ЗНАНИЕ
НАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ £
ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ £
_____л _. Ю.В.ПУХНАЧЕВ
УЧИСЬ ю.п.попов
ПРИМЕНЯТЬ
МАТ
>?*$Ш

НАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Естественнонаучный факультет
Издается с 1961 г.
Ю. В. Пухначев
Ю. П. Попов
УЧИСЬ ПРИМЕНЯТЬ
МАТЕМАТИКУ
(МАТЕМАТИКА
БЕЗ ФОРМУЛ)
Выпуск 1
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ЗНАНИЕ»
Москва
1977

Пухначев Ю. В. и Попов Ю. П.
П58 Учись применять математику.
(Математика без формул). Выпуск 1. М., «Знание», 1977 г.
144 с* (Народный университет! Естественнонаучный
факультет).
Авторы книги в интересной и популярной форме разбирают
основные математические понятия: последовательность, ряд,
функцию и т. д.
Книга будет полезна самому широкому кругу специалистов,
стремящихся применять математику в своей практической
деятельности, а также может служить пособием для слушателей
народных университетов,
20201-080
" 073(02) - 77 9377
© Издательство «Знание», 1977 г.,

ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ —
ДИАЛОГ АВТОРОВ
— Математика без формул? Не
перехватили ли мы? Ведь это что-то вроде географии без карт или
оперы без музыки!
— Что ж, опера без музыки в самом деле ничто. А
что касается карт... Разве в них соль географии? Когда
ты смотришь видовой фильм, слушаешь бывалогст
путешественника или путешествуешь сам — разве ты не
пополняешь свои географические познания? К тому же все
это гораздо глубже воспринимается и гораздо
интереснее, чем карты. Хотя, конечно, те подают информацию в
предельно отчетливом, концентрированном виде. Так же
и формулы. При всей их четкости и емкости — не в них
душа математики.
— Ну-ка, ну-ка, в чем же она, эта загадочная душа
математики?
— Не знаю, убедят ли тебя мои собственные слова —
как говорится, нет пророка в отечестве своем. Поэтому
позволь спрятаться за авторитеты. «В математических
работах... главное — содержание, идеи, понятия, а затем
для их выражения у математиков существует свой
язык — это формулы». Заметь: первично содержание,
идеи, понятия, а форма, формулы — вторично.
— Кто это сказал?
— Софья Ковалевская.
— Ну, хорошо. Формулы — не душа математики. Но
все-таки язык! Родной язык! Тебе приходилось
когда-нибудь читать японские стихи?
— В переводе.
— Вот-вот! В переводе, где короткие слова
оригинала приходится заменять многосложными. И —
улетучилось своеобразное очарование японской поэзии!
3

Ощутить его можно, лишь изучив японский язык и читая
стихи в подлиннике.
— Да, но все мы живем в условиях постоянного
цейтнота. Прежде чем начинать какое-то дело, нужно
знать, ради чего оно предпринимается, видеть конечную
цель. Я возьмусь за изучение японского языка лишь
после того, как мне расскажут о неповторимых
прелестях японской поэзии на моем родном языке. Но если
вместо этого мне дадут свиток с иероглифами...
Математические формулы для непосвященного — те же
иероглифы. Да и все остальное для него не понятнее
иероглифов. Этот жаргон, эти бесконечные «геслй„. то... для
любого... существует... вообще говоря... по крайней мере...»
— Ну, уж тут позволь с тобой не согласиться. Есть
хороший анекдот на эту тему—не возражаешь?
' — Давай.
— Рихард Дедекинд, как ты знаешь, умер глубоким
стариком, через много лет после тога, как написал свои
классические труды. А о классиках принято думать, что
жили они в давно прошедшие времена. Короче говоря,
где-то в начале нашего века Дедекинд раскрыл какой-то
календарь к прочел там: «Рихард Дедекинд» Умер в
Брауншвейге 4 сентября 1899 года»» Дедекинд написал
тогда издателю календаря: «Глубокоуважаемый
коллега!.. Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в
дате моей смерти неверен по крайней мере год>. Так и
чувствуется рука математика! А в этом самом «по
крайней мере» заключено все остроумие ответа. Так чта
строгость и занимательность — вещи вполне совместимые,
можешь меня не разубеждать*
— Не приведи господи! Ведь именно об этом я тебе и
толкую! Анекдоты и приметы, пословицы и детские
считалки, картины великих художников и отрывки из
классических произведений, факты истории в нашей
повседневной жизни — вот где нужно искать иллюстрации
математическим понятиям! И они не могут не найтись.
Разве древо математики поднялось бы до таких высот,
если бы не уходило корнями в глубины
общечеловеческой практики?
'— Ив таком духе ты намереваешься изложить всю
математику и притом совершенно серого?
— Зачем всю? И зачем совершенно строго? Наша
книга не должна быть учебником. Важны основные идеи
и понятия. И если читатель войдет во вкус — он потом
4

возьмется и за учебники, за формулы и строгие
доказательства, «Подобно тому, как рою бесчисленных пчел,
поражающему наперебой своими жалами, не удается
отогнать упивающегося медведя, если он хоть немного
вкусил приятность скрытого в дереве меда, так нет,
разумеется, никого, кто, хоть краем губ постигнув сладость
математических доказательств {какая бы масса
величайших трудностей, которыми эти доказательства
сопровождаются, ни отталкивала его, точно частыми уколами
жал), не стремился бы всеми силами освоить их вполне,
до полного насыщения». Это сказал Бонавентура Ка-
вальери в своем трактате «Геометрия»,
— Ну и что же за книга у нас получится? Если не
учебник — то что? Что-то вроде «Кабаре математики»
Графа? «Математической смеси» Литтлвуда?
Развлекательное чтиво?
— Не учебник и не чтиво. Я попытался бы определить
ее дух иносказательно. Представь себе поток, на одном
берегу которого стоит жаждущий, но не сведущий, а на
другом раскинулись райские сады математики. Книги о
математике — словно камни в потоке, по которым
можно переправиться на ту сторону, К берегу незнания
примыкает россыпь анекдотов. У другого берега теснятся
глыбы учебников. А в промежутке — не так уж много
для уверенной переправы. Трехтомник «Математика, ее
содержание, методы и значение» А. Д. Александрова,
А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева и других. «Что
такое математика?» Р. Куранта и Г. Роббинса. «Что
такое математика?» Л. Геффтера. «Прелюдия к
математике» и «Путь в современную математику» У. У. Сойе-
ра... Где-то здесь мы и должны положить свой камешек.
— Книгу полусерьезную-полушутливую, как я понял.
Этакий гибрид теоремы и побасенки, А форма книги?
— Есть стиль, на мой взгляд, отлично
соответствующий ее содержанию. Фрагменты, связанные друг с
другом не словесными переходами, но одною лишь логикой
предмета.
— Догадываюсь: Шкловский, «Ни дня без строчки»
Олеши, поздний Катаев...
— Ты думаешь, что такой* стиль — изобретение
нашего века? Так еще в конце десятого столетия писала
свои «Записки у изголовья» Сэй-Сенагон, фрейлина
японской императрицы Садако. Вечером, после дня,
проведенного во дворце, из ящичка под изголовьем выни-
5

мала она свою тетрадку и заносила туда несколько
строк — бытовую сценку или картину природы, давнее
воспоминание или наблюдение только что прошедшего
дня... Ее зарисовки лаконичны ив то же время
детальны, поэтичны и в то же время глубокомысленны, часто
проникнуты усмешкой... Вот бы и нам показать в таких
картинах важнейшие области математики!
— Итак, нечто вроде путеводителя по
математике?
— А почему бы и нет? Когда ты едешь в незнакомый
тебе город и предвкушаешь его красоты, ты берешься
не за фолианты по его архитектуре. В таких томах ты
рискуешь споткнуться о фразы типа: «Рустованный
периптер фланкируется лучковыми сандриками» — или
как там еще. От такого чтения первое свидание с
городом наверняка будет испорчено. А интересный
путеводитель, хороший гид расскажут тебе то же самое понятным
тебе языком, да еще приведут старинную легенду или
отрывок из поэмы, навеянной образом этого города. И
если все услышанное тобою заронит в твою душу
чувство любви к замечательному городу, это заставит тебя
взяться потом и за серьезные книги о нем, перечитать
все те скучные фолианты, которые иначе только
отвратили бы тебя от него.
— Решено. Так в путь же — и пригласим с собою
читателя!
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, РЯДЫ
Мы в тире. С огневого рубежа стрелки
посылают пулю за пулей — каждый в свою мишень.
Следя за тем, как мишени покрываются пробоинами^
нетрудно^ отличить меткого стрелка от неопытного.
Мастера заметишь сразу, даже если ему досталась непри-
стрелянная винтовка. Пусть несколько первых
выстрелов будут неудачными. Начиная с некоторой, пробоины
уже не выйдут за границы белого круга мишени.
Следите дальше и вы дождетесь выстрела, после которого
пробоины не выйдут и за границы яблочка. Вот уже все без
исключения они ложатся внутрь шестерки... внутрь
семерки... восьмерки., девятки... (рис. слева на стр. 7).
А как успехи у соседнего стрелка? Там все наоборот.
6

Сколько ни наблюдай, он то и дело посылает пули в
молоко (рис. справа). Ясно —оружие в неопытных руках.
Если бы соревнования по стрельбе комментировал
математик, то он, пожалуй, нашел бы здесь удачные
образы для разговора о последовательностях, пределах,
сходимости.
Каждую пробоину он, разумеется, мыслил бы не как
рваное пятно, а как точку. Сужающиеся крупг мишени
в его представлении не закончились бы на десятке:
изучая ход соревнований, он располагал бы внутри нее еще
меньшие, неограниченно сужающиеся круги. Математик
повел бы строгий счет выстрелам, и каждую пробоину
отмечал бы своим номером. Перенумерованные
элементы множества пробоин математик назвал бы членами
последовательности. Впрочем, этот термин математик
употребил бы лишь после того, как убедился, что
соревнования будут продолжаться неограниченно долго.
Последовательностью,— подчеркнул бы математик,—
называется бесконечное множество перенумерованных
элементов. Последовательность считается заданной, если
известен аакон ее образования, то есть правило, согласно
которому по любому названному номеру можно указать
член последовательности с таким номером.
Удовлетворив таким образом профессиональную тягу
к строгости, математик приступил бы к наблюдениям за
ходом соревнований.
Наблюдая за опытным стрелком, математик отметил
бы: какой малый круг ни возьми, начиная с некоторого
выстрела, все последующие пробоины ложатся внутрь
этого круга. Это значит, сказал бы математик, что
последовательность пробоин стремится или сходится к центру
7

мишени, что центр мишени есть предел
последовательности пробоин.
Наблюдая за неопытным стрелком, математик
очертил бы вокруг центра мишени круг некоторого радиуса,
такой, что какой номер ни загадай, найдется пробоина с
большим номером, лежащая за пределами этого
рокового круга. Это значит, сказал бы математик, что
последовательность пробоин не стремится, не сходится к
центру круга.
•
Снова тир.
Мишени сняты со щитов и положены на стол. Но
положены обратной стороною вверх. Каждая пробоина
аккуратно отмечена своим номером. Можно ли теперь
отличить мишень опытного стрелка от мишени неопытного?
Можно ли определить, сходится ли последовательность
пробоин к некоторому пределу или, напротив, не
сходится ни к какому, иначе говоря, расходится? Существует
ли безошибочный критерий сходимости?
Да, существует. Он называется критерием Коши, по
имени математика, указавшего его впервые. И это
действительно безошибочный критерий. Он выполняется,
если последовательность сходится. Он не выполняется,
если последовательность расходится.
£° [ I
[ ?
з* \ I '
#J t I
/J« [ I 6 3
sifhtf -6 #
to* ■ [ I
7- [
I «
I * 7
I I *
? ?
Критерий Коши прост. Загадайте любое расстояние.
Теперь постарайтесь подыскать такой номер, чтобы
расстояние между любыми двумя пробоинами с большими
номерами было бы меньше загаданного. Если вам это
будет удаваться всегда, какое малое расстояние вы ни
загадаете, это и означает, что последовательность удов-
21
8

летворяет критерию Копта. А раз удовлетворяет, то,
стало быть, сходится к некоторому пределу.
Но каков же он, этот предел? Спрашивать так —
значит требовать от критерия Коши больше, чем он может
дать. Он безошибочно подтверждает существование
предела — и только. Что это за предел, надо еще
поискать. Однако уверенность, что искомое существует,
часто облегчает поиск.
Заметим, что последовательность, удовлетворяющая
критерию Коши, называется фундаментальной.
А можно ли с помощью замечательного критерия
опознать расходящуюся последовательность?
Да, можно.
Внимательный читатель наверняка уже. заметил
сходство между формулировкой критерия Коши и
определением предела. По сходству, по аналогии с отрицанием
сходимости можно построить предписание, которое
позволило бы безошибочно уличить в расходимости
расходящуюся последовательность.
Здесь тоже нужно подыскать некоторое контрольное
расстояние, такое, что какой номер ни загадывай, всегда
найдутся две пробоины с большими номерами,
удаленные друг от друга на расстояние, больше контрольного.
Такая последовательность не фундаментальна, стало
быть, она не сходится ни к какому пределу, иначе
говоря, расходится.
#
Заряд электрона, постоянная Планка, число Авогад-
ро... Есть несколько физических величин, за которыми
наука закрепила звание мировых констант. Это
коэффициенты, входящие в формулы важнейших физических
законов.
Постоянная Планка,
например, служит коэффи- f ^—^ч
циентом пропорциональ- ^iv---*?»*' ^ \
ности между энергией 1»»» | ^(j^ i
кванта излучения и часто- ^' \ ^л**" /
« J о i V солнце У
той соответствующей ему * 4^-j^
волны. Число Авогадро не- f ,<*—>чч
обходимо, чтобы количе- *^* /- ^^ ^$ш
ственно выразить связь ШШ^вшп» i 40k *
между температурой, дав- ч-к' \ $$£ J
лением и объемом иде- * ч^—-"'
ального газа.
9

Чтобы пользоваться физическими законами, чтобы
рассчитывать описываемые ими явления, нужно
поточнее знать мировые константы. А определить их можно
только из опыта, путем измерения.
Одна из таких мировых констант — скорость света.
Впервые ее попытался измерить в 1675 году датский
астроном Ремер. Наблюдая затмения самого яркого из
спутников Юпитера, Ио, он заметил, что когда Земля и
Юпитер находятся по разные стороны от Солнца,
затмение наступает позже по сравнению с тем случаем, когда
Земля и Юпитер находятся по одну сторону от светила.
Опоздание, решил Ремер, обусловлено большим
расстоянием, которое в первом случае свет проходит от
Юпитера до Земли. Несложный расчет дал первую в истории
науки оценку для скорости света: 226 000 км/с.
Последующие исследователи уточняли оценку. В 1849
году Физо, пропуская луч между зубцами быстро
вращающейся шестерни, получил цифру 313 274,304 км/с.
Спустя четверть века Корню, используя тот же метод,
дал новую цифру: 298 400± 1000 км/с.
Напрашивается недоуменный вопрос: метод тот же,
а результат грубее — стоит ли упоминать о нем?
В результате Корню внимания заслуживают не
цифры, а знак «плюс-минус». Он напоминает, что каждый
измерительный метод имеет свою погрешность (Физо
явно не учитывал этого, выписывая один знак своего
результата за другим). Истинное значение измеряемой
величины лежит в пределах этой погрешности. Истинное
значение скорости света отличается от результата
Корню не более чем на 1000 км/с. А сказать вернее —
результат Корню отклоняется от истины не более чем на
1000 км/с.
Последующие исследователи старались
гарантировать все меньшее отклонение. Добавка «плюс-минус»
сократилась до сотен, десятков, до нескольких
километров в секунду, а там счет пошел уже на метры в
секунду...
(Попутно выяснилось, что Корню, правильно
поставив вопрос об ошибках измерений, переоценил
возможности использованного им метода и в своем результате
указал погрешность, примерно в полтора раза меньшую
истинной).
Перефразируя эту физическую историю на
математический лад, можно сказать, что для любой малой погреш-
Ю

1 ~Г s .
1—-J=l rf
T
n:
Мшвяьсон, W26i
2№96±Чкм/сек
Мак-Ниш, W6Z\.
Sffff79ZS±(jZStaf/cgK
Симкин,1967'.
2997Щ5±№цШ
ности находился исследователь, начиная с которого все
последующие результаты отклонялись от истинного
значения скорости света не более чем на эту погрешность.
Исследования продолжаются, растет точность
измерений. Последовательность результатов стремится,
сходится к величине скорости света.
Как по-честному разделить конфету между
приятелями-мальчишками? Конечно, как в песне: тебе
половина — и мне половина.
И обладатель конфеты делит ее ровно на две части,
чтобы поделиться с товарищем. Полученную долю тот
тоже делит ровно пополам, чтобы поделиться со своим
приятелем. Тот — со своим. Тот—со своим... Все по-
честному: тебе половина — и мне половина.
Без кропотливых измерений и расчетов таким
способом можно разделить конфету на сколько угодно частей.
Нехорошо только, что доли получаются неравные.
Величина очередной порции при таком делении неуклонно
уменьшается до нуля: пол конфеты, четверть конфеты,
восьмая часть, шестнадцатая... И какую величину ни
загадай, начиная с некоторой порции, все последующие
будут меньше загаданной величины.
Одна восьмая, одна шестнадцатая, одна тридцать
вторая, одна шестьдесят четвертая... От долей конфеты
мы незаметно перешли к числам. Это нам на руку.
Последовательное деление конфеты пополам неизбежно
поставило бы нас когда-нибудь (и очень даже скоро, где-то
на сороковом шагу) перед проблемой расщепления
атомного ядра. А число можно делить без конца, благо
принцип известен: начиная с первого числа, равного
noil

ловине, каждое последующее получается из
предыдущего делением на два. Сказанное дает нам право назвать
образующуюся при этом цепочку чисел
последовательностью.
Ценитель наглядности, вероятно, посетует, что с
переходом от конфет к абстрактным числам наши
построения перестали быть осязаемыми. Что ж, их легко сделать
вримыми. Начертим прямую, на ней возьмем две точки и
отметим их числами: левую —нулем, правую —-
единицей. Размеченная таким образом прямая именуется
числовой: любое число изображается точкою на ней.
Середина отрезка между цулем и единицей представит собою
половину, точка, вдвое близкая к нулю,— четверть... Так,
один за другим на числовой прямой можно отметить и
дальнейшие члены последовательности.
-1 I, if * /
1 ■ II Ц к—t »
И тогда воочию станет ясно, что, подобно своему
кондитерскому прообразу, наша последовательность
сходится к нулю, имеет нуль своим пределом.
Любитель строгости, пожалуй, потребует выразить
этот факт в математической формулировке. Мы сделаем
это, не порывая с графическим образом нашей
последовательности.
Ее стремление к нулю означает (следите за числовой
прямой!), что для любой сколь угодно узкой окрестности
нуля (ее ширина обозначена традиционной в таких
случаях греческой буквой «эпсилон») найдется такой номер,
что все члены последовательности с большими номерами
будут находиться в этой окрестности.
В каком порядке они будут там располагаться —
существенной роли не играет. Все они могут лежать по
одну сторону от предельной точки (в нашем примере —»
от нуля), могут не совпадать с нею (как в нашем
примере). Могут и совпадать. Могут лежать и справа и слева
от предельной точки. Иногда какой-то член
последовательности может оказаться дальше от предельной точки,
нежели предыдущий. Определение сходимости оставляет
без внимания эти детали. Ни одна из них сама по себе не
угрожает сходимости и недостаточна для того, чтобы
обвинять последовательность в расходимости.
12

По подозрению в том, что последовательность не
сходится к какой-то точке, лучше всего обращаться к
строгой формулировке этого факта* Вот она:
последовательность не сходится к данной точке, если существует
некоторая ее окрестность, такая, что для любого номера
найдется член последовательности с большим номером,
находящийся вне этой окрестности*
Существует ли предел спортивных возможностей
человека?
Оспаривать их ограниченность не станет никто. Но
вместе с тем мы знаем, что вечных рекордов йе бывает.
Еще недавно мечтой спринтеров было пробежать сто
метров за десять секунд—и вот заветный рубеж уже
преодолен. И в то же время нельзя всерьез утверждать,
что какой-нибудь будущий рекордсмен пробежит
стометровку за время, меньшее двух или одной секунды...
Разобраться в этом запутанном вопросе на первый
взгляд нелегко. А между тем, ставя его, мы употребили
несколько слов, которые помогут нам внести в
каверзную проблему поистине математическую ясность.
Это прежде всего слово «предел». Надежным
основанием наших дальнейших рассуждений послужит теория
последовательностей. Мы будем рассматривать
рекордные результаты в беге на сто метров как члены
некоторой последовательности.
Это, во-вторых, слово «меньше». Члены нашей
последовательности — числа, их можно сравнивать по
величине.
Это, в-третьих, слово «ограниченность». Утверждая,
что никто не сможет пробежать стометровку быстрее,
чем, скажем, аа две секунды, мы заявили, что члены
нашей числовой последовательности ограничены снизу, что
существует число, меньшее любого члена нашей
последовательности.
Это, в-четвертых, слово «рекорд». Рекорд считается
таковым лишь в том случае, когда он превосходит
предыдущее достижение. Очередной рекордный результат
в беге на сто метров должен быть меньше прежнего.
В этом выражается существенная особенность нашей
последовательности: математик назвал бы ее монотонно
убывающей, имея под этим в виду, что каждый
последующий ее член меньше предыдущего.
13

Вот теперь все готово для решающего утверждения.
В теории последовательностей есть теорема: всякая
монотонно убывающая и ограниченная снизу числовая
последовательность имеет предел.
Это значит, что на шкале результатов в беге на сто
метров есть отметка, к которой стремится
последовательность рекордных достижений. Какую малую
окрестность этой отметки ни взять, все члены
последовательности, начиная с некоторого, будут лежать в этой
окрестности. Заметим, что это вовсе не противоречит
утверждению о том, что вечных рекордов не бывает. Ведь
последовательность рекордов может стремиться к своему
пределу, не достигая его, наподобие «конфетной»
последовательности из предыдущего раздела. Если нынешний
рекорд отличается от предела на десятую долю секунды,
то следующий может отличаться на пять сотых,
следующий за ним — на одну сотую, следующий — на пять
тысячных... и каждый очередной результат будет рекордом,
поскольку он меньше предыдущего. Нужно только
замерять время с точностью до все более мелких долей
секунды.
В заключение напомним, что в своих рассуждениях
мы основывались на теореме о существовании предела
для всякой монотонно убывающей и ограниченной снизу
числовой последовательности. Есть также теорема о том,
что предел имеет всякая монотонно возрастающая и
ограниченная сверху последовательность. Эту теорему мы
применили бы, если бы подвергли математическому
разбору, например, рекорды штангистов.
Когда расшифровывались древневавилонские тексты,
ученые отметили любопытный факт: терминология и
обозначения тогдашних математиков изобиловали словами
шумерского языка, к тому времени давно уже умершего.
Подобное наблюдается и
сегодня. Раскройте любой
труд по математике и вы
увидите, как насыщен
современный математический
лексикон заимствованиями из
^мертвых языков —
латинского, древнегреческого. Такие термины хороши тем, что
содержат лишь заложенное в них определениями и не вы-
14

зывают нежелательных ассоциаций, чего можно было бы
опасаться, будь они взяты из разговорной речи.
Произнося слово «постоянная», математик напишет
«const», да и прочтет это сокращение, возможно, тоже по
латыни: «константа», что значит в переводе
«постоянная». Действительную часть комплексного числа он
отметит буквами Re — начальными буквами латинского
слова «realis» — «действительный», а обозначая предел,
сократит до трех букв латинское слово «limes».
•
«Теперь сходитесь».
Хладнокровно,
Еще не целя, два врага
Походкой твердой, тихо, ровно
Четыре перешли шага,
Четыре смертные ступени.
Свой пистолет тогда Евгений,
Не преставая наступать,
Стал первый тихо подымать.
Вот пять шагов еще ступили,
И Ленский, жмуря левый глаз,
Стал тоже целить...
Не пугайтесь, ради бога, не пугайтесь, читатель!
Роковой выстрел, сразивший Ленского, не прозвучит на
этой странице. Эти пушкинские строки, этот отрывок из
«Евгения Онегина» мы привели исключительно как
повод для разговора о том, какое важное значение для
математики имеет понятие предела.
Ааоо
Перед вами несколько окружностей. Как граненый
ствол старинного дуэльного пистолета охватывает
черный кружок дула, так каждую из этих окружностей
охватывает описанный правильный многоугольник.
Внутри каждой окружности— правильный вписанный
многоугольник с тем же числом сторон.
Прослеживая этот ряд слева направо, вы видите, что
число сторон у многоугольников растет: три, четыре,
пять, шесть../
15

Посмотрим, что происходит при этом с лериметрами
вписанных и описанных фигур. Если отложить их на
числовой прямой, засечки будут сходиться, как дуэлянты.
Ъ, Р* Kb Q» Qi Я* ft , |
1 дй 6R 7R 88 & Ш tm\
I Рп-пбриметв вписанного п-угтьнша ^„•^-перамвтр оаисаннаво п-увтника 1
Но можно ли понимать эту сходимость в том же
строгом смысле, в каком мы гоборим о сходимости
последовательностей? Существует ли предел, к которому
стремится последовательность периметров, скажем,
вписанных многоугольников? А описанных?
Оказывается, и тот и другой предел существует.
Возьмем периметры описанных фигур, Их
последовательность монотонно убывает. К тому же она ограничена
снизу — например, периметром любого из вписанных
многоугольников, хотя бы квадрата. Значит, эта
последовательность имеет предел. Сходится и
последовательность вписанных фигур: ведь она монотонно возрастает
и ограничена сверху — хотя бы лериметром описанного
квадрата.
Ре PsPw QvQw Qe Qe
1# m iih| m» < • * 1-
BR ZJTR 7Й
Но что это? Последовательности, разговор о которых
мы начали с описания дуэли на пистолетах, сходятся»
словно противники, решившие схватиться врукопашную.
Похоже, что они сходятся к одному пределу.
Мельчась в изломах своих сторон, описанные
многоугольники все плотнее облегают окружность, все теснее
прижимаются к ней вписанные. Периметры тех и других
можно рассматривать как все более точные
приближения длины окружности, а общий предел периметров —
как точное значение этой длины.
Замечательно, что с помощью той же процедуры
определяется длина других кривых: с этой целью
исследуется, как ведут себя длины ломаных, вписанных в кривую,
звенья которых укорачиваются неограниченно,
стремятся к нулю.
Уже этот пример показывает, какое важное значение
для математики имеет понятие предела.
J6

Когда требуется определить некоторую величину,
сначала можно оценить ее приближенно, затем
рассмотреть еще ряд приближений все более точных, а потом,
исследуя уже сам процесс приближения, найти искомую
величину как предел последовательности ее
приближенных, все более уточняющихся оценок.
Определить искомую величину другим из известных
способов часто оказывается делом значительно более
трудным или попросту невозможным. Например, не
известен другой способ определить длину кривой линии,
кроме только что изложенного.
•
Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в
день рождения сына отец подводит ребенка к дверному
косяку и торжественно отмечает на нем рост
именинника.
Ребенок растет, и на косяке с годами возникает целая
лесенка отметок.
Отец и сын с любопытством рассматривают ее. «В
этом году я вырос всего на два сантиметра»,— вздыхает
сын. «Мало каши ел! Ну, ничего, зато в прошлом году —
на пять,—утешает его отед. Да и в позапрошлом
ничего — целых три прибавил».
Три, пять, два... Такова последовательность
приростов от года к году. Но есть и другая
последовательность, и именно ее члены аккуратно выписываются
рядом с засечками. Это — последовательность значений
роста.
Две последовательности связаны друг с другом.
Вторая получается из первой сложением. Рост — это сумма
приростов за все предыдущие годы.
Чтобы отличить вторую последовательность от
первой, необходимо ввеати новые термины. Когда члены
17

последовательности предполагается суммировать, их
называют членами ряда. Сумма нескольких первых членов
ряда называется его частичной суммой. Кстати, все
члены нашего ряда —числа (три, пять, два...). Такие ряды
называются числовыми.
С годами мальчик становится юношей, юноша —
мужчиной. Отметки на дверном косяке сближаются, и с
некоторого времени их перестают ставить. Не потому,
что обычай забыт, а потому, что пропадает интерес:
отметки сливаются, ложась во все более тесную
окрестность предельного роста.
Математик сказал бы, что последовательность
значений роста, отмеченных на дверном косяке, имеет предел.
Или сказал бы так: ряд сходится. А поскольку значения
роста представляют собою частичные суммы ряда,
математик мог бы попутно высказать такое определение: ряд
называется сходящимся, если последовательность его
частичных сумм имеет предел; этот предел и
называется суммой ряда. Если же у последовательности
частичных сумм нет предела, то ряд называется
расходящимся.
Итак, последовательность значений роста сходится. А
что можно сказать про последовательность приростов от
года к году?
Понятно, что члены этой последовательности
убывают, стремясь к нулю. Будь иначе, человек рос бы
неограниченно. Убывание членов ряда необходимо для его
сходимости.
Необходимо, но недостаточно.
Как вы думаете, что было бы, если бы ребенок за
первый год вырос на дециметр, за второй — на
полдециметра, за третий — на треть, за четвертый — на четверть
и так далее? До какого роста вырос бы сын?
, Опираясь на утверждения соответствующего раздела
математики, мы со всей ответственностью заявляем, что
такой ребенок со временем перерос бы любую наперед
заданную гору.
Убывания слагаемых еще недостаточно для
сходимости ряда. Они должны убывать достаточно быстро.
Насколько быстро — об этом говорят признаки
сходимости рядов.
Свои незаурядные математические способности Гаусс
обнаружил в раннем детстве.
18

Ученикам класса, в котором он учился, учитель
однажды задал вопрос: «Сколько будет, если сложить все
целые числа от одного до двадцати?»
Не прошло и несколько минут, как Гаусс крикнул:
«Нашел —двести десять!»
«Как, тебе это удалось?» — спросил изумленный
учитель. И Гаусс рассказал о своей догадке: если сложить
первый член заданного ряда чисел с последним,
получится столько же, если сложить второй с предпоследним
или третий с третьим от конца^.. Иными словами, члены
ряда, равноотстоящие от его концов, в сумме всегда
дают одно и то же число — двадцать один. Всего таких
сумм — десять. Ответ на поставленную задачу теперь
получается перемножением двух этих чисел.
Мы поведали эту историю исключительно для того,
чтобы сказать, что ни о чем подобном мы больше
говорить не будем.
В школьной математике изучаются арифметические
прогрессии (то есть такие последовательности чисел,
в которых разность двух соседних равна постоянному
числу) и прогрессии геометрические (то есть такие
последовательности чисел, в которых отношение двух
соседних равно постоянному числу). Даются формулы,
позволяющие вычислить сумму конечного числа членов
той и другой прогрессии. Ничем подобным мы
заниматься не будем. В нашем рассказе не встретятся больше
слова «последний член», «конец ряда». Нас будут
интересовать бесконечные ряды.
Нельзя сказать, что наш рассказ при этом целиком
будет лежать за пределами школьной математики. Ведь
в ней тоже однажды встречается бесконечный ряд. Мы
имеем в виду бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию.
О ней-то мы и поговорим сейчас. Как повелось,
объясняться мы будем не на языке формул, а на языке
рисунков.
В равнобедренный треугольник вписан круг. В
пространство над ним — второй круг, касающийся первого
и боковых сторон треугольника. В пространство над
вторым кругом — третий. Так весь угол при вершине
треугольника заполняется последовательностью кружков все
меньшего радиуса. Их число не ограничено.
Если провести горизонталь между первыми двумя
кругами, она отсечет от треугольника ему подобный. За-
19

коны подобия подсказывают: диамегр второго кружка
так относится к диаметру первого, как диаметр третьего
к диаметру второго и так далее. Это постоянное
отношение меньше единицы. Диаметры кружков образуют
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
А теперь вопрос: что будет, если последовательно
складывать диаметры кругов? Чему равна сумма такого
бесконечного ряда?
Если вы забыли
школьную формулу для
суммы бесконечно
убывающей геометрической
прогрессии, не
огорчайтесь. В этом примере
можно обойтись без
формул. Нужно лишь
повернуть все круги так,
чтобы их диаметры
стали вертикальными.
Бесконечная сумма
оказывается равной вполне конечной величине — высоте
треугольника.
И вы снова убедитесь в том, что бесконечная сумма
членов некоторой последовательности может составлять
вполне конечную величину.
Нам показалось необходимым подчеркнуть это после
разговора о предельном росте человека. Тогда у
читателя, чего доброго, могло сложиться впечатление, будто
предел роста существует лишь потому, что с некоторого
возраста рост прекращается, приросты становятся
равными нулю. Теперь, в истории со вписанными кругами
ни один из суммируемых диаметров не равен нулю и тем
не менее частичные суммы их ряда стремятся к пределу.
Все дело в том, что члены ряда стремятся к нулю
достаточно быстро.
•
Ряды, рассматриваемые в математике, — это не
просто наборы наудачу взятых чисел. Члены ряда строятся
по определенному закону.
Вот так называемый гармонический ряд, описанный
нами на словах в истории с мальчиком-великаном:
1 + "§".+. X + Т" + - + Т "Ь •"
20
ОдТа

Мы уже знаем, что суммирование этого ряда не ведет
к конечному результату. Гармонический ряд расходится,
его частичные суммы нарастают безгранично.
А вот другой ряд, уже сходящийся. Его
суммирование дает знаменитое число е, столь же популярное в
математике, как и число п:
1 +~2\ + ЗГ+ТГ + •••+ 4 + - в е = 2,71828...
В той и другой строчке чисел обратите внимание на
слагаемое, огражденное отточиями. Это так называемый
общий член ряда. Он-то и служит выражением
закономерности, по которой строится ряд. Подставив вместо и
конкретное число, мы получим величину слагаемого с
таким номером. В первом случае для этого нужно
разделить единицу на номер слагаемого, во втором единица
делится на произведение всех целых чисел от единицы до
п (такое произведение и обозначается символом п\).
сткл суммирования
член ряда \ п ос
х^ая частите VJ ^^тЫшнт
1 * * сумми/тат ряда
Закономерность, по которой строится ряд,— залог
лаконичной его записи. Вместо длинной цепочки чисел
математик пишет выражение для общего члена ряда и
перед ним ставит заглавную греческую букву «сигма»,
обозначающую суммирование.
Если сверху и снизу к этой красивой букве
приписаны числа, это значит, что речь идет о частичной сумме
ряда. Приписки — это номера первого и последнего
слагаемого частичной суммы, так называемые пределы
суммирования — нижний и верхний.
Но если над знаком суммирования вы увидите
значок оо — не принимайте егоза поваленную набок
восьмерку. Бесконечность — вот как. читается этот условный
знак. Это не цифра, а символ, подразумевающий
предельный переход. Заменяя им верхний предел
суммирования, обозначают предел частичных сумм, к которому
они стремятся при неограниченном возрастании числа
21

слагаемых. Этот предел частичных сумм, как мы уже
знаем, и называют суммой ряда.
Наблюдательный читатель, конечно, припоминает,
что знак бесконечности уже встречался ему на
предыдущих страницах — в обозначении предела
последовательности. Там этот знак выражал неограниченное
возрастание индекса.
Это воспоминание дает нам повод еще раз
подчеркнуть: бесконечность — не число, ее знак —не цифра,
а символ, подразумевающий предельный переход. Об
этом следует помнить ввиду многочисленных
злоупотреблений словечком «бесконечность», чем нередко
грешат люди, знакомые с математикой лишь понаслышке.
Видали ли вы, как молодой неопытный- продавец
взвешивает — ну, например, полкилограмма сахарного
песку?
Два взмаха совком — и пакет с песком на весах.
Перебор. Стрелка ушла за семьсот граммов. Приходится
отсыпать. Совок вычерпывает из пакета добрую половину
содержимого, и пакет вновь на весах. На сей раз меньше,
чем нужно. Еще одно движение совком. Излишек всего
пятьдесят граммов. Снова песок сыплется из пакета в
ящик...
Порции песка, которые продавец досыпает и
отсыпает перед очередным взвешиванием, образуют
последовательность. Члены этой последовательности как
положительны (когда продавец добавляет песок), так и
отрицательны (когда, отсыпает). Своими действиями продавец
суммирует члены этой последовательности, и потому они
заслуживают звания членов ряда. А поскольку
постоянством знака они не отличаются^ ряд называется
знакопеременным. Частичные суммы этого ряда находятся в
пакете. Мало-помалу они стремятся к пределу,
названному покупателем.
Всегда ли существует такой предел? Ясно, что нет.
Смотрите, как продавец, свесив песок, принялся
отвешивать пряники. Стрелка весов зашла за нужную
отметку. Один пряник долой. Стрелка весов остановилась, не
доходя до нужной отметки. Пряник добавлен. Снова
перебор. Пряник снова снят. Опять недобор...
Взвешивание зашло в тупик. Пряник добавить,
пряник убавить... Поскольку члены ряда одинаковы по
абсолютной величине, частичные суммы колеблются от одно-
22

го постоянного значения к другому и ни к какому
пределу не стремятся.
Ряд не сойдется никогда, если не принять
специальных мер — не начать уменьшать его члены, не ломать
пряники на части.
Можно ломать, например, так: добавить половину
пряника, убавить одну треть, прибавить четверть, отнять
одну пятую...
Вы думаете, что произойдет та же история, что с
мальчиком-великаном? Нет, такой ряд будет сходиться.
На этот счет есть даже особая теорема. Но прежде чем
ее формулировать, отметим две важные особенности
нашего ряда.
Во-первых, обратите внимание, как меняются знаки
его членов: плюс — минус — плюс— минус... Такие ряды
называются знакочередующимися.
Во-вторых, заметьте, что по абсолютной величине
члены ряда монотонно убывают: половина, треть,
четверть...
После сказанного можно сформулировать теорему,
подходящую к случаю: знакочередующийся ряд, члены
которого монотонно убывают по абсолютной величине,
всегда сходится.
Конечно, не всякий знакопеременный ряд обладает
теми особенностями, которыми отличается описанное
нами взвешивание пряников. Сходимость
знакопеременных рядов — вопрос посложнее, нежели сходимость
знакопостоянных.
Один на три делится?
Первоклассник ответит на этот вопрос растерянным
«нет». Десятиклассник с важностью заявит, что делится
и частное представляет бесконечную десятичную
дробь — ноль целых и три в периоде. Если же с этим
вопросом вы обратитесь к человеку, который привык
смотреть на числа не с теоретической, а с практической
стороны, то он, пожалуй, поинтересуется; с какой точностью
нужен ответ? Если достаточно двух знаков после
запятой, ответом будет 0,33. Если нужны три знака — 0,333.
Четыре — 0,3333. И так далее.
Видно, что с увеличением точности на один знак к
ответу приписывается очередная тройка. Эти приписки,
в сущности, представляют собою слагаемые ряда:
0,3+0,03 +Л003+ ...
23

Частичные суммы этого ряда и называет практик в
ответ на заданную точность.
Стремятся ли к какому-нибудь пределу эти
частичные суммы? Сходится л к ряд?
Приглядитесь к его членам, и вы признаете в них
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. А она
принадлежит к категории сходящихся числовых рядов.
Но даже и без этого замечания поставленные
вопросы имеют чисто риторический (а точнее,
учебно-методический) характер. Ибо хорошо известно, что результат
деления единицы на три есть одна треть : —.
Кстати, какую бесконечную периодическую
десятичную дробь ни ваять — любая из них будет
представляться отношением двух целых чисел, числом рациональным,
как называют такие отношения математики.
К рациональным числам относятся и конечные
десятичные дроби. Назовите любую из них, и вы тем
самым уже представите ее в виде отношения целых чисел:
3. 25
три десятых — это-^, двадцать пять сотых —это -j^.
Ну, а как быть с бесконечными непериодическими
десятичными дробями? Такой дробью выражается,
например, отношение диагонали квадрата к его стороне. Еще
Пифагору было известно» что выразить его
рациональным числом, отношением двух целых чисел невозможно.
Это. открытие, сильно огорчившее Пифагора, дало
первый в истории математики пример иррационального
числа, то есть числа, не выразимого отношением двух
целых. О том, что всякое иррациональное число можно
представить бесконечной непериодической десятичной
дробью, Пифагор не знал.
Впрочем, тому же Пифагору было известно, что
гипотенуза прямоугольного треугольника равна корню
квадратному из суммы квадратов его катетов. На два
равнобедренных прямоугольных треугольника разрезается
квадрат своей диагональю, и для каждого она служит
гипотенузой. И если принять сторону квадрата за
•единицу, длина гипотенузы выразится квадратным корнем из
двойки. Извлечь его можно с точностью до любого знака
после аа пятой — соответствующий метод несложен и
излагается даже в школьном курсе алгебры.
Каждый новый знак после запятой, который
возникает при все более точном извлечении корня, можно рас-
24

сматривать как очередной член ряда, а все
удлиняющиеся десятичные дроби — как частичные суммы этого ряда.
Несложными рассуждениями можно доказать, что
всякий такой ряд сходится, что последовательность его.
частичных сумм всегда имеет предел (во-первых, эта
последовательность возрастает, во-вторых, она ограничена
сверху — например, числом, которое получается, если
заменить хотя бы первую из уже выписанных цифр
большей),.
Но коль скоро предел существует, почему бы не
назвать его искомым корнем квадратным из двух, тем
числом, которое выражает отношение диагонали квадрата к
его стороне? Пусть мы не можем выразить его
отношением двух целых чисел. Зато мы можем назвать его с
любой требуемой точностью. Почему бы подобный процесс
последовательных приближений не счесть определением
любого иррационального числа?
Математики так и поступили. Считается, что
иррациональное число определено, если его с любой
точностью можно приблизить последовательностью конечных
десятичных дробей.
#
Трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга —
вот три каверзные задачи, выдвинутые античными
математиками и впоследствии ставшие синонимом
неразрешимости.
Но так ли уж они неразрешимы? Вот, скажем,
квадратура круга: мы выполним ее сейчас с помощью
довольно несложного приема.
Итак, пусть дан круг радиуоа /?. Требуется»
пользуясь лишь циркулем и линейкой, построить равновеликий
ему квадрат или прямоугольник.
Площадь круга радиуса R дается выражением я/?2.
Если бы нам удалось построить прямоугольник со
сторонами R и nR, квадратура круга была бы
выполнена.
Но вот загвоздка — как построить отрезок длиною
izR? Как увеличить в я; раз данный нам условиями
задачи радиус круга?
Если бы число п было рациональным, если бы
выражалось отношением двух целых чисел, то все было бы
просто. Радиус круга мы увеличили бы во столько раз,
каков числитель, а затем уменьшили бы результат во
столько раз, каков знаменатель,— и получили бы иско-
25

увеличить или
мое. Школьная геометрия знает, как
уменьшить отрезок в любое число раз.
Увы! Число я иррационально...
И тут на помощь приходит числовой ряд, похожий на
тот, с которым мы познакомились 1за взвешиванием
пряников:
■V-»
4-+
-1+
11
+
Воспримем эту строчку чисел как руководство к
действию. Из отрезка, равного радиусу нашего круга,
вычтем его третью часть,, к результату прибавим пятую, из
полученного вычтем седьмую и так далее. Работы много,
но рано или поздно мы с любой заранее выбранной
точностью построим отрезок длиною -j-jc/?. Увеличим его в
четыре раза, затем построим на нем как на основании
прямоугольник с высотою R — его площадь и будет
равна площади нашего круга.
Тй
Квадратура круга выполнена!
Так что же, проблема, о которой так долго говорили
математики, все-таки разрешима и притом так просто?
Сознаемся, мы допустили небольшой подлог.
Классическая формулировка задачи о квадратуре круга
подразумевает, что задача должна быть решена с помощью
циркуля и линейки за конечное число операций и притом
точно. Наш же способ приближенный. Но он позволяет
приблизиться к поставленной цели с любой заранее
установленной точностью путем несложных действий.
В этом и заключается основное достоинство рядов.
Недаром их теория занимает столь важное место в
математике. Недаром обозначение ряда — заглавная
греческая буква «сигма» — как символ математики имеет столь
же широкое хождение, что и интеграл.
•
«Московское время — четыреста девяносто пять
минут».
26

Если бы с некоторых пор время по радио стали
объявлять таким образом, то радиослушатели вскоре,
вероятно, разучились бы ориентироваться во времени.
То ли дело:
«Московское время восемь часов пятнадцать минут».
В тех случаях, когда требуются более точные данные
о времени, после минут указываются секунды. Можно
указать и доли секунды: десятые, сотые, тысячные, сколь
угодно малые — какие требуются заранее выбранной
точностью.
В этом проявляется все та же особенность
человеческого сознания, которая лежит и в основе приближений
с помощью последовательностей и рядов: всякое
измерение начинается с грубой оценки, а затем продолжается
все более мелкими уточнениями.
ФУНКЦИИ
Вот так писалась русская буква И в
разные века. Первое написание относится к тем временам,
когда кириллица была только что создана,— оно
продержалось до XII века. Второе встречается в памятниках
XIII века. Третье становится господствующим в XIV
веке. Последнее — современное написание буквы,
утвердившееся в XVI веке.
НнНН НИМИ ПНПН И ИМИ
НИМИ
За тысячелетие, прошедшее со времени создания
кириллицы, перекладинка буквы И повернулась на
половину прямого угла. Поворачиваясь, как стрелка
своеобразных ^асов, она указывает время на циферблате
истории. Уловив соответствие между углом ее наклона и
эпохой, историк увереннее датирует памятники
письменности.
Следующий график взят из учебника по фотоделу. Он
характеризует свойства фотопленки. По горизонтальной
оси в условных единицах откладывается количество света,
Я7

падающего на пленку, по вертикальной, также в
условных единицах,— степень почернения пленки под
действием соответствующего количества света.
Пока фотограф работает
в диапазоне выдержек
между пунктирными линиями,
он получает контрастные
снимки — почернение
пленки нарастает равномерно
вместе с освещенностью
объекта, и фотография
правильно передает светотеневые
соотношения. Но стоит только
сдвинуться с прямолинейного
участка вправо, как
контрастность нарушается: все
предметы выходят на снимке
одинаково темными, становятся плохо различимыми.
Столь же неразличимыми будут они, если сдвинуться с
прямолинейного участка влево; все предметы выйдут на
снимке одинаково белесыми.
Зная закон соответствия между количеством света,
упавшего на пленку, и степенью ее почернения, можно
рекомендовать фотографу использовать тот диапазон
выдержек, где график идет по прямой.
Г
г
1
# ■
*■■ i
1 W
*<\
2
1 1 ■?
|.| ■...., ,1
количесгба свет
y^igx^fFx
Формула, помещенная ниже, взята из учебника по
математике. Математик воспринимает ее как
своеобразную инструкцию: взять некоторое число, под*
ставить его в формулу вместо х и затем произвести все
действия, предписанные символами: логарифмирование,
вычитание, извлечение
корня, сложение.
Каждому числу х, с
которым выполнимы все
перечисленные операции, соответствует их окончательный
результат у.
С некоторого времени в журнале «Наука и жизнь»
публикуются кроссворды нового типа — так называемые
кроссворды с фрагментами. Их отличие от традиционных
кроссвордов заключается в новых способах зашифровки
слов. Например, вместо* привычного «персонаж
греческой мифологии» приводится список: «Юпитер — Зевс,
28

Венера — Афродита^ Марс— ...» Прочитав этот список,
читатель должен догадаться, что в парах слов богам
рижской мифологии ^Юпитер, Венера, Марс) ставятся в
соответствие ш коллеги из греческого пантеона (Зевс,
Афродита^). Марсу, римскому боту войны, очевидно,
соответствует греческий Арес. Это и есть искомый ответ.
Во всех приведенных примерах есть нечто общее.
В каждом речь идет о некотором правиле соответствия.
Углу наклона перекладшки буквы И ставится в
соответствие историческая эпоха. Количеству света, упавшего
на фотопленку,— степень ее почернения. Числу х —
число у. Римскому богу — греческий.
В математике всякое правило, устанавливающее
подобное соответствие, называется функцией,' или
функциональной зависимостью. В этом смысле дата древнего
документа есть функция угла наклона перекладинки
буквы И, степень почернения пленки — функция количества
света.
Знание функциональных зависимостей позволяет
давать ответы на весьма разнообразные вопросы — от
датировки древних документов до управления
сложнейшими производственными процессами.
Человек издавна стал замечать соответствия между
отдельными предметами и явлениями окружающего
мира: красный закат — к ветру, смежная зима — к
урожаю. Систематизируя наиболее устойчивые и
поддающиеся осмыслению взаимозависимости, человек
научился рассматривать их как частные случаи сравнительно
немногих общих соотношений. Человек назвал^ их
законами природы. Знание законов природы дало человеку
возможность объяснять и предсказывать ее
разнообразнейшие явления. Математическими портретами
закономерностей природы и служат функции.
Ради иллюстрации мы хотели бы разобрать с вами,
читатель, один небезынтересный вопрос —не очень
сложный, но и не такой уж простой. Этот вопрос обсуждают
персонажи знаменитого трактата Галилея «Беседы и
математические доказательства, касающиеся двух новых
отраслей науки».
Почему не бывает животных какой угодно величины?
Почему, например, нет слонов в три раза большего
роста, чем существуют, но тех же пропорций?
Ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его
29

тогда увеличился бы в двадцать семь раз, как куб
размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их
прочность — только в девять раз, как квадрат размера.
Прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать
непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы
раздавлен собственной тяжестью.
Рассуждение вполне строгое и убедительное. Эту
строгость и убедительность ему придало знание двух
функциональных зависимостей. Первая устанавливает
соответствие между размерами подобных тел и их
объемами: объем изменяется как куб размера. Вторая
связывает размеры подобных фигур и их площади: площадь
изменяется как квадрат размера.
Не знай этого собеседники — сколько пришлось бы
доискиваться до истины?
Теперь же, располагая приведенными
количественными соотношениями, можно подкреплять выводы точным
расчетом. Например, задавшись размером
гипотетического гигантского или карликового слона, можно
вычислить его объем.
Математик сказал бы, что линейный размер играет
здесь роль независимой переменной, или аргумента, а
объем является зависимой переменной, или функцией.
Согласно функциональной зависимости каждому
допустимому значению аргумента ставится в соответствие
значение функции. Такова принятая в математике
терминология.
В этом смысле в вышеприведенных примерах роль
независимой переменной, или аргумента, играли угол
наклона перекладинки буквы И, количество света, число дс,
римский бог. Зависимыми переменными, или функциями,
были дата древнего документа, степень почернения
пленки, число у, греческий бог.
•
Вероятно, не все наши примеры, иллюстрирующие
понятие функциональной зависимости, покажутся
читателю одинаково удачными.
Пример с буквами может насторожить. В самом
деле, трудно себе представить историка, который,
замерив сверхточным транспортиром угол между перекла-
динками буквы И, уверенно заявляет, что текст написан
27 генваря 1733 года в шесть часов пополудни.
Датировка в подобных случаях производится лишь с точностью
до десятков лет. Особой точности здесь быть не может
30

хотя бы потому, что в одно и то же время разные писцы
могли вырисовывать буквы по-разному. А это уже
означает, что пример с буквой И выходит за рамки
классического понятия функциональной зависимости,
требующего строгого соответствия между переменными, ею
связанными.
В этом смысле наиболее благополучен пример с
фотопленкой. Свет упал на пленку, и та почернела. Чем
точнее назначена световая доза, тем увереннее определяется
степень почернения пленки.
Пример действительно неплох, строг математически.
И тем не менее здесь мы тоже хотели бы призвать
читателя к осторожности. В этом примере отчетливо
ощущается то, что философы зовут причинно-следственной
связью. Свет, количество которого в этом примере
рассматривается как аргумент, есть причина почернения,
степень которого рассматривается как функция. Подобное
характерно для большинства расхожих примеров
функциональной зависимости: функция является
количественным выражением некоторого следствия, причину
которого количественно выражает аргумент. И тем не менее не
следовало бы возводить такое представление в абсолют.
Такая трактовка сужает понятие функции.
Функциональная зависимость — не обязательно зависимость
причинно-следственная.
В большом многоквартирном доме номеру каждой
квартиры можно поставить в соответствие число людей,
в ней проживающих. И это будет функциональная
зависимость, полностью отвечающая ее каноническому
определению. Хотя ни о каких причинах и следствиях здесь
говорить не приходится. Номер квартиры никоим
образом не определяет численность проживающей в ней
семьи.
Повторим же еще раз, отметая излишние наслоения:
функции — это законы, управляющие соответствиями
переменных.
Тдкое (по существу, а не буквально) определение им
дал в 1834 году русский математик Лобачевский, а
тремя годами позже, независимо от него,— немецкий
математик Дирихле.
Те значения, которые может принимать аргумент,
образуют область определения функции. Соответствующие
им значения функции образуют область значений функции.
31

В рассуждениях Галилея линейные размеры
гипотетических животных в принципе могли принимать любое
значение — от очень .маленьких до очень 6®л&ших, как
говорится, от нуля до бесконечности. Это и есть область
определения функций» о которых шла речь, — объема
животного, площади сечения его костей. Область значения
этих функций также лросшраласъ от нуяя до
бесконечности,
В примере с иксом и игреком мы не зря сказали иро
икс: «с которым выполнимы все перечисленные
операции». Дело в том, что логарифмировать можно лишь
числа больше нуля, а корень квадратный не извлекается из
отрицательных чисел, и поэтому под него вместо икса
можно подставить лишь число, меньшее единицы или
равное ей. Когда область определения функции
обусловлена выполнимостью математических операций, ее
называют областью определенности, или областью
существования. В нашем примере это интервал чисел от нудя д®
единицы, исключая нуль и включая единицу,
Про область значений функции в этом примере,
казалось бы, нельзя говорить определенно: известно &едь, что
корень квадратный можно t6paTb либо со знаком плюс,
либо со знаком минус; так что функция получается
многозначной. Однако в математике принято иметь дело
лишь с однозначными функциями; скажем* квадратный
корень принято извлекать лишь со знаком плюс — как
говорят, в арифметическом смысле. Облает значений
приведенной функции — примерно ют 0,2 до минус
бесконечности: когда аргумент приближается к нулю, функция
принимает неограниченно убывающие отрицательные
значения.
Область определения функции мояшо задавать по
произволу. Для иллюстрации здесь хорош пример,
позаимствованный нами из учебника по фотоделу.
Условившись работать в том промежутке, где график идет по
прямой, мы тем самым задали область определения
функции — интервал количеств света,, падающих на
пленку.
Пример с кроссвордом стоит особняком от
разобранных. Отличие бросается в глаза: здесь аргумент
принимает несколько конкретных значений — столько,
сколько богов насчитывалось в римском пантеоне. В
примерах, разобранных прежде, дело обстояло иначе:
аргумент мог принимать любое значение из указанного
32

промежутка. Вес животного мы могли рассчитывать,
задавшись любым размером, почернение пленки — беря
любое количество света в условленном интервале.
Аргумент непрерывен —говорят в подобных случаях. А в
случае с римскими и греческими богами математик сказал
бы, что область определения аргумента дискретна.
Но как бы то ни было, коль скоро область определения
функции задана, аргументу можно придавать любое
значение из этой области. Вот почему аргумент называют
независимой переменной. Так джокер в карточной игре
может быть назван любой картой. Так в пустую строчку
удостоверения можно вписать фамилию любого
сотрудника учреждения. Вот почему понятие функции удобно,
когда нужно сформулировать какое-либо утверждение
сразу для всех объектов некоторой совокупности.
Символику математики сравнивают со стенографией.
Однако она экономит не только бумагу, но и мысль —
упрощает выкладки, облегчает преобразование формул,
ограждает от ошибок, ускоряет решение задач. Она
освобождает ум от лишней работы ради более важных
проблем.
Символика математики создавалась не сразу и не
одним челрвеком. Про самые древние изобретения в этой
области (как, впрочем, и в других областях человеческой
деятельности) мы не можем сказать, кто был их
автором — кто придумал, например, знаки «плюс» и «минус»,
кто предложил сократить до трех букв латинские
названия функций «синус» и «косинус» или стилизовать под
знак корня первую букву латинского слова «радикс»,
означающего «корень». История зафиксировала
математические события лишь сравнительно недавнего
прошлого.
Когда складывался общий подход к понятию
функции, когда потребовалось обозначение для «функции
вообще», тогда и появился символ f(x), привычный ныне.
Обозначение прижилось, ибо оно весьма наглядно.
Букву / можно мыслить как характеристику любой
функции — корня и логарифма, синуса и косинуса. Когда
речь идет о конкретном значении функции,
соответствующем конкретному числовому значению аргумента,
вместо х в скобки можно подставить это число.
Этот символ изобрел в 1733 году французский
математик Клеро.
2. Заказ 434.
83

Функции, о которых шла речь до сих пор, как
правило, описывались словами. Словесное описание — один из
способов задания функции и притом не лучший.
Можно задавать функцию табличным способом.
Выписать в ряд или в столбик несколько значений
аргумента, а ниже или рядом поместить соответствующие
значения функции. Так составляют таблицы логарифмов и
синусов. Шкалы логарифмической линейки,
расположенные одна под другой, тоже представляют собою
разновидность таблицы.
Лотарифмами и синусами мы еще успеем заняться.
За первым примером табличного задания функции
обратимся к «Энциклопедии домашнего хозяйства». Откроем
ее на той странице, где указаны максимальные,
длительно допустимые токи для проводов в зависимости от
сечения:
Сечение жилы, мм2* 0,75" 1 1,5 2,5
Максимально допустимый
ток, ампер 13 15 20 27
По этим данным можно построить график. Пусть
значения аргумента, приведенные в верхней строчке,
послужат абсциссами, а значения функции, приведенные в
нижней, — ординатами тех' точек, которые мы станем
наносить на координатную плоскость.
Точки соединим непрерывной плавной кривой.
Графический способ делает информацию о функции зримой
и наглядной. Выразительная картинка вмиг расскажет о
характерных особенностях и поведении функции.
Если ваша цель — смонтировать проводку в своей
квартире, то вам достаточно для работы этого графика
или даже одной таблицы. Ведь провода, поступающие в
продажу, согласно ГОСТу имеют лишь определенные
стандартные сечения.
Но если вы" интересуетесь существом дела,
причинами тех ограничений для тока, которые обусловлены
сечением применяемых проводов, то вы наверняка захотите
понять: каковы физические законы, которые определяют
функциональную зависимость, выраженную таблицей и
отраженную графиком?
Существо дела состоит здесь в том, что провода
разогреваются, когда по ним течет, ток. Нагрев прямо про-
34

порционален квадрату тока и обратно пропорционален
сечению провода. Предельно допустимый нагрев и
определяет критическое отношение квадрата тока к сечению
провода.
Увеличив ток в цепи, скажем, в два раза, мы должны
в четыре раза увеличить сечение проводов во избежание
их перегрева. Увеличив ток в три раза — в девять раз
увеличить сечение проводов.
Так мы приходим к формульному заданию
интересующей нас функции — ток изменяется_как корень
квадратный из сечения проводов: I—k^/s
Коэффициент пропорциональности k в этой формуле
равен 16,3, если ток / измеряется в амперах, а сечение
жилы S — в квадратных миллиметрах.
2 сечение жилы?мм2
3 Ч 5в б vX
корень кбадрйгнш
Вместо таблицы в «Энциклопедии домашнего
хозяйства» можно было бы поместить лишь эту короткую
формулу: она, как легко убедиться, неплохо
соответствует табличным данным, а незначительные расхождения
можно устранить ценою некоторого ее усложнения.
Мы понимаем, что домашний мастер вряд ли принял
бы такую замену. Таблица дает готовые рекомендации
на все случаи житейской практики, а формула еще
требует вычислений. Да к тому же в ней нет той
наглядности, которая присуща графику. А особая точность
цифр домашнему мастеру не нужна.
Но математик в поисках сути явлений для своей
работы предпочтет, конечно, формулы. В формульном
представлении функции легче поддаются исследованию
математическими методами: формулу можно подвергнуть
различным математическим преобразованиям, чего не
сделаешь ни с таблицей, ни с графиком.
35

Разумеется, если формула чересчур сложна или
попросту не существует (скажем, когда
функциональная зависимость получена из опыта), математик
прибегает к таблице. А за наглядным
представлением о функции о&ращается скорее к графику, чем к
формуле.
•
В этом месте нам хотелось бы на краткое время
прервать плавный ход изложения и поразмыслить над
только что построенным графиком.
Почему мы так непринужденно и решительно
соединили непрерывной линией точки, нанесенные на
координатную плоскость по данным таблицы? Почему не
оставили их редкой россыпью?
В этом, как нам кажется, проявилось представление,
давно и глубоко укоренившееся в нашем
миропонимании. По созвучию с крылатым «природа не терпит
пустоты» его можно выразить так: «природа не терпит
разрывов».
Нельзя всерьез говорить о том, что поезд, идущий,
скажем, из Москвы во Владивосток, после остановки в
Омске незамедлительно очутился в Новосибирске, не
побывав при этом ни на одной промежуточной станции.
Непрерывность времени и пространства — один из
краеугольных тезисов механики. Непрерывным
представляется нам чуть ли не всякое изменение, происходящее в
природе: все значения высоты от начального до конечного
принимает уровень воды в наполняемой ванне, все
значения размера — длина горящей свечи и ширина ножа,
стирающегося от частой заточки. В рамках механических
моделей непрерывным считается не только пространство,
но и любая среда: металл, жидкость, даже газ —-
недаром и аэродинамика, и гидродинамика, и теория
упругости объединяются названием «механика сплошных
сред»?
А ведь согласно современным представлениям
материя состоит из отдельных частиц — атомов, молекул,—
между которыми пустота, и все физические величины
изменяются порциями — квантами. Но квантовая природа
материи проявляется в масштабах столь малых, столь
труднодоступных непосредственному восприятию, что мы
пренебрегаем «ю, отнюдь не считая это изменой обще*
признанной демокритовой концепции о зернистости всего
сущего.
3&

Строя график в координатах «сечение провода —
ток», проводя непрерывную линию над всеми без
исключения точками некоторого промежутка оси абсцисс, мы
заявл-яем тем самым, что сечение провода может
равняться любой величине из этого1 промежутка.
Что ж говорить а тех временах, когда квантовая
теория еще не была еоздана, а концепция Демокрита не
была признана основой научных представлений о
материи? Непрерывность математических образов была
естественным и непременным требованием употребительных
систем мира—от Аристотеля («В отношении сущего
[при отвлечении математик] сохраняет только
количественную определенность и непрерывность») до Ньютона
(«Я рассматриваю... математические количества не как
состоящие из очень малых постоянных частей, а как
производимые непрерывным движением»).
Отвечая этому требованию, математика разработала
систему вещественных чисел (под таким названием
объединяются числа целые, дробные и иррациональные).
Вещественные числа — совокупность непрерывная, и
потому оказалось возможным изображать их точками
прямой линии. С легкой руки* Декарта функциональные
зависимости стали изображать графиками на координат-
ной плоскости. Так математика привыкла дополнять
понятие функции неявным предположением о
непрерывности аргумента.
А между тем математическое определение функции
вовсе не требует этого. 1Л потому оно общезначимо для
всей математики, потому им пользуются и в дискретной
математике, бурно развивающейся в последнее время,
находящей все больший спрос у экономистов, биологов,
лингвистов.
Собственно говоря, в определении функциональной
зависимости не требуется и того, что ею» должны
связываться только количества. Но традиция сильна и тут:
если соответствие устанавливается не между числами,
математик предпочитает слову «функция» слово
«отображение». Множество римских богов отображается на
множество греческих,— сказал бы он по поводу нашего
последнего примера функциональных зависимостей.
У этой традиции тоже есть свои корпи. Математика
исстари обслуживает науки, которые выражают свои
результаты в числах: механику, физику, химию. «Измерить
все измеримое и сделать измеримым все, что пока не
37

поддается измерению»,— эти слова Галилея сделало
своим девизом все точное естествознание.
Не удивительно, что учение о функциях
развивалось по преимуществу как учение о функциях
непрерывной числовой переменной. Именно на этом
пути оно пришло к одному из наиболее значительных
своих достижений — дифференциальному и интегральному,
исчислению.
Не удивительно и то, что все наши дальнейшие
примеры будут приводить лишь к функциям подобного рода
и на них будут поясняться существенные
особенности понятия функциональной зависимости.
С функцией «корень квадратный» мы познакомились
благодаря электротехнике. Но свести знакомство с нею
мы могли бы, например, в часовом ателье,
приглядываясь к тому, как мастер выверяет ход маятниковых часов.
Оказывается, их ходом управляет все та же функция
«корень квадратный»: именно такова зависимость
периода колебаний маятника от его длины.
Не откладывая на дальнейшее, поясним графиками
те функциональные зависимости, которые в своих
рассуждениях о размерах животных использовал Галилей,—
квадратичную и кубичную.
График, соответствующий первой из них, называется
параболой второй степени, или просто параболой.
Соответствующий другой — параболой третьей степени.
Указание степени считается обязательным, если она не
равна двум,—так о линиях, приведенных на следующих
графиках, говорят, что это параболы четвертой и пятой
степени.
Заметим, что функции такого рода называются
степенными: каждому числу из области определения
функции ставится в соответствие некоторая его степень--—
вторая, третья, четвертая и т. д.
38

Когда в Москве кремлевские куранты отбивают
шесть часов утра, в Якутске уже полдень.
Расположенный по долготе восточнее столицы, город раньше
встречает солцце. Приезжие москвичи в Якутске
переставляют свои часы на шесть часов вперед.
Перенесемся теперь на три века вспять. Парусник в
открытом море. Как определить долготу места, в
котором он находится? Очень просто, если на корабле есть
часы, поставленные в порту отправления. Нужно
измерить местное время по солнцу и сравнить с показаниями
часов. Расхождение пропорционально разнице по
долготе между тем пунктом, где находится корабль, и тем, в
котором были поставлены часы.
Точный закон этой пропорциональности позволяет
вывести простое соотношение: тремстам шестидесяти
градусам земной окружности соответствуют двадцать
четыре часа, за которые земля совершает полный оборот
вокруг своей оси. Поэтому если часы отстают по
сравнению с местным временем на шесть часов, корабль
находится на 90° восточнее того места, где были
поставлены часы. Спешат на четыре часа — на 60° западнее
(нижний рисунок на стр. 4U).
Разумеется, для подобного определения долготы
нужны очень точные часы. А как можно требовать
точности от маятниковых часов, которыми снабжен
парусник? Их ход зависит от длины маятника, а она то и дело
меняется: теплый день сменяется прохладной ночью,
и во время плавания парусник приближается то к
голубым полярным льдам, то к пальмам тропиков. Тепло
удлиняет маятник, холод укорачивает. Такова неумолимая
реальность.
И все-таки нашелся способ избежать неизбежного
зла. Чудо совершил в 1726 году английский часовой
мастер Джон Гаррисон. Это удалось ему потому, что он знал
функциональную зависимость длины металлического
стрежня от температуры, до которой стержень нагрет.
Эту функцию (правый график на стр, 40) описывает
прямая линия. Такая зависимость называется линейной.
Суть ее в том, что одинаковым приращениям аргумента
всегда соответствует одно и то же приращение функции.
Иначе говоря, функция изменяется равномерно при
равномерном росте аргумента^
39

°
У
л\
шейные фумишА
с
Цшнасяржня 1
к
J t
температура
1 "* ~
У
3
г
t
^^^
г /-г
J -j
' У~2х/ У-У?\
fTi z з x\
n4****\
линейные функции
В нашем примере
равномерному нарастанию
температуры
соответствует равномерное удлинение
стержня. Полное его
удлинение пропорционально
начальной длине. Но что
особенно важно —
стержни из разных металлов
удлиняются по-разному от
одного и того же прироста
температуры. Скажем,
цинк расширяется:
примерно в три раза сильнее, чем
сталь. Этим и
воспользовался Гаррисон: он собрал
маятник из цинковых и
стальных стержней так,
как показано на рисунке.
Общая длина стальных
стержней в три раза
превышала длину цинковых.
Расширяясь при нагрева-,
нии и сокращаясь при
охлаждении, стержни взаимно компенсировали изменения
своей длины, /И груз маятника оставался на одном и том
же расстоянии от точки подвеса.
•
Так что же, собственно, изобрел Гаррисон? Какова
математическая формула его изобретения? Как об этом
сказать в двух ^математических словах?
Читатель наверняка заметил, что левый трафик
вверху отличается оу правого дополнительной
линией. Она показывает, как ведет себя при нагре-
40

вании изобретенный Гаррисоном маятник с
компенсацией. Его длина не зависит от температуры.
Рассматриваемая как функция температуры, она постоянна при
всех значениях аргумента. Такая функция называется
постоянной, пли константой (вот откуда на графике
появилось латинское сокращение const). Она тоже
относится к классу линейных — изображается все той же
прямой линией. Подобная независимость от значений
аргумента — простейший случай линейной
зависимости. Здесь значение функции можно назвать,- не
спрашивая об аргументе.
Из непостоянных линейных функций простейшая,
пожалуй, та, значение которой всегда равно значению
аргумента. График этой функции — биссектриса прямого
угла, стороны которого — оси координат.
Любая другая прямая, исходящая из начала
координат, иллюстрирует случай, когда функция прямо
пропорциональна аргументу. Чтобы вычислить значение
такой функции,а аргумент умножают на коэффициент
пропорциональности. (Эту величину называют еще
константой пропорциональности, или угловым коэффициентом:
он может служить мерой наклона соответствующей
прямой на графике. Чем больше угловой коэффициент, тем
круче нарастает функция по мере роста аргумента.
А если угловой коэффициент меньше нуля — функция
спадает.)
Линейной функцией такого вида пользуются, когда
определяют стоимость товара по весу или путь, лройден-
вый в равномерном движении, по времени:
коэффициентом пропорциональности в первом случае служит цена,
во втором — скорость.
Если угодно, такая линейная функция получается в
результате перемножения* двух простейших — той,
которая равна своему аргументу (#=*)> и постоянной (#=
const; она, как нетрудно догадаться, и становится
константой пропорциональности).
Если к такой функции прибавить постоянную, то
получится линейная функция самого общего вида, примеры
которой нам дали измерения длины нагреваемого
металлического стержня и определение долготы по часам.
Постоянной прибавкой в первом случае служила длина
стержня при начальной температуре, во втором —
долгота тогочетеста, в котором были поставлены часы.
Функция такой же структуры определяет и стоимость проезда
41

в такси: она складывается из начального взноса и
оплаты пройденных километров.
Если линейную функцию умножить на постоянную,
оно сохранит свой линейный вид. Если сложить две
линейные функции, получится опять-таки линейная
функция. Если к линейной функции прибавить...
Впрочем, остановимся на момент. Бдительный
читатель, чего доброго, обвинит нас в измене
математическим традициям. Мы производим операции, не
определив их заранее,— умножаем и складываем функции, не
говоря, что имеем под этим в виду.
Поясним эти выражения с надлежащей строгостью.
Пусть на одной и той же области определения
заданы две функции. Пусть каждому значению аргумента
поставлена в соответствие сумма значений обеих
функций для этого аргумента. Новая функция, определенная
таким законом соответствия, называется суммой двух
данных функций.
42

Подобным образом можно определить произведение
двух функций. Заметим: если одна из перемножаемых
функций представляет собою постоянную, то про другую
в таком случае говорят, что ее умножили на постоянный
коэффициент.
Подобным образом можно определить частное двух
функций. Заметим: функция-делитель не должна
обращаться в нуль ни при одном значении аргумента из ее
области определения.
Теперь, не опасаясь недоразумений, прибавим к
некоторой произвольной линейной функции параболу
второй степени, умноженную на некоторый произвольный
коэффициент. В результате^возникает опять-таки
парабола второй степени; правда, вершина ее на графике
может очутиться в любой точке координатной плоскости.
Формулой для такой параболы служит квадратный
трехчлен.
Если складывать постоянную и линейную функции,
параболы второй и более высоких степеней, то будут
получаться функции, называемые полиномами.
В разговоре о конкретном полиноме принято
указывать его степень. Она равна наивысшей из степеней
парабол, которые были слагаемыми при образовании
данного полинома. Поэтому, например, о квадратном
трёхчлене говорят как о полиноме*'второй степени, о
линейной функции — как о полиноме первой, о постоянной —
как о полиноме нулевой степени.
¥1 I
х
i <—т
Такая^ терминология неслучайна. На предыдущих
примерах мы могли убедиться, что график полинома
своей формой обязан параболе наивысшей степени,
участвовавшей в его образовании. Так наклон графика
линейной функции, полинома первой степени, сохраняется,
если к ней прибавить постоянную, полином нулевой
степени. А если к ней прибавить полином второй степени,
график станет параболой.
Г А
Q I 1—^ i-**J
43

Вся богатейшая семья механизмов, окружающих
современного человека, начиналась когда-тр с семи простых
машин. Древние знали рычаг, блок, клин, ворот, винт»
наклонную плоскость и зубчатые колеса. Эти нехитрые
по теперешним представлениям устройства умножали
силу человека.
Но... во сколько раз выиграешь в силе — во столько
же раз проиграешь в расстоянии. Так гласит золотое
правила механики, заключающее в себе теорию семи
простых машин.
График, приведенный на этой странице, есть
наглядное выражение знаменитого правила. По
горизонтальной .оси отложена сила, с которой, например, нужно
давить на плечо рычага, чтобы поднять заданный груз на
заданную высоту, по вертикальной—расстояние,
которое пройдет при этом точка приложения силы.
Линия, выражающая такую функциональную
зависимость, называется гиперболой*
Если отвлечься от механической сущности графика,
то в чистом виде останется выражение обратной
пропорциональности. Именно в соответствии с нею хозяйка
делит пирог между гостями. Чем больше гостей — тем
мейьше порции.
Закон обратной пропорциональности глядит на нас и
со шкалы радиоприемника. Вы крутите ручку настройки,
и стрелка движется вдоль шкалы, на которой два ряда
чисел — метры и мегагерцы, длина волн и их частота.
Длина волн растет, частота падает. Но присмотритесь:
при любом сдвиге стрелки во сколько раз увеличилась
длина волны, во столько же раз упала частота.
График гиперболы можно увидеть на
лабораторном столе физика, демонстрирующего явления
капиллярности. В штативе несколько тонких стеклянных
трубочек, расположенных в порядке возрастания дет&мет-
44

ров. Известно, что в тонком канале смачивающая
жидкость поднимается тем выше, чем меньше его диаметр.
Поэтому в самом узком канале жидкость поднялась
выше всего, в другом, диаметр которого в два раза
больше,— в два раза ниже, в третьем, что толще первого
в три раза,— в три раза ниже и так далее.
А теперь опустим в эту же жидкость этакий клин,
образованный двумя стеклянными пластинками,
сомкнутыми по вертикальному ребру. В узкую щель между
стеклами жидкость устремится как в капилляр. Высота ее
подъема определится шириной,зазора. А он
увеличивается равномерно по мере удаления от острия клина.
Поэтому свободная поверхность жидкости четко
вырисовывает гиперболу — график обратной пропорциональности.
Так как же все-таки возникла гипербола в
стеклянном клине?
к
В учебнике физики можно отыскать формулу Л=?-^:
высота поднятия жидкости А получается делением
некоторого коэффициента к на ширину капиллярного зазора
d. Зазор в стеклянном клине пропорционален расстоянию
от острия клина, иными словами, выражается линейной
функцией от этого расстояния, а коэффициент
определяется свойствами жидкости (поверхностным натяжением,
удельным весом) и с расстоянием от острия клина не
меняется, остается постоянным. Итак, наша гипербола
получилась в результате деления простейшей линейной
функции, константы на чуть более сложную линейную
функцию, выражающую прямую пропорциональную
зависимость.
УЗ -2 -f 0\
Ч
У
№
1 2 X
*
-24
Т I I
Ы
9J г х\
zunepSom
Обе эти функщш, как мы знаем, простираются и в
область" отрицательных значений аргумента. Учтя это, до-
Ш

строим график гиперболы до полного вида. (На нуль,
правда, делить нельзя, так что в нуле гипербола не
определена, в ее область определения эта точка не входит.)1
Факт обратной пропорциональной зависимости
можно выразить и иначе, сказав, что связанные ею
величины в произведении дают постоянную.
Вспомним примеры из предыдущего раздела —
скажем, пример с тортом. Когда число гостей росло, вес
порции уменьшался; произведение же этих двух величин
оставалось равным постоянному весу торта. А пример с
радиоприемником? Произведение длины радиоволны на
ее частоту всегда равно скорости света.
Заметим: объединяя в произведении зависимую и
независимую переменные, мы получаем примеры так
называемого неявного задания функции. Этот термин
употребляют во всех тех случаях, когда зависимая
переменная не выражена через независимую, а вперемешку с
нею, в различных сочетаниях входит в некоторое
математическое выражение, приравненное постоянной, а
чаще — нулю. Подставив в такое равенство значение
независимой переменной, соответствующее значение
зависимой подыскивают так, чтобы равенство
удовлетворилось. В этом и состоит закон соответствия, который
определяет функцию, заданную неявным образом.
•
Сейчас много говорят об информационном буме.
Поток информации захлестывает: утверждают, что ее
количество удваивается каждые десять лет.
Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика
некоторой функции.
Примем объем информации в некоторый год за
единицу. Поскольку эта величина послужит нам началом
дальнейших построений, отложим ее над началом
координат, в которых будет строиться график, по вертикаль-
46

ной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над
единичной отметкой горизонтальной оси, считая, что эта
отметка соответствует первому десятку дет. Еще вдвое
больший отрезок восставим над точкой «два»,
соответствующей второму десятку, еще вдвое больший — над точкой
«три»... Декада за декадой — избранные нами значения
аргумента выстроятся по горизонтальной оси в порядке
равномерного нарастания, по закону арифметической
прогрессии: один, два, три, четыре... Значения функции
отложатся над ними, возрастая каждый раз вдвое — по
закону геометрической прогрессии: два, четыре, восемь»
шестнадцать... (Нетрудно заметить, что эти числа
представляют собой последовательные степени двойки —
первую, вторую, третью, четвертую и так далее.)
А что если посмотреть, как нарастал поток
информации до того года, который принят за начальный? Столь
же равномерно, откладывая единицу за единицей,
пройдемся по оси абсцисс влево от начала координат ил над
отложенными значениями аргумента будем наносить на
график значения функции уже в порядке убывания —
вдвое с каждым шагом.
-2
У
6
5
и
3
2
1
-1
щ
у=2х 1
О f 2 ЗХ
показательная
функция
Т 2Т ЗТ
| Т-пврщ полураспада
Теперь соединим все нанесенные точки непрерывной
гладко! линией — ведь количество информации нарастает
от десятилетия к десятилетию плавно, а не скачками.
Перед нами график так называемой показательной
функции.
Как же определяется эта функциональная
зависимость, обрисованная покуда лишь легким росчерком
пера?
По пути к строгой ее формулировке мы предлагаем
вам, читатель, поразмышлять над вопросом: во сколько
47

раз нарастает объем информации за пятнадцать лет,
если за декаду он увеличивается вдвое? Пятнадцать
лет — это полторы декады. Стало быть, ответ на
поставленный вопрос дает высота построенной нами кривой в
точке с абсциссой полтора: примерно в 2,83 раза. А
теперь обратите внимание: абсциссе «один» на графике
соответствует первая степень двойки, абсциссе «два»—
вторая степень, абсциссе «три» — третья... Логично
заключить отсюда, что число 2,83 есть двойка в степени
полтора.
Точно таким же образом график укажет .-нам любую
другую степень двойки — целую или дробную,
положительную или отрицательную. Для этого стоит лишь
отложить показатель степени на оси абсцисс и измерить в
этой точке высоту кривой.
Итак, каждое значение нашей функции есть двойка в
степени, равной соответствующему значению аргумента.
Так* и определяется показательная 'функция, описанная
нами. Число, возводимое в степень (в нашем примере им
служила двойка), называется ее основанием.
И еще один термин: график показательной^функции
именуется показательной кривой. Иногда эту линию
называют экспонентой (от латинского «ехропеге» —
«выставлять напоказ»). Многим этот термин знаком по
расхожему словосочетанию «экспоненциальный рост»,
выражающему наиболее броскую черту показательной
кривой — ее безудержно крутой взлет.
Примеры подобного роста подыскать нетрудно.
Показательная функция непременно встречается при
математическом описании таких процессов, в которых скорость
изменения некоторого количества в каждый момент
пропорциональна самому количеству.
По такому правилу размножается все живое: приплод
пропорционален достигнутой численности. По закону все
более крутого, экспоненциального роста увеличивается
колония микробов в чашке Петри. По такому же закону
плодились кролики, за короткий срок заполнившие
Австралию.
Природа знает и примеры экспоненциального спада,
когда скорость убывания некоторого количества в
каждый момент пропорциональна остатку (а стало быть,
уменьшается вместе с ним; в атом—характерная черта
экспоненциального спада).
48

Скорость химической реакции сохраняет
пропорциональность количеству реагирующих веществ по мере
того, как они расходуются с течением времени. (В этой
пропорциональности заключается один из важнейших
законов химии — так называемый закон действующих
масс.) Скорость радиоактивного распада точно так же
соразмерена с количеством еще* нераспавшихся атомов.
И термин «период полураспада» прекрасно отражает
экспоненциальный характер процесса: по прошествии
этого периода число нераспавшихся атомов сокращается
вдвое, еще период спустя — вчетверо и так далее. Если
процесс изобразить графиком,' то ординаты любых двух
точек кривой всегда будут отличаться ровно в два раза,
если их абсциссы разняться на величину периода
полураспада. Иными словами, когда аргумент изменяется по
закону арифметической прогрессии, функция изменяется
по закону геометрической прогрессии (на сей раз
убывающей), А в этом — определяющая особенность
показательной функции.
•
Проницательный читатель наверняка отметил
некоторую неполноту, узость нашего описания показательной
функции.
Строя ее график за разговором об информационном
буме или радиоактивном распаде, мы каждый раз
разбивали горизонтальную ось координат на отрезки
равной длины и над засечками расставляли точки та«,
чтобы каждая последующая располагалась вдвое выше или
вдвое ниже предыдущей.
49

Ну, а если бы количество информации возрастало
с каждым десятилетием не в два, а, скажем, в два с
половиной раза? И соответственно по такому же закону
изменялась бы высота точек, наносимых на
координатную плоскость. Что — в результате получился бы график
уже не показательной функции?
Показательной. Но только с другим основанием,
равным двум с половиной. Новый график, в общих чертах
напоминая прежний, устремлялся бы ввысь уже с
несколько иной скоростью.
Всмотритесь в него: высота кривой над делениями
горизонтальной оси равна последовательным степеням
числа два с половиной: минус первая его степень равна
четырем десятым, нулевая — единице, первая — двум
с половиной, вторая — шести с четвертью и т. д.
Беря в качестве основания все новые положительные
числа, мы получали бы все новые показательные
функции. Не стоило бы только назначать на роль основания
единицу: ведь она остается собой при возведении в
любую степень, так что показательная кривая выродилась
бы в горизонтальную прямую.
Но есть среди" всех чисел такое, которое чаще всех
прочих служит основанием показательной функции.
О нем как-то раз у нас уже заходила речь: это — число
е, равное 2,71828... Выбор пал на него в силу важных
его достоинств, распространяться о которых мы пока не
имеем возможности.
Так что, если в разговоре о показательной функции ее
основание не указывается — знайте, что им служит
число е.
Сколько звезд на небе?
Одним из первых, кто попытался точно ответить на
этот вопрос, был древнегреческий астроном Гипларх.
При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая
звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как
люди, рождаются и умирают. И чтобы будущие
исследователи могли следить за возникновением и угасанием
звезд, Гиппарх составил свой звездный каталог. Он
насчитал около тысячи звезд и разбил их до видимому
блеску на шесть групп/* Самые яркие Гиппарх назвал
звездами первой величины, заметно менее яркие — второй,
еще столь же менее яркие — третьей и так далее в
порядке равномерного убывания видимого блеска — до
50

звезд, едва видимых невооруженным глазом, которым
была присвоена шестая величина.
Когда ученые получили в свое распоряжение
чувствительные приборы для световых измерений, стало
возможным точно определять— блеск звезд. Стало возможным
сравнить, насколько соответствует данным таких
измерений традиционное распределение звезд по видимому
блеску, произведенное на глаз.
Оценки того и другого рода сведем на одном
графике. От каждой из шести групп, на которые звезды
распределил Гиппарх, возьмем па одному типичному
представителю. По вертикальной оси будем откладывать
блеск звезды в единицах Гиппарха, то есть ее звездную
величину, по горизонтальной — показания приборов. За
масштабную единицу горизонтальной оси примем блеск
звезды «6 Тельца», стоящей посредине в ряду
представителей звездного сонма.
Сразу же бросается в глаза: отметки на
горизонтальной оси располагаются неравномерно! Объективные
(прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска
не пропорциональны друг другу!
С каждым шагом по шкале звездных величин прибор
регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же
величину, как могло бы показаться, а примерно в два с
половиной раза. Образно говоря, глаз сравнивает
источники света' по блеску, задаваясь вопросом «во сколько
раз?» — а не вопросом «на сколько?» Мы отмечаем не
абсолютный/а относительный прирост блеска. И когда
нам кажется, что он возрастает или убывает равномерно,
в действительности мы шагаем по его шкале все более
размашистыми шагами, покрывая при этом поистине
51

гигантский диапазон: в миллион миллионов раз
различаются по блеску источники света, воспринимаемые
человеческим глазом!
По тому же закону мудрая природа проградуировала
и наш слуховой аппарат. И оттого диапазон звуков,
внятных человеческому уху — от шелеста листвы до
раскатов грома над головой, почти столь же широк.
Кстати сказать, именно в силу описанной
физиологической особенности звезды, ярко горящие на ночном небе,
не видны днем, тонут в ослепительном блеске солнца,
рассеянном по небосводу. И там и здесь сияние звезд
дает одну и ту же добавку к свету фона. Однако в
первом случае (ночью) эта добавка велика по сравнению с
мерцанием неба, во втором же (днем) составляет весьма
незначительную долю от солнечного блеска (менее чем
миллиардную даже для самых ярких звезд). Оттого и
гаснут звезды в лучах утренней зари.
Оттого же и голос солиста, когда его пение
подхватывает хор, тонет в многоголосом звучании.
Суть функциональной зависимости, описанной нами
на примере зрения и слуха, в том, что возрастанию
аргумента в одно и то же число раз всегда соответствует
одно и то же приращение функции. Когда аргумент
меняется по закону геометрической прогрессии, функция
меняется по закону арифметической.
Как же называется функция, с которой мы
познакомились по звездному графику?
Прежде чем отвечать на этот вопрос, мы предложим
вам, читатель, несколько других. Вы без труда ответите
на них, обратившись к первому из графиков,
приведенных на стр. 49.
В какую степень нужно возвысить два с половиной,
чтобы поручить шесть с четвертью? Во вторую,—
отвечает упомянутый график. А в какую степень нужно
возвысить два с половиной, чтобы получить четыре десятых?
В минус первую. А чтобы получить два с половиной? В
первую. А единицу? В нулевую.
Число, которое нужно употребить показателем
степени при указанном основании для того, чтобы получить
заданное число, называется логарифмом заданного
числа по указанному основанию*
Минус один, нуль, один, два — это логарифмы по
основанию 2,5 для чисел 0,4; 1; 2,5; 6,25.
52

А теперь, не выпуская из памяти всю эту
информацию, вернемся к нашему звездному графику. Вот точка с
пометкой «v Дракона А»: абсцисса — около четырех
десятых, ордината — примерно минус один. Вот точка «6
Тельца»: абсцисса — один, ордината — нуль. Точка «у
Персея»: абсцисса—два с половиной, ордината — один.
Точка «Кастор»: абсцисса — шесть с четвертью,
ордината — два.
Итак, ординаты выделенных точек графика являются
логарифмами абсцисс, взятыми по основанию два с
половиной. Выраженная графиком функциональная
зависимость заключается в том, что положительным числам
ставятся в соответствие их логарифмы. Такую функцию
естественно назвать логарифмической. А ее график
именуют логарифмикой.
В роли основания логарифмов встречаются
различные положительные числа. На практике весьма
употребительны десятичные логарифмы, основание которых
равно десяти. В теоретических исследованиях
популярнее так называемые натуральные логарифмы,
основанием которых служит уже знакомое нам число е.
Теперь становится понятным общепринятое и, быть
может, уже слышанное вами название этого числа:
«основание натуральных логарифмов».
Кривая натурального логарифма, так называемая
натуральная логарифмика, приведена в предыдущем
разделе рядом со звездным графиком.
Почему летом теплее, чем зимой?
Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что
Земля, двигаясь по своей орбите, зимой находится от
Солнца дальше, чем летом.
перпендикуляр* плоскости
3BMHOLT орбиты
солнце
зима
в северном
полушарии
лето
В южном
полушарии
53

Но это совершенно неверно! Ведь орбита Земли —
это почти круг, в центре которого находится Солнце.
Расстояние нашей планеты от светила меняется слишком
незначительно от месяца к месяцу, чтобы это было
причиной смены времен года.
Все дело в наклоне земной оси по отношению к
плоскости земной орбиты.
Взгляните на рисунок: зимой в умеренных широтах
солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи
лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего
подъема над горизонтом солнце приближается к зениту,
его лучи падают почти отвесно на те же участки земного
шара.
Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все
времена года. Но в зависимости от наклона солнечных
лучей она по-разному распределяется по земной
поверхности. Больше всего ее приходится на заданный участок
поверхности при отвесном падении света. Чем меньше
угол, который образуют лучи с поверхностью, тем
меньше их приходится на тот же участок.
Именно эту зависимость применяет (быть может, не
думая об этом) курортник, загорающий под солнцем
юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы
солнечные лучи как можно менее отклонялись от
перпендикуляра к плоскости топчана.
Попытаемся -определить точно: какая доля солнечной
энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости
при отвесном падении лучей,- приходится на него при
наклонное падении лучей под тем или иным углом?
На поставленный вопрос можно ответить, проследив
эволюцию жирно очерченного прямоугольного
треугольника на приведенных чертежах. Гипотенуза, на которую
падают солнечные лучи,— всюду одна и та же. Катет,
через который входят падающие на нее лучи,— меняется
54

по длине, уменьшаясь вместе с углом, который образуют
с гипотенузой падающие на нее лучи.
Очевидно, интересующая нас доля солнечной энергии
равна отношению указанного катета к гипотенузе.
y=sui х
Как меняется эта доля в зависимости от угла
падения, удобнее судить, если все. жирно очерченные
прямоугольные треугольники собрать в одну связ.ку, где их
катеты расположены параллельно друг дру*у, а гипотенуза
стала радиусом некоторсрй окружности. И если задан
угол, под которым солнечные лучи встречаются с
освещаемой поверхностью, нужно отложить его на этой кру-.
говой диаграмме, из точки пересечения его наклонной
стороны с окружностью опустить перпендикуляр на
горизонтальный диаметр и взять отношение этого
перпендикуляра к радиусу окружности. Иными словами, в
прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно взять
отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полу-
зенное число и укажет интересующую нас долю
солнечной энергии.
Чисдо, определенное таким образом и поставленное в
соответствие углу, для которого оно определялось,
называется синусом этого угла. (См. выше График описанной
функциональной зависимости).
Читатель, конечно, узнает не раз виденную
синусоиду. Если что-то и кажется здесь непривычным, так^это
неестественно малая протяженность кривой. Обычно ее
рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс,
волна за волной.
Продолжим синусоиду, переведя разговор о ней на
темы электротехники.
55

Почему трамвай работает на постоянном токе?
Студенческий фольклор отвечает на этот вопрос так: если
бы он работал на переменном, рельсы пришлось бы
укладывать по синусоиде.
Шутка напоминает о
том, что переменный ток
изменяется во времени по
закону синуса.
Откуда же здесь
берется синусоида?
Обратимся к упрощенной
схеме динамомашины —
источника переменного тока. Ток возникает в рамке, которая
равномерно вращается в однородном магнитном поле.
Величина тока определяется скоростью изменения
магнитного потока, пронизывающего рамку.
■■■■■■■
Рисунки показывают лоследовательные стадии этого
изменения. На них мы обнаруживаем все тот же
прямоугольный треугольник, да еще и в том же удобном
расположении, к которому мы пришли, определяя функцию
синуса. Гипотенуза этого треугольника вновь постоянна,
а катет, удвоенной дадною которого можно измерить
величину магнитного потока (отмечено фигурной скобкой),
пронизывающего рамку, меняется по закону синуса в
зависимости от угла поворота рамки. Поскольку
рамка вращается равномерно, угол ее поворота может
служить мерой времени. Все сказанное позволяет
заключить: магнитный поток, пронизывающий рамку, меняется
во времени но закону синуса.
По мере вращения рамки магнитный поток
пронизывает ее то с одной, то с другой стороны, и это
выражается в сменах его знака — в полном соответствии с
течением синусоиды. Оборот за оборотом — нарастания и
спады потока в точности повторяются снова и снова. Так
вдоль оси абсцисс одна за другой выстраиваются волны
синусоиды, похожие друг на друга, как две капли воды.
Но это лишь график магнитного потока. Теперь
нужно оценить, какова в каждый момент времени скорость
его изменения — оца-то и определяет ток в рамке.
56

О том, как это делается, мы поговорим позже, когда
речь пойдет о производных. А пока приведем без
пояснений соответствующий график.
Он имеет вид синусоиды, сдвинутой на четверть
волны влево. Точное название этой кривой — косинусоида.
Однако очень часто из-за сходства с синусоидой ее
ошибочно называют так .же. В этом нет ошибки лишь в том
случае, если начало отсчета аргумента не указано.
Стоит отметить, что косинусоида, если рассматривать
ее как функцию угла, имеет столь же тесное отношение
к прямоугольным треугольникам, что и синусоида. Если
построить прямоугольный треугольник с заданным
углом и измерить отношение катета, прилежащего к этому
углу, к гипотенузе, то получится величина, называемая
косинусом. Ее зависимость от угла и описывает
косинусоида.
Наконец,, для каждого значения угла, при .котором
строится прямоугольный треугольник, можно измерить
отношение катетов — скажем, противолежащего «
прилежащему. Эту величину называют тангенсом. Любитель
математических выкладок без труда убедится в том, что
тангес угла равен отношению синуса этого угла к
косинусу.
Определенные формулы связывают описанные
функций и попарно: синус с косинусом, синус с тангенсом,
тангес с косинусом. Эти связи проистекают из того, что
все три функции породнены прямоугольным
треугольникам, через который они определяются. От греческого
57

имени треугольника — «тригонон» — произошло
собирательное название «тригонометрические функции». К ним,
кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще
косеканс, секанс и котангенс, соответственно получаемые из
перечисленных по правилу обратной
пропорциональности.
В коллекции математических шуток есть такой
вопрос: каким по'величине покажется угол в пять
градусов, если его разглядывать в лупу с десятикратным
увеличением?
Угол, конечно же, не изменится. Ответ как будто
очевиден. И все-таки давайте обсудим этот
оптико-геометрический феномен пообсто'ятельнее.
На рисунках одна и та же фигура, но выполненная
в разных масштабах, словно рассматриваемая ^ерез
лупы со все большим увеличением. Все сильнее
удлиняются стороны треугольников, радиус окружности. Hd
присмотритесь: они увеличиваются всегда в одно и то же
число раз. Отношения их длин не изменяются.
Эта неизменность естественным образом связана с
постоянством углов на наших разномасштабных рисун-
каэГ: ведь рисунки подобны друг другу. Такая связь
некогда и подсказала математикам мысль: мерить углы
нетрадиционными градусами, а числами — отношениями-
линейных элементов тех фигур, которым принадлежат
углы.
Элементы, которые наиболее удобно использовать
для этой цели, мы вычертили пожирнее. Они образуют
68

сектор. Можно разделить длину дуги сектора на его
радиус и частное назвать величиной секториального угла
(на рисунках он отмечен дужкой).
Хороша ли такая мера? Однозначна ли? Не приведет
ли к недоразумениям? Давайте разберемся.
Представьте, что на каждом рисунке исчезло все,
кроме сторон угла, о котором идет речь. Проведем дугу
с центром в вершине этого угла, от одной его стороны до
другой. Каким бы ни был радиус дуги, огромным ли,
крохотным ли, возникший сектор будет подобен тем
секторам, что выделены на прежних рисунках. Точно таким же
будет отношение длины дуги, стягивающей угол, к ее
радиусу. А это значит, что предложенный метод
определяет величину угла совершенно однозначно.
Описанный способ измерять углы называется радиан-
ной мерой.
Освоить ее нетрудно.' Известно, что длина
окружности радиуса R равна 2nR. Следовательно, полный угол,
который она охватывает, будет равен 2я, если его
измерять только что описанным способом. Прямой угол,
вчетверо меньший полного, тогда выразится числом ^
угол в 35° — числом «р в 30° — числомj и так далее.
Если радианную меру вам захочется обратить в
градусную и наоборот, учтите, что они пропорциональны
друг другу и'закон пропорциональности таков: угол в 1°
выражается в радианной мере числом 0,017453.., а угол,
равный единице в радианной мере, в градусной
составляет 67°17,44,8ЛГ— (дуга окружности, стягивающая такой
угол, ло длине равна своему радиусу).
И пусть вас не удивляет, если в дальнейшем мы
будем говорить «синус двойки», «тангенс половины».
Зная, как соразмерены градусная и радианная меры, вы
можете прикинуть в уме: двойка — это примерно сто
четырнадцать градусов, половина — чуть меньше
двадцати девяти.
Такой пересчет удобен на первых порах знакомства с
радианной мерой. Надеемся, что впоследствии вы
убедитесь, что она гораздо удобнее градусной.
Вы увидите, например, что тригонометрические
функции встречаются не только в задачах, связанных с
углами, поворотами, вращением. Если аккуратно снять
шкурку с пластика колбасы, порезанной наискосок, то
59

эта гибкая полоска, расправленная на столе, превратится
в волну синусоиды. А вот пример посерьезнее. По
синусоиде изгибается линейка, сжатая с концов, упругая
балка под непомерной нагрузкой.
Как поточнее перенести форму прогнувшейся линейки
на график? Какие единицы откладывать по
горизонтальной его оси? Аргумент синуса мы привыкли выражать в*
градусах. Но как измерить в них расстояние между
концами прогнувшейся линейки?
Вот тут и обнаруживает свои преимущества, радиан-
ная мера. Выберем единицу измерения так, чтобы
расстояние между концами линейки выражалось числом я.
Отрезок такой длины отложим, на оси абсцисс и построим
на нем график синуса.
Несколько характерных точек можно нанести на
график сразу. Синус прямого угла, как известно, равен
единице, а радианная мера прямого угла —~-. Это число
соответствует- середине отрезка, отложенного на оси
абсцисс,— значит над нею следует поставить точку с
ординатой, равной единице. Синус 30° равен половине, а ра-
дианная мера этого угла — -т\ На графике появляется
л 1
еще одна точка с координатами ^- и — *
Так, точка за точкой на координатной плоскости
возникает аккуратная синусоида.
«А за окном то вверх взлетали, то вниз ныряли
провода»,— вот непременный штрих картины, которую
60

видит из вагонного окошка пассажир поезда дальнего
следования.
Впрочем, чтобы увидеть эти красивые взлеты и
спады, не нужно отправляться в дальнюю дорогу. Ведь
точно по такому же закону провисает и цепочка ходиков,
и веревка, на которую хозяйка собирается вешать белье.
Оказывается, этот изящный прогиб математически
описывается полусуммой двух экспонент — одна с
плюсом, другая с минусом перед аргументом. Называется
такая функция цепной линией.
Есть у нее и другое название — гиперболический
косинус. Оно связано с чисто математическими свойствами
функции и, казалось бы, затеняет ее связи с физической
реальностью. Это не так: абстрактность второго
названия при желании можно понять как указание на то, что
цепная линия пригодна не только для математического
описания провисающих проводов и веревок.
Эта красивая функция задает, например, форму
мыльной пленки, натянутой между двумя проволочными
кольцами: если посмотреть на эту прозрачную трубку
сбоку, ее абрис будет представлять собой цепную линию.
Коль скоро речь пошла о гиперболическом косинусе,
нельзя не упомянуть о гиперболическом синусе —
полуразности экспонент, одна с плюсом, другая с минусом
перед аргументом. Существует в математике и
гиперболический тангенс, который, как и в тригонометрии,
конструируется в виде отношения синуса и косинуса,
разумеется, гиперболических.
Определение тангенса — не единственйая аналогия
между функциями гиперболическими и
тригонометрическими. Формулы, связывающие между 'собой гиперболи-
61

ческие функции, весьма похожи на формулы для
тригонометрических функций.
Функции, о которых мы рассказывали до сих пор,
называются элементарными. То же звание носят их
всевозможные комбинации с помощью знаков сложения,
вычитания, умножения, деления, извлечения корня.
Употребляя понятия, речь о которых еще впереди, скажем рада
полноты, что обратные и сложные функции, полученные
из перечисленных, также называются элементарными.
Не нужно думать, что в математике есть принцип
отбора, по которому функции зачисляются в разряд
элементарных. Так распорядилась история. Функции,
названные элементарными, раньше, чем прочие, появились
в математике и сыграли важную роль в ее развитии и ее
приложениях. Опыт их использования богат, их
символы привычны.
\У
1W
\0 1
модуль, или
абсолютная
Величина
г х
г я
Если быть строгим, то-надо признать, что функция,
изображенная на рисунке (ее называют «абсолютная
величина Я», или «модуль Я>>), почти столь же проста,
столь же элементарна, как и линейная функция.
А функция Хевисайда, изображение которой
приведено следующим? Состоящая из двух горизонталей, она-то
уж совсем элементарна. Но появившаяся в математике
на рубеже прошлого и нашего веков, она уже не
получила1 звание элементарной.
...«Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими
образуемые, иначе такое бросание будет пустою забавою».
ХЬследуем совету мудрого Козьмы Пруткова и
понаблюдаем за кругами на воде. Вот что мы увидим, если
остановим мгновение и рассечем пополам водную толщу.
62

Просматривая атлас функций — не найдется ли там
чего похожего? — мы бы крикнули «эврика!» на
странице, где изображены так называемые
функции Бесселя.
Функции Бесселя рождены для
того, чтобы описывать процессы в
цилиндрических системах
координат. Колебания жидкости в
топливном баке взлетающей ракеты,
поведение плазменного шнура в
магнитном поле, распространение тепла
вокруг тепловыделяющего стержня в
ядерном реакторе — в любом из
этих случаев найдется применение функциям Бесселя.
Для этих функций введен особый символ, для них,
Ч
^Щ^ЩЩ^\Щ\
■Н
<рунщи бесселя -нулеба* (J0) и вторая (Jz)
как для синусов и логарифмов, составляются таблицы,
однако в разряд элементарных они не занесены.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Современная математика знает множество
функций, и у каждой свой неповторимый облик, как
неповторим облик каждого из миллиардов людей,
живущих на Земле.
Однако при всей непохожести одного человека на
другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.
Точно так же облик каждой функции можно
представить сложенным из набора характерных деталей. В них
проявляются основные свойства функций.
Функции — это математические портреты устойчивых
закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы
проиллюстрировать характерные свойства функций, нам
показалось естественным обратиться к пословицам. Ведь по-
63

словицы — это тоже отражение устойчивых
закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.
«Чем дальше в лес, тем больше дров»,— гласит
пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество
дров по мере продвижения в глубь леса — от опушек,
где все давным-давно собрано, до чащоб, куда еще не
ступала нога заготовителя.
Горизонтальная ось графика — это лесная дорога.
По вертикали будем откладывать (допустим, в
кубометрах) количество топлива на данном километре дороги.
График представит количество дров как функцию
пути.
Согласно пословице эта функция неизменно
возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более
дальней (чем дальше в лес.) значение функции будет
больше (...тем больше дров). Такое свойство функции
называется монотонным возрастанием.
рродбаженае Злее
xomzcmBo масла
раселтние dxyJbi
Сходное свойство иллюстрирует и пословица «каши
маслом не испортишь». Качество каши можно
рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно
пословице эта функция не уменьшится с добавкой
масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и
на прежнем уровне. Подобного рода функции
называются монотонно неубывающими.
Чувствуете ли вы, читатель, разницу между дровами
и кашей? То бишь между монотонным возрастанием и
монотонным неубыванием?
Возрастание — это только вверх. Неубывание — это
либо вверх, либо ни вверх, ни вниз. Возрастание —
частный случай неубывания. Например, всюду постоянная
функция (константа) принадлежит к числу
неубывающих, хотя она ни на одном участке своей области
определения не возрастает.
64

«Дальше кумы — меньше греха».
Функция, которая показывает, как изменяется мера
греха по мере удаления от кумы,— монотонно
убывающая.
•
«Выше меры конь не скачет». Если изобразить
траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном
соответствии с пословицей будет ограничена сверху
некоторой «мерой».
y&sin х
г360° ОС
точная нижняя грань "~"
расстояние
Вот знакомый график синуса. И здесь есть своя мера,
выше которой не вздымаются волны синусоиды. Такой
мерой, такой ^преступаемой верхней гранью может
послужить и десятка, и семерка, и тройка, и единица.
Единица среди всех перечисленных величин на
особом положении: это точная верхняя грань для значений
синуса.
В каком же смысле она точна? В том, очевидно, что
понизить ее уже нельзя. Для любого уровня, что ниже
точной верхней грани, найдутся значения функции, его
превосходящие. В этом одно из двух отличительных
свойств точной верхней грани. А другое и совсем
очевидно: ее не превосходит ни одно значение функции.
Обратите внимание на это выражение: «не
превосходит». Это значит «меньше или равно». Синус и в самом
деле кое-где равен единице — в точках, соответствующих
макушкам волн. Во всех остальных он меньше единицы.
Есть у значений синуса и точная нижняя грань —
минус единица.
Есть точная нижняя грань и у значений
показательной функции — нуль. Правда, в отличие от синуса,
который в некоторых точках равен по величине своей точной
нижней грани, у показательной функции нет ни одной
3., Заказ 434.
65

точки, где она обратилась бы в нуль. Как говорят,
показательная функция своей точной нижней грани не
достигает.
(Это, разумеется, не мешает нулю служить точной
нижней гранью для показательной функции. Во-первых,
для любого^ уровня, даже чуть выше нуля, найдутся
точки кривой, лежащие под этим уровнем. Во-вторых,
все точки кривой лежат выше нуля. Нуль обладает,
таким образом, обоими отличительными свойствами
точной нижней грани.)
Сверху же никаких ограничений для показательной
функции не существует. Какой уровень ни назначь, как
бы ни был он высок, найдется значение функции еще
большее. (Отметьте про себя эту фразу: в ней —
определение функции, неограниченной сверху.)
Однако показательная функция способна и на
большее: превзойти любой назначенный уровень не только в
одной, но сразу,во всех лежащих правее, более далеких
от нуля, точках. А это уже не простая неограниченность.
Про такую функцию говорят, что она стремится к
бесконечности при бесконечном возрастании аргумента.
Чувствуете ли вы, читатель, тонкую разницу между
неограниченностью и стремлением к бесконечности?
Если нет, то специально для вас мы выведем на эту
страницу, как на цирковую арену, своего математического
коня, который способен скакать выше любой меры. Мы
заставим его допрыгивать до все больших значений
показательной функции.
Если представить траекторию коня как график
некоторой функции, то это будет функция неограниченная:
любую высоту наш конь возьмет в каком-то из прыжков.
Но выше превзойденного уровня он не- останется навсег-
66

да. Такую функцию, хотя она и неограниченная, нельзя
назвать стремящейся к бесконечности.
Просматривая графики функций, о которых
говорилось раньше, мы не раз найдем приложения только что
сформулированным понятиям.
Вот, например, логарифм. Он неограничен снизу: какой
уровень ни назначь — каждый раз, как бы ни был низок
этот уровень, найдется значение логарифма еще ниже.
Нельзя не заметить: рекорды глубины логарифм бьет
один за другим при значениях аргумента, все более
близких к нулю. Говорят, что логарифм неограничен
снизу в окрестности нуля.
Про логарифм можно сказать и больше: его кривая
способна опуститься ниже любого назначенного уровня
не только в одной какой-то точке, близкой к нулю, но
сразу во всех точках некоторой окрестности нуля
(ширина окрестности, разумеется, зависит от того, какова
назначенная глубина). Это означает, что логарифм
стремится к минус бесконечности при стремлении аргумента
к нулю.
«При стремлении аргумента к нулю слева»,— уточнит
нас, пожалуй, дотошный читатель. И тем самым даст нам
повод к рассказу о том, как и зачем математики иногда
не обращают внимания на знаки чисел.
Плюс десять и минус десять — это, конечно, числа
разные. Но математик скажет, что они одинаковы по
абсолютной величине. Этот обобщающий термин позволяет
математику говорить, что гипербола стремится к
бесконечности при стремлении аргумента к нулю, что
парабола и линейная функция бесконечно возрастают при
бесконечном возрастании аргумента. Без упоминания
знаков плюс и минус бесконечное возрастание понимается
как возрастание по абсолютной величине. И когда
говорят о стремлении аргумента к какой-то точке, считается,
что он может стремиться к ней с любой стороны.
«Пересев хуже недосева»,— издавна говорили
земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь
до некоторой поры растет вместе с плотностью посева,
дальше он снижается, потому что при чрезмерной
густоте ростки начинают глушить друг друга.
Эта закономерность станет особенно наглядной, если
изобразить ее графиком, где урожай представлен как
67

функция плотности посева. Урожай максимален, когда
поле засеяно в меру. Максимум — это наибольшее
значение функции по сравнению с ее значениями во всех
соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все
дороги ведут только вниз, куда ни шагни.
f(a}-№cuMi/M
плотность посева
наименьшее значение
адсшюгныи минимум
6
В примере с урожаем дело обстоит точно так же, как
в той застольной ситуации, которую описывает
пословица «недосол на столе — пересол ца спине». Качество
пищи зависит, является функцией количества соли в
ней. Мало соли — невкусно, много — тоже в рот не
возьмешь. А где-то в промежутке, в золотой середине, когда
соли в самый раз, кушанье становится особенно
лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает
максимума. Малейшей щепотью соли больше или меньше — и
дегустатор с утонченным вкусом скажет, что качество
пищи снизилось.
Есть у максимума антипод — минимум. Минимум —
это как бы дно впадины, из которой, куда ни шагни, все
дороги ведут только вверх.
Правда, если шагать все дальше, возрастание где-то
может смениться и спадом. Про минимум говорят тогда,
что он локальный. Звание абсолютного минимум
получает лишь тогда, когда это наименьшее значение функции
для всей области определения. Если на всем ее
протяжении локальных минимумов несколько, то абсолютный
нужно еще поискать. Может, кстати, оказаться, что
функция принимает наименьшее значение в граничной
точке области определения. (Все сказанное легко
перефразируется по отношению к наибольшему значению,
абсолютному и локальным максимумам.)
В семье элементарных функций, которая поставляла
примеры для наших предыдущих рассуждений, боль-

шинство составляют функции, либо всюду
возрастающие, либо всюду убывающие. Такое преобладание
отнюдь не характерно для всего огромного мира
функциональных зависимостей. На практике гораздо чаще
приходится иметь дело с такими представителями этого
мира, которые наделены обоими качествами: местами
они возрастают, местами убывают. Участки убывания и
возрастания стыкуются в точках максимумов и
минимумов. Подобное можно увидеть у параболы или
синусоиды. Проследите эти графики, слева направо, от меньших
аргументов к большим: в точке минимума спад
сменяется ростом, в точке максимума — наоборот.
Общая стыкующая роль максимумов и минимумов
подчеркивается их обобщающим названием
«экстремум». Как под словом «ребенок» подразумевается либо
мальчик, либо девочка, так понятие экстремума
распадается на понятие максимума и минимума.
«Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица
заслуживает того, чтобы быть включенной в правила НОТ.
Тем более что за ней так и видится графическое
выражение, к чему так склонны теоретики научной организации
труда.
Повелительное звучание
пословицы явно рассчитано
на борьбу с
противоположной, весьма
распространенной манерой работы. На нее
тоже есть своя пословица: ....._. . . . ,
«Горяч на почине, да скоро *** £?ет
остыл».
Обе функции, представленные на графиках
зависящими от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют
кривые, расти можно по-разному.
Наклон одной кривой постоянно увеличивается. Рост
функции усиливается с ростом аргумента. Такое
свойство функции называется вогнутостью.
Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост
функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство
функции называется выпуклостью.
Если вам хочется получше уяснить различие между
выпуклостью и вогнутостью, сравните график роста
человека с графиком роста населения Земли. Здесь опять-
таки и та и другая функции возрастающие. Но рост че-
69

ловека со временем замедляется: достигнув зрелого
возраста, человек уже не растет. Население Земного шара,
напротив, с течением времени растет все быстрее и
быстрее. В первом случае мы говорим о выпуклости, во
втором — о вогнутости.
Нетрудно найти иллюстрации этим понятиям и среди
элементарных функций. Показательная функция —
вогнутая. Логарифм, корень квадратный — выпуклые.
Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из
пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь
подольше к его полету: достигнув максимальной высоты, он
начинает падать; однако искривление его траектории
сохраняет прежний характер, и это подсказывает, как
распространить понятие вогнутости и выпуклости на случай
убывающих функций. Все усиливающийся спад — это
выпуклость. Все замедляющийся — вогнутость.
Парабола вершиной вниз представляет собой
вогнутую функцию: сначала она спадает все
замедляющимися темпами, потом нарастает все ускоряющимися.
Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для
положительных значений аргумента. Другая ветвь
гиперболы — выпуклая.
Напоследок стоит отметить, что одна и та же функция
может иметь как участки выпуклости, так и участки
вогнутости — поглядите на ту же синусоиду. Точки, в
которых выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот,
называются точками перегиба.
«Это сказка про белого бычка». Так говорят, когда
какое-то дело безнадежно затягивается, когда раз за
разом попытки уладить его приводят к пустому или
бессмысленному результату.
Поговорку знают все, но не каждый знает, как
рассказывается сказка. Важная деталь рассказа —
реакция слушателя. Сказка представляет собой диалог:
— Рассказать тебе сказку про белого бычка?
— Расскажи.
— Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе
сказку про белого бычка?
— Так давай же!
— Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе
сказку про белого бычка?
— Ну, хватит!
70

— Ты ну хватит... и так далее.
Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют
цитированием первых слов- песни «У попа была собака».
Ради полноты приведем и ее.
«У попа была собака. Он ее любил; Она съела кусок
мяса. Он ее убил. И в землю закопал. И надпись
написал: «У попа была собака/Он ее любил...» и так далее.
Белый бычок и поповская собака нужны нам для
разговора о периодических функциях, для уяснения
математического понятия периода и тех искажений, которые
привносятся в него обыденной речью.
Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли
не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть
более или менее строгой. Достаточно сравнить между
собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни
возьми, она обязательно повторится через 89 букв. Про
первый текст такого не скажешь.
§ 1850 1860 1870 1880 1890 /990 1910 ЖО 7950 1940 1950 &>$
В обыденной речи утвердилось выражение «период
солнечной активности». Если бы все явления на Солнце
подчинялись строгой периодичности, их можно было
предсказывать на сколь угодно долгий срок. Стала бы не
нужна всемирная служба Солнца с ее круглосуточными
наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой
хлеб астрономы, гадающие, как в ближайшее время
изменятся количество солнечных пятен, интенсивность
солнечных вспышек и т. п.
Вся эта огромная армия может быть спокойна за
свое будущее. Максимумы и минимумы солнечной
активности сменяют друг друга через неодинаковые
промежутки времени и не совпадают по величине. Можно
говорить об их чередовании, о периодичности же в
строгом смысле не может быть и речи.
Большей строгостью проникнуто выражение
«периодическая печать». Газеты выходят день за днем, а если
понедельник и пропускается,^ то можно говорить о
недельном периоде. Журналы печатаются из месяца в
71

месяц или из декады в декаду, из недела в неделю.
Однако абсолютной строгости понятие периода не
достигает и тут. Она была бы здесь лишь тогда, если бы время
выхода соблюдалось с абсолютной точностью, а тексты
полностью совпадали.
По-видимому, безупречные примеры периодичности
способна дать только математика. Здесь периодической
называется всякая такая функция/любое значение
которой в точности повторяется каждый раз, когда аргумент
увеличивается на определенную величину, называемую
периодом.
(Стоит заметить, что для периодической функции нет
меньшей по сравнению с периодом величины того же
свойства. Большие могут быть: значения функции будут
повторяться и через два периода, и через три, и так
далее. Вот почему иногда говорят о наименьшем периоде
периодической функции.)
Прекрасные примеры периодических функций дает
тригонометрия: синус, косинус, тангенс... Вспомните наш
рассказ про динамомашину, вспомните, как
вращающаяся рамда размеренно и точно раз за разом занимала
каждое из своих положений, вспомните пояснявшие
рассказ чертежи: цикличность процесса естественным
образом обусловливает периодичность описывающих его
функций в их зависимости от угла и времени.
Для синуса и косинуса период составляет 360°, для
тангенса— 180°.
Психологи советуют: если вам нужно запомнить
большой объем информации (скажем, большой текст),
вообразите себя прогуливающимся по хорошо знакомой
улице и мысленно привязывайте отдельные куски текста к
подъездам домов, афишным тумбам, киоскам... Когда
потребуется воспроизвести заложенное в память, нужно
вновь мысленно отправиться на прогулку по той же
улице и считывать фразу за фразой с подъездов, заборов,
киосков...
Немало информации о свойствах функций было
предложено вашему вниманию на предыдущих страницах.
Чтобы понадежнее уложить в память эту информацию,
давайте воспользуемся советом психологов.
Отправимся в путь на автомобиле по шоссе из пункта
А в пункт Б. Будем внимательно приглядываться к
рельефу дороги, связывая с его особенностями математиче-
72

ские термины. Мысленно представим высоту в каждой
точке пути над некоторым воображаемым
горизонтальным уровнем как функцию расстояния, пройденного
вдоль этой горизонтали. Промежуток от Л до £ —
область определения описанной функции.
Ровный участок дороги естественно ассоциируется с
термином «константа». Дорога идет под уклон — это
монотонное убывание. Кончился спуск — и водитель
включает газ, отмечая тем самым точку минимума. Дорожный
знак указывает подъем, а у математика наготове свой
минимум максимум
термин — монотонное возрастание. Перевалили за
гребень холма — пройдена точка максимума. И снова
началось монртонное убывание, то есть спуск. На холмах
дорога выпукла, в ложбинах вогнута, Не отмеченные
дорожными знаками, стыки таких участков математик
отметит про себя как точки перегиба.
Математические категории, о которых шла речь в
этом описании, естественным образом делятся на две
группы. Одни описывают поведение функции в
окрестности некоторых характерных точек (максимум,
минимум, перегиб), другие — в некоторых промежутках
(выпуклость, вогнутость, убывание, возрастание).
Чтобы в общих чертах воспроизвести профиль
дороги, на графике достаточно наметить его сначала в
окрестностях характерных точек, а затем, воспроизводя его
поведение в промежутках, заполнить пробелы.
По таким правилам можно восстановить облик любой
функции. Так удобнее рисовать даже те функции,
которые выражены формулами, как говорят, заданы
аналитически.
Но как по формуле функции определить ее
характерные точки?
73

Об этом мы еще поговорим, когда речь пойдет о
производных.
•
Обкатанные в автомобильных прогулках, отточенные
на оселке народной мудрости, наши навыки обращения
с функциями мы применим сейчас во вполне серьезном
деле.
Физикам важно знать, как ведут себя газы при
различных температурах и давлениях. Поведение газа
определяется взаимодействием между его молекулами.
Предположим для простоты, как это часто делается в
физике, что молекулы — это маленькие упругие шарики.
Рассмотрим две такие молекулы и будем изучать,
какому закону подчиняется сила их взаимодействия.
Известно, что на больших расстояниях молекулы
взаимно притягиваются, причем с ростом расстояния
сила притяжения убывает, стремясь к нулю. При
сближении молекул она, напротив, возрастает. Когда шарики
сближаются до соприкосновения, в игру вступает еще
одна, противоположно направленная сила — сила
упругого отталкивания. Она тем больше, чем сильнее
прижаты шарики друг к другу, чем меньше расстояние между
их центрами. Гипотетически можно представить центры
молекул сближающимися на сколь угодно малое
расстояние, отчего сила их взаимного отталкивания возрас-
ла бы неограниченно.
Располагая такой не слишком обширной
информацией, можно приступать к графику. График должен
изобразить силу взаимодействия между молекулами как
функцию расстояния между их центрами.
Расстояние между центрами не может выражаться
отрицательным числом, не может и обратиться в нуль.
График рисуется над положительной полуосью абсцисс.
Это — область определения исследуемой функции.
Над дальним концом положительной, полуоси абсцисс
проведем прилегающий к ней вогнутый штришок. Своей
близостью к горизонтальной оси он покажет, что с
удалением молекул друг от друга сила их взаимодействия
убывает до нуля, а вогнутой формой — что при
сближении молекул сила их взаимного притяжения возрастает
все круче; В точке с абсциссой, равной удвоенному
радиусу молекулы, на условной высоте отметим точку
перегиба; в этой точке силы упругого отталкивания,
вступив в игру, заставляют кривую графика сменить свое
74

прежнее, все более крутое возрастание на возрастание
все более замедляющееся. В точке с абсциссой, еще
меньшей, на чуть большей высоте проведем дужку
выпуклостью кверху. Она означает, что сила
взаимодействия достигла максимума: с дальнейшим уменьшением
аргумента силы упругого отталкивания преобладают над
А
1 4
1
I I
V __
L*.—, — * Л
II
силами притяжения, кривая устремляется вниз.
Выпуклый отвесный штрих проведем у нижнего конца оси
ординат, чуть правее от него. Эта деталь показывает, что
сила отталкивания между молекулами неограниченно
возрастает, когда их центры неограниченно сближаются.
Поскольку сила взаимодействия между молекулами
определена для любого расстояния между их центрами,
график должен быть непрерывной линией. Соединим
намеченные штрихи гладкой кривой.
Такую картину часто можно увидеть в книгах по
физике, правда, в перевернутом виде; у физиков сложилась
традиция трактовать силы притяжения как
отрицательные величины, силы отталкивания — как
положительные.
Кривые такого сорта послужили для построения
теории реальных газов, сформулированной Ван-дер-Вааль-
сом.
Оси координат играют для ветвей нашего графика
особую роль. Бесконечно удаляясь от начала координат,
ветви графика как бы притягиваются к этим
своеобразным прямолинейным направляющим, неограниченно
сближаются с ними. Такие прямые называются
асимптотами.
Так случилось, что в нашем примере асимптотами
служат горизонтальная и вертикальные прямые. Более
характерно употребление этого термина по отношению к
наклонным прямым, когда к ним неограниченно
приближаются ветви графика, уходящие в бесконечность.
75

Что нынче в моде? Этот вопрос встает перед каждым,
кто задумал шить костюм или хотя бы брюки. Что
заказывать — клеш или дудочки? Какую ширину
предписывают брюкам модные журналы в этом сезоне?
Ревностный поклонник моды тем и отличается, что он
всегда знает ответ на такой вопрос. Ему известна
зависимость ширины брюк от сезона. Известна мода как
функция времени.
*1
-t?—т? ■#-
——-"f^ С*
I И М II I ,1, 1 I ,1 ■
1 I I.Ct.l.j
1920 1925 1930 1935 1940 №5 1950 1955 1960
1970 1075г.
Ну, а если клиент — невежда в вопросах моды? Что
ответить закройщику на его роковой вопрос: «Брючки
понизу сколько сантиметров делаем?»
Клиент в замешательстве. И не дай ему бог ляпнуть
наугад первую пришедшую на ум цифру. В ответ он
рискует услышать презрительное: «Э, батенька? Такое
носили лет пять назад, да перед самой войной, да еще при
царе Горохе...»
Оставим на этом вконец сконфуженного заказчика.
Проанализируем слова закройщика, ибо в них нам
видится подлинно математическое содержание.
Что же он сказал? По ширине брюк он указал годы,
когда носили такие брюки. По значению функции моды
он установил значение аргумента. То есть значение
функции закройщик рассматривает как аргумент,
а прежний аргумент стал при этом функцией.
Ясно, что тем самым закройщик сконструировал
некую функциональную зависимость, тесно связанную с
первой. Говорят, что по отношению к первой такая
зависимость является обратной.
Из ателье перенесемся в поликлинику. Врач велит
пациенту измерить температуру. В стеклянной трубочке,
которую пациент сует под мышку, заключен столбик
ртути. Он удлиняется от тепла человеческого тела.
Вспоминается часовая мастерская Гаррисона и опыты, в кото-
76

рых мастер определял длину металлических стержней
как функцию их температуры. Здесь врач проделывает
нечто обратное: rib длине жидкого ртутного
«стерженька» он определяет температуру пациента. Он строит
обратную функцию по отношению к той, которую изучал
Гаррисон.
Разумеется, к вопросу можно подойти с другой
стороны и назвать прямой функцию, с которой имеет дело
врач, и обратной ту, знание которой прославило Гарри-
сона. А если быть справедливым до конца, то обе
функции нужно назвать взаимно обратными.
Противопоставлять их имеет не больше смысла, чем решать, кто из
двух близнецов старше.
Правда, порой одна из двух взаимно обратных
функций более употребительна, более привычна, ее символ
примелькался больше и подобная неравноценность
играет свою роль при распределении званий «прямая» и
«обратная». Арксинус, арктангенс называют обратными
тригонометрическими функциями, молчаливо отдавая
звание прямых синусу и тангенсу.
Из поликлиники — на космодром. Ракета, летящая в
космическом пространстве, наращивает скорость по
закону логарифма: именно эта4 функция позволяет по
массе израсходованного топлива указать скорость ракеты.
Скорость — функция, масса топлива — аргумент. Но
часто возникает обратная задача, когда исходным
пунктом расчета является скорость ракеты. Чтобы вывести
спутник на орбиту, ракета должна развить первую
космическую скорость. Какое количество топлива
потребуется ракете, чтобы достичь назначенной скорости? Масса
топлива в этом вопросе уже мыслится как функция,
скорость — как аргумент. Задачу решает функция,
обратная к логарифмической,— показательная.
77

Функция логарифмическая и функция показательная.
Сведем их на одном графике. Бросается в глаза: они
расположены симметрично относительно биссектрисы угла,
стороны которого — оси координат. Это не удивительно —
ведь переход от прямой функции к обратной заключается
в переименовании: функция становится аргументом,
аргумент функцией.
Заметим, что функция, обратная линейнрй,— это опять-
таки линейная функция. Простейшая из линейных
функций та, что равна аргументу,— обратна по отношению к
самой себе, что, впрочем, очевидно: ее график совпадает
с биссектрисой угла между координатными осями.
Корень квадратный и парабола тоже являются
взаимно обратными функциями, и графики их тоже
симметричны относительно той же биссектрисы.
А теперь — снова в ателье. Анализируя слова
закройщика с математической точки зрения, мы поначалу не
обратили внимания на то, что он назвал сразу несколько
значений функции, обратной к функции моды («...пять
лет назад, да перед самой войной, да еще при царе
Горохе»). Задумаемся над этим сейчас.
Мода повторяется, и это делает неоднозначной
функцию, значения которой называет закройщик. Та же
причина делает неоднозначной и арксинус — функцию,
обратную синусу.
В математике, как мы уже отмечали, принято
рассматривать лишь однозначные функции. Именно поэтому
математик, отразив относительно биссектрисы
координатного угла график синуса, оставляет от него лишь
небольшой участок и называет его главной ветвью аркси-
* нуса (см. верхний рисунок на стр. 81).
Резонно полюбопытствовать: какие же свойства
функции гарантируют то, что обратная к ней окажется
однозначной? Эти свойства — непрерывность и
монотонность.
О первом из двух понятий речь впереди* а второе нам
уже знакомо.
Беря в качестве примера взаимно обратных функций
параболу и корень квадратный, мы не случайно взяли от
параболы лишь одну половину. Если параболу не урезать
до монотонного вида, то в результате ее отражения
относительно биссектрисы координатного угла получится
такой график, с которого значения корня квадратного
можно брать и со знаком плюс, и со знаком минус. А
78

это — тот самый случай, по поводу которого мы
говорили когда-то о нежелательности многозначных функций в
математике.
Не было гвоздя —
Подкова пропала.
Не было подковы —
Лошадь захромала.
Ограничимся пока этим, ибо дальше в стихотворении
идут совсем уж страшные вещи — гибель командира,
разгром армии и так далее и тому подобное.
Итак, лошадь. С чего начались ее неприятности? С
того, что непрочно державшаяся подкова отвалилась.
А отчего подкова держалась непрочно? Оттого, что
кузница не обеспечила штатного количества гвоздей.
Боевое состояние лошади зависит от прочности
крепления подковы. Состояние лошади — функция, прочность
крепления — аргумент. Но эта прочность, в свою очередь,
обусловлена количеством гвоздей. Прочность —
функция, количество гвоздей — аргумент.
Так что же получается? Прочность крепления
подковы — это одновременно и функция и аргумент. Нет ли
здесь противоречия? Не ведет ли это к путанице?
Напротив! Описайная конструкция из
функциональных зависимостей ведет к прояснению многих важных
вопросов.
Бывает, что изучить зависимость какого-то явления
от первопричины оказывается делом сложным.
Чувствуется, что взаимообусловленность между ними есть, но
перекинуть прочный мост четкой функциональной
зависимости от одной к другой не удается. Дело
облегчается, если между чрезмерно далекими берегами
посчастливится отыскать остров — некоторый фактор, который
является следствием первопричины и причиной
окончательного, исследуемого следствия. Иными словами,
когда удается построить некоторую промежуточную
функцию, для которой независимая переменная служит
аргументом, в" то время как сама промежуточная функция
служит аргументом для исследуемой функции. И
безнадежно разобщенные прежде берега оказываются
связанными этаким двухарочным мостом.
И неясная прежде связь между комплектностью
кузнечного оборудования и боеспособностью конницы про-
79

ясняется введением промежуточного
звена*—прочностью крепления подков на копытах лошадей.
Цодобная конструкция из двух функций называется
их суперпозицией, или сложной функцией.
В ходе пристального анализа цепочка
функциональных зависимостей может удлиняться: былая
первопричина обнаруживает обусловленность более глубокими
факторами, а от явления, на котором прежде
останавливался взгляд исследователя, тянется вереница далеко
идущих следствий. Двухарочный мост становится подобным
акведуку.
Взять хотя бы наше стихотворение:
Лошадь захромала —
Командир убит.
Конница разбита —
Армия бежит.
Враг вступает в город,
Пленных не щадя.
Оттого, что в кузнице
Не было гвоздя.
Поэт видит корень зла в гвозде и умалчивает о
причинах недостачи. Расследование можно продолжить.
Может быть, администрация кузницы халатно относится
к своим обязанностям? А может быть, ее подвели
снабженцы? А может быть, завод-изготовитель не выполнил
план? Или подкачали смежники?
Шутки шутками, а* между тем подобные цепочки
функциональных зависимостей возникают при анализе
одной из серьезнейших проблем нашего времени. Эта
проблема — «Человек и окружающая среда».
Ученые утверждают, что в наше время ледники тают
быстрее, чем, скажем, века два назад. И одну из причин
этого явления усматривают в развитии промышленности.
В чем дело? Может быть, в том, что топки заводов и
фабрик греют атмосферу и это вызывает таяние льдов?
Нет, на столь непосредственное воздействие вряд ли
хватит тепловой энергии, выделяемой заводами и
фабриками. Дело здесь в другом.
Замечали ли вы, как быстро тает весной грязный
снег при дорогах и как долго лежит он, чистый, на
полях?
Пыль, копоть и прочие им подобные плоды
цивилизации загрязняют атмосферу, переносятся ветрами на
огромные расстояния, оседают на ледниках, и загрязнен-
80

к у я Л/*£5//7 Я?
90±
=arc$inx
/
sMO*
/ ii 5
Si
1 ^*
f ' j»
0' / #
•90°
И80*
ный лед интенсивнее
поглощает солнечные лучи, тает
быстрее.
Налицо сложная
функция, или суперпозиция.
Количеству топлива,
потребляемому заводами и
фабричками планеты, соответствует
определенное количество
пыли и копоти,
выбрасываемое в атмосферу, а этому
количеству соответствует
определенное количество
еолнечной энергии,
поглощенное ледниками.
Зная эту сложную
функцию, можно приступать к
анализу загадочного прежде
таяния ледников.
Эта кривая,
напоминающая головной убор времен
Наполеона, — своеобразный
фирменный знак теории
вероятностей. Там она
называется кривой нормального
закона распределения оши- -%
бок, или кривой Гаусса.
Казалось бы, этой
функции, как и функции Бесселя,
можно посочувствовать:
такая известная, такая
распространенная, а звания
элементарной не удостоена.
Не надо спешить с
соболезнованиями. Ведь
элементарными функциями, как
мы уже говорили,
считаются не только полиномы и корни, логарифмическая и
показательная, тригонометрические и гиперболические
функции, не только все те, что получаются из них с
помощью сложения и вычитания, умножения и деления,
но также обратные к ним (например, арксинус или
арктангенс), и их суперпозиции.
у=-х*
81

Функция нормального распределения ошибок как раз
и представляет собой суперпозицию двух элементарных
функций, показательной и параболы, взятой со знаком
минус перед нею, а потому по праву принадлежит к
числу элементарных.
Беря различные функции, можно создавать
разнообразнейшие их суперпозиции. Но будьте осторожны!
Помните определение суперпозиции двух функций: одна
служит аргументом для другой. Значит, область
значений первой функции должна попадать в область
определения второй. Забвение этой важной детали может
привести к курьезам. За примерами ходить недалеко.
Мы только что говорили про суперпозицию
показательной функции и параболы со знаком минус перед нею.
Замените в этом сочетании показательную функцию
функцией «корень квадратный» — и вы увидите, что
получившаяся при этом сложная функция имеет смысл
лишь при нулевом значении независимой переменной.
Ведь корень квадратный нельзя извлекать из
отрицательных чисел!
•
Смешная картинка, не правда ли? А почему она
смешна? Потому что в ней есть подвох. Ваш взгляд
скользит по ногам человечка, затем, как вы думаете,
вдоль туловища, скрытого газетой, затем подходит к
краю газеты, ожидая встретить там голову... ан нет! Го-
14
\
лова оказывается совсем в другом месте. Фигура
нарисованного человечка оказывается разорванной.
Сравните теперь эти графики— какая из двух
функций более похожа на человека с газетой?
Конечно, вторая! Прослеживая взглядом ход линии,
82

при подходе к значению аргумента а, мы
обнаруживаем, что значение функции в этой точке, указанное
жирным кружком, совсем не то, что ожидалось,— как на
приведенном выше рисунке.
Первая из функций, представленных графиками,
называется непрерывной в точке а, вторая — разрывной в
этой точке.
Непрерывность и разрывность — одни из важнейших
понятий, применяемых для анализа функций.
Судя по элементарным функциям, непрерывность —
явление весьма распространенное в мире
функциональных зависимостей, разрывность же, напротив,—
экзотическое, так что наглядные примеры разрывных функций
подберешь не вдруг:' Но мы все-таки попробуем их
поискать.
Замечали ли вы, читатель, как гасят свет в
кинотеатрах перед началом сеанса? Осветитель медленно
поворачивает рычажок реостата, и свет едва заметно и
непрерывно гаснет, превращаясь в тьму.
Попробуйте воспроизвести это медленное и
непрерывное угасание дома, попытайтесь так же загасить люстру,
поворачивая рычажок тумблера,— у вас ничего не
получится, даже если вы крепко будете держать рычажок,
не давая ему срываться. По мере его поворота свет до
поры до времени ничуть не убудет в яркости — и вдруг
мгновенно погаснет, так что тьма останется неизменной
при дальнейшем движении рычажка. Подобный переход
от света к тьме описывается разрывной функцией.
Конечно, не следует придавать чрезмерного значения
тому, что тумблеры чаще служат выключателями, чем
реостаты. И все-таки приведенный пример позволяет ут-
83

верждать, что разрывные функции необходимы для
описания совсем не таких уж редкостных явлений и
устройств.
Как же определить понятия непрерывности и
разрыва?
Не мудрствуя лукаво, можно сказать, что
непрерывная функция — это такая, график которой можно
нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. А
разрывная — такая, которую так и не нарисуешь.
К сожалению, математиков такое определение не
удовлетворит, ибо фигурирующие в нем карандаш и
бумага — понятия нематематические. В строгом
математическом определении должны содержаться лишь
логические и количественные понятия.
Однако, поставив вне закона карандаш и бумагу, мы
вовсе не отказываемся от наглядности. Определение
непрерывности мы дадим с помощью картинки — той
самой, с которой начинался этот отрывок, а точнее, с
помощью газеты, которую держит в руках человечек.
Возьмем у человечка его газету и наложим ее на
первый из вышеприведенных графиков, причем так, чтобы
ее центр совпал с той точкой на линии графика, где
функция исследуется на непрерывность. (Собственно, от
слова «газета» уже можно отказаться и говорить о
прямоугольнике с центром в интересующей нас точке.)
Мы можем так обрезать газету с краев, что график
функции на цсей ширине газеты не вылезет за ее верхний
и нижний край. Суть определения непрерывности заклю-
а-о а а+ох
чается в том, что такое можно сделать с газетой любого
размера, с тетрадным листом, с почтовой открыткой,
с трамвайным билетом, с прямоугольником любой
высоты: задавшись этой высотой, прямоугольник можно
затем так сузить с боков, что в столь узком промежутке
отклонения функции от ее значения в исследуемой точке
я-cf а а+$ х
84

будут меньше, чем высота прямоугольника. Такая
функция и называется непрерывной в данной точке.
Функция называется разрывной в данной точке, если
описанная процедура оказывается невыполнимой.
Говоря точнее, если найдется прямоугольник такой высоты,
что как ни сужай его с боков, на любом зауженном
промежутке найдется точка, по крайней мере одна, в
которой значение функции будет выступать либо за верхний,
либо за нижний край прямоугольника.
Если предыдущий раздел начинался со смешной кар-*
тинки, то этот начнется с загадочной.
Часть графика функции, расположенная правее
некоторой точки а, закрыта. Не видно также, какое
значение функция принимает в самой точке а. Чтобы
подчеркнуть это обстоятельство, видимая
часть графика закончена стрелочкой
в той точке, в которой обрывается
кривая.
Попробуем угадать — каков
дальнейший ход графика? Как ведет себя
та его ветвь, что скрыта от глаз?
Возможны варианты.
Читатель, конечно, догадывается,
что стрелка справа несет ту же
смысловую нагрузку, что и стрелка слева. Как и раньше,
значение функции в исследуемой точке отмечено жирным
кружком. Функция может оказаться и не определенной в
точке а; тогда жирного кружка на графике нет.
Если стрелка упирается в жирный кружок, то она
становится излишней и ее можно убрать. Если поступить
так с первым графиком, то после исправления мы
узнаем в нем обычную непрерывную функцию. Функцию,
представленную вторым графиком, естественно назвать
непрерывной справа, представленную третьим — непре-
85

рывной слева. Но непрерывной в точке а —
повторяем!— можно назвать лишь функцию, изображенную на
первом графике; все остальные, как принято говорить,
испытывают разрыв в точке а.
Теперь приглядимся внимательнее к неисправленным
вариантам и подумаем: что у них общего, несмотря на
все их различия? Нет, не только левая ветвь, но и
ордината точки, в которую указывает стрелка левой ветви
(на графике она отмечена буквой А). Это число именуют
особым названием — левым пределом функции (или
пределом слева) в точке а. По симметрии число В называют
правым пределом функции (или пределом справа) в
точке а.
Функцию естественно назвать непрерывной в точке а,
если у нее в этой точке предел слева совпадает с
пределом справа и оба предела совпадают со значением
функции в этой точке.
Как же определить понятие предела функции?
В строгом определении, очевидно, не годятся
описания типа: «Ордината точки, к которой тодходит взгляд,
следя за ходом графика». «Следить взглядом» —
понятие не математическое. Однако из него нетрудно извлечь
вполне математическую идею: ведь в нем слышится
отзвук уже знакомого нам термина «последовательность».
Что будет, если к значению а устремить слева
некоторую последовательность аргументов, не совпадающих
с а? (говорим «не совпадающих», потому что функция
может быть и не определена в точке а). К какой
величине устремится последовательность значений функции?
К значению А — подсказывает график. Так вот, если
такое будет происходить при любом выборе
последовательности аргументов, сходящейся к а слева, то число А
называется левым пределом функции (или пределом
слева) в точке а. Точно так же определяется и предел
справа.
Годится для определения и «метод газеты».
Разместим «газету» так, чтобы ее центр очутился в точке
графика, соответствующей предполагаемому пределу —
скажем, пределу сйева. Если при любой высоте «газеты»
ее левую половину удается обрезать сбоку настолько, что
зетвь графика, идущая налево, на урезанном
промежутке не выступает ни за верхний, низа нижний край газеты,
то предполагаемый предел действительно является левым
86

пределом функции в точке а. (Напомним, что значение
функции в самой точке а в рассуждениях о пределе не
принимается во внимание.) Точно так же по «методу
газеты» определяется и предел справа.
В обоих определениях можно рассматривать сразу обе
половинки окрестности точки а. Так, в первом
определении можно строить такие сходящиеся к а
последовательности, члены которых могут быть как меньше, так и
больше а (но не совпадать с а). И если полученные при
этом последовательности значений функции всегда будут
сходиться к некоторому пределу, то он будет называться
просто пределом функции в точке а. Во втором
определении можно рассматривать значения функции на всем
протяжении «газеты» как вправо, так и влево от точки
а. И если знакомая нам процедура урезания каждый
раз позволяет заключать линию графика в рамки
«газеты», то ее центр будет называться пределом функции
в точке а.
Напоследок — одно замечание. На картинке, с
которой начался предыдущий раздел, можно было закрыть не
правую, а левую половину. Домысливание графика
согласно уже перечисленным вариантам не даст нам ничего
принципиально нового, разве что в последнем случае.
Здесь в результате дополнения
может получиться нечто вот та- \у Л
кое: [ V
Оба графика соответствуют 7Р\?д >\
разрывным функциям: ведь ни i ii *
та, ни другая не имеют
конечного предела в точке а. Иногда в таких случаях говорят, что
функция в этой точке стремится к бесконечному пределу,
обращается в бесконечность, имеет бесконечный разрыв
и т. п.
Линейная и показательная функции, парабола и
корень квадратный — каждая из них непрерывна в лк}бой
точке своей области существования. Непрерывна всюду,
как говорят в таких случаях.
Прекрасные примеры всюду непрерывных функций
дают процессы движения. Причина в том, что
пространство и время непрерывны.
Недаром мы так охотно прибегали к образам
движения, начиная рассказ о непрерывности. Но заметим:
когда дело дошло до строгих определений, мы перешли
\У
87

к статическим* изображениям прямоугольников,
обрезаемых то с боков, то сверху и снизу.
Если угодно, в этом переходе отразился
знаменательный перелом в развитии математики.
Создавая учение о функциях, математики поначалу
охотно доверялись наглядным кинематическим
аналогиям, памятью о которых в математической терминологии
до сих пор остались слова «стремится», «возрастает» и
т. п. Аналогии часто были весьма плодотворными, но
нередко заводили в тупики парадоксов. Решение
парадоксов стало возможным лишь после того, как французский
математик Коши выбросил из уже созданного учения о
функциях ненужные остатки динамических образов и
заменил их статическими.
Так возник тот «язык эпсилон-дельта», на котором
ныне трактуются понятия непрерывности и разрывов,
предела и производной (название языку дали
применяемые в нем обозначения для разброса функции и
аргумента — присмотритесь к разметке прямоугольников-газет
на рисунках).
И любопытно: нарочито статичный язык позволил
объяснить многие запутанные феномены движения,
вроде пресловутых парадоксов Зенона, позволил подвести
логическую базу под те представления о движении, на
почве которых развивались первые идеи учения о
функциях.
Что ж, это нередкое явление в развитии науки:
ученый охотно доверяется подсказывающей силе наглядных
образов, но затем логическим анализом проверяет
подсказки и все достигнутое благодаря им.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Знаете ли вы, что такое ралли?
Это автомобильные гонки, успех в которых
определяется соблюдением программы соревнований. Скажем,
соблюдением сроков, отведенных на отдельные этапы
маршрута: штрафные очки назначаются и за опоздание,
и за опережение.
...Двое, сидящие за столом, завтра займут свои места
в автомобиле. Водитель и штурман, сегодня они
обсуждают тактику движения на предстоящем этапе ралли.
88

Лучший вариант, казалось бы, прост: по известному
расстоянию до пункта назначения и отведенному
времени рассчитать среднюю скорость движения и стараться
придерживаться ее на всем пути. На графике
зависимости пройденного пути от времени такой идеальный
режим изобразится прямой с угловым коэффициентом,
равным скорости.
Длина предстоящего этапа — 300 км, отпущенное на
него время — 3 ч. Средняя скорость движения
получается отсюда простым делением: 100 км/ч.
Однако постоянная скорость — идеал едва ли
достижимый. Выдерживать ее во все время пути
затруднительно. Да и неразумно: трудные участки лучше
проследовать помедленнее, а на ровных и прямых, напротив,
поднажать. Вот и рекомендуемый график движения,
розданный участникам ралли, заметно уклоняется от
идеальной прямой: судя по графику, стартовать
предлагается не спеша и наверстать упущенное к концу этапа.
Но как определить поточнее режим скорости,
верность которому обеспечит рекомендуемую зависимость
пути от времени? Иными словами, как, зная зависимость
пути от времени, вычислить скорость в каждый момент,
мгновенную скорость? Чему, судя по приведенному
графику, она равна, например, через час с момента старта?
Средняя скорость на всем этапе в целом способна
дать лишь грубый оценочный ответ на такие вопросы:
отклонения от нее за все время пути могли быть весьма
велики.
А если ограничиться отрезком времени покороче? Не
станет ли от этого средняя скорость более точной
оценкой скорости мгновенной?
89

Измерим среднюю скорость автомобиля за час,
начиная с интересующего нас момента. Как свидетельствует
график, на этом отрезке времени она составляет 95 км/ч.
Повторим измерения на получасовом интервале от
выбранного мгновения. Средняя скорость упала до
86 км/ч.
Можно надеяться, что эта цифра уже точнее
оценивает мгновенную скорость в интересующий нас момент:
дуга графика, которой мы ограничились на сей раз,
едва заметно отклоняется от отрезка прямой,
стягивающего ее концы.
Это побуждает брать для измерений средней
скорости все меньшие промежутки времени: пятнадцать минут,
десять, пять, три, две, одну, половину, четверть...
Вот результаты этих последовательных замеров: 83;
82; 81; 80,6; 80,2; в0,1, 80,05 км/ч...
Полученная последовательность явно обнаруживает
стремление к пределу! Избранный нами путь ведет к
какой-то цели.
Сделаем решающий шаг к ней: устремим к нулю
продолжительность интервала, на котором измеряется
средняя скорость.
Измерения при этом будут становиться все труднее.
В самом деле — как вести их на протяжении десяти- или
статысячных долей секунды, за которые автОхМобиль
проходит лишь доли миллиметра? На пути к пределу мы
где-то перейдем грань между автомобильным спортом и
чистой математикой. Но это не должно нас путать, к
этому мы и стремились и автомобилем воспользовались
лишь для того, чтобы удобнее и быстрее добраться до
цели.
90

Предел, к которому стремится средняя скорость на
уменьшающихся до нуля, стягивающихся к данному мо-*
менту отрезках времени (если этот предел существует!),
и называется мгновенной скоростью в данный момент.
Посмотрим еще раз на построенные графики. Мы
видим на Щ1х последовательность секущих. Каждая
проходит через две точки кривой. Одна из этих точек — общая
для всех секущих и неподвижна. Другая стремится к ней,
так что расстояние между ними последовательно
уменьшается до нуля, до слияния обеих точек в одну.
Предельное
положение секущих есть
касательная — прямая,
имеющая с кривой лишь
одну общую точку
(таково определение
касательной) .
Итак, исследуя
вопрос о мгновенной ско-
Зша
рости, мы нашли способ
построения касательной. Мы
видим, что она проходит
через заданную точку графика
пути с угловым
коэффициентом, равным мгновенной
скорости в соответствующий
момент времени.
Так камень, сорвавшийся
с пращи, свободно летит по
касательной к прежней
траектории, указывая
направление своей скорости в момент
отрыва.
г
i*
I ,
|§
V
Is
______
л\
h
Т
L
~ " " "
91

Касательная к графику пути меняет наклон от точки
к точке. Каждому моменту времени соответствует свое
значение мгновенной скорости. И для каждого момента
рассчитать ее можно t помощью точно той же
процедуры, с которой мы только что познакомились.
Вот итог таких расчетов. Точно придерживаясь
такого графика скорости, наши автомобилисты в своем
движении в точности воспроизведут рекомендуемый график
пути.
У водителя и штурмана, которые на предыдущих
страницах так тщательно готовились к ралли,—
неприятности. Расчеты мгновенной скорости, точный ее
график — все насмарку. Стало известно, что сильные дожди
размыли дорогу на последних километрах предстоящего
этапа. Финишировать придется на пониженной скорости,
а грозящее отставание компенсировать прибавкой темпа
на среднем участке. Во всяком случае график скорости
придется перестроить — например, вот так:
Но вот вопрос: удастся
ки уложиться в заданный
срок, двигаясь в
соответствии с новым графиком
скорости? Не сулит ли он
в итоге штрафных очков
за опоздание или
опережение? Как рассчитать
пройденный путь по
графику скорости, которая
зт столь резко изменяется за
время движения?
Если бы скорость была неизменна, расчет не
представлял бы трудностей: пройденный путь был бы равен
произведению скорости на время. Та же формула
позволила бы довольно точно оценить пройденный путь, если
бы скорость за время движения менялась бы не слишком
сильно. Время в пути следовало бы умножить на
некоторое среднее значение скорости, лежащее где-то между
максимальным и минимальным — подобно тому, как на
прежнем графике скорости тонкая горизонтальная
прямая лежала между наивысшей и наинизшей точками
жирной кривой.
С новым графиком скорости, казалось бы, так уже
не поступишь. Слишком резко колеблется кривая. Лишь
92

на среднем участке ее можно без большой ошибки
заменить горизонтальной прямой, то есть счесть движение
равномерным, скорость — постоянной и путь,
пройденный за это время, рассчитать по той самой формуле:
«скорость на время». График движения на этом
промежутке времени изобразится прямолинейным отрезком.
На крайних участках .скорость меняется сильнее,
и если применить;такой же прием, погрешность будет
побольше. Но все-таки это лучше, чем ничего.
Так получается первый приближенный вариант
графика движения—трехзвенная ломаная. Наклбн
каждого звена равен прикинутой нами средней скорости
движения на каждом из интервалов разбиения.
Кажется, этап будет пройден не в срок, а с
опережением в добрую четверть часа. Но с уверенностью это
утверждать еще нельзя — больно уж неточен расчет.
Большие сомнения вызывает выбор средней скорости, в
особенности на крайних интервалах разбиения. График
скорости там слишком сильно отклоняется от
идеализированного среднего.
Будь интервалы поуже, эти отклонения были бы
наверняка поменьше, а результаты расчета — поточнее.
И действительно, разделив интервалы пополам и
повторив на каждом из шести новых интервалов ту же npov
цедуру, мы вычертим ломаную более гладкую. Еще раз
измельчим интервалы. Новый график отличается от
предыдущего уже слабее.
93

Проведем такие построения еще и еще раз, разбивая
отрезок времени на все более мелкие части. Можно
заметить, что новые графики все меньше отличаются друг от
друга. Сам собой напрашивается предельный переход:
устремить к нулю длину интервалов разбиения.
Ломаная превратится в гладкую кривую. Это и будет
график движения, для которого задана зависимость
скорости от времени.
График оказался удачным: придерживаясь
намеченного режима скорости, наши автомобилисты пройдут
предстоящий этап в назначенный срок.
•
Посмотрим еще раз на графики скорости, по которым
готовились к ралли знакомые нам водитель и штурман.
Расчет показал, что пути, пройденные в согласии с
тем и другим графиком, одинаковы.
Можно ли было заранее, по какому-то внешнему
признаку предсказать столь замечательное совпадение?
Такой признак на рисунках отмечен, штриховкой.
Это — площадь под той и другой кривой, точнее, площадь
той и другой заштрихованной фигуры, называемой
криволинейной трапецией.
Чтобы убедиться в справедливости признака,
посмотрим еще раз, как мы строили график пути по графику
скорости. Возьмем один из первых приближенных
вариантов графика — ломаную.
Каждое из ее звеньев мыслилось нами как график
некоторого равномерного движения. Путь, пройденный в
таком движении — подъем звена —равен произведению
времени да скорость.
От маленького звенышка на графике пути перейдем
взглядом к соответствующему интервалу времени на
графике скорости. Только что вычисленное произведение
94

приобретает здесь смысл площади — площади
прямоугольного столбика, имеющего этот интервал времени
основанием, а отмеченную горизонтальной ступенькой
среднюю скорость — высотой.
Звено за звеном — столбик к
столбику. Последовательное их
сложение дает величину, с
одной стороны, почти равную
пройденному пути, с другой — почти
равную площади под кривой
скорости. Говорим «почти», потому
что замена графика скорости
лесенкой горизонтальных ступенек
чревата погрешностями.
В результате предельного
перехода это «почти»
пропадает и остается точный вывод:
площадь под кривой скорости
на некотором отрезке времени
численно равна пути,
пройденному за это время в таком
режиме скорости.
Заметим: если скорость
отрицательна, отрицателен и путь,
поскольку он пройден вспять.
Иными словами, если кривая
скорости проходит под осью абсцисс, очерченная ею
площадь получается отрицательной. По этому поводу
говорят, что описанным способом площадь
определяется в алгебраическом смысле.
И вот что еще стоило бы заметить напоследок.
Понятие площади кажется весьма простым и не
нуждающимся в комментариях. А между тем если разобраться,
мы умеем определять площадь лишь для
прямоугольников (как произведение сторон) да для тех простых
фигур, которые удается перекроить в прямоугольник,
например для треугольников.
Читатель, вероятно, захочет добавить сюда и круг,
площадь которого выражается общеизвестной
формулой tcR2. Но мы воздержимся от добавки: ведь эта
формула получается отнюдь не перекройкой круга в
прямоугольник (иначе квадратура круга не была бы
проблемой!) , а с помощью процедуры, весьма похожей на
описанную выше: сначала круг разрезается на сектора,
95

затем сектора заменяются треугольниками,
треугольники неограниченно утоныпаются... Суть приема та же:
криволинейная фигура заменяется мозаикой из кусочков
с прямыми краями, площади которых определяются по
классической формуле, затем в процессе предельного
перехода мозаика дробится так, чтобы площадь
отдельного кусочка стремилась к нулю.
Так через предельный переход классическая формула
прямоугольника обобщается на криволинейные фигуры.
Настало время назвать своими именами вещи, о
которых только что шла речь. Тем более что имена это
громкие, широко распространенные, пользующиеся
заслуженным уважением и почетом.
Процедура, позволяющая находить мгновенную
скорость движения, используя зависимость пути от времени,
называется дифференцированием, а число, которое
получается в результате дифференцирования,—
производной. Итак, мгновенная скорость тела в данный момент
есть производная пути по времени в данный момент.
Каждому моменту времени соответствует свое
значение производной. Определенная таким образом функция
называется производной по отношению к исходной,
описывающей зависимость пути от времени.
Обратная процедура, позволяющая определять
пройденный путь, используя зависимость скорости от
времени, называется интегрированием, а число, которое
получается в результате интегрирования,— определенным
интегралом. Итак, путь, пройденный телом от одного
заданного момента времени до другого, есть определенный
интеграл от скорости по времени, взятый от начального
момента (он именуется нижним пределом
интегрирования), до конечного (верхнего предела интегрирования).
За верхний предел интегрирования можн9 принимать
различные моменты времени, и каждому будет
соответствовать свое значение пройденного пути, свое значение
определенного интеграла. Заданная таким образом
функция называется первообразной по отношению к
исходной, описывающей зависимость скорости от времени.
•
...«Вы знаете, Зося,—убеждал Остап Бендер Зосю
Синицкую, — на каждого человека, даже партийного,
давит атмосферный столб весом 214 кило».
96

Остап с его незнанием точных наук слишком занизил
цифру. Названная им величина была бы справедлива для
весьма большой высоты над уровнем моря. Ведь
атмосферное давление спадает с подъемом вверх, притом со
все убывающей скоростью. Любопытно, что этот спад
связан с другим характерным признаком больших высот,
разреженностью воздуха, и связан самым
непосредственным образом: скорость, с которой на той или иной
высоте атмосферное давление убывает по мере подъема, в
точности равна удельному весу воздуха на этой высоте.
И если бы вам захотелось определить эту величину,
зная зависимость давления от высоты,— к вашим
услугам операция дифференцирования.
К дифференцированию прибегают всякий раз, когда
встает вопрос о скорости изменения какой-либо функции
по мере изменения аргумента, когда эта скорость
оказывается непостоянной, а определять ее требуется точно
для любого значения аргумента.
Заряд батареи, питающий электрическую цепь,
убывает со временем. Скорость убывания есть ток. Он может
оказаться различным в разные моменты и потому должен
определяться как производная заряда по времени.
Тепло, содержащееся в нагреваемом теле, нарастает с
ростом температуры. Интенсивность нарастания есть
теплоемкость — своя для каждой температуры. И здесь
не обойдешься без дифференцирования —
теплоемкость есть проиаводная количества тепла по
температуре.
Не забудем, что дифференцирование служит еще и
средством для проведения касательных к кривой.
Угловой коэффициент касательной — это производная
функции, графиком которой^ служит кривая; производная
берется при том значении аргумента, который
соответствует точке касания.
Подобно тому как дифференцирование оказывается
полезным не только при определении мгновенной
скорости движения, так и интегрирование применяется не
только тогда, когда требуется рассчитывать пройденный
путь по времени и скорости.
Операция, обратная дифференцированию,
интегрирование позволяет определять, как зависит от времени
заряд, если в каждый момент известно значение тока, как
4. Заказ 434.
97

растет с температурой количество тепла в теле, если для
каждой температуры известна его теплоемкость.
Короче говоря, интегрирование позволяет
рассчитывать суммарный итог непостоянного изменения.
Не забудем, что интегрирование служит еще и
средством для вычисления площадей. Площадь под кривой —
это определенный интеграл от функции, графиком
которой служит кривая, взятый в пределах, между которыми
задана функция.
•
Несколькими страницами ранее, когда мы
развешивали ярлычки в витрине математических операций, мы
сделали вынужденный перерыв. И, по-видимому, кое-кто
из читателей это почувствовал.
В самом деле — зачем говорить «определенный
интеграл», если не существовал бы термин «неопределенный
интеграл»?
Если такой вопрос возник у читателя, наш ответ не
заставит себя ждать.
Возьмем два графика, на
одном из которых как
функция времени изофажена
скорость движения некоторого
тела, а на ^ другом — путь,
пройденный телом.
Мы уже знаем, как во
всеоружии терминологии
описать родственные отношения
между обеими функциями.
По отношению к скорости
путь есть первообразная по
времени. По отношению к
пути скорость есть производная
по времени. Угловой
коэффициент касательной,
построенной в любой точке графика
пути, равен высоте кривой
скорости над той же точкой
'оси абсцисс.
А теперь возьмем график
пути и аккуратно, строго по
вертикали, без искажений
сдвинем нарисованную на нем кривую вверх или вниз.
В любой точке кривой угловой коэффициент касательной
эж
5час
98

при этом останется прежним. «Сдвинутая» функция по-
прежнему останется первообразной по отношению к
скорости.
Сдвинуть функцию вверх или вниз — это значит
прибавить к ней или отнять от нее функцию-константу.
Итак, первообразная плюс любая константа есть снова
первообразная.
Первообразных для одной и той же функции
оказывается бесконечно много. Все их семейство называется
неопределенным интегралом.
Это кажущееся излишество — не роскошь, а
отражение природы вещей.
Догда вы отправляетесь в дальний путь на
автомобиле, на счетчике километров может стоять любая строчка
цифр. От этого, разумеется, не зависит пройденный путь.
Чтобы определить его, нужно из показаний счетчика в
момент финиша вычесть то, что показывал он в момент
старта.
Когда вы направляетесь в магазин за сметаной, вы
можете взять банку любого веса. От этого не зависит
стоимость покупки. Вес отпущенной бам дметаны
продавец определяет как разность весов банки наполненной
и банки порожней.
В физике подобные примеры встречаются на каждом
шагу. Взять хотя бы выражение «разность потенциалов».
Ток в электрической цепи определяется именно ею, но
отнюдь не абсолютным значением потенциала на том или
другом конце цепи. Сходную особенность можно
подметить, когда речь идет об энергии или энтропии. Говорят,
например, что в термодинамически замкнутой системе
энтропия при ^юбом реальном Процессе либо возрастает,
либо (если процесс обратимый) остается неизменной.
Здесь опять-таки нет речи об абсолютном значении
энтропии, а говорится лишь об ее приращениях.
Попытавшись разобраться в причинах таких
особенностей, вы обнаружите, что все упомянутые физические
величины определяются^ помощью интегрирования.
Начало отсчета каждой из них можно «сдвигать» по щюиз-
волу.
Все будет происходить при этом точно так же, как при
расчетах пути по скорости. Путь — первообразная для
скорости. Его можно отсчитывать от любой начальной
точки. Но приращение пути от одного момента времени к
другому при этом всегда будет оставаться равным одно-
99

му и тому же числу — определенному интегралу от
скорости, взятому от одного из указанных моментов
времени до другого.
И это общий принцип: определенный интегрдл,
взятый от некоторой функции в указанных пределах, есть
разность между значениями первообразной в указанных
предельных точках, на какой высоте над осью абсцисс
ни пролегал бы график первообразной.
Последнее замечание содержит в себе важный рецепт
для вычисления определенных интегралов. Он носит
название формулы Ньютона—Лейбница.
Формула Ньютона—Лейбница... Люди, чьи имена
пишутся через черточку в названии открытия, невольно
кажутся сотрудниками. Однако -с Ньютоном и
Лейбницем дело обстоит как раз наоборот. В свое время между
ними шли яростные споры о приоритете в создании
дифференциального и интегрального исчисления.
Сейчас их конфликту не придают большого значения:
считается, что к своим открытиям они пришли
независимо друг от друга и честь первооткрывателей делят поров-
Даых)
приращение функции
dX—приращение аргумента
производная
\ 6 берхний предел
л подынтегральная функция а о оер
\ {ШХ^штегриробамия \ f(x)(tX
постоянная
\симбол
интеграла
неопределенный интеграл
нижний предел
интегрирования
определенный интеграл
100

ну. Оттого и пишутся через примирительную черточку их
фамилии в названии знаменитой формулы.
Впрочем, в чем Лейбницу повезло больше, так это в
системе обозначений. Здесь время решительно встало на
его сторону. Кто помнит сейчас о прямоугольной рамке
вокруг символа функции, с помощью которой Ньютон
предлагал обозначать интеграл? А точка над символом
функции, у Ньютона обозначавшая производную, ныне
применяется лишь в механике — видимо, из уважения к
тому, кто впервые сформулировал ее законы.
Обозначения Лейбница между тем. завоевали
всеобщее признание. Вот они, на рисунке слева внизу.
Общих слов о дифференцировании и интегрировании
было сказано довольно. Настало время примеров.
Что будет, если продифференцировать логарифм? Что
станет с косинусом после интегрирования?
На эти вопросы отвечают графики. Их оси не
размечены масштабными засечками — это не так уж важно.
Важно лишь отметить, что аргумент тригонометрических
функций (синуса и косинуса) в приведенных соотношениях
выражается в радианной мере.
Тому, кто желает поглубже вникнуть в
закономерности приведенных соотношений, мы предлагаем
повнимательнее разобрать какую-либо строчку этих таблиц —
скажем, последнюю.
Производная синуса есть косинус,— гласит пара
графиков, соединенных равенством. Выражаясь
графическим языком, высота косинусоиды в каждой точке равна
угловому коэффициенту касательной к синусоиде в той
же точке.
По мере отхода от начала крординат косинусоида
идет на убыль — ив соответствии с этим угловой
коэффициент касательной, построенной к синусоиде,
становится все меньше. В той точке, где косинус обратился в
нуль, касательная к синусоиде горизонтальна, ее
угловой коэффициент тоже нуль. В дальнейших тачках ее
угловой коэффициент отрицателен — ив соответствии с
этим косинусоида ушла под ось—абсцисс.
Поскольку косинус по отношению к синуСу есть
производная, синус по отношению к косинусу служит
первообразной. Геометрический образ первообразной — это
площадь. По последней строчке второго столбика ра-
101

ж
ж
ж
ж
ах
Ж
с/х
с
■ *
о
!
А
С
I ■ м
ги
L^
"• 1
\/сх
I t I
I\l/*1=l Vzx
5Щ=щ
1/и= Yl/**
,
A
UE
&EB кегна
LW=hka
Sb<pd?Lbd
г
|- 1,1 ifl^ (/~$mx*jcusdx+C
T * * зЧ * 5
»L * J * /J
' ^я ^'J
венств проследим за тем, как изменяется площадь под
графиком косинуса, если ее вычислять интегрированием
102

от начала координат до некоторого подвижного верхнего
предела. Эти изменения сравним с поворотами
синусоиды.
Покуда косинусоида проходит над осью абсцисс,
площадь под нею положительна и нарастает — ив
соответствии с этим синусоида, выйдя из начала координат,
идет вверх. Высота косинусоиды уменьшается, все
меньшие добавки к площади дает увеличение верхнего
предела интегрирования — и рост синусоиды замедляется,
Косинусоида ушла под ось абсцисс, добавки к площади
стали отрицательными — и синусоида пошла на спад.
И вот в некоторой точке она обратилась в нуль.
Присмотритесь теперь к графику косинусоиды:
вертикаль, соответствующая верхнему пределу
интегрирования, ограничивает справа фигуру, распадающуюся на
две части; они равны друг другу, но лежат по разные
стороны от оси абсцисс, так что их площади имеют
разные знаки, поэтому суммарная площадь этой двухлепе-
стковой фигуры в алгебраическом смысле равна нулю.
Читателю, который чувствует себя вполне
освоившимся с приведенными таблицами, мы хотели бы предложить
несложную задачу: из функций, встречающихся в первой
таблице, выбрать такие три, чтобы первая была
производной от второй, а вторая — производной от третьей.
Готово? Убедитесь в
правильности своего выбора. &
А теперь — смотрите вни- Ш
мательнее: мы превратим
эту тройку в пару.
Понятен ли вам смысл d
этой записи? Не правда ли, **
ее расшифровка очевидна:
операция
дифференцирования, дважды примененная к jjf
параболе, дает в результате ^
константу.
В подобной очевидности — огромное достоинство
символического языка, который Лейбниц разработал дл$}
дифференциального и интегрального исчисления.
Итог этого, небольшого раздела подведем
определением: результат двухкратного дифференцирования
функции называется второй производной. Сходным образом
определяются третья производная, четвертая и т. д.
тш-
ът
Ш2
103

Воспользуемся еще раз автомобилем, на котором_мы
так стремительно ворвались в область
дифференциального и интегрального исчисления. По графику
зависимости пройденного пути от времени мы построили тогда
другой график, который показывал, как зависит от
времени мгновенная скорость движения. Он получался из
первого дифференцированием —скорость'есть
производная пути по времени.
Взяв этот график, произведем над ним те же
операции: определим скорость изменения скорости, найдем
производную от производной, вторую производную пути
по времени. Короче говоря, найдем ускорение. Вот он —
результат дифференцирования скорости.
Ускорение... Честь введения этого понятия в
механику принадлежит Галилею. Великому физику
посчастливилось — он шел к своим
выводам от изучения движений,
которые ускоряются
простейшим образом. Он исследовал
падение тел и нашел, что все
они падают на Землю с
одним и тем же ускорением,
неизменным по ходу падения.
Факт замечательный!
Располагая им, мы сможем
почти автоматически повторить
открытия Галилея —
установить законы падения тел,
то есть определить, по
какому графику нарастает со
временем путь, пройденный
падающим телом,— пусть это будет, к примеру, камень.
Сконструируем формулировку задачи из уже
применявшихся картинок и символов. Искомый график
заменим картинкой со знаком вопроса; приписав к нему
слева знак второй производной. Отметим, что речь идет об
ускорении: поставив справа знак равенства и график
функции-константы, покажем, что это ускорение
известно нам—оно постоянно, не зависит от времени (рис. на
стр. 105).
Такая комбинация уже попадалась нам на одной из
предыдущих страниц. Там она не содержала неясностей:
на месте вопроса была вычерчена парабола. Стало быть,
Зчаь
104

путь, пройденный падающим камнем, растет со
временем по закону параболы.
Касательная, проведенная к нашей параболе в
начале координат, горизонтальна, ее угловой коэффициент
равен нулю. Это значит, что камень начинает падать с
d2
нулевой начальной скоростью, без толчка. Именно
такому случаю соответствует найденное нами решение.
Найденному решению можно ^подыскать наглядное
подтверждение. Падающий камень нужно толкнуть вбок.
Приданное ему горизонтальное движение сохранится —
смещение камня по горизонтали будет нарастать
пропорционально времени. А вертикальное, как мы уже
знаем,— пропорционально квадрату времени. Траектория
камня будет параболой.
Особенность только что решенного нами уравнения
заключалась в том, что неизвестная функция стояла под
знаком производной. Уравнения подобного
сорта-называются дифференциальными. Порядок наивысшей
производной, входящей в дифференциальное уравнение,
называется его порядком. Например, уравнение, решенное
нами,— второго порядка.
Найти неизвестную функцию из
дифференциального уравнения значит, как принято говорить,
проинтегрировать его, и если искомая функция найдена, ее
называют решением дифференциального уравнения, а ее
график — интегральной кривой.
Наконец, еще один термин. Для его пояснения
вернемся вновь к задаче Галилея. Она решена нами не
полностью. Пока что мы умеем рассчитывать лишь такое
падение камня, когда оно начинается без начальной
скорости, говоря попросту, когда камень выпущен из рук.
А если его подбросить вверх или толкнуть вниз?
105
Та
?
Л I
I м
г \

В поисках ответа вспомним, как когда-то, найдя
первообразную для заданной функции, мы сдвигали
построенную кривую вверх и вниз. От таких сдвигов
первообразная не переставала быть первообразной все для
той же исходной функции. И еще подумаем о том, что
мыслимы также сдвиги первообразной вправо и влево —
это все равно, что изменить начало отсчета аргумента (в
нашей задаче — времени падения).
i
/
h
г Л
О
**
\!
\ J
t
i\h
«V
S
I
L
V
\
\
0
** .
bh
•л
>?
+
i -^
\ "
\^
\
t
1 '
П
1
о я
t
После этого возьмем интегральную кривую,
построенную нами для падения камня без начальной скорости,
возьмем эту параболу и, не поворачивая, передвинем ее
по координатной плоскости так, чтобы она проходила
через начальную точку с должным угловым
коэффициентом, равным начальной скорости, которая придана
камню толчком вниз или броском вверх. Оказывается,
это и будет решением поставленной задачи.
Сохраняя свою форму, парабола свидетельствует,
что законы движения остаются прежними: это все то же
равноускоренное падение. Сдвигаясь по координатной
плоскости, парабола указывает, что начальные условия
движения были иными.
Такое можно сказать про любой пррцесс: не изменяя
ни на миг законам своего течения, он будет все же течь
каждый раз по-особому в зависимости от того, каково
состояние в начальный момент.
Стало быть, решая дифференциальное уравнение,
описывающее процесс, необходимо учитывать начальные
условия.
Изменение начальных условий, как правило,
приводит к перестройке интегральной кривой. В задаче
Галилея все обошлось простым сдвигом параболы, но это
скорее редкое исключение, объясняемое простотой
дифференциального уравнения.
106

Если вы думаете, что дифференциальные
уравнения — это вещи, встреча с которыми в обыденной жизни
исключена, то отложите на время эту книгу в сторону,
возьмите сврй транзистор, включите его и настройтесь
на волну, разносящую по.эфиру звуки легкой музыки.
А пока вы вращаете рычажок настройки, разрешите
коротко, в двух словах, прокомментировать ваши
действия на языке радиотехники и математики.
Если бы вы заглянули во внутренности своего
радиоящика, то обнаружили, что рычажок настройки
соединен с конденсатором, а тот в свою очередь связан в
замкнутую цепь с катушкой и другими деталями,
важными сейчас для нас лишь тем сопротивлением, которое
они оказывают электрическому току.
Конденсатор, катушка, сопротивление — вот радиог
техническая троица, образующая сердце кая^дого
приемника, колебательный контур. Частоту биений этого
сердца, частоту пульсаций заряда на конденсаторе
регулирует настроечный рычажок; когда она совпадает с
частотой передающей станции, приемник по законам резо-
UfRMaH
CZZZb-1
и,+и2+ии>
нанса воспроизводит звуки, рассылаемые по эфиру
антеннами передатчика.
Как же рассчитать частоту пульсаций заряда?
Всякая замкнутая электрическая цепь живет и рабо-
107

тает по закону Кирхгофа: если в цепи нет источников
тока, сумма падений напряжения на всех ее участках
равна нулю. В нашем контуре таких участков три —
конденсатор, сопротивление, катушка. Напряжение на
конденсаторе пропорционально заряду, на сопротивлении —
току, производной заряда по времени, на катушке —
производной тока по времени, то есть второй
производной заряда. Коэффициентами пропорциональности
между членами перечисленных пар служат
соответственно емкость конденсатора, величина сопротивления,
индуктивность катушки.
Определив падение напряжения на каждом из
участков цепи, просуммируем их и приравняем нулю — и вот
оно, уравнение для заряда!
Заряд входит в него под знаков первой и второй
производной. Уравнение получилось дифференциальное.
Вот так нежданно-негаданно на волнах легкой
музыки выплыло нечто, что в обыденной жизни, казалось бы,
встречаться не может — дифференциальное уравнение.
Мы не хотим утомлять вас перечнем других
приборов и явлений. Можете поверить нам на слово: там, где
требуется рассчитывать не только некоторые состояния,
но и изменения состояний, процессы, движения в самом
широком смысле слова,— там всюду математик приходит
к дифференциальным уравнениям. Без них невозможно
математическое описание любого процесса, невозможен
его расчет, а стало быть, невозможно и управление
процессом.
•
«Лишь дифференциальное исчисление дает
естествознанию возможность изображать математически не
только состояния, но и процессы: движение», — писал
Энгельс.
Картина мира, которую нарисовала классическая
физика, выполнена в технике дифференциальных уравнений.
Завоевывая для математики все более широкие
сферы приложения, дифференциальное и интегральное
исчисление одновременно народило порядок и в тылах этой
древней науки. Оно давало универсальные и
эффективные методы для решения многих задач, которые по
своей статической сути принадлежат к прежней,
элементарной математике, но с которыми та не могла
совладать.
Элементарная математика знает формулы для объе-
IQ8

ма пирамиды, конуса, шара. Каждая из эткх формул
далась первооткрывателям приемом оригинальным и
неповторимым. Это скорее драгоценные камни, нежели
строительный материал, из которого можно
«смонтировать» общую формулу для объема любого тела.
Как, например, вычислить объем лимона? Задача
кажется неразрешимой.
А между тем каждый из нас делает первый шаг к ее
решению, готовя лимон к употреблению, нареаая его на
дольки. С того же начал бы и знаток интегрального
исчисления, готовясь вычислить объем этого эллипсоида
вращения из рода цитрусовых. Объем лимона равен
сумме объемов долек; для каждой из них он приближенно
выражается произведением высоты на площадь
основания— либо верхнего, либо нижнего, а можно взять и
любую промежуточную величину.
В этом нетрудно усмотреть ту же схему
интегрирования, по которой мы вычисляли площади криволинейных
фигур. Под таким углом зрения теперь видна вся дорога
до поставленной цели: сначала определить функцию, по
которой сечение лимона меняется вдоль его оси, для этой
функции найти первообразную и, наконец,
воспользоваться формулой Ньютона—Лейбница.
Так, в чисто статические на первый взгляд задачи
входят движение, переменные величины, а вместе с
ними — методы дифференциального и интегрального
исчисления. И задачи, не разрешимые в рамках
элементарной математики, элементарно решаются благодаря
новому подходу, суть которого составляют переменные
величины.
Недаром вся созданная на их основе математика,
обеспечившая становление и развитие классической фи-
109

зики, называется высшей в отличие от прежней,
элементарной.
В популярной книге английского математика Литл-
вуда «Математическая смесь» есть страничка,
гд^приведена забавная классификация углов из старого
справочника по альпинизму:
перпендикулярно — 60°;
абсолютно перпендикулярно — 65°;
нависающе — 70°.
Смешно? Смешно. Но этот пример мы привели не
только ради смеха. Тут есть над чем поразмышлять со
всей серьезностью.
65°, 70°... Градусами измеряются углы. А углы
образуются двумя прямыми. Но скажите, читатель:
видели ли вы когда-нибудь горы с прямыми склонами,
словно у египетских пирамид? Нет? Так что же тогда
имеют в виду, когда говорят о наклоне непрямой
поверхности или линии?
Оставим пока поверхности в стороне, ограничимся
для начала линиями. На какой-нибудь гладкой линии
отметим точку и спросим: каков в этой точке наклон
линии?
Даже если вы не альпинист, ответ у вас, надеемся,
готов. Его подсказывает интуиция и содержание
предыдущих страниц. В отмеченной точке нужно построить
касательную к кривой. И вот они — две прямые:
касательная и горизонталь. Теперь уже можно говорить про
угол. А к углу можно приложить транспортир.
Но лучше в качестве меры угла использовать угловой
коэффициент касательной, то есть производную. И
говорить: наклон кривой в точке А равен плюс двум, наклон
в точке В — минус половине.
по

Мы описали этими словами изображенное на
графике. Заметим попутно, что для опытного математика
ссылка на график после таких слов становится излишней.
Он и без картинок представляет, что минус половина —
это пологий спуск, а плюс два — крутой подъем кривой,
если прослеживать ее^ слева направо.
В таких случаях математик часто обращает внимание
не столько на величину чисел, сколько на их знаки. Знак
без числа — это, конечно, потеря точности. Но зато
прибыль в общности. Ведь если наклон меняется^плавно, то
рост остается ростом на некотором промежутке, а не
только в той его точке, где положительная производная
зарегистрировала рост. Положительный знак
производной в промежутке — свидетельство возрастания функции
в этом промежутке. Отрицательный — свидетельство
спада. Производная сменила знак в некоторой точке —
значит в этой точке соседствуют участки роста и спада.
Значит, это точка экстремума — максимума или
минимума. Спад сменился ростом—минимум. Рост сменился
спадом — максимум. (Заметим: если производная
существует в точке экстремума, то там она обязательно
равна нулю. Это облегчает поиск экстремумов)/
Но расти и снижаться можно по-разному. Рост
может становиться все быстрее, а, может, наоборот, за^
медляться и даже смениться спадом. Спад тоже может
либо усиливаться, либо тормозиться и даже перейти в
рост. Особенности такого рода мы характеризовали
словами «выпуклость» и «вогнутость».
Выпуклость — это замедляющийся рост и
нарастающий спад. Проследите взглядом ход нашей выпуклой
кривой слева направо, в направлении, указанном
стрелкой оси абсцисс: наклон кривой уменьшается,
уменьшается производная.
А теперь немножко поиграем словами. Выпуклость —
это уменьшение проиаводной. Уменьшение — это
отрицательная производная. Уменьшение производной — это
отрицательная производная производной. Это
отрицательная вторая производная. Итак, выпуклость — это
отрицательная вторая производная.
Вдумчивый читатель, конечно, разглядит точный
смысл за этой словесной игрой и согласится с ее
результатом: отрицательный знак второй производной —
свидетельство выпуклости. Точно так же положительный знак
второй производной — свидетельство вогнутости.
Ill

Естественно предположить далее, что абсолютная
величина второй производной может служить мерой
кривизны — той скорости, с которой изменяется наклон
касательной по мере роста аргумента. Предположение
верное, однако точная формула кривизны содержит,
кроме второй, еще и первую производную и слишком
сложна, чтобы' приводить ее здесь.
Точки, в которых выпуклость сменяется вогнутостью
или наоборот,— это точки перегиба. В них вторая
производная меняет знак, обращается в нуль. Касательная
в таких точках пересекает кривую.
Наконец, еще об одной роли второй производной. Она
позволяет рассортировать экстремумы на максимумы и
минимумы. Ведь когда их ищут по нулям первой
производной, они становятся неразличимы — первая
производная обращается в нуль и там и тут. Вторая
производная все ставит на свои места. Вот, скажем, максимум.
Это макушка выпуклой кривой, а выпуклость — это
отрицательный знак второй производной. Стало быть, нуль
первой производной в сочетании с ненулевым
отрицательным значением второй — безошибочное
свидетельство максимума. Точно так же нуль первой
производной в сочетании с ненулевым значением второй —
свидетельство минимума.
И снова в путь! В путь по той дороге, которую мы
освоили незадолго до знакомства с производными.
Мы ехали по ней из пункта А в пункт Б и отмечали:
рост... максимум... спад... минимум... опять рост...
выпуклость... перегиб... вогнутость... После разговора о
дифференцировании мы можем разметить знакомый путь
дорожными знаками. Ими послужат первая и вторая
производная.
X
У
У'~
\у"
0
3
0
0
0
0
4
3
0
0
-
--
7
2
-0,5
0
-
+
11
1
0
+
+
+
14
V
0,4
0
+
-
17
2
0
0
+
+
20
3
0,4
+
+
+
23
4
0
+
-
+
2т\
3
-v\
+
И тогда рассказ о рельефе дороги сократится до
компактной таблицы из четырех строк чисел и символов.
Вас озадачивает эта шифровка? Мы поможем вам
прочесть ее и восстановить по ней картину рельефа.
1I2

Числа первых двух строк таблицы — это координаты
характерных точек — экстремумов и перегибов,
отмеченных нулями в третьей и четвертой строке
соответственно. Их определяют, отыскивая нули первой и второй
производной.
Нанесем эти точки на график. В точках перегиба
отметим наклон, указанный в соответствующих клетках
третьей строки, в точках экстремумов расставим
дужки — выпуклые в точках максимума и вогнутые в точках
минимума; отличать их друг от друга можно по данным
I a*e x
0 4 7 11 14 17 20 23 27
все той же таблицы — либо по знаку второй
производной, либо по тому, с какого на какой меняет в этих
точках свой знак первая производная.
Теперь остается соединить все эти элементы плавной
кривой — и схематический набросок рельефа дороги
готов.
-Стоит присмотреться к той точке, где нуль первой
производной совпал с нулем второй. Это не экстремум,
а горизонтальная точка перегиба. В точках экстремума
нуль первой производной сочетается с ненулевым
значением второй.
Всякий раз, когда мы вели разговор о
дифференцировании какой-либо функции, на ее графике неизменно
присутствовала касательная — наглядный образ
производной.
Прослеживая график функции на подходе к точке
касания, мы видим, что он все теснее сближается с
касательной, а на некотором промежутке совсем не отличим
от нее, хотя общая точка у обеих линий лишь одна:
точка касания.
5. Заказ 434.
ИЗ

И мы понимаем, что дело здесь не просто в грубости
наших чертежных инструментов. Ведь стоит провести
через ту же точку другую прямую, с другим угловым
коэффициентом — и ощущение слитности пропадает,
хотя и на этот раз расхождение между кривой и прямой
в окрестности их общей точки уменьшается, стремясь к
нулю, когда к нулю стремится ширина окрестности.
В чем же здесь дело? Как выразить его суть строгим
математическим определением? Чем
выделяется касательная среди всех
прямых, проходящих через одну и
ту же точку кривой?
Тем, что расхождение между нею
и кривой в окрестности точки
касания стремится к нулю быстрее, чем
ширина окрестности, когда та
сужается. С другой прямой дело
обстоит иначе: расхождение между нею и
кривой стремится к нулю почти
пропорционально ширине окрестности.
Подойдем к делу с другой
стороны. Возьмем график какой-нибудь
функции, выберем на нем
какую-нибудь точку, оградим ее некоторой
окрестностью и попытаемся провести
через эту точку такую прямую,
чтобы расхождение между нею и
графиком функции по мере сужения
окрестности стремилось к нулю
быстрее, чем ширина окрестности. Если
это удается сделать, функция
называется дифференцируемой в данной
точке. При этом прямая наилучшего
приближения неизбежно
оказывается касательной: ее угловой
коэффициент равен производной от функции в выбранной точке.
К сожалению, нет правил без исключений. За любую
наугад взятую функцию нельзя поручиться в том, что
она будет дифференцируемой во всякой точке из своей
области определения.
Вот несколько экспонатов из музея исключений.
Как ни прикладывай прямую к уголку,
изображенному на первом графике, расхождение между нею и линией
графика в окрестности острия не будет вести себя так,
К
у^
Г У
1
У
к
1 У
А
0 Jt 1
1
о А
*Л i
*\/
114

как этого требует определение дифференцируемости.
Стало быть, изображенная здесь функция не
дифференцируема в точке излома.
Неудача обязательно постигнет нас и в той точке, где
функция терпит разрыв (второй график). Обратите
внимание на этот пример: чтобы быть дифференцируемой в
некоторой точке, функции необходимо быть
непрерывной в этой точке.
Необходимо, но недостаточно — об этом
свидетельствует третий график.
К счастью, элементарные функции, которые служили
нам примерами ранее, не доставят нам подобных
разочарований. Каждая из них дифференцируема в каждой
точке своей области определения.
Стоит отметить, что производная любой
элементарной фунции есть функция элементарная: производная
логарифма — это гипербола, производная синуса —
косинус и так далее.
После разговора о дифференцируемости естественно
поговорить об интегрируемости.
С интегрированием мы познакомились при расчете
пройденного пути по переменной скорости. Мы оставили
тогда неосвещенной одну неясность. Разделив на
несколько промежутков отрезок времени, на котором был
задан график мгновенной скорости, мы затем заменили
кривую лесенкой горизонтальных ступенек. Каждая
ступенька располагалась где-то между максимальным и
минимальным для своего промежутка значением
мгновенной скорости»
Но где именно? Как выбирать ее высоту?
Этот вопрос решается так: если независимо от
выбора (как высоты ступенек, так и точек, которыми
интервал делится на промежутки) описанная процедура
интегрирования всегда приводит к результату и притом к
одному и тому же, то такая функция называется
интегрируемой.
Интегрирование — операция, гораздо менее
прихотливая, нежели дифференцирование. Она применима ко
всем непрерывным функциям и даже к тем разрывным,
которые испытывают конечный разрыв в конечном числе
точек.
Однако если дифференцирование элементарных
функций всегда приводит опять-таки к элементарным, то для
115

интегрирования — операции, обратной к
дифференцированию,— такой результат редкость.
Здесь можно привести аналогию из алгебры: возводя
в квадрат целое число, мы всегда получаем целое,
однако про обратную операцию — извлечение квадратного
корня — такое скажешь не всегда.
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Есть такой студенческий анекдот — об
экзаменах, о профессоре и студенте. Профессор
спрашивает: как измерить высоту небоскреба с помощью
барометра? Правильный ответ предполагает, что давление
воздуха падает по мере подъема и потому может служить
мерой .высоты.
Но студент есть студент. Он не знает правильного
ответа и пускается в импровизации: «Можно столкнуть
барометр с крыши и одновременно включить
секундомер; выключить его нужно, услышав удар барометра об
асфальт. Искомая высота Н будет определяться по вре-
мени падения / из формулы #=-^-,где g— ускорение
силы тяжести. Можно привязать барометр к концу
бечевки и заставить его колебаться, как маятник. Периоды
колебаний будут разные на земле и на крыше
небоскреба, потому что ускорение силы тяжести убывает с
подъемом над землей, так что высоту небоскреба можно
оценить по разности значений g. Можно привязать
барометр к длинной веревке и опустить его с крыши, а потом
измерить длину веревки. Но самый лучший способ —
взять барометр и зайти с ним к управляющему зданием
со словами: «Господин управляющий, посмотрите, какой
у меня прекрасный барометр. Если вы назовете мне
высоту небоскреба, я подарю вам эту красивую вещь».
Не будем гадать, как отреагирует профессор на этот
каскад изобретений. Подумаем о другом: если каждый
из методов — как профессорский, так и студенческий — в
принципе решает поставленную задачу, то какой из них
предпочтительнее?
Начнем с первого из методов, предложенных
студентом.
Известно, что путь, пройденный падающим телом,
пропорционален квадрату времени падения. Итак, опре-
11&

деляемая высота есть функция, время падения —
аргумент, константа пропорциональности — половина
ускорения силы тяжести. Кстати, чему оно равно? Раскроем
справочник,., и увидим, что точного ответа на вопрос не
существует! Ускорение силы тяжести различно в
различных точках земной поверхности. (Свою роль здесь
играет и сплюснутость земного шара с полюсов, и
неравномерное распределение его массы, но выяснять это не
вхоДит в наши планы.) Более того, оно меняется с
высотой—на этом основан второй способ студента.
Итак, что же получается? С совершенно одинаковых,
построенных по типовому проекту небоскребов
барометры падают по-разному. И все оттого, что ускорение силы
тяжести оказывается величиной переменной.
Оказывается, что рядом с переменным временем падения в
формуле высоты стоит не константа, не постоянный
множитель, а тоже переменная величина. Измеряемая высота
оказывается функцией двух переменных.
Но двух ли? Ведь барометр падает не в
безвоздушном пространстве, а воздух подтормаживает падение.
Так формула пополняется новыми величинами —
плотностью воздуха, аэродинамическими характеристиками
барометра... Пополняется новыми аргументами, ибо
каждая из названных величин — величина переменная.
Может быть, к таким сложностям не приводит метод
профессора? Здесь расчеты ведутся по так называемой
барометрической формуле, которая связывает давление
атмосферного воздуха с высотой точки наблюдения,
температурой воздуха, ускорением силы тяжести... Стоп,
стоп! Здесь, как видим, та же история.
Трудности, с которыми мы столкнулись, раздумывая
над ответом Студента, возникают при исследовании
любой проблемы естествознания. Любое явление, если
стремиться ко все более полному, все более точному его
познанию, оказывается зависящим от множества факторов,
а функции, которые возникают при попытке описать
явление математически, оказываются функциями многих
переменных.
К счастью, влияние того или иного из этого
множества факторов, как правило, бывает неравноценным. Без
ущерба для выбранной точности расчета многими из них
можно пренебречь, некоторые из оставшихся меняются
столь незначительно, что в рамках той же точности их
117

можно положить постоянными. Так от множества
факторов остается ограниченное число главных,
определяющих, и не все они оказываются
переменными.
Взять хотя бы задачу о небоскребе и падающем с него
барометре. Чем меньше высота небоскреба, тем слабее
за время падения успеет сказаться подтормаживающее
действие воздуха, так что его сопротивлением, возможно,
удастся и вовсе пренебречь после надежной оценки.
Возможно, что избранная точность расчетов меньше тех
долей процента, в пределах которых ускорение силы
тяжести меняется от точки к точке земной поверхности или
при подъеме на крыши небоскребов, так что его все-таки
можно рассматривать как постоянный множитель, а
высоту небоскреба — как функцию одного лишь времени
падения.
Искусство исследователя, когда он схематизирует
явление и строит его математическую модель, в том и
состоит, чтобы сократить до разумнога минимума число
существенных черт явления, сократить число
переменных в возникающих при этом функциях — лучше всего
до одной-единственной. Тогда математический аппарат
исследования исчерпывается функциями одной
переменной.
Однако такое бывает не всегда, и возникает
потребность в понятии функции многих переменных.
Сформулируем же его.
Если каждой заданной совокупности значений
нескольких независимых переменных величин, называемых
аргументами, ставится в соответствие определенное
значение некоторой другой переменной величины, то она
называется функцией вышеуказанных аргументов.
Заметим, что независимость аргументов свойственна
и их взаимоотношениям: значение одного не
обусловливает однозначно значения других.
С увеличением числа аргументов понятие функции
сильно усложняется. Функции многих, переменных —
вещи непростые. И в этом можно убедиться на самом
простом примере этих непростых функций, когда
аргументов всего лишь два.
Обратимся еще раз к знакомой нам задаче о
небоскребе и барометре, к той простой формуле, с которой
начал студент. Посмотрим, как меняется результат из-
118

мерения высоты в зависимости от времени падения и
ускорения силы тяжести.
Слово «посмотрим», естественно вышедшее из-под
пера, сразу ставит перед нами проблему: как сделать
наглядной функциональную зависимость от двух
аргументов?
Когда функция зависела только от одной
переменной, все было просто. На листе бумаги — две
координатные оси. Каждая пара чисел «аргумент — функция»
определяет точку на плоскости. Эти точки сливаются в
линию — график функции одной переменной.
Когда функция зависит от двух переменных, то
плоскость требуется уже для того, чтобы изображать
возможные сочетания двух аргументов. Добавив к каждой
такой паре чисел третье — значение функции*—
получаем точку трехмерного пространства. Эти точки
сливаются, образуя уже не линию, а поверхность.
Как изобразить ее на листе бумаги? Попытаемся
сделать это. Но прежде проанализируем, каковы возможные
сочетания аргументов.
Когда функция зависела от одного аргумента, его
допустимые значения, как правило, располагались в
некотором интервале — конечном или безграничном с одной
или обеих сторон. Когда функция зависит от двух
переменных, сочетания которых представляются точками
координатной плоскости, допустимые пары аргументов
образуют на ней область определения функции.
В задаче о небоскребе и барометре обе
переменные — и время и ускорение — могут быть лишь
положительными. Область определения функции — высоты
небоскреба — лежит между положительными полуосями
плоскости аргументов. Над этим квадрантом и будет
простираться поверхность, к построению которой мы
приступаем.
Ее удобно строить так же, как строят корабль.
Составляя теоретический чертеж корабля, конструктор
представляет поверхность корпуса натянутой на линии трех
семейств — шпангоуты, батоксы, ватерлинии. Первые
располагаются равномерным строем вдоль корпуса,
вторые — вправо и влево от продольной плоскости
симметрии, третьи — по высоте.
Устанавливая «шпангоуты» для нашей поверхности,
вообразим на время постоянной одну из независимых
переменных — скажем, ускорение силы тяжести. Наша
119

функция обратится тогда в функцию одной переменной,
времени, и представится привычной параболой,
описывающей равноускоренное движение.
Теперь положим ускорение силы тяжести равным
другой постоянной величине, скажем, большей. Парабола
получится покруче и расположится подальше от начала
координат. Так построим еще несколько «шпангоутов»
последовательно, придавая ускорению силы тяжести
одно и то же приращение (рис. слева на стр. 121).
Для установки «батоксов» положим постоянным
другой аргумент нашей функции — время падения. Тогда она
вновь станет функцией одной, переменной и притом
весьма простой: ведь путь, пройденный падающим телом за
фиксированное время, прямо пропорционален ускорению,
Фиксируя время падения равномерно прирастающими
значениями, будем получать все более крутые графики
прямой пропорциональности. Соответствующие прямые
будут располагаться все дальше от начала координат.
Для проведения «ватерлиний» положим постоянным
уже значение функции и обусловленную этим
взаимосвязь двух аргументов станем рассматривать как
неявную функциональную зависимость одного от другого.
Соответствующую линию поместим на высоте, равной
выбранному постоянному значению функции. Придавая
функции все новые равномерно прирастающие значения,
построим еще несколько «ватерлиний».
На столь такой частый скелет уже нетрудно
натянуть поверхность. После того, как это сделано,
становится особенно заметным, что наши «шпангоуты», «ба-
токсы» и «ватерлинии» — это линии, по которым
поверхность функции^ рассекают равностоящие плоскости,
параллельные координатным плоскостям. (Собственно
говоря, именно так тезки наших линий определяются и в
судостроении, когда речь идет о поверхности корпуса
конструируемого корабля.) По таким сечениям можно
изучать функцию, даже и не строя ее поверхность.
Если кому-то подобное построение покажется
громоздким, то можно ограничиться его заключительной
стадией. Да и ту взять в упрощенном варианте, который
особенно понятен на языке картографов, а не корабелов.
Проекции линий, которые мы именовали
«ватерлиниями», на плоскость аргументов в математике называются
линиями уровня. Они вполне родственны по смыслу тем
линиям уровня, которые в географических координатах
120

проводит картограф: точки земного рельефа,
расположенные над этими линиями, лежат на одинаковой высоте
над уровнем моря. Точки математических поверхностей,
расположенные над и под линиями уровня, лежат на
одном и том же расстоянии от плоскости аргументов (либо
выше, если соответствующее значение функции
положительно, либо ниже, если отрицательно. Попутно заметим
еще раз, что соседние уровни, по которым рассекают
исследуемые поверхности и судостроитель, и картограф,
и математик, отстоят друг от друга на одну и ту же
величину).
Картограф раскрашивает промежутки между линиями
уровня в разные цвета. Зеленый означает низменности,
желтый — возвышенности, коричневый — горы.
Математик считает такую декоративность излишней. (И в этом
он похож на синоптика, который строит изобары и
изотермы, линии уровня для давления и температуры,
рассматриваемых как функции географических координат.)
О характере поверхности математик судит лишь по
рисунку линий уровня. Скажем, там, где они гуще,
поверхность более крута.
Как выглядит в таком изображении исследованная
нами поверхность, показывает правый рисунок.
По заснеженному .склону горы взбирается лыжник.
По следу, который оставляет он, шаг^я лесенкой все
выше и выше, сразу узнается опытный спортсмен.
121

Каждый раз лыжа ставится строго горизонтально,
и каждый шаг направлен -перпендикулярно к исходному
положению лыжи.
Разумность такой тактики-можно подкрепить
математикой.
Поставить лыжу строго горизонтально, исключая риск
покатиться вниз,— это значит построить касательную к
линии уровня. Шагнуть перпендикулярно к исходному
положению лыжи — это значит обеспечить наибольшее
продвижение вверх по склону. Почему?
Если отвлечься от спорта и рассматривать склон горы
как поверхность некоторой функции двух переменных
(достаточно «гладкую» поверхность; разъяснение этого
эпитета увело бы нас далеко), то можно доказать, что
функция в каждой точке своей области определения
растет наиболее быстро в направлении, перпендикулярном
линии уровня, то есть в направлении, перпендикулярном
касательной к линии уровня в данной точке.
Вектор, указывающий направление наибольшего
роста функции в данной точке, называется градиентом
функции в данной точке. Длина этого вектора выражает ско-
122

рость возрастания функции в том направлении, которое
он указывает.
•
К завтраку вы решили сварить себе яйцо. Сколько
времени вам потребуется на это?
Каждый ответит на этот вопрос по-разному. Один
бросит яйцо в кипящую воду надолго, чтобы сварить его
вкрутую. Другой с часами в руках аккуратно отмерит
пять или шесть минут, чтобы
получить яйцо в мешочек. Тре- Цг ^(Р,у
тий спешит вынуть яйцо, едва
погрузив его в кипяток,— он
любитель яиц всмятку.
Говорят, о вкусах не спорят.
Но тут и без спора ясно, что
степень готовности яйца есть
функция времени. Примерный _______
вид этой зависимости каждый ° * в * *А7
постиг на опыте.
Но этот опыт может подвести вас, если вы задумаете
сварить яйцо в альпинистском походе, высоко в рорах.
В горах, где атмосферное давление меньше, вода
закипает при пониженной температуре, там кипяток холоднее,
и яйца в нем будут вариться дольше. В соответствии с
этим изменится и график.
Если бы вы задумали воспользоваться скороваркой,
то все сроки сократились бы: ведь в скороварке
поддерживается повышенное давление, а вода в таких условиях
кипит при более высокой температуре. График опять
изменит свой вид.
Итак, степень готовности яйца оказывается функцией
двух переменных — времени и давления. И чтобы не
загромождать график сетью линий, лучше представить его
поверхностью над плоскостью обоих аргументов.
И все-таки не будем спешить с заменой серии
функций одной переменной на функцию двух переменных.
Вдумаемся и согласимся, что роль обоих аргументов
различна. В продолжение каждого опыта один из них —
давление — остается неизменным, так что в
математическом описании процесса его можно считать постоянным
коэффициентом, хотя от опыта к опыту он может
меняться.
Переменные величины такого рода называются
параметрами.
123

В теории функций одной переменной важную роль
играет понятие дифференцируемости.
Существует ли что-нибудь подобное в мире функций
многих переменных? Скажем, двух?
Когда речь шла только об одной переменной, диффе-
ренцируемость функции в некоторой точке, при
некотором значении аргумента означала возможность заменить
криволинейный участок графика простейшей из линий —
прямой, совпадающей в данной точке с графиком
функции. И заменить не просто, а с выполнением некоторого
требования к расхождению между графиком и
приближающей прямой в окрестных точках: с уменьшением
ширины окрестности до нуля это расхождение должно
стремиться к нулю быстрее, чем ширина окрестности.
Такой приближающей прямой служит касательная —
прямая, угловой коэффициент которой равен производной
от функции в данной точке. Дифференцируемость и
существование производной — одно и то же, если речь идет о
функции одной переменной.
Функция двух переменных — это уже не линия, а
поверхность. Простейшая из поверхностей — плоскость.
Рассуждая по аналогии, мы должны назвать дифферен-
цируемостью функции двух переменных в некоторой
точке возможность приблизить искривленную поверхность
плоскостью, в данной точке совпадающей с
поверхностью. Приблизить с тем же, что и в случае одной
переменной, требованием к расхождению между поверх-'
ностью и плоскостью в окрестных точках: с уменьшением
размера окрестности это расхождение уменьшается и
стремится к нулю быстрее, чем размер окрестности. Если
такая возможность существует, то функция называется
дифференцируемой в данной точке, а приближающая
плоскость называется касательной плоскостью.
Если функция дифференцируема в данной точке, то
можно дать простой рецепт построения касательной
плоскости. Рассечем поверхность двумя вертикальными
плоскостями, проходящими через данную точку и
параллельными осям аргументов — х и у. В сечении получается две
линии, две функции одной переменной: в одной
плоскости — функция переменной х (переменная у при этом
фиксирована, играет роль параметра), в другой —
функция переменной у (роль параметра теперь играет я).
К линиям мы умеем проводить касательные. Проведем их
124

в исследуемой точке поверхности. Получим две
пересекающиеся прямые. Через две прямые мы умеем
проводить плоскость. Проведем ее. Это и будет касательная
плоскость (рис. слева).
Угловые коэффициенты касательных, на которые мы
словно натянули плоскость,— это производные
соответствующих функций одной переменной: либо х, либо #. По
отношению к функции двух переменных эти производные
называются частными; частная производная чфункции по
х и частная производная по у.
Алгоритм построения касательной плоскости весьма
четок и неприменим, казалось бы, лишь к немногим,
скажем, к разрывным функциям — то есть к таким,
поверхности которых состоят из разрозненных нестыкующихся
кусков. Это не так. Касательную плоскость иногда не
удается построить даже к таким поверхностям, в
сечениях которых вертикальными плоскостями возникают
гладкие, дифференцируемые функции, иными словами, у
которых существуют обе частные производные. Не
случайно, видать, их называют частными. Они несут весьма
частную информацию о функции, рассказывая лишь о ее
поведении в вертикальных секущих плоскостях. Между
тем в секторах между секущими плоскостями функция
может оказаться капризной. Там расхождения между нею
и плоскостью, построенной по вышеописанному аглорит-
му, могут не удовлетворять тем условиям, которые
позволяют назвать построенную плоскость касательной.
14 (*4) z
И это ничуть не удивительно. Ведь за построенную
нами плоскость по самой сути ее построения можно
поручиться лишь в том, что она тесно прилегает к кривым в
125

сечениях поверхности двумя вертикальными плоскостями.
А это отнюдь не может гарантировать тесного прилегания
построенной плоскости к данной поверхности в секторах
между секущими плоскостями.
Дифференцируемость и существование частных
производных — отнюдь не одно и то же, если речь идет о
функции многих переменных.
Функция многих переменных, дифференцируемая в
некоторой точке, имеет там все частные производные. К ее
поверхности можно провести касательную плоскость,
применяя вышеописанную процедуру.
Обратное, вообще говоря, неверно. Функция многих
переменных, имеющая в некоторой точке все частные
производные, может оказаться недифференцируемой в этой
точке (рис. на стр. 125 справа).
На рисунке — проект нового кафе с четырьмя залами.
Посетители кафе вряд ли догадаются, что эти своды
представляют собой поверхность функции, не
дифференцируемой в центральной точке. Но это так. Если
направить оси аргументов по гребням сводов, как показано на
рисунке, и попытаться построить касательную плоскость
к поверхности в начале координат, то известный нам
алгоритм даст горизонтальную плоскость. Именно она
наиболее тесно прилегает к поверхности в направлении осей)
аргументов. Но в промежуточных секторах о прилегании
не может быть и речи: направляясь внутри них к
центральной точке (скажем, от опор), мы видим, что
расхождение между поверхностью и плоскостью стремится к
нулю пропорционально расстоянию до центра, а отнюдь
не быстрее.
•
Снимок с метеоспутника. Как непрост узор облаков!
Как сложны процессы, формирующие погоду на земле!
Атмосфера неоднородна: в каждой точке — свое
давление, своя температура, свое направление ветра. И все это
ежечасно меняется. Синоптики имеют дело с функциями
многих переменных: время, широта, долгота, высота —
вот аргументы тех функциональных зависимостей,
которые определяют состояние атмосферы. Процессы в ней
описываются дифференциальными уравнениями,
содержащими производные по всем аргументам — частные
производные. Это так называемые дифференциальные
уравнения в частных производных. Их решение — дело
трудное и не всегда осуществимое в полной мере даже на
126

современных ЭВМ. Вот отчего точный долговременный
прогноз погоды все еще остается серьезной проблемой.
Это лишь один пример, показывающий, сколь важную
отрасль математики образуют дифференциальные,
уравнения в частных производных. (В отличие от них
дифференциальные уравнения для функций одной переменной
называют обыкновенными.)
•
Мы хотели рассказать о функциях трех, четырех и
большего числа переменных, но наглядное представление
таких функций — дело весьма цложное.
Пришлось ограничиться рассказом о функциях двух
переменных.
Заметим, однако, что опыт, нажитый в работе с этими
функциями, дает известную уверенность при обращении с
функциями большего числа переменных.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Что общего между кувшинкой и косинусоидой,
или точнее, между формой листка кувшинки и этой
функцией, содержащей косинус?
р(ф) = 1 + coscp.
Если вы поняли, что формула записана в полярных
координатах, и нарисуете в этих координатах график
приведенной функции, то ответ
станет для вас очевидным.
Построенная кривая
обрисует лист кувшинки.
Образчик такого родства
м.ежду ботаникой и
математикой — не исключение. Вот
еще два примера на ту же
тему: кислица и настурция.
Удивившись такому
сходству, вы, наверное, расцените
его не более как случайное
совпадение. По-видимому,
форма этих листьев слишком
проста, и к ним нетрудно
подобрать простые функции.
А если что-нибудь
посложнее?
f+TCOS3y-Uos6<f> настурций
-стрелолист
j)=h%cosY+^cos3<f-foo$5(f*kcos7(p
127

Можно и посложнее — вот, скажем, стрелолист.
Усложнилась форма листа — усложнилась и функция.
В ней стало больше слагаемых, », глядя на нее, уже
можно понять тот принцип, по которому удлиняются
формулы для листьев все более причудливых очертаний: новые
слагаемые — это так называемые косинусы кратных друг.
Термин говорит о том, что независимая переменная под
знаком косинуса умножается на двойку, тройку и
дальнейшие целые числа.
Возможно, вы скажете, что и на сей раз все
объясняется удачным совпадением, и попытаетесь подыскать
лист подиковиннее — такой, описать форму которого не
под силу никакой функции. Но лучше не трудитесь.
Математика позволяет утверждать: форму любого
достаточно гладкого листа всегда можно достаточно точно
описать функцией, составленной наподобие
вышеприведенных из синусов и косинусов кратных углов.
Достаточно гладкого — это значит, что на оси листа
можно найти такую точку, что любой проведенный из нее
луч пересечет контур листа только один раз. Достаточно
точно — это значит, что в любом месте график функции
отойдет от контура листа в направлении луча не более
чем на заранее заданную величину.
Конечно, если вам захочется, чтобы подобные суммы
синусов и косинусов воспроизводили природу со сколь
угодно высокой точностью, вы должны быть готовы к
тому, что число слагаемых придется увеличивать
неограниченно.
Как же назвать такие безгранично удлиняющиеся
суммы? Когда подобным образом мы суммировали
числа, мы говорили о числовых рядах. На сей раз
слагаемыми являются функции. Бесконечные суммы такого рода
называются функциональными рядами.
•
Когда по радио разучивают песню, ее мелодию
повторяют несколько раз — сначала в исполнении певца,
потом проигрывают ее на различных музыкальных
инструментах — скажем, на рояле, скрипке или флейте.
Один из тех графиков, которые мы прежде строили в
полярных координатах, приближая формы листьев, мы
перерисуем сейчас в декартовых.
Как всегда, значение функции будем откладывать по
вертикальной оси, значение аргумента — по
горизонтальной. В полярных координатах аргументом служил угол,
J 28

значения которого можно исчерпать за один оборот — от
0° до 360°. С дальнейшими оборотами график будет
проходить раз за разом все по той же кривой. А это значит,
что в' декартовых координатах, когда аргумент превысит
360°, график функции повторит
ту же линию, что вычертил на * L% ys^| /чл /\j
промежутке от 0° до 360°. Ины- Г\ / \ / \ f
ми словами функция, описы- \ / \ / 1 /
вающая в полярных координа- IV/ V \1 х
тах некоторый замкнутый
контур,— периодическая. Убедитесь в этом, взглянув на
график.
(Не удивляйтесь, увидев среди отметок на
горизонтальной оси букву я: она указывает, что аргументы
тригонометрических функций выражаются в радианной мере.
В математике вообще эта*мера гораздо популярнее
градусной.)
Что напоминает вам эта кривая? Осциллограмму
человеческого голоса? Звука скрипки или флейты? Кривую
нервного импульса или сигнала, бегущего по
электрической цепи? Кардиограмму или энцефалограмму?
В подобные кривые всматриваются врач и физик,
биолог и химик, стараясь постигнуть загадки человеческого
мозга и законы турбулентных течений, таинственную
власть музыки и коварную силу землетрясений.
Так на довольно случайном стыке ботаники и
математики перед нами предстал широкий круг важных
проблем. Здесь же нам встретился и тот прием, который
способствует их решению. Этот прием — разложение
функций в функциональные ряды, в бесконечные суммы
функций более простых, образующих некоторую систему.
Математика знает немало таких систем. Скажем, если
функция разлагается по синусам и косинусам, то
возникающий бесконечный ряд называется гармоническим, или
рядом Фурье, а его слагаемые — гармониками. Ряды
Фурье — эффективный инструмент для исследования
периодических функций.
Каждое слагаемое, каждый представитель той
системы функций, по которым разлагается данная, входит в
образующийся ряд с определенным коэффициентом.
Найти эти коэффициенты, собственно, и означает разложить
данную функцию в ряд по функциям некоторой заранее
выбранной системы.
Теория функциональных рядов предполагает их со-
129

]Г| ик(*)Ц1т2ик(я)
держащими сколь угодно большое число слагаемых.
Недаром в символическом обозначении ряда над заглавной
греческой буквой «сигма» пишется значок бесконечности
(снизу указывается номер того члена, с которого
начинается суммирование).
На практике же всегда используются лишь
частичные суммы функционального ряда — суммы нескольких
первых его слагаемых.
Каждая из них
представляет собой
функцию, более-или менее
отличающуюся от той,
при разложении
которой возник функциональный ряд.
Как будет изменяться это отличие, если пополнять
частичные суммы все новыми слагаемыми? Если оно
будет стремиться к нулю при любом значении аргумента
из некоторого интервала, то говорят, что
функциональный ряд на этом интервале сходится к данной функции.
В теории функциональных рядов известно несколько
критериев, с помощью которых по тем или иным
особенностям слагаемых ряда можно решать вопрос о его
сходимости.
функциональном ряда
частичная сумма
функционального ряс,а
«Мазок — по форме»,— наставлял своих учеников
Репин. Поговорка мастера раскрывает секрет того искус-
HVVrKAAl
130

ства, с которым сам он умел лепить объемы на холсте
несколькими ударами кисти.
Когда целое составляется из деталей, то каждая из
них, а стало быть, и весь их ассортимент должны
соответствовать целому.
Об этом думает и математик, когда намеревается
разлагать функцию в ряд, в бесконечную сумму функций
более простых. В математике, как мы уже говорили, для
U
,v-f(*)
-0,1
Pf (cos x)^ cos x
+ DJ
Р2 (cos oc)*2 cos*x-$* P3 (coscc)*%№bc-%cosx*
%cos2x+% =$&s3x*%cosx
-0,25
P4 (COS x) ж Ps (COS X) *
.-g eostx +4 cos2x +£ -Ц cosSx+^coste+^cos*
подобных целей используется несколько традиционных
ассортиментов — функции Бесселя и Матье, полиномы
Эрмита и Лаггера... И для каждого из перечисленных
наборов хорошо известно, в задачах какого рода он
наиболее удобен.
Перед вами две подборки рисунков. Одна начинается
изображением гидродинамического лотка, другая —
мыльного пузыря. Следующие рисунки подборок: профиль
волны, искривившей поверхность воды в гидродинамическом
лотке и силуэт колеблющегося мыльного пузыря.
Следующие рисунки: очертание волны, как бы снятое
на кальку, и контур пузыря, перерисованный из поляр-
131

ной системы координат в декартову (мы это делали,
анализируя форму листьев).
Сравните эти два рисунка. Сходство несомненное,
удивительное — не правда ли?
Обе функции разложены в функциональные ряды.
Для этого взяты два различных семейства функций.
В одних мы узнаем уже хорошо знакомые нам косинусы
кратных дуг. Другие именуются полиномами Лежандра.
Представители обоих семейств тоже обнаруживают
определенное сходство. Правда, на сей раз оно не
удивляет: полиномы Лежандра образуются из степеней
косинуса — взгляните на формулы под графиками.
Удивляет другое: по какому признаку к волнам на
воде отнесены косинусы, а к мыльному пузырю —
полиномы Лежандра? Чем продиктован выбор того или иного
семейства функций?
На этот вопрос не ответить, глядя на статичные
снимки. Надо оживить движением обе картинки. Надо
описать эти движения дифференциальными уравнениями.
Надо попытаться решить эти уравнения. И тогда
окажется, что решения одно™ из щх (описывающего волны в
лотке) выражаются через косинусы, решения другого
(описывающего осесимметричные колебания пузыря) —
через полиномы Лежандра. (Заметим, что
дифференциальные уравнения для того и другого случая
оказываются довольно сходными — потому похожи друг на друга и
функции, через которые выражаются их решения.)
Итак, выбор подходящего ассортимента функций и
там и тут диктуется сущностью задачи — точно так же,
как сама натура диктует художнику движения кисти.
•
Фотография схватывает лишь отдельный миг в
развитии процесса. Чтобы проследить его течение, нужно
обратиться к киносъемке.
Вот несколько последовательных кинокадров, снятых
через прозрачную стенку лотка с водой (левая колонка
рисунков). На поверхности воды гуляют волны. На
первый взгляд их игра не подчинена никаким правилам. Но
это только кажется.
Разложим в ряд каждую из функций, описывающих
форму водной поверхности в последовательные моменты
времени. Как мы уже знаем, слагаемые этого ряда —
косинусы кратных друг. Один за другим выстраиваются
они,строчка за строчкой.
132

UtMCOSX
El^wrtjb,
Ngjd-^p3^+.
P^-^fe^H
|4^-*fS^
5^^+^S^d+
^♦^и
4«a
[Х^-Цч/^
А теперь проследим сверху вниз за коэффициентом
при каком-либо слагаемом ряда — скажем, за самым
первым ai. Посмотрим, какие значения принимает он в
последовательные моменты времени, и по этим данным
построим график его зависимости от времени.
Смотрите — образуется синусоида!
Проследим за коэффициентом при втором слагаемом
<Х2 представим и его функцией времени — та же
история! Только гребни у синусоиды в два раза чаще.
133

Третье слагаемое — опять синусоида и опять с еще
большей частотой, на этот раз в три раза.
В этом уже нетрудно усмотреть закономерность:
номер гармоники показывает, во сколько раз ее колебания
чаще по сравнению с первой гармоникой.
После этого мы можем предсказать значение
коэффициента при каждом косинусе для любого момента
времени и, суммируя ряд из косинусов с такими
коэффициентами, определить, какую форму будет иметь в этот
момент поверхность воды в лотке. А это значит, что по
нескольким начальным кадрам мы определили закон ее
колебаний.
Итак, к чему же привел нас путь, начавшийся со
сравнения кувшинки с косинусоидой? К методу, которым
решаются разнообразные физические задачи — о
течениях жидкости и волнах на ее поверхности, об
электромагнитных волнах и колебаниях упругих тел, о
распространении тепла и диффузии.
Закон развития каждого из перечисленных
процессов выражается некоторым дифференциальным
уравнением в частных производных, а конкретная форма
протекания— начальным состоянием и режимом .на границе
области, где протекает процесс. Дифференциальное
уравнение* в частных производных, начальные условия,
граничные условия — все вместе это назызается краевой
задачей.
Метод исследования краевых задач, к которому мы
пришли, заключается в# том, что решение задачи ищут
в виде бесконечного ряда. Каждое слагаемое ряда
представляет собою произведение функции, зависящей
только от времени, на функцию, зависящую только от
пространственных координат. Эти самые функции, зависящие
лишь от точки пространства, называются собственными
функциями данной краевой задачи. Их подбор заранее
определяется требованием: они должны удовлетворять
заданным граничным условиям.
Всмотритесь еще раз в кинокадры, снятые через
боковую прозрачную стенку лотка. Поверхность
колеблющейся жидкости всегда образует прямой угол со
стенками, ограничивающими лоток с торцов. Косинусы,
рядами которых мы представляли форму водной
поверхности, как раз и отличаются такой особенностью. Это,
стало быть, и есть собственные функции задачи о
колебаниях воды в лотке.
134

Собственными функциями для задачи об осесиммет-
ричных колебаниях мыльного пузыря оказываются
полиномы Лежандра, для задачи о волнах на воде от
брошенного в нее камня — функции Бесселя... И каждый раз
система собственных функций позволяет представить
сложный процесс в виде обозримой суммы простых
деталей, из которых можно воссоздать цельный облик
сложного с любой желаемой точностью.
Метод, о котором мы рассказали, был предложен
Эйлером, а подробно его разработал Фурье, чьим
именем и принято сейчас называть замечательный метод.
Читатель, вероятно, припоминает, что речь о
приближении функций уже шла на страницах этой книги —
именно в том месте, где говорилось о производной. JHe
встретив ничего похожего сейчас, читатель, пожалуй,
испытывает недоумение.
Объяснимся. Дело в том, что существует несколько
подходов к вопросу о приближении функций. Поэтому не
удивительно, что прежде, за разговором о производной,
мы подошли к нему по одному из возможных путей,
а здесь пошли по другому.
Попытаемся теперь пояснить, в чем различие двух
уже знакомых нам подходов.
'Pk/V
1/
Как очутились рядом графики столь разнородных
функций?
На первом — константа. На втором — синусоида. На
третьем — синусоида, так сказать, перекроенная: ее
отрицательные полуволны заменены симметричными им
относительно оси абсцисс и, стало быть, положительными.
Иными словами, значения функции синуса на третьем
графике даны по абсолютной величине.
Чтобы понять родство этих функций, обратите
внимание, какими буквами отмечена вертикальная ось каждого
из трех графиков. Прописная латинская буква / —
традиционное для электротехники обозначение тока. Две ос-
новые его разновидности и представлены на первых двух
графиках — ток постоянный и ток переменный.
135

Знак тока, как известно, соответствует его
направлению. Перекройка синусоиды, понятная из сравнения
второго и третьего графиков, на языке электротехники
называется выпрямлением тока. Прежде переменный, он
приобретает от этого постоянное направление. Теперь им
можно питать электроприборы, работающие на
постоянном токе.
Еще неясно, правда, какому постоянному току он
будет равносилен, каким синусоидальным биениям
равноценны его периодические изменения.
Казалось бы, на эти вопросы ответить нетрудно,
рассмотрев кривую выпрямленного тока на протяжении
одного лишь периода, взяв лишь одну дужку перекроенной
синусоиды. Надо провести гори-
J1 ^s^ г^ зонталь, площадь под которой
L^^V^^^Vr равна площади под дужкой,—
Р^~ ~^^- -^* ее высота и укажет величину
I постоянного тока, которому
равносилен выпрямленный.
Ведь заряд, перенесенный током, на языке графиков
выражается площадью под кривой зависимости тока от
времени. А чтобы оценить величину биений относительно
среднего значения, вызванных непостоянством
выпрямленного тока, следует построить на проведенной
горизонтали, как на оси абсцисс, такую косинусоиду, которая
как можно теснее прилегала бы к нашей кривой и имела
бы тот же период.
Такой подход к делу верен. И все-таки не будем
спешить.с окончательными выводами. Ведь комбинацией
горизонтали и косинусоиды наша кривая приближена еще
весьма неточно.
Чем же нужно до_полнить эту комбинацию, чтобы
уменьшить оставшуюся невязку? И, кстати, какова она,
эта невязка? Чтобы получить ее в чистом виде, вычтем из
нашей кривой уже построенные горизонталь и
косинусоиду (см. рисунки на стр. 137).
Не любопытно ли? В результате получилась
двугорбая кривая. Исчерпать такое расхождение, очевидно,
поможет косинусоида с периодом, вдвое меньшим по
сравнению с периодом выпрямленного тока.
Теперь поглядите, что получится дальше, когда мы
вычтем и эту косинусоиду,— на протяжении периода
выпрямленного тока кривая оставшейся невязки имеет уже
три волны и требует для своего исчерпывания косинусо-
136

иду с периодом, втрое меньшим по сравнению с периодом
выпрямленного тока.
Подобные уточнения можно проводить еще и еще,
пока невязка не окажется меньше желательной точности,
то есть столь малой, что ею уже можно будет пренебречь.
И тогда исходная кривая выпрямленного тока
представится суммой всех вычтенных косинусоид.
|>"~х
Г X
1
'У |
х\
i
2
п
\у 1
У
£'
hy t/*cos2v J
ш
Вот оно искомое разложение, частичная сумма ряда
Фурье для выпрямленного тока. Мы привели фрагмент
этого разложения с точными значениями коэффициентов,
какими их позволяет вычислить теория рядов Фурье.
Формулам, их выражающим, конечно, не место в нашем
беглом рассказе. Скажем лишь, что вычисляются эти
коэффициенты посредством интегрирования. Иными
словами, для их определения важно знать поведение
функции на всем отрезке, на котором мы ее приближаем
частичными суммами функционального ряда.
137

Кстати сказать, эта определяющая особенность
проявлялась и в наших построениях: мы добивались, чтобы
исходная и приближающая кривая были бы близки на
всем периоде выпрямленного тока, а не в какой-либо
избранной точке. Точно так же поступали мы, когда
описывали функциональными рядами формы листьев,
профили волн в лотке, очертания мыльных пузырей.
Приближение функции на отрезке — вот суть
описанного подхода.
•
Видели ль вы безмен, одно из стариннейших
приспособлений для взвешивания? Если видели, то обращали
ли внимание на то, как выглядит его шкала?
Бросается в глаза, что ее деления располагаются
неравномерно — не то, что на пружинных или на
рычажных весах.
Если приложить безмен к горизонтальной оси
прямоугольной системы координат так, чтобы груз совпал с
началом, а середина стержня — с единичной отметкой, если
затем над каждым делением шкалы безмена отложить по
вертикальной оси соответствующее значение веса и
провести через полученные точки плавную кривую,
получится график гиперболической функции, стремящейся к
бесконечности, когда аргумент стремится к правому краю ее
области определения.
Впрочем, если приглядеться к шкале безмена
внимательнее, то выяснится, что неравномерность делений
проявляется у нее лишь где-то посредине, а в начале она
1.5
1
0,5
I ' ' ' ' с
9 <
15 2 9) \
Г С I
138

почти равномерна. В соответствии с этим и построенный
нами график выходит из начала координат почти
прямолинейно. Стало быть, в окрестности начала координат
его можно приблизить прямой.
Как мы уже знаем, прямая наилучшего приближения,
наиболее тесно прилегающая к кривой,— это
касательная, проведенная к кривой в той точке, в окрестности
которой и строится приближение.
С отходом от точки касания расхождение между
кривой и приближающей прямой становится все заметнее.
Как уточнить приближение? Какой простой формулой
можно описать невязку? И, кстати, какова она? Чтобы
получить ее в чистом виде, вычтем из нашей кривой
касательную.
Получилось нечто похожее на параболу. Параболой с
надлежащим коэффициентом мы и попытаемся исчерпать
.невязку. Она,- конечно, исчерпается не полностью. Для
дальнейших уточнений используем параболы третьей,
четвертой, более высоких степеней.,.
Сложная гиперболическая функция оказывается
разложенной в ряд, слагаемые которого — последовательные
целые степени аргумента с некоторыми коэффициентами.
Такой ряд называют степенным; другое его название —
ряд Тейлора.
Найти эти коэффициенты, собственно, и означает
разложить функцию в степенной ряд. Выражаются они
через последовательные производные приближаемой
функции, вычисленные в той точке, в окрестности которой
строится приближение,— первую, вторую, третью и
дальнейшие.
139

Приближение функции в окрестности некоторой
точки — вот суть описанного подхода.
Сколь же широка такая окрестность? Прежде чем
отвечать на этот вопрос, подставим в наш степенной ряд
какое-либо конкретное значение аргумента. Ряд станет
числовым, и мы исследуем его на сходимость.
Все значения аргумента, при которых сходится
степенной ряд, образуют так называемый интервал
сходимости.
Чему равен синус тридцати градусов? Половине —
так учили нас на уроках тригонометрии. А синус, скажем,
тридцати двух градусов?
Столкнувшись с таким вопросом, вы наверняка
воспользуетесь таблицами. Пробежав глазами колонку
чисел, вы остановитесь на нужном: 0,5299.
Ну, а если бы таблиц не оказалось под руками?
Смогли бы вы сами вычислить эту величину? И притом с той
же точностью — до четвертого зна^а после запятой?
Задача не составит для вас труда, если вы умеете
разлагать функции в ряды Тейлора. Ведь что такое
разложить функцию в ряд Тейлора? Это значит заменить ее
суммой целых степеней аргумента -*- каждая со своим
коэффициентом. А возведение в целую степень,
умножение на соответствующий коэффициент, сложение и
вычитание— действия простые, выполнимые с помощью
одной лишь авторучки.
140

«Но ряды Тейлора бесконечны,— может заметить
читатель.— Не будут ли бесконечно долгими вычисления
по ним?»
Отнюдь нет! Ряды, предлагаемые математикой для
практических расчетов, таковы, что все более далекие их
слагаемые служат для все более тонких уточнений. Если
точность, расчетов задана, ряд Тейлора можно оборвать
на некотором слагаемом. От этого он превратится в
полином (его называют полиномом Тейлора). Чтобы
вычислить значение полинома для заданного значения
аргумента, нужно произвести конечное число умножений,
сложений, вычитаний.
Ряд Тейлора для синуса, каким он приводится в
справочниках по математике, несложен для запоминания.
Закономерность, по^ которой образуются слагаемые ряда,
проста. Первое слагаемое — это линейная функция,
равная своему аргументу. Дальнейшие слагаемые — это
последовательные нечетные степени аргумента. Каждая
делится на произведение всех целых чисел от единицы до
равного показателю степени. Знаки слагаемых
чередуются, меняясь с плюса на минус и с минуса на плюс.
Что же дает добавление к ряду каждого очередного
слагаемого? Об этом мы расскажем, обратившись к
графику.
Сначала изобразим на нем синусоиду. Затем
возьмем ряд Тейлора для синуса и оставим в нем пока лишь
перше слагаемое — линейную функцию, равную своему
аргументу. На графике она изобразится биссектрисой
141

угла между осями. Обе линии — синусоида и прямая —
касаются в начале координат.
Вспомнив то, что когда-то говорилось о касательных,
мы можем заключить: в некоторой окрестности начала
координат синус можно заменить линейной функцией,
равной своему аргументу. Точность этой замены будет
тем выше, чем уже окрестность. Более того, при сужении
окрестности погрешность, вызванная заменой, будет
стремиться к нулю быстрее, чем ширина окрестности.
Это и имеют в виду, когда говорят, что синус
эквивалентен своему аргументу в окрестности нуля.
Но что нам проку от этой эквивалентности? Аргумент,
для которого мы должны вычислить значение синуса,—
тридцать два градуса. Попадает ли эта точка в ту узкую
окрестность нуля, где замена синуса линейной функцией
гарантирует сохранение четвертого знака после запятой,
как того требует точность вычислений, за которые мы
взялись? Судя по графику, вряд ли.
Что ж, припишем к первому члену разложения еще
один. На график ляжет изогнутая кривая. По сравнению
с прежней прямой она прилегает к синусоиде на большем
протяжении, отходя от нее лишь под самым сводом
первой полуволны.
Еще один член разложения. Еще дальше
сопровождает синусоиду новая кривая на графике.
Возникает уверенность, что какой аргумент ни укажи
и какую точность ни назначь — тейлоровский полином
достаточно высокой степени будет в указанной точке
отличаться от синуса на величину, меньшую назначенной.
Остается подставить в этот полином значение
аргумента — и искомое число найдено.
Разумеется, чтобы получить искомое число, в
полином нуж&о подставить также число. Иными словами,
величину угла, для которого мы вычисляем синус, нужно
выразить числом, то есть в радианной мере. Переведем
в нее наши тридцать два градуса. С точностью до
четырех знаков после, запятой это будет 0,5585.
Подставив это число в заготовленный полином, мы
получим ту же величину, что и в таблице: 0,5299.
Все получилось быстро и просто — не правда ли?
В этих удобствах — лишь малая толика тех выгод,
которые сулит возможность разлагать функции в ряды
Тейлора.
142

ЛИТЕРАТУРА
Геффтер Л, Что такое математика? Пер. с нем* Л,—М., 1924.
Колмогоров А, Н« О профессии математика, 3-е изд, М.,
Изд-во МГУ, 1960.
Курант Р., Роббинс Г, Что такое математика? Пер, с англ,
2-е изд. М., «Просвещение»,' 1967*
Л и т л в у д Дж, Математическая смесь. Пер, с англ, 3-е изд,
М., «Наука», 1973,
Математика в современном мире, Сборник, Пер, с англ,
М., «Мир», 1967.
Математика, ее содержание, методы и значение (под ред,
А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова~ и М« А. Лаврентьева),
т. 1—3. М., Изд-во АН СССР, 1956.
П е те р Р, Игра с бесконечностью, Пер» с венгр. М.,
«Просвещение», 1968.
П о й а Дж. Математика и правдоподобные, рассуждения. Пер.
с англ. 2-е изд. М., «Наука», 1975.
Реньи А, Диалоги о математике. Пер. с англ. М., «Мир», 1969.
Рузавин Г, И. О природе математического знания, М.,
«Мысль», 1968.
С о й е р У, У. Прелюдия к математике. Пер, с англ, 2-е изд. М.,
«Просвещение», 1972.-
С о й е р У, У* Путь в современную математику. Пер, с аигл. М.,
«Мир», 1972.
Уайтхед А. Н. Введение в математику, Пер, с англ* Пг., 1916*
Фосс А, Сущность математики, Пер, с нем, М.—Пг„ Гос,
изд-во, 1923.

СОДЕРЖАНИЕ
Вместо предисловия — диалог авторов . € 3
Последовательности, ряды • 6
Функции . . т , 27
Свойства функций , 63
Дифференциальное и интегральное
исчисление , . 4 88
Функции многих переменных » f . . 116
Функциональные ряды « 127
Литература , .143
Юрий Васильевич
Пухначев
Юрий Петрович Попов
УЧИСЬ ПРИМЕНЯТЬ
МАТЕМАТИКУ
(Математика
без формул)
Выпуск 1
Редактор
Я. И. Феоктистова
Заведующий редакцией
естественнонаучной литературы
A. А. Нелюбов
Художник
Я. М. Константинова
Худож. редактор
Г. И. Добровольнева
Техн. редактор
7*. В. Пичугина
Корректор
B. В. Каночкина
А 04909. Индекс заказа 76714. Сдано в набор 3. II. 1977 г.
Подписано к печати 13. X. 1977 г. Формат бумаги 84Х1087з2- Бумага
типографская № 1. Бум. л. 2,25. Печ. л. 4,5. Усл. печ- л. 7,56. Уч:-
изд. л. 7,59. Тираж 100.000 экз. Издательство «Знание». 10183о,
Москва, Центр, проезд Серова, д. 4. Заказ 434. Цена 40 коп.
Ордена Ленина комбинат печати издательства «Радянська
Украша», Киев, Анри Барбюса, 51/2.

40 коп.