/
Текст
<?
УЧЕНЫЕ
УКРАИНЫ-
НАРОДНОМУ
ХОЗЯЙСТВУ
А. С. Дехтярь А. О. Рассказов
НЕСУЩАЯ
СПОСОБНОСТЬ
ТОНКОСТЕННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
КИЕВ «БУДИВЭЛЬНЫК» 1990
ББК 38.5 Д.39 УДК 624.046
Серия основана в 1985 году
Рецензенты: доктора техн, наук A. G. Городецкий, В. Н. Гордеев Редакция литерагуры по строительным конструкциям, материалам и изделиям
Зав. редакцией А. А. Петроса Редактор В, А. Шевчук
Дехтярь А. С., Рассказов А. О.
Д39 Несущая способность тонкостенных конструкций.— К. I Будивэльнык, 1990.— 152 с.: ил.
Приведены эффективные методы расчета однослойных и многослойных тонкостенных конструкций, позволяющие на ранних стадиях проектирования оценить реальность принятых конструктивных решений, обеспечить их экономичность за счет полного использования запаса прочности. Даны примеры расчета.
Для проектировщиков,
ISBN 5-7705-0302-5.
Д
3305000000-037 в к ол М203(04)-90
ББК 38.5
ISBN 5-7705-0302-5
©Дехтярь А. С., Рассказов А. О., 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
Область применения тонкостенных конструкций в строительстве достаточно широка и включает в себя покрытия и перекрытия, ядра жесткости и несущие диафрагмы многоэтажных зданий, пролетные строения мостов, шахтные стволы, подпорные стены, транспортные галереи, дымовые трубы, водонапорные башни, а также фундаменты под эти сооружения. Замена традиционных конструкций тонкостенными позволяет существенно снижать затраты в промышленном строительстве и тем самым способствует проведению новой инвестиционной политики в капитальном строительстве.
Важнейшей задачей в области технических наук является расширение исследований, результаты которых позволят обеспечить глубокие качественные изменения в производительных силах, создание принципиально новых видов продукции, техники и технологии. В последние годы в расчетах конструкций наряду с совершенствованием универсальных методов, ориентированных на применение наиболее современных ЭВМ, отчетливо заметна тенденция к развитию альтернативных методов, предназначенных для решения узкого класса задач, однако в пределах того или иного класса имеющих высокую эффективность. К нйм относится метод предельного равновесия, выгодно отличающийся исключительной простотой и доступностью, имеющий решающее значение и в таком важном вопросе, как оптимальное проектирование. Исчерпание несущей способности статически неопределимых систем происходит обычно при нагрузках, превышающих эксплуатационные в 2...3 раза. Сведения, получаемые проектировщиком на основании таких расчетов, часто бывают единственной информацией и критерием оценки оболочек, пластин, складок и других тонкостенных пространственных конструкций при выборе их типа, формы и основных размеров.
В своей классической форме теория предельного равновесия использует статическую и кинематическую теоремы. На их основе удается получить соответственно нижнюю и верхнюю границы предельной нагрузки.
Наряду с классической формой кинематического метода в прикладных задачах получил широкое распространение вариант кинематического метода, основанный на теории сосредоточенных пластических деформаций (теории линий
1
3
текучести). Вместо полей кинематически допустимых перемещений в нем в более удобной для инженера форме даны представления о характере разрушения. Вместе с тем кинематический метод в классической форме обладает необходимой общностью и может более точно учесть индивидуальные свойства того или иного материала.
В настоящем издании для оценки несущей способности оболочек используются оба варианта кинематического метода, однако чаще предпочтение отдано методам теории линий текучести ввиду их простоты и наглядности. Они применены в тех задачах, где формы разрушения отличаются стабильностью при изменении конструктивных параметров. Так решены, например, задачи о несущей способности замкнутых оболочек и призматических систем, многослойных пластин и оболочек.
Вместе с тем при решении оптимизационных задач, когда параметры (форма срединной поверхности, пологость# распределение материала, подкрепления) могут изменяться в достаточно широких пределах и повлечь за собой соответственное изменение формы разрушения, используется классический кинематический метод именно ввиду его достаточной общности.
Для ряда задач решение получено с помощью обоих вариантов кинематического метода теории предельного равновесия. По-видимому, впервые удалось установить хорошее согласие оценок верхней границы несущей способности, получаемых в результате решения этими двумя методами.
В первой главе рассматриваются сравнительные достоинства и недостатки вариантов кинематического метода. Различия в технике вычислений верхней границы предельной нагрузки показаны на примере простейших задач о несущей способности изгибаемых балок. Указаны области, в которых применение одного или другого варианта кинематического метода предпочтительно.
Вторая глава посвящена изгибаемым пластинам постоянной толщины. Приведенные здесь оценки несущей способности относятся к малоизученным задачам об опирании пластин сложной конфигурации на жесткие точечные опоры и на сплошное упругое основание.
В третьей главе представлены решения новых задач о несущей способности гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек при сосредоточенных воздействиях, а также призматических пространственных систем, в четвертой — прямоугольных в плане пологих оболочек покрытий. Здесь приведены решения задач оптимального
4
проектирования таких оболочек. В пятой главе описаны методы расчета несущей способности современных эффективных многослойных оболочек и пластин при изгибе.
При подготовке книги авторы ставили перед собой две задачи. Первая заключалась в том, чтобы предложить читателю готовые оценки несущей способности некоторых распространенных типов тонкостенных пространственных систем, дать представление об их оптимальной форме. Вторая задача состояла в привлечении внимания проектировщиков к теории линий текучести как доступному инженерному методу расчета несущей способности не только традиционных, но и новых тонкостенных конструкций, которые могут появиться в ближайшем будущем.
Авторы стремились показать, что кинематический метод теории предельного равновесия с использованием линий текучести не утрачивает простоту и прозрачность в расчетах даже весьма сложных конструкций, а полученные оценки не нуждаются в каких-либо уточнениях. Такие решения задач о несущей способности для ряда случаев удается получить в замкнутом виде, т. е. в виде окончательных формул, удобных и обозримых. Поэтому авторы надеются, что кинематический метод теории предельного равновесия на основе линий текучести займет надлежащее место в арсенале специалистов как современный метод расчета тонкостенных пространственных конструкций.
Глава 1. КИНЕМАТИЧЕСКИИ МЕТОД ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
1.1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Основу теории предельного равновесия, сформулированной А. А. Гвоздевым, составляют статическая и кинематическая теоремы. Конечная цель методов теории — в определении несущей способности конструкций. Исходными предпосылками теории считают предположения о способности материала к пластическому деформированию и требование малости деформаций (в расчетах учитывается недеформированная схема сооружения).
Напряженное состояние оболочки в любой точке характеризуется шестью внутренними силовыми факторами — нормальными Nx, Ny и сдвигающей N ху силами, изгибающим Мх, Му и крутящим Мху моментами (влиянием поперечных сил Qx и Qy на переход материала в пластическое состояние обычно пренебрегают). Каждый из названных силовых факторов не может быть больше своего предельного значения, например, NX^Nо*. В общем случае материал оболочки способен неодинаково сопротивляться растяжению и сжатию, поэтому
Nox<Nx^N&.
Для перехода материала в пластическое состояние не требуется, чтобы каждое из внутренних усилий Nx, ... ..., Мху достигало своего предельного значения. На вопрос о том, какая именно комбинация внутренних усилий пластифицирует материал отвечает условий пластичности (текучести) вида F (Nх, Nyt Nxy, Mxr Му, Мху) = К связывающее внутренние усилия с характерной константой материала k. В пространстве внутренних усилий это условие может быть представлено некоторой выпуклой гиперповерхностью, окружающей начало координат. Любой точке на гиперповерхности соответствует комбинация внутренних усилий, переводящих материал оболочки в пластическое состояние.
Статическая теорема теории предельного равновесия утверждает, что нижней границей предельной нагрузки является наибольшая из всех нагрузок, которым отвечает статически допустимое распределение внутренних усилий, нигде не нарушающее условие текучести, а по кинематической теореме верхней границей предельной нагрузки есть наименьшая из всех нагрузок, для которых кинематически допустимое распределение перемещений также нигде не нарушает условий пластичности.
6
Применение статической теоремы предполагает одновременное варьирование шести функций Nx (х, у), Ny (х, у), NхУ (х, у), Мх (.х, у), Afy (л:, у) и (*, у), ^между тем как в рамках кинематического метода изменяются лишь три U (х> У)> V (х, у) и W (Ху у). Видимо, в связи с этим кинематический метод получил большее распространение, чем статический.
В ряде задач теории предельного равновесия удается установить двойственную связь между статической и кинематической формулировками. В этом случае обе оценки предельной нагрузки совпадают и теория двойственности позволяет вместо исходной — более трудной — решать двойственную по отношению к ней более простую задачу.
1.2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
И ЕГО МОДИФИКАЦИИ
Применительно к задачам предельного анализа жесткопластических оболочек кинематический метод в его классической форме сводится к построению некоторого функционала, определенного на множестве полей перемещений U (х> У)у V (х9 у), W (.х, у), кинематически допустимых условиями закрепления краев. Верхней границе несущей способности отвечает наименьшая из всех нагрузок, описываемых функционалом, поэтому задача о верхней границе представляет собой вариационную задачу о его минимуме. В результате ее решения отыскиваются значения предельной нагрузки и форма полей перемещений, минимизирующих функционал, вид которого зависит от геометрических и механических свойств оболочки.
В большинстве случаев для решения описанной вариационной задачи применяют численные методы, построенные на волновой или корпускулярной дискретизации. Тогда вариационную задачу о минимуме функционала заменяют отысканием минимума некоторой функции, независимые переменные которой — коэффициенты полиномов или перемещения в узлах сеточной области. В свою очередь, для минимизации функции конечного числа переменных привлекают методы математического программирования.
В классической форме кинематический метод исходит, как правило, из предположения о сплошной пластификации материала оболочки. Наряду с классической формой получил теоретическое развитие и приложение в практических задачах кинематический метод теории предельного равновесия, основанный на представлении о линиях текучести. Эта форма, первоначально предложенная О. Ингерслевом
7
[80], К. В. Иогансеном [81] и А. А. Гвоздевым [11] для пластинок, оболочек и стержневых систем, впоследствии получила обобщение в работах А. Р. Ржаницына [61, 62] и приобрела форму теории сосредоточенных пластических деформаций. Вместо учета сплошного пластического течения она исходит из предположения о том, что пластические деформации растяжения — сжатия, сдвига, изгиба или кручения концентрируются в весьма узких областях конструкций — в точках или линиях, называемых пластическими шарнирами (линиями текучести), остальные области считаются жесткими и недеформируемыми.
Для исчерпания несущей способности конструкции необходимо, чтобы ее части, соединенные между собой пластическими шарнирами (а также и конструктивными шарнирами), представляли собой механизм по меньшей мере с одной степенью свободы. Расположение точечных шарниров и линий текучести, соответствующее превращению конструкции в механизм, называется формой разрушения (схемой излома).
Представление о форме разрушения — аналог понятия о кинематически допустимых полях перемещений, которыми оперирует кинематический метод в классиче^ой постановке. Поэтому отыскание верхней границы несущей способности конструкции состоит в исследовании различных форм ев разрушения и варьировании количественных параметров этих форм.
С точки зрения классического кинематического метода, использующего, как правило, непрерывные поля перемещений, схемам разрушения отвечают разрывные поля — в местах пластических шарниров удлинения и кривизны претерпевают разрывы. Для некоторых задач, например, для изгибаемых пластинок, можно показать, что разрывные поля перемещений, задаваемые формой разрушения, представляют собой предельный случай непрерывных полей классического кинематического метода.
Кинематический метод в форме линий текучести получил широкое распространение, во-первых, потому, что существуют обширные классы реальных конструкций (металлические балки, рамы и арки, железобетонные оболочки и пластины), разрушение которых достаточно точно отвечает гипотезе о сосредоточенных пластических деформациях, во-вторых, понятие «схема разрушения» применительно к большинству конструкций обладает большей наглядностью и конкретностью, чем представление о полях перемещений. Кроме того, количественные соотношения элементов схемы разрушения даже для весьма сложных конструк¬
8
ций удается обычно описать двумя-тремя независимыми параметрами. Тем самым вариационная задача о минимуме функционала сразу сводится к минимизации функции нескольких переменных, при этом вопрос о способе дискретизации не возникает, а процесс минимизации существенно упрощается.
Обладая рядом несомненных достоинств, кинематический метод на основе теории линий текучести не свободен от недостатков (в частности ограниченности и недостаточной общности) по сравнению с классическим кинематическим. Они проявляются в том, что задаваемые широким классом функций поля U (.х, y),V (х, у), W (.х, у) способны описать поведение пластических конструкций в более общем виде, чем форма разрушения и соответствующие ей поля перемещений. Кроме того, важное достоинство классического метода — в использовании различных условий текучести, достаточно дифференцированно описывающих индивидуальные свойства отдельных материалов и конструкций. Кинематический метод в форме линий текучести такой возможностью не обладает, поскольку в его основе лежит всегда одно неизменное условие текучести типа условия Иогансена.
В нашей стране и за рубежом к настоящему времени проведено немало исследований несущей способности жесткопластических оболочек на основе обеих описанных модификаций кинематического метода, однако до сих пор результаты не сопоставлялись, не установлены области использования того или иного метода. В настоящем издании сделана попытка такого анализа. На примерах расчета несущей способности однопролетной балки показана техника применения обеих модификаций кинематического, а также статического методов теории предельного равновесия.
1.3. ПРИМЕРЫ. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
ОДНОПРОЛЕТНОЯ БАЛКИ
1.3.1. Кинематический метод. Теория сосредоточенных пластических деформаций. Рассмотрим задачу о несущей способности однопролетной статически определимой балки (рис. 1.1, а) пролетом 2а, нагруженной сосредоточенной силой Р посередине. Для исчерпания ее несущей способности, т. е. для превращения в механизм с одной степенью свободы, достаточно, чтобы в наиболее напряженном сечении образовался пластический шарнир.
При единичном опускании середины балки угол взаимного поворота обеих половин 20 = 2аг19 а виртуальная
9
работа, совершаемая предельным изгибающим моментом М0 в среднем сечении,
D, = Mo.20 = 2Moc_1. (1.1)
Так как виртуальная работа внешней нагрузки
De = P. 1, (1.2)
то из равенства правых частей формул (1.1) и (1.2) следует, что
Р = 2М0а~1. (1.3)
Рис. 1.1. Механизмы разрушения балок: а однопролетной; б — консольной.
Пусть теперь концы балки заземлены, тогда для исчерпания несущей способности необходимо образование трех пластических шарниров (кроме шарнира в среднем сечении образуются еще два в местах защемления концов).
При единичном виртуальном перемещении среднего сечения концы поворачиваются на одинаковый угол 0 = = аг1. Предполагая, что балка имеет симметричное сечение и одинаковые предельные изгибающие моменты при положительном и отрицательном изгибе, найдем работу Dt внутренних сил:
Dt = М0 • 20 + 2М0 • 0 = 4Af0a-1. (1.4)
Выражение (1.2) для работы внешней нагрузки сохраняет силу и поэтому предельная нагрузка
Р = 4М0а~1. (1.5)
Сравнение выражений (1.3) и (1.5) показывает, что защемление концов вдвое увеличивает несущую способность.
Для консольной балки (рис. 1.1,6) длиной а, нагруженной силой Р на свободном конце, единственный пластический шарнир, необходимый для исчерпания несущей способности, образуется в месте заделки, и угол поворота в нем
0 = аг1. Поэтому предельный изгибающий момент М0 совершает на возможном премещении работу
D{ = М0а~1
10
и, так как работа внешней нагрузки по-прежнему равна Р • 1, несущая способность балки определяется выражением Р = MqCt1.
1.3.2. Кинематический метод в классической форме.
Вновь рассмотрим балку с шарнирным опиранием концов и сосредоточенной нагрузкой в середине пролета. Предполагая, что исчерпание ее несущей способности сопровождается пластификацией всех сечений, выделим двумя плоскостями, бесконечно близко расположенными друг к другу, элемент длиной dx. Взаимный поворот одного сечения относительно другого
d2W(x)
dQ = I
dx,
dx*
где W (x) — уравнение изогнутой оси балки в предельном состоянии. В каждом сечении изгибающий момент достигает своего предельного значения М0, поэтому на участке длиной dx работа внутренних сил равна M0dQ, а полная виртуальная работа внутренних сил
а а
D, = 2§ M0d6 = 2^ M0\-^-\dx. (1.6)
О о
Пусть изогнутая ось балки есть квадратная парабола, описываемая уравнением
W (*) = 1 — х2а~2, (1.7)
тогда
-S---2 а'2. (1.8)
После подстановки выражения (1.8) в (1.6) и интегри¬
рования
D( = тоа~\
Так как работа внешней нагрузки по-прежнему D6 = Р • 1, то предельная нагрузка описывается выражением
Р = 4М0а~\
Эта нагрузка вдвое больше оценки, полученной по формуле
(1.3). Сопоставление показывает, что выбор поля прогибов W (х) в виде формулы (1.7) неудачен.
Теперь вместо разыскания поля прогибов W (х) в классе непрерывных функций перейдем к дискретной модели задачи. Разобьем пролет на п равных участков (рис. 1.2, а) и представим ось балки в виде ломаной линии. В силу симметрии задачи очертание оси описывается независимыми
11
параметрами W9 и W4, так как Wb = W3. Кроме того, шарнирное закрепление концов балки означает, что Wi = = — W3 и W7 = —Wв.
Воспользуемся конечноразностным представлением второй производной d2W/dx2 и учтем, что для принятого разбиения пролета на четыре участка Ах = 0,5а. Выражение для виртуальной работы внутренних сил (1.6) примет вид
D,-0.5M,„{2| 1}
Если — 1, тогда De — PWt = Р; предельная нагрузка может быть представлена выражением
P-iJs. min 2{|-2Г3+ 1| + |Г,-1|}. (1.9)
а w^w4
Отыскание минимума Р состоит в анализе уравнений (
— 21^з +1=0; W3 — 1=0, (1.10)
откуда следует W3 = 0,5 и U73 = 1. Подстановка первого из них в уравнение (1.9) приводит к наименьшему результату
Р = 2М0а~\ (1.11)
точно совпадающему с оценкой, приведенной в формуле
(1.3). При этом решение W9 = 0,5; W4 = 1 указывает на поле прогибов с разрывом кривизны в середине пролета, аналогичное форме разрушения, показанной на рис. 1.1.
Далее проанализируем балку, защемленную двумя концами (рис. 1.2, б). В ней в силу симметрии W3 = W5, кроме того, условия защемления требуют, чтобы Wx = W3 и W7 = Wb. С учетом этого и при W4 = 1 работа внутренних сил
D, =Ш0а-1{|2«78|+|1-2Г8| + |1178_1|}. (1.12)
12
ТаккакDe = P ■ 1, отысканиеверхней границы предельной нагрузки требует минимизации Dt. Получаем уравнения 2Wa = 0; 1—2Wz = 0; W$ — 1 = 0, корни которых соответственно И?8 = 0; = 0,5; = 1. Подстановка
этих корней в зависимость (1.11) показывает, что минимум Dt достигается при W3 = 0,5, и тогда
Р = Ш0а~', (1.13)
что точно совпадает с результатом (см. формулу (1.6)), ранее полученным в рамках теории пластических шарниров. При этом форма разрушения и поле прогибов также совпадают.
Форма разрушения консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой Р на свободном конце (рис. 1.2, в), может быть описана независимыми переменными Ц73, Ц74, W5 и Ц7в, причем условие неподвижного закрепления стержня в узле 2 означает Wi = W3.
Работа внешней нагрузки на возможном перемещении De = PWs = Р, а работу внутренних сил представим выражением
D, = {| 2Г8| +1-т3 + W4\ + I Wt-2Wi + w6\ +
+ \Wi-2Wi+l\),
минимум которого обнаруживается при Ws = 0,25; WA = = 0,5; Wt = 0,75; 'ГС* = 1.
Тогда предельная нагрузка
Р=М0сГ'. (1.14)
Полученный результат совпадает с прежним (см. п. 1.3.1), при этом поле прогибов, представленное W9 = = 0,25; W4 = 0,5; Wb = 0,75; We = 1, совпадает с формой разрушения, принятой там же для консольной балки.
Сопоставление предельных нагрузок, рассчитанных с помощью кинематического метода в классической форме и на основе теории пластических шарниров, убеждает нас в том, что оба варианта решения приводят к одинаковым результатам. В случае, когда форма разрушения может быть сравнительно легко предсказана, теория сосредоточенных пластических деформаций (см. п. 1.3.1) позволяет получить результат более простым и коротким путем. Вместе с тем, кинематический метод в классической форме дает возможность решить задачу и тогда, когда схему разрушения трудно представить заранее.
1.3.3. Статический метод. Для шарнирно опертой балки воспользуемся дискретной моделью задачи и зададим поле внутренних усилий — эпюру изгибающих моментов, очер¬
13
ченную ломаной линией (рис. 1.3, а). Поскольку М6 = М9, распределение моментов представим независимыми переменными Мз и Л14. Кроме того, необходимо выполнить следующие условия:
статического равновесия каждого узла
^2 — Р» ( 1 * 15)
где р — интенсивность нагрузки на участке, содержащем рассматриваемый узел. В пределах участка длиной dx нагрузка р считается постоянной;
г.
i
\
А/,
о/г
““Г
"в
Рис, 1.3. Распределение моментов в балке: a — с шарнирными опорами; б — о защемленными концами.
текучести
граничные
|М|<Л*0
М2 = ме = 0.
Из уравнения равновесия (1.15) получаем для узлов 5 и 4 при Да: = 0,5а
М2 — 2М3 + М4 М3^2М, + М, Р lfi
(0,5а)* и’ (0,5а)2 — 0,5а * 1ЬАО'
Решая уравнения (1.16) относительно неизвестных усилий, находим
М3 = — 0,25 Ра\ М4 = — 0,5 Ра.
Так как | Л141| Л131, естественно предположить, что |Af4| = M<„ тогда Р =2М0а—\ что совпадает с аналогичными верхними оценками предельной нагрузки, полученными ранее в формулах (1.3) и (1.11) кинематическим методом.
Решение М3 = 0,25Ра, М4 = 0,5Ра отвечает треугольной эпюре моментов.
Теперь рассмотрим балку, защемленную двумя концами. Распределение внутренних усилий показано на рис. 1.3, б.
14
Условия симметрии позволяют установить, что Мв = М2; Мъ = /И3.
Предполагая, что сечения балки переходят в пластическое состояние при |Л4а| = |Л14|, из условий равновесия получим
2а-2 (Af, — 2 Ма + М4) = 0; 2сГ2 (М3 — 2М4 +М3) =
= 2Рсг\
откуда следует М3 = 0; М4 = —0,25Ра. Так как | УИ41 = = М0, находим нижнюю оценку предельной нагрузки
Р = т^г\
точно совпадающую е ранее полученными верхними оценками (1.5) и (1.13).
1.4. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ И ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
Задача оптимального проектирования обычно ссотоит из трех частей:
первой из них является критерий (объем затраченного материала, стоимость конструкции, ее прочностные свойства и др.), позволяющий оценивать качество разных проектов конструкций. Наиболее общий показатель качества — стоимость. Иногда задачу не удается сформулировать так, чтобы качество конструкции оценивалось одним показателем. Одновременное использование нескольких показателей приводит к задаче векторной оптимизации, в которой отдельные скалярные критерии оптимальности рассматриваются как компоненты некоторого вектора;
Н: вторая состоит в органичениях. Среди них отметим условия, налагаемые на прочность или другие механические характеристики сооружения, если за критерий качества принимают стоимость или вес. Равным образом ограничения могут быть наложены на расход материала или стоимость, если качество проекта оценивают прочностью;
третью составляют параметры конструкции, управляя которыми можно добиваться минимума веса и стоимости, а также максимума прочности при соблюдении заданных ограничений. Совокупность параметров и границы их изменения образуют пространство проектирования.
Различные постановки задач оптимизации в механике деформируемых твердых тел описаны в работах [72, 73]. В данном случае остановимся лишь на тех из них, в которых ограничения накладываются на прочность: среди всех
. 15
конструкций (оболочек, пластинок), несущая способность которых не ниже заданной Q0, отыскивается конструкция минимальной стоимости или веса.
В зависимости от варианта метода оптимизации в пространстве проектирования рассматриваем большее или меньшее количество точек, однако для каждого из проектов проверка условия Q ^ Q0 требует вычисления верхней или нижней границы предельной нагрузки.
Необходимость многократно решать задачу предельного равновесия для оболочки или пластины обусловливает весьма высокие требования к эффективности расчетов несущей способности. Естественно поэтому стремление использовать наиболее простые методы, например, кинематический метод теории предельного равновесия на основе теории линий текучести. С другой стороны, метод расчета должен допускать варьирование параметров в достаточно широких пределах, поэтому от него требуется большая общность, а последняя неизбежно влечет за собой утрату простоты и быстродействия. Варианты решения описанных далее оптимизационных задач можно рассматривать как попытку разрешить эти противоречия за счет некоторого компромисса.
Глава 2. ПЛАСТИНЫ
2.1. РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ ИЗГИБАЕМОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОМ ОСНОВАНИИ
Определение несущей способности изгибаемых многослойных конструкций из жесткопластических материалов [58] обычно сводится к анализу двух форм разрушения — со сдвигом и без сдвига слоев (рис. 2.1, а и б). Для трехслойных конструкций из композитных материалов экспериментально установлена новая форма [87], при которой изгибное разрушение претерпевает лишь один из несущих слоев, а заполнитель выполняет роль жесткопластического основания (рис. 2.1, в). Кроме перечисленных есть еще одна альтернатива, состоящая в разрушении заполнителя от поперечного сжатия (рис. 2.1, г). Особенностью предельного состояния конструкций на жесткопластическом основании [4, 78] являются формы разрушения, заметно отличающиеся от форм разрушения конструкций, опирающихся только на жесткие опоры.
16
Пусть балка пролетом 2а имеет прямоугольное поперечное сечение Ъ X Л, шарнирно оперта по краям на жесткие опоры, по всему пролету — на сплошное жесткопластическое основание и нагружена сосредоточенной силой Р в середине пролета. Жесткопластический материал балки
Рис. 2.1, Форма разрушения трехслойной балки:
а — с образованием полного пластического шарнира; б — со сдвигом;. в — с разрушением верхнего слоя и заполнителя; в — с разрушением заполнителя от поперечного сжатия.
имеет предел текучести сг0, одинаковый при растяжении к сжатии, а прочность основания характеризуется пределом текучести ца0.
Рассмотрим симметричную форму разрушение (рис. 2.2, а) и применим кинематический метод теории, предельного равновесия. Рассеивание внутренней энергии может быть представлено выражением
Dt = a0hb( 1 +
Рис. 2.2. Границы областей разрушения пластины:
а — на плоскости е, р; / — при рх — 0,01 б; 2 — при р ™ 0,01: б — на плоокости |1, р: граница прежних оценок C4J — 7 — при е а 0.01; 2 — при е = 0,05; граница иэгибной формы разрушения « $ ■» прж в ™ 0,1; 4 — при е =» 0,05.
IT
где X = аЬГ1 — относительная длина разрушающегося участка. Так как виртуальная работа внешней нагрузки Ъш ■= Р. 1, то из условия Dt — De = 0 находим значение предельной нагрузки. Обозначим р = Р ((JofcA)”1, тогда
Р = П +Ж (2.1)
Минимизация р по £ приводит к | 2. Подстав¬
ляя его в формулу (2.1), окончательно находим р = 2YМ-
Размер | разрушающегося участка балки представлен для X = 10 при различных параметрах |а жесткопластического основания:
|1 0,01 0,05 0,08 0,10 0,15 0,20 0,30
I 1 0,496 0,354 0,316 0,260 0,223 0,141
Заметим, что лишь при ц, ^ 0,01 разрушению подвергается вся балка (£ = 1). С увеличением (г область разрушения локализуется (для сравнения — у балки, не имеющей сплошного основания, всегда £ = 1).
2.2. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПЛАСТИНЫ
Для круглых пластин радиуса R при действии равномерной нагрузки интенсивности q на центральном участке с радиусом р/? получено выражение для верхней границы интенсивности нагрузки [4]. Введем обозначения k = ^ао"1; « = hR~l и получим:
k = Ф (g) р~2; Ф (I) = (3£е2 + I» (35 - 2р)-\ (2.2)
где 5 — относительный радиус кольцевой линии текучести, причем в общем случае 5^1.
Исследования [41 ориентировались на приложения в области грунтовых оснований и фундаментных плит, поэтому предполагалось \х = 0,001...0,003; было справедливо принято, что min Ф (I) достигается при £ = р, т. е. при совпадении контура нагруженной части и кольцевой линии текучести
Между тем анализ выражения (2.2) показывает, что при достаточно больших \х минимум Ф (£) обнаруживается ори р ^ I <С 1, и в ряде случаев это приводит к ощутимому снижению оценок предельной нагрузки (см. формулу (2.2)). Поскольку относительная прочность заполнителя в трехслойных конструкциях может на порядок и более превосходить относительную прочность грунтового основания, результаты, приведенные в [4], сопоставим с уточненными
18
вычислениями при \i = 0,005, относительной толщине пластины е = 0,015 и различных значениях р радиуса нагруженного участка (табл. 2.1). При малых р расхождение прежней и уточненной оценок достигает 66 %.
На рис. 2.2, а область параметров е, р разграничена таким образом, что оценки, приведенные в [4], справедливы для точек, лежащих справа и ниже кривых 1 и 2, а на
Таблица 2.1. Несущая способность к и форма разрушения § осесимметричных пластин
ft-
10*
к-
10*
при | = р [4]
Уточ¬
ненное
реше¬
ние
1
Р
при
&=*Р
[4]
Уточ¬
ненное
реше¬
ние
0,1
7,25
4,37
0,2
0,6
0,69
0,67
0,6
0,2
2,18
1,68
0,3
0,7
0,64
0,63
0,8
0,3
1,25
1,09
0,4
0,8
0,61
0,60
0,9
0,4
0,92
0,86
0,5
0,9
0,58
0,58
0,9
0,5
0,77
0,74
0,6
рис. 2.2, б область параметров разделена так, что прежним оценкам отвечают точки, лежащие слева и ниже кривых / и 2. Кроме того, кривые 3 и 4 разграничивают область по схемам разрушения, приведенным на рис. 2.1, в и г. Точки, лежащие слева и выше кривых 39 4, соответствуют «изгибному» разрушению по схеме рис. 2.1, в.
Анализ выражения (2.2) показывает, что разрушение по схеме рис. 2.1, г характерно только для сравнительно толстых пластин.
2.3. ТОЧЕЧНОЕ ОПИРАНИЕ ПЛАСТИН
2.3.1. Несущая способность. Представим междуэтажное перекрытие в жилом, гражданском или производственном здании, возводимом методом подъема, как пластинку постоянной толщины и сложного очертания, покоящуюся на точечных опорах. Рекомендации [60] предписывают рассчитывать прочность перекрытий методами теории предельного равновесия.
Вначале рассмотрим пластину прямоугольной формы из идеального жесткопластического материала с неодинаковыми пределами текучести. Предел текучести R при сжатии определяется механическими свойствами бетона, при растяжении обусловлен количеством и расположением стальной арматуры. Поэтому в общем случае, несмотря на
19
постоянство /?, пластина оказывается неоднородной и анизотропной.
Поперечная нагрузка может быть распределена произвольно. В зданиях, возводимых методом подъема [51 ]f интенсивность нагрузки на консольных участках плит перекрытий может существенно превышать интенсивность нагрузки в пролетах.
Размеры основного поля пластины — в осях крайних колонн (рис. 2.3, а) —обозначим А и 5, причем А = Вф, *>1. Введем сеточную дискретизацию задачи. Пусть в пределах основного поля сетка содержит N ячеек в каждом направлении. Распространим сетку на консольные участки я за пределы пластины. Принимая вылеты консольных участков одинаковыми по всему периметру и равными кВ, получим, что размеры пластины составляют В (г|? + 2А,) я В (1 + 21).
Геометрические и механические характеристики пластины представим величинами, отнесенными к узлу ij сеточной области. Поперечную нагрузку опишем множеством узловых значений г]//; r\ij = qiiqo1, где q0 — интенсивность в центре пластины.
Коэффициенты верхнего и нижнего армирования в двух направлениях обозначим \х\х, у>\у, \Ьх, Ия у, тогда предельные изгибающие моменты на единице длины:
mtx = Oofi^tb mty = <ТоЛ2оСб^; m07 = ajia 7ll\
tflQy = Oo/i^OCsif\ Moxy = OqH^CCq iff
где a0 — предел текучести стальной арматуры; h — толщина пластины;
V\x ~ L л Piуе\
= 6х 2Sr), ««/ = —Iе —б1 2^) и
т. д.;
« = ЛВ”1 — относительная толщина; 6Х = аВ~~1; 62 = а'В~1$ а, а9 — нижний и верхний защитные слои; a8 =
Для пластины прямоугольного очертания при равномерной нагрузке и регулярной сетке колонн известны [601 три формы разрушения. Ниже эти формы уточнены и дополнены тремя другими.
Считая, что положение колоны совпадает с одним из узлов сетки, введем обозначения: Lx — количество ячеек сетки между осями смежных колонн вдоль оси оу, L2 — вдоль оси ох. Тогда полное количество колонн
Nx = (NL71 + 1) (NLr1 + 1). (2.3)
20
3
■
■
а
ч ✓
1
1—
1
1 —1
1 1
1— 1
1 и
I
N f
+■*
в
- - 1
■ 4
1 1
1 ✓ ч
—1
1 ■ 1
■ 1
1 1
1
■
1—
/
■
■' ’
, J
R
1
2
■ 1
—1
1 1
1 11
В
1
V
1
1
)
■
>4
J
\
/
1
1
1
1
|
1 1
1—
—1
1 1
1 HI
1 1
/\
а
Л
■
1
1 1
1 1
1—
6
'г
1
1 и
1 к
A=bV ч
б
Рис. 2.3. Разрушение пластины при точечном опирании: а — схема опирания и разрушения; 6 =- фрагмент изогнутой поверхноотя I J...6 — формы разрушения.
Для разрушения основного поля (см. рис. 2.3, формы 1, 2 и 3) имеем
где W = г|> + 2*,% (1 + г|з + 2Ц\ р, = qto ; i = 1,2, 3; аю с/ = 0,5 (a5il + a6ij); am, = 0,5 (a7{) + a stf); qt — npeдельная/ интенсивность равномерной нагрузки при 1-й форме разрушения (i = 1, 2, 3), — относительная интен¬
сивность равномерной нагрузки на консольных участках.
Формы разрушения 4...6 связаны с прочностью консольных участков:
Если пластина имеет более сложное очертание, чем прямоугольник, а также при нерегулярном размещении колонн и при неравномерном нагружении выражения (2.4),
(2.5) должны быть дополнены или заменены анализом полного разрушения. В этом случае также применим кинематический метод теории предельного равновесия и воспользуемся функционалом, описывающим предельную интенсивность нагрузки. Вариационная задача о минимуме функционала за счет сеточной дискретизации сводится к отысканию минимума некоторой функции [23]. Ее независимые переменные — узловые скорости прогибов Wq. Для формирования кинематически допустимых полей Wij пластин сложного очертания в [23] использован метод логических /?-функций [59].
При точечном опирании пластины Wq = 0 только в тех узлах поля, где размещены колонны. Если координаты колонн есть X, К, логику построения кинематически допустимого поля можно представить выражениями
W (X, у) = Г (X, у) ю (х, у)\ со (х, у) = сох V «2,
где ©х = 0 — уравнение прямоугольного контура, совпадающего с внешними краями сеточной области; соа = со3о)4; щ = (Х — х) (х — Х)\ со4 = (Y — у) (у — Г); г (х, у) в частном случае может быть константой, знак V означает Rдизъюнкцию [59].
24еа («10 + «„) N1 , _ 2яе2 (а10 + au) N1 .
шах 12) ’ ~ Т
(2.4)
6е (а10 + an) # ^ 2е2 min (а7, а8) # ^ Зе2аи
’ Рй ~ ’ р* •
(2.5)
22
Численные эксперименты показали, что тфи Nx ^ 6 варьирование значений Wij в узлах сетки между точками опирания практически не изменяет предельной нагрузки [21]. Поэтому подстановка любого кинематически допустимого поля Wtf в минимизируемую функцию сразу приводит к приемлемой оценке р0 безразмерной интенсивности нагрузки.
Таблица 2.2. К примерам 2.1 и 2.2
£ *
II
о
Регуляр¬
В
s s.
!£«
Регуляр¬
В
8§.
ная сетка
а .
ная сетка
а .
колонн
к *
О яП
1
колонн
я О ~
у «со
О № см
X и w
1
Ф Ем
Для примера 2.1 Для примера 2.2
9X9 5 2,73 7X9 3 1,25
6X5 2 1,02 4 X7 2 0,736
9X4 3 1,25
Окончательно предельная нагрузка
р = min (р0, рх рв),
причем р0 отвечает полному разрушению, а рг,...9 рв — локальным формам 1...6.
□ Пример 2.1. Пусть вначале квадратная пластина ур = 1
с относительной трлщиной е = 0,0045 имеет всюду одинаковую интенсивность поперечной нагрузки = 1. Соотношение между пределами текучести а3 = 0,1 коэффициенты армирования |Xu = \к\у = |л2* = \i2y = 0,005. При изменении толщины 0,0045 ^ 0,0055, относительном вылете кон¬
солей К = 0,08 и различном размещении колонн реализуются формы разрушения 2, 3 и 5 (табл. 2.2).
□ Пример 2.2. Рассмотрим прямоугольную в плане пластину г|> = 2 е более короткими консолями к = 0,05 и с, увеличенной вдвое интенсивностью нагрузки на консолях % = 2 (см. табл. 2.2).
Анализ большого количества вычислений показывает, что /?о,..Pq различаются незначительно.
В рассмотренных примерах не реализовались формы разрушения 4 и 6. □
2.3.2. Оптимальное размещение опор. Сформулируем задачу об оптимальном точечном опирании пластинки.
В качестве целевой функции z выберем приведенную стоимость конструкций одного этажа здания, возводимого
23
методом подъема. В z включим стоимость бетона, арматуры плиты и колонн, стальных «воротников», окаймляющих отверстия в плите, стоимости подъема плиты и монтажа колонн, а также учтем стоимости подъемников (по числу колонн) и распределительных шкафов (один шкаф на каждые 36 подъемников), причем последние слагаемые введены в целевую функцию с коэффициентом £7712, где Е — нормативный коэффициент эффективности (Е = 0,15), Т — продолжительность возведения здания в месяцах.
Площадь сечения колонн определяется статическим расчетом, нагрузка на колонны зависит от веса плит, полезной нагрузки на них, от количества и размещения колонн.
В примере 2.2 независимыми переменными были толщина плиты прямоугольного очертания, количество и места расположения колонн. Поэтому возникла необходимость в автоматической процедуре формирования полей скоростей прогибов пластин, опирающихся на любое количество точечных опор. В случае регулярно расположенных колонн:
Х = Х0+ iL2yt; Y = У0 + jLxty (2.6)
где Xf, Y0 — координаты первой колонны (см. рис. 2.3, а); t — шаг сетки. Для всех X, Y операции (2.6) циклически повторяются до тех пор, пока не будет исчерпан список всех размещаемых колонн. Фрагмент поля W для N± = 9 показан на рис. 2.3, б.
Для регулярно расположенных колонн и плиты прямоугольного очертания полное количество Nt колонн определяется выражением (2.3). Для области сложной конфигурации и при нерегулярном размещении колонн эта формула заменяется алгоритмом вычисления Nu основанном на свойствах кинематически допустимых полей
Пусть плита перекрытия имеет очертание, показанное на рис. 2.4, б или 2.4, в. Тогда контур сох уже не многоугольник, но фигура, геометрически подобная фигуре плиты и несколько превосходящая ее размерами. Внутри контура щ всюду со > 0 либо со = 0. Теперь подсчет количества колонн сводится к поиску только таких точек области, чтобы в них со = 0 и, кроме того, в четырех окрестных точках со > 0.
Помимо областных ограничений на толщину и размещение опор были введены функциональные. Первое из них заключалось в требовании, чтобы несущая способность пластины р была не менее заданного значения р^. Особенность задачи состояла в том, что в ходе оптимизации изменяется толщина пластины, а следовательно, и ее собствен¬
24
ный вес. Если распределенную нагрузку представим суммой р = рп + Ръ постоянной рп и временной ръ нагрузок, то при выполнении условия р^ р* фиксированным фактически является лишь второе слагаемое рл. Суть второго ограничения: при условии одновременного подъема не более трех плит усилие S, приходящееся на каждый подъемник, не должно превосходить его максимальной грузоподъемности G.
Окончательная формулировка оптимизационной задачи: найти толщину пластины е и параметры размещения колонн
Рис. 2.4. Схемы оптимального размещения колонн:
а — в квадратной пластине при А, = 0,08 и » 5 . 10 б, в — в пластинах сложного очертания при А, = 0,05 и =* 5 • 10—
Lx и L2, минимизирующие приведенную стоимость г при ограничениях S^G и областных ограничениях
переменных е, Lx и L2.
Приводим примеры оптимальных проектов размещения колонн в зданиях, возводимых, методом подъема, которые получены при следующих исходных данных: генеральный размер пластины В = 30 м, высота этажа Н = 3,5 м, предел текучести стальной арматуры о = 300 МПа, предел текучести бетона при сжатии /? = 30 МПа, коэффициенты армирования верхней и нижней зоны плиты в двух направлениях одинаковы [iix = |xiу = |х2* = (шзд = 0,005, защитные слои приняты 6Х = 62 = 0,0005, коэффициент продольного армирования колони (л = 0,03.
Поперечная нагрузка равномерно распределена в пределах основного поля, а нагрузка на консолях r\i может отличаться от нагрузки в пролетах.
Количество ячеек основного поля N = 24, полная сетка имеет 36 X 36 ячеек.
25
При вычислении целевой функции приняли стоимость, руб.: 1 т армирования плиты — 338, изготовления I м3 плиты — 47, изготовления 1 м3 колонн — 68,7, подъема
1 м8 плиты — 7, монтажа одной колонны — 15,73, подъемника (балансовая) — 5133, распределительного шкафа — 810 (комплект).
Независимые переменные изменялись в интервалах 0,0045 ^ е ^ 0,0055; 3 ^ (Lx, L2) ^ 8, причем нижняя граница г = 0,0045 соответствовала толщине h = 13,5 см (назначена по условиям звукопроводности перекрытия). Грузоподъемность домкрата G = 600 кН.
В первой серии примеров рассмотрены прямоугольные и квадратные пластины. Они отличались друг от друга очертанием в плане -ф = 2 и i|>= 1, заданной полезной нагрузкой рв = 5 • 10~"6 и рв = 8 • 10_6, что соответствует интенсивности q = 0,0015 и 0,0024 МПа, вылетом консольных участков по всему периметру к = 0,05 и X = 0,08, а также нагрузкой на консолях т)х = 1 и г\2 = 2.
Для квадратной пластины -ф = 1 с консолями X = 0,08 при равномерной нагрузке т)! = 1 с заданной интенсивностью ръ = 5 • 10-5 методом сканирования получен оптимальный проект (см. рис. 2.4, а) с параметрами:
8 = 0,005; Lx = 6; L2 = 6, (2.7)
им отвечают: толщина h = 0,15 м, шаг колонн в каждом направлении — 7,5 м и целевая функция 2 = 49 901 р.
Повышение заданной нагрузки до рв = 8 • 10~6, т. е. на 60 %, повлекло за собой только увеличение толщины плиты, теперь г = 0,0055, или h = 0,165 м, при этом стоимость проекта увеличилась на 4 % и составила 52 550 р. В обоих проектах фактическая несущая способность превышала заданную на 0,7... 1,5 %.
Если сохранить прежней заданную несущую способность рв = 5 • 10Г6, но нагрузку распределить неравномерно, увеличив вдвое ее интенсивность на консолях ?|3 — =* 2, оптимальным становится проект е = 0,0055; Ц =* = L2 = 4; г — 59 900, т. е. шаг колонн в обоих направлениях составляет 5 м при толщине плиты 0,165м. Отметим, что стоимость этого проекта увеличилась на 20 % по сравнению со стоимостью проекта (2.7). Эта свидетельствует
о роли консольных участков плиты. Если при таких же условиях (-ф = 1, rix = 2, рв = 5 • 10_6) уменьшим вылет консолей до X = 0,05, получим оптимальный проект е = = 0,0055; Lx = L2 = 6; 2 =51 274, что на 17 % меньше стоимости предыдущего.
26
Для прямоугольной в плане пластины (г|) = 2) с консолями X = 0,08 при равномерной нагрузке % = 1 и ее фиксированном значении рв = 5 • 10~6: е = 0,0055; Lx =4; L2 = 3; г = 97 825. При этом шаг колонн вдоль длинной стороны составил 7,5, вдоль короткой — 5 м. Такой же проект получен при уменьшении вылета консоли до к = = 0,05; его стоимость снизилась до г = 96 660 р. за счет уменьшения размеров плиты.
Другую группу примеров образуют пластины сложного очертания. Для них получены оптимальные проекты с толщиной плиты — е = 0,005 и Lx = L2 = 4, размещение колонн показано на рис. 2.4, б и 2.4, в.
Описанные и другие вычисления выполнены с помощью пакета L1SLAB на языке ФОРТРАН. Выяснилось, что оптимальный проект существенно зависит от изменения исходных данных. Все проекты не имели избыточных запасов прочности — фактическая несущая способность нигде не превышала заданную более, чем на 9 %. Активными оказались только ограничения по прочности плиты.
Глава. 3. ЗАМКНУТЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
3.1. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
3.1.1. Действие сосредоточенной нагрузки. Большинство задач о предельном равновесии замкнутых цилиндрических оболочек из идеального жесткопластического материала решено для случаев осесимметричного нагружения, а расчеты для неосесимметричных нагрузок практически отсутствуют. В настоящем параграфе представлены некоторые новые результаты, полученные на основе метода линий текучести. Внешние воздействия в виде сосредоточенных сил или моментов приложены к боковой поверхности цилиндрической оболочки.
Длинная цилиндрическая оболочка имеет радиус R срединной поверхности и постоянную толщину h. В одном из кольцевых сечений, достаточно удаленных от торцов, приложена поперечная нагрузка интенсивности р, равномерно распределенная по длине круговой дуги с центральным углом 2ф. Такая задача возникает при расчете прочности емкостей на «седловых» опорах [82], а также свай-оболочек в мостовых опорах при действии льда. В частном случае при ф = 0 получаем задачу о поперечной силе, сконцентрированной в точке.
27
В решении задачи для сосредоточенной силы [13] принятая форма разрушения предполагает пластификацию всего кольцевого сечения в месте нагружения и не учитывает развития локальных форм потери несущей способности.
Форма и размеры отдельных жестких дисков в схеме разрушения, представленной на рис. 3.1, определяются
Рис. 3.1. Схема разрушения цилиндрической оболочки при сосредоточенном нагружении:
а — общий вид; б •— кинематика звеньев механизма.
параметрами %, i|)2 и i. В частном случае при г|>2 = зх/2 получаем форму разрушения, принятую в [13].
На рис. 3.1, б показан механизм, образованный жесткими дисками в нагруженном сечении. Постоянство длин его звеньев I и II позволяет установить связь между вертикальным возможным опусканием А = 1 центрального узла и компонентами и, w перемещения среднего узла
ш = Ф0Д; и = Ф4Д, (3.1)
где Ф0 = tg ах (tg а2 — tg о^)-1; Ф4 = Ф0 tg а2. Можно установить, что
\acf - 1 - sin ^1 . \а„ — sin % - sin г|)а
® 1 cos ® 2 cos ф2 — cos г|?х
Из анализа кинематики пространственного механизма, в который превращается оболочка в состоянии предельного равновесия, определим виртуальные углы <р^ взаимного поворота его звеньев 1...6.
ш !£о . w _ 2 (1 + фо) . /о о\
^зв R (cos г|)2 — cos -if»!) * R cos ^ ’ Vе*
__ Ф4 . _ 2 _ 2Ф0
(р*в— RX ’ ф14— RX ’ Фзв— RX ’
где 2RK — длина участка оболочки, подвергающегося разрушению (рис. 3.1, а); индексы обозначают номе¬
28
ра жестких дисков; принято, что диски, не видимые на рис. 3.1, а, имеют симметричную нумерацию, причем плоскостью симметрии является вертикальная диаметральная плоскость.
Располагая выражениями (3.2), перейдем к подсчету виртуальной работы внутренних сил Dt в линиях текучести i—/. Последние по характеру преобладающих деформаций разделим на группы: в линиях 1—1 и 3—3 работу совершают предельные изгибающие моменты, в остальных линиях текучести 1—5, 5—0, /—4, 1—2, 2—5, 4—J, 5—6 и 3—6 работу на возможных перемещениях производят преимущественно мембранные усилия текучести. В соответствии с этим разделением получаем две схемы вычисления компонентов Dij работы Dt внутренних сил.
В «мембранных» линиях текучести
где (О// — площадь эпюры пластических деформаций, сосредоточенных вдоль //-й линии текучести [63]; в «изгибных»
где т0 = 0,25a0h2 — предельный изгибающий момент на единице длины; 1ц —длина //-й линии текучести; щ — виртуальный угол взаимного поворота дисков i и /, разделенных линией ij.
В соответствии с выражением (3.4)
Переходя к «мембранным» линиям, вычислим площади щ отдельных участков эпюры сосредоточенных пластических деформаций. Для линии 2—0 вдоль круговой дуги длиной R (0,5я —г|>2):
Dif = (OijO0ht
(3 .S>
Dif — m0hjq>iJt
(3.4)
v 2 cos “Фг — cos
Здесь e = ft/?”1 —относительная толщина оболочки.
(З.б)
d = R (sin г|)„ 1 +cost|>s-l)cos(-^--2*-)*
= 0,25 л + 0,5ij)a.
29
Для линий /—4 и 3—6 получим аналогично:
®i4 = t (0,5jx — фх>; Oge = t (*фх —
t = (1 — si" 'ti);
для линий /—2 и 2—3
= Ф, # 1 .
^>1а R (1 — sin фх) cos arctg [(1 — sin \рх) Я.-1) *
Ф» 1 Фаз R (sin r|>, — sin fa) * cos arctg [(sin ^ — sin тра) A,-1 ] и тогда:
R2
= ~2
-Г — % — sin (ir-'ti)] x X (cos arctg * ~ ^ ■) ;
®2S = 4“ hh — — sin (1|>1 — t|>a)) X
/ , sin % — sin i|)2
X (cos arctg —
am y2 ^ 1
*
Теперь вычислим полное значение Dt виртуальной работы внутренних сил, учитывая результаты (3.5), правило вычислений (3.3), а также симметрию в схеме разрушения
Di = 2 Dn + 4Z)30 + 8 D20 + 2Di4 -f- 2Dae + 4D12 + 4 D23 =
= oR2A3. (3.6S
Виртуальная работа De внешней нагрузки, равномерно распределенной по длине 2дуги, равна произведению ее интенсивности р на площадь Q участка эпюры вертикальных возможных перемещений в нагруженном сечении
0 = #sin9(£=^p-2 + 0,5); I = cos ^ (1 + Ф0)-\ поэтому
De = pQ = pRB3.
Условие равновесия состоит в равенстве нулю суммы виртуальных работ Dt—De = 0, поэтому интенсивность р = o0RA3Bzl и полная нагрузка
Р = o0R2 • 2Л^ДГ1 sin ср. (3.7)
В соответствии g кинематическим принципом теории предельного равновесия верхней границей Р(+) является ее наименьшее значение и потому
30
Р<+) = a0R2 • 2 sin ф min A3Bj\ (3.8)
гГЧ.'Фг.^
т.е. отыскание предельных значений Р* состоит в минимизации А3 ВТ1 по независимым переменным \|?lf г|>2 и Я. В дальнейшем предельную нагрузку Р(+) будем оценивать ее безразмерной величиной /С*+) = Р(+)/(о0/?2).
Минимизация проводилась численно на ЭВМ, причем 0,005 ^ е ^ 0,14, 0,01 ^ ф^ 1,0. Анализ результата»
Таблица SJ. Несущая способность и форма разрушения цилиндрической оболочки
ф
8
0
0,4
0.8
0,02
1,55
20,3
47,61
0,06
1,45; 1,40; 0,05 7,09
1,0; 0,4; 2,25 87,97
0,50; 0,05; 3,Ю 193,32
0,12
1,45; 1,35; 0,05 20,36
1,0; 0,35; 1,45 229,2
0,5; 0,05; 2,85 492,18
1,45; 1,30; 0,05
1,0; 0,35; 1,05
0,5; 0,05; 2,06
Примечание. Над чертой показаны значения К-10®, под чертой — значения переменных и К доставляющие минимум К.
вычислений (табл. 3.1) позволил установить ряд закономерностей разрушения цилиндрических оболочек. Установлено, в частности, что при <р > 0 длина разрушающегося участка К убывает с увеличением толщины оболочки.
При действии сосредоточенной силы <р = 0 получено . Ю3 = 17,12, что в 11 раз превышает наш результат (/^+) . Ю3 = 1,55). Если же в формуле (3.8), следуя ревультату, приведенному в [13], зафиксировать г|?2 = —я/2, то получим /С(+) • Ю3 = 17,27, т.е. полное совпадение е результатом из [13].
Увеличивая длину нагруженной дуги, можно ожидать, что, начиная с некоторых достаточно больших значений ф, вместо рассмотренной формы разрушения реаливуется осесимметричная. В работе [48] рассмотрена такая схема разрушения при действии кольцевой нагрузки, направленной вдоль радиуса.
Работа внутренних усилий текучести в кольцевых и продольных пластических шарнирах на возможных перемещениях
Dt = 2лсг0/?2е (еЯ-1 + А,).
S1
Так как внешняя нагрузка приложена лишь в одном кольцевом сечении и ее виртуальная работа не зависит от длины разрушающегося участка X, то предельной нагрузке соответствует min Решая уравнение dDJdX = 0, находим X = VI. Теперь
D( = 4л o0R2*V~e. (3.9)
Работу внешней нагрузки интенсивностью р на возможных перемещениях представим выражением
ф
De = 2R ^ р cos ada = 2pR sin ф. (3.10)
Приравнивая правые части формул (3.9) и (3.10) и переходя к полной нагрузке К =■ = P(o0R*)~lt найдем окончательно ее безразмерное значение:
К{+) = 4яе V еф cosec ф. (3.11)
Сопоставление значений вычисленных по формулам (3.8) и (3.11) для оболочки с относительной толщиной е = 0,02, представлено линиями соответственно штрихпунктирной и штриховой на рис. 3.2. Из двух значений К{^} необходимо выбрать наименьшее (сплошная линия на рис. 3.2). Заметим, что при ф« 0,7 (ф « 40°) локальная форма разрушения (см. рис. 3.1) переходит в осесимметричную. Такие вычисления возможны для оболочек с любой толщиной, и тем самым может быть установлена область, внутри которой справедлив результат (3.8).
3.1.2. Действие сосредоточенной пары сил. В экспериментах [84] авторам удалось установить форму разрушения (рис. 3.3, а) оболочек, нагруженных парой сил в окружном направлении. Оболочки испытывали до разрушения. Деформационная кривая, связывающая силовой фактор о характерным перемещением (рис. 3.4), не позволяет единственным образом найти предельный момент, поэтому для каждого образца определяли три его значения. Точке Aflt отвечало появление текучести, отмеченное измерительными приборами. Точка М2 была найдена по обычной методике как точка пересечения касательных, проведенных к обеим
ж-w3,
50
30
ю
о
Рис, 3.2. Зависимость несуще^ способности оболочки от урла охвата нагрузки:
/# 2 —» ло формулам соответственна (3.8) и (3.11).
0
/
£
/
:1_
7*
У
Г
01 04 0J5 0,8 10 <Р
82
ветвям графика. Точке М3 соответствует полная потеря отпорности и большие прогибы срединной поверхности. Ниже эта экспериментальная форма использована при построении методики расчета верхней границы несущей
Рис. ЗД Схема разрушения:
а — общий вид; б — план угловых перемещений.
способности таких оболочек кинематическим методом теории предельного равновесия.
Координаты узловых точек схемы разрушения обозначим Rllt Rl2 и Rl3 (рис. 3.3, а), где R — радиус срединной поверхности. Пусть 4^7? есть размер квадратного поперечного сечения жесткого бруса. Механизм, соответствующий принятой схеме, обладает одной степенью свободы, поэтому при единичном опускании ребра, разделяющего диски 1 и 4, углы взаимного поворота жестких дисков механизма
ф« = (Rh) Фм = (2цЯ) Фи = W1 + (2цЯГ‘.
-1
Рис, 3.4, Определение предельной нагрузки в экспериментальной оболочке,
Для определения виртуальных углов взаимного поворота остальных пар жестких дисков построим план угловых перемещений (рис. 3.3, б), на котором
аг*
-- arctg -|l. ; otj =
■ arctg -g-
ая
=arctg
6a — it
2 0—1066
33
sin otj ’ Y6° sin (2я — a2 — a3) *
Переходя к вычислению работы внутренних сил в линиях текучести рассматриваемого пластического механизма, отметим существенное различие между линиями 4—5, 6—7, 5—0, 6—0 с одной стороны и линиями 4—0, 4—1 и 5—6 с другой. Для первых характерны деформации растяжения — сжатия, будем называть их «мембранными», для вторых — преобладающий изгиб.
Подсчет работы внутренних сил в первой группе линий связан с определением площадей участков эпюры сосредоточенных пластических деформаций.
Длины участков:
/во = 2Rp; /б0 = 2Rq\ /64 = 2Rs\ /в1 = 2/?(i> (3* 12)
где
/> = [(2|i)»+lS)v*; <? = (!? + s = [i? + &-i8)a]Vi.
Приближенно считая, что хорды (3.12) стягивают круговые дуги, найдем стрелки этих дуг:
у во - Я [1 - (1 - Р*)и\> Уьо = R (1 — (1 — <7S)V*];
Уи = R[1 — (1 -s2)v*]; = R[i -(i -n2)Vt].
Теперь вычислим вспомогательные величины:
/во = “3” W/во; fbo = — ^ьоУъо*
/б4 = — /в 1 = "з" ^б1*/в1
и перейдем к определению работы внутренних сил в «мембранных» линиях текучести. Если предел текучести материала обозначим а0, а толщину оболочки Л, то
= (/боФео 4“ /боФбо 4“ /54фб4 4“ /ei9rti) = o0hRAb.
Для подсчета работы внутренних предельных усилий в прямолинейных линиях текучести примем во внимание, что т0 — предельный изгибающий момент на единице длины, т0 = 0,25а0Л2, поэтому
D2 = 0,25o0h2 {4ц#ф14 + 2/?£2ф56 + R [4ц + 2 - £3)]ф4} =
= 0,25а0Л2Л6.
Полная работа внутренних сил во всех линиях текучести определяется
= QoR2& (4Л5 -f- 0,5еЛ6), где е — относительная толщина оболочки.
Внешняя пара сил с моментом М совершает работу De = Мфю = М/2ц7?. Из Di —De = 0 находим
М = <т0/?3 • 2це (4Аъ + 0,5еЛв).
В дальнейшем будем рассматривать безразмерный момент . ,
М* = цсто" # = 2це (4А„ + 0,5еЛв). (3.13)
Из соотношений видно, что М* есть функция независимых переменных h, Ъ2 и £з- Отыскание верхней границы
Таблица 3.2. Сопоставление предельных теоретических и экспериментальных моментов
Номер
оболоч¬
ки
и
е
м*
М0
M*/Mg
1
0,048
0,073
2,036
1,728
1,178
2
0,061
0,061
1,581
2,293
0,689
3
0,121
0,061
4,373
5,296
0,826
4
0,097
0,049
2,419
3,198
0,756
5
0,160
0,040
5,977
6,664
0,897
6
0,091
0,061
2,749
3,686
0,746
7
0,080
0,040
1,562
1,774
0,880
8
0,200
0,040
8,065
7,750
1,040
9
0,122
0,049
4,339
4,951
0,876
10
0,126
0,025
0,927
0,819
1,132
11
0,122
0,015
0,642
0,492
1,304
12
0,059
0,045
1,209
1,639
0,738
М* состоит в минимизации правой части выражения (3.13) по этим переменным. Параметры \i и е оболочек, а также теоретические значения М* предельных моментов приведены в графах 2...4 табл. 3.2. При сопоставлении полученных здесь значений М* с экспериментальными результатами [84] примем во внимание, что теория предельного равновесия учитывает только геометрически линейное поведение оболочек, поэтому опытные значения М3, связанные с большими прогибами, рассматривать не будем (см. рис. 3.4, б). Введем величину М0 = 0,5 • (Мх + М2), ее безразмерная часть М0 (а/?8)-1 приведена в предпоследней графе табл. 3.2. Для двенадцати оболочек среднее значение М*/М* = 0,922. Таким образом, предлагаемая методика расчета позволяет удовлетворительно описать верхнюю границу предельной нагрузки для рассматриваемой задачи.
3.1.3. Осевое сжатие осесимметричных оболочек. Рассмотрим слегка выпуклую оболочку вращения постоянной толщины h с меридианом произвольного очертания (рис. 3.5, а). Осевая нагрузка интенсивностью р равномерно распределена по периметру торцевых сечений.
2*
35
Материал оболочки имеет различные пределы текучести при растяжении и сжатии сто", причем сто" о'о. Отношение Go/ot = р заключено в 10 ^ р ^ 40, именно этим задача отличается от подобных задач для металлических оболочек, например, описанных в [7], где принят материал, одинаково сопротивляющийся растяжению и сжатию.
Рис. 3.6. Осесимметричное нагружение оболочки: а — общая схема; б — пластический механизм разрушения;- в схема предельных внутренних усилий.
Осесимметричному разрушению отвечает образование трех кольцевых линий Текучести, одна из которых возникает в среднем сечении оболочки, а две другие отстоят от нее на расстоянии av\ (2а — длина оболочки). Вместе с меридиональными кольцевые линии текучести превращают оболочку в механизм с одной степенью свободы.
В качестве модели задачи рассмотрим искривленный стержень на жесткопластическом основании с коэффициентом постели есго", где е = Л/?”1, R — радиус торцевого сечения. Примем, что ось стержня очерчена по квадратной параболе. Эксцентриситет среднего сечения обозначим е0, тогда в сечении с координатой аг\ е = е0 (1 — т]2).
Из условий статического равновесия части стержня, заключенного между двумя пластическими шарнирами, найдем
N = Р; N (е0 — е) = 2М + oU*a\V2- (3.14) Здесь Р — внешняя продольная нагрузка; N, М — внутренние усилия, совместное действие которых приводит к
36
образованию пластического шарнира. Величины N и М связаны предельным условием [5]
М (рМоГ1 = (1 — NNo1) (NN71 + р-1). (3.15)
В выражении (3.15) обозначены N0 = a^bh; М0 = 0,5o^bh X X (1+р)—Ъ, Л—ширина и высота прямоугольного сечения стержня.
Решая совместно уравнения (3.14) и (3.15), получим g учетом требований кинематической теоремы теории предельного равновесия
Р = N0 min Ф90;
_1_
Л - Ron* (Р + 1) + 1 - р] + {ЕоЧ2 (Р + 1) + 1 - р]2 + 4р) 2
2р |
(3.16)
где £<, = eji~x — относительный эксцентриситет среднего сечения.
Формула (3.16) позволяет оценить предельную нагрузку в зависимости от эксцентриситета £0 и отношения р пределов текучести при сжатии и растяжении. Этот же результат можно получить и из анализа кинематики образующегося механизма.
Эпюру предельных напряжений в среднем пластическом шарнире представим как сумму «осевой» и «изгибной». Обозначив с расстояние от крайнего растянутого волокна до нулевой точки, запишем очевидные равенства:
(То = o2i во = ^1» {h с) = GiC\
N = 2cba^y М = o2b (h — с) Л/2. (3.17)
Присоединяя к формулам (3.17) условия статического равновесия (3.16), получим совместную систему семи уравнений, решая которую, найдем
c=hФп; Фп = 0,5 {(1+р) (1 + ioTl2) - [(1 + Р)2 (1+ 1оГ\2)2-
— 4(1 + р) 1оРЧг],/*} (1 + РГ1.
Переходя к оболочке с меридианом в форме квадратной параболы, введем обозначение а = М?.Так как е = Л/?”1, то е0 = £0е/?. Подсчитав виртуальную работу внутренних
37
сил и внешней нагрузки, из условия их равенства получим
Р = 4" 0о"Я min = Р-1ф-1 [рф12 (2 + 2е£о —
-ioe^+^V]. (3.18)
где Ф12 = Фп (1 + р) + р (1 — 2Ф).
ф
Зависимость (3.18) позволяет . вычислить предельную интенсивность р осевой нагрузки при различных значениях
Таблица 3.3. Зависимость несущей способности а/а0 от эксцентриситета и относительной толщины при р = 30 и % = 0,8
£о
е
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,02
1,0
1
0,995
0,960
0,920
0,05
1,0
0,915
0,814
0,735
0,665
0,10
0,921
0,716
0,619
0,516
0,415
0,15
0,874
0,695
0,541
0,419
0,314
параметров задачи. О форме разрушения дает представление f|, доставляющая минимум ург.
Численный анализ выражения (3.18) был проведен при следующих-значениях параметров: р = 10...40, е = 0,6l... 0,15, £0 = 0...1, X = 0,2...1,0. В табл. 3.3 дано представление об изменении несущей способности с увеличением эксцентриситета, т. е. диаметра экваториального сечения.
Оценим влияние отношения р пределов текучести при К = 0,6, 8 = 0,10, 1=1:
р 10 15 20 30 40
0/oJf 0,492 0,409 0,358 0,297 0,259
а также зависимость несущей способности от относительной толщины оболочки при X = 1, £ = 1, р = 20:
е 0,01 0,02 0,05 0,10 0,15
<т/ajf /1 1 / 0,871 0,680 0,499
Предлагаемая здесь модель и результат (3.18) допускают переход к задаче об оболочке из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию (р = 1), однако известно [7], что такие оболочки еще до полной пластификации одного или нескольких сечений теряют устойчивость. Вычисления показывают, что обоснованно результат (3.18) можно применять при р > 8... 10.
38
3.1.4. Сжатие неосесимметричной оболочки. Представим срединную поверхность оболочки отклонениями е ее точек от цилиндрической поверхности радиуса/?. Примем, что е изменяется вдоль оси оболочки по квадратичному закону,
Рис, 3,6. Неосесимметричная оболочка: а — общий внд; б — схеиа разрушения.
а в окружающем направлении — по гармоническому. Тогда в безразмерных координатах получим
е = е0(п + cos ср) (1 —Я2)* (3.19)
где ф, Л — окружная и продольная координаты; е0 — наибольшее значение (рис. 3.6, а); п — параметр. Экваториальная плоскость — плоскость симметрии.
Оболочка нагружена осевыми силами интенсивности р, равномерно распределенными по торцам. Требуется найти предельную интенсивность /?* нагрузки, при которой исчерпывается несущая способность оболочки.
Распространяя результаты, полученные в п. 3.1.3, на неосесимметричную задачу, примем, что исчерпание несущей способности происходит вследствие образования трех замкнутых шарнирных линий и меридиональных линий между ними. Средняя из кольцевых линий лежит в экваториальной плоскости, а крайние расположены относительно нее симметрично (рио. 3.6, б).
Принятая форма разрушения предполагает,^ что переменное расстояние г]ф между средней и крайней линиями
39
текучести есть функция окружной координаты. Из анализа кинематики пластического механизма
1(п + D Ьл* + со) + {[(п + 1) Ьrf + с0]з -
„ 4|qT)q (п -f- cos ф) сф) 2^0% (п + cos ф) • \ )
Здесь е = hR~l; h — толщина оболочки; сф = 2сфЛ_1 — смещение нейтрального волокна в кольцевых линиях относительно срединной поверхности. В свою очередь
Сф = 1 — 2Ф13;
2р (1 + р) (1 + 5*) - [4в* (1 + р)« (1 + 6*)« -8(1+р)(2|*ер-Я,^)]^ '
13 4 (1 + р) е 9
где X = aR~x\ I* = £0 (п + cos q>); р = а”/а+.
Для оболочки, срединная поверхность которой отличается на экваторе от цилиндра на несколько толщин и более,
значения сф всюду малы и ими можно пренебречь по сравнению с (п + 1) • 10г\2. Поэтому выражение (3.20) существенно упрощается и принимает вид
П* = ^ n + isV> <321>
где т]ф— переменное расстояние между средней и крайней шарнирными линиями; у\0 — расстояние между ними при
Ф = 0.
Рассмотрим оболочки, у которых используя фор¬
мулу (3.21). На основе выражения (3.19) получим уравнение срединной поверхности в безразмерных цилиндрических координатах
n-Fi I Г
71 L ©So ~h cos ф) J *
из которого при г] = 0 находим уравнение экваториальной шарнирной линии
Pi = 1 + е£0 (п + cos ф). (3.22)
Виртуальная работа внутренних сил в экваториальной линии текучести
гдер определяется уравнением (3.22), обобщенный предельный изгибающий момент на единице длины
Щ (ф) = “5" o0Rh2 [Ф13 (1 + р) + р (1 — 2Ф13)],
а угол 0 (ф) взаимного поворота дисков в кольцевой шарнирной линии
9 (ф) = (Яе)-1 [ЕоЛф (п + cos ф) + сф]-1.
Аналогично определим работу внутренних сил в крайней кольцевой линии
я
°К2 = 21 т0 (ф)0 (ф) [р? + pi* (] U d(p. (3.24)
Принятая расчетная модель предполагает безмоментную работу оболочки в окружном направлении, поэтому
AD# = 0,5о<Маг%4ф,
и, следовательно,
П
Dr = 2ath f а% (0г + 0'2)Vl dy. (3.25)
О
Суммируя компоненты (3.23), (3.24) и (3.25), найдем полную виртуальную работу внутренних сил
Dt = DK i + 2 DK2 + 2 Dr. (3.26)
Так как внешняя осевая распределенная нагрузка совершает на возможных перемещениях работу
De = 4 nRp, (3.27)
то, приравняв правые части выражений (3.26) и (3.27),
получим
Р Р (<?о 9 Ло» Ео» р)>
причем верхней границе предельной интенсивности р* отвечает минимум р по т]. Поскольку при ф = я из (3.21) следует
п+\ ^
'Пф = 'По - > Ло>
область изменения находится в границах 0 и (п + 1)_г* Безразмерные параметры е, l0t п, X и р в каждой конкретной задаче фиксированы и определяют соответственно толщину оболочки, продольную кривизну и асимметрию ее поверхности, длину оболочки и отношение пределов теку¬
41
чести при сжатии и растяжении. Итак
p* = min/? (oif, R, ri0l e, £0, n, X, p). (3.28)
Г\о
□ Пример 3.1. Для оболочек, относительная толщина е которых составляла 0,01, 0,03 и 0,05, а относительная длина X = aR~~l равна 0,4 и 1,2, были проделаны вычисления по формуле (3.28). Параметры формы поверхности изменялись в пределах 0 < 10 < 4,5, 2 < п < 4. Отношение р пределов текучести принимало значения 10, 20 и 30. Некоторая часть результатов вычислений приведена в табл. 3.4. □ Наибольший интерес представляет сопоставление полученных результатов с данными о несущей способности
Таблица ЗА. Зависимость относительной несущей способности от длины и эксцентриситета
к
0.3
0,5
0,7
0.^
/1=2
0,4
0,692
0,687
0,682
0,676
1,2
0,765
0,760
0,756
0,751
п = 3 -
0.4 ,
0,669
0,664
0,661
0,322
1,2
0,713
0,709
0,705
0,701
п = 4
0,4
0,661
0,657
0,252
0,176
1,2
0,697
0,693
0,690
0,686
Таблица 3.5. Сопоставление несущей способности осесимметрично* я неосесимметричной оболочек при X == 0,4 и п = 3
г
= 0,03
р =
= 0,05
р
л£0 s
= 2,1
пЪ о = 2,7
п$0
= 2,1
п&0 =
= 2,7
110
0,102
0,244
0,045
0,201
0,088
0,167
0,064
0,116
0,1
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
20
0,045
0,136
0,030
0,110
0,067
0,094
0,044
0,063
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
30
0,038
0,095
0,024
0,076
0,053
0,065
0,053
0,043
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
0,5
1,0
Примечание. В каждой графе таблицы слева показаны данные для неосесимметричиых оболочек, а справа — для осесимметричных. Над чертой даны безразмерные значения напряжений, под чертой — параметры формы разрушения.
42
аналогичных осесимметричных оболочек (см. п. 3.1,3). Сравним оболочки с равными торцевыми диаметрами и одинаковым средним отклонением я£0 от цилиндрической формы на экваторе.
Результаты, приведенные в табл. 3.5, позволяют заметить, что нарушение осевой симметрии существенно сказывается на несущей способности: при одинаковых средних эксцентриситетах предельные напряжения у осесимметричных оболочек в несколько раз выше, чем у неосесимметричных. Это различие тем заметнее, чем тоньше оболочка и чем меньше абсолютный эксцентриситет.
Таким образом, при осевом сжатии оболочек с неодинаковыми пределами текучести при сжатии и растяжении сравнительно малые неосесимметричные отклонения срединной поверхности от цилиндрической формы значительнее понижают несущую способность, чем большие осесимметричные.
3.2. ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННЫЕ
КОЛЬЦЕВЫМИ РЕБРАМИ
Рассмотрим замкнутую круговую оболочку постоянной толщины, выполненную из идеального жесткопластического материала с пределом текучести о, содержащую жидкость плотностью у. Радиус срединной поверхности обозначим /?, длину L = 2v/?, толщину А = в/?. Оболочка подкреплена регулярными шпангоутами. Их прямоугольное поперечное сечение имеет размеры р/? X fiR, расстояние между ними 2t|)/?.
Кроме опирания на дискретные «седловые» опоры с углом охвата 2ф [82] возможно опирание на сплошное жесткопластическое основание с охватом 2/?£ (рис. 3.7, а) и, пределом текучести а о. Прочность торцевых элементов оболочки здесь не определяется.
Предположим, что исчерпание несущей способности оболочки происходит с разрушением прямоугольной области размером 2RI X 2RX (см. рис. 3.7, а и б), причем в пластическую работу могут вовлекаться два или четыре шпангоута (А,^ Зг|)).
Используя представление о сосредоточенных пластических деформациях и допуская единичное возможное перемещение центра схемы разрушения вдоль радиуса, подсчитаем виртуальные углы ф*/ взаимного поворота жестких дисков 1...4 (см. рис. 3.7, б), здесь L / — номера
43
жестких дисков, которые разделяют линии I и /:
Фю ~ Фзо ~ (RQ » Ф20 = Ф40 ~ (^) >
_i_
Ф12 = Ф23 = Фз4 = Ф41 = (V + ^2) 2 .
По характеру преобладающих деформаций линии текучести разделим на изгибные 1—0, 3—0 и мембранные 2—О, 4—0, а также 1—2, 2—3, 3—4 и 4—1 (эпюры сосредочен-
Рис, 3.7, К расчету подкрепленной цилиндрической оболочки:
а — схема опирания и нагружения; б — схема формн разрушения.
ных деформаций для 1/4 части схемы разрушения показаны на рис. 3.7, б).
Виртуальную работу внутренних сил в обшивке представим в виде
Dn = 4oh (cdj + о)2) + oh2RX<p10, (3.29)
где ©!, o)2 — площади участков эпюры (см. рис. 3.7, б). Учитывая положение осей взаимного поворота жестких дисков и значения углов (3.29), получаем
О)! = О.ЗЗЯЬ-’ arcsin | (1 — V1 — 1");
©а = 0,667Rl~ll~2 (1 — VT-I?) (t* + К2) arcsin £. (3.30)
С учетом принятых обозначений подстановка соотношений (3.30) в (3.29) приводит к результату
D( 1 = oR^',
Фх = [О.ЗЗ^-'Г2 (1 — V\=F) (ЗГ + V) + 0,25еЛГ'] 4е.
Каждый из шпангоутов в общем случае разрушается с образованием четырех пластических шарниров (точки «а», «6»; «Ь» и «а» на рис. 3.7, б), причем помимо «изгибной» вир¬
44
туальной работы необходимо учесть работу осевых усилий в точках «6»:
Д2 = аЯ2Фа; Ф2 = 4РцгГ';
Da = а/?2Ф3; Ф3 = 2|*РГ' {*“' (** - V42)V* +
+ K~l [А,2 — 2£V] - 2 VT=I5}.
При определении виртуальной работы сплошного жесткопластического основания заметим, .что кроме случая !• ^ £ возможен также случай, когда разрушающийся участок выходит за пределы основания £ > £. В соответствии с этим находим
DC4 = <т/?2Ф4;
Ф4 = -i- «4Я. при I < й Ф4 = 0,667rtk* (3g2 - £2) при
6>С.
Полную работу внутренних пластических усилий в обшивке, ребрах и жесткопластическом основании представим суммой
4 4
Di = Е Dir = аЯ2Ф; Ф = £ Ф,. (3.31)
Г=1 М ‘
Интенсивность q внешней нагрузки зависит от количества жидкости в резервуаре, однако при шах £ ^ 0,7 окружной размер разрушающегося участка невелик, поэтому примем q = const. Тогда внешняя распределенная нагрузка на возможных перемещениях пластического механизма совершает работу
De = lf33?/?2gX, (3.32)
и из условия равенства правых частей (3.31) и (3.32) получаем выражение интенсивности нагрузки
q = 0,75а0ФГ'Х-'.
При отыскании верхней границы
<7* = 0,75cj0 rain (ФГ’Я-1) (3.33)
учет или неучет рассеивания энергии в шпангоутах зависит от X: при к ^ г|? разрушается только обшивка, при X > г|> учитывается пластическая работа пары шпангоутов и т. п. Точно так же одну из величин Ф4 выбирают в зависимости от соотношения между Е и £. В дальнейшем вместо q рассмотрим ее безразмерную часть k = qo~{.
45
В частном случае при а = р = \х = 0 получаем задачу о несущей способности неподкрепленной цилиндрической оболочки, покоящейся только на жестких опорах. Оценки предельной нагрузки при разрушении таких конструкций от действия реакций в «седловых» опорах (см. п. 3.1.1) представим в форме
К = />* (<J0RT\ (3.34)
где Р* — верхняя .граница полной предельной нагрузки, а К зависит от угла ф охвата опоры и относительной толщины е оболочки. Результаты п. 3.1.1 хорошо согласуются с опытными [14]. Так, в экспериментах с оболочками из материала АМг-бМ модель № 13 имела диаметр срединной поверхности 2R = 183 мм, толщину h = 2 мм и испытывалась при угле охвата ф = 0,216. Относительная толщина оболочки е = hR~l = 0,022. Для таких значений параметров е, ф вычисления в п. 3.1.1 приводят к оценке К = 9,3 • 10-3. Так как сплав АМг-бМ (по данным [14]) имеет предел текучести 170 МПа, то
Р = o0R*f( = 170-^1 9,3 • 10“3 = 1,32 кН.
В опытах предельная нагрузка для оболочки № 13 составила 1,35 кН.
Предположим, что оболочка опирается на две опоры, расположенные вблизи ее торцов. По мере увеличения длины резервуара и количества жидкости в нем нагрузка на опоры возрастает. Чтобы оценить переход от одной формы разрушения к другой, сравним оценки (3.33) и (3.34). Пусть оболочка имеет длину 2Rv, тогда вес жидкости, заключенной в ней, G = 2n#8vv, а каждая из опорных реакций
Р = 0,5 G = nRbyv. (3.35)
Из формул (3.34) и (3.35) находим, что
yR = К о0 (яу)-1. (3.36)
Если резервуар заполнен доверху, интенсивность давления жидкости в его нижней части q = 2Ry, причем в соответствии с (3.33) q = o0k, поэтому
у R = 0,5а0&. (3.37)
Анализ выражений (3.36) и (3.37) показывает, что для сопоставления оценок предельных нагрузок (3.33) и (3.34) результаты из 3.1.1 необходимо увеличивать в 2 (jiv)-1 раз.
46
Верхние границы предельных нагрузок k по формуле (3.33) вычислены в широком диапазоне толщин (е = 0,01... 0,12). Предельные нагрузки сравнили с оценками /С, при¬
веденными в п. 3.1.1 и увеличенными в 2 (яг) раз (для опор с углом охвата <р = 0,4 сопоставление приведено на
0,07
ЦП J5
Рис. 3.8. Зависимости несущей способности подкрепленной оболочки от конструктивных параметров:
а — относительной длины; 1,2 — новые оценки несущей способности 5, 4 — то же в соответствии с [24] б — угла охвата жесткопластиче ского основания; / — при а = 0,02 2 — при а = 0,015; 3 — при а = = 0,01; 4 — при а = 0,06; 5 — при а = 0; в — от сечения кольцевых ребер; 1 — граница разрушения ребер.
Л
рис. 3.8, а в зависимости от безразмерной длины оболочки 2v). Горизонтальными линиями представлены полученные здесь новые оценки (3.33), не зависящие от длины v, а наклонные линии отвечают прежним. Окончательная оценка выбирается как наименьшая из них. Переход к локальному разрушению в месте опирания происходит при относительной длине оболочек 2v = 2,4...3,3, а более короткие оболочки разрушаются между опорами. Длина оболочки, при которой одна форма разрушения переходит в другую, возрастает с увеличением толщины.
Рассмотрим теперь неподкрепленную оболочку, покоящуюся на сплошном жесткопластическом основании, шири-
47
ной £ = 0... 1,0 (см. рис. 3.7, а) и с коэффициентом постели а = 0...0,02. Вычисления по формуле (3.33) выполнены для оболочки с е = 0,02; они показывают, что разрушению подвергается участок размерами | = 0,4...0,5 и К = 1,5... 1,9. Увеличение несущей способности с ростом £ наблюдается лишь до тех пор, пока размеры разрушающегося участка £ превосходят ширину основания, а после достижения равенства | = £ несущая способность не повышается (горизонтальные участки кривых на рис. 3.8, б).
При анализе несущей способности оболочек, подкрепленных регулярными кольцевыми ребрами, наибольший интерес представляет установление толщины обшивки е, размеров сечений ребер р и fx, а также шаг ребер 2\|), при которых область разрушения захватывает либо не захватывает ребра. Вычисления по формуле (3.33) проделаны для оболочек с е = 0,02...0,12 и р = 0...0Л5. Для простоты были приняты ребра прямоугольного поперечного сечения с |ы = 2р. Шаг ребер составлял 2г|> = 2...5. Результаты вычислений позволили оценить увеличение предельной нагрузки с ростом мощности ребер и ее уменьшение с увеличением шага. На рис. 3.8, в, сплошными линиями показаны верхние оценки предельной нагрузки для оболочек различной толщины в зависимости от параметра подкрепления р при фиксированном расстоянии между ребрами, равном 3R (г|э = 1,5).
Область, расположенная на рис. 3.8, в слева от штриховой линии, отвечает разрушению ребер К ^ г|>. Анализ вычислений показывает, что разрушение захватывает лишь одну пару шпангоутов даже при весьма малых размерах их поперечных сечений 0,01 ^ Р ^ 0,04. Справа от штриховой линии лежит область, где ребра не разрушаются и всегда | ^ г|>. Оттого, что ребра не участвуют в работе, их прочность не влияет на несущую способность и кривые правее штриховой линии имеют горизонтальные участки.
Участие или неучастие ребер в пластической работе оболочки зависит от сечений самих ребер, от толщины оболочки
и, кроме того, от шага ребер. При г|> = 1,5 у тонких оболочек е = 0,02 «избыточными» оказываются ребра р = 0,086, между тем для более толстых оболочек е = 0,1 такой эффект обнаруживается лишь при р = 0,154.
Построим оптимизационную задачу: среди всех оболочек с заданной длиной 2v и несущей способностью k0 отыщем оболочку с такой толщиной обшивки е, параметрами подкрепления р, fx и г|), чтобы объем материала конструкции В был минимальным.
При длине оболочки L = 2Rv количество шпангоутов
48
составляет 1 + vt|)“T, тогда объем материала в обшивке и ребрах может быть представлен выражениями
V = 2tcR3B; В = 2ve + Рц (1 + v-ilf1).
Отыскание минимума В при условии k > k0 и двусторонних ограничениях параметров е, р, ц и г|> составляет задачу нелинейного программирования, для решения которой применен один из адаптационных алгоритмов случайного поиска.
Таблица 3.6. Оптимальные проекты цилиндрической оболочки в зависимости от заданной нагрузки
k0
Оптимальный проект
В
8
Э
0,02
0,24
0,03
0,04
0,37
0,04
0,057
0,5
0,06
0,51
0,06
0,051
2,0
0,08
0,67
0,06
0,103
0,5
В табл. 3.6 приведены оптимальные проекты оболочек L = 8R (v = 4) при различных уровнях требуемой несущей способности. В примерах параметры ограничены неравенствами:
0,01 <е< 0,06; 0<р<0,16; -ф = 0,5 < я|> < 2,5 (3.38)
при сохранении прежнего соотношения сторон прямоугольного сечения шпангоутов ц = 2р.
Таблица 3.7. Оптимальные проекты цилиндрической оболочки в зависимости от заданной длины
2Х
Оптимальный проект
В
8
3
4
0,23
0,05
0,051
0,5
8
0,45
0,05
0,051
0,5
12
0,67
0,05
0,057
0,5
16
0,89
0,04
0,086
0,5
Анализ представленных здесь и других полученных оптимальных проектов показывает, что модель задачи стремится обеспечить заданную несущую способность в первую очередь за счет увеличения толщины обшивки и лишь потом вводит шпангоуты. Изменение условий проектирования (3.38) существенно отражается на оптимальном
49
проекте. Например, при 0,01 ^ е ^ 0,10 все оптимальные оболочки для нагрузок k0 = 0,02...0,1 оказываются неподкрепленными, причем для k0 = 0,1 имеем е = 0,1 при соответствующем значении целевой функции В = 0,8.
Еще одна серия оптимальных проектов получена для оболочек различной заданной длины при k0 = 0,05 (табл. 3.7) и ограничениях (3.38). Рост целевой функции обусловлен увеличением длины оболочки, и при некоторых достаточно больших v для достижения заданной несущей способности k0 оказывается целесообразным переход к меньшей толщине обшивки при одновременном увеличении сечения шпангоутов (последняя графа табл. 3.7). Установлено, что даже незначительные изменения условий проектирования заметно сказываются на оптимальных результатах, поэтому требуются повторные вычисления.
3.3. ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
3.3.1. Коробчатые системы. В современном строительстве тонкостенные железобетонные коробчатые конструкции применяются в междуэтажных перекрытиях производственных зданий, в мостовых пролетных строениях, а также в нетранспортных (например, конвейерных) мостах, используются в качестве ядер жесткости высотных зданий, в атомной энергетике. Чаще всего такие конструкции подвергаются поперечному изгибу. Их несущая способность при изгибе мало изучена [83, 851.
Рассмотрим призматический элемент с поперечным сечением коробчатой конструкции, который свободно оперт по краям и находится под действием равномерной поперечной нагрузки интенсивности q на его верхней поверхности (рис. 3.9, а). Материал — идеальный жесткопластический с неодинаковыми пределами текучести при растяжении а и сжатии ра. Случаи р 1 и р = 1 соответствует железобетону и металлу.
Если пролет I = 2Ха, а толщины hx = гга и Л2 = е2а достаточно велики, конструкция исчерпывает несущую способность как балка с образованием полного пластического шарнира в середине пролета. Ввиду простоты задачи сразу приведем окончательный результат. Для положения нейтральной оси в пределах толщины верхней полки имеем
(Р + в!) (Piа + 2е?ц» + 2ехц - 4el(i& +|а),+ 4ех (1 - цв1) (1 -|)
Р = ЬЧР+в!)
(3.39)
50
где
I = 2ех (1 + (ip) [(1 + р) (Р + ех)] ; [х = e2ei % = ^1а
р = ст“У
' Если же материал одинаково сопротивляется сжатию и растяжению (р = /), нейтральная ось делит высоту сечения пополам, тогда
Р =
8х [(1-1*8,)* +2ц (Р + в.)] ** (Р + ех)
(3.401
^nI/nLnI/nI^nI/
Рис. 3.9. Схема, разрушения коробчатой оболочки с четырьмя продольными шарнирами:
а — кинематика звеньев механизма; б — механизм разрушения.
С уменьшением пролета и толщины взамен «балочного» возможно разрушение с образованием четырех продольных линейных пластических шарниров по всей длине конструкции (в аналогичных круглых трубчатых конструкциях для описания такой формы разрушения принят термин «овализация»). Симметрия поперечного сечения позволяет положение верхнего и нижнего шарниров считать фиксированным (рис. 3.9, б), а положение боковых шарниров опишем координатой а£. Для материалов с р 1 верхний и нижний шарниры располагаются на внешней, а боковые — на внутренней поверхности конструкции.
При виртуальном опускании Д = 1 верхнего узла получаем зависимость между вертикальной составляющей
51
w перемещения бокового узла и опусканием Д: w = Ф0А; Ф0 — ai (tg «1 + *8 “a)-1*
Вычислив tg ах и tg а2, находим
сТ) 2 — 2| -[- цех
0 2(1 + цех)
Из анализа кинематики звеньев механизма следует, что горизонтальная составляющая перемещения бокового узла в = to tg а2.
Располагая и и w, вычислим виртуальные углы взаимного поворота Фх, Фа и Фз соответственно в верхнем, боковом я нижнем линейном пластическом шарнире:
_ 4 2J + fi8j . m _ 2 ,
<Pi= 'а(Р + в1Г* 2(1+ (хе7Г ’ фа а(Р + ех) ’
2 2 — 2§ + ц /о 4j\
*•- в(р + вх) * 1+цех * (3> '
Полная работа внутренних сил в четырех пластических шарнирах
D( = ае?а8А, (ц2фх + 2ф* + М-2фз) > откуда с учетом выражений (3.41) получаем
4Хв] (1 +Ц1) ,0/10,
Dt=ea* 0 + 8i, -• (3-42)
Виртуальная работа внешней нагрузки
В. = „а‘Kd+eJ • (3-43)
Приравнивая правые части выражений (3.42) и (3.43), находим
4е?(1+Ца) 2(1+цех)
Р~ (Р + ei)? ' 4 + Зце,— 21 •
(3.44)
Если материал одинаково сопротивляется растяжению я сжатию (р = 1), оси пластических шарниров располагаются в срединной поверхности. Тогда
2е? 1 +
Р = -рз Т-Г' { ’
Входящая в выражения (3.44) и (3.45) величина % должна быть подобрана так, чтобы доставить минимум р. Из анализа выражений (3.44) и (3.45) видно, чтогшпр достигается при £ -*- 0. При этом из (3.45), например, находим
+ (З-46)
52
При достаточно малых толщинах верхней полки (повидимому, при |lx < 1) возможно «плитное» разрушение — три продольных пластических шарнира образуются в пределах верхней полки.
Приведем окончательный результат для случая р = 1,
р = 4е?ц2Р ”2
и сопоставим его с оценкой (3.46). Из равенства 1 + ц* = = 4|ы2, следует, что |ы = 0,57. Следовательно, «плитная» форма разрушения с тремя пластическими шарнирами вместо четырех образуется лишь при |i ^ 0,57. Этот случай редко встречается на практике, так как обычно у металлических коробчатых конструкций толщина стенок и полок одинакова (|ы = 1), а у железобетонных \i > 1.
Эксперименты [83] позволяют предположить, что помимо пластических механизмов, описанных выше, существует по крайней мере одна форма разрушения, проявляющаяся при начальных отклонениях срединной поверхности от идеальной коробчатой формы. Модель, показанная на рис. 3.10, возможна при начальном прогибе верхней полки /. Разрушение захватывает центральную часть коробчатого элемента (длину разрушающейся части обозначим 2а%), а параметр £ описывает положение узловой точки схемы разрушения на боковых поверхностях.
Подсчет виртуальной работы внутренних сил и внешней нагрузки не содержит принципиальных трудностей, но приводит к громоздким преобразованиям. Окончательный результат имеет, тем не менее, сравнительно компактный вид. Для случая, когда пределы текучести материала при сжатии и растяжении существенно различны (р 1). безразмерная интенсивность предельной нагрузки:
р = е? min АХВ~Х\
А, = 2 + 2^а (Р — С) + 4 |аГ‘ + +
. ilo+jiL + ц38Ф •
+ (1-0 Р 1(
гибе.
53
В = Ф1Я,1р + |(|-Ф1Я,)(р-4-С). (3.47)
Здесь Фх = се2 (1 — сг^~к, с = fhj1.
Аналогичная оценка интенсивности предельной нагрузки на конструкцию из материала с одинаковыми пределами текучести при р = 1 имеет вид
мум АгВ 1 и А2В
,-i
Л=1 + Р-? + 2^+4^- + 1П^1Г + 4рф,
(3.48)
Анализ выражений (3.47) и (3.48) показывает, что минидостигается при убывании £. Кроме того, первое слагаемое Ф^р в В мало по сравнению со вторым. Условие неотрицательности В приводит к соотношению min I = Ф^. Подстановка этого значения £ в выражения (3.47) и (3.48) сводит задачу отыскания пре-
4*
1,2 fi
Рис. 3.11. Зависимость несущей способности оболочки от ширины поперечного сечения:
1...8 — соответствие оценкам (3.45), (3.40) и (3.48).
,-1
дельной интенсивности нагрузки р к минимизации АХВ или А2ВГХ по одной переменной £.
Оценки, полученные выше, например (3.39), (3.44) и (3.47) либо (3.40), (3.45) и (3.48) зависят от безразмерных параметров: длины конструкции К, толщин стенок ej и полок е2 (принято е2 = (lej, конфигурация сечения р, отношения пределов текучести р, а оценки (3.47) и (3.48), кроме того, зависят еще и от безразмерного начального прогиба полки с. Чтобы в каждом конкретном случае расчета найти верхнюю границу предельной нагрузки, необходимо из трех полученных оценок выбрать наименьшую.
□ Пример 3.2. Рассмотрим частный случай р = 1, ц, = 1. Остальные параметры изменяются в пределах 3 ^ к ^ 9; 0»4^Р^1,4; 0,1<с<0,5. На рис. 3.11 показано изменение несущей способности р в зависимости от конфигурации сечения р при к = 10, ех = 0,01, с = 0,3. Кривые 1,2 иЗ соответствуют оценкам (3.45), (3.48) и (3.40). Несущая способность коробчатой конструкции представ¬
54
лена, таким образом, ломаной линией abed, а точки Ъ и с отвечают переходам одной формы разрушения в другую. Существование формы разрушения 2 обусловлено начальным прогибом верхней полки. С его увеличением длина участка Ъс увеличивается (штрихпунктирная линия на рис. 3.11). У идеальной конструкции эта форма разрушения отсутствует.
0,6
'А
Ofi
1А
Цб
t*
О
О
3
I /' ’
3
■л
1
3
1
1-J
2
11
2
'') I
а
L
Рис. 3.12. Области существования различных форм разрушения: а — при е = 0,01 и с = 0,6; б — при е ™ 0,01 в — при е = 0,05 и с 0,1.
Влияние параметров Я, р и с на реализацию той или иной формы разрушения можно проследить также на рис. 3.12, где цифры 7, 2 и 3 соответствуют тем же формам, что и на рис. 3.11. □
Описанные и многие другие вычисления проделаны с помощью программы BEN BOX на языке ФОРТРАН. Результаты вычислений показывают, что только совместный анализ различных форм разрушения позволяет правильно оценить несущую способность коробчатой конструкции и обоснованно указать области параметров, в которых справедливы те или иные оценки.
Располагая методикой и программой для вычисления верхней границы р несущей способности изгибаемых коробчатых конструкций при равномерной поперечной нагрузке, перейдем к оптимизационной задаче. Предположим, что коробчатая конструкция используется в качестве перекрытия — требуется перекрыть некоторую площадь прямоугольного очертания с заданным пролетом L. При фиксированном L изменение параметра X означает изменение
высоты а сечения коробчатого элемента, тогда а = ~ LX~l.
Полную нагрузку на единицу ширины перекрытия представим выражением Q = oLp. Объем материала в
55
одной конструкции при \i = 1 равен Vx = 0,5L3X~ гг (1 + р), а количество конструкций, приходящихся на единицу ширины перекрытия, составляет п = 2k/[L (Р + ei)], тогда полный объем материала V = Угп.
Для оценки качества проекта коробчатой конструкции введем показатель весовой эффективности QV~~l с точностью до размерных констант:
* = <3-«>
Ограничимся частным случаем \i = р = 1 и вычислим такие высоту А,, толщину ех и конфигурацию сечения Р, которые доставляют максимум показателю весовой эффективности.
В силу неаддитивности критерий (3.49) не может считаться самым представительным, но описанная задача обладает тем достоинством, что ее решение, однажды найденное, является окончательным и может быть всегда использовано при выборе оптимальных параметров коробчатых конструкций при изгибе.
Приводим решения двух оптимизационных задач, вычисленных с помощью программы BENBOX методом сканирования.
□ Пример 3.3. Первая задача решена при фиксированном значении К = 10 в интервале параметров 0,6 ^ Р ^ 2,0; 0,01 ^ 0,15. Максимальное значение k = 0,165 най¬
дено внутри области при р = 1,4 и ег = 0,09.
Вторая задача решена в тех же интервалах р и ех при 3 ^ А, ^ 11. Расширение области поиска позволило существенно улучшить решение, теперь k = 0,309 при р = 1,2, ех = 0,04 й К = 5. Эта точка также лежит внутри области проектирования и рекомендуется в качестве оптимума при проектировании изгибаемых коробчатых конструкций. □
3.3.2. Оболочки произвольной формы. Призматическая оболочка длиной L (рис. 3.13, а) выполнена из идеального жесткопластического материала с пределами текучести при растяжении а0 и сжатии ра0. Форма поперечного сечения определяется внутренним и внешним замкнутыми контурами (рис. 3.13, б). В общем случае они могут не быть эквидистантными, и содержать прямолинейные участки и угловые точки, требуется только, чтобы поперечное сечение было симметричным относительно оси OY. Поперечная нагрузка интенсивностью q равномерно распределена по горизонтальной проекции оболочки.
Введем дискретную модель задачи, для этого внутренний и внешний контуры поперечного сечения представим век*
56
торами 01 и 02, компоненты которых 01*, 02*—суть относительные абсциссы точек обоих контуров (рис. 3.13, б). Для этого высоту сечения предварительно разобьем на п равных частей.
Рассмотрим форму разрушения оболочки с образованием четырех продольных пластических шарниров (такое
Рис. 3.13, Призматическая оболочка:
а — форма разрушения о четырьмя пластическими шарнирами; б — поперечное сечение.
разрушение прямоугольных коробчатых оболочек приведено в п. 3.3.1). В силу симметрии сечения верхний и нижний пластические шарниры лежат на оси OY, а боковые располагаются в любых точках / = 2, 3...., п—1. Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию (р = 1), оси всех шарниров находятся в срединной поверхности. При неограниченном увеличении р оси верхнего и нижнего шарнира смещаются к наружной, а оси боковых шарниров — ко внутренней поверхности оболочки (рис. 3.14).
Вертикальному возможному перемещению Д верхнего узла отвечают перемещения и и w бокового узла. Условие постоянства длин элементов механизма позволяет установить, что
w = ЛФ0; Ф0 = {^21_; u-«»tga,f (3.50)
где ах и а2 показаны на рис. 3.14.
Располагая величинами А, и и ш, построим эпюры виртуальных горизонтальных и вертикальных перемещений
57
(см. рис. 3.14) и определим углы <рх, <ра и <р8 взаимного поворота звеньев механизма в шарнирах:
2 (/ -1)
_ 2(п-/+ 1),
4)1 — в01(я
а01/ * Фа ~ aQljti
Выражения (3.51) получены е учётом размеров звеньев.
В четырех линейных пластических шарнирах совершают виртуальную работу предельные изгибающие моменты. Предельный изгибающий момент на единице длины в сечении оболочки с толщи-
(3.51)
ной h
то =
«У»8
"2 ГТр" ' (3-52>
причем в боковых шарнирах А/ = а (02/ — 01/), а в верхнем и нижнем принято, что h = = ап-1.
Формулы (3.51) и (3.52) позволяют определить работу внутренних усилий на возможных перемещениях пластического механизма
Д = а0а2Л; А =
2Ьр
Рис. 3.14. Кинематика звеньев пластического механизма.
01/ (1 + р)
x[n-2 + (01/ — 02,)а], (3.53)
где % = 0,5 Larx — параметр длины оболочки.
При подсчете работы, совершаемой внешней нагрузкой, учтем, что в общем случае боковой пластический шарнир не совпадает G узлом, в котором 02/ = 02тах» поэтому, кроме вертикального возможного перемещения (3.50), необходимо еще определить такое же перемещение wk точки k с максимальной абсЦИССОЙ 02ma*
02п
Wb =
01/
(3.54)
Виртуальную работу внешней нагрузки представим равенством
De = (Qj ~f* ^2)» (3.55)
где площади участков эпюры возможных перемещений и Q2 показаны на рис. 3.14. С учетом выражений (3.50)
58
и (3.54) определяем из формулы (3.55):
De = qa*B; В = 2% [©1, + ±zL х
X (02так — 01/) ( l И —) J • (3.56)
Приравнивая правые части выражений (3.53) и (3.56), получаем
рг =- АВ~\ (3.57)
где р1 = qaо"1 — относительная интенсивность распределенной нагрузки. Верхней границе р\ несущей способности отвечает наименьшая из всех нагрузок (3.57), поэтому
р\ = min AS-1; (2 </ < п — 1), фщ
причем минимизация проводится по переменной /-координате бокового пластического шарнира.
При малых высотах а сечения, относительно больших пролетах L и толщинах стенок h исчерпание несущей способности призматической конструкции может произойти вследствие^ образования полного изгибного пластического шарнира в одном из поперечных сечений («балочное» разрушение).
Условие статического равновесия внутренних усилий в пластифицированном сечении состоит в равенстве о^р = = со2, где colf со2 — площади растянутой и сжатой частей.
Сохраняя прежнюю дискретную модель задачи, предположим, что нейтральная ось, разделяющая сечение на две части, совпадает с одним из узлов принятого разбиения. Обозначим этот узел /, тогда
<0i = а*п~1 (4- 02, + Л Т<); щ = а*п~> 02„ + *
(3.59)
где Т, = 02;+, + 02, — 01»-1-1 — 01,.
Выражения (3.59) и равенство а)хр = со2 позволяют определить положение нейтральной оси.
Предельный изгибающий момент
М0 = а0а3 ~2^г~ (Рс + D)’
59
Совершаемую им виртуальную работу представим
D.-^rieC + D),
а выражение для работы внешней нагрузки примет вид De = 2<7#2A,02maxТеперь найдем безразмерную интенсивность р2 распределенной нагрузки
Поскольку предполагается, что геометрические параметры X, 01 и 02 призматической оболочки изменяются в широких пределах и заранее не известно, какая форма разрушения реализуется, необходимо принять
Здесь р* и р2 определяются выражениями (3.58) и (3.60).
Рассмотрим примеры, в которых проследим переход от «балочной» формы разрушения к «оболочечной». Во всех примерах принято разбиение сечения п = 12 и материал, одинаково сопротивляющийся растяжению и сжатию (р = 1). Из табл. 3.8 следует, что оценки несущей способности р[ не зависят от длины пролета X, это видно и из формул (3.53), (3.56) и (3.58). Переход от «оболочечной» формы разрушения к «балочной» при достаточно тонких стенках конструкции происходит с увеличением пролета от X = 3 к X = 10, однако такой переход может не происходить у толстостенных профилей либо при определенной форме сечения (см. табл. 3.8, эск. г).
Сформулируем оптимизационную задачу об отыскании наилучшей формы призматической оболочки.
Качество проекта оценим объемом материала
(3.60)
р* = mm [р\, рг).
(3.61)
г = 2Ха (со1 + со2),
(3.62)
где площади щ и со2 вычисляют согласно (3.59).
В общем случае область проектирования определяется компонентами векторов 01, 02 — всего N = 2 (п + I)
Таблица 3.8. Несущая способность и форма разрушения призматических оболочек
Форма разрушения
Вид сечения
Относи¬
«оболочечная»
Реализация разрр» шення
тельная длина X
•
*1
/
«балочная» рл
Эскиз а
3
13,81
11
15,5
«Оболочечная»
10
13,81
11
1,39
«Балочная»
Эскиз б
3
9,38
7
12,45
«Оболочечная»
10
9,38
7
1,12
«Балочная»
Эскиз в
3
13,32
10
15,8
«Оболочечная»
10
13,32
10
1,43
«Балочная»
Эскиз г
3
18,22
9
10,27
«Оболочечная»
10
18,22
9
0,92
«Балочная»
независимых переменных. Они заключены в интервалах
O<01,<01m; О<02,< 02т. (3.63)
'Здесь 01т и 02rrt — верхние значения 01, и 02*, устанавли¬
ваемые на основании конструктивных и технологических требований. Кроме того, необходимо, чтобы
02* — 01*^Лщт» I— 1> ••• » л, (3.64)
где Лт1п — минимальная толщина стенки (Лт1п > 0).
Еще одно требование состоит в том, чтобы проектируемая конструкция имела несущую способность не ниже заданной
Р*>Ро> (3.65)
где р* определяется выражением (3.61).
Окончательная формулировка оптимизационной задачи: при заданном пролете X и несущей способности р0 найти такую форму призматической оболочки 01, 02, чтобн г->тin при условиях (3.63)...(3.65).
61
Переходя к примерам оптимального проектирования призматических оболочек, отметим, что даже при небольших п = 10...12 количество переменных N достаточно велико. Чтобы уменьшить объем задачи и исключить заведомо нетехнологичные варианты, ограничим конфигурации внешнего и внутреннего контуров. Внутренний контур 61 представим линейной комбинацией
F = kFx (v, М) + (1 — A) Ft (P. V) = 0- (3.66)
Здесь F = 0 — уравнение внутреннего контура; Ft = 0 — уравнение эллипса; v и \i — безразмерные величины его полуосей; б — безразмерная величина смещения /его центра относительно среднего узла принятого разбиения с номером 0,5 п + 1, F2 = 0 — уравнение трапеции, Р и у — ее безразмерные верхнее и нижнее основания. Предполагается, что трапеция F2 = 0 не обязательно геометрически подобна внешней. При выбора границ изменения параметров v, ц,
б, Р и у учитывают требования (3.64).
Принятый способ описания конфигураций сечения оболочки 01 и 02 позволил уменьшить количество независимых переменных до N = 8 и сделать N не зависимым от количества узлов принятой сетки. Ввиду небольшого размера задачи для решения примеров, представленных ниже, был применен метод сканирования переменных.
В качестве исходной конфигурации (штриховая линия на рис. 3.15, а) для первой группы примеров принято:
61 = (0, 0,417, .... 0,417, 0)г; 02 = (0,500, ... 0,500)г.
(3.67)
Заданная нагрузка составила pQ = 0,005 и р0 = 0,015^ длина пролета изменялась в пределах 3 ^ к ^ 9; конструкции — из материала с одинаковыми пределами текучести при сжатии и растяжении (р = 1), а также из материала типа железобетона (р = 11).
Безразмерная часть целевой функции £ = 2 агг для оптимального профиля (см. рис. 3.15, а), полученного при Ро = 0,005, к = 5, р = 1, составила
£= 1,57 (3.68)
при фактически несущей способности р = 0,0094.
При тех же исходных данных и утроенной заданной
несущей способности р0 = 0,015 получен проект, представ¬
ленный на рис. 3.15, б. Для него
£ = 2,83, (3.69)
а фактическая несущая способность незначительно отличалась от заданной (р = 0,0156).
62
Сравнивая проекты (3.68) и (3.69), отметим, что трехкратное повышение требуемой прочности привело к увеличению расхода материала на 80 %. Проекты (3.68) и (3.69) в 1,94 и 1,18 раза соответственно экономичней исходного варианта (3.67).
При р0 = 0,005, К = 7, р = 11 оптимальная конфигурация сечения оболочки не отличалась от представленной на рис. 3.15, а. Целевая функция составила £ = 2,20, а
Рис. 3.15. Оптимальные сечения призматических оболочек:
а — при ро = 0,005; X = 5, р = 1; б — при р0 = 0,015, А. = 5, р = 1| в* при ро к 0,015, & = 7, р в 11; г « при р0 = 0,005, А, = 5, р = 1.
фактическая несущая способность — 0,0102. Повышение заданной нагрузки до р0 = 0,015 привело к проекту (рис. 3.15, в) £ = 3,60 с несущей способностью р0 » = 0,0152. Смещение внутренней полости вверх объясняется повышенной способностью материала сопротивляться сжатию (р = 11). Увеличение в 3 раза заданной нагрузки сопровождалось ростом количества материала на 62 %.
В другой группе примеров изменили исходную конфигурацию сечения (рис. 3.15, г, штриховая линия). При заданных р0 = 0,005, к = 5, р = 1 получили оптимальный проект £ = 3,397, показанный на рис. 3.15, г сплошными линиями.
Анализ более 90 различных оптимальных проектов призматических оболочек позволил установить, что представленная здесь модель задачи на повышение заданной несущей способности реагирует, во-первых, изменением внутренней конфигурации, потом — увеличением толщины стенок и, лишь затем наращивает наружные габариты сечения. Если среди заданных альтернатив имеется вариант с вертикальной наружной боковой гранью, он оказывается н аиболее предпочтительным.
В заключение приведем еще один вывод. Предположим: уложенными рядом призматическими оболочками необхо¬
63
димо перекрыть прямоугольную площадь размерами LxM (оболочки укладываем вдоль пролета L), с тем, что высота перекрытия изменяется в достаточно широких пределах. Тогда расширенная формулировка оптимизационной задачи заключается в отыскании не только конфигурации, но и высоты сечения оболочки.
Если вместо высоты оболочки а зафиксировать пролет, то параметр К представит безразмерную высоту сечения. Вычисления показывают, что для каждой комбинации исходных данных (нагрузка /?0, материал р, исходная конфигурация 01 и 02) можно найти не только оптимальную форму, но и оптимальную высоту сечения. В данных примерах она составляла 3...5, что в большинстве случаев отвечает «оболочечной» расчетной схеме. Аналогичный вывод сделан для коробчатых призматических конструкций в п. 3.3.1.
Глава 4. ВЫПУКЛЫЕ ОБОЛОЧКИ,
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ В ПЛАНЕ
4.1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
4.1.1. Метод линий текучести. В расчетах верхней границы несущей способности прямоугольных в плане оболочек выбор кинематически допустимых полей перемещений сводится к отысканию формы разрушений. Теоретически предсказанная [2] и многократно подтвержденная
Рис. 4.1. К расчету несущей способности оболочек:
а — размеры жестких дисков; б, в — положение нейтральной плоскости соответственно при о = сН- и при о— » <J"K
опытным путем форма разрушения пологих прямоугольных в плане оболочек приведена на рис. 4.1, а. Оболочка, края которой свободно оперты, в состоянии предельного равновесия расчленяется на пять жестких дисков — центральный и четыре приконтурных. Таким образом, прежде неизменяемая она превращается в механизм е одной степенью свободы.
64
В основу расчета положена безмоментная теория оболочек, поэтому линии текучести, разделяющие диски, следует рассматривать как очень узкие зоны, в которых сосредоточены пластические деформации растяжения или сжатия. Сжатые участки линий текучести от растянутых отделены нейтральной плоскостью, параллельной плоскости опирания [63].
След нейтральной плоскости на поверхности оболочки представляет собой замкнутую линию и в зависимости от формы оболочки может быть кругом, эллипсом или более сложной плоской кривой. Ее положение определяется из условий статики: каждый из жестких дисков, мысленно отделенный от остальных, должен находиться в равновесии, а предельные сжимающие усилия — уравновешиваться усилиями растяжения в линиях текучести. Аппликата нейтральной плоскости в значительной степени зависит от свойств материала оболочки. На рис. 4.1, б и в показаны следы нейтральной плоскости в случае, когда материал оболочки имеет одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии ао* = ао", и для случая at <£а<Г, причем участки, заключенные внутри замкнутой линии, сжаты.
Для анализа схемы разрушения существенное значение имеет форма центрального диска. В общем случае горизонтальная проекция центрального диска есть прямоугольник, не подобный прямоугольному наружному контуру h Ф g2, в частном случае для оболочки с трансляционной срединной поверхностью
г = 0,5/ (х*а~2 + у*Ь~2) (4.1)
узловые точки схемы излома лежат на диагоналях плана и прямоугольник центрального диска подобен наружному контуру (£i = = I).
Рассмотрим пологую оболочку постоянной толщины со срединной поверхностью (см. формулу (4.1)) при действии равномерной поперечной нагрузки и свободном опирании краев. Пусть предел текучести материала при сжатии а<Г намного превосходит предел текучести at при растяжении, тогда нейтральная плоскость занимает положение, близкое к изображенному на рис. 4.1, в.
Механизм, образованный жесткими дисками, имеет одну степень свободы, поэтому перемещения всех его точек могут быть представлены как линейные функции поступательного опускания центрального диска. Вследствие геометрического подобия горизонтальной проекции центрального диска и наружного контура эпюра виртуальных перемещений является усеченной пирамидой, осевое сечение
з 0-1066
65
которой показано на рис. 4.2. Как видно из рисунков, при единичном опускании А центрального диска 1 углы взаимного поворота дисков 1, 2 и 3
<Pis = а-1 (1 - &Г1; <р1а = Ь~' (1 - 1Г\
где 2а — больший пролет оболочки; 5 — относительная координата узловой точки схемы излома.
Из компланарности всбх осей взаимного поворота следует, что угол ф23 есть геометрическая сумма углов ф1а
и Фхз
Фаз = (Ф?2 + Ф1з)‘/г =
= (a2 + &2)v* [ab(l
Переходя к вычислению работы внутренних усилий в линиях текучести, рассмотрим сечение оболочки по ли-
Рис. 4.2. К расчету несущей способности пологих оболочек: ^ а — размеры жестких диоков и виртуальные перемещения; б —* положение нейтральной плоскости.
Рис. 4.3. Эпюры пластических деформаций, сосредоточенных вдоль линий текучести.
нии, разделяющей диски 1 и 2 (рис. 4.2, а). Определим аппликату нейтральной плоскости, проходящей через точку на верхней кромке сечения. От аппликаты срединной поверхности z = /£2 она отличается превышением на 0,5А, так что
zo = 4-/£2-0,5/t = 4-f(S2-e).
где е — относительная толщина; начало координат помещено в вершину оболочки.
66
Площадь Ql9 заштрихованная на рис. 4.2, б,
J (г — г0) dx. (4.2)
О
Учитывая, что уравнение горизонтальной проекции стороны центрального диска есть у = &£, получим из уравнения срединной поверхности (4.1)
z = -Lf(x*cT2+1% (4.3)
подставим формулу (4.3) в (4.2) и проинтегрируем. Тогда
S'+ -!■«)•
Проделав такие же вычисления для короткой стороны центрального диска, найдем
0.-4-«/(-5-8*+ -}-*).
Далее рассмотрим диагональную линию текучести.
Уравнение ее проекции есть г = 2fx2cT2, поэтому площадь й8, заключенная между нею и срединной поверхностью,
Q3 = --а2а+ - - j (г — г0) dx =
= (1-S)(2 + 2g-|a+ 1,5е).
Вычисление Ql9 fi2, fi3 необходимо для подсчета площадей (olt со2, со3 участков эпюры пластических деформаций, сосредоточенных вдоль линий текучести (рис. 4.3):
<А>1 = '^1Ф12» = ^2Ф13> = ^зФгз- (4*4)
Учитывая, что предельное погонное усилие растяжения в любой линии текучести равно o$h9 виртуальную работу внутренних сил представим выражением
з
Dt = 46^"/i 2 i=i
которое после подстановки формул (4.4) примет вид
D = 2о+ eyW (1 + ^2) (2 _ 3g2 + 2|3 + j 5е) (4 5)
36ат|)(1 — у v ' v '
где v = /Ь“1 — пологость оболочки; = аб-1 — отношение
пролетов. Вычислим теперь работу De внешней нагрузки,
3* 67
интенсивность которой равна q. Работа, совершаемая ею на возможных перемещениях пластического механизма, равна произведению q на объем V пространственной эпюры вертикальных возможных перемещений. Эпюра представляет собой усеченную пирамиду с единичной высотой и основаниями, размеры которых равны 2а X 26 и 2а\ X 2 так что
De = qV= 1,33qb^ (1 + \ + fc2). (4.6)
Вся энергия Det сообщаемая оболочке внешней нагрузкой, рассеивается пластически деформирующимся материалом в линиях текучести, поэтому Dt—De = 0. На основании этого равенства и выражений (4.5), (4.6) получаем ф„© - .
(4.7)
Кинематический принцип теории предельного равновесия утверждает, что среди всех нагрузок, описываемых равенством (4.7), верхней границе </<+> несущей способности отвечает min q, поэтому
<7(+) = of min Ф10 (£). (4.8)
Итак* минимизация Ф10 по | требует отыскания такого значения при котором функция Ф10 получит наименьшее значение. Поскольку £ — координата узловой точки в схеме излома, формула (4.8) означает анализ схем разрушения с различной величиной центрального диска. В условиях нашей задачи 0 ^ 1 величины е, у и — пара¬
метры, в каждом конкретном случае расчета принимающие определенные числовые значения.
□ Пример 4.1. Рассмотрим квадратную в плане оболочку (г|> = 1) с относительной толщиной е = 0,05 и пологостью у = 0,2. Так как Ф10— непрерывная функция одной переменной ее минимум определим дифференцированием.
Решая уравнение dO10/d\ = 0, находим один из корней | = 0,4, при подстановке которого в формулу (4.7) после перехода к полной нагрузке на оболочку получаем
Q = atb3 • 1,36 . 10-2, или К = 1,36 . 10“2. (4.9)
Если взамен условия <Х(Г5>а<?* примем, что материал оболочки одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, аналогично получим
К = 1,20 • 10—2. (4.10)
68
У свободно опертых оболочек изменение свойств материала от do” = ао* до do" ^ <J(t влечет за собой увеличение несущей способности на 13 % (для сравнения укажем, что аналогичный переход у однопролетной изгибаемой балки повышает ее несущую способность вдвое).
Приведем еще несколько результатов вычислений верхней границы несущей способности оболочек в соответствии с формулой (4.8). Для квадратных в плане оболочек г|> = 1 при еу = 1/150 и различных пологостях у:
у 1/3 1/4 1/5 1/8 1/10 1/15 1/20 Пласти¬
на
Ф10 • Ю8 . . . • 7,76 5,87 4,71 3,02 2,17 1,67 1,30 0,533
Поскольку толщина оболочки h = eyb, то при фиксированном произведении еу = const остается неизменным
отношение Л&”1. Из анализа результатов следует, что не¬
сущая способность при постоянной толщине почти линейно зависит от стрелы подъема и возрастает с ее увеличением. □
4.1.2. Классический кинематический метод. Рассмотрим прямоугольную в плане пологую оболочку с шарнирно вакрепленными краями. Ее жесткопластический материал следует обобщенному условию текучести Мизеса
Nl — NxNy + Nl+ 12ft-2 {Ml — MxMy + Ml) —
-Nl = 0, (4.11)
где Nx, Ny, Mx, My — внутренние усилия, отнесенные к единице длины сечения; N0 = o0h — предельная погонная продольная сила; а0 — предел текучести, одинаковый при растяжении и сжатии; h — толщина оболочки.
Условие (4.11) не содержит сдвигающих сил и крутящих моментов, так как они слабо влияют на переход материала в пластическое состояние [661.
Используя закон течения, ассоциированный g (4.11), найдем полную величину/^ рассеивания внутренней энергии в оболочке при ее пластическом деформировании:
Dt = 2N0lfV3;
i
1 = I [е* + + г» + ТУ (х* + + и2)] dn> 12)
Здесь скорости осевых и изгибиых деформаций гх, гу, itx, описываются обычными соотношениями теории пологих оболочек.
69
Мощность внешней поперечной нагрузки можно представить выражением *
De = J ЯУ\ (*. у) W (х, у) dn = qE, (4.13) п
где q — скалярный множитель; г) (х, у) — поле конфигурации нагрузки. Приравнивая правые части равенств (4.12) и (4.13), получаем зависимость, описывающую предельное значение множителя q,
q(+) = (2N0/V3) min IE~\ (4.14)
Величйна IE~l — функционал, определенный на множестве кинематически допустимых полей скоростей прогибов W, что справедливо только для задачи об оболочке с неподвижными краями — тогда принимают кинематическую гипотезу V = U = 0. В общем же случае вариационная задача (4.14) решается отысканием одновременно полей U (х, у), V (х, у) и W (х, y)t минимизирующих функционал 1Е~\
Для решения задачи (4.14) применим сеточную дискретизацию и тем самым сведем проблему минимизации функционала к поиску минимума некоторой функции.
Размеры горизонтальной проекции оболочки равны 2а и 26. Считая, что срединная поверхность, условия закрепления и нагружения симметричны относительно двух координатных плоскостей, разобьем 1/4 часть оболочки на п частей в каждом направлении.
Срединную поверхность опишем множеством аппликат гч (*» / = 1» л+ 1), проведенных в узлах образовав¬
шейся сетки. Аналогично представим поля толщин А*/ и нагрузок qtj. Далее, взамен размерных величин г*/, А*/, qtj введем безразмерные:
0»/ = ZijZ\Т1; etf = ftf/йГ1; %/ = ЯчОи * где 2П, An, qxl—аппликата срединной поверхности, толщина и нагрузка в центре оболочки.
Пологость охарактеризуем у = гпЬ~19 а конфигурацию в плане — коэффициентом t|) = ab~~l. Кроме того, введем безразмерное поле скоростей вертикальных перемещений
w = W (enyb)~\
Множества 0t/, ец, т\ij удобно рассматривать как квадратные матрицы очертания, толщины и нагрузки; размер каждой из них равен п х п. Теперь проект оболочки впол¬
70
не описан матрицами 0 и в, а также числами у и г|>. Величина и конфигурация нагрузки представлены числом qn и матрицей т).
Произведем конечноразностную дискретизацию функционала IEна основе принятых обозначений. Переходя к полной нагрузке на оболочку
п п
Q = <7n£ £ Hi/ДлгДу, i=1 /=1
для верхней границы предельной нагрузки получим
2N п п
Q = -у^1- Ё jS Т1</ min (/dEI1). (4.15)
п п 1 п п
Здесь Ia — y'L S ецр f. ; Ed = £ S a'i/ty,; =
«=/ /=! *' i=l /=i
e?
= 4 + СцйцУ|> 2 + d2/ н—(^7/t|) 4 + tijr2 + r?/)!
C;/, d({, tq, rt,— конечноразностные аналоги производных
Л/011— предельное усилие на еди-
дх2 9 ду2 * д*3 о#2
нице длины в центре оболочки.
В представленном виде формула (4.15) —это задача о минимуме функции !dEj\ независимые переменные которой — узловые скорости прогибов wij9 их количество N = 0 \{п — 1)а]. Чтобы упростить ее, примем по аналогии с теорией сосредоточенных пластических деформаций
А. Р. Ржаницына [62] поле wtj в виде усеченной пирамиды (см. п. 4.1.1). Тогда при w1± = 1 единственной переменной будет размер меньшего основания пирамиды.
Для окончательного построения поля wtj требуется соблюдение условий закрепления краев оболочки. На границе области это достигается формированием соответствующих значений скоростей прогибов в законтурных точках. Известно [68], что для шарнирно-неподвижного опирания необходимо, чтобы значения wtj в законтурных точках были равньг значениям wtj в соответствующих предконтурных точках, взятых с обратным знаком. При защемлении краев wtj в законтурных точках и в предконтурных точках равны по величине и знаку.
□ Пример 4.2. В п. 4.1.1 для квадратной в плане пологой оболочки с трансляционной срединной поверхностью (см.
71
формулу (4.1)) при относительной толщине е = 0,05, свободном опирании краев и пологости у = 0,2 получен результат (4.10).
Решение начнем с построения матрицы 0 фермы поверхности: Qtj = 0in + 0п/, где вп/ и 0*„ — л-я строка и п-й столбец. Примем п = 6. Если образующая и направляющая — квадратные параболы, то 0П/ = 0*Л = (0,500, 0,488, 0,466, 0,380, 0,283, 0,155, 0,00)г.
Положим далее вц = 0,05 (/, / = 1,2, ..., п + 1) ит|// = = 1, что соответствует постоянной толщине и равномерной нагрузке. Примем также пологость у = 0,2.
При вычислениях по формуле (4.15) учтем, что N01l = ojin = ena0by. После вычислений получим для оболочки с шарнирно неподвижными краями
/С(+) = 1,404 • ИГ*. (4.16)
Эта оценка на 16 % превышает результат (4.10). Хорошее согласование результата (4.16) с прежней оценкой (4.10) свидетельствует о правильности предлагаемой методики.
Теперь рассмотрим шарнирно закрепленную оболочку с невыпуклой трансляционной поверхностью (рис. 4.4, г), у которой л-я строка и л-й столбец матрицы 0 имеют вид вп/ = От = (0,500, 0,463, 0,413, 0,350, 0,283, 0,112, 0,00)Г. При е = 0,05, 1\ц = 1 (/, / = 1, 2, ..., п + 1), У = = 0,2 и л = 6 верхняя граница относительной предельной нагрузки
tf+> = 2,952 • 10-2. (4.17)
Так как результаты (4.16) и (4.17) получены для оболочек, отличающихся только формой срединной поверхности, то сопоставление этих оценок позволяет судить именно о влиянии вида поверхности на несущую способность. □
Функционал (4.14), его дискретный аналог (4.15) и результаты (4.16), (4.17) получены в предположении, что материал оболочки подчиняется условию текучести Мизеса (4.11). Рассмотрим теперь оболочку из материала, следующему обобщенному условию текучести Иогансена, которое предполагает, что в предельном состоянии внутренние усилия независимо друг от друга достигают своих граничных значений.
Применительно к рассматриваемой задаче такой подход означает, что каждый из внутренних силовых факторов, например NX9 может быть представлен следующим образом:
Nx = Nik, если е*>0; Nx = N^, если ё*<0. (4.18)
72
Соотношения, аналогичные (4.18), запишем для остальных пяти величин Ny, Nxy, Мх, Му и Мху. Тогда взамен выражения (4.12) для рассеивания внутренней энергии получим
= 5 (Мхгх + Nyey + Nxyzxy + Мхях + Муку +
п
+ MxyKxy)dП, (4.19)
где виртуальные скорости осевых и изгибных пластических деформаций кх, &у, еху, кх, ху, нху, как и прежде, определяются соотношениями теории пологих оболочек, a Nxt ..., МХу вычисляют в соответствии с (4.18).
Для предельных значений осевых, сдвигающих сил, изгибающих и крутящих моментов введем такие обозначения:
N& = Ooha.1 (х, у)\ Nty = o0ha2(x,y)\
Nqx = a0ha3 (*, у); N^ = a0haZ (x, y)\
N о* у = a0ha4 (jc, i/),
Mtc = o0/i2a5 (x, y); Mty = o0h2ctQ (x, y); (4.20)
MZ = a0/i2a7 (x, у); = o0/i2a8 (x, y);
MoXy ~~ o0h2ct9 (x, i/),
где h — толщина оболочки в вершине (h = exlyb)\ al... a9 — безразмерные функции координат, описывающие прочностные свойства оболочки в разных точках поверхности. Знак «+» означает растяжение и положительный изгиб.
В соответствии с принятыми обозначениями выражение (4.19) примет вид
П П
Di = У Е Е ецАц\
»=1 /=1
4 р Аи = (al V “3) С1,/1)Г2 + («2 V «3) Dh, + у(п^тщ +
+ е„ [(a5 V “7) + (аб V «8) г„ + а9
и на его основе получим новый функционал
(4.21)
отличающийся от функционала (4.15) видом использован ного условия пластичности.
73
□ Пример 4.3. Пусть в простейшем случае материал оболочки изотропный и одинаково сопротивляется растяжению и сжатию. Тогда всюду а1 = а2 = аЗ = 1, а4 = 0,57, а5 = аб = а7 = а8 = 0,25, а9 = 0,025.
Применяя к задаче (4.21) описанную выше процедуру минимизации, получим для пологой оболочки с трансляционной поверхностью (4.1) толщиной е*/ = 0,05 при у = 0,2 в случае равномерной поперечной нагрузки и при шарнирном закреплении краев
К(+)= 1,68 . 10-2. (4.22) п
Сопоставление результатов (4.16) и (4.22) позволяет оценить влияние вида условия текучести и закрепления краев на верхнюю оценку предельной нагрузки. Учтем, что принятое здесь условие пластичности Иогансена (4.18) геометрически соответствует гиперпараллелепипеду, описанному вокруг точного условия Мизеса,— последнее в шестимерном пространстве обобщенных усилий является гиперэллипсоидом.
С точки зрения классического анализа условие (4.18) весьма «грубое» и должно поэтому приводить к достаточно завышенным оценкам предельной нагрузки. О том, насколько в действительности эти оценки получаются завышенными, позволяет судить сопоставление результатов (4.16) и (4.22) — расхождение между ними не превышает 20 %.
4.3.1. Аналитический метод. Пусть по-прежнему жесткопластический материал оболочки одинаково сопротивляется сжатию и растяжению и следует обобщенному условию текучести Иогансена, предполагающему полную независимость внутренних силовых факторов друг от друга в предельном состоянии [22].
Для получения нижней оценки предельной нагрузки воспользуемся статическим методом теории предельного равновесия. В соответствии 6 ним отыщем такое распределение внутренних усилий* которое не нарушало бы условий равновесия и текучести, не противоречило бы условиям закрепления и доставляло бы максимум интенсивности внешней нагрузки.
В рассматриваемой оболочке внутренними усилиями являются нормальные Nx> Nyf сдвигающие Nxy и поперечные силы Qx, Qy, изгибающие МХ9 Му и крутящие моменты Мху. Установлено, что влияние поперечных сил на переход материала оболочки в пластическое состояние настолько мало по сравнению с влиянием остальных силовых факторов, что действием Qx и Qy обычно пренебрегают.
74
Описание задачи начнем с условия равновесия. Для пологой оболочки они имеют вид
b N I *>/» N h N \ ^Мх *» дШху I ^Му I
RXNX -j- lRxuNXy RyNy Н ^ г -jx-dy + -щ- +
+ Я = 0; dNx , ™ух _ dNy , dNxy
дх + ~щг = °: ^+т = °- <4-23>
Здесь kx, ky, kxy — кривизны срединной поверхности оболочки в направлении координатных осей ох, оу, а также кривизна кручения. Их определяют дифференцированием уравнения г = г (х, у) по координатам, а именно:
ь _ дЧ • ъ — дЧ • ь — а22 *х ~~ а*2 .* у ~~ ду* * *** *
Дифференцируя уравнение (4.1) срединной поверхности, получим при fi = f2 = 0,5/ и a = b
kx = ky = k = yb~l; kxy = 0. (4.24)
Далее, поскольку принято, что края оболочки защемлены, то Nx, Ny, Nxy, Мх, и УИ^ могут принимать любые значения, и никакие ограничения не накладываются.
Обобщенное условие текучести Иогансена предполагает, что для пластического течения материала необходимо, чтобы каждый из шести внутренних силовых факторов NX1 Nу, ..., МХу порознь достигал своего предельного, значения [22]. Например,
Nx = N{£\ или Nx = Nox
в зависимости от знака деформации. Здесь N^x и — предельные осевые усилия, воспринимаемые оболочкой при растяжении и сжатии. В задаче принято, что материал оболочки одинаково сопротивляется сжатию и растяжению, и потому N & = Nfo = Nox.
Переходя к безмоментной постановке задачи, введем внутренние безразмерные усилия:
пх = NxNto\ пу = NyN^; пх„ = N ,uNZxy. (4.25)
Обозначим также q = /?а0. Учитывая изотропию материала, заметит, что Nox= Noy = N0. Теперь из первого уравнения равновесия (4.23) следует
— N0k (пх .+, пу) + ро0 = 0.
Поскольку предельная погонная осевая сила N0 = = <тД то
kh (пх + Пу) + р = 0.
7F-
Вводя безразмерную толщину е = h (уЬ) г, получим окончательно g учетом (4.24)
— еу*(пх + пи) +Р = 0,
откуда
Р = еу*(пх + пу). (4.26)
Величины пх и пу как функции координат х и у описывают безразмерные поля внутренних усилий. Задача состоит в отыскании таких полей rtx (х9 у) и пу (*, у), чтобы р -*• шах. Понятно, что при фиксированных е и у шах р = = еу2 шах (пх + пу).
Таблица 4.1. Сопоставление верхних и нижней оценок предельной нагрузки
Метод решения
Описание задачи
Несу¬
щая
способ¬
ность
условие текучести
опирание краев
Статический
Иогансена
Защемление
1,60
Кинематически й:
классический
Иогансена
Шарнирное
1,68
Мизеса
1,40
по теории линий
Иогансена
Свободное
1,20
текучести
Предположим, что в оболочке с защемленными краями нормальные силы слабо изменяются при переходе от одной точки поверхности к другой, тогда
(х> У) = пу (х> У) = const = D.
Предположение вполне правдоподобно, так как удовлетворяются второе и третье уравнения равновесия (4.23). Теперь получаем
max р = 2еу2 шах D,
но поскольку
шах D = шах пх
и по определению (4.25) max л* = 1, то max D = 1. Поэтому
р{~' = 2еу2. (4.27)
Формула (4.27) описывает нижнюю границу предельной равномерно распределенной нагрузки на пологую оболочку из идеального жесткопластического материала Иогансена со срединной поверхностью (см. формулу (4.1)) и защемленными краями.
76
Интенсивность предельной нагрузки q(~) = рай = 2а0еуг, ц полная нагрузка на всю оболочку
Q(_) = 4b2q = 8a0b2ey2.
Переходя к безразмерной полной нагрузке, получим
/(«“» = 8еу2. (4.28)
□ Пример 4.4. Оболочка с пологостью 7 = 0,2 имеет относительную толщину е = 0,05. Из (4.28):
К(“}= 1,6- 10“2. (4.29)
Результаты (4.27) и (4.28) найдены здесь для частной задачи в замкнутой форме. В более общем случае решение задачи о нижней границе несущей способности можно получить численным методом.
В табл. 4.1 сопоставлены результаты, полученные для оболочек с поверхностью в виде эллиптического параболоида, с = 0,05, у = 0,2 при равномерной нагрузке. □
4.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
4.2.1. Тонкие гладкие оболочки. Оценим влияние формы срединной поверхности, условий закрепления и нагружения на предельную нагрузку.
□ Пример 4.5. Рассмотрим оболочку со срединной поверхностью (см. формулу (4.1)), расчет которой приведен в [69]. Ее исследовали при жестком и шарнирно-неподвижном закреплении краев. Предельные нагрузки:
Qi = 1,6 MsK~\ q2 = 1,375MSJT2,
где Ms = W = ft2/6, X — шаг сетки.
На основании данных о размерах и толщине, приведенных в [69], найдем безразмерные параметры е = 0,5; у = = 0,1; г|) = 1, а затем представим предельные интенсивности нагрузки в виде, удобном для сопоставления:
qx = 1,6MSA.-2 = 0,0667OohWb-2 = 0,01067<r0; q2 = 1.375/WsAT2 = 0,00917<xo или в безразмерном:
tfi_> = 10,67 . 10“3; tfr’ = 9,17 • 10"3. (4.30)
Теперь вычислим верхнюю границу несущей способности для обеих оболочек в соответствии с методикой, описанной в п. 4.1.2. и получим:
/0+) = 13,62 • Ю-3; #2+) = 10,05 • КГ8. (4.31)
77
Результаты (4.30) и (4.31) хорошо согласуются: расхождение в верхней и нижней оценках составило 21,6 и 8,4 %.
□ Пример 4.6. Круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины длиной 2а = 2R, шириной 2b = R, толщиной h = 0,01 R имеет стрелу подъема / = 0,133 R (R — радиус кривизны срединной поверхности). Переходя к безразмерным параметрам, получаем е = 0,075; у = 0,226; i|) = 2.
Для такой оболочки, выполненной из изотропного материала Мизеса, получена безразмерная верхняя оценка интенсивности равномерной нагрузки [30].
p0 = P0R(N0)~l = 1,04,
где Р0 — интенсивность внешней нагрузки; N0 = o0h — предельное осевое усилие текучести на единице длины. Оценку преобразуем следующим образом:
Ро = P0RN0~l = Ko0R (i|xj0/t)-1 = 2/С (i^y)-1, откуда при р0 = 1,04, е = 0,075, у = 0,266 и г|) = 2 следует
К[+) = 2,08 • 10_3. (4.32)
Расчет несущей способности цилиндрической оболочки [30] по методике, приведенной в п. 4.1.2, дает результат
К+ = 2,07 • 10-3, (4.33)
а расхождение между оценками (4.32) и (4.33) составляет 0,5 %. □
Еще одна группа задач позволяет оценить влияние формы срединной поверхности на несущую способность оболочки.
□ Пример 4.7. Выберем оболочки, материал которых подчиняется условию текучести Мизеса и имеет параметры е = = 0,05; у = 0,2; г|> = 1,5 при жестком закреплении краев и действии равномерной поперечной нагрузки.
Рассмотрим четыре вида срединной поверхности: цилиндрическую невыпуклую оболочку, эллиптический параболоид, поверхность с плоским опорным контуром и невыпуклую трансляционную поверхность (см. рис. 4.4).
Для оболочки со срединной поверхностью, показанной на рис. 4.4, а, верхняя оценка несущей способности К X X 10”2 = 0,571. Соответственно для оболочек, изображенных на рис. 4.4, б...г они равны 0,376, 0,857 и 0,513.
Так как площадь поверхности оболочек одинакова (различие не превышает 1,1 %), то одинаков и расход ма-
78
териала. Поэтому приведенные результаты действительно характеризуют индивидуальные несущие свойства различных поверхностей. 9
□ Пример 4.8. Исследуем влияние условия текучести и пологости оболочек на предельную нагрузку. Примем, что
Рис. 4.4, Срединные поверхности пологих оболочек:
а — о плоским опорным контуром; б — эллиптический параболоид] в — цилиндрическая; г — трансляционная.
материал квадратной в плане пологой (у = 0,2) оболочки с трансляционной срединной поверхностью в виде эллиптического параболоида одинаково сопротивляется сжатию и растяжению. Рассмотрим при свободном и шарнирно-неподвижном опирании две оболочки — из материала, следующего условию текучести Надаи и Иогансена. Результаты вычислений по методике, описанной в п. 4.1.2, увеличены в 100 раз и сведены в табл. 4.2.
Данные, полученные на основе классического предельного анализа для случая свободного опирания (см. табл. 4.2), хорошо согласуются с аналогичными (см. формулу (4.10)).
Исследуем влияние пологости на несущую способность и форму разрушения при неподвижном опирании краев оболочки из материала, следующего условию текучести Иогансена, с одинаковыми пределами текучести при растяжении
Таблица 4.2. Зависимость несущей способности от условия текучести и опирания краев
Опирание
У словие текучести
Иоган¬
сена
Надаи
Свободное
1,01
1,15
Шарнирно-не-
1,68
1,40
подвижное
79
и сжатии р = 1. Изменяя у, будем соответственно менять и е так, чтобы толщина h = eyb оставалась постоянной. Из табл. 4.3 следует, что с увеличением стрелы подъема оболочки ее предельная нагрузка возрастает линейно. Для достаточно пологих оболочек характерно пластическое разрушение всей поверхности (£2 = 1), в то время как более выпуклые разрушаются локально (£а < 1), зона разрушения уменьшается о ростом стрелы подъема (£2 = 0,5, затем 12 = 0,3). Последний вывод хорошо согласуется с результатами экспериментов [17], где отмеченные факты наблюда-
Таблица 4.3. Зависимость несущей способности и формы разрушения от пологости
V
Показатели
0,2
0,3
0.4
0,5
Несущая способность К • 102
1,68
2,48
3,28
4,08
Параметры формы разрушения: il
0
0
0
0
£2
Относительная толщина е
1
0,05
0,5
0,033
0,3
0,025
0,3
0,02
лиеь в опытах с моделями других оболочек различной пологости.
Для всех оболочек характерна пирамидальная форма разрушения без центрального диска (1х = 0). □
4.2.2. Оболочки под действием сосредоточенных сил. В производственных зданиях, перекрываемых оболочками, используются подвесные транспортные устройства. Усилия от них в виде сосредоточенных нагрузок передаются непосредственно на покрытие. Большинство решений, полученных для прямоугольных в плане оболочек [34, 40, 56, 611, относится и действию лишь центрально приложенных сил.
□ Пример 4.9. Рассмотрим пологую прямоугольную в плане оболочку постоянной толщины с произвольно закрепленными краями. Ее срединная поверхность может иметь положительную, отрицательную или знакопеременную гауссову кривизну. Материал оболочки следует обобщенному условию пластичности Иогансена. Именно выбор конфигурации поля W (х, у) составляет особенность рассматриваемых здесь задач и отличает их от задач предельного анализа оболочек при других, например, распределенных воздействиях.
Вариационную задачу о минимуме функционала сведем к отысканию минимума функции нескольких переменных.
80
Для этого воспользуемся сеточной дискретизацией. Если в качестве независимых переменных принять скорости прогибов в каждом узле сеточной области, то даже при негустой сетке такой подход приводит к громоздким вычислениям и становится неэффективным.
Другой подход состоит в выборе конфигурации полей W (х, у) из множества функций специального вида. Будем искать W (х, у) в виде произведения двух функций, применяемых обычно для описания распределения вероятностей Гаусса [19]
* <*• »> “ sk[exp(-l|r)«p(-l|r)]- <«4>
Рис. 4.5. Срединные поверхности оболочек:
at в — гауссовой кривизны соответственно положительной и знакопеременной; б — отрицательной.
где 6 — амплитуда; о± и <j2 — параметры; 2а — больший пролет оболочки. Теперь независимо от принятой сетки задача сведена к минимизации некоторой функции переменных и а2.
Выбор поля W (х, у) в виде (4.34) обладает тем достоинством, что позволяет рассматривать разнообразные конфигурации полей скоростей прогибов [19]. Удовлетворение граничных условий обеспечивается соответствующим формированием значений в законтурных точках.
Прежде чем перейти к описанию и анализу новых результатов, решим задачу о центрально приложенной силе. В качестве эталона примем и далее всюду будем рассматривать квадратную в плане оболочку с поверхностью в виде эллиптического параболоида (рис. 4.5, а) со стрелой подъема f = 0,2Ъ и толщиной е = 0,05. Безразмерную нагрузку представим увеличенной в 104 раз.
При разбиении оболочки сеткой 12 X 12 и нагрузке, сосредоточенной в центральном узле, а также при одинаковых пределах текучести при растяжении и сжатии на основании (4.34) получаем
К (+) = 3,21. (4.35)
81
При нагружении середины оболочки по схеме, показаний на рис. 4.6,
Ki+) = 12,2, (4.36)
а при равномерной нагрузке на всей поверхности
К(+) = 164,1 (4.37)
О надежности принятого способа (см. формулу (4.34)) конструирования полей W (х, у) свидетельствует точное совпадение оценки (4.37) о многочисленными прежними оценками, например, (4.22), полученными при иных предположениях относительно вида функции W (х, у).
Результат (4.36) хорошо согласуется с оценкой Q = = 4nm0t полученной [61] в предположении, что часть оболочки вблизи точки приложения силы приближенно заменена плоской пластинкой. Действительно
Q = 4пт0 = noji2 = лог0 (0,2 • 0,05)2 Ьа;
К(+) = 3,14.
Вместе с тем результаты, приведенные в [1, 61], существенно отличаются от (4.35):
К\+) = 40,0; М+) = 43,6. (4.38)
Чтобы выяснить, какие же оценки — (4.35) или (4.38) — истинны, обратимся к экспериментам.
При испытании моделей железобетонных оболочек (2ft X 26 = 222 X 222 см, у = 0,126, е = 0,107) сосредоточенную силу прикладывали в центре оболочки [56]. Предельная нагрузка составила 9,67 кН у модели с пределом текучести материала ст0 = 23,7 МПа и Q = 13,5 кН у модели, где а0 = 33,2 МПа. Соответствующие безразмерные значения предельных нагрузок:
К'=-$г= 2,37°,6Ш» =3'38’ Л" = 3,30. (4.39)
Учтем, что несущая способность пропорциональна еуа. Для этих оболочек еу2 = 0,0017, а для оболочек, рассматриваемых в настоящем разделе, еу2 = 0,002. После пересчета
Рас. 4.6. Схема нагружения участка оболочки системой сосредоточенных сил.
та оценки (4.39) приобретают вид:
К1 = 3,86; Ки = 4,0. (4.40)
В опытах [33], где исследовали железобетонные модели оболочек (2b X 2Ь = 200 X 200 см, у = 0,4 и е = 0,015) при действии нагрузки, равномерно распределенной по кольцевому штампу диаметром 23,7 см, несущая способность составила 5,59 кН. Так как предел текучести материала о0 = 38,5 МПа, а еу2 = 0,0025, то окончательная предельная нагрузка
К= 1,45. (4.41)
Сравнивая оценки (4.40), (4.41) е результатами (4.35) и
(4.38), замечаем, что более правдоподобна оценка (4.35), а предельная нагрузка
(4.38) значительно завышена. □
□ Пример 4.10. Теперь рассмотрим некоторые новые задачи. Они решены для схемы нагружения, показанной * на рис. 4.6.
В табл. 4.4 представлены оценки несущей способности с трансляционной срединной поверхностью в виде эллиптического и гиперболического параболоидов (см; рис. 4.5, а и б) из материала с различными пределами текучести при растяжении и сжатии. В дальнейшем увеличение р примем как рост aJT при фиксированном at•
Обе оболочки имеют равные главные кривизны, поэтому неудивительно, что в частном случае равносопротивляющегося материала р = 1, несущая способность обеих оболочек одинакова, несмотря на разные знаки кривизны. С увеличением отношения р пределов текучести несущая способность оболочки с положительной гауссовой кривизной поверхности растет гораздо быстрее. □
□ Пример 4.11. Вторую группу результатов образуют оценки несущей способности оболочек с поверхностью в виде эллиптического параболоида при р = 1, полученные в предположении, что центр нагрузки последовательно располагается в различных точках поверхности.
Из рис. 4.7, а следует, что область, внутри которой несущая способность тонких оболочек не зависит от положения сосредоточенной нагрузки и от способа закрепления краев, достаточно велика (эта область заштрихована на схе-
Таблица 4.4 Зависимость несущей способности от формы поверхности и относительной прочности материала при сжатии
р
Форма срединной поверхности
см. рис. 4.5,а
см. рис. 4.6,6
1
12,2
12,2
10
60,4
40,4
20
104,9
67,7
83
пах). Граничные условия заметно влияют на предельную нагрузку при локальном нагружении лишь в непосредственной близости от края, что подтверждают выводы 119]. □
□ Пример 4.12. Шарнирно опертые оболочки из равносопротивляющегося материала р = 1 имеют трансляционную срединную поверхность в виде эллиптического параболоида. Здесь у = 0,2, h = (0,0; 0,1; 0,15; 0,2) /. Оценки
а 6
Рис. 4.7. Зависимость несущей способности оболочки от параметров нагрузки:
а — от положения точки нагружения на оси или на диагонали плана; /, //*■» перемещения соответственно по диагонали и по оси защемленной оболочки; ///, IV ~ перемещение соответственно по оси и диагонали плана шарнирной оболочки; б — от положения точки нагружения на диагонали плана и от тол* щины; /.../// и V — А соответственно равна 0,2/, 0,15/, 0.1/, 0,05/; IV — h — <0.05/, срединная поверхность о плоским опорным контуром.
несущей способности при последовательном расположении сосредоточенной нагрузки в точках 1...6 диагонали представлены на рис. 4.7, б, где нижняя линия h = 0,05/ идентична линии 4 на рис. 4.7, а
С увеличением толщины изменение предельной нагрузки «ри движении точки нагружения вдоль диагонали становится немонотонным. На схеме (см. рис. 4.7, б) заштрихована область, внутри которой при локальном нагружении можно добиться наибольшей несущей способности. Этот эффект, здесь установленный теоретически, хорошо согласуется с результатами опытов [33], где смещение сосредоточенной
84
нагрузки из центра оболочки в точку 3 повысило несущую способность на 27 и 32 %.
Для результатов, представленных на рис. 4.7, б, проследим определенную тенденцию в изменениях форм разрушения: движение центра нагрузки от точки 6 к точке 1 сопровождается локализацией поля скоростей прогибов. Эта тенденция наиболее отчетливо выражена у более толстых оболочек. При переходе от точки 6 к точке 1 параметры аг и сг2, характеризующие степень локальности поля W (*, у)9 монотонно изменяются от ах = а2 = 0,9 до аг = а2 = 0,6.
Таблица 4.5. Зависимость несущей способности оболочки от пологости и толщины
V
e = hf—1
од
0.2
0.3
0,4
as
0,01
0,1
82,6
402,3
122,2
451,6
145,8
500,5
169,5
547,0
191,1
593,5
На рис. 4.7, б штриховой линией показаны значения /С безразмерной несущей способности для шарнирно опертой оболочки с относительной толщиной е = 0,05 и срединной поверхностью
г = f (1 - х2а~2) (1 — у2Ь~2), (4.42)
представленной на рис. 4.5, в и отличающейся знакопеременной гауссовой кривизной. Две нижних линии на рис. 4.7, б позволяют сопоставить несущие свойства оболочек, показанных на рис. 4.5, а ив, при локальном нагружении.
Разрушение оболочки (4.42) во всех точках нагружения 1...6 сопровождается образованием более локализованного поля скоростей прогибов аг = о2 = 0,5, чем разрушение строго выпуклых оболочек.
□ Пример 4.13. Расчет оболочки из равносопротивляющегося материала р = 1 с трансляционной срединной поверхностью положительной гауссовой кривизны. Здесь для оболочек постоянной толщины при локальном нагружении в центре исследована зависимость несущей способности и формы разрушения от пологости. Как видно из данных табл. 4.5, увеличение стрелы подъема сопровождается почти линейным ростом предельной нагрузки, при этом поле W скоростей прогибов становится более локализованным.
Таким образом, выбор кинематически допустимых полей скоростей прогибов W (х, у) в виде (4.34) позволяет успеш¬
85
но решать задачи о верхней границе несущей способности пологих оболочек при локальном нагружении. Защемленные оболочки положительной гауссовой кривизны всюду хорошо сопротивляются локальным воздействиям, а шарнирно опертые оболочки лишь незначительно снижают несущую способность при нагружении вблизи края. □
4.2.3. Оболочки из железобетона. Железобетон при сжатии, растяжении и изгибе обнаруживает хорошо выраженные пластические свойства и поэтому с достаточной для практики степенью точности может рассматриваться как идеальный жесткопластический материал. Существенная особенность железобетона — способность неодинаково сопротивляться сжатию и растяжению.
Для описания свойств материалов с неодинаковыми пределами текучести при растяжении и сжатии в механике известны условия пластичности Баландина, Надаи, Стасси д'Алиа и другие. Все они могут рассматриваться как различные обобщения условия текучести Мизеса для равносопротивляющегося материала: устремив к единице отношение пределов текучести, действительно получаем условие текучести Мизеса.
Обычные условия текучести для неравносопротивляющихся материалов не пригодны для предельного анализа железобетонных оболочек по ряду причин.
Условия пластичности Баландина, Надаи, Стасси д'Алиа описывают поведение хрупко-пластических материалов, чувствительных к всестороннему сжатию. Характерной проекцией поверхности, представляющей такое условие, на одну из координатных плоскостей является очень вытянутый эллипс (рис. 4.8), причем отношение его осей тем больше, чем больше отношение пределов текучести при растяжении и сжатии.
Свойство хрупкопластичности проявляется в том, что при трехмерном и даже двумерном сжатии несущие свойства материала могут увеличиваться в несколько раз или даже на порядок — сравним точки 3 и 4 с точками 1 и 2 на рис. 4.8. Такое явление не характерно для железобетона — его прочность мало увеличивается при всестороннем сжатии.
Более удовлетворительно реальные свойства железобетона описывают линеаризованные условия Надаи и Стасси д'Алиа. Один из способов линеаризации представлен на рис. 4.8 штриховой линией, однако такая линеаризация настолько далека от исходной формы, что имеет смысл говорить о совершенно ином самостоятельном условии текучести.
Из-за несоответствия перечисленных традиционных усло¬
86
вий текучести реальным свойствам железобетона результаты расчетов получают вид, также несвойственный железобетонным конструкциям. Например, из опытов известно, что увеличение прочности бетона лишь незначительно и ограниченно увеличивает несущую способность железобетонных оболочек при свободном опирании (сплошная линия на рис. 4.9). Между тем расчеты на основе условия текучести Надаи, например, приводят к интенсивному и неограничен-
Ч\
/
/
/
у
/
/
у
/
г
/
/
7
Рис. 4.8. Условия текучести крупкопластических материалов:
I — условия Надаи; II — линеаризованное условие.
Рис. 4.9. Зависимость несущей способности от предела прочности при сжатии:
1 — материал, подчиняющийся условию текучести Надаи; 2 — экспериментальная зависимость.
ному росту несущей способности (штриховая линия на рис. 4.9).
Отметим, что линеаризованное условие (см. рис. 4.8) дает весьма правдоподобные результаты.
Обычные условия пластичности для идеальных разносопротивляющихся материалов используют две константы — пределы текучести при сжатии и растяжении. Между тем, для детального описания свойств железобетона помимо этих констант необходимы еще коэффициенты армирования в разных направлениях, а также предел текучести арматуры. Поэтому условие пластичности железобетона должно иметь более сложную форму, чем традиционные условия пластичности.
Опишем теперЪ условия текучести, специально предназначенные для железобетонных конструкций. В наиболее общем виде такое условие сформулировано Г. А. Гениевым, В. Н. Киссюком и Г. А. Тюпиным [12]:
&х + Оу + <*2 — (Ох°у + вуОг + &гах) — (Rb — Rbt) fox +
+ Оу + <**) + 3 (тхУ + т^2 + tL) — (2a* — о у — ог) —
87
— \iyRs (2 а у — ог — ax) — \izR8 (2 ог — oy — ox) +
4" Rs (fA* 4“ 4“ М'дсМ'я H'zH'x) "4“
+ (Rb — Rbt) (l*x "f l^i — RbRbt = 0, (4.43)
где R$ — предел текучести стальной арматуры; fix, \iy и |x2 — коэффициенты армирования в трех координатных направлениях; Rb и Rbt — прочность бетона при сжатии и растяжении.
Вводя обозначения Rbt = oS9 Rb = р<js и переходя к двумерному случаю, получим из (4.43)
al — ахау + а2у — as (р — 1) (ох + ау) + 3 о\у —
— — аи) — \iyRs (2ау — ах) + R2 (ц£ + |t« —
—!»*!**)+ (Р — 1) (М* + И-v) Rs — pRt = 0. (4.44)
Условия текучести (4.43) и (4.44) сформулированы в напряжениях. Между тем решение задач о несущей способности железобетонных оболочек требует формулирования условий пластичности в пространстве внутренних усилий.
Один из способов получения условия текучести для оболочки состоит в интегрировании условия в напряжениях по толщине оболочки, однако такой путь не приводит обычно к желаемым результатам ввиду затруднений при интегрировании. Другой путь заключается в допущении о мгновенной пластификации сечений оболочки в тот момент, когда на ее поверхностях напряжения достигли пределов текучести. Используя такое допущение, получим на основе
(4.44) условие текучести для железобетонной оболочки
Nl ~ NxNy + Л^ + 3 N% + 12h~2 (Ml - МХМ„ + М2У +
+ 3М2ху) - as h (р - 1) (N, - NУ) - nxRsh (2Ns - Ny) -
- (iyRsh (2Ny - Nx) + Rlh* (|4 - № + +
+ RsGsh* (p — 1) (fix + \iy) —pa2 = 0. (4.45)
Избежать интегрирования по толщине и связанных с ним трудностей можно, если выделить элемент железобетонной оболочки и сформулировать для него условие текучести непосредственно в усилиях. Таким путем получили независимо друг от друга условие пластичности для железобетонной оболочки Н. И. Карпенко [32] и С. Т. Мор ли [86]:
\МХУ — 0,5 tNxy)* — (Мх — 0,5 tNx — М„) (Му — Q,btNy —
— М ту) ^ 0;
Мх — 0,5tN, — М,х <0; Му— 0,5 tNy — Мту < 0;
88
(Мху - 0,5tNxy)* - (- Мх - 0,5tNx - М'тх) (- Му -
— 0t5tNy — M'Ty)^0\
— Мх — 0,5 tNx — М*тх < 0; —Му — 0,5 tNy — М*ту < 0,
(4.46)
где МТХ9 Мт^, М™, — предельные изгибающие моменты
на единице длины в направлении осей ОХ и OY при положительном и отрицательном изгибе; t — плечо внутренней пары, предполагаемое одинаковым во всех точках оболочки. Формальное отличие условия текучести (4.45) от условия
(4.46) состоит в том, что первое в пространстве внутренних усилий представляет регулярную поверхность, в то время как второе состоит из шести поверхностей, в результате пересечения которых образуется некоторая гиперповерхность; она наряду с «гладкими» участками содержит ребра и вершины.
Общее свойство обоих условий текучести (4.45) и
(4.46) — форма описания: в них все внутренние силовые факторы связаны уравнением вида
F (Nx, Nyt Nxyt MXi My9 Mxy) = k. (4.47)
Тем самым учитывается взаимное влияние всех силовых факторов при достижении материалом оболочки пластического состояния.
Условия текучести типа (4.45) называют условиями о полным взаимодействием внутренних усилий. От них отличаются условия с частичным взаимодействием, и взамен уравнения (4.47) они выражаются, например, уравнениями
F* (NХ9 Nу9 NХу) = k^\ F2 (МХ9 Му, Мху) = k2, (4.48)
первое из которых связывает только мембранные усилия, а второе — только изгибные. В этом случае вместо одной получаем две независимые гиперповерхности. Если же предположить, что между константами kx и k2 существует связь, то условие текучести может быть представлено пересечением обеих гиперповерхностей. Например, условие текучести В. И. Розенблюма [66] исходит из уравнений вида (4.48) и предполагает, что k\ + kl = 1.
Другая форма условий текучести основана на предположении, что взаимным влиянием обладают лишь усилия одного направления. Тогда уравнения
Fг (NX9 Мх) = k{9 F2 (Ny9 My) = k29 F3 (Nxy9 Mxy) = A, (4.49)
описывают три гиперповерхности в пространстве внутренних усилий. Для железобетонных оболочек условия пластич¬
89
ности типа (4.49) предложил 3. Мруз, его использовали И. Е. Милейковский и Р. И. Катаев [42] для цилиндрической оболочки.
Условие типа (4.49), основанное на существующих нормах проектирования, предложено А. М. Проценко и
В. В. Власовым [55]. Геометрическое представление первых двух уравнений этого условия дано на рис. 4.10, а, а третьего — на рис. 4.10, б.
Двигаясь по пути (4.47) -*■ (4.49), можно предположить существование приближенного условия пластичности, ос-
/
>1
' 'XI
1
ч
0
п/Ху
Рис. 4.10. Условия текучести, описанные А, М. Проценко и В. В. Власовым, на плоскости:
а — нормальных сил и изгибающих моментов} б ^ сдвигающих вил и крутящих моментов.
нованного на полной независимости внутренних усилий друг от друга при достижении пластического состояния. Такое условие может быть представлено шестью двусторонними неравенствами вида
(4.50)
чему в пространстве внутренних усилий соответствует гиперпараллелепипед, описанный вокруг поверхности (4.47). Такое условие текучести для железобетонных оболочек вращения использовал М. Я нас [89], а также Р. Санкаранарайанан [88]. О степени точности условий текучести (4.51) можно судить по следующим результатам вычислений.
□ Пример 4.14. Рассмотрим железобетонную квадратную в плане пологую оболочку с трансляционной срединной поверхностью в виде эллиптического параболоида. Пусть у = 0,2, и е = 0,05. Примем, что поле оболочки одинаково армировано в двух координатных направлениях с коэффициентом армирования а1 = а2 = 0,008, при этом пре¬
90
дельное сопротивление положительному и отрицательному изгибу в обоих направлениях составляет а5 = аб = а7 = = а8 =5= 0,004. Кроме того, характеристика предельной сжимающей силыаЗ = 0,005, а сдвигающей — а4 = 0,0057. Перечисленным характеристикам при Rs = 210 МПа соответствует Rb = 10,5 МПа, Rbt = 1,05 МПа.
У оболочек, края которых закреплены от перемещений, материал почти всюду работает в условиях, близких к двумерному сжатию, поэтому предположим, что оценки несущей способности, полученные на основе условий текучести для хрупкопластических материалов (сплошная линия на
Таблица 4.6. Зависимость верхних и нижних оценок К • 104 от условия текучести и опирания краев
Условие текучести
Шарнирное опирание краев
Гениева — Кисскжа — Тюпина
Обобщенное*
Иогансена
Надаи
Карпенко — Морли
Неподвижное
Подвижное
3,56
Q,309
2,02
0,251
3,45
0,254
2,01
0,236
рис. 4.8), будут существенно отличаться от оценок, найденных на основе условия текучести типа Иогансена (штриховая линия, первая четверть координатной плоскости на рис. 4.8). Если же края оболочки свободно оперты, значительная часть поверхности оказывается растянутой (2, 3 и
4 четверти), и расхождения в оценках несущей способности при условиях текучести разного типа невелики.
Анализ результатов подтверждает предположения (табл. 4.6). □ Действительно, при свободном опирании краев все оценки хорошо согласуются. 'При закреплении краев оценки по Надаи и Гениеву — Киссюку — Тюпину также хорошо согласуются между собой, они располагаются выше оценок на основе условия текучести Иогансена. О том, какие же оценки наилучшим образом описывают действительную несущую способность железобетонных оболочек, позволяет судить анализ экспериментальных данных.
Для опытной проверки приближенного условия текучести (4.50) были предприняты вычисления несущей способности различных железобетонных оболочек и их моделей, доведенных до разрушения.
Проанализируем семнадцать опытных результатов. Оболочки, отобранные для анализа, достаточно разнообразны. Они имеют трансляционную срединную поверхность в виде эллиптического параболоида [9, 29], круговой поверхности переноса [36, 56, 76], тора [6], поверхности с плоским опор¬
91
ным контуром [37] и сферы [34,71,77]. Оболочки опирались на квадратный контур (ф = 1) [36, 56, 76, 71, 57, 25, 29, 34], а также на прямоугольный с отношением сторон ур = 1,33 [37, 26], ур = 1,5 [76], г|> = 2 [6] и ф = 2,5 [8].
Часть оболочек имела переменную толщину [36, 37] и контурное подкрепление, а в некоторых [9] было устроено центральное отверстие прямоугольной формы. Пологость, представляющая отношение стрелы подъема к меньшей стороне контура, составила 0,04...0,25.
Среди описываемых были конструкции, специально предназначенные для исследования несущей способности, для них характерна четкая реализация определенных условий закрепления краев, для остальных тип граничных условий не зависит от их физической реализации. Чтобы решить, допускает ли армированный контур оболочки в предельном состоянии горизонтальные перемещения, необходимо всякий раз выбирать
min {штФ* (£lf |2); ттФ**^, £а, g8)},
где функция Ф* (£lf £2) описывает несущую способность оболочки при неподвижном закреплении краев, а Ф** (£1э ga, |8) — при их свободном опирании.
Вычисления проделаны при п = 12. На ЭВМ БЭСМ-6 время счета одной задачи не превышало 30 с. Результаты вычисдшшйпсопоставлены с опытными данными в табл. 4.7, причем интенсивности нагрузки приведены в Па, кроме оболочек [34, 38 и 56], для которых сосредоточенные нагрузки даны в кН.
О степени совпадения опытных и расчетных результатов дают представление цифры последней графы табл. 4.7. При оценке результатов необходимо учитывать, что теоретические значения отвечают верхней границе предельной нагрузки и потому могут несколько превышать ее опытные значения.
В среднем для оболочек, подвергнутых анализу, теоретическая предельная нагрузка превышает опытную на 8,4 %. Кроме хорошего согласия в нагрузках отмечено качественное и количественное совпадение экспериментальных и теоретических форм разрушения [9], [37], [56].
Результаты сопоставления опытных и теоретических ревультатов дают основание считать справедливым приближенное условие текучести (4.50) для железобетонных оболочек.
4.2.4^ Ребристые оболочки. Предположим, что прямоугольная в плане оболочка подкреплена системой ортого-
92
Таблица 4.7. Сравнение опытных и теоретических предельных нагрузок
Авторы экспериментов
Предельная нагрузка
опытная
Ро
теоре тн ческа я рт
рт
Ро
16 500
12 030
0,75
9,67
10,62
1,10
12 120
13 650
1,12
3340
4620
1,38
46 ООО
46 080
1,0
19 400
27 804
1,43
6100
6095
1.0
11 290
11 960
1,06
57 000
62 801
Ml
13 580
13,540
1,00
32 800
43 310
1,35
16 000
14 570
0,91
7950
8350
1,05
6840
5335
0,78
1,90
1,73
0,91
23 900
27 500
1,15
6,1
8,13
1,33
Добудогло и Лукаш Пухонто
К ри велев (неподвижное опирание)
Кривелев (подвижное опирание)
Краковский и Чиненков Васильков и Власов Варвак и Дехтярь Шугаев
Дубинский и Исаенко Шугаев, Краковский,
Тукенов
Чиненков и Байниетов Рассказов
Дубинский и Шарапов Жармагамбетов и Акбердин Коробов Болдышев
Кульгавий и Самойлов
нальных ребер, расположенных вдоль линий главных кривизн. В зависимости от размеров их разделяют на большие и малые. При часто расположенных малых ребрах поле W (ху у) может не отличаться от соответствующих полей для «гладких» оболочек, при редко расположенных больших возможно локальное разрушение скорлупы между ними и тогда поле прогибов приобретает периодическое строение. В общем случае рассмотрим некоторое поле W (х9 у), являющееся линейной комбинацией двух описанных.
Поля первого и второго типа представим функциями
гёч (X, у) = (1 — дАГ2) (1 — угЬ~2)\
= mod (sin nnxa~l • sin nnyb~l), (4.51)
тогда
W (x, y) = l1W1 (x, y) + (1 — h) Wt (x, y),
и задача состоит в подборе множителя Сеточные аналоги выражений (4.51) легко получить, если учесть, что х = = ajrt_1; у = йш*-1, где i, j — номер строки и столбца сетки.
Дополнительно предположим, что разрушение может происходить лишь в центральной части поверхности, не за¬
93
трагивая приконтурные зоны. Параметр 12 — относительный размер разрушающегося участка. В общем случае 0^ при £2 = 1 разрушается вся поверхность.
, □ Пример 4.15. Рассмотрим неподвижно опертую квадратную в плане г|> = 1 оболочку g пролетами 2Ъ = 24 м, пологостью у = 0,2 (стрела подъема равна / = yb = 0,2 X X 12 = 2,4 м) и толщиной 12 см.
Трансляционная срединная поверхность описывается уравнением
г = /jxV2 + f2y2b~2, (4.52)
где /i, f2 — стрелы подъема контурных арок. Обозначим
ji = /2/Г1, тогда / = /1 <1 + (л), и уравнение (4.52) примет вид
г = уЪ (х2т|Г2 + цу~2) (1 + ц)-1. (4.53)
Предположим, что оболочка собирается из элементов одного типа. Пусть пг и п2 обозначают количество ячеек сетки, заключенных внутри одного отсека в каждом направлении. Примем также, что скорлупа элемента — постоянной толщины, ее безразмерную величину обозначим е. Для h = 12 см и / = 2,4 м получаем е = 0,05.
Площадь одного сборного элемента равна а объем материала в его скорлупе составляет Vx = = b*eyy\т1п2гС7'.
Разрезка оболочки на сборные элементы обычно учитывает порядок монтажа и схему размещения промежуточных опор. Размеры и армирование ребер определяются усилиями, возникающими при распалубке сборных элементов, их перевозке и монтаже, а такл^е соображениями устойчивости.
Анализ размеров элементов различных оболочек, в которых удовлетворялись перечисленные требования, показал, что объем материала в ребрах V2 сравнительно жестко свяван с объемом материала Vt в скорлупе: V2 = aVl9 где 0,6<сс<1,3.
Равномерно распределяя материал V2 по периметру сборного элемента, найдем условную высоту подкрепляющего ребра:
ер = ае^пхпг (гг2 +
при этом ширина ребра равна шагу сетки. Для определения относительной высоты ребра зададимся отношением сторон. Например, при двукратном отношении ребра к его ширине получим
Ер = 0,5е + Ю,25еа + 2у~'п~1 (ер — е)]',г .
94
Примем п = 24, ц *= 1, всюду по полю оболочки а! » = а2 = 0,008, аЗ = 0,2, а4 = 0,02, а5 = аб = а7 =а8 * = 0,004 и рассмотрим два варианта подкрепления % =
= 8 и пг = п2= 4 (рис. 4.11, а и б, табл. 4.8).
Верхняя граница несущей способности вычислена для обеих схем размещения ребер. Предполагалось: сборные
Рис. 4.11. Схемы подкрепления и области разрушения ребристых оболочек из сборных элементов:
Qf б — криволинейных соответственно для nt = л* » 8 и для nt = п% « iff
в — ПЛОСКИХ ДЛЯ «= п2 =■ 8.
элементы имеют кривизну, соответствующую уравнению (4.53) или оболочка собирается цз плоских элементов, тогда срединная поверхность — выпуклый многогранник* вершины которого расположены на поверхности (4.53).
Таблица 4.8. Зависимость параметр<?в ребер от их шага и отношения ббъемов
а
nt =
«2 = 8
ni = = 4
ЕР
см
*Р
V см
0,3
0,139
16,7
0,110
13,2
0,9
0,221
26,4
0,164
19,7
1.5
0,276
33,0
0,203
24,4
Несущая способность оболочки, собираемой из плоских элементов, исчерпывается без разрушения ребер £i = О (табл. 4.9). Результаты /С • 103 = 0,404 и 1,62 хорошо согласуются с известными верхними оценками несущей способности железобетонных пластинок соответствующих размеров и армирования. В этом случае удвоение шага ребер, как и следовало ожидать, снижает несущую способность конструкции в 4 раза.
Для оболочки , собираемой из криволинейных элементов* полное симметричное разрушение %х = 1, * 1 происходит
ОВ
Таблица 4.9. Зависимость несущей способности и формы разрушения от расположения ребер и отношения объемов а
Криволинейные элементы
Плоские элементы
а
П\ в пг в 8
Пх — ПЯ = 4
Л\ « nt * 8
«1 =* п» = 4
0,3
3,30
3,40
0,404
1,62
0,2; 0,67
1,0; 1,0
0; 0,33
0; 0,125
0,9
3,41
4,13
0,404
1,62
0,2; 0,33
0,8; 1,0
0; 0,33
0; 0,125
9.5
3,50
4,70
0,404
1,62
0,2; 0,33
0,2; 0,5
0; 0,33
0; 0,125
Примечание. Над чертой даны значения безразмерной предельной нагрузки, под чертой — значения и Первая из них указывает на степень участия промежуточных ребер, а вторая свидетельствует о локальности разрушения.
при сравнительно малых (а = 0,3) и часто расположенных ребрах (лх = п2 = 4). В остальных случаях обнаружены промежуточные формы разрушения, сочетающие элементы циклического и симметричного разрушения (£г = 0,2...0,8). При этом разрушается только центральная часть поверхности £а = 0,33...0,67. Участки разрушения, отвечающие ni = п2 = 8, а = 0,3 для оболочки собираемой из криволинейных и из плоских элементов, на рис. 4.11, а и в заштрихованы. □
4.3. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК
4.3.1. Оптимальное подкрепление. Задача оптимального подкрепления оболочек состоит в наилучшем размещении ребер и выборе параметров их сечений. Оптимизация подкрепления покрытий имеет ряд существенных отличий от аналогичных задач для оболочек в других отраслях техники.
В большинстве случаев появление ребер в оболочках покрытий связано с их сборностью: по условиям изготовления, перевозки и монтажа каждый сборный элемент снабжается ребрами. Впоследствии ребра смежных панелей объединяются и образуют систему промежуточных ребер оболочки. Поэтому проблема их размещения одновременно и проблема оптимального членения оболочки.
Для строительных оболочек характерна сравнительно жесткая связь между размерами отсека и ребер, поэтому параметры сечений и параметры размещения можно не считать независимыми переменными.
96
Одно из основных требований к покрытиям — требование заданной несущей способности, а деформационные, частотные и другие ограничения нередко оказываются второстепенными.
Сборные оболочки-покрытия изготовляются из железобетона. Удовлетворение прочностных требований сводится к решению эадачи предельного равновесия с привлечением специальных условий текучести для железобетонных оболочек. Традиционные условия текучести Прагера, Надаи или Стасси д’Алиа для разносопротивляющихся материалов оказываются непригодными.
Обычный критерий — вес конструкции — не позволяет выбрать наилучший способ подкрепления. Возникает необходимость в более общем критерии с экономическим содержанием, так как от схемы подкрепления, т. е. от формы и размеров сборных элементов существенно зависит стоимость их изготовления и монтажа. Кроме того, с изменением схемы подкрепления изменяется и длина стыковых швов, а их заделка — трудоемкая и дорогостоящая операция.
Перечисленные особенности позволяют выделить рассматриваемые задачи в самостоятельный раздел теории оптимального проектирования строительных конструкций. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся прямоугольные в плане оболочки.
Описание оптимизационной задачи начнем с построения целевой функции. Качество проекта оценим его стоимостью, состоящей из затрат на изготовление, монтаж и замоноличивание швов.
В случае, когда все покрытие собирается из элементов одного типоразмера, затраты на изготовление пропорциональны объему материала. Стоимость Сх 1 м3 железобетона сборной панели зависит от ее размеров, т. е. от принятого членения п1У п2. На основании анализа стоимости реальных оболочек для Сх примем квадратичную зависимость, при которой С2 минимальна при площади сборного элемента ^ 20 м2.
Стоимость монтажа сборных элементов линейно зависит от их размеров и веса. Затраты на замоноличивание швов пропорциональны их общей длине L, последнюю нетрудно вычислить для каждой схемы членения.
Вторую часть оптимизационной задачи составляет область поиска. Она определяется значениями параметров размещения ребер пг и /г2, интервалами изменения размеров ребер а, пологости у, толщины скорлупы е, формой срединной поверхности, прочностными характеристиками и армированием а1...а9.
41/2 0—1056
97
Третья часть оптимизационной задачи состоит в ограничениях, накладываемых на несущую способность покрытия /С0, а также на габариты и вес сборных элементов.
□ Пример 4.16. Рассмотрим квадратную в плане (размеры 24 X 24 м) и прямоугольную (размеры 24 X 36 м) оболочки со срединной поверхностью в виде эллиптического параболоида при действии равномерной поперечной нагрузки. Требуется отыскать такую схему подкрепления пг, п2, пологость
7, толщину е и размеры ребер , чтобы несущая способность покрытия была не ниже /С0 = 4 • 1СГб и К0 = 8 • 10“5 (при а0 = 240 МПа это отвечает нагрузке q0 = 0,0096 МПа и
Таблица 4.10. Зависимость параметров оптимальной оболочки от формы и размеров сборных элементов
Показатели
Оболочка (24 x 24 м) из элементов
Оболочка (24X36 м) из криво* линейных элементов
плоских
криволи*
нейных
1
2
1 3
4
5
Стрела подъема, м
3,0
3,6
2,4
2,4
Толщина скорлупы, см
3,0
3,6
2,4
*2,4
Размещение ребер п19 п2
6 И 6
6 и 6
8 и 8
8 и 8
Высота ребра, см
15,9
17,7
16,8
18,2
Ц
1
1
1
0,6
Условная стоимость, руб.,
1961
2192
1569
2213
Примечание. Для оболочек размерами 24X24 м, собираемых из плос« ких элементов (графа 2), д ** 0,0096, для остальных — д = 0,0192 МПа.
q0 = 0,0192 МПа), вео и габариты сборных элементов не превосходили 5 т и 6 м и стоимость покрытия была минимальной.
Армирование оболочки принято в соответствии с п. 4.2.4, а толщина всех сборных элементов одинакова. Для прямоугольной в плане оболочки г|> = 1,5 в число варьируемых включен также параметр ц,, определяющий отношение стрел подъема контурных арок.
Приняты ограничения шести варьируемых параметров переменных: 2 ^ пх ^ 12; 2 < п2 ^ 12; 0,01 ^ у ^ 0,4$
0,01 ^ е ^ 0,05; 0,3 ^ а ^ 1,5; 0,6 ^ ^ 1,4. Вычисле¬
ния выполнены с помощью программы, реализующей один из адаптационных алгоритмов случайного поиска. Время счета одного варианта оптимизационной задачи на ЭВМ БЭСМ-6 составило 13 мин.
Представленные результаты позволяют проследить, как изменяются конструктивные параметры оптимальной оболочки и ее стоимость в зависимости от заданной несущей
98
способности и от типа сборных элементов (криволинейные или плоские). Например, увеличение несущей способности вдвое (графы 2 и 3 табл. 4.10) повлекло за собой рост стрелы подъема с 3 до 3,6 м, увеличение толщины с 3 до 3,6 см, рост высоты ребер о 15,9 до 17,7 см, стоимость при этом возросла на 11 %.
Переход от плоских сборных элементов к криволинейным (графы 3 и 4) позволил при одинаковой заданной несущей
способности уменьшить стрелу подъема и толщину в 1,5 раза, перейти к более редкой сетке ребер и уменьшить их высоту с 17,7 до 16,8 см при снижении стоимости на 38 %.
Оптимальный проект оболочки размерами 24 X 36 м показан на рис. 4.12. □
Анализ результатов, полученных по описанной методике* показал, что они весьма чувствительны к изменениям исходных условий, поэтому всякий раз необходимо решать задачу заново.
Предлагаемая методика и программа пригодны для проектирования пологих оболочек с любой срединной поверхностью, при разных условиях закрепления и нагружения, при наличии отверстий и других особенностей. Она допускает независимое варьирование количества арматуры в скорлупе и ребрах одновременно с толщиной, либо при фиксированных опалубочных размерах. В рамках методики могут быть учтены любые конструктивные требования.
4.3.2. Оптимальное армирование оболочек. В лаборатории сборных оболочек КиевЗНИИЭП разработана новая конструкция прямоугольных в плане пологих оболочек для
99
покрытий с размерами сторон от 30 до 72 м, собираемых навесным способом без промежуточных опор и подмостей [39]. Исследования и экспериментальное строительство таких конструкций показали, что наиболее рациональны для них квадратные плоские или прямоугольные двугранные плиты размерами 3x3 или 3 X 6 м и массой до 3 т. -
В собранном виде после объединения арматуры ребер и замоноличивания стыков оболочка становится ребристой, причем существенное отличие предложенной конструкции от других распространенных типов оболочек состоит в том, что ребра направлены не вдоль сторон контура, а вдоль его диагоналей.
В зависимости от пролета покрытия высота ребер составляет 20...50 см, при этом их ширина, определяемая технологическими требованиями, оказывается достаточной для размещения арматуры приконтурных и угловых зон, так что в пределах всей оболочки ребра сохраняют постоянное сечение.
Форма срединной поверхности и опалубочные размеры зафиксированы жесткими рамками технологических, монтажных условий и требованиями унификации сборных элементов в пределах всей серии покрытий разных пролетов. Поэтому здесь оптимизируется только армирование.
При фиксированных опалубочных размерах отыскание аучшей схемы размещения ^арматуры естественно приводит к целевой функции в виде суммарного количества арматуры. Хотя наиболее общий критерий качества оболочки все же ее стоимость, тем не менее самым распространенным показателем служит полный или удельный расход металла. Такой подход позволяет не только оценивать эффективность разных железобетонных покрытий, но и сравнивать их с металлическими.
При использовании сеточной или конечноэлементной дискретизации можно считать независимыми переменными оптимизационной задачи содержание арматуры в различных точках поверхности, однако даже при негустой сетке задача становится достаточно громоздкой. Существенное упрощение достигается, если поверхность оболочки разделить на несколько зон и считать постоянным армирование в пределах каждой из них.
В качестве одной из зон в соответствии с 167] принимают сжатую центральную часть покрытия, в которой армирование является конструктивным или определяется действием нагрузок на стадиях изготовления, перевозки и монтажа. В остальной части покрытия приконтурной области шириной 1\ преобладает изгиб и внецентренное растяжение. Эта
100
область разбита на три зоны, причем £ вычисляется согласно [67] в зависимости от стрелы подъема и толщины оболочки.
В рассматриваемой задаче основная трудность состоит в построении общего метода определения принадлежности каждой точки оболочки к той или иной зоне армирования. Такой алгоритм построен на основе метода логических /?-функций [59].
В качестве примера рассмотрим зону 3 и некоторую область 03 (рис. 4.13, б), имеющую с ней общую внешнюю гра-
Рис. 4.13, К описанию зон армирования: а очертание зон J...4; 0 — границы зоны 03.
ницу. Построим вначале уравнение cd08 области 03. Для этого запишем уравнения прямых 5, 6, 7, 8, а также параллельных им прямых 9, 10, 11 и 12. Пусть они имеют вид ft = 0, i = 5, ..., 12. Тогда
/б9 = /б * /в» /ею = /в * fid /711 = /7 • /ll‘> /в12 = /в • /12
суть уравнения полос, заключенных между парами параллельных прямых. Теперь логика построения уравнения области 03 может быть представлена в виде
<°оз (/go Л /711) Д (/ею Л /812),
где знак Д обозначает /?-конъюнкцию [69].
Аналогично построим уравнение еще одной области, например, уравнение со02 для области 02, имеющей общую границу с .зоной армирования 2. Чтобы получить теперь искомое уравнение зоны 2 (заштрихована на рис. 4.13, а), достаточно воспользоваться операциями /?-дизъюнкции и Rотрицания. _
со2 = соо2 V юоз. (4.54)
Уравнения, подобные (4.54), построены для всех четырех
101
вон армирования оболочки. Пользуясь йми, сформируем скалярное поле признаков со, такое, что внутри каждой из бон со* > 0 (/ = 1, 4), на границе зоны со* = 0 и во всех
внешних точках соt < 0. Для удобства дальнейших вычислений примем, что значение со, в каждой зоне (/ = 1, ..., 4) есть целое положительное число, равное номеру i зоны. Теперь вопрос о принадлежности каждой точки оболочки
той или иной зоне решим количественным анализом элементов поля признаков со.
Критерий качества — общее количество арматуры — составляет первую часть оптимизационной задачи, вторая заключается в ограничениях, среди них наиболее существенно требование заданной несущей способности. Для его соблюдения каждый из-рассматриваемых проектов оболочки должен быть оценен с точки зрения ее несущей способности.
Верхнюю границу несущей способности при равномерном нагружении железобетонной ребристой оболочки определяем в соответствии с методикой, описанной в п. 4.2.3. Отличие состоит лишь в том, что здесь учтена возможность горизонтальных перемещений краев оболочки, поэтому минимизация функционала, описывающего интенсивность предельной нагрузки, требует одновременного подбора соответствующих полей перемещений U (х, у), V (х, у) nW (х, у) точек срединной поверхности.
Третья часть оптимизационной задачи — список альтернатив, который представлен интервалами изменения армирования в каждой из зон 1...3 и существенно связан с методом оптимизации. В направлении, перпендикулярном диагонали плана, первоначально принята ступенчатая эпюра материала (рис. 4.14) для зон 1...3 и постоянное армирование с в четвертой зоне.
Алгоритм оптимизации состоит из следующих этапов.
1. Вычисляется предельная нагрузка и сравнивается о заданной несущей способностью. Если последняя еще не достигнута, арматура в направлении, перпендикулярном диагонали плана, получает приращение, одинаковое в зонах 1,2 и 3. Постоянное приращение армирования называем шагом. Если после совершения нескольких шагов заданная не¬
102
Рис, 4.14. Эпюра армирования.
сущая способность оказывается уже достигнутой, вычисления прекращают, а полученный проект считают оптимальным.
2. Если увеличение армирования зоны 1 приводит к прочности материала при растяжении, равной его прочности при сжатии, дальнейшее увеличение армирования происходит только в зонах 2 и 5, затем только в зоне 3 («наполнение» эпюры материала показано штриховой линией на рис. 4.14). Как и в п. 1, здесь на каждом шаге контролируется достижение заданной несущей способности.
3. После «наполнения» эпюры армирования в приконтурных зонах дальнейшее увеличение несущей способности оболочки достигается за счет равномерного приращения арматуры во всех зонах (включая центральную зону 4) ив обоих направлениях — вдоль и перпендикулярно диагонали плана. Как и прежде, признаком окончания вычислений служит достижение заданной несущей способности.
Алгоритм следует из рекомендаций, содержащихся в [67]. Так как на каждом его шаге требуется вычисление несущей способности оболочки, то понятно, что реализация алгоритма возможна только на основе эффективных (по быстродействию) методов расчета предельной нагрузки.
□ Пример 4.17. Рассмотрим квадратную в плане оболочку размерами 42 X 42 м, собираемую из панелей 3 X 6 см, со стрелой подъема / = 10,92 м и толщиной скорлупы 6 см Высота ребер равна 40 см, их ширина ЕВфху — 24,8 см, внизу — 13,2 см.
Единственный неформализованный этап описываемой оптимизационной задачи — выбор расчетной сетки; он зависит от размещения панелей, так как необходимо, чтобы узлы сетки ребер и узлы расчетной сетки совпадали.
Каждая панель содержит одно промежуточное поперечное ребро, так что ребра обоих направлений непрерывны. Расчетной, т. е. оптимизируемой, принята только арматура в ребрах, тем не менее алгоритм предполагает на очередном шаге выполнение операций в каждом узле сетки, но перед вычислением несущей способности предусмотрен блок, очищающий те узлы расчетной сетки, которые не принадлежат сетке ребер.
В примере приняты = 11,5 МПа, Rbt = 0,85 МПа, R8 = 360 МПа. Выполнены пять вариантов расчета, отличающихся друг от друга заданной несущей способностью <?0, размером шага по арматуре и количеством конструктивной арматуры в безмоментной зоне 4.
Критерий качества — полное количество арматуры в ребрах — в описываемых расчетах был представлен безразмер-
103
ной величиной
5 = 5j S (а1 “Ь а2)^у*
*=1 /=1
где al, a2 — безразмерные характеристики, имеющие смысл коэффициентов армирования; h — толщина оболочки.
Таблица 4.11. Проекты оптимального армирования оболочки
I
с
%
я
и
*
Оптимальный проект
Армирование, см8,- зон
I...3
4
перпендикулярно диагонали
вдоль диагонали
9,05
0
7,82
7,24
0
5,43
0
14,25
0
4,69
12,67
0
11,08
0
6,33
0
14,07
4,75
0
3,16
0
25,34
0
7,82
19,00
0
12,67
0
18,10
3,62
11,44
18,10 3,62
18,10 3,62
Количество
шагов
К
11
2
о
a
р.
%
3
*
1
2
3
4
5
0,0045
0,0045
0,0045
0,007
0
0
0
0
1
5,5
12
3
4,В
8,3
Описанные оптимизационные расчеты выполнены на ЭВМ БЭСМ-6 с помощью программы на языке ЦЕРН-ФОРТРАН. Анализируя результаты вычислений, приведенные в табл. 4.11, рассмотрим вначале первые три строкй. Представленные здесь варианты расчета оболочки с одинаковой заданной несущей способностью q0 = 0,0045 МПа отличаются только начальным армированием с центральной зоны. Сравнивая, можем найти такую величину с, при которой показатель качества S становится минимальным. Как видно из табл. 4.11, для q0 = 0,0045 МПа наилучшим оказался проект, полученный в первом варианте расчета.
Проекты 1...3 найдены в соответствии с п. 1 алгоритма: эпюра армирования зон 1...3 сохранила ступенчатое очерта-
104
ние и заданная несущая способность оказалась достигнутой прежде, чем произошло «наполнение» эпюры армирования.
Сопоставим результаты проектирования оболочек с заданной несущей способностью^ = 0,0045, 0,007, 0,009МПа (первый, четвертый и пятый варианты расчета). Проекты оптимального армирования представлены в таблице, и можно заметить, что количество арматуры увеличивается с такой же скоростью, что и несущая способность.
Среди рассмотренных лишь пятый вариант расчета привел к «наполнению» эпюры материала, после чего был совершен еще один шаг. Отметим, что ни один вариант расчета не потребовал более шести шагов, а максимальные затраты машинного времени не превысили 12 мин. □
Для оценки описанной методики оптимизации сопоставим полученные результаты с результатами расчета оболочки в упругой стадии работы. Оболочка размерами 42 х 42 м с описанными .выше параметрами была рассчитана с по* мощью стержневой аппроксимации. Задача содержала около 400 неизвестных и потребовала для решения 30 мин машинного времени. По найденным усилиям определено армирование в каждом узле сетки ребер. При нагрузке q0 » = 0,0045 МПа в первой зоне потребовалось сечение арматуры 20...27 см2 в направлении перпендикулярном диагонали, и 10... 11 см2 вдоль диагонали. Суммарный показатель составил 5 = 1,331. Из сравнения этих показателей с данными первой строки таблицы, следует, что применение оптимизационных расчетов на основе методов теории предельного равновесия в рассматриваемом примере приводит к уменьшению расхода арматуры на 38 %.
Переход от нагрузки q0 = 0,0045 МПа к q0 = 0,009 МПа потребовал удвоения количества арматуры. Это объясняется ограниченностью средств, использованных в расчетах, поскольку единственным варьируемым фактором было армирование. Если же одновременно управлять и другими конструктивными факторами, двукратное увеличение несущей способности может быть достигнуто более экономным способом.
Глава 5. МНОГОСЛОЙНЫЕ
ОБОЛОЧКИ И ПЛАСТИНЫ
6.1. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
Исследуем трехслойныв изгибаемые конструкции. Примем, что материал несущих слоев — идеальный жесткопластический с пределом текучести <т0, одинаковый при растя¬
105
жении и сжатии. Заполнитель не воспринимает нормальные усилия, но способен течь при сдвиге. Его сдвиговый предел текучести обозначим т0.
Расчетную модель задачи выберем в виде трехслойной <5алки длиной 2а, шарнирно опертой по концам и нагруженной в середине пролета сосредоточенной силой Р.
Рассмотрим вначале сдвиговую форму разрушения [64]. Пусть верхний слой толщиной h\|>х (А — высота сечения бал-
Рис. 5.1. Расчетная схема верхнего Рис. 5.2. Эпюра предельных •несущего слоя: напряжений и ее слагаемые,
а — усилия и реакции; б — кинематика механизма.
ки) исчерпывает несущую способность с образованием пластического шарнира в нагруженном сечении под действием части нагрузки Р\ и продольных усилий, моделирующих участие заполнителя (рис. 5.1, а). Последние с интенсивностью т0b (Ь — ширина сечения) равномерно распределены по длине пролета.
Вводя обозначения т0 = [ла0 и а ЯЛ, продольные усилия представим в виде
T~\iXN0f (5.1)
где \i — относительная сдвиговая прочность заполнителя; X — пролет; N0 — усилие текучести сплошного бруса при осевом растяжении или сжатии.
Действующие вдоль нижней грани верхнего слоя силы Т приложим в центре тяжести его сечения, тогда необходимо присоединить две пары сил
М = 0,577^ =~ (5.2)
Поскольку пластический шарнир в среднем сечении образуется вследствие одновременного действия поперечной
106
силы Plt продольных сил Т и изгибающего момента М, его центр смещен вниз на расстояние с (рис. 5.2). Представляя эпюру напряжений в виде суммы осевых и изгибных напряжений, получим
Т = 2 а0Ьс. (5.3)
Из равенства правых частей выражений (5.1) и (5.3) находим
с = 0,5цЯЛ. (5.4)
Кинематическая модель механизма показана на рис. 5.1, б, его центральный узел смещен на расстояние с. Дадим центральному узлу вертикальное перемещение Д и подсчитаем виртуальную работу внешней нагрузки Рг и усилий Т и М:
D„ = Д (2Р\ + цгШ0 — 2цур^0). (5.5)
В пластическом шарнире предельный изгибающий момент
М0 =* а0Ь (0,25К1 + с2) совершает работу = 2М0ф, где виртуальный угол ф » = (АЛ) 1. Поэтому
D( = О.бА^оДЯ-1^? + цаЬа). (5.6)
Из равенства правых частей (Б.Б) и (5.6) следует
Pi = ^ (г|)2 + 2(г^\|)1).
Аналогичное выражение получим и для нижнего слоя* поэтому
Я1+) = 0,5N0X~l [г|>? + $ + № (fc + Ш (5.7)
В качестве другойчформы разрушения трехслойной балки рассмотрим разрушение без сдвига. В этом случае эпюра напряжений в нагруженном сечении может иметь вид, показанный на рис. 5.3, а или 5.3, б — в зависимости от отношения между высотами несущих слоев и t|>2.
Для первой эпюры напряжений
М0 = 0,25a0bh2 (г|>? - Зф£ + 4^ — 2^*). (5.8)
Подобное выражение справедливо для случая < t|)2i М0 = 0,25 a0bh2 (t|>| — 3i|)i + 4^х — г^^). (5.9)
Приравнивая (5.8) или (5.9) к М = 0,25Р2/, находим выражение для предельной нагрузки:
рр _ N0 3%2 + 4i|)a — 2^, при % > ■
= 2к Wl — 3\|)i + 4^ — 2^а при < г|>»-
107
Поскольку заранее не известно, какая форма разрушения — сдвиговая или без сдвига — произойдет, необходимо выбрать наименьшую из и Р\2+).
При фиксированных значениях г|)ь г|)а и Я наименьшую предельную нагрузку получаем при (ut = 0:
P<+) = О.бЛГоЯГ1 (Ч>1 +Ч>2). (5.il)
что отвечает несущей способности двух несущих слоев, изгибаемых раздельно. Постепенное увеличение * обеспечи-
=р=
SE
*
к
ж
Рис, 6.3. Эпюра предельных напряжений при разрушении без сдвига слоев:
а —. при > № б — при ф ^
вает совместный изгиб слоев. Для каждого сочетания параметров yplt г|)2 и % можно найти такую ji# прочность заполнителя г при которой р\+) = р^+) и сдвиговая форма разрушения переходят в разрушение без сдвига. Выражение (б. 10) не содержит ц,, поэтому ясно, что повышение сверх не может более увеличить несущую способность конструкции.
Для случая iJjj ^ -фа условие Р\+> = Р\+) перехода одной формы разрушения в другую имеет вид
ti + 2цЛг|)! + + 2ц,А,г|>2 = -ф? — Зг|>1 + 4г|)2 — 2^2,
откуда после преобразований получаем
2фа — 2^1 — ,с , оч
M4* + W ' (5>12)
В частном случае трг = г|)2 = 'ф. Тогда из (Б .12) следует
v* =±w1 • <б13>
108
Приводим результаты вычислений по формуле (5.13) при к = 5:
0,1 0,2 0,3 0,4 0,6
. 0,17 0,14 0,11 0,08 0,075
Например, для балки с одинаковыми несущими слоями *Ф1 = ^2 * 0,3 и толщиной заполнителя 1 — ^ — 1|э2 = 0,4 при jut = 0,11 происходит переход к разрушению без сдвига, и дальнейшее повышение уже не может увеличить предель* ную нагрузку, максимальное значение которой
Р(+) = -§■ (t2 + 2цАл|>) = 0,084W0. (5.14)
При отсутствии заполнителя д
Я(+) =0,018iV0. (5.15) ШШШШ
Для сравнения вычислим не- , j
сущую способность сплошной \ п7л г г
балки таких же размеров,
что и рассматриваемая трехслойная’ ^ис* 5,4‘ ^хема разрушения
трехслойной балки при равно-
рЖ = No 0, ЮЛ/'о (5.16) мерном нагружении.
2Х
Сопоставление результатов (5.14)...(5.16) позволяет выяснить влияние сдвиговой прочности заполнителя.
Результаты, аналогичные описанным, получены и для других условий закрепления и нагружения трехслойной балки. Например, при равномерном нагружении предельная интенсивность
4- N0 + ^2 + (^1 + Фа)
* П2=Ё) •
Здесь 5 — относительная координата пластического шарнира (рис. 5.4).
Верхней границе </<+> отвечает ее наименьшее значение, и необходимо найти величину £, которая минимизирует q. Решая уравнение dq/dl = 0, получим
t _ - <♦?+ Ч>!) + [(Ф?+ Чф* + 4 № + 'Фа) И* «>?+ 1>1)Г/г /с 1<л
+ t|>2) -(й17)
Так, при = 0,5, к = 5 и (и = 0,05 из (5.17)
находим I = 0,73, что указывает на реализацию избыточной формы разрушения с двумя пластическими шарнирами в пролете.
Расчетная модель изгибаемых трехслойных конструкций, описанная выше, может быть распространена на многослойные конструкции.
109
Пусть пластина толщиной h составлена из п слоев. Толщину каждого слоя обозначим h\|), (i = 1, 2, п)9
Идеальный жесткопластический материал несущих слоев переходит в состояние текучести при действии нормальных напряжений. Предел его текучести, одинаковый при растяжении и сжатии, обозначим а0.
Плоскости контакта слоев пронумеруем по номеру вышележащего слоя. Принято, что пластический сдвиг в некоторой плоскости происходит, если касательные напряжения в ней превышают сдвиговый предел текучести т0. Кроме описанных, никакие дополнительные предположения о прочности слоев, их толщинах и чередовании не вводим. В рамках такой постановки задачи рассмотрим конструкции, в которых несущие слои чередуются с малопрочным заполнителем. Действительно, если i-й слой — слой заполнителя, то необходимо принять T/_i = т*, о( = 0, и тогда пластический сдвиг может произойти по i-й плоскости, либо по i — 1-й плоскости, либо по любой плоскости между ними в пределах
Предположим, что пластинка разрушается со сдвигом ее верхней части из / слоев, по нижней части, содержащей остальные п — / слоев. Другая форма разрушения связана с отсутствием сдвига, она также учитывается общей постановкой задачи и получается при / = 0 или / = /г.
Рассмотрим верхнюю часть пластинки. Применение к задаче об изгибе многослойной пластинки описанной расчетной модели требует определения центра пластического шарнира, который смещен на расстояние с от срединной плоскости верхней части.
Условие статического равновесия усилий в пластическом шарнире состоит в выполнении равенства
Из условия (5.18) определим положение плоскости R1f в которой располагается центр пластического шарнира. Так как в общем случае центр может находиться в пределах толщины слоя, то после уточнения условие (5.18) примет вид
(5.18)
где X = ah г, 2а — пролет пластинки.
Д1-1
+ QhiXri
+ Т/М +
(5.19)
110
Из (6.19) находим номер слоя /?/, содержащего нейтральную плоскость, а также ее координату хц\ < г|)д1 в пределах толщины слоя. Зная положение оси пластического* шарнира, вычислим предельный изгибающий момент на единице^длины в каждом пластическом шарнире. Например, усилие текучести в сжатом r-м слое равно ar\prt а расстояние от центра слоя до оси пластического шарнира составляет
Тогда момент усилия относительно нейтрального волокна» равен ortyrdr, а сумма моментов усилий в сжатых слоях определяется выражением
Аналогично найдем сумму моментов предельных усилий в растянутой зоне верхней части пластинки:
Предельный изгибающий момент М0 в линейном пластическом шарнире верхней части пластинки получим суммированием правых частей выражений (6.20) и (5.21). Теперь в соответствии с общей методикой определим виртуальную работу внутренних и внешних сил. При опирании пластинки по двум сторонам и единичном опускании центрального узла работа внутренних сил
Далее вычислим работу, совершаемую частью рх распределенной нагрузки, а также равнодействующей Т предельных касательных усилий и присоединенными парами Mi
Перемещение и краев пластинки определяем из кинематических условий, а смещение «с» нейтрального слоя находим по номеру слоя R1 и расстоянию xR\.
Результаты, аналогичные (5.19) ... (5.21), получим также для нижней части:
Д1-1
dr= tyk “Ь 0,5г|)г + Xr\•
0*1 -ф- • (5-20>
(б.21>
Dt = 2М0(Щ~1.
(5.22)
De ™ р1 2Ти -(- 2М (КН) . (5.23)
1U
R2-] Г / R2-\ \1
Ml = ^ 'Ф* + 0,5i|)/ -f- ДСда) + 0»б<1даД^2*
/=/+1 L \k=l+2 /J
M,= S fa^if Ё %+0,5г|>,-*«2)1 +
/=Л2+1 L \*=Я2+1 /J
+ 0,5(X/?2 (Флг — Xfiz)1-
Отметим, что для нижней части пластинки сохраняют справедливость выражения (5.22) и (5.23).
Таблица 5.L Параметры конструкций пластинок и их несущая способность
3
1
п
2 А,
a.t МПа
тр МПа
и
о,
Пред!
нагру
Н/м
1
X
3
8
4*1
о
of
о
о
2,4; 0; 2,4
0,24; 0,24
144,0
2
3
8
0,33; 0,33; 0,33
2,4; 2,4; 2,4
0,024; 0,0024
49,1
2
7
8
0,142;... ;0,142
2,4;...;2,4
0,2;...;0,2
76,7
3
7
20
0,2; 0,05; 0,15
1,4; 1,6; 2,0;
0,2; 0,3; 0,4;
28,2
4
0,15; 0,10;
2,1; 2,4;
0,5; 0,1; 0,2;
0,15; 0,20
2,6; 2,4
0,4; 0,5; 0,1;
0,2
Суммируя виртуальную работу внешних и внутренних сил в пределах всей пластинки, получим выражение для интенсивности р нагрузки, равномерно распределенной вдоль ее среднего сечения. В соответствии с кинематическим принципом теории предельного равновесия необходимо отыскивать min р, рассматривая различные схемы разрушения. Их совокупность определяется возможными положениями / плоскости сдвига. Поэтому
р(+) = min р. (5.24)
i
В табл. 5.1 представлены результаты вычислений для пластинки шириной b = 5 см и толщиной h = 1 см трех- и семислойной структуры. Первый из приведенных результатов точно совпадает с полученным для трехслойной конструкции.
Для качественной и количественной проверки модели и соотношений, приведенных в п. 5.1.1, были предприняты эксперименты с моделями трех- и пятислойных изгибаемых балок: предполагалось установить картину разрушения многослойных изгибаемых конструкций, а также определить их несущую способность и параметры форм разруше¬
112
ния. Проводились предварительные опыты с металлическими и железобетонными моделями балок о тем, чтобы установить наилучший способ моделирования пластических свойств заполнителя при сдвиге. На основании результатов было решено слои заполнителя моделировать тонкими перегородками из мягкой жести.
Первая из серий опытов включала шесть моделей трехслойных (рис. 5.5, а), а вторая — четыре модели пятислой-
0,51
*-
0,5 L
~ж
Рис. 5.5, Расчетные модели балки: а — трехслойной; 6 — пятислойной.
ных балок (рис. 5.5, б). Часть моделей второй серии имела различную сдвиговую прочность заполнителя во втором и четвертом слоях, одна из них была испытана с пролетом 400 мм, остальные девять моделей обеих серий имели пролет, равный 200 мм.
Модели изготовили из армированного цементного раствора. В качестве арматуры использовали проволоку СВ05Г2С диаметром 0,5 мм, и подвергли ее предварительному отжигу. Приближение диаграммы растяжения проволоки к идеализированной диаграмме упругопластического материала достигалась предварительной вытяжкой проволоки до в = 0,1 (рис. 5.6).
Продольная и поперечная арматура каркасов имела одинаковый диаметр. Связи, моделирующие сдвиговые свойства заполнителя, изготовляли из мягкой жести толщиной 0,28 мм. Испытания жести подтвердили ее пластические свойства и показали, что ее предел текучести при растяжении равен 240,0 МПа. Конструкция моделей показана на рис. 5.7.
51/4 0-1066
113
Для контроля механических свойств проволоки испытывали ее образцы, отобранные перед изготовлением каркасов, а также извлеченные из разрушенных моделей. Пределу текучести проволоки соответствовало усилие 100 Н.
Р,КН
во
Рпр
60
ио
20
1
У
(
/
0,05
0,1
6
0,15
W,MM
Рис. 6.6. Диаграммы:
а — предварительной вытяжки арматуры модели; б — деформирования балки при изгибе.
Для контроля свойств бетона одновременно с каждой моделью изготовили и испытали три призмы размерами 16 X 4 X 4 см.
Модели испытывали при шарнирном опирании концов действием статической нагрузки, приложенной в середине пролета. Для испытаний использовали стандартное оборудование и специально изготовленную траверсу.
3
1 А
00,5
/V
\
МПИНГПНН11111111111II11II111 шшшшдш
|
)
1 I 1 1 1 1
Ч / ч
'.IMIIIIIIIIIII11 м II1111 п 1 г 11'п:п 111111 пттттт
1
СГ
1 ^
4
15
Щ
\/
Рис. 5.7. Конструкция модели трехслойной балки.
Для измерения прогибов в двух сечениях применяли индикаторы часового типа с ценой деления 0,01 мм. Нагрузку на разных этапах испытаний определяли по силоуказателю пресса.
Моментом исчерпания несущей способности считался момент полной потери отпорности конструкции либо момент, когда приращению нагрузки отвечало существенное увеличение прогибов (точка пересечения касательных, проведенных к обеим ветвям диаграммы, рис. 5.6, б).
114
Сведения об особенностях конструкций моделей обеих серий представлены в табл. 5.2. Для трехслойной модели Rb = 30,6, для пятислойной Rb = 22,5 МПа.
Результаты испытаний показали, что разрушение носило пластический характер и к моменту исчерпания несущей способности деформации были малыми, что дает основание характеризовать поведение моделей как геометрически линейное.
Таблица 5.2. Параметры конструкций моделей
Количество
Номер
Пролет L, мм
Количество
Номер
Пролет L, мм
тангенциаль¬
тангенциаль¬
модели
ных связей, шт.
модели
ных связей, шт.
Первая серия
Вторая серия
1.1
200
3
2.1
400
5/3 *
1.2
200
3
2.2
200
7/3
1.3
200
3
2.3
200
7/7
1.4
200
4
2.4
200
7/7
1.5
200
4
1.6
200
4
Примечание. В последней графе
числитель и знаменатель
означают
число тангенциальных связей во втором и четвертом слоях.
Разрушение первых трех моделей первой серии и всех моделей второй носило сдвиговый характер.
Произведем расчеты несущей способности испытанных моделей. Первую группу образуют модели 1.1...1.3, имеющие несущие слои одинаковой толщины (Лх = Л2 = 13,6 мм). Соответствующие значения параметров: = \|э2 = 0,45,
X = 3,33. При площади поперечного сечения каждого несущего слоя 4,05 см2 и армировании четырьмя стержнями с усилием текучести 100 Н в каждом условный предел текучести материала при растяжении сг0 = 1,975 МПа. Так как сдвиговый предел текучести тангенциальной связи равен 240/]/3 = 138,7 МПа, усилие, необходимое для пластического сдвига одной связи,
Т= 138,7 . 0,012 = 166 Н.
Это отвечает условному сдвиговому пределу текучести сплошного заполнителя х = 0,11 МПа. Следовательно, [х = 1,1/19,75 = 0,055.
При подстановке размеров моделей и параметров в формулу (5.7) найдем верхнюю границу предельной нагрузки Н:
Р<+) = -^-(^+ 2ц#)«= (0,452 + 2 • 0,065 • 0,45 • 3,33) = 88. (6.25)
VU- 115
В балках 1.4... 1.6 вместо трех тангенциальных связей было установлено четыре, и условный предел текучести существенно повысился (у = 0,11). Поэтому
Р<+) = (0,45* + 2 • 0,11 • 0,45 . 3,33) = 128,2 Н. (5.26)
Теперь обратимся к условию (5.13) перехода сдвиговой формы разрушения в разрушение без сдвига. При = 0,45 и к = 3,33
2 — 3 • 0,45 л лл*
**•= ■ ъ. ' “ °’097-
Таблица 5.3. Сравнение опытных и расчетных предельных нагрузок
Номер
Р ,Н
Р ,Н
рр
Номер
Р ,Н
Р ,н
модели
о ’
Р *
ро
модели
о
р *
Первая серия
1.1
80
88
1,10
1.2
80
88
1,10
1.3
85
88
1,04
1.4
120
120
1,0
1.5
120
120
1,0
1.6
156
120
0,77
Вторая серия
2.1
140
163
1,16
2.2
332
326
0,98
2.3
460
439
0,95
2,4
460
439
0,95
Сопоставление ц,* = 0,097 с \i = 0,055 для моделей
1.1... 1.3 и с IX = 0,11 для моделей 1.4... 1.6 объясняет, почему разрушение первых трех носило сдвиговый характер. Учитывая, что [х > 0,097 не может более повысить несущую способность, находим РтаХ, отвечающее щ с помощью выражения
Р^Х = -^2г|>(1 —ц) = -Щ-(1 -0,45)2 . 0,45 - 120 Н.
Таким образом, наибольшая теоретическая предельная нагрузка для моделей 1.4...1.6 не должна превышать 120 Н.
Расчеты, аналогичные описанным, были проделаны и для пятислойных моделей второй серии (табл. 5.3).
Теоретические и экспериментальные оценки несущей способности трех-и пятислойных изгибаемых балок хорошо согласуются между собой. В среднем отношение Рр/Р0 = = 1,006. Таким образом, расчетная модель и соответствующие теоретические результаты получили опытное подтверждение.
П6
6.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
5.2.1. Замкнутые цилиндрические оболочки. Рассмотрим замкнутую цилиндрическую оболочку с радиусом срединной поверхности R и толщиной h. Относительные толщины слоев пакета обозначим тогда = 1.
Оболочка находится под действием радиальной нагрузки интенсивностью р> равномерно распределенной в среднем кольцевом сечении по всему периметру. Исследуем несущую
Рис. 5.8. Схемы разрушения трехслойных цилиндрических оболочек* при нагружении:
а — в среднем сечении: б на свободном торце.
способность короткой оболочки длиной 2L, края которой шарнирно закреплены (рис. 5.8, а). Предположим, что разрушение оболочки сопровождается образованием замкнутого кольцевого пластического шарнира в нагруженном сечении бесконечно большого количества радиальных линий текучести. Эти пластические шарниры вместе с конструктивными шарнирами на торцах превращают оболочку в механизм с одной степенью свободы.
Введем обозначения 2L = 2RX, h = zR. Дадим образовавшемуся механизму возможное перемещение вдоль радиуса в нагруженном сечении. В кольцевой линии текучести предельный погонный изгибающий момент т0 совершает виртуальную работу:
2 1 Dk 1 = 2nRm0 = 4пт0Х .
Здесь, как и прежде, предполагается сдвиговая форма разрушения, так что Dai относится к наружной части оболочки, содержащей / слоев. Предельный изгибающий момент на единице длины т0, вычисляем в соответствии с методикой, описанной в п. 5.1.
117
Перейдем теперь к вычислению работы, совершаемой на возможных перемещениях условиями текучести в продольных пластических шарнирах:
/
DM\ = ЛЯ X (5.27)
*=i
где Ot (I = 1,2, ..., п) — предел текучести материала 1-го слоя при растяжении; Я — суммарная площадь эпюры сосредоточенных пластических деформаций.
Пластическое удлинение б периметра кольцевой линии между двумя смежными меридиональными дисками представим как произведение длины диска на виртуальный угол Д<р взаимного поворота двух смежных дисков
б = М?Д<р. (5.28)
Учитывая, что плоскость кольцевой шарнирной линии — плоскость симметрии, а также
2Дф = 2шр,
найдем с учетом формулы (5.28)
Я = 2 jiRX.
Примем во внимание введенные обозначения и получим на основании равенства (5.27):
у
DM\ = 2л/?2Яе У ст*ф,. (5.29)
<=1
При сдвиговом разрушении суммарные касательные силы
Т = т/ • 2nR2kt
где ту — предел текучести при сдвиге материала /-й поверхности.
Рассматривая сдвиг наружной части цилиндрической оболочки, найдем работу, совершаемую суммарным усилием Т на возможных перемещениях
Dt 1 = nRcTf.
Здесь с — смещение нейтральной поверхности наружной части оболочки, содержащей / слоев, относительно ее срединной поверхности.
Теперь исследуем внутреннюю часть, состоящую из п — / слоев. Виртуальную работу D*2, совершаемую в кольцевой линии текучести, определим с учетом того, что предельный изгибающий момент на единице длины т0 отыскивается для пакета, состоящего из п — / слоев.
Работу Dm2 внутренних сил в меридиональных линиях
118
текучести вычисляем по аналогии с формулой (5.29), но изменяя пределы суммирования:
п
Dm2 = 2
*-Ж
Точно так же Dt2 найдем при условии, что смещение с нейтральной поверхности должно вычисляться для внутренней части цилиндрической оболочки.
Полную работу Dt внутренних сил в предельном состоянии определим, суммируя перечисленные компоненты 2
Dt = £ (Dkr + D/ur + Отг)- (5.30)
r=»\
Внешняя радиальная нагрузка интенсивностью р в среднем кольцевом сечении на возможных перемещениях совершает работу
De = 2nRp. (6.31)
Условие равновесия оболочки заключается в равенстве нулю суммы работ всех сил на возможных перемещениях. Приравнивая правые части выражений (5.30) и (5.31), получаем
р = (/),
причем верхней границе р(+) предельной нагрузки р отвечает
р<+) = R mm Фх (/), (5.32)
т. е. необходимо найти механизм разрушения (номер поверхности сдвига /), минимизирующий функцию Фх.
Как и в задаче об изгибе пластин, здесь решение (5.32) в качестве частного случая допускает разрушение всего пакета как «монолитной» конструкции, т. е. без сдвига.
□ Пример 5.1. Рассмотрим цилиндрическую оболочку длиной 2L = 1,6R и толщиной h = 0,05R (соответствующие безразмерные параметры: К = 0,8, е = 0,05). Оболочка имеет семислойное строение по толщине, причем несущие слои с нечетными номерами чередуются со слоями заполнителя. Пределы текучести материалов при растяжении:
аг = 3 МПа; а2 = 0; а8 = 3 МПа; а4 = 0;
аб = 3 МПа; сгв = 0; а7 = 3 МПа.
Сдвиговые прочности примем т{ = 0,5 МПа (i =1,2, ... ..., 6). Кроме того, в этом примере материал несущих слоев одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, так что
119
\it ** 1 (i = 1,2, ..., 7). Наконец, относительные толщины слоев:
% = 0,3; гр2 = • • • = г|)в = 0,08; гр7 = 0,3. (5.33)
Для такой оболочки вычисления по формуле (5.32) были произведены с помощью программы на ЦЕРН-ФОРТРАН:
min Фх = 0,957, (5.34)
причем минимуму Фх отвечает механизм / = 7, т. е. разрушению всего многослойного пакета без сдвига.
□ Пример 5.2. Рассмотрим такую же цилиндрическую оболочку, что и в примере 1. Единственное отличие состоит в том, что материал несущих слоев наделен свойством знакочувствительности — имеет неодинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии, причем отношение ст“/ст+, одинаковое для всех слоев, составляет |л* = 10. Несущая способность оболочки оказалась
min Ф1= 0,977 (5.35)
при / = 6, что означает разрушение со сдвигом по шестой поверхности. Еще одним примером расчета послужила оболочка, отличающаяся от предыдущей только структурой пакета. Взамен строения (5.33) приняты слои одинаковой толщины
г|^ = 0,143 (U1 7). (5.36)
Для такой оболочки обнаружена сдвиговая форма разрушения / = 4, а ее несущая способность оказалась равной
min Фг = 0,742.
□ Пример 5.3. В полубесконечной многослойной цилиндрической оболочке, нагруженной радиальными силами на свободном торце (рис. 5.8, б), длину участка, переходящего в пластическое состояние, обозначим /?£.
Вычислим виртуальную работу внутренних сил в кольцевой и меридиональных линиях для схемы разрушения о одной кольцевой линией текучести [64] аналогично тому, как это сделано в предыдущем параграфе. Отличие: нагруженное сечение не лежит в плоскости симметрии; виртуальный угол поворота в кольцевой линии текучести равен (/?!)-', а не 2 (RX)-1.
С учетом этих отличий
Dk 1 = 2nm0l~K, DM\ = 4- nRh Е ст,г|), и т. д.
Суммируя компоненты работы внутренних сил для наружной и внутренней частей, получим Dt. Так как выражение
120
(5.31) для работы внешней нагрузки сохраняет силу, из равенства Dt — De = 0 находим выражение для предельной интенсивности р радиальной нагрузки на торце оболочки:
(/.*)•
Для отыскания ее верхней границы р(+) необходимо минимизировать Ф2 по / и по £:
/?<+> = R min Ф2 (/\ Ъ),
i.l
т. е. отличие Ф2 от Фх состоит в том, что первая является функцией двух независимых аргументов — номера j механизма разрушения и относительной длины £ участка оболочки, переходящего в пластическое состояние. □
□ Пример 5.4. В семислойной оболочке h = 0,005R и такими же прочностными характеристиками, что и в примере 1 примем \it = 10. Получим для оболочки со структурой многослойного пакета г|^ = 0,143 (i = 1, 2, 7)
min Ф2 = 0,268, (5.37)
причем реализуется сдвиговая форма разрушения, а разрушающийся участок равен 0,3/?. Такая же оболочка, имеющая строение (5.33), разрушается со сдвигом / = 2 и £ = = 0,3, при этом
min Ф2 = 0,321. (5.38) □
Сравнивая результаты (5.34) и (5.35) для короткой цилиндрической оболочки, заметим, что переход от равносопротивляющегося материала с \it = 1к материалу с ^ = 10 повысил несущую способность оболочки всего на 2,5 %, что не противоречит расчетной модели и принятым представлениям о несущей способности цилиндрической оболочки. Действительно, изменение прочности материалов несущих слоев при растяжении и сжатии отражается лишь на предельном моменте в кольцевой линии текучести. Так как удельный вес кольцевой работы в общей диссипации энергии невелик, переход от ^ = 1 к ^ = 10 почти не влияет на несущую способность растянутой оболочки.
Сопоставление результатов (5.35) и (5.37) позволяет установить влияние структуры пакета. Переход от строения (5.33) к (5.36) понижает несущую способность на 31 % — это связано с уменьшением толщины наружных несущих слоев. Аналогичное 20 %-ное изменение несущей способности установлено в примерах и для полубесконечных оболочек — сравним результаты (5.37) и (5.38).
Рассмотренная модель расчета несущей способности многослойных цилиндрических оболочек допускает переход
6 0-1056
121
к трехслойным оболочкам, для этого достаточно, чтобы
= ... ypn-i = 0, тогда слои г|^х, г|)2 и г|)„образуют трехслойный пакет. Вместе с тем задачу расчета трехслойных оболочек можно решить и более просто.
Пусть короткая цилиндрическая оболочка имеет длину 2а, радиус ее срединной поверхности равен /?, а толщина — Л. Как и прежде, толщины несущих слоев равны и Лг|)2. Равномерно распределенная радиальная нагрузка приложена в среднем кольцевом сечении.
Исследуем меридионально-кольцевую форму разрушения. При радиальном перемещении U нагруженного сечения виртуальная работа в кольцевом пластическом шарнире несущего слоя толщиной h,\p1
Dk = no0h2k (-ф? + ц2Я2) U у
где Х = аЬГ\ k = Ra~\
Работа внутренних сил, совершаемая в каждой продольной линии текучести,
Д£>я =
Так как Д0 = АЛ Дер, а сумма всех углов взаимного поворота продольных дисков равна 2лср, причем ср = 0,5ШГ1, то полную работу окружных мембранных предельных усилий в продольных линиях текучести представим выражением
Dr =
Внешними силами по отношению к рассматриваемому элементу являются распределенные по кольцевому периметру радиальные силы рх и по внутренней поверхности наружного слоя касательные напряжения т, а также присоединенные пары сил М. Их работа на возможных перемещениях
De\ = UnR [2/jj + ц2<тАЛ — 2\i4\>vcs0h\.
Из условия равенства нулю суммы всех работ находим предельную интенсивность рх нагрузки, воспринимаемой наружным несущим слоем. Если же проделать аналогичные вычисления и для внутреннего несущего слоя, получим
р = -§Г{k ^ П № + ’W (1 + ^1- <5-39>
Формула (5.39) описывает несущую способность короткой цилиндрической оболочки. Отличие расчета длинной оболочки заключается в том, что разрушению подвергается не вся поверхность, а лишь ее часть и потому помимо среднего образуются еще и два крайних пластических кольцевых
122
шарнира. С учетом этих отличий выражение (5.39) приобретает вид
. е('1’? + '1>|) + 6М1 + '1’1) 6 + Ц) ._.ЛХ
р = a0h , (5.40)
где 2RI —длина участка оболочки, переходящего в предельное состояние; е = hR~l — относительная толщина.
Верхней границе предельной интенсивности р(+) отвечает минимум р по £. Решая уравнение dp!d\ = 0, найдем
I = [е 01>? + i|!) (% + УгГ1]/г. (5.41)
Окончательное выражение для верхней границы сосредоточенной радиальной нагрузки на длинную цилиндрическую трехслойную оболочку получим подстановкой формулы (5.41) в (5.40). Величина £ описывает длину разрушающегося участка и не зависит от сдвиговой прочности заполнителя. Например, для оболочки толщиной Н = 0,01 R и толщинами несущих слоев = г|)2 = 0,4 из выражения (5.41) находим £ =* 0,063, т. е. разрушению подвергается сравнительно небольшая часть оболочки длиной 0,126/?.
В частном случае однослойной оболочки
р = а0ЛГ'(е+5а), (5.42)
а условие минимума р в виде dp!d\ = 0 позволяет получить уравнение £2 — е = 0, откуда следует
I = еЧ (5.43)
Наконец, подстановка результатов (5.43) в формулу (5.42) приводит к верхней оценке предельной нагрузки для сплошных однослойных оболочек
р(+) = а0Ле V в,
что точно совпадает g результатами, полученными ранее А. Р. Ржаницыным [48] и В. Прагером [50].
□ Пример 5.5. Рассмотрим задачу о несущей способности полубесконечной трехслойной цилиндрической оболочки, нагруженной распределенными радиальными силами на свободном торце (рис. 5.8, б). Приведем в готовом виде выражение для верхней границы интенсивности нагрузки, полученное аналогично формулам (5.39) и (5.40)
(. ч D . еа (t|>? + г|$ + 2е£2 (% + г|?2) + 2це (г^ + г|>2) + 4ц2£2
р(+/ = a0R min .
I Ч
(5.44)
Условие минимума dp!d\ = 0 приводит к уравнению 2е|2 (% + ta) + 4M'2I2 — ег (tpf -f i^) = 0,
6*
123
решая которое, получим
= Г ^1+^2
= 6[ 2 (eti + eifj, + 2ц2)
В частном случае сплошной оболочки
Минимизируя р по ^ из условия dp/dfc =* 0, получим уравнение
и связано с учетом присоединенных пар. Окончательно выражения для верхней оценки несущей способности:
второе из них получено А. Р. Ржаницыным [48]. □
5.2.2. Конические оболочки и круглые пластины. Задачу о верхней границе несущей способности многослойных конических оболочек также решают с привлечением расчетных моделей, приведенных в §5.1.
Пусть коническая оболочка имеет радиус опорного контура /?, толщину h = eR и стрелу подъема / = yR. Сосредоточенная нагрузка Р приложена в вершине оболочки и передается через шайбу малого диаметра с тем, чтобы избежать продавливания. Оболочка свободно оперта по контуру, ее края могут смещаться в радиальном направлении.
Учитывая осевую симметрию задачи, примем осесимметричную форму разрушения. Оболочка в стадии предельного равновесия превращается в механизм с одной степенью свободы за счет образования кольцевой линии текучести и бесконечно большого числа меридиональных линий (рис. 5.9). Радиус кольцевой шарнирной линии обозначим (0 ^
При отыскании верхней границы предельной нагрузки
32е£2 + 8е2+ 16е£2= О,
р
один из корней которого
£ = (0,5е)1/г = 0,707 VI (5.45)
указывает размер разрушающегося участка оболочки.
Аналогичное выражение, полученное в [48], имеет вид
Рис. 5.9. Расчетная схема конической оболочки.
| = j/e/Vl = 0,756 Vs.
(5.46)
Различие в результатах (5.45) и (5.46) не превышает 6 %
р<+> = 0,707o0h V е; /*+> = 0,756a0/t V е,
1).
124
будем по-прежнему исходить из возможности сдвигового разрушения и поэтому вначале рассмотрим верхнюю часть оболочки, состоящую из / слоев (1 ^ ^ я). Исследуя условия равновесия оболочки в форме принципа возможных перемещений, потребуем равенства нулю суммы виртуальных работ всех сил — как внутренних, так и внешних.
При единичном опускании центрального диска угол взаимного поворота меридиональных и центрального диска
ф= 1Я(1 —0Г1- (5.47)
В кольцевой линии текучести действует предельный изгибающий момент на единице длины т01. Его работа на возможных перемещениях
Dki = -™°f # (5>48)
Величину т01 вычисляем в соответствии g методикой,
описанной в §5.1. Так как т0 пропорционален Л2, введем
обозначение
т01 = та1ИГ2 = m0e~'R~2.
Тогда
0«-2я/?Ч1; Л =
Перейдя к вычислению работы внутренних сил в меридиональных линиях текучести, отметим, что она пропорциональна площади Q эпюры сосредоточенных деформаций:
/
DM\ = ЙА £ (5.49)
/=i
В свою очередь суммарная площадь Q пропорциональна площади со, заключенной между средней поверхностью верхней части конической оболочки, плоскостью осей вращения жестких смежных дисков и ординатами по концам участка Так как плоскости осей вращения располагаются ниже средней поверхности на смещение с нейтральной линии,
(o = -LfR (l-l)2-Rc(l-l), или, с учетом принятых обозначений,
о, = Rt (] — |) [0,5? (1 — ?) —се],
где с = ch~l.
Виртуальный угол взаимного поворота двух смежных меридиональных дисков обозначим Дф. Построив план
125
угловых перемещений, убеждаемся в том, что 2Аф = 2шр, где ф определяется равенством (5.47). Поэтому
Q = 2яф0) = 2nR 7(1 — I) — се J.
Тогда работа внутренних предельных усилий в меридиональных линиях текучести согласно формуле (5.49)
_ /
Dmi = 2jttf2Si; Вг = е [0,5y (1 — I) - се] £
При сдвиговой форме разрушения к нижней поверхности верхней части оболочки должны быть приложены предельные касательные напряжения Т/, сумма которых составляет
T=nR2( l-t2).
Из кинематики жестких дисков следует, что эпюра сдвигов представляет собой треугольник с максимальной ординатой U на краю оболочки. Учитывая, что виртуальная работа касательных усилий равна 0,5TU, получим
Dti - 2я£2С1; Сг = 0,25т/ (1 -12) (у — се).
Таким же образом определим компоненты работы внутренних сил в нижней части оболочки, содержащей остальные п — / слоев. Соответствующие выражения в них будут иметь вид:
Л2 = тме2£(1 — в-1;
^ П
В2=е [0,5v(1 —I) + се] ^ ^
Сг =• 0,25т/ (1 — |2) (Y + ce),
причем с смещения нейтральной оси и шоа вычисляют для нижней части оболочки по той же методике, что и для верхней части.
Суммируя перечисленные компоненты, определим полную работу внутренних сил на возможных перемещениях пластического механизма:
2
D( = 2лR2K; К = У, (Л + Вг + Сг). (5.50)
Ге=1
При единичном возможном опускании центрального диска сосредоточенная сила Р, приложенная к вершине оболочки, совершает работу
De = P- 1. (5.51)
126
Приравнивая правые части выражений (5.50) и (5.51), получим
Р = 2 nR2K.
В соответствии с кинематическим принципом теории предельного равновесия верхней границе предельной нагрузки отвечает минимум
Р(+> = 2лR2 min К. (5.52)
Таким образом, задача состоит в отыскании поверхности сдвига / и размера £ центрального диска в схеме разрушения, при которых К достигает минимума.
Представленные здесь соотношения допускают в частном случае переход к круглой многослойной пластинке — для этого достаточно принять у = 0. Чтобы оценить порядок величины /(, приведем известный результат
Р = 2 ят0, (5.53)
описывающий предельную сосредоточенную нагрузку на свободно опертую пластину сплошного строения. Для такой пластины
т0 = 0,25<т0Л2, (5.54)
где <т0 — предел текучести, одинаковый при растяжении и сжатии; h — толщина пластин.
Оценка (5.53) с учетом формулы (5.54) приводит к результату, сопоставимому с полученным (см. формулу (5.52)):
Р = 2л/?2 • 0,25а0е2, или К = 0,25а0е2.
При а0 = 3 «МПа и относительной толщине е = 0,05
К = 1,88. 10-3. (5.55)
Для вычисления по (5.52) была использована программа на языке ФОРТРАН, минимизирующая функцию К переменных / и С ее помощью выполнены расчеты верхней границы несущей способности конических оболочек, результаты этих расчетов приводятся ниже.
□ Пример 5.6. Пологая оболочка имеет стрелу подъема f = = 0,2/? и толщину h = 0,05/?, состоящую из семи слоев одинаковой толщины =0,143 (i = 1, 7). Прочност¬
ные свойства материалов представлены пределами текучести:
<т0 = (3, 0, 3, 0, 3, 0, 0, 3)г; т = (0,5; 0,5; 0,5; 0,5; 0,5; 0,5)г; (5.56)
ц= (10, 10, 10, 10, 10, 10, 10)г.
127
Разрушение оболочки происходит без сдвига слоев / = 7 с образованием центрального диска £ = 0,5, при этом
К = 2,74 • 10-3. (5.57)
Такая же оболочка, имеющая структуру многослойного пакета,.
'Фх = 'ф? = 0,3; г|)2 = • • • = о|)е = 0,08 (5.58)
обладает несущей способностью К = 5,03 • 10”3.
Еще одна задача о верхней границе несущей способности решена для оболочки с таким же строением по толщине (см. результат (5.57)) и h = 0,1/?.
При тех же прочностных характеристиках в соответствии с формулой (5.56) эта оболочка разрушалась без сдвига слоев с центральньш диском £ = 0,3 и ее несущая способность К = 18,03 • КГ3.
Далее рассмотрим многослойные пластины. Первая из них толщиной h = 0,05/? имела строение пакета: ^ = t|>7 = = 0,3; % = ... = г|)в =■= 0,08.
Как и следовало ожидать, здесь меридионально-кольцевая форма разрушения выродилась в кольцевую (6 = 0),
/с = 0,9 • КГ*.
Вторая пластина имела строение г|), = 0,143 (/ = 1, ..., 7) и ее несущая способность К = 1,707 • 10~3. При этом схема разрушения тоже была меридиональной (£ = 0).
Сравнивая полученные результаты с оценкой (5.55), вычисленной для сплошной пластинки из такого же материала, что и материал несущих слоев, отметим их хорошее согласие. □
Расчетная модель и соотношения, полученные здесь, допускают переход к трехслойной конической оболочке. Вместе с тем задача решается и в замкнутом виде. Сохранна условия опирания и нагружения прежней задачи, а также принятые обозначения, исследуем вначале несущую спо- ‘ собность верхнего слоя толщиной Шрх (Н — толщина трехслойной оболочки). Виртуальную работу предельных изгибающих моментов в кольцевой линии текучести представим выражением
Dk = 2л/?£тФ = я/?2а0А| ^ + ^('8^ ^
где А — возможное опускание центрального диска механизма; а0 — предел текучести материала; 8 = hR~1 — параметр толщины оболочки; <р — угол взаимного поворота
(1 -
128
звеньев механизма в кольцевой линии текучести (см. рис. 5.9).
Так как ср = А/?-1 (1 — то суммарный угол взаимного поворота всех смежных радиальных дисков равен
2nR~lA (1 - I)"1.
В меридиональных линиях текучести верхнего слоя действуют предельные усилия o0hv Их виртуальная работа
Dr = no0R2Atyxe [у (1 — £) — 0,5ц (1 — £2)] Ь~\
Виртуальная работа внешней нагрузки состоит из работы De\ части внешней нагрузки Ръ работы De2 предельных касательных усилий на нижней поверхности меридиональных дисков и работы De3 присоединенных пар, приложенных к наружному краю верхнего слоя:
Del = ЛЛ; Dei = 0,5nR* (1 — I2) цсг0Д (Ф, + у);
De3 = 0,5лЯгца0 (1 + |) ет^Д,
Ф7=0,25Г' [45Т-Ц(1 + 0].
Из равенства DR + Dk = De\ —De2 — De3 получим величину Plt описывающую несущую способность верхнего слоя.
Произведя аналогичный анализ несущей способности нижнего слоя оболочки, получим предельную нагрузку Ря. Суммируя PY и Рг, найдем:
Р = na0R2Fe;
Fe = tM ly (1 -1) - 0,5ц (1 - £a) r'l +
+ 4>2e ly (1 -1) + 0,5ц (1 - Is) Г'] +
+ 26 [o,25e2 (ttf + 4) + -jL yfl (1 _ g»)» гг] (, _ l}-i +
+ 0,5ц. (1 - fc2) (Ф7 + Y) (1 + vTV’ -
_0,5ц (1 -52) (Ф8 + У) (1 + YsrV* + 4-^(1 + |)(^ +
где Ф8 = 0.25Г2146? + Ц (1 + Й].
Так как верхней границе Я(+) отвечает минимум Р по 6, окончательно
^«noo^min/7!. (5.59)
В задаче о минимуме Р относительные толщины несущих слоев г)?! и г|)2, относительная сдвиговая прочность заполнителя ц, пологость у и относительная толщина оболочки е являются параметрами. В каждой задаче они принимают конкретные числовые значения.
129
При у = 0 из формулы (5.59) получаем зависимость* описывающую несущую способность круглой трехслойной пластинки:
Р+ = no0R2 min F7\ (5.60)
+ 2|
(1 -1Г' +
0,25 fl>? + и» + -1- ^ (1 _ g*) Г2
+ 0,5ц (1 - Is) (Ф7 + Ф8) +- 0,5(18 (1 + 5) (ft -f г|>2).
Величины Fe и F7 неограниченно увеличиваются при I -у 0 и при | 1, следовательно, минимум Ft и F-, всегда
достигается при 0<£<1, и меридионально-кольцевая форма разрушения не вырождается в меридиональную.
□ Пример 5.7. Пусть пластинка имеет ^ = гра = 0,4 и к = 0,01 при (а = 0,01. Тогда из выражения (5.60):
F1 = 6,75 • 10"6 (1 - 4| + 5,67|* + 8|3 - 5,41* - 4&5) х
х (1 -гг1 г2-
Из уравнения dF7/d% = 0 следует I = 0,4, тогда min F7 = 0,416 • 10”4 и потому
/>(+) = яa0R2 . 0,416 • 10“\ (5.61)
Аналогичная верхняя оценка для сплошной круглой пластинки при свободном опирании
Р(+) = 2пт0 = na0R2 • 0,5е, откуда при е = 0,01
/><+> = no0R2. 0,5 . Ю“\
Сопоставление этой оценки и (5.61) показывает, что трехслойная пластинка имеет несущую способность на 17 % меньше несущей способности сплошной пластинки такой же толщины, выполненной из материала несущих слоев.
Здесь, как и в задаче об изгибе трехслойных балок (§ 5.1), ограничением области, в которой результаты (5.59) и (5.60) справедливы, является условие перехода сдвиговой формы разрушения к разрушению оболочки как монолитной конструкции: могут быть найдены такие предельные значения [i* прочности заполнителя, при которых одна форма разрушения переходит в другую.
Если принять в формуле (5.61) сг0 = 3,0 МПа, получим
Р = 2nR2 • 6,42 • 10-5, или К = 6,24 . 10-5. (5.62)
Для сопоставления с этой оценкой предпримем контрольные вычисления с помощью методики, описанной в настоящем
130
параграфе* при следующих исходных данных: у = 0; г|> = « (0,4; 0,2; 0,4)г; о0 = (3, 0,3)т; т = 0,03; е = 0,01. В результате вычислений К = 6,06 • 10-5. Ее хорошее согласие с оценкой (5.62) подтверждает правильность разработанной методики и надежности программы, реализующей эту [методику. □
5.2.3. Пологие оболочки, прямоугольные в плане, и пластины. Ограничимся анализом несущей способности только пологих многослойных оболочек, метрика срединной поверхности которых может быть отождествлена с метрикой плоскости. Пусть трансляционная срединная поверхность оболочек в форме эллиптического параболоида описывается уравнением
г = 0,5/ (х2а~2 + у*Ь~2), (5.63)
где / — полная стрела подъема в центре оболочки; 2а и 2b — пролеты (а ^ Ь). Оболочка имеет постоянную толщину h и многослойное строение. Относительные толщины слоев
п
обозначим г|э* и, по-прежнему, ^ г|^ = 1 (п — число слоев).
Материалы слоев характеризуются вектором <х0, компоненты Oi которого суть пределы текучести материала различных слоев при растяжении. Свойства материалов при сжатии описываются величинами |ы,а, и для этого вводят вектор \i. Величины %t представляют сдвиговые пределы текучести слоев для поверхностей их контакта.
Оболочка свободно оперта по контуру и равномерно нагружена по всей поверхности. Введем обозначения: q — интенсивность поперечной нагрузки; у = fb~l — пологость; е = ЛГ1 — относительная толщина; г|э = аЬ~х — конфигурация оболочки в плане.
По аналогии с предельным состоянием сплошной оболочки примем для многослойной свободно опертой оболочки форму разрушения в виде механизма, состоящего из пяти дисков (рис. 5.10). При единичном опускании центрального диска 1 виртуальные углы взаимного поворота жестких дисков
Фхз = Фзо = сГ1 (1 — £Г‘; фи = ф20 = Ь~х (1 — £)-1. (5.64)
План угловых перемещений, построенный для рассматриваемого механизма, позволяет установить, что
Фаз = (ф?з + ф?2)1/!- (5.65)
Условие равновесия звеньев оболочки представим в форме принципа возможных перемещений, дчя этого опре¬
131
делим работу» совершаемую внешней нагрузкой и внутренними предельными усилиями текучести.
Для вычисления работы внутренних сил рассмотрим эпюру пластических деформаций, сосредоточенных вдоль линий текучести (рис. 5.11, а). Площади ее участков <olt со2 и со3 вычисляют по правилу
= Фm,nt &(• (5.66)
Здесь фт,п — виртуальный угол взаимного поворота жестких дисков т и п; Qt — площадь, ограниченная i-й линией
Рис. 5.10. Схема разрушения Рис. 5.11. Эпюры:
ПОЛОГОЙ оболочки. а — сосредоточенных пластических
деформаций; 6 касательных напряжений.
текучести, ее проекцией на плоскость осей вращения и ординатами по концам участка, / = 1, 2, 3.
Уравнение линий текучести получим совместным решением уравнения срединной поверхности (5.63) и уравнений проекций линий текучести у = Ъ\\ х = Ь\и у = о))-1*, тогда
Q= j (z — г0) dx, (5.67)
где г0 — аппликата плоскости осей вращения; г — уравнение линий текучести. Тогда:
Qx = J- v^3. Q2=-Lyl>%*-,
Ц, = 4" V4 (2 - + 5») (1 + ф*)1'*.
132
На основании формулы (5.66) с учетом виртуальных углов из формул (5.64) и (5.65) получаем:
Y Ь1*
<*--б7Г=г5 ;
V* (2-3|* + |8)(1 + ^)
<“»“ 6(l-g) * ' ф
Исследуя состояние предельного равновесия прямоугольной в плане многослойной пологой оболочки, будем рассматривать форму разрушения со сдвигом верхней части оболочки, состоящей из / слоев, по нижней части, содержащей остальные п — / слоев.
Работу, совершаемую в верхней части оболочки предельными внутренними усилиями, представим выражением
з /
As = Й £ 0); £
i=l 1=1
которое с учетом введенных обозначений преобразуется к виду
з ./
Ds\ = &yb £ со, £ (5.68)
/=-i i=1
Примем во внимание еще работу, совершаемую предельными касательными усилиями по поверхности сдвига. Учитывая симметрию схемы разрушения и форму эпюры касательных напряжений (рис. 5.11, б), получим для всех четырех приконтурных дисков
Dr = T/fe2Yi(l + a|J)^±L-
Для нижней части оболочки выражение (5.68) сохраняет силу при условии соответствующей замены пределов суммирования
з п
DS2 = 8уЬ Т Т
t=i ;=/+1
Полную виртуальную работу внутренних сил определим теперь суммированием компонентов:
Dt = Ds\ -)- Dsq И- 2Dt = b2E. (5.69)
Для подсчета работы, совершаемой равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q на возможных перемещениях механизма, учтем, что она равна произведению q на объем пространственной эпюры вертикальных перемещений (ее сечение показано на рис. 5.10). Поскольку
133
принято, что центральный диск в схеме разрушения есть прямоугольник, подобный наружному контуру оболочки, то эпюра виртуальных прогибов представляет собой усеченную пирамиду. Поэтому работу внешней нагрузки
De = -L (1 + % + £*) = qb*F. (6.70)
Приравнивая правые части равенств (5.69) и (5.70), находим
д = о0К; К = EF~l.
В соответствии с кинематической теоремой теории предельного равновесия верхняя граница <7(+) предельной нагрузки q
q(+) = a0min/C, (5.71)
IJ
причем минимизация К проводится по переменным £ и /# определяющим механизм разрушения (5 — относительная4 величина центрального диска в схеме излома, / — поверхность сдвига).
По существу представленное здесь решение задачи предельного равновесия реализует безмоментную постановку. Для вычислений (5.71) была составлена программа на языке ЦЕРН-ФОРТРАН, минимизирующая К посредством сканирования переменных £ и /.
Для проверки метода и программы были предприняты контрольные вычисления — расчеты несущей способности сплошной однослойной квадратной в плане оболочки со срединной поверхностью (5.63) при свободном опирании краев и равномерном нагружении.
□ Пример 5.8. Для сплошной однослойной оболочки пологостью у = 0,2 и относительной толщиной е = 0,05 получен результат (см. гл. 4)
К = 0,0035, (5.72)
а при = 1, грз = ... = ^7 = 0 и тех же значениях пологости и толщины, а также учитывая, что a = 3,0, здесь
получена верхняя оценка
<7 = 1,028 МПа (5.73)
и размер диска I = 0,5.
Преобразуем ее к виду, сопоставимому с (5.72):
v 0,01028 пппсмо
А = —д-Q— = 0,00343,
что практически совпадает с известной верхней оценкой несущей способности сплошной оболочки (5.73).
134
Теперь представим результаты решения новых задач о несущей способности пологих многослойных оболочек при равномерном нагружении.
□ Пример 5.9. В семислойной пологой квадратной в плане оболочке со структурой пакета = г|)7 = 0,3; \р2 = ... = = г|)в = 0,08, а также г = 0,05 и у = 0,2 получено К = = 2,605 • 10“3 при сдвиговом разрушении (J = 2) с центральным диском | = 0,5.
Если при тех же условиях изменить строение оболочки th = ... = г|)7 = 0,143, верхняя оценка предельной нагрузки К = 1,959 • 10~3 при разрушении без сдвига. Сопоставление этих двух результатов позволяет судить о влиянии строения оболочки по толщине на ее несущую способность.
В частном случае трехслойной пластины задача о верхней границе несущей способности может быть решена более простыми средствами. Пусть трансляционная срединная поверхность описывается уравнением (5.63).
Оболочка равномерно нагружена по всей поверхности, интенсивность нагрузки обозначим q. Оболочка свободно оперта по всему контуру и имеет постоянную толщину Н. Толщины несущих слоев обозначим и hty2.
Используя методику, разработанную в гл. 4 применительно к однослойным оболочкам, получим выражение для виртуальной работы внутренних сил:
Фо = (Ъ + « [ Y2eiT‘ (2 - 3|2 + 26») (1+ I2) +
+ + '|>)(1 — б2)]-
Работа внешней нагрузки вычисляется так же, как и для сплошной оболочки
De = ±qb^(l + I + 62).
Здесь \f> = аЬ~х — отношение пролетов оболочки. Из равенства De — Dt = 0
q = o0Ki; /С1 = Ф0[г|)(1-68)Г'.
причем предельному значениюq{+) соответствует минимум </: qt+) = а0 min Ку (5-74)
£
□ Пример 5.10. Несущая способность квадратной в плане (г); = 1) пологой оболочки (у = 0,1) толщиной е = 0,05 и
135
с толщинами несущих слоев г|)х = г£/= 0,5 вычислена при разных значениях сдвиговой прочности заполнителя. Результаты вычислений представлены в табл. 5.4, там же показаны значения доставляющие минимум Kv
В последней графе табл. 5.4 результат получен для сплошной оболочки из формулы (5.74) при ^ = 1, г|э2 = = (I = 0 и приведен для сравнения с остальными результатами. Он точно совпадает с оценками, приведенными в гл. 4.
Таблица 5.4. Зависимость несущей способности и формы разрушения от сдвиговой прочности заполнителя
U
Показатели
0,005
0,01
0|05
о,ю
1
Кг • 103
0,705
0,744
0,821
0,940
1,72
1
0,5
0,55
0,6
0,6
0,8
Несмотря на то, что по данным табл. 5.4 зависимость Kt min (6) имеет почти линейный характер, ясно, что увеличение несущей способности за счет роста \х сдвиговой прочности заполнителя не беспредельно. Начиная с некоторых значений щ вместо сдвигового будет происходить разрушение оболочки как монолитной конструкции, тогда увеличение \i уже не изменит предельную нагрузку.
Разрушению без сдвига отвечает верхняя границу предельной нагрузки:
<7<+) = а0 min X;
X - M>i + Ь) lv2e (2 - 3|2 + 263) (1 + 62) 1Г1] +
+ Зг|)2е272г|)в1 (1 + г|?2). (5.75)
Так как заранее не известно, какая форма разрушения реализуется (со сдвигом или без него) необходимо каждый раз отыскивать min {min Kl9 min X).
Если вновь рассмотреть в качестве примера квадратную в плане оболочку г|> = 1 с относительной толщиной е = 0,05, пологостью у = 0,1 и относительными толщинами несущих слоев я|5х = г|?2 = 0,2, из формулы (5.75) следует
min % = 0,735 • 10”3 при £ = 0,5.
Сравнивая этот результат с данными табл. 5.4, заметим, что при \х ^ 0,01 /С,min < ^min, т. е. происходит сдвиговое разрушение.
Здесь, как и в задачах об изгибаемых стержнях, пластинках и осесимметричных оболочках, представляет интерео
136
отыскание такого значения щ, при котором одна форма разрушения переходит в Другую. Условие К\ min = %min дает возможность вычислить такие значения
ti* = 8г|з2?е (1 + t|>2) (1 + г|?)—1 (1 — |2)-1.
□ Пример 5.11. Пусть оболочка имеет параметры \i = = 0,01; е = 0,05; ^ = \р2 = 0,2; = 0,4. Для нее в
табл. 5.4 приведен результат К = 0,744 . 10”3. При таких же значениях параметров вычисления с помощью программы, описанной в этом разделе, приводят к верхней оценке К = 0,749 • 10”3, отличающейся от прежней на 0,7 %. □
Распространим теперь методику расчета, описанную выше, на задачи о пластинках, опертых по контуру. Считая края пластинки шарнирно закрепленными, примем в качестве кинематически допустимого поле прогибов, отвечающее пирамидальной форме разрушения. Вновь рассмотрим верхнюю часть многослойной конструкции, состоящей из / слоев. Действие касательных напряжений % на ее нижней грани можно заменить равнодействующей Т = v{k2h2y где % = ahT1. Перенос силы Т к срединной плоскости верхней части пластинки требует присоединения пары сил с моментом
М = тjX2h3 V 'ф/. z /—1
Виртуальная работа, совершаемая предельными изгибающими моментами в линиях текучести,
Du = 8т0ф,
где обобщенный момент то* вычисляется аналогично формулам (5.20), (5.21).
Далее вычислим работу равнодействующей Т:
у
Di? = 2т]Х/г2 £ г|>/ = 4т{khc, i=1
а также работу присоединенных пар
/
Дз = 2т/ХЛ22 '*№• i=i
Полную работу внутренних сил на возможных перемещение ях найдем как сумму
Dt = 2 Dlk.
k = \
В частном случае, когда рассчитывают трехслойную конструкцию, решение задачи о несущей способности пластины, опертой по контуру, можно получить более простым путем
137
Пусть квадратная в плане пластцна состоит из несущих слоев толщиной h\|), и ft\|>2 и заполнителя, толщина которого равна ft (1 — — г|)2).
Рассмотрим равновесие верхнего слоя под действием внешней нагрузки qlt предельных усилий в линиях текучести и касательных предельных напряжений т, равномерно распределенных по его нижней поверхности.
Заменяя касательные напряжения равнодействующей Т = та2 и перенося ее к срединной плоскости верхнего слоя, присоединим пару сил с моментом М = 0,5 Thypv Поскольку материал в линиях текучести переходит в пластическое состояние вследствие одновременного действия сжатия и изгиба, обобщенный предельный изгибающий момент на единице длины
то* = сг0 (0,25Л2<ф? + с2), (5.76)
где с — смещение нейтрального волокна относительно середины верх него ^слоя. Можно показать, что с = 0,25 (ха, где \i — относительная сдвиговая прочность заполнителя. Введем обозначение X = aft”1, тогда из формулы (5.76) <ледует
то* = 0,25т0 (4г|)? + Ц2^2),
где т0 = 0,25ooft2 — пластический изгибающий момент на единице длины (в обычном смысле), в сплошной пластинке толщиной А.
При единичном опускании центра пластинки углы поворота всех дисков равны а”1, а угол взаимного поворота двух смежных дисков найдем геометрическим суммированием угловых перемещений у = V 2а~х. Тогда работа, совершаемая в линиях текучести,
Dt = 8m0* = 2т0 (4г|)? + ц2^2)-
Теперь вычислим слагаемые виртуальной работы внешних сил. Часть нагрузки qlt воспринимаемая верхним слоем,
совершает работу De\ = qxa2.
Работа присоединенных пар = 8m0^'ti-
Третьим слагаемым является работа Оеъ предельных касательных напряжений, распределенных по нижней грани верхнего слоя,
Рез = -g- т0Л,*ц2-
Несущую способность верхнего слоя определим из равенства Dei + De2 + Deз — Dt = 0. Проделав аналогич¬
138
ные расчеты для нижнего слоя, найдем
qi+) = [l>i + Ч>2 + Ц*. (Мрг + %) - 4- ^2] . (5-77)
где 9(+) — верхняя граница предельной равномерной нагрузки на квадратную пластинку, опертую по контуру. Как видно из выражения (5.77), она зависит от толщины пластины, толщин ее несущих слоев % и t|)2 и сдвиговой прочности заполнителя (i.
В частном случае ^ = 1, г|?2 = (i = 0 из формулы (5.77) получаем известный результат для сплошной [64] квадратной пластинки при равномерной поперечной нагрузке и шарнирном опирании краев:
я<+> = .
“ а2
□ Пример 5.12. Несущая способность пластинки толщиной в 20 раз меньше пролета (к = 10) при относительной толщине несущих слоев = г|э2 = 0,4 и ц, = 0,05
q(+) = Jg<L . 0,68,
что на 32 % меньше несущей способности соответствующей сплошной пластинки.
При определении результата (5.77) предполагалось, что разрушение пластинки сопровождается сдвигом слоев. Если же сдвиг не происходит, то при пирамидальной форме разрушения верхняя граница предельной нагрузки
<?(+) = Т > (б-78>
где обобщенный предельный момент вычисляют в соответствии с формулой (5.8) или (5.9).
Совместный анализ выражений (5.77) и (5.78) позволяет определить такую прочность заполнителя, при которой сдвиг уже не происходит. При th ^ г|?2 должно выполняться равенство
_ 6 (г|>, + !>,) - [№ + гМ* -36-2 (48г|)2 - 48^ - 24ф1^)]‘'» *** 2Л
При одинаковых толщинах несущих слоев оно заметно упрощается:
^ _ 64,-(72^24,)''. (6 79)
Зависимость (5.79) справедлива при г|) ^ 0,33 (условие неотрицательности дискриминанта), т. е. при г|) ^ 0,33 возможно только разрушение без сдвига.
139
При г|) *= 0,4, X = 10 из (5.79). следует щ = 0,102. Таким образом, максимальная интенсивности предельной нагрузки, вычисленная по формуле (5.79),
^+)—• 0-98,
что на 2 % ниже несущей способности соответствующей сплошной пластинки, выполненной из материала несущих слоев. □
6.3. ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
5.3.1. Цилиндрические оболочки. Методика расчета верхней границы несущей способности цилиндрических оболочек, описанная в §5.2, позволяет сформулировать задачу об их оптимальном проектировании.
Качество проекта оболочки будем оценивать его материалоемкостью, которая может быть здесь отождествлена с весом; безразмерную часть веса представим выражением
п
G = e£ (5.80)
/=1
гдеу* — удельный вес материала /-го слоя (/ =**1,2, ..., N).
При заданной длине А, и прочностных свойствах материалов пакета а,, т, независимые переменные оптимизационной задачи: количество слоев N; толщины слоев (i == 1, 2, ..., N); толщина пакета h (или его относительная толщина е). Совокупность переменных N, и в, а также
границы их изменения образуют область поиска.
В рассматриваемой оптимизационной задаче единственным условием было требование, чтобы несущая способность оболочки К была не ниже заданной /С0. Для вычисления К использовали методику, представленную в § 5.2. Сравнительно небольшой объем задачи позволил применить метод сканирования переменных, реализованный в программе на языке ФОРТРАН для ЭВМ БЭСМ-6. Процессорное время для решения одной задачи не превышало 9 с.
Приводим результаты оптимального проектирования коротких и полубесконечных оболочек. Во всех оптимизационных задачах область поиска была ограничена следующим образом:
3 < N < 7; 0,05 < (%, г|>7) < 0,45;
0<(1|>2 1|>в)<0,4; 0,01 0,08. (5-81)
О Пример 5.13. Рассмотрим короткую оболочку с заданной несущей способностью KQ =* 0,8 и получим оптимальный
140
проект
N = 7, t = (0,15, 0,10, 0,10, 0,40, 0,05, 0,05, 0,15)т,
е = 0,07
с показателем качества G = 4,69.
Второй оптимальный проект получен при повышенных требованиях к несущей способности К0 = 0,9. Оптимальной оказалась также семислойная оболочка со структурой пакета
= (0,15; 0,10; 0,10; 0,35; 0,10; 0,05; 0,15)г,
и толщиной е = 0,07 с показателем качества G = 4,90.
Сопоставление результатов показывает, что повышение заданной несущей способности оболочек на 13 % достигается за счет увеличения веса на 4 %.
Рассмотрим проекты полубесконечных оболочек, нагруженных на свободном торце, при тех же условиях (5.81).
В случае, когда К0 = 0,2, оптимальной оказалась пятислойная оболочка с параметрами:
N =5, i|)= (0,15; 0,65; 0,10; 0,05; 0,05)г, е= 0,07 (5.82)
и показателем качества G = 4,06. Расчеты показали, что несущая способность оптимальной оболочки весьма точно соответствует заданной (К = 0,203), при этом оптимальная оболочка разрушается со сдвигом / = 4 на участке длиной 0,4/?.
Повышение заданной несущей способности в 1,5 раза (Ко = 0,3) изменило оптимальный проект цилиндрической оболочки. Теперь оптимальной оказалась семислойная оболочка вида
N = 7, г|>= (0,15; 0,10; 0,10; 0,30; 0,10; 0,10; 0,15)Г,
е = 0,07 (5.83)
при показателе качества G = 4,70. Фактическая несущая способность оболочки К = 0,302, ее разрушение имеет сдвиговый характер / = 3 и происходит на участке длиной 0,4/?. Строение последней оптимальной оболочки показано на рис. 5.12. □
Сопоставление результатов (5.82) и (5.83) позволяет оценить высокую эффективность многослойных оболочек. Повышение требуемой прочности на 50 % в рассматриваемых примерах достигнуто увеличением веса конструкции на 20 %.
5.3.2. Круглые в плане оболочки. Показателем качества проекта примем вес конструкции. При неизменных размерах
141
в плане и фиксированной пологости веб может быть представлен равенством (5.80) аналогично целевой функции в п. 5.3.1.
Независимыми переменными в оптимизационной задаче приняты относительная толщина всей оболочки е, толщины слоев Относительную толщину среднего
слоя ф4 определяли из очевидного условия = 1, область поиска — границами изменения переменных 0,01 ^ е ^ 0,08; 0,05 ^ (г^,
я|>7) < 0,35; 0 < (г|>2, г|>8, %) < 0,4.
При этом возможность обращения в ноль толщин г|)2, ..., -ij)e означала также и автоматическое варьирование количества слоев; при % = 0 оно уменьшалось на две единицы.
Единственное условие в рассматриваемой оптимизационной задаче состояло в том, чтобы несущая способность оболочки или пластины была не ниже заданной Ко* Как и в п. 5.3.1, здесь в качестве метода решения задачи оптимального проектирования применено сканирование, гарантирующее достижение глобального экстремума с точностью до заданного шага. Приводим некоторые решения оптимизационных задач для конических оболочек и круглых пластин.
Рассмотрим нагруженную в вершине многослойную пологую коническую оболочку у = 0,2 с механическими характеристиками слоев (5.56). Потребуем, чтобы ее относительная несущая способность К ^ Ко = 0,035. Для решения используем программу на языке ФОРТРАН для ЭВМ БЭСМ-6. Процессорное время для решения оптимизационной задачи в рассмотренных примерах не превышало 10'. В результате решения получен проект оптимальной конической оболочки в =-0,05; г|э = (0,15; 0,10; 0,05; 0,40; 0,05; 0,10; 0,15)г,
N = 7 (5.84)
с показателем качества G = 0,96 и фактической несущей способностью К = 0,0353 (последняя достаточно точно совпадает с заданной несущей способностью Ко = 0,035). Для оптимальной оболочки характерно разрушение без сдвига слоев по меридионально-кольцевой схеме с центральным диском г = 0,4/?.
В качестве второго примера исследуем такую же оболоч¬
N/
жшш,
\/
,фшШ
Шёл
сэ
Ksr I ^
Рис. 5.12. Строение оптимальной семислойной конструкции.
142
ку с заданной несущей способностью К0 ~ 0,04. Для нее получен оптимальный проект (рис. 5.13, а)
е = 0,05, т|з = (0,15; 0,10; 0,05; 0,35; 0,10; 0,10; 0,15)г,
N = 7, (5.85)
отличающийся от проекта (5.84) только толщинами слоев
4 и 5: слой 4 (заполнитель) уменьшился с 0,5 до 0,35, а несущий слой 5 увеличил толщину с 0,05 до 0,10. Показатель качества для проекта (5.85) составил G = 1,00, а фактическая несущая способность К = 0,0403 > К0. Отметим, что
ЯШШШЖ
: лv v-v.v:-*:;.:
'5
\/
' 1
ШшШаШ
§
/\
6
Рис. 5.13. Строение оптимальной пятислойной конструкции:
а —• конической оболочки; б — круглой плаотины.
увеличение требуемой несущей способности на 14 % во втором примере потребовало увеличения веса конструкции на 4 %, что свидетельствует об эффективности многослойных оболочек.
При заданной несущей способности К0 = 0,004 оптимальна пятислойная пластина с параметрами (см. рис. 5.13, б)
е = 0,03; Ч> = (0,05; 0,60; 0,10; 0,10; 0,15)r, N = 5 (5.86)
с показателем качества G = 0,435. Фактическая несущая способность пятислойной пластинки составляла К = = 0,00402.
Второй оптимальный проект пластины был получен при тех же исходных данных, что и первый, и при заданной несущей способности К0 = 0,006.
Здесь оптимальный проект представлен параметрами
е = 0,05; ф = (0,10; 0,75; 0,05; 0,05; 0,05)г, N = 5. (5.87)
143
Он имеет показатель качества G = 0,650, сравнивая который с показателем G предыдущей оптимальной пластины, можно установить, какой «ценой» достигается увеличение ее несущей способности в 1,5 раза.
Эффективность полученных конструкций покажем на следующем примере. Сплошная однослойная пластинка при центральном нагружении и заданной несущей способности К* =* 0,004 должна иметь оптимальную толщину, опреде-
При такой относительной толщине качество проекта характеризуется показателем G = 0,901. Сравнивая с показателем, полученным в проекте (5.86) (G = 0,435), замечаем, что полученная пластина вдвое эффективнее сплошной пластины при одинаковой несущей способности.
Аналогичное сопоставление, выполненное для второго проекта трехслойной пластинки, дает результаты:
и оказывается, что соответствующий показатель качества проекта сплошной пластинки G = 1,309, что на 50 % хуже показателя (G = 0,85) для проекта (5.87).
Строение оптимальных пластинок в соответствии с формулами (5.86) и (5.87) показано на рис. 5.14.
5.3.3. Пологие оболочки, прямоугольные в плане. Методика расчета верхней границы несущей способности, за¬
Щ ^ ^ ^ис* Сравнение
Щ §* - - ^^ структуры оптималь-
“4—W*riff и'?S/s\ у ных пластин разной
8-
“74
ляемую соотношением
к = «jL = 0,004.
откуда при а0 = 3 МПа получим
е = (0,016/3)‘/г = 0,073.
К = = 0,006; е = ]/ = 0,089,
144
висимость (5.71) и реализующая ее программа использованы для оптимального проектирования многослойных оболочек, прямоугольных в плане. Как и в предыдущих задачах настоящей главы, качество проекта оценим массой конструкции, которую условно представим функцией (5.80).
Область поиска представляет собой шестимерный гиперпараллелепипед аналогично тому, как это было принято в пп. 5.3.1 и 5.3.2 Одна из координат — относительная
iiifP
Рис. 5.15. Строение оптимальной оболочки, прямоугольной в плане: а - к = 0,002; б — при К — 0,00267.
толщина е оболочки, остальные пять — относительные толщины /...5, 5...7. Толщину слоя 4 определим из условия
£ = 1-
i=i
Ограничением в оптимизационной задаче служило требование, чтобы несущая способность оболочки К была не ниже некоторого заданного значения Ко- Приняв прежние ограничения области поиска, рассмотрим некоторые результаты оптимального проектирования. Первый из них получен для квадратной в плане (ip = 1) пологой оболочки (у = = 0,2) с К0 = 2. • 10”3. При наилучшей относительной толщине е = 0,03 найдена оптимальная структура многослойного пакета:
г|> = (0,15; 0,05; 0,10; 0,50; 0,05; 0,10; 0,05)Г. (5.88)
Такая оболочка характеризуется показателем качества G =* 4,87, ее фактическая несущая способность К = 2,04 X X 10“3 весьма близка к заданной, так что оболочка не имеет избыточных запасов материала.
145
Второй проект оптимальной оболочки получен при тех же исходных условиях, что и первый, но при /С0 = 2,67 • 10“3. Здесь оптимальна оболочка структуры
Ч>= (0,15; 0,05; 0,10; 0,40; 0,05; 0,10; 0,15)г,
е = 0,03 (5.89)
с G = 5,025 и К = 2,72 .10 . Сравнивая проекты оболочек (6.88) и (5.80) замечаем, что повышение требуемой
Рис. 5.16. Строение оптимальной квадратной пластины, опертой по контуру: а — при <7о в 0*1 МПа; б — при q0 — 0,25 МПа.
прочности оболочек с К0 = 2 до К0 = 2,67, т. е. на 30 % привело к увеличению веса оптимальной оболочки на 3 %.
Представляет также интерес сопоставление полученных показателей оптимальных оболочек с показателями аналогичной сплошной оболочки при одинаковой прочности. В условиях безмоментной работы несущая способность оболочек пропорциональна ее толщине и относительной толщине е. Из формулы (5.72) следует, что однослойная сплошная оболочка с К = 0,002 должна в условиях рассматриваемой задачи (у = 0,2, свободное опирание краев и равномерное нагружение) иметь относительную толщину
При такой толщине показатель качества G = 9,19. Сравним его с полученным оптимальным проектом (5.89) семислойной оболочки при Ко = 0,002, где было найдено G = 4,87.
146
Весовая эффективность многослойной оболочки по сравнению со сплошной достаточно велика: 9,19/4,87 = 1,89, т. в. получаем почти двукратный выигрыш в весе.
Строение многослойных пакетов оптимальных оболочек (5.88) и (5.89) показаны на рис. 5.15.
Решение однопараметрических задач, описанных в § 5.2, позволяет построить оптимизационную задачу о наилучшей многослойной пластинке.
Рассмотрим пластинку шириной b и длиной /, несущую равномерную нагрузку заданной интенсивности q. Параметр X =■= l/2h есть безразмерная длина пролета. Массу G пластинки как показатель качества представим выражением (5.80).
Переменными в оптимизационной задаче являются толщина пластинки Л, количество слоев N> их относительные толщины грь их прочности ст, и сдвиговые прочности т* плоскостей контакта слоев. Таким образом, формулировка задачи состоит в отыскании таких Л, N, ст,, т,, чтобы G min при q > q0. Задача существенно упрощается, если материал слоев заранее определен.
В качестве примера рассмотрим квадратную опертую по контуру многослойную пластинку, равномерно нагруженную по всей поверхности. Пусть пластинка имеет размеры 300 X 300 см, ее толщина заключена в пределах 30 ^ h ^ ^ 40 см, число слоев 3 ^ ^ 7, относительные толщины
наружных слоев 0,05 ^ ^ 0,15, остальных слоев — 0 ^
<4>,<0,4(f = 2, 3, ..., /г - 1).
Приняты следующие механические характеристики материалов: предел текучести несущих слоев при растяжении о( =* 3 МПа, для ненесущих о{ = 0, сдвиговый предел текучести т, = 0,5 МПа.
Решены 12 задач, в которых заданная несущая способность q0 составила 0,1, 0,15, 0,2 и 0,25 МПа. Кроме того, отношение р пределов текучести при растяжении и сжатии, одинаковое для всех несущих слоев, принималось равным 5, 10, 15 и 20 (рис. 5.16).
Для сравнения рассмотрим сплошную пластинку, верхняя граница несущей способности которой описывается известной зависимостью = 6т0а"~2.
Так как предельный изгибающий момент т0 пропорционален квадрату толщины, то увеличение q0 в 2,5 раза вызовет увеличение затрат материала в J/^5 = 1,58 раза, или на 68 %.
147
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Архипов В. А. Несущая способность шаровых куполов с отверстиями//Изв. вузов. Сер. Стр-во и архитектура.— 1969.— № И.— С. 27—33.
2. Ахвледиани Н. В.f Шаишмелашвили В. Я, К расчету несущей способности оболочек // Сообщ. АН ГССР.— 1952.— Т 13, № 10.—
С. 88—101.
3. Ахвледиани Н. В. Предельное равновесие армированных оболочек на жесткопластическом основании // Докл. АН СССР.— 1970.— Т. 193, № 4,— С. 12—19.
4. Безухова Я. Я. Несущая способность круглых пластинок из жссткопластического материала, уложенных на упругопластическое основание // Исследования по теории сооружений.— 1968.— Вып, 16.—С. 175—186.
5. Бернштейн С. М. Избранные труды по строительной механике.— М. : Госстройиздат, 1961.— 271 с.
6. Болдышев A. AfПлевков В. С. Исследование сферических квадратных в плане оболочек с отверстиями // Исследования по строит, механике и строит, конструкциям / ТИСИ.— Томск, 1977 — С. 7—13.
7. Броуде Б. М. О влиянии начального искривления на устойчивость круговой цилиндрической оболочки // Строит, механика и расчет сооружений.— 1963.— № 1.— С. 22—27.
8. Васильков Б. С., Власов В. Г. Экспериментально-теоретические исследования модели железобетонной оболочки двоякой кривизны // Новые методы расчета строительных конструкций / ЦНИИСК.— М. : Стройиздат, 1968.— С. 44—58.
9. Варвак М. Ш., Дехтярь А. С. Экспериментальное исследование несущей способности пологих оболочек с центральным отверстием // Прикл. механика.— 1970.— Вып. 4, № 3.— С. 22—29.
10. Габбасов Р. Ф. О предельном равновесии сферияеской оболочки с шарнирно-подвижным осесимметричным описанием // Изв. вузов. Сер. Стр-во и архитектура.— 1967.— № 2,— С. 44—49.
11. Гвоздев А. 'А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия.— М. : Стройиздат.— 1949.— 372 с.
12. Гениев Г. А., КиссюкВ. Н., Тюпин Г. А. Теория пластичности бетона и железобетона.— М. : Стройиздат, 1974.— 191 с.
13. Герасимов В. Я. О предельном равновесии цилиндрической оболочки при локальных нагрузках // Прочность и надежность конструкций.— К. : Наук, думка, 1978.— С. 20—31.
14. Герасимов В. П., Гудрамович В. С. Экспериментальное исследование несущей способности цилиндрических оболочек при локальном нагружении // Прочность и надежность техн. устройств.— К. : Наук, думка, 1981.— С. 22—27.
15. Даниелашвили М. А. О выборе оптимальных параметров армированных оболочек вращения // Строит, механика пространственных конструкций.— Тбилиси : Мецниереба, 1972.— С. 13—19.
16. Даниелашвили М. А., Читашвили Р. Я. К построению доверительного интервала для эмпирического оптимума и оценки оптимальной формы оболочек вращения // Строит, механика пространственных конструкций.— Тбилиси : Мецниереба, 1974.— С. оЗ—40.
17. Дехтярь А. С., Варвак М. Ш. Несущая способность непологих оболочек II Пробл. прочности.— 1970.— JSTs 6.— С. И—17.
148
18. Дехтярь А. С. Оптимальная оболочка вращения //Строит, механика и расчет сооружений.— 1975.— № 2.— С. 81—87.
19. Дехтярь А. СТютюнник А М. О предельной сосредоточенной нагрузке на оболочку//Прикл. механика.— 1975.— Вып. 11, № Ю.—С. 40—47.
20. Дехтярь Л. С. К оптимизации жесткопластических оболочек вращения // Прикл. механика.— 1977.— Вып. 13, Mb 5.— С. 27—
37.
21. Дехтярь А. С. Предельный анализ оболочек сложного очертания//
Прикл. механика.— 1979.— Вып. 15, № 12.— С. 22—31.
22. Дехтярь А. С Опытное обоснование условия текучести для железобетонных оболочек // Изв. вузов. Сер. Стр-во и архитектура.—
1980. - № 3.— С. 90—94.
23. Дехтярь А. С., Ковальский А. Я., Липский А. Г. Несущая способность и оптимальное проектирование плит сложного очертания // Сопротивление материалов и расчет сооружений.— 1982.— Вып.
41.— С. 81—84.
24. Дехтярь А. С. Несущая способность цилиндрической оболочки// Прикл, механика.— 1983.— Вып. 19, Ns 5.— С. 42—48.
25. Дубинский А. М., Шарапов Г. В. Несущая способность свободно опертых по контуру оболочек, очерченных по поверхности гиперболического параболоида // Строит, конструкции.— 1970.— № 4.— С. 20—27.
26. Дубинский А. М., Исаенко А. Г. Несущая способность прямоугольных железобетонных оболочек положительной гауссовой кривизны с шарнирно-неподвижным опиранием //Пространственные конструкции зданий и сооружений.— 1975.— N9 2.— С. 41—44.
27. Ерхов М. Я. Предельное равновесие пологих оболочек вращения // Строит, механика и расчет сооружений.— 1967.— № 4.— С. 17—
23.
28. Ерхов М. И. Теория идеально-пластических тел и конструкций.— М. : Наука, 1976.— 304 с.
29. Жармагамбетов Б. САкбердин Т. Ж. Несущая способность пологой оболочки с замкнутым контурным ребром // Вести. АН КазССР.— 1977.— № 8.—С. 27—37.
80. Каланта С. А., Нагявинус Ю. А., ЧирасА. Л. Применение нелинейного программирования для решения задач расчета пологих цилиндрических оболочек//Лит. мех. сб.— 1972.— N9 1 (10).—
С. 15—2L
31 Каркаускас Р. П., Чирас А. А. Нелинейная задача проектного расчета жесткопластической сферической оболочки и Литв. мех. сб.— 1971.—Яй 1.—С. 31—37.
32. Карпенко Н. И. Теория деформирования железобетона с трещинами.— М. : Стройиздат, 1976.— 196 с.
33. Коробов J1. А. О прочности железобетонных оболочек положитель¬
ной кривизны при действии сосредоточенных сил // Строит, механика и расчет сооружений.— 1977.— N9 1.— С. 60—65.
34 Коробов J1. А. Исследование прочности железобетонных оболочек положительной кривизны // Прикл. механика.— 1977,— Вып. 13, N9 1.—С. 17—24.
85. Краковский М. Б., Хайдукос Г. КШугаев В. В. Экспериментально-теоретическое исследование работы ребристых железобетонных оболочек при действии распределенных и сосредоточенных нагрузок // Тр. IX Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин.— Л. : Судостроение, 1975.— С. 27—33.
36. Краковский М. Б., Чиненков Ю. В. О совместной работе оболочки положительной гауссовой кривизны с диафрагмами // Строит, механика и расчет сооружений.— 1968.— N9 3.— С. 61—67.
149
37. Кривелев Л. Я, Исследование предельного состояния пологих железобетонных оболочек с плоским контуром /; Бетон и железобетон.— 1965.— Ко 4.— С. 12—15.
38. Кульгавий #. К., Самойлов Л. Л. Изготовление и испытание модели армоцементной оболочки двоякой кривизны // Эксперимент, исследования материалов и моделей конструкций / ЛИИЖТ.— Л„ 1964.— № 229.— С. 37—41.
39. Маркелов Н. А., Рослик В. И.ж Санников И. В. Новая технология монтажа оболочек в строительстве // Опыт проектирования и строительства зданий с применением пространственных конструкций,— М. : Стройиздат, 1980.— С. 27—32.
40. Микеладзе М. Ш. Введение в теорию идеально-пластичных тонких оболочек.— Тбилиси : Мецниереба, 1969.— 181 с.
41. Микеладзе М. Ш. Упругость и пластичность элементов конструкций и машин.— Тбилиси : Мецниереба, 1976.— 156 с.
42. Милейковский Я. Е.гКаишев Р. Я. Напряженное состояние цилиндрического свода-оболочки при действии предельной нагрузки D Строит, механика и расчет сооружений,— 1981.— № 2.—
б. 19—27.
43. Мирзабекян Б. Ю. К определению нижней границы несущей способности оболочек // Строит, механика и расчет сооружений.— 1968.— № 3.— С. 20—25.
44. Михайленко В. ЕСазонов К. А., Ковалеве. Н. Формообразование большепролетных покрытий в архитектуре.— К. : Выща шк„ 1987.— 190 с.
45. Немировский Ю. ВШаблий О. НМихалишин М. С. Предельное состояние конструкций из материалов с различными пределами текучести при растяжении и сжатии // Прикл. механика.— 1973.— Т. 9, № 10.— С. 13—19.
46. Немировский Ю. В. Оболочки абсолютно минимального веса // Механика деформируемых сред.— Куйбышев, 1978.— С. 27—33.
47. Немировский Ю. В. Трехслойные пластические оболочки вращения минимального веса // Тр. XII Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин.— Ереван, 1980.— С. 80—87.
48. Огибалов Я. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластины. — М, : МГУ, 1969.— 692 с.
49. Одишвили К А. Оптимальный закон изменения толщины пологой оболочки //Тр. ЦНИИ строит, конструкций.— 1971.— Вып. 19,— С. 29—35.
50. Прагер В. Проблемы теории пластичности.— М. ; ГИФМЛ, 1958,— 136 с.
51. Проектирование и строительство зданий методом подъема II Под ред. Р. Л. Саакяна.— М. : Стройиздат, 1986.— 220 с.
62. Проценко А. М. Приближенные решения задач теории предельного равновесия // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела.— 1970.— N9 6.—С. 77—86.
63. Проценко А. М. Сходимость задач предельного равновесия II Прикл. математика и механика.— 1970.— Вып. 34, № 2.— G. 92—<-91.
54. Прсценко А. М. Теория упругоидеально пластических систем,— М. : Наука, 1982.— 288 с.
55. Проценко А. МВласов В. В. Определение несущей способности железобетонных арок и куполов с помощью ЭВМ и Расчет пространственных конструкций.— 1971,— Вып. 14.— 6. 12—49.
56. Пухонто JI.M. Экспериментальное исследование влияния местных нагрузок на пологие оболочки // Изв. вузов. Сер Стр-во и архитектура.— 1962.— N9 1.—С. 22—29.
57. Рассказов А. О. Расчет оболочек типа гиперболического параболоида.— К. : Выща шк., 1972.— 190 с,
150
58. Рассказов А. О., Дехтярь А. С. Предельное равновесие трехслойных пластин и оболочек II Сопротивление материалов и теория сооружений.— 1977.— Вып. 31.— С. 86—91.
59. Рвачев В. J1., KypnaJl. В. ^-функции в задачах теории пластин.— К. : Наук, думка, 1987.— 175 с.
60. Рекомендации по проектированию жилых и общественных зданий* возводимых методом подъема. Метод, указания / ВПЭКТИ, Ереван. 1985.— 163 с.
61. Ржаницын А. Р. Расчет сооружений о учетом пластических свойств материалов.— М. : Стройиздат, 1954.— 286 с.
62. Ржаницын А. Р Расчет оболочек методом предельного равновесия // Исследования по вопросам пластичности и прочности строит, конструкций.— М. : Стройиздат, 1958.— 6. 27—37.
63. Ржаницын А. Р. Пологие оболочки и волнистые настилы М Науч* сообщ. / ЦНИИСК.— I960.— Вып. 14.— 114 с.
64. Ржаницын А. Р. Составные стержни и пластинки.— М. : Стройиздат, 1986.— 316 с.
65. Ржаницын А. Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек.— М. : Наука, 1983.— 288 с.
66. Розенблюм В. И. Приближенная теория равновесия пластических оболочек // Прикл. математика и механика.— 1954.— Вып. 18, Кя 3.— С. 70—77.
67. Руководство по проектированию железобетонных пространственных конструкций покрытий и перекрытий.— М. : Стройиздат, 1979.— 216 в*
68. Справочник по теории упругости / Под. ред. П М. Варвака, А. Ф. Рябова.— К- '• Будивэльнык, 1971.— 418 с.
69. Стрельбицкая А. И. Упругопластическая работа пологих оболочек
при равномерном нагружении II Прикл. механика,— 1975.—
Вып. 11, Кя 10.— С. 21—27.
70. Цурков И. С. Упругопластическое равновесие пологих оболочек при малых деформациях // Изв. АН СССР. Сер. Механика и машиностроение.— 1957.— № 6.— С, 20—26.
71. Чиненков Ю. В., Байниетов Т. Ч. Исследование оболочек положительной кривизны с диафрагмами в виде опертых на колонны криволинейных брусьев // Строит, механика и расчет сооружений.— 1976.— Кя 2.— С. 80—88.
72. ЧирасА. А. Задачи оптимизации в строительной механике // Строит, механика и расчет сооружений.— 1970. № 2.— С. 17—24.
73. ЧирасА. А., Боркаускас А. Э., Каркаускас Р. П. Теория и методы оптимизации упругопластических систем.— М. : Стройиздат, 1974.— 278 с.
74. Шаблий О. Н. О несущей способности оболочек вращения, изготовленных из жесткопластического материала с упрочнением // Проблемы прочности.— 1971.— Кя 3.— С. 10—17.
75. Шаблий О. Н., Михалишин М. С. Несущая способность пологих оболочек вращения, материал которых имеет различные пределы текучести при растяжении и сжатии//Проблемы прочности.— 1970.— № 5.— С. 45—58.
76. Шугаев В. В., Краковский М. БТукенов М., Ярмульник Ф. В. Исследование оболочек покрытий текстильных комбинатов // Строит, механика и расчет сооружений.— 1975.— № 6.— С. 11—17.
77. Шугаев В. В. Определение несущей способности железобетонных оболочек с учетом больших прогибов // Строит, механика и расчет сооружений.— 1970.— № 1.— С. 27—33.
78. Bostrom Р. О. Collapse modes of a rigid-plastic beam on a rigid-plastic foundation II Int. J, Mech. Sci.— 1975.— V, 17.— N 1.— P, 4—1L
151
79. Haydle H. М., Sherbourne А. N. Plastic analysis of shallow spherical shells I/ Trans. ASME.- 1974.— E 41, N 3.— P. 29—40.
€0. Ingerslew A. The strength of rectangular slabs// J. Inst. Structural eng.— 1923.—VI, N 1.—P. 90—99.
81. Iohansen K. W. Brudlinieteorer.— Kdbenhavn, 1943.— 221 p.
82. Kacperski T. Techniczna teoria zniszczenia okr^glych cylindrycznych
zbiornikow sciskanych poprzeczne siodlami // Rozpr. inz.— 1979.—
24. Z. 1.— P. 70—76.
S3, Kecman D. Bending collaps of rectangular and square section tube// Int. J. Mech. Sci.— 1983.— V 25.— N 9—10.— P. 623—636.
84. Kitching R., Hugehes I. F. Jones N. Limit loading of cylindrical shells subjected to total circumferential bending moments // Int. J. Mech. Sci.— 1978.— V. 20.— N 2.— P. 112—123.
85. Murray N. Af., Khoo P. 5. Some basic plastic mechanisms in the local buckling of thin-walled shells structures//Int. J, Mech. Sci.—
1981.— V. 23.—N 12.—P. 703—714.
86. Morley С. T. On the yield criterion of an orthogonally reinforced conc¬
rete slab element// I. Mech. Phys. SoLds.— 1966.— V 14.—N1.— P. 66—80. —
87. Parton G. М., Shendi — El — Barbary. Polystyrene concrete sand¬
wich beams- stiffness and ultimate load analysis // Inf. J, Cement Compos. and Lightweight Concrete.— 1982.— V. 4.— N 4.—
P. 199—207.
88. Sankaranarayanan R. A generalized square yield condit;on for shell of revolution// Proc. Indian Acad. Sci., Ser. A.— 1964.— V 69.— No 3.—P. 122—141.
•89, Janas M. Nosnosc graniezna orzekrycia walcowego // Arch. inz.
1962,— 8,— Z. 3,— P. 77—9 U
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Кинематический метод теории предельного равновесия 6
1.1. Теория предельного равновесия 6
1.2. Кинематический метод и его модификации 7
1.3. Примеры. Несущая способность однопролетной
балки 9
1.4. Несущая способность и оптимальное проектирование . . 15
Глава 2. Пластины 16
2.1. Расчетная модель изгибаемой конструкции на
жесткопластическом основании 16
2.2. Осесимметричные пластины 18
2.3. Точечное опирание пластин 19
Глава 3. Замкнутые оболочки вращения и призматические
оболочки .... 27
3.1. Оболочки вращения 27
3.2. Оболочки, подкрепленные кольцевыми ребрами 43
3.3. Призматические оболочки . . 50
Глава 4. Выпуклые оболочки, прямоугольные в плане 64
4.1. Методы расчета несущей способности . 64
4.2. Примеры расчета 77
4.3. Оптимальное проектирование оболочек 96
Глава 5. Многослойные оболочки и пластины 105
5.1. Кинематический метод расчета . . 105
5.2. Примеры расчета 117
5.3. Оптимальное проектирование многослойных оболочек и пластин 140
Список использованной литературы 148
Производственное издание
УЧЕНЫЕ УКРАИНЫ — НАРОДНОМУ ХОЗЯЙСТВУ
ДЕХТЯРЬ Анатолий Соломонович,
РАССКАЗОВ Александр Олегович
Несущая способность тонкостенных конструкций
Художественный редактор Б. В. С ушко Технический редактор О. Г. Манилова Корректоры Г. Я• Василишина, В. П. Самохоцкая
ИБ № 3162
Сдано в набор 05.12.89. Подписано в печать 14.06.90. БФ 05596. Формат 84Х1087з2. Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Уел. печ. л. 7,98. Уел. кр.-отт. 8,3. Уч.-нзд. л. 8,65. Тираж 5000 экз. Зак. № 0—1056. Цена 55 к.
Издательство «Будивэльнык». 252053 Киев, ул. Обсерваторная, 25.
Отпечатано с матриц Головного предприятия «Полнграфкнига» на Киевской фабрике печатной рекламы им. XXVI съезда КПСС. 252067 Киев, ул. Выборгская, 84.
55 к.
o-V
о* V
v4r ^
о*\°