Прочность элементов конструкций из композитных материалов - Немировский Ю.В., Резников Б.С.

Автор: Немировский Ю.В. Резников Б.С.
Теги: прочность сопротивляемость авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника строительные конструкции механика деформируемых тел
Год: 1986
Похожие
Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность
Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии
Прочность и колебания элементов конструкций
Элементы строительной механики стержневых систем из композитных материалов
Текст
                    
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ
Ю. В. НЕМИРОВСКИЙ
Б. С. РЕЗНИКОВ
ПРОЧНОСТЬ
ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ
из композитных
МАТЕРИАЛОВ
Ответственный редактор
акад. Е. И. Шемякин
Й
НОВОСИБИРСК
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1986
* УДК 539.4:629.7: 677.1/.5
Немировский Ю, В,, Резн ик о в Б. С. Проч-
ность элементов конструкций из композитных матери-
алов.—Новосибирск: Наука, 1986.
В монографии развиты основанная на структурном ана-
лизе общая теория расчета на прочность армированных тон-
костенных конструкций и принципы их рационального про-
ектирования. Это впервые позволило учесть эффективность
работы ьаягоио э цемента субструктуры, предсказать зара-
нее области и характер разрушения, определить разрушаю-
щие нагрузки. Большое внимание уделено конкретным рас-
четам стержневых конструкций, пластин, оболочек и пане-
лей при различных условиях нагруженпя. Проведено срав-
нение полученных теоретических результатов с эксперимен-
тальными Разработаны практические рекомендации для со-
здания изделий, рациональных по условиям прочности.
Киша предназначена для научных работников и других
специалистов, занимающихся вопросами расчета и проекти-
рования конструкций из композитных материалов.
Рецензенты Г. К. Ибраев, 5. М. Фомин
1703040000-828
Д 042 (02)-86
132—86—Ш
© Издательство «Наука», 4986
ПРЕДИСЛОВИЕ
Конструкции из композитных материалов благодаря вы-
сокой удельной прочности паходят широкое применение в инже-
нерной практике, особенно при проектировании изделий для ра-
боты в экстремальных условиях с жесткими весовыми ограниче-
ниями и повышенными требованиями к надежности. Исследова-
ния прочности и разрушения конструкций из композитных мате-
риалов являются интенсивно развивающимся направлением в ме-
ханике деформируемого твердого тела, поскольку использование
композитов позволяет также получать материалы с качественно
новыми свойствами по сравнению со свойствами составляющих
их компонентов.
Литература по «линейной механике» разрушения и теории
трещин композитных материалов очень обширна, поэтому ука-
жем лишь на основные источники: [25, 55, 73, 105, 109, 111, 157,
166, 172, 175, 176, 197, 222]. (Кроме того, здесь и в дальнейшем
мы будем часто ссылаться на итоговые работы.) Не анализируя
различия используемых методов и моделей, отметим только, что
часть этих работ относится к исследованию разрушения компо-
зитных материалов, а не конструкций из них, другая часть —
к анализу элементов конструкций с уже существующим дефек-
том типа трещины, расслоения, разрыва одного или нескольких
Волокон и т. д. При этом, как правило, рассматриваются одно-
направленно армированные композиты при простейших типах
напряженного состояния (одноосное растяжение, сдвиг, сжатие).
В реальных изделиях композитный материал имеет более слож-
ный характер армирования и находится в условиях сложного
напряженного состояния.
Анализу разрушения изгибаемых армированных конструк-
ций (типа балок, колец, сегментов и пластин) посвящены рабо-
ты [3, 27, 34, 54, 66, 68, 71, 143-145, 149, 156, 158, 160, 163,
172, 196, 206, 208, 209, 242, 248, 250, 257]. В [68, 158, 196, 208,
242, 248, 250, 257] для балок, в [3, 27, 34, 143, 144, 156, 208„
209] для колец и сегментов и в [208] для пластин эксперимен-
тально показано, что в зависимости от их геометрических пара-
метров и механических свойств материала композиции изменяет-
ся характер разрушения.
*3
Результаты исследований концентрации напряжений и разру'
шения анизотропных пластин с концентраторами напряжений в
виде отверстий, тонких вырезов и выточек при деформировании
усилиями, действующими в срединной плоскости, приведены в
[53, 83, 90, 154, 157, 195, 204, 240]. В ходе экспериментов было
отмечено наличие нескольких механизмов разрушения. Кроме
того, разрушение обычно наблюдалось в области, не совпадаю-
щей с точкой максимального коэффициента концентрации осред-
ненных напряжений.
Анализ напряженно-деформированного состояния анизотроп-
ных конструкций и теоретическая оценка характера разрушения
в упомянутых работах были выполнены на основе осредненных
параметров жесткости и прочности армированных материалов.
Такой подход не дает возможности учесть эффективность работы
каждого элемента композиции, предсказать заранее характер
разрушения в зависимости от геометрических параметров конст-
рукции, механических свойств арматуры и связующего, структу-
ры армирования и условий нагружения, а следовательно, не по-
зволяет разрабатывать рекомендации для целевого проектирова-
ния материалов и наиболее эффективных в эксплуатации
изделий.
В предлагаемой монографии исследование начального разру-
шения конструкций из композитных материалов основано на
структурном анализе как напряженно-деформированного состоя-
ния, так и критерия прочности. Авторы не претендуют на ис-
черпывающее изложение проблемы разрушения конструкций из
композитных материалов. В основу книги положены преимуще-
ственно модели и методы, в разработке которых они принимали
непосредственное участие [114—136, 142, 181—190, 252, 253].
Авторы сознательно в данной монографии ограничились рассмот-
рением только начального этапа разрушения или перехода в
пластическое состояние, не анализируя процесса их развития
прежде всего потому, что начальная разрушающая нагрузка как
нижняя граница несущей способности конструкции является на-
иболее важной характеристикой при проектировании реальных
изделий. Кроме того, уровень нагрузок, превышающий нагрузку
начального разрушения, как правило, приводит к разгерметиза-
ции, увеличению водопоглощения, разбуханию и т. д. Поэтому
решение задачи о развитии процесса разрушения или пластиче-
ских зон и преодоление возникающих технических трудностей
при построении этого решения не всегда оправдано, тем более
что нагрузка несущей способности может лишь незначительно
превышать нагрузку начального разрушения. (Некоторые теоре-
тические результаты, подтверждающие этот тезис, содержатся в
[125, 127, 130, 132, 182, 183], а экспериментальные — в [208].)
В то же время, согласно данным экспериментов [222] на одно-
направленных гибридных композитах (стекло-, угле-, боропла-
стиках), последние являются практически упругохрупкими мате-
риалами. Так что нагрузка, соответствующая началу разрушения
4
еубструктурных упругохрупких элементов, может с хорошим
приближением характеризовать несущую способность конструк-
ций из армированных пластиков.
В первой главе на основе принципа возможных перемещений
получены уравнения равновесия для произвольных оболочек и
естественные краевые условия. Их вывод базируется на кинема-
тических и физических гипотезах, которые позволяют учитывать
поперечные сдвиговые напряжения, удовлетворяющие необходи-
мым граничным условиям на лицевых поверхностях оболочки.
Физические соотношения для армированного материала и крите-
рий прочности для него построены на основе структурного под-
хода. Дана математическая формулировка структурного крите-
рия прочности армированных оболочек и предложен конструк-
тивный метод определения гиперповерхности разрушения обо-
лочки в пространстве параметров внешнего воздействия.
Кроме того, здесь же указаны пути решения задачи рацио-
нального проектирования по условиям прочности армированных
оболочек.
Во второй главе для балок и колец при различных условиях
нагружения исследовано напряженно-деформированное состояние
как в самой конструкции, так и в элементах композиции. Изу-
чено влияние относительных геометрических размеров стержня,
механических свойств арматуры и связующего, их объемного со-
держания на величину разрушающей нагрузки и характер раз-
рушения не только при однопараметрическом, но и комбиниро-
ванном нагружении. Проведено сравнение полученных теорети-
ческих результатов с имеющимися в литературе эксперименталь^
ными данными.
В третьей главе исследовано разрушение армированных плас-
тин с отверстиями при нагружении в плоскости. Для прямоли-
нейно-анизотропных пластин, ослабленных одним или несколь-
кими различными вырезами, получены соотношения для расчета
напряжений в элементах композиции, выраженные через функ-
цию Эри и необходимые для последующего исследования прочно-
сти. Рассмотрена задача о разрушении пластин с эллиптическим
отверстием при растяжении на бесконечности равномерно рас-
пределенным усилием. Исследована зависимость разрушающе!!
нагрузки от расположения вытянутости отверстия относительно
направления действия нагрузки и характера армирования. Опре-
делены параметры структуры армирования, соответствующие ра-
циональным проектам по условиям прочности. Проанализировано
также разрушение пластин с цилиндрической анизотропией, име-
ющих форму полного кругового концентрического кольца и на-
груженных на внешнем и внутреннем контурах равномерно рас-
пределенными нормальными усилиями.
Четвертая глава посвящена исследованию разрушения плас-
тин из армированных материалов при изгибе. Рассмотрены пря-
моугольные пластины с прямолинейной анизотропией как с
ослабленным сопротивлением поперечным сдвигам, так и при ги-
потезах Кирхгофа — Лява. Изучено разрушение кольцевых плао
тин, обладающих цилиндрической анизотропией и нагруженных
равномерно распределенным давлением Для них решена задача
рационального проектирования по начальному разрушению.
Прочность армированных осесимметричных оболочек, в част-
ности цилиндрических, при термосиловом внешнем воздействии
исследована в пятом главе.
В качестве иллюстративных примеров рассмотрены консоль-
ная оболочка и замкнутый цилиндрический сосуд с жесткими
днищами, нагруженные внешним всесторонним равномерно рас-
пределенным давлением. Исследованы напряженно-деформиро-
ванное состояние и начальное разрушение указанных оболочек в
зависимости от параметров структуры армирования и механиче-
ских характеристик элементов композиции. На этой основе полу-
чены проекты оболочек, рациональных по начальному разруше-
нию В частности, выделен класс абсолютно полужестких обо-
лочек.
Авторы считают своим приятным долгом принести искрен-
нюю благодарность академику Е. И. Шемякину за ценные заме-
чания, способствующие улучшению изложения материала, докто-
ру технических наук Г. К Ибраеву и доктору физико-математи-
ческих наук В М Фомину за полезные обсуждения ряда вопро-
сов Большую помощь в работе оказали редакторы издательства
И. П Зайцева, Л. П. Голышева.
Предлагаемая монография не претендует на исчерпывающее
изложение поставленной проблемы и не лишена недостатков, по-
этому авторы будут признательны за все замечания и пожелания
читателей.
Глава 1
ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
$ 1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ
И СООТНОШЕНИЯ
Вначале, не вдаваясь в широко известные подробности,
приведем необходимые сведения из дифференциальной геомет-
рии [41, 42, 96, 233], которые будут использованы в дальнейшем.
Рассматриваемую сплошную среду отнесем к некоторой (в об-
щем случае криволинейной) координатной системе: ж1, х3, х3,
в которой произвольную точку можно охарактеризовать радиус-
вектором R(«\ х2, Xs). В этом случае вектор-функция
R, = s Э„ i = 1,2,3
составляют локальный базис рассматриваемой координатной си-
стемы, а биортогональный базис, состоящий из вектор-функций
R‘ удовлетворяет условиям
Э‘Э, = 6J
(б)	— символ Кронекера). Тогда
•	- Sn = ЭгЭ„ gi} - g* - э!э< И
представляют соответственно ковариантные, контравариантные и
смешанного типа составляющие метрического тензора простран-
ства. Здесь и ниже, если не оговорено, считаем, что индексы,
обозначенные латинскими буквами, пробегают значения 1, 2, 3,
а греческими — 1, 2.
' Пусть g — дискриминант метрической квадратичной формы,
тогда
ds2 = dR2 = gtfdx'dx3 и g > 0.
Далее будем рассматривать в основном конструкции типа
оболочек, •криволинейных панелей, плоских пластин и криволи-
нейных стержней. Тонкой оболочкой, как бычно, считаем трех-
мерное тело, для которого один размер, называемый толщиной,
много меньше любого другого характерного размера поверхности.
Очертание^ оболочки определяется ее лицевыми поверхностями,
которые обозначим 5+ и S~, и совокупностью боковых поверхно-
стей 2 Область пространства, заключенную между поверхностя-
ми о , S~, 2, обозначим Q. Кроме того, введем регулярную по-
верхность S такую, что из любой точки области Q на поверх-
7
ность S можно опустить нормаль, пересекающую S лишь в од-
ной точке. Не уменьшая общности и для определенности будем
считать, что S <= Q. В дальнейшем поверхность 5 будем назы-
вать отсчетной поверхностью оболочки.
Радиус-вектор R любой точки Ж, е Q можно представить
в виде
R = t(xl, х2У) + х3п(х1, х2),	(1.1)
где х' — система координат, нормально связанная с поверхностью
S. Тогда равенства £3 = 0, x3 — h+(x\ хг), х3 = к~(х1, х2) опреде-
ляют соответственно поверхности S, S+, S~, и, так как S <= £2, то
Л* (а:*, х2) — неотрицательные функции своих аргументов.
Учитывая (1-1), будем иметь следующие выражения для
компонент ковариантного метрического тензора:
Safi ~ ®а₽ — 2ж3Ьар + (ж3)2&а&ар, ga3 = 0, g33 = 1,	(1.2)
где аЯ( и bat ~ коэффициенты соответственно первой и второй
основных квадратичных форм отсчетной поверхности S, кро-
ме того,
= a^bap, а11 = a22/a, aa? =» an/a,
а12 = а21 = — ad а, аа3 = а3™ = 63а
и а = а11п22 — «к — дискриминант тензора aat- Главные кри-
визны klt к2, средняя кривизна Н и гауссова кривизна К по-
верхности S связаны с коэффициентами а«₽, Ьа₽ следующими со-
отнощениями:
Я = у (fci + Аа) « 4 Ь^ К-- к±к3 = b{bl ~ Ь№ -=
Если на поверхности S координатными линиями xl “ const, х2 =
 const являются линйи кривизны, то
л1- — Ъ13 =* Ь3 — bj = 0, &а = ка, baa= kaaaet (1-3)
и, учитывая (1.2), (1.3), получим следующие выражения для
компонент метрического тензора:
git “ g12 “ о, gaa — (1 — ках3)2ааа, = i/gaa. (1.4)
Дифференцирование обеих частей равенства (1.1) дает вектор-
функции
Ra “ Га + Ж3Па, R3 = n f Га = — , Па =	(1.5)
\ ох	дх]
составляющие локальный базис рассматриваемой координатной
системы. На основании формулы Вейнгартена [41, 42]
Па=’-^Гр--Ьв₽Г₽	(1.6)
8
и определения коэффициентов первой и второй основных квад-
ратичных форм поверхности S [41, 42, 96, 233] имеем
=	=	^₽а “	== ПрГа.	(l-TJ
Вектор-функции г® от гауссовых параметров ж4, хг в соответст*
вии с условиями биортогональности гагр = ба определяются сле-
дующими выражениями:
Г® — (1аРГр (аа₽ = г“гр),	(1.8J
В силу ортогональности векторов га и п, г® и п, па и п имеем
очевидные равенства
ГаП = Г®П = ЦаП = 0.	(1.9)
Поскольку один размер оболочки — ее толщина — много меньше
других, при выводе уравнений равновесия в теории оболочек
пользуются различными приемами редукции трехмерной задачи
к двумерной [43, 45, 52, 94, 146, 228]. Такая редукция заметно
упрощает математическую задачу, уменьшая число независимых
переменных на единицу.
Конструкции из армированных материалов при деформирова-
нии под нагрузкой обладают рядом специфических особенностей,
в частности ослабленным сопротивлением поперечному сдвигу и
существенным влиянием структуры армирования на их поведе-
ние. Поэтому для таких конструкций гипотезы Кирхгофа — Ля-
ва не всегда применимы.
Поведение анизотропных плоских стержней, оболочек и пла-
стин при различных упрощающих предположениях, позволяю-
щих учитывать влияние поперечного сдвига, было исследовано
во многих работах [6, 7, 9, 10, 26, 45, 46, 56, 80, 82, 89, 90, 106,
121, 125, 129, 130, 132, 144, 149, 150, 160, 180, 186, 192, 194, 206,
208, 214, 217, 254, 259].
Результаты исследований напряженно-деформированного со-
стояния плоских анизотропных брусьев (в виде балок, плоского
кругового кольца, его части или разрезного кольца), находящих-
ся в обобщенном плоском напряженном состоянии под действием
усилий, распределенных на краях, приведены в [46, 82, 89, 90,
144, 149, 160, 194, 206]. В этих работах напряжения и деформа-
ции определялись с помощью функции напряжений, которая в
зависимости от характера нагружения представляется в виде по-
линомиальных рядов либо с помощью рядов Фурье.
Следует отметить, что, хотя в указанных работах задачи ре-
шаются в рамках плоской теории упругости (т. е. учитываются
поперечные сдвиговые и нормальные напряжения), полученные
решения удовлетворяют граничным условиям лишь на криволи-
нейных сторонах стержня (в случае балок это соответствует
длинным сторонам). На концах стержня точно удовлетворить
граничным условиям, вообще говоря, не удается; напряжения
здесь в зависимости от способа закрепления приводятся лишь к
силе и моменту, уравновешивающим внешнюю нагрузку. Кроме
9
тогб, поскольку решения в [46, 82, 89, 90, 144, 149, 160, 194,
206], за исключением простых случаев нагружения и закрепле-
ния, получены в виде сложных рядов, использование их в инже-
нерных расчетах при достаточно произвольных условиях нагру-
жения и закрепления затруднительно.
В работах [80, 106, 150, 217, 254, 259] использовались гипоте-
зы С. П. Тимошенко, которые, хотя и учитывают поперечные
сдвиговые напряжения, но граничным условиям не удовлетворя-
ют. Поэтому применение уравнений изгиба, основанных на ука-
занных гипотезах, может привести к значительным погрешно-
стям при определении поперечных сдвиговых напряжений, кото-
рые являются наиболее опасными для конструкций, армирован-
ных высокопрочными волокнами.
В качестве основного предположения в [6, 7] используется
статическое условие о заданном законе распределения попереч-
ных касательных напряжений. Однако в смысле вариационного
«равенства уравнения равновесия, полученные в [6, 7], не согла-
сованы со связями, которые диктуются принятыми типотезами,
что, как будет показано в следующих главах, существенно изме-
няет распределение напряжений в конструкции. Кроме тою, при
использовании этого подхода не удается реализовать вариант
жесткой заделки края оболочки.	'
В [214] выведены уравнения равновесия и граничные усло-
вия, основанные па кинематических гипотезах, которые соответ-
ствуют заданию закона изменения всех компонент перемещения
по толщине оболочки. Эти соотношения позволяют учитывать
влияние как поперечного сдвига, так и поперечного обжатия, но
сильно усложняют разрешающую систему уравнений.
Как показывают результаты экспериментов [3, 54, 66, 68, 71,
144, 162, 196, 208, 242, 248, 250, 257], именно разрушение от по-
перечных сдвиговых напряжений во многих случаях лимитирует
несущую способность конструкций из композитных материалов.
Учет обжатия влияет на напряженно-деформированное состоя-
ние конструкции значительно меньше, чем учет поперечных
сдвигов [6, 208]. В связи с этим в качестве кинематических гипо-
тез примем такие, которые позволяют учитывать как искривле-
ние нормали, так и поперечные сдвиговые напряжения, удовлет-
воряющие необходимым граничным условиям на лицевых по-
верхностях оболочки [9, 128, 129, 181]:
з
Ujt = 2	Wg — Ugg (ж1, х2).	(1.10)
i=sQ
Будем считать также, что напряжения a33«o“s, о®3. Учитывая
(1.10), представим вектор смещений точек оболочки Щщ, «2, и3)
в виде
U = Ua + «’aalr“ + (a;’)2Uaar“-l-(«s)3iiasr*.
Здесь и,(що, Uso) — вектор смещений отсчетной поверх-
ности S.
<0
Перейдем К рассмотрению деформации оболочки, ковариант-
ные компоненты которой определяются следующим образом:
= ~2	Sij)>
где g*j — ковариантные компоненты метрического тензора для
деформированного пространства, отнесенного к недеформирован-
ному базису
=	(вГ-у?).	(1-12)
\ ox J
Радиус-вектор точки в деформированной оболочке R* — R + U.
Подставляя в данное выражение (1.1), (1.11) и дифференцируя,
получим
R* = га + ж3па + 5 + Д (“₽1г₽) +
ох ох
+	(И1Л (1.13)
ОХ	ох
R* — н 4- иа1га + ЗЛязГ06 + 3 (я?)3 «азг*,
где производные <9Uo/d.r“ и d{iwP)/dsf* определяются следующим
образом:
^VJ __	R / OU— R \
—— — (VaU£0	&рамзо) г + | “j” + baUp0 J n,
'	1	(1.14)
(«₽/) = Vaup/ +
Здесь и в дальнейшем Va — символ ковариантных производных
на поверхности S. Известно, что
VaWp — ГарЩ,	(1.15)
и Тар — символы Кристофеля второго рода на поверхности S,
которые определяются через коэффициенты первой основной
квадратичной формы поверхности
'Г7 — г* я^/^хр ,	ggap\
a₽ i₽a- 2
Для рассматриваемой системы координат, учитывая (1.3), имеем
pa __ 1 d«aa a | да^
- <1Л6)
41
Подставляя (1.14) в (1.13), а затем в (1.12), получим
ga.fr = Га+ Z3na — bit,aUi(tTV' +	+ ^a^uo ) n +
I	\ ox	)
3	3
+ 2 (r3)i	+ 2 (*з)Ж«а
i=o	i=l
(x	8	3
+ bpUw j n + 2	V3uvir? + 2 blufin
'	1=0	1=1
г3 + -к’пр — >vpu3(>rv
£a3 — Га + #5Ila ~ ^ца^зоГ^ 4“ (	+ ^atyio j П 4“
3	3
+ 2 ^3){ w + 2
1=0	i=l
[n +
+ rT (uvl + 2«3wva + 3 (я3)’ uv3)].
Разворачивая данные произведения с учетом (1.3) —(1.9) и со-
храняя только линейные относительно смещений и их производ-
ных члены, получим окончательно следующие выражения для
компонент тензора деформаций:
3
вар ~ "2 2 (^a^pi + fruai) — ^а|?мзо’	(1-17)
г=о
_1
2
ваз —
—+ ЛаМв0 + Ual -f- 2x8Ua2 + 3 (ж3)8 Ндз ,
дх
(1.18)
Здесь и в дальнейшем использованы допущения:
1 — ках3 1 Vx3 е [—h~, Л+].
$ 2. ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
Ограничимся рассмотрением физически линейных соотно-
шений. Для термоупругих материалов в системе координат xi их
можно записать в виде [90, 91, 153]
о« = А^еы-В’Ч	(2.1)
где оа — контравариантные компоненты тензора напряжений,
— компоненты тензора упругости, — компоненты тензора
температурной жесткости, для которых из условий симметрии
тензоров напряжений и деформации имеем
Ди» =-	~
@ — приращение температуры. Будем считать, что компоненты
Q
тензоров упругости и температурной жесткости не зависят от
температуры.
Существует два подхода к определению компонент тензоров
упругости и температурной жесткости материалов: феноменоло-
гический и структурный. При феноменологическом подходе [87,
88, 97, 151, 164, 167, 203, 207, 208] каждый тип анизотропии
требует проведения определенной экспериментальной программы
для нахождения постоянных Aijkl и В13. Следует иметь в виду,
что композитный материал, как правило, создается вместе с кон-
струкцией. В связи с этим механические характеристики (4ijW,
будут в общем случае функциями координат Например,
если кольцевую пластинку равномерно армировать вдоль радиу-
сов волокнами постоянного сечения, то, естественно, плотность
армирования будет уменьшаться от центра к периферии, а тем
самым BlJ будут зависеть от радиальной координаты. Та-
ким образом, при феноменологическом подходе определение ме-
ханических характеристик композитного материала в сложной
армированной конструкции требует проведения серий экспери-
ментов для всех что практически невозможно реализовать.
Структурный подход [1, 2, 23, 24, 28, 35, 37, 38, 57, 64 101,
102, 107, 114—117, 174, 198, 223, 243, 244, 252] позволяет избе-
жать указанного недостатка. Он дает возможность выразить ком-
поненты тензоров упругости и температурной жесткости через
механические характеристики элементов композиции, структуру
армирования и другие макроскопические параметры. Кроме того,
при структурном подходе после решения соответствующей крае-
вой задачи и определения напряженно-деформированного состоя-
ния конструкции можно получить и напряжения в элементах
композиции. Указанные обстоятельства позволяют перейти к
рассмотрению локальных эффектов в связующем и арматуре, на
границе связующего и армирующих элементов, определять ха-
рактер разрушения и решать вопросы рационального проектиро-
вания конструкций из композитных материалов.
При решении в комплексе столь разнообразных проблем ес-
тественно ориентироваться на модели, описывающие основные
свойства композитов и имеющие в то же время наиболее простой
вид для последующего анализа. Поэтому будем использовать
структурную модель армированного материала, основанную на
следующих предположениях [114—117].
1.	Оболочка считается квазиоднородной, составленной из до-
статочно большого количества одинаковых армированных слоев,
расположенных на поверхностях эквидистантных S.
2.	Армированный слой (см. схему) состоит из изотропного
материала с внедренным в него армирующим слоем. Последний
Представляет собой сеть тонких одномерных волокон, располо-
женных в направлениях, составляющих углы
к = 1, 2, ..т) с направлением х\
3.	Число армирующих элементов достаточно велико, так что
армированный слой можно считать кв азиод нор одним.
13
Схема элемента армированной
оболочки.
4.	Элементы композиции
соединены идеально: отсут-
ствует проскальзывание меж-
ду армирующими элементами
и связующим.
5.	Расстояние между армирующими элементами достаточно
велико по сравнению с их • поперечными размерами и в то же
время достаточно мало по сравнению с рассматриваемым элемен-
том оболочки, поэтому локальными эффектами вблизи волокон и
нерегулярностью деформации между двумя смежными волокна-
ми будем пренебрегать.
6.	Постулируется, что каждое волокно, если оно внедрено в
материал связующего, способно выдержать как растягивающую,
так и сжимающую нагрузку. Модули Юнга для простоты приня-
ты одинаковыми при растяжении и сжатии (хотя это ограниче-
ние не принципиально).
7.	Принимается, что поперечные сдвиговые напряжения вос-
принимаются только слоями изотропного связующего, а слои е
армирующими волокнами являются абсолютно жесткими на
сдвиг.
Для определения постоянных A‘Jkl и В4 через структурные
параметры композита выделим характерный малый элемент рас-
сматриваемой оболочки, ограниченный тремя парами поверхно-
стей, эквидистантных координациям х‘ = const, и находящийся
под действием усилий, изображенных на схеме. В этом случае
компоненты тензора напряжений композитного материала
„и	Та3 ™ гаа
Otp	СбЗ __	*	**	/ ft
°*	" л з , а’	1 °	~~ ,	а р
dx*dx	dxdz •	dx dxP
в силу принятых предположений находят следующим образом:
-	ТП1!
о” = ад?" +	2	о“ - а?,	(2.2)
k=l
“e = = cos 1к “ sin^A’
Zc — 1, 2, т; &е =» 1 — юв,
14
где вс or?8 — напряжения в связующем, 0ak — напряжения в ар-
мирующих волокнах к-то семейства, — удельная интенсив-
ность армирующих волокон к-то семейства в плоскости армиро-
ванного слоя, Fk — площадь поперечного сечения элементов ар-
мирования, пк — количество волокон на отрезке AF (см. схему),
ha — толщина слоя с армирующими элементами, (оа — интенсив-
ность слоя с армирующими волокнами по толщине оболочки,
па — количество этих слоев в характерном элементе оболочки.
Напряжения в связующем и армирующих элементах подчиня-
ются закону Дюамеля — Неймана, который с учетом принятых
предположений можно записать в виде
~	+ Vc«pp) —	а ₽’
‘	(2.3)
о12 _ Ес _
°е “ l + v/la*
gT = 2Ge4s,	(2.4)
Oak ~ Ealfiak — CtakEak^-	(2.~5)
Здесь и в дальнейшем величины с индексом с относятся к свя-
зующему, а с индексом а — к армирующим элементам; Ее, Ge,
vc — модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона мате-
риала связующего соответс(венно; Еак — модуль Юнга материала
армирующих волокон к-то семейства; ас, ааЛ — коэффициенты
линейного теплового расширения материалов связующего и ар-
мирующих элементов к-то семейства.
При использовании предположений 4, 7 поперечные сдвиго-
вые деформации в связующем определяются следующим образом;
Саз — еаз/®с»
а деформации армирующих элементов —
eak ~ £ц Os) + 2tfj2Zk/ji + с22 Ой) л к — 1, 2i ..., m. (2.6)
Тогда соотношения (2.4) и (2.5) примут вид
Oe8 = 2Gcea3/®c,	(2.7)
Oak ~ Eak Он (ife)2 +	+ е2а (Д)2'| —
«ай-Еай®» к — 13 2, .. .х ш.	(2.8)
Подставляя (2.3), (2.7), (2.8) в (2.2), получим закон дефор-
мирования для рассматриваемого композитного материала
= ^aS?>‘eTll —о“3 = Л«3а3саз (по а не суммировать), (2.9)
1	1S
где . : -	...	/
1~VC	£1
(а^Р),
fe=l
*..-	__	т	-	•
л*" - 2<ттЬ + ш» 2“‘£<* (©" И)’«
(+с)	(2.10)
_	т
А™ _ 1А£о + Ш,ЕЛ(Ц)‘ (;)«,
„	т
В“ -	2 ^ЕЛО.Л	(«)«.
1 с	к-1
m
-®13 = (Од 2 J^h^ak^aklklhi
4а3а3 = 2Gc/vc.
Построенная модель композитного материала позволяет по
известному напряженно-деформированному состоянию конструк-
ции определять напряжения в армирующих элементах и связую-
щем с помощью соотношений (2.3), (2.7), (2.8). Это обстоятель-
ство, как будет показано ниже, дает возможность сформулиро-
вать критерий разрушений армированной оболочки с учетом раз-
рушения субструктурных элементов композита. Данная модель
пригодна также для описания поведения гибридных композитов,
которые в последнее время активно внедряются в технику.
Приведенные формулы имеют довольно простой вид, и их ис-
пользование дает хорошее согласие с экспериментальными дан-
ными. При необходимости дальнейших уточнений, например дву-
мерности напряженного состояния в волокнах, могут применять-
ся и другие более сложные модели [23, 101, 117, 252]. Однако
соответствующие формулы для компонент тензоров A'Jkl, Bv су-
щественно сложнее и мало пригодны для последующего анализа
разрушающих нагрузок и рационального проектирования.
При решении задач несвязанной термоупругости приращение
температуры О должно удовлетворять следующему уравнению
теплопроводности анизотропного тела [72, 15^]:
cf = VAijvA
которое не учитывает инерцию теплового потока. Здесь с — объ-
емная теплоемкость, К’ — контравариантные компоненты тензора
теплопроводности композитного материала, t — время.
16
Конструкции из армированных материалов при длительном
нагружении проявляют свойства ползучести, которые вызывают-
ся как наличием ползучести связующего материала, так и воз-
можностью ползучести армирующих волокон.
Для построения необходимых соотношений воспользуемся
указанными гипотезами структурной модели и будем считать,
что субструктурные элементы подчиняются соотношениям линей-
ной наследственной теории упругости [168, 169, 172]. Тогда
связь между напряжениями и деформациями при отсутствии
температурного воздействия в случае плоского напряженного со-
стояния будет иметь вид [116, 142]
(2.11)
Операторы определяются аналогично формулам (2.10),
если всюду ввести замены Ес -> Ес, ve -> ve, Еак -> Еак (к — 1,2,...
..., т). Операторы Ее и Еак вычисляются по следующему прави-
лу: Ё = Е(1 — Г*). При этом Г* — интегральный оператор типа
Вольтерра — имеет вид
i
Г*/ = Jr(t-T)/(T)dT.	(2.12)
о
В (2.12) ядра релаксации Г(£ —т) предполагаются известными
из экспериментов по ползучести или релаксации соответствую-
щего субструктурного элемента. Если в связующем, как и в
[168], пренебрегать объемным последействием, то оператор vc
определяется следующим образом:
vc = vc [1 + (1 - 2vc) rc7(2vc)].
Дополнительные упрощения этих соотношений возможны, ес-
ли использовать гипотезы о неизменности во времени коэффи-
циента Пуассона: vc — vc ио возможности пренебрежения пол-
зучестью в армирующих элементах: Ёак~ЕаК (Л = 1, 2, ..., т).
§ 3. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
АРМИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК
Пусть на лицевых поверхностях 8* оболочки постоянной
толщины 2/i действуют распределенные усилия о+ и соответ-
ственно. Обозначим через п+ и п- орты внешних нормалей к S+
и S~ соответственно, а через t±, s* — взаимно перпендикуляр-
ные касательные орты 5*. В этом случае
О* =	+ Z>(US± + P(nt)t±1	(3.1)
где
Р&п) = Cf±ntnf, p(*s) =	pfat) =	(3.2)
Ю. В. Немировский, Б. С, Резников	17
n*, s±, t* — ковариантные компоненты ортов n*, t*, s*; pj£n)>
Pent), P(ns) ~ нормальное и касательное напряжения на поверх-
ностях 5*. Если в качестве отсчетной выбрана срединная по-
верхность и внешние усилия на лицевых поверхностях заданы
в виде
а± = ojhi + o”t + ajfs,
то граничные условия в напряжениях при учете (3.1), (3.2)
можно записать следующим образом:
(3.3)
»!).	(3.4)
При отсутствии обжатия распределенные нормальные усилия
можно свести к равнодействующему Сто3 (я1, х'2) = а+(х1> 2'2) +
4-о13(ж1, а;®), которое будем считать для определенности при-
ложенным к срединной поверхности S.
К краевым условиям (3.3), (3.4) на лицевых поверхностях
необходимо присоединить условия на боковой поверхности 2:
в напряжениях, смещениях или смешанные. Будем предполагать,
что па боковой поверхности 2 действует распределенное усилие,
которое обозначим через	я3). Если t — орт нормали
площадки поверхности dS, a s и п — взаимно перпендикулярные
касательные орты к dS, то
"Е 3* Рип)®,	(3.5)
ГДе P(tt) =	Pits) = Go^a^flj P(tn) = Go ta, Sa, Па — КОВЯ-
риаптные компоненты ортов t, s, п, а через р(1(), p((s), р(<п) обо-
значены нормальные, продольные и поперечные касательные на-
пряжения, действующие на площадку с нормалью t.
Учитывая (1.18), (2.9), из условий (3.3) определим
। / ди	\
Ua2 » Ла21 маЗ “ ^аз ТГй I	)1	(3»6)
on - \ ох	/
= 2“/(2Ыа3аз), Ха3 - SV(3*Ma3a3)4
С их помощью иэ (1.10) и (147), (148) будем иметь
Йц — Ua0 + Ж3Ма1 4* (ж3)3	+ (я3)3 КхЗ ГТз
on
“ 2
' 1	| з
2 (^(VaUpi’+jVpUa,) + 2	“
.1=0	)	1=2
/жз\з Г	/0»	\
~~ ‘чьг Va \Z« + ^*“0° + Mpi) +
OrJ j	\си?	/
18
. t (дизл
+	+ ^амао
\ох
+ Иа1
—• ^а₽и90’
(3.8)
4 /ди„	\ {	( О \
£аз — ~2 ("^~а Ч" + ^aij jj"J J + ж8^а2 4~	(3.9)
Уравнения равновесия и граничные условия получим, ис-
пользуя принцип возможных перемещений, который записывает-
ся следующим образом:
6П = 6Е + 6Л,	(3.10)
где 6П — вариация потенциальной энергии деформации, 8Е —
виртуальная работа внешних распределенных нагрузок, действу-
ющих на лицевых поверхностях оболочки, а 6Л — виртуальная
работа сил, приложенных к граничной поверхности оболочки S.
Для вариации потенциальной энергии деформации имеем
выражение
h
6П = f f Vadx'dx* J (Ла(} + 2aa3dea3) dx* =
S'	-Л
- И К- Va7,afJ + ft₽Va^₽ + fyT₽8) 6uPo +
8
+ (- VaMe{$ + VKH“P + T*) 6u₽1 -
- [Ьар^ + Vfj (Va#ap + T₽s)] 6u30) Vadx'dx* +-
+ {?₽ (Vatfa₽ + Г38) to* + ta (Ta₽ - Ha%) 6u&0 +
+ (Мар-Я“₽)бЫр1
\ds.
/ JJ
(З.И)
При выводе этого выражения использовались соотношения (3.8),
(3.9), формула Грина и следующие обозначения:
л	л
Tat - j Ма> - J ЛЧх3,
~л .	(3.12)
п	А
= X f	oap (х3)3 с7ж3, TM =	f оа3 (1 -	)2)	dx3.
3ft а	J	\	\Л/ /
Через Г обозначен контур, ограничивающий поверхность S,
а ds — элемент дуги кривой Г.
Виртуальная работа 8Е определяется следующим образом:
6Е - J J [а“3бна(жг, х\ h) + о^бма^1, х\ - h) +
sJ
+ o336zS0] yfadx'dx*.
19
Учитывая (3.6)' и формулу Грина, нетрудно преобразовать дан-
ное выражение к виду
8Е - J J + 4 &i₽i + (-I AVp2p + о83) 6изд] X
8
X VadzW-^ht^du^s.	(3.13)
Выражение для виртуальной работы 64 записывается так:
64 == J J CT(t)6ud2 (dS =* dx?ds),
2
где о(() определяется соотношением (3.5),
би = 6u(4)t + 6и(<)8 + 6и(П)П,
6и(() = 6u“fa, 6il<e) = 6u.“sa, 6u(n) = 6и30.
Если ввести обозначения:
Л	л
г«р = J о«₽^зг Мо₽ = J о^жШ3,
"Л д	~ft	д	(3.14)
= 4* f П3 = f «Л
зл	-h
TO
«4 = | |/a (fvtv + svsv) aPv [7T6u₽0 + (Moav - Я“т) 6u₽1 -
-	#“v6	+ ТЙрбизо}	(3.15)
Подставляя соотношения (3.11), (3.13) и (3.15) в вариаци-
онное уравнение (3.10) и учитывая, что вариации 6п₽0, 6uei, 6u30
в поверхностных интегралах и вариации 6uS0, бн^, 6и30, 6 (ди^/дх9)
в контурных интегралах независимы, приходим к системе диф-
ференциальных уравнений равновесия элемента армированной
оболочки:
-	VaT"3 + (Va#af! + Т₽3) =
(по р не суммировать),
Va (М“р - ZT₽) - Т93 = — ~	(3.16)
+ Vp (уаЯар + Г₽3 + 4 ASP ) = - а88
и к системе граничных условий на контуре Г:
(fp (Va#“₽ + Т₽3 + 4 А2Р -	) } 6н30 - 0,
20
{fa [Т7 — Н ₽Ар — 7’0v(t1,fv + SySy)a^ ]] б«р0 — 0, ,g
{fa [М“₽ -	- (МГ - Н^) (Mv+Vv)«₽V]l ««fl- О,
{fa [- Я“р + (fvfv + svsv)a₽v]} б = О.
В последних трех соотношениях по не суммировать. Соотно-
шения (3.17) дают различные варианты граничных условий для
рассматриваемого класса внешних нагрузок, действующих на
оболочку. Например, если оболочка жестко защемлена по всей
боковой поверхности Е, то из (3.17) имеем следующие краевые
условия на контуре Г:
«зо = «»о == «т = диы/дх* = 0.	(3.18)
Если на части боковой поверхности S' (S' US" =Е) оболочка
защемлена жестко, а на остальной части S" приложены распре-
деленные усилия, то на Г' будут выполняться условия (3.18),
а на Г" —условия, полученные приравниванием нулю всех фи-
гурных скобок в (3.17) (Г = Г'иГ", Г' = Е'П5, Г"=Е"П5).
В отличие от вариантов теории [6, 7] приведенная здесь си-
стема дифференциальных уравнений (3.16) и различные вариан-
ты 1раничных условий (3.17) полностью согласованы с приня-
тыми кинематическими гипотезами (1.10).
В дальнейшем нам будут необходимы уравнения равновесия
(3 16) и граничные условия из (3.17), записанные в обобщен-
ных смещениях Up0, «ci, «зо. Для этого, учитывая (2.9) и (3.8),
(3.9), представим (3.12) следующим образом:
Т Р =* h	+ -g- (VfXjjia +	4“
+ 26w«30-2Ba₽ej,
Aa₽w Г4 (+ Vp«vl) - ( Vv + Vp -
15	v r i*i и vi/ i v	J
[^i> (^ii«tio) +	+ 3fe2 (VvXp3 + V цКуз)
г	; (ЗЛ9)
+ v„£a) -
—	+ ^(ZfyUyo)] + 3/t3(VvX-ng + VyAv3)
mas 2h 4<z3a3
1	~ 15Л
4 I kfrUaQ + ual -f
ди^ \	1
+3^аз .
to /	j
21
В последнем соотношении по а не суммировать. Подставляя по-
лученные соотношения в (3.16) и (3.17), имеем из уравнений
равновесия
^Ve^-4	£ V^go + VgUy0 + "g- (VvZg2 + VgXv2)j —
- 2Яарв + 2&ww3ej - 4 Va g + VgMvl) -
dx^	tVv(*Ao) + Vg(fc1>Uy0)J +
+ ЗА- (V-уХцз + VцХуз) j 4* -
4г ЗЛ8Хрз
+ 2$. = 0.
4 A*VK Г17 (УЛ1 + ТЛ1) - 4 ( V, ^’+ V„ М -
- 4 [Vv (fcg»M0) + Vg (fcTuT0)J + 12Ла (VyXga + VgX^) J - (3.20)
- Л₽зрз [ 4	+ u₽1 +	+ ЗЛЯХР31 + 521 = 0,
\	QXF /	J
4 v» (a v. [ у (U. +	- (Vv	5”) -
— [V? (ApUgo) + Vg (fcj>Wvo)l + 3/1а (VTKg8 + VgXT8)	+
+ 2_^рзрз £ ^fcpWpo + Upi +
+ зл’Хр» j + slj +
4- bafla\+ Uo3 = o
и из граничных условий на контуре Г:
г [нV»[“(’Ли + V»“vi)--
- [VT(feg«go) + Vg (М?о)] + 3A’(Vvlg3 + VgXy3)]) +
+ Цлвз₽31^4 ^fcpupo + wpi +	+
+ ЗШрз] + 21 - Tf 1] 6u30 = 0,
22
V®|*0 +	—
—- 2B ^0 4" 2b-yi*^3oj — 53 ^3'
- (V?^T + V>?r) - IVv(Muo) + Vu (Mvo)I +" (3.21)
\ дзг*	oxY j
+ ЗЛ8(У^Хцз + ДцЛуз) “ %* 0^ (fyfv +	6^00 =
[ fi Л“”‘‘ (17 <Vv“« + V»“v> - 4 ( Vv "Э + v - Э1) -
— 4 [ (/сцМцо) + Vg (Лу^о)] + 12Aa (VvX|i3 + V^A^g) j
-	- Iff) (Mv + s^v) apv 6upi = 0,
{«. [g л“”» [“ (VvuM + v„«„) - (Vv £e + v„^J -
— [Vy (йцИцо) -f- Vjx(fcyUyo)] +
-^V(iv^ + ^5v)a₽v
fife) =0.
В первых двух уравнениях из (3.20) и в последних трех
соотношениях из (3.21) по [J не суммировать.
§ 4. КРИТЕРИИ КРАТКОВРЕМЕННОЙ
И ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ	«>
Основная цель создания композитных материалов состоит
в достижении комбинации свойств, не присущих обычным кон-
струкционным материалам. По своим прочностным качествам
многие композитные материалы существенно выигрывают по
сравнению с традиционными. Однако наряду со многими техни-
чески важными преимуществами эти материалы обладают и ря-
дом недостатков, обусловленных несогласованием физико-мехапи-
ческих и химических свойств компонентов композита, что приво-
дит к специфическим видам разрушения: локальному и меж-
слойному расслоению, местным разрывам, нарушению адгезии и
т. д. В связи с этим при расчете конструкций из армированных
материалов необходимо прогнозировать очаги разрушения, на-
23
грузки, при которых они возникают, характер разрушения, и ес-
ли процесс разрушения начался, то направление его последую-
щего развития, а также оценивать несущую способность
конструкции.
Существует два основных подхода к исследованию прочности
композитных материалов. Первый, так называемый феноменоло-
гический, основан на рассмотрении композитного материала
с точки зрения прочности как макрооднородного и анизотропного.
Феноменологические критерии прочности для анизотропных ма-
териалов использовались многими авторами [12, 13, 48, 50, 51, 61,
69, 70, 77, 98, 100, 101, 103, 152, 164, 165, 201, 203, 218, 224, 225,
231, 234, 236, 238, 241, 246, 249, 251, 256]. Наиболее полный
обзор и детальное обсуждение указанных критериев прочности
приведены в [12, 48, 51, 101, 203, 225, 256]. Большинство фено-
менологических критериев прочности имеет форму квадратичных
условий, обобщением которых является критерий в виде тензор-
ного полинома
/а₽оа’ + /«0твОг“ОТв + /«|П«.»0“’О1Гв0Ч‘ + • • • = 1.	(4.1)
Это общее описание поверхностей прочности предложено в [100]
и широко развито в работах [48, 61, 98, 103, 213, 218, 238, 246,
251, 260] в квадратичной форме и форме высших порядков
[14, 212]. Компоненты тензоров /оР, /аМв, ... из (4.1), ха-
рактеризующие прочность, определяются из серии экспериментов
для каждого конкретного анизотропного материала. При любых
последующих изменениях структуры армирования или механи-
ческих характеристик элементов композиции соответствующую
серию экспериментов необходимо проводить заново. Таким об-
разом, при феноменологической формулировке критерия прочно-
сти каждый тип анизотропии требует выполнения определенной
экспериментальной программы. Поэтому использование подобных
критериев прочности не позволяет прогнозировать композитный
материал такой структуры, при которой обеспечивалась бы либо
максимальная нагрузка начального разрушения, либо максималь-
ная несущая способность конструкции. Кроме того, при фено-
менологическом подходе невозможно определить и характер раз-
рушения конструкции из композитного материала.
Второе направление при построении критериев прочности
композитных материалов содержит элементы структурного ана-
лиза и свободно от указанных выше недостатков. Это направ-
ление развито в работах [25, 55, 74, 92, 93, 105, НО, 161, 171,
193, 198, 200, 222, 245]. Однако в указанных работах рассмат-
ривался композитный материал при простейших типах напря-
женного состояния (чистое растяжение или сжатие, либо чистый
сдвиг); случай сложного напряженного состояния не анализиро-
вался. Кроме того, приведенные соотношения не могут быть ис-
пользованы применительно к изделиям, армированным несколь-
кими семействами волокон.
24
В дальнейшем под начальным разрушением, или просто раз-
рушением, механической прочностью, или предельным состоя-
нием армированного материала или конструкции из него, будем
понимать переход в пластическое состояние либо хрупкое раз-
рушение хотя бы одного из элементов композиции.
Здесь исследование разрушения композитных материалов и
конструкции из них при произвольном характере армирования
и сложном напряженном состоянии будем проводить согласно
[114, 115]. В связи с этим наряду с гипотезами из § 2 примем
дополнительные.
1.	Когезионная прочность связующего пе больше, чем адге-
зионная. Данное условие принято в целях определенности, тем
более что в литературе отсутствуют достоверные эксперимен-
тальные результаты определения условий прочности адгезионных
связей в композитных материалах [44, 198]. При наличии такой
экспериментальной информации они легко могут быть введены
в предлагаемую модель разрушения композитного материала,
практически не усложнив ее.
2.	Материал изотропного связующего подчиняется условию
прочности Баландина [15] с различными пределами прочности
при растяжении 4 и сжатии о?, которое через главные зна-
чения тензора напряжений а записывается в виде
(УсСс + (ос — Ос"((Тс + Не 4“ Ос) ~ Ое"Ос *	(4.2^
Направлепия главных осей или связь между о” и Ос при рас-
смотрении конкретных задач в дальнейшем будут указаны.
3.	Согласно гипотезам § 2 каждое волокно, внедренное в свя-
зующее, может выдержать как растягивающую, так и сжимаю-
щую нагрузку. Однако при воздействии сжимающей силы может
возникнуть некоторая форма неустойчивости волокон, поэтому
будем считать, что пределы текучести (прочности) волокон к-го
семейства при растяжении 4а и сжатии ваь различны. Под о^а
будем подразумевать критическое напряжение, достигаемое в во-
локнах в момент потери устойчивости. С учетом (2.8) условие
прочности волокон к-го семейства перепишется следующим
образом:
Eah Un Cl)8 +	+ е22 Ga)2] —
„ о f 4а при <?<* > 0s
—	_	п	(4,3)
I 1 ОаА ПрИ #аА U
(4а > О, &= 1, 2, ..., m).
Используя условия (4.2), (4.3), исследуем начальное разру-
шение армированного слоя, находящегося в условиях плоского
напряженного состояния. Пусть в плоскости армированного слоя
действуют усилия Тогда задача о начальном разрушении
25
может быть сформулирована следующим образом: при заданных
параметрах структуры (<щ, ф*, к = 1, 2, ..т; <х>с, <ва) армиро-
ванного слоя и механических характеристиках элементов компо-
зиции (vc, Ес, ас , “кс, Еah, &ah, ®оа) в пространстве параметров
внешнего воздействия р^ор^р12 необходимо построить поверх-
ность, внутри которой все элементы армированного слоя дефор-
мируются упруго, а при выходе на нее начинает разрушаться
хотя бы один из элементов композиции.
В случае плоского напряженного состояния условие прочно-
сти (4.2) примет вид
(al)2 + (al)2 — alal + (а<Г — a^)(al + al) = о^оГ.
Используя известную связь между главными напряжениями а“
и Оср, в общем случае плоского напряженного состояния условие
разрушения связующего представим в виде
M‘), + Mi)!-^’ac!2-+3(a!a)a +
+ (a.~ — aj) (<тГ + о?‘) — о.1 пГ.	(4.4)
Для построения поверхности разрушения армированного слоя
поступим следующим образом: при заданных параметрах струк-
туры и механических характеристиках элементов композиции,
используя условия прочности (4.4), (4.3), построим (2ш+1) по-
верхность в пространстве р“ор’’2р12. Тогда произвольную точку
принадлежащую одной из указанных поверхностей, будем
характеризовать радиус-вектором р{ри, р22, р12}. В этом случае
замкнутую простую поверхность, соответствующую началу раз-
рушения армированного слоя, определим из условия, что 1р|
в пространстве риор22р12 достигает минимального значения.
Пусть при некоторых значениях параметров внешнего воз-
действия р“, р22, р12 разрушение армированного слоя началось
вследствие разрушения связующего, т. е. выполняется условие
(4.4). В этом случае, учитывая (2.2) и (2.3), имеем
рЯ® — (ОсОс^ + <Вц 2	(4.5)
л=1
₽u = (a” — vcal2)/Ee + ac0,
₽22 - (CT«2 —	)/+ “e0’	(4.6J
#12 = (1 -Jr Vc)al /Ec.
Подставляя (4.6) в (2.8), а затем в (4.5), получим
ра₽ = пГА^-Аае,	(4.7)
дсф _ Д«Ф _ дР« _ дР“
где	Л12 — Л21 — Л12
Ада == (£>с + ©a S (^ft) ahaa,
fe=l
26
л12 — А
Л12 — 2
4рр = (оа 2 (Z“)2flfepp («=# Р),
й=1
^1* = "К ®я ЮА О») ЙЛ12»
h=l
т
== ZEl
fc=l
m	\
G>e + % 2 ®kfykakn L
h—1	J
” ®a 2 ^klk^k^kf
ft—1
akll = Eak [(/fe)2 — Vc (Zfe) ]/Eei
ak22 ~ Eak [Gl)2 — Vc (/ft) ]/2?cf
®ftl2 2Aafc (1 + Vc) Iklk!Ecf
ak — QEak {«ab — ac[(^)2 + 01)2]h
Рассматривая (4.7) как систему линейных уравнений относи-
VI*
тельно сё , получим
а«Э = (р™ + 4^) Ь^.	(4.8)
Здесь приняты обозначения:
6^-4(4X-4Uffl.
,aa 1 / л 12 лаа лаа я12\
ОДО = -д клДОД12 —
ь“-и(<4?-48лП	<4'9>
й’«-н(4М-4Ю пр- «*₽.
/,12_1. f J11 Л22 __ 411422^
°12 — 4Д у/^п^зг — л22Л11/»
JJJ = Ь“» » b’J = S»“.
--.	Л11 ^11	т!11 ^22	ли Л12	
д =		А22 ^-22	Л22 7112	•
	Л}?	А12 ^22	Л12 2112	
Если теперь соотношения	(4.8)	подставить в условие прочности		
связующего (4.4) для плоского напряженного состояния, то
27
получим
[(?’» + Д’») 6“ ] + [(/>’» + Д’»)	]’ -
- (?’“ + д’») (₽“’ + д-’) + 81(р’» + Д’») о +
+ («Г - rf) (р’» + д’») Mi + ьй)-	- о. (4.10)
Нетрудно видеть, что в пространстве pliop22pu имеем эллипсоид.
Таким образом, если армированный слой начинает разрушаться
вследствие разрушения связующего, то в этом случае поверх-
ность начального разрушения является частью эллипсоида, ко-
торый будем обозначать £2С. При рассматриваемом характере
нагружения из (2.9) имеем
р“₽ = Л“№еТй- Ва₽0.
Из указанных соотношений нетрудно определить
eat = (p™ + ®B*)bafiw.
Величины ЬяЗТ(1 определяются аналогично из
в (4.9) всюду формально заменить па А"”111.
Если параметры внешнего воздействия таковы,
ванный слой начинает разрушаться вследствие разрушения во-
локон к-го семейства, то, подставляя (4.11) в условие прочности
волокон к-го семейства (4.3), получим
Eah {(р7*1 +	[(/J)2 Ьцтц "Ь	+ 0I)2^aavp] —
(4.11)
(4.9), если
что армиро-
— аол’0} =
,(4.12)
две па-
армиро-
fc-ro се-
приеай>0,
— aoft0J= _
(	При вак
(k'=i, 2, ..., m).
Эти соотношения в пространстве риор22р12 определяют
раллельные плоскости. Следовательно, если разрушение
ванного слоя начинается вследствие разрушения волокон
мейства, в этом случае поверхность начального разрушения пред-
ставляет собой часть одной из плоскостей (4.12), которые обо-
значим соответственно £2^.
Таким образом, в общем случае поверхность разрушения ар-
мированного слоя в пространстве параметров внешнего воздей-
ствия р11, р22, р12 будет состоять из частей эллипсоида £2С, харак-
теризующих разрушение связующего и кусков плоскостей £2^,
соответствующих разрушению волокон армирования к-го семей-
ства. При этом линии пересечения эллипсоида £2С и плоскостей
£2^. будут отвечать таким параметрам внешнего воздействия р1*,
р22, р12, при которых начинается одновременное разрушение свя-
зующего и волоков армирования к-то семейства. Прямые, воз-
никающие при пересечении плоскостей и £2«г (k^i; к, i~
= 1, 2, ..., m), характеризуют разрушение в армированном слое
одновременно волокон к-го и i-ro семейств. Сингулярные точки
поверхности разрушения, полученные в результате пересечения
28
fie,	(k=£ i; k, i = l, 2, ..m), соответствуют одновре-
менному разрушению связующего и волокон fc-ro и i-ro семейств.
Если сингулярная точка поверхности разрушения появилась
в результате пересечения трех плоскостей &ац. й<я (к Ф
к, i, l = i, 2,	т), значит, при параметрах внешнего
воздействия, соответствующих этой точке, в армированном слое
начинают разрушаться сразу три семейства армирующих волокон.
Таким образом, предложенный подход к построению поверх-
ности начального разрушения в общем случае гибридного ком-
позитного материала позволяет теоретически оценить влияние
структуры армирования и механических характеристик элементов
композиции на тип начального разрушения и значения парамет-
ров внешнего воздействия, соответствующих началу разрушения
композитного материала. Кроме того, полученные результаты
могут быть непосредственно использованы при расчете на проч-
ность конструкций из армированных материалов, находящихся
в условиях однородного плоского напряженного состояния.
Реальные конструктивные элементы из армированных мате-
риалов часто подвергаются длительному воздействию нагрузок,
что приводит к необходимости построения критериев прочности
с учетом фактора времени. В [108, 199] для плоского напряжен-
ного состояния использовался феноменологический подход к по-
строению поверхности длительной прочности анизотропного ма-
териала: считалось, что тензоры, характеризующие поверхность
прочности из [101], зависят от времени и определяются для'
каждого типа анизотропии из серии экспериментов. Этот подход
мало приемлем с практической точки зрения, поскольку при лю-
бом „изменении структуры или механических характеристик суб-
структурных элементов требует повторения большой и трудоем-
кой программы испытаний.
Здесь на основе физических соотношений (2.11), отражаю-
щих вязкоупругие свойства элементов композиции, предлагается
структурный подход к построению поверхности длительной проч-
ности для армированного материала в случае плоского напря-
женного состояния.
При действии постоянных усилий pai в плоскости армиро-
ванного слоя из (2.11) имеем
р“₽ =
Рассматривая эти соотношения как систему уравнений относи-
тельно еТр, используя принцип Вольтерра [168] и соотношения
(2.6), определим осредненные деформации еа9, деформации
в связующем
₽ар = ₽ар =	(4.13)
и в армирующих элементах А’-го семейства (к = 1, 2, ..., тп)
еай = р [Gft) ^llvn + 2ZfeZft&12Vll "b	"(4.14)
Операторы определяются по таким же формулам, что и
Ьаети из (4.11), если сделать замену 4®₽Т|‘ на
29
Расшифровка комбинации операторов из (4.13) и (4.14) в об-
щем виде практически невозможна. В конкретных случаях, когда
ядро оператора Г* задано, например, в виде дробно-экспонен-
циальнои функции ЭА Работнова (168] и характер армирования
имеет определенный вид, операторы удается расшифровать.
Опуская вопрос о степени сложности реализации указанной про-
цедуры, будем считать, что деформации в элементах компози-
ции из (4.13), (4.14) определены на любой момент времени. Дан-
ное обстоятельство позволяет сформулировать структурный кри-
терий длительной прочности армированного материала [190].
В [199, 210] экспериментально установлено, что разрушение
некоторых видов арматуры и связующего при воздействии по-
стоянной нагрузки во времени происходит при достижении соот-
ветствующими деформациями предельных значений. В этом слу-
чае для определения длительной прочности композитного мате-
риала будем использовать в качестве первого приближения де-
формационные критерии прочности для каждого субструктурного
элемента. Для связующего он примет вид
— еа₽с ₽ар еарс,	(4,15)
а для армирующих волокон Л-го семейства имеем
&ak	к = 1, 2, . . . j	(4.16)
i “t	т
где е£рс и eah — предельные деформации связующего и армирую-
щих элементов при растяжении (плюс) и сжатии (минус); для
ортотропного материала е^2с = е^с. При формулировке условий
(4.15), как и в [48], постулировалось, что каждая отдельная
компонента тензора деформаций не влияет на предельные зна-
чения остальных компонент.
Аналогично тому, как это делалось при построении поверх-
ности кратковременной прочности, используя условия (4.15),
(4.16) и соотношения (4.13), (4.14), построим гиперповерхность
длительной прочности армированного материала в пространстве
рпор22р'Ч. При этом сечения I = const указанной гиперповерхно-
сти будут поверхностями, состоящими из «кусков» плоскостей.
Когда предельная деформация элементов композиции зависит
от времени до разрушения, целесообразнее использовать энерге-
тический критерий разрушения, согласно которому вязкоупругий
материал разрушается во времени, если работа напряжений до-
стигает предельной величины, В этом случае условия разруше-
ния связующего и армирующих элементов к-го семейства соот-
ветственно примут вид
t
(0) (рар, 0) + J - иг
v	0
.	с	(4.17)
"% Рак (0) &ак (р О) -J- J PakdCak s	я 1а 2Х . . . 5 е
0
30
где	— предельные значения работы соответствующих
материалов. Усилия р*Р и рак, согласно принятой модели компо-
зита (2.3), (2.5), определяются следующим образом:
Ре* — - (баю + VcCppJj	Pi
1 — Vc
.	(4.18)
1 + Vc
Рек Еак^ак-
Энергетические критерии разрушения (4.17) совместно с соотно-
шениями (4.13), (4.14) и (4.18) позволяют построить гиперпо-
верхность длительной прочности в пространстве p'lopapat. Одна-
ко в отличие от деформационных критериев в рассматриваемом
случае сечения t = const определяют поверхности, состоящие из
«кусков» поверхностей второго порядка.
В общем случае для нахождения гиперповерхности длитель-
ной прочности армированного материала можно использовать
комбинацию критериев (4.15), (4.16) и (4.17).
§ 5. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ АРМИРОВАНИЯ
НА ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ
КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА
'Изучение прочности композитного материала обычно
базируется на стандартных испытаниях в условиях простейших
нагружений; чистое растяжение, сжатие и сдвиг [167, 199, 207,
208]. Используя разработанную структурную модель, рассмотрим
сначала эти простейшие ситуации.
Для удобства введем следующие безразмерные величины:
Pa = P**/cr^i , р3 = р1а/ос+, Т = 0ас£’с/ст?,
<то = огГ/о?» ==<т^/а?, Ек=^Еак1Ей, ctk = aak/ac
и примем, что удельное объемное содержание армирующих эле-
m
ментов va = Иа J] остается постоянным при любых изменени-
ях
ях структуры композита.
При кратковременном нагружении в случае простого растя-
жения (сжатия) нагрузкой р, кривая несущей способности арми-
рованных материалов в зависимости от структуры армирования
определяется из соотношений (4.10), (4.12) при р2 = рз = О. Для
однонаправленного композита зависимости разрушающей нагруз-
ки р1 от удельного объемного содержания волокон va при vc —
= 0,35, Оо = 3, T = Q, m = 1,	= va и 1 —£’1 = 20, 2 —_й\ = 80
приведены на рис. 5.1. Значению Z?, = 20 отвечает стеклопластик,
Э<
a Ei = 80 — углепластик. При
этом максимальное наполнение
волокнами армированного слоя
= 0,785, что соответствует
реальным армированным мате-
риалам [107, 167, 207, 208].
Сплошные кривые на рис. 5.1
построены в случае растяже-
ния вдоль волокон (^1 = 0),
штриховые — для сжатия.
Штрихпунктирные кривые от-
носятся к растяжению перпен-
дикулярного армированию
(^ = л/2).
Здесь и в дальнейшем ниж-
ние индексы у букв, которыми
обозначены кривые на рисун-
ках, отвечают номеру варианта
параметров. Характер разруше-
ния (тип напряжений, из-за
которых началось разрушение
композита: щ — разрушение
связующего, аак — разрушение
волокон Л-го семейства) указан
около каждого гладкого участка
кривой. Сингулярные точки, обозначенные залитыми кружками,
характеризуют появление одновременно нескольких механизмов
разрушения в композите.
Сплошная кривая соответствует разрушению связующе-
го (армирующие элементы остаются упругими) при Oai> 19,8.
Это значит, что увеличение предела прочности арматуры на рас-
тяжение выше указанного значения не приведет к повышению
прочности композита при растяжении в направлении армирова-
ния. Зависимость л2я2 (сплошная линия) построена для оЙ. = 30
и отвечает разрушению волокон (связующее остается упругим).
Как видно, указанные зависимости практически являются линей-
ными, что качественно согласуется с результатами [199]. Штри-
ховые зависимости (a = 1, 2) получены при ой = 15 и отно-
сятся к случаю разрушения композита вследствие разрушения
арматуры при сжатии. Штриховая линия сгсг отвечает 0^ > 60, 2,
и композит разрушается от разрушения связующего. Штрихпунк-
тирная линия сАгс' соответствует ой >’0,63 и прогнозирует раз-
рушение связующего. Ломаная штрихпунктирная кривая а2А2с'
получена при ай = 0,5; на участке а2А2 происходит «разрушение»
волокон при сжатии (эквивалент потере устойчивости волокон в
матрице при сжатии), на участке А^с' — разрушение связующего,
а в точке Л2 одновременно разрушаются связующее и- волокна.
32
Рис. 5.3.
На рис. 5.2 приведены результаты расчетов зависимостей Ipd
от угла рассогласования между направлениями действия силы
и армирования для однонаправленного композита при
m = l, = va, Т = 0;
vo = O,35, ©е = 0,3, i?„ = 0,55, oe = 3;	(5.1J
1-	к = 20, 2-Я, = 80.
Кривые, отмеченные верхним индексом «плюс» («минус»), соот-
ветствуют растяжению (сжатию) композита в направлении ж1,
т. е. р3 = рА = 0. При этом зависимость
CiXici отвечает Од > 19А9; о7> 0,165;
ctAtet - ОЙ > 79,8;	> 0,168;
аМЧ+-5Й = 15;
с~Ay Ci — стЙ > 0,805;	> 59,9;
Cg А% с% — ой > 0,828; on,^>241;
-^>1	— Фоц==г Ю;
#2 А% ^2 ”Фа1 ==
Зависимости ваА^Си (а —1, 2) удовлетворительно согласу-
ются с аналогичными результатами из [107, 155]. В частности,
в [155] экспериментально обнаружено, что при растяжении ком-
позита под углом к направлению армирования существует не-
3 Ю В. Немировский» Б. С* Резников	33
который угол = г|ч, при котором происходит переход от разру-
шения связующего к разрыву волокон. Для стеклопластика АГ-4С
в [155] получено	На рис. 5.2 это соответствует точкам
(а = 1, 2), причем для точки г|ч^2°, а для Л* гр° 4°.
Ломаная atd/et отвечает стеклопластику АГ-4С из [И, 220].
На рис. 5.3 при параметрах (5.1) приведены зависимости раз-
рушающей нагрузки р3 от угла армирования г|ч в случае, когда
к композиту приложены сдвиговые усилия р3, а рх = р2 = 0.
Сплошные кривые соответствуют Т = 0, а штриховые — 71 == 0,05
и (Xi == 10. Сплошная кривая построена при а^>3,05,
кривая с2с*4“ при ofti>3,17? кривая с1Л1а1ЛХ —при aJi = 2,
кривая с2Л2а2Л2С2 — при == 2. Штриховые' кривые
и	отвечают соответственно о^>>2}68 и о^>2, 76.
Как видно из сравнения кривых, равномерный нагрев приводит
к снижению сдвиговой прочности композита.
Необходимо отметить, что указанные выше и в дальнейшем
неравенства на определяют максимальную целесообразную
относительную прочность армирующих элементов, дальнейшее
увеличение которой не способствует упрочнению композита.
Для ортогонально армированного материала при тп == 2, г|ч =
= 0, г|?2 = л/2, соДоп + «о) = va, Ех = Ё2 = Е,	= с^, ах —
= а2 = а и значениях остальных параметров из (5.1) зависимости
разрушающей нагрузки от удельной интенсивности армирующих
волокон 1-го семейства приведены на рис. 5.4, 5.5. При этом
рис. 5.4 отвечает растяжению вдоль волокон 1-го направления
(р2 ===== ps — 0), а рис. 5.5 — нагружению сдвиговыми усилиями
34
(pi ~pz = 0). Кривая СхСх (см. рис. 5.4) подсчитана при значе-
ниях Оа >20, о7 >_О,167, кривая с2с'2— при ot>80, a7>0,171t
прямая а2а.2— при cr,t > 30, аа >0,171. Как видно из этого ри-
сунка, характер роста разрушающей нагрузки с увеличением до-
ли армирующих элементов в направлении действия усилия суще-
ственно зависит от механизма начального разрушения: в случае
разрушения волокон имеем практически линейную зависимость.
При разрушении связующего почти линейная зависимость сохра-
няется, если содержание волокон в направлении действия нагруз-
ки не превышает половины общего объема волокон. Последующее
увеличение содержания волокон 1-го семейства обусловливает
значительный рост разрушающей нагрузки.
На рис. 5.5 сплошная линия соответствует разрушению от
сдвига в отсутствие температурного воздействия. Если сдвиговое
нагружение сочетается с равномерным нагревом Т = 0,05 и а —
= 10, то кривой разрушения будет штриховая линия на этом
рисунке. Из сравнения обеих кривых видно, что без нагрева пе-
рераспределение арматуры по главным направлениям не влияет
на разрушающую нагрузку. При нагреве такое перераспределе-
ние арматуры существенно изменяет разрушающую сдвиговую
нагрузку.
Различные сечения поверхности кратковременной прочности
одпонаправленно армированного материала {m = 1, волокна уло-
жены под углом ip! к направлению й?1) приведены на рис. 5.6,
5.7 при р} = 0 и значениях vc, wc, щ, Т из (5.1).
На рис. 5.6	0, 0а = 20) сплошная кривая АаЪсВ отве-
чает Е = 20, Сто — 3,oJ = 25, эллипс (штриховая линия) —
Е = 15, 0й — 1,0а = 20, криволинейный четырехугольник
(пттрихпунктирная линия) — Е = 75, оа = 1, <т£ = 20. Кривая
АаЬсВ является частью эллипса и характеризует разрушение свя-
зующего. Прямолинейный участок ВА соответствует «разруше-
нию» (выпучиванию) арматуры при сжатии, точки А и В —одно-
временному разрушению связующего и армирующих элементов.
Для криволинейного (штрих-
пунктирного) четырехугольни-
ка AjB-lA^Bi на участках AjB^
и Л}ВХ имеет место разрушение
связующего, а на прямолиней-
ных участках AJE п z41Z?1 —
разрушение арматуры. При
этом па AiBi арматура разру-
шается от растягивающих уси-
лий, а на А1В1 волокна разру-
шаются от сжимающих усилий.
При _Е = 20, (т0 = 3, Оа >
>1,91, о7 > 2,48^ эллипс abed
3*	35
(см. рис. 5.7)’ отвечает значению ipt = л/12, а эллипс	=
= л/6. Сравнение кривых рис. 5.6, 5.7 показывает, что изменение
угла армирования "фд и относительных механических характери-
стик Е, Оа, По приводит как к количественным, так и к качест-
венным изменениям критерия прочности, т. е. меняются вид кри-
вой прочности и характер разрушения.
В случае ортогонально армированного композита (тп = 2,	=
— О, ф2 = л/2,	= со2, Т = О, Е = 15, 0о = 1) сечения ра = 0 по-
верхности разрушения приведены на рис. 5.8. Эллипс aba'b' по-
строен при Gai >15,2 и соответствует разрушению связующего.
Для криволинейного многоугольника ABDFA'B’D'F' (па = 13,5)
участки BD, FA', B'D, F'A связаны с разрушением связующего,
а прямолинейные участки АВ, DF, А'В', D'F' — с разрушением
армирующих элементов. На АВ и А'В' разрушаются волокна
2-го семейства, а на DF и D'F' разрушается арматура 1-го. На
участках АВ и DF волокна разрушаются при растяжении, а на
А'В' и D’F' — при сжатии.
При построении поверхности длительной прочности в каче-
стве примера рассмотрим ортотропный материал, армированный
четырьмя семействами одинаковых волокон:
4
Ш = tt>3 == й4, ОЦ = fa,
4	i=l
Ёак = Еа (fc=l, 2, 3, 4), ipt = O, 1|?2 = л/2, -фз = — = if.
Ядра ползучести элементов композиции являются дробно-экспо-
ненциальными функциями [168] Ег = Ег [1 — хгЭА ( — рг — хг)
(индекс г принимает значения с и а), и для простоты примем]
коэффициент Пуасона постоянным vcsvc. В этом случае комби-
нации операторов из (4.13), (4.14) примут вид
^1222 =	112 = О,
^Лхаа'а == (о)с^с '"Ь Ыа^аЯаа)
(5.2)
^1122 = — (vc(0 J?c + (Oa^aOCia)/^
Z?1212 ~ [2 (0)с^сР1з 4“ (Оа-ЕчхС£1з) ]
36
где Ъ = ®?Е? + ®с<лаА12Ес'Еа + ®аЛ1Л2,
Лда = (1 — Vc) (®а + 2®3/а),'
412 = ®1 + ®2 + 2®3 (if + i2 — 2vclil2)x
= (1 — Vc) [®!®2 + 2®з (wjf + ®2if)]j
. Ct 12 ~ (1  Vc) ®13>: ®13 = 2®3Z1Z2S '
pis = [2(1 +vc)]-1, It — cos i|?, Z2 = sinif>.
Для того чтобы расшифровать комбинации операторов из
(5.2), достаточно расшифровать оператор (5)-1. Представим его
в виде
(б)-1 =
~ ~ I	o„Z?c
(дс^аА^ЕсЕа I 1 4*	~
L	®<А2^
Ma^all 1
м<;412®с J J
Данное выражение и оператор 51212 с учетом определения опе-
раторов Ес и Еа в результате преобразований, основанных на тео-
реме умножения резольвентных операторов [168], примут вид
[2	1 Г	4
i+2#s3i(rs) 1+2 <?х (rs)
«=i	J L	5=1
&Ш2 = М 4“ 2	J«-
3 L S=1	J
Где &q = (ОСЯС 4“ СОс^а^хг-^с-^а 4“ OJa-^a-^-a?	==: ®с^ср!3 4“ <Оо^а&13'
Для определения г8 и KSi В3 и Q8, ns и В* имеем следующие си-
стемы уравнений:
2	.	2 JT
‘-2^7 = 0 и 1-2^.= О (-1.2).
‘-2^ -0*1-2^ = 0 « - 1.2.3. 4).
2 ъ	2 в
1 —VF»~° и 1 — Xi+ns“ 0	= 11
^>1 в Рс 4* Аа ре 4“ %з ” Рс, ^7 Ра’
== Хс/&з, == Ха/^з, ~~ Xс ( Р® A/j) /	”” )',
Z>2 Ха (%2 “ Рс) / (А>2 ^1) , (£1 e ?qXc (^*3 ^1)
?2 = (Рс ~ Р«)1 ?3 ”	(^1 — ^2)1
?4 в ?^с (Рс — Pa)i £0 = ®с^с [&о (Ра — ^l)!""1®
^ЕаА^! (Рс — ^2)»
37
Дальнейшая расшифровка операюров 1)а.агга и 5ц22 фактиче-
ски сводится к перемножению Эд операторов. Конкретные чис-
ловые расчеты на основе полученных соотношений были прове-
дены в случае деформационных критериев длительной прочности
(4.15), (4.16) при следующих значениях параметров:
<йс —0,3; па = 0,55; vc = 0,35,
Е = Еа/Еа = 4; А = -0,5;	= х0 = 0,15 дни-0’5,
р, = 0,3 дни-0’5; хо = 0,03 дни-0,5; 0,15 дни-0’5,
= <?Йхс — ес, e£k ='еЙ у& =* 1, 2, 3j 4;
1	— (02 = ®3 == 0, е£> ес;
2	(3) — (вх = а>2 — 0^ ей > ес, ф = л/12 (ф = л/6);	(5.3)
4 (5) —	= <в2 = 0, ей — ее, ф = л/12 (ф = л/6).
На рис. 5.9—5.12 приведены различные сечения поверхности
длительной прочности. При pi2 = 0 и первом варианте параметров
из (5.3) сечения поверхности длительной прочности изображены
па рис. 5.9, где AiBlCiDi соответствует t — Q, а А^С^т.—
t-+oo, Ха = 0,03 дни-05 и A'iBic’iDi— t-+<*>, ха = 0,15 дни-0,5.
На указанном рисунке и в дальнейшем многоугольники, обозна-
ченные буквами без штрихов, отвечают t = 0, с одним штрихом
сверху — t ха = 0,03 дни-0’5, с двумя штрихами — i
хо = 0,15 дни -0’5. Около каждого прямолинейного участка указан
цифрой механизм разрушения армированного материала: цифрой
1 (2) обозначено разрушение связующего в направлении х1 при
растяжении (сжатии), цифрой 3 (4) — разрушение связующею в
направлении х2 при растяжении (сжатии), цифрой 5 —разруше-
ние связующего от сдвига, цифрой 6 (7) — разрушение армирую-
щих элементов при растяжении (сжатии).
Сплошные кривые а^, а1а1 и штриховые кривые а2а2, а2а2
(см. рис. 5.10) отвечают сечениям р‘2 = р22 = 0, сплошная кривая
bi&i— сечению р12 = ри = 0, штриховая кривая 5^4— сечению
р12 = 0, р"/р22 ~ 0,4 V0 t < оо. Нижние индексы у букв означа-
ют номер варианта параметров из (5.3).
Сечения поверхности длительной прочности при р12 — 0 при-
ведены на рис. 5.11, а при р22 = 0 —на рис. 5.12. Многоугольни-
ки па эгих рисунках, отмеченные буквами с нижними индекса-
ми 3, относятся к 3-му варианту параметров из (5.3), а много-
угольники АзА3ВъС3С31)3 и E3F3K3L3M3N3 отвечают 5-му варианту
параметров.
Зависимости на рис. 5.9—5.12 показывают, как меняется по-
верхность длительной прочности от структуры армирования, рео-
логических характеристик элементов композиции и во времени.
Так, из сравнения рис. 5.9 и 5.11 видно, что с увеличением угла
армирования ф поверхность длительной прочности существенно
меняет свою форму. С возрастанием реологической характеристи-
38
Рис. 510.
Рис. 5.9.
Рис. 5.11.
ни иа (т. е. увеличением ползучести армирующих элементов) по-
верхность длительной прочности значительно изменяется во вре-
мени (см., например, сплошные кривые ар?! и агаг на рис. 5.10).
Как видно, предложенный подход позволяет исследовать дли-
тельную прочность армированного материала в общем случае
плоского напряженного состояния в зависимости от структуры
39
армирования, механических и реологических характеристик эле-
ментов композиции. Кроме того, в каждой точке предельной по-
верхности статической усталости определяется характер разруше-
ния композита, а следовательно, появляется возможность изучить
характер разрушения во времени.
§ 6. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
КРИТЕРИЕВ РАЗРУШЕНИЯ
ДЛЯ КОНСТРУКЦИИ ИЗ АРМИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ
При изготовлении конструкций из композитов материал
создается одновременно с изделием как одно целое, и условия
прочности для таких конструкции должны отражать структуру
армирования, объемное содержание элементов композиции и т. д.
Поэтому при построении критериев разрушения конструкций из
армированных материалов целесообразно опираться на струк-
турный подход в сочетании с общими методами исследования на-
пряженно-деформированного состояния.
Результаты экспериментальных исследований разрушения ар-
мированных балок, пластин, круговых колец и сегментов описаны
в [3, 27, 34, 54, 66, 68, 71, 143—145, 158, 163, 196, 208, 219, 226,
232, 235, 242, 243, 248, 250, 255, 257]. Обнаружено, что в зави-
симости от свойств материалов композиции, геометрических па-
раметров конструкции и характера нагружения изменяется как
тип начального разрушения, так и величина нагрузки, при кото-
рой оно начинается.
Теоретические подходы к описанию разрушения композитных
конструкций на основе осредненных характеристик жесткости и
прочности пе позволяют учесть эффективность работы каждого
элемента композиции и, следовательно, предсказать заранее ха-
рактер разрушения, величину нагрузки, при которой начнется
разрушение, область конструкции, где оно впервые появится,
в зависимости от параметров изделия, структуры армирования и
механических характеристик арматуры и связующего.
Перейдем к математической формулировке структурных кри-
териев разрушения конструкций из армированных материалов
[121, 123—130, 132, 133, 135, 136, 181, 186, 189]. Пусть решение
системы дифференциальных уравнений (3.20) при соответствую-
щих граничных условиях найдено. (Вопрос о численном или ана-
литическом решении соответствующих краевых задач будет рас-
сматриваться в следующих главах для конкретных конструкций.)
Тогда, учитывая соотношения (1.17), (1.18), (2.9), определим
напряженно-деформированное состояние конструкции. Затем из
(2.3), (2.7), (2.8) найдем напряжения в элементах композиции:
Gak (к = 1, 2, ..., т), которые в общем случае будут функ-
циями криволинейных координат хг и параметров структуры ар-
мирования (соа, г|>\, <oft, к — 1, 2, ..., тп), механических характери-
стик элементов композиции (Ес, vc? ас, Gc, Eak, aak) и геометриче-
40
ских параметров оболочки. Указанные параметры входят либо в
физические соотношения (2.3), (2.7), (2.8), (2.9), либо в коэф-
фициенты уравнений равновесия (3.20). Кроме того, напряжения
в элементах композиции будут, естественно, зависеть от парамет-
ров внешнего воздействия. Если через ри> (j = 1, 2, ..п) обо-
значить безразмерные параметры, характеризующие интенсив-
ность того или иного типа внешнего воздействия, то в силу ли-
нейности физических и геометрических соотношений будем иметь
=	(6.1)
j=i
pWahj(xl, аЛж3), к=1,2,...,т.	(6.2)
;=i
В частности, параметр р<Л может характеризовать интенсивность
равномерно распределенной нормальной поверхностной нагрузки,
приложенной к поверхности S, температуру оболочки и т. д.
В дальнейшем для простоты будем называть параметры р0) (/ =
= 1, 2, ..., п) нагрузками. Следует также отметить, что вид
функций Eq (ж1, ж2, ж3),	/^(ж1, ж2, xs), ] = i, 2, п; к =
= 1, 2, ..., т, может быть определен только после решения соот-
ветствующей краевой задачи. В следующих главах при рассмот-
рении конкретных конструкций и условий их нагружения и за-
крепления эти функции будут приведены.
Задачу о разрушении армированной оболочки при многопара-
метрическом внешнем воздействии сформулируем следующим об-
разом: при заданных параметрах оболочки (геометрических,
структурных и механических), характере нагружения (но не ин-
тенсивности того или иного типа нагружения) и условиях закре-
пления определить в «-мерном пространстве нагрузок pw, рт, ...
..., р(п) замкнутую гиперповерхность, внутри которой связующее
и все армирующие элементы деформируются упруго, а при выхо-
де на нее в какой-либо области оболочки начпется разрушение
хотя бы одного из элементов композиции. Однако выход на ги-
перповерхность разрушения может соответствовать также одно-
временному появлению нескольких механизмов разрушения (на-
пример, разрушение связующего и волокон одного или несколь-
ких семейств) в различных областях оболочки.
Для построения указанной гиперповерхности разрушения обо-
лочки в общем случае можно поступить следующим образом:
Vfefi, используя условия прочности (4.2), (4.3), как и в § 4,
определим в пространстве нагрузок pwop{i) р(3) ... р(п) замкнутую
простую гиперповерхность возможного разрушения оболочки в
произвольной точке xl s Q. Затем, учитывая непрерывную зависи-
мость напряжений в элементах композиции (6.1), (6.2) от про-
странственных координат х\ находим из множества гиперповерх-
ностей разрушения (например, методом сканирования [179]) дей-
ствительную гиперповерхность разрушения оболочки из условия
достижения модулем радиус-вектора р=р{р(,), р(2), ..., р(п)) ми-
41
нимального значения в пространстве р^'ор^р™... рм, (Считает-
ся, что конец радиус-вектора принадлежит одной из возможных
гиперповерхностей разрушения.)
Таким образом, в общем случае построенпе гиперповерхности
разрушения армированной оболочки сводится к решению серил
задач минимизации. Такой подход позволяет определять значения
нагрузок, при которых начинается разрушение оболочки, область
возникающего разрушения и его характер.
Рассмотрим однопараметрическое внешнее воздействие, к ко-
торому могут быть сведены многие практически важные задачи.
При этом из (6.1), (6.2) имеем
= pF™ (х\
(6.3)
— pF«k(xl, х2, х3), к = 1, 2, ..., т.
Здесь и ниже при однопараметрическом внешнем воздействии ин-
декс «1» для краткости будем опускать. Не уменьшая общности,
будем считать, что р > 0, так как функцию sgn р можно вклю-
чить в определение функций F?\ Fnh. Учитывая соотношения
(6.3) для главных значений тензора напряжений, будем иметь
следующее представление: о’ = pF}c (ж1, ж2, л'3), где функции
FJc(xl, х2, х3) определяются через Fcl (х1, х2, х3). Тогда (4.2)
представим в виде
Dc(p, =	(6.4)
Здесь	Dc (р, ж») = рМс (ад) + рВс (ад),
3
4е (xi) = 2 (F’c (xi)Y- -Fl (x*) Fl (xi) - Fl (xi) F3C (xi) - Fl (xi) Fl (xi)
3
Bc(xi) = (Цс“-Ос+)2 Fl(xi).
j=l
Используя неравенство Коши — Буняковского [79], можно пока-
зать, что для любых функций Fl (хг), определенных в области
й, выполняется неравенство Ас(х’)>0. Если
Fl (xi) = Fl (xi) — Fl (xi), to *4c(j:{) = 0.
Докажем, что в данном случае величину параметра р — рс, соот-
ветствующего началу разрушения связующего, необходимо опре-
делять из следующего соотношения (рассматривая (6.4) как урав-
нение относительно р);
. ' - Ве (xi) + [В2 И + te+<3~Ac(xi) J1/2
Ре = mm ------------------------------------- •	(6.5)
xi^Q	-Ас(х )
Пусть разрушение связующего при нагрузке рс начинается в точ-
ке xj е £2 (в общем случае разрушение связующего может на-
41
(6.9)
(6.10)
чинаться в некоторой подобласти Qe<=Q), тогда
-дсК)+[д;(.;)+4^^М)]1Д	„
2Л. («*)
Таким образом, необходимо доказать следующие утверждения:
1) при р = ре в любой точке ijefi и отличной от 4 условие
прочности для связующего (6.4) не нарушается, т. е. выполняет-
ся неравенство
De (рс, 4) <	;	(6.7)
2) для любого значения нагрузки р (0 < р < рс) и Vz! е Q
условие прочности для связующего (6.4) не нарушается, т. е. вы-
полняется неравенство
Рс(р,4)<асЧ".	(6.8)
Для доказательства первого утверждения определим величину
р0>0 из следующего уравнения:
De (л,, 4) = с4а7.
Тогда
- *с(4)+[вс (4) + Ч+°с"Л(4)]1/2
Р"	24(«!)
и по определению величины рс из (6.5), (6.6) имеем р0 > рс- Ис-
пользуя (6.10), нетрудно получить
De (р9,4) — Dc (рс, 4) = --у— [2рс4е (4) + вс (4) +
+ [.В3 (4) + 4а^оГЛ (4)]1/21-
Левая часть в силу неравенств Ас (4) >0, ре > рс, рс > 0 поло-
жительна, откуда с учетом (6.9) следует неравенство (6.7).
Для доказательства второго утверждения предположим про-
тивное: существуют точка х’° е Q, отличная от xl, и нагрузка р°,
0<Р°<Рс,	(6.11)
для которых нарушается условие прочности, т. е. выполняется
неравенство
Dc(p°f^)>o^c.	(6.12)
Учитывая, что р°>0 и Лс(4®)>0, из неравенства (6.12) по-
лучим
- Вс (xi0) + [ВС2М+ 4о+<тс-Лс (х«о)]^2
24с(г1«)
Сравнивая неравенство (6.13) с соотношениями, которые опреде-
ляют нагрузку ре, (6.5), (6.6), нетрудно заметить, что р°>Рв.
(6.13)
43
Это противоречит принятому выше предположению (6.11). Полу-
ченное противоречие доказывает второе утверждение.
Используя второе соотношение из (6.3), запишем условие раз-
рушения волокон й-го семейства:
п«й (р, ?) = PFak (?) Н _При eak >°’	(6.14)
I— Gaft при eah < О
(к = 1, 2, ..т). Докажем, что в этом случае величину пара-
метра ран {к = 1, 2, ..т), соответствующего началу разруше-
ния волокон к-го семейства, необходимо определять из следую-
щих соотношений:
при
ak
Pak =
min
°ak ]	„„„
₽♦ ’ | F , || ПрИ
ah ’ I
F*h>0, Fahlt<0,
(6.15)
,-тА-г при
| 2 ah* I
Здесь и в дальнейшем величины со звездочкой вверху (внизу)
равны максимальным (минимальным) значениям соответствую-
щих функций в области Q.
Пусть разрушение волокон армирования й-го семейства при
нагрузке pak начинается в точке хган £6 к = 1, 2,..., т. (Приве-
денное ниже доказательство практически не изменится, если раз-
рушение волокон армирования й-го семейства реализуется сразу
в некоторой области QflfeeQ.) Вf этом случае необходимо дока-
зать следующие утверждения: 1) при р = pah в любой точке
е Q и отличной от xlk условие прочности для волокон й-го
семейства (6.14) не нарушается, т. е. выполняются неравенства
“ &ak < PahFdh (#o)	&ahi	(6.16)
2) для любого значения нагрузки р (0 р < pah) и Vf g Q усло-
вие прочности волокон й-го семейства (6*14) не нарушается, т. е.
выполняются неравенства
— Uak < pF.ah (?) < aX, fc = l,2, ...гт.	(6.17)
Для доказательства первого утверждения необходимо рас-
смотреть следующие ситуации:
а)	пусть
^а(?)>0,	(6.18)
тогда величину нагрузки раы найдем из условия аак (pakot ?) =
= <Уаь, следовательно, Райо =	(?). Учитывая определение
величины нагрузки poft из (6.15), имеем рак<рам или Рай <
< Пай/Fак (?),
44
Таким образом, выполняется правой’неравенство (6.16); а ле-
вое — в силу (6.18) и условия Раь'>0;
б)	пусть
Ш<0,	(6.19)
тогда, определяя нагрузку peM из условия Qak(Pakoi 4) = — <7<~<
(Paso =—Oak!Fah (жо)) и учитывая (6.15), имеем неравенство
palt < Рам- Если подставить в него выражение рака, получим левое
неравенство (6.16). Правое неравенство (6.16) выполняется в си-
лу (6.19) и условия рад>0;
в)	нетрудно видеть, что и при Fah (#о) — 0 неравенства (6.16)
выполняются.
Второе утверждение докажем от противного: предположим,
что существует точка ж10 е Q, отличная от Xahi и существует на-
грузка plhi
О < Pah < Paht	(6.20)
для которых нарушается условие прочности нитей к-то семейства,
т. е. выполняется либо неравенство
Oak (pJL > ОаН Либо (Jak (рак,. Я?) < —	(6.21)
Как и при доказательстве первого утверждения, рассмотрим три
ситуации:
а)	пусть выполняется неравенство (6.18) в точке xta, тогда из
доказанного первого утверждения следует: oak (pak> ж10) < oJa-
Если наряду с этим неравенством рассмотреть первое неравенст-
во из (6.21), то нетрудно получить ра&<р«лг что противоречит
указанному выше условию (6.20);
б)	в случае, когда реализуется неравенство (6.19) в точке ж’°,
из первого утверждения вытекает: бой,( pah, ж10) > — а^. Рас-*
сматривая наряду с этим и второе неравенство из (6.21), полу-
чим Pah <Z Рам что противоречит условию (6.20), а следовательно,
доказывает второе утверждение при выполнении неравенств
(6.18), (6.19);
в)	нетрудно видеть, что неравенства (6.17) выполняются и
при ^ад(ж<0) — 0.
После того как нагрузки, соответствующие началу разруше-
ния связующего и волокон армирования А-го семейства, найдены
(соотношения (6.5), (6.15)), нагрузку, отвечающую началу раз-
рушения композитной оболочки, будем определять следующим
образом:
Рн = min {рС1 Pali где ра = min {paft}« (6.22)
Соотношения (6.5), (6.15), (6.22) дают конструктивный под-
ход к решению обратной задачи определения разрушающей на-
грузки ри для оболочек из композитных материалов. При этом
45
область возникновения разрушения и его характер определяются
одновременно с величиной разрушающей нагрузки. Кроме того,
для решения задачи (6.5), (6.15), (6.22) необходимо находить
экстремальные значения функций, которые зависят только от
пространственных координат и не зависят от нагрузки р, что по-
зволяет поставить и решить задачу о рациональном проектирова-
нии армированных оболочек по начальному разрушению.
При длительном нагружении конструкций анализ их поведе-
ния и оценка соответствующих предельных нагрузок могут быть
осуществлены таким же способом на основе критериев длитель-
ной прочности, изложенных в § 4.
$ 7. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
РАЦИОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
ИЗ АРМИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Рациональное проектирование является наиболее акту-
альной задачей для конструкций из композитных материалов, так
как материал создается вместе с конструкцией и с технологиче-
ской точки зрения наиболее удобно осуществить целевую оптими-
зацию изготавливаемого изделия.
Проблема оптимального проектирования конструкций из во-
локнистых композитов не имеет законченной математической
формулировки. В ряде случаев [4, 18, 49, 59, 81, 86, 113, 177, 191,
192, 258] задача оптимизации формулируется как задача о мини-
муме некоторою функционала (чаще всего массы) при опреде-
ленных ограничениях геометрического, механического и техноло-
гического характера. Существующие методы решения таких за-
дач [16, 67, 99, 202, 205, 216] не гарантируют достижения гло-
бального минимума, и поэтому получающееся решение может
считаться оптимальным лишь условно. В других случаях реше-
ние задачи строится на основе некоторых эвристических дополни-
тельных предположении (равпопрочпость, равнодеформируемость
элементов и т. п.), выполнение которых якобы гарантирует улуч-
шение параметров изделия.
В обзоре, который не претендует на исчерпывающую полноту,
будет использоваться понятие «оптимальная» конструкция, сле-
дуя терминологии тех или иных авторов.
В работах [4, 86, 192, 215] рассматривается оптимизация обо-
лочек из композитных материалов по устойчивости при осевом
сжатии или внешнем давлении с переменными по координатам
характеристиками. В качестве критерия оптимальности исполь-
зуется условие минимума веса оболочки (точнее массы или объ-
ема) при ограничениях на прочность и устойчивость.
Рациональному по устойчивости проектированию гладких и
подкрепленных оболочек из армированных материалов посвяще-
ны работы [62, 119, 137—139, 227], в которых определены ха-
рактеристики армирования, обеспечивающие наибольшее значе-
46
ние критической нагрузки пли значительно повышающие несу-
щую способность оболочки при сохранении ее массы.
В [18, 47, 49] за счет соответствующего выбора анизотропии
материала определены оптимальные параметры пластины, обес-
печивающие минимум массы или максимум несущей способности
из условия прочности при выпучивании пластин.
Вопросам минимизации массы (объема) конструкции или ар-
мирующего материала в ней прп заданной прочности (т. е. при
выполнении некоторого феноменологического критерия прочности)
посвящены, работы [8, 59, ИЗ, 148, 178, 229, 237, 258]. При этом
в [ИЗ, 148, 178, 229, 237, 258] рассматриваются пластины, а в
[8, 59] — оболочки на основе уравнений безмоментной теорпп.
В качестве условия рациональности в [20, 22, 30, 33, 35, 36, 76,
118, И9, 122, 147] используется условие равнонапряженности,
из которого определяется закон распределения армирующих эле-
ментов.
В произвольно нагруженных оболочках возникают изгибные
напряжения, сравнимые по величине с мембранными, что при-
водит к неравномерности работы сечения. Поэтому при проекти-
ровании оболочечных конструкций идеальными с точки зрения
рационального использования материала следует считать кон-
струкции, в которых реализуется строго безмоментное состояние
[85, 131, 140—142]. В задачах концентрации [21, 133, 204, 247]
применяется критерий минимума максимального напряжения
илп максимальной интенсивности напряжений.
Нередко при проектировании конструкций из композитных
материалов предлагаются специальные условия рациональности.
Так, в работах [32, 39, 147, 239] расположение арматуры выби-
рается в соответствии с траекториями главных напряжений (де-
формаций) .
Поскольку во всех упомянутых случаях гарантировать дости-
жение глобального экстремума для массы или действующих на-
грузок’ невозможно, будем называть получающиеся проекты ра-
циональными с указанием смысла рационализации. Стандартную
постановку решения задачи о минимуме функционала массы,
изложенную в ряде монографий [191, 192, 215] и многочислен-
ных статьях, обсуждать не будем. Рассмотрим здесь вопрос о
рациональном проектировании конструкций с точки зрения по-
вышения несущей способности на основе метода, тесно связан-
ного с критерием разрушения, изложенным в § 6. При этом в
качестве основного критерия рационального проектирования кон-
струкций из композитных материалов выступает требование реа-
лизации структурной прочности для всех элементов композиции
[35. 36, 47, 118/119, 123, 126, 137, 181, 186, 253].
Как было показано, параметры структуры армирования обо-
лочки (ыс, а», сщ, ф*, к — 1, 2, ..., т), механические характери-
стики арматуры и связующего	aak, «Joi, Ее, vc, Ge, а,с, оу)
входят как в коэффициенты разрешающих уравнении (3.20),
так и в условия разрушения (4.2), (4.3), следовательно, на-
47
грузка начального разрушения оболочки рв, определяемая соот-
ношениями (6.5), (6.15), (6.22), также зависит от указанных
параметров. В связи с этим задачу рационального проектиро-
вания армированных оболочек по условиям прочности поставим
следующим образом. При заданных параметрах отсчетной по-
верхности S: ка, ааа, контура Г, ограничивающего S, толщины
оболочки 2Ь, общей массы армирующих элементов Уа и интен-
сивности армирующего слоя <во необходимо определить такие
механические характеристики материалов арматуры и связую-
щего Eaho, оаь, «ало, 7ало, к = 1, 2, ..т, Еео, Оед, асв (для про-
стоты считается, что vc — величина заданная) и параметры ар-
мирования if>so (к — 1, 2, ..., тп), при которых величина на-
грузки начального разрушения рв(Еак, аак, ак, 1рА, Ее, а„)
достигает максимального значения. Тогда математически пробле-
ма сводится к задаче нелинейного программирования
рн'=шахрн(Х)	(7.1)
при следующих ограничениях:
J (jf W 2 ®кУак Ya d^dx^\dx3 = Vai
-л\ s	J
т
2	“ 1 j	0	к “ 1 х 2А • . • х
k=l
Здесь
X = X {Eakf Oak? OCafex &ki Есъ <Ус х ^е}
— вектор оптимизации. В общем случае параметры структуры
могут быть функциями пространственных координат х\ Первое
равенство из (7.2) означает, что масса армирующих элементов
остается постоянно!! при любых изменениях параметров струк-
туры армирования; неравенства в (7.2) вытекают из определе-
ния параметров оц? ф*;	— плотность материала волокон й-го
семейства.
Если в процессе эксплуатации на конструкцию накладыва-
ются требования по ограничению тех или иных компонент сме-
щений, то к условиям (7.2) необходимо добавить следующее
ограничение:
тах|{и.(^х)}|<«3\ / = 1,2,3.	(7.3)
х’ея
Таким образом, решая задачу рационального проектирования
оболочки (7.1) —(7.3), мы определяем не только рациональную
конструкцию в указанном смысле, но и создаем материал ра-
циональной структуры для данной конструкции и при заданном
характере внешнего воздействия.
Для решения задачи (7.1) —(7.3), как задачи нелинейного
программирования, можно использовать один из известных ме-
тодов [67, 179, 202, 205, 216]. Однако все эти методы приводят,
48
вообще говоря, лишь к локальному экстремуму. Проверка доста-
точных условий, при которых полученный экстремум является
глобальным в задаче (7.1) — (7.3), практически неосуществима,
так как, во-первых, целевая функция рн(Х) может быть опре-
делена только численно из решения серии задач минимизации
(6.5), (6.15), (6.22) и, во-вторых, в общем случае количество
параметров оптимизации достаточно велико (6тп + 4). Поэтому
в последующих главах при рассмотрении конкретных примеров
будем понижать размерность задачи таким образом, чтобы мож-
но было использовать метод сканирования [179] по параметрам
оптимизации, который позволяет определять все экстремумы за-
дачи и их характер.
Глава 2
РАЗРУШЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ
ИЗ АРМИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ИЗГИБЕ
§ 8. УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
КРИВОЛИНЕЙНЫХ АРМИРОВАННЫХ СТЕРЖНЕЙ
И УДЛИНЕННЫХ ПАНЕЛЕЙ
Рассмотрим криволинейную панель, отсчетной поверх-
ностью S которой является произвольная цилиндрическая по-
верхность. Примем в качестве координатных линий ж1, ж2 соот-
ветственно направляющие и образующие цилиндрической по-
верхности S. Тогда для параметров поверхности S имеем ра-
венства
= 0, а22« а22 = 1, &2з = 0.	(8,1).
Будем считать, что панель изготовлена из ортотропного мате-
риала, причем оси ортотропии совпадают с координатными ли-
ниями х*, xz. Такой характер ортотропии для модели армирован-
ного материала, рассмотренной в § 2, можно реализовать, на-
пример, следующим образом. Пусть количество семейств арми-
рующих элементов т — четное число и
ф, = 0, ф2 == я/2, 1р3 = -ф4, ips =-фв, • •в — ф™,
(Оз = ®4, (0S =	®m-1 = ©т,
(8.2)
Еа$ — Еа$ — Еа&9 . . Еат-1 — Eami
ОСаз == CCaii 0Са5 s= • • *, Ctam—1 и О&пц	/
т. е. армирование симметрично относительно координатных ли-
ний я1. В дальнейшем 1-е и 2-е семейства волокон будем назы-
Ю. В Немировский, Б G, Резников	®
вать основным армированием, а остальные семейства волокон —
угловым. При указанном характере армирования, как следует из
соотношений (2.10) и (8.2),
= Л22М e в 0) £<« ^ММ Л12и Ла3«3 Q (8.3)
Тогда физические соотношения для рассматриваемой панели
примут вид
„ч _ 2Л‘!%, о" -
Считаем, что нагрузки, характер закрепления, компоненты
тензоров упругости и температурной жесткости не зависят от
координаты я2. Тогда, учитывая (1.15), (1.16) <и. (8.1), нетруд-
но показать, что
V аисч — 0* V	, 1 | 1/ — )»
к V ац/
Cv tfr *
V в р i = 0, lt 2д 3»
dx
(8.5)
Используя эти соотношения и (3.8), (3.9), получим для дефор*
маций:
7____1 Гу<зу^1{ <g3)3 d ( d“30	,
“ /K7L-? dx> 3/2?	\v4>1
*a- 2 (*7 “Ti ^’4^ + | Аз).
1==2 ax	\	/
Здесь и в дальнейшем символом «Д » будем обозначать физиче-
ские компоненты соответствующих тензоров. Подставляя (8.6) в
(8.4), а затем в усилия и моменты (3.12), получим после ин-
тегрирования по координате ха выражения для усилии и мо-
50
ментов:
г» - гл {а»11 717—-'т (й„ + л-м.) -
о у	1+^
- ЛЛ, - В-®|, ГЧ - 44,7? (зи» + п„\
_ ла-"1 ‘ (4?„ - -S-т - 4,S„ + 34‘fJ,
dx I	у ап dx	I
МЧ - ллвд •£ 0£„ + &$„},
(8.7)
Я“-42“и-Ег[16““-5(-)7^? + *^») + »5Л«.. '
Яч _ 4-1”‘!Л (16«„ + 15Л«„),
аХ
?iseg-31313 4
13
\ "i + ^1ию *Ь ми I "Ь ЗЛ.2Х1з ,
au<to	/	J
ЛЗ = 2fe ^2323(4^21 + 3/гзГ 3), А =- 2fe3/15
Уравнения равновесия (3.16) в рассматриваемом случае при-
мут вид
2h d Г 2lila d
(Зм20 + Л2Х22) + 2^=0,
Л1212 d , ~
V2~ /fa:1 (17м21 + 12Й2123
2h~rr 21111
dx
2h\
15“
2А d
7h dx^
ь Яа8аз (4u21 4- ЗЛ<28) + 21- О,
£>
1 d ,	ж х	'
3]/а^ dxl '3“i0 + ^i2) — AaU30
d
dx}
(8.8)
— S11© —
21111^2 d ( л
21/^; ”d?" (j6wu + 15Й2Х13 “
I du^	Л
--5 I ,/---°, 1 + ^lW10
+ /ап21313 4
г—! + Мю + Иц J +
+ ЗЛ2Х13 ' +
4*
st
+
_______Я1*» d
7b dxl_dx±
д~ я-» + ^Ло + “111 + ЗЛ2\3
2A d
-у4шз 4
2hkA 4UU
л	( du
17ип + 12ЛЧи-4	+ *lltl0
\ V wn *•**
+ SL = 02 (8.9)
1	d I ~	I хч
3 ]/а~ dxl I °wio + ^2^12 1	^1“зо
— B11® +
1 d I t d
7=~—Г\А—Г
ЛШ1 d ( ~
dxl + ЗЛ2Л13 —
+ hZL] + S0s3= О.
Полученная система дифференциальных уравнений для опре-
деления неизвестных функций ua0(x‘), uai(x*), «„(ж1) распада-
ется на два независимых уравнения (8.8) для определения
функций u20(x‘), H2i(«') и систему трех уравнений (8.9) для
определения и1й(х1), иц(х'), иза(х±).
Различные варианты граничных условий на длинных сторо-
нах панели х1 = х+ для системы дифференциальных уравнений
(8.8), (8.9) получим из (3.17). Для рассматриваемой цилиндри-
ческой панели на граничных поверхностях х1 = х± ковариантные
компоненты ортов t, s имеют значения
ti = t-z= t3 — 0, Si = si = 0, s2 =“ 1;	(8.10)
) ) ®^21 I 1 ®“
подставляя последние в (3.17) и учитывая (8.1), (8.7), получим
(^20 +	~ ^2) Чо1 = 0»
(1й 21212 (17“21 + 12^2з) “	~ й™-
1	d Z ХЧ	хч ч
\^uio + ^2^ia)	^1^зо
- В1*©} -	[ 16^п + 15^и -
.у Чо , U ТУ
5	i/— ,"1 +	1 I-----
\Vatldx 1 10/J
2Ш1111 -
I.  -°
*1=x±
17^4-12^,3 —
52
+ Mio
J
Uj x =0,
и	J xl=*±
(8.41)
A_ d Г d
21]/^ dxr _ ]^a1Y dxl
16un + 15fe2X13 —
Я1111-^- 16un + 15^13-
Таким образом, граничные условия распадаются на незави-
симые граничные условия для функций UaoCr1), н21(я‘) и усло-
вия для и1а(х*), иц(х'), Изо (ж1). Следовательно, задача изгиба
длинной цилиндрической панели, характерпзуемая функциями
и10, пи, и30, может быть решена независимо.
В отличие от длинной (бесконечно длинной) в направлении
х2 цилиндрической панели рассмотрим другой крайний случай*;
когда размер панели в направлении х2 (х2 е [—d; d]) весьма малу
т. е. плоский криволинейный стержень шириной 2d. Пусть по-
верхности стержня х2 = ±d свободны от внешних усилий, а на
поверхностях S± и боковой поверхности 2 действуют силы, па-
раллельные плоскости х'ох2 и равномерно распределенные по
ширине стержня. Поскольку для этих условий нагружения на-
пряжения о22, о21, о23 на плоскостях х2 — ±d равны нулю, в силу
малости ширины стержня можно без существенной ошибки счи-
тать, что
о22 = о21 = о23 = 0 V^eQ,	(8.12)
а остальные напряжения и смещения остаются постоянными по
ширине стержня. Таким образом, как и в случае панелей, для
стержней выполняются соотношения (8.1), (8.5) и первое, вто-
рое и четвертое из (8.6). Учитывая, что стержень находится
в обобщенном плоском напряженном состоянии, будем иметь
53
следующий физический закон:
о11 =	-7>Q, $1» = A^ei3,	(8.13)
В силу равенств (8.12) и (3.12), (3.14)
п|.3 == ^012 = Г®2 == Ma2 ==//а2 == Г23 = О,
V	* УЧ Л	14\
г;2 = мГ=_яг2 = о.
Тогда два уравнения равновесия из (3.16) — первое и второе
уравнения при а = 1, [} = 2 — выполняются тождественно,
а остальные уравнения, как и для цилиндрических панелей,
можно свести к системе (8.9) относительно обобщенных пере-
мещений Ию(^), Иц (ж1), н3о (я1). При этом различные варианты
граничных условий для указанных обобщенных перемещений в
случае изгиба стержня совпадают с (8.11), что нетрудно полу-
чить из (3.17), учитывая (8.7), (8.10) и (8.14).
Таким образом, задача изгиба длинных цилиндрических пане-
лей и плоских криволинейных стержней при аналогичных внеш-
них воздействиях сводится к одной и той же краевой задаче.
Следовательно, обобщенные смещения Ню, гх3о, осредненные
напряжения о”, о12 и напряжения в связующем ос , опре-
деляемые из соотношений (2.3), (2.7), (8.6), (8.13), при изгибе
криволинейного стержня и цилиндрической панели совпадают.
Однако осредненные напряжения о’2, о22, о23 в цилиндрической
панели находятся из соотношений (8.4), (8.6) с учетом интег-
рирования уравнений (8,8), и поэтому в общем случае они от^
личпы от нуля, в то время как в стержне равны нулю.
Когда характер нагружения и закрепления цилиндрической
панели таков, что для нее
e12 = e23 = 0 Vx'eQ,	(8.15)
напряжения в плоском криволинейном стержне и в цилиндри-
ческой панели будут отличаться только определением осреднен-
ного напряжения о22 и напряжения в связующем ст22. Поэтому
в дальнейшем ради конкретизации будем в основном рассматри-
вать изгиб плоских криволинейных стержней, а для цилиндри-
ческих панелей в некоторых случаях укажем, в чем отличие
их напряженно-деформированного состояния и разрушающих
нагрузок.
§ 9. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
АРМИРОВАННЫХ БАЛОК
И УДЛИНЕННЫХ ПЛАСТИН
В случае армированных балок длиной 2Z0 (ж1 е [—Ц, Ц)
и единичной шириной в соотношениях предыдущего параграфа
необходимо положить
kt = 0, ан - в11 - 1, &и - 0.	(9.1)
54
Пусть коэффициенты упругости Л1111, Аа3а3, температурной
жесткости Bil и температура 0 от координаты х1 не зависят.
Тогда уравнения изгиба (8.8), (8.9) можно записать в виде
(з«20 +122)" + sX = о,
Зр
>21212 .	2232Э .	_
——g- (17u21 + 412з)------ё— (4w2J + %2з) + 2- = О,
10эр	°
Г	ft2
<«-2>
(21? - 4«>' -	с, +	(ь11а,ш + sSL).
Здесь для удобства изложения введены следующие безразмерные
величины:
Z = жУ/о, т) = x3/h, щ = ul0/h, у = ии,
w — u3Jh, р = /0/Л, х = у + w'/$,	(9.3)
W2o = ^2о/^> ^а2 ~	^аЗ =
Штрих обозначает производную по |. Кроме того, будем счи-
тать, что Xi2 = X12j(g), Xls = Xi3,(^),OoS = o,of(В) —распределенные
усилия, действующие при £ «= [g„ gj+1], j = 0, 1, 2, ..n; Но =
“ —1, £n+i = 1. В сечениях £J+1 указанные распределенные
усилия или какие-либо их производные могут терпеть разрывы
первою рода. Для определенности будем также предполагать,
что в сечениях | приложены сосредоточенные усилия Р},
перпендикулярные отсчетной плоскости.
Интегрируя уравнения (9.2) на каждом из промежутков
[£}, £,+1], / = 0, 1, 2, ..п, получим следующие выражения для
обобщенных смещений:
Hao s и>21 s 0,	~ СМ| ”1“
5	В
Wi -1 ₽ J «А + ₽ f lidt + C.J,	(9.4)
= §* Л
при условии, что о5;8 = 0,0 = 0 и м20 == MiZ — Я12 === 0 при £ “
—1, Г12 = М1г — Я12 « 0 при | = 1. Здесь принято:
/	6	&	\
~ 2-М e“5 f “ e~al f +	+
\	^3	J
55
З15₽3
2Л1Ш
(9.5)
Ъ - 5jrrn( J И	-4 С.Д’ - С& - с„),
а —
105Л1813
Л1111 ’
Ci3 (i = 1, 2, ..8; 7 = 0, 1, 2, ..n) — постоянные интегриро-
вания и символ « Д» опущен здесь и в дальнейшем.
Различные краевые условия для функций щ, w, у нетрудно
получить из (8.11), учитывая (9.1), (9.3). Так, для жестко за-
крепленного края
иа = w ~ у = w' = 0,	(9.6)
в случае шарнирного закрепления, не допускающего горизон-
тальных смещений,
щ = w = ч' = и>" = 0,	(9.7)
а для свободного края
АШ1и0 - р5и0 = 0, у' = w” = 0,
41Ш(16^" - и/") + 84р24‘ш(ру + и/) = 0.
Отметим, что рассматриваемая система уравнений (9.2) и
граничные условия (9.6) позволяют реализовать вариант же-
сткой заделки края: zz..(q)^ 0 в отличие от вариантов, изложен-
ных в [6, 208].
В общем случае характер нагружения меняется от участка
к участку, поэтому необходимо для определения постоянных ин-
тегрирования наряду с краевыми условиями при £ = ±1 исполь-
зовать условия непрерывности в сечениях | =	(/ = 1, 2, ...
..., п). Из условий непрерывности осевого смещения и, (^, ц)
Vf] е [—1, 1] и нормального прогиба w, учитывая (3.7) , (9.3) и
о±3 = 0, будем иметь при £ = gj (j = 1,2,..., п)
[Мо] = [у] = [ш'] = [1Р] = 0.	(9.8)
В этих отношениях и ниже квадратной скобкой обозначен раз-
рыв соответствующей функции при g Кроме того, для ука-
занного выше характера нагружения должны выполняться ус-
ловия непрерывности обобщенных усилий, соответствующих
обобщенным смещениям щ, у, и>', и'условие о том, что обобщен-
ная перерезывающая сила терпит разрыв в сечении | = £,• на
величину Р,. В соответствии с (3.17), а также учитывая (8.1),
(8.10), (9.1), о±3	0,получаем
[Г1] = [М11] = [Я11] = 0,
[va№* + 7’*3] = Pj.
(9.9)
56
Преобразуя (9.9) с помощью (8.5), (8.7) и (9.3), (9.8), оконча-
тельно будем иметь в сечении g =	(/ = 1, 2, ..., п)
[«о] = [?'1 = №"] = Oj
— л11П f	—«fl + — Л1313м/] — — P	(9<Ю)
15 [ 21 p3 V®7	P / . ₽ j~ k^‘
Условия непрерывности (9.8), (9.10) вместе с соответствующими
граничными условиями при £ = ±1 позволяют определить все
8(п+1) постоянных интегрирования из (9.4), (9.5).
В качестве конкретного числового примера рассмотрим бал-
ку, шарнирно опертую на обоих краях, нагруженную по всей
длине равномерно распределенной нагрузкой р0, двумя сосредо-
точенными силами Р, и Рг, приложенными соответственно, в се-
чениях |1, £2 и в отсутствие температурного воздействия. Для
рассматриваемых условий нагружения и закрепления имеем
of = 0 = 0, о33 = р0, при £ =—1 — граничные условия (9.7),
а при £ = 1 — граничные условия (9.7), если первое условие
заменить следующим: и0 = 0 (шарнирное опирание с проскаль-
зыванием в горизонтальном направлении).
Постоянные интегрирования Су (i = 1, 2, ..., 8; / — 0, 1, 2)”
из (9.4), (9.5) необходимо определять из указанных краевых
условий и условий непрерывности (9.8) и (9.10) при g2,
которые дадут систему 24 линейных алгебраических уравнений.
Численное решение указанной системы уравнений затруднено,
так как матрица данной системы плохо обусловлена. Это связа-
но с тем, что коэффициенты системы дифференциальных уравне-
ний (9.2) содержат фактически два малых параметра: j}-1 и
А1313Л41Ш. Однако с помощью компактной схемы исключения
[79] получены рекуррентные сооотношения для определения по-
стоянных интегрирования Ct) (i = 1, 2, ..., 8; j — Q, 1, 2) и тем
самым найдены для них аналитические выражения, используя
которые были получены обобщенные смещения:
“•“°’	(9Ш
при
2Л1
где
1=0
2
Wi = 2 р(<)ф$>
1=0
Ф$ = 4	- 2Р& 1 ((1 +1)2 (6 - 2) + 2),
ф$ = уФЙ + &! {3 (1 + В)а (1 - Si) +
+ (1+^)((1 + ^)(5-Ы-8)},
Фу1? = ф$, Ф^ = Ф$,
57
Ф$ =4 ф«* - 61 <3 (*• + 5)2 (1 + &<) - 4 (1 + S1) (1 + 35)+(1+М3),
=5 +(1 - £3>+4₽3&i ?+«*+*>’ - з>+8)’
Ф$ = 5	+ М* - sa) - ₽&i (1 + S) {(1 + S)2 (l - Si) +
+ (l + Bi)((l+^)(5-Si)-8)}s
Ф»! = Ф(№2Г Ф»1 = Фюо,
Ф^ = ^П‘2) + &2(1+ВЭ(1-|) +
+ p&i (1 + |{) {(1 + g)((1 + £)(£ — 5) + (1 + IO3 + 8) - 2 (1 + Bi)},
Ф^ = I3 - е~я<1+5) - a (1 + e—) |),
Ф$ = Ь4\е~°^^ - e~°^ + e-a^+^ -
- ₽-»(3+?i^) +	_ e-ia) (1 _	(g,12)
®й - фй, ф™ - ф!3? ,
ф« = 41(е^-6‘-Е’-Г“<*Н‘“!> +
+ e-I<5~E1> - e-<a+E‘+E> _ (4 _ «-•“) (f + J,)],
- Ъ, (e-<1-E) + «-“U.+E> - 1 -
F“ - Л. (r“‘,-E*-E> - ,-"(E‘-E> - e-“(-E>+E> + Г“<! Ki+E>),
p(l) , Fd) E»(2>_______________
г xi — ^X2J PX1 — " xo »
F% = abt [e^2-^ __ Га(Ш‘“1> - e~a^ + e’“(a+5i+t))
(i^l,2; /-0,1,2),
ъ - Pa b - 3P b - 3P b -
1 ~ 8а1111 ’ 2 “ 5а1313 ’ 3 “ 2а1313 (1 + е~2аУ * ~~
= 3 (4а1313 (1 - е"40))"1, а1111 - Ап11/^с, а1313 = А1313/^,'
в Рг/Fe — 0,1,2),р^ == Рj/h (j — 1,2).
Используя полученные выражения для обобщенных смеще-
ний и соотношения (3.7) —(3.9), (8.13), определим осевое сме-
щение в балке
Ml, n)=H(7(S)-nsx(S)/3),	(9.13)
осредненные напряжения
о«-4»‘*т|(Г-п3х73)/₽,
о13 = 413,г(1-п’)х,
5S
где функция x(g) с учетом обозначений (9.12) определяется
следующим образом:
при	(7 = 0, 1,2),
21
Xj = 2p(W	(9.15)
i=0
Если специально не оговорено, будем рассматривать стержни,
в частности балки и кольца, с однонаправленным армированием
вдоль оси ж1:
”соа = (о3 = ... = ©т = 0.	(9.16)
Тогда напряжения в связующем и армирующих волокнах для
рассматриваемых балок с учетом (2.3), (2.7), (2.8) определя-
ются так:
о” = оиес (Л1111 (1 - V?))-1, ос18 = о13,
(9.17)
ав1 «<т1%1/41“1.
Для расчета и анализа смещений щ(с, ц), w(g), напряже-
ний о”(§. -п), о*3(|, ц), аУ^.ц), о01(£, ц) из (9.11) —(9.15),
(9.17) при различных условиях натружения и значениях пара-
метров балки (относительной длины, механических характери-
стик арматуры и связующего) были разработаны алгоритм и
программа численного счета. Указанные функции вычислялись
в точках (£, 1]) области Qo:	[—1, 1],	[—1, 1] с шагом Д£
по направлению осн £ и с шагом Ат] по направлению оси ц.
При этом шаг Д£ в общем случае считался переменным, что
использовалось для более точного расчета исследуемых функций
в окрестности краев н точек приложения сосредоточенных сил.
Кроме того, отмеченные функции вычислялись и в точках, где
они достигают экстремальных значений. Координаты указанных
точек определялись численно модифицированным «методом вил-
ки» [17] из следующих трансцендентных уравнений:
для функции w(g) — из уравнения	0;
для функции u,(§, Л) — из уравнений
Л (t' ~ Цгх73) = 0, у — ц2х = 0;	(9.18)
для функций о“(£, ц), о”(£, ц), оа1(§, ц) — из уравнений
т| (у " — ц2х "/3) =0, y' — ц2х' = 0;	(9.19)
для функции о13(£, ц) — из уравнения
х' (£) = 0 при ц == 0.	(9.20)
Результаты численных расчетов распределения напряжений
и смещений для балки под действием сосредоточенной силы,
приложенной в середине пролета при £ == 0, т. е. при pw =
='> 2 =0 и параметрах
V, = 0,35, ©с = 0,3, садо» = 0,55,	(9.21)
& = 5; 10, Е = ЕН!Е< = 15; 75,	(9.22)
5?
Рис. 9.1.
Рис. 9.3.
приведены на рис. 9.1—9.4 (сплошные кривые). Значения пара-
метров в (9.21), (9.22) соответствуют реальным стекло-, угле-,
боропластикам и композитным материалам с металлической мат-
рицей [И, 75, 78, 87, 95, 104, 208, 220, 222].
60
На рис. 9.1 изображено распределение нормальных напря-
жений Ос1 вдоль оси балки на крайних поверхностях при ц =»
= ±1. Из этих графиков видно, что концентрация нормальных
напряжений реализуется в точке приложения сосредоточенного
усилия (£ = 0). Таким образом, разрушение армированной бал-
ки от нормальных напряжений может начаться в точке £ = О,
ц = ±1. Из сравнения кривых 1 и 2 (кривые 1 соответствуют
Е = 15, 3 = 5: 2 — Е = 75, [5 = 5 и 3 — Е = 75, р = 10), а также
из формул (9.14), (9.17) видно, что с увеличением параметра
Е — относительной жесткости армирующих элементов — макси-
мальные по модулю значения осредненных напряжений о11 и
напряжений в арматуре oai возрастают (для данных параметров
более чем в 1,3 раза), в то время как максимальные по модулю
значения нормальных напряжений в связующем с»2 убывают
(в данном случае более чем в 3 раза). С увеличением относи-
тельных геометрических размеров балки (параметра р) макси-
мальные по модулю значения нормальных напряжений о11
и Ooi возрастают.
Сингулярные точки при £ = 0 на рис. 9.1 соответствуют раз-
рыву функции Зец(£, 1)/3£, который с учетом (9.3), (9.11),
(9.12) равен
р1г(М)]	1[	W'"}
L ]~зр[ т Рг
Распределение сдвиговых напряжений в связующем о£3 вдоль
оси балки на отсчетной поверхности ц = 0 приведено на рис. 9.2
при [J — 5 и 1 — Е == 15, 2 — Е = 75. Как видно, максимальные
по модулю значения сдвиговых напряжений достигаются в окре-
стности опор и в отличие от нормальных напряжений практи-
чески не зависят от значения параметра Е.
При р = Е = 75 (см. рис. 9.1, 9.2, кривые 2) максималь-
ное по абсолютной величине значение сдвиговых напряжений
в связующем превосходит аналогичное значение нормальных на-
пряжений в связующем, а значит, при таких параметрах разру-
шение балки может начаться от сдвиговых напряжений.
На рис. 9.3 показано распределение осредненных нормаль-
ных напряжений о11 в различных сечениях балки при | = 0;
0,9; ±1; (} = 5 и 1 —£ = 15, 2 — £ = 75. Как видно, в окрестно-
сти точки приложения сосредоточенного усилия распределение
нормальных напряжений существенно отличается от линейного,
соответствующего гипотезам Бернулли — Эйлера. В сечениях,
достаточно удаленных от приложения сосредоточенной силы,
распределение нормальных напряжений практически совпадает
с линейным.
Кроме того, из (9.12) — (9.14) нетрудно убедиться, что
о11 (±1, г]) = 0. Таким образом, полученные уравнения изгиба
балок позволяют удовлетворять на краях балки не только ин-
тегральному условию н0 (что соответствует отсутствию усилия
4	61
Рис. 9.6.
Рис. 9.5.
Т" при £ = ±1), но и локальному: отсутствию нормальных на-
пряжений на краях балки.
На рис. 9.4 (0 = 5, Е = 75) показано распределение нормаль-
ного прогиба, наибольшее значение которого достигается в сече-
нпл под сосредоточенным усилием.
На рпс. 9.5, 9.6 для рассматриваемого случая нагружения
приведено распределение нормальных и сдвиговых напряжений
при параметрах (9.21) и 1 — 6 = 5, Е = 15, 2—6 = 5, £ = 35,
3 — = 10, Е = 15. Сплошные кривые соответствуют результа-
там расчетов по формулам из [6], а штриховые липин — по
формулам (9.14). Из сравнения этих кривых видно, что харак-
тер распределения сдвиговых и нормальных напряжений в ок-
рестности приложения сосредоточенной силы существенно от-
личается. С удалением от точки приложения нагрузки это раз-
личие быстро убывает.
На рпс. 9.1—9.4 штриховыми линиями приведено распреде-
ление напряжений о11, о"» аГ и смещений w, щ для балки под
действием сосредоточенной силы, приложенной несимметрично
относительно опор в сечении £ = —0,75, при параметрах (9.21),
(9.22).
В случае несимметричного нагружения максимальные по аб-
солютной величине значения сдвиговых напряжений достигают-
ся в окрестности только одной опоры (ближайшей к точке при-
ложения сосредоточенного усилия), и это значение превосходит
более чем в 1,5 раза максимальное значение сдвиговых напря-
жений при симметричном нагружении.
Расчет балок под действием двух сосредоточенных сил р{1>
и р(2), приложенных соответственно в сечениях £1( £а, показывает:
62
1)’ максимальные по модулю значения напряжений о“,
oel достигаются на поверхностях ц = ±1;
2)	с возрастанием относительной жесткости армирующих эле-
ментов (параметра Е) максимальные значения напряжений о11,
оа1 увеличиваются, а максимальные значения нормальных на-
пряжений в связующем о“ убывают;
3)	распределение сдвиговых напряжений в связующем о*8
и максимальные значения указанный напряжений практически
не зависят от параметра Е;
4)	осредненные напряжения о11, о13 и напряжения в элемен-
тах композиции Ос', ol3, оа1 с возрастанием относительной длины
балки £ увеличиваются;
5)	распределение нормальных напряжений о“, oj1, оа1 по ко-
ординате т] в сечениях приложения сосредоточенных усилий су-
щественно отличается от линейного. В то же время распределе-
ние осевого смещения ut по координате ц в различных сечениях
балки практически линейно.
На рис. 9.7, 9.8 при параметрах (9.21) и
0 = 10, & - —0,75, |2 - 0,75, р™ - 0,25р<я>, р'0> = 0
и 1-Я = 15, 2-Я = 75
показано распределение напряжении оУ, для случая, когда
на балку действуют две различные сосредоточенные силы, но
приложенные симметрично относительно опор.
Полученные результаты остаются справедливыми и при из-
гибе по цилиндрической поверхности длинной прямоугольной
пластинки, несущей поперечную нагрузку, не изменяющуюся по
длине пластинки (в направлении координаты х2). Однако в слу-
«3
чае изгиба пластинки по цилиндрической поверхности наиряже-
ния о22 и a?2» aai (к = 2, 3, ..т) отличны от нуля. Учитывая
(2.3), (2.8), (8.4) и условия (8.15), которые выполняются для
рассмотренного выше характера нагружения и закрепления, не-
трудно получить, что при отсутствии температурного воздействия
О22 _ 41122^1/4111^ О22 = VcaF*
Cafe — Eak Ofc) QallEal'
$ 10. НАЧАЛЬНОЕ РАЗРУШЕНИЕ АРМИРОВАННЫХ БАЛОК
ПРИ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ.
СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
Для балок, находящихся в обобщенном плоском напря-
женном состоянии, в силу (8.6), (9.16) имеем
а?2 = 0, oafe -= 0 Nk = 2,3, ..т.	(10.1)
Тогда в соотношении (6.22) следует считать
= 0 Nk = 2, 3, ..., т, pa — pai,	(Ю.2)
а в (6.1) необходимо положить F™=sO V/= 0, 1, 2, ..., п.
В этом случае главные значения тензора напряжений в связу-
2
ющем имеют вид о“ =	Функции F%j (£t т|) с учетом
j=o
(9.11), (9.12), (9.17) определяются следующим образом:
П - (- 1)“ ((^})2 + 4 (П3)2)П
= Л1313 (1 - ц2) Ф«\	(10.3)
F^ ~ (фФ)\ F™ - (фФ)\
Ф?> (5) -	(£Д Ф^ G) = Ф& (S) при ь < & < Uu U = 0,1, 2.
Для балки под действием равномерно распределенной нагруз-
ки pw и двух сосредоточенных сил р(1), р^} в предыдущем параг-
рафе было показано, что в точках, где нормальные напряжения
в связующем по абсолютной величине достигают максимальных
значений, сдвиговые напряжения в связующем равны нулю, п на-
оборот, в точках, в которых сдвиговые напряжения по модулю
максимальны, нормальные напряжения в связующем равны нулю.
В этом случае для балки, находящейся при однопараметрическом
нагружении, соотношение (6.5) распадается фактически на два,
«4
которые с учетом (10.3) примут вид
(10.4)
(10.5)
Соотношение (10.4) можно зависать в эквивалентной форме
°с~
pH*
1 с
min
при Fc*I>0,
F^*>0, Fil<0,
Рс1
йп₽и F“*<0-
(10.6)
Нагрузка, соответствующая началу разрушения балки, опреде-
ляется следующим образом:
ря = min (pi1, pi®, Poll.	(10.7)
При этом нагрузки pi1, pi® соответствуют разрушению связую-
щего от нормальных и сдвиговых напряжений.
Для балки под действием одной сосредоточенной силы р(1),
приложенной в сечении при параметрах (9.21), (9.22) на
рис. 10.1—10.5 приведены зависимости разрушающей нагрузки
рн от относительной длины балки (рис. 10.1, 10.2), от параметра
Е (рис. 10.3), характеризующего относительную жесткость арми-
рующих волокон, от значения |i (рис. 10.4) и от удельного объ-
емного содержания связующего (рис. 10.5).
Нижние индексы у букв, которыми обозначены кривые на
рисунках, соответствуют номеру варианта параметров. Для
рис. 10.1_£1 = 0, Оо = 1, сплошные кривые отвечают а,. = 20, штри-
ховые — Оа — 40 и _1 — Е = 15, 2 — Е = 35, 3 — Е = 75; для рис. 10.2.
= —0,75, щ = 1, Оа — 20 и 1 — Е = 15, 2 — Е = 75; для рис. 10.3
0о/= 1, о? = 20 и 1 (2)-^ = 0, р = 5 (10), 3 — = —0,75, £ = 5;
для рис. 10.4 аг =20 и 1 (2) — о0 = 1, = 5, F_== 15 (75), 3 (4) —
а0 = 1 (5), £ = 10, Я = 75; для рис. 10.5 0 = 5, 0^=20 и 1 (2)-
Оо = 1, |. = 0, Е = 15 (75), 3 (4) -0о = 1 (5), ^ = -0,75, F = 75.
Характер разрушения (тип напряжений, из-за которых началось
разрушение стержня) и координаты точек (£, т]), в которых на-
чинается разрушение, указаны около каждого гладкого участка
кривой. Сингулярные точки, обозначенные залитыми кружками,
соответствуют появлению в двух и более сечениях одновременно
5 Ю В Немировский, Б G Резников	65
Рис. 10.1.
Рис. 10.3,
нескольких механизмов разруше-
ния, соответствующих гладким
участкам, образующим угловую
точку. Рассмотрим на рис. 10.1
кривую aAibi. которая соответст-
вует Е =*15. На участке aAt раз-
рушение балки происходит вслед-
ствие разрушения связующего от
сдвиговых напряжений в крайних
сечениях £ = ±1 на уровне сре-
динной плоскости т|в 0. На
участке Aibt разрушение начи-
нается от нормальных напряжений в связующем в среднем се-
чении при £ == 0 на крайних плоскостях к] — ±1. Угловая точка
At соответствует одновременному появлению двух типов разру-
шения связующего: от нормальных напряжений при | == 1, т] —
= ±1 и от сдвиговых напряжений £ = ±1, т]“0.
Следует отметить, что значения параметров (как механических
Е, а0 =	/®с , оу = о , так и геометрических t. при ко-
торых исследовалось начальное разрушение балок, отвечают ре-
альным стеклопластикам [11, 208, 220] и балкам из них, на ко-
торых проводились экспериментальные испытания на статический
66
изгиб [5, 68, 84, 158, 159, 172, 173, 196, 206, 208, 217, 226, 242,
248, 250, 254, 257].
Сравнение теоретических результатов, приведенных на рис. 10.1,
10.2, 10.4, 10.5, с соответствующими экспериментальными "дан-
ными из [68, 158, 196, 208, 242, 248, 250, 257] показывает хоро-
шее качественное и количественное совпадение:
1)	для фиксированных значений параметров о0, oj, Е су-
ществует характерное значение относительной длины балки
Р = Р° Oq, erf, Е), при котором происходит переход от сдви-
гового разрушения к разрушению от нормальных напряжении в
связующем или к разрушению волокон. При этом короткие балки
(р<р°) разрушаются от сдвиговых напряжений в связующем.
С возрастанием относительной длины балки (Р>Р°) разрушаю-
щая нагрузка падает. Так, при симметричном нагружении — 0
и Е== 15-^35, р = 5-^7 (см. сплошные кривые аАА, аВ2с2 на
рис. 10.1). Результаты расчетов для конкретных стеклопластиков
АГ-4С, 27-63С, ЭФ-32-301 приведены в табл. 10.1, в которой даны
значения разрушающей нагрузки ЗУЗрн/8, полученные экспери-
ментально в [208], а также расчетным путем по соотношениям
(10.5) —(10.7). В скобках указан вид разрушения. Разброс вы-
числительных значений нагрузки начального разрушения связан
с тем, что механические характеристики связующего и арматуры,
которые были взяты из [11, 211, 220], изменяются в некотором
диапазоне, приведенном в указанных работах;
2)	при несимметричном приложении сосредоточенной силы
(11^0) с возрастанием отклонения точки приложения от сере-
дины балки область значений р, при которых происходит разру-
шение от сдвиговых напряжений, возрастает по сравнению с сим-
метричным приложением сосредоточенного усилия (ср. кривые
«ЛА, аВ^Сз на рис. 10.1 и а2В2с2 на рис. 10.2). При £<#=0
с возрастанием р (при 3 Р р°) величина разрушающей на-
грузки убывает (см. рис. 10.2);
3)	кривые яАА &В2с2, ajij) на рпс. 10.5 показывают, что с
возрастанием удельного объемного содержания связующего сос от
0,3 до 0,9 разрушающая нагрузка убывает практически по ли-
нейному закону. Экспериментальные данные из [226] также об-
наруживают при изгибе балок линейную зависимость прочности
от удельного объемного содержания связующего.
Кроме того, из анализа зависимостей, приведенных на рис. 10.1,
10.3, 10.4, следует:
1.	G возрастанием относительной прочности армирующих во-
локон oj увеличивается область значений параметра р, в кото-
рой происходит разрушение от сдвиговых напряжений (ср. сплош-
ные и штриховые кривые на рис. 10.1).
2.	При увеличении относительной длины балки р область зна-
чений параметра Е (относительной жесткости арматуры), в ко-
торой происходит разрушение от сдвига, убывает (ср. кривые
b^AJS^c^ и ЬъВъСъ на рис. 10.3). Несимметричное приложение со-
5*
67
Таблица 10.1. Сравнение теоретических и экспериментальных данных
в случае балки, нагруженной сосредоточенной силой в сечении £ = 0
Укладка	6	Значение нагрузки (характер разрешения)
		по данным [208]	| расчет по (10 5)—(10 7)
АГ-4С: ®с = 0,3; va = 0,51-0,56; vc = 0,33-Q,35;
£с/о° = 280-350; £а1/а» = 7 000-7500;
= 8,4-10,5; а+/<т° = 4,2-6,3
10: 1	5	4,56 (с *)	5,94-8,13 (с)
	10	3,69 (с)	5,2-7,83 (с-н**)
	15	3,03 (н — с)	3,17—6,93 (н)
	20	2,12 (н)	2,6-5,2 (и)
27-63С: ®с = 0,3; va = 0,56—0,61; vc = 0,33-0,35;
£с/о° = 210—460; £al/ff°= 7 000—7500;
a+/o°= 2,8-9,1; aJT/cr® = 8,4-32
10:1	5	10,09 (с)	1 4,85-16,06 (с)
	10	4,78 (н — с)	2,83-16,71 (н- с)
	15	3,73 (н — с)	1,88—14.2 (н — с)
	20	2,95 (н)	1,41—10,65 (н) '
Эф-32-301 : шс = 0,3; t>a = 0,53—0,58; vc = 0,35—0,4;
Ec/a° = 210—450; £et/a« = 7000-7500;
o+/ae = 2,8-10,5;	= 10,5-32
10 :0	4,166 8,333 12,5 16,66	7,19 (с) 3,64 (и) 2,37 (н) 1,48 (и)	5,42-18,33 (с) 3,14—17,51 (н - с) 2,1—15,48 (н — <•) 1,57—13,61 (н)
Пр име ч	а н и е. а0 —	1 кгс/мм*.	
* c — разрушение от сдвиговых напряжений в связующем.
** н — разрушение от нормальных напряжений в связующем.
средоточенной силы по сравнению с симметричным увеличивает
область значений Е, в которой происходит разрушение от сдвига
(сравните кривые	и а3с3 на рис. 10.3).
3.	Сравнение кривых 3 и 4 на рис. 10.4 показывает, что с по-
вышением относительной прочности связующего при сжатии (т. е.
параметра о0) изменяется не только механизм разрушения, по и
(качественно) зависимость разрушающей нагрузки от
Зависимость разрушающей нагрузки от относительной длйны
балки 3 при параметрах (9.21), б0-1.	= 20 и 1 — £* = 15,
2 — Е = 75, когда на балку действует равномерно распределенная
нагрузка, приведена на рис. 10.6. Кривые показывают, что, как
и в случае сосредоточенного усилия, существует характерное
значение 0, при котором осуществляется переход от сдвигового
разрушения к разрушению от нормальных напряжений. При этом
область значений р, где происходит разрушение от сдвига, шире
68
по сравнению с областью зна-
чений 0, когда приложена
сосредоточенная сила (ср.
кривые aAiBi и аВ2с3 на
рис. 10.1 и кривые а1Л1Ь1 и
а2В2с2 на рис. 10.6).
К однопараметрическому
внешнему воздействию также
относятся случаи, когда на
балку действуют две равные
сосредоточенные силы р(1) =
= р<2), pt0)=0 либо когда
равны безразмерные сосредо-
точенные усилия и равномерно распределенная нагрузка,
т. е. р(0) =р(1) =д(2). Получаемые при этом зависимости разру-
шающей нагрузки от 0 и Е при параметрах (9.21) приведены
па рис. 10.7—10.10. Рис. 10.7, 10.8 соответствуют нагружению
p(i)=p(2), рт = 0, а рис. 10.9, 10.10 — нагружению р(0> = pw =
= р{2). При расчетах ^>ыли использованы следующие параметры:
для рис. 10.7 Оо == 1, о^=20, 61 = -0,75 и 1 (2) - |2 = 0,75, Е**
= 15 (75), 3-^ = 0, £ = 75; для рис. 10.8 аг=20, ^ = -0,75
и 1 (2)—о« = 1, £2 = 0,7'5, _0 = 5 (10), 3 (4)-Оо = 1 (5), & = 0,
0 = 5 (10); для рис. 10.9 а^=20, о0 ==_1, 61 = —0,75, |2 = 0,75 и
1 — Е = 15, 2 — Е = 75; для рис. 10.10 о* = 20, 61 = —0,75 и 1 —
щ = 1, 62 = О, 0 = 5, 2 (3) -0О = 1 (5), 62 = 0,75 (0), 0 = 10.
Приведенные зависимости показывают, что величина разру-
шающей нагрузки, тип начального разрушения и координаты то-
чек, в которых оно начинается, существенно зависят от относи-
тельной длины балки р, относительной жесткости армирующих
элементов Е, от отношения прочностей связующего при растяже-
нии и сжатии о0 и от характера приложения сосредоточенных
сил — симметричного или несимметричного относительно опор»
При этом короткие балки разрушаются от сдвиговых, а длинные —
от нормальных напряжений в связующем либо вследствие раз-
рушения армирующих волокон (см. рис. 10.7, 10.9). Несиммет-
ричное приложение сосредоточенных сил обусловливает уменьше-
ние области значений параметра (J, в которой начинается разру-
шение от сдвиговых напряжений (ср. кривые а2В2с2 и а3В3с3 на
рис. 10.7). Начиная с некоторого значения относительной жест-
кости армирующих элементов Е ее дальнейшее увеличение прак-
тически не приводит к росту разрушающей нагрузки (см.
рис. 10.3, 10.8, 10.10).
При исследовании разрушения удлиненной ортотропной пла-
стины, изгибаемой по цилиндрической поверхности, необходимо
учитывать также нормальные напряжения в связующем о22 и на-
пряжения в армирующих волокнах А>го семейства (при к =
= 2, 3,	т), которые определяются соотношениями (9.23).
Однако в условии прочности (4.4) слагаемые, отвечающие за на-
пряжение о22, существенно меньше остальных. Поэтому и разру-
69
Рис. 10.7.
Рис. 10.8.
шающая нагрузка для связующего практически не изменится.
Кроме того, если длинная прямоугольная пластинка армирована
т семейством волокон, которые изготовлены из одного материала
(что наиболее часто встречается в реальных конструкциях), то
в силу формул (9.23) и (6.15) имеем pai < раъ. = 2, 3, ...
..., т.
Таким образом, задача о начальном разрушении рассматривае-
мой удлиненной прямоугольной пластины при изгибе по цилинд-
рической поверхности фактически сводится к задаче о начальном
разрушении балки при соответствующем ее нагружении и закреп-
лении.
§ 11. РАЗРУШЕНИЕ АРМИРОВАННЫХ БАЛОК
И УДЛИНЕННЫХ ПЛАСТИН
ПРИ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ
ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ
В случае комбинированного нагружения на основе алго-
ритма построения границы области разрушающих нагрузок,
предложенного в § 6, проведен расчет шарнирно опертых по
краям балок при воздействии равномерно распределенной нагруз-
ки и двух различных сосредоточенных сил. Результаты расчетов
приоГ =	== Oa (о — ои/о'^ ), параметрах (9.21) и приведен-
ных в табл. 11.1 представлены на рис. 11.1—11.4. Сплошные и
70
штриховые кривые со- Таблица 11.1
ответствуют о > 20, а
Вариант
штрихпунктирные кри- вые DtEibjy'iE^ на рис. 11.2 и п^т^п6т6, а.аЕ5т5О'ьа5Е'5т&Оь на	Параметр	1 1	1 2	3 1	1 ‘	1 5	6
	Е	5 15	10 15	15 15	5 75	10 75	15 75
рис. 11.4 — значению
о = 20. При о < 20 будем иметь зависимости, подобные штрих-
пунктирным кривым DiEib'iDiEibi на рис. 11.2 и пвтеп6т6,
аьЕътъЕъа,-аЕът^)ь на рис. 11.4. При этом с уменьшением значе-
ния о штрихпунктирные прямые E^D^EJ)'^ на рис. 11.2 и
пет6 (п'6т6), т6пв (тапе), D5m5(D5m'5), m-3E'b{jn[E^ на рис. 11.4
будут смещаться параллельно самим себе к центру.
На рис. 11.1, 11.2 приведена граница области разрушающих
нагрузок р(1) =р(1> (р(0)) в случае, когда на балку действуют рав-
номерно распределенная нагрузка р{0) и сосредоточенная сила
приложенная в сечении При этом сплошные и штрихпунктир-
ные кривые соответствуют = 0, а штриховая линия на
рис. 11.1 — значению ^==—0,75.
Зависимости р(2) =р(2) (р(1)), когда на балку действуют две
сосредоточенные силы р(1> и р(2), приложенные в сечениях и
изображены на рис. 11.3, 11.4. Сплошные и штрихпунктирные
кривые соответствуют == —0,5,	= 0,5 (симметричное нагруже-
ние), а штриховая кривая на рис. 11.3 — значению = —0,75,
=• 0 (несимметричное нагружение).
На рис. 11.1—11.4 нижние индексы у букв, которыми обозна-
чены кривые, отвечают номеру варианта параметров, приведенных
в табл. 11.1. Как и ранее, характер разрушения и координаты
точек (%, ц), в которых началось разрушение, указаны около
каждого гладкого участка кривой. Для гладких участков, отме-
ченных буквами со штрихами вверху, характер разрушения и
место, где оно начинается, совпадают с соответствующим участ-
ком, отмеченным этими буквами, но без штрихов. Сингулярные
точки на рис. 11.1—11.4, обозначенные залитыми кружками, ха-
рактеризуют появление одновременно либо нескольких механиз-
мов разрушения, либо одного и того же механизма разрушения
сразу в двух и более сечениях.
Рассмотрим замкнутую кривую Л1а151Л1а1В1 на рис. 11 Л,
которая соответствует первому варианту параметров из табл. 11.1.
На участке Л1а1 (Л^) разрушение балки происходит вследст-
вие разрушения связующего от сдвиговых напряжений в крайних
сечениях £ == ±1 на уровне срединной плоскости ц = 0. На участке
(ai^i) разрушение также начинается от сдвиговых напря-
жений в двух сечениях В = ± 1с3(0<	1 и определяется из
уравнения (9.20)), симметричных относительно середины балки,
и в плоскости ц = 0. На участке ЛА (ЛА) разрушение про-
71
Рис. 11.3.	Рис. 11.4.
исходит от нормальных напряжений в связующем в среднем се-
чении прй £ = 0 и в точках Т| = ±1. Угловые точки А1(А1) и
Bt (^i) соответствуют одновременному появлению нескольких
типов разрушения связующего от нормальных напряжений при
£ = О, г] = ±1 и от сдвиговых напряжений при £ = ±1, г| = 0 для
точки At (А,') и при | = ± £j3, г| = 0 для точки В^В^). Угловая
точка 01 (а']) отвечает одному типу разрушения связующего —
72
&г сдвиговых напряжений, но одновременно в трех сечениях бал-
кж£ = ±1; 0 и на уровне отсчетной поверхности ц — 0.
Из анализа приведенных зависимостей следует, что граница
области разрушающих нагрузок армированной балки зависит от
характера комбинированного нагружения, геометрических пара-
метров балки и механических характеристик элементов компози-
ции. При этом выход на границу области разрушающих нагрузок
может соответствовать появлению различных типов разрушения
балки.
Учитывая сказанное в заключении § 10, для удлиненных ар-
мированных пластин кривые разрушающих нагрузок будут прак-
тически совпадать с приведенными ранее с тем большей точ-
ностью, чем выше относительное удлинение пластины.
§ 12. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
АРМИРОВАННЫХ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ, СЕГМЕНТОВ
И ДЛИННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ
Если армированный стержень представляет собой круго-
вое кольцо (или часть его — круговой сегмент) радиусом Я, н со-
отношениях § 8 необходимо положить
^=7?-* = const, =	=	(12.1)
Как и ранее, будем считать, что коэффициенты упругости Лш\
Л13*3 и температурной жесткости 5“ от угловой координаты g не
зависят. В этом случае уравнения изгиба (8.8), (8.9) после со-
ответствующих преобразований примут вид
2Л1212 (ЗЙ20 + Л22)" + ЗР2 2+ = 0,	(12.2)
(17«21 + 4А23)" - А™* (4«21 + Х23) + 5 21 = 0,
2 {Л1111 ((Зи0 + %12)” - Зш') - 3pZW} _ (р (16у + 5Л13) -
- 5 («/ +и0))" + Л1318 (4(«/ + иа + ₽Т) + ₽\3)} + ЗР22+ = 0,
4Л11И
^-г(р(17у + 4Х13)-4(ш' + «0))-
Zip
- Л1313 (4 (и/ + и0 + Ру) + рлх3) + 5PSL = 0,	(12.3)
А {лин ((ЗКо + х12)' _ 3iv) - ЗРЯ11®} +
4-	(0 (4у + М - W - ue)"' + (21)' + ро33 = 0,
вде использованы обозначения
Р=2?/А, u0 = uie/h, w-u^/h, «н = у,
(12.4)
^20 e Х(Х2 =я ^А<а2> АцхЗ == 3/&2Хаз»
73
Штрих обозначает производную по символ «Л » здесь и в даль-
нейшем будем опускать.
Решение системы (12.2) при
<4з = о, е = о	(12.5)
и отсутствии усилий Т™, М102 — Я('2 на одном конце стержня
(Tj2 = М™ — 77J2 = 0), смещений й20 и усилия М™ — Я},2 на дру-
гом конце (м20 = М™ — Н12 = О) будет следующим:
W20 === W21 == О*
Общее решение системы уравнений (12.3) при выполнении
условий (12.5) имеет вид
u0 = sin В (св — J F sin В^В) — cos В (св + J F cosB^l) +
+	- зр + 3₽2ВС\) - рс4,
w = -3£.-1т + cos в (c6 — fFsinB<^) + sing(ce + созВ^в)(
(12.6)
где
х = А (е* J /е-“5 dl - е-°’ J /е°5 dB) + С^1 + С9е~^,
/ = -315рФ7(2Л““),	(12.7)
Ф = созВ(с*2 + Р2 J о?8 sin В ей;) + sinB(f3 — р2 Ja33cosB^),
и С (г = 1, 2, ..., 8) — постоянные интегрирования.
Как и в случае балок, будем считать, что в сечениях В=
0 = 1, 2, ..., п) приложены сосредоточенные силы Р, (]' —
~ 1, 2, ..., п). перпендикулярные отсчетной поверхности, и рас-
пределенное усилие о33 (В) или производные от этой функции в
указанных сечениях могут терпеть разрывы первого рода. Тогда
в соотношениях (12.6), (12.7) величинам х, 4, uQ, w, f, Ф, Ft Go3,
C{ (i — 1, 2, ..., 8) необходимо добавить нижний индекс j (j —
= 0, 1, 2, ..., n) и неопределенные интегралы заменить опреде-
ленными с переменным верхним пределом и с нижним пределом,
равным Bi-
Различные варианты краевых условий для функций и<>, ы, Ч
можно получить из (8.11), учитывая (12.1), (12.4) и (12.5).
В случае неразрезного кольца, шарнирно опертого в точке (0, 0),
74
из условий периодичности при £ = 0 имеем
и0(0) = м0(2л), w(0)—iv(2n),	— и/(2л),
Y(0) = 7(2n), Т“(2л)=Г‘(0)+Ян,
(12.8)
Я“(0) = Я“(2я), Л/“(0) = ЛГ(2л)т
Т‘3(2л) = Г3(0) + Я13,
где Rn, Ra — составляющие реактивного усилия, которое возни-
кает при шарнирном опирании кольца в точке £ = 0, ц = 0. При
этом Я1Ь Ri3 направлены соответственно по касательной и нор-
мали к отсчетной поверхности кольца. Указанные реакции и связь
между внешними нагрузками определим из условия статического
равновесия кольца, учитывая (12.5)
П	П	Г
Rti = О, Я13 = — 2 Р; cos — 2 J cos I dg,
7-1	?=°	(12.9)
П	П
2 Pi sin li + 2 f sin $ dz = 0.
j=l	2 0
В силу соотношений (12.9) пятое, седьмое и восьмое условия из
(12.8) выполняются. Поэтому вместо указанных условий будем
использовать те, которые исключают смещения и поворот кольца
как жесткого целого:
п0 (0) = w (0) = w' (0) = 0.
Кроме того, в сечениях § = & (/ = 1, 2, ..., п) необходимо сфор-
мулировать условия непрерывности. Как и в случае балок, из
условий непрерывности осевого смещения Ui(§„ ц)	1, 1],
нормального прогиба w, обобщенных усилий Т“ — kJ!", М" — Н11,
Н11 и условия для скачка обобщенной перерезывающей силы бу-
дем иметь при |	(/ = 1, 2, .... п)
[Mo]e[y] = [w'] = [w]«O,	(12.10)
[Г1] = [М11] = [Я11] = 0,
(12.11)
[Va (Я“‘Я-2) + TIS/R] ~ Pf/R.
Используя (8.5), (8.7), (12.4) и (12.10), преобразуем (12.11)
к виду
[<4] = it'j “ ю = о,
jllll	1
(W - 5 («/ + и0У) + 44*“ (и/ +и0 + ₽у) I =
^lp	I
(j-1,2......„).	(12.12)
75
В соотношениях (12.10) — (12.12) квадратной скобкой обозна-
чен разрыв соответствующей функции при £ = (у = 1, 2,..., и).
Сформулированных условий достаточно, чтобы определить
8(п+1) постоянных интегрирования из (12.6), (12.7).
Конкретные числовые расчеты были проведены для нераз-
резного кругового кольца, шарнирно закрепленного в точке (0, 0)
и находящегося под действием распределенной нагрузки синусо-
идального типа
ст®3 = Ро + P3sinWB (Be [0,2л], АГ =2,3...)	(12.13)
и двух сосредоточенных сил Ръ Р2, приложенных соответственно
в сечениях Вг.
В рассматриваемом случае должны выполняться условия
(12.10) и (12.12) при /=1, 2. В силу (12.9) сосредоточенные
усилия Pi и Р2 не являются независимыми, а связаны следующим
образом:
Р2 = —Pi sin 1,/sin %2.	•	(12.14)
Итак, для определения постоянных интегрирования Сч (i =
= 1, 2, ..., 8; 7 = 0, 1, 2) из (12.6), (12.7) получим систему 24
линейных алгебраических уравнений, численное решение которой
имеет те же трудности, что и аналогичная система уравнений в
Случае балок (см. § 9). Используя компактную схему исключе-
ния [79], получим аналитические выражения для постоянных
- интегрирования, с помощью которых определим обобщенные сме-
щения:
%(BHM£) npng^B^l+i,
7 = 0,1, 2, |о = 0, |з = 2л,
где	Ugj = 2 Р<1)Ф$»
г=0
3	3
Т/ - 2 р"'^,	- S
г—1	i=0
Xj = f Р(ПФ$, ф$ =3 sin B/(2alul),
ФиО = ₽ (dl (1 — C0S li) + sin ii (BuZ SIH I — COS l))/2n —
— (P cos Bi — Ли) (Pu2 cos в + P„1B sin B) + dj^En — P2i sin В —
- 2?3i cos В - d4 (cos Bi (еа^~гя) - e"og) - ee(6"6° +
ФиТ = ъи cos2VB+ dyE^ — £33 cosB,
= dj (1 — cosB)/3,
Ф$ = E2i cos В — P'atSin в — P(di (1 — COS Bi) + Bw^ sin Bi(2BsinB+
76
+ cos В))/2л + BW1 (P cos — 4H) (2B cos £ — sin B) +
+ d,a (cos E, + <T“6) - Z|M|) - Л8‘~Е~!“>) (i _ 1,2),
Фщ = sin	sin B>
Ф$ = Ф#/5 + Ф$ (i - 1, 2, 3),
Ф?о = (li (11 Sin Bi sin 1/2Л — (cos Bt — 4ц/₽) cos В +
+ (1 — cos Bi) В/2л + £h/P),
yi	13	Лг(Л'2-1)/
= d3 (cosBi (e°<S-2”> _ e~al) - e^i} + Л5^"8^) _
— d2 (Bi sin Bi sin В/2л — cos В (cos Bi — Д i/P)),
ф(з>_ ЗрааЛГсозЛГЕ , . _0 .
ZJ " 2a1313 (№ - 1) (a2 + Л2) V-0’1’2)’
Ф«1 = Физ + P sin Bi (Bu2 sin В — Bul I cost),
(j/2)_______d/2) (i/2)_d/2)	-_<B(2>
Фт = Ow2 — P^W! sin S i (2B sin + cos Ej) r
Ф?? == ®vV + dt sin BiSin B,
= Фха - d2 sin b sin I, ф£> = Ф<20>,
Ф«£= P (ДВ (1 — cos Bi) + Bi sin Bi (#u2 sin В — Ви1 В cos B))/2n +
+ Ли (Bul В sin В + Ви2 cos В) + dt (EYi — ₽) — (£?2i + 42i) sin В —
- (E3i + Л8;) cos В - dt (cos Bi (еа(5-2я> - e~ai) -
_ еа(6-^-2Я) +	(1215)
Ф®2 = (^2i + Лг) cos В — (E3i + Л1) sin В — p (d± (1 — cos Bi) +
+ 5wlBi sin Bi (2B sin В + cosB))/2n — BW1AU (2B cos В — sin B) +
+ d4a(cosBi(ea(E"2ll) + e-*}_ A6>),
O^^O^ + dUcosBi-l),
ФЙ = dg (cos Bi (ea^ - в”05) + e1^ -	_
— d2 sin |i sin £/2я + Ati cos £/₽),
A it AJ	t
Azt P (5w4^ cos ~Ь £^w sin »
= ₽ (Bw cos - 2Bwil. sin £,),
77
= p((Z>! + 1) cos Bi +
|(f _«-«»)) _(2р1 + 1)Лн,
E13 =	£ii =	((1 -cos^2jl "
- D, (cos Bi - (e"eJi t Л5 ~2Я))|(1 - е-2ая))) + рад sin В4/(2л),
Eei = $BW1 cos Bi — >42i/(4jr) + dta2 (cos Bi (е-2ая — 1) — e-“5i +
+ Л1г2Я)) (г = 1,2),
E33 = Nbm, Bw = (6D, (3a2 — 1) — 3^2 — 1) / (8а1*11),
Bwi = (3,B2(2D1 + 1)+ 1)/(8а““), But = 2Bw„
Bu2 = (9p2(2D, + 1) - l)/(8a‘1H),
_й1(зр2(2^ + 1) + №)
злг(№-1)3
^(ЗР2(2Ду+1) + 1)
з(№—i)2
Ол2
d3 = d2 (2 (1 - е-2“я)) d4 = 4₽d3 (5 (a2 + 1)) "*,
Dn = 42№/(a2 + №) (N = 2, 3, .. -),
p^pJEt (i = 0, 1, 2, 3),
р3 = РЛ
Подставляя полученные выражения для обобщенных смеще-
ний в соотношения (3.7), (2.3), (2.7), (2.8), (8.13) с учетом
(9.16), (12.4), определим:
осевое смещение
и3 — h (и„ + T]Y — т|’х/3),
осредненные напряжения
о11 = Л1111 (и0 4- т)у' — п®>с73)/р,
(12.16)
напряжения в связующем
о» = £со”/(Л1ш (1 - v2)), ai3 = о1®	(12,17)
и напряжения в армирующих элементах
aa^Eal0il/Ailil.	(12.18}
Учитывая определение сдвиговых напряжений в связующем
oj® из (12.16), (12.17), получим, что максимальные по абсолют-
ов
мой величине значения сдвиговых напряжений достигаются на
отсчетной поверхности ц = 0 и не зависят от равномерно распре-
деленной нагрузки рт.
Расчет смещений	uL(%, rj) и напряжений о“(£, т|),
о‘3(|, т]), Сс1 (|, т]), о<и(£, ц) в кольце при различных условиях
нагружения и значениях параметров кольца (относительных гео-
метрических размеров, механических характеристик арматуры и
связующего) проводился в области Qo: е<=[0, 2л], ц = [—1, 1].
Для более точного определения исследуемых функций в окрест-
ности точек приложения сосредоточенных сил (% = 0, g,, ис-
пользован переменный шаг А£, Ац. Координаты точек, в которых
смещения и напряжения достигают экстремальных значений, на-
ходились численно из следующих трансцендентных уравнений:
для функции	из уравнения и>'(£) = 0, для функции
Л) —из системы уравнений
и0 + П?' — т^х'/З = О,
7 — т]2х = О,
для функций о11 (I, т)), (г? (£ > л), оЯ1 (£, ц) — из системы уравнений
“о + ПТ" — Л3х"/3 = О,
•у' — 112к, —
‘и для функции о£3 (£, 0) — из уравнения
у/ = 0.
(12.19)
(12.20)
Распределение напряжений (осредненных и в элементах ком-
позиции) для колец при параметрах (9.21), (9.22) показано на
рис. 12.1—12.3. Сплошные линии соответствуют нагружению дву-
мя сосредоточенными силами р(1), р(2) в сечениях и р<0) =
= р<3) = 0, а штриховая линия на рпс. 12.1 относится к случаю,
когда наряду с сосредоточенными усилиями действует- также и
равномерно распределенная нагрузка:
р<°> = р(1)5 pW = о	(12.21)
На рис. 12.1 показано распределение нормальных напряжений
nJ1 в зависимости от угловой координаты £ на поверхности ц = 1
при £ = 10, £ = 75 и 1 — £1 = л/2, £2 = Зл/2, 2 — £i = л/3,	~
= 11л/6. Анализ полученных зависимостей показывает, что кон-
центрация нормальных напряжений реализуется в сечениях, где
приложены сосредоточенные усилия. При этом максимальные по
модулю значения нормальных напряжений достигаются при сим-
метричном нагружении (т. е. при ^ = л/2, £2 = Зл/2) в сечениях
|3 (см. сплошную кривую 1 на рис. 12.1), а при несимметрич-
ном нагружении (т. е. £1=л/3, £г = 11л/6)—в сечении 5 = 0 в
случае, когда приложены две сосредоточенные силы (см. сплош-
ную кривую 2 на рис. 12.1), и при | = £2, когда наряду с сосре-
доточенными усилиями приложена и равномерно распределенная
нагрузка (12.21) (см. штриховую кривую 2 на рис. 12.1). Следо-
79


Рис. 12.1.
Рис. 12.3.
вательно, в указанных сечениях
при т] = 1 и (пли) г) = — 1 может
начаться разрушение армирован-
ного кольца от нормальных напря-
жений.
С повышением относительных
размеров кольца (параметра р)
максимальные значения нормаль-
ных напряжений о11, Пс\ oai воз-
растают. При увеличении парамет-
ра Е (т. е. отношения модулей
Юнга материалов арматуры и свя-
зующего) максимальные по мо-
дулю нормальные напряжения о11,
оа1 возрастают, а нормальные
напряжения в связующем Пс1
убывают.
Необходимо отметить также,
что характер распределения нор-
мальных напряжений в зависимо-
сти от угловой координаты £ в
значительной степени определяет-
ся тем, как приложены сосредо-
точенные усилия р(1) и р(2) (ср.
сплошные кривые 1 и 2 на
рис. 12.1). Равномерно распреде-
ленная нагрузка (12.21) влияет
только на количественные харак-
теристики нормальных напряжений a11, a*1, оа1 (ср. штриховую
и сплошную кривые 2 на рис. 12.1).
Как видно из (12.16), (12.17), максимальные по абсолютной
величине значения сдвиговых напряжений в связующем достига-
ются по отсчетной поверхности кольца ц = 0. Поэтому на рис. 12.2
приведено распределение сдвиговых напряжений в связующем на
отсчетной поверхности при следующих значениях параметров:
80
Рис. 12.5.
1 (2) —{3 — 5 (10), Е==75, ^ = л/2, |2 = Зл/2, 3 (4) - £ - 10,
Е =« 15, ^ == п/2 (л/3), £2 = Зл/2 (Ил/6).
Анализ указанных зависимостей показывает, что характер рас-
пределения напряжений oi3 практически не зависит от парамет-
ров р и Е и существенно меняется в зависимости от того, сим-
метрично или несимметрично приложены сосредоточенные силы
р(1), р(2) (ср. кривые 3 и 4). Кроме того, из результатов сравнения
максимальных по абсолютной величине нормальных и сдвиговых
напряжений в связующем при р = 10 и Е ~ 75 (кривая 1 на
рис. 12.1 и кривая 2 на рис. 12.2) видно, что вторые превосходят
первые. Это значит, что при данных параметрах разрушение
кольца может начаться от сдвиговых напряжений раньше, чем от
нормальных напряжений в связующем.
На рис. 12.3 при Е —75, ^ — л/2, ^2 = Зл/2 и 1 — ^ — 5, 2 —
Р = 10 показано распределение осредненных нормальных напря-
жений о11 по координате ц в различных сечениях кольца £ “
которые указаны около каждой кривой. Аналогичные зависимости
для нормальных напряжений в связующем и арматуре качествен-
но совпадают с приведенными и могут быть пересчитаны коли-
чественно по формулам (12.17), (12.18), Изображенные на
рис. 12.3 кривые показывают, что распределение нормальных на-
пряжений существенно отличается от линейного в сечениях, в ко-
торых приложены сосредоточенные усилия, а в сечениях, доста-
точно удаленных от места приложения сосредоточенных сил, оно
близко к линейному.
На рис. 12.4, 12.5 для кольца под действием двух сосредото-
ченных сил р(1), р(2> приведены зависимости от угловой коорди-
наты £ нормального прогиба w и осевого смещения Ui(g, 1) на
поверхности ц = 1 для случая Е = 75,	— л/2, §2 == Зл/2 и 1-
£ = 5, 2 - р - 10.
Распределение напряжений и смещений для кольца под дей-
ствием сосредоточенных сил р(2> и нагрузки синусоидального
типа
р<°> = о, р<3> = рс1>, 0,25pCI), N - 4	(12.22)
® 10. В. Немировский, Б. С. Резников	81
показано на рис. 12.6—12.9 при параметрах (9.21) и р —10,
Е — 1Ь, ^л/З, |2 = 11л/6. Сплошные кривые соответствуют
р(3)=р(|), а штриховые — р(3) = 0,25р(1). Как видно, приложение
нагрузки синусоидального типа (12.22) приводит к количествен-
ному и качественному изменению характеристик напряженно-
82
деформированного состояния кольца по сравнению с ранее рас-
смотренными.
При деформировании бесконечно длинных цилиндрических
оболочек под действием нормальной нагрузки, не изменяющейся
вдоль образующей, распределение напряжений о11, nJ1, oj3, oai сов-
падает со случаем кольца, нагружение которого соответствует
нагружению бесконечно длинной цилиндрической оболочки. На-
пряжения о22,Ос3, Саь (при к = 2, 3, тп), которых нет в коль-
це, можно определить через о11, ai1, oa! с помощью соотноше-
ний (9.23).
$ 13. АНАЛИЗ НАЧАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ
АРМИРОВАННЫХ КОЛЕЦ
ПРИ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ.
СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИ
Армированные кольца при изгибе, как было показано ра-
нее, находятся в обобщенном плоском напряженном состоянии.
Поэтому в силу (8.6) и (9.16) выполняются соотношения (10.1),
(10.2).
В предыдущем параграфе при анализе напряженного состоя-
ния армированных круговых колец (за исключением случая, когда
кольцо находится под действием одной лишь равномерно распре-
деленной нагрузки р(0)) было установлено: а) нормальные на-
пряжения в связующем достигают максимальных и минимальных
значений на крайних поверхностях р = ±1, где сдвиговые напря-
жения равны нулю; б) на отсчетной поверхности т) == 0 нормаль-
ные напряжения в связующем практически равны нулю, в то
время как сдвиговые напряжения достигают на этой поверхности
максимальных значений по абсолютной величине. Поэтому ради
простоты и определенности при исследовании разрушения арми-
рованных колец будем использовать «приближенное» условие
прочности для связующего: в виде прямоугольника, описываю-
щего в плоскости вс’оос3 условие прочности (4.4) и стороны ко-
торого параллельны осям ocrj1, oaj3. Тогда нагрузка, соответствую-
щая началу разрушения кольца, будет определяться с помощью
соотношений (10.5) — (10.7). Использование этих соотношений
позволяет определять и механизм начального разрушения свя-
зующего.
Таким образом, если кольцо находится при однопараметри-
ческом внешнем воздействии, нагрузку начального разрушения
найдем из (10.5) — (10.7), где
•	8
г. _ (<,+ + с7)/(2 Уз), F!1 - 2 №.
1=0
Fi’-l pu>Fl’tl
i=l
6*
«3
FS-^W> + 4F<n-^>/3),	(ш)
Fj? = 4ШЗ (1 - т) ф£\ F(v0) = F™ = О,
F«> = (Ф^)', F^ = (ф?>)',	- (Ф^О'х
Фф g) = ф«> (|), ф;« (В) = ф$ (£),
ф^0 (S) = Ф$ (£) при !,•<£< U1 (/ ~ 0,1,2),
а функции Ф$, Ф$, Фад определяются соотношениями (12.15).
Рассмотрим сначала кольцо под действием двух сосредоточен-
ных сил р(1), р(2), приложенных в сечениях $2- В силу соотно-
шения (12.14) данное нагружение является однонараметрическим.
Зависимости разрушающей нагрузки от параметров £, Е и (ос для
кольца под действием двух сосредоточенных сил изображены на
рис. 13.1—13.3. Расчет для указанных рисунков был проведен
при параметрах (9.21), (9.22)	—20 и для рис. 13.1 при_Оо = 1,
1 (2)-Ъ;=20, £==15 (75), |^л/2, ^ = Зл/2, 3 (4)-о? = 20
(10), £ = 75, ^1 = л/3, £2 = 11п/6; для рис. 13.2 при оа = 20
1 (2)-о0 = 1, £ = 5 (10), ^ = л/2, & = Зл/2, 3 (4)-а0=_1 (5),
£ = 10, £i = n/3, 6,2 = 11п/6; для рис. 13.3 при £ = 5, оа=20
1 (2)-По = 1, £ = 15 (75), ^ = л/2, ^ = Зл/2, 3(4)-о0 = 1 (5),
£ = 75, gi = л/3, £2“11л/6. Смысл обозначений здесь тот же,
что и в случае балок из § 10, 11. Если значения ic11) Bai и 5с
не указаны на рисунке, то данные величины являются функ-
циями рассматриваемых параметров и определяются из уравне-
ний (12.19), (12.20).
Анализ представленных результатов позволяет сделать сле-
дующие выводы.
1. Толстые кольца разрушаются от сдвиговых напряжений в
связующем, а относительно топкие кольца — либо от нормальных
напряжений в связующем, либо вследствие разрушения армирую-
щих волокон (см. кривые с^Лi&h а2В2с^ а3В5с3 на рис. 13.1). При
этом с возрастанием параметра £ величина нагрузки разрушения
убывает. Кроме того, характерное значение £ == £°, при котором
происходит переход от сдвигового разрушения к разрушению от
нормальных напряжений, лежит в промежутке от 5 до 10 при
изменении £ от 15 до 75 в случае «симметричного» нагружения
(см. кривые aJB2c2 па рис. 13.1).
Для армированных материалов, у которых £ = 20—120,
и? >25, а0 = 1,3—1,5 [11,95,208,220], используя .(10.5) — (10.7)
и (13.1), получим £° = 10—18. Приведенные теоретические ре-
зультаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными
данными из [208, 209].
2. При «несимметричном» приложении сосредоточенных сил
область значений параметра £, в которой происходит разруше-
ние от сдвига, шире, чем при «симметричном» нагружении
(ср. кривые а2В2с2 и а3В3с3 на рис. 13.1).
84
Рис. 13.1.
О 10	30	30	10	90 £
Рис. 13.2.
3. Из сравнения кривых
и bzAzBzCz на рис. 13.2
видно, что увеличение значе-
ния параметра 0 от 5 до 10
(т. е. при уменьшении относи-
тельной толщины кольца) су-
щественно уменьшает диапазон
значений параметра Е, в кото-
ром происходит разрушение от
сдвига.
4. Зависимость нагрузки на-
чального разрушения от удель-
ного объемного содержания
связующего при разрушении
кольца от нормальных напряже-
ний (см, участки Atbi, Вгс2, B„c, Btc на рис. 13.3) является прак-
тически линейной.
К однопараметрическому внешнему воздействию также отно-
сятся случаи, когда на кольцо наряду с сосредоточенными уси-
лиями р(1) и рт (связанными соотношением (12.14)) действует
либо равномерно распределенная нагрузка р(0) = р(|), p(J) = 0,
либо распределенная нагрузка синусоидального типа рт = О,
pw=pw. Для этпх ТИцов нагружения зависимости разруша-
ющей нагрузки от 0 и Е приведены на рис. 13.4—13.7. При
расчетах использовались параметры (9.21), (9.22), 0^ = 20
и для рис. 13.4 1 (2)—ц0 = 1, £ = 15 (75),	= л/2, 62 = Зл/2,
3 (4)—о0 = 1 (5), Е = 75, = л/3, £2 = Ил/6; для рис. 13.5
1 (2) -0о = 1, 0 = 5 (10), ^ = л/2, Ь = Зл/2, 3 (4) -Со = 1 (5),
0=10, ^ = л/3, %2 = 11л/6; для	рис. 13.6 0О = 1,	2V = 2,	^	= л/2,
& = Зл/2, 1 -£ = 15, 2-£ = 75; для рис.	13.7	2V = 2,	1	(2)—
щ = 1, 0 = 5 (10), 61 = л/2,	6а = Зл/2,	3-0о = 5,	0 = 10,
61 = л/3, |2 = 11л/6.
Сравнение кривых, отмеченных буквами с нижним индексом
1 и 2, на рис. 13.1, 13.2, 13.4—13.7, показывает, что область
значений параметра 0, которая соответствует разрушению от
85
сдвига, существенно уменьшается, если к кольцу наряду с со-
средоточенными усилиями приложить равномерно распределен-
ную нагрузку, и увеличивается, если приложить нагрузку сину-
соидалного типа. При наложении синусоидальной нагрузки зна-
чительно понижается уровень разрушающих нагрузок и расши-
ряется область параметров Е, при которых происходит разру-
шение от сдвига.
Рассмотренные примеры расчетов (см. рис. 13.1—13.7) сви-
детельствуют о том, что величина разрушающей нагрузки арми-
рованного кольца, тип начального разрушения и координаты то-
чек, где впервые начинается разрушение, зависят от геометриче-
ских параметров кольца, механических характеристик арматуры
и связующего, от их объемного содержания и условий на-
гружения.
В случае бесконечно длинных цилиндрических оболочек, на-
ходящихся под действием не изменяющейся вдоль образующей
нормальной нагрузки, как и для длинных прямоугольных пла-
стин (см. § 10), можно показать, что напряжения о22 и вак при
к = 2, 3, ...) не влияют на начальное разрушение (если все ар-
мирующие элементы изготовлены из одного материала). Следова-
тельно, задача о начальном разрушении достаточно длинной
86
цилиндрической оболочки сводится к аналогичной задаче о на-
чальном разрушении армированного кольца.
§ 14. РАЗРУШЕНИЕ АРМИРОВАННЫХ КОЛЕЦ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ
ПРИ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Для шарнирно опертого кольца, находящегося под дей-
ствием двух сосредоточенных сил р(1>, рт и нагрузки синусои-
дального типа (12.13) (когда параметры нагружения р(1), р(0),
р(3) являются независимыми), исследование начального разру-
шения осуществляется на основе алгоритма, предложенного в § 6.
Результаты расчетов границы области разрушающих нагрузок
при параметрах (9.21) и взятых из табл. 14.1 приведены на
рис. 14.1—14.4. Сплошные кривые на этих рисунках и штрихо-
вая кривая а15141а151Л1 на рис. 14.1 соответствуют значениям
£а — 20, о0 — 5, а кривая d3c3d3c3 на рис. 14.2 — значениям
Оо" = 20Л (Tg = 1.
Рис. 14.2.
87
Таблица 14.1
Параметр
Вариант
5	10	10
15 | 15 I 75
1 | 2 | 3
₽
Е
На рис. 14.1, 14.2 приведены зависимости р(1) =р(|) (р(в))', ха-
рактеризующие начало разрушения кольца под действием равно-
мерно распределенной нагрузки рт и сосредоточенных сил р(О
и рт, приложенных в сечениях £2. Сплошные кривые па
рис. 14.1 и все кривые на рпс. 14.2 отвечают значениям = л/2,
|2=Зл/2, а штриховая и штрихпупктирная кривые на рис. 14.1 —
значениям — л/3, %2 = 11л/6.
В случае, когда на кольцо действуют распределенная нагруз-
ка синусоидального типа (12.13) при р(0> = 0, $ = 4 и две со-
средоточенные силы р(1), р(2), границы области разрушающих
нагрузок р{1) = р(1) (р(3)) показаны на рис. 14.3, 14.4. Кривые
на рис. 14.3 отвечают значениям = л/2, £2 = Зл/2, а на
рис. 14.4 — значениям = л/3,	= 11л/б.
Смысл обозначений на приведенных рисунках такой же, как
и в случае балок из § 10, 11. Например, на рис. 14.1 замкнутая
кривая А1В1а1А1В1а1 соответствует первому варианту парамет-
ров из табл. 14.1. При этом па участке Л151 (j/2?/) разруше-
ние кольца происходит вследствие разрушения связующего от
сдвиговых напряжений на уровне срединной поверхности ц = 0
в четырех сечениях в окрестности приложения сосредоточенных
сил при | = IcJ (/== 1, 2, 3, 4). Величины определялись из
88
трансцендентного уравнения (12.20) ; из (12.15), (12.20) следу-
ет, что величины (j — 1, 2, 3, 4) от значения нагрузки р'0>
не зависят, поэтому участок А1В1	является прямолиней-
ным. На участках В^ и (В1а1 и разрушение проис-
ходит от нормальных напряжений в связующем в сечениях
^с1 = Ва» а = 1, 2 (т. е. в сечениях, где приложены сосредото-
ченные усилия), и па поверхности ц = 1 для участка B^i
а Для участка atAi (а^) на поверхности ц = —1.
Угловые точки At (4А) и Вх (X) соответствуют одновременно-
му появлению нескольких типов разрушения связующего, ко-
торые возникают на гладких участках, примыкающих к указан-
ным угловым точкам. Угловая точка (®i) отвечает одному
типу разрушения связующего: от нормальных напряжений, но
возникающих одновременно во всем кольце (так как данная точ-
ка соответствует кольцу под действием только равномерно рас-
пределенной нагрузки р(0>).
Результаты исследования разрушения армированных колец
при многопараметрическом внешнем воздействии (см. рис. 14.1—
14.4) показывают, что, как и в случае балок, справедливы сле-
дующие выводы: а) граница области разрушающих нагрузок за-
висит от характера комбинированного нагружения, геометриче-
ских параметров кольца и механических характеристик элемен-
тов композиции; б) выход на границу области разрушающих
нагрузок может совпадать с появлением различных типов раз-
рушения кольца.
Учитывая замечание в конце' предыдущего параграфа, кри-
вые, определяющие область разрушающих нагрузок, для доста-
точно длинных цилиндрических оболочек, находящихся под дей-
ствием не изменяющейся вдоль образующей нормальной нагруз-
ки, практически совпадают с приведенными на рис. 14.1—14.4.
Глава 3
НАЧАЛЬНОЕ РАЗРУШЕНИЕ
ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ОТВЕРСТИЯМИ
ПРИ НАГРУЖЕНИИ В ПЛОСКОСТИ
§ 15. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
Для плоской пластины имеем
Ла = 0, Ь^ = 0.	(15.1)
Будем считать, что поверхности S+ и S~ свободны от внешних
нагрузок, а к боковой поверхности S приложены напряжения,
89
которые параллельны отсчетной поверхности 5, симметричны
относительно этой поверхности и мало меняются по толщине.
В этом случае
аЗ 33 осЗ л	/4КО\
Gq- — Go — Gq — Vj	(15.2)
о“₽(ж‘, ж2, я’) = <jafi(x‘, ж2, —ж’) Уж5 е [—h, h].
Из соображений симметрии, как и в [195], будем считать, что
компонента смещения и3 и компоненты тензора напряжений о“3
весьма малы, а изменения компонент смещения иа и компонент
тензора напряжения по толщине пластины незначительны.
Таким образом, можно полах ать, что
u3o = o“3 = 0, dujd^ = 5о“ W = 0.	(15.3)
Отсюда ясно, что можно получить вполне достаточное представ-
ление об упругом равновесии пластины, рассматривая не истин-
ные напряжения и перемещения, а средние значения по тол-
щине напряжений и перемещений:
h
Та* = T°*/(2h), йа = A. J uadx\	(15.4)
-Л
В этом случае с учетом (15.1) — (15.4) уравнения равновесия
(3.16) примут вид: ЛР3 = ЯаР == 0 и
оТ™ , 8Т12 ^аа / Чеа	\	Ж12 /	\ _
дха дх$	уйаа®’с'х	J	2а$$дх$ }
_ =
(по а, р не суммировать: а =/= р).
Если перейти к физическим компонентам тензора осреднен-
ных напряжений, которые обозначим через оар = оар =
= V^daaa№ (по а, р не суммировать), то получим
 д /ааа	 а12дааа 	^арр __ м
дхп У дх^ У'а^а^дх^	2a^dx*	1	'
(по а, р не суммировать, а 3).
Для рассматриваемых пластин при отсутствии температурного
воздействия обобщенный закон Гука (2.9) в физических компо-
нентах имеет вид
(Тар ~ ^1 a fillip тц.	(15.6)
Из (15.3) следует, что в соотношениях (1.10), (1.17) можно
формально положить на. = 0 и йа = па0 (индекс «0» в дальней-
шем будем опускать). Тогда физические компоненты тензора
осредненных деформаций еар с учетом соотношений (1.17), (15.1)
определяются через физические компоненты средних значений
-
перемещений следующим образом:
1	/ ^urf	wA д 1/*а„„
л ___ a j а । р г ccct
дх^	VеaRft дх$ .
£аа —
- 1
~ Т
й22 9 /	»2
(а^р, не суммировать),
(15.7)
аи я Г и
(15.8)
соответ-
5 позво-
С учетом соотношений (15.1) —(15.4), а также принятых
нами предположении и обозначений нетрудно получить из (3.17)
различные варианты граничных условий для системы уравнений
(15.5) — (15.7) на контуре Г области S:
^0оф —• |//Г+ Sy$v)&£ )j вир = 0
(по (J не суммировать).
Замкнутая система уравнений (15.5) — (15.7) при
ствующих граничных условиях на контуре Г области
ляет определить напряженно-деформированное состояние анизо-
тропной и неоднородной пластины при нагружении в ее плоско-
сти. В последующих параграфах при конкретном характере ани-
зотропии, заданной геометрии плоскости S (в общем случае
она может быть мпоюсвязной) и заданных граничных условиях
па контуре Г области 5 будет приведен ряд решении рассмат-
риваемой системы уравнений. Поэтому, опуская вопрос о степе-
ни сложности решения краевой задачи (15.5)— (15.8), будем
считать, что оно найдено, а тем самым и определены напряже-
ния 0ар. Тогда из соотношений (15.6) получим выражения
&aa — £«1011 + £«2022 “Ь £«3012»
2б?12 = £з1011-^ 032022 + 033012,
подставляя которые в (2.3), (2.8), найдем напряжения
ментах композиции:
в связующем
а““ = Еа (ап (са1 + vcCiP) + а22 (са2 + vce₽2) +
+ (Tn (Саз + VcCps))/(l — v2) (а Р),
ас2 = Ес (аиС13 + а22с23 + а12с33)/(2 (1 + vc))
и в армирующих волокнах
Oak = Еак (0aa fcai (^fe)2 + £«2 (ify* + АхзШь! +
+ 012 {013 (^fe) + 023 (^fc) +^?ЗзУл1)»
где к == 1, 2, ..wi,
£aa = (^4рр0Э^1212 " (Amay)/D,
£аз “ £за = (^ррра-4 1122 — А
ааа рАрррр)//), оь
Cj2 = Czt = (-4 1Ц2^ 2221 - ^41212^1122) /7?,
(15.9)
в эле-
(15.10)
(15.11)
91
Css—(-^ии-^аггг — (^игг)2)/^» >
29 =
Alli
-41122
2
"1112
Aii!
"2222
"2221
"1112
•^2221
41212
Используя далее соотношения (15.10), (15.11) и алгоритм
численного счета, изложенный в § 6, можно решить задачу о
начальном разрушении армированных пластин при нагружении
в плоскости. Конкретные решения приведены в следующих па-
раграфах.
§ 16. РАЗРУШЕНИЕ
ПРЯМОЛИНЕЙНО-АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
С ВЫРЕЗАМИ
Рассмотрим ортотропную пластину, ослабленную одним
или несколькими различными отверстиями, контуры которых
замкнуты, имеют непрерывную касательную и не пересекаются
между собой (рис. 16.1). Будем считать, что ортогональная си-
стема координат является де-
картовой и совпадает с осями ор-
тотропии. Тогда
&аа = 1»	-41112 ~ ^2221 =
= С18 = С23 = 0.	(16.1)'
Здесь и в дальнейшем (в преде-
лах настоящей главы) верхний
символ «А», обозначающий фи-
зические компоненты тех или
иных тензоров, будем для просто-
Рис. 16.1.	ТЬ1 опускать. Указанный характер
ортотропии (соотношения (16.1))
для принятой модели армированного материала (см. § 2) может
быть реализован, например, путем армирования области S прямо-
линейными волокнами симметрично относительно оси х1, т. е.
при выполнении соотношений (8.2).
Введем функцию напряжений F
_ d^F	дгР _ d'F
°22~(^Е’
так что уравнения равновесия (15.5) будут удовлетворены тож-
дественно. Функция напряжений F удовлетворяет уравне-
нию [90]:
d*F t /о	I х diF . dlF	n
C22 . 4	(2^12 4- ^Зз) я 2Я 2 4“ Сц 4	V
dz	dx dy	c)y
(x = X1, y = X2)
n
и выражается через две произвольные аналитические функции
комплексного переменного za:
2
F (х, у) = 2 Re 2 Fa (za).	(16.3)
’	a=l
Здесь = z + Ца = a® +	— корни характеристического
уравнения сиц4 + (2с12 + с38) р3 + с2й = 0; 6а — вещественные
числа, при этом считается, что Ьа > 0 и ¥= р2 (случай равных
корней характеристического уравнения получается из общего
для всех частных задач, которые будут рассмотрены в дальней-
шем); г = У—1.
Учитывая (16.2), (16.3), легко найти выражение для компо-
нент тензора напряжений, а путем интегрирования уравнений
(15.7), учитывая (16.1) и (15.9), получить формулы для сме-
щений.
Если ввести обозначения
фа (га) = &Fфа (^а) “ ^фа/^аг
то для напряжений и смещений будем иметь следующие выра-
жения:
2
аХ1 = 2 Re 2 Нафа (z«) s
а=1
2
^22 = 2 Re 2 Фа (2а)г	(16.4)
а~1
2
^12 = — 2 Re 2 Рафа (^а)л
а=4
2
Up = 2 Re	&ффа (*а)>	(16.5)
В соотношениях (16.5) произвольные постоянные, характеризу-
ющие жесткое перемещение пластинки, опущены и
?а1 = Сцра Н" С12» ?а2 ~ ^12ра ^з/ра-
Введенные аналитические функции фа(^а) должны в зави-
симости от условий задачи удовлетворять на контуре Г рассмат-
риваемой области 5 определенным условиям, которые можно
получить из (15.8). В общем случае область S может быть мно-
юсвязной, тогда граница Г будет состоять из нескольких кон-
туров: Г1, Г2, Гп, Гп-fi* Принимая во внимание, что t яв-
ляется ортом положительной нормали к контуру Г, получим
-следующие выражения для ковариантных компонент векторов
t и s:
=» = dy/dl, t2 = —« dx/dl,	(16.6)
где I — текущее значение дуги рассматриваемого контура, урав-
нение которого будем задавать в параметрическом виде % =
93
у — у(1). Подставляя (16 1), (16.6) в (15.8) и учитывая (16.2),
(16.4), получим в случае первой основной задачи следующие
контурные условия для функции (pa(za):
2	Ife
2 Re 2 фа(га) = f 4" CiAs
а=1	n
; <i6-7>
2Re 2 IWPa (2а) “ I Xfrdlk +
«=1	J
где к == 1, 2,..., n + 1 для конечной области, к = 1,2,..п для
бесконечной области, 1к — дуга, отсчитываемая от произвольной
точки контура Г*. Через Хк + iYk обозначен вектор внешних уси-
2
лий, приложенных к контуру Гл; при этом Хк « 2	=
OS—I
2
= 2 ^а<То«2» Саъ — произвольные вещественные постоянные.
а=1
В случае второй основной задачи на контуре Г области 5 за-
даются компоненты перемещений Uift, п2А (к = 1, 2, ..., п +1)
и граничные условия имеют вид
2
2 Re 2 ?а₽ф« (Za) = U₽ft.	(16.8)
a~i
Таким образом, решение основных краевых задач плоской
теории упругости для анизотропных плит сводится к задачам
определения двух аналитических функций (pa(za) по контурным
условиям (16.7) либо (16.8).
Рассмотрим случай, когда область S является бесконечной и
мгюгосвязной. (К нему может быть сведено большое количество
задач, имеющих практическое значение. В частности, если раз-
меры отверстий невелики по сравнению с размерами пластины
и эти отверстия расположены на достаточном удалении от краев,
то пластину конечных размеров можно принять за бесконечную )
Тогда аналитические функции сра(за) могут быть представлены
в виде [90, 195]
фа (^а) в	1П 2а + (iZx + iCa) 2<х ”1” фоа (^а) ,	(16.9)
где G = 0, а фоа(2а) являются голоморфными на бесконечности
п
функциями. Комплексные постоянные Л = 2 могут быть
определены из условий, что главный вектор усилий, приложен-
ных к произвольному контуру Ж, охватывающему 1\, к =
= 1, 2, п (см. рис. 16.1), равен (yft + tKft), а компоненты
перемещения Ui, u2 однозначны. Постоянные G из (16.9)
можно выразить через компоненты напряжений на бесконечно-
сти. В случае, если напряженное состояние в бесконечно удален-
ной части плоскости является равномерным (о^ = const), полу-
94
чим [195]
Pl = (o(u) +	+ 2a2o£>)/(2d),
Р2 = (М? - 2а1Л^ - <4T> - 2a2<№)/(2d),	(16.10)
C2 = ((«1	®2) 011 "Ь (®2^1 ~~ al^z) 022 + (41	^2) 012 0/(2M)*
при этом da = a« — ba, d = (a2 — a^2 +	— bf.
Подставляя полученные таким образом постоянные Ла, С2г
Da в (16.9), определим окончательный вид аналитических функ-
ций <pa(za). С их помощью из (16.7) либо из (16 8) получим
контурные условия ДЛЯ функций фОа(^а).
В частности, когда главный вектор внешних усилий, прило-
женных к каждому контуру 1\, будет равен нулю, т. е.
+ iYh = 0, имеем из [195] Aafe = 0 (fc = l, 2, ..., п). Тогда осред-
ненные напряжения оа₽ с учетом (16.4), (16.9) и (16.10) можно
представить в виде
011 = ^11 + 2Re 2 FWPoa(za)i
022 “ 022 ) 4“ 2 Re 2 ФооД^а)?
•	2
012 = 012 ) — 2 Re 2 Нафоа (2а)«
а=1
Подставляя их в (15.10) и (15.11), определим напряжения в
элементах композиции:
в связующем:
Ос^ “ Ес ^0]1^ (^|31 4" 'Vc^vi) 4“ 022) (ср2 + VcCya) +
+ 2 Re 2 (пафосе (tfpi + VcCyi) + фоа(^|32 + 'Vcfya))1	'Vc)» P=/=Y»
(16.11)
/	2	\ 1
0c3 » £cc33 1 0i2) — 2 Re 2 Н«Фоа I /(2 (1 + vc))
4 \	cc=l	/1
и в армирующих волокнах
7	7	2	\
0aA e Eak I (сц (/ft)2 + ^12 Gfe)2) I 011 > + ^Re 2 Рафоа ) +
\	\	a=l	/
(2	\
022) + 2 Re 2 Фоа I +
a=i	/
(2	\ \
0^2 — 2 Re 2 JWPoa I I» Л == 1» 2X ..	(16.12)
a=i	/ I
95
Таким образом, определяя функции фоа из соответствующих
контурных условий, используя (16.11), (16.12), (6.5), (6.15),
(6.22) и метод исследования разрушений армированных конст-
рукций из § 6, можно исследовать начальное разрушение беско-
нечной ортотропной пластины с вырезами. Поэтому ниже для
ряда случаев ограничимся лишь указанием функций фоа(за),
а для растяжения ортотропной пластины с одним эллиптическим
отверстием будет приведен полный анализ начального разру-
шения.
Пусть пластина с эллиптическим отверстием нагружена рав-
померпо распределенным нормальным давлением р по контуру
(рис. 16.2), а напряжения на бесконечности отсутствуют. Тогда
[90, 195]
Фо« (za) = (—1)aip (b + ipea) £а/(2(|*p- Иг))',
U = (« — ФоЛ) (za + ]/za — (a2 + р^2))"1.
При нагружении контура эллиптического отверстия равномерно
распределенным касательным усилием Т (рис. 16.2) имеем [90,195]
фоа (^а) = ( 1)аТ (А 2?|Ло)/ (2£а (Цг И1) )»
go = Pi (а — 1) + рз (2 — а).
Если контур эллиптического отверстия свободен от напряже-
ний, а пластина деформируется равномерно распределенными ка-
сательными усилиями интенсивности Т, действующими на беско-
нечности (рис. 16.3), то [90, 195]
= — Оз”’ = Т sin 2ф, о^ = Т cos 2ф,
фоа(2а) ~ ( 1)“Т(А 2?Цо)/ (2£а(|13 —* Ц() ) ,
где ф — угол между большой осью отверстия и направлением ка-
сательного усилия Т (см. рис. 16.3):
А = a cos 2ф — ib sin 2ф, В = а sin 2ф + ib cos 2ф.
Если напряженное состояние па бесконечности представляет со-
бой растяжение усилиями р. составляющими угол ф с осью ох
96
(см. рис. 16.3), а контур отверстия свободен от внешних уси-
лий, то [90, 195]
о(17) = р cos2 <р, 022 > = р sin2 ф, Oj2> = р sin ф cos ф, (16.13)
Фоа = (— 1) ар i (b (go sin 2ф + 2 cos2 ф) 4-
4- йх(2ро sin2 ф + sin 2ф))/ (4^a(gi — Р-г)).	(16.14)’
В рассматриваемом случае для представления напряжений в
элементах композиции в виде (6.3) воспользуемся (16.11) —
(16.14). В результате будем иметь
COS2 Ф (cpi + VcCvi) + sin2 ф (с₽2 + vcev2) +
2
+ 2 Ro 'фра (h« (£pi “b “1“ ^02 "Ь	VcX Y«
a=l
(16.15)
/	2	\ I
F™ = Ece33 sin ф cos ф — 2 Re 2 Я’оаРа (2 (1 + vc))f
\	a=i	/ i
(/ 2	\
(cn (ikY 4- q2 Gh)2) (cos2 Ф + 2 Re 2 Фоац£ +
\	a==i	/
4- (^is Oft)2 + CaaGI)2) (зш2ф 4- 2Re 2 ‘Фоа) 4-
\	a=l /
(2	\ \
sin ф cos ф — 2 Re 2 ФоаНа ] L Л — 1* 2, ..m. (16.16)
«=i	/ /
Здесь принято:
Фоа — (*-* 1)а (bi (Но sin 2ф + 2 cos2 ф) — а (2р0 sin3 ф 4-
4- sin 2ф)) (4 (р,£ — р2) Са У za — (а2 + Ра&2))~\
Для удобства вычислений будем использовать обобщенные по-
лярные координаты
х == ар cos у, у “ftpsiny,	(16.17)
где v — полярный угол, отсчитываемый по оси х; р — полярный
радиус (при р = 1 получаем контур рассматриваемого эллипти-
ческого отверстия).
Решая численно экстремальную задачу (6.5), (6.15), (6.22)
с учетом (6.15) — (6.16), определим величину внешней нагрузки
Р = Ра, при которой начнется разрушение пластины. Данный
метод решения задачи о разрушении армированной пластины с
вырезом естественным образом содержит возможность предска-
зывать различные механизмы начального разрушения, наличие
которых неоднократно отмечалось в ходе экспериментальных
исследований [53, 154, 240]. Так, при параметрах пластины и
7 IO. В. Немировский, В. С. Резников	97
структуры армирования, удовлетворяющих неравенству
Рс < Ра,	(16.18)
она будет разрушаться вследствие разрушения связующего. Если
при этом в области разрушения связующего напряженное со-
Р12 поа
стояние таково, что г с , то пластина начинает разрушать-
ся от нормальных напряжений в связующем. Если выполняется
неравенство F™	то пластина будет разрушаться от
сдвиговых напряжений в связующем. В случае, когда выпол-
няется неравенство, противоположное (16.18) и
Ра = РаЧ<. min {Pak},
л=1,2, ...m
имеем другой механизм разрушения: пластина начинает разру-
шаться вследствие разрушения армирующих элементов /с0-го
семейства.
Конкретные вычисления были проведены для задачи о рас-
тяжении вдоль оси оу (<р = л/2) • пластины с эллиптическим от-
верстием при параметрах (8.2) и т С 4, Eak = Еа,
74 = oik = nJ VA = 1, 2, 3V 4, t|j3 = — -ф4 = if,
о* = <Тс, vc = 0,35J <oc = 0,3,	(16.19)
m
®a 2	= Еа/уа = Va = 0,55.
В случае двух семейств волокон (тп = 2), уложенных в на-
правлении осей ох и оу, зависимости нагрузки начального раз-
рушения ря от G>eG)i (удельного объемного содержания в на-
правлении оси ox; 0<GMOiуа) при В =0,1; 1; 10 и Е == 15; 75
(Z£ = b/a, E = EJEC) приведены на рис. 16.4—16.6. Сплошные
кривые соответствуют случаю, когда выполняется неравенство
(16.18), т. е. пластина начинает разрушаться вследствие разру-
шения связующего, а армирующие элементы остаются упругими.
Для указанных выше значений параметров неравенство (16.18)
выполняется, если
о? >10, Оа >5 (о± = ст±/ое).	(16.20)
Штриховые линии Ь*62 на рис. 16.4, 16.5 отвечают случаю,
когда выполняются неравенства, противоположные (16.20)
(кривая b*b2 на рис. 16.4 построена при uj = 3, кривая Ъ*Ь3
на рис. 16.5 —при п^=5)> т. е. пластина начинает разрушаться
вследствие разрушения арматуры. При этом разрушаются ар-
мирующие элементы второго семейства, а первого — остаются
упругими. Для случая
- 10s	- 5	(16.21)
98
Рис. 16.4.
Рис. 16.6.
Рис. 16.5.
и Е = 15 имеем кривые
на рис. 16.4, 16.5. При этом
* лО
на участке е^Ау пластина
начинает разрушаться от раз-
рушения связующего, а на уча-
стке A® Ь2 — вследствие разру-
шения арматуры 2-го семей-
ства. При К = 10 и параметрах
(16.21) кривая	на
рис. 16.6 соответствует Е = 15,
а кривая c2D%b2 — 75. Характер
разрушения для каждого
участка этих кривых указан
на рисунках: оа, отвечает раз-
рушению волокон i-го семей-
ства, Ос — разрушению связу-
ющего.	z
Результаты расчетов пока-
зывают :
1) в зависимости от струк-
туры армирования и механических характеристик элементов ком-
позиции возможны различные типы разрушения — как связую-
щего, так и арматуры, либо их одновременное разрушение;
2) разрушение во всех случаях, приведенных на рис. 16.4—
16.6, начинается на контуре отверстия при значении полярного
утла v = vB (в силу симметрии рассматривается лишь четверть
пластины), указанного для каждой кривой в табл. 16.1. При
этом с возрастанием относительной жесткости армирующих эле-
ментов, т. е. параметра Е при со2 > 0, значение va убывает.
Таблица 16.1. Значение полярного угла »н (в радианах) в зависимости
ОТ <0аСОг
Кривая	Отношение полуосей эллипса К	Отношение модулей Юнга Е	Характер армирования <оае>1							
			0	0,055	0,11	0,22	0,33	0,44	0,495	0,55
	ОД	15	0,011	0,012	0,012	0,014	0,016	0,020	0,023	0
	1		0,109	0,114	0,120	0,136	0,159	0,197	0,219	0
	10		0,805	0,839	0,867	0,928	1	1,090	1,130	0
	0,1	75	0,0051	0,0051	0,0057	0,0066	0,008	0,011	0,015	0
	1		0,051	0,054	0,057	0,066	0,080	1,109	0,159	0
	10		0,467	0,492	0,518	0,580	0,672	0,830	0,971	0
	0,1	15	0,011	0,012	0,012	0,014	0,016	0	0	0
• х х *	1		0,109	0,114	0,120	0,136	0,159	0,197	0	0
	10		0,805	1,571	1,571	0,928	1	0	0	0
	0,1; 1	15; 75	0	0	0	0	0	0	0	0
&2			0	0	0	0	0	0	0	0
	10	75	0	1,571	1,571	0	0	0	0	1,571
1>0	10	15; 75	0	О	0	0	0	1,571	1,571	1,571
	0,1; 1 1		0	0	0	0	0	0	0	0
В работе [204] проведена оценка возможного места разруше-
ния пластины с помощью осредненных напряжений. Для этого
определялось максимальное значение интенсивности осреднен-
ных напряжений 20 — ]/"
В табл. 16.1 указаны значения v = v0 (при р = 1), соответ-
ствующие точкам максимума 20. Как видно, значения v0 отве-
чают точкам горизонтального или вертикального диаметра от-
верстия. Однако это не согласуется с результатами эксперимен-
тальных наблюдений [154], которые показывают, что в ряде
случаев разрушение пластины начинается не в точках горизон-
тального или вертикального диаметра отверстия, а в некоторой
окрестности этих точек. Результаты расчетов на основе структур-
ного подхода, приведенные в табл. 16.1, как раз качественно
согласуются с указанными экспериментами. Количественное же
сравнение провести невозможно, поскольку в названной работе
не представлены значения параметров армированного материала.
100
Рис. 16.8.
Отметим, что расположение вытянутости отверстия относи-
тельно действия нагрузки и направления армирования оказывает
значительное влияние на величину разрушающей нагрузки (ср.,
например, кривую е2а2а2 на рис. 16.4 с кривой а2а2 на
рис. 16.6). Как видно из рис. 16.4 и 16.5 (кривые е^А^а^
е2а*а2, е^А^Ь^, в широком диапазоне изменений разру-
шающая нагрузка остается высокой и практически постоянной
и ее резкое падение наблюдается лишь в ближайшей окрестности
(Оа®! = 0,55 (когда практически вся арматура уложена вдоль
оси ох).
В случае четырех семейств армирующих волокон (тп = 4) при
параметрах (16.19), й) = щ2 и
1 (2) — ®а®1 = Зпа/8, ив(йз = па/8, Е = 15 (75),
3 (4) - ©«о, ~ 5па/18, ®а<в, = 2ра/9, Е = 15 (75) (lth '
зависимость нагрузки начального разрушения от угла армиро-
вания г|з приведена на рис. 16.7, 16.8 соответственно для эллип-
тического (К = 0,1) и круглого {К — 1) отверстий. Указанные
зависимости получены в случае, когда	л/2] пластина
разрушается вследствие разрушения связующего, т. е. выпол-
няется неравенство (16.18), эквивалентное для рассматриваемых
параметров неравенствам (16.20). Номера кривых на рис. 16.7,
16.8 отвечают вариантам параметров из (16.22). Результаты
вычислений показали, что разрушение при этих параметрах на-
чинается на контуре отверстия при значении полярного угла
у = ун, указанного для каждой кривой в табл. 16.2.
101
Таблица 16.2
Вариант из (16.22)	Отноше- ние полуосей эллипса К	Отноше- ние модулей Юнга £	Угол армирования гр, рад					
			0	0,314	0,628	0,942	1,26	1,571
1	од	15	0,017	0,022	0,02	0,023	0,020	0,014
2		75	0,0082	0,021	0,022	0,023	0,017	0,0061
3	0,1 '	15	0,018	0,020	0	0	0,022	0,013
4		75	0,0095	: 0,022	0	0	0,023	0,0062
1	1	15	0,163	0,215	0,182	0,205	0,196	0,133
2		75	0,082	0,203	0,198	0,212	0,177	0,064
3	1	15	0,180	. 0,178	0	0	0,210	0,126
4		75	0,094	0,20	0	0	0,202	0,060
Сравнение соответствующих кривых на рис. 16.4, 16.5 и на
рис. 16.7, 16.8 показывает, что введение углового армирования
при сохранении удельного объемного содержания волокон и
при разумном выборе угла укладки арматуры значительно по-
вышает нагрузку начального разрушения в случае, когда пла-
стина начинает разрушаться вследствие разрушения связующе-
го (ср., например, кривую а2а2в2 на рис. 16-4 и кривую c.2a2d2
на рис. 16.7). Аналогичные результаты были получены для
К ~ 10 и Е = 15; 75 при (/ = 1, 3) из (16.22).
Как видно из рис. 16.4—16.8, для параметров армирования,
которые отмечены точками со звездочками, нагрузка начального
разрушения является наибольшей. Таким образом, значения сш
на рис. 16.4—16.6 и ф на рис. 16.7, 16.8 для указанных точек
соответствуют рациональным проектам армированной пластины.
Анализ кривых на рис. 16.7, 16.8 показывает, что, чем жестче
волокна (т. е. больше Е}, тем существенней зависимость раз-
рушающей нагрузки от угла армирования. При создании рацио-
нальных конструкций из материалов с более жесткими волокна-
ми необходимо более точно выдерживать структуру армирова-
ния (в частности угол армирования ф).
Аналогичным образом можно исследовать разрушение орто-
.тропной пластины с эллиптическим отверстием и в случае вто-
рой основной задачи, если найдено выражение для функций фоа.
Если пластина с абсолютно жестким эллиптическим ядром
находится под действием пары Мо, то жесткое ядро может толь-
ко повернуться на некоторый угол ср, т. е. краю отверстия сооб-
щен поворот на малый угол ф. В этом случае, как показано в
[90, 195], Пар' = 0 и функции фоа имеют вид
фоа (га) = (—1) “ф (agsl + Z&7Р2> £о/ (2 (?ug22 — ?21?12))', а =5*= 0.
При решении ряда задач точное определение функций фоа свя-
зано с некоторыми затруднениями. Поэтому в [83, 90, 195] пред-
102
ложены приближенные методы нахождения функций <роа. Их мож-
но использовать для последующего анализа разрушения.
Рассмотрим растяжение ортотропной плоскости с бесконечным
рядом эллиптических отверстий, полуоси которых равны а и Ъ,
центры отверстий лежат на оси ох, а расстояния между ними
одинаковы и равны I. Будем считать, что все отверстия свободны
от напряжений, а на бесконечности задано однородное напряжен-
ное состояние: oru) = р, аЙ0 = 7, °i2 * = 0. Если в разложении
функции <роа по степеням малого параметра е = Z“l ограничиться
членами, содержащими 8 в степени не выше четвертой, то функ-
ции фоа примут вид [83, 195]
Фоа = Дх1/&х 4* Дхз&х “ Z28277lao4alza “~
— X48477la04alZa (za + 3znao 4" W&ao))*
Коэффициенты Aak (к = 1, 3) определяются из алгебраической си-
стемы уравнений
4lt (1 + dt) + 413rZ2 + Д21 (1 + dj) + 423d® — — ?/2л
411(71ds + 413 + 421C2d3 4- 423 = 0„
ДЛ (1 —ЭД — Дз^х^зД + Д1^г (1 —	—
— А23Ь2С6<^2 =* — pl^K)^
^31^1 4“ ^21^2^6	^23^2 =! Ой
переменная связана с za неявной зависимостью вида
za = (а 4-Ьа6) &х/2+(a - М) / (2U) •
Кроме того, было принято, что комплексные параметры ортотроп-
ного материала являются чисто мнимыми:' pa = iba и
di = — лгцв2 (Х2 + б^/ПюШце2),
Д = — 3/Я1о84Х4г Д = — Hi10e4X4S
(?£ = Wijo + ТТтД, C2 = TTlfo 4* m2is
Cs = TTljo — ^11, Ct = TTl^o —• 77l2i,
XT _ 3	3 XT ___ ®	w»®
Os — 7fl10-"Illi — "*20
TTJao = (14- 6«/K)/2, mal = (1 - MK)/2,
К-^Д«22в-‘ (* = 2,4),
n«l
коэффициенты	(j = 1, 3) получаются из dt, если в указанных
формулах заменить тц на m2l (i = 0, 1).
103
§ 17. ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ
КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН
С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ
Рассмотрим пластину, обладающую цилиндрической ани-
зотропией, Будем предполагать, что одна из осей анизотропии
нормальна к отсчетной плоскости S. В рассматриваемом случае
будем использовать цилиндрическую систему координат. Примем
ось анизотропии, перпендикулярную плоскости S, за ось ж8 ци-
линдрической системы координат, х1 = р и хг = v будем считать
соответственно полярным радиусом и полярным углом. Тогда для
коэффициентов первой квадратичной формы плоскости 5 имеем
Ли = 1, Л22 = р2,	(17.1)
а уравнения равновесия (15.5) примут вид [90]
dOL,	о,, — о
v + -i®r+<17-2>
£21? 4- —2 4- 2 — — О
ар + pdv + z р “°*
В рассматриваемом случае, учитывая (17.1), получим из (15.7)
выражения для деформаций
ди±	ди^
e^==~д^, *22
12 ~ 2 \р<9^ др р /•
Исключение смещения иа из соотношений (17.3) дает уравнение
совместности [90]
а2е, а2 (реоо^ д2(2р<?4 де
—f- + p—---------Ь^-Р-т£ = О- (17.4)
dv2	ар2	д?ди	др
Уравнения равновесия (17.2) будут тождественно удовлетво-
рены, если ввести функцию напряжений Г(р, и) следующим об-
разом [90]:
___1 (ар а2р _ d2F
- Р + „0.4’ °” “ «Р* ’	07.5)
=	92 (F
*^12 =	дрди \ р / '
Используя уравнение совместности (17.4) и зависимости (15.9)
и (17.5), получим дифференциальное уравнение для функции на-
пряжений
а2 _ а ] I сп [ dF d2F ] d2F
fv* Р др Д р ар + р2^2 ) + *12 вр2
, a2 f	(9F , а2/Л , /	э*р
+ р аР2 Г12 \ dp + рди2) + р Г22 ар2
д* f	( d2F д2
дрди (?Р рди2) Р^23 £р2	^33
а2 (Р_
*13 дрди ( р
С23
= 0. (17.6)
104
В случае, когда пластина с цилиндрической анизотропией яв-
ляется ортотропной, имеет форму полного кругового концентри-
ческого кольца (полюс анизотропии совпадает с центром кольца)
и ее нагружение и закрепление не зависят от угловой координа-
ты у, напряжения будут функциями только р. Следовательно,
уравнение (17.6) для определения функции напряжений примет
вид
д (д ( дР , Я*р\ eudF	/47 7\
ар (ар 1^18 ар + С22р ) рар С12 ЙР2 | — 0- (17-7)
При этом учитывалось, что для ортотропного материала
All! = ^2221 = С13 = Сгз — 0.	(17.8)
Из уравнения (17.7) нетрудно получить
C22pf" + (с22р) 'f + (С12- си/р)/ = С,
где /(р) = 7?'(р), а штрих обозначает производную по р. Постоян-
ную интегрирования С необходимо положить равной нулю, так
как для рассматриваемого осесимметричного случая из (17.3) с
учетом (17.5), (17.8) и (15.9) имеем
с22рГ + (w)' Г + (ci2 — Сц/Р) 7 = 0.	(17.9)
Таким образом, если характер армирования задан, т. е. опре-
делены функции ЛиЫ(р), а тем самым и функции сое(р), то,
интегрируя уравнение (17.9) при соответствующих краевых ус-
ловиях, определим /(р). Затем из соотношений (17.5) и (15.10),
(15.11) найдем как осредненные напряжения, так и напряжения
в элементах композиций, используя которые, а также условия
разрушения (6.5), (6.15), (6.22), сможем исследовать начальное
разрушение рассматриваемой пластины.
Пусть пластина нагружена на внешнем и внутреннем конту-
рах равномерно распределенными нормальными усилиями р2, рс,
Ri, R2— внутренний и внешний радиусы кольца. Тогда, учиты-
вая, что t является ортом положительной нормали к контуру Г
(Г = rt U Га; Гь Г2 — соответственно внутренний и внешний кон-
туры кольца), получим следующие выражения для ковариантных
компонент ортов t и в:
£i = s2 = 1, <2 = 51 = 0,	(17.10)
а компоненты внешнего усилия, приложенного к контуру Г,
в данном случае равны:
на контуре Г1 Пои = —Pi, Ooi2 = ^022= О,
(17.11)
на контуре Г2 о0ц = — р2, а012 = По22 = О.
Подставляя (17.10), (17.11) в (15.8), получим следующие гра-
ничные условия:
при p — Ri Оц = — pt, при р = R2 Оц = —р2.	(17.12)
105
Общий интеграл уравнения (17.9) имеет вид
/ = С1ф1(р)+С?<р2(р),	(17.13)’
где <ра(р) — линейно независимые частные решения уравнения
(17.9), а Са — произвольные постоянные. Из (17.5) и (17.13) бу-
дем иметь следующие выражения для осредненных напряжений:
Пи = (С1<Р1 + С'афг)/ Р,
°22 =	"(* ^аФг» О12 == Oj
использование которых и краевых условий (17.12) дает выраже-
ния для постоянных интегрирования
=хр₽/гЭф&(7?а)-ра/?а<рр(7?₽)
(Р =# а)-
Рассмотренный случай ортотропной пластины с цилиндрик
ческой анизотропией, для которой выполняются соотношения
(17.8), в рамках принятой модели армированного материала мо-
жет быть реализован следующим образом. Пусть пластина арми-
рована непрерывными волокнами постоянного поперечного сече-
ния и выполняются условия (8.2), где 1|>,- (i = l, 2, ..., т) —
угол между полярным радиусом и положительным направлением
касательной к траектории армирования г-го семейства волокон.
Тогда фг, (г = 1, 2, ..., т) могут быть только функциями по-
лярного радиуса.
Как следует из (8.2), первое семейство волокон соответствует
армированию вдоль радиусов с постоянной плотностью по угловой
координате v. При этом из определения удельной интенсивности
армирования имеем
со1 = to10/?i/p = а»1йК/г,	(17.14)’
где со ю = const — удельная интенсивность радиального армирова-
ния на внутреннем контуре пластинки; K = Ri/R2, r =^)!R..
Второе семейство волокон из (8.2) соответствует армированию
по концентрическим окружностям, центры которых совпадают с
полюсом анизотропии. Удельная интенсивность окружного арми-
рования он будет постоянна, если волокна данного семейства
уложены равномерно вдоль радиуса пластины.
Для волокон углового армирования (при i = 3, 4, ..., т)
<В1 = а)КК cos ф,;о/ (г cos ^,0),	(17.15)'
где <в,о, фю — удельная интенсивность и угол армирования на
внутреннем контуре пластины i-ro семейства волокон. Если тра-
ектория i-ro семейства задана в виде уравнения щ = п<(г), то [79]
cos% = |ra(^j + lj (i — 3,4, ...,m).	(17.16)
В частности, в случае армирования по логарифмическим спи-
ралям
Vi(r) = tgifiiolnr (i = 3, 4, ..., тп)
106
Рис. 17.1.	Рис. 17.2.
имеем с учетом (17.16) cos = cos ip,o и из (17.15)’ получаем со-
отношение, аналогичное (17.14). В дальнейшем, если специально
не оговорено, под угловым армированием будем понимать арми-
рование по логарифмическим спиралям.
В случае, когда коэффициенты • сар постоянны, уравнение
(17.9) интегрируется в элементарных функциях ф! = р\ <р2 = р“\
где X2 = Сц/е22. Тогда
(17.17)
о22 = Х(4гА-1 + Вг-^+1>), <?12 — 0.
' Здесь А =(рЛх+1-р2)/(1"^), В=(р1-р2Кх'1)^+1/(1-^п).
Условие си₽ = const в силу соотношений (8.2), (17.14), (17.15)
может быть обеспечено, например, следующим путем. Во-первых,
необходимо положить <о2 == const. Во-вторых, когда радиальное и
угловые семейства образованы непрерывными волокнами, тогда
их поперечные сечения должны быть прямо пропорциональны г.
Если волокна радиального и угловых семейств имеют постоянное
поперечное сечение, то их количество должно быть прямо про-
порционально г.
Учитывая (8.2), (15.10), (15.11), (17.17), (6.5), (6.15), (6.22),
был проведен численный анализ начального разрушения рассмат-
риваемых кольцевых пластин при параметрах (8.2), т<4, Е^^
= Еа и (16.19). Рис. 17.1 соответствует случаю радиального и
окружного армирования (т = 2), а рис. 17.2 — углового армиро-
вания при (Di = (о2 = 0, со3 = со4, (о0со3 = vJ2. На указанных ри-
сунках кривые, отмеченные буквами с нижним индексом 1, от-
вечают Е = 15, а с индексом 2 — Е = 75. Зависимости на рис. 17.1,
17.2 получены при К = 0,5, за исключением сплошной кривой
(при К = 0,1). На рис. 17.1 сплошные кривые Ь2Вгс^
отвечают растяжению на внешнем контуре, штриховая
107
кривая aiAiCi — растяжению на внутреннем контуре и штрих-
пунктирная кривая Ь2В2с2 — сжатию на внешнем контуре. На
рис. 17.2 сплошная линия ete*e и штрихпунктирные e2Sie,
e2C2D2e построены для случая, когда пластина сжимается по
внешнему контуру, а штриховая кривая е2е3 — для сжатия по
внутреннему контуру.
Характер разрушения указан около каждого гладкого участка
кривой. Сингулярные точки Ah В2, С2, D2 характеризуются по-
явлением одновременно двух механизмов разрушения, а сингу-
лярные точки на рис. 17.2 — появлением одного механизма раз-
рушения, но одновременно в двух сечениях — разрушение связу-
ющего на внутреннем и внешнем контурах пластины. Проектам,
рациональным по прочности, отвечают точки At, В2, at на
рис. 17.1 и С2 — на рис. 17.2.
Как видно из приведенных графиков, при правильном распре-
делении армирующих элементов можно в несколько раз увеличить
несущую способность конструкции. Однако следует иметь в виду,
что структура армирования рациональной конструкции должна
быть строго выдержана, поскольку при отклонении параметров
армирования в окрестности рациональной точки происходит рез-
кое снижение разрушающей нагрузки.
Глава 4
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ
АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИН ПРИ ИЗГИБЕ
§ 18. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА
АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
Рассмотрим пластину, для которой выполняются соотно-
шения (15.1). В отличие от задач третьей главы будем считать,
что поверхности S+, S~ и 2 загружены силами, которые в общем
случае вызывают как плоские, так и изгибные деформации пла-
стины. Учитывая (15.1) и переходя к физическим компонентам
усилий и моментов:
Яа₽= Vaaaa^H^, Таз = YаааТа8 (не суммировать),
из уравнений (3.16) после исключения выражений УаЯ0₽+Т”
108
получим
ОТ™ ,	/~~ 0Т18 ,	У13 gagq ,	, 1/--Ofa
у °рр дх$ Уа дх^	2арр	Зл:а аа, + я
^№аи-Я««)	.	д(М12-Я12)	(л/13~ Я13) ^аа
5ха	У арр дх$	У а	дх$
+ W-^Sn + gaa) s _ к__м + h к„„ _о
fjjj	0 X
(а т£ не суммировать),
а8 /мп\ о а8 /м12\ a2 f^X
(gx1)8 \ “11 /	\Уа/ + (9х*)* \ а22 ) +
+ А^УзГк + 2Г8а)+	+2 * [^j(2rja+r8a)+
дх\ «1Х /	дх\ «п /	сЬг\ у а /
(18Л)
+ 2 4 (£) (г;, + 2Г,’,) + 4 (rj, +
+ А <зг“ + 2Г5>) + 2 V^= (Л(г« +'«) +
дх6 \ ааа /	у \
>	9	г 1J ЪЫЛ
+ гь (г^ + Г8а) + Г’Л + г^г82) + 2 -£=.	+
V амаы X дх дх
+ (Г11 + Г21) Гад + (2Г21 4- Г22) Гад - ПаГад) +
+(^-) + А()+5»’ - о-
у а \0Х	ох	/
Верхним символом «обозначены физические компоненты со-
ответствующих тензоров.
Подставляя в (1.17), (1.18) соотношения (1.15), (146),^(15.1)’
и переходя к физическим компонентам деформаций еа₽, еа3, по-
лучим
л 3	л з
е<ха= 2 ^aai(^3)5> ₽ia = 3 Uui (ж3){/22
1=0	i=0	7'
2
^s=
1=0
где
(18.2)
109
=T47
J
л К u22 V
C^a3l = ^a2, Е^азг = З^аз/2.
Тогда обобщенный закон Гука (2.9) примет вид
з
а“₽=
i=0
2
°а3 = 2 ^азаз^азЛя8)1-
i=o
Здесь использованы обозначения
r (lafii — AabllUui “I* AawzUzzi + AatiiUm.
(18.3)
(18.4)
Учитывая, что 4aSw от х3 не зависят, из (3.12) после интегри-
рования по х3 получим выражения для физических компонент
усилий и моментов:
= 2h (aaf!o + fe2«afl2/3 — Bafl©),
М°» = 2Л3 (aa₽1 + 3fe2a<zps/5)/3, Ha* = 2h3 (яаР1 + 5fc2aafl3/7)/15, (18.5)’
= 4йЛзаз (Ua36 + h2UaJ5)/3.
Подставляя найденные значения усилий и моментов в урав-
нения равновесия (18.1), получим при учете (3.6) основную си-'
стему пяти дифференциальных уравнений относительно пяти
обобщенных перемещений: иа0, uai, гг80.
Искомые функции наряду с системой дифференциальных урав-;
нений (18.1), (18.5) должны удовлетворять и граничным уело-;
виям на контуре Г области S. Различные варианты граничных
условий нетрудно получить из (3.17) при учете (15.1) и (18.5).,*
Если решение системы уравнений (18.1), (18.5) при соответ-
ствующих граничных условиях найдено, то из (18.2) можно оп-
ределить деформации в пластине, подставляя которые в (2.3)
(2.7), (2.8), получим напряжения в элементах композиции:
в связующем
ocaa = Ес S (^аа< + VctW (^)7(1 - v?) - acEc©/(L- vc), а=#= ₽,
i=0
3
^’ = ^S^wW/(2(l + ve))f
i=0
2
g?3 = 2Gc 2Газ{(^Г/«)с
(18.6)
и в армирующих волокнах
з
Oak = Еак S (Uin (/ft)2 + Ululllk +
i=«	~	(18.7)’
+ tf22i (zO2)	- aofeEoft0, к = 1,2, .. „т.
110
Они позволяют на основе расчетных формул (6.5), (6.15)', (6.22)
исследовать начальное разрушение анизотропных пластин при
изгибе.
§ 19. РАЗРУШЕНИЕ ИЗГИБАЕМЫХ
ОРТОТРОПНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН
С ОСЛАБЛЕННЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
ПОПЕРЕЧНЫМ СДВИГАМ
Направим координатные оси прямоугольной пластины
вдоль сторон и в дальнейшем ж1, ж2, ж3 будем обозначать соот-
ветственно через ж, у, z. Будем считать, что структура армиро-
вания пластины соответствует ортотропному материалу с глав-
ными направлениями упругости, параллельными сторонам пла-
стины. Такой характер ортотропии может быть реализован, на-
пример, армированием пластины m-семействами непрерывных
волокон постоянного поперечного сечения, структурные характе-
ристики которых удовлетворяют соотношениям (8.2).
Не уменьшая общности и в целях конкретизации, будем счи-
тать, что сдвиговые напряжения на плоскостях S± отсутствуют:
о±3 = 0.	(19.1)
Тогда уравнения равновесия (18.1) с учетом (16.1) и (1.16) при-
мут вид
дт11 57’1й _ п ат2а ат12 _ л
~дГ + ~д^ ~ и’
4- (М11 — Я11) +	(М12 - Я12) - Г3 = 0,
См?	V у
— (М22 — Н22) +	(М12 - Я12) - Г23 = о,
д2М1г t п д2М12 . д2М22 = _ 0зз
(19.2)
(19.3)
дх2	дУ ду*
Здесь и в дальнейшем верхний символ будем опускать.
Учитывая условие (19.1), из соотношений (3.6), (18.2) для
рассматриваемых пластин получим
(diz	\ [
(19.4)
К23 —
n	[1		| 1 дх	3fea	£4 o 2 » дх
дглдл	i	1		dU2i	23	a\0
		3h2)	Sy	3fe2	Sy2 *
111
«13 — 2(1
е23 — 2“ ( 1
е - 1 ( । । -Л *2 Vga« ।	2? а*М
12 2 ( дх ду ' ЗЛ2Д дх ду ] 3^2 дхду }*
Z2 \ / Su , У
7	+ М1
22 \ / ди9Л	\
Ahr + A
Подставляя (8.3) и (19.4) в (18.4), а затем полученные
ношения —в (18.5), для усилий и моментов будем иметь
Т™ = 2h -5^ + Аиш-^ - ДиД
Т»в2Ця,
3
а3цзо\. Д (,.ди21 ЙЧой
м -Ч5ДЛаа1А4^г Л“а2\4^т ly^i Ь
1W - 15 “1212 дх + ду I вхду)1
H^-^Ia	/Мп. flfi *Ц21
и ~31ЦАая11\1Ь^—Л*а22\1Ь^Г
[ f ди ди л \ д^илл\
я1? =.	8 —2L + —11) - 5	),
315 у. \ дх ду / дхду /’
учз_ л ( дизо । „ )
1 ~~ 15 Asia ( дх т “ну*
(19.5)
соот-
(19.6)
5 аЧо
0у2 ,
/23 _
'21 }•
уравнений
, 00
11 0Г»
Тогда из (19.2), (19.3) получим основную систему
для определения обобщенных перемещений им, иа1:
л	Э^иал
А111 „а1 + Аз12 '1 + (А122 + А212) дхду в Д
01	02	02	(19J)
Aai2 дх1° + Ai222	+ (А 122 + А 212) дхду — Аг
4г (4Л1Ш if+4 (Лн22+2Л121а) а/' _ 17 (Лш if+
+ Ама + (Аш+Агхг)-^^ + Аз1з(“^ + uiij = А
^Г^^Агаг' df + (Аш + 2А212)	~~ ^Азга 1 ^2“/+ (19.8)
112
4	+ М + А 1	। Л Рэо  и 1
41212 ^2	И11122 « Zl1212/ QxQy I I ' ^2323 @y + ^21I "
.	( д\о	, ^ЧЛ . л / ^м30	, д\Л
Л“и [ dxi	4 дх3 ) + Лг222 ( 5/	4 ду3 I +
+ 2 (Л 11И+24И11) (44-2	- 2 ЭД - Д
4 1122	12127	дхду3 дх3ду)	2h3 0
Рассматривая систему уравнений (19.7), (19.8), нетрудно видеть,
что общая задача распадается на две самостоятельные.
Первая, описываемая системой уравнений (19.7), является
обобщенной плоской задачей и была рассмотрена в предыдущей
главе. Поэтому далее для конкретных задач используются поверх-
ностная нагрузка о33 (х, у), температурное воздействие 0(ж, у}
п граничные условия, при которых иа0 = 0. Вторая задача, опи-
сываемая системой уравнений (19.8) относительно трех обобщен-
ных перемещений па1, н30, представляет задачу изгиба пластины
с учетом поперечных сдвигов.
Искомые функции иа0, uai, и3й должны удовлетворять не толь-
ко дифференциальным уравнениям (19.7), (19.8), но и граничным
условиям на краю пластины Г, различные варианты которых по-
лучим из (3.17), учитывая (16.1), (19.1) и (19.6):
{ta (Та3 -	(tTfv + sTs0) ISupo = 0,	(19.9)
Up (	+ T₽8 - if)} 6uj0 = 0,
Ua (1T₽ - ff* - a₽v (Л/Г (i?iv+Mv))} 6«p =0, (19.10)
Ua (H0* - (tvtv + ^v))} S = 0.'
\ dxr I
В (19.9) и последнем равенстве в (19.10) по £ не суммировать.
Подставляя в (19.9), (19.10) усилия и моменты из (19.6),
получим граничные условия на обобщенные смещения: u!0, иа1.
При этом граничные условия, как и уравнения, описывающие
деформирование пластины, распадаются на две системы незави-
симых граничных условий: первая (19.9) замыкает систему урав-
нений (19.7), а вторая (19.10) соответствует уравнениям (19.8).
Если решение уравнений (19.7), (19.8) определено при тех
или иных краевых условиях, т. е. обобщенные перемещения
и,о (ж, у), иа1 (х, у) найдены, то с помощью формул (19.5), (18.3),
(18.6), (18.7) получим значения осредненных напряжений в пла-
стине и напряжений в элементах композиции. Так, выражения
для напряжений в связующем и армирующих волокнах имеют
вид
11	_ |<?и,п ди„. f z2 \ /Зи , диа'
oi-*h? + ’-тГ +1 1 -5? Й + '^7
® Ю. В. Немировский, Б. С. Резников
113
Эти соотношения совместно с расчетными формулами (6.5),
(6.15), (6.22) позволяют провести исследование начального раз-
рушения ортотропных прямоугольных пластин при изгибе.
В качестве конкретного примера рассмотрим шарнирно опер-
тую по всему контуру пластину с длинами сторон а и & при внеш-
нем воздействии
сг33 = р sin у sin у-! 0 == 0,р = const. (19.13)
В отсутствие горизонтального проскальзывания на сторонах
х = 0, у = 0 в соответствии с (19.9), (19,10) имеем граничные
условия:
при х = 0 (ti = = 1, k = «1 =*= 0)
н{о = ЛГи=Я“ = О, М‘а = ЛЛ, ЯИ = ЯЬ
при у — 0 (ti — st = 0, t2 == St — 1)
u<0 = 22 = Я22 = 0, М21 = ЛП, Я21 = Я2,	(19.14)
при х — а
Г» = 1г„ = ЛГ‘ = Я“ = 0, ЛГ2 = -ЛЛ, Я12 = -Яъ
114
при у — Ъ
=	=	М“=*-М2, Н^-Нг,
где
М1 = Ж> cos (л у/b), М2 = Мй cos (лх/а),
Hi=H0cos(ny/b), Н2 — Нйcos(их/а),
М2 = 4nh3pAl2l2(2(bf2 + aft)— лк{3)/(15а6),
Но = ^hspAi2l2(8(bf2 + af^ — bnhfz)/(315a&)',
ft — постоянные. Полагая ua0 = 0 и
«и = p/i cos (nrr/a)sin (лу/Ь),
u2i = pf2sin(nx/a)cos(ny/b).	(19.15 j
Wso = Pfsh sin (лх/а) sin (лy/b),
удовлетворяем тождественно уравнениям (19.7) и всем гранич-
ным условиям (19.14). Подставляя затем значения Uai, и». из
(19.15) в уравнения изгиба (19.8), получаем для /* систему трех
алгебраических уравнений, решение которой определяется следу-
ющим образом:
h =~ Д$/Д0, Ао = det
дх =« — 15 (^12^23	^22^1з)/2 f Д2 ~ 15 (^23^11 — ^12^1з)/2г
Д3 — — 15 (<Zud22 —• ^12)/2>
dlx = 17с (л77)2 (Alixj + £2А1212)/21 4- A13i3i
d18 = 17с (пН)2 (^цаг 4“ 41212)/21»
^1з “	dgx/(21c)i tZgg == jcZ^cA2323 — ^зз/211
^22	17 (л/?)2 (c2A2222 + А1212)/21 + A2323v	(19.16)
й31 » 4 (лН)3 с (A1113l + с2 (4П2а + 2А1212))г
^32 ~	С (А2222с2 “Ь 4.J122 4"
=	(пН)* (4П11 + с4Л2222 + 2с2 (А112а + 2AJ2is))J
с = a/b9 Н = h[a.
Учитывая найденные значения искомых функций и«1, из
(19.11), (19.12) определим напряжения в связующем и арми-
рующих элементах
a?1 = pF?, па* = pFaftl к = 1,2,..., mt	(19.17)
Здесь
F? = лНЕсг[ {(Л 4- cvcQ (па - 3)+
+ яЯ/зП2 (1 + vcc2)} sin л£ sin лс£/(3 (1 — т|))з
Fl2 = лНЕеП {(cf2 + Vc/J (n2 - 3) +
+	(с2 + ve)} sin ng sin ncg/(3 (1 — va))s
8*
1»
F12 = лНЕст\ {(/2 + c/i) (3 — ц2)—2лЯс/3ц2} cosngcos лс£/ (6 (1+vc)),
(19.18)
Fl3 = Gc (лЯ/3 + /х) (1 — л2) cos л£ sin ле£/а>с»
Fl3 = Gc (лЯс/з + /а) (1 — i]2) sin л| cos ле^/о)с,
Fak = nHEakx\ ((((Zi)a /i +	(&)*) (П2 - 3) + лЯ/3Ж)2 +
+ c2 (ikf) “П2) sin 11 £ sin яс£ + ((/2 + cfi) (3 — П2) —
— 2лЯс/3ц2)7^2созл£со5:п:с£)/3, к = 1,2, ..., m, '
и введены следующие безразмерные величины: | = ж/а, Z, = yJb,
т] — z/h.
Для определения разрушающей нагрузки рс из условия (6.5)'
необходимо предварительно найти главные значения тензора на-
пряжений в связующем: Oe(£,£>i)). Учитывая представление
напряжений в связующем из (19.17), нетрудно показать, что
<4 = pFi(%, г]), где функции Fl (|, т]) ’ определяются из ку-
бического уравнения:
Fl1—Fc Fl2
Fl2	Fl3 - Fc
piz	p23
(19.19)
Далее, последовательно решая (численно) уравнение (19.19), за-
тем — задачу минимизации (6.5) одним из методов [67, 99, 179,
202, 205, 216], определим нагрузку начального разрушения свя-
зующего рс.
Рассматривая последнее соотношение из (19.18), замечаем,
что функция Кй(£, £, т|), к = 1, 2, ..., т, является нечетной по
координате ц. В этом случае нагрузка рл, к = 1, 2, ..., ш, соот-
ветствующая началу разрушения волокон к-го семейства в соот-
ветствии с (6.15) определяется следующим образом:
Pak — ШШ {Оаь/Faki Oaft/| F|}.	(19.20)
После того как найдены нагрузки рс, р^, к — 1, 2, ..., т, из
(6.22) определим разрушающую нагрузку для пластины ра. Чис-
ловые расчеты были проведены для двух семейств волокон
(тп = 2), уложенных в направлении осей Ох и Оу, при следующих
параметрах:
Еда, = Eaf “Расе = YeiOabs = Vc = 0,35, <Вс — 0,3,
2
va - 2 юв(йа - 0,55 Н = 0,05,	(19.21)
а=1
1 (2)- с = 1, Оо = 1, Е = 15 (75)
3-е = 1, ств = 3, £ = 75, 4-с = 5, о0 = 1, £ = 15.
1U
Зависимости нагрузки началь-
ного разрушения ра от
(удельного объемного содержания
волокон в направлении оси Ох)
приведены на рис. 19.1. При этом
величина о (о = оа/о-<Г) выбрана
таким образом, что Voja(Oi <= [0, va]
выполняется неравенство рс < ра
(Рп=Рс), т. е. пластина начинает
разрушаться вследствие разруше-
ния связующего, а армирующие
волокна остаются упругими. Для
параметров (19.21) имеем сле-
дующие неравенства на о: 1 — <з>
>19,5; 2-0 53,1; 3-0 61,6;
4 - о > 29,8.
Кривая axa*ai, участки А3а3А3
Рис. 19.1.
и Л4а4 отвечают разруше-
нию связующего от нормальных напряжений на крайних поверх-
ностях пластины (при ц = ±1 для 1-го и 4-го вариантов пара-
метров и при г] = 1 для 3-го варианта) в ее центре: (£;£) =
= (0,5; 1/(2с)), где сдвиговые напряжения равны нулю. Кривая
с2с2с2 и участки с^А3, А3с3 и с4Л4 соответствуют разрушению
связующего от сдвиговых напряжений на отсеченной поверхности
т] = 0 (для с2с2с2 и с3Л3, А3с3 в четырех точках на краях
пластины: (§;£) = (0,5; 0), (0,5; 1), (0; 0,5), (1; 0,5) и для с4Л*
в двух точках: (£;£) = (0,5; 0), (0,5; 0,2)), на которой нормаль-
ные напряжения равны нулю. Рациональным проектам отвечают
точки	и А4.
В случае квадратной пластины (с = 1), как видно из рисунка,
для углепластиков (Е = 75) максимальное повышение несущей
способности достигается при симметричном распределении арми-
рующих элементов по главным направлениям, а для стеклопла-
стиков (Е = 15) это несущественно: армирующие элементы могут
быть распределены в произвольной пропорции в главных направ-
лениях при практически одинаковой разрушающей нагрузке.
Сравнение кривых с3А3а3А3с3 и с2с*с2 (с4Л4а4 и ар^а^У
показывает, что с увеличением предела прочности связующего
при сжатии (с увеличением толщины) не только повышается
разрушающая нагрузка, но и изменяется вид начального разру-
шения.
§ 20. ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНОГО РАЗРУШЕНИЯ
ОРТОТРОПНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН
ПРИ ГИПОТЕЗАХ КИРХГОФА —ЛЯВА
В ряде случае существующие технологические способы
изготовления армированных конструкций позволяют существенно
повысить сопротивление поперечным сдвигам. Такой эффект мо-
117
жет быть достигнут при создании пространственно армированных
конструкций с усилением в направлении х3 [63—65] при исполь-
зовании вискеризованных волокон [58], спирально-армированных
волокон [221], когда на основные прямолинейные волокна спи-
рально навиваются волокна того же или другого материала, либо
при создании армированных материалов с относительно близкими
жесткостными характеристиками (например, в композициях типа
металл — металл).
В этих случаях для исследования вопросов разрушения арми-
рованных конструкций вполне достаточно использовать класси-
ческий (кирхгофовский) вариант теории пластин, который обес-
печивает более простые соотношения для последующего анализа.
Указанная теория изгиба пластин строится на основании пред-
положений, изложенных в § 1, при дополнительной «гипотезе
прямых нормалей» [90]:
ваз = 0 или ult =	и21 =	(20.1)
Кинематическая «гипотеза прямых нормалей» соответствует
тому, что напряжения о“’ есть реакции наложенных связей
(20.1), т. е. для указанных напряжений обобщенный закон Гука,
вообще говоря, не выполняется. Поэтому интегральные харак-
теристики
h
Та8 = J оа3(1-№)^
являются реакциями связей и первые два уравнения из (19.3J
используются для их определения.
В рассматриваемом случае задача изгиба ортотропной прямо-
угольной пластины описывается последним уравнением из си-
стемы (19.3), которое сводится к следующему:
, ^ияп .	04иЧ»	„ . .	„ .	, #4W,n	3 , .4 чч
41111+ 42222+ 2 (4п22 + 24121й)	= т h a° •
(20.2)
Напряжения в элементах композиции — связующем и армату-
ре— найдем из первых трех соотношений (19.11) и (19.12), при-
нимая во внимание (20.1):
vc—7^-°	0 (20.3)
ду \ dxJ 8У /J 1 —vc •
22__
~~ 77	:
(1-V,
_12_ Ее jg»20 , 3и10
с ~ 2 (1 + vc) [ дх f ду дх ду /’
118
ал -	+ (5? + ЧП +	-
-«С>(й)‘ + 2^ АН +	(О’)} - «Л®.
fc = l, 2, ...,ш.	(20.4)
Поскольку основным уравнением рассматриваемой задачи явля-
ется уравнение (20 2), для решения задачи разрушения могут
быть с успехом использованы все имеющиеся в литературе ре-
шения об изгибе тастин при гипотезах Кирхгофа — Лява [80,90].
Для этого достаточно воспользоваться расчетными формулами
(6 5), (6.15), (6 22) совместное (20.3), (20.4).
В качестве примера рассмотрим шарнирно опертую по всему
контуру пластину, нагруженную, как и в предыдущем парагра-
фе, нагрузкой синусоидального типа (19.13). Граничные усло-
вия имеют вид:
при х =0
Ию = «го = Изо = Мп = 0, М12 — —Mh
при у = 0
Изо = Ию — ию = М12 = 0, М21 = —Мг,
(20.5)
при х — а
- Г12 - изо = Ми = 0, М12 = Mi,
при у — Ь
Т22 = Г2 = Uso в дрз == 0, М21 = Mit
при ЭТОМ
Mi = Ма cos (лу/Ь), Мг = Мй cos (лж/а),
Мй = 4л2Л4/оМшг/(За&).
Для рассматриваемых условий нагружения и закрепления
уравнения (19.7) дают решение иаа = 0. Функцию Нзо(ж, у) при-
мем в виде Изо = sin (лж/а) sm (лу/5). Тогда граничным ус-
ловиям (20 5) удовлетворяем тождественно, а из уравнения
(20.2) получим
/с = 3(2(лЯ)4(Л 1111 + сМми + 2с2(4 1122 + 2Ащг) )) *,
где безразмерные величины Нис определены в (19.16).
Подставляя найденные значения функций u,Q в (20.3), (20.4),
определим напряжения в элементах композиции
a?₽-pF?₽, <Jah = pFak, fc = l,2,	(20.6)
Здесь принято:
F“ = Ecf0 (1 + VeC2) (лЯ)2ц sin л£ sin лс?/(1 — v2).
Fl2 = Ecf0 (c2 + ve) (лЯ)2г] sin лс, sin лсС/(1 — v?),
Fc2 == — Ecf0 (лЯ)2сц cos л| cos nc£/(l + vc),	(20.7)
Fab = Eakfo (лЯ)2Т| (((lk)2 + c® (/ft)2) sin л£ sin ЛС? —
— 2clklk cos л£ cos ncC).
119
Используя (20.6), (20.7) из (6.5)
и (6.15), получим нагрузки, опре-
деляющие начало разрушения
связующего и армирующих эле-
ментов, затем из (6.22) найдем
разрушающую нагрузку для пла-
стины.
Результаты численного счета
при параметрах (19.21) приведе-
ны на рис. 20.1. Как и в преды-
дущем параграфе, пластина раз-
рушается вследствие разрушения
связующего п для параметра о
имеем неравенства: 1 — о > 19,5,
2 —о>97,6, 3 —о>62,7, 4-
о >29,7.
Из сравнения соответствующих
кривых на рпс. 19.1 и 20.1 видно,
что учет поперечных сдвигов в ряде случаев значительно
снижает уровень разрушающих нагрузок (см., например, кри-
вые с2с2с2 и «2^2)- При разрушении от нормальных напряже-
ний в связующем результаты, полученные при гипотезах Кирх-
гофа — Лява и с учетом поперечных сдвигов, отличаются незна-
чительно (см., например, кривые AjasA3na3a3).
При учете сдвига разрушающая нагрузка служит нижней
оценкой несущей способности конструкций по сравнению с на-
грузкой, получаемой при гипотезах Кирхгофа — Лява, поэтому
расчет реальных изделий необходимо проводить на основе уточ-
ненных вариантов теории пластин.
§ 21. НАЧАЛЬНОЕ РАЗРУШЕНИЕ ПРИ ИЗГИБЕ
И РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ПО УСЛОВИЯМ ПРОЧНОСТИ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН,
ОБЛАДАЮЩИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ
Для исследования изгиба и разрушения пластин, обла-
дающих цилиндрической анизотропией, будем считать, что си-
стема координат х1, х2, х3 цилиндрическая. Для удобства изло-
жения, как и в § 17, обозначим координаты х1, х2, х3 соответ-
ственно через р, v, z, где ось z направлена по оси анизотропии.
Учитывая выражения для коэффициентов первой квадратичной
формы (17.1), после преобразований уравнения (18.1) примут
вид
yill ___,
аг1а	эт22
др	pdv
+ 2^ = 0,
+ 2.7*12+ 2а
Г
= 0
>/
ПО
i (ЛР* - Я”)+ ^(Л>-/?») +
+ А. (д/н _ £11 __ м™ 4- Я2а) - Г13 = А Л21,
(М<2 - Э») +	№ - Н33) +	(21.1)
+ JL (М& — £12) _ f 23 =	}г^_.
д ( дл!11 \ . ( ЛЯ12')	d25f22
-Эр (р—I + (р ~) +	+
+-^ (®“ - ***)+h (-’7 ’+- °-
Выражения для физических компонент тензора деформаций най-
дем из (18.2), принимая во внимание (17.1) и заменяя на z:
- _ V ,i^“li 2 _ Vzi P“2i _1_ и "l
«и — 2iz ~to’ e22 — Zi 71 ~ + Uli /*
г—о	r	i=o x	'
z =y £2fDlf^ .
12	2 \	\ P ) ' pd» / ’
«13 — 2‘^-dp'° + Mn 2zuj2 + 3z2uis^,
«23 = 2^	P ^U21	2ZU23 + 3z2M23)^ •
Осредненные напряжения в пластинке имеют вид (18.3), (18.4).
В рассматриваемом случае функции Uaii выражаются через сме-
щения следующим образом:
ТГ dUli ТТ 1 I 9l*3i 4- w I
Uni = “гр Ui3i 7	+ и) ’
ТТ (а 9 ( U2^ I дц1А	/пл <п
тт 1 (дизо ,„\тт _ 1 р“3° 4- 7?
и1зо — у + uu)> ui&& — ~2	+ UslJl
^031 = W«2l Uа32 = 3U(xg/2.
Учитывая (3.6), (21.2), выражения для усилий и моментов
(18.5) и подставляя их в (21.1), получим основную систему пяти
дифференциальных уравнений относительно пяти обобщенных
смещений игй, иа1.
121
В отсутствие температурного воздействия и сдвиговых усилий
на крайних плоскостях 5* (т. е. при выполнении условий (19 1))
и в случае, когда анизотропия, нагружение и закрепление не за-
висят от угловой координаты V, выражения для усилий и момен-
тов принимают вид
Т = 2h (Ацааи10 Аааз2И10/р')>
Та — А41212Р (И20/р) ' 1
М ~ 2А.® (-4цаа “ м3о) 4" -^аа22 (^ц — ^Зо)/p)/l^j (21.3)
М12 = ^3Л1212р(н21/р)715,
На = 2Л.® (-4цаа —• 5и33) 4* -4аа22 (16uxj —• 5и30/р)/315,
Ни = - 16М12, Т* = 8Ы1313 (4, + uu)/15,'Л3 = 8Ы2зЛ/15.
Здесь и в дальнейшем полагаем, что структура армирования
пластины соответствует локально-ортотропному материалу, для
которого все радиальные плоскости являются плоскостями упру-
гой симметрии (т. е. выполняются соотношения (17.8)); верхний
символ «опускаем и штрихом обозначаем производную по р.
Подставляя (213) в уравнения (211), получим следующую
систему разрешающих уравнений в осесимметричном случае:
(Aiii^io 4" Ai2awio/>°) 4" ((Aiii А122) и1я +
+ (А122	^2222) Ию/р)/Р = 0»	(21 >4)
(-4 *2i2p3 (w2q/ р)') ‘ — О,
17Л2(Л1212р*(а21/р) )7 — 2Л232ар2и21 = О,
(Aj.ii (17Mii — 4u30) + А1122 (17u11; — 4w30)/р) +
+ ((Alii А122) (17wii 4и50) +
4" (А122 — А222) (1^ми	4п30)/р)/р 
— 21Л. 2Л1313 (и30 4- мп) =0f	(21.5)
2/х3 {р (Л11п (4ип — п30)' + Л112а (4uxi — и30)/р)' +
+ (Aiii ~~ А122) (4Wji - «ад/ +
+ (-41122 — А222) (4^ц — Изо)/р) ~ ~15р®о »
Таким образом, система уравнений для определения смеще-
ний u,o, Uai распалась на три независимых уравнения (21.4) и
систему из двух уравнений (21.5) для определения Изо и пи.
Рассмотрим кольцевую пластину с внутренним радиусом Ri
и внешним Ri. Если внутренний контур свободен от усилий,
а внешний шарнирно оперт, то, учитывая (17.10), (17.1), из
(3.17) получим следующие краевые условия (в физических ком-
122
понентах) для системы уравнений (21.4), (21.5):
при р = Яа
И1а = Uao = UM = Ми - На = М11 = Я“ = о,
(21.6)'
при р = Rt
Т“ = Г2 == Л/12 — Я12 = М“ = Я“ = О,
(Я11)' + (Я11 - Я22)/? + Г3 = 0.
Учитывая выражения для усилий и моментов из (21.3), нетруд-
но записать граничные условия (21.6) через обобщенные смеще-
НИЛ Uoti*
Если решение краевой задачи (21.4) — (21.6) будет найдено,
то, используя соотношения (18.6), (18.7), (21.2), определим
напряжения в элементах композиции, которые дают возможность
исследовать разрушение кольцевой пластины при изгибе.
Если структура армирования пластины такова, что коэффи-
циенты упругости Аахю, 412t2, Аа3а3 постоянны и пластина нахо-
дится под действием равномерно распределенного давления ин-
тенсивности р(°о3 =“ p)i решение краевой задачи (21.4) —(21.6)
имеет вид
пао = и21 = 0,	ац«/)(¥ + х/5),
//Г	с \	(21.7)
=	| j xdg- j Ж+ 4MI,
\ V	V	/
а
где г = р/Я2, | = га, г0 = Я/Я^ р •= Яа/Л, w = na9/h, Aw= J Wr —
ro“
а	'
— J ndrl а = р У1O541813/41U1, а функции Т и х определя-
V
ются следующим образом:
ш____ л (л-4 f—*___________ f _____________&
2^llliaG-Xa + a8(9-Jla)r
X = (S) ( 46 + J (?)	+ Кк ® 4, - J <p?4 (?) A
\	“	/	V таа	}
Здесь приняты следующие обозначения: Д(|), Ях(с) — функ-
ции Бесселя от чисто мнимого аргумента, для вычисления кото-
рых удобно использовать интегральные представления Шлеф-
ли [40],
X = 742222Мии, AX = FX + CiLt при i = 4, 5, 6, 7,
F1 = /,/(4h22 + (—1)’X4UI1), Ll = E.Zt//t при i = 4, 5,
Fe = /в (50 (roa) а2 (гоа) + Я2 (гоа) Ъ2 (а)),
I	’»
(А122
Lt = fs (j?0 (roa) a„ (rea) + Bs (raa) ba (a)),
F7 = fj (B2 (a) b2 (a) + Bo (a) a2 (roa)),
A = /, (Bz (a) b0 (a)+Bo (a) a0 (roa)),
Л = Pn> (fl4 (ro) + «4 C1) ^X-1)/(7'o — r^t
h = № (1 — л4-1)/(4 — ГоК\
A = — Вл(а) (Bo(roa)Bz(a') — Ва(а)В2(гаа))-\
ft**—/в5о(гоа)/^а(л), Ci = —Fi/Lt,
Fl = Aux [F^ (* - 1) 4 + A* (* + 1) r« X -
4 /Rr x3 z	3	\	4 (r a)2	1
+ 2 (9 — X2)/	105
/ 4. Fr~l 3(^ro)3__________Ly 1 +
4о + ^5го	4Л11п(9-%2) Ю5 ^’y +
+ 4Л1313(₽г0)»М0,
i = Am I— 1)4 + L6X (X + 1) r0 л 2---------------jQg) ЛГя!
I	Uli	1U0 J
(A 122 + A222) ^A4 -ь Aro	io5 +
+ 4Л1313 (0ro)2 Nq,
Mo = Л (roa) (F& + a2 (roa)) + F7K% (roa),
(гла)	d2K^ (r a\
M. = -^(Fe + a2(r0a)) + Л—
«5	«5
No = h (roa) (Lt + <4(roa)) + L7K% (гяа),
»,	«AWr-a),-	, „ r d2K,(ra\
~ ZZ2 (^6 + aO (r0a)) + A ~^2--------»
«S	a§
g
1111 a
”₽Bi-0’2-
Ф = М^(^а-^ + СЛ)/(2аА1т),
л4 = Зр2(ЗЛ
НИ + Am) 17(44
ни (9-Х2)),
Ь4 = 3(4 fill + 411И)/(24 ±111 (i-w,
В& = -Ацц dh/d^ + A 1122 л/6,
Bi = A nudK\/+ А изгЛ^л/^»
124
Следует отметить, что условие постоянства коэффициентов
.41212, 4азаз может быть реализовано для армированных
пластин специальным путем, указанным, например, в § 17.
Подставляя (21.7) в (18.6), (18.7), определим для рассмат-
риваемой пластины напряжения в элементах композиции:
аГ = ^г, (Ъь-рРм, *=1,2,	(21.8)
Здесь введены обозначения:
Fl1
ат) [ di' . vc Лр.
P(l-vl)U§ + g Y
(5n2-3)/dx , %, Л
is UF+ 5 xJr
р22	ЯТ)
1
ЙТ , Ч'	(5т)2-3)(
_ + _----------— ^c-
Ff =	(1 - Ц2)/2,

(21.9)
ги-^{(й)’< + (йУ|
ц = z/h,
Eh — EajJEe.
Для определения нагрузки pc из условия (6.5) необходимо
найти функции Fg (£, ц). В рассматриваемом случае, учиты-
вая (21.8), получим
F? =	+ (-l)“/(F”)2 + 4(^8)2)/2, F* = F22.
Далее будем рассматривать числовые примеры, когда все во-
локна армирования изготовлены из одного материала, и для опре-
деленности примем, что пределы прочности материалов арматуры
и связующего при растяжении и сжатии .соответственно одина-
ковы, т. е.
Ek = Е,	V* = 1, 2, о? = ов. (21.10)
Тогда из соотношений (6.5), (6.15), учитывая, что в силу (21.9)
функция Foft(B, л) является нечетной по координате ц, получим
следующие выражения для разрушающих нагрузок:
Pc==Ore/4c, Pah = ®а/Fakt к — 1, 2,	. (21.11)
Таким образом, пластина начнет разрушаться вследствие раз-
рушения волокон армирования J-го семейства рн = pej и р» = Р<&
если выполняются неравенства
Ра, С min {pah} и paj<Z Pc-	(21.12)
Тогда, учитывая (21.11), окончательно получим
a < F*/Xc* (о = aa/oc).	(21.13)
Пластина будет разрушаться вследствие разрушения связующе-
125
Таблица 21.1. Значения параметров оЕ. он для кольцевой
пластины, армированной двумя семействами волокон
₽. Т»	Вариант	Е	Расчет по урав- нениям из [6]		! Расчет по урав- нениям (21 4), (21 5)	
			о®	0й	°® 1	|	0я
Р=5, г0= 1/3	1	15	16,2	0,183	15,3	0,206
0= 20, г0= 1/3	2	15	16,2	0,246	14,8	0,248
	3	75	71,4	0,244	68,3	0,237
го ра = ре, если выполняется неравенство
min {pofe} > ра или о > max	(21.14)
Ниже приведены результаты численного счета при параметрах:
®с = 0,3, Ve = 0,35,	= '(« Vfc == 1, 2, . . ., Ш,
(21.15)
va = Va (2Лл	- Я*) у^)-1 = 0,55,
т = 4, ipi = 0, 1р2 = л/2, ф3 = —ф4 = if, (Оз = со4.	(21.16)
В дальнейшем для простоты 1-е семейство волокон (ф1 = 0)
будем называть радиальным армированием, 2-е (ф2 = л/2) —
окружным, 3-е и 4-е (ips = —ф4 = ip)— угловым армированием.
Для кольцевой пластины, армированной четырьмя семейст-
вами волокон (21.15), (21.16), условие (7.2) примет вид
Va — Й)а(®1 + ®2 + 2о8);	(21.17)
последнее указывает на то, что удельное объемное содержание
волокон (а тем самым и вес пластины) остается постоянным при
любых изменениях структуры армирования пластины, рассмот-
ренных ниже.
На рис. 21.1 (о>оа), 21.2 (о<он) показаны зависимости
нагрузки начального разрушения кольцевой пластины от ив(в1 —
удельного содержания волокон радиального армирования — при
Из «я 0, параметрах, приведенных в табл. 21.1, и выполнении
условия (21.17). Штрихпунктирная кривая на рис. 21.2
отвечает о = 10, Е = 15.
Таблица 21.2
Обозначения на рисунках	л	в	С	D	Е	F	L
Соответствующий меха- низм разрушения	О."	«Г	°а1	0а1	0а2	^аЗ а04	»:
126
Величины о" и ов, которые указаны в табл. 21.1, определя-
лись из условия выполнения соответственно неравенств (21.13)
и (21.14) для всех 0 ooacoi va. Таким образом, цри о > о®
пластина разрушается вследствие разрушения связующего
Vu)ao), s [0, !!=], при о<он — вследствие разрушения арматуры,
а связующее остается упругим.
Если предел прочности связующего задан: ос = о?» то е уве-
в О
личением предела прочности арматуры о» выше значения о оо
разрушающая нагрузка не возрастает, поскольку с увеличением
Оа лишь возрастет нагрузка ра] и в силу (2111) не изменится
разрушающая нагрузка рс. Тогда неравенство (21.14) будет со-
храняться и разрушающая нагрузка ps = ре не изменится при
<уа > О®Ос.
При заданном значении предела прочности арматуры оа =
любое увеличение предела прочности связующего выше, чем
Ста/<Д не приведет к росту разрушающей нагрузки рв. В этом
случае при Сс^Оа/о” в силу (21.11) повышается лишь нагруз-
ка рс, а нагрузка ра] не изменится. Следовательно, неравенства
(21.12) сохраняются, а значит, разрушающая нагрузка рв — paj
не изменится.
При он ‘С о С о® армированная пластина может разрушаться
вследствие разрушения как связующего, так и арматуры (в за-
висимости от значения параметра структуры армирования <ояш,).
На всех рисунках сплошные кривые рассчитаны по уравне-
ниям (21.4), (21.5), штриховые — по уравнениям изгиба круг-
лых пластин из [6]. Кроме того, нижние индексы у букв, кото-
рыми обозначены кривые, отвечают номеру варианта параметров
(см. табл. 21 1), указанных в каждом конкретном случае. Ха-
рактер разрушения на том или ином участке кривой обозначен
соответствующими буквами, расшифровка которых приведена
в табл. 21.2. Рассмотрим, например, кривую	на рис. 21.1,
построенную при первом варианте параметров из табл. 21 1. Уча-
сток с15* характеризует появление разрушения от. сдвиговых
напряжений в связующем о?3 при г — 1, т] = О, 0 < v С 2л, уча-
сток В*\ соответствует началу разрушения от окружных на-
пряжений в связующем al2 при г = г0, т] — ±1, 0 < v 2л,
в точке Bi происходит одновременное разрушение связующего
121
от сдвиговых напряжений uj3 в сечении г = 1 и от нормальных
„22
ос в сечении г = г0.
Анализ кривых на рис. 21.1 показывает, что для параметров
армирования в точках Вг (i = 1, 2, 3 для сплошных кривых)
нагрузка начального разрушения кольцевой пластины является
наибольшей. Таким образом, указанные значения параметра ар-
мирования соответствуют рациональному по начальному
разрушению проекту пластины при а > о8. При этом разрушаю-
щая нагрузка пластины с рациональной структурой может пре-
вышать таковую с нерациональной структурой армирования в
несколько раз (например, если сравнить значения разрушаю-
щих нагрузок в точке Вг и Ь,). В то же время есть области зна-
чений параметра ®а(»„ где отличие от рационального проекта не-
значительно. Например, при 0^®^	Для кривой
{В^—значение параметра	в точке 5*).
Точки на рисунках, отмеченные буквой со звездочкой вверху,
соответствуют проектам рациональной структуры по условиям
прочности. Сравнение сплошных и штриховых кривых на
рис. 21.1, 21.2 показывает, что в ряде случаев при использовании
уравнений (21.4), (21.5) или уравнений из [6] разрушающие
нагрузки и механизмы разрушения могут быть разными, но есть
области параметров, где механизмы разрушения одинаковы и
разрушающие нагрузки практически равны. Например, рассмот-
рим штриховую кривую Ъ2Ь2 и сплошную c2Bzbz на рис. 21.1.
При 0	(#2) штриховая кривая описывает разру-
шение от нормальных напряжений в связующем, а сплошная
128
кривая соответствует разрушению пластины от сдвиговых напря-
жений в связующем.
Если пластина разрушается от сдвиговых напряжений или
от окружных напряжений в связующем, рассчитанных как по
уравнениям (21.4), (215), так и по взятым из [6], то величина
разрушающей нагрузки для большей части значений параметра
Оай)! отличается менее чем на 15% (см., например, на рис. 21.1
сплошные кривые c^Bjb^ csB3b3 и соответственно штриховые
сХ&1)СзХь3).
На рис. 21.1 сплошная кривая со звездочками отвечает зави-
симости параметра X (характеризующего отношения изгибных
жесткостей в окружном и радиальном направлениях) от
при 6)3 = 0 и Е = 75. Из сравнения этой кривой и зависимости
ра от йаН>1 на рис. 21.1 (сплошная кривая с3^*^з) видно, что
с точки зрения начального разрушения структура армирования
пластины будет рациональной не только при А > 1, как это
утверждается, например в [80], но и при К < 1. Так, для сплош-
ной саВ3Ьй и штриховой с3В3Ьа кривых при значениях 0,275 <
<. «а®! соа®! (2?з) пластина является рациональной по на-
чальному разрушению, однако при данных значениях X < 1.
Этого несоответствия выводов можно было ожидать, так как
нельзя высказывать суждения о прочности конструкции, опи-
раясь только лишь на характеристики жесткости.
На рис. 21.3, 21.4 приведены зависимости нагрузки началь-
ного разрушения от угла армирования if в случае четырех се-
мейств волокон (21.16), р = 5, г0 = 1/3 и при различных значе-
ниях параметров, указанных в табл. 21.3. Значения он и ов опре-
делялись, как и ранее, из условий выполнения неравенств
(21.12) и (21.13) Уфе[0, Л/2].
Как видно из рис. 21.3, значения тр в точке Вг для сплош-
ной кривой и на прямых Б1с1,с2с2, Л5с5 для штриховых кри-
вых отвечают пластине, рациональной по начальному разруше-
нию при о > ов.
Таблица 21.3. Значения параметров ов, <тн для кольце-
вой пластины, армированной четырьмя семействами воло-
кон
Вид армирования	вариант	Е	Расчет по уравнениям из [6]		 ях -S- V  * аса Расчет по уравнениям (21.4), (21.5)	
			ОВ	ан	ов	ан
<01 = ©2 = ©з	1	15	16,9	7,14	16,2	7,31
	2	75	29,3	7,21	39,1	5,4-8
©а = 0, ©1 — 2ш3	3	15	14,3	0,183	13,8	0,19
©1 = 0» ©2 = 2©з	4	15	12,8	4,7	13,7	3,97
©1 == ©2 = 0	5	75	8,7	0,092	10,36	0,081
9 Ю В. Немировский, В. С. Резников
129
В случае а < а“ (см. рис. 21.4) рациональным проектам соот-
ветствуют значения ф в точках е* (г = 1, 2, 4), а для 3-го вари-
анта параметров (см. табл. 21.3) рациональному проекту отве-
чает ф = О, т. е. когда все волокна уложены в радиальном на-
правлении.
Кривые со звездочками на рис. 21.3 характеризуют зависи-
мости К от утла армирования ф при 2-м и 5-м вариантах пара-
метров. Из сравнения кривой 5 и b5L6Abc& видпо, что на участ-
ке Ь5Л* и при ф > л/4 пластина нерациональна по начальному
разрушению, а тем самым распределение напряжений будет не-
рациональным с точки зрения начального разрушения. Однако
при указанных значениях ф А. > 1, а это противоречит утверж-
дению из [80]: при А >1 распределение напряжений является
рациональным.
Результаты расчетов показывают, что существуют области
параметров армирования, в пределах которых пагрузка практи-
чески не зависит от структуры армирования и оказывается до-
вольно высокой (см., например, рис. 21.1, 21.3, 21.4). Определе-
ние таких областей очень важно, поскольку в их окрестности
влияние технологии изготовления па несущую способность не-
существенно.
В рассмотренных примерах предполагалось постоянство ко-
эффициентов с целью получения аналитических формул для
напряжений, которые позволили упростить определение разру-
шающих нагрузок, провести анализ влияния структуры армиро-
вания и механических свойств элементов композиции на уровень
разрушающих нагрузок. Излагаемая методология остается вер-
ной при любой зависимости коэффициентов Лаф, от р (т. е. при
130
любой структуре армирования). Однако следует иметь в виду,
что в этом случае приведенная методика расчета разрушающих
нагрузок должна сочетаться с процедурой численного решения
краевых задач систем дифференциальных уравнений с перемен-
ными коэффициентами [19, 230].
Глава 5
ПРОЧНОСТЬ АРМИРОВАННЫХ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ТЕРМОСИЛОВОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ
§ 22. РАЗРЕШАЮЩИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ИЗГИБА
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК
Если отсчетная поверхность оболочки S является поверх-
ностью вращения, то в качестве координатных линий ж® = const
на поверхности S примем линии кривизны. Обозначим гауссовы
параметры ж1, ж2, ж3 соответственно через ж, ср, z и введем для
коэффициентов первой квадратичной формы поверхности S обо-
значения
Лоа = Ла,	(32.1)
(Ла — параметры Ляме).
В дальнейшем будем рассматривать ортотропные осесиммет-
, ричные оболочки, нагружение, закрепление и структура армиро-
! ваиия которых не зависят от угловой координаты <р, а оси орто-
’ тропии совпадают с линиями кривизны отсчетной поверхности S.
t Тогда в обобщенном законе Гука (2.9) Л1112 = Л2221 =Я12 и урав-
нения равновесия (3.16) с учетом обозначений (22.1) в физиче-
» ских компонентах примут вид
-i (Alt") - к, (4 (Л)Г1") + А^лЦ”) + 4ЛХ = 0, (22 2)
А. (л; (м" - я1'-)) - л,д; (?” —t /.sij - о,
С- +	- ?!3> - (тт +	- ®!3>+
+ 4^ = 0,
(М11 - Я11) + (Мп - Я11 - М22 + Я22) -
- At (т™ —|- ASLj =*0,	(22.3)
131
9*
+	+ -A- A (±. (A (л» - 8“	+
12 XI
+ Иа(т« 4-4-2+)) +а»3 = 0.
Для рассматриваемых оболочек физические компоненты де-
формаций в соответствии с (1.17), (1.18), (22.1) имеют вид
3	’ 1 3
2i е12 ® -н- 2J
1=0	z i=o	(22.4)
2
^аз “ S^a3iz<>
1=0
где
du Л х	du~.
' U™> =	^1U30> ит = -^di'
dA	dA. ~
U220 * A A dx W1° ^2мзо»	da. Ult (l = 1, 2, 3),
12	12
£ (^)	A2.3),
^WO = — (	+ klU10 +
^230 = (^2^20 4" u2i)/2s Uasi — Ma2> ^«32 = ^uas/^^
функции иа2(ж), «аз (x) определяются через «,»(«), иа1(х) и гра-
ничные значения поперечных сдвиговых напряжений с помощью
формул (3.6).
Обобщенный закон Гука (2.9) в рассматриваемом случае с
учетом (22.4) примет вцд
л з	2
Hag = 2 ®ар{34 — -®apOi ФхЗ = S ^азаз^а31 z\
i=0	i=O
(22.5)
где
®аа» =-4aaii^nt "Ь-^aa32^22!, «a^i = ^4api2^12«	(® Р> i ™ 0, 1, 2, 3).
Пользуясь соотношениями (22.5) и учитывая, что АарТи от z не
зависит, из (3.12) получим выражения для усилий и моментов
Te|i = 2h (йам 4- /12аяЭ2/3 — ВаР0),
№* = 2hs(aa,l 4- 3A2attM/5)/3,
(22.6)
Н“’ = 2Л3 (а^ 4- 5А2а»эЛ)/15,
Г” - 4Мв„, (Пв80 4- Ла<7«а/5)/3.
132
Система уравнений (22.2), (22.3), (22 6) с учетом (3 6) являет-
ся замкнутой системой дифференциальных уравнений относи-
тельно обобщенных кинематических и силовых характеристик:
иа„ Т**, М°*, Та3.
Различные варианты граничных условий для указанной си-
стемы уравнений получим из (3.17), учитывая (22.1) и полагая
tl = s2 = 1,	= «1 = 0, du33/dq> 0:
для жесткого защемления края оболочки
а,о = Mai = du,3tJdx = 0,	(22.7)'
для свободного края
Va (#“7(4^)) + Т1а/А1 + Л$‘_/(ЗА) = 0,	(22.8)
- Т11 = Мп = Я11 = Г12 - О12 = ^12 - И1* - 0.
Если край оболочки шарнирно оперт и не допускает проскаль-
зывания в направлении осей х и ф, то получим
. , - ul0 = М11 = Н11 = Л71а - Я12 = 0.	(22.9)
Разрешающую систему уравнений (22.2), (22.3), (22.6) целе-
сообразнее свести к системе уравнений относительно обобщен-
ных смещений, так как напряжения в оболочке (22.5), в элемен-
тах композиции (2.3), (2.7), (2.8) с учетом (22.4) и ряд крае-
вых условий (например, (22.7)) определяются через смещения.
Исключая из системы (22.2), (22.3), (22.6) усилия и моменты,
получим основную систему дифференциальных уравнений отно-
сительно пяти обобщенных перемещений а,э, ual:
£ (с — Mb2 — {с —	+ сА и 1 +
dx Г1 dx \ Л J I 15 Г dx V1 dx \ Л J I + сзлшзк2э | +
+ ^-2$_ = 0,	•	(22.10)
37	37 Сз ^232зХз3 5S1) = 0,
\	\ 2 / /
*
d \	( ^	( d&	\	/8 dAn	И
+ Л122|-7^ — ^а«30 I — 5П0|| —
\\\1	/	\2	/	/ >
---dx 1(^1122 ( ~A~dx	— fclUa° )	+ ^2222 ( J	— ^2U30 j —	^22® }	—
* \	\ 1	/	\ 2	/	*
kJd(^AJ2
“ 15 \dt ^"Л7 I/1111 'dT + Aim "Л^Г}) -
^^2 ( л	'"'i	I	-«-ч1 л
~‘Л^Г ^112a ~ + ^2222 ~A^dx) +с2Лшз’<1з| + 2fe2 + =
^4.2
Vte ^лх 711111 -dT + Л1122 л/7 )) —
133
A dx A122	+ As222 д	C2 (4l313*13—5SL) = Ot (22.11)
(Ain + й2ЛП22)	— fci^ +
+ (&1A122 + ^2^2222) ( J 3"^ — &2M30 ) — ® (^lAl + ^2^22) +
4	._1_	dxn  q xia4^
15c2 dx |-4t	\1111 dx 1122 A2dx J }
dA. (dx<n	x„ Л&4Л\1	\1	a33
“ A~dz ( ^1122 lx + ^3222 A fa )/ + -'ЦАзи’Чз + ~2 2-)j +1Г = °*
Здесь введены обозначения:
ea = u20 + fe^_/(6 Лазаз),
xa₽ = 2t (P) Wal — (3 + P) [ j’dx—~ + &aUao —S4./АсЗаз, Hs
X	у л^С4«<л	у J
xa3 — “4 ^“4—“~dx^ ^*auao +	+ S*/Лаза3,
Cj = ^ии.Л.2/Alt t?2 — 44^-42, Cg =
Равенства (22.8), (22.9) с помощью соотношений (22.6) также
записываются в обобщенных смещениях щ», иа1.
Определяя из системы уравнений (22.10), (22.11) при соот-
ветствующих граничных условиях смещения w10, ual, с помощью
(22 4) вычислим деформации в оболочке. Подставляя их в соот-
ношения (2.3), (2 7) и (2,8), найдем напряжения в связующем
и армирующих волокнах. Тогда исследование разрушения обо-
лочки сводится к задаче минимакса (6.5), (6.15), (6 22).
§ 23. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
В случае круговой цилиндрической оболочки коэффици-
енты Аа и главные кривизны принимают значения
А = 1, Аг = 7?о, К = 0, кг = 1/Яо = const, (23.1)'
где Ro — радиус отсчетной поверхности S.
Рассмотрим оболочки, образованные непрерывной намоткой
волокон постоянного сечения и с постоянным углом укладки
вдоль образующей. Тогда структура армирования, а следователь-
но, и коэффициенты AaaW, Al2iz, Аа3а3, Raa от координаты х не
зависят.
134
учетом
При отсутствии сдвиговых напряжений на поверхностях 5*
(o“3s0) система ’уравнений (22.2), (22.3), (22.6) с
(23.1) примет вид
^2 _	+ Tia\ = 0,
das	dx	/
£(Лр2-//12)-
dX
= о, # (Мп — Н11) - Г13 = о,
dx	dx
т™ , d (dH1* .Т1Л.ЗЗ п
»; + 5U+I ) + "° -0’
J1®06 — 2h ^^4aail — Лаа22 — ^aat
П? = 2Ы1212^
ЛГа = ^-Лаа11
M ~ 15 A1212 dx ’
rraa 2ha .	c;dU3o\
Я« = 4ЛГ721,
7 “ 15 Л1313 (. dx ruJ’
Тгз = 8/i42323(u2o/^o + Иа>)/15,
а система уравнений в обобщенных перемещениях
(22.11) для рассматриваемых цилиндрических оболочек
вается следующим образом:
^1213 уа (315^0^20 -— 16/j2u21) — 8442323 (u23/T?e -р п21) = 0г (23.3)
ах
d2
~2 (^2W2i.
ах
А ^-А	^-В ^-0
1111 dx* 1122	11 dx ~ U1
Мш. ^2 (17^1 - 4 5й) - 2Ы1313	+ UU) - о, (23.4)
2й8/?0АИ11 — ^4ult	^22 j + ЗОЛ ^'1221J	— Аггг^зо/Т^о “* ^22®} +
+152?оп^ « О*
(23.2)
(22.10),
записы-

135
Здесь и в дальнейшем верхний символ «^ » будем опускать.
Краевые условия для системы уравнений (23.3), (23.4) в об-
щем случае можно получить из (3.17), учитывая (23.1), условие
о”3 = 0 и (23.2). В частности, для случаев жестко защемленного
края, свободного и шарнирно опертого (не допускающего про-
скальзывания в направлении осей я: и ср) из (22.7) —(22.9) соот-
ветственно имеем
Mio — Wai —— 0»	(23.5)
/Ц20 <*Чо а
dx dx	4	'
4g (16«и - 5	+ 84Л1Я13 & + М11) = О, (23.6)
А	^-В е-о
"1111	+ "1122	C11U и1
Если решение системы уравнений (23.3), (23.4) при соот-
ветствующих краевых условиях определено, то из соотношений
(22.4), (22.5) п (2.3), (2.7), (2.8), принимая во внимание (23.1)
и условие afsO, найдем напряженно-деформированпое состоя-
ние в цилиндрической оболочке и напряжения в элементах ком-
позиции. Для последних имеем
136
Полученные соотношения совместно с (6.5)’, (6.15), (6.22)’ по-
зволяют провести исследования разрушения цилиндрических ар-
мированных оболочек при изгибе.
При воздействии равномерно распределенного внутреннего
давления, постоянного температурного поля (а®8 = Р = const,
0 = const) и при х 0 n20 = М12 — Я12 = 0, а при х — 1а
TiZ — Я12/Я0 =* М'г — Я1а = 0 решение системы уравнений (23.3)
имеет вид
U20 = ua, = 0.	(23.8)
Систему (23.4) для рассматриваемого характера нагружения
после соответствующих преобразований можно свести к одному
разрешающему уравнению относительно функции и>:
+ 85	=» - ЗрМ (p1P - 20₽a (tf22 -
- Х2Яи) + 2₽8ад)/(2411и).	(23.9)
Функции u0 и ч определяются через w следующим образом:
«о = J P2X2wdg + (b\i© + Сх) 4- С2,
о
-V______L_	+
V 42р»4 \ 168₽»	-
+	(23.10)
Здесь введены обозначения:
| = хЛй, W = Изо/Л, и0 = Ща/h, у = «и,
Pi — IJh, —	А1=У42г22/Л11ц, kz ~ Antz/Ацц, кз ~ AlSi)/Aiitt,
ц = мЖ, 4е3<010а)а.(Л?-'Ла)»
С\, С2 — постоянные интегрирования, Ц — длина оболочки, штрих
обозначает производную по
Значения механических параметров [И, 95, 208, 220] и удель-
ное объемное содержание волокон армирования современных ком-
позитных материалов приведены в табл. 23.1. При данном диапа-
зоне изменений указанных параметров и при изменении геомет-
Таблица 23.1. Некоторые характеристики современных
композитных материалов
Композитный материал	Ек		
АГ-4С	15-20	0,33-0,35	0,51-0,56
27-63С	15-35	0,33-0,35	0,51-0,61
Угле-, боро-, графито- ii л ас тики	- 65-120	0,33-0,35	0,5-0,75
Л10 ю, В. Немировский, В. С. Резников
137
рических размеров оболочки в пределах ^ = 20—100,	— 0,75—3,
как показали результаты расчета, характеристическое уравнение
(23.9) имеет два действительных корня и четыре комплексных.
Следовательно, решение уравнения (23.9) можно записать в виде
w =(С3 cosftjg + С4 sin Ь^) е°1<6 Х> + (С6 Cos 4- С6 sin Ьх|) е~а^ -t-
4- С^-1} + С8а-с6 + ш0,	(23.11)
где yJ 2=s=±c, y3_e — ±at ± ib1 — корни характеристического урав-
нения (23.9); Cs, С4, ..., С8 — постоянные интегрирования;
1Р0 — 3Pj (Рхр — 2Р2@ (В22	^-2^и) + 2Р2ХаС1)/(2^5Л1111).
При заданных граничных условиях постоянные интегрирования
и обобщенные кинематические характеристики w, у, и0 определя-
ем из (23.10), (23.11). Подставляя их в (23.7), вычислим напря-
жения в элементах композиции для последующего исследования
разрушения оболочки.
Для определенности выделим два класса цилиндрических обо-
лочек:
1) консольные оболочки под действием равномерно распреде-
ленного внутреннего давления;
2) оболочки с абсолютно жесткими днищами, нагруженные
всесторонним равномерно распределенным внутренним давлением.
Тогда при £ = 0 для обоих случаев имеем условия (23.5). При
g = l для консольной оболочки имеем условия (23.6), а для обо-
лочки с днищами—условия (23.5), если первое из (23.5) заме-
нить следующим 7’11(1) = —рЯ0/2> Для консольной оболочки по-
лучим Ct= Сг = 0 и
8
2 с{Д - dit I - lt .. * 6,	(23.12)
j=8
где коэффициенты ctJ, dt определяются так:
Cg3 e ®	c14 e ^18-e C15 e C18 ““	C17 = e I ^23 и
e	C26 = —	C2j =* Cg g Cgg —
c»3 = L^e C34 = M33e ig c36 = — 7J33, Cgg « M33$ ся? =* L&3e t
₽38 “ ~’ ^J3t
= L3 g c44 =	c45 =	Ц c44 = M3 в	cst £4e“
= cae”cf caS= L34 cos	sin \, c54=Af84 cos bx—L34 sin b1S
= (^34 cos bi + -^34 sin	c50=— (M34 cos bt	sin Ь1)е~аЧ
СЪ1 = A14I c68 = LtAe~\ c63 “ cos bt — M4 sin bv c64 =* M4 cos —
— L4 sin blt => — (L4 cos&f 4- Af4 sin bj e"^	(23.13)
13S
Сев => (Л*4 cos 5* — L4 sin bj e~ai, ев1 = Le, cg8 «. — £ee“\
= 3pj (2P20(522	^2-®h) —	di = 0»
i = 2,3, 4,5,6,
и введены следующие обозначения:
Lsi = - (21Л{+ ЯзЛ+г), ЛГ«=- (215,+ад+2), Lu—c*(2МК,) ,
i = l, 2, 3, 4, 5,
= «j cos &x ± 6, sin bv M$ = bx cos b4 ± d4 sin blt L± =4a cos 51±
± B2 sin blt = B2 cos 64 ± A2 sin bt,
1/4)+Z„, Mt = B3 (K, - 1/4) + Hf„,
Ц = с*(К1-Ш + Цг),	(23.14)
A = a? - bl B2 = ЩЬ,, A3 = ax (af - 35?), B3 - 54(3a? - 5?),
А,-А’,- Ва„ Bt _ 2Л,В3, 4 _ a, (Aj- 4b‘t (2a{ - bi)),
B.-b^Al + iaiCai-ibi)),
A& ===	J?® ™=	4“	^7=2?jSg, B’j==iG'iBQ'}~biA.^
Ki - 5 (17₽2)2 (x? - X?)/(23X3) - 2ip?X3, K3 = - 17/(840?Л3).
Для оболочки с днищами получим
^“-P₽i/(4M. С« = 0	(23.15)
и уравнения для определения постоянных С3, С4, ..., С8, которые
по форме совпадают с (23.12). При этом коэффициенты с„ при-
i = 1, 2, 3 и у = 3, 4, 5, 6 равны соответствующим коэффициен-
там из (23.13), а
, с43 = cos bv с44 = sin blt с45 = cos 5^“°!, с4в = sin 51е_°11 с47 = 1,
, с48 ~ е ’ ^53 =	» ^54 ~ I ’ С55 = в х, С&3 = М3 в х, C3f — Cf
: с88 = — се~е, ceS = £и cos 5, — MiS sin 5lt св4 = Mss cos bi — Lss sin 5I?
1	(23.16)
c35 = — (L33 cos b4 + M33 sin b4) e~ai, cM = (M33 cos b4—L33 sin b4) •
x, Cm = Lstt Cjg = — Jj53e~e, di = d4 = 3Pi(Pi (%,	2) ^4*4^2® (-®2a~
L	-^ви))/(4Х54Ш1), d, = 0, i = 2, 3, 5, 6.
!’	Решая систему линейных алгебраических уравнений (23.12)
с учетом (23.13), (23.14), (23.16) и подставляя найденные зна-
чения Сц С2, ..., С8 в (23.10), (23.11), а затем - в (22.5), (23.7),
определим напряженно-деформированное состояние в рассматри-
ваемых оболочках и напряжения во всех элементах композиции.
t Численные расчеты выполнялись при параметрах (21.15), (21.16).
10*	13»
При этом справедливо условие (21.17), где пв = Va^inhRal^a)-1—
= 0,55.
В качестве характерного примера на рис. 23.1 приведена за-
висимость сдвигового напряжения о13 (&, 0) а сг£3(|, 0) на отсчетной
поверхности р = 0 от координаты £ для консольной оболочки
при 0 = 0, pt=40, р2=1, Еаь*=Еа Vfc = l, 2, .... m, (23.17)
Е = 15 и 1 — cot = со2, (в3 = 0, 2 — а, = ©а = 0, ip = л/4.
Здесь и в дальнейшем сплошные кривые соответствуют результа-
там, полученным при использовании уравнении (23.3), (23.4),
а штриховые — уравнений из работы [7]. Сравнение этих зависи-
мостей показывает, что распределения сдвиговых напряжений
°13 (В, 0), подсчитанных на основе этих двух подходов, качествен-
но отличаются лишь в окрестности заделки (при £ = 0). Уровень
максимальных значений сдвиговых напряжений и координаты
максимума отличаются незначительно. Нормальные прогибы w (£)
при параметрах (21.15), (21.16), (23.17) и приведенных в
табл. 23.1, подсчитанные на основе этих теорий, отличаются не
более чем на 4—8%.
На рис. 23.2 для консольной оболочки и на рис. 23.3 для обо-
$613(Ъо)
мо
Рис. 23.1.
лочки с днищами представлены зави-
симости величины максимального про-
гиба w* от угла армирования ip при
параметрах (21.15), (21.16),
0 = 0, ₽2=1, Eah=Ea V/c=l, 2, т и
1 (2) — ©1=== ©2	®з, Pi == 20,
£=15(75),
3 (4) — (01 = со а 0, Pi = 20,
£ = 15(75),	(23.18)
5(6)— со4 = со2 = со3, pi = 40,
£ = 15(75),
7(8)-coi = co2 = 0,	= 40,
£ = 15(75).
Штрихпунктирные кривые на рис. 23.2
соответствуют зависимости (точки,
где достигается максимальное значение
нормального прогиба) от угла армиро-
вания i|) при 5-м и 6-м вариантах пара-
а
-ЦЗЧ

метров из (23.18) в случае кон-
сольной оболочки. Для оболоч-
ки с днищами кривые 1, 2, 3,
4, 6 на рис. 23.3 не продолже-
ны в область 0 ф С л,/10, так
как для указанного диапазона
изменения угла армирования
они практически не зависят от ф.
Зависимости на рис. 23,2,
23.3 показывают, что структу-
ра армирования существенно
влияет на величину макси-
мального прогиба. В частности,
из сравнения кривых 3, 4, 8
соответственно с 1, 2, 6 видно,
что чисто спиральная намотка
при углах армирования в диа-
пазоне ф е [0, Зп/10] с точки
зрения жесткости совершенно
Рис. 23.2.
нерациональна. В то же время
при Зл/10 < ф *5 л/2 даже в случае чисто спирального армиро-
вания существуют значения углов намотки, при которых обеспе-
чивается существенное снижение прогиба вплоть до нуля (см.,
например, точку а„ i = 3, 4, 7, 8, на рис. 23.3). Поэтому, когда
требования экспулатации конструкции приводят к необходи-
ма
£ 
200-
0
150-
3
100-
50-
L-X---1	।-----1----1—
ЗЛ/10 7Л/20 2Я/53Х/20 Л/2 41
Puc. 234.
мости ограничения нормального прогиба
за счет характера армирования, можно ми-
нимизировать величину максимального про-
гиба (т. е. получить проект, рациональный
с точки зрения жесткости).
Как видно из рис. 23.2, 23.3, рациональ-
ному проекту по жесткости в случае кон-
сольной оболочки соответствует
значение ф = л/2 для всех ва-
риантов параметров из (23.18),
а для оболочки с днищами —
значение ф — л/2 для 1, 2, 5, 6-го
вариантов параметров и ф —
— ф(a,) (i = 3, 4, 7, 8; ф(а,)—
значение угла армирования в точ-
ке а,) для 3, 4, 7, 8-го вариантов
параметров пз (23.18).
Точки «, (1 — 3, 4, 7, 8) на
рис. 23.3 отвечают оболочке с аб-
солютно жесткими днищами и та-
кими параметрами армирования,
механическими характеристиками материалов арматуры и свя-
зующего, при которых оболочка имеет по всей длине нулевой
прогиб и, кроме того, является безмоментной. (Условия безмо-
ментности при = 0 нетрудно проверить, учитывая (23.2),
(23.8), (23.10).) Эти проекты соответствуют абсолютно полу-
жестким оболочкам [131], для которых деформирование осущест-
вляется только вдоль меридиана.
Полагая ^=^ = 0 в (23.16), получим связь между парамет-
рами анизотропии для проектов абсолютно полужестких оболо-
чек. В результате при 8 = 0 имеем
Хг = 2.
(23.19)
При данном условии система линейных алгебраических уравне-
ний (23.12) с учетом (23.16) будет однородной с определителем,
отличным от нуля.
Используя соотношения (2.10), (21.15) —(21.17) и Елк = Еа,
к=1, 2, ..., т, представим условие (23.19) в виде
Е = (ос (2 — vc) (2®0 (1 — v|)(ct>3 cos* 8 ч|>(1 — 3 cos2 ф) —	(23.20)
Так как 7?>0, должны выполняться следующие неравенства:
• >У(0s — У®»— 12(0, < 6У(О3 cos’ ф< У®3+ У®з — 12®,, О < 12®! < (о3.
В качестве примера на рис. 23.4 приведена зависимость Е от
ф из (23.20) при следующих значениях параметров:
1 — ®t = 0,	= 0,275, 2 — ®! = 0, ®3 — 0,1375,
3 — ®а = 0,1375, (Оз/®! = 20, 4 — ®3 = 0,1375, ®9/®i = 15.
142
Отметим, что условие (23.19) получено без привлечения соот-
ношений (2.10), которые описывают принятую модель армирован-
ного материала. Поэтому оно может быть использовано и в слу-
чае любой друюй модели армированного материала.
§ 24. НАЧАЛЬНОЕ РАЗРУШЕНИЕ
И РАЦИОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
На основе соотношений (23.7), (23.10), (23.11) — (23.16)
и алгоритма определения разрушающих нагрузок, предложенно-
го в § 6, приведены расчет и анализ начального разрушения для
консольных оболочек и оболочек с абсолютно жесткими днищами.
Числовые примеры рассмотрены для случая, когда все армирую-
щие волокна изготовлены из одного материала и пределы проч-
ности материалов арматуры и связующего при растяжении и сжа-
тии соответственно одинаковы, т. е. имеем (21.10) и ааь = аа
Yk = i, 2, ..., т. Считаем также, что выполняются (21.15) —
(21.17) и используются обозначения a = att/ac, p(t) = р/пс» р<2) =
= 0ас^о/пс.
На рис. 24.1, 24.2 для консольной оболочки и па .рис. 24.3, 24.4
для оболочек с днищами показаны зависимости разрушающей на-
грузки />н1) от (Оасщ (удельного содержания волокон продольного
армирования) при р(2) — 0, ^ = 40,	= 1, сос = 0,3, ро = 0,55,
% = 0,35 и параметрах, приведенных в табл. 24.1. Случай о>о"
изображен на рис. 24.1, 24.3, а о < он — на рис. 24.2, 24.4; о = 14,
Е = 15 отвечает штрихпунктирная кривая diDiE^i на рис. 24.1.
Величины а° и он определялись соответственно из следующих ус-
ловий:
Рн1) = Рс1),	(?а1)= min	(24.1)
\	Л=1,2..М J
Ри ’ «= РаП, Ра1’ < Рс\	(24.2)
которые должны выполняться	pj. При реализации со-
отношений (24.1) о > ов и оболочка начинает разрушаться вслед-
• ствие разрушения связующею. Если справедливы условия (24.2),
• то о < ан и оболочка начинает разрушаться за счет разрушения г армирующих волокон. При он а С о® оболочка может разрушать- ИТ а б л и ц а 24.1. Значение параметров о®, пн для цилиндрических оболо» К	чек, армированных двумя семействами волокон										
	 	Виц  армирования	Вариант	Е	Расчет по уравнениям из [7]		Расчет по уравнениям (23 3), (23 4)		Расчет по уравнениям из [7]		Расчет по уравнениям (23 3), (23.4)	
			оБ		ов	а11	<тв	он	ав	0«
О>3=0 0 COaCOi «а	Консольная оболочка I 1 I 15 I 16,41 1,87 | 2 1 75 1 76,41 4,57				I 16,4 1 76,4	I 4,35 1 7,55	Оболочка 15,3 I 0,684! 76,4 1 0,877		с днищами I 15,3 I 0,600 | 76,4 j 0,784	
143
ея вследствие разрушения как связующего, так И арматуры в за-
висимости от значения параметра ®a(0i (см., например, штрих-
пунктирную кривую dtPiEiCt на рис. 24.1).
На указанных рисунках сплошные и штрихпунктирные кри-
вые рассчитаны по уравнениям (23.3), (23.4), а штриховые — по
уравнениям из [7]; нижние индексы у букв, которыми обозна-
чены кривые, отвечают номеру варианта параметров (в рассмат-
риваемом случае варианты параметров приведены в табл. 24.1);
характер разрушения на каждом участке кривой обозначен бук-
вами, расшифровка которых приведена в табл. 21.2.
Так, например, на рис. 24.1 сплошная и штриховая кривые
aiAJBtbi отвечают 1-му варианту параметров из табл. 24.1. При
этом па участке а1Л1 сплошной кривой	оболочка начина-
ет разрушаться от нормальных напряжений в связующем nJ1 на
окружности с=0, л = 1, 0=С(рг£2л, на участке AtBt — от сдви-
говых напряжении в связующем на окружности ё — gc ,
т] — 0, 0 < <р 2л (0 <	< 1) и на участке .ВД — от нормаль-
ных напряжений в связующем о®2 на окружности £ = 1, т] = —1,
144
О < ф С 2л. Рассмотрим теперь штриховую кривую	На
участке оболочка разрушается от нормальных напряжений
в связующем ai1 на окружности £ = 0, ц = 1, 0 ф 2л, на
участке ЛА—вследствие разрушения связующего от сдвиговых
напряжений aj3 на окружности £ — О, ц = О, 0 ф 2л и на
участке Bibi — от нормальных напряжений в связующем Ос2 на
окружности £ == 1, ц = — 1, 0 < ф 2л. Сингулярные точки
Bi соответствуют одновременному появлению двух механизмов
разрушения, которые возникают на гладких участках, примыка-
ющих к указанным угловым точкам.
На участке diDx штрихпунктирпой кривой	(см.
рис. 24.1) оболочка разрушается вследствие разрушения армиру-
ющих волокон 1-го семейства, на участке DiEi — от сдвиговых
напряжений в связующем <у13, на участке — от армирующих
волокон 2-го семейства.
Как видно из рис. 24.1, 24.3, для параметров армирования ®a(0i,
соответствующих точкам Ла (а = 1,2), ZA и а* нагрузка началь-
ного разрушения оболочки является наибольшей. Таким образом,
значения coacoi в указанных точках отвечают оболочке, рациональ-
ной по условиям прочности при использовании параметров, при-
веденных в табл. 24.1 и о > ов. При этом разрушающая нагрузка
для оболочки с рациональной структурой может превышать раз-
рушающую нагрузку для оболочки с нерациональной структурой
более чем в 3 раза (ср., например, точки А2 и В2 на рис. 24.1).
Анализ зависимостей, представленных на рис. 24.1—24.4, по-
казывает:
а)	характер разрушения оболочки и величина разрушающей
нагрузки существенно зависят от механических свойств материа-
лов арматуры и связующего Е, о, структуры армирования coacDi и
вида закрепления;
б)	в зависимости от того, используются уравнения (23.3),
(23.4) или уравнения из рабозы [7], разрушение может отличать-
ся не только по величине нагрузки, но и по характеру разруше-
ния (ср., например, на рис. 24.3 сплошную кривую	со
штриховой aiAiBibi на участке со0с)1(41)^ coao>i < (оа®1(В1), где
OaCOf(At) и	— значение параметра G)aO)i соответственно в
точках At и Bi). На указанном промежутке изменений G)acoi при
расчете по уравнениям (23.3), (23.4) оболочка разрушается вслед-
ствие нормальных напряжений в связующем (oi1, сплошная
кривая), а по уравнениям из [7] — от сдвиговых напряжений в
связующем ((Ус3, штриховая кривая). Если при использовании
обеих теорий происходит разрушение от сдвиговых напряжений
в связующем, то разрушающие нагрузки отличаются незначитель-
но, например, при (йаыДАа)^ coa(Oi (0a(0i (Ва) а = 1,2 (см.
рис. 24.1);
в)	разрушающая нагрузка оболочки с рациональной структу-
рой может значительно (иногда в несколько раз!) превосходить
разрушающую нагрузку оболочки с нерациональной структурой.
145
На рпс. 24.5, 24.6 для консольной оболочки и на рис. 24.7,
24.8 для оболочки с днищами показаны зависимости нагрузки на-
чального разрушения рн) от угла армирования ф для четырех се-
мейств волокон (21.16) при р<2) = 0,	= 40, р2 = 1, (ос = 0,3,
ра = 0,55; vc = 0,35 и параметрах, приведенных в табл. 24.2. Слу-
чаю о > о” соответствуют рис. 24.5, 24.7, 24.8, а о < оа — рис. 24.6.
Величины о8 и о" определялись из условии, что Уфе [О, л/2]
должны выполняться соотношения (24.1), (24.2).
146
Таблица 24.2. Значения параметров а", а” для цилиндрических оболо-
чек, армированных четырьмя семействами волокон
Вид армирования	Вариант	||	Е	Расчет по уравнениям из [7]		Расчет по уравнениям (23 3), (23 4)		Расчет по уравнениям ИЗ [7]		Расчет по уравнениям (23.3), (23.4)	
			а13		а®	Он		он	ов	о«
Консольная оболочка							Оболочка с днищами			
©1 = ©2 =« ®8	1	15	15,3	112,3	13,8	12,3	15,3	13,5	15,3	15,3
	2	75	20,0	16,4	33,4	21,0	31,2	22,4	66,7	29,9
©2 = 0, ©1 = 2©3	3	15	14,7	3,84	10,5	2,78	15,3	10,8	15,3	15,3
	4	75	19,4	9,55	23,3	10,30	16,5	14,0	41,7	28,7
©1 = 0, ©i ~ 2©з	5	15	13,6	1,87	13,1	4,35	15,3	0,684	15,3	0,600
	6	75	17,8	4,57	37,1	7,55	39,3	0,877	61,3	0,784
©1 = ©« = 0	7	15	7,50	1,90	4,35	2,79	•10,8	0,684	15,3	0,600
	8	75	8,93	2,79	9,32	7,57	22,0	0,877	28,8	0,784
Значения угла армирования if, отвечающие рациональным про-
ектам по начальному разрушению при использовании параметров
из табл. 24.2, будут следующими: на рис. 24.5 в точках Л5, Лв,
ф = л/2 для 1, 2, 3, 4 и 7-го вариантов; на рис. 24.6 ф = л/2 для
всех рассмотренных вариантов; на рис. 24.7 в точках а?
i|) = 0 для 1-го и 5-го вариантов параметров и 1|) = л/2 для 3-го
варианта параметров; на рис. 24.8 в точках Ав, е2 ф = л/2
для 4-го варианта параметров.
Для консольной оболочки (см. рис. 24.5, 24.6) углы намотки
меньше чем л/4 неэффективны с точки зрения несущей способ-
ности за исключением 5-го варианта параметров.
Сингулярные точки а7, а7 на рис. 24.7 и ^8»	^80 на
рис. 24.8 отвечают оболочкам, которые имеют по всей длине ну-
левой прогиб и являются безмоментными. Этот класс абсолютно
полужестких оболочек был рассмотрен в предыдущем параграфе.
Следует отметить, что в указанном классе безмоментных оболочек
содержатся оболочки, рациональные по начальному разрушению
(см. точки а7 на рис. 24.7 и а8 на рис. 24.8).
На рис. 24.9—24.11 приведены результаты расчетов разрушаю-
щих нагрузок для оболочки с днищами при va = 0,55, ®0 = 0,3,
vc = 0,35, 0t = 60, р2 = 2, а, — 10. Сплошные кривые на рис. 24.9—
24.11 соответствуют случаю двух семейств арматуры (иг = 2,
=0, 1р2 = л/2), а штрихпунктирные — четырех семейств арма-
туры (21.16) при <ааа>{ = уо/4 (г = 1, 2, 3, 4) и описывают зависи-
мость р“ от угла армирования ip.
На рис. 24.9 изображены зависимости допустимого уровня тем-
пературного нагрева лЛ'от структуры армирования (<ввсоб Ч‘) в
отсутствие внутреннего равномерно распределенного давления
ГМ и при выполнении условий, аналогичных (24.1), если в
Т47
Рис. 2410.
Рис. 24.9.
них верхний индекс «1» заме-
нить на «2». В этом случае
оболочка разрушается вслед-
ствие разрушения связующего,
а армирующие элементы оста-
ются упругими.
На рис. 24.10, 24.11 приве-
дены зависимости разрушаю-
щего давления Рн* при Е = 15
и 75 соответственно и различ-
ных значениях температурно-
го параметра р(2>:
в случае двух семейств ар-
матуры при Е = 15 (см.
рис. 24.10) р<2)=0 (1), 0,004
(2), р(2) = 0,009 (3) и при
Е = 75 (сплошные кривые на
рис. 24.11)	р(2) = 0	(1),
0,002(2), р<2> =0,00363(3);
в случае четырех семейств
арматуры при Е = 75 (штрих-
пунктирные кривые на рис.
24.11)	р(2) = 0(1),	0,004(2),
р<2) = 0,012(3). Зависимости на
рис. 24.10, 24.11 соответствуют случаю, когда оболочка разруша-
ется вследствие разрушения связующего и для всех указанных
148
выше значений температурного параметра p(i) выполняются усло-
вия (24.1).
Из приведенных на рис. 24.9—24.11 зависимостей следует, что
рациональным проектам по условиям прочности отвечают сле-
дующие значения параметров структуры армирования: на
рис. 24.9 для двух семейств волокон — сцвц = va (т. е. вся ар-
матура уложена в продольном направлении), для четырех се-
мейств волокон — i|) = 0; на рис. 24.10 — значения «цсщ в точках
аг; на рис. 24.11 для двух семейств волокон — значения (Bacoi в
точках L, (i = 1, 2, 3), а для четырех семейств волокон — значе-
ния ф в точках c*(i — 1,2г3).
§ 25. ДЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЧНОСТЬ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК
При исследовании длительной прочности армированных
конструкций, как и при анализе критерия длительной прочности
композитного материала (см. § 4), будем использовать структур-
НЫ11 подход, который позволяет учитывать временные условия
разрушения каждого субструктурного элемента композиции.
Для определенности задачу длительноп прочности сформули-
руем для ортотропных осесимметричных оболочек [116, 188] при
отсутствии температурного воздействия (0 = 0). В этом случае
в уравнениях (22.10), (22.11) необходимо всюду заменить ком-
поненты тензора жесткости Aai(iJ соответствующими операторами
Aa,pj, которые находим по формулам (2.10), если в них величины
vc, Ес, Еак (А = 1, 2, ..., т) считать операторами, определяемы-
ми через интегральный оператор типа Вольтерра, как указано
в § 2. Полученная в этом случае система интегро-дифференци-
альных уравнений при стационарных граничных условиях с по-
мощью принципа Вольтерра сводится к статической краевой за-
даче для упругих ортотропных оболочек. Ее решение при соот-
ветствующих краевых условиях определяет выражения для обоб-
щенных смещений »,0, иа1 как функцию координаты х и опера-
торов В общем случае это будут некоторые трансцендент-
ные функции от операторов А^, расшифровка которых может
быть осуществлена, если предварительно эти функции разло-
жить в операторный ряд [172] по степеням соответствующих опе-
раторов. Расшифровку последних можно осуществить, если счи-
тать, например, что для каждого субструктурного элемента ин-
тегральные операторы Г* являются операторами типа ЭА —
Работнова [169].
Таким образом, если решение системы уравнений (22.10),
(22.11) найдено, то определены обобщенные смещения
иг0—'и-,а(х, t, р), иа1 — иа1 (х, t, р).
149
Здесь t — время, р — вектор внешних нагрузок. Используя
далее соотношения (22.4), (2.3), (2.6) — (2.8) и учитывая, что
vc, Ес, Еак (к = 1, 2, ..., /re#) определяются через дробно-экспо-
ненциальные операторы типа ЭА — Работнова [169], найдем де-
формации и напряжения в элементах композицип:
в связующем е„р = ₽ар(-г, z, i, р), е£3 = 7а3(я:, z, t, р)/мс,
-Х<Х₽ Сдр. „ /	~аЗ z - *
Ofl ““ de	Р/5	Р/
и в армирующих волокнах eak = ea}i{x, z, t, р), oek = Ga»(®, z,
t, p) (k = 1, 2, ..., m).
В качестве структурных критериев длительной прочности
можно использовать либо деформационный критерий типа (4.15),
(4.16), либо энергетический — (4.17). Для осесимметричных обо-
лочек указанные критерии примут вид:
деформационный
min /шах |/£р |) ~ евРс,
(.змей J
(25.1)
(25.2)
(25.3)
(25.4)
min
*>о
min /max | eaft h = ek (к = 1, 2t ..., m);
энергетический
f	।
max f (o“₽de«p + 2а®3йе£3)} = W°<.
X,ZeQ g	j
и
It	\
max f Uakdeakl = (к = 1, 2, ... m).
x.zsQ j	J
Здесь еоцс, eate, ек — предельные деформации связующего и арми-
рующих элементов (которые для простоты приняты одинаковы-
ми при растяжении и сжатии); Wc, W°k — предельные значения
работы соответствующих материалов.
При использовании энергетического критерия время разру-
шения связующего находится непосредственно из (25.3). Для
определения времени разрушения связующего из деформацион-
ного критерия поступим следующим образом. Вначале из (25.1)
получим времена разрушения по соответствующим компонентам
тензора деформаций: Zapc(p) и £ОЗс(р), затем время разрушения
связующего
tc (р) — min {iapc (р), ta3e (р)}.
a,p
Время разрушения армирующих волокон на основе критериев
150
(25.2)	и (25.4) вычисляется так:
ia(p)= min {U(p)},
где #aJ.(p) определяются из (25.2) или (25.4). И наконец, время
разрушения оболочки найдем следующим образом:
iH (р) = min {tc (р), ta (р)}.	(25.5)
В ходе решения задачи минимакса (25.1), (25.2), (25.5)
(или (25.3) —(25.5)), очевидно, что определяется не только вре-
мя разрушения оболочки, но и область его возникновения и ха-
рактер разрушения.
* *
♦
Развитый в монографии подход позволяет оценить уровень раз-
рушающих нагрузок и температур, время до начала разрушения
и указать пути создания рациональных конструкций типа стерж-
ней, пластин и оболочек при различных условиях нагружения
и закрепления.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Аболиньш Д. С. Тензор податливости однонаправленно армированного
упругого материала,— Механика полимеров, 1965, № 4, с. 52—59.
2.	Аболиньш Д, С. Тензор податливости армированного в двух направ-
лениях упругого материала.—Механика полимеров, 1966, № 3, с. 372—
379.
3.	Абрамов С. Г., Мезенцев Н. С., Николаев В. IL, Попов В. Д. Прочность
при изгибе стеклопластиков, полученных намоткой,—Проблемы проч-
ности, 1975, № 10, с. 62—64.
4.	Адамович И. С., Рикардс Р. Б. Дискретные модели непрерывных за-
дач оптимизации конструкций.— Механика полимеров, 1976, № 5,
с. 852-859.
5.	Альперин В. И., Аркджовский В. Н., Лапшин Н. Ф., Ракушина Н. Н.
К методике оцепки предела прочности армированных пластиков при
изгибе.— Механика полимеров, 1971, № 2, с. 355—358.
6.	Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин,— М.: Наука, 1967.—
266 с.
7.	Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек.— М.: Наука,
1974— 448 с.
8.	Амирханов И. Г. К теории оболочек вращения наименьшего веса.— Тр.
семинара по теории оболочек/Казан. физ.-техн. ин-т АН СССР, 1969,
вып. 1, с. 21—26.
9.	Андреев А. Н., Немировский Ю. В. К теории упругих многослойных
анизотропных оболочек.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1977,
№ 5, с. 87-96.
10.	Андреев А. Н., Немировский Ю. В. Об одном варианте теории упругих
многослойных анизотропных пластин.— Прикл. механика, 1978, т. 14, *
№ 7, с. 55-62.
11.	Андреевская Г. Д. Высокопрочные ориентированные стеклопластики.—
М.: Наука, 1966.-370 с.
12.	Ашкенази Е. К. Анизотропия машиностроительных материалов,—Л.:
Машиностроение, 1969.— 112 с.
13.	Ашкенази Е. К., Ганов Э. В. Анизотропия конструкционных материа-
лов. Справочник.— Л.: Машиностроение, 1972.— 216 с.
14.	Ашкенази Е. К., Пеккер Ф. П. Экспериментальная проверка примени-
мости полинома четвертой степени для описания поверхности равно-
осных плоских напряженных состояний стеклопластиков.— Механика
полимеров, 1970, № 2, с. 284—295.
15.	Баландин П. П. К вопросу о гипотезах прочности.— Вестник инжене-
ров и техников, 1937, № 1, с. 19—24.
16.	Банпчук И. В. Оптимизация форм упругих тел.—М.: Наука, 1980.—
225 с.
17.	Бахвалов Н. С. Численные методы,— 2-е изд., стереотип.— М.: Наука,
'	1973.—Т. 1. 631 с.
18.	Белубекян Э. В., Гнули В. Ц., Кизокян Л. О. Оптимизация прочности
анизотропных пластин в закритической стадии,— Проблемы прочности,
1977, № 3, с. 59-62.
152
19.	Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений.— М.: ГИФМЛ 1959
Т. 2.- 620 с.
20.	Боган 10. А., Немировский Ю. В. О некоторых задачах оптимального
управления для армированной среды.™ Прикл. проблемы прочности и
пластичности/Горьк. гос. ун-т, 1975, выл. 1, с. 112—123.
21.	Боган Ю. А., Немировский Ю. В. Плоская задача теории упругости для
среды с двумя семействами равнонапряжепной волокнистой армату*
ры.— Прикл. математика, 1976, т. 41, № 1, с. 150—159.
22.	Боков Ю. В., Васильев В. В. Проектирование композиционных оболо*
чек вращения, находящихся в поле центробежных сил.— Расчеты на
прочность и жесткость/Моск. станкоинструм. ин-т, 1979, вып. 3, с. 111—
115.
23.	Болотин В. В. Основные уравнения теории армированных сред,—Ме-
ханика полимеров, 1965, № 2, с. 27—37.
24.	Болотин В. В. Некоторые вопросы механики композитных полимерных
материалов.— Механика полимеров, 1975, № 1, с. 126—133.
25.	Болотин В. В. Дефекты типа расслоения в конструкциях из композит-
ных материалов.— Механика композитных материалов, 1984, № 2,
с. 239-255.
26.	Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций.—
М.: Машиностроение, 1980,— 375 с.
27.	Бривманис Р. Э., Портнов Г. Г. Прочность колец из стеклопластиков,
нагруженных внутренним давлением.— Механика полимеров, 1968,
№ 1, с. 131—135.
28.	Брызгалин Г. И. К расчету внутренних усилий и деформаций в стек-
л о п ластике типа АГ-4С.— Пластические массы, 1964, № 7, с. 62—64.
29.	Брызгалин Г. И. Оптимальное проектирование локально-ортотропных
упругих тел со слабым связующим.—Механика твердого тела, 1971,
№ 3, с. 169—175.
30.	Брызгалин Г. И. Некоторые равнопрочные проекты для оболочек вра-
щения под осесимметричной нагрузкой.— В кнл Металловедение и
прочность материалов. Вып. 6. Волгоград: Волгоград, политехи, ин-т,
1974. с. 142-147.
31.	Брызгалин Г. И. О проектировании композиционных материалов.— Про-
блема прочности, 1980, № 6, с. 95—98.
32.	Брызгалин Г. И., Копейкин С. Д. О многоцелевом проектировании во-
локнистых композитных материалов.™ Механика композитных мате-
риалов, 1980, № 3, с. 404—408.
33.	Брызгалин Г. И., Немировский Ю. В. О проектировании армирован-
ных трехе дойных пластин.— В кн.: Пластинки и оболочки: Тр. VIII
Всесоюз. конф. М.; Наука, 1973, с. 622—626.
34.	Булманис В. Н., Панфилов Н. А., Портнов Г. Г. Оценка влияния транс-
версальных свойств па несущую способность колец из однонаправлен-
ных композитов, работающие под давлением.— Механика полимеров,
1976. Яг 4, с. 74Q—743.
35.	Бушманов С. Б., Немировский Ю. В. Проектирование пластин, арми-
рованных равпонапрЯ/кенными волокнами постоянного поперечного се-
чения.— Механика композитных материалов, 1983, № 2, с. 278—284.
36.	Бушманов С. Б., Немировский Ю. В. Оптимальное армирование пла-
стин при плоском напряженном состоянии.— Жури, прикл. механики
и техн, физики, 1983, № 5, с. 158—165.
37.	Ван-Фо-Фы Г. А. Упругие постоянные и напряженное состояние стек-
лоленты.— Механика полимеров, 1966, № 4, с. 593—602.
38.	Ван-Фо-Фы Г. А., Савин Г. Н. Об основных соотношениях теории не-
тканых стеклопластиков.— Механика полимеров, 1965, № 1, с. 151—»
158.
t 39. Васильев В. В. Оптимальное проектирование безмоментных армиро-
ванных оболочек.— В кн.: Исследования по упругости и пластичности.
Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1980, № 13, с. 7—13.
40.	Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций.—М.: Изд-во иностр, лит.,
i 1949. Ч. I.™ 798 с.
Ю. В. Немировский, В. С. Резников
153
41.	Векуа И. Н. Основы тензорного анализа.—Тбилиси: Изд-во Тбилисок,
гос. ун-та, 1967.— 137 с.
42.	Векуа И. Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов,—М.:
Наука, 1978.—293 с.
43.	Векуа И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариан-
* тов теории оболочек.— М.; Наука, 1982.— 286 с.
44.	Вильямс М., Андерсон Дж. Адгезионная механика разрушения.— В кил
Механика разрушения. Разрушение материалов. М.: Мир, 1979, с. 216—
238— (Механика. Повое в заруб, науке; 17).	. _
45.	Власов В. В. Общая теория оболочек и ее приложения в технике.—
М: Гос техяздат, 1949.—781с.
46.	Воробьев Л. Н. Об одном решении плоской задачи в полиномах для
прямоугольной ортотропной пластинки.—Док л. АН УССР, 1954, № 5,
с. 391-394.
47.	Вохмянин И. Т., Немировский Ю. В. О рациональном армировании пла-
стин, теряющих устойчивость.— Прикл. механика, 1971, т. 7, вып. 11,
с. 70-77.
48.	By Э. М. <1 Феноменологические критерии разрушения анизотропных
сред — В кн.: Композиционные материалы. Т. 2. Механика компози-
ционных материалев/Под ред. Дж. Сендецки. М.: Мир, 1978, с. 401—
481.
49.	Гнули В. Ц., Ншанян Ю. С. О задаче синтеза анизотропных пластин
переменной толщины (прочность, устойчивость, колебания).—Пробле-
мы машиностроения. Пп-т проблем машиностроения, АН УССР, Киев,
1977, вып. 5, с. 70—76.
50.	Голъденблат И. И., Копнов В. А. Прочность стеклопластиков при слож-
ном напряженном состоянии.—Механика полимеров, 1965, № 2, с. 70—
78.
51.	Голъденблат И. И., Коппов В. А. Критерии прочности и пластичности
конструкционных материалов.— М.: Машиностроение, 1968.— 190 с.
52.	Гольденвейзер А. Л. Теория упругих оболочек.— М.: Наука, 1976.—
512 с.
53.	Граймс Г. К., Греиман Л, Ф. Расчет концентратов, кромочных эффек-
тов и соединении.— В кн.: Композиционные материалы. Т. 8. Ч. 2. Ана-
лиз я проектирование конструкций/Под ред. К. Чамиса. Пер. с англ.
Г. Г. Портнова под ред. Ю. М. Тарнополъекого.— М.: Машиностроение,
1978, с. 139—213.
54.	Грезш! В. М. Исследование прочности и деформативности стеклопла-
стика АГ-4С при кратковременных и длительных нагрузках.— Тр. Во-
ронежск. инж.-строит. ин-та, 1967, № 13, вып. 2, с. 3—8.
55.	Грещук Л. Б. О видах разрушения однонаправленных композитов при
сжагип.— В кн.: Прочность и разрушение композитных материалов.
Рига: Зинатне, 1983, с. 304—312.
56.	Григолюк 3. И., Чулков П. 11. Устойчивость и колебания трехслой-
. пых оболочек.— М.: Машиностроение, 1973.— 170 с.
57.	Гуняев Г. М., Жнгун И. Г., Дулин М. И. и др. Зависимость упругих
я прочностных характеристик высокомодульных композитов от схем
армирования — Механика полимеров, 1974, № 6, с. 1012—1027.
58.	Гуняев Г. М., Жигу и И. Г., Сорина Т. Г., Якушин В. А. Сопротивление
сдвшу композитов на основе вшкерпзованпых волокон.—Механика
полимеров. 1973. Д« 3, с. 492—501.
59.	Джерард Г.. Лакшмикантам К. Оптимальные сосуды давления из ани-
зотропных материалов.— Тр. Амор, об-ва ипж.-мех. Сер. Е. Прикл. ме-
ханпка/Пер. с аш.к, 1968, т. 33, № 3, с. 116—172.
60.	Душин М. И., Жмгун И. Г., Аврасмн Я. Д. и др. Эффективность исполь-
зования высокомодульных и полых волокон в стеклопластиках с про-
странственно-сшитой структурой.— Механика полимеров, 1975, № 3,
с. 414-420.
61.	Ершов П, П. Некоторые вопросы оценки прочности конструкций из
композиционных материалов,— Механика полимеров, 1977, № 4, с. 731—
732.
Ш
82.	Ершов Н. П. Об одпом^ критерии рационального проектирования ани-
изотропных конструкций.— Механика композитных материалов 1979
№ 4, с. 647—651.	’
63.	Жигун И. Г., Гуняев Г. М., Душин М. И. и др. Влияние схем армиро-
вания на сопротивление сдвигу высокомодульных композиционных ма-
териалов.—В кн.: Волокнистые и дисперсно-упрочненные композици-
онные материалы. М.: Наука, 1976, с. 91—93.
64.	Жигун И. Г., Поляков В. А. Свойства пространственно-армированных
пластиков,— Рига: Зинатне, 1978.—215 с.
65.	Жигун И. Г., Радимов Н. П., Морозов О. А., Бупарева 3. С. Особенности
механических свойств трехмерпоармировапных углепластиков.— В кн«:
III Всесоюзн. симпоз. «Механика конструкций из композиционных ма-
териалов»: Тез. докл. Ереван, 1979, с. 30—32.
66.	Жигун И. Г., Якушин В. А., Ивонип IO. II. Анализ методов определе-
ния меж с лонной сдвиговой прочности композитных материалов.— Ме-
ханика полимеров, 1976, № 4, с. 640—648.
67.	Зангвилл У. И. Нелинейное программирование.— Мл Сов. радио, 1973.—
68.	Захаров В. Н. О выборе размеров и формы образцов для испытания
стеклопластиков па изгиб,—Завод, лаб., 1976, т. 42, № 8, с. 736—737.
69.	Захаров К. В. Критерий прочности для слоистых пластмасс.—Пласти-
ческие массы, 1961, № 8, с. 61—67.
70.	Захаров К. В. К вопросу прочности слоистых пластиков.— Пластиче-
ские лгассы, 1963, № 6, с. 47—50.
71.	Корабельников 10. Г., Захаров А. В. Об оценке прочностных свойств
* углепластиков при изгибе.— Механика композитных материалов/Рижск.
политехи, ин-т, 1977, вып. 1, с. 81—91.
72.	Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.— М.: Наука, 1964.—
487 с.
73.	Качанов Л. М. Разрушение композитных материалов путем расслое-
ния.— Механика полимеров, 1976, № 5, с. 918—922.
74.	Келли А. Множественное разрушение слоистых пластиков.— В кн,:
Разрушение композитных материалов. Рига: Зинатне, 1979, с, 120—125.
75.	Кендал Е. Г. Композиционные материалы с металлической матрицей,
армированные высокопрочными и высокомодульными углеродными во-
локнами,— В кн.: Композиционные материалы. Т. 4. Композиционные
материалы с металлической матрицей. М.: Машиностроение, 1978,
с. 338—418.
76.	Комков М. А. Равнонапряженная торовая оболочка давления, изготов-
ленная методом намотки из однонаправленного стеклопластика.—’
MBIT им. Н. Э. Баумана, 1979, № 17, с. 75—83.
77,	Коннов В. А., Протасов В. Д. Некоторые вопросы предельного состоя-
ния стеклотекстолита.— Механика полимеров, 1968, № 1, с. 64—66.
78.	Корб Л, Дж. Космические летательные аппараты.— В кн.: Компози-
ционные материалы. Т. 3. Применение композиционных материалов в
технике. М.: Машиностроение, 1978, с. 78—129.
79.	Кори Г., Корн Т. Справочник по математике для научных раоотников
и инженеров. Определения, теоремы, формулы.— М.: Наука, 1968.—
720 с.
80.	Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из арми-
рованных пластмасс,— М.: Машиностроение, 1965.— 272 с.
81.	Косиченко А. А., Почтмаи Ю. М. Оптимальное проектирование мето-
‘ дамп математического программирования слоистых и композитных пла-
стин И оболочек.—В кп.: Гидроаэромеханика и теория упругости.
Днепропетровск: Днепропетр. гос. ун-т, 1977, № 22, с. 92—103.
82.	Космодамианский А. С. Изгиб плоского криволинейного анизотропного
бруса силой, приложенной на конце.— Прикл. математика и механика,
19э2, т. XVI, вып. 2, с. 249—252.
83.	Космодамианский А. С. Напряженное состояние анизотропных сред
с отверстиями или полостями.— Киев — Донецк: Вища школа, 1976.
- 200 с.
11*	155
84.	Костюкой В. И., Полилов А. Н., Хохлов В. К., Шуртаков А. Н. Влияние
структуры на свойства волокнистых углеродных материалов.— Меха-
ника композитных материалов, 1980, № 4, с. 616—620.
85.	Кошур В. Д., Немировский Ю. В. Проект сопла Лаваля, реализующий
строго безмоментное состояние —Проблемы прочности, 1974, № 12.
с. 66-72.
86.	Крашаков Ю. Ф. О проектировании оболочечных конструкций вз ком-
позиционных материалов.— В кн.: Тр. XXI науч. конф. Моск, физ-техн,
ин-та, Сер. Аэрофиз. и прикл. мат., Долгопрудный, 1976, с. 101—104.
87.	Крейдер К. Г., Прево К. М. Алюминий, упрочненный борными волокна-
ми.—В кп.: Композиционные материалы. Т. 4. Композиционные ма*
тердалы с металлической матрицей. М.: Машиностроение, 1978, с. 419—
498.
88.	Кристене Р. Введение в механику композитов.— М.: Мир, 1982,— 334 С.
89.	Курдюмов А. А. О решении в полиномах плоской задачи теории упру-
гости для прямоугольной анизотропной полосы,—Прикл. математика
и механика, 1945, т. IX, вып. 4, с. 339—342.
90.	Лехннцкий С. Г. Анизотропные пластинки.— 2-е изд., перераб. и доп.—
М.: ГТТИ, 1957 — 436 с.
91.	Лехннцкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.—2-е изд.—М,:
Наука, 1977.-416 с.
92.	Ли Т., Салинас Д., Ито У. Начальная поверхность текучести однона-
правленного композита.— Тр. Амер, об-ва инж.-мех. Сер. Е. Прикл. ме-
ханика/Пер. с англ., 1972, т. 39, № 2, с. 1—6.
93.	Ломакин В. А. Зависимость прочности композитных материалов от
структурных параметров,— В кн.: Разрушение композитных материа-
лов. Рига: Зннатне, 1979, с. 88—93.
94.	Лурье А. II. Статика тонкостенных упругих оболочек — М.: Гостехиз-
даг, 1947.- 252 с.
95.	Майер Н. Дж, Гражданская авиация — В кн.: Композиционные мате-
риалы. Т. 3. Применение композиционных материалов в технике. М.:
Машиностроение, 1978, с. 36—77.
96.	Мак-Коннел А, Дж. Введение в тензорный анализ. С приложениями
к геометрии, механике и физике.— М.: Физматгиз, 1963.— 441 с.
97.	Максимов Р. Д., Плуме Э. 3. Пономарев В. М. Характеристики упру-
гости однонаправленно армированных гибридных композитов.—Меха-
ника композитных материалов, 1983, № 1, с. 13—19.
Ж Максимов Р. Д., Плуме Э. 3., Пономарев В. М. Прочностные свойства
однонаправленно армированных гибридных композитов.— Механика
композитных материалов, 1984, № 1, с. 35—41.
99.	Малков В. П., Угодчиков А. Г. Оптимизация упругих систем.— М.: На-
ука, 1981.— 288 с.
100.	Малмейстер А. К. Геометрия теорий прочности.—Механика полиме-
ров, 1966, № 4, с. 519—534.
101.	Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г, А. Сопротивление жестких
полимерных материалов,— Рига: Зинатне, 1967.— 398 с.
102.	Махутов Н. А., Работнов Ю. Н., Сервисен С. В., Пригоровский Н. И.
Развитие исследований по механике деформирования и разрушения.—
Машиноведение, 1977, № 5, с. 66—85.
103.	Мельбардпс Ю. Г., Крегере А. Ф. Аппроксимация поверхностей проч-
ности трансверсально-изотропного материала,— Механика композитных
материалов, 1980, № 3, с. 436—443.
104.	Меткалф А. Г. Титановые сплавы, упрочненные волокнами.— В кн.:
Композиционные материалы. Т. 4. Композиционные материалы с ме-
таллической матрицей. М.: Машиностроение, 1978, с. 277—337.
105.	Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т. 1.
Механика матерпалов/А. Н. Гузь, Л. П. Хорошун, Г. А. Ванин и др.
Под ред. Л. П, Хорошупа.— Киев: Наук, думка, 1982.— 367 с.
106.	Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т. 2. Ме-
ханика элементов конструкций/А. Н. Гузь, Я. М. Григоренко, И. Ю. Ба-
бич и др. Под ред. Я. М. Григоренко,— Киев; Наук, думка, 1983.—464 с.
156
107.	Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т. 3.
Прикладные исследования/А. Н. Гузь, И» В. Игнатов, А. Г. Гирченко
и др.— Киев: Наук, думка, 1983.— 262 с.
108.	Мешков Е. В., Кулик В. И. Построение поверхностей длительной проч-
ности ортогонально армированных композиционных материалов.—
В кв : II Всесоюз. конф. «Ползучесть в конструкциях»: Тез. докл. Но-
вое ион рек, 1984, с. 142.
109.	Милейко С. Т., Работпов IO. Н. Механика волокнистых композитов,—
Успехи механики (ПНР), 1980, т. 3, Яг 1, с. 3—55.
НО. Милейко С. Т., Хвостунков А. А. Одноосное сжатие волокнистого ком-
позита.— Koveve mater, 1974, t. 12, N. 2, s. 205—214.
Hl. Михайлов A. M. О разрушении однонаправленного стеклопластика.—
Механика твердого тела, 1973, № 5, с. 131—139.
112.	Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической те-
ории упругости — 5е изд.— М.: Наука, 1966.— 707 с.
113.	Муштари X. М. К теории изгиба оптимальных по весу пластин из
композиционного материала.—Прикл. механика, 1967, т. 3, №4,
с. 1-7.
114.	Немировский Ю. В. Об условии пластичности (прочности) для армиро-
ванного слоя.— Жури, прикл. математики и техн, физики, 1969, № 5,
с. 81-88.
115.	Немировский Ю. В. Об упругоштастическом поведении армированно-
го слоя.— Журн. прикл. математики и техн, физики, 1969, № 6, с. 81—
89.
116.	Немировский Ю. В. Уравнения изгиба и устойчивости армированных
оболочек и пластин из вязкоупругого материала.— В кп.: Динамика
сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО АН СССР, Новосибирск, 1970,
вып. 4, с. 50—63.
117.	Немировский Ю. В. К теории термоупругого изгиба армированных обо-
лочек и плас гин.— Механика полимеров, 1972, № 5, с. 861—873.
118.	Немировский Ю. В. Боэмом ентпые оболочки с равнопапряженной ар-
матурой.-Изв. АП СССР. МТТ, 1977, № 3. с. 65-73.
119.	Немировский Ю. В. Рациональное проектирование армированных кон-
струкций с точки зрения прочности и устойчивости,— Прикл. проблемы
прочности и пластичпости/Горьк. гос. ун-т, 1977, вып. 6, с. 70—80.
120.	Немировский Ю. В. К вопросу об оптимальной укладке арматуры в
пластинках.— Механика полимеров, 1978, № 4, с. 675—682.
121.	Немировский Ю. В. Некоторые вопросы разрушения тонкостенных из-
- гибаемых конструкций из армированных пластиков,— Механика компо-
зитных материалов, 1979, № 2, с. 326—330.
122.	Немировский IO. В, Оптимальное проектирование пологих оболочек и
пласгин из волокнистых композитов.— В кп.: Численные методы реше-
ния задач теории упругости и пластичности: Материалы VIII Всесоюз.
конф. Новосибирск: ИТПМ СО АП СССР, 1984, с. 212—222.
123.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. Оптимизация армированных ба-
лок по начальному разрушению.— В ки.: Расчеты и конструирование
изделий из стеклопластиков: Метод, пособие. Киев: Наук, думка, 1972,
с. 14-27.
124.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. Упруго-пластический изгиб балок
из двухкомпонентных материалов. Сообщение II.— Проблемы прочно-
* стп, (972, № 10, с. 15—19.
125.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. О механизме разрушения армиро-
ванных балок при изгибе. I. Разрушение от сдвига.— Механика поли-
меров, 1973, Xs 4, с. 698—709.
126,	Немировский Ю. В., Резников Б. С. Изгиб армированных криволиней-
ных стержней и оптимизация их структуры по начальному разруше-
нию.— В кн.: Методы решения задач упругости и пластичности.
Вып. 7. Горький: Горьк гос. ун-т, 1973, с. 106—124,
127.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. О механизме разрушения армиро-
ванных балок при изгибе. II. Хрупкое разрушение от нормальных на-
пряжений.— Механика полимеров, 1974, № 3, с. 462—463,
<57
123.	Немировский К), В., Резников Б. С, О рациональном проектировании
по начальному разрушению армированных цилиндрических оболо-
чек.— В кн.: Тез. докл. Всесоюэ. науч.-техн. конф. «Проблемы меха-
ники конструкций из композитных материалов». Челябинск, 1975, с. 93.
129.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. О начальном разрушении армиро-
ванных круглых и кольцевых пластин,-Пзв. АН АрмССР, Механика,
1976, № 2, с. 50-64/
130.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. О механизме разрушения от сдвига
армированных колец при изгибе.—Механика полимеров, 1976, № 3,
с. 435- 444.
131.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. Проектирование абсолютно полу-
жестких оболочек вращения,—Ивв. АН СССР, МТТ, 1976, № 6, с. 160—
_	164.
132.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. Вопросы разрушения изгибаемых
армированных конструкций,— Механика полимеров, 1977,	№ 6,
с. 1029-1038.
133.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. Разрушение армированных плас-
тин с вырезами,— Механика композитных материалов, 1980, № 3,
с. 489-499.
134.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. Прогнозирование прочности кор-
пусов глубоководных аппаратов из армированных материалов.—В кн.:
Тез. докл. IV Всесоюз. конф. «Проблемы научных исследований в обла-
сти изучения и освоения Мирового Океана». Владивосток, 25—28 ок-
тября 1983. ДВПИ, с, 75.
135.	Немировский Ю. В., Резников Б. С. Разрушение армированных балок
при комбинированном нагружении.— Механика композитных материа-
лов, 1983, № 4, с. 674-682.
136.	Немировский Ю. В,, Резников Б. С. Предельное состояние армированных
криволинейных стержней при многопараметрпческом внешнем воздейст-
вии,— Прикладная механика, 1985, т. 21, № 9, с. 85—93
137.	Немировский Ю. В., Самсонов В. И. О рациональном армировании ци-
линдрических оболочек, сжимаемых осевой силой,— Иэв. АН СССР.
МТТ, 1974, № 1, с. 103-112.
138.	Немировский 10. В., Самсонов В. И. Цилиндрические армированные
оболочки, наиболее устойчивые при всестороннем внешнем давлении,—
Механика полимеров, 1974, № 1, с. 75—83.
139.	Немировский Ю, В., Самсонов В. II. О рациональном армировании ци-
линдрических оболочек, теряющих устойчивость под действием крутя-
щих моментов,— Прпкл. механика, 1974, т. 10, № 5, с. 63—71.
140.	Немировский Ю. В., Старостин Г. И. О возможности реализации без-
моменшого состояния оболочек путем армирования.—Докл» АН СССР,
1971, т. 196. с. 797—800,
141.	Немировский Ю. В., Старостин Г. И. Безмоментное сопряжение арми-
рованных оболочек вращения.— Изв. АН СССР. МТТ, 1973, № 5, с. 73—
86,
142.	Немировский IO. В., Шкутин Л. И. Проектирование безмоментных осе-
симметричных резервуаров из армированного наследственно-упругого
материала — Механика полимеров, 1972, № 6, с. 1081—1086.
143.	Николаев В. П. Об испытаниях колец из стеклопластиков при помощи
жестких секторов,—Механика полимеров, 1973, № 6, с. 1132—1134.
144.	Николаев В. П., Абрамов С. Г., Попов В. Д. О разрушении сегментов
кругового кольца при изгибе.— Тр. Моск, энерг. пп-та, 1973, вып. 164,
с. 86-92.
145.	Николаев В, П,, Перевозчиков В. Г. Прочность стеклопластика при
совместном действии межслойных напряжений сдвига и отрыва,— Про-
блемы прочности, 1974, № 11, с. 62—64.
146.	Новожилов В. В. Теория тонких оболочек,—Л.: Судпромгиэ, 1962.—
430 с.
147.	Образцов И. Ф., Васильев В. В,, Бунаков В. А. Оптимальное армирова-
ние оболочек вращения из композиционных материалов,— М.: Машино-
строение, 1977.— 144 с.
158
148.	Образцов И. Ф., Васильев В. В. Оптимальная структура и прочность
слоистых композитов при плоском напряженном состоянии.—В кн.:
Разрешение композитных материалов: Тр. 1-го Сов.-амер. симпоз. Ри-
га, 1979, с. 142—148.
149,	Парцевский В. В. Напряжения в анизотропном кольце при растяжении
его жесткими секторами,— Изв. АН СССР. МТТ, 1971, № 1, с. 90—92
150.	Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.—Ки-
ев: Наук, думка, 1973.— 248 (
151.	Перекальскип С. М. Упругие свойства и прочность анизотропных стек-
лопластиков при кратковременном нагружении.—Тр/Челябинск, поли-
техи. ин-та, 1974, № 151, с. 189—194.
152.	Писаренко Г. С., Лебедев А* О. До теорн граничних стан в ашзотроп-
ных матер1ачов.— Дон. АН УРСР. Сер. А, 1976, № 3, с. 230—235.
153.	Подстригая Я. См Коляио Ю. М. Обобщенная термомеханика.— Киев:
Наук, думка, 1976.— 310 с.
154.	Полплов А. Н. Разрушение однонаправленных композитов при нали-
чии концентраторов напряжений.—11зв. АН СССР. МТТ, 1975, № 5,
с. 139—143.
155.	Поли лов А. II. Критерии разрушения поверхности раздела в однона-
правленных композитах.— 1Ьв. АН СССР МТТ, 1978, № 2, с, 115—119.
156.	Полилов А. Н. Определение прочности при изгибе криволинейных об-
разцов.— Машиноведение, 1985, № 1, с. 54—60.
157.	По ли лов А. IL, Работнов Ю. II. Разрушение около боковых выточек
композитов с низкой сдвиговой прочное! ыо.—Изв. АН СССР. МТТ, 1976,
№ 6, с. 112—119.
158.	Полплов А. II», Хохлов В. К. Критерии межсловной прочности компо-
зитов при поперечном изгибе.— Машиноведение, 1977, № 3, с. 5G—59.
159.	Полипов А. II., Хохлов В. К. Расчетный критерий прочности композит-
ных балок при излгбе.— Машиноведение. 1979, № 2. с. 53—57.
160.	Поляков В. А», Жпгун И. Г. Контактная задача для балок из компо-
зитных материалов.— Механика полимеров, 1977, № 1, с. 63—74.
161.	Поляков В. А., Таковский В. В. Влияние соотношений слоев на харак-
тер разрушения при растяжении слоистых углепластиков с тремя уг-
лами армирования.— Механика кохмпозитных материалов, 1980, №6,
с. 1029—1035.
162.	Портнов Г. Г. Влияние низкой сдвиговой прочности полимерного слоя
на несущую способность труб из стеклопластиков.—Механика поли-
меров, 1967, № 3, с. 553—556.
163.	Портнов Г. Г., Загарьяп Г. В. Несущая способность толстостенных ко-
лец пз стеклопластиков, работающих под давлением.— Механика по*
линеров, 1971, № 6, с. ИЗО—1131.
164.	Протасов В. Д., Георгиевский В. П. Анизотропия упругих и прочност-
ных свойств армированных пластиков.— Механика полимеров. 1967,
№ 3, с. 461—466
165.	Протасов В. Д.» Койнов В. А. Исследование прочности стеклопластиков
при плоском напряженном состоянии.— Механика полимеров, 1965, № 5,
с. 39-44.
166.	Прочность и разрушение композитных материалов: Тр. 2-го Сов.-амер.
симпоз.— Рига: Зииатне, 1983.— 320 с.
167.	Рабинович А. Л. Введение в механику армированных полимеров.— М.:
Наука, 1970.-482 с.
168.	Работнов Ю. И. Ползучесть элементов конструкций.— М.: Наука, 1966.—
752 с.
169.	Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.— М.:
Наука. 1977.-388 с.
170.	Работнов Ю. Н. Прочности слоистых композитов.— Изв. АН СССР. МТТ,
1979, № 1, с. 113—119.
17]. Работнов IO. II. Механика композитов.—Вести. АН СССР, 1979, № 5,
с. 50—58.	**
172.	Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела.— М.: Наука,
1979.— 744 с.
<59
173.	Работнов Ю. Н., Данилова И. Н., Полилов А. Н» Исследование прочно-
сти намоточных эпоксидных угле- и стеклопластиков при кручении,
растяжении и поперечном изгибе.— Механика полимеров, 1978, № 2,
с. 219-225.
174.	Работнов Ю. Н., Туполев А. А., Кутышов В. Ф. и др. Применение уг-
лепластиков в конструкции летательных аппаратов.— Механика компо-
зитных материалов, 1981, № 4, с. 657—667.
175.	Разрушенпе/Пер. с англ, под ред. Г. Либовиц.— Т. 7. Разрушение не-
металлов п композитных материалов. Ч. I. Неорганические материа-
лы (стекла, горные породы, композиты, лед).— М.: Мир, 1976.— 634 с.
176.	Разрушение композитных материалов: Тр. 1-го Сов.-амер. симпоз.—Ри-
га: Зипатпе, 1979,— 258 с.
177.	Рассказов А. О., Дехтярь А. С., Рублев В. С. Оптимальное проектиро-
вание многослойных пластин.—Проблемы прочности, 1978, № 9, с. 64—
67.
178.	Рассказов А. О., Дехтярь А. С., Рублев В. С. Оптимальное проекти-
рование многослойных пластин с учетом их несущей способности и
теплопроводности.— В кп.: Сопротивление материалов и теория соору-
жений. Вып. 32.— Киев: Кисвск. инж.-строит. ин-т, 1978, с. 80—82.
179.	Растригин Л. А. Случайный поиск в задачах оптимизации многопара-
метрических систем,—Гига: Зинатне. 1965.— 212 с.
180.	Расчет ортотропных слоистых оболочек вращения с переменными па-
раметрами па ЕС ЭВМ/Я. М. Григоренко, А. Б. Китайгородский,
В. В. Семенова и др.— Киев: Наук, думка, 1980.— 102 с.
181.	Резников Б. С, Оптимальное проектирование по начальному «разруше-
нию» оболочек, подкрепляющих осесимметричные полости.— Физ.-техн.
пробл. разработки полезных ископаемых, 1976, № 6, с. 3—9.
182.	Резников Б. С. Несущая способность армированных осесимметричных
оболочек при расслоении от сдвига.—Проблемы прочности, 1978, № 1,
с. 26-31.
183.	Резников Б. С. Исследование сдвигового разрушения армированных ци-
линдрических оболочек.—Строительная механика и расчет сооруже*
ний, 1979, № 3, с. 9—14,
184.	Резников Б. С. Начальное разрушение цилиндрических ребристых обо-
лочек из армированных материалов.— Механика композитных мате-
риалов, 1979, № 6, с. 1031—1035.
185.	Резников Б. С. Рациональное проектирование по начальному разруше-
нию ребристых армированных оболочек,—Проблемы прочности, 1980,
№ 1, с. 108—113.
186.	Резников Б. С. Рациональное проектирование по условиям разрушения
термоупругих армированных оболочек,— Механика композитных ма-
териалов, 1980, № 4, с. 661—668.
187.	Резников Б. С. Рациональное проектирование по условиям эксплуата-
ции круглых армированных пластин при динамическом нагружении.—
В кн.: Неклассические задачи упругости и пластичности. Вып. 49. Но-
восибирск: ИГ СО АН СССР, 1981, с. 85-99.
188.	Резников Б. С. О времени до разрушения армированных оболочек из
вязко-упругих материалов.— В кн.: Всесоюзн. симпоз. «Ползучесть в
конструкциях»: Тез. докл. Днепропетровск, 1982, с. 161—162.
189.	Резников Б. С. Прочность оболочек из композитов при комбинирован-
, ном внешнем воздействии.— Механика композитных материалов, 1984,
№ 3, с. 563.
190.	Резников Б. С. Построение поверхности длительной прочности арми-
рованного материала.—В кн.: II всесоюз. конф. «Ползучесть в конст-
рукциях»: Тез. докл. Новосибирск, 1984, с. 156—157.	*
191.	Рейтман М. И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектирования де-
формируемых тел.— М.: Наука, 1976.— 266 с.
192.	Рикардс Р. Б., Тетере Г. А. Устойчивость оболочек из композитных
материалов.— Рига: Зинатне, 1974.— 310 с.
193.	Розеи Б. У., Дау Н. Ф. Механика разрушения волокнистых компози-
тов.— В кн.: Разрушение. Т. 7. Ч. I. М.: Мир, 1976, с. 300—366.
160
194* Рухадзе А, К., Погосян Т. А. Об одной задаче упругого равновесия од-
нородного ортотропного призматического бруса.—Тр. Груз, политехи,
ин-та, математика, механика, 1977, № 6 (197), с. 145—156.
195.	Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий,— Киев: Наук,
думка, 1968,— 888 с,
196.	-Сандалов А. В., Медведев М. 3. Испытания слоистых армированных
пластиков на прочность при меже лонном сдвигеМеханика полиме-
ров, 1974, № 2, с. 340-347.
197.	Сервисен С. В., Зайцев Г. П. Несущая способность тонкостенных кон-
струкций из армированных пластиков с дефектами.— Киев: Наук, дум-
ка, 1982,— 296 с.
198.	Скудра А. М., Булаве Ф. Я. Структурная теория армированных плас-
тиков,—Рига:'Зинатне, 1978,— 192 с.
199.	Скудра А. И., Булаве Ф. Я., Роценс К. А. Ползучесть и статическая ус-
татость армированных пластиков,—Рига: Зинатне, 1971,—238 с.
200.	Словак М. Э. О разрушении слоистых стеклопластиков при сжатии.—
Механика полимеров, 1978, № 2, с. 240—243.
201.	Смотрин Т. II, Прочность ортотропных слоистых пластмасс при пло-
ском напряженном состоянии,—Тр. Ленпнгр. инж.-строит. ин-та, 1975,
вып. 7, с. 171—176.
202.	Соболь И. М., Статников Р. Б. Выбор оптимальных параметров в за-
дачах со многими критериями.— М.: Наука, 1981.— 112 с.
203.	Сопротивление стеклопластиков/В. Л. Бажанов, И. И. Гольденблат»
В. А. Коннов и др.— М.: Машиностроение, 1968.— 303 с.
204.	Степанов А. В. Причины особенностей разрушения упругоанизотроп-
ных тел.—Изв. АН СССР. Сер. физ.. 1950, т. 14, № 1, с. 122-141.
205* Стронгин Р. Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (ин-
формационно-статистические алгоритмы).—М.: Наука, 1978.—240 с.
206г Тарнопольский Ю. М., Жигун И. Г., Поляков В. А. Анализ распределе-
ния касательных напряжений при трехточечном изгибе балок из ком-
позитов.— Механика полимеров, 1977, № 1, с. 56—62.
207.	Тарнопольский Ю. М., Кинцис Т. Я. Методы статических испытаний
армированных пластиков,— 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Химия, 1981.—
271 с.
208.	Тарнопольский Ю. М., Розе А. В. Особенности расчета деталей из ар-
мированных пластиков.— Рига: Зинатне, 1969.— 274 с.
209.	Тарнопольский Ю. М., Розе А. В., Шлица Р. П. Испытание сосредоточен-
ными силами колец, изготовленных намоткой.— Механика полимеров,
1969, № 4, с. 719-727.
210.	Тарнопольский Ю. М., Скудра А. М. Конструкционная прочность и де-
формативпость стеклопластиков.—Рига: Зинатне, 1965.—260 с.
211.	Тарнопольский Ю. М. Современные тенденции развития волокнистых
композитов.— Механика полимеров, 1972, с. 541—552.
212.	Теннисон Р. С., Варрам Г. Э., Эллиот Г. Приложение кубического ус-
ловия прочности к анализу разрушения слоистых композитов.— В кн,:
Прочность и разрушение композитных .материалов: Тр. 2-го Сов.-амер.
симпоз. Рига: Зинатне, 1983, с. 127—135.
213.	Теннисон Р. С,, Макдональд Д., Паньяро А. Определение компонент
тензоров в полиномиальном критерии разрушения композитных мате-
риалов.— Механика композитных материалов, 1980, № 3, с. 418—423.
2(4.	Терегулов И. Г. К построению уточненных теорий пластин и оболо-
чек.— Прикл. математика и механика, 1962, вып. 2, с. 346—350.
215*	Тетере Г. А., Рикардс Р. Б., Нарусберг В. Л. Оптимизация оболочек из
слоистых композитов.— Рига: Зинатне, 1978.— 238 с.
216.	Угодников А. Г., Длугач М. И., Степанов А. Е. Решение краевых за-
дач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах.—
М.: Высш, шк., 1970.— 528 с.
217.	Ульяшина А. Н. К теории изгиба балок из армированных материа-
лов.— Изв. АН СССР. МТТ, 1976, № 3, с. 168-172.
218.	Упитис 3. Т., Рикардс Р. Б. Исследование зависимости прочности ком-
позита ог структуры армирования при плоском напряженном состоя-
нии,—Механика полимеров, 1976, № 6, с. 1018—1024.
<61
219.	Уэмура М., Ияма М., Ямагути Й. Исследование методов испытания на
нзгио пластика, армированного волокнами. Сообщение 2.—Кека пура-
сутик кусу, Reinforced Plastics. 1978, 28, № 1, р. 13—20.
220.	Физические и механические свойства стеклопластиков. Справочник/Под
ред. Ю. И. Молчанова.—Рига: Зинагпе. 1969.— 266 с.
221,	Фрегер Г. Е., Игнатов Б. Б. Вопросы применения в конструкциях спи-
ралыю-армпрованных композиционных материалов.— В кн.: III Все-
союз, симпоз. «Механика конструкции из композиционных материа-
лов»: Тез. докл. Ереван, 1979, с. 116—117.
222.	Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных матери-
алов.— М.: Мир, 1982.— 232 с.
223.	Хашин 3., Розен Б. В. Упругие модули материалов, армированных во-
. локнамп.— Тр. Амер, об-ва ннж,-мех. Сер. Е. Прикл/ механика./Пер. с
англ, 1964, т. 31, № 2, с. 71—82.
224.	Ху Л., Марин Д. Анизотропные функции нагружения для сложных
напряженных состоянии в пластической области.— Механика (сб. пе-
реводов), 1956, № 2 (36), с. 172—188.
225.	Цай С., Хаи X. Анализ разрушения композитов.— В кн.: Нсупругие
свойства композиционных материалов. М.: Мир, 1978. с. 104—139.
226.	Чамис К. Мпкромехаяплеская теория прочности.— В кн.: Композици-
онные материалы. Т. 5. Разрушение и усталое гь/Под ред. Л. Браутма-
па. М.: Мир, 1978, с. 106—165.
227.	Чао Ц. Ц., Ко С. Л., Сап Ц. Т. Оптимизация устойчивости и предела
текучести слоистых композиционных материалов.— Ракет, техника и
космонавтика, 1975, т. 13, № 9, с. 5—7.
228.	Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Ч. II,—Л.: Изд-во ЛГУ,
1964.- 395 с.
229,	Чече А. А. К вопросу проектирования оптимального армирования ма-
териала.— В кн.: Теория сооружений. Минск: Вышейш. шк., 1971.
с. 200-211.
230.	Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на
ЭЦВМ.— Киев: Пзд-во АН УССР, 1963.— 196 с.
231.	Ши Ц. Ф., Ли Д. Дальнейшее развитие теории анизотропной пластич-
ности.— Тр. Амер, об-ва инж.-мех. Сер. Д. Теор. основы иня;. расче-
тов/Пор. с англ., 1978, т. 100, № 3, с. 76—85.
232.	Шлица Р. II., Спридзанс Ю. Б. Экспериментальная оценка сопротивле-
ния углепластиков поперечному отрыву.— Механика полимеров, 1974,
№ 2, с. 240-245.
233.	Шулнковскнй В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тен-
зорном изложении.— Мл Физматгиз, 1963.— 540 с.
234.	Яценко Б. Ф. Умова мщности ортотропных матер!ал1в при складно-
му напряженному стат,— Доп. АН УРСР, сер. А, 1970, № 2, с. 174—
175.
235.	Berthelot J. М.. Maufras J. М.. Cupcic A. Work of fracture of oriented
discontinuous fibre composites.— Fibre Sci. and Technol., 1980, v, 13, N 4,
p. 281—302.
236.	Betten J. Elementarer Ansalz zur Beschreibung des ortho tropen kompres-
siblen plastischen Flicpens unter Berucksichtigung des Bauschinger-Ef-
fect.— Arch. Eisenhuttcn W., 1978, Bd 49, N 4, S. 179-182.
237.	Bush H. G. Analytical design method for strength optimization of com-
posite orthotropic laminates.— In: Composite Materials in Engineering
Design: Proc. 6th Sympos., St. Louis, 1973, p. 391—401.
238.	Chou P. С., Mcnamee В. M., Chou D. K. The yield criterion of laminated
media.— L Compos. Mater., 1973, v. 7, N 1, p. 22—35.
239.	Cooper A. A. G., Wu E. M. Trajectorial fiber reinforcement of composi-
tes.—In: Composite Materials in Engineering Design: Proc. 6fh Sympos.,
St. Louis, 1973, p. 377-382.
240.	Creszczuk L. B. Stress concentrations and failure criteria for orthotropic
and anisotropic plates with circular openings.—Conf. Compos. Mater.:
Tes. Design. 2 nd, STP-497, 1972, p. 363—381.
241.	Ficher L. How to predict structural behaviour of R. P. laminates.— Mo-
dern Plastics, 1960, v. 37, N 10, p. 120, 122, 127—128, 208-209.
162
242.	Gase J. W., Robinson J. D. Parallel class — Fiber — Reinforced Plastics.—
Modern Plastics, 1965, v. 32, N 7, p. Ill—114.
243.	Granoff B,, Pierson H. 0., Schuster D. M. Carbon-felt, carbon-matrix com-
posites: Dependence of thermal and mechanical properties on fiber volu-
me percent.— J. Compos. Mater., 1973, v. 7, N 1, p. 36—52.
244.	Greenwood J. H. German work on grp design.— Composites, 1977, v. 8,
N 3, p. 175—184.
245.	Harris B. The strength of fibre composites.— Composites, 1972, v. 3, N 4,
p. 152-167.
246.	Hashin Z. Failure criteria For unidirectional fiber composites.— Trans.
ASME J. Appl. Meeh., 1980, v. 47, N 2, p. 329-334.
247.	Kardos G. Stress concentrations in composite materials.— Spec. Publ./US
Dept Commerce Nat Bur. Stand., 1977, N 487, p. 121—134.
248,	Menges G.. Kleinholz R. Vergleich verscliiedcimr Verfahren zum Bestim-
men der interlaminaren Scherfestigkeit— Kunststoffe, 1969, N 12, S. 959-»
966.
249,	Mises R. Mechanik der plastischcn Formanderung von Kristallen.—Zeit-
schrift fiir angw. Math, und Meeh., 1928, Bd 8, H. 3.
250.	Mullin J. V., Knocll A. C. Basic Concepts in Composite Beam Testing.-*
Materials research and standards, 1970, N 19, p, 16—20, 33.
251.	Naraynaswami R., Adelman IL M. Evaluation of the tensor polynomial
and Hoffman strength theories for composite materials.—J. Compos. Ma-
ter., 1977, v. 11, p. 366—377.
252.	Nemirovsky Yu. V. On bending and vibration of reinforced and birein-
forced elastic and viscoelastic shells.— ZAMM, 1972, Bd 52, S. T327 — T331.
253.	Nemirovsky Yu. V., Resnikoff B. S. On limit equilibrium of reinforced
circular slabs and effectiveness of their reinforcement.— Archiwum inzy-
nierii ladowej, 1975, T. XXI, N 1, c. 57—67.
254.	Pagano N. J., Wang A. S. D. Further study of composite laminates under
cylindrical bending.—J, Compos. Mater., 1971, v. 5, p. 521—528.
255.	Peters P. W. M. The interlaminar shear strength of unidirectional boron-
aluminium composites.—J. Compos. Mater., 1978, v. 12, p. 53—62.
256.	Rabotnov Yu. N., Polilov A. N. Strength criteria for fiberreinforced plas-
tics.— In: Composite Materials: Rep. of the 1-st So v-Japan. Sympos. on
composite materials. Moscow, 1979, p. 375—384.
257.	Sagers К. H., Harris B. Interlaminar shear strength of a carbon fibre
reinforced composite material under impact conditions.—J. Compos. Ma-
ter., 1973, V. 7, p. 129—132.
258.	Tauchert T. R., Hemp W. S. Optimum plastic design of a variable thick-
ness orthotropic plate under in-plane loading.—Engng. Optim., 1979,
v. 4, N 1, p. 298-312.
259.	TimoshenKO S. P. On the corrections for shear of the differential equa-
tions for transverse vibrations of prismatic bars.—The collected papers
of Stephen P. Timoshenko, 1953, p. 288—290.
260.	Trost A., Schlimmer M. Fliessbedingung anisotroper, plastisch kompres-
sibler Werkstoffe mit Anwendung auf Plastoniere.— Meeh. Res. Com-
mons,, 1975, v. 2, N 4, p. 165-169.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................... 3
Глава 1
Общие соотношения
§ 1.	Основные кинематические гипотезы и соотношения .	7
§ 2.	Физические соотношения.................................  12
§ 3.	Общие уравнения равновесия армированных оболочек ...	17
§ 4.	Критерии кратковременной и длительной прочности композит’
пых материалов..............................................  23
5 5.	Влияние структуры армирования на предельное состояние ком-
позитно! о материала........................................./31
§ б.	Математическая формулировка критериев разрушения для кон-
струкций из армированных материалов...........................40
§ 7.	Постановка задачи рационального проектирования конструкций
из армированных материалов...............................  .	46
Глава 2
Разрушение криволинейных стержней
и цилиндрических панелей
из армированных материалов при изгибе
§ 8.	Уравнения изгиба и граничные условия криволинейных арми-
рованных стержней и удлиненных панелей ....	49
§ 9.	Напряженно-деформированное состояние армированных балок и
удлиненных пластин............................................54
$ 10.	Начальное разрушение армированных балок при однопараметри-
ческом нагружении. Сравнение с экспериментальными дан-
ными .........................................................64
§11.	Разрушение армированных балок и удлиненных пластин при
ч многопараметрическом внешнем воздействии ....	70
§ 12.	Напряженно-деформированное состояние армированных круго-
вых колец, сегментов и длинных цилиндрических панелей 73
$ 13.	Анализ начального разрушения армированных колец при одно-
параметрическом натружонии. Сравнение с эксперименталь-
ными результатами.............................................83
§ 14.	Разрушение армированных колец и цилиндрических панелей
при мноюпараметрическом внешнем воздействии ...	87
Глава 3
Начальное разрушение ортотропных пластин
с отверстиями при нагружении в плоскости
§	15.	Основные соотношения плоской	теории	упругости анизотроп-
ных тел	89
§	16.	Разрушение прямолинейно-анизотропных	пластин	с вырезами	92
§ 17.	Исследование начального разрушения кольцевых пластин с ци-
линдрической анизотропией...............................104
164
Глава 4
Предельное состояние армированных пластин при изгибе
§ 18.	Основные уравнения изгиба анизотропных пластин .	. '	108
§ 19.	Разрушение изгибаемых ортотропных прямоугольных пластин
с ослабленным сопротивлением поперечным сдвигам .	. lllf
§ 20.	Исследование начального разрушения ортотропных прямоуголь-
ных пластин при гипотезах Кирхгофа — Лява ....	117
§ 21.	Начальное разрушение при изгибе и рациональное проектиро-
вание по условиям прочности кольцевых пластин, обладаю-
щих цилиндрической анизотропией .	...............120
Глава 5
Прочность армированных осесимметричных оболочек
при термосиловом внешнем воздействии
§ 22.	Разрешающие системы уравнений изгиба осесимметричных обо-
лочек ........................................................131
§ 23.	Напряженно-деформированное состояние цилиндрических обо-
лочек ........................................................134
§ 24.	Начальное разрушение и рациональное проектирование цилинд-
рических оболочек.............................................143
§ 25.	Длительная прочность осесимметричных оболочек ...» 149
Литература  ..................................................152
Юрий Владимирович Немировский
Борис Самуилович Резников
ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Утверждено к печати
Институтом теоретической и прикладной механики
СО АН СССР
Редактор издательства Л. Л. Голышева
Художественный редактор Т. Ф. Каманина
Художник В, И. Шумаков
Технический редактор С А. Смородинова
Корректоры А. А. Надточий, Е. В. Золина
ИБ № 30093
Сдано в набор 06 11 85. Подписано в печать 01.07,86. МН-01038. Фор-
мат 60X90716. Бумага типографская № 2. Обыкновенная гарнитура. Вы-
сокая печать. Усл. печ. л. 10,5. Усл. кр.-отт. 10,8. Уч.-изд. 12. Ти-
раж 2500 экз. Заказ № 985. Цена 1 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука», Сибир-
ское отделение. 630099, Новосибирск, 99, Советская, 18.
4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Ста-
ниславского, 25.