Канаун, Сергей Константинович_Левин, Валерий Михайлович_авт - Метод эффективного поля в механике композитных материалов-Изд-во Петрозавод. ун-та (1993)

Теги: механика деформируемых тел упругость деформация
ISBN: 5-230-08946-6
Похожие
Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры
Экспериментальная механика. Книга 1
Механика твердых деформируемых тел. Том 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек
Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. Том 2
Текст
                    Государственный комитет
Российской Федерации по высшему образованию
Петрозаводский государственный университет
С.К. КАНАУН, В.М. ЛЕВИН
МЕТОД ЭФФЕКТИВНОГО ПОЛЯ
В МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Издательство Петрозаводского университета
Петрозаводск 1993

УДК 539.3
К 19
Метод эффективного поля в механике композитных
материалов/ С. К. Канаун, В. М. Левин; Петрозаводский гос.
ун-т. Петрозаводск, 1993. 600 с.
В монографии рассматриваются статические и стационарные
динамические задачи теории упругости для композитной среды, состоящей из
однородной матрицы (связующего), в которой распределено случайное множество
изолированных включений (частиц наполнителя). Для решения этих задач
развит вариант метода эффективного (самосогласованного) поля. Метод
позволяет не только решить задачу осреднения, но и оценить высшие
статистические моменты упругих полей в композитах, описать нелокальные свойства
композитной среды. Получены формулы для определения эффективных модулей
упругости и коэффициентов линейного расширения композитов с различными
типами армирующих включений. В длинноволновом приближении определены
скорости распространения, коэффициенты затухания и характеристики
дисперсии упругих волн в таких композитах. Область применимости метода
исследована путем сравнения с точными решениями и имеющимися в литературе
экспериментальными данными.
Книга предназначена для инженеров и научных работников в области
механики композитных материалов и сред с дефектами, аспирантов и студентов
по специальности физика и механика деформируемых твердых тел. Илл. 41.
Библиогр. 249 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Петрозаводского государственного университета
Рецензент: доктор физико-математических наук,
профессор А* Д. Вакуленко
1603020000 л м
К 1-93 © С. К. Канаун, В. М. Левин, 1993
Д 26(03)-23
ISBN 5-230-08946-6
© Издательство Петрозаводского
государственного университета, 1993

ОГЛАВЛ ЕНИЕ
Предисловие . . .; 8
Глава I Однородная упругая среда с источниками
внешних и внутренних напряжений 13
§ 1.1. Источники внешних напряжений в однородной
упругой среде 13
§ 1.2. Упругая среда с источниками внутренних
напряжений 22
§ 1.3. Разрывы упругих полей в однородной среде с
источниками внешних и внутренних напряжений . . 32
§ 1.4. Упругие поля вдали от источников напряжений . 39
Глава II Равновесие однородной упругой среды с
изолированным включением 44
§ 2.1. Интегральные уравнения для среды с
изолированной неоднородностью 44
§ 2.2. Условия на границе раздела двух сред 51
§ 2.3. Эллипсоидальная неоднородность 54
§ 2.4. Эллипсоидальная неоднородность в постоянном
внешнем поле 59
§ 2.5. Поля со скалярным потенциалом 67
§ 2.6. Трещина в однородной упругой среде 74
§ 2.7. Эллиптическая трещина 80
§ 2.8. Радиально неоднородное сферическое включение . 86
§ 2.9. Сферическое слоистое включение 97
§ 2.10. Цилиндрически симметричная неоднородность
в упругой среде 104
§ 2.11. Цилиндрическое слоистое включение 116
Глайа III Тонкие включения в однородной упругой
среде 121
§ 3.1. Внешние разложения упругих полей в среде
с тонким включением 122
§ 3.2. Свойства потенциалов (3.1.4) и (3.1.5) 123
§ 3.3. Внешние предельные задачи для тонких
включений ... 128

4
§ 3.4. Внутренняя предельная задача и процедура
сращивания 134
§ 3.5. Сингулярные модели тонких включений 137
§ 3.6. Асимптотика решений уравнений (3.3.15), (3.3.24)
у края включения 139
§ 3.7. Тонкие включения эллипсоидальной формы. . . 149
§ 3.8. Численное решение уравнений для тонких
включений 155
Глава IV. Включение в виде жесткого стержня в
однородной упругой среде 169
§ 4.1. Внешнее и внутреннее предельные решения
задачи об упругой среде с включением, имеющим
форму стержня 169
§ 4.2. Формальная схема построения главного члена
асимптотики поля напряжений внутри жесткого
стержня 173
§ 4.3. Главные члены асимптотики поля напряжения
внутри стержней различной формы 179
§ 4.4. Включение в виде криволинейного стержня . . . 194
Глава V. Множество изолированных включений
в однородной упругой среде 198
§5.1. Постановка задачи осреднения 198
§ 5.2. Интегральные уравнения для упругих полей
в среде с множеством изолированных неодно-
родностей 202
§ 5.3. Тензор эффективных упругих модулей композита 205
§ 5.4. Методы эффективной среды 208
§ 5.5. Метод эффективного поля для среды с
эллипсоидальными включениями 213
§ 5.6. Регулярные решетки неоднородностей 221
§ 5.7. Тонкие включения в однородной упругой среде . 229
§ 5.8. Упругая среда, армированная жесткими
чешуйками и лентами 234
§ 5.9. Тонкие податливые включения и трещины в
однородной упругой среде 242
§ 5.10. Плоская задача для среды с множеством тонких
включений 252
§ 5.11. Упругие свойства матричных композитов,
армированных короткими осесимметричными волокнами 260

5
§ 5.12. Упругая среда, армированная однонаправленными
слоистыми волокнами 269
§ 5.13. Термоупругая деформация композитов со
сферическими и цилиндрическими слоистыми
включениями 272
§ 5.14. Приближение точечных дефектов в механике
матричных композитов 279
Глава VI. Учет многочастичных взаимодействий и
вычисление высших статистических моментов
упругих полей в матричных композитных
материалах 287
§ 6.1. Эффективное поле в матричных композитных
материалах 287
§ 6.2. Некоторые средние однородных случайных
полей 291
§ 6.3. Общая схема построения статистических
моментов упругих полей в матричных композитах. . . . 300
§ 6.4. Оператор эффективных свойств 306
§ 6.5. Учет парных взаимодействий при решении
задачи осреднения 312
§ 6.6. Корреляционная функция поля напряжений
в среде с точечными дефектами 319
Глава VII. Распространение акустических волн в
средах с изолированными неоднородностями . . 330
§ 7.1. Функция Грина оператора Гельмгольца 331
§ 7.2. Дифракция длинных акустических волн на
изолированном включении 333
§ 7.3. Эффективный волновой оператор для среды
с множеством эллипсоидальных включений . . . 347
§ 7.4. Распространение акустических волн в изотропной
среде со сферическими включениями 355
§ 7.5. Учет парных взаимодействий 361
Глава VIII. Рассеяние упругих волн на изолированном
включении в однородной среде 370
§ 8.1. Динамический тензор Грина для однородной
анизотропной упругой среды 370
§ 8.2. Интегральные уравнения задачи дифракции
упругих волн на изолированном включении . . . 376

6
§ 8.3. Рассеяние упругих волн на тонком включении . . 383
§ 8.4. Рассеяние упругих волн на коротком осесиммет-
ричном волокне 400
§ 8.5. Включение в форме непрерывного кругового
цилиндра 409
§ 8.6. Полное сечение рассеяния включений различной
формы 419
Глава IX. Эффективный волновой оператор для среды
со случайным множеством изолированных
неоднородностей 444
§ 9.1. Рассеяние упругих волн на случайном множестве
эллипсоидальных включений 444
§ 9.2. Функция Грина эффективного волнового
оператора 452
§ 9.3. Скорости распространения и коэффициенты
затухания упругих волн в матричных композитных
материалах 458
§ 9.4. Среды со случайным множеством тонких
включений 462
§ 9.5. Распространение упругих волн в среде с жесткими
короткими волокнами 491
Глава X. Распространение упругих волн в композитах,
армированных однонаправленными
цилиндрическими волокнами 501
§ 10.1. Эффективный волновой оператор для композита,
армированного однонаправленными волокнами . 501
§ 10.2. Распространение упругих волн перпендикулярно
направлению армирования 514
§ 10.3. Распространение упругих волн вдоль волокон . .519
Заключение 525
Приложение 1. Специальные тензорные базисы .... 529
Π 1.1. Базисы четырехвалентных тензоров 529
Π 1.2. Изотропный шестивалентный тензор 537
П1.3. Матричные представления элементов Ε, Ρ, θ и
Л-базисов 539

7
Приложение 2, Обобщенные функции, порожденные
функцией Грина статической теории
упругости 543
П2.1. Функции Грина статической теории упругости в
к -представлении 543
П2.2. Функции Грина в X -представлении 545
П2.3. Плоский случай 554
П2.4. Специальное представление оператора К 555
Приложение 3. Предельные значения некоторых
потенциалов, сосредоточенных на поверхностях. 559
П3.1. Интегральные теоремы Гаусса и Стокса 559
П3.2. Производные потенциала двойного слоя
статической теории упругости 561
ПЗ.З. Потенциал с плотностью, являющейся тензором
поверхности Ω 567
Приложение 4. Матрицы и векторы перехода через
границы слоев в задачах о сферическом и
цилиндрическом слоистых включениях .... 570
П4.1, Упругая и термоупругая задачи для сферического
слоистого включения 570
П4.2. Упругая и термоупругая задачи для
цилиндрического слоистого включения 572
Комментарии и литературные ссылки 574
Литература
584

ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние десятилетия теория микронеоднородных и
композитных сред стала одним из актуальных направлений
механики и физики твердого деформируемого тела. Интерес к
исследованию физико-механических свойств композитных
материалов связан с постоянно возрастающей сферой их
применения. В настоящее время композиты успешно
конкурируют с такими традиционными однородными
конструкционными материалами, как металлы и их сплавы, керамика,
гомополимеры, превосходя их по целому ряду
физико-механических характеристик. Особенно перспективной является
возможность управления структурой композитов и создание
на этой основе материалов с заранее заданными свойствами,
оптимальными к условиям эксплуатации. Для решения
проблемы направленного синтеза необходимы всесторонние
исследования влияния микроструктуры на весь спектр физико-
механических свойств композитных материалов.
Данная монография посвящена исследованию упругой и
термоупругой деформации одного из важных классов
композитных материалов - так называемых матричных композитов.
Особенностью микроструктуры таких материалов является
наличие связной однородной компоненты (матрицы), в
которой равномерно распределено множество частиц
наполнителя (включений). Известны композиты с полимерной,
металлической, керамической и другими видами матриц. В
качестве армирующего наполнителя используют частицы
кварца, песка, полые стеклянные шарики, каучуковые глобусы,
тонкие металлические чешуйки и ленты, рубленые
стеклянные волокна, прочие карбидные усы и др. Уже
традиционными являются армирующие элементы в виде длинных
однонаправленных стеклянных и углеродных волокон.
Микроструктура реальных композитных материалов, как
правило, является стохастической, причем случайными могут
быть как форма, размеры и свойства включений, так и их
распределение в объеме матрицы. Поля напряжений и
деформаций, возникающие в таких композитных материалах

9
при различных внешних воздействиях, также случайны.
Одной из важных задач механики композитов является
построение средних значений (математических ожиданий) этих
полей при детерминированных внешних воздействиях (задача
осреднения). Решение этой задачи позволяет определить
эффективные свойства композитного материала и при расчетах
на прочность конструкций из композита заменить последний
эквивалентной однородной средой с известным
(детерминированным) законом деформирования. Информация о более
тонких статистических характеристиках случайных полей
напряжений и деформаций (корреляционных функциях и т.п.)
необходима для описания структурно-чувствительных
процессов, протекающих при деформировании композитных
материалов, например, процессов разрушения и пластического
течения.
Авторами развивается метод, который в принципе
позволяет определить статистические моменты любого порядка
упругих и термоупругих полей в матричных композитных
материалах с различными типами армирующих включений при
различных законах распределения их в объеме матрицы. Основные
трудности решения этой задачи связаны с описанием
взаимодействия большого числа случайно расположенных
включений. Для описания многочастичных взаимодействий
использован вариант метода эффективного локального поля,
действующего на каждое включение в композите. В отличие от
традиционных самосогласованных схем решения задачи
осреднения это поле считается случайным, а для вычисления его
статистических моментов разработана специальная техника.
Важным этапом реализации метода является решение задачи для
одиночного включения - типичного элемента наполнителя,
помещенного в однородную среду (одночастичная задача).
При этом успех реализации метода зависит от совершенства
алгоритмов решения одночастичных задач.
Указанные обстоятельства определили план построения
монографии. Ее первая часть (главы I-IV) посвящена
решению трехмерных задач теории упругости и термоупругости для
однородной среды с одиночным включением. Набор этих
задач определяется основными типами армирующих элементов,
используемых в качестве наполнителя для матричных
композитных материалов. Вторая часть монографии (главы V-X)
посвящена разработке нового варианта метода эффективного

10
поля и построению на его основе математических ожиданий и
корреляционных функций упругих и термоупругих полей в
матричных композитных материалах.
Кратко остановимся на содержании отдельных глав
монографии.
Первая глава является вспомогательной, в ней
рассматривается однородная упругая среда с источниками внешних и
внутренних напряжений. Здесь исследуются интегральные
представления упругих полей через плотности указанных
источников.
Вторая глава посвящена решению интегральных
уравнений для тензоров напряжений и деформаций в упругой среде
с изолированной неоднородностью. Подробно обсуждаются
случаи эллипсоидальной неоднородности, эллиптической
трещины, сферического и цилиндрического радиально
неоднородных включений.
В третьей главе рассмотрена однородная среда с
включением, один из характерных размеров которого много меньше
двух других. Кроме того, предполагается, что модули
упругости среды и включения различаются существенно. Такие типы
тонких включений представляют наибольший интерес для
приложений. При описании упругих полей в окрестности
тонких включений в ряде случаев целесообразно
ограничиваться главными членами асимптотического разложения этих
полей по малым параметрам задачи: отношению характерных
линейных размеров включения и отношению модулей
упругости среды и включения. Задача построения указанных
членов сведена к решению псевдодифференциальных уравнений
на срединной поверхности включения. Исследованы свойства
решений этого уравнения, указан класс включений, для
которых можно найти точные решения, предложен метод
численного решения в случае тонких включений произвольной
формы.
Асимптотический метод применен также для решения
задачи о равновесии упругой среды, армированной жестким
криволинейным стержнем (глава IV).
Пятая глава посвящена в основном решению задачи
осреднения. С помощью метода эффективного поля найдены
осредненные упругие и термоупругие характеристики
матричных композитов, армированных различными типами
наполнителей: эллипсоидальнымим включениями, сферическими

11
слоистыми включениями, тонкими чешуйками и лентами,
короткими жесткими волокнами различной формы,
однонаправленными слоистыми цилиндрическими волокнами
бесконечной длины. Найдены модули упругости сред,
содержащих множество трещин или тонких податливых включений.
Предложенный метод позволяет учесть особенности
пространственного распределения включений в объеме композита.
В шестой главе метод эффективного поля получает
дальнейшее развитие. Здесь построен эффективный нелокальный
оператор, связывающий осредненные напряжения и
деформации в композитном материале в случае быстро изменяющихся
внешних полей. Получены уравнения для определения
корреляционных функций упругих полей в матричных композитах.
Решение этих уравнений исследуется на примере среды со
случайным множеством точечных дефектов.
Главы VII-X посвящены распространению упругих волн в
матричных композитных материалах. Известно, что даже в
идеально упругих композитах распространение волн
сопровождается пространственно-временной дисперсией и
затуханием. В главе VII метод эффективного поля применен для
описания всей совокупности явлений, связанных с
распространением длинных акустических волн в средах с
эллипсоидальными включениями. Здесь построен эффективный
волновой оператор, описывающий распространение волн в
некоторой однородной среде, эквивалентной композитному
материалу и обладающей дисперсией и затуханием.
Анализируется роль поправки, связанной с учетом парного
взаимодействия между включениями в композите.
Глава VIII посвящена решению в длинноволновом
приближении задачи дифракции упругих волн на включениях
различной формы. Результаты этой главы используются затем
(гл.IX) для вычисления скоростей распространения и
коэффициентов затухания упругих волн в матричных композитах,
армированных различными типами наполнителей.
Глава X посвящена распространению упругих волн в
средах, армированных однонаправленными волокнами. Волновые
поля в таких композитах обладают рядом характерных
особенностей. В частности, имеет место сильная дисперсия волн,
распространяющихся вдоль волокон, а затухание волн сильно
зависит от направления их распространения.

12
Основное содержание монографии составляют результаты,
полученные авторами. Однако развиваемый подход возник не
на пустом месте. Идея метода эффективного поля восходит
еще к Рэлею и неоднократно использовалась многими
авторами для решения задач осреднения и построения различных
эффективных характеристик неоднородных сред. Краткий
обзор работ, посвященных использованию самосогласованных
схем в механике композитов, можно найти в разделе
«Комментарии и литературные ссылки» в конце книги.
Отметим большое влияние, которое оказала на авторов
монография И. А. Кунина [195,196]. При формулировке основ
предложенного варианта метода эффективного поля и
рождении замысла данной книги весьма полезными оказались
критические замечания И. А. Кунина, высказанные по поводу
полученных авторами результатов.
При обсуждении различных задач, вошедших в книгу, ряд
ценных замечаний и предложений был сделан А. А. Вакулен-
ко, В. А. Козловым, В.Г. Мазьей, С. Г. Михлиным, В.А.
Пальмовым, Г. И. Петрашенем. Численная реализация
практически всех предложенных в книге алгоритмов выполнена
Л. Т. Кудрявцевой. Она также оказала неоценимую помощь в
оформлении рукописи. Большая техническая работа при
подготовке рукописи к печати была выполнена В. А. Харсиа.
Всем этим лицам авторы выражают свою искреннюю
благодарность.
Авторы благодарны также Петрозаводскому университету
и Институту проблем машиноведения РАН, без материальной
поддержки которых эта книга не могла бы увидеть свет.

ГЛАВА I
ОДНОРОДНАЯ УПРУГАЯ СРЕДА
С ИСТОЧНИКАМИ ВНЕШНИХ
И ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ
Данная глава является вспомогательной, однако
полученные в ней результаты имеют важное значение для всего
дальнейшего изложения. В этой главе исследуются поля
перемещений, деформаций и напряжений, которые возникают в
неограниченной однородной упругой среде под действием
источников внешних и внутренних напряжений. Получены
интегральные представления указанных полей через
плотности источников. Исследуются разрывы упругих полей в среде с
распределенными источниками типа силовых и
дислокационных моментов. Рассмотрена асимптотика полей вдали от
порождающих их источников.
§ 1.1. Источники внешних напряжений
в однородной упругой среде
Начнем рассмотрение с однородной идеально упругой
сплошной среды, занимающей все трехмерное пространство.
Физические свойства такой среды описываются постоянным
четырехвалентным тензором модулей упругости Cl^ . Для
модели любого реального твердого тела С1оЯ - определенно
положительный тензор, симметричный как по первой и
второй паре индексов, так и по перестановке пар. В дальнейшем
компоненты тензоров будут рассматриваться в ортогональной
декартовой системе координат, по повторяющимся индексам
предполагается суммирование.

14
Одной из причин появления напряжений в упругой среде
являются внешние (массовые) силы. Пусть распределение
этих сил в пространстве описывается векторной плотностью
qa(X)9 X(xl9x2,x3) - точки среды. Будем считать, что qa{X) -
обобщенная финитная в смысле [26] функция. В рамках
классической теории упругости вектор перемещения U(X) точек
среды под действием указанных сил удовлетворяет следующей
системе линейных дифференциальных уравнений
(V*)(*) = *.(*). ιαβ = -νλσλαβμνμ, να = δΐ&α.
(1.1.1)
Соответствующие вектору иа(Х) поля тензоров деформации
ε^Χ) и напряжений a^(JC) определяются соотношениями
e^(x) = ae£aufi(x), σαβ{χ) = σαβλμελμ{χ), (1.1.2)
def^x) = У(а!/Л (χ) = |( УаиДх) + V^a (χ)).
Здесь круглые скобки в индексах означают операцию
симметрирования.
Поля напряжений и деформаций могут быть найдены
также из системы уравнений, эквивалентной (1.1.1)
νασ^,(χ) = -qa(χ), σ^χ) = C^e^(χ), Rot^,^ (χ) = 0,
(1.1.3)
где оператор несовместности Rot определяется соотношением
^οίαβλμελμ(χ)=ε
ανλ * ν*ρελμ
(χ). (1.1.4)
Εανλ " антисимметричный тензор Леви-Чивита. Следуя [80],
систему (1.1.3) будем называть системой уравнений теории
упругости для внешних напряжений.
В число источников внешних напряжений целесообразно
ввести также силы, приложенные на бесконечности.
Соответствующие поля деформаций и напряжений удовлетворяют
однородной системе уравнений (1.1.3) (q(x) = 0).
Пусть нагружение на бесконечности отсутствует, а
функция q (x) отлична от нуля в конечной области пространства.

15
При этом исчезающее на бесконечности решение системы
(1.1.1) представляется в следующем виде:
««(*) = |М* " x')qfi(x')dx. (1.1.5)
Здесь Gap(x) - функция Грина для перемещений, которая
удовлетворяет следующему уравнению:
(Lafipx)(x) = 5(x)SaX, (1.1.6)
где δ(χ) - трехмерная дельта-функция Дирака, δ^ - символ
Кронекера, G(x) —> 0 при |х|—> оо.
Известно [95], что для произвольной однородной
анизотропной среды G(x) - четная однородная функция степени
(-1), представимая в виде
Οαβ(χ) = ^-2αβ(η)9ηα=^- (1.1.7)
1*1 1*1
Явное выражение для функции G(X) может быть
получено только для изотропной и трансверсально-изотропной сред,
а также для среды, обладающей гексагональной симметрией
[95]. В случае изотропной среды с коэффициентами Ляме Я0
и μ0 тензор G^(x) имеет вид
(1.1.8)
Рассмотрим примеры источников внешних напряжений
некоторых частных видов.
Г. Сосредоточенная сила. Пусть плотность qa(x) в
(1.1.1) и (1.1.3) имеет вид
qa(x)=Qa%x), (1.1.9)
где Qa - постоянный вектор. Такая плотность соответствует
сосредоточенной силе Qa, приложенной в начале координат

16
(χ = 0). Из (1.1.5) следует, что поле смещений от такого
источника внешней нагрузки определяется выражением
«„(*)=Μχ)&· <1110>
2е. Силовой диполь. Рассмотрим источник внешних
напряжений более сложной структуры, который называют
силовым диполем. Пусть в точке χ = 0 приложена
сосредоточенная сила величины Qea, направление которой определяется
единичным вектором еа, а в точке с координатами ха =hea
приложена такая же, но противоположно направленная сила
(-Qea). Тогда, в силу (1.1.9), (1.1.10) поле смещений от
суммарного воздействия этих сил имеет вид
«a(x) = [G^x)-G#(x-he))2ep. (1.1.11)
Будем считать, что величина Q обратно пропорциональна
расстоянию между точками приложения сил: Q = h~lQ° и
перейдем в (1.1.11) к пределу при А—>0. В результате
получим
"a(*) = VxGa/)(x)exe/e0. (1.1.12)
Из (1.1.5) и определения производной от обобщенной
функции [26] следует, что полю смещений (1.1.12)
соответствует обобщенная нагрузка вида
qaix) = Q°eaepVpd{x). (1.1.13)
Источник, плотность которого определяется выражением
(1.1.13), называется элементарным силовым диполем
интенсивности Q0.
Пусть теперь плотность внешних сил определена
соотношением
<7а(*) = £Лад, (1.1.14)
гДе Ωαβ " постоянный тензор. Заметим, что главный вектор
Qa такой нагрузки равен нулю. Действительно,

17
Qa = /&(*)* = JQiFfix)* = о. (1.1.15)
Если Q^ - симметричный тензор, то существует орто-
нормированный базис е^ (i= 1,2,3,), в котором выражение для
тензора Q^ представляется в виде
0« = &е(№ +&?е®+(?е®е®, (1.1.16)
где Q (i=I,2,3) - собственные значения тензора Q^. Отсюда и
из (1.1.13) следует, что источник (1.1.14) соответствует трем
элементарным диполям, действующим вдоль главных осей
тензора Q^ с интенсивностями Ql > Q2, Q3.
Найдем теперь главный момент Ма внешней нагрузки
(1.1.14)
Ма = jeafiAxfiQXMVMS(x)dx = -е^я ζ)[λβ], ζ)[αβ] =\{Q<#- <2βα)·
(1.1.17)
Следовательно, антисимметричная часть тензора Q^ (0^αβ\)
определяет сосредоточенный момент нагрузки вида (1.1.14). В
дальнейшем тензор Q- будем называть обобщенным силовым
моментом, порождающим поле смещений вида
"*(*) = ν/νοορ^. (1.1.18)
Введем теперь плотность обобщенных силовых моментов
4αβ(χ)> распределенных в конечной области пространства.
Поле смещений от такой нагрузки определим формулой
ua(x) = \v,G^(x-x')qfiX(x')dx\ (1-1-19)
которая совпадает с (1.1.18) при qap{x) = Qafi(x) · Применив
теорему Гаусса, можно убедиться, что поле смещений (1.1.18)
возникает под действием массовой силы вида

18
«,(*)= V^Cx). (1.1.20)
В этом смысле плотность Да(Х) (1.1.20) эквивалентна
плотности силовых моментов <Ιαβ{Χ)- Наоборот, всякому
финитному распределению массовых сил можно сопоставить
эквивалентное распределение силовых моментов. Из (1.1.20)
следует, что плотность q^{X) определяется по заданному
вектору qa{X) не однозначно, но с точностью до слагаемого
q°a(x) = ™tafi<Pfi(x)=eafixVfi<Px(x)> гДе <Ρβ(χ) - произвольное
векторное поле.
Взяв теперь два близко расположенных диполя и
осуществив предельный переход, аналогичный рассмотренному
выше, можно получить источник еще более сложной структуры
(квадруполь). Повторяя указанную процедуру, придем к
последовательности источников, называемых мультиполями. При
этом мультиполю η-го порядка соответствует обобщенная
плотность нагрузки вида
*.(*) = 6Ua^vava...va*x). <1L21>
3°. Источники внешних напряжений, распределенные
по поверхностям и по линиям. Пусть Ω - гладкая
поверхность Ляпунова в трехмерном пространстве. Введем дельта-
функцию Ω(χ), сосредоточенную на поверхности Ω и
действующую на любую гладкую функцию ψ{χ) следующим
образом [26,80]:
Г ψ(χ)Ω(χ)άχ = Г ψ(χ)άΩ, (1.1.22)
Ω
где интеграл слева вычисляется по всему пространству R3.
Распределению массовых сил с плотностью Qa(x) по
поверхности Ω соответствует объемная плотность qa(x),
имеющая вид
4α(Χ) = 0α(Χ)Ω(Χ)· (1123)

19
Такое распределение массовых сил называют простым
слоем, сосредоточенным на поверхности Ω. Соответствующее
простому слою поле перемещений определяется выражением
«*(*) = /М* - х'Шх'УЮ, (1.1.24)
Ω
которое следует из (1.1.5), (1.1.22) и называется потенциалом
простого слоя статической теории упругости [85,99].
Пусть теперь на поверхности Ω задано распределение
обобщенных силовых моментов плотности ζ)αβ(χ).
Соответствующая объемная плотность этих моментов задается
формулой
4*(χ) = 0φ(χ)Ω(χΥ (1-1.25)
Поле перемещений, вызванное такой внешней нагрузкой,
определяется соотношением, которое следует из (1.1.19):
«*(*) = J V^(x - x^QvWW ■ (1-1.26)
Ω
Заметим, что потенциалом двойного слоя статической
теории упругости называют обычно потенциал (1.1.26) с
плотностью ζ)αβ(Χ) специального вида
Οαβ(Χ) = -С%лМхШх)> (1-1-27)
где п{х) - нормаль к поверхности Ω, Ъ{х) - векторное поле
на этой поверхности [85].
Аналогично функции С1{х) можно ввести обобщенную
функцию 1(х), сосредоточенную на линии / , а также
распределение сил и обобщенных моментов, заданных на / :
4α(Χ) = Qa(xV(x)> 4αβ(Χ) = 0*(*Ж*)· (1-1-28)
Поле перемещений от таких источников внешних
напряжений имеет вид
К(х) = JΟαβ(χ-x')Qp(x')dV, ua(x) = jνλΟαβ(χ-x')Qpx(x')dl'.
ι ι
(1.1.29)

20
В заключение этого пункта остановимся на выражении
для тензоров деформаций и напряжений в упругой среде с
объемным распределением обобщенных силовых моментов.
Будем считать, что плотность таких моментов q^(X)-
симметричный тензор. Из (1.1.19) следуют равенства
εαβ(χ) = -\Καβλμ(χ-χ')<1λμ(χ')<ίχ',
К^*) = 4^яС%Ц^)- (1.1.31)
Поскольку функция G^(x) имеет особенность |дс|-1 при
jc —> 0, то ¥L^J(x) - вторая производная от G^(x) -
формально неинтегрируемая функция с особенностью \х\~3 в нуле.
Для того, чтобы придать смысл интегралу (1.1.30), будем
рассматривать ^αβλμ(χ) как обобщенную функцию. Построение
алгоритма вычисления формально расходящихся интегралов,
которые нередко возникают в теории обобщенных функций,
называется регуляризацией. В частности, регуляризация
обобщенных функций, являющихся производными
регулярных функционалов, рассмотрена в [26]. В Приложении П.2.2.
показано, что действие обобщенной функции Καβλμ(χ) на
гладкую финитную тензорную функцию φαβ(χ) определяется
равенством
|Ка^*)^Дх>& = А^А(0)+ (1.1.32)
+deta| Καβλμ(αχ)φλμ(αχ)άχ, (αχ)α=ααβχβ,
A^=iJK^>-1*№, (а-хк)а=а^кр, (1.1.33)

21
К^(*) = /Кц(М/|(х)ехрН*-х)Л, к-х = каха.
Здесь символом J обозначен интеграл в смысле главного
значения по Коши [106]
!κ(αχ)φ(αχ)άχ = lim JK(ax)(p{ax)dx9 (1.1.34)
Κ*αβλμ(Ιϊ) - преобразование Фурье функции Ka>W/i(jc), Ω1 -
поверхность единичной сферы в к -пространстве.
Произвольный асимметричный двухвалентный тензор а^ в (1.1.32)
и (1.1.33) определяет невырожденное линейное
преобразование X -пространства. В силу (1.1.7) и (1.1.31) выражение для
тензора К^ЯД£) имеет вид:
^afiXM(k)=[kakxGfiM(k)^ ^, Ga^k)=Lafi(k), La^k)=kxCXafiMkM.
(1.1.35)
Таким образом, каждое из слагаемых в правой части
(1.1.32) определено неоднозначно в силу произвольности
тензора, однако сумма этих слагаемых не зависит от величины
компонент тензора, что следует из однозначности
определения обобщенной функции К(х) (1.1.31).
Возвратимся к выражению для деформаций (1.1.30). Для
достаточно гладкой функции q^{x) интеграл в (1.1.30) можно
понимать в следующем смысле (индексы для простоты
опускаем):
е(х) = - J К(х - x')q(x')dx = - A°q(x) - J K(x - x')q(x')dx',
(1.1.36)
где тензор А° определен соотношением (1.1.33) при ct^= δαβ.
Заметим, что поле деформаций е(х) в (1.1.30)
удовлетворяет условию совместности &οίαβλμελμ(χ)=0 при любой
финитной плотности q(x). Это является следствием равенства

22
*οίαβλμΚλμτρ(χ) = -ΚοίαβΧμ[νμνρΟλτ(χ)]Μ = Ο, (1.1.37)
которое проверяется непосредственно, если воспользоваться
выражением (1.1.4) для оператора Rot.
§ 1.2. Упругая среда с источниками
внутренних напряжений
Напряжения в упругой среде могут существовать и при
отсутствии внешней нагрузки. Такие напряжения называют
внутренними. Причиной их появления могут быть
неравномерное температурное поле, неоднородная пластическая
деформация, фазовый переход в ограниченной области,
связанный с изменением параметров кристаллической решетки, и
т.д.
Пусть, например, конечная область Fоднородной упругой
среды испытывает пластическую деформацию, которая
характеризуется двухвалентным симметричным тензором ηιαβ{χ).
Вследствие стеснения области V окружающей средой
возникает дополнительная упругая деформация ε*αβ. Полная же
деформация среды ε φ равная сумме упругой ε€αβ и "неупругой"
тар составляющих, удовлетворяет условию совместности
^ίαβλμείμ = ΚοΙαβλμ(ε\μ +т^) = 0. (1.2.1)
В силу закона Гука напряжения в среде определяются
упругой составляющей поля деформаций εβαβ{σαβ-^αβλμε\^)
и при отсутствии внешних сил удовлетворяют однородному
уравнению равновесия divcr=0. Отсюда следует, что система
уравнений для внутренних напряжений при заданной
функции τηαβ{χ) может быть записана в виде
V^ = 0, <** = £°αβλμε\μ > (1-2.2)

23
^°^αβλμε\μ ~ ~ Ήαβ > Ήαβ ~ ^°^αβλμΐηλμ ·
Тензор ηαβ(χ) называют обычно тензором плотности
дислокаций, а τηαβ{χ) - тензором плотности дислокационных
моментов, порождающих поле внутренних напряжений[21,80].
Если ηαβ(χ) - финитная интегрируемая функция, то
решение системы (1.2.2) можно представить в форме
σαβ{.χ) = \Ζαβλμ{χ-χ,)ηλμ{χ')άχ\ (1.2.3)
где Ζαβλμ(χ) - тензор Грина для внутренних напряжений,
общая структура которого исследована в [80]. Учитывая
соотношение τ/αβ(χ) = Κοίαβλμηιλμ(χ) и используя теорему Стокса
(Приложение П3.1), можно записать:
σαβ(Χ) = \$αβλμ(Χ-ΧΊ™λμ(Χ'№\ (1.2.4)
$αβλμ(Χ) = R0ta/?rpZrMw(*)·
Найдем связь между функцией S(x) и функцией Грина
для перемещений G(x) в однородной среде, определенной
соотношением (1.1.7). Для этого рассмотрим однородную
среду с источниками внешних и внутренних напряжений
(массовыми силами q{x) и плотностью дислокаций т(х)).
Как следует из уравнений (1.1.3) и (1.2.2), поле напряжений в
такой среде является решением системы
-У,*» =Яа, -*οίαβλμ(σ)^νρσνρ = ηαβ. (1.2.5)
С помощью функций Грина для перемещений Ga/3{x) и
напряжений Ζαβλμ{χ) выражение для тензора σαβ(χ) можно
представить в виде
M^)=Jc^VAG^-x')^(x')^'+JZa^(x-x')^(^')^'·
(1.2.6)

24
Заменив в этом соотношении функции qa(X) и ηαβ(Χ)
левыми частями формул (1.2.5) и воспользовавшись теоремами
Гаусса и Стокса, получим
σαβ(χ) = -σαβλμ4λ\θμρ(χ- χ')Ψτστρ(χ')άχ' - (1.2.7)
-jZafiXM(x-x')^otX/jpt(CX^vS(x')dx' =
= -/[^С-чИ,У,Ож,(х-х') + 5(Л|(х-х'Хс-)^г]арг(х')Л'.
Сравнивая выражения в левой и правой частях этого
тождества, найдем
-V^^VrGw(x)-^(x)(C°)ir = /а/?рДх), (1.2.8)
где Ιαβρτ = δα)(ρδτ)(β - единичный четырехвалентный тензор.
Отсюда для функции SafiX/J(x) получим выражение
■W*) = ^νρκνρτδ(χ)σΤδλμ -с^Дх), ц.2.9)
где тензор ¥^αβλμ{χ) определен в (1.1.31).
Так же как и ^αβλμ{χ), функция 5αβλμ{χ) является
обобщенной однородной функцией степени (-3), а ее действие на
любую гладкую финитную функцию τηλμ (χ) определяется
равенством, аналогичным (1.1.32):
J ^ (х)тхм (*)<&=Οαβλμηιλμ (0) + det a JSU^ (αχ)τηλμ (ax)dx,
(1.2.10)
^αβλμ =~£π } ^αβλμ \α ^)"** > ^αβλμ \») ~ ^αβρτ^ρτδν^δνλμ ~ ^αβλμ '
(1.2.11)
Здесь S*a^M(k) - преобразование Фурье функции SafiX/d(x)9
остальные обозначения те же, что и в (1.1.32).

25
Заметим, что поле σαβ(χ) вида (1.2.4) автоматически
удовлетворяет однородному уравнению равновесия (Vβοβα- 0) для
любой финитной интегрируемой функции ηιαβ(χ). Это
является следствием равенства
которое проверяется непосредственно при использовании
выражения (1.1.4) для оператора Rot.
Рассмотрим поля внутренних напряжений,
соответствующие некоторым конкретным распределениям дислокационных
моментов в однородной упругой среде.
1 . Поле дислокационных моментов постоянной
плотности. Если в (1.1.4) inaP{x) = w0ap - постоянный тензор, то
интеграл, которым выражается тензор σαβ(χ), формально
расходится в нуле и на бесконечности. Для того, чтобы найти
значение этого интеграла, рассмотрим следующую модельную
задачу.
Пусть причиной возникновения внутренних напряжений
является температурная деформация. Если при равной нулю
температуре Τ температурная деформация отсутствует, то при
7V 0 соответствующую плотность ηίαβ(χ) можно представить в
виде
^αβ(χ)=ααβΤ(χΙ (1.2.13)
где ααβ - тензор коэффициентов линейного расширения
среды. При однородном температурном поле (r(x)=r=const)
тензор τηαβ также не зависит от координат. Очевидно, что
напряженное состояние среды будет при этом зависеть от
условий стеснения ее на бесконечности. Действительно, если
стеснение отсутствует, т.е. среда имеет возможность свободно
расширяться (сжиматься), изменение температуры среды не
приведет к появлению в ней внутренних напряжений. Отсюда

26
следует, что при м αβ(χ) = ηι°αβ значение интеграла (1.2.4)
должно быть равно нулю:
!■
Если же условие на бесконечности таково, что при любых
изменениях температуры Τ (T=const) полная деформация
среды отсутствует (εαβ - ε€αβ+ηι°αβ = 0), то напряжения в
среде определяются из соотношения
σαβ — ^αβλμ6λμ = ~*^ αβλμ™ λμ = ~*^αβλμαΧμ* · (1-2.15)
Отсюда и из (1.2.4) следует, что в условиях полного
стеснения деформаций среды имеет место равенство
/■
Формулы (1.2.14) и (1.2.16) представляют собой
регуляризацию расходящегося интеграла (1.2.4) при #7^=const.
Подчеркнем, что однозначной естественной регуляризации этого
интеграла на постоянных не существует и его значение
зависит от физического смысла, который этот интеграл имеет в
конкретной задаче.
Следствием регуляризации (1.2.14) и (1.2.16), а также
соотношения (1.2.9), связывающего обобщенные функции S(x)
и К(х), является определение действия интегрального
оператора с ядром К(х) (1.1.31) на постоянную
ι
0, при полном стеснении среды
\(С°)~], при отсутствии стеснения
К(х-х>&'4 ,^-ι (1.2.17)
Отметим, что этот интеграл можно интерпретировать как
деформацию среды под действием обобщенных силовых
моментов постоянной плотности q°ap = -δαβ .
Неоднозначность регуляризации интегралов,
соответствующих действию операторов с ядрами S(x) и К(х) на
постоянные, становится особенно отчетливой, если в (1.2.4) пе-

27
рейти к преобразованию Фурье подынтегральных функций,
используя свойства свертки
jS(x-x')modx' = jS\k)moS(k)exp(-ikx)dk = S*(0)mo.
(1.2.18)
Здесь учтено равенство J exp(ik-x)dx = (2к)ъ 5(к) [11]. Из
соотношений (1.1.35) и (1.2.11) следует, что S (к) является
однородной функцией нулевой степени от к, т.е.
S\k) = S\m), ma=kj\k\. (1.2.19)
Поэтому значение функции S* (к) при к = О однозначно
не определено и зависит от направления, по которому вектор
к стремится в точку к- 0. Следствием соотношений (1.2.14)
и (1.2.16) является равенство
♦ J-С0, при полном стеснении среды
О yJ) — *S yL.Z.Zy))
[ 0, при отсутствии стеснения
Функция К (к) также однородная нулевой степени по к
и для нее на основании (1.2.17) имеем
0, при полном стеснении среды
I (С°)~\ при отсутствии стеснения
К>) = \ ,„' * . _ —(1.2.21)
2°. Однородное распределение дислокационных
моментов в полупространстве. Рассмотрим теперь внутренние
напряжения в однородной упругой среде с плотностью
дислокационных моментов вида
il при х. > 0
Л, (1-2.22)
0 при х3 < 0
где х15х2,х3 - ортогональная декартова система координат,
Я(х3) - функция Хевисайда.

28
Для вычисления интеграла (1.2.4) с такой плотностью
вновь воспользуемся свойством свертки и перейдем к
преобразованию Фурье подынтегральных функций. Опуская
тензорные индексы, можно записать^)
ф) = \s(x-x')m(x')dx' ={2π)~3 jS*{k)m°H*{k)exp{-ik-x)dk,
(1.2.23)
Я*(*1ЛЛ) = (^М^Ж*2)[^) + ^1]. (12·24)
Вычисляя интеграл в правой части (1.2.23), получим
j S(x-x')m(x')dx' =±[S*{0) + S*{n)sign{-nx)]m\
(1.2.25)
Здесь учтено, что S*(0,0,k3) = S*(n), где П - внешняя
нормаль к области хъ >0, занятой дислокационными
моментами. Как это уже отмечалось выше, значение тензора S*(0)
зависит от условий на бесконечности (см. (1.2.20). В то же
время из (1.2.23) и (1.2.25) следует, что скачок тензора
напряжений о(х) при переходе через границу области,
содержащей дислокационные моменты, от этих условий не зависит
и определяется соотношением
[σ] = σ - σ = -S\n)m°, (1.2.26)
где σ+ - предельное значение σ(χ) при стремлении точки X к
плоскости х3 = 0 со стороны нормали П, а &~ - с
противоположной стороны. Из соотношений (1.1.35) и (1.2.11) следует
равенство
"α$*αβλμ(") = ^Ιβλ/ιΡ{ΐ°{ή))-^δητστδλμ - ηασαβλμ = о,
^αβ(η) = ηλσλαβμημ. (1.2.27)
Поэтому нормальная компонента тензора напряжений
θαβ{χ)ηβ остается непрерывной при переходе через границу
*/ В дальнейшем безындексная запись формул будет
использоваться без особых оговорок в тех случаях, когда это не
может привести к разночтениям.

29
области х3 >0, в которой распределены дислокационные
моменты.
[ива^] = /|Д^(и)|Я^ sO. (1.2.28)
Полная деформация среды с распределениями
дислокационных моментов вида (1.2.22) и учетом (1.2.23), (1.2.25) и
(1.2.9) представляется в форме
ε(Х) = (С°)1 ф) + т(х) = JК(х - х')С°тН(-п x')dx' =
= ±[K\0) + K\n)C°sign(-ri-x)]mo. (1.2.29)
Отсюда следует, что скачок тензора деформаций ε(χ) при
переходе через границу области (х3 > 0) определяется
соотношением
[е] = -К\п)С°т\ (1.2.30)
3°. Дислокация Сомильяны. Пусть в среде имеется
область, один из характерных размеров которой существенно
меньше двух других. Обозначим через Ω срединную
поверхность этой области, а через h{x) - ее поперечный размер
вдоль нормали п(х) к Ω. Вырежем эту область из среды и
подвергнем пластической деформации ερ(χ), которая
является постоянной вдоль нормали к поверхности Ω, а на самой
поверхности определяется соотношением
<Д*) = т^М*И?)(*)> *€Ω α·2·31)
h{x)
Здесь b{x) - заданное на Ω векторное поле.
Зафиксировав пластическую деформацию, упруго сдеформируем область
Vh внешними силами так, чтобы она приняла прежнюю
форму, и вставим ее обратно в среду. Произведем склеивание по
границе области Vh, а затем уберем внешние силы. В
результате в среде возникнут внутренние напряжения. Найдем
предельное распределение этих напряжений при h —> 0. Соот-

30
ветствующая такому источнику плотность дислокационных
моментов т{х) определяется выражением
mafi(x)=^mol^b(a(x)n/l)Vh(x)=b(a(x)n/J)(x)n(x), (1.2.32)
где Vh{x) - характеристическая функция области Vh, Ω(χ) -
обобщенная функция, сосредоточенная на срединной
поверхности области Vh и определенная соотношением (1.1.22).
Источник с плотностью дислокационных моментов вида
(1.2.32) носит название дислокации Сомильяны и допускает
более простую физическую интерпретацию. Сделаем в
однородной упругой среде разрез по гладкой поверхности Ω и
разведем его берега внешними силами так, чтобы точки,
лежащие на разных берегах разреза и совпадающие в исходном
состоянии, разошлись на вектор Ь(х). Заполним
образовавшуюся полость материалом среды и проведем склейку по
границе полости. После этого снимем внешнюю нагрузку.
Эквивалентная такому источнику внутренних напряжений
плотность дислокационных моментов совпадает с (1.2.32), а
сами напряжения определяются соотношением, которое
следует из (1.2.4)
^(x) = \Sa^(x-xf)n,(xf)bM(xf)dQ\ (1.2.33)
Ω
Дислокация Сомильяны имеет непосредственное
отношение к задаче о трещине в однородной упругой среде. Пусть в
среде имеется разрез по гладкой незамкнутой поверхности Ω.
Приложим к среде внешние силы с плотностью q(x)u пусть
при этом берега трещины разойдутся на вектор Ь(х).
Обозначим через <J°(x) поле напряжений, которое существовало бы
в среде при отсутствии трещины и той же внешней нагрузке.
Тогда поле напряжений в среде с трещиной складывается
из внешнего поля σ°(χ) и поля вида (1.2.33):
σαβ(χ)=^αβ(χ) + \Ξα^(χ-χ')ηχ(χ')δμ(χ')άΩ'. (1.2.34)
Ω

31
В силу свойства (1.2.12) тензора S(x) это поле
удовлетворяет уравнению равновесия diva= -q во всех точках среды, в
том числе и на поверхности Ω. Используя теперь граничные
условия на поверхности трещины, можно получить уравнение
для вектора Ь(х). Если берега трещины свободны от
напряжений, то эти условия принимают вид
ηα(χ)σαβ(χ) = 0 при χεΩ. (1.2.35)
Отсюда и из (1.2.34) получим уравнение
JTafi(x,x')b^x')dQ' = nfi(x)afia(x), χ εΩ, (1.2.36)
Ω
Ταβ(.χ,χ') = -ηλ(χ)8λαβμ{χ-χ')ημ(χ>). (1.2.37)
Подробнее это уравнение будет рассмотрено в гл.II (п.2.6).
Заметим в заключение, что для сведения задачи о трещине
к интегральному уравнению обычно используется
представление вектора перемещений в форме потенциала двойного слоя
статической теории упругости, определенного соотношением
(1.1.26) [119]. При таком подходе поле перемещений в среде с
трещиной представляется следующим образом:
ua(x) = <(x)-\Vfiap(x-x>)Clp^№bx{x')dV,
Ω
(1.2.38)
где и°(х) - вектор перемещений в среде без трещины при той
же внешней нагрузке. В силу известных свойств потенциала
двойного слоя вектор и{х) разрывен на Ω, а величина скачка
равна плотности потенциала Ъ(х). Соответствующий полю
перемещений (1.2.38) тензор напряжений имеет вид
**(*) = o-:fi(x)-C:fiXMjV,VvGJx-x')C;pr/iT(x')bs(x')dn'.
Ω
(1.2.39)
Сравнивая это выражение с выражением (1.2.34), можно
Убедиться в том, что их левые части отличаются на сингуляр-

32
ное слагаемое С^ ия(х)й> (χ)Ω(χ), сосредоточенное на
поверхности Ω. Вне Ω тензоры напряжений, определенные в
(1.2.34) и (1.2.39), совпадают.
Указанное различие обусловлено тем, что при выборе
решения в форме потенциала двойного слоя (1.2.38) трещина
моделируется не дислокационными особенностями, а
силовыми - распределением моментов диполей с плотностью
Ωλμ(χ) = ~^°αβλμηλ^μ(χ) на Ω. При этом поле напряжений в
среде содержит сингулярную компоненту, пропорциональную
Ω(χ), и не удовлетворяет исходному уравнению равновесия
(div<J=-q). Из (1.2.39) следует равенство
V* = -qa-qsa , q'a(x) = νΛ[^^(χ)^(χ)Ω(χ)],
(1.2.40)
где q\x) - обобщенная функция, сосредоточенная на
поверхности Ω. Поскольку в действительности дополнительные
массовые силы на поверхности трещины отсутствуют, то
"дислокационная" модель трещины более корректна, чем "силовая".
Как уже отмечалось, поле напряжений (1.2.37),
соответствующее дислокационной модели, удовлетворяет уравнению
равновесия во всем пространстве, в том числе и на Ω, а
соответствующий вектор усилий ία{χ)-ηβσβα{χ) будет непрерывной
ограниченной функцией всюду, за исключением, быть может,
контура Г - границы поверхности Ω. Поскольку предельные
при χ—>Ω значения тензоров напряжений (1.2.39) и (1.2.34)
совпадают, то уравнение для вектора Ъ(х) в (1.2.38), которое
следует из граничных условий (1.2.35), по существу, ничем не
отличается от (1.2.36).
§ 1.3. Разрывы упругих полей в однородной
среде с источниками внешних и внутренних
напряжений
Пусть внутри области V, ограниченной замкнутой
поверхностью Ляпунова, распределены источники упругих полей,

33
плотность которых внутри Г является бесконечно
дифференцируемой функцией координат. Начнем с рассмотрения
распределения в области Vмассовых сил плотности qa(x). В
этом случае поля упругих перемещений и деформаций
представляются в виде интегралов со слабой (интегрируемой)
особенностью
«„(*) = jM*-*')ty(*')<fc', ε^χ) = Jv(aG^(x)^(x')^',
V V
(1.3.1)
и поэтому непрерывны во всем пространстве [107].
Если же в области V задано распределение обобщенных
силовых диполей плотности q^(x), то поля упругих
перемещений и деформаций представляются интегралами (1.1.19) и
(1.1.30)
V V
(1.3.2)
Здесь функция и(х) непрерывна на границе области Ккак
интеграл со слабой особенностью, а функция б(х)
непрерывна вне и внутри V, но на границе Ω этой области она терпит
разрыв. Для того, чтобы найти величину разрыва, представим
второй интеграл (1.3.2) в виде
ε(χ) = -J K(x - x')[q(x') - q(x)W - Jk(x - x')dx'q(x).
V V
(1.3.3)
Функцию q(x) вне области V определим с помощью
произвольного гладкого продолжения. Для гладкой и
ограниченной внутри V функции q{x) первое слагаемое в правой части
(1.3.3) представляет собой интеграл со слабой особенностью
и, следовательно, является непрерывным на Ω. Рассмотрим
предел второго интеграла в (1.3.3) при стремлении точки X к
хо е Ω снаружи и изнутри области V.

34
Введем ортогональную декартову систему координат
У\>Уг>Уъ с началом в точке х0 и осью у3, направленной вдоль
внешней нормали п(х0) к Ω. Рассмотрим сначала предел
интеграла
J(y) = JK(y-y')dy' (1.3.4)
V
при у—> О, если y~eV. Зафиксируем точку y = yo~eV и
введем безразмерные переменные ξ.,=у.,/[у0|, (/=1,2,3).
Поскольку К(у) - однородная функция степени (-3), имеем
J(y)=Лфо|) = /ВД- ξ'ψ{ξ·¥ξ·, (1-3.5)
где ν{ξ) - характеристическая функция области Г в
переменных £. Положим в интеграле у=у0 и устремим у0 к нулю.
При этом £0=j/0/|y0| - единичный вектор, определяющий
направление, по которому точка у0 стремится в начало
координат. В пределе при у0 —»0 область V в координатах ξ.
переходит в полупространство ξ3 < О, т.е. ν(ξ},ξ2,ξ3)-+
\-Η(ξ3), где Η(ξ3) функция Хевисайда. Отсюда следует
равенство
Вт/Со) = /К(£>" ξ')Ηλ{ξ·)άξ = (1.3.6)
= (2 π)~' / К* (k)H* (k) ехр(-/* · ξ0 )dk,
Ηχ{ξ„ξ2,ξ,) = \-Η{ξ,).
С учетом выражения (1.2.24) для Н*(к) получим
ПтЛу0)=^[К\0)-К\П)]=Г(0), y0-W. (1.3.7)
Аналогично найдем предел J(y0) при у0->0, у0 gV

35
Hm </(у0)4[Г(0)+К»]=/-(0) ,у0&. (1-3.8)
Таким образом, скачок интеграла J(y) при переходе через
границу области V имеет вид
[J(0)] = J+(0)-J-(0) = -K\n). (1.3.9)
Отсюда и из (1.3.3) следует равенство, которое определяет
скачок потенциала ε(χ) вида (1.3.2) при переходе через
границу области V
[ε(χ0)] = ε+(χ0)-ε-(χ0) = Κ\η0Μχ0), (1.3.10)
где п0 = п{х0)- внешняя нормаль к Ω в точке х0 eQ.
Рассмотрим теперь среду с распределенными внутри
области V дислокационными моментами плотности т(х).
Тензор внутренних напряжений в среде определяется
выражением (1.2.4). Если т(х) - гладкая ограниченная функция, то
тензор о{х) можно представить в виде суммы
ф) = JS(x- х')[т{х') - m(x)]dx' + J S(x - x')dx'm(x),
ν ν
(1.3.11)
где первое слагаемое - это интеграл со слабой особенностью,
непрерывный при переходе через границу Ω области V. Тем
же путем, что и выше, можно показать, что второе слагаемое
в правой части (1.3.11) разрывно при переходе через Ω, а
величина скачка тензора σ{χ) определяется соотношением
[a(x0)] = a+(x0)-a(x0) = -S\n0)m(x0), (1.3.12)
где σ+(χ0)- предельное значение σ(χ) при χ —> х0 со
стороны внешней нормали п0 = п(х0) к поверхности Ω в точке х0,
&~ (х0) - тот же предел при стремлении X к х0 с
противоположной стороны. Функция S (к) определена соотношением
(1.2.11).
Перейдем к рассмотрению упругой среды с источниками
внешних напряжений, сосредоточенными на ориентирован-

36
ной поверхности Ляпунова Ω. Начнем с потенциала простого
слоя, определенного соотношением (1.2.4),
««(*) = fc^x- x')Q0(x')dQ, (1.3.13)
Ω
где (2β(χ) - гладкая, ограниченная на Ω функция. Известно
[85], что эта функция непрерывна во всем пространстве, а
при χ gQ правая часть (1.3.13) представляет собой интеграл
со слабой особенностью.
Поле деформаций ε(χ), соответствующее полю
перемещений (1.3.13), имеет вид
ε(χ) = J def G(x - x')Q(x')dQ' (1.3.14)
Ω
и является разрывным при переходе через поверхность Ω.
Для исследования этого разрыва воспользуемся
представлением потенциала ε (χ) в виде суммы двух слагаемых
*(*)=[ def G(x-x')[Q(x')-Q(x)]dQ'+J def G(x-x')d&Q(x)
Ω Ω
(1.3.15)
и рассмотрим их пределы при χ—>Ω. Вне Ω функцию Q(x)
определим с помощью произвольного гладкого продолжения.
Первое слагаемое в (1.3.15) является непрерывным при
переходе через Ω как интеграл со слабой особенностью для любой
гладкой функции Q(x). Предельное (при χ—>Ω) значение
второго интеграла
Jx(x) = jdefG(x-x')dQ' (1.3.16)
Ω
представим в форме
lim ,/,(*)= fdefG(x-x')dCl'+ jdefG(x-x')dQ'.
Х^Х°Е Ω\Ωδ(χ0) Ωδ(χ0)
(1.3.17)

37
Здесь Ω^(χ0) - часть поверхности Ω, вырезанная из нее
сферой радиуса δ с центром в точке х0 ξΩ. Введем
локальную систему координат у19у29уг с началом в точке х0 gQ и
осью уЪУ направленной по нормали п(х0) к Ω в точке х0.
В этих координатах второй интеграл в правой части (1.3.17)
принимает вид
lim \defG(x-x')dx'=lim idefG(.y-.y')^\
Ωδ(χ0) Ω,(0)
(1.3.18)
В дальнейшем параметр S будет устремлен к нулю.
Поэтому Ω^(0) можно считать плоской круговой поверхностью,
заданной соотношением Ω ДО) = (У? +У\ <&,Уг =°)· Введем
обозначение
J°(y)= jde{G(y-y')dQ'. (1.3.19)
Ω,(0)
Так как defG(y) - однородная функция степени (-2), то
значение этого интеграла не зависит от радиуса δ плоской
области интегрирования Ω^(0). Это позволяет записать
Τ {у) = lim jdtfG(y-y')(Kl' = jdefG(y-y')S(y;)dy>,
(1.3.20)
где учтено, что поверхность Ω^(0) в пределе при £—>оо
переходит в плоскость .Уз = 0; последний интеграл вычисляется
по всему пространству. Используя свойство свертки, найдем
^ω = ;Μν^(*№)*^)«Φ(-9'·*)Λ =
АТС*
= I^(a^(0,0.1)sign^. (1.3.21)

38
В инвариантной записи это соотношение имеет вид
JO» 00 = i"(A (") sisn (w · у) . (L3-22>
где п - нормаль к Ω в точке х0.
Устремим теперь δ к нулю в (1.3.17) и, учитывая формулы
(1.3.20)-(1.3.22), получим, что предельное значение интеграла
при стремлении точки X в точку х0 ( J^co стороны внешней
нормали, Jj" - с противоположной стороны) определяется
соотношением
Jf(x0) = /def G(x0 -χ')άΩ'±±Α(η0), (1.3.23)
Ω
Aa^W^Oia^^), П0 =П(Х0). (1.3.24)
Здесь интеграл в смысле главного значения по Коши
существует в силу нечетности функции defG{x) .
Отсюда и из (1.3.15) следует, что предельные значения
потенциала (1.3.14) имеют вид
£±(x0) = ld^G(x0-x')Q(x')dQ'±lA(n0)Q(x0).
Ω
(1.3.25)
Таким образом, скачок этого потенциала при переходе
через поверхность Ω определяется выражением
[М*о)] = Л^я(и0)2Дх0). (1.3.26)
В заключение рассмотрим потенциал двойного слоя
статической теории упругости, о котором упоминалось выше
(соотношения (1.1.26), (1.1.27)):
^Μ = -ί^χΟαβ(χ-χ')σλβμχρμ(χ')Κ(χ')άΩ'. (1.3.27)
Ω
Очевидно, что ядро, а следовательно, и свойства этого
потенциала аналогичны свойствам потенциала (1.3.14). Отсюда и
из (1.3.25) следует, что предельные значения этого потенциала
на поверхности Ω определяются соотношениями

39
<Ы = -^χΟαβ(χ0-χ')σβλμΛ(χ')Κ(χ')άΩ' ±\ba{x0).
Ω
(1.3.28)
При этом учтено равенство
п&р(п)С^ = 8ау, (1.3.29)
которое следует из определения G*(k) (1.1.35).
Формулы (1.3.25) и (1.3.28) обобщают известные для
изолированной среды свойства потенциалов (1.3.14) и (1.3.27) на
случай однородной среды произвольной анизотропии. В
частности, как следует из (1.3.28), разрыв потенциала двойного
слоя при переходе через поверхность Ω равен плотности
потенциала Ъ(х0 ) в точке перехода.
§ 1.4. Упругие поля вдали от источников
напряжений
Рассмотрим ограниченную область V в однородной
упругой среде, внутри которой приложены массовые силы
плотности q(x). Если q{x) интегрируемая функция, то поле
смещений и(х) в среде представляется интегралом (1.1.5),
который абсолютно сходится, если точка X находится вне области
V. При x~eV поле и(х) является бесконечно
дифференцируемой функцией координат.
Разложим функцию Грина G(x-x') в ряд Тейлора в
окрестности точки χ - х0 (х0 G V, χ ~ё V)
^(χ-χ') = Σ-^[νΛινΛ2...νΛισα/)(χ-χ0)]χ
к=0 * ·
xk-^U-^-k-x')^· (1.4.1)
Подставляя это разложение в правую часть (1.1.5), найдем

40
«. (*) = Σ νΛ, V^2 · · · νΛ, Οαβ(χ - x0 )QkvM (*ο ), (1·4·2)
k=0
κ\ ν
(1.4.3)
Тот же результат можно получить, если функцию q{x) в
(1.1.5) представить в виде следующего ряда
00
т=0
Заметим, что первый член этого разложения
Q;(xMx-Xo) = \<Ip(x'W5(x-Xo) (1-4.5)
V
имеет смысл равнодействующей силы распределения qa(x),
приложенной в точке х0. Второй член ряда (1.4.4) имеет
смысл обобщенного силового диполя с моментом
ei^-J^'-^M/*')^, (ΐ·4·6)
V
сосредоточенного в точке х0, а остальные слагаемые в (1.4.4)
можно интерпретировать как сосредоточенные мультиполи
более высокого порядка. Поэтому (1.4.4) называют
разложением финитной нагрузки q(x) в ряд по мультиполям,
сосредоточенным в точке х0 gV. Ряд (1.4.4) является
представлением функции q{x) в том смысле, что свертка обеих частей
(1.4.4) с любой аналитической функцией дают одинаковый
результат.
Член ряда (1.4.2) с номером к при |jc| —> оо имеет асимп-
тотику \х\ . Поэтому этот ряд сходится тем лучше, чем

41
дальше от области V расположена точка X. Для описания
упругого поля вдали от области V можно ограничиться лишь
несколькими первыми членами разложения функции q(x) в
ряд по мультиполям и представить поле и(х) в виде
^(^)=^(χ-χ0)ρ;+νΛσ^(χ-χ0)ρ^+νΛν^σ^(χ-χ0)ρ^.
(1.4.7)
Здесь первое слагаемое определяет главный член
асимптотики поля и(х) при |х| —> оо .
Пусть область V имеет форму эллипсоида с полуосями
ах,а2,аъ и ортами главных осей е(]\е(2\е(3). Если плотность
источников упругого поля постоянна в области V, то в
разложении (1.4.4) функции q(x) = qV(x) в ряд по мультиполям
первые три коэффициента Qm определяются соотношениями
Q; = ч,, QU = о, #* = *(*iW + О·4·8)
При этом предполагается, что точка х0 расположена в
центре эллипсоида V. Асимптотика поля упругих
перемещений вдали от такого источника описывается правой частью
соотношения (1.4.7).
Пусть теперь плотность q{x) внутри эллипсоидальной
области имеет вид qa(x) = (x-x0)aV(x). Первые три
коэффициента расположения такой функции в ряд по мультиполям
(1.4.4) определяются выражениями
(1.4.9)
Плотность силовых или дислокационных моментов,
распределенных в конечной области V, можно разложить в ряд
по мультиполям, аналогичный (1.4.4). При этом тензоры
деформаций ε(χ) и напряжений σ(χ) вдали от области V с
заданным в ней распределением, например, дислокационных

42
моментов т(х), можно аппроксимировать первыми членами
следующих рядов
т=0
σα/,(χ) = ΣνΛι...ν/1)ΐ|^(ΑΓ-χ0)Μ//νΛι/1|ΐι(χ0)) (1.4.11)
т=0
где обозначено:
/77. ^
(1.4.12)
Рассмотрим в заключение тонкую область Vh со срединной
поверхностью Ω и поперечным размером h(x) (χ е Ω), в
которой распределены источники упругого поля. Пусть тонка X
удалена от поверхности Ω на расстояние, существенно
большее h. Введем локальную систему координат с началом в
точке х' gQ и осью ζ , направленной по нормали и(х') к
поверхности Ω. В случае распределения в области Vh массовых сил
плотности q(x) поле упругих смещений в среде можно
представить следующим образом:
А(*)/2
Ω -h(x')/2
Разложим в этом соотношении функцию Грина
G(x - χ'. - ζη(χ')) в ряд Тейлора по переменной ζ при x~gV
n' = n(x), -η' .

43
Подставив это разложение в (1.4.13), получим
«(*) = £/
*=0Ω
&
ty)
WirG(x-x>)
Q{lc)(x')dQ', (1.4.15)
Kx')/2
&k\x')= — jq(x' + zn')zkdz. (1.4.16)
Разложению (1.4.15) соответствует разложение плотности
q(x) в следующий ряд
q{x' + zrt) = Z-^[Q(k\x'№')l (1.4.17)
где Ω(χ) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности
Ω и определенная соотношением (1.1.22).
Главный член разложения (1.4.15) представляет собой
потенциал простого слоя, сосредоточенный на поверхности Ω с
плотностью Q^°\x):
A(*V2
lW'x)= J
-h(x)/2
&%
q(x+zn)dz.
(1.4.18)

ГЛАВА II
РАВНОВЕСИЕ
ОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ
С ИЗОЛИРОВАННЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
В этой главе задачи статической теории упругости и
термоупругости для среды с изолированной неоднородностью
сведены к решениям интегральных уравнений относительно
тензоров напряжений и деформаций. Существенно, что
решение этих уравнений необходимо разыскивать не во всем
пространстве, а только в конечной области, занятой
неоднородностью. Последнее обстоятельство является весьма
важным для построения численного решения рассматриваемых
задач. Кроме того, переход от дифференциальных уравнений
к интегральным в ряде случаев упрощает анализ тензорной
структуры и аналитических свойств общего решения.
§ 2.1. Интегральные уравнения для среды с
изолированной неоднородностью
Рассмотрим бесконечную среду, тензор модулей упругости
которой имеет вид
С(х) = С°+С\х), (2.1.1)
где С° - постоянный тензор, а С1 (х) - финитная, кусочно
гладкая тензорная функция. Упругое поле перемещений в
такой среде под действием массовых сил q(x) и при заданных
условиях на бесконечности является решением уравнения
(L^fi)(x) = qa(x)9 Ь,ф = Цф + 1}1ф, (2.1.2)

45
Обозначим if (x) поле перемещений в однородной среде с
тензором модулей С° под действием таких же массовых сил и
условий на бесконечности. Это поле удовлетворяет
следующему уравнению
(£>;х*)=&(*)· <2Л-3>
В дальнейшем поле и°(х), а также соответствующие ему
поля деформаций £°(x)=defV(x) и напряжений σ(χ) =
= С°е°(х) будем называть внешним.
Пусть q{x) - ограниченная кусочно гладкая функция. При
этом уравнение (2.1.2), понимаемое в смысле обобщенных
функций, имеет непрерывное единственное решение и{х)
[139]. Будем искать это решение в виде
и(х) = и(х) + и1(х), (2.1.4)
где и°(х)- решение задачи (2.1.3) (внешнее поле), а г/^х)—»0
при |х|—»оо. Подставив (2.1.4) в (2.1.2), получим уравнение
для вектора и] (х)
(Γ+Ζ>] =-Du. (2.1.5)
Поскольку С1 (χ) - финитная функция, то правая часть
этого уравнения также финитна. Действуя на обе части (2.1.5)
оператором G° = (L°)~\ а затем def, придем к соотношению
d + def GeZ,V =-defGeZV, ε1 =defif\ (2.1.6)
Учитывая выражение (2.1.2) для оператора Z,1, перепишем
это выражение в виде
^(х) + (КС^)(х) = 0, (2.1.7)
K = -defG°def5 ε =def(iie+ii1).
Добавим к обеим частям (2.1.7) тензор f°=def и - внешнее
поле деформаций, - придем к уравнению для тензора ε(χ)
ε(χ) + (ΚΟλε)(χ) = ε(χ) (2.1.8)
или в подробной записи

46
£αβ^)+ί^αβχμ(χ-χ'^Ινρ(χ')ενρ(χ')άχ'=ε:β(χ), (2.1.9)
*W*) = 4VeVAG^(x)](4W^ . (2.1.10)
Заметим, что функция К(х) совпадает с ядром оператора
К (1.1.31) , представляющего поле деформаций в однородной
среде с объёмным распределением обобщенных силовых
моментов. Как уже отмечалось в §1.1, ядро К(х) является
однородной обобщенной функцией степени (-3), действие
которой на непрерывных финитных функциях определено
соотношением (1.1.32). Существование и единственность решения
уравнения (2.1.9) следует из эквивалентности (2.1.9) системе
уравнений теории упругости (2.1.2).
Рассмотрим теперь задачу термоупругости. Пусть тензоры
коэффициентов линейного расширения а(х) и упругой
податливости среды В(х) = С-1 (х) имеют вид
а(х) =а+а](х), В(х) = В°+В1 (х), В° = (С°)-1,
(2.1.11)
где а1(х) и В1(х) - кусочно гладкие финитные функции,
а ,В° - постоянные тензоры. Будем считать, что среда
находится под действием массовых сил q(x) при заданных
условиях на бесконечности и в известном температурном поле
Т(х).
Тензоры напряжений и упругих деформаций в такой среде
удовлетворяют системе уравнений, которые следуют из (1.1.3)
и (1.2.2) при т(х) = а(х)Т(х)
divo(x) = -q(x), ф) = С(х)ее(х), (2.1.12)
Rots'(x) = -Rot[a(x)T(x)].
Перепишем эту систему так, чтобы она формально
совпадала с системой (1.1.3) , (1.2.2) для полей напряжений σ(χ)
и деформаций ε(χ) в однородной среде С° с источниками
внешних и внутренних напряжений
divo(x) = -q(x), σ(χ) = Сё\х), Rotf'(x) = -Rotw(x),
(2.1.13)

47
ε'(χ) = ε6(χ) -Β] (χ)φ), τη{χ) = Β] (χ)σ(χ) + α(χ)Τ(χ).
(2.1.14)
Здесь ε '(χ) - некоторое фиктивное поле деформаций.
Обозначим через ст(х) поле, порожденное источниками
внешних напряжений, которое удовлетворяет системе
уравнений
diva(x)=-q(x), a(x)=C°e(x), Rot*°(x)=0 (2.1.15)
и заданным условиям на бесконечности. Тогда, используя
представление (1.2.4) для тензора о{х) в среде с источниками
внутренних напряжений, решение уравнений (2.1.13) можно
представить в виде
σ{χ)=σ(χ) + \Ξ(χ-χ')ΐη(χ')άχ'. (2.1.16)
Подставим сюда тензор т(х) из (2.1.14), придем к
уравнению для напряжений в среде с неоднородными упругими и
термоупругими характеристиками
М*) - J SafiXfi (χ - χ')Βΐτρ(χ')στρ(χ')άχ' =
= <V + \Sa/3XM(x-x')aXM(x')T(x')dx', (2.1.17)
Я^х) = С:^К^(х-х^-С°^мо(х). (2.1.18)
При Τ = 0 интеграл в правой части (2.1.17) исчезает, и это
уравнение принимает вид
o{x)-jS(x-xf)B\xf)oixf)dxf = a(x). (2.1.19)
Используя закон Гука и представление (2.1.18) для S(x),
можно показать, что это уравнение эквивалентно (2.1.9).
В случае отсутствия внешнего поля (σ°(χ) = 0) уравнение
(2.1.17) описывает распределение температурных напряжений
в среде с неоднородными термоупругими характеристиками в
заданном температурном поле Г(х).
Отметим некоторые важные свойства интегральных
уравнений (2.1.9) и (2.1.17).

48
Г. Пусть носитель функции С1 (х) сосредоточен в
ограниченной области V с характеристической функцией V(x).
Представляя тензор деформации ε(χ) в среде с
неоднородностью в форме
ε(χ) = ε°(χ) + ε\χ), (2.1.20)
где ε](χ) - возмущение внешнего поля £°(х), связанное с
наличием неоднородности, получим из (2.1.9) уравнение для
ε] (х) в форме
ε] (х) + J К(х - х')С* (χ')ελ (x')V(x')dxf =
= -JK(x-x')C\x')f(x')V(x')dx'. (2.1.21)
Здесь учтено, что С1 (х) = С1 (x)F(x). Отсюда следует, что
поле ε\χ) зависит только от значений внешнего поля ε° в
области V, занятой неоднородностью (включением) .
2°. Если поля деформаций ε+ (χ) = ε(χ)ν(χ) и напряжений
σ+(χ) = <j(x)V(x) внутри области V известны, то вне V эти
поля однозначно восстанавливаются из соотношений (2.1.9) и
(2.1.19):
ε{χ) = f(x)-JK(x-x')C\x'^+(x')dx', (2.1.22)
a(x)=a(x)+fS(x-x')Bl(x')a+(x')dx'.
Уравнения для полей ε+ (х) и σ+ (χ) внутри включения
получим, умножив обе части (2.1.9) и (2.1.19) на V(x):
ε+(χ) + Ικ+(χ,χ')€](χ')ε+(χ')άχ' = ε + (χ), (2.1.23)
σ+ (χ) - J S+ (χ, χ')Βλ (χ')σ+ (x')dx' = σ + (χ),
Κ+ (χ, χ') = V(x)K(x - x')V(x'), S+ (χ, χ') = V(x)S(x - χ')Κ(χ').

49
3°. Пусть С1 (χ) —> -С°. Тогда в области, занятой
включениями, С(х) = С° +С1(х)—» 0 (случай полости). При этом
уравнение (2.1.9) для тензора деформаций принимает вид
ε(χ)-$Κ(χ-χ')σε+(χ')άχ' = ε(χ), xeV, (2.1.24)
а уравнение (2.1.19) для тензора напряжений σ(χ), с учетом
соотношения
Βισ+ = [С"1 -(С°у]]Се+ -> ε+ (2.1.25)
переходит в следующее
a(x)=a(x) + IS(x-x')e+(x')dx'. (2.1.26)
Таким образом, определив тензор ε+(χ') из уравнения
(2.1.24), из соотношения (2.1.26) можно восстановить поле
напряжений вне полости.
Заметим, что в случае полости тензор В] является
вырожденным и единственность решения уравнения (2.1.2), а
следовательно и уравнения (2.1.24), уже не имеет места. Ядро
оператора в левой части (2.1.24) с учетом (2.1.18)
представляется в форме
К(х)С° = (C°ylS(x) + Id(x). (2.1.27)
Отсюда и из выражения (1.2.4) для S(x) следует, что
однородное уравнение (2.1.4) эквивалентно следующему
jS(x-x')e+(x')dx,=jZ(x-x9)Rote+(x')dx9=0.(2.1.2S)
Здесь использована теорема Стокса и финитность
функции ε+(χ). Таким образом, любая функция с носителем в
области V у удовлетворяющая условию совместности
деформаций Rot£+=0, является решением однородного (при ε° = 0)
уравнения (2.1.24).
В дальнейшем, для определенности, в качестве решения
уравнения (2.1.24) будем рассматривать предел, к которому
стремится решение уравнения (2.1.9) при С1 —» -С°.
4°. Пусть теперь В1(х)->-В°9 так что 2?(х)—»0 в области
^ (случай абсолютно жесткого включения). При этом уравне-

50
ние (2.1.19) для тензора напряжений в среде с
неоднородностью принимает вид
oix) + jS(x-x')B0a+(x')dx' = a(x), xgV. (2.1.29)
Уравнение (2.1.9), которое с учетом соотношения
e(x)=e°(x)-JK(x-x')a+(x')dx' (2.1.30)
переходит в следующее равенство
С]е+ =[В~] -(Β°χι]Βσ+ ^ σ\ (2.1.31)
позволяющее определить поле деформаций вне жесткого
включения, если известно поле напряжений σ+ (χ) внутри
его.
Следствием вырожденности тензора упругой податливости
включения является неединственность решения уравнения
(2.1.29). Учитывая выражения (2.1.18) для тензора S(x), ядро
оператора в уравнении (2.1.29) можно представить в виде
S(x)B° =С°К(х)-Щх). (2.1.32)
Используя это соотношение, определение функции Щх)
(2.1.10) и теорему Гаусса, можно показать, что однородное
(σ° = 0) уравнение (2.1.29) эквивалентно следующему:
(2.1.33)
Очевидно, что этому уравнению удовлетворяет любое поле
с носителем в области V, которое является решением
уравнения равновесия Vλσ\μ = 0.
В дальнейшем решением уравнения (2.1.29) будем считать
предел, к которому стремится решение уравнения (2.1.19) при
В]^-В0.
§ 2.2. Условие на границе раздела двух сред
Рассмотрим однородную упругую среду с включением
(неоднородностью), занимающим область V с гладкой границей

51
Ω. Материал включения будем считать однородным с
тензором модулей упругости С = С° +С1, где С°- тензор модулей
упругости основной среды, а внешнее поле ε°(χ)- сколь
угодно гладким. При этом, в силу известных свойств решений
эллиптических уравнений [105], тензоры напряжений и
деформаций будут непрерывны всюду, за исключением точек
границы Ω области V. Для определения величин разрыва
компонент тензора деформаций ε(х) при переходе через границу Ω
представим функцию ε (х) в виде следующей суммы:
ε(χ)=ε(χ) + ε\χ), ε\χ) = -\ϊί(χ-χ')Ολε(χ')άχ'. (2.2.1)
ν
В этом соотношении, которое является следствием (2.1.9),
ε°{χ) - непрерывная функция. Поэтому разрыв поля
деформаций определяется поведением потенциала ελ (χ). Сравнение
с (1.1.30) показывает, что потенциал ε](χ) можно
интерпретировать как поле деформаций в однородной упругой среде с
тензором модулей упругости С°под действием
распределенных в области V обобщенных силовых диполей плотности
Разрывы поля деформаций на границе области в одгэро-
дной упругой среде, в которой задано распределение
обобщенных силовых диполей, исследовалось в § 1.3. Пусть п(хо)-
внешняя нормаль к Ω в точке хо εΩ. Если ε+(χο)-
предельное значение поля деформаций ε(χ) внутри включения при
х —> хо, а ε~ (х) предельные значения деформаций в точках
среды при х—»хо, то на основании формул (1.3.10) и (2.2.1)
имеем
Wx.)] = ff"(».)-ff+(*.) = K,(«L)CIi+(x.). (2.2.2)
Здесь следует учесть, что в формуле (2.3.10) через ε+(χο)
обозначено предельное значение поля деформаций при
стремлении л: к Ω со стороны внешней нормали, а через ε~(χο) -

52
тот же предел с противоположной стороны. Тензор K*(wo)
определен соотношением (1.1.35).
Из (2.2.2) следует, что предельные значения тензора
деформаций в среде ε~(χο) и во включении ε+(χο) на границе
области связаны соотношением
£"0О = [/ + К>о)С'К0О, *,<ξΩ, We=w(xe). (2.2.3)
Перейдем теперь к рассмотрению уравнения (2.1.19) для
тензора напряжений в среде с включением. Представим
функцию σ(χ) в форме
σ(χ)= σ (χ) + σ1 (χ), σ1 (*)=[S(x- χ')Β]σ(χ')άχ\ (2.2.4)
ν
где внешнее поле о°{х) будем считать сколь угодно гладким.
Из соотношения (1.2.4) следует, что потенциал <^{х) имеет
смысл тензора внутренних напряжений в однородной среде с
распределенными в области V дислокационными моментами
плотности т(х) = Β]σ(χ). Разрыв этого потенциала, как это
следует из (1.3.12), определяется соотношением
[<*χ0)]=σ(χ0)-σ+(χ.) = -Γ(η0)Βισ+(χ0)9 χο еП.
(2.2.5)
Здесь σ~(хо)(аь(хо)) - предельное значение поля
напряжений в среде (во включении) при х->хо gQ, тензор S*(n)
определен в (1.2.11). Таким образом, предельные значения
поля напряжений снаружи и изнутри области Vb точках
границы Ω связаны формулой
σ(χ.) = [Ι-Γ(η.)&]σ+(χ0), *.6Ω. (2.2.6)
Отметим некоторые следствия полученных соотношений.
Г. Введем операторы проектирования Π и θ на нормаль
/?(хо) и касательную к Ω плоскость в точке хо
Π = Ι-Θ, Ιαβλμ--δα)αδμ)(β, (2.2.7)

53
® αβλμ — &α)(λ &μ)(β > "οβ ~ ° αβ ~ ηαηβ '
Здесь 1-единичный оператор (единичный
четырехвалентный тензор).
С помощью этих операторов поле симметричного
двухвалентного тензора q(x) на Ω представляется в виде
разложения на "касательную" Θαβλβλμ и "нормальную" ΙΙαβλβλμ
компоненты.
Из определения тензора К*(а?) (1.1.35) следует равенство
e^WK^OO-O. (2.2.8)
Отсюда и из (2.2.2) видно, что касательная составляющая
тензора θε непрерывна при переходе через границу Ω
области V:
[®^(л.)^(*о)] = θ^(/Ιβ)^(Χ0)-θ^(Μβ)5;(χβ) = 0.
(2.2.9)
Далее из определения (1.2.11), (1.1.35) тензора S*(k)
следует равенство
"Ал» = 0. (2-2.10)
Отсюда и из (2.2.5) следует непрерывность нормальной
составляющей тензора напряжений на границе Ω
[^α^αβ(χο)] = ^οασ-αβ(χο)-ηοασ+αβ(χ0)= 0. (2.2.11)
2°. В соотношения (2.2.2) и (2.2.5) входят только
предельные значения упругих полей в точке хо εΩ и вектор
по,определяющий локальную ориентацию границы в этой точке.
Можно показать [83], что условия, аналогичные (2.2.2) и
(2.2.5), имеют место на любой гладкой границе разрыва
модулей упругости в неоднородной среде. При этом роль тензоров
С° и С° + С1 играют предельные значения модулей упругости
сРеды в точке хо на границе разрыва при стремлении х к хо
со стороны нормали (С°) и с противоположной стороны
(С+С1).

54
3°. Соотношения (2.2.3) и (2.2.6) показывают, что для
определения концентрации напряжений и деформаций в
среде на границе включения нет необходимости вычислять
потенциалы ε](χ) и σ*(χ) вида (2.2.1) и (2.2.4).
Соответствующие значения тензоров ε(χ) и σ(χ) можно найти
умножением предельных значений полей ε+(χ) и σ+(χ) в точках
границы на тензоры 1 + К*(п)С1 и I-S*(n)B] соответственно.
§ 2.3. Эллипсоидальная неоднородность
Пусть включение с постоянными модулями упругости
имеет форму эллипсоида, поверхность которого задается
уравнением
х\\а] +х\\а\ + хЦа\ = 1. (2.3.1)
Здесь αΐ5α2,α3- полуоси эллипсоида, а оси системы
координат х,,х2,х3 с началом в центре эллипсоида направлены по
его осям симметрии.
В этом случае имеет место следующее замечательное
свойство решений уравнений (2.1.23) (теорема о
полиномиальной консервативности [82, 170]).
Если внешнее поле ε°(χ)(σ°(χ)) есть полином степени т
по координатам х19х29хг в области V, то поле деформаций
ε+(χ) (напряжений σ+(χ)) внутри эллипсоида есть также
полином степени не выше Ш.
Приведем доказательство этой теоремы, предложенное в
[82].
Запишем уравнение (2.1.9) для однородного включения
эллипсоидальной формы
εαβ(χ) + ί^ΦΨ(χ-Χ%Ιμ^ν(χ')άχ' = εαβ(χ). (2.3.2)
V
Будем считать, что правая часть этого уравнения есть
полином степени т. Поскольку при линейном преобразовании

55
у-а ]х (ααβ = ααδαβ (по а не суммировать!)) область V
переводится в шар единичного радиуса, а правая часть остается
полиномом той же степени, то доказательство достаточно
провести для случая, когда область V есть шар |jc|<1.
Очевидно, что свойство полиномиальной
консервативности выполняется, если оператор с ядром К(х) в уравнении
(2.3.2) переводит полином степени т в полином той же
степени. Более того, для доказательства этого свойства
достаточно рассмотреть действие оператора К на однородный
полином степени т или,что то же, произведение х(т) = χλ χλ ...хя .
Регулярное представление оператора К(х) определено в
(1.1.36). При ^(х) = ?;мя2...хтхххххг■■■**.> r^e ^-постоянный
тензор, имеем
\YL{x-xf)q{x')dx'=A0q{x)+l K(x-x')q°x'(nl)dx\ (2.3.3)
где А° - постоянный тензор, а интеграл справа понимается в
смысле главного значения по Коши (1.1.34). Так как К(х) -
однородная обобщенная функция степени (-3), то она пред-
ставима в виде
К(х-х') = К°(п)/г\ п = (х-х')/г, г = \х-х'\,(2.3А)
где К° (п) - четная функция η: Κ° {-ή) = Κ° {ή).
Известно [106], что необходимым и достаточным условием
существования интеграла в смысле главного значения
является равенство
JK°(n)dCln = 0. (2.3.5)
Рассмотрим интеграл в правой части (2.3.3). Подставив
выражение х' = x+r n под знак интеграла, получим
|К(х - x')x'(m)dx' = £ x(m~k)J(k) (x), (2.3.6)
V k=0

56
J(k)(x) = !K°(n)n(k)rk-3dx', xeV. (2.3.7)
Заметим, что У(о) = 0 в силу свойства (2.3.5), а остальные
интегралы (2.3.7) существуют в обычном смысле.
Положим dx,=r2dr<£il и проинтегрируем по
элементарному конусу с началом в точке χ е V. Тогда
j(k\x) = ±JK°(n)n^pk(x,rt)dn], xeV, * = l,2,...,m,
Ω,
(2.3.8)
где р(х,п)- расстояние от точки χ в направлении П до
поверхности единичной сферы
p(x9n) = -(x-n) + yll-(x-x) + (x-ri)2 . (2.3.9)
Для рк имеем
рк = fd(-l),CUx-n)'[\-(x-x) + (x-nfr-,v\ (2.3.10)
/=0
где С[ - биномиальные коэффициенты. Поскольку К°(л) -
четная функция 77, вклад в <Рк\х) дадут лишь те члены
разложения, произведение которых на nfk) четно. Легко видеть,
что они содержат корень в четной степени. Непосредственно
проверяется, что эти члены имеют вид ΣΑ^_21)(η)χ^ 2/), где
А(к_21)(п)- тензорные коэффициенты. Следовательно, J^k\x) -
полином по X степени к с тензорными значениями
^W = Z^V("2/)5 (2.3.11)
ВЦ121) = \\Y.\n)n^A{k_2l){n)dilx (2.3.12)
Ω,
Наконец, подставляя (2.3.11) в (2.3.6), получим, что второе
слагаемое в (2.3.3) есть полином степени /77, значениями ко-

57
торого являются тензоры (т + 4)-й валентности. Этим
завершается доказательство теоремы о полиномиальной
консервативности эллипсоидальной области.
Заметим, что в силу определения обобщенной функции
(1.2.2) тем же свойством полиномиальной консервативности
обладает и оператор S во втором из уравнений (2.1.23)
a(x)-fS(x-x')Blcj(x')dx' = a0(x) (2.3.13)
V
для однородной эллипсоидальной области V.
Из доказанной теоремы следует, что для
эллипсоидальной области полиномы являются собственными функциями
операторов К и S. Аналогичным свойством обладает любой
оператор, символ которого (преобразование Фурье ядра)
является однородной функцией нулевой степени. Это
утверждение может быть доказано тем же путем, что и теорема о
полиномиальной консервативности.
Полученное свойство операторов Ки5 позволяет указать
алгоритм построения решения уравнений (2.3.2) и (2.3.13) при
произвольной полиномиальной правой части. Рассмотрим
уравнение для деформации и найдем результат действия
оператора К на однородный полином х(т).
В силу теоремы о полиномиальной консервативности
имеем
г т
JK(x-x')x'(m)dx' = ΣΑ™χϋ\ (2.3.14)
ν j=o
где А™- постоянные тензоры валентности m+j + 4. В
подробной записи это соотношение имеет вид:
Jk^(x-x')*; *;.··<.<*'= (2.3.15)
ν
7 А XXX
L·* ]αβλμνιν2...νιητιτ2...τιηЛг, лг2 ' * * *Sm'
>=0

58
Для определения тензорных коэффициентов А™
продифференцируем обе части (2.3.14) j раз по JC и положим х = 0.
В результате получим
AJ=(-iyJF">J!LW\x<*>dc, ν(Λ=νΛινΛ2...ν^. (2.3.16)
V
При j <m интеграл в этом сротношении сходится
абсолютно. Из четности функции К(х) следуют равенства
4^=0 при / = 1,2,...,/?, если т = 2р, (2.3.17)
Α^+λ = 0 при / = 0,1,...,/?, если т = 2р + \.
При j = m интеграл (2.3.16) можно рассматривать как
действие обобщенной функции [V(m)K(x)]x(m) на функцию
V(x). Поскольку преобразование Фурье от [V(m)K(x)]x(m) -
однородная функция нулевой степени, значение интеграла
(2.3.16) при j = т имеет вид (см. Приложение П2.2)
ΑΙ^(Κ;№Ω. (2.3.18)
Ω!
Здесь Qj - поверхность единичной сферы в
А:-пространстве
К;(*) = (-l)mV(m)[k(m)K\k)l (2.3.19)
а функция К* (А:) определена соотношением (1.1.35).
Компоненты тензора а в базисе главных осей эллипсоида х,,х2,х3
имеют вид (не суммировать поа!)
Пусть теперь внешнее поле ε°(χ) определяется
соотношением
ε(χ) = Σ^χϋ\ (2-3.21)
;=0

59
где d°j - тензоры валентности 2 + у. Тогда решение уравнения
(2.3.2) имеет вид
т
ε(χ) = Σ^χω. (2.3.22)
Подставим теперь (2.3.21) и (2.3.22) в (2.3.2). Учитывая
свойства оператора К (2.3.14), получим
*">+Σ
Σ<4
j=0 j=0
^А^С]аех
.(О
ί=ο
=Σέ//χ0')· <2·3·23>
J j=o
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X
в левой и правой частях этого равенства, получим систему
уравнений для определения тензоров dj. Решение этой
системы представляется в виде следующих рекуррентных формул:
dm = \L + A:ClVd° d,.=\l,+AiCl\
τη \ τη т J т ' j \ j j J
d)-^AlCxdt
j = m-l9m-29...,0. (2.3.24)
Здесь /. - единичный тензор валентности j; + 4,
Λ*-ι=4'"1=0> tj=l,29...,m. (2.3.25)
§ 2.4. Эллипсоидальная неоднородность
в постоянном внешнем поле
Рассмотрим более подробно случай постоянных внешних
полей. Пусть сначала £°=const в области, занятой
неоднородностью. Тогда поле деформаций ε+ внутри эллипсоидального
включения также постоянно и имеет вид
ε+=Αεε\ A£ = (I + A(a)Cly
(2.4.1.)

60
где / - единичный четырехвалентный тензор, а тензор А(а)
определен соотношением (2.3.18):
А(а) = А:=— \K\a-lk)dQ.
4πί
( 2.4.2)
Пусть в среде с эллипсоидальным включением действует
постоянное внешнее напряжение. Тензор напряжения σ+
внутри включения, который является решением уравнения
(2.3.13) при cr°=const, определяется при этом выражениями
σ+ = Λσσ , Λσ = (/ - D(a)Bl У, (2.4.3)
D(a) = — [s*(a-lk)dn = C0A(a)C°-C°.
Если среда изотропна, то постоянные тензоры А(а) и
D(a) имеют симметрию эллипсоида и определяются девятью
существенными компонентами. В системе координат,
совпадающей с главными осями эллипсоида, имеем [82, 83]
аг„
аг„
4ш=е^[3^1+(1-4ио)У1], Am=-^{J2,-Jx),
Βπμ0 Βπμ.
аг„
^1212 =7-ϊ_[·/2ΐ + J» +0-20(7, +Λ)]> (2-4.4)
8 язи.
Ani = 4//0aec
^-(ЗУп+У,)-!
(2.4.5)
Ai22 = 4^.aB.|—[721+712-(ΐ-4ν0)(7,+72)]-ν0|,
А2,2=4я^{^[Л1+712+0-2^0)Ц+л)]-^}

61
Здесь vo - коэффициент Пуассона среды, аео определено в
(1.1.8), а величины
_3| du _ 3 2? ^w
^ = 2VJ(aJ+W)A(M)' w_2WpJ(^0(<^)A00'
Г 2 2 2 \"l1/2 ^
Д(и) = I(aj + w)(tf2 + u)(a3 +u)\ , ν = — ща2а3, ρ,q - 1,2
(2.4.6)
выражаются через эллиптические интегралы. Остальные
отличные от нуля шесть компонент тензоров А и D получаются
из (2.4.4) и (2.4.5) круговой перестановкой индексов.
Рассмотрим теперь случай, когда включение представляет
собой эллипсоид вращения (сфероид) с полуосями ах=а2=а,
аъ (ось хъ совпадает с его осью вращения). При этом тензоры
А и D становятся трансверсально изотропными с осью
симметрии х3> а эллиптические интегралы в выражениях для их
компонентов исчезают.
В дальнейшем для записи тензоров, имеющих трансвер-
сальную симметрию, будем пользоваться специальным
тензорным базисом из шести четырехвалентных тензоров,
образованных тензором θαβ = δαβ- τηατηβ и ортом оси хъ{тп) (см.
Приложение Π 1.1),
*αβλμ — ^α)(λ^μ)(β > *αβλμ = ^αβ^λμ > *αβλμ = ^α^ηλΪΥΙμ >
Κβχμ=™α™βθλμ, Ρ5αβλμ =mia0mmM), Ρ*βλμ =mampmxmM.
(2.4.7)
Пусть теперь включение будет сплющенным сфероидом
(а> а3). Тогда в базисе (2.4.7) тензор А принимает вид
А = А]Р2+А2(Р1-±Р2) + А3(Р3 + Р4) + А5Р5 + А6Р6,
4 = 27[(1"Φο)/ο+/ι]' ^^[(2-aO/o+Zj,

62
Λ3=-— /„ ^—(Ι-Λ-4/,), ^=-L[(l-e.)(l-2/0) + 2/1],
μ. μ. μ*
g = г-ζ—arctgVr2-l, r = —>1. (2.4.8)
Выражение для тензора Ζ) в том же базисе может быть
получено из (2.4.3) с использованием таблицы умножения
тензоров Ρ - базиса (Приложение П1.1).
D = DlP2+D2(Pl-±P2) + D3(P3 + P4) + D5P5+D6P6,
А=-//в[4*в-1-2(За!о-1)/0-2./1], (2.4.9)
Д=- 2μ. [1 - (2 - аз0 )/0- /, ], Д,=- 2//. [(2ав.-1)/0+ 2/, ],
Α=-4/ι.σ0+4/,), А=^А[0+2а!.)/о-2/,].
Если у»19 то с точностью до членов порядка γ~λ
коэффициенты D. (/ = 1,2,...,6) в (2.4.9) переходят в следующие:
Α = -Α(4β.-1) + -^(7β„-2), Д=-2я+^(4-ж0),
4χ 4χ
Д=-^.(3«.-1), Д=-^(1 + 2».), А=-^(1 + аО.
2^ у у
(2.4.10)
В пределе при γ —» оо имеем
£> = -2//0[Р'+(2аз0-1)Р2]. (2.4.11)
Если включение представляет собою вытянутый сфероид
(α<α3, γ = α/α3, γ<\), то тензоры А и D определяются
теми же формулами (2.4.8) и (2.4.9), в которых функцию g(/)

63
следует заменить на
«fr^-i-hilS (2.4.12)
2-,/1-Г 1-i/l-r2
Большой интерес для приложений представляют
включения в виде тонких волокон. Вытянутый сфероиД (χ «I )
может служить моделью такого волокна. Выражение для
тензоров А и D в этом случае, по-прежнему, имеет вид (2.4.8) и
(2.4.9), где в функциях fo и fx следует сохранить главные
члены разложения в ряды по малому параметру γ
f. = i(l + X2 'Г2ЦК/.^гуЧпА-Зу2). (2.4.13)
Устремляя в полученных соотношениях для вытянутого
эллипсоида параметр γ к нулю, придем к выражениям для
тензоров А и D в случае бесконечного кругового цилиндра
A = -L[(i-iBe)i>2+(2-se)(P,-£P2)+2i>s], (2.4.14)
Mo
Ο=-μ.[χ0Ρ2+χ0(ρ]-±Ρ2) + {2χ0-ί){Ρ3+Ρ4) + 2Ρ5+4χ0Ρ6].
(2.4.15)
Если включение имеет форму шара, то тензоры А и D не
зависят от его радиуса и становятся изотропными
1-ае. „, 5-2aJ„, 1
Л = —^ΕΔ +
9μ. 15μ0
£'—ЕЧ, (2.4.16)
4//.(1-4аОР2 2//0(5 + 4ж0)
/
D = _j^\ ^-£2-
15
1
£'-j£2J, (2.4.17)
^^Я/i _ ^Я/i - °λ){α°β)(μ ·> ^αβλμ ~ °αβ°λμ · (2.4.18)
Заметим, что тензоры / + ЛС1 = (Λ*)_1 и Ι-ΌΒ]=(Ασ)~ι
обратимы при всех значениях С1 и В\ в том числе и для со-

64
ответствующих полости или абсолютно жесткому включению.
В частности, для произвольного включения имеем
Αε =
Л+2//0
3λι+2μι+3(λ0+2μ0)
-Е2 +
(2.4.19)
15μ0(Λ0+2/0
1
+ --r-.v. го, £1 Е2
2//1(ЗЛ0+8/0 + 15//в(А0+2//.Н 3 J
В случае полости С1 = —С° этот тензор принимает вид
Л£ =
Κ+2μο
*μ.
Е2+-
60//.
J.
3
£'--£2
. (2.4.20)
9Л. + 14//.
Если включение абсолютно жесткое (С1 —» °о), то тензор
деформации ε+ внутри включения равен нулю, а тензор Λσ в
(2.4.3) определяется выражением
Ασ=-
λ.+2μ.
3(ЗА.+2/0
245(3Λ.+2/θ(Ρι 1
£4
£'— £'
(2.4.21)
2(3Α.+8//β) V 3
Допустим теперь, что в среде с эллипсоидальным
включением действует однородное температурное поле 7\ В этом
случае поле напряжений в среде удовлетворяет уравнению
o(x)-jS(x-x')Bl<j(x')dx' = D(a)alT, (2.4.22)
V
которое следует из (2.1.17) при r=const.
Очевидно, что тензор напряжений σ+ во включении
постоянен и определяется выражением
σ+ = Aa(a)D(a)alT.
(2.4.23)
Для неоднородности в форме шара это выражение
принимает вид
^.^Pft.+V+^+ftVv (2.4.24)
'αβ
4/ie+3(A,+Ae) + 2(tt+/0

65
Используя формулу для разрывов упругих полей на
границе раздела среды и включения, полученные в п.2.2
предельные извне деформации и напряжения на этой границ можно
представить в форме
*-(*.) = ^'(».К, a(xo) = F*(no)a, (2.4.25)
где хо eQ, no =п(хо) - внешняя нормаль к границе раздела,
FE и Fa - тензорные коэффициенты концентраций
деформаций и напряжений
F*(nJ = (I + K\nJCl)A\F°(nJ = (I-S\no)BlW.
(2.4.26)
Напряжения в среде на границе раздела, вызванные
однородным изменением температуры, определяются по той же
формуле для σ~(χο) из (2.4.25), в которой тензор σ следует
заменить на D а1 Т .
В заключение этого пункта остановимся подробнее на
неоднородности в виде плоского слоя постоянной толщины,
которую можно рассмотреть как предельный случай эллипсоида,
когда две из его полуосей стремятся к бесконечности.
Напряжения σ+ и деформации ε+ внутри слоя, по-прежнему,
определяются формулами (2.4.1) и (2.4.3), в которых А и D равны
соответствующим предельным значениям этих тензоров.
Пусть полуоси αλ и а2 стремятся к бесконечности, а величина
а3 остается конечной. Поскольку подынтегральные функции в
(2.4.2) и (2.4.3) являются однородными нулевой степени,
можем записать
lim К*
*ι 22_ *з Ι — ττ*
\а\' аг' аъ)
о,о,
а
= К», (2.4.27)
г J
lim S*
ύγ α2—>°°
Κλ Κ2 λ3
\αχ
α, α
= S'
зУ
ο,οΛ
α,
S\n),
где η - нормаль к поверхности слоя. Следовательно, эти
функции можно вынести из под знаков интегралов (2.4.2), (2.4.3) и
выражения для тензоров А и D принимают вид

66
A = K*(n), D = S*(n). (2.4.28)
Таким образом, напряжения σ+ и деформации ε+ внутри
слоя при постоянном внешнем поле определяются
соотношениями
a+=(I-S\n)B]y]a, ε+ = (1 + К\п)С]у] ε. (2.4.29)
Заметим, что поля σ~ и ε~ вне слоя совпадают с
действующими в среде внешними полями. Для доказательства этого
утверждения рассмотрим выражение для поля напряжений
вне включения
σ- (х)= ст + J S(x-x')Bla+dx', (2.4.30)
ν
где σ+- постоянный тензор, a F- область внутри слоя
толщины 2а3. Интеграл в этом соотношении представляется в
форме
а3 оо
jS(x-x')dx' = ldx'3\\S(.x-x')dx'ldx2 (2.4.31)
V -аъ -оо
Внутренний интеграл в (2.4.31) можно следующим образом
записать в виде интеграла по всему пространству:
00
Дх, хг - х'г) = j JS(x - x')dx[dx'2 = (2.4.32)
00
~ J J J ^(xi ~ x']' x2 ~ x'2> хз ~ хз ~ z)S(z)dx[dx'2dz.
-00
Переходя к преобразованию Фурье и используя
однородность функции S*(k), имеем
J{x,x, -х'г) = -L JS*(к„к2Л) ЯК)ЯК)ечкхак =
АЛ*
= S\n)S(x3-x;). (2.4.33)

67
Подставляя полученный результат в (2.4.31) и затем - в
(2.4.30), получим, что поле напряжений внутри слоя
определяется первой из формул (2.4.29), а поле вне его совпадает с
о
σ.
Из предыдущего рассмотрения следует, что решение
задачи для зависящего только от координаты х3 внешнего поля
также является функцией только х3 и определяется из
соотношений
a(x3) = a(x3) + S\n)B] \δ{χ3-χ93)σ{χί3)άχ93, (2.4.34)
ε(χ3) = €°(x3) + K\n)Cl \S{x3-xt3)cr{xr3)dxt3.
-аъ
Следовательно, поля напряжений и деформаций внутри
слоя определяются соотношениями, аналогичными (2.4.29):
a+(x3) = (I-S'(n)Bxyla(x3), (2.4.35)
а поля вне слоя совпадают с внешними
σ(χ3)=σ(χ3), ε-(χ3) = ε(χ3). (2.4.36)
§ 2.5. Поля со скалярным потенциалом
В теории композитных материалов нередко возникает
необходимость расчета не только упругих полей в окрестности
неоднородности, но и полей другой физической природы. Это
могут быть стационарные температурные и электрические
поля в тепло- и электропроводящих материалах, поля
магнитно- и электрострикции в неоднородных диэлектриках и
др. Расчет этих полей сводится к решению системы
уравнений для векторов напряженности εα(χ) и потока поля ста(х)
в среде, свойства которой описываются двухвалентным тен-

68
зором Сар(х). Для перечисленных выше полей эта система
имеет следующий вид
νβσβ(χ) = -?(*), σα(χ) = Οαβ(χ)εβ(χ), τοίαβεβ(χ) = 0,
(2.5.1)
где q{x)- скалярная плотность источников поля, rot^^e^V^
Εαβλ~ символ Леви-Чивита. Здесь первое уравнение является
аналогом уравнения равновесия теории упругости, второе -
закона Гука, а третье - уравнения совместности. При
введении скалярного потенциала поля <р(х), связанного с
вектором εα(Χ) соотношением
еа(х) = ЧаФ)> (2·5·2)
третье уравнение (2.5.1) выполняется автоматически, а первые
два дают
VaQ(x)V^(x) = -<7(x). (2.5.3)
Рассмотрим среду с финитной неоднородностью, для
которой тензор С(х) определяется соотношением
С(х) = С+С1(х)9 (2.5.4)
где С° - постоянный тензор, С1 (х) - ограниченная финитная
функция. Тем же путем, что и в п.2.1, можно показать, что
векторы напряженности ε и потока σ поля являются
решениями уравнений
*Дх) +|Ка/х-х^(х>Дх'>&' = εα(χ), (2.5.5)
σα(χ)-ΐ8αβ(χ-χ')Β]βμ(χ')σμ(χ')άχ' = σα(χ),
Bl=B-B°, B = C~\ B° = (C°y\ (2.5.6)
Здесь ε° и σ - решения уравнений (2.5.1) при С'(х) = 0,
ядра К(х) и S(x) определяются выражениями, аналогичными
(2.1.10) и (2.1.18):
каДх) = - νβν/?(χ), ^(χ) = σα1κ^(χ)σμβ - с;дχ),
(2.5.7)

69
где G(x)- функция Грина для бесконечной однородной среды
с тензором свойств С°, удовлетворяющая уравнению
νασαβνββ(χ) = -δ(χ). (2.5.8)
Решение этого уравнения в случае среды с произвольной
анизотропией имеет вид [80]:
4лг(х) νι
С
Χα^αβΧβ з
с°
= detC°.
(2.5.9)
Свойства интегральных операторов К и S в уравнениях
"скалярной" теории (2.5.5) и (2.5.6) и уравнениях теории
упругости (2.1.9) и (2.1.19) аналогичны. Однако решение
уравнений (2.5.5) и (2.5.6) связано с меньшими техническими
трудностями, чем решение упругих и термоупругих задач,
имеющих более высокую тензорную размерность. Рассмотрим
некоторые примеры.
Г. Эллипсоидальная неоднородность в постоянном
внешнем поле. Свойство полиномиальной консервативности
для включения эллипсоидальной формы имеет место и в
случае уравнений (2.5.5) и (2.5.6) "скалярной" теории. Поэтому,
если напряженность внешнего поля ε°α - постоянная, то поле
внутри такой неоднородности также постоянное и
определяется выражениями
< = Αεαβε°β, Αεαβ = (δαβ + А^С\рГ, (2.5.10)
^π Ω
Если среда изотропна (0°αβ = 0οδαβ , С^ = Ολδαβ), а
включение имеет форму шара, то
*-.+ *^^о о + 3*^о о о /ПГ о /Л С 1 1\

70
2°. Линейное внешнее поле. Допустим, что среда с
эллипсоидальной неоднородностью находится в линейном внешнем
поле
е'а(х) = Ь'архр, (2.5.12)
где Ь° - постоянный тензор. В этом случае решение уравнения
<(*) + JK^x-x'^elix'W = εα{χ), (2.5.13)
V
которое следует из (2.5.5), имеет вид
К=Ь]фхр. (2.5.14)
Подставим это выражение в (2.5.13) и после
дифференцирования обеих частей этого уравнения по X положим χ = 0.
В результате получим линейное алгебраическое уравнение для
определения постоянного тензора δ]αβ:
Ь\Р + Αλαβλμ£\νΚμ = Κβ > (2.5.15)
4^=-J[V,K^(x)]x^. (2.5.16)
ν
Применив теорему Гаусса и формулу Парсеваля (см.
Приложение П2.1 и П3.1), выражение для тензора А можно
привести к виду
4^=3Κ^(α-')νΛα^, (2.5.17)
Κβχμ = j-l^ia^k^dtl. (2.5.18)
Для изотропной среды и сферического включения эти
формулы дают
^-^-(Е'+гЕ1), (2.5.19)
где тензоры Е1 и Е2 определены в (2.8.8). Подставив это
выражение для А1 в (2.5.15) и разрешив полученное уравнение

71
относительно b\ придем к следующим формулам для
симметричной bl(a& и антисимметричной Ь\ад частей этого
тензора:
Ь\<Ф) = ^αβλμΡλμ > Ь[аР) = tfafi) э (2.5.20)
l1 C° u2 , 5С0 [ ! 1 ^2
д*=^Е2 + ° Е'--Е2 L C^Q+Q.
ЗС 2С + ЗСД 3 J' '
Отсюда, в частности, следует, что поле &αβχβ = ε°α(χ) не
возмущается сферической неоднородностью, если &αβ -
антисимметричный тензор.
Если среда изотропна, а источники поля отсутствуют, то
внешнее поле ε°α{χ) удовлетворяет уравнению Vαε°α(χ)=0. В
случае линейного внешнего поля отсюда следует, что trb°=
=b°aa=0. С учетом этого равенства соотношение для
симметричной части тензора Ь1 упрощается и принимает вид,
ар 5С+2С, (αβ)'
bL=.„ ' Ь' (2.5.21)
У .Квадратичное внешнее поле. Рассмотрим случай
квадратичного внешнего поля
ε°α(χ) = &°αβλχβχλ9 (2-5.22)
где b°apX - постоянный тензор, симметричный по двум
последним индексам. Как следует из формул (2.3.22), (2.3.24) и
(2.3.25) общей теории, поле внутри включения будет
квадратичным полиномом, у которого отсутствуют линейные по X
слагаемые. Это позволяет искать решение уравнения (2.5.13) в
виде
*«(*) = b°a + *2αρλχρχλ9 (2.5.23)

72
где Ь°а и ύ^ρλ- неизвестные постоянные тензоры. Подстановка
этого выражения в (2.5.13) дает
К + %βλΧβχΛ + JK^O - χ')0βλ φΐ + Β2λμνχ'μχ'ν)ίίχ' = ναβ!ίχβχλ.
V
(2.5.24)
Продифференцировав это уравнение дважды по
координатам X и положив затем χ = О, получим
blfiX + ^αμβλνρ^μδ^δνρ = Κβλ · (2.5.25)
При этом учтено, что
4μ /к<*(* - x')d*' = 0 при χ eV, (2.5.26)
ν
так как результат интегрирования - постоянный тензор, а
тензор А2 определяется выражением (см. Приложение П2.2)
Ααλμβρτ ~ ~~2~^ανσβδχ ανλασμαδραγτ > (2.5.27)
Ω,
Если среда изотропна, а включение имеет форму шара, то
А2 - изотропный шестивалентный тензор. Для его
представления удобно ввести следующий базис из шестивалентных
тензоров, составленных из символов Кронекера
^αλμβρτ = ^афУλμ^ρτ > ^αλμβρτ ~ 2° αβ° X(jP τ)μ >
^αλμβρτ = 2δα(μ^λ)βδρτ > Q^fipt = 2δα(ρδτ)βδλμ > (2-5.28)
^αλμβρτ = ^^α(λ^μ)(ρ^τ)β > ^αλμβρτ ~ ^^β{λ^μ)(ρ^τ)α ·
В этом базисе имеем
^2=-3^(q1+q3)+I^(q2+q4+q5+q6)' (2·529)

73
Разрешая теперь уравнение (2.5.25) относительно Ъарх с
помощью приведенных в Приложении Π 1.2 формул обращения
шестивалентных тензоров, заданных в базисе (2.5.28), получим
°αβμ — ΙΧαβμλρτ °λρτ >
(2.5.30)
Л2 =
ел
7С
I(Q.+<y)t u^-i
i*§kw+<r>-{v
<*,=
Ί+^Г. 4
ν
7C.
' cV
ν
С
Вернувшись к уравнению (2.5.24), положим в нем х=0. В
результате найдем
"а + Ααλ^λβΟβ - Jαβρτ^βν^νρτ >
(2.5.31)
Л/*рг=-/КаД*)*р*А>
(2.5.32)
где тензор Α°αβ определен в (2.5.10). Заметим, что интеграл
(2.5.32) имеет слабую особенность и может быть вычислен
непосредственно. Для изотропной среды и сферического
включения радиуса а имеем
^=^(е2-зе'), ft;=^-A-(AL-»L), л° =
(
1 +
с,
зс
о/
(2.5.33)
Подставляя сюда выражение (2.5.30), получаем
окончательно
*>а^
15С.
b°aU~3d2
\
1+^К
(2.5.34)

74
Если источники поля отсутствуют, то Ь°их — О, откуда
следует, что Ь°и = 0. В этом случае формула (2.5.34) для
вектора Ь°а принимает вид
*: = ^-Л·*^. (2.5.35)
§ 2.6. Трещина в однородной упругой среде
Рассмотрим однородную среду, в которой имеется
сплюснутая полость, занимающая конечную односвязную область V
с гладкой границей. Интегральные уравнения для среды с
полостью имеют вид (2.1.24) и (2.1.26):
e(x)-JK(x-x')C0e+(x')dx' = e(x), (2.6.1)
a(x)-fS(x-x')e+(x')dx' = a(x). (2.6.2)
Здесь под ε+(χ)= ε(χ) V(x) понимается предельное
значение деформаций во включении, занимающем область V и
имеющем конечные модули упругости при стремлении
последних к нулю, (2.6.2) следует понимать как выражение для
напряжений вне полости через поле ε+{χ).
Рассмотрим предельный переход от сплюснутой полости к
трещине - разрезу по расположенной внутри V гладкой
поверхности Ω. Выберем в точке* εΩ локальную систему
координат с осью ζ , направленной вдоль нормали п(х) к
поверхности Ω. Пусть h(x) - поперечный размер полости, ζ,(χ,λ),
z2(x,h) - координаты пересечения оси ζ с границей области
V, причем zl9z2—>0 при /?—»0. Для фиксированной точки
χ ~g V ядро S(x) в уравнении (2.6.2) - гладкая ограниченная
функция. Следовательно, главный член асимптотики поля
напряжений вдали от полости имеет вид:

75
oix) = a(x) + jS(x-x')e(x\h)dn\ (2.6.3)
Ω
e(x9h)= je+(x + zh(x))dz, xeQ. (2.6.4)
*ι(*,Λ)
Величина £(х,А)может быть интерпретирована как
коэффициент при главном члене разложения функции ε+ (х) в ряд
по мультиполям, сосредоточенным на поверхности Ω (§ 1.4):
ε+(χ) = ~ε(χ,ίι)Ω(χ)+... (2·6·5)
Здесь Ω(χ) - дельта-функция, сосредоточенная на
поверхности Ω и определенная соотношением (1.1.22).
Пусть поперечный размер полости h стремится к нулю.
При этом полость переходит в бесконечно тонкий разрез
(трещину). На поверхности трещины вектора напряжений
ηα{χ)σαβ(χ) и перемещений иа(х) удовлетворяют условиям
«а(Ф^) = 0, [иа(х)] = Ьа(х), χ εΩ, (2.6.6)
где Ь(х)- вектор скачка перемещений или раскрытия
трещины, который должен быть найден из решения задачи о
трещине. В дальнейшем будем предполагать, что берега трещины
не контактируют. Это условие накладывает некоторые
ограничения на внешнее поле σ(χ).
Поскольку поле перемещений разрывно на Ω, то тензор
деформаций в среде с трещиной есть сумма регулярной /и
сингулярной ε5 составляющих:
ε(χ) = εΓ(χ) + ε*(χ), ε*αβ{χ) = п(а(х)Ью(х)П(х). (2.6.7)
Из сравнения этого равенства с (2.6.5) следует, что при
h —» О невыписанные слагаемые в (2.6.5) исчезают, а
предельное значение ~ε(χ) функции ~ё+(х,И) имеет вид
εαβ(χ) = lim *^(x,A) = i\a(x)bp)(x), χ еП. (2.6.8)

76
Отсюда и из (2.6.4) видно, что при h-^Ο "нормальная"
компонента тензора ε+ (х) должна стремиться к
бесконечности, тогда как функция ~ε(χ) конечна.
Таким образом, поле напряжений вне трещины при учете
соотношений (2.6.3), (2.6.8) и симметрии тензора S(x) имеет
вид
^(х) = ^(х) + /^(х-х>А(х')*Д^'ДО'- (2.6.9)
Ω
Отсюда и из первого условия (2.6.6) следует уравнение для
векторного поля Ь(х) на Ω:
(V/>)(*) = \Taft{x,x,)bp{x')da = η^σ^χ), (2.6.10)
Ω
Ταβ{χ,χ') = -ηχ{χ)Ξλαβμ{χ-χ')ημ{χ'). (2.6.11)
Заметим, что оператор Τ в уравнении (2.6.10) может быть
записан в форме интегрального оператора с ядром Γ(χ,χ')
лишь условно, поскольку соответствующий интеграл
формально расходится при χ θΩ для сколь угодно гладкой
функции Ь(х) (Т(х,х')~\х-х'\ при х^>х').
Нетрудно видеть, что представление (2.6.9) совпадает с
полем напряжений в упругой среде, содержащей дислокацию
Сомильяны (1.2.34), а уравнение (2.6.10) эквивалентно
уравнению (1.2.36), к которому приводит дислокационная модель
трещины (§ 1.2).
Рассмотрим подробнее обобщенную функцию Γ(χ,χ') -
ядро интеграла (2.6.10). Пусть для простоты Ω есть область на
плоскости хъ = 0 в трехмерном пространстве, а функция Ь(х),
χ = х(х^х2) продолжается нулем вне этой области. Тогда Τ
есть оператор свертки с обобщенной функцией Т(х), которая
порождается обобщенной функцией вида (1.2.9). Из (2.6.11)
имеем
^(^1^2) = -^(^1^2^з)1х,=о· (2.6.12)

77
Отсюда следует, что преобразование Фурье Т^(кХ9к2)
функции Ταβ(χι,χ2) имеет вид
In w
— 00
где S*(k) определено в (1.2.11). Нетрудно убедиться, что этот
интеграл сходится абсолютно и определяет четную
однородную функцию первой степени по к. Поэтому, если,
например, Ь(х) - функция из пространства S(R2) (затухающая на
бесконечности быстрее любой отрицательной степени |х|), то
действие на нее оператора Τ определяется соотношением
(Щ(х) = ^\Г(к)Ь\к)е-£''Л9 к = к(к„к2), (2.6.14)
(2лг) J
где интеграл является абсолютно сходящимся. Этой
формулой дается регулярное представление оператора Τ на
функциях из S(R2)b случае плоской области Ω .
Если Ω - произвольная поверхность Ляпунова,
ограниченная гладким контуром Г, то регулярное представление
оператора в (2 6.10) на достаточно гладких функциях
построено в Приложении П3.2 и определяется соотношением
(%>(*> = lTafi(x,x')[bfi(x')-bp(x)]dQ' -
Ω
-nv(x)j νο\λβΖναλμ (χ - x')dT^ (x), (2.6.15)
Γ
в котором для существования интегралов достаточно, чтобы
функция Ь(х) была непрерывно дифференцируема на Ω и
обращалась в ноль на контуре Г области Ω .
В случае произвольной гладкой поверхности Ω оператор
Τ является обобщенным псевдодифференциальным
оператором с главным однородным символом Т*{к) вида (2.6.13) -

78
однородной функцией степени 1. Общая теория
разрешимости уравнений типа (2.6.10) изложена в [148]. В частности, для
бесконечно дифференцируемой правой части в (2.6.10) это
уравнение имеет единственное решение, причем его
асимптотика вблизи гладкой границы поверхности Ω (контура Г)
имеет вид
b(x)=fi(xo)y[r+0(rm), (2.6.16)
где г - расстояние от точки χ θΩ до хо еГ по нормали к Г,
β(χο) - бесконечно дифференцируемая вдоль Г функция.
Рассмотрим асимптотику поля напряжений σ(χ) вне
трещины в окрестности ее кромки Г. Пусть у19у29у3- локальная
декартова система координат в точке хо еГ, причем ось уъ
направлена по предельной к Ω нормали в точке хо, ось у2 -
по касательной к Г, тогда ось ух лежит в касательной к Ω
плоскости в точке хо. Учитывая асимптотику (2,6.16), имеем
следующее выражение для асимптотики вектора скачка
перемещений на трещине в окрестности точки хо е Г
ад = А*,)л^ + 0ОГ2). (2-6.17)
Используя уравнение (2.6.8), запишем выражение для
тензора напряжений в точке у с координатами ух = -г cos 0,
У ι - 0 > Уъ - ~r s*n θ* гДе г - расстояние от точки у до начала
координат, Θ- полярный угол в плоскости (уиу3) (£, — у( /г)
(2.6.18)
Здесь учтено, что S(x)- четная однородная функция сте-
— 1/2
пени (-3). Интегральный множитель при г в этом
выражении при г —» 0 имеет конечное значение
J(09xo) = 1imy/r<j(y)9 г->0. (2.6.19)

79
Учитывая, что при г —» 0 поверхность Ω(γ) в координатах
ξ. переходит в полуплоскость (ξ3 = 0, ξλ >0), получим
следующее выражение для компонент тензора J(09xo):
^0,χο) = 5αβλμ(θ)ηλ(<χο)βμ(χο), (2.6.20)
00 00
s(0 = \4ξχΊξχ Js(cos0+£„&,sinθ)άξ2, (2.6.21)
0 -οο
где п{хо) - предельное значение нормали к Ω в точке хо е Г.
Таким образом, функция J(6,xo) представляется в виде
двух сомножителей, первый из которых S(0)n(xo) не зависит
от формы поверхности Ω и действующего в среде внешнего
поля и определяется только локальной ориентацией края Ω
в точке хо еГ. Второй сомножитель (вектор β(χο)) есть
функционал всей поверхности Ω и внешнего поля σ (χ).
Из (2.6.19) следует, что
oiy) = -j=J(09xo) + O(a) (2.6.22)
у/г
и поэтому J(6,xo) можно назвать тензорным коэффициентом
интенсивности напряжений.
Функция J(6,xo) допускает наглядную интерпретацию,
если учесть, что интеграл
00
JS(£,&,&>/£ (2.6.23)
-00
по существу есть аналог тензора S(x) в плоской задаче о
деформации и сложном сдвиге (в безразмерных координатах ξ.)
однородной среды с модулями упругости С0, причем нормаль
к плоскости деформирования (ξΐ9ξ3) направлена вдоль оси
ξ2. При этом тензор J(6,xo) совпадает с тензором напряже-

80
ний в точке ζχ—— cos θ, ζ$=- sin θ, когда вдоль
положительной оси ξλ задан скачок вектора перемещений,
уменьшающийся по закону /?(Χ)λ/£ι * Соответствующая плотность
дислокационных моментов т имеет вид
М£>£>£)=А«(*>д(*°)л/£>(£), 6>o,
τη(ξλ,ξ2,ξ,) = 0, £<0. (2.6.24)
Тензор J(0,xo) можно представить в виде суммы трех
тензоров, соответствующих трем компонентам вектора β(χο) в
осях у19у29Уз (не суммировать по / !)
J = J1+J2+J\ ^αβ{^χο) = 8αβλΛ{θ)ηλ{χο)βι{χο). (2.6.25)
Заметим, что в теории упругости и в механике разрушения
асимптотику поля напряжений в окрестности кромки
трещины характеризуют коэффициентами напряжений КрК^Кщ
[144]. Связь этих коэффициентов с компонентами тензоров
J(θ,χο) дается соотношениями
K^J = V^4(0,*), Ku(xo) = yfbrJln(0,xo)9
Кш(х„) = л/2^У223(0,хо). (2.6.26)
Отсюда и из (2.6.25) следует, что с точностью до
множителей, зависящих от упругих модулей среды, коэффициенты
интенсивности напряжений совпадают с компонентами
вектора/?(хо).
§ 2.7. Эллиптическая трещина
Пусть Ω - плоский, эллиптический в плане разрез в
упругой среде. В этом случае справедлив следующий аналог
теоремы о полиномиальной консервативности.
Если внешнее поле σ(χ) является полиномом степени т,
то вектор Ь(х) скачка перемещений на эллиптической
трещине имеет вид

81
b(xl,x2) = B(xl,x2\l-
r \
\au
r \
\<hj
(2.7.1)
где B(xl,x2) - полином степени не выше т по координатам
хх,х2, связанным с главными осями эллипса, Oj,a2 - его
полуоси.
Для доказательства рассмотрим эллиптическую трещину
как предел эллипсоидальной полости с полуосями α^^,Α при
стремлении полуоси h к нулю. Согласно (2.6.4), (2.6.8), вектор
Ъ{х) определяется предельным значением величины
s+(x,h)= \ε\χ + ξη)άξ, хеП, (2.7.2)
-h*x)
где ξ - координата вдоль нормали η κ Ω,
*eo=,i-
V2
f „ \
Ъ)
(2.7.3)
Из теоремы о полиномиальной консервативности (п.2.3)
вытекает, что для полиномиального степени т внешнего
поля функция ε+(χ + ξη) есть полином степени не выше, чем
т, по координатам χνχ2,ξ и, следовательно, имеет вид
ε\χ + ξη) = ε{ο\χ) + ε{λ\χ)ξ+...+ε{ηι\χ)ξη, (2.7.4)
где ε(Аг)(χ) - полином степени не выше т - к по х,, х2.
При подстановке этого разложения в (2.7.2) интегралы от
нечетных степеней ξ исчезают, а интегралы от £2*дают
выражения вида Q2k(jc)z(x), где Q2k - полином степени не
выше 2к. Отсюда следует, что величина ~ε+(χ,/ι)
представляется в форме
?(x,h) = Pm(x,h)z(x), (2.7.5)

82
где Рт- полином степени не выше т по х^х2. Наконец,
полагая /? = О, из (2.6.8) получим искомое соотношение (2.7.1).
По-видимому, впервые этот результат весьма сложным
путем был установлен в работе [240].
Свойство (2.7.1) означает, что для эллиптической трещины
оператор Г в уравнении (2.6.10) переводит полином В(х)
степени /77, домноженный на функцию z(x) вида (2.7.3), в
полином той же степени т на Ω. В частности, если σ-
постоянное внешнее поле, то Ва - βα - постоянный вектор,
величина которого определяется из уравнения
Τ°αβΒΤβ = σαβηβ, (2.7.6)
где Т° - постоянный тензор вида
Г =[ Т(х - Г)z(x')dx'=j T(x)z(x)dx=jT{x)[z(x) -z(0)]dx.
Ω Ω
(2.7.7)
Здесь функция ζ(χ) считается продолженной нулем вне
Ω, интеграл в смысле главного значения вычисляется по всей
плоскости х],х2- Заметим, что этот интеграл существует и в
обычном смысле.
Найдем решения уравнения (2.7.6) для изотропной среды.
В этом случае, как следует из соотношений (2.6.11), (1.2.9),
(1.1.31) и (1.1.8), функция Т(х) принимает вид
ταβ{χ)= μ'
4я(1- νο)|χ|
(l-2v0)<^+v(
Зх χβ
ν Iх! j
(2.7.8)
С учетом этого выражения, переходя в (2.7.7) к
координатам г, φ по формулам
Xj = axr cos^, х2 = a2r sin φ, (2.7.9)
имеем

83
0-2h)Vh
2ЗД
άφ
\ΑφΥ
mu = a] cos2 ^, /7£,2 = #2 sin2 ?>> mn =nh\= \a\ai s^n 2<P>
таЪ =m3a = 0, t2(<p) = a2 cos2 φ+α\ sin2 φ,
z(r) = yj\-r2 при r<l, z(r) = 0 при г > 1(2.7.10)
Вычислив интегралы в (2.7.10) и разрешив уравнение
(2.7.6) относительно В°, получим (по а не суммировать!)
Я;=(^Г^>, 7^=7^, 7Г=—^—-[c1+v0(c2-2c,)],
£% %?'.. л[с,+ у.(Сз-2с,)], £=„,.,
ВД
2/"°
2<(l-vo)"
2α2(1-νο)' "' 1-*
, <ί=·
.2 '
c2=c1-
E(k)-K(k)
, c3=3c,-c2, k2=l-(a2/a,)2, αλ>α
2 ·
(2.7.11)
Здесь К(£) и £(£) - полные эллиптические интегралы
первого и второго рода соответственно. Аналогичный
результат получен иным методом в [189].
Рассмотрим теперь асимптотику решения уравнения
(2.6.10) на контуре эллиптической трещины. В случае
полиномиального внешнего поля эта асимптотика на основании
(2.7.1) принимает вид
Нх)=Кх.)лЕ + 0(гъп), /Kxo) = J2B(xo)\
/„о\
~2
Vai J
+
Л2
\а2.
1/4
(2.7.12)
где г - то же, что и (2.6.16), В(хо) - значение полинома В(х)
в точке χ е Г.

84
Тензорный коэффициент интенсивности напряжений
J(0,xo) на контуре эллиптической трещины в силу (2.6.20)
определяется выражением
^{θ,χ.) = <βπ«ιΒλ(χ.ί
-|1/4
. παβλ(θ)=3αβλμ(θ)ημ.
(2.7.13)
В случае изотропной среды из определения (2.6.21) тензо-
pa s{0) получаются следующие выражения для компонент
тензора 7г(в) в базисе локальных декартовых координат с
началом в точке хо еГ (ось 3 направлена по нормали к Г, 2 -по
касательной к Г, 1 - по нормали к Г в плоскости Ω ).
παβλ > π\βλ = π\λβ > ПааЪ = Щу = Щъ = °> * * J, hj = !>2>
π,
αβλ
1-
2ν
πν>ι > Ям/ -
Я Κ,
2(1-ν.)
COS
-(2-0 + -
2ν ' 2
«1/2 =
— cos—
4(1-Ο 2
ι / ,ν ■ θ ■ 3Θ'
1-(-1) sin—sin —
ν 2 2
, (2.7.14)
«Ίπ =
——sin —
4(1- v.) 2
θ 3Θ
2 +cos—cos—
2 2
-sin^cos—.
*.22-*22,-8(1_0 2
В заключение этого пункта остановимся на случае
внешнего поля, сжимающего трещину. Если берега трещины
сомкнуты внешним полем, то вектор усилий ία(χ) = ηβ(χ)σβα(χ) на
поверхности Ω отличен от нуля и условие (2.6.6), из которого
следует уравнение (2.6.10), не выполняется. Условие на
поверхности Ω будет зависеть от характера контакта берегов
трещины. В частности, если взаимодействие берегов описывается

85
законом Кулона (касательная компонента вектора усилий t(x)
на Ω пропорциональна его.нормальной компоненте), то
указанное условие принимает вид
-*«(*)"«(*)=**«(*)*«(*) > *«(*)=Н_1с>
C^.W-^W^W^W, *^Ω, (2.7.15)
где χ- постоянная закона Кулона. При этом вектор скачка
перемещений Ь(х) на Ω лежит в касательной к Ω плоскости
в точке X и совпадает по направлению с вектором еа(х)
ba(x) = b(x)ea(x), (2.7.16)
где Ь(х) - скалярная функция.
Вектор усилий ta(x) на поверхности трещины в силу
(2.6.9) представляется в форме
ία{χ) = ηβ{χ)σβα(χ)-\Ταβ(χ,χ'Ί>β(χ·)άΩ·. (2.7.17)
Ω
Подставляя это выражение в (2.7.15) и учитывая (2.7.16),
получим уравнение для векторного поля Ь(х) на Ω. Если
берега трещины контактируют лишь частично, то на той
части Ω, где берега расходятся, выполняется условие ta(x) = 0, а
на остальной части - условие типа (2.7.15).
Если берега эллиптической трещины, находящейся в
полиномиальном внешнем поле, контактируют лишь частично,
то свойство (2.7.1) решения нарушается. Однако если контакт
осуществляется по всей поверхности Ω, то в случае
граничных условий типа (2.7.15) полиномиальная консервативность
решения сохраняется. Действительно, если ηβσβα(χ) -
полином степени т на Ω, то, разыскивая вектор Ь(х) в форме
b(x) = B(x)z(x), где В(х) - тоже полином степени т,
получим, что вектор ta(x), определенный соотношением (2.7.17),
является полиномом степени т на Ω. При этом условии
(2.7.17) переходит в равенство двух полиномов одинаковой

86
степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях χ и учитывая (2.7.16), получим систему уравнений для
определения коэффициентов полинома В(х).
В частности, если ηβσβα- постоянный вектор, из (2.7.15) и
(2.7.16) получаются следующие уравнения для определения
постоянного вектора Ва:
-°\ъ + ^βΒβ = Χ(σ1α - ΤΛαβΒβ)βα ,
ση - Ά°βΒβ = вх
σ23 _ *2β£*β Щ
в,
1 +
'в^-т
\Βυ
ег=^, ег=Вг = 0. (2.7.18)
Здесь тензор Т° определен соотношением (2.7.7). Вектор
В- решение системы (2.7.18) должен удовлетворять также
условию смыкания берегов трещины
ίαηα = σ\,-Τ;βΒβ<0. (2.7.19)
Если берега трещины абсолютно гладкие, то граничные
условия на Ω примут вид
Уравнение для векторного поля Ь(х) на Ω получим,
подставляя вектор ta(x) в форме (2.7.17) в выражение (2.7.15).
В случае эллиптической трещины свойство (2.7.1) решения
при этом сохраняется, а для вычисления коэффициентов
полинома В(х) можно использовать схему, изложенную выше.
§2.8. Радиально неоднородное
сферическое включение
Однородные включения в сплошной среде, которые в
основном рассматривались выше, являются довольно
идеализированной моделью свойств реальных неоднородностей в ком-

87
позитных материалах. Как правило, на границе раздела сред в
композитах имеются переходные слои, свойства которых
отличаются от свойств как матрицы, так и включений. В ряде
случаев, особенно в полимер-полимерных композициях, такие
слои могут занимать существенную часть объёма частиц
наполнителя. Следует отметить также, что в настоящее время
специально синтезируются композитные материалы с сильно
неоднородными включениями, причем их эксплуатационные
свойства оказываются значительно выше, чем у аналогичных
композитов с однородными частицами [52]. Поэтому при
моделировании механических характеристик таких материалов
возникает необходимость в решении задачи о включении,
свойства которого неоднородны. В дальнейшем ограничимся
рассмотрением наиболее важного для приложений случая
сферических радиально неоднородных включений. Для
решения этой задачи будет, как и выше, использован аппарат
интегральных уравнений. В отличие от традиционного подхода,
основанного на дифференциальных уравнениях теории
упругости (см., например, [78]), использование интегральных
уравнений позволяет сразу выявить полную тензорную
структуру решения, а в случае многослойных включений -
предложить эффективный вычислительный алгоритм его построения.
Рассмотрим бесконечную однородную среду с тензором
модулей упругости С0, в которой имеется сферическое
включение, модули упругости которого являются
кусочно-гладкими функциями расстояния г до центра включения.
Приложенное к среде поле деформаций ε° будем считать
однородным.
В силу линейности задачи поле деформаций ε (χ) в среде с
неоднородностью можно записать в виде
ε(χ) = ε+ει(χ), ειαβ(χ) = Ααβλμ{χ)ελμ, (2.8.1)
где А(х)- исчезающий на бесконечности (Л(х)—»0 при
|л:|—»оо) четырехвалентный тензор, симметричный по первой
и второй парам индексов. Подставляя (2.8.1) в уравнение
(2.1.9) для тензора деформаций в среде с изолированной
неоднородностью и учитывая произвольность тензора £°,
придем к уравнению для тензора А(х) в форме

88
^(x)+JKa/}ip(x-x')ClpvS(x')AvS;ifi(x')dx' =
V
= -\KapP(x-x')ClpXM(x'W. (2-8.2)
V
Здесь V- область, занятая включением, С1 (х) = С1 (|дф -
возмущение модулей упругости внутри включения. В
сокращенной записи уравнение (2.8.2) имеет вид
А(х) + (КСхА)(х) = -(КСх)(х). (2.8.3)
Перейдем к решению уравнения (2.8.2) в случае
изотропной среды, когда параметры Ляме материала включения Я(г),
μ(τ) - кусочно гладкие функции в области V:
С\г) = Ях{г)Е2+2^{г)Е\ (2.8.4)
г = \х\, Я,(г) = Я(г)-Яо9 μ,(Γ) = μ(Γ)-μο9
где Αο,μο- параметры Ляме среды.
Для решения уравнения (2.8.3) воспользуемся специальным
представлением сингулярного интегрального оператора К,
полученным в работе [121]. Введем сферическую систему
координат (г,п) с началом в центре включения ( г = |jc|, w = jc/|jc| -
вектор на единичной сфере Qx). Пусть f(r,n) - кусочно
гладкая финитная функция. Обозначим через f*{s,ri)
преобразование Меллина этой функции по переменной г . Имеют место
формулы [135]:
оо 1 r+i'ao
/*(*,") = \rs-xf(r,n)dr, f(r,n) = — \f{s,n)r-sds.
О Γ-jao
(2.8.5)
Можно показать [121], что действие оператора К на /
определяется соотношением:

89
1 г+;ао
(K/)(>VO = — [r'iKJ'Xsrfds, (2.8.6)
2m J.
г-zoo
где оператор Ks имеет следующий вид:
(Ksf*)(s,n) = (2nyd ехр(|'яг/12)T{d-s)Y{s) χ (2.8.7)
χ \{-nm + io)Sdm Jk*{m)f\sj){ml+io)s~a]dl.
Здесь d- размерность пространства, n,mj - векторы на
единичной сфере, пт = пата, К*(/я) имеет вид (1.1.35),
Г(s) - гамма-функция Эйлера. Аналогичное представление
допускает и оператор S. Вывод формул (2.8.6) и (2.8.7)
приведен в приложении П2.4.
Для представленного решения рассматриваемой задачи
введем тензорный базис Ε1 (η), состоящий из шести
четырехвалентных тензоров, образованных из единичного вектора па
и тензора Кронекера δαβ:
^αβλμ = °λχα°β)μ > ^ αβλμ ~ ^αβ^λμ > ^αβλμ ~ ^αβη?}1μ >
Κβλμ = ηαηβδλμ , Ε5αβλμ = "(a<W'„) , Ε^ = ^ψλ1Χμ .
(2.8.8)
Эти шесть линейно независимых тензоров, симметричных
по первой и второй парам индексов, образуют замкнутую
алгебру относительно операции умножения - свертки по двум
индексам
\Р Ε )αβλμ — ^αβνρ ^νρλμ · (2.8.9)
Таблица умножения тензоров Е1 приведена в Приложении
П1.1.
В базисе (2.8.8) преобразования Фурье ядер К(х) и S(x)
интегральных операторов К и S в уравнениях (2.1.9) и
(2.1.19) (символы операторов К и S) представляются в виде

90
К*(*) = — [Е5(т)-хоЕ6(т)], m = k/\ki (2.8.10)
Mo
S\k) = -2Mo[El -(l-2xo)(E2 -E\m)- (2.8.11)
-E4 (m)) - 2E5 (m) + 2xoE6 (m)].
Найдем теперь результат действия оператора Ks при d = 3
на элементы базиса (2.8.8). Для вычисления интегралов в
правой части (2.8.7) воспользуемся формулами, которые
получаются прямым интегрированием после перехода к угловым
координатам на единичной сфере (Re s < 1):
l + e~
\(nm)-sdm = I(s), Ι(ϊ) = 2π——,
λ l-s
j{nm)~smam^m = -—(Sa/,-snan/i), (2.8.12)
Ω! J S
/(,)
UnmTE6(m)dm = —-
J0 (3-5)(5-5)
x[E2+2E'-s(E3(n) + E\n))+4E5(n) + s(2 + s)E6(n)\.
Отсюда и из (2.8.7) и (2.8.10) следуют равенства:
К^= гг U .[Г'+(1-Жо)Г3],К^2^Ь^.^_Г2>
/<.(3-ί)(5-ί) μ. (3-ί)
μ.
■Г Г , К,£4= ==—i '-Г
УЪ-s 5-5 у //„ 5(3-5)
К,£5=- \ {(1-5)[Γ'+(1-^)Γ3]+(3-5)(1-^)Γ3},
2//о(3-5)(5-5)

91
_LT2_iz±TA+
3-5 5-5" J
V^[r+(1""°)r]}' <2'8I3)
где три линейно-независимых тензора Т имеют вид
T](s,n) = (E]-sE5(rj))(5-s)-T\s,n)9 Τ2(s,n) = Ε2 - sE\n)9
T\s,n) = E2+2Ex-s[E\n) + E\n) + 4E\n)] + s(s + 2)E6(n).
(2.8.14)
Таким образом, все шесть тензоров KSE* выражаются
через три линейно-независимых тензора Τ. Заметим, что Т-
собственные элементы оператора Ks
KsTl=—T\ KST2=^-^T2, К5Г3=^^Г3.(2.8.15)
2μ0 μο μο
Последнее равенство следует из (2.8.13) и (2.8.14).
Будем теперь искать решение уравнения (2.8.2) в виде
линейной комбинации тензоров Е1 (п) вида (2.8.8) со
скалярными коэффициентами, зависящими только от Г . Тогда
произведение С1А под знаком интеграла в левой части (2.8.2)
можно представить следующим образом:
(CiA)(rin) = fiS,(r)Ei(ri)i (2.8.16)
;=1
где S^r)- скалярные функции Г . Подставим это выражение в
(2.8.2) и осуществим преобразование Меллина от обеих
частей полученного равенства. Учитывая соотношения (2.8.5),
(2.8.6), получим
A'(s,n) + fjS;(s)(KsEi)(s,n) = -(KsC1*)(S,n),
ι = 1
К,£6=-
5-2
us(2 + s)
(1-*о)!

92
С1* (s) = λ\ (s)E2 + 2μ\ (s)E]. (2.8.17)
Здесь S*(s)- преобразование Меллина скалярных
коэффициентов д$(г) в разложении (2.8.16).
Из соотношений (2.8.13) следует, что тензоры KsEl и
К^С1* представляют собой линейные комбинации трех
тензоров TJ, определенных в (2.8.14). Но тогда и тензор A*(s,n)
естественно искать в виде такой же линейной комбинации:
Λ>,«) = Σ «>)?>,"). (2-8.18)
Здесь OC*(s)- скалярные функции параметра
преобразования Меллина S, Г- представления которых есть (Х-(г)
(/ = 1,2,3).
Поскольку умножению на (-S) в пространстве
преобразований Меллина соответствует операция D [135]
D = r— (2.8.19)
dr
в исходном Г- пространстве, то из выражений (2.8.14) и
(2.8.18) следует, что тензор А(г9п) имеет вид
A{r,n) = [Ex+E5(n)D]{5 + D)ax{r) + [E2+E\n)D]a2(r) +
+{е2 +2Е1 +[E3(n) + E4(n) + 4E5{n)]D + E6(n)D{D-2)}x
х^а^-а^г)). (2.8.20)
Перейдем теперь к определению функций а-(г).
Подставим выражение для тензора A*(sj) (2.8.18) в уравнение
(2.8.17). С учетом соотношений (2.8.14) и (2.8.16) придем к
равенству, правая и левая части которого являются
комбинациями тензоров Г1,Г2,Г3. Приравнивая коэффициенты при
тензорах Г1 и Г3 в обеих частях этого равенства, после неко-

93
торых преобразований придем к соотношениям,
связывающим функции а[(s) и cc\(s)\
Mos(s + 2)( j - 3)( j - 5) а\ (5) + Φ; (5) = -25(5 + 2)μ\ (s),
^(5 + 2)(j-3)(5-5)[a345)-(l-aBja;(5)] + (l-aBe)O;(5) = 0,
(2.8.21)
o;(j) = j(j+2)5;(j)+i(j+2)(j-i)5;(j)+2(j-2)56-(j),
ф;(5) = (5-з)[2(5+2)^;(5)+(5+2)5,;(5)+2(5-2)5,;(5)].
(2.8.22)
Здесь S*(s) - по-прежнему преобразования Меллина
скалярных коэффициентов St(r) в разложении (2.8.16). Эти
коэффициенты находятся в результате подстановки (2.8.20) в
(2.8.16)
Ξι=2μι[(3+Ό)αι + 2αζ]9 (2.8.23)
S2= λι[(3+Ώ)α2+(5+Ώ)αι] + 2μι(α2+ аъ- ах),
S3= λ](5+Ώ)Οα3 + 2μ]Ό(α3-α])9 Ξ4=2μ]Ό(α2 + α3- α4),
Ξ5=2μ]Ό[(1+Ό)α] + 4α3], S6=2^D(D-2)(a3-a]).
Равенство коэффициентов при Τ2 дает соотношение,
аналогичное (2.8.21), в которое входит а2. Однако вместо а2
удобнее рассматривать функцию
№) = За2(г) + (5+П)аъ(г). (2.8.24)
Уравнение для этой функции может быть получено
следующим образом. Если умножить обе стороны (2.8.17) на тензор
Е2 справа и учесть равенства
ΑΕ2={Ε2+ΕΑΌ)β, ClAE2=S7E2+S%E\
S7 = Я, (3 + ϋ)β+ 2μλβ, S, = 2μλΌβ, (2.8.25)
то получается соотношение, в которое входит только функция
/Кг)
/Уо5(5-3)^(5)-(1-Жо)Ф*2(5) = (1-Жо)5[ЗД;(5) + 2//;(5)])
Ф;(5) = sS'7(s) + (s-2)S;(s). (2.8.26)

94
Переходя в выражениях (2.8.21) и (2.8.26) к Г -
представлениям, то есть заменяя преобразования Меллина функций
α]9α3,β и Si их оригиналами, а параметр (-S) -
дифференциальным оператором D (2.8.19), получим три
дифференциальных уравнения, которым удовлетворяют искомые функции
ах(г)9аъ(г)и$г).
Пусть λχ(τ\μλ(τ) - финитные функции с кусочно
непрерывными вторыми производными и άλλ I dr - άμλ I dr = 0 при
r = 0. Тогда из (2.8.21) получим систему двух обыкновенных
дифференциальных уравнений четвертого порядка
относительно функций ссх(г) и ОС3(г), а из (2.8.26) - уравнение
второго порядка для β(τ), правые части и коэффициенты
которых - кусочно непрерывные функции Г . Решение этих
уравнений должно быть ограниченным всюду и удовлетворять
условиям
£>α,=Ζ)2α, =0, / = 1,3, Ώβ=0 при r = 0
αΐ9α39β-*0 пРи г-^00· (2.8.27)
Первая группа этих условий выполняется в силу
непрерывности функции А(г,п) при г = 0, а вторая - вследствие
стремления А(г,п) к нулю на бесконечности.
Перейдем теперь к построению решения термоупругой
задачи для среды со сферически симметричной
неоднородностью. Будем считать, что поле температуры Τ однородно,
причем при Τ = 0 среда свободна от внутренних напряжений.
Если Τ Ψ 0, то в среде возникают температурные напряжения
σ(χ), распределение которых описывается уравнением (2.1.17)
при σ(χ) = 0:
φ) -JS(x - x')Bl (x')o{x')dx' =JS(x - x')a{x')dx' Т.
(2.8.28)
Здесь а(х) - коэффициент линейного расширения среды,
который, как и тензор модулей упругости С(х), является
функцией расстояния Г до центра сферического включения.

95
Введем тензоры упругой деформации εβ(χ), полной
деформации ε(χ) и тензор возмущения деформации ε (χ),
связанного с наличием неоднородности
*(х) = С-1(х)а(х)9 ε(χ) = ε^(χ) + α(χ)Τ,
επ(χ)=ε(χ)-α°Τ.
Здесь а - коэффициент линейного температурного
расширения среды. Очевидно, что επ (χ) стремится к нулю при
|jc| —> оо.
Из (2.8.28) с помощью алгебраических преобразований
можно получить уравнение, которому удовлетворяют функции
επ(χ)
^1Г(х)+|К(х-х')С1(х')^1Г(х^^'=|к(х-х')С(х')а1(х')^:Т,
(2.8.30)
где а] (х) = а(х) - а - финитная функция |х|. При выводе
этого уравнения предполагалось, что деформация среды не
стеснена на бесконечности, поэтому с учетом (1.2.17) имеет
место равенство
|к(х-х')С°а°<&' = а\ (2.8.31)
В дальнейшем будем считать, что Τ = 1. Поэтому
полученные ниже выражения для тензоров напряжений и
деформаций в среде следует домножить на значение температуры Τ.
Для изотропных среды и включения тензоры С(х) и а(х)
имеют вид
С(х) = Я(г)Е2+2М(г)Е\ aa/)(r)=a(r)Safi. (2.8.32)
Осуществим преобразование Меллина обеих сторон
уравнения (2.8.30). В силу (2.8.5), (2.8.6) получим
^ir(j,/i) + K,(CVr)*(J,/i) = K,(Ca1)*(J,/i). (2.8.33)
Правая часть этого равенства вследствие формул (2.8.13)
представляется следующим образом

96
^βλμ{χ)α\μ{χ) = γ{ν)δαβ, (2.8.34)
Г(г) = 3к(г)ах(г)9 *(/■) = A(r)+j/i(r), ах(г) = a{r)-a\
Ks(Ca) (^0= ' 2 )(3-5)? М*>") = <^-5"^>
(2.8.35)
где ^*(s) - преобразование Меллина функции γ(τ).
Из (2.8.13) следует, что действие оператора К^ на диаду
п®п имеет вид
Κ,(ι,0ι,) = (д-2^и> . (2.8.36)
(Я.+2/1.ЖЗ-*)
Соотношения (2.8.35) и (2.8.36) указывают на то, что
решение уравнения (2.8.33) можно искать в форме
slT\s9n)=^T(s)h(s9n)9 (2.8.37)
где β*τ(δ) - преобразование Меллина скалярной функции
Рт(г). Переходя в последнем соотношении к Г-
представлению, для ειτ (г9п) получим выражение
επαβ(τ,η) = (δ^ +ηαηβΏ)βτ(τ). (2.8.38)
Отсюда следует, что произведение CV7 в (2.8.33) имеет
вид
C^{r)el(r,n) = SXT(.r)5,0+S2T(r)nsp, (2.8.39)
S„ (r) = [3*, (г) + Я, (r)D]j3T (r) ,*,(/■) = *(#■)-*.,
S2T(r) = 2Mr)DfiT(r), к0=Я0+$Мо.
Подставляя (2.8.37) и (2.8.39) в (2.8.33), с учетом
соотношений (2.8.35) и (2.8.36) придем к равенству, левая и правая
части которого пропорциональны тензору h(s,n).
Приравнивая коэффициенты при этом тензоре, получим

97
(Λβ+2//. )(3-s)/rT(s)+[s;T(s)-2^S;T (s)]=f(s). (2.8.40)
Домножив обе части этого соотношения на s и переходя
к Г - представлению, получим дифференциальное уравнение
для функции рт(г)
(Л„ +2μ0)(3 + ϋ)Όβτ -L{D)PT =Dy,
(2.8.41)
L(D) = D(3kl +A,D) + 2(2+Ώ)μλΌ.
Из (2.8.38) и свойств тензоров ελτ (r,ri) следует, что
функция βτ(ΐ) должна быть ограничена при г = 0 и стремиться к
нулю при г—»оо. При этих условиях решение уравнения
(2.8.41) определяется однозначно. После того, как это
решение известно, из (2.8.29) и (2.8.38) можно вычислить
температурные напряжения и деформации в среде со сферически
симметричной неоднородностью.
§ 2.9. Сферическое слоистое включение
Пусть модули упругости и коэффициенты линейного
расширения включения - кусочно постоянные функции г с
разрывами в точках г -а{,/ = 1,2...,#;0 <ах <а2 <...<αΝ. В этом
случае включение состоит из ядра и (Ν-Ι)-το сферического
слоя с постоянными термоупругими характеристиками.
Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют
функции α]9α3,β и βτ, определяющие рещения упругой и
термоупругой задач, в областях, где термоупругие
характеристики постоянны, упрощаются и принимают вид
DiD-2)(D + 3)(D+5)aj=0, ./=1,3, (2.9.1)
D(D + 3)fi=0, Ό{Ό + 3)βτ = 0.
Эти уравнения следуют из общих формул (2.8.21)-(2.8.26) и
(2.8.41). Их общие решения в интервалах ai_,<r<ai,
': = 1,2,..., N +1; αο =0, aw+1 = оо представляются в форме
а, (г) = У'+ У'г2+ Y;r3+ уу5, аг(г) = У;+ У'г2+ У'ГЪ+ Уу5,

98
/Кг) = y; +Y;0r\ pT{r) = υ;, +^-\ (2.9.2)
где Yj- некоторые постоянные. Таким образом, внутри
каждого слоя решение рассматриваемой задачи определяется с
точностью до двенадцати постоянных.
Рассмотрим поведение функций α]9α3,β и βτ на границе
слоев. Из непрерывности вектора перемещений в
неоднородной среде следует отсутствие сингулярных составляющих у
тензоров б(г\п\А(г\п) и eXT{r,ri). Отсюда и из выражений
(2.8.20) и (2.8.38) для A{r,ri) ие]Т(г,п) видно, что функции β
и βΤ должны быть непрерывны, а, и а3 - непрерывны
вместе с первой производной.
Пусть <р(г)- кусочно-постоянная функция с разрывами в
точках r = ajy i = l,2,...,N и равная нулю при r>aN. Ее
преобразование Меллина (2.8.5) имеет вид
р»=--2>К, (2·9·3)
где величина [φ\ определяется соотношением
М, = ?(я,+0)-р(а,-0),
<р(ц±0) = Ит<р(ц±о), S>0. (2'9-4)
Для кусочно-постоянной функции μχ(τ) и непрерывной
вместе с первой производной функции CCj{r), у = 1,3, путем
интегрирования по частям можно показать справедливость
равенств
N
faDajYis) = -£[//,аД< -*(//,«,)>), (2.9.5)
ι-

99
С учетом равенств (2.9.3) и (2.9.5) функция 0*(s) в (2.8.22)
принимает вид
Φ;(5) = 2Σ{(5 + 2)(52-85+9)[^1α11-4(5 + 2)[//1α,]/-
-{s2 -3* + б)[//,1)а,]; -4{s-2)[M]Da3\}a; +
+s(s + 2)(s-3)(s-5)(^aiy(s). (2.9.6)
Непосредственным интегрированием можно показать, что
для функции ах{г) вида (2.9.2) справедливо равенство
3{3 + 2){$-1){8-5){μαχ)\3) = -Σ{3\μαλΙ-*[μ(6 + 0)αχ\ +
i=\
+s^{D2+6D-\)ax\ -[//(лЧб^-Л-ЗО)^]}^. (2.9.7)
Подставляя (2.9.6) в первое из соотношений (2.8.21) и
учитывая (2.9.7), придем к соотношению
Z{*V.[*ii s2MS(D + 6)a]]i +s([M(D2 +6D-l)ai[ -
i=\
-[//,(7α, -3£>α, + 4α3 + 4£>a3)l)-[//(£>3 + 6D2 -D-30)a,], +
+2[/i,(4a3 -4£>a3 -9a, +3£>aI)l}a/ = -2£(2+5)[/4<.
ί=1
(2.9.8)
Приравнивая множители при линейно независимых
функциях в левой и правой частях этого соотношения, придем к
N равенствам, каждое из которых связывает два полинома.
Коэффициенты при одинаковых степенях S у этих полиномов
должны быть равны. Отсюда, после алгебраических
преобразований, получим следующую систему условий на скачки
Функции а, (г) и ее производных в точках г = а{ на границах
слоев

100
[α,1=0, [£>«,], =0, (2.9.9)
[μΌ2αλ\ = -2[μΙ-7,[μ(2 + Ό)αλ\ -4[//(1 + £)а3],,
[μΟ\\ = 16[/4 +[μ(4* + 25Ό)α}1+16[μ(2 + Ό)α31.
Тем же путем из второго соотношения (2.8.21) с
использованием (2.8.26) можно получить аналогичные условия на
скачки функций аъ и β и их производных
[«,],.= 0, [£>«,],= 0, (2.9.10)
[(Я+2//)/)2а3],=-2[//]-6[М1+£>)а1]-4Ьаз]-[(5Я+6//)Лаз],,
[(Я+2//)/)3а3],=16[//]1+24[//(2+/))а1]1+32[//«з],+[(25Я+42//)/)аз],,
ЬЧ,=0, [(Л + 2/0ОД, =-[ЗЯ + 2//], -[(ЗЯ + 2//Щ.
И, наконец, для функции βτ из (2.8.39) и (2.8.40) получим
Ш = 0, [(ЗЯ + 2//)^], + [(A + 2//)D/?r], = [Г],. (2.9.11)
Из соотношений (2.9.9)-(2.9.11) и граничных условий для
функций α]9α3,β и βτ при г = 0 и r-^οο можно найти все
произвольные постоянные Υ*9 входящие в выражения (2.9.2),
которые определяют вид этих функций внутри слоев.
Обратимся к построению алгоритма вычисления этих постоянных
в общем случае.
Введем Ν+1 двенадцатимерных вектора У,
компонентами которых являются постоянные^', определяющие решение
задачи на / -м интервале (в / -м слое) согласно (2.9.2), и N +1
векторов Xi(r) с компонентами
Х[ = а]9 Х'2 = Da,, Х[ = Ό2αλ , Х\ = D3a},
Х'5 = а3, Х*6= Da3, Х\ = D2a3, Х[ = D3a3, (2.9.12)
Χΐ=β9 Χΐ0=Ώβ, Χ\λ=βτ, Χ'12=Ώβτ,
(ay = ay(/·), 7 = 1,3, β=β(τ), βτ=βτγ), a,_1<r<aj).
Из формул (2.9.2) следует, что векторы Y1 и X связаны
соотношениями
Xi(r) = H(r)Y\ Г=Н~](г)Х*(г), (2.9.13)

101
Η (г ) = Λ, (г) ®hx{r)®h2 (г) ® Л2 (г). (2.9.14)
Здесь символом ® обозначено прямое (декартово)
произведение матриц )\жЪг, определенных равенствами
К =
1 г2 Г3 Г5
0 2г2 -Зг"3 -5л"5
0 4г2 9г"3 25л"5
10 Sr2-27Г3-125Г5
. *> =
1 г"3
0 -Зг"3
(2.9.15)
Таким образом, по значению вектора Х*{г) в точке г
(ύζ._, <Λ<α;) однозначно определяется вектор Г', а
следовательно, и решение (2.9.2) внутри / -го интервала.
Если значение вектора JC(r) известно в точке г = #м +0
(на левом конце / -го интервала), то его значение на правом
конце при г = at.- 0 определяется в силу (2.9.13) формулой
Xi(ai) = RiXi(ai_l), R =H(ai)H-\ai_l), (2.9.16)
где матрицу R назовем матрицей переноса.
Из соотношений (2.9.9)-(2.9.11) следует, что векторы X и
X+l в точке г-а{ на границе / -го и (z + l)-ro интервалов
связаны равенством
Х+\ц) = Р+ГХ(а{).
(2.9.17)
Вид вектора F1 и матрицы Г' (вектора и матрицы перехода)
нетрудно восстановить из (2.9.9)-(2.9.11). Явные выражения
для этих объектов приведены в Приложении П4.1.
Пусть вектор решения на первом интервале Х1^) известен.
Тогда вектор Хг+1(а.)9 определяющий решение на (/ + 1)-м
интервале в силу (2.9.16) и (2.9.17) выражается через вектор
X (ах) следующим образом
Хм(Ч) = ё+01Х\ах), i = 2,3,...,N, (2.9.18)

102
gl=F\ ^=^+х(пе*У'> σ'=πρ*, Qk=YkR\
/=1 VAr=l J k=i
где В}- единичная матрица, a Rk(k = 2,3,...,N) - матрицы
переноса - определены выше в (2.9.16).
Для построения вектора Х\ах) воспользуемся граничными
условиями задачи. Из ограниченности решения при г=0
следует, что на первом интервале выражения (2.9.2) для функций
ах, аъ и β не должны содержать отрицательных степеней г,
т.е.
Х\=0 при £ = 3,4,7,8,10,12. (2.9.19)
Тогда между компонентами вектора Xх существует связь,
которую можно представить в форме
Χι=ΜΖ\ Т=РХХ, ΐ = 1,2,...,#+1. (2.9.20)
Здесь Ζ1- вектор-столбец с компонентами {Х\>Х\УХ[>
Х'9,Х'И}9 а матрицы М(12х6) и Р,(6х12) определяются
выражениями
Μ = тх®тх®т2®т2 , Рх =т3 ®тъ ®m4 ®m4, (2.9.21)
щ =
li о
Ρ !ι
0 2
1° 4
> Щ =
1
Ρ
> w3 =
ι о о ol
о ι ο ο|
, m4= 1 °·
Из стремления функций αχ,α3,β и /?г к нулю на
бесконечности следует, что их выражения (2.9.2) на (N+1)
интервале (вне включения) содержат только отрицательные
степени г , т.е.
ΥΝ+ι = 0
при
/ = 1,2,5,6,9,11
? ·**) "'Э v) "^J J
(2.9.22)

103
Отсюда следует зависимость между компонентами вектора
ΧΝ+Χ, которую можно представить в форме
P2XN+] = LP,XN+l. (2.9.23)
Здесь матрицы L{6 χ 6) и Р2 (6 χ 12) имеют вид
L = /, ®/, ®/2 ®/2, Р2 = /и5 ®т5 ®тй ®/и6, (2.9.24)
',=
-15 -8
120 49
4 =
-3 0
О -3
щ =
0 0 1 01
0 0 0 1
щ = Р
1
Для определения компонентов вектора Ζ1 подставим в
(2.9.23) выражение для ΧΝ+\αΝ) из (2.9.18). С учетом (2.9.20)
приходим в результате к линейному алгебраическому
уравнению относительно вектора Ζ1 = Ρλ Xх:
BZl=f, B = (P2-LP,)GNM, f = (LPx-P2)f, (2.9.25)
где матрица GNn вектор ^ определены в (2.9.18). Разрешив
это уравнение, из соотношений (2.9.18) и (2.9.20) найдем все
векторы Χ**λ(α^) (/= 1,2,...,JV), а затем из (2.9.13) - векторы
Y\ которые определяют решение задачи внутри всех слоев в
соответствии с (2.9.2).
В качестве примера расчета рассмотрим включение
единичного радиуса, состоящее из N сферических слоев
толщиной I/ N. Модуль Юнга Ei внутри / -го слоя зададим
формулой
Et=E(at), / = 1,2 JV + 1,
Е(г) = Е.
1 + £ехр
(
Лг
г \
г2-\
приг<1, (2.9.26)
Е(г) = Е0 при г>\,
где аг внешний радиус /' -го слоя. Коэффициент Пуассона
для среды и всех слоев был принят равным (0.4). Внешняя
нагрузка представляла собой одноосное растяжение вдоль оси

104
G»
10
\\ 0.1
На рис.2.1,2.2
показано
распределение
напряжении
оси,
7 33
вдоль
ортогональ-
0.5
1.0
Рис.
2.1
r7aN
ной х3> с началом
в центре
включения. Расчет
проводился при <5=-1,
Я=0, 0.1, 1, 10
(податливое
включение, рис.
2.1) и 5=100 и
тех же значениях
λ (жесткие
включения, рис.
2.2), в обоих
случаях N =60.
Очевидно, что
при N —> оо
модуль Юнга внутри
включения
стремится к
непрерывному
распределению (2.9.26).
Для проверки
возможностей алгоритма расчет проводился при возрастающих
значениях N до получения устойчивой картины
распределения напряжений. Оказалось, что при Ν> 40 указанное
распределение практически не менялось с ростом N.
о*
α
2.0
1.0
v-vV
^Vju
λ = 0
Рис· 2.2
§2.10. Цилиндрически симметричная
неоднородность в упругой среде
Рассмотрим теперь однородную упругую среду с
включением в форме бесконечного кругового цилиндра. Будем
считать, что модули упругости и коэффициенты температурного

105
расширения материала включения являются функциями г -
расстояния до его оси.
Положение произвольной точки X в среде с
цилиндрическим включением будем описывать с помощью декартовой
(х1,х2,х3) и цилиндрической (r,n,z) систем координат,
причем оси хъ и ζ совпадают с осью включения, η - орт оси г .
Если температура среды Г и внешнее поле деформаций
являются постоянными, то тензоры деформаций и напряжений в
среде с включением не зависят от координаты хъ (или ζ).
Начнем с рассмотрения упругой задачи (Г = 0).
Поскольку возмущение тензора модулей упругости внутри включения
С1 и тензор деформаций € (в случае постоянного внешнего
поля) зависит только от координат xl9x29 то интегральное
уравнение для функции ε(χ) (2.1.9) принимает вид
s(x) + \t(x-x')C\Y)s(x'W = s\ x = x{x„x2),
(2.10.1)
где ядро К(х) связано с функцией К(х) (2.1.10)
соотношением
00
К(х„х2)= JK(xvx2,x3)dx3. (2.10.2)
-00
Отсюда следует, что символ оператора К (преобразование
Фурье К*(А:) функции К(х) определяется выражением
Κ*(*) = Κ·(*,ΛΛ)[3=0, к = Щ,к2), (2.10.3)
где функция К* (к) определена в (1.1.35).
В силу линейности задачи решение уравнения (2.10.1)
представляется в форме
ε(χ) = [Ελ+Α(χ)]ε\ (2.10.4)
где исчезающий на бесконечности тензор А(х) удовлетворяет
Уравнению, которое следует из (2.10.1) после подстановки в
нею (2.10.4):

106
A(x) + jK(Jc - χ')C(x')A(T)dx' = -Jk(x - χ')C (x')dx'.
(2.10.5)
Для удобства представления тензорных функций,
которыми описывается решение рассматриваемой задачи, введем три
тензорных базиса, построенных с помощью единичных
векторов тип (ортов осей ζ и г , соответственно) и
двухвалентного тензора Θαβ-(δαβ-τηαΐηβ) - проектора на плоскость 0,
ортогональную оси ζ.
Первый из этих базисов (Р -базис) был уже введен ранее
(п.2.4) и определен соотношениями (2.4.7). Заметим, что
структура тензоров в (2.4.7) аналогична структуре тензоров
основного базиса (2.8.8), причем роль единичного тензора δαβ
играет проектор θφ. Тензоры Р', так же как и Ε, образуют
замкнутую алгебру относительно операции умножения,
определенной формулой (2.8.9). Таблица умножения ,цля тензоров Р\ а
также формула обращения для тензора, принадлежащего
линейной оболочке базиса Р\ приводится в Приложении Π 1.1.
Базис Р' удобен для представления тензора модулей
упругости С° трансверсально-изотропного тела, направление оси
симметрии которого определяется ортом т. Это
представление имеет вид
С =2то(Р] -^р2) + коР2 +/о(Р3 + Р4) + 4МоР5 +п0Р6.
(2.10.6)
Здесь μο и то - модули продольного и поперечного сдвига,
ко - объемный модуль при плоской деформации, по - модуль
продольного одноосного удлинения, /о- соответствующий ему
поперечный модуль - пять независимых упругих модулей
трансверсально-изотропной среды. Связь этих модулей с
"техническими" упругими постоянными
трансверсально-изотропного тела дается равенствами
«L=Trffl-.*.=(A.^r, /,=-i^-, (2.10.7)

107
^o^Ol A)lA)3
^013
^03 .
Здесь E0l- модуль Юнга среды в плоскости θ,
перпендикулярной оси ζ, Еоъ- тот же модуль в направлении оси ζ,ν012,ν013-
коэффициенты Пуассона. В случае полной изотропии среды
то=мо9 к0 = λο +μο, / = λο, ηο = λο +2μο.
В дальнейшем материал включения будет предполагаться
трансверсально-изотропным, так что тензор его модулей
упругости С имеет вид, аналогичный (2.10.6) с параметрами
τη^,Ι,μ,η, которые являются функциями координаты г .
Введем теперь 0-базис, состоящий из шести тензоров Θ 9
принадлежащих плоскости Θ:
ΰαβλμ = θα(λ θμ)β > ^αβλμ = θαβθλμ > ^αβλμ = θα(Ρλημ > (2-10.8)
&αβλμ=ηαηβθλμ> ^αβλμ = ^(α^λ^μ) > ^αβλμ = ПаП(РхПИ ·
Множество этих тензоров замкнуто относительно операции
умножения (2.8.9), соответствующая таблица умножения
приведена в Приложении П1.1.
Рассмотрим, наконец, R-базис, состоящий из следующих
пяти тензоров:
Κβλμ = "α"β"Α"μ > ΚβΧμ = ™α™β™Λ™μ , ΚβΧμ = ™α™(Ρχημ >
Κβλμ = ПJiff"*™μ , ΚβΑμ = "(α^β)"^ · (2Л0.9)
Существенно, что множество элементов Ρ, θ и R -базисов
замкнуто относительно операции умножения (2.8.9).
Используя выражения (2.10.3) и (2.1.35), можно показать,
что символ К*(к ) оператора К в (2.10.1) представляется в
виде
(m,t)-x^(m,l)+^R\ni,r)[ / = 4
wn \k\
L
к\
(2.10.10)

108
При этом среда предполагается трансверсально
изотропной с тензором модулей упругости (2.10.6), хо = ко/по.
Приступим к решению уравнения (2.10.5). Введем в
плоскости xl9x2 полярные координаты г,η и осуществим
преобразование Меллина (2.10.5) по переменной г . Поскольку К-
сингулярный интегральный оператор, символ которого -
однородная функция нулевой степени (2.10.10), то его действие
на кусочно-гладких функциях определяется соотношениями
вида (2.8.6) и (2.8.7) при d=2. Таким образом, из (2.8.5) -
(2.8.7) следует, что после преобразования Меллина уравнение
(2.10.5) примет вид
A\stn) + £.(PlAY(s,n) = -(К,С'*)(5,и), (2.10.11)
где действие оператора К^ на преобразование Меллина
кусочно-гладкой финитной функции f(r,n) определяется
формулой:
(K^)(s,n) = -^r(2-s)T(s)\(-^l + iordlx
х JK\l)fXs,e)(e-l + io)s-2de. (2.10.12)
Ω!
Здесь n,l,e - векторы на единичной окружности Ω,, а
тензор К*(т,/) определен в (2.10.10).
Рассмотрим результат действия оператора К^ на элементы
Р9 θ и Λ-базисов. Для вычисления интегралов в (2.10.12)
воспользуемся следующими формулами (Re s < 1):
\(nirdl = j(s), j{n.iyu^l = ^(eafi-srlanfi),
Ω, Ω,
Ω,

109
г(±)г(М
J^= ρ 2-,) (1 + е"'Д)· (2Л0ЛЗ)
Используя эти формулы и алгебру элементов Ρ, θ и R
-базисов, получим следующие соотношения:
KSPX = \г+(\-хо)Г], К/= Х~*° Г,
т0(2-5) 4 ' * 2/Ηο(2-ί)
K^-L^f;, к,р5= * t,K/=K/ = o.
(2.10.14)
Входящие сюда пять тензоров Т* имеют вид
tx =(4-s){0-s&)-t; , i; = &-s#, (2.10.15)
ξ = & +2& -s(& + & +4&) + s(2 + S)0>,
% = P3-sP\ % = P5-sR5,
где тензоры Ρ'{τή),θ(τη) и R{n,m) определены формулами
(2.4.7), (2.10.8) и (2.10.9).
Действие оператора Ks на элементы #-базиса выражается
через три из пяти тензоров Т" (2.10.15):
Ks0=KsP\ К^=К,Р2, (2.10.16)
^%.vr2-"v4-,J(4-^-(2-^]>
7Ио5(2-5)

по
2(j-i)£+-i-zH,
1-ае0 J
f m05(4-i2)(4-i)[V '2 l-ae0 ' 3J
И, наконец, действие оператора Kf на элементы
R-базиса определяется соотношениями
К,/?1 = К, 0s, К4Л2 = Κ,Λ3 = 0, (2.10.17)
j> R4 = (\-xJ(s-l)f. fRs= (s-\) γ.
mX2-s) 4' f 2//Д2-5) 5'
Обратимся теперь к уравнению (2.10.11). Для трансверсаль-
но изотропного включения тензор С1* (s) в его правой части
имеет вид, аналогичный (2.10.6)
C]\s) = k;(s)P2 +2m;(s)(P] -±Р2)+ (2.10.18)
+/;(5)(Р3 + р4)+4//;(5)р5 +<(5)Р6,
где mx(r\kx(r)Jx{r)^x(r) и ^(г) - возмущения модулей
упругости во включениях. Отсюда и из соотношений (2.10.14)
следует, что правая часть уравнения (2.10.11) есть линейная ком-
бинация тензоров Т*', определенных в (2.10.15).
Если тензор А(г,п) в (2.10.11) искать в виде линейной
комбинации элементов Ρ, θ и R-базисов с коэффициентами,
зависящими от г , то произведение С]А представляется в ви-
л.
де аналогичного разложения. Поэтому тензор КДС А)* будет
линейной комбинацией тех же пяти тензоров Т*. Но тогда
тензор A*{s,n) - решение уравнения (2.10.11) - естественно
искать в виде линейной комбинации не всех элементов Р9 θ и
R -базисов, а лишь пяти тензоров Т*:
1-а?.
2m0s(2-s)(4-s)

Ill
л>,и) = 2>;о?)7;>,5). (2.10.19)
i=\
Здесь a*(s) — ^-представления скалярных функций at(r).
Поскольку множителю (-S) в пространстве преобразований
Меллина соответствует оператор D-rdldr в г -пространстве,
из (2.10.15) и (2.10.19) получаем следующее выражение для
тензора А(г,п):
Α(Γ9η) = ΣΪ(κΒ)<Χ,(Γ). (2.10.20)
ί=1
Здесь дифференциальные операторы Τ^η,Ό)
определяются правыми частями формул (2.10.15), если в них параметр
(S) заменить оператором D.
Запишем развернутое выражение для тензора А(г,п):
^(r,w) = [^ + ^(w)D](4 + D)a^r) + [^ + ^(w)D]a2(r) +
х(аъ{г)-ах{г)) + [Ръ+Я\п,т)]аА{г) + ^
(2.10.21)
и перейдем к определению входящих в него пяти скалярных
функций at(r). Умножая уравнение (2.10.11) на тензор &
справа, получим соотношение, в которое входят только
функции а19а2,аъ:
4+К.(СЧГ=-К.С (2.10.22)
А; = А*0 = aj; + a2f; + a\f;, (2.10.23)
сх; = С0 =к;р2 +2ηζ(Ρι -\ρ2)+ι;ρα. <2.ю.24)
С учетом этих выражений и формул (2.10.15) находим, что
тензор Ав(г,п) имеет вид
Ae{r,n) = {&+0{ri)D){4 + D)ax{r) + {0+6t{n)D)a2{r) +

112
+{& +20 +[&{n)+ &{n) + 4&{n)]D+ &{n)D(D-2)} χ
x(a2(r)-a,(r)), (2.10.25)
а произведение Сх Αθ в (2.10.22) представляется в форме
б
СЧ = Σ Д(г)0" + £7Р4 + £8Л3, (2.10.26)
ι=1
где обозначено
■iSj = 2m1[(2 + £>)a1+2a3], (2.10.27)
S2^l\{2 + D)a2+{A + D)az] + 2mxD{az-ax)9
53 = 1]0(4 + 0)α3+2μ]Ό(α3 - a,),
54 = 2mlD(a2 + a3 - α}), S5 -2mxD{Dax +4a3),
S6 =2щ D(D- 2)(a3-a,).
Вид функций £7 и 58 для дальнейшего не существенен.
Подставляя теперь (2.10.24) и (2.10.26) в (2.10.22) и
учитывая соотношения (2.10.14), (2.10.16), (2.10.17), придем к
равенству, обе части которого являются линейными комбинациями
тензоров Т*9Т29Т^. Приравнивая коэффициенты при тензорах
Т* ,Т^ справа и слева, получим соотношения, связывающие
функции а\ и а\\
mo5(4-52)(4-5)a;+6;=-25(2 + 5)m;(5), (2.10.28)
то5(4-52)[а;-(1-Жо)бг;]-(1-Жо)Ф;=0,
Ф;=1[5(2 + 5)(25;+§)-4(1-5)$], (2.10.29)
Φ;=^[(2 + 5)(2$+4·)-2(1-5)4·].
Здесь S*(s) - преобразование Меллина функций St(r)
вида (2.10.27).

113
Заменив в этих соотношениях преобразование Меллина
функций их оригиналами, а множитель (-S) оператором D,
получим систему двух обыкновенных дифференциальных
уравнений четвертого порядка для определения функций
αλ(ΐ) и аъ{г). Если модули упругости включения — кусочно-
гладкие функции г с равными нулю производными при г=0,
то граничные условия для полученной системы имеют вид,
аналогичный (2.8.27):
Daj=D2aj=0, у = 1,3 при г = 0, (2.10.30)
αλ, аъ -> 0 при г -> оо 5
Для получения уравнения, которому удовлетворяет
функция а2(г), фигурирующая в (2.10.21) и (2.10.25), умножим обе
части (2.10.22) справа на тензор Θ1 и учтем следующие
соотношения:
c];tf=2k;p2+2i;p\ Aft = {&-s&)p{s),
(^Λ)^=$(5)^+4(5)^+/;(5)(2-5)/Τ(5)?4,
4(r) = [2*1(r) + (*1(r)-ifii(r))Z)]«r), (2.10.31)
S]0(r) = 2m](r)Dfi(r),/r(s) = 2al(s) + (4-s)a](s).
Отсюда и из (2.10.14)-(2.10.17) следует, что левые и правые
части равенства
а;? +Ks(clAey01 = -Kscl;e1 (2.10.32)
пропорциональны тензору Т*. Приравнивая коэффициенты
при этом тензоре слева и справа, получим
шА2 - S)/r (5)+о - «. )[ss; (S)+(5 - \)s;0 (*>]=
= -2(\-xo)sk'(s). (2.10.33)
Переходя здесь к г-представлениям и учитывая, что в силу
(2.10.31)
fi(r) = 2a2(r) + (4+D)a,(r), (2.10.34)
получим дифференциальное уравнение второго порядка для
Функции β(τ) со следующими граничными условиями:

114
Οβ=0 приг = 0; /?(r)-> О при г ->оо. (2.10.35)
Осталось вывести дифференциальное уравнение для
функций аА(г) и а5(г) в (2.10.21). Введем для этой цели тензор
Ая(г9п) следующим образом:
Ак{г9п) = А{г,п)-Ав{г,п) = (Р3 + R4D)a4+(P5+R5D)a5.
(2.10.36)
Вычитая из обеих частей соотношения (2.10.11) обе части
(2.10.22), придем к уравнению, которому удовлетворяет
преобразование Меллина тензора Ак(г,п)
Л>,и) + КДСЧ)>,и) = -К,СМ)· (2.Ю.37)
Здесь обозначено:
С1 Απ = SUP3+S]2P5+S]3P6 +Sl4R4+S]5R\ (2.10.38)
?π = ΙλΡ'+4μλΡ5+ηλΡ\ Su=[2k,+{kx-mx)D}aA,
§η=2μια5, Sn = lx{2 + D)aA, Su=2mlDa4, §]5=2μ]Οα5.
Отсюда и из соотношений (2.10.14)-(2.10.17) следует, что
правая и левая части (2.10.37) являются линейными
комбинациями тензоров Т* и 7^*. Приравнивая коэффициенты при
каждом из этих тензоров, найдем
™X2-s)<+(l-aO[4^
4μΧ2- s)a] +2[sS;2+(s-l)S;5] = -Ζϊμ*^). (2.10.39)
Переходя в этих соотношениях к г-представлениям,
получим два дифференциальных уравнения для функций а4(г) и
а5(г). Граничные условия для этих уравнений аналогичны
(2.10.35):
Da4=Da5=0 при г=0, а4,а5 -^ 0 при г^оо. (2.10.40)
В заключение рассмотрим задачу о температурных
напряжениях в среде с цилиндрически симметричной
неоднородностью в постоянном температурном поле Т. Будем
по-прежнему считать, что как модули упругости включения, так и коэф-

115
фициент линейного расширения а являются
кусочно-гладкими функциями г, причем для трансверсально-изотропного
материала тензор а имеет вид
<*αβ<Τ) = <Χθ(Γ)0αβ + ат(г)татр9 (2.10.41)
где ае - коэффициент температурного расширения в
плоскости, ортогональной оси включения, ат - та же величина в
направлении оси.
Тензор температурных напряжений сг(х) в среде с
неоднородностью удовлетворяет уравнению (2.1.17) при σ°(χ)=0.
Введем тензоры упругой деформации ееТ, полной деформации
ετ и возмущения деформации dT> связанного с наличием
неоднородности
ε6τ = С~1а, ετ = ε'τ + αΤ, ειτ=ετ- α Τ. (2.10.42)
Тем же путем, что и в п.2.9, можно показать, что тензор ε\
удовлетворяет следующему уравнению:
ε\(χ) + ^(χ-χ')0\χ')ελτ(χ')άχ'= (2.10.43)
= JK(x-x')C(x)a\T)dx'T,
где а\х)= а(х)-а9 а ядро К(х) определено в (2.10.2).
Далее будем считать температуру Τ равной единице.
Осуществляя преобразование Меллина от обеих частей
уравнения (2.10.43), найдем
4* (J, п) + К, (С14 )* (J, п) = Ks (С а1 )· (j, ή), (2.10.44)
Здесь оператор Ks определен ранее соотношением
(2.10.12). Действие этого оператора на тензоры в,т®т и п®п
определяются формулами
Ks0=—Z^—H{n9s), H(n,s)=0-sn®n, (2.10.45)
mo(2-s)

116
K,(»®»)=(1 X°^S ^H(n,s), К,(т®ж) = 0.
mos(2-s)
Эти соотношения показывают, что решения уравнений
(2.10.43) и (2.10.4) можно искать в виде
4*0,«) = (e-sn®n)fiT(s), exT(r,ri) = {0+n®nD)PT{r),
(2.10.46)
где fiT{r) - скалярная функция с преобразованием Меллина
JTt(s).
Подставляя (2.10.46) в (2.10.44) и учитывая (2.10.45),
придем к уравнению для функции β*τ(δ):
(λ. +2Mjs(2-s)/TT(s) + S'T(s) = sr(s), (2.10.47)
ST (г) = {d[2(2 + £>)(£, (г) - mx (г)) + 2/и, (г)] - (2.10.48)
-2(D + l)m,(г)Ό}βτ(г), r(r) = 2aie(r)k(r) + alm(r)l(r).
Переходя в (2.10.47) к г -представлению, получим
обыкновенное дифференциальное уравнение для функции Рт{г).
Граничные условия для этого уравнения имеют вид
£>/?г=0при г = 0, /?г^0при г ->оо. (2.10.49)
§2.11. Цилиндрическое слоистое включение
Пусть модули упругости и коэффициенты температурного
расширения цилиндрического включения являются кусочно-
постоянными функциями с разрывами в точках г = аг
/= 1,2,...,Ν; 0<αχ <α2 <...<αΝ. В этом случае включение
состоит из центрального стержня и (Ν-\)-το цилиндрического
слоя с постоянными термоупругими характеристиками.
В области постоянства свойств (внутри слоев) функции
а;(г) (7 = 1,3,4,5), /?(г) и Рт{г) удовлетворяют
дифференциальным уравнениям

117
Di2-D)(2 + D)(4 + D)as(r) = 0, 7 = 1,3,
D(2 + D)aj(r) = 0, 7 = 4,5, (2.11.1)
D(2 + D)0(r) = O, D(2 + D)fiT(r) = 0,
которые следуют из (2.10.28), (2.10.34), (2.10.39) и (2.10.48).
Общее решение этих уравнений в интервалах аь1 <г < α(,
/ = 1,2,...,N+1 (ао = 0, αΝ+1 = а>) имеет вид
а, = Y' + Y'r2 + Yy2Y'r^, аъ=Гь+ У*6гг + Y'r~2 + Υ^,
P=Yl + rwr~\ a>=ru + rnr-\ a5=rn+rHr-2,fiT=ri5+ri6r-2,
(2.11.2)
где Υ'- произвольные постоянные. Таким образом, внутри
каждого /'-го слоя решение задачи определяется с точностью
до 16 постоянных.
Рассмотрим разрывы функций a}(r), j= 1,3,4,5, /?(/*) и
βτ(τ) и их производных на границах слоев при г = аг Тем же
путем, что и п.2.9, можно показать справедливость
соотношений ([?>],= ^+0)-^,-0)):
[аД =0, 7 = 1,3,4,5; [β],=[βτ\= 0, [£>аД =0, 7 = 1,3,
[mD2a,\ = -2[ml -4[max\-2[mDa,\ -4[таг\ -4[mDa,\,
[ffiD3a,],= \2[т\ + 24[тах\+ЩтВах\+24[таъ\+\2[тОаг\,
[(k+m)D2a3l = -2[m\-4[max\-4[mDaxl - ^
-4[ma3l-2[(2k+m)Da3l,
[(к+т)Огаг1= l2[ml+24[mDa,l+24[ma3l + l6i(k+m)Da3l,
[(к + т)0^= -2[к(\+Щ, [(k+m)Da4l= -[/], -2[каА\,
[μΟα51=-[μ(2+α5)1, [(k+m)DfiTl=[r]-2[kfiTl, i=\,2,...,N.
Укажем теперь алгоритм вычисления всего массива
постоянных Y1 определяющих решение задачи в (2.11.2). Введем

118
N+\ шестнадцатимерных векторов У, компонентами
которых являются постоянные Y', и N+1 векторов х'(г) с
компонентами
Х\=ах, X\=Dax, X\=D2ax, X\=Dzax, Х\=аг, Χ'6=Ώα%,
χ· = Ό2α,, Xi=D3a3, Χί = β,Χί0=Ώβ, Χ\,= α4, X\2=Da„
Х\г = аь, X[4=Da5, Х[ь = βτ,Χ\6 = Όβτ. (2.11.4)
Здесь а;=а}(г), β=β(τ), βτ=βτ{τ), α,_1<Α·<αί, /=1,2,...,
...,Ν+ι.
В силу (2.11.2) векторы У и X связаны соотношениями
X (г) = Щг)Г, Г = Я"1 (г)Х (г),
(2.11.5)
H(r) = h,{r)®hx(r)®h1(r)®h2(r)®h1(r)®h2{r),
\ =
1 г2 Г2 г^
О 2г2 -2Г2 -4Г4
О 4г2 4Г2 16Г4
О 8r2 -Sr~2 -64Г*
, К =
1 Г2
О -2Г2
. (2.11.6)
Отсюда следует, что значения вектора Х'(г) на левом
(г=а1_,+0) и правом (г=а.-0) концах /-го интервала связаны
между собой соотношениями, аналогичными (2.9.16)
Xi{ai) = RX{ai_x), R =Η(αί)Η~ι(αί_ι), (2.11.7)
где матрица Η (16x16) определена в (2.11.6).
На границе / -го и (/+1)-го слоев в точке r = at в силу
(2.11.3) имеет место равенство
Xl+l(ai) = F+r,Xl(ai)9
(2.11.8)
где вид вектора F и матрицы Г'восстанавливается из (2.11.3).
Явные выражения для этих объектов приведены в
Приложении П4.2.

119
Из (2.11.7) и (2.11.8) следует, что вектор решения Xм(а.)
на (/'+1)-м интервале выражается через вектор решения на
первом интервале Х\ах) по формулам, аналогичным (2.9.18)
Х*+\а() = ё+в1Х\щ\ i = \,2,...,N, σ=γ\0\ g^F\
k=\
i (j+l \
^'+ΣΠβ* Г' i=2>3>->N> Qk=TkRk9 (2.11.9)
J=\\k=\ J
где Rl - единичная матрица.
Из ограниченности решения при г=0 и стремления его к
нулю при г ^оо вытекает, что компоненты векторов Г1 и
Г;ЛЧ1, определяющие решение на первом и (уУ+1)-м
интервалах, должны удовлетворять условиям:
^ =0, 7 = 3,4,7,8,10,12,14,16, (2.11.10)
y,"+,=0, 7 = 1,2,5,6,9,11,13,15.
Отсюда тем же путем, что и в § 2.9, можно получить
уравнение для определения вектора Х\а.)
X'=MZ, BZ=f,
(2.11.11)
где Ζ- неизвестный восьмимерный вектор, а матрицы Μ
(16x8), 2?(8 χ 8) и вектор / определяются соотношениями
Μ = /и, ®щ ®т2®т2, i> = /, ®/, ®/2 ®/2 ®/2 ®/2 >
B = LGNM,f = -Lg\ (2Л1Л2)'
/и, =
|1 о|
0 1
0 2
Ρ 4
' ™2 =
|1 о|
О Oi
о ιί
0 0
U=|
8 6 1 0|
-48 -28 0 1
>/2 = 12 ill,

120
где матрица GN и вектор ^определены в (2.11.9).
Определив вектор Xх(αλ) из решения системы (2.11.11) с
помощью соотношений (2.11.9), найдем затем все векторы
Χ*+1(αί)> / = 1,2Д...,#, а из (2.11.5) - массив постоянных Υ%
которые определяют решение задачи внутри каждого слоя.

ГЛАВА HI
ТОНКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ
В ОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
В последние годы в качестве наполнителя в композитных
материалах все чаще используются включения, один из
характерных размеров которых много меньше двух других [112,214].
Оказалось, что армирование композита жесткими чешуйками-
наиболее эффективный путь увеличения его жесткости: при
одинаковой объемной концентрации наполнителя жесткие
чешуйки увеличивают модуль упругости материала в 1,5-2 раза
больше, чем квазисферические включения или волокна. С
другой стороны, среда, содержащая тонкие, но податливые
включения, является хорошей моделью для описания
процессов накопления повреждений (трещин и других дефектов) в
реальных материалах. Таким образом, наибольший интерес
для механики композитов представляют тонкие включения,
модули упругости которых существенно отличаются от
модулей основной среды. Данная глава посвящена рассмотрению
именно таких включений. Их свойства можно
охарактеризовать двумя безразмерными параметрами: "геометрическим" δλ -
отношением характерных линейных размеров включения и
"физическим" S2 - отношением характерных значений модулей
упругости среды и включения, причем δλ всегда мало, а
параметр δ2 является либо малым (податливое включение), либо
большим (жесткое включение). Наибольший интерес для
приложений представляют главные члены асимптотических
разложений упругих полей в окрестности тонких включений по
Указанным параметрам. Задача построения этих членов
решайся на основе интегральных уравнений для произвольной
неоднородности, полученных в предыдущей главе.

122
§ 3.1. Внешние разложения упругих полей
в среде с тонким включением
Рассмотрим бесконечную однородную среду с
включением, которое занимает односвязную область V с гладкой
границей. Будем считать, что один из характерных линейных
размеров области V много меньше двух других, а ее
срединная поверхность Ω является гладкой и ограниченной.
Выберем в каждой точке X на Ω локальную декартову систему
координат у19у29ζ с осью ζ, направленной вдоль нормали П(Х)
к Ω. Обозначим через h(x) поперечный размер области V
вдоль оси ζ . Функция h(X) допускает представление
h(x) = Sj(x), δλ«1, xeQ, (3.1.1)
где δλ - малый безразмерный параметр, а величина 1(х)
порядка максимального размера области V. Функцию h(X)
будем считать кусочно-гладкой, удовлетворяющей условию
|^ВД|<:<1 (3.1.2)
всюду на Ω, за исключением, быть может, малой
окрестности контура Г- границы Ω. Здесь д - операция градиента
вдоль поверхности Ω:
Считая модули упругости включения постоянными,
рассмотрим выражения (2.1.22) для полей деформаций и
напряжений вдали от включения (внешнее решение [14]). Для
фиксированной точки χ ~ё V ядра К(х-х') и S(x-x') в (2.1.22)
являются гладкими и ограниченными при х' eV. Поэтому с
точностью до членов более высокого порядка малости
относительно h имеют место равенства
s(x) = e(x)-JK(x-x')Cle+(x\h)dQ\ (3.1.4)
Ω
o(x) = a*(x) + jS(x-x')Bla+(x\h)dQ\ (3.1.5)
Ω

123
A(jcV2 A(xV2
σ+ (x, h) = J σ+ (χ + n{x)z)dz, £+ (χ, h) = JV (* + n{x)z)dz.
-A(x)/2 -A(jc)/2
(3.1.6)
Слагаемые в правых частях (3.1.4), (3.1.5) - главные члены
асимптотики при |х|»Л упругих полей вне тонкого
включения. Как правило, эти члены представляют наибольший
интерес для приложений. Наличие в задаче малого параметра
позволяет применить для построения этих членов методы
асимптотического анализа. Прежде чем перейти к построению
главных членов асимптотики функций σ+(χ,Α) и ~a+(x,h) по
указанному малому параметру, рассмотрим свойство
потенциалов в правых частях (3.1.4), (3.1.5).
§ 3.2. Свойства потенциалов (3.1.4) и (3.1.5)
Введем следующее обозначение
т(х) = Bla+(x,h) = -B°Cle+(x,h), (3.2.1)
где ~a+(x,h) и ~a+(x,h) имеют вид (3.1.6). Тогда соотношения
(3.1.4), (3.1.5) представляются в форме
ε(χ)=ε°(χ) + ε](χ),φ) = σ(χ) + σ1(χ), (3.2.2)
ε] (χ) = jK(x - х')С°т(х')(К1\ J {χ) = JS(x- x')m(x')dQ'.
Ω Ω
(3.2.3)
Полагая т(Х) сколь угодно гладким тензорным полем на
Ω, исследуем предельные значения потенциалов σ*(Χ) и
ε (X) при χ—»Ω. Воспользуемся операторами
проектирования (2.2.7) на нормаль п(х) и касательную к Ω плоскость в
точке χ eQ: Щи) и Θ(η) соответственно. Представления
этих операторов в Ε-базисе (2.8.8) имеют вид
Щп) = 2Е5(п)-Е6(п), Θ(η) = Ε] -2Ε5(η) + Ε6(η).(3.2Λ)

124
С помощью операторов Π и Θ всякое симметричное
двухвалентное тензорное поле т(Х) на Ω раскладывается на
"нормальную" τηπ(Χ) и "касательную" тв(Х) составляющие
т(х) = тх(х)+т°(х)9 (3.2.5)
Заметим, что тензор т*(Х) допускает представление
m'ap{x) = r^a{x)bn{x), (3.2.6)
где b (X) - некоторый вектор, а тензор тв(Х) удовлетворяет
на Ω условию
па(х)*»Ь(х)=0, (3.2.7)
и, следовательно, является тензором поверхности Ω [18].
Представим плотность С°т(х) потенциала ελ(χ) (3.2.3) в
виде следующей суммы:
ОиА(х) = 4αβ(χ) + 0°αβλμηλ(χ)^(χ), (3.2.8)
где вектор Ь(х) удовлетворяет следующему уравнению:
ηα(χ^°αβλμηλ(x)bM(x) = ηα(χ)σαβλμτηλμ(χ). (3.2.9)
При этом тензор q(X) в (3.2.8), очевидно, удовлетворяет
соотношениям
"в(*)М*)=0, ®^(w)i^W = ^W) (3.2.10)
и, следовательно, является тензором поверхности Ω.
Рассмотрим свойства потенциала ε\χ) с плотностью
С°т = q9 которая является тензором поверхности Ω.
Используя теорему Гаусса для поверхности [18] (см.также
Приложение П3.1), имеем
<,(*) = JK^ix-x'W^x'fyAx'W = (3.2.11)
Ω
Ω Γ

125
где е(х) - внешняя нормаль к контуру Г, лежащая в
касательной к Ω плоскости в точке хеГ. Здесь учтено выражение
(1.1.31) для К(х), а также равенство
V λΟβμ{χ-χ')0>λμνρ{χ')4νρ{χ>) = (3:2.12)
= -^[G0M(x-x')qXM(x')] + GfiM(x-x')^qXM(x'),
которое следует из (3.1.3) и определения (3.2.4) проектора Θ,
штрих над оператором д означает дифференцирование по х'.
Интеграл по Г в правой части (3.1.17)- непрерывная
функция при р~ех χέ£1 (χΊ=Γ), а интеграл по Ω -
симметрированный градиент потенциала простого слоя статической теории
упругости с плотностью dkqktl(x). Известно [119], что
градиент потенциала простого слоя - регулярная функция во всем
пространстве, разрывная на поверхности Ω. Обозначим через
е]+и ελ~ предельные значения потенциала ελ при стремлении
точки Χ κ Ω со стороны нормали и с противоположной
стороны соответственно. Разность [ε1] предельных значений
рассматриваемого потенциала определяется соотношением,
которое следует из (1.3.25)
[*!*(*)] = ^W-^W = ^(^^(^M^W5 (3.2.13)
где функция G*{k) имеет вид (1.1.35).
Отсюда следует, что касательная составляющая Θ(η)ε\χ)
потенциала ε (χ) непрерывна при переходе через Ω. Однако
интеграл, представляющий значение функции Θ(η)ει(χ) на
поверхности Ω
®αβχμ(ρ)ε\Λχ) = jUafixAx>x')bAxyn', (3-2.14)
Ω
^^^^0 = Θ^ρ^)Κνρ^-^)ΘΓ^(^'), (3.2.15)
формально расходится, так как К(х-х') ~|х-х'|"3при х->х'.
Регулярное представление этого интеграла получено в
Приложении ПЗ.З и имеет вид

126
θ^(*Χ,(*)=/^(Λ,(*,*')[^Μ-^(*,*')>«'-
Ω
-®аРхЛх)^х0^х-х')д:р(х,х>)ер(х'уЯ". (3.2.16)
Γ
Здесь символ / по-прежнему означает интеграл в смысле
главного значения по Коши, q°(x,x') - постоянное тензорное
поле на Ω. Функция q°(x,x') удовлетворяет уравнению
d'q\x,xf)=0 и совпадает с q{x) при х' = х. В случае, когда
поверхность Ω плоская, формула регуляризации (3.2.16)
переходит в следующую:
Ω
_ (3.2.17)
где Ω - вся бесконечная плоскость, включающая Ω.
Функция q(x) продолжается нулем вне Ω.
Рассмотрим теперь потенциал о?(х) вида (3.2.3) с
плотностью т(х) = B°q(x), где q(x) - тензор поверхности Ω. Из
определения (1.2.9) функции S(x) следует равенство
σ1 (χ) = J S(x - x')BTq{x'yKV = С V (x) - q{x)Q{x\
Ω
(3.2.18)
где ε1 (χ) - потенциал (3.2.11), Ω(χ) - дельта-функция,
сосредоточенная на поверхности Ω. Отсюда видно, что предельные
значения на Ω потенциала о?(х) с точностью до множителя
С° совпадают с предельными значениями ελ{χ). Из (3.2.13) и
определения функции (?(к) (1.1.35) следует, что разрыв
нормальной составляющей п{х)с?{х) потенциала d(x) на Ω
определяется соотношением

127
[ηβ{χ)^αβ{χ)] = ηβ(χ)σ%,(χ)-ηβ(χ)σ^(χ) = dfi^ix).
(3.2.19)
Перейдем к рассмотрению потенциала 6х (х) вида (3.2.3),
плотность которого определяется вторым слагаемым в правой
части (3.2.8):
<,(*)=\ктЛх - «twww- <3·2·20>
Ω
Из выражения (1.1.31) для К(х) следует, что d(x)
представляет собой симметрированный градиент от потенциала
двойного слоя статической теории упругости.
Если Ъ (X) в (3.2.20) есть гладкое векторное поле на Ω, то
потенциал ει (х) можно представить в виде
^W=^W + «(aW^W"W, (3.2.21)
где ελΓ(χ) - регулярная функция, разрывная на Ω.
Предельные значения потенциала ε](χ) определяются
соотношениями (см. Приложение П3.2)
Ω
+ΚβΛΦΛ*) + ΐλαβλμ(η)ό>λδμ(χ)^ (3.2.22)
ΚβΛΧ) = Β°αβτρ$™ΚΖ'ρνΛχ-χ')^ , Λ^(/ΐ) = Β0αβνρΞ*νρλμ{η),
Γ
где Ζ (Χ) - тензор Грина для внутренних напряжений,
связанный с тензором S(x) соотношением (1.2.4), S(x)=RotZ(x),
dTr - векторный элемент длины на контуре Г, функция S*(ri)
имеет вид (1.2.11).
Для потенциала σ*(χ) вида (3.1.9) с плотностью т(х) =
-п(х)Ь(х) справедливо представление, аналогичное (3.2.18)
σ*αβ(χ) = C°a/3^(x)-C°a/}XMnx(x)bM(x)Q(x). (3.2.23)

128
Отсюда и из (3.2.20) следует, что функция о*(х) не имеет
сингулярной составляющей, а ее разрыв на Ω определяется
соотношением
Wafi (*)] = ~Κβχμ WxbM (x) ■ (3-2.24)
Используя определение (1.2.11) тензора S"(ri)9 можно
показать, что вектор ηβ(χ)σλαβ(χ) непрерывен при переходе через
Ω, а значения функции иДх)ст^(х) на Ω определяются
следующей формулой регуляризации (Приложение П3.2):
-ηβ(χ)ο>βα(χ) = \Ταβ{χ,χ')όβ{χ')άΩ.· = (3.2.25)
Ω
= lTjx,x^[bfi{x^-bfi(x)]dQ'+nfi(x)jwt^ZafiJx-x')dr^(<x),
Ω Γ
Ταβ (x, χ') = -ηλ (x)SXafiM (χ - χ')ημ (χ'). (3.2.26)
Если Ω - часть плоскости, то следствием (3.2.23) является
следующая формула регуляризации:
J Ταβ{χ - х'Щх'УЮ = / Tjx - χ'Ρβ{χ>) - bfi(x)]dn>.
Ω Ω
_ (3.2.27)
Здесь Ω - вся бесконечная плоскость, включающая Ω,
функция Ь(х) продолжается нулем вне Ω.
§ 3.3. Внешние предельные задачи
для тонких включений
Рассмотрим решение задачи о тонком включении при
стремлении к нулю его поперечного размера h (параметра 8Х
в (3.1.1)). Если внутри области V, занятой включением,
модули упругости имеют конечное отличное от нуля значение, то

129
при ή—»0 упругие поля внутри V остаются конечными.
Отсюда следует, что функции ~ё+(х,И) и σ+(χ,/?), определенные
соотношениями (3.1.6), при δλ —»0 исчезают. Поэтому в силу
(3.1.5), (3.1.6) напряжения и деформации вне включения при
стремлении к нулю его поперечного размера И совпадают с
невозмущенными внешними полями σ(χ), ε°(χ).
В ряде прикладных задач материаловедения и механики
композитов возникает необходимость · рассматривать тонкие
включения, модули упругости которых существенно
отличаются от модулей среды. При этом в случае включений более
податливых, чем среда, тензор модулей упругости включения
С представляется в виде
C = S2C, δ2«\, С=0(С°). (3.3.1)
Если же включение является более жестким, чем среда? то
аналогичное представление допускает тензор упругой
податливости включения В:
Β=δ2Β, δ2«1, В=0(В°). (3.3.2)
Рассмотрим предельные задачи для тонких включений при
одновременном стремлении к нулю "геометрического" δλ и
"физического" δ2 параметров, считая их отношение величиной
порядка единицы.
Пусть вначале вместе с <5J(/?) к нулю стремится тензор
модулей упругости включения С. Из соотношения
Βισ+ = (С-1 -В°)Сё+ = -В°СХТ (3.3.3)
следует, что Βλ~σ+ -^~ε+ при С^О (С1 ->-С°). Отсюда и из
(3.1.5), (3.1.6) получим, что при /?,С—»0 (^ , ^2 —> 0)
внешнее решение задачи о тонком включении принимает вид
€{х) = ε (χ) + $К(х - х')С°е+ (x')dQ', (3.3.4)
Ω
σ(χ) = σ (χ) + JS(x - χ')Τ (χ')άΩ', (3.3.5)
Ω

130
e+(x) = \ime+(x,h) при Л,С->0. (3.3.6)
С другой стороны, в пределе при h, С-»0, в силу
ограниченности модулей упругости включения, вектор напряжений
( )σ( ) должен оставаться непрерывным при переходе
через поверхность Ω. Однако непрерывность вектора
перемещении в точках Ω может быть нарушена из-за обращения в
нуль тензора С. Таким образом, предельные значения
векторов перемещений и (χ) и напряжений η(χ)σ(Χ) на
поверхности Ω должны удовлетворять соотношениям
["(х)] = Ь(х)г [η(χ)σ(χ)] = 0, xeQ, (3.3.7)
где (X) Неизвестный пока вектор скачка перемещений на
поверхности Ω.
Отсюда следует, что предельное поле деформаций в среде
с включением содержит сингулярную составляющую еи(х),
сосредоточенную на Ω,
*ί»(*) = Λ(β(*)ΑΛ(χ)Ω(χ). (3.3.8)
*J° T°™a из (3·1·6) и (3.3.6) вытекает, что функция Т(х) в
(3.3.4) и (3.3.5) определяется выражением
^(х) = и(а(х)йЛ(х), (3.3.9)
а сами эти соотношения принимают вид
Μχ) = ε°αβ (*) + J Καβλμ (χ - x')ra^nv(x')bp(x')dQ',
Ω
(3.3.10)
σαβ(χ) = ^(χ) + ^8αβλμ(χ-χ')„χ(<χ')δμ(<χ')άΩ'. (3.3.11)
Ω
десь потенциалы в правых частях совпадают с
потенциалами (3.2.3) при т(х) = п(хЩх). Из указанных в §3.2 свойств
таких потенциалов следует, что условие (3.3.7) непрерывности
вектора п(х)Ь(х) на Ω для поля σ(χ) вида (3.3.11)
выполняется автоматически. Но тогда с точностью до членов порядка
δλ имеет место равенство (/?(*), 00)
W(*M*) =/Г" (χ)„(χ)σ+(χ,//), хеП, (3.3.12)

131
где функция a+(x,h) определена в (3.1.6).
Воспользовавшись здесь законом Гука для включения
a+(x,h) = Ce+(x,h) (3.3.13)
и переходя к пределу при /?, С—»0 с учетом (3.3.9), найдем
связь вектора b (х) с вектором напряжений на поверхности Ω
ПХ (Х)СхавиПи (Х)
ηβ(χ)σβα(χ) = λαβ(χ)Ββ(χ), Я^(х) = J[imo —^ .
(3.3.14)
Отсюда и из выражения (3.3.11) для тензора напряжений
σ(Χ) придем к уравнению, которому удовлетворяет векторное
поле Ъ (х) на Ω:
Xap{x)bp{x) + \Tap{x,x')bp{x')cKl' =иДхЦа(х). (3.3.15)
Ω
Здесь действие интегрального оператора Τ с ядром Т(х,х')
вида (3.2.25) определено правой частью (3.2.24) или (3.2.26).
Таким образом, решение задачи о тонком включении при
/?,С^0 (<5j,£2^0)имеет вид (3.3.10), (3.3.11), где вектор Ь(х)
является решением уравнения (3.3.15). Если Л(х)=0, то (3.3.15)
переходит в уравнение задачи о трещине в однородной
упругой среде.
Пусть теперь вместе с /? к нулю стремится тензор упругой
податливости включения В. Поскольку
СХТ = (В1 -С°)Ва+ = -С°В1а+ , (3.3.16)
Отсюда и из (3.1.4), (3.1.5) получим, что при /?,2?—»0
решение задачи о тонком включении примет вид
е(х) = ε°(χ)- $К(х- χ')σ(χ')άΩ', (3.3.17)
Ω
a(x)=a(x)-jS(x-x')B0a(x')dQ\ (3.3.18)

132
a(x) = lim a+(x,h), λ,£->0. (3.3.19)
Поскольку в пределе модули упругости включения
обращаются в бесконечность, то условие непрерывности вектора
перемещений при переходе через поверхность Ω будет
выполнено, однако непрерывность вектора напряжений
(локальное условие равновесия) может быть нарушена.
Предельные значения вектора перемещений и тензора деформаций
удовлетворяют на Ω условиям
["(*)]|Ω=0, [Θ(*Μ*)]|Ω=0. (3.3.20)
Первое из этих условий показывает, что поле деформаций
не содержит сингулярной составляющей, пропорциональной
Ω(χ). Отсюда и с учетом свойства (3.2.20) потенциала ε\χ)
можно утверждать, что плотность ст(х) потенциалов в (3.2.17),
(3.3.18) должна быть тензором поверхности Ω, т.е.
удовлетворять условиям
^W^W = 0, Θ^(χ)σ^(χ) = σ^(χ). (3.3.21)
При этом из результатов §3.2 следует, что поле (3.3.17)
автоматически удовлетворяет второму условию (3.3.20).
В силу непрерывности касательной составляющей
предельного тензора деформаций на поверхности Ω с точностью
до членов порядка δλ выполняется равенство
Θ(χ)ε(χ) = /Г1 (χ)Θ(χ)ε+ (χ,λ), χ еΩ, (3.3.22)
где функция ~ε+ (x,h) имеет вид (3.1.6).
Выражая £"(х,/?) через ~σ+{χ,Η) с помощью закона Гука
(3.3.13) и учитывая свойство (3.3.21) функции Ъ{х), в пределе
при h,B —» 0 получим
Θ я (х)В & Л, (х)
Θ(χ)ε(χ) = μ(χ)σ(χ), μαβλμ(χ)= \ш **К ) J" ^ \
h,B->r> /7(д·)
(3.3.23)

133
Подставляя сюда выражение (3.3.17) для ε(χ), придем к
уравнению для плотности Ъ(х) на Ω:
Μαβ.Αχ)σχμ(χ) + \υα/3λμ(χ,χ')σλμ(χ')άΩ' = Θ^(χ)^(χ).
Ω
(3.3.24)
Действие оператора U с ядром U(x,xr) вида (3.2.15) на
гладких функциях σ(Χ) определено правой частью
соотношения (3.2.16) или (3.2.17). Если μ = 0, то (3.3.24) переходит в
уравнение для нерастяжимой мембраны, впаянной в
однородную упругую среду.
Можно показать, что операторы Τ и U в уравнениях
(3.3.15), (3.3.24) являются эллиптическими
псевдодифференциальными операторами, главные однородные символы
которых - однородные функции степени единица (§2.6). Символы
операторов в (3.3.15), (3.3.24) отличаются от символов Τ и U
определенно-положительными слагаемыми λ(χ) и ju(x) и
поэтому также являются эллиптическими. Существование и
единственность решения уравнения (3.3.15) имеет место в
классе функций, обращающихся в нуль на контуре Г [148]:
Ь(х) = 0 при хеГ, (3.3.25)
а уравнения (3.3.24) - в классе функций, удовлетворяющих
условию
~σ<Φ (χ)ββ (х)= ° ПРИ х G г (3.3.26)
Предыдущее рассмотрение показывает, что внешнее
решение задачи о тонком включении, полученное при стремлении
к нулю параметров δλ и δ2, определено неоднозначно и
зависит от предела отношения δλ Ι δ2. Величина этого отношения
определяет функции Я(Х) и μ(Χ), входящие в уравнения
(3.3.15) и (3.3.24). Для однозначного задания этих функций
воспользуемся процедурой сращивания внешнего и
внутреннего асимптотических разложений решения по малым
параметрам задачи [14,74].

134
§ 3.4. Внутренняя предельная задача
и процедура сращивания
Возьмем произвольную точку χ на поверхности Ω(χ ~ё Г)
за центр локальной системы координат у19у2,уъ- Естественные
внутренние переменные задачи о тонком включении
определим соотношениями [14]
&=h-\x)yt, / = 1,2,3. (3.4.1)
Устремив параметр δλ (/?) к нулю, придем к рассмотрению
внутренней предельной задачи, которая (в координатах £;)
представляет собой задачу о равновесии однородной упругой
среды, содержащей включение в виде плоского слоя
единичной толщины в области £3 < 1/2.
Обозначим через cf(x) и έ(χ) поля напряжений и
деформаций, соответствующие решению внешней предельной
задачи. В соответствии с методом сращивания внешнего и
внутреннего асимптотических разложений [14,33] упругие поля на
границе среды и включения во внутренней предельной задаче
примем равными предельным значениям полей о*(х) и ее (х)
в точке χ е Ω
lim σ{ξ) = ае± (χ), lim ε{ξ) = se± (χ). (3.4.2)
Здесь предполагается, что точка ξ(ξλ,ζ2,ξτ>) стремится к
плоскости ξζ — \Ι2 или ξ3 = -1/2, оставаясь вне слоя.
Пусть тензор модулей упругости включения С мал по
сравнению с тензором упругих модулей среды: С(С°)~] =0(S2),
S2 « 1. Будем искать внешнее решение задачи cf, se в
форме, совпадающей с (3.3.10) и (3.3.11).
ае (χ) = σ (χ) + JS(x- х')п(х')Ъ° (x')dQ', (3.4.3)
Ω

135
ε'(χ) = ε (x) + JK(x-x')C°n(x')b°(x')dQ'. (3.4.4)
Ω
Здесь вектор Ь°(х)- решение уравнения (3.3.15), в котором
λ(Χ) будем считать пока произвольной гладкой функцией
порядка СI h.
Из указанных в п.3.2 свойств потенциала в правой части
(3.4.3) следует, что вектор напряжений n(x)cf(X) непрерывен
на Ω. Поэтому его предельные значения n(x)cf+(X) и
П(х)с/~(Х) в точке χ eQ совпадают и имеют вид
п(х)ае+ (х) = п(х)ае~ (х) = Я(х)Ь° (х). (3.4.5)
Здесь учтено соотношение (3.3.14), которому
удовлетворяет внешнее решение &(X).
Используя формулы для предельных значений потенциала
(3.4.4), которые определены соотношениями (3.2.21), запишем
выражение для предельных значений касательной
составляющей тензора ее(X) на Ω:
Θ(χ)εβ± (χ) = Θ(χ)Ό(χ) ± Q(x)db° (x), (3.4.6)
Ζ)(χ)=^4χ)+|κ(χ-χ0^χΟ[*1^0-*1ψΩ'+^(Φ°(^)·
Ω
Обратившись теперь к решению задачи для включения в
виде слоя (2.4.35), можно найти поля напряжений и
деформаций, удовлетворяющие на границах слоя соотношениям (3.4.5)
и (3.4.6). Однако эти соотношения еще не позволят
определить внешнее поле внутри слоя однозначно. С учетом
непрерывности вектора напряжений и касательной составляющей
тензора деформаций на границе слоя для полей σ+(χ) и
ε^(χ) имеем
ησ+(ξ) = λδ° + φ](ξ), (3.4.7)
где φχ{ξ) и φ2(ξ) - функции, которые удовлетворяют
уравнениям теории упругости внутри слоя и обращаются в ноль на
его границе.

136
С помощью закона Гука для включения можем записать
ησ+ = ηΟΙε+ +пС®е+ =ХЬ° + <рх. (3.4.8)
Переходя в (3.4.8) к внешним переменным у. и подставляя
результат в (3.1.6), найдем выражение для интегральной
характеристики £+(х,А)
п(х)СП(х)е+ (х) = И(хЩх)Ь° (х) - л(х)С0(х)ε+ (χ) + φχ,
Θ(χ)*+ (χ) = 0(h), ρ, = Ο(Α). (3.4:9)
Учитывая, что тензор Τΐε+ представляется в форме
П^ (х)ёЪ (*) = «(« (*)*/» (*). (3.4.10)
из (3.4.9) получим следующее выражение для вектора Ъ:
Ъа(*) = gap(x)b;(x) + d^(x)^xp(x) + 0(h), (3.4.11)
&^*)=*(*К^(*)^Д*)> da£X)=nx(X)ClafrnM(X)> 8=0(δλ/δ2).
Подставляя теперь £+(х) из (3.4.8) - (3.4.11) в правую
часть (3.1.4), найдем выражение для внешнего предела
внутреннего решения ε1 (χ):
^(х)=^о(х)-|К(х-х')(С-С°)(Ш+(х)+0^(х)УО'=^(х)+
Ω
+J К(х-х')С· [>/(χ')ίΚ*'Μ*'W~' Мй (*')]^'+0(£, Д).
Ω
(3.4.12)
Сравнивая это соотношение с правой частью (3.4.3),
нетрудно убедиться, что главные члены внешнего предела
внутреннего решения ё(х) "сращиваются" с внешним решением
ε€ (х) при условии
8αβ{χ) = δαβ, ?,(*) = О . (3.4.13)
Отсюда и из (3.4.11) видно, что выражение для параметра
Я(х) в уравнении (3.3.15) имеет вид
Я(х) = /Г1 (х)п(х)Сп(х) . (3.4.14.)

137
Таким образом, внешние разложения упругих полей вне
тонкого податливого включения определяются выражениями
φ) = σ'(χ) + 0(δι,δ2), ε(χ) = ε°(<χ) + Ο(δ„δ2),0ΛΛ5)
где функции cf и ее определены соотношениями (3.4.2),
(3.4.3), а входящий в них вектор Ь° есть решение уравнения
(3.3.15) при Я(х) в форме (3.4.14).
Пусть теперь тензор упругой податливости материала
включения мал по сравнению с тензором упругой
податливости среды: В(В° )-1 = 0(β2). Реализуя процедуру сращивания
внешнего и внутреннего асимптотических разложений,
выберем внешнее решение задачи в форме
cf(x)=a(x)-jS(x-x')B°-a(x')dQ\ (3.4.16)
Ω
se (χ) = ε (χ) - $Κ(χ - χ')σ(χ')άΩ'9
Ω
где плотность σ(χ) является тензором поверхности Ω и
удовлетворяет уравнению (3.3.24), в котором μ(χ) - пока
произвольная гладкая функция порядка ВI h.
Внутренняя предельная задача имеет тот же смысл, что и
в предыдущем случае. Для решения внутренней задачи в
условие (3.4.2) следует подставить выражение (3.4.16) для внешних
решений. Аналогично предыдущему можно показать, что
внешний предел внутреннего решения сращивается с внешним
решением (3.4.16), если плотность Ъ(х) потенциалов в этих
соотношениях удовлетворяет уравнению (3.3.24), в котором
функция μ{χ) имеет вид
Μοβ» Μ = h~X {Χ)®αβνλ*)Βνρτδ®τδλμ (*) · (3.4.17)
§ 3.5. Сингулярные модели тонких включений
При рассмотрении тонких включений в однородной среде
в ряде случаев целесообразно заменить трехмерное включение

138
эквивалентной двумерной моделью. В ряде работ проблема
построения таких моделей сводилась к решению задачи
сопряжения среды с тонкой упругой оболочкой [2,68,145].
Другой подход предлагался в работах [116,130], где тонкое
включение эвристически заменялось срединной поверхностью со
следующими граничными условиями на берегах:
[ησ]\Ω=0, [u]\a=b, по\п=ЯЬ, (3.5.1)
где тензор λ(χ) имеет вид
λαβ{χ) = hX (х)щ (x)CXa/JMnM (x). (3.5.2)
В [130] первое из условий (3.5.1) называлось условием
равновесия, а последнее - законом Гука для включения.
Предполагалось, что решение задачи теории упругости для
однородной среды с модулями С° при граничных условиях (3.5.1)
и заданных условиях на бесконечности является хорошей
аппроксимацией упругого поля в среде с тонким включением.
Очевидно, что граничные условия (3.5.1) по форме
совпадают с условиями (3.3.7), (3.3.14). Поэтому решения такой
граничной задачи имеют вид (3.3.10), (3.3.11), где вектор b (х)
определяется из уравнения (3.3.15). Заметим, что, строго
говоря, к условиям (3.5.1) следует добавить условие (3.3.25).
Из результатов §3.3 следует, что решение модельной
задачи с условиями (3.5.1), (3.5.2) тем лучше аппроксимирует
точное решение, чем меньше величины относительного
поперечного размера включения δλ и отношения δ2 модуля упругости
включения к модулю среды. Такие включения естественно
называть трещиноподобными. При замене их сингулярной
моделью с условиями (3.5.1) на Ω не учитывается эффект
стеснения деформации на включении, вследствие чего
касательная составляющая тензора деформаций может оказаться
разрывной на поверхности Ω.
При рассмотрении тонких включений, модули упругости
которых существенно больше модулей среды, естественно
заменить включения срединной поверхностью с распределением
на ней особенностей, так что поля напряжений и деформаций
в среде определяются соотношениями (3.3.17), (3.3.18).
Плотность Ъ(х) потенциалов в этих соотношениях определяется
при этом из уравнения (3.3.24) при функции μ(χ), имеющей
вид

139
^W=^'W0^W^tie^w. (3.5.3)
Сформулируем граничные условия на срединной
поверхности, эквивалентные предельной задаче (3.3.24), (3.3.17),
(3.3.18). Часть из этих условий совпадает с (3.3.20), (3.3.23):
[ii(x)JQ = 0, [0(xMx)JQ = O, (3.5.4)
Θ(χ)ε(χ) = μ(χ)σ(χ), Θ(χ)σ(χ)=σ(χ), χ εΩ, (3.5.5)
где первая пара (3.5.4) - условие совместности деформаций
среды и включения, причем второе условие является
следствием первого. Вторая пара (3.5.5) представляет собой закон
Гука для включения. Заметим, что компоненты тензора σ(χ),
определенного соотношениями (3.1.6), (3.3.19), представляют
собой интегральные напряжения (усилия) в поперечных
сечениях тонкого включения, направленные по касательной к его
срединной поверхности Ω. Уравнения равновесия для этих
усилий являются следствием свойства (3.2.18) потенциала в
правой части представления (3.3.18) тензора напряжений в
среде с жестким включением и имеют вид
^W = -K(^)^W]5 ^Ω. (3.5.6)
Аналогичным уравнениям удовлетворяют усилия в тонкой
упругой оболочке, находящейся в безмоментном
напряженном состоянии [114]. К граничным условиям (3.5.4) - (3.5.6)
следует добавить условие (3.3.26) на контуре Г - границе Ω.
Таким образом, условия (3.5.4)-(3.5.6) и (3.3.26)
соответствуют задаче сопряжения безмоментной упругой оболочки с
однородной упругой средой. Аналогичная модель
прямолинейного включения в плоском случае предлагалась в [2].
Очевидно, что решение модельной задачи с указанными
условиями на Ω тем точнее описывает поле в окрестности тонкого
жесткого включения, чем меньше параметры δλ и δ2.
§ 3.6. Асимптотика решений уравнений (3.3.15),
(3.3.24) у края включения
Рассмотрим асимптотику решений интегральных
уравнений (3.3.15), (3.3.24) вблизи контура Г - края поверхности Ω.

140
Начнем с уравнения (3.3.15) и перепишем его в следующей
символической форме:
Л(хЩх) + (ТЬ)(х) = п(х)а(х), χ еП, (3.6.1)
Я(х) = И-\х)п(х)Сп(х).
Пусть функция h(x), определяющая форму включения, в
окрестности края поверхности Ω представлена в виде
Kx) = ho(xjr"+O(r"+'), q>0, (3.6.2)
где г - расстояние от точки хеП до точки хо еГпо нормали
к Г, ho(xo)- гладкая на Г функция. Основной интерес для
приложений представляет класс непрерывных ограниченных
решений (3.6.1). Исследуем асимптотику таких решений
вблизи контура Г, когда функция h(X) имеет вид (3.6.2), а правая
часть (3.6.1) - гладкая ограниченная функция.
Из общей теории эллиптических псевдодифференциальных
уравнений [148] следует, что вид асимптотики решения
уравнения (3.6.1) вблизи контура Г совпадает с асимптотикой
решения следующей модельной задачи. Пусть область Ω
представляет собой полуплоскость (Xj > 0, - оо < х2 < оо, хъ = 0 )>
Требуется найти функцию Ь(Х) из уравнения (3.6.1), правая
часть которого не зависит от х2, а тензор Л(Х) имеет вид
Л(х) = Хх?, λ°αβ = Κ\Ολαβμημ . (3.6.3)
Здесь п - нормаль к Ω. При этом решение (3.6.1) зависит
только от χλ, а само это уравнение принимает вид (χλ = t)
t-4K{t)-T°S\^f^Tdt' = fa{t), />0, (3.6.4)
оо
Ъ=(*Х£ J"A^0>*2>о)«А2, fa{t)=(x)-\papx{t).
-00
Здесь учтено, что J S(x],x2,0)dx2 - однородная функция
-оо
степени (-2). Интегральный оператор в (3.6.4) действует на

141
непрерывно дифференцируемую ограниченную функцию b(t)
по формуле
{(t-f)' { (ι-1'Ϋ <
которая является следствием регуляризации (3.2.26).
Вид асимптотики решения уравнения (3.6.4) при НО и
асимптотики (3.6.1) в окрестности контура Г совпадают [148].
Для построения асимптотики b(t) подействуем на обе
части (3.6.4) оператором преобразования Меллина (2.8.5).
Учитывая равенство
)-^l-dt= (1~5)л" (;'Г2, г>о, (з.б.б)
где интеграл понимается в смысле (3.6.5) и существует при
О < Re5 < 2, из (3.6.4) получим соотношение
b\s-q) + }"~V* rb\s-l) = f\s). (3.6.7)
tg(5-l)^T
Здесь b*(s) и f*(s) - преобразования Меллина решения и
правой части уравнения (3.6.4).
Будем рассматривать непрерывные ограниченные решения
(3.6.4), убывающие на бесконечности быстрее любой
положительной степени Г1. Преобразование Меллина b* (s) такого
решения является аналитической функцией в правой
полуплоскости (Res>0) комплексной плоскости S. Функцию /*(s)
в (3.6.7) будем считать аналитической в полосе q<Res<2
(q<2). Тогда в полосе #<Res<2 интегралы Меллина (2.8.5)
от общих частей (3.6.4) имеют смысл.
Далее ограничимся исследованием асимптотики (3.6.4) при
*->0. Множество краев включений, которые описываются
Функцией h(x) вида (3.6.2), можно разделить на три
качественно разных класса: затупленный край, для которого 0<#<1,

142
остроконечный край q = 1 и край, имеющий точку возврата
q>\.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
Г. Затупленный край (0<#<1). Введем замену
переменных (s-q)—>s и перепишем соотношение (3.6.7) в форме
b\s) = ^(ryl[f\s + l)-b\s-q+ 1)]. (3.6.8)
sn
Для выяснения вида асимптотики функции b(t) при t —> О
контур интегрирования в формуле обращения преобразования
Меллина (2.8.5) возьмем в виде прямой Res = τ (0 < τ< 1/2),
параллельной мнимой оси комплексной плоскости S . Как
известно [135], поведение функции b(t) при /—>0 определяется
особыми точками b*(s), лежащими слева от контура
интегрирования и имеющими наименьшие по абсолютной величине
вещественные части. Ближайшей к контуру интегрирования
особой точкой множителя (tgsn)/sn в правой части (3.6.8)
является простой полюс при 5=-1/2. Нетрудно убедиться, что
в полуплоскости Res>-1/2 функция b*(s) не имеет особых
точек. Действительно, если предположить, например, наличие
полюса у функции b*(s) при s = so9 где -l/2<Reso<0, то из
соотношения (3.6.8) следует, что полюса b*(s) должны быть
также в точках
sk=so±k(\-q), £=1,2,.... (3.6.9)
Но тогда предположение об аналитичности b*(s) в
полуплоскости Res> 0 будет нарушено.
Поскольку f(t) - бесконечно дифференцируемая
функция, то в полуплоскости Res<0 ее преобразование Меллина
/*(s) имеет простые полюса в точках 5=0,-1,-2,.... Таким
образом, полюса функции /*(s + l) в (3.6.8) расположены в
точках s= -1,-2,... и компенсируются нулями функции tgsπ.

143
Поэтому ближайший к прямой Re s =-1/2 полюс функции
b*(s) находится из условия
s-q+l = -l/2. (3.6.10)
Если q * 0, то это полюс первого порядка, а при q = 0 -
второго.
Заметим, что наличие полюса функции b* (s) в точке
5 = -1/2 в силу (3.6.8) порождает систему полюсов этой
функции в точках
sk=-\-k{\-q). (3.6.11)
Поскольку в рассматриваемом случае (l-q) > 0, то все эти
полюса расположены в полуплоскости Re s < -1 / 2.
Итак, поскольку ближайшие к контуру интегрирования
Res= г полюса b*{s) находятся в точках s=-1/2 и s-q-QIT),
то решение уравнения (3.6.4) при /—»0 представляется в
форме
b{t)=fif2+bx{t), A =Rtsb'(s)[=v2, (3.6.12)
Η,-ШО при^О
[O(tm-o) при?>0
2е. Остроконечный край (q=l). В этом случае
соотношения (3.6.8) можно разрешить относительно b*(s):
b\s) = H-\s)r(s+l), Ηαβ = δαβ + - Γαβ. (3.6.13)
Следовательно, полюса функции Ъ* (s), лежащие слева от
контура интегрирования и не совпадающие с полюсами
/ С? + 1), определяются из условия
det#(s) = 0. (3.6.14)
Используя определение тензора Т° (3.6.4) и явное
выражение для тензора S(x) (1.2.9), можно показать, что в случае

144
изотропных матрицы и включений полюсами функции b*(s) в
полуплоскости Res<0 являются ненулевые корни
независимых уравнений
0 + аО s О-ае')
tgs;r=--——^5, 1%ζπ=-- tgs;r = —s,
ξ ξ ξ
ξ=^~, ξ>0, 0<χο<\. (3.6.15)
Первые два корня 5,^(/ = 1,2) каждого из этих трех (к=\2,3)
уравнений, расположенные в левой полуплоскости,
удовлетворяют условиям
-l<si*}<-J-, -2<4к)<-%. (3.6.16)
Таким образом, при q—\ асимптотика решения уравнения
(3.6.4) при /—> 0 имеет вид
Κί) = Σβ^+0(Γ"), (3.6.17)
к=\
где s[k\ s^k) - корни трансцендентных уравнений (3.6.15),
лежащие в левой полуплоскости и наиболее близкие к мнимой
оси, βίζ - некоторые коэффициенты.
3°. Края, имеющие точку возврата (1<#<2). Введем
замену (s- q) —» s и перепишем (3.6.8) в виде
У(') = /'('+9)- {s~l+q)n ry(J-i+g)-(3-6.i8)
Рассмотрим особые точки правой части слева от контура
интегрирования Res= г, 0<г<1/2. Очевидно, полюсом
является точка 5=-^,ав силу (3.6.8), полюса имеются только в
точках

145
sk=~ + k(l-q), к=\,2,... . (3.6.19)
Заметим, что точка s=-l не является полюсом функции
Ъ* (s), так как при этом полюс выражения /"(5-1) -Ъ* (s-q+l)
в правой части (3.6.8) компенсируется нулем множителя tgs;r.
Как и в случае Г, здесь можно предположить, что b*(s)
имеет полюс при 5=-1/2. Но тогда в силу (3.6.8) функция
Ъ* (s) должна иметь полюса в точках
sk=-^-k(l-q), к = \,2,... . (3.6.20)
Поскольку в данном случае (1-#)<0, то такая функция
не будет аналитической в правой полуплоскости. Поэтому в
случае существования непрерывного ограниченного решения
уравнения (3.6.4) полюс функции tgs;r при 5=-1/2 должен
компенсироваться нулем функции /* (s +1) - Ъ* (s - q +1).
Таким образом, при 1 < q < 2 асимптотика b(t) при t —> 0
определяется равенством
b(t) = p2tq+0(t2q-}). (3.6.21)
Полученные результаты позволяют утверждать, что
асимптотика решения исходного уравнения (3.6.1) в окрестности
точки хо еГ при гладкой ограниченной правой части имеет
следующий вид
b(x) = fi(xoy+bx(r), (3.6.22)
У
1/2, 0<q<\
Yx, 9=1 , b,(r) = \
q, \<q<2
0(rm-i), 0<q<\
0(гГг), q=\ (3.6.23)
0{r2q~x), \<q<2
Здесь параметр q определяет асимптотику формы
включения в окрестности края Ω по (3.6.2), γχ,γ2- корни трансцен-
10 1937

146
дентных уравнений вида (3.6.15), β(χο) - гладкая на Г
функция. Аналогичные значения для частных значений параметра
q в (3.6.2) получены в [130].
Рассмотрим теперь асимптотику решения уравнения
(3.3.18) у края тонкого жесткого включения, предполагая, что
асимптотика функции h(x) определена в (3.6.8). Модельное
уравнение, аналогичное (3.6.4) будет в данном случае иметь
вид
rqa(t) + U°] a(<t'\ dV = f{t), />0, (3.6.24)
υ°αβλμ = {μΎαβνρ j0vpr^)Kr^(l,x2)O)0^(^)^2 ,(3.6.25)
-00
μ =ΚιΘ(η)ΒΘ(η), /αβ(ί)-(μ)-αιβΧμΘλμρτ(η)ερτ(ί),
где интегральный оператор в (3.6.24) определен правой частью
(3.6.5).
Тем же путем, что и выше, можно показать, что для
затупленных краев (0 < q < 1) асимптотика ~σ(ί) при / —> О имеет
вид
^)=β/,2 + σλ(ί), ax(t) = 0(tmIn0, q = 0,
a,(t) = 0(tm-q), 0<q<l. (3.6.26)
В случае остроконечного включения (#=1) тензор α(ί)
имеет следующую асимптотику:
2
σ(ί) = Σβ:^+0(ί^), (3.6.27)
;=1
где s[*\ s^- ближайшие к мнимой оси и лежащие в левой
полуплоскости Res< 0 корни трансцендентного уравнения
= 0. (3.6.28)
det[0(*) + -^t/°

147
В случае изотропных среды и включения это уравнение
эквивалентно следующим двум независимым уравнениям
7(2 -ае) s к μ ^, ^ЛЧ
tgMr=- v °'д, tgs;r= —- £=-£-.(3.6.29)
8£ £ AjKe
В случае включений, имеющих точку возврата (q>l),
асимтотика ~σ(ί ) имеет вид
a(t)=fijq+0(t2q-1). (3.6.30)
Перейдем к рассмотрению асимптотики поля напряжений
в среде в окрестности краев тонких включений. При этом
воспользуемся интегральными представлениями (3.3.11),
(3.3.18) полей напряжений в среде с тонким включением.
Поскольку указанные представления являются внешним
пределом решения задачи о тонком включении при δΐ9δ2 —> 0,
то имеется в виду промежуточная асимптотика на расстояниях
от контура Г, больших по сравнению с характерным
поперечным размером включения /?, но малых по сравнению с
остальными его линейными размерами.
Начнем с выражения (3.3.11) для напряжения в среде с
тонким податливым включением и рассмотрим асимптотику
σ(Χ) вне поверхности Ω в окрестности ее кромки Г. Пусть
У\>Уг>Уъ " локальные декартовы координаты в точке хо еГ,
причем ось уг направлена по предельной к Ω нормали в
точке хо9 ось у2- по касательной к Г, тогда ось ух лежит в
касательной к Ω плоскости в точке хо. Учитывая (3.6.22), имеем
асимптотику вектора Ъ (X) в окрестности точки хо еГ
b(y)=fi(x.№+0(y?), rl>r>o. (3.6.31)
Используя (3.3.11), (3.6.31), запишем выражение для
тензора напряжений в точке у с координатами ^j=-rcos^,
У2 = 0, уъ = -г sin φ, где г - расстояние от точки у до хо9 φ -
полярный угол в плоскости (у19уъ):

148
Ф) = гг'х \S{cos(p+ ξχ,ξ2,ύ*φ+ ξ%)* (3.6.32)
Ω(γ)
х«(^Дхо)^О, + 0(ао), $=yt/r.
Здесь учтено, что S(X) - однородная степени (-3) четная
функция. При г —>0 интеграл в (3.6.32) стремится к
конечному пределу и, следовательно, при γ < 1 напряжения на Г
имеют особенность типа гг~\ Если у>19 то в окрестности края
напряжения ограничены.
Аналогично случаю трещины (см. §2.6), введем тензорный
коэффициент интенсивности напряжений J(<p,xo)
соотношением
J{<p,xo) = lim rx~Ya(y) при г -» 0 . (3.6.33)
Учитывая, что при г —> О поверхность Ω(γ) в координатах
ξί переходит в полуплоскость (ζ3=09ξχ>0)9 для компонент
тензора J(<p,xo) получим выражение
1<ф(9,х.) = Зф*(Ф)"хЫЬмЫ, (3.6.34)
00 00
Κφ) = \%<1ξλ JS(cos ?>+«*,&,sin φ)άξ2 , (3.6.35)
0 -οο
где п(хо) - предельное значение нормали к Ω в точке хо еГ.
Таким образом, функция J((p,xo) представима в виде двух
сомножителей, первый из которых S (φ)Π(χο) определяется
только локальной формой и ориентацией края тонкого
включения в точке хо. Второй сомножитель - вектор β(χο) есть
функционал всей поверхности Ω, формы включения и
внешнего поля σ°(Χ).
Аналогичным путем из (3.3.18) можно получить вид
асимптотики напряжений в окрестности края тонкого жесткого
включения
а(х) = гг~1Д(р,хо) + 0(а), (3.6.36)

149
где γ - показатель степени, определяющий вид асимптотики
Ь(Х) в окрестности края Ω. Тензор интенсивности
напряжений J{<p9xo) в этом соотношении имеет вид
Jafi(<P,*.) = SaflX, (<Ρ)Β\μνρβνρ(*. ) , (3.6.37)
где тензор S (φ) определен соотношением (3.6.35), а
коэффициент β(χο) определяет асимптотику Ъ(Х) в окрестности точ-
ких еГ(^х) = #*.>■'+...).
§ 3.7. Тонкие включения эллипсоидальной
формы
Рассмотрим случай тонких включений эллипсоидальной
формы. При этом срединная поверхность включения имеет
форму эллипса с полуосями a^Oj, а функция h(x) -
представляется в виде
h(x) = 2hz(x), z(xl,x2) = yjl-{xjal)2 -{x2/a2f, (3.7.1)
где xl9x2 - декартовы координаты, связанные с главными
осями эллипса Ω, а^с^ - его полуоси.
Обозначим через Vh(X) - характеристическую функцию
эллипсоидальной области с полуосями α^^,Λ, занятую
включением, и пусть Рт(Х) - есть полином степени т по
координатам х19х29хъ. В силу теоремы о полиномиальной
консервативности эллипсоида [82] интегральный оператор К с ядром
К(х) (2.1.10), переводит функцию
Pmj.(x) = Pm(x)Vk(*y<P*rl (3·7·2)
в полином степени т внутри эллипсоидальной области Vh.
Очевидно, что этим же свойством обладают операторы U и Τ
с ядрами
Τϊ(χ) = 0(и)К(х)0(и), Т(х) = nS(x)n, (3.7.3)

150
где Π - нормаль к срединной поверхности эллипсоида, Θ(η)-
проектор (2.2.7). Операторы Г и U в уравнениях (3.3.15),
(3.3.24) для тонких включений связаны с операторами Τ и U
соотношениями
(Tb)(x) = (TbQ)(x) = JT(x-x')b(x')n(x')dx\ χεΩ,
(Uo)(x) = (ϋσΩ)(χ) = jU(x-χ')σ(χ')Ω(χ')άχ'. (3.7.4)
Символы U и Т имеют вид
U* (к) = Θ(η)Κ* (*)Θ(/ι), Г (к) = -nS* (k)n, (3.7.5)
и являются однородными функциями нулевой степени по к.
Поэтому U и Τ ограничены, а следовательно, и замкнуты в
пространстве обобщенных функций Соболева-Слободецкого
H(R3) [148]. Отсюда следуют равенства
nmUPmh=UmmPmJl), ШТРщЬ = Т{ШРтЬ), (3.7.6)
предел в правых частях которых имеет вид
lim PmM (х) = Рт (χ)ζ(χ)Ω(χ). (3.7.7)
Поскольку в области Vh левые части (3.7.6) являются
полиномами степени Ш для всех h, то правые части для
предельного образа функции Рт h являются полиномами на Ω.
Отсюда и из (3.7.4) получаем следующее свойство операторов Τ и U
в уравнениях (3.3.15), (3.3.24).
Если Ω - эллиптическая поверхность, то операторы Τ и U
переводят полином степени т, домноженный на функцию
ζ(χ) вида (3.7.1), в полином той же степени на Ω.
Отсюда следует, что в случае тонкого эллиптического
включения и полиномиального внешнего поля решения
уравнений (3.3.15), (3.3.24) определяются выражениями
b(x) = B(x)z(x), a(x) = Q(x)z(x), (3.7.8)
где В (χ) и Q(x) - полиномы той же степени т, что и
внешнее поле. В частности, если σ (или ε°) - постоянный тензор,

151
то В и Q в (3.7.8) - постоянные тензоры, выражения для
которых в силу (3.3.15), (3.3.24) имеют вид
В = (Д° + Г )"'ησ , Q= (μ +ΙΤΫΘ(η)ε°, (3.7.9)
οο
X={2hYxnCn, Γ=||Πχ,,χ2)[ζ(χ,,χ2)-ψν&2, (3.7.10)
μ =(2Λ)-ΙΘ(«)5Θ(«), 1Г = \\Щхх,х2Шхх,х2)-\]сЬсхскг.
-00
(3.7.11)
Здесь использованы регуляции (3.2.16), (3.2.24), интегралы
Т° и С/° сходятся в обычном смысле, функция.ζ(χ)
продолжается нулем вне Ω.
В случае эллипсоидальных включений и внешнего поля в
виде полинома степени m решение уравнений (3.3.15),
(3.3.21) можно построить следующим образом. Вначале
найдем результат действия операторов Τλ = λ(χ)+Τ и 1]μ = μ(χ)+υ
на однородный полином xfm), умноженный на ζ(χ), χ^=χ*χ%2,
qx,q2 - целые положительные числа и qx+q2=m· Это будет
полином, коэффициенты которого можно определить,
вычисляя значения последовательных производных по X от Гях(т)г
и ΌμΧ^ζ в точке χ = 0. Затем, решая систему линейных
уравнений, найдем коэффициенты полинома Qm{x), который
после домножения на z(x) переводится оператором Τλ(υμ) в
однородный полином вида х(т). Решение для полиномиального
степени Π внешнего поля будет линейной комбинацией
функций Qm(x)z(x),m = 0,1,2,...,п. Таким образом, задача
сводится к вычислению стандартных интегралов и обращению
невырожденных матриц. Для среды с эллиптической трещи-

152
ной такой путь решения в случае постоянного и линейного
внешних полей реализован в работах [1, 54].
Приведем здесь выражения для тензоров в правых частях
(3.7.9) в случае изотропных матрицы и включений. Используя
явное выражение для ядра Т(Х) (3.2.26), (2.6.11) и вычисляя
интеграл Т°, получим
Βαβ = (X + Г) J = B/?ef +B2e^ef+B,nanp, (3.7.12)
4 =
(М'ЧН'А=
(λ + 2μ
+ ί;
где е(1),е(2)- орты главных осей эллипса Ω, а коэффициенты
27 ,Т2° ,Τζ определяются выражениями (2.7.11).
Для круговых в плане тонких податливых включений эти
формулы упрощаются и принимают вид ( а, = а2 = а)
ВХ=В2 =
μ | π μο{2- у.)
\_h Za (l-O
,*з =
λ + 2μ π
—+ -
-ι
4α (1-OJ
(3.7.13)
Рассмотрим теперь тонкое жесткое эллипсоидальное
включение. В этом случае тензор
Α = (μ+υ°Τ\ (3.7.14)
в определении Q (3.7.9) для изотропных матрицы и
включения может быть вычислен в явном виде.
Выражение для тензора U° имеет вид (3.7.11) и
представляется в форме
υ°αβλμ = ®^№κ:ρτβτδλμ(η), к° = /κ(*)[*ω- ι]λι,
(3.7.15)
где интегрирование проводится по всей плоскости хх ,х2,
функция ζ(Χ) имеет вид (3.7.1) и продолжается нулем вне
поверхности Ω. Явное выражение для тензора К(х) имеет вид
(см. (П2.23) Приложение П2):

153
K(x) = l—Je1 -ЗЕ5(и)-%[Е2 +2Е1-(3.7Л6)
4πμ0\χ\ Ι 2
-3(Е3(") + Е4(и) + 4Е5(и)) + 15Еб(и)]}, п = х/\х\.
Подставляя это выражение в (3.7.15) и вводя координаты
г, φ на плоскости х„х2>
х, = щ cos φ, x2=ra2 sin φ,
где α, ,aj - полуоси эллипса Ω, получим
К
αβλμ
00 / \ ι Ί-π
аха2 |z(r)-l
^7^^αχΛ^)(^(^)-^
-ае.
>2(?)
(«V»^ ( 0>) + <V»tf( ^ +4<^)Л)(Д ?)) "
-2F1
αβλμ
■Ε* --£-
·"* ίΑ{φ)
Μ<Φχμ(<Ρ)
άφ
(3.7.17)
ί2(#>) = α,2 cos2 φ+άζ sin2 ^?,
2(r) = VTV (r<l), z(r) = 0 (/·>!),
Щх = а2 cos2 φ, /w22 = a2sin2(^)) щ2-т2Х-аха2 sin^cos^?,
>"аЗ=>"за=0> muU={mu)\ »*2222 = (W22 )' >
>"п22 = W22U = "Ά > »W = »*»«*, = »W = ™α„Λ3 = 0'
Вычисляя входящие сюда интегралы, получим, что
неравные нулю компоненты тензора IT в системе координат,
связанной с главными осями эллипса Ω, имеют вид

154
<Ц μ.ι
U;m=-^22-x.[3(Jl+J0)-J0-l5Jl2],
(3.7.18)
U;222=-?t-[6{l + 3x.)j2-{2 + 3x.)j0-\5xJ22],
£/ГИ2=-^-[|(1 + 2ав.ХУ1+У2)-(1 + яв.)У0-15а!оУи].
Здесь обозначено
Л=
Е(*) 7_ι
I-*2' 1_3
Л-
Е(*)-К(*)'
J-J-
2Л +
Е(*)-К(*)'
Зк4 -Зк2 -2 Ак4-2к2-2
5К 5К Ζ 4Κ LK *K(k) (3 7 19)
11 15£4(1-£2) 15£4(1-£2) W
«Улл —
15Г
Зк4+7к2-2
1-к2
Е(к)-{бк2-2)к(к)
У,
12
15Г
2(*4+5£2-5)
I-*2
£(£)-5(£2-2)Κ(£)
где обозначения те же, что и в (3.7.13). Для круговых в плане
тонких эллипсоидальных включений выражение для тензора
Л (3.7.14) принимает вид (ах=а2= а).
А = А1Р2(п) + А2(р\п)-±Р2(п)), (3.7.20)

155
Αι = μ A
Λ- ν π,_
-1
, Λ2 = 2μά
ξ+—(4-а.)
* 16ν .;
-1
где μ, ν - модуль сдвига и коэффициент Пуассона включения;
ξ=αμο /(2Αμ), Р\Р2 - элементы базиса (2.4.7).
Пусть Ω - плоская лента шириной а простирающаяся
вдоль оси х1. При этом #j —» оо 9 с^ - а, а не равные нулю
компоненты тензора Л вида (3.7. ) определяются выражениями
Л _2^2£+(2-aQ(l+y)
1Ш~ £ 2#1-ν) + 2-*β ' 1Ш 22И 2222'
^о
Λ2222=4αμ0[2ξ(\-ν) + (2-χ0)Υ\ Λ1212 = ^, ^
(3,7.21)
§ 3.8. Численное решение уравнений
для тонких включений
В тех случаях, когда тонкие включения отличны от
эллипсоидальных, для построения решений уравнений (3.3.15),
(3.3.24) приходится обращаться к численным методам. При
этом весьма полезной оказывается вариационная постановка
задач, эквивалентных уравнениям (3.3.15), (3.3.24).
Рассмотрим операторы Г и U в уравнениях (3.3.15), (3.3.24)
как операторы в гильбертовом пространстве L2 (Ω) = Η (Ω).
Областью определения Т и U можно считать функции из
плотного в L2(Q) пространства (70°°(Ω) финитных,
бесконечно дифференцируемых функций, носитель которых
сосредоточен во внутренних подобластях Ω. На таких функциях
действие операторов Ги С/определено формулами регуляризации
(3.2.16), (3.2.24).
Можно показать, что Τ и U - симметричные
положительные операторы, то есть

156
(Tb,b)>0, (1/σ,σ)>0, (/,0 = j/W^)^,(3.8.1)
Ω
причем равенство в (3.8.1) достигается только при Ъ-0 и
сг=0. Для оператора Τ это свойство доказано в работе [41].
Операторы Τλ и 1]μ в (3.3.15), (3.3.24)
Τλ=λ + Τ, υμ=μ + υ, (3.8.2)
отличаются от Τ и U определенно положительными
слагаемыми и потому также являются положительными. При этом
из результатов [108] следует, что решения уравнений (3.3.15),
(3.3.24) доставляют минимум функционалам
Fw (*) = \(Twb)a badQ - ΐ\ηβσ^αάΟ., (3.8.3)
Ω Ω
Fw(°> = ί(υ(Μ^αβσα^Ω^Θαβλμ(η)εΙσα^Ω. (3.8.4)
Ω Ω
Следовательно, для приближенного вычисления функций
b(x) и Ъ(х) можно использовать прямые вариационные
методы. В работе [28] вариационная формулировка использовалась
для решения задачи о трещине в упругой среде (λ(χ) = 0).
Другой путь построения решения уравнений (3.3.15),
(3.3.24) состоит в использовании схемы, которая обычно
применяется для решения граничных интегральных уравнений
теории упругости [119]. При этом поверхность Ω разбивается
на N непересекающихся областей Ω., так что Ω = £/Ωί. Ис-
комые решения аппроксимируются линейной комбинацией
стандартных функций с неизвестными коэффициентами
внутри каждой из областей ΩΓ Подставляя такую аппроксимацию
в исходное уравнение и требуя его выполнения в конечном
числе узловых точек, можно получить систему линейных
алгебраических уравнений относительно коэффициентов
аппроксимации. Проблемы реализации такого периода для решения
задачи о трещине в упругой среде обсуждались в [55,92,119].
Основные трудности здесь связаны с вычислением матрицы

157
коэффициентов указанной системы линейных алгебраических
уравнений, так как вблизи диагонали этой матрицы ее
элементы представляются интегралами по областям Ω^ от быстро
изменяющихся функций. В пространственном случае
определение таких интегралов с достаточной точностью требует
большого объема вычислений даже при простейшей (кусочно-
постоянной) аппроксимации искомых функций в областях Ω..
Более удобным для численного решения задачи о тонком
включении является специальный класс аппроксимации
функций, позволяющих свести уравнение (3.3.15) и (3.8.24) к
системе линейных алгебраических уравнений, коэффициенты
которых вычисляются аналитически. Рассмотрим некоторые
примеры в качестве иллюстрации такого подхода.
Пусть Ω- плоская область в R3 или отрезок прямой в R .
При этом ядра Т(х,х') и U(x,x') операторов Г и U зависят
только от разности аргументов, а сами операторы можно
рассматривать как операторы свертки, если функции Ь(х) и σ(χ)
считать продолженными нулем вне Ω. Если Ъ(х) и Ъ{х) -
функции класса S(Rn), и =1,2 (бесконечно
дифференцируемые функции, стремящиеся к нулю при |х|—>оо быстрее
любой положительной степени |х|-1), то действие на них
операторов Τ и U определяется формулами
(7&)(х) = —^- J Г (k)b\k)e-ik*dk, (3.8.5)
(2 π) J
(£>*)(*) = -^-jU'(k)a'(k)e-ikxdk.
Здесь интегралы распространены на всю плоскость (п = 2)
или прямую (п- 1) и существуют в обычном смысле, Т*{к) и
U* {к) преобразование Фурье ядер Т(х) и U(x) (однородные
функции степени единица).
Рассмотрим случай η — 1 (плоская задача) и пусть область
представляет собой отрезок (|х|< 1,д> = 0) на плоскости х9у.

158
Будем искать решение уравнений (3.3.15) и (3.3.24) для этого
случая в виде следующих рядов:
2N
Ζ>(*)-Σ*' ехр
/ = 1
(*-*i)2
Dh2
IN
> σ(χ) = Σ&εχρ
(*-*,)2
Dh2
(3.8.6)
где χ. = -1+ /?(/-j)- узлы аппроксимации, h-\lN - шаг
аппроксимации, D - дисперсия. Выбор решения в форме (3.8.6)
связан с тем, что действие оператора Τ вида (3.8.5) на
функцию f(x) = ехр[-(х-Х;)2 /Dh2] , / eS(Rl) определяется
достаточно простым соотношением
(37)(x)=4l-2*exp(-if)Erfi(4)], (3.8.7)
М(4)-^/И*,«-^,
где А- известная постоянная, £>//(<£) - интеграл вероятности
мнимого аргумента. Аналогичный вид имеет результат
действия оператора U на f{x).
Рассмотрим подробнее аппроксимацию (3.8.6). Прежде
всего отметим, что имеет место следующее представление
единичной функции [10]
1 = 0(х,£>) + Л(Д/?), R(D,h) = 0(txp(-7i2D)), (3.8.8)
Θ(*·β)=ν3τ!.^
(x-mh)2
Dh2
hD&(x,D) = 0(exp(-7tD)),
где штрих означает производную по X. Пусть и(х) - гладкая
функция, первая и вторая производные которой ограничены.
Используя (3.8.8), представим и(х) в форме

159
u(x)=uh(x)-u(x)[Q(xrD)-\]+jL· ]Г ехр
(x-mh)2
Dh2
1 °°
x[u(x)-u(mh)], uh(x)=-r= £ u(mh)Qxp
ΊπΟ,
{χ-nth)2
Dh2
(3.8.9)
Так как u(x)-u(mh) = (x-mh)u'(x)-(\/2)(x-mh)2u"(xm),
где хт &[x,mh], то отсюда и из предыдущего равенства имеем
1
{x-mhf
Dh2
+
u{x)-uh{x) = --j= ^{x-mhf u"(xjexp
+u(x)R(D,h) + ±Dhu'(x)&'(x,D). (3.8.10)
Заменив сумму интегралом, можно показать
справедливость неравенства
—Ι=Σ (х-™**)2
{x-mhf
Dh2
Dh2
< .(3.8.11)
Отсюда и из (3.8.8), (3.8.10) следует оценка
\и(х) - щ (х)| < (И + \\u'\\)R0 (Д К) + \\ηψΌ 14,
R0(D,x) = 0(ехр(-я>Л)), (3.8.12)
где 11/11 - норма в пространстве непрерывных функций. Таким
образом, при аппроксимации функции и(х) рядом uh (x) вида
(3.8.9) ошибка зависит от двух параметров: "дисперсии" D и
"шага" аппроксимации h.
Рассмотрим аппроксимацию (3.8.9) на примере функции
и(х), имеющей вид единичного импульса: и(х) = 1 при |jc|< 1,
и(х) = 0 при |*|>1. Результаты аппроксимации при различных
D и h представлены на рис.3.1, в левой части которого (х<0)

160
Ε «(x)-«h(x)
h=0.02
Рис. ЗЛ
приведены графики функции u(x)-uh(x) для фиксированного
шага аппроксимации И-1/50 и различных дисперсиях Дав
правой - графики той же функции при фиксированной
величине дисперсии D=2 и различных /?. Очевидно, что область
наибольшей погрешности рассматриваемой аппроксимации
сосредоточена в окрестностях точек х=±1. Если параметр h
порядка 0.1, так что в правой части (3.8.9) остается порядка 20
слагаемых, то наименьшая погрешность аппроксимации
(3.8.9) достигается при Z)«2 (при этом \и(х)-щ(х)\<0.01).
Перейдем к решению уравнения (3.3.15) на основе
аппроксимации (3.8.9). Начнем с плоской задачи и пусть область Ω
есть, по-прежнему, отрезок |х|< 1,^=0 на плоскости х,у. В
случае изотропной среды и плоской деформации ядро Т(х)
оператора в (3.3.15) имеет вид

161
Ταβ{χ) = -Ε^τδαβ, (3.8.13)
лх
где х~2- обобщенная функция, преобразование Фурье которой
- (-л\к\) [11]. Если включение также изотропное, с
коэффициентами Ляме λ,μ и поперечным размером h(x) = hoa(x),
где а(х) = 0(Х) - функция формы включения, то векторное
уравнение (3.3.15) распадается на два независимых уравнения
(/?=1,2):
ж г ЪЛх') . .
я iXx-x')
ΛΙ=-^,Λ2=^,Λ = ^. (3.8.14)
Здесь учтено, что b (х)=0 при |*|>1. Подставляя сюда
Ь(х) в форме (3.8.6), используя (3.8.5) и требуя выполнения
уравнения в узловых точках хп придем к системе линейных
алгебраических уравнений относительно коэффициентов
аппроксимации
2N
ΣΑαΚ=/α, «=1,2; k = l,2,...,2N, (3.8.15)
1=1
^=a-,(xt)Aeexp(-4)-^[l-&e"*Eifi(&)]>
Матрица этой системы А^ является целиком
заполненной, симметричной, с преобладанием членов в окрестности
главной диагонали. Наиболее предпочтительным при решении
системы (3.8.15) является метод Зейделя [136].

162
Для увеличения точности расчетов целесообразно учесть
вид асимптотики решений уравнений (3.8.14) в окрестности
краев включения. Используя результаты §3.6, представим
функцию Ъ (χ) в виде
b(x)=fi(x)(\-x2Y+, (3.8.16)
где вторым сомножителем справа учитывается вид
асимптотики решения у краев включения χ = ±1, величина показателя S
известна и зависит от формы края включения, f+=f при
/>0, /+ = О при /<0. С помощью аппроксимации (3.8.9)
представим функции β(Χ) и (1-х2)* в виде
β(χ) = Σ/7 exp
ι = 1
ι IN
(,-*2):=7^(,-*<1):ир
где x^-l+^i-l/l), x^-l+Z^(y-l/2). Подставляя теперь
(3.8.16) и (3.8.17) в (3.8.14) и требуя выполнения равенства в
узловых точках χ. (ζ'=1,2,...,2Ν), получим систему для
определения коэффициентов β1 в (3.8.17)
2Ν
ΣΑαβα=/α, <*=\,2; к = 1,2,...,2Ν, (3.8.18)
1=1
А* = оГ'(**)Лаехр
[1-2η^ ехр(-rfa,)Erfi(η^)],
(*-*,)2
Dhf
'^4'
(3.8.17)
Λ=ίϊ>
(*,-*J2
0-*2)'-
2xn
2M
πΟΗ%
Σ 4?.
4*=(1-*?)'+«Φ
£>(^+Λ22)

163
1
SDH2
hfxi+h22xj
k h2+h22
H2_ m
ti+ti
Ί ' "2
Как уже отмечалось выше, аппроксимация (3.8.16) и
(3.8.17) имеет наибольшую погрешность в окрестности краев
включения дс = ±1. Для уменьшения этой погрешности в
представлении (3.8.17) функции (1-х2)* следует сохранить как
можно большее число слагаемых. Существенно, что
размерность матрицы системы (3.8.18) при этом не увеличивается,
так как указанная размерность определяется числом
слагаемых в представлении (3.8.18) для функции Дх). Далее,
поскольку функция (1-х2)* равна нулю за пределами
включения, то функцию β(χ) в (3.8.16) можно с помощью любого
гладкого продолжения определить и за пределами области Ω.
В результате область, где погрешность аппроксимации /?(х)
наибольшая, сдвигается за пределы трещины. Чтобы не
увеличивать размерность системы (3.8.18), функцию β(χ) можно
продолжить вне Ω четным образом относительно концов
включения.
Рассмотрим сначала результаты решения уравнения (3.8.14)
в случае трещины (Ла = 0) и постоянной правой части. На
рис.3.2 приведены графики решения этого уравнения при
разном шаге Μ узлов аппроксимации функции (1- £2)+2 в
представлении (3.8.16) для Ь(£). Число N узлов аппроксимации
функции β(ξ) бралось равным 5. Видно, что с увеличением
решение стремится к некоторой функции. На рис.3.3
приведены графики решения этого же уравнения при изменении
шага N узлов аппроксимации β(ξ)(Μ= 50).
Коэффициент интенсивности напряжений на трещинах
пропорционален значению β(ξ) в точках ξ=±1. Для
повышения точности вычислений β(ξ) продолжалось четным
образом относительно концов трещины. При этом вводились

164
b(x) :
0.80 i
о.бо i
0.40 I
0.20 1
:
"*<4Nk***^^^V4\ N=5
\\ M=10
\\ 30
γ V^5o
г-гч τ -r-i-i г r ) ι г r ι г г-14 τ ι 1M?»+«ρ ■!■?»?»H'
0.20 3
0.0
0.50 1.00
Рис. 3.2
M=50
N=25
Рис. 3.3
дополнительные узлы в количестве N+ из каждого из концов.
Графики β(ξ) при различном числе дополнительных узлов
Ν+ приведены на рис. 3.4 (N = 5 ,М- 50).
ι ι ι ι ι ι | ι и ι ι ι ι ι ι | ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι м ι ι ц ι
0.0 0.40 0.80 1.20 X
Рис. 3.4
Заметим, что при постоянной правой части уравнение
(3.8.14) для трещины
!^<=-/,/=^пхл' <з-8л9>

165
имеет известное решение
*(0 = Д/Г7. (3.8.20)
π
В таблице приведены значения функции πβ(ζ)/~\
полученные при N=5> М=50, N+=4, на интервале [0,1] (точное
значение этой функции равно единице)
Таблица
Ρ
πβΓ
0.000
1.0066
0.2
1.0066
0.4
1.0068
0.6
1.0073
0.8
1.0079
0.9
1.0081
То I
1.0082
Из таблицы видно, что погрешность вычислений не
превышает процента на всей длине трещины.
Рассмотрим теперь тонкие податливые включения
различной формы. Задача сводится к решению уравнения (2.8.14)
при различных функциях формы включения α(ξ). Приведем
результаты решения уравнения (3.8.4) при постоянной правой
части (Ло = 1, аео = 1), полученные тем же методом, что и в
случае трещины.
Для эллипсоидального включения (α(ξ) = ^1 - ξ2 ) график
функции δ(ξ) приведен на рис.3.5(a).
В случае включения, края которого имеют точку возврата
(α(ξ) = (1-ξ2)3) решение уравнения (3.8.14) представлено на
рис.3.5(б).
Для включений постоянной толщины (α(ξ) = 1) и в виде
"двойного клина" (α(ξ) = 1-|£|) поведение функции δ(ξ)
представлено на рис.3.5(b) и 3.5(г) соответственно.
Перейдем в заключение к пространственной задаче и для
простоты рассмотрим трещину с плоской поверхностью Ω. В
случае изотропной среды преобразование Фурье Т*(к) ядра
Т(х) оператора Τ в (3.8.15) имеет вид (к = к{кх,к2))

166
Т:р{к) = ^Щ[баР+^{папр + татр)\ та = ^j-, (3.8.21)
где п - нормаль к Ω, аёо = 2аео -1.
Аналогично плоской задаче будем искать решение (вектор
Ь) в форме (х15х2 - декартовы координаты в плоскости
трещины)
*(*ι>*2) = Σ*4*ι>*2)>
(3.8.22)
ί=1
b\xx,x2)-bl exp
(х\-*и)2 {χ2-χαΫ
m
ад
гдех1/5х2. - координаты узлов аппроксимации, hx,h2- шаги
аппроксимации по координатам хх,х2. Далее дисперсии DX,D2 и
шаги \^h2 выберем так, чтобы h^D] = h2D2 =4D. Подставим
(3.8.22) в интегральное уравнение (3.3.15), воспользуемся
определением (3.8.5) оператора Τ и выражением (3.8.21) для
Т*(к). Требуя выполнения уравнения в узловых точках хк,
придем к следующей системе уравнений для коэффициентов
Ъ1 в представлении (3.8.22):
Σ^; = σ^Κ- k=\,2,...,2N, (3.8.23)
ί=1
,Vtf
х(^ + ж0«а«/?) + ж0[(/,(4)-/Д^))(^ + е>;) +
+2(/0(4)(1 + (2^.)-)/1(4)Ь>?]}'

167
n|2
\У
У a = (*1* " *1, К + (*2* " *2/ К > & = ^J >
где е\е2- орты осей х,, х2;/о,/, - модифицированные
функции Бесселя.
Пусть Ω - плоская, прямоугольная в плане поверхность
трещины. Учитывая асимптотику решения у края трещины,
будем искать решение уравнения (3.3.25) в виде
Ь(Х],х2) = β(χχ,χ2)(α2 -x2f2{b2 -χ22)υ2 , (3.8.24)
где 2α, 2b - длины сторон трещины. Так же, как и в (3.8.17),
отдельные сомножители здесь представим в виде
β{χ) = Σ/? exp
ι=1
DA
2 \
. (« -*ι)+ \Ρ -χ2)+ =
'β )
1
Μ
^(«2-<),/2(*2-<)1/2exp
(x-Xj)2
№
(3.8.25)
где hb,hp,Db,Dp - шаги аппроксимации и дисперсии в
представлении (3.8.25) функций β{χ) и (а2 -х2)"2(Ь2 -х2)"2. Для
простоты рассмотрим сетки с одним и тем же шагом по
координатам х,,х2. Из (3.8.24) и (3.8.25) тем же путем, что и выше,
придем к системе линейных уравнений относительно
коэффициентов β:
ΣΑ5Ρ'β = ηβ*βαΜ> к = 1.2,...,Ν, (3.8.26)
i=\
А» - »°Н~2 М
^Z(*2-*.y),/2(*2-*2,)"2«P
'β' Α

168
c{2[(l-2^)/e(^) + 2V.(^)](^ + *."-«/i)
+
+*.[(/,(^W.(^))(eW+e^J) + 2(/.(^)-
tf+л;
^у
*l/t
^*u+Vi/
*+л;
e„+
fe +Ajx2/
v2t
*+*;
Система (3.8.26) решалась для случая трещины
нормального отрыва σαβ — σηαηβ. При М=40, N-10 результаты расчета
коэффициента β(χ) в (3.8.24) практически совпадают с
величиной β(χ), подсчитанной другим методом в [55].
В заключение отметим, что предложенный подход может
быть применен для решения уравнений (3.3.15) и (3.3.24) и в
случае неплоской поверхности Ω. Элементы матрицы
коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, к
которой сводится решение задачи, в этом случае также могут
быть найдены в аналитической форме, хотя оказываются
более громоздкими, чем (3.8.26).

ГЛАВА IV
ВКЛЮЧЕНИЕ В ВИДЕ ЖЕСТКОГО СТЕРЖНЯ
В ОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
В данной главе рассматривается равновесие однородной
упругой среды с включением, один из характерных размеров
которого много больше двух других. Такие включения,
называемые волокнами или стержнями, широко используются в
качестве армирующих элементов для современных
композитных материалов. Материал армирующих волокон, как
правило, существенно жестче матрицы. Решение рассматриваемой
задачи для таких включений зависит от двух малых
параметров: отношения характерного поперечного размера включения
к длине и отношения модулей упругости среды и включения.
Данная глава посвящена построению главных членов
разложения упругих полей в среде с жестким стержнем по
указанным малым параметрам.
§ 4.1. Внешнее и внутреннее предельные решения
задачи об упругой среде с включением,
имеющим форму стержня
Рассмотрим бесконечную однородную упругую среду с
включением, занимающим область V, которая имеет форму
длинного криволинейного стержня. Пусть срединная линия
стержня Г- гладкая кривая без точек самопересечения, а
поперечное сечение стержня имеет форму круга радиусом # (ζ),
где ζ - точка на Г. Будем считать α (ζ) кусочно-гладкой
непрерывной функцией, удовлетворяющей условию
\da/dz\«l, (4.1.1)
всюду на Г, за исключением, быть может, окрестностей
концов стержня. Поскольку характерный поперечный размер об-

170
ласти V существенно меньше ее длины, то функция α (ζ)
допускает представление
α(ζ) = δι1(ζ), δχ«1, (4.1.2)
где Sx- малый безразмерный параметр, функция /(ζ)- порядка
длины стержня.
Рассмотрим структуру главных членов внешнего решения
рассматриваемой задачи при стремлении параметра δλ в (4.1.2)
к нулю. Полагая х~ё V в соотношениях (2.1.22) для
напряжений и деформаций, получим, что главные члены внешнего
разложения решения рассматриваемой задачи в
асимптотический ряд при стремлении δλ к нулю имеют вид
a(x) = a(x) + jS(x-z)B'a(z)dTz, (4.1.3)
г
e(x) = e°(x)-JK(x-z)Cle(z)dTx , (4.1.4)
г
σ(ζ)= J σ+(χ)άΩ, ε(ζ)= js+(x)dQ, (4.1.5)
ад ω(γ>
где Ω (ζ) - поперечное сечение области V плоскостью,
ортогональной оси Г и проходящей через точку ζ е Г.
Рассмотрим внутреннее предельное решение задачи о
стержне при стремлении параметра δλ к нулю. Поместим в
точку ζ gT(z ^ zo, ζ,), где zo , ζ,- точки, соответствующие
концам стержня) начало локальной декартовой системы
координат у19у29Уз> направив ось у3 вдоль касательной к Г.
Перейдем в интегральных представлениях (2.1.22) к безразмерным
переменным ξί = a~\z)yi (/ = 1,2,3) и устремим параметр δ19 а
следовательно и радиус стержня α (ζ), к нулю. При этом
область V в координатах ξί переходит в область VQ внутри
кругового цилиндра единичного радиуса с образующей,
параллельной ξ3, а уравнения (2.1.22) в области V0 примут вид

171
^\ξ,ζ)- jStf- ξ')Β^°\ξ',ζ)άξ' = σ(ζ), (4.1.6)
έ'\ξ,ζ) + \κ(ξ- ξ)?έ°\ξ,ζ)άξ = ε (ζ). (4.1.7)
Κ
Здесь учтено, что S(X) и К(X)- однородные функции
степени (-3)
οΡ\ξ9ζ) = ton σ+0), έ°\ξ,ζ)= lim s+(y). (4.1.8)
Так как внешние поля σ(ζ)9 ε°(ζ) не зависят от
координаты ^, то в силу теоремы о полиномиальной
консервативности (§ 2.3) решение уравнений (4.1.6), (4.1.7) внутри
цилиндра V0 также не зависит от ξ и выражается через внешние
поля следующим образом:
σ(ο)(ζ) = Ασσ(ζ)9 ε(ο)(ζ)=Αεε°(ζ)9
Aa = (El-D°Blyl , Ae = (El+A°Cxyx
(4.1.9)
Здесь тензоры А° и D° определяются соотношениями
A° = lim — \к\кХ9к29охкг)сК19 D° =C°A°C°-C\(4.1.10)
где Qj - поверхность единичной сферы в к - пространстве,
функция К*^,,^,^)- Фурье-образ ядра К(х) (1.1.30),
система к]9к29к3 сопряженная уХ9у29уъ. В случае изотропной среды
тензор А° имеет вид
А° =
1
4μ0
(2 - х0 )Р1 (т) + - х0Р2 (т) + 2Р5 (т)
, (4.1.11)
где Р\т)- элементы тензорного базиса (2.4.7), т- орт оси уъ

172
Отметим важное для дальнейшего свойства тензора А°.
Введем ортогональные проекторы <д'(т) и П'(т)
&'(т) = Рх(т) + 2Р5(т), П'(т) = Ра(т), Θ' +ΓΓ = Е\
Θ'Θ' = Θ\ П'П' = П\ Θ'Π' = Π'Θ' = 0. (4.1.12)
Линейное пространство, натянутое на базис Р'(т), при
помощи этих проекторов разбивается на два ортогональных
подпространства (Θ' и ГГ). Используя алгебру тензоров Р'
(Приложение Π 1.1) можно убедиться, что тензор А вида
(4.1.11) принадлежит Θ' - подпространству и имеет в нем
невырожденный обратный тензор (А°)~х
®'(т)А°(т) = А°(т)®'(т) = А°(т)9
П'(т)А°(т) = А°(т)П'(т) = О, (4.1.13)
А°(т)(А°(т)у1 =(А0(т))-1А0(т) = ®'(т).
Рассмотрим теперь плотности σ(ζ) и ~ε(ζ) потенциалов во
внешних предельных решениях (4.1.3), (4.1.4). Если модули
упругости включений конечны, то в силу (4.1.9) конечными
являются и решения внутренней предельной задачи. Отсюда и
из (4.1.5) следует, что при <5[ —>0 плотности σ(ζ) и ~ε{ζ)
исчезают и внешнее предельное решение (4.1.3), (4.1.4) совпадает
с невозмущенным внешним полем cf{x) и ε°{χ).
Рассмотрим теперь случай, когда вместе с ί, к нулю
стремится податливость включения (тензор В-С~х). При этом в
силу (4.1.9) имеют место соотношения
Вха+-*-{С°У\С-х+А°ухе\ CV -КС"1 + А°)~хε\
(4.1.14)
Так как тензор А° (4.1.11) является вырожденным
(принадлежит Θ'- подпространству), то при С-1 =5—>0 часть
компонент тензоров Βισ+ и Схе+ может стремиться к
бесконечности. Таким образом, в пределе при Sl9B->0 плотности Βχ~σ и
Сх~ё потенциалов в (4.1.3), (4.1.4) могут оказаться конечными.

173
Перейдем к подробному анализу случая жесткого
включения и далее будем считать, что тензор упругой податливости
включения В представляется в виде
Β=δ2~Β, Я С =0(1), (4.1.15)
где S2 «1- малый безразмерный параметр.
§ 4.2. Формальная схема построения
главного члена асимптотики поля напряжений
внутри жесткого стержня
Рассмотрим сначала стержень с прямолинейной осью,
когда область Vимеет форму тела вращения. Поместим
начало декартовой системы координат у1,у2,У3 в середину
стержня, направив ось уъ вдоль Г. Переходя к напряжениям по
закону Гука, запишем уравнение (2.1.23) для тензора ε(Χ)
внутри стержня в виде
С-'о0) + JK(y-/)ClC-]a(y'W = е(у). (4.2.1)
V
Как отмечалось выше, предельное при бх —>0 решение
этого уравнения является постоянным в поперечных сечениях
стержня. Поэтому можно ожидать, что главные члены
асимптотики (4.2.1) по δ^δ2 будут тоже постоянными в поперечных
сечениях области V, по крайней мере, вдали от ее концов.
Это обстоятельство позволяет упростить уравнение (4.2.1)
следующим образом. Подставим в его левую часть о(у)=о(уъ)
и рассмотрим полученное соотношение в точках на оси
стержня. Предварительно заметим, что для каждой точки у е V
справедливо единственное представление
У = У+У3т, (4.2.2)
где у = у(уХ9у2) - вектор в плоскости поперечного сечения
стержня Ω(^3)·
Введи относительные координаты (21 - длина стержня)

174
$ = УгЧ> 1 = УИ, (4.2.3)
из (4.2.1) получим уравнение для функции σ(ξ) в форме
1
СМ&+ JK(£ ?)ClCM?)d? = ε(ξ)> (4·2.4)
К(££') = JK№-?)m-ff]drf. (4.2.5)
В дальнейшем удобно считать компоненты тензоров С и
С° безразмерными величинами, причем
С =0(1), С"1 =0(£2). (4.2.6)
Для этого достаточно обе части (4.2.4) умножить на
характерное значение модуля упругости среды.
Выражение для ядра К (ξ, ξ') интегрального оператора в
уравнении (4.2.4) можно представить в виде (к=к(к19к29къ))
K(£?) = -±j jdrf\K\k)vv{-ik-[tf-?)m- rf$dk,
(4.2.7)
где К* (к) - преобразование Фурье функции К(X) (1.1.35).
Меняя порядок вычисления интегралов в этом соотношении-
сперва по Ω,(ξ'), а затем по кХ9к2, получим
2^-сс 1
(4.2.8)_
Здесь функция К*(<5,(£'),£3) - символ оператора К - в
случае изотропной среды представляется в виде следующего
разложения в Ρ - базисе
Κ·(^,Λ) = ΣΚ;(^„*3)^(»), (4-2-9)

175
к;=^[4(2-аок+ма к;=^(м;-4л<),
\βμ0 32μ0
к; = к; = --^м2\ κ]=^-(2-μ;-2χομ'2),
4μ, 2//0
К; =-!-[2(1-жо)(1-К) + «оИ*]· (4.2.10)
2μ„
Функции M*(St,k), Ml(Sx,k) определяются
соотношениями (индекс 3 у аргумента кг здесь и далее опускаем)
м;(дх,к) = 8\к\ъх(д\к\), м;{дх,к) = д]к2кхд\к\),
(4.2.11)
где Ко, К j - модифицированные функции Бесселя. Отсюда и
из (4.2.8) - (4.2.10) следует, что ядро Κ(ξ,ξ') интегрального
оператора К определяется соотношением,аналогичным (4.2.9),
в котором Ы[ , М*2 следует заменить функциями
M^) = 2U-S%')f- (4-2Л2)
1 *? \ δ2, (ξ')
'2VS'W_ 2άξ2\[(ξ-ξ')2+δ2(ξ')Γ
Μ2(ξ,ξ') = -
Эти функции являются прообразами Фурье функций
M*(Sl9k) и M*(S^k) (4.2.11) по переменной к и
представляют собой ядра интегральных операторов М1?М2, действие
которых на σ(ξ) определяется формулами
1
(Mta)($=lM,(4,?)a(?)d?, / = 1,2. (4.2.13)

176
Перейдем к описанию формальной процедуры построения
главного члена разложения решения уравнения (4.2.4) в ряд
по малым параметрам бх,б2. Представим функцию δχ(ξ) в
(4.2.8) - (4.2.12) в виде произведения
δχ(ξ) = δχα(ξ), δ,«\, α(ξ) = 0(\), (4.2.14)
где α(ξ) - функция формы стержня. Разложим функции
Бесселя в (4.2.11) в ряды по малому параметру δλ и ограничимся
первыми двумя членами этих рядов [131]:
К](01а^) = ^Ж\* 2 *ι1η*ι+°(*ι>' (42Л5)
K0(^a|A:|) = -ln^-ln(a|)t|) + O(l).
В результате из (4.2.9) - (4.2.11) получим следующее
выражение для символа К*(^,А:):
K\Sl,k) = A°+(SllnSl)a2(&k2A]+0(S2), (4.2.16)
где постоянный тензор А° имеет вид (4.1.11), а тензор А1 в
базисе Р* (т) представляется в форме
Ах =—\2{\-χ^Ρι-χοΡ2 + 2χο(ρ3 + ρή + 2{4χο-ΐ)Ρ5-4Ρ6).
_ (4.2.17)
Ограничиваясь в выражении для символа К* оператора К
первыми двумя членами разложения (4.2.16), получим, что
уравнение (4.2.1) принимает вид
Γχσ{ξ) + Α°€ισχ^ξ)-{δ]\ηδΜλ^[α\ξ)σ{ξ)\=έ{ξ).
(4.2.18)
Будем искать решение этого уравнения в виде
разложения, аналогичного (4.2.16)
σ{ξ)= σ^{ξ) + {δ]\ηδ,)^\ξ)+... . (4.2.19)

177
Уравнение для главного члена σ^ο)(ξ) получим, подставляя
(4.2.19) в (4.2.18) и сохраняя в полученном выражении члены
старшего порядка по δλ. В зависимости от соотношения
между малыми параметрами ή и б2 возможны следующие случаи.
Г. δ21δ211η δj = 0(1). В этом случае уравнение для с/о)(£)
принимает вид
C-loLo\& + A°ClC-loL°\&= ε (ξ). (4.2.20)
Действуя на обе части этого равенства операторами Θ' и
П' (4.1.12) и учитывая свойство (4.1.13) тензора А°9 получим
два следующих соотношения:
Α'<%{ξ) + (Θ' - AT1 )C-Vo) (ξ) = εθ(ξ), (4.2.21)
σ=σθ + σπ, σθ = &σ, σ„ = Π'σ, επ = Π'ε. (4.2.22)
Поскольку А°- невырожденный в подпространстве Θ'
тензор с компонентами порядка единицы ((С°)-1), из этих
соотношений следуют оценки
σθ(ξ) = 0(\), σ„(ξ) = 0(δϊ). (4.2.23)
Здесь принято, что ε° = 0(1). Учитывая вид тензора σπ
σί?α/3(ξ) = σηι(ξ)ηιαηιβ, (4.2.24)
где σ^ξ)- скалярная функция, для ο^°\ξ) имеем оценку
<%№=<%(&mj»p + 0(l), ^(ξ) = 0&). (4.2.25)
Выражение для осевой компоненты <^(ζ) тензора (^ο)(ξ)
следует из (4.2.21) и (4.2.22) и имеет вид
<%(Я = ЕЯ<£($, εη{ξ) = εαβ{ξ)τηατηβ, (4.2.26)
где Еш - модуль Юнга вдоль оси стержня.

178
2е. ^5\1п8г=0(1), C'C-^OfS'jInS,). В этом случае
уравнение для с/о)(£) в (4.2.19) совпадает с (4.2.18). Действуя
на обе части (4.2.18) операторами Θ' и П', тем же путем, что
и в п.Iе, можно показать, что тензор ο^°\ξ) удовлетворяет
оценке (4.2.25), причем осевая компонента </£(ζ) этого
тензора является решением следующего дифференциального
уравнения
^[α\ξ)^\ξ)]-^^(ξ) = ^2Έ^(ξ), (4.2.27)
4 =~ΐ jg ι χ = " τ χ ι χ » 9 = 0(1).
Таким образом, главный член разложения (4.2.19) поля
напряжений внутри стержня определяется неоднозначно, с
точностью до двух постоянных, входящих в общее решение
уравнения (4.2.27).
Оценим близость полученных формальных выражений для
ο^ο)(ξ) к точному решению интегрального уравнения (4.2.4).
Для этой цели подставим в его левую часть полученные
функции с/о)(£) и исследуем невязку с правой частью (4.2.4). Если
с/о)(£) удовлетворяет оценке (4.2.25), то наиболее
существенной оказывается Π'-составляющая невязки. Подставляя в
левую часть (4.2.4) функцию ο^°\ξ) и действуя на результат
оператором П', будем иметь
α.οζ\ξ)-(Μ^Χξ) = /.(ξ) + Β(<£\ξ), (4.2.28)
am=l+— -ib^l м=Мх ^—Μ2,/0{ξ)=^-Έ.ε°(ξ),
m 2Em (1-ae.) 2(1-».) 2 7W 1-as. m
где R(c/£, ξ) - искомая невязка, операторы Μ, и М2
определены соотношениями (4.2.12), (4.2.13).

179
Для компенсации невязки R в (4.2.28) к ο^\ξ) следует
добавить слагаемое ο^(ζ), так чтобы сумма
σ.(ξ) = ο?(ξ) + α*\ξ), (4.2.29)
удовлетворяла уравнению
«л (0-(λ*Ο(£)=/.(£)■ (4·2·30)
Если слагаемым (^{ξ) в (4.2.29) можно пренебречь по
сравнению с σ^}(£), то функция о^ (ξ)τηατηβ есть главный
член разложения решения уравнения (4.2.4) в ряд по Sl9S2- В
противном случае к σ^} следует добавить главный член
разложения второго слагаемого о^ (4.2.29) в ряд по параметрам
Отметим, что Θ'- составляющая невязки с правой частью
(4.2.4) при подстановке в левую часть этого уравнения
функции вида (4.2.25) компенсируется слагаемыми порядка
единицы, малыми по сравнению с осевой компонентой ο^(ξ)9
имеющей порядок δ~2λ . Перейдем к исследованию невязки R в
(4.2.28) для стержней конкретной формы.
§ 4.3. Главные члены асимптотики поля
напряжений внутри стержней различной формы
Г. Начнем с рассмотрения цилиндрического включения
радиуса а. В этом случае
δ,=α/1, α(ξ) = \. (4.3.1)
Оценим результат действия операторов Μλ и М2 (4.2.12)
на гладкую ограниченную функцию σ(ξ) порядка единицы.
Представим (Μ}σ)(ξ) в виде
(Μλσ){ξ) = Μ°λ{ξ)σ{ξ) + М\ (ξ)Όξ σ{ξ) + \ Μ\Ώ]σ{ξ) +

180
+
(4.3.2)
ΜΪ{ξ) = \Μλ{ξ,ξ>){ξ>-ξ)4ξ\ * = 0,1,2, Βξ = ^-
(4.3.3)
где ядро Μλ(ξ,ξ') определено формулой (4.2.12), в которой
следует положить δλ(ξ') = Sv
Вычисляя интегралы (4.3.3) и подставляя результаты в
(4.3.2), получим оценку:
(Μ]σ)(ξ)=σ(ξ)-\φ0(¥)+Φ0(ψ)
<?■
σ(ξ)~ (4.3.4)
-δ,
*№-*№
Όξσ{ξ)-\δλ\ηδλΌΐσ{ξ) +
+±δ]\ηδ\Φ2{\-ξ,δλ) + Φ2{\ + ξ,δ2)Ρ2ξσ{ξ) + 0{δ]).
Здесь учтено, что интегральное слагаемое в (4.3.2) имеет
порядок δ]; Φ0,Φ,,Φ2 - функции типа пограничного слоя,
локализованные в окрестности концов стержня ξ- ±1:
Фо(0 = т8ЩП/
/
1-
и
VT
+г
, ф,(0
1
2λ/Ϊ
+ Г
Ф2(0 = 1-^у1п(д/^+^-И)· (4-3-5)
Аналогично можно показать справедливость оценки
{Μ2σΥξ) = -δ\φ№-Φχ{¥)
4
ϋξσ{ξ)-δ2λ\ηδ,Ό)σ{ξ)-

181
-^Ιηδ,[Φ2(ΐ-ξ,δ,)+Φ2(ΐ + ξ,δ,)Ρ2ξσ(ξ) + 0(^).
(4.3.6)
Рассмотрим случай стержня, для которого
"геометрический" δλ и "физический" δ2 параметры связаны соотношением
δ~2λδ]\ηδλ = о(1). (4.3.7)
В этом случае функция ο^\ζ) имеет вид (4.2.26).
Подставляя (4.2.26) в (4.2.28) и учитывая (4.3.4), (4.3.6), для невязки R
получим выражекие
R =
*.(¥)+*.(¥)
<Κ(ξ)+0(δ,</;>). (4.3.8)
Для компенсации главного члена невязки, который имеет
порядок σ^} в окрестности концов стержня, к функции σ^}
необходимо добавить слагаемые а+т и а", зависящие от
"быстрых" переменных
г+=(1-£А, г_=(1 + 0Д. (4.3.9)
Уравнение для функций а+т и а~т получим, подставляя
сумму
^(ξ) = ^(ξ) + σ+ηι(τ+) + σηι(τ_), (4.3.10)
в (4.2.28), переходя к новой переменной τ+(τ_) и устремляя
δλ к нулю. В результате получим
сст<(г±)-(Мтсг)(т±) = -Ф0(т±)о^(±\), (4.3.11)
00
(Mtam)(T) = JMt(T-Tf)am(r')dT', (4.3.12)
0
Таким образом, (4.3.11) представляет собой уравнение Ви-
нера-Хопфа [25]. Символ М*т(к) оператора Мт определяется
выражением

182
σ:
~σ:ω
MmT(k) = am-kKl(k) + 7^-k2K0(k)9 (4.3.13)
где ат >1 определено в (4.2.28), К0,К, - модифицированные
функции Бесселя. Поскольку функция М*т(к) не обращается в
нуль на всей вещественной оси, то уравнение (4.3.11) в классе
непрерывных ограниченных функций имеет единственное
решение [25]. Результаты численного решения этого уравнения
представлены на рис.4.1 кривыми 1-4, соответствующими
значениям параметра ат, равного 1,01; 1,05; 1,20; 2,00.
Из этих графиков
можно сделать
следующие выводы.
1). Если ат-1 = 0(1),
то сгт(т±), аналогично
0.4 | V | "у А | Ф0(Х) является
функцией типа пограничного
слоя, локализованной у
края г= 0.
2). Если ат -> 1, то
скорость убывания
функции сгт(т±) при г±-^оо
уменьшается.
Изменение характера решения
связано с вырождением символа А4*т(к) в точке к = 0 при
m
Замечание. Качественно решение уравнения (4.3.11) ведет
себя аналогично решению следующего уравнения Винера-
Хопфа:
\. 2 1
τ+
Рис. 4.1
(Lav)(T) = w(r)--\e-^t'lv(*'W = e~t· (4·3·14)
9 J

183
Здесь La- оператор Винера-Хопфа с символом
1
L\(k)=a-
\ + к2
(4.3.15)
При а>\ решение уравнения (4.3.14) имеет вид
v(r) = -
>[V<*(a-l)
+ а
ехр
а-\
а
, (4.3.16)
и свойства 1), 2) здесь очевидны.
Пусть теперь τ - быстрая переменная, аналогичная (4.3.9).
Переходя в (4.3.16) к "медленной" переменной ξ-δλτ,
получим
ν{ξ) =
2[V«(a-l)+a]
δλ . (4.3.17)
Отсюда видно, что если γ = 0(1) (Va-l = 0(i2)), то
функция ν(ξ) не является локализованной в окрестности края
ξ-0 при любых δλ. Если же γ = ο(1), то есть χ^Ο при
ή -»0, то v(£) - функция типа пограничного слоя, которая
локализуется в окрестности края ξ = О при δχ —> О .
Возвратимся к уравнению (4.3.11). Численный анализ
решения этого уравнения позволяет утверждать, что при
й^<5? 1η ή = о(1) функции а+т0£) и σ;(^),
компенсирующие главный член невязки R в уравнении (4.2.28), являются
Функциями типа пограничного слоя, локализованными в
окрестности концов стержня при ξ=±1. Оставшаяся часть
невязки компенсируется слагаемыми порядка δχ</£ в
выражении для сгт, которыми можно пренебречь по сравнению с
главным членом, имеющим вид (4.3.10).

184
Рассмотрим теперь случай, когда <5^<5f Ιηή =0(1). При
этом функция ο^(ζ) удовлетворяет уравнению (4.2.27), в
котором α(ξ) = 1
-^^{ξ)-42^{ξ) = -42Έηεη{ξ). (4.3.18)
При подстановке общего решения этого уравнения в
левую часть (4.2.28) и учете (4.3.4) - (4.3.6) оказывается, что
выражение для невязки R, по-прежнему, имеет вид (4.3.8).
Следовательно, главный член невязки будет минимален, если
функция ο^^(ξ)9 являясь решением уравнения (4.3.18),
удовлетворяет условиям
^)(-1)=σ^)(1) = 0. (4.3.19)
Эти условия позволяют найти значения постоянных в
общем решении уравнения (4.3.18).
Для функции ο^\ξ)9 удовлетворяющей (4.3.18), (4.3.19),
выражение для невязки R в (4.2.28) принимает вид
Ψ(/)=Φ3(ί)-—£—φ,(ο, Ф3(о=^(>/^й-и),
(4.3.20)
где Ψ(-^) - функции типа пограничного слоя. Для
компенсации главного члена невязки R вида (4.3.20) в уравнении
(4.2.28) к функции ο^„\ξ) следует добавить слагаемые
δλ^({\-ξ)Ιδλ) и ад*((1 + 0/$). Функции ^>+(г+),
о^~(т_) удовлетворяют уравнению, аналогичному (4.3.11),
правую часть в котором следует заменить на Ψ(τ+)Ζ)^σ(^)(1),
- Ψ( τ_ )D^^ (-1) соответственно. Слагаемыми δλ σ^+ и

185
5хс£„~ можно пренебречь по сравнению с (^{ξ) всюду, за
исключением δχ -окрестностей концов стержня, так как
функция off (ζ) исчезает при £—» ±1 в силу (4.3.19).
Заметим, что при q»l(d2lS2]lnS] = o(l)) решение
уравнения (4.3.18) мало отличается от (4.2.26). Исключения
составляют окрестности концов стержня - области
экспоненциального пограничного слоя. Следовательно, уравнение (4.3.18)
с условиями (4.3.19) позволяет правильно определить
медленно изменяющуюся часть поля ο(ξ) внутри стержня при всех
соотношениях между малыми параметрами ί, и 52. Однако
быстро изменяющиеся функции, входящие в главный член
асимптотики ο(ξ) при q»\ являются функциями
степенного типа, отличающимися от экспоненциальных функций,
возникающих при решении (4.3.18), (4.3.19). Поэтому решение
указанного уравнения в окрестности концов стержня при qs>\
отражает поведение главного члена σ(ξ) лишь качественно.
Точность аппроксимации решения уравнения (4.2.30)
функцией off (ζ), удовлетворяющей (4.3.18), (4.3.19), рассмотрим
на следующем примере. Найдем решение модельного
уравнения, аналогичного (4.2.30):
ата-Мха=-\д]\пдх, am = \-\q2S\\nS,, (4.3.21)
где оператор Μλ определен соотношениями (4.2.12), (4.2.13)
при δχ(ξ)=δν
Изложенная выше схема построения главного члена
разложения решения уравнения (4.3.21) в ряд по δλ приводит к
уравнению
^-^\ξ)-42</°\ξ) = -\, (4.3.22)
άξ
с однородными граничными условиями (4.3.19). Решение
этого уравнения имеет вид

186
<*4ξ> = \
chq J
(4.3.23)
0.5
Рис. 4.3
Сравним эту функцию с результатами численного
решения уравнения (4.3.21), представленными на рис.4.2 (£, =0,1)
и рис.4.3 (ή =0,01) сплошными кривыми, штриховая кривая
- функция ο^°\ξ) вида (4.3.23). Кривым 1-4 соответствуют
значения параметра q = 0,4; 1,2; 2; 10. Из этих графиков
видно, что с уменьшением <5", отличце <^°\ζ) от σ(ξ)9 как и
следовало ожидать, существенно только в окрестности концов
стержня.
Замечание. Для оценки близости решения уравнения
(4.3.18), (4.3.19) к решению исходного уравнения (4.2.1)
следует рассмотреть выражение для невязки R с правой частью
(4.2.1) при подстановке в его левую часть функции с/о)(<£),
полученной из решения (4.3.18) при условии (4.3.19). Можно
показать, что указанная невязка представляется в форме
ΙΙ = θ{ηΏξ)σ(ξ), (4.3.24)
где Q{t) - аналитическая функция, разложение которой
начинается с членов, линейных по /, (^ο){ξ) - главный член рас-

187
сматриваемого асимптотического разложения решения
уравнения (4.2.4).
Слагаемые, компенсирующие эту часть невязки в
выражении для а(у), имеют порядок δλ(^ο){ξ) всюду, за
исключением окрестностей концов стержня - областей степенного
пограничного слоя.
В [113] проводилось сравнение функции σ^°\ξ) ,
удовлетворяющей (4.3.18), (4.3.19), с точным решением задачи о
растяжении упругой среды, армированной жестким стержнем.
Это решение было получено с помощью метода конечных
элементов. Оказалось, что отклонение ο^°\ξ) от σ(γ)
существенно только в окрестности концов стержня, что
соответствует полученным выше оценкам.
2°. Рассмотрим теперь стержень эллипсоидальной формы.
В этом случае функция δλ(ξ) имеет вид
δ,{ξ) = δλα{ξ),δλ=αΙΙ, α{ξ) = ^ξ, (4.3.25)
где а и / - полуоси эллипсоида. Тем же путем, что и в Г,
можно показать, что для операторов Μλ и М2 в (4.2.12)
справедливы оценки
{Μχσ){ξ) = ο{ξ)-^ηδλϋ2[{\-ξ2)ο{ξ)\ + θ{δ]),
(Μ2σ)(ξ) = δ2\ηδχΌ2ξ[(\-ξ2)σ{ξ)] + θ(δ2), (4.3.26)
где σ(ξ) - ограниченная гладкая функция порядка единицы.
Таким образом, в отличие от случая цилиндрического стержня
(см. (4.3.1), (4.3.6)), главные члены разложения {Μλσ){ξ) и
(Μ2σ)(ξ) в ряд по 6Х не содержат функций типа
пограничного слоя. Из (4.3.26) следует, что для ограниченной функции
°^т(£)> удовлетворяющей уравнению (4.2.27) при α(ξ) = ^1-^
Щ[{1-?Ш*)]-Я2<Я(4) = ^ЪМ4), (4-3.27)

188
невязка R в (4.2.28) имеет оценку
R = Otf2]off). (4.3.28)
Поскольку каждое из двух линейно-независимых решений
однородного уравнения (4.3.27) имеет в окрестности точки
ξ=±1 особенность типа (\-ξ)~λ или (1 + ξ)~\ то условие
ограниченности <^„(ζ) достаточно для определения
постоянных в общем решении уравнения (4.3.27). Слагаемые в
выражении для σ(ξ), компенсирующие невязку (4.3.28) в (4.2.28),
имеют порядок (1η δλ )_1 off при всех £е[-1,1] и ими можно
пренебречь по сравнению с off.
Если е°т - постоянная на оси стержня Г функция, то
ограниченное решение уравнения (4.3.27) имеет вид
о^^Ч-Е.*; (4.3.29)
и также является постоянным. Заметим, что в случае
постоянного внешнего поля исходное уравнение (4.2.1) для
эллипсоидальной области Vимеет известное точное решение.
Можно показать, что главный член асимптотики точного решения
при δλ —» 0 имеет вид ο^„τηατηβ , где скаляр off определяется
соотношением (4.3.29).
3°. Рассмотрим включение, имеющее форму
остроконечного веретена. В этом случае функция δλ{ξ) имеет вид
δλ{ξ) = δλα{ξ), α(ξ)=1-\$. (4.3.30)
Оценим результаты действия операторов Мх и М2 для
включения такой формы на гладкую ограниченную функцию
ο(ξ) порядка единицы. Начнем с оператора А/р который
представим следующим образом
м,=м;+м;,
(4.3.31)

189
(Μ-σ){ξ) = ΐΜ;(ξ,ξΉξ')άξ',
-1
{Μ;σ){ξ) = )Μ;{ξ,ξ)ο{ξ·)άξ>,
2 [(ξ-ξ>Υ+%(! + ?)
3/2 *
Пусть Η+(ξ) - функция Хевисайда (Η+(ξ)=ί, £>0;
#+(£)=0, ξ<0), Η_(ξ)=Η+(-ξ); σ+(ξ) - гладкая функция,
заданная на положительной полуоси R+ оси ξ и
определенная на отрицательной полуоси R_ при помощи процедуры
аналитического продолжения. Аналогичную функцию,
первоначально заданную на R_ , обозначим через σ_\ς).
Представляя функции (Μ*σ±)(ξ) в форме, аналогичной
(4.3.2), и вычисляя входящие туда интегралы, получим
-δ,Φ^[σ_{ξ) + σ+{ξ) + Οξσ_(ξ)-Ώξσ+(ξ)}-
-δ]\ηδλΦ2{ξ,δ^Ρ + ξ)2σ_{ξ)+{\-ξ)2σ+{ξ)]-
-^[σ_{ξΜ\ + ξ) + σ+{ξΜ\-ξ)] + θ(δ]),
σ{ξ) = σ_{ξ)Η_{ξ) + σ+{ξ)Η+{ξ), (4.3.32)

190
где функции Ф0,Ф15Ф2 определены соотношениями (4.3.5).
Если σ± (0)^0, то сингулярное слагаемое, возникающее при
дифференцировании |^|, здесь необходимо отбросить. С той
же оговоркой можно записать:
{Μ2σ)(ξ) = δ2Ιηδ>Ό2ξ[(\-\$σ{ξ)\ + (4.3.33)
4^[(1-М)Мй1п(1-М)]+оЙ).
Рассмотрим теперь уравнение (4.2.27) для главного члена
разложения решения (4.2.1) в ряд по Sl9S2 в случае веретена.
Перепишем это уравнение в форме (q = (l/2)q2):
$[{ΐ-\$*Μ]-2ϊ<ίΜ = -φΜ$· (4-3-34)
Здесь, так же, как и в (4.3.32), (4.3.33), следует отбросить
сингулярное слагаемое, возникающее при
дифференцировании \ξ\, если σ£}(°)*0·
Общее решение уравнения (4.3.34) имеет вид
о£)(Й = аш(Й + с|(1-ИГ +с2(1-|^\ (4.3.35)
Р±=-\{ъ±^йЩ), q>0,
где о"ш(£) - ограниченное частное решение (4.3.34), с,,с2 -
произвольные постоянные.
Поскольку упругое поле в окрестности конической особой
точки на границе среды и включений должно быть
квадратично интегрируемо [71], то постоянную с2 в (4.3.35) при неин-
тегрируемой на отрезке [-1,1] функции (1-|£|)^+ примем
равной нулю.
Подставляя (4.3.35) при с2 = 0 в левую часть (4.2.28) и
используя оценки (4.3.32), (4.3.38), получим следующую оценку
невязки в окрестности середины стержня (ξ= 0):

191
R = 2S,
Ч1НЧ#^Ч0^(О)+с]
+
^0(^]nSlaff)9fi=fi_9c = cl.
(4.3.36)
Отсюда и из (4.3.35) видно, что главный член невязки при
удалении от середины стержня затухает с асимптотикой
\ζΙ δλ[λ. Если постоянную С выбрать из условия равенства
нулю коэффициента при этой асимптотике, то
с = —
2+β
<С(0).
(4.3.37)
При этом асимптотика затухания главного члена невязки
определяется функцией \ξ/ δ^3, а выражение для off (ζ)
примет вид
^(ξ) = σ„(ξ)-^σΜ(4φβ (4-3-38)
В частности, если поле ε° - постоянное вдоль стержня, то
*М=4-
q-\
2+β
Ntf
Етет, q*l,
^) = -±[\-21п(\-\ф]Етет, q = \. <4.3.39)>
Из (4.3.38), (4.3.32), (4.3.33) следует, что в окрестности
концов стержня невязка R в (4.2.28) имеет как минимум
логарифмическую особенность: i?~ δ\ ln(l-\$)off(Q. Для
компенсации этой части невязки к σ^(£) следует добавить
функции типа пограничного слоя, которые определяют главный
член решения в окрестности концов стержня. Уравнение для
этих функций можно получить аналогично (4.3.11).
Сравним (4.3.39) с численным решением интегрального
Уравнения (4.3.30). Проведем такое сравнение на примере МО-
Дельного уравнения, аналогичного (4.2.30).

192
α„σ-Μ]σ=-%δι\ηδι, αηί = \-^δ2ι1ηδ], (4.3.40)
где оператор Μλ определен соотношениями (4.2.12), (4.2.13)
при δλ(ξ) = ^(1-1^1). Применяя изложенную выше схему,
получим, что выражение для главного члена σ^°\ξ) разложения
решения этого уравнения в ряд по δλ имеет вид (4.3.39) при
Етет = \12.
Численные решения уравнения (4.3.40) представлены на
рис.4.4 (ή=0.1) и 4.5 (5,=0.01) сплошными линиями,
штриховые линии - функции ο^°\ξ) вида (4.3.39). Кривым 1-4
соответствуют значения параметра #=0.4, 1.2, 2, 10.
Расхождение между сплошными и штриховыми кривыми можно
уменьшить, добавляя к σ^°\ξ) функции типа пограничного
слоя, локализованные в окрестности середины стержня и его
концов.
В заключение этого параграфа рассмотрим "поперечную"
компоненту σ^ο) главного члена асимптотики поля
напряжений внутри жесткого стержня с прямолинейной осью.
Учитывая оценки (4.2.25)
^ = <$ + а?, <ф = 0(1), а? = 0{δ-2ι), (4.3.41)

193
подействуем на соотношение (4.2.18) оператором Θ'. В
результате получим равенство
Αο^;){ξ) + (Θ'-ΑΤο)0-ι^{ξ)-(δ2]Ιηδ])χ
χ&Α'Ό][α2{ξ)σπ{ξ)] = &ε{ξ). (4.3.42)
Из уравнения (4.2.27) для П' -компоненты функции <^°\ζ)
имеем
^ЫЩсг(&^(^] = 2М\^-Е-^{4)].(4.3АЗ)
Подставляя это соотношение в (4.3.42) и разрешая его
относительно σ£\ найдем
(4.3.44)
где обращение тензора А° производится в
Θ-подпространстве.
В случае постоянного внешнего поля продольная
компонента поля напряжений <^°\ξ) имеет вид
*&*(£) = A&EJ^(«)** , (4-3.45)
где вид функции f (ξ) зависит от формы стержня. Для
стержней, рассмотренных выше, эта функция определяется
соотношениями
цилиндр: /(£) = 1 Г—>
chq
2
эллипсоид: /(ξ) = , (4.3.46)
2 + q

194
остроконечное веретено:
Λξ)
2-q2
1--
2+β
(1-14)*
Подставляя (4.3.45) в (4.3.44), получим выражение для
тензора </?(ξ). Суммируя (4.3.44), (4.3.45) найдем
ο"(ξ) = </?(ξ) + ^(ξ) = (4.3.47)
1 — se0 2 - se0
Здесь λ, μ - параметры Ламе стержня.
Соотношением (4.3.47) определяется главный член
асимптотики поля напряжений внутри стержня всюду, за
исключением, быть может, концов стержня или точек излома на его
внешней поверхности.
§ 4.4. Включение в виде криволинейного стержня
Пусть теперь срединная линия стержня Г- гладкая
кривая, а радиус поперечного сечения α (ζ)- непрерывная,
кусочно-гладкая функция, удовлетворяющая условиям (4.1.1),
(4.1.2). Формальная схема построения главных членов
асимптотики поля напряжений внутри жесткого стержня по малым
параметрам δλ, S2 аналогична случаю осесимметричного
стержня. Считая поле напряжений постоянным в каждом сечении
стержня Ω(ζ),ζεΓ, проинтегрируем в (4.2.1) по сечениям и

195
рассмотрим полученное соотношение в точках кривой Г. В
относительных координатах ξ. = χ. /1, где 2/ - длина Г,
получим уравнение для σ(ξ), аналогичное (4.2.4)
СМ$ + \Ш?)С1СМ?)<Я" = е'№, £еГ\ (4.4.1)
г
Ш?) = Μξ~ ξ'- η')άη', (4.4.2)
ώ')
где ξ9 ξ е Γ , ξ + η' - вектор точки в сечении стержня Ω(£').
Опуская громоздкие выкладки, выпишем главные члены
разложения ядра Κ(ξ,ξ') в ряд по параметру δλ
Κ(ξ,ξ') = Α°(τη)δ(ξ-ξ')+ (4.4.3)
+{δ2Ιηδ,)Α\τη)α2{ξ')-^δ{ξ-ξ') + θ(δ2]).
Здесь τη=τη(ξ) - орт касательной к Г в точке ξ, тензоры
А°(т) и А\т) имеют вид (4.1.11), (4.2.17)
*,α(£) = α(£)//, δ,«\, α{ξ) = 0(1). (4.44)
Подставляя (4.1.3) в (4.4.1), получим следующее уравнение
для функции σ(ξ)
С~]о(4) + А°(т)С,С-]^)+ (4.4.5)
Μ^Α\η)^[α\ξ)ο(ξ)]=έ{ξ).
В случае жесткого стержня (C°C~l=0(S2)9 S2« 1) отсюда
следует, что функция σ(ξ) допускает оценку
σ«β{ξ) = ^{ξ)ητα(ξ)™β(ξ) + 0(\), <£(ξ) = θ{δ-2ή.
(4.4.6)

196
Уравнение для "осевой" компоненты ο^\ξ) поля
напряжений внутри жесткого криволинейного стержня следует из
(4.4.5) и имеет вид, аналогичный (4.2.27)
^[о2(Й^)(Й]-^о5:)(Й = -92Е^;(Й, (4.4.7)
Я2=~Е 2/°ηδ , £(Й = <,(Й«.(д«,(Й· (4-4-8)
т 1 1
Здесь дифференцирование проводится по координате ξ
вдоль оси Г криволинейного стержня.
Граничные условия для определения постоянных в общем
решении этого уравнения следуют из требования
минимизации невязки с правой частью исходного уравнения (4.2.1) при
подстановке в его левую часть функции σ(ξ) из (4.4.6),
(4.4.7). В частности, если α(ζ) удовлетворяет условию (4.1.1)
на Г и (^(ζο)^0,α(ξι)^0ι (ξ0,ξ - точки, соответствующие
концам стержня), то условия минимума приводят к
соотношениям, аналогичным (4.3.19)
ο?(ξ.) = οΡ(ξ,) = 0. (4.4.9)
В заключение этого пункта выпишем главные члены
внешних разложений полей деформаций и напряжений в
среде с жестким стержнем. С учетом соотношения
CV =С]С~]а+ = σ+ +0(δ2), (4.4.10)
из (4.1.3), (4.1.4) следуют равенства
е(х)= ε(χ)- JK(x-z)a(z)dTz , (4.4.11)
a(x)=a(x)-jS(x-z)(C°y]a(z)drz, (4.4.12)
г
где функция σ(ζ) с точностью до главных членов
асимптотики поля напряжений внутри жесткого стержня имеет вид

197
a(z) = s(z)ai°\z), s(z) = m\z), c/°\z) = <t?(z) + J?(ζ),
^=0(δ-2]), σ?=0(1). (4.4.13)
Заметим, что функции типа пограничного слоя, входящие
в выражение для σ*β)(ζ), дают малый вклад в величину σ(χ) и
ε(χ) по сравнению с медленно изменяющейся вдоль Г
составляющей c/°\z), если точка X удалена от концов стержня
на расстояния, превышающие величину характерного радиуса
а. Поэтому для вычисления σ(ζ) в (4.4.11), (4.4.12) можно
воспользоваться выражениями для главного члена c/°\z)
асимптотики поля напряжений внутри стержня, полученными
в §§ 4.3, 4.4.
В случае прямолинейного стержня и постоянного
внешнего поля деформации и напряжения вне стержня определяются
теми же соотношениями (4.4.11), (4.4.12), в которых функция
~σ{ζ) имеет вид
σ(ζ) = Α(ζ)ε\ Λ(ζ)= τια2(ζ)Β(ζ,τη), (4.4.14)
где тензор (А°)~х, а также функции γ(ζ),/(ζ) определены в
(4.3.47), (4.3.46).

ГЛАВА V
МНОЖЕСТВО ИЗОЛИРОВАННЫХ
ВКЛЮЧЕНИЙ В ОДНОРОДНОЙ УПРУГОЙ
СРЕДЕ
В данной главе рассматривается равновесие бесконечной
однородной упругой среды, содержащей равномерно
распределенное множество изолированных включений (матричный
композит). Основной целью при этом является решение
задачи осреднения (гомогенизации) и вычисление эффективных
модулей упругости матричных композитов с включениями
различного типа. Для решения этой задачи используются
самосогласованные схемы - методы эффективной среды и метод
эффективного поля. Путем сравнения теоретических
предсказаний с точными решениями (для регулярных композитов) и
экспериментальными данными исследуется погрешность
различных методов самосогласования.
§ 5.1. Постановка задачи осреднения
Матричными композитами называют неоднородные
материалы, состоящие из однородного связующего (матрицы), в
котором распределено множество изолированных включений
другого компонента (наполнителя).
Размеры и свойства включений, а также их распределение
в объеме матрицы, как правило, являются случайными.
Задача описания упругих, термоупругих и других
физических полей в стохастических материалах имеет ряд
специфических особенностей и отличается от постановки
классических задач математической физики и механики твердого
тела [120].
Прежде всего отметим, что во многих прикладных задачах
механики композитов характерный масштаб флуктуации фи-

199
зических свойств среды существенно меньше размеров тела, а
случайные функции, описывающие эти свойства, являются
однородными в широком смысле [125]. Поэтому если
отбросить специфические краевые эффекты, то основную
информацию о структуре физических полей в стохастически
неоднородном твердом теле можно получить из решения задачи
для бесконечной (занимающей все пространство) среды,
физические свойства которой являются статистически
однородными случайными функциями координат.
Известно [27,125], что исчерпывающую информацию о
случайной функции несут ее характеристический функционал
или же счетная последовательность статистических моментов
конечного порядка. Следовательно, полным решением задачи
теории упругости для стохастического композита является
бесконечная совокупность статистических моментов
случайных функций - вектора перемещений Ы(Х)9 тензоров
деформаций и напряжений ε(X) и σ(χ), выраженная через
статистические моменты тензора модулей упругости С(Х), и
заданные детерминированные внешние нагрузки (#(*), Т{ х)).
Найти в этом смысле полное решение задачи теории
упругости для стохастически неоднородной среды можно лишь в
редких частных случаях. Основная трудность здесь состоит в
том, что, несмотря на линейность исходной системы
уравнений, рассматриваемая задача является стохастически
нелинейной. Действительно, дифференциальное уравнение имеет
вид
(ΐ<αβ»β)(χ) = 9α(χ), ^β = -^7λΟλαβμ(χ)νμ9 (5.1.1)
и в его левую часть входит произведение статистически
зависимых случайных функций С(Х) и Vw(x). Вследствие такой
нелинейности любой статистический момент конечного
порядка случайной функции и (X) или ε (χ) выражается через
всю бесконечную совокупность моментов более высокого
порядка [96] и, чтобы сделать задачу обозримой, приходится
вводить упрощающие предположения, смысл которых зависит
от конкретных особенностей микроструктуры композита.
Следует отметить, однако, что для приложений полная
информация о случайных физических полях в неоднородной
среде, как правило, не нужна и основной интерес
представляют лишь несколько первых моментов решения.

200
Важной характеристикой физических полей в
стохастически неоднородной среде являются их первые статистические
моменты или математические ожидания. Эти величины
характеризуют осредненную реакцию микронеоднородного
материала на внешнее воздействие. Если такая реакция
известна, то реальный статистически однородный композитный
материал можно заменить детерминированной однородной
средой, отклик которой на внешнее воздействие эквивалентен
отклику рассматриваемого микронеоднородного материала.
Построение математической модели однородной среды,
эквивалентной реальному композитному материалу, является
одной из центральных проблем механики сред с
микроструктурой (проблема гомогенизации). Решение проблемы
гомогенизации позволяет связать макроскопические характеристики
композита со свойствами компонент и особенностями
пространственного распределения наполнителя в объеме матрицы.
Знание таких зависимостей необходимо для расчета
деформаций конструкций из композитов, а также для обоснованного
синтеза композитных материалов с заранее заданными
свойствами.
Подчеркнем, что выше под средним от случайной
функции понималось среднее по ансамблю ее реализаций. Пусть
включения в композитном материале образуют случайное
множество, так что функция, описывающая свойства
композита, является элементом ω функционального пространства с
заданной на нем вероятностной мерой μ(ω)[27]. Таким
образом, поле и(Х) в неоднородной среде будет зависеть οτ ω -
конкретной реализации случайного множества (ансамбля)
включений и(х) = и{х,бо). Под ансамблевым средним поля
и(х, ω) в произвольной точке X понимается среднее значение
случайной функции и(х,со) по ансамблю реализаций ω, т.е.
<и(х)>= \η(χ,ω)άμ(ω). (5.1.2)
Здесь интеграл понимается как континуальный в
функциональном пространстве реализаций случайного множества
полей неоднородностей (см.[27, 125]).
Введем оператор Д,, который позволяет определить
среднее значение поля <и(х)> непосредственно из уравнения
вида

201
(L.<u>)(x) = q(x), (5.1.3)
минуя решение уравнения (5.1.1) с последующим
осреднением (5.1.2). L+ называют эффективным оператором
микронеоднородной среды. Этот оператор в случае статистически
однородного композита описывает поле в некоторой однородной
среде, эквивалентной исходному композитному материалу.
Задача гомогенизации и состоит по существу в построении
оператора L+.
Нередко в механике под осреднением понимается
процедура вычисления интегрального среднего по некоторому
характерному объему VQ неоднородного материала. Следуя
работе [184], определим объем V0 как содержащий достаточно
большое количество включений, чтобы его можно было
считать макроскопически однородным, т.е. линейные размеры
этого объема должны быть существенно больше размеров
включений и расстояний между ними. Тогда среднее < и(х) >
от случайной функции и(х), описывающее какое-либо
физическое поле в композите, определяется на основе типичной
фиксированной реализации этой функции по формуле
<и(х)>=— ju(x-y)dy. (5.1.4)
Известно [125], пространственное осреднение (5.1.4)
совпадает с осреднением по ансамблю реализаций, если функция
и(х) является эргодической, а ее радиус корреляции
существенно меньше линейных размеров характерного объема VQ.
Строго говоря, эргодичность полей напряжений и
деформаций в статистически однородном материале имеет место
только в случае однородного внешнего поля. В случае
переменных полей, например, при рассмотрении процессов
распространения волн в неоднородной среде, корректно можно
говорить лишь об осреднении по ансамблю реализаций. Дело в
том, что при осреднении (5.1.4) результат, вообще говоря,
зависит от размеров характерного объема, в определении
которого имеется очевидный произвол. Эта зависимость будет тем

202
сильнее, чем более существенно меняется внешнее поле в
пределах характерного объема.
Вопрос о связи средних по ансамблю реализаций
случайных физических полей в неоднородной среде с
пространственными средними обсуждался в работах многих авторов (см.,
например,[94]). Показано, в частности, что системы,
описываемые уравнением Шредингера, обладают свойством
самоусреднения. Последнее означает, что для макроскопических
объемов пространственные средние экстенсивных величин
типа энергии совпадают со средними по ансамблю
реализаций соответствующих случайных функций. Необходимыми
условиями самоусреднения является пространственная
однородность системы и достаточно быстрое ослабление
корреляционных связей между значениями физических параметров
среды в различных точках при увеличении расстояния между
нии. По-видимому, аналогичное свойство имеет место и для
поей в статистически однородном материале.
§ 5.2. Интегральные уравнения для упругих полей
в среде с множеством изолированных
неоднородностей
В дальнейшем основным объектом нашего исследования
будет являться однородная упругая среда с тензором модулей
С°, содержащая множество включений, которые занимают
систему изолированных областей Vk с характеристическими
функциями Vk(x),k = 1,2,... . Тензор модулей упругости
среды с включениями С(х) можно представить в форме
C(x) = C°+C\x)V(x), ν(χ) = ΣΚ(*), (5-2.1)
к
где функция С1 (х) при χ G Vk описывает возмущение модулей
упругости внутри А:-го включения. В частности, если тензор
модулей упругости постоянный в каждой из областей Vk, то
С{х) = С+^С\¥к{х), (5.2.2)
к

203
где С° +С\ - тензор модулей упругости А:-го включения.
Если поля деформаций ε+ (х) и напряжений σ+ (χ) внутри
включений известны,
ε+ (х) = e(x)V(x), σ+ (χ) = ф)Г(х), (5.2.3)
то тензор ε (χ) и σ(χ) в любой точке среды представляется в
форме (2.1.22):
ε(χ)=ε(χ)-Ικ{χ-χ')€]{χ')ε+{χ')άχ', (5.2.4)
a(x)=a(x) + fs{x-x')Bl{x')a+{x')dx'. (5.2.5)
Здесь έ(χ), сг(х)-приложенные к среде внешние поля (σ=Οε°),
которые далее будем считать ограниченными нефинитными
функциями осциллирующего типа. Если включения
однородно распределены в среде, то ε+(χ) и <J+(x) - функции того же
класса, что и ε°(χ), σ(χ). Интегралы, выражающие действие
операторов К и S на таких функциях, формально расходятся
при х = 0 и |х| —> оо.
Рассмотрим задачу регуляризации этих интегралов и будем
считать, что с точностью до квадратично интегрируемого
слагаемого функции
т(х) = B\x)cj{x)V(x), q(x) = ?(χ)ε(χ)ν(χ) (5.2.6)
представимы в виде рядов экспонент с несоизмеримыми,
вообще говоря, волновыми векторами к3:
т(х)=т°+^т} txp\ikJ-x\, q(x)=q0+^qJ txplikJ-x].
j j
(5.2.7)
Здесь m°, q° - постоянные составляющие функций т(х) и
q(x), коэффициенты mJ и qJ таковы, что ряды в этих
соотношениях сходятся, быть может, в обобщенном смысле.

204
Используя свойство свертки, можно показать, что
действие операторов К и S на функцию exp[ikJ-x] сводится к
умножению ее на постоянные множители К*(£;) и S*(kJ):
JK(x-x')eikJx'dx' = K\kJ)eikJx, (5.2.8)
\S(x-x')eikJ'x'dx' = S\kj)eikJ'x.
Поскольку функции К*(£) и S*(k) вида (1.1.35), (1.2.11)
являются однородными функциями нулевой степени по к, то
они однозначно определены и равномерно ограничены для
всех kJ(kJ *0). Таким образом, при действии операторов К
и S на ряды (5.2.7) последние перейдут в аналогичные ряды с
коэффициентами К*(kJ)qJ, S*(kJ)mJ, которые будут
сходиться, если сходятся исходные ряды.
Действие операторов К и S на функцию φ{χ) из класса
L2(R3) можно определить соотношениями
(Κφ)(χ) = -^ JK\k)<p\k)e-ikxdk ,
(**>)(*) = τΛτί S\k)<p\k)e-ikxdk , (5.2.9)
(2 я) J
где интегралы являются абсолютно сходящимися.
Остается определить действие операторов К и S на
постоянные q и т° в (5.2.7). Рассмотрим следующую модельную
задачу. Пусть "неоднородность" имеет постоянные модули
упругости С°+Сх и занимает все пространство. При этом среда
остается однородной с модулями С=С°лСх. Будем считать, что
приложенное к среде внешнее поле напряжений σ-
постоянный фиксированный тензор. Поля деформаций и напряжений
в среде при этом также постоянны и имеют, очевидно, вид

205
s=(C°+Clyla\ σ=σ. (5.2.10)
Нетрудно убедиться, что решение уравнений (5.2.4), (5.2.5)
в рассматриваемом случае совпадает с (5.2.10), если
справедливы равенства
|К(х-х')<&' = (С°)-\ $S(x-x')dx' = 0. (5.2.11)
Пусть теперь в задаче фиксируется постоянное внешнее
поле деформаций ε°. Тогда напряжения и деформации в
среде принимают вид
£=ε\ a=(C°+CV- (5.2.12)
Решения (5.2.4), (5.2.5) совпадают в данном случае с
(5.2.12), если действие операторов К и S на постоянных
определить соотношениями
|К(*-*')<&' = 0, \s{x-x']dx' = -C° . (5.2.13)
В дальнейшем условие о том, какое из внешних полей
(напряжений или деформаций) считается фиксированным, в
задаче будет оговариваться дополнительно.
Заметим, что соотношения (5.2.11), (5.2.13) были получены
в §1.2 с помощью других соображений (ср.формулы (1.2.14) -
(1.2.17)).
§ 5.3. Тензор эффективных упругих модулей
композита
Используя функцию q(x), определенную в (5.2.6),
перепишем соотношения (5.2.4), (5.2.5) в форме
ε (χ) = ε°- JK{x - x')q(x')dx', (5.3.1)
σ(χ) =a°-js(x- x')B°q(x')dx', (5.3.2)
и будем считать внешние поля напряжений σ и деформаций
ε° постоянными.
Пусть множество включений однородно распределено в
пространстве. Задача осреднения, которая в основном и будет
Рассматриваться в данной главе, состоит в определении сред-

206
них по ансамблю реализаций случайного множества
включений значений тензоров напряжений и деформаций в
произвольной точке х среды. Связь ансамблевых средних со
средними по характерному объему композитной среды
обсуждалась в §5.1.
Исходя из (5.3.1), (5.3.2), выражения для указанных
средних представляются в виде
(ε(χ)) = e-JK(x-x')(q(x'))dx', (5.3.3)
(<j(x)) = a-js{x-x')B0(q(x'))dx\ (5.3.4)
где учтено, что К(Х) и S(x) - детерминированные функции.
Для пространственно однородного множества включений
ε(χ), а следовательно и q(x)9- однородные случайные
функции, обладающие свойством эргодичности. Поэтому среднее
<q(x)> в (5.3.3), (5.3.4) - постоянный тензор, значение
которого можно найти на основе типичной фиксированной
реализации случайной функции q(x):
(q)=\\m±\q{x)dx. (5.3.5)
Здесь W- область вЛ3, в пределе занимающая все
пространство. Подставляя сюда выражение для q(x) из (5.2.6) и
учитывая, что в силу линейности задачи функция ε (χ)
представляется в форме
ε (χ) = Α(χ)ε° , (5.3.6)
где Л(X) - некоторая четырехвалентная тензорная функция,
получим
(q) = pPe, P = (PV), Pv=(v)-'jC\x)A(x)dx. (5.3.7)
ν
Здесь ρ - объемная концентрация включений, интеграл Ρν
берется по объему V каждого включения, средние < Ρν > и
< ν > вычисляются по ансамблевым распределениям
случайных тензоров Ρν и объемов ν включений в композите.

207
Будем считать, что в задаче фиксируется средняя
деформация неоднородной среды <ε >, которая не зависит от свойств
и объемной концентрации включений и совпадает с
приложенным к среде внешним полем ε°. Заметим, что для тела
конечных размеров фиксация средней деформации означает
задание смещений на границе Ω этого поля. Если заданное
на Ω поле смещений и°(х) имеет вид и°а(х) = ε°αβχβ, где ε°αβ -
постоянный симметричный тензор, то среднее значение поля
деформаций в неоднородной среде равно ε°. Это следует из
определения среднего по объему и теоремы Гаусса
М=ъ1&+£У-ъ№л+*.)*>-ь-
\&Χβ дХа)
2V·
ΔΥ Ω
(5.3.8)
Указанное свойство остается в силе и для области V,
занимающей все пространство.
При фиксированной средней деформации действие
операторов К и S в (5.3.3) и (5.3.4) на постоянные определяется
соотношениями (5.2.13). Из этих соотношений с учетом (5.3.7)
следуют выражения для средних <£>и<сг>в форме
(ε) = ε\ (а) = С(е)9 (5.3.9)
С = С° +рР, (5.3.10)
где тензор С* связывает между собой средние по ансамблю
реализаций множества включений напряжения и деформации
в неоднородной среде и называется тензором эффективных
модулей упругости композита.
Таким образом, решение задачи осреднения эквивалентно
вычислению тензора эффективных модулей упругости
микронеоднородной среды и сводится к построению тензора Ρ
(5.3.7). Основная трудность при этом связана с решением
задачи о взаимодействии множества включений в
композитном материале - определении тензора А(х) в (5.3.6). Далее
Для определения тензора Ρ будут использованы методы
самосогласования.

208
§ 5.4. Методы эффективной среды
Методы самосогласования являются одним из наиболее
мощных средств решения задач о взаимодействии многих
частиц. В квантовой теории атома (приближение Хартри-Фока)
при описании фазовых переходов (метод Вейса, теория
Ландау) методы самосогласования дают возможность получить
приближенное решение, достаточно хорошо
аппроксимирующее точное в целом ряде бажных случаев. Известен общий
рецепт, когда применение этих методов оказывается
эффективным: поле, в котором находится каждая частица, должно
слабо зависеть от конкретной конфигурации частиц (или
включений) и определяется в основном совокупным полем
всех взаимодействующих частиц. Существует несколько
модификаций метода самосогласования. В данной главе
рассматриваются лишь простейшие из этих схем, основанные на
решении задачи об одиночном включении в однородной упругой
среде (одночастичная аппроксимация).
Одна из первых самосогласованных схем, применявшихся
для решения задачи осреднения в механике неоднородной
среды, была основана на следующей гипотезе.
Предполагалось, что каждое включение в композите ведет себя как
изолированное, помещенное в однородную среду, свойства
которой совпадают с эффективными свойствами всего композита.
Внешнее поле, действующее на каждое включение,
принималось совпадающим с приложенным к неоднородной среде
внешним полем ε°. Самосогласованные схемы, в которых при
решении задачи осреднения композитный материал вне
окрестности каждого включения заменяется средой с
эффективными свойствами, будем называть далее методами
эффективной среды.
Используя данную гипотезу, можно из решения задачи
для изолированного включения в однородной упругой среде
(одночастичной задачи) найти зависимость тензора Ρν в (5.3.7)
от параметров а., / = 1,2,..., характеризующих форму
включения, модулей упругости последнего и тензора эффективных
модулей упругости композита С*.
Pv = Pv(C',C,{a}), (5.4.1)

209
где {α}=(α,,α2,...)- совокупность параметров формы. Осредняя
затем Ρν по ансамблевым распределениям параметров формы
и тензора С и подставляя результат в (5.3.10), получим
уравнение для определения неизвестных компонент тензора С*
C' = C+p(Pv{C,C,{a})). (5.4.2)
Пусть однородные и изотропные включения сферической
формы равномерно распределены в изотропной матрице, Я0,
μο - коэффициенты Ламе матрицы, Λ, μ - те же величины для
включения. Используя решение задачи для однородного
сферического включения в среде с эффективными
коэффициентами Ламе Χ,μ* всего композита (2.4.19), получим следующее
выражение для тензора Ρν:
1-1
PV=(C-C')[I + A'(C-C·)] (5.4.3)
Здесь тензор А* определен формулой (2.4.15), где
параметры Яо и μο следует заменить на Я,μ. Отсюда и из (5.4.2)
получим следующую систему алгебраических уравнений для
определения объемного к* = Я, + 2//*/3 и сдвигового μ*
эффективных модулей композита
К = ко+р{к-ко)\
1 +
Ъ{к-К)
ЪК + 4μ*
(5.4.4)
μ· = Μο+ρ(μ-Μο)\
ι +
3(//-//.)(*.+2//.)
5//.(8*.+4//.)
Эти уравнения были получены в работах [156, 185].
Аналогичные уравнения для среды со случайным множеством
трещин найдены в [157].
Недостатки описанной схемы самосогласования
отмечались в ряде работ (см.например [78]). В частности, эффектив-

210
ные модули упругости среды с относительно жесткими
сферическими включениями (C°C~l=0(S), δ«ϊ) или порами
(С=0), рассчитанные из уравнений (5.4.4), существенно
отличаются от экспериментально измеренных при объемной
концентрации включений (пор) /?, превышающей 0.3.
Лучшее соответствие с экспериментальными данными
удается получить, используя модификацию метода эффективной
среды, предложенную в [190] и использованную затем в [162,
219, 232]. В этих работах при решении одночастичной задачи,
из которой определялось поле внутри типичного включения,
между эффективной средой и включением вводился слой из
материала матрицы (трехслойная модель). Рассмотрим этот
вариант метода эффективной среды подробнее на примере
композита, армированного сферическими слоистыми
включениями.
Пусть каждое включение в композите состоит из Ν—1
сферических слоев с различными упругими свойствами. Будем
считать для простоты, что все включения одинаковые, а
материал матрицы и каждого из слоев однородный и изотропный.
Выберем произвольное включение и поместим в его центр
начало сферической системы координат г,η (r=\x\, п=х/\х\).
Пусть границам слоев соответствуют значения радиуса г = ai9
/ = 1,2,...,#-1; ао - 0 <αλ <α2 <...<αΝ_λ. Поле деформаций
внутри каждого включения найдем из решения следующей
задачи. Поместим включение в среду с эффективными
свойствами всего композита С*, а на границе между средой и
включением введем еще один, N-и слой из материала матрицы С°.
Следуя [190], внешний радиус Ν-το слоя αΝ выберем из
условия
(ам-1/амУ=Р> (5·4·5)
где ρ - объемная концентрация включений. Область внутри
шара радиуса αΝ, состоящую из включения и указанного слоя
матрицы, назовем ячейкой Кернера Vk. Внешнее поле
деформации будем считать совпадающим с приложенным к среде
внешним полем ε° .

211
Деформацию в среде с описанным слоистым включением
можно представить в виде
е(г9п) = А(г9п)е°9 А(г9гг) = Е1 + А(г9п)9 (5.4.6)
где тензор А(г9п) имеет вид (2.8.20), (2.9.2) и зависит от
постоянных Y* (/=1,2,...,10;/=1,2,...,#+1), алгоритм построения
которых изложен в §2.9. Заметим, что (N+l)-u слой
(aN<r<aN+l9 aN+]=co) представляет собой всю эффективную
среду - область вне ячейки Кернера Vk.
Подставляя А(г9п) из (5.4.6) в (5.3.7) и учитывая
выражения (2.8.20), (2.9.2), для тензора А(г9п) получим
Ρ = *.(*ι -?,)Ε2 +2μ0{π2 -q2){^ -±Е2), (5.4.7)
N N - N--k-U_a
ifXil ^,=1»2; ^γΣ^ϊ! ' ^Σ^ »*г"Г^г ~ ><*>=—,
i=l i=l i=l *o Mo aN
(5.4.8)
где A;.,//. - модули объемного сжатия и сдвига i -го слоя; ко,
μο - те же величины для матрицы.
Из (5.4.2), (5.4.7) следуют выражения для эффективных
модулей объемного сжатия К и сдвига μ, композита
h = ko[\ + p{nx-qx)]9 M*=MQ[l + pU2-q2)]. (5.4.9)
Входящие сюда параметры qx,q2,7CX9n2 через решение од-
ночастичной задачи зависят от свойств всех слоев, их
размеров и модулей Κ9μ* эффективной среды. Поэтому (5.4.9)
представляет собой по существу систему уравнений для
определения параметров Κ9μ+. Уравнения, соответствующие
простейшему варианту метода эффективной среды, можно
получить из (5.4.9), устремив к нулю толщину Ν-το слоя (ρ^—χ^).
Заметим, что полученные в [162] уравнения для
эффективных модулей Κ9μ+ композита, армированного сферическими

212
включениями, не следуют из (5.4.8), так как при их выводе
использовалось другое условие самосогласования. В
указанных работах это условие состояло в том, что интегральные
средние напряжения и деформации по ячейке Кернера Vk
предполагались связанными между собой тензором
эффективных модулей упругости всего композита
(°)у> = С*(4< > (Л* = ~Г //(*)* · (5·4·10)
v vk
Вычисляя входящие сюда интегралы с учетом (5.4.6) и
выражения для тензора А(г,п) (2.8.20), (2.9.2), получим, что
уравнения для модулей Κ,μ+ примут вид
*.=*. — , μ*=μο — , (5.4.11)
Ч\ Яг
где параметры q., щ (i = 1,2) те же, что и в (5.4.8).
решение уравнений (5.4.9), (5.4.11) можно найти с
помощью итеративной процедуры на основе соотношений
*?> = ТФГ1 V-»), μ? = FM(kr\Mi-])), (5.4.12)
где №\μίη) - эффективные модули на П-и шаге итераций.
функции Fk и Ρμ определены правыми частями соотношений
(5.4.9) или (5.4.11). Расчеты показывают, что значения
модулей Κ,μ+, найденные из соотношений (5.4.9) и (5.4.11),
практически совпадают. Однако итеративный процесс (5.4.12)
оказывается более устойчивым к заданию исходного
приближения A:*o),//io), если в основу вычислений положить
соотношения (5.4.11).
На рис.5.1 представлены расчетные и экспериментальные
зависимости модуля Юнга композита Ет от объемной
концентрации включений /?. Верхняя часть рисунка соответствует
случаю жестких сферических включений (Е / Ео = 28,7,
у = 0,394, ν— 0,23), нижняя - случаю сферических пор.

213
Ε*
Εο
0.2
L·^
ν
^
0.2
1"
^
0.4 Ρ
^ Ι
Здесь Ε, ν - модуль
Юнга и коэффициент
Пуассона включения,
Е0, νο - те же
величины для матрицы.
Кривые 1 соответствуют
простейшему варианту
метода эффективной
среды, 2 -
модифицированному варианту,
светлые точки -
экспериментальные данные
[220].
Очевидно, что
модифицированный
метод эффективной
среды описывает экспериментальные данные лучше, чем
простейший вариант. Однако если концентрация жестких
включений достаточно велика (р> 0,4), модифицированный вариант
дает относительную ошибку в вычислении, превышающую
20%.
В качестве недостатка методов типа эффективной среды
отметим отсутствие в их рамках алгоритмов, позволяющих
уточнять полученное решение. В случае неизотропного
распределения включений в пространстве применение этих
методов связано с существенными техническими трудностями, а
также с рядом неопределенностей при формулировке одно-
частичной задачи.
Рис. 5.1
§ 5.5. Метод эффективного поля для среды
с эллипсоидальными включениями
Рассмотрим теперь другую самосогласованную схему
решения задачи осреднения, отличную от изложенной выше.
Будем исходить из предположения о том, что каждое
включение в композите ведет себя как изолированное в однородной
среде со свойствами матрицы С°, а наличие окружающих не-
однородностей учитывается эффективным внешним полем,

214
действующим на это включение. Эффективное внешнее поле
деформаций ε (напряжений σ) складывается из
приложенного к среде внешнего поля £°(<т°) и полей, наведенных
окружающими неоднородностями. В простейшем варианте
метода эффективное поле предполагается постоянным и
одинаковым для всех включений.
Самосогласованные схемы, в которых взаимодействие
между включениями учитывается введением локального
внешнего поля, действующего на каждое включение, будем
называть далее методами эффективного поля.
Используя основную гипотезу метода, поле деформаций
внутри каждого включения можно представить в виде
ε(χ) = Α°(χ)ε\ (5.5.1)
где тензор Л°(х) определяется из решения задачи для
одиночного включения в среде со свойствами матрицы С° при
действии постоянного внешнего поля деформаций ε*. При
этом функция q(x) (5.2.6), входящая в соотношения (5.3.2)-
(5.3.4), определяется выражением
q{x) = С1 (х)Л° (χ)εΎ(χ). (5.5.2)
Введем функцию V{x,xf) соотношением
ν(χ;χ') = ΣνΧχ') при xzVk, (5.5.3)
где V^x)- характеристическая функция области Vn занятой
/ -м включением. С помощью этой функции локальное
внешнее поле в точке χ eV (V = U^) представляется в виде
i
ε'(χ) = ε - JK{x-x')C'{x')A°{x')e'V(x;x')dx'. (5.5.4)
Осредним это соотношение при условии χ &V
(e'(x)\x) = e-JK{x-x')(cl{x')A°{x')v(x;x')\x)dx'e\
(5.5.5)

215
где <-\х> означает среднее при условии хеК. Отождествляя
среднее < ε*(χ)\χ> с эффективным вешним полем,
действующим на каждое включение,
(ε(χ)\χ) = ε, (5.5.6)
из (5.5.5) получим уравнение для эффективного поля ε*.
Рассмотрим среднее под интегралом в (5.5.5). Предполагая
статистическую независимость свойств включений от их
положения в пространстве, получим
(C]{x')A°{x')v{x-x')\x') = (С^Л^ФО)^*,*'),
4{x,x') = (v{x;x')\x)/(V(x)). (5.5.7)
Здесь учтено определение условного среднего [125]
(/(*)!*) = (f(xW(x))/{V(x)}. (5.5.8)
Используя свойство эргодичности, найдем
(C\x)X(x)V(x))= (5.5.9)
= Jim -Μ С (x)A°(x)V(x)dx = lim -L ^\c\x)\\x)dx.
Осредняя обе части этого соотношения еще раз по
ансамблю случайного множества включений, получим окончательно
(C\x)\°(x)V(x))= Bm jp(v)r =рГ, (5.5.10)
P°=-^ljc\x)A°(x)dx\, (5.5.11)
где N - число включений, попавших в область W,v - объем
типичного включения. С учетом (5.5.6), (5.5.10) соотношение
(5.5.5) принимает вид
ет = ε -ρ^Κ(χ-χ')Ρ04!(χ-χ')άχ'ε* . (5.5.12)

216
Здесь учтено, что для пространственно однородного
множества включений функция Ψ(χ,χ'), определенная в (5.5.7),
зависит только от разности аргументов х — х'. Рассмотрим эту
функцию, характеризующую геометрическую структуру
случайного множества включений, более подробно. Из
определения условного среднего имеем
lV(x'; χ' + х)\ χ') lv(x'; χ' + x)v(x'))
ψ(χ) = Λ-^ 'L_/ = \_1_L ν Π . (5.5.13)
Ш (V(x))2
Рассмотрим вначале вид корреляционной функции
<V(x' + x)F(x')>, где V(x) - характеристическая функция
области, занятой включениями. В силу эргодичности V(x)
можем записать
= Iimlf
W-*ao W J
ГГ W
(V{x')V{x'+x))= (5.5.14)
UjV*J)
Заметим, что jVt(x')Vt{x' + x)dc' есть объем пересечения
двух одинаковых областей, сдвинутых друг относительно друга
на вектор X.
Среднее <V(x';x' + x)V(x') > в числителе (5.5.13)
совпадает с корреляционной функцией (5.5.14), если не учитывать
вклад в (5.5.13) тех реализаций, для которых точки Χ и
доказываются внутри одного включения. Последнее следует из
определения (5.5.3) функции V{x\x'). Поэтому, отбрасывая
первую сумму в (5.5.14), найдем выражение в числителе (5.5.13), а
сама функция Ψ(χ) принимает вид (< V(x) >= ρ)

217
Отсюда следует, что непрерывная функция Ψ(χ) имеет
среднее значение, равное единице
■&£/ψ(χ)Λ = 1' (55Л6)
а так как области Vi не пересекаются, то
ψ(χ) = 0 при х = 0. (5.5.17)
В общем случае функция Ψ(χ) представляется в виде
суммы постоянной составляющей (равной единице)
осциллирующей функции с нулевым средним значением и некоторой
финитной функции. Функция Ψ(χ) характеризует плотность
распределения неоднородностей, окружающих типичное
включение, центр которого расположен в начале координат. Иногда
говорят, что Ψ(χ) определяет вид "корреляционной ямы", в
которой находится типичное включение в композите.
Если поле включений обладает некоторой симметрией (в
статистическом смысле), то это сказывается на симметрии
функции Ψ(χ). В частности, если множество включений
изотропно, то эта функция сферически симметрична, то есть
Ψ(χ) = Ψ(|*|).
Нарушение свойства изотропии случайного множества
включений может привести к появлению текстуры. Под
текстурой здесь понимается отличие симметрии тензора модулей
упругости матрицы от симметрии тензора эффективных
модулей неоднородной среды. Для большинства стохастических
композитов симметрия текстуры, связанная с
геометрическими свойствами поля неоднородностей, является не слишком
низкой и ее вполне можно описать с помощью
двухвалентного тензора ααβ. В этом простейшем случае тензор а
определяет линейное преобразование пространства, которым
функция Ψ(χ) переводится в сферически симметричную
Ψ(αχ) = Ψ(|χ|). (5.5.18)
В общем случае, разумеется, такое преобразование
подобрать нельзя.

218
Используя указанные свойства функции Ψ(χ), вычислим
интеграл в (5.5.12). Учитывая формулы регуляризации (1.2.17)
и (5.2.13), получим
Jk(x - χ')ψ(χ - x')dx' = |κ(χ)(ψ(χ) - \)dx =
= -A(a) + detaJK(ax)(}¥(ax)-l)dx9 (5.5.19)
где тензор А(а) определен соотношением (2.4.2) при а-а,
последний интеграл понимается в смысле главного значения
и сходится в нуле и на бесконечности. В том случае, когда
имеет место равенство (5.5.18), интеграл в правой части
(5.5.19) исчезает и это равенство принимает вид
Jk(x - χ')ψ(χ - x')dx' = -A(a). (5.5.20)
Подставляя это соотношение в (5.5.12) и разрешая
полученное уравнение относительно ε', найдем
ε = AV , Λ* =[ΐ-ρΑ(α)Ρ°]~] . (5.5.21)
Отсюда и из (5.5.2) следует выражение для среднего
значения функции q(x) в форме
(q(x)) = (Cl(x)A°(x)eV(x)) = pPe°9 P = P°A\ (5.5.22)
где тензор Р° определен в (5.5.11).
Обратившись теперь к соотношениям (5.3.7), (5.3.10),
получим следующее выражение для тензора эффективных
модулей упругости композита С*:
С = С +рР°К = С +pP°[l-pA{a)P°]\ (5.5.23)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Г. Среда с множеством однородных эллипсоидальных
включении При этом тензор Л° в соотношении (5.5.1)
является постоянным и имеет вид
\° =(l + А(о)Сх)~\ (5.5.24)

219
где А(а) определен в (2.4.2), €ίαβ-ααδαβ (по а не
суммировать!), ах,а2,аъ- полуоси эллипсоида. Отсюда следует, что
тензор Р° в (5.5.10) определяется следующим образом:
Р° =—^— (Cl[l + A(a)cl]~lv(a))9 ν{α)Ληαλα2α,,
< ν(α) > \ L J / 3
(5.5.25)
где осреднение проводится по ансамблевым распределениям
полуосей эллипсоидов, их ориентациям и упругим свойствам
с.
Пусть включения имеют форму шаров случайного радиуса
а, а их распределение в пространстве изотропное. При этом
А(а) = А(а) = А\ (5.5.26)
где А° - значение тензора (2.4.2) при ααβ = δαβ , а выражение
(5.5.23) для тензора С* принимает вид
С = С + рСх [/ + (1 - р) А °С] Υ (5.5.27)
Заметим, что формальный предельный переход при р—>1
в этом соотношении дает физически правильный результат
С* =С°+С1 . (5.5.28)
Таким образом, полученное выражение для С* оказывается
физически непротиворечивым во всей области изменения
концентрации включений, хотя при р-Я гипотезы метода
эффективного поля теряют смысл, поскольку при этом нельзя
говорить об изолированных неоднородностях.
В рамках рассматриваемой самосогласованной схемы
можно оценить не только эффективные модули упругости, но и
более тонкие характеристики упругих полей в композитах.
Действительно, в силу основной гипотезы метода каждое
включение ведет себя как изолированное в матрице С° в
постоянном внешнем поле ε*. Из решения задачи об
изолированной эллипсоидальной неоднородности (§ 2.3) следует
выражение для тензора деформации внутри включения

220
ε+ =(/ + A(a)C])~] ε* . (5.5.29)
Отсюда можно найти концентрацию деформаций и
напряжений в матрице на границе с включением, используя
результаты §2.4. Взаимодействие между включениями учитывается
при этом через эффективное внешнее поле ε*, действующее
на каждое включение в композите и имеющее вид (5.5.21).
2°. Среда с множеством сферических слоистых
включений. Пусть в однородной и изотропной упругой среде
статистически изотропно распределено множество сферических
слоистых включений. Будем считать для простоты, что все
включения одинаковые и состоят из однородных слоев с модулями
объемного сжатия к. и сдвига μ.(ΐ = 1,2,..., jV). Используя
решение задачи для сферически слоистого включения в
однородном внешнем поле деформаций, полученное в § 2.8,
можно показать, что тензор Р° (5.5.11) принимает вид
Р° = Р;Е2 +Р2°(е1 - JE2), (5.5.30)
где скалярные коэффициенты Р1°,Р2° определяются
соотношениями
ык К μ. αΝ
Ρ2°=2μ.Σ terl)[(l+31?+21* \af-aU )+К(зГ2'+^ fa-fti)] -
(5.5.31)
где α(. - радиусы слоев (/' = 1,2,...,Ν), алгоритм вычисления
массива постоянных YJ указан в § 2.8.
Тензор А(а) в (5.5.20), (5.5.23) имеет в данном случае вид
(2.4.16). При этом из (5.5.23) следует выражение для тензора
эффективных модулей упругости композита в форме
С* = Л.Е2+2^.(е'-^Е2), (5.5.32)

221
k.=K+pP;(\-psxPx°)~\ μ.=μ0+ρΡ;(2-Ρ82Ρ;)'\ (5.5.33)
Ък
S\=
. ^4(з-,)=|^Ч, tf-f т. *-*-*,
3*.+4Л' ' 5Ч " 5(3*.+4„.)
где коэффициенты Р}° и /^° определены в (5.5.23). В случае
однородных включений с модулями объемного сжатия и
сдвига к и μ эти коэффициенты принимают вид
ро = к-ко ^ ро _ 2{μ-μ0) (5.5.34)
ko+sx{k-ky 2 μο+^2{μ-μο)'
Эффективные модули кт и μ0 при этом определяются
соотношениями
, , , К{к-ко) μ0(μ-μ0)
(5.5.35)
Для включений, более жестких, чем основная среда, эти
выражения для А;,/^ совпадают с нижней вариационной
оценкой Хашина-Штрикмана [180], а для податливых
включений - с аналогичной верхней оценкой. Следующая из (5.5.35)
зависимость эффективного модуля Юнга Е„ от объемной
концентрации однородных сферических включений в случае
композитов, рассмотренных в конце пункта 5.4, представлена на
рис. 5.1 кривыми 3. Очевидно, что область применимости
изложенного в этом пункте варианта метода эффективного поля
в случае жестких сферических включений ограничена
величиной объемной концентрации 0,4(/? < 0,4).
§ 5.6. Регулярные решетки неоднородностей
Применим метод эффективного поля для вычисления
эффективных модулей упругости регулярных композитов. Эта
задача представляет собой особый интерес, поскольку для ря-

222
да таких композитов найдены точные значения эффективных
модулей упругости. Поэтому здесь появляется возможность
детального исследования погрешности рассматриваемого
приближенного метода.
Пусть идентичные включения образуют регулярную
решетку в однородной матрице. Тензор эффективных модулей
упругости регулярных композитов определим соотношением,
аналогичным (5.3.9)
(φ)) = (?(ε(χ)), (5.6.1)
где ε(χ),σ(χ) - упругие поля деформаций и напряжений в
композитной среде при действии постоянного внешнего поля
έ{σ). Осреднение здесь проводится по объему элементарной
ячейки периодической решетки, что, очевидно, эквивалентно
осреднению по всему пространству. В свою очередь среднее
от ε(х) и σ(χ) по всему пространству совпадает со средними
в фиксированной точке χ при всевозможных трансляциях
регулярной решетки неоднородностей. Таким образом,
осреднение в (5.6.1) можно понимать как осреднение по ансамблю
случайных функций V(x), который задается соотношением
V(x)=K(x+r), (5.6.2)
где Vo (x) - характеристическая функция области, занятой
фиксированной решеткой включений, г - случайный вектор,
равномерно распределенный во всем пространстве. Заметим, что
при осреднении по ансамблю (5.6.2) эргодическое свойство
полей ε{χ) и σ{χ) выполняется автоматически. Таким
образом, схема метода эффективного поля, развитая в предыдущих
пунктах, может быть перенесена на случай регулярных
структур без каких-либо изменений.
Начнем с построения среднего Ψ(χ) (5.5.18) для
регулярной решетки неоднородностей. Пусть все включения имеют
эллипсоидальную форму, причем невырожденным линейным
преобразованием х- пространства (а-1) эти эллипсоиды
переводятся в шары единичного радиуса.
Рассмотрим выражение (5.5.14) для среднего <У(х'+х)У(х')>
в случае регулярной решетки эллипсоидов. Как уже
отмечалось, входящий в выражение для этого среднего интеграл

223
}У;(х' + x)V{x')dx' есть объем пересечения двух одинаковых
эллипсоидов Vn центры которых сдвинуты на вектор х.
Отсюда имеем
Ых'Щх' + x)dx' = v(a)J{x), (5.6.3)
7(x) = j(i-il^^l)2(i+iK^l). К'*1^2 (564)
1 0, \а-]х\>2'
где ν(α) -^лаха2аъ- объем эллипсоидов с полуосями α15α2,α3,
которые образуют регулярную решетку.
Для регулярной решетки одинаковых включений среднее
<V{x')V{x' + x)> есть периодическая функция х, причем
период ее равен вектору решетки, образованной центрами
включений. В окрестности точки χ = О вид этой функции
определяется первым слагаемым в (5.5.14). Отсюда и из (5.6.4)
следует, что среднее < V{x')V{x' + χ) > имеет вид
< V{x')V{x' + χ) >= p£j(x - т), (5.6.5)
т
где ρ - объемная концентрация включений, т - вектор
решетки, образованный центрами включений. Но тогда
функция Ψ(χ) (5.5.15) в случае регулярной решетки включений
определяется соотношением
4?(χ) = -Σ J{x-m), (5.6.6)
ρ т
где штрих над знаком суммы означает пропуск слагаемого
т - О, а функция J(x) имеет вид (5.6.4).
Отсюда следует, что интеграл в уравнении (5.5.12) для
эффективного поля деформаций ε представляется в виде
следующего сходящегося ряда
|к(х - χ')ψ(χ - x')dx' = -А , (5.6.7)

224
Α = Α°-Σ fK{x)[±j{x-m)-l\dx. (5.6.8)
Здесь тензор А° имеет вид (2.4.2) при ααβ = δαβ. Кроме
того, учтены соотношения (5.5.16) и (5.2.13). Подставляя этот
результат в (5.5.12) и разрешая полученное уравнение
относительно тензора ε , получим
ε=Κε\ Α*={ΐ-ρΑΡ°)~\ ρ = -j- [cl(x)A°(x)dx,
(5.6.9)
где V - объем включения, функция Л°(х) - та же, что и в
(5.5.1). Отсюда и из (5.5.23) следует выражение для тензора
эффективных модулей упругости композита с регулярной
решеткой включений
С =C°+pP0{l-pAP°y] . (5.6.10)
Рассмотрим пример изотропной среды, в которой
сферические изотропные включения образуют кубическую решетку.
Тензор С* принимает в этом случае вид
С =С° +pC[l + {\-p)A°C +pdp)TCx]"' .(5.6.11)
о
Здесь тензор А° имеет вид (2.4.16), а компоненты тензора
Г в системах базисных векторов решетки е(1),е(2),е(3)
определяются соотношением
г - !
^Ιβλμ + 2^οψΧμ ~ 5Σ δ\&ΐΡαβΐμ
ι=1
(5.6.12)
Коэффициент а(р) представляется в виде сходящегося
ряда интегралов, аналогичных (5.6.8)
а(р) = Σ jk{x)[±J(x-m)-\]dx, (5.6.13)

225
k(x)=
32л\х\:
-з+5^.,(104^^(2))М^^(3)У
, п=х/\х\,
где функция J(x) имеет вид (5.6.4) при ααβ = δαβ. Здесь
использовано явное выражение для функции К(х): формула
(П2.2.3) Приложения П2.2. График функции а(р),
полученный численным суммированием этого ряда, представлен на
рис.5.2.
а(Р)
0.08
0.04
Перейдем к плоской
задаче. В этом случае все
построения проводятся аналогично
трехмерной ситуации.
Выражение для тензора
эффективных модулей упругости по-
прежнему будет иметь вид
(5.6.11), в котором все тензоры
следует заменить их
двумерными аналогами. В случае
изотропной среды выражение
для функции К(х) и тензора
А° в (5.6.8) принимает вид (см.
Приложение П2.3. Формула П2.3.4)
К(*) =
2πμο\χ\
Е]-2Е5 -^(4Е] -Е2 -\2E5{n) + SE6{n))
(5.6.14)
1-х <, 2-х
А° = -Е2 +
* . - ~·ΐΕι_ΙΕ2
(5.6.15)
4Я 4/ιβ ^ 2 ,
где η- Jt/|x|,aeo =[2(1- νο)]_1 - для плоской деформации и
аео = (1+ νο)/2 для плоского напряженного состояния, Ε'(/ι)-
элементы Ε-базиса в плоском случае (см.Приложение Ι.Ι).
Пусть круговые изотропные включения образуют
правильную треугольную решетку на плоскости. Представим интеграл
(5.6.7) в виде

226
|κ(χ-χ')ψ(^-^)Λ'=-^β+|κ(χ)[ψ(χ)-ΐ]Λ, (5.6.16)
где интегрирование проводится по всей плоскости, функция
Ψ(χ) обладает свойствами (5.5.16), (5.5.17), а группа
симметрии Ψ(χ) совпадает с группой симметрии треугольной
решетки.
Интеграл в правой части (5.6.16) есть тензор, группа
симметрии которого совпадает с группой симметрии Ψ(χ).
Известно [97], что базис четырехвалентных тензоров,
обладающих симметрией правильной треугольной peinetKn, состоит
только из изотропных тензоров. Поэтому имеет место
равенство
|κ(χ)[Ψ(χ)-1]Λ= αΕλ +βΕ2. (5.6.17)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
полное свертывание тензора К(х) (5.6.14) сначала по первой, а
затем по второй паре индексов, а также сперва по
внутренней, а затем по внешней парам равно нулю.
Каа/?Дх) = Ка^а(х) = 0. (5.6.18)
Отсюда и из (5.6.17) следует, что α = β=0 и интеграл в
правой части (5.6.16) для правильной треугольной решетки
круговых включений исчезает.
Учитывая (5.6.10) и решение задачи для кругового
включения в постоянном внешнем поле, получим выражение для
тензора эффективных модулей упругости С среды с
треугольной решеткой включений
С* =С° +pCl[l + {l-p)A°Cl\\ (5.6.19)
где тензор А° имеет вид (5.6.15).
Если круговые включения образуют квадратную решетку,
то интеграл (5.6.17) не равен нулю. Аналогом функции J(x)
(5.6.4) в плоском случае будет функция

227
■/(*) =
arctg
2£|,.Μ -Μ ,.
|r|V 2α J 2α V
Ο,
"χΓ2
2α
|χ|<2α.
χ>2α,
(5.6.20)
где а- радиус включений. При этом функция Ψ(χ)
определяется соотношением (5.6.6), а интеграл (5.6.17) принимает вид
/к(х)[У(х)-1]А = аЫГ,
(5.6.21)
2ае„
αβλμ
2^U +^ -4Σ «/-Α , (5-6.22)
/ = 1
где компоненты тензора Г выписаны в базисе векторов
решетки е(1),е(2) коэффициент о{р) представляется в виде
сходящейся суммы интегралов
а(р) = Σ' J*(*)[£ -Д * " ™) -1]*, (5.6.23)
ЪЩХ\ L
Л =
График функции а(р), найденный численным
суммированием этого ряда, представлен на рис.5.3.
Тензор эффективных модулей упругости композита с
квадратной решеткой круговых включений определяется
выражением
С =С° +pCx[l+{\-p)A°C +pa{p)YCx]X ,(5.6.24)
где тензоры А° и Г определены (5.6.15) и (5.6.22).

228
0 08
0.04
0 0.2 0.4 0.6
Рис. 5.3
сматривать как точные.
Е. Е./Е=0
4 L -ф-ф·-
ι | I | \тгЫ&
пх Tj^RTf
0 Ί Ι Τ
^\*ч\\
"^r^vJ1·51 I
>41>J
^τ4
Π№Ρΐ
IrPW
0 0.2 0.4 0.6 0.8 b/a
Рис. 5.4
В [30] задача о
напряженном состоянии
плоскости с периодической
решеткой круговых
включений в однородном
внешнем поле была решена с
помощью разложения в
ряды по двоякопериоди-
ческим функциям.
Приведенные в [30] значения
эффективных упругих
модулей решеток можно рас-
μ0 L
2 L·
ι L
η о 1
0 \ [■■
E./E=0
a/2 \ψϊφ~jftfe)^
1^*Т 0.7 J ^J
■4J4 J
Т*>Хз 1
^4л1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 b/a
Рис. 5.5
На рис.5.4, 5.5 дано сравнение точных значений
эффективных модулей упругости с подсчитанными методом
эффективного поля для правильной треугольной решетки из
соотношения (5.6.19). Здесь Εο,μ0 и Ε,μ - модули Юнга и сдвига
матрицы и включений, Ε,,//, - те же величины для всего
композита. Сплошные кривые - точные решения, штриховые
линии с кружками соответствуют формуле (5.6.19).
На рис.5.6-5.8 приведены графики относительных величин
эффективных параметров упругости для квадратной решетки
круговых включений, подсчитанные по формуле (5.6.24). Здесь
же приведены точные зависимости, данные в [30] (сплошные
кривые).

229
Ε.
Ε.
4 !
2
1
08
04
у;»Г| _^
Εο/Ε-0
$
Ι Ά
^я
EJ(l+v.)
М1+Ч)
0.1
4
0.3
0.7 2
1
0.8
1.5
3 0.4
10
00
: #4j.
Ε·/Ε
=0
J Л
/у/А
ο.ι
0.3
0.7
1.5
3
10
0.2 0.4 0.6 0.8 Ь/а
Рис. 5.6
0.2 0.4 0.6 0.8 Ь/а
РИС. 5.7
Анализ приведенных здесь графиков показывает, что для
рассмотренных регулярных структур решение по методу
эффективного поля практически совпадает с точным решением,
когда отношение модуля упругости среды к модулю упругости
включения лежит в пределах
0,1< —<10
Ε
μ·
4
2
1
0.8
0.4
I ■ , ■
b
N
►
Γ j,a
jr ^
^4
s
^»
mtA
О
EdJ
E-/E=0
0.1
0.3
0.7
1.5
3
10
0.2 0.4 0.6 0.8
Рис. 5.8
(5.6.25)
При Ео/Е>10 или
Eo/Ε <0,1,начиная со
значений концентрации
включений /?>0,4, решения по
методу эффективного поля
дают погрешность,
возрастающую с ростом
концентрации.
§ 5.7. Тонкие включения в однородной
упругой среде
Перейдем к рассмотрению однородной упругой среды с
множеством включений, у которых один из характерных
размеров много меньше двух других. Для приложений
наибольший интерес представляют тонкие включения, модули упру-

230
гости которых существенно отличаются от модулей упругости
среды. Таким образом, неоднородности рассматриваемого
здесь типа характеризуются двумя малыми параметрами:
геометрическим - отношением характерных линейных размеров
δλ и физическим - отношением модулей упругости среды и
включения δ2. Главные члены асимптотического разложения
упругих полей в окрестности тонких включений в ряд по
малым параметрам Sl9S2 были построены в главе 3. Для
решения задачи о взаимодействии множества тонких включений
далее ограничимся учетом только главных членов указанных
разложений.
В дальнейшем будем считать, что срединная поверхность
/ -го включения ПД/= 1,2,...) является плоской с нормалью
тг Таким образом, включения рассматриваемого типа
являются пространственно ориентированными. Очевидно, что
ориентация такого включения относительно внешнего поля и
окружающих неоднородностей влияет на локальное упругое
поле, в котором находится это включение. Для описания
взаимодействия между тонкими включениями вновь
воспользуемся методом эффективного поля. Однако, учитывая
специфику формы рассматриваемых включений, основную гипотезу
метода сформулируем иначе, чем в случае квазисферических
включений (§ 5.6).
Будем считать, что каждое включение в композите
находится в постоянном (локальном) внешнем поле ε, которое
зависит от ориентации включения τη(ε* = ε*(τη)). С учетом
этой гипотезы выражения для тензоров деформаций ε(χ) и
напряжений σ(χ) в среде с тонкими включениями можно
представить в форме, аналогичной (5.3.1), (5.3.2):
ε(χ) = ε° - Jk(x - x')q(x')dx', (5.7.1)
σ(χ) = σ° - JS(x - x')B°q(x')dx', (5.7.2)
q(x) = A(x)S(m)Q(x), П(х) = £ПДх). (5.7.3)

231
Здесь Ω.(Χ) - обобщенная функция, сосредоточенная на
срединной поверхности /-го включения ΩΓ Функция т=т(х)
при χ еЦ совпадает с нормалью т. к поверхности Ω., а
функция Л (х) при χ е Ω. определяется из решения задачи для
изолированного тонкого включения в однородном внешнем
поле деформаций £*(mf). В частности, в случае тонких
эллипсоидальных включений выражение для функции А(Х) при
χ е Ω. имеет вид
Л(х) = Л(т, )*,·(*), (5.7.4)
где функция ζ. (х) в системе главных осей хх, х2 эллипса Ω. с
полуосями ά]9ά2 определяется соотношением (3.7.1)
*«(*) = ,!-
'*Л
Vai У
2 /_ V
ЧЛ2У
(5.7.5)
а тензор Л (т.) зависит от ориентации включения т. и
модулей упругости среды и включения ( § 3.7).
Введем функцию Ω(χ',χ') соотношением
Ω(λγ;λγ') = ΣΩ'0Ο прих^ . (5.7.6)
С помощью этой функции локальное внешнее поле в
точке X, принадлежащей срединной поверхности произвольного
включения (хеП,0=иЦ),представляется в форме (rrt =гЫх'))
i
е\х) = ε - Jk(x- x')A{x')e*{m')Q(x;x')dx'. (5.7.7)
Осредним это равенство при условии, что точка χ
находится на срединной поверхности включения с нормалью т.
Обозначим через <-\х9т> операцию указанного осреднения.
Отождествляя теперь среднее <е*(х)\х,т> с эффективным
полем ε*(χ), в котором находится включение ориентации т

232
(e\x)\x,m) = e(m), (5.7.8)
из соотношения (5.7.7) получим
e\m) = e-JK{x-x')(A{x')e*{m')Q{x;x')\x,m)dx'.
(5.7.9)
Рассмотрим среднее под знаком интеграла в этом
соотношении. Предполагая статистическую независимость свойств
включений от их положения в пространстве, найдем с учетом
(5.7.1)
(\(х')е(т')п{х; х')\х, т) = (К{т')е{т'))Ут{х - χ'),
(5.7.10)
\(т)= ζ(χ)Ω(χ))Л(т), Ψ.(χ~^)-ν /rv ' 7-
(Ω(χ))
(5.7.11)
Здесь среднее <А(т)е*(т)> вычисляется по
ансамблевым распределениям ориентации и свойств включений.
Функция ^шОО характеризует геометрические особенности
расположения включения в композите. Из определения (5.7.6)
функции Ω(χ,χ') следует, что
х¥т(х) = 0 при х = 0 (5.7.12)
и вследствие ослабления корреляции в положении включений
с увеличением расстояния между ними
Ψ„(λ:)->1 при |х| —> оо . (5.7.13)
Так же как и функция Ψ(χ) вида (5.5.7), функция Ψ,„(χ)
определяет вид "корреляционной ямы", в которой находится
типичное включение ориентации т в композите. Допустим,
что существует линейное преобразование X -пространства
а(т), которое переводит функцию Ψ,„(χ) в сферически
симметричную, т.е.
У=а(т)х9 х¥т(<*~1(™)у) = УЛ\у\). (5-7.14)

233
Тогда эллипсоид Ат, заданный уравнением
|а(т)х|<1 (5.7.15)
и имеющий полуоси α,,α2,α3, характеризует форму
корреляционной ямы.
Подставим (5.7.10) в (5.7.9) и вычислим входящий туда
интеграл с учетом (5.5.19), (5.5.20). Если учесть также
сферическую симметрию функции Ψ,„(|>Ί), то получим
е\т) = е+А(т)(К(т)е\т)), (5.7.16)
А(т) = \К(х)[1-Ч!м(х)]<Ь. (5.7.17)
Умножим обе части (5.7.16) на тензор Л(т) слева и осред-
ним результат по ансамблю случайных ориентации и свойств
включений. Разрешив полученное уравнение относительно
тензора < Κ{ΐή)ε*{ΐή)>, найдем
(К(т)а\т)) = [е1 -fi(m)A(m))]~\~K(m))e. (5.7.18)
Выражение для эффективного поля ε*(ιη) получим,
подставляя в правую часть (5.7.16) < К(т)е*(т)> из (5.7.18).
Осредним теперь выражения (5.7.1), (5.7.2) для ε(χ) и о{х)
по ансамблю реализаций случайного множества включений
(ε) = e-JK{x-xf)(K(m)e\m))dxf, (5.7.19)
(a) = a-jS{x-x')B°fi(m)e\m))dx'. (5.7.20)
Здесь учтено соотношение
(А(х)е\т)П(х)) = (ζ(χ)Ω(χ))(Α(τη)ε*(т)). (5.7.21)
Предположим, что в задаче фиксируется внешняя
деформация среды. Учитывая тогда регуляризацию (5.2.13) из
(5.7.19) и (5.7.20), найдем
(*) = *', (σ) = σ(ε)9 (5.7.22)

234
С = С +[/-(Л(т)Л(т))]_1(Л(т)), (5.7.23)
где С*- искомый тензор эффективных модулей упругости
композита с множеством тонких включений. Перейдем к
рассмотрению конкретных типов тонких включений в
однородной упругой среде.
§ 5.8. Упругая среда, армированная
жесткими чешуйками и лентами
Пременим результаты предыдущего пункта для
построения тензора эффективных модулей упругости композита,
армированного тонкими жесткими включениями, которые
представляют собой сплюснутые эллипсоиды с полуосями a]9a2,h
(h/a]9h/a2 «1). При этом функция Л(х) в представлениях
(5.7.1), (5.7.2) для полей деформаций и напряжений в среде с
включениями определяется из решения задачи для
изолированного включения во внешнем поле деформаций ε*{τη).
Воспользовавшись результатами § 3.7, можно записать
Л(х) = A(m)z(x), (5.8.1)
А(т) =
—®(т)С-х®(т) + и°(т)
где С- тензор модулей упругости включения, тензор 0(/я)
определен соотношением (3.2.4), U°(m) имеет вид (3.7.18),
х]9х2 - главные оси срединной поверхности включения.
Материал включения будем считать далее трансверсально-
изотропным с осью изотропии, направленной вдоль нормали
т к срединной поверхности включения Ω. Пусть Еп и v12 -
модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала включения
в плоскости х]9х2. Тогда тензор 0(m)C_10(m) принимает
вид

235
1-vv
1
0(/и)С-10(/И) = ^—^P» +
V
P»-Ip>)j,
(5.8.2)
где μη = Е12 /2(1+ νη)- модуль сдвига в срединной
плоскости включения, тензоры Р'(т) определены в (2.4.7).
Если Ω - круговая область радиуса а, то тензор Л (/и) в
(5.8.1) имеет вид (3.7.8) (ξ = αμο /(2Λμ12))
А(т) = А,Р\т) + А2(Р](т)-^Р\т)), (5.8.3)
Λ, = αμ0
-l-l
£±^ + £(2-β.)
1+ν„ 8
"12
, A2=2a/ic
Ь 16V "'
Пусть Ω - плоская лента шириной 1а, вытянутая вдоль
оси χ, (α, —>°о, а2=а). В этом случае отличные от нуля
компоненты тензора Л(/и) имеют вид, аналогичный (3.7.19)
Ann(w) = -^[2^+(2-«e)(l+vI2)]A2m(m), (5.8.4)
AII22(m) = v12A2222(m), Λ2222(/ϋ) = 4α//β[25(ΐ-νΙ2)+(2-»β)]"1,
AI2I2(w) = 2a//e(l + 2^)"\ ξ = αμ0{2/ιμ12Υι.
Рассмотрим теперь выражение для тензора Л(т) (5.7.17),
который входит в определение тензора эффективных модулей
упругости композита (5.7.23). При этом будем считать, что
функция х¥т{х)9 которая описывает вид корреляционной ямы
для типичного включения ориентации т, имеет симметрию
эллипсоида, соосного данному включению. Приведем здесь
явные выражения для тензора А(т) в случае включений
указанного выше вида.
Пусть корреляционная яма имеет симметрию эллипсоида
вращения с полуосями а, = а2 = а и осью а3, направленной

236
по нормали т к срединной плоскости включения Ω. В этом
случае тензор А(т) принимает вид (у=а/аг>\)
А{т) = АхР\т) + А2{рх{т)-\Р2{т))+ (5.8.5)
+А3(Р3(т) + Р4(т)) + А5Р5(т) + А6Р\т),
4=£{(ι-*.)/.+4 4^[(2-«.)/.+/,], 4=-i/..
4=£(ι-/.-4/.), 4β=^Γ[(ι-».Χι-2/ϋ)+2/1], /.=2^у,
4(1-Г2) л/Г -1
Если корреляционная яма имеет симметрию бесконечного
цилиндра с образующей, параллельной оси х, (α,—>οο;
α2,α3<οο), то существенные компоненты тензора А(т) в
базисе х19х29хъ имеют вид (α2 / а3 = ^> 1)
^2222 У171) —
«. 1
2а (1 + у)
. 1 + У J 2//„(l + y)
Л»»0») =
«оГ
2//.(1 + Г)
2/+3 ] , 1
γ+l ) 4//Д1 + /)
Дз1з(^)
^ , ^2323 0») = ^
4я(1 + /)
4//.
1 + Х2
(i+r):
• + 1-2к
(5.8.6)
В рассмотренных случаях форма корреляционной ямы
определяется величиной одного скалярного параметра γ.
Если положения включений в пространстве статистически неза-

237
висимы, то γ имеет порядок a/h - среднего аспекта
включения ориентации т.
Перейдем к анализу выражения (5.7.23) для тензора
эффективных модулей упругости композита с тонкими жесткими
включениями в конкретных частных случаях.
Г. Пусть включения представляют собой тонкие
сфероиды (чешуйки) одинаковой ориентации. Тензор Л(/я),
входящий в выражение (5.7.23) для С* и определенный
соотношением (5.7.10), имеет вид
Л(т) = 1^ла2А{т))п , (5.8.7)
где п- числовая концентрация включений, тензор А(т)
определен в (5.8.3). Здесь учтено равенство
(z(x)A(m)Q(x)) = (5.8.8)
= Km ^ J Σ *t (хЖтЩ (*)* =($ na2A{m))n.
С учетом (5.8.5) из (5.7.23) следует, что композитная среда
будет трансверсально изотропной с осью изотропии,
направленной вдоль общей нормали т к поверхности включений, а
ее тензор модулей упругости С* определяется соотношением
С=С°+ ^WP2(m) + ^^
Р\т)--Р\т)
1-4ЛД \-А1А2
(5.8.9)
Λ, = %πη0(α2Α]), Λ2 = |яи°(а2Л2), (5.8.10)
где коэффициенты ΛΡΛ2 и А^А^ определены в (5.8.3), (5.8.5).
При γ » 1 с точностью до членов порядка χ~] имеют место
равенства
α,.^ϊ. А-а^. (,,п)
\6μ„γ \βμογ

238
2°. Выключения представляют собой тонкие сфероиды,
равномерно распределенные по ориентациям. Композитная
среда при этом макроизотропна, и выражение (5.7.23) для
тензора С* принимает вид ,
C*=£.E2+2//.(e'-+E2),
(5.8.12)
к.=к +
2Л,
з[3-4Л,(2^+4)]
, м.=м.+
л,+зл2
15-2[2Л1(4-^)+ЗЛ2^2]'
где коэффициенты Л12 и А]2 те же, что и в (5.8.3).
Сравним результаты расчетов по полученным формулам с
данными экспериментальных измерений модулей упругости
пластмасс, армированных чешуйками слюды с большим
аспектом (a/h»l) [200, 208, 209]. В указанных работах
измерялся так называемый "изгибный" модуль упругости
композитов в плоскости чешуек. Ориентация чешуек была примерно
одинаковой.
8 12 16 ω
Рис. 5.9
0.1 0.15 0.3 0.5 1 1.5 2.5 ζ
Рис. 5.10
На рис.5.9 представлена зависимость модуля Юнга Е*, (в
плоскости чешуек) от параметра τ=4π<α3 >п°/3 для
полиэфирной смолы (Ео = 3.5ГПа, νο=0.4), наполненной
чешуйками слюды со средним аспектом <a/h>=39, Еп = 175ГПа,

239
V12 =0.3. Параметр τ связан с объемной концентрацией
наполнителя ρ соотношением
r=(a/h)p. (5.8.13)
Кривые 1, 2, 3 на рис. 5.9 - расчетные зависимости Е*и из
соотношений (5.8.9) при ^=10;20,оо соответственно; кривая
4 - зависимость Е^т) при ^ = 20 точки -
экспериментальные значения Е*и [200]. Различие между теорией и
экспериментом оказывается наименьшим при γ -< a/(2h) >.
Более ста экспериментальных значений модулей упругости
композитов с различными отношениями модулей матрицы и
включений, аспектом чешуек и их объемным содержанием
[200, 208, 209] было использовано для анализа величины
δ = |ε;ι-ε;ι|/ε;ι, (5.s.i4)
представляющей собой относительную разность между
теоретическим Е*, и экспериментальным Е*, значениями
эффективного модуля. Оказалось, что Δ мало зависит от
концентрации наполнителя и определяется величинами параметров γ
и ξ = αμο/(2/ιμ]2) &аЕо/(2ИЕи). При этом наименьшее
значение Δ в среднем по всем образцам достигается при
значении χ, примерно равном <al2h>. На рис. 5.10 сплошной
линией показана зависимость Δ(£), построенная из условия
минимизации и среднеквадратичного отклонения от
"экспериментальных" значений, изображенных на рис.5.10 точками.
В качестве Δ выбиралось максимальное значение
относительной разности по всем образцам с одинаковой величиной
параметра ξ, но различными значениями г. При £> 0,2
отклонение Е*, от EJ, не превышало 10% вплоть до г=200.
Объемная концентрация чешуек при этом достигала ρ - 0,7 [200].
3°. Рассмотрим включение в виде тонких
однонаправленных лент одинаковой ориентации. Среда при этом будет орто-
тропной, а тензор С* принимает вид

240
С = С°+Р, (5.8.15)
где не равные нулю компоненты тензора Ρ в базисе осей
х15х2,х3 (ось х\ направлена вдоль лент, х2 лежит в плоскости,
параллельной их поверхности Ω, хъ -ортогональна Ω)
определяются следующими выражениями:
(puAi)
_ (Рп)
F"" {Ри) ι-(ρ2Λ2Υ Ш2 Ηρ,Λ,Υ
(5.8.16)
ρ _ (Рп) ρ _ {Раа} =lm\ αβ=\2
1~\/722 Л22 / 1\Ρ44 Л44 /
/?44=ЛйЛ1212 , 42 = ^2222(^)5 ^44=24212(^)5
где компоненты Л^ и 4^ определены в (5.8.4), 5.8.6). На
рис.5.11 приведены расчетные зависимости модулей Е*, , Е22и
Ε*з (кривые 1-3, соответственно) от параметра т= πη <α >
(т=<а/h> ρ, ρ - объемная концентрация включений) для
пластика, армированного стеклянными плитками с аспектом
a/h = 230 (Ео=2ГШ, Vo= 0.25, Επ = 59ΓΠα, ν12=0.26).
При y = a/2h теоретические
зависимости Ε*.(г)
оказываются практически линейными в
области экспериментальных
значений τ и описывают
эксперимент с точностью ~ 10%.
В заключение остановимся
на анализе погрешности
полученных в данном пункте
формул. Она имеет два основных
источника. Во-первых, это
использование только главных членов разложения решения
задачи об одном включении по малым параметрам Sx-hla и
50 100 150 ©
Рис. 5.11

241
£2=Ео/Еп. Связанная с этим ошибка имеет порядок
тах(<?,,<?2). Отметим, что при относительно малом аспекте
(a/h<№) и большой жесткости включений (Ео /Еп <10~2),
когда параметр ξ мал, увеличивается погрешность, связанная
с заменой реальных чешуек включениями эллипсоидальной
формы. С этим, по-видимому, связан подъем кривой Δ(ξ)
при малых ξ на рис.5.10.
Во-вторых, приближенным является учет взаимодействия
между включениями. Анализ экспериментальных данных
показывает, что интегральный эффект взаимодействия в
рассматриваемых композитах оказывается довольно слабым.
Следствием этого является квазилинейный характер зависимости
эффективных модулей от концентрации наполнителя. В
рамках предложенной теории степень взаимодействия связана с
величиной параметра γ, характеризующего форму
корреляционной ямы для типичного включения в случайном множестве
неоднородностей. Заметим, что полное пренебрежение
взаимодействием (χ~] =0) приводит к увеличению относительной
ошибки Δ (этому случаю соответствует штриховая кривая на
рис. 5.10).
Итак, сравнение теории с экспериментальными данными
позволяет сделать следующие выводы. Область применимости
полученных формул для эффективных модулей упругости
среды с тонкими жесткими включениями можно оценить с
помощью безразмерного параметра
4 = aEjhEu. (5.8.17)
При ξ > 0,15 эти формулы позволяют прогнозировать упругие
свойства пластиков, армированных тонкими жесткими
включениями с точностью 10-15% практически во всем интервале
реальных изменений концентрации наполнителя. Значение
параметра γ при этом оказывается равным половине среднего
аспекта армирующих элементов. Отметим, что величина γ
должна определяться из статистического анализа картины
распределения наполнителя в объеме композита.

242
§ 5.9. Тонкие податливые включения и
трещины в однородной упругой среде
Перейдем к рассмотрению тонких включений,, модули
упругости которых существенно меньше модулей упругости
среды (CiC3)'1 =0(δ2), S2 «1). При решении задачи осреднения
для среды с такими включениями удобно считать, что
фиксированным является внешнее поле напряжений (<σ>=σ°). В
этом случае формулы, определяющие действие операторов К
и S на постоянных, имеют вид (5.2.11).
Начнем с рассмотрения среды, содержащей однородное
случайное множество тонких эллипсоидальных включений.
Для описания взаимодействия между включениями
воспользуемся методом эффективного поля в одночастичном
приближении. При этом, следуя §5.7, будем считать, что каждое
включение ориентации т находится в постоянном внешнем
поле напряжений а(т).
С точностью до главных членов разложения упругих
полей по малым параметрам задачи 62 и δλ = h I a (h и а -
значения наименьшей и наибольшей осей эллипсоидов) поля
напряжений и деформаций в среде с тонкими податливыми
включениями представляются в форме (глава III)
ε(χ) = ε +JK(x-x')C°M(x')a{m')n{x')dx', (5.9.1)
o(x) = a+\s{x-x')M{x')a\m')Q{x')clx\
Ω(χ) = ΣΩ,(χ)5 m' = m{x'), (5.9.2)
i
где Ω, (χ)- дельта-функция, сосредоточенная на срединной
поверхности / - го включения. Функция М(х) при χ е Ω,
определяется из решения одночастичной задачи (§3.7).
Например, в случае сплющенного сфероида функция М(х)
имеет вид
M(x) = M(m)z(x), (5.9.3)

243
M(m) = МХРЬ(да) + М2Р6(т), z{x) = J\-\xf/a\
где а - размер наибольшей полуоси сфероида,
а
М,=—
м.
αμ я(2-у.)
2Λ//0 + 8(ΐ-ν0)
α(λ+2μ)
2/ιμ.
+-
π
- мо-
4(1- О
(5.9.4)
Здесь λ,μ - коэффициенты Ламе включения, μο, νο
дуль сдвига и коэффициент Пуассона среды.
Уравнение для эффективного поля сг(да) можно получить
тем же путем, что и в (5.7.9), в форме
σ (w) = σ +jS(x-x')(M{x')a'{m')Uix;x')\x,m)dx',
(5.9.5)
где функция Ω(χ;χ') определена соотношением (5.7.6).
Среднее под интегралом в этом соотношении в
предположении статистической независимости свойств включений от
их положения в пространстве имеет вид
(Μ(χΟσ4^θΩ(χ;χΟΐ^^) = (^(^)σ(^))ψ„,(χ-χ')5
(5.9.6)
.-2
M(m) = jm2n°M(m),
(5.9.7)
где тензор М(т) определен соотношением (5.9.3), (5.9.4) в
случае включений, имеющих форму таких сфероидов, а
функция ^„(Х) имеет вид (5.7.11) и обладает свойствами (5.7.12),
(5.7.13). В дальнейшем будем считать, что эта функция имеет
симметрию эллипсоида, соосного включению ориентации т.
Вычисляя интеграл в (5.9.5) с учетом (5.9.6), (5.2.11) и
указанных свойств функции Ψη(Χ)9 получим соотношение
σ\τη) = σ -D(m)(M(m)a(m)), (5.9.8)
Dim)=jS(x)[l-4fM(x)]dx, D{m)=C°A{m)C°-C°, (5.9.9)
где тензор А (т) определен в (5.7.17). Домножим обе части
(5.9.8) на тензор М(т) слева и осредним результат по

244
ансамб-левым распределениям ориентации и свойств
включений. В результате получим уравнение для среднего
<M(m)cr*(m)>, решение которого имеет вид
(Щт) σ (т)) = [/ + (M(m)D(m))]'1 (Ш(т))σ . (5.9.10)
Осредним теперь соотношения (5.9.1), (5.9.2) для
напряжений и деформаций. Учитывая (5.2.11) и соотношение
(М(х)а(т)П(х)) = (М(т)а(т)), (5.9.11)
приходим к результату
(ε) = ε +[l + (M(m)D(m))]~\M(m))a\ (σ) = σ .(5.9.12)
Отсюда, поскольку ε° - Β°σ , следуют равенства
(ε) = Β'(σ), (а) = С(е), (5.9.13)
B'=B0+[l + (M(m)D(m))Y(M(m)), С =(в')~\
где С - тензор эффективных модулей упругости с тонкими
податливыми включениями.
Пусть среда изотропна, а форма корреляционной ямы
такова, что симметрия функции ^„(х) определяется
эллипсоидом вращения с полуосями а}=а2=а, аъ, соосном
включению ориентации т. В этом случае представление тензора
D(m) в Ρ - базисе (2.4.7) имеет вид
D(m) = d]P2(m) + d2(p\m)-±P2(m)) + (5.9.14)
+аг(р\т) + Р\т))+а5Р\т)+а6Р6(т),
^=-^[4^-1-2(3^-1)^-2/],
rf2=-2//e[l-(2-«J/e-/i], ά,=-2μ0[(2χ0-ΐ)/0+2/λ]9
rf,=-^.[/.+4/il· ^-^.[(^J/.^/J,
где функции fQ(y),fi(y)(y= а/аъ > 1) те же, что в (5.8.5).

245
Если у»1, то с точностью до членов порядка γ
коэффициенты £/Д/=1,2,...,6) в (5.9.14) преобразуются в следующие:
^=-я(4ж0-1) + ^(7ж0-2),^=-2//0+^(4-Жо),
4γ 4γ
2γ γ γ
(5.9.15)
В пределе при γ —> оо имеем
D(m) = -2μ\Ρλ (т) + {2хо - \)Р2{т)]. (5.9.16)
Другой предел (^—>оо) соответствует корреляционной
яме, имеющей форму сферы. При этом тензор D(m) -
изотропный:
Z)(w) = jD°=|//0(1-4s0)E2-^//0(5 + 4s0)(e1-^E2).
(5.9.17)
Случай γ = 1 соответствует модели случайного множества
включений, когда вокруг каждого из них можно выделить
область сферической формы, попадание в которую центров двух
включений маловероятно.
Перейдем к анализу выражения для В* (5.9.13) в
конкретных случаях.
Г. Тонкие податливые включения одинаковой
ориентации ГП. Из (5.9.13), (5.9.14) следует выражение для тензора В*
в форме
В'=В°+ л А1^1 , Р5("0 + , *ίΐ , Р\т), (5.9.18)
4 + МД
\ + M2d6
ш τ
αμ
n(2-v.)'
2Ημ, 8(l-vJ
ι(λ+2μ) π
2hMc 4(l- ν,)

246
где предполагается, что включения - тонкие сфероиды
радиуса а (г=4ла3«°/3).
В случае дискообразных трещин (λ = μ = 0) при γ»\
это выражение для В* принимает вид
В'=В° +
4(г)
πμ0(ΐ+2χο)
V Г J
Р\т)+
W
ям.*о
1-
т(1+ае,)
Р».
(5.9.19)
Предельный переход при γ —> оо в этом выражении дает
формулу, полученную в [86].
2°. Равномерное распределение включений по ориента-
циям.
В-=В°+]^Е1+Щ±2К(Е>АЕА (5.9.20)
9(1 + у2) 15(1+Л) I 3 Г
У. = t№(4s -4)+ί^» Λ = iД(2ί/3 +</б).
Отсюда для эффективных модулей объёмного сжатия А, и
сдвига μ, композита имеем формулы
k.=K
1+——*-
1+Λ
, Μ·=Μ.
15(1+7,)
(5.9.21)
Предельный переход в этих выражениях при γ —» оо в
случае трещин (Л = μ = 0) дает
*.=*.
1+
,м.=м.
1+
4(г)(9^+4//0)(3^+4Я)
15я(3*о+2/0(3*.+//.)
(5.9.22)
При γ - 1 соотношения (5.9.21) принимает вид
(τ)φΚ+4μ,)
πμ0(3^+μ0)
-Η

247
Mk=kQM2, чЦ^(зЦ+2М2), *=тт^—, ^4(3-^).
15 3£ο+4μο 5
(5.9.23)
3°. Регулярные решетки тонких включений. Пусть
множество тонких эллипсоидальных включений имеет
одинаковые размеры и ориентацию, а их центры занимают узлы
регулярной решетки в пространстве. Случай регулярного
расположения неоднородностей рассматривался в § 5.4, где показано,
что полученные методом эффективного поля выражения для
полей ε*(σ*) и тензора эффективных модулей упругости С*
сохраняют тот же вид, что и в стохастическом случае. Однако
все осреднения следует понимать как осреднения по
всевозможным трансляциям регулярной решетки неоднородностей.
Начнем с построения среднего под интегралом в (5.9.5). В
случае регулярных структур функция М(х) = Μ{χ)ζ{χ)-
одинакова для всех включений
(М(х)а\т)П{х,х')\х,т) = М(т)а\т)Ут{х-х'),
— 2 , ν Ых')П{х;х')\х,т)
3 (ζ(χ)Ω(χ))
(5.9.24)
где Q(x) - сумма дельта-функций, сосредоточенных на
множестве плоских эллиптических поверхностей Ω|5 функция
Z(x) имеет вид (5.7.5) на каждой из таких поверхностей.
Используя определение условного среднего [125], запишем
Ψ*(*-*') в виде
, ч (ζ(χ')Ω(χ;χ')Ω(χ))
(ζ(χ)Ω(χ))(Ω(χ))

248
Здесь учтено, что все поверхности Ω, имеют одинаковую
ориентацию т. Рассмотрим среднее
(г(х')П(х')0(х))=Нт^/2:г,(х')Ц(х')П/х')^'=
w '»;
Х/г,.(ж')Ц.(х')",(х)^'+ Σ /φ')Ω,.(*')Ω,.(*'ν*'
i W i*j(i*j)w
(5.9.26)
где первая сумма справа определяет величину этого среднего
в окрестности диагонали χ = χ'. Для вычисления слагаемых в
первой сумме выберем на поверхности Ω, декартову систему
координат, направив ось хъ по нормали т к Ω., а оси х19х2 -
по главным осям эллипса ΩΓ Проведя интегрирование
сначала по *з, а затем по х[, х'2, найдем (х —» х' + х)
J ζ,. (χ')Ω, (*')"(*' + *)&' =axa2j{xx, x2 )<5(χ3), (5.9.27)
У(х15х2)=
!f (^-/7)V^2^-;;)+i2[arcsin(l-^)+^/2]
J " /7=T W· **2
7/2 V1_b
//>2
η=^/^)24^/αιΥ
(5.9.28)
Для регулярной решетки областей Ω/ среднее (5.9.26) -
периодическая функция координат, поведение которой
определяется в окрестности диагонали χ = χ' функцией в правой
части (5.9.27). Отсюда с учетом вида средних в знаменателе
(5.9.25)
(ζ(χ)Ω(χ)) = \тха2п\ (Ω(χ)) = ηαλα2η (5.9.29)
следует выражение для функции ^т(х) в форме

249
Ψ„(*) = Σ j{x-n)Q{x-n). (5.9.30)
Здесь П - вектор решетки, образованной центрами
включений, Ω(χ-η)- дельта-функция, сосредоточенная на
плоскости с нормалью т, проходящей через узел решетки с
вектором П, штрих над знаком суммы означает пропуск
слагаемого п- 0, а функция J(X) определяется выражением
А*)=П2 '., (5.9.31)
27гаха2п
где функция J(X) имеет на плоскости Q(X) вид (5.9.28).
Прямым вычислением можно установить, что среднее
значение функции Ψ„,(*) равно единице:
(ψ.(χ)>=&^Ιψ-(*)Λ=1· <5·9·32>
rr w
Таким образом, выражение для тензора Dim) (5.9.9)
принимает вид
(5.9.33)
где vn- ячейка периодичности, соответствующая вектору
решетки П, тензор D° определен в (5.9.17) в случае изотропной
среды. Ряд в этом выражении абсолютно сходится.
После определения тензора D(m) приходим к следующим
выражениям для эффективного поля напряжений сг*и тензора
в··.
σ=[ΐ + D{m)M{m)Y σ , (5.9.34)
Β* =Β°+ M{m)[l + D{m)M{m)Y , (5.9.35)
где детерминированный тензор М(т) определен в (5.9.7),
(5.9.3).

250
Рассмотрим пример изотропной среды, содержащей
круговые трещины одной ориентации, которые образуют
решетку с тремя ортогональными плоскостями симметрии. При
вычислении тензора D(m) (5.9.33) воспользуемся выражением
(П2.2.4) Приложения П2.2 для функции S(x). Можно
показать, что эффективное поле σ (5.9.34) принимает в данном
случае вид
1
\-а
Ι+-
β -Ε>)
(5.9.36)
Ι-α-β
где скалярные коэффициенты а и β определяются
соотношениями
« = - Ь-(2-Or,], /?=-Т^-^2, (5-9.37)
2-v.
2-v.
Г,=- Σ' Γι(*,/,0) + 2 Σ ^[ф,1,т)-Г;(к,1,т)], / = 1,2,
k,l=-ao
Аг,/=—оо т=\
2π 2
Г;{к,19т)= jdφjgi(dlk + d0ηcosφ,d2l+d0ηsmφ,d3m)J{η)ηdη,
о о
хх я2 я3
φ,1,ηί)4\2λλλ2λ,Τ \ j Jftjrf^^+A.^j+AW^/^,
—Х\ ~А>2 ~А$
t*-t2(t2+t2-t2) t2(t2-3t2)
dl=na\ d?=n°di, dl=rCd\, d33=n°dl n ={dxd2dz)~\
Здесь dud2,d3 - параметры прямоугольной решетки,
образованной центрами трещин одинакового радиуса а, функция
J {ξ) определена правой частью (5.9.28).

251
Υ, Л*
0.2
0.1
ν
Уу/
71
/
О 0.1 0.2 0.3 0.4 d0
Рис. 5.12
решетки трещин принимает вид
На рис.5.12
приведены графики
коэффициентов γ19 γ2 в
зависимости от
параметра ао для правильной
кубической решетки
трещин, все плоскости
которой параллельны
одной из граней куба.
Выражение (5.9.35)
для тензора В* в
случае рассматриваемой
В*=В° +
8aV(l-vo)
3μο{ΐ-α)
2-ν
E5(m)+|
2β
E6W
К!
I.I
1.0
^>-
I
0.2
0.4 0.6
Рис. 5.13
1-α-β 2-νο
(5.9.38)"
В рамках метода
эффективного поля
можно оценить
величину коэффициента
интенсивности
напряжений на контуре
трещин в решетке.
Поскольку по
предположению каждая
трещина ведет себя как
изолированная в поле
эффективных
внешних напряжении σ
вида (5.9.36), то в случае чистого растяжения в направлении
нормали к плоскости трещин σ^ = στηατηβ коэффициент
интенсивности напряжений определяется выражением
К, = 2^βσα^ηαϊηβ = 2Λ[φτσ/{ΐ-α-β). (5.9.39)
Рассмотрим решетку трещин, расположенных в одной
плоскости. К этому случаю можно перейти от пространствен-

252
ной решетки, устремляя к бесконечности один из ее
параметров (ф. Задача о квадратной решетке круговых трещин на
плоскости была решена иным методом в [3, 4].
На рис.5.13 значение коэффициента кх = -yjn/a kj/(2a),
подсчитанного по предложенной схеме (штриховая кривая),
сравнивается с максимальным значением кх на краю
трещины, которое приводится в [4] (сплошная кривая),
dx=d2=d, q = 2a/d.
§ 5.10. Плоская задача для среды с множеством
тонких включений
В этом пункте рассматривается плоская задача для среды с
множеством тонких податливых эллиптических включений
или прямолинейных трещин. На плоский случай формализм
метода эффективного поля переносится без каких-либо
принципиальных изменений. Плоская задача интересна тем, что
здесь существует ряд точных решений (для регулярных
структур) и экспериментальных данных, которые позволяют
выяснить пределы применимости метода эффективного поля для
решения задачи осреднения.
Для плоскости, содержащей однородное множество
тонких эллиптических включений, тензор эффективных модулей
упругости определяется соотношением (5.9.13), в котором
тензорыМ(т)и D(m) имеют вид
Ш{т) = МхР5{т) + М2Р6{т)у (5.10.1)
.. тйгп / \-ι тй2п <
Мх= — U+aeJ , М2 =
2μ0 - " ' < 2μ.
,λ + 2μ
■ —+ эе
μ
D(m) = dlPl{m)+d3{P3{m) + P4{m)) + d5P5{m) + d6P6{m),
(5.10.2)
dx=-4Moxo{l-2fo+3fX d3=4Moxo{fo-3/X d5=4d3,

253
1 _ 2 + γ _ α2
1 + Г 6(l + r) «.
ώ=-\2μ0χΛ, f0=- , /, = , ' , r = — >1.
Здесь m - нормаль к срединной линии включения, / и h - его
полуоси, λο,μο - коэффициенты Ламе среды, λ, μ - те же
величины для включения, γ - аспект корреляционной ямы для
типичного включения. Из (5.10.2) следуют соотношения
D(m) => -4μ0χ0Ρι (т) при γ -> оо,
D{m) = D° = -^±{е2+2Ех) при γ= 1.(5.10.3)
Рассмотрим выражение (5.9.13) для В* в некоторых
частных случаях.
Г. Множество включений одной ориентации т.
В' = В° + Μ xP5(m)+ № vP6(m). (5.10.4)
1+</3(М) V 1+<(Μ2) V
Здесь осреднение проводится по случайным размерам и
свойствам включений, величины Λ/12,ί/36 определены в
(5.10.1), (5.10.2).
2°. Равномерное распределение включений по ориента-
циям.
Β· = Β·+ Αί^Ε2+Μ±^(Ε,_ιΕ2) (5105)
4(1+Λ) 4(1 + ./,) V 2 '
у, = 1[МД +2М2К -«/,)], Λ = lM2(</3 + </б).
Если т'—>оо, то jx,j2-^>O. При этом в случае трещин
(μ = 0) для эффективного модуля Юнга Е» и коэффициента
Пуассона ν, из (5.10.5) следуют выражения

254
E.=^-, v.=^~, т=т°(Р).
(5.10.6)
1+r 1+r
При γ = 1 выражение для В в случае трещин принимает
вид
В* = В° + ^-Цт τίδΕ1 + т(е2 -4Е')1. (5.10.7)
Отсюда следуют выражения для Е. и ν, в форме
Е.
1 +
z(8-3r)
(2-г)(4-г)
(5.10.8)
V.
Е^
Е.
г2
ve(2-r)(4-r)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
(5.10.9)
^
•^^1
ч"**4**
^
| \
4^2
^_
^"^■^1
>-^1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Рис. 5.14
J.4
На рис.5.14 зависимость (5.10.6) (кривая 1), (5.10.8)
(кривая 2) и (5.10.9) (кривая 3) сравниваются с
экспериментальными данными [12]. Эксперименты проводились на тонких
листах резины, содержащей случайное множество
прямолинейных связных разрезов. Результаты экспериментов
аппроксимируются на рис.5.14 штриховой линией с кружками (Е, /EJ

255
и штрихпункгирной линией (ν* / νο). Отметим, что множеству
трещин, которое исследовалось в [12], лучше соответствует
модель с ограничением на пересечение трещин (χ = 1).
Соотношения (5.10.8), (5.10.9), которые получены для этой модели,
описывают экспериментальные данные с достаточной для
прикладных целей точностью.
3°. Регулярные решетки тонких включений на
плоскости. В случае регулярной решетки прямолинейных
включений одинаковой ориентации функция Ψ„,(*) (5.9.30)
принимает вид
4m(x) = Y, j{x-n)L{x-n)t (5.10.10)
η
где П - вектор решетки, образованной центрами включений,
штрих над знаком суммы означает пропуск слагаемого η - 0,
L (x-n)- дельта-функция, сосредоточенная на прямой с
нормалью т, проходящей через узел решетки с вектором П.
Функция J(x) на прямой, проходящей через точку х=0, задается
соотношением
^ху 1 i(H3t|//W(2H»|//)|*|//+aicsiii(4*l//)+|, |*И f
2ли7| 0, |х|>2/'
(5.10.11)
где х - координата вдоль прямой. Эта функция представляет
собой аналог функции J(x) вида (5.9.28) в плоском случае.
Выражение (5.10.2) для тензора D(m) при Ψ„(λ:) в форме
(5.10.10) представляется в виде абсолютно сходящегося ряда
D(m)=D° +£' [ J S(x)dx- J S(x)J(x-n)L(x-n)dx]+J S(x)dx,
n vn v.
(5.10.12)
где vn - ячейка периодичности, соответствующая вектору И,
тензор /допределен в (5.10.3). Заметим, что в случае изотроп-

256
ной среды формальное выражение для S(x) имеет вид
(формула (П2.3.5) Приложение П2)
S(x) = M^(e2 +4Е5(и)-8Е6(и)) , /! = ^. (5.10.13)
АА \А
Рассмотрим решетку трещин одной ориентации,
имеющую две ортогональные оси симметрии. В этом случае
выражения для эффективного поля напряжений σ , в котором
находится каждая трещина, и тензор В* принимает вид
1
σ =
Ι-β
Е'+ —Еб(/и)
Ι-α-β
σ , (5.10.14)
В* = В° +
2μ.χ0(ΐ-β)
l-a-β
, (5.10.15)
где безразмерные коэффициенты а и β представляют собой
сходящиеся двойные ряды, а их явные выражения
определяются формулами
а=.
=*ΣΣ
к=-сот=\
1/2 1/2
JFateMkAm)A4te-i<% /^Ы*,Чб+4£.
L-i
-1/2 -1/2
л2 ί οο 1
Αξ)
'=τΣ/&ί+ΣΣ
\F^X+{k,m\m)tex)d^-
1/2 1/2
- J άξχ //>($ + (*,m),& +τη)άξλάξ2
-1/2 -1/2
k (5.10.16)
y(^)=l[2(l-2|^)7iHl+arcsin(l-2|^)+^

257
[$+Ш]'""""" [iM/>.fi)!
Здесь предполагается, что ось ξ2 направлена вдоль нормали
к линиям трещин, а ось ξλ - параллельна трещинам, k=2ljdx,
po=d2/dv где dx,d2 - расстояние между центрами трещин
вдоль осей ξλ,ζ2 соответственно. Величина (к,т) зависит от
типа рассматриваемой решетки. В частности, для квадратной
решетки (к,т)=к, р0=1, а для треугольной решетки /?β=ν3/2,
Коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах
трещин при одноосном растяжении в направлении нормали
(£j) и при чистом сдвиге (ки ) определяются соотношениями
кх = Jljdk.G , ки = 4l7dk2f , (5.10.17)
где σ и τ - величины внешних растягивающих напряжении и
напряжений сдвига соответственно,
*,=(1-а-£)-\ *,=(l-/?)"'.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
(5.10.18)
а) Правильная треугольная решетка трещин. На рис.5.15
^ύ
с^.
У
v/y
Ук.
Рис. 5.15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 λ
Рис. 5.16

258
приведены зависимости Е*/Ео (кривая 1) и /4//4 (кривая 2) от
параметра решетки λ-21/d, где d- расстояние между
центрами трещин. Аналогичные зависимости для коэффициентов
к]9к2 (5.10.17) приводятся на рис. 5.16. Точному решению
задачи, полученному в [140], соответствуют на этих рисунках
сплошные кривые.
б) Коллинеарная система трещин на одной прямой.
Значения коэффициентов α и β в (5.10.17), соответствующие
этому случаю, можно получить из решения задачи для
прямоугольной решетки, устремляя к бесконечности один из ее
параметров (d2^>oo). При этом а = 0, а β имеет вид
одинарного ряда
;2 со ι ,ΥεΛ
β=^Σ , λ2^> λ = 21/άΐ9 (5.10.19)
где функция у(£) определена в (5.10.16).
В таблице значения коэффициента кх сравниваются с его
точным значением, которое имеет вид [118]
Ιύη(πλΙΐ)
к°х = \ , (5.10.20)
л/ πλύη πλ
Таблица
ги
г
0,2
1,02
1,02
0,4
1,07
1,07
0,6
1,20
1,20
0,8
1,50
1,55
"0^99
5,10
6,20
в) Вертикальный ряд параллельных трещин. На рис.5.17
значения коэффициентов интенсивности кх и к2, полученные
методом эффективного поля (штриховые линии с кружками),
сравниваются с результатами численного решения задачи
[117] (сплошные кривые).

259
Коэффициенты а и β в (5.10.18) имеют в данном случае
вид
«=*ς}γ**?~"Ίλ&?.*-", ί5·1»·^)
■[(itf
m=l-ll(^2 +/Я2
</,
^4il(^+m,.-6myA)'x^
4"-. [{&T+m2
Как видно из рассмотренных здесь примеров, в плоском
случае метод эффективного поля в одночастичном
приближении дает хорошее совпадение с результатами более точных
расчетов упругих постоянных и коэффициентов
интенсивности, когда длина трещин не превышает расстояние между их
центрами. Это утверждение оказывается справедливым и для
других регулярных систем трещин на плоскости.
5 2.0 2.5 λ
Рис. 5.17
При сближении центров трещин в решетке (случай в)
локальное внешнее поле σ(χ), в котором находится каждая
трещина, начинает все больше отличаться от постоянного.
Поэтому ошибка, которая возникает здесь при пользовании
метода эффективного поля в одночастичном приближении,
связана с нарушением гипотезы о постоянстве поля σ .

260
§ 5.11. Упругие свойства матричных композитов,
армированных короткими осесимметричными
волокнами
Рассмотрим упругую среду, в которой пространственно
однородно распределено множество осесимметричных
жестких волокон. Для решения задачи осреднения воспользуемся
методом эффективного поля и будем считать, что каждое
волокно, ориентация оси которого определяется единичным
вектором т, находится в постоянном внешнем поле дефома-
ций е*(т). Свойства волокон характеризуются двумя малыми
параметрами: отношением характерного диаметра к длине (^)
и отношением характерных модулей упругости среды и
волокон (δ2). Используя результаты главы IV и ограничиваясь
главными членами асимптотики упругих полей по указанным
малым параметрам, выражение для тензоров деформаций и
напряжений в среде с волокнами можно представить в виде
(см. (4.4.11), (4.4.12))
ε{χ) = ε- Jk(jc - x')\{x\m')e{m')L{x')dx',
o(x) = σ° - \s(x-x')B°K(x\m')e{m')L{x')clx\
1{х) = ^Ц{х)9 т' = т{х'), (5.11.1)
где Ц(х) - дельта-функция, сосредоточенная на оси Ц /-го
волокна. Функция А(Х) на оси каждого волокна определяется
соотношением, которое следует из (4.4.14):
А{х,т) = тш2{х)В(х,т), xgL, (5.11.2)
5im) = ^[(3-4v0)P1(m)-|P2(m) + 4(l-v0)P5(m)],

261
ьМ =
2(1+νβ)
1
1-2ν
l-2vln
/W
, (5.11.3)
ί /
где Ео, νο - модуль Юнга и коэффициент Пуассона среды,
Ет и Ej модуль Юнга стержня вдоль его оси (т) и в
поперечном направлении, vlw- коэффициент Пуассона в поперечном
направлении. Стержень предполагается
трансверсально-изотропным с осью симметрии т. Функция f(x) в этих
соотношениях зависит от формы стержня, а ее явные выражения в
некоторых частных случаях имеют вид (4.3.46), а{х) -
переменный радиус волокна.
Введем функцию L(x\x') соотношением
L(x;x') = ^/,,(*') при χ GJLk
(5.11.4)
i*k
С помощью этой функции локальное внешнее поле ε*(χ),
в котором находится волокно Lk(x ^Lk)9 принимает вид
ε*(χ) = e-JK{x-x')A{x\m')L{x;x')dx'. (5.11.5)
Осредняя это соотношение при условии, что точка χ
находится на оси волокна ориентации т, получим
е{т) = ^-JK{x-x'){A{x\m')€m(m%{x;x^\x9m)dx\
(5.11.6)
где <\х9т>- указанное условное среднее и ε{ηϊ)-<ε{χ)\χ,ιη>.
В предположении о статистической независимости свойств
волокон от их положения в пространстве среднее под
интегралом в (5.11.6) представляется в форме
(A{x',m')e(m')L{x;x')\x,m)^(A{m')£,{m'))Wm{x-x'),
(5.11.7)

262
A(m) = 2nlJA{z,m)dz, Ψμ(χ^) = \^^Λ9
(5.11.8)
где ζ - координата вдоль оси типичного стержня длины 2/ с
началом в его середине, среднее <L(m)e*(tri)> вычисляется
по ансамблевым распределениям длин стержней, их ориента-
циям и свойствам. Как и в случае тонких включений ( § 5.4),
функция х¥т (х) обладает свойствами
Ψ» = 0; Ψ„,(χ)^1πΡη|χ|^οο (5.11.9)
и определяет вид корреляционной ямы, в которой находится
типичное волокно ориентации т в композите. Далее будем
считать, что существует линейное преобразование
л:-пространства, которое переводит функцию Ψ^χ) в сферически
симметричную. Таким образом, функция \Рт (х) имеет
симметрию эллипсоида вращения с осью т и полуосями а1=а2=а
Вычисляя интеграл в (5.11.6) с учетом свойств Ψ„(χ),
получим
ε{ηί) = ε°+ А(т){\(т)е*(т)), (5.11.10)
4») = /κ(χ)[ΐ-Ψι.(χ)]Λ. (5.11.11)
Здесь предполагается, что фиксированной является
внешняя деформация среды, и использованы соотношения (5.2.13).
Для функции Ψ,„(χ) указанного выше вида тензор А{т) в
этом соотношении имеет вид (ср.(2.4.8), (2.4.12)) (у=а/ат<1)
А{тУахР2+а2(Рх-±Р2)+аъ(Ръ+Р^+а5Р^
(5.11.12)
βι= J-fO-eJ/.+Zj, a2=M{2-xQ)fQ+fx\ a3 = -—f„

263
as=— (1-/.-4/,), α6=— [(ΐ-β.)(ΐ-2/.) + 2/Ι
Μ. Μα
2(l-rj 4{l-y2) L 2^1-Г W1"^
Домножая обе части (5.11.10) на тензор А(т) и осредняя
результат по ориентациям, длинам и свойствам волокон,
получим уравнение, разрешая которое относительно среднего
< А(т)е*(т) >, найдем
(л(тУ {т)) = [1-(А{т)А{т))]~\А{т))е\(5Л1ЛЗ)
Осредняя теперь выражение (5.11.1) для тензора
напряжений в среде с волокнами и учитывая соотношение
(A(x9m)e*(m)L{x)) = (л(т)^(т)) , (5.11.14)
для случая фиксированных внешних деформаций получим
(*) = *", (σ) = (Τ(ε)9 (5.11.15)
С* = С +[l-(A{m)A{m))\l(A{m)).
Здесь С - искомый тензор эффективных модулей
упругости композита, армированного короткими жесткими
волокнами.
Рассмотрим выражения (5.11.15) для тензора С* в
конкретных частных случаях. Пусть все волокна в композите имеют
одинаковые размеры, свойства и ориентацию. При этом
тензор А(т) является детерминированным и определяется
выражениями
Α^)=λχΡ2+λ2{ρι-\Ρ2)+λ^Ρι+ΡΑ)+λ5Ρ5+λ6Ρ\Ρι'=Р*{т)9
Zi=Pjr^> λ2=2ρμ°^7' λ5 = 3ΡΜ>> *6=P*A<l),

264
Л3=р
3-4 v.
УМ
1-2(1- v>lm-
(5.11.16)
Здесь ρ - объемная концентрация волокон, функция (p(q)
имеет вид
<р(я) =
л-1
ja2(£)<d \α2(ξ)/(ξ,ς)άξ, (5.11.17)
L-i J -ι
я2 =
E.(l+Q~'
Em <5?1п$ E^lmSj
2Я
где ξ=ζ/1,ζ - координата вдоль оси волокна, α(ξ) -
функция формы стержня, 2/ - длина волокна,
α{ξ) = {δχΐΥ1α{ξ). (5.11.18)
Функция /(£#) та же, что в (5.11.3). Для типов волокон,
рассмотренных в главе IV, функция (f(q) определяется
соотношениями, которые следуют из (5.11.17), (4.3.46):
а) цилиндрическое волокно радиуса α \δλ -all)
Μ = ι-
-ι_*£.
(5.11.19)
б) эллипсоидальное волокно с полуосями a,l \Sl =alί)
<р(я)
2 + q2
(5.11.20)
в) волокно в форме остроконечного веретена α(ξ) = α(1-|^|),
Л =all

265
Μ=(ϊΧΆ+Α·β--^-3)-ι'-ιΐΜ)
09
06
03
/,
ι/
ν/
Ι/
^*
sss^ — ·
I
2
3
^1
J
з б 9 q
Рис. 5.18
Функция <p(q)
характеризует
"недогрузку" волокна
конечной длины по
сравнению с бесконечным
волокном в
композите. Графики этих
функций представлены на
рис.5.18 кривыми 1(a),
2(6) и 3(в).
Выражение для
тензора Н(т)9
фигурирующего в (5.11.15)
Н(т) = 1- (А(т)А(т)), (5.11.22)
в случае однонаправленных волокон принимает вид
(5.11.23)
Н[=$-2Я1а1-ЯъаЪ9 И2=\-Я2а2У И, = -{1Ххаъ + λ3α6),
Л4 = -(2Vi + λ6α3), h5 = 2-\λ5α5, Λ6 = 1 -2Λ3α3 -V6,
где коэффициенты а. и Я. определены в (5.11.12), (5.11.16).
Тензор С (5.11.15) является при этом трансверсально-изо-
тропным и определяется выражением (ср.(2.10.6))
(5.11.24)
к =
* 2(ΐ+νβ)(ΐ-2νβ) Δ
4(M-M),m.=^+i,

266
/.=
Ε ν
(l+v.)(l-2v.) Δ
+1(Я3/;б-ЯЛ), ^,4r-+f
1 + v. h
ν
5 J
(l+i/J(l-2vJ Δ
Связь постоянных Κ,τη^μ+J^n+c "техническими"
модулями упругости транверсально-изотропного тела дается
равенствами (2.10.7).
Е^ггы На рис.5.19
представлена зависимость
модуля Юнга Е* (вдоль оси
20| 1 JE/- 1 армирования) от
объемной концентрации
наполнителя ρ для полиамид-
ю| Ж- 1 1 ного термопласта (Е0=2.5
ГПа, V£=0.35),
армированного однонаправленными
цилиндрическими
стекловолокнами (Ет=70ГПа,
vlw = 0.22, ^ = 0.04).
Наиболее удовлетворительное
совпадение расчетов по
(5.11.23) (сплошные
кривые на рис.5.19) с
экспериментальными данными
[211] (светлые кружки)
имеет место, если
параметр γ в (5.11.12)
принять равным 5Х (кривая I
на рис.5.19 получена при
γ - 8Х, кривая 2 - при
Υ = 2δλ).
На рис.5.20 представ-
/° / Ί
V /
ИТ1
0.2 0.4
Рис. 5.19
е:
е.
7
4
1
е;
•е.
/Г
Л
/
У?'
.4
А
0.15 0.3
Рис. 5.20
0.45 Ρ

267
лены зависимости модулей Юнга Е*(/?) и Е*(/?) Для
композитов, армированных периодической системой
однонаправленных волокон в форме параллелепипедов. Для изотропной
среды и включений (Eo/Em=0.05, vm=0.3, vo = 0.35) эти модули
рассчитаны в [150] методом конечных элементов. Сплошные
кривые 1(Е*) и Г(Е*) соответствуют ή = 0.1; 2(Е3) и
2f(E;)-^=0.01. При ^=0.1 формулы (5.11.23) дают
удовлетворительное совпадение с "точным" решением [150] при
γ=3δλ (штриховые кривые на рис.5.20). При ή =0.01 и
χ=0(δ}) расчеты по (5.11.23) практически совпадают с
результатами [150].
Пусть теперь волокна равномерно распределены по ори-
ентациям. При этом композит будет макроизотропным, а
выражения для эффективных модулей объемного сжатия к+ и
сдвига μ+, которые следуют из (5.11.15), имеют вид
*. = *.+т^г, М*=Я+-^г, (5.П.25)
1-7ι 1-Λ
А1=^[4(А1+Аз) + Яб], Л2=Д[Я1+ЗЯ2-2(Яз-|Яз) + Я6],
у, = j[S^ax + 6Λ3α3 +4(Α,α3 + Α3α,) + 2(Я3аб +аъХ6) + Л6а6],
j2 =^[2Α,α, +3{λ3α3+λ2α2)-2{λ]α3+λ3αλ)-{λ3α6 + ^6α3) +
+%α5λ5+λ6α6],
где коэффициенты Α/5α определены в (5.11.12), (5.11.16).
На рис.5.21 представлены расчетные (сплошные кривые) и
экспериментальные (светлые кружки [202]) зависимости
модуля Юнга Е+ и коэффициента Пуассона V, от объемной
концентрации волокон ρ для композита на основе
термореактивной смолы (Ео=2.25ГПа, νο=0.4), армированной хаотической
системой цилиндрических стекловолокон (Ет=77ГПа, *"т=0.25,

268
V.
У^ 0.3h
_j 1 1 1 0.21 1 ι ι I
0.1 0.2 0.3 Ρ 0 0.1 0.2 0.3 Ρ
Рис. 5.21
ή =0.002). Расчетные кривые получены из (5.11.24) при у=20х.
Полученные в данном пункте результаты позволяют
сделать следующие выводы.
Г. Если функция формы стержня ο^ξ) имеет характерный
масштаб изменения порядка длины волокна, то при q>\0
("очень длинные" волокна) и q < 0,1 ("очень жесткие"
волокна) форма волокон практически не сказывается на величине
упругих модулей композита и тензор С* зависит либо от
объемной концентрации наполнителя p(q> 10) либо от
безразмерного параметра χ - -п1ъ / 1η ή , (# < 0,1).
2°. В композитах, армированных волокнами в форме
эллипсоидов или остроконечных веретен, материал наполнителя
используется более рационально, чем в композитах с
цилиндрическими волокнами. Это следует из того, что графики
функции (p(q), соответствующие эллипсоиду и веретену
(кривые 2,3 на рис.5.18), проходят выше, чем график (p(q) для
цилиндра (кривая I).
3°. Сопоставление расчетов с экспериментальными
данными показывает, что фигурирующий в теории параметр γ
должен иметь порядок среднего аспекта волокон δΧ. При этом
величина γ максимальна для сильно коррелированной в
пространстве (регулярной) системы волокон (у~Ъ5х) и нес-

269
колько меньше (^=(1^-2)^) для случайного множества
волокон. Это соответствует геометрическому смыслу параметра γ,
который связан с вероятностью взаимного сближения
волокон в композите. При стохастическом армировании, когда оси
волокон могут сближаться на расстояния порядка их диаметра
(2а), величина отношения полуосей корреляционной ямы для
типичного включения имеет порядок 5Х. При
квазирегулярном расположении волокон значение γ определяется
отношением размеров ячейки периодичности и может быть
несколько больше Sv Значение γ зависит от технологических
особенностей изготовления композита и должно определяться из
стохастического анализа его микроструктуры.
§ 5.12. Упругая среда, армированная
однонаправленными слоистыми волокнами
Рассмотрим композит, армированный системой
однонаправленных круговых цилиндрических волокон бесконечной
длины. Предполагается, что каждое волокно состоит из N
цилиндрических слоев с различными упругими свойствами.
Материал среды и волокон будем считать трансверсально-изот-
ропным с осью изотропии, совпадающей по направлению с
осью армирования. Распределение волокон в ортогональной к
оси армирования плоскости предполагается статистически
однородным и изотропным, внешнее поле - однородная
деформация ε .
Следуя методу эффективного поля, будем считать, что
каждое включение в композите ведет себя как изолированное
в поле внешней деформации ε', одинаковой для всех
включений. При этом поле ε(χ) внутри любого включения
представляется в форме
ε(χ) = [ΐ + Α(χ)]ε\ (5.12.1)
где χ - x(jc15jc2), хих2 - декартовы координаты в плоскости,
ортогональной оси волокна тензор А(х) определяется
соотношениями (2.10.20), (2.11.2) главы П. Схема метода эффектив-

270
ного поля в данном случае полностью аналогична изложенной
в § 5.3 для случая среды, армированной эллипсоидальными
включениями. Выражения для тензоров ε* и эффективных
модулей упругости композита С представляется в форме,
аналогичной (5.5.21), (5.5.23) (п - числовая концентрация
волокон)
ε={ΐ-ρΑ°Ρ°)~λε\ ρ=π(α2Ν)η\ (5.12.2)
С =С° +ρΡ°(ΐ-ρΑ°Ρ°)~λ . (5.12.3)
Здесь тензоры Р° и А° определяются выражениями (см.
(2.4.14))
Р° = (VY '(\c\x)[l + A{x))dx), (v)= я(4), (5.12.4)
1-жл „,, ν 2-х,
А\т)=^Р\т)^^(р\т)-^Р\т))+^Р \т), х=-^-,
(5.12.5)
где V - область на плоскости х},х29 занятая включением с
внешним радиусом aN,m - орт оси армирования, ко,то^о -
упругие параметры матрицы. Заметим, что тензоры С° и
С = С° +С1 в базисе Р'(т) представляются в виде (г =\х\)
σ=ΚΡ2 + 2ηι0(ρλ-\Ρ2) + ΐΧΡ'+ΡΑ)+Λμ0Ρ5+η0Ρ\
C(r)=A:(r)P42w(r)(p1-^P2)+/(r)(p4P4)+4//(r)P5+w(r)P6.
(5.12.6)
Для цилиндрически слоистого включения в последнее
соотношение параметры упругости в /-м слое {а{_х<г<ап /=1,2,...N,
ао= 0, яг- радиус /-го слоя) принимают значения ki,miJi^i,nr
Выражение для тензора Р° с учетом (2.10.21), (2.11.2)
преобразуется к виду (Р1 = Р\т))

271
Р\т) = рхР2+р2{рх-\Р2) + рг{Рг + Р*)+рьРь+р6Р6,
А^Ей-^Ю + ^Й1^-.)). ^=«А. (5-12.7)
а=(zfr -w= +2U -Otf.]te2 -*&)),
где постоянные Г1 определяются из решения задачи для
одиночного цилиндрического слоистого включения, алгоритм
построения этих постоянных описан в § 2.11.
Тензор С* (5.12.2) в том же базисе Р1(т) определяется
выражениями
С = к.Р2+2т.(р] -±Ρ2) + Κ(Ρ3+Ρ4) + 4μ.Ρ5 +η.Ρ\
к.=ко+^Я-, т.=т.+ , РР2 „ W.+-^-,
l-4/^ft, 2(1-/τρ262) 1-4рМ
/'* = Я + , \ , "*=по+рр6+р
4-ррА 1-4дрА
1-аг 2-ае 1
г>,=—-, г>2 =—^, г>5 =—. (5.12.8)
4μ. 4μο 2μο
В случае однородных волокон (N=1) эффективные
коэффициенты упругости композита принимают вид

272
/Я.=7И
1 +
pjfn-щ)
maA\-p)fiXm-ma)
,Μ*=μβ
1+
£Ч+Р—I—> *♦=£„+/? : ,ru=no+p{iir-no)-p{\-p)
2ρ(μ-μ0)
2μΑΙ-ρ)(μ-Μο).
(к)2
Δ '
A=pkAl-p)*+M., Α=^
ГПа|
(5.12.9)
На рис. 5.22 представлено
сравнение рассчитанных по
(5.12.8) значений
эффективных параметров упругости
волокнистого композита с
результатами экспериментов
[167]. В [167] исследовались
композиты с изотропной
матрицей из эпоксидной
смолы (Ео = 5.27ГПа, vo = 0.3)
и трансверсально-изотроп-
ных углеродных волокон
(Ej = 8 ГПа, Е3 = 410.6 ГПа,
V12 = 0.568, V13 = 0.273, //з=Ю.2
ГПа). Кривая 1 на рис.5.22
соответствует расчетной
зависимости ^параметра λ^+ΐτη* от объемной концентрации
волокон (светлые точки ° - экспериментальные значения),
2-ηι*(·),3-μ*(χ),4-η*(,).
§ 5.13. Термоупругая деформация композитов
со сферическими и цилиндрическими
слоистыми включениями
1 >
bzp^
VI
<
4
л
\^ъ
* У \
«—-4
0.3
Рис.
0.6
5.22
Рассмотрим термическую деформацию композитного
материала в постоянном температурном поле. Деформацию ере-

273
ды будем считать нестесненной на бесконечности. Начнем с
задачи определения средних деформаций композитного
материала, армированного статистически однородным и
изотропным множеством сферических слоистых включений. При этом
воспользуемся методом эффективного поля и будем считать,
что каждое включение ведет себя как изолированное в
однородной среде с тензорами модулей упругости С° и
коэффициентов линейного расширения а при действии постоянного
температурного поля Τ и поля эффективных внешних
напряжений σ , которое наводится окружающими неоднородностя-
ми. В рамках основной гипотезы метода, температурные
напряжения в области Vn занятой / -м включением,
определяются из решения уравнения (2.1.17):
σ(χ)-JS{x- x')B]{x')o{x')dx' =js{x- х')а){x')dx' + σ ,
В}=В>-В\ а) = а,-а\ Г=1, (5.13.1)
где В] , α.- возмущение тензора упругой податливости и
коэффициентов линейного расширения в области Vi.
Решение уравнения (5.13.1) можно представить в виде
ο(χ) = с/ (χ) + <?(х)9 (5.13.2)
где функции с/ (х) и с/(х) удовлетворяют уравнению (5.13.1)
с правой частью J S(x-x')a](x')dx' и σ*, соответственно.
Задача о температурных напряжениях с/ {х) в среде с
изолированным сферически слоистым включением решена в §2.9.
Выражение для тензора σ7(χ) в сферической системе
координат (г,п)9 начало которой находится в центре включения,
имеет вид
<Ъ(г,п) = 3*,(1* - α,1)^ + 2μίΥ;2ν-3(δαβ- 3ηαηβ),
а,-\ <r<at, i = l,2,-,N + l, αο=0, α„+Ι=α>. (5.13.3)

274
Здесь предполагается, что включение состоит из N слоев с
внешними радиусами аг Модули объемного сжатия кп сдвига
μ. и коэффициенты линейного расширения ai внутри слоя -
постоянные, материал слоев - изотропный. Алгоритм
вычисления постоянных У,1, и Yxn указан в § 2.9.
Тензор с?{х) является решением задачи для сферически
слоистого включения в однородном внешнем поле
напряжения σ . Решение этой задачи на основании результатов
главы II можно представить в виде
&{х) = С{х)[1 + Α{χ)]Β°σ , (5.13.4)
где выражение для тензора А(х) определено в (2.8.20), (2.9.2).
Если V(x)- характеристическая функция области, занятой
включениями, то напряжения и деформации в композите в
температурном поле Т=1 удовлетворяют следующим
соотношениям:
o{x) = jS{x-xf)[Bl{xf)o{xf) + a\xf)]v{xf)dx\ (5.13.5)
6(x)=fVjK(x-x0Ce[51(x0o(x0 + a1(^0]^U0^.
(5.13.6)
Выражение для эффективного поля напряжений σ следует
из (5.13.2), (5.13.4) и (5.13.5) после осреднения выражения для
локального внешнего поля, в котором находится типичное
включение
a=j5(x-xf)([Ar(^0 + A'(xO^F(^;^)l^f, (5.13.7)
AT{x) = Bl{xW{x) + ct{x), A'{x) = Bl{x)C{x)[l + A{x)]B·.
Предполагая статистическую независимость свойств
включений от их расположения в пространстве, среднее под
знаком интеграла в (5.13.7) представим в виде
([Лг(х') + Α*{χ')σ]ν{χ·9 х')\х) = (л7* + Λ'σ )ψ(* - χ'),

275
У^/|А'(х)лУ Aw//a^)&Y ψ(χ-χή=^^,
(5.13.8)
где V - объем типичного включения, η - объемная
концентрация включений.
Подставив (5.13.8) в (5.13.7) и вычислив интеграл с учетом
регуляризации (5.2.11), найдем
σ =-D°(Ar+~\sa), D° = jΞ{χ)[ΐ-Ψ{χ)]άχ . (5.13.9)
Здесь и далее предполагается, что функция Ψ(χ)
сферически симметрична (Ψ(χ) = Ψ(|χ|)), при этом тензор D°
определяется выражением (5.9.17). Разрешив уравнение (5.13.9)
относительно σ , найдем
σ =-[ΐ + Β°~\*Υθ°ΑΓ . (5.13.10)
Осредняя теперь выражение для тензора деформаций
(5.13.6), получим
(ε) = α+7?+7ϊσ. (5.13.11)
Поскольку это выражение представляет собой среднюю
деформацию композита при изменении его температуры на
один градус, то < а > совпадает с тензором коэффициентов
линейного расширения композита а', который с учетом
(5.13.10) определяется выражениями
α=α+{ΐ + Ό0Α')~7?, (5.13.12)
λ^λ^λ^ε^^
Λ2=-ΛΣ(Α-Α)[(ΐ+3ζ'+2ς)(^^1)+ί4(3^+ζ)(^5-^)],
гА> /=1

276
Отсюда следует, что а*- изотропный тензор а^ = (Χ+δαβ> а
скалярный коэффициент линейного расширения имеет вид
а, = а0 + ν ; . , ώ = —-, ^ г. (5.13.13)
1 + Ч(Л,)' ' 3(3*0+4/0
С помощью формул (5.13.2), (5.13.4) и (5.13.10) можно
вычислить напряжения σ^Γ,η) в окрестности произвольного
включения
^{г,п)=Ък, [Ги -α' +ε{\+Τ9 )]δαβ+2μ, fe +εΧ)^{δαβ-3ηαηβ),
{ai_]<r<ai,i=l,2,...,N + l), (5.13.14)
где слагаемыми, пропорциональными £*, учитывается
взаимодействие между включениями
** = -34(л:)/(1 + <Ц(Л,)). (5.13.15)
Заметим, что полученное выражение для cr^ir.ri) следует
домножить на истинное значение температуры композита Т.
В случае однородных включений выражение (5.13.13) для
а* принимает вид (N = 1,а}= а,кх=к)
а* = а0+р{а-а0)\
1-4(1-/7) ^ К\] . (5.13.16)
Результаты расчетов напряжений в соответствии с
соотношением (5.13.14) в некоторых случаях приведены в [57].
В заключение этого пункта приведем выражение для
тензора коэффициентов линейного расширения композита,
армированного однонаправленными цилиндрическими
слоистыми волокнами. Материал среды и включений будем считать
трансверсально-изотропным с осью изотропии т, направлен-

277
ной вдоль оси армирования. При этом тензоры
коэффициентов линейного расширения среды а и / -го слоя а.
определяются выражениями
(5.13.17)
где Θφ(ηί)=δαβ-Ίηαιηβ\αθ,αίθ - коэффициенты линейного
расширения в плоскости, ортогональной оси армирования,
а°т, aim- те же величины в направлении оси волокна.
Тензорный коэффициент линейного расширения композита имеет
структуру, аналогичную (5.13.12). Входящий туда тензор D°
определяется соотношением
D° =С°А0С°-С0 , (5.13.18)
где тензор А° имеет вид (5.12.4), а тензоры Л" и Л
представляются в форме
Л«=(Л1>РЧ(Л2)[Р1-^2]+(Лз>[Р3+Р4]+(Л5>Р5+(Лб)Р6,
Р=Р{т), (5.13.19)
л,=-^Σ(*.-*ο)(1+ί?)£> л,=-/>|;0;-о(1+я)б,
i=l i=l
Л2 = -ipffa -m0)[(l + 2Y; +2Υ')ξ, +ЗЙ +F6)(af +«£,)$],
ι=1
i=l i=l
t* =
<Ί-1 к-кл
φι φο 'ν/ 'νο
и„
%+
k. I
ι _ ι
<*«+:
L-UL
α.·.

278
te= Δ.
К-К
h-4μι
№-<)-
к. I
а,.
Р=**(<&)> Ыа-**!*11<&* \=кЛ-120,4г=««г«о*, ctim=aim-aom.
В случае однородных волокон (N=1) и изотропных
матрице и включениях тензор а* в базисе ортогональных осей,
одна из которых (ось х3) направлена вдоль волокон, имеет
отличными от нуля только диагональные компоненты аи - а*22
и «зз · Выражения для этих компонент имеют вид
а,
= а0+р{а-а0)А^ , а33 = а0+р{а-а0)А3, (5.13.20)
Αι=^ΈΛ^Ι-ρΧΐ+νΧχ^νΒ)],Α2=^{[ρΕ^Ι+νΧΐ-ρ)ΕΒ]χ
AG.1
Ί 1Л
— + —
1 1
-(\-ρ)νβ\-+—\-4{ΐ-ρ)νο{\+ν){ν-νο)},
Vk Μ.)
Δ=ζ+ίΐζ£)+±, α=Λ_ω2
К к μ/ * к.
где Ε,Εο;ν, νο - модули Юнга и коэффициенты Пуассона
включений и матрицы, коэффициенты кШ91т и п* определены
в (5.12.9).
Характер погрешности полученных формул для а*
обсуждался в [76, 86]. Отмечалось, что для материалов типа
стеклопластиков относительная ошибка в вычислении а* по
формулам (5.13.12), (5.13.19) не превышает 10-15% вплоть до
концентрации волокон, близкой к плотной упаковке.

279
§ 5.14. Приближение точечных дефектов
в механике матричных композитных
материалов
В данном пункте рассмотрим приближение, основанное
на замене включений конечных размеров в матричных
композитах точечными изолированными неоднородностями. При
аппроксимации включения точечной неоднородностью будем
исходить из условия, что асимптотика возмущенного поля от
включения конечных размеров и точечного дефекта, которым
он моделируется, должны совпадать на бесконечности.
Рассмотрим изолированную неоднородность с модулями
упругости С{х) в однородной среде С° и пусть V- конечная
область, занятая неоднородностью. Поля напряжений и
деформаций в среде с неоднородностью можно представить в
виде
а{х) = σ (х) + $S{x-x')m{x')dx', п{х) = Β](χ)σ{χ)ν{χ),
ε{χ) = ε{χ) + Ικ{χ-χ')Γηι{χ')όχ', Β]{χ) = В(х)-В\
(5.14.1)
где т(х) - плотность дислокационных моментов,
индуцированная приложенным внешним полем σ и эквивалентная
рассматриваемой неоднородности. Переход к точечному
дефекту соответствует замене плотности т{х) первым членом ее
разложения в ряд по мультиполям (§ 1.4)
ηι(χ) = Μδ(χ-ξ)+..., M=jm(x)dx, (5.14.2)
где ξ - точка приведения, которую удобно выбрать в центре
тяжести включения.
В случае постоянного в области V внешнего поля
плотность т{х) и тензор Μ определяются выражениями
ηι{χ)=Μ{χ)σ\ Μ = Μ°σ\ М° = J M(x)dx , (5.14.3)

280
где функция М(Х) определяется из решения задачи об
изолированной неоднородности в постоянном внешнем поле σ. В
частности, в случае эллипсоидальной неоднородности тензор
М° имеет следующий вид
М° = -vB°C][l + A{a)C]\]B\ (5.14.4)
где V - объем включения, тензор А (а) зависит от формы
эллипсоида и определяется соотношением (2.4.2). Если
неоднородность представляет собой эллиптическую трещину,
которая раскрывается в поле σ, то
Κβχμ = у Ща2»иг)~тп„). (5Л4-5>
где п - нормаль к плоскости трещины, αρα2 ее полуоси,
тензор Т° определен в (2.7.11).
Пусть теперь однородная среда содержит множество
точечных дефектов. Обозначим через ai локальное поле, в
котором находится /-и дефект. Тогда поля напряжений и
деформаций в среде с точечными дефектами на основании (5.14.1),
(5.14.2) представляются в форме
а(х) = a{x) + ^\s{x-x')M°aAx·-ξ,)άχ', (5.14.6)
i
ε(χ) = ε (χ) + Σ|κ(χ-x')C°M°a'S{x' - ξ,,)dx'. (5.14.7)
i
Здесь Що{ - коэффициент при S(x- £.) при разложении
плотности щ{х) для 1-го включения в ряд по мультиполям
(5.14.2).
Поле σ , в котором находится к -й дефект, имеет вид
σΙ = σ{ξΐ!) + ^\8{ξ,-χ')Μ;σΑχ'-ξί)άχ'Λ5.1Α.%)
i*k
где 4(£=1,2,...) - точки, в которых имеются точечные дефекты.
Рассмотрим простейший пример. Пусть на плоскости
имеются две прямолинейные трещины, длина каждой из которых

281
2/. Трещины расположены на одной прямой, а расстояние
между их центрами есть Г . Внешнее поле представляет собой
одноосное растяжение напряжением σ в направлении
нормали П к общей линии трещин.
Заменим трещины эквивалентными точечными
дефектами. В силу симметрии задачи имеем
М\ = М°2 , ηασλαβηβ = ηασ2αβηβ . (5.14.9)
Из уравнения, аналогичного (5.14.8), найдем величину
сг* = ηασ*α/ρβ. В случае изотропной среды имеем
«Ли, (*жи = ^/Л. <5·14·10)
где х - координата вдоль прямой, на которой расположены
дефекты. Умножая обе части (5.14.8) слева и справа на А? и
учитывая предыдущие равенства, найдем
/2 ( ι2 ν'
σ"„ = σ„+—Ύσ„, σ„ =
г2
V
r2a„. (5.14.11)
Здесь <Jn(r) представляет собой нормальную компоненту
поля напряжений, в котором находится каждый из двух
точечных дефектов, расположенных на расстоянии Г друг от
друга. Функция σ(τ) - асимптотика при г»21 решения
задачи о взаимодействии двух одинаковых трещин,
расположенных на одной прямой. Если же г <//V2, то решение (5.14.11)
не имеет физического смысла. Таким образом, к модели
точечных дефектов следует подходить с осторожностью. Строго
говоря, замена включений конечных размеров точечными
дефектами означает введение в сплошной среде характерной
длины / порядка размеров дефекта и расстояния, меньшие / ,
не всегда имеют смысл. В частности, взаимодействие
конечных включений на расстояниях порядка / с помощью
точечных дефектов нельзя описать даже качественно.
Пусть теперь множество точечных дефектов является
случайным, однородно распределенным в пространстве.
Обозначим через X множество точек £.(/=1,2,...), в которых распо-

282
ложены дефекты, и введем обобщенные функции Х(х) и
Χ(χ,χ') равенствами
i i*k
(5.14.12)
С использованием этих обозначений выражения для
напряжений и деформаций в среде с точечными дефектами
(5.14.6), (5.14.7) принимают вид
ф) = σ (x) + \s{x- χ')Μ°{χ')σ{χ')χ(χ')άχ\ (5.14.13)
e(x) = a\x) + JK{x-x')C0M0{x')a{x')x{x')dx', (5.14.14)
где функции М°(х) и σ(χ) совпадают с Ь/ζ и σ* в точках
χ = ξί ,/ = 1,2,... . Уравнение (5.14.8) для σ*(χ) можно
записать в форме
a\x) = a\x) + jS{x-x')M°{x')a{x')x{x,x')dx', xgX.
(5.14.15)
Если внешнее поле σ - постоянное, то определенный в
точках ξ. gX тензор σ{χ') будет однородной случайной
функцией. Следуя методу эффективного поля в одночастич-
ном приближении (§5.3), будем считать, что поле σ-
постоянное и одинаковое для всех дефектов. Уравнение для
тензора σ получим, осредняя обе части (5.14.15) по ансамблю
реализаций случайного множества X и М° при условии χ е X
а = σ +pjS{x - χ')Μοχ¥{χ - x')dxfσ , (5.14.16)
Μ° = —1—(М°) , Ψ{χ-χ') = —(Χ{χ'9χ')\χ) , (5.14.17)
где η - числовая, а ρ=η°<ν> - объемная концентрации
включений. Функция Ψ(χ) определяет вид корреляционной ямы
для типичного дефекта и обладает следующими свойствами

283
Ψ(0) = υ, Ψ(χ)->1 при |х| —> оо . (5.14.18)
Вычисляя интеграл в (5.14.16) и разрешая полученное
соотношение относительно тензора σ , получим
σ=(ΐ + ρΟΜ°)~1σ\ D = jS(x)[l-4f(x)]dx. (5.14.19)
Осредняя теперь выражения для тензоров напряжений и
деформаций в среде с точечными дефектами (5.14.6), (5.14.7) с
учетом равенства
(Х(х)) = п° (5.14.20)
и определения (5.2.11) действия операторов S и К на
постоянных, найдем
(σ) = σ, (ε) = ε+ρΜ°(ΐ + ρΏΜ0)~1σ. (5.14.21)
Отсюда получается следующее выражение для тензора
эффективных податливостей среды с дефектами В :
(ε) = Β*(σ), Β* = Β0+ρΜ°(ΐ + ρΜ°Υ\ (5.14.22)
Рассмотрим вид тензора В в некоторых частных случаях.
Г. Пусть существует линейное преобразование X -
пространства а такое, что функция Ψ(χ) становится сферически
симметричной
у=ах, ψ(α_1^) = ψ([ν|). (5.14.23)
В этом случае тензор D (5.14.19) принимает вид
D = D{a) = С°А{а)С° -С° , (5.14.24)
где тензор А(а) определен соотношением (2.4.2).
Если точечные дефекты моделируют эллипсоидальные
однородные включения, то тензор М° для произвольного
включения имеет вид (5.14.4).Отсюда и из (5.14.22) следует
выражение для тензора С* в виде
С = С+рР°{1-рА{а)Р°)-\ Р° = (с'(1 + А{а)СУу
(5.14.25)

284
которое совпадает с выражением (5.5.23) для С*, полученным
при рассмотрении случайного множества включений
конечных размеров.
2°. Пусть точечные дефекты моделируют
ориентированные неоднородности (трещины, жесткие чешуйки или
волокна). При этом тензор М° в (5.14.13) будет зависеть от
ориентации неоднородности т (5.14.15). Если в этом случае
считать, что эффективное поле σ , в котором находится
типичный дефект, зависит от его ориентации т(а* = σ{ηι)), то
аналогично § 5.4 можно получить уравнение для а(т). В это
уравнение будет входить функция Ψη(χ-χ') вида
ΨΛ*-*0 = ΑΗ*;*0|*,>"), (5Л4.26)
где <·\χ9ηι> - среднее при условии, что в точке X
расположен дефект ориентации т. Если считать, что форма
корреляционной ямы, которая задается функцией ΨΜ(χ), зависит от
формы неоднородности, то можно получить выражения для
тензоров С*, совпадающие с найденными в §§5.5-5.10 для
композитов, армированных ориентированными включениями.
Таким образом, в случае стохастических композитов
модель точечных дефектов, с необходимыми оговорками,
позволяет получить те же выражения для эффективных модулей
упругости композита, что и метод эффективного поля в одно-
частичном приближении применительно к включениям
конечных размеров.
3°. Пусть теперь одинаковые точечные дефекты образуют
регулярную решетку в однородной среде. Если внешнее поле
а - постоянное, то для простых решеток локальные поля σί
совпадают при всех / . Выберем начало координат в
произвольном узле решетки, образованной дефектами. Поле σ для
дефекта, расположенного в этом узле, на основании (5.14.15)
определяется из соотношения

285
σ = σ +pjS(x)Mox¥(x)dxa , (5.14.27)
Μ°=-Μ\ Ψ(χ) = —Υ'<$(*-/), ρ = ην. (5.14.28)
ν η ι
Здесь / - вектор решетки, образованной точечными
дефектами, штрих над знаком суммы означает пропуск
слагаемого /=0. Отсюда приходим к выражению для σ ,
совпадающему с (5.9.34), где интеграл D представляется в виде
следующего сходящегося ряда:
ι
где vt - элементарная ячейка, которая соответствует узлу
решетки с вектором / , тензор D° имеет вид (5.9.17).
Тензор эффективных модулей упругости среды с решеткой
дефектов имеет вид (5.14.22) при D в форме (5.14.29).
Рассмотрим пример изотропной среды, в которой сферические
включения образуют кубическую решетку. Тензор С* при этом
имеет вид, совпадающий с (5.6.11), однако коэффициент а в
этом выражении постоянный и представляется в виде
сходящегося ряда, аналогичного (5.14.19). Численное
суммирование этого ряда дает а = 0,080.
Перейдем к плоской
задаче, где все построения
проводятся аналогично
трехмерной ситуации.
Рассмотрим квадратную решетку
круговых включений в
изотропной плоскости. В этом
случае тензор С* имеет вид
(5.6.30), где коэффициент а
является постоянным, а его
численное значение равно
0,092.
— S{l)-\S(x)dx
η J
+ D° + fS(x)dx, (5Л4.29)
"s
4
2
1
0.8
06
0.4
0?
^^
■ч ^
t^~~~^-*·
1
>ч
/l>
^^^j
^
fc^^
//
-
L=L·— —-'
0.2 0.4
Рис. 5.23
0.6 ρ

286
На рис.5.23 представлены графики для относительного
модуля сдвига //„ / μο в случае квадратной решетки круговых
отверстий (кривые I) и круговых жестких включений (кривые 2).
Сплошными кривыми представлено точное решение задачи
[30], штриховые кривые получены с помощью модели
точечных, а штриховые кривые с кружками представляют решение
методом эффективного поля с учетом конечных включений
(§5.4).
Анализ кривых на рис.5.23 позволяет утверждать, что
приближение точечных дефектов дает ошибку менее 10%, если
расстояние между центрами включений в 1,5-2 раза больше,
чем диаметр включений.
В случае правильной треугольной решетки круговых
включений модель точечных дефектов дает те же значения, что и
метод эффективного поля для включений конечных размеров.

ГЛАВА VI
УЧЕТ МНОГОЧАСТИЧНЫХ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫСШИХ
СТАТИСТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ УПРУГИХ ПОЛЕЙ В
МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ
Одночастичное приближение метода эффективного поля,
которое рассматривалось в предыдущей главе, позволяет
приближенно решить задачу осреднения и вычислить
эффективные упругие и термоупругие характеристики матричных
композитов с различными наполнителями. Однако для отдельных
типов наполнителей (например, жестких квазисферических
частиц) при большой их концентрации погрешность метода
становится существенной. Причиной большой погрешности
является нарушение основных гипотез метода при увеличении
концентраций включений. Поэтому возможности уточнения
решений, полученных на основе самосогласованных схем,
связаны с использованием менее жестких гипотез. В данной
главе предложена модификация метода эффективного поля,
которая позволяет улучшить результаты одночастичного
приближения (глава V) путем учета многочастичных
взаимодействий между включениями в композите. Новая модификация
метода позволяет применить самосогласованную схему для
решения более сложных задач механики композитов. В
частности, вычислить высшие статистические моменты упругих полей
в матричных композитах и описать нелокальность связи
между средними напряжениями и деформациями, которая
проявляется в области сильно изменяющихся внешних полей.
§ 6.1. Эффективное поле в матричных
композитных материалах
Рассмотрим понятие эффективного поля, введенное в §5.3,
более подробно. Итак, пусть в бесконечной однородной упру-

288
гой среде статистически однородно распределено случайное
множество изолированных включений. Зафиксируем одну из
типичных реализаций этого множества и рассмотрим
произвольное 7-е включение, занимающее объем Vr Обозначим
через £. локальное внешнее поле деформаций, действующее на
это включение, и будем считать, что решение задачи теории
упругости для одиночного включения в произвольном
внешнем поле является известным. Это значит, что известен явный
вид зависимости поля внутри включения от внешнего поля ε]
ε+(χ) = (Κε,)(χ), χ&ν>, / = 1,2,.... (6.1.1)
Здесь Л' - известный линейный оператор.
Уравнение для полей εχ (х) (/ = 1,2,...) следует из
уравнения для поля деформаций ε(χ) в композите (5.2.4) и имеет
вид
^(х)=^чх)-Х|к(х-хОс;и(л^;)(хО^(^0^5
xeVk, £ = 1,2,.... (6.1.2)
Здесь С] (х) - возмущение модулей упругости внутри /-го
включения. Если функции ек(х) найдены из решения этой
системы, то поля напряжений и деформаций в композитном
материале определяются из соотношений (5.3.1), (5.3.2)
e(x) = e(x)-JK{x-x')q{x')dx', (6.1.3)
φ) =a(x)-fs{x- x')B°q(x')dx',
?(*) = ZC' (*)(Л'*;)(*Ж(*) · (6-1.4)
i
Введем поле ε*(χ), совпадающее ε*(χ) при χ eVt, и
линейный оператор Р такой, что имеет место равенство (V(x)=
=ZVi(x)):
ι

289
(Pe)(x)V(x) = ^CUx)(Aie;)(x)Vi(x). (6.1.5)
Тогда систему (6.1.2) можно записать в виде одного
уравнения относительно поля ε (х) в области V-UVi
i
ε\χ) = ε (χ)- JK{x-x')(Pe*){x')V{x;x')dx' ,(6.1.6)
где функция V(х\х') определена соотношением (5.5.3).
Если множество включений случайное, ε*(Χ) - случайная
функция. Для построения статистических моментов функции
ε\χ) введем следующие предположения (гипотезы метода
эффективного поля).
Ηλ\ Поле ε*(Χ) имеет одинаковую структуру в любой из
областей, занятых включениями.
В частности, если принять, что в каждой области Vi
зависимость £*от координат имеет вид полинома, то степени этих
полиномов одни и те же для всех включений, а
коэффициенты случайно меняются от включения к включению.
Н2: Значение случайной функции ε*(Χ) в точках области
Vi статистически не зависит от свойств включения,
занимающего эту область, и геометрических
характеристик последней.
Смысл гипотезы Н2 состоит в том, что локальное
внешнее поле, в котором находится произвольное включение,
предполагается слабо зависящим от формы и свойств
отдельных включений, но определяется интегральными
характеристиками всего случайного множества неоднородностей.
Пусть, например, включения однородны и имеют форму
эллипсоидов. Тогда из гипотезы Ηλ и решения задачи для
изолированной эллипсоидальной неоднородности в
полиномиальном внешнем поле (§ 2.3) следует, что поле ε (X) внутри
любого включения есть полином той же степени, что и
локальное внешнее поле ε (Χ). В частности, если поле ε*
считалось постоянным в областях Vi9 то оператор Ρ в (6.1.6) есть

290
оператор умножения на функцию Р°(х), постоянную в
каждой из областей
{Ρε')(χ)=Ρ°(χ)ε(χ), χ &V, (6.1.7)
P°{x) = P; = C](l + A{ai)Cl)-\ ε(χ) = εΙ xe^.
Тензор А(а) определен соотношением (2.4.2), тензор Р°
определяется размерами и ориентацией области Vr
Подставляя (6.1.7) в (6.1.6), придем к следующему
уравнению для поля ε{χ) в области V{x eV):
e\x) = 8\x)-JK{x-x')P0{x'y{x')V{x-x')dx'. (6.1.8)
Если предположение о постоянстве поля ε (χ) в областях
Vi оправдано, то решения уравнений (6.1.8) и (6.1.6)
совпадают.
Будем считать теперь, что поле ε (χ) является линейным
в областях Vk, занятых включениями,
£αβ(Χ)=£ΐαβ+ηαβλ(χ-ξϊ)λ, Х ^1с > * = 1,2,... . (6.1.9)
Здесь ξΙζ - центр области Vk. Поскольку линейное внешнее
поле индуцирует внутри эллипсоидальной неоднородности
линейное поле, то оператор Ρ в (6.1.5) действует на ε*(χ) по
формуле (х е Vk)\
V£ /а/ДХ) = *μ)αβλμεμ)λμ + ^)αβλμνδΤ(^λμν\Χ ~ blc)S> (6.1-Ю)
где тензор Рк определен в (6.1.7), а тензор Рк может быть
найден из решения задачи для изолированной
эллипсоидальной неоднородности в линейном внешнем поле (§ 2.3).
Учитывая, что постоянные тензоры ε*к и тк в (6.1.9)
выражаются через линейное в области Vk поле ε*(χ) следующим
образом (х е Vk):

291
£(к)сф — εαβ\Χ) 1*λεсф\Х)у<Х Ьк)л > Т(к)сфХ ~ *λ8'αβ >
(6.1.11)
получим, что уравнение (6.1.6) для ε*(χ) при справедливости
(6.1.9) примет вид
<,(*)= <*(*)-/к^(*-х')>< (6.1.12)
χ{^Μ*ν(*0+^^(*')[ν^(*θΚ(χθΗ*;*')Λ',
где функции Р2(х) и Ηδ(χ) определяются соотношениями
*λμνρτδ\Χ) ~ *ψ)λμνρτδ~ ^)λμνρ^τδ > (6.1.13)
Ηδ(χ) = Η(,)δ(χ) = (χ-ξ,)ό, xeVk, *=1,2,....
Уравнение (6.1.12) является уже интегродифференциаль-
ным относительно ε*(χ). Если поле ε*(χ) аппроксимировать
полиномами второй степени в области Vk, то аналогичным
путем придем к интегродифференциальному уравнению, в
котором будут фигурировать производные второго порядка от
Поле ε (х), удовлетворяющее уравнениям (6.1.8), (6.1.13)
или им аналогичным, будем называть далее эффективным.
При этом (6.1.8) назовем уравнением нулевого порядка, а
(6.1.12)- уравнением первого порядка для эффективного поля.
§ 6.2. Некоторые средние однородных
случайных полей
Данный параграф носит вспомогательный характер и в
нем будут рассмотрены различные условные средние от
случайных функций V(χ), ε(χ) и σ(χ). Здесь V(x) -
характеристическая функция изолированных областей, которые
однородно распределены в пространстве. Поля типа тензоров
деформаций ε(χ) и напряжений σ(χ), а также эффективное
поле ε*(Χ) являются функционалами случайного поля V(X).

292
Для однородного внешнего поля все эти случайные поля
являются однородными. При реализации метода эффективного
поля возникает проблема построения различных условных
средних от случайных функций, аналогичных V(x).
Пусть f(x9V) - одна из рассматриваемых функций.
Среднее <f(x)> по ансамблю реализаций V(x) есть интеграл в
функциональном пространстве вида [27]
(/(*))=]7(*ЯфИ, (6.2.1)
где μ(¥)- мера в функциональном пространстве,
соответствующая случайному полю V(X). Аналогично определяются
корреляционная функция поля f(x)
{f{^)fM) = \f{^V)f{^V)d^V) (6.2.2)
и другие высшие моменты f(x).
Большую роль при реализации метода эффективного поля
играют средние от /(*), вычисленные при условии, что
область V содержит некоторую фиксированную точку jc,. Для
этого условного среднего было введено общепринятое
обозначение </(*)!*!>. По определению [ 27,125 ]
(/Ml*,) = (УМ)'* j f{x)V{xMv) . (6.2.3)
Аналогично, среднее от функции /(X) при условии, что
точки х;,х2,...,хл принадлежат области V, определяется
выражением
(/{χ)\χ„χ2,...,χη) = (ΐΐν{χή jf(x)f\v{xMv).
(6.2.4)
Пусть теперь χ е V, х, е Vx (сравни (5.5.3)), где
Vx=(jV, TipuxsVk. (6.2.5)

293
Среднее от функции f (х) при этих условиях обозначим
через </(л:)|х;х1>, а выражение для этого среднего имеет вид
(/Ml *; *, Ж* И*"·*« )>"' J7(*M*M*; *, Mr),
(6.2.6)
где функция F(x;x,) определена соотношением (5.5.3).
Из определения условных средних следуют соотношения
(f{x)V{x)) = (V(x))(f{x)\x), (6.2.7)
(/(xM*.;*)l*,) = (K*i;*)l*iX/Wl*;»,>,
которые использовались в главе V при реализации метода
эффективного поля в одночастичном приближении.
Относительно всех фигурирующих здесь однородных
случайных функций будет предполагаться эргодическое свойство:
средние по ансамблю реализаций V (х) совпадают со
средними по всему пространству для типичной фиксированной
реализации. Пусть такой реализации VQ(x) соответствует
фиксированная функция /0(х)· Тогда
(/(*))= UmJrJ/0(x)A, (6.2.8)
IV
(/Wl*) = (К (*))"' Вт k\fXx)VXx)dx,
~*°° IV
где W- область в Л3, в пределе занимающая все пространство.
В дальнейшем значок (о) для фиксированной реализации
будет опускаться.
В ряде случаев включения в композите удобно
аппроксимировать точечными дефектами (§ 5.14). Поэтому рассмотрим
здесь различные условные средние обобщенных функций
Х(х) и Χ(χλ\χ), определенных соотношениями (5.14.12).
Итак, пусть Х- однородное в пространстве случайное
точечное множество с элементами ξ. (/=1,2,...), Ххх х - множество

294
Х9 из которого удалены точки ξ.9 совпавшие с
фиксированными точками х19х29...9хя пространства, Х(х) и X(xvx2,...,
хп'9х) - обобщенные функции, сосредоточенные на
множествах X и Хт т т
*1Х2-Хи
χ(χ) = Σ*χ-$)> 4*„*2,···.*.;χ)= Y<W,),
(6.2.9)
где £(х) - дельта-функция Дирака.
Рассмотрим следующие средние от функций Х(х) и
Χ(χλ\χ) по ансамблю реализаций точечного множества X
{х(х)),{х(^)\^-^0М_ (6.2,0)
№;х^^>=_Щ^^Щ^- <6'211)
Здесь <-|х! >- среднее по ансамблю случайного точечного
множества X при условии ххьХ\<\хх\хг> _ указанное
среднее при условии x19x2gX9 χχ * χ2. В общем случае символ
(Κ>*2>···>*,,;**+ι>···>*η,) (6.2.12)
означает среднее при условии хХ9х29...9хт еХ9 а точка с
запятой разделяет переменные, которые не могут принимать
одинаковые значения.
Множество X в дальнейшем предполагается эргодическим.
Стандартный прием, который будет использован для
построения средних типа (6.2.10), (6.2.11), состоит в применений эр-
годического свойства с последующим осреднением по
ансамблю, если это необходимо. Например, исходя из определения
(6.2.9) функции Х(х), имеем

295
(*(*)) =lim — \Υδ{χ-ξ.)άχ = Ιιτη— = we. (6.2.13)
Здесь W- область в Л3, в пределе занимающая все
пространство; Л^- число элементов X, попавших в JV9 n - числовая
концентрация элементов X.
Вычислим двухточечный момент функции Х(х).
Используя свойство эргодичности, получим
(х(х)х(х + х1))=Ы^[ Σ4*-δ)4* + χ.-*/)Λ =
= lim— Υάχ,-ξ,+ξΧ (6-2.14)
Введем случайный вектор ξ..=ξ.—ξ. и пусть его плотность
распределения есть gy(x). Осредним соотношение (6.2.14)
еще раз по ансамблю реализаций X. Указанное среднее от
отдельных слагаемых в последней сумме имеет вид
(fa-4ii)) = S(xl),i = j. (6.2.15)
Здесь учтено, что £„ = 0 для всех / и, следовательно,
gu(x)=S(X).
Выделяя в (6.2.14) слагаемые с i=j, получим
(χ{χ)χ{χ + χι)) = η·δ(χι)+Μο·^ ΣΦ>)- (6·2·16>
Используя этот результат и очевидное равенство
Χ{χ) = Χ{χι,χ) + δ{χ-χ]), х,еХ, (6.2.17)
найдем выражение в числителе (6.2.10)

296
<Х{х];х)х{х])>=Пт^- ££,(*-*,). (6.2.18)
Пусть, например, случайное точечное множество X
статистически однородно и изотропно, а корреляция ρ
расположении элементов X исчезает с увеличением расстояния между
ними. При этом, если |jc —Jt,|—»оо, то
(4^;^)^U)>^(^i;^)>(^U)> = k)25 (6.2.19)
а функция Ψ^χ-χ^^η0)'2<Х(х]9х)Х(х])> обладает
свойствами (сравни (5.5.7), (5.5.17))
ψ(χ) = ψ(|χ|); ψ(θ) = 0; ψ(χ) -> 1 при |jc| -> оо. (6.2.20)
Аналогичная функция использовалась в § 5.14 при
рассмотрении среды со случайным множеством точечных дефектов.
Рассмотрим теперь случай, когда элементы множества X
образуют случайную пространственную решетку. Пусть
элементами X являются случайные векторы ξηι вида
^го+Α,+γ, (6.2.21)
где т - вектор узла фиксированной в пространстве
регулярной решетки, рт - независимые случайные векторы с
нулевыми математическими ожиданиями и одной и той же
характеристической функцией f*(k) (f*(k) - преобразование Фурье
плотности распределения f(X) вектора рт), Г - случайный
вектор, равномерно распределенный во всем пространстве,
один и тот же для всех т.
Отсюда следует, что характеристическая функция gmn(k)
случайного вектора £ши = ξηι - ξη — т -п+рт -рп имеет вид
gmn{k) = Ak)A-k)e-ik{m-n). (6.2.22)
Функция gmn(x), фигурирующая в (6.2.18), для
рассматриваемого точечного множества определяется соотношением

297
(2я) J
(6.2.23)
Отсюда и из (6.2.10), (6.2.18) и (6.2.13) следует, что
выражение для условного среднего < X(x];x)\xi > имеет вид
(х(х,;х)\Х]) = Σ g(x- χ, -т), (6.2.24)
где штрих над знаком суммы означает пропуск слагаемого
т = 0.
Перейдем к построению среднего в числителе (6.2.11).
Используя свойство эргодичности, найдем
(*(*,;*! +x2)x(xl;xi +x3)x(xi))= (6.2.25)
= J™> Σ **2-ξΜ*>-ξ»)-
4h4j,4keW{k,j*i)
Осредним это соотношение еще раз по ансамблю
реализаций X. Поскольку ξ~ и ξΜ при j^k- независимые случайные
векторы, то их совместная функция распределения есть
gij(x)gki(x)· Среднее от отдельных слагаемых последней
суммы в (6.2.25) имеет вид
(6.2.26)
Отсюда и из (6.2.25), (6.2.18) получим выражение для
среднего (6.2.11) в форме
(Χ(χχ'9χ)\χχ'9χ2) = δ{χ-χ2) + Ρ{χ9χ19χ2) 9 (6.2.27)
где функция F(x,xl5x2) определяется соотношением

298
F{x,Xt,x2) = (x(xltx2;x)\xl;x2), (6.2.28)
и может быть представлена в виде ,
. Σ g(x-x,-w)Z g(x2-^,-«)
F(x,x,,x2) = -= -, =*= . (6.2.29)
m
Здесь штрих над знаком суммы означает пропуск
слагаемого т=0 (п=0).
При рассмотрении включений конечных размеров
аналогом средних (6.2.10), (6.2.11) будут следующие средние:
(v(x)) = P, (r(*,;*)l*,)= {V{t^t]) ><6·2·30>
Здесь точки Xj и х2 находятся внутри разных включений,
ρ - объемная концентрация включений. Средние (6.2.30) для
стохастических и регулярных множеств областей в
пространстве рассматривались в §§ 5.5 и 5.6.
Введем область Vxx х соотношением
Кл.,„= UF* прих,е^, х2е^,..., х„е^,(6.2.32)
где Vk- область, занятая к-м включением. Обозначим через
Кх χ χ ~ дополнение Vxx х х до Vxx x . Очевидно, что
х\х2 хп-1хп х\х2 хп-\хп х1х2-Хп-1 '
V есть объем ^включения с номером /„, в который
попала точка хп. Характеристические функции (с аргументом х)

299
областей Vx и V обозначим через V (х19х29...9хп9х) и
V (хх, х2,..., хп; х). Из этих определений следуют равенства
V{x) = V{xl9x)+7{xl9x)9 (6.2.33)
V{xl'9x) = V{x,9x2'9x) + V{x2'9x)-V{x2'9x)v{x]'9x).
(6.2.34)
Если точки х, и х2 могут находиться только в разных
включениях, то последнее слагаемое в правой части (6.2.34),
очевидно, исчезает. Отсюда следует, что среднее (6.2.31)
представляется в виде суммы
(F(xi;x)|xi;x2) = (F(x2;x)|xi;x2) + (f(xi,x2;x|xi;x2).
(6.2.35)
Если |jc,|—>оо, то слагаемые в правой части этого
соотношения перестают зависеть от jc, и принимают вид
(Г{х2; х)\ х,; х2 > -> {F(x2 ;х)\х2) = (F{x2; x)V{x2 ))/(v{x2 )>,
(6.2.36)
(v{x„x2;x)\X];x2)^ρψ{χ-χ2), (6.2.37)
где Ψ (х) определяется соотношением (5.5.7), а числитель
правой части (6.2.36) представляется в форме (R-x-x2)
(V{x2;x2 +R)V{x2))=hmo±JYjVl{x2 +Л)^(х2)Л2 =pJ{R).
W i
(6.2.38)
Здесь функция J(R) в случае эллипсоидальных
включений имеет вид (5.6.4). Таким образом,
(F{x2'9x)\x2) = j{x-x2). (6.2.39)
В пределе при | jc2 | —> оо имеем
(v{x29x)\xl9x2)^>09 (ν{χ19χ2;χ)\χ19χ2)^>ρψ{χ-χλ).
(6.2.40)
Качественно особенности поведения среднего (6.2.31)
описывает функция

300
(V{xx; x)xx; x)=j(x-x2 )ψ(χ-χ2 )+/>ψ(*-*ι M*-*2 M*,-*2)>
(6.2.41)
являющаяся аналогом представления среднего (6.2.28) в
случае системы точечных дефектов.
§ 6.3. Общая схема построения
статистических моментов упругих полей
в матричных композитах
Начнем с задачи построения статистических моментов
эффективного поля деформаций ε*(χ). Обозначим через ε*^(χΐ9
х2,...,хп) П- точечный момент эффективного поля: среднее от
тензорного произведения ε*(χι)®ε*(χ2)®...®ε*(χη) при
условии, что точки х,,х2,...,хи принадлежат области V, занятой
включениями. В частности, математическое ожидание £*(1)(х)
и двухточечный момент £*(2)(х15х2) эффективного поля - это
средние вида
е™(х) = (е\х)\х)9 (6.3.1)
ε*(2){χι,χ2) = (ε*{χι)®ε*{χ2)\χι,χ2).
В этом пункте ограничимся рассмотрением уравнения
нулевого порядка относительно эффективного поля ε (6.1.8).
Для построения среднего £*(1)(х) осредним обе части (6.1.7)
по ансамблю реализаций случайного множества включений
при условии χ gV
(ε\χ)\χ) = ε (χ) - Jk(x - x')(P°(x')em{x')V{x;x')\x)dx'.
(6.3.2)
Используя гипотезу Н2 §6.1 о статистической
независимости поля ε*(χ) в области Vk от геометрических
характеристик последней и свойств к -го включения, представим среднее
под интегралом в (6.3.2) в виде следующего произведения:

301
(6.3.3)
где <ε*(χ')\χ'9χ>- среднее при условии х' gV,xgVx,.
Очевидно, что это среднее отличается от £*(1)(х).
Если свойства включений статистически не зависят от их
пространственного расположения, то первый сомножитель в
правой части (6.3.3) представляется в форме
(ρ·{χ')ν{χ;χ')\χ) = Ρ·ψ{χ,χ'), Р° = р(Р° (х)\х),
4(x,x') = (v(x;x')\x)/(V(x)), 4>(χ,χ') = ψ{χ-χ'),
(6.3.4)
где Ψ (χ, χ') - скалярная функция, свойства которой
обсуждались в § 6.2. Конкретный вид Ψ(χ,χ') и более сложных
условных средних функций V (х,х') будет предполагаться
известным.
Для построения второго сомножителя в правой части
(6.3.3) (< ε*(χ')\χ',χ>) осредним обе части уравнения (6.1.8)
при условии xeV9xlGVx и вновь воспользуемся гипотезой Н2.
В результате получим выражения для средних <ε*(χ)\χ> и
< ε*(χ)\χ9χλ > в следующем виде:
(ε\x)\x) = ε\x)-jκ{x-x,)r(ε\x,)\x,'yx)ψ{x9x,)ώc\
(6.3.5)
(*Ч*)|*;*,)=^*)-^^
(6.3.6)
где <ε*(χ')\χ,'9χ9χι> - среднее при условии х' gV, xgVx,9
Xj eVx>, отличное от <ε*(χ')\χ''9χ>9 а среднее <V(x9x')\x9xl>
определено в (6.2.31).
Таким образом, здесь возникает цепочка связанных
уравнений относительно условных средних функций ε*(χ). Для

302
замыкания этой цепочки приходится вводить дополнительные
предположения о статистических свойствах эффективного
поля £*(х). Простейшим из них является аналог так
называемого "квазикристаллического" приближения [199,248]
(е(х)\х;х1) = (е(х)\х) = ет(х). (6.3.7)
То есть здесь предполагается, что среднее значение
эффективного поля в точке X совпадает с осреднением ε (χ) по
ансамблю множества неоднородностей при условии, что точка х}
находится внутри одного из включений.
Тогда из (6.3.7) и (6.2.36) следует замкнутое уравнение для
математического ожидания эффективного поля £*(1)(х)
e*°\x)=e\x)-JKy¥{x-x')P°e*(l){x')dx\ (6.3.8)
Κψ(χ) = Κ(χ)Ψ(χ).
Это уравнение, при постоянных ε° и £*(1), совпадает с
уравнением (5.5.12) метода эффективного поля в одночастич-
ном приближении.
Если внешнее поле ε°{χ) отлично от постоянного, то
решение уравнения (6.2.8) имеет вид
ε'°\χ) = (Αε°)(χ), (6.3.9)
где Л- псевдодифференциальный оператор, символ которого
Л (к) определяется соотношением
Λ*(*) = (/+κψ*№°Γ (6.3.Ю)
Здесь Κψ*(£) - преобразование Фурье функции Κψ(*) в
(6.3.8). При выводе (6.3.9), (6.3.10) учтено, что (6.3.8) -
уравнение в свертках.
Следующее приближение для £*(1)(х) найдем, обрывая
цепочку уравнений для последовательности условных средних
функции ε*(χ) на уравнении (6.2.6) при помощи
соотношения
(ε'{χ')\χ';χ,χ]) = (ε{χ')\χ';χι)^Φ{χ',χι). (6.3.11)

303
Функция 0(x,Xj) - среднее значение эффективного поля
ε*(χ) в точке х при условии, что в точке x^Vx имеется
включение, - описывает парное взаимодействие в системе
взаимодействующих включений. Очевидно, что
φ(χ9χι)^ε*ω(χ) при |х,|->оо. (6.3.12)
Уравнение для Φ(χ,χ,) следует из (6.3.6), (6.3.11) и имеет
вид
-р1к{х-х')Р°Ф{х'9хх)р{х\х,хх)ах\ (6.3.13)
, (κ(χ,χ,;χ')|*;*ι)
F(x''x'Xl)= (Fw) · (6-ЗЛ4)
Здесь учтено представление (6.2.35) для среднего
<V{xx\x)\xx\x2>.
Перейдем теперь к построению второго момента
эффективного поля £*(2)(jCj,x2). Для этого домножим обе части
уравнения (6.1.8) на ε'(χ2) и осредним результат при условии x19x2gV
^2)(χΙ,χ2) = ίβ(χ1)®(/(χ2)|χ2,χΙ>- (6.3.15)
-|к(х, - χ')(Ρ°{χ')ε(χ')® ε(χ2)V{xx;χ')|*.,x2)dx'.
Среднее под интегралом в этом соотношении в силу
гипотезы Н2 представляется в форме
(Ρ·{χ')ε"{χ')®ε'{χ2)ν{χι,χ'}χι,χ2)= (6.3.16)
= Ρ·ε™{χλ,χ2)(ν{χι;χ'}χι;χ2) +
+pP°(e*(x')®e'(x2)\x',x2,x])F{x',xi,x2).
Используя теперь предположение, аналогичное (6.3.7),
(6.3.11)

304
(ε\χ')®ε{χ2)\χ\χ2',χι) = (ε\χ')®ε\χ2)\χ\χ2)^ε^2){χ\χ2)^
(6.3.17)
из (6.3.15) получим замкнутое уравнение для ε*(2)(χ19χ2)
ε(2)(χι,χ2) = ε{χι)®Φ{χ],χ2)- (6.3.18)
-^(χχ-χ')Ρ°ε*{2\χ\χ2)Ρ(χ\χλ,χ2)άχ\
где Ф(х15х2) - решение уравнения (6.3.13). Путь построения
следующих приближений для ε*(2)(χ]9χ2) в рамках
предложенного подхода очевиден.
Перейдем теперь к вычислению статистических моментов
полей деформаций ε(χ) и напряжений σ{χ) в композитной
среде. Если поле ε (χ) является постоянным в каждом из
включений, то в силу (6.1.3), (6.1.5) и (6.1.7) выражения для
ε(χ) и σ{χ) примут вид
ε(χ) = ε\χ)-\κ{χ-χ')Ρ0{χ')ε*{χ')ν{χ')άχ\ (6.3.19)
σ(χ) = σ(χ)-$8{χ-χ')Β0Ρ0{χ')ε*{χ')ν{χ')άχ'. (6.3.20)
Осредним эти соотношения по ансамблю случайного
множества включений и учитывая, что в силу гипотезы Н2
(Ρ\χ)ε\χ)ν(χ)) = (Ρ°(χ)ν(χ))ε*(1\χ) = Ρ°ε*(]\χ),
(6.3.21)
будем иметь
(ε(χ))= ε(χ)- JK{x-x')P°£*(l){x')dx\ (6.3.22)
(σ(χ)) = σ (χ)- jS{x-x')B0P°£*(]){x')dx'. (6.3.23)
Запишем теперь выражение для второго момента поля
деформаций ε(χ) в композите через условные моменты
эффективного поля. Исходя из соотношения (6.3.19), запишем:

305
-*■(*,)® Jk(x2 -x')P°e™{x')dx' + (6.3.24)
+Jk(x1 -χ')^°Α'|κ(χ2 -χ'0^ν(2)(χ',χ'0(^(^ΟΚ^"))^"·
Здесь использована гипотеза Н2. Аналогично второй
момент случайного поля о{х) выражается через первые два
условных момента эффективного поля ε*(χ).
Таким образом, для вычисления первых двух статистичес-
их моментов полей ε(χ) и σ(χ) необходимо решить
уравнения типа (6.3.8) и (6.3.18), определить средние £*(1)(х) и
£*(2)(х15х2), а затем вычислить интегралы в (6.3.24).
Предложенную схему можно использовать и для вычисления
моментов более высокого порядка для ε(χ) и σ(χ).
Заметим, что в ряде случаев вместо эффективного поля
деформаций ε*(χ) удобнее рассматривать эффективное поле
напряжений σ (χ)
σ(χ) = σε*(χ). (6.3.25)
Очевидно, что уравнения для условных средних
эффективного поля σ (χ) могут быть получены тем же путем на основе
уравнения, аналогичного (6.1.8) для ε*(χ):
a\x) = a\x) + jS{x-x')M°{x')a{x')v{x',x')dx\
М° (χ) = -В°Р° (х)В°, (6.3.26)
и выражений тензоров напряжений σ(χ) и деформаций ε(χ)
через поле
σ{χ)= σ (x) + jS{x-x')M°(x')a {x')v{x')dxf, (6.3.27)
£(x)=£\x) + JK{x-x')C0M°{x')a{x')V{x')dx'.

306
§ 6.4. Оператор эффективных свойств
Введем оператор С*, связывающий математические
ожидания тензоров напряжений и деформаций в композитном
материале
(а(х)) = (С{е))(х) = jC{x-x')(^x'))dx'. (6.4.1)
Исключая тензоры ε° и а=С°е° из соотношений (6.3.22),
(6.3.23) и учитывая (6.3.9), (6.3.10), получим выражение для
символа псевдодифференциального оператора С*
(преобразование Фурье ядра С*(Х)) в (6.4.1) в виде
С (к) = С° +P°(l- A' {k)P°)~l , (6.4.2)
А*{к) = jK(x)[l - ψ(χ)]Λ& . (6.4.3)
Отметим, что связь между средними <σ(Χ)> и <ε(χ)>
является нелокальной, поскольку С*- оператор свертки с
обобщенной функцией С*(х)9 которая имеет сингулярную
(пропорциональную S(x)) и регулярную составляющие.
Исключение представляет собой случай однородного внешнего поля. В
этом случае <ε > и <σ> - постоянные тензоры, связанные
между собой соотношением, которое следует из (6.4.1)-(6.4.3):
(а) = С(е)9 С* = С° + Р°(1-А0Р0У\ (6.4.4)
А° =А*{0) = |κ(χ)[ΐ-ψ(χ)]Λ. (6.4.5)
Это выражение для тензора эффективных модулей
упругости композита совпадает с (5.5.23). Соотношения (6.4.1)-(6.4.3)
можно рассматривать как обобщение одночастичного
приближения метода эффективного поля на случай переменного
внешнего поля.
Будем считать, что множество включений статистически
изотропно (Ψ(Χ)=Ψ(|χ|)). Введем радиус корреляции
/случайного множества неоднородностей соотношением

307
l2=pr(l-x¥{r))dr. (6.4.6)
Пусть среднее поле <ε(Х)> меняется достаточно
медленно, так что носитель функции <е(к)> (преобразования Фурье
функции <ε(χ)>) сосредоточен в области к -пространства,
заданной условием |Л/|«1. Тогда при вычислении <σ(Χ)> из
(6.4.1) в выражении для символа С (к) оператора С* (6.4.2),
(6.4.3) можно ограничиться первыми членами разложения в
ряд по |£х|. Для построения этих членов функцию е1 х в
(6.4.3) заменим первыми членами разложения в ряд Тейлора
e*'x = \ + ik-x-\{k-xf. (6.4.7)
При этом выражение для А"{к) в (6.4.3) примет вид
ΑαβλμΚ*) = Ααβλμ ~ ' ^αβλμνρ^ν^ρ > (6.4.8)
Κβλμ= |κ^(χ)[1-Ψ(χ)]Λ, A^vp = ^JK^Jn)njipdQn9
Ω,
где η = χ/\χ\ и учтено, что К(Х) и Ψ(Χ) - четные функции X,
параметр / определен в (6.4.6). Отсюда и из (6.4.2) с
точностью до членов порядка (к!)2 найдем
C*{k) = Cm0-{ik)2I2PAl(m)P9 Св* = С°+Р, (6.4.9)
Ρ = Ρ°(ΐ-Α°Ρ°) \ Ταβλμ{™) = Α\βλμνρτη^ηρ, т = к/\к\.
В случае изотропной среды тензор А° имеет вид (2.4.16), а
тензор А1 (т) определяется соотношением
(6.4.10)
Компоненты тензора Ах в (6.4.9) определяются соотношением
Αχαβλμνρ = j^P _ 4ж° Л$оА А - 3δ*αδΜμδΧ) J -

308
-*.(2^Л-3УЛ-3^Л)]· (6·411>
Введем осредненное поле перемещений <и(х)> в
композитной череде, связанное с <ε(Χ)> соотношением
(ε(χ)) = def (u(x)). (6.4.12)
В силу (6.4.1) и уравнения равновесия для <σ(Χ)> поле
<и(Х)> удовлетворяет уравнению
-divC*def(w) = #. (6.4.13)
Поскольку С - нелокальный оператор, то (6.4.13)
описывает поле перемещений <и> в некоторой однородной среде,
обладающей пространственной дисперсией. Если символ
оператора С*аппроксимировать первыми двумя членами
разложения (6.4.9), то (6.4.13) перейдет в дифференциальное
уравнение относительно вектора < и >
(6.4.14)
Это уравнение по существу совпадает с системой
уравнений моментной теории упругости для среды со стесненным
вращением [81,207]. Роль параметра с размерностью длины,
характерного для моментной теории, играет в данном случае
радиус корреляции случайного множества включений / .
Заметим, что в предыдущие соотношения не вошел еще
один параметр задачи - характерный размер включения. Это
связано с тем, что локальное внешнее поле ε*(Χ)
предполагалось постоянным в пределах каждого включения. Зависимость
оператора С от характерного размера включений можно
учесть, реализуя схему метода эффективного поля на основе
уравнения первого порядка для ε (Χ) (6.1.12). Для простоты
рассмотрим скалярный аналог этого уравнения, который
возникает при решении задачи осреднения стационарных
температурных и электрических полей в композитной среде (см.
§ 2.5). Упрощение связано со снижением на единицу
тензорной размерности задачи. Будем считать, что среда и
включения изотропны, а форма включений сферическая. Используя
решение задачи для изолированной сферической
неоднородности в постоянном (2.5.11) и линейном (2.5.14), (2.5.21) полях

309
и результаты §6.1, можно показать, что при аппроксимации
эффективного внешнего поля ε*(Χ) линейным внутри
каждого включения векторы напряженности ба(Х) и потока ста(х)
поля в неоднородной среде представляются в форме
(6.4.15)
где функция Ηλ(Χ) определена в (6.1.13). Тензоры Ρ°αβ и Ρ^β в
случае отсутствия объемных источников полей имеют вид
(xeV)
^X) = ^k^ (6A16)
сфУ> (ЗС.+С.Х5С.+2С,) ·"'
Здесь коэффициент С0 определяет свойства среды, С0 +С, -
свойства включений. Уравнение для эффективного поля ε*(Χ)
имеет вид, аналогичный (6.1.12)
<(*)=*;(*)-jK^(x-x')* (6-4.17)
Осредняя это соотношение при условии χ е V и используя
гипотезу Н2 § 6.1, для среднего е*т(Х) получим
/(1)(x)=£(x)-jK(x-x')[?V(1)(x')vi/(^-^')+^1(v'£'(l)(^'))^^-^')]^',
Р°=р(Р°), F=p(Pl), (6.4.18)

310
1 (V(x)) ' Λ }~ (V(x))
(6.4.19)
Вычислим функции Ψ(х) и θλ(χ) в приближении
точечных дефектов. Для этого заменим функции V (x\xf) и Ηλ(χ')χ
xV(x,x') в (6.4.19) первыми членами разложения в ряд по
мультиполям, сосредоточенным в центрах включений ξ. (см.
§ 1.4). В случае сферических включений найдем (у=4жг3/3)
¥(χ) = νΣδ{χ-ξί)· ν{χ;χ') = νΣδ(χ'-ξί)ηρΗΧ = ξίι9
να
i*k
2
Ηλ(χ)ν(χ·,χ') = —-Ψλ(ΣΧχ'-ξ,)) при х = ξ, .(6.4.20)
5 1*ь
Отсюда следует, что средние Ψ(χ-χ') и θλ(χ-χ')
связаны соотношением
^(χ-χ') = -γν^ψ(χ-χ') = γνλΨ(χ-χ')· (6А21)
Переходя в (6.4.18) к к -представлению, получим линейное
уравнение относительно £*(1)(£), решение которого имеет вид
еК1\к)=А\кУ(к), А\к)=[1 + (к\к)-А\к))Р°-П\к)Р\\
ПУ*) = КЗ»(*)(/*,), КЗ»(*) = JKafi{x)ex(x)e**dx,
(6.4.22)
где К*(к) - преобразование Фурье К(х), А*(к) определено в
(6.4.3).
Найдем средние значения векторов напряженности и
потока поля в композите, заданных соотношениями (6.4.15).
Учитывая равенства
(P°{x)v{x)) = P°, (Hx{x)v{x)) = 0, (6.4.23)

311
и (6.4.22), для к -представлений средних <ε > и <σ> получим
выражения
(е){к) = а{к)-К*{к)Р°А*{к)е{к), (6.4.24)
(σ)(*) = а{к) - S*{k)B°P°A*{k)e{k).
Исключая из этих соотношений s°(k), найдем
(а)(к) = С(к)(е)(к), С\к) = С + Р[1 - Q\k)?]x,
(6.4.25)
Ρ = Ρ°(ΐ-Α°ΡοΥ\ Q*{k) = A*{k)-A° +П*{к)Р](Р°У\
(6.4.26)
где тензор /Г имеет вид (6.4.5), С*(к) - символ оператора
эффективных свойств композита.
Если носитель <€>(к) сосредоточен в области |Л/|«1, то
выражение для С*(к) можно разложить в ряд по \Ш\ и
ограничиться членами порядка (А:/)2. С точностью до указанных
членов имеем
Κ,Μ = Κβ + f^feW , (6-4.27)
KM,) = γ4^(^)Κ), Α^λμ = \Καβ(η)ηχημάΩη,
Οι
где параметр /2 определен в (6.4.6), 1>α. Подставляя сюда
явное выражение для тензора К (X) в случае изотропной среды
К«*М = 7^ττ(δ* "Зпл)' п*= h > (6А28)
4яС0|х| \х\
получим выражение для символа оператора С* в виде
с\к)=с:+т{к)р, с:=с°+р, ^=_^^_^,

312
[3(»e)(ft/,) + *2iJ.
(6.4.29)
Уравнение для осредненного потенциала поля < и > имеет
вид, аналогичный (6.4.13)
divC*V(w) = -tf, (6.4.30)
и при учете первых членов разложения символа С*(к) в ряд
по (kl) (6.4.29) представляется в форме
(с;а-с;а2)(м)=-<7, (6.4.31)
2а2С, 1
15(5C0+2C,)J'
Здесь С* и С*- скалярные коэффициенты. Таким образом,
в полученные соотношения входят как радиус корреляции
случайного множества включений / , так и средний радиус
включений а.
§ 6.5. Учет парного взаимодействия
при решении задачи осреднения
Квазикристаллическая аппроксимация (6.3.7), с помощью
которой были получены уравнения (6.3.8) и (5.5.12) метода
эффективного поля в одночастичном приближении, основана
на пренебрежении детальными особенностями парных
взаимодействий между включениями в композите. Действительно,
равенство
(ε·{χ)\χ;χι)^(ε(χ)\χ) (6.5.1)
означает, что присутствие включения в точке х} (во всех
реализациях) не сказывается на среднем значении эффективного
поля в точке jcgF. Рассмотрим выражения (6.3.5), (6.3.6) для
£*(*)-15С
2а2С
15(5Q+2C,)
-I2
с:=с+
ЪрСхС.
ЗС0+(1-/>)С1
С-
2(c:-cj
15

313
условных средних от эффективного поля ε*(Χ) без
привлечения гипотезы типа (6.5.1)
ε*ή{χ) = ε -pJK{x-х')Р°ФЕ{х\хЩх,х')ах\ {6.52)
(6.5.3)
Здесь Φε(χ,χ])=<ε*(χ)\χ:,χ]>- условное среднее,
учитывающее особенности парного взаимодействия включений в
композите. Далее будем считать, что случайное множество
включений статистически однородно и изотропно, а приложенное
к среде внешнее поле ε°- постоянное. При этом функция
Ψ(χ,χ') в (6.5.2) зависит только от |х-х'|, а Φβ(*,*ι) - от
разности χ - jCj. В силу ослабления взаимодействия и
исчезновения корреляции в расположении включений с увеличением
расстояния между ними при |jtj—»оо имеют место
соотношения
<&,(*-*,)->*°\ (*(*')1*',*,;*)->ф«(*'-*),
(Γ(χ;χ'|χ,χ,))^ρψ(χ-χ'). (6.5 А)
Здесь £*(1)- постоянный тензор. Из (6.5.2) следует
выражение для этого тензора в форме
*Ч1) = ε +ρΑ°Ρ°ε(χ) - р$К{х)Р°[ф£{х)- ε{χ)]ψ{χ)άχ,
(6.5.5)
где тензор /Гимеет вид (2.4.2) при ααβ=δαβ. Это равенство
отличается от уравнения (5.5.12) для среднего значения
эффективного поля интегральным слагаемым в правой части, куда
входит функция Φε(Χ). Для ее построения обратимся к
уравнениям (6.5.3) и начнем с рассмотрения среднего<^(х;х^|г,х,>.
Для простоты заменим включения конечных размеров
точечными дефектами по схеме, изложенной в §5.14. При этом
функции V(х) и V(x,x') заменяются главными членами их

314
разложения в ряд по мультиполям, сосредоточенным в
центрах включений ξ. (6.4.20)
i i*k
(6.5.6)
Здесь ν,. - объем ζ - го включения. В этом приближении
рассматриваемое среднее примет вид
(V{x; х')\ х, х,) = {ν)(χ{χ; х')\х; х,), (6.5.7)
где среднее в правой части определено соотношением (6.2.11),
функции Х(х) и Χ(χ,χ') имеют вид (5.14.12), <ν> -средний
объем включения. Отсюда и из (6.2.27) имеем
(νίχ-χήΐχ-χ^^χ'-χ^+ρΡΧχ',χ,χΧ
/гв(х',х,х1) = -^(ЛГ(х,х1;х')|^^1>, (6-5.8)
где Fo - непрерывная функция своих аргументов, причем
^β(χ',χ,χ,)->ψ(χ-χΟ при|х,|^оо. (6.5.9)
Подставляя (6.5.8) в (6.5.3) и учитывая (6.5.5), придем к
соотношению
Φ,(χ-χ,) = ί4,)-(ν)Κ(*-χΙ)ρ·φ,(χ-*Ι)-Μ*,*,),
(6.5.10)
Αχ,χχ) = \κ{χ-χ')ρ\(έ{χ')\χ',χ,χ)-Φε{χ-χ')]χ
*FXx',x,xx)+<S>Xx-x')[FXx',x,xx)-4>{x-x')§dx'.
(6.5.11)
Пренебрегая в соотношении (6.5.10) интегральным
слагаемым pj, которое имеет порядок ρ и исчезает при |дг,|—»оо в
силу (6.5.4), (6.5.9), получим, что функция Φε(Χ) имеет вид
Φε(χ) = [/ + (ν)κ(χ)Ρ°]",£*(ι). (6.5.12)

315
К этому выражению для функции Φε(Χ) можно придти
также следующим образом. Рассмотрим два одинаковых
точечных дефекта интенсивности <ν>Ρ°, помещенных в
однородную среду с тензором модулей упругости С°, причем X -
вектор, соединяющий эти дефекты. Если среда нагружена
однородным внешним полем ε*°\ то нетрудно показать, что
поле Φε(Χ), в котором находится каждый из этих дефектов,
будет иметь вид (6.5.12). Таким образом, функция Φε(Χ) (6.5.12)
описывает взаимодействие двух точечных дефектов в упругой
среде, а наличие остальных неоднородностей учитывается
эффективным внешнем полем £*(1), действующим на эти
дефекты.
Подставляя (6.5.12) в (6.5.5) и разрешая полученное урав-
*ш
нение относительно ε , найдем
И° =(l-pA°P° +/?K°)~V , (6.5.13)
К° = JK{x)P°\{l + (v)K{x)P°)~l -ΐ]ψ{χ)άχ. (6.5.14)
Отсюда и из (6.3.22), (6.3.23), с учетом постоянства тензора
£*(1) и соотношений (5.2.13), получим
(σ) = С (ε), С* = С° +ρΡ°{ΐ-ρΑ0Ρ° + /?Κ0]_1. (6.5.15)
При К°=0 это выражение для тензора эффективных
модулей упругости композита С*совпадает с выражением (5.5.23),
которое получено методом эффективного поля в одночастич-
ном приближении.
Перейдем к вычислению тензора К° (6.5.14). В случае
изотропной среды функция К(х) имеет вид (П2.2.3). Тензор Р°
для сферических слоистых включений является изотропным и
определяется соотношением
Р° = Р;Е2+Р2°(е1 - JE2), (6.5.16)
где коэффициенты Р°9 Р° имеют вид (5.5.31), а в случае
однородных включений - (5.5.34). Переходя к сферической системе

316
координат (г,η) и выполняя интегрирование по единичной
сфере (вектор П) в (6.5.14), получим
К^-К^-К^Е'-^Е2), (6.5.17)
00 00
κ;=\κ,(ξ)ψ{ξ)ξ2άξ, κ;=\κ2{ξΜξ)ξ^ξ, (6.5.is)
о о
к,М=|
Ά2(ξ) /Μ
3 6 + 5/^) 1 + /2{ξ)
о(Г),
ΐμ0ξ ΐμ0ξ αΝ
Значения коэффициентов К° и К^ зависят от конкретного
вида функции Ψ(£), общие свойства которой обсуждались в
§5.5. В случае точечных дефектов функция Ψ(£) допускает
следующую интерпретацию: это нормированная плотность
вероятности распределения дефектов в пространстве, при
условии, что в точке χ = О находится дефект. Если все включения,
которые моделируются точечными дефектами, имеют
одинаковый радиус а, то их центры не могут сблизиться на
расстояния, меньшие 2а. Поэтому простейшая аппроксимация
функции Ψ(Χ), учитывающая конечность размеров включений в
модели среды с точечными дефектами, имеет вид
/ ч (г \ fO, г <2а
Ψ(γ) = # —2 = ' . (6.5.19)
уа ) [1, г>2а
Здесь Η(ξ) - функция Хевисайда. Строго говоря, такой вид
функция Ψ (А4) может иметь лишь в пределе при стремлении
к нулю объемной концентрации включений р. Если концен-

317
трация конечна, то Ψ (г) имеет максимум при г-2а и,
осциллируя, стремится к единице при г—»оо (рис.6.1).
Величина максимума Ψ (г)
зависит от концентрации
включений и особенностей их
распределения в объеме
композита. В частности, максимум
Ψ (г) растет с увеличением
склонности частиц
наполнителя к агломерации.
Одной из возможных
аппроксимаций функции Ψ (г)
может быть решение
известного в кинетической теории газов
уравнения Перкуса-Йевика[32].
Максимальное значение
функции Ψ (Г), являющейся решением уравнения Перкуса-Йеви-
ка, достигается при г = 2а и имеет вид [ 226 ]:
τ<υ
г
fc.
2 :
ϊ 4
l.p=0.21
2.р=0.419
З.р=0.575
Ч
Рис. 6.1
*<«>L ■
2 + р
2{l-pf
ξ =
а
(6.5.20)
Кривые на рис. 6.1 соответствуют численному решению
уравнения Перкуса-Йевика, полученному в [226]. Для
конкретных расчетов воспользуемся аппроксимацией функции*?^),
предложенной в [ 242 ]
Ψ(£) = 0,
ξ<2,
Ψ(£) = 1 +
2 + р
2{1-рУ
-1
cos(*£)exp[2(2-£)] ξ>2.
(6.5.21)
Из соотношений (6.5.15)-(6.5.18) следуют выражения для
эффективных модулей объемного сжатия к„ и сдвига //,
композита со сферическими включениями в виде

318
K=k +
рр;
Μ*=Μο+τ·-
Рр;
\-ъР(ъа\р;+к;У 2 \-р{а\р;+к;У
а\ =■
1-ае.
9μ.
а2 =
5-2жо
15//.
аг =
(6.5.22)
Е./Е,
ι γτ
ум
У1
0.2 0.4
Рис. 6.2
На рис.6.2. представлены
расчетные и
экспериментальные зависимости
эффективного модуля Юнга Е+ от
концентрации включений для
композита, армированного
жесткими сферическими
частицами. Кривая 1
соответствует одночастичному
приближению метода эффективного
поля (£°=£° = 0). Кривые 2,3
получены из (6.5.22), (6.5.18)
при Ψ(ξ) в форме (6.5.19) -
2 и (6.5.21)- 3. Точки - экспериментальные данные [220]
(Е/Ео==28.7, к=0.33, νο = 0.394).
На рис.6.3 представлена
зависимость относительной
ошибки Δ=|Ε* - Ε* Ι/Ε*
вычисления упругих модулей от
объемной концентраии включений ρ
для композитов, армированных
жесткими сферическими
включениями (ЕУЕо=С(<5),<5> 10), здесь
Е+ ,Е* - экспериментальные и
теоретические значения
эффективного модуля упругости.
Для построения кривых на рис.6.3 были использованы
экспериментальные данные работ [215,220,229], кривая 1 соответ-
0.25
IV/
3ν-—-
0.25
Рис. 6.3

319
ствует одночастичному приближению метода эффективного
поля (глава V), кривые 2,3 получены методом эффективного
поля с учетом парного взаимодействия при Ψ(£) в форме
(6.5.19) - 2 и (6.5.21) - 3. В качестве Δ принималось
максимальное значение относительной ошибки по всем
экспериментальным данным [215,220,229].
§ 6.6 Корреляционная функция поля
напряжений в среде с точечными дефектами
Перейдем к построению корреляционной функции поля
напряжений в композитном материале. Для простоты ограни-.
чимся здесь приближением точечных дефектов (§5.14). В
этом приближении поля напряжений и деформаций в
композитной среде представляются в форме (5.14.13), (5.14.14)
o(x) = cf{x) + fs(x-x')Ar{x')a{x')X{x')dx', (6.6.1)
е(х) = ε{χ) + JK{x-x')C0M0{x')a{x')x{x')dx', (6.6.2)
а уравнение для эффективного поля σ*(χ) имеет вид (5.14.15)
σ {χ)=σ {x)+js(x-x')M°{x')a{x')x{x; x')dx'. (6.6.3)
В дальнейшем будем считать внешнее поле σ°(ε°)
постоянным, при этом σ (х), <т(х) и ε(χ) - однородные случайные
поля. Выражение для среднего σ*(1) получим, осредняя (6.6.3)
при условии χ gX
a^^a+jSix-x'^M'ix^a^x^Xix-x^ck'.tfuA)
Для вычисления второго момента эффективного поля
σ*(2)(χ} -χ2)=<σ*(χι)®σ(χ2)\χ],χ2> умножим обе части
(6.6.3) справа на σ (χ2) и осредним результат при условии
х = х19х2еХ
a^ix, -x2) = σΦσ(χ,-χ2)+ (6.6.5)

320
+\Ξ{χι-χ')(λΓ{χ')σ'(χ')®σ\χ2)Χ{χι;χ')\χι;χΛ)άκ'.
Здесь среднее
Φσ(*ι ~ *г) = (^(χ2)\χ2>^) > (6.6.6)
в силу (6.6.3) представляется в форме
Φσ(χ,-χ2) = σ+ΐΞ{χ2-χή(Μ°(χ')σ{χ')χ(χ2,χ')\χ,-,χ2)άχ'.
(6.6.7)
Наряду с двухточечным моментом σ™(χλ-χ2) введем
среднее от тензорного произведения поля σ на себя в точке
χλ gX при условии, что в точке х2 имеется дефект (хх*х2)
D{xl-x2) = (a(xi)®a(xi)\x1;x2). (6.6.8)
Пределы функций D(x) и Φσ(*) при |дг|—> оо обозначим,
соответственно, через D^n Ф^. Поскольку при больших l^-xj
зависимость от х2 в (6.6.8) и от хх в (6.6.6) исчезает, то имеют
место равенства
Φ„=(σ{χ)\ή = σ(ΐ), Α,=(σΜ®σ(χ)ΐ*)· (6.6.9)
Выражение для функции D(x) получим аналогично
предыдущему, домножая обе части (6.6.3) справа на σ*(χ) и ос-
редняя результат при соответствующих условиях:
Σ)(χ-χι) = σ®Φσ{χ-χι) + (6.6.10)
^jS{x-x,)(M°{x^a\x^a\x)X(x-x,)\x-x])dx\
Используя гипотезу Н2 (§ 6.1) метода эффективного поля,
среднее под знаком интеграла в (6.6.4) можно представить в
форме
(Mix')a{x')x(x-x')\x) = M°(a{x')\x',x){x{x-,x')\x),
М° = (м°{х)\х). (6.6.11)

321
Здесь предполагается, что случайные функции М°(х) и
X(х) статистически независимы.
Рассмотрим теперь условное среднее под знаком
интеграла в (6.6.10). Учитывая равенство
Χ{χχ;χ') = δ(χ'-χ2) + Χ{χΐ9χ29χ')9 *2eX, (6.6.12)
которое следует из определения (6.2.9) функции Х(хх\х')>
получим
(Μ°{χ')χ{χι;χ')σ{χ')®σ(χ2)\χ];χ2) = (6.6.13)
= (ΜΓ(χ')σ(χ·)®σ(χ2)Χ(χι,χ2·,χ')\χι·χί) +
+δ(χ'-χ2)(Μ°{χ2)σ{χ2)®σ{χ2)\χλ;χ2).
Используя теперь гипотезу Н2 и предположение типа
(6.3.11)
(σ(χ')®σ(χ2)|χ',χ1;χ2>=(σ(χ')®σ(*2)ΐ*';*2>=σ42)(χ'-*2).
(6.6.14)
выражение для каждого из средних в правой части (6.6.13)
можно представить в виде
(Μ°{χ')σ{χ·)®σ{χ2)χ{χχ,χ2,χ')\χ{,χ2) =
= М° (χ(χ1,χ2;χ')ΐ^;^2)σ'42)(Λ:' - *2)> (6.6.15)
(λ4·{χ2)σ{χ2)®σ{χ2)\χι·χ2) = Μ·Ό(χ2-χι). (6.6.16)
Подставляя предыдущие соотношения в (6.6.13), а
результат - в (6.6.10), получим выражение для <J*(x) в виде
ai2){xl-x2) = a®Otr{xl-x2)+S{xl -x2)M°D{x2-xx) +
+jS{xl-x')M0ai2){x'-x2)F{x',x]9x2)dx'9 (6.6.17)
F{x\xl9x2) = (x(xl9x2,x')\xl9x2). (6.6.18)
Используя гипотезу Н2 и предположение, аналогичное
(6.6.14), среднее под интегралом в (6.6.7) можно представить в
форме

322
(М°{х')а(х')х{х,;х')\хих2)= (6.6.19)
= ό(χ'-χ2)Μ°Φσ{χ2-χ]) + Μ°Φσ(χ'-χ2)Ρ{χ',χλ,χ2).
Подставляя этот результат в (6.6.7), будем иметь
Φσ(*ι -χι) = σ + S{xx-x2)M°<S>a{xx-x2) + (6.6.20)
+js{x]-x')M0<S>a{x'-x2)F{x',xl,x2)dx'.
Преобразуя аналогичным путем правую часть (6.6.10),
получим
Ό{χλ -χ2) = σ ®Φσ(*ι -x2) + S(xl-x2)Ara{2)(xl-x2) +
+jS{xl-x9)ATai2){x'-xl)F(x\xl9x2)dx'. (6.6.21)
Уравнения (6.6.17), (6.6.20) и (6.6.21) образуют замкнутую
систему относительно трех искомых функций σ*(2)(Χ)9 Φσ(*)
и D(x). Конкретная структура случайного множества X
входит в эти уравнения через функцию F(xf,xl,x2), определенную
соотношением (6.6.18). Выражение для этой функции
рассматривалось в § 6.2, где оно получено в явном виде для
случайной пространственной решетки точечных дефектов (см.
(6.2.29)).
Рассмотрим решение указанной системы уравнений на
примере плоской задачи для системы точечных дефектов,
расположенных на одной прямой L. Пусть такими дефектами
моделируется система лежащих на L прямолинейных разрезов
(трещин) случайной длины 2/. Координаты центров разрезов
образуют однородное на L случайное множество. Будем
считать, что внешнее поле напряжений представляет собой
одноосное растяжение в направлении нормали П к линии разрезов
и имеет вид
°\Ф = σ°ηαηβ > (6.6.22)
где σ - скаляр.
Заметим, что в данном случае состояние любого дефекта
однозначно определяется нормальной компонентой
локального внешнего поля σ , в котором он находится, причем из со-

323
ображения симметрии следует οαβ{χ)ϊΐβ-σ (х)па9 где σ (х) -
скалярная функция.
В случае изотропной среды тензоры Ь/Г^^ и ηαΞαβλμ(χ)ημ
принимают вид (х - координата вдоль L)
(6.6.23)
где дГ2- обобщенная функция, преобразование Фурье которой
есть - л\к\ [11] .
Умножая уравнения (6.6.17), (6.6.20) и (6.6.21) слева и
справа на нормаль Π и учитывая (6.6.23), придем к системе
уравнений
Ь mi)/ \ ,? f w . Л\ 42) dx'
D(x) = σ°<ϊ{χ)+^σ^\χ) + Ϋ JF(x',x,0)a
Μ
х- *_ (χ-xf '
<p{x)=a'+^<p{x) + b^F(x',x,0Ux')T^,b' = l(P)
Χ -οο \Χ-Χ )
(6.6.24)
относительно трех скалярных функций:
σ<2)(*) = (σ (χ)σ (θ)|χ;θ), Ζ)(χ) = (σ (χ)σ (χ)|χ;θ),
ρ(χ) = (σΜΐ*;θ). (6.6.25)
Если плотность дефектов п устремить к нулю, то F-+0 и
интегральные члены в этих уравнениях исчезают. При этом
система (6.6.24) описывает взаимодействие двух точечных
изолированных неоднородностей. Решение системы (6.6.24) будет
иметь при этом вид

324
σ{2)(χ) = Ό{χ) = φ2{χ), ^χ) = ^1—σ\ (6.6.26)
χ -ΰ
Выражение для φ(χ) представляет собой нормальную
компоненту поля напряжений, в котором находится каждый из
двух одинаковых точечных дефектов, расположенных на
расстоянии χ друг от друга. Это выражение для <р(х) было
получено в §5.14 (см. (5.14.11), где отмечалось, что при х<Ъ
решение (6.6.26) уже не имеет физического смысла.
Следует отметить, что точечному множеству, в котором
дефекты могут оказаться расположенными как угодно близко
друг к другу, нет адекватного аналога в случае неоднороднос-
тей конечных размеров (см. §5.14). Поэтому для получения
физически непротиворечивых результатов необходимо ввести
ограничение на возможность сближения дефектов в
случайном множестве X. В рассматриваемом случае, например,
центры трещин, которые моделируются точечными дефектами,
не должны сближаться, на расстояния, меньшие, чем сумма
их полудлин, чтобы не слиться. Это обстоятельство можно
частично учесть, если воспользоваться следующей
стохастической моделью одномерного точечного множества.
Пусть хк- координата к-то дефекта, а разность хк_х-хк
для всех к - независимые случайные величины,
распределенные по одному и тому же нормальному закону
-М|. (,6,7,
Здесь /о - среднее расстояние между дефектами, Г2 -
дисперсия. Если г—>0, получим регулярную цепочку дефектов.
Для того, чтобы ограничить вероятность сближения дефектов,
предположим, что τ достаточно мало. Поскольку величина,
распределенная по закону (6.6.27) с вероятностью,
практически равной единице, лежит в интервале (/о-Зг,/о+Зг), будем
считать, что χ=(τ/Ιο)<1/3.
/W =
4ϊπτ
exp

325
Функция F(x'9xl9x2)9 входящая в подынтегральные
выражения системы (6.6.24), имеет вид, аналогичный (6.2.29):
. Σ'Λ(*'-*,)Σ"/„(*,-*2)
F{x',xl,x2) = *^ - "— , (6.6.28)
Σ' /к(х,-х2)
к=-оо
fM
^2тЩ
ехр
(χ-и.)2
2\к\т2
(6.6.29)
где штрих над знаком суммы означает пропуск слагаемого
к=0, а два штриха - слагаемых w=0 и п- к.
Подставляя это выражение для F в систему (6.6.24), будем
искать ее решение в форме
Γ42,Μ = σ1(χ)
f х2 V
,£>(*) = Д (χ)
' χ2 V
x2-b2
φ{χ) = φ]{χ)
x2-b
2 '
(6.6.30)
Такой вид структуры решения диктуется следующими
соображениями. Функции cr*(2),Z) и φ характеризуют парное
взаимодействие в случайном множестве точечных дефектов. В
первом приближении можно считать, что их вид совпадает с
соответствующими для двух изолированных дефектов (6.6.26),
а наличие окружающих точечных неоднородностей сводится к
изменению внешнего поля σ, которое действует на эти два
дефекта. Отсюда сразу приходим к представлению (6.6.30).
Численные расчеты показывают, что функции σ](χ),Ι)](Χ)
и φλ(Χ) хорошо аппроксимируются постоянными, значения
которых зависят от параметров ρ - 2bI /o и χ. Обозначим эти

326
постоянные, соответственно, σ^^ρ,χ^Ό^ρ,χ) и φ^ρ,χ),
причем можно показать, что φ2αο(ρ,χ)=ο^2)(ρ,χ).
Зависимости φοο(ρ,χ) и
D*(P,X)-<PI(P,Z) ot
параметров приводятся на рис.6.4, 6.5.
Кривым 1-4 соответствуют
значения /7=1; 0.8; 0.6; 0.4.
Поскольку в силу (6.6.9)
то среднее значение
? ?
1 8
1.4
1.0
_^s*
У
2^
3^
—±^~
'—Ί
Л,= о*1}
0.1 0.2
Рис. 6.4
о.з χ
эффективного поля σ (х), как
видно из рис.6.3, максимально
при достаточно большой
относительной дисперсии
расстояния между дефектами
(#=0.3-7-0.4). При #=0.1-г-0.2 величина σ*(1) уже совпадает со
значением, соответствующим регулярной цепочке дефектов
0г=о).
0.8
0.4
|п.-ч£
«ί
/
-^ρ=ι\
0.8
Те -s
\
У
о
0.1 0.2
Рис. 6.5
о.з χ
Разность D^ - φ2^ равна
дисперсии поля σ . Из рис.6.4
следует, что дисперсия
максимальна при #=0.2-г-0.25 и
практически равна нулю при
#<0,1, что соответствует
регулярной структуре. При χ>\
величина D^ - φ^ становится
отрицательной. Этот не
имеющий физического смысла результат связан с увеличением
вероятности сближения дефектов на расстояние, меньшее Ъ,
при слишком больших χ.
Как видно из (6.6.30), радиус корреляции эффективного
поля σ (Χ) имеет порядок среднего линейного размера
дефекта Ъ и мало зависит от относительной дисперсии
расстояния между дефектами χ.

327
Обратимся теперь к вычислению второго момента поля
напряжений в среде с точечными дефектами. Для этого тен-
зорно перемножим выражения (6.6.1) для σ(Χ), взятые в
различных точках χλ и х2. Осредняя результат по ансамблю
множества X, получим
1^^-^'')(м;^(х')м;&.(х")<Дх')^(х')^(^')4^'')>^''·
(6.6.31)
Учитывая гипотезу Н2, среднее под интегралами в этом
соотношении представим в виде
(Μ°{χ')σ{χ')χ{χ')) = Μ°σ4ι), М° = пМ°, (6.6.32)
(Μ°(χ')Μ°{χ")σ(χ')σ{χ")χ(χ')χ(χ")) =
=n°S(x'-x")M0DxM°+(x(x";x')x(x"))M°ai2)(x'-x")M°.
Здесь учтено, что два разных дефекта не могут находиться
в одной точке. Поэтому при х" = х' имеем
(σ{χ')σ{χ")\χ',χ") = (σ{χ')σ{χ')\χ') = D„. (6.6.33)
Подставляя (6.6.32) в (6.6.31) и учитывая, что оператор S
аннулируется на постоянных в силу (5.2.11), получим
+jn,^^Jx-x')a^x')4!{x')dc't 4{x-x')=±(x{x;x')\x),
η
π^^ρΜ = J-W* - x'W^Jx'W;^'. (6.6.34)
Таким образом, второй статистический момент поля
напряжений выражается через условные моменты функции

328
σ*(χ), являющиеся решением системы (6.6.17), (6.6.20),
(6.6.21). Выражение для второго момента поля деформаций
е(х) можно представить в виде, аналогичном (6.6.34).
Вернемся к одномерному множеству точечных дефектов.
Вычислим второй момент t (X) нормальной компоненты
тензора напряжений, когда точка X находится на линии
дефектов L:
Kx)=(<rM<rj0)), °пп{х)=Па°<ф{х)"р· (6.6.35)
Из соотношения (6.6.34) следует выражение для функции
t (х) в форме (п°=1~])
00
t{x) = {af + Ы*)А, + \л(х-х'Шх')а{2\х')сЬс·,
-00
(6.6.36)
где функция сг*(2)(*) имеет вид (6.6.30), а Ψ(*) для модели
точечного множества, рассмотренного выше, имеет вид
ψ(*) = /.Σ'/*Μ· <6·6·37>
Аг=-оо
Здесь fk(x) определяется соотношением (6.6.29).
Функция π(χ) - аналог Н(х) в (6.6.34) - в данном случае
имеет вид
Отсюда и из (6.6.36) окончательно получаем
*χ) = {σή2-^[&Αχ) + 4(χ)σ<2)(χ)]· (6.6.39)
График непрерывной части функции ί(χ)-(σ)2
представлен на рис.6.6. Наличие сингулярной составляющей и
особенности при χ = Ъ у корреляционной функции случайного поля
стпп(х) на линии дефектов связано с заменой реальных тре-

329
J
г
Ι 1
J /
I /
\t
И
t
γχ=ο.2
\ 1,0.25
vj s
\\ /
Ρ
Λ 0.3
2 \J
и с. 6.6
не показана ).
щин точечными дефектами.
Для случайного поля неодно-
родностей конечных
размеров корреляционная
функция должна быть гладкой,
ограниченной и иметь радиус
корреляции порядка
среднего размера дефекта. При
приближении случайного
поля дефектов к регулярной
решетке радиус корреляции
поля напряжений возрастает,
что видно и из рис.6.6 (не
имеющая физического
смысла область х < Ъ на рис.6.6

ГЛАВА VII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ
ВОЛН В СРЕДЕ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ
НЕОДНОРОДНОСТЯМИ
В предыдущих главах метод эффективного поля
использовался для описания упругой деформации матричных
композитных материалов при статических внешних воздействиях. В
данной главе этот метод применен для решения задачи
осреднения скалярного волнового уравнения, описывающего
стационарный волновой процесс (акустический,
электромагнитный и т.д.) в матричном композитном материале, содержащем
случайное множество эллипсоидальных включений.
Поскольку в основе метода лежит решение одночастичной
задачи, сначала в длинноволновом приближении решается
задача дифракции акустических волн на одном включении в
бесконечной однородной среде. Это решение используется
затем при рассмотрении распространения длинных волн в среде
со случайным множеством включений с учетом эффектов
многократного рассеяния. При этом сравнительная простота
математической постановки задачи дифракции акустических
волн позволяет использовать метод эффективного поля с
максимальной полнотой. В данной главе рассмотрена задача
построения эффективного волнового оператора в
длинноволновом приближении. Показано, что этот оператор описывает
распространение акустических волн в некоторой однородной
среде, эквивалентной исходному композитному материалу,
обладающей пространственной и временной дисперсией и
затуханием. Найдены выражения для скоростей
распространения и коэффициентов затухания акустических волн в
изотропной среде, содержащей сферические включения.
Рассмотрена возможность учета парных взаимодействий включений в
динамической задаче.

331
§ 7.1. Функция Грина оператора
Гельмгольца
Рассмотрим неограниченную однородную среду, волновой
процесс в которой описывается уравнением
VeC^V/J«(*,/)-A^-«(*.0 = 0, (7.1.1)
Сг
где С^ф и ро- характеристики среды, U(x,t) - волновое поле
(например, давление при акустических колебаниях).
Если волновой процесс в среде является стационарным,
то зависимость функции U(xJ) от времени представляется в
форме
и{х^) = и{х,о))е-ш, (7.1.2)
где со - частота колебаний. При этом уравнение (7.1.1)
принимает вид
{Lu){x,(o) = 0, I = -VaQVrA(y2. (7.1.3)
В случае статики (<у = 0) уравнение (7.1.3) рассматривалось в
§2.5.
Функция Грина g(x, со) оператора L определяется
равенством
(Lg){x,oj) = S(x). (7.1.4)
Найдем выражение для этой функции в случае среды с
произвольной анизотропией. Действуя оператором
преобразования Фурье на обе стороны уравнения (7.1.4), получим
(ОАЛ-А<у2Ы*) = 1· (7-1.5)
Здесь и далее преобразование Фурье функции f(X)
обозначается той же буквой с заменой аргумента X на параметр
преобразования Фурье к.
Из (7.1.5) следует

332
Для перехода к функции Грина g(X) в X-представлении
воспользуемся обратным преобразованием Фурье от
выражения (7.1.6)
«W = тЛ^-Л**—*л · (7Л'7)
(2яг) JC^kakfi-p^2
Введем в этом интеграле замену переменных
K={C'J'2kfi, xa=(c°J^xp, (7.1.8)
где {0°αβΥ2 - квадратный корень из положительно
определенного тензора С^, характеризующего свойства среды. При
этом выражение для g(x) преобразуется в следующее:
. . det(c·)"* f e^·' _
*W = / ' \γ2 jdk . (7.1.9)
{2π) J * -ροω2
Вычислив интеграл в правой части этой формулы,
, e-g* _ ал~гЩ^(\Цх\1 ι-ι 2 π2 г-н
J к -ροω \x\ J0 к -pjco ' ' |x|
(7.1.10)
получим
, ч det(c°)~* βϊω^λΆ
g(x)= \ 'V· <7-L11>
4яг \x\
Разложив экспоненту в этом выражении в ряд Тэйлора,
можно представить функцию g(x) в форме
g{x) = gt{x) + ga{x), (7.1.12)

333
4л\х\ ti w!
Заметим, что gs(X) представляет собой "статическую"
функцию Грина, то есть функцию Грина рассматриваемого
оператора при ω = 0.
§ 7.2. Дифракция длинных акустических волн
на изолированном включении
Пусть в неограниченной среде с физическими
характеристиками С^ф и ро имеется односвязная область V (включение) с
другими свойствами С^ и р. Если в среде с неоднородностью
реализуется стационарный волновой процесс с частотой бУ, то
волновое поле и(Х) в произвольной точке χ среды
удовлетворяет уравнению
-να[^(χ)ν^(χ)]-ρ(χ)ωΜχ) = 0 , (7.2.1)
в котором следует положить
cJx) = c°a/,+cly{x), Μ=ρο+Ριν{χ),
С'аР = Ссф-С(ф,рх=р-р0, (7.2.2)
где V (X)- характеристическая функция области V.
Задачу определения поля и(Х) целесообразно свести к
интегральному уравнению, более удобному, чем исходное
дифференциальное, для построения приближенного и численного
решения. Представим для этой цели волновое поле и(х) и
оператор
L = -VC{x)V-p(x)G)2 , (7.2.3)
в левой части (7.2.1) в виде
u{x) = u°{x) + ul{x), L = L°+L\ (7.2.4)
r=-VC°V-A<y2, Ll=-VCl(x)V-Pl{x)co2.

334
Здесь и°(Х) -"падающее" внешнее поле - решение
уравнения (Γιι°)(χ,ω) = 0.
Отсюда и из (7.2.1) следует уравнение для поля и1(Х) -
возмущения, связанного с наличием неоднородности -
[U+Lx)ux =-L]u° . (7.2.5)
Действуя на обе части (7.2.5) оператором, обратным
оператору Z,°, приходим к уравнению относительно поля и(х)=
=и°(х) + и1(х)
и{х) = и{х) + j[Vag{x - х')-С^{х') -Pxco2g{x - *')«(*')]*' ·
(7.2.6)
Здесь εα(χ) = Vaw(x)-градиент поля и(Х), уравнение для
которого является следствием уравнения (7.2.6)
sa(x)=ea{x)-j[Kap{x-x')C^ex(x')-p^2Vag{x - x')u{x')]dx',
V
Κα/?(χ) = -ναν^(χ), i;(x) = V/(x). (7.2.7)
Ядра интегральных операторов в этих уравнениях
выражаются через функцию Грина g(X) оператора L°, явное
выражение для которой получено выше. Сами уравнения (7.2.6)
и (7.2.7) являются по существу уравнениями относительно
полей Ы(Х) и εα(Χ) внутри области V, по которым поле вне V
восстанавливается однозначно. При приближенном решении
этих уравнений поле εα(Χ) удобно рассматривать как
независимую функцию. В результате приходим к системе двух
интегральных уравнений, которую запишем в следующей
символической форме:
и = и° + VgC1 ε + ρλ G)2gu, (7.2.8)
ε=ε° -KC^e + p^Vgu. (7.2.9)
В дальнейшем будем считать, что длина волны падающего
поля λ существенно больше максимального геометрического

335
размера неоднородности. Заметим, что ядра интегральных
операторов в уравнениях (7.2.8) и (7.2.9) сосредоточены в
области, занятой включением. Перепишем "динамическую"
часть функции Грина g0)(X) в форме, которая следует из
(7.1.10):
к=\ К\ v\n) )
(7.2.10)
где V(n) имеет смысл скорости распространения волны в
матрице. Поскольку в случае длинных волн
ω\χ\ \х\ . .
—L-L~L-L«1 при \х\<а, (7.2.11)
ν λ
где а - максимальный размер включения, то в разложении
(7.2.10) можно ограничиться лишь первыми членами в
вещественной и мнимой частях функции Грина
g{x) = gs{x) + io)gx -G)2\x\g2{ti)-io)3x2g3{n), (7.2.12)
4 π 2v(ttj 6v \n)
где величина gx- постоянная. Таким образом, в написанном
выражении и далее ω можно считать формально малым
параметром и строить решение уравнений (7.2.8) и (7.2.9) в виде
разложения по этому параметру.
Итак, в соответствии с (7.2.12) и будем искать решение
системы (7.2.8) и (7.2.9) в форме аналогичного разложения
и{х) = и{о){х) +zW°(x) + ω2ιι[2\χ) + ύ»3ι#(3)(χ) , (7.2.13)
Подставив эти выражения в (7.2.8) и (7.2.9) и приравняв
члены при одинаковых степенях ω, получим, что г/(1)=£(1) = 0,
а остальные коэффициенты при степенях ω в (7.2.13)
удовлетворяют следующей системе уравнений:

336
M(o)=w°+VgiC,£(o),
u{2) = AgVo) +Vg*C£{2) - Vg^C1^ ,
w(3) = Ag(1)w(o)+v^c1^ - vg(3)cyo),
f(e) =ff°-K'CIfii°),
*(2) = к(2)с'*(о) -к*с'*(2) +AvWo),
^K^C'^-K'C1^.
(7.2.14)
(7.2.15)
(7.2.16)
(7.2.17)
(7.2.18)
(7.2.19)
Здесь обозначено:
gil) = ft , g(2)(x) = |*|ft("), g(3,(*) = *2&M , (7-2.20)
K*(x)=-VV^*(x), K(2)(x)=-VVg(2)(x), K(3)=-VVg(3)(x).
В длинноволновом приближении изменением внешних
полей и и ε в области F можно пренебречь. В этом случае
для неоднородности эллипсоидальной формы (с полуосями
αΐ5α2,α3) система уравнений (7.2.14) - (7.2.19) может быть
решена точно. Ранее уже упоминалось свойство
полиномиальной консервативности оператора К* (§ 2.3,2.5) для
эллипсоидальной области. В силу этого свойства при ε (х)—const
(x^V) величина £(о) также постоянна и определяется
выражением
ί) = AVJ , Л^ = (δαβ + А^{а)С\Х, (7.2.21)
где зависящий от формы эллипсоида тензор Α°αβ(α) определен
в (2.5.10). Выведем явное выражение для этого тензора другим
путем. Имеем
(7.2.22)

337
dy"
\y-y'\
= det(c)M^)
(7.2.23)
Осуществим под знаком интеграла в (7.2.22) вновь замену
переменных Уа=(С°^)~ *β- Поскольку (CL)"^ -
невырожденный положительно определенный тензор, то область V в
j/-пространстве остается эллипсоидальной. Тогда указанный
интеграл переходит в гармонический потенциал эллипсоида
единичной плотности
dx'
выражение для которого известно [111]:
vy\y-y\
(7.2.24)
Здесь через М1тп обозначены внутренние потенциальные
факторы эллипсоида, которые определяются следующим
образом:
Г ^σ
м1тп = f\mn Ι γ— τη— чт/ .„ , > (7.2.25)
{(αΐ+σ)(άΙ+σ) (α32+σ) β(σ)
/^=(2/-l)!!(2w-l)!!(2^l)!№f
]_ 1
ρ(σ) = [(α,2 +σ)(α22 +σ)(α32 + σ)]2, αα={σαβΡαβ ,
и выражаются через стандартные эллиптические интегралы.
Подставив выражения (7.2.23) и (7.2.24) в (7.2.22), получим
окончательно
Α°αβ(α) = (σαλΥϊ(σβ/ι)~-αλμ. (7.2.26)

338
Тензор αλμ имеет орторомбическую симметрию с тремя
отличными от нуля существенными компонентами
аи =Мт . (7.2.27)
Остальные два линейно независимых компонента тензора αλ
получаются из (7.2.27) с помощью циклической перестановки
индексов, причем перестановка индексов у величин М1тп
осуществляется по правилу
МЫп^МпЫ^Мтп1. (7.2.28)
Если величина ε^ определена, то выражение (7.2.14)
позволяет найти функцию и(о)(Х)
η{°](χ) = «·(*) - ή2(χ)φ), l{:\x) = м;с>;а.
(7.2.29)
Приступая к решению уравнения (7.2.18), перепишем его
следующим образом
(7.2.30)
В длинноволновом приближении правая часть этого
уравнения принимает вид
-(K(2)C'f(o))(x)+A(VgVo))(x)= (7.2.31)
= -K{2){x)C]\°e(x)+P][R(l){x)u{x)-R{2){x)AClA°e{x)},
Kti)W = -fLdet(C,)-*VeVJ[(Qr1(xi-*i)(x^-x;)]iA',
О 71 у
ν ν
Выясним теперь структуру функций K^(JC), R(J\x) и
R(aJ(X). Начнем с тензора К(^(Х). С помощью той же заме-

339
ны переменных >;а=(С^) "χβ интеграл в выражении для
К^(х) переходит в бигармонический потенциал эллипсоида
К, единичной плотности
у
j[(Cir\xx -*ί)(*„-x'M)fdx' = аЛ(СУ УКУ),
¥(У) = \\У-У'№'- (7·2·32)
Выражение для этого потенциала также известно [111]
001 +
УЫ= ψ**' («2 +«3 )МШ +i«2 («J +"ΐ WoiO +Т«3 («l2 +«2 ) Μ
+(М000 -а^Мт )у\ +(МШ -а\Мш )у\ +(мооо -а\Мт )у\ -
-{мш-а\М, 10 )у\у\ -(М010-а32М01, )j,V32 АЦ«л ~^мт )уЫ ~
-ί(Μ\<χ>-^^Мш)Ух -liMow-3S2Mm)y42~l(Moo\~ίМ<тЫ ]·
(7.2.33)
Отсюда следует, что К.^(Х) - квадратичная функция
координат, которую можно представить в форме
к2(*) = -*2+*2цА*,,. (7-2-34)
Здесь тензоры Ь$ и Ь^ имеют орторомбическую
симметрию и характеризуются следующими существенными
компонентами:
^=М^МШ, C=3(Moo4*2MJ> С^П^МоО^Мш·
(7.2.35)

340
Остальные линейно независимые компоненты этих
тензоров получаются из приведенных с помощью циклической
замены индексов.
Как следует из предыдущего,
R(a^) = -Kpxp, (7.2.36)
а для вычисления R^{x) воспользуемся тем же
преобразованием координат и выражением для функции Грина gs(X)
(7.1.10)
4π дур iy\y-y\
(7.2.37)
Так как
φχ{у)=1тю]у,(мш-\Мшу2,-М,,0y22-Mmyl), (7.2.38)
а выражение для (р2(у) и <рг(у) получаются отсюда
циклической заменой индексов, то тензор R^)(x) представляет собой
квадратичную функцию координат
*2W = ^->5UV (7-2.39)
^KC^r^c^r^i^^KC^-^^r^q^-^c;,,)-^^.
Здесь существенные компоненты тензоров dj$ и ά{2βλμ
определяются выражениями
d(o)=±52M d{2)^a2M d{2) =d{2) =±-U2M
U\\ 2UliV<Z100> "ill 2UliV<Z200> U1122 U1212 2UliV</110>
d{2) =d{2) =1-ά2Μ (7 2 40^
u1133 u1313 2U\IVI\0\ yi.^.^KJ)
с циклической заменой индексов для остальных линейно
независимых компонентов этих тензоров.
Итак, уравнение (7.2.30) принимает вид
^2)(^)+|к^(х-х')с;я42)(^')^'=^(^4(^)+л(^м^),

341
Γαβ\Χ) — Γ<ιβ + ^αβλμΧλΧμ > *'αβ ~ \"αλ +Ρ\Υατ ^τλ)^λη^ηβ >
F(2) _(κ(2) (2) ,ο \Γ1 до , (χ)__η Λ°
(7.2.41)
Таким образом, свободный член в правой части уравнения
(7.2.41) в области V - полином второй степени. В силу
полиномиальной консервативности оператора К* решение этого
уравнения - полином той же степени, т.е.
i2) W = ^ + е% + β^βλχβχλ . (7.2.42)
Для определения коэффициентов этой зависимости
подставим (7.2.42) в уравнение (7.2.41):
V
= F§ep{x)-pxA:pxpu\x) + F(Xxxxfy{x). (7.2.43)
Считая, по-прежнему, что величины и°(Х) и ε°α(Χ)
постоянны в области V и дифференцируя это уравнение дважды по
координатам, получим
«2.-4- J ν^μΚ*αβ(χ- x')Cl/*x'sx>rck>=F{Xep. (7.2.44)
V
При этом учтено, что )Κ*αβ(χ-χ')άχ' и JKsap(x-x')x'xdx'-
постоянная и линейная функция координат соответственно.
Для определения тензора е^ отсюда необходимо подсчитать
интеграл
4L» = ! V^K^x)*,*,^ , (7.2.45)
V
выражение для которого в общем виде уже было получено в
§ 2.5. Дадим здесь другой вывод явного выражения для этого
тензора в терминах внутренних потенциальных факторов
эллипсоида. Аналогично предыдущему имеем

342
Ααβλμρτ~ λ У^ссу) \^βδ) V^yU?) \^ μη) \^ρν) \^ τω) * γδσηνω >
**W= л л \ л > ^,W = )глау - (7·2·46)
Здесь у/рт(у)- гармонический потенциал эллипсоида,
плотность которого является квадратичной функцией координат.
Эта величина представляет собой двухвалентный тензор с ор-
торомбической симметрией, шесть существенных компонент
которого определяюся выражениями [111]
^ιι=^ι2[γ(Μοω-^
+(MI01-a,2MMJj^^
+ 1(^002-^^102)^3], (7-2.47)
^12=2 m2xal (Μ, 10^^2- j Mmyfy2-± МпоуУ2- Μ, иуху2у])
(остальные четыре компонента получаются отсюда круговой
перестановкой индексов).
С помощью этих формул находим следующие выражения
для существенных компонентов тензора χ^αβλμρτ9 полностью
симметричного по четырем первым и по паре последних
индексов
Ψιιιιιι =а?(М200-а?Мш), Ψ112211 =ά12(Μ110-ά12Μ210),
Ψ223311 =a?{Mm -3?МШ)9 Ψ111212 = -affiM2l0,
Ψ221212 = ~^2 Mm , Ψ132312 = -α\α\Μ1Π . (7.2.48)
Циклическая замена индексов позволяет найти отсюда
остальные линейно независимые компоненты тензора χίίαβλμρτ-

343
Из уравнения (7.2.44) находим
е% = PZP41U . Р(2) = ('(2) +U*C>)-\ (7.2.49)
т(2)
где 1 - шестивалентная тензорная единица.
Дифференцируя теперь равенство (7.2.43) один раз по
координатам, получим
ίί + 2Cxr+ J V^ (х - х'К [efpx'p + e(^x'px')dx' =
V
= -ρ, Α'αβη + 2FaSfiMxMes, (7.2.50)
где, по-прежнему, учтено, что }Ksap(x-x')dx'=const. Положив
в (7.2.50) χ = О, можем записать
<£!-/ νΛ1* Mil (ej>,^,xr)&= -Р^>° · (7.2.51)
V
Интеграл
4^ = Jv^(x)x^ (7.2.52)
V
вычисляется с помощью выражения (7.2.38) и представляется
в форме
4L = 2(С)i(C)i(Cr)iiCΤΑ , (7.2.53)
где тензор άφίμ определен в (7.2.40).
Так как VK(x) нечетная функция X, то для эллипсоида
jVaK'pi{x)xMxpdx = 0. (7.2.54)
V
Тогда уравнение (7.2.50) принимает вид
'%+AlXcle®=-PlA-ji\ (7.2.55)
Отсюда находим
е% = -Р?{ХЛ/> PU) = (I + A{])C])-\ (7.2.56)

344
Положив, наконец, в (7.2.43) χ = О, получим
е?+(\к^)^кА]=/44+Wie2. · <7·2·57>
При этом учтено, что /К^(х)хя£&=0 и обозначено
Л^=-/К^(х)хях^· (7.2.58)
Этот интеграл вычисляется с помощью формул (7.2.47) и
представляется в форме
^=(РУ2(Р)1(СГ)2(СГ)2 Ψ*,, (7-2.59)
где ψαβλμ - орторомбический тензор, существенные
компоненты которого определяются следующими выражениями (с
круговой перестановкой индексов для невыписанных компонент)
^iiii=-i«i2(Moo-«i2^20o), ^22ΐι=-Τ^ι2(Μοιο-^ι2Μιο)5
Решая уравнение (7.2.57) относительно коэффициента е^\
найдем
*{ί = λ^(^ +w^iL^k · <7·2·61)
Таким образом, коэффициенты зависимости (7.2.42)
определены, а саму эту зависимость удобно представить в виде
^2)(^) = л2(х)^(х) + Я?(Ф0(х), (7.2.62)
Л(2)Ы-Л° Ыо) + У С1 Р(2) .F(2)) + P(2) F(2)xx
/να/?\Λ/ —/νασ\^ σ£ ^ υ σρλμ^ρτΓτλμγην1 γβην ) ^ Γαλμσρτ1 σβρτχ Xх μ >
λ α \Χ) ~ Λ#*£ у ίαβ ~ ~Ρ\^αβλμ^λμ '
Перейдем теперь к равенству (7.2.15), которое после
подстановки в него выражений для и^\х), £(2)(Х) и ε(ο)(Χ)
можно переписать следующим образом:

345
w(2)(*) = {pxg* + VgsClA{2))u{x) + (7.2.63)
+(-P]gsA°xC]A° + VgsClA{2) + Vg{2)C]A°)e{x)
или в более краткой форме:
u{2)(x) = li2)(x)u°(x) + L{?(x)e°a(x). (7.2.64)
Здесь обозначено:
/W+fe, 4?(*)=4^4^я*,. (7.2.65)
/W =b\gs{x)dx + ?apfpx\Vags{x)x,dx,
V V
4J = -ЛЛ^О,^/ν^(χ)χ,Λ-
-а/к^(х)Л«(х)Л-Л^/к(Д)(*)Л,
4£* =лл:лДг^/уяк^(х)х/йг-
-Cjv.V^xjAWix^-A^Jv.V^gCx)*.
К V
Явные выражения для фигурирующих в (7.2.65) интегралов
могут быть выписаны с помощью предыдущих формул и здесь
не приводятся.
Переходим теперь к решению последней группы
уравнений (7.2.16) и (7.2.19). Начнем с уравнения (7.2.19). Учитывая,
что

346
(7.2.66)
можем записать
(7.2.67)
где v = 4ла}а2а3/3 - объём эллипсоида. Так как правая часть
этого уравнения в области V - постоянная, то его решение
имеет вид
ί' = Λ%ε°β, Α% = vA^K^CX,. (7.2.68)
Подставив полученные результаты в правую часть
выражения (7.2.16), получим
n(i)(x) = /<V(x) + z£>(x)<l(x), (7.2.69)
/i3, = vAgI,/S,W = A(ix,.
Теперь в соответствии с формулами (7.2.13) можно
записать
u{x) = l(x,o))u°(x) + La(x,o))ea(x), (7.2.70)
*«(*) = λαβ{χΜε°β{χ) + λα{χ,ω)η(χ).
Здесь обозначено:
l(x, ω) = \ + ω42){χ) +ίωΨ\ (7.2.71)
Le(x,a») = i,(x) + o»2z2,(x)+»VZ<ei)(x),
Ααβ(χ, ω) = Καβ + ω2\%{χ) + ίω'Α%, Αβ(χ, ω) = ω2^ .
Формулы (7.2.70) и (7.2.71) выражают волновые поля во
включении через падающее поле в длинноволновом
приближении.

347
§ 7.3. Эффективный волновой оператор
для среды с множеством
эллипсоидальных включений
Рассмотрим неограниченную среду, содержащую
однородное в пространстве случайное множество включений. В случае
гармонических колебаний с частотой ω волновое поле и(х) и
его градиент εα(Χ) удовлетворяют уравнениям, аналогичным
(7.2.6) и (7.2.7)
4x)=i/e(x)+J[v^(x-xO^^
(7.3.1)
(7.3.2)
Здесь V (X) - характеристическая функция области V=[jVk,
к
занятой включениями, Vk - область, занятая к-и включением,
Схар(Х) - функция, совпадающая с постоянным тензором
С\р(вк) при х ^Vk (вк -набор геометрических параметров,
характеризующих ориентацию главных осей анизотропии к-το
включения).
Введем для произвольного включения с номером к
локальное внешнее поле и{к)(х). Это поле определено в области
Vk и складывается из внешнего поля и°(Х) и полей,
рассеянных на всех остальных нсоднородностях. Обозначим через
//*(Х) поле, определенное в V и совпадающее с и*к)(Х) при
х ^Vk. Как следует из (7.3.1), это поле определяется
соотношением
//*( дг) = «'(*) + J[Ve*(* - х')( Ιβ(χ')Φ') + (7·3·3>

348
+pxco2g{x - x')u{x')]v{x; x')dx'.
Здесь, как и раньше (m.V), через V (х\ xf) обозначена
характеристическая функция области, определённой следующим
образом: К. = U V при χ е К.
Следуя гипотезам метода эффективного поля (см. § 6.1),
будем считать, что поле и*(х) имеет одинаковую структуру
каждой из областей Vk. Тогда в длинноволновом приближении
волновое поле и(х) и его градиент εα(χ) выражаются через
локальные внешние поля и*(х) и ε*α(Χ) по формулам вида
(7.2.70):
и{х) = 1(х,со)и{х) + La{x, ω)εα{χ), (7.3.4)
*«(*) = A^(x,^)4W + ^e(x,fi?)ii*(x).
В этих выражениях La(x,co),l (χ,ω),Ααβ(χ,ω),λα(χ,ω) -
функции, совпадающие при χ е Vk с величинами,
определёнными формулами (7.2.71), в которых х следует понимать как
координаты точки в системе координат с началом в центре
области Vk.
Подставив выражения (7.3.4) в правую часть уравнения
(7.3.3), получим самосогласованное уравнение относительно
локального внешнего поля
u\x)=u\x)+\[Ya{x,x^{x^ + r{x,x')u'{x')]v(x-,x')dx',
(7.3.5)
ra{x,x') = Vxg{x-x')Cl{x')Ajx')+pyg{x-x')La{x'),
Ax,x'h^xg{x-x')Cl{x')XM{x')+Pia2g{x-x')l(x'),a.3.6)
(зависимость функций от частоты ω здесь и далее для
краткости опущена).
Так как положение центров и ориентации включений
случайны, то поля и (х) и εα(χ) - случайные функции коорди-

349
нат. Уравнение (7.3.5) является отправным для построения
средних значений этих функций. Будем символом <·|χ>, по-
прежнему, обозначать операцию осреднения по ансамблю
реализаций случайного множества включений при условии,
что точка х находится в области V. Предположим далее, что
значения случайных функций и*(х) и εα(χ) не зависят от
свойств и геометрических характеристик включения, в
котором находится точка х. Осреднив затем уравнение (7.3.5) по
ансамблю реализаций случайного множества включений при
условии χ gV, получим (ср.§ 6.3)
υΦ{χ)=η{χ)+1[(Τα{χ,χήν(χχ))(εά{χ')\χ'-,χ)+ (7.3.7)
+(y(x,x')v(x-,x'))(u(x')\x'-,x)}dx\ {/*(*) = (и(х)\х),
(ra{x,x')v{x;x')) = Vxg{x-x')(cl{x')v{x;x'))+
+Pl6)2g(x-x')(La(x')v{xix')), (7.3.8)
(γ(χ, x')V(x; x')) = Vxg{*- *')(C (*'M„ (x')V(x; *')> +
+P]<o2g{x-x')(l{x')v(x;x')).
Здесь символ <·|χ';χ> означает операцию осреднения при
x,x'gV. Получить выражение для такого среднего можно
вновь с помощью уравнения (7.3.5), осреднив его при условии
x,x'gV. При этом его правая часть оказывается зависящей от
более сложных условных средних. Повторение указанной
операции приводит к бесконечной цепочке связанных
статистических уравнений относительно условных средних все более
сложной структуры. Поэтому возникает обычная в задачах
такого рода проблема замыкания, которую можно решить лишь
приближенно. Одну из простейших возможностей замыкания
статистической цепочки уравнений на первом же шаге
предоставляет уже использовавшаяся выше "квазикристаллйческая
аппроксимация", в силу которой упомянутые условные
средние совпадают, т.е.

350
(u*{x)\x';x) = (u*{x)\x) = U* {χ), (7.3.9)
(εα(χ)\χ>;χ) = (εα(χ)\χ) = Κ(χ)-
Уравнение (7.3.7) при этом принимает вид
(7.3.10)
Для дальнейшего необходима конкретизация выражений
для входящих в него средних с помощью той или иной
статистической модели микронеоднородной среды. Для простоты
воспользуемся здесь моделью точечных дефектов (§5.14). В
этом приближении функции V(X) и V(x\x') заменяются
главными членами разложения в ряд по мультиполям
ν{χ) = ΣνΑχ-ξΧ Η*;χ') = ΣνΛ*'-ξΧ (7-3.il)
/ / χ к
где ν - объем / -го включения.
При этом для произвольной случайной функции/7(х)
имеем
(Fix'yfcx'^Kn^vF^ix-x'), (7.3.12)
Ψ(χ -χ') = (Χ{χ; χ')\χ)/(Χ{χ)), F = 1JF{x)dx,
Χ{χ) = Σδ(χ-ξι),Χ{χ-χ') = Σδ(χ'-ξι)πΡ»χ=ξ,,
i ixk
(по - числовая концентрация включений).
Здесь интеграл F берется по обьему ν каждого
включения, среднее <vF> вычисляется по ансамблевому
распределению случайных величин vF'. В соответствии с этими
формулами можем записать
U-(x) = u-(x) + n.(vC^)\Vag(x-x'Mx-x%(x')dx' +
+η.ω2ρλ(vl)fg{x- χ')Ψ{χ - x')U'{x')dx'. (7.3.13)

351
о
При этом учтено, что для эллипсоида La = λα = О, так как
La(X) и λα(Χ) - нечетные функции локальных координат.
Это, в частности, означает, что при решении уравнений
(7.2.15) и (7.2.16) двумя последними слагаемыми в их правых
частях, а также последним слагаемым в уравнении (7.2.18)
можно пренебречь : в рамках приближения точечных
дефектов эти слагаемые, ответственные за "перекрестные" члены в
соотношениях (7.2.70), не вносят вклада в окончательный
результат.
В соответствии с введенной выше терминологией функции
U (х) и £ (х) являются эффективными волновыми полями.
Уравнение (7.3.13) позволяет выразить эффективное поле
через падающее и°(х). Однако для дальнейшего удобнее
выразить поле U*(X) через среднее волновое поле U(x)=<u(x)> в
среде с неоднородностями. Подставим для этой цели
выражения (7.3.4) в правую часть уравнения (7.3.1) и осредним
результат по ансамблю реализаций случайного множества
включений. При тех же предположениях, что и выше, получаем
U{x) = u°{x) + n0j[vag(x-x')(vCl/}AfiX)e:{x') +
+p^2g{x - x')(vJ)u'(x'j\dx'. (7.3.14)
Исключив внешнее поле и°(Х) из уравнений (7.3.13) и
(7.3.14), получаем искомую зависимость между величинами
U(x),U\x)*P(x),
C/,(x) = t/(x)-».(vCytAl)Jveg(*-x')*(*-*'WMA'-
-ηοΡιω2 (vl)jg(x - х')Ф(х - x')U\x')dx'. (7.3.15)
Здесь обозначено:
Φ(χ) = 1-Ψ(χ). (7.3.16)
Уравнение (7.3.14) есть уравнение типа свертки. Переходя
в нем к преобразованию Фурье и учитывая свойства свертки,
можем записать

352
U\k) = U{k)-nJa{k)^a{k)-nj{k)u\k), (7.3Л7)
Φ) = (vClAMa)jWAg{x)0(x)txp{ik^x)dx,
t{k)=p]co2(vl)jg(x)<b(x)exp(ik-x)clx. (7.3.18)
Заметим, что в правую часть уравнения (7.3.17) входит
величина $*а(к), которая не равна -ikJJ (к), поскольку
операции дифференцирования и условного осреднения для
функции и*(к) не перестановочны. Следовательно, для
определения двух независимых функций U (X) и $а(к) требуется еще
одно уравнение. Его можно получить, исходя из уравнения
(7.3.2). Рассуждая совершенно аналогично предыдущему,
найдем
П^(*) = (vClAMp)\Kjx)<i>{x)txp{ik-x)dx, (7.3.20)
KM=P^2(v^jVag(xMx)™P(rt'x)dx.
Для статистически изотропных множеств включений
Ф(Х)=Ф(\Х\) - гладкая функция, быстро стремящаяся к нулю
вне области с линейным размером / порядка среднего
расстояния между центрами неоднородностей. Так как в
длинноволновом приближении АУ«1, то функцию txp(ikx) можно
аппроксимировать отрезком ряда
ехр(Л-х) *\+ikaxa -jkakfixaxfi. (7.3.21)
В этом случае с принятой точностью коэффициенты
уравнений (7.3.17)и (7.3.19) определяются соотношениями
Ф) = ikxYx,{vClAva), t{k) = t = p,(v)(a>2g + ia>3JgX
Па/)(к) = ^(vC^> + ffl2(^(vC^A«>- ^(<Л.))-

353
яМ = *ЬаР\&2ГаХ> (7·3·22)
в которых обозначено
^ = /ν^(χ)χβΦ(*)Λ, g = jgs{x)<b{x)dx, /=|ф(х)*х,
Ααβ = \Κβ{χ)φ{χ)άχ, A$=JK%)0{x)dx, (7.3.23)
г^ = i 4x4MJK'Jx)xxXlMx)dc ,4х = кл/ \k\.
Решение уравнений (7.3.17) и (7.3.19) с той же точностью
можно представить в форме
U\k) = d{k,(o)U{k), e'a{k) = Djk,a>)efi{k), (7.3.24)
d(k,a>) = 1-п\каГ^кл +px{v){m2g+im'Jgx)\ (7.3.25)
л* = (^+»о^(ναΧ;,))"1, с* = (vc^) л;,.
Переходя в уравнении (7.3.14) к к -представлению и
подставляя в результат выражения (7.3.24), получим
«e(*)=tf(*)+^
(7.3.26)
Подействуем на обе стороны этого уравнения оператором
L° - каС°аркр -росо2. Учитывая равенства
L°{k9a))uo{k) = 09 L°(kyG))g(k,co) = \, (7.3.27)
найдем, что Фурье-образ среднего поля смещений U(к)
удовлетворяет уравнению
i:(k,co)(J(k) = 0. (7.3.28)
Здесь оператор L (к, ω)- эффективный волновой оператор
в к -представлении - определяется выражением

V{k,a>) = каС^{к,а)кр - ω2ρ {Κω), (7.3.29)
в котором обозначено
Cjk, ω) = σαβ + ω26% + к2СЬ+10>3С§, (7.3.30)
ρ {Κω) =ρ$ + ω2ρ(2) +k2p* +ίω3ρ(3\
^αβ ^сф~'Ы^сф > ^αβ "ο ^-αΧ1 λμ^μβ >
С$=«Л(<Х2! )D:p+nlC^C^nlp (v)C>„ -
C2 = n0Dl(vClXl)D;, +n2JC^K%C^,
Ps = A +"o(v)a , /J* = -nl{v)pxkjafKpxkx ,
/UoA ((vf* )-nA (v)2g), pV=nj,2g, ((v2 )-„.(v)V).
Переходя в уравнении (7.3.28) к X-представлению,
получим
(ϋυ){χ,ω) = 0, (7.3.31)
где действие оператора U на функцию U(x) определяется
формулой
{Vu){x^) = —^\L\k^)U{k)e-ihxdk, (7.3.32)
{2π)
в которой U(к,со) имеет вид (7.3.29). Очевидно, что оператор
L* в X -пространстве можно представить в форме
^=-VaC:^-pV. (7.3.33)
Это выражение по виду совпадает с волновым оператором
для однородной среды, однако С*- не постоянный тензор, а
оператор, который так же, как и инерционная характеристика
р*, параметрически зависит от ω. Как следует из (7.3.30), С*и
ρ представляются в виде суммы умножения на функцию от
О) и дифференциальный оператор второго порядка (множите-

355
лю —ika в пространстве преобразования Фурье соответствует
оператор дифференцирования Va в л:-представлении). Таким
образом, эквивалентная среда, свойства которой описываются
оператором L*, обладает пространственной и частотной
(временной) дисперсией. Скорости распространения волн в
эквивалентной среде определяются действительными частями
величин С* и р*, а наличие в них мнимых составляющих
означает, что распространяющиеся волны будут затухать
вследствие рассеяния на неоднородностях.
Рассмотрим эти эффекты более подробно в случае среды с
изотропной матрицей, содержащей случайное множество
включений сферической формы.
§ 7.4. Распространение акустических волн
в изотропной среде
со сферическими включениями
Применим теперь общие формулы, полученные в
предыдущем параграфе, к композитному материалу, состоящему из
изотропной матрицы {Ολαβ-Ολδαβ), в которой распределены
изотропные {00αβ-00δαβ) включения сферической формы.
Будем считать, что случайное множество включений однородно
и изотропно, а все включения имеют одинаковые радиусы а.
Для сферических включений формулы для внутренних
потенциальных факторов (7.2.25) принимают вид
_ (2/ -1)! !(2/^ -1)! !(2лг -1)!! ^_2(^^„_0
2(l + m+n) + \
Щтп=~ 17, . V. . ^a-2(,+m+и-1^ (7.4.1)
В этом случае тензоры Α°αβ и Λ°α>? в (7.2.21) становятся
изотропными и определяются выражениями
Κρ-^δ^, καβ = Κδαβ, Λ°=^τ^· <7·4·2>

356
Далее находим тензоры K.]J(x) и Я^ух) в (7.2.34) и
(7.2.39)
δαβχμ = ЗА + δ^δβμ + δ^δ^ , ν„2 = С/А · (7-4.3)
Эти формулы позволяют определить тензор F^X) и
вектор /а(х) в правой части уравнения (7.2.41)
fA*)=-
__ СЛ
ЬрЛ
а
3pJ * 5
^ а;
δαβλμΧλΧμ
fa ъс Ха-
(7.4.4)
.(2)
Вычисление тензора Λαρλμρτ в (7.2.45) с помощью (7.4.1)
приводит к выражению
iW
αβλμρτ
где обозначено
—ί1
2СД7
Vαβλμρτ ~ ° αβλμ° ρτ
)·
(7.4.5)
^αβλμρτ ~ ^αβΤλμρτ + "αλ^μβρτ + "αμ^λβρτ + "αρ^λβμτ + °ατ°λβμρ ■
(7.4.6)
Для дальнейшего удобно представить тензор AL в
тензорном базисе Qr^Xfipt (П1.2.1)
(7.4.7)
В этом же базисе тензор (/>(2))~1 в (7.2.49) имеет вид

357
С,
i+-±r\Q2-T7±Q3+T^{Q4+Q5+Q6).
7С
35С.
14С
V У 35C„ 2ч
(7.4.8)
Обращая этот тензор с помощью формул, приведенных в
Приложении Π 1.2, получим
35С0^ 2^ 7С0/^ 35С0^
Q
1С
¥Ш+Ф-
с,
14С
ч/,ρ6, 4 =
' зсч
1+ Cl
7С„
, ^2 =
чг
(7.4.9)
Оставшиеся коэффициенты зависимости (7.2.42) имеют вид
(«О
а
ϊρΑ
1 +
L^v
за
+■
о/
4С,
75С„
'1+ач
V
Ό J
СЛе'а9
«2=-^νβ·
(7.4.10)
Заметим, что в окончательных формулах (7.3.30)
фигурируют тензоры, входящие в выражения (7.2.70), лишь осред-
нённые по объему включения. Осреднение функций Л(Ч(Х) и
/(2)(*) по этому объему дает
л^-*2
с,л2
ιν. ν:
2 +
3poJ
«5 /(2)-^-
υαβ> ι —
А
'α^ '
vv»y
2 + —L
3CJ
(7.4.11)
Оставшиеся величины из (7.3.31), которые входят в общие
соотношения (7.3.30), имеют вид
С
Λ(£ = -^(α/ν0)3Λχ, /(3)=^(α/νο)3. (7.4.12)

358
Вычислим, наконец, интегралы в (7.3.23) для изотропной
матрицы. Так как при статистической однородности и
изотропии случайного множества неоднородностей функция Ф(х)
сферически симметрична (Ф(Х)=Ф(\х\)), имеем
ϊαβ = ~δ1φί * = £, /2 =]ф(И)|хМх|, (7.4.13)
ι #2 ι2 .
Ααβ=Ααβ=1Γ^°αβ* 4ζ£ = 4 О αβ , ^αβ\ξ)=—^\$ξαξβ~Οαβ) .
Используя полученные формулы, в соответствии с
выражениями (7.3.30) найдем
С\к,т) = [с$-{ш)2С2-г{ш)гСъ]да^к2Ск<ф,
ρ {к,ω) = ps +{aa)2p2 +i{aaYp3+k2pJ2. (7.4.14)
Здесь обозначено
CS=C0+PCA, CA=Q
,с*=Р2с1гМ),
С2=-рСК
сЛ
5С„
2+
А
за J
С А
а
, C3=p^(\-nj),
Ps=P«+PPx, Pk=P A
г- С^ а = -^, (7.4.15)
зс.
/>2=/>
А
2 +
5С,
V
зс
о/
/2
, p3=p^(\-nj),
где /?, - по-прежнему, объемная концентрация включений.
Пусть теперь в среде с включениями распространяется
плоская волна

359
U{x) = U exp{ikn ■ χ) (7.4.16)
с волновой нормалью п, волновым числом к и амплитудой
U.
Подстановка (7.4.16) в уравнение (7.3.31) приводит к
следующему дисперсионному соотношению
k2[Cs-{aa)2C2 -i{aafC, +{kl)2Ck
-ω2\ρ5 +{aafp2 +i{aafp3 +(klfpk
= 0,
Ck=2p2C2J(l5Q), (7.4.17)
где / - радиус корреляции случайного множества включений
(величина порядка среднего расстояния между ними).
Уравнение (7.4.17) в длинноволновом приближении имеет
два корня, которые определяются выражениями
К = as[l + piasafF, +ip{asa)3F2], k2 = ^ а ^ +1-1-^
где обозначено
(7.4.18)
*; =
1
С2
2АЛ 15v04
2+А.
. 3А
(
+
л
(
о 5С1
2 + —L
ЗС.
\
сл
зс
с^_М
л / \2Ί
+
vt
A-
Μ vj j
α
(7.4.19)
2AA
—(1-"У
Λ. Λ
9v.
C2+
5 W^l
vv»y
» as=-
ω
Ά
Соответственно двум полученным выражениям для к
(7.4.18) в среде с включениями распространяются два типа

360
волн. Первый из них с волновым числом кх представляет
собой затухающую волну с коэффициентом затухания Im£p
пропорциональным (а5а)4 (рэлеевское затухание). Волна
второго типа, которая характеризуется волновым числом к2,
затухает значительно быстрее, чем первая (ее затухание
происходит на расстоянии порядка радиуса корреляции / ). В
случае волн достаточно большой длины волны второго типа
можно не рассматривать и считать, что волновое число равно кх.
Эта величина является комплексной. Ее действительная часть
определяет фазовую скорость волны
* ω
ν =
= vs[l-p{a5a)2Fx]
(7.4.20)
Re£,
Мнимая часть волнового числа кх равна коэффициенту
затухания волны χ, отнесенному к единице длины в
направлении ее распространения. Эту величину можно представить в
форме
r = ±7mo{asa)4a2F2. (7.4.21)
В соответствии с его физическим смыслом коэффициент
затухания γ должен быть положительной величиной.
Следовательно, множитель \-noJ в формуле (7.4.21) должен
удовлетворять условию
00
l-noJ=l-4mioj<&(\x\)x2d\x\>0. (7.4.22)
о
Это условие накладывает ограничение на величину
объёмной концентрации включений р-пу, при которой формула
(7.4.21) оказывается физически непротиворечивой. Так,
например, для функции Ψ(|*|) вида (6.5.19) величина \-nJ
положительна лишь при /?<0,125. Уточненная же функция (6.5.21)
лишь ненамного расширяет область концентрации
включений, за пределами которой формула (7.4.21) теряет физичес-

361
кий смысл. Это означает, что коэффициент затухания γ
существенно более чувствителен к конкретному виду функции
ψ(Χ), чем эффективная статистическая характеристика Cs.
Заметим, однако, что функция Ψ(χ) вида (6.5.19) или (6.5.21)
является довольно грубой аппроксимацией среднего Ψ(*) в
(7.3.16), отражающего геометрическую структуру случайного
множества включений. С увеличением их объёмной
концентрации растет корреляция в положении их центров в
пространстве. Поэтому достаточно простые аппроксимации функции
ψ(χ) возможны лишь при малых концентрациях включений.
Построение этих функций при больших ρ связано с
существенными техническими трудностями. Одна из возможностей
построения функции Ψ заключается в точном решении
уравнения Перкуса-Йевика и приводит к следующему выражению
для множителя \-noJ в (7.4.21):
(i-pY
l-nj=, ' (7-4.23)
(l + 2p)
которое остается положительным в широкой области
изменения концентрации включений.
В случае, когда центры включений находятся в узлах
регулярной пространственной решетки, Ф(х) является
периодической функцией с нулевым средним значением на ячейке
периодичности, за исключением ячейки с центром в нуле, где
она равна единице. Поэтому интеграл J в (7.3.23) равен
объему этой ячейки, т.е. J=l/no. Отсюда следует, что множитель
l—noJ равен нулю. Это соответствует хорошо известному
факту отсутствия затухания длинных волн на периодической
решетке неоднородностей.
§ 7.5. Учет парных взаимодействий
Предыдущие соотношения получены в рамках
простейшего способа замыкания статистической цепочки уравнений
относительно условных средних с помощью квазикристалличес-

362
кой аппроксимации (7.3.9). Замыкание этой цепочки на
втором шаге позволяет учесть парные взаимодействия между
включениями в микронеоднородной среде. Рассмотрим это
приближение более подробно.
Вернемся к уравнению (7.3.7), которое для модели
точечных дефектов принимает вид
U\x)=u\x)+n{vC'Ji^)\vag(x-x')4(x-x№Sx,x')<k'+
+noco2pl(vi)jg{x-x')4'(x-x')Ut(x,x')dx', (7.5.1)
где обозначено
^{χ,χή=(εΙ{χ')\χ',χ),ύ'(χ,χ')=(η{χ')\χ',χ).(7.5.2)
Функции υ(χ,χ') и $*а(х,х') являются средними
значениями локальных внешних волновых полей в точке x'gX при
условии, что в точке х*х' имеется неоднородность. Эти
функции характеризуют парное взаимодействие между
включениями в композитном материале. Построим уравнения для этих
функций.
Исключив внешнее поле и°(Х) из (7.5.1) с помощью
уравнения (7.3.14), получим
U*{x) = U{x) - nQj[vag{x - *0(vC^)£;(*') +
+ρχω2 (vl)g{x - χ')υ*{χ')]φ{χ - x')dx' - (7.5.3)
-no J {Vag(x - x%vC]ji„p;{x') - $(*, *')] +
+ρχω2 (vl)g(x - x')[u*{x') ~ U'{x, *' )]}ψ(* - x')dx'.
Присоединим к (7.5.3) еще одно уравнение, которое
получается из уравнения (7.3.5) путем дифференцирования его
обеих частей по координатам. После аналогичных
предыдущим операций осреднения и исключения внешнего поля
можем записать

363
' +
+ρ, ω2 (vf)Vag{x - χ')υ*{χ')]φ{χ - x')dx' + (7.5.4)
+^\{καβ(χ-χή(ν^φΐ(χ')-^(χ,χ')] +
(vl)g(x - χ')[υ*(χ') - ϋ\χ, х')]Ы* " *')*'■
Осредним теперь уравнение (7.3.5) при условии х9хх gV.
С учетом модели точечных дефектов получим
щ ω28(χ-χ%νΊ)(η\χ')\χ\ χ, χ, )\χ{χ· х')|х, х, )&'.
(7.5.5)
Заметим, что в силу ослабления взаимодействия между
включениями, а также исчезновения корреляционных связей
в расположении включений с увеличением расстояния между
ними при |xj—»оо имеют место соотношения
t/*(x,xi)->И*), (« VK*>*i) ->г/*(^^0>
Κ(*>χ\)->£«(*)> (*1(*')Κ*>*ι)->£«(*>*')>
( *(х; х')|х, х,) -> /ι.Ψ(* - χ'). (7.5.6)
Как показано в §6.2, среднее <Аг(х;х')|х,х1> под знаком
интеграла в (7.5.5) представляется в форме
(X(x\x')\x,xx) = fo'-xx) + F(x\x,xx),
Ρ(χ\χ9χχ)->η0ψ(χ'-χ) при IxJ-X». (7.5.7)
Подставив (7.5.7) в (7.5.5) и исключив внешнее поле с
помощью уравнения (7.3.13), найдем
U\x,x,) = U\x)+[vag(x-xy)(VC^px)$\{x,xx) +

364
+д co2g{x - χ')(νϊ)ΐΤ{χ, Χι)] + "„■/(*,*ι) > (7·5·8)
где обозначено:
-<ζ(χ, x')]*t*', *, *ι) + fyx, x')[F{x'9 χ, χ,) - ψ(χ - x')]}dx' +
+№2(vtyg{x-x'){[(u\x')\x^
+U*{x9 x')[F{x\ χ, χ,) - ψ(χ - χ' )]}ώ', (7.5.9)
причем функция ./(χ,χ,) стремится к нулю при |Xj |—>0.
Условия замыкания на этом этапе заключаются в
пренебрежении в (7.5.8) слагаемым noJ{x>xx), которое имеет порядок
концентрации включений. В результате приходим к
уравнению
^e(3f-x1)ft(*,x1) + w(x-xI)^(*.*i) = ^*W. (7.5.10)
Na{x) = -Vp^*)(<Aa), η{χ) = 1 - ω2ρ^(χ){νϊ).
Совершенно аналогично может быть получено и второе
уравнение:
^(*-*i)^(jf,Jf,)+wB(x-x,)^*(*.*i) = i:eW. (7-5.11)
Mjx) = S^ + Kjx^vClA^), ma(x) = -o2pxV ag{x)(vl),
которое совместно с уравнением (7.5.10) позволяет выразить
условные средние и(х,хх) и £*(х,х,) через U*(x) и £*(*)·
В результате получим
$*α{χ,χχ) = Όαβ{χ-χ1)[η{χ-χχ)$β{χ)-ηια{χ-χι)υ*{χ)],
ϋ'{χ,χ1)^ά{χ-χι)ϋ*(χ)-Να{χ-χ])Όαβ{χ-χί)^β{χ),
(7.5.12)

365
£>αβ{χ) = [η{χ)Μαβ{χ)-τηα{χ)Νβ{χ)]\ (7.5.13)
*М = *Ы1+^.(*)А*(*Н(*)]·
Так же, как в статике (§ 6.5), выражения (7.5.12) можно
интерпретировать как локальные поля, в которых находится
каждый из двух одинаковых точечных дефектов в матрице под
воздействием внешних волновых полей $а(х) и U (JC),
причем χ-χλ - вектор, соединяющий центры дефектов. Наличие
же окружающих неоднородностей учтено в соотношениях
(7.5.12) эффективными внешними полями £*(*) и U*(x),
действующими на типичную пару неоднородностей в
композитной среде.
Выражения (7.5.12) могут быть теперь подставлены в
уравнения (7.5.3) и (7.5.4), которые позволяют выразить
эффективные поля β*(.Χ) и U (х) через средние волновые поля
$а(Х) и U(x) в композите. Последующая подстановка
найденных таким образом выражений для $*а(х) и U*(x) в
правую часть уравнения (7.3.14) позволяет аналогично
предыдущему получить эффективный волновой оператор для
композитной среды с учетом парных взаимодействий включений.
Проведем эти вычисления до конца для композита, у
которого отсутствуют флуктуации плотности (/^=0). В этом случае
уравнение (7.3.14) принимает вид
U(x) = η°{χ) + ηα\να8{χ-χ')(^Αλμ)$1{χ')όχ', (7.5.14)
откуда следует, что единственной известной задачи
становится функция $а(х). Эта функция удовлетворяет уравнению
С(^) = ^(х) + "0|к^(х-х')^СЛЛ//)ф(х-х')^(^')^' +
+»./κ^(χ-χ')(νΟ^)[ς(*')-έ;(*,χ')]ψ(*-*')Λ',
(7.5.15)

366
в котором условное среднее β*(χ,χ') связано с величиной
$*(хг) соотношением
&{x,x')=Djix-x')efr')> ^χ)^αβ^Μ(<μ\β)ϊ^
(7.5.16)
следующим из (7.5.12) при рх - 0.
Подставив выражение для ра(х,х') в правую часть (7.5.15),
получим уравнение типа свертки относительно функции
β*(χ). Осуществив в этом уравнении преобразование Фурье,
можем записать
£(*)=ea(k)+n.hjk)e;(k), (7.5.1?)
гУ *) = |κ(α(χ)(ι<:^)Φ(χ)β*·Λ-/κβ1(χ)(ι<:^) χ
xKjx)(vClsASv)Dv/){xMxyxdx. (7.5.18)
Как следует из анализа, приведенного в параграфе 7.4,
учет старших членов в разложении экспоненты (7.3.21) при
выводе выражения для эффективного волнового оператора
порождает зависимость эффективных характеристик среды от
волнового числа к. Эта зависимость определяет нелокальные
свойства среды (пространственную дисперсию), следствием
которых является возникновение волн, затухающих на
расстояниях порядка радиуса корреляции / . Пренебрегая в
дальнейшем эффектами пространственной дисперсии, положим в
(7.5.18) е1 х »1. Тогда тензор ΥΙαβ зависит только от частоты
ω и в длинноволновом приближении определяется
выражением
Щф = ^{vClA-Jj- \K°Jx)D°Jx)K°JxMx)dx,
K-Jx) = [K°(x)(vClA%, DTjx) = [δλμ - К\м{х)Г,

367
π^ = |^(4^φ(^)-κι,(χ)ΐ);ν(χ)(^+ζ);/)(χ))ψ(χ)]ίά:)
β·(χ) = (ω2Κ%(χ)+ιω^\ν€\μΚμβ) - (7.5.20)
-^(4^(να^)+/^(ναΛ«));
где тензор А определен в (7.3.23) и использованы те же
обозначения, что и в параграфах 7.2 и 7.3.
Осуществив в уравнении (7.5.17) обратное преобразование
Фурье и решая его относительно функции β* (х) с той же
точностью, получим
Κ(χ) = η°Μχ<,-η·πΐΒμβ)€β{χ), (7.5.21)
Подставив это выражение для £*(jc)b правую часть
уравнения (7.5.14) и действуя на обе стороны оператором L° =
=VaC°apVβ+ω2ρο, найдем, что среднее волновое поле U(x)
удовлетворяет уравнению
(^„С;(о)^ + ω2Ρο)υ{χ) = 0, (7.5.22)
где тензор эффективных динамических характеристик С*(ω)
определяется выражением
С» = Q + со2С% + i<o>C% , (7.5.23)
Q, = Q +и.С; , С*р = (vC^)d;p , (7.5.24)

368
Используем полученные формулы для композитного
материала с изотропной матрицей и изотропными сферическими
включениями с одинаковыми радиусами а. Если случайное
множество включений однородно и изотропно, то тензор
0*αβ(ω) также изотропен, т.е.
С^(ю) = 0\ω)δαβ, C\g>) = Cs + g>2C2 + /<y3C3. (7.5.25)
Переходя к определению величин Cs , С2 и С3 в правой части
этого выражения, заметим, что для изотропной матрицы
имеют место соотношения
A*TTFS<4» KU*K ^ι Αθ*β-2η<ΡβΙ> θαβ=δαβ-ηαηβ,
JC° 4лС0|х|
ι+/(£) αβ \-гМ
зсо+с, ξ
а
(7.5.26)
С помощью этих формул из выражений (7.5.19), (7.5.21) и
(7.5.24) найдем
ЗСС
С.=С.+рСя , СЯ=^ЬЧ.
зс+с,
\-р\
с,
зс+с,
-+6J
1 J
, (7.5.27)
С2=-р\
ra\2 CI
ν ЗС.
-{l + 6pj,)-p\
—+Л
С=-/^
У) 9СС
Здесь обозначено:
3ρ\]φ{ξ)ξ2άξ-4^
λ-\ΐ\ξΜξ)47:άξ, ^=]/\ξ)(ΐ + 2/2(ξ))ψ{ξ)-^-άξ,
Α(ξ)
Α(ξ)

369
j2=]Af^{f^)^, ^ί/2(ξ)(2-Λξ)Ηξ)^
ζ2
Δ(£) = (1+/(£)(1-2/(£),
(7.5.28)
а величина Ι2 определена в (7.4.13).
Если в среде с включениями распространяется плоская
волна (7.4.16), то дисперсионное соотношение принимает вид
к2 (с, + со2С2 + 1й)гС3) - ω2ρ0 = О . (7.5.29)
Отсюда находим
к = й>
l-ω2 Ч
V
2С.
ιω
С λ
з _^з.
2Q,
(7.5.30)
Действительная часть волнового числа к определяет
фазовую скорость волны
ν =ν<
i-Ы2^-
6С
'-{\+6pJx)-p\
'/2 /
—+J2
а
а мнимая часть - коэффициент затухания
VA vs
(7.5.31)
Г = ^„(a/OV ^"лЬгрЫ»
2л;
27
(7.5.32)
^) = 1-Зр|ф(^^-4У3 L
Если в (7.5.31) и (7.5.32) положить Jm=0, (#и= 1,2,3), то эти
формулы совпадают с выражениями, которые следуют из
формул (7.4.20) и (7.4.21) при р^=0, полученных методом
эффективного поля в одночастичном приближении.

ГЛАВА VIII
РАССЕЯНИЕ УПРУГИХ ВОЛН
НА ИЗОЛИРОВАННОМ ВКЛЮЧЕНИИ
В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
В этой главе в длинноволновом приближении решается
задача о рассеянии упругих волн на изолированном
включении в неограниченной однородной среде. Для этой цели
используются интегральные уравнения, эквивалентные
волновому уравнению теории упругости, с ядрами, сосредоточенными
в области, занятой неоднородностью. Явные выражения для
волновых полей внутри включения и его окрестности
найдены для эллипсоидального включения и его предельных форм:
вытянутого и сплющенного сфероидов. Затем с помощью
асимптотических разложений решается задача рассеяния для
тонких трещиноподобных и жестких включений, а также для
жесткого осесимметричного волокна. Несколько иной подход,
но в рамках той же единой схемы, использован для
исследования рассеяния упругих волн на непрерывном
цилиндрическом волокне в неограниченной среде. В заключение главы
приводится доказательство аналога оптической теоремы для
упругих колебаний. С помощью этой теоремы определяется
одна из важных характеристик рассеяния - полное сечение
рассеяния включений упомянутых выше форм.
§ 8.1. Динамический тензор Грина
для однородной анизотропной упругой среды
Рассмотрим неограниченную упругую среду с тензором
модулей упругости 0°αβλ и плотностью ро9 свободную от дей-

371
ствия массовых сил. Поле вектора смещений ua(xj) в
произвольной точке такой среды удовлетворяет уравнению
движения
С°авхи ^-^-А ^^- = 0. (8.1.1)
^ &β&μ И а2
В случае гармонических колебаний с частотой ω функция
ua(xj) изменяется во времени периодически, т.е. ua(xj)=
=ua(x)e~ia*, причем для амплитуды иа(х) вектора смещения
из (8.1.1) имеем
£>,(*) = 0, L^ = -V.Q^V, -Ρ„ω2δαβ .(8.1.2)
Тензор Грина g^ix) оператора П^ определяется
равенством
Воспользовавшись преобразованием Фурье обеих сторон
этого равенства, получим
L°ax(k,<»)gxfi(k) = <V L°al(k>0>) = kfi'aHb.K ~Ρ»03"8αβ ·
(8.1.4)
Отсюда находим
£аД*) = [*2Л^(£)-А<»2<^]4, (8.1.5)
Л^ЬО^Д,, ξα=^, к = \к\.
Переходя к X -представлению, имеем
\2π) ω, о
(8.1.6)
где Qj - поверхность единичной сферы, г=\х\9п =х /г.

372
Рассмотрим сначала внутренний интеграл в правой части
(8.1.6), в котором введем замену переменных t = kr ,s-{n- ξ):
00
Jαβ = №2Κβ(ξ)-ω2ρβαβ\ e*p{-ikrs)k2dk = (8.1.7)
Г О
Поскольку
ί2[ί2Ααβ(ξ)-λ2δαβ\^Α-:β + λ2[ί1Α^{ξ)-λ2δαΧΥΑ-\ί,
(8.1.8)
интеграл (8.1.7) можно представить в форме
J^^S^J^K^), (8.1.9)
У(°> = \г"А , J® = λ21[ί2ΑΜ(ξ)-λ2δαλ]'^-Ιύώ.
О О
Значение интеграла У(о) есть обобщенная функция вида
/о) =1+π^) (8.1.10)
Для вычисления интеграла J^ заметим, что существует
ортогональный базис единичных векторов е(,)(/= 1,2,3), в
котором тензор λαβ(ξ) допускает следующее представление:
A4f(^) = tvf(^i,(^)W. (8.1.11)
;=1
В этом базисе имеем
[t2Aa^)-X2S^=±{t2v2^)-X2)-\^e^).
i=\
(8.1.12)

373
Поэтому интеграл J^jj сводится к вычислению трех
интегралов
(8.1.13)
каждый из которых имеет особую точку, лежащую на
вещественной оси, так как μί - вещественные числа. Правило обхода
этих точек выбирается так, чтобы в результате функция Грина
gas(X) описывала расходящуюся волну (условие
причинности). Удовлетворяя этому условию, найдем
Jt -U Jt -JU /b*«>J |у -U
О Л*» о "» γ ρ, r*i
(8.1.14)
Здесь γ - полуокружность радиуса ρ с центром в точке
μ.9 которая обходит точку μ. в нижней полуплоскости
комплексной плоскости /,/(*?,//.)- нечетная функция аргумента S .
Первый интеграл в правой части (8.1.14) равен [11]
costs . π . ι ι
dt = sin//;|s|, (8.1.15)
ρ cos
ί7^
μ) 2μ{
ο
а интеграл по полуокружности γ имеет значение
Bmf-25
costs , πί
—at = cosμis. (8.1.16)
Mi 2Mi
Так как при интегрировании по единичной сфере в (8.1.6)
член, пропорциональный /(£,//,), исчезает в силу нечетности
этой функции, то с точностью до несущественных слагаемых
имеем

374
J°i=x Σ—^—^ΜψΜ)- <8ЛЛ7>
В силу ортогональности базиса е(,) это выражение можно
переписать в форме
J
(!) УЛГЯ
2^ехр
Jfc=l
^(й
|4%W
У
(8.1.18)
По определению функции от тензорного аргумента имеем
±ехр[ Щ- Ц*>(Й4*ЧЙ =βχρ[ίψ|Λ2(0], (8.1.19)
где тензор Αλβ(ξ) имеет вид (8.1.11). Отсюда и из (8.1.18)
интеграл J^ можно привести к следующему окончательному
виду
^~АШеч{ЩьЩ- (8-1-20)
Подставив теперь (8.1.10) и (8.1.20) в (8.1.9), находим
значение внутреннего интеграла в (8.1.6)
(8.1.21)
Рассмотрим интеграл по единичной сфере, который
соответствует вкладу в выражение для g^(X) первого слагаемого
в правой части (8.1.21)
\[(η.ξ)Ααβ(ξ)]']ώξ =\^Js)ds, (8.1.22)

375
ψ>)=|λ-^)4(^^)-Ψω,.
Ω!
В силу четности функции Ψ^(5 ) имеем
fjVjs)ds = 0, (8.1.23)
и выражение для функции Грина g^{x,co) принимает вид
{x) = gsafi{x)+g^(x,0)). (8.1.24)
Здесь обозначено
fJx) = ^iK(M»-№e> (8Л.25)
Ω,
Ω!
Заметим, что gsap(X) представляет собой "статический"
тензор Грина, т.е. тензор Грина оператора Π в (8.1.2) при
ω = 0.
Разложив экспоненту под знаком интеграла в выражении
для g^(x, ω) в ряд Тэйлора, получим следующее
представление этого тензора:
пУМ^^ТЧф-Г^-
Если, в частности, материал среды изотропен с
коэффициентами Ляме λο и //о, то

376
VT VL
где νΙ=μο/ρο,νΙ=(λο+2μο)/ρο - скорости распространения
сдвиговых и продольных волн соответственно.
В этом случае из (8.1.25) имеем
(8.1.28)
а функции g^in) в разложении (8.1.26) определяются
выражениями
(8.1.29)
§ 8.2. Интегральные уравнения задачи
о дифракции упругих волн
на изолированном включении
Рассмотрим неограниченную среду с тензором модулей
упругости С]фк и плотностью ро, содержащую односвязную
область Vc упругими характеристиками С^Я//+ С^Я// и
плотностью ро+рг Пусть в среде с неоднородностью
распространяются гармонические колебания с частотой со. Повторив
рассуждения, приведенные в начале § 7.2, придем к
следующему интегральному уравнению относительно амплитуды
поля смещений иа(Х) в произвольной точке X среды
«.(*) = «;W + CiwwJV,gv(*-x')ffpr(x')ifc'+ (8-2.1)

377
+Pi(o2jg(4i{x-x')u/i{x')dx'i spT{x) = V{puT)(x).
ν
Здесь и°а(х) - "падающее" внешнее поле, удовлетворяющее
уравнению
£>;(*) = 0 (8.2.2)
и граничным условиям на бесконечности, g^ix) -
динамический тензор Грина для основной среды, явное выражение
для которого получено в § 8.1.
Следствием уравнения (8.2.1) является уравнение для
амплитуды тензора деформаций
eJx) = eJx)-C\ipTJKafi/A{x-x')epT{x')dx' +
V
+ρχω2\ν{α8β)Χ{χ-χ')ιιλ{χ')άχ·, (8.2.3)
V
Καβλμ{χ) = -ν^ν^β)αι(χ), €°^{x) = Vtfi°a){x) ·
При х gV уравнения (8.2.1) и (8.2.3) являются
уравнениями относительно полей иа(Х) и e^(X) внутри включения, по
которым поля смещений и деформаций вне этой области
восстанавливаются однозначно.
Так же, как и в § 7.2, поле деформаций ε^Χ) будем
считать независящим от поля смещений иа(Х). В результате
приходим к системе двух интегральных уравнений, которая в
символической форме имеет вид
и = и° +VgC^+p]co2gu, (8.2.4)
ε- ε° -¥JCXε+ρχω2άζϊgu.
В дальнейшем будем считать, что длина волны падающего
Поля существенно больше максимального геометрического

378
размера включения и представим "динамическую" часть
тензора Грина g%p(X) в форме
ί(*-ΐ)!
Vv~
(8.2.5)
где νο - характерная скорость распространения волн в
основной среде, а функция g^J (X) имеет порядок g^(x).
Поскольку в случае длинных волн имеют место соотношения (7.2.11),
то в разложении (8.2.5) можно ограничиться лишь главными
членами в вещественной и мнимой частях тензора Грина
g(X). При этом главным членом действительной части
тензора g(X) будем считать статический тензор Грина gs(x), а в
мнимой части сохраним члены до (йг/vj3 включительно
gjx) = ***(*) +W.S -'"®3'"Vi) W · (8-2-6)
Как это следует из предыдущей главы, такое приближение
позволяет найти скорость распространения и эффекты
затухания упругих волн в композитной среде. Однако дисперсию
скорости в среде при этом описать не удастся. Учет этих
эффектов в принципе возможен и в упругой задаче, но связан с
большими техническими трудностями.
Таким образом, аналогично предыдущему в выражении
(8.2.6) и далее ω формально можно считать малым
параметром и строить решение уравнений (8.2.4) в виде разложения
по этому параметру.
Заметим, что в силу (8.1.26) тензор g^ постоянный,
поэтому при дифференцировании тензора gap(X) и построении
ядер интегральных операторов в (8.2.4) линейное по со
слагаемое исчезает и главные по ω мнимые части тензора Vg и К
определяются последними слагаемыми в (8.2.6).
Аналогичное (8.2.6) разложение ядра оператора К имеет
вид

379
Κ(χ,«) = Κ'(χ) + /ω3#, Κ* =(κ^) = -νΛ)ν^)0,(χ),
Η=(я<^=ϊ!? J" ^cAW^,/*1* - <8·2·7>
где 7/ - постоянный тензор.
Итак, в соответствии со сказанным будем искать решение
уравнений (8.2.4) в форме
ua{x) = u«(x) + ico3u:{x), (8.2.8)
Подставим эти выражения в уравнения (8.2.4) и
приравняем члены при одинаковых степенях ω. С учетом главных по
ω членов можем записать
«аЫ = «;М, (8-2-9)
«:(*)=A*2J*$W<fr> (8·2·10)
ν
sRJx)-ea,{x)-JK^M{x-x')ClpTeRpTHdx', (8.2.11)
V
<,(*) = Я^С]дог/<(х)^-|к^(х-х')С]^<г(х)^'.
V V
(8.2.12)
Заметим, что отброшенные в правых частях уравнений
(8.2.9) и (8.2.10) слагаемые (см.аналогичные уравнения (7.2.15)
и (7.2.16)) в принятом здесь приближении не дают вклада в
окончательный результат в схеме эффективного поля не
только для модели точечных дефектов, "но и для более сложных
статистических моделей случайного множества включений.
В длинноволновом приближении изменением полей иа и
ε°αβ в области V можно пренебречь. Допустим, что эта область
имеет форму эллипсоида, заданного уравнением

380
Χα(α~2)αβΧβ = 1, ααβ=ααδαβ> (82.13)
где ai (/=1,2,3) - полуоси эллипсоида. В этом случае система
уравнений (8.2.9)-(8.2.12) может быть решена точно
относительно коэффициентов представления (8.2.8).
Если e°Xfi{x)=const при xgV, то в силу полиномиальной
консервативности оператора К* для эллипсоида из уравнения
(8.2.11) следует
4 = AWfl4 - K{a) = (l + A°{a)C)-\(8.2.14)
где тензор А°(а) определен в (2.4.2).
Поставив (8.2.14) в правую часть уравнения (8.2.12),
совершенно аналогично получим
Ъ = -Кп,(а)е%.> Л<в(а) = уЛ°(а)ЯС1Л°(а)) (8.2.15)
где ν, по-прежнему, - объем эллипсоида.
Обратившись теперь к равенствам (8.2.9) и (8.2.10), найдем
«:=W>;. (8.2.16)
С учетом (8.2.8) имеем
*<*(*) = Л^(ю,а)*^, ηα{χ) = λίφ{ω9α)ΐέ0β{χ)9 (8.2.17)
где обозначено
Л = Л0-7<у3Л*\ λαβ = δαβ + ιω3νρ]^. (8.2.18)
Эти соотношения связывают поля смещений и
деформаций внутри неоднородности с падающим внешним полем в
длинноволновом приближении. Подставив формулы для в(х)
и и(х) (8.2.17) в правую часть уравнений (8.2.1) и (8.2.3),
можно найти волновые поля вне включения, и, следовательно,
выражения (8.2.17) полностью решают задачу о рассеянии
длинных упругих волн на изолированной неоднородности в
анизотропной среде.
Если среда изотропна, то тензор А^^ в (8.2.14) имеет
симметрию эллипсоида и определяется девятью
существенными компонентами. В осях координат, совпадающих с осями
симметрии эллипсоида, эти компоненты определяются
выражениями

381
Λπι=η[αι2Μ2οο+(ΐ-4^)Μ'οο]5 A°im=ro(alMm-Mm),
4β2ΐ2=^[(^ /=(4μο{ΐ-νο))~\
(8.2.19)
где νο - коэффициент Пуассона основной среды, а внутренние
потенциальные факторы эллипсоида определены в (7.2.25).
Остальные отличные от нуля компоненты тензора Al^Xfi
получаются из (8.2.20) круговой перестановкой индексов.
Таким образом, тензор А^ (а) зависит от формы и
ориентации эллипсоида, которые задаются матрицей
преобразования а^. Тензоры же g^ и Hafix^ ни от формы, ни от
ориентации области не зависят и для изотропной матрицы
определяются формулами
$=&**, g1=^±JLT, (8.2.20)
ΗαβΧμ = #АА, WV, "I<VJ> (8.2.21)
ff = V5 н _ 3 + 27/
1 Ъ6прУт' 2 60πρ.ν5τ'
Если включение имеет сферическую форму, то в силу
(7.4.1) тензор А° становится изотропным:
Κβ* = 4ЧА + 4°(V, 4<V0> (8.2.22)
Д°=(3-4т2)/27Ко, A; = (3 + 2tf)/l5M„
где Ко = λο + 2μο/3 - объемный модуль упругости основной
сРеды. Изотропным при этом будет и тензор Лс
Λ°^=Κ1+94°^Γ^Λ,+(1+24>1Γ(ν,-^αΑ)·
(8.2.23)

382
В заключение этого параграфа выведем формулы типа
(8.2.17) для сферически неоднородного включения в
изотропной среде. Пусть модули упругости и плотность такого
включения являются кусочно-постоянными функциями г -
расстояния от его центра. Амплитуды смещений и деформаций в
области V в этом случае удовлетворяют тем же уравнениям
(8.2.4), в которых С1 и рх являются функциями координат. Их
длинноволновое решение при тех же, что и выше,
предположениях имеет вид
«?(*) = «<:(*), <(*) = £Й/Р,(*К(*)<&, (8-2.24)
V
<Д*) = <*(*)-\κ5αβλμ{χ-χ')€\μρτ{χ·νρτ{χ·)άχ', (8.2.25)
V
V V
(8.2.26)
Если поле и постоянно в области V, то из (8.2.24) имеем
<(*) = mg%{x), д = f>h -, (8.2.27)
где V - объем этой области, v. - объем 7 -го слоя включения,
p]i=pi-po,pi - плотность 7 -го слоя.
Уравнение (8.2.25) для постоянного в V тензора ε°αβ(Χ)
решено в § 2.9. Поскольку тензор Η постоянный, то
уравнение (8.2.27) имеет аналогичное решение, которое имеет вид
<&(*) = -^МЯ^/С^(х)4,(*)*, (8-2.28)
V
где г,п - сферические координаты с началом в центре
включения, а тензор А(г,п) определен в (2.8.20), (2.9.2).
Выражение для этого тензора содержит массив постоянных, алгоритм
определения которых указан в § 2.9.

383
Подстановка формулы для sR = A(r,n)e° под знак
интеграла в (8.2.28) дает
εωαβ{χ) = -Α(ν,η)ΗΡν, Pv=\c\x)A(x)dx. (8.2.29)
ν
Таким образом^ с принятой точностью поля смещений и
деформаций внутри сферически-слоистого включения
связаны с внешними полями теми же соотношениями (8.2.17), в
которых следует положить
А = Α(ω,χ) = Α°{χ)-ιω3Αω(χ), А°(х) = А{г,п), (8.2.30)
Л-(х) = А{г,п)НР0 , λ^ω) = δαβ +ίω\ρλ^β .
Полученные выше формулы для эллипсоида позволяют
рассмотреть случаи предельных его форм (сплющенные и
вытянутые сфероиды). Однако с точки зрения некоторых
приложений удобно пользоваться отдельными уравнениями для
тонких включений и коротких осесимметричных волокон,
полученными исходя из основных уравнений (8.2.1) и (8.2.3).
Эти уравнения будут выведены в последующих параграфах.
§ 8.3. Рассеяние упругих волн
на тонком включении
Пусть теперь V - ограниченная область, один из
характерных размеров который мал по сравнению с двумя другими.
Для вывода уравнений, описывающих рассеяние упругих волн
в среде с такой неоднородностью, воспользуемся
асимптотическим методом, который применялся в гл.Ш для решения
аналогичной задачи статики.
Выберем в каждой точке X на срединной поверхности Ω
области V локальную систему координат }\,У2,У3 с осью у3,
Направленной вдоль нормали П(х) к поверхности Ω. Пусть
h(x)=SJ(x) - поперечный размер области V вдоль оси уЪ9
гДе δχ- малый безразмерный параметр (ή«1), а 1{х) имеет

384
порядок максимального размера этой области. В дальнейшем
будем считать, что h (x) является достаточно гладкой
функцией, удовлетворяющей условию |бй(х)|«1 всюду на Ω, за
исключением малой окрестности контура Г - границы Ω.
Стационарные волновые поля смещений и деформаций в
среде с рассматриваемой неоднородностью по-прежнему
удовлетворяют уравнениям (8.2.1) и (8.2.3). Добавим к ним
уравнение для напряжений
<rj*) = </,(*) +J W*-*Xa(*')^' +
V
+Ρ^°αβλμ\ν^λρ{χ-χ')ιφ')άχ', (8.3.1)
V
*:β(χ) = ^βλμελμ(χ), В = С-\ В]=В-В\ (8.3.2)
В соответствии с разложением тензора Грина в ряд (8.1.24)
функция S(х) может быть представлена в виде суммы
"статической" и "динамической" составляющих
S{x) = S'{x) + S°(x). (8.3.3)
Отметим, что статические части функций К(х) и S(x) -
однородные обобщенные функции степени (-3),
регуляризация которых указана в §1.2. Функции же Κω(Χ) и Ξω(Χ)
регулярны с особенностью \х\~] в нуле.
Рассмотрим задачу построения главных членов
разложения полей и(х), ε(χ) и с(х) в ряды по малым параметрам
задачи. Воспользуемся при этом идеей сращивания внешнего
и внутреннего асимптотических разложений.
Из уравнений (8.2.1), (8.2.3) и (8.3.1) следует, что главные
члены разложения полей и(х), ε(х) и σ(χ) вне области V
(внешних разложений) в ряды по δι имеют вид
и(х) = и°(х) - их(х) + со2и2(х),

385
ε(χ) = ε°(χ) + ε]{χ) + ω2ε2(χ), (8.3.4)
σ(χ) = σ (χ) + σλ [χ) + ω2σ2 (χ),
где обозначено
щ{*) = \Vg{x-x')Cm{x')dtl\ u2{x) = \g(x-x')v{x')dn\
Ω Ω
ελ {x) = JK{x- x')C°m(x')da\ ε2{χ) = JVg{x - χ')ν(χ')άΩ'9
Ω Ω
a](x) = jS{x-x,)m{x,)dQ\ σ2{χ) = Сε2(χ), λγεΩ.
Ω
(8.3.5)
В этих выражениях через т(х) и V(л:) обозначены
следующие интегральные характеристики
т(х) = h(x)B' (σ)(χ,Λ), ν{χ) = h{x)px(u){x,h), (8.3.6)
Λ/2 Λ/2
-Λ/2 -Λ/2
причем в выражениях для т(х) и V(χ) также следует
ограничиться главными членами разложения этих функций по <5",.
Слагаемые в правых частях выражений (8.3.4) можно
рассматривать как главные члены асимптотики волновых полей
вне тонкого включения. Воспользуемся для их построения
методами теории возмущений. Окончательный результат будет
зависеть от предельных свойств потенциалов, входящих в
выражения (8.3.4) (см.§ 3.1). Все эти потенциалы, за
исключением и2(х), который является потенциалом простого слоя,
разрывны на поверхности Ω. Так как ядра рассматриваемых
потенциалов можно представить в виде разложения на статичес-
*^Ую и динамическую части, то и сами эти потенциалы
раскладываются на суммы аналогичных составляющих. При этом
существенно, что скачки при переходе через Ω испытывают
только их статические составляющие, в то время как динами-

386
ческие - непрерывны на Ω. Исследуем статические части этих
потенциалов более подробно.
Начнем с потенциала
«?.(*) = J V«i(*" x'^mJx^dCl', (8.3.7)
Ω
который представляет собой потенциал двойного слоя
статической теории упругости. Его предельные значения
определяются соотношением (см.§ 1.3)
Ω
(8.3.8)
Здесь знаком "+" отмечено предельное значение функции
при стремлении к Ω со стороны нормали п(х) к этой
поверхности, а знаком "-" - предельное значение с
противоположной стороны, gs*(k) - Фурье-образ тензора Грина gs(X)-
Нетрудно видеть, что аналогичными соотношениями
определяются предельные значения потенциалов б2(х) и σ2(χ). Что
касается потенциалов
*,(х) = <(дг) + <(х), σχ(χ) = <ή{χ) + σΐ{χ), (8.3.9)
то предельные свойства их статических частей ε^(Χ) и <У\(х)
исследованы в §3.1 (Приложение III).
Представим плотность С°т(х) потенциала ε^(χ) в виде
следующей суммы
ОиЛ(*) = 4αβ{*) +0«Λ (*)*„М ' (8-ЗЛ0>
где вектор b(x) является решением уравнения
Тогда тензор qap(x) в (8.3.10) удовлетворяет
соотношениям
"/i(*W*) = 0, ®αΡλ,Αχ)ς,ψ{χ) = <Ιαβ(χ), (8.3.12)

387
где Θ (л:)- оператор проектирования на касательную к Ω
плоскость в точке X (3.2.4) и, следовательно, является тензором
поверхности Ω.
Рассмотрим сначала потенциалы с плотностью n(x)=Sq(x)9
где q(x) удовлетворяет условиям (8.3.12). Тем же путем, что и
в §3.1, можно показать, что касательная составляющая
Θ(χ)ει(χ) полного потенциала ε}(χ) непрерывна на Ω и
определяется выражением
<W*)*u»=J*W*.*'киМл* = <8·3·13)
Ω
Ω
Здесь ®αβλμ(χ)ε^χμ(χ) определено формулами (3.2.14)-
(3.2.16):
υαβλμ{χ,Χ') = υ:ρλμ{χ,χ') + υ^αβλμ{χ,χ')^ (8.3.14)
= ®αβΜ[ΚΛχ, χ')+ΚΛ*, χ'))***. Μ ·
Из определения (8.3.3) ядра S(x-x') следует, что
потенциалы <7х(х) и ελ(χ) связаны соотношением
^αβ(χ) = ^αμλμε]λμ{χ)-4αβ{χ)δ{Ω), (8.3.15)
где δ(Ω.) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности
Ω. Отсюда видно, что предельные значения потенциала σ^(χ)
с точностью до множителя С° совпадают с предельными
значениями εχ(χ).
Рассмотрим теперь потенциал ε}(Χ)9 плотность которого
определяется вторым слагаемым в правой части (8.3.10). Эта
часть представляет собой симметризованный градиент от
потенциала двойного слоя теории упругости. Предельные
значения этого потенциала определяются соотношениями (jcgQ)

388
Ω
(8.3.16)
где предельные значения статической части потенциала £,(*)
((^)±(JC)) определены в (3.2.21).
Для потенциала Сх{х) с плотностью ^αβ~η{α^β)
справедливо представление, аналогичное (8.3.15):
<*Ф) = Qu^u»-С°арХмпх(х)Ьм{х)о(П). (8.3.17)
Отсюда и из (8.3.16) следует, что вектор (Τλα^ιβ непрерывен
при переходе через поверхность Ω, а его значение на Ω
определяется следующим образом
-ηβ{χ)σλαβ{χ) = J Tjx,x%{x')dQ' = (8.3.18)
Ω
= -и,(х)о^(х)+/75(х,*0*Л*0«Ю', («Ω).
Ω
Здесь обозначено:
Ταβ{χ,χ') = Γαβ{χ,χ') + Τ^{χ,χ')= (8.3.19)
=ΦΡ:μβλ{χ-χ')+ζ:μβλ{χ-χ')]»Λχ'),
а величина Ηβ(χ)ν]αβ представляется регуляризацией (3.2.24).
Таким образом, предельные значения главных членов
разложения величин и(х), ε(χ) и с(х) в формулах (8.3.4) при
χ —> Ω принимают вид
и±{х) = й{х)±±[и(х)],
^(x) = i(x)±j[fi(jf)], (8.3.20)
о*(х) = <К*)±±[о(*)].

389
В этих выражениях
и(х) = и°(х) -1 Vg(x - x')C°m{x')dn' + co2\g{x - x')v(x')<Kl\
Ω Ω
Ω Ω
~σ{χ) = Γε{χ), (8.3.21)
где выражение для £s(x) следует из формул (ПЗ.2.13) и
(ПЗ.3.5), а слагаемые в квадратных скобках в (8.3.20)
представляют собой скачки соответствующих потенциалов,
выражения для которых легко восстанавливаются из предыдущих
соотношений.
Займемся теперь внутренней предельной задачей и
процедурой сращивания. Выберем произвольную точку X на
поверхности Ω(χ1=Τ) в качестве центра локальной системы
координат >>, (/=1,2,3). Аналогично предыдущему (§3.4),
внутренние переменные задачи о тонком включении определим
соотношением
&=У,'Ь(х) 0 = 1.2,3). (8.3.22)
При стремлении h к нулю V в координатах ξ. перейдет в
плоский слой единичной толщины |£3|<1/2.
Поля перемещений, деформаций и напряжений,
соответствующие решению внешней предельной задачи, определяются
правыми частями формул (8.3.4). В соответствии с методом
сращивания внешнего и внутреннего асимптотических
разложений упругие поля на границе среды и слоя во внутренней
предельной задаче примем равными предельным значениям в
точке χ е Ω внешних решений, которые даются формулами
(8.3.20) и (8.3.21). Очевидно, что решение внутренней
предельной задачи будет зависеть только от координаты ξ3,
причем для построения главных членов искомых
асимптотических разложений достаточно считать, что это решение
линейно по ξ3. Учитывая непрерывность векторов перемещений и

390
напряжений на границе среды и слоя определения полей
внутри слоя и+ (ξ) и σ+(ξ), имеем равенства
<(ξ) = Κ(*) + ξ*[«α(χ)]> (8-3-23)
IW*K(£) = U^JxiaJx) + ξ3[σλμ{χ)]},
где ΪΙαρλμ(Χ) - оператор проектирования (3.2.4), а выражения
для средних значений и скачков величин и, ε и σ те же, что
и в формулах (8.3.20) и (8.3.21).
Найденные из (8.3.23) внутренние решения и+ (ξ) и σ+(ξ)
после перехода к переменным yi следует подставить в
выражения (8.3.6) для т(Х) и V(X). Так как зависимость от
скачков при вычислении интегралов пропадает, то интегральные
средние <σ> и <и> в (8.3.6) выражаются через средние
значения й, ~ε и ~σ по формулам
(и) = й9 ®Β(σ) = &ε9 Π(σ)=Πσ. (8.3.24)
Воспользовавшись теперь явными выражениями (8.3.21)
функций й(х), 1(Х) и Ъ(х) через функции ν(χ) и т(х),
получим для определения последних интегральные уравнения,
в которых следует сохранить лишь слагаемые старшего
порядка относительно малых параметров задачи. Рассмотрим
уравнения для главных членов разложения функций т(х) и ν(χ)
по малым параметрам в частных случаях.
Г. "Малоконтрастное" включение. Пусть тензоры упругости
и плотности матрицы и включения являются величинами
одного порядка. Тогда, подставляя выражения (8.3.21) в (8.3.23),
найдем, что с точностью до членов более высокого порядка
малости имеют место равенства
v{x)=pXx)u°{x), m{x)=h{x)B](a), (8.3.25)
где тензор < σ> определяется из соотношений
η{χ)(σ){χ)=τΐ{χ)σ{χ), ®{х)В{а)Цх)=®{х)е0{х).(Ъ.3.26)

391
2°. Трещиноподобнос включение. Допустим, что модули
упругости включения существенно меньше, чем модули
упругости матрицы (трещиноподобный дефект): B°C=0(S2), где
δ2«\ - малый параметр. Будем считать, что δ2/δ]-0(1), так
что величина ИВ - порядка единицы относительно δχ,δ2.
Тогда имеем
Β](σ) = Β(σ) + 0{δ2), ηι = ΗΒ(σ) + θ{δΐ9δ2). (8.3.27)
Так как величины σ и ε имеют порядок единицы по
сравнению с ί, и ^2,то А77=П/72+0А72~0(1). Вместе с тем для
касательной составляющей тензора m справедлива оценка
Θ™ = ΗΘΒ(σ) + θ{δ],δ2) = ΗΘ6+θ{δ],δ2) = θ{δ],δ2).
(8.3.28)
Здесь учтено соотношение (8.3.24). Отсюда следует, что
m αβ{χ)=ηαβλμ{χ)ηλμ( χ) + 0{δλ 9δ2)=η( а{х)Ьй {χ) + θ{δλ 9 δ2).
(8.3.29)
Из выражений (8.3.6) и (8.3.27) с принятой точностью
получим
(σ){χ)=Η~λ {х)(в]y]m{x)=h-]{x)Cn{x)b{x). (8.3.30)
Отсюда и из последнего равенства (8.3.24) найдем
-^Tl{x)Cn{x)b{x) = Π(χ)σ(χ). (8.3.31)
h(x)
Учитывая теперь выражения (8.3.8) для ν и (8.3.21) для
величин σ и й, получим следующую систему двух интегральных
уравнений для определения неизвестных векторов ν(χ) и
Ь{х):
^aP{x)bp{x) + J Tjx, x%{x')dd' - (8.3.32)
Ω
-0У\{х)СарХ^ λ8μτ{χ-χ')νΧχ')άα· = гф)&ар{х),
Ω

392
^^-<o2jgJ,x-x')vp{x')dCl'- (8.3.33)
Ω
причем в уравнении (8.3.32) интегральный оператор с ядром
Ταβ вида (8.3.19) следует понимать в смысле регуляризации
(3.2.24).
Из уравнения (8.3.33) видно, что ν(χ) - величина порядка
единицы относительно параметров S] и S2, если h(x)p]-0(l).
Последнее возможно только в том случае, когда плотность
материала удовлетворяет соотношению pJpo~0(S3), где δ3-
малый безразмерный параметр и 6Х/6Ъ~0(1). Если плотность
материала, заполняющего дефект, сравнима с плотностью
основной среды, то это условие не выполняется. Тогда величина
V(X) имеет порядок δλ и вторым интегральным слагаемым в
(8.3.32) можно пренебречь. Единственным неизвестным
задачи становится вектор Ъ (X), который удовлетворяет
уравнению
*Jx)bfi(х) + J Tjx,x%(x')dQ' = ηβ(χ)σαβ{χ). (8.3.34)
Ω
При С=0 (λ=0) это уравнение переходит в уравнение для
трещины.
При рассмотрении трещиноподобной неоднородности
будем считать, что плотности матрицы и включения
различаются мало. Тогда после определения вектора Ьа(Х) из уравнения
(8.3.34) искомые главные члены асимптотик упругих полей
вне тонкого трещиноподобного дефекта могут быть найдены
подстановкой т - пЪ в выражения (8.3.5) и (8.3.6).
В общем случае уравнение (8.3.34) может быть решено
лишь численно. Если же включение имеет эллипсоидальную
форму, а длина волны падающего поля существенно превы-

393
опт.иие может быть
шает его максимальный размер, то это решена
найдено в явном виде.
t/л - ттттч а /- макси-
Пусть /Д«1, λ - длина падающей волны, *
_ ттлгияр при решении
мальный размер неоднородности. В этом случае ^ ься _
интегрального уравнения (8.3.34) можно воспольз стс|]СНЯМ
выми членами разложения тензора Грина в ряд
0)\х\~\х\/Я. С учетом (8.2.6) уравнение (8.3.34) переходит в
следующее:
Ω (8.3.35)
Г(х, *')=-<x)Six ~ х'И*'), ТЛх, *')^СН£^'
где тензор Η определен в (8.2.7). „„ости средин-
В случае тонкой эллипсоидальной неоднородн нная эл_
ная поверхность включения Ω есть область, огран
u/v\ « системе коорди-
липсом с полуосями о,,а,, а функция η (л; в си^*
/ -ι>-2> ^ эллипсоида,
нат с осями, совпадающими с главными осям**
имеет вид
лк h h л
h{x) = 2hz{x), z{x)=\\-{xjax)2-{x2la2)2\, ^9^K< '
1 (8.3.37)
Будем искать решение уравнения (8.3.35) в форме
ъв(х)=к{х)+и»>ъ:(х). <8·3·38)
„ /Q1ie\u приравняв
Подставив это выражение в уравнение (o.j.j-v
члены при одинаковых степенях СО, получим
^Jx)b;(x)+JT^(x,x')b;(x')dQ' = nfiaJx), <8·3·39)
Ω
*J*)b;(x)+J ς, (*, x')b;{x')da· = J r>, *')*;(*')**'·

394
Будем, как и выше, считать, что внешнее поле σ°(Χ)
постоянно в области Ω. Для этого случая первое из уравнений
(8.3.39) решено в § 3.7, и это решение имеет вид
b°{x) = b°z{x), b°=^-Ana\ А = -^т{пСп/И + г)~\
а2 2ах
(8.3.40)
где обозначено:
T°=jr(x)[z{x)-\]dx, x = (Xl,x2), (8.3.41)
причем в этом интеграле ζ (X) продолжается нулем вне
области Ω, а интеграл берется по всей плоскости ххх2.
Учитывая теперь, что для плоской области Ω вектор Π, а
следовательно, и тензор Τω не зависит от X, из второго из
уравнений (8.3.39) найдем
δω=^νΑΤωΑησ, ν = ^ηα\ (ах>а2). (8.3.42)
Формулы (8.3.40) - (8.3.42) решают задачу о волновом поле
внутри тонкого податливого эллипсоидального включения в
длинноволновом приближении. Наконец, в соответствии с
формулами (8.3.5) и (8.3.6) поле перемещений вне тонкого
трещиноподобного дефекта совпадает с падающем полем, а
поле деформаций представляется следующим образом
Ω
(8.3.43)
А(а]9а2) = А°(а]9а2)-ιω3Αω(α]9α2), Ζ(χ) = —]-z{x),
α2
A0{a],a2) = C°nAnC\ Αω{αι,α2) = νΑ°{αι,α2)ΗΑ°{α19α2).
(8.3.44)
Допустим теперь, что основная среда изотропна. При этом
тензор Η9 по-прежнему, определяется формулой (8.2.22),
постоянный тензор Т° вычислен ранее и имеет вид

395
Т:р=Т;еУе+туае2е+Т;паПе,
(8.3.45)
где е]а и е\ - орты главных осей эллипса, ориентация
которого задается нормалью Пу а величины 7™ (/=1,2,3) приведены в
формулах (2.7.11).
Если материал, заполняющий включение, также
изотропен, то в той же системе координат имеем
Аф — ^\eaefi + ^2eaefi + ^ηαΡβ >
А,=-а>
ы
(М-^(К·^
(8.3.46)
'λ+2μ
+7Г
V
В частном случае кругового в плане трещиноподобного
дефекта формулы (8.3.45), (2.7.11) и (8.3.46) преобразуются в
следующие:
Τ*=Ίΐ0,φ+Ί3η^β> Aafi=A^A2nanfi^ (βαβ=δαβ-ηαηβ),
^-^-^^-^-^"'-Vr-A'
A=
2M.
2μ <* ffa-2rf)
H*'h+ 4
9 A2—
'*Ш.Ъ4.1-А.
(8.3.47)
Для представления тензоров Л° и Л^из (8.3.44) в этом
случае удобно воспользоваться тензорным Р(П) - базисом (см.
Приложение I). В этом базисе можем записать
K=M.A,P'+£i't2[(l-2rf)P1+(l-2rf)(p' + P') + Pi],
(8.3.48)

396
(8.3.49)
3°. Тонкое жесткое включение. Рассмотрим, наконец,
тонкий дефект, жесткость которого существенно превышает
жесткость основной среды, т.е. ВС°-0{62) и S2/S2~0(1). При
этом из предыдущих соотношений следует
Βι(σ) = -Β°(σ) + θ(δ2)9 m = -hB°(a) + O(S]9S2).(S.3.50)
С учетом выражений (8.3.6), (8.3.24) получаем с точностью
до членов порядка δχ, 52
ПС°т = -ΑΠ(σ) = -ΜΤσ=θ{δ19δ2). (8.3.51)
Таким образом, для жесткого включения имеют место
равенства
т = 0(\), C°m = QC°m + 0(Sl9S2) (8.3.52)
и величина <σ> может быть представлена в форме
(σ) = ί> Я = -С°ту Qq = q. (8.3.53)
Подставив эти соотношения в (8.3.24), найдем
-QB°Qq = Qe, v = hpxu. (8.3.54)
h
Наконец, с помощью выражений (8.3.21) получаем
уравнения для полей q(х) и ν(х) на. Ω.
(*k>) + J^>>*'k>'№- (8.3.55)
Ω
Ω
^^-<o2jgJx-x%(x1dn'+jV,gJx^x')q;ifl(x')dCl'=uix).
(8.3.56)

397
Здесь обозначено:
Μαβ^) = ^{χ)Θ^ρΧχ)Βρτδβδνλμ{χ)9 (8.3.57)
а интеграл в (8.3.55) с ядром U^^x^x') вида (8.3.14)
понимается в смысле регуляризации (3.2.17).
Относительно величины h(x)px будем считать на этот раз,
что она имеет порядок 1 по сравнению с Sl9S2 и поле v(X)
должно быть сохранено в уравнениях (8.3.55) и (8.3.56). В
противном случае вектором V можно пренебречь и
единственным неизвестным задачи остается тензор q(X)9 для
определения которого служит уравнение
Μαβλμ
Ω
(8.3.58)
Если С—>оо (μ=0), то (8.3.58) переходит в уравнение для
нерастяжимой мембраны, впаянной в упругую среду.
Главные члены разложения упругих полей вне тонкого
жесткого включения и в этом случае имеют вид (8.3.4) и (8.3.5),
где следует положить m(x)=-B°q(x), а тензор q(X) и вектор
V(X) являются решениями уравнений (8.3.55) и (8.3.56).
Заметим при этом, что полученные таким образом
внешние решения с точностью до Sl9S2 аппроксимируют поля
смещений, напряжений и деформаций всюду, за исключением
малой окрестности граничного контура Г.
Получим теперь решение уравнений (8.3.55) и (8.3.56) для
тонкой жесткой эллипсоидальной неоднородности. В
длинноволновом приближении эти уравнения принимают вид
Ω
(8.3.59)
^Q-io?g%\vp{x)dCl = иа{х), (8.3.60)

398
U'{x-x') = QK'(x-x')®9 υω = ΘΗΘ, (8.3.61)
а тензор Н по-прежнему определяется формулой (8.2.7).
Решение уравнений (8.3.59) и (8.3.60) вновь будем искать в
виде суммы действительной и мнимой частей
q(x) = q{o) (χ) + ιωУз) (χ), ν(χ) = ν(ο) (χ) + ίω3ν(3) (χ).
(8.3.62)
Подставив эти выражения в (8.3.59) и (8.3.60), получим
Ω
(8.3.63)
Ω Ω
(8.3.64)
ν«(χ) = Л(х)Аи;(х), ν?>(χ) = А(х)А«2Jyj;>(x)dn.
Ω
(8.3.65)
Уравнение (8.3.63) при постоянном на Ω поле ε°(Χ)
решено ранее (§ 3.7). Это решение имеет вид
Из уравнений (8.3.64) и (8.3.65) теперь находим
<7(3)(*) = vGU<°GZ{x)<de {χ), v^{x)= phz{x)ua{x),
Ρ» = Щь, vi3)(x) =^SMx)«;(x) · (8-3.67)
После определения величин (8.3.62) можно аналогично
предыдущему выразить поля смещений и деформаций вне
тонкого жесткого включения через внешнее поле

399
«a(^) = «;(^)-Jv,g<u(^-x')A^>1,a2)Z(x')^(^)^'
+
+<o2\gap{x-x')XpxZ{x')u\{x')dx·, (8.3.68)
Ω
*+(*) = ε°Μ + J W* ~ *')A^>, ,a2)Z{x%T(x')dx' +
Ω
+co2jV(agm{x-x')A,MZ(x')u;(x')dx'. (8.3.69)
Ω
Здесь обозначено
К{ах,а2) = -[Κ°{αλ,α2)-ΐαΐΚ°{αχ,α2)}, Л° = 0(/i)G®(/i),
Αω = νΑ°ΗΑ°, λαβ(α„α2)=ρ„(δαβ+ϊω3νρ^)β). (8.3.70)
Для изотропной основной среды тензор 1Г выписан в §3.7
(формулы (3.7.18) и (3.7.19)). В частном случае эллипсоида
вращения (а}=а2=а) тензор U° с помощью Ρ-базиса
представляется в форме
и°=-^р + тГУ{пЩ(т?-\)Пп)\ (8.3.71)
32μοαL ^ J
Если и материал, заполняющий включение, также
изотропен с модулем сдвига μο и коэффициентом Пуассона νο, то
тензор G в том же базисе имеет вид
G = G,(2P1-P2) + G2P2, (8.3.72)
G,=
\=М.
,^ + -(3+1?)
|_2Λμ 16V "
-1
> G2=-
αμο \-ν+π
2\ιμ 1+ ν 8
-!(ι+Λ
Соответствующий этому случаю тензор Л° совпадает с G,
а тензор Αω определяется выражением

400
(8.3.73)
§ 8.4. Рассеяние упругих волн
на коротком осесимметричном волокне
Рассмотрим в этом параграфе изотропную основную среду,
содержащую область V в виде вытянутого тела вращения с
осью Г, радиусом a(z) (гёГ) и длиной 2/. Здесь ζ -
координата в декартовой системе координат y]yy2,z с началом в
центре включения и осью ζ, направленной вдоль его оси Г.
Если отношение δλ = а/1 является малой величиной, то область
V обычно называется волокном. Будем считать, что его
жесткость существенно превышает жесткость окружающей среды,
т.е. C°B=0(SQ), где S0«l- малый параметр, а плотности
среды и включения являются величинами одного порядка.
Если длина падающей волны существенно больше
максимального размера включения, динамическая функция Грина
представляется первыми членами разложения в ряд по
степеням ω\χ\/ν (8.2.6), в которой для изотропной среды
4я-//с [ \х\ 2 δχ,α&β\ ν 4πρ0ν;
(8.4.1)
Если, как и выше, искать решение общих уравнений (8.2.4)
в виде (8.2.8), то коэффициенты этого представления с
принятой точностью удовлетворяют системе уравнений (8.2.9) -
(8.2.12).
В дальнейшем нас будут интересовать лишь главные
члены разложения упругих полей в окрестности волокна в ряды

401
по малым параметрам задачи SQ и δλ. В длинноволновом
приближении главные члены разложения поля иа(х), как это
следует из (9.2.9) и (8.2.10), имеют вид
«ίΜ = «;(*), ^{x)=p^\u;{x)dx. (8.4.2)
V
Для построения асимптотики полей ε^(χ) и ε(^(χ) будем
так же, как и в § 4.2, пренебрегать изменением полей £(o)(Jt)
и ε0)(χ) по сечению волокна (ε(ο\χ)=ε(ο\ζ),ε(3)(χ)=ε(3)(ζ))
и, выполнив в (8.2.11) и (8.2.12) интегрирование по
поперечным сечениям S (ζ), приходим к уравнениям на оси ζ
e{i(0 + ]^j£C)ClJ£(C)dC = ε^ξ), (8.4.3)
-1 -1 /
(8.4.4)
Здесь обозначено
a ma- орт оси ζ . (8.4.5)
Перейдем к построению формальных выражений для
главных членов искомой асимптотики исходя из этих уравнений.
Воспользуемся для этой цели явным видом ядра
интегрального оператора в (8.4.3) и (8.4.4), полученным в § 4.2.
^хЛО = γ J^^K^fo^K · (8-4-6)
-00
Здесь функция К°(£3,£) в Р(т)- базисе определяется
выражением

402
k°(^^')=-t^-{2[4(i+^)m;+m2*]/>i+(i-^)(m;-4m;)p2-
32μ0 L J
-8(l- η2)М'2(Рг + Ρ4) + 1б[2- Ml -2(l- /;2)M2*]P5 +
+16[2^2(l-M;) + (l- /72)М;]Р6}, (8.4.7)
в котором функции M*(k3,g) и M2(k3,g) определены
соотношениями (4.2.11).
Осуществив обратное преобразование Фурье в
соответствии с формулой (8.4.6), получим, что тензор Ρ°(ξ,ξ')
определен тем же выражением (8.4.7), в котором функции A/J* и М*2
следует заменить их прообразами Фурье по переменной к3,
имеющими вид (4.2.12).
Главные члены разложения символа К°(£35£) оператора
К° в ряд по малому параметру δλ представлены выражением
(4.2.16), в котором тензоры А° и А] перепишем в форме
А° = 4Jr[(1+ № "if1" *)р2 +2р5}> (8А8)
Αι=^[4τ?Ρι-Ρ2 +{\-η2){Ρ3 + Ρ4) + 2(3-2η2)Ρ5-4Ρ6].
Воспользовавшись теперь формулой (4.2.16) для фурье-
прообраза приближенного выражения для символа
статической части ядра К (££'), приходим к следующим
дифференциальным уравнениям, которые следуют из (8.4.3) и (8.4.4):
Р0-УзУ-(^1п^)^1С1^[/2(^зУ]=-^^Я^}/2(^^У^
(8.4.10)

403
Здесь обозначено
P0=(l + A°Cx)~\ (8.4.11)
а /(ζ) - функция формы включения.
Если перейти к новым неизвестным функциям τκ(ζ) и
Tj (ζ) с помощью формул
тя(д=ыЧд. т,(д=ыЧд,
-r^J-^l
(8.4.12)
то уравнения (8.4.9) и (8.4.10) можно переписать в форме
(8.4.13)
(8.4.14)
Будем считать, что материал волокон трансверсально
изотропен с осью симметрии, совпадающей с геометрической
осью волокна. В системе координат, введенной ранее, тензор
упругих модулей включения можно представить в виде
С = 2тРх +{к-т)Р2 +1{рг + Ρ*) + 4μΡ* +пР6. (8.4.15)
Здесь μ и т - модули продольного и поперечного сдвига,
к - объёмный модуль при плоской деформации, η - модуль
продольного одноосного удлинения, / - соответствующий ему
поперечный модуль - пять независимых упругих модулей
трансверсально изотропной среды.
Отметим важное для дальнейшего свойство произведения
тензоров СХР°, которое в том же базисе Р(т) имеет вид
Ор-^щ
14
Щ
Ы)
2Д
рЫ
-щ
14
щ
Ы)
2/4
Р24-

404
+/ίцЬ£] (p3+P4)44A| 1-H&
V
2A
р5-й
"f
ы\хМ-
Мо V
л
Μ,=Μ-Μο, τηλ=τη-μα, *,=*-(Αβ+//0), я,=и-(А0+2//0), /,=/-Я0.
(8.4.16)
Используя ортогональные проекторы Θ^^ и П^^ (см.
(3.2.4)), найдем, что для включения, жесткость которого
существенно выше жесткости основной среды, справедливы
оценки
0С'Р° = (9(1), ПС'Р° = 0(δ;χ), (8.4.17)
а формула (8.4.16) с точностью до членов порядка δ0
переходит в следующую
(8.4.18)
где Ε и ν - продольные модуль Юнга и коэффициент
Пуассона волокна.
Отсюда следует, что вид уравнений (8.4.13) и (8.4.14) и
характер их общего решения зависит от соотношения между
малыми параметрами SQ и δλ. При этом возможны следующие
случаи:
а) δ71δ^1ηδ1=ο(1). В этом случае имеем
TR{Q = CxP°e{Q + o{\), г,(0 = о<1). (8.4.19)
Действуя на обе части первого из этих равенств
операторами Π и Θ, получим
^Rm(0=Eem(Q, TRm=mamfi(TR)^, τκβ=Θτκ, tfrmjn^,
Τηθ(ζ)=
4^.ρ.+^ί)ρ48^Ρ5
\+rf tf(\+rf)
ε(ζ). (8.4.20)

405
Из этих выражений следуют оценки
*яЛО = 0{г:), τκθ{ζ) = 0{ί). (8.4.21)
б) δ7]δ^ 1ηδ1=θ(ΐ). При этом уравнения для тензоров rR и г7
совпадают с (8.4.13) и (8.4.14). Действуя на обе части этих
уравнений операторами Π и Θ и учитывая структуру тензора
С]Р\ можно показать, что оценки (8.4.21) для тензора τκ(ζ)
остаются в силе. "Осевые" компоненты этого тензора τΚηί(ζ)
удовлетворяют в этом случае дифференциальному уравнению
(4.2.27), а "поперечные" компоненты τκθ(ζ) порядка единицы
определяются формулами
l+rf rf(l+rf)
Что же касается тензора τ, (ζ), то он представляется в
форме
(τΙ)αβ{ζ)= ты{£)татр+О(д0, (8.4.23)
где скалярная функция τ1ηι(ζ) порядка (1ηή)-1 является
решением уравнения (параметр q определён в (4.2.27))
(8.4.24)
В длинноволновом приближении тензор ε°αβ(ζ) можно
считать постоянным на отрезке [-1,1]. Это позволяет записать
τΗ{ξ) = Κ{ξ)ε{ζ), гДОЛ-иИ^, (8.4.25)

406
л-(0 = л;+ллЦ^(^+р4)+7>в], ^ = -λΧζ)ρ\
где функции λκ(ζ) и λΙ(ζ) удовлетворяют следующей
системе дифференциальных уравнений:
D2[f2(0*R(0]-42*n(0 = -42E, (8.4.26)
(8.4.27)
Обратимся теперь к уравнениям (8.4.2). Считая, что и°а(х)
постоянно в области V, найдем
|£>(х) = pfS]g%{x)\[f{№. (8.4.28)
Отсюда следует, что мнимая часть вектора смещения
имеет порядок ^ис принятой точностью должна быть
отброшена. Таким образом, единственным неизвестным задачи
является тензор деформации внутри волокна или связанные с ним
функции τκ(ζ)π Tj(C).
Уравнение (8.4.26) исследовалось в § 4.2. Там же получено
его решение для волокон в форме цилиндра, вытянутого
эллипсоида и двойного конуса (остроконечного веретена).
Поскольку правая часть уравнения (8.4.27) - постоянная, оно
вполне идентично уравнению (8.4.26). Поэтому, опираясь на
результаты § 4.2, приведем сразу окончательные выражения для
функций λκ(ζ) и Яj(ζ) для волокон трех упомянутых форм.
Г. Цилиндрическое волокно. (/(ζ)=1)
I ch? ) vr 30//o ^ q )
(8.4.29)

407
Заметим, что эти выражения остаются справедливыми и в
предельных случаях. В частности, если волокно недостаточно
жестко в том смысле, что (δ\ In δλ)Ε/μο«\ (#—>°°), то за
исключением δχ- окрестностей концов волокна формулы (8.4.29)
приводят к результату
ЛЯ($ = Е, Л,(£) = о(1), (8.4.30)
полученному ранее. Напротив, если включение абсолютно
жестко (#—»0), то формулы (8.4.29) дают
ял^фДя, =4--^и,м. (8.4.31)
RKh' δ2\ηδ, ' vl 451ηξ1 R
2°. Эллипсоидальное волокно. В этом случае Sx=a/l, где α и
/ - полуоси эллипсоида, /(ζ)=\1-ζ2 ■ Ограниченные
решения уравнений (8.4.26) и (8.4.27) для эллипсоида оказываются
постоянными и определяются выражениями
α2 Ε /3 2(2 + 3^)
К =ΛΔΤ> λ, =-τ· / ,/ ,. (8Α32)
R 2 + q2' ' vl 45(2 + ^2)ΐη(5Γ1
3°. Волокно в форме двойного конуса. Если включение
имеет форму двойного конуса (остроконечного веретена), то
<5j=or//, где a - радиус срединного сечения, /{ζ)-\-\ζ\. Для
волокна такой формы имеем
Ш=
Я2Е
Я2~2
1—
2+/Г
(ΐ-\Λ β=Η-3φ^).
A,fe)4· (2:Ч < ^ М& (8-4.33)
ν> 45(^-2)ΐηί, (2+/?)(3+Λ

4\JO
Таким образом, главный член разложения функции τ (ζ) в
ряд по малым параметрам задачи представляется в форме
τ{ζ) = Α($ε°{$, А(С) = А°(д-1а>3А°(С), (8.4.34)
где скалярные функции λκ(ζ) и λΙ(ζ) для рассматриваемых
форм волокон определяются приведенными выше
соотношениями (8.4.29), (8.4.31) и (8.4.33).
Вычислим теперь главный член асимптотики полей
смещений и деформаций вне включения. Поскольку Vg(Jt) и
к(х) в интегральных уравнениях (8.2.4) при х~Ё V- гладкие
ограниченные функции, то на расстояниях от оси волокна,
существенно превышающих его поперечный размер, в
длинноволновом приближении имеем
ua(x) = u:(x) + jVMgJx-mz')s(z')TX/1(z')dz', (8.4.35)
г
ejx) = eJx) + j^Jx-mz')s{z')TXM{z')dz',
Γ
K{x) = Ks{x)-ico3H, s{z) = m2{z), (8.4.36)
где т(х) представляет собой медленно изменяющуюся часть
главного члена асимптотики поля C]e(z) внутри включения и
имеет вид (8.4.34). Как показано в § 4.2, для цилиндрического
и веретенообразного волокна эти выражения должны быть
дополнены функциями типа пограничного слоя,
локализованными в окрестности концов волокна или ребер его внешней
поверхности (изломов функции (Л(ζ)). Эти добавки
существенны при анализе детальной картины распределения упругих
полей в окрестности включения. Однако в схеме
эффективного поля нас будут интересовать лишь интегральные
характеристики упругих полей внутри волокна, в которые функции типа
пограничного слоя дают пренебрежимо малый вклад.

409
§ 8.5. Включение в форме непрерывного
кругового цилиндра
Пусть теперь область V представляет собой бесконечный
цилиндр радиуса а, ось которого совпадает с осью х3
декартовой системы координат. Уравнения (8.2.1) и (8.2.3),
описывающие стационарные волновые поля в среде с
неоднородностью, в этом случае принимают вид
00
-оо 5"
00
+ρ,ω2 jdx;jg^(x-x')ufi(x')dy', {y = y(x„x2)), (8.5.1)
-оо 5"
00
ejx) = e'Jx) - ?λμρτ \dx\ JK^ix - x')epXx')dy' +
-оо 5"
00
+Ρ]ω2 \dx^V(agfi),{x-x')ux{x')dy', (8.5.2)
-00 S
где S - сечение цилиндра плоскостью χλχ2.
Осуществив преобразование Фурье по координате х3
обеих частей этих уравнений, получим
^{yA) = K{y^) + ClpTjVMgJy-y',k,)epT{y',k3)dy' +
S
+PlO2igafiiy-y'^3)up{y',k3)dy', (8.5.3)
S
eJyA) = eJyA) + Cl^JK^-y\k,)£pXy',k3)dy' +
S

410
+p^2\V{agp)X{y-y\k,)ux{y,ki)dy·. (8.5.4)
S
Здесь и далее фурье-образы функций обозначены той же
буквой с заменой аргумента хъ на параметр преобразования
Фурье к3, оператор дифференцирования Vа следует понимать
в смысле
Фа
(8.5.5)
та- орт оси х3> а ядро К(у,к3) интегрального оператора
связано со вторыми производными от фурье-образа тензора
Грина
gaP{y^) = j^r\gafi{k)e-*ydk, к=к(кг,к2), (8.5.6)
соотношением
К^СуЛ) = ν,,,ν^^Ο'Λ). (8-5.7)
где gapik) - преобразование Фурье динамического тензора
Грина grf(x) по всем переменным. Для изотропной среды
функция gapik) имеет вид
**(*)=
А®
2 ~*~ *α*β
к2-pi * -ρ;
pl = a2-kl,p}=/?-kl a = — , β =—.(8.5.8)
Если длина волны падающего поля λ существенно больше
радиуса волокна а, то носитель функции и°(к)- фурье-образа
поля и°(х)- сосредоточен в области, определенной условием

411
|£|α«1. Β силу дисперсионных соотношений для основной
среды из этого неравенства следует, что рда~а/Я«1 (q=
~α,β). Это позволяет, решая уравнения (8.6.3) и (8.6.4) в
длинноволновом приближении, учитывать лишь главные
члены разложения решения в асимптотические ряды по малому
параметру задачи δ=α/λ. При этом, имея в виду дальнейшее
применение полученных результатов для одного волокна в
методе эффективного поля, будем учитывать зависимость от
(У и в действительных частях приближенных значений
волновых полей. Это позволит описать особенности дисперсии
упругих волн в средах, армированных однонаправленными
волокнами, которая в отличие от неоднородностей конечных
размеров может быть значительной и в том случае, когда длина
внешней волны существенно больше диаметра волокна.
Для построения приближенного решения уравнений (8.5.3)
и (8.5.4) начнем с предположения о том, что изменением
полей и(у,к3) и £(у>к3) в области S можно пренебречь. В
результате можем записать
^a(y^3) = K(yA) + ^MGAy^3)ClMpTepT(y9k3) +
+лЛаДМзЬ(Мз), (8.5.9)
£<ф{уЛъ) = £<ф(уЛъ) + ^хм(у^3)С1ртерт{у9к3) +
+аА^(^ЛК^*з), (8·5·10)
где обозначено
4*и>Л) = VAA,*,), (8.5.11)
а функция Gap(y,k3) представляет собой результат
воздействия интегрального оператора с ядром gafi(y~y\k3) на
постоянную. Явный вид этой функции удобно найти с помощью
представления
Gjy,k3) = j^jdke^gj^je-^dy'. (8.5.12)
Учитывая, что

412
J ' щ Μ I /·
(8.5.13)
где Jv(z) - функция Бесселя, запишем сначала результат
интегрирования в (8.5.12) по полярному углу в к - плоскости.
Р*а>
+
Ы
\*К[таУР +ТпоУа) + в<ф)Щч,У>а)Та -nanp[S2{q,y,a)]a).
Здесь обозначено:
(8.5.14)
θαβ-δαβ-τηατηβ, ne=jk [f(q)l=f(a)-M,
S„{q,y,a) = j М U 1 ', (« = 0,1,2). (8.5.15)
к2-Ρ,
С помощью соотношений
S.{q,y,a) = -r{
да\
Г-Р\
-\j\k\y^j}\k\a)d\k\ ,
S2{q,y,a) = 7-J
2}ФЫФ№№\
2 _2
k2-p,
+

413
д гкко(НИ)^(Н^Н
-г) -■, ; (8-5.16)
да
k2-Pl
О " fq
интегралы (8.5.14) сводятся к стандартным, которые
вычисляются следующим образом
α
*2-κ
*Ιψ.(μΐΗ)Λ(|*Μ*| г ι . ι .w / . χ
= tStei—P,uy—=1Л-'рМКЫ"),
о A: + ^-H/?J
(8.5.17)
где I„(z) и KM(z)- модифицированные функции Бесселя
первого и второго рода.
В результате получим
^>Л)=^У δαβί(Ρ!(β,γ,α)-ΐ)+Ιξηι^\
\(${q,y,a)-\)
+(ik3(mayfi+mfiya)eaA
где обозначено
—Р\{<1,У,а)
-УаУ№(ч>У>а)Тв
(8.5.18)
ϊπ Л(/>,М),_ч1ыО:
(apqyH)\apq), yzS, (8.5.19)
2 \yf
a H^(z) - функция Ханкеля первого рода. Остальные
тензоры, входящие в уравнения (8.5.9) и (8.5.10), определяются с
помощью соотношений

414
V2UH) = ikim0Fi(pq\y\)-pqyfiFi+l(p(1\y\). (8.5.20)
Разложим теперь функции Бесселя в полученных
формулах в асимптотические ряды при малом значении аргумента.
Учитывая лишь главные члены этих разложений [131]
1 (ζλ ίπ^ττ(ή(
2nfz
In
ιπ
(8.5.21)
уравнения (8.5.9) и (8.5.10) можно переписать в виде
«в (.У, *j) = К (у, кг) ~—gifi"0(y, кг)"
А
(8.5.22)
( iL·
2 αλμ ^ αλνμ-/ ν Ι4-*λμρταρτ\
КРо60 J
~^αλμ + ^аХуиУу \^ λμρτ8рх\У ·> *3) >
sjy>k>)= <*(**э) -(4*. ~ AU + (8·5·23)
^Βαβλμ^ν)θ\μρτερτ{γ, къ) - ik3 —G£{afi)uM (y,k3).
го
Здесь обозначено:
gifi = δαβ^τΑΡβ) +^ θαβ[ΑρΧ+™ατηβ
Ρβ Ζ Ρ
Ря
ΐβ
^αΧμ =™μδαΛ^τΛΡβ)+-(™μβαΑ +™αθλμ +
Ρβ ^
+tnX0aM)[f(Pcl)]a+mJnXtnft
VW
1β

415
Af -
A®
u ι *32
- «V θμΧβ + SaXXmM)mV "J
\z Ρβ
■]^/W
+
+ τ(^β^Α + VW +ЧЛ^)^з[/(^)Г
+
4«
fl#l/i
+τηατηβτηληιμ
■*β
к
ЪАр.)
&αβλμ ~ βαββλμ + ^οαβμβ + ^αμ^λβ
(8.5.24)
Μ
/(Ρ,) = Ηγ-ΜΙλΝ-ΟιΒι/*? -ϊ2), (8.5.25)
/
*αβλμ
2μο
λ
δαλθμβ ° βαβλμ
\ 4"ο J
Ύαβλμ
ΛψαΧλμ) >
ΒαβΧμν =— КЛ(^^+^^)(^^- (8·5·26)
4η
Wa&№ + 0а№т*)\ К = К +Мо , «ο = Αβ +2//с .
Уравнения (8.5.22) и (8.5.23) представляют собой систему
уравнений для определения амплитуд полей смещений и
деформаций внутри волокна с учетом малости параметра S.
При этом в действительных частях получающихся равенств
главными по этому параметру являются члены, имеющие
порядок S2 In S, а в мнимых - δ2.
Прежде, чем решать эту систему с указанной точностью,
обратим внимание на следующую особенность ее
коэффициентов. Допустим, что в среде распространяется плоская волна

416
с волновой нормалью, образующей угол ψ с осью волокна.
Тогда в тензорных коэффициентах уравнений (8.5.22) и
(8.5.23) появляются компоненты, содержащие множители
In (aa sin ψ) для продольной (къ=ао,о$у/) и \η(βαύηψ) для
поперечной (къ=ро,о$у/) волн. Отсюда следует, что при ψ—>0
эти компоненты неограниченно возрастают, а амплитуды
волновых полей внутри волокна стремятся к нулю. Это означает,
что стационарный длинноволновый процесс не реализуется
при распространении плоской волны вдоль волокна. Для того,
чтобы иметь возможность в дальнейшем рассматривать случай
^=0, поступим следующим образом. При обращении
тензоров в процессе приближенного решения системы уравнений
(8.5.22) и (8.5.23) будем считать действительные части
функций от частоты в коэффициентах этих уравнений (именно они
содержат логарифмы) произвольными (т.е. не малыми)
величинами. А их очевидную малость при всех значениях ψ вне
малой окрестности нуля можно будет учесть в каждом
конкретном случае.
С учетом сделанных замечаний и малости величин pqa
(q=a,fi) в мнимых частях коэффициентов уравнений (8.5.22)
и (8.5.23) получим
И«(Мз) = *<*^(Мз)-
f ik,
з τί
u
ω
2 ^αλμ^ ^арХмУр
'λμ
(Мз),
J
*<*(МзМЛ^+М^
(8.5.27)
Здесь обозначено
λ<φ-Ραλ
δλβ+ι—ύμΡμβ
)
Ραβ =
f n V'
Tf = r> Gf Cx Ρ Γ = Α° Γ1 Ρ
^αβλ Γαρ^ρτν^τνσω1 σωβλ > ^αρλμ ^ανρδ^ νδσω1 σωλμ >
P = (l + ACl)'\ A = P{l-iA'C1P), A = AS-A'

417
if -(-LP Gf η N -PR Cx Ρ
ιαβλ ~ * αβρτ^ργτΓγτ > 1У αβλμρ ~ λ αβδν"δνσωρ^ σωτγ1 τγλμ '
Но
(8.5.28)
Входящие в эти выражения тензоры g" и/ получаются из
формул для gf и Af в (8.5.24), в которых функции f(pq) (q=
=α,β) следует заменить на (/?ga)2ln(|/>Ja)/2, а тензоры g1 и
А1 получаются аналогичной заменой в (8.5.24) функций f (pq)
Ha(pqa)2arg^]k2-q2/2.
Вернемся теперь к исходным уравнениям (8.5.3) и (8.5.4).
Подставив в них выражения (8.5.27), в символической форме
можем записать
Ли° -
( iL·
Ρ.ω
■Ι/+Π
ε - VgC1 [(Л +ik,Ny)e°-ik3Lfu°]-
-A® S\
Xu°
r iL·
P.co1-
■Lf + L°y
= w0+A,, (8.5.29)
(К+1кгЫу)е° -ik/u -KCl[{A+ik3Ny)e° -ik/u\-
-p^defgl
Au'-\
iL·
№
■If+L
y\e
ε° + Α2, (8.5.30)
где Δ, и Δ2 - невязки, возникающие вследствие
приближенности выражений (8.5.27). Для компенсации этих невязок к
выражениям для и и ε необходимо добавить слагаемые и1 и
ε так, чтобы удовлетворялись уравнения
ux-VgCJ-px(02gu'=Ax,
ε' -КС1 ε' -pco2defgul = L·
(8.5.31)

418
Если слагаемыми w1 и ελ можно пренебречь по сравнению
с (8.5.27), то эти функции являются главными членами
разложения решения уравнений (8.5.3) и (8.5.4) в ряды по
параметру δ. В противном случае к (8.5.27) необходимо добавить
главные члены разложения функций и1 и е1.
Для подсчета величин Δ, и Δ2, как это следует из
уравнений (8.5.29) и (8.5.30), необходимо к уже полученной формуле
(8.5.18) подсчитать результат действия оператора с ядром
g(y,k3) на линейную функцию. Аналогично предыдущему
имеем
1
<4,(УЛ) = ТГТТ^^^Шу'е-^ау' = (8.5.32)
1
Ρ,®
2, 6,*уМ —f?{pM)-1 Н^Чюа«,г'*з(ю« VwaO)x
Ρβ
ΚΡβ
^{рй\у\)-1
кРя
ы
МаУхУм+тхУаУм)
->fi
+θαλγμ+θαμγ^θΧμγα)\
-WUm)
-УаУхУм
V)
с теми же обозначениями, что и в (8.5.18).
Используя выражения (8.5.18) и (8.5.32) и пренебрегая
изменением внешних полей и°(у9кг) и в°(у,к3) в области S,
найдем, что главный член невязки Ах имеет порядок
меньший, чем S2 In S в действительной и δ2 в мнимой его частях.
То же можно утверждать и о функции и1, которой с принятой
точностью можно пренебречь по сравнению с величиной W,
определенной первой из формул (8.5.27). Что касается невяз-

419
ки Δ2, то ее главный член асимптотики имеет порядок δ и
определяется выражением
^οφ=1^3^αβλμρ);ρελμ\);^ *3 ) > ^αβλμω~\^αβρτ"ωσ~^αβρτωσ)^ ρτδγ^ δγλμσ '
Л1 —1
^αβλμρτ
4μ.
г к \
°αχλ Θμ){βρτ " ~ ^αβλμρτ
V 6п° J
(8.5.33)
θαβλμρτ ~ ^αβ^λμρτ + ^ούββμρτ + ^αμ^λβρτ + ^ϋψ^λβμτ + ^αβλβμρ '
Главным членом асимптотики решения второго из
уравнений (8.5.31) будет
έαβ = ίΚΡ'αβλμρΜχμ^τέον , (8·5·34)
Ρ1 =(/ /9 +Л1 Г1 )_1
1 αβλμρτ \2 αβλμ^ρτ ^ ^αβσωρτ^σωλμJ '
Добавка этого выражения к^в (8.5.27) приводит к
следующей формуле для поля деформаций внутри волокна:
*^αβλμρ = ^αβσωρ-Ρσω&ττ^^νθ νθλμ ' (0.3.Jj)
§ 8.6. Полное сечение рассеяния
включений различной формы
Как следует из предыдущего, неоднородность на пути
распространяющихся в среде упругих волн порождает рассеянное
поле, вместе с которым часть энергии падающей волны
рассеивается в разные стороны. Физической величиной,
характеризующей эффективность этого процесса, является так
называемое сечение рассеяния. Существует несколько типов таких
характеристик. Сосредоточим внимание на одной из них -
полном сечении рассеяния. Начнем с вывода общего
выражения для полного сечения рассеяния неоднородности
произвольной формы и ограниченного объема в изотропной среде.

420
Будем исходить из уравнения (8.2.1)
ν
+a>2jgJx-x')pl{x')uJL(x')dx', (8.6.1)
ν
в котором плотность и модули упругости включения в общем
случае являются функциями координат (неоднородное
включение), а тензор Грина g^(X) для изотропной среды имеет
вид
х) =
1
4πραω
SJ?
\х\ дкадхр
jW
1*1
(8.6.2)
Из уравнения (8.6.1) следует, что поле, рассеянное
неоднородностью, определяется выражением
<(*) = J[V^(x- хО<3^(*'ЧгМ + (8.6.3)
V
+o>2gaX{x-x')px{x')ux{x')\bc·.
Используя асимптотические формулы при x'gV, jc—»oo
Jjc — Jc'j-1 ~|jcj~\ |х-х'|~|х|-(л-х'), n = x/\x\, (8.6.4)
V V ...V
П Г г Г η
уЩх-х I
\X-X
i\~<*r
,'<?M
пгпгг...п.е
-щпх'
величину рассеянного поля usa(X) на большом расстоянии от
включения (приближение дальней зоны) можно представить в
форме
К ~Аа{п)-гГ + ВЛп)-гт
\х\ \х\
(8.6.5)

421
Здесь Аа(п) - векторная амплитуда продольных, а Ва(п) -
поперечных волн, рассеянных в направлении с единичной
нормалью п. Эти величины следующим образом выражаются
через поле смещений внутри включения:
ЛЫ = 7^-т[«21«а(^)А(^)ехр(-^^')^' +
4πρ.α? sv
+i<Pβ\εχμ{x')C)φλμ{x,Wv{-iqn■x^)dx^], (q=a,0).
(8.6.7)
Поле напряжений вне включения также представляется в
виде суммы падающего <7^(ДС) и рассеянного σ^(Χ) полей,
причем для i^(^)=C^V/li/^(x) находим аналогично
предыдущему
e,ew
\х\
α-ΓτΑαηβ)+β-ΓΓΒ^ηβ)
(8.6.8)
Пусть S- замкнутая поверхность, внутри которой
находится включение. Запишем выражение для скорости
распространения энергии через эту поверхность
Q = -}j(<rai, + °J{*f, + u;)nadS. (8.6.9)
S
Здесь звездочкой обозначены комплексно сопряженные
величины па - компоненты внешней единичной нормали к
Поверхности S. Поскольку смещения и напряжения
изменяйся во времени периодически, т.е. ua(x,t)=ua(x)eia*,

422
Q=- \ιω\{σα^^1ί<ΛΛ-σα^γί<ΛΛ- σαβΐ4*β-σαβηβ)ηαάΞ.
s
(8.6.10)
Осреднив эту величину по времени (по периоду) и
обозначив эту операцию символом о,, получим
1 т 1
№\=г!ШЯ = та^1*^№. (8.6.11)
1 о l s
Учитывая, что ua-ua-\-usa^ σ^σ^+σ^ , представим
величину < Q >, в виде суммы трех слагаемых, связанных с
падающем полем <Q° >,, рассеянным полем <QS >t и
интерференцией падающего и рассеянного полей <Qint >,:
(βΗβΉβΉβ*),' <8·612>
s s
(Qml)t=i«im|(a>;+^M;K^·
В силу закона сохранения энергии из (8.6.12) имеем
(Qs)t=-(QM)t- (8-6.13)
Полное сечение рассеяния Q(o) по определению есть
отношение величины <Qs>t к среднему по периоду количеству
энергии <F>t , проходящему через единичную площадку,
перпендикулярную направлению распространения падающей
волны, т.е.
Q(a>) = {Qs)t/(l°)r (8-6.14)
Введем вектор единичной нормали η по этому
направлению. Тогда

423
(/°)г=>1т[<^;4]. (8.6.15)
Если падающее поле - плоская волна с волновым числом
#,то
иа=еаexp(iqn° · χ), σ^ι^λβ^δ^+ΐμβ^) exp(iqn° · χ).
(8.6.16)
Здесь еа - единичный вектор поляризации, причем еа=п°а
для продольной волны (q=a) и е-п°=0 для поперечной волны
{q-β). Подставляя (8.6.16) в (8.6.15), найдем
(ΐ°){=^\{λο+μο)(β^°)\μο
(8.6.17)
Что касается выражения для <Qs>t , то при его
определении существуют две возможности. Подставив формулы (8.6.5)
и (8.6.8) в выражение для <Qs>t в (8.6.12), получим
(Qf,),=ia>iJr{U.+2Ma)diAJt+^ABa\2}dS· <8·6·18)
S
Другая возможность определения <Qs>t опирается на
аналог "оптической теоремы" для упругих колебаний. Исходя из
формулы (8.6.13), будем считать, что поверхность S - сфера
большого радиуса г . С использованием выражений (8.6.5),
(8.6.8) и (8.6.16) найдем на S
n*<t*p% =^^WexP(-7^) + F2Wexp(-/^r)]exp(/^° -л),
"а°1^£ =^[Ф1(А|)ехр(/аг)4-Ф2(л|)ехр(/>5г)]ехр(-/^гл20 -л),
Fan) = q^XA.n){e.n) + 2Mo(A.e){ri.n)], (8.6.19)
FM = №[{B-"%'")4B-e){n.n)]9
Ф1(п) = а(Яо+2Мо){А.е)> Φ2{η)=βμο{Β^β).
Подставим теперь эти выражения в интеграл

Λ*») = J(*>f + ^°p)nadS ■ (8·6·20)
s
Для вычисления интеграла J (со) воспользуемся
основанным на методе стационарных точек соотношением для
произвольной функции f(n) при г-^оо [9]
-jf{n)exp(-iqrn -n)dS [f{n)exp{-iqr)-f(-n°)exp{iqrjj.
(8.6.21)
С помощью этой формулы получим
j(a>) = —ЫЯ0 + 2μ0)ζχρ(-ίατ)\6· A\n)exp(iqr) +
q L
+e- A{-n0)exp(Чqr)] + qμoexp(-iβr)\e^B*(n0)exp(iqr) +
+e · B*(-n°) exp(-iqr)] - α(λο + 2μο) exp(iar)\e · а(п° ) exp(-/0r) -
-e · л(-и°) ехр(/#г)] -/?μο exp(//?r)[e · B\n) exp(-iqr) -
-e.B{-n°)exp(iqr)]}, {q = a,fl). (8.6.22)
Допустим, что падающее поле - продольная волна, т.е.
q=a, е-п . Так как п°-В(п°)=09 то формула (8.6.22) переходит
в следующую:
(8.6.23)
и выражение
e(<y) = -Im[j(<y)]/(/°)t, (8.6.24)
для продольной волны (L -волны) принимает вид
ρ» = §ψ·4»1]. (8.6.25)

425
Если падающая волна - поперечная (Г-волна), то #=/?,
£.я°=0. В этом случае Aa(±n°)ea=eji°an^ffi(±ano)=0 и
формула (8.6.22) дает
J{ω) = 4πμ0{-ilm[e^в(nή] + Re[e^в(-nήexp{2iβr)^.
(8.6.26)
В результате приходим к следующему выражению для полного
сечения рассеяния Г-волн:
QT(a)) = 4*Im[eB{no)]. (8.6.27)
Как следует из полученных формул, для определения Q(co)
необходимо знать поля смещений и деформаций внутри
неоднородности. Если эти поля найдены приближенно, то
формулы для Q(co) позволяют получить приближенные значения
полного сечения рассеяния. Ограничимся рассмотрением
длинноволнового приближения, соответствующего рэлеевско-
му рассеянию на неоднородности. В этом случае в
предыдущих соотношениях можно положить
exp(iqn° x)&l, exp(-iqnx)*\ (xeV). (8.6.28)
Воспользуемся теперь полученными формулами для
подсчета полного сечения рассеяния включений различной
формы.
1°. Сферическое включение. Пусть в общем случае слоисто-
неоднородное включение в изотропной среде имеет
сферическую форму. Для определения Q(co) используем сначала
формулу (8.6.18). При этом главные по ω члены разложения
функции Q(co) можно получить, положив ("квазистатическое"
приближение)
*«(*)««;(*), м*)~4^(*)«*(*)> <8·6·29)
где тензор А(Х) определен в §2.8 при решении статической
задачи. Рассмотрим сначала продольную волну, для которой
О О О · О О у^х ^ алч
иа=па, €^= ιαηαηβ , (8.6.30)
и найдем соответствующую этому функцию fa(qn) из (8.6.7):

426
В этих формулах я; и #, (/=1,2) определены в (5.4.8), а
величина Д - в (8.2.28). Далее в соответствии с (8.6.6) находим
А =
α2ν
4π
^-costf-""'
3ifc +2// (3cos20-l)
з(Я0+2//0)
к>
4π
^-Ιη^οοζθ
{п°а-пасоьв), (8.6.32)
где 0 - угол между волновой нормалью и° падающей волны и
произвольной нормалью па к поверхности включения.
Используя эти выражения в формулах (8.6.15) и (8.6.18),
после интегрирования получим
qM=
4л(аа)
а\
ш
с2+—и2
—+-
775 + 3;
1
№·■:
(8.6.33)
Если включение однородно, то величины кр и μρ
определяются формулами
*,=
1 3
■ + ■
.-1
к-ко Μο+4μο
. >"р-
1 + б(*„+2я)
Л-1
/*-/*. 5//0(ЗЛ0+4//0)
(8.6.34)
В частности, для очень жесткой сферы имеем

427
kp=-(3K+4Mo),Mp= ^+ΐμ) , (8.6.35)
а для сферической полости —
, ФК+4Мо) 5Я(3£о+4/0 ,__
** = Ά ' μρ = ^ΓΤΖ * (8'6·36)
Пусть теперь падающая волна является поперечной. Для
удобства вычислений введем декартову систему координат с
началом в центре включения, причем ось ζ направим вдоль
полярной оси сферической системы координат (ry0yz) с
началом в той же точке. Тогда
Ua ~ Ха > £αβ ~ 1Ρ*(αΖβ) >
(8.6.37)
где ха и ζα - орты осей X и ζ соответственно. В этих
обозначениях имеем
•¥11
fa Μ = "Γ ϊ[Ρΐ<»2Χα-<ΐβΜρ(Χα COS0+Za Sill 0COS θ)] .
4προω L J
(8.6.38)
Подсчитывая амплитуды рассеянных волн в соответствии
с (8.6.6), найдем
А =
α ν
(-
4π
— sin θ- ημ sin20 ha cos^, (8.6.39)
B =
(?v
4π
( Ά
-—+μ Dcos0
A
#>asin#H- — cos#-/i_cos20
U J
θαοο$φ
Здесь φα и θα - орты осей, касательных к параллели и
меридиану на единичной сфере в точке с нормалью п.
Подставив полученные выражения в (8.6.15) и (8.6.18),
получим

428
ρτ{ω) =
4η(βα)4
-α
^(3 + 2^)+lfAY(2W)
(8.6.40)
Найдем теперь величины QL((0) и QT(co) с помощью
"оптической теоремы". Прежде всего заметим, что в
длинноволновом приближении
Ьп/.Ы = ^[o2pfg(4 +kqnp(PHP)apx/xel\
4προ
(8.6.41)
В этом выражении к- волновое число падающей волны,
по - волновая нормаль, е°а - единичный вектор поляризации,
величины g(]) и Η определены в (8.2.21) и (8.2.22).
Подсчитаем мнимую часть векторной амплитуды 1η\Αα(αιο)
для продольной волны (е°=п° к=а)\
1т Аа(ап°) =
a2 aw2
4προ
a>2phW + a2
ί
9крНхЛИ)Н2
ηη
(8.6.42)
Подстановка этого выражения в формулу (8.6.25) приводит
к найденному ранее выражению (8.6.33) для полного сечения
рассеяния продольных волн сферическим включением.
Аналогично с помощью векторной амплитуды поперечной
рассеянной волны
lmBa(fin.) = ^-{ω2~ρ2^ +2β2μ2ρΗ2)β°α, (8.6.43)
4προ
и формулы (8.6.27) приходим к тому же выражению (8.6.40)
для полного сечения рассеяния Г-волны.
Заметим, что сравнение двух приведенных подходов к
определению полного сечения рассеяния указывает на то, что
применение оптической теоремы требует более точного опре-

429
деления полей внутри включения. Действительно,
квазистатическая аппроксимация, которая приводит к правильным
результатам в формуле (8.6.18), привела бы к нулевым
значениям для QL и QT при использовании формул (8.6.25) и (8.6.27),
так как мнимая часть "статических" полей равна нулю.
2°. Эллипсоидальное включение. В длинноволновом
приближении формула для Imfa(qn) и в случае эллипсоидальной
неоднородности имеет тот же вид (8.6.41), где, по-прежнему,
= v[(cr+A(a)
(8.6.44)
а тензор А(а) определен в (8.2.20). Таким образом, в
соответствии с формулами (8.6.25) и (8.6.27), для определения
полного сечения рассеяния необходим явный вид тензора Р. В
дальнейшем ограничимся рассмотрением эллипсоида
вращения (сфероида) с полуосями ах-аг-а, аъ (ось х3 совпадает с
его осью вращения).
Пусть сначала это будет сплющенный сфероид (а>а3). В
этом случае интегралы, входящие в формулы (8.2.20) для
тензора А (а), вычисляются в конечном виде. Сам тензор А
приобретает трансверсальную симметрию и его удобно
представить в тензорном Р*(т)-базисе:
А = А]Р2+А2(р1-±Р2) + А3(р3 + Р4) + А5Р5 + А6Р6,
(8.6.45)
где функции fQ(y) и /\(ϊ) определены ранее в (2.4.8).
Обращая тензор в правой части (8.6.44) с помощью
формул, приведенных в Приложении I, найдем
P = v[kpP2+2mp(P]-^P2) + lp{pi + P4) + 4MpP5+npP6],

430
*--£
'>-ϊ
2л/,(ЗЯ,+2//,)
ρ 2
\2Μι
-+Α,
η=—
" Δ
λχ+2μχ
2μχ{3λ,+2μλ)
+2Α
. /^»=
Δ=
—γ-^——-r[l+(A, +2Ml )A6+4(Ai+M, )Αι+4λιΑ3]+2ΑιΑ6-2Α
2μι[3λι+2μ])1
(8.6.46)
Полученные формулы могут быть использованы и для
предельных случаев очень тонких (γ—><χ>) сфероидальной поры
(трещины) или абсолютно жесткого кругового диска.
Перейдем для этой цели в (8.6.45) к асимптотическому разложению
при больших γ, ограничившись лишь главными членами
этого разложения. Учитывая, что при γ—»оо, /0^π/4γ, /,—>
-^>(1-η2)π/Βγ с точностью до членов порядка 0(γ~λ) в
(8.6.45), получим
4 = «α±ώ 4 = «(3±ώ, 4=-«μώ, (8.6.47)
16//0r
№μ.γ
*М.Г

Αχ
1-^(3-2^)
, A =
_1_
μ.
4γ
Пусть неоднородность представляет собой круговую в
плане трещину (С1=-С°). Используя формулы (8.6.46), найдем в
этом случае с точностью до членов порядка единицы
kp=(\-2rf)2np, ю,=0, /, = (1-2770/1,,(8.6.48)
пр=-
W
2ff(\-r?)
. μ» =
16α3μ0
3(3-2rf)'

431
Далее имеем
PHP=R]\{l-2Tf)2P1+(\-2rf){P3+P4) + P6
»W , , ч „ /4(3+217')
+ 2R.P5,
R^-J^hX^, R2= "\ 5 , (8.6.49)
где функция Λ, (77) определена в (8.3.49).
Рассмотрим сначала продольную волну (е°а=п°а, к=а).
Обозначим через θ угол между волновой нормалью падающей
волны и осью вращения эллипсоида. Воспользовавшись
формулами (8.6.41), (8.6.6) и (8.6.26) при а3^0, получим
9π
{\-2?fsm2e) 2sin220 , , λ
η>{ΐ-τ?) ° Ф-2/72)
(8.6.50)
где величина }\{η) определена в (8.3.49).
Как это следует из (8.6.41), сечение рассеяния поперечной
волны зависит от ориентации вектора поляризации. Этот
вектор лежит в плоскости, перпендикулярной вектору волновой
нормали, и может быть определен углом φ наклона к осям
прямоугольной системы координат в этой плоскости при
любом угле Θ. Это позволяет представить вектор поляризации
е°а поперечной волны в виде
е°а = е[ sin φ + е2а cos φ, (8.6.51)
где векторы е\ и е2а характеризуются следующими
компонентами в сферической системе координат с полярной осью х3
ех =(-cos0,O,sin0), e2=(0,l,0). (8.6.52)
Для этого случая находим:
{ΡΗΡ)αβλμηλη°μ = {/^(/ι(>ιΛ sin θ+β](ατηβ) cos θ- mamp sin 2 θ) +

432
+i?j η2 \mjnfi + (l - 2 η2)θαβ jsin 2θ\ sin φ + Κ2βΙαΐηβ)cos θζοζφ.
(8.6.53)
Подстановка этого выражения в (8.6.41) и использование
затем формул (8.6.6) и (8.6.27) дает
QAb9) = QTx{e)^29+QtM*>*2<р> (8·6·54)
где величины ζ)η(θ) и QT2(@) соответствуют полным
сечениям рассеяния поперечных волн на трещине с векторами
поляризации е\ и е2а. Эти величины определяются выражениями
9π
sin2 2Θ . / ν 2cos220 . / ν
Mw+-, гттАЫ
(ι-?2)2 (з-2^)
(8.6.55)
9π (з-2^2)
(8.6.56)
Пусть теперь включение представляет собой абсолютно
жесткий ((С )~ =0) сфероидальный диск. В этом случае
имеем
P = vA->JJ^
Р2+-
2(l+/72) 3+tf
Р1--Р2
РНР =
256а V!
135προντ
1 ~2
2(1+τ2)2 (З+^П 2
(8.6.57)
Если на диск падает продольная волна, то

433
№)--:-:-^4
\35πρ0ντ
\ + 4rf
0„«sin20+
Φ + 275)/ „ .
2(ι+ηη2 αρ (з+л
η,Ρβ-
-2т{ап°й cose+mam0cos2 6>--^sin2θ)], θ^ = δαβ-τηατηβ.
(8.6.58)
Определяя с помощью этого выражения полное сечение
рассеяния L -волны, найдем
128
4 „2
\ό5πη
ф + 2/;5) i+4Tf
(з+*Г (l+*T
sin4 ft (8.6.59)
Для поперечной волны тензор (РНР)п°е° в случае
жестких дисков принимает вид
(РИР) п°п - 256θμ°
1 + 4 ff
4(l+ г?]'
#Q0sin2#cos^+
Φ+ 2 Τ5) г
+- -ο-|("(>Λ -*Vfo cose-nljrtfi sin 0+ (8.6.60)
(3+/72)
+-
■{2mjnp - 0^)sin20)sin р+(п1ае2л-т(ае^ cos^cos^]}.
Эта формула приводит к следующим выражениям для QTi
И<2г2
Qn=^-{PaYa2
135л-
Ф + 2^5) 1 + 4/75
(з+^)2+(1+^)2
sin2 0cos2 0,

434
Й1.^ГИ!+2'"-
128
135я-'
sin2 θ.
(8.6.61)
(3W)2
Переходим теперь к рассмотрению удлиненных
эллипсоидов вращения. Пусть ось хъ декартовой системы координат
направлена по оси вращения вытянутого сфероида с
полуосями ах-аг-а, а3>а. В этом случае тензор А из формулы
(8.6.44) представляется в форме
1
1
π-^-{\ + γ2)φ] +
+(1-2 0р2](Р' -\Ρ2) + 2{φλ-φ2){Ρ' + Р4) + (8.6.62)
2[{\-γ2)φΑ^νΐ4π-φ2)]Ρ5+Β[{ΐ-νΜ2π-φ2)-χ2φ]]Ρ6},
Τχρ,-Απ 2π
<Ρ\=—Λ — > <Ρ2=- τ
Ι-γ l-jr
Jl-χ2 -^2arch—
rj
a
, Г = — <1,
tf.
где vo - коэффициент Пуассона основной среды.
Перейдем в этом выражении к пределу при у—>0, что
соответствует тонкому сфероиду (волокну). С учетом лишь
главных членов асимптотики φΧ~2π(\+2γ2\ηγ), φ2=2π(\+χ21ηχ)
формула (8.6.62) переходит в следующую:
А =
1
η2 Р2,1+?/2
Р1--Р2\ +
(8.6.63)
+^(r4nr)(p4p4)-flp5-(r2in^6
Если сфероидальное волокно абсолютно жестко (Р=А~ ),
то в этом случае имеем

435
P =
4лп33я d6
Ъ\пу
P\ PHP =
4ла36(2 + 37755)
\Ъ5ру5т
{PHP)
о о
αβλμ * μ
In γ )
{PHP)
Л ρ = ·
αβλμ * μ
\ЪЪру\
4ш36(2 + 3^)
/ Λ2
135/?„ν*
In Г J
/я^/Ир sin φ.
(8.6.64)
С помощью этих формул находим полные сечения
рассеяния продольной и двух поперечных волн
_ 4π ( у» 2 2 + 2г?
cos4 0,
(8.6.65)
бп =
4л·
135
WV2+3^-2^
(In r)2
sin'0cos'0, £г2=0.
J* Тонкое трсщиноподобнос включение. Полученные в
предыдущем пункте формулы для предельных случаев
сплющенного сфероида позволяют получить результаты и для круговой
в плане трещины. Однако в тех случаях, когда тонкие
неоднородности заполнены материалом с меньшей, чем у основной
среды, но не нулевой жесткостью, реализация такого
предельного перехода становится неудобной. В этом случае подход,
предложенный в §8.3 и позволяющий естественным образом
учесть свойства материала, заполняющего трещиноподобную
полость, является предпочтительным. Используя указанный
подход, получим выражения для полного сечения рассеяния
тонкого трещиноподобного сфероидального дефекта.
В соответствии с выражением (8.3.54) формула для
мнимой части вектора fa(qn) в случае такого дефекта
представляется в форме

436
Im fa(qn) = ^-1<ηβ№αβλμη°λβ°μ,
Λ" = Α°ΗΑ°, Λ° = C°nAnC°, v = \m\
(8.6.66)
Здесь тензор А в общем случае определен в (8.3.50), а для
круговой в плане полости - формулами (8.3.57).
Подстановка выражения (8.3.59) для Л*" в (8.6.66) и
вычисления, аналогичные предыдущим, приводят к следующим
выражениям для полных сечений рассеяния продольных и
поперечных волн:
16л-/ \4 ;
—A2hx{V)sm229+^A22(\-2Jsm2 θ)"
&=γ^
- А\\ (η) cos2 2 θ+ h. (η) A] sin2 2 θ
Qn = ^(/k)V42/j,(/7)cos2 θ. (8.6.67)
При стремлении λ и // к нулю эти формулы переходят в
(8.6.50), (8.6.55) и (8.6.56).
Рассмотрим случай, когда круговая в плане трещина
заполнена вязкой жидкостью с объёмным упругим модулем к и
коэффициентом вязкости Ж, т.е.
С^м = kdjSb + 2/й*е(1^ - j «V*) · <8·6·68)
В этом случае в формуле (8.3.57) следует положить
А, = Α\{\-4ιωτΑ\), Α2 = Α\{\-ψωΊΑ^), (8.6.69)
А] - , 4 /I1 -
я(3-2/^):
При этом учтено, что для малых частот ωτ«\. Определяя
с помощью этих формул величину \mfa(qn)y нетрудно убе-

437
диться в том, что в этом выражении появляются
дополнительные слагаемые, пропорциональные ίω. Это означает, что
сечение рассеяния трещины, заполненной вязкой жидкостью,
связано не только с геометрическим рассеянием волны, но и
с поглощающими свойствами жидкости. Если величины сот и
соа/сг, где и- характерная скорость упругой волны в основной
среде, являются малыми одного порядка, то слагаемые,
связанные с поглощением в жидкости, являются
доминирующими. Полные сечения рассеяния продольных и поперечных
волн принимают при этом вид
ъ%
(„2^
ω ш
V νι
Qn=¥
(ω2τα^
\ ντ J
|(4')4(^)sin22^^U)2(l-2^sin^)2
Qn-Ч
(ω2τα
V ντ
№(4)\{η)<ηέθ.
(8.6.70)
4°. Жесткий тонкий диск. Воспользуемся асимптотическими
результатами § 8.3 для тонких сфероидальных дисков,
жесткость которых существенно выше жесткости основной среды.
Найдем для этого случая мнимую часть вектора fa(qn):
im/.M=£%[<°2pyg(4+<74νΛν«>;]> (8·6·7ΐ>
где тензор Αω определен формулой (8.3.90). С помощью этого
выражения получим
eL^«)V{^(3+2^)GMl+4^)G|]sin^2(^)2(l+^)},
a.,=2fGfo) V j|[(3+2 if )G2+( 1+4 tf )G\ sin2 &os2 θ+ΐ{^)\2+ η1)

438
ft,=ff(*)V
ί V
-{3 + 2?f)Gfsm2e+2 p. (2+773)
5 U;
(8.6.72)
Если диск абсолютно жесткий (//=°°), а его плотность
имеет тот же порядок, что и плотность окружающей среды, то
эти формулы переходят в (8.6.59) и (8.6.61).
5°. Короткое осесимметричное волокно. Полученные в п.2°
предельные формулы для бесконечно жесткого вытянутого
эллипсоида вращения, моделирующего короткое волокно,
нельзя применить к волокну с большой, но конечной жесткостью,
а также с отличающейся от эллипсоида формой. Для того,
чтобы иметь возможность рассматривать такие случаи, следует
воспользоваться результатами, полученными в § 8.4. В силу
(8.4.35) выражение для вектора fa(on) (σ=α,β) принимает
вид
ЛЫ = ^ηβδ]β-^Αηξ)ταβ{ξ)β-^άξ. (8.6.73)
Здесь, по-прежнему, 5x-ajl, I - длина волокна. В
длинноволновом приближении можно считать, что е~,<т1п'*«1, е~'ы^&1,
а тензор Τ^ξ) связан с внешней деформацией
соотношением (8.4.34)
ταβ{ξ) = ΐ^αβλμ{ξ)ηλβ°μ. (8.6.74)
Пусть в среде с волокном распространяется продольная
волна (е°а=п°а, к-а). Подставив (8.6.74) для этого случая в
формулу (8.6.73) и воспользовавшись оптической теоремой
(8.6.25), найдем
60 π ημιο
(8.6.75)

439
Здесь vf - объем волокна,
(p{q) = E(\-(thq)/q) -для цилиндра, (8.6.76)
<p{q) = Eq2 [2 + q2) - для сфероида,
ЧАЯ) = η—-,—\i w 7 - Для веретена,
а величины q и β определены в § 8.4, Ε - модуль Юнга
волокна.
Аналогично определяются и полные сечения рассеяния
поперечной волны
Qtx = ^'Щ^<Р2(<1)м2 0cos2 Θ, QT2 = 0.(8.6.77)
60лг μζο
Если волокно абсолютно жестко, (Е—>оо, q—>0), то
формулы (8.6.75) и (8.6.77) переходят в выражения (8.6.65),
одинаковые для волокон всех трех рассмотренных форм.
6°. Непрерывное цилиндрическое волокно. До сих пор
рассматривались неоднородности конечных размеров. Один из
размеров непрерывного цилиндрического волокна является
неограниченным. Это порождает ряд особенностей при
рассеянии упругих волн такой неоднородностью и вызывает
необходимость нового вывода некоторых основных соотношений.
Рассмотрим плоскую волну с фронтом, параллельным
волокну. Будем исходить из уравнения (8.6.9), в котором следует
положить к3=0:
»a(y) = »M+c},pXfljvpgJy-y'K{y')dy' +
s
+PyjgJy-y')ufi{y'W, (8.6.78)

440
gafi(y-y') = r^h\d\k\jgJk)e->e(y-^,(S.6.79)
V-π) ο ο
&*(*)=—А
РоО)
Р-<?2
Вычисление интегралов в (8.6.79) дает
4Αω2 [ ^ ^β4ν
Учитывая, что при больших R
[Hl%R)Y\, R=\y-y'\.
(8.6.80)
2 {ч\у\-^)-Ф-у·)
R-X~\y\\ R~\y\-{n-y'), H^qRh Ι-ή-e
(8.6.81)
На больших расстояниях от волокна уравнение (8.6.78) можно
Переписать в виде
ы\у\ у!\у\
(8.6.82)
Здесь векторные амплитуды продольных и поперечных
^олн, рассеянных в направлении с единичной нормалью П,
*4а(п) и Ва(П) следующим образом выражаются через поле
^а{у) внутри волокна:
Аа{п) = ηαηβ/β{αη), Βα{η) = (δαβ-ηαηβ)/β{βη),
,3 in
2ροω* \2π
i4^ClfiXMjeJy')e-i""y'dy' +

441
+p^\ua{y')e-icinydy·
,4 = {<*,β).
Определив среднюю по периоду скорос> ν · .oJ)
гии через цилиндрическую поверхность ^ ^ ^
внутри которой находится включение, а^Г***^ Сея^ния
тершему найдем выражение для полного сеч^г^^гч^ Нои высоты,
пН^гично предыду-
Рассеяния
Л * /( £ (8.6.84)
Здесь £ - сечение цилиндрической Поъ
тью χλχ2, **1ости плоское-
(β·),=^[α.+2Λ)μ„|4Λκ|Μ
(8.6.85)
Получим теперь явные выражения дл^
трех типов волн (продольной и двух попер~^>$|
няющихся перпендикулярно оси волокна. **W\ ичины Для
*λ Распростра-
а) Продольная волна. Пусть падающее поп
В этом случае (8.6.86)
При определении векторов Аа(п) И ^ ' '
длинноволновом приближении <*(>?) По
о ( \ о о ian-y о о по / Т *> \0.6.88)
£ар{у)=гопаПре *ιαηαηβ, Ρ ={Ι + 4*
Г
где тензор As определен в (8.5.29). Тогда

442
. / ч ia2 -'i \аг
z V Ιτι
—Lcos^ (mp cos2^+£P)
Α Κ+μ0
nn
*.(») =
ia
2 iff
A 2;7
— τηρ<χ>$φ
А. Я
»/i;-wecosp),
(8.6.89)
где ^> - угол между волновой нормалью и° и произвольной
нормалью П к поверхности волокна,
тр =
, 6 = — ^, kP=— ^L-L. (8.6.90)
."о + */Л К + 2 Я К + 2 А. + К
аа
Подставив (8.6.89) в (8.6.85) и (8.6.84), найдем после
интегрирования
Ql =γΜ3α\
1
ЫУ
2k2p +mp
1 +
1
ν η
г ~ \
+
A J
1 +
1
rf)
(8.6.91)
б) Поперечная волна, поляризованная в плоскости χλχ2.
Пусть теперь
u„ = e„eF y
(8.6.92)
где еа - единичный вектор, лежащий в плоскости χλχ2 и
перпендикулярный п°. Для этого случая формулы (8.6.89) дают
Αα{βη) = ίψβ^^η2(^ύηφ- η%ύη2φ)ηα,
Ba(fin) = ife^^x (8.6.93)
x[jt(e°a ~na sin rf-^(e«cos^+/i; sin φ-ηα sin2p)J.

443
Учитывая, что
(Γ){=\ωβμ„ (8.6.94)
получим в соответствии с формулами (8.6.85) и (8.6.84)
e.=yOto)'J
(рУт)
2тР
/Л2
А
(1+ηή+Ρ±\(1+η>)
VPJ
(8.6.95)
в) Поперечная волна, поляризованная вдоль оси хг.
Рассмотрим, наконец, вторую поперечную волну с вектором
поляризации
и„ = те
ifiny
(8.6.96)
Для этой волны величина <Г> имеет тот же вид (8.6.94), а
векторные амплитуды рассеянных волн определяются
выражениями
Αα{βη) = 0,Βα{βη)
га
2 in
μΡ=2μ^μ0/(2μο+μι).
С помощью этих формул находим
Га ρ? λ
\Ро Ро J
(8.6.97)
ат=у(д*Н
/4
2\2
(РУт)
+ 21
Л\2
—
Ρ J
(8.6.98)

ГЛАВА IX
ЭФФЕКТИВНЫЙ ВОЛНОВОЙ ОПЕРАТОР
ДЛЯ СРЕДЫ СО СЛУЧАЙНЫМ МНОЖЕСТВОМ
ИЗОЛИРОВАННЫХ НЕОДНОРОНОСТЕЙ
В этой главе рассматривается композитный материал,
состоящий из однородной матрицы и случайного множества
включений. Метод эффективного поля применяется для
описания распространения упругих волн в таких материалах. С
помощью приближенного "длинноволнового" решения
интегральных уравнений для одиночной неоднородности,
полученного в предыдущей главе, строятся интегральные уравнения
для определения "эффективных" полей смещений и
деформаций. Эти поля являются внешними по отношению к каждому
включению и состоят из падающего поля и упругих полей,
рассеянных всеми включениями, кроме выделенного.
Решение уравнений для эффективного поля при некоторых
предположениях относительно структуры случайного множества
включений позволяет получить осредненное уравнение
движения композитной среды (эффективный волновой оператор)
в длинноволновом приближении. Этот оператор описывает
распространение волн в некоторой однородной среде,
обладающей дисперсией и затуханием. Исследована функция Грина
эффективного волнового оператора. Найдены скорости
распространения и коэффициенты затухания упругих волн в
композитных материалах, содержащих случайное множество
включений различной формы.
§ 9.1. Рассеяние упругих волн на случайном
множестве эллипсоидальных включений
Рассмотрим неограниченную вообще анизотропную среду,
содержащую однородно распределенное в пространстве слу-

445
чайное множество эллипсоидальных включений (случайными
являются положения их центров, размеры и ориентация).
Пусть, как и раньше, V - характеристическая функция
области, занятой включениями. В случае гармонических колебаний
амплитуды полей смещений иа(х) и деформаций εαβ(χ) в
произвольной точке х среды удовлетворяют уравнениям,
аналогичным (8.2.1) и (8.2.3):
ua(x) = ua{x) + l[VpgJx-x')CipfiXfi{x')eXM{x') +
+Pioy2gafi{x-x')t*p(x')V{x')dx', (9.1.1)
sjx) = <, W " J [K^ {x - χ'Κμρτ{χ')ερτ(χ') -
-ρ^^α)ρ{χ-χ·)ηρ{χ')Υ{χ')άχ'. (9.1.2)
Здесь С1(х) совпадает с постоянным тензором С\ак) при
х&к9 гДе Vk - область, занятая к-и включением, V=[)Vk9 a
к
ак- набор геометрических параметров, характеризующих
форму и ориентацию к -го включения.
Как следует из этих уравнений, локальные внешние поля
перемещений и*а(х) и деформаций ε*αβ(Χ), в которых
находится произвольное включение Vk (x^.), представляются в
форме
ua{x) = K{x)+j[VpgJx-x')C]pfiX/J{x')sJx') +
+pco2gJx-x')u0{x')]V(x;x')dx', xsV, (9.1.3)
<φ{*) = ^W- 1[Καβλμ{χ-χ'Κμρτ(χ')ερτ{χ')-
-ρχω2ν^α)ρ{χ-χ')ηρ{χ')]ν{χ;χ')άχ', χ sV, (9.1.4)
гДе функция V (х\х') определена соотношением (5.5.3).
Чтобы получить самосогласованные уравнения для
определения полей и*(х) и ε*(χ), будем считать, что эти поля пос-

446
тоянны в пределах каждого включения (гипотеза Ηλ). Это
позволяет выразить поля смещений и деформаций внутри
произвольного включения через локальные внешние поля
и*(х) и ε*(χ) с помощью соотношений (8.2.17), которые
получены при решении одночастичной задачи в
длинноволновом приближении
"*(*) = *цД*)<(*)> £αβ(Χ) = Ααβλμ(Χ)£λμ(Χ)- (9.1.5)
Здесь функции Я(Х) и А(Х) при х&к совпадают с
величинами Я(ак) и А(ак), определенными формулами (8.2.18).
Подставив эти формулы в правые части уравнений (9.1.1)-
(9.1.4), найдем, что поля смещений и деформаций в
произвольной точке композита выражаются через локальные
внешние поля в виде
«.(*) = «:W + J[v^(x-x')CU,MA^(x')<(*') +
+ρλω2Εαβ{χ-χ')λβμ{χ')ημ{χ')]ν{χ')άχ·, (9.1.6)
**W = <,(*)- ^Jx-x'KrXx'^Jx'KX*')-
-ριω2^(^α)λ{χ-χ')λλμ(χ'Χ(χ')γ(χ')άχ',(9Λ.7)
а сами локальные внешние поля удовлетворяют следующей
системе самосогласованных уравнений:
+Pygafi{x-x'UJx')ul{x')]v(x;x')dx·, (9.1.8)
**(*) = ^{χ)-\[Καβλμ{χ-χ%\μρΧχ%ρτδΧχ')εΙ{χ')-
-ρ,ω2ν^α)Χ{χ-χ')λλμ{χ'Χ{χ')]ν{χ;χ')άχ'. (9.1.9)
Если решение этих уравнений известно, то есть величины
и*(Х) и ε*(Χ) определены как функции внешних полей и°(х)
и €°(х), то, подставив их в (9.1.5), а результат- в правую часть
(9.1.6) и (9.1.7), найдем решение рассматриваемой задачи.

447
Осредним уравнения (9.1.6) и (9.1.7) по ансамблю
реализаций случайного множества включений. В результате
выражения для средних перемещений U(X) и деформаций ε(Χ)
U{x) = {u{x)), ${χ) = {ε{χ)) (9.1.10)
примут следующий вид:
^„(*) = «;(*) + ^/ν^(χ-χ')^(χ')Α' +
+0>2pl\gjx-x')u;(x')dx', (9.1.11)
ejx) = *Jx) ~ Clpz\K^{x-x%Xx')dx' -
-ω2ρλλμ\ν^α)λ{χ-χ')υ;(χ')άχ', (9.1.12)
(/•W=(«'(+),rW4'(x)l4
При выводе этих соотношений предполагалась
статистическая независимость случайных функций и*(Х) и ε*(χ) от
свойств и размеров включения, которое находится в этих
полях (гипотеза Н2). Кроме того, учтено, что СЛ и //-
постоянные тензоры, определенные выражениями
СА =(Cl{x)A{x)v{x)) = no(vC]{x)A{x)),
ft =Ρι(λ(χ)ν(χ)) = ηοΡι(νλ{χ)), (9.1.13)
где по - числовая концентрация включений, а осреднение в
правых частях (9.1.13) предполагается по ансамблю случайных
размеров и ориентации эллипсоидальных включений.
Из соотношений (9.1.11) и (9.1.12) следует, что условные
средние U (х) и $ (х) полностью определяют средние
смещения и деформации в композитном материале и являются,
таким образом, основными неизвестными задачи. Для
построения этих функций найдем ансамблевые средние обеих частей
Уравнений (9.1.8) и (9.1.9) при условии хеГ. Используя
гипотезу Н2 метода эффективного поля, можно записать

448
υ:{χ) = Κ(χ) + \[ν^χ-χ'№βλμ(ελμ(χ')\χ',χ) +
+<u2gjx-x')pix(ux{x')\x',x)]4>{x-x')dx', (9.1.14)
^W = <^-J[K^(x-x')ctr(<rM*'.»)-
-ω2ν^α)λ{χ-χ')ρΐ(ημ{χ')\χ',χ)\¥(χ-χ')άχ',
Ψ(Χ"Χ>) (V(x)) · (9ЛЛ5)
Свойства фигурирующей здесь функции Ψ(Χ) уже
рассматривались ранее. Для получения отсюда замкнутых
уравнений относительно условных средних U*(x) и $*(Х)
воспользуемся квазикристаллической аппроксимацией, аналогичной
(7.3.9)
(к{х)\х^) = (и:{х)\х) = и:{х), (9.1.16)
(*Сф(Х)\Х>Х') = (*Сф(*)\*) = &Ιβ(Χ)·
С учетом (9.1.16) система уравнений (9.1.14) и (9.1.15)
позволяет выразить эффективные поля U*(X) и $*(х) через
падающее поле. Для дальнейшего удобно связать эти величины
со средними волновыми полями в композитном материале.
Исключив для этой цели падающее поле из уравнений
(9.1.11), (9.1.14) и (9.1.12), (9.1.15), получим
^(χ) = ^Μ-/[ν^(χ-χΟ^^(χ') +
+a>2gJx ~ Χ')&υ1{χ')]φ{χ - x')dx\ (9.1.17)
Κβ(χ) = €«β(χ) + J [Κ^ (x " х'Ю;(х') -
-®2V(egw(x-xO^;(xO]*(^-^)A', (9.1.18)

449
φ(χ) = 1-ψ(χ).
Уравнения (9.1.17) и (9.1.18) являются уравнениями в
свертках. Действуя на них оператором преобразования Фурье,
придем к системе алгебраических уравнений относительно
фурье-образов эффективных полей, для которых сохраним те
же обозначения с заменой аргумента X на к.
U:(k) = Ua(k)-T^(k]0l(k)-t,/k)u;{k)t(9.1.19)
KP{k) = ^aJ,k)-n^{k)^{k)-n^{k)u:{k).
Здесь обозначено
W*) = [IW*^]^ , (9-1-20)
*αβΨ) = ω2[^αλ(χ)φ{χ)β*χώ:)ρλλβ,
IW*) = [|к^г(х)ф(х)е*^]с;^,
**t W = <ο2[\ν,αΕβ)μ{χ)φ{χ)βΛχάχΥμ
4-
Для статистически изотропного множества включений
Φ (я) в этих формулах - непрерывная функция |х|, быстро
стремящаяся к нулю вне области с линейным размером /
порядка радиуса корреляции случайного множества неоднород-
ностей. Считая в длинноволновом приближении, что носитель
функций U"(к) и $* (к) сосредоточен в области |£|/«1,
функцию е'кх под знаками интегралов в (9.1.20) можно
аппроксимировать отрезком ряда
*** * l + ikaxa --kak,xaxft . (9.1.21)
Вычислим теперь интегралы в (9.1.20) с учетом (9.1.21),
сферической симметрии функции Ф(х)=Ф(|х|) и главных
Членов разложения функции g(x) (8.2.6). Подставив результат
в (9.1.19), разрешая эту систему уравнений относительно

450
U*a(k) и $*(к) с сохранением, как и ранее, только главных
по ω членов в действительных и мнимых частях, придем к
соотношениям
U'a{k) = dJa>)Ufi(k), (9.1.22)
e*Jk) = DafiJk,a>){-ikx)Uu{k),
в которых обозначено
άαβ{ω) = δαβ-ίωίρρ£(ρ, J=\<b{x)dx, (9.1.23)
D(k, ω) = D° [i - ϊω3(ηοΑ° (v2C'A°//C* ) - JHCR) -
-l2[Ax -(ik®ik)]cR}, D° = (l-n0A°(vClA°))~\
CR{a) = C1A°{a)D°, CR =n0(vCxK°{a))D°,
^=\1^{п)ПрптсМп, n = ±- l2=]r<S>(r)dr,
1 Ωι ΓΙ 0
p=no<V>- объемная концентрация включений, а тензоры А°,
Λ°, Η и g^]) определены ранее.
Переходя в уравнении (9.1.11) к преобразованию Фурье и
учитывая свойства свертки, получим
(9.1.24)
Подставив сюда выражения (9.1.22) для U*a(k) и β^(&),
можем записать
K{k) = uSk)-{-ikp)gJ,k)Ci^DXMVX-ikv)uXk)-
-G)2gap(k)pld„Up{k). (9.1.25)
Умножим обе части этого равенства на тензор
ϋ^Κω) = kxC°aXptlkfl -ρ,ω'δ^ , (9.1.26)

451
который является символом оператора Π в (8.1.2). Учитывая
очевидные соотношения
L°Jk,a>)u;{k) = 0, L°aX{k,co)gX0{k,u)) = Safi, (9.1.27)
получим, что вектор Ua(k) является решением уравнения
UaP{k,0)Up{k) = О, ϋ^,ω) = кхСаХ^{к,(й)кц-ω2ρ^,ω),
(9.1.28)
где тензоры С*{к, ω) и ρ (к, ω) имеют вид
С\ к, ф)=С-12Сн [A1 -{ikMik)]CR-iain20{v2CRHCR )-JCRHCR ),
C = C+CR, рф = ρβ^+ia?ppjg%, ps=pa+ ρρλ,
f = (v)-PJ = (v){\-nj). (9.1.29)
Таким образом, осредненное волновое поле U(x)
удовлетворяет уравнению
(lV){x) = 0, (9.1.30)
где действие оператора U на функцию U(x) определяется
формулой
(?и){х) = -\\u{k)u{k)e-kxdk, (9.1.31)
\2π)
в которой L*(k)- символ оператора L* - имеет вид (9.1.28).
Оператор L естественно называть эффективным волновым
оператором для композитной среды. Из соотношений (9.1.31)
и (9.1.28) следует, что оператор U в л:-пространстве можно
представить в форме
£* =-V Aft.V,-р>2 . (9.1.32)
Это выражение по виду совпадает с волновым оператором
для однородной среды (8.1.2), однако С*здесь не постоянный
тензор, а оператор, который как и инерционная
характеристика р*, параметрически зависит от частоты ω. Как видно из
(9.1.29), С*представляется в виде суммы оператора умножения

452
на постоянный тензор Ci-/6y3Cfi> и дифференциальный
оператор второго порядка
С* = Cs -ΐω3Οω +l2CR[Al -{V®V)]CR, (9.1.33)
С» = η] (v2CRHCR) - JCRHCR.
В случае статики {ω-ϋ) символ оператора С*совпадает с
полученным в §6.4 и имеет вид (6.4.9). Как отмечалось в §6.4,
этот оператор соответствует моментной теории упругости для
среды со стесненным вращением. Роль малого параметра с
размерностью длины, характерного для моментной теории
упругости, играет радиус корреляции / случайного множества
неод нородностей.
Таким образом, эквивалентная среда, волновой процесс в
которой описывается оператором V вида (9.1.32), (9.1.33),
обладает слабой пространственной дисперсией. Скорость
распространения упругих волн в такой среде определяется
действительными частями величин С* и ρ*, а наличие в них
мнимых составляющих приводит к затуханию упругих волн
вследствие рассеяния на неоднородностях. Рассмотрим эти
эффекты более подробно на примере композитов с изотропными
компонентами.
§ 9.2. Функция Грина эффективного волнового
оператора
Применим теперь общие формулы, полученные в
предыдущем параграфе, к композитному материалу, состоящему из
изотропных матрицы и включений сферической формы.
Будем считать для простоты, что все включения имеют
одинаковую величину, упругие свойства и плотность, так что
случайным является только их расположение в пространстве. В этом
случае тензоры g^ и Нф^ определяются формулами (8.2.21)
и (8.2.22), а тензор А^ - формулой (8.2.23). Наконец, тензор
[ А] · (ik®ik)] определяется соотношением

453
[A1-{ik®ik)]o
p+W)(i
αβλμ °αχλημ)η{β) +
a^ 105//.
+(l- η2\ϊδαίμλημ - 3nan^-2S^)\, η = k/\k\.
(9.2.1)
Подстановка этих выражений в (9.1.28) и (9.1.29)
позволяет привести оператор L* к форме, обычной для изотропной
среды. При этом функция U(k,co) в представлении (9.1.28)
принимает вид
^(*,®) = [(**-^*)ив»/,+/^]-Р«2^.(9Л.2)
В этом выражении
**=*,+ р2к212к, - ίω'ρβω, ks = К + РК,
μ = Ms + Р2к212μ, - ΐα?ρ/μω, μ3 = μο + ρμΛ ,
*κ =
—+3(ι-ρ)α;
L*>
-ι
. Mr =
-+2(\-ρ)α;
л-i
k,=
*Mn
105//.
14^+^(3 + 4^)
, Μι =
105/1,
■{3 + 4tf),
3_4^ 3 + 2rf _л,2Я -Ι,,2 Η
ρ = Λ +ίω3ρ/ρω, ρω =ρ2(2+ηή/(ΐ2πρ.νΐ). (9.2.3)
Заметим, что приведенные формулы легко обобщаются на
случай слоисто-неоднородных сферических включений. Если
среда содержит случайное множество одинаковых
сферически-слоистых включений, то в (9.2.3) величины kR и μκ
должны быть заменены на следующие:
К = P0l(l-9pA;pJ\ pR =P02(l-pA;PO2)'\(9.2A)

454
где выражения для Р01 и Р02 приведены в (5.5.31), а разность
плотности компонентов рх должна быть заменена величиной
ρ из (8.2.28).
Воспользуемся операторами проектирования
КаР{к) = папр, Θαβ{ΐ<) = δαβ-ηαηβ, п = к/\к\, (9.2.5)
которые позволяют разложить вектор Ua на продольную ULa и
поперечную Ua составляющие. Тогда оператор U^ можно
представить в виде суммы двух ортогональных составляющих
L\p{k,m) = L'L{k,u))Kap{k) + UT{k,u))eap{k), (9.2.6)
τ* t 2/ г * Д *\ * 2 τ* ι 2 * 2 *
LL= к [к +^μ )-ρ ω , LT = к μ -ω ρ ,
причем скалярный оператор UL(k,a>) определяет закон
распространения продольных, a UT(k,G)) - поперечных волн.
Приступим к построению тензора Грина этого оператора.
Разложению (9.2.6) для оператора Lap соответствует
представление тензора Грина g*ap(k,co) в форме
gi(*,^) = g3(*,£») + g;(*,£»), (9.2.7)
g*i(k^) = [L\(k9a))] nap{k),
gZ{k^)=[L;{k^)\]ejk).
Рассмотрим сначала продольную составляющую этого
тензора
Переходя в этом выражении к л:-представлению, т.е.
осуществляя обратное преобразование Фурье, получим

455
(2,)3ji2(-iV^V)
Здесь обозначено
exp(-/£-x)dfc
. (9.2.9)
(9.2.10)
где величины ks9kl9kat^s^l и μω определены в (9.2.3).
Для вычисления интеграла в (9.2.9) введем сферически
координаты (Γ,θ,φ) с полярной осью, направленной по вектору
Г . Это дает
8^χ,ω^=Τϊ^ν aV β\
dk
\—ΓΓ-*—~ fexp[-/'^(«-e)]i/0„
J0-k χ+ωρ ^
(9.2.11)
где е=х/\х\, а внутренний интеграл в правой части (9.2.10)
берется по поверхности единичной сферы Ω,. После
интегрирования по единичной сфере это выражение приводится к
следующему одномерному интегралу
1 1 °°
zxp(ikr)
*г _«Л(-*2®* + ω2ρ
■)
dk
, (9.2.12)
который можно преобразовать к виду
ρ ex
)7ΰϊ
p(ikr)dk
к(-к2х*+о)2р) 12хх(к2-к2ъ)
J 1_
/C-3 /Ci
Iе? txu(ikr)dk
J—ι—+
1 }kexp(ikr) ,, 1 '}k&aa(ikr) „
+fJ k2-k2 У* k2-k2 dk
1 -oo 1 3 -oo 3
. (9.2.13)

456
Здесь кх и L· - корни уравнения
1 гу1
^ +-2й—(*. -ίο?ρ/χω)ΐι2 г^—(а +го>гр/Рш) = О,
ρ Ι χ
ρΊ2χ{
(9.2.14)
лежащие в верхней полуплоскости комплексной плоскости А:.
С принятой выше точностью имеем
£ι = Φ
1 ае
l+—ico3pf
2 yJ
Λ=
/<y3 ae, ( / ж
+-
2/ ,Jxsxl lp\&i
(9.2.15)
Первый интеграл в правой части формулы (9.2.13)
представляет собой преобразование Фурье обобщенной функции
к~] и равен т. Два оставшихся интеграла вычисляются с
помощью теории вычетов. В результате получим
1 J ехр(йг) яг Γΐ- e,v l - e'v
(9.2.16)
Окончательное выражение для функции ^*^(х, О))
принимает вид
4яг
1
(l_e^-) + £lB.(l-e^)
seV
.Ps<°r
(9.2.17)
Опуская аналогичные выкладки, приведем окончательное
выражение и для поперечной составляющей тензора Грина
&J(*,<»)
4яг//, I/
(9.2.18)

457
-νβν,
ii£_(l_e'V)+iVL(i-e'V)]l
,у/ ; /// ;Jj
Здесь к2 и к4 - корни уравнения
ι 2
*4 +-1й—U -J^p/M^k2 —JjT-{Ps +шгр/рт) = О,
^ / μ, ρι Μι
(9.2.19)
лежащие в верхней полуплоскости. Выражения для этих
корней с точностью до главных членов по ω имеет вид
Κ=ω\(±
2 У
Ρω {Ра
k-i<°3 м» , * fK
(9.2.20)
Таким образом, полный тензор Грина g'^x, 0))-g*h +g*L
определяется формулой
4πμ3
е 2 и
°αβ 2 Vayfi
г ржа>
(е'к,г е'кгГ^
\ r r J
4л·//, [ г
(9.2.21)
Если в выражении для g'^iXyCo) перейти к пределу при
ω—»0, то получим статическую функцию Грина однородной
среды, эквивалентной рассматриваемому композитному
материалу.
siW=-—
4 л-///
1-ехр
1
αβ «яр.
ν°νβ\
( /Π
r+
\
**J

458
+ -
2/2
μ/
1 - exp
2{ρΐ)2χ{με
x2er
1-exp
V
r
Jr
ae
ж,
(9.2.22)
В отличие от функции Грина однородной упругой среды
правая часть этого выражения не имеет особенности при г=0.
Ограниченность в нуле - характерное свойство функции
Грина квазиконтинуума и других нелокальных моделей упругих
сред с микроструктурой. При г—»оо правая часть (9.2.22)
наряду с классической асимптотикой ~г~ имеет члены порядка
г-3 и члены, затухающие экспоненциально на расстояниях
порядка радиуса корреляции случайного множества неоднород-
ностей.
Если радиус корреляции исчезающе мал по сравнению с
характерным масштабом изменения среднего поля (/—»0), то
(9.2.22) переходит в статическую функцию Грина для
однородной среды с эффективными упругими модулями ks и μ3
8«β(χ) = τζ,
ΖπμΒ
Л<?
/
αβ
1-
V V \х\
ν α ν β\χ\
s /
.(9.2.23)
Эта функция представляет собой главный член
асимптотики правой части (9.2.22).
§ 9.3. Скорости распространения и
коэффициенты затухания упругих волн в матричных
композитных материалах
Рассмотрим полученное выше выражение для тензора
Грина эффективного волнового оператора для изотропного
композитного материала со сферическими включениями.
Очевидно, что как продольная (9.2.16), так и поперечная
(9.2.17) его составляющие описывают два вида волн,
распространяющихся от точечного источника в однородной среде,
эквивалентной рассматриваемому композитному материалу.

.459
Первый тип волн характеризуется волновыми числами къ
и к4 из (9.2.15) и (9.2.20). Это затухающие волны с
коэффициентами затухания, пропорциональными (col)4, и,
следовательно, их затухание определяется рэлеевским рассеянием на не-
однородностях.
Волны второго типа, которые характеризуются волновыми
числами къ и к4, затухают значительно быстрее, чем первые.
Поскольку мнимые части этих волновых чисел
пропорциональны 1//, то затухание этих волн происходит на
расстояниях порядка радиуса корреляции случайного множества неод-
нородностей. Наличие такого типа волн характерно для сред с
пространственной дисперсией. На достаточно больших
расстояниях от источника (г—>оо) вкладом этих волн в полное
волновое поле можно пренебречь. Устремляя / к нулю в
(9.2.21), получим, что асимптотика тензора Грина при /—»0 и
при достаточно больших Г определяется выражением
4πμ3
\х\ р psa>
е л ' е
ν
(9.3.1)
т.е. имеет тот же вид, что и тензор Грина однородной
изотропной среды с модулями упругости ks^s й плотностью ps.
Отличие же от функции Грина классической теории упругости
состоит в том, что волновые числа кх и к2 являются
комплексными величинами. Их действительные части определяют
скорости продольных и поперечных волн в среде с
включениями
*>№>*=$· (9.3.2)
Из этих выражений видно, что эффективные скорости ν*
и ντ не зависят от частоты. То есть в рассматриваемом
длинноволновом приближении (в отличие от главы VII) дисперсия
скорости отсутствует. Такое пренебрежение эффектами дис-

460
Персии было предопределено с самого начала (§8.2) выбором
аппроксимации динамического тензора Грина для основной
среды в виде (8.2.6), а также выводом всех последующих
формул, в действительных частях которых члены порядка ω1
считались малыми по сравнению с единицей и отбрасывались.
Заметим (ср.гл.УН), что учет этих членов в рамках
предложенной схемы связан лишь с техническими трудностями.
Сохранение в разложении (8.2.6) для тензора gafi(X) и в
выражениях для Сир членов порядка ω в мнимых частях
позволяет описать эффекты затухания упругих волн в
композитном материале. Величина затухания определяется
мнимыми частями волновых чисел Im^ и 1тк29 которые имеют
смысл коэффициентов затухания, отнесенных к единице
длины. Несмотря на их предполагаемую малость, эти величины
входят в показатель при экспоненте и на достаточно большом
расстоянии могут значительно уменьшить амплитуду
волнового поля.
Используя формулы (9.2.3), выражения для
коэффициентов затухания продольных (pL=Im£,) и поперечных (уТ=1тк2)
волн можно представить в виде
.. Pf
'<и4
24πρ.ρ5
\νυ
^>Ы^Щ^UM .
Гт =
Pf
'<п4
UnpoPs
KvtJ
2v*
5v;
V*(3 + 2i70 +
f*\
\vtJ
il+rf)
(9.3.3)
Как уже отмечалось в §7.4, коэффициенты затухания по
своему физическому смыслу должны быть положительными
величинами. Следовательно, множитель f в предыдущих
соотношениях должен удовлетворять условию
/ = {ν)-Αψ\φ(\χ\)χ2ά\χ\>0,
(9.3.4)

461
выполнение которого в достаточно широком диапазоне
изменения концентрации включений ρ требует повышенной
точности построения корреляционной функции Ψ(|*|) (см.§7.4).
Рассмотрим теперь случай, когда идентичные включения
образуют регулярную решетку в пространстве. Свойства
функции Ф(Х) в случае регулярных композитов обсуждались в
§5.6, откуда следует, что эта функция является периодической
с нулевым средним значением на ячейке периодичности.
Исключение составляет ячейка с центром в нуле, где функция
Ф(Х) равна единице. Поэтому интеграл в множителе / равен
объему ячейки периодичности
J= [φ{χ)άχ = — . (9.3.5)
J "о
Отсюда и из (9.3.3) следует, что yL=yT=0· Это
соответствует известному факту отсутствия затухания длинных волн на
периодической решетке неоднородностей.
В заключение отметим, что точность полученных здесь
формул для скоростей распространения упругих волн
совпадает с точностью вычисления эффективных упругих постоянных
композитных материалов в рамках метода эффективного поля.
Область применимости формул для эффективных упругих
модулей обсуждалась в главах V и VI путем сравнения с
результатами экспериментов и точными решениями. Следует
отметить, что экспериментальные данные по измерению
коэффициентов затухания упругих волн в композитных материалах в
литературе практически отсутствуют. Поэтому столь же
детально проанализировать область применимости формул для
yL и γτ не представляется возможным. Однако можно
утверждать, что при малой концентрации включений (с точностью
до членов порядка р) эти формулы являются точными, а для
регулярных структур приводят к правильным результатам -
отсутствию затухания длинных волн при их распространении
через композитную среду.
Действительно, если концентрация включений столь мала,
что их взаимодействием можно пренебречь, то в выражениях
(9.3.3) следует отбросить члены, имеющие порядок выше, чем
р. При этом формулы (9.3.3) переходят в следующие

462
rL=i"oQL, Υτ=\η&τ> (9·36)
где QL и QT - полные сечения рассеяния продольных и
поперечных волн на одном изолированном включении,
определенные формулами (8.7.33) и (8.7.40). Таким образом,
выражениями (9.3.7) даются точные значения коэффициентов затухания
длинных волн вследствие рассеяния на независимых центрах.
§ 9.4. Среды со случайным множеством
тонких включений
Приведенная в §9.1 схема вывода формулы для
эффективного волнового оператора среды, содержащей случайное
множество эллипсоидальных неоднородностей, может быть
использована и для их предельных форм (сплющенных
эллипсоидов). Однако полученные таким образом выражения для
статических эффективных упругих модулей жестких дисков,
через которые выражаются скорости распространения упругих
волн, оказываются плохо согласующимися с
экспериментальными данными. Более детальное описание случайной
микроструктуры композита (учет формы "корреляционной ямы")
позволило в §§5.8, 5.9 существенно приблизить теоретические
значения упругих модулей к результатам измерений.
Аналогичный подход используем теперь для определения скоростей
распространения и коэффициентов затухания упругих волн
различных типов в средах с хаотически ориентированными и
параллельными тонкими эллипсоидальными включениями.
Будем исходить из уравнений для полей смещений и
деформаций в среде с тонкими эллипсоидальными трещинопо-
добными и жесткими включениями, которые выражаются
через локальные внешние поля и*(Х) и ε*(Χ) с помощью
соотношений (8.3.78) и (8.3.79):
+ω28αβ{χ-χ%μ{χ%{χψ{χ')^)άχ\ (9.4.1)

463
+ω2ν{α8β)λ(χ-χ')λλμ(χ')ημ{χ')]ζ{χ')Ω{χ')άχ'. (9.4.2)
Здесь через Ω(X) обозначена дельта-функция,
сосредоточенная на множестве Ω=υΩ^, Ω^ - срединная поверхность
к-то включения, функция Ζ(Χ) определена в (8.3.54),
функции А(Х) и λ(χ) равны постоянным величинам А(ак) и
Я(ак) при χ GQk, причем тензор А(ак) определен в (8.3.54),
а Я(ак)=0 для трещиноподобных включений и определяется
формулами (8.3.80) для жестких дисков.
Сами локальные внешние поля и*(Х) и ε (Χ)
удовлетворяют следующим самосогласованным уравнениям:
+ω^^χ-χήλβλ{χήηΙ{χ^χήΩ{χχ)άχ\ (9.4.3)
*αβ(*) = ε°αβ(Χ) + J [ΚαβΧμ(* " *')A^(x')<t(*') +
(9.4.4)
где Ω(χ;χ') - дельта-функция, сосредоточенная в области
Ωχ=υΩ, при х eQk.
i*k
Введем функции
Τ{χ,χ') = Α{χ')ζ{χ')ω{χ9χ')9
ί{χ,χ') = λ{χ')ζ{χ')Ω{χ,χ'),
позволяющие переписать уравнения (9.4.3) и (9.4.4)
следующим образом:
ua(x) = u:{x) + \[Vpgafi{x-x')Tp^{x,x')eXfl{x') +
+co2ga/){x-x%x{x,x')ux{x')]dx', (9.4.6)

464
^) = e:fi{x) + j[K^M{x-x')TXMpT(x,x%T(x') +
+a\agP)x(x-x,K(x,x'K(x,)}b'· (9-4-7)
Обозначим теперь символом <\х,т> осреднение по
ансамблю реализаций случайного множества включений при
условии, что точка χ находится на срединной поверхности диска,
имеющего ориентацию т. Выражения для средних значений
эффективных полей
\ (9-4.8)
К(х>т) = (и1(х)\х>т)>
в которых находится включение с ориентацией т9 получим,
осреднив обе стороны уравнений (9.4.6) и (9.4.7) при
указанных условиях. Переходя к безындексной форме записи, будем
иметь
U*{x,m) = u(x) + j[Vg{x-x')(T{x,x')a\x')\x,x\m) +
+ф2^х-х')(^(ху)и\х')\х9х\т)^9 (9.4.9)
e\x9m) = e(x) + j[K(x-x,){T{x9x,)e\x,)\x9x\m) +
+ωЧefg{x-x')(t{x,x')u\xή\x,x\m)]dx\ (9.4.10)
где символом <\х\х9т> обозначена операция осреднения при
условии х^1(т), χ^ϊ. Это условное среднее в общем случае
отличается от <|х,т> и уравнения (9.4.9) и (9.4.10)
оказываются незамкнутыми. Для их замыкания, как и ранее,
воспользуемся квазикристаллической аппроксимацией, в силу
которой <\х',х,т>=<\х,т>. В результате получаем следующую
систему уравнений:
U'(x,m) = u'{x) + j[Vg(x-x')(T(x,x')e(x'}x,m) +

465
+ω^(χ-χ')(ί(χ,χ')η\χ')\χ^)]ί&\ (9.4.11)
^{x9m) = a{x) + j[K{x-x^(T(x9x,)e"{xf)\x9m) +
+tyMefg(x-xf)(K^^'K(xO|^^)]^f· (9.4.12)
Введем аналогично предыдущему гипотезу о статистичес-
« + +
кои независимости полей и и ε , в которых находится
включение ориентации т, от его положения в пространстве. Тогда
для однородного случайного множества включений средние
под знаками интегралов в (9.4.11) и (9.4.12) представляются в
виде
(т{х,х')е{х')\х,т) = Г{х')Ч>т{х-х'),
(9 4 13)
(t{x,x')u'{x')\x,m) = f{x')4>m{x-x'),
Г (χ) = (Т(х)е(х,т)), Г (χ) = (t(x)U'(x,m)),
Τ{χ) = Λ(χ)Ζ(χ)Ω(χ), t{x) = λ{χ)ζ{χ)Ω{χ),
(Ω(χ^0Μ
Ψ^χ-χ>- (η(χ)) ·
Здесь х¥т(Х)- непрерывная гладкая функция,
характеризующая пространственную корреляцию случайного множества
включений. Из определения функции Ω(χ,χ') следует, что
Ψη;(0)=0, а вследствие ослабления корреляции в положении
включений с увеличением расстояния между ними Ψ,„—>1 при
х—*х>. Функция Ψ„,(Χ) определяет вид "корреляционной ямы",
в которой находится типичное включение ориентации т.
Осреднив уравнения (9.4.1) и (9.4.2) по ансамблю
реализаций случайного множества включений, при тех же
предположениях, что и выше, получим
30 1937

466
U{x) = u°{x) + l[Vg{x-x')T*{x') + G)2g(x-x')t*(x')]dx',
(9.4.14)
€{x) = ε {χ)-\[κ{χ-χ')Τ*(χ') -<y2defg(x-х'У{х')]сЬс',
U{x) = (u{x)), £(х) = («(*)). (9.4.15)
Исключив с помощью этих соотношений падающее поле
из уравнений (9.4.11) и (9.4.12) с учетом (9.4.13), найдем
U\x,m)=U(x)-j[Vg{x-x')r{x')+a2g(x-x'y{x')]Om{x-x')dx',
^\x,m)=^{x)+j[K{x-x')r(x')Wdefg{x-xy(x^m{x-x')dx',
Φ„,(χ) = 1-Ψ». (9-4.16)
Фигурирующая в этих выражениях функция Фт(Х) -
непрерывная функция, быстро стремящаяся к нулю вне области
порядка характерных размеров корреляционной ямы. Это
позволяет в длинноволновом приближении пренебречь
изменением полей U (х,т) и $ (х,т) этой области. Заметим, что
это предположение эквивалентно замене экспоненты под
знаком интегралов в формулах (9.1.20) единицей. Правда, как это
следует из предыдущего, учет дополнительных (кроме
единицы) слагаемых в (9.1.21) приводит к тому, что эквивалентная
среда обладает пространственной дисперсией. Последняя
ответственна за возникновение в среде быстро затухающих
волн, которые во многих случаях можно не учитывать. Таким
образом, отказ от учета изменения эффективных полей в
области корреляционной ямы равносилен отказу от
распространения в дальнейшем волн такого типа уже на этом этапе
вывода выражения для эффективного волнового оператора.
Итак, в силу указанного предположения Т*(х) и / (X) в
(9.4.16) можно вынести за знаки интегралов и уравнения
(9.4.16) переходят в следующие:
ir(x,m) = U{x)-GX{x)-a?gj'(x),
?{xtm) = e{x)-A,X{x)-a?GAx),

467
g. = Sl +^V%, Gn = G'm -io?HTm,Am = A*m-ia?HJm,
gsm=jgb)<bm(*)dx, G:=\Vgix)<S>a(x)dx, А:=\к*(х)фт(х)с1х,
Будем аналогично предыдущему считать, что существует
линейное преобразование Ъ (т), которое переводит функцию
Фт(л:) в сферически симметричную:
у = Ъ{т)-х, Фт(^-у) = Фт(\у\)· (9-4.18)
При этом форму корреляционной ямы будет
характеризовать эллипсоид Ьт, заданный уравнением (b(m)-x)2=l и
имеющий полуоси ЬХ,Ь2,ЬЪ. В этом случае Gm=Tm=09 а тензор Asm
имеет орторомбическую симметрию и его компоненты
выражаются через эллиптические интегралы.
Умножим теперь обе стороны уравнений (9.4.17) на
функции / (X) и Т(х) соответственно и осредним результат по
ансамблю реализаций случайного множества ориентации
включений. В результате получим
/'(*) = (t{x))U(x)-a>2{t{x)gm{x)y{x) , (9.4.19)
Г(х) = (т(хЩх)-(т(х)Ат(х))Г(х),
где gm(X) и Ат(Х) - функции, совпадающие с тензорами gm и
Ат на срединной поверхности включения ориентации т.
Заметим, что свойство эргодичности рассматриваемых
функций, которое предполагается в дальнейшем, позволяет
заменить средние по ансамблю средними по объему для
фиксированной типичной реализации. Это дает (при ах>а2)
(τ(χ)) = Κιη,τρjA{x)Z{x)Q(x)dx = no(vA(a]9a2)), v = \m\,
w
(t(x))=hm^j A(x)Z(x)n(x)dx=n. (vAfa ,α2)), (9.4.20)

468
где величины νΛ и νλ осредняются по ансамблевым
распределениям размеров и ориентации включений. Аналогично
определяются и средние <t(x)gm(x)>, <T(x)Am(x)>.
Разрешая уравнения (9.4.19) относительно ί*(Χ) и Т*(х) с
той же, что и выше, степенью точности, получим
Ф)=^М, tjx) = Ц^Д^х), (9.4.21)
где обозначено
άαβ = По \Pr δαβ + ίοΐρΖβ) , PR = {VPh ) ,
P:^((v2^)-"0(vA^)(vA)kS. (9·4·22)
D = nXcR-ia?C°), CR=D°(vA°), D° =(l+n0(vA°A*m)Y,
C° = D°[(vA^-no((vA°>A:) + (vA°Jm)H)cR],
а величина ph определена в (8.3.77).
Обратимся теперь к уравнению (9.4.14) и после
подстановки в его правую часть выражений (9.4.21) перепишем его
следующим образом:
и{х) = U{x) - J[Vg(x - x')D&(x9) + o)2g{x - x')dU{x')]dx'.
(9.4.23)
Применив аналогично предыдущему к обеим сторонам
этого уравнения оператор U = VC°V + со2ро, найдем, что
среднее поле смещений в среде со случайным множеством
тонких эллипсоидальных неоднородностей удовлетворяет
волновому уравнению
C^^MUX (*) + a?pJJx (*) = 0 , (9.4.24)
в котором тензор "динамических" упругих модулей Си
инерционная характеристика ρ определяются выражениями
С = С - io)\Cm, Cs=C°+noCR, (9.4.25)
Ραβ = Ρβαβ + w'njf^, ρ5=ρο + nopR .

469
Статические части этих величин по-прежнему
характеризуют скорость распространения упругих волн, а мнимые -
затухание волн вследствие рассеяния. Рассмотрим эти эффекты
более подробно для некоторых частных случаев.
1°. Изотропная среда с трсщиноподобными дефектами.
Рассмотрим изотропную среду со случайным множеством тонких
трещиноподобных дефектов эллипсоидальной формы. Будем
считать, что плотность материала, заполняющего включения,
сравнима с плотностью основной среды (pjpo~0(l))9 так что
величина ph будет порядка δλ и ею можно пренебречь по
сравнению с единицей. Тогда ραβ = ρβαβ, а тензор С определен
формулами (9.4.25) и (9.4.22), в которые следует подставить
величины Л° и Αω из (8.3.54) и (8.3.56).
Рассмотрим сначала включения, хаотически
ориентированные в пространстве. Будем считать, что функция,
определяющая форму корреляционной ямы, сферически симметрична
(Фт(х)=Фш(|х|)). Тогда тензор Asm совпадает с тензором А°
из (8.2.22), а формулы (9.4.22) и (9.4.5) принимают вид
CR =D°(vA°), С» =(v2CR{a],a2)HCR{a],a2))-noJCRHCR,
D-^Z+n^vA·)^)"1, CR{a]9a2)=A°{a]9a2)D\ J=(\Om{\x\)dx)'
(9.4.26)
При равномерном распределении множества включений по
ориентациям тензор <vX>=<vC°nAnC°> будет изотропным:
Входящие сюда величины кр и μρ известным образом
выражаются через линейные инварианты тензора vC°nAnC°
К = }(ν(σηΑη€°)ααββ) = (Jr-^K),
μΡ^ν[(σηΑη€ή^-ί(σηΑη€ήααββ]) =

470
= 7^'°(ν[Ή +34(1+ Й]), ξ= ΑΙ Α , (9-4-28)
где i4j,i42 и Аъ определены в (8.3.46).
В силу (9.4.25) тензор статических упругих модулей среды
со случайным множеством хаотически ориентированных тре-
щиноподобных дефектов определяется формулами
Ο,λ, = Κδαβδλμ +2μ,(ΐφ, 4<VU , (9.4.29)
к, = k0-n,kR , μ, = μ0-η0μκ , kR = kPDx, μκ = μΡΌ2,
£,=(1 + 9/1.4·*,)"', Α =(\+4ηοΑ;μρ)'\
Аналогично находится и изотропный тензор <vCRHCR>:
η" 9
{(3-4^2)277Д2+|(3 + 2^)В
, λ;=λ,α,
(9.4.30)
где величина Л, определена в (8.3.59).
Таким образом, среда в целом является изотропной и
характеризуется следующим тензором эффективных
динамических упругих модулей:
k' = ks- ΐω3η£ω, μ = μ$ - ϊω\μ„,
Κ = τ\*Η—7ηΜ
πρ0ντ | 4
^Κ>Α

471
В этом случае волновое уравнение в к -представлении
[С/ц/А " ®2М*К(*) = 0 (9-4.32)
для трещиноподобной среды расщепляется на два
независимых уравнения относительно продольной U^(k) и
поперечной UTa(k) составляющих фурье-образа среднего вектора
смещении
{k2x{o)-Poco2)uLa{k) = 0,
{ΐμ(ω)-ρ.ω2)υτΜ = 0,
(9.4.33)
где обозначено
• г ,4 ,4
(9.4.34)
Соответственно этому дисперсионное уравнение
распадается на уравнение ветви продольных
к2х'{а>) = роа>2 (9.4.35)
и уравнение ветви поперечных волн
?μ{ω)=ρ.ω2 . (9.4.36)
Разрешая эти уравнения относительно волновых чисел,
получим
/
\
, кт = со\
( ι , μ Λ
ν м, j
(9.4.37)

472
Действительные части этих величин определяют скорости
распространения продольных (v^) и поперечных (ν*) волн в
среде с трещиноподобными дефектами
v^J*. v;= «а-
(9.4.38)
Мнимые составляющие волновых чисел kL и кт имеют
смысл коэффициентов затухания, отнесенных к единице
длины. Выражения для этих величин можно записать в виде
Yl =
1L
2π
'оЛ
\VLJ
ω
\VTJ
. (9.4.39)
Коэффициенты затухания yL и γτ пропорциональны ω ,
т.е. характеризуют рэлеевское рассеяние волн в неоднородной
среде.
Если концентрация дефектов мала (wo<v>«l), то
взаимодействием между ними (эффектами многократного рассеяния)
можно пренебречь и формулы (9.4.38) и (9.4.39) переходят в
следующие:
VL=VL<
i-"o/mH
4 Г, 8^ 32 л\ 4т2 А(л л
-ft-τ*+ъч Fir 4<1+й
ι
v; =vrjl-^wo/i0(v[44+3^(l + ^)])|2, (9.4.40)
Yl =
2π
'«Λ*
\vl;
2 2
МЛ*
IH^t^
+-
16
15^
4(1+еИч)
(9.4.41)

473
Гт =
2π
'аЛ*
\ντ;
2/ 2
±ΑΐΚ{η) + ±Αϊ{\ + ξ%{η)
где Ηο(η) и ^(η) определены в (8.3.59).
В случае тонких круговых полостей (трещин) формулы
(9.4.40) и (9.4.41) принимают вид
VL=VL<
Я
l-^+Jb4, *rf
rf{\-rf) 15(3-2*0
vT =vTi
4n
■"T^lW' (9A42)
Yl=
«„
'оЛ
It?
\VD
И
КЫ L 8 ,32 Л 16^(7)
^(l-^O11 15 ^154(3-2^
Гг =
и„
Юя3
-Ϊ(ν2)
КЫ , Λι(»ζ)
3(1-^)2 (3-2rff
(9.4.43)
Рассмотрим теперь случай, когда круговые в плане
трещины заполнены вязкой жидкостью с объемным упругим
модулем к и коэффициентом вязкости аз. В этом случае
величины А},А2,А3 определяются формулами (8.7.69). Компоненты
тензора эффективных динамических упругих модулей
содержат дополнительные слагаемые, пропорциональные id) и
связанные с поглощающими свойствами жидкости. Если сот (τ -
время релаксации жидкости) и coa/v^. являются малыми
одного порядка, то эти слагаемые представляют собой главные

474
члены разложения компонент тензора С* в ряд по ω. С
учетом только этих членов величины к*и μ* в выражениях
(9.4.31) определяются формулами
km = ks- ia?njcm , ks=kQ- nokpDx, (9.4.44)
кр=М,
H^k^MH(viAl)>-
rf
Μ = Ms - ia\Ma>, Ms = Mo ~ η^μ.Ό2,
)D-
μ,=1μ.(ν(34 +24)), M^^M^Mf+s(4f
где величины Д и D2 те же, что и в (9.4.29).
Скорости распространения упругих волн в такой среде по-
прежнему выражаются через статические характеристики
композита по формулам (9.4.38), а коэффициенты затухания
пропорциональны ω :
Yl=-
п„
( '«^ Μω+4μ0, и
ω
\VLj
W
pyL
'·> У τ ~ '
\vrj
РУт
V. (9.4.45)
Перейдем теперь к рассмотрению среды, в которой трещи-
ноподобные дефекты ориентированы одинаково. В этом
случае формулы для эффективных динамических упругих
модулей С преобразуются в следующие:
С = Cs -iofn.C*, Cs = С -n0CR, CR = (vC*(a,,a2)),
C*(a],a2) = D\°(a],a2), D = {l+n.(yK{ax,a2)Asm))~\
C° = (v2CR{a,,a2)HCR{a,,a2))-nJj:RHC\Jm=^m{x)dx,
(9.4.46)
причем осреднение в этих выражениях предполагается только
по ансамблю реализаций случайных размеров неоднородное -
тей.

475
В дальнейшем ограничимся рассмотрением круговых в
плане трещиноподобных дефектов. Для включений этой
формы эллипсоид Ьт, характеризующий форму корреляционной
ямы, переходит в сфероид с полуосями Ъх-Ъг—Ъ и полуосью
ЪЪУ направленной вдоль единичного вектора /77, а тензор Asm
представляется в форме (8.7.45), где на этот раз y=b/b3.
Отсюда следует, что форма корреляционной ямы определяется
только величиной параметра γ - ее аспекта. Если положения
центров включений в пространстве статистически
независимы, то γ имеет порядок <(2a/h)\m> - величины среднего
аспекта включений ориентации /77, а сфероид Ът является соос-
ным осредненному по ансамблю реализаций включений
ориентации /77, причем полуось Ъъ направлена вдоль нормали /77
к его срединной поверхности.
Для сфероидальных включений тензор Л° определен в
(8.3.58) и (8.3.57). С помощью этих формул найдем выражения
для эффективных динамических упругих модулей среды с
одинаково ориентированными трещиноподобными неодно-
родностями. Среда в целом обладает трансверсальной
анизотропией с осью симметрии, параллельной вектору /77. В этом
случае удобно воспользоваться Ρ - базисом, в котором тензор
С* представляется следующим образом
С = к'Р2 +2μ0(ρι -±Р2) + Г{Р3 +Ρ4)+4μΡ5 +пР6,
к' = ks -i<o\ka, lm = ls -ΐω\Ια, (9.4.47)
μ = Ms -ιω\μω, η =ns-ϊω\ηω.
Здесь величины с индексами "S" - статические
эффективные упругие модули - уже приводились в §5.9. Выпишем их
вновь в несколько иных обозначениях:
К = Ъ+Мо-По{*кя), l8=X0-n.(vlR), μ8=μ0~η0(νμκ),
η8 = λ0+2μ„-η0(νηΗ), kR={\-2rf)2nR, lR=(\-2rf)nR,

476
μκ =^Λ{ΐ + "0(νΛ>[ΐ-/0+4(72-ΐ)/1]Γ) (9.4.48)
где функции /0 и fx определены в (2.4.8).
"Динамические" добавки в формулах (9.4.47) имеют вид
ka)={l-2^fna>, na={iv2nl)-nJm(vnR)2)
Κ{η)
h[{ η)
16προν5τ '
'τ
(9.4.49)
функции %(η) и И[(ф те же, что и в (9.4.30).
Если в среде с неоднородностями распространяется
плоская волна
Ua{x) = Uaeiknx, (9.4.50)
с волновым числом к и волновой нормалью П, то вектор
поляризации Uа удовлетворяет однородному уравнению
(k'A^-p^S^U^O. (9.4.51)
Здесь ^αλ=^*αβλμη^ιμ ~ акустический тензор, который в
рассматриваемом случае принимает вид
Л*оя = К^ал + К"Л + Kmamx + 2Л>Л> (9-4.52)
Л* = μ0 +bxcos2 0, Λ* = k\ Λ*2 -Ьх+Ьъcos2 0, Л*3 = b2cos#,
^ =μ*-μο , *2 =м*-Г-к\ b3 = μο+η +k* -4μ -21\
где 0 - угол между векторами тип.
Если ввести вектор е=тхп, то тензор Л*^ можно
преобразовать к более удобной форме [137]:

477
Л*оЯ = Χβαλ + Х\ПаПХ + £imamX + * АА > С9'4'53)
Я*2 = b}+b2 + b3 cos2 0, Я*3 = b2 sin2 0.
Для тензора Л*^, имеющего форму (9.4.53), уравнение
(9.4.51) может быть решено в общем виде при любом
направлении волновой нормали п. Положим сначала Ua = ea.
Поскольку те -пе = 0,то уравнение (9.4.51) дает
к2 (μ0 + ft, cos2 θ)-ροω2 = О . (9.4.54)
Отсюда находим волновое число одной из волн,
соответствующих волновой нормали η
2 \μ*(θ)
l + |/fi>4-^cos20
(9.4.55)
^(^) = ^o-^(v^)cos20,
Так как вектор поляризации перпендикулярен волновой
нормали, то эта волна является чисто поперечной. Ее фазовая
скорость v*2 и коэффициент затухания γΤ2 определяются
формулами
vT2 =vT{l-nQ(vMR/Mo)cos2e)l\
(9.4.56)
Утг ~
32л:
ω
\VT2 .
ΥΎ2
уЩ-nJ.Kv
ш 77) cos2 θ.
Если nxm = Q, т.е. θ=0, эти формулы принимают вид
v;2=vr(l-«o(v//J/i0»1/2) (9.4.57)
Ут2 —
п.
32л:
ω
\VT2j
νΤ2
,2 /4
2\
l-.J.-^
Ип)-

478
При п-т=0, т.е. θ=π/2 в среде с включениями
распространяется сдвиговая волна со скоростью ντ=^]μο/ρο, которая
не затухает.
Поскольку векторы смещения трех изонормальных волн
взаимно перпендикулярны, два других неизвестных вектора
поляризации должны лежать в плоскости, перпендикулярной
вектору е. Следовательно, для любого из этих векторов
можно записать
Ua = ηλτηα + η2ηα , (9.4.58)
где ηλ и η2 - неизвестные коэффициенты.
Подставляя это выражение в (9.4.51), получим
* \£o5ap+£xnjip+£2mjnp){ ηχτηβ+ η2ηβ)-ροω2(ηλτηα+ η2ηα )=0.
(9.4.59)
Сравнивая коэффициенты при линейно независимых
векторах, найдем отсюда
(Х0 + Я\) ηλ + Я\ η2 cos θ- Χ η, = 0, (9.4.60)
Х2^со$в+(Х0+Х2)ъ -Χη2 = 0,
где обозначено Χ-ροω2 /к2. Характеристическое уравнение
этой системы имеет вид
Я* + Ху - X Х} cos θ
Х2 cos θ
(9.4.61)
Отсюда следует
я*=я>-|я>я;±[(я*1-я;)2+4я>;wilt 1. (9.4.62)
Таким образом, в среде с трещиноподобными
включениями распространяются еще квазипродольная и
квазипоперечная волны, которые характеризуются волновыми числами
k, = a^J¥, k, = a>*\PJi-\
(9.4.63)

479
где получаются из формулы (9.4.62), в которой перед
радикалом берется знак плюс или минус соответственно.
В силу громоздкости общих формул при произвольном угле
θ рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть θ=09 т.е.
пхт=0. Как это следует из (9.4.62) и (9.4.63), в этом
направлении может распространяться продольная волна с волновым
числом
1ие
/
1
п.
\
V
(9.4.64)
а также поперечная волна, идентичная рассмотренной выше.
Из этого выражения находим скорость
Vh = VL
, \VnR) I
1-й. x R/
\ "4+2//,
и коэффициент затухания
(9.4.65)
II _*h_
λπ
'ω*
\vuJ
продольных волн, распространяющихся вдоль оси симметрии
материала.
Пусть θ= π/2. Из общих формул следует, что в этом случае
может распространяться продольная волна с волновым
числом
*11 = ωΛ
Mo+ks
( 1 к Л
V 2 /O+*s/
(9.4.67)
а также поперечная волна, уже рассмотренная выше.
Скорость распространения и коэффициент затухания продольной
волны равны соответственно

480
ν = ν
\-n{\-2rf)2
ю
ηΐ/2
^=(1-2^2Μ,
(9.4.68)
Рассмотрим, наконец, среду, содержащую случайное
множество параллельных круговых трещин. Будем считать, что
трещины образуют пуассоновское случайное множество, т.е.
положение их центров статистически независимо, а сами
центры равномерно распределены в пространстве.
Для этой стохастической модели выражение для тензора
Asm получим, переходя в общих формулах к пределу при /?—»0.
Учитывая, что при этом в (8.6.45) /о9/х->09 найдем
4,=— (P' + fP6)..
(9.4.69)
где Рг(т)- элементы тензорного Р(т) -базиса, а интеграл Jm
стремится к нулю. В результате приходим к следующим
выражениям для эффективных упругих модулей трещиноватой
среды:
Κ = λ0+μ.-η.(ν)μ.ά2{\-2η2)\ μ5 = цо(\-η„(ν)άλ),
h = К -n.(v)pad2(l-2Tf), ns = Л0 + 2μ0 -η0(ν)μβ2,
d,=[^-2if)+n0(v)]\ d2=^[Ktf(\-rf)+n0{v)]X.
(9.4.70)
Коэффициенты же при ω3 определяются формулами
1 / 2\/ ^У АЫ / 2\( , ιγΚ{η)
v°>=77\v ДМ) —г> Λ» = (ν μ*Αν) —г>
16
прУт
Щ>Ут
*β=(ΐ-2τ2)4, Ια, = ^-2η2)ηω, (9.4.71)
в которых функции Л0 (η) и /г, (η) те же, что и в (8.3.59).

481
Воспользуемся вновь формулами для волновых чисел двух
упругих волн (продольной и поперечной),
распространяющихся вдоль оси симметрии материала. Аналогично предыдущему
найдем следующие выражения для скоростей
распространения этих волн
v[=vL{l-no(v)rfd2f\ v\ = vT(\-no(v)dx)V\ (9.4.72)
и их коэффициентов затухания
/
J
(
2π{ν[)^ >vL 32^vJ.Jx 'ντ
(9.4.73)
Если волновая нормаль перпендикулярна оси симметрии
материала, то в этом направлении может распространяться
продольная волна со скоростью
Vt=VL
Т/2
(9.4.74)
\\-n„(v)d27f(\-2rf)
и коэффициентом затухания
Л =^ΪΗ^^-2^)\(ηΙ (9.4.75)
а также две поперечные волны. Одна из них идентична
распространяющейся вдоль оси симметрии, а вторая -
характеризуется скоростью д///о I ро и не затухает.
Допустим, что концентрация трещин настолько мала, что
их взаимодействием можно пренебречь. В этом случае
выражения для коэффициентов затухания трех изонормальных
волн (одной продольной и двух поперечных) могут быть
получены из общих формул, в которых следует пренебречь всеми
членами, имеющими порядок выше, чем ηο<ν>. В результате
найдем
У\=
£<"fej
{\-2rfsm2e)2 8sin20cos20, , λ
rf(\-rfY
fa-lTf)2

482
ί V
и0 ι 2\( о) ι
<у 1 2cos2 θ Ί , \ /r, л .,^
τ~\1 rfh^)· (9-4-76)
Если трещины имеют одинаковый радиус а, то формулы
переходят в следующие
rl=i".Q, (/ = 1,2,3), (9.4.77)
где ζ). - полные сечения рассеяния.соответствующих волн на
одной изолированной трещине, определенные формулами
(8.6.67).
2°. Изотропная среда со случайным множеством жестких
дисков. Рассмотрим изотропную среду, содержащую
случайное множество эллипсоидальных жестких дисков. Общие
выражения для эффективных динамических упругих модулей и
плотности этой среды имеют вид (9.4.25). Найдем с помощью
этих формул скорости распространения и коэффициенты
затухания упругих волн в средах с жесткими дисками в
некоторых частных случаях.
Ограничимся рассмотревшем дисков круговой формы, для
которых тензоры Л° и Αω определяются формулами (8.3.72) и
(8.3.73). Для круговых дисков эллипсоид, определяющий
форму корреляционной ямы, будет тем же, что и для круговых
трещин. Следовательно, тензор Asm определяется той же
формулой (9.4.69).
Допустим сначала, что распределение жестких дисков по
ориентациям равновероятное. После осреднения в общих
формулах (9.4.25) и (9.4.22) по ориентациям аналогично
предыдущему, найдем, что среда с жесткими дисками
макроскопически изотропна со следующими объемным к* и сдвиговым
μ динамическими упругими модулями и плотностью ρ
sin2 20 . ( ч 2cos220 f / ч
(l-rf) (3-2/72)

483
^^Γιω"ηα-^,μ=μΓίω\-^,ρ=ρΛχω\-^,
60προντ 60προντ Мпрут
K=K+n0kR, ^ = 2(уЛ^)Д2-15«0Л^, kR=^Dx(vG2),
Ms =M. +Wr, μ, =ά(ν(6Λ>, + Λ^α2))Α2-4n.JM2R(3 + 2rf),
Ps = A +n,(vph), ρω={2+ n3)((v2p2h)-n0j(vph)2),
μκ =iA(v(6G, + G2)), A =i[l"f«o(vG2)(2^ + Λ3)]~',
A = [ι-π"ο(6Κ>4 +2(vG2)U - л3-))]~\
βΙ = 1-^(νσ2μ, α2 = 1-^Κ), Α = Α2+2(Αι-Α3).
(9.4.78)
Здесь величины А1,А2,Аг определены формулами (8.6.45),
а при выводе этих формул предполагалось, что аспект
корреляционной ямы не зависит от размеров включений.
Поскольку среда, содержащая хаотически
ориентированные жесткие диски, макроскопически изотропна, в ней могут
распространяться продольные и поперечные волны с
волновыми числами
кь=<°л
ι+Ι.
ιω
з f
2 60προν>τ
,(9.4.79)
ητ=ω\^-
, 1 /ω3
1 + —-
2 бОягАУ?
'b.+ Sb.v?
у μ*
j
где, по-прежнему, χ^ί+4μ1/3,χ^ω+4μω/3. Отсюда
находим скорости их распространения
v'l = лК/А> vt = JtUF., (9-4.80)

484
и коэффициенты затухания
Yl =
120я-
4
pj>A
Χ +
5α
Λ, ^
V
\vlJ
, (9.4.81)
Υτ =
120л-
ω
Μ AAvr
^+5Α
/ Λ2
Vvry
Допустим, что включения абсолютно жестки. В этом
случае величины Gj и G2 принимают вид
σ^-Д^Чт, g2 = 8"°
я(з+72)' 2 я(1+772)'
(9.4.82)
т.е. перестают быть случайными величинами. Поэтому для
абсолютно жестких дисков в формулах (9.4.78) следует положить
<vG,>=<v>G,, <vG2>=<v>G2.
При малой концентрации таких включений формулы для
скоростей распространения и коэффициентов затухания
продольных и поперечных волн переходят в следующие:
VL=VL
1+Tir°(v)l
З+η2 l+tf) 2 \ ρθί
ντ =ντ
1+-
\5π
ηΜ
12 1
■ + -
3+η2 \+rf
ι-ж,
(9.4.83)
^~2^
Г V
ω
\νυ
64
225^^
Μ
Φ+2?/) 1+4//
(3W)2"Wf
2+ζ/
12^
ли
. а;

485
гтЧа
f V
ω 1
\ντ.
225л2
Ψ)
2<3+2ι/) 1+4^
ЫГ ЫУ
2+rf
12
Π <
νΑ
Κ Α,
(9.4.84)
Рассмотрим в заключение среду, в которой круговые
жесткие диски ориентированы в одном направлении. В этом
случае в общих формулах (9.4.22) и (9.4.25) осреднение по ориен-
тациям отсутствует и выражение для тензора С принимает
вид (9.4.46), а плотность ρ остается в той же, что и в (9.4.78).
Для круговых дисков тензор С* может быть представлен в
форме
С* = **Р2+2от*(р'-|Р2) + Л0(р3 + Р4) + 4//оР5+(Л0 + 2/0Р6,
(9.4.85)
где обозначено
к' = к-10)гп»
, m -ms -ιω «(
™ω , , (9.4.86)
30ядл£
ЗОя-рХ
Щ = Μ. + "о (vmR), ηω = (3 + 2 rf )((v2m2R ) - nj(vmR )2),
kR = -G2(l-2no(vG2)4)~', mR =-Gx{\-no(vGx)A2)'\
Если в среде с включениями распространяется плоская
волна Ua(x)=Uaexp(ikn ·χ), то вектор поляризации Ua
удовлетворяет однородному уравнению
{^\*αβ-ω1ρδαβ)υρ = 0, (9.4.87)
где аналогично предыдущему акустический тензор Καβ может
быть представлен в форме (9.4.53), в которой теперь

486
£=//.+
шгп
n.(v(kR +mR))-——°—{кш +τηω)
ЪОкрУт
sin2 θ,
λχ-λ0+μ„, λ2-λ3--
no(v(mR+kR))-
ΐω3η.
■{™ω+Κ)
sin20.
ЗОярУт
(9.4.88)
Рассмотрим плоскую волну с произвольным направлением
волновой нормали η и вектором поляризации,
перпендикулярным векторам Пит. Эта волна является чисто поперечной
с волновым числом
ω
Л2 — » +1/Г2 ·
(9.4.89)
"Т2
Здесь νΤ2 - скорость распространения этой волны
νΤ2 =
(vmR) . , λ
l+wo-^—^sin20
Я J
1/2
(9.4.90)
a γΤ2 - ее коэффициент затухания
7τ2 ~
ЫяРоР*
(ωλ
+
\VT2 )
4 * I
mm sin2 θ Ι
r ν· ~\
1Г2_
.(9.4.91)
Волновые числа двух других изонормальных волн кх и к3
выражаются по формулам (9.4.62) и (9.4.63), в которых
величины Я* (/=0,1,2,3) определены формулами (9.4.88), а плотность
ρ следует заменить на ρ .
Пусть волновая нормаль параллельна оси симметрии
материала (#=0). Как следует из приведенных формул, в этом
направлении могут распространяться чисто продольная и
поперечная волны со скоростями

487
vl =.
к+2я
ντ=.
(9.4.92)
Коэффициенты затухания этих волн пропорциональны
только разности плотностей основной среды и включений
П =
η
'«Λ
24 л-
\ПУ
Ра,
VPoPs
(9.4.93)
vV
Гт =
п„
24 π
г-1
4
А»
_х !
Если волновая нормаль перпендикулярна вектору m
(θ=π/2), то в этом направлении распространяются
продольная и две поперечные волны. Одна из них, поляризованная
вдоль оси симметрии материала, имеет скорость и
коэффициент затухания, совпадающие с ν\ и γ\ соответственно.
Векторы поляризации продольной и второй поперечной волн лежат
в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. Их скорости
v^ HVpa также коэффициенты затухания yLL и γ^
определяются выражениями
VL =
ke+me
v* =
(9.4.94)
ή =
η
'«Λ
12Я-ДА
\vlJ
Ψι
K+m«> , 1
5{Ψι) 2η-
2 г ω
4V
ή =
«.
ί V ι
1 ω λ '·
12лр0д
's\VTj
/и 1
—Ёг+-Р
(9.4.95)

488
Рассмотрим среду, содержащую абсолютно жесткие
круговые одинаково ориентированные диски. Будем предполагать,
что их центры образуют пуассоновское случайное множество,
т.е. статистически независимы и равномерно распределены в
пространстве. В этом случае тензор Asm определяется
формулой (9.4.69), а интеграл Jm равен нулю. При этом статические
упругие модули такой среды ks и ms в (9.4.86) определяются
выражениями
Κ=λ*+μ*
я(1+7/2)
> го,=А,
Ф+7/2)
(9.4.96)
Заметим, что эти величины линейны относительно
параметра Αίο<ν>, т.е. имеют тот же вид, что и при малой
концентрации включений. Величины кф и μω представляются при
этом в форме
, .μΗ\ + Αη2) . >μ2(3 + 2η5)
^(ι+τ2)
τφ+τ/2)
Приведем теперь формулы для скорости распространения
и коэффициента затухания упругих волн в такой среде с
вектором поляризации, перпендикулярным векторам пит
vT2 =
Ει
Ps
1 + /ι„(ν)
2~Λ
8sin2fl
1/2
(9.4.98)
ΪΤ2~'
"Л
\2πΡί
ω
утг
\VT2,
5^(3+ iff { 2
\ A
\A
rT2
\VTJ
(9.4.99)

489
При распространении волн вдоль оси симметрии их
скорости и коэффициенты затухания определяются теми же
формулами (9.4.92) и (9.4.93).
Если волновая нормаль перпендикулярна оси симметрии
композита, то формулы (9.4.94) и (9.4.95) для
рассматриваемого случая переходят в следующие:
VI =V[
4п2 (
π
-+-
Ъ+rf \+ηι
Ί1/2
ν = ν
-|1/2
1 + /ι.(ν)-
r{i+if)
(9.4.100)
ή =
η,Ρ. (<οΛ
\2kp\v1l)
fl6(v>)
δηζι2
4} + 2rf) 1 + 4^
ττ- + ~. τ
(з+7>)! (1+„'Г
+
+ -
1 + -
P-J
(9.4.101)
'ωΛ
12яд
Άνπ;
64(ν2) 2+2lf ,(l}Jf
( - \
Υ-2
ν Ay
4V
ννΓ
5Я2 (ъ+rf)
Рассмотрим в заключение случай малой концентрации
включений. Пренебрегая в общих формулах всеми членами,
имеющими порядок выше, чем ρ-ηο<ν>, найдем следующие
выражения для скоростей распространения трех изонормаль-
ных волн, соответствующих волновой нормали П\
vi=vL
π
г
+■
1
Ъ+rf \+ή
2
lsin40--«iv^

490
v2=vT
, , 4 sin2 θ 1 / A
(9.4.102)
v3 = vr
no(V)
2π
2 + 1 sin2^_i /A
3+t2 1+tfJ 2 °\ Aj
и их коэффициентов затухания
ϊ\ =
«„
12л-
4
<
ί.6(ν=)
5^77
ττ~ + - τ-
(з^Г (ι^2)2
sin4 Θ+
+
1 1
- + —τ
\
PJ
(9.4.103)
Yi =
«„
'«Л
\2π
\vtJ
64(v2) 3 + 275
5Я2 (з+т^
/
■sin2 0+
1 + -
V
Гз =
и.
12я-
ζ' Λ4
ω 1
Vvr.
4(ν>>
5л2
4(3 + 2;/) 1 + 4V5
(W) (i-н^Г
sin2 20+
2
W
Если жесткие диски имеют одинаковый радиус, а их
плотность сравнима с плотностью основной среды, то
коэффициенты затухания /]9/2^Ϊ3 представляются в виде (9.4.77), где

491
Q. - полные сечения рассеяния трех изонормальных волн на
одном изолированном жестком диске, определенные
формулами (8.6.59) и (8.6.61).
§ 9.5. Распространение упругих волн
в среде с жесткими короткими волокнами
Рассмотрим упругую изотропную неограниченную среду,
содержащую однородное в пространстве случайное множество
коротких жестких волокон. Пусть L(X) - дельта-функция,
сосредоточенная на осях этих волокон
Z(x) = £/,(*), \lXx)(f{x)dx^iz)(f{z)dz, (9.5.1)
' Г/
где φ (ζ) - произвольная гладкая функция, Г. - срединная
линия / -го волокна, a S (ζ) - функция формы волокна -
определена в (8.4.36).
Амплитуды полей смещений и деформаций в среде с
волокнами с учетом лишь главных членов разложения по малым
параметрам SQ,S} (см.§8.4) представляются в форме,
аналогичной (8.4.35) и (8.4.36)
"«(*) = «Μ + J Vp^(* " *')Ф') Tjxf)dx\ (9.5.2)
^^(>:) = ^(>:)"/К^^(>:- jcO^(>:0т"Я/,(л:0^г, (9.5.3)
где т(Х) - функция, совпадающая с 7^к\х) (8.4.12) на оси Г^
к-то волокна.
Будем по-прежнему считать, что каждое волокно находится
в постоянном эффективном поле ε*(Χ), которое
представляется следующим образом:
(9.5.4)
Здесь через L(x,x') обозначена функция, определенная
соотношением

492
Ζ(χ;χ') = Σ/*(*') прих^Г,. (9.5.5)
В соответствии с методом эффективного поля амплитуды
полей смещений и деформаций в среде с волокнами
выражаются через локальное внешнее поле
κ{χ) = Κ{χ) + \ν^χ-χ')Τρβλμ{χ')εΧμ{χ')άχ', (9.5.6)
eJx) = e°Jx)-JK^M{x-x%MpT{x')epT{x')dx',(9.5.7)
которое удовлетворяет самосогласованному уравнению
ffU*)=^)-jK^(x-x0^x,x'W*')*'. (9-5.8)
Здесь обозначено
7{x) = L{x)A{x), T{x,x') = L{x,x')A{x'), (9.5.9)
причем функция А(х) совпадает с Л(/г)(£) вида (8.4.34) на оси
к -го волокна.
Выражение для среднего значения эффективного поля
е*(х,т)=<е*(х)\х,т>, в котором находится волокно
ориентации Ш9 получим, осреднив обе стороны (9.5.8) при условии,
что точка находится на оси волокна
е{х,т) = e\x)-JK{x-x')(T{xX)e*{x')\xy,m)cL·',
(9.5.10)
где символом <-\х,х',т> обозначена операция осреднения
при условии jcgT(W), jcgT. Воспользовавшись, как и выше,
для замыкания уравнения (9.5.10) квазикристаллической
аппроксимацией, получим
fXjc,w)=f°(jc)-jK(jc-JcO(r(jc,jcO^VO|^^f· (9.5.11)
Предполагая, что поле ε (Χ), в котором находится волокно
ориентации т, статистически не зависит от его положения в
пространстве, можем записать
(т{х,х'У{х')\х,т) = Г{х')Ч>т{х-х>), Г{х) = (т(х)е'(х.т)).

493
*-(*-*'H^L(*;*'H/(aiW)· <9·512)
Здесь Ψ,„(*) - непрерывная гладкая функция,
характеризующая пространственную корреляцию случайного множества
волокон. Из определения функции L(x\xf) следует, что
ΨΛ(0)=0, а вследствие ослабления корреляции в положении
волокон с увеличением расстояния между ними Ψηι(χ)—> 1 при
X—>оо. Функция ΨΜ(*) определяет вид корреляционной ямы,
в которой находится типичное волокно ориентации т.
Осреднив теперь обе стороны уравнения (9.5.7) по
ансамблю реализаций случайного множества волокон, получим
$(х) = £°{х)-\к{х-х')Г{х')ох', ${χ) = (ε(χ)).(9.5.13)
Исключив поле ε°(Χ) из уравнений (9.5.10) и (9.5.13),
будем иметь
ε{χ,τη) = e{x)+JK{x-x')Om{x-xf)r{x')dx',
Φ» = 1-Ψ(*). (9.5.14)
Функция Фш и в этом случае быстро стремится к нулю вне
области порядка размеров корреляционной ямы. Пренебрегая
в длинноволновом приближении изменением поля е*(х,т) в
этой области, интегральное уравнение (9.5.14) преобразуем в
алгебраическое
s*{x,m) = s(x)-Amr{x), (9.5.15)
Am = Asm+io>'HJm, К=\к*(х)Фт(х)сЬ, Jm=\Om(x)dx.
Аналогично предыдущему предположим, что существует
линейное преобразование Ъ (т)9 переводящее функцию
Фт(Х) в сферически симметричную. В дальнейшем будем
считать, что Ът - вытянутый сфероид с полуосями Ъх-Ъ2-Ъ и
полуосью ЪЪ>Ъ, направленной вдоль вектора т. Тогда тензор

494
А*т имеет вид (8.6.62). Таким образом, и в случае волокна
форма корреляционной ямы определяется величиной ее
аспекта у-ЫЪъ (^<1). Если предположить статистическую
независимость положения волокон в пространстве, то имеет
порядок <(а/1)\т> - среднего аспекта включений ориентации
/W. При этом с принятой ранее точностью тензор А*т
определяется формулой (8.6.63).
Умножим теперь уравнение (9.5.15) на Т(Х) и осредним
обе его части по ансамблевым распределениям длин и
ориентации волокон. В результате придем к соотношению
Г(х) = (т(ХЩх) + (т(х)а:(Х))Г(х), (9.5.16)
где Asm{X) - функция, совпадающая с тензором А'т на оси
волокна ориентации т.
Разрешая уравнение (9.5.16) относительно Т*(Х) с учетом
малости величин (βΐ)3 и ω3 J (β=ω/ντ), получим
ПхЩтЬЩх), D=n{i-{{fiifKA^jKRHp\ дЦ/-л* )_1,
ar=(l(x)ar(x)), ara=(l(x)ar(x)a$, λ»=(Φ)λ1*)4:), j=(jm).
(9.5.17)
Предполагая свойство эргодичности рассматриваемых
функций, заменим ансамблевые средние средними по объему
для типичной реализации. Это дает
(9.5.18)
где W - область вЛ3 с объемом W, в пределе занимающая все
пространство, N - число включений, попавших в W', Л(/г) -
функция, имеющая вид (8.4.34) для к-то волокна. Оереднив
обе стороны (9.5.18) еще раз по ансамблю реализаций, найдем
(г(х)) = и0(Лт), Ли = ш2/_1/2(£)Лт(^£ (9.5.19)

495
где /(ζ) - функция формы волокон, а тензор Лт зависит от
случайных размеров волокон и их ориентации в пространстве.
Ориентация же задается случайным вектором /W, на котором
построен базис Рг(т). Аналогично вычисляются и другие
средние, входящие в формулы (9.5.17).
Осреднив, наконец, уравнение (9.5.6) и воспользовавшись
соотношениями (9.5.17), Можем записать
(9.5.20)
Применив к обеим сторонам этого уравнения оператор
^αβ-^μ^°αμβλ^λ^Ρο°^^αβ·> найдем, что среднее поле смещений
U(X)=<U(X)> в среде с волокнами удовлетворяет уравнению
L*JJp{x) = Q, ^ = ν^ΛνΛ+Α«2^, (9.5.21)
где тензор эффективных динамических упругих модулей
определяется соотношениями
V - С^Сж~щгС'^^. (9.5.22)
C=C°+CR, CR=D°AR, C4^D\^^^ACR)-JCRHCR.
Перейдем к определению с помощью уравнения (9.5.21)
скоростей распространения и коэффициентов затухания для
конкретных стохастических моделей множества волокон в
изотропной среде.
1\ Среда с хаотически ориентированными волокнами.
Пусть центры волокон образуют статистически однородное и
изотропное случайное множество, а их ориентация
распределена равномерно. Тогда средние, фигурирующие в (9.5.22),
становятся изотропными тензорами, а тензор эффективных
упругих модулей С* принимает вид
k* = ks -iofk» , μ=μ3 -ΐο?μω , ks = ko +no(v)kR ,
Ms=M.+ "ο (ν)μΛ , Κ = f q{q)[dx {q) - 5wo (v)d{p, χ)]'1,

496
Mr = аярг(ч)-»,(Ф- rf)4q,r)\\
К = k2Rn{(v2)H2dx{q)-9K{v)2JH),
Mm=MRH^.((vt)d2(q)-rK(v)2j).
В этих формулах V- объем волокна, q- параметр,
определенный в (4.2.27),
d{q,r) = -iMr2^r, (9.5.24)
dx{q) = 21-n0(v)(l6 + fq(q))9 d2{q) = 15-no(v)(\3-^(p{q)),
а функция (p{q) для волокон трех рассмотренных выше форм
определена выражениями (8.6.76).
Как уже упоминалось, в случае макроскопической
изотропии среды волновое уравнение (9.5.21) расщепляется на два
независимых уравнения относительно продольной и
поперечной составляющих среднего вектора смещений.
Соответствующие им волновые числа kL и кт определяются
соотношениями
kL = a* +i/L, кт =/? +iyT, a* = ω/ν[, /f = ω/ν*,
< = ps+JMs)/a, v; = ^}φο9 (9.5.25)
где vL и ντ - эффективные скорости распространения
продольных и поперечкых волн, a yL и γτ - их коэффициенты
затухания
У, = 2^(а,)4<(*.+|^.)> Гг =^"(^)4νΧ (9-5.26)
2°. Среда с одинаково ориентированными волокнами.
Рассмотрим среду, в которой короткие жесткие волокна
ориентированы одинаково. В этом случае осреднение по ориентациям
в выражениях (9.5.22) отсутствует и эти формулы приводят к
следующему результату:

497
С=к,РЧ2т,(р1-$Р2)+1,(р3+РА)+4М,Р5-*{п,Ча>3па)Р6.
(9.5.27)
Здесь обозначено
2«„(vV, 2w (v)uo л л . .
l-«.(v) (l+^)(l-w0(v»
5 ·+ΛΙΛκ(ν)),Μ (κ(ν))#-«.Μ^)] '
"Й=Т^Щ^'^=w°((v2)"Wo(v)V)^'(9'5·^
Таким образом, среда, армированная однонаправленными
волокнами, трансверсально изотропна с осью симметрии,
параллельной вектору т. Как уже упоминалось, дисперсионное
соотношение для такой среды имеет вид
det(*2A^ - afp.sj = 0, (9.5.29)
где акустический тензор Л*^ представляется в форме (9.4.53),
причем
X = т, + U*,~"О cos2 θ-{μ,-*,+/,)sin2 θ, λ\ =μ,+1,,,
λ\ = 2μ$-ms-ks+ls +[ms-Αμ3 +ks-2ls +ns-/<»3/ie]cos2 θ,
λ\ = {μ,-ks+ls)sin2 θ. (9.5.30)
Одно из волновых чисел, соответствующих волновой
нормали п, получим из (9.5.29), положив Ua = ea
*22 [т, + U ~ ms) cos2 θ] - ω2Ρο = 0. (9.5.31)
Отсюда

498
k2 = o)[±-Xms +{Ms -ms)cos2 0)f\ (9.5.32)
Эта волна является чисто поперечной. Ее фазовая скорость
определяется формулой
Г^*т**ч W гр
1 +
2we(v>(l+ rf cos2 θ)'
(ΐ+ι^Χΐ-».(ν>)
(9.5.33)
а коэффициент затухания равен нулю.
Два других волновых числа определяются формулами
(9.4.63), в которых следует использовать параметры Я. из
(9.5.30).
Если θ=0, т.е. п = т, то вдоль оси симметрии
распространяются чисто продольная и чисто поперечная волны.
Выражение для волнового числа продольной волны кх имеет вид
п.
г
. 1.
1 + -/й)
ч
п.
(9.5.34)
откуда находим фазовую скорость этой волны
va = vl
1 + -
"о{у)п2<р(д)
1/2
(9.5.35)
и ее коэффициент затухания
(9.5.36)
Поперечная волна вдоль оси симметрии (Ua=ea) не
затухает, а ее фазовая скорость v*n совпадает с v*2 при #=0, т.е.

499
vn — ντ
( 2/ι.Μ
1+ ^7T
Nl/2
(9.5.37)
Пусть теперь θ=π/2 (волновая нормаль перпендикулярна
оси симметрии материала). В этом направлении в среде,
армированной короткими однонаправленными волокнами,
распространяются незатухающие продольная волна со скоростью
VL3=VL
1 +
/i.(v)(l + 3^)
(l-",(v»(l+>72)
(9.5.38)
а также две поперечных волны. Одна из них (с вектором
поляризации Ua = ea) имеет скорость, которая получается из
(9.5.33) при θ=π/2:
νΓ3 — vr
1 +
2л.(у)
(l-«L<v))(l+^)
(9.5.39)
а скорость второй поперечной волны, поляризованной вдоль
оси симметрии, совпадает с vj!,.
Рассмотрим случай (по<УХ<1) - малой концентрации
волокон. Тогда коэффициенты затухания трех изонормальных
(квазипродольной (L), квазипоперечной (г) и чисто
поперечной (Г2) волн, распространяющихся под углом θ к оси
симметрии, могут быть получены из общих формул для мнимых
частей волновых чисел, в которых следует пренебречь всеми
членами, имеющими порядок выше, чем no<V >. В результате
получим
Гь
<*4(v2) 2 + 3;/ 2М А,
120 л- μ\η
(9.5.40)

500
Гт=^^-Щ^<Р2(я)^всо^в, Гт2=0.
\20π μο
Если волокна, кроме того, имеют одинаковые размеры, то
эти формулы преобразуются в выражения вида (9.4.77), где Qt
- соответствующие полные сечения рассеяния, определенные
в (8.6.75) и (8.6.77).
Заметим, что для волокон одинакового размера тензор Сш,
определяющий мнимую часть тензора С*, принимает вид
С£* =ny2{\-nj)H2n2RP6afiXll{m), (9.5.41)
где Р6(пг) - элемент тензорного Ρ - базиса.
Если к тому же центры волокон образуют правильную
решетку, то интеграл J равен объему ячейки периодичности и
величина Справна нулю. Это соответствует, как и выше,
отсутствию затухания длинных волн на периодической
структуре. Таким образом, в рамках метода эффективного поля в од-
ночастичном приближении параметр 1 - η J играет роль меры
отклонения пространственного распределения волокон от
периодичности (регулярной решетки).

ГЛАВА X
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН
В КОМПОЗИТАХ, АРМИРОВАННЫХ
ОДНОНАПРАВЛЕННЫМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ
ВОЛОКНАМИ
В этой главе рассматриваются среды, армированные
однонаправленными цилиндрическими непрерывными волокнами.
Распространение упругих волн в таких средах сопровождается
рядом особенностей. Во-первых, закон дисперсии скорости
оказывается зависящим от направления распространения
волны. Во-вторых, зависимость коэффициентов затухания от
частоты ω в длинноволновом пределе отличается от известной
зависимости Рэлея (χ~ύ)4), характерной для неоднородностей
конечных размеров.
Здесь при построении осредненного уравнения движения
композитной среды (эффективного волнового оператора)
методом эффективного поля дисперсия скорости включена в
рассмотрение. Этот оператор позволяет исследовать
указанные особенности распространения упругих волн в
композитных средах, армированных волокнами. Получены явные
выражения для скоростей и коэффициентов затухания различных
типов волн, распространяющихся как вдоль, так и поперек
волокон.
§ 10.1. Эффективный волновой оператор
для композита, армированного
однонаправленными волокнами
Рассмотрим неограниченную среду, содержащую
однородное в пространстве случайное множество однонаправленных

502
цилиндрических волокон. Для гармонических колебаний с
частотой (О амплитуды полей смещений и деформаций
удовлетворяют уравнениям, аналогичным (8.5.3) и (8.5.4):
+Px<o2\gafi{y-y'A)s{y')up{y,ki)dy', (10.1.1)
eJy^) = e'Jy^3)-Cl^JKa^{y-y',k3)s{y')€pt{y',k3)dy' +
+p^2\v(agP)X{y-y\k3)S{y')ux{y,,k3)dy,.(\Q.\2)
Здесь S(y)- характеристическая функция области S=\jSk,
к
занятой поперечными сечениями волокон, Sk - сечение к-то
волокна плоскостью ххх2.
Обозначим через и*(у,кг) локальное внешнее поле. Как
следует из (10.1.1), это поле определяется выражением
(аргумент къ в дальнейшем для краткости будем опускать)
<{y) = <{y) + CxppXfl\Vpgap{y-y)S{y-y')sXlI{y)dy' +
+P^2jgafi{y-y)S{y,y)ufi{y)dy',{y zS). (10.1.3)
В этом выражении через S(y,y') обозначена
характеристическая функция области Sy9 определенной следующим
образом: S=\J £, при у е S..
у i*k
В соответствии с основной гипотезой метода
эффективного поля выразим поля смещений и деформаций внутри
волокна через локальные внешние поля и*а(у) и e^iy) по
формулам вида (8.5.27) и (8.5.36):
КРо60 J

503
ejj) = [^αβχμ +^3А{фХмрНр{у)УЛм{у)-1к31^хи1{у),
Ha(y) = ZH«(yMy), (Ю.1.4)
к
где Н^\у)- функция, которая в системе координат с началом
на оси волокна Sk равна уа.
Подставив выражения (10.1.4) в правую часть (10.1.3),
получим самосогласованное уравнение, которому удовлетворяет
поле иа(у)
^^^K^^lYafiiy-y^iyy^iy'W^ (10.1.5)
Здесь обозначено
rjy) = Px<°2gJyUxfi -WxgJy)ClPJ^, (Ю.1.6)
Г^Ы = V^„ЫС^лЛл^ - гкг —gJ<y)LfpXll,
Но
Qap^(y)=Pi<»2gaXy)LOvPxM +^v^WO°^P·
Для построения средних значений полей и*а(у) и s^g(y)
осредним уравнение (10.1.5) по ансамблю реализаций
случайного множества волокон при условии у gS. Используя
основные гипотезы метода эффективного поля и считая, что
волокна имеют одинаковые радиусы а, получим
U:(y) = <(y)+irJy-y'My,y')u;{y')dy'+ (Ю.1.7)
+\[^y-y'Myy)-Q^y-ylHp{yy)]rjy')dyf,
U:(y) = (ua(y)\y),e'Jy) = (sJy)\y),

504
ч{у,У) = (s{y,y')\y), на{у,у') = (s{y,y')Ha{y')\y).
Для однородного случайного множества волокон *¥ (у,у')
и На(у,у') - непрерывные функции, зависящие только от
разности аргументов и обладающие следующими свойствами:
Ψ(0) = #α(0) = 0, ψ(οο) = ρ, #α(α>) = 0, (10.1.8)
где ρ - объемная концентрация волокон.
Искомое среднее волновое поле Ua(y)=<ua(y)> в среде,
армированной волокнами, можно выразить через величины
U*a(y) и βαβ(у). Подставив для этой цели в правую часть
уравнения (10.1.1) выражения (10.1.4), получим после
осреднения
(10.1.9)
Исключая внешнее поле и°а(у) из уравнений (10.1.7) и
(10.1.9), находим искомую зависимость
U:{y) = Ua(y) + JQ^{y-y')Hp{y-y')€'Xfi(/)dy>-
-р\[Г^У-У'Шу') + Ыу-у')и;{у')]ф{у-у')с1у\
Ф(у)=1-^4'{у). (10.1.10)
Для статистически изотропного расположения центров
волокон в плоскости ххх2 Φ (у) - гладкая функция координат
х1,х2, зависящая только от модуля аргумента (Ф(у)=Ф(\у\))
и быстро стремящаяся к нулю вне круга радиуса / порядка
среднего расстояния между осями волокон. Вид
корреляционной функции На{у,у') найдем в приближении точечных
дефектов.
Разложим функции S(y,y') и Ha(y')S(y,y') в ряды по
мультиполям в окрестностях центров ηϊ волокон в плоскости

505
х}х2. С учетом лишь главных членов этих разложений можем
записать
s{yy)=sZ^y-n,)+-
i*k
sa
2 д
4 СУа i*k
где s= ла . Отсюда следует равенство
(10.1.11)
H.(y')S(y,y)-a~^. (10.1.17,
Осреднив теперь это соотношение при условии yeS,
получим
(на(у'Му,у')\у) = ~(s{y,y'b) = сю.1.13)
_ а2 МУ-У')_ ра2 Уа^,
4 ду'а
4 НФ'(Н)'
Уравнение (10.1.10) является уравнением в свертках.
Преобразование Фурье в плоскости ххх2 переводит это уравнение
в алгебраическое относительно фурье-образов функций
Ul(k) = Ua{k)-pt„(k)u; -рТ^ШЦк),
tafi{k) = \Yafi{y)<b{y)e-*ydy, к={кх,к2), (10.1.14)
т^(к) = \[г^(уЫу)+±О^ШР(у)у-**4у.
Поскольку для достаточно длинных волн к-у«1 при у<1,
положим в этих выражениях exp(-ik-y)&l. Тогда тензоры t^

506
и Ταλμ становятся функциями только параметра къ. Вычислим
входящие в эти формулы интегралы. Имеем
iJk3) = p^2AXfijgJy,k^{y)cfy- (10.1.15)
-ik3C\j^MgJy,kMy)dy.
Первый из интегралов в правой части этого выражения
допускает представление в виде
00
jgJy,k3My>fy = jgjk3\y\M\y\)\y\d\y\, (10.1.16)
о
gjb \у\)=τ- J|%|*1 J^(*U(|*|WW»
ζπ о о
где φ - полярный угол в к - плоскости. Подставив сюда
фурье-образ тензора Грина (8.5.8), найдем
*Ш = \ ρ' 2 '. (10-1-17)
где сохранены обозначения из §8.5.
Вычислив аналогично предыдущему
5,ш-ш.faj'L 'V ' = т^(р.1и).
о /с +\£-ipq)
(10.1.18)
получим

507
£роС0
В силу указанных выше свойств функции Ф([у|) функцию
Ханкеля H^\pq\y\) {q-α^β) можно представить главным
членом разложения в асимптотический ряд при pq\y\«\ (\у\<1):
В результате в длинноволновом приближении получаем
gJJbh И
Р.аг
Ρβ р
РЦ
Рч \
(10.1.21)
а
β\
^U)=KJh(kN)-^rgV?vHw)№H.
о
(10.1.22)
С помощью аналогичных вычислений можно показать, что
второе слагаемое в правой части (10.1.15) имеет более
высокий порядок малости и может быть отброшено. Таким
образом, имеем с принятой точностью
где обозначено
φ
gaX+f
— ΖΐμΡμχ-^η
А
|£Ί·λ
£-/^,(10.1.23)
А
(10.1.24)

508
тензор g^j получается из формул для g^ в (8.5.24) путем
замены функций f(pq) (q=a,p) функциями
Ф(РЧ) = Р\ |1п(|рд|М)Ф(М)М4И, (Ю.1.25)
о
а тензор g1^ определен ранее в §8.5.
Обратимся теперь к выражению для тензорного
коэффициента 7^(#3) Β Уравнении (10.1.14). Опустив детали
аналогичных вычислений, приведем лишь окончательный результат
τ -- ik> '
αλμ 2
Α®
<C -jglPs£iAcU„P^ · (Ю.1.26)
Здесь величина GF совпадает с Gf в (8.5.24) после замены
в этой функции величин f(pq) функциями F(pq) {q-α^β) из
(10.1.22).
Таким образом, коэффициенты в уравнении (10.1.14)
определены. В его правую часть входят две независимые функции
U* и £*. Поэтому, как уже упоминалось, необходимо еще одно
уравнение, которое можно получить с помощью процедуры,
аналогичной приведенной выше. Это уравнение имеет вид
^{к) = ^^{к)-р11^{к)^{к)-рк^{к)и:{к),
IW*) = |^ГоМ»фЫ +£ ^Qa)PJy)Hp(y)]e-tydy,
*„*(*) = \^^а)АуШу)е-ёуау, ejfc) = -гк1лил(к).
(10.1.27)
Приступим к вычислению коэффициентов в этом
уравнении. Положив, как и выше, exp(-ik -у)&1 , можем записать
IW*) = -^^{y^K^A^^-ik^X^^iy^y.
(10.1.28)

509
Начнем с первого слагаемого в правой части этой
формулы.
00
о
К*ц>з Ы) = ^- ]\Щк\ \кХ)к^аХр(к)4\к\\у\)а<р.
ιπ о о
Интегрирование по полярному углу φ в к - плоскости дает
К^(*3М)=—-
2μ.
dr,\fi ",,\(R
θ„
ЫУ*№ 4(Я0+2//0) *■
Jl*k.(l*H)
У\к\+
Ро<о
( к^
Ρβ)
+i ^X/J[p4qS0{q\y\)]afi +\{τηατηβθλμ + θ^^ + (1.1.30)
Заметив, что
οο 1
/у.(|%|)|*"И*| = —\e*'ydk = 2π^γ), (10.1.31)
2;г|<*у)ф(|;И)М4И =J^^)<1>(W)^ = Φ(θ) = 1,
О
а интегралы SQ(q\y\) определены формулой (10.1.18), получим
|К^>Л)Ф(М)4И = Α%χμ +Ши., (Ю.1.32)

510
AR - As + Αφ
где способ образования тензора Аф из выражения для Af в
(8.5.24) уже упоминался выше, а тензоры As и А1 определены
ранее в §8.5.
Второе слагаемое в правой части (10.1.28) сводится к
вычислению интеграла
4*. = /к^>А)ЙФ'(М)^= (Ю-1-33)
V-Щ о о И
Так как
ЩЛ/Р = 2*4./, (|ψ|), (ю.1.34)
то тензор Α°αβλμρ можно представить в виде
00
Α°«ρχμΡ = -№'{ЫКяМу\)\у\с1\у\, (10.1.35)
о^(*,|^=^/^,(]*|МИ*|/*л*л(*Н(^)·
ζ"ο о
Интегрируя сначала по полярному углу φ в этом
выражении, получим
РоО)
+(mafn^(xeM)p + efKamfi)mxm/J)k23[Sl(q\y\)]
а
+

511
+τΚ%μΡ+W»J[/to(*H)E}· <10Л·36)
В силу (10.1.18) с учетом лишь главных членов разложения
функций Ханкеля в асимптотические ряды находим
^ 0 ^
где тензор BafiX^ определен формулой (8.5.26).
Таким образом, длинноволновое приближение для тензора
п^Я/д£3)имеетввд
^<φλμ\Κτ)-γΑ(φλμ~1\Α<φρτ^ρτσω*σωδν~^1α^
Коэффициент тгСфХ(к3) в (10.1.27) вычисляется аналогично
предыдущему и определяется выражением
Яа&=*К
( \
-G^PM - A%P£UJU \ (10Л·39)
VA )
Разрешая теперь уравнения (10.1.14) и (10.1.27)
относительно Ua(k) и fiapik) с принятой точностью, найдем
и'М = ^JJ^-pp^fi^Jk), (10.1.40)
го
Здесь обозначено
3Ф — ту®
Лсф ~ Ραλ
δλβ + ι —
( ^
Φ Р\ гс
8χμ~ΓΡμρ-^
Ро J
JXp
Ι Φ
\8ρτΡτβ

512
D = DR
чр{а«схр-л)а1с«+р[Щавс*
Ρ% = [δ+-ρ&8ΐρΛ ,P%=Mt*pZ,CR = ClPDR,
dafiX = ^ρζ^ρτδν^δνψ,Ρη^βΡίσΡσω ~ Gpra,)Ptx > (Ю.1.41)
DR = (l-pARClP)'\ A* = B^Cl^B
σωηχρτ^ ηχλμτ '
Заметим, что последнее слагаемое в выражении для
тензора D в (10.1.41) пропорционально (к3а)2, т.е. имеет порядок
величины S2 у которую с принятой точностью следует
отбросить по сравнению с δ2 In δ. Однако среди компонентов
тензора Ав есть такие, которые неограниченно возрастают с
ростом С1- разности упругих модулей волокон и матрицы. Для
достаточно большой величины этой разности, характерной
для современных композитных материалов, армированных
высокомодульными волокнами, произведение этих
компонентов на (къа)2 может иметь порядок, сравнимый с порядком
величины δ2 In δ. Поэтому слагаемое порядка (к3а)2 следует
оставить в общих формулах, но в выражении для Ав учесть
лишь те компоненты, которые обладают указанными
свойствами. При этом тензор Α^λμ принимает следующий простой
вид:
-т„ж{7в„
*αβλμ ~ 4 2 "§α)"\λ^μΧβ >
(10.1.42)
где Е1=Е-Ео - разность модулей Юнга материалов волокон и
матрицы.

513
Обратимся теперь вновь к уравнению (10.1.9) и, переходя
в нем к преобразованию Фурье, перепишем его следующим
образом;
<{к) = f/aW-/^(^r[A„c,W+^;W]-
-pp^gj^k)
ik.
*Μ*)--^ιί*01Μ
Ρο<ο
2 '-'βλμνχμΧ
. (10.1.43)
Подставив в правую часть этого равенства выражения
(10.1.40), после ряда преобразований получим
К(к) = Ua(k) - pgJk){-kxkM[CRfiXMp - Ο^βξΑ1^ -
къа
лВ \/^iR 1 . 2 Φ
AxnSv)CSvMp\ + a Ρ βλ
diM+—<HgLp*M
+
+-(*ΑΑ*Χ,+ bAG«£*>J k(*) > (101·44>
Но )
где обозначено
ξ=1-μ/, G^^G^-pG^. (10.1.45)
Свернув обе стороны уравнения (10.1.44) с тензором
Г^ = -кяС^мкм +ροω1δαβ найдем, что фурье-образ среднего
поля смещений в среде со случайным множеством
параллельных волокон удовлетворяет уравнению
^(к9ф)ир(к) = 09 (10.1.46)
в котором обозначено
£<ф(к,со) = -кхСаХр^к,ш)к11 +ω2ρ^,ω),
С = С°+р\
CR-CF
\CR

514
ραβ=ρβαβ+ρ\
ΡαΧ
го
μβ
(10.1.47)
А®-
" {^μ^αμρ/^ρχτΡχβ ^λΡαρ^ρχη^χηβρ)
Очевидно, что тензор L^(k^) является эффективным
волновым оператором композитного материала в (£,<у) -
представлении. Входящие в этот оператор тензор
динамических упругих модулей С , а также инерционная характеристика
ρ являются функциями к и ω. Следовательно, среда,
армированная параллельными волокнами, обладает
пространственной и временной дисперсией.
С помощью полученного волнового оператора можно
исследовать особенности распространения волн в композите в
любых направлениях. Рассмотрим некоторые частные случаи.
§10.2. Распространение упругих волн
перпендикулярно направлению армирования
Пусть в армированной волокнами среде распространяется
плоская волна с вектором поляризации Ua, волновым числом
к и волновой нормалью h. Вектор Ua при этом
удовлетворяет системе линейных алгебраических однородных уравнений
(k2\^-co2pJu0 = O, Л^йД^Л,· (Ю.2.1)
Будем считать сначала, что /ни=0, т.е. фронт волны
параллелен направлению армирования. Тогда к=(кх,к2) и
тензоры С*и ρ получаются из формул (10.1.47), в которых
следует положить £3=0. Если при этом учесть, что при к3=0 мно-

515
жители p2\n(\pq\a) (q=a,fi), входящие в формулы (10.1.47),
имеют в этом случае порядок δ2 In δ (т.е. являются малыми),
то тензоры Л* и ρ принимают вид
Α'αβ(ω) = μ{ω)ΐηαηιβ + ΐη{ω)θαβ + ^{ω)ηββ, (10.2.2)
P'J^Ps^afi+P— {^(fi)+J^[A4)]l}, Рв=РЛРРх ,
го
μ (ω) = μ, +p-^J(fi), ηΐ{ω) = ms +p^.[j(J) + ^j(a)],
2μ. 2μ, J
k-{a>) = ks+p-li— J{a), j{q)=f{q)-pF{q), (<?=«,/?),
Κ+ΐμ,
Здесь μ5, ms, ks - статические продольный и поперечный
модули сдвига и объемный модуль при плоской деформации
композита, который макроскопически трансверсально
анизотропен. Выражения для этих величин следуют из полученных
здесь формул и совпадают с найденными ранее в §5.12
ms = μ. +ρμκ, щ = μ. +рщ >К = К +рК > (ю.2.з>
μ«= 2У\ ,Щ= ™
2f.+(l-pW R М.+(1+р)Ьн'
b= К+Ър0 к = U.+2//.)*,
2{λο+2μο)' R λ.+ΙμΜί-ρ)^*
а функции f(q) и F(q) определены формулами (8.5.25) и
(10.1.22) соответственно.
Рассмотрим сначала продольную волну (Ua=na).
Учитывая, что с принятой точностью J(a)=rfJ(fy9 получаем
следующее дисперсионное соотношение

516
к1[к\а)+тЩ-а2\Ра-р^(1 + ^Ыа)
= 0.
(10.2.4)
Отсюда находим в длинноволновом приближении
К =<*„
4 ^
^)г*иА*)
(10.2.5)
Здесь обозначено
FLn=-
PoPs
2kR+mR
(
'v>
a
\anJ
_ ω 2 _ ks + ms
(10.2,6)
"Ln Ps
Действительная часть волнового числа kL определяет
фазовую скорость волны
vL = ^- = vL„[\+ip{anafFLnR{a)], (10.2.7)
^) = 1пЫ-^|1п(ф|)фУН^|, (д = а,0),
а о
а его мнимая часть - коэффициент затухания продольной
волны
Гьп =—"otK2(<XnaYaFLn>
(10.2.8)
где по - по-прежнему числовая концентрация волокон,
величина ξ определена в (10.1.45).

517
Пусть теперь Ua=ea, где е-пхт (поперечная волна,
поляризованная в трансверсальной плоскости). Как следует из
(10.2.1) и (10.2.2), дисперсионное соотношение в этом случае
принимает вид
к]т*((о)- ω1
Р°
= 0. (10.2.9)
Отсюда находим следующее выражение для фазовой
скорости
v; = vm[\^p{PnafFmR{fi)\, (10.2.10)
и коэффициента затухания этой волны
ϊτη=—»οξπ1(βηαΥαΚ
В этих выражениях обозначено
(10.2.11)
\ms ω Ι
τη л\ ' # η ' τη
ν Ρ ν ρ ρ
ι Г s τη rors
Ч^п')-
ν PnJ
(10.2.12)
Пусть, наконец, поперек волокон распространяется
поперечная волна вдоль оси х3 (Ua=ma). Фазовая скорость этой
волны уш и ее коэффициент затухания γ wx определяются
выражениями
ν = ν
тт тт
1 + ЫрАКМ0)\ rm=^-rr^{fimafaFm„
о 1о
Ρ-.β.=-*
Fm=-
wx
P.Ps
ν4
+ 2
V Гт
A
(10.2.13)

518
Как видно из приведенных формул, в рассматриваемом
длинноволновом приближении скорости упругих волн,
распространяющихся поперек волокон, лишь незначительно
снижаются с ростом частоты. Это следует из отрицательности
величины R(q) и из того факта, что множитель при малой
безразмерной частоте имеет порядок единицы. Этот вывод
согласуется с имеющимися экспериментальными данными и
результатами, полученными для регулярного расположения
волокон другим путем.
Что же касается коэффициентов затухания, то они должны
быть положительными величинами. Отсюда следует, что
множитель ξ должен удовлетворять условию ξ>0. Поэтому так
же, как и для сферических включений (§9.3), это накладывает
ограничение на величину объемной концентрации волокон,
при которой полученные формулы для γ остаются физически
непротиворечивыми. Так, например, для функции Φ (у)
простейшего вида
Ф(у) = Н(2а-\у\), (10.2.14)
где Η (ζ) - функция Хевисайда, величина ξ положительна
лишь при /?<0.25. Разумеется, использование более точных
формул для Ф(>0 может существенно расширить область
применения полученных формул.
Заметим теперь, что в случае регулярного расположения
волокон интеграл от функции Ф(>0 по всей плоскости χλχ2
равен площади ячейки периодичности. Отсюда следует
равенство нулю величины ξ, что соответствует отсутствию
затухания длинных волн в материалах с регулярным расположением
неоднородностей.
Допустим, наконец, что концентрация волокон мала
(р«\). В этом случае, отбрасывая члены, имеющие порядок
О(р) в формулах для коэффициентов затухания, получим
Ут = j"oQl* > Г г» = \nJ2m, Гш = \n.Qm, (10.2.15)
где величины QLn, Qm и QTm - полные сечения рассеяния
соответствующих волн, выражения для которых совпадают с
полученными в §8.6, п.6°.

519
§10.3. Распространение упругих волн
вдоль волокон
Рассмотрим теперь случай, когда па=та, т.е. волна
распространяется вдоль волокон. Тогда, как это следует из (10.1.46),
дисперсионное соотношение принимает вид
detfe4C^fe5^K -^2ραβ3,ω)} = 0, (10.3.1)
где тензоры С*(к3,со) и р*(к3,со) определяются общими
выражениями (10.1.47), в которых следует положить к3-к3.
Очевидно, что (10.3.1) представляет собой
трансцендентное уравнение относительно волнового числа к3. Решая его в
длинноволновом приближении, заменим величину к3 в
формулах для С*(к3,со) и р(к3,со) ее "статическим" пределом,
удовлетворяющим следующему уравнению:
dette/я/^/Ия - ^Рёа» } = 0, (Ю.3.2)
где С* и ps определяются формулами (10.1.47) при ω = 0. При
этом в выражениях для компонент тензоров С* и ρ
появляются множители порядка δ21η(δφ(ρ))9 где <р(р) - некоторая
функция концентрации волокон. Рассмотрим отдельно два
случая.
Г. Будем считать, что объемная концентрация волокон не
слишком мала, так что S2ln(S<p(p))~S2lnS. Тогда, как и в
предыдущем параграфе, выражения для тензоров
^=mfiClpXM(k3s,co)mx и ρ\μ\ί3^ω) упрощаются и
принимают следующий вид:

520
η(Κ>®ί = η, +/>"(4><у), μ'(^,ω) = μί + pp(k3t,(o),
ns = Л0 +2μ0 +pnR, nR = Я, + 2μχ
{\-p)t
λ0+2μ.+{ΐ-ρ)^'
п(къ$,ω) = , l.,i \nlk?
J\nR*U
+2/,»^[^)],β+«(^/ν) + [/ί^)0}.
Д*з..®) =
2/4
А®2
4
ι 2^,
|Л
+Я
{λ.+2μ.)λχ
λ0+2μ0+{\-ρ)^
Ραβ(Κ> ω) = Ps5afl + ΡΡαβ{Κ><>>), (Ю.З.З)
V 2 у
Ук)
Е\ > К-
Ραβ
(4'Й>)
Α A<»'
/ \
g = gf-pgF, G = Gf-pGF, Cp=ClPsD°, D°=(l + ClPs)~ .
Уравнение (10.3.1) имеет два существенных корня. Один
из них k3L соответствует продольной волне,
распространяющейся вдоль волокон. С принятой точностью эта величина
определяется выражением
4l = <*ί{ΐ+ρ[Ρι.(ν)/ρ, -лЫ/л,]}. α» = Wa/Ч .
(10.3.4)

где обозначено
521
рМ=рл
-ь-4-4к)+¥.
A PfiL
Ро(о
пс
PfiL
<ή
па\
PqL
Μ/ν) +ΨΜΙ
J/»y
> p\l =Ч2-а2т {q=a,0),
(10.3.5)
а функция П((о) получается из формулы для П(къ,со) в
(10.3.3), в которой величину къ следует заменить ее
статистическим пределом k3s=am, соответствующим продольной
волне. После ряда преобразований формула (10.3.4) переходит в
следующую:
Kl = <*„
1—р\
\а J
, (10.3.6)
F- ~~ р^ЫУ- ~п*+/йГ+ж (avL -щГ+
J 1_
2 2
VVL VLmJ
\1r\> VLm =
а функция J(q) {q-α,β) определена в (10.2.2).
Действительная часть (10.3.6) аналогично предыдущему
определяет скорость vLm((D) продольной волны,
распространяющейся вдоль волокон:
vL = ^тГ1+^(ата)2^иЛ(а)1, (10.3.7)

522
где R(q) определено (10.2.7). Мнимая часть (10.3.6) равна
коэффициенту затухания этой волны
Уьт=ЫА<*АаРш- (Ю.3.8)
Из формулы (10.3.7) следует, что скорость продольной
волны с волновой нормалью та лишь незначительно
уменьшается с ростом частоты.
Второй корень уравнения (10.3.1), соответствующий
поперечной волне, представляется в форме
4 = /%,{* +р[рМ/р* -Μ/μ,]}, (10.3.9)
Ρτ(ω)=Ρι
|>4иа
Р,о)
Ρβτ *
V Ms
где функция μ((θ) получается из формулы для μ(&3,ω) в
(10.3.3), в которой величину къ следует заменить на /?т.
Отсюда в принятом приближении получаем
Кт = А
4*А
RTm +р\
аРк
k*p°j
Ms 2
Km ~
Κ + ±^1(ΡχνΙ-2μΕ)2
ZPoMs
R{0), vrm=V^/A,
R =
PoPs
1/2 \2 1
2 2
2v:
ν*,2
/4

523
(10.3.10)
где Η (Ζ) - функция Хевисайда, а величина R(fi) определена
в (10.2.7).
Заметив теперь, что для композитных материалов на
основе высокомодульных волокон и полимерного связующего
второе слагаемое в квадратных скобках в правой части (10.3.10),
содержащее множитель Εχ/μχ, может значительно превышать
величину Rm. Если этой величиной пренебречь по сравнению
с членом, содержащим Ех, то выражение для фазовой
скорости принимает вид
ν = ν
ztn ztn
*V
β·)
Ms
(10.3.11)
Отсюда следует, что скорость поперечных волн,
распространяющихся вдоль волокон, увеличивается с ростом частоты,
причем это возрастание может быть существенным даже в том
случае, когда длина волны значительно превышает диаметр
волокна. Это согласуется с имеющимися экспериментальными
данными и результатами других подходов к рассматриваемой
задаче.
Что касается коэффициента затухания поперечной волны,
то эта величина определяется формулой
Υττη=-ηο^ξ{βΑ^τη
(10.3.12)
2°. Пусть теперь концентрация включений мала, так что
выполняется условие S2 In(/?<5)~0(1). В этом случае следует
пользоваться общими формулами, в которых необходимо
перейти к пределу при /7 —>0. Рассмотрим это на примере той
же поперечной волны. С точностью до главных членов асимп-

524
тотики по концентрации волокон ρ (или пс) коэффициент
затухания поперечной волны, распространяющейся вдоль
волокон, представляется в форме
P^>=-nrf(fiafa
С
—
U
Mr
(ω,ΡΪ
Я
(10.3.13)
Mr (в>,р) = МЛ
1 +
Μι
2Мо
гЖъ,
Очевидно, что при этом невозможно осуществить подобно
(10.2.15) представление коэффициента затухания в виде
произведения численной концентрации включений на полное
сечение рассеяния изолированного включения, характерного
для неоднородности конечных размеров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итог, остановимся на общей характеристике
метода эффективного поля, который последовательно
использовался в этой книге для описания упругих полей в матричных
композитах, армированных случайным множеством
включений. Как уже отмечалось в гл.У, получить точное решение
задачи теории упругости для стохастически неоднородной среды
в общем случае невозможно. Вследствие стохастической
нелинейности этой задачи каждый из статистических моментов
решения выражается через всю совокупность моментов более
высокого порядка. Поэтому, чтобы сделать задачу обозримой,
приходится вводить дополнительные предположения, строго
обосновать которые не всегда удается. Для решения подобных
задач предлагался целый ряд подходов, упомянутых в разделе
"Комментарии и литературные ссылки".
Модифицированный метод эффективного поля,
предложенный в монографии, занимает в идейном отношении
промежуточное положение между известными
самосогласованными схемами и методами типа сглаживания [126]. Общими с
методами самосогласования (МС) являются введение
локального внешнего поля ε*(Χ), действующего на каждое
включение в композите, и предположение об одинаковой структуре
этого поля для всех включений (гипотеза Нх § 6.1). Отличие
от одночастичного приближения МС состоит в том, что поле
ε*(Χ) считается здесь случайно изменяющимся от включения
к включению. Для построения замкнутых уравнений
относительно статистических моментов эффективного поля ε*(Χ)
используется процедура расщепления сложных средних,
которая характерна для метода сглаживания (§ 6.3).
Таким образом, в основе предложенного в работе метода
лежат гипотезы о состоянии каждого включения в
деформируемом композите. Строго говоря, область изменения
концентрации и свойств включений, в которой гипотезы метода
выполняются точно, невелика. Это случай малой концентрации,
когда включения не взаимодействуют. Действительно, при

526
этом каждое включение находится в одинаковом
приложенном к среде внешнем поле ε° (гипотеза Ηλ), которое не
зависит от случайных размеров и упругих свойств включений
(гипотеза Н2). Следовательно, если одночастичная задача
решена точно, то при малой концентрации включений метод
эффективного поля позволяет получить точное решение
стохастической задачи.
С увеличением концентрации включений справедливость
гипотез метода Нх и Н2, вообще говоря, нарушается. При
этом гипотеза Ηλ оказывается неправомерной, если
эффективное поле ε*(Χ) в областях, занятых включениями,
существенно неоднородно. Это может иметь место, когда включения
находятся достаточно близко друг к другу, то есть при их
большой концентрации. С другой стороны, чем большее
число включений оказывает прямое влияние друг на друга, тем
более оправданна гипотеза Н2. Таким образом, при большой
концентрации включений используемая в методе
эффективного поля аппроксимация состояния каждого включения может
быть далека от действительности. Эта аппроксимация будет
наверняка плохой, если ее оценивать по стандартам,
заимствованным из решения задачи о взаимодействии конечного
числа включений. Однако, поскольку первые статистические
моменты упругих полей являются довольно грубыми
характеристиками стохастического решения, то часть информации о
состоянии отдельных включений наверняка является
несущественной. Аппроксимацию поля внутри каждой частицы можно
считать хорошей, если она позволяет получить хорошие
приближенные выражения для величин, представляющих
непосредственный физический интерес (средних значений поля,
эффективных постоянных, плотности энергии и ее
флуктуации, корреляционных функций упругих полей). Поскольку
эти величины определяются лишь малой частью полной
информации, которая содержится в точном решении
стохастической задачи, то большая часть этой информации оказывается
ненужной. Следовательно, не столь важно, насколько точно
передает аппроксимация поля внутри включений эту
ненужную часть информации. Качество той или иной
аппроксимации можно оценить путем сравнения предсказаний теории с

527
результатами экспериментов или точными решениями, когда
последние существуют.
Погрешность метода эффективного поля при решении
задачи осреднения исследовалась в работе для стохастических и
регулярных композитов с различными типами армирующих
элементов. При этом оказалось, что область изменения
параметров микроструктуры, в которой метод дает ошибку,
превышающую 10%, относительно невелика. В нее попадает,
например, случай очень жестких (Е/Е0> 10) квазисферических
включений при объемной концентрации р>0А. Однако
модификация метода эффективного поля, позволяющая учесть
особенности парного взаимодействия между включениями в
композите, дает возможность описать экспериментальные
данные о модулях упругости композита вплоть до
концентраций, близких к плотной упаковке (§ 6.5). Заметим, что
сравнение с точными решениями для регулярных решеток трещин
показывает, что даже одночастичное приближение метода
эффективного поля позволяет правильно описать локальные
характеристики упругих полей в композитах - коэффициенты
интенсивности напряжений на трещинах (§ 5.8).
Предложенная в работе модификация метода
эффективного поля позволяет не только решить задачу осреднения, но и
получить выражения для статистических моментов решения,
вообще говоря, любого порядка. При этом учитывается
реальная структура композитного материала, а используемым
гипотезам и различным уточнениям расчетной схемы удается
придать ясный физический смысл. Этим методы типа
самосогласованного поля выгодно отличаются от методов
приближенного суммирования формального ряда теории возмущений
[126]. К сожалению, отсутствие в литературе достаточного
количества данных по экспериментальному определению
корреляционных функций упругих полей в неоднородной среде не
дает возможности оценить погрешность метода при
вычислении вторых моментов решения.
При рассмотрении волновых полей в матричных
композитах метод эффективного поля использовался для построения
длинноволновой асимптотики решения задачи осреднения в
случае включений различной формы. Следует отметить, что в
принципе метод может применяться и в том случае, когда
длина волны падающего поля сравнима или даже меньше ха-

528
ракгерных размеров включений. Разумеется, при этом
существенно возрастают трудности, связанные с решением одночас-
тичной задачи. Для сферических включений и произвольной
длины волны падающего поля реализация метода
эффективного поля осуществляется в работе [233].
Содержание монографии ограничено задачами теории
упругости и термоупругости. Однако основные идеи метода
могут быть использованы и для решения нелинейных задач. В
случае возникновения упруго-пластических деформаций и
деформаций ползучести в композитном материале трудности
реализации метода связаны с разработкой эффективных
вычислительных алгоритмов решения одночастичных задач и
прогресс в этой области в значительной мере связан с
использованием современной вычислительной техники.
Наблюдающееся в настоящее время бурное развитие этой техники
позволяет надеяться, что метод эффективного поля станет
мощным средством решения более сложных (нелинейных) задач
механики композитных материалов.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ БАЗИСЫ
П1.1. Базисы четырехвалентных тензоров
Для представления четырехвалентных тензоров,
фигурирующих в задачах теории упругости неоднородной среды,
удобно использовать специальные базисы, которые образованы из
единичного двухвалентного тензора и одного или двух
ортогональных единичных векторов. Ниже приводятся явные
выражения для этих базисов, а также формулы, позволяющие
упростить операции с тензорами, принадлежащими линейной
оболочке рассматриваемых базисов. Начнем с тензоров в
трехмерном эвклидовом пространстве.
1°. Основной или Ε-базис. Рассмотрим четырехвалентные
тензоры, образованные из единичного вектора η и
единичного двухвалентного тензора 6^. Пусть эти тензоры будут
симметричными по первой и второй парам индексов, но вообще
говоря, несимметричные по перестановке пар. Можно
показать, что все тензоры такой структуры представляются в виде
линейной комбинации следующих шести линейно
независимых базисных тензоров
Είβλμ = δα{λδμ)β> Ε1βλμ = δαβδλμ > Ε1βλμ = δα/1λ^μ > (ΠΙ.1.1)
Ε1βλμ = "α"βδλμ > Ε1βλμ = "*)"(Α)(/> > ΕΦΨ = "α"β"λ"μ ·
Эти тензоры образуют замкнутую алгебру относительно
операции умножения - свертки по двум индексам
(VB'^^U- Oil·")
Приведем таблицу умножения тензоров Ε

530
Ε1
Ε2
Ε3
Ε4
Ε5
Ε6
Ελ
Ελ
Ε1
Еъ
Ε4
Ε5
Ε6
Ε2
Ε2
3Ε2
Ε2
3Ε4
Ε4
Ε4
Ε3
Ε3
3Ε3
Ε3
3Ε6
Ε6
Ε6
Ε4
Ε4
Ε2
Ε2
Ε4
Ε4
Ε4
Ε5
Ε5
Ε3
Ε3
Ε6
(Ε5+Ε6)/2
Ε6
Ε6
Ε6
Ε3
Ε3
Ε6
Ε6
Ε6
(ΠΙ.1.3)
Рассмотрим линейное пространство четырехвалентных
изотропных тензоров, симметричных по первой и второй паре
индексов. Базис этого пространства состоит всего из двух
элементов Е1 и Е2. Для обращения тензоров из этого
пространства удобно перейти к базису ортогональных тензоров Е2 и
Е1-Е2/3:
Е2(ех -\Е2) = (Ε1 -\Е2)е2 = 0. (П1.1.4)
Отсюда для произвольного тензора А
Α = αλΕ2+α1[Ει-\Ε2), (Π1.1.5)
где α,,ί^ -скалярные коэффициенты, нетрудно получить
выражение для обратного тензора А~Х\АА~Х = А~1А = Ех)
A~l=u;E2+MEl-iE2)- <Π11·6>
2°. Ρ -базис. Этот базис конструируется аналогично (П 1.1.1),
но роль единичного двухвалентного тензора 5^ играет
проектор θ φ на плоскость, ортогональную вектору Ш (|т|=1)
0afi = S^-mamfi. (Π1.1.7)

531
При этом Ρ-базис состоит из шести четырехвалентных
тензоров, которые определяются выражениями
PU = 0α(λθμ)β, Ρ^μ = 6W P^ = θ^ηληιβ, (Π1.1.8)
Элементы Ρ и Ε -базисов (Π 1.1.8) и (П 1.1.1) связаны
соотношениями
Ρ'=αβΕ', Ε'=(α-ι)βΡ\ (Π1.1.9)
где матрицы а и а-1 имеют следующую структуру
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0 2 1
1 0 1
0 0 1
1 0 1
0 1 1
0 0 1
(П1.1.1
Ю)
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0
-1
1
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
-2
0
0 -
0 -
1 -
0
Шесть тензоров Р1 также образуют замкнутую алгебру
относительно операции умножения (П1.1.2). Таблица
умножения этих тензоров имеет вид
Р1
Р2
Ръ
Р4
Р5
1 р6
Рх
Р1
Р2
0
Р4
0
0
Р2
рг
2Р2
0
2Р4
0
0
Ръ
Р3
2РЪ
0
2Рб
0
0
Р4
0
0
Р2
0
0
Р4
Р5
0
0
0
0
Р5/2
0
Р6
0
0
Ръ
0
0
Р6 \
(П1.1.11)

532
Заметим, что тензор PX-P2J2 ортогонален всем
элементам базиса Р\ за исключением Р\ т.е.
= (Р1-$Р2)Р=0,1*\, (р1-^2)(р1-^2) = (р1-^2).
(П1.1.12)
Очевидно, что линейные оболочки Ε и Ρ-базисов
совпадают.
Пусть тензор А в Ρ-базисе имеет вид
А = αλΡ2 + а2(рх -±Р2)+а3Ръ +а4Р4 +а5Р5 +а6Р\
(П1.1.13)
где q (/ =1,2,...,6) - скалярные коэффициенты. Тогда
обратный тензор А~х (ΑΑ~Χ=Α~ΧΑ-ΈΧ) определяется
соотношением
А-1 =^Р2 +λ(ρ* _1рА_ЪрЗ _Чр4 +±р5 ^рб
2Δ а2К Ί ' Δ Δ α5 Δ
Δ = 2{αλα6-α3α4). (Π1.1.14)
Пусть тензоры А и В представлены в Ρ -базисе
аналогично (П1.1.13). Произведение этих тензоров АВ (свертка по
двум индексам) определяется соотношением, которое следует
из (П1.1.11) и (П1.1.12)
АВ = {2ахЪх +a3b4)P2 + а2Ь2(рх -\Р2) + {2ахЬ3 +а3Ь6)Р3 +
+{2а4Ь} +а6Ьл)РА +\а5Ь5Р5 +{a6b6 +2a4b3)b6. (Ш.1.15)
3°. θ-базис. Пусть θ^ - проектор на плоскость,
ортогональную вектору т (П 1.1.7), а п - единичный вектор, лежащий в
этой плоскости (т-п=0). Определим элементы 0-базиса
соотношениями
&αβλμ = θα{λθμ)β> ^αφλμ = ^αβ^λμ > ^αβλμ = ^ο^1λημ > (ΠΙ.1.16)

533
Приведем таблицу умножения элементов 0-базиса:
0
0
0
*
0
0
0
0
0
0
&
0
0
0
0
20
0
20*
&
&
0
0
20
0
20
0
0
0*
0*
0
0
#
et
0*
0
0
0
0
0
(0+0)/2
0
0
0
0
0
0
0
01
(П1.1.17)
4°. R -базис. Этот базис составлен из следующих пяти
тензоров:
Κρχμ = η<ΡιΡλημ, Κβχμ = ™απιίμιλϊημ, Κ^λμ = τηατη^ιλημ,
Κβλμ = ηαη^1λΐημ , Κβλμ = ηα)η{λ™μ)™{β> (Π1.1.18)
где Пит- ортогональные единичные векторы. Свертка
тензоров этого базиса по двум индексам характеризуется
следующей таблицей
R1
R1
R3
R4
R5
R1
R1
0
R3
0
0
R2
0
R2
0
R4
0
R3
0
R3
0
R1
0
R4
R2
0
R2
0
0
R5
0
0
0
0
R5/2\
(ΠΙ.1.19)

534
5°. Формулы осреднения для элементов Ε,Ρ,Θ и R -базисов.
При решении задачи осреднения стохастически неоднородной
среды возникает необходимость вычисления средних по
единичной сфере или единичной окружности от элементов
введенных выше базисов. Приведем значения соответствующих
интегралов по единичной сфере Ω}:
(£'(и)) = -!-|£'(«)<Юя, / = 1,2,...,6, (П1.1.20)
{Е*) = Е\ {Е*) = Е2, (Е>(п)) = (Е*(п)) = ±Е\
(Е*(п)) = ±Е\ (Ε6(η)) = ±№+Ε>),
(Pi(m)) = -^JF{m)dQm, / = 1,2,...,6, (П1.1.21)
{рЩ = ±(Е*+7Е>),(Р>(т)) = ±(Е>+ЗЕ2),
{Р(т)) = {Р*(т)) = £(2Е*-Е%
(Р>(т)) = №-$Е>),(Р6(т)) = £№+Е>).
Элементы θ и R -базисов осредним по вектору И,
лежащему в плоскости, ортогональной вектору т. Указанные
средние, которые равны интегралам по единичной окружности 1Х
в этой плоскости, следующим образом выражаются через
элементы Ρ-базиса:
(0{m,n)) = ^-j0{m,n)dla, / = 1,2,...,6, (П1.1.22)
η
(&(m,n)) = P\m)t (f?(m,n)) = P2(m), {(?{m,n)) = \P\m),
^{т,п)У\Р\т),^(т,п))^Р\т), (^П))^(р2(т)+2Р\т%

535
(Ri(m,n)) = j-JRi{m,n)dln, / = 1,2 5, (Π1.1.23)
h
(#{т,п)) = ЦР2W + 2P1 (m)), (R2(m,n)) = Ρ6Μ,
(R\m,n))=$P*(m), (R*{m,n))=\p\m), {R\m,n))=\p\m).
6°. Двумерное пространство. Рассмотрим аналог Ε и
Ρ-базисов в двумерном случае. Начнем с £-базиса, который имеет
вид (Ш.1.1), но греческие индексы принимают значения 1,2.
Существенно, что в двумерном случае не все из шести
тензоров Е1(п) являются линейно независимыми и связаны
следующим линейным соотношением
Е1 -Е2 +Е3+Е4 -2Е5 = 0. (П1.1.24)
Поэтому линейно независимыми в плоском случае
оказываются пять из шести тензоров Е\п) вида (Ш.1.1) (любые
четыре из первых пяти и Е6(П)).
Для Ρ-базиса линейная зависимость тензоров (П1.1.8)
очевидна, поскольку тензоры Рх и Р2 в двумерном случае
совпадают. Таблица умножения пяти линейно независимых
элементов Ρ -базиса имеет вид
Ρλ
Ρ3
Р4
Р5
Р6
Ρλ
Ρ1
0
Ρ4
0
0
Ρ3
Ρ3
0
Ρ6
0
0
Ρ4
0
Ρ1
0
0
Ρ4
Ρ5
0
0
0
Ρ5/2
0
Ρ6
0
Ρ3
0
0
Ρ6
(ΠΙ.1.25)
Произведение двух элементов линейной оболочки Ρ
-базиса (А и В)

536
A = αχΡλ +a3P3 +а4Р4 +asP5 +а6Р\ (ΠΙ.1.26)
В = ЪХР1 + Ь3Р3 + Ь4Р4 +bsP5 +Ь6Р6,
где aiyb{ - скалярные коэффициенты, определяется
соотношением
АВ = (а,*, +а3Ь4)Р1 + (яД +а3Ь6)Р3 + (П1.1.27)
+(а4г>, + а6Ъ4)Р4 +$а5Ь5Р5 +(а4Ь3 +а6Ь6)Р6.
Отсюда следует выражение для обратного тензора А~1:
^-1=£lpi_5.p3_£lp4+lp5+£Lp6)
Δ Δ Δ α5 Δ
Δ = αια6-α3α4. (Π 1.1.28)
Связь между элементами Ε и Р -базисов в двумерном
случае определяется следующим образом:
\Ех=Рх+2Р5+Р6, Е2=Рх+Р3+Р4+Р6,
\Е3=Р3+Р\ Е4=Р4+Р6, E5=P5+P\ е*=Р*} '
l4 r4 r6 n5 г5 г6 п6 77б (П1.1.30)
\Pl=El-2Es+E6, Р3 = Е3-Е6,
\Р4=Е4-Е6, Р5 = Е5-Е6, Р6=ЕЬ.
Наконец, формулы осреднения элементов Ε и Ρ-базисов
в двумерном случае имеют вид
(Ei{n)) = ^\Ei{n)dln, / = 1,2,...,6, <Ш.1.31)
Ί
(Е*) = Е\ (Е2) = Е\ (Е3{п)) = {Е4{п)) = \Е\
(ЕЩ = ±Е\(Е6(п)) = Ц2Е>+Е>),
(Р'Н = А1р,("Н> ' = 1.3,4,5,6, (П1.1.32)

537
(P>(n)) = i(2E>-Ei),{P6(n)) = i(E>+2E>).
Π 1.2. Изотропный шестивалентный тензор
При решении задачи со скалярным потенциалом в П.2.5 в
случае квадратичного внешнего поля возникла необходимость
в операциях с шестивалентным изотропным тензором,
симметричным по двум парам тензоров. Тензоры такой структуры
представляются в виде линейной комбинации следующих
тензоров:
ΩαχΙμβρτ - °αβ°λμ°ρτ > Ο,αλμβρτ = **° αβ° λ{ρ° τ)μ >
<2ΐλΜβρτ = 2δα(λδμ)βδρτ> Ωαλμβρτ = 2<W^r)βδλμ > (Π1.2.1)
Ο,αλμβρτ = ^°α(λ°μ)(ρ°τ)β > ϋαλμβρτ = ^°ρ\λ°μ)(ρ°τ)α ■
Эти тензоры образуют замкнутую алгебру относительно
операции умножения - свертки по трем индексам
\QQ} ]„Wwr - (έαλμβρτΩδνσβρτ ·
αλμδνσ
(Π1.2.2)
Правило умножения тензоров Q -базиса (П 1.2.1)
представлено в таблице.
ρ1
\q2
\q3
\q4
\q5
\q6
Q1
3Q1
2Ql
3Q3
2Ql
2Q3
2Q3
Q2
2Q}
2Q2
2Q3
2Q4
2Q5
2Q6
Q3
2Q}
2Q3
2Q3
SQl
SQ3
4QX +2Q3
Q4
3Q4
2Q4
3Q5
2Q4
2Q$
2Q5
Q5
2Q4
2Q5
2Q5
Щ4
SQ5
4Q4+2Q5
Q6 1
2Q4
2Q6
2Q5
4Q'+2Q4\
4Q3+2QS 1
4Q2+2Q6\

538
Допустим, что два тензора А и В принадлежат линейной
оболочке Q -базиса, т.е.
ί=1 »=1
где а. и br скалярные коэффициенты. Произведение этих
тензоров может быть найдено с помощью приведенной
таблицы и имеет вид
АВ = [αφλ + 2a2bx + 2a4b2 +4a6b3)Q} +l(a2b2 +a6b6)Q2 +
+[2a2b3 +αφλ +2a5b2 + 2a6(bx +£3)]β3 + (Π1.2.4)
+(аД + 2a2b4+2a4b4 +4a6b5)Q4 +
+[2a2bs + a3b3+2a5b4 + 2a4{b4 +b5)]Q5 +2[a2b6 +a6{b2 +b6)]Q6.
Здесь обозначено
ЬХ=ЪЬХ+2Ъ2+2ЬЪ, Ь2=ЪХ+4ЬЪ+2Ь6, (П1.2.5)
b3=3b4+2b5+2b6, b4=b2+b4+4b5+b6.
Используя эти выражения, можно найти шестивалентный
тензор, обратный заданному (B~lB = ^Q2):
в-х = ^-{ь2в2 -ъа)<2х +^Q2 +у-ЙД, -ъл)<23 +
Δ2 4Δ, Δ2
+ϋ_(^_^)β«+±(^_ϊ;5)β»_Λ_β«.(Πΐ.2.6)
Δ2 Δ2 4Δ,
Здесь обозначено
Δ, = b2{b2 +b6)-2bl, Δ2 = Щ -Ъ2Ъг,
В*=Т^ЫК+К)-2Ъ&1 Вг=-^{Ъ2Ъг-Ъ&),

539
Вг=-^[ЪХЪ2+Ъ6)-2Ъ5Ъ61 ВЛ=^{Ъ2Ъ5-ЬАЪ6).
4Δ,
П. 1.3. Матричные представления
элементов Ε,Ρ,Θ и Л-базисов
Для конкретных вычислений удобно воспользоваться
изоморфизмом между четырехвалентными тензорами,
симметричными по первой и второй паре индексов, и матрицами
размерностью (6x6) [23]. При этом двухвалентному
симметричному тензору qap соответствует шестимерный вектор qi
(/=1,2,...,6) с компонентами
Ч\ = Ч\\ > Чг = Чп > Чъ = Чъъ > Ча = Чп > Чъ = Ч\ъ > Че = Чгъ ·
(П1.3.1)
Матричные представления элементов £-базиса Π 1.1.1
имеют следующий вид
Ех =
2 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 10 0
0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 1
\,Е2 Ί
1 1 1 0 0 0|
1110 0 0
1110 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Е3 =
\П\ nl nl пхп2 я,и3 п2пг
\nl nl nl пхп2 пхпг п2пг
«1
0
0
0
щ
0
0
0
ПЪ
0
0
0
пхп2
0
0
0
и,и3
0
0
0
п2пъ
0
0
0
Е4 =
nl
nl
nl
щщ
"Л
п2пг
nl
nl
nl
П\П2
и,и3
п2пг
nl
nl
nl
п\пг
П\пг
п2пъ
0 0 0|
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0

540
E5 =
4nx2
0
0
2w,w2
2w,w3
0
0
4«22
0
2nxn2
0
2n2n3
0
0
4«32
0
2и,«3
2и2"з
2ηλη2
2nxn2
0
2 2
п2пъ
п\пъ
2пхпъ
0
2пхпъ
щпъ
2 2
". +"з
«1«2
0
2и2и3
2"2"з
"Л
w,w2
2 2
«2+"з
Е6 =
",4
">2
и>2
"l4
п]пг
п2хп2пг
2 2
П\П2
п\
п\п\
пхп\
пхп\пг
п\пг
п2п2
2 2
«2«3
«3
П\Щп\
пхп\
п2п\
п\п2
пхп\
пхп2п\
2 2
щп2
п\п2пг
щп}щ
пх\
пхп\пг
пхп]
п\п2щ
2 2
щп2п\
п2п2пг
п\пъ
п2п\
пхп\пг
пхп2п\
2 2
п2пъ
Здесь пх,п2,пъ - компоненты вектора Π в фиксированной
декартовой системе координат.
При записи матричных аналогов элементов Ρ-базиса
(Ш.1.8) будем считать, что вектор т направлен вдоль оси хъ
декартовой системы координат х15х2,х3· При этом элементы
Ρ -базиса принимают вид
Р] =
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Р2 =
110 0 0 0
110 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

541
Рг =
0 0 10 0 0
0 0 10 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
\,Р4=\
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
110 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
Матричные элементы θ -базиса (П 1.1.16) также запишем
в случае, когда вектор Ш направлен вдоль оси х3. При этом
вектор П лежит в плоскости х,,дг2 (и3=0)
0=Р\ 6Р = Р2,
&
, 2
\п: η
0
0
о
о
0 щпг
0 и,и2
0
0
0
0
о о
о о
о о
о о
о о
о о
\*\
к
η
0
Wn2
0
0
п\ 0 0 0 0
п\ 0 0 0 0
0 0 0 0 0
пхп2 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
4"?
0
0
2я,и2
0
0
0
4я22
0
2и,л2
0
0
0
0
0
0
0
0
2и,л2
2л,и2
0
2 2
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
\*\
<
0
0
г\пг
0
0
0
п\
0
«1«23
0
0.
0 п\пг
0 пхп\
0 0
0 0
0 0
0 0
О О
о о
о о
о о
о о
о о
Матричные представления элементов Л-базиса (Ш.1.18) в
аНалогичной системе координат имеют вид

542
0
о
к
0
0
0
0
0
"Ι
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ηλη2
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
ρ
0
0
0
0
0
0
0
0 2w,w3
0
0
2«,«3
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
η]
nl
0
"ΐ«2
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 2н,и3 2и,«3
0 0 0
0 nf 2«,«2
0 2«,«2 nl

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ,
ПОРОЖДЕННЫЕ ФУНКЦИЕЙ ГРИНА
СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Функцией Грина G(X) для статических перемещений в
неограниченной однородной среде с тензором модулей
упругости С° называют исчезающее на бесконечности решение
следующего уравнения
{ί°αβΟβΧ)(χ) = δαλδ{χ), Γαβ = -νχσλαβμνμ, (Π2.0.1)
где δαβ - символ Кронекера, S(X) - дельта-функция.
Здесь будут рассмотрены функции Грина для деформаций
и напряжений, которые выражаются через производные
функции G(X). Приведены к и X-представления этих функций,
получены формулы регулярного представления интегральных
операторов, ядрами которых являются такие функции.
П2.1. Функции Грина статической теории
упругости в к -представлении
Прямое F и обратное F~] преобразование Фурье функций
в трехмерном пространстве определяется формулами
{Ff)(k) = f{k) = jf{x)exp{ik-x)dx, (П2.1.1)
(^1/,)(х) = /(х) = (2яг)-'//*(*)ехр(-1*-х)Л.
Имеет место формула Парсеваля
(/>) = (2*Π/>·), {/,φ) = \/(χ)φ{χ)άχ. (Π2.1.2)

544
Здесь f(x), φ(Χ) - функции в Β?,~φ - комплексно
сопряженная величина.
Преобразование Фурье G (к) функции Грина для
перемещений в силу (П2.1.1) имеет вид
с\к) = (г(к))~\ Ejk) = κσλαβχ (Π2.1.3)
и является однородной функцией степени (-2).
В случае изотропной среды функция G (к)
представляется в форме (к2=кака)
G'(k) = —,
f ЬЬЛ λ.+μ,
μΧ
ГУ β
αβ «Ό ,2
V Κ J
о ^ (П2.1.4)
Αβ+2//β
Функция Грина для деформаций в среде с источниками
внешних напряжений определяется соотношением (1.1.31)
^Λ,(^) = -[ναν^(χ)](^Γ (Π2.1.5)
Преобразование Фурье этой функции в силу (П2.1.4)
имеет вид
^(*)=[w;(*)U, (П2.1.6)
и является однородной функцией нулевой степени по к, В
случае изотропной среды выражение для К (к) принимает
вид
К*{к) = ±[Е5{т)-х0Е6{т)], та=ка/\к\, (П2.1.7)
где Е\т)- элементы основного тензорного базиса (П1.1.1).
Функция Грина S(x) для напряжений в среде с
источниками дислокаций связана с функцией К(х) соотношением
(1.2.9)
S{x) = С°К{х)С° - C°S(x), (Π2.1.8)
а ее преобразование Фурье имеет вид
S'{k) = C°K*{k)C° -C° , (П2.1.9)

545
и, как и К*(к), является однородной функцией нулевой сте-
пени. В случае изотропной среды S (к) принимает вид
S*{к) = -2μ0 [Ρ1 (т) + (2жо - \)Р2 (т)], (Π2.1.10)
где Р1(т) - элементы тензорного Ρ-базиса (Ш.1.8).
П2.2. Функция Грина в X-представлении
Рассмотрим л:-представления функций G(x) и К(Х) в
случае изотропной среды. Для построения этих представлений
воспользуемся формулами обращения преобразования Фурье
некоторых обобщенных функций [11]
^'(И = -А-|> ИИ = -^. » = А, (П2.2.1)
4я|дг| _
8я-
(к к \
V К J
4яг |х| 4я|х|
МЛ ι
£4 J 8ψ|
(^-η/ίβ), F~
(к к к к
= -^\е2 +2Ελ -iE\n) + E\n) + 4E\n)) + \5E6{n)V
8я|х| L J
где Ε1 {η) - элементы основного базиса (ΠΙ.1.1).
Из этих соотношений и (П2.1.5), (П2.1.7) и (П2.1.9)
следуют выражения для функции Грина G(x), К(х) и S(x)
Ga«{x)=—
4πμο
ар о а р \ \
\х\ \х\
-л ΓΙ [(1_ае° ) δαβ+3ηα"β].
4πμο \х г н FJ
(П2.2.2)

546
Κ{χ) = ^{ε] -3Ε5{η)-ψ[Ε2 +2Ε> - (Π2.2.3)
-Ъ{Е\п) + ЕА{п)+ЛЕ\п)) + \5Е\п)§,
+хо(е2 +6Е5(п)-\5Е6{п))}. (П2.2.4)
Здесь G(x) - однородная функция степени (-1),
интегрируемая при х=0, К(Х) и S(х) - однородные обобщенные
функции степени (-3). Действие этих функций на любую
финитную функцию <р(х) в R3 представляется формально
расходящимся интегралом. Для того, чтобы придать смысл этому
интегралу, воспользуемся предложенной в [26] схемой
построения регуляризации обобщенных функций, которые являются
производными регулярных функционалов.
Пусть V - некоторая область с гладкой границей Ω, для
которой точка х=0 является внутренней. Следуя [26],
представим действие обобщенной функции К(Х) на финитную в
R3 функцию φ(χ) в виде
{Κ,φ) = \κ(χ)[φ(χ)-φ(0)]άχ-Αφ(0) + 1_Κ{χ)φ(χ)άχ,
V V
(П2.2.5)
A = -j[VG{x)]n(x)dn , (Π2.2.6)
Ω
где V - дополнение V до всего пространства, П(х) - внешняя
нормаль к Ω. Здесь использованы теорема Гаусса и
представление (П2.1.5) для К(Х).
Отметим, что существует и другая возможность
регулярного представления интегрального оператора с ядром К(х),
основанная на свойствах свертки обобщенных функций1.
Действительно, в интегральном уравнении
На эту возможность указал А. А. Вакуленко.

547
ne(x) = n;(*) + ni(x), η\{χ) = \νμΟαλ{χ-χ')4λμ{χ')άχ',
4χμ{χ) = ηχ)?λμρτνρητ(χ), (Π2.2.7)
к которому сводится задача о равновесии упругого
пространства с включением, функция q(X) принадлежит классу С°°
внутри области V. Следовательно, функция и\{х)
дифференцируема почти всюду в R3, а в R3 \Ω, (где Ω - граница
области V), существует производная Vu](x). Это следует из
интегрируемости функций VG(jc) и q(x), каждая из которых
порождает регулярную обобщенную функцию, т.е. линейный
функционал, определяемый соотношениями вида
q(v) = \д(х)Ф)ах, (уот = j(VG(x))<p(x)dx,
где φ(χ) - любая "пробная" функция. Заданием такого
функционала порождающая его функция определяется с точностью
до значений на множестве нулевой меры и потому их -
функцию / и обобщенную функцию /(φ) = \fq>dx обычно можно
отождествить. Поскольку q(<p)=0 для любой <р(х) с
носителем, который не пересекается с замыканием ограниченной
области V, обобщенная функция q(X) имеет компактный
носитель. Поэтому определена свертка в (П2.2.7), причем
(П2.2.8)
А так как
V^(χ)=0\μρτ{ηβδ{Ω)VpuXx)+V(x)νβ4λημ{χ)), (Π2.2.9)
где δ(Ω) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности
Ω, то обобщенная функция в правой части (П2.2.8)
порождается следующей функцией на R*
Jv^(x-x')V^(x')dx' = (П2.2.10)

548
|_ω ν
При принятых выше условиях интегралы в правой части
этого выражения существуют как обычные и определяют
функции, всюду непрерывные на i?3. Поэтому в силу одного из
равенств (П2.2.8) обобщенная функция Vw](x) порождается
функцией на i?3, определенной соотношением
(П2.2.11)
Это равенство можно рассматривать как определение
регулярной части сингулярной (не порождаемой локально
интегрируемой функцией на R2) обобщенной функции Vi/(x).
Сингулярная ее часть извлекается из поверхностного
интеграла в правой части (П2.2.10).
Будем считать, что область V имеет форму эллипсоида,
поверхность которого задается уравнением
|а_1х|=1, (П2.2.12)
где а - двухвалентный симметричный тензор, deta> 0.
Представим выражение для тензора А (П2.2.6) в виде
A = jVG{x)VV{x)dx=j^jkG*{k)kV*{k)dk. (П2.2.13)
Здесь использованы равенство Парсеваля (П2.1.2), а также
соотношение
VV{x) = -η{χ)Ω{χ), (Π2.2.14)
где Q(x) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности
Ω - границе V.
Сделаем в интеграле (П2.2.13) замену χ = ay. Тогда
V(ay) = V{\y\), V*(k) = dttaV*{\ka\). (Π2.2.15)
Подставляя это соотношение в (П2.2.13) и заменяя к на
а~]к, получим

549
A = j^jr{a-lk)V'{\k\)dk, (Π2.2.16)
где K*(k)=kG*(k)k - однородная функция нулевой степени
по к. Поэтому, если k=\ktyn9 где т - вектор на единичной
сфере Ω, то выражение для А примет вид
А = -^\к'{ахт)<К1т)Г(Щ\к\Цк\. (П2.2.17)
(2я) о, о
Поскольку V(y) характеристическая функция единичного
■ шара, то
■~\П^=J^ |?·(|φρ<ψ|=v(wU= ι.
(П2.2.18)
Отсюда и из (П2.2.17) имеем окончательно
A = ±JK*{a-lm)dnm. (П2.2.19)
Ω!
Заметим, что константа А не зависит от абсолютных
размеров эллипсоида V, так как К*(к) - однородная функция
нулевой степени. Но тогда и функционал Кг
(^Гг,^) = J^:(x)[^jc) - ^0)]t*c-hJ^(jc)^jc)i*c, (П2.2.20)
ν ν
входящий в (П2.2.20), не зависит от абсолютных размеров
эллипсоида V. Это позволяет перейти к пределу в (П2.2.20),
стягивая эллипсоид V к нулю. При этом интеграл по V
исчезает, так как А^(х)~|х|~3, а второй интеграл в (П2.2.20)
выражается через интеграл в смысле главного значения по Коши,
который существует в силу существования обобщенной
функции К(х).
Итак, окончательно действие обобщенной функции К(х)
на любую финитную φ(Χ) определяется равенством

550
JK{x)<p(x)dx = A{a)cp(0) + dttafK(ay)<p(ay)dy, (П2.2.21)
где / - символ интеграла в смысле главного значения по Ко-
ши, тензор А (а) определен соотношением (П2.2.19). Тензор
а можно рассматривать как произвольное невырожденное
линейное преобразование X -пространства.
Совершенно аналогично для обобщенной функции S(x)
имеем
$S{x)<p(x)dx = D{a)<p(o) + dttals(ay)<p(ay)dy, (П2.2.22)
D(a) = Ь jS*(a~]m)dQm · (П2.2.23)
Причем, в силу определения (П2.1.10) функции S*(k),
имеет место равенство
D{a) = С°А{а)С° - С . (П2.2.24)
Следует отметить, что регуляризация (П2.2.21) имеет
место для всякой функции, преобразование Фурье которой есть
однородная функция нулевой степени. В частности,
регуляризация обобщенной функции
^α^.α^βλμμ^ μη\Χ> = [^ а^ α2·''^ απιΚαβλμ\Χ)\ΧμιΧμ2 ''' Χμη >
(П2.2.25)
где К(х) - функция вида (П2.2.3), определяется
соотношением, аналогичным (П2.2.21),
\км(хЫх)ас = A:(a)<p(0) + detafK{m)(ay)<p(ay)dy,
(П2.2.26)
АМ = Ь \K(m)\a-xk)dClk , (Π2.2.27)
Ω,
где Ω, - поверхность единичной сферы в £-пространстве.

551
Рассмотрим примеры вычисления тензоров вида А™.
Предварительно заметим, что выражения для этого тензора можно
представить в виде объемного интеграла, если в качестве
функции φ(Χ) в (П2.2.26) выбрать характеристическую функцию
эллипсоидальной области, заданной уравнением |а_1х|<1. При
этом V(ay)=V(\y\) - характеристическая функция единичной
сферы в j/-пространстве. Из существования интеграла в
смысле главного значения в (П2.2.26) следует равенство [106]
fK{m){ay)V{ay)dy = 0. (П.2.2.28)
Поэтому выражение для тензора А™(а) можно представить
в виде интеграла по объему рассматриваемого эллипсоида
Атт (а) = JK[m) {x)dx . (П2.2.29)
ν
Г. Пусть К](х) обобщенная функция, аналогичная
(П2.2.25) и построенная на основе скалярной функции Грина
G(JC), определенной в (2.5.8):
Κ%μ{χ) = [νλΚαβ{χ)]χμ, ** = νβν/τ(χ). (Π2.2.30)
Вычислим тензор А\((Л) на основе соотношения
) = ί^χΚαβ{χ)χμν{χ)άχ . (Π2.2.31)
Заменой переменных у=а~]х этот интеграл можно
привести к интегралу по шару единичного радиуса
4*ι>) =Η(α_1)Λν^ρ/ν^Μ^φ. (Π2.2.32)
Воспользовавшись теоремой Гаусса, получим

552
J{X = \4α'χ)ΧναμΡ\ «д»»^· (π2·2·33)
Ω.
Первый интеграл в этом выражении вычисляется сразу
J%, = ^MiKjay)dy = δλμ\Καβ{χ)άχ = Ααβ{α)δλμ ,
(Π2.2.34)
где тензор А {а) определен в (П2.1.29). Второй интеграл с
учетом выражения
00
jtxp(-y2/2)ydy = 1 (П2.2.35)
о
преобразуется к виду
J{X =\4а~])ха„р1уЛ<4,(ау)уре-у2/2<*У- (П2.2.36)
Далее по формуле Парсеваля имеем
(П2.2.37)
С учетом формулы
JxV^A = fi£^^f, (П2.2.38)
о р'
это выражение допускает представление в форме (ка/\к\=та):
J(X =^{α-ήχμαμρΙκ^{α->φνρ-3,η^ρ)άΩ. (Π2.2.39)
Ω,
Подставляя в формулу для J', получим
4*и, =-Α(α"0Αν^/^"1Φ^Ω· (Π2.2.40)
Для изотропной среды и сферического включения это
выражение дает

553
Ααβχμ == \(Εΐβχμ + ΐΚβχμ) , (Π2.2.41)
т.е. формулу (2.5.19) в тексте.
2°. Рассмотрим теперь интеграл
) = \νχνμΚαβ(χ)χρχτν(χ)άχ, (Π2.2.42)
к которому приводит квадратичное внешнее поле в случае
задачи со скалярным потенциалом. Указанная выше замена
переменных приводит его к следующему интегралу по
единичному шару Vx:
^Ιαβλμρτ
(П2.2.43)
Далее имеем аналогично предыдущему
4αβΧμΡΧα) = Η?'')Sa~X\aaSparijiX°Sr -j(ZLsr)>
J{XaSr = |«^Да/,(ау))иЛс/П, (П2.2.44)
^αβνσδγ
Ух
Применение формулы Парсеваля к интегралу jl· дает
_£
-1 A -SZ-
^U = -®-т1*Хф(°-Ч) /! ' Μ = (Π2-2.45)
(2 я) 2 acvcKscKY
Второй интеграл совпадает с рассмотренным выше

554
4U = Чг \Κβ{α-λφνσηι^γ + δ^/ησ)άα. (Π2.2.46)
Подставив выражение для в формулу для J',
получим
Ω!
что совпадает с формулой (2.5.7).
Для изотропной среды, и сферического включения имеем
^αβνσ&γ ~ ~7\°αβ°νσδτ + °αν°βσδ/ + °ασ°νβδχ + °αδ°νβσγ + °αχ°νβσδ) ~
-\δαβνσδ&τ^ δαβνσ = δαβδνσ + δανδβσ + δασδβν (Π2.2.48)
Если воспользоваться тензорным базисом (2.5.8), то
отсюда следует формула (2.5.9) в основном тексте.
П2.3. Плоский случай
В плоском случае к -представления функций Грина
сохраняют вид (П2.1.3), (П2.1.6) и (П2.1.9), однако греческие
индексы принимают значения 1, 2, а коэффициент seo имеет вид
аео = -ΖΓΓ2—г (плоская деформация)
1+ v0 / ч
seo = —у- (плоское напряженное состояние)
Для перехода к л:-представлениям необходимо учесть, что
действие оператора обращения преобразования Фурье F~]
(F-]f)(x) = {2π)~2jf(k)exp{-ik-x)dk, (Π2.3.1)
на функции, фигурирующие в (П2.1.3), (П2.1.6) и (П2.1.9),
имеет вид

555
ИИ=-АЧ4^(
к к λ
ΚαΚβ \
= 2^(δ"β-2"°"β}>
(П2.3.2)
Здесь E\n) - основной базис в плоском случае, п=х/\х\.
С учетом этих соотношений выражения для функций
Грина G(jc), К (χ) и S(x) принимают вид
0αβ(Χ)=τ^\(2-Χο)^^δαβ + Χηη
αβ\*) 4πμ0
\х\ ""β
, (Π2.3.3)
*(*Ь
2πμ0[_ 2 J
(Π2.3.4)
S(x) = ^-\E2 + 4£5 (w) - 8£6 (w)l. (Π2.3.5)
Действие обобщенных функций К{х) и £(*) на
финитные функции в R2 определяется соотношениями (П2.2.16),
(П2.2.17), где тензоры А (а) и D(a) имеют в плоском случае
вид
A{a)=±JK*(a-*m)dlm, D{a)^\s\a-'m)dlm, (П2.3.6)
h h
где интегрирование проводится по единичной окружности /,.
П2.4. Специальное представление оператора К
Введем в л:-пространстве сферическую систему координат
(2.4), где г=\х\, п=х/\х\- вектор на единичной сфере ΩΡ Обо-

556
значим через f*(s,n) преобразование Меллина тензорной
функции f(r,n) по переменной Υ . Имеют место формулы
[135]
оо r+ioo
f{s,n)=\rs-xf{r,n)dr, f(r,n)=^.jr-sf{s,n)ds. (П2.4.1)
О г-ioo
Следуя [121], покажем, что преобразование Фурье (Ff)(k)
функции f{r,n) можно представить в виде (т=к/\к\):
1 r+ioo П( ч
(Ff)(k)=^- J e^-s)r(p-s)\krds jfUn)[(n^ioJ-pdnn.
(П2.4.2)
Здесь р-размерность х(к) - пространства, в дальнейшем
/7=2, 3; Ω}(ρ)- поверхность единичной сферы в пространстве
размерности р, Y(S) - гамма-функция Эйлера.
Для доказательства (П2.4.2) запишем преобразование
Фурье функции /(г, и), используя формулу обращения (П2.4.1)
СО - Γ+Ϊ00
(Ff)(k) = \r^dr J e^MdQn^- \r-sf{s,n)ds.
0 ^(p) 2Ш г-ioo
(Π2.4.3)
Чтобы обосновать перестановку интегралов в этой
формуле, введем параметр ε > О:
оо - r+ioo
{Ff)(k) = \im\rp-]dr \eirHmn)-redQ— \r-sf{s,n)ds =
1 r+ioo oo
= lim — f f/*( j, n)dsdQ.n f e'W-b'V-i^. (П2.4.4)
"°2n<Lnh) о
Далее, вычисляя последний интеграл, получим

557
y\W-*-r>-°-xdr = e'lp-s)[\k\(n.m)+ie]s-pT(p-S).
0
(Π2.4.5)
Используя это равенство, из (П2.4.4) найдем
1 r+joo π .
(F/X^lim-L J ^Vlf* J/8(5,W)[(«./n)+/^-^=
2я7 .-/со ρΓω
(П2.4.6)
где учтено, что при ε—> О
[(w · m) + ie]" -» [(/ι · /я) + /о]" , (П2.4.7)
(в смысле обобщенных функций). Таким образом, формула
(П2.4.7) доказана.
Рассмотрим теперь оператор К9 символ которого К (к)
имеет вид (П2.1.6). Используя свойства свертки, имеем
{К/ )(х) = JK(x- x')f{x')dx' = [F-lK*(k)Ff]{x), (Π2.4.8)
где F- оператор преобразования Фурье (П2.3.1). Снова вводя
параметр ε > О и применяя формулу (П2.4.2), получим
(Kf)(x) = Ιιτη{2πΥΡ \d\k\ \е-'М*яУ"\кГ1К*(т)Л1я χ
О Ъ(р)
■Ι ъ-riw ду \
х_L J T(p-s)e'iip-s)\k\s-pds \f{s,i)[{m.l)+iolPdl.
(Π2.4.9)
Меняя порядок интегрирования, приходим к равенству

558
(Kf){x) = Ш-±- ids JK'(m)r{p-s)e^P'Sdnmx
χ \nsj){{l.m)+iolPdn]e-^nm)-^\k\-xd\k\.
at(P) о
(П2.4.10)
Подставляя в эту формулу значения интеграла,
аналогичного (П2.4.5)
]eirHnm)-^-xd\k\ = /^{s)[-r{n.m)+ie]\ (П2.4.11)
О
и переходя к пределу при ε —> +0, получим окончательно
(Kf){r,n) = — \r-iKsf'){s,n)ds, (П2.4.12)
/777 ·»
2Я7 .
Г-/00
π ,
е 2
(KJ%,n) = ——Y{p-s)r{s)x (П2.4.13)
[2 π)
Ъ(Р) Chip)
Данное представление сингулярного интегрального
оператора используется в главе II при решении интегрального
уравнения для поля деформаций в среде со сферически
симметричной неоднородностью.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ
ПОТЕНЦИАЛОВ, СОСРЕДОТОЧЕННЫХ
НА ПОВЕРХНОСТЯХ
П3.1. Интегральные теоремы Гаусса и Стокса
Пусть V- область в трехмерном пространстве i?3,
ограниченная кусочно-гладкой замкнутой поверхностью Ω, П(х) -
внешняя (по отношению к V) нормаль к Ω. Если А(х) -
тензорная функция, производные от которой интегрируемы в
i?3, то имеет место соотношение
jVa^Jx)dx = jna{x)AmJx)dQ, (ПЗ.1.1)
V Ω
частным случаем которого является теорема Гаусса [102]
jdwA(x)dx = jn(x)-A(x)dCl. (ПЗ.1.2)
Ω
Пусть теперь Ω - произвольная поверхность Ляпунова,
ограниченная гладким замкнутым контуром Г. Ориентацию
поверхности определим заданием непрерывного вектора
нормали п(х) к Ω. При этом положительной стороной Ω будем
считать ту, которая находится со стороны нормали.
Положительным направлением обхода контура Г традиционно
считается такое, при котором положительная сторона поверхности
Ω остается слева.
Пусть т(х) - единичный вектор, касательный к Г и
направленный в сторону положительного обхода Г. Если А(х) -
тензорная функция в Д3 с интегрируемой первой
производной, то имеет место теорема Стокса [102]

560
Je«u νβΑλμν{χ)ηα{χ)άΩ = J Αλμνφ)άΓ. (ПЗ.1.3)
Ω Γ
Здесь £αβλ - тензор Леви-Чивита. В сокращенной записи
jn{x)-rotA{x)dCl = JA{x)-dr, άΓ=πΙΓ. (Π3.1.4)
Ω Γ
Введем оператор проектирования вектора на поверхность
Ω в точке χ G Ω
0αβ(χ) = δαβ-ηα(χ)ηβ(χ). (Π3.1.5)
Векторное поле а(Х) принадлежит поверхности Ω, если
удовлетворяет соотношениям, которые являются следствиями
друг друга:
"а(*)аа{х) = 0, 0^{x)afi{x) = aa{x). (ПЗ.1.6)
Аналогично, тензорное поле А(х) любой валентности
принадлежит поверхности Ω, если
Ojx)0Xfl{x)...evp(x)AfifiJx) = A^Jx). (ПЗ.1.7)
Оператор производной вдоль поверхности Ω определяется
соотношением
^=Ve-/ie(^4UK, (ПЗ.1.8)
где V набла-оператор в R3.
Зададим на контуре Г- границе Ω - ортогональный репер
п(х), t(jc), е(х) где п(х) - предельное значение на Г
нормали к Ω, т(х) - единичный касательный к Г вектор,
определяющий направление положительного обхода, е{х) - вектор
нормали к Г, лежащий в касательной к Ω плоскости в точке
хёГ и направленный вне Г.
Для тензорного поля А(х), принадлежащего поверхности
Ω и имеющего интегрируемую первую производную, имеет
место следующий аналог формулы Гаусса (ПЗ.1.2) для
поверхности [18, 102]:

561
\daAa/}XJx)dn = jea(x)AafiXJx)dT. (ПЗ.1.9)
Ω Γ
Π3.2. Производные потенциала двойного слоя
статической теории упругости
Пусть вначале Ω - замкнутая поверхность Ляпунова,
ограничивающая односвязную конечную область V в R3.
Рассмотрим потенциал
**М = \^αβχΜ-^ΙμνρηΧχ%{χ')άη', (ПЗ.2.1)
Ω
Κ^(χ) = -[νβνΑσΛ,(χ)](<Λ^), (Π3.2.2)
где G(X) - функция Грина статической теории упругости для
однородной среды с тензором модулей С°. Из структуры
подынтегрального выражения следует равенство ε(Jt)=defw(Jt), в
котором Ы(Х) - потенциал двойного слоя статической теории
упругости, определенный соотношениями (1.1.26), (1.1.27).
Для любой непрерывной плотности Ь(х) поля и(Х) и ε(χ)
непрерывны всюду за исключением поверхности Ω, причем
разрыв Ы(Х) на Ω определяется соотношением (1.3.28).
Рассмотрим интеграл (ПЗ.2.1) при Z>=const. Применяя
формулу Гаусса и учитывая, что функция G(x) удовлетворяет
уравнению (1.1.6)
VaC^VxGjx) = -δβνδ{χ), (Π3.2.3)
получим равенства
ejx) = J ν'Λ^ί* - x')ClMvpdx'bp = (ПЗ.2.4)
V
= jV'(Ax-x')v{x')dx'bpl=n(a{x)bplQ{x),

562
где Ω(χ) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности
Ω, Π (X) - внешняя нормаль к Ω.
Пусть теперь Ъ (х) в (ПЗ.2.1) есть линейная функция вида
K{x) = D^{x-x')fi, (ПЗ.2.5)
где D - постоянный тензор. Рассмотрим предельные значения
потенциала (ПЗ.2.1) при χ—»χο€Ω.
Обозначим через Ωρ часть поверхности Ω,
расположенную внутри сферы малого радиуса ρ с центром в точке хо9 а
через Ω - дополнение Ωρ до Ω. Введя локальную декартову
систему координат у19у2,Уз с началом в точке хо и осью у3,
направленной вдоль нормали п(хо)=по, представим интеграл
(ПЗ.2.1) в форме
JK{y-y')C°n{y')b{y')dQ' = (ПЗ.2.6)
Ω
=JK{y-y')C-n{yWy-y')dn'+JK{y^
Интеграл по Ωρ есть, очевидно, непрерывная функция в
точке у=0 (х=хо).
Найдем предел интеграла по Ωρ при >>—»0. Поскольку в
дальнейшем />-»0, можно считать, что Ωρ - плоская круговая
область и п(у')=по. Введя замену переменных ^-=1^1^, будем
иметь
lim JK{y-y')C°noD{y-y')dQ' = (ПЗ.2.7)
= \κ{ξ-?)σηΑξ-?Μ».·?)<ΐξ,

563
где интеграл справа вычисляется по всему пространству R3 и
учтено, что K(jc) - четная однородная функция степени (-3).
Представим функцию ηοδ(ηο·ξ') под интегралом в (ПЗ.2.7)
в форме
".Λ·£)=να#(«0·<τ'), //w={J;' <°о' (Π3·2·8)
и, интегрируя по частям, найдем
\κ{ξ- ξ')ση0Σ)(ξ- ξ')δ{η. ■ ξ')άξ = (ПЗ.2.9)
= -Η{ηο ■ ξ)θ + \κ{ξ- ξ')Η{ηο ■ ?)d?CD.
Используя свойства свертки, можно в последнем интеграле
перейти к преобразованию Фурье подынтегральных функций
= l[r(0) + sign(«o · ξ)Κ*(η)]. (ПЗ.2.10)
Здесь учтено, что преобразование Фурье функции Η(ηοξ)
имеет вид
(ПЗ.2.11)
Обозначим через J+(no) значение предела (ПЗ.2.7) при
стремлении у к нулю со стороны нормали по9 а через J_(no) -
с противоположной стороны. Очевидно, что эти пределы не
зависят от размера области Ωρ и в силу ПЗ.2.9, ПЗ.2.10 имеют
вид
jM=i[K\0)+K\no)]c°D-D, jM=±[K*(0)-K\no)]c°D.
(ПЗ.2.12)
При замене по на (-по) интеграл (ПЗ.2.7) меняет знак,
тогда как предельные значения его по-прежнему определяются
соотношениями (ПЗ.2.12). Отсюда следует равенство J+(no)=

564
=-J_(no), которое приводит к соотношению К*(0)=(С°) ]
(сравни с 1.2.21).
Запишем теперь выражения для предельных значений
потенциала (ПЗ.2.1) с плотностью (ПЗ.2.5) в точках поверхности
Ω. Устремляя ρ к нулю в (ПЗ.2.6) и учитывая (ПЗ.2.12),
получим, что при χ—»Ω предельные значения рассматриваемого
потенциала со стороны нормали /ис противоположной
стороны ε~ имеют вид
Ω
(ПЗ.2.13)
где символ / означает интеграл в смысле главного значения
по Коши, который существует в силу четности К(х),
ΛφψΜ = К^(и)С^ -Ε\βλμ , (Π3.2.14)
Е] - единичный четырехвалентный тензор.
Пусть теперь в (ПЗ.2.1) функция Ъ (X) бесконечно
дифференцируемая на Ω (b(x)eCcx>(Q)). Представим потенциал
ε (χ) в форме
Ω
+/К£^|(х-х')С^Дх')Л2'А/,(х)+ (ПЗ.2.15)
Ω
Ω
Здесь первый интеграл является непрерывной функцией
во всем пространстве и сходится абсолютно при всех х. При
χ^ϊ его можно понимать в смысле главного значения и
представить в виде суммы двух интегралов с плотностями
b(x')-b(x) и cb{x)(x'-x) соответственно, каждый из кото-

565
рых в указанном смысле существует. Второй интеграл в
(ПЗ.2.15) представляет собой обобщенную функцию (ПЗ.2.4), а
последний интеграл можно рассматривать как потенциал
(ПЗ.2.1) с плотностью (ПЗ.2.5), разрывы которого на Ω
определяются соотношениями (ПЗ.2.13). Отсюда следует, что
предельные значения потенциала ε(х) на Ω имеют вид (х^1)
4»М=Jk^(*-*')c^aM х (пз-2л6>
Ω
х[*>')-*Д^+1Л^(и)^(х),
где тензор Λ (И) определен соотношением (ПЗ.2.14). Интеграл
здесь существует и при менее жестких ограничениях на Ъ (X)
[158].
Рассмотрим теперь потенциал <?(х) вида
σ«,(*) = lS^Jx-x')nx(x%(x')dn', (ПЗ.2.17)
Ω
^αβλμ\Χ) — ^αβνρ&νρτδ\Χ)^τδλμ ~^αβλμδ\Χ)>
где Ω - по-прежнему замкнутая поверхность в R3.
Очевидно, что потенциалы (ПЗ.2.1) и (ПЗ.2.17) связаны
между собой соотношением
**(*) = С^^яДх)-С^ия(х)^(х)П(х). (ПЗ.2.18)
Поэтому из (ПЗ.2.16) следует, что его предельные значения
на Ω определяются соотношением
<t,(x) = fSaeJx-x')nx{x')[bM{x')-bM{x)]dn' +
Ω
+К/а>)<?А(*)> *εΩ. S'{n) = C°K\n)C°-C\
(ПЗ.2.19)

566
Учитывая выражение для К*(п) (1.1.35), можно убедиться,
что вектор nacrJx) - непрерывен при переходе через
поверхность Ω (^aS^XM(n)=0). При χ εΩ выражение для вектора
ηα(Χ)σαβ(Χ) имеет вид
ηα{χ)σαβ{χ) = - J Tjx, x')[bft{x>) - bfi{x)\Kl\
Ω
Tjx,x') = -ηλ{χ)8λαβμ(χ-χ')ημ{χ>). (Π3.2.20)
Если поверхность Ω не замкнута, то можно считать, что
интегрирование в (ПЗ.2.16), (ПЗ.2.19) проводится по любой
гладкой замкнутой поверхности, включающей Ω, b (х)=0 вне
Ω. Пусть Ω - дополнение Ω до замкнутой поверхности.
Учитывая представление (1.2.4) для S(x)
*W*) = rot^rot^Z^x), (ПЗ.2.21)
где Z(x) - тензор Грина для внутренних напряжений [80], и
теорему Стокса (ПЗ.3.4), нетрудно получить равенство
[SafiJx-x')nM{x')cKl' = jrotvXZaf)Jx-x')drM,(n3.2.22)
Ω Γ
где άΓμ - векторный элемент длины на контуре Г- границе
Ω, ориентация которого согласована по обычному правилу с
ориентацией Ω. Таким образом, в случае незамкнутой
поверхности соотношение (ПЗ.2.19) принимает вид
o%,{x) = ISafiJx-x')nx{x')[bfI{x')-b/J(x)]da +
Ω
+frotiaZq^(*-*')dr^(x)Tj^(«)^/l(x),
Γ
(ПЗ.2.23)
где положительный обход контура Г согласован с
ориентацией поверхности Ω. Отсюда и из ПЗ.2.16, ПЗ.2.17 следует, что

567
предельные значения потенциала (ПЗ.2.1) в случае
незамкнутой поверхности имеют вид
Ω
Γ
(ПЗ.2.24)
Выражение для непрерывного на Ω векторного поля
η(χ)σ(χ), где σ(Χ) потенциал (ПЗ.2.17), в точках
незамкнутой поверхности Ω имеет следующий вид:
»,(*)<%(*) = - / Tjx, x')[bp{x') - bfi{x)]dQ' +
Ω
+$пр{х)т<А^^{х-х')агрм{х). (ПЗ.2.25)
Γ
ПЗ.З. Потенциал с плотностью,
являющейся тензором поверхности Ω
Рассмотрим потенциал типа (ПЗ.2.1)
εαβ{χ) = \Καβλμ{χ-χ')4λμ{χ')άςΐ', (Π3.3.1)
Ω
с плотностью q(X)9 являющейся тензором поверхности Ω:
"Λ^(*) = 0, 0^(x)fcjx) = ^(x), xgQ. (ПЗ.3.2)
Здесь проектор Θ(*) имеет вид (3.2.4)
®{х) = Θ(λ) = Я1 -2Е5{п) + Е6{п), (ПЗ.3.3)
Е1(П) - элементы основного базиса Π 1.1.1, fl(Jt) - нормаль к
Ω.
Используя теорему Гаусса для поверхности (ПЗ.1.9),
найдем

568
Ы = -\v\V{fi^{x-x')fdXflvp{x>)qvp{x>)<Kl' = (ПЗ.3.4)
Ω
=-1^[ν('ασ^(χ-χ')^(^'ψΩ'+|ν('ασ^(χ-χ')^^(^')^Ω'=
Ω Ω
Ω Γ
где ел(Х) - нормаль к Г, определенная в п.3.3.
Здесь учтено, что &αβλμ(χ)^λΑμ ν(χ) = Θαβλμ(χ)<?λΑμ Дх),
да - оператор дифференцирования по поверхности (ПЗ.1.8).
Первый интеграл в этом соотношении представляет собой
потенциал (1.3.1), предельные значения которого на
поверхности определяются соотношением (1.3.25). Таким образом,
предельные значения потенциала (ПЗ.3.1) на Ω имеют вид
e%,(x) = !viaGfi)M(x-x')c?xqJx')dQ'- (ПЗ.3.5)
Ω
-jV^ix-x'hJx^HdT^lA^in^qJx),
Γ
Л^и) = и(/^М, гг = п{х), χ*ξΩ.
Интеграл в смысле главного значения в этом соотношении
можно переписать в виде
S^[AM{x-x')^qJx')dCl' = (ПЗ.3.6)
Ω
= frlaGfi)Sx-x')#x[qJx')-q°Jx,x')]dCl',
Ω
где q° - тензорное поле на Ω, удовлетворяющее уравнению

569
%(*>*') = Ο, Χ,Χ'εΩ (Π3.3.7)
и совпадающее с q(x) при х' = х.
С помощью теоремы Гаусса для поверхности П3.19.
интеграл (ПЗ.3.6) приводится к виду
/Vi.G^(x-xO<W*')««' = (ПЗ.3.8)
Ω
= -!W(aGp)M{x-x')[qJx')-q°XlJ{x,x')]dn' +
Ω
+^'(aG^(x-x')[qJx')-qJx,x')]dQ'.
Γ
Отсюда следует регулярное представление предельных
значений потенциала (ПЗ.3.1) в точках поверхности Ω в форме
^) = !к^{х-х')[дХм{х')-д1м{х,х')]аП'- (ПЗ.3.9)
Ω
г
Заметим, что из определения тензора Л° в (ПЗ.3.5)
следует, что "касательная" составляющая тензора s^(x) на
поверхности Ω (®αβλμ(Χ)ελμ(Χ)) непрерывна на Ω и определяется
следующим соотношением
®^xhJx) = fU^Jx,x')[qXfJ(x')-ql{x,x')]dQ'-
Ω
-®αβχμ{χ)§νχΟμν{χ-χ%ν{χ,χ·)βρ{χ')άΓ, (ПЗ.3.10)
г
υ^(χ,χ') = ®^Р(х)к„рт3(х-х')еТОХм(х').

ПРИЛОЖЕНИЕ 4
МАТРИЦЫ И ВЕКТОРЫ ПЕРЕХОДА
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦЫ СЛОЕВ В ЗАДАЧАХ
О СФЕРИЧЕСКОМ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ
СЛОИСТЫХ ВКЛЮЧЕНИЯХ
П4.1. Упругая и термоупругая задачи для
сферического слоистого включения
Матрица перехода Г' через границу /-го и (/+1)-го слоев в
точке г-а{ (i=l,2,...,N) имеет размерность (12x12) и
представляется в форме (Θ - прямое (декартово) произведение
матриц)
Г=Г1®Ц®Г29 (П4.1.1)
где матрицы Г,' (8x8) и Г^ (2x2) зависят от модулей
упругости /-го и (ζ+1)-ιό слоев и имеют вид
г,' =
1
0
Г31
г41
0
0
1г71
г„
м
0
1
г32
г42
0
0
г72
г82
г
0
0
Г33
0
0
0
0
0
-1т
0
0
0
Г44
0
0
0
0
г
0
0
г35
г45
1
0
г75
г85
• -г
0
0
г36
г«
0
1
г76
г86
0
0
0
0
0
0
г77
0
Mi
0
0
0
0
0
0
0
г
1 88
г
31
, (Π4.1.2)
•32
0 А 31 > А 33 ~ А 44 ~ J А 35 ~ А 36 ~ 0 А 31 '
мм 2 μΜ з

571
г __оГ г -_^г г __!^г г =--Г
1 41 — 01 31 > L 42 ~~ у- 1 31 ' х 45 — ^ х 31 ' 1 46 Τ 31 '
г7,=-
Ы г -Г Г Лг Г - \-5Л + 6Л
" j А 72 ~ L 71 J Х 75 ~ 0 Х 71 5 А 76 ~
*i+l+2Mi+\
Л. , +2//. , '
_ Я,.+2//,. г =_1^г
1 77 — - л > х 81 01 71 > * 82 ^х 71 > х 85 τ 71 >
Л+1+2^Ч
[25Я+42//1.
1 86 ~ л , 0 > Х 88 - L 77 ?
г,+1 =
1 2
1 О
г г
1 21 L 22
[ЗЯ + 2/4 Я,+2А
λΜ+2μΜ λΜ+2μΜ
[Ml=Mi+\-Mi> M=Ai+i"A.··
(Π4.1.3)
Здесь Я.,//. - коэффициенты Ламе /-го слоя (/ = 1,2,...,Ν),
^ν+\=^ο>Μν+\~Μο - то же для матрицы. Компоненты
12-мерного вектора-столбца перехода F* имеют вид
F* = F* = Ρ = Fi = Fi -Fj = О
Г\ Г2 Г5 Г6 Г9 Г\\ U>
(П4.1.4)
Μ·+ι λΜ+2μΜ
где а. - коэффициент линейного расширения /-го слоя, ао- та
же величина для среды.

572
Π4.2. Упругая и термоупругая задачи
для цилиндрического слоистого включения
Матрица перехода Г' через границу /-го и (/+1)-го слоев
имеет размерность (16 χ 16) и представляется в форме
Г'' = Г/ ®Г2ФГ2ФГ2ФГ2, (Π4.2.1) ·
где матрицы Г,1 (8 χ 8) и Г^ (2x2) имеют вид
г; =
L41
О
о
г71
о
1
г32
г42
о
о
г72
г82
о
α
Гзз
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
г35
г45
1
о
г75
г85
о
о
г36
П«
о
1
г76
г86
о
о
о
о
о
о
г77
о
о
о
о
о
о
о
о
г
J. on
, (Π4.2.2)
4Ы 1 и
г =—^-=- г =—г г =г = И* г =г =г
1 31 > L 32 л А 31 > 1 33 . А 44 > L 35 * 36 х 31 >
М+1 2 А+1
Г41 = ~6Г31 » Г42 = ~4Г31 > Г45 = ~6Г31 > Г46 = ~ЗГ31 >
г _ <4 _2 _ 2[2Л + Зл],
1 71 — 0 _ > х 72 — L 73 — Х 71 > х 75 — -, Х 71 > х 76 — * , ~
Г — ' r^i Г — —ί>Γ* Г — — ЧГ* Г — — ЛГ
7? — 1 , „ > * 81 — υ1 71 > Х 82 — J± 71 > Х 85 Ш 71 >
λΜ+2ΜΜ
[16Я + 32//1
Г«* = д ^о ' Г«* = Г"' (Π4·2·3)
Л+1 + 2^+1

573
->
Γ Γ
1 21 L 22
Ι г _ 2[λ + μ] г _ λ,+ΐμ,
V 21 AMl+2//ltI' 22 λΜ+2μ,+ι-
(Π4.2.4)
Компоненты 16-мерного вектора-столбца перехода F'
определяются выражениями
$ =f;= f; =f' = f; = f;{ = f;3 =fj5=o, <n«.5>
2\u] 2\u].
F' = t£_J p' = -6F' F' = — F' = -6F'
Мм Лм+2Мм
Fi _ п. - Fi - 2{λ + μ\ F' -_M_
Γ10 _ Μ2 _ -44 _ - , λ > Γ16 " , ~ >
Λ+1+2Α+1 Λ + 1+2Α+1
[^1 = Ум - Yi. Yi = 2(2/β-OU,- + Α·) + (««. "О*!

Комментарии и литературные ссылки
Литература, посвященная решению стохастических задач
механики композитных материалов, весьма обширна. С приближенными
методами, которые не нашли своего отражения в данной книге,
можно ознакомиться в монографиях Г. А. Ванина [17], С. Д. Волкова и
В.П. Ставрова [22], Р. Кристенсена [78], А. К. Малмейстера, В.П. Та-
мужа и Г. А. Тетерса [103], Т. Д. Шермергора [147]. Широкий спектр
проблем механики композитных материалов обсуждался в
семитомной энциклопедии [70] под редакцией Л. Браутмана и Р. Крока, в
трехтомной серии [104] под редакцией А. Н. Гузя.
Асимптотическая теория осреднения композитов регулярной
структуры изложена в монографиях Н. С. Бахвалова и Г. П. Пана-
сенко [5], О. А. Олейник, Г. А. Иосифьяна и А. С. Шамаева [115] ,
Б. Е. Победой [122], Э. Санчес-Паленсия [127].
Большое количество исследований посвящено построению
оценок эффективных характеристик композитов на основе
вариационных принципов. Ссылки на эти работы можно найти в обзорных
статьях Дж. Виллиса [245,247] и С. Торквато [227,228], К. А. Лурье и
А. В. Черкаева [100].
К главе I
Общая структура тензора Грина для перемещений в случае
однородной анизотропной среды исследована И. М. Лифшицем и Л. Н.
Розенцвейгом [95].
Схема регуляризации обобщенных функций типа вторых
производных от тензора Грина для перемещений изложена в книге И. М.
Гельфанда и Г. Е. Шилова [26]. Несколько более удобные формулы
регуляризации оператора типа К и S на финитных функциях
предложены в монографии Г. И. Эскина [148]. Способ определения
результата действия операторов К и S на постоянные предложен
С. К. Канауном [36, 37].
Общая структура тензора Грина для внутренних напряжений в
анизотропной упругой среде была исследована И.А. Куниным [80].
Ряд важных результатов, касающихся внутренней геометрии и
напряженного состояния среды с дислокационными источниками
различного типа, можно найти в монографиях Р. Де Вита [21], Э. Кре-
нера [77], А. М. Косевича [73], Дж. Эшелби [149].

575
Результаты исследования разрывов упругих полей на границах
областей, содержащих источники внешних и внутренних
напряжений, излагаются здесь впервые.
К главе II
Интегральные уравнения для деформаций и напряжений
использовались при решении задач механики неоднородной среды в
работах многих авторов [7,22,81,82,147]. Общая теория разрешимости
этих уравнений была построена к концу шестидесятых годов.
Исторические обзоры и ссылки на оригинальные работы можно найти в
итоговых монографиях С. Г. Михлина [106], Г. И. Эскина [148].
Условия, которым удовлетворяют поля напряжений и
деформаций на границе двух упругих сред, получены в работе И. А. Кунина и
Э. Г. Сосниной [83]. В § 2.2 дан другой вывод этих условий.
Упругая среда с эллипсоидальной неоднородностью в
постоянном внешнем поле рассматривалась в работах М. А. Садовского и Е.
Стернберга [218], К. Робинсона [216], ряд важных результатов,
связанных с этой задачей, был получен Дж. Эшелби [149,170]. В
частности, в [170] для изотропных среды и включения было доказано,
что полиномиальное внешнее поле порождает полиномиальное поле
той же степени внутри эллипсоидальной неоднородности
(полиномиальная консервативность). Для анизотропных среды и включения
аналогичная теорема доказана в работе И. А. Кунина и Э. Г.
Сосниной [82]. Эллипсоидальная неоднородность в постоянном и
линейном поле общего вида рассматривалась в серии работ Ю. Н. Подиль-
чука. Результаты этих работ суммированы в монографии [124].
Вывод интегральных уравнений для трещины из уравнений для
полости в упругой среде предложен в работе С. К. Канауна [42].
Регулярное представление интегрального оператора задачи о трещине
анонсировано в [36]. Доказательство этой формулы регуляризации,
которая по существу определяет значение производной потенциала
двойного слоя статической теории упругости в точках поверхности,
несущей потенциал, дано в работах [41,47].
Аналог теоремы о полиномиальной консервативности для
эллиптической трещины впервые доказан Дж. Виллисом [240].
Эллиптическая трещина в изотропной среде при действии постоянного
внешнего поля рассматривалась в работах А. И. Лурье [98], Л. А. Галина
[24], М. К. Кассира и Г. С. Си [189]. Решение этой задачи для
линейного внешнего поля получено в работах Г. П. Черепанова и Л. В.
Ершова [146], Ю. Н. Подильчука [124], С. К. Канауна и К. Г.
Касаткина [54].
Задачи о сферическом включении, состоящем из ядра и
оболочки, в однородной упругой среде рассматривались в работах Е. Керне-

576
pa [190], P. Кристенсена и К. Лу [162], В. А. Матониса и Н. С. Смола
[204] и др. Решение аналогичной задачи для цилиндрического
включения с одним слоем приведено в работе 3. Хашина и Б. Розе на
[180].
Метод решения задачи для сферического и цилиндрического
включений, состоящего из произвольного числа слоев (§§ 2.8-2.9),
предложен в работах С. К. Канауна и Л. Т. Кудрявцевой [56,59].
К главе III
Содержание этой главы основано на работах С. К. Канауна [46,
47].
Эвристические модели тонких включений предлагались в работах
О. В. Соткилавы и Г. П. Черепанова [130], В. В. Панасюка, А. Е. Ан-
дрейкива и М. М. Стадник [116], Д. В. Грилицкого и Г. Т. Сулима
[31], В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [2], Г. С. Кита и М. В.
Хая [68].
Общие методы построения асимптотических разложений
решений уравнений в частных производных во внешности тонкой
области с условиями типа Дирихле или Неймана на границе
рассматривались в работах А. М. Ильина [33] , В. Г. Мазьи, С. А. Назарова и
В. А. Пламеневского [101]. В работе Н. В. Мовчана и С. А. Назарова
[109] с помощью этих методов получено решение плоской задачи
теории упругости для среды с тонкой неоднородностью при не
слишком большом различии модулей упругости компонентов.
Случаи тонких включений с существенно отличными от среды
свойствами рассматривались в работах Э. Санчес-Паленсия [127]
(задача теплопроводности), И. Б. Симоненко [128] (задачи
электростатики), Я. И. Кунеца [79], А. П. Поддубняка [123]. В последних двух
работах решена задача о кручении упругого тела с тонким
дискообразным включением.
Обзор методов численного решения интегральных уравнений
задачи о трещине дан в книге В. 3. Партона и П. И. Перлина [119].
Отметим также работы А. М. Линькова и С. Г. Могилевской [92] ,
М. Костабля и Е. П. Стефана [160], С. К. Канауна и К. Г. Касаткина
[55], в которых задача о трещине решалась в рамках традиционных
схем метода граничных элементов.
Идея использования экспоненциальных функций для численного
решения интегральных уравнений принадлежит В. Г. Мазье.
Содержание §3.8 основано на работах Ε. Η. Вильчевской и С. К. Канауна
[19,20].

577
К главе IV
Первое решение задачи теории упругости для среды,
армированной жестким цилиндрическим стержнем, было, по-видимому,
получено в работе X. Л. Кокса [161], где использовался ряд упрощающих
предложений, характерных для "технической" теории упругих систем.
Попытка более строгого подхода к решению этой задачи была
предпринята в работах Г. П. Черепанова [145] и Г. П. Никишкова и Г. П.
Черепанова [113], где использовался метод сращивания
асимптотических разложений. Некоторые неточности, допущенные в [145],
исправлены в работе Дж. Эшелби [171].
Равновесие упругой среды, армированной стержнем
произвольной формы, рассматривалась в работах С. К. Канауна [48,49],
которые легли в основу данной главы.
К главе V
С применением метода самосогласованного поля в квантовой
теории атома можно ознакомиться в монографиях Д. Р. Хартри [141],
Дж. Слэтера [129]. Использование этого метода для описания
фазовых переходов можно найти, например, в монографии Г. Стенли
[132].
Метод эффективной среды был впервые использован для
вычисления эффективных модулей упругости поликристаллов в работах А.
В. Хирша и В. А. Далгрена [182] и Е. Кренера [193]. В случае
матричных композитов этот метод применялся Р. Хиллом [185] и Б. Будян-
ским [156]. Эффективные модули среды с трещинами были
вычислены этим методом Б. Будянским и Р. О'Коннелом [157].
Модификация метода эффективной среды, когда на границе
между эффективной средой и включением вводился слой материала
матрицы, была предложена в работе Е. Кернера [190]. Ошибки,
допущенные в этой работе, исправлены Р. Кристенсеном и К. Лу [162] и
Дж. Смитом [219]. В работах В. А. Кочеткова [75]
модифицированный метод эффективной среды использовался для построения
эффективных упругих и термоупругих характеристик композитов,
армированных однонаправленными волокнами.
Метод эффективного поля был неявно использован для
построения эффективного модуля упругости композита с эллипсоидальными
включениями в работах Л. Валпола [236,237]. Одночастичное
приближение метода эффективного поля использовано для построения
эффективных модулей упругости композитов, содержащих
однородные эллипсоидальные включения и их предельные случаи
(эллиптические трещины и круговые цилиндрические волокна) , в работе
В. М. Левина [86]. Концентрация напряжений на эллипсоидальных

578
включениях в матричных композитах исследовалась В. М. Левиным
в работе [87]. Среды с регулярной решеткой эллипсоидальных неод-
нородностей и трещин рассматривались в рамках метода
эффективного поля в работах С. К. Канауна [38,39], С. К. Канауна и Г. И. Яб-
локовой [66]. Результаты этих работ изложены в §§ 5.1-5.6.
Однородная упругая среда, армированная тонкими жесткими
включениями или лентами, рассматривалась с помощью одночасти-
чного приближения метода эффективного поля в работе С. К.
Канауна и Л. Т. Кудрявцевой [58], а среда со случайным множеством
трещин в работах С. К. Канауна [36,40]. Указанные работы легли в
основу §§ 5.7-5.9.
Коэффициенты линейного расширения композитов с
однородным включением, а также концентрация температурных напряжений
на включениях найдены в работах В. М. Левина [86,88].
Термоупругая деформация среды, армированной сферическими слоистыми
включениями и однонаправленными слоистыми волокнами,
рассматривалось в работах С.К. Канауна и Л.Т. Кудрявцевой [57,59] (§§ 5.5,
5.13).
Метод эффективного поля для построения эффективных модулей
композита, армированного осесимметричными короткими
волокнами, использован в работе С. К. Канауна [50] (§5.12). В §5.14
изложены результаты работы [43], где исследована задача моделирования
включений точечными изолированными дефектами.
К главе VI
Содержание этой главы основано на работах С. К. Канауна [44,
45,188]. Нелокальный оператор эффективных свойств для среды со
сферическими включениями построен в работе [44]. Концентрация
напряжений на неоднородностях в области быстро изменяющихся
внешних полей рассмотрена в работе С. К. Канауна и В. М. Левина
[60]. Учет парных взаимодействий между включениями при
вычислении эффективных модулей упругости матричных композитов
рассмотрен в работах С. К. Канауна [44,45,51,188]. Построение
корреляционных функций упругих полей в среде с точечными дефектами
реализовано в [45,188].
К главе VII
Задача дифракции скалярных волн на изолированной
неоднородности и на случайном множестве рассеивателей рассматривалась
многими исследователями начиная с середины Х1Х-го века (Рэлей,
Максвелл). Соответствующие ссылки можно найти, например, в
итоговых монографиях Г. Ван де Хюлста [15], К. Борена и Д. Хаф-

579
мена [8], А. И. Исимару [34]. Метод эффективного поля для решения
задачи о распространении скалярных волн в среде со множеством
точечных рассеивателей развивался в работах Л. Фолди [172], М. Ла-
кса [198,199], В. Тверски [230,231], П. Ватермана и Р. Труэлла [239].
Отметим, что в этих работах рассматривались среды с флуктуациями
плотности при постоянной сжимаемости среды. В главе VII
рассмотрен более общий случай среды, в которой сжимаемость также
является случайной функцией координат. Результаты этой главы
изложены здесь впервые.
К главе VIII
Задача о рассеянии упругих волн на неоднородностях
канонической формы (сфера, эллипсоид) в неограниченной изотропной среде
допускает точное решение с помощью разделения переменных в
волновом уравнении и разложения решения в ряды по собственным
функциям задачи. Таким способом были решены задачи о
дифракции плоской волны в среде со сферическим [72,169,205,249] и
эллипсоидальным [165,173,210] включениями.
Альтернативный подход к решению задачи рассеяния на
неоднородности заключается в использовании интегрального уравнения
(8.2.1), эквивалентного волновому уравнению теории упругости.
Ядро этого уравнения выражается через функцию Грина волнового
оператора. Представление функции Грина в виде интеграла по
единичной сфере было получено в работе Дж. Виллиса [243] и
несколько иным путем - в работе [61].
Аналог теоремы о полиномиальной консервативности для
эллипсоидального включения в случае волновой задачи доказан в работе
М. В. Федорюка [138]. Как следует из результатов этой работы,
собственными функциями оператора в уравнении (8.2.1) для
эллипсоидальной области являются произведения гармонических полиномов
(по угловым координатам) на сферические функции Бесселя,
зависящие от расстояния до центра включения.
Систематическое исследование решений уравнения (8.2.1) в
длинноволновом приближении содержится в [174-176]. В этих работах
волновое поле внутри неоднородности заменялось его статическим
(<У—>0) пределом ("квазистатическое" приближение), а поле вне
включения восстанавливалось из исходного интегрального уравнения
(8.2.1). В работе авторов [61] этот результат уточняется путем учета
главных по О) членов в мнимой части волнового поля в среде с
включением.
Общее решение задачи рассеяния длинных волн на
эллипсоидальной неоднородности было использовано для анализа волновых
полей в окрестности сплющенных или вытянутых сфероидов [168,

580
177,243]. В частности, в работе М. Пиау [210] и Дж. Губернатиса с
соавторами [177] было получено решение задачи о дифракции
длинных упругих волн на круговой трещине в изотропной среде. В
работах авторов [62,63] применен другой подход к решению задачи
рассеяния длинных упругих волн на тонких эллипсоидальных (трещи-
ноподобном и жестком) дефектах в анизотропной среде, основанный
на сращивании внешних и внутренних асимптотических разложений.
Задача дифракции упругих волн на коротком осесимметричном
волокне в длинноволновом приближении решена в работе авторов [64].
Задача о рассеянии упругих волн на цилиндрическом стержне в
изотропной среде также допускает точное решение с помощью
разложения искомых волновых полей в ряды по цилиндрическим
гармоникам. В случае распространения волны перпендикулярно оси
волокна такая техника была использована в работах С. Бозе и А. Мола
[154,155], С. Датты [163], В. К. Варадана с соавторами [234].
Асимптотическое (длинноволновое) решение интегрального уравнения
относительно волнового поля внутри волокна было найдено в работе
В. М. Левина [90] для случая распространения падающей волны
поперек его оси и для распространения этой волны в произвольном
направлении - в работе авторов [65].
Определение полного сечения рассеяния упругих волн на
неоднородности, так же, как и приближение "дальней зоны" для
рассеянного поля, можно найти во многих руководствах и статьях
(например, [134,174,175,192]). Доказательство аналога оптической теоремы
[9] в случае упругих волн содержится в статье Дж. Губернатиса с
соавторами [175]. В работе В. М. Левина [89] (см.§8.6) дано другое
доказательство этой теоремы, основанное на методе стационарной
точки [9]. Полученная в [89] формула для полного сечения рассеяния
продольных волн QL(CO) совпадает с аналогичной формулой работы
[175]. Однако выражение для полного сечения рассеяния
поперечных волн, найденное в [175], отличается от соответствующей
формулы работы [89] наличием дополнительного слагаемого, связанного с
интерференцией падающей поперечной и рассеянной продольной
волн. Как следует из приведенного в §8.6 вывода, такого
"перекрестного" члена в выражении для QT(CO) нет и формулировка
оптической теоремы для поперечной и продольной волн подобна своему
классическому аналогу [9].
Полное сечение рассеяния продольных и поперечных волн для
сферической неоднородности в длинноволновом приближении (рэ-
леевское рассеяние) было найдено в [134,169,205, 249], исходя из
точного решения волновой задачи, а также в работе Дж. Губернатиса
[174] с помощью "квазистатического" приближения. Как указано в
[174], формула для QT(G>), полученная в [134,169,249], по-видимому,
содержит ошибку. Найденный в [174] вариант рэлеевской асимпто-

581
тики полного сечения рассеяния продольных волн для сферы
совпадает с выражением, полученным в §8.6. Такие же формулы для
QL {ω) и QT(CO) найдены и в работе Дж. Виллиса [243]. Там же
получены выражения для полных сечений рассеяния трех типов волн,
падающих на круговую в плане трещину, жесткий круговой диск и
жесткое эллипсоидальное волокно. Величина QL(CO) для круговой
трещины найдена также в работе М. Пиау [210].
Полные сечения рассеяния для тонких (трещиноподобных и
жестких) эллипсоидальных включений, а также осесимметричных
волокон различной формы получены в §8.6, по-видимому, впервые.
Полные сечения рассеяния продольной и двух поперечных волн на
непрерывном цилиндрическом волокне найдены в работе авторов
[65].
К главе IX
Задача определения эффективных динамических характеристик
среды, содержащей случайное множество неоднородностей,
рассматривалась многими авторами. Наибольшую трудность в задачах такого
рода представляет собой учет эффектов многократного рассеяния
упругих волн, длина которых соизмерима или меньше размеров
включений. При некоторых упрощающих предположениях эта задача для
включений сферической формы может быть решена с помощью
техники разложения в ряды по сферическим гармоникам. Такой подход
был использован в работах А. К. Мола и Л. Кнопоффа [201] и В. К.
Варадана с соавторами [233]. Отметим, что работа [233] содержит
обстоятельный обзор исследований на эту тему. Одним из способов
приближенного решения задачи рассеяния упругих волн на
случайном множестве неоднородностей является метод эффективной
среды. Этот метод был использован в работах С. Датты [164 - 166] и
Ф. Сабины и Дж. Виллиса [217]. Систематическое исследование
распространения упругих волн в средах с эллипсоидальными неодно-
родностями содержится в статье Дж. Виллиса [244]. В работах Дж.
Виллиса [242,246] с помощью вариационного принципа
динамической теории упругости найдены оценки для эффективных
динамических характеристик сред с эллипсоидальными включениями.
Приближенные выражения для эффективных скоростей и коэффициентов
затухания упругих волн в среде с эллипсоидальными неоднородное-
тями были найдены в работах Д. Талбота и Дж. Виллиса [222,223].
Метод, использованный этими авторами, по существу совпадает с
одночастичным вариантом метода эффективного поля. Возникающая
в этих работах проблема замыкания стохастических интегральных
уравнений относительно средних различных порядков была решена с

582
помощью предложенной Μ. Лаксом [198,199] квазикристаллической
аппроксимации. Подробное обсуждение различных вариантов такой
аппроксимации содержится в заметке Дж. Виллиса [248]. Отметим
еще работу А. Бельтцера и Н. Брауера [153], в которой для
эффективных скоростей и коэффициентов затухания упругих волн в средах
с неоднородностями применен оригинальный вариант
"дифференциальной схемы". Анализ распространения упругих волн в среде,
содержащей случайное множество трещин, был осуществлен методом
эффективного поля Б. С. Чекиным [143] и методом эффективной среды
- Р. О'Коннелом и Б. Будянским [159]. В последней работе имеется
сравнение теоретических предсказаний для эффективных скоростей
с экспериментальными данными. Некоторые результаты измерений
скоростей упругих волн в средах с включениями приводятся также в
работе Г. Кустера и М. Токзеца [197].
В работе авторов [61] с помощью метода эффективного поля был
построен волновой оператор для композитной среды, позволяющий
описать как дисперсию в среде с эллипсоидальными включениями,
так и эффекты затухания упругих волн вследствие рассеяния на не-
однородностях. Тем же методом эффективный волновой оператор
был построен для сред, содержащих случайное множество тонких
трещиноподобных [62] и жестких [63,91] включений, а также для
сред, армированных осесимметричными жесткими короткими
волокнами [64].
К главе X
В большинстве работ, посвященных динамическим задачам для
материалов, армированных однонаправленными цилиндрическими
волокнами, как правило, определялись дисперсии скорости упругих
волн, распространяющихся поперек (см., например, [154,155,163,
234], а также итоговую коллективную монографию [104], в которой
есть ссылки на оригинальные исследования). В этих работах
использовался метод разделения переменных в волновом уравнении теории
упругости с последующим разложением в ряды по собственным
функциям задачи. Исключение составляют работы Дж. Ахенбаха и К.
Сана [151] и М. Хловачека [186], в которых рассматривались
материалы с периодической системой волокон. С помощью
вариационных принципов теории упругости в них исследовано
распространение волн как поперек, так и вдоль направления армирования.
Однако в отличие от регулярной структуры в стохастической среде
упругие волны затухают вследствие некогерентного рассеяния на неодно-
родностях. При распространении волн поперек волокон эффекты
затухания исследовались в работах С. Бозе и А. Мола [154,155] и
В. К. Варадана и В. В. Варадана [234]. Подход, аналогичный методу
эффективного поля в одночастичном приближении, был использо-

583
ван Д. Талботом и Дж. Виллисом [224] для вычисления эффективных
скоростей и коэффициентов затухания волн, распространяющихся
Поперек волокон.
Волновой оператор для среды, армированный
однонаправленными непрерывными волокнами, методом эффективного поля был
построен в работах авторов [65,90]. Этот оператор позволяет
исследовать особенности распространения упругих волн в композите под
произвольным углом к направлению армирования. Результаты
экспериментальных исследований распространения волн в таких средах
приводятся в работах Х.Сутерланда и Р. Лингла [221], а также Т. Тау-
черта и А. Гузельсу [225].

ЛИТЕРАТУРА
1. Айтматов И. Т., Канаун С. К. Эллиптическая трещина в
однородной упругой среде // Физико-техн. проблемы разработки
полезных ископаемых. 1981. N2. С.3-14.
2. Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел
с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 487с.
3. Андрейкив А. Е. Пространственные задачи теории трещин.
Киев: Наукова думка, 1982. 345с.
4. Андрейкив А. Е., Панасюк В. В., Стадник Μ. Μ. Разрушение
хрупких призматических брусьев, ослабленных внутренними
круговыми трещинами // Проблемы прочности. 1972. N10. С. 37-
41.
5. Бахвалов Н. С, Панасенко Г. П. Осреднение процессов в
периодических средах. М.: Наука, 1984. 352с.
6. Билби Б., Эшелби Дж. Дислокации и теория разрушения //
Разрушение. Т.1. М.: Мир, 1973. С. 113-203.
7. Болотин В. В., Москаленко В. М. К расчету макроскопических
постоянных сильно изотропных композиционных материалов //
Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. N3. С. 106-111.
8. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми
частицами. М.: Мир, 1986. 660с.
9. Борн М., Вольф 3. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 718с.
10. Брейн Де Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.:
Иностр. лит., 1961. 247с.
11. Брычков Ю. А.,Прудников А.П. Интегральные преобразования
обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 287с.
12. Вавакин А.С., Салганик Р.Л. Об эффективных характеристиках
неоднородных сред с изолированными неоднородностями //
Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1975. N3. С.65-75.
13. Вавакин А. С, Салганик Р. Л. Эффективные характеристики
тел с изолированными трещинами, полостями и жесткими
включениями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.
1978. N2. С.95-107.
14. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.:
Мир, 1967. 310с.
15. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: Изд-
во Иностр. лит., 1961. 536с.
16. Ван Фо Фы Г. А. Теория армированных материалов. Киев:
Наукова думка, 1971. 232с.
17. Ванин Г. А. Микромеханика композиционных материалов.
Киев: Наукова думка, 1985. 304с.

585
18. Вскуа Α. Η. Основы тензорного анализа и теории ковариантов.
М.: Наука, 1978. 296с.
19. Вильчевская Ε. Н., Канаун С. К. Расчет упругих полей в
окрестности тонких включений и трещин в сплошной среде. Л.:
ЛФИМАШ АН СССР. 1991. Препринт 57. 27с.
20. Вильчевская Ε. Η., Канаун С. К. Интегральные уравнения
задачи о тонком включении в однородной упругой среде //
Прикл. математика и механика. 1992. Т.56. Вып.2. С.275-285.
21. Вит Де Р. Континуальная теория дислокаций. М.: Мир, 1977.
208с.
22. Волков С. Д., Ставров В. П. Статистическая механика
композитных материалов. Минск: Изд-во БГУ, 1978. 206с.
23. Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания
физических свойств кристаллов. М.: Мир, 1977. 383с.
24. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гос.
изд. техн.-теор. лит., 1953. 264с.
25. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.:
Наука, 1978. 295с.
26. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и
действия над ними. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959. 470с.
27. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных
процессов. М.: Наука, 1977. 567с.
28. Гольдштейн Р. В., Ентов В. Н., Зазовский Л. Ф. Решение
смешанных краевых задач прямым вариационным методом //
Численные методы механики сплошной среды. 1976. Т.7. N5.
С.5-13.
29. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблица интефалов, сумм,
рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1100с.
30. Григолюк 3. И., Филыитинский Л. А. Перфорированные
пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556с.
31. Грилицкий Д. В., Сулим Г. Т. Упругие напряжения в
плоскости с тонкостенным включением // Математические методы
и физ.-мех. поля. 1975. Вып.1. С.41-48.
32. Займан. Дж. Модели беспорядка. М.: Мир, 1982. 591с.
33. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений
решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 335с.
34. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в
случайно-неоднородных средах. Т.1. Однородное рассеяние и теория
переноса. М.: Мир, 1981. 280с.; Т.2. Многократное рассеяние,
турбулентность, шероховатые поверхности, дистанционное
зондирование. М.: Мир, 1981. 317с.
35. Каламкаров А. Л., Кудрявцев Б. Α., Партон В. 3.
Асимптотический метод осреднения в механике композитов регулярной
структуры // Итоги науки и техники. Т. 19 (Механика
деформируемого твердого тела). М.: ВИНИТИ, 1987. С.78-147.

586
36. Канаун С. К. Случайное поле трещин в упругой сплошной
среде // Исследования по упругости и пластичности, N10. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1974. С.66-83.
37. Канаун С. К. Метод самосогласованного поля в задаче об
эффективных свойствах упругого композита // Журнал приклад,
механики и техн. физики. 1975. N4. С. 194-203.
38. Канаун С. К. О приближении самосогласованного поля для
упругой композитной среды // Журнал приклад, механики и
техн. физики. 1977. N2. С. 166-169.
39. Канаун С. К. Взаимодействие периодических систем трещин в
упругой среде // Приклад, механика. 1980. Т. 16. N9. С. 36-42.
40. Канаун С. К. Пуассоновское множество трещин в упругой
сплошной среде // Приклад, математика и механика. 1980.
Т.44. N6. С. 1129-1139.
41. Канаун С. К. К задаче о пространственной трещине в
анизотропной упругой среде // Приклад, математика и механика.
1981. Т.45. Вып.2. С.361-370.
42. Канаун С. К. Об интегральных уравнениях трехмерной задачи
теории упругости для среды с трещиной // Механика
стержневых систем и сплошных сред. Л.: Изд-во ЛИСИ. 1981. Вып. 14.
С.47-55.
43. Канаун С. К. О модели точечных дефектов в механике упругой
неоднородной среды // Изв. АН СССР. Механика твердого
тела. 1982. N4. С. 109-118.
44. Канаун С. К. Метод эффективного поля в линейных задачах
статики композитной среды // Приклад, математика и
механика. 1982. Т.46. Вып.4. С.655-665.
45. Канаун С. К, Корреляционная функция поля напряжений в
упругой среде с точечными дефектами // Приклад, математика
и механика. 1983. Т.47. N4. С.652-661.
46. Канаун С. К. О сингулярных моделях тонких включений в
однородной упругой среде // Приклад, математика и механика.
1984. Т.48. N1. С.81-91.
47. Канаун С. К. Тонкий эффект в однородной упругой среде //
Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. N3. С.74-83.
48. Канаун С. К. Стационарные поля в однородной среде,
возмущенные включением в форме криволинейного стержня //
Приклад, математика и механика. 1987. Т.51. N2. С.293-304.
49. Канаун С. К. Равновесие однородной упругой среды,
армированной прямолинейным жестким стержнем // Приклад,
математика и механика. 1988. Т.52. N5. С.789-800.
50. Канаун С. К. Упругие свойства композитов, армированных
короткими осесимметричными волокнами // Приклад, механика.
1990. Т.26. N10. С.56-63.

587
51. Канаун С. К. Самосогласованные схемы усреднения в
механике матричных композитных материалов // Механика
композитных материалов. 1990. N6. С.984-994.
52. Канаун С. К., Гольдман А. Я., Кудрявцева Л. Т.
Прогнозирование вязкоупругих свойств матричных полимерных
композитов с включениями сложной структуры // Механика
композитных материалов. 1986. N6. С. 1093-1100.
53. Канаун С. К., Гольдман А. Я., Кудрявцева Л. Т. Аномальное
поведение вязкоупругих свойств некоторых полимерных
композиций // Механика композитных материалов. 1988. N3.
С.442-448.
54. Канаун С. К., Касаткин К. Г. Эллиптическая трещина в
линейном внешнем поле напряжений // Численные методы в
гидромеханике. Л.: Изд-во ЛИСИ, 1981. С. 104-111.
55. Канаун С. К., Касаткин К. Г. Численное решение задачи о
трещине в однородной упругой среде // Механика стержневых
систем и сплошных сред. Л.: Изд-во ЛИСИ, 1982. Вып. 15. С.5-
13.
56. Канаун С. К., Кудрявцева Л. Т. Сферически слоистые
включения в однородной упругой среде // Приклад, математика и
механика. 1986. Т.50. Вып.4. С.633-643.
57. Канаун С. К. Кудрявцева Л. Т. Температурные напряжения в
композитах со сферически слоистыми включениями // Изв.
АН СССР. Механика твердого тела. 1987. N4. С. 113-121.
58. Канаун С. К. Кудрявцева Л. Т. Упругие свойства матричных
композитов, армированных тонкими жесткими включениями
// Механика композитных материалов. 1988. N1. С.129-136.
59. Канаун С. К., Кудрявцева Л. Т. Термоупругие характеристики
композитных материалов, армированных однонаправленными
слоистыми волокнами // Приклад, математика и механика.
1989. Т.53. N5. С.798-807.
60. Канаун С. К., Левин В. М. О микронапряжениях в
композитных материалах в области сильно меняющихся внешних полей
// Механика композитных материалов. 1984. N4. С.625-629.
61. Канаун С. К., Левин В. М. О построении эффективного
волнового оператора для среды с изолированными неоднородно-
стями // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. N5.
С.67-70.
62. Канаун С. К., Левин В. М. Распространение упругих волн в
средах с тонкими трещиноподобными включениями //
Приклад, математика и механика. 1986. Т.50. N2. С.309-319.
63. Канаун С. К., Левин В. М. Распространение упругих волн в
средах с тонкими жесткими включениями // Акустический
журнал. 1986. Т.32. N3. С.402-407.
64. Канаун С. К., Левин В. М. Эффективный волновой оператор
для среды, армированной короткими осесимметричными во-

588
локнами // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989. N6.
С. 121-130.
65. Канаун С. К., Левин В. М. Упругие волны в матричных
композитах, армированных однонаправленными волокнами. Л.:
ЛФИМАШ АН СССР. 1991. Препринт 54. 43с.
66. Канаун С. К., Яблокова Г. И. Приближение
самосогласованного поля в плоской задаче для систем взаимодействующих
трещин // Механика стержневых систем и сплошных сред. Л.:
Изд-во ЛИСИ, 1976. Вып.9. С.118-132.
67. Кендел М., Моррен П. Геометрические вероятности. М.:
Наука, 1972. 192 С.
68. Кит Г. С, Хай М. В. Метод потенциалов в трехмерных задачах
термоупругости тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1989.
283с.
69. Козлов С. М. Осреднение случайных структур // Доклады АН
СССР. 1978. Т.241. N5. С. 1016-1019.
70. Композиционные материалы / Под ред. Л. Браутмана, Р. Кро-
ка. Т.2. Механика композиционных материалов/ Ред. Дж. Сен-
децки. М.: Мир, 1978. 564с.
71. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических
уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Труды
Моск. математ. общества. 1967. Т. 16. С.209-292.
72. Корнеев В. Α., Петрашень Г. И. Вычисление полей дифракций
на упругой сфере // Вопросы динамической теории
распространения сейсмических волн. М.: Наука, 1987. Вып.27. С.45-
69.
73. Косевич А. М. Дислокации в теории упругости. Киев: Наукова
думка, 1978. 220с.
74. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.:
Мир, 1972. 274с.
75. Кочетков В. А. Эффективные характеристики упругих и тепло-
физических свойств однонаправленного гибридного
композитного материала // Механика композитных материалов. 1987.
N1. С.38-46 (сообщение 1); N2. С.250-255 (сообщение 2).
76. Кочетков Е. П., Леонтьев Н. В., Угадчиков Н. А.
Эффективные термоупругие характеристики регулярных волокнистых
композитов // Прикладные проблемы прочности и
пластичности. Горький: Изд-во ГГУ, 1985. Вып.29. С.66-72.
77. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и
собственных напряжений. М.: Мир, 1965. 103с.
78. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир,
1982. 384 С.
79. Кунец Я. И. Осесимметричное кручение упругого
пространства с тонким упругим включением // Приклад, математика и
механика. 1987. Т.51. Вып.4. С.638-645.

589
80. Кунин И. А. Теория дислокаций // Схоутен А. Я. Тензорный
анализ для физиков. М.: Наука, 1963. С.373-450.
81. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.:
Наука, 1975. 415с.
82. Кунин И. Α., Соснина Э. Г. Эллипсоидальная
неоднородность в упругой среде // Доклады АН СССР. 1971. Т. 199. N3.
С.571-575.
83. Кунин И. Α., Соснина Э. Г. Концентрация напряжений на
эллипсоидальной неоднородности в анизотропной упругой среде
// Приклад, математика и механика. 1973. Т.37. N2. С.306-315.
84. Кунин И. Α., Миренкова Г. Α., Соснина Э. Г.
Эллипсоидальная трещина в анизотропной упругой среде // Приклад,
математика и механика. 1973. Т.37. Вып.З. С.501-508.
85. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.:
Физматгиз, 1963. 472с.
86. Левин В. М. К определению упругих и термоупругих
постоянных композитных материалов // Изв. АН СССР. Механика
твердого тела. 1976. N6. С. 137-145.
87. Левин В. М. О концентрации напряжений на включениях в
композитных материалах // Приклад, математика и механика.
1977. Т.41. Вып.4. С.735-743.
88. Левин В. М. О термоупругих напряжениях в композитных
средах // Приклад, математика и механика. 1982. Т.46. Вып.З.
С.502-506.
89. Левин В. М. К определению полного сечения рассеяния при
распространении упругих волн в среде с неоднородностью //
Исследование по теоретическим основам расчета
строительных конструкций: Межвузовский тематический сборник
трудов. Л., 1983. С.85-92.
90. Левин В. М. Распространение упругих волн в средах,
армированных непрерывными волокнами // Механика композитных
материалов. 1986. N3. С.433-439.
91. Левин В. М., Канаун С. К. Упругие волны в матричных
композитах, армированных тонкими жесткими включениями //
Механика композитных материалов. 1990. N6. С. 1026-1032.
92. Линьков А. М., Могилевская С. Г. Конечночастные интегралы
в задаче о пространственных трещинах // Приклад,
математика и механика. 1986. Т.50. Вып.5. С.844-850.
93. Лифшиц И. М., Пархомовский Г. Д. Поглощение ультразвука
в поликристаллах // Уч. зап. Харьковского университета. 1948.
Т.27. С.25-36.
94. Лифшиц И. М., Гредескул С. Α., Пастур Л. А. Введение в
теорию неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982. 358с.
95. Лифшиц И. М., Розенцвейг Л. Н. О построении тензора Грина
для основного уравнения теории упругости в случае неограни-

590
ченной упругоанизотропной среды // Журнал эксперимент, и
теорет. физики. 1947. Т. 17. N9. С.783-791.
96. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых
деформируемых тел. М.: Наука, 1970. 139с.
97. Лохин В. В., Седов Л. Н. Нелинейные тензорные функции от
нескольких тензорных аргументов // Приклад, математика и
механика. 1963. Т.27. N3. С.393-417.
98. Лурье А. И. Напряженное состояние вокруг эллипсоидальной
полости // Доклады АН СССР. 1952. Вып.87. N5. С.709-710.
99. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939с.
100. Лурье К. Α., Черкаев А. В. Эффективные характеристики
композиционных материалов и оптимальное проектирование
конструкций // Успехи механики. 1986. Т.9. Вып.2. С.3-81.
101. Мазья В. Г., Назаров С. Α., Пламеневский В. А. Асимптотика
решений эллиптических краевых задач при сингулярных
возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбил. университета, 1981.
206с.
102. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ. М.: Физмат-
гиз, 1963. 411с.
103. Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление
полимерных и композитных материалов. Рига: Зинатне, 1980. 572с.
104. Механика композитных материалов и элементов конструкций.
Т.1 / Под ред. А. Н. Гузя. Киев: Наукова думка, 1982. 367с.
105. Мизохита С. Теория уравнений с частными производными. М.:
Мир, 1977. 504с.
106. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и
интегральные уравнения. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962. 254с.
107. Михлин С. Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.
575с.
108. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.
М.: Наука, 1970. 512с.
109. Мовчан Н. В., Назаров С. А. Напряженно-деформированное
состояние плоской области с тонким упругим включением
конечных размеров // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.
1987. N1. С.75-83.
ПО. Мун Ф. Удар и распространение волн в композитных
материалах // Композитные материалы / Под ред. Л. Браутмана, Р.
Крока. Т.7. Анализ и проектирование конструкций. М.:
Машиностроение, 1978. С.264-334.
111. Муратов Р. 3. Потенциалы эллипсоида. М.: Атомиздат, 1976.
144с.
112. Наполнители для полимерных композиционных материалов:
Справочное пособие / Под ред. Г. С. Каца, Д.В. Милевски. М.:
Химия, 1981. 736с.

591
113. Никишков Г. П., Черепанов Г. П. Растяжение упругого
пространства с изолированным жестким стержнем // Приклад,
математика и механика. 1984. Т.48. N3. С.460-465.
114. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Гос. суд. пром.
издат., 1962. 431с.
115. Олейник О. Α., Иосифьян Г. Α., Шамаев А. С. Математические
задачи сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ,
1990. 310с.
116. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Стадник Μ. Μ. Упругое
равновесие неограниченного тела с тонким включением // Доклады
АН УССР. Сер. А. 1976. N7. С.636-639.
117. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацишин А. П. Распределение
напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Науко-
ва думка, 1976. 443с.
118. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около
трещин // Прикладные вопросы вязкости разрушения. М., 1968.
С.64-142.
119. Партон В. 3., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории
упругости. М.: Наука, 1977. 311с.
120. Партон В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории
упругости. М.: Наука, 1981. 688с.
121. Пламеневский Б. А. Об ограниченности сингулярных
интегралов в пространстве с весом // Математический сборник. 1968.
Т.76. N4. С.573-592.
122. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-
во МГУ, 1984. 336с.
123. Подцубняк А. П. Интегральные уравнения кручения упругого
тела с тонким дискообразным включением // Приклад,
математика и механика. 1986. Т.50. N4. С.644-650.
124. Подильчук Ю. Н. Граничные задачи статики упругих тел.
(Пространственные задачи теории упругости и пластичности). Т.1 /
Под ред. А. Н. Гузя. Киев: Наукова думка, 1984. 304 С.
125. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные
понятия, предельные теоремы, случайные процессы). М.: Наука,
1967. 495с.
126. Рытов С. М., Кравцов Ю. А. Введение в статистическую
радиофизику. Ч.П. Случайные поля. М.: Наука, 1978. 463с.
127. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний.
М.: Мир, 1984. 472с.
128. Симоненко И. Б. Электростатические задачи для неоднородной
среды. Случай тонкого диэлектрика с высокой диэлектрической
постоянной //Дифференциальные уравнения: I - 1974. Т. 10. N2.
С.301-309; II - 1975. Т.П. N11. С. 1870-1878.
129. Слэтер Дж. Методы самосогласованного поля для молекул и
твердых тел. М.: Мир, 1978. 662с.

592
L30. Соткилава О. В., Черепанов Г. П. Некоторые задачи
неоднородной теории упругости // Приклад, математика и механика. 1974.
Т.38. N3. С.537-550.
L31. Справочник по специальным функциям / Под ред. М.
Абрамовича, И. Стигана. М.: Наука, 1979. 830с.
L32. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М.: Мир,
1973. 419с.
L33. Тарнопольский Ю. М., Скудра А. М. Конструктивная прочность
и деформативность стеклопластиков. Рига: Зинатне, 1966. 256с.
L34. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике
твердого тела. М.: Мир, 1972. 307с.
L35. Уфлянд Я. С. Интефальные преобразования в задачах теории
упругости. Л.: Наука, 1967. 402с.
136. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной
алгебры. М.: Физматгиз, 1963. 734с.
137. Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука,
1965. 386с.
L38. Федорюк М. В. Дифракция звуковых волн на трехосном
эллипсоиде //Акустический журнал. 1988. Т.34, Вып.1. С. 160-164.
139. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.:
Мир, 1974. 159с.
[40. Филыитинский Л. А. Взаимодействие двоякопериодических
систем прямолинейных трещин в изотропной среде // Приклад,
математика и механика. 1974. Т.38. N5. С.906-914.
[41. Хартри Д. Р. Расчеты атомных структур. М.: Иностр. литература,
1960. 271с.
L42. Чабан И. А. Метод самосогласования в применении к расчету
эффективных параметров неоднородных сред // Акустический
журнал. 1964. Вып.З. N10. С.351-358.
[43. Чекин Б. С. Об эффективных параметрах упругой среды со
случайно распределенными трещинами // Изв. АН СССР. Физика
Земли. 1970. N10. С. 13-21.
[44. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука,
1974. 640с.
[45. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных
материалов. М.: Наука, 1983. 296с.
[46. Черепанов Г. П., Ершов Л. В. Механика разрушения. М.:
Машиностроение, 1977. 224с.
[47. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред.
М.: Наука, 1977. 399с.
.48. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических
псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232с.
.49. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: Издат.
иностр. литературы, 1963. 247с.
50. Aboudi J. The effective moduli of short-fiber composites // Int. J.
Solids Structures. 1983. V.19, N8. P.693-707.

593
151. Achenbach J. D., Sun С. Т. The directional reinforced composite as a
homogeneous continuum with microstructure // Dynamics of
composite Materials / Ed. H. Lee. Amer. Society of Mech. End. N.-Y.,
1972. P.47-69.
152. Bazant Z. P., Keer L. M. Singularities of elastic stresses and of
harmonic function at conical notches or inclusions // Int. J. Solids and
Structures. 1974. V.10, N9. P.957-964.
153. Bcltzer A. J. Brauer N. Acoustic waves in random discrete media via
a differencial scheme // J. Appl. Phys. 1987. V.760, P.583-540.
154. Bose S. K., Mai A. K. Axial shear waves in a medium with randomly
distributed cylindres // J. Acoust. Soc. Am. 1974. V.55. N3. P.519-
523.
155. Bose S.K., Mai A. K. Elastic waves in a fiber-reinforced composite //
J. Mech. Phys. Solids. 1974. V.22. N3. P.217-229.
156. Budiansky B. On the elastic moduli of some heterogeneous materials
// J. Mech. Phys. Solids. 1965. V.13. N4. P.223-234.
157. Budiansky В., O'Connell R. Elastic moduli of cracked solids // Int. J.
Solids and Structures. 1976. V.12. N2. P.81-91.
158. Caldron С P. On a singular integral // St ad. Math. 1979. V.65. N3.
P.313-335.
159. O'Connell R. J., Budiansky B. Seismic velocities in dry and saturated
cracked solids // J. of Geophysical Research. 1974. V.79. P.5412-
5426.
160. Costabel H., Stephen E. P. An improved boundary element Galercin
method for three-dimensional crack problems // Integral Equat. and
Operator theory. 1987. V. 10. P.467-504.
161. Cox H. L. The elasticity and strength of paper and other fibrous
materials // Brit. J. Appl. Phys. 1952. V.3. N2. P.72-79.
162. Christensen R. M., Loo К. Н. Solutions for effective shear properties
in three phase and cylinder models // J. Mech. Phys. Solids. 1979.
V.27. N4. P.315-330.
163. Datta S. K. Propagation of SH-waves through a fibrereinforced
composite - elliptical cylindrical fibers // J. Appl. Mech. 1975. V.42. N1.
P. 165-170.
164. Datta S. K. Scattering of elastic waves by a distribution of inclusions
//Archives of Mechanics. 1976. V.28. N3. P.317-324.
165. Datta S. K. Diffraction of plane elastic waves by ellipsoidal inclusions
// J. Acoust. Soc. Am. 1977. V.61. N6. P. 1432-1437.
166. Datta S. K. A self-consistent approach to multiple scattering by
elastic ellipsoidal inclusions // J. AppLMech. 1977. V.44. N12. P.657-
661.
167. Dean G. D., Lockett F. J. Determination of the mechanical
properties of fiber composites by ultrasonic techniques. - Analysis of the test
methods for high modulus fibers and composites. Amer. Soc. for
Testing and Materials, STP. N521. 1973. P.326-346.

594
168. Domany E., Krumhansl J. Α., Teitel S. Quasistatic approximation to
the scattering of ellastic waves by a circular crack // J. Appl. Phys.
1978. V.49. N5. P.2599-2604.
169. Einspruch N. G., Witterholt E. J., Truell R. Scattering of a plane
transverse wave by a spherical obstacle in an elastic medium // J.
Appl. Phys. 1960. V.31. N5. P.806-818.
170. Eshelby J. D. Elastic inclusions and inhomogeneities. - Progress in
Solid Mechanics, V.II / Ed. by I. N. Sneddon and R. Hill. North-
Holland, Amsterdam, 1961. P.87-140.
171. Eshelby J. D. The stress on and in a thin inextensible fiber in a
stretched elastic medium // Eng. Fracture Mech. 1982. V.16. N3. P.453.
172. Foldy L. O. The multiple scattering of waves // Phys. Rev. 1945.
V.67. N3. P. 107-119.
173. Fu L. S., Mura T. The determination of elastodynamic fields of an
ellipsoidal inhomogeneity // J. Appl. Mech. 1983. V.50. N2. P.390-396.
174. Gubernatis J. E. Long-wave approximations for the scattering of
elastic waves from flaws with applications to ellipsoidal voids and
inclusions // J. Appl. Phys. 1979. V.50. N6. P.4046-4058.
175. Gubernatis J. E., Domany E., Krymhansl J. A. Formal aspects of the
theory of the scattering of ultrasound by flaws in elastic materials //
J. Appl. Phys. 1977. V.48. N7. P.2804-2811.
176. Gubernatis J. E., Domany E., Krymhansl J. Α., Huberman M. The
Bom approximation in the theory of the scattering of elastic waves by
flows // J. Appl. Phys. 1977. V.48. N7. P.2812-2819.
177. Gubernatis J. E., Krumhansl J. Α., Thomson R. M. Interpretation of
elastic-wave scattering theory for analysis and design of
flaw-characterization experiments: The longwave-length limit // J. Appl. Phys.
1979. V.50. P.3338-3345.
178. Hashin Z. Complex moduli of viscoelastic composites. I. General
theory and application to particulate composites // Int. J. Solids
structures. 1970. V.6. N5. P.539-552.
179. Hashin Z. The differential scheme and its application to cracked
materials // J. Mech. Phys. Solids. 1988. V.36. N6. P.719-734.
180. Hashin Z., Rosen B. W. The elastic moduli of fiber-reinforced
materials // J. Appl. Mech. 1964. V.31. N2. P.223-232.
181. Hashin Z., Strikman S. A variational approach to the theory of the
elastic behaviour of multiphase materials // J. Mech. Phys. Solids.
1963. V. 11. N2. P. 127-140.
182. Hershey A.V., Dahlgren V.A. The elasticity of an isotropic aggregate
of anisotropic cubic crystals // J. Appl. Mech. 1954. V.21. N3. P.236-
240.
183. Hill R. New derivations of some elastic extremum principles. -
Progress in Apll. Mech. The Prager Anniv. Vol. New-York - London,
1963. P.99-123.
184. Hill R. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical
principles // J. Mech. Phys. Solids. 1963. V.ll. N5. P.357-372.

595
185. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // J.
Mech. Phys. Solids. 1965. V.13. N4. P.213-222.
186. Hlavacek M. A continuum theory for fibre-reinforced composites //
Int. J. Solids Structures. 1975. V.ll. P. 119-211.
187. Johnson G., Truell R. Numerical computations of elastic scattering
cross section // J. Appl. Phys. 1965. V.36. N11. P.3466-3475.
188. Kanaun S. K. Elastic medium with random fields of inhomogeneities
// Elastic media with microstructure. V.II. By I. A. Kunin. Berlin
etc.: Springer-Verlag, 1983. P. 165-228.
189. Kassir M. K., Sih G. С Three-demensional stress distribution around
an elliptical crack under arbitrary loading // J. Appl. Mech. 1966.
V.13. N3. P.601-611.
190. Kemer E. H. The elastic and thermoelastic properties of composite
media // Proc. Phys. Soc. 1956. V.69B. P.808-813.
191. Kneer G. Uber die Bcrechnung der Elastizitats-modulus vielkristaller
Aggregate mit Texture // Phys. Stat. SoUd. 1965. V.9. N3. P.825-838.
192. Kohn W., Rice J. R. Scattering of long-wavelength elastic waves from
localized defects in solids // J. Appl. Phys. 1979. V.50. N5. P.3346-
3353.
193. Kroner E. Berechnung der elastischen Konstanten des Vielkristalls aus
den Konstanten des Einkristalls // Z. Phys. 1958. V.151. N4. P.504-
518.
194. Kroner E. Elastic moduli of perfectly disordered composite materials
// J. Mech. Phys. Solids. 1967. V.15. N4. P.319-329.
195. Kunin I. A. Elastic media with microstructure. V.I. (One-dimensional
models). Springer Series in Solid State Sciences 26, Berlin etc.
Springer-Verlag, 1982. 291p.
196. Kunin I. A. Elastic media with microstructure. V.II.
(Three-dimensional models). Springer Series in Solid State Sciences 44, Berlin etc.
Springer-Verlag, 1983. 272p.
197. Kuster G. Т., Toksoz M. N. Velocity and attenuation of seismic
waves in two-phase media. Part I, Theoretical formulations //
Geophysics. 1974. V.39. N5. P.587-606.
198. Lax M. Multiple scattering of waves // Rev. Modem Phys. 1951.
V.23. N4. P.287-310.
199. Lax M. Multiple scattering of waves. II. The effective field in dense
systems // Phys. Rev. 1952, V.85, N4, P.621-629.
200. Lusis J., Woodhams EL Т., Xanthos M. The effect of flake aspect
ratio on the flexural properties of mica reinforced plastics // Polymer
Eng. Sci. 1973. V.13. N2. P. 139-145.
201. Mai A. K., Knopoff L. Elastic wave velocities in two-component
systems // J. Inst. Math. Appl. 1967. V.3. P.376-387.
202. Manera M. Elastic properties of randomly oriented short fiber-glass
composites // J. Сотр. Mater. April 1977. V.ll. P.235-247.
203. Matheron G. Random sets and integral geometry. New York etc.:
Wiley, 1975. 261p.

596
204. Matonis V. Α., Small N. С. A macroscopic analysis of composites
containing layered spherical inclusions // Polymer Eng. Sci. 1969.
V.9. N2. P.90-99.
205. Mc. Bride R. J., Kraft W. D. Scattering of a transverse elastic wave by
an elastic sphere in a solid medium // J. Appl. Phys. 1972. V.43.
P.4853-4861.
206. Mc. Laughlin R, A study of the differential scheme for composite
materials // Int. J. Eng. Sci. 1977. V.15. N4. P.237-244.
207. Mindlin R. D., Tiersten H. F. Effects of couple stresses in linear
elasticity // Arch. Rat. Mech. Analysis. 1962. V.ll. N5. P.415-448.
208. Okuno K., Woodhams R. T. Mica reinforced polypropylen //
Polymer Eng. Sci. 1975. V.15. N4. P.308-315.
209. Okuno K. On the flexural modulus of the flake-filled plastics // Ko-
bunshi Ronbunshu. 1980. V.37. N12. P.789-796.
210. Piau M. Attenuation of a plane compressional wave by a random
distribution of thin circular cracks // Int. J. Eng. Sci. 1979. V.17. P. 151-
167.
211. Ramsteiner F. Elastic behaviour of unidirectional short-fiber
reinforced thermoplastics // Composites. 1981. V.12. N2. P.65-71.
212. Rayleigh J. W. On the influence of obstacles arranged in rectangular
order upon the properties of medium // Phil. Mag. 1892. V.34. N5.
P.481.
213. Reuss A. Berechnung der Fliebgranze von Mischkristallen auf Grund
der Plastizitatsbendingung fllr Einkristalle // Z. Ang. Math, und
Mech. 1929. V.9. N1. P.49-58.
214. Rexer J., Anderson E. Composites with planar reinforcement (flakes,
ribbons). A review // Polymer Eng. Sci. 1979. V.19. N1. P.l-11.
215. Richard T. G. The mechanical behaviour of solid microsphere filled
composite // J. Compos. Mater. 1975. V.9. N2. P. 108-113.
216. Robinson K. Elastic energy of an ellipsoidal inclusion in an infinite
solid // J. Appl. Phys. 1951. V.22. N8. P.1045-1054.
217. Sabine F. J., Willis J. R. A simple self-consistent analysis of wave
propagation in porous media. Elastic wave propagation. Proceed.
IUTAM Symp., Galway, 1988/ Ed. by M.T.McCarthy, M. A. Hayes,
North-Holland, Amsterdam, 1989. P.327-332.
218. Sadowsky Μ. Α., Sternberg E. Streess concentration around a three-
axial ellipsoidal cavity // J. Appl. Mech. 1949. V.16. N2. P. 149-157.
219. Smith J. C. Correction and extension of Van der Pol's method for
calculating the shear modulus of particulate composite // J. Res.
Natl. Bar. Stand. 1974. V.78A. N3. P.355-361.
220. Smith J. С The elastic constants of a particulate filled glassy polymer
// Polymer Eng. Sci. 1976. V.16. N6. P.394-399.
221. Sutherland H. J., Lingle R. Geometric dispersion of acoustic waves
by a fibrous composite // J. Compos. Materials. 1972. V.6. N5.
P.490-501.

597
222. Talbot D. R S., Willis J. R Variational estimates for dispersion and
attenuation of waves in random composites. I. General theory // Int.
J. Solids Struct. 1982. V.18. N8. P.673-683.
223. Talbot D. R S., Willis J. R Variational estimates for dispersion and
attenuation of waves in random composites. II. Isotropic composites
// Int. J. Solids Struct. 1982. V.18. N8. P.685-698.
224. Talbot D. R S., Willis J. R Variational estimates for dispersion and
attenuation of waves in random composites. III. Fiber-reinforced
materials // Int. J. Solids Struct. 1983. V.19. N9. P.793-811.
225. Tauchert T. R, Guselsu A. N. An experimental study of dispersion of
stress waves in a fiber-reinforced composite // J. Appl. Mech. 1972.
V.39. N1. P.98-102.
226. Throop G. J., Bcarman R J. Numerical solutions of the Percus-Yevic
equation for the hand-sphere potential // J. Chem. Phys. 1965. V.42.
N7. P.2408-2411.
227. Torquato S. Microstructure and effective properties of random media
// Lecture in Applied Mathematics. 1991. V.27. P.323-358.
228. Torquato S., Rubinstein J. Improved bounds on the effective
conductivity of high-contrast suspensions // J. Appl. Phys. 1991. 15 May.
V.69. N10. P.7118-7125.
229. Tshai O., Cohen L. J. Elastic properties of filled and porous epoxy
composites // Int. J. Mech. Sci. 1967. V.9. N5. P.539-546.
230. Twersky V. Coherent scalar field in pair-correlated random
distributions of aligned scatterers // J. Math. Phis. 1977. V.18. N12. P.2468-
2486.
231. Twersky V. On propagation in random media of discrete scatterers //
Proc. Sympos. Appl. Math. 1964. V.16. Stochastic processes in
mathematical physics and engineering . P.84-116.
232. Van der Poel С On the rheology of concentrated dispersions //
Rheol. Acta. 1958. Bl. N2/3. P. 198-205.
233. Varadan V. K., Ma Y., Varadan V. V. A multiple scattering theory for
elastic wave propagation in discrete random media // J. Acoust. Soc.
Am. 1985. V.77. N2. P.375-385.
234. Varadan V. K., Varadan V. V. Multiple scattering of elastic waves by
cylinders of arbitrary cross section I. SH-waves // J. Acoust. Soc.
Am. 1978. V.63. N5. P.1310-1319.
235. Voight W. Lehrbuch der Kristallphysik. Berlin: Taubner, 1928. 962S.
236. Walpole L. J. On bounds for the overall elastic modules of inhomoge-
neous system. I // J. Mech. Phys. Solids. 1966. V.14. N1. P. 151-288.
237. Walpole L. J. On bounds for the overall elastic modules of inhomoge-
neous system. II // J. Mech. Phys. Solids. 1966. V.14. N5. P.289-301.
238. Walpole L. J. On the overall elastic modules of composite materials
// J. Mech. Phys. Solids. 1969. V.17. N4. P.235-251.
239. Waterman P. S., Truell R Multiple scattering of waves // J. Math.
Phys. 1961. V.2. N4. P.512-537.

598
240. Willis J. R. The stress field around an elliptical crack in an anisotropic
elastic medium // Int. J. Eng. Sci. 1968. V.6. N5. P.253-263.
241. Willis J. R. Bounds and self-consistent estimates for the overall
properties of anisotropic compositer // J. Mech. Phys. Solids. 1977.
V.25. P. 185-202.
242. Willis J. R. Variational principles and bounds for the overall properties
of composites // Continuum models of discrete system // Proc.
Second Int. Symp. Cont. Models of Discrete System. Univ. Waterloo
Press. 1978. P. 185-215.
243. Willis J. R. A polarization approach to the scattering of elastic waves.
I. Scattering by a single inclusion // J. Mech. Phys. Solids. 1980.
V.28. N5/6. P.287-305.
244. Willis J. R. A polarization approach to the scattering of elastic waves.
II. Multiple scattering from inclusions // J. Mech. Phys. Solids. 1980.
V.28. N5/6. P.307-327.
245. Willis J. R. Variational and related methods for the overall properties
of composites // Advanced in applied mechanics. 1981. V.21. P. 1-78.
246. Willis J. R. Variational principles for dynamic problems for inhomo-
geneous elastic media // Wave motion. 1981. V.3. N1. P. 1-11.
247. Willis J. R. Elasticity theory of composites // Mechanics of solids /
Ed. by H. G. Hopkins and H. J. Sewell. Oxford and New York:
Pergamon Press, 1982. P.653-686.
248. Willis J.R. Some remarks on the application of the QCA to the
determination of the overall elastic response of a matrix/ inclusion
composite // J. Math. Phys. 1984. V.25. N6. P.2116-2120.
249. Yang С F., Truell R. Scattering of a spherical obstacle in an isotro-
pically elastic solids // J. Appl. Phys. V.27 N9. 1956. P. 1086-1097.

Канаун Сергей Константинович
Левин Валерий Михайлович
Метод эффективного поля
в механике композитных материалов
Редактор Л. П. Соколова

Подписано в печать 05.07.93. Формат 60 χ 90Хб. Гарнитура
«Тайме». Печать офсетная. Усл. печ. л. 37,5. Уч.-изд. л. 37,5.
Тираж 1500 экз. Заказ № 1937. Изд. № 1. «С».
<УО£><0
Издательство Петрозаводского государственного
университета
185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33
Оригинал-макет изготовлен в ИВЦ ПГУ на PC ARMAS-386
с использованием текстового процессора
Microsoft Word for Windows ver.2.0a
Арендное предприятие Республиканская
ордена «Знак Почета» типография им. П. Ф. Анохина
185005, Петрозаводск, ул. «Правды», 4

'■
f