Автор: Чешев Ю.В. Можаев В.В. Трушин В.Б. Шеронов А.А. Чивилев В.И. Коновалов С.П. Балашов М.В. Константинов Р.В.
Теги: физика математика билеты вступительные экзамены методическое пособие издательство мфти
ISBN: 5-89155-065-2
Год: 2001
Похожие
Текст
БИЛЕТЫ
ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ
(1998, 1999 гг.)
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Издательство МФТИ
Физматкнига
Москва
2001
УДК 53(075)
ББК 22.3
Б61
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (1998, 1999 гг.) — М.:
Издательство МФТИ, 2001. 72 с. ISBN 5-89155-065-2.
В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах аби-
туриентам Московского физико-технического института в 1998, 1999 гг. Все задачи
снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые основными указа-
ниями к решению. На выполнение каждой экзаменационной работы давалось 4,5
часа.
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавателей
школ с углубленным изучением физики и математики.
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (1998, 1999 гг.)
Авторы задач
по физике: доценты Можаев В. В., Чешев Ю. В., Чивилев В. И., Шеронов А. А.
по математике: проф. Шабунин М. И.,
доценты: Трушин В. Б., Коновалов С. П., асе. Балашов М. В., Константинов Р. В.
Подписано в печать с оригинал-макета 07.02.2001. Формат 60*84/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 4. Уч. изд. л. 4,5
Операторы верстки А. К. Розанов, Н. В. Дзюба
Художник М. В. Ивановский
Корректор Н. В. Болотина
Тираж 1500. Заказ №
Издательство МФТИ. ИД № 00780 от 20.01.2000.
При участии ООО «Физматкнига». ИД № 02307 от 11.07.2000.
141700 г. Долгопрудный, Московской обл., Институтский пер., д. 9.
Тел. (095) 408-76-81.
Отпечатано предприятием «Шанс».
127412 Москва, Ижорская ул., 13/19.
Тел. (095) 485-93-09
© Коллектив авторов, 1999, 2000
© Издательство МФТИ, оформление, 2001
ISBN 5-89155-065-2
1998 г.
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
3
БИЛЕТ 1
1. Человеку массой т требуется подтянуть к стене ящик массой
М — Зт с помощью каната, перекинутого через блок. Если человек
стоит на горизонтальном полу, то для достижения цели ему надо тянуть
канат с минимальной силой F1 = 600 Н. С ка-
кой минимальной силой F2 придется тянуть JLZTS-------------А
этому человеку канат, если он упрется в
ящик ногами? Части каната, не соприкасаю-
щиеся с блоком, горизонтальны. Массами л___________________<
блока и каната пренебречь. я~О т
2. «Тройник» С двумя открытыми В атмос-
феру вертикальными трубками и одной за- к задаче 1
крытой горизонтальной, полностью запол-
нен водой (см. рис.) После того, как «трой-
ник» стали двигать по горизонтали (в пло- х/
скости рисунка влево) с некоторым посто-
янным ускорением, из него вылилось 1/16 о ,,
массы всей воды. Чему при этом равно дав- i ’ ' “i
ление в жидкости у закрытого конца (точка ----у--------j---
О) горизонтальной трубки? Трубки имеют к задаче 2
одинаковое внутреннее сечение и длину I.
3. Найти величину работы А, которую совершает моль гелия в зам-
кнутом цикле, состоящем из адиабатического процесса 1-2, изобары
2-3 и изохоры 3-1. В адиабатическом процессе разность максимальной
и минимальной температур газа равна АТ. В изобарическом процессе
от газа отвели количество тепла Q.
4. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке,
в начальный момент ключи и К2 разомкнуты. Сначала замыкают
ключ Кх, и когда напряжение на конденсаторе достигает значения
£/0 = &72, замыкают ключ К2. Определить: 1) напряжение на катушке
индуктивности сразу после замыкания ключа К2, 2) напряжение на
к задаче 3
к задаче 4
4
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1998 г.
конденсаторе в установившемся режиме. Внутреннее сопротивление ба-
тареи не учитывать.
5. Изображение точечного источника, расположенного на главной
оптической оси собирающей линзы на расстоянии а = 60 см от нее, по-
лучено на экране. Между линзой и источником вставили плоскопарал-
лельную прозрачную пластинку толщиной d = 3 см перпендикулярно
главной оптической оси линзы. Чтобы снова получить изображение ис-
точника, экран пришлось передвинуть вдоль оптической оси на рассто-
яние Д = 1 см. Определить показатель преломления пластинки, если
фокусное расстояние линзы F = 30 см.
БИЛЕТ 2
1. К концам троса, перекинутого через блок, привязаны бруски с
массами т и М = 4гп, находящиеся на гладкой наклонной плоскости с
углом наклона а = 30’ (см. рис.). При каком
минимальном значении коэффициента тре-
ния к между брусками они будут покоиться?
2. «Тройник» из трех вертикальных от-
крытых в атмосферу трубок полностью запол-
wuwwwwwfywwfa нен водой (см. рис.). После того, как «трой-
к задаче 1 ник» стали двигать в горизонтальном направ-
—лении (в плоскости рисунка) с некоторым ус-
корением а, из него вылилось 9/32 всей массы содер-
жавшейся в нем воды. Чему равна величина ускоре-
Z ния а? Внутреннее сечение трубок одинаково, длины
трубок равны I.
_____________ 3. Моль гелия совершает работу величиной А в
L.________________J замкнутом цикле (см. рис.), состоящем из адиабаты
I 1-2, изотермы 2-3, изобары 3-1. Найти величину ра-
к задаче 2 боты, совершенной в изотермическом процессе, если
к задаче 3
к задаче 4
1998 г.
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
5
разность максимальной и минимальной температуры газа в цикле равна
АТ градусов.
4. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке, в
начальный момент ключи К{ и К2 разомкнуты. Вначале замыкают ключ
К{. Когда ток через катушку индуктивности
достигает значения /0, замыкают ключ К2.
Определить: 1) напряжение на катушке ин-
дуктивности сразу после замыкания ключа
К2; 2) напряжение на конденсаторе в устано-
вившемся режиме. Внутреннее сопротивле-
ние батарей не учитывать.
5. Два луча симметрично пересекают
главную оптическую ось собирающей линзы
а
к задаче 5
на расстоянии а = 7,5 см от линзы под углом а = 4° (см. рис.). Опре-
делить угол между этими лучами после прохождения ими линзы, если
фокусное расстояние линзы 10 см.
БИЛЕТ 3
1. Человек массой т, упираясь ногами в ящик массой М, подтягивает
его с помощью каната, перекинутого через блок, по наклонной плоскости
с углом наклона а. С какой минимальной си-
лой надо тянуть канат человеку, чтобы подтя-
нуть ящик к блоку? Коэффициент трения >
скольжения между ящиком и наклонной плос-
костью — к. Части каната, не соприкасающи-
еся с блоком, параллельны наклонной плоско-'
сти. Массами блока и каната пренебречь. к задаче 1
2. «Тройник» с двумя открытыми в ат-
мосферу вертикальными трубками и одной
закрытой горизонтальной, полностью за-
полнен водой (см. рис.). После того как
«тройник» стали двигать по горизонтали (в
плоскости рисунка направо) с некоторым
ускорением, из «тройника» вылилось 1/8
массы всей содержавшейся в нем воды. Че-
к задаче 2
му при этом равно давление Р в жидкости
у закрытого конца (точка О) горизонтальной трубки? Внутреннее
сечение всех трубок одинаково, длина трубок равна L.
3. Моль гелия совершает работу величиной .1 в замкн'-том цикле, со-
стоящем из изобары 1~2, изохоры 2-3 и адиабатического процесса 3-1
6
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
1998 г.
(см. рис.). Сколько тепла Q было подведено к
газу в изобарическом процессе, если разность
максимальной и минимальной температур
гелия в цикле равна ДТ?
4. В электрической схеме, параметры ко-
торой указаны на рисунке, в начальный мо-
мент ключи и К2 разомкнуты. Сначала
замыкают ключ К{. Когда напряжение на
конденсаторе достигает величины =
замыкают ключ К2. Определить: 1) на-
к задаче 4
не, находящемся на расстоянии
пряжение на катушке индуктивности
сразу после замыкания ключа К2; 2)
напряжение на конденсаторе в устано-
вившемся режиме. Внутреннее сопро-
тивление батарей не учитывать.
5. Сходящийся пучок света, падаю-
щий на рассеивающую линзу симмет-
рично относительно главной оптиче-
ской оси, собирается в точку на экра-
b = 90 см от линзы. Если перед линзой
перпендикулярно главной оптической оси, разместить плоскопараллель-
ную оптически прозрачную пластинку, то из линзы будет выходить па-
раллельный пучок света. Чему равна толщина пластинки d, если ее
показатель преломления п = 1,5? Фокусное расстояние линзы F = 10 см.
БИЛЕТ 4
I. Бруски с массами т и М = 1т привязаны к концам нити, пере-
кинутой через блок. Система находится на наклонной плоскости с уг-
лом наклона а = 60°. При ка-
ком минимальном значении
коэффициента трения к между
нижним бруском и наклонной
плоскостью бруски будут поко-
иться? Трением между бруска-
ми пренебречь.
2. «Тройник» с двумя откры-
тыми в атмосферу вертикаль-
ными трубками и одной закры-
той целиком заполнен водой
(см. рис.). Когда «тройник»
1998 г.
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
7
стали двигать по горизонтали с некоторым ускорением (в плоскости ри-
сунка), то из него вылилось 1/8 всей массы содержавшейся в нем воды.
Чему равно давление в жидкости в нижней час-
ти (точка О') закрытой трубки? Внутреннее р
сечение всех трубок одинаково, длина трубок
равна L.
3. Моль гелия расширяется в изотермиче-
ском процессе 1—2, совершая работу величи-
ной Л12. Затем газ охлаждается в изобариче-
ском процессе 2-3 и, наконец, в адиабатиче-
ском процессе 3-1 возвращается в исходное
состояние. Какую работу совершил газ в замк-
нутом цикле, если разность максимальной и
минимальной температур газа в нем составила величину АТ градусов?
4. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке,
в начальный момент ключи Кг и К2 разомкнуты. Сначала замыкают
ключ К{. Когда ток через катушку индуктивности достигает значения
v
к задаче 3
/0, замыкают ключ К2. Определить: 1) напряжение на катушке индук-
тивности сразу после замыкания ключа К2, 2) напряжение на конден-
саторе в установившемся режиме. Внутреннее сопротивление батарей
не учитывать.
5. Два луча симметрично пересекают главную оптическую ось рас-
сеивающей линзы на расстоянии а = 24 см от линзы под углом а = 6°
(см. рис.). Определить угол между этими лучами после прохождения
ими линзы, если фокусное расстояние линзы F= 12 см.
БИЛЕТ 5
1. На доске, наклоненной под углом а = 30° к горизонту, удерживают
в покое однородную гибкую веревку длиной I = 40 см так, что на доске
лежит 4/7 длины веревки, а 3/7 висит вертикально (см. рис.). Трение
8
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1998 г.
Р
веревки о доску и направляющий желоб Р пренебрежи-
мо мало. Веревку отпускают, и она движется, остава-
ясь в одной и той же вертикальной плоскости. 1) Найти
ускорение веревки в начальный момент движения. 2)
Найти скорость веревки в момент, когда она соскольз-
нет с доски и примет вертикальное положение.
2. Чему равна масса т азота, который содержится в
воздухе комнаты объема V = 75 м* * 3 *? Средняя квадратич-
ная скорость молекул азота v = 500 м/с. Считать, что
воздух состоит из азота и кислорода. Концентрация мо-
лекул азота в р = 4 раза больше концентрации молекул
кислорода. Атмосферное давление Р = 105 Па.
3. Три тонкие незаряженные металлические пласти-
ны площадью S каждая расположены на расстояниях d
друг от друга, причем d много меньше размеров пла-
стин. К пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС
(см. рис.). Пластине 1 сообщили заряд q0 и замкнули
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
к задаче 3
к задаче 4
пластине 1 заряда q0. 2) Определить
заряд пластины 3 после замыкания клю-
ча К.
4. В схеме, изображенной на рис., ка-
тушки и L2 закорочены через идеаль-
ный диод D. В начальный момент ключ
К разомкнут, а конденсатор емкости С
заряжен до напряжения UQ. Через неко-
торос время после замыкания ключа К
напряжение на конденсаторе станет рав-
ным нулю. 1) Найти ток через катушку
L{ в этот момент времени. Затем конден-
сатор перезарядится до некоторого мак-
симального напряжения. 2) Чему будут
равны в этот момент токи в катушках?
5. В комнате на столе лежит плоское
"77777777^7^^7^77777^777777777.
к задаче 5 зеркало, на котором находится тонкая
плоско-выпуклая линза с фокусным
расстоянием F = 40 см. По потолку ЛВ ползет муха со скоростью
v = 2 см/с. Расстояние от потолка до зеркала Л = 220 см. 1) На каком
расстоянии от зеркала находится изображение мухи в данной оптической
системе? 2) Чему равна скорость изображения мухи в тот момент, когда
она пересекает главную оптическую ось линзы (точка С)?
1998 г.
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
9
к задаче 1
J
2
Чо
БИЛЕТ 6
1. Однородный гибкий канат массой т и длиной L = 75 см прикреп-
лен к бруску массой 2т, находящемуся на горизонтальной поверхности
стола (см. рис.). Со стола свешивается половина длины 2
каната. Коэффициент трения скольжения бруска о стол г~~~|
р. = 0,15. Трением каната о стол и направляющий же-
лоб Р пренебречь. Брусок удерживают в покое, а затем ;
отпускают. 1) Найти ускорение бруска в начале движе-
ния. 2) Найти скорость бруска в момент, когда канат
соскользнет со стола.
2. Воздух состоит в основном из азота и кислорода. Концентрация мо-
лекул азота при этом в а = 4 раза больше концентрации молекул кисло-
рода. Чему равна суммарная кинетическая энергия вра-
щения всех молекул азота, содержащегося в комнате объ-
емом V = 60 м3? Атмосферное давление Р = 105 Па.
Указание: внутренняя энергия моля двухатомного 1
газа равна 5/2 RT (R — газовая постоянная, Т — темпе-
ратура), она возрастает по сравнению с энергией одно-
атомного газа за счет кинетической энергии вращения
молекул.
3. Три тонкие незаряженные металлические пластины
площадью 5 каждая расположены на расстояниях d друг
от друга, причем d много меньше размеров пластин. К
пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС
(см. рис.). Пластины 1 и 2 через ключ К можно подсое-
динить к батарее с ЭДС %. Пластине 1 сообщили заряд д0
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
заряда ?0. 2) Определить заряд пластины 3 после замыкания ключа К.
4. В схеме, изображенной на рис., сверхпроводящие катушки с
индуктивностями Lj и L2 соединены последо-
вательно с конденсатором емкости С. В на-
чальный момент ключи К{ и К2 разомкнуты, а
конденсатор заряжен до напряжения Uo. Сна-
чала замыкают ключ а после того, как на-
пряжение на конденсаторе станет равным ну-
лю, замыкают ключ К2. Через некоторое вре-
мя после замыкания ключа К2 конденсатор
перезарядится до некоторого максимального
напряжения Um. 1) Найти ток через катушки
d
d
£
к задаче 3
и замкнули
пластине I
10
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1998 г.
индуктивности непосредственно перед замыканием ключа К2- 2) Найти
к задаче 5
напряжение Um.
5. Маленький грузик массой т на пружине
жесткости К совершает гармонические колебания
относительно главной оптической оси тонкой
плоско-вогнутой линзы с фокусным расстоянием
—F(F>0). Линза плотно прижата к вертикаль-
но расположенному плоскому зеркалу (см. рис.).
Расстояние от грузика до зеркала L = 4,5F.
1) На каком расстоянии от зеркала находится
изображение грузика в приведенной оптической
системе? 2) С какой
главную оптическую ось
скоростью изображение
линзы, если амплитуда
грузика пересекает
его колебаний равна Л?
БИЛЕТ 7
1. Цепочку длиной I = 20 см удерживают в покое на клине так, что
на наклоненной под углом a (sin а = 3/5) к горизонту поверхности кли-
на лежит 2/3 цепочки, а 1/3 висит (см. рис.). Тре-
ние цепочки о клин и направляющий желоб Р пре-
небрежимо мало. Цепочку отпускают, и она «запол-
V зает» на клин, оставаясь в одной и той же верти-
V кальной плоскости. 1) Найти ускорение цепочки в
начальный момент движения. 2) Найти скорость це-
к задаче 1 почки в момент, когда она полностью окажется на
клине.
2. В воздухе комнаты объемом V = 15 м3 находится т = 20 кг
кислорода. Найти величину средней квадратичной скорости молекул
кислорода. Воздух в комнате состоит из кислорода и азо-
та. Концентрация молекул кислорода в р = 4 раза мень-
ше концентрации молекул азота. Атмосферное давление
Р = 105 Па.
3. Три тонкие незаряженные металлические пласти-
ны площадью 5 каждая расположены на расстояниях d
друг от друга, причем d много меньше размеров пла-
стин. К пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС
% (см. рис.). Пластине 1 сообщили заряд q0 и замкнули
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
пластине / заряда <?0. 2) Определить заряд пластины 3
после замыкания ключа К.
к
2
3
Чй
d
d
Ц-
к задаче 3
1998 г.
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
11
4. В схеме, изображенной на рисун-
ке, катушки с индуктивностями А, и
Ьг и пренебрежимо малыми сопротив-
лениями закорочены через идеальный
диод D. В начальный момент ключ
К разомкнут, а конденсатор емкости
С заряжен до неизвестного напряже-
ния U х. Через некоторое время т по-
сле замыкания ключа напряжение на
конденсаторе станет равным нулю, а затем конденсатор перезарядит-
ся до некоторого максимального напряжения и в этот момент через
диод D будет течь ток, равный /0.
1) Определить т. 2) Определить начальное
напряжение Ux.
5. На столе лежит плоское зеркало, к
которому плотно прилегает тонкая плоско-
вогнутая линза с фокусным расстоянием
F = 45 см. Над оптической системой па-
раллельно плоскости зеркала на высоте
h = 4F пролетает комар со скоростью
v = 9 см/с. 1) На каком расстоянии от
зеркала находится изображение комара в данной оптической системе?
2) Чему равна скорость изображения комара в тот момент, когда
комар будет пересекать главную оптическую ось линзы?
БИЛЕТ 8
1. Однородный гибкий канат длиной L= 1 м и массой т = 1 кг
удерживают в покое за верхний конец так, что 1/3 каната находится
на столе, а 2/3 свисает (см. рис.). В некоторый момент канат пере-
стают удерживать и начинают втаскивать, на стол, прикладывая силу
F = 8 Н вдоль горизонтальной поверхности стола пер-
пендикулярно кромке стола. Трением каната о стол и р F
направляющий желоб Р пренебречь. 1) Найти ускоре-
ние каната в начальный момент его движения. 2) Най- I \
ти скорость каната в момент, когда он полностью ока- 1 ;
жется на столе.
2. Воздух состоит в основном из кислорода и азота. к задаче 1
Концентрация молекул кислорода при этом в а = 4 ра-
за меньше концентрации молекул азота. Чему равна суммарная
кинетическая энергия вращения всех молекул кислорода, который
12
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1998 г.
содержится в воздухе комнаты объемом V = 60 м3? Атмосферное дав-
ление Р = 105 Па.
Указание: внутренняя энергия моля двухатомного газа равна
5/2 RT (R — газовая постоянная, Т — температура), она возрастает по
сравнению с энергией одноатомного газа за счет кинети-
______|1___ ческой энергии вращения молекул.
У 3. Три тонкие незаряженные металлические пласти-
12 3 ны площадью 5 каждая расположены на расстояниях
d друг от друга, причем d много меньше размеров
пластин. К пластинам 1 и 3 подсоединили батарею с
ЭДС Пластине 2 сообщили заряд qQ и замкнули
d ключ А. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
*•—* «—»• пластине 2 заряда qQ. 2) Определить заряд пластины
3 после замыкания ключа К.
4. В схеме, изображенной на рисунке, сверхпрово-
к задаче 3 дящие катушки с индуктивностями Lx и Ь2 соединены
последовательно с конденсатором емкостью С через
к задаче 4
ключ Кг В начальный момент ключи и
К2 разомкнуты, а конденсатор заряжен до
некоторого неизвестного напряжения U .
Сначала замыкают ключ К{. Через время
I т напряжение на конденсаторе равно нулю
I и в этот момент замыкают ключ К2. Через
|Кг некоторое время после замыкания ключа
J К2 конденсатор перезарядится до макси-
мального напряжения Um. 1) Определить т.
2) Определить начальное напряжение Ux.
5. Маленький шарик массой пг на пружине
жесткостью k совершает гармонические колеба-
ния с амплитудой А относительно главной опти-
ческой оси тонкой плоско-выпуклой линзы с фо-
кусным расстоянием F. Линза плотно прилегает
к плоскому вертикально расположенному зерка-
лу. Расстояние от шарика до зеркала L = 3F.
1) На каком расстоянии от зеркала находится
изображение шарика в приведенной оптической
системе? 2) С какой скоростью изображение ша-
рика пересекает главную оптическую ось линзы?
1998 г.
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
13
БИЛЕТ 1
1. Решить уравнение , .
J sin Зх । 3 sin х__2
| sin x | sin 3x
2. Решить неравенство
V2x2 — 7x — 4 > —x — 7.
4
3. В прямоугольном треугольнике ЛВС из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Найти расстояние между центрами окружнос-
тей, вписанных в треугольники ACD и BCD, если ВС = 4, а радиус
окружности, описанной около треугольника АВС, равен у.
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = Зеох и у = 7 — 2е~ах и имеет единственную общую точку с прямой
у = 9х + 3. Найти а и площадь фигуры М.
5. Сторона основания АВС правильной треугольной призмы
равна 6, а высота равна На ребрах AC, AtCt и ВВ,
расположены соответственно точки Р, F и К так, что АР = 1, AtF = 3
и ВК= КВГ Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через
точки Р, F и К. Найти площадь сечения и угол между плоскостью
основания призмы и плоскостью сечения.
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 — 6х2 — ху + 13х + Зу + 7 = 0.
БИЛЕТ 2
1. Решить уравнение
| COS X | cos Зх
2. Решить неравенство
V3x2 - 8х - 3 >
3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. В треугольник ACD вписана окружность, а око-
ло треугольника BCD описана окружность. Найти расстояние между
центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около
треугольника ЛВС окружности равен у.
14
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
1998 г.
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = 9е-ох и у = 15 — 4еох и имеет единственную общую точку с прямой
У = —18х 4- 9. Найти а и площадь фигуры М.
5. Правильная треугольная призма АВСА1В1С1 пересечена плос-
костью, проходящей через середины ребер АВ, AjC,, BBV Построить
сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между плос-
костью основания АВС и плоскостью сечения, если сторона основания
равна 2, а высота призмы равна
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
X3 - ху - 7х 4- 2у 4- 23 = 0.
БИЛЕТ 3
1. Решить уравнение
sin Зх 31 sin х j _ _2
sin х sin Зх
2. Решить неравенство
у/2х2 4- 7х — 4 > х — р
4
3. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найти
расстояние между центрами окружностей, вписанными в треугольники
АОВ и ВОС, если ВС = 8, BD = 10.
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у — 2еах и у = 7 — Зе~ах и имеет единственную общую точку с прямой
у = 4х 4- 2. Найти а и площадь фигуры М.
5. Сторона основания АВС правильной треугольной призмы
ABCA^Ct равна 12, а высота равна На ребрах АС, А1С1 и АВ
расположены соответственно точки Р, F и Е так, что АР = 2, AtF = 6
и АЕ = 6. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через
точки Р, F и Е, найти площадь сечения и угол между плоскостью
основания призмы и плоскостью сечения.
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 — х2 — ху — 17х — Зу 4- 8 = 0.
1998 г.
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
15
БИЛЕТ 4
1. Решить уравнение
cos Зх . 2|cosx| 1
cos х cos Зх
2. Решить неравенство
<3х2 + 8х - 3 >
3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана окружность,
а в треугольник BCD вписана окружность. Найти расстояние между
центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около
треугольника АВС окружности равен
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = 4е~ах и у = 12 — 5еах и имеет единственную общую точку с прямой
у = — 12х + 4. Найти а и площадь фигуры М.
5. Правильная треугольная призма ABCAiBlCl пересечена плос-
костью, проходящей через середины ребер АВ, Л,СР ВВ{. Построить
сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между плос-
костью основания АВС и плоскостью сечения, если сторона основания
. 742
равна 4, а высота призмы равна —
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 — Зх2 — ху — 8х — 2у + 27 = 0.
БИЛЕТ 5
1. Решить систему уравнений
log2 (х2у + 2ху2) - + у) =4,
•og5|^|=0.
2. Решить неравенство
415 + 3 cos 4х
у----8---- > —Sin х.
3. Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центрами ок-
ружностей, описанных около треугольников АВС и BCD, равно 8. Най-
ти радиусы этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение sin х = (4а — 2)2
1 — 4а
имеет корни, а числа----т- являются целыми.
27а
16
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
1998 г.
5. Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды
SABCD перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна у/5. В
основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция ABCD
(AD = BC), описанная около окружности и такая, что АВ =6,
ABAD = ^. Найти расстояние от точки D до плоскости SAB.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
вания вписана в треугольник SCD, а вершина принадлежит грани
SAB. Найти объем конуса,
6. График функции у = х3 + ах2 + Ьх + с ,с < 0 пересекает ось орди-
нат в точке А и имеет ровно две общие точки М и Ы с осью абсцисс. Пря-
мая, касающаяся этого графика в точке М, проходит через точку А. Най-
ти а, Ь, с если площадь треугольника АМЫ равна 1.
БИЛЕТ 6
1. Решить систему уравнений
(х2 \ (г \
log3 — 4-х -f-logi —+ у =2,
log2 |х 4- у| = 1.
2. Решить неравенство
4/7 —cos 4л- о
у--------> — 2 COS X.
3. Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около тре-
угольников ABD и ACD, равны 3 и 4. Найти расстояние между цент-
рами этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение cos х = (6а — 2)2
1 — ба
имеет корни, а числа----являются целыми,
32aJ
5. В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобед-
ренная трапеция КЬМЫ, описанная около окружности и такая, что
КЫ = LM = 4, MN > KL и угол между прямыми КЫ и LM равен у. Две
противоположные боковые грани этой пирамиды перпендикулярны осно-
ванию и SM = 12. Найти расстояние от точки М до плоскости SKL.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
вания вписана в треугольник SMN, а вершина принадлежит грани
SKL. Вычислить высоту конуса.
6. График функции у — —х3 4- ах2 4- Ьх 4- с, с < 0 пересекает ось ор-
динат в точке М и имеет ровно две общие точки А и В с осью абсцисс.
1998 г.
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
17
Прямая, касающаяся этого графика в точке А, проходит через точку
М. Найти а, Ь, с если площадь треугольника АВМ равна 1.
БИЛЕТ 7
1. Решить систему уравнений
(2\ / \
+ -1о&- 7 + 7) =3>
Х / 2 \ Л У /
!ogi |^|=0.
2. Решить неравенство
3. Сторона ромба ABCD равна 4. Расстояние между центрами ок-
ружностей, описанных около треугольников ACD и ABD, равно 3. Най-
ти радиусы этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение sin х = (2а —2)2
16(1 -2а)
имеет корни, а числа-----2— являются целыми.
27а
5. В четырехугольной пирамиде SABCD две противоположные боко-
вые грани перпендикулярны основанию, расстояние от вершины 5 до
прямой АВ равно 471. В основании пирамиды лежит равнобедренная
трапеция ABCD (AD = ВС), описанная около окружности и такая, что
CD = 2, LADC = ^-. Найти расстояние от точки С до плоскости SAB.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
вания вписана в треугольник SCD, а вершина принадлежит грани
SAB. Найти объем конуса.
6. График функции у = х3 + ах2 + Ьх + с, с > 0 пересекает ось орди-
нат в точке А и имеет ровно две общие точки М и N с осью абсцисс. Пря-
мая, касающаяся этого графика в точке М, проходит через точку А. Най-
ти а, Ь, с если площадь треугольника AMN равна 1.
БИЛЕТ 8
1. Решить систему уравнений
( 2 \ 1 2\
log3 V - * + logi У - V =2,
\ У 1 3 \ * /
log2 |х- у| =1-
18
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
1998 г.
2. Решить неравенство
4 /5 + 3 cos 4х „
V----8---- > —COS X.
3. Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около тре-
угольников АВС и BCD, равны 1 и 2. Найти расстояние между цент-
рами этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение cos х= (За — 4)2
27(1 —а)
имеет корни, а числа —1—г—- являются целыми.
4а
5. В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобед-
ренная трапеция KLMN (LM = KN}, описанная около окружности ра-
диуса v'J, LMLK = ^. Две противоположные боковые грани этой пи-
рамиды перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна 6V3.
Найти расстояние от точки N до плоскости SKL.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
вания вписана в треугольник SMN, а вершина принадлежит грани
SKL. Вычислить высоту конуса.
6. График функции у = — х3 + ах2 + Ьх + с, с > 0 пересекает ось ор-
динат в точке D и имеет ровно две общие точки Л и В с осью абсцисс.
Прямая, касающаяся этого графика в точке В, проходит через точку
D. Найти а, Ь, с, если площадь треугольника ABD равна 1.
1998 г.
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
19
БИЛЕТ 1
1- = =|f, = 400 Н.
2. Pq — Ратм "Ь P&l'
з. л = |лдт-|(2.
4. 1. Ul = 2^-U0 = ^- 2. t/C=^^1).
5. п = |1= 1,48.
БИЛЕТ 2
1. Решение.
Пусть нижний брусок с массой М движется вниз вдоль наклонной
плоскости с ускорением а. Введем систему координат: ось X направим
вдоль наклонной плоскости, ось У перпендикулярно ей. Рассмотрим си-
лы, действующие на нижний брусок. Это сила тяжести Mg, сила реак-
ции N, сила натяжения нити Т, сила давления со стороны верхнего брус-
ка f и сила трения, действующая со стороны верхнего бруска. Уравнение
движения бруска по оси X имеет вид:
Ma = Mg sin а — FTp — Т. /n
i1
Вдоль оси У сумма всех сил, действую-
щих на нижний брусок, равна нулю. Сле-
довательно: Mg"
N = Mg cos a 4- f. к задаче 1
В силу того, что трос нерастяжим, вер-
хний брусок движется с тем же ускорением а вверх по наклонной пло-
скости под действием силы веса mg, силы реакции Wj, силы натяжения
Т и силы трения со стороны нижнего бруска FTp2. Уравнение движения
для него по оси X имеет вид:
ma = Т - mg sin а - ЛР2 (ЛР1 = Л₽2 = Р)
По оси У имеем:
Ni = mg cos a (Ni=f).
Поскольку система двух брусков покоится, то их ускорения равны ну-
лю, и система написанных уравнений примет вид:
Т = Mg sin а — kmg cos а и Т = kmg cos а + mg sin а.
20
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1998 г.
Решая систему полученных уравнений для искомого коэффициента
трения, получаем:
, М — т 3 VT
Л — 2т tg а — 2 tg а — 2 .
2. Решение.
Очевидно, что при движении «тройника» с ускорением а вправо вода
будет выливаться из левой трубки. Уровни воды, оставшейся в средней
и правой трубках, обозначим через Хи У. Из условия задачи следует
что:
L-X+L- У =9/32-4 Д.
•Следовательно,
X+Y=1/8L. (1)
Давление жидкости у дна левой трубки равно Pt = PQ + pgL, где Ро —
атмосферное давление. Давление у дна средней трубки равно Р2 =
= Ро + pgX, а у дна правой трубки Р3 = PQ + pgY.
Запишем уравнение движения горизонтальной части жидкости, за-
ключенной между левой и правой трубками:
pgLS — pgYS = pLSa. (2)
Для горизонтальной части жидкости, заключенной между средней и
правой трубками, уравнение движения имеет вид:
pgXS - pgYS = pSLa/2. (3)
Совместное решение уравнений (1), (2), (3) дает искомое ускорение:
а = 3/4 g.
3. Решение.
Пусть температура гелия на диаграмме Р, V в точке 1 равна Гр Так
как точки 2 и 3 лежат на изотерме, то Т2 = Т3. Точка 1 лежит выше то-
чек 2 и 3. Следовательно ДТ = Т( — Т2. Запишем уравнение первого на-
чала термодинамики для адиабатического процесса 1-2:
0 = А12-Су^Т. (1)
Соответствующее уравнение для изотермы (участок 2-3):
Q13 = Лгз- (2)
Наконец для изобары 3-1 имеем:
R ДТ = Л31. (3)
1998 г.
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
21
В силу того, что работа газа в замкнутом цикле 1-2-3-1 равна А =
= А12 + Ла + -^зь из уравнений (1), (2), (3) получим:
А23 = А - 5/2 R ДТ.
4. Решение.
Сразу после замыкания ключа К2 ток через катушку индуктивности
сохраняется и равен 10. Напряжение на конденсаторе сразу после замы-
кания ключа К2 равно нулю. Обозна-
чим через У] ток, протекающий через
резистор 7?], а ток через резистор
R2 — соответсвенно 12. Согласно пер-
вому закону Кирхгофа
/0 = Л + Л-
Запишем закон Ома для замкну-
той цепи 3-4-5-6-3
— —1\R\ 4" /2^2-
Из совместного решения приведенных уравнений находим ток 1Х, ко-
торый равен
Ц = -($ - IQR2}I(RX + R2\
Для нахождения напряжения на катушке индуктивности запишем за-
кон Ома для замкнутой цепи 1-2-3-4-1
* = UL + /,/?,.
Отсюда
Ul =
У(2Я1 + Я2)-/оЯ1Я2
/?1 + /?2
В установившемся режиме напряжение на катушке равно нулю, ток
через резистор R2 равен нулю. Рассмотрим контур 1-2-3-6-5-4-1. От-
куда Uc = 2^.
22
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1998 г
5. Решение.
Через оптический центр линзы проведем вспомогательный луч ОС
параллельно лучу АВ. Преломленный луч ВС пересекается с лучом
ОС в точке С, принадлежащей фокальной плоскости линзы. Продолжим
луч ВС влево до пересечения с главной оптической осью линзы в точке
А. Угол СА О является половиной искомого угла (3. Проведем линию
BD параллельно OF. Угол CBD равен (3/2. Из треугольника CBD
Р _
tg 2 — F F '
Отсюда
(3 = 1,7-10-2 рад.
БИЛЕТ 3
1. F = ~ g(k cos а Sjn а)
2- Ро = Р„м + | pgl.
3. Q = А + у vR АТ, где v = 1 моль.
4. 1. UL = % + U0 = ^ 2.UC = ^^
5' *=(^ТЁ>=°’03м-
БИЛЕТ 4
. , М — т . 1 . 73"
Е A = MT^tga = 3tga = l--
2- Ро = Ратм + 7 Pgl-
3. А = Л]2 — | vR ДТ, где v = 1 моль.
л 1 ГГ V(R2~R\) ~ IqF1R2' 1 тт ср
4- 1 • Ul ----r^r2------’ 2- Uc -
5. tg | tg j = 3 tg у. p = 2 arctg (З tg « 0,3 рад.
БИЛЕТ 5
1. 1. a = | (3 — 4 sin a) = | = 1,4 м/с2;
2. v = у y/2gl(5 — 2 sin a) = 1,6 м/с.
1998 г.
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
23
_ В 3PV ~
2. ™ = ^72 кг.
3. 1.93о = ^*; 2.9з = ^^ + у.
4. 1.Л_ = 1/о-^; 2.11 = l2 = ^f.
гвлх I -Су -J- £,2
5. 1. h' = -,Л/Г „ = 22 см; 2. и = v = 0,2 см/с.
2Л — г П
БИЛЕТ 6
1. 1. a = f (1 -4ц) = ^ = 0,65 м/с2; 2. V = ~ 1 м/с.
2. £вр = PV = 4,8-106 Дж.
3. 1.9з=^; 2. 9з = ^ + ^.
4 Зо а ______ “ 2 _____
4. 1. /max = U0^Li+L2< 2. Um =
5. 1. 5 =-2^7 =-0,45/^; 2. vH3o6p = vrp | = 0,1Л^.
БИЛЕТ 7
1. 1. Уравнение движения цепочки в начальный момент имеет вид:
2 1
3 mg sin а — - mg = та.
Отсюда с учетом значения sin а
а = А~о,65.
2. За нулевой уровень потенциальной энергии в поле тяжести возь-
мем уровень расположения вершины клина. Тогда потенциальная энер-
гия висящей части цепочки равна
f 1 I
Eni = --mgz.
Потенциальная энергия части цепочки, расположенной на клине,
2 21
ЕПз = — - mgy sin а. Полная энергия цепочки в момент, когда она
полностью находится на клине, равна
о / • , mv2
Е = —mg 2 sin а + -у.
Из закона сохранения энергии имеем:
/ . , mv2 1 /2 / .
—mg - sin а Н—— = — -г- mg г — т mg т sin а.
X X о о о о
24
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1998 г.
Откуда v = | V(5 sin а — l)gZ « 0,66 м/с.
2. Атмосферное давленйе в комнате равно
Р = + Pn-
или Р = + pPoj- Откуда парциальное давление кислорода Ро2 =
Р 1 7
= С другой стороны, Pq2 = з , где по2 — концентрация, а
moj — масса молекулы кислорода.
Теперь для v получим
-=1УпЬ = 474“/с-
3.
2. Пусть заряды на пластинах после замыкания ключа К равны
<71, <72 и д3. По закону сохранения заряда
<7о = Qi + Чг + 7з- (1)
Заряды каждой пластины создают между пластинами однородные
электрические поля с напряженностями
о __ ^1 с* ___ ^2 с1 _____ 173
E'~2^S’ Ег~2^' Ез~2^-
Между пластинами 2 и 3 поддерживается по-
стоянная разность потенциалов, равная
(-71-7г + 7з) =^- (2)
Условие эквипотенциальности пластин i и 3:
2^3 ~ = °’ (3)
Совместно решая систему уравнений (1), (2),
(3), получим, что:
<?о ।
7з = у + -Г®-
4. 1. После замыкания ключа К конденсатор начинает разряжаться
и отдавать свою энергию катушке L2, так как диод D закрыт. Имеем
1998 г.
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
25
колебательный контур, состоящий из
катушки индуктивности L2 и кон-
денсатора С. Период колебаний
Т] = . Полный разряд конден-
сатора произойдет через четверть
периода;___ Следовательно, т =
= л./2 'ГЬ2С . а
2. Когда конденсатор начинает пере-
заряжаться, открывается диод D и через
катушку индуктивности L] начинает протекать ток При этом через
L] течет ток 12. Согласно закону Ома
АЛ Д/2_
L‘ aT + L2^T-°
или L]Z0 + L2(I0 ~ ^2о) = 0> гДе Ло — ток через катушку L2 в момент
начала перезарядки конденсатора.
Л2/20 Ct/2 „
2 = —Решая систему, получим
Из закона сохранения энергии
ток 10
L2
° ^-1 + ^-2
Отсюда
L\ + * L2
5. Положение изображения комара, даваемое линзой и равное а,
определяется из формулы линзы
| + -
h а
F‘
При учете зеркала оно снова является
предметом для линзы,
изображение на расстоянии Ь, так что
a b F
которая дает новое
Складывая эти уравнения, получаем
1 + 1 = _
Откуда
на 0,2 м.
2
F'
b = — 2h + F ~ ~ 9 = —0,2 м- Изображение ниже зеркала
26 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 1998
Из подобия треугольников АВС и HjBCi 7^7 = ^ и u = v^ =
= 1 см/с.
БИЛЕТ 8
L L а = ^~1^ 1,5 м/с2; 2.v=y|L(£-f) ^2,5 м/с.
2. Евр = PV « 1,2 • 106 Дж.
3. 1.^=1^; 2. </з = 4г^+т-
2d 3 d 2
4. 1. Т = | V(L! + L2)C; 2. Ux = t/maxy^£^.
5. \.b = 0.6F; 2. vH3 = 0,2А^.
1998 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
27
БИЛЕТ 1
1. х = — у + 2лп, n Е Z.
_ 15-7290 .
2. х <-----, х > 4.
- 57ТЗ~
12 '
. _ 7 In 6-10
4- 3>----з----•
39 л
Э- 4’6’
6. (4; 27), (2; -17), (22; 423), (-16; 307).
БИЛЕТ 2
1. х = ±^г + 2лл, nEZ.
4
_ 34-3072 . э
2. X <----23--’ х э 3-
-
48’
4. 2, 15 1п 2 - 9.
13 л
3‘ 12’ 6‘
6. (3; 29), (1; -17), (13; 397), (-15; 191).
БИЛЕТ 3
1. х = — ? + 2лл, х =------+ 2лп, п G Z.
4 ____ 4
2. х —4, х >------------.
4
, 5VT3
6 ’
4. 2, - 5.
1 17 1
5. —, arccos
6. (-2; 30), (-4; 4), (20; 316), (-26; 774).
БИЛЕТ 4
1. х = ±4 + 2ли, х = л + 2лп, n£Z.
Решение.
Пусть t
cos Зх
COS X
28
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1998 г.
а) Если cos х > О, то / + у = — 1 или t2 + t + 2 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней.
б) Если cos х < 0, то / — | = —1 или t2 + t — 2 = 0, откуда tx — —2,
t2= 1.
гт « cos Зх г, 4 cos3 х — 3 cos х «
Пусть / = —2, тогда = -2 или-----------—------= -2.
Так как cos х * 0, то 4 cos2 х — 3 = 2, cos2 х= 1/4, cos х = —1/2,
. 2л । »
х = ±-^- + 2лп.
Пусть t = 1,
Рис. 1
тогда 4 cos2 х — 3 = 1, cos2 х = 1, cos х = — 1,
х = л. + 2ли.
3072-34
23
Решение.
Так как уравнение
Зх2 + 8х — 3 = 0 имеет корни Х| = —3,
х2 = то область Е допустимых зна-
чений неравенства — совокупность
интервалов Е} — (—оо, —3),
Решить данное неравенство — это значит найти все значения х G Е,
при которых график функции у = V3x2 + 8х — 3 лежит выше прямой
1 Ч- 2х
у = —j— (рис. 1). Значения xGE, является решением неравенства,
так как V3x2 + 8 — 3 > 0 при х —3, а 1 < 0 при х —3 (рис. 1).
Пусть х > 7, тогда 73х2 + 8х — 3 > 0, 1 > 0 и исходное неравен-
—з—) ’
23х^ + 68х — 28 > 0. Уравнение 2.5х“ + 08х — 28 = U имеет корни Xj и
34 + 3072" а 3072-34 ( п 1
х2> где X] =----< 0, х2 — —2з— (рис- > у
Поэтому решениями исходного неравенства на множестве Ег являют-
ся все точки интервала (х2, +<»).
- 5Т34~
12 ‘
Решение.
Пусть О( — центр окружности радиуса R, описанной около тре-
угольника ACD\ О2 — центр окружности радиуса г, вписанной в
1998 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
29
треугольник BCD, Е — середина ВС. Тогда
O\DAAC, DE АВС, АВ = 5, CD = BD = ^,
АС = 4, Sln А = у Р = у—у = -=О,Д.
Пусть 5 — площадь треугольника BCD, р — его
полупериметр. Тогда 5 = АС-ВС = 3, р = 4,
5 = гр, откуда г = | = О2Е, DE = 4у = 2,
DO2 = DE — О2Е = Искомое расстояние
О1О2 = VOyD2 + DO2 = у 2 + 2 =
/850 _ 5/34
12 12 ‘
4. 4 In 5--у.
Решение.
Точка Л(0; 4) при любом а является общей точкой прямой
у = — 12х + 4 и фигуры М. Поэтому эта прямая должна быть касатель-
ной к графику функции У] = 4е-ах в точке х = 0. Так как у', (0) = —4а,
то —12 = —4а, откуда а = 3.
Найдем общие точки кривых у] = 4е-3х иу2 = 12 — 5е3х, решив урав-
нение 4=12 — 5t, где t = е3х. Это уравнение имеет корни Ц =7, t2 = 2.
Если t = то е3х = j, откуда X] = j 1п у а если t = 2, то е3х = 2, откуда
х2 = | In 2. Искомая площадь
ха х2
S = J (у2 - у,) rfx = J (12 — 5е3х — 4е-3х) dx =
X, X!
= (12х — | £?3х + | е-3х^ = 4 In 5 — у.
J2 13/Т
5. arccos yj, —у-.
Решение.
а) Построение сечения. Пусть Е, F и К — середина ребер АВ, AtCt и
BBt соответственно. Проведем:
а) прямые КЕ и AAj пересекающиеся в точке М;
б) прямую FM, пересекающую отрезок АС в точке Р;
в) прямую AjBlt пересекающую прямую КЕ в точке L-,
г) прямую FL, пересекающую ребро В{СХ в точке N (рис. 3).
30
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1998 г.
Тогда EPFNK — пятиугольник,
получаемый в сечении призмы плос-
костью, проходящей через точки Е,
Ей К.
б) Вычисление угла между плос-
костью основания и плоскостью
сечения а.
Пусть F\ — середина AC, G —
основание перпендикуляра опущен-
ного из точки Fi на РЕ. Так FFi —
перпендикуляр к плоскости АВС, а
прямая РЕ перпендикулярна проек-
ции F]G наклонной FG, то FGAPE
(теорема о трех перпендикулярах).
Итак, прямые GF и GFi, лежащие в плоскостях а и АВС соответствен-
но, перпендикулярные РЕ — линия пересечения этих плоскостей. По-
этому Z. FGFi = <р — линейный угол двугранного угла между плоскостя-
FF\
ми а и ABC, a tg ф =
' Г । V
Найдем FiG.
Пусть АВ= a, BBi = h. Тогда из равенства треугольников АМЕ и
КВЕ следует, что AM = |, а из подобия треугольников МАР и МAt F
находим: = |, откуда АР = | AXF =
MAi 3 J 3 6
Из треугольника АРЕ, в котором АР = АЕ = j, А РАЕ = у, по тео-
реме косинусов получаем
рр<1 — “L + _7---
36 4 6 2 2’
откуда РЕ =
Пусть S, S] и S2 — площадь треугольников ABC, AEFy и PEFi соот-
ветственно. Так как EF\ — средняя линия в треугольнике АВС, то
51=7$, a Si = ^Si=\s {AP = \AFi). С другой стороны,
S2 = 4 РЕ FiG, откуда £ а2Уз~
Р Г _ 25а _ з 4 _ у 1з
^G~FE~ aV7 ~2Ъ’
tS,₽ = ^G = 47 = 7T’C0S,₽ = '^’ <₽ = arccos
1998 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
31
в) Вычисление площади сечения.
Пусть ст и Ст] — площади соответственно сечения и его проекции на
плоскости АВС. Тогда ст =
Заметим, что проекцией сечения на плоскость АВС является пятиу-
гольник PFtNiBE (jVj — проекция точки N на плоскость АВС), в кото-
ром FtNiWPE, так как F^||ЕЛГ, а /W||P£.
Если Q — середина PFt, то PQ = QFt = АР = р РЕ — средняя линия
в треугольнике ABQ и поэтому PfUBQ, откуда следует, что
так как F^Ni||РЕ.
Из подобия треугольников CEjAT] и CQB следует, что
^ = ^,гдеСВ = а, СГ1=|, CQ = j,
\^D л О
з
откуда находим CNi = а.
Пусть 53 и S4 — площади треугольников АРЕ и CF}Nt соответственно.
Тогда
Ss = is,=iS,s4_’4 = |5,
„ _ о /О , о \ _ 13 13 a2V3 13V3
СТ]-5-(53 + 54)-24 5-24 —= —,
,/3 13V2
откуда ст = Ст] у 2 = —4~•
6. (-1; 31), (-3; 3), (21; 339), (-25; 751).
Решение.
Выразим у через х, получим:
х3 —Зх2 —8х + 27
У =-----х + 2 . •
Выделим целую часть, преобразовав дробь:
х3+'2х2 — 5(х2 + 2х) + 2(х + 2) +23 7 r , 23
у =-----------х + 2-----------------= х - 5х + 2 + 772-
Целые значения у примет при целых х тогда и только тогда, когда
23
-- 2 примет целые значения, т. е. в следующих случаях: х + 2 = 1,
х + 2 = —1,х + 2 = 23, х + 2 = —23. Отсюда находим Х| = —1, х3 = — 3,
х3 = 21, х4 = —25, а затем соответствующие значения у.
32
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1998 г.
БИЛЕТ 5
1. (2; -3), (-6; 1).
Решение.
Первые уравнения системы можно записать в виде
log2 [ху(х + 2у) ] + log2 = 4>
а множество допустимых значений х, у определяется условием
ху(х + 2у) > 0. (1)
При выполнении условия (1) исходная система равносильна системе
(х + 2у)2 = 16,
m=• <2>
а система (1)—(2) равносильна совокупности двух систем
f« + 2? = 4’ (3)
I ху = 6 v ’
и
Исключая х из системы (3), получаем уравнение у2 — 2у + 3 = 0, не
имеющее действительных корней. Поэтому система (3) не имеет дейст-
вительных решений.
Из системы (4) получаем уравнение у2 + 2у — 3 = 0, имеющее корни
У1 = -3, у2= 1.
Поэтому исходная система имеет два решения: (2; —3) и (—6; 1).
2. — -у + 2лп < х < + 2лп, n G Z.
4 4
Решение.
Найдем решения неравенства на отрезке длиной 2л. Все значения х
из интервала (0, л) — решения неравенства, так как sin х > 0 при
0 < х < л, а левая часть неравенства определена и неотрицательна при
всех х.
Пусть sin х < 0, тогда исходное неравенство равносильно каждому из
неравенств
5 + 3 cos 4х > s-n4 х, 5 + з cos 4Х > 2( 1 — 2 cos 2х + cos2 2х),
О
cos 2х (1 + cos 2х) > 0, cos 2х > 0, sin2 х < | sin х | < -j-.
1998 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
33
Так как sin х < 0, то — •
л _ л 5л
откуда — — < х < О, л < х < -у.
Итак, на отрезке
исходного неравенства являются все чис-
\ л 5л ।
ла из интервала — -т, -у- .
л Зл
2’ Т
решениями
3. /ТО, 3/ТО.
Решение.
Пусть К — середина ВС, О — точка пересечения АС и BD, О] и О2 —
центры окружностей, описанных около треугольников BCD и ЛВС соот-
ветственно (рис. 4).
Тогда О] и О2 — точки пересечения перпендикуляра к ВС в точке К
с прямыми СО и ВО соответственно.
Пусть Ли г — радиусы окружностей, описанных около треугольников
АВС и BCD соответственно, ABAC = ACAD = а, тогда АВО2К = а,
ОхС=г = —, ОС = 6 cos a, R = ООУ = 8 sin а.
1 cos а 2 sin а sin а’ А
Так как ОС = ОО\ + OtC, то 6 cos а = 8 sin а Ч——,
1 cos а
8 sin а cos а + 3 = 6 cos2 а, 3 sin2 а — 3 cos2 а + 8 sin а cos а = 0.
Полагая tg а = t, получаем З/2 + 8/ — 3 = 0, откуда t\ = |, t2 = —3.
Так как 0 < а < то tga = p cos a = ^~, sin а = г = /ТО,
R = 3/ТО.
1
а 2
4. 1 1
*»• 4> 3-
Решение.
Уравнение sin х = (4a — 2)2
(4a — 2)2 < 1, т. е.
Задача сводится к нахождению всех значений а, при которых функ-
ция /(а) =----т- принимает целые значения на отрезке
27a
Уравнение /(а) = (—4a-5 + 12a-4) =
______П 31
4’ 4
имеет корни тогда и только тогда, когда
> 1 3
< -г, откуда - < а < -г.
4 4 4
отрезке
/'(а)>0 при а>|.
а е.
1 1’
4’ 4 ’
a-5(3a — 1) = 0 имеет на
единственный корень а = |, причем f\a) < 0 при а < | и
Следовательно, функция /(а) убывает при
-, — и возрастает при а
34
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1998 г.
Так как /^=0 и — целые числа, а
(q\ Y м
— - = — — < о, то искомое множество значении а состоит из
41 з7
1 1
чисел - иг.
4 3
- <зо W30
Э" 4 ’ 28 •
Решение.
Пусть Е — точка пересечения ВС и AD, М и N — середина отрезков
CD и АВ соответственно (рис. 5).
Тогда АВЕ — правильный треугольник, NE = ^~ ДВ = 3V3,
MN = | NE = 2<3, ME = <3, так как MN — диаметр вписанной в тре-
угольник АВЕ окружности, радиус которой равен j NE.
Заметим, что перпендикулярными основанию пирамиды являются
грани SBC и SAD, а линия их пересечения (прямая SE) — перпендику-
ляр к основанию и SE = <5.
Пусть МК — высота в треугольнике
SMN, тогда МК — перпендикуляр к
плоскости ABS (KM.LSN и КМ .L АВ,
так как АВ — перпендикуляр к плоско-
сти SNE). Прямая CD параллельна пло-
скости SAB и поэтому расстояние от точ-
ки D до плоскости SAB равно МК.
Если LSNM = ю, то КМ = MN sin ф,
SE <5 <5
В
Рис. 5
км = 2<3 XX = ^2.
4у2 4
2) Пусть О — центр окружности, впи-
санной в треугольник SCD, Р — точка
пересечения отрезка SN с перпендикуля-
ром к стороне SM треугольника SMN, проведенным через точку О.
Радиус г этой окружности равен радиусу основания конуса, высота
Н конуса равна ОР, а его объем V = j лг2Я.
Если ст — площадь треугольника SCD, р — его полупериметр, то
ст = | CDSM, p=SD + ^, где CD = | АВ = 2,
SM = VS£2 + ME1 = vT+3 = 2V2 , SD = <5Л/2 + MD1 = VT+T = 3,
p = 4, ст = 2<2 и поэтому г = j SO = SM — r = 2<2 — ~
1998 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
35
Пусть LNSM = а, тогда Н = SO tg а = -у- tg а. Найдем cos а, при-
менив теорему косинусов к треугольнику SMN. Получим MN2 =
= 5jV2 + 5M2-25W-5Mcos а, где SN = y/SE2 + NE1 = V5 + 27 =
. гъ г,, ч лт 7 „ Vl5 „ 3j2 VT5 3V3O
= 4V2, SM = 2V2, откуда cos а = tg а = Н = -----— = ——.
6. а = —4, b = 5, с = —2.
Решение.
Пусть X] и х2 — абсциссы точек, в которых график функции
у = /(х) = х3 + ах2 + Ьх + с, где с < 0, пересекает ось Ох. Тогда X! и
х2 — корни многочлена /(х), а /(х) делится на (х — xj(x — х2), откуда
следует, что /(х) = (х — xj(x — х2)(х — а), где
а — одно из чисел хь х2 (уравнение /(х) = 0 по
условию имеет ровно два различных корня). Та-
ким образом, многочлен /(х) имеет вид
/(х) = (х — Х])2(х — х2), откуда находим
/'(xi) = 0 и касательная к графику функции в
точке (xi, 0) совпадает с осью Ох.
По условию ордината точки А равна с, где
с < 0, а касательная к графику функции у = /(х)
в точке М проходит через точку А. Поэтому абс-
цисса точки М равна х2, а абсцисса точки N равна
X] (рис. 6). Задача сводится к нахождению чисел
X] и х2. Так как /'(х2) = = (х2 — Xi)2 = k, то
уравнение прямой, касающейся в точке М графика функции у = /(х),
имеет вид у = к(х — х2). Эта прямая проходит через точку Л(0, с), где
с = — кх2 и х2х? = х2(х2 — X])2, откуда х2 = 2xj (х2*0) и с = — 2х?.
Пусть 5 — площадь треугольника AMN, тогда 5=1 =
= — с | (х2 — xi) = — сх,, откуда с = — Д = — 2х], х, = 1, х2 = 2,
/(х) = (х — 1 )2(х — 2) = х3 — 4х2 + 5х — 2.
БИЛЕТ 6
1. (Н), (-3; 1).
2. ~~ тг + < х < тг + п G Z.
4 4
36 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 1998 г.
5 12^ПТ 48vT5
37 ’ 65 ’
6. а = —4, Ь = —5, с = —2.
БИЛЕТ 7
1. (1; -6), (-3; 2).
2. — + 2л.п < х < 77 + 2л.п, л G Z.
4 1 4
3. 275,75.
**• 4 ’ 28 ’
6. а = 4, b = 5, с = 2.
БИЛЕТ 8
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(3 1 \
-(3; 1).
— 77 + 2лп < х < ^7 + 2л.п, п 6 Z.
4 4
3V5
12/ПТ 48715’
37 ’ 65 ’
а = 4, b = —5, с = 2.
1999 г.
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
37
БИЛЕТ 1
т
тр.
1. Небольшой брусок массой т лежит на гладком столе внутри же-
сткой рамы. Длина рамы L, масса — т. Брусок с помощью легкого
стержня и пружины жесткостью k соеди-
нен с неподвижной опорой (см. рис.). Бру-
сок отводят к противоположной стороне
рамы и отпускают. В результате упругих
столкновений брусок и рама совершают
К задаче 1
периодические движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения с бру-
ском.
2) Найти период колебаний бруска.
2. На тележке, которая может двигаться по горизонтальным рель-
сам прямолинейно и без трения, укреплена в горизонтальной пло-
скости трубка в форме кольца
(см. рис. — вид сверху). Внутри трубки
может двигаться без трения шарик мас-
сой т. Масса тележки с трубкой М,
массой колес тележки пренебречь. Ша-
рику, при неподвижной тележке, сооб-
щают в точке А скорость Ио, направ- К задаче 2
ленную параллельно рельсам.
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком точки
В тележки, диаметрально противоположной точке А.
2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется
тележка через время tQ, когда шарик совершит несколько оборотов
и окажется в точке В тележки?
3. Моль гелия сжимают в адиабатиче-
ском процессе так, что относительные из-
менения давления ДР/Р, объема ДИ/V и
температуры ДТ/Т газа малы. Найти отно-
сительное изменение давления газа, если
над ним была совершена работа А = 15 Дж.
Начальная температура Газа Т = 300 К.
4. В схеме, изображенной на рис., при
разомкнутых ключах ЛГ, и К2 конденса-
торы с емкостями и С2 не заряжены.
К задаче 4
ЭДС батареи внутреннее сопротивление — г. Сначала замы-
кают ключ Kv а после установления стационарного состояния в
схеме замыкают ключ К2.
38
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1999 г.
1) Чему равен ток через источник сразу после замыкания
ключа Кд?
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после за-
мыкания ключа К2?
5. В комнате на горизонтальной поверхности стола лежит плоское
стеклянное зеркало толщиной Н = 7 мм с показателем преломления
стекла п = 1,4- Над зеркалом висит электрическая лампочка. Опре-
делите расстояние между двумя соседними изображениями светя-
щейся нити лампочки, возникающими из-за многократных отраже-
ний от двух поверхностей зеркала.
БИЛЕТ 2
1. Небольшой брусок массой т лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы. Длина рамы L, масса — т. Брусок с помощью
легкого стержня и пружины
жесткостью к соединен с не-
подвижной опорой 1. Рама
пружиной жесткостью к сое-
динена с неподвижной опорой
2 (см. рис.). В начальном по-
К задаче 1
ложении брусок касался пра-
вой стенки рамы, а пружины не были деформированы. Брусок
отводят к противоположной стенке рамы и отпускают. В резуль-
тате упругих столкновений брусок и рама совершают периодиче-
ские движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения
с бруском.
2) Найти период колебаний бруска.
2. Тележка может двигаться прямолинейно поступательно без
трения по горизонтальной поверхности стола. К
тележке прикреплена горизонтальная ось О,
перпендикулярная возможному направлению
движения тележки (см. рис.). Вокруг оси О, в
плоскости, перпендикулярной ей, может вра-
щаться без трения на стержне длиной L неболь-
шой по размерам шарик массой т. Масса те-
лежки, оси О и ее крепления — 4т. Массами
стержня и колес тележки пренебречь. Вначале
тележка покоилась, а стержень удерживался под углом р = 30° к
вертикали. Затем стержень отпустили.
1999 г.
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
39
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком нижней
точки своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний тележки, т. е. половину рассто-
яния между наиболее удаленными друг от друга положениями
тележки.
3. Моль гелия расширяется в процессе P2V = const так, что изме-
нение температуры газа составило АТ = 0,3 градуса. Какую по ве-
личине работу совершил газ, если относитель-
ные изменения его давления АР/Р, объема _____с||
ДУ/У и температуры АТ/Т малы? i/~
4. В схеме, изображенной на рис., при разо- ~Г
мкнутом ключе К конденсатор емкостью 1-D
С = 20 мкФ заряжен до напряжения UQ = т
= 12 В. ЭДС аккумулятора <? = 5В. Индук- --------'
тивность катушки L = 2 Гн.
1) Чему равен ток, установившийся в цепи К задаче 4
после замыкания ключа?
2) Чему равен максимальный ток в цепи после замыкания ключа?
Внутренним сопротивлением аккумулятора и омическим сопротив-
лением катушки пренебречь, D — идеальный диод.
5. На столе под стеклянной пластиной толщиной Н = 12 мм распо-
ложен кусок газеты, которая рассматривается с помощью микроско-
па. На какое расстояние нужно передвинуть тубус микроскопа, чтобы
настроиться на буквы текста в отсутствие стеклянной пластинки? По-
казатель преломления стекла п = 1,5.
БИЛЕТ 3
1. Небольшой брусок массой т лежит на гладкой столе внутри же-
сткой рамы, касаясь ее правой стенки. Длина рамы L, масса — т. Ра-
ма пружиной жесткостью k соединена с неподвижной опорой
(см. рис.). Раму отводят направо так, что брусок касается ее левой
стенки, и отпускают. В результате упругих столкновений брусок и ра-
ма совершают периодические движения.
1) Найти скорость бруска сразу после
первого столкновения с рамой.
2) Найти период колебаний бруска.
2. Брусок может двигаться поступатель-
но без трения по прямолинейным горизон-
К задаче 1
тальным салазкам, не отрываясь от них. На бруске укреплен в верти-
кальной плоскости, параллельной салазкам, желоб радиусом R, по
40
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
1999 г.
которому может скользить без трения небольшой по размерам шарик
массой т (см. рис.). Масса бруска с желобом 6т. Вначале брусок по-
коился. Шарику в верхней точки же-
лоба сообщили горизонтальную ско-
рость VQ.
1) Найти скорость бруска при про-
хождении шариком нижней точки
2) На каком расстоянии от перво-
начального положения окажется бру-
сок через время tQ, когда шарик со-
вершит несколько оборотов и окажется в нижней точке желоба?
3. Моль гелия из начального состояния с температурой Т = 300 К
расширяется в адиабатическом процессе так, что относительные из-
менения давления АР/Р, объема А7// и температуры газа АТ/Т
малы. Найти работу А, совершенную газом, если относительное из-
менение его давления АР/Р = —1/120.
4. В схеме, изображенной на рис., при ра-
зомкнутых ключах и К2 конденсаторы с
емкостями Cj и С2 не заряжены. ЭДС бата-
реи %, внутреннее сопротивление — г. Сна-
чала замыкают ключ Кх, а после установле-
ния стационарного состояния в схеме замы-
кают ключ К2.
1) Чему равен ток через батарею сразу по-
сле замыкания ключа КХ1
2) Какое количество теплоты выделится во
всей схеме после замыкания ключа К2?
5. Если рассматривать свое изображение в плоскопараллельной
стеклянной пластинке толщиной Н = 10 см, то можно увидеть ряд
последовательных изображений лица, отстоящих друг от друга на
расстоянии L= 14 см. Чему равен показатель преломления стекла
пластинки?
%, г С2
К задаче 4
БИЛЕТ 4
1. Небольшой брусок массой m лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы длиной L и массой т. Брусок с помощью легкого
стержня и пружины жесткостью к соединен с неподвижной опо-
рой 1. Рама пружиной жесткостью к соединена с неподвижной
1999 г.
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
41
опорой 2 (см. рис.). В начальном положении брусок касался ле-
вой стороны рамы, а пружины не были деформированы. Раму
отводят налево до соприкосно-
вения бруска с правой стенкой
рамы и отпускают. В резуль-
тате упругих столкновений
брусок и рама совершают пе-
К задаче 1
риодические движения.
1) Найти скорость бруска сразу после первого столкновения с ра-
мой.
2) Найти период колебаний рамы.
2. Муфта может двигаться поступательно без трения вдоль гори-
зонтальной направляющей ЕЕ{ (см. рис.). К
муфте перпендикулярно ЕЕ{ прикреплена го- р~4~ 3wt ~ ' I
ризонтальная ось О, вокруг которой может
вращаться без трения обруч радиусом R с за-
крепленным на нем небольшим по размерам
грузом массой т. Масса муфты, оси О и ее
крепления 3m. Массой обруча пренебречь.
Вначале муфта неподвижна и обруч удержи-
вают в положении, когда ОР составляет угол а = 30° с горизонтом.
Затем обруч отпускают.
1) Найти скорость муфты при прохождении грузом нижней точки
своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний муфты, т. е. половину расстояния
между наиболее удаленными друг от друга положениями муфты.
3. Моль гелия сжимают в адиабатическом процессе так, что от-
носительные изменения давления ЕР/Р, объема EV/V и температу-
ры АТ’/Г газа малы. На сколько процентов изменяется давление га-
К задаче 2
за, если относительное изменение температу-
ры ДТ/Г = 0,0032? _l_
4. В схеме, изображенной на рис., при pa- I |*
замкнутом ключе АГ конденсатор емкостью I с_-
С = 10 мкФ заряжен до напряжения т — ~ио
Uo = 10 В. ЭДС аккумулятора % = 15 В, ин- |
дуктивность катушки £ = 0,1 Гн. 1) Чему ра- к
вен установившийся ток в цепи после замы- к задаче 4
кания ключа? 2) Чему равен максимальный
ток в цепи после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением
аккумулятора и омическим сопротивлением катушки пренебречь,
D — идеальный диод.
42
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1999 г.
5. Стакан с тонким дном, наполненный прозрачной жидкостью,
ставится на монету, лежащую на столе. Если сверху через жидкость
нормально к ее поверхности рассматривать монету, то изображение
монеты наблюдается на расстоянии Л = 2,6 см от дна стакана. Опре-
делите показатель преломления жидкости, если толщина слоя жид-
кости в стакане Я = 8 см.
БИЛЕТ 5
л2
К задаче 3
К задаче 4
1. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту
в точке О прикреплена нить длиной I. К другому концу нити привя-
зан небольшой шарик (см. рис.). В
начальный момент шарик находится
в положении равновесия в точке Л.
Какую минимальную скорость надо
сообщить шарику в точке А вдоль
наклонной плоскости в горизонталь-
ном направлении, чтобы шарик со-
вершил полный оборот, двигаясь по
окружности?
2. Летним днем перед грозой плотность влажного воздуха (масса
пара и воздуха в м3) р = 1140 г/м3 при давлении Р = 100 кПа и тем-
пературе 30 °C. Найти отношение пар-
циального давления водяного пара,
содержащегося в воздухе, к парциаль-
ному давлению воздуха. Принять, что
молярные массы воздуха и пара цв =
= 29г/моль, цп = 18 г/моль, газовая
постоянная R = 8,31 Дж/(моль-К).
3. В электрической схеме, состоящей
из батареи с ЭДС й” = 15 В, резисторов
/?1 = 10 Ом и R2 = 30 Ом (см. рис.) замыкают ключ К.
1) Найти ток через резистор R2 сразу после замыкания ключа.
2) Найти ток через батарею в тот момент, когда напряжение на
конденсаторе равно $73. Внутренним сопротивлением
пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной поверхности
стола лежит проводящая жесткая тонкая рамка из одно-
родного куска проволоки в виде равностороннего тре-
угольника со стороной, равной а. Рамка находится в од-
нородном горизонтальном магнитном поле, линии ин-
1999 г.
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
43
дукции которого перпендикулярны одной из сторон рамки (см. рис.).
Масса рамки М, величина индукции — В. Какой силы ток нужно про-
пустить по рамке (против часовой стрелки), чтобы она начала при-
подниматься относительно одной из вершин треугольника?
5. Часовщику необходимо рассматривать детали часов, размеры
которых в Л? = 3 раза меньше, чем то минимальное расстояние меж-
ду двумя точками, которое он может рассмотреть с расстояния наи-
лучшего зрения L = 25 см. Чему равно максимальное фокусное рас-
стояние лупы (собирающая линза), которую он должен использо-
вать, чтобы рассмотреть эти детали? При использовании лупы глаз
наблюдателя аккомодирован на бесконечность, а рассматриваемые
предметы расположены в фокальной плоскости лупы.
БИЛЕТ б
1. Обруч в форме окружности закреплен на столе в положении,
когда его плоскость наклонена под углом а к горизонтальной поверх-
ности Р стола (см. рис.). По обручу
может скользить без трения неболь-
шое колечко массой т. Вначале ко-
лечко удерживают в верхней точке
С обруча. В результате незначитель-
ного толчка колечко приходит в дви-
жение. Найти модуль силы, с кото-
рой колечко действует на обруч в
точке А, находящейся на горизон-
тальном диаметре обруча.
2. В парной бани относительная
а, = 50% при температуре 100 °C.
уменьшилась до 97 °C и пар
«осел», относительная влажность
воздуха стала равной а, = 45 %.
Какая масса воды выделилась из
влажного воздуха парной, если ее
объем V = 30 м3? Известно, что
при температуре 97°С давление
насыщенного пара на 80 мм рт. ст.
влажность воздуха составляла
После того, как температура
К задаче 3
меньше, чем при 100 °C.
3. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС = 30 В,
резисторов = 10 Ом, Л2 = 20 Ом, Л3 = 30 Ом и конденсатора, за-
мыкают ключ К.
44
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1999 г.
1) Найти ток через резистор R2 сразу после замыкания ключа К.
2) Найти ток через батарею в тот момент времени, когда ток
через резистор R3 равен I = 0,3 А. Внутренним сопротивлением ба-
тареи пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит
проводящая жесткая тонкая квадратная рамка из однородного куска
проволоки со стороной, равной а. Рамка на-
ходится в магнитном поле длинного гори-
зонтального провода с током, расположен-
ного симметрично над рамкой (см. рис.).
Масса рамки М, индукция магнитного поля
у боковых сторон рамки 1 и 2 равна В. Ко-
эффициент трения скольжения рамки о по-
верхность стола равен ц(ц<1/3). Какой
силы ток нужно пропустить по рамке, что-
бы она начала скользить по столу, не отры-
ваясь от него?
5. Пожилой человек хорошо видит уда-
ленные предметы, начиная с бесконечности
и до минимального расстояния I = 2 м (хру-
сталик глаза этого человека не в состоянии
сфокусировать на сетчатке предметы, распо-
ложенные ближе I = 2 м). В каких очках (с
минимальной оптической силой линз) этот
человек сможет читать газету с расстояния наилучшего зрения
L = 25 см? Расстоянием между глазами и линзами очков пренебречь.
БИЛЕТ 7
1. Небольшой шарик прикреплен с помощью нити длиной I к гвоз-
дю, вбитому в доску с гладкой плоской поверхностью, наклоненной
под углом а к горизонту (см. рис.). Вначале шарик удерживают на до-
ске в точке А, слабо натянув нить горизонтально вдоль доски. Какую
минимальную скорость V надо сооб-
щить шарику в точке А вдоль доски
перпендикулярно нити, чтобы шарик
совершил полный оборот, двигаясь по
окружности?
2. После теплого летнего дождя
относительная влажность воздуха у
поверхности земли достигла 100%.
1999 г.
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
45
При этом плотность влажного воздуха (масса пара и воздуха в 1 м3)
оказалась равной р = 1171 г/м3, его давление Р= 100 кПа и темпе-
ратура 22 °C. Найти по этим данным давление насыщенного водяно-
го пара Рнлс при температуре 22 °C. Принять, что молярные массы
воздуха и пара цв = 29 г/моль, р.п = 18 г/моль, газовая постоянная
Л = 8,31 Дж/моль-К.
3. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС % = 10 В,
резисторов 7?1 = 50 Ом, /?2 = 100 Ом и конденсатора (см. рис.), замы-
кают ключ К.
1) Найти напряжение на конденсаторе
в установившемся режиме.
2) Найти ток через батарею в тот мо-
мент, когда напряжение на конденсаторе
достигло значения <f/2. Внутренним со-
противлением пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной
поверхности стола лежит проводящая
жесткая тонкая квадратная рамка из однородного куска проволоки
со стороной, равной а. Рамка находится в однородном горизонталь-
ном магнитном поле, линии индукции которого параллельны одной
из диагоналей квадрата рамки (см. рис.). Масса рамки М, величина
индукции В. Какой силы ток нужно пропустить по
рамке, чтобы она начала приподниматься относи-
тельно одной из вершин квадрата?
5. Коллекционер марок, вооруженный лупой
(собирающая линза с фокусным расстоянием
F=10cm), в состоянии рассмотреть фрагменты
марки с минимальным размером Z = 0,1 мм. Какого
размера фрагменты марки он сможет рассмотреть
без лупы с расстояния наилучшего зрения
L = 25 см? При использовании лупы глаз наблюдателя аккомодиро-
ван на бесконечность, а рассматриваемые предметы расположены в
фокальной плоскости лупы.
БИЛЕТ 8
1. Тонкая трубка с петлей в форме окружности радиусом R за-
креплена на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а
(см. рис.). В верхний конец трубки, находящийся на расстоянии
27? от горизонтального диаметра петли, опускают без начальной ско-
рости маленький шарик массой т. Шарик скользит внутри трубки
46
ФИЗИКА •ЗАДАЧИ
1999 г.
без трения. С какой силой (по модулю) действует шарик на трубку
в точке А, находящейся на горизонтальном диаметре петли?
К задаче 1
К задаче 3
2. В жарко натопленной парилке объемом V = 20 м3 при тем-
пературе 100 °C относительная влажность воздуха составляет
aj = 20 %. Посетители плеснули на печку т = 1 кг воды, которая
вся испарилась и температура воздуха в парилке упала до 90 °C.
Какая относительная влажность воздуха установилась в парилке?
Известно, что уменьшение температуры от 100 °C до 90 °C вызы-
вает уменьшение давления насыщенного пара на 234 мм рт. ст.
Считать, что весь пар остался в воздухе парилки.
3. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС = 20 В,
резисторов с сопротивлениями R3 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом
и конденсатора, замыкают ключ К (см. рис.).
1) Найти ток через резистор R3 сразу после замыкания ключа К.
К задаче 4
2) Найти ток через батарею в момент
времени, когда напряжение на конденсато-
ре равно 0,6^. Внутренним сопротивлением
батареи пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной по-
верхности стола лежит проводящая жесткая
тонкая квадратная рамка со стороной, рав-
ной а. Рамка находится в магнитном поле
длинного горизонтального провода с током,
расположенного симметрично над рамкой
(см. рис.). Масса рамки Л/, индукция маг-
нитного поля у боковых сторон рамки 1 и 2
равна В. Коэффициент трения скольжения
рамки о стол таков, что при некоторой ве-
личине тока, пропущенного через рамку,
она начинает приподниматься (без сколь-
жения) относительно одной из своих сто-
рон. Найти величину этого тока.
1999 г.
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
47
5. Близорукий человек хорошо видит близко расположенные от
него предметы вплоть до расстояния Z = 60 см. Хрусталик глаза это-
го человека не в состоянии сфокусировать на сетчатке предметы,
расположенные дальше расстояния Z = 60 см. Ему предложили вос-
пользоваться очками с оптической силой D= —1,5 диоптрий (1/м).
На каком максимальном удалении он сможет отчетливо видеть пред-
меты в этих очках? Расстоянием между глазами и линзами очков
можно пренебречь.
48
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
1999 г
БИЛЕТ 1
1. Найти действительные решения системы уравнений
|х2 — 4х — 2у — 1 = О,
|у2 — 2х + бу + 14 = О.
2. Решить уравнение
cos Зх — sin х ।
cos 5х — sin Зх
3. Решить неравенство
. , х2—|х| —12 п
'°gp°g2 х + 3 >0-
4. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти сто-
роны параллелограмма, если его площадь S = V2, а /.ВАС =
= arcsin
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера-
венства
Зу — х<5, х + у>26, Зх —2у<46.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — середи-
на ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED =1:2, точка
F — центр грани АВС. Найти угол между прямыми ВС и КЕ, рассто-
яние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки
А, В, Е и F.
БИЛЕТ 2
1. Найти действительные решения системы уравнений
х2 — 4х + 4у + 27 = 0,
у2 + 2х + 8 у +10 = 0.
2. Решить уравнение
sin Зх —cos х ।
cos3x — sin 5х
3. Решить неравенство
. х2 + | х | — зо п
logv'ogi--ГГб— <0-
1999 г. МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 49
4. Окружность с центром нй диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти
стороны параллелограмма, если его площадь S = 2V5, а
2
ABAC = arctg -jg.
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера-
венства
Зу —5х>16, Зу —х<44, Зх — у>1.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — сере-
дина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED =1:3, точ-
ка F — центр грани АВС. Найти угол между прямыми ВС и КЕ,
расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей че-
рез точки А, В, Е и F.
БИЛЕТ 3
1. Найти действительные решения системы уравнений
[х2 — 6х — Зу — 1 =0,
[у2 + 2х + 9у + 14 = 0.
2. Решить уравнение
cos 5x+sin Зх।
cos Зх + sin х
3. Решить неравенство
log.log4^4±^>0.
4. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти
стороны параллелограмма, если его площадь S = 4, а АВАС =
4
= arccos у.
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера-
венства
Зу — 2х < 45, х + у > 24, Зх — у < 3.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, а точка К — се-
редина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED = 2:1,
точка F — центр грани АВС. Найти угол между прямыми ВС и
КЕ, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей
через точки А, В, Е и F.
50
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
1999 г.
БИЛЕТ 4
I. Найти действительные решения системы уравнений
х2 + 7х — у + 11 = 0,
у2 + Зх — у + 15 = 0.
2. Решить уравнение
cos Зх+sin 5х_
cos X 4-sin Зх
3. Решить неравенство
. . х2 — |х + 11 —55 л
logglogi.-----------<0.
4. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти
стороны параллелограмма, если его площадь S = 2V7, а
СВ АС = arctg
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны неравен-
ства
у —Зх<1, 2у —Зх>19, 4у — х < 78.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, а точка К — се-
редина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED = 3:1,
точка F — центр грани АВС. Найти угол между прямыми ВС и
КЕ, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей
через точки А, В, Е и F.
БИЛЕТ 5
1. Найти решения (х, у) системы уравнений
log3 (5у — х — 2) — log9 (х — у)2 = 1,
log3 (1 — ~ — 4х) - log9 х2 = 1,
которые удовлетворяют неравенству х — у < 0.
2. Решить уравнение
2 + V3 sin 2х — | cos 2х | = 4 sin2 у.
3. Решить неравенство
. Узх3-22х2 + 40х
------—-------> Зх — 10.
х —4
1999 г.
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
51
4. Медиана АЕ и биссектриса CD равнобедренного треугольника
АВС {АВ = ВС) пересекаются в точке М. Прямая, проходящая че-
рез М параллельно АС, пересекает АВ и ВС в точках Р и Q со-
ответственно. Найти MQ и радиус окружности, описанной около
треугольника PQB, если АС = 4, LACB = arctg (2V2).
5. Дана система неравенств
1*1 + |у| <2,
х2 + у2 > 4(х + у — 1),
(у — Зх — 2)(3у — х + 2) < 0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
б. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, высота пирамиды, опущенная на основание, равна 2V2. На ре-
брах SA и SD расположены точки Е и F так, что АЕ = 2ES,
SF = 5DF. Через точки Е и F проведена плоскость а, параллельная
CD. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло-
скостью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью АВС.
БИЛЕТ б
1. Найти решения (х, у) системы уравнений
log2 (Зу — Зх + 1) — log4 (х — Зу)2 = 1,
log2 (1 ~ у ~ Зх) — >og4 *2 = 1 >
которые удовлетворяют неравенству х — Зу < 0.
2. Решить уравнение
2 + V3 cos х + | sin х | = 4 sin2 х.
3. Решить неравенство
<2х3-22х2 + 60х „
-----—6------->2х—10.
4. В треугольнике АВС, где АВ = ВС = 3, LABC = arccos про-
ведены медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке М.
52
МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
1999 г.
Через М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сто-
роны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно. Найти РМ и радиус
окружности, вписанной в треугольник PQB.
5. Дана система неравенств
Iх| + |у| <3,
. х2 + у2 > 3(2у — 2х — 3),
(2х + у — 3) (х + 5у + 3) < 0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, угол между боковым ребром и основанием равен arccos На ре-
брах SA и SD расположены точки Е и F так, что АЕ = 2ES,
DF = 8SF. Через точки Е и F проведена плоскость а, параллельная
АВ. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло-
скостью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью АВС.
БИЛЕТ 7
1. Найти решения (х, у) системы уравнений
log3 (1 Оу — х — 2) — log9 (х — 2у)2 = 1,
log3 (1 - у - 4х) - log9 х2 = 1,
которые удовлетворяют неравенству х — 2у < 0.
2. Решить уравнение
2 + V3 sin х + | cos х | =4 cos2 x.
3. Решить неравенство
4. Медиана АЕ и биссектриса CD равнобедренного треугольника
АВС (АВ = ВС) пересекаются в точке М. Прямая, проходящая че-
рез М параллельно АС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Р и
1999 г. МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 53
Q соответственно. Найти EQ и радиус окружности, описанной около
треугольника PQB, если АВ = 4, а А С АВ = arccos
5. Дана система неравенств
И + |у| <4,
х2 + у2 Э» -8(х + у + 2),
(7у — х — 4)(3у — 5х + 12) <0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, длина бокового ребра равна VTU. На ребрах SA и SD расположе-
ны точки Е и F так, что SE = 5АЕ, DF = 2SF. Через точки Е и F
проведена плоскость а, параллельная CD. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды
плоскостью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью АВС.
БИЛЕТ 8
1. Найти решения (х, у) системы уравнений
log2 (у - Зх + 1) - log4 (х - у)2 = 1,
•og2 (1 - у - Зх) - log4 х2 = 1,
которые удовлетворяют неравенству х — у < 0.
2. Решить уравнение
V2 + cos х — | sin х | = 2V2 sin2 х.
3. Решить неравенство
V2x3- 27х2 + 90х
2х_15 > X — 6.
4. В треугольнике АВС, где АВ = ВС = 5, А АВС = 2 arcsin |,
проведены медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке
М. Через М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая
стороны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно. Найти АР и радиус
окружности, вписанной в треугольник PQB.
54 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 1999 г.
5. Дана система неравенств:
|х| + Ы ^5,
х2 + у2 > 5(2х — 2у — 5),
(7х + 3у + 15)(х + 4у - 5) < =0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, двугранный угол между основанием и боковой гранью равен
arccos|. На ребрах SA и SD расположены точки Е и F так, что
АЕ = 8ES, DF = 2SF. Через точки Ей F проведена плоскость а, па-
раллельная АВ. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло-
скостью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью АВС.
1999 г.
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
55
БИЛЕТ 1
1. При отклонении бруска влево на расстояние L и отпускании
его, он приходит в движение, совершая гармонические колебания с
периодом .—
В момент прохождения им положения равновесия и упругого стол-
кновения с рамой брусок останавливается, передав всю свою энергию
и импульс раме. При этом брусок и рама обмениваются скоростями.
Тогда энергия упругой деформации пружины переходит в кинетиче-
скую энергию бруска
KL2 _ mV2
2 ~ 2 ’
Откуда
v = L'fe-.
| т
Через время Ц = 774 брусок останавливается, а рама двигается по-
ступательно со скоростью V. Через время
, — к — — 1°
t2~v~n
рама вновь взаимодействует с бруском, передавая ему свой импульс,
и брусок совершает часть колебания в течение времени
до следующего удара о раму. При этом он снова останавливается
на время
2я
после чего приводится в движение рамой и т. д. Очевидно, что период
колебаний бруска равен
7, = 7,о+^ = 2(л + 1)^-
56
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1999 г.
2. Из закона сохранения энергии и импульса
tnvl _ mvj MV1
2 — 2 "Г 2 ’
mv0 — тщ + MV,
где V[ и V — скорости шарика и тележки в момент прохождения ша-
риком точки В. Совместное решение уравнений дает
2/nvp
т + М'
Скорость центра масс системы шарик—тележка определяется из
условия
mvQ = (т + Л/)УЦ м
или
mv0
ц-м- т+М'
Следовательно, путь, пройденный тележкой в момент прохождения
шариком точки В, равен
о — 'Ц-М. Го т+м Го-
3. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона (PV = ВТ (1))
в приращениях (считаем, что состояние гелия незначительно изме-
нилось)
Р ДУ + V &P = R ЬТ. (2)
Из первого начала термодинамики в случае адиабатического процесса
следует, что
д<2=ДА + дбГ
или
Q = P ЬУ + Су ЬТ. (3)
Работа, совершаемая газом,
Л = Р ДУ.
Тогда из уравнения (2) следует, что
УДР_ЯДТ-А1
р р k '
1999 г. ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 57
Выразив Р из уравнения (1) и подставив в (4), получим
Д^ = Д£_ А /с-,
Р Т RT' К 7
Согласно (3), работа газа равна
Р ЛУ = Л1 = -Су ЛТ,
откуда
дт = - тА.
Учитывая, что А = —окончательно получаем
— = — = А -fl 01
Р RT Су RT Су ’
4. Сразу после замыкания ключа К| заряды на конденсаторах С|
и С2 равны нулю. Следовательно, разности потенциалов на них
UCi = UCi = 0. Поэтому ток через батарею
В стационарном состоянии после замыкания ключа К\ начальная
энергия системы равна
После замыкания ключа К2 и установления нового стационарного со-
стояния иСг = 0. Тогда энергия системы
Начальный заряд на левой пластине конденсатора
В конечном состоянии заряд левой пластины конденсатора Q равен
Q\ — C\S.
Изменение ее заряда
Л С'
Из закона сохранения энергии
% b.q = - Wo + Q,
58
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1999 г.
где Q — количество теплоты, выделившейся на резисторах. Подстав-
ляя Wo, W\ и Aq в последнее уравнение для количества теплоты Q
получаем
К задаче 5
с?
п=
С1 + С2 2 •
5. Построим изображения нити лампоч-
ки, полученные путем многократных отра-
жений от двух поверхностей зеркала. Для
этого пустим луч от лампочки Л под не-
большим углом а к вертикали. Тогда пере-
сечение луча / с прямой ЛЛ, перпендику-
лярной плоскости зеркала, даст изображе-
ние Л^ Преломленный луч проходит в
зеркало под углом 0 к вертикали, так что
sin а а
—F = П ИЛИ д « п.
sin р р
После отражения от зеркальной поверх-
ности и преломления на верхней поверх-
ности зеркала он выходит под углом а к вер-
тикали (луч 2). Продолжение луча 2 до пересечения с ЛЛ дает второе
изображение нити лампочки А2 и т. д. Из геометрии рисунка видно,
что расстояния между изображениями одинаковы. Очевидно, что
OC = atga«aa, СВ = 2Н tg 0 « 2Я0 = 2Н ±
ОС + СВ = (а + х) tg а « (а + x)a = аа + 2Н
Откуда
2Я 1Л
х = — = 10 мм.
п
БИЛЕТ 2
1. 1)E = L^; 2)Т = 2л^.
2. 1) V = 1^(2 + ^); 2)л = :
3. А = 2R ДТ = 5 Дж.
4. 1) I = 0; 2) 7тах = (Со - Я) = 0,22 А.
1999 г.
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
59
(п — 1) _ А
—— I 4 мм.
БИЛЕТ 3
1.1) V = 2) Т-2(я+1)(=.
2. 2)L = ^
Z1 7
3. A = -^RT 12,5 Дж.
Ср r Jr
4. 1)/о = ^/г; 2)(2 = иД-^2/2.
С 2Н 1 Л1
5. п = — = 1,43.
БИЛЕТ 4
1. 1)V=L^; 2)Г = 2л^.
2. 1)и2 = 1рП+ЭТ = Ж 2)л = т^ = 4.
3. = = = 0,008 (0,8%).
4. 1) I = 0; 2) 7max = - Uo) = 0,05 А.
5- л = Ида1’48’
БИЛЕТ 5
1. Рассмотрим произвольную точку В. Силы, действующие на
шарик, показаны на рисунке. Пусть
F — проекция силы веса шарика на
радиус ОВ. Тогда уравнение движе-
ния шарика по окружности имеет
вид
7
H1Y- =т + F.
(Т — сила натяжения нити).
60 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 1999 г
Из рисунка видно, что
F = mg sin а.
Т огда
т V2 т ,
—— = Т + mg sin а.
Из закона сохранения энергии следует, что
mv2 mV2 . ~ .
-у- = ~2—Ь 2mgl sin а.
Чтобы шарик совершил полный оборот, двигаясь по окружности,
необходимо, чтобы в точке В нить не провисала, то есть Т > 0. Тогда
искомая минимальная скорость, сообщенная шарику, определяется из
условия равенства нулю силы натяжения нити Т.
Решая систему уравнений при Т = 0, находим
v — ^5gl sin а.
2. Давление влажного воздуха складывается из парциальных дав-
лений воздуха и пара
Р=Ри + Р„. (1)
Кроме того, очевидно, что плотность влажного воздуха равна
Р = Р» + р„. (2)
Из уравнений Менделеева—Клапейрона следует, что
/>„= — RT и Рк = — RT. <3)
" Ив Нв
Для давления Р имеем
Плотность водяного пара равна
Рп = Р Рв-
Подставляя р„ в уравнение (4), получим
р _ р . /J_____________________________1_
И., И.!
откуда
1<
^НпНв-РИв
Р" Нп - Ив
Иг.Ив
Рп =
M.I — и.
1999 г.
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
61
Из уравнения (3)
____________________________ Ив Рп
Р» Ип Рв
Подставляя полученные значения для плотностей воздуха и пара,
окончательно получаем
1__
рп _ лт р I
Рв р ~ 37
RT р
3. Так как конденсатор мгновенно зарядиться не может, то в мо-
мент замыкания ключа К разность потенциалов на нем равна нулю.
Тогда разность потенциалов на резисторе R равна <f. Ток через рези-
стор равен
/Й2 = ^ = °,5А.
* г<2
Обозначим токи через резисторы Rt и R2 через Ц и 12 соответст-
венно. Эти токи меняются в рассматриваемом переходном процессе
данной цепи.
Согласно закону Ома
$ = i2r2 + и,
Когда Uc = j, ток 12 равен
г 2 V
1г-ъТГ2
Ток через батарею
3/?2 + __ II а
— ~6 А’
4. На проводник с током, помещенный в магнитное поле, действу-
ет сила Ампера
F = IBl sin а,
где а — угол между направлением вектора
индукции магнитного поля В и направлени-
ем тока. На сторону АВ действует сила
F, = 1Ва,
направленная перпендикулярно плоскости
треугольной рамки. На стороны АС и ВС
действуют аналогичные силы, направленные в
К задаче 4
противоположную
62
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1999 г.
сторону
. f2 = f3 = ib^.
Эти силы совместно с силой тяжести рамки создают момент относи-
тельно оси ОО', проходящей через вершину С параллельно прямой
АВ. Запишем условие равенства моментов
F!—=2F2I^-+«4r —
или
,D a2V3 _ а2 ^3" , „„ а>[3
IB -у = 21В — у + mg —.
Тогда для искомого тока I получаем
4 mg
3 аВ'
5. Изображение рассматриваемого глазом предмета через хруста-
лик глаза попадает на сетчатку. Если I — минимальный размер пред-
мета, видимого глазом, a L — расстояние от хрусталика до предмета,
то минимальный угловой размер предметов, которые часовщик может
рассмотреть без линзы, равен
4>min = р
При использовании лупы, рассматривая предмет размером у, поме-
щенный в ее фокальной плоскости, угловой размер предмета равен
, I
= NF>
где F — фокусное расстояние лупы. Приравнивая тр и тр* получим
F = -л- = 8,3 см.
/V
БИЛЕТ 6
1. F = mg VI + 3 sin2 а.
2. Дщ = wii - т2 = « 1.6 кг.
3. 1) Ir2 = = 1.5 А; 2) 7fi == 25 А « 4,0 А.
1999 г.
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
63
. л > уМя = yMg
' 2а В cos а аВ
5. D = = 3,5 дптр.
БИЛЕТ 7
1. V = y/Zgl sin а.
2. рн- »• = Р(ХРИУ ~ 2668 Па « 2,7 кПа.
3. 1) Uc = -^ = 6,7 В; 2)/ = ^- = 0,1А.
4. ! = Mg..
\/2аВ
5. Г = IN = 0,25 мм.
БИЛЕТ 8
1. F = mg V15 sin2 а + 1.
’ »Ч«^^-0.44А; 2)/ = |i = O,8A.
4
^ЗаВ
5- л = ТТш=6м-
64
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1999 г.
БИЛЕТ 1
1. (3; -2).
Решение. Сложив уравнения системы, получим
(х - З)2 4- (у + 2)2 = О,
откуда
х = 3, у = — 2.
Пара чисел х = 3, у = —2, как показывает проверка, образует реше-
ние системы.
2. х = лл, х = 7 + п е Z.
4 3
Решение. Уравнение равносильно каждому из уравнений
sin —Зх| —sin х cos (•7— х sin (£ — 2х
- -I-2 - -J--=i, —U—4—V—4 = i,
sin 1^—5x1 —sin Зх cos I — —х sin (^7—4x1
I 2 I 14 / \4 I
откуда sin 14x — тI + sin | £ — 2x =0 или sin x cos (Зх — I =0.
I 4 j \4 / I 4 j
Корни последнего уравнения удовлетворяют условию
cos — х| sin 1^ —4х| * 0.
\4 / И /
3. —VT5 < X < ' 5 < X < 6.
Решение. Исходное неравенство равносильно следующему
а) Пусть х > 0, тогда х2 — |х| — 12 = (х — 4)(х + 3) и неравенст-
во (1) примет вид 1 < х — 4 < 2, откуда 5 < х < 6.
б) Пусть х < 0, тогда неравенство (1) записывается в виде
1 < ^х + З-^ < 2’
(2)
Если —3 < х < 0, то неравенство (2) равносильно неравенству
х + 3<х2 + х—12< 2(х + 3) или системе неравенств
х2-х- 18 < 0,
х2—15>0, °ТКуДа
Х1 < X < х2,
|х|> /15,
где Х!=——, х2 = —
1999 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
65
Система неравенств
|х| > /15,
—3 < х < О
несовместна.
Если х < —3, то система (2) равносильна системе
4. /7 и /3.
Решение. Пусть О — центр окружности, Л — се радиус; F —
основание перпендикуляра, опу-
щенного из точки О на прямую АВ;
/.ВАС = /.ACD = а (рис).
Тогда
OF = ОС = OD = R, sin а =
2V2
cos а — -у-.
Если АВ = CD = х, ВС = AD = у, S — площадь параллелограмма
ABCD, то
5 = 2-^ х - ЛС sin а = /2,
где
х = 2ОС cos а = 2R cos а, АС = АО + ОС = -А- + R = 4R.
sin а
Следовательно,
/Z = 2R cos а • 4R cos а =
откуда R = х = /7.
Из ДАСО по теореме косинусов
у2 = 9 + 2-2-3-/3~ = 3,
откуда у = V3.
5. х = 20, у = 8.
Решение. Умножая первое неравенство на 3 и складывая с треть-
им, получаем 1у < 61, откуда у < 5 Умножая второе неравенство на
66
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1999 г.
2
—3 и складывая с третьим, получаем — 5у < —32, откуда у > 6 j. Итак,
6 < у < 9. Исходной системе
удовлетворяет только значение у = 8 и
тогда х = 20.
г 7 ПТ
6. arccos —, ау-
Р е ш е н и с. а) Пусть М — середина
AC, Z.DCF = а, <р — угол между пря-
мыми ВС и КЕ (рис.). Тогда
LEKM = <р, cos а =
Си у 5
Из треугольников КЕМ, СЕМ и КЕС
по теореме косинусов получаем
ЕМI 2 = КЕ2 + КМ2 - 2КЕ- КМ cos <р,
ЕМ2 = ЕС2 + МС2 - 2ЕС • МС• cos - 2 |
□ У 4 J Z L
а2 . За2 э a 1 ____ 19а2
КЕ =V + T-Z з'—’ТТ-^б-’
откуда следует, что
7а2 19а2 а2 э ауПУ а _ 7
1Г = -зГ + Т_2-6_’2СО8 COS<₽-27T9’
б) Расстояние р между прямыми ВС и КЕ равно расстоянию от
точки С до плоскости КЕМ, так как прямая ВС параллельна этой
плоскости.
Вычислим двумя способами объем V пирамиды КЕМС-.
V = \pS{=\hS2,
где S] и S2 — площади треугольников КЕМ и КМС соответственно,
h = EL(Lf= КС, EL\\DF), Л = | DF = |
I 1 а/ПГ а 3 ГТ а273
Так как 5, = KE KM sin <р = Т-б-’ 2 "2 Н9 ~ “Тб~’
I aV3 a V3 т ,
т=----— = .г •, то Р = п
2 4 4 16 ’ г
8
_аУб
~ 9 ’
1999 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
67
в) Пусть О — центр сферы, проходящей через точки А, В, Е и F.
Точка О лежит на перпендикуляре к плоскости ABF, проведенном че-
рез центр N окружности, описанной около треугольника ABF (рис.).
Если R — радиус этой окружности, ах — радиус сферы, то
ОВ=ОЕ' = х, R= NF = ^г = 47= NA.
sinT
Пусть ON = у, LONE = LNEL= (3. Тогда из треугольника ON А
по теореме Пифагора имеем
а из треугольника ONE по теореме косинусов находим
х2= у2 + NE1 — 2y-NE-cos 0,
Следовательно,
Из (4) и (5) находим у = х =
БИЛЕТ 2
1. (1; -6).
2. х = ^ + м,х = -^ + м,х = (-1).^ + ^,яе2.
з. 1 — V37 < х <
2 —V'29? 16 ,
3 ’ 3 < Х
6.
4. 2>2Т’-
5. х = 6, у = 16.
, 5 а а ,/451
6. arccos
О V 22 о* 2
68
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1999 г.
БИЛЕТ 3
1. (2; -3).
2. х = лп, х = + лп, х = (—1)" л G Z.
3. < х < 1 - 4 < х < 7.
4-2’~•
5. х = 1,у = 19.
д „ 5 2vT avT9
6-
БИЛЕТ 4
1. х = -5,у = 1.
2. х = + лп, х = -7 + лп, х = (—l)n+1 ~ п G Z.
2 4 12 2
3. L±V508 <x<_><5T «<х<9.
□ <3
4. 2.
5. х = 7, у =21.
6 — а aJ2®9
°* 3’ Тб’ 8* 6
БИЛЕТ 5
1. (1 — V7; V2).
Решение. Потенцируя, получаем систему
(5у — х — 2 = 3|х — у|,
|у-2-4ху = Зу|х|, (6)
являющуюся следствием исходной системы.
а) Пусть х > 0, тогда | х | = х и, с учетом условия х < у из первого
уравнения системы (6) получаем у = 1 — х.
Тогда второе уравнение этой системы преобразуется к виду
7у2 - бу - 2 = 0.
1999 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
69
откуда
3+V2T
У1=—tj—,
У2
_3-V2T „ __ 4-V2T 4+V2T
7 ’ *1 . 7 % х2— 7
При х = х2, у = у2 не выполняется условие х < у, а при х = хь
у = У1 выражение под знаком логарифма в первом слагаемом левой
части второго уравнения исходной системы отрицательно.
б) Пусть х < 0, тогда из системы (6), с учетом условия у > х, по-
лучаем у®!1*» , а из второго уравнения следует, что-у2 = 2,
откуда
Уз = —VI, Уд = VI, Х3= 1 + VI, х4 — 1 — VI.
Пара чисел (х3; у3) не удовлетворяет условию х < у, а пара чисел
(хд; у4) удовлетворяет этому условию и исходной системе.
2. х = — ^ + 2лк, х = у- п + 2лЛ; х = л + 2лЛ, х = | л + 2лЛ,
net. 1 ' • '
Р е ш ени е. aj Пурть со? 2х > 0, тогда уравнение можно последо-
вательно преобразовать так:
2 + Vo sin 2х — cos 2х = 2 — 2 cos х, -v sin 2х — -г cos 2х = — cos х,
2 2 •
cos 12х + — cos х = о; 2 sin fe + sin (? + = О,
\ / • \ ^ ” / \ 2 о /
откуда получаем две серии корней
х = — 1 лп, х = — j 4- 2лп, п е Z.
Корни первой серии при п ® 3fc + 1 не удовлетворяют условию
cos 2х > 0 и удовлетворяют этому условию при п — Зкип = Зк + 2.
Для корней Второй серий условие cos 2х > 0 не выполняется
б) Пусть cos 2х < 0, тогда уравнение можно записать в виде
cos 12х — + cos х = 0 или 2 cos (4г — т') cos (£ — = О,
\ / \ 2 о/ 12 оj
откуда
х = ^ + ^лл, х = ^ + 2лл, п G Z.
Корни первой из этих двух серий удовлетворяют условию
cos 2х < 0 только при п == Зк, а корни второй серии не удовлетворяют
условию cos 2х < 0.
3. 0 х |, х = -у, 4 < х 5.
70 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ] 999 г.
Решение. ОДЗ неравенства определяется условиями
Зх3 — 22х2 + 40 = Зх ^х — у^ (х — 4) > О, х * 4,
откуда
0 х у, х > 4.
Обозначим /(х) = 3 (х — yj (х — 4).
а) Пусть х > 4, тогда /(х) > 0. В этом случае исходное неравенство
равносильно каждому из следующих неравенств
Vx /(х) > /(х), Vx > V/(x), х > /(х),
Зх2 - 23х 4- 40 = 3 (х -(х - 5) < 0,
откуда, учитывая условие х > 4, получаем 4 < х 5.
б) Пусть 0 х у, тогда х — 4 < 0, /(х) > 0 и исходное неравен-
ство равносильно неравенству Vx /(х) /(х). Значение х = у явля-
ется решением этого неравенства, а если 0 х < у, то /(х) > 0 и не-
равенство примет вид
Зх2 - 23х + 40 = 3 (х -(х - 5) > 0,
откуда, с учетом условия 0 < х < у, получаем 0 х
. 12 45V2
’ 7 ’ 28 '
Решение. Пусть LACB = а, тогда
tg а = 2V7, cos а = |, sin а = ^у-, АВ = ВС = = 6 (см. рис.).
в а) По свойству биссектрисы в треугольнике
me _ЕС
МЛ~ ЛС ~ 4’
АСЕ имеем
В
МЕ 3
откуда ту = у-
г/\/ Из подобия треугольников MEQ и ЛЕС следу-
/ /л/Х. \ ет, что
// MQ —МЕ — 3
АС ~ ЛЕ ~ 7’
Л С
К задаче 4 откуда MQ = у.
1999 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
71
б) Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника
BPQ, тогда
R = В&
2 sin а 2у2 *
где
BQ = BE + EQ = 3 + EQ, EQ = ^ EC = ^, BQ = ~, R = ^^.
5. a) 8; 6) 10 — л; в) 6 — л.
Решение, а) Первому неравенству удовлетворяют точки, лежа-
щие в квадрате (рис.) с вершинами А(—1;0), В(0’, 1), С(1; 0),
0(0; —1). Площадь этого квадрата S, = 8.
б) Второму неравенству, которое можно
записать в виде
(х — 2)2 + (у — 2)2 > 4,
удовлетворяют точки, лежащие вне круга
радиуса 2 с центром в точке £(2; 2).
Площадь заштрихованного на рис. сег-
мента равна л — 2, а площадь фигуры,
координаты точек которой удовлетворяют
первым двум неравенствам, равна S2 =
= 8 - (л-2) = 10 - л.
в) Прямые у — Зх — 2 = 0 и
и проходят соответст-
Зу — х + 2 = 0 пересекаются в точке F(—1; 1)
венно через точки В и С.
Третьему неравенству удовлетворяют точки двух вертикальных уг-
лов с вершиной F, один из этих углов — угол, образуемый лучами
FB и FC и содержащий точку О.
Пусть S3 — площадь фигуры, координаты точек которой удовлет-
воряют всем трем неравенствам системы, S4 — сумма площадей тре-
угольников ABF и CDF. Тогда S4 = S| = 4, S3 = S2 — S4 = 6 — л.
6- о 36: 2) "зГ= 3> arccosyp
Решение. При пересечении пирамиды плоскостью а получается
равнобедренная трапеция ENMF (рис.), где £W||ГЛ/||CD.
а) Пусть Р и Q — середины сторон FM и EN, и — площадь сече-
ния. Тогда
о = | (EN + FM)PQ,
где
EN = ^AB = 1 FM = ^CD = ^.
□ J оз
72
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1999 г.
Если О — центр основания ABCD, L —точка пересечения SO и
PQ, ф = LQSL = APSL , К — середина CD, то
SK = V SO2 + ОК2 = vT+T
К задаче 6
= 3, XP = jx/C = f, 5<2 = |SK=1,
. OK 1 2/2
tg Ф SO 271’ cos Ф — 3 .
sin ф = |, cos 2<p = sin 2<p =
Из /SSPQ по теореме косинусов нахо-
дим
pe2=i + ¥-21H=^->
тогда
1(2 5\_П=77
2^3 + зу 6 36’
б) Искомый радиус г сферы равен расстоянию от точки А до
плоскости а, а г = 2х, где х — расстояние от точки X до плоскости а.
Но х — высота SG в треугольнике SPQ, проведенная из вершины X.
Пусть — площадь треугольника SPQ, тогда
О’! = I SQ-SP sin 2<р = х = ^ = г — 2х =
в) Угол (3 между плоскостью а и плоскостью ABCD равен углу
между SG и SL, так как SG± a, SL1ABCD; cos 0 = ^г. Для вычисле-
ния SL воспользуемся формулой для биссектрисы в треугольнике
XPQ.
Получим
2SQ SP cos.p _ 40/2
SQ + SP 21 ’
7
откуда cos 0 = —.
БИЛЕТ 6
1.
2. х = + 2лл, х = т^ + 2лл, х = ^ + 2лл, х = ^|л + 2лл,
О I б О 1 о
л 6 Z.
1999 г.
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
73
3. О х sS 4, х = 5, 6 < х !£ -j-.
. 16 141/5
4< 11’ 55 ’
5. а) 18; б) J (10 -я); в) J (6 -я).
£ 1 х 16>/3” □ а 2\/Ь □ х 1
6. 1) -gj—; 2) —; 3) arccos^.
БИЛЕТ 7
I. (1-Л;^).
2. х = — j + 2ял, х = + 2ям, х = у + 2яп, х = у + 2ям,
п G Z.
3. 0 < х < -у, х = 4, 5 < х < 6.
. 4 40/7"
4- з’ “«"•
5. а) 32; б) 4(10—я); в) 4(6—я).
, , ч 77 41/Т эч 7
6- О 36’2) arccos Тг
БИЛЕТ 8
1. (1 -/!; V^).
2. х=7 + 2ял, х = -^ + 2яп, х = -^ + 2ял, х=^ + 2яп,
4 12 12 4
л G Z.
3. 0 х я, х = 6, у < х 9.
А 10 71/6
4‘ V’ -тГ-
5. а) 50; б) ^(10 -я); в) (6 - я).
, 1Ч 161/3 »ч 8i/6 1
б. 1) -уу-; 2) — iarccos^y.