Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей) - Варвак П.М., Рябов А.Ф.

Автор: Варвак П.М. Рябов А.Ф.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация физика справочник теория устойчивости теория колебаний теория упругости
Год: 1971
Похожие
Теория упругости
Теория упругости и пластичности
Метод геометрического погружения в теории упругости
Теория упругости
Текст
                    СПРАВОЧНИК
ПО ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ-СТРОИТЕЛЕЙ)
Под редакцией
доктора технических наук П. М. Варвака
и кандидата технических наук А. Ф. Рябова
ИЗДАТЕЛЬСТВО «БУДШЕЛЬНИК»
КИЕВ — 1971

(
C74
УДК 539.31@31)
Справочник по теории упругости (для
инженеров-строителей) под редакцией Вар-
вака П. М. и Рябова А. Ф. Киев, «Будь
вельник», 1971, стр. 418.
В справочнике излагаются основы тео-
теории упругости, различные методы расчета
пластин и оболочек, а также приведены
примеры практических расчетов и вспомо-
вспомогательные расчетные таблицы. Большое
внимание уделено численным методам рас-
расчета, находящим широкое применение при
решении различных инженерных задач с
применением ЭЦВМ.
Справочник включает решение плоской
и пространственной задач теории упругости,
изгиба пластин и оболочек, задач устойчи-
устойчивости и колебаний.
Книга рассчитана на инженеров, техни-
техников, а также может быть использована
студентами строительных специальностей.
3-2-5
399-71М

ПРЕДИСЛОВИЕ
В строительной практике очень широко стали применяться пластинки, обо-
оболочки и другие конструкции. Для их расчета и уточнения напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояния инженеру-проектировщику часто приходится обраща-
обращаться к теории упругости.
Предлагаемый справочник должен помочь инженеру решать эти задачи.
Он содержит краткие сведения по теории упругости, основные формулы и
важные таблицы. Материал книги расположен в трех разделах. Основные,
традиционные вопросы рассматриваются в первом и третьем разделах. Во
втором — значительно глубже раскрываются вопросы, которые в первом раз-
разделе изложены кратко, а именно: дифференциально-разностный метод, про-
пространственная задача, некоторые новые методы (метод конечных элементов,
метод предельного равновесия при расчете железобетонных плит и оболочек),
а также другие трудные теоретические вопросы.
Авторы глав: I, IV—VI, VIII, IX, XVI—канд. техн. наук А. Ф. Ря-
Рябов; II—канд. техн. наук А. Ф. Рябов и д-р техн. наук П. М. Варвак;
III — д-р техн. наук П. М. Варвак; VII — канд. техн. наук В. Д. Шевченко;
X—XI—канд. техн. наук В. Г. Пискунов; XII — д-р техн. наук Н. П. Абов-
ский; XIII — канд. техн.'наук Ю. П. Петров; XIV — канд. техн. наук А. М. Ма-
Масленников; XV — кянд. техн. наук Б. М. Лисицин; XVII — канд. техн. наук
А. М. Дубинский; XVIII — канд. техн. наук А. С. Дехтярь; раздел третий —
д-р техн. наук П. М. Варвак.
Редакторы

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
Глава I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Напряжения. В сечении тела на произвольно ориентированной площадке
с нормалью п действует вектор напряжения рп (рис. 1Л). Нормальную состав-
составляющую оп вектора напряжения называют нормальным напряжением, каса-
касательную %п — касательным напряжением на данной площадке.
Напряжение рп может быть охарактеризовано тремя проекциями рпх , Рпу
и pnz на координатные оси ху у и z и зависит от направления площадки в дан-
данной точке тела. Первый индекс указывает на направление площадки, второй —
на ось проектирования.
Компоненты напряжения. Напряжение на любой площадке в рассматри-
рассматриваемой точке может быть определено, если известны в данной точке напря-
напряжения на каких-либо трех взаимно перпендикулярных площадках. Проекции
на координатные оси х, у и z напряжений рх, ру и pZy действующих на пло-
площадки, перпендикулярные к этим осям, имеют компоненты (рис. 1.2), которые
образуют тензор напряжения.
Т —
^xy ^xz
Напряжение на произвольно ориентированной площадке, проходящей че-
через данную точку, вычисляется по компонентам напряжения (формулы Ко-
ши):
АЛ
рпх = сх cos nx + zxy cos пу
pny = zyx cos nx -f cy cos ny
Л л
Pnz = zzx cos nx + zzy cos пУ
Л
zxz cos nz\
А
zyz cos nz\
Л
az cos nz-
/1 1\
Деформации. Деформацией называют изменение расстояния между точка-
точками тела. В случае малой деформации имеют место следующие зависимости:
да
dw
~dz~
du
dy
dy
dx
dv
dz
dw
"txz
да
dz
dw
~~dx~
A.2)
Здесь и, v, w — составляющие смещения, испытываемого точками тела
в направлении осей х, у, г; ех> гу, *г— относительные удлинения соответствен-

но в направлении осей х, у, z, a yxyt 7уг, Vxz—относительные сдвиги (изме-
(изменения первоначально прямых углов между направлениями ху; yz; xz соот-
соответственно) .
Относительное изменение объема
? = едг + ?у + ег- A-3)
б„
Рп
Рис. 1.1.
Рис. 1.2.
Компоненты деформации не могут быть вполне произвольными функциями.
Для определения перемещений и, v, w по деформациям последние должны
удовлетворять шести условиям сплошности (или неразрывности) Сен-Венана:
ду2
•+¦
\ху
dx2
dy2
d4x
dxdy
дудг
дхдг
дЧх
дуд z
1
д
дх
1 д
\yz
dz
ду
дх
dxdz
дх
d2zz 1 d f
dxdy =~2 dz\
dz
dlyz
dx
ду
dz
A.4)
dxdy 2 dz \ dy
Дифференциальные уравнения равновесия. Компоненты напряжения долж-
должны удовлетворять дифференциальные уравнения равновесия
do»- dzr., dzr?
^_ , ху , xz_ i х = (
dx dy dz
дх
ду
dz
da,
¦ +
dx dy ' dz
где X, У, Z — компоненты объемной силы.
6
Y = 0;
Z = О,
A.5)

В случае движения в правые части уравнений будут входит инерционные
д2и d2v d2w
силы, соответственно равные р-
dt2
p-
Р
дР '
где р—плотность материала;
t — время.
Зависимость между напряжениями и деформациями в пределах упругости.
Упругостью называется свойство материала восстанавливать после снятия
нагрузки первоначальные размеры и форму тела, выполненного из данного
материала.
Задачей теории упругости является точное количественное описание де-
деформированного и напряженного состояния упругого тела, испытывающего
внешнее воздействие. Ограничимся рассмотрением малых деформаций упругого
тела, когда действует закон Гука.
Для изотропного тела этот закон имеет вид:
1
: = — [<*r — P- (°y + <
= — [a,-^.
-ху
txz = '
A.6)
где ?— модуль упругости; G — модуль сдвига; \i — коэффициент Пуассона.
Решая равенство A.6) относительно напряжений, получаем:
сх = и + 2Gzx; T_ry = Gtxv
A.7)
g2 = Л? + zuzz; iyz = и
Здесь Я и G — упругие постоянные Ляме. Причем
Упругую потенциальную энергию единицы объема изотропного тела опре-
определяют по формулам:
w - i t4 + ау+°г- 2^°^у + 3У^ + зл) + 2 A +1») (^+-4+^)]: A-8)
««+
!+т
• лгу
+ т?, + -
Уравнения теории упругости в перемещениях. Поскольку по закону Гука
напряжения можно выразить через деформации (через перемещения и, v, w)
и деформации через напряжения, то в теории упругости одну и ту же задачу
можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях, рассматривая со-
соответствующую систему дифференциальных уравнений.
Уравнения Ляме. Внося в дифференциальные уравнения равновесия A.5)
компоненты напряжения A.7) и заменяя компоненты деформации по форму-
формулам A.2), находим дифференциальные уравнения движения упругого тела:
дг д2и
¦ - -фи + X-f—— = 0;
(Х + G)
дх
дг
ду
дв
(к + G) —
Z -
= 0;
= 0,
A.9)

d2
d2
~dy2
dz2
где ?=?»-+?«+?*—относительное изменение объема; V2= —;+ T~; + —«—
y dx2 dy2 dz2
оператор Лапласа.
В задачах статики упругого тела ускорение равно нулю; при отсутствии
объемных сил уравнения равновесия принимают вид:
(X + G) —- + Gv2a - 0;
dx
(X+G)
dx
dz
*v = 0;
= 0.
A.10)
Трех совместных дифференциальных уравнений Ляме достаточно для оп-
определения трех неизвестных упругих перемещений щ v, w; решение будет
вполне определенным, если будут удовлетворены: 1) условия на поверхности
упругого тела — так называемые граничные условия; 2) условия в начале дви-
движения— так называемые начальные условия (для задач динамики).
Уравнения теории упругости в напряжениях. Уравнения Бельтрами-Мит-
челла. Внося компоненты деформации по закону Гука A.6) в условия нераз-
неразрывности A.4), с ггамощъю дифференциальных уравнений равновесия A.5)
получаем уравнения Бельтрами-Митчелла:
1
1
1
1
1
i dx2
d2a
i dy2
d2a
— 2
дХ
dx 1 — [
dy
дХ
дх
dy
dy
dZ
dz
dy 1 — \j.\ dx dy dz
1 + p. d*2
— 2
dZ
dz
1-fi
ax
д2а
ax
~d7
—+—
ду dz
дУ
A.11)
az
+
1
1 4- p. dxdz
dZ дХ
дх dz
где а = ах + су + <JZ.
При отсутствии объемных сил правые части этих уравнений равны нулю.
Плоская задача. В теории упругости к плоской задаче относят задачу о
плоской деформации и задачу о плоском напряженном состоянии.
Плоская деформация имеет место в длинном прямом цилиндре (с осью г)
при условии, что составляющая смещения ку = О, а внешние нагрузки не за-
зависят от г, причем Zn =0; Z==0.
Следовательно,
гг = Ixz = Туг = 0; ххж = туг = 0; о2 = р. (ах + оу). A.12)
Если закрепления концов таковы, что условие w=Q не выполняется (на-
(например концы цилиндра свободны), то рассматриваемую задачу можно ре-
решать в условиях плоской деформации, вычислив согласно равенетам A.12)

осевое усилие р и затем наложив на это решение состояние надлежаще вы-
выбранного одноосного растяжения (например для свободных концов — растя-
растяжение силой р). Суммарное решение по принципу Сен-Венана будет справед-
справедливо в некотором отдалении от концов.
Дифференциалыше уравнения равновесия имеют вид:
илгу
"ху
A.13)
и х и у и х
Соотношения закона Гука также упрощаются:
су = Х |
*ху
( ди
[дх
' ди
,дх
~
ду \
+ ду)
ду \
( ди
+ 2
+ 2G
ду\
дх 1
ди
дх '
ду
A.14)
Соответственно можно записать уравнения в цилиндрических координатах.
Плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластинах со свобод-
свободными от нагрузки основаниями; пластина деформируется нагрузками, парал-
параллельными основаниям и симметричными относительно срединной плоскости.
Принимая срединную плоскость за ху, имеем на основаниях (т. е. при
А _
Усредняя все величины по толщине пластины, получим уравнение равнове-
равновесия A.13) и соотношения:
_ди_ dz \ ди_
дх dv / дх
_ ,
{
ди_
дх
dv\
- •
-ху
G
ду )
ди
ду
ду
ду
дх
A.15)
где Я^
1—К
-А.
В дальнейшем рассматривается система уравнений плоской деформации.
Для перехода к плоскому напряженному состоянию необходимо заменить Я
на X' и учесть, что в плоском напряженном состоянии oz =Q-
ЛИТЕРАТУРА
1. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.
М., «Высшая школа», 1968.
2. В а н Цз.и-де. Прикладная теория упругости. М., Физматгиз, 1959.
3. К а ц А. М. Теория упругости. М., ГИТТЛ, 1956.
4. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М, Гостехиздат, 1947.
5. Л я в А. Математическая, теория упругости. М., ОНТИ, 1935.
6. Новожилов В*. В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958.
7. П а п к о в и ч П. Ф. Теория упругости. М., Оборонгиз, 1939.
8. Снеддон и Беррйу, Классическая теория упругости. М., Физмат-
Физматгиз, 1961.
9. Тимошенко СП. Теория упругости. М., ОНТИ, 1937.
9

Глава II. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Точное решение задач теории упругости связано со значительными мате-
математическими трудностями. В этом случае прибегают к приближенным
методам решения: к вариационным, связанным с принципом минимума по-
потенциальной энергии, или к численным, которыми являются методы конечных
разностей, прямых и конечных элементов.
Вариационные методы основаны на том, что исходные дифференциальные
уравнения теории упругости могут быть получены непосредственно при мини-
минимизации определенного выражения для потенциальной энергии. Вместо того
чтобы решать дифференциальные уравнения, можио отыскать решение, кото-
которое отвечает минимуму энергии. Это позволит избежать математических за-
затруднений, связанных с интегрированием дифференциальных уравнений.
Принцип минимума потенциальной энергии системы (минимума для сме-
смещений). Из всех кинематически возможных систем перемещений, принимаю-
принимающих заданные значения на поверхности тела, только действительные переме-
перемещения сообщают минимум потенциальной энергии системы
Л = jJJ WdV - JfJ (Хи + Yv + Zw) dV—f§ (Xnu + Ynv+Znw) ds = min. B.1)
V V s
Кинематически возможные перемещения непрерывны и удовлетворяют за-
заданные граничные геометрические условия. Это вариационное уравнение экви-
эквивалентно дифференциальным уравнениям равновесия A.5) и условиям равно-
равновесия на поверхности тела B.1). Хп> Yn, Zn—составляющие нагрузки, при-
приложенные к поверхности тела s.
Пусть д и, д v, 6 w — возможные упругие перемещения, допускаемые гео-
геометрическими связями.
Пользуясь принципом возможных перемещений Лагранжа для упругого
равновесия, имеем
№х + °уЬЬ + °z^z + Ъу»бху + lV2beyz + xxzUxz) dV - j[j \ХЪп +
+ Ybv + Zbw] dV — jjj [ХпЬи + Ynbv + Znbw] ds - 0. B.2)
s
Здесь ds — элемент поверхности. Уравнение B.2) представляет вариационное
уравнение Лагранжа.
Принцип минимума дополнительной работы — принцип Каст и л ья но (прин-
(принцип минимума для напряжений). Из всех систем напряжений, находящихся
в равновесии с заданными объемными и поверхностными силами, только дей-
действительная система напряжений сообщает минимум дополнительной работе
Э = JJJ WdV — J (Хпи + Yuv + Znw) ds = min. B.3)
Поверхностный интеграл берется по той части поверхности, на которой за-
заданы перемещения.
Вариационное уравнение Кастильяно эквивалентно условиям сплошности.
Уравнение B.3) можно записать в таком виде:
j yS
V
- ^ (аЪХп + vbYn + wbZn) ds = 0. B.4)
s
Вариационный метод Ритца — Тимошенко. Применение принципов миниму-
минимума потенциальной или дополнительной энергии заключается в отыскании функ-
функций, удовлетворяющих граничные условия задачи и минимизирующих потен-
потенциальную энергию П или дополнительную энергию Э.
Идея метода Ритца—Тимошенко состоит в следующем. Вначале пред-
представляют решение в форме ряда, удовлетворяющего граничные условия и
содержащего неопределенные параметры с,-. Затем принятые функции под-
подставляют в выражения для потенциальной или дополнительной энергии и про-
10

изводят интегрирование. Полученные таким образом выражения будут яв-
являться функциями неопределенных параметров ci (i=l, 2... п). Так как для
состояния равновесия потенциальная или дополнительная энергия должна
принимать минимальное значение, то числа c-t должны удовлетворять систему
уравнений
дП дЭ
= 0 или = 0. B.5)
Подставляя найденные значения параметров в выбранное выражение для
функции, получим приближенное решение задачи. Следует отметить, что по-
полученное таким образом решение задачи
является точным, если взятое выражение р
включает полную последовательность функ- 0М t tt t H t t Н Н М
ций, т. е. последовательность измеримых
функций класса С, где произвольная функ-
функция из этого класса может быть аппрокси-
аппроксимирована с заданной точностью при помощи
линейной комбинации конечного числа этих
функций. Нарушение требования полноты ™с- 21-
может привести к грубой ошибке — сколь
угодно далекие приближения по методу Ритца—Тимошенко будут сильно от-
отличаться от точного решения.
В большинстве случаев удается принять во внимание только конечное чис-
число параметров, и потому получаемое решение является лишь приближенным.
Пример 1. Изгиб шарнирно опертой балки под действием равномерно рас-
распределенной нагрузки (рис. 2.1).
Упругую потенциальную энергию можно представить в виде
2
х
Vх*
+ <*х°г) + 2 0 + Iх) (zxy + zxz + тугI d^dydz. B.6)
Из формул сопротивления материалов, пренебрегая энергией сдвига, имеем
М z dQw
°у = °z = *ху = *xz = Ъ* "= °; °х = —у~ • М=Е1 -j-^ , B.7)
где / — момент инерции поперечного сечения.
/ = j j 24xdy.
Подставляя формулы B.7) в B.6), находим
L
2 ^
о
• Потенциальная энергия внешней нагрузки будет
L
Л = j" pwdx,
о
где р — интенсивность распределенной нагрузки, отнесенной к единице балки.
Полная потенциальная энергия системы равна
L L
El С I d2w \ С
Tl = U-A = —— I ——- dx—\pwdx. B.8)
? J \ ах I J
о о

Из условия бП—ви—Л4=0, интегрируя по частям, получим
L
Я. d*w \ Г d2w dbw dzw ЛХ=Ь
dx* ) [ dx2 dx dx* \XtmQ
0
В силу условий
d2w
M = El ; w = 0; bw = 0 при х = 0; I.
Члены в скобках обращаются ib нуль для граничных значений *=0 и х=
= L. Для всех остальных сечений балки вариация д w имеет произвольное зна-
значение; уравнение
L
Г / dw \
Ш = I \Е1 — — р bwdx = 0 B.9)
J \ dx* 1
о
будет выполнено только при условии
d*w
EI-j^-p^O. B.10)
Вместо того чтобы решать основное дифференциальное уравнение B.10)
при граничных условиях
d?w
w = = 0 при х = 0; L,
dx2
воспальзуемся методом Ритца—Тимошенко.
Чтобы удовлетворить этим граничным условиям, можно выбрать ряд
в виде
со
S ш ППХ
Cnsm—— »
/2=1
причем C-L (i = l, 2, 3,..., n)—неопределенные параметры. Подставив это
выражение в B.8) и произведя интегрирование, находим потенциальную энер-
энергию'
Г Г El t d2w'Y I ЕЫ* V 9 2pZ V Cn
1
л=1 л-1,3, 5...
Минимизируя П по Сп, получаем:
-L=0; „ = 1,3,5,...
n
4Z3
-^T" MCn = 0; п = 2, 4, 6, . . .
4L3
4/?L4 I
Отсюда Сп= 5 •—|~для нечетных л и Сп=0 для четных л. Таким образом,
12

W =
уравнение упругой линии получает вид
со
4tiZ,4_ VI 1 ппх
—«.» ^^"^ fi L
л = 1, 3,5, ...
Так как в данном случае параметры Сп определяются для всех значений л,
то рассматриваемый бесконечный ряд дает точное решение краевой задачи.
L
Этот ряд быстро сходится. Наибольший прогиб имеет место при *= —- и
равен
Взяв лишь один член ряда, получим
76,6?/ *
/ 1
Сравнивая с точным решением коэффициент (yg gl, получаем погрешность
0,26% при определении штахс помощью первого члена ряда.
Пример 2. Изгиб заделанной по контуру^прям^угольной пластины, нагру-
нагруженной равномерной нагрузкой.
В силу гипотез Кирхгоффа, для изгибаемой пластины {az=^xz=^yz =0)
выражение потенциальной энергии B.6) примет вид
U= [[[wdV= [[[—— [^+о2-2^ау + 2A+»1)т2 ]^. B.11)
J J J J J J 2? .
Из закона Гука и выражения для компонент-деформации для изгибаемой
пластины находим:
. Е (Pw
( + )
Внося эти формулы в выражение B.11) и учитывая, что потенциальная
работа внешней нагрузки q (x, у) на перемещениях w равна
А = ^ qwdxdy,
s
h h
после интегрирования по z в пределах от — — до + —получим
d2w d2w
B.12)
13
дх* ду2
s

Вместо того чтобы решать дифференциальное уравнение изгиба
dw dw
при граничных условиях: w=0 для # = ±a, у=±а и т— =0 для х=±а\-— =
==0 для х=±Ь, ставим задачу определения функции, удовлетворяющей гра-
граничным условиям и минимизирующей потенциальную энергию П (<УП =0).
Простое приближенное решение получается, если взять для функции про-
прогиба выражение
w = а (х2 — а?J (у2 — б2J, B.13)
удовлетворяющее геометрические граничные условия вдоль контура
dw
w = = 0,
dn
причем А — произвольная постоянная.
Внося выражение B.13) в формулу B.12) и производя вычисления, по-
получаем
• 256 • 64д56
0.
Минимизируя по А
dn 2DA • 256
получим
А =¦
128 (д4 + 64 + — ачЛй
Внося значение А в выражение для функции прогиба B.13), имеем -для
квадратной пластины (а—b) величину прогиба в центре (х=у=0)
49qa* qa*
o>max = 2304?) = ,021 D
В приведенных примерах не рассматривались статические граничные ус-
условия.
В методе Ритца—Тимошенко при выборе минимизирующей функции нет на-
надобности, чтобы удовлетворялись статические граничные условия, так как они
удовлетворяются автоматически. Поскольку выбор функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих статические граничные условия заранее, часто является трудным, то в
этом и состоит преимущество метода Ритца—Тимошенко.
Метод Бубнова —* Галеркина. При использовании данного метода, в отли-
отличие от метода Ритца—Тимошенко, формулировать энергетический принцип нет
необходимости. Основная его идея сводится к следующему. Пусть необходимо
найти решение уравнения L (и) =0, где L — некоторый дифференциальный
оператор с двумя переменными, удовлетворяющими однородные граничные
условия. Приближенное решение задачи ищем в виде
и (х, у)ъи (х, у)= Y> cm (¦*. У)»
где щ (ху у) — некоторая система заранее выбранных функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих те же граничные условия, a Q — неопределенные коэффициенты.
114

р^ Для того чтобы, и (х, у) представляло точное решение данного уравнения,
?;#ужно, чтобы L (и) равнялось нулю тождественно, а это требование равно-
равносильно требованию ортогональности выражения L (и) по всем функциям си-
системы q>i (х, у) (i=l, 2, 3,..., п). Однако, имея в распоряжении только п
постоянных С/(г=1, 2,..., я), можно удовлетворить лишь п условий орто-
ортогональности. Записав эти условия, приходим к системе уравнений
ДО Li и (х, у) W (х, у) dxdy = ДО Ll J] Cy<py (jc, у) J ?/ (•*> У) d-*dy = О,
которая служит для определения_коэффициентов С;. Найдя С* из этой системы
и подставляя их в выражение и (х, у), приходим к требуемому приближен-
приближенному решению. Уравнения метода Бубнова—Галеркина могут быть получены
из принципа возможных перемещений.
Из приведенных ранее объяснений при выводе уравнений метода Бубно-
Бубнова—Галеркина следует, что не были использованы энергетические принципы.
Поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к
уравнениям различных типов и порядков, даже если они и не связаны с ва-
вариационными проблемами, чем он выгодно отличается от метода Ритца—Ти-
Ритца—Тимошенко. Для задач, связанных с вариационными проблемами и опирающихся
на энергетические принципы, он находится в тесном взаимоотношении с мето-
методом Ритца—Тимошенко, а в ряде случаев эквивалентен последнему.
Для пояснения метода Бубнова—Галеркина рассмотрим задачу изгиба пла-
пластины, для чего воспользуемся вариационным уравнением Лагранжа для из-
изгиба пластины
Г dbw f/ dMnt\
2w — q] Iwdxdy — \ Mn ds + I \Qn — — bwds. B.14)
J dn J \ ds J
Q s s
Второй интеграл, распространенный по контуру пластины, представляет
dbw
собой работу изгибающих моментов при повороте —- края пластины, тре-
дп
тий—работу приложенных вдоль края пластины перерезывающих сил.
При приближенном решении по методу Ритца—Тимошенко, когда исходят
из вариационного уравнения-B.14), не надо заранее удовлетворять статиче-
статические граничные условия, так как они удовлетворяются с тем большей точ-
точностью, чем больше будет взято членов в формуле при приближенном ре-
решении
ю«2С^и у) B.15)
и чем удачнее сделан подбор самих функций q}t (x, у). Наоборот, геометри-
dw
ческие условия (например ку=О; ~—=0) удовлетворяются обязательно зара-
заранее. В методе Бубнова—Галеркина должны быть наперед удовлетворены при
выборе функций q>i (xy у) все геометрические и статические условия. Тогда
два контурных интеграла в формуле B.14) исчезают в силу такого подбора
функций <pi, когда выполнены все граничные условия и остается вариацион-
вариационное уравнение метода Бубнова—Галеркина
ff[Dv2V2^ — q]bw = 0. B.16)
Внеся в него выражение B.15), получим систему линейных, уравнений:
15
ДО Р S C<W?/ - <7l Vxdxdy = 0;

Число этих уравнений равно числу неизвестных постоянных C\t С2, Сз,...,
которые определяются из этих уравнений. Приведенные ранее примеры реше-
решения задач методом Ритца—Тимошенко совпадают с решениями методом Буб-
Бубнова—Галеркина.
Метод конечных разностей или метод сеток. Это численный метод, позво-
позволяющий с известным приближением решать весьма сложные задачи, для ко-
которых аналитические методы неэффективны. За последние годы его роль осо-
особенно возросла в связи с развитием и распространением ЭЦВМ.
У
Лх
V
Я
к
0
п
L
т
р
L
г
t
Рис. 2.2.
Рис. 2.3.
Суть метода состоит в том, что точные значения производных заменяются
их приближенными выражениями через дискретные значения функций на ко-
конечном интервале. Эти выражения для производных подставляются в диф-
дифференциальные уравнения. В результате, в зависимости от характера произ-
производных, получается линейная или нелинейная система алгебраических урав-
уравнений. Такой же путь применим и для интегро-дифференциальных или ин-
интегральных уравнений, когда интегралы приближенно заменяются суммами.
Покажем, как можно приближенно заменить выражение для производной
в точке / (рис. 2.2). Точное значение производной — =tg«, где а — угол на-
наклона к оси х, касательной в точке i. Назовем конечный интервал аргумента
Л х=Лх; А(р=ф1-у1—первой правой разностью; и аналогично Д<р = <р; — <р&
— первой левой разностью. Тогда приближенные выражения для произ-
производных будут иметь вид:
69
дх
91 — <
или
дх
B.17)
B.18)
Это так называемые нецентрированные разности.
Более точное выражение для производной получится, если записать его в
центрированных разностях
дх
Вторая разность записывается как разность первых разностей. В соответ-
соответствии с этим вторая производная в точке i может быть представлена в виде
dx*
16

третья производная
dx*
/ — 2yf
2Х3
четвертая производная
dx*
у/ —
B.21)
B.22)
Если <р является функцией двух переменных, то, аппроксимируя рассмат-
рассматриваемую область прямоугольной сеточной (рис. 2.3) с шагами Л х=Хх и
<4у=Лу, можно частные производные аналогично записать:
^— « тп тгп ; B.23)
ду
<?п — 2?/ +
ду2
B.24)
Оператор Лапласа по двум переменным на основании B.20) и B.24) при-
примет вид
V2? =
дх*
+
ду*
+ У/) + У/я + Ул — 2 A + a
B.25)
где а = -j- .
Смешанная производная в точке i запишется
1
{(Уо + Ур) — (<Р<7 + Уг)}-
При изменении ориентации оси у выражение B.26) видоизменяется
д\ 1
дхду 4ХгХу q ° P
B.26)
B.27)
Для случая квадратной сетки ^=ЯУ = Х; «=1 и все выражения упростятся.
Например, оператор Лапласа примет вид
2 _ J_ _ -1- _
где срср =
В некоторых случаях для решения задач удобно иметь уточненные выра-
выражения для производных как односторонних, так и центрированных. Приведем
некоторые формулы. Первая производная в точке 0 (рис. 2.4).
4yt — у 2
2к
2—28
B.29)
17

вторая производная
/о= 2У,-3» + 4У1-У, B30)
Центрированное уточненное выражение для первой производной в точке
i (рис. 2.5)
12 3
i-2 1-1 L i*1 L+2
Рис. 2.4. Рис. 2.5.
На основании формулы B.25) можно, повторив операцию, получить в ко-
конечных разностях бигармоническое уравнение для точки i, которое является
основным при решении плоской задачи в напряжениях.
^v\ =6 f a -f I + 8 \ ц>} — 4 A + а) (ерь + ©/) + ( 1 + I (<pm + <Р«) +
L \ а / J L \ а) J
-j- 2 (<р0 + 9р "Ь 9<7 ~^~ Тг) ~\~ а (9s ~Ь 9^) ~f" (9« Н~ 9-у) == ^# B.32)
а
Для квадратной сетки уравнение B.32) упрощается
209/ — ^ (9^ ~}~ 9/ ~^~ 9т ~Ь 9л) ~^~ 2 (9о Н~ 9/7 ~Ь 9<7 ~Ь 9г) ~Ь 9s ~f" 9/ ~Ь
+ 9« + 9г/ = 0- B-33)
Аналогичное уравнение, но с правой частью, применяется при расчете пла-
пластин на изгиб
20м>/ — 8 (Wfc -\- Wj -f- wm -\- wn) ~j- 2 (wo -\- wp -\- wa -j- zc,) -f~
+ ws + Ш/ + wa -h дау = — , B.34)
где до — прогиб пластины.
Выражения для производных можно также получить путем построения
интерполирующего полинома, удовлетворяющего искомые значения в отдель-
отдельных точках. Покажем это на примере неравномерного шага (рис. 2.6). Иско-
Искомая функция показана сплошной линией, интерполирующий полином (рр —
пунктиром.
Пусть (рр— квадратная парабола.
срр = Ах* + Вх + С. B.35)
Для нахождения трех коэффициентов используем три условия:
Откуда
^9 _ 9/ — О — ^Vi — rfyk .
dx -*)Ч1-М)
18

Пусть (рис. 2.7) АВ граница области, которая аппроксимируется квадратной
сеткой. Тогда между значениями функций в отдельных точках можно записать
такую связь:
Ь = *i ~ (f+"~V + п п 1 р ~~ Г^"\~~dm~) ' B*38)
4т,
Рис. 2.6.
ал
у
к
1
1
/77
р
1
X
Г
Рис. 2.8.
B.39)
Рис. 2.9.
В дополнении к формуле B.26) для смешанной частной производной за-
запишем еще два варианта (рис. 2.8)
Л2гп 1
п.9 (9k + <Р/ + <Р/я + 4>п — 2ср^ — срд — <рг); B.40)
дхду
дхду
2Х2
B.41)
Выше были записаны производные в прямоугольной системе координат.
Для косоугольной системы координат и—v с углом а (рис. 2.9)
= х — у
cos а
sin а
t/ = y/sin а;
B.42)
B.43)
B.44)
а^ а^:
dudv
а2?
Эператор
sur a
sin2ayn<p = -
cos a + —г Sin a;
cos a + :— sin a;
а^ау
— 2
dudv
cos a
-2
dudv
COS a
cos2 a
dv2
B.45)
B.46)
B.47)
B.48)
B.49)
19

Для точки i ромбической сетки (рис. 2.10) оператор B.49) примет вид
X2 ' X2
2 \(9o + 9p) — (9g + ?/¦)]
4А2
COS a.
B.50)
Рис. 2.10.
Повторив операцию, можно получить выражение для бигармонического
уравнения.
Для точки О гексагональной сетки (рис. 2.11) оператор Лапласа запишется
в таком виде:
4 4
V?o = -77 ('-Pep ~ ?о) = O,Q
B.51)
Повторив операцию, молено получить бигармонический оператор
vV<Po = 12фо — 6 / , <р + / , ф. B.52)
16 *-* *~
</. r,s
Для сетки с треугольными просветами (рис. 2.12) гармонический и бигар-
бигармонический операторы примут вид:
V29o = г,..., ("fa + ?6 + ?с + ?d + ?е + ?/ — 6сро); B.53)
p, r, t n, q, s
Оператор Лапласа в полярной системе координат имеет вид
д\ 1 дер 1 д\
V7-C0 = -}- 4- ' .
Vf дг* г дг г* д&
B.5-1)
B.55)
В радиальной сетке (рис. 2.13) для точки i, если обозначить Л г=Х и Д<9=0,
оператор B.55) запишется так:
X2
B.56)
20

Этот оператор представлен также на рис. 2.14.
При решении ряда задач теории упругости приходится вычислять интеграл
типа \p(pdx. Для этого можно воспользоваться формулой Симпсона
B.57)
Рис. 2.13.
Рис. 2.14.
Здесь Я— шаг (рис. 2.15).-Погрешность при этом будет порядка Я5. Аналогич-
Аналогично интеграл S#q>dF записан в приближенном выражении на рис. 2.16, погреш-
погрешность при этом Я6.
ЩА6)
Рис. 2.15.
Пример. Пусть q> = y. Тогда \ydF есть статический момент площади. Рас-
Рассмотрим квадрат со стороной 2Я (рис. 2.17). По формуле i«
рис. 2.15 имеем * I
= \ ydF = —
[2Х + 8Х + 2Х + 4Х + 16Х +- 4Х] = 4Х3,
что точно совпадает с аналитическим решением.
Метод прямых или дифференциально-разностный. Это л
метод конечных разностей по одной переменной. Основной Рис. 2.17.
идеей его является сохранение метода конечных разностей
лишь для одной переменной с тем, чтобы решение уравнений в частных произ-
производных приводилось к решению системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Характер этой системы зависит как от вида уравнений, так и от
типа граничных условий решаемой задачи.
В методе прямых приближенно отыскивается решение дифференциального
уравнения в частных производных вдоль некоторого семейства прямых. При
этом вместо дифференциального уравнения в частных производных получа-
получается система обыкновенных дифференциальных уравнений. Если эта система
решается в конечном виде, то получают 'приближенное решение дифферен-
2,1

циального уравнения в частных производных, представляющих искомое реше-
решение вдоль рассматриваемых прямых.
Сущность метода прямых заключается в следующем: в системе прямоуголь-
прямоугольных координат я, у рассматриваемую область с прямолинейными участками
границы делят на полосы прямыми, параллельными соответствующим осям х
или у. Затем для каждой прямой (или, вообще, линии) записывают дифферен-
дифференциальное уравнение в частных производных в конечных разностях по одной
переменной. Таким образом, дифференциальное уравнение в частных произ-
производных заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод прямых дает возможность приближенно решить дифференциальное
уравнение в частных производных и получить аналитическое решение рас-
рассматриваемой краевой задачи вдоль соответствующей прямой.
Пусть в плоскости оху задана трапециевидная область F (рис. 2.18), осно-
основания которой лежат на прямой у = а и у=Р(а<р), а с боков она ограничена
аналитическими кривыми.
Разобьем область семейством равно отстоящих друг от друга прямых. Рас-
Рассмотрим для простоты случай только двух переменных. На каждой такой
прямой дифференциальное уравнение краевой задачи приближенно заменим
обыкновенным дифференциальным уравнением для искомой функции и(х, у).
Для этого в исходном уравнении заменяем частные производные по у при-
приближенно соответствующей конечной разностью и получим обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение для данной прямой.
Граничные условия на ограничивающих данную область прямых записы-
записывают в конечных разностях. На концах прямых используют граничное усло-
условие при фиксированном значении y(yi)-
Пример. В области R @<-*<3; 0 < у < 3} задано уравнение Пуассона
д2и д2а
+ +
дх2
ду2
Методом прямых найти решение этого уравнения, удовлетворяющее однород-
однородные краевые условия (рис. 2.19)
и @, v) = и C, у) = и (лг, 0) = и (х, 3) = 0.
Примем /i=l и проведем две прямые, делящие область на три полосы, у =
= 1; f/=2, и, используя метод прямых, будем искать приближенное решение
У
уЗ
У
у.
У>
У»
0
1 /
|/
|||
м
I I
а
—\
F
\\
\|
\
1
i „
д х
у-2
у-1
х-3
Рис. 2.18.
Рис. 2.19.
Uj(x)=u(x, yj), (/ = 1, 2) рассматриваемой задачи на прямых у = У\ и У =
Заменим вторую частную производную по у приближенным выражением
ду2 h2
Так как Uj (x)=su(xyj) есть функция одного переменного х при фиксирован-
фиксированном значении yj, то исходное уравнение примет вид:
dx2
22

или (Л=1)
Используя граничные условия
и0 (х) = и (х, 0) == 0; иъ (х) = и (лг, 3) = О,
получаем
и1 — 2их •+¦ й2 = х + У)
 + «! — 2иа = х + у,
причем #i = l; #2=2; тогда
B.58)
L — 2а2 = л: + 2. '
Имеем систему обыкновенных- дифференциальных уравнений второго по-
порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому ищем частные решения для
однородной системы уравнений
v\ — 2vx + v2 = 0;
v\ + vl — 2v2 = 0
в виде vl (x) = AeXx; v2 (x) = BeXx ,
и, подставляя в систему однородных уравнений 'после сокращения на екх, по-
получаем систему алгебраических уравнений
ЯХ2 + А — 25 = 0.)
Поскольку отыскивается решение системы, отличное от нуля, то определи-
определитель должен быть равен нулю
1 X2 —2 = '
Отсюда получаем характеристическое уравнение
(X* - 2J — 1 = 0,
корни которого имеют вид
Х1р2=±1/3"; Х8§4=±1.
Постоянные А и В определим из системы
А (X2 — 2) + В = 0; 1 Ak-= Bk = Ck (k = l, 2)\
Таким образом:
Частное решение системы неоднородных уравнений ищем в виде
ul(x) = Ax + B; u2(x) = Cx + D. B.60)
Подставляя эти выражения в систему для определения постоянных Л, В, С,
D, имеем:
- 2А +
1; Л-2С= 1; |
l; ?-2D = 2. J
23

Отсюда находим, что
и, значит,
Общее решение системы B.58) имеет вид:
и, (х) = С,ех ** + С2е~х VT +
С,е
- I х + -j-\ ;
+ Tj • B.61)
Для определения постоянных Сь С2, С3, С4 используем граничные условия:
их @) = и @, у0 = 0; и2 @) = и @, у2) == 0;
их C) = и C, у,) = 0; «2 C) = и C,
В силу этих условий получим систему:
= 0.
B.62)
С, + С2
С4 - — ;
— Ci — С2 + С3 + С =
B.63)
откуда найдем постоянные Си С2, Сз, С4, которые затем необходимо под-
подставить в выражение для и\(х) и и2(х).
Вторым примером рассмотрим задачу определения температурных прогибов
для прямоугольной, свободно опертой по контуру пластины. Если температур-
температурная функция имеет вид T = T(z), то для свободно опертой пластины задача
сводится к решению уравнения
дх*
ду
D
при условии на контуре до=
Здесь
Л/2
Е*
-
1— (
T(z)zdz\
J
-Л/2
а — коэффициент линейного теплового расширения; h — толщина пластины;
/* — коэффициент Пуассона; ?— «модуль упругости.
Уравнение в частных производных и конечных разностях по х можно запи-
записать так:
d2w I MT
= 0, (k = 1, 2, 3, . . . , п).
dy2
D
24

Поскольку вдоль контура прогиб равен нулю, для крайних прямых выпол-
выполняется условие
*>о(У) = и>п+1 00 = 0.
Решение системы однородных уравнений ищем в форме
»* = е'У.
Характеристическое уравнение системы однородных уравнений
г2 — — — О О
1 ? 2 1
Т2" г ~~ х2 "х2"
0 0 0 0 . . . г2 — •
Определитель Dп запишется в виде
2 cosB 1 0 ... 0
1 2 cos 01 ... 0
О 0 0 . . . 2 cos О
X2
= 0,
= 0;
если предположить, что
г2 —
2cos0 =¦
X2
X2
и может быть легко вычислен, а именно:
sin (л+4H
sin
Требование Dn=® дает п значений для
пт
= 1,2, 3,
и потому корни характеристического уравнения
2
п)
rm = -^(l + cas
Зная корни характеристического уравнения, можно записать решение одно-
однородной системы уравнений
wk (у) = CjAf ch rxy + C2A* ch r2y + . . . + Cnbkn ch rny,
где А„ — алгебраические дополнения элементов любой строки определителя
Dn после подстановки в него корня характеристического уравнения.
Постоянные Су(/=1, 2, 3,..., п) определим из граничных условий на кон-
концах прямых (рис. 2.20)
при
у = ± — , wn = 0, (k = 1, 2, 3, . . . , я).
25

Частными решениями неоднородной системы уравнений будут числа а^ опре-
определяемые из системы
Мт
- 0.
Отсюда
D
I
Рассмотрим случай трех прямых я=1, 2, 3; A=—-J. В силу симметрии
остается два уравнения. Решение их запишется
в форме:
У
•с»
0
1/2
1/2
ЗА2 Мт
w2
ch
D '
ch 7У + 2Х2
Мт
D
х-1 л0 хп-ч Хп+2
Рис. 2.20.
где
Vе! + /2
1/2-/2
Постоянные Ci и С2 определим из граничных условий
при
у = ± — ; ze;^ = 0, (Л = 1, 2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Березин Н. С, Жидков Н. П. Методы вычислений. М., Физмат-
гиз, Т. I и II, 1960.
2. В а н Ц з и-д е. Прикладная теория упругости. М., Физматгиз, 1959.
3. В а р в а к П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пла-
пластинок. Издание АН УССР, Ч. I, 1949, ч. II, 1952.
4. К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы выс-
высшего анализа. М., ГИТТЛ, 1949.
5. К а ц А. М. Теория упругости. М., ГИТТЛ, 1956.
6. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории уп-
упругости. М., Гостехиздат, 1943.
7. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М., Гостехиздат, 1947.
8. М и х л и н С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.,
ГИТТЛ, 1957.
9. Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике.
М., Гостехиздат, 1948.
10. Рябов А. Ф. Определение температурных напряжений и деформаций
в пластинках методом прямых. Киев, Научное сообщение, 1958.
11. Сальвадори М. Дж. Численные методы в технике. М., Изд-во
иностранной литературы, 1955.
26

Глава III. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА. РАСЧЕТ БАЛОК-СТЕНОК
Плоская задача в прямоугольных координатах. Пусть тонкая пластинка
нагружена по торцам какой угодно уравновешенной системой сил, распреде-
распределенных в направлении z равномерно (рис. 3.1). В этом случае на свободных
гранях a2=rxz=tyz==0, и можно предположить, что по толщине эти условия
тоже соблюдаются. Тогда составляющие напряжений ох, а у и хух будут функ-
функциями только х и у.
<*х = А (*, У)\ ау = Л (*, У)\ *ху = /з (-*> У).
Такой случай плоской задачи называется плоским напряженным состоя-
состоянием. Заметим, что при этом ez?=0, т. е. возможна депланация свободной по-
поверхности.
Другой случай показан на рис. 3.2. Длинная подпорная стенка нагружена
вдоль z однообразно. В этом случае для среднего (заштрихованного) сечения
можно считать, что ш=0; е^—О, а ненулевые перемещения и и v будут функ-
функциями только х и у.
Составляющие напряжений в этом случае тоже являются функциями х, у.
алт =/з (-*> Л °у = Л (-*> У); txy^fbl*' У)', нО°^0; аг=^(ах-^ау).
Такой случай плоской задачи называется плоской деформацией.
Дифференциальные уравнения равновесия. Вырежем из тела бесконечно
малый параллелепипед размерами dx, dy, 1 (рис. 3.3). Дифференциальные
уравнения равновесия в этом случае запишутся:
^xy
дх
ду
дх
+ Х = 0;
C.1)
C.2)
Здесь X и У— составляющие объемных сил.
Напряжения по наклонным площадкам. Граничные условия. Если в окрест-
окрестностях точки О по двум взаимно перпендикулярным площадкам известны нор-
нормальные и касательные напряжения ох, оу и txy (рис. 3.4), то напряжения
о и х по любой площадке, проходящей через эту тачку и наклоненной под
if/
Рис. 3.1.
Рис. 3.2.
углом а к вертикали (на рис. 3.4 вместо площадки, проходящей через точку
О и .показанной пунктиром, взята площадка АВ, параллельная и бесконечно
близкая к ней), находятся по формулам:
а = X COS a + К sin а; C.3)
х = X sin а—К cos а. C.4)
Здесь X и Y — проекции «а оси координат вектора р полного напряжения
по наклонной площадке.
27

Если ЛВ есть часть контура (рис. 3.5), а р полный вектор внешнего
(контурного) напряжения, то зависимость между внутренними и внешними
факторами запишется
X = hx + wzxy\ C.5)
V-mey + hxy, C.6)
где X и У — проекции по оси х и у контурных сил, l=cos(vx)\ m=cos (vy).
IP
X
<5x
Рис. 3.3.
Рис. 3.4.
Связь между перемещениями и деформациями. Если и и v — составляющие
вектора перемещений, то между деформациями и перемещениями существует
такая связь:
ди
дх
TUy = ~T H
В линейной постановке
ди
дх
dv
ду
dv
+
1
dv
at;
ду
ди
ду
ди
дх
ду
ди
дх
ду
ди
dv
дх
Закон Гука в общем виде:
G
G
2(l + t
2A+1
C.7)
C.8)
C.9)
C.10)
C.11)
C-12)
C.13)
C.14)
C.15)
C.16)
C.17)
28

V 2A+и)
Туг = —ТГ~ = ^ *уг- C.18)
Для плоского напряженного состояния, когда о2—0у закон Гука упро-
упростится:
*х = — К-рту); C.19)
~?
*у = — (ау-ртх); C-20)
*ху 2A +ti)
7 лгу = """"^ = 7 тдгу C.21)
Решив уравнения C.19) и C.20) и учтя C.10) — C.12), шолучим выраже-
выражения для напряжений через перемещения:
Е I ди dv \
+ ) C22>
C23)
Кроме того, из C.21) следует, что
Для плоской деформации при ez=0 закон Гука может быть записан в та-
таком виде:
C 24)
C.25)
— ? [х
где ? = — — ; р. = —
1 — р2 1 — [
Аналогично
C.26)
1 [X2
? C.27)
^у= . -2 <*у
^ 1 — [х2 -^
Уравнения совместности или неразрывности деформаций. Путем последова-
последовательного дифференцирования выражений C.10), C.11) и C.12) можно полу-
получить такую зависимость
дЧх дЧу
дх*
C28)
Физически это уравнение соответствует тому условию, что смежные грани
бесконечно малых параллелепипедов деформируются совместно, а в деформа-
деформациях и напряжениях нет разрывов.
29

Если в C.28) деформации выразить через напряжения, пользуясь законом
Гука, то уравнения совместности примут вид
for + *у> - - -г-— Кг- + "Г" • C-29)
дх2 ¦ ду2 )ул ' у/ 1-(л \ дх ' ду
При отсутствии объемных сил, а также для случая, когда они являются
постоянными (например собственный вес), правая часть C.29) будет равна
нулю. Решение плоской задачи в напряжениях, т. е. нахождение в каждой точ-
точке тела составляющих напряжений ох, оу и хху сводится к интегрированию
трех дифференциальных уравнений: двух уравнений равновесия C.1) и C.2)
и условия совместности C.29) при соблюдении граничных условий C.5) и
C.6).
Функция напряжений. Бигармоническое уравнение. Выразим составляющие
напряжений через некоторую функцию двух переменных q>(x, у) таким об-
образом:
д3Ф д2® д2<р
— " — • - — — f -у*. C.30)
Здесь предполагается, что в качестве объемных сил действует только сила
тяжести, и тогда Х=0; Y=—у, где у— вес единицы объема. Выражения C.30)
удовлетворяют уравнения равновесия C.1) и C.2) тождественно, а уравнение
совместности C.29) принимает вид
Это уравнение называется бигармоническим.
При решении плоской задачи в качестве неизвестных можно выбрать на-
напряжения, что эквивалентно методу сил в строительной механике. Тогда за-
задачу можно решить либо на основании уравнений C.1), C.2) и C.29) при
соблюдении граничных условий C.5) и C.6), либо в качестве неизвестных
выбрать функцию напряжений и тогда задача сводится к интегрированию од-
одного только уравнения C.31). При этом на контуре должны быть известны
дер
значения ю и ее нормальной производной -— . Это будет так называемая пер-
дп
вая основная задача плоской теории упругости, когда на контуре известны на-
напряжения или функции напряжений.
Другой путь решения плоской задачи состоит в выборе перемещений в ка-
качестве неизвестных. Если в уравнении равновесия C.1) и C.2) вместо напря-
напряжений подставить их выражения через перемещения C.22), C.23) и C.21!),
получатся уравнения Ляме для плоского напряженного состояния:
ду
где
дх 1 + Н- Е
f -^V^ + -^^r = 0) C.33)
1 + н Е
А =
30

Аналогичный вид при отсутствии объемных сил имеют уравнения Ляме для
плоской деформации:
- V2" - 0; C.34)
^ + ]
дх 1 +
^ )""- V2^ = 0, C.35)
1 + м
ду 1 + м-
где ii имеет значение, указанное выше. Уравнения C.32) и C.33) или C.34)
и C.35) позволяют решать плоскую задачу в перемещениях. По найденным
перемещениям можно, пользуясь формулами C.211), C.22) и C.23), опреде-
определить напряжения. Примеры будут показаны ниже.
Об одной аналогии. Граничные значения для функции напряжений. Рас-
Рассмотрим некоторую односвязную область, например балку-стенку (рис. 3.6).
Для решения задачи на основе уравнения C.31) необходимо знать контурные
ду
значения <р и —. Они могут быть найдены интегрированием C.30), однако
on
более удобным будет следующий прием.
Контур области рассматриваем как замкнутую раму. Для такой трижды
статически неопределимой системы, или, что значительно проще, для любой
ее основной системы строим две эпюры: изгибающих моментов (М) и про-
продольных сил (N). Первая эпюра будет давать значения ср на контуре, вто-
ду
рая — значения —. Будем придерживаться такого правила знаков: эпюру
on
М строим со стороны растянутого волокна, а IV — считаем положительной, ес-
если она растягивающая.
Тогда М, построенная внутри области, соответствует положительному зна-
ду
чению ср, а положительная N— положительному значению —. Это проиллю-
дп
стрировано на примере балки-стенки.
На рис. 3.6, а сплошной линией показана половина эпюры М, а пункти-
пунктиром — половина эпюры N, если контур рассматривать как статически неопре-
неопределимую систему. Основную систему можно выбрать по-разному, сделав разрез
посредине внизу (рис. 3.6, б) или же такой же разрез посредине вверху
(рис. 3.6, в), или же включив три шарнира (рис. 3.6, г).
Для круглого диска, растягиваемого двумя силами (рис. 3.7,а), можно
разрез контура осуществить по линии действия силы для использования сим-
симметрии и рассмотреть основную систему, показанную на рис. 3.7, б.
Р
В этом случае изгибающий момент в любом сечении Мх = ~г~х. Эпюра М
Р
при множителе —-показана справа сплошной штриховкой. Нормальная сила
Р Р
в произвольном сечении Nx = — sin <р= — =*. Эпюра N показана пунктир-
Р ду
ной штриховкой слева, множитель здесь ~~~- Это и есть эпюра — •
2г дп
Пример 1. Показать ход расчета балки-стенки методом сеток на основе
бигармонического уравнения. Квадратная балка-стенка (рис. 3.8) находится
31

под действием равномерной нагрузки сверху. Выберем квадратную сетку с
л.=Лу=*А = —-. Значения ф на контуре определяются по эпюре, пока-
покашагом Ал.=Лу=*А = -—-. Значения
занной на рис. 3.6, б:
где
В =
I
I
I
4-z
_рР_
36
М=ср
щ
fM=<p
Рис. 3.6.
= 2,5Я; <pIV = <pv = . . . = ?хш = 0.
М--(р
Рис. 3.7.
а
•Ш Ш
3
6
9
12
15
2
5
б
11
Ik
1
4
7
10
13
2
5
в
11
Ш
3
6
9
12
15
в
I*
/> ШШШг
Рис. 3.8.
При составлении бигармонического уравнения в предконтурные узлы /, 2,
3,6,9 и т. д. будут входить также законтурные точки а, /3 и т. д.
Для их исключения воспользуемся формулой B.19). Согласно этой форму-
формуле (см. рис. 2.2)
2Х
дх
(Nx)h
В общем случае
= П
(^Л
где
C.36)
C.37)
Эпюра N, которая соответствует -—, показана на рис. 3.6,6 слева.
on
32

Из этой эпюры вытекает, что:
ду
дп i дп |ц дп
ду
~дп~
На основании C.37) можно записать:
III
XI
= 0; -
~дп~
ду
XII
V
дп
IX
XIII
= 0.
А{ — Аи — Ат — 0;
- . . . -А1Х—2 б 2
xm
Тогда в соответствии с C.36):
Я/
2
= <Pi4 И
Запишем уравнение B.33), для точки 1:
= 0;
для точки 5:
20<р5 — 8 (<р4
для точки ^:
20ср6 — 8 (<р5
2 (ср7 + ср3 +
+ 2 (ср8 + «ру
И Т. Д.
Все контурные значения ср нам известны, а законтурные выражены через
внутриконтурные. Таким образом, прл выбранной сетке получается система 15
линейных алгебраических уравнений с 15 неизвестными. Решив эту систему,
найдем значения ф в отдельных узлах:
?1 = 4,3585; 92 « 3,8945; 9з = 2,4675; п = 3,9785;
95 = 3,5925; 96 = 2,3475; 9? = 3,2905; 98 = 3,0315;
99 = 2,0965; <р10 --= 2,2335; 9п = 2,1285; (plt = 1,6435;
9i3 = 0,9205; 914 = 0r9425; 915 = 0,8795.
Составляющие напряжений находим по формулам C.30) и на основании их
кон^чноразностного аналога B.20) и B.24).
Так напряжение в точке 1
9i —2 • 4,55 + <р! '
в точке 8
в точке 5
\ т. д.
3^28
— 2?i +
— 298 + <
/2/32
«=C,290 — 2 • 3,031 +2,096)/?;
4X2
- — [C,290 + 2,467) -
4
— D,358 + 2,096)]/?
33

Пример 2. Применение метода перемещений *.
Уравнения C.32) и C.33) плоского напряженного состояния при отсутствии
объемных сил запишутся в развернутом виде:
д2и д2и
2——+ A- *
к
А
Д
с
т
Рис. 3.9.
/ В Ш
i\\
3'
10'
tf
W
Рис. 3.10.
И
ду2
d2v
дхду
C.38)
ду2
дх2
д2и
дхду
При ^=0,3 выражения C.38) и C.39) примут вид:
№„ д<1„ fi'2ft
; C.40)
d2v
ду2
дхду
= 0.
C.41)
дх2 ду2 дхду
В конечных разностях для точки i квадратной сетки
(рис. 3.9) эти последние уравнения запишутся:
- 80 (uk + щ) + 28 (ит + ип) -f 13 [(vQ + vp) —
-(vQ + vr)] = 0; C.42)
• 28 (vk + vt) + 80 (vm -f vn) + 13 [(u0 + up) -
—(uq + ur)] = 0. C.43)
Составляющие напряжений в соответствии с форму-
формулами C.22), C.23) и C.2Г) имеют вид:
2ХA — р2)
- ' - ч ¦ '-- - vm); C.44)
= (*>n — vm)
C.45)
C.46)
Квадратная балка-стенка защемлена по двум торцам и нагружена частич-
частичной нагрузкой по верхнему краю (рис. 3.10). При выбранном шаге квадрат-
квадратной сетки Я=—.В каждой точке в общем случае имеем по две неизвестные
4
и и v.
При симметричной нагрузке на оси симметрии горизонтальные перемещения
и равны нулю. Вертикальные перемещения в симметрично расположенных точ-
точках равны по величине и по знаку, а горизонтальные перемещения равны по
величине и обратны по знаку: *
т. д.;
и2,
и2, ма; и4, = —ы4; и6, = — и6 и т. д.
В точках заделки и и v равны нулю. Таким образом, всего основных неиз-
неизвестных будет 15:
fi. f3» ^s» vb f9, u2t v2, u±, v4, u6, v6, u8, vQt u10, v1Q.
* Дятловицкий Л. И. Напряжения в гравитационных плотинах на нескаль-
нескальных основаниях. Киев, Изд-во АН УССР, 1959.
34

При написании основных уравнений для контурных точек в качестве неиз-
неизвестных войдут значения перемещений в законтурных точках I, II и др. Для
их определения надо использовать граничные условия. Таким о6разо»м, для
каждой точки, лежащей на оси /—9, надо записать одно уравнение C.43), для
остальных точек по два уравнения C.42) и C.43), а для контурных точек за-
записать кинематические или статические граничные условия.
Так для точки 1 запишем уравнение C.43)
— 216i>1 + 28 {2v2) + 80 (vz + v,) + 13 [(- щ + а{) — (— цп + и4)] = 0;
для точки 6 уравнения C.42) и C.43):
— 21би6 + 80 (иъ + aVI) + 28 (и8
— 216t/6 + 28 (vb + vwl) + 80 (v&
13 [(v7 + t/v) — (t/3 + vvu)] = 0;
13 [(щ + av) - (a3 + vVII)J = 0
и т. д.
Добавочные уравнения, вытекающие из граничных условий, будут иметь
вид:
ДЛЯ ТОЧКИ 1 о], =—р,
или на основе C.23)
2ХA —и.2)
^Г— р = (и2- ur) + fi (t/, - t;3),
для точки 2 имеем два условия: Оу —т
на основе C.22) и C.21') имеем
0 =
0;
(-^) и т. д.
Глава IV. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
Постановка задачи. Рассмотрим упругий призматический стержень с попе-
поперечным сечением произвольной формы. Пусть боковая поверхность стержня
свободна от внешних усилий, а к торцам его
приложены силы, статически эквивалентные
крутящим моментам М.
Поместим начало прямоугольной систе-
системы координат в некоторой произвольной
точке торцового сечения стержня и напра-
направим ось z параллельно образующей боковой
поверхности стержня (рис. 4.1). Тогда гра-
граничные условия будут иметь вид:
на боковой поверхности
Л Л
-*ах cos пх + тху cos пу = 0;
А Л А ,
хлу cos пх -f Су cos пу = 0; [ V4-1)
Л л
zxz cos пх + zyz cos пу = 0;
на торцах стержня B=0) и (z=i
Рис. 4.1.
Я
-У^хг) dQ = M,
D.2)
D.3)
35

где п — внешняя нормаль к боковой поверхности стержня; ох> оу и аг — нор-
нормальные напряжения; ххуу тХ2, ту2 —касательные напряжения; Q—площадь
поперечного сечения.
Задачу решаем непосредственным определением напряжений, пользуясь по-
полуобратным методом Сен-Венана. Предположив, что
°х = °у = *ху = 0,
D.4)
определим остальные компоненты напряжений так, чтобы удовлетворить все
уравнения теории упругости.
Согласно равенству D.4) дифференциальные уравнения равновесия
da* dz.
^ху
т-XZ
дх
ду
dz
ху
дх
дх
дх
¦ + ¦
yz
ду
dz
dz
~dz~
примут вид
dz
= 0;
^yz
dz
= 0;
dx
= 0;
= 0;
- =0
dzyz
ду
D.5)
dcz
dz
= 0,
D.6)
а дифференциальные уравнения совместности деформаций, выраженные в на-
напряжениях,
1
1
+
1
+
1
p-
dx2
d2a
dy2
d2a
1 + 1
= 0;
= 0;
= 0;
1
1
+
1
+
1
dxdy
a2a
dydz
d2a
1 + jx dtdx
= 0;
= 0;
= 0,
a2 a2
D.7)
где o=ox+ov+az; и — коэффициент Пуассона, ay2—— + —— + т~ — оператор
Лапласа, приводятся к виду
d2az d2az
dx2
1
1 -f fx dxdz
dy2 dz2
= 0; v2x,
d2az
dxdy
1
dx2 dy2 dz2
= 0;
1 + p. dydz
= 0,
^xy
D.8)
= 0. Из
так как на основании равенства D.4) s=oz. а у2°лг == V °у=
первых двух уравнений равновесия D.6) следует, что напряжения %хг и ty2
не зависят от координаты г, т. е. эти напряжения одинаковы во всех сечениях
стержня.
Из уравнений совместности D.8) непосредственно следует, что az есть
функция координат х, у и г вида
az = Лгу + Bzx + Dx + Еу + Fz + Н. D.9)
Подставляя выражение D.9) в торцовые условия D.2) для нахождения
постоянных, получаем однородную систему шести линейных уравнений, из ко-

торых следует, что j4=»? = Z)=Zi = F=#=0, т. е. ог=*0 во всех поперечных се*
чениях стержня.
Тогда уравнения равновесия D.6) и совместности D.8) примут вид:
—-—+—Г" = 0; D.10)
дх ду
у2Тхг==0; ^zyz. D.11)
Следовательно, принимая, что три составляющие напряжений ох, Оу и хХу
равны нулю, остается определить распределение касательных напряжений txz
и tyZ по поперечному сечению скручиваемого стержня так, чтобы они удовлет-
удовлетворяли исходным уравнениям D.10) и D.11) и граничным условиям D.1) —
D.3), так как при этом нормальные напряжения az во всех сечениях стержня
тождественно равны нулю.
Продифференцировав уравнение D.10) по у и вычтя из него первое из
уравнений D.11), получим
I — 1 I = U. D-lz)
дх ду )
Аналогичным способом с помощью второго из уравнений D.11) найдем
д
= 0. D.13)
дх \ дх ду
Из уравнений D.12) и D.13) непосредственно следует, что
ду дх
где с — постоянная, подлежащая определению в дальнейшем.
Заменив в левой части уравнения D.14) напряжения ixz и ryz их выра-
выражениями через перемещения, т. е.
да dw \ „ ( dv dw ,
D.15)
где G — модуль сдвига материала стержня, а и, v и w — компоненты смеще-
смещения точек стержня по направлению координатных осей х, у и 2, получим
дг \ ду дх )
ду дх дг \ ду дх
Пользуясь выражением для компонента элементарного вращенщ! относи-
относительно оси z
--Т[-*Г-17-1' DЛ7)
из выражения D.16) получим
-^- - —^- - - 2G0, D.18)
ду дх
где 0= ~т—— угол закручивания на единицу длины волокон стержня, парал-
°z
лельных оси стержня (часто этот угол называют круткой).
Следовательно, решение задачи о кручении призматического стержня сво-
сводится к интегрированию уравнений D.10) и D.18).
37

Общее решение основных уравнений при помощи функции напряжений. Гра-
Граничные условия. Общее решение основных уравнений D.10) и D.18) ищем по
форме
dU „ dU
ду
Zyz
дх
D.19)
где U(х, у)—некоторая функция от переменных х и у. Эту функцию назы-
называют функцией напряжений при кручении или функцией Прандтля. При таком
выборе общего решения D.19) уравнение равновесия
D.10) удовлетворяется тождественно. Подставив вы-
выражения D.19) в уравнение совместности D.18),
получим следующее уравнение для определения
функции напряжений и(ху у):
, у) ^
= _ 2. D.20)
Рис. 4.2.
Следовательно, функция напряжений и(ху у) в облас-
области поперечного сечения скручиваемого стержня долж-
должна удовлетворять уравнению Пуассона D.20).
Рассмотрим граничные условия на боковой поверхности стержня. Первые
два условия их уравнений D.1) на основании равенства D.4) удовлетворяют-
удовлетворяются тождественно. Подставив выражения для напряжений xxz и ту2 из равенств
D.19) в третье условие D.1), получим
dU л
dU
Заметив (см. рис. 4.1), что
ду
), что
л
cos пх
л
cos пх —
dx
~ dn ~
dy
дх
dy
ds
dx
dn
ds
cos ny = 0.
л
: cos sy\
л
COS 5ЛГ,
запишем условие D.21) на контуре в виде
dU dx dU ду
дх
ds
ду
ds
ду
ds
= 0.
D.21)
D.22)
D.23)
Отсюда следует, что функция напряжений U(x, у) на контуре поперечного
сечения сдержня должна принимать постоянное значение.
В случае, когда поперечное сечение стержня представляет собой односвяз-
ную область, это постоянное значение можно выбрать произвольно. Для
сплошных стержней величину этой постоянной принимают равной нулю, т. е.
U - 0 на Lot D.24)
где Lo — контур поперечного сечения сплошного стержня.
Пусть поперечное Сечение стержня представляет собой многосвязную об-
область (рис. 4.2), т. e'i контур L*, ограничивающий поперечное сечение стержня,
будет состоять из нескольких замкнутых контуров L\, L2,..., Ln, охваченных
внешним контуром Lo. В этом случае функция напряжений U(x, у) на конту-
контурах Li (/=0,1/..., п) поперечного сечения будет иметь постоянные, но различ-
различные значения
U= Ut на Lt A = 0, 1, . . . , л),
где Ui — значение функции напряжений U(x, у) на контуре Z,/.
D.25)
38

.Из всех этих постоянных V/ можно выбрать произвольно только одну, на-
например ио = 0, остальные следует определить из соотношений
-~ ds = - 2Qt (i = 1, 2, . . . , я), D.26)
dn
которые должны выполняться для каждого из внутренних контуров L-t. Здесь
Qi — площадь области, ограниченной контуром Lt. Соотношения D.26) пред-
представляют собой аналитическое выражение теоремы Р. Бредта о циркуляции ка-
касательного напряжения цри кручении, вывод которой см. на стр. 40.
Определение перемещений. На основании равенства нулю напряжений
&х> <*у, ог и хху формул D.19) и из зависимостей закона Гука имеем:
du
dx
= 0;
dv
ду
dw
~~dz~
0;
dv
dz
du
dz
ди
ду
dw
~ьу
dw
дх
dv
дх
1
G
= 0;
dU
дх
dU
ду
D.27)
Интегрируя первые два уравнения D.27), найдем:
и = и (у, z); v — v (х, z),
D.28)
т. е. перемещение и не зависит от х, а перемещение v от у. На основании чет-
четвертого уравнения D.27) и D.28) имеем:
u = uo(z)-f(z)y;
i/ = i/0 (г)+/(*)* v ' '
где uo(z), vo(z) и f(z) —произвольные функции от -г, подлежащие определе-
определению в дальнейшем. Подставив значения D.29) в пятое и шестое уравнения
D.27), получим:
= — в
ду
dU
дх
dw
~~дх~
dw
D.30)
Правые части этих уравнений не зависят от -г, так как перемещение до,
согласно третьему уравнению D.27), и функция напряжений U(x, у) не зависят
от z. Следовательно, и левые части этих уравнений не должны зависеть от 2,
т. е. выполняются следующие равенства:
u'0(z) = c1; vo(z) = c2; /' (г) = с3, D.31)
произвольные постоянные, подлежащие определению в даль-
где ch с2 и с3-
нейшем.
Интегрируя уравнения D.31), имеем
и0 (z) « ctz
D.32)
39

где и0, v0 и /о —постоянные интегрирования. Подставив значения величин из
уравнений D.32) и выражения D.29), получим
и (У» z) = — W* + с& — /оУ + «о'. 1 D 33)
v (xt z) = сгхг + с2г + /0* + v0. J
Для того чтобы устранить поступательные перемещения стержня по на-
направлениям осей х и у, положим, что некоторая произвольная точка на его
торце г=0 закреплена так, что в этой точке u = t/=0. Поместим начало коор-
ди
динат в этой точке и потребуем, чтобы в ней выполнялись еще условия -—=
dv dv
-— = -— =0, устраняющие возможность вращения стержня как жесткого те-
02 ОХ
ла вокруг осей х, у и г. В этом случае
сх = сг = /о = и0 = v0 = 0 D.34>
и выражение D.33) для перемещений и и v примут вид
и = — съуг\ v = съхг. D.35>
Но согласно формуле D.17) и выражениям D.35)
D.36>
дг 2 дг \ дх ду
т. е. выражения для перемещений и и v окончательно запишем так:
а = — Syz; v = %xz. D.37>
Подставляя значения перемещений из формул D.37) в выражения D.15)
и учитывая соотношения D.19), получим
дш „{ . 9U\ дш . . „ . D38>
дх \ ду J' ду \ ' дх
Умножив первое из уравнений D.38) на dx, а второе на dy, сложив эти
произведения и учитывая выражения D.22), получим
/ dU dx dU dy \
dw=Q(ydx-xdy) + B — .——-_— •—-—) ds =
\ ду ds дх ds J
dU
= О (ydx — xdy) — e ds. D.39>
dn
Интегрируя это выражение, можем определить перемещение до, которое
будет зависеть только от координат х и у.
Теорема Бредта о циркуляции касательного напряжения. Пусть L — замкну-
замкнутая кривая, полностью лежащая в области поперечного сечения стержня (од-
носвязнего или многосвязного).
Циркуляцией касательного напряжения называют криволинейный интеграл
/ = <? xsgds, D.40>
L
взятый из замкнутой кривой L. Здесь гsz —составляющая тангенциального
напряжения по направлению касательной к этой кривой
А Л
zsz = zxz cos s* + zyz cos sy. D.41>
Воспользуясь соотношениями D.19) и D.22), получим
dU
G6
. D.42>
dn
40

Подставляя значение глг из выражений D.42) в формулу D.40) и учитывая
равенство D.39), получим
ds = G ф dm + GS (J) (*<ty —У*х). D.43>
/ = Ge (Г)
Г
Первый интеграл в правой части этого равенства в случае замкнутого кон-
тура L, ввиду однозначности перемещения w, обращается в нуль. Второй ин-
интеграл в правой части равняется удвоенной площади Q, ограниченной конту-
контуром L:
<? (xdy — ydx) = 2 J J dxdx = 2Q. D.44>
L
Таким образом, из выражений D.37) следует:
/ = 2G6Q или (Г) —— ds = — 2Q. D.45>
Формулы D.45) представляют аналитическое выражение теоремы Р. Бред-
та о циркуляции касательного напряжения при кручении. Они справедливы и в
случае, когда замкнутый контур L охватывает полости поперечного сечения
стержня. В частности, интегралы в формулах D.45) мопут быть взяты по
замкнутым контурам L/(t=l, 2,..., л), являющимся границами области сече-
сечения стержня, так как перемещения и и v вместе со своими частными произ-
производными непрерывны вплоть до этих границ.
Теорему Р. Бредта можно сформулировать так: для любого замкнутого
контура, целиком лежащего в пределах поперечного сечения стержня, цирку-
циркуляция касательного напряжения при кручении равна площади, ограниченной
этим контуром, умноженной на 2G О.
Значение этой теоремы при определении функции напряжений U(x, у) за-
заключается в следующем: для сплошных стержней теорема Бредта является
лишь повторением того факта, что функция напряжений U(x, у) должна во-
всей области сечения стержня удовлетворять уравнение Пуассона D.20) и гра-
граничное условие D.24). Для стержней с многосвязным сечением теорема Бред-
Бредта требует дополнительно, чтобы функция напряжений U(x, у) удовлетворяла;
еще условия D.26) или D.45), которые обеспечивают однозначность осевых:
перемещений w в скручиваемом стержне.
Жесткость призматического стержня. Величина крутящего момента М не
входит в основные зависимости теории кручения призматических стержней
D.19), D.20) и D.23), которыми определяется функция напряжений U(x, у).
Подставив выражения D.19) в соотношение D.3), для крутящего момента по-
получим
D-46>
или, интегрируя это выражение по частям, будем иметь
- + "~ j dQ = J] ф [Q cos nx + P cos ny] ds, D.47>
\ \ f
2
где Q — площадь поперечного сечения стержня, являющаяся многосвязной об-
областью, ограниченной контурами L/(t=0, I,..., n); интегрирование по конту-
контурам Li проводят всегда так, что область Q остается слева (см. рис. 4.2); Р и
Q — функции непрерывные вместе со своими частными производными первого»
порядка в области Qt вплоть до ее границы.
41

Тогда получим
\\
— Si*»
D.48)
При этом использованы значения функции напряжений U(x, у) на внешнем
контуре Lo сечения, указанного в формуле D.24), и интеграла D.44).
Подставляя выражение D.48) в формулу D.46), получим
i=n
М = 2G6 ДО U(xy) dQ + 2G6 ? ^А- D-49)
Если поперечное сечение стержня является односвязной областью, тогда
аместо выражения D.49) будем иметь
М = 2G0 ДО ?/ (*у) dQ. D.50)
2
В выражениях D.49) и D.50) интегралы от U(x, у) следует брать по всей
тплощади поперечного сечения стержня, занятой материалом, а суммирование
ло i распространяется на все внутренние контуры Lt.
Формулы для крутящего момента М D.49) и D.50) можно представить
также в виде
Af =св = вО/г1 D.51)
где с — жесткость при кручении; / —геометрическая жесткость при кручении.
Для лолых стержней с п полостями
I 5
J
с = GIT = 2G Ш */(*, у) dQ + 2 ^ А | ; D52)
для сплошных стержней
с = 2G f J ?/ (л:, у) dQ. D.53)
Следовательно, решение задачи о кручении призматических стержней при
помощи функции напряжений U(x, у) сводится к решению задачи Дирихле для
уравнения Пуассона D.20) при граничном условии D.25) на контуре сечения,
причем в случае многосвязного сечения требуется еще выполнение на каждом
контуре сечения дополнительных условий D.26), необходимых для определения
постоянных значений функции напряжений Ut на внутренних контурах сечения
L[ (t=l, 2,..., п), которые обеспечивают однозначность осевых перемещений
w(x, у) стержня.
Максимальное касательное напряжение. Обычно максимальное касательное
напряжение в сечении стержня при кручении возникает на контуре сечения
на средних участках длинных сторон профиля и в закруглениях у входящих
углов. Максимальное касательное напряжение
М
ттах = ~Г= , D.54)
где М — крутящий момент; WT — момент сопротивления сечения кручению.
Как геометрическая жесткость при кручении, WT также зависит от формы и
размеров поперечного сечения стержня. Значения WT для некоторых профилей
.приведены ниже в табл. 4.2.
42

Кручение прямоугольного стержня. Рассмотрим задачу о кручении призма-
призматического стержня с прямоугольным поперечным сечением. Согласно мембран-
мембранной аналогии функция напряжений U(x, у) для прямоугольного профиля будет
симметричной функцией относительно осей Ох и Оу (рис. 4.3). Поэтому функ-
функцию достаточно определить только в четвертой части
области сечения ОлВСО, потребовав при этом, чтобы
нормальная производная функции напряжений на
осях симметрии равнялась нулю: -Г1 йл t#
дх
¦) "(¦
Лг-0 \
0.
(,55,
На остальные части контура области ОАВСО
функция и(х, у) принимает значение
\ 1 = 0. D.56)
Рис. 4.3.
Решая уравнение D.20) методом разделения переменных, функцию напря-
напряжений U(x, у) представим в виде
U(xt y) = A0-;
k=l
Akch
X cos
Bk-\) пх
Bk-l)ny
Bk-\)izx
X
D.57)
Легко видеть, что второе из условий D.56) удовлетворяется тождественно
выражением D.57).
Удовлетворив первому из условий D.55) и условиям D.56), получим
Ао = — ; Bk = 0; Ak = • ^—* • •. D.58)
0 4 к k т? BЛг — IK Bk-\Oza v '
2b
Подставляя эти значения в формулы для касательных напряжений xTZ и
, , будем иметь
ch
U(X, у) = -Г-
4
. B*-1K
Ch
Bk—I)
2*
X
X cos-
D.59)
Пользуясь формулой D.53) для определения жесткости при кручении
:плошного стержня, которая для нашего случая принимает вид
а_ Ь_
2 2
с = 8G J dx J U (х, у) dy, D.60)
о и
1р@изводя интегрирования, получим
192 Ь_ yi _\_
th
kna
2b
Дг=1, 3, ...
= Gab*kv D.61)

где
th
kna
2b
i, 3, ...
D.62)
Для вычисления коэффициента k\ можно пользоваться также приближен-
приближенной формулой
*i « Т 1 -
0,63 0,052
+
D.63)
где р = — .
о
Эта формула дается в курсах теории упругости и сопротивления материя-
а
лов. Некоторые значения коэффициента k\ в зависимости от отношения
о
приведены в табл. 4.1.
Табл ица 4.1. Значения коэффициентов k, k\ и k2
а
~Ь~
1.0
1.2
1.4
1.5
1,6
1,8
2,0
2,3
2,5
3,0
k
0,6753
0,7587
0,8228
0,8477
0,8695
0,9044
0,9301
0,9564
0,9681
0,9855
0,1406
0,1661
0,1869
0,1960
0,2037
0,2174
0,2287
0,2422
0,2494
0,2633
0,2082
0,2189
0,2272
0,2312
0,2345
0,2405
0,2455
0,2532
0,2575
0,2670
а
~Ь~
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
7,0
8.0
10,0
оо
k
0,9930
0,9970
0,9985
0,9993
0,9997
0,9999
1,0
1,0
1,0
1,0
К
0,2735
0,2810
0,2868
0,2914
0,2952
0,2984
0,3035
0,3071
0,3124
0,3333
0,2754
0,2818
0,2872
0,2916
0,2953
0,2984
0,3035
0,3071
0,3124
0,3333
Пользуясь обычными формулами D.19) для определения напряжений
функций напряжений D.59), получим:
= —GS
—I)
X
СП
X
ch
Bk — \)ъх
b
Bk—\)nx
sin
BЛ—
2b
7Г*
44
оо
Л=1
(-1)
Bk-
k+l
sh
ch
Bk—\)nx
Bk-\)Tza
2b
cos
Bk-\)ny
D.64)

Наибольшее напряжение в прямоугольном профиле при кручении стержня
возникает в точке х=0, у=Ь/2 (если а>Ь):
ь—j- 2j ——иг I = Gebk> <4-65>
*«1,3, ..
где
D.66)
M = ев = Gbkxab^t D.67)
можно фермулу D.65) привести к виду
W = 1T^r . D.68)
Использовав формулу
где
?2 = -j- . D.69)
Для вычисления &2 можно пользоваться также и приближенной формулой
*° - о^Л ftl- D-?0)
Имея функцию напряжений i/(x, t/), можно определить также депланацию
сечений при кручении стержней, т. е. функцию Сен-Венана <р(ху у).
Сопоставляя формулы D.19) для напряжений xxz и tyz, получим
^ср дС/ ду dU
дх ду ' ду дх
dU dU
Теперь, пользуясь выражением D.59), вычисляя производные т— и — , и
ду дх
по формулам, произведя интегрирование, для функции q>(x, у) найдем
i
(-1)
k+\
•.У)--*У+-1Г- У BА-1)з • Bft_l)we X
Xs.n Bfe~— +Ci. D.72)
Постоянную С\ определяют из условия закрепления одной из точек попереч-
поперечного сечения стержня.
Кручение некоторых прокатных и простых профилей. Приближенные рас-
четно-теоретические формулы, приведенные в табл. 4.2 для прокатных профи-
профилей, получены теоретическим путем на основе точных решений [1]. Эти форму-
формулы справедливы для большого диапазона геометрических параметров про-
профилей.
45

Таблица 4.2. Приближенные расчетно-теоретические формулы
Форма поперечного
сечения стержня
Геометрическая жесткость
при кручении /т, см*
Момент сопротивления
кручению W^, см3
ттах» кГ1см2> и точка, в которой
оно возникает
Круглое сечение
16
2М
в точках контура поперечного се-
сечения
(а4 —
в точках наружного контура сече-
сечения
ab*
2G0
2Af
a2
в точках Л сечения

— A - с4)
2G0
в точках А
2М
~ A _ с*) ab2
a*k (a)
ттах возникает в точке Б и в не-
некоторых других, в зависимости от
а различных точек на радиальных
сторонах
Ца)
Зтг J_ jn_2 G*
7б"~~ 2 +~^Г~ V
«0,0181
со
G* = 7, -— =
^j ^2^ 1 J
= 0,915965
ln2
6 7С
= 0,0823
= 0,2976
Зтг
2
4тг
— — In 2 =
= 0,5725
64
= 0,8781
/т
R2
G 6BR—a) в точке Л

Продолжение табл. 4.2
Форма поперечного
сечения стержня
\
§§§
а
В
i
о
т
А
У///////УЛ
6 В
гь
А
У/,
1
¦о
-о
Геометрическая жесткость
при кручении /т, см*
Момент сопротивления
кручен и» U?rT, см3
кхаЬъ k2ab2
Значения коэффициентов ku k2 и k (см. табл. 4.1)
Ь
При — > 2
а
з (J °'942 J ) W3
При > 2
И—0,556 — j 6rf3^
/т
l,18rf
/т
1,13d
Tmax' КГ1см2> и точка, в которой
оно возникает
в середине длинных сторон
l\8Ged
приблизительно на середине длин-
длинной стороны в точке В. Be входя-
входящем углу в точке А имеется кон-
концентрация напряжений
~ 1,13G Bd в точке А.
Во входящих углах профиля име-
имеется концентрация напряжений

ю
00
При — > 4
1—0,506 — ] bd*
b
/т
0,2676
В точке Лхтах «O.267G0 6, в точ-
точке ?Tmax«0,26G@&.
Во входящих углах профиля име-
имеется концентрация напряжения
1
а
7а *
При — > 2
d
— B — 1,801—1 ad*
3 \ а ¦
- 1,0156 в rf в точке Л:
Во входящих углах профиля име-
имеется концентрация напряжений
в
А{
1
d
А
При — > 2
а
/т
B-1-081т)
l,04d
В точках Л ттах ~l,04G 6 d, в
точках Б ттах ^l,0G & d. Во вхо-
входящих углах профиля имеется
концентрация напряжений

Продолжение табл. 4.2
Форма поперечного
сечения стержня
Геометрическая жесткость
при кручении 7Т, см*
Момент сопротивления
кручению Wr, см3
> и точка, в которой
оно возникает
b
?
/л
1
W/.
•
— B — 0,46 — j Ы3 при
b
— >з
a
— [2-f 0,4466^ — 2,683p2
о
b
при 1,5 < p = — < 3
a
/т Ь
/т
0,934rf
при
1,5 < — <3
d
В точках В
b
0,782GSd при —
d
т^тах — 0,934(ув^ при 3> > 1,5.
Во входящих углах профиля
имеется концентрация напряжений
1,2704р2 + 0.661Р —
-0,1043] г/4 при р« — > 1,5
d
1,5
1,154
2,0
1,681
2,5
2,194
при р = 1,5
погрешность 6,5% при р = *
погрешность 2%
3,0
3,5
2,701 3,206 3,709
4,0
(у+1) G в d в точках А.
Во входящих углах профиля
имеется концентрация напряжений
5,0
4,713
10,0
9,720
20,0
19,723
2Ь
-f 2-^-lU'
при — > 3
d
ттах возникает в точке А. Во
входящих углах профиля имеете*
концентрация напряжений

-—-0,1144—^
12 a + b
при а > b
ah?
30
0.П564
0,
Tmax возникает на длинных сто-
сторонах в точках ближе к основа-
основанию (если а>Ь)
а*
— GSh в середине сторон
ттах возникает в середине сто-
сторон
0,185
ттах возникает в середине сто-
сторон

Продолжение табл. 4.2
Форма поперечного
сечения стержня
Геометрическая жесткость
при кручении /т» см*
Момент сопротивления
кручению WT, cM:i
Tmax' кГ,'см2, и точка, в которой
оно возникает
Кольцевое сечение, об
разовантюе эксцентрич-
эксцентричными кругами
А А _ о,61О) а4
За '
при — > 2
а
т. (?Н - <:*)
32Q
16п2
A_„2JA_„4L J
/т
в точке Л
71 (D4
, где F = 1 +
Г48п2A + 2n2 + 3n* + 2n6)]
64n2 B + 12n2 + 19n4 +
A—n2)(l —n4)(l—n6)X
Xd-n8)

Круговое сегментное
сечение
Значения С приведены в таб-
таблице
С
0°
71/2
30°
1,47
60°
0,91
80°
90°
0,48@,296
I
Максимальное касательное на-
напряжение посредине плоской ча-
стк контура
М
Q ;
Значения С\ приведены в табли-
таблице
0°
30°
1,25
60°
0,80
80° 90°
0,49
0,35
Круговое окантованное
сечение
где С зависит от отношения
Wta и находится из таблицы
wja
С
7/8
,357
3/4
5/8
1,076 0,733 0,438
1/2
f. »
С\ находится из таблицы
wja
7/8
1,155
3/4
0,912
5/8
0,638
1/2
0,471

Отметим, что при точном решении задач по кручению прокатных щрофилеи
области сечений были взяты без закруглений около соединений стенок про-
профиля с полками. Следовательно в табл. 4.2 в данных приближенных формул
для прокатных профилей не учтены влияния закруглений в областях соедине-
соединений стенок профиля с полками. Однако имеющиеся закругления могут оказать
влияние на величину жесткости прокатного профиля в сторону ее незначитель-
незначительного увеличения. Закругления в значительной мере ослабляют местную кон-
концентрацию напряжений у входящих углов профиля. Величина же максималь-
максимального напряжения, приведенная в табл. 4.2 для данного профиля, не получит
ощутимого изменения, если это напряжение возникнет в точке на достаточном
удалении от входящего угла.
Жесткость при кручении прокатных профилей приближенно вычисляют так
же, как сумму жесткостей отдельных узких прямоугольников, составляющих
прокатный профиль
bd?
с = Gal —— , D.73)
о
где Ь и d—высота (ширина) и толщина отдельных прямоугольников.
Влияние соединений отдельных прямоугольников учитывается в некотором
поправочном коэффициенте а. Значения этого коэффициента, зависящие от
формы профиля, для различных профилей опытным путем установлены А. Феп-
плем. Они приведены в табл. 4.3. Однако для определения коэффициента а
опыты были проведены лишь для тонкостенных стержней, и пользоваться
приведенными в табл. 4.3 значениями а для толстостенных стержней нельзя
(при b/d<2 ошибка может оказаться более 20%).
Таблица 4.3. Значения коэффициента а
Профиль
Угловой
Швеллер
Тавр
Двутавр
Двутавр широ-
широкополый (Грея и
Пейнера)
Зетовый
Коэффициент а по опытам А
для различных образцов
0,86—1,10
0,98—1,25
0,92—1,45
1,16—1,44
1,21 — 1,47
1,13—1,20
Феппля
средний
0,99
1,12
1,15
1,30
1,29
—
Коэффициент а
по опытам
ЦНИИПСа
1,0
1,12
—
1,20
—
—
Для некоторых прокатных профилей значения поправочного коэффициента
а установлены опытным путем в ЦНИИПСе. Эти значения приводятся в таб-
таблицах 4.3 и 4.4.
Для определения жесткостей прокатных профилей даются и другие при-
приближенные формулы (табл. 4.5), которые установлены опытно-теоретическим
путем Вебером и Шмиденом. Эти формулы также применимы только для оп-
определения жесткостей тонкостенных профилей.
Приближенная формула Сен-Венана для жесткости. Для определения
жесткости при кручении в инженерной практике иногда пользуются прибли-
приближенной формулой
c~G-?-, D.74)
где F — площадь сечения стержня; 1р — полярный момент инерции.
54

Таблица 4.4. Значения коэффициента а для швеллера и двутавра
Профиль
U
Размеры образца, мм
Поправоч-
Поправочный коэф-
коэффициент а
Швеллер № 12
I
-1
4,51
119
52,9
5,5
10,0
4,08
1,10
Двутавр № 16
I
t
1
1
1
t
Jo
12,0
159
89
7,4
10,5
8,73
1,37
Приближенная формула D.74) дает хорошую точность для определения
жесткости эллипса, круга.
Жесткость эллипса
аЧ*
D,75)
где а и 6 — полуоси эллипса. Использовав это выражение, нетрудно вывести
формулу D.74). Действительно, формулу D.75) можно переписать в виде
(nab)* F*
— " D.76)
с= G
nab
4 .
^ G
(а? + б2) 4ti2
40/„
где
Ь\ 1р
r4F =
nab
+ б2); 4и2 « 40.
D.77)
Формулу D.74) часто применяют для приближенного определения жестко-
жесткости при кручении сплошных призматических стержней произвольного профи-
профиля. Следует отметить, что она во многих случаях может привести к непра-
неправильным результатам. Например, для секториального сечения приближенная
формула Сен-Венана всегда дает завышенные значения для жесткости, за
исключсмием случая весьма малых углов сектора а.
55

Таблица 4.5. Приближенные формулы для определения жесткостей
прокатных профилей
Профиль
Геометрическая жесткость /т
По Веберу
По Шмидену
— (/1
/.-0,1444
'Ш.
1
У////Л
It
—
Щ
I,
см
1
б
1
1
б
^ж
I
¦S'r-o.
0788

Продолжение табл. 4.5
Профиль
Геометрическая жесткость /т
По Веберу
По Шмидену
I
I
/////У///,
-
A B/ — df
Для рфугового сечения с радиальной трещиной, доходящей до центра кру-
круга (а = 2яг), по приближенной формуле D.74) получим с = 1,57 Ga*. Между тем
точное значение жесткости в этом случае будет с = 0,878 GaA, т. е. ошибка до-
достигает 80%- Впервые на это обратили внимание А. и Л. Феппль.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. М., Физ-
матгиз, 1963.
2. Бычков Д. В., Мрощи некий А. К. Кручение металлических ба-
балок. М.—Л., Стройиздат, 1944.
3. Д и н н и к А. Н. Продольный изгиб. Кручение. М., Изд-во АН СССР,
1955.
4. Лейбензон Л. С. Собрание трудов. Т. 1. М., Изд-во АН СССР, 1951.
5. Л у р ь е А. И. Пространственная задача теории упругости. М., Гостех-
издат, 1955.
6. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости. М., Изд-во АН СССР, 1954.
7. П а н о в Д. Ю. Об одном методе решения краевых задач дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных. ДАН СССР, III (8), № 2 F2),
1935, 63—66.
8. П а н о в Д. Ю. Решение краевых задач дифференциальных уравнений в
частных производных для длинных и узких областей. Известия АН СССР, се-
серия математическая, 1937, № 1, 63—77.
9. П а п к о в и ч П. Ф. Теория упругости. М., Оборонгиз, 1939.
10. Пешль Т. Сопротивление материалов. М.—Л., ОГИЗ, 1948.
Н.Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Лихарев К. К., М а-
кушин В. М., Малинин Н. Н., Феодосьев В. И. Расчеты на проч-
прочность в машиностроении. М., Машгиз, Т. I, 1956. Т. II, 1959.
12. Работ нов Ю. Н. Сопротивление материалов. Изд-во МГУ, 1950.
13. С е н-В е н а н. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. Пе-
Перевод с французского под ред. Г. Ю. Джанел,идзе. М., Физматгиз, 1961.
14. Тимошенко СП. Теория упругости. Л.—М., ОНТИ, 1937.
Глава V. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Имеется тело вращения, к которому приложены силы, расположенные сим-
симметрично относительно его оси. За ось вращения примем ось z, а ось, перпен-
перпендикулярную к первой, обозначим через г. Поскольку рассматривается задача с
57

осевой симметрией, то будут наблюдаться только радиальные и осевые пере-
перемещения и и до (t/=O), которые не зависят от полярного угла 8.
Уравнения равновесия в цилиндрических координатах, в случае осесиммет-
ричной задачи, имеют вид:
дг
dz
dz
dr
rz x,
r
rz
= 0;
= 0.
E.1)
Закон Гука можно записать в форме:
dw
dz
ди
дг
г
E.2)
zrz= G
дг
ди
dz
? = ? 4- ?
z ~ г
причем компоненты деформации определяются из формул
dw ди и dw
dz
дг
ди
dz
E.3)
При решении задачи в напряжениях необходимо принять во внимание урав-
уравнения неразрывности (зависимости Бельтрами—Митчелла). В рассматривае-
рассматриваемом случае осевой симметрии их будет четыре:
1 +1
dr2
= 0;
1+]
1
г
= 0;
= 0;
E.4)
1 +1
= 0,
где
dr*
d2
dr*
58

Определение четырех неизвестных функций оп <г9» 0* хгг по уравнениям
E.1) и E.4), с учетом граничных условий, можно осуществить введением
функции напряжения ф по формулам Лява.
ау2ф — —
Г дг*
дг
д<\>
дг
dz2
E.5)
dz
д
дг
д
dz
Сделав непосредственную подстановку, можно убедиться, что уравнения
равновесия E.1) и зависимости Бельтрами—Митчелла E.4) будут удовлетво-
удовлетворены, если функция тр бигармоническая, т. е.
V2V2^ = 0. E.6)
Выражения для перемещений через функцию напряжений гр могут быть
Найдены интегрированием уравнений E.3), в правые части которых надо под-
подставить составляющие тензора деформации ег, eQ, ez и yTz > вычисленные при
помощи закона Гука E.2) с учетом E.5). После соответствующих выкладок
получим:
и = —
drdz
)¦
E.7)
Сосредоточенная сила, действующая на плоскость, ограничивающую полу-
полубесконечное тело (задача Буссинеска). Пусть плоскость г=0 (рис. 5.1) являет-
является гранью полубесконечного оплошного тела и на эту
плоскость действует сосредоточенная сила Р на оеи г.
Решение задачи Буссинеска дается бигаркони-
ческон функцией
р 777777'
{Я + О - 2ц) [г In (R + z)- R]}. E.8)
2тс
Для упрощения здесь введено обозначение
Дифференцируя выражение E.8) согласно E.5) и
имея в виду, что
I
Рис. 5.1.
dR
dr
dR
dz
z
~R
E,9)

можно получить формулы для напряжений:
¦ад я
~ 1
Q__ O2 1 D i
^*С/\ 1 /\ ~у"
P(l-2fi) /
2т:Я2 [
зя
зя
я
я
+ 2-
Z3
Я3 '
rz2
Я3
z
R
]•
E.10)
Подставляя значения E.8) в выражение E.7), получим перемещения точек
полупространства:
и = — —
г_ Г A-2^)Я _ 2Г 1
[ Я + г Я J '
E.11)
Отсюда следует, что на любой прямой—= const, проходящей через точку
приложения силы, напряжения обратно пропорциональны Я2, перемещения же
оказываются обратно пропорциональными R. Перемещения точек границы по-
получаются из формул E.11), если положить в них г = 0:
2izEr
w = ¦
Р(\
пЕг
E.12)
У начала координат перемещения и напряжения становятся бесконечно
большими и потому, чтобы избежать затруднений при применении указанных
выше выражений, необходимо представить, что у начала координат в области
пластических деформаций материал вырезан полусферической поверхностью
малого радиуса, а сосредоточенная сила заменена статически эквивалентны-
эквивалентными усилиями, распределенными по этой поверхности. Если площадку действия
силы Р считать не равной нулю, то бесконечно больших давлений и переме-
перемещений не получим.
Равномерная нагрузка по площади круга. Имея решение для сосредоточен-
сосредоточенной силы, действующей на плоскую грань упругого полупространства, можно
найти перемещения и напряжения, возникающие под действием распределен-
распределенной .нагрузки, если применить принцип сложения действия сил.
Пусть нагрузка общим весом Р равномерно распределена по поверхности
полубесконечного тела по площади круга радиуса а. Интенсивность нагрузки
будет равна ц=— .
па2
Составим выражения для перемещений точки (рис. 5.2), находящейся на
поверхности полупространства, но в пределах загруженного круга.
60

Нагрузка, приходящаяся на элементарную площадку dF=s dq> ds, будет
dP = qsdyds.
От этой нагрузки точка с должна опуститься согласно E.12) на
dP(\— fj.J
dw
nEs
1 —м-2
dw = qsJsdy.
E.13)
Полное перемещение точки от всей нагрузки
имеет вид
w = Aq
пЕ
'ла —r*sina<pd<p . E.14)
Прогиб ш0 в центре круга, т. е. при г=0, будет
2A— и-2
2 A — м-2)
w0 = qa
т.аЕ
Р. E.15)
Рис. 5.2.
Перемещения точек, лежащих на контуре загруженного круга, т. е. при
г = а, будут
4A —
пЕ
qa.
Перемещения точек, лежащих внутри загруженного круга, но не в центре
его, могут быть вычислены по формуле E.14) с помощью таблиц эллиптиче-
эллиптических интегралов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Безух о в Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.
М., «Высшая школа», 1968.
2. Л я в А. Математическая теория упругости. М., ОНТИ, 1935.
3. Новожилов В. В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1939.
Глава VI. ИЗГИБ ПЛАСТИН
Пластиной (пластинкой) называют тело, имеющее форму прямой призмы
или прямого цилиндра и малую, по сравнению с размерами основания, тол-
толщину.
Срединная плоскость пластины — плоскость, делящая ее толщину пополам
(рис. 6.1).
Пластины, толщина которых не превышает Vs наименьшего размера осно-
основания, относятся к тонким. Их расчеты ведут на основе теории изгиба, бази-
базирующейся на гипотезах Кирхгоффа (классическая теория).
Расчеты пластин, толщина которых превышает Vs наименьшего размера
основания, ведут на основе теории пластин средней толщины и на основе
теории толстых плит.
Пластину считают жесткой, если при ее деформации под действием попе-
поперечной нагрузки можно пренебречь напряжениями растяжения или сжатия
61

в срединной поверхности; пластины относят к жестким, если величина прогиба
при изгибе не превышает 7б толщины.
Теория тонких пластин строится на основе следующих допущений: 1) на-
напряжения oz> ^XZy iyz являются второстепенными, т. е. они малы по сравнению
с основными напряжениями зх, оу, txy и ими можно пренебречь при вычисле-
вычислении деформаций
г = 0'» zxz ~ °; V ~ 0: Г6.1)
2) проекция перемещения w(x, у, z) на
ось z принимается неизменной по тол-
толщине пластины, т. е. равной прогибу
*, У, о) срединной плоскости
w(x, yy z) « w(x, у, о);
Рис. 6.1.
Допущение о j
Если все внешние силы, приложенные
к пластине, параллельны оси z, то пере-
перемещения всех точек срединной плоскости
тоже параллельны оси z (срединная
плоскость не растягивается), т. ё.
и (х, у, о) == v, (х,у, о) = 0. F.3)
из которого следует
~ 0;
0,
F.4)
где G — модуль сдвига; уХу =0 и Ууг — 0, можно сформулировать в виде ги-
гипотез Кирхгоффа: любая прямая, 'нормальная к срединной плоскости до
деформации, остается после деформации прямой, нормальной к срединной по-
поверхности; 'напряжениями а2, действующими в направлении, перпендикулярном
к срединной поверхности, можно пренебречь.
Из первого допущения теории тонких пластин следует, что
ди
dz
dw
дх
dv
dz
dw
~ду~
¦«0.
F.5)
Интегрируя эти равенства по г и имея в виду, что и(х, у, o)=v(xf у, о)
получаем:
dw dw
а =—2 — ; v = — z
д
= 0
dx
Из закона Гука (принимая во внимание, что az
Ez ( d*w
аХ = — , «
dx*
ду
d2w
ду*
Ez
dx*
F.6)
;@) получим:
F.7)
Ez
при условии, что
ди
дх '
dv
ёу ;
dxdy
__du_
dv
dx

Теперь второстепенные напряжения oz, zxz, xyz можно найти из уравнений
равновесия:
dx
dx
•ху
ду
do..
= 0;
дх
Интегрируя по z равенства:
dxry dar
dz
dz
дх
zxy
ду
dz
dy ' dz
Ez I d*w
Ez
F.8)
дхду*
дх
ду*
n
и используя условия на плоскостях пластаны при z =?= ± — ;
получим:
2A-1
E
— 2'
d2w
yz 2A — p.2) \ 4
Из третьего уравнения равновесия
dxYy dx.,
dx \ dx*
д I d2w
дх
¦+¦
d2w
dy2
d2w
дх2
= 0
ду2
z= xyz = 0
F.9)
F.10)
F.11)
получим, если учесть выражения для касательных напряжений F.10) и условия
на поверхностях* пластины,
при 2 = —, a2 = 0; при 2 = ~у
= -q(x, y), F.12)
F.13)
где
при условии, что
дх*
dx2dy2
q(*. У)
D
dy*
F.14)
где D =
Eh*
.«,« о —цилиндрическая жесткость пластины. Изгибающие мо-
12A—{л2)
манты, действующие в сечениях нормально к осям х и у и нриходящиеся на
63

единицу длины сечения,
А А
2 2
Мх— f cxzdz; Mv= f avzdz
_ A _A
2 2
- F15)
Касательные напряжения тху и ryjt-дают крутящий момент, приходящийся
на единицу длины сечения
_А_
I ' d2w
Мху = J ixyzdz = Mvx или Л1ху = — D A — [х) . F.16)
Значения поперечных сил Qx и Оу определяются из формул
н_ h_
? 2
"" T ~ ~2"
F.17)
Из формул F.6), F.15) и F.16) вытекают следующие зависимости между
напряжениями и моментами:
\2МХ \2Му \2Мху
cx = —^-z; °у = —— *; %у = тух = г. F.18)
Максимальные по толщине пластины напряжения будут у поверхности:
Шх 6МУ 6Мху
(стл)тах = ~ ; (av)max = ~ i (^vy)max = 7^ • F.19)
Граничные условия. Интегрирование уравнения F.14) следует вести с уче-
учетом граничных условий.
Шарнирно опертый край. Если край х=0 (см. рис. 6.1) шарнирно оперт,
то прогиб и изгибающий момент вдоль края равны нулю:
w = 0; Мх = 0,
или
d2w
w = 0; — = 0. F.20)
Край л: = 0 защемлен. Прогиб и угол поворота в точках края должны равнять-
равняться нулю
ze/ = O; -^- = 0. F.21)
дх
Пластина скреплена по краю х=0 с упругим ребром, имеющим изгибную
жесткость EI. Одно из условий сопряжения состоит в равенстве прогибов
wp = w. F.22)
64

Здесь wp — прогиб ребра. Второе граничное условие запишется в виде диф-
дифференциального уравнения изгиба для ребра
EI
дх*
F.23)
где Rx — усилие, передающееся от пластины на ребро, равное реакции со сто-
стороны ребра, причем
= ~D[ дх*
х ' I дх*
Тогда условие F.23) приобретает вид
El
+ B -
дхду2
¦]•
— D[-7*-
B —
дх* L дх*
Край х=0 свободен. Граничные условия будут
Мх = 0; Я * = 0
или
d'2w d2w
дхду*
F.24)
F.25)
дх*
ду2
= 0;
дх*
¦ = 0.
F.26)
дхду*
Теория пластин средней толщины. Классическая теория изгиба тонких
пластин, опирающаяся на гипотезы о недеформируемости элементов, нормаль-
нормальных к срединной плоскости пластины, и о малости напряжений oz, нормальных
Л2
к этой плоскости, как известно, может привести к погрешности порядка —^по
/ /г2 \
сравнению с единицей 1 + —~ ж 1 , .где h — толщина, а — ширина1 пластины.
\ а I
В теории изгиба пластин средней толщины удерживаются величины этого
/г4
порядка и допускается пренебрежение величинами порядка —- п0 сравнению
а*
с единицей. Погрешность, допускаемая в этой теории, оказывается незначи-
h 1
тельной даже в случае довольно толстых пластин при—=^——\ , а вносимая
у а 6
ею поправка в ряде случаев является существенной.
Из точной теории толстых пластин известно, что в случаях обобщенного
плоского напряженного состояния и изгиба пластины под действием равно-
равномерно распределенного поперечного давления компоненты сдвига в попереч-
поперечных сечениях изменяются по толщине пластины по закону квадратной пара-
параболы. Поэтому примем касательные напряжения в форме F.10):
Е / д_ /г2 \ дъ
Xxz~ 2A— М-2) \ 4 ) дх
Z* —
4 } ду
где %(х, у) —некоторая функция (функция сдвига).
5—28
F.27)
65

Для компонента деформации сдвига имеем
дих duz zxz I /
dz dx G A — (J.) \
?^= ~d7
G
dx
F.28)
Итак имеем: прямолинейный элемент нормальный до деформации средин-
срединной плоскости в процессе нагружения искривляется так, что деформации сдвига
по толщине пластины изменяются по параболическому закону. Выражение для
нормального напряжения <Jz принимаем с учетом F.14) в виде соотношения
F.13):
а ( г г3 \
°* = -f A-3T + 41TJ: ***-,. F.29)
Воспользуемся точными зависимостями закона Гука для трехмерного тела:
М- Е
1-1*
М-
(ь
— м-)
F.30)
Пользуясь условием, что а2~0, и выражением F.6), из зависимости F.30)
получим:
Отсюда после интегрирования по г имеем
ttz (-V, У, 2Г) « W (X, у)
F.31)
где
дх2 оу2
Примем выражение для перемещения uz в форме
1-fi
F.32)
Интегрируя соотношения F.27) по г и используя выражения для нормаль-
нормального перемещения F.32), получим:
= и (•*, У) ~
dw
ф (г) ¦
дъ
F.33)
66

при условии, что
Через функцию
ttx (¦*> У.О) = и (x, у),
vy (x, у, 0) = v (x, y).
обозначено следующее выражение:
2 —p. г3 2
h*
~8~
F.34)
Компоненты перемещения w^-, tiy, Uz являются функциями х, у, z и изме-
изменяются по толщине пластины по нелинейному закону.
Напряжения F.16), F.17) можно записать в форме:
^L
dv
ду
дЧ
ди
¦)-(¦
дх2
J-
ду*
/ дч дч \\ fx
—— + |i—r 4- f
2A
dt;
дл:
— 2z
дЧ
} F-35)
|;
2
-f 4
2A
Л3
дХ
2A+ fi)
Компоненты перемещения будут иметь вид:
dw
и г = и — г
— г
дх
dw
Hi
дх
дХ
ду
1 —
F.36)
Здесь и, v, w — компоненты перемещения срединной поверхности (функции
от х и у), их> Ну, uz— функции от х, у, z.
67

Уравнения равновесия и статические граничные условия найдем из вариаци-
вариационного уравнения Лагранжа:
ДО'—"
СС (
— \ \ gbuz ( —
<?х *
му1 ду +^г
, дх
+ х дх
I dxdy— I
2 / J
ь
~~ \ ^х ^а + ^ySt; — ^
0
dy + [/?*w — Я*х]^
Jo
} dxdydz -
dw
dv +
= 0. (
0
Здесь V—объем; Si — та часть поверхности, где приложена поверхностная
h
нагрузка q(xf у); uz\ — — ]—значение нормального перемещейия F.32) на
верхней поверхности пластины; усилия и моменты со звездочками приложены
на контуре.
Используя выражения для компонент перемещения F.36), а также соотно-
соотношения:
дих диу duz
tx=~JT; ey = ^T: Sz ^'' F.38)
**у~ дх + ду • ~'*~ дг ' дх ' ~yz~ дг ' дх
после интегрирования по частям, получим
Ш
dNx dNxy\ I dNy dNxy\ (дШх дШх
оу2 / L дх2 дхду ду* дх
(Qy+Qv)+Ma—q
а
о
-^)to-(Aiy-Ai;)b"-^ + (Af;-*Ai;N-^-+
о
68
-«;)] 8.-
J 1
8и + (Л/^у - Nxy) bv -

-(МХ-МХ)Ъ
dw
дх
дъ
дх \ дх
дМх дМ
+ 2
ду
- [BЦху - R*) Ьт - BМ'ху - Я*)
Здесь введены следующие обозначения:
А
2
Nx = f Qxdz
2
или
и аналогично
1-
дх
+ M-
dv
Eh ( dv
¦+ M-
Eh
2A-»
2
<sxzdz
= 0.
1-fi
2 '
дх
F.39)
F.40)
или
= — D
!¦' 40
дх*
и аналогично
40
«~
= - D A -
04»
ду*
1 — (i 40
40 ^
F.41)
69

где
J 1-1»
10
F.42)
Выражение для моментов старших степеней имеет вид, например,
Т
Мх = J а^ф (z) dz. F.43)
h
Можно показать, что моменты М к М' связаны приближенными зависимо-
зависимостями:
*'
40
I —{
F.44)
Выражения для обобщенных поперечных сил:
Qx-
Вычисляя, получим следующие значения:
40
где,
8 + М-
1 -fx
40
40
40
F.45)
F.46)
В силу произвольности вариаций, приравнивая «улю выражения, стоящие
перед ними в вариационном уравнении F.39), если учесть соотношения F.40),
70

F.41), F.46) и F.29), получим следующие уравнения равновесия:
1-f*
д2и
дх*
2
д2и
(JL d2U
~2 ' ду2
40
Dy V* = ^ + "
2A.—м-) d*djr 2(l-|i)
дх
ду2
= 0;
.—2— = 0;
K- h2
10
F.47)
V2?; F.48)
40
10
F.49)
v 1 — p.
Отсюда следует, что задача распадается на решения уравнений плоско-
напряженного состояния F.47) и собственно изгиба.
В дальнейшем будем рассматривать лишь задачу изгиба пластин средней
толщины и, следовательно, во всех формулах будем полагать, что u = v = 0.
Уравнения F.48) и F.49) можно представить в следующей форме:
8-Зга h2
Если пренебречь изменением нормального перемещения и2 по толщине,
т. е. допустить, что uz~w(x% y)y то получим известное уравнение (первое)
Э. Рейснера:
Интеграл вдоль края х=const (рассматривается лишь задача изгиба) при
учете зависимости F.44) примет вид:
40
ду
дл:
+ 2
-Ь-гЬг-г »-*]-}>
F.52)
Граничные условия. Интегрирование системы уравнений F.50) пластин
средней толщины следует вести с учетом граничных условий.
Шарнирно опертый край (х=const)
71

или (для прямоугольной пластины)
d*w 8 - 3|i /г2
40
дЧ
дх*
0; х = 0.
F.53)
дх* 1 - р
Заделанный или защемленный край. Если край х=const защемлен, то про-
прогиб и угол поворота с учетом функции сдвига и функция сдвига в точках края
должны равняться нулю:
dw 8 + м- h2 дъ
» = 0; -т—+ , .. -——--Т—-0; х = 0. F.54)
д* ' 1 — ji"" 40
Свободный край. В этом случае имеем
0; #; =
+ 2
дМх
ду
0;
F.55)
Итак задача сводится к решению уравнений F.50) при соответствующих
граничных условиях.
Задачи изгиба тонких прямоугольных пластин. Рассматривается задача
изгиба пластин, у которых два противоположных края оперты, а два других
могут иметь различные условия закрепления. Нагрузка на плиту может быть
распределена по любому заданному закону.
Граничные условия на опертых краях у = 0 и у=Ь (рис. 6.2) записываются
так:
при ^ = 0 и у = 0 w =
ду2
= 0.
F.56)
Прогиб пластины, удовлетворяющий граничным условиям F.56), представ-
представляется тригонометрическим рядом по синусам
со
S
F.57)
где Х^ (л:) — есть функция одного лишь х.
Необходимо определить функцию Xk так, чтобы удовлетворялись гранич-
граничные условия на двух других сторонах пласти-
пластины, а также уравнение изюгнутой поверхности
а/2
а/2
Рис. 6.2.
где
72
дх*
+ 2
ду*
Я (•*, У)
D
F.58)
где D =;
— жесткость пластины при
12A—f
изгибе. Нагрузку q(x, у) можно представить
в виде ряда, аналогично ряду F.57)
Я (¦*, У) -
kizy
ъ
Як
- 2 f
kizy
dy.
F.59)
F.60)

Подставляя выражение для прогиба F.57) и разложенную в ряд нагрузку
F.59) в дифференциальное уравнение изгиба F.58) и приравнивая слагаемые
левой и правой частей, имеющие одинаковые множители, получим
Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными ко-
коэффициентами относительно функции Х^(х). Его общее решение можно пред-
представить в виде
= Xk +¦
F.62).
где X — общее решение соответствующего однородного уравнения, а X — ка-
какое-либо частное решение неоднородного.
Частное решение уравнения найти не трудно, если зависимость pk от х:
несложная. Так, если q(x, y)= const, то при нечетных k
Aq — 4/ ?4
Як = —7 ; Xk = —7ГГ^~ • F.63).
а при четных k эти величины равны нулю. Характеристические уравнения для
уравнения F.61) имеют вид
= 0.
Его корни попарно кратны и действительны
44 = --
kn
Следовательно,
k К X
kxx
xk = (Chi
F.64).
F.65>
F.66).
Постоянные Ck\, . • •, c#4 определяются из граничных условий на краях
пластины, параллельных оси у.
Рассмотрим частный случай: нагрузка равномерно распределена, все четыре
края пластины свободно оперты. Причем при
а
х= ± — w = 0,
Определяя из этих условий постоянные
дхг
= 0.
•» ck* » получим
kna
4b
th
fuza
2b
ch
kizx
knx
knx
ch
kna
2b
F.67).
F.68).
при нечетных k (при четных Xk=0).
С ростом номера члена ряда k значения Х^ быстро убывают.
Прогиб пластины выражается рядом F.57), где Xk определяется по фор-
формуле F.68),
w (х, у) =
kizy
F.69).
1,3, 5, ...
73:

Если ограничиться всего одним первым числом ряда F.69), то для прогиба
I b\
в центре пластины! х = 0; у =—1 получаем следующую приближенную фор-
формулу:
1—-
th
ch
па
F.70)
Для квадратной пластины (а = Ь)
w[0, —) = 0,00411
qa*
D
qa*
что отличается от точного значения 0,00406 ~z~ приблизительно на 1
Изгибающие и крутящий моменты выражаются рядами:
= — D
3, 5, .
Л=1,3, 5, ..
X,
M
xy
^p-rtT 2
dx
sin
sin
COS
kny
b
кку
b
kizy
1. 3, 5. ...
F.71)
F.72)
При вычислении изгибающих и крутящих моментов сходимость рядов
;хуже, однако двух-трех членов оказывается совершенно достаточно для вы-
вычислений результатов с практически необходимой точностью.
В таблице приведены некоторые результаты вычислений для пластин с рав-
равномерно распределенной нагрузкой при [i = 0,3; все четыре края пластины
оперты:
Ь/а
w • *а*
«w* Eh%
1
0,0443
0,0479
1,2
0,0616
0,0626
1.4
0,0770
0,0753
1,6
0,0906
0,0862
1,8
0,1017
0,0948
2
0,1106
0.Ю17
3
0,1336
0,1189
со
0,1422
0,1250
Если у пластины нет двух противолежащих опертых краев, прогиб ее не
может быть представлен рядом вида F.69) и решение ищут другими ме-
методами.
Рассмотрим задачу изгиба пластин с защемленными кромками методом
Ритца—Тимошенко.
74

Выражение энергии деформации, накопленной в пластине, имеет вид
йдг»
d2w I d2w \2])
• dxdy> F73>
ду2 \дхду)\\
где Z7 — площадь пластины.
Формулу F.73) можно привести к более простому виду для прямоугольных
пластин, вдоль кромок (краев) которой w = 0. Интегрирование по частям дает
FJ4)
dw d2w
dw dw
Для пластин с защемленными краями должно быть г—~л~Т= ^—вдоль
dw d2w
края # = const; -—=Т^~ = ^ — вдоль края * = const, так как w = 0 для всех
кромок.
Таким образам, первые два контурных интеграла в выражении F.74) обра-
обращаются в нуль и энергия изгиба, как следует из F.74) и F.73), будет опре-
определяться по формуле
d2w d2w \2
Рассмотрим прямоугольную пластину с защемленными краями, нагружен-
нагруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивности </о •
Граничные условия будут иметь вид (см. рис. 6.1):
dw
w = 0; = 0 при х = 0 и х = а;
дх
dw
w — 0: = 0 при у = 0 и у = Ь.
ду
Эти условия удовлетворяются, если принять прогиб w в следующем виде:
со со
w=2
2пку \
I ^ 1—cos —J-\- F-76)
m=\ n=\
Здесь параметры должны быть определены из условия минимума потен-
потенциальной энергии системы

Подставляя выражение F.76) в F.75) и интегрируя, находим:
а Ь
2ктх ( 2пку
о о
2ппу
cos
1 —COS
2rmzx \~\
а )\
dxdy =
W
ОО ОО ОО
X
г=1 ^=1
т=\ г=1 5=1
ah a b Г" ос оо
— W = - \ I gowdxdy = — д0 I I ^J ^J Amn (
0 0 0 0 .m=l n=\
2тпх \
1-C0S-T-jX
X 1 - cos
2пку \
Условие ~ = 0 дает
оАтп
dxdy.
S2 f-?) ^-+S2 f-^-
гфт
(б-77>
Для различных значений тип получим столько уравнений относитель-
относительно Лтп , сколько параметров было взято. Решая совместно уравнения»
можно найти эти параметры, а затем прогибы, моменты и напряжения во всех
точках пластины. Если, для примера, взять только один параметр Лц, то имеем
qa*
1
Для квадратной пластины An = qaA/32D я4.
76

Подставляя эти значения в формулу F.76), при условии m = n=l и прини-
а Ь
мая /г = 0,3, находим наибольший прогиб пластины при х= —р \у = —-
Эта величина всего на 1,5% выше значения, вычисленного точно.
Если взять большее число параметров, например Ли, Л]2, А2\, А22, Ахъ, Ази
з, то условие F.77) принимает вид:
з + 3 1-у V + 2 (-уХ ]ли + 2Ап + 2 l-j-J А
Гз + 3 1-у
¦»т
32
4D** '
32А 21 + 16 [з + 3 (f у + 2 (f)] Л22 + 32 (fj ^ = -J^-;
243 (fj + 18 (f J] Ли + 162 (f
2 (тJл«+ 2 (т L ^ + [243+3 (тL +18 (тJ]А»
162 (-J-) Л13 + 162Л31 + 81 Гз + 3 Гу-] + 2\-у\ I Л33 =
Для квадратной пластины при а = Ъ решения последних уравнений дают
следующие значения параметров:
Ап- 0,11774?; ^ = ^ = 0,01184?;
Ап = 0,00189</;
А __ А (\ ЛЛОЛС/т
Л— (\ ЛЛЛООп» 13 — 31 — vt v/v/^UOy,
33 ~~* v^UvU^vO,
где q = q0a4/W я4. Подставляя эти величины в F.76), находим максимальный
прогиб
О,О138<7оЛ*
что в точности совпадает со значением, вычисленным Н. Г. Бубновым.
77

Задачи изгиба прямоугольных пластин средней толщины.
Задачу об изгибе равномерно распределенной нагрузкой прямоугольной:
пластины средней толщины, два противоположных края которой свободна
оперты, решаем с помощью разложения функции прогиба w(x, у) и функции,
сдвига х(х, У) в следующие ряды:
sin
F.78>
Ыу
коэффициенты которых Xk(x) и Xk(x) есть функции координаты х и подлежат
определению. При этом ряды удовлетворяют граничным условиям
ду2 1 — jjl 40 ду2
Из второго дифференциального уравнения системы
F.80)
имеем вдоль краев */ = const,—=-т-, так как в силу F.79) вдоль этих краев
ду ~~~ д2у =
Граничные условия F.79) примут вид:
d2w 8 — 3{J. h2 q
при у = 0; у = b\ w = 0; % = 0; = — • —— • -1— .
ду2 1 — [J. 40 D
Разрешающие уравнения при условии, что <7 = const (^ ^ = 0), упрощаются:
Dy2y2w = q\ Dy2x = q. F.81)
Подставляя ряды F.78) в эту систему, получим
d2xk ?47t4 4q
F.82)
dx2 b2 K Dkiz
Нагрузку q(x, у) представим в виде ряда
*.у)=Е
Я (х, У) = 2j Як (х) sin —-
где
Г\ ^sin dy.
78

В частности, для равномерно распределенной нагрузки (?=const)
что и было внесено в систему F.81). Частные решения уравнений имеют вид:
Характеристические уравнения соответствующих однородных уравнений:
Корни уравнений:
Ы Ы Ы
¦
Следовательно, общие решения однородных дифференциальных уравнений
*ko = Di + сk2 х) е ь + (сЛз + ck±*) е Ь
*Лов Ak\e b +Лкге b .
Общие решения имеют вид:
knx knx
+Ak2e * - -^- . F.84>
Постоянные с^ь ...,с^4| Л^!, Л^2 определим из граничных условий. Еслрг
а а
края х=± —также свободно оперты, то имеем при х—±— w=0, ^=0.
d*w 8 —3;х дЧ №
дх2 = ~ 1 — р. ' дх2 ' 40 ' F* )
Вводя обозначение гиперболических функций и учитывая симметричность за-
задачи, получим:
I 4 Ых knx kizx
F.86>
q№ ( Ых 4 х
х. = си ch
п D \ к
D \к b
Для того чтобы определить постоянные Л#, В k, Ck из условий F.85), ра?
ложим следующее выражение в ряд
Я У(Ь — У)
8
1 fJL
-3,
„
40
40
D
4qb2
Dk3
2
со
. 3, 5, ...
k3
Ыу
b
F.87)
79

¦Функции прогиба и сдвига представятся теперь в виде:
оо
qb* V4 / 4 Ых Ых knx
D J—*\ ?5^5 ' « Ь * Ь
kny
1 — р. Ю \ b ) тс3*3 )
sin
b
sin ¦—-*- , F.88)
b
\ i
где k=\, 3, 5,... Подставляя эти выражения в граничные условия F.85) и
вводя обозначение
kiza
2b к
лолучим следующую систему алгебраических уравнений для определения по-
постоянных
8 — 3[х 1 / h \2
+Akchak + afcBkshak +
kbTZb 1 [JL 107C3^3 \ Ь
=0;
8 — 3 x h2
(Ak + 2Bk) ch a^ + akBk sh ak = — — ~ . c^ ch ал;
1 — [J- 4U
h =0- F-89)
Откуда
4 = 2Kth^ + 2) _ 8 —Зк.
* k ' &*<l\i ЮA )
X
1 I hx2
b
2
к~тъ~ lii a^
кения F.88), получим
8 — Зк-
5 ch ak
Подставляя эти значения в выражения F.88), получим
10 A J
sh
ch ak \ b I I a kbnb ch ak a a
8~3!* ! sin _i^^; F.90)
b
2akx 4 1
ch — I sh
a "
80

Если ограничиться одним первым членом ряда для прогиба, то в центре
( b \
плиты I х = 0; у = — 1 получим следующие приближенные формулы для квад-
квадратной пластины (а=Ь) при ^=0,3:
Ь\ qlfi
D °'00414 + 0'00182 \
гт h 1 h \
При —~ = ~~ поправки малы, но при отношении — = ~г~ прогиб в центре
о 10 b 5
пластины будет отличаться от прогиба, вычисленного по теории тонких
пластин, на 10%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бубнов И. Г. Труды по теории пластин. М., Техтеориздат, 1953.
2. Г а л е р к и н Б. Г. Упругие тонкие плиты. Собр. соч. Т. II. М., Изд-во АН
СССР, 1953.
3. Л е й б е н з о н Л. С. Вариационные методы решения задач теории упру-
упругости. Собр. соч. Т. I. M., Изд-вр АН СССР, 1951.
4. Попкович П. Ф. Строительная механика корабля. Ч. 2-я, Л., Суд-
промгиз, 1941.
5. Р я б о в А. Ф. Розрахунок багатошарових оболонок. Ки1в, «Буд1вель-
ник», 1968.
6. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки. М., Техтеориздат, 1948.
7. Тимошенко С. П. Теория упругости. М., ОНТИ, 1934.
8. В а р в а к А. П. Расчет плит на упругом основании и сваях. Ж. «Строи-
«Строительство и архитектура». Киев, «Буд1вельник», 1963, № 2.
9. В а р в а к А. П. Прямоугольные плиты на упругом основании переменной
жесткости. Доклады АН УССР. Киев, «Наукова думка», 1963, JSTs 10.
10. В а рва к А. П. Расчет прямоугольных плит на действие краевых мо<
ментов. Ж. «Прикладная механика», т. I, вып. 12. Киев, «Наукова думка»,
1965.
11. Варвак П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пла-
пластинок. Часть I, 1949, часть II, 1952. Киев, Изд-во АН УССР.
Глава VII. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ
§ 7.1. Основные допущения
Оболочкой в теории упругости называется тело, ограниченное двумя кри-
криволинейными поверхностями, расстояние между которыми, называемое толщи-
толщиной оболочки, мало по сравнению с другими размерами.
Поверхность, делящая пополам толщину оболочки, «азывается срединной.
Форма срединной поверхности, толщина и граничный контур полностью
определяют геометрию оболочки.
Оболочка считается пологой, если угол между касательной плоскостью к
срединной поверхности и горизонтальной плоскостью, над которой она воз-
возвышается, всюду мал.
На практике пологость характеризуется отношением стрелы подъема в
центре к наименьшему ее размеру в плане.
По В. 3. Власову к пологим относятся оболочки, у которых
где а<Ь — стороны оболочки (рис. 7.1); / — стрела подъема оболочки в центре.
6-28 81

В настоящей главе приводятся сведения из теории тонких упругих оболочек.
К тонким относятся оболочки, у которых отношение толщины к наимень-
наименьшему радиусу кривизны не превышает V20, т. е.
<
Rmin < 20 '
где h — толщина; Rm\n — наименьший радиус кривизны срединной поверхности
оболочки.
Предполагается, что материал оболочки изотропный и подчиняется закону
Гука. В строительной практике материалом для оболочек служит железобетон.
На основании экспериментальных исследований
можно заключить, что до появления трещин
железобетонные оболочки работают в стадии
близкой к упругой, а поэтому с некоторой по-
погрешностью для расчета можно пользоваться
теорией упругих оболочек.
В теории пологих оболочек принимается,
что метрика срединной поверхности оболочки
совпадает с метрикой плоскости, т. е.
ds w dx2 + dy2.
Уравнение срединной поверхности оболочки
Рис. 7.1. в декартовой прямоугольной системе координат
xyz будем обозначать через z = f(x, у).
dz dz
Для пологих оболочек частные производные г— и -— будут величинами
первого порядка малости и их квадратами в вычислениях можно пренебре-
пренебрегать.
Кривизны срединной поверхности оболочек определяются по приближенным
формулам:
д2г дЧ . д2г
дх2
ду2
дхду
G.3)
где kx и ky—кривизны срединной поверхности по направлениям осей х и у,
kxv — кривизна кручения.
' В основу технической теории оболочек положены гипотезы Кирхгоффа,
согласно которым: а) нормальный к срединной поверхности оболочки прямо-
прямолинейный элемент до деформации остается прямолинейным и нормальным к
деформированной срединной поверхности; б) нормальные напряжения, дей-
действующие на площадках, параллельных срединной поверхности оболочки, пре-
пренебрежимо малы и в расчетах не учитываются.
§ 7.2. Уравнения характерных пологих поверхностей
двоякой кривизны
В строительной практике большое распространение получили оболочки
положительной гауссовой кривизны (kxky^>0)t т. е. оболочки эллиптического
типа. Эллиптическими поверхностями называются такие, у которых центры
кривизны всех нормальных сечений, проведенных через рассматриваемую точку
поверхности, лежат на нормали с одной стороны поверхности.
Поверхность переноса создается параллельным перемещением
образующей кривой zx=f\(x) по направляющей кривой 22 = Ы#)-
Образующая и направляющая кривые могут быть произвольными, но в
большинстве случаев их выбирают однотипными: параболы, дуги окружностей,
синусоиды и др.
82

Уравнение поверхности переноса имеет вид
г = Л <¦*) + Л (У)- /7.4)
Наиболее простой поверхностью переноса является круговая, у которой
направляющая и образующая кривые являются дугами окружности (рис. 7.2).
Уравнение круговой поверхности переноса в системе координат xyz имеет
вид
G.5)
Кривизны круговой поверхности переноса выражаются соотношениями:
, _J 8/. ь^-ь 8/.
х ~ д ~ к «
и t ^_2 . J __ Z. и _ ГЦ . /7 7v
КУ ~ г» ~~ Г / s \2 » KV — x KV ~ Г / x \Ъ'\ » К1'1)
*9
/
G.8)
где ^^, ky и &.ry— безразмерные параметры кривизны поверхности.
Круговая поверхность переноса характеризуется постоянными кривизнами
по направлению осей х и у.
Эллиптический параболоид /также относится к поверхностям
переноса, линиями переноса которых служат параболы.
Уравнение поверхности эллиптического параболоида имеет вид
где /i и f2—стрелы подъема образующей и направляющей парабол. Тогда
стрела подъема в центральной точке будет / = fi+/2-
Кривизны эллиптического параболоида имеют значения:
д2г 8Л _ /,
*х = -Т-Т = -"Т-ш' kx = S-^; G.10)
дх2 a1 f
Ьу = -~^ = -~'> Л"у-8^-; G.11)
оу2 Ьг j
d*z
В строительной практике большее распространение получили пологие обо-
оболочки в виде эллиптического параболоида с одинаковым подъемом контурных
парабол, т. е. у которых fi = f2=0,5f.
Уравнение поверхности такого параболоида имеет вид
[/ х2 у2
2 = —/11-21—7- + -TT-II . GЛЗ>
83

а кривизны поверхности выражаются соотношениями:
дх
у= ду2
д
4/
дхду
: 0; kxv = 0
G.14)
G.15)
G.16)
Рис. 7.2.
Рис. 7.3.
Для пологих поверхностей кривизны круговой поверхности переноса и
эллиптического параболоида отличаются незначительно.
Сферическая поверхность с прямоугольным контуром характе-
характеризуется постоянным радиусом кривизны в любом направлении (рис. 7.3).
Радиус сферической поверхности выражается через основные размеры обо-
оболочки
а* 1 + р + 4
G.17)
где 0= ——соотношение сторон в плане.
а
Кривизны сферической поверхности выражаются:
1
G.18)
"Г*'"
1 + Р + 4
Кручение поверхности отсутствует, т. е kxy=0.
84

Оболочка с плоским контуром характеризуется переменными
кривизнами, т. е. kx=fi(y) и ky=f2(x). Поверхность ооолочки образуется се-
семействами ортогонально пересекающихся парабол (рис. 7.4).
Эта поверхность обладает тем недостатком, что в диагональных направле-
направлениях вблизи углов имеются зо:ы с отрицательной гауссовой кривизной. В этих
Рис. 7.4.
зонах возникает значительный краевой эффект, т. е. резко возрастают изги-
изгибающие моменты.
Уравнение поверхности оболочки с плоским контуром предложено
Ю. Я. Штаерманом в виде
1 -
G.19)
Пологие оболочки, срединная поверхность которых описывается уравнением
G.19), называются вспарушенными плитами.
Кривизны оболочек с плоским контуром имеют значения:
8/
дх2
ду*
я2
8/
4у2
= 8 1
4у2
1—-
а*
= 8 l-
дхду
64/ - 64
G.20)
; G.21)
G.22)
Кручение поверхности вспарушеннгй плиты не равно нулю.
Оболочка «Дарбази» не обладает недостатком вспарушенной пли-
плиты, т. е. у нее отсутствуют зоны отрицательной гауссовой кривизны (рис. 7.5).
Поверхность получена Я. А. Гогоберидзе. Ее уравнение в системе координат
xyz имеет вид
По контуру оболочка опирается на арки параболического очертания со стре-
стрелой подъема 2/5/.
85

Приближенные значения кривизн оболочки выражаются соотношениями:
* \ЪаЬ
Оболочка «Дарбази» характеризуется переменными кривизнами.
§ 7.3. Дифференциальные уравнения пологих оболочек
Напряженно-деформированное состояние пологих оболочек описывается
системой нелинейных дифференциальных уравнений вида:
+ 2
дх* ду* дхду дхду ду* д\*
~д = 0; G.27)
d*w ( d*w \2
^д:2 ^у2 \ дхду J
Первое уравнение — статическое уравнение равновесия, а второе — геометри-
геометрическое уравнение совместности деформаций.
В уравнениях G.27) и G.28) приняты обозначения:
Eh*
= Топ 2\ ~~~ ДилинДРическая жесткость оболочки;
12A — [х )
Е, [I — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона
материала оболочки;
h — толщина оболочки;
д2 д2
V2 = 2 -j- ., — дифференциальный оператор Лапласа;
д4 д4 д*
V V = 4 + 2 2 ,, - -f t — бигармонический дифференциальный
оператор;
д2
+ ^.r 2 — дифференциальный оператор;
+ ^.r
wt ф — соответственно перемещение по направлению оси z (прогиб
оболочки) и функция напряжений;
q — интенсивность распределенной нагрузки.
Уравнения G.27) и G.28) являются нелинейными дифференциальными урав-
уравнениями, которые применяются для расчета гибких пологих оболочек, т. е. обо-
оболочек при больших прогибах.
В нелинейной постановке целесообразно решать задачи изгиба пологих
оболочек при коэффициентах вспарушенности (отношении стрелы подъема
в центре к толщине оболочки) не больше шести, т. е.
86

При больших коэффициентах вспарушенности в уравнениях G.27) и G.28)
нелинейные члены можно отбросить, И тогда напряженно-деформированное
состояние пологих оболочек описывается системой линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений:
~ S/h ~ Я = 0; G.29)
VV? + V> = 0. G.30)
Уравнения G.29) и G.30) описывают смешанное напряженное состояние
пологих оболочек, т. е. сочетание моментного и безмоментного напряженных
состояний и обычно используются в пределах
20 >Х >б.
п
С увеличением вспарушенности напряженное состояние переходит в без-
моментное и описывается системой дифференциальных уравнений:
^ = 0. G.32)
Уравнение G.31) получено из G.29) при условии, что D = 0. Это будет спра-
справедливым при отсутствии изгибающих моментов. Система уравнений G.31) и
G.32) используется при — >20.
п
§ 7.4. Деформации пологих оболочек
Относительные деформации пологих оболочек выражаются через переме-
перемещения по направлению осей ху у следующими зависимостями:
а) в нелинейной постановке
гх—1*—к<Я+±(-*~-{; G.33)
х дх х 2 \ дх ' v
dv I / dw V
G34)
ди dv Л dw dw
+ -т— - Mxyw + —— • —— ; G.35)
дх у дх ду
>лу ду ' дх ху ' дх ду
б) в линейной постановке
ди
dv
' ду
ди dv
G.36)
G.37)
87

Здесь ех> еу —относительные удлинения по направлению осей х и у,
У лгу— относительный сдвиг;
и, v, w — перемещения точек срединной поверхности обрлочек по на-
направлению осей х, у и z.
§ 7.5. Внутренние силовые факторы
При смешанном напряженном состоянии в сечении пологих оболочек дей-
действуют изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы (рис. 7.6), нормаль-
нормальные и сдвигающие усилия (рис. 7.7), а по контуру оболочки — опорные реакции
(рис. 7.8) -
Рис. 7.6.
Рис. 7.7.
Внутренние силовые факторы определяются по формулам:
а) изгибающие моменты:
б) крутящий момент:
/ d2w
[ дх2
RX=±D
= ± D
ду2
d2w
ду2
дх2
•дхду
в) поперечные силы:
дх*
ду*
дхду2
d3w
дхЧу
¦У-
G.39)
G.40)
G.41)
G.42)
G.43)
г) распределенные опорные реакции или
обобщенные поперечные силы:
*. .„ . *. ] G44)
дхд?
d3w
Т1
G.45)

В формулах G.44), G.45) верхние знаки берутся для кромок х=а и у~Ь,
а нижние для кромок #=0, у=0 (ом. рис. 7.8);
д) сосредоточенные реакции в углах:
/?o=±2D(l-|i)
dxdy
е) нормальные силы:
'Vv
dx* 'ч
ж) сдвигающие силы;
G-46)
G.47)
G.48)
G.49)
dxdy
Нормальные и сдвигающие силы могут быть выражены через деформации:
Eh
1-1*'
Eh
Eh
2(l+rt
txy
или через перемещения:
Eh
1
N
да
дх
dv
ду
dv
ду
да
дх
¦ - (kу + \>-kx) w
}¦
Eh
—2krvw
}¦
G.50)
G.51)
G.52)
G.53)
G.54)
G.55)
ху 2A + у) I ду ' дх
Из формул G.50) — G.52) деформации могут быть выражены через усилия:
1
T.ry =
Eh
Eh y
2A+1*)
Eh
N
xy
G.56)
G.57)
G.58)
89

или через функцию напряжения:
1 ( д2?
Eh
дх2 /
д2у \
G.59)
G.60)
EH дхду- G61)
Зная величины внутренних силовых факторов, напряжения в произвольной
точке сечения оболочки можно определить по формулам:
Nx 12MX
Qx = ,. i ^ 2*
2A
Ny \2My
"ху
h?
G.62)
G.63)
G.64)
где z — расстояние от нейтральной поверхности до точки.
Таким образом, для определения напряженного состояния пологих оболо-
оболочек необходимо определить функции напряжений и прогибов, которые нахо-
находятся из решения уравнений G.27) —G.30) или G.31), G.32).
При решении указанных уравнений существенное значение имеют гранич-
граничные условия, т. е. способ закрепления оболочек по контуру.
§ 7.6. Граничные условия
Рассмотрим характерные граничные условия для пологих оболочек.
Свободное опирание оболочки на жееткий контур
(рис. 7.9) характеризуется беспрепятственным перемещением контурных точек
по направлению осей х и у.
Рис. 7.9.
Рис. 7.10.
Для кромки лс=±-г~ такому закреплению соответствуют:
геометрические условия до=0; и ф 0; v Ф 0;
статические условия Nx — 0\ Mx=0.
90

ь
Для кромки у=±~г~:
геометрические условия
w = 0; и Ф 0; i> =? 0;
статические условия Ny=0; Жу=0.
Исходя из геометрических и статических условий на контуре для свободного
опирания граничные условия записываются в следующем виде:
; G.65)
при
при
X =
У —
±
±
а
2
b
2
дх*
d2w
ду2 ~
0AW
dv2
d2w
дх2
-0,
л
— и,
дх
д<?
ду
= 0. G.66)
По контуру оболочки функция напряжения постоянна. Для упрощения расче-
расчетов принимается, что в контурных точках <р = 0.
Шарнирно-подвижное опирание (рис. 7.10) соответствует за-
закреплению контура оболочки в тонкие диафрагмы жесткие в своей плоскости
и гибкие из плоскости.
а
Для кромки х= ± ~г~ :
геометрические условия w = 0; и ф 0; v = 0;
статические условия Nx~0; Mx=0.
b
Для кромки у= ± — :
геометрические условия до = 0; w=0; v=^0;
статические условия Ny==0; My = 0.
Исходя из статических и геометрических граничных условий следует, что
d°-w d2w д2у
^- = ^г=0' ^-=°- G-68)
Функция напряжений в контурных точках постоянная или равна нулю.
Принимается, что ф = 0.
Шарнирно-неподвижное закрепление оболочки (рис. 7.11)
не допускает перемещений контурных точек и характеризуется «наличием рас-
распора. Закрепление не препятствует повороту опорных сечений.
а
Для кромки х— ~г~:
геометрические условия w=0; u = v=0;
статические условия Мх = 0; Nx Ф 0.
b
Для кромки у=± ~г~ :
геометрические условия до=0; u = v = 0;
статические условия Mv = 0, Ny ф 0.
91

В дифференциальной форме граничные условия представляются так:
CL О W
при х = ±
дх2
Eh
V
I
0
а
]о\—у
7 I
Рис. 7.11.
d2w
ду2
дх2 ду2
dw
0;
G.69)
Рис. 7.12.
b д-w
2 ду2
d2w
8 +B
дхду J
dw
0.
G.70)
В контурных точках фу>н*кция напряжений не равна нулю и подлежит опре-
определению. В угловых точках принимается, что ф=0.
Жесткое защемление (рис. 7.12) характеризуется отсутствием по-
поворота опорных сечений, вследствие чего по контуру возникают распределен-
распределенные опорные моменты.
а
Для кромки х=± —— :
геометрические условия
OW
~^—=0; u — v=0;
статические условия Мх ф 0; Nx ф 0.
b
Для кромки у=±— :
dw
. dw
геометричетладе условия w= -—=0; u — v
статические условия Му ф 0; ЛГу Ф 0.
92

Граничные условия в дифференциальной форме выражаются следующими зави-
зависимостями:
при х
дх*
dw
дх =
+ V +
приу=±____ = 0;
ду2
дх2
ду2
¦ = 0;
дхду*
- = 0;
0;
G.71)
ду
7- + B + i
дх2ду
= 0.
G.72)
Упругое защемление (рис. 7ДЗ) соот-
соответствует закреплению контура оболочки в упру-
упругие балки (ребра), которые работают на растяже-
растяжение, кручение, изгиб в горизонтальной и верти-
вертикальной плоскостях при стирании оболочки в
угловых тючках.
а
Для кромки х=± — -
геометрические условия тфО; иф®\ иф 0;
стати-ческие условия Мхф0\ Мхф0.
b
Для кромки у=± ~г :
геометрические условия шфО\ ифО; v=-0;
статические условия Му ф 0; Ny ф 0.
Исходя из условий совместности работы оболочки и контурных ребер, гра-
граничные условия представляются в следующем виде:
Рис. 7.13.
при х = ±
'у дхду2
д
± D
d2w
дх2
ду2
d*w Г
d3w
дх*
дх2
•—IX
Eh
— 2k
1 Г ^ср
lh [ дх*
dy*
+ B + а
dw I dk
ху
ху
B —
h
дхду2
dkv
dxdy*
G.73)
ду
дх
дх
Л-ky
w
dw
~дх~
G.74)
93

при у =
d3w
d2w
d2w
dAw
ду2
— V*
з + B-ц) - л 0А
ду3 дх2ду
ду
¦]-
G.75,
Eh
<Э3ср
+ >
dw
dw
~дх~
G.76)
-2
*Л"У
а,
W
где Сх и Су—крутильные жесткости ребер; Вгх и Вгу —изгибные жесткости
ребер в горизонтальной плоскости; Вцх и В* — изгибные жесткости ребер в
вертикальной плоскости; Fx и Fy — площади поперечных сечений ребер.
§ 7.7. Расчет пологих оболочек
методом двойных тригонометрических рядов
Одним из распространенных решений системы линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений пологих оболочек с постоянными кривизнами является метод
двойных тригонометрических рядов.
Решение системы уравнений G.29), G.30) строится в виде:
W =
ткх
Лтп sin sin -
/w«¦¦ 1, 3, 5 ... л = 1, 3, 5 ...
оо со
-22
ткх пт.у
sin sin
G.77)
G.78)
a b
/71=1» 3, 5 ... л = 1, 3, 5 ...
где Атп и Втл—неопределенные коэффициенты, подлежащие определению.
_ При загружении оболочки 1равномерно распределенной
нагрузкой эти коэффициенты имеют значения:
- ; G.79)
Umrif
Eh
D
[тп\-
Втп —
\6qEh[mn]
Рис. 7.14.
Eh
D
G.80)
где для сокращения записи введены обозначения:
(тп) =
4-
\тп\

Решение G.77), G.78) удовлетворяет уравнениям G.29) и G.30) и граничным
условиям при шарнирно-подвижном закреплении по контуру G.67) и G.68).
В решении G.77), G.78) система координат х, у выбирается в соответствии
с рис. 7.14.
Учитывая значения G.76) и G.77), решение будет представлено в виде:
тих ппу
л^ у " ' :'
^^ ?j mn Urnn)* +-^— [тп]''
m = l, 3, 5 ... /i=l, 3, 5 ... I
00 °° тих ппу
[тп] sin sin
4 Ж Ж G.82)
г-«% (тпJ sin —-— sin
«г—<¦
тп <(тпL -j- [тг
/7Zc=l, 3, 5 ... /2=1, 3, 5 ... I
§ 7.8. Выражения силовых факторов
в двойных тригонометрических рядах
Подставив значения функции напряжений G.82) в формулы G.47) —G.49),
после операции дифференцирования получили формулы для определения нор-
нормальных и сдвигающих усилий, действующих в срединной поверхности пологой
оболочки:
а) нормальные силы:
00 °° тпх пку
ш—\ w~4 n [mn] sin sin—
»—^f- У V -,—v-^<™>
Jmam ^J m (ш)Ч [mn]2
m = l,3, 5... л = 1,3, ... I D
00 °° mizx niv
Vm—i m \mn] sin sin
\ Л a b
u* / , 7 , —\ Tk " ; (?-84)
j^J Jmmm n|(mnL-f [mn]
m = l, 3, 5 ... /2 = 1, 3, 5 ... I D
б) сдвигающие силы:
<» со тпх ппу
ж—-1 w—i [mn]cos cos —-—
^-js^- У У . ^. , ¦ <->
/71 = 1, 3, 5 ... /2=1, 3, 5 ...
Силовые факторы моментной группы определяются по формулам:
а) изгибающие моменты:
тпх ппу
(тпJ sin sin
Мх-\6д У > (^_ + |x^j__ °— -.G.86)
m=i, 3,5 ... /i-I, 3, 5 ...
95

со со ткх ппу
(mnJ sin sin —-—
CL 0
m=\, 3, 5 ... л —1, 3, 5 ...
б) крутящий момент:
_ _ - cQs CQs
16A—fx)^
1, 3, 5... л = 1, 3, 5... u
в) поперечные силы:
\6nq \ 1 \ ^
/пил:
m2 п
(mnJ cos sin
а b
/и-1,3, 5... л = 1,3,5...
со со mnx mzy
—^1 «r—^ (mn) sin cos
) 7 Ы + -^)—\ Th г г G-90)
m=l,3, 5 ... /i=l, 3, 5... I
r) распределенные опорные реакции:
oo oo
= l, 3, 5 ... /7 = 1, 3,5 ...
rrmx
(mnJ sin
x —г j^ ; ('¦»')
f Eh
n (ш)Ч —
CO CO
„2
" X
I 0" a* I
m=l, 3,5 ... /i=l, 3, 5 ...
/Z7iy
(m/zJ sin
X ? ^ • G.92)
[mn\*
В формулах G.91) и G.92) знак плюс относится к краям #=0 и «/=0, а ми-
минус— к краям х=а и у=Ь;
96

д) сосредоточенные реакции в углах:
32A-|.
ab
и
. .. тт.х ппу
(may cos • cos
(mnY + -j- [яя]
т=1, 3, 5 ... Л=1, 3, 5 ...
Реакции в углах направлены вниз.
Рис. 7.15.
Рис. 7.16.
G.93)
При загружении оболочки равномерно распределенной нагрузкой на части
поверхности (рис. 7.15) неопределенные коэффициенты Лтп и Втп принимают
значения:
16? (тпJ sin sin
А —
D
sin
sin
[тп]*\
\6qEh [тп] sin sin
it2 Dmn
D
sin
sin
Тогда функции G.77) и G.78) принимают вид:
16^ sin
2а
¦ sin
2b
- sin
sin
X
X
CO CO
V V
= l, 3, 5 ... «=1,3, 5 ...
тл:л:
(mnJ sin sin
mn
Eh
D
[mn?
тка, пкЬх
\6qEh sin • sin — sin
2a 2b a
sin
X
G.94)
G.95)
G.96)
7—28
97

тпх ппу
[тп] sin sin —-—
X > V ; а—г, г- • <7-97>
11
Имея функции w и <р, не трудно определить значения всех силовых факторов,
возникающих в сечениях оболочки.
При загружении оболочки сосредоточенной силой в
произвольной точке (рис. 7.16) коэффициенты Лтп и Втп принимают значения:
АР (тпJ sin —-— sin —^~L-
Лтп = ; а— Г" ; G.98)
Dab \(тп)А + —— [тп]А
т^к ппч\
4РЕп [тп] sin sin ——-
Dab \(тпУ + [тп]2
G.99)
Функций w и ср принимают вид:
АР sin
а Ь ^ \ % \ ' ' а Ь
; G.100)
G.101)
7 = 1,3,5, ... /1 = 1.3,6. .
По значениям w и ф определяются все силовые факторы.
§ 7.9. Расчет пологой оболочки
в виде эллиптического параболоида
Приводится решение пологой оболочки в виде эллиптического параболоида
с. 7.17) при шарнирно-лодвижном закреплении по контуру под действием
равномерно распределенной нагрузки.
Кривизны оболочки:
d2z 4/ и d2z 4/
дх2 а2 у ду2 Ь2
д2г
98

С использованием решения G.81), G.82) прогиб оболочки выражается
оо оо / ^\2
R2
w ¦¦
2j
п* У тих
sin
а
m=l,3, 5... л—1,3, 5...
Силовые факторы определяются по формулам:
а) нормальные силы:
768A -^)Х w
.G.102)
X
оо оо
11'
1 = 1 ,3,5... /г=1,3,5
Рис. 7.17.
mizx
п (m2 -f n2) sin sin
х-
И-
п2 \4 192A—р-2) А2
(т2 + п2
. G.103)
768A —
X
1, 3, 5 . . /1 = 1. 3, 5 ...
х —
б) сдвигающие силы:
768A — fx2)X
ткх ппу
т (т2 А- п?) sin sin
a b
; G.104)
X.
тпх
(т2 н- л2) cos cos
а
= 1,3,5...
ппу
1
= 1,3, 5...
X
П2 у 192A — f
G.105)
л2J
99

в) изгибающие моменты:
•2 2
m—\, 3, 5 ... /i = l, 3, 5, ...
., \ 2
)Х
Х Г / л» V 192A -^Х» "• ! GЛ°6)
p
OO
Х
Г / « 192A^)Х
мл «« ( т» + —J + J^' (m« + л2)
г) крутящий момент:
оо со
2
16A-1-, „- m m X
тпх ппу
cos ___ cos __
mn ^^^ + ™j +
+
Х f—f ,»У 192 0^хГ -• <7Л08>
Величины прогибов и силовых факторов зависят от соотношения сторон р
и коэффициента вспарушенности оболочки Я. 1
В табл. 7.1 приведены значения безразмерных коэффициентов w, Nx, Ny,
Мх и Му для центральной точки оболочки при /?=1-*-2 и Я = 0,5-г-20; материал
оболочки — железобетон с коэффициентом Пуассона ^=0,17.
Значения прогибов и силовых факторов определяются по формулам:
w'w : "—*?b »=*-йг' GЛ09)
100
аа2
^ . G.110)

Коэффици-
Коэффициент вспа-
рушен-
ности X
0,5
1,0
1,5
2,0
. 2,5
3,0
4,0
5,0
fi П
и, и
т<<
Соотно-
Соотношение
сторон C
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
а б л и ц а 7.1.
Прогибы
Значения безразмерных
w
36,1831
54,2323
70,8990
85,0578
96,4447
27,1779
41,6059
56,7999
71,3749
84,3242
19,0967
29,8206
42,5098
56,1799
69,6759
13,3714
21,1998
31,2861
43,1732
55,9962
9,5578
15,3296
23,2354
33,1827
44,6662
7,0165
11,3585
17,5864
25,8020
35,7738
4,0751
6,7041
10,7309
16,3721
23,6714
2,5730
4,2930
7,E32
11,0566
16,4273
1,7347
2,9294
4,2165
3,7558
2,9148
2,0639
1,3507
6,3342
5,7260
4,6071
3,4007
2,3238
6,6761
6,0954
5,0677
3,9113
2,8189
6,2328
5,7065
4,8533
3,8923
2,9564
5,5690
5,0875
4,3923
3,6361
2,8958
4,9052
4,4607
3,8942
3,3122
2,7486
3,7991
3,42*5
3,0502
2,7150
2,4011
2,9983
2,6962
2,4555
2,2665
2,0915
2,4258
2,1933
и силовые факторы
коэффициентов
оболочки
4,2165
6,0819
7,1484
7,4727
7,8772
6,3342
9,3580
11,4864
12,5636
12,7332
6,6761
10,1045
12,9494
14,8711
15,7952
6,2328
9,6295
12,7710
15.2810
16,9406
5,5690
8,7557
11,9180
14,7222
16,9056
4,9052
7,8320
10,8790
13,7720
16,2607
3,7991
6,2306
8,9259
11,7003
14,ЗЬ73
2,9383
5,0265
7,3771
9,9077
12,4828
2,4258
4,1342
\ для центральной точки
мх
3,8006
5,5176
7,0825
8,3992
9,4499
2,7674
4,1414
5,5926
6,9829
8,2145
1,8450
2,8604
4,0858
5,4131
6,7235
1,1982
1,9285
2,9069
4,0731
5,3333
0,7748
1,2997
2,0661
3,0476
4,1840
0,5002
0,8803
1,4808
2,2932
3,2836
0,2016
0,4039
0,7813
1,3362
2,0614
0,С692
0,1741
0,4174
0,8033
1,3330
0,0104
0,0579
yWy
3,8006
3,8222
3,6675
3,4437
3,2096
2,7674
2,8289
2,8436
2,8223
2,7735
1,8450
1,9117
2,0231
2,1472
2,2566
1,1982
1,2539
1,3972
1,5876
1,7854
0,7748
0,8200
0,9663
1,1743
1,4046
0,5002
0,5395
0,^794
0,8818
1,1122
0,2016
0,2393
0,3603
0,5289
0,7226
0,0692
0,1092
0,2104
0,3420
0,4921
0,0104
0,0512
101

Коэффици-
Коэффициент вспа-
рушен-
ности X
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
12,5
15,0
17,5
20
Соотно-
Соотношение
сторон C
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1.25
1,5
1.75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1.25
1.5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2.0
1,0
1.25
1,5
1,75
2,0
Значения безразмерных
w
4,9144
7.8590
11,9004
1.2330
2.1012
3,5816
5,8156
8,9326
0,9152
1,5685
2,7036
4,4423
6.9014
0,7042
1,2095
2,0990
3,4807
5,4593
0,5582
0,9582
1.6676
2,7846
4,4035
0,3454
0,5866
1,0150
1,7107
2,7490
0,2365
0,3954
0,6728
1,1338
1,8413
0,1731
0,2852
0,4753
0,7953
1,2983
0,1327
0,2160
0,3528
0,5834
0,9527
2,0446
1,9398
1,8386
2,0116
1,8398
1,7525
1,6951
1,6332
1,7064
1,5840
1,5363
1,5051
1,4648
1,4770
1,3928
1,3697
1,3529
1,3251
1,3010
1,2455
1,2371
1,2280
1,2079
1,0061
0,9919
0,9973
0,9954
0,9857
0,8268
0,8285
0,8349
0,8342
0,8305
0,7062
0,7125
0,7172
0,7182
0,7169
0,6186
0,6250
0,6282
0,6299
0,6304
Продолжение i
коэффициентов
оболочки
Ny
6,1912
8,4727
10,8719
2,0116
3,4641
5,2757
7,3325
9,5426
1,7064
2,9519
4,5568
6,4170
8,4487
1,4770
2,5536
3,9823
5,6715
7,5419
1,3010
2,2391
3,5163
5,0558
6,7824
1,0061
1,6946
2,6755
3,9127
5,3441
0,8268
1,3575
2,1282
3,1376
4,3421
0,7062
1,1342
1,7541
2,5883
3,6130
0,6186
0,9775
1,4880
2,1862
3,0654
а б л. 7.1
для центральной точки
мх
0,2151
0,4881
0,8806
—0,0142
—0,0017
0,0968
0,2915
0,5868
-0,0227
-0,0317
0,0255
0,1638
0,3887
—0.0236
—0,0456
—0,0179
0,0786
0,2509
-0,0214
—0,0505
—0,0441
0,0208
0,1528
—0,0127
—0,0463
—0,0696
-0,0555
0,0022
—0,0059
—0,0356
—0.0696
-0,0822
—0,0575
—0,0019
-0,0257
—0,0612
—а, 0874
—0,0872
—0,0002
-0,0180
-0,0509
-0,0831
-0,0980
My
0,1331
0,2335
0,3476
—0,0142
0,0248
0,0894
0,1651
0,2524
-0,0227
0,0129
0,0624
0,1194
0,1869
—0,0236
0,0076
0,0447
0,0375
0,1404
-0,0214
0,0053
0,0325
0,0646
0,1067
-0,0127
0,0040
0,0153
0,0307
0,0551
-0,0059
0,0040
0,0076
0,0145
0,0285
—0,0019
0,0039
0,0042
0,0065
0,0141
-0,0002
0,0037
0,0028
0,0026
0,0061
102

В углах оболочки касательные напряжения достигают максимальных зна-
значений, так как в этих точках Nxy и Мху достигают наибольших величин. _
В табл. 7.2 приводятся значения безразмерных коэффициентов Nxy и Мх
для угловых точек оболочки, через которые сдвигающая сила и крутящий мо-
момент определяются по формулам:
Nxy
да2
102Л
М
ху
м qa
G.111)
x r
к * 1
ii!
л в у
о о о я
^ « Ж Ж
0,5
1.0
. 1,5
2,0
2,5
3,0
2J
я
X
о х
X о
II
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2.0
1.0
1.25
1,5
1,75
2,0
1.0
1,25
1,5
1,75
2.0
1,0
1,25
1.5
1,75
2,0
1.0
1,25
1,5
1,75
2,0
Т а б л
и ц а 7.2. <
Значение безразмерных
коэффициентов
вых точек ¦<
4,4228
5,0914
5,0838
4,7350
4,2849
6,7410
7,9301
8,2726
8,0622
7,5755
7,2725
8,7301
9,5078
9,7215
9,5371
7,0033
8,5331
9,6041
10,2108
10,4038
6,4953
7,9947
9,2059
10,0690
10,5660
5,9-71
7,3936
8,6440
9,6419
10,3398
для угло-
эболочки
~мху
3,6883
4,4452
4,9034
5,1305
5,1978
2,8222
3,4715
3,9903
4,3584
4,5811
2,0428
2,5591
3,0589
3,4937
3,8298
1,4877
1,8868
2,3198
2,7445
3,1206
1,1146
1,4239
1,7820
2,1603
2,5262
0,8624
1,1058
1,3978
1,7216
2,0542
Силовые факторь
? . о
^ Я X X
4.0
5,0
6,0
7,0
8.0
9.0
О)
S
X
а>
gen.
О х
U и
1.0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1.75
2,0
1.0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1.25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1.5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2.0
i
Значение безразмерных
коэффициентов
вых точек
5,0707
6,3245
7,5121
8,5675
9,4378
4,4042
5,5020
6,5702
7,5663
8,4508
3,9047
4,8752
5,8255
6,7342
7,5744
3,5183
4,3871
5,2358
6,0581
6,8368
3,2096
3,9971
4,7619
5,5070
6,2233
2,9565
3,6781
4,3741
5,0553
5,7114
» для угло-
оболочкн
0,5619
0,7213
0,9177
1,1475
1,4019
0,3989
0,5107
0,6484
0,8137
1,0044
0,3005
0,3835
0,4846
0,6073
0,7523
0,2362
0,3006
0,3780
0,4722
0,5848
0,1914
0,2432
0,3047
0,3792
0,4688
0,1589
0,2017
0,2520
0,3125
0,3853
103

Коэффициент
вспарушен.
ности оболоч-
оболочки X
10,0
12,5
15,0
а>
S
S
а>
I
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
Значение безразмерных
коэффициентов для угло-
угловых точек оболочки
2,7445
3,4120
4,0515
4,6742
5,2808
2,3376
2,9039
3,4400
3,9566
4,4605
2,0446
2,5399
3,0059
0,1343
0,1705
0,2127
0,2630
0,3233
0,0939
0,1193
0,1487
0,1630
0,2235
0,0698
0,0889
0,1110
1
В. 5
?*§
fas
Ы ее я а
15,0
17,5
20,0
1 р одо л ж ен и е т
о»
Ш
X
а>
gen.
51
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
а б л. 7.2
Значение безразмерных
коэффициентов для угло-
угловых точек оболочки
»ху
3,4505
3,8814
1,8224
2,2642
2,6792
3.3724
3,4504
1,6475
2,0472
2,4229
2,7773
3,1157
мху
0,1365
0,1660
0,0543
0,0692
0,0866
0,1066
0,1294
0,0435
0,0556
0,0698
0,0861
0,1045
§ 7.10. Расчет пологих оболочек
методом конечных разностей
Решение в двойных тригонометрических рядах возможно при шарнирно-
подвижном закреплении по контуру пологой оболочки.
Метод конечных разностей позволяет довести решение до числа при любых
граничных условиях.
Воспользовавшись соотношением метода конечных разностей, представим
дифференциальные уравнения пологих оболочек в конечных разностях.
Нелинейные дифференциальные уравнения моментной теории пологих обо-
оболочек G.28), G.29) сводятся к нелинейным алгебраическим уравнениям вида:
6) ?? _
2a
-^ k
W-t
kx (w
"^- ky (wk + Щ)—
kxy
2 к + т*,Ь/-*1
— wq — wr) = Rn2 [0,0625 (wo + wp — wq — wrJ —
G.112)
— (wk — 2w? + t»,) (ww — 2w-L + wn)];
_ a — — —
kxy
2a
— [Fa2 + 8a + 6) wt — 4A+ a)(wn + at»/ + Wm + <
- 104
p г о/ v и л I
- 2?/ + Тя) (w*-- 2w; + «;/)[- 0 Л 25 0p0 + cp^- ?^ cpr) x
X (wQ + wp-wQ — wr) + (cpfe - 2cpf + T/) (wm - 2wf- + wn). G.113)
104

Обозначение узлов сетки соответствует рис. 7.18. _
Уравнения G.112) и G.113) записаны в безразмерных параметрах w и <р,
через которые функции прогиба и напряжений выражаются следующим об-
образом:
д'д -
W = WI
WD '
-
104/
GЛ14)
/Ду У a
где а = \— ; п— -——коэффициент густоты сетки;
уДлгу Дл:
а — меньшая сторона проекции оболочки на плоскость;
Ъ
/3=— — соотношение сторон оболочки; ф= 12A—рь2)Х2
Я
s
к
0
V
n
i
m
Ax
41
p
I t
Рис. 7.18.
— коэффициент, зависящий от вспарушенности оболочки A;i? = 12(l—/г2) 10-4S
— коэффициент, зависящий от гибкости оболочки, которая выражается так:
S =
Е\
G.П5)
kx, ky и kxy — безразмерные параметры кривизны оболочки.
Дифференциальные уравнения моментной линейной теории G.29) и G.30)
сводятся к системе линейных алгебраических уравнений:
Fа2+ 8а + 6)^-4A + а) (ф~„ + аф"; +"^m + a^k) + 2а (^ +^р + ?"г + То) +
?« + *2?5 - 2 I kx -f -у ky\ w{
kx (w
~^f~ k*y (wo Jrwp-wq- wr) = 0; G.116)
a\
2 I kx + 2" ky ] Tl ~ k
2B
< — <?r) + —ГГ~ fFa2 +8a+ 6)W/—4A + a)(wn + aW/ + WOT
_____ __ _104
я p ^
Дифференциальные уравнения безмоментной теории G.31), G.32) сводятся
к следующей системе линейных алгебраических уравнений:
Fа2 + 8а + 6)Т/ —4A
Т/) — 2 ( Л v -Ь
— ky (wk
2а (^
уа _ = -. - -
—— ^^у (w<, + ^ - wq — wr) = 0; G.118)
2Ur+»
= о.
G.119)
105

В уравнениях G.118), G.119) введены новые безразмерные параметры
w и ф, через которые функции прогиба и напряжений выражаются так:
Aq —
aAq —
\ою
w\ ср = ¦
а4д =
102/
G.120)
При расчете оболочек методом конечных разностей возникает необходи-
необходимость в выражении функций в законтурных точках через контурные и внут-
риконтурные точки. Функции в законтурных точках определяются из граничных
условий.
Значения функций в законтурных точках при различных граничных усло-
условиях приведены в табл. 7.3.
Таблица 7.3. Значения функций в законтурных точках
Ориентация
кромки оболочки
Свободное
опирание
Шарнирно
подвиж-
подвижное опира-
опирание
Шарнирно-неподвижное
закрепление
Жесткое
защемление
Тл = Т/га
W =—W
?/z = — Т/я
ц>п = 2 (I — ар) 4i + afi (ТЛ + Т/) — Т/я'»
4v = 2 [2 A + 2а) - ЗаV B + {!)] ^ -
_ 4а [1 - afx B + цI (^ + ^) -
- 4 [1 -f а B + цI ^ -h 2а B + fx) X
X (То + Т"г) - а2М- B + p.) (Ti + й) +
+ Уи — Ьх (wn — wm)
—т„
= wn
/ M- \ — fx
= 2 ( l — — ) Ti -v- —
\ a ) a
p
It
»+-*-<»•
-^ B
n + 9 v)
1 _
106

§ 7.11. Ход расчета пологих оболочек
методом конечных разностей
На поверхность оболочки наносится сетка выбранной густоты. Ее узлы
обозначаются цифрами с учетом симметрии оболочки и нагрузки (симметрич-
(симметричные точки обозначаются одинаковыми цифрами).
Для каждого внутреннего узла сетки записываются по два уравнения. При
расчете оболочки в нелинейной постановке используются уравнения G.112),
G.113), при расчете по моментной теории в линейной постановке — уравнения
G.116), G.117) и при расчете безмоментной оболочки — уравнения G.118),
G.119).
При шарнирно-неподвижном закреплении и жестком защемлении уравне-
уравнения совместности деформаций G.112), G.116) или G.118), записываются и для
контурных точек.
Решение задачи в нелинейной постановке сводится к решению системы
нелинейных алгебраических уравнений, которые решаются методом последова-
последовательных приближений. В качестве первого приближения принимается решение
линейной системы уравнений, т. е. решение при R=0. По значениям функций
первого приближения вычисляются правые части уравнений, а после решения
системы линейных уравнений псшучаем значения <р и w второго приближения.
По значениям функций второго приближения вычисляются_новые правые ча-
части, а после решения системы уравнений—значения <р и w третьего прибли-
приближения. Процесс повторяется до тех пор, пока значения функций я-го и
(я-И)-го приближений будут отличаться незначительно.
Описанный процесс последовательных приближений без труда может быть
запрограммирован и выполнен на электронно-вычислительной машине.
Решение моментной и безмоментной оболочки в линейной постановке сво-
сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.
Решив систему уравнений, получаем значения <р и w во всех узлах сетки,
по которым определяются силовые факторы и напряжения в любом узле сетки.
§ 7.12. Особенности уравнений совместности деформаций
для контурных точек
Для пологих оболочек при шарнирно-неподвижном и жестком защемлении
уравнения совместности деформаций записываются и для контурных точек.
В эти уравнения войдут значения функций напряжений в первых и вторых
законтурных узлах сетки, которые исключаются по формулам табл. 7.3.
Для точки i, удаленной от угловой и принадлежащей кромке параллельной
оси х (рис. 7.19), уравнение совместности деформаций принимает вид
2 [ 1 + « (За + 4) + а?х D — За?л)] Й — 4а [A + «) + К- A — ^)] (Тл + ?/_) —
_ 4 [1 + а B + fx)] ?m + 2а B + V) (?о + 9г) + а* 0 ~ ^) (?s + ?/) + ?<?и +
У а - - - - - -
+ 2kxwm — —— kxy (w0 + wp — wq — wr) = Rn2 [0,0625 (w0 + wp —
-wq-wrn G.121)
Для точки i, смежной с угловой (рис. 7.20), уравнение совместности дефор-
деформаций приводится к виду: __ _
[2 + а Eа + 8) + ^ (8 — бар-)] Ti — 2a A + Н-) [2 + a A — fx)) cp, —
- 4 [1 + a B + p.)] im - 4a A + fx) [1 + a (i - ^)\^к + 2a B + p.) fr0 + ?r) +
_ /oT _ _ _
+ ?<P« + «2 A - № ?o + 2kxwm - -^- kAy (w0 - wq) =
= Rn* [0,0625 (Wo — ttTjK]. G.122)
107

Аналогичные уравнения получим для точек кромки, параллельной оси у.
Для точки i, удаленной от угловой (рис. 7.21), уравнение совместности де-
деформаций записывается так:
2 [3 + а D + а) + fx Dа — 3fx)]"^ — 4 [A + а) + fx (а - fx)] (ут +~^л) — 4а [ас +
_ __ __ _ 2а _ _
+ B + V)] П + 2а B + fx) (?0 + ?*) + A - Ц1) (?„ + ?v) + 2а2Ъ + — k
wp - wq - wr) =
[0,0625 (
___
wp - wq - wrf]. G.123)
Рис. 7.19.
Уг1
11
Рис. 7.20.
/]7_Jr
Рис. 7.21.
"L.Jr
и
Рис. 7.22.
Для точки i, смежной с угловой (рис. 7.22), уравнение совместности дефор-
деформаций принимает вид:
[5 + 2а D + «) + М- (8а - 5ц)] ъ — 2 A + fx) [2а + A — а)]^ - 4 A + ц) [а +
- 4« [а + B + fx)] ^ -Ь 2а B " ^
[0,0625 (wo - SrJ]. G.124)
Уравнения G.121) — G.124) выведены исходя из нелинейной теории пологих
оболочек.
При расчете оболочек в линейной постановке следует положить правые
части равными нулю.
§ 7.13. Представление внутренних силовых факторов
в конечных разностях
После определения функций прогиба и напряжений в узлах сетки опреде-
определяются внутренние силовые факторы в сечениях пологой оболочки.
Моментная теория. Для точки i (см. рис. 7.18) изгибающие и кру-
крутящие моменты определяются по формулам:
ХУ — ху 10з
где
Ю2
/г2
102«
10?a
[(wn -
102
t - 2w-t + wk)]\
x
n2(l-fx) _ _ _ _
tw + www
G.125)
wm)}; G.126)
G.127)
G.128)
108

Поперечные силы
Or^Or—— ; Qv = Ov— , G.129)
ЧХ чл 1Оз ^y чу 10з
_ „ 1 - - - _ 2(l+«)/_
где Qx = — —r—rzr \wt + — (wp + wr - wQ — w0)
2 . Ю2 Г a v p г ч и/ а
-5*)-iJ; G.130)
- 2 A + a) (wn - wm) - ши]. G.131)
Нормальные и сдвигающие силы
где ^ = -0>12X(l-^)^n_2^.+^m); G.133)
iV, = - 0,12Х A - р2) (Ti - 2т, + п); G.134)
ЛГ,у = О.ОЗХ A - ц») (fo + ^, -^ - fr). G.135)
Нормальные и касательные напряжения определяются по формулам:
«г - - (#х ± 6Л?^) -^р ; G.136)
а, = - (Ny ± 6Му) -^ ; G.137)
= - (W,, ± 6Мху) —^ . G.138)
Безмоментная теория. Нормальные и сдвигающие усилия в безмо-
ментной оболочке определяются по формулам:
= а2д = a?q = a2q
j\j _— дг Z . ft pj 1— • дг ^ дг — rj 139)
где
Nx = — — (cpn — 2yi + 4>m), G.140)
¦^v = ~ —^— (<?l — 2cp? + cpfe); G.141)
Нормальные и сдвигающие напряжения определяются по формулам:
= а2а = а2а = а?а
; ^-^lw- (?Л43)
109

ЛИТЕРАТУРА
1. Власов В. 3. Некоторые задачи сопротивления материалов, строи-
строительной механики и теории упругости. «Известия АН СССР», № 9, ОНТИ, М.,
1950.
2. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.,
Госстройиздат, 1949.
3. Гаранин Л. С. Расчет пологих оболочек. М., Стройиздат, 1964.
4. Дикович В. В. Пологие прямоугольные в плане оболочки вращения.
М., Госстройиздат, 1960.
5. К а л м а н о к А. С. Расчет прямоугольных вспарушенных пластин как
пологих оболочек двоякой кривизны. Сб. «Расчет пространственных конструк-
конструкций». Выпуск IV. М., Госстройиздат, 1958.
6. Колку нов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. М., «Высшая шко-
школа», 1963.
7. Корни шин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих обо-
оболочек и методы их решения. М., «Наука», 1964.
8. Назаров А. А. К теории тонких пологих оболочек. «Прикладная ма-
математика и механика», АН СССР. Т. XIII. Вып. 5, 1949.
9. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек.
Л., Стройиздат, 1966.
10. Н и к и р е е в В. М., Шадурский В. Л. Практические методы расчета
оболочек. М., Стройиздат, 1966.
11. Ржаницын А. Р. Безмоментная теория пологих оболочек. Сб. «Рас-
«Расчет пространственных конструкций». Вып. III, 1955.
12. Ржаницын А. Р. Пологие оболочки и волнистые настилы. М., Гос-
Госстройиздат, 1960.
13. III а и ш im е л а пив и л и В. Н. О некоторых методах расчета пологих
оболочек. Труды Института строительного дела АН Грузинской ССР. Т. XVIII,
№ 2, 1957.
14. Шевченко В. Д. Про р1вняння для розрахунку пологих оболонок.
«Прикладна мехашка». КиТв, Вид-во АН УРСР. Т. VIII. Вип. 4, 1962.
15. Шевченко В. Д. Расчет пологих оболочек. «Строительство и архи-
архитектура», 1962, № 10.
16. Шевченко В. Д. Про вплив деяких геометричних параметр!в на на-
пружено-деформований стан пологих оболонок. «Прикладна мехашка». Т. IX.
Вип. 4, КиГв, Вид-во АН УРСР, 1963.
17. Шевченко В. Д. Нелинейная задача изгиба пологой оболочки. «При-
«Прикладная механика». Т. I. Вып. 2. Изд-во АН УССР, 1965.
18. Шевченко В. Д. Экспериментальное исследование пологих оболочек
двоякой кривизны. Сб. «Строительные конструкции». Вып. 13, Киев, «Буд1вель-
ник», 1969.
19. Шевченко В. Д. Инструкция по проектированию железобетонных
тонкостенных пространственных покрытий и перекрытий. М., Госстройиздат,
1961.
20. Справочник проектировщика (расчетно-теоретический). Под редакцией
проф. А. А. Уманского. М., Госстройиздат, 1960.
21. Березовский Л. Ф. К вопросу о расчете тонкостенных пологих
оболочек. Инженерно-физический журнал. Т. 3, 1960, № 5.
22. Березовский Л. Ф. О граничных условиях при расчете пологих
оболочек методом конечных разностей. Сб. научных трудов Института строи-
строительства и архитектуры АН БССР. Вып. 3, 1960.
Глава VIII. ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫЕ
ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
Пусть Г\ и г2 — главные радиусы кривизны оболочки (рис. 8.1). Обозначим
через р угол долготы и через а — угол между осью вращения и нормалью к
поверхности.
1110

Пусть h — толщина оболочки. Вследствие симметрии вращения возникают
лишь нормальные напряжения о$ в окружном направлении, и напряжения
аа в направлении касательной к меридиану. Координата z отсчитывается по
нормали к срединной поверхности оболочки и считается положительной в на-
направлении внутренней нормали.
Результирующие силы на единицу длины нормальных сечений обозначим
соответственно: усилия — Nai N$ , моменты — Ма, М$, поперечную силу — Va .
Имеем следующие уравнения равновесия:
-?- Wa г«) - ^р ', cos a ~ r« v« + r, rxPy = 0;
dz
sina
(8.1)
da
cos a
— Va r1 ra = 0;
(Га = r2Sin a).
Если обозначить через v — перемещения в направлении возрастающих а
и через w — перемещения в направлении возрастающих г, то в срединной по-
поверхности оболочки (г=0) для компонент деформаций получим
1 dv w v w
е° = 7Г-^-^Г: ee=7Tctga-^r- (82)
Вследствие перемещений v и w угол наклона а касательной к меридиану
изменяется на величину #.
1 / dw \
Ъ = v + . (8.3)
ri \ da I
Для деформаций (ea)z и (е
динной поверхности, получим:
z dv
в точках, лежащих на расстоянии z от сре-
t/ Ctg a.
\**>ж -*^rx da ' yV'2 ~ Р ^ г2
Деформации и напряжения связаны между собой законом Гука
Е
a = \(t ) —f— ijl (zD)^ 1:
(8.4)
(8.5)
Для усилий и моментов получим выражения:
А
2
S (е.
(8.6)
Г* [
= \ op (
J \
l—
111

Eh
где о =
— выражение жесткости при растяжении или сжатии.
м.
= I »i[l--^-
(8.7)
С* (
= Op(l——
— жесткость при изгибе, а ха и к^ — изменения кривизны,
1 d ( v I dw \
rx da \rt г, da ) ' j
(8.8)
1 / v 1
где/)=Т^Г:
соответственно равные:
х 1
f Г2 \ Г» Г, da
или, если использовать (8.3),
ctg a.
(8.9)
<
N,
Z
<
м
Рис. 8.1.
Рис. 8.2.
Деформации еа, е$ и изменения угла # связаны между собой условием
совместности
/ - ^ Id
tga- . — (г2?р ), (8.10)
которое легко проверить непосредственно путем подстановки.
112

Закон Гука (8.5) можно записать так:
1
E
(8.11)
Интегрируя уравнения (8.11), получим соотношения, связывающие дефор-
деформации еа и ?р с усилиями:
(8.12)
Систему уравнений равновесия (8.1) можно свести к совместной системе
двух дифференциальных уравнений второго порядка.
Цилиндрические оболочки обычно применяются для стен силосов и резер-
резервуаров. Горизонтальное давление р, которому подвергаются такие стены, есть
осесимметричной нагрузкой, интенсивность которой может быть постоянной
или являться функцией высоты материала, загруженного в резервуар или
силос. Для выведения уравнения внутренних сил и деформаций в стенке
оболочки необходимо составить уравнения равновесия бесконечно малого эле-
элемента, вырезанного из нее. Этот элемент имеет следующие геометрические
характеристики: rp=oo, ra = const=a; a=90°; r^da=dz\ h — толщина стенки
(рис. 8.2).
dNz
dz
+ pz = 0; Nz = — S pzdz + C;
2у = 0:
Ш = 0:
dVz
dz
+ Py = 0;
dMz
dz
-Vz = 0.
(8.13)
Исключая V2 из приведенных выше уравнений, получим
(РМг
3
Py = 0.
(8.14)
В этом уравнении неизвестные М2 и Np можно выразить через радиальные
перемещения (w) стены оболочки, тогда
?*(--¦
Eh?
12 A — p.3) dz2
= -D
d2w
(8.15)
Получаем дифференциальное уравнение меридионального перемещения ци-
цилиндрической оболочки
D
d?w
Eh
= py + — Nz,
8—28
(8.16)
113

где D=Eh3/\2(\—ft2)—выражает жесткость оболочки при изгибе. Для стенки
с постоянной толщиной дифференциальное уравнение упрощается
d*w 4
- ' ¦ — • (8.17)
dz*
где
3A-1*»)
L =
3A —р.2)
(8.18а)
Nz — — $ pzdz 4- С [уравнение (8.13)].
L называется «характеристической длиной» цилиндрической оболочки.
Ее значение зависит от размеров поперечного сечения и свойств применяемого
материала. Принимая величину коэффициента поперечного расширения 4и=7б
(для железобетона хорошего качества), получим
L =
(8.186)
1.31 I/ -f
Решение неоднородного дифференциального уравнения (8.17) может быть
получено, если выразить радиальное перемещение w стенки оболочки через
частный интеграл неоднородного уравнения для w0 (т. е. прогиба статически
определимой оболочки без учета граничных условий под действием давлений
Р у и Pz) и через w (т. е. через общее решение однородного уравнения для
прогиба стенки, когда она нагружена только лишними неизвестными Хи ..., i,
действующими у границ цилиндра).
Применяя принцип наложения, получим действительные перемещения и
усилия в оболочке:
w = w0 + У]
i
а = а0 4- V
... 4); }
(8.19)
где w0 — прогиб, #о — угловое перемещение; Л^о и V2o — усилия, вызванные
Ру и pz, вычисленные на основании безмоментной теории, a w-lt &/, Npi , V'Z-L и
Mzi вызываются лишними неизвестными Х1=\, полученными из однородного
уравнения с 4 коэффициентами (t = 4), определяемыми граничными условиями
оболочки.
Частные интегралы неоднородных уравнений для наиболее встречающихся
в практике условий нагрузки будут следующими.
•1.14

Собственный вес и дополнительная нагрузка:
Ру = 0; рг = оуд z + -
Давление жидкости:
Давление земли:
= 0; Л^ = р^ ;
Eh
dw0
Eh
7 а2
Ф
45-Т
(8.20)
(8.21)
(8.22)
а2,
где Ф — угол внутреннего трения грунта; ws—добавочная нагрузка (засыпка).
Горизонтальное давление на стенки силоса:
/и
-« г» ;
/и '
0;
/<gr 145--у I и
(8.23)
115

где А— площадь поперечного сечения силоса; и — поверхность соприкоснове-
соприкосновения; f — коэффициент трения между стенкой и хранимым материалом.
Давление ветра. Принимается, что давление ветра на цилиндрические
стены подчиняется следующему закону:
Ру = PwZZn cos лр = pw (— 0,655 + 0,28 cos p + 1Л15 cos 20 +
+ 0,4 cos ЗР — 0, ИЗ cos 4p — 0,027 cos 5C).
Тогда
No* = — apYZ_ cos i
cos /ifr \ (8.24)
Действие температуры и усадки:
= 0, Л^ = 0;
(8.25)
Однородное дифференциальное уравнение, удовлетворяющее граничным
условиям оболочки, имеет вид
—
+ 4ш = 0, (8.26)
где X = hjL — коэффициент, постоянный для данной оболочки; arj =—~. Реше-
п
ние этого уравнения дает:
w = Сх ch Xt] cos Xt] + C2 ch Xy] sin Xy] -f C3 sh Хт] cos Xyj + C4 sh Xyj sin Xyj. (8.27a)
Как правило, в случае Я>7 гиперболическая функция может быть выраже-
выражена показательной функцией, тогда
w = e?~X7J {Ax cos Xtj -f Bx sin Xyj) + ^~Xiri' (A2 cos Xi]' + ^2 sin Xyj');
V = "^^ . (8.276)
В этом случае оболочка рассматривается как бесконечно длинная, поэтому
лишние неизвестные, действующие при г=0(?7 = 0), не оказывают существен-
существенного влияния на величину лишних неизвестных, действующих при z=d(r)'=Q),
и наоборот. Следовательно, коэффициенты дифференциального уравнения А\,
В\ и А2, В2 независимы один от другого и могут быть определены из гранич-
граничных условий оболочки соответственно при г] = 0 и rj" = O.
Однако, если характеристическая длина L велика, а высота d сравнительно
невелика, силы на противоположных краях оболочки влияют одна на другую.
Поэтому обе части уравнения (8.276) должны быть включены в расчет прогиба
w у рассматриваемых границ. В предварительно напряженных конструкциях
величина L обычно мала, поэтому ;Я>7, и расчет сводится либо к первой,
либо ко второй части уравнения (8.276), в зависимости от того, какая граница
1,16

рассматривается. Производные двух частей этого уравнения будут одинако-
одинаковыми (т] — ^) и имеют вид:
dw
d2w
d
t(sin Xyj -f- cos At]) -f Bx (sin \y\ — cos Xtj)];
: 2e~lri (A x sin Xt| — Bx cos Xrj);
= — 2^~X7)[i41 (sin Xtj — cos Xyj) — Bl (sin Xyj + cos Xyj)]
и тогда:
D
L1
Лишние неизвестные (рис. 8.3, а, б):
2л2
LEh
2a2
= 0);
(sin W + cos XV);
2a
= - -y e~^ cos XV;
^ sin X-»]';
(sin Xt]' — cos XV);
Af2l = —
= 0);
2a2
^r 2a
4a2
cos XV;
Mz
T) (cos Xr/ — sin XV);
(sin Xyj' + cos Xyj');
= -~- e'^' sin Xtj'.
(8.28)
(8.29)
(8.30)
117

Лишние неизвестные определяются исходя из условий неразрывности.
Тогда:
&lt522—
(8.31)
ik дано непосредственно в уравнениях (8.29)
2; ^21=^1) и б-10 —в уравнениях (8.20) через
2&)
Относительное перемещение
и (8.30) (du = Wi; di2 = w2\ ^22 =
уравнение (8.25) (<Ую=-2а>0 ; <?20=2&о)-
В случае, если края цилиндрической оболочки упруго соединены с другими
примыкающими частями конструкции (покрытием, дном и т. д.), относительные
перемещения должны быть определены отдельно для каждого края, и в урав-
уравнения (8.31) вводится алгебраическая сумма перемещений с соответствующи-
соответствующими знаками в зависимости от направления (см. рисунки 8.2 и 8.3). Если при-
принять, что есть г границ, монолитно соединенных, то каждое перемещение, на-
написанное для такого края, состоит из соответствующих величин:
г
п.
vUr
1
г
8ю~2Чг =w0. а
1
1, г
и0,г '
и0, г*
(8.32)
Действительные моменты и деформации. В зависимости от нагрузки и гра-
граничных условий цилиндрической оболочки лишние неизвестные определяются
из уравнений (8.31) и (8.32). Коэффициенты (А\ и В\) и величины w, v, Mz,
)Vp, Vz определяются из уравнения (8.28). Действительные деформации и
усилия в стенке могут быть получены из уравнения (8.19). Однако для сокра-
сокращения объема расчетов прогибы (w = wo + w) обычно объединяются одним
уравнением и тогда М2, Np, N2 и Vz выражаются соответственными производ-
производными
Nz = - J Pzdz + С;
Eh
а
L2
(8.33)
d*w
LI 8

Если толщина стенки h неодинакова по высоте и изменяется ли;:г,;йо, ~г.;а-
чину усилий и смещение можно получить методом конечных разностей.
Цилиндрические оболочки и трубы. Цилиндрические оболочки применяются
для устройства перекрытий над залами, аренами, гимнастическими помещения-
помещениями, гаражами, ангарами и промышленными зданиями.
Рис. 8.4.
Рис. 8.3.
Рис. 8.5.
Конструкции этого типа сооружаются одноволновыми или многоволновыми.
Многоволновые оболочки состоят из ряда цилиндрических оболочек сравни-
сравнительно малого радиуса. Одноволновые покрытия обычно имеют большой
радиус и поэтому им должна быть придана достаточная жесткость устрой-
устройством поперечных ребер.
Цилиндрические оболочки опираются на рамы, арки или стены, располо-
расположенные перпендикулярно к продольной оси цилиндрического свода, в то время
как продольные края в пролете (a0 = const) могут не иметь промежуточных
опор либо опираются на продольные балки или стены (рис. 8.4).
В статическом отношении такие пространственные конструкции могут быть
однопролетными или неразрезными.
Площади величиной до 45X100 м можно перекрывать без промежуточных
опор оболочкой толщиной 75 мм и менее.
Как правило, толщина оболочки h принимается постоянной, а нагрузка на
оболочку в продольном направлении — рав«ой нулю (я*г = О). Вертикальная
нагрузка на перекрытие определяется составляющими ру и р2, которые при-
принимаются как непрерывная функция от а. Если в расчете полностью удовле-
удовлетворяются граничные условия оболочки, то нагрузки вызывают в основном нор-
нормальные и касательные усилия: Na (нормальное усилие, действующее на любой
элемент продольного сечения), Nx (нормальное усилие, действующее на любой
элемент поперечного сечения) и Nxa (касательное усилие, действующее на
любой элемент оболочки в той же плоскости, что и Na и Nx ). В таком случае
напряжения изгиба могут рассматриваться как дополнительные. Поэтому для
упрощения расчетов моменты принимаются равными нулю, а нормальные и
касательные усилия определяются с применением уравнения равновесия. Тогда:
119

dNx
дх
dxrda
dadx
-f- pxdxrda — 0;
pydxrda = 0;
Pzdxrda = 0.
Разделив уравнения на rdxd а и интегрируя по х, получим:
(8.34)
da
+ Сг (a);
(8.35)
Значения постоянных интегрирования С\(а) и Сг(а) можно определить из
граничных условий. Рассмотрим, к примеру, оболочку, свободно опертую по
концам. Значение С\(а) можно получить из условия, что при х=0 Afxa=O
(благодаря симметрии). При x=±l Nx=0, отсюда можно вычислить Сг(а).
Следует заметить, что при *=+/ усилие ^хаф0 и должно восприниматься
дополнительными бортовыми элементами, расположенными вдоль этих двух
крайних сечений. В случае, если оболочка работает как консоль, при х=1
(свободный конец консоли) Nx=Nxa=0 и бортовой элемент не требуется. Од-
Однако в точке *=0 (защемленный конец консоли) NX^N и N'хоф 0.
Поскольку усилие Na не выражается дифференциальным уравнением и за-
зависит только от г и местной нагрузки (pz), граничные условия не могут на
него влиять. Перекрытия всегда подвержены в первую очередь вертикальным
нагрузкам (снег, собственный вес). Следовательно, у оболочки, имеющей
вертикальную касательную у продольного края (т. е. при а = 90°), Pz=0 и
таким образом Na=0. В этом случае край оболочки при а=90° подвержен
только действию усилий Nxa, которые должны быть восприняты только про-
продольными бортовыми элементами. Из этого следует, что поперечное сечение
балочной цилиндрической оболочки должно иметь форму кривой с вертикаль-
вертикальной касательной у края. Лучшими формами являются эллипс, окружность и
циклоида. Парабола и цепная линия не подходят для поперечного сечения
такой пространственной конструкции, поскольку при этих формах одновре-
одновременно с увеличением а усилие Na возрастает до таких пределов, что оно одно
может воспринять всю нагрузку (Nx=Nxa = 0, т. е. конструкция работает как
арка). В этом случае невозможно выполнить конструкцию в виде тонкой ци-
цилиндрической оболочки и она должна проектироваться как сравнительно тя-
тяжелая обычная арка.
Для иллюстрации определим усилия в поперечном сечении эллиптической
формы:
2>^sina; р = Шд cos а;
Р = '
У
W j
(a2 sin2 а + Ь2 cos2 аK/2 '
Ъа2Ьг — {a2 sin2 a -h b2 cos2 aJ
аЧ2 (a2 sin2 a + b2 cos2 aI/2
2а2 + (а2 — b2) cos2 a
cos a;
Sin a;
Nn = — a42Wj
120
a2 sin2 a + b2 cos2 a
COS a
~ (a2 sin2 а + b* cos2 аK/2
(8.36)

Распределение внутренних усилий по площади поперечного сечения пока-
показано на рис. 8.5.
Как видно из чертежа, вся конструкция работает как балка («=«о; Wa=0).
Касательные усилия уменьшаются по мере увеличения а в нижней части обо-
оболочки. Ых изменяет знак у бортового элемента («->¦ «о). Это создает весьма
благоприятные условия для работы конструкции, так как в результате такой
перемены знака увеличивается продольное удлинение (es) у края оболочки
(Ле=ет—е§) и снижаются растягивающие напряжения в бортовом элементе.
Это в свою очередь приводит к снижению краевого эффекта в оболочке.
Растягивающие усилия в бортовом элементе определяются интегрировани-
интегрированием усилий Nxa по х. Если продольное сечение оболочки при х—0 симметрично,
растягивающее усилие в бортовом элементе составит
(837)
Используя уравнения равновесия 2 х=0, получим:
T + \ Nxrda « 0;
~2~ '
и
«о = 90°
(8.38)
TZ
откуда
(8.39)
Главным затруднением в конструировании локрытий в виде балочных ци-
цилиндрических оболочек без предварительного напряжения является преодоле-
преодоление различия в удлинении в местах примыкания оболочки и бортового элемен-
элемента (ет). Обычно усилия, возникающие в этом месте, определяются как лишние
неизвестные аналогично тому, как это делалось при расчете цилиндрических
оболочек. Здесь лишние неизвестные уже не постоянны, а являются функцией
от х, выражаемой рядами Фурье. Задача сложная, поскольку в этом случае
напряженное состояние, свойственное мембранам, не сохраняется, и в оболочке
возникают значительные напряжения от изгиба. Причиной этого являются
массивные бортовые элементы, предназначенные для восприятия усилия Nха
у краев оболочки.
При больших пролетах оболочка должна иметь и крайний бортовой элемент.
А это означает, что ру у краев уже не является непрерывной функции
(«о=const). Однако условие непрерывности этой функции является основой
безмоментной теории и поэтому оно необходимо для определения напряженно-
напряженного состояния.
Сферические оболочки. Сферические оболочки часто применяют для по-
покрытий и днищ резервуаров и силосов. Кроме того, они могут иметь значи-
значительные преимущества в конструкциях, требующих перекрытия больших пло-
площадей без промежуточных опор. В таких конструкциях обычно используется
сегмент тонкой сферической оболочки с большим радиусом кривизны. Такие
оболочки можно выполнять пологими.
Отношение высоты к пролету 1 : 8 является обычным и его можно умень-
уменьшить до 1 : 10 без заметного увеличения толщины оболочки. Для вывода урав-
уравнений рассмотрим элемент, вырезанный из сферической оболочки.
А21

Оболочка характеризуется следующими параметрами:
Ra = Rp=R=const; ra =Rsina и толщина A=const (рис. 8.6). Принимая
р v=0, получим из уравнений равновесия следующие выражения:
d (Na sin a)
N(Vp
dot
d(VaSina)
da
+ ("*
+ PyR) sin a = 0;
da
(Af p - Ma ) ctg а - Va R = 0.
(8.40)
Подставляя в третье уравнение значения моментов, а в первое и второе
значения нормальных сил
м>—т
Va = 5 (ea
(8.42)
где
-, a D =
Eh?
и 5 =
da ' ~ ~ 12A—f) f
являются выражениями жесткости при изгибе и при сжатии или растяжении,
соответственно получим:
do.
D
dVn
Ctg о — (ctg2 a
2 a — [
= Eh% —
dpz
da
. (8.43)
Из этих совместных дифференциальных уравнений можно определить неиз-
неизвестные &а и Va . Решение уравнения (8.43) состоит из частного решения, за-
зависящего от нагрузки, и однородных решений, зависящих от лишних неизвест-
неизвестных Xu...,Xi, действующих по краям оболочки и удовлетворяющих гранич-
граничным условиям.
Применив уравнения равновесия, получим частные интегралы для различ-
различных нагрузок, встречающихся в практике.
Действие собственного веса:
р = wд sin a; pz = чюд cos а; рх = 0;
COS a
1 + COS а
A — cos а — cos2 а);
Д
Eh
sin
122
1 + cos а
-?jf- B + fx) sin а.
— cos a
(8.44)

Действие засыпки:
ч#2
R sin'a
— cos3 a
Van = — 2тгга Na0 sin а;
:i —а) — — 6 COS а —
1 — cos3 a 1
sin2 a J '
R2
sin a-
Действие снеговой нагрузки:
л = лс sin a COS a; p =/?oCOS2a;
cos
Eh
Sin a
— cos2a
Eh
C -f p.) sin a cos a.
Действие ветровой нагрузки:
Pz
3sin3a
(8.47)
Рис. 8.6.
sin a cos p; )
B — 3 cos a + cos3 a) cos p;
3sin3a
ари 3sin3a
Влияние температуры и усадки:
Да* »_ = a
B cos a — 3 sin2 a — 2 cos4 a) cos P;
B — 3 cos a -f cos3 a) sin p.
; ft = 0;
(8.45)
(8.46)
(8.48)
(8.49)
123

Однородные уравнения получим из уравнений (8.43), если примем
-^- = - — Va и -^ = Eh? . (8-50)
da? D a da*
Таким образом, исключая либо Va, либо #а, получим
^^ *0, (8.51)
0,
где
4 /
¦= I/
-^--у
является характеристической постоянной сферической оболочки.
Удобнее определить значения деформаций (или усилий) в оболочке, при-
принимая о) = а0—а и dй) = —da и изменяя этим координаты начала отсчета углов
поворота. При этом изменении решение дифференциальных уравнений будет
таково:
\ e~Loi (A j cos La) + Вх sin Lu>)\
В2 sin La>).
(8.52)
Подставляя во второе уравнение С cos ip вместо коэффициента А2 и С sin тр
вместо Б2, получим
(8.53)
Тогда другие функции, выраженные через Va, будут:
sin
-f
2L2
(8.54)
Коэффициенты Си ^ могут быть определены из граничных условий обо-
оболочки. Перемещения в направлении Х\ или Х2 для удобства принимаются по-
положительными.
424

Лишние неизвестные
*I-i; <« = «0; *> = <>; 7a0 = -sin«; маО = оуу
Nal = j/2"sin aoe-Lai cos (Io) + -j- j ctg a;
iVpi = 2LX sin ao^~La) cos Ia>;
—— sin aQ^—^^sin La>;
VeI - - V2 sin aoe-2-™ cos (Ы + -j-j ;
al
/2 /"
?д — sin aoe-Lai sin f U + -^-) ;
s'm2aoe"Lai coslo.
Eh
i = l; (« = «o; ^ao = O; Afa0 = -l);
)ctga;
a2 2?3D
ERh
в~ы sin (
^2I2D
Afa2 = - V2e~L(O sin [ La> -j-
V2I2Z)
ID
^~La) sin a cos I U
(8.55)
(8.56)
Относительные перемещения д^ и d/o долж«ы суммироваться, как это дано
\в выражении (8.32), а лишние неизвестные определяются из уравнений (8.31).
Величины действительных деформаций получают методом наложения [уравне-
[уравнения (8.19)] или непосредственным вычислением значений w, # и V.
Безмоментная теория основана на допущении, что вдоль края оболочки
возникает равномерная, статически определимая опорная реакция, направлен-
направленная по касательной к меридиану оболочки у ее края. Это условие без устрой-
устройства опорного кольца выполнимо лишь в том случае, если касательная к ме-
меридиану оболочки вертикальна. В тех случаях, когда касательная неверти-
невертикальна, необходимо устраивать опорное кольцо, воспринимающее горизонталь-
горизонтальную составляющую нормального усилия Na у края. Величина горизонтального
усилия оболочки (распора) будет
"rt-AUcose,. (8.57)
125

Этот распор вызывает в опорном кольце растягивающее усилие
Т = — HaQR sin <z0. (8.58)
Поскольку опорное кольцо «подвержено деформациям, оболочка уже не бу-
будет статически определимой и смещение ее края нужно рассчитывать как для
статически неопределимой системы. Тогда
АЛ., о ; 1
(8.59)
Эти перемещения [уравнения (8.59)] должны быть введены в уравнения
(8.32) для определения лишних неизвестных и действительных деформаций.
Краевой эффект, вызываемый взаимодействием между оболочкой и опорным
кольцом, приблизительно будет равен нулю при Ле = 0, где
1
iVaOsin a0
R sin аог2 + NaQHaQ cos «0
Ы
Eh
(8.60)
Здесь Ь — ширина опорного кольца и / — его высота. Это выражение пред-
представляет собой разность между удлинением края оболочки е^ и удлинением
опорного кольца ет . Краевой эффект будет наибольшим при максимальной
разности. Кольцевые усилия N^ изменяются вдоль меридиана оболочки. Они
достигают максимума у вершины (сжатие) и прогрессивно убывают к нулевой
точке, определяемой углом «* (для собственного
веса а* = 5Г50'; для полезной нагрузки я*=45°).
Ниже этого угла «* силы Np увеличиваются к
краю и становятся растягивающими (рис. 8.7).
В этом случае край оболочки удлиняется и поло-
положение опорного кольца должно быть выбрано так,
чтобы удовлетворить условию As=0; на практике,
однако, наклон оболочки диктуется часто архитек-
архитектурными соображениями и этим определяется по-
положение опорного кольца. В таком случае ет мо-
может оказаться во много раз большим, чем ер »
вызывая в результате появление значительных
напряжений от изгиба в нижних частях обо-
оболочки.
В случае, если сферическая оболочка постоян-
постоянной толщины неприменима для решения данной
задачи, следует использовать оболочку переменной
толщины. Для того чтобы избежать сложных рас-
расчетов, напряжения и деформации в такой оболочке
могут быть получены путем приближений. Наибо-
Наиболее простым методом является замена (при расче-
расчете) сферической оболочки переменной толщины,
а, йф const, оболочкой постоянной толщины с Ra,
Рис. 8.7.
характеризующейся Ra, p
/?р, «, ho = const.
Обе оболочки должны иметь геометрическое сходство. Если сечение обо-
оболочки переменной толщины выбрано так, что его можно представить аналогич-
аналогичной сферической оболочкой постоянной толщины, то напряжения в оболочке
переменной толщины будут вызываться главным образом осевыми силами
(Naf N$). Геометрическое сходство между оболочками переменной и постоян-
постоянной толщины легче всего установить, если оболочка переменной толщины имеет
эллиптическое меридиональное сечение. Для примера примем, что выбранная
126

оболочка имеет эллиптическое меридиональное сечение с высотой подъема у
вершины d = eraQ. Тогда * ^—
dx = dx\ dy = dy /cos2 a + ?2 sin2 a ;
dx; dy = dA /cos2 a + ?2 sin'2 a .
(8.61)
ЕСЛИ
Отсюда:
TO
dy
dy и Wa dx sin a = Na dx sin a.
1
/cos2 a -K2Sin2a '
/cos2 a + ?2Sin2a
- ;
(8.62)
/cos2 a + ?2 sin2 a
Толщина оболочки переменной толщины равна у вершины толщине анало-
аналогичной ей сферической оболочки (при «=0, d=h0) и увеличивается к краям.
Применяя этот метод аналогии, можно получить решение почти для любой
оболочки вращения переменной толщины.
Примеры расчетов. Резервуар для воды с купольным покрытием. Ниже дан
расчет напряжений в предварительно напряженном резервуаре. В этом приме-
примере рассматривается только действие собственного веса и давления воды (дей-
(действия температуры и усадки могут быть определены тем же способом).
Сферическая оболочка покрытия. Усилия и деформации, вызываемые соб-
собственным весом, определяются по безмоментной теории по формуле (8.44).
При этом
г = о, = 13 7 м' R = R = 27 4 м' ос = 30°*
Eh
h = 9 см;
2,44 • 10~2
1
= 244
: 3,56 • 106 кгс/см; <х =
2740 • 2,44 • 10~2
кг/см1;
Т = 0,167.
COS a0
Ю2 = - 3590 kzc\m;
2740
1 + cos a0
2,44- 10~2
1+0,866
1 +0,866
A — coso0 — cos2ao) = —
0,616 • 102 = — 2210 кгс\м;
27402-2,44
Ed0
ю-2
Sin a0
3,56 • 106
0,5
1
1 + cosa0
0,167
¦ — COS«0 =
1 +0,866
-0,865 = — 0,623. 10~2;
U27

27'40 • 2,44 • 10~2
B + 0,167H,5 =
IIP
о,ob • IIP
= -2,04- 10~5;
H = Na0cosct0 = —3590 • 0,866 = —3120 кг\м.
Поскольку покрытие жестко соединено с резервуаром, граничные условия не
удовлетворяются.
Поэтому усилия, действующие на граничных участках, должны быть опре-
определены по уравнениям (8.54) и (8.55).
х\-\.
Граничные условия: Afa01 = 0; l/a01 = — sin a0; ф = — ; С = — К 2 sin a0;
—
9740
f 9740
И 3A-^) = J/ —— /3A -0,167») =22,7-
— 2L 2 22 72
? п1 = S9I = — — sin <x0 = — 0,5 == — 0,145 • 10 ;
a01 \\ Eh ° 3,56 • 106
n REh
Граничные условия: Л4а02 — — 1"» ^ao2 = 0; ф == - ; С = ——— ;
Ehz 3,95 • 105 • 93
12A -^2)
R
LF "
12A
22,7 •
, = bn =
— o,
2740
2,47
-o,
1672)
. 107 -
145 • 10~5
,-5.
-0,488- 10
Силы и деформации, вызванные нагрузкой о>д, рассчитаны выше в соот-
соответствии с безмоментной теорией. При этом все расчеты основывались на за-
заранее принятом условии, что оболочка поддерживается по краям реакцией,
касательной в любой точке края к меридианной линии оболочки. Однако, по-
поскольку купол в данном случае поддерживается не абсолютно неподвижной
опорой, а вертикальным цилиндром, верх которого может деформироваться
под действием горизонтальной составляющей Я, следует учитывать деформа-
деформации края оболочки, вызванные силой Я=Ла0 cos a0. Эти деформации опреде-
определяются из условий:
Х\=—Н и Х2=0 [уравнение (8.59)]. Отсюда
Дгаон e ^~io = — Я5Х1 -3120 • 10 • 0,875 . 10 = 27,3 • 10~2 см\
*аОн = *2о=-#&21 =3120- 10~2 (-0,145- 10) = —450- 10 .
1128

Цилиндрическая оболочка (стенка резервуара).
а = 13,7 м = 1370 см; а0 = 90°; R^ = оо; Ra = а = const;
h = 23 см; Eh = 9,1 • 106
д 1370
= 135
915
Силы и деформации, вызываемые собственным весом, весом засыпки и дав-
давлением воды, определяются по формуле (8.20). Подставляя 7] h вместо г и Н
вместо h, получим
- V) = сх - а>ди A - V);
d = — 3520 . 0,5 = — 1795 кг)м\
- aNp0 = ^a [С, - соди (I _ ,,')] - [
-7(oa = 0,167 .548 . 10~4 + 10~3 • 1370= 1,379;
Eh% = 7@ a? + р.ао)д = C3 = 10 . 1 ,.875 • 106 +
+ 0,167 • 1370 • 548 • 10~4 = 1887,5.
Нижний край. rjr=0 (т. е. z'=0). Граничные условия будут следующими:
о) = 0 и и = 0. Тогда, в соответствии с уравнениями (8.29) — (8.31), перемещения
и лишние, неизвестные усилия составят:
2а2 2а2
Ьп = * * •
022 =
LEh ' 1J 2l
4а2 — a (C2Lk — ,
^
X, = ~~ \2aC2l -O6-2^-c\ = 144 кг/см;
I? I aa \
aC2X - C3 - ~— Cx = 9070
L J
2а2
Верхний край. ^ = 0 (т. е. z=0 или r]'=\; zr = d).
Переменив знаки в уравнениях (8.29) и (8.30) и применив эти уравнения
для расчета верхнего слоя оболочки, получим следующие значения относитель-
относительных перемещений у верхнего края, вызванных действующими вверху лишними
неизвестными усилиями:
2а"- 2-13702 _2>
— = 0,305 • 10
LEh 135- 9,1 • lue
9—28 129

2я2 2 • 13702
_J^ = _jLi3701_
22 D>Eh 1353.9,ЫО6
Относительное перемещение верхнего края в точке примыкания перекрытия,
вызванное только давлением воды, составит:
— С167 ¦ "~~-^ = - 4.5 .10-' ;
Перемещения, вызываемые усадкой и изменением температуры, онреде-
ляются таким же способом [см. уравнение (8.25)].
Относительные перемещения, необходимые для определения лишних неиз-
неизвестных, получаются путем сложения величин отдельных перемещений [урав-
[уравнение (8.32)]:
вп = 2 Ьи.г =@,875 + 0,305). 10~2 = 1,18 • 10~2 :
1
*22 = 2 522, г = (О'48 ' 0,0335) • 10~5 = 0,521 • 10~5 ;
1
*i2 = 2 ^i2,r = (— 0,145 + 0,0226) • 10~3 =—0,1224- 10~3 ;
1
5t0 = 2 Ью г = (-0,623 — 4,5 + 27,3) • 10~2 =22,18 . 10~2 ;
»4 — 45°) ' 10~5 = — 431,6 • 10~s.
Лишние неизвестные, определяемые по формуле (8.31), составят
Хх = 1350 кг\м\
Х2 = — 530 кгм/м.
Деформации, моменты и нормальные силы, вызванные давлением воды
в нижней части цилиндрической оболочки (при условии неподвижного закреп-
закрепления стенки к бесконечно жесткой плите днища), определяются методом на-
наложения [уравнение (8.19)]:
о, = — 0,19 [1 — 1)' — e-x^ A,24 cos Ь]' + 1,08 sin Xi]')];
Mz = — 8,54[^-х^' A,24 XV — 1,08 cos Ц')];
#р = 1265 [1—V—e~XV A,24 cosXV +1,08 sin XV)].
В случае шарнирного соединения стенки с днищем М 2 = Х2=0, а X опреде-
определяют, как это делалось выше, из уравнения (8.31). Тогда
) 130

Пренебрегая величиной \i C\ и принимая С2 = усоа при ^ = 0, получим
L 313 5
Хх = 1ш — L\ = 10 j 915 = G1,3 кг/см.
Перемещения, моменты и нормальные силы выразим при помощи формул
(8.19):
W = — 0,19 A — 7i' — e~W • 0,98 cos Xtj');
iVp - 1265 A — V — e~M' ' °»98 cos ^T)-
Перемещения, моменты и нормальные силы в сферической оболочке покры-
покрытия и в верхней части цилиндрической оболочки, вызванные собственным весом
н давлением воды, определяются методом наложения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложения в технике.
М.—Л., Гостехиздат, 1949.
2. Геккелер И. В. Статика упругого тела. М.—Л., Гостехиздат, 1934.
3. Л у р ь е А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М., Гостехиздат,
1947.
4. Тимошенко С. П., Войновски й-К р и г е р С. Пластинки и обо-
оболочки. М., Физматгиз, 1963.
5. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М., Госстройиздат, 1961.
Глава IX. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Устойчивость пластин. Нагрузка, приложенная к срединной плоскости пла-
пластины, при которой последняя теряег свою устойчивую плоскую форму и вы-
выгибается даже при отсутствии поперечной нагрузки, т. е. подвергается продоль-
продольному изгибу, называется критической.
Как и в случае стержней, при определении критических нагрузок на пла-
пластину исследуют формы равновесия, бесконечно близкие к начальному со-
состоянию.
Пусть пластина находится под действием внешней нагрузки, вызывающей
в пластине лишь усилия Nx, Ny, Nxy, лежащие в ее плоскости, т. е. пластина
находится под действием сил, не вызывающих ее изгиба (безмоментное состоя-
состояние). Пока интенсивность внешней нагрузки не превосходит некоторого пре-
предельного значения, равновесие пластины описывается уравнениями безмомент-
ной теории (т. е. изгиб пластины отсутствует). С увеличением внешней на-
нагрузки внутренние силы N х, Ny, Nxy возрастают, напряженное состояние пла-
пластины меняется. Существует такое значение внешней нагрузки, при котором
равновесие тонкой упругой пластины становится неустойчивым.
Явление перехода пластины из одного состояния плоского равновесия в
другое (когда появляется изгиб), отличающееся по напряжениям и деформа-
деформациям от первого сколь угодно мало, называется потерей устойчивости.
Формулами
d2w d2w d^w
(9л)
деформации изгиба и кручения пластины выражаются через прогибы w(x, у),
возникающие при потере устойчивости.
9* 131

Формулами
Mx = -D (жх + |i*y); |
(9.2)
Mxy = D{\ -н-)х^„
вместе с формулами (9.1), через функцию прогиба определяются моменты
изгибающие и крутящие, относящиеся к состоянию равновесия пластины, при
котором происходит потеря устойчивости.
Уравнение устойчивости имеет вид
D^tf-w = Nxxx -f Nyy.y + 2Nxyxxy (9.3)
или, если предположить, что
Nx = axh\ Ny = ayh- Nxy = тЛ;
D d°-w d2w d2w
h дх2 дхду у ду2
Входящие в уравнение (9.3) нормальные усилия Nx, Ny (положительные —
сжимающие) и сдвигающие Nxy определяются с точностью до параметра,
представляющего интенсивность внешней нагрузки. Наименьшее значение этого
параметра, характеризующего внешнюю критическую нагрузку, находится из
условия существования нетривиальных (отличных от нуля) решений однород-
однородной краевой задачи, описываемой однородным уравнением (9.3) при соответ-
соответствующих однородных граничных условиях. Такое решение в замкнутой фо,рме
получить достаточно трудно, поэтому при решении задач устойчивости пла-
пластин используют два основных метода: статический и энергетический.
Статический метод заключается в определении величины критической на-
нагрузки путем нахождения собственных чисел дифференциального уравнения
устойчивости, т. е. таких значений коэффициентов этого уравнения, для кото-
которых оно может иметь отличное от нуля решение.
Так для прямоугольной, свободно опертой по всему контуру пластины,
сжатой усилиями Л^- и Ny, имеем уравнение устойчивости
d2w d2w
DA% + iV,—_ + *,__ _0. (9.5)
Граничные условия (рис. 9.1)
d2w
w = =- 0 при х — 0; х = Ь\
ду2
d2w
w = = 0 при у = 0; у = а. (9.6)
дх2
Решение уравнения устойчивости, удовлетворяющее граничным условиям (9.G),
принимаем в виде
ткх ппу
w = / sin —— sin — , (9.7)
а о
где т, п число полуволн в направлении осей х и у. После подстановки реше-
решения (9.1) в уравнение (9.5) получим
132

В случае Ny=0 имеем пластину равномерно сжатую в одном направлении.
Для нахождения минимального значения критической нагрузки здесь следует
принять п=\, что дает
Число т должео быть принятым
V\
(9.9)
(9.10)
или ближайшему числу, большему т.
Здесь т — число полуволн в направлении стороны а, по которым происхо-
происходит потеря устойчивости пластины. Например, для квадратной пластины
а /5-1
у = —— = 1 и т — —-—= 0,62. Поэтому здесь принимается /и=1, что дает
критическое значение усилия Nx.
(9.11)
В случае NX=?Q, Ny ф 0 решение уравнения (9.8) представляется в виде
Dm3,-2
1 +¦
и находится сравнением результатов под-
подстановки различных значений тип. Так,
в случае Nx=Ny цля квадратной пластины
при т—\ и п=1, имеем
Случай защемленных продольных краев.
Рассмотрим случай, когда нагруженные
кромки пластины закреплены шарнирно, а
ненагруженные жестко защемлены (см. рис.
9.1). Расположим оси координат как пока-
показано на рисунке;
интеграл уравнения
D - -,-^ = 0 (9.13)
мт
Рис. 9.1.
подставим в виде
w = У (у) sin
а
(9.14)
где У(у)—искомая функция, зависящая от у. Очевидно выражение (9.14)
удовлетворяет граничным условиям для краев л;=0, х = а. Подставляя (9.14)
в уравнение (9.13), получим
мг / гп'к \ м / fflK \ G v-h I / ТПТ1 \
yiv _2( ) у» +|(__] --^—I (—-] Г-0. (9.15)
- D \[ а
133

Введем обозначение
• = X
(9.16)
и составим характеристические уравнения
/ 12 _ _С-А. I
= О,
где h — толщина пластины.
Корни уравнения будут
*u =
а интеграл уравнения (9.15)
У (у) = Cj ch ay + с2 sh аУ + съ cos ?У + C4 sin P.V-
Граничные условия имеют вид
У = 0; Г' = 0 при у = 0; у = 6.
Пользуясь этими условиями, находим:
сх + сг = 0; ас2 + ?с4 = 0;
/ а \
сх (ch 76 — cos Э'О + fo sh а^> — — sin p^ = 0;
\ Р /
q (sh аб И- —- sin ^) + с2 (ch а^> — cos Щ = 0.
=fc (9-17)
(9.18)
(9.19)
(9.20)
Система уравнений (9.20) имеет решения, отличные от нуля, при условии
sh ab — — sin
sh ab -f sin r$b ch a6 — cos $b
a
отсюда получим
(ch ab — cos 86J ~(sha^+ — sin Э*) ( sh ab - — sin
Из (9.17) имеем
C2 = 2X
(9.21)
0. (9.22)
(9.23)
Пользуясь уравнениями (9.22) и (9.23), определяем критическое напряжение.
Задача упрощается, если учесть симметрию упругой поверхности пластины
относительно оси #, которая делит стороны у = 0 и b пополам. В одном случае
определитель системы дает
-?th? = 7]tg7], (9.24)
где
ab
134

Уравнения (9.23) принимают вид:
= D
а
mb
mbn
а
(9.25)
(9.26)
Определяем величины f и г\ из уравнений (9.24) и (9.26) и по (9.25) находим
критические значения ох или усилие Nх . Аналогично можно получить и другие
случаи расчета пластин на устойчивость.
Ниже приводим некоторые результаты:
а) стороны лс=О и х=а защемлены, края у=0 и у=Ь свободно оперты,
сжимающие усилия приложены к свободно опертым сторонам. Критическая
нагрузка определяется по формуле
где коэффициенты принимаются по таблице:
Ь/а
k
0,4
9,44
0,5
7,69
0.6
7,05
0.7
7,00
0,8
7,29
0,9
7,83
1,0
7,69
Приложение метода конечных разностей для решения задач устойчивости
пластин. Рассмотрим квадратную пластину со стороной а, опертую по двум
а
противоположным сторонам x=db~. На пластину действуют (в ее плоскости)
сжимающие силы, перпендикулярно к опертым сторонам. Силы эти равномер-
равномерно распределены. Начало координат поме-
поместим в центре пластины (рис. 9.2), ось х
направим параллельно защемленным краям,
а ось у— параллельно опертым. Уравнение
устойчивости имеет вид
My d2w
V V^ + —z ——^ = 0.
D
дх2
Так как пластина оперта по двум противо-
противоположным сторонам, то естественно искать
прогиб в виде
Л/ ^
У
а/2
\\w\\\
а/2
\\w\\\
а/2
а/2
\\\
* N
" X
w(x, у)= У (у) cos
(9.27)
Рис. 9.2.
Функция (9.27) удовлетворяет граничным условиям на опертых сторонах
а
w
дх2
0.
(9.28)
165

Подставляя функцию (9.27) в уравнение устойчивости (9.26), придем к обык-
обыкновенному дифференциальному уравнению относительно Y:
Nx rc2
D ' a*
(9.29)
Граничные условия на защемленных краях, если подставить в них функцию
(9.27), дают
Y = 0; Г1 = 0 при у = ±
(9.30)
Приведем уравнение к безразмерной форме, для чего положим y = atj.
Тогда имеем
d2Y+i^-^-1^-) У=0; (9.31)
drt
dr?
D
(9.32)
Выражая входящие в уравнение (9.31) производные от У через централь-
центральные разности (рис. 9.3, а)
Ут Ут+t Ут*2
Ут-2 Ут-1
Уз;
Ут-г
\Ут-1
Ути
5
У, У/
Уз-0
Рис. 9.3.
ут .— 2Г
т —I m
dr? (At]J
получим следующее конечно-разностное уравнение, если ввести обозначения
bi[ = — ; Ьп = -^- ; (9.33)
136

n- n* n* ' т
Г7*
Ym —
, „.-. • ^-2=0. (9.34)
Граничные условия (9.32) можно записать
у = 0; У., . = Г при т] = ± — . (9.35)
Предположим, что /г = 2 (рис. 9.3,6), а Л?7= ~Т" - Тогда из (9.34) имеем
Отсюда находим
Если п = 3 (рис. 9.3, в), то из уравнения (9.34) имеем
откуда
^з = 5,318я2(? =31
Поступая аналогично, получим для л = 4
Однако, продолжая данную процедуру, можно получить и более высокое
приближение к точному значению, а именно: k = 7,69 л:2.
Энергетический метод основан на использовании такого положения, когда
моменту перехода из устойчивой формы равновесия в неустойчивую соответ-
соответствует условие равенства работ внешних и внутренних сил на возможных пе-
перемещениях. Пусть возможное перемещение задано некоторой упругой поверх-
поверхностью плиты, описываемой функцией прогиба w(xy у). Тогда работа V внут-
внутренних сил определяется как потенциальная энергия изгиба пластины по фор-
формуле
а Ь
\2
V = —¦
2 J J IV дх2
0 О
(9-36)
Работа внешних сил на перемещении, вызванном сближением концов пла-
пластины, находится по формуле
ду
dw dw
dxdy. (9.37)
ду
.137

Из условия V = R находим
d2w \ Г d2w
дх* ' ду*
2 / л— \2
+
dw dw
дх ду
¦])
+ 2Nxy —г- • -^— | \ dxdy = 0. (9.38)
Действительная форма упругой поверхности пластины должна удовлетво-
удовлетворять условию минимума потенциальной энергии всей упругой системы, т. е.
выражения, стоящего в (9.38) под знаком двойного интеграла.
Принимаем уравнения упругой поверхности в виде двойного ряда
»- f f cmnXmYn, (9.39)
/71 = 1 Л=1
где стп — подлежащие определению коэффициенты, или же в виде простого
ряда по системе функций Хт или Yn:
»= 2 *п w y"- w = 2 /»мx*» <9-4°)
/i-l m = l
где /л (jc) и /m(i/) —подлежащие определению функции.
В этом случае можно найти величину критической нагрузки из уравнения
Практический интерес представляет только наименьшая величина крити-
критической нагрузки, соответствующая наименьшему собственному числу диффе-
дифференциального уравнения (9.3). Поэтому в большинстве случаев можно огра-
ограничиться удержанием в ряде (9.39) одного первого члена. Однако это возмож-
возможно лишь в том случае, когда этот член удовлетворяет граничным условиям
задачи и достаточно хорошо аппроксимирует возможную форму искривления
пластины. Если эти условия не соблюдены и, в частности, если возможная фор-
форма потери устойчивости пластины по нескольким полуволнам, такое решение
может привести к ошибке.
Пример 1. Для решения задачи устойчивости пластины в случае шарнир-
шарнирного опирания нагруженных краев и защемленных ненагруженных (предыду-
(предыдущая задача) применим метод Ритца. Граничные условия задачи удовлетворя-
удовлетворяются, если выбрать выражение для прогиба в виде
тпх пу
w = f sin sin2 —7— . (9.42)
a b
Составим выражение для потенциальной энергии изгиба по формуле (9.36):
V = —-— D/2 ( + т + —^-1 . (9.43)
Работу внешних сил определим по (9.37):
а ь
дх
о о
13а

или
я h
(9.44)
Из
V=R имеем
R
Nx =
пЮ
b2
3
64
/
[
1
X2
ЛРтЬ
8
ь з н
b
а
16
3
где Я = —- . Если считать a>b, то минимальное значение найдем из условия
то
= О, что дает
I2 = — , I = 0,658 и акр = 7,3 —-— . (9.45)
Пример 2. Требуется определить величину критической нагрузки для все-
всесторонне сжатой, защемленной по всему контуру прямоугольной пластины,
мало отличающейся от квадратной. Примем выражение для прогиба в виде
первого члена разложения в ряд по косинус-биномам:
/ 2ях \ / 2/ry \
w = сп 1 — cos 1 — cos . (9.46)
йто уравнение удовлетворяет граничным условиям и хорошо аппроксими-
аппроксимирует возможную форму потери устойчивости пластины. После подстановки
этого выражения в выражение (9.36) и (9.37) находим
Отсюда имеем
_j \ I* v м- и i
Для равномерно сжатой в обоих направлениях квадратной, защемленной
по контуру пластины, получаем
N*X=N*V = 5,33-^— . (9.47)
ЛИТЕРАТУРА
1. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее применение в технике.
М,—Л., Гостехиздат, 1949.
2. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М.—Л., Гостехиз-
Гостехиздат, 1946.
3. Тимошенко С. П., В о й н о в с к и й-К р и г е р С. Пластинки и обо-
оболочки. М., Физматгиз, 1963.
139

Глава X. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК
§ 10.1. Постановка задачи
Полагаем, что толщина пластинки не превосходит Vs—Vio наименьшего
размера в плане, а амплитуды прогибов малы в сравнении с толщиной. Коле-
Колебания таких пластинок являются линейными. Вывод дифференциального урав-
уравнения этих колебаний, а также граничных условий основан на гипотезах
Кирхгоффа, принятых в приближенной теории изгиба пластинок.
Пластинка — система с бесконечным числом степеней свободы—имеет спектр
с неограниченным числом частот собственных колебаний. Однако в реальных
конструкциях, в частности строительных, из-за воздействия сил сопротивле-
сопротивления в большинстве случаев обнаруживается только несколько самых низких
частот спектра. Отметим, что для низких частот теория колебаний, основанная
на гипотезах Кирхгоффа, дает достаточную точность. Уточнения теории, учи-
учитывающие эффект инерции вращения и деформацию сдвига, как показано
в [14] и др. работах, существенны для частот достаточно высокой части спектра,
когда отношение толщины пластинки к наименьшей длине волны деформации
h/L < Vio.
Дифференциальное уравнение собственных поперечных колебаний пластин-
пластинки выводится из уравнений движения ее единичного элемента.
В простейшем случае однородной изотропной пластинки постоянной толщи-
толщины уравнения движения для прямоугольной системы координат имеют вид
dQx dQv
4= oh
4
дх ^ ду
дМх <
дх ду
(ЮЛ)
ду ' дх ху>
где Мх, My — изгибающие моменты; Мху — крутящий момент; Qx, Qy-- по-
поперечные силы; р—плотность материала; h — толщина пластинки; W =
= W(x, у, t) — амплитуда прогиба.
Учитывая в A0.1) выражения для моментов Мх, Му, Мху, которые не от-
отличаются от принятых в приближенной теории изгиба пластинок, получаем
уравнение собственных колебаний рассматриваемой пластинки
дхЮу*
Решение уравнения A0.2) принимается в виде
W = (Л cos Ы + В sin о^) w (x, у). A0.3)
С учетом A0.3) получаем уравнение
d^w d*w d*w
-f — $2w = 0 (Ю.4)
^w = 0t A0.5)
где
P3--^- -2- (Ю.6)
140

В (Ю.4) — A0.6) fi2 — собственное значение дифференциального уравнения;
со — круговая частота собственных колебаний; D — цилиндрическая жесткость.
Для более сложных случаев (анизотропные, ортотропные пластинки, пла-
пластинки непрямоугольного очертания и т. д.) уравнение собственных колебаний
сокращенно представим в общем виде
L (w)~ $2w = 0, A0.7)
где L(w)—соответствующий линейный дифференциальный оператор в част-
частных производных для выбранной системы координат.
Таким образам, задача определения частот собственных поперечных колеба-
колебаний пластинки состоит в нахождении собственных значений р2 линейного
обыкновенного дифференциального уравнения в частных производных A0.7).
При этом должны удовлетворяться гоаничные условия, которые не отличаются
от условий, принятых в приближенной теории изгиба пластинок.
§ 10.2. Основные методы решения задачи
о собственных колебаниях пластинок
Известно, что исследованию точными методами поддаются очень немногие
наиболее элементарные случаи. Поэтому для решения рассматриваемой задачи
широкое развитие получил целый ряд приближенных аналитических методов,
особенно вариационных. Из численных методов к задаче о собственных коле-
колебаниях пластинок получил применение метод конечных разностей.
1. Точный метод. Точное решение задачи о собственных значениях уравне-
уравнения A0.4) или A0.7) при заданных граничных условиях, т. е. решение в зам-
замкнутом виде при помощи табулированных функций, найдено для очень немно-
немногих случаев.
Известно классическое решение этой задачи для прямоугольной изотропной
пластинки, свободно опертой по контуру.
Точное решение имеют также задачи о колебаниях прямоугольных орто-
тропных и изотропных пластинок, две противоположные стороны которых
оперты, а две другие — закреплены произвольно [35], [38], равносторонних
треугольной и шестиугольной изотропных пластинок, шармирно опертых по
контуру [23], и некоторых других.
2. Вариационные методы. В основу вариационных методов положен прин-
принцип Релея, согласно которому собственные значения уравнения A0.4) или
A0.7) определяются по формуле
JJ w-JL (wt) ds
R К) = {s) > f. . A0.8)
)) w]ds
(s)
Здесь wi — любая допустимая функция для данной задачи, т. е. функции
четыре раза непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая граничным
условиям; s—область, ограниченная контуром пластинки.
При i= 1 и условии
JJ wxds > 0 A0.0)
(s)
/32\ является наименьшим собственным значением, a W\ — соответствующая
ему собственная функция. Если ввести дополнительное условие
ff wxwods = 0 A0.10)
is)
— условие ортогональности некоторой допустимой функции w2 к функции wu
то формула A0.8) будет определять следующее по величине собственное зна-
значение /52 > $\ , a w2 будет соответствующей ему собственной функцией.
141

В общем случае, если известны i—1 низших собственных значений
Р^ < ^2^ • • -^/—l и соответствующая им ортогональная система функций
wu w2,.. .^i-i , то формула A0.8) будет определять высшее собственное зна-
значение, если W[—допустимые функции, для которых выполняется условие об-
обобщенной ортогональности к низшим собственным функциям wj
= 0 (/ — 1,2 / — 1). A0.11)
Формула A0.8) может быть записана в энергетической форме:
где П и Т — потенциальная и кинетическая энергия деформации пластинки.
Для Wi сохраняется условие A0.11).
Для вычисления экстремумов A0.8) и A0.12) широко используется метод,
разработанный Ритцем, который совместно с принципом Релея образует ме-
метод Релея—Ритца.
Для решения этим методом необходимо задать форму колебаний
ш = 2л^ (/=1,2,3,. . . ). A0.13)
i
где wi—допустимые функции задачи. Произвольные постоянные А-ь должны
обеспечивать получение минимального значения /^ , определяемого по форму-
формулам A0.8), A0.12).
Условие минимума
(,0.14)
приводит к системе уравнений. Система A0.14) будет иметь «ненулевое»
(нетривиальное) решение при условии, что ее определитель равен нулю. Ра-
Равенство определителя нулю дает частотное уравнение.
На принципе Релея основывается также вычислительный метод Бубнова—
Галеркина. Форма колебаний задается в виде ряда A0.13), а для определения
произвольных постоянных служит условие
Jf [Liwu—tiwiiWids =0. A0.15)
(S)
Условие нетривиальности системы A0.15) приводит к частотному уравне-
уравнению.
Методы, основанные на принципе Релея, обладают большой универсаль-
универсальностью. Ими решено большинство практически важных задач [?6, 27, 30, 36»
37, 43, 45, 46] и др.
Отметим, что эти методы дают верхние оценки частот собственных колеба-
колебаний. С повышением номера частоты точность результатов падает.
3. Другие аналитические методы. Отметим основные аналитические методы,
применяемые для решения рассматриваемой задачи.
Метод рядов использован для исследования колебаний прямоугольных пла-
'стинок в работах [39, 42, 25]. Для трапецоидальных и параллелограммных пла-
пластинок удобно применение метода возмущений (малого параметра) [28] и
метода начальных функций [7]. Асимптотический метод [1] нашел применение
к исследованию колебаний изотропных и ортотропных прямоугольных пласти-
пластинок. Погрешность метода тем меньше, чем выше частота. Поэтому он может
успешно дополнять вариационные методы, дающие надежные результаты для
низших частот. Метод коллокаций использован для определения частот коле-
колебаний треугольных пластинок [32—34], прямоугольных пластинок переменной
толщины. Метод В. Г. Чудновского [29] эффективен для исследования прямо-
442

угольных ортотропных пластинок и пластинчатых систем, а также пластинок
подкрепленных ребрами жесткости [15].
Ряд методов позволяет найти двухсторонние оценки собственных значении.
Здесь могут быть использованы теоремы о включении Крылова—Боголюбова и
Темпля. Для оценки частот может быть ис-
использован принцип сравнения [8]
4. Метод конечных разностей. Применяя
метод конечных разностей [4, 5],^ аппрокси-
аппроксимируем область пластинки сеткой. Структу-
Структура сетки выбирается исходя из очертания
пластинки. Наиболее часто используется
прямоугольная регулярная сетка. Находят
применение сетки треугольной, параллело-
граммной, радиальной структуры и т. д.
Дифференциальное уравнение собствен-
собственных колебаний пластинки A0.4), A0.7) за-
заменяется системой линейных алгебраических
уравнений в конечных разностях, записан- Рис. 10.1.
ных для каждой свободной узловой точки
сетки
Например, для точки i сетки (рис. 10.1) уравнение A0.4), выраженное в
центрированных разностях с точностью до квадрата шага сетки, имеет вид [19].
5
Q
к
0
а-
п
i
т
и
Л*
ЯхЛд
Р
1
г
Ах
У
центрированных разнос д р
|б (f + -\- \ + 8 \w{ - 4 A + f) (wk + wt) + ( 1 + — j (wm + wn) \
wr)
wt)
f
(wu + wv) — 7.W1 = 0, A0.16)
где
7 =
a
а и пх— сторона пластинки и число шагов сетки вдоль оси х\
Ь и tty — вдоль оси у.
В уравнении A0.16)
Частный параметр
„2 -./ГТ
A0.17)
A0.18)
Прогибы в законтурных точках исключаются согласно формулам, приме-
применяемым при решении методом конечных разностей задач об изгибе пластинок
[5, 6].
В общем виде система конечно-разностных уравнении имеет вид:
wi
— X) W2
= 0;
i — *) Wm = 0.
A0.19)
Спектр собственных значений к матрицы коэффициентов системы уравнений
A0.19)—характеристической матрицы — определяет спектр частот собствен-
собственных колебаний пластинки.
143

Для каждого из значений к можно найти решение однородной системы
уравнений A0.19), т. е. получить соответствующие прогибы пластинки, которые
определят формы колебаний:
W =
w =
w\
,0)
!), Ц>2),
W
B) .
% = xm : w = '
A0.20)
Таким образом, задача о колебаниях пластинки, системы с бесконечным
числом степеней свободы сводится к задаче о колебаниях системы с конечным
числом степеней свободы, равным количеству узлов сетки, аппроксимирующей
пластинку.
Метод конечных разностей дает (нижние оценки частот собственных коле-
колебаний.
Точность результатов зависит от густоты сетки, аппроксимирующей части
пластинки, заключенные между узловыми линиями форм колебаний. В связи
с этим для получения достаточно точных значений частот, соответствующих
высшим формам колебаний, необходимо значительное сгущение сетки.
Уточнения собственных значений можно достигнуть другим путем, исполь-
используя экстраполяционные формулы [19]:
XJ !
A0.21)
— для собственного значения, полученного по двум решениям с разными ша-
шагами сетки вдоль оси х, пх. > пх (аналогично у);
= Ь$1 — Ь$+ Ь$ A0.22)
— для собственного значения, полученного по трем решениям с шагами сетки
Пхк > пх • > пх{ • При этом может быть использована весьма редкая сетка. Ре-
Рекомендации по выбору числа шагов сетки будут даны ниже при рассмотрении
конкретных задач.
Значения Ь#, bj, b-t для формул A0.21), A0.22) приведены в табл. 10.1.
Таблица 10.1. Коэффициенты экстраполяционных формул
2/1,
3/2,
4/3,
5/4,
6/5
7/6
8/7
9/8
10/9
5/3
7/5
hi
4/2
6/4
8/6
10/8
1,33333
1.8
2,28571
2,77778
3,27273
3.76923
2.41652
5.4
11,11111
1.5625
2,04167
bi
0,33333
0.8
1,28571
1.77778
2,27273
2.76923
1,46652
4,26667
9,0
0,5625
1,04167
nykln
3/2/1,
4/3/2,
5/4/3,
6/5/4,
7/6/5
8/7/6
9/8/7
10/9/8
7/5/3
У]\ПУ1
6/4/2
8/6/4
10/8/6
12/10/8
h
2.025
3,04762
• 4,34028
5,89091
7,69551
9,75238
12,06066
14,61989
2,50104
_
1,06667
2.31429
4,06349
6,31313
9.06294
12,31282
16,06275
20,31269
1,62760
—
bi
0,04167
0,26667
0,72321
1,42222
2,36742
3,56044
5,00209
6,69281
0,12656
—
144

§ 10.3. Изотропные пластинки постоянной толщины
Рассмотрим общий случай. Однородная пластинка из изотропного мате-
материала произвольной формы, произвольным образом закрепленная по контуру,
находится под действием постоянных сил в срединной плоскости и покоится
на упругом винклеровом основании. При этом колебания самого основания
не учитываются. Дифференциальное уравнение собственных поперечных коле-
колебаний такой пластинки в прямоугольной системе координат имеет вид
где
аРх аРу
D ' "У D ' '
Рх, Ру — интенсивность сил, приложенных на контуре пластинки, (—) соответ-
соответствует сжатию, ( + ) —растяжению;
^2 _ (р/^2 _ ?п) ; A0.24)
D
k п— коэффициент постели упругого основания.
Круговая частота собственных колебаний определяется формулой
ku)-\- . A0.25)
Выражение потенциальной энергии деформации рассматриваемой пластинки
имеет вид
Птах = —
(s)
\ 2 / -л \ 2 "]
6?s = ^л:^.
Кинетическая энергия деформации пластинки выражается таким образом:
Т = — 11 phw2ds. A0.27)
(s)
В частном случае, когда силы в срединной плоскости пластинки отсутству-
отсутствуют (Рх==Ру = 0), уравнение A0.23) принимает вид
у2^2зд, _ pw = 0. A0.28)
Для круговой частоты сохраняется формула A0.25).
Если упругого основания нет (&п = 0), то
/
~ . A0.29)
Уравнение A0.23) приводится к уравнению устойчивости пластинки, когда
а = —1, а /32 = 0:
d2w d2w
у2 2W __ N -^ _ N _^ = o. A0.30)
dx2 * dy
10—28 145

Для пластинки, равномерно сжатой или растянутой по контуру (NX=Nу =
= N), уравнение A0.23) принимает вид
у2у2ш __ Ny2w — $2w = 0. A0.31)
Если в уравнении A0.31) произвести замену
V2W = _ xw, A0.32)
то получим квадратное уравнение относительно А, корни которого будут
± |/ + Р2. A0.33)
\2± |/ + Р.
Первый корень Ai>0. Ему соответствует уравнение
у%/ + ^1^ = 0, A0.34)
которое является уравнением собственных колебаний мембраны.
На контуре мембраны ку=О. Для прямолинейного свободно опертого края
пластинки граничные условия могут быть записаны в виде
w = 0; у%> = 0. A0.35)
Из уравнения A0.34) слецует, что выполнение первого из этих условий од-
одновременно означает и выполнение второго.
Таким образом, при выполнении условия для уравнения колебаний мембра-
мембраны A0.34) ку = О автоматически выполняются условия A0.35) на контуре сво-
свободно опертой пластинки, составленном из прямолинейных отрезков.
Это в свою очередь означает, что частотные параметры таких пластинок,
исходя из A0.33), будут определяться собственными значениями Х\ уравнения
колебаний мембраны A0.34) по формуле
при N = 0
P = X±. A0.37)
Таким образом, между задачей о колебаниях равномерно сжатой или
растянутой по контуру пластинки, имеющей свободно опертые прямолинейные
края, и задачей о колебаниях мембраны существует математическая аналогия,
установленная и описанная в [31, 24, 17].
Примем в уравнении A0.31) и выражении A0.33) Р2 = О. Тогда из A0.33)
найдем корень А2 =—N, который также является собственным значением урав-
уравнения колебаний мембраны. При а = — 1 этот корень определяет критическую
нагрузку равномерно сжатой по контуру пластинки
PKp = A2D. A0.38)
Таким образом, рассмотренная аналогия распространяется и на задачу об
устойчивости равномерно сжатой по контуру опертой пластинки.
Круговая частота собственных колебаний мембраны определяется формулой
A0.39)
где 5 — постоянное начальное натяжение мембраны.
На основе мембранной аналогии сформулированы следующие теоремы для
основной частоты свободно опертой пластинки [24].
1. Из всех треугольников с данной площадью А равносторонний треуголь-
треугольник имеет наименьшие значения Vl\ . При этом для любого треугольника с
площадью А имеет место неравенство
_ 1 _ 1
V\> 2 * 3 4 кА~Т • A0.40)
Мб

с
с
1
2
з
Граничные
условия
х(Щ
1 I
I \
1 1
2,
3,
3,
Те
k(l)
3, 4 ...
2
4, 5...
0
1
2
4, 5...
1 б Л
О
k
1
k-
1
*¦
и ц а
г «У
-1
,506
1
2
0
0
,506
1
2
10.2.
(ь
[
('-
Коэффициенты
1 \2
2 J
1 \2
2 )
(Л
1
1-
1
1
«V
-1J
248
0
0
,248
(*
Для
2
1
"" 2
2
1
"" 2
определения частотных параметров
¦)¦
-
¦)¦]
( 1V
\ ч
L iv
', Су)
(к — IK
1,248
1
1
( ^
0
12/712
5,017
1 i
[ (*
2
-т)-.
6
-t)-J
Примечание
[ — свободное
опирание
| —жесткое за-
ь щемление
1 — свободный
1 край

с
л
4
6
Граничные
условия
1 Л
1
II
1 \
2,
2,
Q
3, 4...
1
3, 4...
1
2
4, О ...
л -
и
к -
0
1
к -
¦<°у>
3
4
0
3
4
,597
,494
1
2
Г
Г*
г
\
/
3
4
3
4
1
2
Vl"i
L
Y
)
1
1 -
—0
1
V
/
1
1 -
-
(а
\
0
\
,087
,347
/
\k
Ч J
1
з\
4 / J
2
1 \
Г"
L
X
Л
к —
\
4J
зу
4У
/
1 f
2
i
l
-
i
l
-
0
3
1
I
-
<v
f*
V
1
+ /
1 k
1
,471
,284
/
Продолжение табл. 10.2.
1
3 \
4 J
3
з \
] 7C
4 J
2
1 \
Примечание

2. Из всех четырехугольников с данной площадью А квадрат имеет
наименьшее значение У% . При этом любому четырехугольнику с площадью
Л
отвечает неравенство
Ниже приводятся некоторые численные данные для определения частот
собственных колебаний пластинок разнообразного очертания при однородных
и смешанных граничных условиях. Более к
подробные данные можно найти в извест-
известных справочных источниках, например [9].
А. Прямоугольные пластинки. Обозначим
число полуволн поверхности колебаний пла-
пластинки в направлении осей х и у соответ-
соответственно через га и п, а число узловых линий,
включая линии, совпадающие с закреплен-
закрепленными сторонами пластинки,— через k и /.
Для прямоугольных пластинок постоян-
постоянной толщины установлено, что узловые ли-
линии всех форм колебаний параллельны сто-
сторонам (рис. 10.2). Для квадратных пласти-
пластинок возможны, кроме того, формы колебаний типа k±l с разнообразным рас-
расположением узловых линий.
Для пластинок, у которых граничные условия в пределах каждого из краев
не изменяются, известно приближенное решение методом Релея—Ритца [45].
Формы колебаний заданы в виде
w = A kiXk (x) Г/ (у), A0.42)
где Xk(x), Yi(y) —фундаментальные балочные функции.
Значения частотных параметров определяются выражением
Рис. 10.2.
а2
*; *2 = ^ + -7т-
а2
а2
— NXIX — Ny —^-
A0.43)
где
аРла2
Dn*
<z= ±
В частном случае силы, действующие в срединной плоскости, могут отсут-
отсутствовать (Рд;=0; Ру = 0).
Величины, входящие в A0.43), для всех возможных случаев граничных
условий на противоположных краях пластинки определяются по табл. 10.2.
Сосредоточенные массы учитываются формулой
М =
1
ab
К) Ks (У Щ,
A0.44)
в которой as = xs/a; j5s = yslb', m,-— s-я сосредоточенная масса. Ks(as) я
Ks(Ps) даны в табл. 10.3 [25].
149

ч\\\У
к»-
оо
о
О°
to
оо
ю о
оо
ЮСЛ
— о
4* оо
юо
82
1,20
2,27
1,69
1,86
*— ю
о —
--a to
ою
00 V
•—ю
ю
°СЛ
ю
2,42
0,31
2,22
1,07
1,69
1,86
1,20
2,27
0,74
2,09
0,37
1,46
0,15
0,72
0,04
0,21
о
оо
ю-
оо
о о
ю о
4^ ОО
ОО
0,66
1,51
1,07
1,94
CD 4^
— CD
1,86
1,44
ою
СЛ СО
О Ю
^— ю
ОО «<|
ОЮ
о~ю
—* СЛ
ОЮ
СО О
-со*©
1,81
1,00
1,46
1,74
ю о
*— 00
0,72
2,23
0,42
1,81
0,21
1,15
0,08
0,53
0,02
0,15
о
2°
оо
to *—
о о
оо
— о
CD СЛ
0,19
0,69
— о
0,69
1,81
1,00
2,00
00 00
СО СЛ
•— CD
о —
а> оо
CD —
CD С"
ю
— "cD
cDCn
1,81
0,69
ООСЛ
00 Ъо
О О
0,69
1,81
0,41
1,31
0,19
0,69
0,05
0,19
о о
ю •—
оо
оо
о
со
оо
оо
со о
Oi tO
оо
0,08
1,11
1,13
1,63
ОО Ю
ю о
О СО
О ГО
юо
4^ Oj
0,64
1,80
0,85
1,39
1,10
0,88
1,38
0,40
2,10
0,02
2,52
0,34
2,97
1,10
3,47
2,34
4*4^
Граничные
условия
№ частоты
о
0,05
0,01
0.15
0.2
0.25
0.3
0,35
0,4
0,45
0,5
0.55
0,6
99*0
0,7
0,75
8*0
0.85
6*0
0.95
р
00

Для пластинки, свободно опертой по контуру, известно решение точеным
методом. Выражение для частотного параметра имеет вид [26]
^2~
— [т* + п*—] ; m, л = 1, 2, 3
Несколько низших значений а2р даны в таблицах 10.4 и 10.5.
Формы колебаний определяются выражением
VI V^ rrnix пку
у у Amnsin -sin——
A0.45)
m, л = 1, 2, 3 . . . A0.46)
4.
-
1
1
+ 1 -
1
1
=
т=п=2
Одинаковым частотам квадратной пластинки могут соответствовать раз-
различные формы колебаний. Например, при т=1, п = 2 узловая линия параллель-
параллельна оси х, а при га = 2, п=\—оси у. Накладывая эти формы колебаний
(т±п), получаем диагональное расположение узловых линий. На рис. 10.3
приведено несколько низших форм колебаний квадратной пластинки.
Точные решения известны также для пластинок, у которых два противо-
противоположных края свободно оперты, а два другие закреплены произвольным об-
образом [3], [35].
Значения безразмерных частотных параметров а2/3 для случаев, в которых
известны точные решения, а также имеются результаты более высокого при-
приближения, в сравнении с получаемыми методом Релея—Ритца по формуле
A0.43) и табл. 10.2, приведены в таблицах 10.4, 10.5, 10.6. Более подробные
результаты собраны в справочном пособии [9], где также приводятся много-
многочисленные данные для пластинок,
имеющих упругое закрепление т=п=1 т=1,п=2 m=2,n=f
краев, подкрепленных ребрами,
несущих различным образом рас-
расположенные грузы и т. д.
В таблицах 10.4, 10.5, 10.6 так-
также даны частотные параметры
ряда пластинок, граничные усло-
условия которых изменяются в преде-
пределах одного или нескольких краев.
Результаты найдены методом ко-
конечных разностей [16, 21]. Значе-
Значения а2/3, полученные методом ко-
конечных разностей, приведены и в
некоторых других случаях для со-
сопоставления с аналитическими ре-
решениями. Результаты уточнены по
экстраполяционным формулам
A0.21), A0.22). Схемы уточнения
указаны в таблице. Точность ре-
решения задачи о колебаниях пла-
пластинок методом конечных разнос-
разностей исследована в работе [19].
Установлено, что для нахожде-
нахождения частоты, соответствующей
форме колебаний, имеющей k и / узловых линий, достаточно применить сетку
с числом шагов nx=k и /iy = /. При этом будет найдено (пх—\)(Пу—1) частот-
частотных параметров, точность которых тем ниже, чем выше k и /.
Точность результатов зависит также от выражений для исключения проги-
прогибов в законтурных точках. Если используются формулы, полученные разло-
разложением функции w в ряд Тейлора при удержании трех его членов [5J, то для
частот одинаковой высоты точность тем ниже, чем большая часть контура за-
защемлена.
+ 1 -
-—\—
- 1 +
1
+ 1 11 +
i I
1 1
1 1
=
1 — 1
т=2.п--3
/77 =
+
-
3,n
-1
+ 1
+
-
.1/1/
/Г
Г-
/77=/,/7 = 4
+_
+
/T7--4
1
+ 1-
M
1 1
l \
1
Рис. 10.3.
151

схемы
1
2
3
4
5
6
7
Схема
пластинки
а
а/3
а
а/2
а
о
0
Таблица 10.4. Частотные параметры a2/? i
Метод решения
Точный [26]
Конечных
разностей
7/5/3
7/5
Конечных
разностей
7/5/3
7/5
Метод рядов [39]
Конечных
разностей
7/5/3
7/5
Конечных
разностей
7/5/3
7/5
Конечных
разностей
7/5/3
7/5
Метод рядов [3?
?//=2/2
19,739
21,487
22,134
23,648
23,592
24,381
27,057
28,948
3/2
49,348
49,357
49,656
51,678
51,470
52,704
58,504
54,747
2/3
49,348
53,174
54,551
58,636
57,925
59,443
60,101
69,325
квадратных пластинок
3/3
78,957
81,087
81,715
86,123
85,053
85,791
92,026
94,591
4/2
98,696
96,183
96,659
100,27
97,223
101,86
104,79
102,22
2/4
98,696
98,731
101,04
113,23
105,98
106,33
107,29
129,10
4/3
128,31
125,57
126,06
133,79
129,27
131,20
136,86
140,20
3/4
128,31
128,78
129,56
140,85
133,18
135,22
138,20
154,78
4/4
177,65
172,80
173,78
188,12
177,70
178,91
183,81
199,81

8
9
10
11
12
13
a/2
•О
о
D
Я1
а/21
•1
а/3
\
а/2
2
а
\
Конечных
разностей
7/5/3
7/5
Метод рядов [39]
Ассимптоти-
ческий [1]
Метод рядов [39]
Асимптоти-
Асимптотический [1]
Конечных
разностей
6/5/4
Метод Релея—
Ритца [44]
Конечных
разностей
7/5/3
7/5
Метод Релея—
Ритца [44]
Конечных
разностей
7/5/3
7/5
Метод рядов [39]
Метод Эдмана
143]
28,819
27,208
26,865
31,875
31,366
31,527
33,80
32,60
35,50
34,253
35,985
35,99
53,125
60,989
60,531
63,650
62,207
62,778
65,532
73,40
73,41
53,125
92,667
70,805
68,808
62,778
65,532
73,40
73,41
86,066
92,667
100,33
97,212
83,846
94,253
108,22
108,24
106,61
114,49
111,55
102,28
109,86
131,90
106,61
114,49
130,19
120,70
102,28
109,86
132,18
138,72
145,85
143,89
132,92
140,34
164,99
165,02
138,72
145,85
159,04
149,19
132,92
140,34
164,99
165,02
184,98
197,94
208,83
195,02
—
179,31
—
180,64
220,06

№
схе-
схемы
1
2
3
4
5
6
Схема
пластинки
СИ
т
"О
о
•О
Таблица 10.5. Частотные параметры а2/?
Метод решения
Точный [26]
Конечных
разностей 6/4
То же, 5/4/3
Конечных
разностей 6/4
То же, 5/4/3
Конечных
разностей 6/4
То же, 5/4/3
Конечных
разностей 6/4
То же, 5/4/3
Метод Эдмана
[43]
bja
1,5
2
1,5
2
1,5
2
1.5
2
1,5
2
1,5
2
Л//=2/2
14,262
12,337
19,17
17,45
19,73
18,95
18,36
15,42
20,10
17,38
27,012
24,580
2/3
27,438
19,739
31,30
24,45
31,64
24,35
34,48
25,83
34,22
24,51
41,715
31,833
прямоугольных пластинок
3/2
43,870
41,946
51,66
50,73
52,57
51,95
48,43
43,76
51,56
50,97
65,50
64,10
2/4
49,397
32,076
52,24
36,19
52,47
36,79
55,26
36,60
56,70
36,35
66,533
44,779
3/3
57,046
49,348
64,04
57,53
65,42
58,17
66,82
58,18
64,83
58,29
79,810
71,080
2/5
80,054
49,348
79,82
53,58
78,89
55,74
84,07
55,15
84,96
52,29
100,81
63,340

Таблица 10.6. Частотные параметры а2/? квадратных пластинок (// = 0,3)
№
схе-
схемы
1
2
3
4
5
6
Схема
пластинки
а/2
НО
а
'SS//S
?
«о
I
Метод решения
Конечных разностей 5/3
Метод Релея—Ритца
146]
Метод Релея—Ритца
146]
Конечных разностей
5/4/3
То же, 5/3
Конечных разностей 5/3
Конечных разностей 5/3
Конечных разностей
5/4/3
Основной тон
?//=1/1
3,608
6,958
?//=0/1
3,494
3,473
3,467
5,531
6,561
?//=0/0
7,137
Обертоны
первый
2/1—1/2
7,145
24,08
1/1
8,547
8,50
8,444
14,16
14,47
0/1
' 15,80
второй
2/1 + 1/2
14,31
26,80
0/2
21,44
21,11
20,53
20,95
26,96
2/1—1/2
19,2')
третий
2/2
24,94
48,05
2/1
27,46
26,79
25,82
30,16
32,47
1/1
38,52
четвертый
27,26
63,14
1/2
31,17
30,74
29,89
46,58
51,64
1/2+2/1
43,67

Продолжение табл. 10.6
№
схе-
схемы
7
8
9
10
11
Схема
пластинки
П
D
?
П
Метод решения
Конечных разностей
5/4/3
Метод рядов [41]
Точный метод [35]
Точный метод [35]
Точный метод [35]
Конечных разностей
5/4/3
Основной тон
10,45
?//=1/1
13,47
6/7=2/0
9,631
Л//-2/1
11,68
12,69
12,69
Обертоны
первый
20,44
1/0—0/1
19,60
2/1
16,13
2/2
27,76
33,06
32,97
второй
23,71
l/0-f-O/l
24,27
2/2
36,72
3/1
41,20
41,70
41,50
третий
47,72
1/2
34,80
3/0
38,94
3/2
59,07
63,01
62,53
четвертый
50,16
2/2
63,69
3/1
46,74
2/3
61,86
72,40
70,56

Для частотных параметров, соответствующих формам колебаний с числом
узловых линий k<4(l< 4), расхождения А с надежными аналитическими
решениями имеют пределы:
0,1И < А < 10И
при уточнении по схемам экстраполяции
пх + l/nx > k + 3/k + 2; (пу + \/пу > 1 + 3/1 + 2); A0.47)
пх + 2/пх > k + 3/k + 1; A0.48)
0,1*6 < А < 8%;
при уточнении по схемам
пх + 2ЩХ >k + 4/k + 2; A0.49)
пх + 2/Лд. + \/пх > k + 2/k + \jk\ A0.50)
0 < А < Ь%\
при уточнении по схемам
пх + 2\пх + \\пх > k + 3/k + 2/k + 1; A0.51)
пх + 4/пх + 2/пх > k + 4/k + 2/k. A0.52)
Верхние пределы Л соответствуют пластинке, контур которой полностью
защемлен.
Например, для высшего параметра a2fl(k = l = 4) пластинки № 4 из табл. 10.4,
найденного по схеме A0.48) пх + 2/п* = 7/5, Л = 5,5%; для параметра, соответ-
соответствующего k = l=3 этой же пластинки, найденного по схеме A0.52) пх+4/пх-\-
+ 2/пх=7/5/3, 4 = 1,2%; Для параметра, соответствующего k = l = 4 пластиики
№ 10 (табл. 10.6), найденного по схеме A0.50) пг + 2/пх +\/пх = 6/5/4, 4=6,6%.
Для пластинок, у которых изменение граничных условий происходит в
пределах края, при выборе густоты сетки нужно учитывать, что точка изме-
изменения граничных условий, должна лежать между двумя соседними узлами
сетки.
Б. Треугольные и трапецоидальные пластинки. Частота собственных коле-
колебаний определяется формулами A0.25), A0.29).
Для свободно опертых по шнтуру треугольных пластинок на основе мем-
мембранной аналогии могут быть приняты точные значения частотных параметров
основного тона, приведенные в [24]:
равносторонний треугольник со стороной а
16т:2
а^= «52,637;
о
равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а
Л2р = 5тг2 и 49,349;
прямоугольный треугольник с углами — и —- и гипотенузой а
О о
а2?=-Ч^« 368,47;
3
тс
равнобедренный треугольник с углом при вершине — и высотой а
Ь
а2Э = тс4 ^97,411.
Для основного тона свободно опертой пластинки, имеющей форму равно-
тс
бочной трапеции, острые углы которой —, высота а, основания Ь и с, мем-
мембранная аналогия позволяет считать [24]:
А57

b/c
a*?
1.2
10
1.5
10,5
2,0
11,5
Частотные параметры основного тона равнобедренных треугольных пласти-
пластинок, различным образом опертых и защемленных по контуру, найдены мето-
методом коллокации и определяются по графикам, приведенным на рисунках 10.4
и 10.5 [32]—[34].
300
200
175
150
125
60
50
30
20
аг/3
4/
I
j
/
i—
/
/
/
у
ф
J
/
f
.
Y-
у
\ «a
Рис. 10.4.
200
175
150
125
100
90
80
70
60
Ы)
UO
30
25
on
^0
f
1
/
"Г.
J
V
/
/
' /
/
2
Рис.
/
A
у
У
\ A
b
3
10.5.
У
\
b
/
/
a
6
Решение задачи о собственных колебаниях рассматриваемых пластинок
может быть получено метолом конечных разностей.
Для точки i сетки, состоящей из равносторонних треугольников (рис. 10.6),
уравнение A0.4) имеет вид [18]:
2 [2 (и + IJ + А2 + В2 + и?) wt — 2 [2и (и + 1) — АВ\ (w
— 2 [2А (u + 1) — Ви] (wp + ws) — 2[2B(u+\) —
+ u? (wm + we) + 2Au (wn + wf) + 2Bu (wd -f wk)
+ ^2 (wc -f шу) + 2ЛБ (wb + оуа) — x
(wq
0,
где
и = cz — .
В уравнении A0.53)
wr) —
wt) +
wg) -f
A0.53)
A0.54)
Здесь ку=
-шаг сетки вдоль оси у; И — высота пластинки; пу—число
шагов сетки вдоль высоты.
¦168

Частотный параметр
«У
р = ik Vx- A0-55)
Для сетки из равносторонних треугольников уравнение A0.53) принимает
вид
10 (wp + Wq + wr + ws + wt + w0) +2 (wb + wd + Wf + wh + wk +
wn) + wa +wc + we-\-
— *wt = 0, A0.56)
где
и частотный параметр
т/\ЛЛ>
/YYY
У
Хх , А,
Здесь Яг=——шаг сетки вдоль оси х; а —- сторона треугольной или осно-
пх
вание трапецоидальной пластяггкрг; пх — число шагов сетки вдоль нее.
Если сетка состоит из равнобедренных прямоугольных треугольников с ос-
нованиями Ях и боковыми сторонами Я, то учтя, что Яу = ~т— , получим из
A0.53)
20wt — 8(wp+ ws + wq + wt) + 2 (w0 + wr + wb + wh) +
+ wa + wg -j- wc + wy — хте>^ = 0. A0.58)
В данном случае
V*.
где а — боковая сторона пластинки; п — число шагов вдоль нее.
Выражения для прогибов в законтурных точках, исходя из граничных ус-
условий, будут такими:
край те свободно оперт
ws = — [2Д (wq — wp) + wp]\ A0.60)
край те жестко защемлен
ws = [2В (wQ - wp) + Wp]. A0.61)
Для сетки из равносторонних или равнобедренных треугольников с основа-
основаA0.62)
159
ниями яЛ В = —(—\из A0.60), A0.61) получим соответственно

Для сетки из равнобедренных прямоугольных треугольников, одна из бо-
боковых сторон которых совпадает с осью у(В=О), получим
o\s= - «т>; (ю.63)
p
Частотные параметры треугольных и трапецоидальных пластинок, опертых
и защемленных по контуру, найденные методом конечных разностей [18], при-
приведены в таблицах 10.7 и 10.8.
схемы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Та б
Схема пластинки
477777777*
Л
1
777777777
о
лица 10.7. Частотные параметры а2р
Схема
экстра-
экстраполяции
10/8/6
10/9/8
10/8/6
12/10/8
Основной
тон
52,634
66,059
81,145
98,170
72,06
87,10
98,49
105,1
127,5
138,4
Обертоны
первый
122,72
141,61
162,02
185,39
129,1
163,6
151,2
169,9
167,6
200,1
второй
209,77
142,59
162,68
285,00
209,8
239,4
231,3
255,8
245,0
294,0
третий
226,91
232,92
256,34
302,70
238,1
270,9
279,4
288,6
319,7
342,0
чет-
четвертый
329,01
250,24
273,21
412,17
277,2
302,1
303,1
325,0
335,0
377,0
160

Таблица 10.8. Частотные параметры а2р
Схема пластинки
Схема
экстра-
Основной
тон
Обертоны
первый
второй
третий
вертый
49,335
98,36
128,0
159,9
189,6
60,09
112,3
142,5
172,4
205,1
65,49
118,7
152,1
178,3
1
216,6
8/6/4
8/6
72,05
125,9
157,6
184,3
219,5
77,53
132,9
166,7
190,1
231,1
90,68
146,7
184,4
200,0
244,8
10
11
12
57,21
97,93
151,4
191,5
199,3
71,27
123,5
174,6
202,5
225,8
9/6/3
9/6
79,53
118,2
173,6
84,61
103,0
110,8
126,8
127,5
149,0
179,1
175,8
200,4
225,3
227,2
232,5
232,1
257,1
264,1
266,9
11—28
161

Колебания консольных и других треугольных и трапецеидальных пласти-
пластинок со свободными краями могут быть исследованы методом конечных раз-
разностей при помощи прямоугольной сетки [21]. Прямолинейный свободный край
аппроксимируется зубчатым.
При этом конечно-разностное уравнение для точки i внешнего угла
(рис. 10.7) имеет вид [21]
— 8 A
— 8
4v (Wq + Wr)
а точки i внутреннего угла (рис. 10.7) —
0,
Здесь
8
—
4
3
4
— fws — 1Щ = 0.
A0.64)
A0.65)
1 =
ny
а и tiy —высота пластинки и число шагов сетки вдоль нее; Ь и пх — основа-
основание и число шагов сетки.
В уравнениях A0.64), A0.65)
X4.
откуда
A
1
V
л»
0 x
Л\ I
\
\
6
т г
и V*
, (
/х.
A0.66)
A0.67)
Рис. 10.7.
Рис. 10.8.
Некоторые результаты, полученные методом конечных разностей для пла-
пластинок, имеющих свободные края [21], приведены в табл. 10.9.
Для некоторых других случаев результаты можно найти в [9].
162

Таблица 10.9. Частотные параметры а2р основного тона (р = 0,3)
Схема пластинки
а, рад
Метод конечных разностей
Схема экстра-
экстраполяции
Данные
табл. 2.68 [91
71/4
тс/3
4/3/2
4/3/2
6,308
6,599
6,340
6,678
$ь
тс/4
71/3
4/3/2
4/3/2
4,509
5,703
я/4
тс/3
4,5/3,5/2,5
4,5/3,5/2,5
6,164
6,618
6,108
6,510
5,5/4,5/3,5
29,40
71/3
5,5/4,5/3,5
9,787
В. Параллелограммные пластинки. Уравнение собственных колебаний па-
раллелограммной пластики может быть представлено в косоугольной системе
координат (рис. 10.8) и = х—yctga, v =
sina
— 4
— 4
d4w
du*dv
COS a + 2A + 2 COS2 a)
dadvz
cos a
d4w
Sin4 a
— №W = o.
A0.68)
Частотный параметр Р определяет частоту колебаний по формулам A0.25)
или A0.29).
Потенциальная энергия деформации пластинки в этом случае имеет вид:
d2w
— 2 COS a -f
dv2 dvdu du2
- (i -
2 Г д*т d2w I d2w \2 11
sin2a [ [du2 ' dv2 ~~\dudv) Jj
ds = rft/rfw sin a.
ds\
A0.69)
11*
163

Методам Релея—Ритца при помощи выражения A0.69) получена формула
для определения частотных параметров:
^?H cos a + 2HUHV - 2 A - (i) [//„//„ - /„/„] .
Формы колебаний определяет выражение
w = Z2 Akix
ktv
cos a -
A0.70)
A0.71)
где Xk, Уi — балочные функции для соответствующих граничных условий.
ти 5 / ти \
Выражения A0.70), A0.71) применимы, если—><*> —~щ —- . При мень-
1 \1 \ 6 )
ших значениях а точность неудовлетворительна [30].
В формуле A0.70) величины G, Н, I находятся по табл. 10.2 для соответ-
соответствующих граничных условий на противоположных сторонах пластинки. Зна-
Значения К, L приведены в табл. П2б—П26 [9].
Для опертых по контуру пластинок решение может быть получено при
помощи мембранной аналогии. Уравнение собственных колебаний мембраны
в косоугольной системе координат и, v имеет вид
1 ( d2w d2w d2w
— 2 cos a—— +—г-г-| + pw = 0. A0.72)
SltT a
ди*
dudv
dv2
Для ромбических пластинок (мембран) с меньшей диагональю а, границы
частотных параметров основного тона определяются данными табл. 10.10 [24].
¦г"
а, рад
it
T а б л и
2
2,000
2,007
7n
18
1 [719
89к
180
1,983
1,990
6"
1,600
1,662
да 10.10
22тс
45
1,965
1,973
к
1Г
1,527
1,610"
Частотные параметры
29тг
60
1,948
1,956
тс
4
1,326
1,476
43тг
90
1,931
1,940
6
1,158
1,367
17тг
36
1,915
1,924
12
1,042
1,278
9
1,832
1,850
0
1,000
1,202
5.
12
1,753
1,781
—
—
В конечных разностях для точки i параллелограммной сетки (рис. 10.9)
уравнение A0.72) имеет вид [17]:
4 A — г2) wt — 2/*2 (wk + wt) — 2 (wm + wn) — r cos a (ws + wt — w0 — wp) —
-xwf = 0, A0.73)
где
A0.74)
a
; а и пи—^сторона мембраны (пластинки) и число шагов
•сетки вдоль оси и.
164

Таблица 10.11. Частотные параметры
схемы
1
1
2
3
Схема пластинки
о
П
а, рад
те/2
л/3
тг/4
л/6
те/2
те/J
л/4
те/6
те/2
те/3
те/4
те/6
Основной
тон
19,71
24,96
35,13
64,90
14,24
18,17
25,90
48,43
12,32
15,84
22,99
44,47
Обертоны
первый
49,32
52,9»
68,17
115,0
27,37
32,71
43,47
75,23
19,69
24,04
32,84
58,50
второй
49,32
72,11
107,6
181,0
43,36
55,05
70,10
117,10
31,80
37,74
49,97
86,63
третий
78,82
85,42
109,2
217,0
48,82
58,22
86,59
169,75
41,16
57,43
80,25
148,4
Частотные параметры
2aV2sin2a
A0.75)
Значения частотных параметров опертых по контуру параллелограммных
пластинок, найденные методом конечных разностей [17] на основе мембранной
аналогии, приведены в табл. 10.11.
Для ромбических пластинок, опертых и защемленных по контуру, с острым
углом
частотные параметры а2р, найденные
методом конечных разностей при помощи тре-
треугольной сетки я уравнения A0.66) [20], даны
в табл. 10.12.
Основной тон собственных колебаний защем-
защемленной по контуру параллелограммной пластинки
исследован методом Релея—Ритца при следующем
выражении для форм колебаний [36, 37]:
У
i
Аа
/ Ли /
7
/S /77
'Ли/
0
//
/
л
и
Рис. 10.9.
A0.76)
Значения а2/* определяются по табл. 10.13.
Для ромбической консольной пластинки два низших частотных пара-
метра, найденные методом Релея—Ритца, имеют значения [30] табл. 10.14.
При этом формы колебаний взяты в виде
У, (У). (Ю-77)
22
где Xk, Yi — балочные функции.
165

2
<u
X
1
2
3
4
5
6
7
Таблица 10
Схема пластинки
а
.12. Частотные параметры а2р(пи+2/пи+\/пи
Основной
тон
24,70
29,71
33,81
34,19
36,51
40,05
45,67
первый
52,58
58,67
65,43
65,26
63,40
71,38
80,12
Обертоны
второй
71,02
79,19
84,79
85-,4§^
89,57
93,73
102,5
третий
83,40
90,61
97,81
-* 97,71?
97,82
105,0
115,4
=6/5/4)
четвертый
121,4
127,8
136,6
* 135,8
132,8
142,9
156,8
Примечание. Для № 7 пи+2/пи+\/пи =7/6/5.
Известны более точные значения а2/* для ромба с острым углом , най-
о
денные методом Релея—Ритца [26] (табл. 10.15).
Г. Круглые пластинки. Уравнение собственных колебаний круглых пласти-
пластинок представим в полярной системе координат
у2у2яу _ p2w = 0;
1 а 1
дг2 г дг г2 <Э02
A0.78)
Частота колебаний находится по формулам A0.25) или A0.29), в которых
а — радиус пластинки.
166

а, рад
b/a
л*п Sill40t
а" 16
bja
iW Sia
aP 16
b\a
,13o sin* a
a? 16
Таблиц
5,5*
18
1
72,991
2
36,293
4
32,2015
а 10.13. Частотные параметры
тс
3
1
74,930
2
36,592
4
32,2590
7тс
18
1
78,209
2
37,173
4
32,3804
5тс
12
1
79,356
2
37,460
4
32,4304
тс
2
1
80,955
2
37,770
4
32,4972
а, рад
а?$
Таблиц
5тс
12
3,601
8,872
а 10.14. Частотные параметры
тс
3,961
10,190
тс
~4~
4,824
13,75
Метод
Релея—Ритца
Эксперимент
Г а б л и ц а 10.15
Основной тон
3,93
3,88
Частотные параметры
Обертоны
первый
9,51
9,33
второй
26,03
24,5
третий
26,40
25,5
Потенциальная энергия деформации пластинки определяется таким обра-
образом:
D
J
(S)
1 dw
г
дг
J_ d2w
д I \_
r
dw
5; ds
A0.79)
.167

где
Решение уравнения A0.78) имеет вид [26]:
w (г, 8) = [A Jn (kr) + BIn (kr) + CYn (kr) + DKn (kr)] cos л8,
Jm ln> Yn> %n —функции Бесселя I и II рода действительного- и мнимого
аргумента. Когда центр пластинки исключен из рассмотрения, Си D ф 0.
Удовлетворяя граничным условиям, получаем частотное уравнение.
Значения частотных параметров a2f$ приведены в табл. 10.16 [26], [9], где
s и п — число узловых кругов и диаметров, соответственно.
Таблица 10.16. Частотные параметры
S
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
/2=0
•
2
Опертая по контуру пластинка
4,977
29,76
74,20
138,10
Свободная
9,076
38,62
87,80
13,94
48,51
102,80
176,84
пластинка
20,52
59,86
119,03
25,65
70,14
134,33
218,24
5,251
35,24
83,91
154,01
Защемленная по контуру пластинка
10,21
39,78
88,90
145,60
21,22
61,00
120,56
199,06
34,84
88,36
158,76
242,71
3
—
12,23
52,91
111,30
192,10
51,04
111,00
190,30
289,17
Для пластинок, подпертых в центре, два низших частотных параметра а2
имеют значения [26, 9] (табл. 10.17).
Таблица
Условия на контуре
Опирание
Свободный контур
Защемление
10.
17. Частотные параметры
Первый
14,82
3,75
22,66
Второй
49,42
20,91
62,72
§ 10.4. Пластинки переменной толщины
Если толщина пластинки изменяется плавно, можно с достаточной точно-
точностью считать, что выражение изгибающего и крутящего моментов для пла-
пластинки постоянной толщины справедливы и в данном случае.
168

Тогда дифференциальное уравнение собственных колебаний пластинки пе-
переменной толщины будет иметь вид [26]:
dD д dD д
2 f 2 • V2w + yWy*w — A — ц) X
ду ду
2 Vw f 2
дх дх ду ду
дЮ d*w дЮ d*w дЮ
2
где
р2 = рЫ2. A0.81)
Здесь D = D(x, у)—цилиндрическая жесткость; h=h(x, у)—толщина пла-
пластинки.
Для потенциальной и кинетической энергий деформации сохраняются вы-
выражения, принятые для пластшюк постоянной толщины, в которых D и h —
переменные величины.
Для решения задачи может быть использован метод Релея—Ритца [26, 27].
Формы колебаний принимаются в виде
w(g, ч)~2^(б. ч>- Aа82)
/
Здесь |, г\ — координаты произвольной системы (прямоугольной, косоугольной,
полярной и т. д.);
//<«. Ч) = *k F) Yt fo),
где & и / заданы для каждого индекса /.
Подставляя A0.82) в выражение потенциальной и кинетической энергий
для любой системы координат, из условия
<НПтах-*>2Ттах)=0
dAj
получим систему линейных алгебраических уравнений
S aj И D^ 1) I fhAj+Ai 4- + [* + о -и) cos2«] [/;,/;,+л",/;,] +
+ [2 A - ^ + 2 A - (х) COS2 а] /'^/^ - 2 COS а [/^ (/^ + /*?) +
+ flv (fit + f\d) 1 dUn = sin4 а
/, / = 1, 2, 3 n. A0.84)
Для прямоугольной системы координат «=~г~; для косоугольной — а зада-
задано; для полярной г, 8 необходимо принять:
тс
а = —¦ ; йЫч[ = rdbdr\
169

В A0.84) правая и левая части представляют собой матрицы, которые
обозначим Ufj и Т/у соответственно. С учетом этих обозначений запишем
систему A0.84) в виде
пт
s
q
к
0
V
n
i
/77
и
X
p
I
r
X
Рис. 10.10.
или, умножая слева на матрицу
получаем
где Е — единичная матрица.
Решение задачи запрограммировано на ЭЦВМ [27]. Используется ортонор-
мированная система полиномов, удовлетворяющая кинематическим граничным
условиям. Значения h(?, rj) задаются таблично. В частном случае получается
решение для пластинки постоянной толщины.
Для пластинки, толщина которой изменяется в одном направлении, напри-
например h — h(y), уравнение A0.80) упрощается:
• + 2-
дР
ду
ду
дЮ
ду*
ду*
d2w
дх*
-pw = 0. A0.85)
Если закон изменения толщины линейный (рис. 10.10)
h = hQ—ту\ т = — ,
то жесткость и производные от нее можно выразить так [22]:
ту чз
= DOI1-
12A-ц») и\ Ао / 12A-|
dD ZDnm( my V2
ду
h0 \ h0
дЮ 6Dom* I my
A0.86)
A0.87)
170

Уравнение A0.85) с учетом A0.86), A0.87) принимает вид
1 —
ту
6m
1 —
ту
6т2
1 —
ту
X
X
ду*
— со2 -г— (Ло — my) w = 0.
A0.88)
В этом случае имеется решение в конечных разностях [22]. Для точки i
сетки (см. рис. 10.10) уравнение A0.80) будет таким:
[20А* -
где А: = A — \
,. _ (8,4 / —
4 Л {В — 2В2) wn + BА] — A fi) (w0
- А\ (ws + Wt) + M/ + ^/^) wz/ + (^/ —¦ A[B) и
3t m a*
- (ЪА) — AAtB
4^ + Л ^
a - xwz = 0,
В
Wm —
A0.89)
A0.90)
r—1 hQ
t = ;r = —— ; щ— число шагов сетки вдоль оси у до рассматриваемого
узла;
откуда
A0.91)
Отметим, что граничные условия для опертого и защемленного краев, а
также первое уравнение (^=0, МУ=О) для свободного края пластинки пере-
переменной толщины не отличаются от граничных условий пластинки постоянной
толщины. Поэтому при решении методом конечных разностей будут справед-
справедливы соответствующие формулы для исключения прогибов в законтурных
точках.
Второе условие для свободного края существенно отличается от условия
для пластинки постоянной толщины. Это условие, а также выражения бигар-
монических конечно-разностных операторов, не включающих прогибов в за-
законтурных точках, приводятся в работе [22].
Уточненные экстраполяцией (л+2//г+1/л=4/3/2) значения частотных пара-
параметров квадратной пластинки-консоли приведены в табл. 10.18 [22].
Таблица 10.18. Частотные параметры a2fi(fi=0,3)
г = ~лГ
1,0
1,5
2,0
2,5
Основной тон
3,471
3,839
4,404
5,354
Обертоны
первый
8,480
7,681
7,363
7,317
второй
20,71
17,01
14,43
12,49
третий
26,05
20,71
17,48
14,98
четвертый
30,21
23,91
19,81
16,55
-171

Частотные параметры пластинок линейно-переменной толщины, различным
образом опертых и защемленных по контуру, могут быть найдены по данным,
приведенным в [9], которые также получены методом конечных разностей.
Использована квадратная сетка с гс==4.
§ 10.5. Анизотропные пластинки
Дифференциальное уравнение собственных колебаний анизотропной пла-
пластинки на упругом винклеровом основании в прямоугольной системе координат
имеет следующий вид [13]:
dAw d*w
D « + 2 (Dlt + 2Z>ee)
^f ^- р% = 0> (la92)
где
р2 = ((о2рЛ__бп);
kn — коэффициент постели упругого основания;
А3 А3
— жесткости изгиба относительно осей хну;
П Н* / 2Ч
^66 = 1ПА \аиа22 — а\о)— жесткость кручения;
А3 А3
= ^ (fli2^26 — «22д1б); D2& = "Y^7"(fli2fli6—Д1б«2б)— побочные жесткости;
А3 Р1а Р22
12 — in a (fll6fl26 fl12fl66)i ^ — P-l И ^ — ^2
12Д D22 Dn
— приведенные коэффициенты Пуассона; Л — матрица коэффициентов обоб-
обобщенного закона Гука:
ех = апах + <Zi2ay + a16zxy;
?у = пурх "Ь ^223у "^" ^гб^дгу» A0.93)
Тл:у = fli6a.r + #2бау + amzxy
Круговая частота собственных колебаний определяется формулой
"' РА
В частном случае kn—0 и
(Ю.94)
/ 1
Выражения погонных силовых факторов, а также граничных условий не
отличаются от принятых в теории изгиба пластинок.
172

Потенциальная энергия деформации имеет вид:
п JL
2
2
Для прямоугольных пластинок во всех случаях, когда граничные условия
не изменяются в пределах каждого из краев, задача может быть решена ме-
методом Релея—Ритца, как и для изотропной пластинки (§3). Частотные пара-
параметры определяются формулой [9]
Р = " Х; х*= DnG* + °2"~V~ °у + 2 "$" 1°"н*ну + 2/>вв7Л +
+ 2 (D1BKyLx + D2,KxLy)]. A0.97)
Значения G, Н, I для всех возможных случаев граничных условий на про-
противоположных краях пластинки находятся по табл. 10.2.
\ Y'Ydy;
О
где X = Xk(x)\ Y=Y[(y)—балочные функции (см. приложение к [9]).
В практике особенно часто встречается случай ортотропной пластинки, для
которого уравнение колебаний является частным случаем A0.92) и имеет вид
d*w d4w d4w
D 2D + ^^-^ = a (Ш)8)
Для (З2 сохраняется A0.92); жесткости находятся по формулам:
D _ ^
12 (I -
-\- 2Dk\ Dk = —; G — модуль упругости при сдвиге.
Выражение потенциальной энергии деформации в этом случае будет сле-
следующим:
дх* / 1Г2 дх* ду*
(S)
дхду) \
173

Формула A0.97) для определения частотных параметров в данном случае
приобретает вид [45]:
Р = "V Х; Х2 — D*Gx + D<*Gy + 2 ~Т~ \V"*DiHxHy + ZDkUy]» A0.ICO)
где G, H, I находятся по табл. 10.2.
Точное решение задачи известно для случаев, когда две противоположные
стороны прямоугольной пластинки оперты, а две другие закреплены произ-
произвольно [38]. Если при этом пластинка оперта по всему контуру, то формы ко-
колебаний
" тпх ппу
\тп sin sin —f- , A0.101)
a b
m n
а частотный параметр определяется формулой
<10Л02)
Для основного тона квадратной пластинки (а=6, т—п—\) имеем
Р = ~ VDX + 2D3 + D2. A0.103)
а2
Уравнение A0.98) в ряде случаев удобно представить таким образом:
d4w d^w d4w
2 +*-&--?— °' <10-104>
где
A0105)
Тогда частота колебаний определяется формулой
<о=|/
Мп) —Г" A0.106)
или при ku = 0
о = р 1 / -^_ . A0,107)
Методом рядов [42] для основного то:на пластинок, опертых и защемленных
по контуру, получены результаты, приведенные в табл. 10.19.
Решение задачи может быть получено методом конечных разностей. Урав-
Уравнение (A0.104) для точки i прямоугольной сетки (см. рис. 10.1) принимает вид
¦ wo + wp) + "Ч^Чщ + w<) + (^и + и'р) — xwi = ^» (Ю.108)
V
где
x = pa7axt; A0.109)
174

схемы
1
2
3
4
Схема
пластинки
/
/
а',
/
Q
—J
D
D
Т а б л
?У?>3 \
1/3
1/2
2
3
1/3
1/2
2
3
1/3
1/2
1
2
3
1/3
2
3
и ц а 10.И
1/3
6,434
7.341
10,016
15,355
20,638
5,359
5,813
7,134
9,730
12.293
4,550
4,719
5,228
6,245
7,261
4.284
4,738
6,063
8.670
11.218
). Значения аАр2/яА
1/2
7,341
8,249
10,927
16.242
21,553
6,266
6.721
8,042
10,638
13,224
5,454
5,624
6,133
7,153
8,179
4,738
5,194
6,516
9.113
11.693
1
10,016
10,927
13,608
18,928
24,232
8,944
9,401
10,729
13,328
15,931
8,120
8,293
8,804
9,845
10,848
6,063
6,516
7,847
10,453
13,010
2
15,355
16,242
18.928
24,251
29,561
14,236
14,718
16,052
18,660
21,248
13,123
13,589
14,101
15,125
16,149
8,760
9,113
10,453
13,070
15,666
3
20,638
21,553
24,232
29,561
34,873
19,562
20,022
21,324
23.979
26,570
18,707
18,874
19,376
20,441
21,446
11,218
11,693
13,010
15,666
18,268
Частотный параметр
A0.110)
На рис. 10.11, а, б приведены графики зависимости частотных параметров
защемленной по контуру квадратной пластинки от г}2. Графики построены по
данным, полученным методом конечных разностей. Использовано уточнение
экстраполяцией (п+2/п-\-\/п = 6/5/4).
Для защемленной по контуру круглой ортотропной пластинки радиусом а
методом Релея—Ритца [13] получена формула частотного параметра основного
тона
6.33
0.667D3 + D2
A0.111)
Частота колебаний будет найдена по формулам A0.94) или A0.95).
Методом конечных разностей при я = 6 для основного тона опертой по кон-
контуру равносторонней треугольной ортотропяой пластинки с высотой а получе-
получено [8]
а?$ = 17,6 /15 (?>! + D2) + ?>3 • A0.112)
Оси ортотропии направлены вдоль высоты и основания пластинки.
Колебания некоторых треугольных ортотропных пластинок исследованы
методом Релея—Ритца [13] и приведены в [9].
175

Решение задачи о колебаниях пластинок и пластинчатых систем из орто-
-тропного материала может быть получено методом В. Г. Чудновского [29, 15]
Задачи о колебаниях пластинок, усиленных ребрами или другими элемен-
элементами жесткости, гофрированных, а также многослойных пластинок могут быть
Рис. 10.11.
сведены к задаче колебаний анизотропной (ортотропной) пластинки, жесткости
которой вычисляются тем или иным способом [13].
ЛИТЕРАТУРА
1. Б о л от и н В. В., М а к а р о в Б. П., М и ш е н к о в Г. В., Швей-
ко Ю/ Ю. Асимптотический метод исследования спектра собственных частот
упругих пластинок. Сб. «Расчеты на прочность», вып. 6. М., Машгиз, 1960.
2. Боровский П. В. Применение метода сеток к расчету паралле-
лограммных пластинок. Труды конференции по теории пластин и оболочек.
Казань, «Наука», 1961.
3. Броуде В. М. Устойчивость пластинок в элементах стальных конструк- •
ций. М., Машстройиздат, 1949.
4. В а р в а к П. М. Колебания мембран и пластинок. Труды КИСИ, вып. 7.
Киев, 1946.
5. В а р в а к П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пласти-
пластинок. Ч. 1, 1949. Ч. 2, 1952, Киев, Изд-во АН УССР.
6. В а р в а к П. М., Г у б е р м а н И. О. Изгиб квадратной пластинки с раз-
различными условиями на краях. Информационные материалы. Изд-во АН УССР.
Институт строительной механики, 1957, № 10.
7. Венце ль Н. О., Агарьов В. А. Застосування методу початкових
функщй до визначення частот власних коливань прямокутних пластинок. «До-
Ui АН УРСР», 1960, № 11.
176

8. Гонткевич В. С. Про нижш гранищ власних чисел пластинок при
згинних коливаннях. Прикладна MexaHiKa. Т. VI, № 3. Кит, «Наукова думка»,
1960.
9. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Спра-
Справочное пособие. Киев, «Наукова думка», 1964.
10. Гуменюк В. С. Визначення частот власних коливань ортотропних
пластинок. «Доповш АН УРСР», 1956, № 1.
11. Гуменюк В. С. Визначення частот власних коливань пластинок змш-
ноТ товщини. «Доповш АН УРСР», 1956, № 2.
12. Дубин к ин М. В. Колебания плит с учетом инерции вращения и
сдвига. М., Изд-во АН СССР, ОТН, 1958, № 12.
13. Лехницкий С. Т. Анизотропные пластинки. М., ГИТТЛ, 1957.
14. М о с ка л е н ко В. II. К применению уточненных теорий изгиба пла-
пластинок к задаче о собственных колебаниях. «Инженерный журнал», 1961, № 3.
15. Островерх Б. Н. Свободные колебания и устойчивость прямоуголь-
прямоугольных ортотропных пластинок, подкрепленных ребрами. Прикладная механика,
т. VI, № 5. Киев, «Наукова думка», 1966.
16. П i ску н о в В. Г. Д© визначення частот власних коливань прямокутних
пластинок при мшаних граничних умовах. Прикладна механгка. Т. X. Вип. 1, 1964.
17. Пискунов В. Г. К задаче о колебаниях и устойчивости параллело-
граммных пластинок и мембран. Прикладная механика. Т. I, вып. 3. Киев,
«Наукова думка», 1965.
18. Пискунов В. Г. Определение частот собственных колебаний треуголь-
треугольных и трапецеидальных пластинок. Издание вузов. Новосибирск, «Высшая
школа», «Строительство и архитектура», 1965, № 9.
19. ГПскунов В. Г. Точшсть розв'язання задач про коливання пластинок
методом скшчених р1зниць. 36. «Onip матер1ал!в i теор1я споруд», вип. IV.
К., «Буд1вельник», 1966.
20. Пискунов В. Г. Частоты собственных колебаний ромбических пла-
пластинок при смешанных граничных условиях. «Строительство и архитектура»,
№ 4. Новосибирск, «Высшая школа», 1969.
21. Пискунов В. Г. Некоторые задачи собственных колебаний пластинок
со свободными краями. «Прикладная механика», т. V, вып. 10. Киев, «Наукова
думка», 1969.
22. Пискунов В. Г. К задаче о колебаниях пластинок линейно-перемен-
линейно-переменной толщины. Сб. «Сопротивление материалов и теория сооружений», вып. XI.
Киев, «Буд!вельник», 1970.
23. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем. М., Гос-
техиздат, 1955.
24. Саченков А. В. Определение частот свободных колебаний пологих
сферических оболочек и плоских пластин на основании мембранной аналогии.
«Прикладная механика». Т. I, № 1, 1965.
25. С о р о к и н Е. С. Динамический расчет несущих конструкций. М., Строй-
издат, 1956.
26. Филиппов А. П. Колебания механических систем. Киев, «Наукова
думка», 1965.
27. Филиппов А. П., Булгаков В. П., Воробьев Ю. С, Кан-
Кантор Б. Я., Марченко Г. А. Численные методы в прикладной теории упру-
упругости. Киев, «Наукова думка», 1968.
28. Цыдзик П. В. Применение метода малого параметра для решения
задач о собственных колебаниях пластин, близких к прямоугольным. ПММ,
М., Изд-во АН СССР, 1952, № 3.
29. Чудновский В. Г. Исследование свободных колебаний и устойчиво-
устойчивости ортотропных пластинчатых систем. Труды VI Всесоюзной конференции
по теории оболочек и пластинок. М., «Наука», 1966.
30. В а г t о n M. V. Vibration of rectangular and skew contilever plates. J. of
АРМ, v. 18, №2, 1951.
31. С о n wa у Н. D. Analogies between the buckling and vibration of po-
polygonal plates and membranes, Canadian Aeronaut. J. № 6 n 7, 1960.
12-28 177

32. С о х Н., К 1 e i n В. Vibration of isosceles triangular plates. ZAMP, v. VI,
69, 1955.
33. Cox H., Klein B. Vibration of isosceles triangular plates, having the
base clamped. J. Aeron. Quart., № 7, part 3, 1956.
34. С о x H., К 1 e i n B. Buckling and vibration of isosceles triangular plates,
J. of the Roy. Aer. Soc, v. 59, № 130, 1955.
35. Fletcher H. J. The frekuancy of vibration of rectangular isotropic pla-
plates, J. of АРМ, 26, № 2, 1959.
36. Ha ma da M., Kondo H. Vibration of clamped parallelogrammic iso
tropic plates, cumanedajgoky ransu, № 7, 24, 1957.
37. Hasegawa M. Vibration of clamped parallelogrammic isotropic plates,
J. of Aeron. ScL, 24, № 2, 1957.
38. Huffington N. I., Hoppman W. H. On the transverse vibrations
of rectangular ortotropic plates, J. of АРМ, 25, № 3, 1958.
39. I g u с h i S. Biegeschwingungen der viereitig eingespannten rechteckigen
Platte, Ing. Archiv. VIII, № 1, 1937.
40. I g u с h i S. Die Eigenwertprobleme fur die elastische rechteckige Platte,
Memoirs of the faculty of engineering, Hokkaido Univ. B. 4. S. 305. 1938.
41. lguchi S. Die Eigenschwingungen und klangfiguren der vierseitig frei
rechteckigen Pialle, Ing. Archiv. B. 21, № 5—6, 1953.
42. К a n a z a w а Т., К a w a i T. On the leteral vibrations on anisotropic
rectangular plates, Proc. of 2. Japan Nat. Cong, for App. Mech., 333, 1952.
43. О d m a n S. T. Studies of boundary value problems, part II, Charac-
Characteristic functions of rectangular plates, Sv. forsk. inst. for. cem. ach. bet.,
Stockholm, 1955.
44. Tomoya O., Hamad a M. Bending and vibration of simply supported
but partially clamped rectangular plates, Proc. 8th. Japan. Nat. Cong. App.
Mech, Tokyo, 1959.
45. Warburton G. The vibration of rectangular plates, Proc. J. Mech.
Engrs, A, v. 168, № 12, 1954.
46. Л о u n g D. Vibration of rectangular plates by the Ritz Method, J. of
АРМ, v 17, № 4, 1950.
Глава XI. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК
§ 11.1. Постановка задачи и общие уравнения
Колебания оболочек рассматриваем на основе теории Кирхгоффа—Лява
[10, 3, 2], полагая, что их толщина h мала в сравнении с другими размерами
и радиусом
— /mm < h < 8 /mm
Допущения указанной теории и вывод общих уравнений подробно изла-
излагается в теории изгиба оболочек.
Уравнения колебаний получаются из уравнений изгиба заменой компонент
внешней нагрузки соответствующими компонентами сил инерции [13]:
d2w d2w
178

В ортогональных криволинейных координатах «, /? система уравнений соб-
собственных колебаний оболочки имеет вид (рис. 11.1):
1 Гд(МВ) d(N^A) дА дВ
АВ
1
АВ [
да
дА
да
дВ
~да~
1
d(QaB)
АВ [ да
д(МаВ) д(МрА)
АВ
*¦ + *¦ J
дА
д(М^А)
¦ + —-— — ма
дА
дВ
дР
0;
-О.=0. A1.2)
АВ I да
L j
Здесь Л^а, Л/р —нормальные силы; Л^а^—сдвигающая сила; Ма, М^ —
изгибающие моменты; Ма^ — крутящий момент; Qa, Q$ — поперечные силы,
выражения которых известны из теории изгиба; А и В — коэффициенты пер-
первой квадратичной формы срединной поверхности оболочки; /?i(a, ft) и
/?г(«, Р) —радиусы кривизны линий «=const и /? = const.
Рис. 11.1.
Уравнения колебаний оболочки с конкретной поверхностью получаются под-
подстановкой в A1.2) соответствующих выражений для А и В.
Система A1.2) может быть получена на основе принципа Гамильтона с по
мощью выражений для потенциальной и кинетической энергий деформации
оболочки:
П =
2A —
Pi 2
И
оо h
^; (ИЗ)
12*
179

т =
P, 2
0 0
dv
A1.4)
Граничные условия не отличаются от условий, принятых в теории изгиба.
Уточнения теории колебаний оболочек, учитывающие эффект инерции вра-
вращения, деформацию сдвига, надавливание слоев, как показано в работах [19,
21, 24, 25], имеют значение для частот достаточно высокой части спектра, когда
отношение h/L< Vio (? — наименьшая длина волны деформации). Для обо-
оболочек, используемых в строительных конструкциях, которым свойственны низ-
низкочастотные колебания, эти уточнения несущественны.
Система уравнений A1.2) ввиду ее сложности имеет различные варианты
упрощения. Наиболее широко распространены уравнения технической момент-
ной теории оболочек В. 3. Власова [2]. Допущения, на которых основана эта
теория, и вывод уравнений рассмотрены в теории изгиба оболочек. Заметим,
что пренебрежение членами, содержащими гауссову кривизну
1
делает
теорию В. 3. Власова применимой не только для оболочек нулевой гауссовой
кривизны (цилиндрической, конической и т. д.), но и для пологих оболочек
с различной поверхностью.
Уравнения колебаний получаются из уравнений изгиба, если компоненту
нормальной к поверхности оболочки составляющей внешней нагрузки заме-
заменить компонентой сил инерции
Тогда система уравнений собственных поперечных колебаний однородной
изотропной оболочки принимает вид [13]
(п.б)
где
АВ
1
АВ
2
\ д
[ да
да
1
(
1
в
А
В
А К*
д \
да j
д
да
d2w
и д I
И ^ I
U д I
0;
А д
В ' <)p ) J
A1.7)
Ф~ф(а, p) —функция напряжения;
1 1
Ki = —и /Сг=——главные кривизны срединной поверхности вдоль коорди-
Rx R<2
иатных линий а и /б соответственно, совпадающих с направлением главных
кривизн.
Если ввести функцию Ф=Ф(а, /б) по формулам
«p =
A1.8)
180

то система A1.6) приводится к уравнению
= 0.
A1.9)
Для пологих оболочек (/mm //>5, где / — стрела подъема) можно принять
А = В=\ и полагать, что криволинейные координатные оси а и /3 совпадают
с прямолинейными — х и у.
Тогда в системе A1.6)
v2=—!V + —гт- ; (п.ю)
дх
дх
17
A1.11)
где Кх и Ку—кривизны в направлениях осей х и у.
В более общем случае, когда координатные оси не совпадают с линиями
главных кривизн, нужно учесть кручение поверхности Кху
д I „ д \ . д /„. д х _ „ (П12)
ду
дхду
Если уравнение срединной поверхности пологой оболочки задано в форме
7 = F(x, */), то допускаем [13]
d2F d2F d2F
Решение задачи о колебаниях оболочек при заданных граничных условиях
в замкнутом виде при помощи табулированных функций известно в элемен-
элементарных случаях, например, при свободном опирании контура некоторых оболо-
оболочек. В более сложных случаях имеются приближенные решения. Широко ис-
используются вариационные (Релея—Ритца, Галеркина) и другие приближенные
методы, описанные в разделе о колебаниях пластинок.
Условие минимума дроби Релея имеет в данном случае вид:
(П - ДТ) = 0;
(П — AT) = 0;
(П - ДТ) = 0,
A1.14)
где Aj, В \, Ct — произвольные постоянные, входящие в ряды перемещений и,
v, w соответственно; Л — частотный параметр.
Решение задачи о колебаниях пологих оболочек на основе уравнений A1.6)
методом Галеркина приводится к решению таких вариационных уравне-
уравнений [13]:
I дх
дх
дх \ у дх
X oydxdy =
д
dw
~ду
0;
ду \ л ду
X bwdxdy = 0.
X
X
A1.15)
181

Функции перемещений w и напряжений <р представляются через комбина-
лии фундаментальных балочных функций, которые подбираются соответственно
зиланным граничным условиям
A1.16)
Решение уравнений A5) имеет вид
Л = JJ Х>" <*) У" (У) V* [ Кт (¦*) Yn (у)] dxdy.
,(х)Гя(у)^„(у)—1Кугт(х)] +
+ t (x)J-[Kxa
ду
Xm(x)i?n(y) \Уп(У)—д
Хп {Х) ~ду~ [KxY" {У)
[КуХт (х)] +
dxdy;
/4 =
Частота колебаний определяется формулой
...2 L
Уз \
/а ) •
A1.17)
A1.18)
Частотные уравнения могут быть получены также при помощи уравнений
Лагранжа:
д ( дТ \ дТ дП
dt \ dAt
д ( дТ
dt \ дВь
_д_ I дТ
dt
dAt
дТ
dBL
дТ
дП
дП
; I
A1.19)
§ 11.2. Цилиндрические оболочки
На основе уравнений A1.2) могут быть получены следующие уравнения
колебаний цилиндрических оболочек в функции перемещений w, v и w по осям
х, У, z (рис. 11.2) [10]:
1 —[
д2и 1 + М-
dw
дх
X
X -
дх*
Ядхдф*
1в2

Rdxd$
X
1 / ди
R V дх
д^ дхЩ
w\ Л2
— !Х2
d?u
R ) 12
3 — [х d*v
d*w
1 .
.A1.20)
2 R4xd$2 2
В работах [20, 25] показано, что уравнения A1.20) могут быть упрощены:
(х dw 1 — |
~~ R ' дх ~~ ?
^2И 1 —IX a2tt
Р
Рис. 11.4.
А. Замкнутые оболочки. Замкнутые цилиндрические оболочки в общем
случае могут иметь формы колебаний с узловыми линиями вдоль образующих
цилиндра (рис. 11.3) и по параллельным кругам (рис. 11.4).

Для изотропной оболочки, опертой по краям, х = 0, х = 1, (рис. 11.2), реше-
решение системы A1.20) имеет вид:
тъх
U = Amn COS ; COS Яр COS <
v = Втп sin
w = Cmnsin
I
rrnzx
I
mnx
sin n{3 cos at;
cos /ifJ cos n>t.
A1.22)
Подстановка A1.22) в A1.20) приводит к системе уравнений относительно
ш, Втп, Стп , определитель которой дает частотное уравнение
/
\074
п-3
0,074^
0,0525-
4
Жом
Сот
-0,002
-0,0268
0D20
3 jjl.,0 /
Рис. 11.5.
^-—-
—
-
!-¦'-
^0,004
//
у//
%020
-от
Круговая частота определяется формулой
2 V • (И'24)
Коэффициенты Яо, Нх и Я2 приведены ниже.
Значения угА представлены в виде графиков на рис. 11.5 для п = 2, 3,
4, 5 ..., в зависимости от \im — т я R/1 [18].
184

Для длинных оболочек можно применить формулу [2]:
А = J1— —^ . у, ^
которая получается при использовании системы A1.21). [См также формулу
A152)].
При учете внутреннего давления
?п 1 "^ (я>2 - ]) + ~~- iVin f
Л')* + Л*],
A1.26)
где
л* я
/Л
При учете влияния осевых сил и краевых моментов [11]
(I - l^2) f-m + 1 (fm + я2L + (Р& + П2J (t&l -
д =
C
, (П.27)
где
М
кр
^1 = 77~ ~ величина осевых сил на единицу длины; S = ¦
В общем случае краевых условий решение может быть получено методом
Релея—Ритца на основе системы A1.20) или при помощи уравнений Лагран-
жа A1.19).
Форма колебаний задается в виде [4]:
и = А,
COS /7cp COS <ut\
sin ny cos mt;
COS Щ COS (ut,
A1.28)
где X,
фундаментальная балочная функция, удовлетворяющая усло-
условиям на краях оболочки, a km — корень характеристического уравнения, соот
ветствующего балочной функции.
Решение сводится к частотному уравнению A1.23).
Для ортотропной оболочки формула для частоты и коэффициенты уравне-
уравнения A1.23) имеют вид [4]:
Ь)тп = I/
авз

2 (^ -
»«!»« ]»«-(& Tm ^ - «V™ (»« -J^ - Mm j"
If+1)+5A t
If+1)+5'-A t
к 9
где
12A-(х,р^ л 12
?]/t E<j%
1 — (А,(Х2 1 — (t,(A2
L_ fv»;
0
Д2
о
Значения ^m, 7,^, km для различных краевых условий приведены в табл. 11.1.
186

Таблица 11.1.
Оперто-
онертая
3 а щемлен но-
защемленная
Защемлеяно-
свобод1ная
Св об од н о-св обо дн а я
3 ащемлен'Н о-опертая
Олерто-свободная
1
2
3
4
5
О
Любое
1.0
1.0
1.0
1.0
1,0
1,0
1 —
0,549880
0.746684
0,818051
0,858553
0,884249
2
1,321886
1,471208
1,252875
1,181963
1,141465
1,115749
2.211601
1,766169
1,545592
1,424419
1.347244
1 4-
т
1 +
1 -
0,723422
0,856926
0.902022
0,925136
0,939525
1
т —
1,742905
1.422809
1,293787
1,224722
1,181899
1
2
3
4
5
6
Любое
-Ья
0,24409
-0.603337
-0,744024
-0.818169
-0,858524
-0.869100
—0,549879
—0,744024
—0,818051
—0,858533
-0,884249
-0,723422
-0,902022
—0,902022
—0,925136
-0,939525
-1 + 7
т —
-1+ у-
-т
-1 +
кт
1
2
3
4
5
6
Любое
2ти
Зг.
4^
5-
(т — \
4,73(Ю4
7,853204
10,995608
14,137166
17,27876
2т 1
1,875104
4,69409
7,854757
10.995541
14,137168
17,27880
2т— I
4,73004
7,853204
10,995608
14,137166
17.27876
'2т — 1
3,92660
7,06858
10,2102
13,3518
16,4934
4т — 3
3,92660
7,06858
10,2102
13,3518
16,4934
4т -3
______

с:
V
. /Л
«5s
]
1
с:
if"
v I-
\
\
«5
0.075
V
V
\
«5
\
\
\
\
\\
\\
з
с:
\
\
\
\
]
\
А
от^
\
I*
^ ^ §
с;
\
с;
\
\
от,
\
\
\
I
\\
\ >
1д
\ ^
1
Л
Н
it ?ч
188

Для защемленной и заЩеМЛенНо-опертой оболочек в A1.29) следует При-
Принять бт = —ут. Для опертой оболочки дт= 1 и решения, поаученные при
помощи A1.28) и A1-22), совпадают.
В частном случае изотропной оболочки El = E2 = E} //i = //2 = ^ и выражения
A1.29) упрощаются. При этом дЛя реальных соотношений h/R, \im и п значе-
значеУ могут быть найдены по графикам [5], приведенным на рис. 11.6 для
Рис. 11.8.
Рис. 11.9.
защемленной оболочки и на рис. 11.7 для защемленно-свободной. Для оболочек
защемленно-опертой и свободной аналогичные графики даны в [6].
При осесимметричных колебаниях отсутствуют узловые меридианы. Де-
Деформации оказываются симметричными относительно оси оболочки и уравне-
уравнения колебаний приводятся к уравнению колебаний балки на упругом осно-
основании.
Круговые частоты определяются формулой
К1 ! /
р/г
где
12A -
A1.30)
km — собственные значения балочных функций.
Экспериментальное и теоретическое изучение колебаний цилиндрических
оболочек [18, 4, 16, 17] показывает, что если 1/R не малая величина, то влияние
краевых условий незначительно. Отсюда следует, что в различных случаях за-
закрепления краев можно пользоваться результатами для опертой оболочки.
Отметим также, что замкнутые усеченные конические оболочки, у которых
О > ~ (рис. 11.8), могут приближенно рассматриваться как цилиндрические,
радиус которых равен полусумме радиусов оснований конической оболочки, а
длина — ее высоте [7].
Б. Пологие оболочки. Задача о колебаниях пологой цилиндрической обо-
оболочки (рис. 11.9) решается на основе системы уравнений A1.6). В системе
безразмерных координат а, р (« и Р — относительные расстояния вдоль осей
х и у в_долях радиуса R) будем иметь A =B = R; кроме этого кривизны /Сг = 0,
189

Уравнения A1.6) приобретают вид [13]:
Eh да1
A1.31)
d2w
Для оболочки со свободно опертыми краями известно точное решение си-
системы A1.31):
* = 2 S Л «я Sin ^а Sin ^ Sin ш'; )
Ш П \ A1 32)
w в 2 2 л™sin ^а sin ^sin ^ I
/и я J
где
mnR nn
щ, п = 1, 2, 3 . . . .
/¦ — » i a Q
Ро
Частота колебаний определяется выражением [13]
1 Г о
¦Л2
Если на оболочку в срединной поверхности действуют силы N\ и N2 (силы
на единицу длины), то для частоты имеем [13]:
»L = 7Г I (^т + К J 4- (Л^,^ + N&i ) + —о "Т I • A1-34)
В случае, когда оболочка свободно оперта по торцам и имеет симметричное
упругое защемление на прямолинейных краях, в [8] получено точное решение.
Исходным является уравнение A1.9), которое при подстановке
Ф = Р(а, р) sin «Л . A1.35)
где а и Р — безразмерные координаты, приводится для цилиндрической обо-
оболочки .к виду
= 0. A1.36)
Здесь F (а, р) = х (а) ], (р); ^т = ~^- ; t =
да*
Л 12A-1
P — центральный угол дуги оболочки, отсчитываемый от оси симметрии.
При этом полагаем х(а) = sin/^m», что удовлетворяет граничным условиям
на торцах.
Граничные условия вдоль прямолинейных краев имеют вид:
w = tl = N/.= 0\ Му/в = с^ A1.37)
Здесь w= V4F — перемещение точки срединной поверхности в радиальном
направлении;
р да?
190
— перемещение в направлении оси а\

Eh d*F
— •——-—нормальное усилие в нормальных сечениях, /?=const;
d2w d2w
да*
E = const;
— изгибающий момент в нормальных сечениях,
dw
угол поворота нормали к срединной поверхности;
с*— коэффициент пропорциональности между My
и в.
Подстановка %{а) = sin//m« в» A1.36) приводит к обыкновенному диффе-
дифференциальному уравнению, общие интегралы которого ip(P) даны в табл. 11.2
в зависимости от значений р и t [8].
Последовательное дифференцирование уравнений табл. 11.2 с учетом
A1.37) приводит к системам однородных уравнений относительно С/. Раскры-
Раскрывая определители системы и решая найденные уравнения относительно без-
R
размерного коэффициента упругого защемления X = с* —zrt получаем спектр
частотных уравнений. Я положительно, когда My и О одного знака; отрица-
отрицательно, когда My и 0 противоположного знака, что возможно в неразрезных
покрытиях.
При А = оо оболочка жестко защемлена по прямолинейным краям. При
А = 0 — оперта и решение совпадает с A1.33).
В последнем случае ур@% при котором возможна бифуркация форм соб-
собственных колебаний пологой цилиндрической оболочки,
/
V Т
16
с
A1.38)
На рис. 11.10 приведены графики /3i=/3i(t, цт) для /лт=\, 2, 3, 4. В области
ниже кривой P\(t, цт) низшей частоте соответ- /3,
ствует симметричная форма, выше — кососим-
метричная.
Минимальное значение частоты первой сим-
симметричной формы достигается при угле
—— - - , A1.39)
а первой кососимметричной формы при угле 2/32.
Из A1.39) следует, что минимуму частоты
соответствует условие
Рис. 11.10.
сКг< I. A1.40)
Если с/^>1, что при низких формах возможно только у очень коротких обо-
оболочек, близких к аркам, то минимум частоты отсутствует и- частота как и у
арок монотонно снижается при увеличении центрального угла. Для длинных
оболочек основному тону соответствует форма колебаний с двумя попереч-
поперечными полуволнами и одной продольной.
При произвольных граничных условиях на краях решение может быть по-
получено методом Галеркина при помощи уравнений A1.15) или методом Ре-
лея— Ритца. В последнем случае формы колебаний задаются в виде [6]:
191

ч
с
(
:
:
с
1
о
и
о
ьс
к
S
олебан
чные к
имметри
и
s
К
и
%
1)
•о
5
|
+
ОО-
COS
cel
43
хз
со
+
с
"ел
се.
43
XS
о
0°
II
о
+
ч^
с
со
QQ-
хз
ел
+
+
ОТ?-
со с
!+
or*
G i
*53 +
CEL CO-
- <"
+ II
if
+
с S
#сл u
«s-o*
5 +
« S +
XS
II
si
V
ex,
cs "*
U XS
CO U
J rT
v
II
+
СП-
0
+
гл XS
О «
U CEL
+ +
x:
СЛ
0°
II
+
«2
с -5
СЛ CCL.
J +
xs
U
II
w
CN
||
й-
ii
+
xs
СЛ
+
xs
0
CEL
+
cry
>oT
XS
CO
II
CO
+
>oe
x:
u
+
xs
СЛ '
CEL -
(M C
Г л r
+
CEL
a
СЛ
fj +
CJ '
СП. СП.
+ -?
0°
II
4_
CO
СЛ
0
i? ^
M f >
*< 4J
s +
+ + •=•
CEL
xs
II
Л
й-
<^
II
с
'ел
и"
>^г
СЛ
0
+
CEL
M cos /
4.»
+
5
II +
V
с
^ с
с?-
si
+
V
V
<^
+
с
'ёл
О
+
OQ-
xs
СЛ
0
ii
+
СП-
,2 cos-
0
+
¦«Г
?S
U
J4
II
сч
V
с-?*
si
4-
11
II
01
+
°М4-сЬ
1 + OQ
en- rj XS
^^ СЛ
2+01
0/5 CO.
CJ--T +
+ «
о5
II
CD
+
en.
xs
о о"
+¦ + 2?
СП. , <м *^
•S +гГ
О 4е +
+ 
о4
II
Л
si
+
+
с
*Й
XS
СЛ
с
+
со.
Э г-
«с
со
sj
II
S-
н-
cn_
*^
XS
u
**%
9 ^
or
+
¦1 СП.
X3
+
CEL
•Af
XS
CJ
+ +
xs
CJ
II
si
+
V
V
<S
V
4*
XS
u
+
+
0"?-
a
'сЛ
+
xs
СЛ
r f
О
II
00
>2cos
+ -
CEL
СЛ
О
°%
СЛ
+
?S
CJ
J
4-
n_
J s)
II +
Si
+
л
м
+1
si
+1
со
+1
192

knS
cos
**^ *-* m nm m m \ j
а частота определяется формулой
,A2 ^
cos со/;
cos <
A1.41)
A1.42)
В общем случае пологой цилиндрической ортотропной оболочки в формуле
A1.42) kmn равно частотному параметру ортотропной пластинки с соответ-
ствующими граничными условиями, D = \, a
k =
2 2
\
lJ¦2^m^п
\2 о
Здесь
A1.43)
Для оболочки, защемленной или защемленно-опертой, в A1.43) следует
принять дтп=— утп. Для опертой оболочки 6тп =1. Значения дт>п ; ут#л;
^т,« определяются по табл. 11.1.
Для изотропных оболочек ?i=E2=?, цх^Цч—^ и выражение A1.43) упро-
упрощается.
Для достаточно тонких свободно опертых по контуру изотропных оболочек
Формула A1.42) с учетом A1.44) совпадаете A1.33).
Если оболочка имеет свободные контурные меридианы, то происходят ко-
колебания без растяжения срединной поверхности с частотой [6]
13—28 193

Для цилиндрических оболочек некругового очертания, например, пологих
незамкнутых эллиптических цилиндров, решение может быть получено методом
Галеркина при помощи уравнений A1.15) и выражений A1.17).
Если кривизна оболочки в поперечном направлении задана
Ку=-Ку($), A1.46)
то для свободно опертой оболочки частота [13]
1
"тпп Л«,
.2 | п /„2 , „2 Ч2 _l '-in—и:— | A1.47)
?&¦]•
где
V-m ¦
Ро
Ро
/(Р)- j iCy(P)8inV«№ A1-48)
В частном случае круговой оболочки
В. Незамкнутые подъемистые оболочки. Уравнение собственных колебаний
подъемистых цилиндрических оболочек получено в [13] из системы A1.21)
введением функции Ф(а, /?, /)=/г(а, /?) sin со t, где а и /?—безразмерные ко-
координаты.
Оно имеет вид:
О, A1.50)
где
12A-р.»)*а h '
В случае свободного олирания оболочки форма колебаний имеет вид
F («. Р) = Amn Sin № Sin цп% A1.51)
где jUm и /гл аналогичны их значениям в A1.32).
Выражение для частоты имеет вид
Е
штп
Ря2
-1+2A-,) ^;У}. (П.52)
Колебания подъемистых оболочек характеризуются появлением нескольких
полуволн в поперечном направлении. Заключенная между узловыми линиями
часть оболочки может рассматриваться как пологая [13]. Поэтому для прак-
практических вычислений можно ограничиться формулой A1.33) для пологой обо-
оболочки.
194

Формулами A1.52) и A1.33) можно пользоваться как приближенными и
для замкнутых цилиндрических оболочек [13]. В этом случае можно принять
/гл=л.
Пример сравнения технических частот, найденных по формулам A1.52) и
A1.33) дан в табл. 11.3. Рассмотрены колебания металлической трубы при
следующих данных: 1=6 м\ Л=1,4 см\ /?=О,75 м\ ?=2,Ы05 mhjm2\ у=
= 7,85-l(h2 мн/м\
п
1
2
1
2
1
2
г
m
1
1
2
2
3
3
т
По формуле A1,52)
144,63
44,442
414,6
46,417
630,89
281,6
а б л и ц а 11.3.
По формуле A1,33)
144,8
47,101
414,6
46,703
630,89
281,6
В общем случае граничных условий решение получено методом Релея—Рит-
ца. Составляющие перемещений [6]
So
и п
So
х„
cos at;
cos (at;
So
COS
A1.53)
Ik x\
где ^т(~"~Г~ I —фундаментные балочные функции;
fk S\
rt[-r~ 1 — формы собственных колебаний подъемистых круговых арок.
V 5 /
Частотное уравнение имеет вид
Д3 — Н2№
а его коэффициенты
Я о =
A1.54)
n — a\bn — а\Ъп — а\%п\
^
1 —
13*
195

= — W-mlnfln*
= — Мл
+ 7] Г[х^вл
+ 2 A -
яЛ + ^ ji.2 7т7л];
0
Л2
Значения дт, ymt kmопределяются по табл. 11.1; дп, уп, &п, г\п для защем-
защемленной по контуру оболочки могут быть найдены по графикам на рис. 11.11, а
для других случаев — по [6]. Если HJH0 — мало
_ "г .(МЛ9 н*
К"
и
и
0.9
0.7
0.5
вп
V
1.0
0.9
0.8
0.7
0 0.571
1J5JI ?>0°'50
Пп
5
—•*
^У
i 71
n--i I 1
J
A
п--1
\
Л
0,57Г ГГ
/7-/ I
/
/
•/
/.
/
?5^7 ^ /7 0.571 ft 1,5 Я
Рис. 11.11.
A1.55)
Частоты колебаний о)тп находятся по A1.24).
Собственные колебания оболочек, контурные меридианы которых свободны,
происходят без растяжения и сжатия срединной поверхности. Частоты коле-
196

баний определяются формулой [6]:
L ^ ^ 2l Ъ + ^ Ъ + 2 A - |0 ^mK.2 5Л]. A1.56)
§ 11.3. Сферические оболочки
А. Общий случай. В общем случае колебания сферической оболочки
(рис. 11.12) рассмотрены в работах [10, 9, 22]. Форма колебаний может быть
принята в виде [6]:
и = AJFт^ (в) cos л<р cos o>t;
J
v = BmFm (в) sin щ cos <*>t;
A1.57)
w = CmFm (в) cos ny cos o>?,
где F/h—некоторая функция, изменяющаяся только вдоль меридианов; Fm =
=/7m ; /г — половина числа узловых меридианов. Для замкнутых оболочек
Fm —присоединенная функция Лежандра.
Использование выражений энергии A1.3), A1.4) и условий минимума
дроби Релея A1.14) приводит к частотному уравнению [6]
А3 — Я2Д2 + Н^- Яо = 0, A1.58)
в котором для случая ортотропнои оболочки
а\а\ аа
— a\b% — c^bl — a\
о о
^ = Ьг + Ьъ -f- + -f- п*Ью
Г s3 , sft ] Г а,
п2 = П \ #7 ~^— (^12 — *13/ "Г Р*2Л*16 "Ь ^ ' Л^2*
[ Sx 5t J [ /Л
40д, 1
+ fV* 25+ ^ Л 35 J,
,-"A + ^2)^4+ Si *8|+1^17-Л ^ +A-M,.
S2 - Sk Г D» 4D;
St 6 J"" J St ^ I Dx 20 Dt
197

/ S2 \ Г D2 D%
as = - nb, -— + с* + Ч ~  ~7T *» + " IT &25
ae = 2*2 A + D) + 1 *is + -51- (*2o + *m — "*828)
4Dk
n (*32 + 26,0 + 631)
Ьъ = J F^ Я sin
65 = \ F2mi ctg2 9Я sin edS;
btb = J Fm/mt ct8 в/? Sin
ь» = J /V; л sm ede;
*at = J Fm cl82 9/? sin ed9;
*23 = \ Pn
sine
ctge/? sin ede;
I" F2
Л
sin9
&18 = J ''«Я Si0 erf6'
z7!
sin3 в
*o.-
ctge
sin в
i ctge/? sin
/; ctge/? sm ede;
sine
, s
^ = г Fm r sin e^e.
A1.59)
108

Частота колебаний определяется формулой
Низший корень уравнения A1.58)
А*-яГ +
Для осесимметричных колебаний п=0.
VB
U
и
Рис. 11.12.
S
п=3. т= f
т=2
6 3
Рис. 11.13.
5/7
A1.60)
A1.61)
J,
J_
—-
—•—'—
.—~-
/
/
/
ЗП
Рис. 11.14.
В случае изотропной оболочки в A1.59) и A1.60) следует считать ?i=?2=
Параметры Л для ряда низших форм колебаний защемленной по контурной
параллели незамкнутой оболочки с вершиной и центральным углом 2/?0, при-
приведены на рис. 11.13 [6].
Для сферической незамкнутой оболочки со свободными контурными парал-
параллелями с достаточной точностью имеют место колебания без растяжения сре-
срединной поверхности. Частота
V ?h
= [blB
2л2 A -
(Н.62)
Значения &2 в этом случае даны на рис. 11.14 [6].
Б. Пологие оболочки. Для пологой сферической оболочки кривизны
=#=-—. Система уравнений A1.6) упрощается и введением функции
199

безразмерных координат аи/? 0=F(a, /?) sin со t [13] по формулам
1 1
Eh
A1.63)
приводится к одному уравнению
у—PA«>aw=Of A1.64)
которое не отличается от уравне-
уравнения колебаний пластинки на уцру-
го-м основании с коэффициентом
постели
Eh
A1.65)
Рис. 11.15.
Частота определяется формулой
A1.66)
1
где ртп — частотный параметр пластинки с контуром, соответствующим кон-
контуру сферической оболочки (круглая, прямоугольная, треугольная и т. д.) при
заданных граничных условиях (опирание, защемление, смешанный случай).
Для свободно опертой пологой сферической оболочки, контур которой огра-
ограничен прямолинейными отрезками, частотный параметр ртп совпадает с соб-
собственными значениями уравнения о колебаниях мембраны [15]
Vaw + X1w = 0, A1.67)
т. е.
где W — равномерно распределенные по контуру сжимающие или растягиваю-
растягивающие силы. В частном случае N=0
tmn = K (Н.68)
Для оболочек с прямоугольным контуром (рис. 11.15; Rx=Ry=:R) в слож-
сложных случаях граничных условий частота колебаний может быть найдена по
формуле A1.60), в которой /и1=/г2=/г; Е\=Е\
Д ^
A1.69)
Н1 = а
— a\h ~ aW^~ a\
200

«4 =
= 2 A
2 (I -
/г2
дтп; утгП\ kmn находятся по табл. 11.1.
При свободном контуре происходят колебания без растяжения срединной
поверхности с частотами [6]
_2A — ^)^^гЬтЬп]. A1.70>
§ 11.4. Пологие оболочки двоякой кривизны
и другой формы
Для пологих оболочек положительной гауссовой кривизны с постоянными
кривизнами Kx=l/RxH Ky=l/Ry (рис. 11.15) уравнения технической момент-
ной теории в безразмерных координатах а и /3 имеют вид [13]:
Eh
2 2
V V Т
'
—— = о.
Для случая свободного опирания контура решение уравнений A1.71) сле-
следующее
ср = ^ 2 ^тп s*n РтР- sin Vt$ s^n ш^1
'тя sin \xma sin [хлр sin co^,
где
; т, п = 1, 2, 3, . . .
Частота колебаний определяется формулой [13]
A1.73)
из которой при Rx = Ry=R получаем формулу частоты сферической оболочки,
а при Rx= °o; Ry = R — цилиндрической
v
Уравнение минимума
=0 для фиксированного значения \ьп и
=0 для фиксированного значения цт не имеют действительных корней, чтс
показывает монотонный характер изменения w^ в зависимости от \im и \in.
201

Следовательно, основному тону собственных колебаний соответствуют появ-
появление по одной полуволне в направлениях х и у, т. е. т—п—\.
В других случаях закрепления краев результаты могут быть получены ме-
методом Галеркина по A1.16) — A1.18) при помощи балочных функций.
Рис. 11.16. Рис. 11.17.
Для шедовой оболочки (рис. 11.16), кривизна которой
#*=-^о-- —; Ку = -г— = const,
Кх ро Ау
метод Галеркина при свободном опирании контура дает [13]
Eh
*> <& + А J + ТТ—ТТГ— I . (И-74)
ОJ =
тп
1
где fim и fin соответствует A1.72).
Для пологой оболочки отрицательной гауссовой кривизны типа гипербо-
гиперболического параболоида (рис. 11.17) /С^=/Су = О, а кривизна кручения
Уравнения моментной теории имеют вид
1 4/
4/
дхду
аЬ дхду
' + ph —
0.
A1.75)
A1.76)
Вводя в A1.73)
получаем
с
где
4/
; ф = F (X, у) Sin at, A1.77)
= 0, A1.78)
192A—[
16ЕР
A1.79)
202

Для свободного опирания контура [14], принимая
у) = 2 2 Атп sin v*mX sin [±п
где
Ни,
А/
49
0,7
0,5
A1.80)
I Y-n
\
\
V
«IV
л
О 20 40 SO вО t
Рис. 11.18.
; т, п = 1, 2, 3, . . . ,
т=2,п=2
Рис. 11.19.
получаем
Здесь
192A -
(г2т2 + /г2J -*- ¦
(г2т2 + /г2J
. A1.81)
Из A1.79) и A1.81) следует, что частоты колебаний при заданных размерах
af b, f зависят от отношения t.
На рис. 11.18 представлен график зависимости ртп от t для квадратной
оболочки. Значения t, соответствующие появлению одной, двух и т. д. полу-
полуволн формы колебаний основного тона, даны в табл. 11.4.
Таблица 11.4
п
1
2
3
4
г- 1,0
11,04
23,65
53,37
104,86
1,5
29,22
95,78
243,65
2,0
72,57
278,49
Пример сравнения динамической жесткости цилиндрической оболочки, ги-
гиперболического параболоида и сферической оболочки дан в табл. 11.5. Для
всех оболочек имеем: а = Ь=\8 м; /г=0,1 м\ ?=б-103 мн/м2; у= 1,6-10~2 мн\мъ\
/*=0,167.
203

Таблица 11.5.
А м
1,0
2,0
3,0
со
Основной тон Хтп = —г^~ , гц
Цилиндрическая
оболочка A1.33)
Ai2=2,02
Ai3=3,08
А13=3,41
Гиперболический
параболоид
Яц=1,97
А12=3,32
Я13=4,36
Сферическая
оболочка A1.66)
Ап = 3,79
Яи = 7,39
Яц = 10,72
Видно, что с ростом подъемистости жесткость,гиперболического параболои-
параболоида повышается в сравнении с цилиндрической оболочкой, но остается ниже,,
чем для сферической.
В [1] задача решается методом конечных разностей на основе уравнении
A1.76) для граничных условий
dw =0.
w = и = Ny =
дх
dw
= 0.
Пример определения двух низших форм симметричных колебаний оболочки
и соответствующих им частот приведен на рис. 11.19. Рассмотрена квадратная:
оболочка: а=15 м\ /г=0,06 м\ /==4,5 м\ ?=3,5-103 мн/м2; ^ = 0,167.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абовский Н. П., Савченков В.И. О собственных колебаниях
пологих оболочек типа гиперболического параболоида. Сб «Пространствен-
«Пространственные конструкции в Красноярском крае». Вып. 3. Изд-во Красноярского поли-
политехнического института, 1968.
2. В л а с о в В. 3. Общая теория оболочек. М., ГИТТЛ, 1949.
3. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М., Гос-
техиздат, 1953.
4. Гонткевич В. С. Собственные колебания ортотропных цилиндри-
цилиндрических оболочек. Труды конференции по теории пластин и оболочек. Казань,.
1960.
5. Гонткевич В. С. Власш коливання замкнутих цилшдричних оболо-
нок з р1зними крайовими умовами. Прикладна мехашка. Т. IX, Вип. 2. К.,.
Вид-во АН УРСР, 1968.
6. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек
(справочное пособие), К., «Наукова думка», 1964.
7. Григолюк Э. И. О малых колебаниях тонких упругих конических
оболочек. Изв. АН СССР, ОТН, 1956, № 6.
8. Л и з а р е в А. Д., Павловская Л. Д. Свободные колебания поло-
пологих цилиндрических оболочек. Прикладная механика. Т. IV. Вып. 1. Киев,.
«Наукова думка», 1968.
9. Л у ж и н О. В. К вопросу о свободных колебаниях тонкой сферической
оболочки. Строит, мех. и расч. сооружений, № 3, М., Госстройиздат, 1961.
10. Ляв А. Е. Математическая теория упругости. М., ОНТИ, 1935.
11. Никулин М. В. Влияние осевых усилий на частоты собственных ко-
колебаний цилиндрической оболочки. Собственные колебания цилиндрической
204

оболочки, предварительно нагруженной крутящими моментами. Сб. «Прочность
цилиндрической оболочки», М., Оборонгиз, 1969.
12. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. М., Судпромгиз, 1961.
13. О н и а ш в и л и О. Д. Некоторые динамические задачи теории обо-
оболочек. М., Изд-во АН СССР, 1957.
14. Пискунов В. Г. Собственные колебания пологой оболочки типа
гиперболического параболоида. Сб. «Пространственные конструкции в Красно-
Красноярском крае». Вып. 4, Красноярск, Изд-во Красноярского политехнического ин-
института, 1969.
15. Сачен ков А. В. Определение частот свободных колебаний пологих
сферических оболочек и плоских пластин на основании мембранной аналогии.
Прикладная механика. Т. 1, Вып. 1, Киев, «Наукова думка», 1965.
16. Филиппов А. П. Колебания цилиндрических оболочек. Т. 4, М.,
ПММ, 1938.
17. Филиппов А. П. Колебания механических систем. Киев, «Наукова
думка», 1965.
18. А г п о 1 d R. N., W а г b u г t о n G. В. The flexural vibration of thin
cylinders, Proc. of the Inst. of Mech. Engrs., 1955 (A), v. 167, № 1.
19. Cooper R. M., N a g h d i P. M. Propagation of nonaxialJy symmetric
waves in elastic cylindrical shells, J. Actmst. Soc. of Amer., 1957, v. 29, № 12.
20. D о n n e 1 L. H. Stability of thin walled tubes under torsion, Trans.
ASME, 1934, №56, № 11.
21. Herrmann G., Mi г sky I. Three — dimensional analysis of axially
symmetric motion, J. erf АРМ, 1956, v. 23, № 4.
22. L a m b H. On the vibration of a spherical shell, Proc. Math. Soc. of
London, 1882, v. 14, p. 50.
23. L i n Т. С, М о г g a n G. W. A study of axisymmetric vibrations of
cylindrical shells affected by rotatory inertia and transverse shear. J. of АРМ,
1956, v. 23, № 2, 255.
24. M i г s k у I., H e г г m a n n D. Aaially symmetric motions of thin cy-
lindical shells, J. of АРМ, 1958, 25, № 1.

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
Глава XII. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Предметом вариационного исчисления является отыскание неизвест-
неизвестных функций fi(x, у, z), реализующих максимум (минимум) или стацио-
стационарное значение определенного интеграла (функционала).
Например:
Э = J F [ft (х, у, г), /2 (х, yt z) . . . fn (x, у, z);
f\ (-*, у, z) . . ,f'n (x, у, z); x, у, z] dv0 A2.1)
(Сравним: отыскание неизвестных значений независимых пе-
переменных, реализующих максимум (минимум) или стационарное значе-
значение заданной функции).
Бели все функции f; (x, у, г), входящие в функционал, независимы меж-
между собой, то вариационная задача называется свободной, а функционал —
полным.
В несвободной вариационной задаче между варьируемыми параметрами
имеются зависимости — уравнения связи (дополнительные условия *), которые
должны быть удовлетворены предварительно, т. е. до варьирования функцио-
функционала.
Можно совершить переход от несвободной задачи с дополнительными ус-
условиями к свободной, используя метод множителей Лагранжа, в соответствии
с теорией преобразования вариационных проблем [1].
Условия, при которых функционал имеет стационарное значение (макси-
(максимум, минимум), называются (дифференциальными) уравнениями Эйлера и
естественными (эйлеровыми) граничными условиями. Функционал имеет ста-
стационарное значение (седловую точку), если дЭ=® (здесь имеется в виду
вариация функционала по всем независимым переменным). Вопрос о наличии
локального экстремума решается знаком второй вариации 62Э.
Вид уравнений Эйлера зависит от формы математической реализации ста-
стационарного значения функционала: аналитической, численной (конечно-раз-
(конечно-разностной) и смешанной.
При аналитической форме уравнения Эйлера, как правило, могут быть диф-
дифференциальными уравнениями с естественными граничными условиями. При
численной форме, когда искомые функции отыскиваются в виде сеточных и
функционал преобразуется в алгебраическое выражение путем замены интег-
интегрирования суммированием, а дифференцирование — численным дифференци-
дифференцированием по соответствующим конечно-разностным формулам [б], уравнениями
* Если дополнительные условия представлены уравнениями и неравенствами, to ре-
решение такой задачи классическими методами вариационного исчисления затруднено и
привлекаются методы математического программирования.
206

Эйлера является система алгебраических уравнений с искомыми значениями в
узлах сетки.
Приведем для справки систему уравнений и граничных условий линейной
теории упругости.
Три статические уравнения:
—?^J_ i _^?3L i -^^- 4- X = 0 I
дХ ду * " A2.2)
Шесть геометрических уравнений:
ди
*х~~ дх =
ди
1ху~ дх ^ ду
A2.3)
Шесть физических уравнений:
'[¦
дх
ду
ди dv
+
ду дх Г
A2.4)
Статические граничные условия на участках Si:
где Рх = oxljjt- ixym -\- ъхгп\ I, т, п — направляющие косинусы; Ру
A2.5)
Геометрические граничные условия на участках St-
и — н* = 0, v — v* = 0; w — ш* = 0. (Д2:б)
Обозначения даны в табл. 12.1.
Звездочкой отмечены заданные на контуре факторы.
Рассмотрим полный функционал линейной теории упругости A2.7) [см.
табл. 1], в котором все компоненты векторов напряжений, деформаций и сме-
смещений будут рассматриваться как независимые
Э (и, V, W\ aXt ayt zzy zxy, zyz, zxg; e.v, eyt e,, ixyt *{yz, ^xz). A2.7)
Общий вариационный принцип. Истинные поля напряжений, деформаций и
смещений таковы, что полный функционал имеет стационарное значение.
207

ю Таблица! 2.1. Полный функционал линейной теории упругости
00
чт«
- 1 dv
+ Qy [ ду
dw
<
-)
) + *\ + W(*X*y
— 1 dw \
dxdydz — \ I /
-П
5B)
G 2
+ ?x*z + еуег)] + — (fxy 4
— / du dv \
Г Г
>xadS["- P*yvdS[V-
5B)
2 Г Г -
Py(v-v*)dS2 -JJ Я*
52
fl4
52
(^ — *Z?J
2 , " / да \
tyz) — (Xu + Yv + Zw) -f *x 1 "Г— — ?лг I +
/ du dw \ _ / dt/
\ ^<? ^jc "^^ / ^ I dz
1 JJ
Обозначения:
--— L +ET. + 'Г. +.«• г" = —
Л" q \ X *^ L ДГ "T" r* \ у i^ Z/ J > ^y Q
ay - 2 |ay + E ley + H- (e* + ?z)J; ^ - 2
7-—la ' e ' e si т = —

Общая вариационная теорема. Для вариационного уравнения $Э=0, где
Э — полный функционал теории упругости A2.7), уравнениями Эйлера и есте-
естественными граничными условиями является полный комплекс статических, гео-
геометрических и физических уравнений теории упругости с соответствующими
граничными условиями B-г-6).
Убедиться в справедливости теоремы можно путем варьирования по всем
/du\
независимым переменным, используя при этом соотношения вида bi — 1 =
д
= -— (д и) и формулу интегрирования по частям.
Таким образом полный функционал содержит в необходимой и достаточ-
достаточной мере всю информацию о теории упругости, так что для решения задач не
требуется привлечения каких-либо дополнительных условий кроме тех, кото-
которые содержатся в полном функционале.
Из полного функционала теории упругости, k&jl свободной вариационной
задачи, могут быть получены различные частные функционалы, как несвобод-
несвободные вариационные задачи с дополнительными условиями. В качестве дополни-
дополнительных условий принимаются какие-либо выражения из уравнений Эйлера и
естественных граничных условий, реализующих стационарное значение пол-
полного функционала. Выполняя дополнительные условия предварительно (до
варьирования) и исключая с их помощью зависимую часть функциональных
аргументов из функционала, получаем соответствующий частный функционал.
Частные вариационные принципы. Из всех возможных полей напряженного
и деформированного состояний упругого тела, удовлетворяющих дополни-
дополнительным условиям, в действительности имеют место лишь те, которые придают
соответствующему частному функционалу стационарное значение.
Частные вариационные теоремы. Для вариационного уравнения ^Эк=0
с некоторыми дополнительными условиями, где Эк — частный функционал тео-
теории упругости, уравнениями Эйлера являются те уравнения и естественные
граничные условия, которые в совокупности с упомянутыми дополнительными
условиями составляют полный комплекс уравнений и граничных условий тео-
теории упругости, т. е. уравнений Эйлера и граничных условий для полного ва-
вариационного уравнения.
Отсюда следует тождественность постановки задач теории упругости на
основе полного и частных вариационных уравнений,
В качестве примеров можно привести частные вариационные принципы
Лагранжа, Кастильяно, Рейсснера для граничных условий и др.
Принцип минимума для смещений (Лагранжа) Э (и, v, w) получается,
если в качестве дополнительных принять физические A2.4) и геометрические
A2.3) уравнения, а также — геометрические граничные условия A2.6) на кон-
контуре 52. Иными словами, возможными функциями смещений и, v. w являются
лишь те, которые удовлетворяют указанным дополнительным условиям. А из
всех возможных смещений действительными будут те, при которых
ЬЭ (и, v, w) = 0. A2.8)
Уравнениями Эйлера для A2.8) являются статические уравнения A2.2) в об-
области и граничные условия A2.5) на Гь
Принцип максимума для напряжений (Кастильяно) Э(оХу.. .?хг) полу-
получается, если в виде дополнительных принять физические A2.4) и статические
уравнения A2.2), а также статические граничные условия A2.5) на S\. Из всех
возможных, т. е. удовлетворяющих дополнительным условиям, функций на-
напряжений оХ9..., %Ху в действительности имеют место те, при которых
»Э(^. . .т^) = 0. A2.9)
Уравнениями Эйлера для A2.9) являются геометрические уравнения в напря-
напряжениях и граничные условия A2.6) на 52.
Функционал Рейсснера [2] Э(и, и, w\ oxf-ixz) получается, если в ка-
качестве дополнительных принять физические уравнения A2.4).
14—28 209

Если в качестве дополнительных принять все статические, геометрические и
физические уравнения A2.2)—A2.4) в области, то придем к функционалу
граничных условий [2]. Из данного функционала как условия стацио-
стационарного значения следуют все граничные условия A2.5) — A2.6) на Si и $2-
О классификации вариационных и численных методов. Система полного и
частных функционалов охватывает все возможные случаи постановки (форму-
Полный
функци-
функционал
Схема полных и частных функционалов.
лировки) задач теории упругости (схема), в том числе и нерассмотренные вы-
выше смешанные функционалы. Взаимосвязь между ними определяется теорией
преобразования вариационных проблем [1]. Благодаря общности и строгости
теория полного и частных функционалов может быть положена в основу клас-
классификации методов решения задач теории упругости. Комплекс функционалов
охватывает все возможные случаи постановки задачи в зависимости от выбора
комбинаций искомых функций. Каждому из функционалов может быть постав-
поставлен в соответствие один или несколько определенных методов расчета. Можно
показать, что все методы расчета являются выражением общей идеи расчле-
расчленения сложной системы на элементы. С математической точки зрения расчле-
расчленение выражается в выборе некоторых дополнительных условий и соответст-
соответствующего частного функционала. В ряде случаев расчленение сопровождается
механической трактовкой [10, 13]. К примеру, использование в строительной
механике основной системы, получаемой из заданной путем наложения или
снятия связей, является средством для выполнения дополнительных условий
(см. ниже функционал для граничных условий многоконтактной задачи).
210

На схеме классификации, кроме системы функционалов, показана связь их
с методами аппроксимирующих функций для численного решения краевых за-
задач теории упругости [4, 5]. Аппроксимирующие функции подбираются так, что
дополнительные условия удовлетворяются точно, а параметры при подходящих
функциях — из условий приближенной реализации стационарного значения
соответствующего функционала.
В методе Треффца подходящие функции точно удовлетворяют всем уравне-
уравнениям в области, а функционал граничных условий привлекается для прибли-
приближенного удовлетворения граничных условий.
В методе Ритца подходящие функции точно удовлетворяют определенной
части граничных и других условий. Оставшаяся же часть условий удовлетво-
удовлетворяет приближенно с помощью соответствующего частного функционала (кро-
(кроме граничных условий).
В методе Галеркина фактически используется преобразованное вариацион-
вариационное уравнение с выделенными вариациями искомых величин. Поэтому для
правильного конструирования уравнений Галеркина в случае некоторых до-
дополнительных условий могут быть использованы соответствующие различные
частные функционалы (без исключения).
Метод сеток [6] универсален, так как применим для реализации стационар-
стационарного значения любого функционала. Дополнительные условия, представленные
в конечно-разностном виде, вместе с уравнениями Эйлера в виде сеточных
уравнений составляют разрешающую систему сеточных уравнений. В смешан-
смешанных методах [11, 12}, которые^ также имеют вариационное происхождение, со-
сочетаются аналитический и численный подходы в зависимости от области ра-
рационального их использования. Например, в тех случаях, когда граничные
условия на двух противоположных краях трудно описать в виде аналитиче-
аналитических подходящих функций, в качестве последних могут использоваться неко-
некоторые комбинации аналитических и конечно-разностных функций.
Многоконтактные задачи. Для упругих тел, скрепленных в отдельных точ-
точках, линиях, площадках, т. е. для многоконтактных систем, также возможно
построение комплекса полного и частных функционалов в соответствии с тео-
теорией преобразования вариационных проблем [1].
В работе [9] приведен комплекс функционалов для многоконтактных задач
теории ребристых пологих гибких оболочек и пластинок. Учитывая, что глад-
гладкие панели оболочек (между ребрами) могут иметь различные толщины (в
том числе и равные нулю), постоянные в пределах каждой панели, структура
полного функционала такова: составленные выражения функционала для каж-
каждого из элементов связаны условиями сопряжения элементов между собой.
Среди прочих функционалов представляет интерес функционал граничных
условий для многоконтактной задачи [9, 2]. Можно показать, что классические
методы строительной механики (методы сил, перемещений, смешанные), систе-
система функционалов для строительной механики стержневых систем, предложен-
предложенная И. И. Гольденблатом [7], различные варианты метода конечных элементов
[13] исходят из функционала граничных условий многоконтактной задачи.
Действительно, расчленим рассматриваемую систему (континуальную или
стержневую) на элементы того или иного вида, сопряжение которых будем вы-
выполнять в отдельных точках. Примем в качестве дополнительных условий вы-
выполнение статических, геометрических и физических уравнений внутри об-
области каждого из элементов. Если задача линейная, то с этой целью строят,
например, матрицы жесткости (податливости) для конечных элементов. Реше-
Решение задачи связано с функционалом граничных условий, из которого следуют
в качестве естественных (эйлеровых) граничных условий (в случае справедли-
справедливости принципа наложения) алгебраические уравнения классической строи-
строительной механики (в зависимости от того, в каких функциях решаются конеч-
конечные элементы). Если форма, размеры конечных элементов и связи между ни-
ними будут приняты такими, какие по существу имеют место в методе сеток, то
данная система конечных элементов явится механической (интерпретацией)
моделью, используемой в методе сеток. Между методом сеток и соответствую-
соответствующим методом конечных элементов не будет существенных различий [14].
14* 211

ЛИТЕРАТУРА
1. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1,
М.—Л., Гостехтеориздат, 1951.
2. Рейсснер Э. О некоторых вариационных теоремах теории упругости.
Сб. «Проблемы механики сплошной среды» (К 70-летию акад. Н. И. Мусхе-
лишвили). М., Изд-во АН СССР, 1961.
3. Слезингер И. Н. Принцип Кастильяно в нелинейной теории упру-
упругости. Прикладная механика. Т. 5. Вып. 1. Киев, Изд-во АН УССР, 1959.
4. А й н о л а Л. Я. Вариационные принципы и теоремы взаимности для
динамических задач теории оболочек. Труды VI Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластин. М., «Наука», 1966.
5. М и х л и н С. Г. Численная реализация вариационных методов. М.,
«Наука», 1966.
6. В а р в а к П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пла-
пластин. Т. I и II. Киев, Изд-во АН УССР, 1952.
7. Гольденблат И. И. Экстремальные и вариационные принципы в
теории сооружений. Строительная механика в СССР A917—1957). М., Гос-
стройиздат, 1957.
8. Вайнберг Д. В. Численные методы в теории оболочек и пластин.
Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. (Баку,
1966). М., «Наука», 1966.
9. А б о в с к и й Н. П. Вариационные уравнения многоконтактных задач
теории пологих оболочек и пластин. Труды VII Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластин. М., «Наука», 1970.
10. Ф и л и н А. П. Расчет оболочки произвольного очертания на основе
дискретной расчетной схемы. Труды Всесоюзной конференции по теории обо-
оболочек и пластинок. Казань, «Наука», 1961.
11. Хуберян К. М. Общий смешанный вариационно-стержневой метод в
применении к толстым. симметричным оболочкам произвольной формы. Труды
VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Баку, 1966), М.,
«Наука», 1966.
12. Азархин А. М. К расчету оболочек, подкрепленных ребрами.
«Строительная механика и расчет сооружений», 1967, № 3 E1).
13. А р г и р и с Д ж. Современные достижения в методах расчета конст-
конструкций с применением матриц (под редакцией Смирнова А. Ф.). М., «Строи-
«Строитель», 1968.
14. А б о в с к и й Н. П. О непосредственном выводе уравнений метода се-
сеток. Сб. «Пространственные конструкции в Красноярском крае» (материалы
III конференции). Красноярск, Изд-во Красноярского политехнического инсти-
института, 1968.
Глава XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД
(МЕТОД ПРЯМЫХ)
Дифференциально-разностный метод — это метод, основывающийся на при-
применении разностных соотношений той или иной структуры [4, 7—И, 13—15,
17, 18]. Этот метод позволяет свести двухмерную или трехмерную задачу к
одномерной, т. е. аппроксимировать с определенной точностью дифференциаль-
дифференциальное уравнение с частными производными (или систему таких уравнений) си-
системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Основная суть его состо-
состоит в следующем.
Положим, что необходимо в прямоугольной или непрямоугольной области
(рис. 13.1, а, б) при заданных условиях на ее границе найти решение диффе-
дифференциального уравнения
A3.1)
- . u* \ иУ j \
k = A \r=0 )
212

д° д°
где f(x, у) — искомая функция; q(x, у) — грузовой член;—-=—=1; 040=1;
о х° ду°
остальные ад»г (х, у) — переменные коэффициенты, изменяющиеся плавно и не-
непрерывно в рассматриваемой области.
Разобьем область АВСД п + 2 прямыми на п+1 полосу шириной /i
Рассматривая уравнение A3.1) на каждой прямой i(i=0, 1, 2,..., п, я+1), за-
n+3
n
i
2
1
0-
У
в
A
С
X
9
у
/В
i
/
\
\
\
\ V
si V_l
/
1
I
й\
\
-1
1
У
с/
/
i
Рис. 13.1.
меняем частные производные по у центральными разностными соотношениями:
-tJ-(//-i-/,+i) + Oi(as); A3.2)
\ ду )У.У1
ду
1
дуъ Jy=y.
2ЛЗ
(//-1 - 2/. + //+1) + О2 (Л2); A3.3)
+//+2)Н-О3(Л2); A3.4)
ду*
ifi-2 - 4Л--1
0' = 0, 1, 2, . . . я, /г-Ы);
A3.5)
остаточные члены Од, (/г2) (&=1, 2, 3, 4) опускаем. В результате придем к си-
системе из я+2 обыкновенных дифференциальных уравнений
(
2 2 "kr.t
dx
k-r
/| = ^ ('=0,1,2.... л,
|, A3.6)
2
Д; = 4 lr-0
Г^е с40./ =1' остальные а*Г|/(*) =akr(x, у)/у=у.
Неизвестными в системе A3.6) являются функции f-t(x) (i=0, I, 2,..., п,
л+1) и «законтурные» функции f_2W, f_t (л:), fw4_2(A:)' /я + зМ- Послед-
Последние находятся из граничных условий на краях АД, ВС и исключаются из систе-
системы A3.6). После этого решение задачи будет состоять в интегрировании полу-
213

чившейся системы и подчинении ее решения граничным условиям на краях
АВ и СД.
Возможна и иная схема использования дифференциально-разностного ме-
метода для решения уравнения A3.1). Она основывается на представлении его
в виде системы из двух уравнений с частными производными второго порядка
по переменной у. Например уравнение A3.1) можно представить так:
dk~r ( drf
k = A r=0
dx
k~r
4-
дх
k~r
г-1
дуг
dy*
A3.7)
где
21 043; 622=044; б^язз, а <р(х, у)—некоторая вспомогательная функция.
Рассматриваем систему A3.7) только на прямых i (i=\, 2,..., п); частные
производные по у заменяем "соотношениями A3.2) и A3.3); члены 0\(№) и
O2(h2) опускаем; переносим в правую часть получившейся системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений «контурные» функции fo(x), фо(х), fn+i(^)>
(х)\ результат записываем в виде двух матричных уравнений:
A3.8)
A8N) Ф = Q + Я*;
где
= A7D
1
1
2h
0
1
0
0
—1
0
0
_ I
. 0
. 0
0
0
1
0
0
1
0
0
I
0
A=
1
h2
14»
—2
1 0 0 0 ... О
1 —2 1 0 0 ... О
О .
0.
.001-2 1
.000 1—2
квадратные матрицы п-то порядка;
Am М (л*=1, 2,..., 14)—диагональные матрицы п-то порядка с элемен-
элементами akr t (x) (i=l, 2,..., п);
F - (Л, /а, • • • /я); Ф = (Ti> Та. ¦ • • Тя>;
Q = (<7i, Чч> • • • ^я); Я* = ^ip + ^ер" + ^юР2 4-
Фп
(То, О,
(/о, 0, ... 0);
о); фя+1=(о, о,
столбцевые матрицы порядка п.
= @, 0, . .
• 0, ?„ + !).-
2>14

Здесь и далее штрихами будем обозначать обыкновенные производные по
той из переменных, в направлении которой вводятся прямые.
Исключая из первого уравнения системы A3.8) столбец Ф, окончательно
получаем аппроксимирующее уравнение
F]y + H,Fm + H2FU + HzFl + H±F = Q + R, A3.9)
где
R = R*- A9Np[ - (A4D + AgN) Pl.
Условимся, что в дальнейшем вышеизложенная процедура получения ап-
аппроксимирующей системы или аппроксимирующего уравнения, подобных систе-
системе A3.8) или уравнению A3.9), будет опускаться, если она не претерпевает
изменений.
Правая часть уравнения A3.9) содержит «контурные» функции; в зависи-
зависимости от граничных условий на краях АД и ВС (см. рис. 13.1), часть их может
быть известной, а часть — нет; в общем случае все они будут неизвестными.
Предположим, что имеет место последнее. Тогда, чтобы можно было проин-
проинтегрировать в замкнутом виде уравнение A3.9), необходимо их представить
функциональными рядами (например, рядами тригонометрических функций,
степенными полиномами, рядами балочных функций, полиномами Чебышева
и т. л.) с неизвестными коэффициентами. В ходе решения задачи коэффициен-
коэффициенты в рядах, представляющих неизвестные «контурные» функции, должны быть
определены из соответствующих условий на краях АД и ВС, а также в угло-
угловых точках А, В, С, Д. В этих условиях частные производные по у следует
записать в разностном виде, воспользовавшись многочленными односторонни-
односторонними формулами численного дифференцирования [12].
В рассматриваемых ниже задачах условия для определения коэффициентов
в рядахт аппроксимирующих неизвестные «контурные» функции, устанавли-
устанавливаются без труда (см., например, [7—10]). Поэтому этот вопрос, за редким
исключением, был опущен.
С помощью «скользящей» интерполяции [4] аппроксимирующие системы или
уравнения, подобные приведенным выше, можно -нолушта и в том случае,
когда целесообразно взять расстояние между вводимыми прямыми неодина-
неодинаковым. Далее всегда имеется в виду случай ft=const и используется дифферен-
дифференциально-разностный метод по схеме с «контурными» функциями.
§ 13.1. Решение плоской задачи в напряжениях
Рассмотрим прямоугольную пластину, нагруженную на контуре нормаль-
нормальными о]*\г=\, 2, 3, 4) и касательными г^(г=1. 2, 3, 4) напряжениями
(рис. 13.2). Плаское напряженно-деформированное состояние пластины считаем
несимметричным относительно осей х и у. Уравнение
где
ф(Х1 У) —функция напряжений, которую представим в виде системы
V2/ = 0; v2<P = /> A3.10)
где
f(x, у) —вспомогательная функция.
215

Аппроксимирующая система для системы A3.10) имеет вид:
F» + DF = -h-2(F0 + Fn+l);
Ф" + ?>Ф = ~ ЬГ2 (Фо + Ф„ + 1 ),
A3.11)
где
Рис. 13.2.
С помощью матрицы В [18] с элементами
= (—\)
i+s
I /
2 п is
sin—— 0'» 5=1, 2,..., я; i — номер строки, 5 — нимер
sin:
J /г+1 п-\-\
столбца) преобразуем систему A3.11) в систему с разделенными функциями.
Нетрудно убедиться в том, что В = В~1 (В-1 — обратная матрица), а
1ДВ = ВДВ=Иг2 Я=—а2, где Я — диагональная матрица с элементами
Xz- = — 2 | 1 + cos
Следовательно,
= 1, 2,
л).
Подставляя A3.12) в A3.11) и умножая результат слева на В, получаем
A3.13)
в" -
- Л

где
v - вг = <<(,,, ф„ .... ф„), в = вф = (а,, »2>. . ., »л].
a 5i и 5 — первый и последний столбцы матрицы В.
2,16

Воспользовавшись рамной аналогией [3J, определяем на контуре пластины
значения функции (р(х, у) и ее нормальной производной: $\ [— 1 =t^ (г=
\дп)г
= 1,2,3,4). Значит, щ(х) —^^ (х),Чп+\ (х)~9^ М» т- е- известны; неиз-
неизвестными остаются «контурные» функции fo(x), fn+l(x). Представляем их,
например, степенными полиномами
т+2 т+2
г = 0 г=0
с неизвестными коэффициентами с^0) и d^+1)(r=0, 1, 2,..., т+2).
В точках Л, В, С и Д (см. рис. 13.2) полиномы A3.14) должны удовлетво-
удовлетворять условию вида ох+оу—!; например в точке Д условию
Общее решение системы A3.13) с учетом A3.14), <р^ (х), <p\k) (x) имеет
вид:
з т=2
r=2 r=0
3 m + 2
-**H
X
r—0 r=0 0
X [^i?2fe>E) + #/z?4^E)] Sh a (X — S) ds, A3.15)
где
Yo (ax) = Ch ax; Y2 (aX) = ^— ал: sh ал;
К, (ал) = sh ax; Уъ (ax) = (ла ch ax — sh ал);
a 2a3
If If
Эг (ал) = I Sr Sh а (л — 5) ds; pr (ал) = I Pr (a5) sh а (л — 5) ds;
a J a J
0 0
Ar (r=0, 1, 2, 3) —столбцы постоянных интегрирования.
Для определения Ат (г=0, 1, 2, 3) имеем следующие граничные условия:
(i=l, 2,..., я). Запишем их в матричном виде:
Ф@) = Ф1(Л); ФBл) = Ф3^}; Ф/@) = 7'AЛ); Ф'Bа) = T{sk) .
Умножим эти равенства слева на В. Это даст:
A3.16)
В Bа) = ДФW ; в' Bа) =
Подчиняя решение A3.15) условиям A3.16), найдем в самом общем виде
/1г(г=0, 1, 2, 3). Таким образом, решение рассматриваемой здесь задачи по
217

существу сводится к определению коэффициентов полиномов A3.14). Для это-
этого на гранях АВ и СД остаются условия:
у-0
дУ у-26
Пример 1. Определить напряженное состояние квадратной балки-стенки,
находящейся под нагрузкой q= const или р=const (рис. 13.3,а); интенсивность
опорных реакций: ро = 5<7 (<7=const) или ро — Р (p=const).
уР-const
q^const
tun.
5 4 3 2 1 0
,po=con$t
Рис. 13.3.
Из-за симметрии относительно оси хсро= <р2, fo=f2. Поэтому здесь аппрок-
аппроксимирующая система имеет вид:
F» + DCF = —*
Ф" + йеФ — — i
Ф6,
A3.17)
где
h?
—22000
1—2100
0 1—210
0 0 1—21
0 0 0 t -2
Матрица Вс, обратная ей Вс и диагональная матрица Яс[7]9 имеют эле-
элементы:
«Bs-!)(/-!)
cos (i, s = 1, 2, . . . , n);
2/t
218

b-4c)_b(c) n+1 /' = 2, 3 n
X<g> = — 2 fl+;cos ДB2^~1} ) 0 = 1,2 п)(л-5).
Таким образом в данном случае В7~1ДСВС=Н~2 Хс =—ас> а следовательно,
Де=—Вса2сВ~1. С учетом этого систему A3.17), как и выше, сможем преоб-
преобразовать к виду
A3.18)
где
W=B~XF, 0=В~г ф, а В5~~1(с)— последний столбец матрицы В~1. .
В системе A3.18) значение g?6=const известно (рис. 13.3,6), а М#) пред-
представляем степенным полиномом:
/6 (х) ^ d0 + dxx + d^ + rf3^! + d4x\ A3.19)
Тогда общее решение системы A3.18) будет таким:
з 4
г-0 lr-0
Постоянные Аг (г=0, 1, 2, 3) легко находятся из граничных условий.
1 в'@) = 0; вBа) = В^1ФкBа); в'Bа) = 0,
I
где
4>k@\ и Ok Ba)—столбцы, элементами которых являются значения <р(х>
у) в точках пересечения вводимых прямых с гранями х=0 и х = 2а A3.3,6).
дер
Коэффициенты dr(r=O, 1,..., 4) определялись из условий т—/
(дер \ дер If дер \ ра
-— =qa (tf=const) или —/ — = — (p = const), которые записы-
дУ)к ду1У__а\ду)к 5
вались с помощью односторонней семичленной формулы в разностном виде
60Л ( —^-1 ^ — 147ерв + 360ер5 — 450?4 + 400ер3 — 225ер2 + 72ept — 10ер2 =
\ /л
5 5
= — 147ер6 + ^] ZrVr == — 147ср6 + VJ
r=\ s^\ \г=1
и удовлетворялись в сечениях х=0,5а, х=а и л:=1,5а. К получающимся при
этом трем алгебраическим уравнениям присоединялись еще два, вытекающие
из условий:
Л @) = / @, - а); /в Bа) = / Bа, - а).
219

После определения Лг(г=О, 1, 2, 3) и dr(r=0, 1,..., 4) находились столб-
столбцы Ф=Всв\ F=-Bc?, т. е.
5
rfrfffl
о и 2/1 а
б
Рис. 13.4.
=Е*ЙЧг Л-
. 2, . . . , 5),
У а затем вычислялись и напряжения по формулам:
*- 5
ду2
1
дхду ~ ~ 2h
5
' -4- Ида..-*&»,..L
2Л
I 5=1
(/ = 1, 2, . . . , 5)
Некоторые из полученных результатов (для сечения у==0) приведены в
табл. 13.1.
Таблица 13.1. Нагрузки и напряжения
На-
Нагрузки
Я
р
Напряже-
Напряжение
°ylP
-0
—0
0
,187
,435
0,5
-0,
-0,
а.
243
353
—0
—0
X
а
,339
,667
1,5 а
0,025
-0,579
1
9
2а
,579
,531
Пример 2. Определить напряжения в квадратной пластине, растянутой (ежа-
(y\k
той) нагрузкой о0= ~~ (&=0, 1,2,...) (рис. 13.4).
W
Для расчета было принято Л= — а; «контурная» функция Ы*) аппрокси-
о
мировалась полиномом do-\-d2X2-\-dAxA\ учитывалась симметрия относительно
оси у. В остальном решение данной задачи не отличалось от предыдущей.
220

Таблица 13.2. Напряжения
Напряже-
Напряжение
°yi
ау2
ауз
°У4
ал1
*хг
ал:з
аДГ4
а:
0
—0,0063
0,0004
0.0095
0
0,9997
0.9976
0,9937
1,0320
1
0,1344
0,1012
0,0322
0
0.3158
0,4018
0,5904
0,7039
2
0,1383
0,1033
0,0468
0
0,1441
0,2315
0,4179
0.6070
3
0,1191
0,1014
0,0470
0
0,0868
0,1499
0,3234
0,5025
4
0,1009
0,0902
0,0445
0
0,0524
0,1119
0,2632
0,4235
Расчетные данные для нормальных напряжений в сечении x=Q приведены в
табл. 13.2.
Имея решение для нагрузки сго=(—) (&=0, 1, 2, 3, 4) простым наложени-
наложением результатов можно получить решение для разнообразных нагрузок вида
4
где bk—
некоторые известные коэффициенты.
Таблица 13.3. Дифференциально-разностный метод
Метод
Дифференциально-разност-
Дифференциально-разностный
Ритца [6]
0
0
0
,8556
.8619
0,
0»
h
7661
1111
У
0
0
2Л
,5758
,5770
0
0
а
,4290
,4172
Так было найдено распределение напряжений о х в сечении х=0 о г на-
/ у2\
грузки 0=11——-]; результаты графически изображены на рис. 13.4,6 и све-
V а21
дены в табл. 13.3; для сравнения там же приведены данные, получающиеся по
методу Ритца [6], если в ряде, аппроксимирующем функцию напряжений ф(х,
у), кроме нулевого члена, удерживать еще три.
§ 13.2. Решение плоской задачи в перемещениях
Система дифференциальных уравнений равновесия плоской задачи (без
учета массовых сил), записанная в перемещениях, имеет вид
д2и 1 — р. д2и 1 + \х d2v
2
2
ду2
d2v
дхду
д2и
= 0;
= 0.
A3.21)
дх2 1 — fi. ду2 1 — (л дхду
Здесь и(х, у) и v(x, у) —перемещения в направлении осей х и у соответ-
соответственно; [I — коэффициент Пуассона.
221

Полагаем, как и прежде, что напряженно-деформированное состояние пли-
плиты является несимметричным относительно осей х и у. Тогда аппроксимирую-
аппроксимирующая система для системы A3.21) запишется так:
— ц 2Л
1 — fJL Л2
A3.22)
где
где
U = (щ, и2 ип)\ V = (vv v2 vn).
Систему A3.22) удобно записать в виде одного матричного уравнения
Т» +НгТ'+ Н2Т = /?t (- То + Тп+1) - R2 (То + Тп+1 ) = R, A3.23)
Т - {U. V)\ То = (Uo, Vo); Tn+l = (Un+X , Vn+1 ) - столбцы,
1+ц
О,
1-11
ЛГ, О
2
О,
D, 0
2
1 4-fx 1
1 — р. 2Л
, ?* О
-, ?* 0
1
?*
квадратные матрицы порядка 2л; ?* — единичная матрица.
Вместо системы A3.23) более целесообразно решать способом линейной ап-
аппроксимации [2] нормальное интегральное уравнение
J Tdx + tf2 ^ Trfjc2 = Ao ¦
0 0
A3.24)
где
Г*= JJ /?с(х2 — столбец частных решений, а Ло и А\ — столбцы постоян-
о
ных интегрирования.
Для этого разобьем интервалы @, 2а) сечениями *=*0=0, х=х\, х=Х2...>
x=xv ,..., x=xm, х=хтл_х=2а на т+1 малых участков длиной Aj=Xj+1—
—xj A=0, 1, 2,..., т) (см. рис. 13.2). В пределах каждош из них столбец Т
считаем изменяющимся линейно. Тогда в интервале 0<a:<a:v (xv —конечное
2B2

сечение, до которого производится аппроксимация Г, можно представить в ви-
виде полинома
V-1
где
T Т Л. X* Я Ь ( Y V \ 9 Ъ I V
s -Г
У-о
Ojc<
A3.25)
T (xj);
(О х < х,
> X
Рассматривая теперь уравнение A3.24) при х=х^ (i>=0, I, 2,..., m, m+1).
подставляем в него A3.25) и берем интегралы с учетом свойств разрывных
функций Sj и Sj+l. В результате будем иметь систему рекурентных матрич-
матричных алгебраических уравнений
То = Ао + Г* @);
Тг (Е*
7-* (х,);
v-1
/-о
A3.26)
(v = 2, 3 и, m + 1).
Здесь матрицы-Цу = 2 Hk fiki^J) (/=0, 1,2,..., v—1, v)\ индекс k обозна-
обозначает кратность интеграла, заменяемого суммой;
\ )
A <; < V —1; 1 < к < 2);
h (v. 0) = •
+ 1)!
(k + l)(xv — а:0)л —
h (v.
l
(ft + 1)!
(*v - х.)К
В частном случае, когда av—xy=J(v—/), где Д {пг+1)=2а (т. е. при де-
делении интервала интегрирования на равные участки):
h (v, J) =
(ft + 1)!
-у-
(v. 0)
*+1
(ft
(l+ft)-v*+1+(v-l)
)*+1
(Л + 1)!
223

Последние формулы удобно представить гак:
К /).
Коэффициенты yk (v, j) для k=\, 2, 3, 4 и v=\, 2,..., 10 приведены в [2].
Пример. Определить напряжения и перемещения в балке-стенке с двумя не-
неподвижными краями и нагруженной нагрузкой q=const или р=const
(рис. 13.5).
Из-за симметрии относительно оси х и$=щ; Vo=—Vi\ кроме того, имеем
u6=v6=0. Поэтому аппроксимирующая система A3.22) здесь приобретает та-
такой вид:
1
V"
V +
NM'
A3.27)
где
—22000
1—2100
0 1—210
0 0 1—21
0 0 0 1—2
0 0 0 0 0
0-2 1 0,0
0 1—210
0 0 1-21
0 0 0 1-2
D2V = 0,
0—2000
0 0—100
0 10—10
0 0 10—1
0 0 0 10
0 0 0 0 0
10-1 0 0
0 1 0-1 О
0 0 1 0—1
0 0 0 10
"const
Система A3.27) решалась способом линей-
линейной аппроксимации с учетом граничных ус-
условий
г +
0
лг2
о
т =
1-11*
Рис. 13.5.
где T=(U, V), Е — модуль упругости материа-
материала при растяжении, а столбец Q2= @, 0, 0, 0, 0);
при *=0 столбец Qi=(^, q, q, q, q) [случай
4=const] или Qi=(p, p, 0, 0, 0) (p = const); при
x=2a Qi=@, 0, 0, 0, 0).
Интервал интегрирования @, 2a) разбивал-
разбивался на 6, 7 и 8 равных участков (т=5, 6, 7).
Произведенные на ЭЦВМ расчеты показали,
что результаты 'решения системы A3.27), соот-
соответствующие т=6 и т=7, отличаются незна-
незначительно. Поэтому последние были приняты за
окончательные. Некоторые .из (полученных рас-
расчетных данных для напряжений и перемещений
приведены в таблицах 13.4 и 13.5 (для случая
<7=const).
224

.л=0,3 Таблица 13.4. Напряжения и перемещения
Напря-
Напряжения
и пере-
меще-
мещения
иЕ
qa
0
0,25а
-0,715
—1,0
0,973
—0,317
—0,941
0,761
1,821
—1,155
0,048
—0.953
0,5а
—0
—0
0,1
—0
—0
0,75а
Сеч
,096
790
N5
—0
—0
а
е н и е
,024
603
0,420
Сеч
195
—0,
709—0,
—0
—0
о,,
е н и е
181
551
—0
—0
к
У =
,013
,419
303
У =
,145
,438
1,25а
0
о, от
-0.271
0,209
а
—0,120
—0,347
1,5а
0,023
—0,134
0,132
—0,115
—0,285
1,75а
0,119
—0,039
0,085
—0,218
—0.208
Q>
0,
—0
—0
2а
337
0
063
,695
,119
Напряжения
*х\Ч
1
а б л иц а
13.5. Напряжения
У
0
—0.429
h
Сеч
—0,403
<lh
е н и е х = а
—0,341
—0,278
4h
—0,175
а
—0,037
§ 13.3. Кручение призматических стержней
Рассмотрим призматический стержень со сплошным односвязным попереч-
поперечным сечением в виде области S (рис. 13.6, а). Задача о кручении такого стерж-
может быть сведена~[\] к отысканию в 5 решения уравнения
V2? = — 2» A3.28)
а
/
/
/
\ х
У
0
X
у
п+1
а
Рис. 13.6.
15-28
225

удовлетворяющего на границе 5 условию <р = 0', у (х, у)'—функция напря-
напряжений.
Касательные напряжения в сечении стержня вычисляются по формулам":
^ дер _ Jty
где
G — модуль сдвига материала стержня, а у — угол его закручивания, опре-
определяемый из уравнения
Мкр = 2G7 JJ ср (х, у) dxdy. A3.29)
Аппроксимирующее уравнение для уравнения A3.28) имеет вид
Ф" + ?Ф = — /, A3.30)
так как здесь Ф0 = Фп+1 =0; столбец /= B, 2, 2,..., 2).
Уравнение A3.30) легко преобразуется (см. § 1) в уравнение с разделен-
разделенными функциями . .
р» -a?F = — Bf, A3.31)
Интегрируя A3.31), находим:
F = Aoch ах + А1 — sh ах + Вх\
а а2
ф = В \Л0 ch аХ -Н j4i -— sh ax\ + В Bf
( J а2
-— sh ax\
J
ИЛИ
A3.32)
"' \^г )
(/=1,2 п).
Постоянные Aqs, Als E=1,2,..., я) в ^13.3^rt находятся из граничных ус-
условий щ (хц) = <?i(x2i )=O (i=l, 2,..., я). После определения Л05, Л15 E =
= 1, 2,..., я), воспользовавшись формулами численного интегрирования, смо-
сможем из уравнения A3.29) найти угол у.
Иногда задачу о кручении целесообразно решать в полярной системе ко-
координат (г, 8) (рис. 13,6, б). Тогда уравнение A3.28) запишется так:
= -2-. (ШЗ>
Область S (см. рис.; 13.6, б) разбиваем лучами на п (полагаем п четным
2тг
целым числом) секторов с равными центральными углами h= —. Рассматривая
п
затем уравнение A3.33) на каждом из лучей и заменяя вторые частные произ-
производные по Ь разностными соотношениями вида A3.3), получим аппроксими-
аппроксимирующее уравнение
Ф" + — Ф' + — ?>0Ф = — /, A3.34)
226

где
2 1 О О О .
1—2 1 О О .
.. О 1
.. О О
0 0. ... О 1 -2 1
1 0. .. ; .0 О ,1—2
Обозначим через Во квадратную матрицу [17] с элементами
sinBi —:
i = l, 2. . : ., n\ s =
= (- I)
'-1
— cos B/— 1) 'A = 1,2, . . . , n\ 5 =
Тогда будем иметь: Bq1 =B*0 (B^ —транспортированная матрица для матри-
матрицы Во); В^хДоВо=В*оДоВо=Ьг21о=—аЪ До = — ?o«o#o, где ^ — диагональ-
ная матрица
с элементами Я^0)=— 2H + COS—j(/=l, 2,..., я); Л(^=0; Х(^==
^ ^ 2
—4; остальные А^попарно равны:Х^ =Х^„1 ; Х^0) =Х<^>2 и т. д!
Учтя все это, сможем уравнение A3.34) преобразовать к^виду .,%
F" + — F' •
г
A3.35)
где F=BQ Ф.
Общее решение уравнения A3.35) находится без труда:
Следовательно,
|. A3.36)
(/ = 1,2 п)
При г=0 значение ср должно быть конечным; поэтому в A3.36) все Als =
=0 E=1, 2,..., п), a Aos E=1, 2 п) найдутся из условий р/(/•;*)=()
(/=•1, 2 -Л) (рис. 13.6,6).
1 Положим, что начало координат расположено в центре отверстия радиуса
г0. Тогда (pi (r0) =c (i=l, 2,..., п), где с — некоторая постоянная [1]. В мат-
15*
227

ричном виде это условие запишется так: Ф(го)=С, где С=(с, с,..., с) —
столбец я-го порядка, или
Г2
F (г.) - Аогло° + A ,гр = . ° 2 B\f + В*0С. A3.37)
4 —а0
Из A3.37) найдем Ао, выраженным через А{ и с. После этого необходимо
удовлетворить условиям q>t (гщ) =0 (i= 1, 2,..., я) и найти постоянные Axi (i=*
= 1, 2, Л., п), т. е. столбец Л^ Затем, воспользовавшись условием
в котором интеграл берется по внутреннему контуру, определить постоян-
постоянную с.
Вышеизложенная методика решения задачи кручения призматического
стержня несложно обобщается-* на случай других систем координат: косо-
косоугольных, биполярных, эллиптических.
§ 13.4. Изгиб пластин
Дифференциальное уравнение изгиба пластины
представляем в виде системы
D Ш'
_ д.
A3.38)
Здесь w(x, у)—функция прогибов пластины; т(х, у)—вспомогательная
ЕЬ*
функция; D = -
12A—
внешняя нагрузка (поперечная).
— цилиндрическая жесткость; б — толщина; q(x, у) —
/ ", ч
/— '?-
1
\ J~
V -
-а
У
/
/
/ 1
У |
la
Mi
е
\
Рис. 13.7.
В отличие от предыдущего, для получения систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, аппроксимирующих уравнения системы A3.38), восполь-
воспользуемся разностным соотношением из [15]:
228

-Чглс*.
+ 10
(¦*. у)
¦ У)
-2/П^ У)
+ /* (*. у)
|У«У/-Н
| s 0 A3.39)
(/ -1, 2 и; Л-1, 2),
где /i = m, /2=о;.
Рассматривая A3.38) и A3.39) на каждой из вводимых прямых i(i=l,
2,..., и) (рис. 13.7), определяем из A3.38) значения вторых частных произ-
производных по у и подставляем их в A3.39). Конечный результат записываем в
матричном виде:
AM"
12
12
Оя+i)-"
1
"l2"(Qo"
1
12
О*о +
12
A3.40)
где Л=Р+—Ь2Д (E* — единичная матрица); М=(ти т2,..., тп)\ W=(w\.
Поскольку 1г2Д = ВЛВ, значит Л = В(Е* + —~)В (см. § 1). Учтя это, сможем
преобразовать систему A3.40) к виду
A3.41)
12Х
где 1K=-
После аппроксимации неизвестных «контурных» функций в правой части
системы A3.41) ее общее решение находится без труда. Его необходимо под-
подчинить граничным условиям на гранях АВ, СД (см. рис. 13.7) и найти постоян-
постоянные интегрирования. После этого окончательное решение конкретной задачи
будет заключаться в определении коэффициентов в рядах, которыми были
представлены неизвестные «контурные» функции [7, 9]. Количество неизвест-
неизвестных «контурных» функций в A3.41) зависит от условий закрепления граней
АД и ВС. Так, при свободном их апирании имеем то==шо—тп+х = wn+1 =0,
т. е. /^=#2=0; при жестком защемлении wo=wn+l =0, но то ф тп+\ Ф 0 ;
если же грань свободна от сил mo=D(l—/л) ад0, то ь»0Ф0 (для грани АД).
229

Связь между V и М, U и W определяется формулами:
М = BV\ W = BU, т. е. Mi = ? blsv8\ wt ="
(i=l, 2,..., я). Для вычисления изгибающих и крутящего моментов на вво-
вводимых прямых имеем формулы: •
• п*1
п
мХ1 - -
+ о (l - (
Af
xyl
5 = 1
=1' 2
Рис. 13.8.
Если вместо A3.41) воспользо-
воспользоваться разностной формулой A3.3) по-
лучим более простую аппроксимирую-
аппроксимирующую систему:
V" - a*V = BQ- /Г2 В (Мо + Мп+1 );
Пример 1. Определить некоторые из элементов изгиба свободно опертой или
жестко защемленной по контуру пластинки, нагруженной нагрузкой q = const
или сосредоточенной силой Р, приложенной.в. центре (рис. 13.8).
Из-за симметрии относительно оси х wo=w2\ то=т2', go=Q2\ поэтому здесь
вместо матрицы Д будем иметь матрицу,,Дс (см. § 13.1); следовательно, к2Дс =
= 'Bc\cB7l\ Ас = Е*+^к*Дс
1
12
Вс
—— Хс | Вс . Для случая q=const
ACQ Л- — Qn+X =Q, a Q—{q, q,..., q); в случае сосредоточенной силы Р
Ол+1=|0, a Q=(p, 0,..., 0), где p-2h = P. Кроме того wn+1=0. Таким образом
аппроксимирующая система будет иметь вид: .
з-l
Bcnmn+l »
A3.42)
где т]2,/!2 A2 + Хс) = — 12ХС; U = В~х W; V = B~lM, a F — столбец, зави-
зависящий от внешней нагрузки.
230

Полагаем, в (L&42) • mrt+1s^6+^2+ •... +dmxm (m — четное число; dr—
неизвестные коэффициенты) и находим ее общее решение:
V =
г=0
A3.43)
где
2, 4,
- 2).
12
-^~ (ch 1c-r -
л:
—
)
— Ро (^^)| (Для случая д = const); V =
^
6/" = В~
В~х -—— Yz (r\cx) (для случая сосредоточенной силы Р)\ В~г и В~п
~
первый и последний столбцы матрицы В
Столбцы постоянных Л!=Лз = 0 из-за симметрии относительно оси у\ для
определения Ло и Л2 имеем граничные условия: U=V=0 (для свободно опер-
опертой пластинки) и U-—U'—O (для жестко защемленной). При свободном опи
рании на контуре в A3.43) все коэффициенты dr = 0 (r = 0, 2,..., т)\ при
жестком защемлении они находились из условия пгп + \ (о) =0 и условия
dw
--—=0, причем последнее записывалось в разностном виде с помощью семи-
членной односторонней формулы (см. § 1) и.удовлетворялось в таком виде на
1
грани ВС (см. рис. 13.8) в точках х=0, х——а (когда т = 4) и в точках х=0;
12
х = — а\ х= —- а (когда т = 6). Полученные результаты сведены в табл. 13.6,
3 3
где обозначено: ДРМ — дифференциальа*а-^азност.дый метод; wqak = Dw\
Mxqa2 = Mx; Myqa2=My ({7 = const);» >Pa2w=^Dw; ~MXP = MX\ MyP=My (cocpe^
доточенная сила;Я).-Для сравнения там же приведены данные, полученные
методом одинарных тригонометрических рядов [16] (при расчете жестко за-
защемленной пластинки с нагрузкой q = const в аппроксимирующем ряду для
w удерживалось четыре члена, в случае нагружения силой Р — семь членов)
и методом Бубнова—Галеркина [5] (прогибы аппроксимировались рядом, в
котором удерживалось три члена).
231

р.=0,3 Таблица 13.6. Прогибы и силовые факторы
Прогибы
и моменты
Литературные
источники
y^0 МХ1 х
/
у«0
Свободное опирание по контуру, q = const
По ДРМ, м=3
По [16]
0
0
,0650
,0649
0,
0,
1915
1916
0,
0,
1915
1916
0
0
о
о
Свободное опирание по контуру, нагрузка Р
По ДРМ, п=3
По ДРМ, л=5
По ДРМ, п = 7
По [16]
0,0463
0,0461
0,0460
0,0464
0
0
0
,2728
,3312
,3660
—
0
0
0
,3341
,3869
,4218
—
о
о
о
о
о
о
о
о
Жесткое защемление по контуру, q = const
По ДРМ, м=3,
т=4
По ДРМ, л=5,
т=6
По [16]
По [5]
0,0201
0,0202
0,0202
0,0200
0,0910
0,0916
0,0924
0,0904
0,0912
0,0916
0,0924
0,0904
-0,2115
—0,2045
—0,2052
-0,2229
—0,2120
—0.2050
—0,2052
—0,2229
Жесткое защемление по контуру, нагрузка Р
По ДРМ,
tn=6
По [16]
0,02254
0,02238
0,2776
0,3336
-0,1268
-0,1257
—0,1272
-0,1257
Пример 2. Изгиб жестко защемленной по контуру равнобочной трапеции с
нагрузкой <7 = const или сосредоточенной силой Р в точке х=Н, у=0
(рис. 13.9).
У
0
0
^0,3
^Координат ы
Моменть!4^
и прогибы vs4
MxlqW
MylqH*
Dw/qH*
Mx/P
Mv/P
Dw/PM2
T а б л и
2//
—0,300
—0.O90
0
—0,169
-0,ШO
0
ц а 13.7. Прогибы и
—0,130
—0,035
0,0055
-0,0965
—0,0166
0,0031
0,106
0,053
0,0298
0,0752
0,0914
0,0199
силовые факторы
X
X*
0,152
0,069
0,0372
0,1781
0,1535
0,0274
х7
0,021
0,016
0,0187
—0,0137
0,0298
0,0113
0
—0.319
—0,096
0
—0,1694
—0,0508
0
Для расчета было принято h = —. Общее дискретное решение для данной
задачи получим, положив в решении A3.43): dr=0 (r=0, 2,..., т)\ п=7\
232

при этом в частных решениях V, U для случая нагружения силой Р следует
х заменить на х—И.
Столбцы Л0=Л1=0, так как при *=0 ?/=(У'=0. Элементы столбцов Л2, А3
находились путем решения на ЭЦВМ системы из 14 алгебраических уравнений,
которая получалась в результате подчинения функции щ (х) (i=l, 2,..., 7)
решения A3.43) (с учетом указанных выше изменений) граничным условиям:
7 7
»!<*/>- 2 *i?M*!> = 0; W/'^-S *g4<*i) = 0<i-lf2 7).
5-1 5=1
Полученные результаты сведены в таблицы 13.7 и 13.8.
|л=0,3 Таблица 13.8. Прогибы и силовые факторы
X
0
2Н
\. Координаты
Моменты ^*\^^
MX-1(PIP
Af^lO3//*
У
0
-319
—169
—300
—169
h
—307
-119
-276
-129
2Л
-262
- 61
—208
- 89
зл
-197
— 13
z
Ah
-122
—0,3
5Л
—55
0,7
—
—17
0,01
—
a
0
0
z
i-ш
у
Рис. 13.9.
Рис. 13.10.
Пример 3. Изгиб свободно опертой или жестко защемленной по контуру пла-
пластинки в виде параллелограмма с нагрузкой q — const или сосредоточенной си-
силой Р в центре (рис. 13.10).
233

Вводим п+2 прямых (я = 9), так, как показано на рис. 1-3.10; h=—L.
о
При решении задач исходим из системы A3.41), где следует положить /?i =
= /?2 = 0, так как wo=^mo = Wio=m\o=O. С учетом этого ее общее решение бу-
будет иметь следующий вид:
i
i^rVi; U- ? ArYr(y]x)+Vv A3.44)
_ r-2 _ _ r=0
где V\, U\ равны частным решениям V, U (см. пример 1) после замены в по-
последних В~ на В, Хс на Я и ?7<? на ?у.
Из-за центральной.симметрии изгиба пластины: Л0;-=Л2у =0 (/ = 2, 4, 6, 8);
Л!у = Лз/ =0 (/=1, 3, 5, 7, 9). Остальная половина постоянных определялась из
следующих условий на контуре:
9 9
*/^ = 0 (/= 1, 2, . . . , 9)
(для случая свободного отирания по контуру); wt== 2 bisus = 0;
1
9
1
Xus=Q (/=1, 2,..., 9) (для случая жесткого защемления). Получающаяся при
этом система из 18 алгебраических уравнений решалась на ЭЦВМ. Расчетные
данные сведены в таблицы 13.9 и 13.10.
{1 = 0,3 Таблица 13.9. Прогибы и силовые факторы
У
X
а
<7 = const
Dw
Мх
да*
My
да2
Dw
~Ра* ..
Мх
р
My
р
t-; " ' Свободное опирание по контуру ;,
0
0
h ,
2h :
3h
0
0,25
о,5о
0,75
0
0.01S7
0,01570
0,01^09
0,00657
0,01697
0,01445
0,00766
0
*1064
•• 0,0986
0,0784
0,0493
6,1064
0,0963
0,0822
0,0443
0,0742
0,0694
0,0534
0,0314
0,0742
0„0654
0.035Ф
—0,0443
0,01105
0,00896
0,00508
0,00170
0,01.105
0,00586
0,00112
0,3110
0,1469
0,0704
0,0278
0,3110
0,1294
0,0628
0,0332
0,2318
0,1587
0,0990
0,0485
0,2318
0,0550
—0,0104
—0,0332
Жесткое защемление по контужу
0
0
h
2h
ЪЪ,
0
0,25
0,50
0,75
1,00
0
0,0Q439
0,00380
0,00232
0,00074
0
0,00439
0,00350
0,00163
0
_ 0,04924
0,03879
0,00994
—0,02550
-0,06412
0,04924
0,04446
0,02194
-0,03312
0,03057
0,02732
0,01872
0,00548
—0,01923
0,03057
0,02112
0,00425
—0,06519
0,0239Ы
0,02113
0,01512
0,00779
0
0,02391
0,01670
0,00672
0
0,2505
\ 0,0842
0,0001
-0,W23
—0,1 #34
0,2505
0,0713
0,0089
-0,0037
0,1794
0,1059
0,0456
-0,0023
-0,0430
0,1794
0,0099
—0,0311
—0,0087
234

Таблица 13.10. Прогибы и силовые факторы
X
И
У
—h
0
h
2Л
ЗЛ
Ah
L
q—const | P
мх
qa*
0 >
-0,06412
—0,09875
—0.06701
—0,02600
—0,00923
0
. My
. Яа*
0
-0,01923
—0,029iB2
—0,02010
—0,00780
—0.00277
0
мх
Р
—0,01920
-0,14340
—0,09020
—0,02130
0,00090
0,00010
0
М,
Р
—0,00576
—0.04302
—0.02706
-0,00639
0,00027
0,00003
0
§ 13.5. Применение дифференциально-разностного метода
для решения пространственной задачи
Рассмотрим тело в виде прямоугольного параллелепипеда с соизмери-
соизмеримыми размерами а, Ъ и с (рис. 13.11). Его грани параллельны координатным
плоскостям zox, zoy. Грани, совпадающие с ними, назовем торцовыми. Гра-
Граничные условия и внешнее нагружение тела положим произвольными.
И I I 1 I I 1 1 ИХ
Рис. 13.11.
В качестве исходной системы дифференциальных уравнений с частными
производными, описывающей напряженно-деформированное состояние рас-
рассматриваемого тела, возьмем уравнения равновесия пространственной задачи
теории упругости, записанные в перемещениях (уравнения Ламе):
235

дг*
дхдг
+A+а)
+ <x
д2и
+ -гт- = 0;
дхду ' ду
ду2
дхдг
где а
дудг
1
дх*
A3.45)
1 —2|*
Рассечем тело плоскостями x = xt =const («=0, 1, 2,..., п, п+1) и плоско-
плоскостями */=*/y=const (/=0, 1, 2, ..., m, m+1) ла (я+1) (m-Ы) малых парал-
а Ь
лелепипедов с размерами с; h\ = — ; h2= -так, чтобы плоскости с номе-
п-{-\ т-\-1
рами 0, п+1 и m+1 совпали с торцовыми гранями. Рассмотрим систему
A3.45) на прямых ij (/=1, 2,..., п\ /=1, 2,..., т), т. е. на линиях пересече-
пересечения плоскостей i и у; частные производные по переменным х и у заменяем раз-
разностными соотношениями вида A3.2) и A3.3); остаточные члены опускаем.
В результате получим три системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений:
- w,-i. у)
1 +
<-i, /41
1-1) +
i
1 -j- о
, y+i - %• + «/f y-i) = 0;
, op
A3.46)
(tl,2,...,n;/l,2,...,m).
Значения перемещений и, v, w и их производных по z на торцовых гранях
рассматриваем как некоторую внешнюю нагрузку и переносим в правую часть;
результат записываем в матричном виде:
236

U" +
V"
2A,
«P
¦HXW'
ft +<*
2A,
HxyV
Л,
A3.47)
где структура квадратных матриц Нх,Ну, Нху, Дх, Дуи столбцов Ru R2, R2
легко устанавливается.
Аналогично могут быть получены системы аппроксимирующих уравнении
для цилиндрического тела, тела в виде усеченного прямого конуса, усеченной
прямой пирамиды и т. п.
Систему A3.47) можем записать в виде одного матричного уравнения
F" + HXF' + H2F = R, A3.48)
где Ни Н2 — некоторые квадратные матрицы порядка Ътп\ F=(U, Vy W) —
столбцевая матрица того же порядка; R — столбец правых частей, зависящих
от «контурных» функций, т. е. от функций на торцовых гранях.
При решении конкретной задачи целесообразно перейти от уравнения
A3.48) к эквивалентному нормальному матричному интегральному уравнению
и решать последнее любым подходящим способом, например, способом линей-
линейной аппроксимации (см. § 13.2). Такой переход просто осуществляется [2] гари
любых #i и #2 как с постоянными, так и с переменными элементами. Можно
идти и путем понижения порядка дифференциального уравнения A3.48) и вве-
ввести дополнительную или вспомогательную функцию F'=6. Тогда уравнение
A3.48) сможем предстагвить как одно матричное дифференциальное уравне-
уравнение
\p' — AW = R*, A3.49)
где y/=(F, S) — столбцевая матрица, а А — некоторая квадратная матрица
с постоянными или переменными элементами (это зависит от конфигурации
пространственного тела); R* — столбец правых частей.
После аппроксимации всех неизвестных «контурных» функций в правой
части уравнения A3.49) степенными полиномами- с неизвестными коэффициен-
коэффициентами всегда можно представить R* в виде некоторого матричного степенного
полинома. Значит, при любом А частное решение уравнения A3.49) можно
найти способом неопределенных коэффициентов—матриц, т. е. также в виде
некоторого матричного степенного полинома. Будем считать, что оно нам из-
известно. Тогда общее решение уравнения A3.49) для случая ^=const запи-
шется^так:
k
= Ce
Az
г!
A3.50)
где С — столбец постоянных интегрирования; У* — столбец частных решений
0! = 1.
Быстрота сходимости ряда для е в A3.50) зависит от длины интервала
интегрирования @, с) (см. рис. 13.11). Чтобы можно было ограничиться не-
небольшим числом членов, целесообразно: а) разбить интервал @, с) на малые
участки равной (или не равной) длины; б) найти решения вида A3.50) на каж-
каждом из участков; в) произвести сопряжение полученных решений [14]. При
выбранном шаге (длине участка) необходимое количество членов в ряде для
eAz устанавливается без труда исходя из допустимой погрешности в вычис-
вычислениях.
237

В случае A=A(z) для решения уравнения A3.49) может быть предложен
следующий способ [8, Ш^Плоскостями z=zo=O, z=Z\\ г=г&..., z=zr, z=
= zr+i ,..., z=Zkf z=Zfc+l=c интервал @,с) делим на равные (или не рав-
равные) участки длиной Ar~zr + [—zr(r=0, 1, 2,..., k). Положив в уравнении
A3.49) z = t + zn где 7 —переменная на участке^(г, г+1), переносим начало
координат в сечение z='z'T. Тогда на участке (г, r-fiy будем иметь уравнение
W{t)-Ar(tL(t) = R*f(t). A3.51)
В качестве нулевого приближения для его решения возьмем линейное
? @ = ЧГг + -L- (?г+1 - ЧГг), A3.52)
где VT и ^г+\ — значения Ф'при z = zTi z=zr+[ ,
Подставив A3.52) в A3.51), получаем первое приближение
^ @ = Сг Ч- < @ + Тг«г @ + ^r+iNr @, ' A3.53)
где Сг — столбец постоянных интегрирования для участка (г, г+1);
t t t
К @ = f К @ ^ HT(t)= \ Аг (О Л _ -I- Г мг @ d^;
Е" ' О О
О
t
Решение A3.53) принимаем за окончательное. Можно останавливаться и
на втором приближении, третьем и т. д. При прочих равных условиях это поз-
позволит делить интервал @, с) на меньшее число участков.
Полагая в A3.53) , что t=Q и t=Ar, находим: - •
Ст = Фг; Wr+1 = Ту' (Дг) {?•; (Дг) + Нг (Дг) ?г + V,},
где Т~1(ЛГ)—матрица, обратная для матрицы Тг (АГ)=Е*—Л^Г(АГ); Е* —
единичная матрица соответствующего порядка.
Далее начало координат переносится в сечение z=zr+l и вышеизложенная
процедура повторяется, и т. д. В конечном итоге решение уравнения A3.49)
на первом участке (О, 1) и на последнем участке (k, k-\-\) получится выра-
выраженным через столбец постоянных интегрирования С0 = У@) участка @, 1).
Как видно, решение уравнения A3.49) с A = A(z) таким способом сводится
к простому матричному алгоритму с циклическими вычислительными опера-
операциями, что является важным условием успешного использования для решения
конкретных задач современных электронных цифровых вычислительных
машин.
ЛИТЕРАТУРА
U А р у т ю н я н Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. М.,
Физматгиз, 1963.
2. Б и р г е р И. А. Некоторые математические методы решения инженер-
инженерных задач. М., Оборонгиз, 1956.
3. В а р в а к П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пла-
пластинок. Ч. 2. Киев, Изд-во АН УССР, 1952.
4. Винокуров Л. П. Прямые методы решения пространственных и
контактных задач для массивов и фундаментов. Харьков, Изд-во ХГУ, 1956.
238

¦5. Канторович Л. В. Об одном прямом методе решения задачи о ми-
минимуме двойного интеграла. «Известия АН СССР», 1933, № 5.
6. Пратусевич Я. А. Вариационные методы в строительной механике.
М.—Л., Гостехтеориздат, 1948.
7. Петров Ю. П. Расчет на изгиб упругих прямоугольных пластин ди-
дискретным методом. Труды Харьковского авиационного института, Вып. 18,
Харьков, Изд-во ХГУ, 1961.
8. Петров Ю. П. Расчет на изгиб пластин с линейным изменением тол-
толщины дискретным методом. Труды Харьковского авиационного института, Вып.
18. Харьков, Изд-во ХГУ, 1961.
9. П е т р о в Ю. П. Расчет на изгиб упругих непрямоугольных пластин
дискретным методом. Труды Харьковского авиационного института. Вып. 22.
Харьков, Изд-во ХГУ, 1961.
10. П е т р о в Ю. П. Расчет на изгиб косозащемленной консольной пла-
пластины переменной толщины. Труды Харьковского авиационного института,
Вып. 22. Харьков, Изд-во ХГУ, 1963.
11. Петров Ю. П. О дискретном методе расчета пластин и оболочек.
«Самолетостроение и техника воздушного флота». Вып. 10. Харьков, Изд-во
ХГУ, 1967.
12. М и к е л а д з е Ш. Е. Численные методы математического анализа.
М., Гостехтеориздат, 1953.
13. П у с т ы н н и к о в В. И. Исследование пространственного напряжен-
напряженно-деформированного состояния деталей, сочлененных с произвольно нагру-
нагруженными плитами. Труды Харьковского инженерно-строительного института,
Вып. 16. Харьков, Изд-во ХГУ, 1961.
14. Пустынников В. И. Практическая схема решения системы линей-
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Труды
Харьковского инженерно-строительного института. Вып. 16. Харьков, Изд-во
ХГУ, 1961.
15. Слободянский М,,.Г. Способ приближенного интегрирования
уравнений с частными производными и его применение к задачам теории уп-
упругости. «Прикладная математика и механика». Т. 3, Вып. 1.- М., Изд-во АН
СССР, 1939.
16. Т и м о ш е^й к о С. П., Войновски й-К р и г е р С. Пластинки и
оболочки. М., Физматгиз, 1963.
17. Устинова Н. Н. Об одном видоизменении метода прямых. Ученые
записки Казанского государственного университета, Т. 115, кн. 14 (математи-
(математика). Казань, Изд-во КГУ, 1955.
18. Ф адде ев а В. Н. Метод прямых в применении к некоторым краевым"
задачам. Труды (математического института им. В. А. Стеклова. Т.. 28. М., Изд-
во АН СССР, 1949.
Глава XIV. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Введение
1. При решении многих реальных задач классическими методами теории
упругости, ввиду наличия сложного контура, ступенчатого изменения жест-
жесткости и т. п., возникают непреодолимые трудности. Давно сложившимися
средствами для решения трудных прикладных задач являются вариационный
метод и метод сеток. Однако применение этих методов в явном виде не всегда
дает возможность просто и достаточно точно рассчитать сложные многоэле-
1мен1тные конструкции; особенно, если эти конструкции содержат элементы раз-
различной мерности (например, стержни и пластинки).
С другой стороны имеется хорошо разработанный и широкоизвестный ин-
инженерам аппарат расчета статически неопределимых стержневых систем. Уже
давно предпринимались попытки применения этого аппарата к расчету систем
континуальных, типа пластин и оболочек. Применение этого аппарата требует
239

дискретизации расчетной схемы, в результате чего вместо Дифференциальных
появляются алгебраические уравнения, решение которых при наличии ЭВМ
не представляет больших трудностей. Кроме того, эти уравнения имеют ясную
физическую трактовку.
Наряду со стержневой аппроксимацией сплошной среды, которая была
исторически первой, возникла аппроксимация элементами конечных размеров,
соединенными в узлах. При этом каждый элемент является частью заменяемой
среды, т. е. сплошное тело лишь условно делится на объемы конечных разме-
размеров. Выделенный элемент имеет те же физические свойства, что и рассматри-
рассматриваемая среда в месте расположения элемента. Конечность размеров элементов
дала название методу. Представленный ниже материал предназначен для на-
начального ознакомления с этим методом.
2. Континуальную среду, представленную дискретной расчетной схемой,
можно рассчитать любым из методов строительной механики стержневых си-
систем. При реализации метода конечных элементов наибольшее распростране-
распространение получили идеи метода перемещен**^ хотя имеются работы, где рассмат-
рассматривается метод сил [1] и смешанный метод [2]. -*•¦
Предпочтение методу перемещений отдано в основном по двум причинам.
Во-первых, при построении вспомогательного напряженного состояния из мно-
многоэлементной конструкции легче получить кинематически определимую систе-
систему, нежели статически определимую. Во-вторых, при расчете методом переме-
перемещений матрица коэффициентов при неизвестных составляется очень просто
и к тому же часто получается ленточной.
3. При использовании метода конечных элементов основным является воп-
вопрос о приближении решения к точному при уменьшении размеров элементов
и об оценке точности полученных результатов. В случае выполнения условий
совместности деформаций как внутри отдельных элементов, так и между ни-
ними, метод конечных элементов представляет собой метод Ритца.
Различие между традиционной формой применения метода Ритца и мето-
методом конечных элементов заключается в выборе системы координатных функ-
функций. Если в обычном методе Ритца функции задаются для всей рассматривае-
рассматриваемой области, то в методе конечных элементов они задаются лишь для отдель-
отдельных областей конечных размеров и через множество этих функций определяет-
определяется состояние всей системы. В первом случае варьируют по неопределенным
параметрам, имеющимся в каждом члене ряда, а во втором — по перемещени-
перемещениям в местах стыка элементов.
При расчете методом конечных элементов распределенная нагрузка заме-
заменяется эквивалентной узловой. В этом случае потенциальная энергия системы
при расчете на заданные силы имеет вид
п т
Э= VPiZt- У $WjdVJt A4.1)
*-i /-i v
где п — число независимых компонентов перемещений; т — количество эле-
элементов, на которые условно разделена рассматриваемая система.
Первый член в A4.1) является линейной функцией перемещений Z*. Упругий
же потенциал Wj является однородной функцией второго порядка относитель-
относительно Z/, как это следует из определения удельной потенциальной энергии. Варьи-
Варьирование выражения A4.1) по 2/ дает п линейных уравнений относительной;
дЭ
° <- 12>
В развернутом виде это будут уравнения метода перемещений.
В работе [3] обосновывается более общий критерий полноты, чем в методе
Ритца. Этот критерий требует, чтобы компоненты поля и все их производные,
порядка не выше старшей производной, входящей в выражение плотности
энергии, могли принимать какое-либо постоянное значение в пределах эле-
элемента.
240

Вопросам обоснования метода конечных элементов посвящены работы
[1, 4, 5].
Более сложным является вопрос оценки точности получаемых результатов.
В настоящее^время строгих практических рекомендаций по этому вопросу не
и^^ш&реяг-Для приближенной оценки рекомендуется выполнить несколько ре-
решений с последовательным уменьшением размеров элементов (по аналогии с
^приемом, предложенным С. П. Тимошенко, при решении задач устойчивости
энергетическим методом).
4. Для практических целей метод конечных элементов без изменения его
названия удобно трактовать как обобщение методов строительной механики
стержневых систем на расчет систем континуальных. Тогда он естественно рас-
распространяется и на комбинированные системы, т. е. на системы, элементы
которых могут быть различной мерности. Последовательность расчета будет
единой для всех конструкций. Отличие от расчета стержневых систем состоит
в том, что матрицы жесткости для конечных элементов будут приближенны-
приближенными; для уточнения расчета нужно уменьшать размеры элементов, тогда как
расчет стержневых систем является точным при принятых допущениях.
Кроме того, при определении напряженного состояния сплошной среды при-
принято находить не сосредоточенные, как в стержневых системах, а
распределенные усилия или напряжения. С этой целью в методе конечных
элементов вводится дополнительный этап преобразования сосредоточенных
характеристик напряженного состояния в распределенные.
5. Итак, чтобы выполнить расчет, методом конечных элементов, нужно
иметь матрицы жесткости отдельных элементов. Матрица жесткости устанав-
устанавливает соотношение между узловыми силами и перемещениями по направле-
направлению этих сил. Получение матрицы жесткости является ответственным этапом
расчета. На эту тему было написано много работ (см., например, [6, 7, 8]), в
которых излагаются разнообразные подходы к выводу матрицы жесткости.
Из всех возможных подходов наиболее удобным с точки зрения исполь-
использования стандартной процедуры метода перемещений является такой подход,
когда число варьируемых параметров функций перемещений принимается рав-
равным числу независимых компонентов перемещений рассматриваемого элемен-
элемента, включая его перемещения как твердого тела (количество независимых
компонентов перемещений равно числу степеней свободы элемента при приня-
принятых допущениях).
В последнем случае нет надобности каждый раз рассматривать энергети-
энергетические принципы. Матрицу жесткости произвольного элемента можно полу-
получить по формуле [(9), стр. 115]:
r = ? <*/ W>.
/-1
основанной на принципе возможных перемещений. Если при выводе ма-
матрицы жесткости какого-либо элемента конечных размеров принять, что он
состоит из совокупности бесконечно малых элементов, то формула A4.2) при-
примет вид
г= J a'r{dV)adV, A4.3)
где г * далее обозначаемая через С, матрица жесткости бесконечно ма-
малого элемента, т. е. матрица, определяющая его физические свойства; а —
матрица деформаций в выбранной системе координат. Она определяет геомет-
геометрическую структуру элемента.
Деформации определяются через перемещения и этими перемещениями
нужно задаться. При выборе функций перемещений для рассматриваемого
элемента стараются удовлетворить необходимым условиям, обеспечивающим
сходимость приближенного решения к точному.
16—28 241

Пусть соответствующие функции перемещений выбраны, например, в пря-
прямоугольной системе координат. Их запись в матричной форме имеет вид
Z = [Z (х, у, г)] Г/,], A4.4)
где Uq] — вектор независимых параметров, определяемых числом степеней сво-
свободы элемента. Из A4.4) по известным зависимостям находятся деформации,
например, для задач теории упругости при помощи уравнений Коши
a-F(Z) = [B{xt у, z)]\fq]. A4.5)
Параметры fq определяются из граничных условий. С этой целью состав-
составляются выражения перемещений для намеченных узловых точек
Z = А Ifgl О4-6)
Матрица А строится простой подстановкой координат узлов в принятые функ-
функции перемещений A4.4). Она получается квадратной, так как число парамет-
параметров fq равно числу независимых компонентов перемещений. Из A4.6) [fq\ =
=A~lZ. При определении fq перемещения ZL задаются последовательно и к
тому же принимаются равными единице, в результате чего матрица Z получа-
получается единичной. Тогда [fq] = A~l.
Подстановка этого значения в A4.5), а затем подстановка а и С в A4.3),
приводит к окончательному выражению для матрицы жесткости произвольно-
произвольного элемента
A4.7)
= f (A
v
-l
УВ'СВА-1 dV=(A~x у И B'CBdV]
<~1
не
Иногда удобно матрицу А~1 вынести из интеграла, так как значения f q
зависят от координат.
Ниже рассматриваются плоская задача теории упругости и изгиб тонких
плит в линейной постановке. Матрицы жесткости выводятся в прямоугольной
системе координат.
Плоская задача теории упругости. 1. Матрица жесткости для
произвольного треугольного элемента. Три его угла прини-
принимаются за узловые точки. Каждый узел в общем случае имеет два перемеще-
перемещения. Следовательно, матрица жесткости будет шестого порядка. Узлы обозна-
обозначаются так, чтобы узел i был в начале координат (рис. 14.1). ^Условие сов-
совместности деформаций будет соблюдаться как внутри элемента, так и по кон-
контуру, если перемещения принять линейными:
A4.8)
Материал пластины принимается ортотропным. Для такого материала за-
зависимость между напряжениями и деформациями имеет вид [10]:
A4.9)
Здесь \ixEx = \хуЕу; v = 1 — \xxixy.
Матрица деформаций В определяется из A4.8) при помощи уравнений
Коши:
1
0
.0
0
0
1
0 0
0 1
1 0
Л
Л
(ШО)
242

Для получения матрицы А в выражения- A4.8) подставляются координаты
соответствующих узлов:
1
0
1
0
1
0
0
0
uj
0
"к
0
0
0
bj
о
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
а1
0
я*
0
0
0
bj
0
/г
/а
/з
Л
Л
/б
tfi
X.I/
Рис. 14.1.
S,'-*
«*Л
'/
t,u
St
Рис. 14.2.
Обращение матрицы А да^ет параметры fq. Из выражения A4.10) видно, что
требуется лишь четыре параметра для определения деформации. Поэтому из
матрицы А—1 берутся лишь четыре соответствующие строки B, 3, 5 и 6-я).
b,-bk
сокр.
2F
0
0
-ь>
— а
bk
—dk
k 0
; 0 -
0
0
ьк
—пъ
-bj
aj
0
0
0
0
—bj
at
1
где
" (afik ~ akbj) — площадь треугольника.
Все найденные матрицы подставляются в выражение A4.7), которое для
данного случая принимает вид:
' = Л (^Го'кр.)' [J, B'CBdFJ А ~1кр ,
где h — толщина элемента.
Окончательное выражение матрицы жесткости произвольного треугольного
элемента в блочной форме имеет вид
U rij rik
и rjj rjk
. rki rkj rkk -
Здесь все матрицы второго порядка. Например,
VJ
L vk J
A4.11)
2v (a/ft —
Гц = ,
16*
- **)
(a* -
- bkf
243

bj — bk) bkEx — (ak — a
ak — aj) bkV-xEx — (bj — bk)
— (bj — ^^) ak\i.yEy + (ал — ay) bkvGl
[ — akbk (\>.XEX + vG) a2kEy + b
- bjbk\G
rkk 5= ^np
Л + ^)
Ввиду симметрии матрицы жесткости, rji = Гц, r^ = rik и r^j = т'уд •
Значения координат <2у, 6у, д^, 6^ подставляются в матрицу со своими зна-
знаками.
Впервые матрица жесткости для изотропной треугольной плиты была по-
получена в работе [11].
2. Матрица жесткости для прямоугольного элемента
(рис. 14.2). У элемента четыре узла, следовательно, матрица жесткости будет
восьмого порядка. Для получения матрицы жесткости нужно задаться переме-
перемещениями. Совместность деформаций между элементами будет соблюдаться,
если принять следующие функции перемещений [8]:
f = Л + /е-* + ЛУ +
Однако, как показали исследования [12], матрица жесткости, полученная
для этих перемещений, дает менее точный результат, чем матрица, приведен-
приведенная в одной из первых работ по методу конечных элементов [11]. Перемещения
для последней матрицы можно определить через функцию напряжений
? = ft*3 + Л*2 + /щху + Дд-2 + fbf- A4.12)
Степень полинома A4.12) не выше трех, поэтому уравнение совместности де-
деформаций удовлетворяется при любых коэффициентах внутри элемента.
Чтобы получить выражения для перемещений, решается плоская задача с
функцией напряжений A4.12). Полученные перемещения в случае ортотропного
материала имеют вид:
4~ W*x + 6xyfi)--
2x/2) + /7j/--
—- {бхуЪ + 2yft) - -^- Byf4
A4.13)
I
(Постоянные /6, /7, fs — появились в процессе получения перемещений).
Подстановка координат узлов в A4.13) дает матрицу А восьмого порядка
(система координат показана на рис. 14.2). После обращения из матрицы А-1
берется лишь пять строк, так как деформации определяются лишь пятью зна-
значениями fq(q=l, 2, 3, 4, 5). Матрица В получается с помощью уравнений Ко-
244

ши. Матрица С дана в выражении A4.9). Все найденные матрицы подставля-
подставляются в A4.7).
2 2
г = Л(Л-'_)' | ] [ B'CBdxdy
а
" Т
Окончательное выражение матрицы жесткости для прямоугольной орто-
трапной пластинки имеет вид:
Si
Sk
rii rij rlk fie
rji rJJ rJk rje
rki rkj rkk rke
- rei rej rek ree ..
VJ
A4.14)
Здесь, как и в выражении A4.11), все матрицы второго порядка. Ниже при-
приведены элементы верхнего треугольника матрицы:
2 hG
Гхх = 'за = г5в = г77 = — Вхт D — ^у) + — ;
о 4т
2 J ЛО
г,^= г57 = — —- В^т D —(xv{jl ) -f
3 у 4т
hG
— r18 — —
—- r45 — r58 — — rG7 — —
B -f
ft /"*
= Гъь = — Bxm B
о
hd
4m
— Г44 — Г66 — ^88 — '
2By
3m
D _
mfiG
2By
3m
B +
3m
B +
mhG
mhG
3m
D — f
+
Здесь Bx =
8v
; By =
; m = — ; v = 1 —
Следует заметить, что прямоугольная разбивка при том же числе узлов
дает более точный результат [13]. Однако в случае областей произвольной
245

формы необходимо пользоваться и треугольными элементами. Удобны послед-
последние и при изменении частоты сетки.
3. Составление системы, уравнений для всей конст-
конструкции. Пусть перемещения находятся в единой системе координат, ко-
которая не совпадает с направлениями координатных осей, принятых при выво-
выводе матриц жесткости отдельных элементов. Перемещение узлов и узловые си-
силы в общей системе координат обозначаются векторами v° и S0. Для плоской
задачи эти векторы будут двумерными. Чтобы перейти к составлению матри-
матрицы жесткости всей конструкции (или матрицы коэффициентов при основных
неизвестных, что то же самое), вводятся матрицы преобразования координат
для каждого элемента. С помощью этих матриц векторы 5 и v из A4.11) и
A4.14) заменяются векторами S0 и v°. Например, для узла i Si=alS(} и v-t =
= a/i/9 (в случае плоской задачи а-ь является известной матрицей преобра-
преобразования координат).
Значения v и S, выраженные через v° и S0, подставляются в A4.11) и
A4.14). Ниже приводится лишь первая строка из A4.11)
rlkakv\).
Или, после умножения на a
j
" 1
ца}) v9,
v°k].
A4.15)
Выражения в скобках являются блоками матрицы жесткости, составленной
для общей системы координат. Например r®k «= а7~1 г^а^.
На рис. 14.3 изображена часть области, поделенная на прямоугольные и
треугольные элементы. Уравнение равновесия, например для узла пу в блочной
форме будет иметь вид ^
где Рп — вектор нагруз&и в узле п (реакции в дополнительных связях от
внешней нагрузки, взятые с обратным знакам).
В уравнение равновесия подставляются значения S0, полученные из выра-
выражений типа A4.15). v "
r\e
АР
1
1
i
' п
к
Р
f
i
i
s
\
Л
ъ
У
к
sjiJ
Рис. 14.3.
Рис. 14.4.
Перемещения отдельных элементов v° заменяются через перемещения уз-
узлов из условия совместности деформаций, которое для узла п имеет вид
z ,
п
246

Гв«1
где Zn— вектор перемещений узла n;Zn = \ — .
Рп = ( >°ы)к zp-x + [( Л,)к + ( %)с] Zp+[( r°kl)c + ( r°.)D] Zp+l
+ [ rii)D\ z« + \\ rik)D + 1 W/J/J Z« + l + V r\e)Jz's^\ "t"
+ [( Г/*)' + ( ^)/] Z^ + ( r°lk) Zs+l • A4-16)
Такие уравнения составляются для каждого подвижного узла. Общая система
^ уравнений примет вид
P^KZ. A4.17)
Нужно отметить, что при прямоугольной и треугольной разбивке легко до-
добиться того, чтобы местные системы координат, принятые при выводе матриц
жесткости отдельных элементов, совпадали с общей системой координат.
Тогда матрицы преобразования а будут единичными, т. е. rQik = rik . Таким
образом, блоки матриц жесткости можно сразу (без преобразования) из A4.11)
и A4.14) подставлять в A4.16).
В результате решения уравнений A4.17) находятся узловые перемещения.
Перемещения отдельных элементов вычисляются по формуле v = az. Если мат-
матрица а единичная, то и и v будут равны перемещениям соответствующих
узлов.
4. Определение напряжений. А. В элементе треугольной фор-
формы. Из A4.9)
a=Cz=CB [fq] = СВА~01кр. v - Nv,
где
1
X
bfcEx —afo\i.yEyj —bjEx
bk\*-xEx —akEy —bjV-xE)
Полученные напряжения aXj oy и гху относятся к центру тяжести треуголь-
треугольника.
Б. Для прямоугольного элемента напряжения определяются через функцию
напряжения A4.12). Напряженное состояние, соответствующее функции A4.12),
изображено на рис. 14.4. ох и оу являются переменными. ,
Их значения определяются для кромок элемента. Матрица напряжений для
одного прямоугольника приведена в табл. 14.1.
Все матрицы, приведенные выше, получены для плоского напряженного
состояния. Для плоской деформации нужно подставить новую матрицу С.
В случае изотропной среды достаточно модуль упругости и коэффициент Пуас-
Пуассона заменить новыми значениями [14]:
A4Л8)
5. Пример. Расчет плотины трапецоидального профиля на действие сосре-
сосредоточенной горизонтальной силы (давление льда).
I. Нанесение сетки на рассматриваемую область. Более точные результаты
дает прямоугольная разбивка при том же количестве узлов. В данном случае
обойтись прямоугольной разбивкой не удается, поэтому вводятся и треуголь-
треугольные элементы. Для сокращения объема вычислений желательно- иметь как
247

Таблица 14.1. Коэффициенты матрицы
Ъа
-B-
— {ЬгМу) Ex
\><хРуЕх
— ^у?у
[ХуЕу
vG
m
PxEx
m
\^ХЕХ
m
-B-
~^y) —
Р-лгР-у^у
vG
fJ-^^y^.v
f*y?y
У-уЕу
m
V-xEx
m
\>*Х\ЬуЕу
m
-B-
Ey
~Wy) ~
vG
V-xV-yEx
B-№у)Ех
V-yEy
V-yEy
vG
m
\>*xEx
m
V-xEx
m
\*-хЬЕУ
m
B-
-^jrM-y)X
xi
m
vG
^дг^у^л:
-B-
fly?y
{>yEy
vG
m
V-xEx
m
B-
m
(X^ayHy
vG

можно меньше различных типов элементов. Схема на рис. 14.5 имеет два типа
^\ ТТ ^TVyTf^ТТт^(~\тз
II. Составление матриц жесткости. Физические данные: модуль упругости
?, коэффициент Пуассона /* = -у (бетон). Так как плотина находится в усло-
условиях плоской деформации, новые значения ?* и /** определяются по форму-
формулам A4.18):
?+ = 1,02857?; ^ = 0,2; G - 0,42857?.
8
Для элементов А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К, Л ™=— =1,42858.
Для элементов М, Н, П, Р aj =5,6 м; 6; =8,0 м, ал = 0, &*=8,0 ж, А=1 для всех
^Приведенные данные подставляются в матрицыA4.11) и A4.14). В числен-
численном виде из-за их элементарности матрицы не приводятся.
III Составление матрицы коэффициентов при неизвестных. На рис. н.о
разбивка сделана, так, что направления осей координат, принятых при выводе
матриц жесткости, совпадает-с направлениями общей системы координат, по-
поэтому блоки матриц A4.11) и A4.14) сразу подставляются в уравнения типа
A4.16). В блочной форме уравнения для двух верхних узлов примут вид:
C Z i) Z + (r) Z ^
U
3,4
5,6
j
Z9,\0 ==
7,8
7.8
20t
i /
(ij)M ,
Или в численном виде (уже четыре уравнения):
0,58011Z1 + 0,16072Z2 — 0,43011Z3 —
-0,05357Z4 + 0,18521Z5 +
20,0
-f 0,05357ZG - 0,33521Z7 - 0,16072Z8 - ——
Рис. 14.5.
Рис. 14.6.
0 16072Zx + 0,40056Z2 + 0,05357Z3 - 0,02556Z4 - 0,05357Z5 - 0,09444Z6 -
-0,16072Z7 - 0,28056Z8 = 0;
-0 43011Zl + 0,05357Z2 + 0,730llZ3-0,16072Z4-0,33521 Z5 + 0,16072Z6
+ 0,03521Z7 + 0,16072Z8 - 0,21429Z10 = 0;
_ 0,05357^ - 0,02556Z2 - 0,16072Z3 + 0,77556Z4 + 0,16072Z5 - 0,28056Z6
+ 0,16072Z7 — 0,46944Z8 — 0,10714Z9 = 0.
Общая система уравнений имеет 28 порядок.
249

IV. Решение системы уравнений. По полученным перемещениям на рис. 14.5
изображено деформированное состояние.
V. Определение напряжений. Напряжения определяются через перемещения
узлов отдельных элементов. В данном случае эти перемещения будут равны
перемещениям узлов, к которым примыкает рассматриваемый элемент. Для
определения напряжений составляются две матрицы напряжений (по числу
типов элементов). Например, для элемента М:
= Е
О —0,02679 0,19133
0 —0,13393 0,03827
—0,05357 0 0
0 -0,19133 0,02679'
0 -0,03827 0,13393
0,07653 0,05357 —0,07653_
X
X
Г—2,19840
—2,30933
—3,86017.
Для иллюстрации окончательных результатов на рис. 14.6, а, б показаны эпю-
эпюры Оу и г^у(для средины сторон элементов). Там же штриховой линией пока-
показаны зпюры напряжений по контуру элементов (г/л*2), полученные аналити-
аналитически с помощью решения Б. Г. Галеркина [15].
Изгиб тонких плит. 1. Вывод матрицы жесткости для пря-
прямоугольного элемента (рис. 14Ж). Предлагаемый способ распро-
распространяется на любые тонкие плиты, для которых справедливы гипотезы Кирх-
гоффа. "Н$и примятых допущениях в
каждом узле остается по три неиз-
неизвестных перемещения—прогиб сре-
срединной плоскости и два угла поворо-
поворота. Следовательно, матрица жесткости
прямоугольного элемента будет 12-го
порядка. Для выражения поверхности
прогиба принимается полином, удовле-
удовлетворяющий однородному дифференци-
дифференциальному уравнению изгибаемой пли-
плиты [16].
w = fx + xf2 + у/3 -f х2/4 +
- У3/го + x^yfu -+- *y3/t2- A4.19)
Выражения для прогиба и углов
поворота в матричной форме примут
вид:
Рис. 14.7.
W
dw
дх
dw
- ду _
=
1 х у х2 у2 ху х2у ху2
у3 х3у хуъ
0 1 0 2х 0 у 2ху у2 Зх2 0 Зх2у у3
0 0 10 2у х х2 2ху 0 Зу2
Зху2
]• (И.20)
250

Сюда подставляются координаты узлов i", /, k, I (рис. Н*.7), в результате чего
получается 12 уравнений относительно fQ. Матрица коэффициентов при fq и
будет матрицей А. Обращение этой матрицы дает А~х (табл. 14.2).
1
0
0
3
a*
3
1
at>
3
a2ft
3
ab*
2
a»
2
2
2
aft»
Табл ]
0
1
0
2
a
0
1
2
aft
0
1
a*-
0
1
~~ a*ft
0
0
0
1
0
2
T
1
a
0
2
"aft"
0
1
ft»
0
1
\ ц а 14.2. Коэффициенты матрицы
0
0
0
3
0
l
aft
3
3
ab2
2
0
2
a»ft
2
0
0
0
I
a
0
0
~ab
0
1
a"
0
1
0
0
0
0
0
0
1
a
0
2
"aft
0
*
0
0
aft*
0
0
0
0
0
- 1
aft
3
a*b
3
aft»
0
Q
2
a3ft
2
~ aft»
0
0
0
0
0
0
1
aft
0
0
0
\
a*b
0
0
0
0
0
0
0
0
~"ab
0
0
0
1
afti
0
0
0
0
3
ft»
1
ab
3
3
~~ aft*
0
2
ft»
2
a«ft
2
aft»
0
0
0
0
0
1
T
2
ab
0
0
0
1
a «ft
0
0
0
0
0
1
0
0
1
aT
0
1
0
1
Матрица В получается из A4.19) путем дифференцирования.
О 0 0 2 0 0 2у 0 бд: 0 бху О
дх2
d2w
d2w
дхду
d2w
_ дудх_ L
0000200 2х 0 бу 0 бдгу
О 0 0 0 0 1 2х 2у 0 0 Зх2 Зу2
О 0 0 0 0 1 2х 2у 0 0 Зл-2 Зу2
(Н.21)
251

Матрица С для ортотропной пластинки имеет вид:
о о
Dy О О
О Dk О
О О Dt
мх
My
МХу
МуХ
dy2
d*w
дхду
d2w
_дудх __
A4.22)
где Dx =
¦ — изгибная жесткость плиты в направлении оси Ох;
12v
— изгибная жесткость плиты в направлении оси О*/;
Gh*
Подстановка приведенных матриц в A4.7) и интегрирование по площади дает
матрицу жесткости прямоугольного элемента изгибаемой плиты, которая как
и для плоской задачи будет симметричной. В блочной форме матрица имеет
вид A4.4). Но содержание блоков будет иным. Элементы верхнего треуголь-
треугольника матрицы жесткости, кроме нулевых, выписаны ниже:
4mDx
4Dy
2Д.
= гп =
+
— Г45 — Г78 — ГЮ,11
Г13 ~" Г46 "" Г79 — ~~
2mDx D D
та2 Ьта1
2DU
Д.
Dk
то а 5а
4mDt
ГивГ7.Ю
Г15 ~ ~" Г24 ~" "~ Г7,И — Г8,10
: — Г1П == —
2mDx
mb2 та2 5та2
2mDx Dk
а + 5Ь '
у Д№ ^
5а '
Г17 =
2^у
Г18 ~~ ~ Г27 Г4,11 ~ Г5,Ю :
2Д,
mDx
5m a2
El.
5b '
252

'1.11
> Г37 Г4,12
Г47 а2
Г55 Г88 ГИЛ1
— гб,ю
т
Г67~
4т
Dv
та2
2Dy
D*
5тя2 '
b ЪЬ
= ~~ Г56 = Г89 = ~~
58 3 15т '
Г33 Г66 - Г99 ~ Г12,12 ~ 3m +¦
2Dy 4m Dk Dy mDk
'~ 6'12" Зт ^ 15
r3,i2-'*69 = -^m-- 15 ; «= д ; v_i-
Иногда удобно привести элементы матрицы к одной размерности. С этой
целью строки и столбцы линейных перемещений умножаются на а. В этом
случае и свободные члены в уравнениях для линейных перемещений умножа-
умножаются на а. В результате решения уравнений прогибы находятся уменьшенны-
уменьшенными в а раз. Что касается углов поворота, то они остаются без изменения.
Впервые, видимо, матрица подобного типа, но 9-го порядка, получена в ра-
работе [16]. По материалам этой работы написана статья [17].
2. Вывод матрицы жесткости для треугольного элемента со-
содержит определенные трудности из-за нарушения совместности деформаций
(в углах поворота) по контуру. Такое же нарушение имеется и в прямоуголь-
прямоугольных элементах, но в ортогональной сетке эти нарушения оказывают незначи-
незначительное влияние [6, 8].
Тем не менее для треугольного элемента тоже можно получить матрицу
жесткости, используя выражение A4.7). С этой целью в статье [8] исследуется
несколько функций перемещений. Наилучшие результаты дает следующая:
В функции девять параметров fq, так как треугольный элемент (см. рис. 14.1)
имеет девять степеней свободы.
Выражение матрицы жесткости для произвольного треугольного элемента
ортотропной плиты довольно громоздкое. Поэтому матрица здесь не
приводится. Но матрицу легко получить в численном виде по изложенной вы-
253

g
Таблица 14.3. Коэффициенты матрицы
М\.
Мх
му
м'у
м,
6DX GD^
a2 b*
bDx
a*
0
b2
6D 6D^
62 "*" a2
a2
0
6Dy
a
2DX
a
0
0
a
2O,
a
0
0
Dk
4b
b
0
0
™»
b
4Dy
b
0
0
2Dy
b
Dk
4a
GDX
a2
6D 60^
a2 ¦*" ^2
^2
0
a2
62 "•" Д2
6Dy
0
2Dk
ab
2D*
a
\DX
a
0
0
a
a
0
0
Dk
4b
0
b
2D,
b
0
0
Wy
b
2Dy
b
0
4a
0
62
6D v 60^
a2 + 6*
a2
0
6Dy
62
б2 ^ Д2
a2
2Dk
ab
0
0
4DX
a
2DX
a
0
0
a
2D,
a
Dk
4b
0
b
0
0
2Dy
4Dy
0
Dk
4a
62
0
QDX
a'2
a2 + 62
6Dy
^2
0
a2
6Dy 6Z)^
62 T a2
_2Dfe
a6
0
0
2D±
a
\DX
a
0
0
a
4D,
a
Ok
4b
2D,
0
0
4D,
2Dy
b
0
0
4Dy
^*
4a
dwt
dwt
Wj
дщ
дх
ду
Wi
~дх~

ше методике. Матрица А будет 9-го порядка, а матрица В размером 4X9.
Матрица С дана в выражении A4.22).
Следует иметь в виду, что в настоящее время получены матрицы жестко-
жесткости изгиба плит, в которых выполняются все условия совместности деформа-
деформаций по контуру элементов. Например, такие матрицы для прямоугольных эле-
элементов приведены в [18] и для треуголь-
1ных— в [19]. Матрица, приведенная в [19],
удобна для практического (Использования.
3. Составление системы урав-
уравнений для всей конструкции описано вы-
выше. Отличие состоит в том, что здесь каж-
каждый блок имеет третий порядок.
4. Определение матрицы на-
нагрузки., Имеющаяся распределенная на-
нагрузка заменяется эквивалентной узловой
из условия равенства возможных работ уз-
узловых сил и заданной распределенной на-
нагрузки [20]. Окончательное выражение для Р
при прямоугольной разбивке имеет вид
Рис. 14.8.
a b
Р = (А~1У \ J W'(i(xt у) dxdy, A4.23)
6 о
яде W — первая строка из A4.20); q(x, у) —функция распределенной нагрузки.
Если нагрузка равномерно распределена, то формулой A4.23) можно не
пользоваться, та&^кя^тот же результат получается при вычислении узловых
вертикальных сил по площади. По формуле A4.23) находятся силы для каж-
каждого элемента, а для узлов берется сумма узловых сил элементов, примыкаю-
примыкающих к рассматриваемому уз луг"
5. Определение погонных моментов. Усилия определяются
через перемещения углов отдельных элементов. В данном случае, как и для
плоской задачи; эти перемещения равны перемещениям узлов, к которым при-
примыкает рассматриваемый элемент (при а=Е).
Погонные изгибающие моменты и крутящие моменты определяются из вы-
выражения A4.22), куда подставляются значения вторых производных от w из
A4.21) и значения \fQ]. M = CBA-1 v=Niov. В матрицу Мо подставляются зна-
значения координат узлов для изгибающих моментов и координаты средины эле-
элемента для крутящего момента. Тогда размер матрицы будет 9x12 (табл. 14.3).
Если же определять крутящие моменты для каждого угла, то размер матрицы
Мо будет 12x12. Обозначения в табл. 14.3 такие же как и в матрице жестко-
жесткости. Если растянуты нижние волокна, то изгибающие моменты, определяемые
с помощью табл. 14.3, будут иметь знак плюс, если растянуты верхние волок-
волокна, то знак— минус.
6. Примеры: I.* Квадратная свободно опертая плита под действием равно-
равномерно распределенной нагрузки. Ниже приведена последовательность расчета
при делении плиты на четыре элемента. Ввиду симметрии рассматривается
лишь четверть плиты (рис. 14.8). Из-за наличия диагональной оси симметрии
Z2 —Z2. В итоге остается два неизвестных: прогиб в центре и угол поворота
на опоре. Прогиб находится уменьшенным в а=0,5/ раза. В соответствии с
размером матрицы жесткости A2X12) в уравнении войдут следующие коэф-
Ьчциенты:
r15Z2 + г1Л2 (Z3) = Р;
rhlZx
b = 0 (r5
5,12
.0).
255

Сюда подставляются значения Dx = Dy ¦¦
JL jL _L = ^i.
9 ' 4 ' 4 ' 2 32 '
D\ \ъх — (лу =¦ tx = 0,3; D^ = 0,7D;
4,28DZ2 =
32
^/3
Отсюда Z\ = 0,00689 ~i~ или истинное значение (после умножения на а = 0,5/)
1\ =0,00345 —-. Z2=—^0,00970 —. С помощью табл. 14.3 определяется распре-
распределенный момент в центре
Деление плиты на 16 элементов. Опять рассматривается лишь одна четверть
(рис. 14.9). С учетом всех осей симметрии остается 7 неизвестных перемеще-
перемещений. Z2 =Z2; Z3 =Z3; Z4 =Z4; Z6 —Z^\ Z7 =Z7. Условия задачи прежние, лишь
а=0,25/. В численном виде (без умножения на а) матрица коэффициентов при
неизвестных после приведения подобных членов имеет вид:
D
Свободные члены: Л = 0,015625<7/2; Р2=0,031250?/2; Ра = 0,0625<?/2.
256
168,96
72,96
/2
8,56
1
0
23,04
Р
3,44
/
0
145,92
314.88
/2
3,44
/
8,56
/
291,84
~~ /2
17,12
1
3.44
/
17,12
1
3,44
/
3,04
0,62
0
0,96
0,38
0
8.56
/
0,62
1,52
6,88
/
0,38
0,48
23,04
/2
145,92
0
3,44
1
675,84
Р
0
17,12
/
6,88
/
17,12
1
0,96
0,38
0
6,08
1,24
0
3,44
1
0,38
0,48
34.24
1,24
3,04

В результате решения системы уравнений получены перемещения:
Z!=0,003939/; Z2=0,002829/; Z3 =—0,008634; Z4 =—0,012598; Z5 =0,002036/;
/ я/3
Z6-= — 0,006191; Z7 = —0,009070 общий множитель ——
Распределенные моменты в центре плиты определяются с помощью
табл. 14.3. Ниже (табл. 14.4) приведено сравнение wmaxn Mmaxc результата-
результатами, взятыми из книги [21].
Таблица 14.4. Сравнительные данные
^тах
Л*тах
Множитель
qP/D
qP
Метод конечных элементов,
шт.
4
0,00345
0,05720
16
0,00394
0,04873
Из [21]
0,00406
0,04790
Расхождение
к 16 элементам
—3,Оо/о
+ 1,7%
II. Квадратная защемленная плита с отверстием под действием равномерно
распределенной нагрузки (рис. 14.10). На рисунке показана одна четверть
плиты. P = qa2. С использованием всех осей симметрии при принятой сетке
остается 11 неизвестных перемещений. Все элементы одинаковы, поэтому до-
достаточно одной матрицы жесткости. Матрица составляется при DX = D y=D
jWjr—H-y =0, т—\. По методике, изложенной выше, составляется 11 уравнений
и из следующего условия делается приведение подобных членов:
Z2 — Z2;
Рис. 14.9.
Рис. 14.10.
Перемещения, найденные из решения уравнений, равны:
Zi = 0,96553а; Z5 = 0,47796а; Z9 = — 0,15901;
Z2 = —0,47072; Z6 = —0,71506; Z10 = 0,17848a;
Z3 = 1,18955a; Z7 = 0,40126a; Zn = —0,2671.
Z4 = —0,72539; Z8 = —0,59688; Общий множитель —
да3
D
Изгибающие моменты получены с помощью матрицы Мо (табл. 14.3). Для
узлов определены средние значения (номера узлов в кружках см. на рис. 14.10).
17-28 257

К моментам на опоре, полученным от узловой нагрузки, добавлены моменты
защемления, определенные по формуле A4.23).
В итоге (знак плюс — растянуты нижние волокна):
М\ = 0,40213; М\ = М\ = 0,42423; М* = Му7 = 0,02612;
Щ = 0,02478; М% = -0,01829; М$ = —0,62880;
М\ = 0,14216; М\ = 0,17554; Общий множитель
М% = —1,52096; Щ = — U29714; qa2
Краткий обзор работ по методу конечных элементов. 1. Разобранные выше
задачи не исчерпывают возможностей метода конечных элементов. Его при-
приложения весьма разнообразны. Несколько работ посвящено пространственной
задаче теории упругости. Матрица жесткости для тетраэдра была получена в
работе [22]. Ее размеры 12X12, так как каждый узел в пространстве имеет
три независимых перемещения. Р. Мелош [23] получил матрицу не только для
тетраэдра, но и для призмы. При этом он отметил, что разбивка на призмы
приводит к более точному результату, чем разбивка на тетраэдры. Несколько
иной вывод матрицы жесткости для тетраэдра приведен в работе Дж. Арги-
роса [24].
2. Много работ посвящено расчету гладких оболочек вращения на осесим-
метричную нагрузку. В работе [25] предложена разбивка на конусы. Ввиду
осесимметричности задачи по каждой кромке имеется лишь по три неизвест-
неизвестных. Матрица жесткости получилась шестого порядка. В статье [26] для более
полной аппроксимации оболочек вращения предложены матрицы жесткости не
только для комического, но и для цилиндрического элемента и для искривлен-
искривленного диска, предназначенного для «верха» оболочки. Более точно геометрия
оболочки учитывается в работе [27]. В статье [28] получена матрица жестко-
жесткости для криволинейных элементов. Из-за сложности аналитического выраже-
выражения матрица жесткости вычислялась в численном виде. Точность расчета в
этом случае выше, чем при аппроксимации коническими элементами.
Матрица жесткости для прямоугольного элемента цилиндрической оболоч-
оболочки получена в статье [29]. Пологие оболочки рассматривались в работе [30].
Матр.ица жесткости для сложного элемента — шлвты, подкрепленной несиммет-
несимметрично расположенными ребрами, — получена в работе [31].
Общие соображения о методе конечных элементов, плоская задача, изгиб
пластин, оболочки, задачи устойчивости и колебаний, нелинейные задачи и воп-
вопросы программирования рассматриваются в [32].
ЛИТЕРАТУРА
1. De Veubeke В. F. Displacement and Equilibrium Models in the Finite
Element Method. Stress Analysis, London—New York—Sydney, John Wiley and
Sons LTD, 1965.
2. Масленников А. М. Расчет тонких плит методом конечных элемен-
элементов. Механика стержневых систем и сплошных сред, Л., Сб. трудов ЛИСИ,
1968, № 57.
3. Eduardo R. de Arantes Oliveira. Theoretical Foundations of
the finite element method. Int. J. Solid Structures, vol. 4, 1968, No. 10.
4. Besseling J. F. The complete analogy between the matrix equations
and the continuous field equations of structural analysis. Presses Academiques.
Eouropeennes—Bruxelles, 1964.
5. К о р н е е в В. Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариа-
258

ционно-разностным методом решения задач теории упругости. Известия
ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, Т. 83, М., «Энергия», 1967.
6. Мелош Р. Основы получения матриц для прямого метода жестко-
стей. «Ракетная техника и космонавтика» (перевод с англ.), 1963, № 7.
7. Джонс Р. Обобщение прямого метода жесткости анализа конструк-
конструкции. «Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 5.
8. R. W. С lough. The Finite Element Method in Structural Mechanics.
Stress Analysis, London—New York—Sydney, John Wiley and Sons LTD, 1965.
9. Аргирос Д ж. Энергетические теоремы и расчет конструкций. Совре-
Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Л., Суд-
промгиз, 1961.
10. В о л ь м и р А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М., Гостехиздат,
1956.
11. Turner M. J., С lough R. W., Martin H. С. and Topp L. J.
Stiffness and Deflection analysis of complex structures. J. Aeron. Sci., Vol. 23,
1956, No. 9.
12. Кханна Д. Критерий выбора матриц жесткости. «Ракетная техника
и космонавтика», 1965, № 10.
13. Кханна Д., Гули Р. Сравнение и оценка матриц жесткости. «Ра-
«Ракетная техника и космонавтика», 1966, № 12.
14. Длугач М. И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории уп-
упругости. Киев, «Ваукова думка», 1964.
15. Галеркин Б. Г. К исследованию напряжений в плотинах и подпор-
подпорных стенах трапецоидального профиля. М.—Л., Госстройиздат, 1933.
16. Adini A. and С lough R. W. Analysis of plate bending by the
finite Element Method. Rept. submitted on the Nat. Sci. Foundation Grant,
G 7337, 1960.
17. Масленников А. М. Расчет плит на основе дискретной расчетной
схемы. «Строительство и архитектура», 1966, № 6.
18. В. F_ de Veubeke. A conforming finite element for plate bending.
Int. J. SoHds Structures, 1968, No. 1.
19. W. Y. J. S h i e h, Sen g-L ip Lee, and R. A. Parmalee. Ana-
Analysis of plate bending by triangular elements. J. Eng. Mechanics Div., Proc
ASCE, Vol. 94, 1968, No. EM5.
20. Zienkiewicz О. С Finite Element Procedures in the Solution of
Plate and Shell Problems. Stress Analysis, London—New York—Sydney. John
Wiley an and Sons LTD, 1965.
21. Тимошенко С. П., В о й но в с к и й-Кр и ге р С. Пластинки и обо-
оболочки. М., Физматгиз, 1963.
22. G а 11 a g h e r R. H., P a d 1 о g J. and В i j 1 а а г d P. P. Stress
Analysis of Heated Complex Shapes. ARS J. Vol. 32, 1962, No. 5.
23. Мелош Р. Расчет массивных тел методами строительной механики
стержневых систем. Расчет строительных конструкций с применением электрон-
электронных машин. М., Стройиздат, 1967.
24. Аргирос Дж. Матричный анализ малых и больших перемещений в
трехмерных упругих средах. «Ракетная техника и космонавтика», 1965, № 1.
25. ГрафтонП., СтроумД. Расчет осесимметричных оболочек методом
прямого определения жесткости. «Ракетная техника и космонавтика», 1963, №9.
26. Popov E., P e n z i e n J. and Zung- An L u. Finite element Solu-
Solution for axisymmetrical shells. J. Eng. Mechanics Div., Proc. ASCE, Vol 90,
1964, No. EM5.
27. Стриклин, Наваратна, Пиан. Усовершенствование расчета обо-
оболочек вращения матричным методом перемещений. «Ракетная техника и кос-
космонавтика», 1966, №11.
28. Джонс Р., Строум Д. Расчет оболочек вращения прямым методом
жесткостей с помощью криволинейных элементов. «Ракетная техника и кос-
космонавтика», 1966, № 9.
29. Tezcan S. S. Application of Matrix Algebra to the Problems of Plane
Stress Plane Strain, Bending of Plates and Cylindrical Shells. Proc. 3-rd Int.
17*
259

Conf. on the Application of Mathematics in Eng., Der Hochschul fur Architektur
und Bauwesen, Weimar, Germany, 1965.
30. Connor J. J. and В r e b b i a C. Stiffness matrix for shallow rectan-
rectangular shell element. J. Eng. Mech. Div., Proc. ASCE. Vol. 93, No. EM5, 1967.
31. Масленникова А. М. Расчет оболочек, собранных из плоских короб-
коробчатых элементов. Доклады к XXVI научной конференции ЛИСИ. Л., Изд-во
ЛИСИ, 1968.
32. Z i e n k i e w i с z О. С. The Finite Element Method on Structural and
Continuum Mechanics Me. Graw—Hill, 1970.
Глава XV. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассматривается метод определяющих состояний, удобный для решения в
перемещениях пространственных задач теории упругости различных типов на
основе ЭЦВМ. Основные положения метода изложены без нарушения общно-
общности рассуждений применительно к декартовой системе координат для изотроп-
изотропного упругого тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда. Тело
ограничено плоскостями: х=±а, у=±Ь, 2=±/i.
Уравнения равновесия в перемещениях (Ляме) записываются в виде:
(X + 0)
ду
dz
Кх = 0;
A5.1)
du
dv dw
где у2— оператор Лапласа; Л — -— + т— + ~— ;
дх
ду
дг
G =
2 A + (x) '
w, у, ш — перемещения вдоль осей х, у, г; ц — коэффициент Пуассона; Е —
модуль Юнга; Кх> Ку, Kz'—объемные силы.
Граничные условия на поверхности выражаются следующим образом:
/ ди\ — - / ди dv \ — —
tx=\lb + 2G — jcos (п, х) + Q ^— + — j со8(п, у) +
**=</
ди
ду
da
^ du dw\ — —
+ G -т— + ~— cos (/г, г) ,
dv \ __/ dv \ — -
—— cos (/г, *) 4- АД 4- 2 G —— cos (n, y)
dx J \ ду
. dv dw \ — —
¦+ G [ — 4- -— cos (n, z) ;
dz dy J
dw\ - -
dx
, dv dw\
GG7 + T7'COS(/Z' y)
i dw .
+ ( ХД 4- 2 G -— ) cos (/г, z) .
A5.2)
260

_ tXy ty, ^-—поверхностные силы, действующие в направлении осей х, у, г;
п — направление внешней нормали к поверхности тела.
Обычно в теории упругости рассматриваются три типа граничных задач:
1) на всей поверхности S тела заданы перемещения;
2) на всей поверхности S тела заданы поверхностные силы;
3) смешанная задача. На поверхности тела заданы как перемещения, так
и поверхностные силы.
Рассмотрим смешанную задачу для указанного параллелепипеда.
1. Условия для объемных сил всюду в области Q, занимаемой телом,
Kx==Ky = Kz = 0 . A5.3)
2. Граничные условия:
х = ± а: и = О, v = 0 у w — 0\
у = ± Ь: н = 0, v = 0; w = Q;
z = h: tx = 0, ty = Q, tz = q(x,y)\
A6.4)
Условия A5.3), A5.4) выражают задачу изгиба толстой жестко защем-
защемленной по боковым граням плиты нагрузкой, распределенной на грани z=h
по закону q=q(xy у).
Основные положения метода определяющих состояний применительно к
сформулированной задаче, как и в общем случае криволинейных ортогональ-
ортогональных координат, заключаются в следующем.
Для искомых перемещений м, и, ш выбираем выражения, включающие не-
некоторые известные функции и неопределенные коэффициенты. В данном случае
применимы полиномы Лежандра Р:
n(vr) П(ир) ( \ \ (
_rrr ,, ^
r=0 p=0 <7=0 \a ) \b ] \n
Для искомого и произвольного деформированного состояния данного тела,
обозначенного штрихом, справедливо интегральное соотношение теоремы Бетти
о взаимности работ
а Ь h
I [ j (K'xu + К'у v + Kzw)dxdydz + I (tx и + tyv + tzw) dS -
—a—b—h s
a b h
= I 5 \ WXW -f Kyv' -b KZW) dxdydz + §(txuf + tyv' + tzw') dS . A5.6)
—a-b-'h S
Применяя A5.5), сводим решение к отысканию неизвестных коэффициентов
ctrpq , brpq, сгрд|3ав1исящих от n(ur)f n(up),n{uq), n(vr)f n(vp), n(vq), n(wr)t
n(wp), n(wq). Каждый член выражений A5.5) не удовлетворяет уравнениям
равновесия A5.1) при КХ=КУ —Kz=0 и ни одному из граничных условий
A5.4). Особенности метода определяющих состояний позволяют применять вы-
выражения A5.5) без всяких изменений для решения любого из рассматриваемых
в теории упругости типов граничных задач.
Общее число неизвестных arpq brpq* crpq* выражениях A5.5) rn = ma +
v w, где mu=n(ur)-n(up)-n(uq); mv=n(vr) •n(vp)-n(vq); m:w^n(wr)X
Xn(wp) -n(wq).
261

В методе определяющих состояний эти коэффициенты разыскиваются с по-
помощью соответствующего числа т вспомогательных (определяющих) дефор-
деформированных состояний данного тела. Последовательная подстановка таких
состояний в A5.6) приводит к системе интегральных соотношений, преобразуе-
преобразуемых после вычисления интегралов в систему линейных алгебраических уравне-
уравнений с коэффициентами arpq , brPq, crpq в качестве неизвестных.
Для построения определяющего состояния задаемся тремя непрерывными
функциями и\ v\ w\ выражающими соответствующие перемещения. Подстав-
Подставляя эти перемещения в A5.1), выразим необходимые в решении объемные
силы,
(к + G)—— + Gy4
G) + Gy*v' ; \ A5.7)
(X + G) — +
Аналогично из A5.2) через и', о', w' выражаем поверхностные силу
*'х • *'у *'г ¦
Для определения выбранного числа неизвестных arpq, brpq, crpq , входящих
в три выражения A5.6), для и, v, w, можем построить три системы опреде-
определяющих состояний с перемещениями, не удовлетворяющими ни одному из ус-
условий задач A5.3), A5.4):
„(»)
U «Й1-0;
USfl=\ п IUIUI' v*//-v' WSH -¦ | A5.8)
= 0, 1, 2,..., п(иг); у = 0, 1, 2,..., п(ир); / = 0, 1, 2..., n{aq)\
JLX /1 . „(v)
g = 0, 1, 2,... , n{vr)\ j = 0, 1, 2,
i; /=-0,1,2,...,
=0,1,2,...,
у = 0, 1,2,..., n(wp); i = 0,\,2,..., n(wq).
A5.9)
A5.10)
Выражения A5.6) и A5.8) — A5.10) могут быть применены в самых различ-
различных случаях решения второй основной и смешанной задач теории упругости.
При решении первой основной задачи, когда на всей поверхности заданы по-
поверхностные силы, нз выражений A5.6), A5.8) — A5.10) необходимо исключить
члены, соответствующие перемещению тела без деформации. Возможность
применения в методе такой стандартной схемы освобождает вычислителя от
трудоемкого в ряде случаев применения вариационных методов процесса под-
подбора координатных функций, удовлетворяющих тем или иным условиям задачи.
Для решения широкого круга граничных задач различных типов при заданной
форме тела может быть использована однажды составленная стандартная про-
программа. Это создает благоприятные возможности для эффективного исполь-
использования ЭЦВМ, позволяет широко применять табулированные ортогональные
системы функций, что приводит к уменьшению объема вычислений и повыше-
повышению устойчивости процесса приближения.
262

Интегральное соотношение A5.6) после использования условий A5.3),
A5.4) и подстановки в качестве вспомогательное одного из определяющих
состояний с перемещениями A5.8), A5.9) или A5.10) принимает вид
a b h a b
? ^(txu + ty v 4- t'zw)dxdy 4-
—a-b{z=h)
a b b h
i" J(** u Л- tyv + tzw) dxdy = \ § (txur 4- tyv' 4- tzw')dydz -f
b li ah
xu' 4- tyv' 4- tzw')dydz + J J (*Ла' 4- *yi/" 4- tzw')dxdz -h
а Ь h
— a—b—h
а Л
—а—Л(уе=—
¦w' 4- ^yv' + tzw')dxdz 4- j J qw'dxdy.
A5.11)
В силу однородности всех заданных условиями задачи компонентов иско-
искомого деформированного состояния все соответствующие интегралы A5.6) об-
обратились в 0. При неоднородных условиях такие интегралы входят в A5.11)
и включают функции, выражающие заданные такими у<?ловиям,и компоненты.
При решении отдельных задач целесообразно упростить решение и умень-
уменьшить объем вычислений. Такое упрощение может быть достигнуто прежде
всего подбором определяющих состояний, удовлетворяющих тем или иным
заданным условиям задачи. В случае неоднородных условий можно исполь-
использовать состояния, удовлетворяющие аналогичным однородным условиям. Про-
Проще всего удовлетворять граничным условиям для перемещений.
Ниже применим три системы определяющих состояний с перемещениями,
удовлетворяющими условиям^5.4).
A5.12)
ю<«)
: 0 ; ? = 0, 1, 2,..., /i(ar); ;- = 0, 1, 2,..., n(a/>) ;
/ = 0, 1,2,..., /i(aflf).
wj$ = 0; ^=0,1, 2,..., n(t;r); y-0, 1, 2,..., n(vp); /=0, 1, 2,..., n(vq).
• = 0, 1, 2,..., n(wr)\ j = 0, 1,2,..., n(wp)\ i = 0, 1, 2, ... , n(wq).
A5.14)
Интегральное соотношение A5.6) с учетом условий A6,3) и A5.4) при под-
подстановке одного из таких состояний упрощается по сравнению с A5.11) и при-
принимает вид
a b h a b
и 4- Kvv 4- K'w)dxdydz 4- f [ (t' и 4- t' v 4- t'w)dxdy 4-
—a-b(z=h)
a b a b
4- J ?(*> 4- tyv 4- *¦>) rf^rfy = J $ qw'dxdy. A5.15)
-a—b{z=-h) -a—b{z=h)
Подставляя в A5.15) вместо неизвестных компонентов искомого состояния их
выражения через A5.6) и последовательно все выбранные определяющие со-
— a—b-h
263

стояния с перемещениями A5.12) — A5.14), получим носле вычисления инте-
интегралов и преобразований систему линейных алгебраических уравнений
Ex =
A5.16)
включающих неизвестные arpQ, brpqy crpq.
Коэффициенту arpq для r=a, p=/J, q=rj ставим в соответствие уравнение,
полученное при подстановке в A5.15) определяющего состояния с перемеще-
перемещениями A5.12) при g=a, /=Д i=rj. Аналогично для определения Ьгрдк стря
используем определяющие состояния с перемещениями A5.13), A5.14) при
одинаковых значениях индексов г, g; р, /; q, i.
Система A5.16) состоит таким образом из уравнений трех систем:
n(ur) n{tip) n(uq)
Li Zj Zj gn, rpq
r=0 p=0 <7 = 0
n(wr) n(wp) n(wq)
" 2j Zj Zj &n. w 'Ptf ~
r=0 /3=0 <7=Q
/=0,1,2,
n(ur) n(up) n{uq)
raeO /7=0 q=0
n(wr) n(wp) n(wq)
\* V V /(ад>) г j
/ i /1 / | gji, rpq rPQ
r=0 /7=0 g=0
i—0,1,2,... , at(^);
л(«г) п(мр) n{uq)
Г1 yi у ^(cw«)
Z-i Zj Zj ei'l» rpt
f,= Q /7=0 <7=0
/7@УГ) /7(WP) Л(Ш^)
I V4 VI >П i(ww)
~f~ Zj Zj Zj if/Л /
j = 0, 1,2,..., л(от>)
" agji
... ,AT(
gvn ; ^
i; i =
л(иг) /7(г;р) /7(г><7)
r Lj jLJ Zj g/i, rpq0rpq "Г
/•=0 p=0 ^=0
; g = 0, 1,2, ...,/!(«/¦); y=0,l,2,...
«^);
«(or) «(«/>) «(г;<7)
r=0 jD=»O <7=0
?• = 0, 1,2,..., n{vr)J = 0,1,2,...,
я(ог) /?(»/?) «(у^)
r=0 /7=0 <7=*0
M = 47/; ^ = 0,l,2f...,/i(wr);
0, 1,2,... ,rt(w$),
Мир)-
A5.17)
w(vp).
где, в соответствии с A5.12) — A5.14)
a &
—a—b (z-
—a—b(z=*h) -a—b(z=h)
У_
b
dxdy
для всех принятых значений g, /, i.
Системы A5.17) соответственно запишем
A5.18)
264

Матричные принципы составления системы линейных алгебраических урав-
уравнений. Приближенное решение пространственных задач связано, как правило,
со значительным осуществимым лишь на ЭЦВМ объемом вмчислений. Поэтому
принципы реализации метода с применением ЭЦВМ, особенно процесса состав-
составления и решения системы линейных алгебраических уравнений, имеют перво-
первостепенное значение.
Процесс вычисления каждого из коэффициентов систем A5.18) может быть
выражен матричным алгоритмом. Рассмотрим структуру таких алгоритмов
применительно к 1%^гфя • Подставляя в A5.15) определяющие состояния с
перемещениями A5.12) и вместо неизвестных и, vf w их выражения A5.5) „
получим после преобразований i%Vtrpq B общем виде
(^) $ {i)
'Рт (^) "$ p{i)dxdydz
Выражения для /Cjjgy,-, ^gji П0ЛУчаем из A5.1), A5.2) с учетом равен-
равенства нулю компонентов v^jj и w(gj\ •
После подстановки этих выражений и упрощений запишем A5.19) в сле-
следующем виде:
CU = №l. tP+ Kip) [(«1. gr + «2, gr ) 71. iq +(«3,gr +
+ Ч*г>(ТГ2./* + Т[з./*>Ь A5.20>
В A5.20) приняты обозначения:
. и,
_-L i (_!)'-« о (_
К виду, аналогичному A5.20), могут быть приведены выражения для
остальных коэффициентов при неизвестных. Таким образом, исходными для
составления матрицы Е системы A5.16) являются матрицы чисел, выражаю-
выражающихся одномерными интегралами от произведений различных степеней неза-
независимых переменных на полиномы Лежандра.
Для различных типов пространственных задач такие матрицы могут быть
легко получены на основе однажды составленных таблиц. В приложениях ме-
метода одним из наиболее эффективных способов оценки точности полученного
приближенного решения является анализ его относительной сходимости, т. е.
оценка невязки между результатами, соответствующими различному числу
265

членов выражений A5.5) и соответственно системам A5.16) различного по-
порядка.
Для такой оценки используются результаты решения систем возрастающего
вплоть до т порядка. Роль различных членов A5.5) при уточнении прибли-
приближенного решения может быть различной и зависит, в частности, от физическо-
физического смысла задачи. Поэтому при разработке алгоритмов составления системы
A5.16) основное внимание должно быть уделено не только структуре выраже-
выражений для коэффициентов при неизвестных и свободных членах, но и принципам
формирования матриц Е, X, D. При решении пространственных задач, в част-
частности при расчете толстых и средней толщины плит и оболочек, целесообразно
уточнение решения производить по той координате, которой измеряется тол-
толщина или высота тела (в декартовой системе обычно по г).
В данном случае вначале удерживаются в A5.5) все члены с индексом q = 0,
затем с индексом q=0, q=\ и т. д. Такой способ уточнения по г принят в на-
настоящем примере. Ввод новых членов A5.5) в зависимости от значений индек-
индексов г и р при постоянном q может быть осуществлен, в частности, двумя спо-
способами.
1. Уточнение по одной из переменных. При уточнении по х удерживаем
вначале все члены A5.5) с индексом г=0, затем r=0, r=l и т д. Число вводи-
вводимых на каждом шаге новых координатных состояний в этом случае целесооб-
целесообразно сохранять постоянным. Рассмотренный выше порядок ввода в решение
новых членов по индексу q также является уточнением по одной переменной.
2. Окаймление членов A5.5), удержанных на предыдущем этапе прибли-
приближения. Для некоторого постоянного q на первом шаге вводим член A5.5) с
индексом г = 0, р = 0, на втором — последовательно члены с индексами г=0,
/7 = 0; г=0, р=1; г=1, р — 0\ г=1, р=\\ и т. д. Число п новых членов, вводимых
на каждом последующем шаге уточнения, возрастает и выражается формулой
п = 26 — 1,
где k= 1, 2,... — номер шага уточнения.
Количественные сочетания неизвестных arpq, brpq, crpq , разыскиваемых на
каждом шаге уточнения, могут быть различными и связаны с физическим
смыслом задачи. При сохранении одинакового числа членов, выражающих пе-
перемещения м, v, w(mu = mv=mw), общее количество таких функций на каж-
каждом шаге уточнения остается кратным этому числу.
3. Порядковый номер неизвестных arpq в каждом уравнении может быть
принят равным 1, 4, 7, ...; неизвестных ЬТря и crpq—соответственно 2, 5,
-8,...; 3, 6, 9,...
Не основываясь на каком-либо определенном порядке взаимного располо-
расположения неизвестных aTpq, brpqy crpq и уравнений A5.18), рассмотрим структуру
матриц элементов, соответствующих каждому из них.
Матрица-столбец X A5.16) состоит из элементов матриц-столбцов
-X(v\ Xw\ образованных неизвестными aTpq, brpq, crpq
Матрицы-столбцы Х^ «=1, 2, ...,n(uq) образованы неизвестными arpq при
<г=1, 2, ..., п(иг)у р=\, 2, ..., п(ир), q=a, что соответствует принятому спо-
способу уточнения по г. При уточнении по одной из переменных х или у элемен-
элементы Х^' также являются матрицами-столбцами. При уточнении по у
Л««» = (*Й>, Х?> *<«>,,.), A5.21)
где
Х$ - («, „., «2 ра ап(»г)?« )• Р- 1. 2 Hvp)... A5.22)
При уточнении окаймлением по х и у номер строки АГ== 1, 2,..., которую
& матрице Х(^ занимает коэффициент arpq , определяется по формулам:
p>r: N = (p + k-\y + (r + k)',
p<r: N = (r + kf-(r + k) + (p + k
266

В формулах A5.23) &=1 в случае, если индексы риг принимают значения на-
начиная с 0, и /г = 0, если такая нумерация начинается с 1. Структура матриц X(VK
X'w^ аналогична Х^ и структура матрицы свободных членов D аналогична
структуре матрицы X.
Матрица Е системы A5.16) образована строками прямоугольных матриц
Е(и) , E(v\ E(w) A5.18) размерами тиХт\ mvXm\ mwxm.
Аналогичные для Е^ , E*v), ?^tt) принципы формирования рассмотрим
на примере матрицы Е 'и' , которая составлена из коэффициентов при неиз-
неизвестных всех уравнений, полученных на основе вводимых в решение опреде-
определяющих состояний с перемещениями A5.12). Каждая строка Е(и* форми-
формируется из элементов строк матриц Е^иа\ E^uv\ Е^шв\ включающих соответ-
соответственно коэффициенты lgj"jrpg, lgjupq> ^gU.ipq при неизвестных arpQ, brpQ,
crpq. Прямоугольные в общем случае матрицы Е^ии), E^uv^ , Е (uw^ имеют
размеры тиХти\ muXmv; muXmw. Принципы формирования их также ана-
аналогичны. Взаимное размещение элементов этих матриц в Е^ зависит от
выбранных количественных соотношений между arpq, brpq , crpq .
Рассмотрим порядок размещения коэффициентов 1$1?грд по строкам Е^ии^ .
Представим эту матрицу в виде матрицы-столбца:
где Е[ии^ , а=1, 2,..., n{uq)—прямоугольные матрицы размером Su Xmu,
Su=n(ur)Xn(up). Каждая из матриц Е^ии^ включает все коэффициенты
^&ji!rpq • размещение которых по строкам в соответствии со значениями ин-
индексов g и / зависит от принятого способа уточнения по переменным х и у.
При уточнении по у матрицы Е%*и* могут быть представлены в форме матриц-
столбцов
Лии) _ /р(ии) р(ии) р(ии) ч
Матрицы-столбцы
образованы матрицами-строками Е^^грд , у = 1, 2,... ,/г(иг), включающими
коэффициенты l^ajpq co всеми возможными сочетаниями принятых значений
г, р, q. В случае уточнения по х, у окаймлением, номер строки iV=l, 2,...
матрицы Е^и^ , в которой размещается коэффициент (ffiiTPq , определяется по
формулам A5.23) с заменой г и р соответственно индексами g и /'.
При размещении коэффициентов lgjijPq по столбцам Е(ии) в зависимости
от значений индексов г, р, q полностью справедливы проведенные выше рас-
рассуждения относительно размещения по строкам при условии замены g, /, i со-
соответственно индексам г, р, q.
Рассмотренная матричная форма процесса составления системы уравнений
может быть рекомендована при решении трехмерных и двухмерных задач ме-
методом определяющих состояний.
Решение системы линейных алгебраических уравнений. В методе опреде-
определяющих состояний с наибольшим успехом могут быть применены алгоритмы,
удовлетворяющие следующие требования:
1. Возможность эффективной реализации алгоритма на ЭЦВМ. В этой
связи отметим в первую очередь такие качества, как простота вычислительной
схемы, возможно меньший объем необходимой для запоминания промежуточ-
промежуточной информации, сокращение общего числа операций типа умножения и т. п.
267

2. Возможность определения в процессе решения максимальной системы по-
порядка п решений всех или части усеченных систем порядка, возрастающего
последовательно от 1 до п—1, что позволяет значительно сократить объем вы-
вычислений, необходимых для сравнения результатов, полученных при удержаний1
различного числа членов A5.5).
Сформулированным требованиям удовлетворяет алгоритм, рассматривае-
рассматриваемый в работе [7]. Пусть необходимо решить невырожденную систему
п
I! a X ~ а1. я + 1 ' ' = *• 2- - П ¦
I!
aik
Рассмотрим последовательность решений матричных уравнений
где
A5.28>
aua12
a
2,s + l
.Л + 1
*2./i+l
A5.29)
as,s+\ ' • • as,
Обозначим через Xlk вектор-столбец решения одной из систем A5.28) для
S = l и для ?-того столбца матрицы В^ . Используя для решения метод окай-
окаймления [6] нетрудно показать, что для &>/
1-\
О
"Ik
1
A5.303
где
al =
1-Х
Вектор Х^1\ является решением системы A5.27), векторы \ \
^л+~1 ^выражают решения всех усеченных систем порядка от 1 до п—1. Вы-
Вычисления можно начинать с векторов Х$} =0. Для контроля можно пользо-
пользоваться столбцом
и вектором
преобразуемым по формуле
*п + 2
п+2
/-/ +
ltti-\-2 '
268

Если для какого-либо /=1, 2,... , я—1
т. е. такое S>/, для которого
то на шаге номера / следует поменять местами строки I я S матрицы А.
Описанный алгоритм удобен для применения ЭЦВМ по следующим при-
причинам:
1. При решении системы A5.27) вместе с контролем необходимо выполнить
п
г= — (я2+6я+2) операций умножения и деления, что почти не отличается от
о
П
аналогичного числа операций в схеме Гаусса, где г= ——(п2 + 6п—1).
о
2. Как видно из формулы A5.30), на каждом шаге используется только
одна строка исходной матрицы, что позволяет вводить в оперативную память
машины не всю матрицу сразу, а построчно, по мере необходимости. Для ана-
анализа относительной сходимости решения методом определяющих состояний все
лли часть векторов ^V+i' ^л + 1 • • •»Х\?+\^ МОГУТ быть выведены на печать
или использованы в режиме автоматического контроля точности приближения
решений.
Выражение искомых перемещений с помощью ортогональных функций при-
приводит к повышению устойчивости решения. Так, применение стандартной схе-
схемы позволило получить достаточно качественные результаты при удержании
в A5.5) для каждого из перемещений по 100 членов.
Некоторые результаты теоретического обоснования метода. Приведем неко-
некоторые результаты теоретического обоснования метода определяющих состоя-
иий. Одной из основных проблем является обеспечение сходимости прибли-
приближенного решения к точному при неограниченном увеличении числа членов
A5.5) и формулирование связанных с этим условий для аппроксимирующих
«функций и определяющих состояний.
Основанная на степенных функциях независимых переменных стандартная
схема с выражениями A5.5), A5.8) — A5.10) может быть эффективно приме-
применена к решению широкого круга граничных задач различных типов в декар-
декартовой системе координат. Можно доказать, что при применении в декартовой'
системе координат определяющих состояний с перемещениями A5.8) — A5.10)
и аппроксимирующих выражений A5.5) по полиномам Лежандра решение
лри неограниченном увеличении числа членов A5.6) сходится в данном смысле
>к точному решению.
Коэффициенты arpQy brpq f crpg при этом стремятся к пределу, которым яв-
являются соответствующие коэффициенты Фурье.
В случае, если все искомые компоненты напряженно-деформированного
состояния непрерывны в заданной области, решение сходится ко всем таким
компонентам в каждой точке области.
В точках с особенностями (напряженного состояния и в их окрестностях
решение методом определяющих состояний дает некоторые усредненные зна-
значения соответствующих компонентов, что .не отражается в заметной мере на
результатах за пределами этой окрестности. Во многих прикладных задачах
такой характер решения достаточно близок к реальным условиям. Для до-
достижения высокой точности вблизи особых точек в строгой математической
лостановке необходимо предварительное выделение особенностей.
В качестве определяющих можно применять вспомогательные состояния
с перемещениями типа A5.12) — A5.14), удовлетворяющими всем или части за-
заданных однородных граничных условий. В случае заданных неоднородных гра-
269

ничных условий можно применять определяющие состояния, удовлетворяющие
соответствующим однородным условиям.
Применение метода в ортогональных криволинейных координатах. Изло-
Изложенные выше основные положения метода остаются в силе и в случае орто-
ортогональных криволинейных координат, допускающих разделение переменных.
В частности, может быть широко применена стандартная схема решения, в
которой определяющие состояния соответствуют перемещениям типа A5.8) —
A5.10), выраженным различными сочетаниями степеней независимых перемен-
переменных. При выборе ортогональных систем необходимо учитывать весовые функ-
функции [9], входящие в соответствующие выражения для элементов объема и
весовых функций каждой из независимых переменных в декартовой, круговой
цилиндрической и сферической системах координат.
Таблица 15.1. Весовые функции
Система
координат
Декартова
Круговая ци-
цилиндрическая
Сферическая
Элемент
объема йЯ,
dxdydz
rdrd <p dz
г2 sin в drd в dcp
Весовая функция (в числителе — незави-
независимая переменная, в знаменателе — весовая»
функция)
X
"Г
г
г
Г
г2
У
1
?
1
в
sine
2
~г
2
Т
9
1
При решении задач в круговых цилиндрических и сферических координа-
координатах вместо полиномов Лежандра могут быть применены ортогональные с ве-
весом х и х2 полиномы Якоби [9]. При решении в сферической системе коор-
координат в интегральные соотношения входят функции , ctg в, усложняю-
усложняющие решения. При применении для аппроксимирования решения и построения
определяющих состояний степенных функций целе-
целесообразно применять степенные разложения
[Ю]:
1 U A3
. . . A5.31)
A5.32)
Погрешность применения 3-х первых членов
разложений A5.31), A5.32) при 0 <в< 50° не
превышает 1%.
Некоторые результаты расчета толстых и средней толщины плит. Рассмот-
Рассмотрим некоторые результаты расчета методом определяющих состояний толстых
и средней толщины плит в постановке пространственной задачи теории упру-
упругости. Форма плит в плане: круглые, квадратные, полубесконечные. Нагруз-
Нагрузка— равномерно распределенная на верхней поверхности интенсивностью q.
Условия закрепления —• жесткое защемление и свободное опирание (круглые
плиты) по всему контуру. Жесткое защемление выражено условиями A5.4).
Принята следующая интерпретация свободного опирания: внешняя равномер-
равномерно распределенная -нагрузка, приложенная к верхней поверхности свободного
цилиндра, уравновешивается равномерно распределенными на опоясывающей
ctge
i
sinO
1
1
е '
9
з ~~
в
б +
4"
7
360
Рис. 15.1.
270

Таблиц
Тип плиты
Круглая
защемленная
Квадратная
защемленная
Полубесконеч-
Полубесконечная защемленная
Круглая свобод-
свободно опертая
а 15.2. Сопоставление с пространственной задачей
ь
т
а
1
2
1
~5~
1
7,5
1
То"
1
2
1
5
1
~2~
1
4
1
"
1
То
1
2
1
5
1
То^
¦^ .оо
оАт)
в центре
655
167
129
116,8
616,7
163,5
454
177
149,8
112
246,7
115,5
103,4
Q(n)
r{x) loo
(Г| дг=О, г=Л)
237
124
115,5
112,2
223,4
119,4
152,4
112,8
108
102,6
117,0
102,1
110,4
1ПО
г(х)
(г, х = а, z—h)
325
126,8
100
108.1
309,6
134,6
276
156,2
133
96,2
—
—
—
271

цилиндр части боковой поверхности ,г=а; —0,25/г<г<0,25/г (на рис. 15.1 по-
показано радиальное сечение цилиндра). Между такой интерпретацией и усло-
условиями свободного опирания в теории тонких пластинок (см. рис. 15.1) имеется
следующее соответствие: прогибы ш=0 в точках с координатами г = 0, г=0,
нормальные напряжения ог =0 всюду на боковой поверхности. Благодаря сим-
симметрии перерезывающие силы распределены равномерно вдоль контура плиты
и не зависят от координаты (р. Погрешность принятого допущения о равномер-
равномерном распределении реактивных касательных напряжений по высоте полосы
—0,25/г<г<0,25/г имеет, что подтверждено числовым анализом, локальный
h 1
характер при у= — <~(см. рис. 15.1) и существенно не отражается на зна-
значениях прогибов и напряжений в центре плиты. Иной закон распределения ре-
реактивных напряжений на полосе принятой малой высоты, по-видимому, не
I
вызовет значительных искажений результатов и при у = ~г~ -
Решения, полученные с удержанием от 18 до 40 членов в выражениях для
искомых перемещений по полиномам Якоби, удовлетворяют заданным гранич-
граничным условиям для перемещений фактически точно и впол'не удовлетворительно-
граничным условиям для напряжений. Так для круглых плит амплитуда от-
отклонения от точного значения oz на поверхности в зоне 0,05а </*<0,9# не пре-
превышает 5—7%.
В табл. 15.2 проведено сопоставление некоторых результатов, полученных
в постановке пространственной задачи, с данными теории тонких пластинок.
h 1
Характерно, что уже при у =—=—прогибы в центре защемленных плит,
CL о
вычисленные по этой теории, значительно отличаются от полученных в поста-
постановке пространственной задачи. Для свободно опертых плит относительная
разница проявляется в значительно меньшей степени. Проведенный анализ
показал, что для круглых плит такая разница при жестком защемлении и сво-
свободном опирании количественно проявляется в более заметной мере по той
причине, что прогибы свободно опертых плит в несколько раз превышают про-
прогибы плит защемленных. Анализ результатов, полученных для плит толстых
i h 1 1 \
и средней толщины!— = —-г-—I позволяет сделать следующие выводы:
\а 2 5 )
1
1. Перемещения и точек срединной плоскости при у < ~г~пренебрежимо
Ъ
малы. При у=~значения и в срединной плоскости могут превышать 10% со*
ответствующих величин на поверхности плит.
1
2. При у>—распределение перемещений и по толщине плит не соответ-
Ъ
ствует линейному закону. Такое отклонение от гипотезы прямых нормалей
1
особенно заметно в зоне г(х)>0,7§а защемленных плит. При у= ~~~ гипотеза
прямых нормалей грубо искажает действительный характер деформированно-
деформированного состояния.
3. При расчете толстых плит с отношением толщины к меньшему из раз-
размеров в плане у порядка —т~ необходимо по возможности более точно учитьь
272

вать реальные условия опирания. Выражения граничных условий в интеграль-
интегральном смысле или решение задачи полуобратным способом Сен-Венана может
привести к существенным погрешностям не только у краев, но и в центре
плиты.
1
4. Результаты, полученные для плит средней толщины с у= "Г , подтверж-
5
дают обоснованность всех допущений теории тонких пластинок, кроме гипотезы
прямых нормалей. Несоответствие между данной теорией и результатами, по-
полученными в постановке пространственной задачи, особенно ощутимо прояв-
проявляется в значениях прогибов защемленных плит.
1
5. Анализ характера эпюр напряжений и перемещений при у= —свиде-
—свидетельствует о том, что все гипотезы теории тонких пластинок существенно
искажают действительный характер напряженно-деформированного состояния
плит такого типа.
6. Между основными соотношениями теории тонких пластинок и простран-
пространственной задачи теории упругости имеется ряд несоответствий, не зависящих
от отношения толщины к размерам в плане (у).
Учет этого фактора позволяет более качественно сопоставлять результаты,
полученные такими двумя путями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Развитие механики s СССР. Под ред. Ишлинского А. Ю. М., «Наука»,
1967.
2. Л у р ь е А. И. Пространственные задачи теории упругости. М., Гостех-
издат, 1955.
3. В а р в а к П. М. Расчет толстой квадратной плиты, защемленной по бо
ковым граням. Расчет пространственных конструкций. Вып. 5. М., Госггехиз-
дат, 1959.
4. Л и с и ц ы н Б. М. Приложение метода определяющих состояний к ре-
решению пространственной задачи теории упругости. Сопротивление материалов
и теория сооружений. Вып. VIII. Киев, «Буд1вельник», 1969.
5. Л и с и ц ы н Б. М. Об одном методе решения задач теории упругости
Прикладная механика. Т. III. Вып. 4. Киев, «Наукова думка», 1967.
6. Ф а д д е е в Д. К., Ф а д д е е в а В. Н. Вычислительные методы линей-
линейной алгебры. М., Физматгиз, 1960.
7. Филиппович Е. И. Методы вычислительной математики для элек-
электронных машин. Техническая кибернетика. Киев, Гостехиздат УССР, 1963.
8. Аксентян О. К. Особенности напряженно-деформированного состоя-
состояния плиты в окрестности ребра, ПММ. Т. 31. Вып. 1. М., «Наука», 1967.
9. Б е р е з и н О. С, Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. I. M., Физ-
Физматгиз, 1962.
10. Люстер.ник Л. А., Черв он ен кис О. А., Ян польский А. Р.
Математический анализ. М., Физматгиз, 1963.
Глава XVI. ТЕОРИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК
Теория трехслойных пластин и оболочек. Трехслойная оболочка состоит из
двух тонких внешних слоев из высокопрочного материала, связанных между
собой слоем относительно маложесткого и легкого заполнителя. Назначение
заполнителя— обеспечить совместную работу и устойчивость внешних слоев,
18—28 273

которые могут быть одинаковыми или различными по толщине и материалу.
Если они одинаковы, то трехслойная пластина имеет симметричную структуру,
а если нет — несимметричную.
В качестве заполнителя применяют ребристые конструкции — сотовые, типа
гофра и складчатые, или неармированные пенопласты и другие легкие мате-
материалы.
При надлежащем выборе материалов можно получить панели с определен-
определенными радиотехническими, теплоизоляционными, вибрационными и другими
характеристиками.
Расположение внешних слоев на достаточно большом расстоянии одного
от другого при соответствующем выборе параметров трехслойной пластины или
оболочки во многих случаях позволяет создавать конструкции весом меньшим,
чем вес эквивалентных по жесткости панелей со стрингерным подкреплением.
Особенности работы и связанные с ними особенности расчета трехслойные
панелей (по сравнению со сплошными однослойными панелями) определяют-
определяются тем, что в маложестком легком заполнителе могут возникать деформации,
заметно влияющие на работу конструкции.
В силу маложесткости заполнителя расчет трехслойной конструкции при-
приходится вести с учетом деформации поперечного сдвига заполнителя.
Собственно в учете влияния сдвига заполнителя на работу несущих слоев
и состоит главное отличие расчета трехслойных конструкций от расчета обыч-
обычных однослойных пластин и оболочек.
Принятая теория расчета трехслойных пластин и оболочек строится на
основе ряда допущений. Тонкие несущие слои трехслойной пластины или обо-
оболочки рассматриваются как обычные пластины и оболочки, работающие в
соответствии с гипотезами Кирхгоффа—Лява. В заполнителе пренебрегают
деформациями в поперечном направлении. Прогибы внешних слоев таким об-
образом считаются равными.
Приближенно деформации сдвига заполнителя можно учесть с помощью
различных допущений о его работе. Одно из таких допущений состоит в пред-
предположении, что тангенциальные перемещения по толщине заполнителя при де-
деформировании трехслойной конструкции распределяются линейно (гипотеза
о линейном распределении перемещений по толщине заполнителя). В силу
данной гипотезы касательные напряжения в заполнителе постоянны по толщи-
толщине слоя и не удовлетворяют условиям контакта смежных слоев.
Здесь будут использованы другие идеи, отличные от принятых в теории
трехслойных оболочек: идеи теории пологих оболочек средней толщины. По-
Пологими оболочками средней толщины принято называть оболочки, в диффе-
дифференциальных уравнениях которых (описывающих напряженное состояние) со-
сохраняются величины до h2Lr2 (h — толщина слоя оболочки, L — ширина обо-
оболочки в плане) и пренебрегают членами порядка hR~l по сравнению с едини-
единицей (R — наименьший радиус кривизны).
Для многослойных пологих оболочек, среди слоев которых имеются и ма-
маложесткие, каждый слой рассматривается как пологая оболочка средней тол-
толщины и следовательно для каждого слоя производится учет деформации по-
поперечного сдвига, изменение нормального перемещения^ (прогиба) по толщине
их и нормального напряжения ог. Учет для каждого слоя, независимо от его
жесткости, указанных факторов позволяет заранее не оговаривать относитель-
относительное расположение несущих слоев и заполнителей.
Многослойные пологие оболочки со слоями различной жесткости. Рассмат-
Рассматриваются многослойные пологие оболочки и пластины с заполнителями. В част-
частности трехслойные и двухслойные оболочки и пластины. Пусть хну являются
криволинейными ортогональными координатами, совпадающими с линиями
главных кривизн координатной поверхности оболочки, т. е. поверхности, с ко-
которой совмещена координатная сеть х и */, a z — координата, отсчитывающая
по внешней нормали k координатной поверхности (рис. 16.1).
Пусть координаты х и у являются угловыми координатами и, следователь-
следовательно, коэффициенты первой квадратической формы равны единице (Л1=Л2=1).
274

Для построения теории пологих многослойных оболочек, для каждого слоя
которой учитывается деформация поперечного сдвига е*г, еуг и другие факто-
факторы, принимаются следующие положения:
, д1
A6.1)
Рис. 16.1.
Рис. 16.2.
Выражение для нормального напряжения имеет вид
z k~\ I
1 Ч4
dz
^ = ^+ + q- • A6.2)
Закон изменение нормального перемещения по толщине следующий:
и*(х, у, z) = w(x, у) + ср^(г)Х(л:, у). A6.3)
Здесь k(k=\, 2, 3,..., п)—номер слоя многослойной пологой оболочки или
пластины; Gk =
—модуль сдвига 6-того слоя; w(x, у) —прогиб коор-
динатной поверхности; bk_v bk — расстояния от нижней поверхности оболоч-
оболочки (z=—д\) до нижней и верхней граничной поверхности Л-того слоя; би б2 —
расстояния от нижней и верхней B=^2) внешних поверхностей многослой-
многослойной оболочки (рис. 16.2): q~~(x, у), q + (х, у) — нормальная нагрузка, прило-
приложенная на нижней и верхней поверхности оболочки.
Напряжения A6.1) и A6.2) заданы в форме найденных из уравнений рав-
равновесия при использовании гипотез Кирхгоффа—Лява, но введена новая функ-
функция %(х, у) — функция сдвига.
Функции ери B) и ipk(z) задаются следующими выражениями:
¦ zdz + c2k ,
A6.4)
18*
275

где
: = *21 "I
ь b
A6.5)
m-l ь/_8
Рис. 16.3.
причем при k=\, c2k=c2l.
с*десь /я — номер слоя, в котором лежит координатная поверхность- иь —
коэффициент Пуассона 6-того слоя. '
Ыг)
z г
I Mr
где
*-1
'2ОУ
A6.8)
причем при Л=1, Cift=cn
«4* =
j
/-1 »/_!-«,
f fi f 2 0,
— 1—5! by-l-Sj
_ I I 1 Г 2 Gm
Г Г i f 2G;
1 rT" \ i zdz ~ vAz)
J . 1GJ J 1-^y y
г; A6.9)
m-l йу—St
A6.10)
i ~ / .; *¦ г*/ »j » i
/=1 0,-1-8, .#_. t
Положение координатной поверхности определяется по формуле (рис. 16 3)
К
V Г 2G*
П6.1П
2 [ ^
276

из условия, что
zdz = О,
' —V-k
A6.12)
причем z=Zk—ди где г, — координата, отсчитываемая от -нижней поверхности
оболочки (г=д\).
Напряжения для &-того слоя можно найти по формулам A6.1) — A6.2) и
следующим:
1 —V-k
1 —
2 zx^y ~
A6.13)
)
где вх, ?>м еху— компоненты деформации координатной поверхности.
ди dv
гх " "^— + kxw ! гу = + kyw ;
ди dv
? га, = —:— + ¦
*.гу
ду дх
A6.14)
и(х, у) и v(x, у)—тангенциальные перемещения координатной поверхности;
1 1
«л- = ~гГ~ и by — "Г~—главные кривизны;хг, ху и ъху —изменение кривизны
"х Ку
и кручемие;
и аналогично
d2w
дЧ
дх*
ду* ' л
дЧ
~ду^'' Хху
дхду
д\
дхду
A6.15)
A6.16)
Уравнения равновесия и граничные условия можно получить из вариационного
Ла
уравнения Лагранжа
— +2-
дхду
+ qn \bw —

X
Q"y) + ^8
(Nxy -
<-»!»
X
ду \ ду
- (Afy - M*y)b
¦ — Ду I Ь<® ¦
~-
дх
ъ
дМу
дМху
ду
дМ'х
\ дх
я
^dy -[B Мху —
A6.17)
Усилия со звездочками — усилия, заданные на контуре, — линии пересече-
пересечения координатной поверхности с боковыми срезами многослойной пологой
оболочки.
д и, dv, (У до, д% — вариации компонент перемещения координатной поверх-
поверхности и вариация функции сдвига %\ а и Ъ — размеры пологой оболочки от-
открытого профиля.
Усилия и моменты определяются по формулам
A6.18)
U, J = х, У)
A6.19)
k=i
Подстановка выражений для напряжений A6.13) в A6.18) — A6.19) дает
соотношения упругости для многослойной пологой оболочки:
Л-
-f
где обозначено
F
¦-2\±?
A6.20)
A6.21)
278

Из соотношения A6.12) /Ci=0.
п
ft-i bk-i-\
J J5
A6.22)
bk-bl
l-i
.-?
h~\
A6.23)
A6.24)
Поперечные силы
-2
bk~\
A6.25)
аналогично
A6.26)
Для погонных моментов имеем следующие зависимости
A6.27)
где
A6.28)
279

-S I &¦«**•:
-s
J -«
V
= L J
n
bk
2
1-
i
f/z(u
A6.29)
2 f
+
A6.30)
A6.31)
Для многослойной оболочки симметричной структуры, т. е. оболочки, у ко-
которой механические и геометрические характеристики одинаковы для слоев,
симметричных относительно срединной поверхности, имеем:
If IS ff W Л C\f\ Ч9\
Распишем следующие обозначения:
Qv =
ik4
л Ьи — ЪА
;
_ дХ
" ду
ъ~д7'
д!
ду •
Имеются следующие приближенные зависимости:
К К К
A6.33)
A6.34)
A6.35)
280

Если учесть зависимости A6.33) — A6.35) и A6.30), в силу произвольности ва-
вариаций, из вариационного уравнения получим следующие уравнения равно-
равновесия:
dNx
дх
dN
ху
dNy
dN
ду
= 0;
д2Му
ху
дх
дх2
*5
дхду
- - Nxkx - Nyky
д*м*
+ 2
д*М
ху
дхду
ду2
— /с, дх = о.
A6.36)
Первая пара уравнений равновесия будет удовлетворять функцию усилий
~ х, у) по формулам:
A6.37)
Nx ~ ду* ; ^у" дх2 ; Nxy ~ ~дхду '
а два остальных уравнения, если учесть соотношения упругости A6.27), при-
примут вид
Здесь
Уравнения неразрывности координатной поверхности дают третье уравне-
уравнение системы дифференциальных уравнений для определения функций w, Ф и %.
0 ,
A6.39)
где
F2 F2
В2 = —
A6.40)
и уравнения
Для многослойной оболочки симметричной структуры В2 = ВА
системы упрощаются.
Для многослойной пластины (kx = ky=O) уравнения A6.38) — A6.39) при-
примут вид:
= qn ;
= qn ;
0,
A6.41)
или, если воспользоваться вторым уравнением,
и + -
- qn
VW,
A6.42)

Для пластины симметричной структуры (В2=54=0) имеем
= Я -jr-
d,
+
A6.43)
DlV4 - -
Система распадается на независимые уравнения.
Интеграл вдоль края х=const, если учесть обозначения A6.33) — A6.35),
примет вид:
Ь
(Nx - Nx) hu+(Nxy-Nxy)bv-(Mx^-* '' dW
дх
дх
ду
Отсюда можно получить граничные условия на крае х—const.
1. Шарнирный неподвижно опертый край:
2. Свободно опертый край:
3. Жестко заделанный край:
dw Къ дх
дх
4. Свободный край:
^ = 0 ; Nxy = 0 ;
= 0 ;
1ху
= 0;
A6.44)
A6.45)
A6.46)
A6.47)
Дифференциальные уравнения устойчивости многослойных оболочек. Рас-
Рассматриваются уравнения линеаризированной теории устойчивости многослой-
многослойных оболочек, собранных из произвольного числа слоев различной жесткости.
Система уравнений устойчивости многослойных оболочек имеет следующий
вид в форме смешанного метода:
= 0;
1 — v2M* = q°n;
A6.48)
Здесь обозначено:
#2, #5,
282
ду* '
= kyNy
kxNx
A6.49)
определяются по формулам A6.22), A6.29), A6.40).

Продольный изгиб оболочки характеризуется тем, что она в начальном со-
состоянии испытывает заданные нормальные и сдвигающие силы N^, N®, N^y ,
причем эти величины обозначают усилия докритического силового состояния.
Фиктивная .поперечная нагрузка имеет вид
q°n = -v.xNx-xy№y-2Nxyr.xy. A6.50)
Система уравнений A6.48) может быть сведена к одному уравнению вось-
восьмого порядка, если применить к первому из A6.48) оператор у\ » а ко второ-
второму v2 V2i и воспользоваться третьим уравнением
Здесь
A6.51)
?•- —
Л
A6.52)
Решение задач устойчивости с помощью одного уравнения A6.51) оказы-
оказывается возможным в тех случаях, когда граничные условия удастся выразить
через прогиб w. В противном случае приходится обращаться к системе урав-
уравнений A6.48), позволяющей удовлетворить граничные условия, сформулиро-
сформулированные относительно wt Ф, %.
Через NQ и Ма обозначены следующие выражения:
К
— 7з
А
A6.53)
; [С^0 = 0).
И*
1—f
fk(z)dz;
,-s
i —и*
fk{z)zdz.
A6.54)
/*(*)
- I
?
Gj (f, + +}) dz. A6.55)
Выражение A6.52) можно переписать иначе, если учесть A6.53):
+ d| V2V2^« — "V '^ VaVaV2<7n |- A6.56)
283
4 Dt

Пример. Многослойная цилиндрическая панель при осевом сжатии. Рас-
Рассматривается устойчивость многослойной круговой цилиндрической оболочки
(панели) открытого профиля, сжатой усилиями Nt равномерно распределен-
распределенными вдоль криволинейных прямых. Через а и Ь (рис. 16.4) обозначены длина
и ширина панели, через В — центральный угол. Координату х отсчитываем
вдоль образующей, у — по дуге. Пусть панель шарнирно оперта по краям. Из
уравнения A6.51), если учесть A6.50), имеем:
i:
дх*
К, +
-vV
vWT^~- A657)
Рис. 16.4.
Рис. 16.5.
Граничные условия на кромках имеют следующий вид:
dv
w =
dJfl=~d7=-x"° при* = °- х = а'
ди
= 0 при у = 0, у = b .
A6.58)
ду* дх
Решение уравнения A6.57) в соответствии с принятыми граничными условиями
представим в виде
w = f sin
sin
A6.59)
a b
Подставляя A6.59) в уравнение A6.57), получим выражение для опреде-
ления критического услиия N в зависимости от т и п.
ра
ли
N .
, (я2 4-
1
1 +
Тз
_
,A6.60)
(А22
где у=а/Ь. Значение целых чисел тип необходимо подобрать так, чтобы по-
получить наименьшее значение N, при котором происходит выпучивание (N*).
Из формулы A6.60) следует: необходимо предположить, что я=1.
В случае, если оболочки симметричной структуры по толщине (рис. 16.5),
то механические и геометрические характеристики слоев симметричны относи-
284

тельно координатной поверхности, которая в данном случае совпадает со сре-
срединной поверхностью. ?4=0.
Пренебрегая членами уъ и у± в формуле A6.60) в силу их малости (прене-
(пренебрегают членами, зависящими от нормального напряжения для тонкой много-
многослойной оболочки) и учитывая, что В±=0, а А2=1, получим:
Числовой пример. Вычислить критическое усилие N* для цилиндрической трех-
трехслойной панели симметричной структуры, прямоугольной в плане, с размерами
а = 0,6 м, 6=0,4 м.
Толщина внешних слоев Ъъ—62=0,01 м. Радиус R=l м. Материал внешних
слоев —дюралюминий.
Ех = Еъ = 7 • 105 • 9,81 • 10* ~ ; F4 = ц3 = °>4 .
Средний слой или заполнитель — пенопласт.
тт
С/2 = 81,3 • 9,81 • 102 — ; ца = 0,4 .
м2
Толщина заполнителя (см. рис. 16.5)
2^о = 0,015 м.
Для трехслойной оболочки симметричной структуры жесткость D вычис-
вычисляется по формуле A6.28)
F 9
.Со Z
. — [An о ^ _
5 -4 (g5 — 2 ^3 + g) A6.62)
G2 (I -™ P-t)
и соответственно
2A +
Применяя метод проб для нахождения наименьшего значения сжимающе-
сжимающего усилия N, получим т = 3, л=1. В этом случае имеем наименьшее значение
сжимающего усилия:
LJ
N* = 192,3 • 9,81 • 102 .
М
Полное сжимающее усилие будет
Переходя к пределу при R-+ 0, найдем выражение для шарнирно опертой
многослойной пластины из формулы A6.61) (п=\):
,,
285

ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А. Я., Брюккер А. Э., Куршин Л. М., Пруса-
Прусаков А. П. Расчет трехслойных панелей. М., Оборонгиз, I960.
2. В о л ь м и р А. С. Устойчивость деформируемых систем. Изд. 2-е. М.,
«Наука», 1967.
3. Рябов А. Ф. Роэрахунок багатошарових оболонок. Киев, «Буд*вель-
ник», 1968.
4. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., Гостехиздат,
1955.
5. А м б а рцу м я н С. А. Теория анизотропных оболочек. М., Физматгиз,
1961.
Глава XVII. РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ОПЕРТЫХ ПО КОНТУРУ
ПЛИТ МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Л. Особенности расчета
Железобетон не обладает идеальными упругими свойствами. Уже при дей-
действии эксплуатационных нагрузок имеют место деформации линейной ползу-
ползучести бетона, появляются трещины в растянутом бетоне. По мере возрастания
нагрузки возникает нелинейная ползучесть, нарушается сцепление арматуры
с бетоном, наблюдается текучесть арматуры. Действие неупругих деформаций
приводит к существенному перераспределению усилий. Несущая способность
плит с учетом этого перераспределения
определяется по методу предельного рав-
равновесия.
Имеются два способа определения несу-
несущей способности: статический и кинемати-
кинематический.
Статический способ состоит в отыскании
наибольшей нагрузки, при которой в кон-
конструкции еще соблюдаются условия равно-
равновесия и предельные условия.
Кинематический способ предполагает
рассмотрение кинематически возможных со-
состояний конструкции и отыскание наимень-
наименьшей нагрузки, при которой конструкция
превращается в изменяемую систему.
В дальнейшем излагается кинематиче-
кинематический способ метода предельного равновесия
применительно к расчету железобетонных
плит. Влияние возможного распора не рас-
рассматривается и может быть учтено согласно
рекомендациям СНиП II-B.1—62*.
В соответствии с опытными данными
предполагается, что плита в стадии пре-
предельного равновесия расчленяется на от-
отдельные диски, соединенные между собой
по линиям излома линейными пластичеоки-
р 17, ми шарнирами.
' ' В пластических шарнирах действуют
односторонние изгибающие моменты, вели-
величина которых зависит от высоты плиты, расположения арматуры и харак-
характеристик прочности материалов. Изгибающий момент на единицу длины
линий излома называется погонным постоянным моментом.
286

\
\
0
7
A t
J
0
20
a
I
tfc^l 3
Рис.
7.2
. J
/
/
\
/
0
\
1
b
\—'—I
\
\
-id
2
Линии излома, в которых трещины раскрываются на нижней стороне плиты,
называются положительными, на верхней — отрицательными. Соответственно
этому принимается также знак погонного предельного момента в линии излома.
Пластические деформации по линиям излома сопровождаются упругим из-
изгибом элементов плиты. Вследствие малости упругих деформаций по сравне-
сравнению с пластическими, ими можно пренебречь и считать элементы плиты плоски-
плоскими дисками, а линии из-
излома — прямолинейными
шарнирами.
Схема излома, обра-
образуемая пластическими и
опорными шарнирами
плиты, подчиняется сле-
следующим правилам:
общая линия излома
двух смежных элементов
плиты проходит через
точку пересечения их
осей вращения (рис. 17.1,
а, б, в);
схема излома л-уголь-
ной плиты определяется
положением осей вращения элементов и п — 1 соотношениями между углами
поворота элементов.
При заданных схеме излома и характере нагрузки интенсивность последней,
соответствующая несущей способности плиты, определяется из равенства ра-
работ внешних сил и предельных внутренних усилий (моментов) в линиях излома
на бесконечно малых возможных перемещениях. Такие перемещения можно
представить в виде произведения конечных виртуальных скоростей переме-
перемещений на бесконечно малый промежуток времени dt. Сократив общий мно-
множитель dt, получим уравнение работ, содержащее конечные скорости переме-
перемещений
ЪР,у1 -(- \pydF = IMftfk » A7.1)
F
где Pi — величины предельных сосредоточенных нагрузок; р — интенсивность
предельной распределенной нагрузки; yi—скорости возможных перемещений
точек приложения сосредоточенных нагрузок; у — скорости возможных пере-
перемещений точек плиты в зоне действия распределенных нагрузок; Mk— пре-
предельный изгибающий момент вдоль всей линии излома; q>k — скорость взаим-
взаимного поворота элементов плиты по линии излома; F — площадь участка пли-
плиты, загруженного распределенной нагрузкой.
Удобно воспользоваться аналогией между схемой излома плиты и шарнирно
стержневой фермой, в качестве стержней которой приняты линии излома и
опорные шарниры. Схема излома связана с планом скоростей также, как со-
соответствующая плоская однажды статически неопределимая ферма с диаграм-
диаграммой Кремоны. Это позволяет графически найти соотношение угловых скоро-
скоростей взаимного вращения жестких дисков плиты A—4) вокруг линий излома
(рис. 17.2).
Для плит простейших конструкций, обычно встречающихся на практике,
удобнее правую часть уравнения A7.1) представить в виде суммы работ, вы-
выполняемых внутренними силами на каждом диске плиты.
В случае действия равномерно распределенной нагрузки формула A7.1)
может быть записана таким образом:
pV = IMjbj cos (My, 6y) , A7.2)
где V =S ydF — объем, описанный при виртуальном перемещении
частью
плиты, на которую действует равномерно распределенная нагрузка; М;- — рав-
287

нодействующая погонных предельных моментов, действующих на /-тый диск
плиты; bj — угол поворота /-того диска вокруг оси вращения.
При действии сосредоточенных сил формула A7.1) записывается в следую-
следующем виде:
IPiyi = IMfij cos (Mj, bj). A7.3)
Требуется отыскать такую возможную схему излома, которая отвечает ми-
минимальной нагрузке. Записав р или Р в виде функции от неизвестных пара-
параметров схемы излома, берем частные производные по этим параметрам и, при-
приравняв их нулю, получаем достаточное количество уравнений для нахождения
параметров, определяющих схему излома. Затем вычисляем погонные предель-
предельные моменты плиты по формуле A7.2) или A7.3).
В случае равноармированных плит погонный предельный момент по всем
направлениям одинаков. Условимся записывать его в следующей форме:
при действии равномерно распределенной нагрузки
— pb2
М = г~г\ A7.4)
о
при действии сосредоточенной силы
М = аР, A7.5)
где Ь — половина высоты плиты или радиус вписанного круга (для правиль-
правильного многоугольника, ромба и треугольника); е и а — коэффициенты контура
в случае действия равномерно распределенной нагрузки или сосредоточенного
груза.
В ряде случаев для отыскания несущей способности плиты удобно восполь-
воспользоваться условиями равновесия каждого диска схемы излома. Полученная
система уравнений позволяет найти величину интенсивности внешней нагрузки,
соответствующей исчерпанию несущей способности плиты.
Иногда требуется проанализировать несколько возможных схем излома.
Искомой схемой является та, которой отвечает наименьшая интенсивность
предельной нагрузки.
В углу плиты, образованном двумя свободно опертыми краями, линия из-
излома между элементами должна проходить через точку пересечения их осей
вращения (рис. 17.3).
Однако вследствие наличия крутящих моментов углы плит приподнимают-
приподнимаются, образуя схему излома незакрепленного угла с угловым элементом III, вра-
вращающимся вокруг оси ав (рис. 17.3,6). Уложив у верхней поверхности арма-
арматурную сетку и заанкерив угол в опоре, можно получить схему полностью за-
закрепленного угла, приведенную на рис. 17.3, а. Если сечение анкера или стерж-
стержней сетки недостаточно, в углу возникает отрицательный предельный момент
и схема излома будет такая, как на рис. 17.3,8 (частичное закрепление угла).
Степень закрепления угла определяется характеристикой
_ М'
M
где М — погонный предельный положительный момент плиты; Мг — погонный
предельный отрицательный момент в углах плиты.
Закрепление угла создает опасность появления трещин вдоль оси вращения
аЪ (см. рис. 17.3, б). Поэтому верхняя арматурная сетка в углу должна заво-
заводиться за пределы указанной оси.
При расчете плит с угловыми элементами, согласно рис. 17.3, бив, необ-
необходимо иметь размеры этих элементов.
Для плит, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, размеры
угловых элементов находят из рассмотрения схем излома плит, симметричных
относительно биссектрис углов и ромбовидных (рис. 17.4). Написав уравнение
работ, из условий минимума предельной нагрузки вычисляют коэффициенты
I и rj, определяющие схему излома угла. При расчете плит других конфигура-
288

ций принято допущение, что размеры приподымающейся части углового эле-
элемента определяются местными условиями: величиной угла, его армированием
и значением погонных предельных моментов в примыкающих линиях излома.
Тогда угловые элементы любой плиты могут быть вычислены по формулам
Т" И Т)= Y)
'|/
A7.7)
где ? и г] — коэффициенты, определяющие размеры углового элемента рассчи-
рассчитываемой плиты; |' и г/ — коэффициенты, найденные из расчета привлеченной
плиты, симметричной относительно биссектрис углов; е и е' — коэффициенты
контура рассчитываемой и привлеченной плнт.
Рис. 17.3.
Рис. 17.4.
В табл. 17.1 приведены вычисленные значения ~zzz и -— для некоторых
у 5' у?
углов
Искомые значения коэффициентов определяются по формулам
У
A7.8)
Величина усилия в анкере, закрепляющем угол,
R'=2-x.Mtg<* — p — ? sin 2 о).
6
19—28
A7.9)
289

Характе-
Характеристика
закрепле-
закрепления угла
X
0
0,5
1,0
Отноше-
Отношения
i'-.y?
V : У 7
к' 1УТ'
Z'-.yi7
Т а б л
30
1 ;б5
0,63
1,50
0,70
1,39
0,71
и ц а 1/
45
0,87
0,68
0,81
0,76
0,70
0,78
М. Отношения
Величина ]
51
0,80
0,74
0,67
0,78
0,56
0,81
60
0,53
0,73
0,47
0,82
0,35
0,86
и УТ'
>^гла плиты 2«о град
72
0,48
0,78
0,33
0,86
0,21
0,91
90
0,31
0,86
0,14
0,94
108
0,20
0,91
135
0,11
0,97
Угол
полностью
закреплен
150
0,07
0,98
Условия полного закрепления угла
х > ctg 2(d ;
R' > 2 Л? ctg a) , A7.10)
где 2со — величина рассматриваемого угла плиты.
При действии сосредоточенной нагрузки вершина углового элемента нахо-
находится в точке приложения силы (рис. 17.5), а внешняя часть его АаЬ — равно-
равнобедренный треугольник.
Формула для определения размера углового элемента вдоль края плиты
где ? =
(со — и) — V (I -г- х) sin // sin v .
A7.11)
/ — расстояние от точки приложения силы до угла; и и v — углы между ли-
линией, соединяющей точку приложения силы с вершиной, и сторонами плиты
(и -{- v = 2со). Величина усилия в анкере
Я' =2%JWtga>. A7.12)
Условия полного закрепления угла:
cos2 со
X >
Рис. 17.5.
sin и sin v
sin 2 (о —
R' > М.
sin и sin v
A7.13)
Б. Свободно опертые плиты
при действии равномерно распределенной нагрузки
Равноармированиые прямоугольные плиты. Плиты с полностью закрепленны-
закрепленными углами. Для полного закрепления углов плиты в опорах и получения
схемы излома без угловых элементов (рис. 17.6, а) усилия в анкерах и
290

отрицательные погонные предельные моменты во всех углах должны удовле-
удовлетворять неравенствам A7.10), которые для данного случая принимают сле-
следующий вид:
х>1;_ A7.14)
где Mq — погонный предельный момент плиты с полностью закрепленными уг-
углами.
Пользуясь обозначениями рис. 17.6, напишем уравнение работ
^C-,) = 2Ж„(.+^1, A7.15)
из которого находим выражение для интенсив-
интенсивности предельной нагрузки
6 М о 1 +
A7.16)
Ь2 A2vC — v)
где A = ~4~ >!•
о
Приравнивая нулю производную от функции р
по аргументу v, получим квадратное уравнение
XV* + 2v —3 = 0, A7.17)
откуда искомый параметр
va
2а
v = —(j/l +3Xa —1). A7.18)
Погонный предельный момент плиты соглас-
согласно A7.16) определится формулой
Мо = ?0^— = W-— . A7.19)
6 6
Значение параметров v и <ру определяющих схему излома, и коэффициенты
контура е-о, вычисленные для различных соотношений сторон плиты Я, помеще-
помещены в табл. 17.2. В последнем столбце приведены коэффициенты для вычисления
усилия б анкере, закрепляющем угол
п. \а —
Для балочной плиты Я = —— =оо и —= 0, a ctg<p = X v= у 3, и, следова-
b a
тельно, ц) = 30°.
Погонный предельный момент
где 2Ь — пролет балочной плиты.
Плиты с незакрепленными углами. Точный расчет плиты с незакреплен-
незакрепленными углами (х = 0), схема излома которой представлена на рис. 17.6,6, при-
приводит к решению сложной системы уравнений. Задача упрощается, если раз-
размеры приподымающейся части угловых элементов, согласно сформулирован-
сформулированным выше допущениям, вычислить с помощью формулы A7.8) и табл. 17.1.
Для прямого угла 2^ = 90° при х = 0 отношение —zz: =0,31 и, следовательно,
? = 0,31 /Г.
19*
291

При нахождении величины | можно воспользоваться значением ео для пли-
плиты данных размеров, но с полностью закрепленными углами (табл. 17.2).
Таблица 17.2. Коэффициенты для расчета прямоугольных плит с полностью
закрепленными углами
х=*
ь
1,0
1,2
1,4
1,5
1,6
1,Ь
2,0
1,00
0,91
0,82
0,79
0,76
0,70
0,65
со-arc ctg Xv
45°00'
42J30'
40э50'
40°05'
39С25'
38с20'
37°30'
1,00
1,18
1,34
1,42
,48
,60
,70
2,00
2,37
2,69
2,83
2,96
3,20
3,40
Параметры схемы излома определятся из системы уравнений:
(АС + 2 8Av)Cy — 2АСщ + А? - 2 C — v)A2v = 0 ;
. — 8)C2 + 2 8X2v2J8V-t- [ВС2 — 2С&(\— 5) + 2[1 - ХC — 2 v^XV}^ — } A7,20)
— [2ЯС-53A — 8) + 2 ?XVj 5yj + В? = 0 ,
где
А = (X — ?)Xv + 1 _ е ; В = Х[(Х — ?)Xv2 — A — 8)C — 2 v)J ; С = 1 + Xv.
Погонный предельный момент плиты вычисляется по формуле
ХC — v) — I
6
Л — с + + 2 :
Xv (I +Xv)y|— g
В табл. 17.3 приведены параметры v, <p и г\ для построения схемы излома
и коэффициенты г для вычисления погонного предельного момента.
Таблица 17.3. Коэффициенты для расчета прямоугольных плит
с незакрепленными углами
_
М =
^—. A7.21)
ч
1,0
1,2
1.4
1,5
1,6
1,8
2,0
1,00
0,92
0,84
0,81
0,78
0,72
0,68
9=arc ctg Xv
45'00'
42°15'
40°20'
39°35'
38°40'
37°35'
36°35'
0,90
0,93
0,96
0,97
0,97
0,98
0,93
0,32
0,35
0,37
0,38
0,39
0,41
0,42
1,09
1,29
1,46
1,54
1,61
1,72
1,83
e:s0
,09
1,09
1,09
1,09
1,09
1,08
1,08
Из последнего столбца видно, что для нахождения погонного предельного
момента прямоугольных плит с незакрепленными углами можно пользоваться
табл. 17.2:
М = l,09s0^-. A7.->2)
292-

Пример 1. Рассчитать железобетонную плиту при следующих данных: про-
пролеты плиты 2а=4,8 м, 26 = 3,0 м, нагрузка 600 кг/м2, углы шшты закреплены.
4,8
В табл. 17.2 для Я = — = 1,6 находим е0 = 1,48. Погонный предельный
о, О
момент, согласно A7.19),
— рЬ2 600 XI,52
Л^о = ?о-^—=: 1,48Х = 333 кгс-м/м.
о 6
Задавшись расчетными характеристиками бетона и арматуры и пользуясь
СНиП, определяем толщину плиты и количество арматуры, укладываемой па-
параллельно сторонам плиты. Плита равноармированная, т. е. погонные пре-
предельные моменты должны быть одинаковы в обоих направлениях. Так как
расстояние от центра тяжести арматурных стержней каждого направления до
сжатой кромки бетона различное, то и площадь поперечного сечения арматуры
на 1 п. м плиты для каждого направления определяется отдельно.
Чтобы обеспечить полное закрепление углов, в каждом углу у верхней
плоскости плиты нужно уложить такую же арматуру, как и в пролете плиты
(М' = М0). Площадь сечения анкеров и их закрепление должны воспринять
усилие в углу (см. последний столбец табл. 17.2)
pb2
R* = 2.96— = 666 кг.
6
Стержни арматурной сетки в углах нужно заводить за пределы оси вра-
вращения приподымающейся части углового элемента незакрепленного угла.
Пример 2. Рассчитать плиту предыдущего примера при отсутствии закреп-
закрепления в углах (н = 0).
В табл. 17.3 для А= 1,6 имеем ?=1,61.
Погонный предельный момент, согласно A7.21),
Af-.-gg-l.61 600X1,5*
l.61
Плита армируется сеткой с равномерно расположенными стержнями в двух
взаимно перпендикулярных направлениях.
Для построения схемы излома определяем положение узлов линий излома
,и размеры угловых элементов (рис. 17.6). В таблице находим параметры
v=O,78, |=0,39 и 77 = 0,97.
Расстояние узлов от соответствующих сторон плиты
va = 0,78 • 2,4= 1,88*;
катеты приподымающейся части угловых элементов
86 = 0,39 • 1,5 = 0,59м\
высота угловых элементов
t]6 = 0,97 • 1,5= 1,46ж.
Равноармированные треугольные плиты. Плиты с полностью закрепленными
углами. Минимальная несущая способность любой треугольной плиты соот-
соответствует схеме излома, в которой линии излома совпадают с биссектрисами
углов, а центр излома помещается в центре вписанного круга (рис. 17.7, а).
Величина погонного предельного момента выразится формулой
— рг2
Мо-~. A7.23)
где г — радиус вписанного круга.
293

Армирование каждого угла, а также сечение и закрепление анкера должны
удовлетворять условиям A7.10):
%i = ctg2 си;;
R] = 2 Мо Ctg СО; .
Рис. 17.7.
Плиты с незакрепленными углами. Величина погонного предельного мо-
момента плиты с незакрепленными углами (рис. 17.7,6) определяется из выра-
выражения:
У]
— fyf Sin СО; COS CD,)
М-
2j
/ = 172,3
Ъ — Ь Sin со/ COS @/
(Г.24)
Здесь суммы I берутся по всем углам плиты.
Пользуясь допущением, что размеры угловых элементов зависят только от
местных условий (величины угла, характера нагрузки и величины погонного
предельного момента в примыкающих линиях излома), характеристики" схемы
излома ii и гц вычисляют заранее по формулам A7.8):
?* = ЛГ~Т У ?ТР И -ГЦ = —Г= V ?тр .
е'. г!
Отношения —L= и _L=r принимаются по табл. 17.1 при «=0; величина етр
для первого приближения принимается етр — 1, при повторных вычислениях для
уточнения расчета берут ее значения из формулы A7.24).
Центр схемы излома помещается в центре вписанного круга.
Значения величины еТр для некоторых плит приведены в табл. 17.4.
Пример 3. Рассчитать опертую по контуру плиту, имеющую форму пря-
прямоугольного равнобедренного треугольника:*п\*= 4,24 м, а2 = а3=3 м. Нагрузка
800 кг/м2. Углы плиты полностью закреплены.
Решение. Радиус вписанного круга
4,24
г = -^— tg 22°30' = 0,878 м
294

Таблица 17.4. Коэффициенты для расчета треугольных плит с незакреплен-
незакрепленными углами
Характеристика тре-
треугольного контура
Равносторонний
Разносторонний ост-
остроугольный
Равнобедренный пря-
прямоугольный
Разносторонний пря-
прямоугольный
Равнобедренный тре-
треугольный
Величина
Аг
60
70
90
90
120
А,
60
50
45
30
30
угла
Аа
60
60
45
60
30
Характеристики угловых
0,58
0,53
0,35
0,35
0,18
0,80
0,86
0,96
0,98
1,00
схемы
0,58
0,88
0,97
1.S7
1,93
излома
0,50
0,81
0,76
0,72
0,74
элементов
и
0,58
0,58
0,97
0.60
1,93
0,80
0,80
0.76
0,83
0,74
тр
1.19
1.20
1,24
1,28
1,36
и погонный предельный момент
мо =
800-0,8782
= 102 кгс • м\м .
6 6
Армирование углов и сечение анкеров определяется следующими усло-
условиями:
в прямом углу
в острых углах
х = 1 ;
М' = хМ~9 =- 102 кгс-м/м;
R' = 2 Мо ctg 45е = 204 кгс ;
х= ctg2 22°30г = 5,85;
М' = 5,85 • 102 = 597 кгс • м\м ;
R' = 2 Мо ctg 22°30' = 2 • 102 • 2,42
Определим положение осей вращения угловых элементов, за пределы ко-
которых требуется заводить верхнюю арматуру углов.
Расстояние от вершины угла до точки пересечения оси вращения со сторо-
сторонами плиты найдем, пользуясь табл. 17.4. Для плиты в виде равнобедренного
прямоугольного треугольника ^i = 0,35 и ^2 =^^3=0,97.
Следовательно,
в прямом углу ?ir=0,35-0,878=0,31 м\
в острых углах |2^ = ^ = 0,97-0,878=0,85 м.
Подбор сечения плиты, ее армирования и анкеровки производится согласно
СНиП Ц-В.1—62 *.
Прямоугольные неравноармированные плиты. Прямоугольные железобе-
железобетонные плиты целесообразно проектировать неравноармированными. Соотно-
Соотношение между суммарным сечением арматуры, укладываемой в разных проле-
пролетах, следует выбирать, руководствуясь соображениями экономичности.
Схема излома шарнирно опертой nd контуру прямоугольной неравноарми-
рованиой плиты представлена на рис. 17.8. Верхнюю сетку в закрепленных уг-
углах плиты выполняют так, чтобы моменты во взаимно перпендикулярных на-
направлениях были равны. Тогда условия закрепления A7.10) будут:
М'
X
_ R' > 2 Мох , __
где М' — отрицательный погонный предельный момент в углу плиты; Мох —
погонный предельный момент в сечениях по меньшему пролету (вращение
вокруг оси х).
295

Арматурные стержни верхних угловых сеток следует заводить за пределы
осей вращения угловых элементов свободно опертых плит. Расстояний от
угла плиты до точек пересечения оси вращения со'сторонами его определяется
по формуле A7.8). Для прямого угла ~ = 0,31 и, следовательно
где b — половина ширины плиты.
У
ь,
\
va
tjtl/
' \
2п
Рис. 17.8.
Рис. 17.9.
Приняв поп>нные_предельные моменты в направлении х и у (см. рис. 17.8)
Мох-М0 и Afoy=^Aio(^<l) и написав уравнение работ, из условий минимума
Т1ТРУЗШ П°ЛУЧИМ ВЫРажение ™» параметра', определяющего ^
3—-
A7.25)
Погонные предельные моменты плиты будут
мох = *ок ~Т~ = ~
6 '
A7.26)
а м^?ЦИыНпли?ь1 ?°Эффициент k выбирать таким образом, чтобы общий
количество арматуры в плите пропорционально функции
вес
A7.27)
Рекомендуется, однако, соотношение между моментами в пролетах плиты
принимать в соответствии с расчетом по упругой стадии
1
Х2~" A7.28)
^4PpOpBe<ZleHHbIe сравнения показали, что в этом случае отклонение общего
пажениа М7 97\аТУРЫ °Т минималь/ногт°» получаемого путем использования вы-
o™ni *' превышает 2%. Вместе с тем такое армирование создает
ткг ! ппи!1УСЛ°ВИЯ ДЛЯ появления и Развития трещин в обоих пролетах пли-
плиты и приводит к упрощению расчетных зависимостей.
в табл™?! ДЛЯ РаСЧ6Та неРавноаРмированных прямоугольных плит приведены
296

Таблица 17.5. Коэффициенты для расчета шарнирно опертых неравноарми-
рованных прямоугольных плит
Отношение сторон А,
1,0
1,2
1,4
1,5
1.6
1,8
2,0
Соотношение итогон-
ных предельных мю-
ментов k — —
1,00
0,70
0,50
0,45
0,40
0,30
0,25
Характеристик-а схемы
излома v
1,00
0,82
0,66
0,60
0,54
0,44
0,38
Коэффициенты конту-
1,00
1,37
1,69
1,80
1,91
2,11
2,25
В. Плиты, защемленные по контуру
Прямоугольная неравноармированная защемленная по контуру плита, про-
противоположные края которой имеют одинаковые погонные предельные момен-
моменты, при действии равномерно распределенной нагрузки будет иметь симмет-
симметричную схему излома (рис. 17.9).
Введем безразмерные отношения: коэффициенты ортотропии — =^- =k'\
м' м'ОУ , Ж
—у^— = kf и коэффициенты защемления •— ——- = \^х\ • = \^у .
м'ох мох моу
На основании схемы излома запишем уравнение работ
- v) = 6 Мох I
A +
A
A7.29)
Из условия минимума предельной нагрузки, продифференцировав A7.29)
по параметру v, получим значение этого параметра, определяющее схему
излома,
k ( Г 3X2"
-11 = т-
A7.30)
где
Подставив A7.30) в A7.29), после преобразований получим
• 6 *(,+„. -
Значения остальных предельных моментов могут быть вычислены с по-
помощью коэффициентов ортотропии k, k' и коэффициентов защемления \ix, [-^у.
1
Практически целесообразно принимать k= — и коэффициенты защемле-
л
ния fi'y = \ьх = р/.
297

Таблица 17.6. Коэффициенты для расчета прямоугольных неравноармиро-
ванных плит, защемленных по контуру (# = ——; ^=^={
к
1,0
1,2
1,4
1,5
1,6
1,8
2,0
1,000
0,833
0,714
0,667
0,625
0,556
0,500
'У
1,0
1,5
2,0
2,5
1.0
К5
2,0
2,5
!:»
2,0
2,5
1,0
1,5
2,0
2,5
1.0
1,5
2,0
2,5
1,0
1,5
2,0
2,5
1,0
1,5
2,0
2,5
1,000
0,861
0,743
0,688
0,646
0,567
0,500
0,500
0,400
0,333
0,286
0,642
0,511
0,428
0,367
0,758
0,607
0,505
0,433
0,796
0,626
0,531
0,455
0,851
0,681
0,567
0,48Н
0,939
0,752
0,627
0,537
1,000
0,800
0,666
0,571
ь
pb2 —
; М
ох — Е ^ , JVioy — ктох » т ох — г1 /иолг » /KJoy
298

Таблица 17.7. Формулы для определения предельных моментов и схемы
излома иеравноармированных плит при различных вариантах защемления
сторон
Характер отирания и схема
излома
Предельные моменты
Параметры схемы
излома
20
L
А
ям
N
хг-М
Ь
Моу = кМ
6 к
ох
?i = i
rvj- 2
_ 1
Хх \ 1
ч
\
И
И
+
У = агч
X
(|^
6
-
1
А
A
3
+
Р" 9
A +
-7Т-Х
А < |/"^(l -rfx'i
у =
299

Продолжение табл. 17.7
Характер стирания и схема
излома
Предельные моменты
Параметры схемы
излома
х>
L
\j
1- К 1 + Hy
H
6
+ 1/1
3X»
Х\ = *г5
ху = 1 + к 1 +
X
h
-— 1/
У\ = <*>Ч
20
\
/
X.
x,
h
2 v i + ^:
X
o.v —
_
M
6
¦ + l
3A
t
*x;
i -f
-x
^)
2
1
-Hi
xt = bt
300

Продолжение табл. 17.7
is
Характер опирания
и схема излома
Предельные моменты
Параметры
схемы излома
x<
2 Kl
Moy = kM0X;
ра1
1 + н.,
kki
X
X
/¦
X2
Моу = \*-уМоу\ Мох = \*-хМОх\
а
Тогда
pb2
V\
(V
+ 3
X3
' 1 -г
X3
3
—1
X3 —
1J
A7.32)
-О,- л ;,П ,, ¦ A7-33)
О А>5A -р JJL )
Коэффициенты для расчета таких плит приведены в табл. 17.6. Для равно-
армированных защемленных плит к=\. Принимая [лу = \^х = рьг, получим фор-
формулы
-'¦ " "¦ A7.34)
6 Х2A + ;х')
Формулы для расчета прямоугольных плит, у которых часть сторон свобод-
свободно оперта и часть защемлена, помещены в табл. 17.7. Во втором столбце
табл. 17.7 помещены схемы излома и критерии, показывающие, что по четной
или нечетной схеме происходит разрушение, в третьем — формулы для вычис-
вычисления погонных предельных моментов, в четвертом — параметры схемы изло-
излома. В конце таблицы приведены принятые обозначения.
Г. Прямоугольные равноармированные плиты при действии
сосредоточенной силы
При действии сосредоточенной силы в точке ее приложения возникает
центр текучести, чем определяется схема излома плиты.
301

оо Таблица 17.8. Формулы для определения предельных моментов в плитах с полностью закрепленными углами
ьо при действии сосредоточенной силы
Условие полного закрепления
углов
Положение нагрузки
и схема разрушения
Условия образования схемы разрушения
данного вида
Р
м
Для угла Л:
1 / х у
2 I у х
Для угла В:
1 { х у'
2 \ у' х
у х
Для угла С:
\у'
Для угла
— + -*
у х
<Ей
А
/
X'
с
f
. b b a
2 — + — + — +
* х х у
— +
/
X
2а
¦ , -.
X'
-> г
С
U
X
~2Ь
2b
х
•^пЬ
x
—
у
x
—
у
— +
V
ё
1
А
К
с
с
к
*
-ab
a
b
2Ь
^сй
XII/ "Г + I/ —

Продолжение табл. 17.8
Условие полного закрепления
углов
Положение нагрузки
и схема разрушения
Условия образования схемы разрушения
данного вида
М
Для всех углов
\ I a b
а
а
«о
1 <— <
о
г
г
а
а
—¦
¦—*
Для всех углов
[X > 1
J
§ для симмефичных схем излома Mab = Mcd

Таблица 17.9. Формулы для определения предельных моментов в плитах
с незакрепленными углами при действни сосредоточенной силы
Положение нагрузки и
схема разрушения
Условия образования схемы разрушения
данного типа
Р
М
В
1
А
1
1
>
1
А
~у—
X
2а
/\
X'
С
\
• V
V
1 *»
1
D
де
lab ¦
ab' b < 2b
/*¦--» К1*-^
аЬ —
kab =
V
2b~
f.
<.
-¦>?-b-.jr
cd'
"WWW t
Vrl/^1-"

+
li
^ ^
+ c^
Ы
X
1
+
X
2
I
Im
GO
V
5
1=*-
I'M
cs
p
\
to
4s
«a
у
A
I
«3 1
4
1
1
1
1
1
1
9
\\
\n
--Ч-
9
/ч
//
[r_
\\
1
г ^
1
1
1
1
20—28
305

Продолжение табл. 17.9
Положение нагрузки и
схема разрушения
Условия образования схемы разрушения
данного типа
Р
М
в
А
2а
'и
с
N
D
V\
16 (К2 —1)
М = — ; M'ab =
а.
для симметричных схем излома МдЬ = Mcd = \iM.

Для прямоугольной свободно опертой равноармированной плиты с пол-
полностью защемленными углами требуется выполнение условий A7.13). Схема
излома не имеет угловых элементов, но характер ее зависит от места прило-
приложения силы и соотношения сторон плиты. В вытянутых плитах, нагруженных
сосредоточенной силой, работает только часть площади плиты.
Размеры рабочего участка зависят от армирования плиты на действие от-
отрицательного момента, который возникает по осям взаимного вращения крайних
дисков и прилегающих к иим нерабочих элементов плиты.
В табл. 17.8 приведены схемы излома, условия их образования и коэффи-
коэффициенты для вычисления погонных предельных моментов плит с полностью за-
закрепленными углами.
Ллиты с незакрепленными углами (х=Щ имеют схему излома с угловыми
элементами. Приподнимающаяся часть углового элемента симметрична отно-
относительно биссектрисы угла и размеры ее вдоль сторон плиты согласно A7.11)
могут быть вычислены по формуле
cos (со — и) — V sin и sin v A736)
COS о)
В табл. 17.9 помещены схемы излома, условия их образования и коэффи-
коэффициенты для расчета плит с незакрепленными углами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гвоздев А. А. О предельном равновесии. Инженерный сборник. Т. V.
Вып. 1. М., Изд-во АН СССР, 1948.
2. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. М, Стройиздат, 1949.
3. Г в о з д е в А. А. Метод предельного равновесия в применении к расчету
железобетонных конструкций. «Инженерный сборник». Т. V. Вып. 2. М., Изд-во
АН СССР, 1949.
4. Д у б и н с ь к и й А. М. Розрахунок прямокутних зал1зобетонних плит
при дп навантаження, розпод1леного за законом площини. «Прикладна меха-
шка». Т. I. Вип. 3. «Наукова думка», 1955.
5. Дубинський А. М. Принципи економ1чного армування плит. «Вкник
Академп буд1вництва i арх1тектури УРСР», № 3. Kh'ib, Держбудвидав УРСР,
1958.
6. Дубинский A.M. Расчет несущей способности железобетонных плит.
Киев, Госстройиздат УССР, 1961.
7. Дубинский А. М. Расчет перекрестно-армированных железобетонных
плит по стадии разрушения. Сборник трудов Украинского научно-исследова-
научно-исследовательского института сооружений. Киев, Госстройиздат УССР, 1948.
8. Р ж а н и ц ы н А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материалов. М., Госстройиздат, 1954.
9. Р ж а н и ц ьгн А. Р. Приближенные решения задач теории пластичности.
Сб. «Исследования по теории пластичности и строительной механике». М.,
Госстройиздат, 1954.
10. X а л а с О. О. О предельном равновесии железобетонных плит. Изве-
Известия АН СССР. ОТН № 8. М., Изд-во АН СССР, 1956.
11. Инструкция по расчету статически неопределимых железобетонных
конструкций с учетом перераспределения усилий. НИИЖБ. М., Госстройиздат,
1960.
12. Строительные нормы и правила (СНиП). Ч. II, раздел В. Глава 1. Бе-
Бетонные и железобетонные конструкции. М., Стройиздат, 1970.
13. I oh an sen К. W. Brudlinieteorier Gjellerup, 1970.
14. Iohansen K. W. Hjnltryk paa inspaendt plade med fri forotaerket
Rand, Bigningsstatiske Meddelelser (Copenhagen), v. 21, № 5, 1950.
20* 307

15. Haase H. Bruchlinientheorie von Platten, Dusseldorf Werner Verlag,
1962.
16. Olszak W. Probleme der grenzlasttheorie der orthotropen Platten, Acta
Techn., Acad. Sci. Hun^arical. Tom XIV. Fasc. 1—2 A956) S. 3—37.
17. Ny lander H., Dimensionering av korsarmerade betongplattor, Be-
ong 40 A955), Nr. 3.
18. Sawozuk A., Jaeger T. «Greuztragfahigkeits — Theorie der Platten»
Springer —Verlag, Berlin, 1963.
19. Sobotka Z., Theorie plasticity a meznich Stavu Stavebnich Konstrukci,
Praha, 1955.
20. Wood R. Т., Plastic and Elastic Pesign of Slabs and Plates, London,
Thames and Hudson, 1961.
Глава XVIII РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ОБОЛОЧЕК
МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
§ 18.1. Введение
Хорошо разработанные методы строительной механики и теории упругости
позволяют оценить напряженно-деформированное состояние оболочек и оты-
отыскать на них точки, где возникают наибольшие напряжения. Повышая внеш-
внешнюю нагрузку, можно найти такую ее величину, при которой в наиболее напря-
напряженной точке (или одновременно в нескольких точках) будет превзойден пре-
предел упругости. Начиная с этого момента, по крайней мере часть конструкции
работает неупруго (и поэтому методы теории упругости уже не пригодны),
однако .несущая способность оболочки далеко не исчерпана.
Дальнейшее увеличение нагрузки еще возможно. Возникающие неупругие
области захватывают все большую часть поверхности, но оболочка способна
нести нагрузку без разрушения и чрезмерных деформаций. На этой стадии
работы напряженно-деформированное состояние может быть оценено упруго-
пластическим расчетом.
Конструкция уже ,исчерпала свою несущую способность, если малое прира-
приращение внешней нагрузки способно вызвать непрекращающийся рост дефор-
деформаций и последующее разрушение. Нагрузку, отвечающую моменту исчерпа-
исчерпания несущей способности, называют предельной. Она соответствует тому пре-
предельному моменту, кэгда конструкция еще находится в состоянии равновесия.
Предельная нагрузка яЕляется мерой несущей способности конструкции.
Раздел теории пластичности, называемый теорией предельного равновесия,
изучает несущую способность статически неопределимых конструкций, в част-
частности, оболочек. Теория предельного равновесия не позволяет проследить упру-
упругие деформации и напряжения оболочки от начала нагружения. Вне поля
зрения теории остается также развитие пластических деформаций. Объектом
изучения является лишь заключительный момент — исчерпание несущей спо-
способности.
В основе теории предельного равновесия лежат статическая и кинемати-
кинематическая теоремы. Первая определяет предельную нагрузку как наибольшую
из всех внешних нагрузок, при которых рассматриваемая система еще нахо-
находится в равновесии. Отыскивая наибольшую из статически допустимых нагру-
нагрузок, мы приближаемся к предельной нагрузке снизу.
Кинематическая теорема определяет предельную нагрузку как наимень-
наименьшую из всех нагрузок, обращающих прежде жесткую и неизменяемую кон-
конструкцию в механизм. Она дает верхнюю оценку истинной предельной нагрузки.
Обе теоремы сформулированы и доказаны для идеально-пластических кон-
конструкций. Реальные конструкции отличаются от идеальных наличием физиче-
физическою и геометрического упрочнения, а также другими особенностями. Поэтому
фактическая предельная нагрузка может не совпадать с разрушающей; обычно
она несколько ниже разрушающей.

Теория предельного равновесия предполагает, что в пластическое состояние
переходит вся оболочка или ее значительные области. Многочисленные экспе-
эксперименты с железобетонными оболочками и плитами показали, что в действитель-
действительности пластические деформации сосредоточены лишь в очень узких зонах вдоль
некоторых линий на поверхности. Такие линии называют обобщенными пласти-
пластическими шарнирами.
Применительно к задачам о несущей способности железобетонных плит и
оболочек разработан кинематический метод теории предельного равновесия с
.использованием понятия о пластических шарнирах. Статический метод также
применяется для предельного анализа железобетонных оболочек, однако полу-
получил меньшее распространение. Заметим, что наиболее полное представление а
величине предельной нагрузки дает двусторонняя оценка, т. е. одновременно
и статическая, и кинематическая.
Особенность теории предельного равновесия состоит в том, что для отыска-
отыскания предельной нагрузки недостаточно располагать сведениями о размерах,
физических свойствах конструкции и о нагрузках. Необходимо еще заранее
знать вид механизма разрушения, если используется кинематический метод,
или характер распределения внутренних усилий, если применяется статический.
Вместо механизма разрушения могут быть назначены поля кинематически
допустимых перемещений поверхности. Такие перемещения должны соответ-
соответствовать условиям закрепления оболочки и условиям совместности. Решение
с использованием непрерывных кинематически допустимых полей перемещений
требует привлечения условий текучести. Если рассматривается механизм раз-
разрушения, образованный пластическими шарнирами и жесткими дисками, усло-
условия текучести используются неявно.
Механизм разрушения может быть назначен «а основании экспериментов;
широко используются различные аналогии и привлекается инженерная ин-
интуиция. Если выбор механизма затруднителен, можно рассмотреть несколько
механизмов, допустимых в условиях рассматриваемой задачи, и выбрать тот
из них, которому отвечает «аименьшая величина предельной нагрузки. Эти за-
замечания справедливы и в отношении выбора статически допустимых полей
внутренних усилий.
В настоящем разделе содержатся кинематические, т. е. верхние оценки не-
несущей способности пологих железобетонных куполов и прямоугольных в плане
оболочек. В некоторых случаях для сопоставления приведены нижние оценки,
Схемы излома, положенные в основу расчета, в большинстве случаев получе-
получены экспериментальным путем.
§ 18.2. Пологие железобетонные купола
1°. Гладкая свободно опертая оболочка. Пологая железобетонная оболочка
постоянной толщины д свободно оперта по контуру. Ее срединная поверхность
получена вращением квадратной параболы (рис. 18.1) и описывается уравне-
уравнением
z=fr*IR\ A8.1)
где f — стрела подъема оболочки; R — радиус опорного контура.
Арматура из радиальных и кольцевых стержней одинакового поперечного
сечения FL расположена по середине толщины. Обозначим и — шаг кольцевой
арматуры (рис. 18.2); a) = u/R — ее кольцевой относительный шаг; а — цент-
центральный угол между двумя смежными радиальными стержнями.
Оболочка нагружена равномерно распределенной вертикальной нагрузкой
интенсивности q.
Схема разрушения известна из многочисленных экспериментов. Оболочка
расчленяется пластическими шарнирами, образуя центральный диск и большое
количество радиальных дисков (рис. 18.3, а, б).
Полагая вертикальное перемещение центрального диска Л = \, подсчитаем
работу пластически деформирующейся арматуры в кольцевой и радиальных
309

линиях излома. Работа внешней нагрузки на возможных перемещениях равна
произведению объема эпюры перемещений (рис. 18.3, в) на интенсивность на-
нагрузки q. Приравняем друг другу работу внешней и внутренних сил и получим
выражения для интенсивности нагрузки
B + 2 бх —
¦Зе)
-.A8.2)
1 R
0 ; r
Здесь от — предел текучести арматуры; |i —
относительный (радиус кольцевого пластическо-
пластического шарнира; e = 6/f — коэффициент вспарушен-
ности оболочки; y = f/R— относительная поло-
пологость.
В соответствии с кинематическим принципом
теории предельного равновесия требуется отыс-
отыскать минимум функции Ф(?\). Эта функция
зависит от параметров д, а, е и со, которые
в каждом конкретном случае принимают определенные численные значения.
Пример. Пусть а = 0,05; е=0,05 и <а = 0,03. Пусть также d=R[300, что отве-
отвечает y = 1/i5- Подставляя значения параметров в выражение A8.2) и опреде-
определяя минимум Ф\(?\), найдем #imin(!i) =0,44 при li = 0,9.
Тогда несущая способность оболочки с такими параметрами равна
Рис. 18.1.
Формула A8.2) применяется для отыскания несущей способности пологих
оболочек при 0<f<l/3. Полагая f = 0, получим зависимость для определения
несущей способности круглой плиты. Величины Фтпп для оболочек с различ-
различными пологостями приведены в табл. 18.1. По ним можно проследить, как
возрастает несущая способность ino мере увеличения подъемистости. Формула
A8.2) дает возможность получить верхнюю оценку несущей способности.
Рис. 18.2.
Рис. 18.3.
Практический интерес представляют оболочки, у которых погонное арми-
армирование одинаково во всех кольцевых сечениях и равно радиальному погон-
погонному армированию. В этом случае до центра оболочки доводится лишь часть
радиальных стержней. Нижняя граница несущей способности таких оболочек
может быть определена по формуле *
Я2
!; ф2 =¦ т
32/е
A8.3)
Зависимость A8.3) получена Б. Ю. Мирзабекяном.
310

Нижняя и верхняя оценки хорошо совпадают. Например, для оболочки с па-
параметрами а=0,033; е=0,05; <а=0,03 и ^=1/15 имеем:
-.( + ) Т I (\ Г? . ~(—)z= T l А СО
Я = u,oo , qx — и,0,3.
2°. Оболочка, нагруженная на части поверхности. Оболочка имеет радиаль-
радиальную и кольцевую арматуру из стержней одинакового поперечного сечения F-,
Погонное армирование одинаково во всех кольцевых сечениях и равно погон-
Таблица 18.1. Коэффициент
несущей способности
7
1/3
1,311
1/15
0,440
0
0,139
ному армированию в радиальных сечениях. Вертикальная нагрузка равномерно
распределена на части поверхности, имеющей в плане вид круга с радиусом
kR и центром на оси z. Так как величина интенсивности q предельной на-
нагрузки ме дает представления о несущей способности в этой задаче, будем рас-
рассматривать полную предельную нагрузку на оболочку Q = jiR2k2q.
Возможны два случая: нагруженная площадка меньше центрального диска
в схеме излома (&<!i, рис. 18.4, а) и нагруженная площадка больше централь-
центрального диска (&>?ь рис. 18.4, б). В соответствии с этими случаями получим вы-
выражение для полной несущей способности
Q = тгстр, —
48
4е
3A-
1 -бе
+
з^е.
-Зе^
[ +2
L+2
при k
1 ;
A8.4)
3 — 2^-
при 0 < ?j < k .
Минимальные значения Фз(Ю при различных величинах параметра k и
соответствующие значения переменной ?х приведены в табл. 18.2.
Из табл. 18.2 следует, что в рассматриваемых оболочках переход от сосре-
сосредоточенных в центре нагрузок (k=0) к распределенным по всей поверхности
не вызывает заметного повышения 'несущей способности, особенно в тонких
оболочках. При е = 0,05 получим для оболочки, нагруженной сосредоточенной
силой в центре,
О)
Если же нагрузка равномерно распределена по всей поверхности, то несу-
несущая способность равна
Можно заметить, что при вспарушенности ? = 0,01 и 0,05 исчерпание несу-
несущей способности во всех случаях происходит с образованием меридионально-
кольцевой схемы излома. Этим, по-видимому, и объясняется незначительная
разница в несущей способности при переходе ют k = 0 к k=\. При г=0,10 ме-
311

о
0
о
?
10
05
01
T
к
ф3т1п
6i
фзтт
6i
ф3тт
6i
а б л и ц а
0
0,
0
0,
0
0,
0
,0
66
,0
55
,8
28
,9
0
0,
0
0,
0
0,
0
,1
71
,7
55
,8
28
,9
18.2. Коэффициент несущей способности
0
0,
0
о,
0
о,
0
,2
71
,7
55
,8
28
,9
0
0,
0
0,
0
0,
0
,3
71
,7
55
,8
28
,9
0
0,
0
0,
0
0,
0
,4
71
7
55
,8
28
,9
0
0,
0
0,
0
0,
0
,5
71
7
55
,8
28
,9
0
0,
0
0,
0
0,
0
,6
71
7
55
,8
28
9
0
0,
0
0,
0
0,
0
,7
71
7
55
,8
28
,9
0
0,
0
0,
0
0,
0
,8
74
7
55
,8
28
,9
0
0,
0
о,
0
о,
0
,9
79
,8
58
,8
28
9
1
0,
0
0,
0
0,
0
,0
92
,8
67
,8
31
,9
ридионально-кольцевая схема возникает, начиная с & = 0,1, а более сосредо-
сосредоточенные нагрузки вызывают образование меридиональной схемы (^ = 0).
При малых размерах площадки нагружения существует возможность, что не-
несущая способность оболочки вблизи нагруженного участка поверхности исчер-
исчерпывается ©следствие продавливания. Предположим, что продавливание произой-
KD kR дет по окружности радиу-
,д г ~|../ ... са Р #• Так как внешняя
нагрузка уравновешива-
уравновешивается предельными каса-
касательными напряжениями
/?Ср, действующими по
линии разрушения, то
= qnk2R2, A8.5)
если линия разрушения
лежит за пределами пло-
площадки нагружения
1), и
, A8.6)
2 я
если продавливание про-
происходит по линии, пол-
полностью лежащей внутри
площадки нагружения
@?)
Рис. 18.4.
(р)
Наименьшая интенсивность нагрузки, найденная из A8.5) и A8.6) при
р =&, будет
q = bRcplbR- 08.7)
При расчете несущей способности оболочек с нагрузками, распределенны-
распределенными на малых площадках, следует производить проверку по формуле A8.7),
т. е. сопоставлять результаты с результатами вычислений по формуле A8.4).
312

Найдем из выражения A8.7) полную предельную нагрузку
у кти
Q = nk2R2q = тгат Fi — ,
A8.8)
где т = 6 RC\ loiFi — относительная прочность оболочки при срезе; и — шаг
кольцевой арматуры. Из формул A8.4) и A8.8) следует, что проверка возмож-
возможности продавливания заключается в сопоставлении
kmu
Фз min <" ~— •
i
3°. Оболочка с круглым центральным отверстием. Вертикальная нагрузка
равномерно распределена по
всей поверхности, за исклю- KR
чением площади отверстия.
Величина предельной ин-
интенсивности нагрузки q ш не
дает представления об изме-
изменении несущей способности,
так как при различных ве-
величинах k отверстия пло-
площадь нагружения также не-
неодинакова. Поэтому в каче-
качестве критерия несущей спо-
способности будем рассматри-
рассматривать величину полной пре-
дельной нагрузки
Рис. 18.5.
где F — площадь, на которой распределена поперечная нагрузка.
Возможны два случая:
1) отверстие мало и размещается внутри центрального диска схемы излома
(рис. 18.5). Несущая способность
2 [1-6,-3 *»(!-?,)]
A8.9)
где k — относительный радиус отверстия;
2) отверстие велико и реализуется меридиональная схема разрушения
(рис. 18.5,6). Несущая способность равна
Q
Ф
5min '
A8.10)
Значения Ф^тт и Фътт при ?=0,1 и различных величинах k приведены в
табл. 18.3.
Из сопоставления данных табл. 18.3 видно, что при ? — 0,67 первая схема
излома переходит во вторую. Существенно отметить, что наличие отверстий
k <0,73 в куполах с рассматриваемой срединной поверхностью приводит к не-
некоторому повышению несущей способности — около 18%.
Описанный выше вид нагружения встречается на практике в процессе мон-
монтажа оболочек, куполов. В законченных сооружениях отверстия заполняются
прозрачным материалом, фонарем или другой конструкцией, способной вос-
воспринимать внешнюю нагрузку. В этом случае часть распределенной нагрузки,
приходящейся на площадь отверстия, должна быть приложена в виде равно-
равномерной линейной нагрузки по его контуру.
313

л:
Т
0,
1
а б л 1
0
458
,00
ща 18.3.
0,1
0,461
0,99
Коэффициент несущей
0,2
0,463
0,96
0,3
0,470
0,91
0
0
способности
0,4
479
,84
0
0
0,5
507
,75
0
0
0,6
527
,64
0,
0
0,7
565
,51
При малом отверстии несущая способность равна
U U U ^ л г^
— Ф,
Gmln
A8.11)
и не отличается от несущей способности сплош-
сплошной оболочки. При ? = 0,10 минимум функции
Ф6=0,458.
При большом отверстии
1 _ 3 k2 + 2 №
Рис. 18.6.
С/ == 2, тю-уг; Ф™ 1 (ТO 1 ===
^ со 'mln ^'mln A к„
Величины Ф7т!п при различных значениях k представлены в табл. 18.4.
A8.12)
л:
$7mln
Таблиц г
0,0
1,00
0,1
0,973
1 18.4. 1
0,2
0,915
Коэффициент
0,3
0,802
0,4
0,693
несущей способности
0,5
0,511
0,6
0,450
0,7
0,338
0,8
0,213
Сопоставление результатов A8.11) и A8.12) показывает, что в куполах воз-
возможно устройство круглых отверстий k< 0,55 без дополнительного усиления.
4°. Оболочка, подкрепленная ребром по контуру. Ребро содержит арматуру
(рис. 18.6) с площадью поперечного сечекия nFt (n>\). Интенсивность пре-
предельной нагрузки равна
+ .
A8.13)
Минимальные значения Ф%{1\) вычислены при ^=1/15, а=0,05, w=0,03 и
при различных значениях е и п. Они помещены в табл. 18.5.
314

Таблица 18.5. Коэффициент несущей способности
>^ п
? ^^\^
0,05
0,01
0
0,440
1,310
5
0,967
3,440
10
1,495
5,82
20
2,530
10,670
Пример. Определить несущую способность железобетонного купола при
следующих исходных данных: радиус опорного контура /? = 6 м\ стрела
подъема f=40 см; толщина оболочки равна 6=2 см; радиальная арматура из
круглой проволоки диаметром 4 мм имеет предел текучести ат = 2400 кг/см2.
Шаг кольцевой арматуры и=18 см\ радиальные стержни расположены
под углом а = 0,05 друг к другу; оболочка имеет контурное ребро с арматурой
0 18 мм.
Определяем значения параметров:
а =0,05; ? = 5//=2/40 = 0,05; со = ujR = 18 сж/600 см = 0,03;
40/600 = 1/15 ; п =
3,14 X 0,22
3,14 X 0,92
^20.
По найденным величинам параметров из табл. 18.5 получим
Несущая способность купола равна
3 GTFj
smin =
ЗХ 2400X3,14X0,04
2,53 = 0,0063 кг/см2=6'Л
5°. Оболочка, подкрепленная радиальными и кольцевыми ребрами. Меридиан
оболочки очерчен по параболе, уравнение которой имеет вид
2 =/Г* /Я*.
Рис. 18.7.
Радиальные ребра содержат арматуру площадью сечения FR и располо-
расположены регулярно с центральным углом между ними у. Центр тяжести площади
FR отстоит на расстоянии hR от срединной поверхности.
Кольцевые ребра, расположенные с постоянным шагом Я (рис. 18.7), имеют
арматуру площадью сечения F§ и расчетную высоту hd .
315

Примем следующие обозначения: nR =F# IF г- относительная мощность
радиальных ребер; п$ = Fe//\ —относительная мощность кольцевых ребер;
n = ^Rlf и rl^=^lelf ~ соответственно относительные высоты радиальных и
кольцевых ребер; k=R/A — число полей, образуемых на оболочке кольцевыми
ребрами; Л |i — радиус кольцевого пластического шарнира; /? = ?(|i); осталь-
остальные обозначения соответствуют обозначениям предыдущих пунктов.
Для свободно опертой оболочки реализуется меридионально-кольцевая
схема излома. Величина предельной интенсивности равномерно распределен-
распределенной нагрузки, вычисленная кинематическим методом теории предельного рав-
равновесия, равна
"M -I —+ MA-/O 11-М +^^x
2/
bj2f)(k—p)nb + —••
-. A8.14)
p+\
Отыскание минимума Ф*(?\) в общем виде затруднительно, поэтому ограни-
ограничимся вначале рассмотрением нескольких частных случаев оболочек с коль-
кольцевыми ребрами. Полагая, что /3 = 2; /ге=0,2; nR = hR=O\ « = 0,1; d/2f = 0,0\,
будем искать Фэтт при k = 2, 3 и 4. Ниже, в табл. 18.6, приводим результаты
вычислений.
Из анализа табл. 18.6 следует, что величина несущей способности не зависит
от числа кольцевых ребер. Объяснение этому факту найдем, если обратим
внимание на схемы излома, отвечающие величинам Фэт1п (рис. 18.8). Во всех
трех случаях кольцевой пластический шарнир располагается между опорным
контуром и первым ребром и, следовательно, радиальные пластические шар-
шарниры не пересекают ни одно из кольцевых ребер.
Таблица 18.6. Коэффициент несущей
способности
к
2
23,1
0,65
3
23,1
0,68
4
23,1
0,77
При обычном армировании поля подкрепление оболочки кольцевыми реб-
ребрами является неэффективным видом усиления в смысле увеличения несущей
способности, так как даже при значительном числе ребер большая часть их
оказывается заключенной внутри центрального диска. Поэтому расчет несущей
способности осесимметричных оболочек, подкрепленных кольцевыми ребрами,
можно производить как расчет гладких оболочек.
В общем случае, т. е. при наличии радиальных и кольцевых ребер, необхо-
необходимо отыскивать Фэт!п . Представление об изменении Ф$т\п в зависимости от
параметров дает табл. 18.7, где представлена небольшая часть полученных
результатов.
6°. Оболочка с контуром, закрепленным от горизонтальных перемещений.
В предыдущих пп. 1—4° рассматривались оболочки, наружный край которых
мог свободно смещаться в горизонтальном направлении. В практике может,
однако, встретиться случай, когда контур оболочки не смещается.
316

к-
l'(o=75
-3
пл=10
«Л=0
/1Л=1О
пл=20
Таблица 18.7. Коэффициент
/7Q^0
[5/2/= 0,005
6/Т=25
2,26
8,57
12,36
0,62
3,71
5,74
10
1,49
8,37
12,19
0,51
3,61
5,65
0,010
25
3,35
9,15
12,91
1,21
3,96
6,01
10
2,14
8,75
12,62
0,76
3,76
5,83
несущей способности
/7Q=10 | ле=20
0,005
25
16,92
20,64
23,76
12,19
14,53
16,81
10
16,72
20,47
23,62
12,07
14,42
16,71
0,010
25
17,53
21,22
24,38
12,48
14,85
17,19
10
17,1-3
20,93
24,11
12,05
14,64
16,93
0,005
25
28,92
32,06
34,94
23,94
25,35
27,62
10
28,75
31,92
34,81
22,94
25,22
28,52
0,010
25
29,51
32,70
35,61
23,39
25,73
28,07
10
29,23
32,43
35,36
23,18
25,52
27,86

Из п. 4° следует, что несущая способность повышается с увеличением мощ-
мощности я контурного армирования. Очевидно, что я не может возрастать бес-
беспредельно; начиная с некоторых п=п наружный контур станет нерастяжимым
и оболочка перейдет к горизонтально-неподвижному опираиию.
от.
0,769,,
0,25R 025R C.2SR
Рис. 18.8.
Рис. 18.9.
Для оболочки вращения со срединной поверхностью в виде z=fr2/R2 в этом
случае может быть принята схема разрушения с двумя кольцевыми пластиче-
пластическими шарнирами (рис. 18.9). При действии нагрузки Я, сосредоточенной в
вершине купола, несущая способность будет
п(е1, ?,), A8.15)
где |i и |г — относительные радиусы внутреннего и наружного кольцевых шар-
шарниров. Для сравнения приведем выражение для предельной сосредоточенной
нагрузки на свободно опертую оболочку
.B-2g?
A8.16)
Увеличивая относительную величину я контурного армирования от нуля и
отыскивая всякий раз минимум функций Фю(|1, Ь) и <Pn(li), можем их
сравнивать и 'находить такие п = п, при которых оболочка переходит к гори-
горизонтально-неподвижному опиранию.
В табл. 18.8 приведены некоторые результаты расчетов, выполненных при
е = 0,05. В числителе показаны величины контурного армирования я, при кото-
которых контур оболочки оказывается полностью закрепленным от горизонтальных
перемещений, в знаменателе — соответствующие минимальные значения
Й, &)
Для каждого сочетания параметров толщины и армирования е, а и со может
быть найдена такая предельная (величина я, при которой увеличение контур-
контурного армирования сверх п бесполезно, так как не повышает несущую способ-
способность.
Закрепление контура оболочки от горизонтальных перемещений приводит
к повышению несущей способности в 2—3 раза. Отношение Фют1п, вычислен-
вычисленного при п = п, к Фит1п i найденному при п = 0, показано в табл. 18.9.
Теоретический минимум веса арматуры в свободно опертых железобетон-
железобетонных куполах с заданной несущей способностью может быть достигнут, если
всю арматуру сосредоточить в опорном кольце. Так как практически скорлупа
не может быть полностью лишена арматуры, то рациональное проектирование
оболочек рассматриваемого типа сводится к назначению мощности опорного
кольца, близкого к я.
318

a
0,05
0,03
0,01
Табл
со
ица 18.8. Коэффициент
0,030
6
37,18
9
44,00
22
73,66
несущей
0,010
15
92,06
17
99,53
25
132,16
способности
0,005
24
172,53
27
180,00
30
209,83
Таблица 18.9. Коэффициент несущей
способности
a
0
0
0
со
,05
,03
,01
0
2,
2,
2,
,030
09
05
03
0
2
2
2
010
,74
,48
,06
0
3
2
2
005
,03
,81
,16
7°. Замечания о выборе срединной поверхности свободно опертых куполов.
Теоретические исследования * показывают, что при прочих равных условиях
несущая способность оболочек воз-
возрастает с увеличением показателя
степени параболы, по которой
очерчен ее меридиан. На рис. 18.10
показаны зависимости между от-
отношением несущей способности к
собственному весу оболочки и
ее пологостью (/ — эллиптическая
кривая; 2 — круговая кривая; 3—
кубическая парабола; 4 — прямая
„.
линия). Эти зависимости исследо-
исследованы для оболочек вращения с
различной формой меридиана. Ис-
Исследования показали, что при поло-
пологости 77,5 < 7 <72,5 лучшим ока-
залось очертание оболочки по
параболе пятой степени, а в интер-
интервале пологостей 7г,5 < 7 ^ 1 —
наиболее эффективна оболочка,
очерченная по полуэллипсу.
ю,0
6,0
2,0
0
L
\
\
V
\ ^
V2
^~\
—
\
\^
¦——==
-
\
3.0
5.0
7.0 R/f
Рис. 18.10.
§ 18.3. Прямоугольные в плане оболочки
1°. «Гладкая» свободно опертая оболочка. Пологая железобетонная обо-
оболочка постоянной толщины свободно оперта по контуру. Ее срединная поверх-
поверхность получена переносом квадратной параболы по квадратной параболе
(рис. 18.11, а, б) и описывается уравнением
г - /(.v2/a2 + yW) - A8-17)
* Исследования выполнены Р. Ф. Габбассовым, а также Н. В. Ахвледиани и М. А. Да-
ниелашвили.
319

\
Is,
ч
a
5s
53
где 2/ — стрела подъема оболочки; 2а, 2b — размеры ее сторон в плане. Арма-
Арматурные стержни расположены параллельно сторонам оболочки и образуют
регулярную сетку с шагом w, одинаковым в обоих направлениях. Площадь
ммд. сечения каждого стержня Ft\
сетка расположена по середине
толщины оболочки.
Вертикальная нагрузка ин-
интенсивностью q равномерно рас-
распределена по поверхности обо-
оболочки.
В стадии предельного равно-
равновесия оболочка расчленяется
линиями излома на пять дис-
дисков — центральный и четыре
краевых (рис. 18.12, а, б).
Полагая возможное верти-
вертикальное опускание центрального диска 4 = 1, можем найти углы взаимного
поворота жестких дисков и работу усилий в пластически деформирующейся
арматуре. Приравняв ее работе внешней нагрузки, найдем:
Рис. 18.11.
l,5e
A8.18)
?
Здесь обозначены: гр = а/Ь — отношение сторон оболочки в плане (гр> 1);
e = 6/f — коэффициент вспарушенности; у = f/b — относительная пологость обо-
оболочки; |i — относительная величина центрального диска в схеме излома.
В соответствии с кинематическим принципом теории предельного равнове-
равновесия требуется отыскать минимум функции <Z>i2(!i). Эта функция зависит от па-
параметров у и ?. Минимальные значения <Z>i2(li) вычислены при различных зна-
значениях у и при 6 = 1/150 Ь, что отвечает еу = 1/150. Они приведены в
табл. 18.10.
Рис. 18.12.
Табл. 18.10 дает представление об увеличении несущей способности обо-
оболочки с ростом ее подъемистости.
При / = 0 получим выражение для несущей способности плиты. Для квад-
квадратной плиты гр=\ имеем
<?<+> =-^г-- — -0,01.
320

т
ф12т1п
Таб
V»
0,582
лица
0,440
18.10. Коэффициент несущей способности
Ч*
0,354
V8
0,226
V.0
0,183
'/и
0,125
Vto
0,098
Плита
0,010
Этот результат совпадает с известной зависимостью для несущей способ-
способности квадратной плиты
/ , v 6 т
?(+) = —, A8.19)
где т — предельный погонный момент. Для плиты, где у?= 1/150, имеем
Ь <3TFt 1
• ~т~ — * 7г—"• Подставляя это выражение в формулу A8.19),
2 2 15Uol>
т -
и
получим
б т
1
2Ь2 150 о)
. ^ . 0.01 .
Нижняя граница несущей способности квадратных в плане оболочек может
быть найдена по формуле *
,<-> = o?l.jl. eowg . A8.20)
* b2 2 со D/еK + 12 D/е) + 3:4 v '
Выражения A8.18) для верхней оценки и A8.20) для нижней оценки дают
близкие результаты. Для квадратной оболочки с параметрами у=1/10'и
е= 1/15 найдем
— -0,125; q{-) =
О2
4.олоз.
U о - 1 , о - 1 1 д Д . 1. ° I
2°. Оболочка, нагруженная на части поверхности. Горизонтальная проекция
площадки нагружения имеет форму прямоугольника и расположена симмет-
симметрично относительно центра обо- п а
лочки. Обозначим размеры пло-
площадки 2ak и 2Ьк. Остальные
обозначения такие же, как и в
п. 1°.
Возможны два случая:
1) площадь нагружения
меньше площади центрального
диска (&<!ь рис. 18.13, а) и
2) площадь нагружения
больше площади центрального
диска (Л>1ь рис. 18.13, б).
Так как величина предель-
предельной интенсивности не дает пред-
представления об изменении несу-
несущей способности с изменением
размеров площадки нагружения, будем рассматривать полную величину пре-
предельной нагрузки на оболочку. Она равна
—
1
¦¦%
—h—
аГ
Т
Л
а
Рис. 18.13.
¦ Формула получена Б. Ю. Мирзабекяном.
21—28
12\

3 о) ф3
? — 3 g? 4- 2)
— 3€? +2
при k > ?x > 0;
при Л < ^ < 1 .
A8.21)
Минимальные значения Фи при различных величинах k и соответствующие
значения переменной ?i представлены в табл. 18.11.
Таблица 18.11. Коэффициент несущей способности
k
^I3min
0.0
2
0
0,1
2,14
0
0,2
2,29
0,1
0,3
2,46
0,2
0,4
2,63
0,3
0.5
2,82
0,4
0.6
3,04
0.5
0,7
3,34
0,5
0,8
3,73
0.5
0,9
4,30
0,5
1.0
5,14
0,5
Результаты, приведенные в табл. 18.11, показывают, как увеличивается не-
несущая способность оболочки с возрастанием площадки нагружения. В случае,
когда в центре квадратной оболочки приложена сосредоточенная нагрузка
(&=0), несущая способность равна
?)( + ) д г > L_ > 9
3 (o
Если нагрузка равномерно распределена по всей поверхности (& = 1), полу-
получим аналогично
q(+)=
— .5,14.
Нагрузки, сосредоточенные в центре оболочки и распределенные иа сравни-
сравнительно малых площадках (k< 0,1), вызывают образование схем излома без
центрального диска (?i=0).
При малых размерах площадки нагружения возможно исчерпание несущей
способности вследствие продавливания оболочки вблизи нагруженного участка
поверхности. Внешняя нагрузка уравновешивается предельными касательными
напряжениями интенсивности RCp по линии разрушения, поэтому
2 я* ра#ср = 4 qb**t&, A8.22)
если_ линия разрушения лежит за пределами площадки нагружения
(*/2<р<1), и
2TzbpbRQp = qnby, A8.23)
если продавливание происходит по линии, лежащей внутри площадки нагру-
нагружения @ < q< k).
Проверка возможности продавливания состоит в отыскании ^min из выра-
выражений A8.22) и A8.23) и сопоставлении результата с результатом расчета по
формуле A8.21).
3°. Оболочка с центральным отверстием. Срединная поверхность оболочки
описывается уравнением A8.17). Прямоугольное в плане отверстие имеет раз-
а, Ь<
меры 2aiX2&i, где — = — =?.
а о
322

Если отверстие невелико, то образуется схема излома, состоящая из пяти
сопряженных жестких дисков. При значительных размерах отверстия возмож-
возможно образование схемы разрушения, состоящей только из краевых дисков
(рис. 18.14, а, б).
В первом случае получим
A8.24)
Так как интенсивность нагрузки не дает представления об изменении несущей
способности с ростом отверстия, будем рассматривать величину полной на-
нагрузки
A — k*)B i\ - 3 i] + 2)
A8.25>
1 —6? —
В табл. 18.12 приведены минимальные значения Ф\ь(%\) при различных ве-
величинах параметра k.
Таблица 18.12. Коэффициент несущей способности
ь
^I5min
*::•
0
1,
2,
0
72
0
0
1,
1,
,1
73
98
0
1,
1,
.2
77
92
0
1,
1,
,3
82
82
1
1
0,4
,92
,6d
2
1
0,5
,10
,50
2
1
0,6
,34
,28
2
1
0,7
,87
,02
Во втором случае имеем
.ф
A8.96)
'ч
A-Jl „
Г
LJ
/
a
4
у
Oh
У
a
Ф
1,90
1,70
150
U0
2
/
3
\
\
\
Рис. 18.14.
0 0.2 ОМ 0.6 0.8 к
Рис. 18.15.
Величины Ф\е также представлены в табл. 18.12. Они сопоставлены с ismiiT
в виде графиков на рис. 18.15. Из рисунка следует, что при k< 0,3 реализуется
схема излома с центральным диском, а при больших отверстиях возможно
323

образование схемы излома, состоящей из одних только диагональны участ-
участков. При k< 0,38 возможно незначительное (до 6%) увеличение не', щей спо-
способности по сравнению с несущей способностью оболочек без отр ^стий.
Если часть распределенной нагрузки, приходящейся на плош дь отверстия,
приложена в виде равномерной линейной нагрузки по его контуру, выражения
A8.25) и A8.26) принимают вид:
{^= OrFi 8 y —^ • 1,72 i A8.27)
2A-*»)(!-
Ф (fa) =
Графики функций Ф=1,72 и Фп(к) пересекаются при ? = 0,23. В оболочках
положительной кривизны с поверхностью A8.17) допускается устройство пря-
прямоугольных k< 0,3 и круглых отверстий k< 0,35 без дополнительного уси-
усиления.
4°. Особенности предельного равновесия прямоугольных в плане железо-
железобетонных оболочек. При выводе формул пп. 1—3° было использовано условие
пластичности К. В. Иогансена, обычно принимаемое в предельном анализе
плит и пологих железобетонных оболочек. Это условие предполагает, что не-
несущая способность не зависит от того, как ориентированы арматурные стерж-
стержни относительно линий излома.
Многочисленные исследования, выполненные в последнее время, не под-
подтверждают традиционный критерий в том случае, когда линия излома пере-
пересекает под некоторым углом арматурные стержни обоих направлений. Отмече-
Отмечено, что в этом случае имеет место увеличение несущей способности плит и
оболочек. В рассматриваемой задаче сказанное относится к той части работы
Т\ внутренних сил, где угловой участок линии разрушения пересекает арма-
арматурную сетку.
Заметим, что в обычных оболочках с достаточно мощной контурной арма-
арматурой удельный вес компоненты Т\ в полной величине работы внутренних сил
не превышает 7%. С практической точки зрения увеличение несущей способно-
способности оболочки вследствие дополнительного эффекта в угловых линиях излома
не очень существенно. Вместе с тем, влияние отклонения арматуры от направ-
направления главных напряжений на величину несущей способности оболочек пред-
представляет принципиальный интерес. Этот эффект может существенно повысить
несущую способность оболочек-скорлуп, не имеющих контурного армирования.
Увеличение несущей способности учитывается коэффициентом ц, вводимым
к той части несущей способности, которая обеспечивается работой арматуры
в диагональных линиях излома. Величина fi по данным экспериментов состав-
составляет в оболочках 1,3—1,8.
5°. Оболочка с ортотропным армированием. Стержни сетки, направленные
вдоль короткой стороны, размещены с шагом щ, а стержни перпендикулярного
направления — с шагом и^. Пусть щ = v и\, где v — коэффициент ортотропии.
Несущая способность оболочки равна
\(\ 4-№\( ! 4-''
IV1 • i A TY ' /Г ! \ * • ' T /J I ^'lV* ' T /V* i rT / ' "V * ' T A1 J 'T ] /in nov
где [I — коэффициент увеличения несущей способности (см. п. 4°).
В табл. 18.13 приведены величины $i8min(?i), вычисленные при /и=1,7 н
р значениях параметров,у и ?/>.
Ж4

Та
Ф ^^^
1,0
1,5
2,0
блица 18.13. Коэффициент несущей способности
0,5
9,39
6,72
5,76
1,0
6,26
4,SO
3,94
1,5
5,22
3,83
3,33
2,0
4,70
3,47
3,02
3,0
4,18
3,10
2,71
Результаты A8.28) дают возможность так распределить арматуру между
двумя направлениями, чтобы общее ее количество было наименьшим при за-
заданной несущей способности. Минимум общего количества арматуры может
быть достигнут при ^тах- Наибольший коэффи-
коэффициент ортотропии v ограничивается условием
W < 2, где Ф отношение сторон в плане изо-
изотропного аналога рассматриваемой ортотропной
оболочки.
6°. Оболочка, усиленная ребром по контуру
(рис. 18.16), Центр тяжести контурной армату- h
ры лежит в плоскости, проходящей через вер-
шины углов срединной поверхности. Используя ™с-
условие текучести Иогансена (^=1), получим
формулу для предельной равномерно распределенной нагрузки
„<+) = ¦
+
ф
19min
E,);
2 - e2! + e/2
1
A8.29)
Функция одной переменной Ф\д зависит от пяти параметров у, е, п, гр и <«>.
Ее минимальные значения, вычисленные при 6=1/150 Ь, что отвечает еу= 1/150;
#=1,5; «=0,05, и различных величинах е и п показаны в табл. 18.14.
/г
5
Ю
20
Т а б л
е
яца 18.14. Коэффициент
0.03
0,352
0,402
0,452
несущей
0,06
0,203
0.2 0
0.258
способности
0
ооо
20
0707
079
0875
Табл. 18.14 дает представление об изменении несущей способности оболочки
в связи с увеличением мощности контурной арматуры. Влияние контурного
подкрепления существенно зависит от величины со насыщения арматурой соб-
собственно оболочки.
7°. Оболочка, подкрепленная системой ортогональных промежуточных ребер.
Ребра обоих направлений имеют одинаковую высоту /io, отсчитываемую от
срединной поверхности (рис. 18.17), и одинаковое армирование Fр. Они рас-
расположены регулярно с шагом Хх вдоль длинной стороны контура и Яу — вдоль
короткой. Ограничимся рассмотрением случая, когда А^/Ау = а/5.
Введем следующие обозначения: n = FpjF; —относительная мощность ар-
армирования ребер; r} = ho/f — относительная высота ребер; 2г = 2а/Лх=2Ь/Лу—
число полей между подкрепляющими ребрами; ?АТ и |Яу — координаты узло-
узловой точки в схеме излома.
325

Величина предельной нагрузки на свободно опертую оболочку при
может быть представлена в виде
+ ПЦГ*
1 +
40
3 7 г
?3 —'
¦ф).
Рис. 18.17.
ние скорлупы незначительно (<у = 0,03),
может возрасти в 2,5 раза.
з-A8.30)
Функция Ф2о непрерывно изменя-
изменяется в промежутках между ребра-
ребрами и претерпевает конечные раз-
разрывы в точках, отвечающих мес-
местам прикрепления ребер.
В табл. 18.15 приведены неко-
некоторые результаты вычислений
#2omin Они выполнены при #=1,5,
г=3 и различных значениях осталь-
остальных параметров tjf n и су.
Анализируя данные, содержа-
содержащиеся в табл. 18.15, можно выяс-
выяснить влияние высоты и армирова-
армирования подкрепляющих ребер на ве-
величину несущей способности.
«Чувствительность» оболочки к
подкреплению ребрами зависит от
насыщения арматурой со йоля обо-
оболочки. Относительно мощные и
высокие ребра п=10; rj=0,3 повы-
повышают несущую способность на 15%
>при со = 0,003. Бели же армирова-
то величина предельной нагрузки
Таблица 18.15. Коэффициент несущей способности
Nv CD
0,05
0,1
0,2
0,003
п = 2
265 7
266,4
268,2
274,7
275,8
278.8
л=10
300,9
303,9
309,9
0.03
35,7
36,6
37,8
/2=5
57,5
53,0
56,4
/2 = 10
77,5
87,0
87,4
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахвледиаии Н. В. О несущей способности пологих железобетонных
оболочек-покрытий двоякой кривизны. Сб. «Исследование по теории сооруже-
сооружений», XI. М., Стройиздат, 1962.
326

2. Ржаницын А. Р. Предельное равновесие пологих оболочек. Сб. «Про-
«Пространственные конструкции в СССР». М., Стройиздат, 1964.
3. В а р в а к М. Ш., Дубинский А. М., Дехтярь А. С. Предельное
равновесие пологих оболочек, подкрепленных ребрами. «Прикладная механи-
механика», т. II, вып. 9. Киев, «Наукова думка», 1966.
4. В а р в а к М. Ш., Дехтярь А. С. Несущая способность пологих оболо-
оболочек с центральным отверстием. «Прикладная механика», т. IV, вып. 3. Киев,
«Наукова думка», 1968.
5. В а рва к М. Ш., Дехтярь А. С. Несущая способность ортотропной
оболочки. «Строительная механика и расчет сооружений», № 3, 1968.
6. Дехтярь А. С. Осбышметричные оболочки с минимальным содержа-
содержанием арматуры. В сб. «Сопротивление материалов и теория сооружений»,
вып. 4. К., «Буд1вельни1К», 1968.
7. В а р в а к М. Ш., Дехтярь А. С. О влиянии контурного подкрепления
на несущую способность пологих куполов. «Строительная механика и расчет
сооружений», № 2, 1969.
8. Варвак П. М, В а рва к М. Ш., Дехтяр ь А. С, Рассказов А. О.
Несущая способность железобетонных оболочек отрицательной гауссовой кри-
кривизны. Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок.
М., «Наука», 1970.
9. Варвак М. Ш., Дехтжрь А. С, Щербенко Э. А. Предельный
анализ оболочек вращения. Труды VII Всесоюзной конференции по теории
оболочек и пластинок. М., «Наука», 1970.
10. Варвак М. Ш., Дехтярь А. С. Экспериментальное исследование
несущей способности пологих оболочек с центральным отверстием. «Приклад-
«Прикладная механика», в. 3, т. VI. К., «Наукова думка», 1970.
11. Варвак М. Ш., Дехтярь А. С. Предельное равновесие пологих
оболочек при действии нагрузки, распределенной на части поверхности. В сб.
«Исследования по строительной механике», «Мецниереба», 1970.
12. Варвак М. Ш., Дехтярь А. С. Несущая способность непологих
оболочек. «Проблемы прочности», № 6. К., «Наукова думка», 1970.
13. Варвак М. Ш., Дубин/сюий А. М., Дехтярь А. С. Несущая
способность пологих ребристых оболочек. В сб. «Труды Всесоюзной конфе-
конференции по теории оболочек и шластин». М., «Наука», 1966.
14. Варвак М. Ш., Д ехтяip ь А. С, Тютюнник А. М. Верхняя
оценка несущей (способности покрытия, образованного четырьмя оболочками
(В виде гиперболического параболоида. «Строительное проектирование про-
промышленных предприятий», № 4. М., Стройиздат, 1969.
15. Варвак М. Ш., Дехтярь А. С. Млшмальне контурне армування
пологих оболонок обертан'ня. Доповш АН УРСР, № 1. К., «Наукова думка»,
1970.
16. Варвак М. Ш. Верхняя граница несущей способности оболочек вра-
вращения (под воздействием внутреннего потока газа. Ж. «Проблемы прочности»,
№ 3. К., «Наукова думка», 1970.
17. В аре а к М. Ш., Дехтярь А. С. Фиктивные механизмы в предель-
предельном анализе жестко-пластических оболочек. В об. «III Всесоюзный съезд по
теоретической и прикладной механике». Аннотации докладов. М., Стройиздат,
1966.
18. Варвак П. М., Варвак М. Ш., Дехтярь А. С. Несущая способ-
способность пластинок сложного очертания В сб. «13-я Польская конференция по
механике твердого деформируемого тела». Рефераты докладов. Варшава,
1970.
19. Варвак М. Ш., Дехтярь А. С. Несущая способность систем, обра-
образованных из оболочек отрицательной гауссовой кривизны. Сб. «Исследования
по теории сооружений», вып. 18. М., Стройиэдат, 1970.

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ТАБЛИЦЫ
Обозначения
Р — сосредоточенная или суммарная нагрузка;
р, q — интенсивность распределенной нагрузки (на единицу площади);
q — интенсивность распределенной нагрузки (на единицу длины);
h — толщина пластины;
6МХ QMV 6MXV
ху=——L. — нормальные и касательные напряжения в
ах=-—-: zy = —^\ тху=——
декартовых координатах;
Мх, Му и Мху —погонные силовые факторы в тех же координатах;
6МГ , 6Ме 6Мг9
аг = ; зе = —— ; т « = — нормальные и касательные напряже-
Л2 п2 п2
ния в полярных координатах;
Mf, Же и МгЬ—погонные силовые факторы в тех же координатах;
1 1
fi, v — коэффициент Пуассона; т = — = — ;
V- v
?/г3 т2Е№
D = К = -— — = :о/ .—— — цилиндрическая жесткость;
w, у и 6 — прогиб и угол наклона;
Е — модуль упругости;
г — переменный радиус;
In а: — натуральный логарифм х\
t — температура;
at — коэффициент температурного расширения;
о\ — меридиональное мембранное напряжение;
аг —•«ольцевае-мембранное-аапряжение;
ох — меридиональное изгибное напряжение;
о2 — кольцевое изгибное напряжение;
Ri — радиус кривизны вдоль меридиана;
R2 — радиус кривизны в плоскости, перпендикулярной к плоскости мери-
меридиана;
R — радиус поперечного сечения;
328
Г 3A-

1
1
2
2
3
0
1
i_
d
,5
,0
,5
,0
,5
,3
0
1
1
2
2
0
0
/о
d
,958
,4375
,915
,395
,875
,479
,3193
2
1
1
1
1
10
24
а
t
J
Mc/I
,725
,401
,116
,046
,025
,95
,70
блица 1
. Балки-стенки
ниш
2
L
a2
Mell
0,610
0,879
1,022
1,035
1,03
2,365
5,160
Tmax
Q/F
2,43
1,80
1,64
1,60
1,58
4,53
6,
05
Me/1
1,513
1,038
0,962
0,960
0,970
5,460
12,35
1 '' ¦!
\
f
a2
Mc/I
6,140
3,585
2,525
1,965
1,655
15,73
25,55
[1
Tr
пах
QIF
2
1
1
1
1
3
'
7
,39
,92
,70
,60
,57
,78
,23
bd3
M — изгибающий момент; Q — поперечная сила; / = ^2 —момент инерции;
F = \-d — илощадь поперечного сечения.
329

Таблица 2.
Схема эагружения и характер
эпюр
рра
ра
2?
A-1Л)
ЧЕ
12 ¦
[1 - A + A+ [*) P»J
330

Диски
р
р
-f [P2(l-H) + 1 + ri
РР п J l Л
2 ° ^[f V
«ri^'-f- [P'O-rt + i+M;
°re = --f- (i-(-)(i-P2)
0
р Л Р2 \
P2-i I1 Р2)
0
*<?
р
р
?«'-Ч.+1)
v = y A ~|Л) A + р2)
/Ф9 A — rt
р2—1
Примечание
м—радиаль-
м—радиальное пере-
перемещение
331

Схема загружения и характер
эпюр
рфра
Е (Р-
pa
A— [
2 A -ь м-) -ь 1 —
!-^г
ра (Р2—
A + М-) + 1 -
332

Продолжение табл. 2
Примечание
р2-1
К-—Ря(> —!
1 +
1- [л
1-fX
A + v) + I
333

Таблица 3. Круглые и кольцевые пластинки
п.п
Схема нагрузки, отирания,
характер эпюр
64DV
A-P2) [~-P
pa*
16D
3 + |
1+1
~P2
pa" 5 + ;
64D ' 1 +|
64D
_ ?2J
/? а3
ТбБ
РA-Р2)
|b,
-пат/я'
14400^
2г=2ра_
2а
[3A83+43^)
1 -i..
10G1+29|x) ,
225p4 - 64p5
720D
71
1+fx
183
4800D 1 +
120D A +
334

при симметричном нагружении
?,+„0-Л
0
ра?
16
Те' <'^>
~~ 8
-45C + [х)р2 +
0
ГЗ + ц — A -4- Зм.) р^]
PCL
C *4" ul)
16 v ^^
8 ~
8 ^
- 45 A + 3(i) f +
+ 16 A + 4|x) p3]
n
Р(\п
120 A ^
0
2
- 2 P
0
pa
2
~~6~X
XC-2p)p
0
poa
6
Примечание
Г
335

Схема нагрузки, опирания,
характер эпюр
144000
720D
p B9 - 45p2.+.
4800D
31
t
i
Po
liiiji
T
2r*2pa
2a
5760 \ I +
39 + I5j*
13
96D P i 1
31
576D 1 +
12D(l -h
2a
576D
G — 15P2
96D
576D
336

Продолжение табл. 3
¦мг
720
29/?ол2
720 ( +[X)
120
p §cl
11 о ~f~ DM-
96 ^
0
+ [J-) p2 + E + [J-) p4]
5/?o^2
96 ( +(Л)
~~~72~~
-45(l+3a)p2 +
29/>0a*
720 + **'
120 |X
96
— 6A+ 3|x) p2 +
+ A + 5|x) p4]
/?o«2
12 ( ^
96
+ 3[a) p2 + A + 5[x) p4]
96 A + fl)
~ 12 ^
6 x
X C - 2P) p
0
6
~ 4 X
XpB-p2)
0
4
4 X
XpB-P2)
0
4
Примечание
22—28
337

Схема нагрузки, опирания,
характер элюр
pa'
64D
h 4 B + p2) 1
pa< ff C2
ЩЩ.
ОЩЗра*
Mm
~?2
32D
\6D
¦px
ХA-Р2) +
21n p Bр* + 82)]
x
в» 1
_2_JL_4.nPj
раЧ*
64D A +
pa*
32D
X
—A—р
-x
1 +
X A — P2) + 6p2 In |
pab2
SD A +
64?>
?*)
pa3
16D
P (Ca -
338

Продолжение табл. 3
Р^ [С3-C + ц)рЧ
-4(l + fx)lnP
16 2
-^- [С2-C+^)р2]
0
-C + (х)р2]
ж,
16 1^2 —A + 3fX> p2j
pa2
1б (i-n)P2x
xr2B-p2)_pJ-i-_
-¦)-^"']
16 C>
pa2
i6 i^-o + ^p*]
P8 (l_rtB-p«)
j6 [(l+rtC,-
~A+Зц)р2]
pa
2 P
/>* P
2 P
0
Pb
2
2 P
Pb p
2 P
Примечание
C1 = 4-
_(l-^p»,
-40 + rfX
X In p] p«,
C3 = 4C+rt-
- G+3^)p2 +
+ 4A + (д.)Х
XP2InP
22*
339

Схема нагрузки, апирания,
характер эпюр
раЧ2
[B + Р2) X
pab*
32D
X A - P2) +
16D
f
— 4Inp 1
л fTTffn
* I _ 26-2J5Q I
Mr
pa*
64D
32D
16D
[ТТЛ
2a
+0,08Sfpa
64D A +
X
64DA
X
tx) A —
X
Xl C + ^A-2p«)+
+ ^) p2 + A + f*
XD1np+ —-¦
64D A +
pa6
8D
340

Продолжение табл. 3
+ A + 1*) (P2 - 4 In p)
pa2
16 A+^C2
16 [A + ^)C2
16 Ctl
*? [C + rt(l- P2)~
16 C2
0
ж9
/?62 Г р2
1C [A "Г Iх) ^>2
16
P*
8
16 Cs
/?Д2 1
I A -|* 3u.) {1 — p^) ~Ь
-f- A — jj.) p* I ' — 1 I -j-
+ 4 A + p.) P2 In p +
ifc-
P CL
2 K
0
¦~~2~
0
0
Примечание
-P2C-
-41np)],
- 4 In p)
C, - [E+t*) —
xp2](i - P2)-
X P4In P,
C* r/o i^,|\
-A-H.)P2]X
X(l-Ps) +
XP2lnp
341

Схема нагрузки, отирания,
характер зшюр
-тозра2
I -о,отраг
64D
ра*
[2A —2Р —
64О
- П A - р2) -1 +
pa4
64D Cl
16D
41пр + ^
Pa?
X
- p2) 4- 2P2 In ,
Pap
Pfl2 3 + [X
16tcD 1 + p.
A
Pa2
+ 2p2In p)
-0.0796P
Г
HW&
In о
342

Продолжение табл. 3
мг
ра?
'1в d + rtc,
^Lf_2(l-p)« +
+ C + |^)A-ра)-
-d-rtP*(y-i) +
+ 4A+|*) p>lnp|
76 d + rtC,
z?a2
- 3 A-P2J
Я
— 4тс A +P-)lnp
+ oo; —[l-(l+rtlnP]
0
- 4tc [I + (l + p.)inp]
+ oo; ~—- A +fi)lnp
4n:
Я
4тс
-^ (i + rt c2
+ (l+3tt)(l-p*) +
+ d-H-)P*(y-i) +
+ 4(l+(x)P2lnp
-^- (i + v) c2
pa?
- g - f* A - P2J
¦?¦--,-
- A + rt In p]
+~; -?- [i-(i+(x)inp]
4. A ^>
- 4л [(i + A + (i) In P]
+ oc; _ (l + |i)lnp
4tc
p
4* *
0
P2\
~pj
0
pa
xd-P2)
я
2тсар
— oo; 0
Я
2тса
Я
27t<2p
— oo; 0
Я
2тса
Примечание
С,= 1-
-4р2 + р*х
ХC-41пр),
С2 = 1 - р^ х
X (Р2 - 41n P).
343

Ht
Схема нагрузки, опирания,
характер элюр
Яа2
X
X A — р2) + 1-р4
Яар
р=--
ТТТ I
* * * »
пр
\6tzD
— 2 B In p + 1)
13
Яд2 7 4-
64т:О 1 +
Яа2 Г 3 +
itD [18A
14
Р
il
\6tzD 3A
2 p« — -|- p* —
— 4 In р — 2 1
Яд2 23
288tt:D
8D A +
X
Pabc2
344

Mr
P
16тс
XO-P2) +
+ 4 A+ jx) In p]
+ 00; —— 1 -A +
+ fx)ln P— 4 4
0
P I 1 *
1
+ —r~ [13 + 5fx —
+ E + [л) р4]
P
+ 00; — [5fx +
0
4 Q
П р одол ж е
Г/1 I Q..\ 4/
Ion:
X A — P2) + 4A +
+ p.)lnP —2A —p.)]
4. Я Г1 /u
+ °°' 4. [ ( '
0 + M- I
-4- fx) In В —
4 J
\1 (ULJ
я f
— —— {A + ,"•) In p +
471 I
+ [1 + 17jx
— 6A+ 3^) p2 +
+ A +5lx)p*]|
P
+ °°, .o [5{J- +
48k
+ 1 + 12 A + fx) lnp]
Г2 <'-rt
Я
— 00; 0
0
2a. P
— 00; 0
0
0
ние табл. З
Примечание
p s a27i/>
345

Схема нагрузки, опирания,
характер эятюр
РаЧ
I'! I'
л
2а ,
4D
2—A—
-P2)+2A +
+ (д.) p2 In p +
I Мг'
-t-^~4
80A
2D(l+fx)
РаЧ
SD
t - C2p2)
PabC2
AD
Hf^H^
РаЧ
Pabp
AD
2a
И-
РаЧ
SD
M
2D A +
D A +
Ma
346

Продолжение табл. 3
_ lj _2A+|*) In J
— С
4 С%
0
РЬ
-j- A + v) с2
4 [ р2
-A+^(р»-21пр)
~ A + И-) Q
-^A-Р2)
^{„-,
— 2A + н) In
2 —
'}
4 Са
2 A-|х)A-Р2)
Я6
4 о + («.) с2
Рб Г р2
_(l+lx)(p2_2inp)|
— A + v) с,
м
м
-P-S-
?
0
-Яр
0
_Р1_
р
О
— Я6
0
О
Примечание
С, = C+[j.)x
ХA-Р2) +
+ 2A +
+ V) Р2 In P
С3 = (l-(i)X
X A - Р2) -
-2A+(хIпр
С, = 1-
-Р2A-
- 2 In p);
С2 = Р2-
-1-2ЦР
347

Схема нагрузки, отирания,
характер эпюр
Ма?
МаС*
м м
AD
-0JI2SM
¦>1 fc
_pJ)_21nPl
2D
A + V)
4D
[2p2ln|
G ^1
2a
W
— P3
A — P
-0.5625M -0,0WM
21nP)
-W706M
Mr '+ti4375M*
Ma2
2D
P2 In |
Ma2
2D
A - р2) р
20
— P
A-Р2)
| . 2r2pa |
348

Продолжение табл. 3
мг
-*-С
-?<.-„(.-
-7)"
м с
0
^-(i+t*)O-P2)
Y O+^)(i-P2)
— iWp2
0
0
0
— С
2 Q
Al(l-|*)p»
y- 0 + i-)(i-P2)
-?[.+^-*7]
_ (l+rt(l-p2)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Примечание
-(l+tflnp],
C2 = 1 + v +
+ A-!^)P2
Ч + ta ,.
2 -''
2 -A''
и = aattp
349

l-г)-
+ I) G8
qzvd
т
G91
f («I "I i
+ I +
>-Щ
O9l
С791
+ (i — «d) x
+ L) -
-?)]}
_
DZ
ZDZ
fvd
l<
l>
V0*
SS
1Z 11 1 11 11 1 * m ¦
I 6 i
Н т
\Z
\JZ I Ч\
d
doiue
U'U

Продолжение табл. 3
т
2atM
h
16 1
+ 4 A + p.) p2 In p
16 Cl
pa?
[Cj C + [x)J
0
[Cj — A + 3^) p2]
16
2 Г
Cj — A + 3{x)p2+
L
+ 2A -t*)B2( — — 1 |+
\ P /
+ 4A + jx) pa In p
16 Cl
16
г?а2
8 (l-(x)B-P2)
0
pa
2 P
/?a / p2 \
Wri— 2 '
Qra = ~^~ X
X(P2-1)
0
Примечание
ti + ta
2 ~^'
2 "A^
X P2 In P,
C2=2(l—[x)—
— C+{x) P2 —
xpmp
351

Схема нагрузки, апирания,
характер эпюр
23
2а
Mr ¦ М
I
352
ра*
<1
32D A +
X
>1
<1
X
64DA +
Х|2С2A-Р2) +
+ 0 + rt О - Р4) +
+ 8 A + p.) ( 1 -
1
32DA
р а4
64D (I + (л)
[2A-
- 1)In
Яд3 С
8D 1 +
A ~ P2)
C2P
16D
+ p3 + 2p2 I 2p In p +
1
1 2p In |
+
+ Р2 X
x —
ра6
X
X
W

Продолжение табл. 3
Примечание
pa*
16 l
ра2
ра2
! - C + ц) X
P*2 \r
A +
X BВ2 - 1) D" - 1 1 -
pa
— Р
_ 4 A + |*) р* In
— 4 A + |х) 82 In p
х- ^ 10 -
-м-)
+ 4A +(х) X
16
- 0;
Ра
16
16
- 282) + C+
+ V-)r?4 In B]
2 _ 1J
23—28
353

Схема нагрузки, опирания,
характер апюр
I' ! 'I
24
2а
2b'2j3a
М?
-утра- -оят
П
>\
ХО-Р2)-
— 2р (i -f P2)lnp
0 —
Ра*С
8D(l+t
+ C + {*) П X
XIP-4-I-2C
Pa2
4Z>
2.np + --l
4ОA
Ра2
X
1
\р_ 21
2Ь=2Ьа *
2г=2ра
2а
ц
16D
_(l_p4)_4p2lnpX
x- Cl
C + H--
Лх
,}
25
64Z)
X
1— -j.
, 1п
X
SD(\ +^)
X
1—{л
354

Продолжение табл. 3
мг
/1 \ ln 1
X\P2 ~ / +|л) npJ
- Pl c
P" c
4
0
1 и 1
Q2/"* j 1 1 |
+ 4A + и) P3 In p
0
0
Pa Г ^ „
/1 \ "I
x\p2 y~2A+IA)pinpJ
Pa
4
xf-^-lj +4A +rfX
/?a2
8
pa2
8
pi
p
0
яр
я
( p
~~p/
0
-f(M4
Примечание
С = A-р.)Х
+ 4A +(x)x
P2
_ 4 (i + ^) x
23*
355

Схемамиагрузки, опирания,
характер эпюр
64D
[2A— 2Р2—
26
4)A—р2) —1 +
р" - 4С4 In p —
- В9У In р]
64D
f(l
_R2J_
16D
8DA +[j/
x—A^L
X
27
-2C X
ХA_р2)
X С In р + 2p2ln
¦x
-lnp p
3 + H-,
SD
L
+ 4-4-:^:C1l
i2 —
— 2С
+Q3725Pa
1-
— 2С
356

Продолжение табл. 3
г
ра2 Г
— 2A 2^2 +
16 [
_4(l+rtPalnpl
0
8
x(i-i) + ..,]
0
0
Ра2 Г
2 
-4<l + ^2lnpj
/1 Q4 i
g c A — Р +
^~ (J- A ~-~ ZP Ч~ С-4)
8
РЬ Г
- 2 o + rt[cx
x(^-l)+.nP +
— A -4- ц-) 1 2 —
2 \ 52
-! + ,)
2 A+^BС
1-1*
1+t*
pa I
-т[>-
'-)
р /
0
pCL
—(\ В2}
Р
-'
-Рр
Примечание
С, - 1 + (д. +
С2 = 1 — (J. +
+ A +1*) Р3
С, = 4A +
+ \ъ) Р2 In p
"СО
ч
°-1 Р2А
X 1пР
357

№
Схема нагрузки, опирания,
характер эпюр
28
РаЧ
х
+ 2р2 In p]
2 (р2 + 2С2) In
2D
C,--^-
— In Р Р
2DCX ч
+ 2 In |
29
{[С
8DC
ХA—р2) + 2СР2 In p —
2DC
-rt X
¦ С In p ¦
"Г [A + К-) X
р
8DC
-A-Й
8 In I
— 2A
2DC
In
358

Продолжение табл. 3
мг
+ A+ M-) In p
0
—^-0-2С4)
Я6 |Г ^ t _1
XH-d+rtlnp]-^-
-(l+rtln-^--ll
X in p] — 1J
0
РЬ Г 2С
+ A — {>.) I —— — 1 I C2+
\P /
+ (i +rtinp
~~ 2 Q A P +
+ 2 In P)
- 2 [a(l-2C2)
2 |C
+ l*)lnpj —ll
1 1
-p^
P
-'
-*
p
— я
Примечание
+ 0 + rt P
B2
+ Iх) In p] —
+ A - t*) P2
359

№
п.п
Схема нагрузки, {тирания,
характер эпюр
Щ
2Ь-2?а
л 2г-2ра
—ч—
[2Ср21пр —
WKPb^tovPa Г
I WWPa
8DC
— B^2 In p —
— р2) —4Э2 In p In p]
РаЬ
2DC
С1пр
30
8D
С J
-0JX97PQ
Ма?С
2DA
1 —
я A + 1
Ъ?
-)т^С9
— ?'-¦
—(х р
31
и
Сс
-0.6667М
М
т)
2D A + [л)
0 +
X
ifer
2г=2ра
2Ь->
¦fa_
-2,ббт
*»&z
1 —(
ХРЧ
а
— 2-
360

Продолжение табл. 3
мг
РЬ Г
2С -A + |*Iпр +
+ (!+(*) Ря1п-^- —
Р
82 1
-d-rty mp-cj
я*
~1с B1пР + С)
- ^ Bр'1п8 + С)
0
-^-|-(l+rtlnP +
+ A+(.)В2 1п^- +
р
82 1
+ (l-rt"V 1пР-|*С
РЬ
--§rBPilnP + C)(i
— 2МС
p
p
-яр
0
0
0
Примечание
С = 1 — P2
'В2
~ ь-р2
361

Схема нагрузки, опирания,
характер апюр
32
Ma?
2D
МаС I 1
21пР)
2D
C(l-|
+ 2 In P)
МаС I I
Z) V p
33
A-Р2)
a4At
362

Продолжение табл. 3
Mr
МС\\ +[* + A-[*)-Ч
1 P2J
м
2МС
0
0
0
МС\\ + ^ —A—jx) —
„с
Р2 J
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Примечание
+
1
II
J
2
2
и =**
363

Схема нагрузки, опирания,
характер зпюр
TC«t— (i-
— p2 + 2 In p)
pay
64D
Р2— 1 —
раъ
32D
шшпшшпп
2а
B1np+l) P
Mm
ъ+№92ра
+0P76bpa
раъ
364

Продолжение табл. 3
м
Примечание
X 1-
Х1+Т
ex
— 2Dct
к
к
С-
+
2
—
2
1
ta
1
1-
+
г
+ (Х
-1* +
+ A +1*) P2'
X
aJEhC
= ±-f x
1 +
pa2
3 -f
C + P-) A —
A 4- ti) In p
— oo;
Тб
+ —— (! + \х)ln P +
pa
5 4-
+ ;
4C
Q0=limBapX
p-0
— oo;
pa2
+ oo; 0
4
5 +
X
X
pa2 1 — {
16 34-
8 34-
365

№
Схема нагрузки, опирайия,
характер элюр
Р
\\ Ml ill! lll§ 4
36
М55ра2
64D
р2 (р2 _ 1 _
16D
— 2 In
In р) р
37
C +
In р
C
B1nP
Ма
Д I 1 - f + 2 X
X 4^ P21" P
4Д
C + rt a
[1-0
366

Продолжение табл. 3
м
Примечание
ра2
16
Р2 + О + ц) In Р]
р2 + A + i*) In P]
X
ХDра-1)
~°°; 16~ A + (л)х
X A + In p)
oo;-^-(l+,)X
X A + In P)
+ оо; О
16
(?o = HmBaX
Xi
М
[3 Ч-
3 Н-
+ 2A +ix)lnp]
М
М
3 + [Л
+ 2A +рО1пР]
C + v) а?
¦ оо:
М
Qo =
X
+ ос; О
4Л1
C + I*)
За2 3 +
1 + [л
1 — р.
X
2/г3
3a2 3 +
1+H
1 —
l-l*
In р
X
x x
X
1-1*
367

Схема нагрузки, опирания,
характер элюр
А
2r=2L
5а
2а ~*
1
2Ь--2Ца
4Д
ДC + !
X
да^-j^fi»?^
^
X B In p
-х
2aatM 1 +
368

Продолжение табл. 3
м
Примечание
' За2 3 +
X
Зя2 3 +
х
X П — A + и-) in Э) ¦
1-1*
X
1 — [
— оо; О
2/г3
X
х тт-х
X
Qo = HmBfl X
X P*Qr) =
X
X
,х
In р
X
ilnp]
X lnp —
3 + t*
l-l*
1+n
X
ahp
X
x-
1 +
oo; О
x
in
Q0=lim
p-0
X nQr) =
-x
X
X
X
24—28
369

Таблица 4. Круглая пластинка при несимметричной нагрузке
1. Пластинка опертая,
нагруженная эксцентрич-
эксцентричной иагрузкой, распреде-
распределенной по небольшой
площадке pajmyca г0' у
точки /
/Я = Pi
fg = *1
ЗР Г а — р
В точке f приложения силы: максаг = мгк(.а9 == - -^-^ \т + (т + I) In —^—
В точке <7: аг =
(т + 1) In —L
Pt
(/n + 1) In
-1--!- (m + 1)
Pi
m
<*1
= К0 (p3 - p0ap2 -f- coa3) + /C, (p4 — Vp3 + cta3p) cos Ф + K2 (p4 - ^2ap3 + caa«p3) cos 2Ф;
2 Cm + 1) P (p4 -
где Ko =
/C2 =
9 Em 4- 1) /Стса4
Dm 4- IJ P (p4 -- b2af 4-
(9m 4- 1) <
3Dm 4- 1)
2Cm + 1) ;
_ . IT
; /C =
3 (9m +_ 1)
3Bm 4-
12 (m2-!) ' ° 2(/n|l
4m 4- 1 6m + 1
2 Em 4- 1)
4m-f 1 ' Co== 2(m4-l) ' Ч ~~ 2 Cm 4-1) '
6m 4- 1
Ca "~ 4m 4- 1

2. Пластинка опертая,
нагруженная в центре
моментом
/п ч
(При г = го)
+
In —-2— ; К =
\ т Ка J
°»
),7яJ
'1 Края защемлены.
Эксцентричная нагрузка
распределена по неболь-
небольшой площади радиуса г0
В точке приложения силц: аг
— макса»
когда г0 < 0,6 (а — р);
В точке ?: У = —
3P(m2-l)
ЗЯ Г г\ ]
У края: ^--^"[1- 2(а__рJ J=MaKCa,
когда го> 0,6 (а—р);
р — эксцентриситет Р.

Продолжение табл. 4
4. Края защемлены.
Нагрузка в центре в ви-
виде пары
При г=г0: максаг =
зл*
,п
где к = ¦
0,1а2
0,28аJ
5. Края оперты. На-
Нагрузка линейная, обратно
симметрична относитель-
относительно диаметра
лГГ
12/3W
3)
при г =* 0,6JT5a.
Максимальная погонная реакция = — ра.
4
ра*
максУ = 0,042 -^— при г = 0,503а (^ = 0,3).
ЯЛ3
6. Сосредоточенная си-
сила на краю
.IT
максаг — Р ~7Г~ » гДе i^ берется из таблицы.
Р
1,25
3,7
1,50
4,25
2
5,2
3
6,7
4
7,9
5
8,8

7. Круглая пластинка,
равномерно нагружена по
заштрихованному сектору
= зг У ТОЧКИ qt; макса
pa2
максУ ~
Края
Оперты
Защемлены
Коэффи-
Коэффициент
30°
0,061
0,0171
0,240
60°
90°
0,179
0,121
0,0342 0,0502 0,0642 0
0,37140,45660,51780
120°
0,235
150°
0,289
,077
,5640
180°
„0,340 в точке q при г = 0,25 а
0,0888 в точке q при г = 0,25 а
0,6018 в точке q\
8. Круглая пластинка,
равномерно нагружена по
заштрихованному сегмен-
сегменту
ра2
» макс У = а
Eh*
на симметричном диаметре при заданном г.
Края
^Оперты
Защемлены
Коэффи-
Коэффициент
90°
0,0244; г = 0,39 а
0,306; г=0,60 а
0,00368; г=0,50 а
0,285; г=а
120°
0,0844; г = 0,30 а
0,0173; г = 0,4 а
180°
0,345; г = 0,15 а
0,0905; г=0,20 а

Таблица 5. Сплошная эллиптическая пластинка
1. Края оперты. На-
Нагрузка равномерно рас-
распределенная
В центре оъ = -
0,3125B — а)р№ @,146 — 0, U)pb*
— = макса; максУ = —• — I Для
¦*)¦
2. Края оперты. На-,
грузка распределена на
малом концентрическим
круге с радиусом г0, в
центре
ЗР Г Ь Л
В центре аь = — (т + 1) In 4-6,57 —2,57а =
2™/г2[ 2г0 J
макс У — "
Р№
@,19 —0,045а)
У края:
большого диаметра оа =
3. Края защемлены.
Нагрузка равномернс
распределенная
2Л2 C 4- 2а2 4-
В центре оа — —
~ ; малого диаметра о\, =
ЗрЬ*
2/г2 C -t- 2a2 4-
(т 4- д2)
4/г2 C + 2а2 4- За4) ю '
максУ —
C 4- 2а2 + За*) т
16m2?/i3 F 4- 4а2 4- 6а4)
—макса-
В центре оь = —
4. Края защемлены.
Нар узка как в п. 2
In — — 0,317а —0,376 ;
PV @,0815 -0,026а)
максУ = — ^Т • (Р - 0,25)

Таблица 6. Квадратная пластинка
1. Края свободно опер-
оперты. Углы не могут при-
приподниматься. Нагрузка
равномерно распределен-
распределенная
л 0.220$>дЬ(т+1)
В центре Максс = — — ". максУ :
0,0487/?а*(т2 —
2. Опирание, как в пре-
предыдущем случае. Нагруз-
Нагрузка действует в центре по
малой площади радиу-
радиуса /'о __^__^_
В центре Макс° = —
ЗР
Г a I
I (iw + 1) In -—— + OJbm ;
I z/ J
макс У— —"
3. Края свободно опер-
оперты. Углы могут припод-
приподниматься. Нагрузка, как
в п. 1
0,2214/?а2 0,0443/?а4
В центре по диагональному сечению: а = — — ; тксу = — ^г^
= 0,3).
У угла, по диагональному сечению: макс0 = —
0,2778/?а2
Л2
4. Опирание, как в п. 3.
Нагрузка, как в п. 2
Формулы, как в п. 2.
5. Все стороны защем-
защемлены. Нагрузка равно-
равномерно распределенная
У защемления в середине стороны: Макса
0,308/? а?
6р (т + 1) а?
В центре а = - ^ ; максу =
А2
0,0138/?а4
6. Граничные условия,
как в п. 5. Нагрузка, как
в п. 2
В центре маКса = —
ЗР
),0624 (от2 — 1) Ра?

Таблица 7. Прямоугольная пластинка
1. Все стороны свобод-
свободно оперты. Нагрузка рав-
равномерно распределенная
В центре: омакс = Р ^ ;'. умаКс = а.
0,3).
0,2874
0,04444
1.2
0,3762
0,0616
1.4
0,4530
0,0770
1,6
0,5172
0,0906
1,8
0,5688
0,1017
0,6102
0,1110
0,7134
0,1335
0,74100
0.14Q00,14170
7476 0,750
,1421
В центре: амакс =
2. Все стороны свобод-
свободно оперты. Нагрузка, как
в табл. 6, п. 2
ЗР Г 7Ь 1 Я62
-^—^ (т + 1) In -^— + 1 — Рю ; умакс -= а ~^~
0,3).
a/ft
Р
0
0
1
,565
,1267
0
0
1.2
,350
,1478
0
0
1.4
,211
,1581
0
0
1.6
,125
.1715
0
0
1.8
,073
,1770
0
0
2
,042
,1805
3. Все стороны свобод-
свободно оперты. Нагрузка дей-
действует по заштрихован
ной площади
b
В центре: а макс = Р Т7~ » гДе Р берется из таблицы по интерполяции (/г = 0,3
о
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,82
1,39
1,
0,
0,
120
92 0
76 0
0,2 0,4 0,6 0,8
1,82 1,38 1,120,930,76 2,0
1,28 1,08 0,90|0,76 0,63 1,78 1,43
1,070,840.72,0,620,52 1,39 1,13
,900,720,600,520,43
,76 0,62 0,510,
,63 0,52 0,42 0,35 0,30 0,75 0,62 0
\,4Ь
0,2 0,4 0,8
76 0
1,2 1,4
1,551,120,840
1,23 0,95 0,74 0
1,000,800,620
0,820,680,530
,630,57
,570,470,380,330,71
),76
),64
),55
),47
l,04Q,
0,450,400,870,
а -= ЧЬ
0,4 0,8 1.2 1,6 2.0
1,73
1,32
1,64
1,31
0,61
200
03 0
97 0,78
84 0,68
1,080,880,740,
900,760,640,
76 0,63 0,54 0,
0,530,450,
60 0
54 0
44 0
38 0
0,64
0,57
,50
,44
,38
,30

4. Стороны свободно
оперты. Нагрузка по за-
закону треугольника вдоль
стороны а
pb2
/г2
Умакс =
Eh*
-, где р и а находятся из таблицы по интерполяции:
а/Ь
Р
а
0
0
1
,16
,022
1
0,
0,
,5
26
043
0
0
2,0
,34
,060
2,5
0,38
0,070
0
0
3.0
,43
,078
3,5
0,47
0,086
4
0,
0,
,0
49
091
5. Стороны свободно
оперты. Нагрузка по за-
закону треугольника вдоль
стороны Ь
амакс
h?
.Умакс ;= а
Eh*
, где /3 и а находятся из таблицы по интерполяции:
(/и=0,3)
alb
Р
а
0
0
1
,16
,022
0
0
1,5
,26
,042
0
0
2.0
,32
,056
0
0
2.5
,035
,063
0
0
3,0
,37
,067
3,5
0,38
0,069
4,0
0
0
38
070
У защемления в середине длинных сторон: амакс = р
уМакс = а
= 0,3)
6. Все стороны защем-
защемлены. Нагрузка равно-
равномерно распределенная
1
1
р
а
0
0
,3078
,0138
0
0
где р
1,2
,3834
,0188
и
а
0,
0,
находятся
1,4
4356
0226
0,
0,
из таблицы:
1,6
4680
Q251
0
0
1,8
4872
0267
0
0
2
,4974
,0277
0
0
оо
,500
,0284

Продолжение табл. 7
7. Все стороны защем-
защемлены. Нагрузка, как в
табл. 6, п. 2
Р РЪ*
В центре смакс = р —^- ; умакс = а ^^
где Р и а находятся из таблицы:
alb
0,7542
0,0611
1,2
0,8940
0,0705
1.4
0,9624
0,0754
0,9906
0,0777
1,8
1,000
0,0786
1,004
0,0788
1,008
0,0791
8. Длинные стороны за-
защемлены, короткие—сво-
короткие—свободно оперты. Нагрузка
равномерно распределен-
распределенная
г
9. Короткие стороны
защемлены, длинные —
свободно оперты. Нагруз-
Нагрузка равномерно распреде-
распределенная
У защемления в середине длинных
где Р и а находятся из таблицы:
а/Ь
Р
а
1
0,4182
0,0210
1.2
0,4626
0,0243
У защемления в середине коротких
где Р и а находятся из таблицы:
alb
Р
а
1
0,4182
0,0210
1,2
0,5208
0,0349
сторож:
1,4
0,4860
0,0262
сторон:
1,4
0,5988
0,0502
pb*
h*
1.6
0,4968
0,0273
т ft
Змакс — Р
1.6
0,6540
0,0658
, Умакс
0,4971
0,0280
pb2
1,8
0,6912
0,0800
pb*
~и Eh*
2
0,4973
0,0283
. (Р- — 0.
0.500
0,0285
3)
plA
2
0,7146
0,0922
ОО
0,750

10. Одна длинная сто-
сторона защемлена; дру-
другая — свободна. Корот-
Короткие стороны свободно
оперты. Нагрузка равно-
равномерно распределенная
У защемления в середине длинной стороны: а = р
где р и а находятся из таблицы:
pb2
Умакс — а
(•->- = 0,3)
а/Ь
0,714
0,1234
1,5
1,362
0,366
1,914
0,636
2,568
1,027
3 00
1,365
pb2
h2
* .Умакс
0,3)
11. Одна длинная сто-
сторона защемлена. Три
другие стороны свободно
оперты. Нагрузка равно-
равномерно распределенная
где Р и а берутся из таблицы:
а/Ь
Р
а
0
0
1
,50
,030
0
0
1,5
,66
,046
0
0
2.0
,73
,054
0
0
2,5
,74
,056
0
0
3.0
,74
,057
0
0
3.5
,75
,058
0
0
4,0
,75
,058
pb2
Умакс = а
„, 3
' ^
12. Одна короткая сто-
сторона защемлена. Три
другие стороны свободно
оперты. Нагрузка равно-
равномерно распределенная
где Р и а берутся из таблицы:
alb
Р
а
0
0
,50
,030
0
0
1,5
,67
,071
0
0
2,0
,73
,101
0
0
2,5
,74
,122
0
0
3.0
,75
,132
0
0
3.5
,75
,137
0
0
4.0
,75
,139

Продолжение табл. 7
13. Одна короткая сто-
сторона свободна. Три дру-
другие стороны свободно
оперты. Нагрузка равно-
равномерно распределенная
pb*
.У макс = а
pb*
ЕНЪ
= 0,3)
где Р к а берутся из таблицы:
а/Ь
0,67
0,140
1,5
0,77
0,160
2,0
0,79
0,165
4,0
0,80
0,167
14. Одна короткая сто-
сторона свободна. Три дру-
другие стороны оперты. На-
Нагрузка по. треугольнику
pb*
'» Умакс =
?/г3
, ({J-= 0,3)
где Р и а берутся из таблицы:
а/Ь
1»
а
0
0
,2
,040
0
0
1.5
,28
,050
0
0
2,0
,32
,058
0
0
2,5
,35
,064
0
0
3.0
,36
,067
0
0
3,5
,37
,069
0
0
4,0
,37
,070
pa2
pa*
акс ?^3 ' vr v' '
15. Длинная сторона
свободна. Три другие —
свободно оперты. Нагруз-
Нагрузка равномерно распреде-
распределенная
где Р и а берутся из таблицы:
а/Ь
0,67
0,140
1.5
0,45
0,106
2,0
0,36
0,080

16. Одна длинная сто-
сторона свободна. Три дру-
другие — свободно оперты.
Нагрузка по треугольни-
треугольнику вдоль Ь
амакс :
где /3 и а берутся из таблицы:
ра?
> Умакс = а
ра*
= 0,3)
alb
0,2
0,040
1,5
0,16
0,033
2,0
0,11
0,026
pa2
17. Пластинка, как в
случае 4. Все стороны за-
защемлены
ау макс
при х = ± — ; у = 0,55а;
при х — 0; у = а;
pa*
при jf = 0: у = 0,6а;
при jf = 0 у = 0;
ра2
при * = 0; у = 0,6а; умакс = а
Eh?
0,6
0,1308
0,0636
0,0832
0,0206
0,0410
0,0016
0,8
0,1434
0,0688
0,1778
0,0497
0,0633
0,0047
0,1686
0,0762
0,2365
0,0898
0,0869
0,0074
1,2
0,1800
0,0715
0,2561
0,1249
0,1038
0,0097
0,1842
0,0612
0,3004
0,1482
0,1128
0,0113
1,6
0,1872
0,0509
0,3092
0,1615
0,1255
0,0126
1,8
0,1902
0,0415
0,3100
0,1680
0,1157
0,0133
0,1908
0,0356
0,3000
0,1709
0,1148
0,0136

Таблица 8. Пластинки различных очертаний
1. Внешний край оперт;
остальные свободны. На-
Нагрузка равномерно рас-
распределенная интенсив-
интенсивностью р
Полукольцевые пластинки
(У В) у
(amax—максимальное напряжение)
b
где
С,
Eh? \ с 3/| ~' 2 ' ~a 2
(Утах — максимальные прогибы)
1 1
T-,J (X-Dcch^-
1
— 1 I cos h
1 l/
1 / / 4^2
X, — 411 —
0,625/1
2c

2.
Свободные
края
Ь — с
К=функция и имеет следующие значения:
Ь — с
b -f с
К = 2,33; 2,20; 1,95; 1,75; 1,58; 1,44; 1,32; 1,22; 1,13; 1,06; 1,0.
= 0,05; 0,10; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0;
3. Бесконечная пла-
пластинка на одинаковом
интервале а опирается на
неподатливые опоры ра-
радиуса Го- Нагрузка рав-
равномерно распределенная
У края опирания:
Зра2
Неразрезная пластинка
- , когда л>0,15<0,30 п =
[lni
(m-f 1) —21 (m —1)—— —0,55m-1,50 , когда п <0,15.
a2 '
4. Пластинка на сплош-
сплошном винклеровом основа-
основании с коэффициентом
жесткости k, кг/см3. На-
Нагрузка Р действует у уг-
угла по кругу радиуса а
макса
ЗР
/г2
Прямоугольная плита больших размеров
1 — I —— ) , на расстоянии 2 V й\1 от угла по диагонали;
,1—0,88 -у-) у угла
максУ
где 1 =
12A— ix2) k

Продолжение табл. 8
5. Пластинка, как в п. 4.
Нагрузка Р действует
вдали от сторон по пло-
площади круга радиуса а
Под нагрузкой: маКса = Z~r9 I 1° — ~f 0,6159 I ;
2пп? \ а I
максимальное реактивное давление под нагрузкой: р0 — — ^3A—(
¦>v
максУ =
8*/2
, где / то же, что и в п. 4.
6. Пластинка, как в п. 4.
Нагрузка вдали от угла,
но возле сторон
0,863A +\ь)Р Г / 1
макса = ~Го *п — + 0,207 под нагрузкой;
h Vй J
1 Р
максУ = -77=- A + 0,4р.) , где / то же, что и в п. 4
7. Края оперты. На-
Нагрузка равномерно рас-
распределенная
Равносторонний треугольник
ра
рай
^ = 0,1488-^- при у = 0; л: = —0,062а; максау = 0,1554 —— при у = 0;
х = 0,129а; (а = 0,3); иаксу =
B ^eHTPe в точке °-

g
| 8. Края оперты. Сила
о? Р действует по малому
кругу радиуса г0 в цент-
центре о
0,378а
— 0,379 + -
т - 1
К 1,6г§ + Ла ~0,675Л
максУ = 0,06852 в центре в точке О.
I — максс"»
Прямоугольный равнокатетный треугольник
9. Края оперты. На-
Нагрузка равномерно рас-
распределенная
максалг = 0,131
ра*
Л2
pa-
papa*
макс°; макету = 0,1125-—; максу = 0,0095 -— . (ji-0,3)
Секториальная пластинка
10. Края оперты. На-
Нагрузка равномерно рас-
распределенная
макс0/- Р ^2 ' макса9 :
ра*
V = а
ра*
Значения коэффициентов при ц = 0,3.
со
оо
ел
45°
60°
90°
0,102
0,114
0,0054
0,147
0,155
0,0105
0,240
0,216
0,0250
180°
0,522
0,312
0,0870

Продолжение табл. 8
11. Края оперты. На-
Нагрузка равномерно рас-
распределенная
Параллелограмная пластинка
Прогиб и момент в центре у = С\
Значения С\ и С2 берутся из таблицы:
О
30
30
45
60
75
2
2,02
1,92
2
2
2
2
1,75
1,67
1,414
1
0,518
0,01013
0,01046
0,00938
0,00796
0,00094
0,0999
0,0968
0,0898
0,0772
0,0335
Прогиб и момент в центре Уо = С
Те же величины на свободном крае
pa*
D
; М0=С2ра2.
12. Два края оперты.
Стороны та свободны
Значения Сх—С± при г> = 0,2 берутся из таблицы:
0
30
45
60
2
1,92
2
2
2
1,67
1,414
1
0,214
0,1183
0,0708
0,0186
0,495
0,368
.0,291
0,166
0,2240
0,1302
0,0869
0,0396
0,508
0,367
0,296
0,152

I 13. Задача как в п. 10,
оо но криволинейный край
защемлен
ра2 ара4
кса = Gr Ha криволинейном крае = /3 ; МаксУ =
(А* = 0,3)
в
р
а
45°
0,1500
0,0035
60°
0,2040
0,0065
90°
0,2928
0,0144
18€°
0,4536
0,0380
14. Секториальная пла-
пластинка, защемленная по
прямоугольным краям и
свободная по криволиней-
криволинейному. Нагрузка равно-
равномерно распределенная
1, \25po2 Г 4 cos в cos 2Ф — A — м-) cos 4Ф 3 4- 1 ,
Уточки q: a^ = ~^~\ ^^^ —Ч ; (^ - 0.3)
1,125/7р2
2 cos2 в 4-1
- A — р) cos 4Ф
А2 L
2COS2 6
1+3}, 1
f- J'
3A—г;2)/?р4 / СО8 4Ф — 4 cos в cos 2Ф
2 cos2 в
15. Полукруглая пла-
пластинка, защемленная по
краям. Нагрузка равно-
равномерно распределенная
0,42/?а2
макса = аг ПРИ А = ^ ' (И-= 0,3)
а в точке В —
т
0,36ра2
0,21 pa2
h2
при С.

Таблица 9. Балочные плиты.
Прямоугольная плита, шарнирно опертая по двум сторонам
Таблица для нахождения эквивалентной или эффективной ширины Ь\
Нагрузка
Равномерно рас-
распределенная
Сила действует в
центре по кругу:
го=О
r0=O,125 h
г0=0,250 h
го=0,500 h
bja
-L-i
а
0,96
0,568
0,581
0,599
0,652
-*--1,2
а
1,145
0,599
0,614
0,634
0,694
а
1,519
0,633
0,649
0,672
0,740
а
1,90
0,648
0,665
0,689
0,761
Ь
а
—
0,656
0,673
0,697
0,770
После нахождения Ь\ напряжения и деформации определяются по обычным
формулам, как для балки, у которой
л" 12 ^ = 6 • ?l"T37*-
Для нахождения эффективной ширины можно также воспользоваться при-
приближенными формулами.
При действии силы в центре пластины по площади круга радиуса г0
Ь^ = 0,58 а + 4г0,
а при действии вне центра
где Ь с — эффективная ширина при центральном нагружении; d — расстояние
от нагрузки до ближайшей точки неопертого края.
Прямоугольная балочная плита, жестко защемленная по двум сторонам.
Для равномерно распределенной нагрузки применимы обычные балочные фор-
формулы, но Е заменяется на Е/1—pt2. Для нагрузки, сосредоточенной в центре
по кругу радиуса г0, можно воспользоваться таблицей для нахождения эф-
эффективной ширины
Значение г0
0
0,01а
0,03а
0,10а
Значения ЬХ\Ь
а
0,51
0,52
0,58
0,69
-*-=1,2
а
0,52
0,54
0,59
0,73
¦ *_-1.б
а
0,53
0,55
0,60
0,81
± =2,0
а
0,53
0,55
0,60
0,86
Максимальное
напряжение
У нагрузки
То же
У заделки
388

Таблица 10. Консольная пластинка
бесконечной ширины под действием
сосредоточенной силы
Для случая, когда сила Р приложена в точке с координатами х — с и 2 = 0,
напряжение в любой точке заделанного края (#=0; z=z) и прогибы в любой
точке свободного края (х — а\ z = z) находятся по формулам
6Р
Ра?
tzD
N. г
а ^"""\^
1,0
0,75
0,50
0,25
Ку
Км
Ку
Км
Км
0
0,509
0,524
0,428
0,318
0,370
0,332
0,25
0,474
0,470
0,387
0,294
0,302
0,172
0,50
0,390
0,380
0,284
0,243
0,196
0,073
1,0
0,205
0,215
0,140
0,138
0,076
0,022
1,5
0,091
0,108
0,059
0,069
0,029
0,007
2
0,037
0,049
0,023
0,031
0,011
0,003
сю
0
0
0
0
0
0
Таблица 11. Изгиб толстых плит
Обозначения: /' — стрела прогиба в центре;
/ — стрела прогиба в центре по теории тонких плит.
Форма
пластинки
Тип нагрузки.
Характер опирания
Стрела прогиба в центре
Нагрузка ражго-
мерно распреде-
распределенная. Опирание
шарнирное
/•-/[.+..7 (¦!)']
Та же нагрузка.
Защемление по
контуру
/' =/11+3,33 ( —
Нагрузка равно-
равномерно распреде-
распределенная. Опирание
шарнирное
Г
a — из таблицы;
a/b = 1,0; 1,2; 1,4; 1,6;
а = 1,18; 0,98; 0,87; 0,80;
a/b = 1,8; 2,0; 3,0; 4,0; 5,0;
а = 0,75; 0,72; 0,64; 0,62; 0,61;
а/Ь = оо ;
й=0,61.
25V4*
389

Тс
Форма пластинки
Ь
а х
\у
i б л и ц а 112. Гибкие
Тип нагрузки.
Характер опирания
Нагрузка равно-
равномерно распреде-
распределенная. Опирание
шарнирное
Контур пластинки
не смещается
* г-.-'
пластинки
Стрела прогиба. Напряжения-
Безразмерная стрела прогиба
7= //Л.
Безразмерная нагрузка
Стрела прогиба в центре нахо-
находится из кубического уравнения
Изгибные напряжения:
г г ШУ
г г 4hf
"У. И ~ С*Е Ь2 •
Мембранные напряжения:
Полные напряжения:
*, = °х, и + °х, м;
% = °У, и + ау, м •
Значения С\—С6 берутся из
таблицы
390

Продолжение табл. 12
а\Ь
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
1,82
1,53
1,34
1,21
1,11
1,05
1,00
0,95
0,93
0,90
0,88
с2
1,33
1,11
0,96
0,84
0,76
0,70
0,65
0,60
0,57
0,54
0,52
V =
1,645
1,416
1,242
1,107
1,000
0,913
0,843
0,784
0,735
0,693
0,658
0,25
с4
1,645
1,587
1,544
1,510
1,484
1,462
1,444
1,429
1,417
1,407
1,398
с5
0,615
0,518
0,448
0,392
0,351
0,315
0,288
0,263
0,246
0,230
0,217
с.
0,615
0,600
0,592
0,584
0,581
0,574
0,571
0,568
0,567
0,566
0,566
Форма пластинки
Тип нагрузки.
Характер опирания
Стрела прогиба. Напряжения
Нагрузка равно-
равномерно распреде-
распределенная
Опирание шарнир-
шарнирное
Края пластинки
свободно смещают-
смещаются
Прогиб в центре находится из
кубического уравнения
256
К)
/3-ь
J f
+ 12 J f ~
192A —
Максимальные мембранные на-
напряжения
Максимальные изгибные напря-
напряжения
av и =
У» п
X Е-
X
391

Таблица 13. Оболочки
Форма оболочки
Характер нагружения
Тонкая безмоментная оболочка
Цилиндрическая
pR pR
— меридиональное напряжение; а2
кольцевое
1. Равномерное внут-
внутреннее давление р
напряжение. Радиальное перемещение = — (а2 — ^9t). Предельное
внутреннее давление: vu = .'
1
о + а
• Предельное внешнее
давление: р' =
J Qb — предел прочности
при растяжении; ат—предел текучести при сжатии, а —внутренний
радиус; Ь — в,нешний радиус.
Сферическая
2. Равномерное внут-
внутреннее давление р
= а2 =
pR
——
Z.IX
Ro
. Радиальное перемещение —~~ A — j
?1
Коническая оболочка
3. Равномерное внут-
внутреннее (или внешнее)
давление р. Края опира-
опираются тангенциально
2h COS a
Изменение угла: а :
а РД
2 Л COS а
3pR sin а
2Ehcos2a

CO
4. Случай аналогичный
п. 3, но вертикальный
край опертый
5. Конический резерву
ар, наполненный жидко
стью
6. Равномерное внут
реннее давление
На опертом крае: Oj =
pR COS а
~~2h
^ — p —
#3sin2a . A —
2h2 cos a h cos a
Радиальная деформация: A/?o =
-и у
e = JL I _
2/i3COSa Л COS a
2hcosa
1 ;(^/ = yr12(l-^
a = a =
2/*cosa
3
d —
з yj; ыакл- l6hcosa
(d-y)t'ytga
ПРИ У =
COS a
макса<? == ПОИ V =
K - 4Л cos a 2
Радиальное перемещение = — (a2 — [j-a,); p

Продолжение табл. 13
Форма оболочки
Характер нагружения
Тонкая безмоментная оболочка
7. Р — сила, распреде-
распределенная по небольшой
площадке F, квадратной
или круглой, расположен-
расположенной посередине пролета
Cj —меридиональные изгибающие напряжения; а2 — окружные из-
гибные напряжения; (т2 — мембранные кольцевые напряжения.
Максимальные напряжения — окружные в центре нагруженной
площадки, они могут быть найдены из таблицы. Значения даны для
L/R = 8, но их можно применить для L/R от 3 до 40.
0,0004
0,0016
0,0036
0,0064
0,010
0,0144
0,0196
Значения
300
100
50
15
1,475
—
1,
1,
11
44
0
1
1
,906
,20
,44
—
0
1
1
,780
.044
,254
—
0,
0,
1,
678
918
И
0
0
1
,600
,840
,005
—
0
0
0
,522
,750
,900
—
Значения
300
100
50
15
58
—
53,5
33,5
49
30,5
—
44,5
27,6
—
40
25
9,6
35,5
22,5
9
32
20
8,5

\ F
0,0256
0,0324
0,040
0,0576
0,090
0,160
0,25
300
100
50
15
0
0
0
,450
,666
,840
—
0
0
0
,390
,600
,756
—
0,348
0,540
0,720
0,990
0
0
0
0
,264
,444
,600
,888
0,186
0,342
0,480
0,780
0,120
0,240
0,360
0,600
0,078
0,180
0,264
q,468
(RhIP)
300
100
50
15
28
17,5
8,0
—
24
15
7,7
—
21
13
7,5
3,25
16
10
6,5
3,0
11
7
5,6
2,4
6
4,2
4,1
2,0
4
3,6
3,1
1,56
При F очень малом (практически сосредоточенная сила.) в точксе
приложения силы
0,4Р , 2ЛР Р
2 h? 2 Ь? У Eh
Замкнутый свободно
опертый цилиндр
8. Нагрузка равномер-
равномерно распределенная по
верхней линии
J_ _3 \ _5_
- — 0,492Л8 pRTr 2 h 4 ; q'2=
? I ? ? t I I 1
7
Т ;
>4/2Л 4
/~2~fc~ T
; мйксу = 0,0305Л
В четверти пролета у = 0,774 максУ! Л = 12 A — у?).

Продолжение т$бл, 13
Форма оболочки
Характер нагружения
Тонкая безмоментная оболочка
I—'
9. Сила Я, сконцентри-
сконцентрированная на небольшой
длине 2Ь
Р
1/2
1/2
J_ j$ 3 _5_
а2= -0.130Л8 PR4 b 2 h 4 ; о'
31 = _.0,150Л8Я#4? 2Л 4;
Л -12A
J_ J _
8 PR4 Ь 2
1ро4
= 0,082(L48 -^~
10. Диаметрально про-
противоположные и равные
сосредоточенные силы
Т-| I^Tl 4 для — от 1 до 18.
Для L/R>\8 максимальные напряжения и деформации могут
быть приближенно определены как для случая 7.
Цилиндр с открытыми
концами
11. Радиальное давле-
давление интенсивностью р на
единицу длины средней
окружности, достаточно
удаленной от концов
максМ =
-Зр
4Х '
Мх = (ШКСМ) [е~1х (cos lx - sin Хд)].
-PR*
Радиальное перемещение равно
12. Как и случай 11, но
радиальное давление ин-
интенсивностью р на еди-
единицу площади по полосе
шириной 2Ь
х = ~^~ e-bxsinbl.
Радиальное перемещение равно —
Eh

Цилиндрическая обо
лочка, усиленная коль-
кольцом шириной с и пло-
площадью поперечного сече-
сечения F
13. Равномерное внут-
внутреннее (или внешнее)
давление интенсивностью
р на единицу площади
2X2
F +hc -f
; (М0=р/2Я2 для жесткого кольца
или диска). Qo=2Mol; (<20=/?Д— для жесткого кольца или диска).
км.
Максимальное продольное изгибное напряжение равно —
/г2
на краю кольца.
4
Расстояние между кольцами > — .
А
14. Равномерная попе-
поперечная сила интенсивно-
интенсивностью Qo на единицу* дли-
длины и действующая по
кольцевой окружности
Мх = — Qoe~lx sin lx; ШКСМ = 0,322 -^- при х = -?- ;
А А 4А
Длинные цилиндры
Qx = Qoe lx (cos Xx — sin \x)\ q[ = x ; макса| =
~2<?o „
1,932QO
^ cos Xx); MaKCa2 = —-— IR.
n
Радиальное перемещение равно ^^Л .* в = ¦ °
2DI?
2DX2
(Для короткого цилиндра см, табл. 14).

Продолжение табл. 13
Форма оболочки
Характер нагружения
Тонкая безмоментная оболочка
lx si
Мх = Moe~lx (cos lx + sin lx); MaKZM = Mo; Qx = 2Шое lx sin A*;
15. Равномерно распре-
распределенный момент интен-
интенсивностью
силаХ длина
длина
действующий по кольце-
кольцевой окружности
Q = 0,644Ш0 при х = ; а, = —
02 = ^; т = -
, о » макса1 —
~Хдс (cos lx — sin lx)
макса2 — t y
Радиальное перемещение равно
(Для короткого цилиндра см. табл. 14).
мл
XD
\
sin
7U С
максМ при со = —— ; а, = — ctg (Ф - о)
Сферическая оболочка.
Формулы для случаев 16
и 17 являются также
приближенными и для
конуса и других оболочек
вращения
16. Равномерная ради-
радиальная сила интенсивно
стью Q на единицу дли-
длины
макса1 —
Q cos Ф
— а))
[2cos
- (/С, + /C2) sin (Pa) + d,)]; макса3 - - ~- (-^" + KltK2) P sin Ф;

со
(О
О
17. Равномерно распре-
распределенный момент интен-
интенсивностью Мо на едини-
единицу длины
Q /
Радиальное перемещение равно — -— (Э#2 sin2 ф) (%2 +
Eh \
7Г
а 1
Здесь
= J/ 3A-^)(^J; /C^l-
ctg(<?-a));
2?
ctg (Ф - аз);
С = Q (sin Ф)'
» °i» a2- Как для случая 16. С =
(sin Ф)
максМ = Л10;
Радиальное перемещение равно
, на краю.
Мо I 2?2sin0
Eh
Eh
Здесь р, К\ и /С2 те же, что и для случая 16.

Продолжение табл. 13
Форма оболочки
Характер нагружения
Тонкая безмоментная оболочка
Rp
Rp
18. Нагружение соб-
:твенным весом интен-
интенсивностью р на единицу
поверхности. Тангенци-
Тангенциальные опоры
h (I -f cos в)
Л (I -f COS ф)
Максимальное сжимающее напряжение (Т2= при 8 = 0.
2h
Rp
Rp
Максимальное растягивающее напряжение о2 = X
п
X
при ф > 51,83°.
19. Как и случай 18, но
нагрузка интенсивностью
р на единицу площади
горизонтальной проекции
t i i т у тТТГ
PR
2h '
pR cos 26
2h

20. Нагрузка Р, скон-
сконцентрированная на малой
площади радиуса /*0 у
вершины. Вертикальные
опоры не защемлены и не
стеснены в горизонталь-
горизонтальном направлении
PR2
Максимальный прогиб */=Л .
в Р
Максимальные мембранные напряжения Sj = а2 — 5 .
Р
Максимальные изгибные напряжения а{ = а2 = С —- .
Здесь Л, Б и С числовые коэффициенты, зависящие от
\ = Y{\2 A —\^Ц \ — г—— • ] , приведены в таблице:
А
В
С
0,424
0,212
0,1
0,418
0,209
1,74
0,410
0,205
1,33
0,4
0,405
0,202
0,923
0,6
0,381
0,190
0,693
0,8
0,354
0,177
0,536
1,0
0,330
0.165
0,421
1,2
0.305
0,152
0,332
1,4
0,280
0,140
0,263
21. Сила в вершине.
Края защемлены, но не
стеснены в горизонталь-
горизонтальных перемещениях
Максимальный прогиб у=Л
16тиО '
4ти '
.л
А и В числовые коэффициенты, зависящие от а = 2у^Э(\—(г2
имеют следующие значения:
1 0,996 0
1 0,995 0
,935 0
,932 0
,754 0,406 0,321
,746 0,498 0,324 0
0,210
,234
0,148
0,192
0,111
0,168
10
0,015
0,153
0,069
0,140

Форма оболочки
Коническая оболочка
Характер нагружения
22. Как и случай 21.
Края защемлены и не-
неподвижны
jp
23. Равномерное внут-
внутреннее (или внешнее)
давление интенсивностью
р на единицу площади.
Края оперты
W
Продол
ж е н i
i e та
б л. 13
Тонкая безмоментная оболочка
Формулы для у и Мо
следующие значения:
а
А
В
0
1
1
Ин;
•
0,985
0,975
2
0,817
0,690
3
0,515
0,191
( п 1
у ^Л ТХ I Xt
— 1 '
6МХ i
1екс 0
. а2 — (
eklV2
обозначает
те же
4
0,320
- 0,080
\f2xl
0.
^sin2 a
2
^ А/?
- ; в
значе
5, ЧТО
5
0,220
-0,140
«...
' V:
г tga
COS a^
(-
и для случая
6
0,161
-0,117
)(-
7
0,122
-0,080
h-
+ рх '"
)(cos
>h '*
ko-k
V2
18, но Л и В
8
0,95
- 0,059
k \t
9
0,075
0,034
1 I Sin
j i/
имеют
10
0,161
-0,026
-*1
/ Eh cos a J
^' 12A— {J.2]
3 /^o tg a
\ 2D 2Е h cos a
ние, соответствующее х=х0.
)„

о
СО
24. Направленная на-
наружу (или внутрь)
равномерно распределен
ная радиальная сила ин-
интенсивностью Н на еди-
единицу длины окружностк
у края
н
25. Равномерно распре-
распределенные моменты ин-
интенсивностью Мо на еди-
единицу длины окружности
у края
м,
ko-k
i
-— 1 sin
Vi
V2x n ( ko-k\
(x0 cos- a) ( cos жГ- ) Я; al =
Dp n0
6M>
,; 6 =
12A —t
/. (см. п. 23).
nok
sin —t^-
D]/2 |''
V2
kuk
V2
cos о !^*0/
n0 I
X
e =
[12A-,
cos
(См. п. 23)

Продолжение табл. 13
Форма оболочки
Характер нагружения
Тонкая безмоментная оболочка
Тор
р _ . а .о
26. Полный тор под
внутренним давлением
интенсивностью р на еди-
единицу площади
/ p + a \ pb I 2a -b \
2h
(равномерное всюду).
27. Разделенный тор
под действием аксиаль-
аксиальной силы Р (омега-соеди-
(омега-соединение)
Удлинение равно
izEh2
Максимальное меридиональное изгибное напряжение
2.99Я
ab
(у точки О).
Максимальное окружное мембранное напряжение
2,15Р^П^ \ f~ab
~ ' I/ ~~9~ (растяжение у точки О).
| Л2
2nha
28. Гофрированная труб-
трубка под действием акси-
аксиальной силы Р
Удлинение равно
Максимальное меридиональное изгибное напряжение
1,
,63Я If ab_
Максимальное окружное мембранное напряжение
, 0.925Я frr=
^~
(сжимающее).
Здесь п = число полуволн гофра (на эск. 28 их 5).

к
29. Случай аналогич
ный 28. По нагрузке —
равномерно распределен-
распределенное внутреннее давление
интенсивностью р на еди-
единицу площади
30. Цилиндр с плоским
днищем. Равномерное
внутреннее (или внеш-
внешнее) давление интенсив-
интенсивностью р на единицу
площади
Удлинение = 0.
Максимальное меридиональное изгибное напряжение
0,955/7
/
/ ab у
Максимальное окружное мембранное напряжение
з
v а2 = 0,955/? у/~\ — j
• I/ Hir) •
p.) v. .
Dx (I + fx) 4Dt A + rt
Z^!—толщина днища; h2 — толщина цилиндра.
Здесь D{ относится к плоскому днищу; D2 и Я2 — относятся к ци-
цилиндру. Напряжения в цилиздре находятся суммированием напря-
напряжений от р (случай 1), Qo (случай 14) и Мо (случай 15). Напряжения
в днище находятся суммированием напряжений от р (случай 1,
Оо
„.табл., 3),. Mq (случай 17, табл. 3) и радиального напряжения ~—
К
от Qo. ,.-... >

Продолжение табл. 13
Форма оболочки
Характер нагружения
Тонкая безмоментная оболочка
31. Равномерное внут-
внутреннее (или внешнее)
давление р. Цилиндр с
полусферическим дни-
днищем
MQ =
[с B-ц)-(l-
12A —
QZI
OoQph
где с = —— и Ai, относятся к полусферическому днищу.
Напряжения в цилиндре находятся суммированием от р (слу-
(случай 1), Qo (ел. 14) и Мо (ел. 15).
Напряжения в днище находятся суммированием от р (случай 2),
Qo (ел. 16) иМ0 (ел. 17).
Mi
Г, (*! + 0.2325/7-,)/? — 27-2 (А + 0,5377/) Я
1,860/Л! + Л I Л2 I 2 + 0,1160 -f" Л 1 + 1.6103 /Л + 0,866^ j
(Л»7\ + 1,86/А.) Qo
A3
— У
1,57-,Л -3.464А,

Труба с фланцем
32. Равномерное внут-
внутреннее давление р и про
дольная сила Р
где / =
ДЗ (rf2 _ a2
3,58А? I <Р Ь I
= ~Т~ 1п — + 0,1 (Ь2 — а2) •
ДЗ /^2 — q2\ I О d J
Продольные изгибные напряжения в цилиндре <3| =-
А?
Радиальные изгибные напряжения во фланце
Продольные растягивающие напряжения в цилиндре
. 6 / 1 \
Радиальные растягивающие напряжения во фланце ^ = —-— + р.
п
Максимальное продольное напряжение в цилиндре = Oi+Oi (рас-
(растяжение на внешней поверхности, у соединения с фланцем). Танген-
1 , , 0,80
циальные изгибные напряжения во фланце а* = а, + — X
1 Л2 (rf2 2)
X
\d2 f-lSAIo+7,
Л2 (rf2 __ a2)
ShQ0 + 1,492Р In -^ ) + 0.4475Р (b2 — a
Тангенциальное кольцевое напряжение во фланце с2=Т7з ?\ (Qo + ЬрУ
1
Максимальное радиальное напряжение во фланце —al-h<Ti (сжи-
(сжимающие на внешней поверхности у соединения с цилиндром).
Максимальные тангенциальные напряжения во фланце = о^ +О2
(растяжение на внутренней поверхности у соединения с цилиндром).

Продолжение табл. 13
Форма оболочки
Толстый цилиндр
<7i — продольное; сг2 —
кольцевое; оъ — радиаль-
радиальное напряжение
Характер нагружения
33. Равномерное внут-
)еннее радиальное дав-
давление р (продольная си-
сила — нуль или внешне
уравновешенная)
34. Равномерное внеш-
внешнее радиальное давле-
давление р
35. Равномерное внут-
внутреннее давление р во
всех направлениях
а3 =
Да
А п
1 — 0, а
аЦ1
а
=рт
ьО; а2 =
b
¦-* ,
а
~Р Е
Л/7
Тонкая безмоментная; оболочка
а2 (б2 +
2~Р р2F2-
;2-р2)
/ Ь* + а2
^2-а2 +
^fe2-f
2 (?2 _ а2) ' *
/ 2^2 \
\ ^2 - а2 ) '
а2
_а2 ; о2и
^ ? [ ^ _ с
ьь-р в [¦
р2)
а2) '
•)'
-Р2)
¦ а2)
4ЭКСС3
АА
Оз те
i2
а2
Ь2 + а2
р; макс^-/^ ^2_а2 ;
Аи » Ь ( 2п2 \
АЬ~Р Е \b>-a> )'
2Ь2
' *™^--Р Ь2__а2 '
1
— Р-> макст — п макса2»
Ь ( a2 + b2 \
? у 02 — a2 J
же, что и для случая 33;
>[»-* х)\'
/О и\ 1

pT=2K\n — ; /?т—предел пластического сопротивления, или кри-
а
тическое давление;-К=0,5ат —по теории наибольших касательных
напряжений; /(=0,575 (Тт —по теории октаэдрических напряжений.
ат — предел текучести.
°i =;*> = p
M8KlC1 — MaKCc2 — P
2аъ
36. Pав;номерное внут-
внутреннее давление р
2рЗ (^з _ аз) 2 (?3 — а3)
J= ^ ~77Г^ 1^7" ; макс^з = Р> на внутренней поверхности -с =
3/7? " а
. г— ;на внутренней поверхности Ьа = р — X
4 (c>d — а*7~~ ^
Сферическая толстая
оболочка
[^3 + 2а3
b
т(см. п. 35),
За3
37. Равномерное внеш-
внешнее давление /?
На внутренней поверхности.
На внешней поверхности. Да
2(*з_ аз)
а Г З^3 1
==-рТ[2(Ь^а^) A""^J;

Таблица 14. Вспомогательные данные для перехода от длинных
цилиндрических оболочек к коротким
Для коротких цилиндров максимальный момент, радиальное перемещение
и угловые деформации могут быть найдены путем умножения соответствующих
значений, найденных для длинных цилиндров, на коэффициенты, приведенные
ниже в таблице.
Случай 11, табл. 13: для МмаКс значение Си для радиального перемеще-
перемещения — С2.
Случай 14, табл. 13: для радиального перемещения на нагруженном кон-
конце—Q;
для 8 в том же месте — С4;
для 8 на другом конце — С4 •
Случай 15, табл. 13: для радиального перемещения на нагруженном кон-
конце—С5;
для радиального перемещения на другом конце — Съ\
для 8 на нагруженном конце — С6;
для 8 на другом конце — С6 .
XL
0,4
0,6
0,8
1,0
1.2
1,4
1,7
2,0
3,0
6,0
с,
0,3986
0,5945
0,7722
0,9211
1,0248
1,0790
1,0850
1,0540
1,0000
1,0000
с2
1,6014
1,4055
1,2278
1,0789
0,9752
0,9210
0,9150
0,9461
1,0000
1,0000
с3
4,990
3,310
2,507 .
2,019
1,699
1,479
1,265
1,137
1,007
1,000
-с'
3
2,472
1,639
1,241
0,986
0,809
0,676
0,523
0,400
0,139
0,003
с„ с5
18,696
8,285
4,749
3,105
2,233
1,732
1,327
1,134
1,005
1,000
с -с
4 5
18,663
8,223
4,641
2,940
1,996
1,414
0,872
0,535
0,080
—0,002
с6
46,906
13,936
6,150
3,371
2,179
1,605
1,223
1,076
1,005
1,000
с
в
46,733
13,632
5,751
2,879
1,586
0,919
0,410
0,155
0,002
0,000
V
410

Таблица 15. Устойчивость пластиною
Форма пластинки
и характер нагрузки
Характер опирания
Критический .фактор
1. Все стороны свобод-
свободно оперты
Ч
a
Обозначение закрепле
ния:
свободный
край.
'/««/««< защемление;
= опирание;
2. Три стороны свобод-
свободно оперты, одна — сво
бодна
п
3.
D =
ЕНЪ
12A — f
К из таблицы
alb
К
alb
К
0.2
27
1,2
4,13
0.3
13,2
1,3
4,28
0,4
8,41
1,4
4,47
0.5
6,25
1.5
4,34
0.6
5,14
1,6
4,20
0,7
4,53
1,7
4,08
0,8
4.20
1,8
4,05
0,9
4,04
1.9
4,01
1.0
4,00
1.1
4.04
От 2 до
4,00
= 0,25
а/Ь
К
0.6
3,65
0.8 I 1.0
2,15| 1,44
1,2 | 1,4 | 1,6
1,14
0,95
0,84
1,8
0,76
2,0 I 3,0
0,70
0,56
0,456
= 0,25
alb
К
0.8
2,70
1,0 I 1,2
1,70
1,47
1,4 1 1,1
1.6
1,36
1,33
1,8
1,34
2,0
1,38
3,0
1,36
1,33

Продолжение табл. 15
Форма пластинки
и характер нагрузки
Характер опирания
Критический фактор
alb
К
0.4
9,44
0.5
7,69
0.6
7,05
0,7 0.8
7,00
7,29
0.9 1,0
7,83
7,69
7.
tzD
. |(см. п. 5)
.а/Ь
К
0.5
17,68
0,75
11,96
1.0
8,17
1.5
5,27
2.0
4,73
3.0
4,6
/ а
(пр„т
>2
— > 2 . (см. пп. 6, 7)
8.
9.
ткр — К
а/Ь 1.0
К
9,34
1.1 1,2
8,47
7,97
1,3
7,57-
1,4
7,30
1,6
6,90
1.8
6,64
2.0
6/47
3,0
6,04
5,0
5,71
5,34
Приближенная формула К = 5,34 + 4
(тГ-
Приближенная формула К = 8,98 + 5,6
•6 (т) ¦

Продолжение табл. 15
Форма пластинки
и характер нагрузки
Характер опирания
Критический фактор
тттм
а .
10.
аКр = 39,48
D
Таблица 16. Устойчивость оболочек и круговых панелей
Тип оболочки
и характер напряжения
Критический параметр
1. Замкнутая цилиндри-
цилиндрическая оболочка сжатия
вдоль образующей
Верхнее значение критического напряжения
1
A
Формула справедлива при 1,38 I/ —
Для весьма короткой оболочки -— «/ 1 I /?кр —
R

Продолжение табл. 16
Тип оболочки
и характер напряжения
Критический параметр
- Я I R
Безразмерная интенсивность нагрузки q = —~ I —
Ь \ h
Верхнее критическое давление
2. Замкнутая цилиндри-
цилиндрическая оболочка при
внешнем радиальном дав-
давлении
*»Кр q /I „2W.'O,
Формула справедлива при
h \0'5
R)
R
— , при ^ = 0,3 q\ O = 0,92— I/—.
кр
nL
1, n — число полных волн по окружности;
. при, = 0.3 n*2j}/,j-Y-J
3. Сферическая оболоч-
оболочка под внешним радиаль-
радиальным давлением
Верхнее критическое напряжение
Критическое давление
-Е [т
при "=

4. Коническая оболоч-
оболочка при осевом сжатии
Верхнее критическое усилие
Eh2 Xg a
= 0'605
Eh2
tga
— радиус кривизны срединной поверхности у большого основания.
5. Круговая панель под
равномерным давлением
по криволинейным кром-
кромкам
_ ' q / b У вЬ
Введем безразмерные параметры q = -— I —" , k = —
Ь \ h J h
1
Rh '
k, при [л = 0,3 "^" =0,605*.
Формула справедлива при k >
Для пологой панели при k<\2 q* =
р 3A- fx2
при ^ =
39,5

ЛИТЕРАТУРА
1. Авдонин А. С. Прикладные методы расчета оболочек и тонкостенных
конструкций. М., «Машиностроение», 1969.
2. Алумяэ Н. А. Об определении состояния равновесия круговой обо-
оболочки при осесимметричной нагрузке. Ж- «Прикладная математика и механи-
механика». Издание АН СССР, 17, 85, 1958.
3. Б е з у х о в Н. И. Основы Теории упругости, пластичности и ползучести.
М., «Высшая школа», 1968.
4. В а р в а к П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пласти-
пластинок. Часть I. Издание АН УССР, 1949, часть II, 1952.
5. В а р в а к А. П. Влияние упругого заполнителя - на устойчивость ци-
цилиндрической оболочки (осесимметричная задача). Труды VI Всесоюзной кон-
конференции по теории оболочек и пластин. М., «Наука», 1966.
6. В а р в а к А. П. Осесимметричная потеря устойчивости цилиндрической
оболочки с заполнителем. «Прикладная механика». Т, III. Вып. 3. Киев, «Науко-
ва думка», 1967.
7. В а р в а к А. П. Устойчивость цилиндрической оболочки на упругом ос-
основании с двумя коэффициентами постели. Сб. «Сопротивление материалов и
теория сооружений». Вып. 7. Киев, «Буд1вельник», 1968.
8. В а р в а к А. П. К задаче устойчивости цилиндрических оболочек с на-
начальным прогибом. Доклады АИ УССР, № 8. Киев, «Наукова думка», 1967.
9. В а р в а к А. П., Степаненко А. С. Устойчивость цилиндрической
оболочки с вязко-упругим заполнителем. «Прикладная механика». Т. IV.
Вып. 6. Киев, «Наукова думка», 1968.
10. В а рва к А. П. Применение модели основания с односторонними свя-
связями в задаче об устойчивости цилиндрической оболочки с упругим заполни-
заполнителем. Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.,
«Наука», 1970.
11. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Пластинки, диски, балки-стенки.
Киев, Госстройиздат УССР, 1959.
12. Власов В. 3. Избранные труды. Т. I. M., Издание АН СССР, 1962.
13. В о л ь м и р А. С. Устойчивость упругих систем. М., Физматгиз, 1963.
'14. Вольмир А. С. Теория устойчивости и больших деформаций ци-
цилиндрических оболочек при сжатии и сдвиге. Сб. «Расчет пространственных
конструкций». Вып. I. M., Машгиз, 1950.
15. Галеркин Б. Г. Собрание сочинений. Т. II. М., Издание АН СССР,
1953.
16. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М., Тех-
теориздат, 1953.
17. Дин ник А. Н. Избранные труды. Т. 2. Киев, Изд-во АН УССР, 1955.
18. Кан С. Н. Строительная механика оболочек. М., «Машиностроение»,
1966.
19. М а р ь и н В. А. Устойчивость цилиндрических оболочек при кручении
и внутреннем давлении. Сб. «Расчет пространственных конструкций». Вып. 5.
М., Стройиздат, 1959.
20. М у ш т а р и X. М., СаченковА. В. Об устойчивости цилиндрических
оболочек. «Прикладная математика и механика». Вып. 23, № 6. М., Издание
АН СССР, 1954.
21. Никиреев В. М., ШадурскийВ. Л. Практические методы расчета
оболочек. М., Стройиздат, 1966.
22. К о л к у н о в Н. В. Основы расчета упругих оболочек. М., «Высшая шко-
школа», 1963.
23. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. М., Судпромгиз, 1951.
24. К и л ь ч е в с к и й Н. А. Основы аналитической механики оболочек.
Киев, Изд-во АН УССР, 1963.
25. Новожилов В. В. Общая теория устойчивости тонких оболочек. М.,
АН СССР. Вып. 32, № 5 A941).
416

26. Огибал ов П. М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. М.,
Изд-во МГУ, 1963.
27. Тимошенко С. П., В о й н о в с к и й-К р и г е р С. Пластины и обо-
оболочки. М., Физматгиз, 1963.
28. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М., Госстройиздат, 1961.
29. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных
зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. Под редакцией проф. А. А.
Уманского. М., Стройиздат, 1960.
30. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в трех томах. Под
общей редакцией И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М., «Машиностроение», 1968.
31. Дятловицкий Л. И. Напряжения в гравитационных плотинах на
нескальных основаниях. Киев, Изд-во АН УССР, 1959.
32. Дятловицкий Л. И., Вайнберг А. И. Напряженное состояние
возводимого бетонного массива с учетом изменения модуля упругости по вы-
высоте. «Прикладная механика», т. V, вып. 5. Киев, «Наукова думка», 1969.
33. Л урье А. И. Теория упругости. М., «Наука», 1970.
34. Дятловицкий Л. И. Приведение плоской задачи теории упругости
с объемными силами к контурной задаче при произвольном распределении
объемных сил. «Инженерный сборник», т. XXI. М., Изд-во АН СССР, 1955.
35. О г и б а л о в П. М., Колтунов М. А. Оболочки и пластинки. М.,
Изд-во Московского университета, 1969.
36. Д л у г а ч М. И. Метод сеток в смешанной плоской задаче теории уп-
упругости. Киев, «Наукова думка», 1964.
37. С а в и н Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев, «На-
«Наукова думка», 1968.
38. Дятловицкий Л. И. К решению плоской динамической задачи
теории упругости методом конечных разностей. «Прикладная механика», т.
II, в. 10. Киев, «Наукова думка», 1966.
39. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Л., Изд-во Ленинградского
университета, ч. I, 1962. ч. II, 1968.
40. Raymond J. R о а г k. Formulas for stress and strain Me. Grau-Hill,
Fourth Edition.
41. Cyula Marcus. Theorie und Berechnungf rotationssymmetrischer
Bauwerke. Akademiai Kiado. Budapest, 1967.

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
Глава/. Основные уравнения теории упругости 5
Г л а в а II. Методы решения задач теории упругости 10
Глава III. Плоская задача. Расчет балок-стенок 27
Г лав а IV. Кручение стержней 35
Глава V. Осесимметричная задача теории упругости 57
Глава VI. Изгиб пластин 61
Г лав а VII. Пологие оболочки двоякой кривизны 81
§ 7. 1. Основные допущения S1
§ 7. 2. Уравнения характерных пологих поверхностей двоякой кри-
кривизны .... 82
§ 7. 3. Дифференциальные уравнения пологих оболочек .... 36
§ 7. 4. Деформации пологих оболочек 87
§ 7. 5. Внутренние силовые факторы 88
§ 7. 6. Граничные условия 90
§ 7. 7. Расчет пологих оболочек методом двойных тригонометриче-
тригонометрических рядов 94
§ 7. 8. Выражения силовых факторов в двойных тригонометрических
рядах • 95
§ 7. 9. Расчет пологой оболочки в виде эллиптического параболоида 98
§ 7. 10. Расчет пологих оболочек методом конечных разностей . . 104
§ 7. 11. Ход расчета пологих оболочек методом конечных разностей . 107
§ 7. 12. Особенности уравнений совместности деформаций для кон-
контурных точек 107
§ 7. 13. Представление внутренних силовых факторов в конечных
разностях 108
Г лав а VIII. Осесимметрично нагруженные оболочки вращения . . ПО
Г лав а IX. Устойчивость пластин и оболочек 131
ГлаваХ. Собственные колебания пластинок 140
§ 10. 1. Постановка задачи 140
§ 10. 2. Основные методы решения задачи о собственных колебаниях
пластинок 141
§ 10. 3. Изотропные пластинки постоянной толщины 145
§ 10. 4. Пластинки переменной толщины 168
§ 10. 5. Анизотропные пластинки 172
418

Г лав а XI. Собственные колебания оболочек 178
§ 11. 1. Постановка задачи и общие уравнения 178
§ 11. 2. Цилиндрические оболочки 182
§ 11. 3. Сферические оболочки 197
§ 11. 4. Пологие оболочки двоякой кривизны и другой формы . . 201
' РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
Г ла*в а XII. Вариационные принципы теории упругости .... 206
Г лав а XIII. Дифференциально-разностный метод (метод прямых) . 212
§ 13. 1. Решение плоской задачи в напряжениях 215
§ 13. 2. Решение плеской задачи в перемещениях 221
§ 13. 3. Кручение призматических стержней 225
§ 13. 4. Изгиб пластин 228
§ 13. 5. Применение дифференциально-разностного метода для ре-
^ шения пространственной задачи 235
Г лЩв а XIV. Метод конечных элементов 239
Г лив а XV. Пространственные задачи теории упругости .... 260
Г лав а XVI. Теория многослойных пластин и оболочек .... 273
Г лив а XVII. Расчет железобетонных опертых по контуру плит мето-
. дом предельного равновесия 286
Г лав а XVIII. Расчет железобетонных оболочек методом предельного
равновесия 308
§ 18. 1. Введение 308
§ 18. 2. Пологие железобетонные купола 309
§ 18. 3. Прямоугольные в плане оболочки 319
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
Таблицы 328
Таблица 1. Балки-стенки 329
Таблица 2. Диски 330
Таблица 3. Круглые и кольцевые пластинки при симметричном на-
гружении 334
Таблица 4. Круглая пластинка при несимметричной нагрузке . . 370
Таблица 5. Сплошная эллиптическая пластинка 374
Таблица 6. Квадратная пластинка 375
Таблица 7. Прямоугольная пластинка 375
Таблица 8. Пластинки различных очертаний 382
Таблица 9. Балочные плиты 388
Таблица 10. Консольная пластинка бесконечной ширины под дейст-
действием сосредоточенной силы 389
Таблица 11. Изгиб толстых плит 389
Таблица 12. Гибкие пластинки 390
Таблица 13. Оболочки 392
Таблица 14. Вспомогательные данные для перехода от длинных ци-
цилиндрических оболочек к коротким 410
Таблица 15. Устойчивость пластинок 411
Таблица 16. Устойчивость оболочек и круговых панелей . . . . 413

Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей)
под редакцией Варвака П. М. и Рябова А. Ф.
Редактор С. К. Овчаренко
Обложка художника В. Г. Погребного
Художественный редактор Н. С. Величко
Технический редактор К. Е. Ставрова
Корректор В. Б. Полищук
БФ 07964. Сдано в набор 18. I. 1971 г. Подписано к печати 9. VII. 1971 г. Бумага т
пографская № 2, 60X90V'i6= 13,125 бумажных, 26,25 физических и усл. печ., 28,62 уч.-из
листов. Тираж 17 000. Цена 1 руб. 72 коп. Зак. 28.
Издательство «Буд1вельник», Киев, Владимирская, 24.
Киевская книжная типография № 6, Киев, Выборгская, 84.

¦\