих исходных материалов;
испытание может быть осуществлено лишь на образцах,
прошедших спекание; степень деформации сдвига Л и степень
объемной деформации е, судя по формулам ,(10.64) и
(10.65), являются зависимыми друг от друга величинами.
Обратимся к испытанию некомпактных материалов
путем сжатия в закрытом штампе с целью определения
зависимости (10.56). В этом случае изменение радиуса
образца не происходит [Ro=R\) и из формул (10.64) и (10.65)
получаем
Л = {2/УЩ In (VAi); е = In (VAi). (Ю-67)
Для определения а и Т в опытах регистрируют силу
сжатия Р образца пуансоном и силу Q, стремящуюся
разорвать матрицу закрытого штампа. Полагая
приближенно, что образец находится в условиях однородного
напряженного и деформированного состояний, можем
определить по величинам Р и Q
°11 = *22 = °п = %Ф =- О/ад а33 =- Р'*&>
где Р и Q — арифметические значения сил. Тогда
Т = Vl(on - o22f + (а22 - а33)2 + (схзз - о^]/6 =
= I °и - <*зз I /КЗ"- (P/nR* - Q/2Rh)/Y3; (10.68)
а = (ап + а22 + а33)/3 =— (Q/Rh + P/nR*)/3. (10.69)
Математическая модель для зависимости Т=Т(ро, Л,
е) может быть принята в виде
Т = аАьгс, (10.70)
где а, Ьу с — эмпирические коэффициенты, выбираемые на
основании лучшей аппроксимации опытных данных
моделью (10.70). На рис. 10.19 приведена зависимость (10.70)
для медного порошка марки ПМС-1 при е=1,00- (У); 1,25
(2); 1,40 (5). Для него можно принять а= 17,01 МПа;
Ь = 0,197; с=3,83.
Математической модели а=сг(ро, Л, е) характерно
наличие асимптоты е = е*=—1п(р*/р0), где р& — известная
плотность компактного материала, при е-^е/е о->оо.
Математическая модель может иметь вид
a- {g + Ad)e/(E~sk)y (10.71)
где g и d — эмпирические коэффициенты. На рис. 10.20
приведена зависимость (10.71), полученная для того же
490

медного порошка ПМС-1 при Л=0 (1); 0,5 \2)\ 1,0 (3);
1,5 (4); 2,0 (5); 2,5 (6). В модели (10.71) для этого
материала можно принять g = 2,55; d = 5,77; е/е= 1,49.
Опыт экспериментального определения моделей (10.70)
и (10.71) показывает, что в области сжимающих напряже-
та
50
40
30
20
10 \
зг^"—
( г^-
\/^^
f / __1
III!
02
о л
0,0
0,8 А'
ний они удовлетворительно описывают поведение
металлических порошков, гранул и спеченных пористых изделий из
них. Порошки твердых сплавов представляют собой смеси
керамической составляющей и
небольшого количества
металлического порошка-связки. Керамические
частицы, обладающие высокой
прочностью и твердостью, в процессе
деформирования -изделий пластически
не деформируются. Упрочнение
твердосплавной смеси (рост Т и а)
происходит при деформации, в
основном, за счет изменения плотности р.
Исходя из этого, для порошков
твердых сплавов зависимости
(10.56) можно представить в виде
Т = Т(р0, 6); а = а(р0, е).(Ю.72)
Исследования, например,
порошка сплава марки ВК6 с размерами частиц 1 мк,
гранулированного до порошка с размерами частиц 0,5 мм,
пластифицированного каучуком ]8 % (по массе)], растворенным в
бензине, показали, что формулы (10.72) имеют вид
G = aV'; T = cie\ (10.73)
491

в которых значения коэффициентов таковы:
Порошок ВК6 Ро. г/см3 alt МПа bt сх> МПа
Негранулирован- ^-
ный 4,15 582 6,91 374

Гранулированный . , . . . 4,95 1640 4,93 1058
Графики зависимостей (10.73) даны на рис. 10.21 (1 —
для негранулированного порошка; 2 — для
гранулированного; штриховая линия — а; сплошная — Т).
Упражнения
1. Вывести самостоятельно формулы (10.66) — (10.69).
2. Предложить способ испытания некомпактных материалов с
целью определения выражения (10.56), в котором бы Л изменялось
независимо от е. Ответ: чистый сдвиг или кручение цилиндрического
образца круглого поперечного сечения.
3. Придумайте испытание, в процессе которого изменялось бы лишь
е, а Л оставалось постоянным. Ответ: всестороннее сжатие, например
с использованием жидкости высокого давления.
4. Можно ли при испытании одного вида (осадке, кручении и т.д.)
получить в широком диапазоне изменения аргументов зависимости
(10.56)? Ответ: вероятно нельзя, следует с одним и тем же
материалом провести ряд различных испытаний, которые затем обобщить
едиными формулами (10.56) для всего диапазона изменения аргументов.
Контрольные вопросы
1. Какое теоретическое и практическое значение имеет изучение
сопротивления металлов пластической деформации?
2. Приведите гипотезы, лежащие в основе формулировки
простейших приближенных физических уравнений связи напряженного и
деформированного состояний.
3. Сделайте критические замечания по гипотезам, упомянутым в
ответе на предыдущий вопрос.
4. Какую функцию необходимо определить в экспериментах, чтобы
сформулировать физические уравнения для теории течения изотропного
материала?
5. Дайте определение сопротивления металла пластической
деформации.
6. Чем отличается интенсивность напряжений и интенсивность
касательных напряжений, Н и £tt, Л и еи?
7. Дайте определение холодной, теплой и горячей пластической
деформации.
8. Чему равны интенсивность напряжений, интенсивность скоростей
деформации и степень деформации при одноосном растяжении?
9. Как получить зависимость ои = ои(£и) на основании опытов на
одноосное растяжение? Какой математической моделью может быть
представлена эта зависимость?
10. Какова предельная деформация при растяжении, не приводящая
к локализации деформации и образованию шейки?
11. Каковы преимущества и недостатки испытания на осадку по
сравнению с испытанием на растяжение?
12. Перечислите требования к испытанию на осадку в холодном
состоянии.
492

13. Дайте определение гомологической температуры.
14. Какова зависимость сопротивления металла пластической
деформации от температуры?
15. Что такое пластометр?
16. Опишите методику испытания образцов в горячем состоянии на
пластометре.
17. Какой вид имеет кривая упрочнения в координатах cru~eu
при постоянной скорости испытания £w? Чем можете объяснить
ниспадающую ветвь этой кривой?
18. Приведите математическую модель зависимости os = os(eUf £«»
6), полученную на основании испытаний металлов на пластометре в
горячем состоянии.
19. Что происходит с сопротивлением деформации в паузах между
обжатиями при ковке и прокатке?
20. Как изучают процесс разупрочнения металла, который имеет
место в паузах между обжатиями?
21. Приведите математическую модель разупрочнения металла в
паузах между обжатиями.
22. Запишите функционал сопротивления металла пластической
деформации наследственного типа.
23. Какое уравнение называют интегральным?
24. Как определить функции ф и R, входящие в функционал
наследственного типа?
25. Каков недостаток функционала сопротивления металла
пластической деформации наследственного типа?
26. Назовите прием лучшего аналитического описания
динамических процессов?
27. Опишите порядок идентификации динамического процесса
системой дифференциальных уравнений.
28. Приведите примеры некомпактных материалов. Какую среду
называют сжимаемой?
29. Какая гипотеза лежит в основе применения аппарата механи-
ки сплошных сред для описания деформации порошков, гранул и дру*
гих некомпактных материалов?
30. В функции каких параметров формулируются зависимости Т и
а при холодной деформации металлических порошков?
31. В чем различие физических уравнений для металлических и ме-
таллокерамических порошков?
Глава 11
ТРЕНИЕ ОБ ИНСТРУМЕНТ
ПРИ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Условия трения, или закон трения, играет в теории
расчета напряженного и деформированного состояний такую же
роль, как физические уравнения связи. Как и физические
уравнения, закон трения Сформируются на основании
опытов. Отличие лишь в том, что он дает модель
взаимодействия с инструментом, по поверхности которого происходит
скольжение обрабатываемого металла. Как и физические
493

уравнения, закон трения замыкает краевую задачу теории
ОМД. Отличие лишь в том, что он входит не в систему
дифференциальных уравнений, а в граничные условия.
Между законом трения и физическими уравнениями
существует не только указанная формальная аналогия, а
органическая связь. Необходимо решить вопросы: как
определить из опытов закон трения, как его сформулировать для
решения краевых задач.
Условия трения об инструмент во многом определяют
эффективность процессов ОМД. Трение играет роль
сопротивления, которое надо преодолевать, тратить на это
энергию. Оно вызывает износ инструмента тем больший, чем
больше при прочих равных условиях напряжение трения.
Порой без трения невозможно обойтись, например
прокатка полосы в абсолютно гладких валках невозможна.
Поэтому трением можно и нужно управлять, чтобы повысить
эффективность производства.
11.1. Виды трения. Физико-химические особенности
граничного трения
Трение обрабатываемого металла и инстру*мента
происходит в присутствии и с участием третьих веществ. К ним
относятся окислы обрабатываемого материала и
инструмента, продукты истирания трущихся поверхностей, смазка
и т. п. Виды трения (режим трения) предопределяются
количеством и свойствами этих веществ. В первую очередь
виды трения зависят от
толщины слоя смазки. Различают
три вида трения (рис. 11.1):
сухое (а), граничное (б) и
жидкостное (в).
Трение называют сухим,
если поверхности трущихся тел
свободны от третьих веществ;
поверхности обрабатываемого
материала и инструмента
находятся во взаимном контакте,
и происходит относительное
перемещение этих поверхностей
в касательной к ним плоскости-
-_- Идеально сухое трение при
_ yz ОМД практически не встреча-
/////////////% ется. Исключение составляют
отдельные случаи, когда ме-
.94

талл и инструмент подвергают тщательной зачистке, а
обработку давлением осуществляют в глубоком вакууме.
В широкой практике сухим трением называют трение
несмазанных тел. Например, горячую прокатку
осуществляют в настоящее время без применения смазок, поэтому
трение при горячей прокатке приближенно можно считать
сухим.
Следует отметить, что в данной главе рассматривается
только трение скольжения, т. е. когда контактирующие
поверхности инструмента и деформируемого тела имеют
взаимное перемещение в касательной плоскости к поверхности
контакта. Трение покоя, для которого нет проскальзывания
контактирующих поверхностей, не дает каких-либо связей
между механическими характеристиками контакта (в
частности, нормальной fv и касательной /т составляющей
поверхностного напряжения /). В зоне так называемого
прилипания, где имеет место трение покоя, никаких
условий или законов трения задавать нельзя. Введение какого-
либо дополнительного условия в зоне прилипания вроде
условия трения fx=f% (fv) приведет задачу к
переопределению и к отсутствию решения. Это будет означать, что
математическая модель пластического вещества искажена
введением лишнего не имеющегося на самом деле
уравнения или условия. В связи со сказанным, студент может
опустить вторую часть определения, приведенного выше,
как само собой разумеющееся.
Трение называют граничным, если на поверхностях
трущихся тел адсорбированы вещества, существенно
отличающиеся свойствами.от материала инструмента и
обрабатываемого тела, и при этом имеет место механическое
зацепление шероховатостей поверхностей контакта. Граничное
трение — это наиболее часто встречающийся в практике
вид трения. Оно имеет место в случае применения смазок
без обеспечения специальных условий, о которых речь
пойдет ниже. Смазки, содержащие поверхностно активные
вещества, адсорбируются на трущихся поверхностях и
образуют прочные пленки. Полярные молекулы таких смазок,
Имеющие вид длинных цепочек, самопроизвольно
прикрепляются к поверхности деформируемого металла и
инструмента, образуя некоторое количество прочных плотно
упакованных слоев толщиной в несколько ангстрем. Пленки
адсорбированных на трущихся поверхностях смазок
обладают некоторой структурой. Свойства таких пленок
существенно отличаются от объемных свойств смазок. В
частности, пленки способны выдерживать высокую нагрузку и
495

оказывать малое сопротивление сдвигу трущихся
поверхностей— это предопределяет эффективность применения
смазок. Однако толщина адсорбированной на поверхностях
смазки столь мала, что шероховатости изделия и
инструмента находятся во взаимном зацеплении.
В связи с граничным трением и применением смазок с
поверхностно активными веществами следует кратко
разобрать важное физико-химическое явление —
адсорбционное понижение пластичности и снижение сопротивления
деформации твердых тел под влиянием окружающей среды,
которое именуется эффектом Ребиндера. Термин
«поверхностно активное вещество» (ПАВ) подразумевает
возникновение возрастающего градиента концентрации вещества
по мере приближения к межфазной границе двух сред.
Влияние ПАВ на процесс пластической деформации
связывают с уменьшением поверхностной энергии
обрабатываемого металла при адсорбции молекул вещества и с высокой
скоростью диффузии вещества по поверхности металла,
особенно вновь образующихся поверхностей из-за
растрескивания металла. П. А. Ребиндером было введено
представление о клиновидных трещинах при пластической
деформации твердых тел, способных к самозалечиванию при
снятии напряжений ввиду взаимодействия
противоположных стенок в вершине трещины. Проникновение ПАВ в
вершину тормозит самозалечивание трещины, облегчает ее
развитие и приводит к охрупчиванию (снижению
пластичности, т. е. способности деформироваться без разрушения)
обрабатываемого тела. Таково, в частности, действие
расплавов жидких металлов на твердые при отсутствии их
химического взаимодействия и сильной растворимости.
Например, известно, что даже следы меди, температура
плавления которой 1083 °С, приводит к сильному охрупчиванию
стали при ее горячей деформации при температуре выше
температуры плавления меди. Результатом действия ПАВ
оказывается облегчение пластической деформации
металла за счет уменьшения поверхностного барьера для
разрядки дислокаций. Понижая поверхностную энергию металла,
ПАВ могут вызвать появление (активизацию)
дополнительных систем скольжения.
Трение называют жидкостным, если между трущимися
поверхностями имеется слой смазки, выводящий из
механического зацепления шероховатости этих поверхностей-
Природа жидкостного трения существенно иная, чем
сухого и граничного. Жидкостное трение — есть внутреннее
трение в объеме смазки. Оно нашло применение при воло-
496

чении проволоки, ведутся работы по реализации этого
режима трения в других процессах ОМД. Следует отметить,
что смазка, экранирующая толстым слоем трущиеся
поверхности и реализующая режим жидкостного трения,
может быть не жидкой, а консистентной или твердой,
сопротивление деформации которой на несколько порядков ниже
сопротивления деформации обрабатываемого металла.
Смазку, обладающую такими свойствами, в механике
называют вязкопластическим веществом. В частности, смазка,
реализующая режим жидкостного трения при волочении —
что обычное мыло. Итак, термин «жидкостное трение»—
условный.
Отличительной особенностью жидкостного трения
является давление в слое смазки. Оно должно быть таким,
чтобы могло перевести обрабатываемый металл в пластическое
состояние. В этом случае слой смазки не будет
выдавливаться из промежутка между трущимися поверхностями, а
деформация изделия инструментом будет осуществляться
через слой смазки. Если при подборе смазки, обеспечивающей
граничный режим трения, требуется найти смазочную
композицию, обладающую хорошими поверхностно активными
свойствами, то для создания режима жидкостного трения
главным является вопрос: как обеспечить в слое смазки в
зоне контакта инструмента и изделия столь большое
давление смазки? Наиболее рациональным путем создания
режима жидкостного трения является использование
гидродинамического или пластогидродинамического эффекта
технологической смазки.
Гидродинамическим (для жидких смазок) или пласто-
гидродинамическим (для консистентных и твердых — вязко-
пластических — смазок) эффектом называют результат
комплекса мер, связанных с конструкцией инструмента и
реологическими свойствами смазок, обеспечивающих
возникновение режима жидкостного трения. Приведенная
классификация видов или режимов трения условна. На практике
часто имеет место промежуточный режим. Полусухое трение
можно представить как трение с очень малым количеством
смазки, не создающим сплошного слоя адсорбированных
молекул. Под полужидкостным можно представить трение,
когда отдельные шероховатости поверхностей входят в
механическое зацепление, т. е. толщина слоя смазки
соизмерима, но не выше высотытмикронеровностей.
Упражнения
1. Определите давление смазки, которое необходимо развить с
помощью гидродинамического эффекта, чтобы на поверхности контакта
32—382
497

волоки / и проволоки 2 при волочении (рис. 11.2) существовал
жидкостный режим трения (о том, как создать это давление, будет сказано
в п. 11.3). Задано: r0, r\, a, vu gs и т, где V\— скорость волочения;
os — сопротивление деформации металла проволоки; т — сопротивление
сдвигу в слое смазки, действующее на проволоку. Найти fv .
Решение: Необходимо найти давление fv на поверхность
проволоки со стороны волоки. Если смазка будет подаваться между
поверхностями трения волоки и проволоки под этим давлением, то
возникнет толстый устойчивый слой смазки и режим жидкостного трения.
Решим эту задачу инженерным методом (см. п. 3.11). Выделим
двумя поперечными сечениями в очаге деформации элемент толщиной
dz. Согласно инженерному методу принимается приближенно, что по
этим сечениям ozz и (5zz-\-dozz распределены однородно. Составим
уравнение равновесия элемента (сумма проекций на ось z всех сил,
действующих на элемент, равна нулю)
я (г — tg a dz)2 (ozz + dazz) — nr2ozz — 2л (г — tg adz/2) dzx —
*—2ii (r — tg adz/2) dz tg a/v = 0,
которое после преобразований и удаления бесконечно малых высших
порядков имеет вид
rdojdz — 2 tg a (ozz + fv ) — 2x = 0. (11.1)
Если иметь ввиду, что r=r0—tg az, то дифференциальное уравнение
(11.1) содержит две неизвестные функции ozz = ozz(z) и fv=fv(z)-
Уравнение (11.1) согласно инженерному методу дополняется
условием пластичности Оц—азз=о"8, которое приближенно может быть
представлено в виде
a +L =о . (11.2)
22 ' 'V S V
Принимается, что координатные направления гиг являются
направлениями главных нормальных напряжений. Кроме того, угол наклона
образующей волоки а мал. Поэтому On^Ozz", а3з«—fv-
Решая совместно уравнения (11.1) и (11.2), получим
°гг = °"о + (°"s + т/tg a) In (F0/F),
а из условия пластичности найдем
(11.3)
498

Вдоль очага деформации ln(F0/^)> где F0 и F — начальная и текущая
площади поперечного сечения проволоки, изменяется монотонно в
пределах от 0 до \n(F0/Fi). Следовательно, на входе в очаг деформации
максимальное значение
/™и=а#-о0. (11.4)
Для того, чтобы нагнетание смазки гидродинамическим способом
обеспечило волочение в режиме жидкостного трения также при
волочении без противонатяжения (о0=0), давление смазки p^os=f™a\0 =о.
Так, если as=300 МПа, то давление смазки должно быть не менее
300 МПа.
2. Решить аналогичным путем ту же задачу, предположив, что т=
— [ifv .Ответ: czz = <Jo+o$(l+ii ctg a) In (F0/F).
11.2. Механика граничного трения
При формулировке и решении в предыдущих главах
краевых задач было введено понятие контактной поверхности
и ее части Ss, на которой реализуется проскальзывание
частиц обрабатываемого тела. Поверхность 5S (как,
впрочем, и вся поверхность S обрабатываемого тела) считали
достаточно гладкой, такой, что в каждой ее точке
однозначно можно было провести внешнюю к 5S нормаль п
(|п|=1). При этом была введена характерная для
механики сплошных сред гипотеза, позволяющая
абстрагироваться исследователю от микроскопической шероховатости
поверхностей. Через реальную границу инструмента и
деформируемого металла, рассекая микрошероховатости,
мысленно проведена гладкая идеализированная
поверхность Ss.
Как условились выше, на поверхности Ss имеет место
закон трения fT =fx (fv,vs)i, где fx —скалярная функция
от модуля нормального напряжения со стороны
инструмента /v и модуля скольжения инстумента по металлу vs\ i==
— vs/vs. Закон трения показывает усредненно или
макроскопически, как взаимодействуют между собой поверхности
инструмента и металла, которые имеют микроскопические
шероховатости. Закон трения усредненно показывает
взаимодействие шероховатых поверхностей, которое,
вероятно, охватывает часть деформируемого тела — слой,
который имеет толщину порядка высоты микрошероховатостей.
Этот слой называют пограничным.
Рассмотрим процесс деформации в пограничном слое,
т. е. механическую модель граничноо трения. Шерохова-
32*
499

тую поверхность инструмента представим упорядоченным
набором выступов треугольного сечения с углом при
вершине 28 и длиной стороны /. На рис. 11.3 профиль одного
выступа, имитирующего шероховатость, отмечен
штриховыми линиями. Профиль
деформируемого металла
следует ломаной линии
DEC А. Металл смещается
относительно инструмента
влево со скоростью vy
течение установившееся, DECA
—траектория частиц
металла, находящихся на его
поверхности. Будем считать,
что течение плоское, дефор-
^jt/2-в Гх миРУемый материал идеаль-
' но пластичный с известным
& Os, течение изотермическое.
Взаимодействие
инструмента с металлом происходит по поверхности
непосредственного контакта АС, на которой действует некоторое
касательное напряжение та, обусловленное адгезией —- физико-
химическим взаимодействием.
Необходимо определить нормальное fv (по нормали к
идеализированной границе AD) и касательное /х .(по
касательной к идеализированной границе) напряжения в
зависимости от геометрии шероховатостей, та и сопротивления
деформации обрабатываемого металла а5.
Рекомендуется, пользуясь материалами ч. I п. 4.4 и 4.5,
самостоятельно построить сетку линий скольжения для
рассматриваемой задачи обтекания треугольного выступа
пластической волной. Сетка линий скольжения имеет три
характерные области: прямоугольный треугольник ACG с
острым углом т), в котором сетка линий скольжения — два
семейства ортогональных прямых линий; прямоугольный
равнобедренный треугольник CEF с ортогональной сеткой
прямых линий скольжения и сектор CGF с веером прямых
линий скольжения, исходящих из точки С, и
ортогональным этим линиям семейством дуг концентрических
окружностей. Ниже линии AG FED материал жесткий. На рис,
11.3 отмечены линии семейств аир.
Касательное напряжение %а, вызванное адгезией
деформируемого металла и инструмента, однозначно
определяет угол [см. формулу (41.33) в ч. I]
n = (l/2)arccos(xe/Te)f (П.5)
500

где Ts=0,58cr5. Сетку линий скольжения следует проверить
на корректное удовлетворение кинематических условий
(граничные условия по напряжениям были учтены при
конструировании сетки); отсутствие разрывов в
нормальных к линиям, разграничивающим различные области
сетки линий скольжения, составляющих скорости
перемещения частиц металла и выполнение граничных условий в
скоростях.
Поле скоростей перемещения частиц в задачах
плоского деформированного состояния принято представлять
годографом скоростей (рис. 11.3,6). Годограф скоростей —
это отображение области течения на плоскость скоростей
перемещения частиц с осями координат vx и vy. Каждая
материальная точка физической плоскости отображается
в точку годографа, координаты которой соответствуют со-
* ставляющим скорости материальной точки. Точка О
(начало координат) на годографе отображает неподвижный
инструмент, точка 1 — движущийся объем жесткой части
тела ниже линии AG FED. Поскольку линия СЕ — траектория
движения частиц деформируемого тела, а линии
скольжения в треугольнике EFC— прямые, то все материальные
точки в этом треугольнике имеют одинаковую скорость.
Вектор этой скорости параллелен линии СЕ, точка 2
изображает на годографе скорость всех материальных точек
треугольника CEF. Аналогичным образом в треугольнике
ACG все материальные точки имеют скорость, вектор
которой параллелен СА. Точка 3 годографа изображает
скорость всех материальных точек в треугольнике ACG.
Точки дуги 2, 3 годографа изображают скорости материальных
точек на радиусах сектора CGF. Так как радиус — это
прямая линия Скольжения семейства р, то на нем <p = const,
поэтому из уравнений Гейрингер [см. уравнение (4.20) в
ч. I] dva—flpdq) = 0 и dv$+vady = Q следует ya=const и
t>0 = const. Величину v$ на ридусе выбирают из условия
непрерывности ее на GF — границе с жесткой зоной. Итак,
все материальные точки одного радиуса в секторе CGF
имеют одинаковую скорость, которая на дуге 23
годографа изображается определенной точкой. Построенный в
соответствии со схемой (рис. 11.3,6) годограф обеспечивает
непрерывность нормальной составляющей скорости на
AG и FE. Действительно, векторы 02 и 01 имеют
одинаковую проекцию на линию, которая перпендикулярна FE, а
векторы 01 и 03 — одинаковую проекцию на направление,
которое перпендикулярно AG (эти направления на
рисунке не показаны). Таким образом, сетка линий скольжения
501

корректна по кинематическим и статическим
ограничениям.
Заметим без вывода, что найденной сетке линий
скольжения свойственны геометрические соотношения
(Н.6)
у = arcsin (cos 0/j/2 sin y); б = 6 + rj — я/4 — у,
которые позволяют по заданному значению 0 и
найденному по формуле (11.5) значению ц определить у и б.
Определим среднее нормальное напряжение на линии
АС непосредственного контакта деформируемого металла
и инструмента. Вдоль линии СЕ о=—ts. Из уравнения
Генки [см. выражение (4.14) в ч. I], согласно которому вдоль
линии а о—2ts(p = const, следует
— х8 — 2xs (я/4 — у) = о — 2xs (я/4 — у — б);
тогда на линии АС
о ==— 2xs б — rs =— ts (26 + 1),
или с учетом формулы (11.6)
а =— xs (20 + 2т| — я/2 — 2у + 1). (11.7)
По формулам подстановки [см. (4.5) в ч. I], имея в
виду, что на АС ф = я/4—у—б, получим
^хх = а — тв sin 2<р =— xs (20 + 2л — \
— n/2 — 2y+l) — xs sin (я/2 — у — б) =
= — х8 [2 (0 + г]) — я/2 — 2у +
+ 1+cos(y + 6)];
'*/*/
= <r + Tesin2<p=— ts[2(0 + t]) —
■я/2 —2v+ 1— cos (y +6)1;
ахУ = Ts cos 2Ф = тя sin (v + 6).
(П.8)
Подсчитаем составляющие поверхностного напряжения
fi==Gifnj на Л С
/* = °хх Пх
+ °хуПуу
fij = Vyxnx
+ °УУПУ
Если иметь в виду, что nx = cos (п, х)=—cos 0; пу =*
= cos (п, */)=sin 0, где п — внешняя по отношению к
деформируемому металлу нормаль к АС, то последние
формулы с учетом выражений (11.8) дадут
fx = i8 [2 (0 + т|) — я/2 — 2Y + I +
+ cos(Y + 6^0)]; , (П9)
/* = — т. [2 (0 + г|) - я/2 - 2y + l -
— sin (Y + б — 0)].
502

Заметим, что координатные направления х и у
соответствуют направлениям т и v (по касательной и нормали) к
идеализированной поверхности трения деформируемого
тела и инструмента. При заданных условиях трения в и ха
[последнее равносильно заданию угла ri по {11.5)] правые
части последних формул обращаются в числа, так как
формулы (11.6) позволяют подсчитать у и б.
Проведенное выше решение подтвердило высказанное
в начале параграфа предположение о том, что толщина
пограничного слоя соизмерима с высотой
микрошероховатостей.
Оценим явления, происходящие в пограничном слое с
макроскопических позиций. Касательное напряжение,
приходящееся на одну впадину между соседними вершинами
шероховатостей А и D и являющееся средним для всех
регуляторных микровыступов, имеет вид
f^fJ.cosQ/AD; (11.10)
аналогично нормальное напряжение —
/v-ViSineMD. (11.11)
Построим на основании формул (11.9) — Jll.ll)
зависимость fx =fT (fv) для конкретных условий трения: 8 и
та. Приняв некоторое значение fv и имея в виду, что fy —
это определенное число, подсчитанное по формуле ,(11.9)
для заданных 0 и %а> из уравнения (11.11) найдем h/AD.
Используя его и результат подсчета fx по формуле (11.9),
найдем fx, соответствующее принятому /v. Оказалось, что
fx и /v связаны прямой пропорциональной зависимостью
/x=K8'T«Kv> <1U2>
где |ы(0, ха) — коэффициент трения.
Рассмотренный выше процесс деформации в
пограничном слое и вытекающий из него закон трения в виде
одночлена (11.12) справедливы для сравнительно малых
значений fv при которых вершина С пластической волны (см.
рис. 11.3, а) находится в пределах ската АВ
шероховатости. Для умеренных значений fv вершина С пластической
волны выйдет на скат BD. Для этого случая также была
построена сетка линий скольжения и сделаны
рассуждения, подобные описанном В. М. Сегалом. Оказалось, что
закон трения для умеренных значений /v выражается
двучленом
/, = П(в,т0) + и.(9,тв)/у. (11.13)
503

При некотором fv пластическая волна заполнит всю
впадину между соседними микроскопическими выступами.
После этого дальнейшее увеличение давления /v не
изменяет fx и оно остается постоянным (/т ^rs). Последний
вывод справедлив в рамках пластической среды, для
которой сопротивление деформации не зависит от среднего
нормального напряжения.
*t/*s
к
5/
i.
*^£с
L
fl
•ft
I
w
h/Ъ
0 //% f»
На рис. 11.4 показан закон трения, вытекающий из
приведенного здесь анализа течения пограничного слоя и
подсчитанный для широкого диапазона условий:
Кривая на рис. 1 2
11.4
9, град 85 75
Та . . 0,5 ts 0,5 xs
75 60 60
0 0 0,5 ts
Характерными особенностями приведенных графиков
является следующее: при малых давлениях fx
пропорционально fv; по мере роста fv наступает насыщение и f%
достигает некоторого значения равного или меньшего т,.
В работе В. М. Сегала исследовано течение в случае
шероховатостей, имеющих иную (не треугольную) форму.
Оказалось, что и в этом случае зависимости fx ~fv имеют
те же характерные особенности.
Приведенные здесь рассуждения приближенные.
Течение предполагалось плоским, изотермическим,
деформируемый материал идеально пластичным. Однако только
что упомянутые характерные особенности обладают,
вероятно, большой общностью. Они неоднократно
подтверждались другими модельными рассуждениями и
экспериментами. В теории ОМД используется простой и эффективный
закон граничного трения, предложенный Е. П. Унксовым,
504

* "Г
fx = /max = const прИ /max^ < /v< 00.
Закон трения (11.14) содержит две константы (pi и /™ах),
которые следует определять из опыта.
Экспериментальное изучение закономерностей трения
осуществляют тензометрическим методом (см. гл. 9. п.
9.1). Применяют универсальные штифты (см. рис. 9.5 и
9.6), которые встраивают в инструмент и позволяют в
процессе физического модельного эксперимента
регистрировать с помощью тензометрической аппаратуры все три
компонента поверхностного напряжения. К сказанному в
п. 9.1 следует добавить, что определение вектора
поверхностного напряжения с целью изучения закономерностей
трения должно сопровождаться проверкой того, что в
опыте vs=hO. Закон трения fT=f%(fv, vs) выражает связь
механических переменных /т, /v, vs на поверхности контакта,
имеющую место лишь в условиях скольжения, а не
относительного покоя соприкасающихся поверхностей
инструмента. Проверку условия скольжения осуществляют с
помощью иглы весьма низкой жесткости на изгиб, которую
встраивают так же как и универсальный штифт, в тело
инструмента. Острие иглы, выходя незначительно за
поверхность инструмента, входит в контакт с
обрабатываемым металлом. Если имеет место скольжение, то игла
изгибается и с помощью тензодатчиков, приклеенных к ее
поверхности, дает об этом сигнал.
Экспериментальные исследования А. Н. Леванова
показали, что закон граничного трения может быть
представлен формулой
/T = fcn[l-exp(-lf25/vZ<rs)]Tf, (11.15)
где ku — константа поверхности, равная отношению
предельного напряжения трения /тах к т5; а5 (ts=0,58c>5) —
сопротивление деформации пограничного слоя; os — это
некоторый предел упрочнения обрабатываемого металла.
В монографии А. Н. Леванова, В. Л. Колмогорова, С. П.
Буркина и др. приведена таблица, с помощью которой
Можно назначить константу &п. В настоящее время
теоретически в работах Е. М. Макушка показано, что закон
трения имеет экспоненциальную особенность.
Трудно отдать предпочтение какому-то одному из
законов [уравнения (11.14) или (11.15)], изображенных на
рис. 11.5, Они, по мнению автора, обладают недостатками,
(11.14)
505

установлены лишь для процессов холодной деформации;
оба включают в той или иной форме сопротивление
деформации пограничного слоя и не дают рекомендаций по его
определению. Ясно, что эта величина зависит от
перемещения частицы металла по поврехности инструмента,
каждая встреча с очередной шероховатостью добавляет к
накопленной степени деформации некоторую величину и
из-за упрочнения металла увеличивается сопротивление
деформации. Есть такие же основания полагать, что при
горячей пластической деформации напряжение трения /т
должно быть функционалом от истории развития
относительного перемещения частицы по поверхности инструмента
и должно проявлять вязкие свойства, т. е. зависеть от
скорости скольжения. Это должно быть так по той же
причине, по которой является функционалом и проявляет вязкие
свойства сопротивление деформации металла как в погра-
ничом слое, так и в объеме деформируемого тела.
Поэтому актуальна задача дальнейшего
обобщения законов (11.14) и (11.15).
Упражнения
1. Во что отображается область пластического течения ACEFG
(рис. 11.3) на плоскости годографа скоростей. Ответ: в точки 0, 1 и
дугу 23 вместе с ее концами — точками 2 и 3.
2. Попытайтесь построить сетку линий скольжения и годограф
скоростей для умеренных значений давления fv , когда вершина
пластической волны вышла на линию BD (рис. 11.3, а). Указание: решение
ищите в виде поля, состоящего из участков с линиями скольжения
прямыми и дугами концентрических окружностей, как и в случае на рис.
Г1.3, а. Ответ: рис. 15, в в работе Е. М. Макушка, Т. В. Калиновской,
А. В. Белого.
И.З.Жидкостное трение и гидродинамический эффект
смазки на примере волочения проволоки
Продолжим изучение жидкостного трения (рис. 11.1, в) и
гидродинамического эффекта (п. 11.1), который создает
этот режим трения. Гидродинамический эффект может
быть рассмотрен применительно к какому-либо
конкретному процессу ОМД. Поэтому рассмотрим волочение
проволоки, при производстве которой гидродинамическая
подача смазки нашла широкое применение на практике.
В л-итературе нередко можно встретить утверждение,
что напряжение трения в жидкостном режиме на
поверхности 55 определяется формулой
fx--=wjh, (иле)
506

где [i — коэффициент вязкости смазки; h — толщина слоя
смазки, разделяющей трущиеся поверхности; vs —
относительная скорость движения трущихся поверхностей, или
скольжение. Эта формула не обладает достаточной
общностью, чтобы считать ее выражением закона жидкостного
трения. Она верна лишь в том случае, когда скорость
смазки в слое по его толщине изменяется по линейному
закону на величину vs. Это очень редкий случай.
Жидкостное трение отличается тем, что в слое жидкость —
смазка (см. рис. 11.1, в) течет так сложно, что никак не
может скорость в слое считаться распределенной по
толщине линейным образом. С учетом этого замечания
напряжение трения следует записывать в виде
fx = \idvx/dv\ssy (11.17)
где dvx/dv — скорость сдвига смазки, подсчитанная на
поверхности деформируемого металла Ss; vT — скорость
вдоль слоя смазки; v — направление нормали к 55. Как
видим, чтобы определить
напряжение, действующее на металл
(11.17), необходимо знать
течение смазки. Другими словами, 7
решение краевой задачи о на- s
пряженном и деформированном
состояниях обрабатываемого
металла должно сопровождаться
одновременным решением
задачи о течении смазки.
В настоящее время волочение
осуществляют через волоки, ко- 5 4 3 2 1
торые называют 'сборными. На
рис. И.6 изображена одна из разновидностей сборной
волоки. Она состоит из рабочей волоки 1\ нагнетателя
смазки-насадки 2, цанговой втулки 3, кропуса волоки 4,
накидной гайки 5, уплотнения 6, шайбы 7. Основным элементом,
который обеспечивает за счет гидродинамического
эффекта повышение давления смазки от атмосферного на входе
в сборную волоку до нужного на входе в рабочую волоку
/, является нагнетатель смазки-насадка 2. Внутренний
диаметр насадки несколько больше диаметра проволоки,
входящей в сборную волоку. В зазоре, заполненном смазкой,
возникает гидродинамический эффект. Рассмотрим
подробно это явление.
На рис. 11.7 дан продольный разрез очага деформации
при волочении проволоки в режиме жидкостного трения.
507

Инструмент (нагнетатель-насадка и волока) показаны
вместе (их контур заштрихован). Насадка — основной
элемент, обеспечивающий за счет гидродинамического
эффекта жидкостный режим трения, имеет размеры / и ft,
Основная задача насадки обеспечить повышение давления
смазки от атмосферного перед входом в насадку до
(см. упражнения к п. 11.1). Размеры I и h должны
обеспечить выполнение этой задачи. Проволока до волочения
fyyly-Q
» %
имела скорость v0, а после него V\. Эти скорости заданы и
связаны между собой условием ndov0/4=ndiVi/4.
Ради простоты будем считать, что применяется жидкая
технологическая смазка, обладающая линейной вязкостью
T = |i(0,p)Hf (11.19)
где [х — коэффициент вязкости, зависящий от температуры
6 и гидростатического давления р (р=—а). Будем
считать, что смазка несжимаема.
Практика показала, что зазор /i<Cdo, поэтому течение
смазки в зазоре между поверхностью насадки и проволокой
весьма близко к плоскому и будем рассматривать его в
декартовых координатах.
Считаем, что течения смазки ламинарное (vy = 0)> а
так как она несжимаема, то можно предположить, что в
рамках насадки
vx = vx1y). (И -20)
Задача состоит в определении этой функции. Зазор /i<C/,
поэтому естественно считать, что давление смазки в
насадке
508

P = PW- (П.21)
Задача определения напряженного состояния в слое
смазки сводится к нахождению функции (11.21), так как деви-
аторная часть определяется по полю скоростей, в
частности:
<yXy = Vdvx/dy. (11.22)
Определение фукнций vx и р требует задания
граничных условий (рассматривается стационарный процесс
волочения и начальные условия не нужны) в виде
vx = v0 при 0<х<1и j/ = 0; (11.23)
vx = 0 при 0<*</ и y = h; (11.24)
/7 = 0 при * = 0. (11.25)
В гидродинамике считается, что жидкие вещества
прилипают к поверхности твердых тел. Это определило выбор
граничных условий (11.23) и (11.24). Реологические
свойства смазок существенно зависят от их температуры.
Следует, вообще говоря, решая задачу о течении смазки в
насадке, определить ее температуру из решения
дифференциального уравнения теплопроводности. Ради простоты
можно считать, что смазка в тонком слое насадки при
волочении хорошо перемешивается и приобретает некоторую
неизвестную пока и постоянную по объему смазки
температуру 6,2.
Определим течение смазки в малом конечном объеме
насадки, выделенном поперечными сечениями на
расстоянии Д# друг от друга с помощью принципа виртуальных
скоростей.
Напомним, что действительное течение может быть
выбрано из кинематически возможных (удовлетворяющих
граничным условиям в скоростях и условию
несжимаемости) из условия минимума функционала
Гн' 1
/= j ^T(r\)d4\dV-\ ftVidS, (11.26)
v L о J sf
где штрихом отмечены варьируемые функции,
звездочкой— заданные. Для линейно вязкой жидкости [см.
уравнение (11.19)]
j Т (Л) dr] = J |Jt (9, р) \dx\ = [^ (Э, р) т|«/2 ]?' =
о о
= и(е,р)Н'2/2.
509

В рассматриваемом случае течения в элементарном
объеме функционал (11.26) имеет вид
h h
J - j [Ц (вп, р) Н'2/2] A*dy - J pt/ dy +
о о
h
+ f [р + (dpldx) Ax]vx dy,
о
или
h
J/Ax = j [ji (9n, p)tt*2/2 + {dpldx) vx ]dy, (11.27)
о
где p— действительное значение давления, которое
определим отдельно.
Действительное течение сообщает функционалу (11.27)
минимум. Это уравнение справедливо для любого сечения
О^.х^.1, на скорость v'x накладывается условие:
h
^vxdy = q = const — (11.28)
о
т.е. расход смазки в любом сечении при установившемся
течении постоянный. Итак, имеет место классическая изопе-
риметрическая задача вариационного исчисления (см.
ч. I. п. 5.4). Если иметь в виду, что в рассматриваемом
случае Н'2= (dv'Jdy)2, то задача формулируется так: найти
минимум функционала (здесь Дл; не учтено, так как эта
величина постоянная)
h
J = \W (en, Р) {dvJdyf/2 + {dpldx) v x] dy (11.29)
о
при условиях, что
h
^vxdy = q, v'x \y=0 = W, v'x\y=h = 0. (11.30)
0
Решение изопериметрической задачи сводится с
помощью множителя Лагранжа к исследованию на минимум
вспомогательного функционала
h
'' = (Ъ (6„, Р) {dvx7dy)2/2 + {dpldx) v'x + %vx ] dy.
6j
Составим дифференциальное уравнение Эйлера [Fy-~
510

-*-d/dx(Fy,)=0]. В данном случае имеем: аргумент не ху
а у; вместо у искомая функция v'x\ у' — это dv'Jdy. Тогда
dp/dx + Х — dldy [\i (8n, р) dvx Idy] = 0.
Если иметь в виду, что р=р(х), a A,=const, то первый
интеграл по у последнего уравнения имеет вид
(dp/dx + Х)у — \л(еп, p)dvxl dy = сх. (11.31)
Последнее вторично интегрируем по у, так как принято,
что в пределах насадки 8/2 = const, а р=р(х)
(dp/dx + К) у2/2 — \t>(Qn,p)v'x = c1y + с2,
или
vx = [(dp/dx + К)ут-с,у-с2У\л(9П, р). (11.32)
Здесь штрих опущен, так как (11.32) дает решение
задачи— действительную скорость течения смазки.
Постоянные Я, си с2 определяют из условий (11.30):
ci = 2\x(2v0h — 3q)/h2;
c2=—\xv0\
К = [6\iv0h — (dp/dx) h3 — I2\iq]/h?.
Окончательно получаем уравнение, описывающее эпюру
скоростей частиц смазки в зазоре насадки (низ рис. 11.7)
vx = 6qy (h - y)IK" + v0 (3y*/h* - 4ylh + 1). (11.33)
Итак, течение смазки в зазоре толщиной h определено.
Оно зависит от величины зазора, скорости движения
проволоки и расхода 'смазки на единицу периметра
поперечного сечения проволоки.
Определим давление смазки в насадке. Для этого
достаточно проинтегрировать дифференциальное уравнение
равновесия
дохх/дх + доху/ду = 0.
В рассматриваемом случае1 (р — арифметическое
значение давления) охх =—р(х), a oxy = \idvx/dy. Тогда
дифференциальное уравнение равновесия имеет вид
dp/dx = dldy [\i (dvx/dy)]f
1 Нормальное напряжение Gxx=o+sxx. Но в случае течения
несжимаемой смазки sXx=2ti%xx = 2\idvx/dx=0) а «—а обозначено /?. Поэтому
о*,=— р.
511

а так как [х = [л(6«, р) = \i(x), то
dpldx = ц (Qn, р) d* vjdy\ (11.34)
Выше было отмечено, что (я = |я(0, р). Литература рас-
полагает данными о реологических свойствах различных
жидких смазок. Многие исследователи зависимость вяз-
кости от температуры и давления аппроксимируют форму-
лой
|г = Н*о(50/е)*ехр(а/>), (11.35)
где |Ы5о — вязкость при некоторой базовой температуре
(50 °С): т и a — коэффициенты. Допустим, что
технологическая смазка при волочении имеет вязкость в
соответствии с зависимостью (11.35).
Продолжим интегрирование дифференциального
уравнения равновесия (11.34)
dpldx = [х50 (50/en)meap {d2vx/dtf);
dp/eap = [|iw (50/ejm 6v0 (1 - 2q/v0 h) lh2) dx;
— e~ap /a = [[г50 (50/вп)т 6^0 (1 — 2q/v0h)lh2\ x + c.
При x = 0 p = 0, следовательно c=—1/a и
e~ap = 1 — a [^5o (50/9Jm 6v0 (1 — 2q[v0 h)/h2] x.
Итак,
p =— (1/a) In [ 1 - c^50 (50/eX 6i;0 (1 - 2q/v0h) x/h2].
(11.36)
Формулы (11.33) и (11.36) дают искомое течение
смазки и распределение давления. В них входят ряд
неизвестных пока величин, в частности, температура. Определим
среднюю температуру смазки в насадке Qn. Для этого
найдем количество тепла, выделяющееся в насадке за счет
деформации слоя смазки. Мощность такого источника для
насадки
lh
Q = nd0 f f [iE2dxdy,
00
или
Q = nd0 ц50 (50/Gn)m J {dvjdyf dy j e°* dx.
512

Если подставить в последнюю формулу выражения '(11.33)
и (11.36), осуществить преобразования, то получим
q =_ nd0 [2v0h{l —3q + З?2) Z3oc (l — 2q)] In [ 1 —
-aft* (50/en)m6v0l (1 -2q)lh\ (11.37)
где q=q/v0h.
Для стационарного процесса выделившееся тепло Q
отводится проволокой Qnp, теряется через стенки насадки
QH и уносится смазкой QCM. Тепловой баланс имеет вид
(следствие закона сохранения тепловой энергии)
Q = QnP + QH + QcM. (Н.38)
Количество тепла, унесенного смазкой
Qc* = 4ndoPcCe(Pn-Qo>, (М-39)
где q — расход смазки на единицу периметра проволоки;
рс — ее массовая плотность; сс—массовая теплоемкость;
0о — исходная температура смазки (температура цеха).
Определим тепловой поток от слоя смазки, имеющей
пока неизвестную температуру 0„, в протягиваемую
проволоку (или наоборот), если температура проволоки на
входе 60 = const, а ее скорость v0. Это можно сделать, если
известно температурное поле в проволоке в установившемся
процессе. Такое температурное поле определено в ч. h
п. ЗЛО. Температура 0 в точке с абсциссой х и текущим
радиусом г (температурное поле в цилиндрической системе
координат)
9 - 9. + (в0 - вп) 2 Ш0 (lit 2/У4ЖЛ 0*«)1 х
X ехр[— (l/pe2 + 16|х? — Ре)x/2d0 ], (11.40)
где Pe = v0d0/a — безразмерный критерий Пекле; а^
=1/рс — коэффициент температуропроводности
материала проволоки; X—коэффициент теплопроводности; /о *(
Л — функции Бесселя первого рода нулевого и первого
порядков; \ц — корни функции /0.
Температурное поле (11.40) позволяет определить Qnp«
Действительно, казалоеь бы
Qnv = nd0 §Х(дв/дг)
о
33-382
6х. (11.41)
r=rfe/2
513

Однако особенность решения такова, что невозможно
подсчитать (dQ/dr\r=dj2, получается расходящийся числовой
ряд. Этого можно избежать следующим образом.
Рассмотрим замкнутый объем пространства, занятого проволокой
между сечением входа в насадку и сечением входа в воло-
ку. Кондуктивный подвод тепла путем теплопроводности
через боковую поврехность проволоки по формуле (11.41)
равен тепловым потерям через сечение входа в волоку, так
как в стационарных условиях теплопередачи количество
тепла в проволоке между сечениями остается неизменным,
а теплообмена через сечение входа в насадку нет.
Тепловой поток через сечение входа в волоку состоит из
конвективного потока (переноса тепла движущейся проволокой)
и кондуктивного потока (за счет теплопроводности).
Можно убедиться, что в условиях волочения при достаточно
высоких скоростях движения проволоки кондуктивная часть
теплового потока мала, и достаточно точно можно
принять, что количество тепла, отнятое от слоя смазки в
единицу времени, составит
2л dJ2
<?пр = f f ср (в \х=1 - %) v0 rdydr. (11.42)
6 о
Если подставить в последнее выражение 6 из формулы
(11.40) при х=1 и учесть рекуррентную формулу
х
f xl0 (х) dx = х1г (х),
о
то получим
Qop = Ыо v0 ср (вп - е0)/4] {1 - 2 (4/tf) х
I 1=1
X ехр [— (VPe + 16|i? - Ре) l/2d0 ] . (11.43)
Определим тепловой поток через стенку насадки. Пусть
60 — температура наружной цилиндрической поверхности
диаметром Д a Qn — внутренней диаметром d=dd+2h
(рис. 11.7). Для достаточно длинной насадки можно
считать, что тепловой поток радиальный и дифференциальное
уравнение теплопроводности имеет вид
d2Q/dr2 + dQ/rdr = 0.
514

Интеграл этого обыкновенного дифференциального
уравнения легко подсчитать по формуле
8 = q In (2r/d) + с2.
С учетом граничных условий решение имеет вид
в = вЛ —(вп — 90) In (2r/d)/ln {Did).
Тогда тепловой поток через стенку насадки
Qn=-K(d№r)\r=d/2ndl)
или
QH. = 2пК I (вп - 90)/1п (Did). (И .44)
Итак, к формулам (11.33) и (11.36) добавляется
уравнение (11.38), вкоторое следует подставить выражения
(11.37), (11.39), (11.43) и (11.44). Уравнение (11.38)
предназначено для определения температуры смазки в
насадке б,*, от которой существенно зависят все параметры и
эффективность процесса волочения в режиме жидкостного
трения.
Итак, давление смазки, которое развивает насадка
перед входом в рабочую волоку, можно подсчитать по
формуле (11.36) при х — 1, так как известны реологические
свойства смазки (a, juiso, w), скорость волочения Vo,
размеры насадки h и /. Перед расчетом необходимо задаться
некоторым расходом смазки q, о чем будет сказано ниже,
и определить температуру вп смазки в насадке. Последняя
определяется из решения уравнения (11.38), если
задаться дополнительно размером проволоки d0, плотностью рс,
теплоемкостью сс и исходной температурой смазки Go,
плотностью р, теплоемкостью с и теплопроводностью Л,
протягиваемого металла, а также наружным диаметром
насадки D, теплопроводностью ее материала К и темпера-
рой цеха 60.
На рис. 11.8 представлены результаты расчета
давления смазки р, развиваемого насадкой перед входом в
волоку. На рисунке 11.8, а приведены расчетные значения р
Для волочения проволоки из низкоуглеродистой стали,
^о = 1,65 мм, смазка — масло инструментальное 20
(веретенное 3), е0=20°С, <7 = 0; Л = 0,05 мм. С увеличением
скорости наблюдается рост давления смазки; лишь для
больших длин насадок скорости свыше 10 м/с вызывают
повышения давления из-за разогрева смазки. Длина насадки
/ значительно влияет на развиваемое давление. На этом
Же рисунке показано положение изотерм смазки. Рост
33*
515

скорости волочения и длины насадки вызывает увеличение
температуры смазки в насадке. Разогрев получается тем
больше, чем выше вязкость смазки.
Одним из основных параметров насадки является
зазор h. О влиянии зазора h на развиваемое давление р при
v0 = \0 м/с можно судить по рис. 11.8,6.
О 2 4 6. 8 70 40 70 100 О 0,1 0,2 0,3 ОЛ 0.5
Га, м/с h,MM
а &
^50^^'с Ч,
б г
Расчеты показывают значительное влияние
температуры входящей проволоки на развиваемое давление: с
увеличением 60 нагнетающая способность падает. Так
изменение 6о от 20 до 40° С вызывает падение давления для
насадки с / = 40 мм в 5,5 раз. Повышение же 90 до 100 °С
приводит к падению давления в несколько десятков раз.
Это объясняется уменьшением вязкости с температурой,
что сопровождается к тому же падением пьезокоэффици-
ента вязкости а. Следовательно, для обеспечения
гидродинамического трения при волочении на жидких смазках
первостепенное значение имеет охлаждение проволоки на
барабанах волочильной машины (рис. 11.9). Показана
516

схема проволоковолочильной машины, имеющей
барабаны 1, на которые наматывается проволока 2 и которые со-
задают силу волочения; сборные волоки 3.
На рис. 11.8, в показано влияние на р вязкости [Xso
смазки при 0,2 = 50 °С для у0 = 5 м/с. С увеличением
вязкости давления смазки в насадке растет. Особенно
интенсивный рост давления наблюдается до значения вязкости
^50=0,03 Па-с, с дальнейшим повышением вязкости рост
давления замедляется из-за повышающегося разогрева
3 1 з 1 з 7 J 7 3 2
ш
1Э1
5Г
i$i
р
смазки. Развиваемое насадкой давление зависит от рода
протягиваемого материала. Чем выше теплопроводность
металла, тем интенсивней отвод тепла с проволокой,
ниже температура смазки, выше нагнетающая способность
насадки. Так, для алюминиевой проволоки развиваемое
давление в среднем в 1,4 раза выше, чем для
низкоуглеродистой сталььдой при тех же значениях остальных
параметров.
На рис. 11.8, г показано влияние относительного
расхода q = q/v0h на нагнетающую способность насадки. При
<7=0,5 Р = 0, т. е. происходит безнапорное движение
смазки. Расход ее зависит от величины микронеровностей
проволоки. Слой смазки, экранирующий волоку и
протягиваемую проволоку и создающий режим жидкостного трения,
не должен быть большим. Иначе будет неоправданно
высокая потеря смазочного материала, уходящего с протянутой
проволокой. В то же время можно указать минимальный
расход qm[n. Он должен быть таким, чтобы смазкой были
полностью покрыты шероховатости протягиваемого
изделия и инструмента. Поскольку инструмент неподвижен, то
минимальный расход
fmm^K, О1-45)
517

где R — средняя толщина слоя смазки, обеспечивающая
заполнение всех впадин микрошероховатости проволоки.
Шероховатость поверхности определяется средним
арифметическим отклонением профиля Ra и высотой
неровностей Rz, причем Ra — среднее значение расстояний
У\, Уч, ..-, Уп точек измеренного профиля до его средней
линии, Rz—среднее расстояние между находящимися в
пределах базовой длины пятью высшими точками выступов и
пятью низшими точками впадин. Значения Ra и Rz можно
привести в соответствие с классом чистоты поверхности:
Класс чистоты
Ray МКМ
более)
Rz, мкм
более) .
(не
(не
• ■
V1
80
320
V2
40
160
V3
20
80
V4
10
40
V
ю
5 2,5 1,25 0,63 0,32 0,16
20 10 6,3 3,2 1,6 0,8
Класс чистоты определяется в свою очередь видом
обработки металла давлением (ГОСТ 2789—73):
Горячая ковка . . . , .
Объемная штамповка:
горячая .......
Стальной прокат после
холодной калибровки . . .
V1-^4
v2—V4
V8—у9
v6—V8
v5—v1(
Например можно принять в формуле (11.45) R=R2/2,
полагая, что выступы шероховатостей имеют примерно
треугольную форму. Определим минимальный относительный
расход по формуле
Можно заключить, что дып примерно равно отношению
высоты микронеровностей Rz к зазору h в насадке. Последний
не может быть назначен очень малым, он должен быть
выше половины допуска на диаметр протягиваемой
проволоки, иначе проволока просто будет заклиниваться в
насадке. Практика показала, что зазор h исчисляется в десятых
долях миллиметра. Легко подсчитать, что величина Отт
столь мала, что ее можно приближенно принять равной
"нулю.
Обратимся еще к одному важному вопросу механики
волочения в режиме жидкостного трения. Рассмотрим
касательные напряжения слоя смазки в насадке. Как следу-
.Б18

ет из формулы (11.22) с учетом выражения (11.33) в
предположении, что q&0:
°хУ - V Фп, P)$y/h - 4) vjh. (11.46)
Отметим, что аху при */ = 0 и y = h имеют разные знаки. На
рис. 11.7 напряжения по наружной поверхности слоя
oXy\y^h и по внутренней поверхности оХу\у=о изображены
стрелками на эпюре скоростей и направлены в сторону
волочения. Эти напряжения, обусловленные вязкостью
смазки, имеют небольшую величину, но они действуют по
развитой поверхности. Слой смазки находится в
равновесии за счет давления смазки рп в конце насадки, которое
действует по малой площади кольца (сечению слоя
смазки в насадке). Ясно, что увеличивая длину насадки I и
уменьшая зазор h в разумных пределах, можно развить
любое давление смазки рп в конце насадки на входе в
рабочую волоку.
Определим, какое давление рп следует развить с
помощью гидродинамического нагнетателя? Для существования
жидкостного режима трения, как показало решение
упражнения в п. 11.1, достаточно иметь
Р» = /Г = а,-а0, (11.47)
Сопротивление деформации as металла проволоки известно
как в исходном состоянии, так и по мере накопления
деформации по проходам в волочильной машине (рис. 11.9),
так как технология определяет приращение степени
деформации за проход, а кривая упрочнения дает значение
сопротивления деформации в зависимости от накопленной
степени деформации. Определим противонатяжение а<ь
возникающее в проволоке от напряжений —аХу\у=о на
поверхности проволоки, направленных против волочения
tfo = 4 К |i (*>*%) Ьм> dx\ d0.
После вычислений получим
o0 = 8hpn/3d0. (11.48)
Расчет длины насадки, обеспечивающей необходимое
Давление рп по формуле (11.47) производят так:
выражение (11.48) подставляют в формулу (11.47), затем в это
Уравнение подставляют рп из формулы (11.36) и
полученное уравнение решают совместно с уравнением (11.38).
В результате получают / и 6Л.
Технология волочения в режиме жидкостного трения
519

нашла широкое применение в практике волочильного
производства Советского Союза. Эта работа была удостоена
премии Совета Министров СССР. Переход на новый
инструмент (рис. 11.6) обеспечивает повышение стойкости
инструмента в 20—30 раз, снижается напряжение волочения,
от этого уменьшаются простои волочильных машин на
смену инструмента и устранение обрывов проволоки.
Снижение силы волочения при фиксированной мощности
волочильных машин ведет к росту скорости волочения — все
это существенно повышает эффективность волочильного
производства практически без капитальных затрат.
От трения об инструмент при волочении по старой
технологии интенсивно выделяется тепло, что вызывает
интенсивный разогрев волоки и быстрый ее износ. Чем выше
скорость волочения, тем интенсивней изнашивается
волока, тем чаще приходится останавливать волочильную
машину для смены инструмента. Практика волочения
стальной проволоки по старой технологии выработала
оптимальную скорость волочения v\ =20—30 м/с. Жидкостное трение
существенно снизило напряжение трения и сняло барьер
на пути повышения скоростей волочения. Актуальная
задача — создать новые машины для
волочения проволоки, конструкция которых
позволяла бы иметь скорость волочения V\ =
= 60—100м/с и выше.
Упражнения
1. Привести формулы для подсчета напряжения волочения. Каким
может быть предельное напряжение волочения? Ответ:
<*в = о*о + (as + т/tga) In (F0/Fi); aB = a0 + os (1 + \i ctg a) X
X IMFo/Fi)-, oB<o8.
2. Сделать оценку максимального коэффициента вытяжки при
волочении за один раз (пропуск, проход). Сравнить с применяемым
Хтах = 1,7—1,8 в практике волочения при режиме граничного трения
(|i = 0J; a=10°). Ответ: при а0 = 0 и т=0 Xma* = Fo/Fi<e=2J2.
3. Какова роль противонатяжения? Уменьшает ли оно напряжение
волочения? Улучшает ли условия трения? Ответ: Нет. Да, уменьшая
потребное давление смазки для создания жидкостного трения.
4. Рассмотрев равновесие слоя смазки в насадке, показать, что
давление смазки перед входом в волоку может принимать любое
большое значение. Ответ: рп~ (тв+тн)//Л-»-оо при ///i-*-oo, где тв и тн —
касательные напряжения на внутренней и наружной поверхности слоя.
11.4. Трение при прокатке. Элементы теории прокатки
Продольная прокатка полосы может осуществляться
только при определенных соотношениях геометрических
размеров полосы и валков, а также условиях трения. Для того,
520

чтобы произошел захват полосы валками, т. е. чтобы
полоса получила определенное ускорение и начала
деформироваться, необходимо, чтобы в начальный момент
соприкосновения полосы 1 и валков 2 силы способствовали
продвижению полосы
через валки (рис. 11.10).
Должно выполняться, по
крайней мере, условие
2\лР cos а > 2Р sin а,
или
tga<fi, (11.49)
где Р—давление на
валок; \лР — сила трения;
(I — коэффициент трения.
Если воспользоваться
определением угла
трения б: tg 6 = |i, то условие (11.49) примет вид
а<6, (11.50)
то есть для осуществления захвата и начала процесса
прокатки необходимо, чтобы угол захвата был меньше угла
трения. Углом захвата называют угол между плоскостью,
проходящей через ось валка и точку встречи полосы с
валком, и плоскостью, проходящей через оси валков. Практика
показала, что максимальные углы захвата следующие,
град:
При горячей прокатке:
стали -на обжимных станах . , . , . 27—34
стали-на листовых и сортовых станах 18—24
алюминия ... . 20—22
меди и латуни . . 21—27
При холодной прокатке:
на шлифованных валках со смазкой 3—4
на грубых валках без смазки 5—8
Угол захвата а является одним из важнейших
параметров, определяющих производительность прокатки. Чем
выше а, тем больше обжатие можно совершить за один
пропуск полосы через валки. На обжимных станах
(блюмингах и слябингах) применяют валки с насеченной, рифленой
или наваренной пс^верхностями, что увеличивает угол
трения и позволяет иметь на этих станах высокие обжатия
&h=h0— hi. Однако не во всех случаях возможно
применение валков с грубой поверхностью. В чистовых
прокатных клетях формируется поверхность готового профиля.
521

К качеству поверхности холоднокатаных листов
предъявляют высокие требования, поэтому приходится применять
шлифованные валки, а прокатку вести со смазкой. Углы
захвата при этом имеют величину 3—4°.
Условия (11.49) или (11.50) не дают возможности учесть
во всей полноте процесс заполнения очага деформации и
переход к установившейся стадии прокатки.
Более полная теория захвата полосы создана В. Н. Выд-
риным с сотрудниками, где рассмотрены условия
взаимодействия полосы и валков
не только в
первоначальный момент их
соприкосновения, но и в ходе
всего процесса заполнения
очага деформации.
Особый интерес
представляет кинематика
взаимодействия полосы и валков,
т. е. соотношение между
скоростями полосы и
валков, которое определяет
условия трения на
поверхности контакта
металла с валком. Помимо
кинематических условий
на контактной
поверхности важную роль в
процессе заполнения очага
деформации металлом играет характер формоизменения
переднего конца полосы при движении его вдоль очага
деформации, а также силовые факторы: трение,
сопротивление деформации, инерционные силы. Последние влияют
наибольшим образом в начальный момент захвата.
Допустим, захват металла произошел, передний конец
полосы, приобретя по толщине размер Аь вышел из
валков, началась стадия установившейся прокатки.
Определим параметры геометрического очага деформации ABCD
(рис. 11.11). Напишем условие постоянства объема полосы
АоМо = AiMi»
или
(VMW(V'i) = l- (Н.51)
Обычно обозначают h0/hi = lfi\, b\lb0=fL, h/lo=K где
коэффициенты 1/т], р и к соответственно относительное
обжатие, относительное уширение и относительное удлинение.
522

Иногда р и X называют коэффициентом уширения и
коэффициентом удлинения (вытяжки). Коэффициент вытяжки
Я за один проход обычно находится в пределах 1,1 —1,6 и в
некоторых случаях доходит до 2,5—4.
Иногда деформацию полосы выражают в
логарифмическом виде 1п(1/т]), In р, In Я. Условие постоянства объема
(11.51) в этом случае можно написать в виде
1п(1/т|) = 1пр + 1пХ. (11.52)
Проекцию дуги захвата АВ на направление прокатки
называют длиной очага деформации или длиной
контактной поверхности и вычисляют по формуле
I = |/DV4 — (D/2 — АЛ/2)2
или, пренебрегая величиной 0,25А/г2 по сравнению с
величиной 0,5A/ib по приближенной формуле
1ъУТШ/2. (11.53)
Часто вводят понятие о средних ширине и высоте очагг
деформации
* = (*o + *i)/2; й = (йо + Л|)/2.
Для характеристики геометрических соотношений в очаге
деформации применяют безразмерные величины l/h и bfh.
Рассмотрим соотношение скоростей полосы и валков на
дуге захвата АВ (рис. 11.11). Окружная скорость валка на
дуге постоянна. Скорость полосы вдоль очага деформации
нарастает от v0 до v\. Причем в некотором сечении
скорости валка и полосы становятся равными друг другу.
Сечение полосы, в котором скорости валка и полосы равны
друг другу* называют критическим, центральный угол у,
соответствующий этому сечению (рис. 11.11) называют
критическим (нейтральным) углом. Часть дуги захвата, на
которой скорость металла меньше скорости валков,
называют зоной отставания, вторую часть дуги, где металл
движется с большей скоростью, чем валки, называют зоной
- опережения.
Опережение s, % характеризуется относительной
разностью скорости V\ полосы на выходе и окружной
скоростью валков vB
s = [(^ — ti^/xij 100%. (11.54)
Опережение учитывают при настройке станов непрерывной
Прокатки для того, чтобы согласовать частоту вращения
валков по клетям.
523

Определим критический угол у из условия равновесия
сил, действующих в очаге деформации (рис. 11.11). Про^
ектируя все силы, приложенные от валков к
прокатываемой полосе, на ось прокатки х и приравнивая их нулю,
получаем
а V <*
J tv sin ф Rdq + J (i/v cos cpRdy — J \ifv cos yRdtp = 0,
0 0 0
или, приняв в первом приближении /v=const вдоль дуги
АВ,
а V а
1 — cos ф + fx sin ф | — [i sin ф J = 0.
О О V
Отсюда после преобразований получим
sin у = (sin а)/2 — (1 — cos a)/2jx.
Если углы а и у малы, то можно принять sinY~Y>
sina^a, 1—cosa«a2/2. Получим приближенную
формулу
Y = (a/2)(1— a/2|i). (11.55)
Из последнего равенства следует, что с ростом
коэффициента трения (я угол у и связанное с ним опережение
возрастают. Зависимость у от а имеет экстремум, которому
соответствует а = |л. Приняв в формуле (11.55) y = 0> по"
лучим значения углов захвата, при которых опережение
равно нулю, а = 0 и а = 2|ы. Последнее показывает, что
после того, как осуществился захват, очаг деформации
приобретает большой резерв сил, способствующих прокатке.
Предельный угол а в установившейся стадии в два раза
больше начального угла захвата. Для увеличения
производительности прокатного стана в ряде случаев
рекомендуют сближать валки после того, как произошел захват
полосы валками. При этом увеличивается угол а и растет
обжатие.
Подведем предварительный итог рассмотрения роли
трения при продольной прокатке. Без трения металла о
валок прокатка невозможна. При захвате необходимо иметь
значительное трение, это обусловливает высокое значение
угла захвата а и обжатие за один проход, что
положительно сказывается на производительности прокатного стана.
В то же время, после того как произошел захват сразу
возникает большой резерв сил трения. Без ущерба после
заполнения металлом очага деформации трение может
524

быть уменьшено почти вдвое. Снижение трения при
прокатке в разумных пределах — большой резерв повышения
экономических показателей процесса прокатки.
Определим энергосиловые параметры процесса
прокатки с учетом роли трения на поверхности контакта
полосы и прокатных валков. Рассмотрение этой задачи
ограничим случаем прокатки в условиях плоского
деформированного состояния, который реализуется, например, при
прокатке листов, слябов и ленты. Анализ проведем
инженерным методом.
Согласно этому методу рассмотрим равновесие
элемента полосы, мысленно вырезанного в зоне очага деформации
(на рис. 11.12 показан элемент в зоне отставания) так, что
высота элемента конечна и равна /г, а длина dx бесконечно
мала. На рис. 11.12 изображены все силы, действующие на
элемент. Составим условие равновесия этого элемента
(сумма проекций всех сил, действующих на элемент,
равна нулю).
— (°xx+doxx) (h+dh) + oxxh +2/v ds sin ф — 2/T ds cos <p = 0,
где ds==dx/cos ф— длина дуги элемента. Пренебрегая
бесконечно малыми второго порядка, получим
— oxxdh + doxxh + 2 (Д, tg ф — /т ) dx = 0,
Если иметь в виду, что dx= (dh/2)tg ф, то последнее
дифференциальное уравнение можно записать в виде
(/v - ахх - U /tg Ф) dft= hdoxx. (11.56)
Инженерный метод рассматривает приближенное
дифференциальное уравнение равновесия, в частности (.11.56),
совместно с условием пластичности. Для плоского
деформированного состояния условие пластичности имеет вид
525

<7ц —*зз-= 1.15cre =2тв.
В инженерном методе принимается допущение о том, что
Охх=—сгп и fv =—сгзз, тогда условие пластичности
приближенно запишется в виде
fv-oxx = 2x9. (11.57)
Совместное рассмотрение уравнений (11.56) и (11.57)
значительно упрощается практически без ущерба для
точности, если принять в пределах зоны отставания
tg ф = tg ф0 = tg [(а + т)/2] = const,
а ЕО всем очаге деформации считать, что
*8 = (т*о + Tsi)/2 = const>
где Tso и tsi—сопротивление металла деформации на сдвиг
до и после прокатки. Тогда из уравнений (11.56) и (11.57)
получим
(2Te-/T/tg<p0)dft = Ad/v. (11.58)
Для интегрирования уравнения (11.58) необходимо
использовать какой-либо закон трения. Если трение
подчиняется условию /T=p,/v, то интеграл уравнения (11.58)
имеет вид
In Л = (— tg фо/fx) In (2ts — fx/v /tg ф0) + c\
или
/v = сЫ»п*** + 2xs tg Фо/ц. (11.59)
При использовании граничных условий h=h0 fv =2xs—Go,
исключая с из формулы (11.59), получим
/v = (2т>) tg Фо {[(1 - g0/2t5) |i/tg Фо— И (hjh)*№* + 1}.
(11.60)
Исследуем зону опережения. Если рассмотреть
равновесие соответствующего элемента в этой зоне 1 совместно
с условием пластичности, то получим дифференциальное
уравнение, аналогичное уравнению (11.58)
(2xs + ti fv/tg yj dh = hdfv ,
где
tg <px = tg (?/2) == const
1 Напряжение трения будет иметь иное направление, чем в зоне
отставания.
526

Интегрирование этого дифференциального уравнения с
учетом граничного условия fv =2ts—(Xi при h = h\ дает
формулу давления металла на валки для зоны опрежения
/» = (2т» tgcp, ([(1 -(У2Т,) (i/tgVl + И (h/hd^M - 1}.
(11.61)
Согласно уравнениям (11.60) и (11.61), полученным
А. И. Целиковым следует, что нормальное напряжение или
давление имеет минимум в точках А и В (рис. 11.12) и
повышается по направлению к нейтральному сечению, как
это изображено на рис. (11.13). Максимум давления рас-
ЪРЪ Г
положен вблизи нейтрального сечения, в котором кривые,
полученные по обоим уравнениям, пересекаются. При
анализе найденного закона распределения /v по дуге захвата
можно видеть, что он зависит от коэффициента трения,
высоты прокатываемой полосы, обжатия, диаметра валков
и натяжения прокатываемой полосы при ее входе в валки
а0 и выходе из них 0\. Эти зависимости наглядно
иллюстрируются эпюрами, приведенными на рис. 11.13.
Позиции
11.13
(ДЛ/Ло)100%'
а, град-мин
(hi/D) 100 %'
[X . . . .
рис.
30
5-40
1,16
30
0,3
30
0,5
0,2
30
0,5
0,2
527

Располагая эпюрами давлений /v и касательных
напряжений/т , можно путем интегрирования найти общую силу,
действующую на валок
а
Рх = (Db/2) J (/v cos ф — Д, sin ф) d<p;
о
a
Py =r. (Db/2) J (fx sin ф + /v cos ф) dq>, (11.62)
0
и момент прокатки, который приложен к одному валку
а
M = (bDV4) J/Tdq>. (11.63)
о
Часто силу, действующую на валок, и крутящий момент
определяют по приближенным формулам
P^bj fvdx-t (11.64)
М ж b J /v xdx. (11,65)
о
В технологических расчетах применяют понятие
коэффициента плеча приложения равнодействующей ф, смысл
которого ясен из формулы
М = Рф/, (11.66)
где ф/=хср, М и Р определены формулами (11.64) и
(11.65). Среднее контактное нормальное напряжение на
валок подсчитывают по формуле fv —Р/Ы.
Возвратимся к анализу влияния трения на процесс
прокатки. Эпюры давления на валки (рис. 11.13, а)
показывают, что снижение трения, например, на порядок почти
вдвое снизит в рассматриваемом случае fv ; настолько же
уменьшится Р, М и мощности прокатки N=May (со—
угловая скорость вращения валка).
В настоящее время горячую прокатку осуществляют в
режиме сухого трения, что вызывает значительные
расходы энергии на прокатку и прокатных.валков, которые
характеризуются следующим:
628

Стан
Обжимной . . %
Рельсобалочный
и крупносортный , ,
Широкополосный ,
Разработка технологии горячей прокатки в оптимальном
режиме трения — актуальная задача прокатного
производства.
Холодная прокатка осуществляется с применением
смазок. При холодной прокатке листов и полосы тоньше 1,8—
2,5 мм на входе в очаг деформации в районе точки А
(рис. 11.11 и 11.12) действует гидродинамический эффект,
нагнетающий смазку в очаг деформации. Эпюр скоростей
в клине на входе полосы в валки качественно такой же, как
на рис. 11.7. Так же направлены касательные напряжения,
стремящиеся «продавить» смазку в щель между валками
и полосой. Однако, поскольку щель с боков у кромок
полосы открыта, то гидродинамический эффект в районе
кромки не действует (р=0), он проявляется по мере удаления
от кромки полосы. Давления смазки в клине находится в
прямой зависимости от скорости прокатки и вязкости
смазок, так как при прокатке применяют жидкие линейно
вязкие вещества.
Смазка при холодной прокатке выполняет, наряду с
задачей снижения напряжения трения, задачу охлаждения
прокатанной полосы и валков, т. е. отвода тепла,
выделившегося в результате пластической деформации. Известно,
что охлаждение^ жидкостью тем эффективней, чем ниже
вязкость смазки. Это входит в противоречие с
необходимостью снижения трения за счет гидродинамического
эффекта. С л еду ет сказать, что проблема смазок
при холодной прокатке до конца не
разработана. С некоторыми результатами в этом
направлении можно познакомиться по работам А. П. Грудева и др.
Значительные напряжения трения приводят к тому, что
нормальное напряжение /v на контактной поверхности
полосы и валков существенно превышает сопротивление
деформации металла1 2т5 (см. рис. 11.13, а и б), поэтому при
прокатке полос развиваются большие силы, действующие
на валки. Последние вызывают упругие деформации вал-
1 В условиях плоского деформированного состояния; при линейном
напряженном состоянии as=l,73 ts.
Годовая про. расход элект- Удельный
изводитель- Р по\неогии Ра"*од вал-
иость. млн т Ркв" ч/т ков, кг/т
3,6—4,5 12—15 0,06—0,09
1,0—1,3 50—55 3,5—4,0
1,0—1,5 60 0,8—1,5
34-332
529

ков и станин. В результате размер прокатанной полосы
отличается от начальной установки валков относительно
друг друга (настройки валков). Возможна такая ситуация,
когда упругие деформации будут равны заданному
настройкой валков обжатию и пластическая деформация
полосы не осуществится. Это происходит при прокатке
тонких полос.
Существенное снижение силы на валки при прокатке
достигается за счет уменьшения диаметра валков (рис.
11.13,6). При этом падение
P/2+q
P/2+Q\ | = -y^iiP/2+4 жесткости валков изгибу
компенсируется введением
валков 1, диаметр которых
больше диаметра рабочих
валков 2. Клеть стана с
опорными валками
называют четырехвалковой (рис.
11.14). Уменьшение
диаметра валков, связанное с
необходимостью прокатки все
более тонких полос,
привело к созданию многовалковых прокатных клетей: четырех-,
шести- и даже двадцативалковых.
Конструкцию прокатных станов постоянно
совершенствуют. В частности, чтобы улучшить точность полос в
поперечном направлении, которая нарушается из-за прогиба
валков, разработаны системы принудительного изгиба
валков в направлении, обратном изгибу от усилия прокатки Р.
На рис. 11.14 позицией 3 обозначен один из вариантов
принудительного изгиба рабочих валков силой Q. Создание
и широкое применение систем принудительного изгиба
отмечено Государственной премией СССР.
Рассмотрим новый процесс прокатки, названный его
авторами— В. Н. Выдриным с сотрудниками «прокатка-—
волочение».
Традиционный процесс прокатки тонких полос
характеризуется большой величиной отношения длины очага
деформации к его высоте //Л>1. При этих значениях l/h,
как было показано выше, значительное влияние на /v
оказывает трение, действующее на поверхности контакта
деформируемой полосы и валков. Зависимость давления /v
от трения и других параметров прокатки хорошо
описывается эпюрами напряжений (см. рис. 11.13). Их
особенностью является наличие максимума fv в районе
критического сечения, вызванное подпирающим действием тре-
Б30

ния, препятствующим течению металла. По этой причине
контактное нормальное напряжение fvcp при прокатке
полос обычно бывает выше сопротивления деформации os
прокатываемого металла.
Высокие давления при холодной прокатке вызывают
ряд отрицательных явлений. Большие давления на валки
требуют от конструкции стана достаточной прочности, т. е.
значительных размеров станины и других деталей клети.
Для того, чтобы сила прокатки при прочих равных
условиях была ниже, стремятся применить валки меньшего
диаметра и т.д. Значительные давления на валки
вызывают повышенные энергозатраты на прокатку, местную
упругую деформацию рабочего валка — сплющивание дуги
захвата. При прокатке тонких листов оно может быть
соизмеримым с толщиной листа, и прокатка обычным
способом становится невозможной и т. п.
Оказалось, что процесс прокатки обладает
значительными возможностями для дальнейшего
усовершенствования. Как уже указывалось, при обычном способе прокатки
напряжения трения оказывают подпирающее действие,
вызывая рост давления. Действительно, если обратиться к
традиционной схеме прокатки (рис. 11.15, а), то видно, что
напряжения трения fT, действующие со стороны валков на
полосу левее сечения 1—У, вызывают продольные
сжимающие напряжения азз в этом сечении полосы. Металл
полосы находится в пластическом состоянии, при котором
<*п—стзз =1,15crs = const. Увеличение сжимающих
напряжений азз по мере удаления сечения 1—/ от плоскости
34*
531

входа полосы в валки влечет за собой увеличение an«/v
или давления (разность оц и огг должна оставаться
постоянной). За критическим сечением А В происходит умень^
шение азз ДО нуля в плоскости выхода, если прокатку
ведут без натяжения (a0 = ai=0).
Авторы процесса «прокатка — волочение» нашли
простой способ уменьшить и даже свести к нулю
подпирающую роль напряжений трения. Для этого они предложили,
прокатку осуществлять в валках, имеющих разную
скорость вращения (рис. 11.15,6). Если, например, верхний
валок будет иметь скорость
вращения о)1 большую, чем нижний о)2,
причем если отношение скоростей
будет равно вытяжке при прокатке,
то на верхнем валке исчезнет зона
опережения и будет одна зона
отставания, а на нижнем, наоборот,
будет только опережение.
Напряжения трения от верхнего валка,
вращающегося с большей скоростью,
на полосу будут направлены в
сторону прокатки, а на нижнем валке,
имеющем меньшую скорость, в
обратную сторону.
Различие в направлении
действия напряжений трения на
валках приводит к тому, что в произвольном сечении
1—1 (рис. 11.15,6) напряжения азз = 0. На этом же
рисунке приведены эпюры давления для обычного способа
прокатки (рис. 11.15, а) и для прокатки — волочения (рис.
11.15.6). Конструктивно способ прокатки — волочения
может быть осуществлен с охватом валков обрабатываемой
полосой (рис. 11.16).
Упражнения
1. Вывести формулы давления на валок, если fx =tyxs = const.
2. Опираясь на официальные даные статистического управления,
опубликованные в газетах, и консультации экономистов, сделать
оценку экономии электроэнергии в разрезе страны, если применение смазки
при горячей прокатке приведет к снижению удельного расхода
электроэнергии на четверть. Указание: считать, что весь прокат проходит
стадию горячей прокатки на обжимных станах, а затем на сортовых
или широкополосных.
3. Доказать, что нормальное напряжение на контакте полосы и
валков при прокатке — волочении (рис. 11.15,6) может быть
определено по формуле /v =2 у т^—f\ , а его числовое значение находится в
пределах 0<fv<l,15as.
Vo
532

11.5. Трение в других процессах обработки металлов
давлением
Трение — это такое явление, о котором нельзя однозначно
сказать, что оно вредно. Хотя очень часто оно
представляет собой внешнее сопротивление формоизменению металла.
При волочении проволоки трение необходимо уменьшать
путем создания его жидкостного режима за счет
гидродинамического эффекта. Прокатка без трения невозможна,
но трение при прокатке должно быть умеренным, иначе
неоправданно возрастают нагрузки на прокатный стан.
Ниже будет показана роль трения в других процессах
обработки металлов давлением и приведены приемы управле-
J
2
1 L
1 &Ш
ния трением. Рассмотрим процесс холодной деформации
труб.
Трубы малых размеров (d<57 мм и толщиной стенки
<3,5 мм) и трубы с повышенными требованиями к
качеству поверхности и точности размеров получают
деформацией горячекатаных труб в холодном состоянии. В
настоящее время для этого применяют станы холодной
прокатки труб (ХПТ) и волочильные станы.
Станы холодной прокатки труб имеют подвижную
клеть, приводимую кривошипно-шатунным механизмом,
совершающим возвратно-поступательное движение в
специальных направляющих. В клети размещены два валка,
которые посредством зубчатых колес находятся в
зацеплении друг с другом. В то же время на оси одного из валков
закреплено еще одно зубчатое колесо, которое находится
в зацеплении с неподвижной рейкой, размещенной в
направляющих. В валках радиусом R размещены калибры с
переменным профилем (г — переменный радиус по дну
калибра на рис. 11.17). Возвратно-поступательное движение
клети вызывает посредством зубчатых рейки и колес, за-
533

крепленных на валках, вращение последних. Валки своими
калибрами перекатываются по деформируемой части
трубы, которую называют рабочим конусом. Деформация
трубы 2 осуществляется между оправкой / и калибрами 3.
Когда клеть находится в заднем положении (левое крайнее
положение на рис. 11.17), калибры образуют максимальный
просвет между собой. В этот момент труба получает
некоторое перемещение вперед, совершается подача очередной
порции трубы для деформации в рабочем конусе. Для
того, чтобы какая-то порция трубы была полностью про-
деформирована в рабочем конусе, необходимо совершить
несколько подач. Калибр, образованный оправкой и
валками, не строго круглый. В зоне выпусков калибра (зона
примыкает к горизонтальной оси симметрии сечения на
рис. 11.17) стенка трубы больше, чем в остальной части
сечения, отличается также и диаметр т]эубы. Для придания
трубе правильного круглого сечения ее кантуют, т.е.
поворачивают вокруг собственной оси на определенный угол
в тот момент, когда совершается подача.
На станах ХПТ труба получает большие пластические
деформации. За прокатку вытяжка Я=3—5, а в некоторых
случаях даже выше. При холодной прокатке может
существенно уменьшаться диаметр и толщина стенки трубы.
Труба из стана ХПТ выходит со средней скоростью 5—
15 см/с. Производительность станов ХПТ невысокая.
Использование станов холодной прокатки для
производства холоднодеформированных труб рационально в
комбинации с волочением. Волочильный стан прост по
конструкции и в эксплуатации. Однако волочению
свойственны меньшие деформации за один прием (коэффициент
вытяжки составляет 1,5—1,8), но во многих случаях
возможно многократное волочение без промежуточного
отжига. Перестройка волочильного стана на волочение труб
иного размера (замена волоки и оправки) идет значительно
быстрее, чем стана ХПТ. Многообразный сортамент
холоднодеформированных труб предопределяет использование
ХПТ на заготовительных операциях, а волочения — на
последующих операциях при изготовлении готовых труб.
Производительность волочильных станов линейного
типа1 для волочения труб и прутков определяется
скоростью волочения. Она составляет 1—2 м/с, что существен-
1 Труба после волоки не наматывается на барабан, а остается
прямолинейной.
534

но выше, чем на станах ХПТ1. Рассмотрим спосоо
деформации труб волочением.
Волочение труб (рис. 11.18) осуществляют на длинной
подвижной оправке (а), на короткой неподвижной
оправке (б), на самоустанавливающейся оправке (в) и без
оправки (г). При оправочном волочении, которое
сопровождается уменьшением толщины стенки трубы и диаметра,
важную роль играет трение. Сделаем анализ волочения на
неподвижной (короткой) оправке (рис, 11.18,6).
Напряжение трения fx в этом случае как со стороны
волоки, так и со стороны оправки, препятствуют волочению.
Сила, осуществляющая волочение, должна быть Рк<
<nsi(di — S\)os иначе по выходе из волоки труба будет
1 Рекомендуется самостоятельно провести сопоставления этих
способов.
535

иметь продольное напряжение, равное сг5, разовьется
неуправляемая пластическая деформация трубы и
произойдет обрыв. Следует уменьшать /т, способствуя уменьшению
Рк, экономя энергию и добиваясь больших деформаций за
проход и, следовательно, производительности. Радикальное
решение уменьшения /ч при короткооправочном
волочении— создание режима жидкостного трения. Следует
отметить, что сложившаяся на практике технология не
обеспечивает этого режима, хотя и ведутся работы по его
созданию. По этой причине при короткооправочном волочении
Я=1,5—1,8.
Рассмотрим длиннооправочное волочение (рис. 11.18, а).
По этому способу труба выходит из волоки с одинаковой
скоростью с подвижной длинной оправкой, это
предопределяет изменение направления трения со стороны оправки на
трубу на обратное по сравнению с короткооправочным во-
лоченем. В этом случае напряжение трения со стороны
оправки помогает волочению. Трение со стороны оправки
полезное, его надо в разумных пределах увеличивать.
Трение со стороны же волоки — это сопротивление, его надо
уменьшать, переводя в режим жидкостного трения
известным образом. Особенность трения при длиннооправочном
волочении такова, что оно помогает развить большие
вытяжки за проход, приблизится по этой характеристике к
холодной прокатке. Это объясняется тем, что при прочих
равных условиях РЯ<РК и труба имеет больший резерв по
прочности при длиннооправочном волочении.
Особенностью длиннооправочного волочения длительное
время было то, что после волочения труба плотно
охватывала оправку и последнюю можно было извлечь из трубы
лишь после дополнительной операции (обкатки) с целью
уменьшения натяга между трубой и оправкой. В
современных станах обкатку осуществляют в процессе волочения в
роликах, установленных сразу за волокой.
Волочение на самоустанавливающейся оправке (рис.
11.18, в) мало отличается от волочения на короткой
оправке. Однако, в отличие от короткооправочного волочения
трение на оправке необходимо для того, чтобы удержать
оправку в очаге деформации. Силы, действующие на
оправку от напряжений /v и /т, должны быть уравновешены.
Коническая часть самоустанавливающейся оправки
необходима, чтобы задержать ее и не пропустить через очаг'
деформации. Следовательно, так как /v=^=0, то fx должно
иметь конечную отличную от нуля величину, чтобы
оправка не была выдавлена из очага деформации назад.
536

Безоправочное волочение (рис. 11.18, г) должно
осуществляться в режиме жидкостного трения. Это достигается
проще по сравнению с прутком или проволокой, так как
необходимое для этого давление смазки будет в 2so/d0 раз
меньше.
Практика и теория кузнечно-штамповочного
производства накопили опыт активного использования
закономерностей трения. В ч. I, п. 3.11 было показано, что осадка
низких или тонких дисков требует значительных сил.
Нормальное напряжение /v существенно превышает
сопротивление металла пластической деформации as. Это
обусловлено тем, что шероховатые штампы оказывают
сопротивление растеканию металла и увеличению диаметра диска.
Напряжения трения fx от штампов направлены к оси диска
(рис. 11.19, а).
На рис. 11.19, а показано распределение нормальных
напряжений на контакте диска с верхним штампом. Оно
^77777777777777777777
\
у\
'III'
f>
! \ | \ \
»%'
'
<>/////////////////////
несколько отличается от подобных эпюр, приведенных в
ч. I, п. 3.11. Это объясняется тем, что, как уже было
указано в п. 5.2 настоящей главы, при сравнительно малых fv
напряжение трения /V может быть принято
пропорциональным /v, а по достижении значительных давлений /T=const
[см. соотношения (11.14)]. Как показывает решение
инженерным методом для зоны сравнительно малых /v зависи-
537

мость fv~fv (r)—экспоненциальная, а для значительных
давлений fv зависимость fv=fv(r)—линейная. В центре
основания имеет место зона прилипания, поэтому
экстремум эпюра сглаженный.
Тормозящее влияние fx растеканию металла при осадке
можно существенно уменьшить, если попытаться
«развернуть» /т на угол я/2, введя, наряду с поступательным
движением штампа, его вращение вокруг оси диска (рис.
11.19,6). Если окружная скорость вращения будет
существенно больше радиальной скорости смещения частиц по
поверхности штампа, то вектор /т будет иметь малую
радиальную составляющую. Эти малые величины не будут
создавать существенного подпора растеканию металла в
стороны, и можно считать, что огг~0. По условию
пластичности T=ts, полагая, что при осадке с кручением огг =
= <Тфф= Огх=о фг ~ О,
а = — l/~3 (т2 — а2 ).
хх v \ s #ф;
Видно, что fv = \Gxx\ в зависимости от fxttOxq» которое
ограничено условием О^/ч^/т*, может изменяться от 0 до
а5, т. е. сила осадки Р может быть существенно уменьшена,
Правда, пресс или другое деформирующее устройство
должны дополнительно обладать возможностью
осуществлять поворот одного из штампов относительно другого
вокруг их общей оси, проходящей через ось осаживаемого
диска. В настоящее время пока нет хорошего
конструкторского решения для этого интересного способа осадки,
которое бы обеспечило его широкое практическое
применение.
Нетрудно догадаться, что осадка с кручением будет
эффективной, если бойки грубо обработаны и отсутствует
их смазка. Под эффективностью понимают степень
снижения силы, потребной для осадки диска. Если нет
ограничений по деформирующей силе и не стоит остро задача ее
снижения, то осадка с кручением может не дать
каких-либо преимуществ по сравнению с обычной осадкой.
В гл. 10, п. 10.6 упоминались закрытые и открытые
штампы. Объемную штамповку, как правило, производят в
горячем состоянии. Ее осуществляют бойками или
штампами сложной конфигурации, совершающими относительно
друг друга поступательное движение, полости которых при
штамповке заполняются металлом (см. рис!. 10.17).
Штамповка отличается многообразием форм изготавливаемых
538

деталей. В процессе штамповки в открытых штампах
можно выделить две фазы: заполнение полостей штампов и до-
штамповку— завершение заполнения гравюры и
вытеснение излишков металла из полости штампов в заусенец (об-
лой) (поз. 5 на рис. 10.17). Заусенец предназначен не
только для воспринятия излишков металла, он способствует
лучшему заполнению штампа, так как тормозит вытекание
металла из штампа и заставляет его лучше заполнить
труднодоступные полости. Заусенец после штамповки обрезают
в вырубных штампах того же пресса.
Прогрессивна так называемая безоблойная штамповка,
которую осуществляют в закрытых штампах. Экономится
металл (нет заусенца как при штамповке в открытых
штампах). Однако возникает
одна трудность... В настоящее
время нет достаточно точного
дозирования объема заготовки
под штамповку при резке
проката и сложно учесть
изменение объема штампа вследствие
его износа. Поэтому штампов- 6
ка в закрытых штампах
чревата их переполнением
(перегрузкой пресса) и поломками.
Находят применение
самораскрывающиеся и самокомпенсирующиеся штампы,
конструкция которых основана на использовании характерной
особенности закономерностей трения. На рис. 11.20 показан
самокомпенсирующийся штамп для безблойной закрытой
штамповки. Деформацию осуществляет подвижный
верхний штамп 1. В нижнем неподвижном штампе 2, с помощью
стопора 3 и упругого элемента 5 закреплена обойма 4,
формирующая боковую поверхность штамповки 6. Нижний
штамп имеет выталкиватель 7, предназначенный для
удаления штамповки из обоймы 4 после завершения
штамповки и отхода вверх верхнего штампа. Решающую роль
играет угол наклона а образующей обоймы штампа, который
обеспечивает самокомпенсацию объема штампа вследствие
его переполнения металлом. Штамповку производят
следующим образом.
При осадке заготовки (пунктир на рисунке) и
заполнении металлом полости штампа обойма движется вместе с
верхним штампом вниз. На нее действуют силы от
упругого элемента Ру и поверхностных напряжений fv и fx
(реакция со стороны штампа 1 на обойму 4 не показана). По
539

мере заполнения штампа металлом растет fv. Как следует
из установленной выше характерной особенности
закономерностей трения, растет также и /т, но по мере роста fv
темп роста }% замедляется (см. рис. 11.5), При
определенной величине /v, которая обеспечила хорошее заполнение
штампа, но превышение которой опасно из-за поломок
штампа и пресса, проекции сил от fv и /т на ось штамповки
(в этом проявляется решающая роль угла а) сравняются
и затем превысят силу Ру. После этого обойма будет
опережать в своем движении вниз штамп I. Увеличится объем
полости штампа, произойдет его самокомпенсация.
Обратим внимание на то, что если бы трение
подчинялось закону fT=|Li/v, то противонаправленные друг другу
проекции /т и fv на ось штамповки изменялись бы по мере
заполнения штампа пропорционально друг другу и их
разность по мере роста /v не поменяла бы знака. Не было бы
силы, которая преодолевая Ру, отвела бы обойму от
штампа /.
Холодную штамповку производят с применением
смазок. В последние десятилетия эффективно стали применять
жидкостный режим трения при холодной штамповке. На
рис. 11.21 показана одна из операций листовой
штамповал - г_ V, -Л- -ь -Jz
ки — вытяжка (а — традиционная схема вытяжки; бив —
новая схема вытяжки, получившая название
гидромеханической). По традиционной схеме листовую заготовку 1 с
помощью прижима 2 устанавливают на отверстие
матрицы 3, через которую она продавливается с помощью
пуансона 4. Получается стакан, который может вновь подобным
540

образом подвергнуться вытяжке (уже без прижима и через
матрицу с меньшим отверстием). Последующие операции
вытяжки напоминают длиннооправочное волочение труб.
Гидромеханическая вытяжка заключается в том, что
сжатие жидкости в полости матрицы надвигающимся
пуансоном с изделием приводит к ее прорыву между матрицей
и изделием с образованием слоя, который обеспечивает
жидкостное трение.
Создание условий реализации
жидкостного режима трения при ОМД, когда
необходима борьба с трением, — актуальная
техническая задача.
Упражнения
1. Вывести инженерным методом формулу напряжения волочения
тонкостенной трубы без оправки. Ответ:
аяж = 1,15ав [1 — (rf/^)8-1] е/(8-1), (11.67)
где d0t d — наружный диаметр трубы до волочения и текущий в очаге
деформации; е= (tg а+ц)/(1—jj,tga)tga; \i — коэффициент трения в
условии fT=M'/v. Решение этого и последующих двух упражнений
можной найти в работе Л. Е. Алыиевского.
2. Вывести инженерным методом формулу напряжения волочения
тонкостенной трубы на короткой неподвижной оправке. Ответ:
ахх = 1,15as [1 - (s/so)6'-1 ] е1/(е1 - 1) + g0(s/s0)^~\ (11.68)
где s0, 5 — толщина стенки трубы до волочения и текущая в очаге
деформации; ei= (tga+|x)/(l—jxtg a)tga+|n/tga; a0— напряжение
волочения через участок редуцирования или напряжение в начале участка
обжатия стенки.
3. Вывести инженерным методом формулу напряжения волочения
тонкостенной трубы на длинной подвижной оправке. Ответ:
ахх = 1,15as [ 1 - (s/so)6*-1 ] е2/(е2 — 1) + a0 (s/s^-1 , (11.69)
где е2= (tg а + »л)/<1—jitg a) tg a—ц/tg a.
4. Длиннооправочное волочение осуществляют по двум вариантам:
на грубой оправке и на полированной смазанной оправке; все прочие
условия одинаковы. В каком случае будут затраты энергии на
деформацию больше? Ответ: в первом случае.
11.6. Трение при обработке давлением
некомпактных материалов
Выше было отмечено, что решение краевой задачи теории
ОМД зависит от правильного задания граничных условий,
в частности, условий трения. Это в полной мере относится
также к решению краевых задач пластической обработки
некомпактных материалов (порошков, гранул и т.п.).
Рассмотрим способы экспериментального определения и
аналитического задания условий трения.
541

Вся поверхность 5 деформируемого тела (в том числе
и из некомпактного материала) может состоять из отдела
ных частей S=Sv\jSf(jSSf на каждой из которых должно
быть заданы следующие условия: на поверхности Sv ско-
рость перемещения частиц vt = v\\ на Sf — поверхностные
напряжения /;=/!; на Ss-vvi = <, и fx = fT(/v, vs)T, где
звездочкой отмечены заданные величины; iM—составляю*
щие нормальной к поверхности 55 скорости перемещения
инструмента и обрабатываемого тела; /т и /v — касатель-
ная и нормальная составляющие поверхностного
напряжения; vs — вектор скорости скольжения инструмента по
деформируемому телу; i — его единичный вектор (i=vs[vs),
Задание граничных условий на поверхностях Sv и Sf, а
также первой половины условия на S5, обычно не вызыва-
ет затруднений. Сложнее обстоит дело с заданием закона
трения. Он может быть сформулирован только по
результатам специальной исследовательской работы.
Исследования по деформации металлических порошков
в холодном состоянии показали, что зависимость
касательных напряжений от нормальных существенно нелинейна,
причем ход кривых, описывающих зависимость fT ~fv,
различен для нагрузки и разгрузки. Последнее связано,
очевидно, с тем, что при нагрузке
/т =/x(/v, р), (11.70)
где р — плотность деформируемого материала в некоторой
точке контактной поверхности.
Для исследования трения при деформации порошков и
гранул можно использовать следующую методику (см.
рис. 11.22). Определенное давление и, следовательно,
плотность в образце 6 создается путем его сжатия в контейнере
5 с помощью пуансона 4. Сила сжатия Р создается
верхним бойком 1 испытательного устройства, которая переда-
542

ется на пуансон 4 через упорный подшипник 2 и
переходную деталь 3. Последняя фиксируется от поворота
относительно пуансона. Она вместе с пуансоном поворачивается
относительно образца, при этом развивается крутящий
момент М.
Сила Р и момент М регистрируются тензометрическими
методами. По ним подсчитывают приближенно /т и fv,
действующие на поверхности контакта образца и пуансона.
Если предположить, что /т и fv распределены по указанной
поверхности однородно, то
U --= 12AfT|/Jid3; /v =
■=4Р/шР, (11.71)
где г] = 0,99 —
коэффициент, учитывающий потери на
трение в упорном
подшипнике; d—диаметр пуансона.
На рис. 11.23 приведены
опытные данные,
полученные из выражения типа
(11.70) для железного
порошка (а), чугунной
крошки (б) и порошка твердого
сплава марки ВКб со
средним размером гранул 0,5 мм
(в). Штриховой линией
показана зависимость fT ~fv
для активного нагружения,
когда dp/dt>0; сплошные
линии — для разгрузки и
////////////////Г/
W 60
vys/////A
Т77Т7
J)
V7X7
Деформации, при которой dp/dt = 0. Математическая модель
зависимости /т ~/v может иметь вид
/т - а + bfv + eft при dp/dt > 0;
fx = № + *) /v ПРИ d9ldt = °.
(11.72)
где a, by c> d, e — эмпирические коэффициенты.
543

Обработка давлением некомпактных материалов дело
сравнительно молодое; читатель может рассчитывать на
успех, распространяя опыт, накопленный механикой
сплошных сред, теорией пластичности и теорией обработки
металлов давлением, на деформацию некомпактных мате-
риалов.
Упражнения
Провести анализ течения пластического слоя толщиной И из
идеально пластичной смазки с сопротивлением деформации о^м и
цилиндрической заготовки высотой Н и сопротивлением деформации о^,
пользуясь инженерным методом (рис. 11.24).
1. Определить силу, необходимую для деформации слоя смазки.
Ответ: P = ocsM (1+0,19D/h)nD2/4 (см. упражнение 3, ч. I, п. 3.11).
2. Определить силу начала пластической деформации
металлического цилиндра. Ответ Р = о™ (1—0,19Z)/#)nD2/4. Указание:
обратить внимание на знак «минус» внутри круглой скобки, он возник
потому, что слой смазки растекается по деформируемому металлу,
увлекая его, а не тормозя деформацию, как это имеет место при осадке
твердыми бойками.
3. Найти толщину слоя смазки, которая обеспечивает пластическую
деформацию металлического цилиндра в условиях пластической смазки.
Ответ: /i = 0,19 £>/[(!— 0,19 D/H) о"/о™—1].
Контрольные вопросы
1. Какую роль играет закон трения в теории ОМД?
2. Укажите, какие различаются виды или режимы трения?
3. Дайте определение сухого, граничного и жидкостного трения*
4. В чем состоит эффект Ребиндера?
5. За счет чего может быть создан режим жидкостного трения?
6. Что называется гидродинамическим эффектом?
7. Какое следует развить давление вмазки, чтобы создать при
волочении проволоки режим жидкостного трения?
8. Нарисуйте сетку линий скольжения для задачи обтекания
треугольного выступа, моделирующего шероховатость инструмента,
пластически деформируемым металлом.
9. Что такое годограф скоростей?
10. Приведите математическую модель зависимости fx~fv,
полученную на основании теоретического анализа механики взаимодействия
шероховатостей и пограничного слоя деформируемого металла,
11. Изобразите графически зависимость /т ~fv, которую показывают
эксперименты.
12. Приведите аналитическую формулировку зависимости,
указанной в ответе на предыдущий вопрос.
13. Опишите гидродинамический эффект при волочении проволоки.
14. Какой элемент инструмента для волочения проволоки
обеспечивает гидродинамический эффект?
15. Покажите, что, подбирая размеры насадки, можно создать
перед входом в волоку сколь угодно большое давление смазки.
16. Какова роль противонатяжения при волочении проволоки?
644

17. Приведите условие захвата полосы прокатными валками.
18. Зачем желательно иметь больше угол захвата при прокатке?
19. Что такое угол захвата?
20. Что такое коэффициент вытяжки (удлинения)?
21. Какой угол называют критическим? Что такое критическое
сечение?
22. О чем свидетельствует наличие опережения при прокатке и
неравенство y>0?
23. Чего можно добиться, применяя смазку при горячей прокатке?
24. Какие факторы способствуют уменьшению силы, действующей
на прокатный валок?
25. Почему были созданы четырех-, шести- и двадцативалковые
клети для прокатки полос?
26. Что обеспечивают системы противоизгиба?
27. В чем существо способа прокатка — волочение?
28. В чем преимущество волочения на длинной оправке по
сравнению с короткооправочным волочением?
29. Почему короткую оправку, не закрепленную в очаге
деформации стержнем, называют самоустанавливающейся?
30. Почему при осадке с кручением можно существенно ' снизить
деформирующую силу? Что следует ввести взамен?
31. Что такое безоблойная штамповка?
32. На каком принципе работают самораскрывающиеся и
самокомпенсирующиеся штампы?
33. Как создать жидкостный режим трения при листовой
штамповке (вытяжке)?
34. В каком виде может быть применен закон трения при обработке
давлением некомпактных материалов?
Глава 12
МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ КАЧЕСТВА
ПРОДУКЦИИ. РАЗРУШЕНИЕ МЕТАЛЛОВ
И ИХ ПЛАСТИЧНОСТЬ
Открывшиеся возможности вычисления напряжений и
деформаций в объеме обрабатываемого тела позволяют
ставить новые задачи, в частности, прогнозировать качество
изделий и управлять его формированием. Для решения этой
проблемы аппарат расчета напряженного и
деформированного состояний должен быть дополнен математическими
моделями физических процессов изменения качественных
показателей металла. В настоящее время разработан ряд
моделей формирования качества. В данной главе будет
рассмотрена модель разрушения металла при его
обработке и формирования пластических свойств.
35^-382
545

12.1. Основные определения
/
Качество продукции устанавливается Государственными
стандартами Союза ССР или Техническими условиями
межведомственных соглашений на новую продукцию,
которая еще не регламентирована общесоюзными
стандартами. Им присущи общие черты, которые сводятся к следу-
ющему.
Стандарты регламентируют виды изделий (рельсы,
полосы, трубы, проволоку и т.д.), сортамент (марку стали
или сплава, форму изделий, размеры, допуски на размеры),
технические требования (к качеству поверхности,
микроструктуре, механическим свойствам и т.п.), методы
испытания, маркировку, транспортирование и хранение.
Каждый показатель качества продукции формируется в
процессе производства, инженер должен знать механизм его
формирования (модель). Невозможно описать все
показатели и модели их формирования. Остановимся на одном
показателе, который присущ всем стандартам и
техническим условиям. В этих документах оговорено, что на
изделиях не допускаются дефекты, связанные с разрушением
металла.
Рассмотрим разрушение металла при пластической
обработке, создадим модель этого явления с таким расчетом,
чтобы предупреждать появление разрушения в процессе
пластической обработки металла и возникновение
связанных с ним дефектов.
Пластичностью называют способность материала
пластически деформироваться при тех или иных значениях
термомеханических параметров без разрушения в виде
макроскопического нарушения сплошности; мерой
пластичности является степень деформации сдвига, накопленная
материалом к моменту разрушения.
Известно, что нарушения сплошности в виде субмикро-
и микропор и трещин возникают уже в начале пластической
деформации. По мере развития деформации
микроразрушения умножаются по числу и увеличиваются по размеру.
К моменту исчерпания металлом способности
деформироваться макротрещины возникают лавинообразно, образец
разделяется на части — наступает разрушение. При этом
пластические деформации макрообразца обычно невелики
по сравнению с деформациями на предыдущей стадии,
поэтому фиксирование деформации к моменту разрушения не
представляет особого труда.
Термомеханическими параметрами называют величины,
546

определяющие термические и механические условия
протекания пластической деформации.
К числу таких параметров относят, в частности,
температуру, тензор напряжений, тензор скорости деформации.
Механические параметры от тензоров должны быть
представлены их инвариантами. Установим, что может
характеризовать скорость пластической деформации. В общем
случае на элементарный единичный объем деформируемого
тела действуют по его граням напряжения ац. Этот объем
испытывает деформацию, скорости которой описывают
компонентами тензора скорости деформации £//. Мощность
пластической деформации указанного элемента оц%ц.
Сведем этот многочлен к одночлену, для чего воспользуемся
определением девиатора, условием несжимаемости,
предположением об изотропности материала и подобии девиа-
торов и формулой интенсивности скоростей деформации
сдвига. Действительно
ъЛи = (su + °&ц) (еи + £ V3) = sueu =
= *,/?„ 2T/H = TH.
Следовательно, можно считать, что Н является
обобщенной характеристикой скорости деформации сдвига, а Т —
сопротивления деформации сдвига. Как уже отмечалось,
вместо Н может быть принята пропорциональная ей
величина |И=Н/ ]/"3, которую называют интенсивностью
скоростей деформации. Вместо Т может быть принята
пропорциональная ей величина, называемая интенсивностью
напряжений аи= ]/~ЗТ, которая связана условием
о^и = ТН.
Итак, скоростью деформации в обобщающем смысле
называют интенсивность скоростей деформации сдвига Н
или пропорциональную ей величину %и — интенсивность
скоростей деформации. Степенью деформации называют
всю накопленную частицей материала пластическую
деформацию в течение отрезка времени O^Ji^t, которую
подсчитывают вдоль траектории движения частицы по формуле
t
БИЛ. (12.1)
Степень деформации ддвига — величина, отличающаяся от
еи постоянным множителем
Л = JHdT = K3-eu. (12.2)
о
35* 547
-

Остальные общеизвестные и широко применяемые
показатели степени деформации, отличающиеся от еи и Л
(относительные обжатия, удлинение, сужение, коэффициент
вытяжки и т.д.)—это условные характеристики величины
пластической деформации. Точные значения степени
деформации и степени деформации сдвига для несжимаемого
материала подсчитывают по формулам (12.1) и (12.2),
Пластичность будем обозначать Лр — степень деформации
сдвига к моменту разрушения. В случае простого нагру-
жения (по А. А. Ильюшину) или монотонного
деформирования (по Г. А. Смирнову —Аляеву) Л подсчитывается
просто. Монотонной деформацией называют такую
деформацию, при которой на каждой ступени в процессе
значительного формоизменения остаются постоянными
отношения £ц:£22:|зз и направления главных скоростей
удлинений связаны с одними и теми же материальными волокнами.
Главные удлинения в этом случае en = ln(ai/a0); 822 =
= ln(bi/60); e33=ln(/i//o), где a0, Ь0, k и аи bu /1 —
соответствующие размеры элемента до и после деформации, а
степень деформации сдвига
Показателями напряженного состояния называют
безразмерные величины, составленные из инвариантов тензора
напряжений, от которых существенно зависит пластичность
материала.
Пластичность зависит от напряженного состояния
Ар = Лр[/1(7,а);/а(71а); /,(7\,)],
где /i(ro), h{To), h(Ta) —инварианты тензора
напряжений (линейный, квадратичный и кубический). В ч. I было
показано, что за аргументы в этой зависимости можно
принять вместо указанного a, I2(Do), h(Do)y т.е. среднее
нормальное напряжение и два инварианта девиатора
напряжений (первый инвариант у девиатора всегда
постоянный и равен нулю). Итак, можно считать, что
Лр = Лр[а, /2(D0), /8(D0)]. (12.3)
Напомним, Ар — величина безразмерная [AP]=M0L0T0;
[a]=ML-ir-2; [72]= (ML"1 Г"2)2; [h]= (ML-lT~2)\ Согласно
я-теореме выражение (12.3) можно представить в виде
зависимости Лр от двух безразмерных параметров. Имеет
смысл взять два безразмерных показателя напряженного
состояния a/Т и (lict (возможны и другие варианты, однако
548

число независимых безразмерных показателей
напряженного состояния всегда будет два). Здесь [Хо—показатель
формы девиатора напряжений, или коэффициент Лоде
Но = 2 (а22 — а3з)/(ап - а33) - 1, (12.4)
где ап; агг и азз — главные нормальные напряжения;
k = а/Т. (12.5)
Деформируемостью называют способность тела в целом
изменять свою форму при обработке давлением без
макроскопического разрушения.
Для решения вопроса о деформируемости следует
проверить возможность разрушения металла во всех точках
изделия или по крайней мере в наиболее опасных местах.
Для такой проверки необходимо выработать определенное
условие (критерий, модель, теорию) разрушения.
Упражнения
1. Подсчитать показатели напряженного состояния k и \х0 при
а) одноосном растяжении (0n = as; 022=0-33=0); б) чистом сдвиге (о.ц =
=т3; ог22=0; сгзз=—т.,); в) одноосном сжатии (ац = а22 = 0; а3з=— о*).
Ответ: а) £ = 0,58; ц0=—1; б) & = 0; ца=0; в) £=—0,58; ца=1.
2. Подсчитать степень деформации сдвига при одноосном
растяжении и одноосном сжатии в условиях однородной деформации, если d0
и d — диаметр образца до испытания и текущий. Ответ:
Л =2/3 In (d0/d) и Л = 2/3 In (d/d0),
3. Чему будет равен коэффициент Л оде при волочении проволоки и
тонкостенной трубы на оправке? Ответ: (ia =—1 и [ла = 0.
12.2. Модель разрушения металла
в процессе большой пластической деформации
Составим математическую модель разрушения металла
при обработке давлением.
В настоящее время общепризнано, что пластическая
деформация сопровождается непрерывным образованием и
развитием субмикро- и микротрещин. Образование
трещин— очагов разрушения связывают с движением
дислокаций вследствие пластической деформации и
взаимодействием полей напряжений, окружающих дислокации. Итак,
процесс разрушения не мгновенный, а развивающийся во
времени.
Разрушение при больших пластических деформациях
можно разделить на две стадии. По мере развития
деформации растут зародыши трещин, начинают все сильнее
Действовать эффекты концентрации напряжений. До
некоторых пор трещины остаются устойчивыми и для их даль-
549

нейшего развития необходимы дополнительные пластиче-
ские деформации. Вторая, заключительная стадия
начинается с момента, когда трещина достигает критического
размера и потеряет устойчивость, далее разрушение идет
самопроизвольно и лавинообразно без заметных
макродеформаций.
Представим, что некоторая частица обрабатываемого
тела или образец деформируются в условиях постоянства
термомеханических параметров, от которых зависит Лр,
Условие деформирования без разрушения можно записать,
исходя из приведенных выше определений. До тех пор, пока
накопленная частицей степень деформации сдвига Л не
достигнет предельной величины Ар разрушения не
произойдет. Аналитически это выражается в виде Л<ЛР,
илиЧг=Л/Лр<1. (12.6)
Величину Чг=Л/Лр называют степенью использования
запаса пластичности. В момент разрушения Чг=1.
Распространим условие (12.6) на общий случай
пластической деформации в условиях переменных
термомеханических параметров, от которых зависит пластичность. Пусть
пластическая деформация металла развивается на отрезке
времени [0, t]. Рассмотрим момент времени 0<%<t и малый
акт пластической деформации за малый отрезок времени
Дт. Степень деформации сдвига в этом акте НДт.
Приращение степени использования запаса пластичности по
последнему определению
ДТ = НДт/Лр (12.7)
где Ар — пластичность подвергаемого обработке металла
при тех значениях термомеханических параметров, которые
имеют место в момент времени т. Ее можно было бы
записать В ВИДе СЛОЖНОЙ фуНКЦИИ Ap = Ap[k(%), [la (т)].
Предположим, что использование запаса пластичности
за много актов пластической деформации можно
определить суммированием ДТ на каждом этапе, т.е. справедлив
принцип суперпозиции (наложения). Если сделать
предельный переход, то сумма может быть заменена
определенным интегралом
T = J {E(T)/Ap[k<T)yliG(T)]}dT. (12.8)
о
Предположим, что в момент разрушения ЧЛ подсчитанное
по формуле (12.8), равняется единице.
Итак, условие пластического деформирования материа-
550

Пространстве и во времени, следует принять в виде
V = ( {Н (т)/Лр Ik (т), [ха (т)]} Л < 1, О2-9)
где интеграл подсчитывается для отдельной частицы
деформируемого тела вдоль траектории ее движения; Н(т),
ft(t), jxo(t)—результаты решения краевой задачи,
показывающие изменение вдоль траектории движения частицы
интенсивности скоростей деформации сдвига и
показателей напряженного состояния; Ap(k> |ia) —известная из
экспериментов функция, показывающая зависимость
пластичности от термомеханических параметров (в том числе
и от показателей напряженного состояния). В частном
случае, когда во время деформации k = const и \хо= const, то
и Ар в условии (12.9) будет постоянной величиной и из
него вытекает (12.6) —очевидное условие, с которого были
начаты рассуждения по построению модели разрушения
металла в процессе большой пластической деформации.
Условие деформирования без разрушения (12.9)
получено на основании ряда предположений и нуждается в
экспериментальной проверке. Такая проверка показала,
что оно достаточно точно, когда деформация частицы (или
образца при испытании) протекает в условиях близких к
монотонным. В пользу условия (12.9) свидетельствуют
экспериментальные данные Ю. И. Ягна и Л. В. Гребнева:
степень деформации до разрушения не изменяется при
плавном повороте постоянных по величине главных напряжений
на угол меньше я/2. Условия деформирования называют
близкими к монотонным, если: а) |ц, £22, £зз точно не
совпадают с одними и теми же материальными
направлениями, но поворачиваются в процессе деформации
относительно их не больше, чем на угол я/2; б) отношение между £ц,
^22, £зз не сохраняется постоянным, но главные скорости
удлинения в процессе деформации изменяются монотонно
без смены знака.
В то же время эксперименты показали, что условие
(12.9) во всех случаях существенно немонотонного
деформирования дает завышенные расчетные значения W,
разрушение происходит при больших деформациях, чем
предсказывает это условие (12.9). Существенно немонотонным
называют деформирование, при котором, по крайней мере,
один раз изменилось направление деформации в некотором
551

материальном направлении (удлинение сменилось
укорочением или наоборот).
На рис. 12.1 приведены результаты опытов (точки) на
разрушение цилиндрических образцов, подвергавшихся
существенно немонотонному деформированию: одноосному
растяжению вдоль оси образца до ЧГ = Ч/,Ь а затем
кручению вокруг этой же оси до ЧГ=ЧГ2, которое заканчивалось
разрушением [Yi и W2 подсчитывали по формуле (12.6)].
Согласно условию (12.9), поскольку произошло
разрушение, то расчетные значения Ч^ (при растяжении) и W2 (при
кручении) должны быть связаны уравнением 4ri+4f2=l
(прямая 1 на рис. 12.1). Несоответствие прямой / и
опытных точек 2 велико. Разрушение идет медленней, чем это
ожидалось по модели (12.9).
Параллельно с процессом возникновения и увеличения
микродефектов (трещин) в пластически деформируемом
теле идут процессы «залечивания» зачатков нарушения
сплошности и торможения их развития. Соприкосновение
поверхностей трещины в условиях сжатия и их
относительного перемещения вследствие пластической деформации
может вызвать схватывание (сварку).
Явление залечивания трещин при пластической
деформации было показано в работе сотрудников Института
физики металлов УНЦ АН СССР Д. К. Булычева и др.
Путем пластического растяжения образцов из чистой меди
они получили металл, структура которого была поражена
микротрещинами и микропорами. Пластичность его в
значительной степени была исчерпана. Затем эти же образцы
были продеформированы в условиях всестороннего
сжатия. При этом наблюдали полное залечивание пор и тре-
552

щин, а пластичность повысилась до первоначального
уровня. Авторы указали, что всестороннее сжатие образцов без
их пластической деформации не привело к заметному
уменьшению количества и размеров дефектов. Торможение
разрушения и залечивание в процессе пластической
деформации особенно проявляются при существенно
немонотонном деформировании. При смене направления
деформирования генерируются дислокации противоположного
знака, происходит аннигиляция части дислокаций; смена
направления деформации может сблизить «берега»
трещины с образованием мостиков схватывания. Металлы
проявляют способность воспринимать без разрушения
большие деформации при циклическом, знакопеременном
деформировании, чем при однонаправленном. На рис. 12.2
точками показана зависимость накопленной к моменту
разрушения степени деформации сдвига AP(N) от числа
циклов знакопеременной деформации N. Знакопеременная
деформация— кручение в одну сторону с последующим
раскручиванием. В опытах варьировали (постепенно
уменьшали) угол закручивания в одну сторону. Его уменьшение
приводило в опытах к росту числа циклов N к моменту
разрушения и накопленной при этом степени деформации
сдвига AP(N). Один цикл включал закручивание с
раскручиванием до исходного положения образца. Эти опыты
аналогичны испытанию на малоцикловую усталость,
которая хорошо изучена в механике деформируемого тела.
Можно обобщить условие разрушения
t
ЧГ = [ {Н(т)/Лр[й(т), Mx)]}dT= 1, (12.10)
6
или условие деформирования без разрушения (12.9) на
существенно немонотонные процессы деформации
(примерами таких процессов могут быть описанные выше
пластическое растяжение с последующим кручением до
разрушения и знакопеременное кручение). Общим для них является
дискретное (состоящее из отдельных частей) протекание
деформации. Вся существенно немонотонная деформация
моментами смены ее направления может быть разделена
(дискретизирована) на этапы, деформация в которых выше
Названа близкой к монотонной.
На t-том этапе степень использования запаса
пластичности определим по описанной выше модели
t.
¥, = !' (WAp)d%, (12.11)

которая удовлетворительно описывает разрушение в про.
цессах, близких к монотонным. Общую степень использо.
вания запаса пластичности за процесс существенно немо,
нотонной деформации, состоящий из п этапов знакопосто.
янной деформации, примем
¥ = 2ЧГ?<1' (12Л2)
где а/>1; разрушению, как и прежде, соответствует ^=1.
Проверим экспериментально общее условие
деформирования без разрушения (12.11), (12Л2) при существенно
немонотонном формоизменении. Применим его к
знакопеременному кручению или малоцикловой усталости.
Если в пределах этапа в частном случае параметры, от
которых зависит Лр, изменяют достаточно мало, то условие
разрушения (12.11) и (12.12) можно представить в виде
т = 2<дл'/лр»)в| = 1- о2-13)
t=i
где п — число этапов деформирования к моменту
разрушения. Проверим модель (12.13) и найдем способ
назначения показателя степени а — нового параметра, введенного
в модель деформирования без разрушения.
Как уже отмечалось, достаточно хорошо изучена
малоцикловая усталость металла. Известно, что размах
пластической деформации ДЛ и число циклов до разрушения
N при циклическом деформировании знакопеременным
кручением или одноосным растяжением — сжатием
связаны зависимостью Мэнсона — Коффина:
AANy = c, (12.14)
где у и с — эмпирические коэффициенты.
Для описания разрушения при циклическом
деформировании (например, знакопеременном кручении с
симметричным циклом) используем модель (12.13). Один цикл
включает два этапа пластического деформирования:
закручивание в одну сторону и последующее раскручивание
(n — 2N). Амплитуда пластической деформации в цикле
ДЛ. Условие (12.13) преобразуется в вид
ААап1Аар = 1;
ДЛ(2Л01/а/Лр= 1;
AANlla = Ap2~v*. (12.15)
554

условия (12.15) и (12.14) совпадают, отличие лишь в
обозначениях.
Модели разрушения при циклическом деформировании
хорошо подтверждаются на опыте (рис. 12.2). Уравнение
кривых можно получить, если учесть, что AP(N) = AA2N, и
использовать выражение (12.15)
AP(N) = A„(2N)W9 (12.16)
где Ар обозначено Лр0, чтобы подчеркнуть, что это
пластичность, определенная в опыте на кручение в одну
сторону: а —коэффициент, подобранный из условия лучшей
аппроксимации опытных данных формулой (12.16). Для
некоторых марок стали и сплавов значения коэффициента
а0 при знакопеременном кручении и атмосферном
давлении приведены ниже:
Сплав 20А 30 40ХНМА 12Х18Н10Т ХН60ВТ
а0 2,00 1,92 2,08 1,43 1,45
Сплав Д16 АМг5 ВТ1-1 ДТ4 ВТ14
а0 1,52 1,57 1,35 1,35 1,39
Модель разрушения (12.13) показала хорошее
соответствие с опытом при знакопеременном кручении с
произвольной и переменной во время деформации формой
цикла, причем значение а0 остается тем же, что и для
симметричного цикла.
В общем случае пластического деформирования
металлов при обработке давлением условия существенно могут
отличаться от знакопеременного кручения при
атмосферном давлении. Поэтому показатель степени в модели (12.13)
для одного и того же металла будет переменной величиной.
Оказалось, что величина а зависит от показателя
напряженного состояния k = o/T. Возможно, что а зависит и от
второго показателя напряженного состояния \i0i это
следует установить в будущем.
Модели (12.11) и (12.12) показали хорошее
соответствие опытным данным при упомянутом выше двухэтапном
деформировании растяжением с последующим кручением
до разрушения. Условие разрушения в этом случае имеет
вид
¥у' + ^«=1, (12.17)
где а! =2,1 и а2=1>9— значения, взятые из опытных
данных, приведенных далее для стали 30 при соответствующих
значениях k = o/T при растяжении и кручении.
Теоретическая кривая 2, адекватная уравнению (12.17), приведена
на рис. 12.1 и соответствует опытным точкам.
555

Итак, модель деформирования металла без разрушения
создана, она включает соотношения (12.11) и (12.12).
Чтобы сделать оценку возможности разрушения какого-то кон.
кретного металла, необходимо в макроопытах определить
характеристики пластических свойств металлов Лр =
=ЛР(£, \io) и a = a(k, |д,а), а также решить соответствую-
щую краевую задачу для расчета напряженного и
деформированного состояний в конкретном процессе.
Упражнение
Определить напряженное и деформировашюе_£осхояния при
волочении тонкостенной трубы на короткой гладкой оправке, максимальную
деформацию за проход из условия прочности трубы и подсчитать
степень использования запаса пластичности за проход; материал можно
считать идеально пластичным, трение подчиняется закону /т = \i(v, где
ц — коэффициент тения; заданы s0, su vu а, ц (рис. 12.3).
Решение: применим вариационный метод, используя прини»11
виртуальных скоростей и напряжений. Ради простоты решение наД°
искать разрывным в минимальном приближении. Заметим, что разры*
556

вы напряжений и скоростей не могут существовать на одной
поверхности (см. ч. I, п. 6.11). Тонкостенность трубы позволяет рассмотреть
задачу с позиций плоского деформированного состояния.
Выберем разрывное виртуальное поле скоростей. Пусть линии АС\
и ВС\ являются линиями разрыва скоростей, разделяющие части, в
которых частицы перемещаются без деформации. В качестве
варьируемого параметра используем угол Эь который единственным образом
определяет положение линий АСХ и ВС\ разрыва скоростей, вся
пластическая деформация сосредоточена на этих линиях. Скорости перемещения
в блоках 1 и 3 направлены горизонтально; они известны, так как v0 =
= ViSifs0; их значения изображаются точками 1 и 3 на годографе
скоростей. Скорость перемещения блока 2 параллельна образующей волоки
АВ и изображается точкой 2 на годографе. Построение годографа
должно быть понятно из рис. 12.3, б. Покажите, что
выбранное описанным выше образом поле скоростей
непрерывно по нормальной составляющей скорости
на линиях АВ, АСХ и ВС{. Итак, виртуальное или кинематически
возможное поле скоростей (удовлетворяющее граничным условиям в
скоростях и условию несжимаемости — условию непрерывности
нормальной составляющей скорости на линиях АС{ и ВС{) выбрано, оно
определено с точностью до неизвестного пока значения варьируемого угла 0i«
Из годографа легко подсчитать разрывы скоростей на линиях АС\
и ВС\ в касательном к ним направлении
а также скорость скольжения
vs = u0/sin a (ctg а — ctg фх). (12.19)
Независимо от поля скоростей выберем статически возможное поле
напряжений. Пусть в блоках /—3 (рис. 12.3, а) поля напряжений
непрерывны и однородны, тогда внутри них тождественно выполняются
дифференциальные уравнения равновесия aij,j==0 (внутри блока оц =
=const). Пусть линии АС2 и ВС2 — линии разрыва напряжений оц,
однако на них обязательно непрерывны поверхностные напряжения (т. е.
нормальные и касательные напряжения к линиям). Примем, что
касательные напряжения-на АС2 и ВС2 равны ts, а нормальные напряжения
соответственно 0\ и о2 определим из условий равновесия блоков 1, 2
и 3 (рис. 12.3, в). Если составить условие равновесия на
горизонтальную ось блока 1, то получим
ai = -ts ctg ф2. (12.20)
Если рассмотреть два уравнения равновесия для блока 2 с учетом
Уравнения (12.20), то получим
'v = xs (sosicsc4 + 5i csc\)/l Assi (ctg a + ctS ег) +
+ fxAssi(ctgactg02 —1)]; \ (12.21)
°2 = ~ Vtg 4 + ^v (1 + H ctg a) As/s^
Из условия равновесия блока 3 получим
P = (Tsctge2 + a2)Si. (12.22)
Итак, формулами (12.20) — (12.22) выбрано виртуальное или статически
возможное поле напряжений. Оно оказалось выраженным через
неизвестную пока (варьируемую) величину 92.
557

Заметим, что углы <pi и ср2 связаны с углами 9i и 02 .соответственно
уравнением
(ctga-—ctg9i)/(ctga + ctge£)=s1/s0(t= 1, 2). (12.23)
Функционал принципа виртуальных скоростей и напряжений для
медленного течения, разрывного решения, идеально пластичного
несжимаемого тела и закона трения/.^jx/^ имеет вид XN^
/ = J xH'dV + J xs \Av't\ dS -\ fcdS - f /fttfS - \
v st sf s0 \
Ss
или в рассматриваемом случае
J = \ l^iUc. Vsin 4>i + \ \Avi\BCt si/sin ei -
— Pv± + ^/v ^As/ sin a, (12.24)
где \kvi\AC; \kvi\BC-\ vs\ P\ /V' Ф1 определены формулами (12.18),
(12.19), (12.21) — (12.23). Величина / в формуле (12.24) обладает
минимумом по параметрам 9i и 9г. Использование этого условия определяет
углы 9j и 62, обеспечивающие / = min. Эти углы с учетом формул
(12.18) — (12.23) дают решение рассматриваемой задачи о
напряженном и деформированном состоянии при волочении тонкостенной трубы.
Полезно иметь в виду для проверки решения, что 9^92.
Величина обжатия s0fsi или вытяжки с коэффициентом X за один
проход при волочении лимитируется прочностью трубы при выходе из
волоки. Участок трубы, вышедший из волоки, находится в условиях
растяжения при плоском деформированном состоянии. Чтобы не
произошел разрыв, напряжение р должно быть меньше 1,15 os, иначе будет
происходить неуправляемая пластическая деформация. Итак,
предельная деформация (s0/si)max или Хтах за один проход может быть
найдена из условия прочности трубы /?<1,15 GSy или p/Os< 1,15.
Определив действительное значение углов 9? или 9^ (сообщающих
минимум функционалу У), следует построить действительный годограф
скоростей и приступить к определению степени деформации.
Ранее было показано, что поверхность разрыва скоростей
схематично изображает слой пластически деформируемого материала, толщина
которого А« и в пределах которого резко меняется скорость течения.
Там же было показано, что интенсивность скорости деформации сдвига
в таком слое будет постоянной и равной
Н = |Д^|/Дл,
а время прохождения частицей этого слоя Дт=Дя/1>п, где vn
—нормальная к поверхности разрыва скоростей составляющая скорости.
Подсчитаем приращение степени деформации сдвига при переходе частицей
поверхности разрыва
ДЛ = НДт = |Ди,|/1>л. (12.25)
В рассматриваемой задаче приращение степени деформации сдвига
при переходе линий разрыва скоростей АСХ и ВСХ будет
соответственно AAi и ДЛ2. Эти значения несложно определить с а-
558

мостоятельно графически по действительному
годографу скоростей.
Степень деформации сдвига (или ее приращение) подсчитывают
вдоль траектории движения частиц (одна из них показана стрелками
на рис. 12.3, а). Решение таково, что каждая частица трубы
приобретает одинаковую степень деформации, так как ДЛ=const на линии
разрыва скоростей. Итак, степень деформации сдвига для каждой частицы
при волочении тонкостенной трубы на оправке составит
Л = ЛЛ1 + АЛ2. (12.26)
Определим степень использования запаса пластичности при корот-
кооправочном волочении. Для этого необходимо знать показатели
напряженного состояния в очаге пластической деформации или в
рассматриваемой задаче на линиях разрыва скоростей ЛС{ и ВС\ (рис. 12.3),
на которых сосредоточена пластическая деформация.
Поскольку в рассматриваемой задаче течение плоское, то ца=0.
На линиях разрыва касательное напряжение равно xs, т. е. они
являются линиями максимальных касательных напряжений. Известно, что
нормальные к этим линиям напряжения равны среднему нормальному
напряжению а. Итак,
kACx = W kBCt = °VV
Зная ца и k на линиях разрыва скоростей, по экспериментальным
данным (см. п. 12.3) можно назначить ЛР1 и Лр2 и аи а2 соответствующие
этим линиям (показателям).
Степень использования запаса пластичности при короткооправоч-
ном волочении труб
У = (AAJAp^ + (ДЛ2/ЛР2)*-. 02.27)
Напомним, что волочение возможно без образования дефектов,
связанных с разрушением металла, если \|><1. В том случае, когда гр<с1,
возможна последующая пластическая деформация труб без их
термической обработки для восстановления пластических свойств.
Обратим внимание, что деформация при волочении в полученном
решении — знакопеременная. Пластическая деформация
осуществляется сдвигом сперва по линии АСХ (AAi), а затем сдвигом в другую
сторону по линии ВС\ (ДЛ2).
12.3. Методы экспериментального определения
пластических храктеристик металла
Лр=Лр(&, \io) и a = a{k1 \хо)
Рассмотрим методы экспериментального определения
зависимости пластических характеристик металла Ар и а от
показателей напряженного состояния. Методика изучения
пластических характеристик металлов — задача трудная:
сложно подобрать такой вид испытания, чтобы в месте
разрушения можно было* определить предшествовавшую ему
степень деформации, показатели напряженного состояния
и чтобы выполнялось условие неизменности показателей
напряженного состояния в процессе испытания. Сложно
559

<>/////////////////////////////
предугадать место на образце, где прежде всего можно
ждать разрушения и своевременно его зафиксировать; Ог.
раничимся в данном пункте лишь испытаниями в холодно^
состоянии, поскольку модель разрушения металла в про.
цессе большой пластической деформации, опиёанная а
п. 12.2, предназначена только для холодной деформации.
Разрушение при горячей пластической деформации\будет
рассмотрено позже. \
Опишем испытание на кручение цилиндрических образ*
цов для определения пластических свойств металлов (рис,
12.4). Кручение — хорошо
изученный вид испытаний.
Деформация при кручении
протекает немонотонно. Из-
вестно, что при кручении
реализуется чистый сдвиг.
На поверхности образца
под углами я/4 к
образующей направлены главные
нормальные напряжения оц и а3з, которые при
испытании при атмосферном давлении (а22 = 0)
соответственно ац=т5, азз=—ts. Направления главных
нормальных напряжений (с ними совпадают направления главных
скоростей удлинений £ц, £22, £зз) во время испытания
остаются в пространстве неподвижными, материальные же
волокна поворачиваются. Так, риска, напечатанная вдоль
образующей на поверхности образца до испытания,
поворачивается при кручении и в некоторый момент времени
займет положение винтовой линии с углом наклона.к
образующей образца ф. Закручивание в одном направлении
будет согласно определению деформацией, близкой к
монотонной.
Несмотря на немонотонность деформации, легко
подсчитать при кручении степень деформации сдвига.
Рассмотрим рабочий участок образца длиной /. Если он
достаточно мал, то можно считать, что деформированное
состояние образца не зависит от продольной координаты гх-
При больших деформациях скручивания образец
практически не меняет свою длину и диаметр. Можно считать, что
скорость перемещения частиц при кручении такова (в Ш1"
линдрических координатах):
vr = vz = 0; уф = wzll,
(12.28)
1 К сожалению, это не всегда так, порой деформация локализуется
в каком-то месте образца и она вдоль оси становится неоднородно**'
560

где со — угловая скорость относительного поворота сечений
образца на расстоянии I друг от друга. Интенсивность
скоростей деформации сдвига на поверхности образца (r=R)
Н-соЯ//, (12.29)
тогда степень деформации сдвига
t
Л =(/?//) j'todt.
о
Здесь интеграл — это угол закручивания одного крайнего
сечения относительно другого на длине /. Степень
деформации на поверхности образца
Л-tgcp. (12.30)
Легко показать (рекомендуем убедиться в этом
самостоятельно), что при кручении Л изменяется
линейно вдоль г от 0 на оси до A=tgcp на поверхности
образца. Разрушение во всех случаях испытания на
кручение начинается на поверхности образца. Начавшись, оно
быстро завершается разделением образца на две части и
падением М до нуля.
Для того, чтобы определить Ар при кручении,
достаточно в месте разрушения измерить угол срр и подсчитать
AP = tgqv
Определим показатели напряженного состояния. При
кручении при атмосферном давлении
aii = Te; ^г^0; азз = —V
Давление жидкости р в одинаковой мере изменяет главные
напряжения
^1 = ^-- р; ^2 = —р; азз = — т, — р. (12.31>
Здесь и далее предполагается, что по мере изменения <т
Ts = const. Легко проверить, что эти формулы
тождественно удовлетворяют условию пластичности
Т = Vl(an - g22)2 + (а22 - а33)2 + (а33 - аи)21/6 = т..
Как следует из формулы (12.31):
k = ohs == (та-р-р-тв-р)/3тв = -phsJ (12.32)
а
|ia = 2 (a22 - ^/(au - a33) - 1 - 0. (12.33)
Итак, при испытании на пластичность, осуществляемом
в опытах на кручение в жидкости высокого давления, мо-
36-382 561

жет быть получена зависимость
Ap = Ap(fc)|^-o. (12.34)
Для этого испытание каждого отдельного образца
производят при постоянном k. Меняя от опыта к опыту k ^или,
другими словами, давление жидкости р (12.32), можно шо-
лучить серию точек, соответствующую зависимости Ap\^k
при |i<j=0 (12.34). На рис. 12.5 показаны результаты
опытов на кручение для стали марок 08Х18Н10Т (а), 12ХШФ
6,0
6,0
4,0
2.0
у
—[
6
i i-j
Ар
W
ХО
2,0
-1,0 '0,5 О 0,5 -2,5 Ч}5 '0,5 0,5 ~7,0 Л 1,0
к-~б-/Т
(б) и алюминиевого сплава АД-1 (в) (кривая 1 для \io=0;
кривая 2 для \ло=—1).
В простейшем случае постоянным в опыте
поддерживают р. Зная Ts=Tso перед испытанием и xs=Xs(A) по
кривой упрочнения к моменту разрушения, можно найти
средний за опыт показатель kcp={—pfrso—plts)l2\ на график
наносят точку с координатами Лр и &Ср. В более сложном
случае осуществляют программное управление процессом
испытания: изменяют в процессе испытания р таким
образом, чтобы fe, подсчитанное по формуле (12.32), оставалось
постоянным. Для этого предварительно с использованием
кривой упрочнения устанавливают связь между углом
закручивания Ф и ts на поверхности образца ts=Ts(<D).
Тогда программа изменения давления р по мере испытания
(в зависимости от угла закручивания Ф) для поддержания
постоянным некоторого значения к, будет такова:
-р.= — бтДФ).
Более совершенным следует признать испытание с
обратной связью для поддержания k = const. Для этого я
Процессе испытания измеряют момент М закручивания
(рис. 12.4), который ставят в соответствие с помощью
математической модели испытания с ts на поверхности образ-
562

ца Ts=Ts(Af). Тогда требуемое давление, вычисленное
микропроцессором по замеренному в автоматическом
режиме М, определяют по формуле
Система регулирования должна обеспечить это давление
жидкости в испытательной камере.
Итак, зависимость Лр=ЛР (Л) |Да=0определена. С
использованием той же аппаратуры можно получить
зависимость а=а (k) |да=::0.Для этого в жидкости высокого
давления осуществляют испытание на знакопеременное кручение
при k = const из серии образцов для получения
зависимости AP(N)~N, как на рис. 12.2. Методом наименьших
квадратов осуществляют выбор значения а для данной
серии. Меняя от серии к серии k можно получить
зависимость a~k. На рис. 12.6 показана такая зависимость для
стали марок 08Х18Н10Т (7), Ст45 (2) и стали ШХ15 (3)
при Цо=0.
Перейдем к другому испытанию — растяжению до
разрыва цилиндрических образцов в жидкости высокого
давления (рис. 12.7). Испытанию на растяжение при
атмосферном давлении присуще явление, существенно осложняющее
обработку экспериментальных данных: это потеря
устойчивости однородного течения образца при достижении
некоторой ^деформации. Деформация локализуется,
образуется шейка (местное сужение), в которой развивается
дальнейшее пластическое течение. Как оказалось,
напряженное состояние с возникновением шейки становится
неоднородным. Оно существенно зависит от параметров шей-
36*
563

2 3 4 5 6
ки: а —радиуса попереченого сечения образца в самом его
тонком месте и R— радиуса кривизны профиля образца в
продольном осевом сечении (рис. 12.7). \
Опыты П. Бриджмена показали, что если нанести на\гра-
фик изменение параметра 2a/R, характеризующего профиль
шейки (в исходном состоянии у цилиндрического образца
/? = оо, тогда 2a/R = 0)i в зависимости от деформации в
шейке Л=2]/ЗХ1п(аоЛО> где 2а0 — исходный диаметр
поперечного сечения образца, то для большинства марок стали все
эти данные будут лежать в
узкой области,
расположенной по обе стороны средней
кривой 1 на рис. 12.8.
Единственное исключение,
которое наблюдал П. Бриджмен
составляла одна из коррози-
онностойких марок стали.
Позже к числу исключений
он отнес Ni, Та, Mo, W.
Формоизменение образца
при растяжении под
давлением изучал также X. Л. Д. Пью. Его метод
фотографирования образца во время испытания дает возможность быстро
и точно измерять а и R под давлением, так как камера
высокого давления имеет прозрачное окно. Результаты
X. Л. Д. Пью находятся в согласии с данными П.
Бриджмена. Однако данные для мягкой стали (кривая 2) и цинка
(кривая 3) сильно отклоняются от кривой П. Бриджмена.
По результатам исследований Бриджмена и Пью
можно сделать два важных вывода: 1) у различных
материалов при растяжении шейка образуется и развивается
по-разному и не существует универсальной кривой для всех
металлов (даже для стали разных марок); 2) зависимость
2a/R от А для одного и того же материала будет
одинаковой как при растяжении без гидростатического сжатия
(при атмосферном давлении), так и под давлением сжатой
жидкости.
Определим напряженное и деформированное состояния
при растяжении круглого цилиндрического образца. При
растяжении до потери устойчивости (образования шейки)
напряженное состояние в образце однородное <Jn = as;
<?22 = стзз = 0, которому соответствует &=0,58 и \хо = — 1.
Сложности определения напряженного состояния при
растяжении образца возникают с образованием шейки.
В приближенном решении Н. Н. Давиденкова и
564

Н. И. Спиридоновой о напряженном состоянии в шейке
образца1 используется экспериментально подмеченный факт
равенства и равномерного распределения по
минимальному сечению шейки деформаций в радиальном и
тангенциальном направлениях. Авторы решения приняли, что в
некоторый момент времени по сечению z = 0 5„. = £фф, а
из условия несжимаемости вытекает, что gZ2=—2£rr=s
=—2£ФФ =const.
Рассматривая физические уравнения для идеально
пластичного несжимаемого материала, получим
огг — о = 2тДгг/Н; афф —- о = 2тДф<р/Н.
Из последних равенств следует, что из условия grr=£фф
вытекает аГг = афф (но не постоянство по сечению, так как
C7=var).
Дифференциальные уравнения равновесия для осесим-
метричной задачи имеют вид
догг/дг + dojdz + (orr — афф)//- = 0;
доп/дг + оГ2/г + dojdz - 0.
В минимальном сечении шейки 2=0 из-за симметрии
имеем (j/2 = 0 (рис. 12.7), тогда дифференциальные уравнения
равновесия в этом сечении таковы:
dojdr + (dojdz)\z==0= 0; dojdz = 0. (12.35)
Условие идеальной пластичности в минимальном сечении
Т = V\(°rr - <TW)« + (афф - ozzY + (аа - агг)2]/6 = xs
или, так как аГг=?= стфф и ts=0,58<js,
ozz-orr = os. (12.36)
Система уравнений (12.35) и (12.36) может быть
решена. Для этого рассмотрим orz в окрестности, близкой к
плоскости 2=0. В этой плоскости azz=aii; orr=о фф=а22 =
=Озз. Если в точке А (рис. 12.7) направление главных
нормальных напряжений составляет с осью z угол со, то
касательное напряжение orz в этой точке, согласно кругу
Мора (см. ч. I, п. 2.3) можно записать
тп == оГ2 == (au — a33) sin 2©/2.
1 Нас вполне устроит решение только для минимального сечения
образца, так как именно в этом месте происходит разрушение, здесь
будет зафиксировано Лр и эту величину будем ставить в соответствии
с показателями напряженного состояния в шейке,
565

Если точка А очень близка к плоскости z=0, то вследст*
вие малости угла о можно принять
°rz « (а11 ~ <*3з) « = <V».
Вычислим производную (dorzldz) |z==o, входящую в первое
уравнение (12.35):
(dorz/dz)\z=o = (оади/дг)\х*> = К/р)|2=о, (12.37)
так как до/дг по определению является кривизной 1/р
траектории главных нормальных напряжений в мериди-
альном сечении образца (правая часть рис. 12.7) при 2=0.
Контур шейки является одной из этих траекторий, для нее
р=*.
Имея в виду выражение (12.37), из первого
дифференциального уравнения (12.35) получаем
<** = —$(<*№& +с>
при r = a Grr=—р> следовательно
orr=-p + j(ojp)dr. (12.38)
Г
Сделав допущение r=ap=Rt а при г=0 р = оо,
примем, что p=Ra/r. Использовав пбследнее для
интегрирования уравнения (12.38), получим
orr = _ р + (js (а2 — r2)/2aR. (12.39)
Тогда из условия пластичности и уравнения (12.39)
получим
ozz = -p + os [1 + (a2 — r2)/2aRl (12.40)
Итак, напряженное состояние в шейке определено. Для
примера в левой части рис. 12.7 показано распределение
напряжений в минимальном сечении при г=0.
Рентгеновское просвечивание показывает, что
макроразрушение возникает в центре шейки и затем быстро
охватывает все сечение. Определим напряжения в центре
шейки при г=0:
огг=— p+osa/2R=o22=o33] oz^ — p + a8{l+a/2R) =oiV
(12.41)
тогда в центре шейки показатели напряженного состояния
k =■ а/Т = — р/т6 + (1 + 3a/2R)/V3; цр = — 1. (12.42)
Давно замечено, что по всему минимальному сечению
шейки деформации распределены однородно, что £22 = £зз;
-.Д66

■Ей—— 2622=— 2|зз- Учтем последнее обстоятельство и
подсчитаем степень деформации сдвига Л в минимальном
сечении шейки. Здесь
Н = У 2[£и - l22f + (122 - £3з)2 + (£зз ~ 5п)21/3 =
= 2 Уз у.
Для рассматриваемого осесимметричного случая
l22 = lrr = vr/r = (dr/dT)(l/r)
и, следовательно,
а
Л = 2]/3 J \dr/r\ = 2]/31п(а0/я), (12.43)
До
где 2a0 и 2a — диаметр образца по шейке до деформации
и текущий. Если зафиксировать в опыте 2а{ г— диаметр
после разрушения, то пластичность можно подсчитать по
формуле
Ар = 2 V3 In (ajaj. (12.44)
Испытание на пластичность ЛР=ЛР(&) liAa=-inPH
одноосном растяжении до разрыва в жидкости высокого
давления производят следующим образом. Несколько образцов,
подготовленных для испытания, разрывают при
атмосферном давлении с целью изучения кинетики изменения
параметра 2a/R образцов в зависимости от Л, получения
кривой упрочнения т5=т5(Л) и определения Ар при &»0,58.
Затем осуществляют испытание остальных образцов при
различных p=const. Показатели напряженного состояния
(12.42) подсчитывают средними для начала испытания
(a/R=0) и после разрыва, измеряя а и R на
разрушившемся образце.
Возможно более точное опытное определение
зависимости Ap~k при \1а^=—1. Для этого испытание каждого
образца должно осуществляться с программным изменением
давления жидкости р так, чтобы показатель
напряженного состояния (12.42) был в течение испытания неизменным
и равным некоторому заданному значению k. Давление
должно изменяться в соответствии с такой программой
р = 0,58 os [k - (1 + 3a/2R)/y3],
где os=Os{A) и a/R=f(A)—функции, определенные по
результатам испытания при атмосферном давлении и
которые, как показал впервые П. Бриджмен, не зависят от
гидростатического давления,
567

На рис. 12.5 светлыми точками показаны результаты
определения Ар в зависимости от k при \io=—1 по
описанной методике для ряда сплавов. Проведем анализ
данных на рис. 12.5. Диаграммой пластичности называют гра-
физическое изображение функциональной зависимости Лр =
= ЛР(&, (Яа).
Первый вывод, который вытекает из диаграмм
пластичности, следующий. Если мысленно, наложить диаграммы
пластичности одна на другую, то можно увидеть, что они
пересекаются. Следовательно, относительная пластичность,
определенная при каких-то показателях напряженного
состояния, не может характеризовать относительную
пластичность этого же металла в условиях с существенно
отличным напряженным состоянием, т. е. с иными
показателями k и \хо. В литературе встречаются суждения о
пластичности металлов или сплавов по показателю сужения
образца при разрыве я|)= [(Fo — F\)/F0] 100 %, где F0 и
Fx — площади поперечного сечения до и после испытания
(не следует путать характеристику ГОСТа г|э со степенью
использования запаса пластичности у¥). Нельзя
абсолютизировать эти данные. Они свидетельствуют о пластичности
металла лишь при /г«0,58 и \iG = — 1. Правда, значение
\j) позволяет сделать в некоторых случаях оценку Лр при
других значениях показателя напряженного состояния k.
Нетрудно показать, что
AJ^o.58 =-•= 1,73 In [100/(100 - г|>)].
Тогда при &<0,58Лр>ЛРи=о,58, а при &>0,58 AP<APU~ о,58
(при одинаковом \io=—1), Последние оценки вытекают из
следующего вывода.
Зависимость Лр=Лр(&) при fxa = const всегда
убывающая. Она показывает, что рост сжимающих напряжений
всегда повышает пластичность металла при прочих равных
условиях. Оказалось, что зависимость ЛР=ЛР(&) при
ра =const хорошо аппроксимируется экспонентой.
Известный вид математической модели может существенно
сократить число опытов при экспериментальном определении
диаграмм пластичности. Однозначной зависимости Лр от
\\0 при &=const нет. Одни металлы с ростом \х0
повышают пластичность; другие — нет; третьим свойственно
повышение Лр с ростом [io лишь в условиях существенных
сжимающих напряжений (рис. 12.5, сталь марки 12Х1МФ), а
при больших значениях k эта зависимость обратная. Одна-
568

ко следует подчеркнуть возможность сильного влияния на
пластичность Лр показателя |ia.
Анализ диаграмм пластичности (рис. 12.5) позволяет
сделать еще один вывод. По-видимому, существуют
критические значения показателей напряженного состояния для
каждого сплава: при одних k и |iaAp-^0 и происходит
переход из пластического состояния в хрупкое, а при других
Лр-^00 — металл переходит в состояние неограниченной
пластичности.
В настоящее время на кафедре ОМД Уральского
политехнического института и в Институте физики металлов
УНЦ АН СССР (г. Свердловск) разработаны описанные
выше методики и аппаратура высокого давления (до
1500 МПа), обеспечивающие подготовительную
экспериментальную работу для прогноза разрушения.
Упражнение
Решите самостоятельно такую же задачу, какая была рассмотрена
в упражнении предыдущего параграфа, но примите /т =ат5, где а —
заданный коэффициент.
12.4. Модель восстановления запаса пластичности
при отжиге холоднодеформированных изделий
Деформация металла сопровождается возникновением
микропор, ростом их числа и размеров, объединением пор,
образованием микротрещин. Трещины по мере развития
деформации и увеличения дефектности достигают
критического размера, они теряют устойчивость и дальше
развиваются взрывным образом, происходит макроразрушение.
На рис. 12.9, а изображена микроструктура
разрушенного образца из стали СтЗсп (образец был растянут до раз-
569

рушения при комнатной температуре). Вся поверхность
микроструктуры представляет собой ямки (Я) различных
размеров, окруженные гребнями (Г) сильно пластически
деформированного металла. Очевидно, что процесс
разрушения начинается с появления трещин или пор, которые
по мере слияния укрупняются и воспринимаются как ямки
на поверхности разрушения, разделенные гребнями
металла, разрушившегося в последний момент. На рис. 12.9,6
для сравнения показана микроструктура того же металла
не прошедшего пластическую деформацию, разрушенного
хрупко по специальной методике (при 77 °К, ниже предела
хладноломкости стали, с нанесением концентратора
напряжений). На микроструктуре хорошо видны большие
плоские фасетки скола (ФС) с характерным ручьистым
узором веерообразной формы. Ямок, свидетельниц
микроразрушения в процессе пластической деформации, на
фотографии нет.
Возникновение и развитие несплошностей в процессе
пластической деформации проявляется в изменении
плотности обрабатываемого матезиала. На рис. 12.10 показано
0,6 V
темными точками изменение плотности стали марки СтЗсП
в зависимости от степени использования запаса
пластичности у¥. По-видимому, следует в физических уравнениях,
связывающих напряженное и деформированное состояние,
учитывать разрыхление деформируемого материала по
мере накопления Ч1*, а не считать материал несжимаемым-
Неоднородное поле распределения 4я по объему тела будет
вызывать в нем упругие напряжения подобные термическим
напряжениям. Эксперименты показывают, что 4я— степень
570

использования запаса пластичности — дает характеристику
степени разрыхления/ материала при пластической
деформации. /
Известно, что микроскопические нарушения
сплошности, характеристикой которых является 4я, существенно
влияют на эксплуатационные свойства изделий.
Микропоры и микротрещины уменьшают долговечность элементов
конструкций и механизмов. Они снижают величину работы
зарождения и распространения трещины и повышают
температуру хладноломкости, ухудшают антикоррозионную
стойкость в агрессивных средах.
Установлено, что микроскопические нарушения
сплошности могут спонтанно (самопроизвольно) развиваться
после прекращения пластической деформации. Это
происходит, когда материал получил при обработке высокое
значение W. В этом случае микротрещины и микропоры могут
развиваться после прекращения пластической деформации,
если ву металле имеют место значительные остаточные
напряжения или рабочие напряжения при эксплуатации
изделия, не выводящие макроскопические деформации за
пределы упругости.
Холодную деформацию листа, труб, проволоки и т. п.
часто осуществляют в несколько этапов, и это
сопровождается промежуточными и окончательными отжигами. При
термической обработке отжигом идут процессы
разупрочнения металла и восстановления его пластических свойств.
Следует отметить, что природа процессов разупрочнения и
восстановления пластичности разная. В основе
восстановления пластичности лежат диффузионные процессы
переноса вещества в поры и микротрещины и их диффузии к
поверхностям. Для расчета технологических процессов
изготовления холоднодеформированных изделий с
промежуточными и окончательным отжигами необходимо в рамках
описанной теории разрушения дать математическое
описание того, как происходит восстановление запаса
пластичности при отжиге. Для решения этой задачи может быть
использована следующая методика.
Эксперимент осуществляют с металлом, пластичность
которого Ap=Ap(ky \i0) достаточно изучена. Образцы
опытной партии подвергают пластической деформации на
различную степень использования запаса пластичности W\
(например, растяжением *на разную степень деформации
сдвига Ль но не до разрыва; с помощью диаграммы
пластичности для каждого из образцов определяют 4/i=Ai/Ap)„
Затем все образцы подвергают отжигу по избранным тем-
571

пературе 6 и времени выдержки t. При отжиге произойдет
восстановление пластичности образцов на величину —ДЧЛ
Все образцы после отжига вновь подвергают пластической
деформации, но уже до разрушения. При этом фиксируют
Лг и вычисляют ЧГ2=Л2/ЛР. Вторая пластическая деформа-
ция играет вспомогательную роль для определения ДЧ*.
По-видимому, поскольку образцы вторым'
деформированием1 доведены до разрушения, то для них итоговое значение
\Y = W1 — Д¥ + Т2 = 1,
а это позволяет найти
AW =^W1 + W2—l. (12.45)
На рис. 12.11 для примера приведены результаты
определения восстановления запаса пластичности ДЧ* при
отжиге некоторых сталей и титанового сплава. Режимы отжига
для стали 0 = 550—750°С и ^ = 5—300 мин, а для
титанового сплава 9 = 680 °С, ^ = 60 мин. Оказалось, что
восстановление пластичности в сильной степени зависит от Ч^.
Диаграмма на рис. 12.11 характеризует стадии накопления
поврежденности при деформации и возможности ее
уменьшения при последующей термической обработке.
Термическая обработка после пластической деформации с
величиной 4я ^Ч*** полностью устраняет накопленную за процесс
деформации поврежденность микродефектами, так как
AY — ^Fi. Условие lF>4/'* соответствует образованию в
металле энергетически устойчивых микропор, не
залечиваемых полностью при отжиге по принятому режиму (ДЧГ<
^Ч^). После деформации с Ч^Ч**** возможность
устранения поврежденности микродефектами при отжиге
уменьшается (ДЧ** падает с ростом ЧМ, Подтверждением тому,
что при термообработке происходит полное восстановление
сплошности, если Ч;^ЧГ*, и неполное, если Ч;>ЧГ*, служат
данные на рис. 12.10. Светлыми точками показана
плотность р после отжига в зависимости от Чг.
Наличие микродефектов сплошности металла в
некоторых изделиях не всегда приводит к снижению
эксплуатационных характеристик. Поэтому при проектировании
технологии холодной обработки давлением следует применять
дифференцированный подход к назначению деформаций и
отжигов и учитывать условия эксплуатации изделий.
Система ограничений по величине 4я может быть такой: Чг<^
<1—для изделий, не несущих значительных нагрузок;
1 Деформация в этих опытах близка к монотонной: растяжение из
Лj и Л2 в одну сторону.
572

V
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
±0
О 20 40 60 80 100 120П0 W0ttmiH.
— для большинства выпускаемых изделий, у
которых существуют ограничения/по нижнему пределу
прочности, вязкости и долговечности; Ч^Ч*"* — для изделий,
работающих в особенно неблагоприятных условиях.
Последнее условие можно охарактеризовать как условие
получения продукции без микродефектов сплошности
деформационного происхождения.
Следовательно, для
создания рациональной
технологии холодной
деформации необходимо знать
Ч*1* и 4я**. Описанная
выше методика определения
этих критических
значений для \Р предполагает
использование
стандартных испытательных
машин. Необязательно
предварительно строить всю
диаграмму пластичности для
изучаемого металла. Поскольку Ai и Л2 известны для
образцов, например, только при растяжении, то и Лр для
подсчета 4fi=Ai/Ap и Чг2=Л2/Лр можно определить лишь в
опытах на разрыв при атмосферном давлении.
Другой задачей, которую приходится решать при
проектировании технологии холодной деформации с отжигами,
является выбор режима термообработки из условия
наиболее полного восстановления запаса пластичности. Для
этого следует рассмотреть изменения *F во времени при
некоторой температуре термообработки 9, если при / = 0 \Р =
=xFi. На рис. 12.12 показана такая временная зависимость
для стали марки 20 и температуры отжига 600°С. Самая
нижняя кривая при 4ri=0 означает, что отжиг заготовки
для деформации, например, горячекатаных труб, может
привести к повышению ее пластичности. Если Ч'^О^^Ч'*,
то пластичность в течение 2 ч (при температуре отжига —
600 °С) восстановится полностью. Если же 4я i >^* (0,6;
0,7), то пластичность в рассмотренном интервале не
восстанавливается. Кривые 4f=4f(0 имеют три характерных
участка: АВ— экспоненциального быстрого
восстановления пластичности; ВС— значительного замедления
процесса восстановления пластичности и даже его остановки;
СД — дальнейшего восстановления. Рассмотрение
подобных данных при других температурах отжига позволяет
Избрать рациональное время отжига t и его температуру 0*
573

/
Упражнение. Определить степень использования запаса пла,
стичности при волочении проволоки, если известны г0, п, a, V\ (рнс
12.13).
Решение. Будем считать, что напряженное состояние при воло,
чении проволоки известно, оно определено инженерным методом (см.
упражнение в п. 11.1). Определим приближенно деформированное
состояние, приняв гипотезу плоских сечений.
Для волоки с прямой образующей радиус прутка в произвольном
сечении с абсциссой z
r(z) = r0—(l-z)tga.
Тогда из условия постоянства расхода можно принять
»* = - Vo/(ro - (/ - *) tg а 12> (12.46)
т.е. продольная скорость металла в некотором сечении принимается
постоянной. Формула (12.46) эквивалентна принятию гипотезы плоских
сечений. Скорость удлинения
$zz = dvz/dz = 2v0rltga/[r0-(l-z) tga]3. (12.47)
Радиальную составляющую скорости определим из условия
несжимаемости:
Ьрр "Т Ьфф "Т ёг2 — ^>
&р У^Р + ур /Р + 1гг = 0. (12.48)
Интегрируя совместно уравнения (12.48) и (12.47) и учитывая, что
Up =0 при р=0, получим1
vp = - VoP tga/[rQ- (/ ~г) tg a]3. (12.49)
Убедимся, что выражения (12.46) и (12.49) удовлетворяют граничному
условию на поверхности волоки
yp/^=tga. (12.50)
Действительно, если на поверхности волоки р=г=г0—(/—z) tga, то
получим уравнение (12.50). Проверим выражение (12.46) на
непрерывность нормальной составляющей на границе очага деформации
(при z=/ и z=0). Действительно, условия непрерывности удовлетвори
ны: при г=/ Vz=—v0y а при г=0 v2=— vor\lr\ = —vi.
1 Решением дифференциального уравнения типа y/+p(x)y=g(x)
будет функция y~e-$pdx(c+ §ge§pdxdx).
574

Подсчитаем остальные компоненты тензора скорости деформации.
Из уравнений (12.46) и (12.49) следует, что
Ерр = Бфф = - Vo * *IVQ -(/-») tg «]3;j
Ipz = 3V?P WW^o - W - 2) tg а]4- '
Тогда интенсивность скоростей деформации сдвига
а2
Н = 2 (/ §zz "т" Ьгг^рр "Г Ърр ~т ёр
после соответствующих подстановок будет
Н = {v0r'20tga/[r0 - (/ - г) tg а]3} ]Л2+9 tg2ap2/[rQ - (/-z)tg а]2.
(12.52)
Соотношений (12.46) — (12.52) вполне достаточно, чтобы
утверждать, что найдено некоторое деформированное состояние.
Поле скоростей перемещения частиц имеет разрыв в касательной
составляющей в плоскостях входа z=l и выхода 2=0 металла из очага
деформации. Определим |Д»/|0. Судя по тому, что слева от сечения
входа в очаг деформации v р =0, а справа v р определяется по фор*
муле (12.49) при г=/, получим
\Avt\o = voigaP/ro- (12'53)
Аналогичным образом в сечении выхода из очага деформации скачок
скорости
|Autli = VgaroP/^ (12.54)
Подсчитаем степень деформации сдвига, которую получает металл
на поверхности разрыва (например, в плоскости входа в очаг
деформации при волочении). Пусть частица, двигаясь по траектории,
пересекает неподвижную поверхность разрыва скоростей Si. Как известно,
поверхность разрыва идеализированно представляет собой слой сильных
сдвиговых деформаций. Интенсивность скоростей деформации сдвига в
этом слое определяется компонентом %пи при этом Н=|Д&/|/Дл. Тогда
при пересечении поверхности разрыва приращение степени деформации
сдвига
t
ДЛ =- J Edx = [(v+ -vf)lbn\ Ыюп = \&vt\/vnt (12.55)
где H по толщине слоя интенсивных сдвиговых деформаций Дп
постоянна, а An/Vn — время пребывания частицы в пределах слоя.
В рассматриваемом случае волочения степень деформации сдвига
в некоторой точке В в сечении входа
AAi^tgap/ro. (12.56)
Аналогично можно показать, 'что в точке Д, лежащей в сечении
выхода из очага деформации
AA2=tgap//-i. (12.57)
575

Определим уравнение траектории движения части£ Заметим, что
отношение в некоторой точке
flp Л>2 = Р tg a/[rQ - (/.— г) tg а].
В то же время t/p = dp/dt, vz=dz/dt, откуда
vp /vz = dp/dz = p tg a/frQ - (/ — 2) tgaj.
Интегрируя последнее уравнение и используя граничное условие p=r 0
при z=/, получим искомое уравнение. Оказалось, что траекториями
частиц будут прямые линии:
Р = ['0 - (/ - г) tg a] r'0/rQa
Заметим, что последнее уравнение можно написать в виде
r'0/r0 = p/[r0 — (l — z)tga],
т.е. вдоль траектории отношение р к г0—(/—z) tga = r останется
постоянным.
Итак, вдоль траектории согласно формуле (12.52)
Н= {V^tga/[/-0-(/-2)tga]3} V 12 + 9tg2a(Vr0)2. (12.58)
Оценим степени использования запаса пластичности при волочении.
Действительно, напряжение о2г в некотором сечении с абсциссой z
*zz = os(\+x ctga) In (F0/F) + a0. (12.59)
Из условия пластичности о"22=о~зз = о"п—o"s (при Gn = Ozz) и
соотношения (12.59) можно подсчитать показатель напряженного состояния.
Действительно,
а22 = а33 = as (1 + т ctg a) In (F0/F) + а0 — оу,
k = (ац + а22+ ог33)/Зт5 - 1,73 (1 + xctga) In (F0/F) +
+ а0/т8—1,15. (12.60)
В частном случае, когда о0=0, а напряжение волочения близко к
предельному Gzzlz=v~(ys, показатель напряженного состояния во входном
сечении (F=F0) k{=—1,15, а в выходном &2=0,58. Второй показатель
напряженного состояния при волочении \х0 =—1.
Можно убедиться (сделайте самостоятельно,
пронаблюдав скорость сдвига £pz)> что на траектории движения
(штриховая линия на рис. 12.13) материальная частица один раз
меняет направление деформации — в точке Д в сечении выхода.
Тогда
W = (Ч + I [НМр(« vz] dzj+ Y.J-,
где 4rl=AA{/Ap(k{)\ XF2 = AA2/Ap(^2); ai = a(&cP); a2 = a(k2)\ А?СР
—средний показатель напряженного состояния для очага деформации Л'ср —
= {ki + k2)/2\ k\ и k2 — показатели напряженного состояния в сечении
входа и выхода из очага деформации.
576

12.5. Пластичность металла при горячей деформации
Выше описан аппарат прогнозирования разрушения
металлов при их пластической обработке в холодном
состоянии с применением термического воздействия между
циклами деформирования. Расчетные модели вполне
адекватны наблюдаемым на практике явлениям, точность прогноза
разрушения примерно соответствует точности расчета
формоизменения и энергосиловых параметров, которую
обеспечивает современная теория ОМД. Расчет,
деформируемости металлов при температурах выше температуры
рекристаллизации, когда процессы возникновения субмик-
ро- и микродефектов от пластического течения
сопровождаются их залечиванием диффузионным путем и
перекристаллизацией, несколько сложней. При этом в условии
деформируемости следует учесть торможение разрыхления
с помощью функции E(t)y которая названа функцией
наследственности. Тогда формула (12.11) в условии (12.12)
примет вид
¥,= ( (£Н/ЛР)Л. (12.61)
Функция Е изменяется в пределах 0<£(/)^1; для
холодной деформации E{t) = \y чем выше температура, тем
меньше ее значение. Очень мало опытных данных, которые
позволили бы сконструировать функцию Е для формулы
(12.61).
Опыты по восстановлению запаса пластичности при
термообработке, • описанные в п. 12.4, наталкивают на
мысль более простого описания деформируемости в
горячем состоянии. Как правило, время деформации
материальной частицы при прокатке, прессовании, ковке и т. п. мало,
исчисляется долями секунды и редко секундами.
Восстановление запаса пластичности за такие малые промежутки
времени происходит незначительно. Оно развивается, в
основном, во время пауз между пропусками, нажатиями
пресса и т. п. Такой характер восстановления запаса
пластичности сохраняется даже в быстроходных машинах,
например при непрерывной прокатке. Действительно, время
Деформации и паузы* примерно соотносятся так же, как
Длина очага деформации и расстояние между клетями.
Степень использования запаса пластичности во время
Деформации при горячей обработке за проход / можно
37-382
577

А-А
рассчитать по формулам (12.11) и (12.12). Восстановление
же пластичности между пропусками происходит в
соответствии с моделью, описанной выше. Следовательно, условие
горячей деформируемости без разрушения
N
т = 2 Ejvj< l- о2-62)
Например, при горячей прокатке на блюминге удалось
подобрать функцию наследственности в условии (12.62) в
виде
Ej = E = ехр (— 0,08 0, (12.63)
где t — время, отсчитываемое от первого пропуска
прокатки.
Функция Е зависит от температуры, поэтому от паузы
к паузе она может несколько отличаться соответственно
температуре раската.
Определенные трудности
возникают при
экспериментальном определении
диаграмм пластичности Лр в за-
висимос!ти от напряженного
состояния, скорости
деформации и температуры
горячей обработки. Для горячих
испытаний на пластичность
применимы растяжение
образцов с выточкой — шейкой
и кручение до разрушения.
Формулы (12.30), (12.32),
,(12.33), (12.42), (12.44)
применимы и для горячих
испытаний, но в этом случае
р=0. Неполную
компенсацию сокращений диапазона
изменения & = о/Т,
связанную с невозможностью пока
горячих испытаний в условиях всестороннего сжатия
жидкостью высокого давления, можно получить в опытах на
осадку цилиндрических образцов и прокатку на клин
образцов, имеющих различное поперечное сечение А— А (рис.
12.14).
Определение средних за испытание значений k, \io в
месте разрушения и Ар при осадке и прокатке на клин можно
ш
^Щ
j
кШ
' \ \///
ш
щ
щ
578

осуществить методами физического моделирования. Для
этого предварительно осуществляют модельные эксперименты
на свинцовосурьмянистых сплавах. На боковую поверхность
модельных образцов наносят координатную сетку (рис.
12.15). В процессе осадки измеряют размеры ячейки и
определяют на очередной ступени деформированное состояние
в месте ожидаемого разрушения:
Де<<> = In (b.+l/b- Де$ = In (ai+1/aj; J
ДЛШ = 2 К(Дв1<{))2 + (Де1?)(Дв^) + (Лвй))». (12'64)
'/////У////,
7 777777777777',
На этой же ступени легко определить в том же месте
напряженное состояние. На свободной поверхности 022 = 0,
поэтому из физических уравнений связи напряженного и
деформированного состояний
0il — a = (2Т/ДЛ) Аби; а22 — а = (2Т/АЛ) Де22;
<*зз-<* = (2Т/ДЛ)Де33,
получаем
(а/Т)(0 = 2 (Де<<> +.Де$)/ДЛ<'>; (12.65)
^) = 2 (Де<<> - Дв$)/(Дв|{> - Де<<>) - 1, (12.66)
так как
К? - «WH? - <$>) = (Дей» - Дв$)/(Де{{> - Де$);
де(0 = _Де(О_Де(0.
Накапливаемая ячейкой степень деформации сдвига
п
Л - 2 ДЛ(0- (12-67)
Средние за процесс осЪдки значения а/Т и |i<x, а также
накопленную степень деформации сдвига Л ставят в
соответствие от обжатия (Л0 — h\)/hQ, по данным модельного
эксперимента строят графики. В процессе испытания на пластич-
37*
579

ность осадкой натурного материала фиксируют обжатие,
при котором возникла трещина, и по его значению из гра^
фиков модельного эксперимента определяют Лр и
соответствующие ему средние за испытание значения а/Т и jia.
Аналогично определяют пластичность и соответствующие ей
данные о напряженном состоянии на свободной поверхности
при прокатке на клин.
Металлы, подвергаемые горячей обработке давлением,
нередко отличаются переменными по телу структурой и
химическим составом вследствие ликвации элементов.
Пластичность может существенно зависеть от температуры
нагрева. Чтобы эксперименты по определению пластичности
сделать чище, для испытаний применяют сложные
образцы. Прокатные валки обеспечивают растяжение образца,
который последовательно разрушается по выточкам,
например, слева направо, так как в этом направлении смягчается
схема напряженного состояния из-за все более пологой
выточки.1 После разрушения образца по последней шейке его
прокатывают до конца. Такой сложный образец дает
несколько точек на диаграмме пластичности, полученных
в одинаковых условиях.
Зависимость пластичности Ар в горячем состоянии от
показателя напряженного состояния к качественно такая
же, как и в холодном состоянии. Инициирование
сжимающих напряжений всегда приводит к повышению
пластичности деформируемого металла, а растягивающих — к ее
падению при прочих равных условиях. Зависимость Ар от
\io практически не изучена. Можно ожидать в некоторых
случаях существенной зависимости Лр от \iG при k=const.
Зависимость пластичности от скорости деформации
устанавливают изменением скорости испытания. Средняя
скорость деформации сдвига
Н = ЛРШ, (12.68)
где At— время деформации образца до разрушения.
Повышение скорости деформации снижает пластичность
металла, поскольку при больших скоростях деформации не
успевают происходить процессы диффузионного залечивания
микродефектов. Можно представить, что существует такая
малая, скорость деформации, при которой возникновение
дефектов будет сразу компенсироваться их залечиванием,
конечно, с некоторым опозданием, так как только вознпк-
1 Принято говорить о напряженном состоянии, которому
свойственны большие сжимающие напряжения, как о мягком.
580

новение несплошности и градиента концентрации вещества
может вызвать диффузию. Ниже еще раз вернемся к этому
вопросу, когда будем рассматривать явление
сверхпластичности.
Существенную особенность имеет зависимость
пластичности от температуры испытания 6. Оказывается, для
многих сплавов пластичность
Ар
2,0\
7,5
10
не является функцией тем
пературы, эта зависимость
имеет черты функционала,
т. е. зависит от истории,
пути или режима достижения
температуры испытания 8.
Известно много факторов 05
существенного повышения э
пластичности
инструментальных сталей за счет
подбора режима нагрева металла. В частности, рис. 12.16
демонстрирует это явление при испытании на пластичность
стали следующего состава, Л'
300 Л00 WOO 7200' tfC
%
Сталь
А
Б
С St Мп Сг Ni Mo S Р
1,48 0,35 0,48 2,85 0,16 - 0,059 0,059
1,00 0,69 0,30 1,93 0,20 0,30 0,035 0,026
На рис 12.16 приведены значения пластичности
высокоуглеродистых хромистых сталей по результатам прокатки
на клин: 1 —прямой нагрев до температуры опыта; 2 —
перегрев и охлаждение в печи до температуры опыта;
3 —- перегрев и охлаждение на воздухе.
Сталь А перегревали до 1225°С, а сталь Б до 1250 °С.
Анализ микроструктуры стали показал, что причиной
повышения пластичности являются растворение и коагуляция
сетки карбидов, причем они происходят тем полней, чем
выше температура перегрева и продолжительность
выдержки при повышенной температуре. Быстрое изменение
{понижение) температуры до температуры испытания на
пластичность опережает их повторное выделение.
Зависимость пластичности от температуры во многом индивиду-
альна и зависит от сплава. Есть одна общая черта этой
зависимости: катастрофическое ее падение за 30—70 °С до
приближения к температуре плавления.
Наряду с данными о диаграмме пластичности для
расчета степени использования запаса пластичности
необходимы сведения о величине а в зависимости от а/Т. К сожа-
581

лению, в настоящее время известна методика определения
а в условиях только лишь k = 0, при знакопеременном
кручении. Особенность этой методики состоит в том, что
применяют образцы с короткой рабочей частью, выполнен,
ной в виде выточки. В этом случае максимальная
деформация локализуется в самом тонком месте, и имеется
хорошая связь степени деформации сдвига Л в месте
максимальной деформации с углом закручивания одной части
образца относительно другой, которую устанавливают
предварительно на модельном свинцовосурьмянистом
сплаве при нормальной температуре. Режим нагрева образцов
должен соответствовать температурному режиму процесса,
в котором расчетным путем осуществляется анализ
деформируемости.
При горячей деформации ряда сплавов в некоторых
условиях проявляется явление сверхпластичности, г. е.
способности металлов и сплавов равномерно удлиняться на
сотни и тысячи процентов (получать весьма большие
деформации) без разрушения. Этот термин был предложен
А. А. Бочваром (1946) для описания открытого им
интересного феномена — необычайно большого равномерного
удлинения при растяжении образцов из сплава Zn с 22 %
А1. Состояние сверхпластичности отличается малым
сопротивлением металлов пластической деформации.
Исследования показали, что явление сверхпластичности
свойственно многим сплавам. Проявление
сверхпластичности обусловлено исходной структурой, ее изменением в
процессе пластической деформации и температурно-ско-
ростными условиями течения. Установлено, что
сверхпластичность наблюдается у металлов, имеющих стабильное
сверхмелкое зерно, а также у металлов, в которых в
процессе пластической деформации происходят фазовые или
иные структурные изменения. Структурная
сверхпластичность наблюдается обычно при скоростях деформаций
10~4—10~! 1/с. При наличии ультрамелкой зернистой
структуры возможны различные механизмы деформации:
диффузионной ползучести, зернограничного проскальзывания,
дислокационного скольжения и возможен ряд
сопутствующих явлений, таких как миграция границ зерен и т. д.
Основными преимуществами явления
сверхпластичности являются существенное повышение ресурсов
пластичности обрабатываемых металлов и снижение силы
деформирования. Недостаток — низкие скорости деформации и,
следовательно, невысокая производительность
формоизменения.
582

Упражнение
Определить методом линий скольжения показатели напряженного
состояния, приращения степени деформации сдвига на линиях аЬ и cd
(рис. 12.17) и силу прессования Р при обратном выдавливании полосы
с коэффициентом вытяжки А,=3. Убедитесь, что каждая траектория
имеет два участка
знакопостоянной деформации. Ответ: во всем
объеме [ia =0; £ай=—1; kcd =
=—4,14; АЛа6 = 2/3; ДЛС<2=2; Р =
=2,97 (7s/%
где F — площадь контакта матри-»
цы и металла (cb).
Различают выдавливание или
прессование прямое (рис. 12.18, а)
и обратное (рис. 12.18,6). При
прямом прессовании силою Ри
приложеной к прессштемпелю,
слиток (или заготовка),
находящийся в контейнере, продавливается
через матрицу. Силе Рх
приходится преодолевать в том числе силу
трения Q слитка о стенки
контейнера. При обратном прессовании
матрица надвигается на
контейнер, в которое размещен слиток.
При обратном прессовании нет
перемещения слитка относительно
контейнера и нет сопротивления Q. В отношении силы, потребной для
прессования, обратное выдавливание практичнее.
у////У//////Ж
1. "* Я
щ
х *
fi,
I
V/=Jlfr
'//////////////fe
12.6. Примеры решения задач деформируемости
Прессование —способ обработки металлов давлением,
отличающийся очень мягкой схемой напряженного
состояния, способствующей хорошей деформируемости металла.
Гем не менее, горячее прессование нередко
сопровождается разрушением изделия по выходе из матрицы. Это
происходит по следующим причинам: 1) при большой
деформации температура повышается до значения, близкого к
температуре плавления, при которой пластичность резко
падает; 2) на выходе иЪ очага деформации напряженное
состояние не столь мягкое, как в очаге деформации,
особенно в его начале.
Опыты (физическое моделирование) показывают, что
583

деформированное состояние (степень деформации, траек-
тории перемещения частиц) мало зависит от реологических
свойств материала. В общей задаче прессования полосы
деформированное состояние позволяет определить разогрев
от работы пластической деформации. Очень небольшое
число задач плоского деформированного состояния может быть
решено методом линий скольжения в аналитическом
виде, как это было сделано в предыдущем упражнении. В
общих случаях поле линий скольжения состоит не только из
элементарных областей, таких как, например, в
предыдущей задаче. Для решения сложных задач необходимо
привлекать численные методы. Приходится решать во всей
области пластической деформации или отдельных ее частях
численно задачи Коши, Римана или смешанную краевую
задачу.
На рис. 12.19 показана сетка линий скольжения,
найденная численным методом в случае прямого прессования
панели через плоскую матрицу. Контейнер и матрица
шероховаты настолько, что напряжение трения имеет
предельное значение. Коэффициент вытяжки составляет 3,42-
584

В результате решения в узлах сетки найдены среднее
нормальное напряжение о и координаты этих узлов.
Задача определения степени деформации сдвига и
траектории перемещения частиц по приближенно найденному
полю линий скольжения является трудоемкой. Решение
может быть существенно упрощенно, как показал И. П. Рен-
не, если непрерывное поле скоростей заменить разрывным.
При соответствующем выборе характера разрывного поля
скоростей такая замена обеспечивает высокую степень
приближения к точному решению, полученному по полю линий
скольжения, а также хорошее соответствие
экспериментальным данным. По методу И. П. Ренне линии скольжения
приближенно представляют в виде ломаных. Образованные
ломаными линиями ячейки ограничивают части очага
деформации, в пределах которых материал движется, как жесткое
тело, без деформации. Деформации локализованы на
границах ячеек.' Здесь нормальная к границе составляющая
скорости непрерывна, а касательная изменяется скачком.
Такое разрывное поле при удачном выборе сетки линий
скольжения может удовлетворять всем кинематическим
ограничениям.
Каждой ячейке в физической плоскости {рис. 12.19, а),
разделенной линиями разрыва скорости, присвоен
порядковый номер. Цифрами 1—23 обозначены подвижные
жесткие ячейки цифрой 0 — неподвижная жесткая область
(мертвая зона). Границы соответствующих областей
(ячеек) обозначены так: например, граница областей 1 и 2
обозначена 1+2; 0 и 2—0+2.
Построим годограф разрывного поля скоростей и
докажем допустимость такого приближенного решения (рис.
12.19,6).
Отложим от полюса годографа отрезок 01, который
изображает скорость недеформированной области / (рис.
12.19, б). Координаты точки /: vx=v0f vy=0. Через точку
О годографа проведем линию, перпендикулярную к
направлению l+2(_Ll+2)y через точку 1 проведем линию,
параллельную границе между зонами 1 и 2(||1+2).
Образованный треугольник показывает своими сторонами
касательную и перпендикулярную к 1+2 составляющие
скорости v0. Скорость области 2 должна иметь одинаковую с
Ц) нормальную к 1 +2 "составляющую, в то же время она
Должна быть направлена вдоль границы 0+2, чтобы не
было разрыва нормальной к 0+2 составляющей, область О
Неподвижна). Для определения скорости области 2 доста-
585

точно провести из точки 0 линию параллельно границе
0+2 до пересечения с линией, параллельной 1+2. Полу-
ченная точка 2 даст на годографе скорость области 2.
Отрезок 1—2 на годографе дает скачок скорости в
касательном к 1+2 направлении; отрезок 0—2 — скачок на грани-
це 0+2:
Скорость области 6 легко определить, так как уже
известна скорость в области 2. Действительно, найдя
нормальные к 1+6 и к 2+6 компоненты, можно их принять за
два компонента скорости области 6 (это допустимо
вследствие непрерывности нормальной к линии разрыва
составляющей скорости). Итак, проектируем 0—2 на
перпендикуляр к 2+6, а О—1 проектируем на перпендикуляр к 1+6.
Геометрическая сумма этих проекций — скорость области
6. На годографе движение области 6 изображено точкой
6. Отрезок 2—6 дает скачок скоростей на границе 2+6', этот
отрезок параллелен границе. Отрезок 1—6 дает скачок
скоростей на границе 1+6, он параллелен границе 1+6.
Последнее обстоятельство следует использовать в
качестве алгоритма построения сетки годографа скоростей.
Например, из точки 0 следует провести линию параллельно
границе 0+2, а из точки 1 — параллельно линии 1+2, на
пересечении этих линий получим точку 2 годографа.
Аналогично, из точки 2 следует провести линию параллельно
2+6, а из 1 — параллельно 1+6, пересечение линий дает
точку 6 на годографе. Аналогично можно получить точку
10 годографа. Построение точки 14 осуществляется так: из
точки 10 проводят параллельно отрезку 10+14 линию до
пересечения с осью vx. Полученная точка, характеризует
скорость области 14. Эта область в силу симметрии
смещается только вдоль оси симметрии.
Подобно тому, как были построены точки годографа
для областей ряда 2, 6, 10, 14, можно построить точки для
следующего ряда областей 3, 7, 11, 15 и 18, а затем для
областей следующего ряда и т. д.
Годограф скоростей построен. Можно приступить к
построению траекторий. Траектория в области 1
параллельна направлению 0—1 годографа и проводится до встречи с
областью 2 на границе 1+2. В области 2 траектория
параллельна скорости в области 2, т. е. параллельна
направлению 0—2 на годографе. Проводим траекторию в области
2 до встречи с областью 6 на границе 2+6. В области 6
траектория параллельна направлению 0—6 и т. д.
Пластические деформации осуществляются по
принятой схеме течения только на границах областей. Прираще-
586

ние степени деформации на границе области определяют
как отношение скачка скорости на этой линии к
нормальной составляющей. Например, на границе 1-\-2 равно
отношению отрезка 1—2 годографа к проекции отрезка 0—/
на перпендикуляр к 1+2.
Итак, определены траектории движения частиц и
степень деформации сдвига, которую они накапливают. Тем
самым определены тепловые источники от работы
пластической деформации. Можно попытаться решить
дифференциальное уравнение теплопроводности. Затем, опираясь на
эти решения, можно найти закон изменения скорости
прессования, который бы обеспечивал необходимый отвод
тепла теплопроводностью, максимальную производительность
и не позволял бы металлу перегреваться выше
установленных температур.
В п. 11.4 был сделан анализ сил, действующих на валок
при прокатке. Он был справедлив для прокатки тонких
тел. Указывалось, что существенное снижение силы
деформации можно получить, применяя валки меньшего
диаметра. Рассмотрим случай прокатки толстых полос (слябов,
блюмов и т. п.) и покажем, что эта рекомендация для них
может оказаться вредной.
М. Я. Бровман предложил приближенное решение
методом линий скольжения (рис. 12.20). Заменим дугу захвата
АВ хордой и примем, что в треугольнике ABC поле линий
скольжения состоит из ортогональных прямых линий, а
среднее нормальное напряжение в нем a = a0 = const. Угол
Наклона ф0 прямой АС к хорде неизвестен, назначим его
произвольно. Пусть в областях ACD и ВСЕ имеет место
Круговое центрированное поле линий скольжения. Углы а\
и а2, характеризующие величины секторов, неизвестны.
В области CDOE поле линий скольжения можно построить
12 3 4 l/h
587

численно: имеем вторую краевую задачу (задачу Римана).
Построение продолжается до получения точки О, в
которой линии скольжения пересекут ось симметрии. Условия,
что граничные линии скольжения ADO и ВЕО должны
сойтись на оси полосы в точке О и под углом я/4 к
направлению прокатки, определяют углы ai и а2. Построенное таким
образом поле линий скольжения содержит неизвестный
параметр а0- Его можно определить из условия равновесия
переднего конца полосы. Сумма проекций на ось х всех
сил, действующих на передний конец, равна нулю. Второе
уравнение, т. е. сумма проекций на ось х всех сил,
действующих на задний конец, удовлетворено не будет. Его
удовлетворяют, подбирая лучшим образом угол фо. Величиной
Фо задаются несколько раз, пока условие равновесия
заднего конца не будет удовлетворено. Следует заметить, что
приведенное решение является только статически
возможным, граничные условия в скоростях остаются
удовлетворенными лишь приближенно.
На рис. 12.21 показаны полученные из решения
значения нормального напряжения fv при прокатке- толстых или
высоких полос [//Л<1, Л= (/io+/ii)/2]. Превышение fv
значения 2ts объясняется тем, что границы очага деформации с
внешними зонами ADO и ВЕО очень развиты, по ним
действуют предельные касательные напряжения ts. При l/h^.
^0,12 пластическая деформация не проникает на всю
глубину, прокатка происходит без удлинения. По мере
роста l/h снижается влияние внешних зон на /v. При l/tizzl
нормальное напряжение /v принимает минимальное
значение /v~2ts. Дальнейший рост l/h проявляет все большее
влияние на f v , как это показано в п. 11.4.
При прокатке, особенно малопластичных марок стали,
в центральной зоне высоких полос возможно разрушение
металла. Пользуясь рассмотренным решением, сделаем
оценку возможности прокатки без разрушения.
На рис. 12.22 приведены результаты подсчета
показателя напряженного состояния (a/Т) о в центре полосы
(кривая /) и в приконтактной области в зависимости от
параметра а (кривая 2 — а=0; кривая 3—0,35; кривая
4 — 0,525 рад). Следует заметить, что зависимость (a/T)/i
от а в диапазоне его изменения от 0 до 0,525 рад (0—30°)
незначительна. Углу а=0 соответствует ковка высокой
полосы узкими бойками. Во всех случаях получены очень
малые значения (а/Т)*, что свидетельствует о чрезвычайно
мягкой схеме напряженного состояния в приконтактной
области (в условиях плоского деформированного состояния
588

*0,5\~
0,2 0& 0,6 0,8 1,0 t/h
всегда |хо=0). Это не только способствует получению
больших деформаций без разрушения, но и в некоторой степени
благоприятствует залечиванию дефектов слитка1.
Кривая 1 на рис. 12.22 дает зависимость показателя
напряженного состояния в центре полосы (а/Т)0 от пара-
метра l/h. Напряженное
состояние в центре полосы и fc/fy
в приконтактной зоне
различно. Максимальное
различие имеет место при l/h ж
«0,15—0,20. Опытные
данные о пластичности
металлов показывают, что при
изменении а/Т от —4 до +1
пластичность может
уменьшится даже на порядок.
При определении
возможного места разрушения в
случае прокатки полосы с l/h = 0,15—0,5 превалирующее
значение имеет показатель напряженного состояния, и
наиболее вероятным местом появления дефектов в виде
несплошности является середина полосы.
Уменьшение диаметра валков или уменьшение обжатия
(либо изменение того и другого) при прочих равных
условиях уменьшает параметр l/h и, как следует из рис. 12.22,
при ///i=0,15—0,50 в центре полосы начинают
превалировать растягивающие напряжения а/Т>0. Это чревато
высокой опасностью разрушения металла, что подтверждает
практика. Нередко, особенно при прокатке непластичных
металлов в валках малого диаметра, внутри высоких
полос образуются несплошности — рванины, раковины,
рыхлости. Верный путь предупреждения образования этих
дефектов — повышение обжатий и увеличение диаметра
валков.
При прокатке имеет место неблагоприятная схема
напряженного состояния для деформирования без
разрушения на боковой поверхности полосы. Рассмотрим
напряженное и деформированное состояние на кромке широкого
листа при его прокатке. Деформированное состояние
частично известно. Действительно, уширения нет, т. е. 1УУ = 0, а
£хх=— g2Z. Из физических уравнений
oyv-a = 2Т(Н)^/Н, (12.69)
* Вывод справедлив только для однородного распределения
температуры по слитку.
589

для кромки полосы, по поверхности которой напряжения
оУу = 0у получаем, что а/Т = 0. Если известна пластичность
металла ЛРо при а/Т = 0, то можно подсчитать допустимое
обжатие листа, не приводящее к появлению трещин. Дей~
ствительно степень деформации сдвига при прокатке
A>2\n(h0/h1).
Правая часть неравенства получена для идеализированного
случая монотонной деформации. Чтобы не образовывалось
трещин на кромке полосы должно быть Л<Лро, из этого
следует ограничение на обжатие
fto/Ai < еАр<>/2. (12.70)
Выше приведены данные о пластичности ряда металлов
в холодном состоянии, которые позволяют подсчитать для
них по формуле (12.70) допустимое обжатие при холодной
прокатке листа из условия появления трещин на кромках.
К сожалению, как правило, кромки листов после холодной
прокатки имеют трещины или мелкие рванины, которые
обрезают и сдают в металлолом.
Готовую продукцию в современных цехах горячей
прокатки производят в большинстве случаев в два передела.
Сначала слитки превращают в полупродукт, который
затем прокатывают в готовый профиль. Часто поверхность
полупродукта (блюмов, слябов) поражена дефектами.
Часть из них можно отнести к категории дефектов,
возникших в результате разрушения металла при прокатке на
обжимных станах. Поверхностные дефекты в отличие от
внутренних разрывов при последующей прокатке не
залечиваются, а постепенно развиваются и накапливаются,
приводя к повышению брака или снижению сорта готового
профиля.
Большой проблемой ^современного
металлургического производства, связанной
с деформируемостью металла, является
необходимость зачистки практически
всего проката после обжимных станов для
удаления дефектов.
При продольной прокатке раскат движется
поступательно, обжимаясь между валками, вращающимися в разные
стороны; При поперечной прокатке заготовка получает
вращательное движение и деформируется между валками,
вращающимися в одну сторону и имеющими параллельные
оси. Поперечную прокатку применяют, например, в
метизной промышленности для накатки резьбы у крепежных из-
590

делий, в машиностроении для накатки зубьев шестерен
и т. д. Винтовая прокатка содержит черты продольной и
поперечной прокатки. Каждая частица металла при
винтовой прокатке совершает винтовое движение. Винтовую
прокатку заготовки 1 осуществляют в прошивных станах
с косорасположенными валками 2, наклоненными к оси
прокатки под некоторым углом, который называют углом
подачи. Валки вращаются в одну сторону. Заготовка,
попавшая в пространство между валками, захватывается ими
и деформируется. На пути заготовки установлена оправка
<?, закрепленная на стержне 4. Заготовка нанизывается на
оправку и превращается в пустотелую гильзу (рис. 12.23).
Очаг деформации можно разделить на зону прошивки,
которая простирается от сечения входа в очаг деформации
до сечения встречи с носиком оправки, и зону раскатки
гильзы на оправке. В первой зоне иногда создаются
условия для разрушения металла и преждевременного
образования полости. Это, в свою очередь, приводит к тому, что
на внутренней поверхности гильзы получают плены,
являющиеся браковочным признаком. Преждевременное
вскрытие полости и образование плен особенно часто имеет
место при производстве труб из малопластичных сталей.
Одним из центральных вопросов теории винтовой
прокатки являются причины разрушения металла.
Рассмотрим причины образования плен при винтовой прокатке.
Следует заметить, что явление образования полости
сопровождает также поперечную прокатку и свободную ковку
круглых в сечении заготовок. Причины разрушения
металла во всех этих процессах общие и неизменно приводят
к забраковыванию изделий. При винтовой прокатке
круглой заготовки в конусе прошивки наблюдается весьма
незначительное удлинение, поэтому приближенно можно
считать, что металл в конусе прошивки находится в условиях,
близких к условиям плоского деформированного состояния.
591

Радиус валка значительно больше радиуса заготовки, и
контактную поверхность приближенно можно считать
плоской.
При поперечной ковке и прокатке, а также при
прошивке в стане винтовой прокатке, поле линий скольжения
может быть принято таким же, как при ковке полосы узкими
бойками (рис. 12.24). Показатель напряженного состояния
у\
\
21
V////A
F
{
V.
и
Т1
V /•
-^ _J
У\
\
21
у//Л///ш//л
/ R Д
А
т\ / х
к = о/Т наихудший в центре заготовки, причем он
достигает значения около +1. Он будет тем хуже, чем меньше
обжатие. Следует подчеркнуть, что напряженное состояние
на оси заготовки при винтовой прокатке весьма
неблагоприятное с точки зрения деформации без разрушения.
Рассмотрим деформированное состояние заготовки при
винтовой прокатке. Только совместное рассмотрение
напряженного и деформированного состояний может объяснить
причины образования плен в бесшовных трубах.
Пластические деформации распространяются до центра круглой
заготовки при обжатии более 1,5—2 %.
Весьма существенным из деформированного состояния
является то, что пластические деформации заготовки
сосредоточены в области, которая непосредственно
находится под воздействием валков (эта область на правой части
рис. 12.24 покрыта сеткой линий скольжения). При
вращении заготовки все частицы металла, кроме центральной,
попадают в эту область пластической деформации лишь
периодически. Центральные частицы металла все время
находятся в области интенсивного пластического
деформирования. В процессе вращения заготовки в конусе
прошивки значительно более интенсивно наращивается степень
деформации в центре заготовки, чем на периферии.
Таким образом, суммируя данные о напряженном и
деформированном состоянии при винтовой прокатке, можно
сформулировать причины разрушения металла в зоне
прошивки. Винтовой прокатке заготовки в конусе прошивки
592

свойственно неблагоприятное напряженное состояние
(а/Т достигает —|—1,15) и интенсивное накопление степени
деформации сдвига в осевой зоне заготовки, что может
привести к преждевременному разрушению металла в зоне
прошивки до встречи частицы с оправкой.
Для того, чтобы улучшить деформируемость при
винтовой прокатке рационально повысить обжатие (это может
существенно улучшить напряженное состояние в центре
заготовки) и увеличить угол подачи (это уменьшит число
циклов деформирования металла и степень деформации
сдвига перед встречей с оправкой). Это решение нашло
воплощение в практике трубного производства в последние
годы, повлекло одновременное повышение
производительности прошивных станов и качества труб. Оно было
удостоено Государственной премии СССР.
Контрольные вопросы
1. Что такое качество продукции и чем оно регламентируется?
2. Что такое пластичность? Как ее измерить?
3. Чем может характеризоваться скорость деформации?
4. Что такое степень деформации? Как ее подсчитать?
Единственная ли это характеристика показателя величины пластической
деформации?
5. Какую деформацию называют монотонной, близкой к
монотонной, существенно немонотонной?
6. Чем может характеризоваться напряженное состояние? Сколько
имеется независимых размерных и безразмерных показателей
напряженного состояния?
7. Что такое деформируемость?
8. Дайте определение степени использования запаса пластичности.
9. Приведите условия деформирования без разрушения для
процессов, близких к монотонным и существенно немонотонных.
10. Что такое диаграмма пластичности? Какие необходимо знать
пластические характеристики, чтобы сделать прогноз разрушения
металла?
11. В каких испытаниях можно получить зависимости ЛР = ЛР(£,
На) и a=a(k, |лст)?
12. Опишите зависимость ЛР=ЛР(&) при |ла =const.
13. Что можно сказать о влиянии [iG на Лр и а?
14. Зависит ли кинетика формоизменения образца при растяжении
от давления среды, в которой осуществляется испытание?
15. Почему нас не устраивает такая характеристика пластичности
как сужение образца при разрыве?
16. Чем сопровождается пластическая дефор*мация металла? Как
изменяется его плотность?
17. Что происходит при* отжиге после пластической деформации?
18. Есть ли отличие в процессах разупрочнения и восстановления
пластичности?
19. Какие можно установить пределы использования запаса
пластичности при деформации изделий различного назначения?
38—382
593

20. Как модельно можно представить себе горячую пластическую
обработку с точки зрения деформируемости металла?
21. Как влияют на пластичность металлов в горячем состоянии
температура, скорость деформации и напряженное состояние?
22. Что такое сверхпластичность?
23. Почему при горячем прессовании, несмотря на благоприятное
(в среднем) напряженное состояние имеет все же место проблема
деформируемости?
24. Почему при прокатке высоких (или толстых) полос образуются
внутренние разрывы?
25. Чем объяснить, что кромки холоднокатаного листа часто
поражены трещинами и надрывами?
26. Что надо сделать, чтобы снизить вероятность образования плен
при прошивке на станах винтовой прокатки? Не упадет ли при этом
производительность?
Глава 13
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ПРОЦЕССАМИ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ
ДАВЛЕНИЕМ
В предыдущих главах книг были рассмотрены способы
теоретического анализа технологических процессов ОМД.
Анализ сопровождался созданием математических моделей,
отражающих происходящие явления в их некоторых
определяющих чертах. Основное предназначение
математических моделей состоит в том, чтобы помочь специалисту
избрать такое воздействие (управление), которое
обеспечило бы получение более высокой производительности,
минимальных затрат, лучших качественных показателей
выпускаемой продукции и т. п., т. е. оптимизировало бы его.
Методике выбора наилучшего или оптимального решения
отвечает содержание настоящей главы.
Теория оптимального управления охватывает
широчайший круг задач из различных областей человеческой
деятельности. Несмотря на то, что ОМД — самостоятельный,
узкий раздел техники, ей также присуще многообразие
задач теории оптимального управления.
Здесь будут представлены только некоторые задачи,
решение которых можно получить методами, ставшими
классическими. Следует иметь в виду, что в учебнике дано
краткое и элементарное изложение методов оптимального
управления.
Применение методов теории управления к задачам
ОМД находится в стадии своего развития.
Поиск оптимума — это поиск условий, обеспечивающих
594

минимум или максимум какого-то показателя. Задача
решается легко, если показатель ф, который называют
целевой функцией, выражается математически зависящим от
нескольких переменных параметров хи Х2,...,хп, по которым
Ф дифференцируема и которыми инженер может
управлять, а область определения параметров не ограничена.
В этом случае пользуются, например, необходимым
условием экстремума для определения оптимального набора
параметров (#i, х\,...,Хп\ и решают систему конечных
уравнений1
д<р/дхг = 0; д<р/дх2 = 0;...; дц/дхп = 0. (13.1)
Подобный класс задач известен и не будет
рассматриваться. Хотя на практике при оптимизации технологии они
могут повстречаться.
Ситуация существенно усложняется, когда область
определения параметров управления Х\, #2,..., хп
ограничена. Кроме того, в задачах оптимального управления
интересуются максимумом или минимумом целевой функции
вне зависимости от того, гладкая (дифференцируема) она
или нет. Для определения х\9 х 2>,..., х°9 обеспечивающих
максимум или минимум ф, в этом случае не подходит
условие (13.1). В этом случае пользуются аппаратом, который
называют математическим программированием.
Несколько сложней решается задача поиска оптимума
функционала от функции управления. В этом случае
используют вариационное исчисление, а функции
оптимального управления находят решением системы
дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера). Естественно, что и
этот круг задач нас здесь интересовать не будет, хотя
такого рода задачи могут повстречаться на практике.
Классический аппарат вариационного исчисления неприменим,
если на варьируемые функции наложены ограничения в
виде неравенств или если варьируемые функции
разрывные.
Л. С. Понтрягину и его сотрудникам удалось расширить
возможности вариационного исчисления для решения
указанных неклассических задач. В 1956 г. Л. С. Понтрягин
в качестве гипотезы сформулировал так называемый
«принцип максимума» как необходимое условие оптимального
1 Когда система (13.1) содержит большое число уравнений, го
Поиск оптимума эффективней вести прямой минимизацией функции
Ф = Ф(*/), i=l, .- п.
38*
595

управления движением некоторых систем, описанных
дифференциальными уравнениями вида
dxjdt = ft (х19 *2,..„ хП9 ul9 и2,..., ur)9 i = 1,...я, (13.2)
где xi=Xi(t) — неизвестные величины, характеризующие
движение системы; ft — заданные функции указанных
аргументов; Ui = Ui(t)t..tiUr = ur(t) — неизвестные функции вре*
мени, подбор которых позволяет оптимизировать движение
по какому-либо критерию, называемые параметрами
управления, или управлением. Принцип максимума
получил значительное математическое обоснование,
подытоженное в монографии Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского,
Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко, за первое издание
которой авторы были удостоены Ленинской премии в 1962 г.
Принцип максимума применим, в частности, для поиска
оптимального управления движением твердых тел, деталей
машин, электромеханических агрегатов, обрабатываемого
металла и т. п. Известно, например, что движение твердого
тела описывается дифференциальными уравнениями
тх = Fx\ Jjpx = МХ9 j
mz = /у, Угф2 = M v J
где m — масса тела; Jx, Jy, h и MX) My, Mz — его моменты
сил относительно осей, параллельных соответствующим
координатным направлениям и проходящих через центр масс
тела; Fx,Fy, Fz — проекции равнодействующих на тело сил
на оси координат (две точки обозначают, как обычно,
вторую производную по времени), следовательно, л:,... и ф*,...—
соответствующие линейные и угловые ускорения.
Введением новых переменных Х\9 у\9 zXy фи, ф^, ф12 порядок
системы уравнений (13.3) понижается, и она может быть
представлена в виде
dxjdt = FJm\ dyjdt = Fy\m\ dzjdt = FJm\ \
dxldt = xx\ dyldt = yx; dzldt = zx;
dylx/dt = MJJX9 d(piy/dt = My/Jy; dyuldt= MJJ A
dqjdt = ф1зс; d^yldt = ф^; dyjdt = ф12. J
(13.4)
Система (13,4) эквивалентна системе (13.3), где х\ и
#,...— линейные скорости и декартовы координаты центра
масс тела; фи и ф*,...— угловые скорости и углы поворота
вокруг осей, параллельных координатным и проходящих
596

через центр масс. Часть сил и моментов в системе (13.4)
могут выступать как управления. Система уравнений (13.3)
или (13.4) вместе с начальными условиями дают
математическую модель движения твердого тела и является
некоторым частным случаем общей системы (13.2). В решении
задач оптимального управления серьезным шагом вперед
явился метод динамического программирования,
восходящий к работам Р. Беллмана.
К настоящему времени сформировался новый раздел
математики — теория управления и оптимизации, который
имеет важное практическое приложение. Общепризнано,
что советские математики и механики, специалисты по
теории управления и оптимизации, занимают ведущее место в
мире. Среди советских математиков и механиков можно
отметить свердловскую школу Н. Н. Красовского. За цикл
работ по теории управления движением Н. Н. Красовский,
а также его ученики и сотрудники А. Б. Куржанский,
Ю. С. Осипов, А. И. Субботин были удостоены в 1976 г.
Ленинской премии. Н. Н. Красовский предложил правило
минимакса, как необходимое и достаточное условие поиска
оптимального управления.
13.1. Элементы математического программирования
Вектор х задают матрицей-столбцом его составляющих — координат
Xi (i—\ ... п)\ если ее транспонировать, то она превратиться в
матрицу-строку х=(хи х2,..., Хп)'* Совокупность всех наборов х= (х{, х2}...,
хпу из п вещественных чисел Х\, хъ ..., хп называют евклидовым
пространством (Еп) размерности п, если выполняются следующие условия:
пусть х^Еп, у^Еп (векторы х и у принадлежат Еп) и а — вещественное
число; тогда
1) #+//=(*i + #i, х2-\-у2, ..., Хп + Уп)' (сложение);
2) ах=(ахи ax2f ..., ихп)' (умножение на число);
п
3) <ху у> — х'у^=ЪхгУ1 (скалярное произведение),
i=i
Наборы х=(хи х2, ..., Хп)' называют точками (векторами) евклидо-
вого пространства. Евклидовой нормой (длиной вектора) в евклидовом
пространстве называют величину (число)
||*|| = <*, х>г'2, (13.5)
Для которой справедливы следующие соотношения:
11*11 > О
(причем IUii = 0 тогда и только тогда, когда #» = (), i=\ .../г);
||а*|| = |а|-11*Ц;
11* + у||<11*Н + 1Ы|.
Введение евклидовой нормы порождает в Еп сходимость. Последова-
597

тельность {х(т)} точек из Еп сходится к точке х при т-+оо, если
lim |Mm) — *||=°-
m->oo
Точку х называют предельной точкой последовательности1.
Множество
Ue {х) = {у:\\у-х\\<е}
называют г-окрестностью (эпсилон окрестностью) точки х. Содержимое
фигурной скобки означает, что множество точек у, удовлетворяет
условию \\у—х\\<е. Множество Х(~Е п называют замкнутым, если оно
содержит все свои предельные точки. Точку х^Х называют внутренней
точкой множества X, если существует такая ее е-окрестность, все точки
которой принадлежат множеству X. Точку х&Х называют граничной
точкой множества Ху если в любой ее е-окрестности содержатся как
точки, принадлежащие множеству Ху так и точки, не принадлежащие
этому множеству. Множество, состоящее из всех граничных точек
множества X, называют границей множества X.
Множество X п-мерного евклидова пространства (Х^Еп)
называют выпуклым, если вместе с любыми двумя точками х^ и х^> ему при-
надлежит и соединяющий их отрезок [х^\ хЩ. Другими словами, для
выпуклого множества, если х^^Х и х^&Х, то и (/=а^^+(1—а)*(2>е
^Х для всех 0<а<1.
Пример. Докажем, что множество Х={х : Ах>-а, Вх=Ь]
выпукло. Содержимое фигурной скобки следует читать так: множество точек
*, удовлетворяющих линейным неравенствам Ах>>а и линейным
уравнениям Вх=Ь, где А и В— заданные прямоугольные матрицы; а и Ь —
заданные матрицы столбцы. Решение. Возьмем две произвольные
точки заданного по условию множества *(1>еХ и *<2>еХ Это означает,
что
Ax{l)>a; Bx{l) = b;
Ах{2) > a; Bxi2) = Ь.
Помножим первую строку на величину 0<а<1, а вторую на (1—а).
После этого результаты сложим по столбцам, тогда
А 1ах(1) + (1 — а) хЩ > а\ В [ах(1) + (1 — а) хЩ = Ъ.
Если обозначить квадратную скобку у, то последние условия означают,
что точка у принадлежит заданному условиями примера множеству.
В то же время, #=ос*(1) + (1—а)*(2) при 0<а<1—это отрезок,
соединяющий произвольные точки *(1> и х{2) множества X. Итак, множество
векторов, удовлетворяющих линейным равенствам и неравенствам —
выпуклое.
Проекцией точки v^En на множество Х^Еп называют такую
точку р^Х, для которой
Ир —и ||= inf || дс — с/1| = р;
х £ X
при этом р — расстояние от точки v до множества X (рис. 13.1).
Символ inf означает точную нижнюю грань множества чисел2. Смысл этого
символа можно показать на примере.
1 Как правило, надстрочный индекс будет отмечать различные
векторы, а подстрочный — составляющие вектора.
2 inf — inimum; sup — supremurn.
598

Пример. Найти минимум множества точек
Х= {xt\i = 1,2; х±-х2> 1', *i>0; х2>0}
в смысле нижней грани (рис. 13.2). Очевидно, что inf #2=0, множество
X бесконечно близко может подойти к #2 = 0, но во множестве X нет
точки, в которой достигается #2 = 0.
Аналогично какое-либо другое множество может иметь верхнюю
грань (обозначают sup) —предел, к которому стремятся точки
множества, приближаясь к чему бесконечно близко, но множество не имеет в
своем составе точки sup.
Для любого замкнутого множества Х^Еп и любой точки v^En
существует точка р^Х, являющаяся проекцией v на X, Если множество
X выпуклое, то i очка р — единственная.
Докажем вторую часть этого положения (см. рис. 13.1). Для
доказательства единственности предположим, что существуют две такие
точки рШ&Х и pWe=Xy рифрЮ, что \\р^—а|| = 11р(2>—о|| = р.
Поскольку множество X выпуклое, то точка z=0,5p(1) + 0,5р<2) принадлежит X.
Точки и, р(1), р(2) и z лежат в одной плоскости. ХРеУг0ЛЬНИК с
вершиной v, основанием [pli\ р{2)] и высотой [v, z] — равнобедренный.
Высота его меньше стороны \\г—£>'11<р, а это противоречит определению р.
Предположение о существовании двух проекций точки v на выпуклое
множество X неверно.
Если провести все рассуждения для хорошо известного двух- или
трехмерного евклидовых пространств, то можно убедиться, что все
рассмотренные категории достаточно очевидны. У нас нет возможности
рассматривать доказательства последующих 'положений основ
математического программирования. Важно, чтобы они были понятны хотя бы
на примере двух- или трехмерного пространства. С доказательствами
можно ознакомиться в работе В. Г. Карманова.
Раскроем понятие проекции. Для того, чтобы точка р^Х была
проекцией точки v^En на выпуклое замкнутое множество ХаЕп,
необходимо и достаточно, чтобы для всех х^Х выполнялось неравенство
<х—р, v—р><0. Это значит, что угол между векторами v—р и х—р
не острый (рис. 13,1).
Гиперплоскостью в Еп называют множество вида
я = {х:<с, #> = Я},
где сФО — матрица коэффициентов; К — коэффициент. В пространстве
£п гиперплоскость определяет два полупространства {х:<с, хХХ] и
599

{*: <c, jc>>X}. На примере пространства Е2 гиперплоскость выразится
в виде <с, х>=К; CiXi+C2X2 = 'k; *2=—(ci/c2)Xi-i-X/c2. Это уравнение
прямой.
Важное значение имеет теорема отделимости. Для любого выпукло-
го и замкнутого множества X и любой точки v, не принадлежащей
множеству X, существует такая гиперплоскость я, что <с, х>~Х и для
всех х^Х<с, х><Х. Другими словами (см. рис. 13.1): через точку
yel, где X — замкнутое и выпуклое множество, можно провести
плоскость я, которая даже не коснется множества X. Если устремить
точку у к множеству X, то можно получить теорему об опорной
гиперплоскости: в любой граничной точке х° выпуклого множества X существует
опорная гиперплоскость, т. е.
10/х\ I существуют такие сфО и X, что
ЩЛ} * п={х : <с, х> = Х}, Х=<с, х°>
и для всех х^Х<с, x><i. Ее*
ли в точке х существует каса-
0/^7Л тельная гиперплоскость, то ома
^ ' совпадает с опорной, в этом
dip(xa))+(1-d)(p(x(Z)) случае опорная гиперплоскость
^ единственна. Однако понятие
опорной гиперплоскости шире,
чем касательной
гиперплоскости. На рис. 13.1 в точке х* не
существует касательной, а
опорных плоскостей я много.
Точку х* множества X
называют угловой точкой, если в Л" не
существует таких точек xW и
f х *(2> (х^фх^), что *• *=
;<=dx(7)-;(/-o()x(2) =--axM+(l—a)xW при
некотором ае(0, 1), где (0,1)—
интервал 0<а<1. Все вершины
выпуклого многогранника являются угловыми точками. Для круга
любая точка ограничивающей его окружности — угловая.
Теорема о разделяющей гиперплоскости гласит: если множество Х0
внутренних точек выпуклого множества X непусто и не пересекается с
выпуклым множеством Y(Xf]Y=0)y то для множеств X и Y существует
разделяющая гиперплоскость я, т, е. существует такой вектор сФО, что
<су у>-<<с, х> для всех y^Y и х^Х. Символ П означает пересечение
множеств; 0 —символ пустого множества.
Рассмотрим скалярные функции ф(*) заданные или определенные на
выпуклых множествах X. Функцию ф(л-), определенную на выпуклом
множестве X, называют выпуклой, если для любых х^&Х, *<2)еХ и
всех ае[0,1], выполняется неравенство
ф[ах(1) + (1— а)х(2)] <аф(*(1)) + (1 —а)ф(х<2)). (13.6)
Здесь [0,1] — отрезок, т. е. 0<а<1. На рис. 13.3 изображена выпуклая
функция, заданная для примера на множестве Ae£i. Очевидно, что
каждая точка любой хорды графика функции ф либо лежит над
графиком, либо принадлежит ему. Вогнутой функцией называют такую
функцию, для которой знак неравенства обратен знаку в уравнении (13.6).
Это означает, что вогнутую функцию умножением на —1 можно сделать
выпуклой.
Пример. Покажем, что линейная функция у(х)=Со-\-<с, х>
выпукла. Действительно,
Ф (х) = ф [а*(1) + (1 — а) *<2> ] = с0 + <с, [сс*<2) +
(2)
600

+ (1 -а) *<2>]> = с6 + 2 *| Н" + (1 -а) *<2>] =cQ +
+ aS^^(1)+(l-a)ij *,*Р=«Ь+<*<*, ^>> +
1=1 t=i
+ (1—а)<с, *(2)> = а(с0+<с< л;(1>» + (1— а)(с +
+ <с, *(2)>)=осф(х(1)) + (1--а)ф (я2).
Укажем некоторые свойства выпуклых функций.
1. Для Любой выпуклой функции ф(*), определенной на выпуклом
множестве X, и любого числа К множество Z=(x^X: ф(*)<л} выпукло.
2. Если ф(*) выпукла на выпуклом множестве X и
т т
t=l i=l
то
(m \ m
2«i*<0J< 2 «,ф (*<").
3. Выпуклая функция ф(*)$ определенная на выпуклом множестве
Л, непрерывна в каждой внутренней точке этого множества и имеет а
каждой внутренней точке производную по любому направлению
s(l|s|| = l)
дц> (x)/ds = lim {[ф (х + te) — Ф (х)]Щ.
4. Если функция %(*) выпукла на выпуклом множестве X, то
выпукла на X и функция
, , г / ч m Г*(*Ь если х(л;) > О,
Ф (*) = max {х (х), 0 = \
[О, если х (*) < 0.
5. Если ф(#) выпукла и неотрицательна на выпуклом множестве X,
то будет выпукла на X и функция ф2(*).
6. Функция ф(.*), дифференцируемая на выпуклом множестве X,
выпукла в том и только в том случае, если для любых хеХ и у&Х
< ф' (*). У — *> < ф (У) — Ф (*).
Обратимся теперь к основной задаче математического
программирования— отысканию точки х° выпуклого множества X, в которой вы
пуклая функция ф(*), определенная на X достигает минимального
(оптимального) значения
х° = afgmin {ф (х):х£Х).
Укажем несколько свойств оптимальных решений, которые предстоит
найти. *
1) Если выпуклы функция ф(я) и множество X, то любая точка
*°еХ, являющаяся точкой локального минимума, будет оптимальной
для задачи минимизации функции <р(х) на множестве X (точкой
глобального минимума).
60-1

2) Если выпуклы функция ф(л;) и множество Х} то множество
оптимальных точек
Х° = lx° g Х:ф (*°) = \i = min ф (*)i
V Х£ х '
выпукло.
3) Если ф(л;) строго выпукла [в соотношении (13.6) знак строгого
неравенства] на выпуклом множестве X и точка х°е=Х оптимальна, т. е.
ji = ф (д?) = min ф (х),
х^ х
то для всех х^Х и хфх° будет ф(я)>ф(#0) и, значит, точка х°
единственна.
Указанная задача, которая имеет дело с поиском оптимума
выпуклой функции ф(лг), заданной на выпуклом множестве X значений х,
входит в раздел математического программирования, получивший
название выпуклое программирование. В составе выпуклого
программирования выделяется раздел — линейное программирование. Ему
свойственна линейная функция у(х) (целевая), а множество X, на котором ищут
оптимум, задается системой линейных равенств и неравенств. Для
решения задач линейного программирования разработан симплексный
метод. В свою очередь, в линейном программировании существуют
классы задач, структура которых позволяет создать специальные методы
их решения, выгодно отличающиеся от методов решения общего
характера. Это задачи транспортные, распределения ресурсов и т. п. Наряду
с линейным программированием можно указать в составе выпуклого
программирования квадратичное программирование, когда целевая
функция квадратична, а ограничения на множество X — линейные
равенства и неравенства.
Выше речь шла только о выпуклом программировании — разделе
более общей дисциплины, которую называют математическим
программированием. Основная задача его та же, что и в случае выпуклого
программирования, однако в отличие о г последнего в общем случае не
накладываются ограничения на выпуклость множества X, на котором
задана функция ц>(х) и оптимум которой следует отыскать, не
накладывается ограничение и на выпуклость функции ф(я).
Задача математического программирования в общем случае состоит
в следующем. Дано множество
Х= {x-.fi (х) > 0, *'= 1 ... т}, (13.7)
где ft — заданные скалярные функции. На этом множестве определена
функция ф(х), минимум которой необходимо разыскать. Результаты
решения этой задачи могут быть такими: 1) точка оптимума будет
найдена х°еХ, ф(*°) =min w(x); 2) если нет точки х° в указанном выше
х£Х
смысле, то будет х^Х найдена ф° = тГ ф(*); 3) будет показано, что ф(л;)
неограничена снизу, т. е. нет ни гшпф(х), ни ml(p(x)\ 4) может
оказаться, что Х—0У т. е. нет ни одной точки, которая была бы определена
условием (13.7).
Вопрос нахождения точки оптимума очень обширный и составляет
содержание предмета «Математическое программирование».
Идеи поиска оптимума в задачах математического
программирования отчасти аналогичны тем, которые были рассмотрены выше в п. 10.6
и 10.8. Они сводятся к следующему.
Выбирается из заданного множества (13.7) некоторое значение л==
= л:(1). Это сделать не просто. В частности, можно интуитивно
назначить л(1). Затем проверить по условию (13.7), выполняется ли заданное
602

для множества X ограничение fi(xW)>0? Если не выполняется, то надо
выбрать новое значение х(1> и так до тех пор, пока не будет Ы*(1))>0.
Можно также назначить п—т составляющих вектора *<*> произвольно,
а остальные составляющие х[ , ..., х[^ определить из решения
уравнений М*(1))=0 (/=l...m). Полученная точка *<*> будет принадлежать
множеству X, но лежать на его границе. Это в случае линейного
программирования хорошо, так как оптимальная точка лежит как раз на
границе множества X.
Выбрав х^\ следует определить направление движения к точке
оптимума, помня, что оптимизация — это всегда минимизация функции
ф(я). Направление дзижения к оптимуму не может быть произвольным,
оно должно быть возможным (виртуальным), т. е. соответствующим
ограничениям на х, формирующим множество X (J3.7). Направление
5^=0 в точке х^Х называется возможным, если существует такое число
Р>0, что для всех &^[0У (5]
х — ps еХ. (13.8)
Допустим (см. п. 8.6) множество возможных значений х определе-
,л стА«чЛПа»/«~пп.,*. vmin^-v /max vmin ^v .vmax „min^v .„max
но неравенствами x^ ^^-^.j ,x2 <#2<#2 , ..., xn <.xn<-Xn
Если точка *<l> находится внутри гиперпараллелепипеда, то любое
направление, не выводящее точку за пределы границы, будет возможным.
Если же хотя бы одна из составляющих вектора достигла границы, то
возможное напоавление ее изменения будет лишь внутрь от границы,
либо по границе. В точке *(1) осуществляется «планированный
эксперимент», в котором функцию отклика определяют не экспериментально, а
вычисляют по заданному выражению ф(х). Уравнение регрессии —
приближенное уравнение касательной плоскости к поверхности cp(jt) в
точке #(1). Коэффициенты уравнения регрессии дают составляющие
вектора градиента плоскости. Осуществляется спуск по линии градиента
до некоторой точки х{2\ в которой все повторяется, как и в точке х^>.
Так можно достичь окрестности точки оптимума х° (если она
существует), в которой любое возможное изменение ф(л;°—$s)>>q>(x0).
Допустим как и при рассмотрении метода параметрической
идентификации (см. п. 8.8), на параметры а = х не наложены никакие
условия, а функция / = ф дифференцируема. Направление спуска к
оптимуму в точке x{i) вычисляют по значению вектора градиента
grad ф| _ (1) =(д(р/дхи .», д<р/дхп)'\ _ (1) . Продвинувшись на малое
расстояние по линии этого градиента, уточняют его в точке х^ и т. д.
до точки оптимума. Метод сопряженных градиентов ускоряет спуск,
так как лучше учитывает особенности поверхности отклика ц>(х).
Рассмотренные два примера относятся к простейшим. Не всегда
так просто удовлетворяется условие (13.8) на возможное направление
Движения к оптимуму.
Упражнения
1. Как можно изобразить множество
е= (е=(е1, е2, е8)/:е1 + \ + е3 = е2 , е. >0, i= 1, 2, 3}?
Ответ: октаэдрической площадкой в первом октанте, отсекающей
от осей ег- заданный отрезок е^ .
2. Где находится точка оптимума в задача линейного
программирования? Как найти точку оптимума? Указание: рассмотреть
двумерное множество X, сделать чертеж в аксонометрии. Ответ: в углах
Многогранника множества X, на котором определена линейная функция
603

цели ф(х), х^Х. Следует вычислить <р в углах многогранника **, при
всех значениях #=**; выбрать наименьшее, оно вместе со значением х*
и будет решением задачи. Углы многогранника можно найти путем
совместного решения линейных уравнений из условий, определяющих
множество X.
13.2. Оптимальное распределение деформаций
на многократной проволоковолочильной машине
со скольжением
При разработке технологии ОМД часто приходится решать
задачу распределения деформаций по пропускам при про-
катке, по протяжкам при волочении и т. п., чтобы
обеспечить максимальную производительность при удовлетворен
нии ряда ограничений, обеспечивающих получение
высокого качества продукции. Решим одну из таких задач
оптимизации.
На одном из заводов на многократных волочильных
станах (см. рис. 11.9), работающих со скольжением,
имели место частые обрывы проволоки, что сопровождалось их
остановкой и потерей производительности. На станах,
работающих со скольжением, окружная скорость барабанов /
несколько больше скорости проволоки 2; проскальзывание
между поверхностью барабана и витками проволоки
создает силу волочения. Первоначальный анализ показал, что
распределение деформации между волоками 3
недостаточно обосновано. Режим деформации с уменьшением ее в
волоках по ходу волочения был выбран технологом цеха,
потому, что металл по ходу волочения наклёпывается
(упрочняется, падает его пластичность). Оказалось, что технолог
выбрал не оптимальное решение.
Проведем решение задачи распределения деформации
по волокам многократного проволоковолочильного стана с
целью минимизации вероятности обрыва проволоки в
процессе волочения.
Заданы d0, dn — диаметры проволоки до и после
волочения, п — число тянущих барабанов стана. Необходимо
распределить вытяжки по проходам при заданном общем
коэффициенте вытяжки
Пц* = |1е. О3-9)
t'=l
при этом
|i,> l(i = l ... п). (13.10)
Распределение вытяжек следует осуществить так, чтобы
604

обеспечивалась наибольшая производительность. Она
определяется скоростью волочения и размерами проволоки.
Однако решающую роль могут играть простои, связанные
с обрывностью из-за нерационального распределения
вытяжек по проходам. В рассматриваемой задаче вытяжки
распределим так, чтобы минимизировалась возможность
обрыва или коэффициент использования прочности проволоки в
целом в машине
IP = mm(maxkt), (13.11)
где ki=pi/osi — коэффициент использования прочности
проволоки в t-том проходе; pi — напряжение волочения;
Osi — сопротивление деформации материала проволоки в
/-том проходе. Будем считать, что известна формула для
подсчета напряжения волочения (формула Перлина — За-
руева)
Pt = <>> I*, О + /ctga) + c,gsW , (13.12)
где f — коэффициент трения; а — величина,
характеризующая напряжение противонатяжения (она зависит от
диаметров проволоки, барабана и числа витков проволоки на
барабане).
Функцию (13.11) следует понимать так: какое бы
распределение вытяжек \ц, 1 = 1..л не было принято, следует
выбрать из п значений &;, £=1.../г наибольшее, при котором
вероятность обрыва, по-видимому, будет наибольшей. Надо
устремить этот максимум к минимуму, варьируя
распределение \ц с учетом ограничений (13.9) и (13.10).
Итак, имеем задачу математического
программирования. На множестве
X = lx = [xv ..., хп)' : Y[xt = x^ *.> 1, i = 1 ... п\
(13.13)
задана скалярная функция
<р(*) = max fin * (1 + f ctga)+ ciGsi_l]o]9 (13.14)
которую следует на этом множестве минимизировать.
Здесь, как и в п. 13.1, |1*=л:;.
Целесообразно ввести новые переменные и сохранить
обозначения, принятые в^ теории ОМД. Пусть 1п|ы; = е/,
lnjLi2==8 2. Тогда задача математического
программирования (13.3) — (13.4) может быть переписана по-новому.
# = min/ max fe.(l + /ctga) +0.0^/0^] ), (13.15)
e \t=l... nL >
605

где е= (ei,..., Еп)'= (si)' выбирается из множества Е, удов,
летворяющего условиям
j?8.=--e2; е.>0, i=\ .../г. (13.16)
i=i
Покажем, что задача (13.15) — (13.16) относится к вы-
пуклому программированию. Докажем выпуклость множе-
ства Е, определенного условиями (13.16):
( п }
Е= е: ^г. = е2, 8. > 0, i = 1 ... п\. (13.17)
Заметим, что это доказательство содержится в примере
п. 13.1 и касается более общих ограничений в виде
линейных равенств и неравенств. Возьмем две произвольные
точки е(1) и е(2) из множества (13.17), т. е. два каких-то
распределения обжатий
У£г11)=82; е{1)>0, i=\ ... п;
i=i
2el2) = eS; е<-2) > 0, f=l ... п.
1=1
Умножим первую строчку на O^a^l, вторую на (1—а) и
сложим результаты по столбцам
2 М" + (1 - а) е|2>] = е2; aej1' + (1 - а) е|2> > 0.
1=1
Это означает, что весь отрезок, соединяющий произвольные
точки 8(1) и е(2) множества Е (квадратная скобка и левая
часть неравенства), лежит внутри этого множества и,
следовательно, оно выпукло.
Докажем выпуклость функции в фигурной скобке
выражения (13.15). Целесообразно рассмотреть ее в
эквивалентном виде (умножение на —1 сделает ее выпуклой):
fe= min [—e,(l+/ctga)-c.as.^as.].
1=1 ... п J
В этом случае достаточно доказать выпуклость выражения
в квадратной скобке последней формулы, так как в п. 13.1
было сказано, что множество оптимальных решений
выпуклой функции на выпуклом множестве выпукло. Итак,
необходимо доказать справедливость неравенства
kt Ы1' + (1 - а) е<-2)] > ай, (еГ>) + (1 - a) h (е<-2)), (13.18)
606

где
kt = 8,(1 + /ctga) + c.<Js._Jos[. (13.19)
Подставим выражение (13.19) в (13.18) с
соответствующими аргументами. Получим
[aei1» + (1 - a) ef >] (1 + / ctga) + ct asl-_! I.asi > a[^l) (1 +
+ / ctg a) + Cl oW, law ] + (1 _ a) [ef > (1 + / ctg a) +
+ e,°£.i/°2)].
Следует иметь в виду, что CiGst-i/osi—функция,
аргументом которой является аг11}-{-(1—а)г\2)\ CioilLi /a У*—та же
функция аргумента е\1), а CiO^JoW— аргумента е\2).
После несложных преобразований последнее неравенство
имеет вид
*«-Л > «^ /<П1> + (1 -«) <^. № (13.20)
Кривые упрочнения металлов, как правило, направлены
выпуклостью вверх (рис. 13.4, а). Аналогична кривая
функции, представляющая отношение oSi-i/oSi (рис. 13.4,6).
°s т I
Хорда, соединяющая две точки на кривой GSi-\/oSi, лежит
Ниже самой кривой. Это совпадает с неравенством (13.20)
и доказывает его справедливость для волочения металлов
в холодном состоянии, которые упрочняются от
деформации.
Итак, задача оптимального распределения деформаций
Между волоками многократного проволоковолочильного
стана со скольжением оказалась задачей выпуклого
программирования. Она имеет единственную точку оптимума,
Которую можно найти каким-либо прямым методом
минимизации. В этом случае не подходит ни градиентный метод,
Ни метод сопряженных градиентов, ни другие подобные
607

методы, так как функция цели в примере недифференциру*
ема. Используем прямой метод (процедуру Бокса), не
требующий вычисления производных, а ограничивающийся
вычислением только значений функции. Применим в
данном случае программу симплекс-плановой минимизации.
Идею этого метода покажем на простейшем примере.
Пусть на двумерном множестве X задана скалярная
функция ф(#) (рис. 13.5). Выбирают три точки из этого
множества (простейшую1 плоскую фигуру — треугольник 123 на
плоском множестве X). Так как по условию примера х^0у
п
^dxi==xz> то для каждой точки *(1), х^2\ х(3) (п—1)-ю
1=1
составляющую назначают произвольно ( достаточно близко
друг к другу и больше нуля), а п-ю составляющую опреде-
«—1
ляют из заданного условия Хп1) = *s—^? х11} и т.д. при
этом добиваются выполнения последнего ограничения
В выбранных точках х(1), *(2), х^ вычисляют функцию
ф(х). По трем значениям ф(1), ф(2), ф(3) строят плоскость,
приближенно аппроксимирующую поверхность ср(х) над
симплексом-треугольником 123.
У плоскости определяют
градиент. Перемещение к оптимуму
осуществляют путем зеркального
отображения, например, точки 3
в точку 3' относительно стороны
12, которую пересекает
направление градиента. Вновь рассматри-
__ вают симплекс, но уже 123' и т. д.
Лг Если вдруг при зеркальном
отображении точка выйдет за
пределы множества, т. е. нарушатся
заданные ограничения, то в этой
точке присваивают значение ф>
^>ф(*), х^Х. Симплекс как бы «прислоняется» к стенке,
построенной на границе множества X. Градиент получит
большое значение и симплекс вернется в пределы
множества X. Движение симплекса к оптимуму заканчивается тем,
что он в окрестности оптимума начнет вращаться вокруг
одной из своих вершин. Как говорят, итеративный процесс
Симплекс — от английского слова simplex — простой.
608

сошелся. После этого размеры симплекса уменьшают путем
приближения двух вершин к той, вокруг которой вращался
симплекс, и вся процедура повторяется до сходимости.
Решение задачи поиска оптимального распределения
вытяжки по проходам многократного проволоковолочиль-
ного стана из условия минимальной опасности обрыва
проволоки, осуществленное для различных условий описанным
выше численным методом, показало во всех случаях
однородное (равномерное) распределение \ц по волокам, т. е.
оптимально ц/= (\ix)l/n. Заметим, что этот результат
получен при некоторых упрощениях, численно и на конкретных
примерах, а не доказан для общего случая теоретическим
путем.
При решении задач математического
программирования, когда не удается доказать выпуклость множества X и
функции ф(л:), ^gI, необходимо критически относиться к
результату. Оптимальное решение может оказаться
локальным, а не самым лучшим. Но тесли параметры локального
минимума окажтся лучше параметров, используемых на
практике, то их можно считать приемлемыми.
13.3. Управление движением линейных систем
Рассмотрим задачи управления объектами (прокатными станами,
нагревательными устройствами и т. п.), следуя идеям, изложенным в
работах Н. Н. Красовского. Пусть функционирование объектов во времени
описывается системой дифференциальных уравнений
*i = M*i у ••• ■» хп> ui> ••• » иг)> * = 1 ••• п, (13.21}
где искомые функции xt=Xi(t) характеризуют состояние объекта в
каждый момент времени t\ fi — заданные функции указанных
аргументов; Ui = U\(t), .... иг = ит(()—функции, называемые управлением (точка
над буквой означает производную по времени). Они могут быть
выбраны исследователем, исходя из тех или иных соображений, в частности,
из соображений оптимального функционирования объекта. Принято
функционирование или работу объекта в соответствии с
дифференциальными уравнениями (13.21) называть движением системы, несмотря
на то, что они могут описывать и не механическое движение. Если
уравнения (13.21) линейные, то говорят о движении линейных систем.
Полагают, что рассматривается движение некоторой системы на
отрезке времени ta<g;t^ip при заданных начальных условиях
**<<а) = *?. '=1 ••• "• (13-22)
Условимся далее трактовать наборы функций Xi(t)f ..., xn(t)i
ui(t), ..., ur(t) и т. п. как вектор-функции, обозначаемые x(t), u(t)
и т. п. Каждую вектор-функцию в фиксированный момент времени
можно представить как многомерный (гс-мерный, r-мерный и т. п.) вектор.
Вектор-функцию записывают в виде столбчатой матрицы. Например
*(0 = (*i(r), ..., xn\t))\ u(t) = (ui(t), ..,, ur(t))' и т. п. (штрих означает
39-382
609

транспонирование, т. е. превращение в данном случае^матрицы-строкц
в матрицу-столбец). В векторной форме уравнения (13.21) и условия
(13.22) могут быть записаны в виде
X = f(x, и); (13.21а)
x(ta)=x*. (13.22а)
Уравнения (13.21) и начальные условия (13.22)—это
математическая модель реально существующего движения. В связи с этим будем
требовать, чтобы выбор управления u = u(t) осуществлялся из таких
соображений, чтобы подстановка его в систему (13.21) делала ее
разрешимой и причем единственным образом с помощью начальных
условий (13.22). Вектор-функцию u=u(t) называют возможным
управлением, если подстановка u=u(t) в дифференциальное уравнение
движения x~f(x, u(t)) делает его на отрезке времени [/а, to] разрешимым,
причем единственным образом с помощью начального условия х(1а)=х(*.
Определение дано не в конструктивной форме, так как с его помощью
нельзя до опыта дать заключение: будет ли некоторая функция и = и(1)
возможной? Возможными управлениями будут дифференцируемые
функции (такие функции u=u(t) на отрезке [/а, ^] достаточно гладкие
и всюду имеют производную); непрерывные функции (на отрезке
[ta , t$] они могут иметь «угловые точки», в которых производные
отсутствуют); кусочно-непрерывные функции (могут иметь отдельные
точки разрыва и «угловые точки»). Вектор-функцию u = u(t) называют
возможным управлением, если ее компоненты Ui = Ui(t)i=\ ...г
являются на отрезке [ta , /о] кусочно-непрерывными функциями.
Кусочно-непрерывные функции — наиболее общий класс функций из указанных
здесь, включающий з свой состав более простые дифференцируемые и
непрерывные функции. Следует заметить, что класс возможных
управлений еще шире, чем указан в определении.
Задание начальных условий x(ta)=xa и выбор определенного
возможного управления u=u(t) определяет единственным образом
непрерывное движение x=x(t), при этом вектор х называют фазовым
вектором; компоненты х\ (/=1 ...п) называются фазовыми координатами;
линию с параметрическими уравнениями х\ =Х] (I),..., хп=хп (t),
представляющую в фазовом пространстве движение системы, называют фазовой
траекторией.
Фазовым пространством называют совокупность всех фазовых
векторов х, полученных из решения уравнений x — f(x, и) в каждый
момент времени / из отрезка .[/а, t^ ] при каждом возможном управлении
и каждом начальном услозии x(ta)=xa.
Пусть система, движение которой описывается дифференциальными
уравнениями (13.21) и начальными условиями (13.22), имеет непустое
множество возможных управлений, переводящих ее в заданное
конечное состояние
**('з) = *?-. г=1 ••• п* (13-23)
т. е. система управляема.
Исследуем частный класс задач: управление системами, движение
которых описывается линейными дифференциальными уравнениями*
Этот класс обладает, тем не менее, достаточно большой общностью, 0
него входят многие актуальные задачи теории ОМД. Задачи
управления движением нелинейных систем приближенно сводятся к решению
610

некоторых последовательностей задач управления линейными системами.
Итак, пусть движение некоторой системы, которой намерены
управлять оптимальным образом, описывается линейными
дифференциальными уравнениями
п г
xt= 2 aih*h+ ^Ьаиз, / = 1 ... п, (13.24)
k=i /=i
где ciik, Ьц — постоянные величины или функции времени t, которые
непрерывны и известны. Система уравнений (13.24) в матричной записи
•принимает вид
bir\f Ч
: : i
кхп J \ ат •" апп J хп J \bn—i' * * blu j ^ и^
(13.24а)
Если же строчными буквами обозначить матрицы-столбцы, а
прописными прямоугольные матрицы, то система принимает вид
х = Ах+Ви. (13.246)
Система линейных уравнений (13.24) имеет аналитическое
решение, определяемое формулой Коши
t
x(t) = X(t, *а)ха + § Х(/,х)5(т)и(т).Л, (13.25)
*а
где x(t)—фазовый вектор в произвольный момент времени,
удовлетворяющий начальному условию x{ta) =ха\ X(t, ta) или X{t,
т)—фундаментальная матрица, которую вычисляют следующим образом.
На базе системы неоднородных уравнений (13.24) составляют
систему однородных уравнений
z=Az. (13.26)
Решая ее, выделяют п линейно независимых векторов-решений.
Считая, что каждый из линейно независимых векторов z(h)(t)> являющихся
решениями системы (13.26), есть вектор-столбец, составляют матрицу
z[X)(t) ... z<*> (t)
(13.27)
#>
Фундаментальную матрицу описывают формулой
*('. ta) = Z{()Z-i(ta). (13.28*
При t = ta она обращается в единичную матрицу; Z-1 — матрица,
обратная матрице Z.
Пока не будем подробно рассматривать доказательство формулы
Коши1.
1 Рекомендуем самостоятельно убедиться в ее справедливости, под*
ставив выражение (13.25) в (13.24) и получив тождество,
39* 611

На практике управление u = u(t) выбирают не из всего класса ку-
сочно-непрерывных функций, т. е. не из всех возможных управлений.
Обозначим множество всех возможных управлений Q. В технике ресур-
сы управления ограничены, поэтому можно располагать лишь частью
множества Q. Эту часть
управлений называют
допустимыми управлениями.
Обозначим множество допустимых
управлений Qu, следовательно,
В некоторый фиксирован-
ный момент времени (/ = /* =
= const) формула Коши (13.25)
содержит постоянное
слагаемое (первое), второе будет
линейным функционалом от и(т),
га<т</р- Если управления
и{х) будут приобретать все значения из некоторого множества до-
пустимых управлений Qu, то по формуле Коши получится некоторое
множество точек конечномерного фазового пространства, которое
называют областью достижимости G в момент времени /*.
На рис. 13.6 схематично показана область достижимости G в
момент времени /*. В фазовом пространстве (трехмерном х на рис. 13.6)
задана начальная точка ха , из которой осуществляется движение.
Если избрать некоторое конкретное управление м*(/)ей„ при
ta </<;/ п, то по формуле Коши получим фазовую траекторию
движения системы (отмечена стрелками), которая в момент /* закончится
в точке *(/*). Если перебрать все допустимые управления из
множества Qu и каждый раз строить траекторию движения системы, то из
точки х а будет исходить пучок траектории. Каждая из них в момент
t = t* будет заканчиваться некоторой точкой в фазовом пространстве.
Совокупность всех конечных точек фазовых траекторий в момент f=t*
образует область G, которую называют областью достижимости.
Оказывается, что при некоторых условиях, накладываемых на QM,
область G ограничена, замкнута и выпукла.
Упражнения
Прямой подстановкой доказать, что формула Коши дает
решение системы линейных дифференциальных уравнений при начальном
условии x(t а) =х а .
13.4. Оптимальное управление по быстродействию
Рассмотрим простейшую задачу о быстродействии, имеющую большое
практическое значение.
Дана некоторая система (механическая, электромеханическая
и т.п.), движение которой описывается линейным дифференциальным
^уравнением (в векторной форме)
х = Ах+Ви. (13.29)
Дано множество допустимых управлений Qu, которыми располагает
система, следовательно
u£Qu.
Дано положение системы в начале движения
*('«)=**
(13.30)
(13.31)
612

л в его конце
(0 = *р
(13.32)
но момент окончания движения t=t о неизвестен. Задача состоит в
том, чтобы выбрать из множества допустимых управлений Qu такое
u0=u°(t)^Qu, при котором система (13.29) в кратчайшее время
7,°=min(/|3 — t а ) перешла бы из состояния (13.31) в состояние
(13.32).
Для решения сформулированной выше задачи обратимся к
понятию области достижимости G, введенному в конце п. 13.3 и к рис. 13.6.
Пусть некоторый фиксированный момент t = t*<tо . Процесс еще не
завершился, система не достигла заданного состояния, x(t*)=^x^, точка
х& фазового пространства лежит еще вне области достижимости
G|*=**. Если следовать естественному ходу времени, то область
достижимости будет смещаться по фазовому пространству и изменять
свою формулу. В некоторый момент /=/ о наступит такое положение,
что область достижимости коснется заданной точки jc^ (на рис. 13.6
область достижимости в момент касания G\t=t$ изображена
штриховой линией), т.е. будет x(t р)=х" . Этот момент обязательно
наступит, так как в п. 13.3 было сделано предположение о том, что система
управляема. Момент касания областью достижимости G|*=>p точки
х& дасг искомое наименьшее время T°=min(t^ — t а ) перехода
системы из положения ха в положение х * . Следует заметить, что
касание областью достижимости заданной точки х & может наступить
еще раз в момент покидания областью G точки х*% Возникающая от
этого неоднозначность решения легко устраняется выбором меньшего
отрезка T=t ^ —ta, которое будет решением задачи, так как будет
отвечать первому касанию областью достижимости точки х^ . На
основании описанного примем
такой алгоритм решения задачи.
Рассмотрим область
достижимости в фиксированный,
но пока неизвестный, момент
/2 I
t=t р (рис. 13.7). Здесь
x(t$ ) — некоторое общее
значение фазового вектора в
области достижимости,
подсчитанное по формуле Коши
(13.25) в момент времени /■=
= ^ для некоторого
управления «eQ„. Множество
значений фазового вектора на
границе области достижимости G\t=t$ обозначено x(ta). В каждую точку
границы система приходит с помощью своего управления. Из множества
точек x(t$ ) надо выбрать ту.(и соответствующее ей управление), для
Которой x(t о )=*" . Управление, обеспечивающее попадание системы
& точку lc [f а) =х ** , будет искомым оптимальным управлением и°=
-«по.
613

Выделить из области достижимости G\t=t р , содержащей все
значения фазового вектора x(t о ) в момент времени / = / о , те значения
x(t $ ), которые принадлежат границе области достижимости, можно с
помощью некоторого условия максимума1.
Обратимся к области достижимости. Для простоты фазовое
пространство на рис. 13.7 изображено двумерным. Возьмем произвольный
вектор / фиксированной длины, например, единичный, для которого
I|/Il= {l\ +ll) 1/2 = 1. На рис. 13.7 он изображен исходящим из начала
координат. Составим скалярное произведение </, x(t^)> и
максимизируем его на множестве x(t р )^G\t=t^ . Получим
max </, х(//5)> = </,"*(/р)>, (13.33)
*('р)ес|*=*р
где x(t о) точка на границе области G\t=t$ * внешняя нормаль к
которой в этой точке совпадает с избранным вектором /. Действительно,
скалярное произведение </, x(t^)> равно проекции вектора x(t$ )
на направление вектора / или длине отрезка ОВ. Если перебрать все
x(i р )sG|/=/p то их проекции на / не будут превышать длину
отрезка О А. Отрезок О А будет отвечать условию (13.33). Из этого
условия, которое является принципом максимума, можно найти точку
x(ta ), лежащую на границе области достижимости. Если перебрать
все /, угол а между / и осью х\, для которых находится в пределах
0^а<2я, то получим с помощью принципа максимума (13.33) все
граничные точки области достижимости G\t=ta »
Рассмотрим более конструктивно применение принципа максимума
'(13.33). С учетом формулы Коши условие (13.33) можно написать в
виде
max </, *(/ft)>= max (/'W^)) =
= /' X (t& -, ta) х + \ max /' X ( *р , т) В (т) и (т) di =
<а и 6 %
'В
= /' X ('р, *а) ** + f /'X(/p,T)fl (т) и0 (т) <h. (13.34)
'а
Так как вектор / задан, а первое слагаемое в формуле Коши постоянно,
то максимизацию осуществляют лишь по второму слагаемому
скалярного произведения, причем переменным для него уже будет
управление. Кроме того, принято, что в последнем выражении справедливо
max f • •. = f max ... 2.
1 Приведенное условие максимума совпадает с известным
принципом максимума Л. С. Понтрягина, являющимся необходимым условием
оптимальности.
2 Слева максимизация осуществляется по множеству функций Qut
а справа — по их числовым значениям й^при некотором t=L
6Л4

Итак, конструктивно получаем из уравнения (13.34) принцип мак-
сцмума, который состоит в следующем: оптимальное управление и° =
**u°(t) на отрезке времени [ta , /р ] в любой момент времени t^[ta ,
/J3 ] определяется из условия
V X(tfi>f)B(t)tfl= maX/ V X ( t$ , t) В {t) и, (13.35)
и с о,'
c и
где « — значение функции «(/) в фиксированный момент t^[tа , f р ].
Принцип максимума является лишь необходимым условием
оптимальности, так как он «выводит» точку окончания процесса в области
достижимости G|*=fpHa ее границу, а на границе обязательно лежит
jr — решение оптимальной задачи по быстродействию.
Введем в равенство (13.35) p'(t)=l'X(t ^ , t). Из свойств
транспонирования матриц следует p(t)=X'(t р , t)L Можно убедиться, что
эта вектор-функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
(выкладки рекомендуем проделать самостоятельно)
р=-А'р * (13.36)
с.краевым условием
р(*р) = /.- 03.37)
Уравнение (13.36) называют присоединенным уравнением для объекта,
движение которого описывается уравнением (13.29).. Однородное
уравнение (13.36) легко решается с краевым условием (13.37). Тогда прйн*
цип максимума позволяет определить оптимальное управление
р' (t) В (t) и* = max [/?' (t) В (t) и]. (13.38)
ucQ
С и
Оптимальное решение, найденное по условию (13.38), будет
зависеть от неизвестных пока значений составляющих вектора / u°=u°(t, /),
которые войдут в него в связи с краевыми условиями (13.37). Таких
составляющих п, их число равно размерности задачи или фазового
пространства. К тому же неизвестна величина t о . Для управления
u°=u°(tf I) можно решить краевую задачу (13.29) и (13.31) или
вычислить по формуле Коши x(tn ). Приравнивая результат к заданному
краевому условию (13.32) x\tа )=х^ получаем п уравнений. Условие
нормировки ||/|| = 1 вектора дает еще одно уравнение. Уравнений
достаточно для определения /= (/ь ..., /„)', t р и окончания решения.
Неоднозначность определения to устраняется условием, что решению
задачи отвечает min(/p —t а ).
Итак, найдено оптимальное по быстродействию управление,
соответствующее ему оптимальное движение и наикратчайшее время для
перевода системы из положения ха в положение х^ .
Упражнения
1. Показать, что p(t)=X'(to , t)l является решением однородного
Уравнения р = —А'р, являющегося присоединенным уравнением для
заданного уравнения х = Ах-\-Ви, описывающего движение системы.
Указание: воспользуйтесь равенствами dX[t, T)/dt—A(t)X(t, т), где
X(t, т) —фундаментальная матрица;
615

dX (/, T)/dx =—X{t, x) A (0; У
dX' (t, i)ldi=—A' (t)X' (t, t).
2. Дано: Xi = x2\ x2=u\ Qu={u: 0<u(t) <1}; a^i (0) = 1; #2(0)=—1;
^(^б)=Х2(^б )=0- Найти такое управление из заданного множества
допустимых управлений, чтобы переход из точки (1, —1) в точку (0, 0)
фазового пространства произошел в кратчайшее время. Ответ: при
0<*<1/2 и°(0=0; при 1/2</<3/2 и°(/) = 1; Р = /£—*а=3/2.
13.5. Оптимальное быстродействие рольганга
и главного привода реверсивного прокатного стана
в отдельном пропуске
Рассмотрим обжимной стан (блюминг или
слябинг).Оптимизация работы этих станов — актуальнейшая задача.
Слиток, нагретый в ячейке колодца /, подается краном
на тележку слитковоза 2, последний, перемещаясь по
кольцевому железнодорожному пути, привозит слиток к
приемному рольгангу 4, на который слиток передается сталкива-
телем 3. По приемному, а затем рабочему 5 рольгангам
слиток подается к стану. При необходимости на рабочем
рольганге слиток кантуется (поворачивается на 90° вокруг
продольной оси) с помощью приводных крюков, встроенных
в манипулятор 6. Валки рабочей клети 7 имеют вдоль
бочки несколько калибров. Манипулятор сдвигает слиток на
ось прокатки в нужном калибре. Включается двигатель 8,
слиток захватывается валками и осуществляется прокатка
на блюминге (рис. 13.8), К концу прокатки в пропуске
616

существенно снижается скорость, так как иначе
выброшенный из валков с большой скоростью раскат потребует
времени на его возврат к валкам. Наступает небольшая пауза,.
в течение которой нажимное устройство несколько
сближает валки, готовя стан для прокатки полосы в обратном
направлении. Полосу прокатывают в этом же калибре в
обратном направлении (второй пропуск). Затем вновь
сближаются валки, полосу задают в валки, направление
вращения которых вновь меняется на обратное и т. д.
Прокатка описанным способом в одном калибре
осуществляется до тех пор, пока он это позволяет из-за своей ширины
или пока не будет исчерпан запас пластичности металла
на боковой поверхности раската и не возникнет опасность
образования рванин и трещин. В первом случаев в течение
одной из пауз манипулятор перемещает раскат на ось
прокатки следующего калибра и вновь осуществляется
прокатка; во втором же случае — раскат кантуется и боковая
поверхность подвергается непосредственному воздействию
валков при последующей прокатке. Общее число
пропусков 9—19. После того, как поперечное сечение раската
получит заданную форму, металл проходит машину огневой
зачистки поверхности блюмов и слябов 9 и ножницы 10, на
которых удаляют дефектные прибыльную и донную части
слитка. Блюминги и слябинги относятся к реверсивным
прокатным станам, у которых направление вращения
валков после каждого пропуска полосы меняется на обратное.
Попытаемся найти те объекты блюминга, оптимизация
работы которых может быть реализована. По-видимому, та
часть технологии, которая связана с механическим
движением обрабатываемого металла и инструмента, может быть
объектом рассмотрения с целью оптимизации. Практически
вся технология связана с механическим движением.
Исключение составляет нагрев металла перед прокаткой в
колодцах и зачистка раскатов после прокатки на машинах
огневой зачистки, но и в этих случаях возможна
оптимизация.
Рассмотрим задачу оптимизации работы рольганга —•
самого распространенного транспортного средства в
прокатных цехах. Рольганг должен быстро перемещать
изделие из одного места в другое, т. е. из точки с координатой
Ха в точку Х&. Часто по технологическим соображениям
Прокат в этих точках рольганга должен иметь заданную-
скорость уаиур. Найдем режим работы рольганга,
обеспечивающий его быстродействие, т. е. минимизирующий
время перемещения проката при указанных условиях (рис.
617

13.9). Составим уравнение движения проката по
рольгангу:
Md*X/dT2 = R, (13.39)
где М — масса раската; R— сила трения, действующая со
стороны рольганга на прокат. Сила трения изменяется в
пределах
-Mgf<CR<Mgf9 (13.40)
X*
*f
С\ Г\ Г\ г\
zztz
f\ fr\
xfi
где g — ускорение силы тяжести; f — коэффициент трения.
При возникновении скольжения между рольгангом и
прокатом в условиях (13.40) следует принимать знак равенства.
Приведем задачу к каноническому виду. Прежде всего
введем безразмерные величины (координату, время и
силу): xx=X/L\ t=T(fg/L) l/'2;u = R/Mgf, где L — некоторый
характерный размер рольганга. Тогда уравнение (13.39) и
(13.40) можно представить в виде d2X\/dt'2 = u; |w|^l.
Или понизив порядок дифференциального уравнения
введением новых переменных и добавив граничные условия,
можно написать
dxjdt = х2; dx2/dt = и, (13.41)
*('«) = **= (*?• Х*У> х Со) = х* = [*Ь 4)'> d3.42)
М<1. (13.43)
где Х\ и х2 — фазовые координаты (безразмерное
расстояние от начала рольганга и безразмерная скорость
движения раската); x?~X*/L; х\=ХЧЦх« = ^1УШ\ 4 = Л
lVfgL\ и — управление.
Итак, имеем задачу: найти из множества допустимых
управлений (13.43) Qu={u(t) : |w(/)|^l, ta <f<f-p
(такое управление u° = u°(t), которое обеспечит оптимальное
движение в соответствии с уравнениями (13.41) и
граничными условиями (13.42), при котором будет иметь место
минимум времени транспортировки раската T°=mintf$-*
—/а). Будем считать, что fa=0, тогда Г° = ^=ттгр#
Допустимые управления — это некоторое подмножество
из всех кусочногнепрерывных функций ^отдельными изоли-
618

рованными точками разрыва. В рассматриваемом случае
подмножество Qu определено так: допустимые управления
wgQu — это такие кусочно-непрерывные функции, которые
по модулю не превышают единицу. Выбор единственного
оптимального управления u° = u°(t) должен быть
осуществлен из бесконечного множества вариантов u^Qu.
1. Составим присоединенное уравнение (13.36), выделив
в рассматриваемом случае матрицы А и В. Итак, система
уравнений движения раската по рольгангу имеет вид
хх = 0хх + 1х2 + 0и\
х2 = 0xL + 0х2 + 1и,
в которой матрицы1
После транспонирования матрицы А система (13.36)
имеет вид
р1=—0р1 — 0р£
или pi=0; р2=—Pl
2. Решение последней присоединенной системы
элементарно, это функции рх = сх\ р2=—C\t-\-c2. Используем
краевое условие (13.37): при t = t$px(t$)=lu p2{t )=h-
Отсюда cx = l\\ C2 = l2+l\t?>* Итак, p\ — l\\ P2=—l\t+h+l\tfr
3. Определим оптимальное управление из принципа
максимума (13.38)2
р' (t) Ь (t) и* = (lv -1^ + 1^ + lx у' (°) и" =
= (- lit+k + liUt** max [l-^t + l. + l.t^u].
Оптимальное управление, сообщающее максимум
последней квадратной скобке, следует выбрать из множества
Qo = {m: | м|^1}. Оптимальным управлением в момент t
будет величина, равная по модулю единице имеющая знак
1 В рассматриваемом случае управление — скалярная функция.
Матрица В в системе (13.29) будет столбчатой. Столбчатые матрицы
обозначают малыми буквами.
2 В первой скобке (матрице-строке) между компонентами постав-
Лена запятая (обычно ее не ставят),
619

круглой скобки внутри квадратной скобки последнего
выражения. Это записывают в виде u° = s\gn(—/lf+^'+Mp).
Выражение в круглой скобке — линейная функция t,
которая не больше одного раза на отрезке [ta, fy] меняет свой
знак. Следовательно, оптимальное управление (рис. 13.10)
«°(0
= | 1 при/а</<(/2 + /1д//1;
-1 при (l2 + l1^)/l1<t^tp
tt'k
7
О
-1
(13.44)
и°\
1
D
-1
,
ч *'■
и
(К
t
I
и
t' tfi
б"
t
или
u°(t) =
l при /а</<(/2 + /1у//1;
1 при (/2+/1^)//1<^<V
(13.45)
где (h+ht $)lh = t' — момент переключения оптимального
управления (рис. 13.10). Какой вариант управления
[формула (13.44) или (13.45), рис. 13.10, а или б] будет
действительно оптимальным по быстродействию, покажет
дальнейшее решение.
Оптимальное управление еще не найдено до конца, так
как формулы u° = u°(t) имеют неизвестные t' и t$,причем
первая из них зависит от U и /2. Для определения этих
неизвестных необходимо воспользоваться краевыми
условиями (13.42) x{t$ ) =хр.Решение продолжим, приняв для
определенности ta =0, х а=(0, О)7, х& =(1,0)'.
4. Примем управление по варианту (13.44).
Воспользоваться формулой Коши (13.25) можно после вычисления
фундаментальной матрицы X(t, ta) по выражению (13.28).
Для ее получения необходимо решить уравнение
(13.46)
г = Az,
в котором матрица А-
z2 = QZl + 0z2,
:(gj ). Итак, решим систему (13.46)
620

или z\=z2; 22 = 0. После интегрирования
2L = cLt + 4, z2 = Ci. 03,47)
Можно указать два линейно независимых решения (в
векторной форме)
2а»=/^+^\ ^в(^' + Л. О3-48)
с!11 ) \ с?
Для того, чтобы решения zM и z(2) были линейно
независимыми, векторы не должны быть коллинеарными, т. е.
(c\"t±cP)lc[l) Ф(с?и+с^)/с?\ или с W фс^/сР.
Если коэффициенты в формулах (13.48) будут
удовлетворять последнему условию, то действительно векторы (13.48)
будут линейно независимыми. Матрицу Z можно записать
с помощью формулы (13.27)
ztt\= Г1 t + C2 Cl t + C2
{ с[Х)
Определим матрицу, обратную Z, т. е. матрицу Z~'
[читателю следует вспомнить теорию матриц].
ср (с(2>г+42))
r4oJ (4,>^)-^i1,42>) (4М2,-41)42))
Составим фундаментальную матрицу (13.28)
*(<•'.)-(Г^
Из формулы Коши при t=tf, следует
х (*р) = X (*„, ta)x* + f X (/р, т) b (т) u(T)dr =
«а
iVTo) + Ko'r)(°o)W-
о
t
+
*
621

-я
/
dx
Или интегрируя каждый элемент матрицы:
J (/э — т) dx — f (*р — т) dx
J dx — j dx
*('з) =
^ (t\n - (/p - if
{ 2/' -1&
5. Приравняв последний результат заданному
конечному значению фазового вектора л:р =(1, 0)', получим
'g/2-('3-Oa=i;i
2/' — *в = 0.
(13.49)
Следовательно, t$ = 2, a t'=\. Тем самым определено
оптимальное управление (13.44). Условия задачи оказались
такими, что миновала необходимость определения U и /2.
В пунктах 4 и 5 разобрано управление по варианту (13.44).
Рассмотрим теперь вариант управления в соответствии
с формулами (13.45). Из формулы Коши при t = t$ следует
<: /1 ^-т\ /о\ 'э /1 /э —т\ /о
x(W-Ho .)d)(-1)dT + i(o
>dx \ ((f^-t'f-^12
Xldx
\
X
1
1
J _f (fp-T)dT+J (t»-T)l
■t' + (h-t')
\h-2t'
Если приравнять этот результат хр = (1,0)', то получим
(<3-Оя-^/2=1;1
/3-2f = 0. J
Эта система не имеет действительного корня. Управление
по варианту (13.45) не приводит к решению и неприемлемо.
622

(13.51)
Корни уравнений (13.49) дают решение задачи: 7° =
===/р=2; t'=\\ оптимальное управление дают формулы
(13.44).
6. Найдем оптимальную фазовую траекторию.
Интегрирование уравнений движения (13.41) на отрезке 0^'
^</'=1, на котором ы° = 1, дает x\ = t+Cu x°l=t2/2+
[+Cit+c2. Из граничных условий х\ (0) =0 и х2 (0) =0
следует Ci = 0 и с2 = 0. Итак, при 0</<^=1
х\ = Ш\ x\ = t. (13.50
На отрезке \<t^t\ = 2 и°=—1, а из уравнений
движения (13.41) следует x°2=—t+c3; х°х =—t2/2+c3t-\-cA.
Фазовая траектория при t = t/=l непрерывна; это позволяет
определить с3 = 2 и с4 = — 1. Итак, при l=f/</^p = 2
xv = —tV2 + 2t— 1;
Фазовую траекторию (13.50) и (13.51) можно также
определить из формулы Коши (13.25). Это ради упражнения
читатель может сделать самостоятельно.
На рис. 13.11 показана оптимальная фазовая
траектория (линия со стрелками) движения слитка по рольгангу
для частного случая Хсс=0; Х$ =L; v а =v^ =0 илиагГ =
«1; Х*=Х$=Х* = 0.
Фазовая траектория построена для раската.
Механический смысл уравнения следующий: u(t)—это
безразмерная сила тренуя,
действующая со стороны рольганга
на раскат [см. формулы
(13.40) и (13.43)]. Для
того, чтобы безразмерная сила
трения на первом участке
фазовой траектории была
u°(t) = l, окружная
скорость у роликов должна
быть равна или больше, чем
У раската, а для и0 (t) = — 1 на второй ветви фазовой
траектории рольганг должен иметь скорость, равную или
меньше скорости раската. На рис. 13.11 заштрихована область
необходимых скоростей рольганга по его длине (величины
#i и х2 безразмерные), обеспечивающих оптимальное его
быстродействие при перемещении слитка.
Рассмотрим еще один пример: оптимизация по быстро-
7 X,
623-

действию работы реверсивного прокатного хтана в преде,
лах одного пропуска. Оптимизация пропуска по быстро,
действию — это поиск управляющих параметров, которые
обеспечат прокатку за минимальное время. Решение
начнем с составления уравнения движения системы, состоящей
из прокатного валка /, соединительных муфт 2, шпинделя
3 и якоря электродвигателя 4 (рис, 13.12)
J0y = M — MT — Mn9 (13.52)
где /0 — момент инерции вращающихся деталей; ф —
угловое ускорение вращения; М — момент, развиваемый
двигателем; Мт — момент, затрачиваемый, на преодоление
трения в подшипниках валков, шпинделей и муфт;
Мп—момент, требующийся для прокатки полосы. Будем считать,
что /0 и Мт — заданные и постоянные характеристики
прокатного стана. Для определения Мп следовало бы решить
предварительную краевую задачу прокатки полосы, а
затем, исходя из третьего закона Ньютона (о действии и
противодействии), выразить Ми через условия прокатки
МП=МП(Ф, Ф,Ф,',..-). (13.53)
Поскольку целью главы является знакомство с основами
теории оптимизации, а рассматриваемая задача является
всего лишь второй иллюстрацией ее применения, то
выражение (13.53) представим проще, т. е, состоящим из двух
слагаемых:
Мп = Мп.в + Мал, (13.54)
С24

где.. Мп.с —статическая часть момента прокатки
(постоянная и известная из условий режима обжатий, вида
прокатываемого материала и т. п.); Мп.д — динамическая
часть момента прокатки, связанная с ускорением полосы.
Представим эту часть момента прокатки. Если принять
тхжтЯц (#^7?ф), то момент, приходящийся на один
валок:
Мп.д«(тЯф)Д/2, (13.55)
где т — масса прокатываемой полосы; R — радиус валка.
Итак, с учетом всего сказанного, уравнение движения
примет вид
(J0 + mRm) ф - М — (Мт + Мп.с)
или после введения новых обозначений
JeP<p/dT* = М — Мс. (13.56)
где / — момент инерции вращающихся деталей вместе с
моментом инерции половины прокатываемой полосы; Мс—■
момент, затрачиваемый на преодоление сопротивления
трения в подшипниках и прокатку половины полосы. Момент
М, развиваемый двигателем, будем считать управлением.
Приведем задачу к каноническому виду. Введем
безразмерные величины, разделив уравнение (13.56) на
максимальный момент Afmax, который может развить
двигатель:
и = М/Мтах; тс = МсШтах; t - 77(/Штахр1 (13.57)
Обозначим лг1 = ф — угол поворота валка в радианах, х2 =
= dq>/dt— безразмерную угловую скорость вращения
валка.
Тогда уравнение (13.56) обратится в систему вида
xv =г х2; х2 = и — тс. (13.58)
Управление системой (13.58) может осуществляться так,
чтобы момент, развиваемый двигателем, не превышал
Мтах, Т. е.
|а|<1. (13.59)
Будем считать, что задан фазовый вектор в начале
пропуска при t=ta =0 и в его конце. Отсчет угла поворота
ведем от момента ^.Необходимо избрать из допустимых
управлений (13.59) такое, которое обеспечит 7,°==гшп£р =
^t в.
Решение этой оптимизационной задачи выполнить прос-
40—382
625

то, придерживаясь порядка из решения предыдущей зада,
чи. Для проверки сообщим, что оптимальное управление
приводом стана соответствует рис. 13.13 (здесь /§ =£2t')4
Время реализации пропуска в оптимальном режиме
*1 <^т
*и°
Ч = {~ *? + 2 V^(^)2/4 + (1 - mc) [х\ + (4)2/2(1 +тс) +
+ (х«)Щ]/(1 + тс) - х\ (1 - тс)/(1 + тс) }/(1 - тс).
(13.60)
Переключение двигателя должно
производиться в момент
*' = {-*?+ U + "У X
xl/(^)2/4 + (l-^mc)[x3 +
+ (4)2/2(l+mc) + (^)2/4]/
7(1 + /ис)}/(1
\
г'
ч.
mc).
(13.61)
Подобным образом решают задачи об оптимальном по
быстродействию движении других механизмов прокатного
стана (нажимного устройства, манипулятора и т. п.),
испытывающих сопротивление движению от трения в
механизмах и рабочей нагрузки.
13.6. Оптимальное управление
по наилучшему приближению к цели
Рассмотрим вторую задачу оптимизации процесса управления
движением. Движение некоторой системы описывают дифференциальным
уравнением (в векторной форме)
х = Ах + Ви. (13.62)
Движение управляется из множества допустимых управлений, т. е.
и£ Qu. (13.63)
Дано положение системы в начале движения
x{ta)=xa. (13.64)
Дан отрезок времени управляемого движения [ta , to ]. В отличие
от предыдущей задачи здесь t^ —известная величина. Дано
положение системы, в которую следует ее привести к моменту времени /р-~
__х$ . Но система по каким-либо причинам в точности не может
достичь x°J , т.е. x\t § )=7^* . Задача состоит в том, чтобы выбрать
такое управление и°=«°(/)ейи, при котором система наилучшим образом
626

приближается к заданной цели, т.е. будет достигнут тт||л:(/о )— х$ ||.
Заметим, что изменением отсчета в фазовом пространстве всегда
можно сделать так, чтобы xv
-(x\
Р
-Р \> =
)г=(0,... , 0)' = 0. Таким
образом, оптимизация может осуществляться по критерию min||jc(f р )||=»
— m'm[xl(to ) +...+лг^ (t а)]1/2, т.е. по наилучшему достижению начала
координат в фазовом пространстве.
Для решения этой задачи вновь используем понятие области
достижимости G|/=fp (рис. 13.14). Решение даст точка x°(t^ ), которая,
во-первых, расположена на границе области достижимости, и, во-вторых,
находится ближе всех к началу координат. Точке x°(t^ ) будет
отвечать некоторая траектория и
соответствующее управление и° =
~u°(t)y которые будут
оптимальными.
Составим алгоритм решения.
Выйти на поверхность области
достижимости G\t=tR можно с
помощью принципа максимума.
Для этого по заданной системе
(13.62) строят присоединенную
систему дифференциальных
уравнений р=—А'р, решение которой
при краевом условии p(to )=1
позволяет найти оптимальное
управление u° = u°(t, /), правда, с
точностью до неизвестных пока значений составляющих
единичного вектора /=(/ь..., /„)', где ||/|| = 1. Оптимальное управление
u°=u°(t, I) определится из принципа максимума
X°(t)npuu°(t]
max[p'(t)B(t)u]
(13.65)
По найденному таким образом оптимальному уравнению (можно
его назвать условно оптимальным, так как оно не определено еще
единственным образом из-за неизвестного вектора /) можно с помощью
формулы Коши (13.25) найти x(t$ ,/). Теперь нужно определить
вектор /, отвечающий точке x°(t« ), которая ближе всех расположена к
началу координат. Точке x°(t^ ) будет отвечать (см. рис. 13.14)
минимум скалярного произведения </, x(to , /)>. Итак, параметры 1± ,...,
Рп определятся из решения задачи математического программирования
™п=111Л (<э. О + • • • + '»*» ft» - 0I- <13-66)
Определение вектора /° из условия (13.66) будет означать, что найдено
оптимальное управление u° = u°(t) и соответствующее ему оптимальное
движение x°=x°(t), где /а</<^.
Точку л;0(/о), расположённую ближе всего к началу координат
(рис. 13.14) и сообщающую минимум \\x(t^ ) ll = [*i (t^) +...+
+ *~(^р)]1/2, можно представить как точку касания области дости-
40*
627

жимости с гиперсферой, построенной из начала координат и имеющей
радиус, равный min|U(/p. )11.
Прием решения задачи оптимизации, основанный на максимизации
по условию (13.65) и минимизации по условию (13.66) называют
правилом минимакса Это правило было высказано и обосновано Н. Н. Кра-
совским как необходимое и достаточное условие оптимальности.
Иллюстрация применения правила минимакса будет рассмотрена ниже на
конкретной задаче.
Упражнение
Дано: Х\=х2\ х2 = и\ Qu={u: 0<w(/)<l, 0</</р =1}; #i(0) = l;
х2(0)= — 1; xf =#§ =0. Найти такое управление u° = u°(t) из
заданного множества Qu, при котором система максимально будет близка в
конце движения x°(t ^) к точке х $ =0 и величину отклонения x°(t р)
от заданной цели х^ =0 в конце движения. Ответ: u°(t) = \ при
0</<1; ||jc°(/p ) 11 = 1/2; *?(/р ) = 1/2; х?2 (fp )=0. Указание:
принцип максимума показал, что оптимальное управление может быгь
таким: u°{t)=0 при 0</<Г и u°(t) = \ при *'</<1, либо u°(t) = \ при
0</.</' и u°(t)=0 при /'</<: 1. Как оказалось, наилучшее приближе-
к цели обеспечивает второй вариант управления. Применение формулы
Коши дало x\(t {, ) = 1/2— (1— /')2/2; x2(t$ )=/'—-1. Задачу решает
условие dldt'[x \ (/ р ) +х \ (t р )]^2=0.
13.7. Оптимальный нагрев металла в камерной печи
Методы теории оптимального управления могут быть
применены для решения задач оптимизации движения,
которое описывают дифференциальными уравнениями в частных
производных. Такие задачи называют задачами с
распределенными параметрами.
Рассмотрим задачу оптимального управления
процессом нагрева металла в камерной печи. Нагревательное
устройство работает в составе участка по обработке
металла давлением. Его задача за отведенный заданный
промежуток времени T=t —ta обеспечить наилучший нагрев:
температура по телу металлической заготовки должна в
результате нагрева максимально приблизиться к заданной
по технологии температуре. Мощность нагревательного
устройства (газовых горелок или электронагревателей)
может в процессе нагрева регулироваться, однако она
ограничена. Дадим аналитическую формулировку задачи, т. е.
создадим математическую модель.
Пусть тепловая мощность печи W, ею можно управлять
и она ограничена Wmax, т. е. 0<W<tt?max. Последнее в
безразмерном виде имеет вид
0<и<1, (13.67)
628

где u=W/Wmax — управление. Условие (13.67)
определяет множество допустимых управлений Qu.
Согласно закону сохранения тепловой энергии,
мощность будет расходоваться на нагрев металла,
находящегося в печи, на тепловые потери в атмосферу цеха через
стенки печи и на повышение ее температуры. Это можно
записать в виде W = сх (0Р — 0г) + с2 (0р — 6С) + с3Ьр,
гдг си с2 и с3 — известные размерные коэффициенты.
Последнее уравнение в безразмерном виде (приняв Q/Qc=x)
таково:
*р = я0*р + ЯЛ + Ьхи + /х, (13.68)
где а0, Яь Ъ\у f\ — известные коэффициенты. Потоки тепла
в металл и атмосферу цеха пропорциональны разности
температур печи Эр, поверхности металла 8i и цеха 0С
соответственно.
Нагрев металла описывается дифференциальным
уравнением теплопроводности ср0 = (АД;),;, где с, К и р —
коэффициенты теплоемкости, теплопроводности и массовая
плотность металла соответственно. Если ограничиться
случаем нагрева пластины (сляба или листа) и принять к —
= const, то последнее уравнение имеет вид
0 = адЮ/дг\
где а=Х/ср. Последнее
дифференциальное
уравнение в частных
производных можно заменить
системой обыкновенных
дифференциальных
уравнений, для чего
производные dQ/dz и d2Q/dz2
записывают приближенно с
помощью конечных разностей.
Разделим мысленно пластину на слои (рис. 13.15).
Будем наблюдать за температурой в узлах давления
толщины s на слои. Неизвестными температурами будут 0Ь 02,...,
0п, 0/2+1 (пластина нагревается симметрично). Если i —
номер произвольного узла i, то производные в этом узле
можно аппроксимировать в виде
d9,/d*«(e,_i —в,+1)/2Д; 1
WJd* « Г(0<-1 - 0,)/Д - (0* - е/+1)/Д1/Д = (13 70)
-(0,^-20, + 0,+0/Д^ J
(13.69)
629

Уравнение (13.69), будучи записанным с учетом формул
(13.70) для отдельных узлов с номерами i=l, 2, ..., п, га+1,
может быть представлено системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
ёх = (а/А2) 90 — (2а/А2) в2 + (а/А2) 92;
92 = (а/Д2) 9Х — (2а/Д2) 92 + (а/А2) 93;
(13.71)
вп = (а/Д2) e„_! - (2а/Д2) 9, + (а/А2) 9я+1;
вл+1 = (а/Д2) 9П - (2а/Д2) вя+1 + (а/Д2) 9п+2.
В систему (13.71) формальным образом вошли лишние
неизвестные 90 и 9л+2. Исключим их из граничных условий
Так, из-за симметрии пластины d§n+\/dz = 0, тогда из
первой формулы (13.70) следует: 9^+2 = 9^. Выше показано,
что тепловой поток в нагреваемый металл соответствует
граничным условиям третьего рода
Ш.ЛЭг-а^р—9Х).
Имея в виду первую формулу (13.70), последнее условие
можно представить в виде 8о= (а2ДД)6р—^(а2ДД)81+82.
Приведем систему (13.71) к безразмерному виду,
поделив ее на известную 8С = const. Если учесть последнюю
формулу и 8п+2 = 9Л, то она запишется в виде
*i = a2xv — Яз*1 + 2а4*2;
х2 = a4*x — 2а4*2 + а4*3;
хп = а4хп-х — 2а4хп + а4хп+1\
(13.72)
xn+i = 2а^хп — 2аАхп+и
где обозначено а2 = а2аДД; а3 = 2а/Д2+а2ДД; а4==а/Д2.
Обобщим постановку задачи. Работа камерной печи,
предназначенной для нагрева металла, описывается
системой обыкновенных дифференциальных уравнений (13.68) и
(13.72). В исходный момент времени t = ta задана
температура печи и металла
*р(<«) = ^ *i(<.) -*?:•••; **»{*<*) =^+1. (13-73>
Управление нагревом может осуществляться в
соответствии с условием и(^)ей«; множество Qu определено как
подмножество кусочно-непрерывных функций,
удовлетворяющих неравенствам (13.G7). Задача состоит в том, чтобы
630

(13.74)
осуществить нагрев металла в соответствии с уравнениями
(13.68), (13.72) и начальным условием (13.73),
применив оптимальное управление u°(t)^Qu, которое
обеспечивает для металла min ||л:(£р)||. Шкалу отсчета темпера-
туры можно избрать такой, что заданная температура
нагрева металла будет л:р=(л;?, ..., х{п+\ )'=(0,..., 0)'=0.
Известно, что x(t$)=£x р, но фазовый вектор x(t$ )
стремится как можно ближе (по норме) достичь значения х$.
Дальнейшее рассмотрение задачи проведем для
наипростейшего разбиения на два слоя, приняв п=\. Примем
коэффициенты: а0=—1; а1 = а4 = Ь = 1; а2 = 20; а3=22;
/=0. Система уравнений (13.68) и (13.72) приобретет вид
хр = — 1хр + \xi + 0*2 + 1и;
xL = 20 xv — 22a:x + 2х2 + Ои;
х2 = 0хр + 2xt — 2х2 + Он.
Краевые условия следующие: ха =x'(to)=x\0) = (0, 0, О)7;
*е = 15;*?=*§=Ю.
1. Составим для уравнений (13.74) присоединенную
систему р=—А'р. В рассматриваемом случае матрицы
А А 20-22 2); 6=|0): -А'
\ 0 2 —2/
Тогда
Л = -1рр + 22Л-2р2; } 03 75)
Рг = °Рр — 2Pi + 2Рг-
2. Решим присоединенную систему (13.75) при
граничных условиях р(^р)=/. Известно, что эти линейные
однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами имеют частное решение в виде
РР = У/'; Рг = у/*> Р2 = ?/*• (13.76)
Коэффициенты 7ь Т2 и уз определяются из условия, что
выражение (13.76) есть решение системы (13.75).
Действительно, его подстановка в формулу (13.75) дает
(1 _ X) Y| _ Щ2 + 0у3 = 0; ]
-у1 + (22-^)у2-2у3 = 0; (13.77!
0y1-2y2 + (2-^)73 = 0- J
631

Эта система линейных однородных алгебраических
уравнений должна иметь нетривиальное решение (тривиальное
решение Yi==Y2=Y3 = 0 не приведет к решению задачи),
следовательно, определитель системы (13.77) равен нулю.
Получаем так называемое характеристическое уравнение
1(1—Ь) —20 0
или
— 1 (22 —Л,) —2
0 — 2 (2—К)
-Ь8 + 25Ь2 —44Ь=.0.
=■0,
(13.78)
Корни уравнения (13.78) следующие: ^i = 0,00; Я2=1,90;
Лз = 23,0. Поочередно подставляя в систему (13.77) Хи ta
и Я3, для каждого X получим значения корней у
X
0,00
1,90
23,0
Ч
с*
Y2
Ci/20
—0,90с2
—22,0с3
Y3
^/20
—19,0с2
2,Юс3
Общие решения (сумма частных решений)
ной системы (13.75) имеют вид
,ot.
Pl - Cl/20 — 0,90 c2e^t — 22,0 с3е^
р2 = q/20 — 19,0 c2e*w + 2,10c3e^.
присоединен-
(13.79)
С учетом краевых условий p(t$)=l для определения си
с2 и съ общие решения окончательно имеют вид
Р^Ъ + у-^^ + Ъе-2™*-» ;
Pl = У20 - 0,90 gjc-^Cp-O _ 22,0 g8e-2W('»-0;
р2 = |2/20 - 19,0 £2в-1Л0(/В-')+ 2,10 g.e-^Cp-'), (13.80)
где
& - 0,909 /р + 0,9097! + 0,909 /2;
£2 = 0,052 /р— 0,047 /х — 0,991 12;
13 = 0,039 /р — 0,8621Х + 0,082 /2.
3. Применим принцип максимума для определения
оптимального управления
p'(t) Ь (0 м° = max \p'(f) b (t) и] =
'1
= max
(Pv(f), Pi®, Р*Щ°0 I"
= max [рр(/)и].
(13.81)
632

n bit
Известно, что функция ^Ще Не больше чем п раз
/=i
пересекает ось /, т. е. обращается в нуль. Оказалось, что
функция, стоящая в первой строчке формул (13.79) на
интервале (0, /р ) один раз обращается в нуль при t = t'.
Это позволяет указать такое оптимальное управление:
(1 при 0 < t < t\ так как pv (t) > 0;
u°(t) = (13.82)
[0 при /' < f < *и , так как pv{t) < 0.
4. Оптимальное управление (13.82) еще не найдено,
так как неизвестен момент переключения управления Vу
который выражается через /р, /ь к условием pp[t')=.0. Для
определения вектора /=(/р, Л, U)', норма которого ||/|| = 1,
воспользуемся второй частью правила минимакса. Цель
нагрева — как можно лучше нагреть металл. Вторая часть
правила минимакса, дающая решение задачи /р, /?, U\
min [/Ли, O + Wp. 01- (13-83)
(ЗД1/2 <i
Температура печи по условию задачи может быть любой.
В этом случае /р выбирают произвольно (например /р=0),
а минимизация, как указано в условии (13.83), производят
только по 1\ и /2. При этом длина вектора (/ь 12)' будет
не больше единицы. Если же /Р = 0, то (/j+'l )1/2 = 1.
Прежде чем применить условие (13.83) для определения
*?, Й, подсчитаем *i(f р , /) и *2(* р ■ z) по Ф°РмУ«ле Коши
(13.25), приняв f=f р и оптимальное управление в
соответствии с формулой (13.82)
** W
+ j3X(/p,T)(oJodT. (13.84)
Для вычислений в (13.84) нужна фундаментальная
матрица Х(/р, ta)=Z(tfi )Z-*{ta), где Z(^p)—матрица
решений системы однородных уравнений z=Az\ Z~l(ta) —
ее обратная матрица. Решения уравнений z=Az получают
таким же путем, как решения присоединенной системы р =
=—Ар. В результате корнями характеристического урав-
633

нения будут величины ХГ==0- Ju— 1 пЛ , " Л ,.
ца Z(tfi ) запишется в виде 1,90; ^=-23,0. Матри-
\1 -19,0е^90'р 2,Юе-23-°'Р
Обратную матрицу вычисляют по формуле Z-'(/) = (zi/)7
/|Z(r) |, где zi/= (—1)/+/Д|//; if /==!... n> a Af,/ —минор,
определитель порядка /г—1, получающийся из определителя
\Z(t) | вычеркиванием t'-той строки и /-того столбца. Итак,
фундаментальная матрица имеет вид
*&•'«) =
/0,909 + 0,052 ^lw3^a) +О,О39е-23'О(/0-'«> ...N
= 0,909 - 0,047 Г1,90(/Иа) — 0,862 гГ23'0^"^ ...
у),909 — 0,495 бГ1'90^-^ + 0,041 <Г23'0('^а) ...
(13.85)
Здесь ради краткости написан лишь первый столбец
матрицы.
До сих пор не было необходимости в таком изменении
шкалы отсчета составляющих фазового вектора x=x(t),
чтобы краевые условия обрели канонический вид: система
должна «стартовать» не из начала координат ха Ф0 и
стремиться «финишировать» по возможности в точке,
расположенной ближе всего к началу координат х13 =0.
Изменим шкалу. Пусть фазовые переменные в новой шкале
x*(t)=x(t) — (10 10 10)'. Нетрудно убедиться, что это не
приведет к изменению системы дифференциальных
уравнений (13.74), поэтому все рассуждения, приведенные выше,
остаются справедливыми. Краевые условия задачи в
новой шкале
х** = х*(0) = (— 10, — 10, — 10)'; х]$ = *;з = 0; /э = 15.
(13.86)
Окончательно подставим матрицу (13.85) и
соответствующие краевые условия (13.86) в формулу (13.84), а
результат— в формулу (13.83). Минимизация последнего
дает I г и / § > что позволяет определить момент
переключения управления (13.82) *' = 10,7; относительную
температуру поверхности пластины X\(t^)=X\(l5)=9J4\ ее цен-
634

тра x2\t V) =х2(1Ь) =9,65. Заметим, что лучше нагреть за
данный отрезок времени от заданной температуры в
заданной печи невозможно. Относительная температура печи в
конце процесса нагрева оказалась xp(t $ ) =9,76.
13.8. Оптимальное управление по расходу ресурсов
на движение. Условие управляемости линейной системы
Рассмотрим третью задачу оптимального управления движением
линейных систем. Движение описывают векторным уравнением
х = Ах+Ьи. (13.87)
Оно начинается из точки
*(/а) = ха =(*?•...., *«)', (13.88)
а заканчивается в точке
х (/р) = jfi = (*f,..., *g)' = (0,..., 0)'. (13.89)
Краевые условия для конца движения можно представить в указанной
форме, переместив начало координат фазового пространства в точку
х$=х((а). Отрезок вермени [ta, t^ ] задан. Задача состоит в том,
чтобы выбрать такое управление u°=u°(t) при ta </^/о > ПРИ
котором система имела бы наименьшее (по расходу ресурсов) значение
функционала
у> = гшп Г И2^/. (13.90)
Подынтегральное выражение может иметь другой вид. Здесь оно
выбрано таким, потому что в электрических машинах расход мощности
пропорционален квадрату силы тока, которой можно управлять.
Осуществим решение, изменив постановку задачи. Введем новую
переменную
t
z„+i(0 = f и2(т) dTi ta<x<t, ta<t<tp.
Тогда, дифференцируя последнее выражение по t, получим
гп+л=иК (13.91)
После этого движение будет описываться системой дифференциальных
уравнений, объединяющей (13.87) и (13.91), которую теперь можно
написать в виде
'z==Az + f(ty и). (13-92>
Здесь вектор z= (*ь..., хп, zn+\)' имеет размерность я+1;
Л—квадратная матрица размерности л-t-l, отличающаяся от матрицы А «Х«
тем, что в матрице А справа добавлен нулевой столбец, а снизу
нулевая строка; f[t, и) — нелинейная векторная функция
635

f(t,u)
Вместо условия (13.88) будет новое краевое условие
*(<«) = (*?.•.- С £м)' = К.-... «. 0)'. (13.93)
Движение заканчивается в точке
г(<р) = («?,.... zg, *£<.,)' = (0,..., О, £<., (/„))'. (13.94)
Функционал качества управления, который следует минимизировать,
выбирая управление:
T° = *?+i('p) = niin2n+1(<p). (13.95)
Рассмотрим область достижимости G (рис. 13.16), но уже для
новой задачи (13.92) — (13.95). Область достижимости представляет
множество концов траекторий в фазовом пространстве размерности п+ 1 в
момент окончания движения. Она получается по формуле Коши (13.25)
при t = t о , если перебрать все множество возможных управлений
u=u(t) при t а <.t^.t р (кусочно-непрерывных функций). Оказалось,
что при некоторых ограничениях на управление G — выпуклое и
замкнутое множество. Решением рассматриваемой задачи будет точка
(О,..., О, z^+1 Х(^$))' точка пересечения оси zn+\ с поверхностью
области достижимости. В этой точке выполняются все условия задачи
(13.87) — (13.90) или в новой формулировке (13.92) — (13.95).
Отметим, что решение задачи опять лежит на поверхности области
достижимости G.
Воспользуемся принципом максимума для выбора тех управлений,
которые приводят конец траектории при t=t$ на поверхность
области G. В фазовом пространстве z размерности п+\ введем вектор
фиксированной (единичной) длины s=(sb ..., sn, sn+\)'= (lu ..., J„, sn+i)'.
Условие max <s, z' > даст точку на поверхности области G—2^, внеш-
zP ее
няя единичная нормаль в которой к касательной плоскости л; совпадает
с s (рис. 13.16). Перебрав все ориентации s, получим множество
граничных точек для области G.
Обратим принцип максимума в алгоритм. Итак,
max <s,ZP > = max (s *f +.. ,+ s^ + s„+1z£+1) =
zP £ G z$£g
= max (/,*? + ...+ ljn + Vh^+O = max (</, x* > +
zp£g zv> t G
+ V
Xdx
/п+1) + тах|//,
\ ^ ) f<3
> + Vfi I «2 (x) dx = max J [</, X (U , x) Ь (x)> « (x) -|-
7 'oc J Ua
ГГ26

+ *л+1иМт)Мт|.
(13.96)
(0,~>0>z°„+iltj*))
Здесь использована формула Коши (13.25) для исходной задачи,
независимость от управления первого слагаемого в формуле Коши,
независимость от времени вектора /=(/ь..., 1п)' и возможность вынесения
за знак скалярного произведения <...> скалярного множителя и(х).
Продолжим преобразования цепочки равенств (13.96). Можно по-
'р 'р
казать, что max f _ j* max.... Тогда в каждый момент ta<t<ta
должно выполняться условие
max [</, X(ta ,
и
t)b(t)>u+sn+lu*].
На и нет ограничений, функция в
квадратной скобке по и
дифференцируемая, поэтому, применяя
к ней необходимое условие
экстремума д[...]/ди = 0, получим из
принципа максимума
оптимальное управление
"о (Л *) = -</, А(/3 , t)b{t)>l2sn+v (13.97>
Найдено условно оптимальное управление. Как видно из
формулы (13.97), управление и°(/, s) зависит от неизвестного вектора s.
Его составляющие /ь ..., /n, sn+i определяют из п+\ условия (13.94)
и (13.95): равенства нулю х^—... — х^и условия минимума z п+\-
До сих пор предполагалось, что в рассмотренных задачах
оптимального управления имели дело с так называемыми управляемыми
системами. Однако в общем случае после формулировки задачи
оптимального управления следует проверить, является ли система
управляемой.
Система, движение которой описывают дифференциальным
уравнением х=АхЛ-Ьи, называют управляемой, если ее можно провести с по-
мощью некоторого управления из состояния ха в состояние х за
отрезок времени [t а, t ,> ].
Рассмотрим систему, движение которой на отрезке времени [t а> to]
описывается уравнением х=Ах+Ьи. Ее следует перевести из
положения ха в положение х & . По формуле Коши (13.25) в момент /=/ ^
имеем уравнение
J Х(% , т) Мт)Л = *р-*(/|з » 'а)**
или, так как правая часть,задана,
j X (/р , т) Ь (т) и (т) di = с.
(13.98)
637

Таким образом, чтобы решить поставленную выше задачу, надо
найти какое-либо u=u(t), решающее интегральное уравнение (13.98).
Если удастся найти управление, решающее задачу (13.98), то система
будет управляемой.
Искомое управление, решающее задачу (13.98) \ представим в виде
и(т) = Ь' X' (/р , т) /, (13.99)
где / — неизвестный вектор. Формула (13.99) соответствует выражению
(13.97), которое получено в предыдущей задаче из принципа
максимума, когда на управление не наложено ограничений. Следует заметить,
что </, ХЬ> = VXb = (Xb)f l = b'X'l.
Если подставить формулу (13.99) в (13.98), то вместо интегрального
уравнения получим линейные алгебраические уравнения (в матричном
виде)
Fl = c, (13.100)
где
'3
F= [ Х(% , т)Ь(т)Ь' (т)Х' (/р , x)dx.
Уравнения (13.100) должны иметь решение, чтобы система была
управляема. Если \F\Ф0У то тогда существует обратная матрица F~l и
решение
Следовательно, условие управляемости линейной системы таковы:
чтобы линейная система была управляемой необходимо и достаточно,
чтобы векторы b, Ab, ...уАп~1Ь были линейно независимы (п — размерность
системы).
Пример. Пусть дана система #i = *3; х2=хА\ x3=^i#i + «; л:4=
= Х2х2-\-и. Показать, при каких условиях система будет управляемой.
В рассматриваемом случае
0 1 0\
0 0 1
0 0
\ -° °'
Тогда
АЬ = \-о\; А (АЬ) = АЧ = I я, I; А {АЧ) = Л3^ = I
Можно ли подобрать числа аь а2, а3 и а4, среди которых по крайней
мере одно не равно нулю (это свойственно линейно зависимым
векторам), чтобы
+ а2 0 + <*3 [%. + «4
1 Эта задача в математике известна как проблема моментов.
638

Из последнего получаем
a2+Vc4 = 0;j ^ + ^«3=0;) (13 101)
a2 + ^2a4 = 0; J ОС! + X2a3 = 0. J
Решение первого столбца уравнений будет отличным от нуля, если
определитель
1 ^
1 А*
= 0.
Отсюда, если ^i = X2, то уравнения (13.101) относительно а имеют
ненулевое решение, векторы 6, Aby A2b, А3Ь линейно зависимы, а
заданная линейная система неуправляема. Если же Х\фк2, то система
управляема.
Упражнения
1. Показать, что формула Коши
t
x(t) = X(t, ta)x*-\- f X(t, i)[B(T)u(T) + w(T)]dx
является решением уравнения
x = Ax + Bu + w
при краевом условии x(ta)=xa. Решение: продифференцируем
формулу Коши по времени
i(/) = *(/, ta) x* + X(t, t)[B{t)u(t) + w(t)] +
+ \ X(t, %){B(i)u(%) + w(%)]d%.
'a
Ho X(t, t)=Z(t)Z-i(()=E и X(/, T)=Z(t)Z-4x)=A(t)Z(t)Z-*(T) =
=A(t)X(ty x), так как столбцы матрицы Z(t) являются решением
уравнения z—Az. Поэтому результат дифференцирования формулы Коши
можно записать
( ^
x(t) = A(!) \X(it ta)xa + f X(t, т)[Я(т)н(т) +
+ w (x)] d%\ + B(t)u (t) + w(i) = A (t) x(t) + B (t) и (t) + w (t).
Подстановка x(t) из последнего выражения в дифференциальное
уравнение обраихает его в тождество. Легко показать, что формула Коши
при t = ta удовлетворяют начальному условию x(t а)—ха.
2. Показать, что формула (13.97) справедлива также для задачи
оптимального управления по расходу ресурсов системой, движение
которой описывают дифференциальным уравнением x=Ax-\-bu-Vw.
639

13.9. Реверсивная прокатка с оптимальным расходом
электроэнергии
Обратимся к конкретной задаче, иллюстрирующей
материал предыдущего пункта. Читателю рекомендуется
запомнить порядок решения, он общий для всех подобных задач
управления.
1. Сформулируем математическую задачу оптимального
по расходу электроэнергии управления главным приводом
реверсивного прокатного стана. Движение валков и
прокатываемой в них полосы описывается
дифференциальными уравнениями (13.55). Управлять можно силой тока и,
подаваемого на двигатель. Момент, развиваемый
двигателем, считаем пропорциональным силе тока vu. Заметим,
что время пропуска в реверсивном прокатном стане Г =
= tp,—ta в задаче таково, что больше Г°, т.е.
оптимального по быстродействию. Стан как бы располагает
резервом по производительности, он не является узким местом
на участке обжимного стана (рис. 13.8), поэтому уместно
при заданной производительности экономить ресурсы.
Итак, задача состоит в том, чтобы найти оптимальное
управление u° = u°(t) приводом реверсивного стана,
движение которого описывается системой линейных
дифференциальных уравнений
xi = хч\ х2 = vu — тс. (13.102)
Объект необходимо перевести за заданный отрезок
времени [/ а, # (з] ИЗ СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ
x(ta) =x« = (xf, х*)' = (xf, О)'. (13.103)
в начало координат фазового пространства
* (*р) = *3 = (0, 0)'. (13.104)
Управление при этом должно быть таким, чтобы
функционал
1 = f u2{t)dt (13.105)
на оптимальном управлении достигал минимума у0.
2. Исходя из принципа максимума, можно по формуле
(13.97) определить оптимальное управление с точностью
до неизвестных пока параметров /ь 12 и s3. В данном
случае исходная задача имеет размерность фазового вектора
G40

м = 2. Прежде вычислим фундаментальную матрицу
Х(£р, t)y входящую в формулу (13.97). В
рассматриваемом случае она имеет вид
Для ее получения необходимо решить уравнение
w = Aw, (13.106)
в котором А—матрица системы (13.102), которая равна
А=(оо ): Решим систему (13.106), или проще w\=w<t;
ш2 = 0. Оказалось, что wx = c\t+C2\ w2 = Cu
Можно указать два линейно независимых решения
1 J 2 2 l (13.107)
И,(2) ^cWf + cC». w{2) =c(2)t |
если с[2)/с[1)фс?Щ1)-
Матрица (13.27) в рассматриваемой задаче
w*-(*"£*"е'"'^) <lз■l08,
Определим матрицу, обратную (13.108)
с?> (С<2><+42))
w-1 (о = [ (4U 42) -41' 42>) (4" 42) - 41' 42))
ф (41,^+41))
(41)42,-41,42)) (41,42,-41,42))
(13.109)
По формуле (13.28) составим фундаментальную матрицу
Как следует из формулы (13.97) п. 13.8, необходимо
вычислить произведение матриц
тогда оптимальное управление
41—382 641

/2s8=- (h, Q ( & ^ /:) Vj/2S3 =- v [/, (/p -7) + l2]/2s3.
(13.111)
3. Оптимальное управление определено с точностью до
неизвестных коэффициентов /ь /2 и S3. Определим вектор
s=(h, h, h)- Из формулы Коши (см. упражнение 1 в п.
13.7)
'В
хр = X [tp, t*) ха + [ X (*р> т) [6 (т) и (т) + ш (т)] rft.
'а
Вектор дс'Р в конце процесса задан условиями (13.104). В
составляющих последнее уравнение для рассматриваемой
задачи имеет вид
х\
1 tt-ta\(x?
+
0 1
1 <э_т\/ 0
0 1 ) \—тс
+
^PvT)V)«°(t,S) +
dx =
0 '
^+(W*K+]l>('e-T)"0(T's>-
тЛЧ~ T)]dT = °;
*« + f [vu°(t, s) — /nc]dT = 0.
fa
(13.112)
Подставим в выражение (13.112) оптимальное управление
(13.111)
*? + (<*- '.) *?- j v2 (<р- * (<i - т) +
+ l2}d%l2s3 — f mc (fp — т) dx = 0;
'a
*?+ j* {-v2[/1(/p-t)+ /2]/2s3-/nc}dT=0.
(13.113)
642

Несложно преобразовать последнюю систему Уравнений:
к [*» - *«т к/ч+1 v2 (*, - tay/2 ] ць -
h2 ft - **)*Щ v«3 + к ft - g] у% =
= 2[^-mcft-g],
а ее решение будет таким:
(W = (24^а + 12 ft - /J *?]/v- ft - g3; |
(Vs3)°=-[12x« + 4(/p-g*«+ (13.114)
+ 2ft-yX]/Vft-ga. )
Итак, оптимальное управление по экономии ресурсов
на движение найдено. Его дает формула (13.111), или
выражение:
ио да „ v [^ _ щ lJs3y+(l2/s3r]J2t (13.115)
в которое следует подставить значение (/1/53)° и (fa/ss)0 из
формул (13.114).
4. Подсчитаем на последнем этапе оптимальный расход
ресурсов на движение. Из формулы (13.105) следует
Т0 = j „02 ф Л#
Подставив функцию u°(t), определенную формулами
(13.115) и (13.114), в последний функционал, получим
оптимальный расход электроэнергии.
Заметим, что оптимальное управление по экономии
электроэнергии работой реверсивного прокатного стана
существенно иное, чем по быстродействию (рис. 13.13). Как
следует из решения задачи по быстродействию,
оптимальное управление станом носит так называемый релейный
характер: при t=t(x включается максимальное управление и
поддерживается таким все время ta^t<t', в момент / = /'
оно переключается на обратное и поддерживается таким
до конца движения t\^t^.t$. Оптимальное же по экономии
электроэнергии управление тем же станом будет плавным
и меняющимся, как,следует из формулы (13.115), на
отрезке [tatt$] по линейному закону (на рис. 13.13 это
управление показано штриховой линией).
41*
643

13.10. Динамическое программирование
/
Динамическое программирование рассматривает движение систем и
его оптимизацию. Система в динамическом программировании
представляется аналитически как вектор состояния х, вектор управления и
■и заданное правило преобразования Т вектора состояния х в процессе
движения. Динамическое программирование рассматривает как
частный случай движение, которому были посвящены п. 13.3—13.8. Там
вектором состояния был фазовый вектор, а преобразование Т было
решением заданной системы обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений. В общем случае динамическое программирование
рассматривает движения, которые описывают не только обыкновенными
линейными дифференциальными уравнениями, но и более общими
зависимостями (разностными, дифференциально-разностными,
интегральными уравнениями и т. п., правда к ним предъявляют некоторые
требования, о которых будет сказано ниже).
Пусть вектор состояния в исходный момент х(0>. Применив
некоторое управление (вектор w(0)), по х(0> и w(0> с помощью заданного
преобразования Т (допустим оно дано в виде функции) можно
получить вектор х(1) = Т(х{0\ и(0)). Избрав некоторый вектор управления
и*1*, по л;(л) и и(Х) можно подсчитать вектор л:^2) = Г(л:<1>, и{1)) =
= Т[Т(х(°\ и(0)), и*1)] и т.д. Таким образом, можно получить для
принятых *<°> и управлений м(°), и*1), ..., и{п-1\ ... дискретное множество
векторов х{1\ х(2), ..., х^п\ ..., которое называют многошаговым
процессом. Если число шагов ограничено, то процесс называют N-шаговым.
Векторы управления и выбирают из множества допустимых
управлений Qu, обусловленного некоторыми ограничениями. Вектор состояния
х также имеет свои ограничения и x^Qx. Итак, удовлетворяя
ограничения we и и JfG х, можно указать некоторый А/-шаговый процесс
у(0).
= х<2>(*<0), и<°>, и<1));
х(п) = т (^-l) f и(п-1>) =
:*<й>(*<0),
„(0)
и
(п-1))
V(N) _ У(Ю (Y(0) JO)
(х
и
(А/-1)
(13.116)
Динамическое программирование предполагает, что
преобразование Т обладает единственностью, т.е. избрание некоторого *(0) и
конкретных управлений w(0), а(1), ..., и^-1) определяет единственным
образом JV-шаговый процесс — последовательность векторов х{0\ я(1),
#(2), ..., х(п\ ..., x<N\ подсчитанных по формулам (13.116). Одним из
главных положений, на котором основывается динамическое
программирование и которое вытекает из единственности преобразования Т,
является независимость последующего движения от предыстории,
например, движение системы, начиная с вектора состояния *(п) до век-
644

тора x<N\ не зависит от истории, которая привела систему в
состояние, характеризуемое вектором х(п~^ [см. формулы (13.116)].
Движение вектора состояния от *(п> до #(JV> будет определяться (причем,
единственным образом) только векторами я*71-1), и(п~1\ и(п\ ..., u^N~lK
Динамическое программирование, как аппарат оптимизации
движения систем, связывает с многошаговым процессом скалярную функцию
/=/(*<°\ х<]> *<">), (13.117)
которая оценивает процесс. Эта функция может иметь самую общую
Л/
форму. Например, она может быть такой: /=2Я(^(*>), /=тах/1(л:(г">)'
и т. п., где h — известная скалярная функция. Учитывая систему
(13.116), функция (13.117) станет /=/(*«>>, м<°\ и({\ ..., и**-1). При
t* t tfi
заданном начальном векторе состояния *<°> значение функции f будет
определяться принятым вариантом последовательности векторов
управления м(0), и(1), ..., u(N~lK Задача оптимального управления состоит в
том, чтобы выбрать такие управления Wq0) » "о**» •»•» "о^""^» ПРИ
которых функция f приобрела бы наименьшее (оптимальное) значение
/о=/Н0)> 4,}..-. ^-"HminfoW, w(i),..M м(^1)).(13.11в)
x€Qx
Ранее функцию f называли целевой или функционалом качества
управления. В динамическом программировании ее называют иногда
функциональным уравнением.
Независимость последующего движения, например от вектора
состояния л;<п) до вектора x(N\ от предыстории позволила Р. Беллману
сформулировать принцип оптимальности: оптимальная стратегия не
зависит от предыстории системы и определяется лишь ее состоянием в
рассматриваемый момент времени. Иными словами, если состоялось
движение *(0>->л:<[ >->-...->Jt<n-1), то оптимизация последующего
движения x(n)-K..-KK(N> должна производиться независимо от того, каким
образом система попала в положение х(п~1К Пусть, например, функция
/ имеет вид
л/
/= >>(*(0Ь
1=0
645

Согласно принципу оптимальности
/о=2М*(0)+т1П y\h(x<% (13Л19)
Динамическое программирование дает эффективный прием
(алгоритм) решения задач математического программирования (13.118).
Рассмотрим некоторый конкретный процесс. В динамическом
программировании применяют прием, заключающийся в обратном
рассмотрении УУ-шагового процесса, т. е. с его конца. Будем считать, что
нумерация шагов в этом процессе осуществляется в направлении обратном
ходу времени (рис. 13.17). Допустим, что задано значение вектора
состояния в начале процесса x(ta )=x(N^ и в конце x(ta) =х^0).
Известно преобразование Т, с помощью которого по значению A:(n-1> в
некоторый момент и по значению вектора управления и{п) на
соответствующем шаге можно подсчитать вектор состояния через шаг (в следующий
момент времени):
х(п) =T(x(n-i) ^ и(п)у (13.120)
Пусть известны также ограничения на множество векторов состояния
Qx и множество векторов управления Qu.
Задача состоит в выборе оптимального управления, т. е. наборе
векторов управления Uq ) , u^N'~1) , ..., и q1* , который обеспечивает
изменение вектора состояния оптимальным образом x^N), x^N~~l) *-.., xq\
х<°) с точки зрения минимума величины
N
h^f{N =min 2 А (Л 03.121)
) ue%t=i
Рассматриваемый процесс имеет N шагов, каждый f-тый шаг
осуществляется при каком-то управлении u{iK Качество управления
оценивают величиной (13.121).
Начиная решение, на последнем по времени шаге переберем
дискретным образом множество возможных управлений U^ = {u:ul^Qv)t
удовлетворяя ограничения на управления. По формуле (13.120)
найдем множество значений
Х^ = {х:х^ = Т(х^\и^)}. (13.122)
" Проверим значения я<!> из множества (13.122) на принадлежность
множеству Qx, отбросив лишние значения, если этого требует условие
*(1)$QX, вместе с соответствующими управлениями. Итак, получим
множество значений управлений на первом шаге, удовлетворяющих
условиям «(^eQu и я^еЙ*. Заметим, что экстремальной задачи на
первом шаге нет, так как точки хО> и х(0) попарно соединяет лишь
одна траектория с соответствующим единственным управлением (рис.
13.17). Функцию (13.121) можно записать только для первого шага
так (последнее слагаемое):
/1==Л(ИП>). (13.123)
Для каждого значения x(DeX(l) получится свое значение Ы*П))
[и<*> и х(|) связаны однозначно условием (13.122)], которое следует
записать в памяти ЭЦВМ.
646

На втором шаге решения опять назначим дискретным образом
множество управления на нем U<2) = {u : m(2)gQu}. Сочетание всех пар
ц(2) и ыР> позволит определить дискретное множество
Х<2> = {*:*<*> = Г О^, и<2>)}. (13.124)
Проверим значения *(2) на принадлежность множеству Qx, отбросим
значения, противоречащие условию x(2)gQX) вместе с
соответствующими значениями управления и(2). Получим дискретный набор вариантов
управления и(2\ удовлетворяющий условиям u(2)^Qu и *<2)^ЙХ.
Воспользуемся принципом оптимальности. Независимо от того, как
система попала в состояние х(2\ оптимальное управление должно строиться
лучшим образом для оставшихся двух шагов
/2= min [fi(uV2>) +h(u(l))]. (13.125)
Из любой точки *<2)еХ<2) в конечную я<°> можно попасть различными
путями. Так, на рис. 13.17 показаны четыре траектории. Из них надо
выбрать с помощью условия (13.125) лучшую, для которой
квадратная скобка имеет наименьшее значение. Это лучшее значение Ы*(2))
следует запомнить вместе с адресом точки х(2) и путем оптимального
движения в конечную точку #(0\ который показан стрелками.
Вычисления /г упрощаются тем, что второе слагаемое в квадратной скобке
подсчитано и хранится в памяти ЭВМ.
Итак
f2 = minU(n(2)) + /1(^1,)I. (13Л26>
и<2>
где x<v=S(x(2\ ы<2>), здесь 5 — преобразование, обратное
преобразованию х^ = Т(х(1\ ы<2>).
Подобным же образом можно найти
^ = min(A(„(3)) + /2(x(2))].
где x<2)=S(x(s\ и(3)). Так поступают до определения
fo_, W"-11) = min \h (u(N~l)) + fN_2 (*<"-*>)!. (13.127)
Для каждого значения #<^-i) ЭВМ запомнит свою оптимальную
траекторию дальнейшего движения и соответствующее ей значение
функции /jv-i.
Не составляет труда записать целевую функцию для N шагов
fN (ХЩ = min \h (и<">) + fN_x WN-l))]. (13.128)
В отличие от предыдущих, на последнем шаге x(N) задано.
Следовательно, пучок траекторий для различных м(ЛГ) будет исходить лишь
из одной заданной точки xiN) (рис. 13.17); в пучке будет та
траектория, для которой функция / (теперь уже для процесса в целом)
достигает минимума функции (13.128). Эта траектория будет началом
полной траектории, дающей решение задачи. Действительно, началь-
* (N— 1)
ныи участок траектории приведет в точку jr0 , из которой исходит
лишь одна оптимальная траектория, найденная ранее, и так далее,
пока искомая траектория не дойдет до точки х(0К Таким образом,
получим набор оптимальных векторов состояния x{N\ x^N~l\ ...» xkl\ х{0)
647

и набор обеспечивающих их векторов управления и^\и\ , ..., иО '-
Значение fiv, вычисленное по формуле (13.128), дает искомый минимум
функции цели (13.121), оценивающей эффективность процесса. Итак,
задача решена. Динамическое программирование дает удобный
алгоритм для реализации на ЭВМ.
13.11. Оптимальный по быстродействию режим работы
реверсивного прокатного стана
Рассмотрим задачу оптимизации работы обжимного
реверсивного стана с помощью динамического
программирования. В п. 13.5 было найдено оптимальное быстродействие в
одном пропуске реверсивного стана, но осталась
нерешенной задача распределения обжатий по пропускам и
оптимизации работы стана в целом. Упрощенно будем считать,
что захват полосы и ее выброс из валков после пропуска
производятся с нулевой скоростью. Во второй части
данного пункта рассмотрим вопрос оптимизации
быстродействия по скоростному режиму захвата и выброса. Для
иллюстрации использования метода динамического
программирования рассмотрим условный числовой пример.
Допустим, необходимо прокатать слиток массой 7 т из
стали марки Зкп, имеющий размеры (толщину, ширину,
длину) 640X1100X1550 мм, в сляб 375x1060x2655 мм.
Средняя температура раската 1100 °С, сопротивление
деформации as = 40 МПа. Диаметр валков стана D = 2R —
= 1050 мм, а диаметр шеек d = 680 мм. Максимальный
момент, который может развить двигатель Мтах=3500 кН-м;
момент холостого хода Afx.x=20 кН-м; момент инерции
вращающихся деталей стана (прокатного валка, шпинделя,
якоря электродвигателя) и приведенный к оси двигателя
момент инерции раската (в сумме) 7 = 716,8 тмс2;
коэффициент трения в подшипниках валка f=0,01.
Сформулируем задачу в терминах динамического
программирования. Системой (вектором состояния и
правилом для его определения) можно считать прокатку полосы,
которую будем характеризовать высотой полосы и
изменением ее вследствие обжатия. Вектор состояния (в
данном случае одномерный вектор или скаляр) принимает
последовательно значения #о, Ни Я2, ..., #jv, где Но ^
= 640 мм, #N=375 мм — известные высоты раската до и
после прокатки; все остальные размеры следует
определить в процессе решения. По какому правилу происходит
преобразование высоты раската Н1-+Н1-+..г+Н№
Рекуррентное соотношение имеет вид
648

Hi^Hw — bHdi- 1...Л0. (13.129)
Последнюю формулу можно истолковать иначе: Д#, —
управление в /-том пропуске (обжатие). Формула (13.129)
является конкретным выражением преобразования Т.
Число пропусков неизвестно, его находят в процессе решения,
в реверсивном прокатном стане оно должно быть
нечетным. Нумерацию пропусков примем по ходу прокатки. На
примере покажем, что не всегда динамическое
программирование требует рассмотрения процесса в обратном
направлении. Обжатия AHi(i=l... N) необходимо
распределить так, чтобы общее время прокатки TN было
минимальным. Итак, скалярная функция, оценивающая управление
процессом прокатки на реверсивном стане имеет вид
TV
7^ = 2*,, (13.130)
t=l
где время отдельного пропуска, как следует из формулы
(13.60) с учетом л: 2*=* 2=0, выражается формулой
U = 2]/'jLi/MmaxR{l-mt). (13.131)
В формуле (13.131)
U = L,-i[l + #,-i/(//,-i - AHt)]/2 (13.132)
— средняя длина раската в i-том пропуске (прокатку
сляба осуществляют практически без уширения);
тс = (AfTl + Мп.с,)Штах (13.133)
— относительная загрузка двигателя по крутящему
моменту в /-том пропуске. Теория прокатки позволяет подсчитать
момент трения MTi и момент прокатки в i-том пропуске
Mn.ci, поставив их в зависимость от ДЯ/. Итак, если
известен размер раската до i-того пропуска #,-ь а также
обжатие AHi в нем, то по формулам (13.131) — (13.133)
можно вычислить время, потребное для прокатки в этом
пропуске. Причем время пропуска будет минимальным за счет
оптимального управления скоростным режимом прокатки
внутри пропуска в соответствии с результатами п. 13.5.
Решение задачи начнем с первого пропуска. В
исходном состоянии высота слитка Н% задана. Назначим
дискретное множество управлений в первом пропуске АН{.
Обжатия должны быть назначены с учетом ограничений:
по прочности на изгиб прокатных валков, по допустимому
крутящему моменту, по углу захвата. Ограничения на
обжатия могут быть дополнены и другими условиями. Расче-
649

ты показали, что обжатия в любом пропуске из условий
прочности валков, по допустимому крутящему моменту и по
углу захвата должны находиться в пределах 0<ДЯ/<!50мм.
Пусть они принимают дискретные значения ДЯ, = 16,7;
33,4 и 50 мм. Для повышения точности расчетов шаг
изменения обжатий мог быть назначен меньше. Итак,
определено множество допустимых управлений Qu ' ДЯг = 16,7;
33,4; 50 мм.
По рекуррентной формуле (13.129) получим множество
значений Qx : Я* = 623,3; 603,6; 590,0 мм.
Итак, прокатка в первом пропуске возможна по
траектории 0—1, 0—2 или 0—3 (см. рис. 13.18). Для каждого
варианта прокатки можно подсчитать по формуле (13.131)
время пропуска. Оно составило соответственно 5,3; 5,4 и
5,5 с и указано на траектории.
Во втором пропуске исходный размер полосы Н\ может
иметь значения 623,3; 603,6 и 590,0 мм (соответственно
точки /, 2 и 3). В каждом из трех вариантов дальнейшее
обжатие может осуществляться на величину ДЯ2 = 16,7; 33,4
или 50 мм. По формуле (13.129) легко определить Я2.
Возможные значения после второго пропуска отмечены на рис.
13.18 точками 4—8. В каждую из этих точек можно
попасть по траектории, изображенной прямой линией,
исходящей из точек U 2 и 3. Для каждой траектории можно
подсчитать время пропуска по формуле (13.131). Так, для
траектории /—4 (Я! =623,3 мм; ДЯ1 = 16,7 мм) время
прокатки во втором пропуске составило 5,4 с. Можно для точки
4 найти общее время прокатки за два пропуска.
Изменение размеров полосы за эти два пропуска возможно лишь
по траектории 0—1—4\ следовательно, общее время
прокатки до состояния 4, займет 5,3+5,4=10,7 с. В точку 5
можно попасть из точки / (Н\ =623,3 мм; ДЯ1 =
=33,4 мм), а также из точки 2 (Я2 = 603,6 мм; ДЯ2 =
= 16,7 мм). Для каждого из двух вариантов /—5 и 2—5
можно вычислить время второго пропуска по формуле
(13.131). Прокатка из исходного состояния (точка 0) в
состояние, характеризуемое точкой 5, может
осуществляться по траекториям 0—/—5 или 0—2—5. Время прокатки
было вычислено. Минимальное время оказалось при
прокатке по маршруту 0—/—5 и составило 10,8 с. Заложим
эту величину в памяти ЭЦВМ, свяжем ее с точкой 5 и
оптимальной траекторией, исходящей из точки 5 в точку /
(на рис. 13.18 время проставлено на оптимальной
траектории). Подобные вычисления и анализ можно сделать для
точки 6. В нее можно попасть из исходного состояния по
650

8Г
WoV?>
^ х^"ч
кь <£ ^ \
\ *\ *Э
\<Ь \<h
с\
1
Vcsj^Cs С)-> to N 4j
л
Vh <3- <3- *Р ^ >Q ^ N~>
<J-
fo
\ V к V К к к °0\ Ьч\
\ \\Ч \\Ч \\Ч \\\ \\\ \ \Ч \л^г^ ^ *
* VM
*о\д о\\ <М *М t«M ^^А *\\ °\\ \
*^\ \^\ W^ VV* Гч^ V4^ V4^ vv\ К
^*v\\ с\i4\ тО\\ ьл\\ov\\ оо\А
<3-
оъ
СЧ|
rp ч^го ^i-q \n-> n^cm ^cm ^
CD
OCT
CM
to <N 05
col CO K4
CVf CM CM
1
N"5 ACM U>-
C\| >IC4l CN
К
t>-T
C\j
L^_
<h
tsT
Om
1^
t^\v\
см Д
*>
tsr
С41
со
V N
\\\
<0 \A ^
см Дом
N
К4
CN
^0
\~^\
~\\ъо\
\ ^м ч\ ^ч ^А ^\х<^\\ \
*А счГ \ см \ Csj К см \ счГ\ >-о\ \ \
?* v< к04* w^ \ v1 \\^ v^T4 \\\ *
^^^"^ 4^ ^
iCSj^
^4s
\ СчЛ
\Y*£\\
А «о\д сДл iA\ n^sA
^V VCN? К5
^0^
llO^O
'^
ъ 4
■^
«&§
^\o>
o\
N^> N\<h
\2_4^L
Lr\<t
'0" No'4
_J
j
4^ J
T1
fov
x\
4
lo
f^>
•N
Ci
04)
^
Cb
<h
<t-
£>
^>
<j» л
СЭ
ЧЬ
*o
^
p>
^
Cs
<h
CO
651

траекториям 0—1—6; 0—2—6: 0—3 — 6. Из этих трех
маршрутов наискорейшую прокатку обеспечивает первый
маршрут, для него требуется 10,9 с. Запишем эту величину
около точки 6 на оптимальной траектории. Такой же анализ
был сделан для точки 7. Результат 11,0 с записан также на
оптимальной траектории. В точку 8 путь из исходного
состояния один — по траектории 0—3—8 и требует 11,2 с.
Прежде чем перейти к третьему пропуску сделаем
общее замечание. Оптимальный маршрут прокатки в
предыдущих пропусках найден, определено и оптимальное время
предыдущих пропусков. Оно оказалось зависимым от
размера полосы после второго пропуска и записано в памяти
ЭЦВМ для соответствующего размера полосы. На
следующем yV-ном шаге (например, на третьем) надо
оптимизировать общее время прокатки за N пропусков. Оптимальное
время
7V = min [tN(AHN) + T°N^{AHN^)l (13.134)
Это рекуррентное функциональное уравнение
рассматриваемой задачи распределения обжатий по пропускам
реверсивного прокатного стана. После третьего пропуска для
каждой из точек 9—15 можно найти оптимальное время
описанным выше способом, оно записано на оптимальной
траектории, проходящей через указанные точки. Теперь не
нужно перебирать все траектории, соединяющие точки 9—
15 с точкой 0. Достаточно перебрать лишь траектории,
соединяющие множество точек 9—15 с множеством 4—S, как
следует из функционального уравнения (13.134).
Также осуществляется оптимизация для четырех
пропусков. Рассматриваемая задача существенно упрощена
(не принимается во внимание время на установку валков
нажимными устройствами, время на кантовку и т. п.). Это
сделано для того, чтобы не затенять подробностями
процедуру динамического программирования. Введем для
иллюстрации одну операцию — ребровой пропуск. Он
необходим для калибровки сляба по его ширине (боковая
поверхность раската после ребрового пропуска делается
плоской). Будем считать, что кантовку осуществляют быстро,
поэтому все затраты времени на ребровой пропуск — это
время на прокатку сляба. Пусть ребровой пропуск не
сопровождается изменением толщины сляба; следовательно,
траектория будет изображаться на рисунке горизонтальной
линией. Но время ребрового пропуска в каждом варианте
будет своим, так как для каждого варианта (точки 16—24)
552

длина сляба будет различной. Время ребрового пропуска
также можно подсчитать по формуле (13.131). Расчет
шестого пропуска и оптимального времени шести пропусков
производят уже известным способом. После шести
пропусков сляб может иметь размеры 390 мм (точка 44), 406,7 мм
(точка 43) и т. д. до точки 34 через 16,7 мм, это принятый
дискретный шаг изменения обжатия. Размер сляба
после прокатки задан — Я ^=375 мм. Все возможные
траектории должны прийти в заданную точку 45. При этом
обжатие в последнем проходе ДЯлг = ДЯ7=15,0; 31,7 или
48,4 мм, а время прокатки в этом проходе соответственно
6,6; 6,6 и 6,6 с. Суммарное же время прокатки за семь
пропусков может быть 42,5; 41,9 и 41,5 с.
Итак, найдено наименьшее время прокатки сляба (TN =
= 41,5 с). Оптимальная траектория идет через точки 45—42
(как было установлено в последних расчетах), затем через
точки 31—22 и т. д. (стрелки на рис. 13.18). Найдено
оптимальное число пропусков (N=7). Наибольшую
производительность обеспечивает такой режим обжатий: ДЯ1 =*
= 16,7 мм; ДЯ2=... ДЯб° = 50 мм; ДЯ ? = 48,4 мм.
Рассмотрим порядок решения более сложной задачи
динамического программирования: оптимальным образом
распределим обжатия по пропускам и назначим
скоростной режим работы реверсивного прокатного стана.
Выше удалось оптимальным образом распределить
обжатия по пропускам реверсивного стана. Однако задача
была максимально упрощена, так как она предназначалась
лишь для иллюстраций процедуры динамического
программирования: пренебрегли временем вспомогательных
операций, пропуск заканчивался при нулевой скорости и
тотчас же начинался следующий пропуск. В
действительности же время прокатки в одном цикле состоит из времени
пауз и времени пропусков. Во время пауз осуществляют
вспомогательные операции: установку валков для обжатия
в следующем пропуске; изменение направления вращения
валков (реверсирование); торможение рольгангом
выброшенного из валков раската и возвращение его к валкам
для очередного пропуска.
Систему, работу которой следует оптимизировать,
составляет прокатный стан с рольгангами и нажимным
механизмом и прокатываемые металл. Оптимальная работа
стана во время пропуска и при реверсировании была
рассмотрена в п. 13.5. Как следует из формулы (13.60), время
(причем оптимальное, так как для этого установили соот-
653

ветствующий момент переключения управлений) операции
зависит от скорости валков в начале и конце пропуска,
длины раската и нагрузки. Длину раската и нагрузки на
стан (последняя при реверсировании отсутствует)
выражают через обжатия. В п. 13.5 изучено оптимальное
движение раската по рольгангу. Время транспортировки
зависит от скорости в начале и конце пути и разности
координат положения центра тяжести раската до и после
транспортировки. Оптимальное управление работой
нажимного устройства не рассматривалось. Однако было отмечено,
что задача аналогична случаю оптимального управления
главным приводом стана. Далее будем считать, что
оптимальное быстродействие нажимного устройства известно.
Итак, материал п. 13.5 дает оптимальное управление
отдельными механизмами, из которых состоит
реверсивный стан (слябинг, толстолистовой стан и т. п.). Можно
считать, что решена лишь часть задачи оптимального
управления, т. е. нижний уровень задачи. Используя идеи
динамического программирования, изложенные в п. 13.10 и
настоящем пункте, решим оставшуюся часть задачи (ее
второй уровень и всю задачу в целом). Функцией цели
будет время деформации одного раската (слитка или полосы)
N N
7v=2(f„i+<Mi) = 2*" (13л35)
t=i t=i
где N — число пропусков. Время г'-того пропуска tt
складывается из времени паузы на подготовку механизмов tUi и
машинного времени прокатки (собственно пропуска) /ш-.
Пропуск начинается с выброса полосы из валков при
окончании предыдущего пропуска и заканчивается выбросом
полосы на другую сторону стана. Заметим, что параметр
v3i — скорость захвата полосы в пропуске — влияет лишь
на ti в данном пропуске и не влияет на время,
затрачиваемое на осуществление других пропусков. Поэтому в
формуле (13.135)
tt-minUfa). (13.136)
Управлением на втором уровне, как и в предыдущем
случае, будет обжатие, а также скорость выброса раската
из валков. При захвате скорость раската пусть будет
равна окружной скорости валков, что исключит ударные
нагрузки и существенно упростит решение задачи.
Минимизации подлежит время цикла, т, е. время прокатки одного
654

раската 7V Решение этой более общей задачи во многом
аналогично решению предыдущей.
Процедура поиска оптимального решения [Hi, ..., Hn-v
„.О 0 0 0 грп, . гр
примерно такая же, как в предыдущем примере данного
пункта. Можно было бы ее показать графически, как на
рис. 13.18. Для этого следовало бы добавить еще одно
измерение. Вместо одномерного множества виртуальных Hi в
i'-том пропуске (рис. 13.18) пришлось бы изобразить
двумерное также дискретное множество виртуальных Ht и vBi
для этого и каждого пропуска. При поиске оптимальной
траектории, приходящей в некоторую точку плоскости
Hi~vBi из точек предыдущей плоскости Hi-.i~vBi-\,
оптимизацию следует осуществлять по величине ti формулы
(13.136). Следует добавить, что время паузы [см. формулу
(13.135)] tUi — это наибольшее из всех времен различных
подготовительных операций в рамках t-того пропуска
(реверса валков, их установки в новое положение
нажимными винтами, транспортировки слитка по рольгангу).
Иначе какую-либо операцию по подготовке стана к прокатке
не удастся осуществить.
В результате решения может оказаться, что главный
двигатель прокатного стана будет иметь
среднеквадратичный момент на его валу выше допустимого. В этом случае
следует избрать следующую (ближайшую) большую
продолжительность цикла, также полученную в решении, и
так до тех пор, пока указанное ограничение не будет
удовлетворено. На этом закончим рассмотрение задачи.
Конкретные задачи из любой области теории ОМД
необходимо рассматривать в системе взаимно связанных
проблем. Так, оптимальное решение какой-то
изолированной задачи в системе, в которую она входит, может
оказаться не оптимальным в широком и более полном
понимании значения этого слова. Выше было правильно
определено, что оптимальное время паузы — это наибольшее из
оптимальных времен работы механизмов перед
собственно прокаткой. Но это не значит, что более быстроходные
механизмы, кроме одного самого тихоходного, должны
работать наискорейшим образом. Правильней потребовать от
них оптимальной работы с, точки зрения минимума
расхода энергии при выполнении операций за время
срабатывания самого тихоходного, но работающего оптимально по
быстродействию, механизма. Вряд ли целесообразно
требовать от прокатного стана оптимального быстродействия, ес-
655

ли он в цепочке участков цеха или даже завода не
является узким местом. В этом случае оптимизацию следует
осуществлять по более актуальной функции цели, т.е.
системно.
Контрольные вопросы
1. Почему известные из математического анализа приемы поиска
экстремума функции многих переменных не обладают универсальностью
и не всегда применимы для решения задач оптимизации?
2. Почему ограничены возможности классического вариационного
исчисления?
3. Какая совокупность конечномерных векторов может быть
названа линейным векторным пространством?
4. Что такое норма векторного пространства?
5. Приведите норму л-мерного евклидового пространства.
6. Какое множество конечномерного векторного пространства
называют выпуклым?
7. Приведите теорему о разделении выпуклых множеств.
8. Какую функцию, определенную на выпуклом множестве,
называют выпуклой?
9. Какой экстремум называют локальным, а какой — глобальным?
10. Есть ли у выпуклой функции, определенной на выпуклом
множестве, локальные экстремумы?
11. Как найти оптимум для выпуклой функции, заданной на
выпуклом множестве? Будет ли он единственным? В каком случае он не
будет единственным?
12. Как поступить, если не удалось перед поиском оптимума
доказать выпуклость функции цели и области ее определения?
13. Приведите примеры применения математического
программирования в технологии, экономике или других отраслях знания.
14. Сформулируйте задачу теории оптимального управления..
15. Что такое фазовое пространство, фазовые координаты, фазовая
траектория, управление?
16. Сформулируйте принцип максимума как необходимое условие
оптимальности.
17. Приведите примеры типовых задач.
18. Проиллюстрируйте на простейшем примере оптимального
управления порядок решения.
19. Какие задачи оптимального управления называются задачами
с распределенными параметрами?
20. Какие сложности возникают при численном решении задач
оптимального управления?
21. Запишите формулу Коши для решения системы линейных
дифференциальных уравнений.
22. Что называют областью достижимости?
23. Каков порядок решения задач оптимального управления
линейными системами с помощью правила минимакса?
24. Как решить с помощью правила минимакса задачу
оптимального управления линейной системой по экономии ресурсов?
25. Сформулируйте принцип оптимальности для динамического
программирования.
26. Проиллюстрируйте на простейшем примере некоторой задачи
оптимального управления алгоритм динамического программирования.
656

Краткая историческая справка по главам
1. Возникновение тензорного исчисления было подготовлено в
XIX в. работами К. Гаусса по дифференциальной геометрии
(геометрии поверхностей) и Б. Римана по геометрии многомерных метрических
пространств.
К. Гаусс (1777—1855)—немецкий математик, учился в Геттин-
генском университете, в котором работал с 1807 г. до конца жизни.
Отличительной чертой творчества Гаусса являлась глубокая
органическая связь в его исследованиях между теоретической и прикладной
математикой, необычайная широта проблематики, которой он успешно
занимался. «Геттингенский колосс», как его звали современники,
способствовал признанию работ русского математика Н. И. Лобачевского
(1792—1856), создателя неевклидовой геометрии.
Б. Риман (1826—1866) —немецкий математик. В Геттингенскэм
университете слушал лекции Гаусса, многие идеи которого были им
развиты в дальнейшем. С 1849 г. до смерти работал в этом
университете.
Форму, близкую к современной, тензорному исчислению придал
итальянский математик Г. Риччи—Курбастро (1853—1925), работавший
в Падуанском университете. Идеи Г. Риччи—Курбастро первоначально
не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло в
начале XX в, особенно в механике сплошных сред.
2. Теория пластичности, как и всякая наука, является результатом
творчества многих поколений ученых. Положения, составляющие ее
основу, просматриваются еще в работах Архимеда (287—212 гг. до н. э.),
Леонардо да Винчи (1452—1519), Г. Галилея (1564—1642), И.
Ньютона (1643—1727) и др.
Теория напряженного и деформированного состояний в
современной редакции впервые была дана французским механиком и
математиком О. Коши (1789—1857). О. Коши в юности познакомился с
выдающимися учеными Франции П. Лапласом, Ж. Лагранжем и др., которые
обратили внимание на математические дарования мальчика. О. Коши
получил блестящее образование. Он в 1807 г. окончил
Политехническую школу, а в 1810 г. — Школу мостов и дорог (высшие инженерные
учебные заведения Парижа). В возрасте 21 года О. Коши производил
серьезные инженерные работы в Шербурском порту. Но математика
привлекала его больше, чем техника. В 1811 —1812 гг. он представил
несколько математических работ в Академию наук Франции, членом
которой стал в 1816 г.
О. Коши отказался от молекулярной теории упругости, которая
развивалась его предшественниками. Он ввел понятие сплошной среды,'
напряжений и деформаций. Коши показал, что напряженное состояние
в некоторой точке тела может быть представлено девятью
компонентами оц. Конечно, им не использовались тензорные понятия, так как
тензорное исчисление возникло позже. Рассматривая равновесие
элементарного параллелепипеда, он доказал закон парности касательных
напряжений Oij=Gji, а также вывел дифференциальные уравнения
равновесия аг/,/ = 0. Рассмотрев равновесие элементарного тетраэдра,
О. Коши получил формулы, с помощью которых могут быть определены
напряжения по произвольно наклоненной площадке fi = Gr,rij. Исследуя
напряженное состояние, он установил, что в каждой точке тела
существуют главные нормальные напряжения Оц, о*22 и а3з-
Коши изучил деформированное состояние в окрестности некоторой
точки упругого тела и показал, что оно описывается шестью
величинами вц. Для случая малых деформаций он вывел простые дифферен-
42—382
657

циальные соотношения ег-/— (Wi./H-*//,,-)/2, связывающие деформации с
перемещениями. Он установил, что в каждой точке упругого тела
существуют три взаимно перпендикулярных направления, по которым
происходит лишь удлинение без сдвиговых деформаций. Эти направления
он назвал главными, а соответствующие удлинения бц, егг и езз —
главными деформациями.
3. Установив основные уравнения теории напряжений и теории
деформаций, О. Коши составил, основываясь на законе Гука,
соотношения между шестью компонентами напряжений и шестью компонентами
деформации. Таким образом, Коши впервые дал полную систему
уравнения для решения задач теории упругости. Часть этих уравнений, как
оказалось позже, справедливы для любой сплошной среды, в том числе
для пластической.
Первые шаги теории упругости связаны также с именами
французов Г. Ламе (1795—1870) и Ю. Клайперона (1799—1864),
работавших в свое время в Институте инженеров путей сообщения в
Петербурге. За время пребывания в России эти инженеры выполнили ряд работ,
содержащих решения некоторых прикладных задач. Г. Ламе написал
первую книгу по математической теории упругости, вышедшую в свет
в 1852 г.
Осветить работу всех ученых, внесших заметный вклад в теорию
упругости, не представляется возможным в рамках этой книги. Однако
следует остановиться на имени Б. Сен-Венана, который заинтересовался
исследованиями своего соотечественника французского инженера Треска
по пластическому течению металла в процессе ковки, прокатки,
штамповки.
Б. Сен-Венан (1797—1886) рано проявил математические
способности. В 1825 г. первым студентом закончил Школу мостов и дорог.
Досуг посвяшал занятиям математикой и механикой. В 1834 г.
представил в Академию Наук Франции свои первые научные работы.
С 1837 г. ведет преподавательскую работу в Школе мостов и дорог и
Агротехническом институте в Версале, совмещая это с практической
деятельностью инженера и научными исследованиями в области теории
упругости. В 1868 г. Б. Сен-Венан был избран в члены Академии наук
и оставался в ней авторитетнейшим специалистом по механике до
конца своей жизни.
В 1869 г. Треска опубликовал мемуар о механической теории
деформации твердых тел. В нем впервые было сформулировано условие
пластического состояния — гипотеза максимального касательного
напряжения, согласно которой при пластическом течении
Ттах = (<Тц — °"зз)/2 = const.
Для определения деформации Треска применял лишь некоторые
кинематические соображения (условие несжимаемости) и различные
гипотезы. Б. Сен-Венан увидел, что рассматриваемая проблема
принадлежит механике (он ее назвал пластидинамикой). В 1871 г, он
опубликовал основные уравнения теории пластичности, при этом ограничился
лишь плоским деформированным состоянием, но указал, как эти
уравнения могут быть обобщены на случай пространственного течения.
Б. Сен-Венан своими работами открыл новую область механики
сплошных сред. Рождение теории пластичности, как видно, было
обусловлено стремлением дать лучшее описание процессов обработки металлов
давлением. После основополагающих работ Б. Сен-Венана в развитии
теории пластичности наступил некоторый спад, который продолжался
до начала XX в. Между теорией упругости и пластичности много
общего, поэтому наступивший в теории пластичности застой отнюдь не
658

означал, что не продолжалось развитие механики сплошных сред.
В рамках теории упругости, гидродинамики развивались идеи, многие
из которых лежат теперь в основе теории пластичности.
Теорию пластичности успешно развивали наряду с учеными
Франции немецкие ученые, среди которых можно отметить Л. Прандтля,
а также его учеников и сотрудников Т. Кармана, Р. Мизеса, Г. Генки,
В. Лоде, А. Надаи и др. В 1913 г. Р. Мизес из чисто математических
соображений предложил новую гипотезу пластичности. Он показал, что
упомянутое выше условие пластичности Треска—Сен-Венана
°"ll — 0~22 < 2V> °"22 — °"33 <2V> ^11 — °~33 < 2^5
можно принять приближенно в виде выражения
(<*11 — а22)2 + (<*22 — 0"33)2 + (°*П ~ ^Зз)2 = &*Ь
которое известно теперь как условие идеальной пластичности [см.
формулы (3.40) и (3.41)]. Позже оказалось, что такое же условие
пластичности было предложено еще в 1904 г. поляком П. Губером;
поэтому условие идеальной пластичности иногда называют условием
Губера—Мизеса.
Первая монография по теории пластичности была создана А.
Надаи, которая в 1927 г. вышла в Германии, переведена в 1931 г. на
английский язык и в 1936 г. опубликована на русском языке. А. Надаи
(1883—1963), венгр по национальности, родился в Будапеште, где
получил начальное образование. В 1902—1906 гг. учился в
Швейцарском федеральном политехническом институте. После
непродолжительной деятельности инженером—машиностроителем он переезжает в
Германию и становится преподавателем Высшей технической школы
в Шарлоттенбурге. В 1912 г. защищает докторскую диссертацию. Во
время первой мировой войны он был призван в армию. После войны
работает в Институте прикладной механики в Геттингене под
руководством Л. Прандтля и выполняет ряд блестящих работ по теории
упругости и пластичности. В 1923 г. становится профессором. С 1927 г. до
конца жизни он работал в США. Будучи консультантом компании
«Вестингауз» он выполнил ряд основополагающих исследований по
теории обработки металлов давлением, упругости, пластичности и
ползучести. После 1950 г. его интересы связаны преимущественно с
геомеханикой.
Создание основ механики сплошных сред и теории пластичности, в
частности учеными Франции, Германии, а затем России, было
взаимообусловлено бурным, революционным развитием экономики и
общественных отношений в этих странах. Незадолго до Великой Октябрьской
социалистической революции в России появилась замечательная плеяда
инженеров—ученых, свободно пользовавшихся математическим
аппаратом для решения сложных технических проблем: И. Г. Бубнов, Б. Г. Га-
леркин, В. Л. Кирпичев, А. Н. Крылов, Л. С. Лейбензон, С. П.
Тимошенко, П. Ф. Папкович и др.
Начиная с тридцатых годов текущего столетия Советский Союз
был центром активности по исследованиям в области математической
теории пластичности, что отмечается в книге Дж. Гудьера и Ф. Ходжа.
После книги А. Надаи исчерпывающие монографии по теории
пластичности были созданы советскими учеными В. В. Соколовским (1946) и
А. А. Ильюшиным (1948). Следует отметить, что в 1943 г. была издана
брошюра Л. С. Лейбензона «Элементы математической теории
пластичности».
В. В. Соколовский родился в Харькове. В 1933 г. окончил Москов-
42*
659

ский инженерно-строительный институт. В 1946 г. был избран членом-
корреспондентом АН СССР, в 1959 г. — членом Польской АН. В. В.
Соколовский решил многие задачи плоского деформированного состояния,
предложил новые методы решения задач теории пластичности в
аналитической форме. Соколовский разработал общий метод решения
основных задач плоского предельного равновесия сыпучей среды. Дважды
(1943, 1952) был удостоен Государственной премий СССР.
А. А. Ильюшин родился в 1911 г. в Казани. В 1934 г. окончил
Московский университет. В 1943 г. был избран членом-корреспондентом
Академии Наук СССР. А. А. Ильюшин разработал теоремы вязко-
пластических течений, малых упруго-пластических деформаций,
устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости, за что был удостоен
Государственной премии СССР в 1948 г., теорию линейной и
нелинейной термовязкоупругости и др. Он предложил также метод
моделирования при сверхзвуковом обтекании и сделал решения ряда задач
газодинамики. Значительны работы А. А. Ильюшина по формулировке
физических уравнений связи напряженного и деформированного
состояний, впервые ясно сформулировал различие между деформационной
теорией пластичности и теорией течения. Велики заслуги А. А.
Ильюшина перед теорией обработки металлов давлением: он сформулировал
краевую задачу обработки металлов, разработал теорию подобия и
моделирования пластического формоизменения, создал теорию течения
по жестким поверхностям, настойчиво пропагандировал достижения
теории пластичности среди металлургов и физиков.
Развитие теории пластичности в Советском Союзе связано с
именами большой плеяды ученых: Н. М. Беляева, А. Ю; Ишлинского,
Л. А. Галина, В. В. Новожилова, Ю. Н. Работнова, Л. И. Седова,
С. А. Христиановича, К. Н. Шевченко и др. В XX в. вслед за СССР
огромное возрастание интереса к теории пластичности имело место в
США и Англии. После В. В. Соколовского и А. А. Ильюшина
опубликовали монографии Р. Хилл (Англия, 1950), А. М. Фрейденталь (США,
1950), В. Прагер и Ф. Г. Ходж (США, 1951).
Р. Хилл, английский математик, родился в Лидсе (Англия) в
1921 г., где закончил среднюю классическую школу. Учился в Пембрук-
ском колледже в Кэмбридже. С 1961 г. член Королевского общества
(Академия наук Англии). Он известен теоретическими исследованиями
в области теории упругости и пластичности, теории обработки металлов
давлением, механических испытаний, композитов и
поликристаллических материалов.
4. Л. Прандтль (1875—1953) родился близ Мюнхена в семье
профессора. Получил образование в Мюнхенском политехническом
институте, где сразу же стал работать ассистентом. В 1904 г. Л. Прандтль был
приглашен выдающимся математиком Ф. Клейном в Геттинген
профессором в университет и директором Института прикладной механики,
который он возглавлял до своей смерти и который вскоре стал
всемирно известным центром, куда стекались молодые силы,
интересовавшиеся приложением математики в технике (А. Надаи, С. П.
Тимошенко, Р. Мизес, Т. Карман и др.). Л. Прандтль и его школа известны
своими результатами в различных областях механики сплошных сред
(гидро- и аэродинамике, теории упругости и пластичности). Среди его
работ можно отметить установление (вместе с Генки) свойств линий
скольжения, определение давления, при котором начинается течение
металла при вдавливании жесткого штампа (см. ч. I, п. 4.4),
определение напряженного состояния при сжатии пластического слоя в
условиях плоской деформации. Его сотрудник Т. Карман поставил
классические опыты по разрушению камней при различном среднем нормальном
660

напряжении, вызывавшем существенную их пластичность —
способность к пластической деформации без разрушения. Т. Карману
принадлежит первая работа по расчету напряженного состояния при прокатке
тонких полос методом, который в современной советской литературе
называется инженерным, а в западной — тонких сечений, существо
которого состоит в совместном решении приближенных уравнений
равновесия и условия пластичности (см. ч. I, п. 3.11).
Теория плоского деформированного состояния идеально
пластичного материала получила в основном завершенный вид благодаря работам
Г. Генки (1923), X. Гейрингер1 (1930), К. Каратеодори и Е. Шмидта,
указавшим путь аналитического решения задачи (1923), И. Массо,
развившего конечно-разностные методы (1899), отечественных ученых
В. В. Соколовского, С. А. Христиановича (1938), решившего общую
статически определимую задачу при поверхностных напряжениях,
заданных по замкнутому контуру, и др.
Теория функции комплексного переменного сформировалась в
самостоятельный раздел математики в XVIII в. благодаря работам Л.
Эйлера (1707—178.3). В них он детально изучил элементарные функции
комплексного переменного, дал условие их дифференцируемости и
заложил начала интегрирования функций комплексного переменного.
Л. Эйлер осуществил многочисленные приложения функций
комплексного переменного к различным математическим задачам и положил
начало применению их в гидродинамике.
Л. Эйлер родился в Швейцарии. Он закончил Базельский
университет, где лекции читал И. Бернулли. С 1727 по 1741 гг., а затем с
1766 г. до конца жизни работал в России, где в 1730 г. был избран
академиком.
Л. Эйлер написал свою знаменитую книгу по механике, в которой
впервые дифференциальное и интегральное исчисление было применено
к науке о движении тел. В 1744 г. он опубликовал первую книгу по
вариационному исчислению. Затем последовала серия книг, последние
из которых были изданы в России. Все его книги послужили на многие
годы руководствами для математиков мира, можно утверждать, что
все выдающиеся математики XVIII—XIX вв. были, в некотором смысле,
его учениками. Л. Эйлер отличался поразительной работоспособностью,
она нисколько не уменьшилась даже во втором периоде его жизни,
когда он полностью ослеп. За 17 последних лет жизни в России он
выполнил более 400 научных работ, свыше сорока лет после смерти
Л. Эйлера Академия продолжала печатать его произведения.
После Л. Эйлера в первой половине XIX в. теория функций
комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль
математического анализа благодаря усилиям О. Коши, Б. Римана и др. Начиная
с середины XIX в конформные отображения широко применяют в
качестве математического аппарата при изучении механики сплошных
сред. Среди инициаторов такого применения для решения плоских
задач гидро- и аэродинамики видное место принадлежит Н. Е.
Жуковскому и С. А. Чаплыгину.
Выше была указана связь аналитических функций комплексного
переменного с дифференциальным уравнением Лапласа. Это
классическое направление восходит к работам Л. Эйлера и Б. Римана.
Г. В. Колосов и Н. И. Мусхелишвили, используя аппарат теории
функций комплексного переменного в начале века, дали точное решение
1 Хильда Гейрингер — единственная женщина-механик, упомянутая
в доступной автору литературе по теории пластичности как получившая
значительные научные результаты.
661

плоских задач теории упругости. Его основой является колосовское
представление напряжений и смещений с помощью двух комплексных
потенциалов.
5. Конец XVII и начало XVIII веков знаменовались быстрым
развитием исчисления бесконечно малых — дифференциального и
интегрального исчислений. После работ Г. Лейбница и И. Ньютона
дальнейшее развитие математического анализа обязано семье И. Бернулля,
Л. Эйлеру и их ученикам. Нытаясь расширить область применения
нового математического аппарата, они исследовали самые
разнообразные задачи механики. Некоторые задачи наталкивали на новые приемы
исследования, возникали новые отделы математики, в числе которых
было вариационное исчисление.
И. Бернулли (1667—1748) сформулировал первую задачу, решение
которой положило начало вариационному исчислению. В 1696 г. он
предложил вниманию математиков задачу о линии быстрейшего ската —
брахистохроне. В этой задаче требовалось определить линию у=у(х),
соединяющую две заданные точки Л и В, не лежащие на одной
вертикальной или горизонтальной прямой, и обладающую тем свойством, что
тяжелая материальная точка скатывается по этой линии из точки А в
точку В в кратчайшее время. Оказалось, что эта задача сводится к
исследованию на минимум формулы (функционала), выражающей
время скатывания
/ = J [V\ + (уГ/V^y] dx,
где g — ускорение силы тяжести. Решил задачу о брахистохроне
Л. Эйлер, применив новый метод исследования. Он показал, что если
кривая у—у(х) сообщает экстремум некоторому функционалу
хъ
/ = f F(x, у, у') dx,
*а
то функция у=у(х), изображаемая этой кривой, обязательно
удовлетворяет дифференциальному уравнению
dFldy — didx (dF/ду') = 0.
Таким образом, решая последнее дифференциальное уравнение, можно
найти функцию, сообщающую экстремум функционалу. Вывод
уравнения, которое теперь носит его имя, Л. Эйлер осуществил, применив
метод, который выше был показан как вариационно-разностный.
Названное уравнение было получено после предельного перехода. Итак,
Л. Эйлер заложил основы вариационно-разностного метода.
Развитие вариационного исчисления связано с именами многих
выдающихся ученых. Ж. Лагранж предложил метод решения
вариационных задач на условный экстремум. Французский математик С. Пуассон
рассмотрел функционалы, которые содержат производные от искомых
функций выше первого порядка. Решение вариационных задач
математической физики связано с именем выдающегося нашего
соотечественника М. В. Остроградского.
М. В. Остроградский (1801 — 1861) родился на Полтавщине,
учился в Харьковском университете. Свое образование М. В.
Остроградский продолжил во Франции, занимаясь математикой и механикой в
662

период 1822—1828 гг. под руководством О. Коши, П. Лапласа, Ж. Фурье
в Париже. О. Коши был рецензентом его первой научной работы
М. В. Остроградского, оказал ему моральную и материальную
поддержку.
Основные работы Остроградского относятся к математическому
анализу, теоретической механике, математической физике. Ему
принадлежит вывод уравнения теплопроводности в том виде, в котором оно
представлено в этом учебнике. Работая над уравнением
теплопроводности, он нашел известную читателю формулу преобразования
интеграла по объему в интеграл по поверхности (1831). М. В. Остроградский
в 1830 г. был избран академиком Петербургской Академии наук, а
затем — членом многих иностранных академий.
Ему принадлежит выдающаяся роль в высшем образовании России
по механике и математике. Он автор ряда популярных статей,
педагогических исследований и превосходных для своего времени учебников.
Крупными учеными и инженерами стали ученики М. В. Остроградского:
Д. И. Журавский (1821—1891), И. А. Вышнеградский (1831—1895),
Н. П. Петров (1836—1920), Н. Е. Жуковский (1847—1921) и многие
другие.
В развитии вариационного исчисления конца XIX в. выдающуюся
роль сыграл К. Вейерштрасс (1815—1897), который с 1865 по 1889 г.
читал лекции в Берлинском университете.
Приближенный или прямой вариационный метод был предложен
В. Ритцем в 1908 г. Он исследовал прогиб прямоугольной пластины,
вывел формулу потенциальной энергии V и принял, что правильньш
решением задачи будет такой прогиб w = w(x, у), при котором
потенциальная энергия пластины V будет минимальной. Решение В. Ритц
предложил искать в виде
w =-- а^ (х, у) + а2Ф2 (*» У)+-- •»
где каждая из функций ф удовлетворяет контурным условиям
закрепления пластины. Значения коэффициентов а Ритц предложил
определить из условия минимума потенциальной энергии dV/dai = 0; dV/dci2=:
= 0;.... Таким образом, довольно сложное исследование на минимум
функционала V свелось к простому исследованию на минимум функций
конечного числа переменных. Почти одновременно с В. Ритцем
аналогичный приближенный метод был опубликован С. П. Тимошенко в
«Известиях Киевского политехнического института».
6. Одним из фундаментальных положений вариационных
принципов и экстремальных теорем является понятие о виртуальном
(возможном) состоянии. Оно было применено Леонардо да Винчи (1452—
1519). Обширные рукописи этого гениального ученого эпохи
Возрождения содержали расчеты всевозможных систем блоков и рычагов в
современных ему машинах. В своих расчетах он принял идею
принципа возможных перемещений, который позднее использовал для
решения разнообразных задач статики Галилео Галилей (1564—1642) в
трактате «О науке механике». Кстати, в последние годы жизни
Галилеем была написана книга, в которой он суммировал результаты своих
работ по механике; в ней он приводит в логическую схему известные
ему методы анализа напряжений. В последующие столетия понятие
виртуального состояния было существенно расширено. Наряду с
виртуальными перемещениями Журден и Гаусс соответственно ввели
виртуальные скорости и ускорения.
Первые вариационные принципы классической ньютоновской
механики были сформулированы параллельно с созданием вариационного
663

исчисления. Их авторами являются семья Бернулли, Л. Эйлер, ^К. Ла-
гранж и др. Когда было установлено, что экстремали функционалов
могут быть найдены из эквивалентной задачи интегрирования
соответствующих дифференциальных уравнений, возник вопрос: экстремуму
какого вида и какого функционала отвечают дифференциальные
уравнения механического движения (mx=F)?
Я. Бернулли (1654—1705), основываясь на работах Г. Галилея
по изгибу балок и приняв закон Гука о пропорциональности
деформаций и напряжений, определил форм у изогнутой оси балки. Д. Бернулли
(1700—1782), известный прежде всего своими работами по
гидродинамике, высказал мысль о возможности определения деформации балок,
подверженных изгибу, с помощью вариационного исчисления. В письме
к Л. Эйлеру он писал, что под действием нагрузок ось балки
приобретает такую форму, для которой потенциальная энергия изгиба
минимальна.
Л. Эйлера заинтересовала задача определения формы кривой оси
тонкого стержня при различных условиях его нагружения.
Постулировав положение о том, что стержень приобретает из всех возможных
форм изгиба такую, для которой имеет место минимальное значение
запасенной стержнем потенциальной энергии, и применив им же
разработанные методы вариационного исчисления, Эйлер выводит
дифференциальное уравнение «упругой линии» стержня. Формулы прогибов
изогнутых стержней, полученные из вариационного начала, совпали с
аналогичными формулами, полученными ранее Я. Бернулли. Последний
при выводе своих формул рассматривал равновесие элемента бесконечно
малой длины, вырезанного из стержня двумя поперечными сечениями.
Таким образом, Я. Бернулли и Л. Эйлер своими решениями задачи по
определению кривой изогнутой оси стержня показали, что существует
определенный минималистский принцип, который может быть успешно
применен для определения деформированного состояния -упРУгих
тел.
Это было гениальное предвидение, но все же оно касалось частной
задачи. Л. Эйлера занимала механика, ее дифференциальные
уравнения движения. Ему удалось вплотную подойти к решению проблемы
минимума или максимума некоторого функционала, которому отвечают
уравнения динамики. Однако в законченной форме проблема была
решена Ж. Лагранжем, который в современной форме выдвинул принцип
наименьшего действия.
Ж. Лагранж (1736—1813) родился в Турине. Он рано проявил
выдающиеся математические способности и в 19 лет стал профессором
Королевской артиллерийской школы в Турине (артиллерия в ту пору
была средоточием достижений науки и техники, а артиллеристы —
образованными людьми, удостаивающиеся порой избрания в Академию
наук). С группой своих учеников он основал научное общество,
преобразованное затем в Туринскую Академию наук. Там он опубликовал
в 23-летнем возрасте мемуары по вариационному исчислению.
Л. Эйлер высоко оценил работы Ж. Лагранжа, что побудило его
выдвинуть молодого ученого иностранным членом Берлинской Академии
наук (1759). В 1766 г. Ж. Лагранж переехал в Берлин, где заменил
Л. Эйлера в Академии в связи с его отъездом в Петербург. В
Берлине Ж. Лагранж выполнил ряд серьезных работ, в том числе
написал свою знаменитую «Аналитическую механику». В 1787 г. Ж.
Лагранж переезжает в Париж. Открытие новой высшей школы —
Политехнической имени Эйлера — задержало его во Франции до конца
зкизни.
€64

В «Аналитической механике» Ж. Лагранжа законченное
выражение получил принцип возможных перемещений. Принцип возможных
перемещений Лагранж формулирует так. Для механических систем,
находящихся в равновесии, составные части которых не деформируются
и не имеют трения между собой, работа внешних сил на возможных
(кинематически допустимых) перемещениях равна нулю; для систем,
которые деформируются и имеют внутреннее трение в работе внешних
сил должна быть добавлена со знаком минус работа внутренних
сопротивлений.
Итак, для равновесия любого числа сил Р, Q, /?,..., направленных
по линиям р, q, г, ... и приложенных к любой системе тел, имеет место
уравнение
P5p+Qfy + /?6>+ ... = 0.
Лагранж показал, что это общее уравнение статики выражает
существование экстремальных свойств некоторого выражения. Действительно,
если допустить, что силы представлены таким образом, что левая часть
уравнения является полным дифференциалом некоторой функции П,
то для случая равновесия 6Л=0. Это уравнение показывает, что
система тел должна занимать такое положение, при котором функция П
имеет экстремум.
В первой половине XIX в. были предприняты попытки создать
математическую теорию упругости и пластичности, т. е. аппарат, который
дал бы возможность исследовать сложные сооружения и детали машин,
недоступные изучению методами сопротивления материалов, а также
обработку металлов давлением.
Г. Кирхгофф (1824—1887). основываясь на принципе возможных
перемещений Ж. Лагранжа, построил первую удовлетворительную
теорию тонких пластинок. Приняв ряд обоснованных допущений, он
вычислил потенциальную энергию изогнутой пластины П. Чтобы получить
дифференциальное уравнение для прогиба до, Г. Кирхгофф использует
принцип возможных перемещений, согласно которому работа,
произведенная распределенной по пластине нагрузкой q на любом возможном
перемещении бдо, равна приращению потенциальной энергии пластинки,
т. е.
J J qftwdxdy = 6/7.
Из этого вариационного уравнения он получил уравнение прогиба w =
= w(xf у). Работой Г. Кирхгоффа знаменуется первое использование
принципа возможных перемещений Лагранжа для решения задач
теории упругости.
Принцип возможных изменений напряжений связан с именем А. Ка-
стильяно (1847—1884) и носит его имя. Еще Д. Бернулли и Л. Эйлер
постулировали условие минимума потенциальной энергии изогнутого
стержня. Этим условием долгое время пользовались, не имея строгого
его обоснования. Доказательство дал А. Кастильяно, начав
рассуждения со статически неопределимых ферм с идеальными шарнирами. Он
показал, что неизвестные силы Xit действующие на стержни (элементы
фермы), можно определить из уравнений dn/dXi = 0, где потенциальная
энергия выражена через внешние заданные и внутренние Xi неизвестные
силы. Этот результат, полученный А. Кастильяно, в дальнейшем был
обобщен им на упругое тело любой формы.
В 1909 г. А. Хаар и Т. Карман опубликовали первую работу о
вариационном принципе в теории пластичности. Авторы применили
известное начало (или принцип) Кастильяно для пластического состояния.
Они показали, что если среда не подчиняется закону Гука, то нужно
665

требовать минимума не энергии деформации, а так называемой
добавочной работы (она численно равна площади над кривой упрочнения).
Минимизация дополнительной работы, которая выражена с помощью
шести составляющих тензора напряжений, на классе статически
возможных напряжений дает такое поле, которое удовлетворяет уравнения
совместности деформации (если деформации вычислить по найденным
напряжениям, то по ним можно однозначно определить непрерывное
поле перемещений). Недостаток их работы состоял в том, что они
предполагали, что среда подчиняется условию пластичности Треска—Сен-Ве-
нана, поэтому результаты их работы остались мало пригодными для
практического использования.
В 1924 г. Г. Генки обратился к рассмотренной выше работе А. Хаа-
ра и Т. Кармана, введя условие пластичности по Мизесу, и получил
вариационный принцип А. Кастильяно в современной редакции.
Значительный вклад в развитие теории упругости и ее
вариационных методов внесли отечественные ученые Б. Г. Галеркин, А. Н. Дин-
ник, Л. С. Лейбензон, П. Ф. Папкович и др. Л. С. Лейбензону
принадлежит первая специальная монография, посвященная вариационным
методам решения задач теории упругости.
Л. С. Лейбензон (1879—1951) в 1902 г. окончил Московский
университет, а в 1906 г. получил диплом об окончании Московского
высшего технического училища. Ему принадлежат исследования в области
геодезии, теории упругости, сопротивления материалов, механики
жидкости и газов, подземной гидравлики, механики нефти. Он внес
существенный вклад в развитие промышленности СССР. С 1923 г . Лейбензон
преподает в Московском государственном университете. В 1933 г.
Л. С. Лейбензон был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в
1943 г.— академиком.
7. О. Коши можно считать создателем основ современной теории
упругости. Он творчески обобщил опыт предшественников и опубликовал
в редакции, близкой к современной, основные положения этого
предмета.
Б. Сен-Венан впервые опубликовал уравнения, которые
знаменовали возникновение теории пластичности. Он использовал уравнения,
полученные О. Коши для описания напряженного и деформированного
состояний, дополнил их условием пластичности. Условие пластичности
он сформулировал на основании опытных данных Треска.
Следует заметить, что Треска был инженером и занимался
обработкой металлов давлением. Таким образом, теория пластичности
первоначально предназначалась для механико-математического описания
технологических процессов пластического деформирования, затем стала
служить для описания предельных состояний конструкций и деталей
машин, работающих в условиях упруго-пластических деформаций.
Усилиями французских математиков и механиков были сформулированы
математические задачи, с которых начались теория упругости и теория
пластичности. Дальнейшее развитие теории пластичности было связано
с разработкой двух центральных проблем, которые актуальны и по сей
день: создания методов решения математических задач теории
пластичности и экспериментальной проверки и уточнения физических
уравнений, связывающих напряженное и деформированное состояния. На
рубеже XIX и XX вв. теорию пластичности успешно развивали механики
Л. Прандтль, Т. Карман, Р. Мизес, Г. Генки, В. Лоде, А. Надаи,
X. Гейрингер и др. Начиная с тридцатых годов центром активности по
исследованиям в области теории пластичности стал Советский Союз, а
после второй мировой войны также Англия и США. Развитие теории
пластичности связано с именами отечественных ученых Н. М. Беляева,
666

Д. Д. Ивлева, А. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлинского, Л. С. Лейбсизона,
B. В. Новожилова, Ю. Н. Работнова, Л. И. Седова, В. В. Соколовского.
C. А. Христиановича, К. Н. Шевченко и др. Значительный вклад в
развитие теории пластичности внесли ученые западных стран Д. Друкер,
В. Койтер, В. Прагер, А. М. Фрейденталь, Р. Хилл и др. Известные
школы специалистов по теории пластичности работают в Болгарии,
Канаде, Польше, Японии и других странах.
Математическая теория пластичности послужила основой для
формирования теории обработки металлов давлением как прикладной
науки. Первоначально последняя занималась отыскиванием способов
достаточно простого определения усилий, требуемых для выполнения
основных операций ковки, штамповки, прокатки, волочения и т. д.
Одним из первых был разработан метод, основанный на совместном
решении приближенных уравнений равновесия и пластичности,
получивший в отечественной литературе название «инженерный метод». Он
обязан своим происхождением Т. Карману, который был в свое время
аспирантом и сотрудником Л. Прандтля. Большой вклад в
распространение этого метода внесли Г. Закс, Э. Зибель, С. И. Губкин, Е. А.
Попов, В. С. Смирнов, М.В. Сторожев, А. И. Целиков,. Е. П. Унксов и др.
Другим методом, используемым в теории ОМД и обладающим
большими возможностями, является метод линии скольжения. Он был
создан в работах Л. Прандтля, Г. Генки, X. Гейрингер, К. Каратеодори
и Е. Шмидта, И. Массо, В. В. Соколовского, Р. Хилла, С. А.
Христиановича и др. Применение к задачам ОМД, его популяризация обязана
работам А. Д. Томленова, У. Джонсона, Л. А. Шофмана, И. П. Ренне,
Б. А. Друянова, М. Я. Бровмана, В. М. Сегала и др.
Вариационные принципы были сформулированы в середине XIX в.
первоначально для теории упругости Г. Кирхгоффом (принцип
виртуальных перемещений, иногда его называют принципом Лагранжа) и А. Ка-
стильяно (принцип виртуальных напряжений, который именуют
принципом Кастильяно). В начале XX в. они были обобщены А. Хааром,
Т. Карманом, Г. Генки на теорию пластичности. В 1911 г. Хеллингер
предложил объединенный принцип, предусматривающий одновременное
варьирование напряженного и деформированного состояний.
Дальнейшие значительные результаты по экстремальным и вариационным
принципам теории пластичности были получены и опубликованы А. А.
Гвоздевым (1936), А. А. Марковым (1947), Л. М. Качановым (1948), Р. Хил-
лом (1950), В. Прагером и Ф. Ходжем (1951), Л. И. Седовым (1965)
и др. А. А. Гвоздев в 1956 г. предложил теоремы о верхней и нижней
оценках силы деформирования.
Применение вариационных и энергетических теорем теории
пластичности для анализа операций ОМД связано с коллективом
исследователей, которым руководил И. Я- Тарновский. А. А. Поздеев первым
применил в 1956 г. принцип возможных изменений деформированного
состояния. В. Л. Колмогоров в 1956 г. решил первые трехмерные задачи
осадки параллелепипеда, прокатки полосы и трубы; применил принцип
виртуального изменения напряженного состояния и объединенный
вариационный принцип. В. Н. Трубин в 1957 г. рассмотрел кузнечную
протяжку и прокатку. О. А. Ганаго и Р. А. Вайсбурд решили задачи
формоизменения и силы деформации при ковке и штамповке.
Процессами прокатки занимались Б. М. Илюкович, В. П. Котельников, А. Н. Ско-
- роходов, В. К. Смирнов, В. И. Тарновский и др.
Эффективно применяли вариационные методы в различных задачах
В. Н. Выдрин (1959), Г. Я. Гун (1961), Л. Г. Степанский (1963) и др.
Параллельно и независимо в 1955—1957 гг. X. Кудо использовал метод
верхней оценки для получения приближенного значения деформирующей
667

силы и схем деформации для осесимметричного сжатия кольца и
прямого выдавливания идеально пластичного материала. С 1958 по 1960 гг.
была опубликована X. Кудо, У. Джонсоном и др. серия статей на тему
применения метода верхней оценки при плоской и осесимметричной
деформации, в 1961 г. ими была рассмотрена трехмерная задача
осадки параллелепипеда.
Вариационные методы стали эффективнейшим орудием
инженерного и научного анализа процессов ОМД.
8. Учение о подобии и моделировании, с которым познакомились
выше, довольно древнее. Леонардо да Винчи пытался вывести общие
аналитические закономерности и приводит многочисленные примеры
моделирования. Э. Мариотт в 1679 г. в работе о соударяющихся телах
занимался вопросами теории механического подобия, развивая идеи
Леонардо да Винчи и Г. Галилея. Первые строгие по нынешним
меркам научные формулировки условий механического подобия были даны
И. Ньютоном в конце XVII в. Они заложили основы современного
учения о подобии, указав свойства подобных механических систем и
критерии, характеризующие движение систем, подобие которых
обеспечено. Работы И. Ньютона по теории подобия и моделирования долгое
время не получали дальнейшего развития, хотя в XVIII в. ставились
многочисленные опыты на моделях арок и сводов и проверялись
многочисленные гипотезы о их прочности.
Одним из первых применил статическое подобие при разработке
арочного моста через Неву известный отечественный изобретатель
И. П. Кулибин. Исследования он проводил в 1775—1776 гг. в
Петербурге на деревянных моделях в масштабе 1:10. В них было учтено,
что изменение линейных размеров в k раз меняет массу конструкции
в k3 раз. Кулибин установил, что модели в \/k натуральной величины
имеют напряжения от собственной массы в k раз меньше, чем
напряжения в оригинале. Обеспечение подобия влияния массы в модели
возможно при некоторой дополнительной нагрузке. Эти и другие
положения И. П. Кулибина были проверены и одобрены Л. Эйлером.
В 1822 г. Ж. Фурье в работе «Аналитическая теория
теплопроводности» показал, что члены уравнений, описывающие физические
явления, всегда имеют одинаковую размерность. Это свойство получило
название правила Фурье, или правила размерной однородности
уравнений математической физики. В 1848 г. Р. Бертран установил общие
свойства подобных механических движений и указал способы
осуществления подобного механического движения, четко сформулировав
понятие критериев подобия.
В 1874 г. В. Л. Кирпичев опубликовал первую работу,
посвященную исследованию упругих явлений в геометрически подобных телах,
а несколько позднее сформулировал условия подобия упругих тел. Он
на основе анализа дифференциальных уравнений вывел критерии
подобия и установил необходимые условия подобия при упругих
деформациях, рассмотрел вопросы учета собственной массы конструкций,
сил инерции и сформулировал правила моделирования, пригодные в
артиллерийском деле, строительстве, ОМД.
Развитие теории того или иного производства, области техники
идет параллельно практической деятельности. Очень важно
своевременно ставить на службу производству успехи теории.
Развитие теории подобия и моделирования шло двумя путями:
путем анализа дифференциальных уравнений и путем анализа
размерностей, я-теорема, являющаяся основой анализа разномерностей,
утверждает, что результаты любого физического эксперимента могут
быть представлены в виде комбинаций безразмерных величин, причем
668

число безразмерных будет меньше числа размерных величин,
участвующих в описании процесса, jt-теорема строго выведена как
следствие теоремы, которую А. Федерман доказал в 1911 г. В 1914 г. я-тео-
рема была доказана при некоторых частных предположениях Г. Букин-
гемом. Далее в более общем виде я-теорема была сформулирована
Т. А. Афанасьевой—Эренфест. Эта же теорема рассмотрена в работе
Н. Г. Чеботарева и в целом ряде других работ.
В 30-х годах нашего столетия Рейнольде, Нуссельт и ряд других
ученых предложили методы установления подобия и критериальной
обработки результатов исследований применительно к задачам
гидродинамики. М. В. Кирпичев, А. А. Гухман, М. А. Михеев, П. К. Кона-
ков и другие разрабатывали вопросы применения теории подобия в
теплотехнике.
~ В 1943 г. Л. И. Седов выпустил работу, посвященную применению
методов подобия и размерности в механике. Л. И. Седов известен по
его работам в области механики сплошных сред. Он родился в 1907 г.
в Ростове-на-Дону, окончил МГУ в 1930 г. Более 25 лет работал в
промышленных научных институтах в области гидродинамики,
аэродинамики и газовой динамики. С 1945 г. работает в Математическом
институте им. Стеклова. Участвовал в решении проблем морской и
авиационной техники. Предложил новые модели сплошной среды с учетом
термодинамических и электродинамических явлений и * метод
нахождения уравнений движения и граничных условий на основании
сформулированного им вариационного принципа. С 1937 г. заведует кафедрой
гидромеханики в Московском университете. Л. И. Седов избран в 1946 г.
членом-корреспондентом, а в 1953 г. действительным членом Академии
наук СССР. Почетный член некоторых иностранных академий и доктор
honoris causa1 ряда иностранных вузов. Лауреат Государственной
премии СССР, а также премий имени С. А. Чаплыгина и М. В.
Ломоносова, Герой Социалистического Труда, награжден многими орденами СССР
и французским орденом Почетного легиона.
Первая работа по теории моделирования горячих и скоростных
процессов ОМД принадлежит А. А. Ильюшину. Вопросам
моделирования и анализа размерностей посвящены работы Ю. М. Чижикова
(1963, 1970), В. С. Смирнова, А. К. Григорьева с сотрудниками (1971),
А. П. Чекмарева с сотрудниками (1970).
A. П. Чекмарев (1902—1975) после окончания в 1927 г.
Днепропетровского горного института был на инженерной и преподавательской
работе. С 1934 г. до конца жизни руководил кафедрой ОМД
Днепропетровского металлургического института. В 1948 "г. избран
академиком АН УССР, а в 1968 г.—академиком АН СССР. Он лауреат
Государственных премий (1941 г., 1949 г.), Герой Социалистического Труда
(1972).
B. С. Смирнов (1914—1973) окончил в 1937 г. Уральский
индустриальный институт (ныне Уральский политехнический) им. С. М.
Кирова. Работал на Верх-Исетском заводе, а затем сочетал инженерную
деятельность на промышленных предприятиях Урала с
научно-педагогической работой в Уральском политехническом институте.
С 1949 г, руководил кафедрой ОМД, а с 1956 г. — ректор
Ленинградского политехнического института. В 1960 г. избран
членом-корреспондентом АН СССР.
9. Эффект изменения проводимости металлов при деформации от-
1 Латинское выражение, означающее ради почета, за заслуги,
например, ученая степень, присуждаемая за научные заслуги, без защиты
диссертации.
669

крыл в 1856 г. Томсон (лорд Кельвин). Долгое время открытие
оставалось неиспользованным. В 1937 г. Е. Симмонс из Калифорнийского
технологического института приклеил тонкую проволочку к поверхности
детали и показал, что проволочка деформируется так же, как
поверхность детали. Поэтому по изменению сопротивления проволочки можно
судить о деформации детали. Почти в то же время А. Руже из Маса-
чусетского технологического института проволочку проклеил
бумажными подложками и присоединил к ней питающие провода большего
сечения. Этим было- положено начало изготовлению и широкому
применению датчиков сопротивления. В СССР разработка и применение
тензодатчиков начаты были в ЦАГИ (Центральный
аэрогидродинамический институт).
Рождение оптического метода исследования напряженного и
деформированного состояний связано, вероятно, с именем Д. Брюстера
(1816), который обнаружил, что оптически изотропные прозрачные
вещества становятся оптически анизотропными. Нейман в 1841 г.
установил, что главные оси оптической анизотропии нагруженной по
периметру плоской прозрачной модели совпадают с осями главных
нормальных напряжений и что составляющие скоростей распространения
света по этим осям отличаются друг от друга и являются линейными
функциями от главных нормальных напряжений.
В 1850 г. Максвелл открыл метод «замораживания напряжений».
Некоторые оптически активные материалы обладают свойством
фиксировать свое деформированное состояние в результате медленного
охлаждения. Конечно, на самом деле замораживания напряжений не
происходит, фиксируется деформированное состояние, а это означает
фиксирование основной части девиатора напряжений. Снятие нагрузки
с замороженной модели не может не вызвать снятие и
перераспределение напряжений, которые обязательно удовлетворяют уравнения
равновесия. Снятие и перераспределение напряжений при разгрузке
модели, вероятно, касается в основном шаровой части тензора
напряжений, который оптическим методом не регистрируется.
Метод оптически чувствительных покрытий был предложен и
впервые использован в 1930 г. Менаже.
В исследованиях А. Надаи было установлено, что траектории
максимальных касательных напряжений, полученные на полимерных
оптически чувствительных материалах, хорошо согласуются с
аналогичными полями для металлических материалов. Среди первых работ,
использующих оптически чувствительные полимерные материалы для
моделирования пластических деформаций, следует отметить работы,
выполненные под руководством С. И. Губкина (1957) и Е. П. Унксова
(1959).
Первое упоминание о муаровом эффекте относится к 1859 г., когда
была опубликована работа Фуко, посвященная применению метода в
оптике. В 1874 г. лорд Релей дал более полное описание эффекта муар.
После этого появилось много работ, посвященных элементарному
анализу механизма образования муаровых полос. Первая книга,
посвященная применению метода муар для определения перемещений и
деформаций, была опубликована в 1969 г. И. П. Сухаревым и Б. Н.
Ушаковым. Для решения задач ОМД метод муар был применен
коллективами исследователей в Московском институте стали и сплавов под
руководством П. И. Полухина и в Физико-техническом институте
АН БССР под руководством В. П. Северденко.
Первый гидроинтегратор для решения тепловых задач был разра-
670

ботан в 1936 г. В. С. Лукьяновым, хотя идея применения жидкости для
моделирования теплового движения известна давно. Метод
электрогидродинамической аналогии был предложен в 1922 г. Н. Н. Павловским
для исследования движения грунтовых вод. Он эффективно
применялся для исследования некоторых течений в гидродинамике, для решения
ряда тепловых задач. Г. Я. Гун (1968) предложил применять метод и
прибор ЭГДА для решения задач о деформированном состоянии
плоского установившегося течения металла в предположении, что оно
безвихревое. Идея применения песчаной насыпи для моделирования
давления на штамп при штамповке тонких панелей, была высказана в
1955 г. А. А. Ильюшиным. Она восходит, вероятно, к работам Л. Прандт-
ля и А. Надаи, выполненным в начале века по моделированию упруго-
пластического кручения валов сложного поперечного сечения. Они
предложили аналогию с мыльной пленкой, песчаной насыпью и т. п.
10. К настоящему времени в литературе насчитывается
значительное количество крупных работ, посвященных исследованию зависимости
сопротивления деформации от температуры, скорости и степени
деформации, соответствующих реальным условиям ОМД.
Одна из первых таких работ была выполнена А. Надаи и М. Менд-
жойном (1941), которые получили зависимость предела прочности от
скорости деформации £м=Ю-3-И03 с-1 при 6 = 20—1200 °С и одном
и том же относительном удлинении (А///0>) • 100 % = 18—20%. Опыты
были сделаны для чистого железа, низкоуглеродистой и коррозионно-
стойкой стали, а также для Си и А1. Испытания на растяжение
проводили на высокоскоростной установке с использованием совершенной по
тем временам тензометрической аппаратуры. Напряженное состояние
при растяжении образца с шейкой почти одновременно, независимо,
приближенно и несколько отличающимися теоретическими путями
определили П. Бриджмен (1945) и Н. Н. Давиденков с Н. И.
Спиридоновой (1946).
Одно из первых обширных исследований влияния скорости на
сопротивление горячей деформации металлов было выполнено Л. Д.
Соколовым (1946, 1956, 1963). Им были получены кривые упрочнения ряда
углеродистых и легированных сталей в интервале температур 0 = 700—
1200 °С при скорости осадки 0,01—2000 мм/с.
Значительные работы по изучению сопротивления металлов
пластической деформации были проведены М. А. Зайковым (1954, 1960). Он
предложил способ корректировки данных, полученных при осадке,
исключающий погрешность, связанную с трением. Обосновал
математическую модель температурной зависимости сопротивления деформации,
предложил формулы, аппроксимирующие сопротивление деформации.
А. П. Чекмарев и 3. А. Риднер (1957) исследовали зависимость
сопротивления деформации углеродистых сталей при 0 = 800—1200 °С,
£и = 2—400 с-1 и е=8—18 %. В ряду указанных выше работ можно
отметить исследования Н. И. Корнеева, И. Г. Скугарева, Ф. И.
Филатова (1958), А. А. Динника (1960), И. Я- Тарновского, А. А. Поздеева,
Л. В. Меандрова, Г. А. Хасина (1960) и др.
Новый этап исследования сопротивления деформации металлов при
горячей пластической деформации был начат после создания в 1950 г.
в Британской ассоциации черной металлургии (BISRA) первого
кулачкового пластометра. Оригинальным элементом установки являлся
рабочий кулачок с логарифмическим контуром образующей, один оборот
которого придавал образцу обжатие до 50 % при постоянной скорости
деформации. На этом пластометре были проведены исследования ряда
сталей, цветных металлов и сплавов Д. Эльдером и В. Филлипсом
(1954), П. Куком (1958).
671

Изучение разупрочнения в паузах при многократном горячем
деформировании было осуществлено впервые Д. И. Суяровым, В. И. Ши-
лозым, Р. В. Лелем, Е. Н. Соколковым и Ф. Э. Михайлец (1969).
А. А. Поздеев впервые (1970) указал на то, что сопротивление
деформации металлов при горячей обработке давлением является
функционалом от истории развития деформации во времени к данному
моменту. Эта плодотворная идея была перенесена в теорию ОМД из
теории ползучести, в частности из работ Ю. Н. Работнова.
Ю Н. Работнов (1914—1985) родился в г. Нижний Новгород
(Горький). В 1935 г. окончил МГУ. В 1953 г. избран
членом-корреспондентом, а в 1958 г.— действительным членом АН СССР. Основные труды;
Ю. Н. Работнова посвящены теории оболочек, теории ползучести и
пластичности, механике разрушения, динамике пластических сред. Он
построил класс специальных операторов, применяемых в теории вязко-
упругости, исследовал механизм процесса длительного разрушения в
агрессивной среде, а также при высоких температурах, создал
установки для изучения ползучести материалов. Работы Ю. Н. Работнова по
теории ползучести используют при расчете дисков и роторов турбин и
исследованиях пусковых режимов турбин и компрессоров.
А. А. Поздеев родился в 1926 г. В 1949 г. окончил Уральский
политехнический институт им. С. М. Кирова. С 1980 г.— директор Института
механики сплошных сред УНЦ АН СССР. В 1981 г. избран
членом-корреспондентом АН СССР.
Идея применения теории идентификации для конструирования
функционалов сопротивления металла горячей пластической деформации
была высказана в 1984 г. А. В. Коноваловым.
11. Изучение трения ведется давно. В частности, Леонардо да
Винчи было установлено (1508), что величина силы трения Т
пропорциональна величине нормальной нагрузки N. Коэффициент
пропорциональности он указал равным 0,25. В конце XVII в. специальные
исследования трения были предприняты французским инженером Г. Амонтоном.
который установил экспериментально закон трения в виде T=fN, где
/ — коэффициент трения.
После ряда подготовительных работ других исследователей
(Леонардо да Винчи, Г. Амонтон и др.) в 1785 г. А. Кулоном (знаменитым
физиком, с именем которого навсегда связано установление ряда
законов электростатики) была опубликована работа по трению твердых тел.
С той поры различают трение покоя и трение скольжения; введены
такие категории, как угол трения, коэффициент трения и т. п. Он ввел
двучленный закон трения T = fN + A, в котором слагаемое Л учитывает
молекулярное взаимодействие веществ трущихся тел. Вклад А. Кулона
в изучение трения и его авторитет были столь велики, что часто
одночленное выражение закона трения T = fN, по справедливости
принадлежащее Г. Амонтону, называют именем А. Кулона.
Общим вопросом механики сухого и граничного трения посвящено
очень много работ. Следует отметить авторов первых специальных
монографий, посвященных машинному трению: А. К. Зайцева (1947),
Д. В. Конвисарова (1947), И. В. Крагельского (1947), Ф. П. Боудена и
Д. Тейбора (1950) и др. Трению и смазкам в процессах обработки
металлов давлением посвятили первые монографии А. К. Чертавских
(1955), М. М. Горенштейн (1960), И. Л. Перлин и В. Я. Шапиро (1965),
И. Я. Тарновский, А. Н. Леванов и М. И. Поксеваткин (1966) и ДР-
Аналитическое описание связи между касательным f х и нормальным /v
напряжениями и другими характеристиками механизма взаимодействия
на поверхности длительное время довольствовалось условиями )т ^
= |я/л,или fx =tyTs. Последнее условие принадлежит Л. Прандтлю и
672

впервые было использовано в решениях задач теории ОМД Е. Зибелем,
поэтому часто условие fx=^Ts приписывают ему. Первые книги по
.теории ОМД были созданы С. И. Губкиным (1931, 1935), Е. Зибелем
(1932, 1935), А. Ф. Головиным (1931, 1936), И. М. Павловым (1934,
1938).
И. М. Павлов (1900—1985) родился в Ростовской области. По
окончании Петроградского политехнического института в 1923 г. работал на
металлургических заводах страны до 1933 г. В 1946 г. избран членом-
корреспондентом АН СССР. Он основал научную школу в области
процессов пластической деформации. Автор многих трудов по металлургии
И' металловедению. В 1966 г. удостоен Ленинской премии СССР.
Впервые условие трения (11.14) было выдвинуто Е. П. Унксовым
в 1948 г., экспериментально доказано им (1952) и совместно с В. М. За-
варцевой (1954). На экспоненциальный характер закона трения fT =
=f-%(fv) Указали в 1968 г. Е. М. Макушок, В. П. Северденко с
сотрудниками. Условие трения (11.15) было разработано в 1971 г. А. Н. Лева-
новым и И. Я. Тарновским с сотрудниками. Осадка с кручением была
предложена А. Н. Левановым с сотрудниками (1969).
Решение задачи о нормальном контактном напряжении и
выяснение влияния трения на силу прокатки, описанное в п. 11.4, было
сделано в 1939 г. А. И. Целиковым.
А. И. Целиков (1904—1984). Окончил в 1928 г. Московское
высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана (МВТУ). В 1953 г. он
избран членом-корреспондентом, а в 1964 г. действительным членом
АН СССР. Он разработал теорию прокатки и методы расчета
прокатных станов. Под руководством и при участии А. И. Целикова созданы
и внедрены в промышленность оригинальные станы и агрегаты
(блюминг, непрерывные трубопрокатные и трубосварочные станы,
штамповочные прессы усилием 735 МН). Разработаны технология и агрегаты
совмещения непрерывного литья металлов с прокаткой и сварки труб с
прокаткой, принципиально новые процессы прокатки периодических
профилей, шаров, винтов, осей, зубчатых колес и других изделий и
необходимое для этого оборудования. А И. Целиков — лауреат
Государственных премий СССР (1947, 1948, 1951), Ленинской премии (1964).
А. И. Целиков — дважды Герой Социалистического Труда (1964 и 1984).
Исследователи давно искали способ подачи смазки в очаг
деформации под давлением, которого было бы достаточно для создания
режима жидкостного трения. Один из таких способов был предложен
фирмой AEG в Германии в 1931 г. По этому способу масло подается в
специальное устройство, которое представляет собой
герметизированную камеру с двумя волоками, в одной из которых осуществляется
основная деформация проволоки. Во второй волоке, установленной на
входе в камеру, обжатие металла небольшое (10 %), и оно служит для
предотвращения утечки смазки. Изучение подобного способа было
предпринято в 1962 г. В. Ф. Мосеевым и А. А. Коростелиным.
Другой более простой способ создания давления в смазке на
входе в волоку заключается в нагнетании смазки в очаг деформации
самим протягиваемым изделием. Такой способ был предложен Мак Лел-
ланом и Камероном в 1944 г. В 1955 г. в Великобритании было
сконструировано устройство, которое позволило создать давление смазки,
соизмеримое с сопротивлением деформации протягиваемого . металла.
Аналогичный способ подачи смазки был предложен И. Н. Недовизием
и А. Н. Цейтлиным (1961).
Применение способа Кристоферсона—Найлора и
Недовизия—Цейтлина в производстве связано с рядом трудностей, главной из которых
43-382
673

является сравнительно большая длина насадок-нагнетателей из-за
низкой вязкости жидких смазок. В Шеффилдской лаборатории
Британской исследовательской ассоциации черной металлургии (BISRA) было
предложено заменить жидкие смазки твердыми — порошкообразным
сухим мылом. В 1964 г. С. И. Орловым, В. Л. Колмогоровым и их
сотрудниками были предложены сборные волоки для волочения
проволоки в режиме жидкостного трения, которые нашли широкое
применение в СССР и по лицензиям в ряде других стран.
Первые работы по теории волочения в режиме жидкостного
трения с использованием гидродинамического эффекта (изотермический
вариант) принадлежат Кристоферсону — Найлору и И. Н. Недовизию,
B. Л. Колмогоров с сотрудниками разработал неизотермический
вариант теории. Первые монографии по жидкостному режиму трения и
гидродинамическому эффекту в ОМД созданы В. Л. Колмогоровым,
С. И. Орловым и К- П. Селищевым (1967), В. Л. Колмогоровым, С. И.
Орловым, Г. Л. Колмогоровым (1975), Е. И. Исаченковым (1978).
И. Л. Перлин, В. Я. Шапиро и Е. Л. Школьников (1963), а также
А. С. Белоусов и Ю.В. Владимиров (1966) показали, что при волочении
мягких металлов и сплавов' возможно достижение режима
жидкостного трения без специальных приспособлений, только за счет смазочного
клина в волоке.
Вопросами гидродинамического эффекта смазки при прокатке
занимались А. П. Грудев с сотрудниками (1971), Е. Т. Малых и В. И.
Соколовский (1971), В. И. Мелешко, В. Л. Мазур с сотрудниками (1972)
и др.
Гидродинамический эффект технологической смазки может быть
результативным в других процессах ОМД (объемной и листовой
штамповке, прессовании)—это показали работы Е. И. Исаченкова (1951,
1952, 1955), В. И. Казаченка с сотрудниками (1964, 1965, 1966),
А. Д. Томленова (1972), Г. Л. Колмогорова (1975).
12. История теории деформируемости в ОМД начинается,
вероятно, с работ С. И. Губкина.
С. И. Губкин (1898—1955) в 1928 г. окончил Московскую горную
академию. С 1947 г. избран академиком АН БССР. Научные работы
C. И. Губкина посвящены теории пластической деформации и
обработке металлов давлением. Он явился создателем многих научных школ в
нашей стране.
К вопросам деформируемости металлов С. И. Губкин обращался
неоднократно. Он установил, что в условиях развитой пластической
деформации критерием разрушения может служить степень деформации.
Она не должна превышать некоторого критического значения, которое
называется пластичностью. С. И. Губкин ввел понятие о диаграмме
пластичности и, говоря о влиянии на пластичность напряженного
состояния, указал, что в качестве аргументов могут быть приняты два
безразмерных независимых показателя, составленные из инвариантов.
Ответ на вопрос, как перейти от диаграммы пластичности к конкретному
процессу, в котором напряженное и деформированное состояние
частицы переменны, теория деформируемости С. И. Губкина не давала.
В 1952 г. решение этой задачи предложил Л. Д. Соколов.
Основываясь на положении, что схема напряженного состояния оказывает
влияние как на силу деформации, так и на пластичность, он выдвинул
предположение о существовании функции между fv и предельной
деформацией (максимальной главной деформацией), которую может
выдержать материал без разрушения. Ставить разрушение
безотносительно от места, где оно происходит, в зависимость от показателя
напряженного состояния на контактной поверхности, неверно. Учитывая
674

это, В. А. Скуднов и Л. Д. Соколов в 1964 г. отдают предпочтение уже
локальному показателю напряженного состояния cr/ov
В 1956 г. Г. А. Смирнов—Аляев впервые ввел в качестве меры
пластичности степень деформации еи= j %>udi, накопленную частицей, и
а
предложил рассматривать диаграммы пластичности в координатах е«~
~1,73я (напомним k = o/T). Он построил первые диаграммы
пластичности в современном виде, обработав многочисленные опытные данные
П. Бриджмена. Следует отметить, что, вероятно, не существует иных
методов изучения пластичности в широком диапазоне напряженных
состояний, свойственных ОМД, кроме методов, использующих технику
высоких давлений жидкостей. Выдающийся вклад в физику и технику
высоких давлений принадлежит П. Бриджмену.
П. Бриджмен (1882—1961) —американский физик, член
Национальной Академии наук США. Окончил Гарвардский университет в 1905 г.,
с которым у него была связана вся последующая деятельность.
Основные его работы посвящены физике сверхвысоких давлений (30—
4250 МПа). За работы в области физики высоких давлений и связанные
с ними открытия, в частности за создание аппаратуры, удостоен в
1946 г. Нобелевской премии. Его работы привели к созданию
искусственных алмазов (1955).
В Советском Союзе пластичностью металлов при высоких
давлениях с середины пятидесятых годов по инициативе акад. Л. Ф.
Верещагина занимались Б. И. Береснев, К. П. Радионов, Ю. Н. Рябинин.
Различными вопросами деформируемости металлов в нашей стране
занимались М. А. Зайков и В. Н. Перетятько (1959, 1961); А. А.
Пресняков (1958); Ю. М. Чижиков (1948, 1961). Первое условие
постепенного развития разрушения частицы при обработке тела давлением,
основанное на диаграмме пластичности и расчете напряженного и
деформируемого состояний металла, впервые было предложено В. Л.
Колмогоровым.
Обобщение этого условия на существенно немонотонные процессы
ОМД сделал и ввел еще одну пластическую характеристику а = а (&,
^о) А. А. Богатов. Ю. Г. Важенцев и А. А. Богатов установили
существенную роль [10 в зависимости А,Р = А.Р(£, р, а) (1976, 1978). Г. Д. Дель
и В. А. Огородников (1977) изучали исчерпание пластичности в
зависимости от особенностей пути деформирования частицы.
13. Теория оптимизации — раздел науки, который сформировался
во второй половине нашего века. Трудно составить представление об
истории этого предмета с такого небольшого «расстояния». Корни
теории оптимизации давние. Простейшая задача безусловной минимизации
функции многих переменных была решена Ферма в 1629 г. Позже, при
формировании дифференциального исчисления в работах И. Ньютона и
Г. Лейбница были даны условия экстремума второго порядка (в
терминах вторых производных).
Задачи на условный экстремум рассматривались в классической
математике лишь для ограничений типа равенств. Первые
экстремальные задачи с ограничениями общего вида (в "том числе и в виде
неравенств) были рассмотрены в конце тридцатых — начале сороковых
годов текущего столетия. Тогда же начало формироваться
математическое программирование. В его создание внесли значительный вклад
советские и американские математики. В частности, это было признано
присуждением в 1975 г. акад. Л. В. Канторовичу (СССР) и Т. Купман-
су (США) Нобелевской премии за применение в экономических
расчетах метода линейного программирования.
43*
675

В классе задач оптимизации, связанном с вариационным^
исчислением, необходимые условия экстремума (условия экстремума первого
порядка, связанные с первой вариацией), были получены Л. Эйлером, а
второго порядка — Лежандром и Б. Якоби. Важный вопрос о
существовании решения в вариационном исчислении был впервые поставлен
К. Вейерштрассом во второй половине XIX в.
Теория оптимального управления начала формироваться в
пятидесятых годах. Она выросла к настоящему времени благодаря работе
большой плеяды советских ученых в развитый самостоятельный раздел
математики.
Л. С. Понтрягин родился в 1908 г. в Москве. В 1929 г. окончил МГУ*
В 1939 г. избран членом-корреспондентом, а с 1958 г. действительным
членом АН СССР. Получил ряд результатов в топологии, теории
колебаний. В теории управления — создатель теории оптимальных
процессов, в основе которой лежит принцип максимума. Имеет
фундаментальные результаты по дифференциальным играм. Работы Л. С. Понтрягина
и его школы оказали большое влияние на развитие теории управления
и вариационного исчисления. Он почетный член Лондонского
математического общества (1953), Международной академии «Астронавтика»
(1966), вице-президент Международного математического союза (в
1970—74 гг.), почетный член АН ВНР (1972). Удостоен
Государственной премии СССР в 1941 г., а в 1962 г. — Ленинской премии. В 1969 г.
ему присвоено звание Героя Социалистического труда.
Н. Н. Красовский родился в 1924 г. в Свердловске. В 1949 г.
окончил Уральский политехнический институт. В последующие годы оказал
значительное влияние на формирование научных школ кафедры
обработки металлов давлением, которую окончил. Рано проявил
математические способности; все время после окончания вуза работал в области
математики и механики. В 1964 г. избран членом-корреспондентом, а в
1968 г. действительным членом АН СССР. Широко известные основные
труды Н. Н. Красовского по теории устойчивости движения и динамике
управляемых систем. Он развил метод функций Ляпунова, разрешил
проблему существования этих функций во всех основных случаях
устойчивости и неустойчивости, предложил новую функциональную
трактовку систем с последействием, разработал теорию стабилизации
управляемых систем на основе синтеза методов теории устойчивости с новым
аппаратом теории оптимальных процессов, дал способ решения задач
теории оптимального управления — правило минимакса. Развил теорию
управления в игровых задачах динамики. В 1974 г. удостоен звания
Героя Социалистического Труда, в 1976 г. получил Ленинскую премию.
Р. Беллман родился в 1920 г. в Нью-Йорке. В 1941 г. окончил
Бруклинский колледж, в 1943 г. окончил университет в г. Висконсин.
В Принстонском университете в 1946 г. получил ученую степень
доктора по математике. Член Национальной технической академии и
Американского математического общества. Основные результаты Р. Беллмана
получены в области теории численных методов, обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных,
стохастических процессов, инвариантных вложений, методов
квазилинеаризации, динамического программирования, математических методов в
биологии.
Методы математического программирования нашли в ОМД
довольно большое применение. Как правило, с их помощью решаются задачи,
относящиеся к экономике и организации производства. Есть решения
отдельных технологических вопросов.
Методы теории управления динамическими системами
(испытывающими эволюции во времени) стали применяться в теории ОМД недавно.
676

Монографий, содержащих решение актуальных задач, нет; имеются
отдельные немногочисленные статьи. В. Ф. Кротов и М. Я. Бровман
изучали экстремальные процессы пластического деформирования металлов
(1962). В. В. Ериклинцев и В. И. Тумашев применили метод
динамического программирования для расчета оптимальных режимов прокатки
на реверсивных станах (1969). С. Ю. Викдорчик и Р. А. Вайсбурд
применили динамическое программирование для расчета вариационным
методом формоизменения при ковке полой заготовки (1971, 1973).
В монографии С. Л. Коцаря, Б. Н. Полякова, Ю. Д. Макарова, В. А. Чи-
чигина приведено решение задачи оптимального быстродействия
главного привода реверсивного стана (задачи первого уровня) с
использованием принципа максимума (1974). Р. А. Вайсбурд и А. В. Коновалов
решили методом динамического программирования задачу
быстродействия при кузнечной протяжке (1974, 1976). Р. А. Вайсбурд и А. И. Ли-
повецкий рассмотрели с помощью принципа максимума вопрос
оптимального трения при осадке (1978). В. Л. Колмогоров, А. В.
Коновалов, В. Г. Кунщиков применили правило минимакса для решения
задачи оптимального быстродействия камерной нагревательной печи (1982).
В. Л. Колмогоров, А. В. Коновалов, С. И. Паршаков, В. В. Шимов
рассмотрели более полную задачу (на двух уровнях) оптимального
управления реверсивным прокатным станом (1980, 1983).

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СГГИСОК
ЧАСТЬ J, ГЛ. 1
Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. М.: Наука,
1969. 351 с.
Ильин В. А., Лозняк Э. Г. Линейная алгебра. Учебник для вузов.
2-е изд. перераб. и доп. М.: Наука, 1978. 304 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Учебник для вузов. Т. 1, 11-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1976.
456 с. Т. 2, 10-е изд. М.: Наука, 1972. 576 с.
ЧАСТЬ I, ГЛ. 2
Гун Г. #. Теоретические основы обработки металлов давлением.
Теория пластичности: Учебник для вузов. М.: Металлургия, 1980. 456 с.'
Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести:
Учебник для вузов, 2-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение,
1975. 400 с.
Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир.
1974. 319 с.
Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. I. Учебник для
университетов. М.: Наука, 1970. 536 с.
Таре С. М. Краткий курс теоретической механики. Учебник для
вузов. 8-е изд. перераб. и доп. М.: Наука, 1972. 478 с.
ЧАСТЬ I, ГЛ. 3
Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. 2-е изд., М.: Изд-во
МГУ, 1978. 288 с.
Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. I: Пер. с
англ. под ред. Г. С. Шапиро. М.: ИИЛ, 1954, 647 с. Т. 2. М.: Мир,
1969. 863 с.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.
М.: Наука, 1977. 679 с.
Уравнения состояния при малоцикловом нагружении / Махму-
тов Н. А., Гаденин Н. Н., Гохфельд Д. А., Гусенков А. П., Зацарин-
ный В. В., Казанцев А. Г., Коротких Ю. Г., Левин О. А., Москвы-
тин Г. В., Романов А. Н„ Садаков О. С, Угодников А. Г. М.: Наука,
1981. 244 с.
ЧАСТЬ I, ГЛ. 4
Гун Г. Я., Полухин П. И., Полухин В. П. Пластическое
формоизменение металлов. М.: Металлургия, 1968. 416 с.
Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966.
231 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции
комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.
Сегал В. М. Технологические задачи теории пластичности (методы
исследования). Минск: Наука и техника, 1977. 256 с.
Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. 2-е
изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1966. 448 с.
Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969.
608 с.
Томленое А. Д. Теория пластического деформирования металлов.
М.: Металлургия, 1972. 408 с.
Фрейдентал А., Гейрингер X. Математические теории неупругой
сплошной среды: Пер. с англ. под ред. Э. И. Григолюка. М.: ГИФМЛ,
1962. 432 с.
Хилл Р. Математическая теория пластичности: Пер. с англ.
Э. И. Григолюка. М.: ГИФМЛ, 1956. 407 с.
ЧАСТЬ /, ГЛ. 5
678

ЧАСТЫ, ГЛ. 5
Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление: Учебник
для университетов. М.: ГИФМЛ, 1961. 228 с.
Лаврентьев М. А., Люстерник П. А. Курс вариационного
исчисления: Учебник для университетов. 2-е изд., перераб. М.—Л.: ГИТТЛ,
1950. 296 с.
Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. М.—Л.: ГИТТЛ, 1952.
166 с.
ЧАСТЬ /, ГЛ. 6
Ионов В. Н., Огибалов П. Н. Напряжения в телах при
импульсивном нагружении. М.: Высшая школа, 1975. 463 с.
Колмогоров В. Л. Напряжения, деформации, разрушение. М.:
Металлургия, 1970. 230 с.
Теория обработки металлов давлением / Тарновский И. Я., Позде*
ев А. А., Ганаго О. А. и др. — М.: Металлургиздат, 1963. 672 с.
Теория пластических деформаций металлов / Е. П. Унксов,
У. Джонсон, В. Л. Колмогоров и др. / Под ред. Е. П. Унксова,
А. Г. Овчинникова. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.
ЧАСТЬ //, ГЛ. 7
Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. 2-е изд. М.: Изд-во
МГУ, 1978. 288 с.
Работное Ю. И. Механика деформируемого твердого тела. Учебное
пособие для университетов. М.: Наука, 1979. 744 с.
Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1 и 2. Учебник для
университетов. М.: Наука, 1970. 536 с. и 568 с.
Теория пластических деформаций металлов / Е. /7. Унксов,
У. Джонсон, В. Л. Колмогоров и др.: Под ред. Е. П. Унксова, А. Г.
Овчинникова. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.
ЧАСТЬ II, ГЛ. 8
Веников В. А. Теория подобия и моделирования (применительно к
задачам электроэнергетики): Учебное пособие для вузов. 2-е изд.
перераб. и доп. М.: Высшая школа, 1976. 479 с.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Учебник для вузов. М.:
Наука, 1969. 576 с.
Ильюшин А. А. — В кн.: Прикладная математика и механика,
Т. XVI. М.: изд-во АН СССР, 1952, с. 30—35.
Седое Л. И. Методы подобия и размерностей в механике. 6-е изд.,
М.: Наука, 1967. 428 с.
Смирнов В. С, Григорьев А. К, Карачунский А. Д. Методы подобия
в теории прокатки. Л.: Наука, 1971. 178 с.
Спиди К, Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления.
Идентификация и оптимальное управление. Пер. с англ. М.: Мир, 1973. 248 с.
Шенк X. Теория инженерного эксперимента: Пер. с англ. М.: Мир,
1972. 381 с.
ЧАСТЬ II, ГЛ. 9 >
Волынский Б. А., Бихман В. Е. Модели для решения краевых
задач. М.: Физматгиз, 1960. 451 с.
Воронцов В. К, Полухин П. И. Фотопластичность. Применение
метода к исследованию процессов обработки металлов давлением. М.:
Металлургия, 1969. 400 с.
Гальчук В. Я., Соловьев А. П. Техника научного эксперимента. Л.:
Судостроение, 1982. 256 с.
Деформации и напряжения при обработке металлов давлением.
Применение методов муар и координатных сеток / Полухин П. И.,
Воронцов В. К., Кудрин А. Б.к Чичинев Н. А. М.: Металлургия, 1974.
336 с.
679

Ильюшин А. А. Полная пластичность в процессах течения" между
жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые
приложения. Прикладная математика и механика. 1955. Т. XIX, вып. б,
с. 20—31.
Пластическое формоизменение металлов / Гун Г. #., Полухин П. И.,
Полу хин В. П., Прудковский Б. А. М.: Металлургия, 1968. 416 с.
Сегал В. М., Маку шок Е. М., Резников В. И. Исследование
пластического формоизменения металлов методом муара. М.:
Металлургия, 1974. 200 с.
Теокарис П. Муаровые полосы при исследовании деформаций: Пер.
с англ., М., Мир, 1972. 335 с.
Томсен Э., Янг К., Кабояши Ш. Механика пластических
деформаций при обработке металлов: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1969.
503 с.
ЧАСТЬ //, ГЛ. Ю
Коновалов А. В.—Изв. АН СССР. Металлы, 1984, № 6, с. 178—
184.
Полухин П.. И., Гун Г. Я., Галкин А. М. Сопротивление
пластической деформации металлов и сплавов. 2-е изд., перераб. и доп.
Справочник. М.: Металлургия, 1983. 352 с.
Применение теории ползучести при обработке металлов давлением
/ Поздеев А. А., Тарновский В. И., Еремеев В. И., Баакашвили В. С.
М.: Металлургия, 1973. 192 с.
Соколов Л. Д. Сопротивление металлов пластической деформации.
М.: Металлургиздат, 1963. 284 с.
Сопротивление деформации и пластичность металлов (при
обработке металлов давлением) / Смирнов В. С, Григорьев А. К., Паку-
дин В. П., Садовников Б. В. М.: Металлургия, 1975. 272 с.
Су яров Д. И., Лель Р. В., Гилевич Ф. С. Упрочнение и
разупрочнение металлов и сплавов при горячей пластической деформации.
Горький, ГПИ, 1975. 75 с.
Третьяков А. В., Зюзин В. И. Механические свойства металлов и
сплавов при обработке давлением. 2-е изд., перераб. и доп.
Справочник. М.: Металлургия, 1973. 224 с.
ЧАСТЬ II, ГЛ. И
Альшевский Л. Е. Тяговые усилия при холодном волочении труб.
М.: Металлургиздат, 1952. 144 с.
Горячая прокатка листовой стали с технологическими смазками
/Тубольцев Л. Г., Килевич А. Ф., Адамский С. Д., Нетесов Н. Я./Под
ред. Мелешко В. И. М.: Металлургия, 1982. 160 с.
Грудев А. Я. Внешнее трение при прокатке. М.: Металлургия, 1973.
288 с.
Грудев А. П., Тилик В. Т. Технологические смазки в прокатном
производстве. М.: Металлургия, 1975. 368 с.
Исаченков Е. И. Контактное трение и смазки при обработке
металлов давлением. М.: Машиностроение, 1978. 208 с.
Колмогоров В. Л., Орлов С. И., Колмогоров Г. Л.
Гидродинамическая подача смазки. М.: Металлургия, 1975. 256 с.
Контактное трение в процессах обработки металлов давлением
/ Леванов А. Я., Колмогоров В. Л., Буркин С. П., Картак Б. Р., Аш-
пур Ю. В., Спасский Ю. И. М.: Металлургия, 1976. 416 с.
Макушок Е. М., Калиновская Т. В., Белый А. В. Массоперенос в
процессах трения. Минск: Наука и техника, 1978. 272 с.
Макушок Е. М. Механика трения. Минск: Наука и техника, 1974,
256 с.
680

Сегал В. М. Технологические задачи теории пластичности (методы
исследования). Минск: Наука и техника, 1977. 256 с.
ЧАСТЬ II, ГЛ. 12
Богатое А. А., Мижирицкий О. И., Смирнов С. В. Ресурс
пластичности металлов при обработке металлов давлением. М.: Металлургия,
1984. 150 с.
Кайбышев О. А. Пластичность и сверхпластичность металлов. М.:
Металлургия, 1975. 280 с.
Колмогоров В. Л. Напряжение, деформации, разрушение. М.:
Металлургия, 1970. 229 с.
Красневский С. М., Макушок Е. М., Щукин В. #. Разрушение
металлов при пластическом деформировании. Минск: Наука и техника,
1983. 173 с.
Огородников В. А. Оценка деформируемости металлов при
обработке металлов давлением. Киев: Вища школа. 1983. 175 с.
Пластичность и разрушение / Под ред. Колмогорова В. Л. M.i
Металлургия, 1977. 336 с.
ЧАСТЬ II, ГЛ. 13
Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. 400 с.
Карманов В. Г. Математическое программирование. 2-е изд., пере-
раб. Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1980. 256 с.
Красовский Н. Н. Теория управления движением, линейные
системы. М.: Наука, 1968. 476 с.
Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Задача о
минимаксе гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 520 с.
Математическая теория оптимальных процессов / Понтрягин Л. С,
В. Г. Болтянский, Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. 4-е изд., М.:
Наука, 1983. 392 с.
Оптимизация прокатного производства / Скороходов А. Н., Полу-
хин П. И., Илюкович Б. М., Хайкин Б. Е., Скороходов Н. Е. М.:
Металлургия, 1983. 432 с.
Шевакин Ю. Ф., Рытиков А. М. Вычислительные машины в
производстве труб (оптимизация производства). М.: Металлургия, 1972.
150 с.
УКАЗАТЕЛЬ НОМЕРОВ РИСУНКОВ
Рисунок
1.1
1.2
1.3
1.4
2.1
2.2
Ч.'З
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
Страница
15
35
36
37
40
40
41
41
44
50
50
53
53
55
56
58
59
61
61
64
74
Рисунок
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
Страница
81
81
86
87
96
99
99
101
101
108
113
117
120
120
126
123
126
130
134
135
135
681

Рисунок
3.22
3.23
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.Я
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Страница
137
137
141
144
144
145
145
148
154
155
155
157
159
159
165
165
167
168
171
174
176
178
178
179
180
182
184
186
187
188
191
199
199
201
202
205
205
206
209
218
218
230
238
240
251
251
254
254
264
264
273
273
274
281
285
290
293
294
294
294
307
312
323
323
325
325
334
346
358
374
380
384
387
388
Рисунок
8.7
8.8
8.9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
9.22
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
10.14
10.15
10.16
10.17
10.18
10.19
10.20
10.21
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
11.10
11.11
11.12
11.13
11.14
11.15
11.16
11.17
11.18
11.19
11.20
11.21
11.22
11.23
11.24
12.1
12.2
12.3
12.4
Стргшш
401
406
408
413
413
414
414
416
416
418
419
422
423
424
429
431
434
438
439
439
444
445
449
450
450
458
461
461
462
464
464
465
466
466
468
469
469
470
471
483
485
486
488
491
491
491
494
498
500
504
504
507
508
516.
517
521
522
525
527
530
531
532
533
535
537
539
540
542
543
543
552
556
556
560
682

12.5
12.6
12.7
1-2.8
12.9
12.10
12.11
12.12
12.13
12.14
12.15
12.16
12.17
12.18
12.19
12.20
12.21
12.22
12.23
562
563
563
564
569
570
570
573
574
578
579
581
583
583
584
587
587
589
591
12.24
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
13.10
13.11
13.12
13.13
13.14
13.15
13.16
13.17
13.18
592
599
599
600
607
608
612
613
616
618
620
623
624
626
627
629
637
645
651

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютный дифференциал поля
тензора 34, 35
— минимум 345, 347, 351
Автоматизированная система сбора и
обработки результатов измерения 417Р
418
Аксиома теории вероятностей 394
Алгоритм 627, 636
Альтернирование тензора 23, 320
Аналог 412, 443
Аналогия с песчаной насыпью 447, 448
— электродинамическая 448, 449, 451
Аппаратура тензометрическая 413, 415,
465, 505
Аппроксимация 382, 385, 490, 608
Базис координатный взаимный 313, 318
— криволинейной косоугольной
системы координат 174
— ортонормированный 14, 15, 20, 47
Баушингера эффект 101, 454
Безразмерные величины 363, 366, 370
Бесселя уравнение 128, 129, 513
— функция 128, 130, 131. 177
Бингамовый пластик 88
Бокса процедура 390, 408, 608
Бочвара правило 463
Букингема теорема 370
Быстродействие 612, 615, 616, 620, 648,
655
Вариационная производная 209
Вариация изохронная 228
— функции 201
— функционала 200—202
Вектор единичной внешней нормали
40, 330
— линейно зависимый 14, 17
■ независимый 14, 16
— напряжения 39
— напряженности магнитного поля 420
— собственный 30—32
— управления 404, 406
— фазовый 403, 404, 610
— функция 609, 610
— электрического поля 420
Вещество вязко-пластическое 497
— поверхностно активное 426
Визиопластичность 435, 436
Внутренняя энергия 329, 330
Волочение 508, 536
— без оправки 120, 122, 535, 537
— на длинной подвижной оправке 164,
535, 541
— на короткой неподвижной оправке
535
— на самоустанавливающейся оправке
535
Вискозиметр 87
Вуда сплав 429
Выборка 395, 396
Выпуклое множество 598, 656
Галеркина метод 216
Гаусса — Остроградского формула 36,
225. 241, 268, 299
Гемричгер уравнение 147, 149, 151, 163,
167, 175
Гержи уравнение 140, 143, 146, 148, 162,
166
Гидравлический интегратор 445, 446
Гидродинамика 497, 506, 507, 529
Гипотеза единой кривой 84, 100
— изотропии 81
— коаксиальности 81, 82, 453
— несжимаемости 122
— подобия девиаторов 99, 453
684
/
— пропорциональности 83, 99
— сплошности 9
Главные приращения удлинений 72
— скорости сдвига 67
Годограф скоростей 501, 506, 558, 559,
585, 586
Гомогенизирующий отжиг 351
Градиент скалярного поля 320
Гранулирование 491
Граница внешняя 157
— внутренняя 158, 160
Граничные условия 100, 104, 108, ПО,
111, ИЗ, 126, 153, 157, 160, 235, 249. 250,
253, 259, 297, 298, 363, 588, 630
второго рода 111, 303—305
естественные 264
первого рода ПО
— — третьего — 111
четвертого — 112
Грина формула 168, 170, 176
— функция 176
Гука закон 10, 90, «,362
Двойное лучепреломление 420
искусственное 421
Девиатор напряжений 48, 51, 83, 98,
251
— приращения деформации 72
— скорости — 65, 66, 83, 99
— относительной — 245
Деформация адиабатическая 95
— близкая к монотонной 100, 551, 572
— горячая 90, 91, 120, 365, 368, 456, 578
— знакопеременная 553
— малая упруго-пластичная 75, 88
— монотонная 74, 100, 548, 590
— необратимое 328
— существенно немонотонная 560
— теплая 456
— упругая 95, 102, 103, 413, 530
— холодная 90, 92, 287, 456, 571
Деформированное состояние 71, 78, 81,
139, 191, 433, 434
плоское 116, 117, 136, 287
Диагональ матрицы главная 13, 23,
33, 44, 62
Диаграмма пластичности 568
Дивергенция векторного поля 35, 37
Дисперсия 394, 395, 397, 399
Диссипация механической энергии 96,
330
Дифференциальное уравнение
движения 57
линии скольжения 68—70, 224
равновесия 116, 124, 144, 273, 279,
425, 436
теплопроводности 93—97, 105, 480,
629
траектории движения 68, 77, 224,
296
Дифференцирование тензорного поля
35, 38
— функции комплексного переменного
179, 181
Доверительный интервал 395
Дробная реплика 388
Единственность решения 240, 298
Жидкость линейно-вязкая 86
Задача изопериметрическая 208, 210,
211, 214, 215
— краевая вторая 150—153
— — первая 147
теории пластичности 78, 114, 118
, • третья 151, 161
__ на условный экстремум 208, 214

— оптимизации 617, 625, 626, 628
— с односторонней вариацией 204, 207
г— со свободными концами 204
— статически определимая 140
Закон движения 322, 327, 349
— наименьшего сопротивления 276, 281
— пластического течения
ассоциированный 104
— подобия 361
— распределения нормальный 380, 393
случайной величины 394
— сохранения массы 106
механической энергии 84, 85
тепловой энергии 106
— трения ПО, 222, 238, 244, 295, 355
Залечивание 552
Зона опережения 523, 526
— отставания 525
Идентификация 400, 406, 407, 410, 477,
480, 482, 483
Измерительная информационная
система 417
Изоклина 423, 424
Изохрома 422, 423, 424
Инвариант 24, 32, 64, 77, 82, 84, 88
— базовый 55
— дивиатор напряжений 46, 91, 105
скорости деформации 91
— квадратичный 47
— кубический 47
— линейный 48, 64, 72, 73, 105
— приращения деформации 72
— тензора второго ранга 32, 38, 43, 60,
63
напряжения 47, 49, 84, 105
скорости деформации 65, 105
Интенсивность деформации сдвига 255
— касательных напряжений 49, 84, 91,
92, 105, 455
напряжений 547
— скорости деформации сдвига 66, 93,
105, 118, 455, 547, 561
Инфимум 598
Источник векторных линий 35
Исчисление вариационное 269, 277, 278,
281, 284, 287
— тензорное 2, 13
Канторовича метод 216
Квазиизотропия 80
Ковариантная производная 320
Ковочный крест 252, 264
Компактный металл 90, 91
Комплексное число 178
Комплексный потенциал 191, 192, 194
Компоненты вектора ковариантные 313,
315, 319, 328
контравариантные 313, 315, 318,
319, 320, 328
— тензора 20, 63, 253, 270, 316
Конформное отображение 182, 183, 186,
189
Координатная поверхность 317
Коши задача 147, 148, 161
Коши — Римана условие 180, 186
Коши формула 614, 620, 622, 633
Коши — Шварца — Буняковского
неравенство 266—268
Коэффициент вытяжки 523, 558, 583,
604
— парного взаимодействия 392
— плеча приложения
равнодействующей 528
— регрессии 391, 392
— температуропроводности 629
— теплоемкости 98, 629
— теплопроводности 96, 98, 629
— удлинения 523
— уширения 523
— чувствительности 405, 482, 483
Кривая единая 101, 102, 365, 366
— течения 103, 104, 463
— упрочнения 469, 470
Кристоффеля символ 318, 313
Кронекера символ 12, 13, 20, 315
Кулона закон 109
Лапласа оператор 98
Лагранжа множитель 214, 249, 296, 510
Лагранжа переменные 69, 322, 324
Линейное преобразование 25, 27, 28
антисимметричное 23, 24
■ векторного пространства 25
симметричное 23
тождественное 25
— функциональное пространство 199—201
Линия координатная равного
потенциала 190
— скольжения 161, 164, 168, 143—152,
501
— тока 194
Лоде коэффицент 54, 549
Локализация деформации 458, 492
Малые деформации 75
Математическая модель 400, 401, 549
— статистика 393
Материал анизотропный 80, 92, 117
— идеально пластичный 115, 119, 140,
259, 278, 287, 290, 295, 300
— изотропный 80, 82, 452, 547
— квазиизотропный 80
— несжимаемый 190, 248, 256, 269, 287,
291, 295, 298, 301, 452, 453
Матрица антисимметричная 23
— билинейной формы 19—21
— для выдавливания 187, 191
— единичная 65, 409
— линейного преобразования 33, 34
— обратная 611, 621, 633
— плана эксперимента 387
— полилинейной формы 19
— простейшего вида 33
— симметричная 23, 30
— фундаментальная 621, 633, 641
Метод вариационно-разностный 218,
219, 221
— вариационный прямой 216
— верхней оценки 271
— градиентный 405, 607
— замораживания напряжений 427
— инженерный 138
— итераций 263
— конечно-разностный 147
— координатных сеток 428, 434
— линий скольжения 130, 153, 156, 174
— муар 435, 437, 439, 441, 442
— наименьших квадратов 380, 381, 563
— нижней оценки 271
— оптически чувствительных покрытий
427, 428
— последовательных приближений 473
— прямой вариационный 216
— сопряженных градиентов 408
— характеристик 139, 173
— хорд 254
Метрика пространства 316
Моделирование
— математическое 353, 400, 401, 407
— физическое 353, 361, 583
Модель 400, 401, 353, 359, 397, 422, 424,
447, 457, 479
Мора круги 52—54, 565
Мягкая схема напряженного состояния
685

Нажимное устройство 617, 626
Напряжение главное касательное 52,
54
нормальное 46, 47, 161, 376, 416,
422, 423
— касательное 46, 49, 51, 53, 55, 115,
135, 141, 142, 155, 222, 304, 258, 260,
417, 365, 376
максимальное 54, 423, 425
— на наклонной площадке 44, 51, 77
— нормальное 54, 135, 141, 142, 156,
222, 304, 305, 416
— октаэдрическое касательное 5
нормальное 50
— остаточное 122, 123
— поверхностное 141
— среднее нормальное 48, 90, 425
— статически возможное 58, 264—266,
271, 279, 281
Напряженно-деформированное
состояние 412, 420, 425, 428, 433, 535, 589
виртуальное 226, 227, 233, 238
действительное 214, 225—227,
231, 236, 239, 280, 310
Начало термодинамики второе 331
первое 93, 106, 331
Начальные условия 108, 112, 113, 401,
403
Некомпактный металл 90, 92, 485, 542
Николя призма 420
Ньютоновская жидкость 86
Область достижимости 612—614, 627
Однородное напряженное состояние 57
Ожидание математическое 394
Октаэдрическая площадка 50, 51
Оператор 478
Определитель матрицы линейного
преобразователя 25—29
Оптимум 594, 602, 603
Остаточное упрочнение 469
Отжиг 571, 573
Отклик 380
Относительное изменение объема 245
— обжатие 100
— удлинение 62, 63, 82
Параметр изоклины 424
— термомеханический 548—551
— управления 595, 624
Пекле критерий 133, 513
Переменные механические 78, 153, 223
Перлит 272, 274
Пи — теорема 371, 373, 374
Планирование эксперимента 381, 385
Пластифицирование 491
Пластический потенциал 104
Пластические свойства 12, 92, 101, 102,
115, 159, 161, 173, 188
— характеристики 559
Пластичность 10, 12, 90, 92, 95, 101,
102, 115, 119, 140, 157, 197, 221, 224, 240,
264, 269, 278, 312, 354, 358, 430, 546
Плоское напряженное состояние 117
Плотность массовая 364, 629
— мощности теплового источника 96,
629
Поверхность контактная 334
— отклика 390, 408
— прилипания 334
— скольжения 334
— текучести 103
Пограничный слой 499, 505
Подвод тепла конвективный 514
кондуктивный 514
Подобие геометрическое 354, 357
— критерии 359, 367, 368, 375
686
— физическое 366 /
Показатель напряженного состояния
548, 551, 559, 561, 566, 576, 589, 593
Поле векторное 34, 35, 37
— линий скольжения 142, 143, 145, 146,
150, 151, 158
— напряжений кинематически
возможное 217, 265, 271, 273, 274, 300, 557
статически возможное 249, 253,
278, 280, 282, 283, 448
— однородное 35
— скоростей кинематически возможное
249, 253, 278, 280, 282, 283, 448
соленоидильное 189
— тензорное 34, 35, 36
нестационарное 36
стационарное 36
Поляризация света 420, 422
Правило знака напряжений 42
— минимакса 597, 628, 633
Преобразование базиса обратное и
прямое 9, 20
— компонент тензора 20
— координат вектора 16
— линейное 14, 25, 46
■ симметричное 20, 23, 24
— ортонормированного базиса 14, 15,
45
— тождественное 15, 26, 48, 65
Принцип вариационный
— виртуальных напряжений 257, 258,
296
перемещений и напряжений ^244,
245
— скоростей 248—250
скоростей и напряжений 22&,
236, 269, 276, 287, 288, 300
— максимума 595, 596, 615, 619
— минимума полной мощности 276,
286, 282, 281, 301
— оптимальности 645, 646, 656
— суперпозиции 550
Приращение изменения объема 72
— перемещений 71, 72, 75
кинематически возможное 250
— степень деформации сдвига 73
Программирование выпуклое 602, 603
— динамическое 397, 644, 645, 648, 653
— линейное 602
— математическое 597, 602, 606
Произведение векторов смешанное 16
— линейных преобразований 27
— матриц 28, 29, 402
— матрицы на скаляр 27, 28, 403
— определителей 28, 29
— тензора на скаляр 21
— тензоров 21, 22
Производная тензорного поля
абсолютная 35
— субстанциональная 37, 70, 98
— функции комплексного переменного
189
Прокатка — волочение 530—532
Простое нагружение 453, 548
Пространство векторное 16, 17, 25, 656
— евклидово 198, 599, 656
— фазовое 610, 612, 613
— факторов 387, 391
— функциональное 199
Процесс адиабатический 95, 98, 332
— многошаговый 644, 645
— необратимый 331
— обратимый 331
— стационарный 98
Размерность 355, 369, 370, 372, 374, 375,
380

Разрушение 546, 549, 551, 553, 554, 561,
562, 565, 571
— самопроизвольное 571
Разрыв напряжений 270
— скорости 157, 158, 270, 288, 291, 292
Разрывные решения 27, 157, 286, 288
Разрыхление 571
Разупрочнение 468—470, 472, 477, 493
Ранг тензора 20, 22, 27, 43, 60, 63, 315,
317, 318, 320
Рандомизация 387
Растр 437
Растяжение 458
Ребиндера эффект 496, 544
Рейнольдса критерий 369
Реология 90, 223, 454, 509, 513, 515
Решетка 437
Римана задача 150, 161, 175
Римана метод 175
Ритца метод 216—219, 250, 282
Риччи теорема 319
Рунге — Кутта метод 409, 410
Свертка 35
Свертывание тензора 28, 35
Сверхпластичность 582
Сетка линий скольжения 148, 150, 158,
166
Силоизмеритель 123, 412, 413
Симметрия комплексных чисел 184, 185
Симплекс — метод 602, 608
Система дифференциальных уравнений
полная 355
теории пластичности 106, 113,
116, 221, 268
— координат сопутствующая 312, 324,
326
— отсчета 17
— присоединения 619, 627, 631
— управляемая 637—639
Скаляр 20
Скорость деформации 83, 270, 284, 547
— изменение энтропии 331
— относительного удлинения 62
— перемещения материальной частицы
37 38
— 'сдвига 45, 67, 66
— скольжения 335
Сложение матриц 14, 403
— тензоров 21
Собственный вектор 30, 47, 76, 82
Соглашение о суммировании 13, 14
Сопротивление металла пластической
деформации 452, 455, 459, 467
Спекание 486
Среднеквадратичное отклонение 395
Стан:
винтовой прокатки 591, 592
волочильный 354, 534, 604
обжимной 521, 578, 616, 617, 690, 654
прокатный 354, 467, 524
— реверсивный 640, 648
холодной прокатки труб 533
Степень деформации 90, 547
сдвига 73, 93, 158, 171, 192, 195,
489, 547, 550
— использования запаса пластичности
550, 554
— объемной деформации 487
Сток векторных линий 35
Струхаля критерий 369
Сужение при разрыве 563^ 568
Супремум 598
Сходственный момент времени 358, 363
— отрезок 354
— размер 358
Тейлора ряд 60
Тензор 15, 315, 317
— абсолютной производной векторного
поля 35, 60
тензорного — 35, 60
— антисимметричный 23
— вращения 60, 61
— единичный 20, 65, 82
— кососимметричный 23, 61
— метрический 316
— напряжений 39, 43—45, 92, 157, 436
— относительной деформации 245
— приращения 92
— симметричный 23, 72, 233, 316, 355
— скорости деформации 62, 63, 67, 92,
108, 223, 253, 259, 270, 284
— шаровой 48, 55, 65, 241
Тензоэффект 413
Теорема единственности решения 328,
348
— «живых сил» 329
— о разгрузке 123
— об умножении определителей 28
— отделимости 600
— существования и единственности 107
Теория вероятностей 393
— малых деформаций 75, 88
— оптимального управления 612, 613,
615, 620, 628
— пластичности 9, 106, 114, 134, 159,
161, 173, 188, 245
— подобия и физического
моделирования 353—355, 361
— ползучести 10, 78
— течения 71, 75
— упругости 9, 88, 196, 362, 363
— функций комплексного переменного
139, 140, 141, 178, 190, 196
Термомеханические переменные 94, 107
Траектория движения частицы 68, 73,
78, 106, 190, 192, 322, 584
— изотермическая 116
— фазовая 623
Транспортирование матрицы 406, 610,
615, 619
Трение граничное 495
— жидкостное 496, 497, 520, 533
— покоя 495
— полужидкостное 497
— полусухое 497
— сухое 494
Трубка тока 191
Удельная массовая сила 42
теплоемкость 97
Управление возможное 609, 610
— допустимое 612, 616
— линейными системами 611
— оптимальное 612, 613, 615
Уравнение интегральное 473, 474
— кинематическое 118, 223—225
— неразрывности 70, 118, 224» 245
— принципа вариационное 246, 247
— присоединенное 615, 619
— регрессии 603
— связи напряженного и
деформированного состояний 78
— телеграфное 175, 176
— теплопроводности 105, 119, 196, 366,
367
— феноменологическое 10
— физическое 10, 78—80, 85, 89, 94, 99,
105, 107, 116, 221, 223, 229, 235, 276,
451, 453, 565
— функциональное 645, 652
— характеристическое 31, 64
Уровень фактора 379, 390
Условие дифференцируемости функции
687

комплексного переменного 180, 181
— изопериметрическое 211
— краевое 634, 635
— несжимаемости 188, 251, 253, 256,
279, 296, 301
— парности касательных напряжений
58
— пластичности 103, 116, 140, 265, 271,
273, 296, 301
— трансверсальности 206, 207
Устойчивость осадки 459, 460
— растяжения 458
Фазовая координата 610, 618
— траектория 610
Феррит 273—275
Форма антисимметричная 23
— билинейная 19, 21, 22
р— линейная 18, 21
— полилинейная 17, 20, 21, 23
— симметричная 23
Формула преобразования компонент
тензора 22, 35
— рекуррентная 474
— эмпирическая 379
Фотопластичность 427
Фотоупругость 427
Функционал качества управления 636,
645
— квадратичный 262, 426
— линейный 200, 201
— непрерывный 200
— сопротивления деформации 470, 474,
477
наследственного типа 470, 474,
476, 479
Функция аналитическая 181, 189
— векторная 25
— вогнутая 600
— выпуклая 601, 606
— гармоническая 181
— диссииативная 96, 97
— напряжений 59
— комплексного переменного 178, 179,
188, 189
дробно-линейная 184, 185
координатная 250
линейная 17, 18, 183
i показательная 185, 192
— наследственности 577
— тензорная 27, 32, 82, 85, 92, 152
— тока 189
— цели 654, 656
Фурье закон 96
Фурье метод 127
Характеристический многочлен 31
Характерные параметры 356, 359, 365
Цементит 272, 273, 275
Центр распределения 394
Цифровой мост 417
Части комплексного числа 178, 191
Частица бесконечно-малая 323
— материальная 69, 74, 323
Шварца — Кристоффеля функция 186
Шведова — Бингама пластик 88
Штамп 161, 162, 365, 366, 447, 539, 540
•— вырубной 539
— закрытый 450, 485, 539
— открытый 450, 485
— самораскрывающийся 539
Эйлера переменные 69
Эйлера уравнение 207, 209, 213, 214,
261, 296, 510
Эквипотенциаль 190
Экстремаль 198, 200, 207, 218
Экстремум глобальный 390
— локальный 390
Эксцесс 395
Эпсилон — окрестность 598
Эффект гидродинамический 497, 506,
508
— пластогидродинамический 497
Юнга модуль 10, 363
Юнга коэффициент 89
Якобиан 322
УЧЕБНИК
Колмогоров Вадим Леонидович
МЕХАНИКА ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Редактор издательства Ю. Р. Хмельнов
Художественный редактор Ю. И. С м у р ы г и н
Технический редактор С. В. Жуковина
Корректоры В. М. Гриднева, Ю. И. Королева
ИБ № 2504
Сдано в набор 23.12.86. Подписано в печать 14.07.86. Т-16644. Формат бумаги
84Х108'/з2. Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 36,12. Усл. кр.-отт. 36,12. Уч.-изд. л. 40,57. Тираж 10 200 экз. Заказ
382. Цена 1 р. 70 к. Изд. № 0808
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Металлургия»
119857, ГСП, Москва, Г-34, 2-й Обыденский пер., д. 14.
Владимирская типография Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
600000, г. Владимир, ^Октябрьский проспект, д. 7

ЗАМЕЧЕННАЯ ОПЕЧАТКА
Рисунок 10.9 на стр. 466 при чтении следует повернуть на 180°.