ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ
ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ
СЕРИЯ
МЕХАНИКА ТВЕРДЫХ
ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
Том 5
МЕХАНИКА ТВЕРДЫХ
ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
Том 5
ВЫПУСКИ И ТОМА СЕРИИ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАНЕЕ:
1. Механика. Упругость и пластичность. 1964. М , 1966
2. Упругость н пластичность 1965. М., 1966
3. Упругость н пластичность 1966. М., 1968
4. Механика твердых деформируемых тел. 1967. М., 1969
<р Механика твердых деформируемых тел. Т. 6. М., 1972
СЕРИИ «ИТОГОВ НАУКИ И ТЕХНИКИ» ПО МЕХАНИКЕ,
ВЫХОДЯЩИЕ В 1973 г.:
1. Гидромеханика. Т. 7.
2. Механика твердых деформируемых тел. Т. 7.
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
СТЕРЖНЕЙ, ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Э. И. Григолюк, И. Т. Селезов
Примечание редакции: с
номер тома.
1971 г. вместо года был введен
МОСКВА 1973
МОСКВА 1973

СЕРИЯ
МЕХАНИКА ТВЕРДЫХ
ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
Памяти Степана Прокофьевича Тимошенко
посвящают авторы свое исследование
главный редактор академик Л. И. Седов
заместитель главного редактора канд. техн. наук Г. К. Михайлов
УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ РЕДАКЦИОННОЙ КОЛЛЕГИИ
канд. физ.-мат. наук Н. Л. Крашенинникова
члены редколлегии: Докт техн. наук А. С. Гиневский,
член-корр. АН СССР Э. И. Григолюк,
докт. физ.-мат. наук Г. Л. Гродзовский,
докт. техн. наук Ф. М. Диментберг, член-корр. АН СССР Н. Н. Моисеев,
докт. техн. наук В. Н. Николаевский, академик Г. И. Петров,
канд. фнз.-мат. наук В. А. Прокофьев, член-корр. АН СССР В. В Румянцев,
докт. техн. наук А. И. Смирнов, докт. физ.-мат. наук С. А. Шестериков
В обзоре дается систематическое обсуждение уточненных динамических
теорий, основанных на модели С. П. Тимошенко для упругих стержней и
обобщенных другими исследователями на случай упругих пластин и обо-
оболочек. Эти теории отличаются от известных классических результатов тео-
теории Бернулли — Эйлера для стержней, теорий типа Кирхгофа для плас-
пластин, а также теорий, основанных на гипотезе о нормальном элементе
Кирхгофа — Лява для оболочек, наличием дополнительных членов, позво-
позволяющих учитывать взаимодействие движений по поперечной координате,
выявить конечные, в отличие от классической теории, скорости распростра-
распространения фронтов возмущений в указанных упругих телах и т. п.
Проанализированы исследования, опубликованные в отечественной и
зарубежной литературе с восемнадцатого века до середины 1971 г. Обзор
охватывает свыше 750 работ. В нем сопоставлены результаты анализа
различных динамических теорий стержней, пластин, оболочек. Обсуждены
данные экспериментов в связи с отмеченными теоретическими предсказа-
предсказаниями. Проблема уточнения классических теорий динамического поведения
стержней, пластин и оболочек освещается с единой точки зрения.
Авторы: член-корр. АН СССР Э. И. Григолюк
докт. физ.-мат. наук И. Т. Селезов
©, ВИНИТИ, 1973
ПРЕДИСЛОВИЕ
Уточненными будем называть теории, которые отличаются
от обычных классических наличием в дифференциальных
уравнениях дополнительных членов, расширяющих в неко-
некотором смысле области применения классических теории.
Классические теории стержней основаны на гипотезе плоских
сечений, пластин — на гипотезах Кирхгофа и оболочек — на
гипотезах Кирхгофа—Лява. По существу, в этих теориях
применяются простейшие — линейные по поперечной коорди-
координате аппроксимации и не учитываются упругие поперечные
взаимодействия. Классическая теория продольных колебании
стержней и теория обобщенного плоского напряженного со-
состояния пластин также являются простейшими аппроксима-
аппроксимациями, основанными на предположениях о постоянстве ха-
характерных функций по сечению (толщине) и малости по-
поперечных эффектов. Появление уточненных теорий обуслов-
обусловлено тем, что классические теории при решении ряда задач
современной техники приводили к заметным погрешностям.
Можно сказать, что это является следствием физического и
математического несовершенства классических динамических
теорий. Зти теории предсказывают, например, бесконечные
скорости распространения фронтов возмущений и не улавли-
улавливают элементарных упругих толщинных эффектов.
В настоящем обзоре будут рассматриваться в основном
уточненные динамические теории, основанные на модели вы-
выдающегося отечественного ученого-механика С. П. Тимо-
Тимошенко A916, 1921) для стержней и ее обобщениях на пла-
пластины и оболочки. Будут рассмотрены также с достаточной
полнотой метод степенных рядов и менее подробно асимпто-
асимптотические и некоторые другие методы. Метод степенных рядов
ведет свое начало от работ выдающихся математиков прош-
прошлого века Коши и Пуассона A828). Асимптотические мето-
методы в динамике стержней, пластин и оболочек начали разви-
развиваться значительно позже, чем в других естественных науках.
Все известные методы сводятся, по существу, к уменьшению
тем или иным способом размерности трехмерной задачи тео-
теории упругости.

Отметим, что до конца второй мировой войны количество
публикаций в этой области было ничтожно мало. Затем на-
наступил период бурного развития. Было решено большое ко-
количество задач, проводился также углубленный анализ зна-
значимости модели Тимошенко и ее возможностей. С 50—
60-х годов и до настоящего времени предпринимаются
попытки построения более общих теорий, которые можно
рассматривать как некоторые аппроксимации краевых задач
математической теории упругости.
Вопросы построения приближенных теорий колебаний
•стержней, пластин и оболочек, по существу, представляют
собой часть общей проблемы построения моделей механики
сплошных сред, получившей развитие в работах Л. И. Седо-
Седова».
С точки зрения исследования распространения волновых
процессов одним из существенных качеств применяемой мо-
модели динамики сплошной среды является ее гиперболич-
гиперболичность, т. е. соответствующие дифференциальные уравнения
должны принадлежать к уравнениям так называемого гипер-
гиперболического типа. Физически это выражает конечность ско-
скорости распространения любого возмущения в рассматривае-
рассматриваемой среде, что, однако, не всегда принимается во внимание
при построении математических аппроксимаций. Это обсто-
обстоятельство особенно важно для построения упрощенных тео-
теорий. Такие приближенные теории строятся обычно как асим-
асимптотически вырожденные по параметру (параметрам) или
как некоторые аппроксимации точно поставленных задач
математической теории упругости. Гиперболические аппрок-
аппроксимации являются, по-видимому, наиболее подходящими.
Они, в отличие от параболических аппроксимаций, характе-
характеризуют процессы распространения волн с разрывами и поэто-
поэтому способны описать динамические явления в областях, рас-
расположенных ближе к реальным волновым фронтам, предска-
предсказываемым трехмерной теорией. Иначе говоря, если рассмат-
рассматривать гиперболические и параболические аппроксимации
одного порядка (имеется в виду порядок пространственно-
временного дифференциального оператора), то с помощью
первых можно построить теории, применимые при более вы-
высоких частотах гармонических составляющих [2.54]. Все ска-
сказанное относится к модели динамической теории упругости,
которая, как известно, является гиперболической, и ее ап-
аппроксимациям— теориям стержней, пластин и оболочек. Ус-
Условию гиперболичности не удовлетворяют классические тео-
')Седов Л. И. Математические методы построения новых моделей
сплошных сред. Успехи матем. наук, 1965, 20, № 5, U21— '180 — РЖМех,
1966, 9А10.
Седое Л. И. Модели сплошных сред с внутренними степенями сво-
свободы. Прикл. матем. и мех., 1968, 32, № 5, 771—785 — РЖМех, 1969, 4АЫ.
рии поперечных колебаний стержней (Бернулли—Эйлера) и
пластин (Кирхгофа), а также классическая теория колебаний
оболочек. Теории же продольных колебаний стержней, обоб-
обобщенного плоского напряженного состояния и теории, осно-
основанные на модели Тимошенко, удовлетворяют условию ги-
гиперболичности. Необходимо отметить, что при исследовании
других классов задач, не относящихся к волновой динамике,
построение приближенных теорий деформирования стержней,
пластин и оболочек может выполняться на основе других
критериев [3.43].
В последние годы уточненные теории типа Тимошенко и
некоторые другие уточненные теории получили большое рас-
распространение и при решении статических задач теории де-
чрормирования стержней, пластин и оболочек. Учет деформа-
деформации поперечного сдвига оказывается существенным и при
исследовании концентрации напряжений и в связи с приме-
применением новых композитных материалов. Многочисленные ре-
результаты, относящиеся к уточненным статическим теориям,
будут упоминаться лишь по мере надобности.
Настоящий обзор охватывает работы, опубликованные
примерно до середины 1971 г. Авторы стремились обсудить
' все работы по уточненным динамическим теориям, хотя и
понимают неизбежность некоторых пропусков. Что касается
результатов экспериментальных исследований, то в обзоре
приведены лишь те, в которых имеется сопоставление резуль-
результатов уточненных динамических теорий с результатами трех-
трехмерной или классической теорий. Список литературы насчи-
насчитывает 758 наименований: из них по стержням — 352, по пла-
пластинам— 232, по оболочкам—174. Отдельные вопросы,
рассматриваемые здесь, были предметом специального ана-
анализа. Так обсуждение теоретических и экспериментальных
исследований поперечных и продольных колебаний стержней
и сопоставление результатов классических и уточненных тео-
теорий с результатами экспериментов и трехмерной теории
имеется в книге Г. Кольского [1.224] A955) и в обзорах
Н. N. Abramson'a, H. J. Plass'a, E. A. Ripperger'a [1.91]
A958) и R. M. Davies'a [1.142] A953), [1.143] A956) и
Н.144] A958). Краткое обсуждение известных особенностей
и решений уравнений балки Тимощенко да«о К. Wilmanski
[1.350] A964). Достижения в области динамики стержней,
пластин и оболочек реферировал также J. Miklowitz в рабо-
работах [1.250] A960) и [2.149] A963). Развитие метода степен-
степенных рядов и других методов приведения трехмерных задач
теории упругости к двумерным можно найти 'в работах
Н. А. Килычевского и его сотрудников [3.42—3.45, 2.16]
A962—1968).
Математические проблемы приведения трехмерной задачи
теории упругости к двумерной (пластины и оболочки) разоб-

раны И. И. Воровичем [3.27] A966). Построению уравнений
общей теории оболочек и анализу асимптотических методов
посвящены работы [3.32—3.37] A962—1970). Л. Я. Айнола
и У. К. Нигул [3.1] A965) в обзоре по динамике пластин и
оболочек проанализировали методы решения нестационарных
задач. Статические и динамические задачи теории пластин и
оболочек рассматривались в работе f3.26] A965). Методы
построения уточненных теорий и их приложение в статике и
динамике пластин и оболочек описаны А. К- Галиньшем
[3.30] A970).
Настоящий обзор в отличие от известных преследовал
цель — с единой точки зрения осветить проблему уточнения
классических теорий колебаний стержней, пластин и оболо-
оболочек. Кроме того, в обзоре рассмотрены и охарактеризованы
с достаточной полнотой все известные подходы к построению
уточненных теорий и изданные в этой области работы. В ка-
какой-то мере в обзоре дана классификация методов и задач.
В заключение приведем точные в рамках трехмерной ди-
динамической теории упругости математические постановки за-
задач о линейных колебаниях ограниченного тела, один или
два размера которого малы по сравнению с остальными.
Именно эти задачи и составляют предмет изучения в теории
динамики стержней, пластин и оболочек. В связи с тем, что
получение обозримых аналитических решений указанных
задач возможно для очень ограниченного числа простейших
частных случаев, развивались и уточнялись приближенные
теории, которые в основном и удовлетворяли многообразные
запросы практики.
Рассмотрим в криволинейных ортогональных координа-
координатах Х\, Х2, х3 ограниченное упругое однородное и изотропное
тело и введем характерную длину /. Задача состоит в опре-
определении вектор-функции и(хь х2, х3, t), удовлетворяющей
уравнению
. + G) grad div u + GV2U + P=p
dF
в области
-j<x3^Y' (A = const)
ai^.xl<bi, A = 1,2)
@.1)
@.2)
@.3)
@.4)
@.5)
@.6 >
а также удовлетворяющей граничным условиям первой
краевой задачи
8
причем
второй краевой задачи
@.7)
afcLc.-ih^to.^.O (« = 1-2,3) @.8)
или смешанной задачи. Если тело является ограниченным
по координатам х\ и Х2, то на краевых поверхностях также,
задаются условия, аналогичные @.7), @.8) или подобные
смешанным краевым условиям. В случае нестационарной
задачи накладываются начальные условия, например, вида
uL«,=<M*i>*2.*a) @.9)
^-\t=l=$2(xvx2,x3) @.10)
В уравнениях @.1) — @.10) приняты обозначения, которые
применяются и приведены далее в тексте, кроме того
Постановка @.1) — @.10) относится к оболочке постоянной
толщины.
Если принять, что координатные линии Ох\ и Ох2 лежат
в плоскости, а Ох3 — прямая, нормальная к этой плоскости,,
то получаем постановку задачи для пластины (упругого
слояI'.
В случае стержня, кроме координаты х3, упругое тело
является ограниченным еще относительно одной координаты,
для которой вводится условие малости, аналогичное урав-
уравнению @.5).
Этим далеко не исчерпывается множество возможных
задач. В обзоре будут рассмотрены задачи для неоднород-
неоднородных тел, анизотропных, вязко-упругих, с учетом физической
и геометрической нелинейности, температурных полей и т. п.
Из вышеизложенного видно, что самыми простыми яв-
являются задачи для пластины, значительно более трудными
оказываются задачи для оболочек и стержней. Необходимо
подчеркнуть неэлементарность задач последнего класса:
это — пространственные задачи теории упругости и обычные
построения для стержней в приближении плоского напряжен-
напряженного состояния, которые подчас трактуются как точные и
эталонные, не являются убедительными.
Все приближенные теории динамики стержней, пластин и
оболочек основаны на понижении размерности (по про-
пространственным координатам) краевой задачи @.1) — @.10),
исходя из условий @.2) и @.5), что составляет существо--
1) См. стр. 137-138

так называемой проблемы приведения. Решение последней
задачи представляет большие трудности в связи с тем, что,
во-первых, невозможно установить общий, абсолютный кри-
критерий для всех классов задач и, во-вторых, не имеет места
единственность решения, так как в теории аппроксимации
функций понятие «наилучшего приближения» не вполне оп-
определенно [3.43] A963). Этим и объясняется наличие боль-
большого числа различных приближенных теорий, которые неред-
нередко в количественном отношении отличаются одна от другой
незначительно.
Авторы выражают глубокую благодарность А. Н. Гузю,
Л. М. Лямшеву, В. Л. Бердичевскому и особенно Л. И. Се-
Седову за многие ценные и важные замечания по рукописи
настоящего обзора. Они ценят помощь Н. И. Беловой,
Л. Г. Корнейчука, Ю. Г. Кривоноса и Л. В. Селезовой в под-
подготовке рукописи к печати.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Х{ (i— 1, 2, 3) — пространственная координата;
х, у, z — прямоугольные декартовы координаты;
г, 6, г —цилиндрические координаты;
t — время;
щ (i= 1,, 3) — компонента вектора перемещения и;
ил, иу, и2 или и, v, w — компоненты вектора перемещения в
прямоугольных декартовых координатах;
иг, к6, и2 — компоненты вектора пере-мещения в цилиндриче-
цилиндрических координатах;
w — прогиб (поперечное отклонение) стержня, пластины или
оболочки;
ф — угол наклона нейтральной линии, обусловленный изгибом;
h — толщина или полутолщина;
F — площадь поперечного сечения стержня;
/ — момент инерции поперечного сечения относительно оси,
проходящей через центр тяжести;
г j — VI IF — радиус инерции поперечного сечения; ,
/—характерная длина или длина волны;
М — изгибающий момент;
Q — поперечная сила;
q — нормальная нагрузка, действующая на поверхности стерж-
стержня, пластины или оболочки;
р — объемная плотность;
Е—-модуль Юнга;
v—коэффициент Пуассона;
7^—постоянная Ламе;
= 2A+v) —постоянная Ламе (модуль сдвига);
Ml — изгибная жесткость;
В— j2/1—vi4—цилиндрическая жесткость;
к или А2 —коэффициент сдвига;
/X + 2G
/
скорость распространения волн расширения в
неограниченной упругой среде;
s=y
R р
=у скорость распространения продольных волн в
скорость распространения волн сдвига в неогра-
неограниченной упругой среде;
cR — скорость распространения поверхностных волн Релея;
сь
стержне;
G i/ ? / 2GX \
V J распростра-
?
1Х
р
1 / X' + 2G i/
нения волн в пластине по теории обобщенного плоского
напряженного состояния;
ck=y скорость распространения волн по теории Тимо-
Тимошенко;
cg — групповая скорость;
с — фазовая скорость;
2я
$=-, волновое число;
2л
<л = с . круговая частота;
clk и elk (i, k= 1, 2, 3) — компоненты тензора напряжений и
деформаций соответственно;
и е
«-
. уу « « № « ^ > °, и гх, еу,е2 —нормаль-
—нормальные компоненты тензора напряжений и деформаций соот-
соответственно;
z> ezx или try. Туг» ~lzx ~ касательные компо-
10
ненты тензора напряжений и деформаций соответственно;
— /(t) = /(() = / t{t) — производная по времени t;
¦j-f(x) = f (x) = f ^(Jt) —производная по координате х\
и[ . — производная г-й компоненты вектора и по у'-й координате;
A при l = k
^ift=in • i ,—символ Кронекера;
'* @ при 1фк v v
V2 — оператор Лапласа;
мода — форма колебаний по высоте стержня, толщине пласти-
пластины или оболочки.
Под повторяющимися индексами подразумевается сумми-
суммирование.
11

Часть 1.
СТЕРЖНИ
Классические уравнения продольных и изгибных колеба-
колебаний стержней, по существу, являются одномодовыми аппрок-
аппроксимациями краевых задач трехмерной динамической теории
упругости". Уточнения классических теорий, которые не
приводят к увеличению числа мод, сравнительно мало улуч-
улучшают эти теории. К таким уточнениям относятся поправка
Лява2>, учитывающая силы инерции поперечных движений
при продольных колебаниях стержня, и поправка Релея3>,
которая -учитывает инерцию вращения элемента балки при
ее изгибных колебаниях.
Существенными в качественном и количественном отноше-
отношениях являются уточнения, которые приводят к увеличению
числа рассматриваемых мод, двухмодовые аппроксимации,
трехмодовые и т. д. Настоящий обзор посвящен в основном
рассмотрению таких уточненных теорий.
Глава 1.
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УТОЧНЕННЫХ ТЕОРИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ
§ 1. Введение
Теоретические исследования по изгибу деформируемых
стержней не были опубликованы, пока Я. Бернулли не полу-
получил необходимые соотношения для кривизны при изгибе • и
'> Модами здесь и всюду в дальнейшем будем называть формы коле-
колебаний по высоте стержня, толщине пластины или оболочки, для того что-
чтобы отличать их от форм колебаний по длине.
2> См. [1.240]. Эту поправку связывают с именем А. Лява, хотя он сам
отмечает, что она ранее вводилась в выражение для частоты свободных
колебаний Дж. Релеем. См. стр. 273 русского перевода [1.240] A935).
3>См. стр. 313 русского перевода [1.294] A955).
12
дифференциальное уравнение статического изгиба A695)",
которое затем исследовал и интегрировал Л. Эйлер A744J'.
Зто уравнение впоследствии было дополнено динамическим
членом, учитывающим силы поперечной инерции. Так было
получено дифференциальное уравнение поперечных (изгиб-
(изгибных) колебаний балки, которое принято называть классиче-
классическим или уравнением Бернулли—Эйлера. В случае неодно-
неоднородного по длине стержня оно имеет вид
¦ppS?=« ОМ)
дх
A.2)
Здесь х — продольная координата; t — время; ш — попереч-
поперечное перемещение центральной оси стержня (прогиб); М —
изгибающий момент; Q — поперечная сила; q — поперечная
.нагрузка на единицу длины; / — момент инерции поперечного
сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести
м перпендикулярной плоскости изгиба; F — площадь попереч-
поперечного сечения; Е — модуль Юнга; р — объемная плотность.
Классическая теория изгиба стержней основана на гипо-
гипотезе плоских сечений3': первоначально плоское поперечное
¦сечение остается и после изгиба плоским и нормальным к
продольным волокнам балки. Предполагается также, что
напряжения в направлениях, перпендикулярных к продоль-
продольным волокнам пренебрежимо малы. Гипотеза плоских сече-
сечений подтверждается опытными данными с большой точно-
точностью. Отметим кроме того, что для большинства материалов
коэффициент Пуассона не равен нулю (л>>0) и его влияние
приводит в зонах продольного растяжения к боковому сжа-
сжатию сечения, а в зонах продольного сжатия — к боковому
расширению. Отсюда видно, что гипотеза плоских сечений не
запрещает смещения точек в плоскости поперечного сечения
при изгибе. Более подробно этот вопрос можно проанализи-
'>С:м. Bernoulli J. Curvatura laminae elasticae. Acta Eruditorum Lipsiae,
1694, June, 262; Annotationes et Additiones. Acta Eruditorum Lipsiae, 1695,
December, 537, см. также Bernoulli J. Veritable hypothese de la resistance
des solides, avec la demonstration de la courbure des corps, qui font ressort.
1705. Oeuvres compl. T.2. Geneve, 1744, 976—989.
2> Euler L. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive propni-
¦eta.t gaoidantais, swe sototto problem atts даарелмпеЫкя lattissima isansai accept!.
Additamentum 1. De curvis elasticis. Lausannae et Genevae, Apud Marcum-
Mihaelum Bousquet et Socios, 1744, 245—310; Эйлер Л. Метод нахожде-
нахождения кривых линий, обладающих свойствами 'Максимума или минимума, или
решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле.
Сер. «Классики естествознания*. Прилож. 1. Об упругих кривых М.—Л.,
Г'остехиздат, il934, 447—572.
См. книгу С. П. Тимошенко [1.329].
13

ровать исходя из точного решения задачи теории упругости
о чистом изгибе стержня".
Уравнение A.1) применяли для исследования изгибных
колебаний и волн в стержне еще Ж. Фурье 2) A818), Ж. Бус-
синеск3) A883) и др.
Обобщение классической теории поперечных колебаний
стержней, основанное на учете влияния инерции вращения
элементов стержня и деформации поперечного сдвига, было
получено С. П. Тимошенко в 1916 г.4), что более известно по
английской публикации 1921 г. [1.325] и [1.328].
С. П. Тимошенко общепризнанно считается автором этой
уточненной теории, хотя учет инерции вращения был сделан
ранее Дж. Релеем5' fl.294] A877) и впоследствии было об-
обнаружено, что аналогичный способ учета инерции вращения
и сдвига был известен еще ранее Жану Брессу [1.120]
A859). Уравнение поперечных колебаний стержней с уче-
учетом инерции вращения и деформации сдвига обычно называ-
называют уравнением Тимошенко или уравнением балки Тимошен-
Тимошенко, а уравнение учитывающее только инерцию вращения, —
уравнением Релея.
Лишь после второй мировой войны эта уточненная теория
начала бурно развиваться и впоследствии была обобщена
на пластины и оболочки.
§ 2. Методы, основанные на модели Тимошенко
Учет поперечного сдвига при вычислении критической на-
нагрузки решетчатых стержней впервые произвели Ф. Энгес-
сер6) A891, 1907, 1908), и позднее Л. Прандтль7» A907).
'> Обсуждение этого вопроса имеется в книге Снеддона И. Н., Бер-
ри Д. С. Классическая теория упругости. М., Физматтиз, 19Q1, 70—73; ом.
также Ван Цзи-Де. Прикладная теория упругости. М., Физматгиз, 1959;
Седое Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2., М., «Наука», 1970.
2) Fourier J. В. J. Note relative aux vibrations des surfaces elastiques
et un mouvement des ondes. Bull. Sciences par la Societe Philomatique de
Paris, 1818, 129—136.
*' Boussinesq J. V. Comment se repartit, entre les divers points de sa
petite base d'appui, le poids d'un corps dur, a surface polie et convexe, pose
sur un sol horizontal elastique. С R. Acad Sci., 1883, 96, № 4, 245—248;
Boussinesq J. V. Applications des potentiels a l'etude de l'equilibre et de mou-
mouvement des solides elastiques. Paris, Gauthier Villars, 1865.
4> Тимошенко С. П. Курс теория упругости. Ч. II. Стержни и пластин-
пластинки. Петроград, Тип. А. Э. Коллинеа, .1916, §§38—39, 200—213.
5> См. стр. 12.
6> Engesser F. Die Knickfestigkeit gerader Stabe. Zbl. Bauverwaltung,
189A, 11, № 49, 483—486; Uber die Berechnung statisch unbestimmter Sy-
steme. Zbl. Bauverwaltung, 1907 27, № 93, 606—607; Knicksicherheit von
Gitterstaben. VDI-Zeitschrift, 1908, 52, № 9, 359—360.
7> Prandtl L. Knicksicherheit von Gitterstaben. VDI-Zeitschrift, 1907, 51,
№ 47, 11867—1869; Prandl L. Gesammelte Abhandlungen zur angewandte
Mechanik, Hydro- und Aerodynamik. Erster Teil. Berlin—Gottingen—Heidel-
Berlin—Gottingen—Heidelberg, Springer-Verlag, 1961, 87—93.
14
F. Nussbaum" A907) рассматривал случай сплошных стерж-
стержней и в числовых расчетах переоценил в десять раз влияние
сдвига на критическую силу, С. П. Тимошенко2' A908, 1910)
исходил из вариационного метода получения кр-итической
силы для опертого сжатого сплошного стержня и уже в
окончательном результате вводил поправку, соответствующую
Стержням решетчатого типа. Приведенные решения показы-
показывают, что при статическом изгибе стержней деформации по-
поперечного сдвига могут быть существенными.
Влияние деформации поперечного сдвига в статическом
случае легко обнаружить при изгибе резинового стержня
[1.329]. Как показано на фиг. 1.1, наличие касательных на-
напряжений хху приводит к искривлению прямой тп, так что в
точке пересечения нейтральной линии и кривой т'п' угол
между касательными не остается равным я/2, а изменяется
на величину угла сдвига у= (tXy)maJG (G — модуль сдвига).
В то же время в точках т' и п' углы я/2 не искажаются, так
так как в этих зонах отсутствуют касательные напряжения,
т*у = 0.
Таким образом, сдвиговая деформация приводит к иска-
искажению плоского поперечного сечения, которое будет замет-
заметным в некоторой окрестности вблизи концентраторов напря-
напряжения (сосредоточенные силы, опоры, края, сосредоточенные
массы, скачки жесткости или плотности и т. п.). В непосред-
непосредственной близости к концентраторам необходимо рассмотре-
рассмотрение в рамках трехмерной теории упругости.
Следует отметить, что в динамических задачах, кроме
этого, возможно искажение поперечных сечений, связанное с
модами колебаний; более того, в зонах больших градиентов
переменных во времени полей модель классической теории
упругости может оказаться непригодной.
Рассматривая задачу о колебаниях сплошного стержня,.
С. П. Тимошенко [1.325] A921) заметил, что малое на низ-
низких частотах влияние деформации поперечного сдвига с по-
') Nussbaum F. Die genaue Saulenknicklast. Z. Math, und Phys., 1907,
55, № 1—2, 134—138.
2> Тимошенко С. П. К вопросу о продольном изгибе. Изв. Киевск. по-
литехн. ин-та, d908, год 8, кн. 2, '181—212; Тимошенко С. П. Устойчивость
стержней, пластин и оболочек. М., «Наука», 1971, 166—190; Об устойчи-
устойчивости упругих систем. Применение новой методики к исследованию устой-
устойчивости некоторых мостовых конструкций. Изв. Киевск. политехи, ин-та,.
1910, год, 40, кн. 4, 375—660; Отд. оттиск, Киев, Тип. С. В. Кульженко,
1910; то же, 1911; франц. перев. Sur la stabilite des systemes elastiques.
Application d'une nouvelle methode a la recherche de la stabilite de certaines
parties constitutives des ponts. Ann. ponts et chaussees. Ser. 9.1913, 15,
№ 3, МаЦшп, 496—566; 16, № 4, Juil.-Oout, 73—132; 17, № 5, Sept.-Oot.,
372—412; Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек.
М., «Наука», 1971, 208—384 (см. §9, 257—269).
15

¦Фиг. 1.1. Искривление
плоского сечения,
обусловленное каса-
касательными напряже-
напряжениями Фиг. 1.2. Деформированный элемент стержня.
вышением частоты возрастает. Это объясняется увеличением
числа изгибных волн на единицу длины.
Следуя С. П. Тимошенко 11.328] A921) запишем урав-
уравнения изгибных колебаний однородного призматического
стержня с учетом деформации поперечного сдвига и инерции
вращения]. Суммарный угол наклона касательной к кривой
изгиба dw/dx в этом случае слагается из угловых деформа-
деформаций, изгибной -ф и сдвиговой у у нейтральной оси (см.
фиг. 1.2),
dw/dx = ф + т B.1)
Выражения для изгибающего момента М и поперечной силы
Q гаков ьг
B.2)
Уравнение движения бесконечно малого элемента стержня
относительно оси, проходящей через точку k перпендикуляр-
перпендикулярно плоскости чертежа, с учетом инерции поворота имеет вид
-™dx + Qdx = PI pdx B.3)
Уравнение движения этого же элемента в направлении оси
Оу будет
°?dx^F6^dx-qdx B.4)
Внося в B.3) и B.4) формулы A.4), получим два дифферен-
дифференциальных уравнения движения
' -?Ф B-5)
дх
B.6)
Исключая формально г|) из этой системы уравнений, придем
к уточненному уравнению балки Тимошенко (двухмодовая
аппроксимация)
рЧд*ш
kGF дх1
р/ д'д
' kGF dt*
B.7)
Если в уравнении B.7) члены, содержащие k, положить рав-
равными нулю, то из него получим уравнение с учетом инерции
вращения — приближение Релея.
При решении краевых задач уточненные уравнения B.5)
и B.6) дополняются граничными условиями в соответствии
¦с соотношениями B.1) и B.2). При этом весьма существен-
существенным является вопрос о корректности граничных условий.
В некоторых работах [1.43, 1.346, 2.59] уравнения балки Ти-
Тимошенко решались с граничными условиями классической
теории, что некорректно.
Корректные граничные условия, соответствующие сдви-
сдвиговой модели Тимошенко, записали Е. Goens [11.173] A931)
для стержня со свободными концами, В. И. Новоторцев
11.521 A935) и L. S. Jacobsen 11.207] A938) для консольного
стержня, а затем для других граничных условий — R. W. Тга-
ill-NashnA. R. Collar [1-330] A953), М. Ш. Флексер [1.77]
A956), D. Raskovic [1.293] A958) и др. Граничные условия,
вытекающие из вариационного принципа, будут даны ниже.
Приведем распространенную интерпретацию модели Ти-
Тимошенко, которая основана на аппроксимациях поперечного
перемещения w в направлении оси у и продольного переме-
перемещения и в направлении оси х в виде
w(x, у, z, t) s; w(x, t) B.8
u(x,
c,t)f(y)
B.9)
16
Второе слагаемое в B.9) учитывает искажение поперечных
сечений, т. е. отклонение их от плоскости. Выражения для
напряжений с учетом B.8) и B.9) принимают вид
B.10)
B.11)
Как и в классической теории связь между продольным нор-
нормальным напряжением и осевой деформацией B.10) прини-
принимается без учета поперечных оу и боковых ог напряжений.
Переходя к интегральным величинам, получаем для из-
изгибающего момента и поперечной силы следующие выра-
выражения
2—2798 17

Q=—GF9(x,t) B.13)
Из формул B.12) и B.13) видно, что здесь k — кор-
корректирующий коэффициент, а <р — средний угол сдвига в по-
поперечном сечении. Вид функции /(«/), характеризующей фор-
форму искажения плоскости сечения, выбирается так, чтобы
распределение касательных напряжений в сечении была
таким же, как и в элементарной теории согласно формулы
Д. И. Журавского11
-,y = f <2.14>
Поэтому из B.10), B.11) и B.14) следует, что
B.15)
Формулы B.15) позволяют вычислить величину корректи-
корректирующего коэффициента k (например, для прямоугольного'
сечения й = 6/5). Вводя обозначение
получаем выражения
B.16)
которые приводят к уравнениям B.5) и B.6). Из сравнения
уравнений B.1), B.16) и B.17) следует, что kq> = y.
Приведенная интерпретация модели Тимошенко B.8) —
B.17) не является строгой в смысле математической аппрок-
аппроксимации точной постановки задачи, указанной в предисло-
предисловии2'. Действительно, соотношение B.8) точно выполняется
только на нейтральной поверхности, а вторая формула B.17)
справедлива только в том случае, если не учитывать связи
между изгибом и сдвигом стержня31.
Известны и другие трактовки модели Тимошенко41. Одна
из них, принадлежащая J. Prescott'y [1.283] A945), заслу-
заслуживает особого внимания и будет рассмотрена ниже. Нали-
Наличие не одной, а нескольких трактовок, приводит в конечном
итоге к одному и тому же уравнению B.7) с несколько от-
отличными коэффициентами; наличие корректирующего коэф-
коэффициента k обусловливает трудности в формулировке гипо-
гипотез, соответствующих модели Тимошенко.
'» Журавский Д. И. О мостах раскосной системы Гау. С.-Пб., Тип.
Д. Кеоневиля, Ч. И, 1855; Ч. 2, '1856.
2> См. стр. 8 и 9.
3) Более подробно этот вопрос рассмотрен во второй главе, см. стр. 119.
4> См., например, [1.283] стр. 30, [1.107] стр. 49, 11.138] стр. 52.
18
Уравнение Тимошенко B.7) имеет волновой характер.
Я. С. Уфлянд 62.59] A948) применил к решению этого урав-
уравнения метод преобразования Лапласа и вычислил в связи с
этим ряд интегралов Римана—Меллина, которые в дальней-
дальнейшем применялись и другими исследователями.
М. Ш. Флексер [1.78] A958) исследовал колебания беско-
бесконечной балки Тимошенко при действии на нее сосредоточен-
сосредоточенной силы, изменяющейся во времени как функция Хевисай-
да. При этом в точке приложения сосредоточенной силы
имеет место излом функции прогибов, а наклон касательной
к упругой линии претерпевает скачок. Этот факт находится
в противоречии с классической теорией изгиба. Впоследствии
этот вопрос исследовал И. Т. Селезов [2.52] A961) и пока-
показал, что это противоречие остается и в более высоком при-
приближении в классе аппроксимаций типа Тимошенко.
Выяснение особенностей деформирования стержня под
действием сосредоточенной силы представляет как теорети-
теоретический, так и прикладной интерес. Пренебрежение трехмер-
трехмерным характером напряжений в окрестности точки приложе-
приложения силы приводит к следствию, что напряжения не могут
быть определены правильно в непосредственной близости к
приложенной силе. Но на некотором удалении от области
приложения силы это обстоятельство не имеет значения.
Поэтому все рассуждения относительно граничных условий
в окрестности точки приложения сосредоточенной силы явля-
являются формальными, и в случае необходимости можно при-
применять теорию упруго-динамического контакта, в частности,
теорию удара Герца1'.
И. Т. Селезов [2.50] A960), применяя метод степенных
рядов, показал, что уравнение вида B.7) вытекает из моде-
модели трехмерной теории упругости как ее двухмодовая аппрок-
аппроксимация. В дальнейшем были построены двухмодовые ап-
аппроксимации и другими способами, но по форме они одни
и те же и качественно также мало отличаются от уравнений
балки Тимошенко.
Уравнения неоднородной балки Тимошенко рассматрива-
рассматривали В. К. Кабулов [1.26] A960), A. Weigand [1.348] A962),
R. F. Rissone и J. J. Williams [1.298] A965). В случае пе-
переменных по длине величин El, kGF, p/ и pF соотношения
B.2) остаются без изменения, а уравнения B.5) и B.6) при-
принимают следующий вид
дх
дх
дх
B.18)
') Hertz H. Dber die Beriihrung fester elastischer Кбгрег. J. reine und
angew. Math. (Crelle), 1882, 92, 2, 156—171.
2* 19

Если стержень совершает поперечные колебания в однород-
однородной упругой среде, которая характеризуется коэффициентом
жесткости k\, то реакция среды проявляется как удельная
нагрузка k\W и уравнение балки Тимошенко B.7) легко до-
дополняется соответствующими членами 11.227] A961).
Уравнения типа Тимошенко для балки с начальными про-
продольными усилиями Nx и прогибами w0 приведены в работе
-Е. J. Brunelle [1.122] A970)
B.18')
M—El*
S. H. Crandall и A. Yildiz [1.140] A961), основываясь на
модели Тимошенко, получили систему дифференциальных
уравнений, учитывающую эффекты поперечного, вращатель-
вращательного и вязкоупругого затуханий колебаний по Фойгту,
Здесь
е2,
и ^ — коэффициенты затухания; с2ь—Е/р;
В работе Н. Favre [1.159] A964) выведено дифференциаль-
дифференциальное уравнение с учетом инерции вращения и деформации
сдвига для стержня из вязко-упругого материала, характери-
характеризуемого соотношениями
ax + a^f~bosx — bl^=O B.20)
txy-G'ixy = 0 B.21)
Зависимость B.20) описывает тело Кельвина при ai=0 и
тело Максвелла при bi = 0. Предполагается также, что коэф-
коэффициенты ui и Ь\ относительно малы, и тогда такой мате-
материал называется квазиупругим. Уточненное уравнение имеет
вид
B.22)
Здесь F* — приведенная площадь, включающая поправку на
сдвиг. Рассматриваются три класса волн (бегущих или сто-
стоячих) : длинные, средние и короткие. Волны считаются длин-
длинными, если можно пренебречь инерцией вращения и сдвигом.
В случае средних волн эти факторы подлежат учету, но их
влияние мало. Короткие волны характеризуются тем, что
влияние инерции вращения и сдвига имеет порядок, одинако-
одинаковый с влиянием поперечной инерции. Из приближенных рас-
расчетов для прямоугольного стержня с высотой h получены
для длин волн / следующие оценки: длинные волны — l[h>
>40, средние — 8<l/h<40, короткие — l/h<8. Подробно ис-
исследуется распространение волн в стержне «з среды Кель-
Кельвина.
Уравнение балки Тимошенко с учетом простейшего демп-
демпфирования, пропорционального поперечной скорости %щ- и
угловой скорости ?д-|т, получено J. Gonda [1.177] A959)
Шх*
р dsw
'kGdt*dx*
d*w
' dxl
1 \
%QF
dt'dx' + ШЕ
1 д*ш
: kQF dtdx*
р d3w
'E~kGF d?'
pF d'w у. дш
Ш dF + ЁГ ЬТ
B.23)
dt2 "^ El ч
dx*dt
kGF dtdx1 kGF дхг ^ EkGF dt* ^ El
I
^Приведены решения этого уравнения в пространстве лапла-
совых изображений.
Уравнения изгибных колебаний балки с учетом инерции
вращения и сдвига в случае упру-
iro-лластического деформирования
даны ,в работах М. П. Галина [1.16]
A959) и ,В. К. Кабулова [1.28]
U1963).
! L. S. D. Morley [1.256] A961)
и К. F. Graft [1.182] A970) полу-
Чили уравнения колебаний кругово-
кругового кольца, при этом учитывались
инерция вращения и сдвиг. Диффе-
Дифференциальные уравнения для эле-
элемента стержня (см. фиг. 1.3) име-
имеют вид Фиг. 1.3. Элемент кольца
21
20

R
Выражения для перемещений
й(г,_в, 0 = и(Я,
да (г, б, /) = вд(/?, 6,
и усилий
B.24)
B.25)
да
Q = kGF
+ r,!R2) $ (J- - и
EFr
B.26)
Здесь Г/ — радиус инерции, а остальные обозначения ясны
из фиг. 1.3.
В. Б. Мещеряков [1.481 A970) вывел уравнения изгибно-
крутильных движений сжатого тонкостенного стержня от-
открытого профиля с учетом деформаций сдвига. Полученная
система трех уравнений в матричной форме имеет следую-
следующий вид
-2A+v)P2|-A0S^- = 0 B.27)
Здесь z — продольная координата, 9 — вектор, проекции ко-
которого суть углы наклона и депланация сечения, N(t) —
продольная сжимающая сила, Ао, А, В и С — матрицы, ха-
характеризующие геометрические свойства стержня, S — мат-
матрица сдвигов. Если не учитывать сдвиги, то соответствующее
вырождение при S-Ю приводит к уравнениям теории тонко-
тонкостенных стержней открытого поперечного сечения В. 3. Вла-
Власова1'. Учет сдвигов связан с появлением дополнительных
форм и спектров высокочастотных колебаний и дополнитель-
дополнительных областей динамической неустойчивости. В количествен-
количественном отношении влиянии сдвигов проявляется в уменьшении
частот свободных колебаний. Положение главной области
динамической неустойчивости с учетом сдвигов практически
не изменяется.
" Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. М., Физматгиз, 1959.
Вывод уравнений балки Тимошенко содержится в [1.94],
11.205], [1.317] и во многих других работах, приведенных в
списке литературы, однако знание этих работ не дает прин-
дипиально новой информации.
§ 3. Исследование уравнений Тимошенко.
В отличие от уравнения Бернулли—Эйлера A.1), которое
является параболическим, уравнение балки Тимошенко
B.7) относится к гиперболическому типу в соответствии с
принятой классификацией в математической физике". В свя-
связи с этим 'рассмотрим дифференциальные уравнения, описы-
описывающие поперечные колебания однородного стержня в при-
приближении Бернулли—Эйлера
d2w
= 0
в приближении Релея
д"и>
в приближении Тимошенко
дгш , d*w
= 0
d4w
C.1)
C.2)
C.3)
Для наших целей достаточно рассмотреть однородные урав-
уравнения и постоянные коэффициенты обозначить буквами ат.
Уравнения C.1) — C.3) записаны в безразмерной форме. Без-
Безразмерные х, w и t равны x/l, w/l, tcjl (здесь / — характер-
характерная длина, cs=(G/p)'/2), а коэффициенты ат определяются
формулами
El
'~GFl*
г— f/2' a2 — i
El
' kGFl*
Для исследования уравнений C.1) — C.3) введем замену
переменных
r\=x, x = t—(?>(х) C.5)
При т = 0 имеем линию разрыва t=at{x), при r = const имеем
линию разрыва t = со(х) + const, смещенную по нормали.
Смысл замены C.5) состоит в том, что д/дц обозначает диф-
дифференцирование в направлениях, касательных к линии раз-
разрыва, а д/дх — в направлениях, не касательных к ней. Пере-
Переходя к новым переменным г\ и т по формулам C.5), можно
определить, какие характеристики (линии разрыва) сущест-
существуют для исследуемого уравнения. Так уравнение C.3) в
новых переменных принимает следующий вид
') Курант Р. Уравнения с частными производными. М., «Мир», 1964.
22
23

-а2и'2 + а3)
d*w
д-^а1 + ^О C.6)
Так как здесь рассматриваются слабые разрывы, которые-
характеризуются разрывами в высших производных, то на
характеристической линии должны выполняться условия
?(|Ь Й = 4, s<4, 4 = 0,1,2.3.4) C.7)
выражающие гладкость всех низших производных по т. Из-
выражений C.6) и C.7) следует уравнение
а^ш'4—а2и'2 + аг = 0 C.8)
которое называется уравнением характеристик. В зависимо-
сти от того, какие корни имеет уравнение характеристик
C.8), определяется тип уравнения C.3). Если корни дейст-
действительные, то уравнение C.3) гиперболического типа, если
комплексные — то эллиптического типа.
Принимая! во внимание, что ш есть величина, обратная
скорости с, и учитывая соотношения C.4), получаем из C.8)
два действительных корня
~ C.9)
k s bVW? ()
Это означает, что уравнение Тимошенко C.3)—вполне ги-
гиперболическое и описывает распространение двух слабых
разрывов (сдвигового и изгибного) со скоростями C.9).
Полагая в уравнении C.8) а3 = 0 и заменяя а2 на а2, по-
получим уравнение характеристик, соответствующее приближе-
приближению Релея C.2)
22_a2) = O C
из которого следуют значения скоростей
cft=oo, сь = УЩ C.11)
Как видно, уравнение Релея уже не является вполне гипер-
гиперболическим, оно описывает распространение сдвигового раз-
разрыва с бесконечной скоростью и распространение слабого
разрыва (изгибного) с конечной скоростью.
Полагая в уравнении C.10)а2'=0, получим результат для
уравнения Бернулли—Эйлера C.1); оно описывает распро-
распространение любого слабого разрыва с бесконечной скоростью,
т. е. относится к параболическому типу.
Покажем теперь, что уравнение Тимошенко C.3), так же
как уравнения C.1) и C.2), описывает распространение волн
с дисперсией, т. е. с изменением формы любого распростра-
распространяющегося сигнала. Для этого представим перемещение
w (х, t) в виде
w(x,t)=<D(x)F{4r(x)— 0 C.12)
24
где Ф(х)—функция, не равная тождественно нулю; F(q) —
произвольная непостоянная функция; W(х)—некоторая мо-
монотонная функция х. При распространении волн с диспер-
дисперсией функция F не может быть произвольной.
После подстановки выражения C.12) в уравнение C.3)
получаем
аз)
2a,*]/ - а2) Ф'
+ f (а2 + 6а^'2) Ф] F"' + \Fа^'2 - а2) Ф" + C.13)
+ 12а!фУф' + 0 + За^ + 4а1ф'фда) Ф] F" +
+ а, (Ц'Ф'" + Ц"Ф" + ЦтФ' + ф!УФ) F' + а1Ф!У/7=0
Предположим, что F произвольная функция. Тогда, прирав-
приравнивая нулю коэффициенты уравнения C.13) при функции F
и ее производных, приходим к системе дифференциальных
уравнений для определения функции Ф
а3)Ф = 0 C.14)
Ц' {2аху2-а2) Ф' + у (а2 +
Ф = 0
C.15)
^2 — а2) Ф"
Ц"Ф"
1ф'ф'") Ф = 0 C.16)
= 0 C.17)
Ф17 = 0 C.18)
Из уравнения C.14) в силу того, что ФФО, следует урав-
уравнение характеристик. Система же уравнений C.15) — C.18) не-
неимеет общего решения, отличного от нуля. Следовательно,
уравнение C.3) не допускает существования волн без дис-
дисперсии.
Отметим, что тип линейного дифференциального уравне-
уравнения с частными производными высокого порядка более про-
просто можно установить из исследования главной части диф-
дифференциального оператора, для которой составляется харак-
характеристический многочлен формальной заменой символов диф-
дифференцирования". Например, для уравнения C.3) характери-
характеристический многочлен главной части оператора имеет вид
C.19)
и легко приводится к виду C.8).
Наиболее простым методом исследования уравнений ди-
динамической теории стержней, пластин и оболочек оказывает-
оказывается метод дисперсионных уравнений. Для этого рассматрива-
рассматривают распространение гармонической волны вида
Ч См. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2.
М.—Л., Гостехиздат, 1951.
25

~at) C.20)
Подставляя выражение C.20) в уравнение Тимошенко C.3)
для бесконечной балки, приходят к уравнению
—со2+ a1s4—a2co2s2 + a3co4 = 0 C.21)
равные нулю. Докажем теорему для модели, которая описы-
описывается следующим дифференциальным уравнением /п-го по-
порядка
которое связывает частоту со с волновым числом s и назы-
называется дисперсионным уравнением. Часто более удобным ока-
оказывается перейти от со и s к фазовой скорости с и длине
волны /, пользуясь формулами
ш = с^, s = ~ C.22)
Дисперсионное уравнение C.21) с учетом C.22) принимает
следующий вид
а3с4—[а2+(//2лJ] с2 + а,=0 C.23)
Фазовая скорость с(/) характеризует дисперсию волн.
Чем больше кривая сA) отличается от прямой вида с(/) =
= const, тем больше дисперсия волн. В частности, наличие
дисперсии волн для уравнения Тимошенко можно вывести
из дисперсионного уравнения C 23): фазовая скорость с за-
зависит от / нетривиальным образом, т. е. c(/)?=const. В боль-
большинстве случаев, к сожалению, не удается получить в явном
виде зависимость сA).
Перенос энергии в том случае, когда имеется дисперсия
волн, характеризуется групповой скоростью cg
cg = c-l? C.24)
Распространение произвольного кратковременного импульса
в линейной системе можно представить в виде наложения
бесконечного числа монохроматических волн, каждая из ко-
которых распространяется со своей фазовой скоростью. Эти
волны из-за дисперсии группируются в пакеты, которые и
переносятся со скоростью с0.
Скорость фронта волны, фазовая и групповая скорости
являются основными характеристиками распространения
колебательного процесса. Эти характеристики будут рассмот-
рассмотрены ниже для различных уточненных теорий.
Интересно, что из дисперсионного уравнения можно уста-
установить все указанные характеристики и тип исходного диф-
дифференциального уравнения с помощью теоремы предельно-
предельности, сформулированной и доказанной для класса уравнений
динамической теории стержней, пластин и оболочек И. Т. Се-
лезовым [2.54] A969). Теорема утверждает, что для гипер-
гиперболичности модели (аппроксимации) необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы ветви сA) дисперсионного уравнения Д(с(/),/)=0
при 1-*-0 имели конечные действительные пределы соы не
26
L[u]= 2 ^ 2
ip\<m \p\=m \p\<m
Здесь коэффициенты ар — постоянные; | p \ = p0 + ¦ • • + pn —
порядок дифференциального оператора; Dp = D0°+ ¦ • • +Dnn\
D = (D0, . ..,Dn) — оператор градиента; Dv = ( )v, (v = 0,...,re);
xu = t — время; x — (x\, ..., xn) — я-мерный вектор.
Уравнение C.25) не допускает волн без дисперсии. Тогда,
представляя решение в виде C.20)
u = el{sx-at)
получаем из C.25) дисперсионное уравнение
Я(со, s)+K{&, s)=0 (?.26)
После подстановки соотношений C.22) уравнение C.26) сво-
сводится к следующему
¦ _ A(c{l),l)=H(c)+laK(c,l)=0 (a>\) C.27)
¦ Выполняя предельный переход при /-"-О в C.27), приходим к
уравнению характеристик
Н(с)=0 C.28)
Необходимость условия следует из того, что если уравнение
{3.25) гиперболическое, то уравнение характеристик C.28)
имеет только конечные действительные корни1'. Достаточность
устанавливается следующим образом. Если известно, что
корни уравнения C 28) конечные действительные, то исход-
исходное уравнение C.25) является гиперболическим.
Таким образом, показано, что стремление / к нулю соот-
соответствует выходу корней дисперсионного уравнения на ха-
характеристики. В качестве примера обратимся к дисперсион-
дисперсионному уравнению C.23), которое, как видно, при /-Ю вырож-
вырождается в уравнение характеристик. В дальнейшем будем
применять теорему предельности.
Как известно, уравнения динамической теории упруго-
упругости— гиперболического типа и описывают в безграничной
среде распространение двух типов волн без дисперсии со
скоростями
C-29)
где X^vE/(\+v){\— 2v); G=?/2(l+v); E — модуль Юнга;
v — коэффициент Пуассона; р — массовая плотность среды.
Уравнения же C.1) — C.3) описывают распространение волн
с дисперсией, которая обусловлена геометрией — ограничен-
ограниченностью упругого тела.
') См сноску на стр 23.

В связи с гиперболичностью динамических уравнений тео-
теории упругости представляется, что наилучшими аппроксима-
аппроксимациями таких уравнений для балки будут гиперболические
аппроксимации. Одну из таких аппроксимаций и построил
С. П. Тимошенко. Правда, долгое время уравнение Тимо-
Тимошенко не было исследовано и только впоследствии было об-
обнаружено, что аппроксимация Тимошенко является гипербо-
гиперболической. Эта аппроксимация является плодом глубокой ин-
интуиции С. П. Тимошенко и понимания им механических
процессов, происходящих в упругих телах.
Решение уравнения Тимошенко C.3) не является про-
простым: к нему в общем виде не применим классический метод
разделения переменных. В частном случае гармонических во
времени колебаний, когда разыскиваются решения вида
w~exp(ia>t)
разделение переменных, естественно, может быть достигнуто,
что было отмечено Dolph'oM [1.152] A954). В то же время
метод разделения переменных применим в общем случае к
уравнению классической теории A.1) и уравнению изгибных
колебаний стержней с учетом инерции вращения C.2).
Согласно методу разделения переменных решение диф-
дифференциального уравнения в частных производных, напри-
например, в двумерном случае разыскивается в виде произведе-
произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной из
независимых переменных. Для уравнений C.1) — C.3) имеем
w(x,t)=X(x)T(t) C.30)
Подставим C.30) в уравнение C.1) и разделим его на
X(x)T{t). Тогда получаем
д*Х^ =х (З.с
Т (t) dt2 "' X (х) дх*
Из равенства двух функций, одна из которых зависит только
от t, а другая только от х, следует, что их можно прирав-
приравнять некоторой постоянной х; выбор ее здесь обсуждать не
¦будем. Из ('3.31) найдем два уравнения
d*X (x)
dX*
C.32)
В случае уравнения C.2) для T(t) установим аналогично та-
такое же уравнение, как в C.32), а для Х(х) —уравнение сле-
следующего вида
Нетрудно убедиться, что аналогичный результат для уравне-
уравнения C.3) получить невозможно.
28
Уточненная теория Тимошенко существенно улучшила
классическую теорию изгиба. Однако вопрос о пределах при-
применимости и значимости этой улучшенной теории долгое
время оставался открытым. В связи с этим были предприня-
предприняты попытки сопоставить результаты этой теории с возмож-
возможными точными решениями динамической теории упругости.
Одна из первых попыток принадлежит С. П. Тимошенко
А 1.326] A922). Были построены решения, описывающие гар-
гармонические колебания бесконечного стержня прямоугольного
¦поперечного сечения, в приближениях плоской деформации
или плоского напряженного состояния.
В приближении плоской деформации частотное уравнение
имеет вид
-/,)(!-Л2) th
-А
C.33)
где / — длина волны; h — высота; fe и fs — безраз-
безразмерные фазовые скорости fe=c/ce, fs=c/cs.
В пределе при 1-+О из C.33) следует уравнение для по-
поверхностных волн Релея11
4 Vn-ft(\-fi)M2-fsJ C-34)
C.35)
При достаточно больших / из C.33) вытекает длинновол-
длинноволновое приближение классической теории изгиба — параболи-
параболическая аппроксимация
Л _ / с \2 4 X + G
I J
Это выражение совпадает с результатом, который следует
из рассмотрения одномерных изгибных колебаний бесконеч-
бесконечной пластины, описываемых уравнением
тг+|>&-° <3-36>
где D = Eh3ll2i(l—v2)—цилиндрическая жесткость.
Из уравнения C.33) вытекает также более точное, чем
описываемое формулой C.35), длинноволновое приближение,
которое оказывается близким к гиперболической аппрокси-
аппроксимации— уравнению с учетом инерции вращения и деформа-
деформации сдвига
I - -- ' - jnh Vr' '
1
- 3 X + 2G
') Эти волны впервые были исследованы Релеем в 11885 г.: Rayleigh J.
W. On waves propagated along the plane surfaces of an elastic solid. Proc.
London Math. Soc, 1885, 17, 4—41; Rayleigh J. W. The collected papers.
Vol. 2. Cambridge, Univ. Press, 1900, 441—447.
29

Для исследования изгибных колебаний балки-стенки в-
приближении обобщенного плоского напряженного состояния
достаточно в формулах C.33) — C.37) заменить % на
Аналогичные построения выполнены, исходя из известного
решения, для случая колебаний стержней кругового попереч-
поперечного сечения.
Сравнение этих приближений точной теории с уравнения-
уравнениями, учитывающими деформацию сдвига и инерцию вращения,
обнаруживает незначительное отличие в коэффициентах.
Работа J. Prescott'a [1.283] A942) содержит механический
и математический анализ динамических явлений в упругих
стержнях. Автор вывел уточненные уравнения поперечных
колебаний стержня, используя гипотезы, несколько отличные
от гипотез С. П. Тимошенко. Он предположил, во-первых, что
в стержне отсутствуют либо боковые нормальные напряже-
напряжения
вуу = 0, azz = 0 C.39)
либо боковые линейные относительные деформации
дг
C.40)
Из соотношений трехмерной теории упругости и выражений
C.39) и C.40) следует
Если выполняются соотношения C.39), то f = E, если же-
имеют место соотношения C.40), /=?A—v)/(l+v)(l—2v).
Эти два предельных варианта мало отличаются. Они соот-
соответствуют или полному проявлению влияния коэффициента
Пуассона (медленные колебания), или отсутствию этого
влияния (быстрые колебания). Действительная величина /
находится в промежутке [E,E(l—v)/(l+v)(l—2v)] и приво-
приводит к значению скорости
с/=V7Jp
Во-вторых, предполагается, что сечения остаются плоскими,
но не обязательно перпендикулярными к деформированной
оси стержня
u(x,z,t)=zlx(xJt) C.41)
где ц — осредненный по сечению угол сдвига, определяемый
из выражения для поперечной силы
30
= 4-\\%dF
C.42>
Формулы C.41) и C.42) соответствуют постоянному по се-
сечению распределению касательных напряжений. В действи-
действительности на краях касательные напряжения отсутствуют,
поэтому для прямоугольного сечения высоты h рассмотрен
также случай
ди nz г, . _.
Два представленных варианта C.41) и C.43) также являют-
являются предельными, первый соответствует медленным колебани-
колебаниям, второй — быстрым. Получено дифференциальное уравне-
уравнение
C.44>
для C.43); /"/==
= ([jF)lu — радиус инерции сечения. Исследуются диспер-
дисперсионные уравнения, соответствующие классической теории
изгиба
C.45>
Здесь /7 = 1/Г/ для C.41) и p =
1/2
I/2
уравнению с учетом инерции вращения
уравнению типа Тимошенко
C.46>
C.47>
А. Ляв [1.240] для кругового цилиндрического стержня
показал, что при 1-*со выражение C.45) является правиль-
правильным. Но при /-Ю имеем с-^со) что совершенно неудовлетво-
неудовлетворительно. Из уравнения C.46) видно, что при /->0 скорость
с-^-Съ- Это несколько лучше с механической точки зрения,
так как такая теория описывает распространение одного
фронтового разрыва с конечной скоростью0. Уравнение C.47)
при /->0 дает c-+cf и c-+cs. Этот результат еще лучше, так как
предсказывает распространение двух разрывов с конечными
скоростями2'.
') Другой же разрыв-—сдвиговый — согласно этой теории распростра-
распространяется с бесконечной скоростью, см. выше стр. 24.
2) См. выше стр. 24.
3t

J. Prescott [1.283] A942) рассмотрел также колебания
пластины (плоская деформация) и колебания кругового ци-
цилиндра на основе уравнений теории упругости и подробно
исследовал предельные случаи дисперсионных уравнений с
целью сравнения с приближенными теориями. Были рассмот-
рассмотрены также и напряжения. Анализ обнаруживает, что коле-
колебания стержней, как поперечные, так и продольные, при
коротких длинах волн очень сильно изменяют свой характер
и при бесконечно коротких длинах волн вырождаются в по-
поверхностные волны Релея. Установлено, н-йпример, что при
малых с
При с близких к cs распределение нормальных и касательных
напряжений показано на фиг. 1.4.
"XX
"¦ух
Фиг. 1.4. Распределение нормальных ахх и каса-
касательных ТуХ напряжений при коротких длинах волн
Одно из точных решений для бегущих волн в свободных
от поверхностных напряжений стержнях прямоугольного
поперечного сечения принадлежит G. Lame [1.233] A852I'.
Он получил семейство эквиволюминальных волн, связанных
с отдельными дискретными частотами.
Второе точное решение получили R. D. Mindlin и
Е. A. Fox [1.254] A960) в виде совокупности дилатационных
и эквиволюминальных волн также для отдельных дискрет-
дискретных частот и для частных значений отношений ширины к
толщине. Они утверждают, что точное решение для всех
частот нельзя выразить через конечное число элементарных
функций. Сравнение результатов приближенных теорий с
этими решениями отсутствует.
Для бесконечного кругового цилиндра решение на основе
уравнений теории упругости было дано L. Pochhammer'oM
[1.281] A876) и С. Chree [1.133] A889). Они исходили из
уравнений в цилиндрических координатах г, 0, z
') В работе [1.233] см. pp. 165—178: Troisieme leeon. Etats vibratoires
du prisme rectangle.—Vibrations longitudinales, transversales, tournantes,
et composees d'une lame rectangulaire. — Etats vibratoires sans manifesta-
manifestation exterieure.
32
где
9@ —l^f?_^§ 9m —dur
r ~ т <J9 dz ' e — дг
C.49)
В случае изгибных колебаний1) в плоскости 6 = 0 решение
разыскивается в виде бегущих волн вида
яг = ?/cos б exp[i(sz+ а>*)] C.50)
«8=V/sin9exp li(sz+(ot)]
uz=Wcos Qexp'Uisz+at)] C.50)
Здесь U, V и W — неизвестные функции от г, которые опре-
определяются как решения уравнений C.48), получаемых после
подстановки выражений C.50). Эти решения имеют вид
= A§-rJl (hr) + Bs| У, (хг) +
C.51)
Здесь А, В и С —произвольные постоянные; /(?) —функция
Ьесселя, Лих имеют следующий вид:
A = ((O2/C2_S2)V2, х=(ш2/сг_52I/2 C.52
Вычисляя с помощью C.51) напряжения и подставляя в гра-
граничные условия, выражающие отсутствие напряжений атт, оге
и orz на поверхности цилиндра г=а, приходим к трем совме-
совместным уравнениям относительно коэффициентов А, В и С.
Следующее отсюда дисперсионное уравнение очень громозд-
громоздко и было исследовано численно.
Н. N. Abramson [1.90] A957) вновь вывел и исследовал
дисперсионное уравнение изгибных колебаний бесконечного
кругового цилиндра, исходя из уравнений трехмерной теории
, '> Точное решение для анизотропного цилиндра при распространении
изгибных волн получили Н. Ohnabe и J. L. Nowinski [1.2Ш] A971).
3—2798
33

упругости. Он обнаружил, что уравнение имеет бесконечное
число корней, а не один, как утверждал G. E. Hudson [1.2031
A943), и построил в зависимости от длины волны три ветви
фазовых скоростей и две групповых. J. Adem [1.95] A954), а
затем R. D. Mindlin и М. D. McNiven [1.253] A960) показа-
показали, что корни дисперсионного уравнения L. Pochhammer'a,
соответствующие комплексным волновым числам, дают суще-
существенный вклад в виде затухающих волн вблизи концов
стержня.
Н. N. Abramson [1.91] и R. M. Davies [1.143, 1.144]
A958) выполнили некоторые сравнения приближенных тео-
теорий с теорией L. Pochhammer'a — С. Chree. Они сравнили
дисперсионные кривые при v=0.29, а также вычислили пере-
перемещения и напряжения как функции радиальной координа-
координаты г при различных отношениях радиуса цилиндра а к
длине волны /. На фиг. 1.5 и 1.6 приведено сравнение диспер-
2.8
IB
{i6
'1.2
0.5
0.2 ВЛ 0.8 0.8 1.0 1.2
alt
Фиг. 1.5. Сравнение фазовых ско-
скоростей
i
1
1
1
\
\
А
/г
i
и
W
0.4
0.2
Г
\(
\
1
I
1
¦—~—
1
——
-——.
J"
1
О &h 0.8 1.2 1.S 2.0
alt
Фиг. 1.6. Сравнение групповых
скоростей
сионных кривых, а на фиг. 1.7 —распределение продоль-
продольных перемещений в поперечном сечени» при раз-
различных all. Здесь используются следующие обозначе-
обозначения: 1^ и 2—первая и вторая ветви точного реше-
решения; Г и 2'— первая и вторая! ветви по теории
Тимошенко; 1" —теория Реле»; 1'" — теория Бернул-
ли—Эйлера; а —радиус стержня; / — длина волны; со=сь =
—VEIp. Случаи а) и б) на фиг. 1.7 соответствуют кривым 1
и 2 на фиг. 1.5. Из сравнений видно, что теория Тимошенко
дает хорошее описание низшей ветви дисперсионного урав-
уравнения и низшей ветви групповой скорости. Вторая ветвь все-
всеми приближенными теориями описывается плохо. Видно
также, что с уменьшением длины волны все более нарушает-
34
ся закон плоских сечений. Этими замечаниями и ограничим'
ся, так как подробный анализ результатов для стержня при-
приведен в [1.91].
В последние годы появились исследования, обобщающие
работу С. П. Тимошенко [1.326] A922), в которых выпол-
выполняется подробный анализ и сравнение точных решений пло-
плоской динамической теории упругости и решений по теории
типа Тимошенко.
7/2a=ff.S2S
Фиг. 1.7. Искажение плоского попереч-
поперечного сечения в зависимости от отноше-
отношения длины волны к диаметру стержня
В работе R. Guntze [2.98] A969) построено точное реше-
решение для прямоугольной балки-стенки в приближении плоско-
плоского напряженного состояния. Горизонтальные края свободны
от напряжений, торцы свободно оперты или защемлены.
В первом случае на торцах равны нулю нормальные напря-
напряжения и касательные перемещения. Для несимметричных
(изгибных) колебаний исследуется зависимость частоты от
отношения высоты к длине и в пределах 0, 1<и<10. Собст-
Собственные значения и собственные функции определяются из
следующих соотношений
C.53)
um{x, z) =(sin amXm I- + pm g^ gin |
wjx, z) = ( - ат cos amlm | + g cos PmXm|) Cm cos Xm|
C.54
35

Здесь
Hm__ (am~v) si
sin
ж и z — продольная и поперечная координаты, а — круговая
частота, а — половина длины балки.
На фигурах 1.8 и 1.9 приведены результаты для опертой
балки. По осям ординат отложена величина ю*=со//лс5, по
осям абсцисс — величина x=/i/2/, где h — высота, 2/— длина
балки. Сплошная линия соответствует точному решению,
пунктир — приближению Тимошенко, точки — классической
теории. Для низшей моды по высоте кривые по Тимошенко на
as
к
_ —
N
.-»
\
ч
у
у
. ¦
S
/
/
/
о,1 аг о.5 1 2
X
Фиг. 1.8. Графики собствен-
собственных частот, соответствую-
соответствующих нескольким модам низ-
низшей изгибной формы
1.0
0.5
/
1
и
'/
/
1
1
7,
//
i
Y
s
i
i
V
^--
•--
4 1 —
/
0.1 0,2 0.5 1 2 5
Фиг. 1.9. Графики собственных
частот, соответствующих трем
изгибным формам основной
моды
этих фигурах почти сливаются с точными. Как видно, в точ-
точной теории каждой изгибной форме соответствует бесконеч-
бесконечный частотный спектр. Это бесконечное множество решений
в приближении Тимошенко сокращается до двух низших, а
в случае классической теории — до одного. Это означает, что
рассматривается система с числом степеней свободы, равным
соответственно бесконечности, 2 или 1, если каждой моде по
высоте балки сопоставить одну степень свободы. О точности
теории можно сказать, что для высоких балок классическая
теория совершенно неприменима, теория же Тимошенко очень
хорошо аппроксимирует основной тон (низшая мода). Пер-
36
вый обертон также достаточно хорошо описывается в при-
приближении Тимошенко., «о при х<1. Классическая теория
балки, очевидно, не применима, если высота балки имеет
такой же порядок, как и расстояние между узлами. Отме-
Отметим здесь, что в приближении плоского напряженного состо-
состояния вводятся предположения об отсутствии нормальных к
срединной плоскости напряжений и о постоянстве остальных
напряжений по толщине.
Пределы применимости теории типа Тимошенко в случае
свободных колебаний исследовал также D. Gross [1.1841
A969). Он рассматривал балку-стенку со свободно повора-
поворачивающимися концами в рамках теории плоского напряжен-
напряженного состояния и дал подробный анализ такого двумерного
решения. Было подтверждено, в частности, что предположе-
предположение о малости нормальных по толщине напряжений в «ба-
«балочной» теории является допустимым, в случае больших длин
волн. На фиг. 1.10 приведены результаты точного решения
?
у
Ъ
0
-Ь
га
X
Фиг. 1. 10. Напряжения и перемещения для длинных
(m<Cl) и коротких (т>1) волн
для напряжений и перемещений в длинноволновом т<1 и
коротковолновом т>1 приближениях, иллюстрирующие при-
применимость классической теории в первом случае и неприме-
неприменимость какой-либо приближенной теории при т>1.
В заключение отметим, что уточненные по Тимошенко
уравнения динамики тонкостенных стержмей, приведенные на
стр. 22, оказываются также уравнениями гиперболического
типа. Они являются обобщением теории тонкостенных стерж-
стержней открытого профиля В. 3. Власова, которая для динами-
динамических задач представляет собой параболическую аппрокси-
аппроксимацию.
В работе Ж. Н. Дмитриевой [1.21] A969) исследуется си-
система уравнений типа Тимошенко, которая дополнена нели-
нелинейным членом, учитывающим цепные напряжения. Заданы
граничные условия, соответствующие шарнирному опиранию,
нулевые начальные условия и поперечная нагрузка с сину-
синусоидальным распределением по координате вдоль балки. При
таких предположениях из исходной системы уравнений полу-
37

фициентов. Последние вводились для того, чтобы из получен-
полученных уравнений как частный случай вытекали уравнения бал-
балки Тимошенко. Позже И. Т. Селезовым [2.50] A960) было
показано, что уравнения типа Тимошенко и более точные
гиперболические аппроксимации получаются как некоторые
приближения к уравнениям теории упругости. При этом тре-
требуется выполнение лишь одного условия сходимости степен-
степенных рядов.
В работах [1.55, 1.56] методом степенных рядов построе-
построено негиперболическое приближение для описания поперечных
колебаний балки-полоски. Уравнения применяются затем в
задаче упругого соударения тела со свободно опертой бал-
балкой. Отмечаются трудности формулировки граничных усло-
условий: 'принятые граничные условия не находятся в соответст-
соответствии с дифференциальными уравнениями.
А. V. К. Murty [1.259] A970) развит алгоритм построения
уточненных теорий поперечных свободных колебаний балок
без введения коэффициента сдвига. Он исходил из следую-
следующих предположений: нормальные напряжения в плоскости
поперечного сечения равны нулю, влиянием коэффициента
Пуассона можно пренебречь, напряжения, деформации и пе-
перемещения постоянны в направлении, перпендикулярном пло-
плоскости изгиба, и форма поперечного сечения остается неиз-
неизменной при изгибе. В этом случае для нормальных и каса-
касательных напряжений получаем
ди . (
D.1)
и из принципа стационарного значения полной энергии сле-
следуют уравнения
дх\ дг
D.2)
Продольное смещение и представляется в виде
U(z,x)=-zZ-
D.3>
л=2
Из D.2) и D.3) получена бесконечная система уравнений.
Первый линейный по z член в равенстве D.3) соответствует
закону плоских сечений, остальные — учитывают нелинейные
поправки. Усечением ряда D.3) и системы можно получать
аппроксимации различной точности. При этом коэффициенты
40
уравнений зависят от формы поперечного сечения. Сохране-
Сохранение двух членов в D.3) дает уравнения первого приближе-
приближения, соответствующие модели Тимошенко с коэффициентом
сдвига k=\. Записаны также уравнения второго приближе-
приближения (трехчленная аппроксимация) . Рассмотрены колебания
свободно опертой балки и отмечается, что построенные ма-
математические модели дают лучшее соответствие с экспери-
экспериментальными результатами, чем теория типа Тимошенко, в
которую входит лишь один коэффициент, учитывающий фор-
форму поперечного сечения11.
В. И. Утешева [1.73, 1.74] A963—1965) рассмотрела по-
поперечные колебания бесконечного стержня кругового по-
поперечного сечения. Уточненные гиперболические уравнения,
выведенные из трехмерной теории упругости с помощью*
символического метода, имеют вид
, t) D.4)
Здесь ? —поперечная нагрузка (касательные напряжения на
боковых поверхностях отсутствуют); Lt и Mt — дифференци-
дифференциальные гиперболические операторы, содержащие производ-
производные по осевой координате ^ = di и производные повремени
-j- = dt. Они суть
а2д\д) + a3d4t
L2 =
аьд\д] + а6д\д) + a7d6t
апд\
D.5)-
Если в уравнении D.4) оставить операторы Lx и М\, то по-
получим первое приближение —двухмодовую аппроксимацию,,
которая соответствует приближению Тимошенко. Если сохра-
сохранить операторы Lb L2, МхяМ2, то получим второе приближе-
приближение— трехмодовую аппроксимацию. Полное уравнение D.4)
соответствует четырехмодовой аппроксимации. Устанавли-
Устанавливается область применимости построенных аппроксимаций
исходя из оценок, получаемых при усечении разложений
функций Бесселя. Сравниваются частотные зависимости, со-
соответствующие построенным аппроксимациям и точному ре-
решению L. Pochhammer'a—С. Chree21. Аналогично тому, как
Ч Аналогичный подход был применен в статической теории для иссле-
исследования устойчивости свободно опертой балки и прогиба консольной бал-
балки [1.260] A970).
2> См. стр. 32 и 33.

и в методе степенных .рядов [2.50], увеличение номера прибли-
приближения улучшает соответствие с точным решением. В случае
вынужденных гармонических по г и t колебаний построены
области применимости различных приближений. Показано,
что задачу можно привести к определению одной вспомога-
вспомогательной функции, через которую выражаются все компонен-
компоненты вектора перемещений. Исходя из символических аппрок-
аппроксимаций построены приближенные начальные и граничные
условия. Анализ обнаруживает, что применяемый подход
приводит к наличию избыточных приближенных начальных
и граничных условий. Это — принципиальный вопрос, который
не может быть решен обоснованно без привлечения каких-ли-
каких-либо дополнительных условий.
Из вышеприведенного видно, что применение аналитиче-
аналитического построения приводит к большим трудностям в форму-
формулировке граничных и начальных условий. Это связано с от-
отсутствием простой и ясной физической интерпретации
модели.
Асимптотические методы получили большое развитие в
гидромеханике и в статической теории пластин и оболочек.
Для построения приближенных теорий динамики стержней,
пластин и оболочек они стали применяться сравнительно
недавно.
Асимптотические теории, как известно, имеют свои спе-
специфические трудности. Для них характерно наличие двух
задач — внутренней (или внешней) и задачи пограничного
слоя, которые связаны между собой граничными условиями.
Задача пограничного слоя существенно трехмерная. Пред-
Предполагается наличие зоны перекрытия, где решения этих двух
задач сшиваются. Возможны случаи, когда представляет ин-
интерес только одна из указанных задач.
Имеется другая трудность асимптотических методов,
связанная с сингулярностями. Появление сингулярностей в
асимптотических решениях низших порядков может приве-
привести к наличию сингулярностей более высокого порядка в
последующих асимптотических приближениях и сделать их
непригодными.
Общая идея асимптотического подхода к построению
уточненных теорий изложена в [2.93] A961).
В работах И. М. Рапопорта ,[1.66, 1.67] A963) рассмат-
рассматривается краевая задача динамической теории упругости
при заданных напряжениях на поверхностях и некотором
известном поле массовых сил. Формулируется эквивалент-
эквивалентная вариационная задача и строится асимптотическое раз-
разложение функционала. Перемещения разлагаются в двой-
двойные ряды по степеням малых координат. Получены уточне-
уточнения уравнений, основанных на гипотезе плоских сечений.
42
Более подробно рассмотрен случай установившегося движе-
движения. „
G. A. Nariboli [1.261] A969) для вывода приближенных
уравнений динамики кругового цилиндрического стержня
применяет асимптотический метод. При переходе к безраз-
безразмерным величинам в качестве основных параметров приня-
приняты модуль Юнга Е, скорость сь=(?/рO2 и длина /. Ис-
Исходные уравнения в безразмерном виде записываются так
ди , dw
D.6)
дг
дг
Граничные условия на цилиндрической поверхности имеют
вид ,. 7ч
arr = 0rz = O при г = а D./)
В уравнениях D.6) и D.7) r,Q, г — цилиндрические коорди-
координаты а —радиус цилиндра; а —тензор напряжений.
Вдали от плоской поверхности стержня величина а, рав-
равная отношению радиуса цилиндра к характерной длине 1з
направлении оси ог, может быть принята в качестве малого
параметра, необходимого во всех асимптотических теориях.
Малость параметра а является доминирующей характери-
характеристикой в природе рассматриваемой внутренней задачи. Сле-
Следуя известной процедуре [2.9l3], r можно заменить на аг в
уравнениях D. 6) и D.7). Предполагается, что каждая функ-
функция! разлагается в ряды вида
Подставляя ряды вида D.8) в уравнения D.6) и D.7) и
приравнивая члены при одинаковых степенях а, приходим к
бесконечной системе уравнений.
Первое приближение, соответствующее классическому
волновому уравнению
л = 0,1
?Wfe« ^^a =0 '? =F' D.9)
43

Второе приближение, учитывающее боковую инерцию,
B)
4 (ГГУ»
Получено также третье приближение, которое учитывает по-
поправку на сдвиг. Для формулировки граничных условий на
плоской поверхности 'применяется вариационный подход.
Волновые движения в упругом цилиндре асимптотически
исследовали также D. Achenbach и S. J. Fang [1.93] A970).
§ 5. Вариационные формулировки
Формулировка вариационных принципов придает теории
изящество и завершенность. Очень важно, что мри таком
подходе не требуется формулировать цраничные условия на
основе интуитивных соображений—они естественным об-
образом следуют из варьируемого функционала, и вопроса о
несоответствии граничных условий дифференциальному
уравнению не возникает.
М. Ш. Флексер [1.77] A966), исходя из сдвиговой моде-
модели Тимошенко, записал выражения для потенциальной и ки-
кинетической энергий
E.1)
Здесь
c
44
Затем из принципа Гамильтона1) —Остроградского2) он получил
уравнения
(dw
fd*w
и граничные условия в случае опертого конца
заделанного конца
гу=О, Ф = 0
и свободного конца
- dw .,. п дг|> Л
E.2)
E.3)
EЛ)
E.5)
Второе условие E.3) или E.5) с учетом второго уравне-
уравнения E.2) можно записать в виде [1.264]
d'w I d'w п к _
IF- ^^=°- E-6)
Аналогично первое условие E.5) с учетом двух уравнений
E.2) и второго условия E.5) можно записать так
д3ш
= 0
E.7)
Система E.2) в общем случае не эквивалентна одному
уравнению четвертого порядка для прогиба да. Функцию \|)
можно исключить в случае свободно опертого или бесконеч-
бесконечного стержня. На примере опертого по концам стержня по-
показано, что в отличие от классической теории движение
стержня является результатом наложения бесконечного чис-
Ч Hamilton W. R. Second essay on a general method in dynamics. Phil.
Trans. Roy. Soc. London, 1835, Part I, 95—144; Hamilton W. R. Mathemati-
Mathematical papers. Vol. 2. Cambridge, 1940, 103—162; р>сок. перев. Гамильтон У.
Об общем методе в динамике, посредством которого изучение движений
всех свободных систем притягивающихся или отталкивающихся точек сво-
сводятся к отысканию и дифференцированию одного центрального соотноше-
соотношения или характеристической функции. Сб. «Вариационные принципы ме-
механики». М., Физматтиз, '1969, И75—233.
2> Ostrogradsky M. Sur les integrales des equations generates de la dy-
namique. Mem. Acad. Imperiale des Sci. de Saint-Petersbourg, 1850, 8, № 3,
33—43; см. также Ostrogradsky M. Memoire sur les equations differenti-
elles relatives aux problemes des isoperimetres. Mem. Acad. Imperiale des
Sci. de Saint-Petersbourg, VI Serie, sci. math., phys. et natur., Vol. VI,
premiere partie; sci. math et phys., Vol. IV, 1850, 385—517; Остроград-
Остроградский M. В. Дифференциальные уравнения проблемы изопериметров. Сб.
«Вариационные принципы механики». М., Физ.матгиэ, 1959, Э15—387.
45

ла не чисто периодических, а почти периодических колеба-
колебаний-
Уточненные по Тимошенко уравнения поперечных коле-
колебаний стержня выведены с помощью принципа Гамильто-
Гамильтона— Остроградского в работе D. Raskovic'a [1.293] A958).
Вариационный подход применяли также М. К. Newman
[1.264] A955) и Е. Volterra [1.336—1.344] A956—1961).
Последний называет свой прием методом внутренних связей.
Идея сводится к тому, что вектор перемещений представляет-
представляется в виде отрезка степенного ряда по поперечной координате
с неизвестными коэффициентами, которые затем определяют-
определяются из вариационного принципа Гамильтона — Остроградского.
Замена бесконечного ряда отрезком эквивалентна наложе-
наложению на упругую систему дополнительных внутренних связей
геометрического характера, в связи с чем автор ввел соот-
соответствующий термин. Полученные уточненные уравнения по-
поперечных колебаний соответствуют приближению Тимо-
Тимошенко. Более подробное рассмотрение метода дано в § IS
настоящего обзора.
В работах В. A. Boley и С. С. Chao [1.115, 1.117] A955,
1958) с помощью вариационного подхода составляется диф-
дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки, ко-
которое учитывает деформацию сдвига, инерцию вращения и, &
отличие от известного уравнения балки Тимошенко, попереч-
поперечное расширение (по Ляву):
r ^L.
У дх*
7-1 р/
¦' dx2dtl
Р
G dt
at* *
E.8>
Здесь р — коэффициент, учитывающий характер распределе-
распределения касательных напряжений по сечению; t,= [ — (Iz/Iv); ос-
остальные обозначения общепринятые. Сравнительная оценка
порядка членов, входящих в уравнение E.8), показывает, что
влияние сдвига, инерции вращения и поперечного расширения
существенно лишь в сравнительно небольшой области вблизи
волнового фронта. Длина этой области имеет порядок попе-
поперечного размера балки. Вне указанной области движение
балки вполне удовлетворительно описывается дифференци-
дифференциальным уравнением, основанным на элементарной теории из-
изгиба. Предлагается следующий приближенный метод реше-
решения. Поперечное перемещение оси балки, а также функция
времени — расстояние от начала координат до волнового
фронта аппроксимируется при помощи подходящих выраже-
выражений, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты
находятся из вариационных уравнений (типа уравнений мето-
46
да БубноваI». Указанным приемомрешаются четыре приме-
примера, для одного из которых дано сравнение с точным реше-
решением.
В. К. Кабулов[1.24] A958) вывел интегральные уравнения
поперечных колебаний балки, исходя из теорем об изменении
количества движения и момента количества движения и со-
соотношений Тимошенко для изгибающих моментов и попереч-
поперечных сил. Для решения задач применяется метод характе-
характеристик, на основе которого развивается некоторый итера-
итерационный процесс. Решены задачи для бесконечной балки,
нагруженной сосредоточенной силой, и консольной балки, ко-
конец которой перемещается по заданному закону. Построены
графики форм колебаний для различных моментов времени.
В работе [1.25] A959) приведены дифференциальные урав-
уравнения динамики стержней (растяжение, изгиб, кручение) с
сечением произвольной формы. Учитываются эффекты инер-
инерции вращения и деформации сдвига. Вывод уравнений осно-
основан на введении соответствующих гипотез и применении ва-
вариационного принципа Гамильтона — Остроградского. В слу-
случае упруго-пластического деформирования по аналогии рас-
рассмотрены поперечные и крутильные колебания.
Исходя из теоремы об изменении количества движения и
момента количества движения, выведены интегральные урав-
уравнения для балки переменного сечения и переменной плотно-
плотности с учетом инерции вращения и сдвига [1.26]. Показано, как
построить решение методом характеристик в конечноразност-
ной реализации. Кроме того, предлагается алгоритм прибли-
приближенного решения исходных интегральных уравнений приме-
применительно к расчетам на ЭЦВМ. Алгоритм основан на сходя-
сходящемся итерационном процессе.
В работе Z. Stojek'a [1.316] A960) принцип Гамильтона —
Остроградского применялся также при выводе уравнений
балки Тимошенко с учетом винклеровского упругого основа-
основания и продольной силы. Если обозначить через Т и U кинети-
кинетическую и потенциальную энергию, то исходное уравнение име-
имеет вид
Q E.9)
Варьируемый функционал имеет вид
[ dxdt dxdt
дх
''Бубнов И. Г. Отзыв о работе проф. С. П. Тимошенко «Об устойчи-
устойчивости упругих систем» Сб С.-Пб ин-та инж. путей сообщ, 1913, вып 81,
33—36; Избранные труды. Л , Судпромгиз, 1956, 136—139.
47

Здесь w—полный прогиб; w2 ~ прогиб, соответствующий по-
поперечному сдвигу; pF — масса балки; /•/ — радиус инерции
поперечного сечения; k — коэффициент сдвига; N{x) —
продольная сила; с — коэффициент упругости основания.
Из E.10) следуют уравнения
дг Гpr /d2w д2ш)г\~\ д Г р
aT'L i>dxr~P'yJ~axLr/p
dxdt*
д ] хт dw
дх\ дх
дх
дииг
dw
E.11)
E.12)
Уравнения E.11) и E.12) применяются затем для решения
задачи о свободных колебаниях шарнирно опертой балки с
помощью метода Бубнова.
В работах W. Carnegie [1.128—1.130] A963—1966) дана
вариационная формулировка для колебаний неоднородного
закрученного стержня, один конец которого защемлен на
вращающемся диске, с учетом инерции вращения и деформа-
деформации сдвига. При этом предполагается, что энергии изгиба,
кручения и сдвига являются независимыми
В. Tabarrok и В. М. Кагпорр [1.321] A967) сформулиро-
сформулировали принцип Гамильтона — Остроградского для балки Ти-
Тимошенко. Отмечается, что геометрическим граничным усло-
условиям ш=0 и i|)=O по форме соответствуют силовые гранич-
граничные условия Л4 = 0 и Q=Q (w — прогиб, г|э— наклон при
изгибе, М — изгибающий момент, Q — поперечная сила). Ис-
Исходя из этого, величинам М и Q ставятся в соответствие не-
некоторые величины и и а, называемые дуальными, которые
кладутся в основу формулировки дуального вариационного
принципа. В первом случае функционал варьируется по до и
г);, во втором — по и и а. Затем рассматриваются свободные
колебания обычной и дуальной балок, для которых записаны
энергетические оценки Релея верхних границ частот. Введе-
Введением безразмерных параметров г, s и Ь{ эти оценки приведе-
приведены к взаимно симметричной форме. Установлено соответст-
соответствие между обычной и дуальной балками. Показано, что фор-
формы перемещений и частоты колебаний обычной балки эквива-
эквивалентны некоторым «силовым» формам и частотам колебаний
дуальной балки, для которой г и s взаимно переставлены
местами.
В статье Н. R. Aggarwal'a и Е. Т. Cranch'a [1.96] A967)
построена уточненная теория крутильных и изгибно-крутиль-
ных колебаний тонкостенных стержней открытого поперечно-
поперечного сечения. Теория учитывает депланацию сечения, продоль-
продольную инерцию и сдвиг. Обычная теория кручения таких стерж-
48
ней (теория Тимошенко — Власова) "подправляется на осно-
основе /сдвиговой модели Тимошенко. Уравнения получены из ва-
вариационного принципа Гамильтона — Остроградского и в от-
отличие от обычных являются гиперболическими. Построены
фазовые и групповые скорости.
§ 6. Коэффициент сдвига
Были предложены различные искусственные приемы оты-
отыскания корректирующего коэффициента k в уточненных тео-
теориях, основанных на сдвиговой модели Тимошенко. Все эти
приемы являются приближенными. При построении уточнен-
уточненных уравнений, как математических аппроксимаций краевой
задачи динамической теории упругости, не требуется введе-
введения каких-либо искусственных величин. Поэтому из сравне-
сравнения математических аппроксимаций с соответствующими
уточненными теориями, содержащими искусственные вели-
величины, можно найти формулы для корректирующих коэффи-
коэффициентов, иногда в явном виде. Такой подход был применен
в случае пластины И. Т. Селезовым [2.50] A960).
В работах L. S. Jacobsen'a [1.208] A939) и R. G. Olsson'a
[2.175] A958) отмечается, что корректирующий коэффици-
коэффициент в уточненной теории Тимошенко, который обычно назы-
называют коэффициентом сдвига, должен отражать не только по-
поправку на деформацию поперечного сдвига, но и учитывать
нелинейность распределения нормальных продольных напря-
напряжений ох и влияние нормальных поперечных напряжений ау.
В соответствующей формуле
1 = 1_^ Ё^ Fп
k 2 10A+v) 4(l+v) ^u ;
первый член отражает влияние касательных напряжений тхи,
второй — нелинейность распределения ох и последний — вклад
поперечных напряжений ау. Все эти эффекты не учитываются
классической теорией изгиба.
Из соотношений B.15) в описанной выше трактовке мож-
можно определить величину корректирующего коэффициента.
Например, для балки прямоугольного сечения ?-'=6/5.
A. D. S. Вагг [1.107] A959) показал, что уравнения бал-
балки Тимошенко основаны на более общих предположениях о
характере деформирования, чем это обычно принимают.
В частности, поперечное сечение после деформации не только
поворачивается, но и деформируется из своей плоскости (см.
фиг. 1.11). Выражения для перемещений принимаются в виде
= w(x,t)
F.2)
''Вариационный подход применялся также в [1.193], [1.234], [1,235],
'. 271] и других работах.
4—2798 49

Поперечное сечение, как показано на фиг. 1.11, при изгибе
поворачивается на угол i|). За счет сдвига каждый элемент
искажается; предполагается, что это искажение одинаково
по сечению и характеризуется углом р0 За счет искажения
Фиг 1 11 Поперечное сечение пос-
после деформации
плоской поверхности появляется угол аг. Общий угол сдвига
на расстоянии z определяется по формуле
yz=az + $0 F.3)
Кроме того,
F.4)
Из уравнений динамического равновесия и соотношений
F.2 — 6.4) следует уравнение
d*w
d*w
Е 1 + 6,\ d*w
F.5)
Здесь
a
о о
Величина |-~ трактуется как коэффициент искажения.
Она равна
50
1+6,
I_
~~F d/2
d/2
f byzdz
-d/2
-d/2
F.6)
yzdz)bzdz
j
Задавая yz, можно определить этот коэффициент. Например,
для параболического распределения yz получена величина
5/6, для кругового — 9/10. В общем случае коэффициент
искажения не равен обычно применяемому коэффициенту
сдвига.
В работах Ю. М. Гаврилива [1.11—1.16] A960—1968)
изучается влияние деформаций сдвига на прогибы балок при
статических нагрузках. Это влияние можно характеризовать
коэффициентом сдвига, который зависит от формы попереч-
поперечного сечения, коэффициента Пуассона и вида нагружения
(сюда можно отнести и граничные условия). Из точного
решения [1.327] для балки прямоугольного поперечного се-
сечения конечной длины, нагруженной сосредоточенной силой,
следует формула для коэффициента сдвига
. 2.4+1.5v /й 7ч
^ F>7)
При v = 0.3 коэффициент сдвига kx может иметь значение
1.096 в отличие от 1.5 и 1.2, принимаемых в литературе.
Для коэффициента сдвига консольной полосы получена фор-
формула
_ 2 + 2.5у .
Й2~" 2A+v) *°'°'
Определяется приближенно неизвестный ранее коэффициент
сдвига kz бесконечной двутавровой балки, нагруженной со-
сосредоточенной силой.
Различные авторы считали коэффициент сдвига ответст-
ответственным за отклонения теории и эксперимента, что, по-суще-
ству, предполагает зависимость его от частоты колебаний.
Эта идея видна в работе R. D. Mindlin'a и Н. Deresiewicz'a
[1.252] A954), где определяется коэффициент k для балок
различного поперечного сечения и отмечается его зависи-
зависимость не только от формы поперечного сечения, но и от
моды движения. Коэффициент сдвига характеризует распре-
распределение сдвигающих напряжений по высоте (толщине) бал-
балки, которое, конечно, зависит от формы поперечного сечения.
Это рассматривал еще С. П. Тимошенко [1.325, 1.3261. Но
кроме того, распределение сдвигающих напряжений сущест-
существенно зависит от мод движения. Для низких мод по толщине
это напряжение имеет максимум на нейтральной оси, а для
высоких мод минимум в этом месте. С увеличением частоты
достигается точка со', в которой спектр существенно изме-
4*
51

няется. Это происходит при частоте первой моды по толщи-
толщине — балка колеблется без поперечных смещений, то-есть
w=O (перемещения параллельны; нейтральной оси). При этой
частоте и соответствующих обертонах имеется сильная связь
между изгибными и «толщинными» модами. Авторы предпо-
предполагают, что при таком движении частоты первой моды по
приближенной и трехмерной теориям должны совпадать. Это
условие дает уравнение для определения коэффициента сдви-
сдвига k. Выражение для частоты, зависящее от k, легко опре-
определяется из уравнений Тимощенко при w = 0 и ty~exp{iat).
Частота по трехмерной теории находится из решения одно-
однородного уравнения' Гельмгольца при соответствующих гра-
граничных условиях. Интересно, что соответствующее уравнение
теории упругости и граничные условия аналогичны уравне-
уравнениям малых колебаний жидкости в бассейне постоянной вы-
высоты и малых колебаний газа в цилиндрическом сосуде. Ука-
Указанным методом определены значения k для балки-полоски
прямоугольного сечения, для сечений кругового, эллиптиче-
эллиптического, из пары ортогональных парабол, для набора оваль-
овальных сечений. Соответствующие значения k отличаются не
более, чем на 10% от значения коэффициентов сдвига пря-
прямоугольного сечения.
В работе G. R. Cowper'a fl.138] A966) отмечается некор-
некорректность определения коэффициента сдвига либо как отно-
отношения средней деформации сдвига к максимальной, либо как
величины, подбираемой из динамических условий. Для 'балки
с симметричным сечением и симметрично распределенной по
контуру нагрузкой из уравнений динамической теории упру-
упругости выведены уравнения для осредненных по сечению ве-
величин. Вводя предположение о малости Bicex нормальных
напряжений «роме осевых и принимая распределение каса-
касательных напряжений таким, как в точном решении статиче-
статической задачи теории упругости для консольной балки, автор
получил уравнения Тимошенко и формулу, определяющую
коэффициент сдвига для различных форм поперечного сече-
сечения. Аналогичный подход в дальнейшем применял D. Gross
[1.Ш4] A969). Следуя этим авторам, для стержня, изображен-
изображенного на фиг. 1.12, запишем дифференциальные уравнения сво-
свободных колебаний
s^ Л—з^Н—з^ + л = —pu)JK (b.9)
дх ди dz r v ' ¦
дх
ди , dv
+
F.10)
F.11)
F.12)
52
V
Фиг. 1.12. Стержень в недеформнро-
ванном состоянии
Если уравнения F.9) —F.12) умножить на у и проинтегри-
проинтегрировать по поперечному сечению, то с помощью теоремы
Гаусса —Остроградского и соотношений для изгибающего
момента
поперечной силы
угла поворота Ф = -г- \\ yudydz
поперечного перемещения V = -р- \\ vdydz
продольного перемещения U=-p-\\udydz
и продольного перемещения произвольного волокна и=?/ +
4-уФ + х (s —разность перемещений) получаем
F.13)
дМ.
дх
F.14)
F.15)
F.16)
Полагая далее, что ау и az малы по сравнению с ах, вместо
равенства F.15) имеем соотношение
F.17)
аЩ-м
Уравнение F.16) запишем в виде
F.18)
причем k предполагается известной и вообще постоянной по
длине балки величиной. Подставляя равенство F.18) в соот-
соотношение F.16), получаем для k формулу
53

k=-
ds_
dy
dydz
F.19)
В теории балок k известен как коэффициент сдвига. Та-
Таким образом, уравнения F.13), F.14), (Ь.17) и F.18) соответ-
соответствуют приближению Тимошенко и могут быть представлены
в простой форме
= 0 F.20)
и \ — безразмерные прогиб и продольная координата,
/ EI
Здесь
Решение уравнения вида F 20) рассматривали ранее
Е. Goens [1.173] A931), В. И. Новоторцев [1.52] A935),
JR. W. Traill-Nash и A. R. Collar [1 330] A953) и, др. Их резуль-
результаты будут приведены ниже
Затем D. Gross [1 184] A969) построил точное решение в
рамках плоского напряженного состояния для балки-стенки
со свободно поворачивающимися концами. С помощью этого
решения вычислен коэффициент сдвига k по формуле F.19).
У
Ь
Фиг 1 13 Балка-стенка в недеформиро-
ванном состоянии
Для балки, изображенной на фиг. 1.13, формула F.19) при-
принимает вид
1-
G
F.21)
fc 10
К 1
Из F.21) получены выражения для k в длинноволново
приближении тге = ^- — <йМ
F.22)
F.23)
12+llv
и коротковолновом приближении
54
При v=0.3 формулы F.22) и F.23) дают Л = 0 8496 при
т<1 и ? = 0.8396 при /п»1.
В следующей работе D Gross [1.185] A971) на основе
уравнений плоского напряженного состояния построил точ-
точные решения для гармонических колебаний бесконечной ор-
тотропной балки-стенки, характеризуемой продольным ^.по-
^.поперечным Еу и сдвиговым Gxy модулями упругости В случае
несимметричных относительно срединной поверхности колеба-
колебаний выведено и исследуется дисперсионное уравнение в пре-
предельных случаях длинных волн и коротких (волны Релея).
Показано, что дисперсия волн сильно зависит от отношения
ExIGxy- Коэффициент сдвига k определяется по формуле
{1.138, 1.184]
F.24)
которая в случае прямоугольного поперечного сечения при-
принимает вид
ь
3
{b)
'
=1-G.
F.25)
При больших длинах волн из F.25) получаем
k = Q v5Q—g F.26)
откуда при Ех(Еу—\, Ex/Gxy = 2 A + ,<), v(ry= ^ (изотропный
материал) следует формула F.22).
Из сравнения результатов, вытекающих из теории балки
Тимошенко и рассмотренной теории, следует, чго при боль-
больших длинах волн теории эквивалентны, при коротких волнах
соответствие может быть получено посредством подбора ко-
коэффициента k. Отмечается, что коэффициент сдвига k в дина-
динамических задачах зависит не только от формы поперечного
сечения, как это принимали некоторые авторы [1 267]. Необ-
Необходимо отметить, что приведенное построение не является
точным, поскольку перемещение и определяется из уравнений
плоского напряженного состояния, которые при наличии кра-
краев весьма приближенны, и правильным было бы только ре-
решение трехмерной задачи
В работе С. W. Bert'a, D. J. Wilkins'a и J. С. Crisman'a
П.109] A967) определяется коэффициент сдвига для трех-
трехслойной балки по четырем теориям, которые приводят к силь-
сильным различиям даже для низшей собственной частоты Одно
значение взято из работ Y.-Y. Yu [2.223, 2 224] A959), осно-
55

ванных на трехмерном анализе. Он показал, что для сло-
слоистых балок с очень тонкими наружными слоями коэффици-
коэффициент сдвига k=l. Второе значение определяется по R. D. Min-
dlin'y [2.150] A951) из сравнения низших частот чисто сдви-
сдвиговых колебаний по трехмерной теории и по уточненной тео-
теории типа Тимошенко. Кроме того, предложены две прибли-
приближенные формулы. Одна из них основана на том, что масса
наружных листов с клеем значительно больше массы запол-
заполнителя, и поэтому можно ввести аппроксимацию в виде двух-
массовой колебательной системы со сдвиговой пружиной.
Тогда приравнивая низшую собственную частоту сдвиговых
толщивных колебаний по теории Тимошенко
ш, = (№//р)Ч2 F.27>
частоте, соответствующей двухмаосовой аппроксимации
получаем
/да/вI/2 ¦ F.28>
wfacti F.29)
В формулах F.27) — F.29) b — ширина балки; с — толщина
заполнителя; wfa — вес единицы площади одного наружного
листа с клеем; /р — полный массовый момент инерции на еди-
единицу длины; kss = GF/bc2. Во втором методе авторы исходят
из более точной постановки задачи. Вместо сдвиговой пру-
пружины рассматривается заполнитель как сплошная упругая
среда, работающая на чистый сдвиг. В этом случае для коэф-
коэффициента, сдвига получена формула
Л=(?/р/&а>с)(Ф/сJ F.30)
где wc — вес единицы площади заполнителя, а Ф — наимень-
наименьший нетривиальный корень уравнения
ФtgФ=2шc/ш/a F.31)
§ 7. Распространение волн и вынужденные колебания
при ударном возбуждении
Процесс распространения волн в любой сплошной среде
можно рассматривать как распространение сферических волн
от каждого возмущенного бесконечно малого элемента. Пло-
Плоскую волну следует понимать как предельный случай сфери-
сферической волны «а большом расстоянии г от центра излучения
(г-*-°°). 'В то же время! в сферической волне при г?=°° мож-
можно выделить достаточно тонкую лучевую трубку, на концевом
сечении которой волну можно рассматривать плоской. Раст
пространение любого возмущения вдоль стержня, пластины
или оболочки можно представить, в основном, в виде волн,
которые многократно отражаются от стенок. При этом волна
каждого одного типа (эквиволюминальная, дилатационная)
56 ,
при отражении порождает два типа воли и процесс распро-
распространения оказывается очень сложным для описания. Можно
лишь утверждать, что упругое возмущение в стержне не мо-
может распространяться со скоростью, большей се, а аквиволю-
минальное возмущение — со скоростью, большей cs.
Задачи о неустановившихся симметричных (продольных)
и несимметричных (из-гибных) движениях стержня в поста-
постановке трехмерной теории упругости рассматривали G. P. De
Vault и С. W. Curtis [1.151] A959), R. Folk и др. [1.164]
A958).
Так как уравнения Тимошенко применимы при более вы-
высоких частотах, т. е. для исследования более быстропроте-
кающих динамических процессов, чем уравнения классиче-
классической теории, то естественно было рассмотреть в уточненной
постановке поведение стержней в первую очередь при удар-
ударном возбуждении. Исследование соударения тел со стержня-
стержнями имеет большое прикладное значение, но представляет
большие математические трудности. Поэтому применение
уточненной, но значительно более простой, чем уравнения тео-
теории упругости, модели, было бы весьма привлекательным.
Наибольшее распространение при исследовании неустано-
неустановившихся динамических процессов в балке Тимошенко полу-
получили, как и следовало ожидать, метод интегрального преоб-
преобразования Лапласа, метод характеристик и в последние годы
численные методы, реализуемые на ЭЦВМ. В некоторых слу-
случаях выгодным оказывается и метод разложения по собст-
собственным функциям.
F. Pfeiffer {1.275] A947) для интегрирования уравнений
балки Тимошенко применил метод характеристик и рассмот-
рассмотрел колебания полубесконечной балки при нулевых началь-
начальных условиях и заданном изгибающем моменте на конце.
Я. С. Уфлянд B.59] A948), а затем М. A. Dengler и М. Go-
lang [1.148] A952) анализировали колебания балки Тимошен-
Тимошенко под воздействием сосредоточенной импульсной силы, при-
применяя метод преобразования Лапласа с последующим вы-
вычислением интегралов Римана — Меллина. Однако, были при-
приняты граничные условия, соответствующие классической тео-
теории изгиба, а не сдвиговой модели Тимошенко.
В работе В. Л. Бидермана [1.62] A952) дано изложение
теории изгибающего удара согласно классическому уравне-
уравнению изгиба и уточненным уравнениям балки Тимошенко. Для
решения задач применяется метод тригонометрических рядов
и метод характеристик. Первый метод применим для не
слишком малых моментов времени, и это дает возможность
вычислять максимальные усилия при изгибающем ударе, ко-
которые имеют место, как известно, не сразу после приложе-
приложения ударной нагрузки. Рассмотрена балка, которая движется
поступательно с постоянной скоростью и ударяется концами
5Т

о неподвижные опоры. Показано, что решение по классиче-
классической теории содержит в себе парадоксы: функция, изобража-
изображающая распределение изгибающего момента, имеет разрывы
и, следовательно, в тачках разрыва поперечная сила обра-
обращается в бесконечность. В то же время решение по уточнен-
уточненной теории приводит к непрерывной функции изгибающего
момента. Отсюда следует, что в задачах теории изгибающего
удара уточненная теория изгиба дает существенно лучшее
описание, чем классическая теория.
J. Miklowitz [1.245] A953) отметил, что в ряде случаев вы-
выгодно иметь дело с двумя уравнениями вида B.5) и B.6) от-
относительно прогиба w и угла поворота ij), а не с одним — ви-
вида B.7) относительно w. Это упрощает интерпретацию фор-
формул для изгибающего момента и поперечной силы и, как след-
следствие, запись граничных условий. В качестве примеров рас-
рассматриваются колебания бесконечной балки под действием
поперечной сосредоточенной силы, полубесконечной балки,
нагруженной сосредоточенным изгибающим моментом, и сво-
свободно опертой балки при действии поперечной сосредоточен-
сосредоточенной силы посредине.
R. W. Leonard и В. Budiansky [1.236—1.238] A954—1959)
дифференциальные уравнения балки Тимошенко представи-
представили в различных формах, включая и такую, в которой уравне-
уравнения отнесены к характеристикам. Рассматривается распрост-
распространение разрывов в изгибающем моменте и поперечной силе.
В случае, когда скорости распространения этих разрывов рав-
равны, получены методом конечных разностей численные реше-
решения для бегущих волн, которые сравниваются с решениями
по методу преобразования Лапласа.
R. A. Anderson [1.100] A954) исследовал распространение
изгибающих моментов и поперечных сил в бесконечно длин-
длинной балке Тимошенко, возникающих вследствие действия
мгновенного импульса в виде сосредоточенной силы или сос-
сосредоточенного изгибающего момента. L. L. Fontenot [1.165]
A963) обобщил эти результаты на случай действия осевой
растягивающей силы N. Решения для изгибающего момента
и поперечной силы получены для конечной балки со свобод-
свободным опиранием, затем выполнен переход к бесконечной бал-
балке. Он интегрировал уравнения Тимошенко B.5) и B 6), вто-
второе из которых дополнено в левой части членом +Nd2w/dx2,
учитывающим осевую силу + N. Решения разыскиваются в
виде двойных бесконечных сумм, составленных из ортого-
ортогональных собственных функций. Интегралы для бесконечной
балки вычисляются в коротковолновом приближении. Пока-
Показано, что фронтовые возмущения распространяются двумя
разрывами со скоростями
и cb =
G.1)
58
где ck = Y~kG}p, p = NjF, N — осевая сила. Приведены гра-
графики, иллюстрирующие влияние осевой силы на собственные
частоты и на распространение изгибающего момента и по-
поперечной силы.
Точные решения уравнений балки Тимошенко методом
преобразования Лапласа были построены В. A. Boley и
С. С. Chao [1.115] A955). Окончательные решения приведе-
приведены к определенным интегралам, которые беругся численно.
Рассматриваются колебания полубесконечной балки, на кон-
конце которой заданы четыре типа граничных условий: скачок
скорости прогиба и нулевой изгибающий момент; скачок мо-
момента и нулевой прогиб; скачок угловой скорости прогиба и
нулевая поперечная сила; скачок скорости прогиба и нуле-
нулевое вращение. Эти решения сравниваются с приближенны-
приближенными решениями, полученными ранее В. A. Boley [1.114] A955),
и с результатами классической теории. Показано, что при
скачкообразном изменении нагрузки на некотором расстоянии
за фронтом толщинно-сдвиговой волны классическая теория
дает хорошие результаты, а при медленном изменении нагруз-
нагрузки хорошо предсказывает максимум сдвигающей силы.
М. К- Newman [1.264] A955) исследовал колебания кон-
консольной балки Тимошенко при ударном возбуждении ее кон-
конца. Для решения задачи применялось преобразование Лап-
Лапласа с последующим аналитическим обращением интеграла
Римана — Меллина, которое привело к бесконечной сумме
вычетов. Произведены расчеты деформаций в заделанном се-
сечении. Отмечается, что с уменьшением длительности прила-
прилагаемого импульса доминирующая компонента возмущения
характеризуется все большей частотой и, когда она превос-
превосходит фундаментальную собственную частоту, теория Бер-
нулли — Эйлера плохо описывает максимальные деформации.
R. Р. N. Jones [1.213] A955) применил интегральное пре-
преобразование Фурье к уравнению бесконечной балки Тимо-
Тимошенко, нагруженной сосредоточенной импульсной силой. Ре-
Решение, полученное в виде квадратур, исследовано методом
стационарной фазы. Получены приближенные формулы и гра-
графики для распределения изгибающих моментов и поперечных
сил вдоль балки.
G. Herrmann [1.192] A955) развивает метод решения за-
задачи о колебаниях балки Тимошенко конечной длины в слу-
случае, когда на концах заданы граничные условия в виде про-
произвольных функций времени. Решение записывается в виде
разложения по собственным функциям соответствующей
однородной задачи. Выведены условия ортогональности и на-
намечен путь определения собственных функций.
М. A. Dengler [2.84] A956) исследует поведение бесконеч-
бесконечной балки постоянного сечения под действием поперечной
59

сосредоточенной силы при' нулевых начальных условиях. Ре-
Решается следующая задача:
gft
i
d3a;(;y, 0)_ 1 dq (x, 0) Зш@, t) r
dt> F ~di ' dx =L
') _ s ддф, t)
G.2>
G.3)
аю(о°. о
= —F~
Нагрузка <7 представляется в виде произведения двух 8-
функций .
Здесь приняты безразмерные величины
(*. «0=4 (*,»), *=-*=, f=j.
= 0 G.4)
х 8-
G.5)
а= -2- <г— ? R2— '
kG'
Граничные и начальные условия выведены из основных
уравнений теории Тимошенко с учетом условий симметрии
для изгиба и угла сдвига. Параметр s для реальных мате-
материалов изменяется от 3 до 4. Пренебрежение деформацией
сдвига соответствует бесконечной жесткости на сдвиг, и в
этом случае s=0. Получены точные решения в явной форме
для прогиба и изгибающего момента на основе преобразо-
преобразования Лапласа по t, x и обращения по формулам Римана—
Меллина. Сначала решения строятся на основе представле-
представления нагрузки в классе гладких функций, аппроксимирующих
б-функцию. Затем предельным переходом получаются реше-
решения, соответствующие 6-функциям. Показано, что решение
задачи с самого начала для нагрузок в классе б-функций
приводит к таким же результатам. Для s = 3 проведены чис-
численные расчеты в нескольких сечениях. Из расчетов следует,
что первой приходит более быстрая изгибная волна со ско-
скоростью i^Е/р, а затем приходит сдвиговая волна со скоро-
скоростью Y kGlp.
В заметке В. A. Boley Ы.116] A957) указывается, что для
решения задачи поперечного удара по балке можно приме-
применять синус-преобразование. Например, в случае балки Тимо-
Тимошенко переменным w(x, t) и г|з(х, t), представляющим собой
прогиб и угол поворота, соответствуют изображения
60
оо
W (p, t)=y—\.w (x, t) sinpxdx
'о
оо
? (р, t) = у | \ty (х, t)cos pxdx
о
G.6)
и оригинал-ы
г
w(x, t) = yl \ W (p, t) sin pxdp
0
,t) cos pxdp
G.7)
В ряде случаев применение такого преобразования приводит
к более простым выкладкам, чем применение преобразования
Лапласа. Это продемонстрировано на примере известной за-
задачи о внезапном приложении изгибающего момента к опер-
опертому концу полубесконечной балки Тимошенко.
М. П. Галиным [1.16] A959) рассмотрено действие на
бесконечную балку сосредоточенной силы, изменяющейся во
времени как функция Хевисайда. Решение построено методом
характеристик.
S. S. Kuo D1.231] A959) исследовал колебания балки Ти-
Тимошенко, нагруженной на одном из концов сосредоточенным
изгибающим моментом, который нарастает по линейному
закону от нуля до некоторого заданного значения, а затем
остается постоянным.
Н. Н. Bleich и R. Shaw [1.112] A960) сравнивали напря-
напряжения сдвига и изгиба, возникающие при поперечных ко-
колебаниях балки Тимошенко под действием импульсных сил,
и обнаружили, что напряжения сдвига в начальной стадии
движения значительно превышают изгибные напряжения.
Колебания свободно опертой балки, к которой посредине
приложена сосредоточенная сила, изменяющаяся во времени
как функция Хевисайда, рассмотрены В. С. Телегиной [1.72]
A961). Решение дл'я прогиба получено методом собственных
функций. Построены графики изменения прогиба в зависи-
зависимости от времени в точке приложения силы. Ставилась цель
сравнить решения классического уравнения и уравнения
Тимошенко с корректными граничными условиями и гранич-
граничными условиями, соответствующими классической теории.
Показано, что все эти решения для первого максимума про-
прогиба существенно отличаются, а учет инерции вращения
влияет на прогиб незначительно. Поперечный удар упругого
тела по балке в уточненной постановке (метод степенных
рядов) рассматривался также в работах [1.55, 1.56] A961).
61

A. Weigand [1.348] A962) построил в рядах Фурье ре-
решение задачи о колебаниях свободно опертой балки постоян-
постоянного поперечного сечения, нагруженной посредине постоян-
постоянной сосредоточенной силой, действие которой мгновенно
прекращается.
A. А. Петров проанализировал [1.60] A964) колебания по-
полубесконечного стержня, на торце которого заданы нулевой из-
изгибающий момент и линейно возрастающее во времени по-
поперечное отклонение. Начальные условия — нулевые. За-
Задача решается методом преобразования Лапласа и контур-
контурного интегрирования. Приведен численный пример,
показывающий, что в начальные моменты времени попереч-
поперечная сила может отличаться на 40% от вычисленнной по
классической теории. В работе использованы преобразование
Лапласа и метод стационарной фазы. Вынужденные колеба-
колебания полубесконечной балки исследовал также К. Wilmanski
Е 1.350] A964).
B. S. Berger [1.108] A964) рассматривал вопрос о по-
построении динамической функции влияния для балки Тимо-
Тимошенко с учетом вязко-упругого деформирования (модель
Максвелла). Применялось преобразование Лапласа, а при
обращении — разложение в ряд по ортогональным функциям.
В качестве примера рассмотрены колебания консольной
балки.
В работе А. С. Архипова [1.2] A966) для свободно опер-
опертой балки Тимошенко исследуется влияние внутреннего тре-
трения и длины площадки, на которой приложен равномерно
распределенный импульс. Уравнение Тимошенко записывает-
записывается в виде
(a + tv)EI-^.
Р
d"w*
EIp\ dlw*
kGJC " ~
d*w*
G.8)
(u + iv) kG dtl
Здесь и и v — параметры, зависящие от коэффициента внут-
внутреннего трения; w* — комплексная величина прогиба; i =
=уг—1. Решение ищется ,в виде рядатю собственным (функ-
(функциям, определяемым из уравнения Тимошенко без учета внут-
внутреннего трения. Доказано, что характеристическое уравнение
в этом случае имеет два мнимых и два вещественных корня
или все мнимые попарно сопряженные корни, и что спектр
частот состоит из двух групп, причем частоты второй группы
значительно выше частот первой группы. Поэтому при нали-
наличии внутреннего трения колебания с частотами второй груп-
группы будут быстро затухать. Показано также, что влияние
затухания на величину частот очень мало и может не учи-
62
тываться, а влияние на величину амплитуды описывается
экспоненциально убывающим множителем. В случае дейст-
действия импульсной сосредоточенной силы проведены расчеты
для максимальных значений прогибов и изгибающих момен-
моментов в середине балки. Установлено, что инерция вращения,
деформация сдвига, внутреннее трение и длина распределе-
распределения импульса мало влияют на максимальные значения
прогибов балки при однократном действии нагрузки. В то
же время влияние этих факторов на внутренние усилия и
сходимость решений в рядах существенно. При действии
сосредоточенной импульсной силы учет внутреннего трения
делает расходящиеся ряды для изгибающего момента схо-
сходящимися и существенно уменьшает внутренние усилия.
В случае же распределенного импульса ряд для изгибающе-
изгибающего момента сходится. Длину участка распределения импуль-
импульса б на балке длины / необходимо учитывать при значениях
б//>0.1. При б//<0.1 можно вести рассмотрение с помощью
сосредоточенной силы.
С. С. Yang [1.351] A966) записал уравнения неоднород-
неоднородной балки Тимошенко в виде гиперболической системы че-
четырех дифференциальных уравнений относительно М, Q, со,
v (М — изгибающий момент, Q — поперечное сдвигающее
усилие, ю и v — угловая и поперечная скорости). Система
интегрируется методом характеристик. Рассматриваются два
случая: скорости волн изгиба и сдвига различны или равны.
Показано, что последний случай не может быть получен из
первого предельным переходом. При линейном изменении
вдоль продольной координаты t,=xjl площади поперечного
сечения
F = F0(l-<z?)
и кубическом — момента инерции
G.9)
G.10)
решение получено в явном виде. Для консольной балки при
заданном скачке скорости на конце шостроены графики Q(?)
и о(?) на фронте основной волны при ее однократном про-
прохождении. Установлено, что с ростом параметра неоднород-
неоднородности а поперечная сила Q уменьшается, а поперечная ско-
скорость v увеличивается.
W. D. Pilkey [1.278] A967) представил решение любой
одномерной по пространственной координате динамической
задачи для конечного промежутка в виде бесконечной суммы
произведений неизвестных обобщенных координат — функ-
функций времени и собственных функций, которые предполага-
предполагаются известными. К дифференциальным уравнениям задачи
предлагается применять обобщенное преобразование Фурье
63

с ядром — собственной функцией. Это приводит к бесконеч-
бесконечной системе независимых обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка относительно обобщенных коор-
координат. Уравнения легко решаются при произвольных началь-
начальных условиях. В качестве примера построены решения урав-
уравнений, описывающие колебания балки Тимошенко. Метод
применим в следующих случаях: произвольной нагрузки, за-
зависимых от времени граничных условий, переменных сечений,
осевой нагрузки, упругого основания.
В. Paul и С. С. Fu [1.273] A967) интегрировали класси-
классическое уравнение изгиба балки при нулевых начальных усло-
условиях и заданном на свободном конце перемещении, линейно
зависящем от времени. Применением синус-преобразования
Фурье и метода вариации произвольных постоянных построе-
построено решение для изгибающего момента в функциях Френеля.
На основе предположения, что в начальной стадии дефор-
деформированная часть балки не искривляется, а только повора-
поворачивается относительно еще недеформированной части (де-
(деформированная ось имеет ,вид ломаной), получена без реше-
решения дифференциальных уравнений простая формула для по-
поперечной силы. Сравнение с решением уравнения Тимошен-
Тимошенко обнаруживает хорошее соответствие. Отмечается, что
для максимального значения! нагибающего момента, которое
наступает через большое время после прохождения волновых
фронтов, классическая теория изгиба и теория типа Тимошен-
Тимошенко должны давать близкие результаты. В дискуссии по этой
статье [1.296] A967) было отмечено, что максимум поперечной
силы в балке Тимошенко имеет место в начальный момент
времени и поэтому его выражение можно получить приме-
применением предельной теоремы преобразования Лапласа к изо-
изображению, приведенному в обсуждаемой статье. Сомнитель-
Сомнительно, что при определении максимального изгибающего момен-
момента в заданном сечении и в любой достаточно малый момент
времени решение авторов, основанное на классической мо-
модели изгиба, будет давать реальную оценку. В ответе авто-
авторов отмечается, что эксперименты все же подтверждают при-
применимость классической теории изгиба, хотя теоретически
это не доказано.
Поведение свободно опертой балки Тимошенко при по-
поперечном ударе, вызванном падающим упругим шаром, ис-
исследуется в работе А. П. Филиппова и В. А. Скляр [1.76]
A968). Рассматривается контактная задача с учетом упругого
контактного взаимодействия. Решения представляются в виде
рядов Фурье по пространственной координате, по временной
координате применяется преобразование Лапласа. Опреде-
Определены оригиналы для прогиба и изгибающего момента. Сила
упругого взаимодействия между шаром и балкой при ударе
определяется по известному функциональному уравнению
64
соударения С. П. Тимошенко", которое решается численно.
При определенных значениях параметров проведены экспе-
эксперименты и выполнены расчеты на ЭЦВМ, в основе которых
лежат уточненная и классическая модели изгиба балки. Со-
Сопоставление полученных результатов обнаруживает, что для
достаточно коротких балок уточнение уравнений изгиба су-
существенно и снижает силу соударения и напряжения в бал-
балке. Эксперименты хорошо согласуются с теоретическими ре-
результатами.
В работе S. Ranganath [1.289] A970) методом преобра-
преобразования Лапласа исследуется задача соударения при кон-
контакте по нормали шолубесконечното сгержня с бесконечной
балкой. Продольные волны в стержне описываются одномер-
одномерной классической теорией, изгибные волны в балке — теори-
теорией типа Тимошенко. Предполагается, что стержень после
удара не отскакивает. Приведены аналитические решения и
численные расчеты для поперечной скорости и изгибающего
момента в нескольких точках. Описываются эксперименталь-
экспериментальные исследования, которые обнаруживают хорошее соответ-
Фиг. 1. 14. Деформация балки Тимо-
Тимошенко на расстоянии восьми толщин
от места поперечного удара
ствие с теорией, за исключением малых моментов времени,
где теория дает осциллирующие решения, а эксперимент —
достаточно плавные изменения. С целью проверки этого
факта были выполнены расчеты конечноразностным мето-
методом, в которых учитывается плавность увеличения силы со-
I) См Timobhenko S. P. Zur Frage nach der Wirkung eines Stosses
auf einen Balken. Z. Math, und Phys , 1914, 62, № 2, 198—209; Timoshen-
ko S P The collected papers New York—London—Toronto, McGraw-Hill
Book Co., 1953, 225—236 — РЖМех, 1956, № 5, 3080K.
5-2798
65

ударения. Осцилляции при этом исчезают и соответствие с
экспериментом существенно улучшается. На фиг. 1.14 приве-
приведена временная история для деформации е. Сплошная ли-
линия соответствует аналитическому методу, штрих-пунктир-
штрих-пунктирная — методу конечных разностей, пунктирная — эксперимен-
эксперименту. В связи с этим отмечается, что теория типа Тимошенко
не применима на высоких частотах и хорошо описывает
только первую моду. Такой результат следует из сравнения
с точными решениями групповых скоростей и был установ-
установлен еще J. Miklowitz'eM [2.148] A960).
С. С. Fu ['1.1671 A970) вычислил методом конечных эле-
элементов прогибы полубесконечного слоя, нагруженного на
торце нормальной антисимметричной внезапно 'приложенной
нагрузкой. На фиг. 1.15 приведены результаты вычислений
1.0
0.5
0
л
\
м
1
\
\
\
\
\
I
'у I
х
г
щ
/
ч ^
у/
3
\ —
ч
-1.0
1.5
Фиг. 1.15. Распределение перемещений w в мо-
момент времени Cbtfr=5
по теории упругости (сплошная линия) и классической ба-
балочной теории Бернулли—Эйлера (пунктирная линия). Здесь
h — толщина слоя; cb==VEjp; г~п~УIJF
В работе J. M. Garrelick'a и J. E. Benveniste B1.1721 A970)
исследуются изгибные колебания балки, на концах которой
изгибающий момент равен нулю, а поперечная сила пропор-
пропорциональна пропибу (упругое сдвиговое опирание)
М=0 и Q = ±sw при *=0, / G.11)
Предполагается, что в начальный момент времени попереч-
поперечная скорость постоянна вдоль балки и изменяется во време-
времени как функция Хевисайда
=0 и ьУ(=1 при < =
G.12)
66
Приведены в виде графиков решения уравнений Тимошенко
и Бернулли—Эйлера, полученные методом разложения по
собственным функциям с применением ЭЦВМ. Во времен-
временном интервале, соответствующем прохождению сдвиговой
волной пути, равного пяти длинам балки, вычислены по-
поперечная сила на конце и изгибающий момент в середине при
двух значениях упругого опирания s (мягком и жестком) и
отношении длины балки к радиусу инерции 40. Видно, что
при принятых параметрах для изгибающего момента обе
теории дают близкие результаты, а для поперечной силы
классическая теория совершенно непригодна даже при мяг-
мягком сдвиговом опирании.
Распространение изгибных волн в балке от источника
типа &-функции рассмотрено в работе [1.258] A970). По-
Построены решения параболического уравнения Бернулли—Эй-
Бернулли—Эйлера и гиперболических уравнений плоской теории упругости.
Показано, что первая модель приводит к бесконечной ско-
скорости распространения.
J. Henrych, P. Reficha 11.190] A971) получили одномер-
одномерные уравнения колебаний криволинейной балки постоянной
кривизны на основе модели Тимошенко и рассмотрели зада-
задачу о вынужденных колебаниях балки под действием неста-
нестационарного внешнего давления. Рассмотрена модель — мно-
многоугольник из упругих (статически изгибаемых) прямоли-
прямолинейных стержней, в вершинах которого находятся сосредото-
сосредоточенные массы. Трение учитывалось введением в уравнение
движения членов, пропорциональных скорости смещения. Ре-
Решение дано без учета растяжения.
A. Robinson [1. 299] A957) исследовал уравнение изгиб-
изгибных колебаний неоднородной балки Тимошенко, у которой
плотность материала и момент инерции переменны по дли-
длине. При помощи метода характеристик показано, что изги-
изгибающие моменты и поперечные силы разрывны на фронтах
распространяющихся волн, и найдены законы изменения
этих разрывов.
В работе В. Г. Кучерова [11.361 A967) четыре семейства
характеристик уравнений балки Тимошенко переменного се-
сечения записаны в конечных разностях и намечен путь реше-
решения полученных уравнений.
Н. Buttler [1.125, 1.126] A966—1969) исследует колебания
балки Тимошенко с переменными по длине параметрами.
Уравнения имеют вид
д I. д \ , /dw . \ —дгхт „ dw — г\
__ / J _L х Mj ф ffl Q ^. n =: (J
G.13)
— „ д2г|> —
б*
67

Здесь kb и ks — изгибная и сдвиговая жесткости; г — радиус
инерции; ? — коэффициент внешнего демпфирования; а и
ц — коэффициенты сдвигового и изгибного демпфирования;
ра и та — внешние силы и моменты.
Из-за сложности дифференциальных уравнений G.13)
замкнутые решения в общем случае получить не удается.
Поэтому применяется энергетический метод. Задача сво-
сводится [1.125] к решению конечной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка по времени.
Полный прогиб слагается из двух частей, изгибной и сдви-
сдвиговой,
каждая из которых представляется конечными суммами
G.14)
wb (x, t) = 2lq1 (t) Vj (x), w"s (x, t) =
\qn+h(t)vk{x) G.15)
Разобраны колебания балки конечной длины, возбуж-
возбуждаемой импульсом с прямоугольным распределением по ко-
координате х. Построено решение в пространстве лапласовых
изображений в виде конечного ряда, для коэффициентов ко-
которого получены интегральные представления. Затем
анализируется задача нестационарного резонанса, когда
частота возбуждения сое является линейной функцией време-
времени ше=Ш.
В статьях А. Н. Муморцева [1.49, 1.50] A970) рассмат-
рассматривается поперечный неупругий удар массивного тела по од-
однородной балке Тимошенко при трех типах граничных усло-
условий на концах. Для обыкновенного дифференциального
уравнения, полученного после применения интегрального
преобразования по времени, построены функции Грина из
рассмотрения скачков под силой и граничных условий. Пе-
Переход к оригиналам выполнен с применением второй теоре-
теоремы разложения Хевисайда. Для конкретных параметров рас-
рассчитаны на ЭЦВМ прогибы и динамические коэффициенты.
Учет деформаций сдвига увеличивает прогиб на 20—25%.
К- F. Graff A.182] A970) ib уточненной постановке иссле-
исследовал дисперсию волн в круговом кольце при распростране-
распространении окружных волн. Рассмотрены коротковолновое и длин-
длинноволновое приближения. Построены фазовые скорости. Низ-
Низшая ветвь соответствует изгибной моде, вторая — продоль-
продольной, третья — сдвиговой.
Е. Г. Иванов [1.23] A970) изучает поведение балки Ти-
Тимошенко на упругом основании при импульсном нагружении.
Решение разыскивается в виде бесконечного ряда с членами
Tn(t)sin(nnz/l). Получено решение однородного уравнения
и частное решение. Приближенно учитывается присоединен-
68
ная масса от примыкающего к балке основания. Рассмотре-
Рассмотрено несколько примеров.
A. Marinescu [1.241] A967) исследует свободные и вы-
вынужденные колебания стержня со свободными концами.
Предполагается, что стержень имеет переменные по 'длине
массу и жесткость, которые являются гладкими функциями
продольной координаты. Система уравнений балки Тимошен-
Тимошенко приведена к одному уравнению с переменными коэффици-
коэффициентами. Выписаны члены, которые, по мнению автора статьи,
учитывают внутреннее демпфирование, аэродинамическое
демпфирование, осевые и восстанавливающие силы. Для низ-
низших мод не учитываются инерция вращения, деформация
сдвига и демпфирование. Рассмотрены три типа возмуща-
возмущающих сил: гармонические, случайные, разрывные. Возмуща-
Возмущающая сила вводится в правую часть дифференциального
уравнения, при этом допущена ошибка — вместо пространст-
пространственно-временного дифференциального оператора в правой
части записана единица. Решение выписывается в виде бес-
бесконечного ряда по системе собственных, по предположе-
предположению, ортогональных функций, которые в работе не опре-
определяются.
С. Н. Предтеченский [1.64] A954) проанализировал влия-
влияние инерции вращения элементов балки на изгибающий мо-
момент. Рассмотрена свободно опертая балка под действием
кратковременной равномерной симметрично распределенной
нагрузки на средней части балки при нулевых начальных
условиях. На конкретном примере показано, что влияние
инерции вращения на величину максимального изгибающего
момента в середине балки мало.
Колебания однородной балки Тимошенко на упругом вин-
клеровом основании при действии внезално приложенной
сосредоточенной силы рассматривались А. И. Цейтлиным
[1.83] A961). Четвертая производная по времени в дифферен-
дифференциальном уравнении Тимошенко B.7) не учитывается, и это
дает возможность, применяя преобразование Фурье по про-
пространственной координате, получить решение в квадратурах.
Рассмотрен пример действия импульса конечной продолжи-
продолжительности, и показано, что отличие от классической теории
существенно лишь в начальные моменты времени.
В двух работах А. И. Цейтлина [1.83, 1.84] отбрасывание
четвертой производной по времени является необоснованным.
Аргументация основана на том, что в случае достаточно низ-
низких частот вклад этой производной мал. В то же время автор
исследует неустановившиеся динамические процессы.
В заключение отметим также работы [il.37, 1.94, 1.98,
1.117, 1.158, 1.163, 1.166, 1.181, 1.206, 1.215, 1.226, 1.268, 1.272,
1.280, 1.300, 1.304, 1.332, 1.346, 2.41, 2.115, 2.116].
69

§ 8. Колебания при подвижных нагрузках
Воздействие подвижной нагрузки на балку приводит к
интересным эффектам, которые могут быть обнаружены в
рамках уточненной теории типа Тимошенко благодаря тому,
что в этой теории в отличие от классической имеются две ха-
характерных конечных скорости. Поэтому в зависимости от
отношений скорости движения нагрузки к характерным ско-
скоростям возможны различные колебательные режимы.
В работе A. L. Florence [1.161] A965) для исследования
колебаний полубесконечной балки, по которой движется
поперечная сосредоточенная сила с постоянной скоростью,
применяются уравнения типа Тимошенко. На конце удовлет-
удовлетворяются либо условие шарнирного опирания, либо — ра-
равенство нулю угла поворота и поперечной силы. Решения
построены методом преобразования Лапласа. Приведены
кривые распределения поперечных скоростей при различных
скоростях движения нагрузки, звуковой У=с&= (Е/рI/2 и
сверхзвуковой V>Cb, и выполнено сравнение результатов
уточненной и классической теорий. Результаты обеих теорий
в среднем мало отличаются и тем меньше, чем больше ско-
скорость движения нагрузки. Замечено, что удовлетворительного
моделирования задачи в условиях опыта можно достичь, раз-
размещая на балке шнуровой заряд, характеризуемый опреде-
определенной скоростью распространения детонационной волны.
J. D. Achenbach и С. Т. Sun [1.92] A965) рассматривали
задачу о движении с постоянной скоростью V сосредоточен-
сосредоточенной силы по бесконечной балке Тимошенко постоянного
поперечного сечения, лежащей на упругом основании. При-
Принималось, что реакция основания q в некоторой произволь-
произвольной точке определяется прогибом и поперечной скоростью
в этой точке
/ i\ и i i\ , dw (x, t)
q (x, t) = kew(x,t) + т| —L—^'¦
Здесь ke и г) — коэффициенты отпора и демпфирования осно-
основания. Заменой переменных v=x—Vt уравнения движения
приводятся к системе двух обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений относительно угла поворота т|5 и прогиба w,
которые решаются преобразованием Фурье. Проводится под-
подробный анализ корней характеристического уравнения и да-
даны решения для прогиба и угла поворота. Обсуждается спе-
специальный случай, когда коэффициент демпфирования осно-
основания г)-*-0. Приведены кривые прогибов и изгибающих
моментов для различных относительных скоростей движения
нагрузки и различных отношений скоростей распространения
волн сдвига и изгиба.
В работе Tang Sing-Chin [1.322] (Г966) задача о колеба-
колебаниях балки Тимошенко под действием движущейся силы, ко-
70
торая ранее решалась с помощью интегральных преобразо-
преобразований [1.161], исследуется методом характеристик численно.
Результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с
аналитическими решениями. Установлено, что затраты вычи-
вычислительной работы при применении метода характеристик
меньше, чем при решении методом интегральных преобразо-
преобразований.
Н. Н. Pan [1.272] A966) рассмотрел аналогичную задачу
с учетом вязко-упругих свойств! материала.
S. R. Steele [1.314] A968) исследовал поведение полубе-
полубесконечной балки на упругом основании: конец—свободно
оперт, нагрузка — ступенчатая, движущаяся с постоянной
скоростью от свободно опертого конца, начальные условия —
нулевые. Решение записано в виде интегралов в комплексной
плоскости. После подробного исследования подынтегральных
функций статические члены вычисляются по теореме о вы-
вычетах, остальные члены — методом перевала, остатки оцени-
оцениваются методом стационарной фазы. Рассмотрены случаи
движения нагрузки: дозвуковой V<cs, промежуточный cs<
<V<ce, сверхзвуковой V>ce (cs и се — скорости сдвиговой и
продольной волн). Рассматривается мягкое основание, до-
лускающее коротковолновые колебания, так как только в
этом случае проявляется влияние деформации сдвига и
инерции вращения. Из решений для перемещения и
изгибающего момента видно, что 'перед скачком нагруз-
нагрузки при V<cs есть длинноволновая деформация, а при
cs<V<ce — сильно осциллирующая. Показано, что при
V<cs балка Тимошенко и балка Бернулли—Эйлера ве-
ведут себя аналогично и что имеется лишь одна кри-
критическая скорость, которая значительно меньше cs. В отли-
отличие от решения для сосредоточенной силы в рассматриваемом
случае при V=cs или V=ce решения ограничены, что пра-
правильно, т. е. V=cs, V=ce не являются критическими. Показа-
Показано, что сосредоточенная сила, рассматриваемая как разность
двух ступенчатых нагрузок, является хорошей аппроксима-
аппроксимацией для распределенной нагрузки протяженностью до не-
нескольких толщин и V<^cs. Для балки без основания и сосре-
сосредоточенной нагрузки сравнение полученных асимптотических
и известных численных решений обнаруживает хорошее
соответствие.
§ 9. Колебания и волны при периодическом
и случайном возбуждении
Задачи периодического возбуждения являются более про-
простыми с точки зрения решения уравнений. В действительно-
действительности, однако, эта простота может оказаться иллюзорной, так
как в реальном упругом стержне при периодических воздей-
71

ствиях возможно возбуждение таких мод, которые никакими
приближенными теориями не описываются. Как пример бу-
будет описан во второй части настоящего обзора. Здесь же
будут рассмотрены периодические поперечные колебания
стержней в рамках уточненной теории Тимошенко, которая,,
это уже отмечалось выше, является двухмодовой аппроксима-
аппроксимацией.
В работе S. H. Crandell'a [1.139] A957) уравнения балки
Тимошенко дополнены членами, учитывающими линейную*
демпфирующую силут(ш и линейную восстанавливающую
силу упругого основания kew. Исследованы для бесконечной
балки корни характеристического уравнения, бегущие волны
(фазовые и групповые скорости), реакция на сосредоточенную»
поперечную силу, которая движется с постоянной скоростью,
вдоль стержня.
Н. J. Plass [1.280] A958) исследовал поперечные колеба-
колебания полубесконечной балки Тимошенко (х>0), нагруженной
изгибающим моментом М@, t)=Hsin(nt)x) на неподвижном
конце (w@, t) =0). Решение задачи проводится как при по-
помощи преобразования Лапласа, так и методом характери-
характеристик. Приводятся общие формулы для изгибающих момен-
моментов M(x,t) и численные результаты. Некоторые из них срав-
сравниваются с экспериментальными результатами и наблюдает-
наблюдается хорошее совпадение ,в тех случаях, когда продолжитель-
продолжительность импульса превосходит время, за которое волны изгиба
распространяются на расстояние порядка диаметра стержня.
Г. Я. Леонтьев [1.38] A960), решая уравнения Тимошен-
Тимошенко, исследовал свободные и вынужденные гармонические ко-
колебания стержней переменного сечения. Уравнения записаны
в виде
(9.1)
Здесь a»i и W2 — прогибы от изгиба и сдвига, Гг(#) и со (л:) —
радиус инерции и приведенная площадь поперечного сечения.
Решение разыскивается в виде
pr'J- Q-X[m(x)r,
w(x, t)=v(x)smpt
(9.10)
Функции осевой координаты v(x) разлагаются в ряды по сте-
степеням параметра р2 и коэффициенты рядов определяются из
рекуррентных соотношений, принимающих простую форму в
частном случае, когда 1{х), Ti2{x), т(х) и со (л;) являются сте-
степенными функциями координаты х. Получено частотное урав-
л.
72
нениеввиде бесконечного степенного ряда. В качестве приме-
ра, доведенного до численных результатов, рассмотрены ко-
колебания клиновидной консоли.
A. Weigand'oM [1.348] A962) дано решение задачи о вы-
вынужденных колебаниях балки постоянного сечения, свобод-
свободно опертой, нагруженной посередине сосредоточенной силой,
изменяющейся во времени по гармоническому закону. Анало-
Аналогичная задача решена для защемленной 'балки.
Анализ поперечных колебаний балки с учетом внутренне-
внутреннего трения, инерции вращения и сдвига при действии на балку
сосредоточенной периодической силы, приложенной в сере-
середине балки, приведен в работах J. S. Snowdon'a [1.307, 1.308]
A963). Проведено сравнение с результатами классической
теории. Установлено, что расхождения между уточненной и
классической теориями увеличивается по мере уменьшения
относительной длины балки и увеличения частоты возбужда-
возбуждающей силы.
В работе [1.309] A964) исследуется реакция защемленной
балки прямоугольного поперечного сечения на осциллирую-
осциллирующие силы и моменты, приложенные в среднем сечении бал-
балки, отдельно или совместно. Рассматривается влияние инер-
инерции вращения, деформации сдвига и внутреннего демпфиро-
демпфирования на импеданс в точке приложения нагрузки и на момент
и силу в точке защемления. Исследуются следующие гранич-
граничные условия. В случае действия сосредоточенной силы в
средней точке — нулевой угол поворота, соответствующий из-
изгибу, и поперечное усилие, равное половине приложенной си-
силы; в защемлении — перемещение и угол поворота равны
нулю. При действии изгибающего момента — в средней точке
прогиб равен нулю, а изгибающий момент—-половине прило-
приложенного (момента.
Аналогичное рассмотрение вынужденных колебаний стерж-
стержня со свободными концами дано в работе [1.310] A965). Ис-
Исследован импеданс в зависимости от положения внешней си-
силы. Показано, что в балках, изготовленных из пластиков и
резиноподобных материалов, необходимо учитывать инерцию
вращения и сдвиг.
А. С. Яковлевым [1.89] A968) разобраны вынужденные
колебания балки Тимошенко на упругом линейно деформи-
деформируемом основании с учетом его инерционных свойств. Рас-
Рассматривается бесконечная балка, нагруженная сосредото-
сосредоточенной гармонической силой. По существу, рассматривается
плоская задача. Получены решения для прогиба и изгибаю-
изгибающего момента в виде несобственных интегралов. Аналогич-
Аналогичная задача обсуждалась в работе [1.84] A961), но в диффе-
дифференциальном уравнении для прогиба B 7) автор отбросил
член с четвертой производной по времени и разобрал случай
поперечной нагрузки вида q = qQq(t)coskx. Затем, переходя к
71

интегралу Фурье, он получил формулы для прогиба балки
при четырех видах нагружения.
А. С. Архипов [1.3] A970) исследовал характер влияния
инерции вращения, деформаций поперечного сдвига, внутрен-
внутреннего трения и продолжительности действия импульса на мак-
максимальные напряжения и перемещения шарнирно опертой
балки прямоугольного поперечного сечения. Уравнения запи-
записаны в комплексной форме и решения разыскиваются в виде
рядов по формам собственных колебаний. Выполнены расче-
расчеты на ЭЦВМ, из которых следует, что влияние инерции вра-
вращения и сдвига можно не учитывать при 0<2/z//<0.1, а при
тоХ).25 Т\ (то — продолжительность действия прямоугольно-
прямоугольного ibo времени импульса; Т{—период собственных колебаний
балки по первой форме) можно пренебречь всеми факторами
кроме то. Выясняется также, что в сходящихся рядах для из-
изгибающего момента и поперечной силы достаточно учитывать
10—13 гармоник, а наиболее сильное влияние имеют внутрен-
внутреннее трение и параметр т0.
W Schleinig [1.306] A970) рассмотрел изгибные коле-
колебания балки Тимошенко с толщиной, периодически изменяю-
изменяющейся по длине. Обсуждается возможность анализа однород-
однородного стержня, эквивалентного заданному с точки зрения дли-
длины изгибной волны, при возбуждении с заданной частотой.
R. R. Clary и S. A. Leadbetter [1.136] A963) применили
теорию Тимошенко в задаче о колебаниях слоистых балок.
К. К. Pujara и В. С. Nakra fl.285] A968) рассмотрели вы-
вынужденные гармонические колебания двухслойной -балки с
учетом инерции вращения.
Колебания балки Тимошенко при случайном возбуждении
рассмотрены J. С. Samuels'oM и А. С. Eringen'oM [1.302]
A958). Исследуются колебания свободно опертой балки с
учетом демпфирования. Исследования выполнены с помощью
обобщенного анализа Фурье. Вычислены среднеквадратичные
значения прогиба и изгибных напряжений. Сравнение с ана-
аналогичными результатами обычной классической теории пока-
показало очень близкое соответствие значений среднеквадратич-
среднеквадратичных перемещений. Решения для среднеквадратичных изгиб-
изгибных напряжений в противоположность классической теории
изгибных колебаний балок сходятся.
Реакцию свободно опертой вязко-упругой балки на попе-
поперечное случайное возбуждение исследовали S. H. Crandall
и A. Yildiz [1.140] A961), при этом были использованы урав-
уравнения B.19). Рассматривались четыре случая: а) классиче-
классическая теория изгиба; б) изгиб с учетом деформации сдвига;
в) изгиб с учетом инерции вращения; т) балка Тимошенко.
Определены среднеквадратичные значения реакций при воз-
возбуждении идеальным «белым шумом» и «белым шумом» со
срезанными верхними частотами. В обоих случаях оценивают-
74
ся асимптотические порядки этих средних значений. В пер-
первом случае установлено, что а) для каждой формы балки
величины средних значений реакций конечны, кроме балки
Релея; б) для балок Тимошенко, и «сдвиговой» вращательное
затухание неэффективно; в) затухание Фойгта существенно
во всех теориях, кроме классической.
§ 10. Динамическая устойчивость
При исследовании бокового выпучивания стержня в случае
продольного ударного возбуждения учет деформации сдвига
и инерции вращения является существенным, так как такая
модель учитывает конечность распространения в стержне де-
деформации каждото вида: продольной, изгибной, сдвиговой.
Выпучивание происходит не в тот момент, когда необходимо
описание в рамках трехмерной динамической теории упруго-
упругости, а несколько позже, когда классическая теория еще не
применима, а теория типа Тимошенко может оказаться наи-
наиболее подходящей.
Попытка оценить влияние инерции вращения и деформа-
деформации сдвига на поперечные колебания стержня, вызванные
осевой силой, изменяющейся во времени по линейному или
кусочно-постоянному закону, была сделана в работе Е. Рго-
copovici [1.284] A957).
G. W. Housner и W. К. Tso [1.195] A962) сравнивали тео-
теории Тимошенко и Бернулли — Эйлера применительно к зада-
задаче динамической потери устойчивости стержня и пришли к
выводу, что классическая теория достаточно хорошо описы-
описывает доминирующие формы колебаний стержня.
На основе уравнений балки Тимошенко с учетом геомет-
геометрической нелинейности А. С. Вольмир [1.6] A966) исследовал
численно процесс волнообразования при продольном ударе
по торцу стержня. В соответствии с исследованиями
М. А. Лаврентьева и А. Ю. Ишлинского0 A1949) фронт вол-
волны и бегущая иэгибная волна с узловыми точками переме-
перемещаются к неподвижному торцу. При этом для каждой полу-
полуволны имеется критическая длина, которая является макси-
максимальной в течение всего процесса выпучивания, а поперечная
скорость резко возрастает (начало выпучивания) после до-
достижения полуволной критической длины.
В работе А. С. Вольмира и И. Г. Кильдибекова [1.7]
A966) также численными методами решается задача об
устойчивости шарнирно опертого стержня, ударяемого по
торщу. Учитываются начальная погибь, геометрическая нели-
') См. Лаврентьев М. А., Ишливский А. Ю. Динамические формы по-
потери устойчивости упругих систем. Докл. АН СССР, 1949, 64, № 6, 779—
782.
75

нейяость, инерция вращения и деформация поперечного
сдвига.
S. Nemat-Nasser [1.263] A967) разобрал динамическую
устойчивость консольного стержня при действии следящей
сжимающей силы Р. Движение стержня описывается уравне-
уравнениями типа Тимошенко, и, кроме того, учитываются силы
вязкости по Кельвину. Показано, что учет деформаций сдви-
сдвига и инерции вращения снижает критическую силу .и тем боль-
больше, чем меньше гибкость l/ri(rI = 'yr[/F). Это иллюстрируется
на фиг. 1.16, где цифрой 1 обозначено решение по теории
Бернулли — Эйлера, цифрой 2 — по теории Тимошенко. Демп-
Демпфирующие силы также существенно снижают критическую
силу.
В работе [1.18] A969) исследовались методом конечных
разностей динамические прогибы шарнирно опертого стер-
стержня при продольном ударе по его торцу. Исследование про-
проведено в геометрически нелинейной постановке. Из условия
равновесия элемента записаны с учетом начальной погиби,
деформации сдвига и инерции вращения три связанных ги-
гиперболических нелинейных уравнения относительно продоль-
50 100 150
Фиг. 1.16 Зависимость критичес-
критического значения параметра нагрузки
Q=Pt2lEIn2 от гибкости I/ri без
учета внутреннего трения
ного, поперечного и углового перемещений. Начальная по-
гибь задается в виде синусоиды, масса стержня по сравне-
сравнению с массой ударяющего тела принимается пренебрежимо
малой. Анализ обнаруживает, что процесс неустановившегося
выпучивания условно можно представить в виде трех стадий.
Первая стадия характерна началом выпучивания по одной
полуволне, появляющиеся затем новые полуволны ведут себя
как «квазистоячие». Во второй стадии происходит увеличе-
увеличение прогибов с сохранением полуволн. В третьей стадии из-за
взаимной связи продольных и поперечных волн наблюдается
прощелкивание отдельных участков стержня и исчезновение
некоторых полуволн. Исследована также устойчивость сотлас-
76
но линейной классической теории стержней, которая предска-
предсказывает в устойчивой области колебательный характер проги-
прогибов, а в неустойчивой — их монотонное нарастание.
Устойчивость и колебания трансверсально изотропных
балок типа Тимошенко, исходя из уравнений B.18), рассмат-
рассматривал Е. J. Brunelle A.122, 1.123] A970). Исследование отно-
относится к композитным материалам, характеризуемым отноше-
отношением «продольного» модуля Юнга к поперечному сдвигово-
сдвиговому E/G = 20-^-50. В этом случае деформация сдвига может
оказывать существенное влияние на статическую и динамиче-
динамическую устойчивость. Показано, что с увеличением концевых
ограничений влияние поперечного сдвига ухудшает устойчи-
устойчивость и что начальные усилия и прогибы мало влияют на ча-
частоты толщинно-сдвиговой моды, но оказывают качественное
влияние на мнимую ветвь дисперсионной кривой. Установле-
Установлено очень сильное влияние отношения E/G на колебания и
волны.
Влияние инерции вращения и сдвига на динамическую
'устойчивость стержня, сжатого периодической во времени си-
силой, исследовалось А. П. Черкасовой [1.86] A961). В уравне-
уравнении движения четвертая производная от прогиба по времени
не учитывалась. Показано, что учет этих эффектов ухудшает
динамическую устойчивость стержня. Для составных стерж-
стержней их влияние существенно, для сплошных — очень мало и
может в практических расчетах не учитываться.
J. Szidarowsky [1.3ГЭ] A960) получил уравнение изгибных
колебаний стержня с учетом только деформации сдвига при
действии осевой силы. Отсутствие четвертой производной по
времени дает возможность применить метод разделения пе-
переменных. Рассмотрены колебания шарнирно опертого стерж-
стержня при действии постоянной сжимающей силы, для которого
определены собственные частоты и критические силы. На при-
примере колебаний стержня двутаврового поперечного сечения
показано, что учет деформации поперечного сдвига снижает
частоты и тем больше, чем выше номер частоты.
В работе [1.320] A962), посвященной исследованию коле-
колебаний стержня под действием аксиальной внешней силы, вли-
влияние инерции вращения учтено не полностью. В уравнении
«динамического равновесия» моментов (в статье формула
A.3)) пропущен член, оценивающий инерцию вращения, и
поэтому уравнение движения стержня отличается от волново-
волнового уравнения Тимошенко B.7). В связи с тем, что отсутствут
ет четвертая производная по времени, уравнение можно ре-
решить методом разделения переменных.
Упругий стержень под действием осевой пульсирующей
.нагрузки рассматривал также М. J. Huffington [1.204] A964).
77

В работе [1.68] A969), следуя П.Жермену1', уравнения ти-
типа Тимошенко выведены для растянутого стержня кругового
поперечного сечения. Исследуется распространение гармони-
гармонических волн в стержне.
Как видно из обзора литературы, аналитические решения
задач динамической устойчивости, кроме тривиальных, в на-
настоящее время отсутствуют, а исследования выполняются
главным образом численными методами.
§ 11. Свободные колебания одно!родн[ых стержней
Исследованию частот и форм собственных колебаний бал-
балки Тимошенко' посвящено большое число работ. Еще
С. П. Тимошенко A916) показал, что влияние инерции вра-
вращения и деформации сдвига на низшую частоту достаточно
длинной однородной прямой сплошной балки очень мало. Ряд
последующих работ повторяет эти исследования.
Применение теории типа Тимошенко необходимо в случа-
случаях более высоких частот, коротких балок, наличия неодно-
родностей и т. п., а также в случаях коробчатых сечений, для
которых отношение изгибной жесткости El к сдвиговой kQF
выше, чем для сплошных сечений при одном и том же весе
на единицу длины. В ряде случаев поправки даже для низ-
низких частот оказываются существенными (например, кусочно-
неоднородные или тонкостенные балки), и в настоящее вре-
время сдвиговая модель Тимошенко применяется в расчетах соб-
собственных колебаний реальных конструкций.
Первое исследование в этой области принадлежит
С. П. Тимошенко. В 1916 г. он определил собственную-
частоту свободно опертого стержня прямоугольного попереч-
поперечного сечения и длины / [1.325, 1.328].
Если при исследованиях оставаться в пределах боль-
больших длин волн Я,т/г>1 и отбросить последний член в левой
части уточненного уравнения B.7), то формула для собст-
собственных частот приобретает вид
A1.
Здесь кт — длила полуволн, на которые подразделяется стер-
стержень при колебаниях; Km=l/m, a2=EI/pF, ri2 = I/F. Было по-
показано в этом случае, что поправка на сдвиг, определяемая
в A1.1) членом E/kQ, примерно в 3 раза больше, чем по-
поправка на инерцию вращения. Таким образом, влиянием по-
поперечного сдвига и инерцией вращения можно пренебречь,,
когда длина волны поперечных колебамий стержня велика по-
11 См. Жермен П. Механика сплошных сред. М., «Мир», 1965.
78
сравнению с размерами его поперечного сечения. Обе по-
поправки имеют значение при высокочастотных колебаниях,
когда колеблющийся стержень подразделяется узлами на до-
достаточно короткие участки.
Свободные колебания балки Тимошенко со свободными
концами в связи с экспериментальным определением упругих
постоянных изучал Е. Goens [1.173] A931).
В. П. Новоторцев [1.52] A935) и L. S. Jacobsen [1.207,
1.208] A938—1939) применяли уточненную теорию Тимошен-
Тимошенко в связи с проблемой колебаний сооружений. Они рассмот-
рассмотрели колебания упруго защемленной 'консоли и исследова-
исследовали различные частные случаи.
Дальнейшим изучением! этого вопроса занимались
R. W. Traill-Nash и A. R. Collar [1.330] A963), которые под-
подробно исследовали уравнение свободных колебаний балки
Тимошенко, следующее из уравнения B.7) при временной за-
зависимости вида ад —if
dzw
A1.2)
Здесь w и х отнесены в характерной длине /, а остальные
величины равны
<х =
EI
kGFl"
!
EI
„2 Л '
Авторы приводят пять типов нулевых граничных условий:
для прогиба
общего угла наклона
ш = 0
дх
угла наклона, обусловленного только изгибом,
d3w , ., , , 0, dw n
а + A+22H
изгибающего момента
d2w
и поперечной силы
дх' '
(Ц.з>
(И.4>
(П.5)
(П.6)
A1.7)
Получены уравнения частот и формы колебаний ^свободной,
защемленной, опертой или консольной балок, как при уче-
учете всех факторов (изгиб + сдвиг+ инер/ция вращения), так и
при упрощающих предположениях (иэгиб + сдвиг, изгиб +

+инерция вращения, только изгиб). Доказано существова-
существование нового спектра частот.
Приведем это доказательство. Характеристическое урав-
уравнение, соответствующее соотношению A1.2),
Ф2A— ф2сф) =0
представляется в виде
(K2+p2)(X2-q2)=0
где
/72 = ?2 (а +
= _ ?2 (а
(а _. рJ
A1.8)
A1.9)
Из формул A1.9) видно, что всегда /?2>0, поэтому из урав-
уравнения A1.8) следует, что Х= ±ip и имеется один спектр частот.
Из соотношения A1.10) вытекает, что q2 имеет знак величи-
величины A—ф2аC). На низких частотах ф2сф<1, поэтому X=±q и
второго спектра нет. При ф2сф>1 имеем <72<1, и появляется
новый спектр частот. Показано, что резонансы в новом спект-
спектре обусловлены взаимодействием между поперечными силами
и инерцией вращения и что в первом спектре углы изгиба и
сдвига находятся в фазе, а во втором спектре в противофазе.
Например, для опертой балки отношение углов изгиба и сдви-
сдвига приближенно равно Ri~ (p2a)~l, R2~— 1. Из приведен-
приведенных равенств видно, что в первом спектре с увеличением р
вклад изгиба уменьшается, а вклад сдвига возрастает. Во
втором спектре эти вклады примерно равны, но противопо-
противоположны по знаку, поэтому имеются сильные повороты сече-
сечений и сильный сдвиг при малых боковых перемещениях.
Установлено, что при q~*0, т. е. при ф2сф-"-1, существует ре-
решение чисто сдвигово-вращательного характера с нулевым
поперечным отклонением, как в конечной, так и в бесконеч-
бесконечной балке. Проведены экспериментальные исследования ко-
колебаний тонкостенной балки коробчатого сечения с густым
набором достаточно жестких диафрагм. В таких конструкциях
нет простой связи между изгибной жесткостью, сдвигом и
инерцией вращения, как в сплошной балке, и влияние инер-
инерции вращения мало. На фиг. 1.17 приведенырезультаты тео-
теории и эксперимента (кружочки) для первой ф1 и второй ф2
симметричных форм колебаний балки со свободными конца-
концами. Как видно, учет деформации сдвига даже для низших
форм колебаний является существенным в тонкостенных кон-
конструкциях. Для оценки аппроксимации в виде однородной
балки были проведены более точные расчеты в матричной
форме, основанные на представлении реальной конструкции
в виде конечного числа масс, соединенных безмассовыми уп-
«0 »
другими связям». Эти расчеты- дали несколько более высокие
значения частот колебаний. Результаты расчетов частот ко-
колебаний реальной конструкции крыла самолета показывают,
нтоследует учитывать деформации сдвига. В'противном слу-
случае наблюдаются большие ошибки: для первой формы -6%,
для пятой -50%.
Фиг. 1.17. Квадраты собственных частот
для двух изгибных форм (первой и
третьей) тонкостенной балки со свобод-
свободными концами
Ф. М. Диментберг [1.20] A953) в рамках модели Тимо-
Тимошенко исследовал колебания вращающегося вала, учитывая
гироскопические силы. Для шарниряо опертого вала сравни-
сравнивались частоты, определенные с учетом сдвига и без него.
Выяснено, что с увеличением скорости вращения влияние
сдвига усиливается и приводит к уменьшению значения ча-
частот. Аналогичная задача рассмотрена для вала с неодинако-
неодинаковыми главными моментами инерции сечения.
R. A. Anderson [1.99] A953) рассматривал свободные и
вынужденные изгибные колебания балки Тимошенко посто-
постоянного сечения. Он получил выражение для обобщенных
масс и динамических коэффициентов.
Частоты свободных колебаний балки Тимошенко при раз-
различных краевых условиях исследовали Lj. В. Radosavljevic
[1.287, 1.288] A953) и G. L. Dolph [1.152] A954).
6—2798
8t

А. А. Белоус [1.5] A955) применил метод начальных па-
параметров и метод деформаций к расчету колебаний балок if
плоских и пространственных рам в уточненной постановке,
исходя из теории балки Тимошенко. Для «-ой собственной;
частоты шарнирно опертой балки получена формула
A1.11)
Здесь и>„ — собственная частота по классической теории из-
изгиба: и>~ = (n2v?/P) YgEI/¦(; 7V3n — эйлерова критическая сила*
7V3n = (ft2lt2?'///2)(i + ftra2u2//2)-i; f_ вес на единицу длины;
остальные переменные имеют вид: / = //r, r — YljF, ¦*.=
= \ — N/kGF, k = E/kG, rm = VgIJi. Формула A1.11) учи-
учитывает влияние на собственные частоты колебаний стержня
сжимающей продольной силы N, инерции вращения (члены с
индексов т) и деформаций поперечного сдвига (члены, со-
содержащие к). Показано, что для стержней с жестко защем-
защемленными концами влияние инерции вращения и деформаций
сдвига значительно больше, чем для шарнирно опертых.
Отметим работу D. Raskovic'a [1.293] A958), в которой
на основе 'принципа Гамильтона — Остроградского рассмот-
рассмотрены собственные колебания стержня конечной длины. Полу-
Получены частотные уравнения для 25 случаев закрепления кон-
концов стержня.
Влияние сдвига и инерции вращения на частоты и формы
свободных колебаний стержней при помощи асимптотическо-
асимптотического метода исследовалось Е. П. Кудрявцевым [1.34] A960).
Рассматриваются колебания стержня, защемленного по кон-
концам. Вычислены волновые числа,_ частоты, изгибающие мо-
моменты и поперечные силы, и дано сравнение с результатами
классической теории. Для двенадцати форм колебаний вы-
вычислены волновые числа и частоты, и для шести форм — из-
изгибающие моменты и поперечные силы. Из сравнения с ре-
результатами классической теории установлено, что с увеличе-
увеличением номера формы колебаний волновые числа мало изменя-
изменяются, а частоты, изгибающие моменты и поперечные силы
сильно уменьшаются по сравнению с вычисленными по клас-
классической теории.
Т. С. Huang [1.197] A958) для определения собственных
частот поперечных колебаний шарнирно опертой балки по
уточненной теории «применял методы Ритца и Бубнова, пока-
показав их эквивалентность в этой задаче. Однако коэффициент
сдвига вводится им некорректно.
В [1.198, 1.200] A961, 1963) разобраны различные вари-
варианты концевых условий и приведены таблицы собственных
82
функций и собственных частот в случае колебаний балки
Тимошенко.
Т. С. Huang и F. С. С. Huang [1.201] A967) рассматрива-
рассматривают вращающийся вал на двух опорах, несущий маховик на
консольной части. Выведены уравнения установившегося
движения балки Тимошенко с учетом скорости прецессии,
центробежных и гироскопических сил. Например, для проги-
прогиба w уравнение имеет вид
— 62s2) D2 — (r2,s4^ + 1) И ®=0 A1.12)
Здесь D = dld\\ (b,b') = (-[Fli/E!g?/2(«>,Qy, \ = хЦ\ r] = HFP\
~k — 2b'lb — 1; о) — собственная частота; 2 —угловая скорость
вращения вала. Приведены граничные условия на крайней
опоре, а также условия сопряжения на промежуточной опоре
и на стыке с маховиком —всего 8 условий. Выписаны общие
решения для каждой части балки в двух случаях соотноше-
соотношения параметров (г?52Х+1/й2) >0 или {r)s'2X+1/62)<0
Условия нетривиальности решения получены в двух слу-
случаях уравнения критических скоростей в виде громоздких оп-
определителей, которые при конкретных параметрах решают-
решаются на ЭВМ. Построены формы изгибных колебаний при кри-
критических скоростях и графики скорости прецессии в
зависимости от скорости вращения вала для трех случаев
расположения опор. В случае синхронной прецессии (угловые
скорости прецессии и вращения вала равны) построены три
формы колебаний для четырех вариантов расположения опор.
Сравнение результатов с классической теорией изгиба отсут-
отсутствует.
Н. Е. Fettis'oM [1.160] A961) изучено интегральное урав-
уравнение собственных колебаний балки Тимошенко, которое яв-
является обобщением известного метода функций влияния в
аэроупругости. Этот метод удобен в численных расчетах мат-
матричным методом.
Вопросы решения уравнений балки Тимошенко в случае
собственных и вынужденных колебаний обсуждаются также
В. И. Шарафутдиновым [1.88] A961).
Свободные колебания полуограниченной балки в класси-
классической постановке, с учетом инерции вращения и на основе
модели Тимошенко исследуются в работе J. Wieckowski
[1.349] A961). Анализировались колебания балки при нали-
наличии одной опоры и многих регулярно расположенных опор.
В последнем случае составлено уравнение трех моментов.
Построены графики, характеризующие частоты.
D. J. Weidman [1.347] A961) получил уравнения свобод-
свободных колебаний балки двутаврового поперечного сечения с
широкими полками. Учитывались инерция вращения, дефор-
деформации сдвига, депланации и искажения поперечного сечения.
6*
83

Интег'ро-дифференциальные уравнения и граничные условия
вытекают из вариационной формулировки. Для колебаний
шарнирно опертой балки получено частотное уравнение и со-
составлены графики частот. Приближенно оценивалось влия-
влияние изгиба полок. Показало снижение собственной частоты
первой гармоники до 40% при учете всех факторов по срав-
сравнению с частотой, полученной из классической теории.
Влияние деформаций сдвига и инерции вращения на коле-
колебания лопаток турбины обсуждалось А. А. Петровым [1.59]
A962).
В [1.348] A962) определены собственные значения и соб-
собственные функции стержней постоянного поперечного сече-
сечения, совершающих колебания при шарнирном опирании двух
концов, свободных концах, одном защемленном и одном сво-
свободном конце стержня. Записаны условия ортогональности
собственных функций и выражения для упругой энергии.
М. В. Хвингия [1.81] A963) рассмотрел собственные ко-
колебания балки Тимошенко конечной длины. Для балки, за-
заделанной по обоим концам, и консольной балки исследованы
частотные уравнения при предельных значениях параметров,
когда влияние инерции вращения и сдвига пренебрежимо ма-
мало или максимально. В этих случаях получаются простые
вырожденные частотные уравнения, из которых легко опре-
определяются частоты. Кроме того, оказывается возможным уп-
упростить частотное уравнение, разлагая его по малому частот-
частотному параметру и сохраняя члены первого порядка малости.
Дифференциальное уравнение, описывающее собственные ко-
колебания балки, можно записать в виде
Для частотного уравнения f{q2, р) =0 разложения строятся
по степеням р/ртах, где рШах соответствует вырожденному слу-
случаю максимального влияния инерции вращения и сдвига. Оп-
Определены оценки погрешностей при таком подходе.
А. Д. Лизарев [1.39] A963) разобрал колебания упруго за-
защемленных стержней в рамках теории Тимошенко. Установ-
Установлено, что в зависимости от частотного параметра возможны
три типа корней характеристического уравнения: два корня
действительных и два мнимых, два действительных и два ну-
нулевых, соответствующих точке бифуркации, и все корни мни-
мнимые (при достаточно высоких частотах). Проведенные расче-
расчеты показывают, что влияние деформации сдвига и инерции
вращения существенно лишь для коротких стержней и уси-
усиливается с увеличением коэффициента упругого защемления
и тона колебаний.
В [1.40] A964) с учетом инерции вращения и деформа-
деформации сдвига исследованы собственные колебания рам с корот-
84
кими стержнями. Автор показал, что эти эффекты сущест-
существенны только для собственных частот высоких номеров и ма-
малой гибкости.
R. Straube [1.318] A963) для определения собственных
частот поперечных колебаний балки Тимошенко при различ-
различных опорах применял метод возмущения. Малый возмущаю-
возмущающий параметр выделяется в членах, характеризующих влия-
влияние деформации сдвига и инерции вращения. Получена в
каждом приближении система уравнений, и дан пример расче-
расчета двух приближений для четырех собственных частот кон-
консоли.
W. С. Hurty и М. F. Rubinstein [1.205] A964) на примере
задачи о свободных поперечных колебаниях свободно опер-
опертого упругого стержня показали возможность приближенного
учета влияния сдвига и инерции вращения. Прогиб аппрокси-
аппроксимируется конечным рядом
(*.*)=
A1.14)
где фг(*) — заданные аппроксимирующие функции. С учетом
аппроксимации A1.14) вычисляются кинетическая и потенци-
потенциальная энергии и записываются уравнения Лагранжа. Зада-
Задача, таким образом, приводится к решению конечной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно
qi(t). Задача на собственные значения рассматривается в
матричной формулировке. Влияние учитываемых факторов
иллюстрируется примером определения основной частоты
собственных колебаний свободно опертого стержня. Получен-
Полученные результаты совпадают с результатами Тимошенко.
Нелинейные колебания гибкого стержня в уточненной по
методу степенных рядов постановке рассмотрены в работе
[1.58] A965).
Свободные колебания балки Тимошенко конечной длины
с равноотстоящими сосредоточенными массами рассматрива-
рассматриваются в работе [1.86] A966).
В. И. Коваленко [1.33] A968) исследовал свободные коле-
колебания основной частоты короткого стержня применительно к
лопаткам турбин. Уравнения балки Тимошенко решаются при
довольно сложных граничных условиях. На одном конце за-
заданы граничные условия, соответствующие защемлению, но
с учетом упругой податливости поворота. На свободном кон-
конце учитываются поперечная сила инерции сосредоточенной
массы (бандажа) и изгибающий момент, обусловленный уп-
упругим креплением бандажа. Построены графики изменения
относительной частоты ф=<о/ю0 (здесь ю и ю0 — частоты, со-
соответствующие уточненной и классической теориям) в зави-
зависимости от относительной длины /. Одна из таких кривых
85

приведена на фиг. 1.18. Из полученных решений видно силь-
сильное влияние уточнений, приводящих к уменьшению частоты,
соответствующей классической теории. Обнаружено очень хо-
хорошее соответствие проведенных расчетов с известными экс-
экспериментальными исследованиями.
1.0
20
Фиг. 1.18. Сравнение собственных
частот лопатки турбины по тео-
теории Тимошенко (о и Бернулли— <
Эйлера соп
В. Dawson [1.146] A968) определял собственные частоты
консольной балки Тимошенко методом Ритца. Точность ме-
метода, как известно, существенно зависит от вида аппроксими-
аппроксимирующих функций и их числа. В качестве аппроксимирующих
приняты собственные функции уравнений классической тео-
теории, которые образуют систему ортогональных функций. Чис-
Численно исследуется влияние числа удерживаемых членов в ря-
рядах. Показано, что девять членов ряда дают хорошие резуль-
результаты для пяти первых частот. Полученные численные резуль-
результаты сравниваются с результатами Т. С. Huang'a [1.198] и
приведены на фиг. 1.19 и 1.20, из которых видно влияние
деформации сдвига и инерции вращения, здесь г7 — радиус
инерции, / — длина балки. Штрих-пунктирная линия на
фиг. 1.20 соответствует учету только инерции вращения.
В. А. Палюнас и А. И. Палюнене[1,53] A969) изучали сво-
свободные колебания балки Тимошенко, погруженной в жид-
жидкость. С учетом присоединенных масс жидкости вычислены
собственные частоты и анализируется влияние поправочных
(к классической теории изгибных колебаний) членов для дю-
дюралевой балки прямоугольного поперечного сечения так, как
это сделано С. П. Тимошенко [1.328].
Н. Saito и Т. Murakami [1.301] A968) исследовали беско-
бесконечную балку Тимошенко на упругом основании конечной
86
тлубины с учетом массы (инерции) основания, которое пред-
представлено в виде множества линейных упругих стержней, ра-
работающих на осевые усилия. Получено и исследовано на
ЭЦВМ частотное уравнение при различных соотношениях
масс основания и балки. Ре-
Результаты сравниваются с
данными, полученными без
учета массы основания. По-
Показано, что массу основания
можно не принимать во вни-
внимание только при низких ча-
частотах, длинных волнах и
малых отношениях масс
основания и балки. Дано
также сравнение с теорией
Бернулли-Эйлера.
К. И. Солдатов [1.71]
A970) методом деформаций
получил трансцендентное
уравнение частот собствен-
собственных колебаний неразрезной
балки постоянной жесткости
на упруго оседающих опо-
опорах. Учитываются статиче-
статическая осевая сила, деформа-
деформации сдвига и инерция вра-
вращения. Показано, что если
пролеты имеют одинаковую
1.0
-
0.02
¦—¦
О.ОЧ
ом
ч
-—
¦--—-
ом г
Фнг. 1 19 н 1 20. Отношение собствен-
собственных частот корректированной по Ти-
длину И коэффициенты жест- мошенк° Р и определяемой классиче-
кости промежуточных опор
одинаковы, то частотное уравнение существенно' упрощается.
Вид уравнения не изменяется и трудоемкость его решения не
повышается при увеличении числа пролетов. Рассмотрены
частные случаи и численные примеры.
J. В. Сагг [1.131] A970) для определения собственных
частот балки Тимошенко применил энергетический метод.
Показано хорошее соответствие с результатами, вытекаю-
вытекающими из точного решения.
Т. М. Wang [1.346] A970) рассмотрел колебания неразрез-
неразрезной балки Тимошенко. Им получено динамическое уравнение
трех моментов, описывающее свободные гармонические коле-
колебания балок. В качестве иллюстративного примера рассмот-
рассмотрены колебания шарнирно опертой балки. Исследуется влия-
влияние инерции вращения и деформации сдвига на значения соб-
собственных частот первых двенадцати тонов. Несколько позд-
позднее в комментарии к статье [1.346 а] A971) автор внес неко-
некоторые уточнения и исправления в результат, полученный в
работе [1.346].
87

F. Y. Cheng [1.132] A970) вычислил собственные колеба-
колебания балок и прямоугольных рам, состоящих из призматиче-
призматических элементов. Учитывались инерция вращения и деформа-
деформация сдвига. Применена матричная формулировка и числен-
численные методы в форме,
3 удобной для ЭЦВМ При-
Приведены расчеты пяти форм
колебаний для трехпро-
летной неразрезной бал-
балки и двухпанельной рамы.
Из расчетов можно ви-
видеть, что учет поправок
приводит к существенно-
существенному снижению собствен-
собственных частот (см. фиг. 1.21,
где р* — частота по тео-
теории Тимошенко, р — час-
частота по теории Бернул-
ли—Эйлера). Метод поз-
позволяет легко исключать
из расчета тот или иной
уточняющий фактор.
J. Porat и М. Ni\r
[1.282] A971) анализиру-
анализируют уравнения Тимошен-
Тимошенко для вращающегося! ва-
вала с учетом гироскопиче-
1.0
0.9
0.1
0,6
к-0.833
6) ' SO 50
SO
е/п
го
Фиг 1 21 Влияние деформации сдви-
сдвига и инерции вращения на собствен-
собственные частоты трехпролетной балки
ба w имеет вид
*33--lSffJ
dt'dx*
ских аффектов, внешних
периодических воздейст-
воздействий и возмущающих сил,,
порождаемых внутренни-
внутренними несовершенствами ва-
вала. Уравнение для проги-
1 d'w р d*w
+ Ка(х, в:)е~ ' A1.1 5
здесь cb2 = E/p; rx2=IjF; i=|/—1; п — частота вращения1вала;
6i — частота внешних возмущающих сил. Последний член в
левой части A1.15) учитывает гироскопический момент. Пер-
Первый член в лравой части уравнения описывает отклонение
центра масс от геометрической оси, начальные отклонения и
т. п. Два последних члена являются внешними возмущающи-
возмущающими силами, возникающими, например, при колебаниях осно-
основания. Для трех случаев граничных условий на концах (за-
(защемление, свободное опирание, проскальзывание) определе-
определены собственные функции и доказана их ортогональность.
Построены решения в виде разложений по собственным фун-
функциям. При стремлении возмущающей частоты 0i или частоты
вращения п к собственной частоте ft»v наступает резонанс.
Доказано, что резонанс возможен при oov = ±Gt и при o)v=«-
(прямой ход) и невозможен при <ov =—п (обратный ход). По-
Показано, что каждая форма колебаний (Вала при я-*-°° имеет
две асимптотические частоты cov(n), одну медленную и не за-
зависящую от скорости вращения и другую быструю и одина-
одинаковую для всех форм колебаний. Дана физическая интерпре-
интерпретация этого результата на основе рассмотрения поведения
механической аналоговой модели в виде системы параллель-
параллельно посаженных дисков, каждый из которых имеет две сте-
степени свободы — смещение и поворот. Из анализа и расчетов
установлено, что при гг//<0 005 можно применять классиче-
классическую теорию изгиба, а при Г///>О.ОО5 необходимо учитывать
инерцию вращения, гироскопические моменты и деформации
поперечного сдвига.
В ряде работ содержится частичный анализ сдвиговой
модели Тимошенко, соответствующий следующим моделям:
а) учитывается только инерция вращения; б) учитывается
только деформация поперечного сдвига; в) рассматриваются
чисто сдвиговые колебания (без изгиба); г) в уравнении Ти-
Тимошенко B.7) отбрасывается четвертая производная от про-
прогиба по времени. Рассмотрение таких моделей в основном
связано с трудностями решения уравнений балки Тимошен-
Тимошенко1». Первые три случая имеют механическое обоснование.
Второй случай наиболее интересен, т. к. эффект инерции вра-
вращения в большинстве случаев действительно мал по сравне-
сравнению с эффектом деформации поперечного сдвига. Третий
случай может представлять практический интерес, например,
в сейсмологии.
В работе Н. Achbe [1.97] A960) рассматривается уточнен-
уточненное уравнение колебаний струны-проволоки
Д/ _ -U ^ F* I л — О /4 7 1RV
ох г at ах ох г ot ч
Обычное уравнение колебаний струны дополнено членами,
учитывающими изгиб (третий член) и инерцию вращения
(второй член). Влияние деформации поперечного сдвига не
учитывается, что в случае колебаний струны-проволоки впол-
вполне приемлемо в отличие от поперечных колебаний стержней.
К уравнению A1.16) в случае граничных условий типа сво-
свободного опирания применяется метод разделения переменных,
') См § 3 настоящего обзора
89

легко приводящий к формулам для собственных функций и
собственных частот.
Уравнение свободных изгибных колебаний балки с учетом
только деформации сдвига анализировал Э. А. Сехниашви-
ли [1.70] A962). Оно используется для определения собст-
собственных частот колеблющейся балки методом Бубнова, при-
причем аппроксимирующие функции берутся из решения стати-
статической задачи. В качестве иллюстрации рассматриваются ко-
колебания консольно защемленной балки.
Метод разделения переменных для определения собствен-
собственных частот и форм поперечных колебаний балки с учетом
только деформации сдвига, а также для решения задачи о
вынужденных колебаниях балки под действием произвольной
поперечной нагрузки применил Э. Е. Хачиян [1.79, 1.80]
A963). В последнем случае частное решение неоднородного
дифференциального уравнения ищется в виде разложения в
ряд по найденным собственным функциям. Доказывается ус-
условие ортогональности собственных функций в случае учета
деформации сдвига.
Влияние инерции вращения на низшую частоту колебаний
стержня в случае шарнирного опирания, жесткого защемле-
защемления и свободных концов исследуется в работе В. В. Христо-
форова [182] A963). Обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение, соответствующее гармоническим колебаниям, преобра-
преобразуется в интегральное уравнение Вольтерра, из которого с
помощью процесса итерации ядра получена первая поправка
к частоте при /z//=l/25 (h/l — отношение высоты стержня к
длине). Во всех трех случаях граничных условий поправка
для прямоугольного сечения выше, чем для кругового. По-
Поправка максимальна в случае стержня со свободными конца-
концами, но не превышает 0.5%- Приведенные примеры не явля-
являются характерными. Эффект инерции вращения, как уже
отмечалось выше, оказывается существенным при определе-
лии высших частот, а также в случае коротких балок.
Е. И. Черниговская [1.87] A963) исследует колебания ба-
балок на упругом основании. Однако исходное уравнение не
соответствует уравнению, учитывающему инерцию вращения
и деформации поперечного сдвига.
В работе Н. Л. Воробьева [1.8] A968) излагается метод
определения собственных частот стержней. Метод прилагает-
прилагается к исследованию колебаний балки Тимошенко, но в диффе-
дифференциальном уравнении отброшена четвертая производная по
времени. Идея метода основана на том, что одному и тому
же дифференциальному уравнению можно поставить в соот-
соответствие различные функционалы вариационной задачи. По-
Поэтому можно ввести вспомогательную систему, которая отли-
отличается от основной каким-либо параметром, например, из-
гибной жесткостью, и затем рассмотреть изопараметрическую
90
вариационную задачу, реализация экстремума которой при-
приведет к двусторонней оценке частоты.
В [1.9] A970) разобраны свободные колебания стержня
постоянного сечения с учетом деформаций поперечного сдви-
сдвига. Для четырех тонов демонстрируется уменьшение собст-
собственной частоты, обусловленное сдвигом.
В. А. Постнов [1.63] A960) изучал колебания перекрытия
в виде перекрестных балок, в которых учитывал деформации
поперечного сдвига.
В работе М. С. Подбелло [1.61] A969) рассматриваются
свободные поперечные колебания ферменной конструкции,
которые приближенно описываются уравнением изгибных ко-
колебаний ортотропной пластины с учетом инерции вращения.
М. Ф. Гусев [1.19] A970) исследует колебания пакета
стержней, соединенных упруго податливыми распределенны-
распределенными связями сдвига и абсолютно жесткими поперечными свя-
связями. Приведены граничные условия и система уравнений
движения, описывающая продольные гармонические и попе-
поперечные колебания. Учитывалось влияние инерции вращения.
Эти уравнения оказываются связанными из-за наличия сдви-
сдвиговых связей в швах. Рассмотрены различные частные слу-
случаи и (Исследованы оценки корней характеристического мно-
многочлена.
Собственные поперечные колебания стержней рассматри-
рассматривались в уточненной постановке во многих работах, приведен-
приведенных в списке литературы. Отметим некоторые из них [1.1,
1.17,1.104,1.113, 1136, 1.145, 1.147, 1.155, 1178—1.180,
1.189, 1.202, 1.228, 1.229, 7.272, 1.274, 1290—1292, 1323,
1.335].
§ 12. Свободные колебания неоднородных стержней
Исследование колебаний неоднородных ограниченных
упругих тел приводит к решению дифференциальных урав-
уравнений в частных производных с переменными коэффициен-
коэффициентами, что представляет очень большие трудности. Роль при-
приближенных уточненных теорий в связи с этим еще больше
возрастает, так как анализ соответствующих им уравнений
значительно проще, чем трехмерных уравнений. Кроме того,
деформация сдвига при наличии неоднородностей может
оказывать существенное влияние на колебания и классиче-
классическая теория Бернулли—Эйлера будет приводить к большим
погрешностям.
Собственные колебания балки Тимошенко с п сосредото-
сосредоточенными массами рассмотрел М. Stearn [1.315] A955). Он
составил уравнение частот колебаний балки со свободными
концами.
91

С. Е. Howe и R. M. Howe M.I96] A955) применили ме-
метод электронного моделирования для изучения собственных
частот и собственных форм колебаний однородных и неод-
неоднородных (переменная жесткость) балок Тимошенко. Для
балки со свободными концами определены формы колеба-
колебаний, распределение вдоль балки изгибающего момента и
поперечной сдвигающей силы.
В книге А. П. Филиппова [1.75] A956) приведены диффе-
дифференциальные уравнения и граничные условия на основе
сдвиговой модели Тимошенко. Рассмотрены свободные коле-
колебания балюи с сосредоточенными массами, в частности, вы-
выведены частотные уравнения для опертого или защемленного
с двух сторон стержня с массой посредине. Исследуется так-
также влияние поперечных сил на собственные частоты консоль-
консольных стержней. Показано, что в случае коротких стержней
турбинных лопаток поперечные силы существенно снижают
низшую собственную частоту.
Н. Saunders [1.303] A960), исследуя колебания балки
Тимошенко переменного сечения, привел соотношения, кото-
которые необходимо ввести в известный матричный метод Майкл-
стеда определения собственных частот, реализуемый на
ЭЦВМ. Установлена связь между характерными величинами
в ?-ом и ?+1 сечениях. Даны выражения для коэффициентов
влияния и записана матрица перехода от сечения к сечению.
J. Lipka [1.239] A960) для решения уточненных по Тимо-
Тимошенко уравнений поперечных колебаний вращающихся
стержней переменного сечения применил следующий метод.
Решение для прогиба записывается в виде бесконечного ряда
оо
w(x,t) = %wt(x)ql(t) A2.1)
i=i
где функции шг(х) удовлетворяют заданным условиям, а
qx — неизвестные функции. Подразумевается, что функции
тг(х) образуют полную систему ортогональных функций.
Решение A2.1) вводится в выражения для кинетической и
потенциальной энергий, которые затем подставляются в
уравнения Лагранжа второго рода. В случае гармонических
колебаний из п-то уравнения Лагранжа получается формула
для вычисления п-он собственной частоты.
Изгибные колебания консольной балки переменной жест-
жесткости, несущей п неравных сосредоточенных масс, располо-
расположенных произвольно вдоль оси балки, рассмотрены В. К. Ка-
буловым [1.27] A963). Учтены инерция вращения и дефор-
деформация сдвига и задан закон движения основания. Балка
принимается в виде невесомой упругой нити, что существен-
существенно упрощает задачу. Примечением метода начальных пара-
параметров задача приведена к частотному уравнению, для ре-
решения которого намечена приближенная вычислительная
92
схема. По аналогии рассмотрен случай упруго-пластического
деформирования.
К. К. Кариг [1.217] A966) с помощью метода конечных
элементов определил частоты и формы свободных колебаний
однородных и неоднородных балок Тимошенко с различными
условиями на концах. Приводится дифференциальное уравне-
уравнение движения в матричной форме, представлены матрица
жесткости элементов и матрица масс. Подсчитаны частоты
низших форм колебаний шарнирно опертой и консольной
балок.
J. H. Games и Е Volterra [1.168—1.171] A966—1968)
дали приближенные формулы для верхней и нижней оценок
трех первых собственных частот поперечных колебаний кон-
консольных балок Тимошенко переменного поперечного сечения.
Для балок типа усеченного конуса и с постоянным сечением
результаты сравниваются с данными, вытекающими из тео-
теории Бернулли—Эйлера.
R. J. Guillotte [1.186] A967) рассмотрел собственные ко-
колебания балки Тимошенко со свободными концами и с не-
неоднородными по длине- массой, инерцией, сдвиговой и изгиб-
ной жесткостями. Все расчеты выполняются применительно
к корпусам реальных ракет. Исследуются первые три формы
колебаний. Уравнения Тимошенко записаны в виде системы
четырех уравнений
*
dw
Q .
3F + ~
M
A2.2)
где Q — поперечная сила; w — прогиб; / — момент инерции.
Балка разбивается на малые участки. Затем применяется
матричный метод, что позволяет легко учитывать влияние
неоднородностей. Определены частоты в зависимости от от-
относительной длины для сплошного цилиндрического образ-
образца, а также для трубок из стали и стекловолокна. Для
четырехступенчатой ракеты рассчитаны перемещения, накло-
наклоны, изгибающие моменты и поперечные силы: по классиче-
классической теории и по теории Тимошенко. Показано, что уточнен-
уточненную теорию необходимо применять при расчетах корпусов
ракет с низкими относительными длинами и в случае мате-
материалов с низкими G/E. Учет деформаций сдвига и инерции
вращения проявляется в уменьшении собственных частот и
существенном изменении изгибающих моментов и попереч-
поперечных сил. Наличие вставки из стекловолокна, занимающей
1/4 общей длины ракеты, сильно влияет на частоты, изгиба-
изгибающие моменты и поперечные силы.
В [1.170] A968) представлены таблицы верхних и ниж-
нижних границ собственных частот поперечных колебаний кон-
93

сольных стержней переменного поперечного сечения. Учиты-
Учитываются поперечный сдвиг и инерция вращения.
В. Н. Кагпорр и J. С. Fung [1.218] A970) исследовали
свободные колебания консольных балок Тимошенко перемен-
переменной толщины. Масса балки принимается сосредоточенной в
дискретных точках. Уравнения движения, полученные вариа-
вариационным путем, записаны в матричной форме. Задача све-
сведена к нахождению собственных значений симметричной
матрицы порядка п, где п — число разбиений балки. Постро-
Построена итерационная схема расчета верхних границ собственных
значений. В качестве примера рассчитаны собственные ча-
частоты и формы колебаний балки Тимошенко (пять первых
частот) и усеченного клина (три первые частоты). Приведе-
Приведены результаты сравнения с известными точными решениями,
получено достаточно хорошее совпадение.
Поперечные колебания стержня переменного сечения ис-
исследовал Н. Н. Бабаев [1.4] A955). Были учтены деформа-
деформации сдвига и рассеяние энергии, обусловленное изгибом и
сдвигом. В качестве примера рассматривается призматиче-
призматический стержень с шарнирно опертыми концами.
В работе Л. И. Картошкина [1.31] A961) приведено ин-
интегральное уравнение поперечных сдвиговых колебаний
стержня, имеющего переменное по длине поперечное сечение
и переменный по длине модуль сдвига. Это уравнение соот-
соответствует частному случаю волнового уравнения" Тимошенко,
если в последнем пренебречь изгибной деформацией. В от-
отличие от уравнения Тимошенко, описывающего распростра-
распространение волн с дисперсией, что хорошо согласуется с результа-
результатами трехмерной теории упругости, полученное уравнение
описывает распространение волн без дисперсии и применимо
в узкой области недлинных волн (при правильном выборе
величины коэффициента сдвига). Исследуется распростране-
распространение волн сдвига в ступенчатом стержне. Использованная ав-
автором замена отношения площадей сечений ступенчатого
стержня отношением модулей сдвига или отношением плот-
плотностей материала необоснованна.
J. Bielakfl.llO] A969) рассмотрел консольную неоднород-
неоднородную балку при поперечной чисто сдвиговой деформации
Установлено необходимое и достаточное условие в виде соот-
соотношения между \p(x)=pF и cp(x)=kGF, при котором низшая
нормальная форма выражается линейной функцией от х.
Показано, что в этом случае опрокидывающий момент у ос-
основания балки определяется только низшей формой, вклад
остальных форм тождественно равен нулю. Для постоянной
плотности -ф(л:) =const такое условие выполняется при пара-
94
болическом законе изменения сдвиговой жесткости i|> (-*-)*
Для высших форм такой балки получены точные решения
в полиномах Лежандра.
Т. С. Huang и N. С. Wu [1.199] A961) исследуют собст-
собственные колебания балки Тимошенко переменного сечения с
помощью известного численного метода Майклстеда. Пере-
Переходная непрерывная балка заменяется дискретной гс-массо-
вой структурой. Рассмотрены чисто изгибные колебания, а
также изгибные с учетом центробежных сил при вращении
относительно оси перпендикулярной оси балки и связанные
изгибно-крутильные колебания. Приведены примеры и срав-
сравнения с точными решениями расчетов пяти форм и частот
при различных граничных условиях.
Отметим также работы [1.219, 1.277] A970).
§ 13. Эксперименты
Результаты, предсказываемые уточненной теорией типа
Тимошенко, были подвергнуты экспериментальной проверке
еще в 1931 г. Е. Goens'oM [1.173] в связи с определением
модуля Юнга. Он решил задачу о свободных изгибных коле-
колебаниях стержня со свободными концами и вывел прибли-
приближенную формулу для определения модуля Юнга. Было об-
обнаружено, что применение уточненного уравнения Тимошен-
Тимошенко дает значительно лучшее соответствие с эксперименталь-
экспериментальными исследованиями, чем уравнение Релея, учитывающее
только инерцию вращения.
Впоследствии в работе S. Spinner'a, T. W. Reichard'a и
W. E. Tefft'a [1.312] A960) коэффициент, корректирующий
модуль Юнга по Goens'y, определялся из сравнения резуль-
результатов экспериментов для продольных и изгибных колебаний.
Обнаружено хорошее согласование теоретических и экспери-
экспериментальных результатов для стержня прямоугольного сече-
сечения; в случае стержня кругового поперечного сечения теория
дает завышенное значение корректирующего коэффициента.
Это исследование также можно рассматривать как проверку
уточненной теории Тимошенко.
Дальнейшие исследования в этой области были продол-
продолжены С. J. Nederveen'oM и F. R. Schwarzl'eM [1.262] A964).
Авторы исследовали погрешности, возникающие при опреде-
определении модуля Юнга из уравнения, выведенного с учетом
инерции вращения и деформации сдвига. Они исходили из
приближенной формулы Тимошенко для частоты колебаний
шарнирно опертой балки и показали, что погрешность фор-
формулы и погрешность при задании констант, входящих в урав-
уравнения, имеют одинаковый порядок.
Экспериментальное и теоретическое определение модуля
Юнга Е по резонансным частотам изгибных колебаний
95

стержней со свободными концами при различных отноше-
отношениях диаметра d стержня к его1 длине / проведено D. Hardie
и Р. N. Parkins'oM H.187] A968). Размер образца перед
каждым последующим экспериментом уменьшается, так что
материал остается одинаковым. Приведены приближенные
формулы для модуля Юнга, полученные из уравнения Тимо-
Тимошенко другими авторами [1.173, 1.252]. Применяется формула
ET = E0+M(l+sE/G) A3.1)
где Ет и Еа—модули, определяемые, соответственно, по тео-
теории Тимошенко и классической теории; М — известный коэф-
коэффициент, зависящий от частоты, диаметра стержня, плотно-
плотности и модуля Ео стержня; E/G — отношение модулей; s =
=k~l — величина, обратная коэффициенту сдвига.
Построены графики зависимости (EQ+M) =f(ME/G) для
латуни, углеродистой стали, плавленного кварца, сверхчисто-
сверхчистого алюминия и окиси алюминия. Наименьшее рассеяние экс-
экспериментальных данных наблюдается для латуни. Вычислена
величина коэффициента s и обсуждаются результаты раз-
различных авторов. Для всех материалов, кроме латуни, s зна-
значительно превышает единицу, что сомнительно по мнению
авторов. Показано, что влияние изменения величины коэф-
коэффициента s= 1.1-М.2 на величину модуля Юнга Ет при
d/l = 0.16 составляет приблизительно 0,5%. Из многочислен-
многочисленных графиков видна сильная зависимость величины модуля
Юнга Е от значения d/l. Данные экстраполируются для слу-
случая бесконечно длинного стержня! (d//=0).
В замечаниях к рассмотренной выше работе S. Hart и
G. R. Cowper [1.188] A968) отметили, что принятая автора-
авторами работы линейная зависимость между Ео и d(l нарушает-
нарушается при d//-H), но эту экстраполяцию авторы применяли при
определении модуля Юнга Ет. Они предложили вводить
зависящий от коэффициента Пуассона корректирующий мно-
множитель Т, который уменьшает погрешность определения Ет
с 10% до 0.5%. Приведены таблицы Т и иллюстративные
графики ET(d/l). G. R. Cowper отмечает кроме этого непри-
неприемлемость предположения о том, что влияние сдвига и инер-
инерции вращения приводит к уменьшению частоты всех высших
тонов на одинаковую относительную величину. Авторы при-
приводят большое число экспериментальных точек на графиках
Er(d/l) для трех высших тонов, но не обнаруживают таких
больших погрешностей.
Результаты экспериментов для тонкостенной балки со
свободными концами и их сравнение с теорией Тимошенко
приведены в работе R. W. Traill-Nash'a и A. R. Collar'a"
[1.330] A953).
См. фиг. 1.17 и стр. 79—81.
96
Описание экспериментальных исследований о поперечном
ударе по балке приведено )R. P. N. Jones'ow [I.2121 A954).
В одном эксперименте к свободному концу консольной балки
прикладывается постоянная сила и при помощи электромаг-
электромагнитного датчика измеряется скорость этого конца. Во вто-
втором опыте измеряются деформации балки, опертой по кон-
концам. Результаты экспериментальных и теоретических иссле-
исследований хорошо согласуются. Из сравнения результатов вы-
вытекает, что первые члены волнового решения дают вклад в
начальное движение балки, в то время как последующее
движение хорошо описывается первыми членами решения в
виде ряда по собственным функциям.
В статье М. Goland'a, P. D. Wickersham'a и М. A. Den-
gler'a [1.174] A955) приведены результаты эксперименталь-
экспериментальных исследований и их сравнение с теоретическими данными,
полученными на основе уравнений Тимошенко. На середину
свободно опертой балки прямоугольного поперечного сече-
сечения падал с известной высоты шарик. Падая, он ударялся о
полусферический сегмент, расположенный на балке. Нагруз-
Нагрузка на балку передавалась, таким образом, через основание
сегмента. Была достигнута длительность возбуждающего им-
импульса около 10 мксек. При соударении возбуждались вол-
волны, которые регистрировались датчиками деформации на
различных расстояниях от места удара. Сравнение теорети-
теоретических и экспериментальных временных историй показало их
.хорошее соответствие. На фиг. 1.22 приведены графики
-3
-5
\\
ш
\
\\ /
я
У
й
г
п
о
г*
¦
so
t мксек
Фиг. 1.22. Изменение деформации 8
внешнего волокна балки на расстоя-
расстоянии четырех толщин от места попе-
поперечного удара
(сплошная линия т—эксперимент, пунктир — теория Тимо-
Тимошенко) деформации верхнего волокна балки ев зависимости
от времени t на расстоянии четырех толщин (высот) от ме-
места приложения силы. Отметим, что в зоне удара задача
является существенно трехмерной и что при более кратко-
кратковременных импульсах может потребоваться учет большого
числа мод и теория балки Тимошенко вообще может ока-
оказаться недостаточной для описания процесса.
См. стр. 59 и 60.
7— 2798
97

M. A. Dengler [2.84] A956) продемонстрировал хорошее
соответствие теоретических» (пунктир) и экспериментальных
(сплошная линия) результатов, которые приведены на
фиг. 1.23.
J. Barducci и G. Pisent [1.105] A955) привели результа-
результаты опытного определения двух низших собственных частот
изгибных колебаний стержней прямоугольного сечения. Ре-
Результаты сравниваются с данными, вытекающими из теории
Тимошенко. Стержни были изготовлены из стали и алюми-
алюминия, а отношение высоты к длине варьировалось от 0.017 до
0.125. Полученные данные показали, что влияние деформа-
деформаций сдвига и инерции вращения меньше, чем предсказывает
теория.
В экспериментах W. Goldsmith'a и D. M. Cunningham's
[1.175] A956) было установлено, что при поперечном ударе
скорость распространения кажущегося фронта возмущения
близка к скорости продольной волны в стержне.
5 ¦
0
10s
0
-0.2
5
го
10
\U0 J
E/kG
is*
=3
<5~~
го
" 100
Фиг. 1.23. Изменение нагрузки q и изгибной де-
деформации е на расстоянии восьми толщин от мес-
места поперечного удара
Е. A. Ripperger и N. Abramson [1.297] A957) экспери-
экспериментально исследовали распространение изгибных волн в
круглом стальном стержне. Они возбуждали кратковремен-
кратковременные импульсы длительностью около 2 мксек эксцентричным
ударом стального шарика по торцу стержня, определяя пред-
предварительно форму импульса из опытов для центрального
удара. Регистрация изгибных деформаций производилась
проволочными тензодатчиками с последующим фотографиро-
фотографированием осциллограмм с экрана. Было установлено, что пер-
первая группа волн распространяется со скоростью волны рас-
расширения, причем эти волны быстро затухают- и незаметны
уже на расстоянии 10 диаметров. Затем прибывает возму-
возмущение, распространяющееся со скоростью, описываемой фор-
формулой элементарной стержневой теории, и, наконец,— со
98
скоростью сдвиговой волны. Между двумя последними име-
имеются волны, распространяющиеся с разными скоростями.
Из приведенных экспериментов следует, что теория Poch-
hammer'a—Chree и теория Тимошенко дают удовлетвори-
удовлетворительное описание распространения изгибных волн.
В [1.296] A957) выполнены эксперименты по продольно-
продольному и изгибному удару. Результаты сравниваются с элемен-
элементарными теориями.
J. N. Goodier и Е. A. Ripperger [2.90] A959) привели
результаты экспериментов при поперечном ударе шарика
по упругой полосе, толщина которой варьируется. Произве-
Произведены измерения деформаций на верхней и нижней сторонах
полосы. При малых толщинах наблюдаются изгибные коле-
колебания; по мере увеличения толщины деформации нижней
поверхности убывают, а в верхней зоне все больше преобла-
преобладают поверхностные волны.
Т. Kumai [1.230] A964) исследовал свободные колебания
призматической балки. Учитывалось влияние сдвига, инерции
вращения, нормального и тангенциального внутреннего соп-
сопротивления. Для плавающей в воде балки со свободными
0.9
~0J
0.5
7 /
/
.-——
10
го
е/л
30
Фиг. 1.24. Уменьшение собственной
частоты однородного консольного
стержня, обусловленное учетом де-
деформации сдвига и инерции вращения
концами построены графики, характеризующие зависимости
декремента затухания от жесткости на сдвиг, инерции враще-
вращения, от нормальной и тангенциальной составляющих сил
сопротивления материала. Вычисления, выполненные вплоть
до десятого тона колебаний, сопоставляются с эксперимен-
экспериментальными данными, характеризующими колебания супертан-
супертанкеров.
Изгибные колебания консольных стержней, однородных
или линейно суживающихся к концу, ,исследовали R. F. Ris-
sone и J. J. Williams [1.298] A965). Они выполнили расчеты
собственных частот колебаний, пользуясь методом конечных
разностей и исходя из уравнений B.2) и B.18). Приведены
эксперименты со стержнем прямоугольного поперечного сече-
99

ния. На фиг. 1.24 показано влияние инерции вращения и сдви-
сдвига на собственные частоты однородного стержня. Цифры 1,
2, 3, 4 соответствуют номеру формы. Кроме того, на фиг. 1.25
и 1.26 дано сравнение результатов классической теории A"),
теории типа Тимошенко (Г) и экспериментов A). Аналогич-
Аналогичные сравнения представлены и для неоднородных стержней.
С. W. Bert, D. J. Wilkins и W. С. Crisman [1.109] A967)
экспериментально исследовали влияние сдвига на низшую
собственную частоту, положение узловых линий и затухание
колебаний в слоистых балках с заполнителями, податливы-
податливыми к сдвигу. Вспомогательные расчеты выполнены по уточ-
уточненной теории Тимошенко. Для балок с наружными эпоксид-
эпоксидными слоями и заполнителем типа алюминиевый сотовый или
фенольный стеклопластик проведено сравнение эксперимен-
экспериментальных данных с теоретическими значениями коэффициента
сдвига. Расхождение теоретических и экспериментальных
Данных не выходит за пределы 11%.
го
10
\
\
5
Ф
Фиг. 1.25. Сравнение собственных
частот однородного стержня для
первой моды
\
i
>
г1
\
ч
Фиг. 1.26. Сравнение собственных
частот однородного стержня для
второй моды
R. К. Duke и R. E. Keeffe [1.154] A968) провели экспери-
экспериментальные исследования действия взрывных нагрузок на
модели ракет, а также теоретические расчеты деформаций в
случае аппроксимации ракеты балкой Тимошенко. Обнаружи-
Обнаружилось удовлетворительное соответствие теоретических и экспе-
экспериментальных результатов.
Проведенные экспериментальные исследования достаточ-
достаточно убедительно обнаруживают, что теория Тимошенко лучше
согласуется с результатами экспериментов, чем классическая,
теория.
D. Vogel [1.334] A969) определил частоты свободных ко-
колебаний лопатки турбины. Учитывается влияние деформации
сдвига, инерции вращения, центробежных сил и несовершен-
100
ства закрепления. В практике встречаются случаи возбужде-
возбуждения резонансных колебаний на высших частотах и существен-
существенные отклонения от теории, не учитывающей указанные фак-
факторы. Центробежные силы учитываются энергетическим ме-
методом, коэффициент закрепления рекомендуется определять
экспериментально. Для решения задачи развивается метод
конечных элементов в матричной записи. Получены формулы
поправок к частотам классической теории изгиба и построе-
построены трафики изменения частот в зависимости от длины лопат-
лопатки при различных коэффициентах закрепления ее и центро-
центробежных силах. Для основной и первой частот обнаружено
незначительное отличие от классической теории изгиба и силь-
сильное влияние условий закрепления, характеризуемых некото-
некоторым коэффициентом. Теоретические результаты хорошо
согласуются с результатами экспериментов.
Сравнение экспериментальных и теоретических результа-
результатов исследования колебаний балки Тимошенко (при попереч-
поперечном ударе) имеется в работе S. Ranganath'a1' [1.289} A970).
В статье R. Aprahamian'a и D. A. Evensen'a [1.102] A970)
описывается метод голографической интерферометрии. Рас-
Рассматривается так называемая средняя во времени гологра-
голография, которая основана на облучении изучаемого объекта ла-
лазерным лучом и получении интерференционной картины в ви-
виде полос, соответствующих участкам колеблющегося тела,
имеющим различную экспозицию при фотосъемке. В частно-
частности, максимальную экспозицию имеют узловые линии. Этим
методом исследуются поперечные колебания консольной бал-
балки. Экспериментально определены прогибы при возбуждении
21-й формы и зависимость частоты от волнового числа. Кро-
Кроме того, на высоких частотах (до 100 кгц), когда уже можно
не учитывать граничные условия, а рассматривать бегущие
волны в бесконечно длинной балке, получена зависимость
фазовой скорости от длины волны. Во всех случаях проведе-
проведено сравнение с теоретическими результатами, вытекающими
из классической теории изгиба и уточненной теории Тимо-
Тимошенко. Обнаружено полное соответствие с теорией Тимо-
Тимошенко.
В следующей работе [1.103] A971) экспериментально оп-
определены поперечные отклонения по длине защемленной бал-
балки, ударяемой в центре баллистическим маятником. Измере-
Измерения выполнены с помощью лазерното луча, как и в [1.102].
Получены картины распределения прогибов в каждом из трех
фиксированных моментов времени до отражения волн от кон-
концов. Дано подробное в ясное изложение экспериментальной
установки. Выполнено сравнение с теоретическими расчета-
расчетами, которые получены методом характеристик из теории Ти-
') См. фиг. 1.14.
101

6 -Время после удара
&*50мксек
мошенко. Результаты находятся в хорошем соответствии (см.
фиг. 1.27, где сплошная линия — результаты эксперимента,
пунктир — численное решение уравнений 'балки Тимошенко).
Приближенные теории бессильны представить высшие
формы колебаний. Такие теории приводят к ошибке, когда
высшие формы несут значительную часть полной энергии
волн. Однако, экспериментальные исследования показывают,
что приближенные теории дают
хорошее описание основных
особенностей законов измене-
изменения напряжений и деформаций
во времени, полученных при
наблюдении различных процес-
процессов соударения [1.1761.
Классическая теория рас-
распространения волн вполне при-
пригодна для исследования наи-
наибольших кратковременных из-
гибных напряжений в случае
импульсов продолжительностью
100 мксек и более.
Уравнение Тимошенко обес-
обеспечивает максимальное приб-
приближение к основным особеннос-
тям явления распространения
волн при импульсах продолжи-
продолжительностью 5—10 мксек [1.1761.
Скорость первого наиболее
заметного вступления совпада-
ет со скоростью по приближе-
приближению Тимошенко. В ряде экспе-
экспе-1
Фиг. 1.27. Распределение прогиба
w в зависимости от расстояния до
центра удара /i
р
риментов было обнаружено, что компоненты одиночного им-
импульса распространяются со скоростью волн расширения и
волн сдвига, хотя первые два типа компонент несут лишь пре-
пренебрежимо малое количество энергии.
Экспериментальные исследования описаны также в рабо-
работах [1.136, 1.136. 1.163, 1.193, 1.221, 1.222, 1.270].
Глава 2.
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
§ 14. Введение
Уточнение теории продольных колебаний стержней нача-
началось значительно позже, чем уточнение теории поперечных
колебаний. Это, по-видимому, связано с тем, что уравнение
классической теории продольных колебаний стержней при-
102
надлежит к классу уравнений гиперболического типа в отли-
отличие от уравнения классической теории изгибных колебаний,
которое относится к классу параболических уравнений.
Классическая теория продольных колебаний основана на
предположении, что поперечные сечения стержня остаются
при деформации плоскими. В этой теории распределение про-
продольных нормальных напряжений равномерно по сечению.
Уравнения продольных колебаний стержня постоянного
сечения из однородного изотропного материала, подчиняюще-
подчиняющегося закону Гука, имеют вид
A4.1)
д2и
4,
дх
дх
A4.2)
Здесь и — продольное перемещение; е —средняя продольная
относительная деформация; ./V—продольное усилие; EF—жест-
EF—жесткость на растяжение.
В случае неоднородного стержня вместо уравнения A4.1)
имеем
дх
д2их
dt'dx2 ~
,дги,
¦Сь
дх2
= 0
A4.3)
Уравнения A4.1) и A4.3) сохраняют свою форму и для ани-
анизотропного материала, если брать значение Е, соответствую-
соответствующее продольной координате.
Уравнение A4.1) было уточнено А. Лявом" [1.2401, кото-
который полагал, что поперечные сечения остаются плоскими и
распределение осевых усилий равномерно по сечению, но
учитывал еще и инерцию поперечных движений. Соответст-
Соответствующие уравнения в случае кругового поперечного сечения
имеют вид
A4.4)
A4.5)
„ _vr^ A4.6)
г дх v '
Здесь их и иг — соответственно, продольное и радиальное пе-
перемещение, v — коэффициент Пуассона. Как видно из выра-
выражений A4.4) — A4.6), радиальное перемещение иг аппрокси-
аппроксимируется линейным по г законом, а напряжения и деформа-
деформации связаны более сложным образом A4.5), чем A4.2).
Теория А. Лява мало улучшает классическую, так как она
является одномодовой аппроксимацией уравнений теории уп-
упругости. Существенное улучшение классической теории было
') См. сноску на стр. 12.
10

достигнуто после того, как были учтены деформации сдвига
и получена двухмодовая аппроксимация.
В случае краевых задач уравнения A4.1) или A4.3) до-
дополняются граничными условиями, которые имеют вид
для закрепленного конца
или свободного конца
ы=0
ди
A4.7)
A4.8)
§ 15. Основные уравнения уточненных теорий
Наиболее подробно изучено распространение бегущих
волн в бесконечном круговом стержне. Это связано с наличи-
наличием точного решения динамической теории упругости для кру-
кругового цилиндра, «оторое было получено L. Pochhammer'oM
[1.281] A876) и С. Chree [1.133] A889)'. Выше было приве-
приведено решение L. Pochhammer'a — С. Chree для изгибных
волн". В случае осесимметричных волн21 вместо C.50) в урав-
уравнения C.48) и C.49) подставляют выражения
ur = U exp [I (sz + tot)\
ие = 0 A5.1)
ur = W exp [i (sz + wt)]
Из условия отсутствия на боковой поверхности цилиндра
(г = а) нормальных и касательных напряжений получают си-
систему алгебраических уравнений относительно произвольных
постоянных А и С
где А и С —некоторые постоянные. Здесь а —радиус цилинд-
цилиндра, величины Лих определяются по формулам C.52), Уо и
/i —функции Бесселя. Следующее из выражения A5.2) ди-
дисперсионное уравнение, связывающее фазовую скорость <o/s
и длину волны /== 2-jt/s, оказалось настолько громоздким, что
долгое время не было исследовано численно. В длинноволно-
длинноволновом приближении дисперсионное уравнение сильно упрощается
и было исследовано аналитически. Первое приближение дает
') См. стр. 33.
2> Имеются точные решения при распространении осесимметричных
(продольных) волн в анизотропных цилиндрах: Chree С. [1.134]
A890), Morse R. W. [1.257] A954), Mirsky I. [1,255] A964), Nowins-
ki J. L. [1.266] A967).
104
скорость элементарной теории cb=VE/p. Второе приближе-
приближение имеет вид
'|jI/2 A5.3)
Этот результат был получен Релеем {1.294] и соответствует
учету инерции поперечного движения стержня.
Сравнение фазовых и групповых скоростей для стержня
по точной теории и приближенной теории А. Лява приведено
в работах {1.224, 1.91]. Из решений L. Pochhammer'a —
С. Chree было обнаружено, что при коротких длинах волн
продольное перемещение велико на поверхности цилиндра и
убывает с глубиной по аналогии с поверхностными волнами
Релея. Этот результат был отмечен J. Prescott'oM [1.283]
A942) при рассмотрении задачи для упругого слоя1'. Была
установлено также, что скорость распространения возмуще-
возмущения равна стержневой с&, на основании чего был сделан вы-
вывод о невозможности переноса какой-либо части энергии со
скоростью с>сь. Правда, никто не доказал, что решения
L. Pochhammer'a — С. Chree не допускают существования бо-
более высоких скоростей. В упругой среде волны распространя-
распространяются со скоростями се и cs, что определяется гиперболическим
нипом уравнений теории упругости. Отсюда следует возмож-
возможность распространения возмущений и со скоростью се>сь, что-
и было обнаружено экспериментально в работах [1.225, 1.246,
1.247].
Уточненная теория продольных колебаний стержня круго-
кругового поперечного сечения была построена R. D. МшсШп'ым и
G. Неггтапп'ом на основе физических представлений [1.251J
A952). Они исходили из следующих аппроксимаций для про-
продольного N и поперечного Q усилий
A5.4)
A5.5)
а также радиального иг, тангенциального «е и осевого их
перемещений
ur(r,x,t) = ^w(x,t), м6 = 0, ux{r,x,t) = u{x,t) A5.6)
и получили следующие дифференциальные уравнения для
функции w (л:, t) и и(х, t), характеризующих радиальные и
радиального и тангенциального усилий
См. стр. 32.
105

•осевые перемещения
kt2alG^r-bk\(\ + G)w-
' dt2
, и-и 9 O'U 1Л г 7ч
Здесь а —радиус стержня; X и О —постоянные Ламе: Х==
= v?/[(l+v)(l_2v)], O = ?/2(l + v); k2 и &,- поправочные
коэффициенты, которые определяются из сравнений с точ-
точными решениями в предельных случаях. Коэффициент к2
(всюду выше обозначался k) определяется из уравнения
-&2J, 0<?<1 A5.8
где C = (l — 2v)/2(l — v). Поправочный коэффициент kx опре-
определяется из соотношения
A5.9)
где
] — низший корень уравнения
Я + 2О„,
2G
=/,G])
Теория работы [1.251] описывает распространение двух типов
волн со скоростями фронтов
С,=
X + 2G
A5.10)
причем
С*=Р
существование скорости се подтверждается экспериментами
[1.225]. Необходимо отметить, что качество теории сущест-
существенно зависит от корректирующих коэффициентов k и k\.
Они выбираются на основе приравнивания частот по при-
приближенной и точной теориям для первой продольной моды.
Ниже будет показано, что двухмодовая аппроксимация
R. D. Mindlin'a—G. Herrmann'a A5.4) — A5.9) существенно
лучше описывает динамику стержня, чем одномодовые ап-
аппроксимации A4.1), A4.2) и A4.4). Модель R. D. Mind-
Mindlin'a—G. Herrmann'a является гиперболической.
Вопрос о расширении пределов применимости классиче-
классической теории колебаний стержней обсуждался Л. М. Лямше-
вым [1.40 а] A958).
Е. С. Zachmanoglou и Е. Volterra [1.352] A958) развива-
развивают уточненную теорию продольных колебаний круглого
стержня на основе метода внутренних связей. Учитываются
члены более высокого порядка малости по сравнению с ли-
106
нейной аппроксимацией в выражениях для компонент векто-
вектора перемещений
ux(x,r,0,t) = vx(x,t) +?-г fx(x,t) A5.11)
ur(x, r, 6, t) = r\(x, t) + r*fr(x, t) A5.12)
ae(*.r,M) = 0 A5.13)
Здесь vx, fx, Xr, /,.—неизвестные функции. Такая аппрокси-
аппроксимация отличается от принимаемой в модели R. D. Mindlin'a—
G. Herrmann'a [1.251] наличием вторых членов в правых час-
частях уравнений для перемещений. Из граничного условия,
выражающего отсутствие радиальных напряжений на боковой
поверхности стержня,
wr r___._ ; #i. j = 0 через величины Xr, vx, fx,
определяется функция fr и исключается из уравнений
A5.11) — A5.13). Тогда уравнение A5.12) принимает следующий
вид
A5.14)
где я=1/C —2v).
С помощью принятых аппроксимаций A5.11), A5.13) и
A5.14) записываются выражения для компонент . тензора де-
деформации и компонент вектора скорости
- -
дх ^ аг дх
A5Л5)
2л
dt
dt ^ a* dt
ди, д\г
В выражениях для чхг и dur/dt величина в квадратных скоб-
скобках принимается постоянной и имеет смысл коэффициента
сдвига
A5.17)
107

Составляя выражения потенциальной и кинетической энер-
энергий и применяя принцип Гамильтона—Остроградского, ав-
авторы получают систему трех связанных дифференциальных
уравнений второго порядка относительно функций vx, fx и
Кг и соответствующие граничные условия на торцах. Полу-
Полученные дифференциальные уравнения соответствуют прибли-
приближению R. D. Mindlin'a—G. Herrmann'a [1.251], но распре-
распределение перемещений по сечению отличается. Исследование
распространения бегущих волн в стержне обнаруживает хо-
хорошее соответствие по фазовым скоростям с точным реше-
решением L. Pochhammer'a—С. Chree. Обсуждаемые уточненные
теории являются двухмодовыми гиперболическими аппрокси-
аппроксимациями и по форме мало отличаются друг от друга. В от-
отличие от классической теории, основанной на применении
уравнений A4.1) и A4.2), они описывают распространение
волн с дисперсией и лучше согласуются с результатами трех-
трехмерной теории упругости.
R. D. Mindlin и Н. D. McNiven [1.253] A960) получили
простые дифференциальные уравнения осесимметричных ко-
колебаний упругого круглого стержня. Применяется метод, ос-
основанный на разложении (перемещений иг и uz в ряды по
полиномам Якоби, зависящим от радиальной координаты
«r=2".fe
л=0
*,=S ^..fe) «л*.')
A5.18)
Рассматриваются усеченные ряды и соответствующая систе-
система уравнений для коэффициентов м0, &о, Wi- Обнаружено
хорошее соответствие результатов теории с точным решением
L. Pochhammer'a—С. Chree.
Уточненные уравнения продольных колебаний балки-поло-
балки-полоски выводили методом степенных рядов М. П. Петренко и
Г. А. Кильчинская. В работе [1.54] A960) получено уравне-
уравнение для балки переменной толщины. Затем получено уточ-
уточненное гиперболическое уравнение продольных колебаний
стержня постоянной толщины [1.57] A961), уточняющее
классическое уравнение A4.1). Были рассмотрены также
продольные термоупругие колебания балки [1.32] A965).
М. A. Medick [1.242, 1.243] A966, 1967) на основе метода
степенных рядов и трехмерной краевой задачи динамической
теории упругости рассмотрел одномерные колебания анизо-
анизотропных стержней прямоугольного поперечного сечения. Он
исходил из уравнений
108
A5.19)
JU
и граничных условий
t = Ui на
t=l, на
A5.20)
Стержень отнесен к ортогональным декартовым координатам
Xi (t=l,2,3), Xi направлена вдоль продольной оси, а боко-
боковые грани определяются уравнениями xt= +ht (i — 2, 3).
Предполагается, что перемещения, деформации и напряжения
являются аналитическими функциями и разлагаются в ряды
ло поперечным координатам
,(
л=0 т=0
тде t,i=xjhu i — 2, 3, а Рп{ц)—полином Лежандра. С уче-
учетом A5.21) перемещения и напряжения подставляются в
уравнения обобщенного вариационного принципа трехмер-
трехмерной теории [2.230], из которого следуют бесконечные систе-
системы уравнений, но уже одномерные. Рассмотрены условия на
концах и начальные условия. В случае изотропного материа-
материала и движений типа растяжение—сжатие усечением беско-
бесконечных систем получены различные частные теории. При
этом для поперечных сечений, сильно отличающихся от квад-
квадратного, применяется несимметричное усечение по пит.
Теория первого порядка при симметричном усечении соот-
соответствует движениям без искривления поперечных сечений,
но для компенсации зависимости от поперечных координат
в деформации вводится корректирующий коэффициент k\.
Из этой теории следует элементарная теория продольных
колебаний стержней. При Лг^Лз построенная теория являет-
является уточнением обобщенного плоского напряженного состоя-
состояния и соответствует ранее полученной [2.161]. Здесь также
вводятся корректирующие коэффициенты, т. е. преимущества
метода степенных рядов не реализуются.
§ 16. Распространение волн
Наибольший интерес приближенные уравнения продоль-
продольных колебаний стержней представляют в теории соударения
упругих тел. Это объясняется тем, что уравнения трехмерной
теории упругости слишком сложны даже для решения задач
неустановившихся движений в стержне. В случае же упругого
продольного соударения стержней или удара по стержню
109

возникает, кроме того, достаточно сложная контактная за-
задача, которую необходимо решать совместно с задачей не-
неустановившихся движений, поэтому и классическое уравне-
уравнение и уточненные теории в основном применялись к иссле-
исследованию реакции на ударное возбуждение и реже к иссле-
исследованию свободных колебаний
R. Skalak [1.306] A957) исследовал распространение не-
неустановившихся продольных волн в полубесконечном круго-
круговом стержне, пользуясь уравнениями динамической теории
упругости. Он применил интегральные преобразования и по-
построил точные решения, а при больших временах прибли-
приближенные. Приведенное сравнение с элементарной теорией обна-
обнаруживает осцилляции за фронтом волны, которые не (предска-
(предсказывает элементарная теория (см. фиг. 1.28, где по оси орди-
ординат отложена величина uz'ce/V— безразмерное продольное
перемещение, по оси абсцисс отложена величина '/Y
расстояние, отсчитываемое от фронта).
_
-28
-ft
*
-Zff
с
-16
1
1
\
\
\
?
\
If
iX
w
0.8
U.i),
h
0
Фиг. 1 28. Форма типичного волново-
волнового фронта
О. Е. Jones и F. R. Norwood [1.211] A967) рассмотрели
нестационарные колебания полубесконечного кругового ци-
цилиндра со свободной от напряжений боковой поверхностью
и нагруженного на торце скачком давления «ли скорости.
Исходя из трехмерных уравнений динамической теории упру-
упругости, построены асимптотические формулы для деформа-
деформаций и напряжений вдали от торца, описывающие головнук>
часть импульса, соответствующую первой моде. Задача ре-
решена применением двукратного интегрального преобразова-
преобразования и метода перевала. Решение представлено в виде суммы
двух слагаемых: одно соответствует плоским сечениям, вто-
второе учитывает их искажение. Выявлены эффекты искривле-
искривления плоских сечений и механизм радиальной инерции. По-
Показано, в частности, что искривление сечения описывается
параболоидом. Дано сравнение с результатами приближен-
приближенных теорий и обнаружено хорошее соответствие с экспери-
экспериментами. Отмечается, что влияние различия в граничных ус-
1 10
ловиях на торце невелико на достаточном удалении от тор-
торца, т. е. справедлив принцип Сен-Венана.
Распространение волн сжатия в полубесконечном стержне-
кругового поперечного сечения исследовал J. Miklowitz [1.246,
1.247] A954, 1957). Он исходил из уточненной теории
R. D. Mindlin'a—G. Herrmann'a [1.251] и интегрировал урав-
уравнения A5.7) при следующих нулевых начальных условиях
т{х,0) = и(х,0) = Щ^=°^=0 A6.1)
Принятые граничные условия выражали то, что боковая по-
поверхность стержня свободна от напряжений, а на торце х = 0
задана продольная сила N типа функции Хевисайда во вре-
времени и нулевые радиальные перемещения
да) @, t)
—w-
A6.2)
Методом преобразования Лапласа и контурного интегриро-
интегрирования получено решение задачи в виде сходящихся несобст-
несобственных интегралов Показано существование двух форм дви-
движения— продольного и радиального, которым соответствуют
сжимающие и касательные напряжения. Решение для полу-
полубесконечного стержня исследуется при различных значениях
корректирующего коэффициента и коэффициента Пуассона.
На фиг. 1.29 показано характерное изменение осевого усилия
в сечении на некотором расстоянии от торца. Элементарная
теория описывает распространение волн без дисперсии, а
уточненная — с дисперсией, чем объясняются осцилляции уси-
усилия относительно постоянной величины N=1, определяемой
элементарной теорией. Учет радиальной инерции и радиаль-
радиального сдвига в первый полупериод после вступления фронта
сильно ослабляет осевое напряжение по сравнению с клас-
классической теорией. Кроме того, показано, что фронт возму-
возмущения распространяется с постоянной скоростью и неизмен-
неизменным значением скачка, а амплитуда колебаний напряжений
убываете уменьшением коэффициента Пуассона. Задача о
бесконечном стержне, подвергнутом в начальный момент вре-
времени осевому напряжению, которое равно 'бесконечности в се-
сечении х=О и нулю всюду при х=^0, может быть рассмотрена
методом стационарной фазы. Начальное распределение напря-
напряжений выражается интегралом Фурье. Это можно интерпрети-
интерпретировать как наложение напряжений от бесконечного числа си-
синусоидальных волн равной амплитуды, находящихся в фазе в
начальном сечении при ? = 0, но взаимно умничтожающихеяв
других сечениях. При конечных t и х результат получается
суммированием вкладов от всех волн. Основной эффект в
П1

положении х определяется малой группой волн, которые име-
имеют близкие фазовые скорости, периоды и длины волн и на-
находятся в фазе. Из графиков фазовой и групповой скоростей
в зависимости от длины волны и условия стационарности
фазы получен главный период в зависимости от времени и
дан анализ распространения волн. Показано, что при /-Ю
выполняются так называемые условия предельности [2.54],
когда фазовые скорости стремятся к предельным конечным
значениям с-+се для радиальных мод и с-*ск для продольных
мод. При больших значениях времени t колебания происхо-
происходят с периодом, соответствующим чисто радиальным колеба-
колебаниям.
Аналогичным методом J. Miklowitz [1.249] A958) решил
две задачи о колебаниях полубесконечного стержня, движе-
движение которого описывается уравнениями R. D Mindlin'a—
G. Herrmann'a. При х=0 задаются граничные условия либо
в виде скачка скорости
du(O,t) @ при ^<0
~di ^Ц, при t>0
Q@, 0 = 0 при (>0
A6.3)
либо в виде скачка давления
Q(O,t)-
A6.4)
г0 при />0
= 0 при t>0
Построенные решения справедливы для достаточно удален-
удаленных от торца частей стержня (см. фиг. 1.30). Показано, что в
этом случае различие в граничных условиях A6.3) и A6 4)
12
W
0.8
0.1
5 11
t-x/c,
№
х/се
х/са
xfcst
Рис 129 Изменение осевого
усилия N в зависимости от
времени после первого вступ-
вступления t—xjci
Фиг 1 30 Осевая деформация е в
зависимости от времени в поло-
положении х для больших времен
не сказывается на характере процесса и справедлив принцип
Сен-Венана. Сравнение с экспериментом в окрестности фрон-
фронта волны показывает, что полученное уточненное решение
112
хорошо согласуется с данными для продольных деформаций,
а радиальные деформации описываются хуже. Отмечается,
что уточненная теория R. E. D. Bishop'a—Sutton'a [1.1 И]
0952), также как и теория Лява, является одномодовой ап-
аппроксимацией. Уравнение Лява характеризуется бесконечной
скоростью волнового фронта, а уравнение Бишопа —Саттона,
уточняющее уравнение Лява сдвиговыми деформациями, име-
имеет две системы характеристик: одна соответствует бесконеч-
бесконечной скорости, другая — конечной сдвиговой скорости.
Теория R. D. Mindlin'a — G. Herrmann'a не содержит
аппроксимации Релея для первой продольной моды частот-
частотного уравнения L. Pochhammer'a, т. к. ее верхняя мода опре-
определяет более раннее возмущение, приводя при этом к очень
коротким волнам. Для более поздних времен их метод да-
дает хорошие результаты. Теория Sutton'a еще менее точна в
ранние времена. Она содержит систему (бесконечных харак-
характеристических скоростей и соответствующих возмущений. Не-
Необходимо отметить, что установленные дефекты не отража-
отражаются на блестящем соответствии обеих теорий с основной
модой по L. Pochhammer'y.
Е. Volterra [1.340] A957) с помощью одномерной теории
распространения колебаний, основанной на методе внутрен-
внутренних связей, рассмотрел дисперсию продольных волн в бес-
бесконечном прямоугольном стержне. Если ось х направлена по
оси прямолинейного стержня, а оси у и z— по главным осям
инерции поперечного сечения, то смещения точек стержня
представляются в виде
u=v{x, t), v = yX(x, t), w = z\i(x, t) A6.5)
и для определения неизвестных функций v, X, \i с помощью
принципа Гамильтона — Остроградского составляется систе-
система трех дифференциальных уравнений в частных производ-
производных с постоянными коэффициентами. Результаты сравнива-
сравниваются с получаемыми по элементарной теории, теории А. Ля-
Лява, теории R. E. D. Bishop'a и точной теории Дж. Релея и
Г. Лэмба, развитой для двуразмерной задачи Из этого срав-
сравнения следует эффективность уточненной теории.
J. С. Snowdon [1.310] A964) исследует реакцию продоль-
продольно колеблющегося стержня на синусоидальное возбуждение
при длинах волн, сравнимых с характерным размером попе-
поперечного сечения. Применяется корректированная по А. Ляву
теория.
R. Brepta A.119] A969) оценивает применимость уточнен-
уточненного уравнения А. Лява в случаях ударного возбуждения.
R. Skalak [1 306] A957), пользуясь решениями трехмерных
уравнений динамической теории упругости, показал асимпто-
асимптотический характер приближения А. Лява и установил, что
это приближение можно применять на расстоянии порядка
8—2798
113

80 диаметров стержня от места возбуждения. R. Brepta рас-
рассмотрел два полубесконечных продольно соударяющихся
стержня. Методом преобразования Фурье построены асимп-
асимптотические решения для напряжения при малых и больших
временах. Из сравнения с точным решением показано, что в
начальной фазе явления теория А. Лява не применима.
Продольные неустановившиеся колебания упругих стерж-
стержней рассмотрены также в работах [1.137, 1.164, 1.194, 1.244,
1.333].
§ 17. Эксперименты
Проверка приближенных теорий продольных колебаний
стержней и оценки областей их применимости выполнялись
как сравнением с результатами трехмерной теарии упругости
(в основном с решением L. Pochhammer'a — С. Chree для
кругового цилиндра), так и экспериментально. Очень инте-
интересным является экспериментальное обнаружение разрывов,
распространяющихся со скоростью дилатационной волны в
упругой среде се. Такой результат не может быть получен в
рамках одномодавой аппроксимации. Двухмодовая аппрок-
аппроксимация предсказывает этот результат.
Результаты экспериментов и расчетов, выполненных на
основе решения L Pochhammer'a — С. Chree для распростра-
распространения продольных волн в стержне кругового поперечного се-
сечения, приведены в работе Н. Kolski [1.225] A954). Решение
для первой моды при предельных длинах волн предсказыва-
предсказывает скорость элементарной стержневой теории сь=У^Ь1р при
/-*-°° и скорость волн Релеясд гари /-К). В то же время из экс-
экспериментов автора следует существование сигналов со ско-
скоростями более высокими с>сь, что не было обнаружено в
работах предыдущих исследователей. Например, R. M. Davi-
es [1.141] A948) из компонент Фурье решения L. Pochham-
Pochhammer'a— С. Chree набрал решение для импульса и не обнару-
обнаружил теоретически и экспериментально сигналов со скоростя-
скоростями Ось- Это объясняется тем, что любые неотраженные вол-
волны, распространяющиеся вдоль цилиндра, очень малы по ам-
амплитуде по сравнению с отраженными от сторон цилиндра.
Поэтому их экспериментально обнаружить трудно.
Результаты экспериментов для полубесконечного стерж-
стержня приведены J. Miklowitz'eM [1 247] A957). Торец возбуждал-
возбуждался скачком давления от аэродинамической ударной трубы и
измерялись радиальные и осевые перемещения. Показано, что
низшая мода точного решения L. Pochhammer'a играет ос-
основную роль в начальных стадиях процесса на расстояниях
порядка нескольких диаметров от конца. Приближенное урав-
уравнение, учитывающее радиальную инерцию — уравнение
А. Лява A4.4)—также дает хорошие результаты в этомслу-
114
чае. Для больших времен такая аппроксимация несправед-
несправедлива, а уравнения R. D. Mindin'a — 3. Herrmann'a, учитыва-
учитывающие вторую (радиальную моду, дают хорошие результаты. В
начальный момент явление носит существенно трехмерный
характер, который перестает сказываться уже на расстоянии
нескольких диаметров. Обнаружено уменьшение крутизны
начального скачка с расстоянием, что объясняется отставани-
отставанием коротких волн. И здесь найдено, что фронт волны рас-
распространяется со скоростью волны расширения се, а не со
скоростью Сь.
Результаты экспериментальных исследований приведены
также в работах [1.244, 1.270].

Часть 2.
ПЛАСТИНЫ
Глава 3.
НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПО ТОЛЩИНЕ (ПОПЕРЕЧНЫЕ)
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УТОЧНЕННЫХ ТЕОРИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ
§ 18. Введение
Результаты, относящиеся к стержням, обычно легко рас-
распространяются на пластины. В статье Я. С. Уфлянда [2.59]
A948) выводятся уравнения поперечных колебаний пластине
учетом инерции вращения и сдвига на основе модели Тимо-
Тимошенко. Там же рассмотрены приложения этих уравнений к
исследованию реакции бесконечной пластины на ударное со-
сосредоточенное возбуждение. Оказалось, что построенная
двухмодовая аппроксимация, так же как и в случае стерж-
стержней, является гиперболической и описывает распространение
двух разрывов.
В 1951 г. R. D. Mindlin [2.150] получил такие же уравне-
уравнения, исходя из вариационной формулировки, и доказал един-
единственность их решения. Из сравнения с точной теорией и
классической было установлено, что сдвиговая поправка иг-
играет важнейшую роль.
В дальнейшем были получены уточненные уравнения ди-
динамики неоднородных и анизотропных пластин и рассмотрен
ряд задач о свободных и вынужденных колебаниях пластин.
При решении частных задач в основном развивались метод
преобразования Лапласа и метод характеристик.
Первые попытки построения уточненных теорий пластин
относятся к XIX веку и принадлежат Коши и Пуассону[2.78,
2.177] A828—1829). Они исходили из естественной возмож-
возможности представления решений уравнений теории упругости в
виде рядов по степеням малой координаты, нормальной к сре-
срединной плоскости упругого слоя. При этом вводилось предпо-
116
ложедие о сходимости таких рядов. Эти идеи Н. А. Кильчев-
ский1) применил к статике оболочек. В 1960 И. Т. Селезов
использовал этот метод для построения уточненных уравне-
уравнений поперечных колебаний пластин [2.50]. Были построены ги-
гиперболические двухмодовая и трехмодовая аппроксимации и
показано, что уточненная теория Тимошенко непосредствен-
непосредственно вытекает из дифференциальных уравнений теории упруго-
упругости как их двухмодовая аппроксимация. Впоследствии эти
уточненные уравнения были привлечены для решения конк-
конкретных задач [2.52, 2.55—2.57].
Применительно к построению уточненных уравнений ди-
динамики пластин рассматривался также символический метод
[2.37, 2.38], развитый в дальнейшем для статического случая
В. К. Прокоповым [2.48] A965), который получил уточненные
дифференциальные уравнения и краевые условия из условия
минимума потенциальной энергии и ввел дополнительные си-
силовые (интегральные) характеристики более высокого поряд-
порядка по сравнению с применяемыми в классической теории
пластин: бисилы, поливекторы, полимоменты.
Уравнения классической теории поперечных колебаний
изотропной однородной пластины в прямоугольных декарто-
декартовых координатах имеют вид
~т=д A8.1)
а = 1 2^
d2r»i Л2г
d2w
'S3' A8-2>
Г72 = ^14-И /=*!
дх\ дх\ ^
Здесь и далее хх и х2 — координаты срединной поверхности
в невозмущенном состоянии; х3 — координата, нормальная к
срединной поверхности; t — время; щ — перемещение в на-
направлении х{; w—перемещение в направлении х3 (прогиб);
Mt — изгибающий момент; Мп — крутящий момент; А —толщи-
—толщина; <7 —интенсивность поперечной нагрузки; Е — модуль Юнга;
V —коэффициент Пуассона; р —объемная плотность материала;
D = Eh3/l2(l —v2) —цилиндрическая жесткость.
Приведем наиболее распространенные граничные условия
на краю:
') См. ссылку на стр. ЗЭ.
117

в случае шарнирного опирания
при Xi = a, w = 0, Mi = 0 или ^f = 0 A8.3)
дхх
й в случае жесткого защемления
при хх = а, w = 0, ^=0 A8.4)
Классическая теория A8.1), A8.2) представляет собой одно-
модовую параболическую аппроксимацию. Динамическое
уравнение A8.1) было получено из статического уравнения
добавлением члена, учитывающего силы поперечной инерции.
Уравнения классической теории изгибных колебаний плас-
пластин A8.1), A8.2) основаны на упрощающих предположениях,
справедливых при малых прогибах
«1
и малых толщинах
A8.5)
A8.6)
где / — характерная длина. Эти предположения можно сфор-
сформулировать следующим образом.
Нормали к срединной поверхности до изгиба переходят в
нормали к срединной поверхности после изгиба. Такое пред-
предположение равносильно тому, что деформации сдвига по
толщине пренебрежимо малы, т. е.
813= 623 = 0 A8.7)
Компонента тензора напряжений о33 настолько мала по
сравнению с аи, <J\2 и 022, что ею можно пренебречь, т. е.
а33=0
A8.8)
Это означает, что каждый слой, параллельный срединной по-
поверхности A8.8), находится в условиях плоского напряжен-
напряженного 'СОСТОЯНИЯ.
Срединная поверхность остается после изгиба нейтраль-
нейтральной. Подобные гипотезы были положены в основу теории
пластин впервые Г. Кирхгофом [2.113] (I860).
Исходя из соотношений A8.7), можно написать формулу
для щ (i=l,2), которая приведена в системе A8.2), а из
закона Гука с учетом A8.8) и условий равновесия после ос-
осреднения по толщине следуют остальные формулы в уравне-
уравнениях A8.2).
Отметим, что из соотношения A8.8) следует зависимость
A— v)e33+v(eii + e22)=0 A8.9)
118
которая вместе с выражением для и,- в уравнениях A8.2)
приводит к выражению для поперечных перемещений
и х2, х3
x2,
, x2, t)x\ A8.10)
Из A8.10) видно, что часто употребляемая аппроксимация
при построении классических теорий стержней, пластин и
¦оболочек
«з(*ь х2, х3, t)=w(xu х2, t) A8.11)
верна только на срединной поверхности х3—0. Второй член
в формуле A8.10) мал по сравнению с первым, но формаль-
формальное использование равенства A8.11) вместо соотношения
A8.10) находится в противоречии с уравнением A8.8) и в
рамках точной постановки краевой задачи @.1) — @.10) яв-
является математически некорректным1'.
§ 19. Методы, основанные на модели Тимошенко
Уточненные уравнения поперечных колебаний пластаны,
учитывающие влияние инерции вращения и деформации по-
поперечного сдвига, имеют вид [2.591, 2.150]
?) *Ъ A9.1)
k2Gh
где Ф = д*]>1/дх1 + д$2/дх2, а
в направлениях хг и х2.
Остальные соотношения имеют вид
и3(хи х2,х3, t) = w{xu x2, t),
: + S = Vg? A9.2)
»Л|Г A9.3)
и ф2 —углы поворота нормали
Система A9.1) —A9.3) формальным исключением
приводится к виду
'' Корректный вывод приближенных уравнений колебаний пластин дал
Franciscus Gehring (De aequationibus differentialibus quibus aequilibrium et
motus laminae crystallinae definiuntur. Dissert, inauguralis. Univ. Friderica
¦Guileima. Berolini, Typis Caroli Schullzii, Augusti, 1860). Его вывод был
включен Г. Кирхгофом в тридцатую лекцию по математической физике.
Более позднее изложение вопроса имеется на стр. 168 книги П Жермена,
¦см. сноску на стр. 78.
119

II ,,^. V T mtw 37
ИЛИ
A9.5)
^U0= A9.6)
/a»
d
V
и уравнение с учетом только инерции вращения
i2 a^2 &2Gp/i!
Уравнение A9.6) является обобщением уравнения балки Ти-
Тимошенко B.7).
Из уравнения A9.6) вытекают как частные случаи урав-
уравнение колебаний с учетом только деформации поперечного
сдвига
A9.7)
>=q A9.8)
Уравнения типа Тимошенко A9.1) — A9.4) представляют со-
собою двухмодовую гиперболическую аппроксимацию. Они опи-
описывают распространение двух типов волн с дисперсией, ко-
которые оказываются связанными и поэтому порождаются при
любом возбуждении. Например, чисто сдвиговое или чисто
изгибиое возбуждение все равно приведет к появлению двух
волн. Это усложняет решение задач и анализ явлений.
В модели Тимошенко, в применении к пластинам, учет по-
поперечных касательных напряжений производится путем отка-
отказа от гипотезы нормальности прямолинейного элемента к
срединной поверхности пластины. В то же время предпола-
предполагается, что элемент, первоначально прямолинейный и нор-
нормальный к срединной поверхности, остается и после дефор-
деформации прямолинейным. Это не согласуется с параболическим
законом изменения по толщине поперечных касательных нап-
напряжений. Б. Ф. Власов [2.7] A957) ликвидировал это проти-
противоречие посредством учета искривления первоначально пря-
прямолинейного элемента пластины. Соответствующий аналог в-
теории стержней обсуждался ранее [1.62] A952).
Как и в теории колебаний стержней, развитой С. П. Тимо-
Тимошенко, исходные соотношения уточненной с использованием-
модели Тимошенко теории колебаний пластин A9.4) оказы-
оказываются некорректными в смысле точной математической по-
постановки задачи @.1) — @.10). Некорректность в A9.4)
аппроксимации вида
х2, х3, t)=w(xu х3, t)
120
такая же, как и в классической теории пластин1). Кроме то-
того, связь между напряжениями и деформациями при вычисле-
вычислении изгибающих моментов принимается без учета деформа-
деформаций сдвига.
Внутренняя противоречивость модели Тимошенко отмеча-
отмечалась ранее в работе [2.52] A961), где уточненные уравнения
были получены как математические аппроксимации трех-
трехмерной динамической задачи для упругого слоя. В дальней-
дальнейшем было отмечено, что для построения первого приближе-
приближения к модели Кирхгофа компоненты вектора перемещений
«1, «2 и и3 следует брать в виде [2.3а] A972)
ь х2, х3, t)=wo{xu х2, t)+w2{xu x2, t)x32 A9.8а)
«vi(xi, x2, t)x3+u43{xux2, t)x33{\=l,2) A9.86)
Из A9.8а) и A9.86) следует, что уравнения первого
приближения основаны на более общих предположениях о
характере деформирования, чем это обычно представляется.
Отметим, что в статическом случае из гипотез A9.8а) и
A9.86) можно при помощи вариационных методов получить-
модель Рейсснера (/г = 5/6) [2.184, 2.185] A944—1945).
R. D. Mindlin {2.160] A951) подробно исследовал уточнен-
уточненные уравнения A9.1) —A9.3), A9.5) —A9.8). Он написал
уравнение энергии, начальные и граничные условия и выпол-
выполнил сравнение с точным решением для низшей моды колеба-
колебаний, исходя из соответствующих дисперсионных уравнений.
Как показал Г. Лэмб [2.122] A917), фазовая скорость с
связана с длиной волны I при 0<c/cs<l соотношением
x2, х3,
' — ас'
A9.9)
где с, = |ЛЗ/р — скорость волн сдвига; <х = A — 2v)/2 A — v).
Классическая теория пластин A8.1) дает
A9.10)
2зг2
_5
С2 3A—V)
При ///г»1 (уравнение A9.10) следует из точного A9.9). При
Н-0 аппроксимация A9.10) дает совершенно неудовлетвори-
неудовлетворительные результаты, в этом случае с-*-°о.
Из уравнения A9.8), учитывающего инерцию вращения,
получаем
' ^^^ A9.11).
') См. стр. 119.
121

Это уравнение справедливо уже при меньших llh, чем клас-
классическое, и при /->0 имеем уже конечную скорость с2 =
= Су2/A— v), но далекую от требующейся.
Поправка только на сдвиг приводит к уравнению, которое
достаточно хорошо аппроксимирует низшую моду
3A-v)
1 +
2 л2
A9.12)
При /->0 имеем c = csk, и результат существенно зависит
от выбора величины корректирующего коэффициента k.
Одновременный учет поперечного сдвига и инерции вра-
вращения A9.5) приводит к дисперсионному уравнению
Это уравнение дает вполне удовлетворительную аппроксима-
аппроксимацию точного уравнения A9.9) при любых l/h. Необходимо
помнить, что это относится только к фазовой скорости и толь-
только для низшей моды при соответствующем выборе k. Выбор
коэффициента k будет обсуждаться в § 21
В работе Е. J. Brunelle [2.74] A971) дано простое обобще-
обобщение уравнений Тимошенко на случай трансверсально изотроп-
изотропной пластины, имеющей начальные прогибы w0 и подвержен-
подверженной действию постоянных сил Nx, Ny и Nxy в срединной по-
поверхности. Так же, как и выше, предполагается, что пласти-
пластина имеет конечные модули поперечного сдвига, углы сдвига
tyx и tyy постоянны по толщине, а продольные перемещения
линейны по поперечной координате. В результате получена
следующая система уравнений
d2w , d2w
+ S.
ду2
дх2
dt*
дхг
У дхду т
A9.14)
*=0
Здесь приняты обозначения
Sx=-Nx/D, Sxy=-Nxy/D, Sy= -Ny/D
122
G=Gxy, Ez->oo
С помощью соотношений
легко получить
w(x, у, t)
dx ' dy
разрешающее
~~ дх* "*~ ду*
уравнение
относительно
¦ dy* t
: (V2a>0)
^ dx2 J
+
>хУ
2(v4)
—дШ}
d2(X72w0)
A9.15)
Граничные условия при у = у\ имеют вид
в случае свободного опирания
w=qx=My = Q A9.16)
при защемлении
w=i$>x = y\>y=O A9.17)
и если край свободен
Mv=Mxy = Qv=0 . A9.18)
Уравнения A9.1) — A9.3) в случае гармонического воз-
возбуждения и отсутствия поверхностной нагрузки можно при-
привести к трем волновым уравнениям, которые исследуются в
работе С. С. Chao и Y.-H. Рао [2.79] A964). Существует кри-
критическая частота возбуждения, равная низшей частоте коле-
бан'ий пластины со сдвигом по толщине. При частотах воз-
возбуждения выше критической все волновые числа веществен-
вещественны, при частотах ниже критической два волновых числа ста-
становятся мнимыми. При подходе к этой критической частоте
исходные уравнения вырождаются. С целью обойти трудоем-
трудоемкий предельный переход исходные уравнения преобразованы
применительно к предельному случаю. Вместо трех волновых
уравнений получено одно волновое и одно бигармоническое.
Авторы исследуют поведение плоских волн у края полу-
полубесконечной пластины (нормальное, наклонное или касатель-
касательное падение). Подробно исследован случай, когда на краю
возникает форма колебаний, амплитуда которых имеет мак-
максимум вдали от края. Показано, что несмотря на совпадение
возбуждающей частоты с одной из собственных частот коле-
колебаний пластин резонанс не возникает, т. е. амплитуды оста-
остаются конечными. В работе Т. R. Капе B.110] A954) этот слу-
случай 'был характеризован как резонансный.
123

W. R. Callahan [2.75] A956) написал уравнения типа Ти-
Тимошенко A9.1) — A9.6) в произвольных ортогональных кри-
криволинейных координатах. Более подробно рассмотрены урав-
уравнения в полярных и эллиптических координатах. Для восьми
типов граничных условий в случае круговой пластины выпи-
выписаны частотные уравнения.
В. Н. Москаленко [2.31] A962) уточнение уравнения
колебаний пластин представил в виде системы трех диффе-
дифференциальных уравнений с двумя «свободными» параметрами,,
соответствующий выбор которых приводит к различным мо-
модификациям Я. С. Уфлянда [2.59], R. D. Mindlin'a [2.150],
Е. Reissner'a [2.185], С. А. Амбарцумяна [2.3] и Б. Ф. Вла-
Власова [2.7].
Большое развитие уточненные уравнения типа Тимошенко-
получили в динамике анизотропных пластин. В первую оче-
очередь это относится к пьезоэлектрическим кристаллам, коле-
колебания которых на основе трехмерных уравнений теории упру-
упругости и пьезоэффекты исследовать трудно, в то же время
уточненные уравнения позволяют решить ряд практически
важных задач. Классические же уравнения пластин во многих
случаях дают слишком элементарное описание.
R. D. Mindlin [2.152] A952) получил на основе трехмерных
уравнен-ий теории анизотропной злектроупругости уточненные
дифференциальные уравнения поперечных пьезоэлектрических
колебаний пластин постоянной толщины. При этом он исходил
из модели Тимошенко. По аналогии с работой для упругой
пластины [2.150] им получены граничные условия для элект-
электрического поля. В построенной модели учитывается взаимо-
взаимодействие упругих и электрических полей. Тензор напряжений
и вектор поляризации зависят линейно от тензора деформаций
и вектора напряженности электрического поля. Предпола-
Предполагается, что поверхности полностью покрыты электродами и
потенциал, так же как и продольные перемещения, линейно
изменяется по толщине. В случае плоской деформации и гар-
гармонического во времени движения система дифференциальных
уравнений относительно продольного перемещения и, прогиба
w и электростатического потенциала ф имеет вид
Ag -
и_D^
i 1
=0
A9.19)
Рассмотрена задача о колебаниях полосы со свободными кра-
краями. Для резонансных частот трансцендентные формулы вы-
вырождаются в алгебраические. Сравнение частот, вычисленных
в зависимости от отношения ширины полосы к ее толщине, с
124
экспериментальными результатами обнаруживает хорошее со-
соответствие экспериментальных и теоретических значений.
В работе R. D. Mindlin'a и М. Forray [2.153] A954) на ос-
основе модели Тимошенко развивается метод вычисления частот
сдвиговых по толщине и изгибных колебаний кристаллических
пластин переменной толщины: моноклинная система с осью
симметрии Ох двух форм поперечного сечения (фиг. 2.1).
¦—X
Фиг. 2.1.
Поперечные
кристалла
сечения
Уточненные уравнения при плоской деформации относительно
прогиба w(x) и угла поворота i|>(*) имеют вид
A9.20)
Уравнения A9.20) не решаются в табулированных функциях.
Поэтому применяется приближенный подход. Из исходной
системы уравнений получено уравнение сдвиговых колебаний
вычеркиванием членов, описывающих деформации изгиба, и
уравнение изгибных колебаний вычеркиванием членов, учиты-
учитывающих сдвиг и инерцию вращения. В каждое уравнение
вводится свой корректирующий параметр, подбор которого
осуществляется из сравнения с решением исходных уравнений
для пластины постоянной толщины. Установлено, что сдвиго-
сдвиговое движение локализуется вблизи утолщения, а изгибное —
вблизи краев кристаллической пластины.
В такой же постановке, как в работе 62.152], R. D. Mind-
Mindlin и Н. Deresiewicz [2.154] A954) рассмотрели задачу о
колебаниях пьезопластины при частичном электродном покры-
покрытии Коэффициент сдвига для непокрытой электродами пла-
пластины вычисляется по формуле B1.3), но при си = я/2. Влия-
Влияние электродного покрытия проявляется в изменении упругих
и пьезоэлектрических свойств. Поэтому задача о.колебаниях
пластины при частичном электродном покрытии сводится к
сшиванию решений покрытой и непокрытой частей. Это сильно
усложняет частотное уравнение и авторы решают задачу при-
приближенно, как в работе [2.153].
В работе [2.155] A954) рассматривается задача в такой
же постановке, как в статьях [2.152] и Е2.154], но электрод
имеет в продольном направлении не бесконечную протяжен-
протяженность, а конечную длину, которая является функцией коорди-
координаты z (см. фиг. 2.1). Задача решается в грубом приближении
125

плоской деформации: движение в продольном направлении
Oz не учитывается. Показано, что выбором формы электрода
можно добиться возбуждения только заданной моды, т. е.
получить систему, обладающую свойствами фильтра.
В работе R. D. Mindlin'a>H H. Deresiewicz'a [2.157] A955) в
постановке [2.152] исследуются сдвиговые и изгибные колеба-
колебания бесконечной пластины, прямоугольной свободно опертой
и с двумя свободными и двумя опертыми краями. Уравнения
для кристаллической пластины моноклинной системы с осью
симметрии ох\ имеют вид
Здесь
сгз — упругие постоянные материала пластины; k — коэффици-
коэффициент сдвига. Уравнения A9.21) допускают три типа синусои-
синусоидальных по х\, х2 и t волн. Для бесконечной пластины в длин-
длинноволновом приближении (отношение длины волны к толщине
l/h-*-°°) три компоненты перемещения г|)ь г|з2 и w не связаны
и вызывают две сдвиговых и одну изгибную моды. При про-
произвольном l/h каждая из трех компонент перемещения порож-
порождает две другие. При l/h-+0 асимптотически приходим к трем
конечным предельным частотам. В случае свободно опертой
прямоугольной пластины три типа движений не связаны. Уз-
Узловые линии бесконечной пластины можно рассматривать как
свободно опертые края, от которых при нормальном падении
волны происходит простое отражение, и спектр не сильно
усложняется. При отражении колебания от свободного края
порождается три типа связанных волн, т. е. три бесконечных
спектра. Показано изменение спектра при постепенном пере-
переходе от свободного опирания к упругому и, наконец, к сво-
свободному краю. Приведены численные результаты для АТ-сре-
за кварца.
R. P. Jerrard [2.106] A960), исходя из уточненных уравне-
уравнений A9.20) работы [2.151], рассмотрел свободные колебания
кристаллической упругой пластины переменной толщины
(фиг. 2.2). Граничные условия на верхней и нижней поверх-
поверхностях удовлетворяются приближенно (не учитывается влия-
126
ние кривизны), поэтому изменение толщины вдоль координа-
координаты х должно быть малым. Для плоской задачи имеем урав-
уравнения вида A9.20)
Фиг. 2 2. Пластина переменной
толщины
=0
A9.22>
где
R. D. Mindlin и М. Forray [2.153] положили Di=0 и ввели
корректирующий множитель в D6; в этом случае сдвиговая
и изгибная моды оказались искусственно не связанными.
Здесь вводится для h3(x) линейная аппроксимация h3=hh2,
где Ъ — постоянная «эффективная» толщина. В такой поста-
постановке для закона изменения толщины h(x)=hoexp[—kiX2/2]
задача решена аналитически в гипергеометрических функци-
функциях. В случае свободных краев
Af, = Q,=O гари х = ±1/2 A9.23)
или
г|/=0 и ф + ю'=0 при х—±1/2
получено трансцендентное уравнение, которое исследуется чис-
численно.
В работе R. D. Mindlin'a '[2.163] A961) строится прибли-
приближенная теория колебаний упругих анизотропных пластин при-
применительно к пьезоэлектрическим кристаллам. Наличие ани-
анизотропии приводит к тому, что поперечные и продольные
колебания оказываются взаимосвязанными. Компоненты пе-
перемещений щ 0 = 1, 2, 3) представляются в виде рядов отно-
относительно координаты х2, нормальной к срединной поверхности
пластины.
U/ (Хи Х2, Х3, ^) =
п-а
A9.24)
127

Зти выражения затем подставляются в соотношение, выте-
вытекающее из вариационного уравнения движения
= 0 A9.25)
и в формулы для тензоров деформаций 5г/- и напряжений Тц
1
J ij = Cijki^kli Cijkl = Cjihl ~ СШ} A9.26)
После подстановки выражения A9.24) в уравнение A9.25) и
интегрирования по х2 интеграл по объему пластины V пере-
переходит в интеграл по площади F
во /
J2 \Т\Ь-пПГ
F л=0 V
= Q A9.27)
m=0
тде
-ft
""""{ 0
) при /п + /г четном
при ш + п нечетном
Аналогично из выражения A9.24) и уравнения A9.25) следует
st,=2 xw\
>(т)
A9.28)
Л-0
m=0
При построении приближенной теории на основе вышеприве-
вышеприведенных соотношений вводятся следующие предположения
Ряды укорачиваются так, что остаются только нулевые и
первые члены ряда в тензорах напряжений и деформаций
Tlf =
A9.29)
Для описания этих величин достаточно знать компоненты
uf\ Иу!) и uf\ Кроме того, следуя Коши [2.78], не учиты-
учитываются ui]], uf,\ и принимается Г22) = 0, Тр/=0. Компоненты
5(°i и SzP заменяются на k^i? и ^з^20з • Корректирующи
коэффициенты kx и ks по идее должны компенсировать
влияние отброшенных при усечении членов. Эти коэф-
коэффициенты определяются приравниванием частот колебаний,
соответствующих формулам точной и приближенной теорий.
Доказана теорема единственности и показано, что в случае
изотропии построенная модель переходит в две известные мо-
128
дели — обобщенное плоское напряженное состояние и прибли-
приближение, основанное на модели Тимошенко. Для первых пяти
форм колебаний построенная теория дает хорошее соответст-
соответствие с точным решением. В применяемом здесь подходе воз-
возможности метода степенных рядов не реализованы до конца".
В работе R. D. Mindlin'a и W. J. Spencer'a [2.167] A967)
выведены дифференциальные уравнения связанных продоль-
продольных и поперечных колебаний пластины постоянной толщины
из кварца АТ-среза. Учитывается влияние инерции вращения
и сдвига. Уравнения движения записываются в виде двух
связанных подсистем — уравнений обобщенного плоского на-
напряженного состояния и уравнений типа Тимошенко. Для пла-
пластины толщины h с координатами срединной поверхности Xi
и хъ уравнения в перемещениях имеют вид
+ ^3^14 (,13 + <Kl) + С55 (И3,13 + Й1,3з) +
0*2,33
С55 («3,П
A9.30)
С
(«2,33
(Из,II
.1з + ф».зз) —
k\c
bb
Tee №з,п + фмз) + Т1зЧ*1.»з + Т
3244 (И2,3
Продольные усилия Nt, поперечные усилия Q;- и изгибающие
моменты Mk определяются по формулам
3,3 + k3cH (И2,з
x = h [cnm ,i
3\ = h [^1^56 («3,1 + И1,з) + КlC66 («2,1 4
3 = Л \k3Ci4«1,1 + ^зс34«3.3 ~Ь ^ЗС44 («2,3
1
1
A9.32)
A9.32)
'Hм. §20.
9-2798
129

Здесь
¦[(с.
22"
СрЧ== ^рЧ ^2p^42i ^22' (рЧ==^рЧ ^4p''?4'^'44i Тв5==''?5 ^56'^66
cpq — упругие постоянные. Рассмотрены колебания прямо-
прямоугольной пластины с четырьмя свободными краями. Решение
системы A9.30) и A9.31) нельзя построить в замкнутой фор-
форме, т. е. в виде конечного числа элементарных функций. По-
Поэтому вводятся некоторые упрощения, которые показывают,
что уравнение обобщенного плоского напряженного состоя-
состояния можно не учитывать при исследовании изгибно-крутиль-
ных движений. В такой постановке задача решена. Доказа-
Доказана теорема единственности. Определены резонансные часто-
частоты, и показано хорошее соответствие между полученными
теоретическими и известными экспериментальными результа-
результатами.
В работе Р. С. Y. Lee и Sh.-Sh. Chen[2.129] A969) рас-
рассматриваются колебания анизотропной пластины переменной
толщины (фиг. 2.2). Исследования проводятся на основе уточ-
уточненных уравнений [2.167]
khee [Ь (U2,l
-5- ЧГ55 [Ь3 («2,133— <
dt2
A9.33)
Здесь ^! = u/}/"l2 —коэффициент сдвига; b {x,) — толщина;
ut(Xi, x3) — перемещение в направлении xt\ ty(x{, xa) — поворот
нормали.
Даже в указанном приближении задача аналитически не
решается. Поэтому идут на дальнейшее упрощение. Напри-
Например, R. D. Mindlin и М. Forray [2.153] эту систему связан-
связанных уравнений заменяют несвязанными уравнениями, вводя
некоторые поправки. В[2.129] применяется другой прием. Для
переменного коэффициента b3(Xi) в уравнениях A9.33) вво-
вводится, следуя работе [2.106], линейная аппроксимация
b* = \blb A9.34)
Здесь X — поправочный коэффициент для толщины, который,
определяется по формуле
Х=Г ЬгйхАЬ2Льйхх A9.35)
о / о
Принятая аппроксимация дает хорошие результаты при ма-
малом изменении толщины и возможность в некоторых случаях
получить решение. Для закона изменения толщины Ь =
= 60ехр(—бХ[2) построены решения в виде сходящихся рядов
и асимптотические. Рассмотрены колебания пластин со сво-
130
бодными краями при полном или частичном электродном по-
покрытии, без покрытия, а также пластин, у которых средняя
часть имеет постоянную толщину и покрыта электродами, не-
непокрытые части —переменной толщины (фиг. 2.1). Опреде-
Определены с применением ЭЦВМ из трансцендентных уравнений
резонансные частоты и моды колебаний. Обнаружены три об-
области колебаний: в одной преобладают толщинно-сдвиговые
моды, 'в другой —изгибные, в третьей—связанные. Иссле-
Исследуется влияние переменности толщины пластины на характер
ее колебаний. Классическая теория пластин аппроксимирует
только низшую ветвь частотного спектра. В случае много-
многослойных пластин даже низшая ветвь не может быть удовлет-
удовлетворительно описана, если каждый слой описывать классиче-
классической теорией.
Полуобратный метод построения уравнений теории анизо-
анизотропных пластин с учетом деформаций поперечного сдвига
развивал С. А. Амбарщупиян1' [2.3] A967).
Y.-Y. Yu [2.227] A960) показал, что в трехслойной плас-
пластине влияние сдвига и инерции вращения внешних пластин
относительно их срединных поверхностей и изгибной жестко-
жесткости заполнителя пренебрежимо при построении уточненной
теории изгибных колебаний трехслойной пластины. Важными
являются эффект сдвига, инерция вращения и смещения за-
заполнителя, а также инерция смещения и эффект изгибных и
растягивающих жесткостей соединения внешних пластин. По-
Полученные уравнения применяются затем для исследования
трехслойной пластины в случае плоской деформации [2.226].
Заданы начальные и граничные условия в виде некоторых
функций, причем в граничные условия входят заданные
функции времени. Применяется метод разложения по соб-
собственным функциям соответствующей однородной задачи. В
качестве примера рассмотрены колебания свободно опертой
пластины.
В работе В. Н. Москаленко [2.32] A964) также рассмат-*
риваются колебания трехслойной пластины. Сравнение тео-
теории, основанной на гипотезах Кирхгофа для пакета в цело!М,
с теорией, учитывающей поперечный сдвиг в заполнителе,
показывает, что учет поперечного сдвига приводит к сильно-
сильному изменению собственных частот.
Необходимо отметить также работы [2.125, 2.126, 2.128,
2.162, 2.203, 2.209, 2.210, 2.223—2.225].
§ 20. Математические аппроксимации
Основным математическим методом построения прибли-
приближенных уравнений (аппроксимаций) теории пластин является
метод степенных рядов, получивший свое развитие от работ
" Этот подход описан ниже, см. стр. 197.
9*
131

Коши [2.78] A828) и Пуассона [2.177] A829). Метод является
одним из возможных для замены трехмерной задачи дина-
динамической теории упругости приближенной двумерной зада-
задачей, т. е. для приведения трехмерной задачи к двумерной.
Коши [2.78] A828) рассматривал плоскую задачу в ста-
тическом' и динамическом случаях для упругого слоя
постоянной толщины 2Л. Слой ориентирован в прямоугольной
декартовой системе координат х, у, z так, что срединная по-
поверхность в невозмущенеом состоянии описывается уравне-
уравнением </=0, а поверхности слоя — уравнениями y=±h. Все
функции (предполагаются не зависящими от z.
Дифференциальные уравнения динамической теории упру-
упругости записываются в виде
У&ХХ | двху .-у vr, « .Qj-. , ,
~я —а—Р (л — Л) = и BU. 1)
ox oy v *
двух I дОуу . /v у. л ,пг\ п\
—а2 3^+P(l —/) = U (ZV.Z)
Здесь о — тензор напряжений; X и Y — массовые силы'); Хм
Y—инерционные силы.
При деформации срединная плоскость преобразуется в не-
некоторую поверхность y=f(x, tJ\ ординаты которой малы.
Обозначим через г разность ординаты у какой-либо точки с
аббциссой х и ординаты f{x, t) деформированной поверхно-
поверхности. Тогда
y = f(x,t)+r B0.3)
Обозначим также перемещения в направлениях х и у через
| и г\. Если эти перемещения рассматривать как бесконечно
малые первого порядка, то функция f(x, t) и ее производная
по х f'(x, t) являются тоже бесконечно малыми величинами и
можно принять за независимые переменные Х\ и г вместо х
и у. Действительно, в этом случае для некоторой функции
(> У, t) можно написать
Эф дер дх . Эф ду Зф . Эф
dxi дх дх1 ' ду dxt дх ду
Эф Эф дх . Эф ду_ Эф
дт дх дг ду дг ду
дх
уравнения B0.1) и B0.2) с учетом сделанных выше замеча-
замечаний и выражений для инерционных сил принимают вид
B0.4)
B0.5)
двуу <Рц
~д~г "э/1
'> В дальнейшем массовые силы не будем рассматривать, хотя Коши
их рассматривал.
2> Это относится к несимметричным относительно срединной поверх-
поверхности колебаниям.
132
На поверхностях г= —Ли r = +h заданы граничные условия
«,у=0 B0.6)
и
B0.7)
ауу=-Р
Функции ахх, axv, ayy, % и -ц представляются в виде бесконеч-
бесконечных степенных рядов по переменной г
ахх(х, г, t) =
xy(x,r,t) = ayv(x, r, t) = axgm(x,t)+oxyli)(x,t)r+ ...
аУу(х, г, t) = ayym(x,t) +oW(i) (x,t)r+ ...
B0 8)
Следует отметить, что коэффициенты этих рядов зависят уже
только от одной пространственной координаты х и времени t.
Если будет указан способ вычисления коэффициентов, то тем
самым будет решена задача приведения в данном случае дву-
двумерных уравнений к одномерным.
Подставляя ряды B0.8) в уравнения! B0.4) и B0.5), полу-
получаем при произвольном т в своем интервале бесконечную си-
систему дифференциальных уравнений"
B0.9)
B0.10)
Подставляя ряды B0.8) в граничные условия B0.6) и
B0.7), а затем попарно складывая и вычитая полученные
выражения, приходим к уравнениям
') Здесь необходимым условием является равномерная сходимость ря-
рядов B0.8).
133

O*t/@)
П I __Q
V+ ... =0
i_ ... =o
B0.11)
Полученная система уравнений B0.9) — B0.11) описывает как
симметричные колебания (с заданной нагрузкой Р), так и не-
несимметричные (без нагрузки). В эти уравнения входят неиз-
неизвестные функции и их производные при нулевых г. В част-
частности
i\o=f(x,t) B0.12)
Остатки в формулах B0.9) — B0.11) при усечении определя-
определяются малыми величинами, обусловленными малостью hl).
Если пренебречь членами с /г2, то из B0.11) получим первое
приближение
аху10)=0 B0.13)
B0.14)
B0.15)
B0.16)
Из первого уравнения B0.9) с учетом B0.14) имеем
ауу(°) =—
да
хх@) _d2So
дх ~~р Л2
B0.17)
Первое уравнение B0.10) с учетом B.13) и B.16) принимает
вид
^-° = 0 B0.18)
Как видно, в этом приближении не учитывается поперечная
инерция.
Во втором приближении из B0.11) получаем
---%аХу<1) B0.19)
о*9A)=—-g-о^з) B0.20)
ауу(<п~—Р — "°1/г/B) B0.21)
•> В работе Коши безразмерные величины не вводятся и поэтому не-
необходимо подразумевать, что речь идет об относительных величинах.
Можно с самого начала ^предполагать, что решается математическая за-
задача в безразмерных величинах.
134
"Первое уравнение B0.9) записываем приближенно
Из второго уравнения B0.9), исключая orsB) с помощью пер-
первого и третьего уравнений B0.10) и соотношений B0.19) и
B0.22), получаем
Для симметричного относительно срединной поверхности рас-
распределения касательных напряжений из B0.8) с точностью
до членов порядка Л2 включительно имеем
до„
дх
B0.25)
Формула B0-25) получена с помощью соотношений B0.19),
первого B0.8) и второго B0.9), и отбрасывания оху(цг.
Выражение для оуу следует из B0.8), если применить
формулу B0.21), второе уравнение B0.10) и отбросить
до v-,,/1 \
°уу= — Р — 4 Р ^Ш (h2 — Г2)
B0.26)
—h
Теперь вычислим осредненные по толщине напряжения с точ-
точностью до членов порядка /г2
ft ft
B0.27)
B0.28)
—h
Величина у определяется по формуле
л
\jxxrdr
B0.29)
-h
Из закона Гука и разложений B0.8) получаем
ахх{0) ^_ Я, + 2G dgo
Я,
Я. [дх
"f=5T+L~T~yi2
B0.30)
135

Из формул B0.30) следуют приближенные соотношения для
компонент вектора перемещений
X /dto . Р
X + 2G[dx
ч9 —
'дх ~~X + 2G дх2 ' т/2~"
и тензора напряжений
_ 4G (X + G)
X + 2Gdx2
B0.32)
X + 2G дх X + 2G^
_ 4G (X + G) д\„
Oo-(i) X + 2G~ Ш?
Подставляя соотношения B0.32) в уравнения B0.23), полу-
получаем приближенное уравнение продольных колебаний пластины
дх2
B0.33)
где
2 4G (Я + G) 1
X + 2G ~р
Ср —
¦¦тг-^-тг- B0.34)
A—v2) р v '
Уравнение B0.33) соответствует обобщенному плоскому на-
напряженному состоянию.
Аналогично из соотношений B0.32) и уравнения B0.24)
следует приближенное уравнение изгибных колебаний пластины
B0.35)
где
8G(l + G)
1 3(X + 2G) П ~
Уравнение B0.35) соответствует теории пластин Кирхгофа.
Результаты Коши и Пуассона и вопросы сходимости об-
обсуждались в комментариях Сен-Венана к книге A. Clebsch'a
[1.2231 A862).
Кроме того, в этой же работе [2.78] аналогичный подход
был реализован Коши в случаях пластины переменной тол-
толщины и искривленной по цилиндрической поверхности пласти-
пластины, т. е. оболочки (движение вдоль окружной координаты).
Как было отмечено выше", метод степенных рядов Коши
и Пуассона впоследствии развивали в статическом случае для
оболочек с произвольной поверхностью F. Krauss и
Н. А. Кильчевский. В динамике пластины и цилиндрической
оболочки этот метод затем применяли P. S. Epstein [3.84]
A942) и Е. Н. Kennard [3.118] A953J>.
'' См. сноску на стр. 69.
2> Подробнее ом. в третьей части обзора.
136
Н. А. Кильчевский [3.41] A940) систему уравнений вида
B0.9) и B0.10) рассматривал как рекуррентные соотношения,
позволяющие выразить все неизвестные функции и их произ-
производные через несколько начальных (с индексом «0»). Для
получения уточненных уравнений применялся метод итера-
итераций, причем в качестве первого приближения вводились
уравнения Кирхгофа—Лява.
В динамике пластин метод степенных рядов применял
И. Т. Селезов [2.50] A960). Он исходил из краевой задачи
динамической теории упругости в перемещениях и рассматри-
рассматривал систему рекуррентных соотношений типа B0.9) и B0.10)
и уравнения типа B0.11), вытекающие из граничных условий,
как общую бесконечную систему дифференциальных уравне-
уравнений, эквивалентную исходной краевой задаче (это справедли-
справедливо при условии равномерной сходимости рядов). В дальней-
дальнейшем требуется введение каких-либо ограничений, что можно
сделать различным путем. Поэтому методом степенных рядов
можно получить бесконечное множество аппроксимаций. Цель
состояла в построении гиперболических аппроксимаций. Было
показано, что при усечении системы до какого-либо порядка
получается замкнутая система уравнений, которая может быть
приведена к нескольким или одному дифференциальным
уравнениям более высокого порядка. Если при этом сохра-
сохранить все пространственно-временные дифференциальные опе-
операторы до определенного порядка включительно [2.52] A961),
то полученная система уравнений будет гиперболической. Это
условие является достаточным для построения гиперболиче-
гиперболических аппроксимаций. Приведем краткое изложение этих ре-
результатов. Рассмотрим упругое поле, характеризуемое про-
пространственными ортогональными координатами jti, x2, х$ и
временной координатой t. Причем ось Охз является прямой,
а криволинейные ортогональные координаты Х\ и х% отсчиты-
ваются в плоскости х3 = 0. Выделим слой —оо<х!<оо,
—оо<х2<°о, —h<x3<h и положим, что изменение поля в
зависимости от координат хх и х2 характеризуется некоторым
параметром I, который значительно больше толщины слоя 2/г.
2-H«i
Отсюда получаем условие малости координаты х3
-у <С 1> так как —,
B0.36)
B0.37)
Пусть требуется определить вектор-функцию и{хи х2, х3, t),
удовлетворяющую уравнению
u = ^L B0.38)
137

в области — оо < л;, < оо, B = 1,2), — 0.5S<jc3<0.5E, t>0
и граничным условиям второй краевой задачи теории
упругости
e3sU-±v2 = 7± B0.39)
o3,|v,_±5;2 = P*. (i = l,2) B0.40)
Здесь и далее
°aa = q- divu + 2^ (&= 1,2,3; по k не суммировать)
дик .дир ,, ioq. и i \
дХр a*»' ^ ' ' • B0>4i)
Х\ и л:2 — прямоугольные декартовы координаты.
Все величины в соотношениях B0.38) — B0.41) безразмерные,
они введены по формулам
B0.42)
^Компоненты вектора перемещений иг (i=l, 2, 3) представим
в виде степенных рядов по *з
щ {хъ х2, х3, 0 = 2 Uiv (xu x2, t)
B0.43)
В дальнейшем будем предполагать, что функции «tv диффе-
дифференцируемы столько раз, сколько потребуется, все производ-
производные от «iv непрерывны и ряды вида B0.43) равномерно схо-
сходятся. Сходимость рядов B0.43) существенно зависит от ве-
величины отношения | = 2Л// и изменения полей по координатам
Х\, х2 и t. Чем более плавным будет это изменение (оно опре-
определяется внешними воздействиями) и чем меньше будет |,
тем быстрее будут сходиться ряды B0.43). Как известно
[2.176], задача динамической теории упругости для слоя рас-
распадается на две независимых, одна описывает симметричные
относительно срединной поверхности колебания, другая — не-
несимметричные (изгибные). Поэтому после длинных выкладок
исходная краевая задача B0.38) — B0.40) с учетом соотно-
соотношений B0.41) — B0.43) приводится к двум независимым бес-
бесконечным системам уравнений. Уравнения симметричных ко-
колебаний
J38
х2, х3,0 =
.$=0
оо
2 o
5=0
i. *2,0
s = 0, 1,2,...
Уравнения несимметричных колебаний
(Лх, Х2, Хг, t) =
5=0
0
B0.45)
S f -
J=0L
1 1+Я./6
\JsW
sW2s
Bs+l)Bs + 2)Bs+3)
s=0,l,2,...
Г72Г-1
v
139

Уравнения B0.44) и B0.45) эквивалентны исходной краевой
задаче, математически эквивалентной уравнениям B0.38) —
B0.40), если выполняются указанные выше условия. Но те-
теперь для решения задач B0.44) и B0.45) требуется опреде-
определить лишь функции ev(Xi,x2,t) и wv(xi,x2,t), т. е. размер-
размерность задачи уменьшена на единицу. Сохраняя в бесконечных
системах уравнений B0.44) или B0.45) операторы только-
до определенного порядка, будем получать усеченные систе-
системы— гиперболические аппроксимации. Это эквивалентно со-
сохранению всех членов до определенной степени % [2.521
A961). Например, из уравнений B0.44) в первом приближе-
приближении следует одномодовая гиперболическая аппроксимация —
обобщенное плоское напряженное состояние0
[-5а;у2 + ?а2-^-)ео = О B0.46)
и более точная двухмодовая гиперболическая аппроксимация
B0.47)
а, =
Коэффициенты в B0.46) и B0.47) имеют вид
4 , . 1_л» _ 8 1
' °\— |_2v "зГ
_1 у- 5~8v !
3! ' з i_2v 3!
Из системы B0.45) в качестве первого приближения следует
двухмодовая аппроксимация, соответствующая теории Тимо-
Тимошенко,
B0.48)
h-q2) B0.49)
Построено также второе приближение — трехмодовая гипербо-
гиперболическая аппроксимация [2.50]
^}^0= B0.50)
1} Здесь приведены однородные уравнения, описывающие только один
вид «продольных» колебаний.
140
Коэффициенты в B0.49) и B0.50) определяются по формулам
_ 1 X + G _ 1 3A. + 4G _ 1 3A. + 7G
ai — -у a, + 2G > а2 —"зТ A. + 2G ' аз—if a, + 2G
1 A. + G _ 1 4A,'+HGA,+ HG'
&1 — 10-3! Я. + 2О' °2! (A + 2G)*
и 1 9Я,8 + 39GA, + 3G' . 1 5A,' + 30GA, + 41~'
4-5! (A. + 2GI ' 4~~2*-5! (A, + 2G)S
(X + 2GI
1 3A. + 4G
"8 X + 2G '
B0.51)
# 1 • 1 U/
a2 = -g-, =2T4f —
__j 2Я.» + 8GA, + 7G*
l~"8^4T (X + 2GI
Вообще, увеличение числа удерживаемых членов при приме-
применении метода степенных рядов приводит к обогащению спект-
спектра в сторону более высоких частот. Как видно,, еще Коши в
1828 г. имел возможность построить гиперболические аппрок-
аппроксимации, которые 'были получены интуитивно С. П. Тимо-
Тимошенко в 1916 г.
И. Т. Селезов и Г. А. Кильчинская [2.53] A964) методом
степенных рядов вывели уточненные уравнения продольных
и поперечных колебаний бесконечной термоупругой пластины.
Они исходили из уравнений связанной термоупругости для
слоя
G у2и + (к + G) grad div u = р ~ + ? grad 9
B0.52)
B0.53)
Как и в задаче для упругого слоя, упругие и температурные
поля распадаются на два независимых поля — симметричное
и асимметричное. Первое соответствует продольным, а
второе — изгибным деформациям. Приведем окончательные
уравнения в безразмерном виде для продольных колебаний
|- У2-а10у2У2+а„
*i 2
141

B0.55)
Уравнения поперечных колебаний имеют вид
д*
^-^-i^8,=
dt
1 — 8б
dt2
dt
Qi — qi
+ ^) +
B0.56)
?±±?l
—
Рз+Pi
dxt
dt
pi+рг
B0.57)
дхг 2 r dxt 2
Уравнения B0 54) — B0.57) представляют собой аналог уточ-
уточненных уравнений в динамике пластин. Если все переменные
и параметры, характеризующие температурное поле, т е.
величины 60, еь ть х2, а8, а9, аш, ап, а13, al6, d2, d6, dl2, dl3r
b\, bj, b\\, Ьц, bi5, gi, gw устремить к нулю, то эта система вы-
вырождается. Уравнения B0.55) и B0.57) вырождаются в нуль,
а уравнения B0.54) и B0 56) приводятся к системе гипербо-
гиперболических уравнений, описывающих приближенно симметрич-
симметричные и асимметричные колебания упругого слоя. Система
уравнений @0.54) — B0.67) применима при более коротких
длинах волн, чем динамические уравнения термоупругости для
пластин, основанные на гипотезах Кирхгофа. Полученные
уравнения описывают распространение упругих волн с дис-
дисперсией и затуханием, что было исследовано в [2.15] A966).
Г. А. Кильчинская [2.15] A966) рассмотрела симметричное
поле при конвективном теплообмене на поверхностях пласти-
пластины: вместо четвертого условия в B0 53) ставится следующее
* ' °г(в|,А-* 1.2)-0 B0.58)
дг
+ А ¦
Кроме того, уравнения типа B0.54) и B0.55) сведены к од-
одному уравнению, члены порядка выше |3 отброшены, и таким
образом, понижен порядок дифференциального уравнения,
что приводит к слабым аппроксимациям. Например, в рабо-
работе [3.68] A961) было показано, что сведение системы уточнен-
уточненных уравнений к одному уравнению, но с отбрасыванием всех
142
членов выше заданного порядка, может приводить к негипер-
негиперболическим аппроксимациям исходной гиперболической си-
системы. Физически это означает сильное «обеднение» системы.
Такое описание может предсказывать фронтовые разрывы,
распространяющиеся со скоростями, очень далекими от ре-
реальных (слабые аппроксимации). Исходя именно из этих со-
соображений, задача приведения в работе [2 53] была решена в
форме B0.54) — B0 57). Если не учитывать взаимосвязанных
термоупругих эффектов, то первое из уравнений B0.52) яв-
является гиперболическим, а второе — параболическим. Этим
уравнениям соответствуют гиперболические аппроксимации
B0 54) и B0.56) и параболические аппроксимации B0 55) и
B0.57).
В работе же [2.15) гиперболо-'параболическая система ап-
аппроксимируется гиперболическим уравнением путем чисто
аналитических манипуляций. Аналогично в статье [1 32] про-
процесс исключения продолжен далее с тем, чтобы получить от-
отдельно гиперболические уравнения для продольного переме-
перемещения и0 и температуры 90 срединной поверхности. В резуль-
результате получены слабые аппроксимации исходных уравнений.
V. Мапеа в работах [2 24, 2.136—2.138] A963) исходит
из трехмерных уравнений теории упругости, которые интег-
интегрируются по нормальной координате х3 и записываются в
усилиях и моментах. Компоненты перемещений разыскива-
разыскиваются в виде
ul = ul0(x1, x2, t) + wt(Xi, x2tt)x3, (? = 1,
U3 = W(Xl, Х2, Х3, t)
Вводится осредненнае по jc3 перемещение
h/l
B0.59)
B0.60)
— А/2
Интегралы, входящие в выражения для усилий и ' моментов
и содержащие dw/dx3, исключаются, исходя из следующих
представлений для компонент тензора напряжений
1, х2, Хз. t), (?=1,2)
B0.61).
з. t)
где вспомогательные функции г|з„ равны нулю на нижней (?)
и верхней (s) поверхностях x3=±h/2. Вид этих функций оп-
определяется приближенно, следуя работе [3.62]. В пределах
принятой аппроксимации B0.59) —B0.61) г|з3=О, а г|л и г|з2 из-
изменяются по Хг по параболическому закону. Получены две
143

несвязанные системы уточненных уравнений: два уравнения
описывают симметричное поле, и три уравнения — антисим-
антисимметричное. Рассмотрены свободные колебания прямоуголь-
прямоугольных пластин и> вынужденные колебания при действии сину-
синусоидальной во времени нагрузки. Влияние уточняющих фак-
факторов не исследуется.
В работе Е. Б. Омецинской [2.43] A909) анализируется
метод степенных рядов на примере симметричных и несим-
несимметричных относительно срединной поверхности колебаний
пластины. Сформулированы уточненные начальные и краевые
условия, соответствующие первому приближению (типа Ти-
Тимошенко) и второму—более точному.
Г. И. Петрашень [2.44 — 2.46] A951 — 1964) вывел уточ-
уточненное уравнение изгиба пластины толщины Л, которое не
соответствует гиперболической аппроксимации типа Тимо-
Тимошенко1'
2
где
То
/г5
2 G 1
~~~3~ A + 2G \
ii G_\
20 X, + 2G }
B0.62)
Более того, Г. И. Петрашень гиперболические уравнения, ос-
основанные на модели Тимошенко, называет неверными, а урав-
уравнения, соответствующие приближению P. S. Epstein'a [3.84],
правильными. Основанием для такого утверждения послужи-
послужило то, что Г. И. Петрашеню удалось получить, исходя из
трехмерных уравнений теории упругости, такие аппраксима-
ции, которые соответствуют приведенному выше уравнению.
Однако отсюда не следует, что нет гиперболических аппрок-
аппроксимаций. С. П. Тимошенко еще в 1922 г. [1.326], исходя из
динамической задачи теории упругости, показал, что уравне-
уравнение с учетом инерции вращения и сдвига —гиперболическая
аппроксимация —является некоторой аппроксимацией трех-
трехмерных уравнений динамической теории упругости2'. А из ря-
ряда последующих работ различных авторов следует, что имен-
именно в классе гиперболических аппроксимаций содержатся наи-
наилучшие приближения уравнений динамической теории упру-
упругости для слоя.
') Ошибки в формулах Г И Петрашеня исправил В. Л. Бердачев-
ский [2.3а] (,1972).
2> См стр 29.
144
Аналогичные аппроксимации были рассмотрены Г. И. Пет-
рашенем и Л. А. Молотковым в работах [2.45, 2.46] A958,
1964). Авторы исходили из решения задачи о слое, анализ ко-
которого позволяет записатыполе перемещений в виде суммы из
четырех слагаемых, сильно отличающихся друг от друга по
спектральному составу. Если ограничиться низкочастотной
частью поля 0<co<coo = cs/4/z, то в точных решениях бесконеч-
бесконечный предел интегрирования можно заменить на конечный и
частотное трансцендентное уравнение привести к прибли-
приближенному алгебраическому, применяя разложения в ряды
Тейлора. При этом легко получаются с соответствующими
оценками сходимости классические и более точные уравнения
в пространстве параболических аппроксимаций.
Впоследствии Г. И. Петрашень [2.47] A966), следуя рабо-
работам [3.43, 2.50], дал математическое обоснование метода сте-
степенных рядов на примере динамической задачи о слое в слу-
случае плоской деформации. В отличие от своих предыдущих
работ, в которых единственно правильными полагались неги-
негиперболические аппроксимации для несимметричных колеба-
колебаний слоя, здесь и в последующих работах он уже рассматри-
рассматривает гиперболические аппроксимации для несимметричных
колебаний слоя. Все рассуждения проводятся в классе
функций, представленных в виде
(х
' i; .1 Sin
0
cos kx
dk^(k,s)estds B0.63)
при этом / — разомкнутый контур на комплексной плоскости
s, прилегающий сплава к участку мнимой оси (—ом, ом')»
и соо>0, ko>O. Сначала доказано, что бесконечные ряды, ко-
которыми представляются компоненты вектора перемещений,
приводят к точному решению. Затем оценивается погреш-
погрешность при усечении рядов. Если обозначить через q допусти-
допустимую относительную погрешность, то для k0 и ш0 имеем
k0 j-y q , (ио~мг1/<7 B0.64)
Здесь m — номер члена ряда, b = y~p/G=\lcs. Пределы при-
применимости приближенных усеченных уравнений продольных
колебаний описываются формулами B0.64), определяющи-
определяющими область изменения k и ш,
0<k<k0, —соо<со<со0 B0.65)
С увеличением m и уменьшением h пределы применимости
расширяются. При малых пг, как раз представляющих прак-
практический интерес, нагрузки должны быть достаточно плавны-
плавными функциями от х и t. Аналогичные оценки имеют место и в
случае несимметричных колебаний. В этой же работе [2.47]
10-2798
145

утверждается, что в такого рода задачах тип уравнения не
имеет значения.
В действительности существует возможность реализации
трех случаев при оценке порядка уточняющих членов, ука-
указанная Л. И. Седовым [2.3а] A972). Будем исходить из
однородного уравнения B0.50) и опишем кратко эти случаи.
1) Величина \2п\ S72\/2w0 более высокого порядка малости,
B0.66)
В этом случае главным в операторе типа B0.50) является
член, обусловленный инерцией, что соответствует быстро-
протекающим динамическим процессам. Тогда первое прибли-
приближение определяется гиперболическим оператором, т. е. по-
получаем уравнение типа Тимошенко B0.47).
2) Члены -г-? и k2al\/2\/2wQ являются величинами одного
порядка малости
B0.67)
Здесь дифференцирование по времени соответствует умень-
уменьшению w0 в i раз, т. е. инерция мала, и с учетом первого
приближения к кирхгофовскому получаем уравнение
'0 = 0 B0.68)
которое соответствует медленнопротекающи-м динамическим,
процессам.
3) -^т —величина более высокого порядка малости по
сравнению с i2aiS72V2w0. Этот случай соответствует квази-
квазистатическим процессам. В нулевом приближении имеем ста-
статическое уравнение Кирхгофа, в первом приближении — дина-
мическое уравнение Кирхгофа, во втором приближении —
уравнение B0.68).
Необходимо также отметить, что решение с точностью до
I2 уравнения вида
где Do. Du Мо и Mi — пространственно-временные дифферен-
дифференциальные операторы, допускает произвол в выборе операто-
операторов D, и Mj [3.118—3.121] A953—1958). Это приводит к
большим трудностям при построении уточненных теорий.
Д. Шлоттман [2.63] A968) приближенно рассмотрел про-
пространственные задачи свободных «изгибных» колебаний пря-
прямоугольных в плане упругих плит и случай цилиндрического
изгиба. Статические уравнения Ламе введением вспомога-
вспомогательной функции (${x,y,z) приводятся к бигармоническому
146
уравнению, два уравнения для продольных деформаций удов-
удовлетворяются тождественно. Удовлетворяются произвольные
граничные условия на поверхностях и некоторые гипотети-
гипотетические краевые условия на торцах. Инерционные силы зада-
задаются в виде распределенных нагрузок на поверхностях, про-
продольная инерция не учитывается.
Л. Б. Именитов [2.12, 2.13] A969) исследовал собственные
колебания прямоугольной шарнирно опертой пластины, ис-
исходя из трехмерных уравнений динамической теории упру-
упругости, к которым применяется асимптотический метод инте-
интегрирования. Напряженное состояние пластины представлено
в виде суммы основного медленно затухающего напряженно-
напряженного состояния и вспомогательных быстро затухающих от краев
напряженных состояний. Для их определения применяются
итерационные процессы. При этом первое приближение со-
соответствует классической теории, вычислены также второе и
третье, уточняющие приближения. Показано, что при отноше-
отношении ширины квадратной пластины к толщине a/ft=25 асим-
асимптотические поправки к частоте по классической теории пла-
пластин малы. Из сравнения с точным решением показана так-
также малость погрешности асимптотического решения даже
при a/ft=6.
Отметим также работы [2.22, 2.37, 2.38, 2.64, 2.201, 2.214,
2.215, 2.232].
Заметим, наконец, что применение аналитических подхо-
подходов к построению моделей пластин и оболочек требует при-
привлечения вариационных методов, которые наряду с замкну-
замкнутой системой уравнений дают также и краевые условия.
§ 21. Коэффициент сдвига
Формулы для определения коэффициента сдвига в уточ-
уточненной теории пластин типа Тимошенко приведены первона-
первоначально R. D. Mindlin'biM в 1951 году 02.150]. Для очень
коротких волн A-+0) из уравнения A9.13) получаем c = csk.
Это —скорость поверхностных волн Ралея, поэтому из соот-
соотношения! A9.9) при 1-*О имеем с учетом полученного соотно-
соотношения следующее уравнение
4|Л( 1 а/г2)A k2) = B k2J, 0<&<l B1.1)
Уравнение B1.1) позволяет подобрать корректирующий
коэффициент так, чтобы иметь наилучшую аппроксимацию
для фазовой скорости с при 1-+0.
Если же k определять из условий равенства частот при
решении трехмерной задачи и уточненного уравнения A9.5)
в случае асимметричной моды колебаний по толщине, то
получаем
*2 = Й B1-2)
10*
147

Формула B1.2) соответствует низшему корню дисперси-
дисперсионного уравнения и очень близка к полученной в статической
уточненной теории Рейсснера &2=5/6. Соотношения B1.1) и
B1.2), следовательно, дают два различных значения коррек-
корректирующего коэффициента к. Величины k совпадают только
при v=0.176. Впоследствии описанный метод определения
коэффициента сдвига был подвергнут критике в работе
G. R. Cowner'a" [1.138} A966). Тем не менее, результат
R. D. Mindlin'a имел большое значение, так как он определил
интервал, внутри которого может находиться величина коэф-
коэффициента сдвига.
В уточненной теории колебаний анизотропных пластин
R. D. Mindlin [2.152] A952) применил аналогичный подход.
Из сравнения решения, описывающего сдвиговые то толщине
колебания пластины, с точным решением для бесконечного
слоя получена формула для коэффициента сдвига
к* = ±аЦ\+е%/с66К2) B1.3)
где ai — наименьший корень уравнения
tgian = а„ A + с66/е2бК2)
а е26, К.2 и Сев — пьезоэлектрическая, диэлектрическая и
упругая постоянные.
¦J И. Т. Селезов G2.50] A960), исходя из метода степенных
рядов, нашел выражение для коэффициента сдвига, которое
соответствует аппроксимации Тимошенко
k2 = 2 B1.4)
2 —V + V0.5 + V2
Формула B1.4) получена из сравнения для изгибной волны
характеристики, соответствующей уравнению Тимошенко
A9.5), и характеристики, соответствующей уточненному
уравнению B0.49), полученному из трехмерных уравнений
динамической теории упругости как их двухмодовая аппрок-
аппроксимация. Более точное значение коэффициента сдвига было
определено также из трехмодовой аппроксимации B0.5), как
низший корень уравнения
fe6_*Lfe4+ *Lfe2_b О
b b b
но в этом случае формулу в явном виде из-за громоздкости
нет смысла выводить [2.52, 3.67] A961).
Относительно определения коэффициента сдвига путем
приравнивания фазовых скоростей [2.1501 можно сказать
следующее. Точная теория дает бесконечное число мод, в то
время как любая приближенная теория описывает конечное
число низших мод. С увеличением частоты колебаний волны
') Подробнее ом. § 6.
148
становятся поверхностными, т.е. имеет место эффект, ана-
аналогичный образованию скин-слоя при распространении элект-
электромагнитных волн. В этом случае основная часть энергии
переносится в некотором поверхностном слое, а внутренние
слои оказываются бесполезными, и поэтому возможен пере-
переход к полому волноводу. Приближенная теория не в состо-
состоянии аппроксимировать этот эффект. Ясно, что кривые фа-
фазовых скоростей трехмерной и приближенной двумерной тео-
теории в случае высоких частот принадлежат различным
видам деформаций. Отсюда следует, что определение корректи-
корректирующего коэффициента (коэффициента сдвига) приравни-
приравниванием частот не является обоснованным так же, как и
утверждение о том, что корректирующий коэффициент ком-
компенсирует влияние отброшенных членов в разложениях, ес-
если применять усечение степенных рядов [2.163].
В работе J. Miklowitz'a [2.148] A960) получено следую-
следующее выражение для коэффициента сдвига
?2 = 0.76+0.3v B1.5)
На фиг. 2.3 [2.52] дано сравнение коэффициентов сдвига k,
соответствующих различным теориям. Здесь k\—соответст-
k\—соответствует точному решению B1.1) для поверхностных волн Релея;
D.SO
0.1
ОМ 8.5
0.1 0.3
t
Фиг. 2.3. Коэффициенты сдвига
^2 —точное решение B1.2) для низшей асимметричной моды;
6з1-— получено по формуле B1.4) двухмодовой аппроксима-
аппроксимации; ks\ — соответствует трехмодовой аппроксимации B0.50);
пунктирная линия построена по формуле B1.5).
§ 22. Исследование уточненных уравнений и сравнение
с точными решениями
Исследование уточненных уравнений, доказательство их
гиперболичности и ряд других вопросов рассматриваются
аналогично тому, как это было сделано для стержней", и
149

здесь повторяться не будут. Число работ, в которых выпол-
выполнено сравнение уточненных динамических теорий пластин с
точными решениями, невелико, т. к. количество точных ре-
решений динамических задач мало. Такие сравнения имеются
в работах [2.150, 2.50, 2.97, 1.51, 2.163, 2.107], а также в не-
некоторых работах, рассмотренных в других параграфах этой
главы.
Дисперсию симметричных и изгибных волн в бесконечной
упругой пластине в постановке классической теории упруго-
упругости исследовали впервые Релей [2.182] A888) и Г. Лэмб
[2.121] A889). Некоторые сравнения приближенной теории
типа Тимошенко с решениями плоской деформации для
упругого слоя имеются у J. Prescott'a21 [1.283] A942).
В работе L. Cremer'a [2.82]
A943) обсуждаются фа-
фазовые скорости при распрост-
распространении волн в балке Тимо-
Тимошенко и в пластине согласно
уравнениям теории упругос-
упругости. В последнем случае пост-
построены дисперсионные кри-
кривые симметричных и несим-
несимметричных колебаний.
ч I
5.0
R. D. Mindlin [2.150]
A951) выполнил сравнение
дисперсионные уравнений
следующих из точной тео-
теории и из приближенных
теорий31.
И. Т. Селезовым [2.50—
2.52, 3.67] A960) было пока-
Фиг. 2.4. Сравнение фазовых ско- зано из сравнения С точ-
ростей по различным теориям ным решением, Г. Лэмба
[2.121] динамической задачи
для слоя, что для описания
дисперсии ивгибных волн двухмодовая аппроксимация типа
Тимошенко B0.49) применима при отношении длины волны /
к толщине пластины 2/г (//2/г)>7, а трехмодовая аппроксима-
аппроксимация B0.50)—при {l/2h)>2. Приведено также сравнение ре-'
зультатов, вытекающих иэ различных приближенных теорий,
с результатами точных решений (фит. 2.4), откуда видно, что
классическая теория и другие параболические аппроксима-
аппроксимации хуже, чем такой же сложности гиперболические аппрок-
аппроксимации. Кривая 1 соответствует параболической одномодо-
>>См. [3.67] A960)
2> См. стр. 32.
3> См. стр. 121 и
150
вой аппроксимации A8.1)—теория Кирхгофа; 2 — двухмо-
двухмодовая гиперболическая аппроксимация B0.49)-—теория типа
Тимошенко; 3 — трехмодовая гиперболическая аппроксима-
аппроксимация B0.50); 4 — точное решение Лэмба; 5 — соответствует
уравнению B0.62).
R. R. Goodman [2.97] A961) рассмотрел колебания бес-
бесконечной упругой пластины с учетом реакции окружающей
•ее среды. Он приближенно исследовал отражение от пласти-
пластины плоской звуковой гармонической волны, падающей под
углом 0 на пластину, исходя из метода степенных рядов и
¦следуя работам P. S. Epstein'a [3.84] и Е. Н. Kennard'a
[3.118]. Было введено предположение о том, что искомые
функции можно разложить в сходящиеся ряды Тейлора.
Исходная задача была сведена к решению четырех прибли-
приближенных уравнений. На границе раздела двух сред удовлет-
удовлетворялись условия равенства нормальных прогибов и нор-
нормальных напряжений и условие отсутствия касательных на-
напряжений. Разлагая в точном решении трансцендентные*
функции в ряды, автор показал, что с точностью до членов
первого порядка малости по толщине приближенные и точ-
точные решения совпадают. В то же время приближенный под-
подход существенно упрощает решение задачи и поэтому яв-
является выгодным в задачах акустики.
В работе J. R. Lloyd'a и J. Miklowitz'a [2.132] A962) рас-
рассматриваются колебания пластины на упругом основании.
Анализируется дисперсионное уравнение, соответствующее
трехмерным уравнениям теории упругости, и дано сравнение
с результатами приближенных теорий: классической и Тимо-
Тимошенко. Упругое основание характеризуется коэффициентом
постели Ке, толщина пластины равна h. Для трех низших
мод при различных Ке изображены зависимости частоты Q
от комплексного волнового числа z. При абсолютно жестком
основании /Се-*00 такая задача оказывается эквивалентной
задаче о симметричных колебаниях слоя толщиной 2h.
В другом предельном случае Ке~+0 имеем свободные колеба-
колебания слоя толщиной h. Установлено, что с увеличением часто-
частоты влияние Ке убывает и частотный спектр приближается к
' спектру колебаний свободной пластины. Классическая теория"
применима лишь при низких частотах, а теория типа Тимо-
Тимошенко и качественно и количественно лучше согласуется с
точной теорией.
Теория типа Тимошенко хорошо аппроксимирует фазовые1
и групповые скорости и менее удовлетворительно — напря-
напряженное состояние: для первой моды при низких частотах
согласование с точным решением неплохое, для второй — ху-
хуже. Эти исследования были частично выполнены J. Pres-
cott'oM [1.283] A942), а затем более подробно А. И. Мянни-
лом и У. К. Нигулом [2.35, 2.39] A963). В последующих
151

работах [2.40] A965), [2.36] A966) [2.172] A968) в основном
повторяются полученные ранее результаты.
В. В. Новожилов и Л. И. Слепян [1.51] A965) исследо-
исследовали переходные процессы в бесконечной пластине в усло-
условиях плоской деформации под воздействием объемной силы
(или момента), изменяющейся по координате и времени как
6-функция. Методом интегральных преобразований Фурье и
Лапласа построены приближенные асимптотические решения
для малых моментов времени. Авторы исходили из уравне-
уравнений теории упругости и приближенных уравнений продольных
и изгибных колебаний пластины. Проведено сопоставление
этих решений. В случае «есамоуравновашенной продольной
нагрузки обнаружен квазифронт, распространяющийся со ско-
скоростью Cp = Y~E/(l—v2)p. Обнаружены также квазифронты и
в случае распространения «згибной деформации. Показана
применимость принципа Сен-Венана для исследования дина-
динамических процессов в стержнях, кроме случая периодических
возмущений. В связи с этим отмечается пригодность класси-
классических и уточненных уравнений для исследования резко
изменяющихся переходных процессов. Сделан вывод о том,
что при рассмотрении переходных процессов в стержнях
можно применять и уравнение Бернулли—Эйлера, начиная
с т = 7-М0 (x=cet/h). В то же время уравнение Тимошенко
дает правильную информацию при т<7, например, оценка
динамической податливости правильна до т=0. A. D. Achen-
bach, S. P. Keshava « G. Herrmann [2.66] A967) исследова-
исследовали распространение свободных упругих волн в пластине, ле-
лежащей на упругом полупространстве, при жестком или
скользящем контакте. Результаты уточненной и классической
теорий сравниваются с точным решением уравнений теории
упругости. На фиг. 2.5а приведена зависимость фазовой
скорости р (низший корень) от волнового числа | при сле-
следующих данных: отношение модулей сдвига y = G\/G = 0A;
отношение плотностей 9 = pi/p = 0.75; коэффициент Пуассона
vi=v=0.25; коэффициент сдвига & = 0.845. На фиг. 2.56 я
2.5в построены перемещения (и — продольное, w — попереч-
поперечное). Сплошная, пунктирная и штрих-пунктирная линии от-
относятся, соответственно, к решениям по теории упругости,
уточненной теории пластин и классической теории пластин.
Как видно, для податливого и легкого слоя совпадение дис-
дисперсионных кривых хорошее при малых волновых числах.
Авторами показано, что в случае жесткого и тяжелого слоя
наблюдается хорошее совпадение во всем диапазоне волно-
волновых чисел лишь для уточненной теории пластин. Показана
также, что область волновых чисел, где наблюдается хоро-
хорошее совпадение, значительно меньше для перемещений, чем
для фазовых скоростей (фиг. 2.56 и 2.5в). В этой задаче,
по-видимому, необходим учет движений по толщине.
152
В работе [2.195] A970) приведено точное решение задачи
о свободных колебаниях толстой свободно опертой прямо-
прямоугольной пластины. Выполнены расчеты на ЭЦВМ ряда соб-
собственных значений и распределения напряжении, которые
сравниваются с результатами уточненной теории пластин ти-
типа Тимошенко и с результатами классической теории. Рас-
Рассчитаны симметричные и антисимметричные колебания отно-
IQ
5)
-1
V
w
Фиг. 2.5. Дисперсионные кривые и переме-
перемещения для податливого слоя и жесткого
контакта
153

-сительно срединной поверхности. Результаты сравниваются в
табличной форме. Для изгибных и толщинно-сдвиговых
частот теория типа Тимошенко точна даже для больших от-
относительных толщин и высоких мод, классическая же теория
для изгибных частот справедлива только для тонких пластин,
с относительной толщиной не более 1/5. Распределения
напряжений и перемещений по толщине, вычисленные по
классической и уточненной теориям, сильно отличаются от
реальных распределений.
§ 23. Распространение волн и вынужденные колебания
Неустановившиеся динамические процессы исследованы в
основном в бесконечных или полубесконечных пластинах, что
связано в первую очередь с математическими трудностями.
Кроме того, интересно было выяснить возможности двухмо-
довой аппроксимации 'при малых временах от начала воз-
возбуждения, и поэтому не имело смысла усложнять задачу до-
дополнительными условиями.
Задачу о действии сосредоточенной импульсной силы на
бесконечную пластину рассматривал в 1948 г. Я. С. Уфлянд
[2.59]. В 1966 г. М. -A. Dengler [2.84} построил решение для
бесконечной пластины, напруженной сосредоточенной поле-
речной силой q = 6(r)d(t). Здесь 6(t)—б-функция Дирака.
После применения преобразования Лапласа по г и t решения
записываются в виде беконечных рядов по степеням коорди-
координатного параметра преобразования. Из дифференциальных
уравнений в этом случае следуют рекуррентные соотношения
для определения неизвестных коэффициентов рядов.
М. В. Дубинкин [2.10] A959) исследовал распространение
осесимметричных волн в бесконечной пластине от круглого
отверстия с краем, нагруженным поперечной распределенной
силой, изменяющейся во времени как б-функция. Однород-
Однородные уравнения записываются в виде
B3.1)
Граничные условия в пространстве лапласовых изображений
'*" ' 'Чг-Q' Ф, = 0 при r = r0 B3.2)
Решение построено в виде интегралов Римана—Меллина,
которые были вычислены в работе [2.59]. Предельным перехо-
переходом при го-Н> получено выражение для поперечной силы в
явном виде, которое иллюстрировано графически. Установ-
Установлено, что при Г(Г* поперечная сила AV-*00, однако обоснова-
154
ние такого предельного перехода отсутствует. По-видимому,
полученное решение справедливо лишь нр.и конечных г0.
В работе В. М. Дубинкина [2.9] A958) для решения уточ-
уточненных уравнений изгибных колебаний прямоугольных плит
применяется метод разложения искомых функций по собст-
собственным функциям. Для квадратной свободно, опертой пласти-
пластины при действии мгновенного импульса приведен пример и ^
дано сравнение с классической теорией. Показано, что учет
инерции вращения и сдвига существенно уменьшает макси-
максимальные значения прогибов и изгибающих моментов.
В работе W. E. Jahsman'a [2.105] A958) применяется ме-
метод характеристик к интегрированию уточненных уравнений
симметричных относительно срединной поверхности колеба-
колебаний пластин [2.111] и поперечных колебаний в приближении
Тимошенко. Метод применяется к системам уравнений пер-
первого порядка относительно усилий и скоростей. Рассмотрено
распространение разрывов в бесконечной пластине от нагруз-
нагрузки, приложенной по кольцу в плоскости или перпендикулярно
пластине. Определены скорости распространения и измене-
изменения амплитуд волновых фронтов. Решения по дуговой коор-
координате 8 разыскиваются в виде рядов Фурье по cosnQ и
¦siimB. Из полученных решений следует, что радиальное из-
изменение волновых фронтов зависит от п. Показано также,
что амплитуда во всех случаях убывает с расстоянием г как
г/2-
И. Т. Селезов [2.52] A961) рассмотрел колебания пласти-
пластины в условиях плоской деформации при действии сосредото-
сосредоточенной силы, изменяющейся во времени как функция Хеви-
сайда, на основе построенных ранее уравнений трехмодовой
аппроксимации B0.50). Сравнение с двухмодовым прибли-
приближением типа Тимошенко B0.49) и с классической теорией
у
/
У
/
<--
А
У
О 0.1 0.1 0.3 ОМ
t*
Фиг 2.6. Изменение прогиба после
внезапного приложения поперечной
сосредоточенной силы
показывает, что полученное решение при малых временах i
уточнение (см. фиг. 2.6, где по оси орди
величина wo* = wQl2h, по оси абсцисс-величи-
155

на t* = tcg/2h, Wo — прогиб, t — время, 2/г — толщина пластины.
Цифрой 1 обозначена кривая, соответствующая одномодовой
аппроксимации — теория Кирхгофа, цифрой 2 — двухмодовая
аппроксимация — теория Тимошенко, цифрой 3 — трехмодо-
вая аппроксимация). Установлено также, что в случае трех-
модовой аппроксимации нельзя удовлетворить условию глад-
гладкости функции прогиба wq на поверхности приведения в ок-
окрестности приложения силы. Такой же результат был ранее
установлен М. Ш. Флексером [1 78] A958) для двухмодовой
гиперболической аппроксимации типа Тимошенко Как из-
известно, параболическая аппроксимация удовлетворяет усло-
условию гладкости. На основе этих работ можно сделать вывод
о том, что в классе рассматриваемых гиперболических аппро-
аппроксимаций повышение порядка аппроксимаций не устраняет
особенность в производной функции прогиба dwofdx.
В работе B.6] A965) исследуются неустановившиеся вол-'
новые процессы в плитах на основе уравнений типа Тимошен-
Тимошенко. Применяется метод преобразования Лапласа и числен-
численный конечноразностный метод. Первым методом построены
асимптотические прифронтовые решения, вторым — множест-
множество графических иллюстраций на некотором удалении от фрон-
фронтов. Рассмотрены изгибные колебания свободно опертой по-
полосы, к краю которой прикладывается скачок изгибающего
момента, и бесконечная пластина, нагруженная сдвигающей
силой вдоль прямой или сдвигающей силой от торца круглой
абсолютно жесткой вставки. Во всех случаях нагрузка по
времени представляется функцией Хевисайда, начальные ус-
условия нулевые. В первой задаче рассмотрены случаи:
а) фронтовые разрывы не достигли противоположного края;
б) волна изгиба отразилась от края, а волна сдвига нет;
в) обе волны отразились; г) волна изгиба имеет вторичное
отражение. Показано, что изгибающий момент имеет единич-
единичный разрыв, а поперечная сила не имеет разрывов. Для пяти
моментов времени построены изгибающий момент, попереч-
поперечная сила, угол поворота, прогиб. В [2.36] A966) метод сеток
сравнивается с методом перевала с точки зрения исследова-
исследования переходных процессов в пластине на основе уточненных
уравнений
Р. С. Chou [2 81] A966) изучал колебания бесконечной
пластины с круговым отверстием, нагруженной осесиммет-
рично по контуру распределенной нагрузкой типа поперечной
силы или изгибающего момента. Закон изменения во време-
времени задается классом функций fh(t), линейных в интервале
0<t<th и постоянных в интервале tk<t<°°. Движение плас-
пластины описывается системой двух гиперболических уравнений
второго порядка типа Тимошенко. Для решения задачи при-|
меняется метод характеристик, реализуемый численно ко-
нечйоразностной схемой с достаточно мелким шагом сетки.
156
Исследуется подробно случай интегрирования вдоль четырех
характеристических направлений. Показано, как определять
значение искомой функции в точках пересечения характери-
характеристик, наклонно проходящих по отношению к исходной сетке.
Для конкретных численных параметров приведены графики,
характеризующие изменения поперечных сил и изгибающих
моментов в зависимости от времени, позволяющие обнару-
обнаружить максимумы. При достаточно малых th (входная функ-
функция мало отличается от функции Хевисайда) и th = Q (функ-
(функция Хевисайда) результаты мало отличаются.
Н. Reismann [2.183] A968) применил метод разложения
по собственным функциям для решения задачи о колебани-
колебаниях пластины, описываемых уравнениями, учитывающими де-
деформацию сдвига и инерцию вращения, при произвольной по-
поверхностной нагрузке и произвольных граничных и начальных
условиях. В качестве примера рассмотрены колебания коль-
кольцевой пластины, защемленной по наружному и внутреннему
контурам. Последний мгновенно смещается так, что возни-
возникает поперечная сдвигающая сила, изменяющаяся во време-
времени как функция Хевисайда. Построены поперечные перемеще-
перемещения и изгибающие моменты в зависимости от времени по
уточненной и классической теориям. Различие в основном
сводится к сдвигу во времени локальных максимумов и ми-
минимумов. Для частотного спектра, как видно из фиг. 2.7, раз-
« 5
/
/-
/
1
1
1 /
Г
А—
'Л
—--—
/
/
/
,
-^
0.2
а а
—¦
У
3
г
"Г
0.5
h/a
Фиг. 2.7. Частотный спектр колеба-
колебаний кольцевой пластины
литие существенно: классическая теория дает завышенные
значения частот. Кривые на фиг. 2.7 построены для отноше-
отношения внутреннего радиуса пластины к наружному р = 0.2 и
коэффициента сдвига &2=0.86; hja — отношение толщины к
внешнему радиусу пластины. Сплошная линия соответствует
уточненной теории, пунктир — классической теории.
P. A. Laura [2.124] A968) привел уточненные уравнения
для орготропных пластин в двух вариантах: 1) с ооредненны-
157

ми характеристиками и 2) с учетам дискретного расположе-
расположения ребер. Рассмотрены вынужденные колебания свободно-
опертой прямоугольной пластины с учетом инерции вращения
и вязкого демпфирования. Нагрузка равномерно распределе-
распределена в некоторой прямоугольной области и экспоненциально
зависит от времени. Получено решение для прогиба в виде
ряда Фурье. Предельным 'переходом получено решение для
сосредоточенной силы, которая затем рассмотрена как слу-
случайная. Отмечается, что влияние инерции вращения возраста-
возрастает с увеличением частоты и высоты ребер.
Н. A. Koenig и N. Davids [2.115] A968) исследовали не-
неустановившиеся волновые процессы в балках и пластинах
конечной протяженности с учетом инерции вращения и сдви-
сдвига. Записаны уравнения метода конечных элементов для бал-
балки и круговой пластины. Затем приведены численные резуль-
результаты для консольной балки и кругового кольца, защемленно-
защемленного по внешнему контуру. На свободном конце или контуре
прикладывается изгибающий момент или сдвигающая сила,
изменяющаяся во времени как функция Хевисайда или имею-
имеющая наклонный начальный участок. В каждом случае по-
построены графики изгибающего момента и сдвигающей силы
для фиксированной координаты в зависимости от времени
при различных длинах. Интервал времени достаточно велик,
чтобы учесть многократные отражения. Показано, что учет
отраженных волн приводит к значительному увеличению нор-
нормальных и сдвигающих напряжений по сравнению с полу-
полубесконечным телом (например, в два раза). Причем, макси-
максимальные напряжения имеют место после нескольких отраже-
отражений, что объясняется наличием дисперсии волн. Уменьшение
длины балки и переход от постепенного нагружения к сту-
ступенчатому приводит к обострению экстремумов моментов и
сил. На основании сравнения метода конечных элементов и
метода характеристик утверждается, что первый более эф-,
фективен. Отмечается также эффективность метода конечных'
элементов по сравнению с любым численным методом в слу-
случае конечных областей.
В [2.116] A969) к исследованию волновых процессов в.
балках применяется метод конечных элементов, который су-
существенно отличается от метода конечных разностей тем,
что не требуются дифференциальные уравнения, а основные
зависимости рассматриваемой модели прилагаются непосред-
непосредственно к ячейке конечных произвольных размеров. Времен-
Временной же интервал выбирается из условия устойчивости. Вво-
Вводятся два вида демпфирования пропорционально угловой и
поперечной мгновенным скоростям, <что соответствует экспо-
экспоненциальному во времени затуханию. Рассмотрены колебания
консольной балки при сдвиговом резонансном синусоидаль-
158
ном возбуждении на конце, соответствующем основной форме
колебаний. Построенные во внутренней точке решения для
изгибающего и сдвигающего усилий без демпфирования не-
неограниченно воарастают, демпфирование приводит к устано-
установившимся колебаниям постоянной амплитуды. Аналогичная
задача рассмотрена при нагружении балки скачком сдвига
на ее конце. Как предельный случай 'при полном демпфиро-
демпфировании получены дл-я прогиба статические решения, обнару-
обнаруживающие увеличение прогиба на 25% за счет сдвига, кото-
который в случае коротких объектов существенен и в статических
задачах. Построены решения для радиального и тангенци-
тангенциального изгибающих моментов в кольцевой пластине вблизи
края, снаружи свободно опертой, а внутри нагруженной со-
сосредоточенным моментом, внезапно шрилагаемым.
J. R. Lloyd и J. Miklowitz [2.133] A962) исследуют распро-
распространение неустановившихся волн в пластине на упругом
основании, возбуждаемых источником q = q0H(t)&(x). Здесь
H(t)—функция Хевисайда, 6(*)— б-функция. Рассматрива-
Рассматриваются случаи симметричного и антисимметричного возбужде-
возбуждения колебаний в пластине относительно срединной 'поверхно-
'поверхности. Указанные задачи решены методом двойных интеграль-
интегральных преобразований на основе уточненных уравнений типа
Тимошенко и уравнений плоской теории упругости. Основное
внимание уделяется приближенному асимптотическому обра-
обращению изображений.
И. Т. Селезов и Л. В. Селезова B.55—2.57] A970) при-
применяли уточненное уравнение типа Тимошенко B0.49) к ис-
исследованию колебаний бесконечной пластины, обтекаемой
электропроводящим магнитогазодинамическим потоком при
наличии магнитного поля.
Влияние инерции вращения на флаттер слоистых панелей
оценивалось в работе [2.139] A971).
W. W. Walter, G. L. Anderson [2.213] A970) изучали рас-
распространение упругих волн в безграничной изотропной плас-
пластине, соприкасающейся верхней боковой поверхностью с жид-
жидким слоем конечной толщины, а нижней — с вакуумом. Дви-
Движение пластины описывается двумя волновыми уравнениями
теории упругости в случае плоской деформации. Исследо-
Исследовано дисперсионное уравнение в случаях длинных и корот-
коротких волн. Численные результаты представлены для алюмини-
алюминиевой пластины, находящейся в контакте с водой и ртутью.
Получено также решение уравнения колебаний пластин с
учетом поперечных сдвигов и инерции вращения при произ^
вольных длинах волн.
А. П. Филиппов и В. А. Скляр [2.60, 2.61] A971) рассмот-
рассмотрели задачи центрального соударения тяжелого тела со сво-
свободно опертой квадратной или круговой пластиной, попереч-
159

дые .колебания которой описываются уточненными
уравнениями типа Тимошенко. В предположении, что на
круговой площадке контакта задана равномерно распреде-
распределенная поперечная нагрузка, равнодействующая которой рав-
равна контактной силе P(t), построено операционным методом
решение для прогиба w в виде двойного ряда в случае пря-
прямоугольной 'пластины и в виде ряда по функциям Бесселя в
случае круговой пластины. Местное сжатие при контакте по
шаровой поверхности учитывается по теории Герца, а кон-
контактное давление определяется из функционального уравне-
уравнения Тимошенко. Решение связанной задачи после разбиения
периода колебаний на малые интервалы, в каждом из кото-
которых закон изменения силы взаимодействия принимается ли-
линейным, получено численным интегрированием. Приведены в
виде графиков результаты расчетов по классической теории
пластин Кирхгофа и уточненной теории типа Тимошенко. По-
Показано, что при уточнении максимальная контактная сила
Ртах и напряжения изгиба о уменьшаются, а максимальный
прогиб штах увеличивается. В [2.61] принята заниженная ве-
величина коэффициента сдвига fc = 2/3. R. D. Mindlin1' показал,
что даже минимальное значение коэффициента сдвига, соот-
соответствующее точному решению динамической задачи теории
упругости для первой иэгибной моды, равно fe = jt2/12 [2.150]
A951). Правильный выбор коэффициента сдвига может не-
несколько улучшить соответствие с трехмерной теорией, и, сле-
следовательно, с экспериментами.
Отметим также работы [2.19, 2.35, 2.39—2.41, 2.66, 2.69
2.72, 2.87, 2.90, 2.104, 1.212, 2.110, 2.123, 2.132, 2.135, 2.148,
2.159, 2.168—2.170, 2.179, 2.180, 2.193, 2.194, 2.198, 2 200, 2 202
5.220—2.222, 2.226].
§ 24. Свободные колебания прямоугольных пл#стин
Задачи на собственные значения в уточненной постановке
рассмотрены главным образом для прямоугольных и круго-
круговых 'пластин.
В. В. Болотин [2.5, 2.73] A965) оценил влияние инерции
вращения и сдвига на плотность собственных значений для
пластин. Это существенно в случае достаточно больших вол-
волновых чисел. Учет этих эффектов приводит к увеличению
плотности собственных значений и тем больше, чем выше
частота.
R. D. Mindlin, A. Schacknow и Н. Deresiewicz [2.158] A956)
исследуют свободные колебания прямоугольных изотропных
пластин постоянной толщины по уточненной теории типа Ти-
Тимошенко, исходя из результатов статьи [2.150]. Задача состо-
состоит в отыскании решений трех несвязанных уравнений Гельм-
1>См. §21.
160
гольца для потенциалов, причем эти решения должны удов-
удовлетворять двенадцати граничным условиям. Рассмотрены два
варианта граничных условий: все кромки свободно оперты;
две противоположных кромки свободно оперты, а две — сво-
свободны. Граничные условия на свободно опертой кромке выра-
выражают отсутствие изгибающих моментов, прогибов и поворотов
в плоскости опертого торца
Мх = 0, 1|)у=0, ш=О лри х = а B4.1)
Граничные условия на свободной .кромке выражают отсутст-
отсутствие изгибающих и крутящих моментов и поперечных усилий
Мх=0, Мух=О, QX=O при х = а B4.2)
Исследованы моды колебаний и собственные частоты. Уточ-
Уточненная теория описывает три типа движений: нагибные, тол-
щино-сдвиговые и толщино-крутильные. Два последних дви-
движения классическая теория не описывает. Толщинно-кру-
тильные колебания связаны со взаимными поворотами tyx и
ч|зу. При свободном стирании всех кромок связь между тре-
тремя типами движений отсутствует, во втором варианте гранич-
граничных условий все типы движений взаимосвязаны. Рассмотрен
случай упругого опирания, с помощью которого анализи-
анализируется переход от свободных кромок к свободно опертым и
вырождение связи между движениями.
Z. Kaczkowski [2.108] A960) изучил малые колебания ани-
анизотропной тонкой упругой пластины. Учитывались инерция
вращения и поперечный сдвиг, силы в плоскости пластины и
реакция сплошного упругого винклеровского основания. Си-
Система двух дифференциальных уравнений относительно про-
прогиба вследствие изгиба wT и прогиба wM вследствие сдвига
LlwM+L2wT = q, L3wM+LiWT = q B4.3)
пугем подстановки wT = L5O, wT = L6O преобразуется к одно-
одному дифференциальному уравнению шестого порядка
q B4.4)
Здесь L\, L2, Ls — временные и пространственные операторы
четвертого порядка; L3, L4 — второго порядка; L5 — простран-
пространственный оператор второго порядка. Исследуются гармониче-
гармонические колебания ортотропнои прямоугольной пластины, на кра-
краях которой прогиб, изгибающий момент и производная
прогиба по контуру равны нулю. Тогда Ф представляется в
виде двойного ряда синусов. Давление q взято в аналогич-
аналогичной форме, как гармоническая функция времени. Получены
формулы для частоты с учетом поперечного сдвига и инерции
вращения, с учетом только поперечного сдвига, с учетом
только инерции вращения, в пренебрежении сдвигом и инер-
инерцией вращения. Для квадратной однородной пластины по-
11-2798
161

строены зависимости изменения частоты от величины отноше-
отношения толщины пластины к ее длине.
В уточненной постановке свободные колебания и динами-
динамическую устойчивость прямоугольной ортотропной и трансвер-
сально изотропной пластины при свободном опирайии рас-
рассматривали С. А. Амбарщумян и А. А. Хачатрян [2.2] A960).
В аналогичной постановке А. П. Мелконян и А. А. Хачат-
Хачатрян [2.26] A966) исследовали свободные колебания транс-
версально изотропной круговой пластины.
В. Н. Москаленко [2.31] A962) для опертой трехслойной
пластины на основе трехмерных уравнений теории упругости
получил систему частотных уравнений, из которой можно вы-
выделить корни, соответствующие уточненным уравнениям ко-
колебаний пластины. Исследуются свободные колебания опер-
опертой по краям прямоугольной пластины на основе трехмерных
уравнений. Частотное уравнение распадается на два транс-
трансцендентных уравнения. Обнаружено, что первый корень вто-
второго уравнения соответствует классической теории изгиба, а
один корень первого уравнения и два корня второго соответ-
соответствуют рассматриваемым уточненным уравнениям. Показа-
Показано, что эти уравнения дают удовлетворительное приближение
для трех серий частот. Необходимо отметить также работы
[2.30, 2.32—2.34].
Т. С. Huang [2.103] A964) применил методы Релея, Рит-
ца и Бубнова для определения собственных частот изгибных
колебаний пластин согласно уточненной теории типа Тимо-
Тимошенко. Метод Релея применяется для определения фундамен-
фундаментальной частоты, выражение для которой следует из прирав-
приравнивания максимальных потенциальной и кинетической энер-
энергий. Рассмотрены условия ортогональности и на примере пря-
прямоугольной свободно опертой пластины сопоставляются
методы Ритца и Бубнова. Они приводят к одинаковым ре-
результатам, если применяются одни и те же аппроксимиру-
аппроксимирующие функции.
В работе В. Г. Ключниковой [2.18] A966) трехмерная ди-
динамическая задача для слоя бесконечной протяженности при-
приводится к двумерной методом степенных рядов. Полученные
аппроксимации перемещений затем применяются для опре-
определения низшей частоты собственных изгибных колебаний
квадратной плиты со свободными краями.
Колебания анизотропной пластины с учетом инерции вра-
вращения и деформации сдвига рассмотрены В. П. Красюковым
[2.21] A966). Выведены уравнения на основе модели Тимо-
Тимошенко. Коэффициент сдвига ? = 5/6 принят такой же, как и в
статической теории Рейсснера [2.184—2.186] A945). Для квад-
квадратной трансверсально изотропной пластины в случае шар-
шарнирного опиранияполучена приближенная (формула низшей
частоты. Численно показано, что с увеличением трансверсаль-
162
ности разница в частотах, определяемых уточненной и
классической теориями изгиба, возрастает.
R. D. Mindlin и Р. С. Y. Lee B.166] A966) уточненные
уравнения поперечных колебаний кварцевой пластины АТ-
среза постоянной толщины применили для исследования вли-
влияния частичного электродного покрытия на резонансы и обер-
обертоны, возникающие м«жду предельными частотами покрытых
и непокрытых частей.
•J С. Т. Wu и J. R. Vinson [2.218] A969) исследовали коле-
колебания ортотропных пластин с учетом инерции вращения и
сдвига, причем отношение модуля упругости в плоскости к
модулю упругости поперечного сдвига очень велико (до 50)
по сравнению с изотропной пластиной (до 3). Это характер-
характерно для композитных материалов. Исходя из вариационного
принципа получена система восьми уравнений, которые сво-
сводятся к трем уравнениям относительно прогиба и двух углов
поворота. В случае свободного опирания четырех краев пря-
прямоугольной пластины получено частотное бикубическое урав-
уравнение. Для типичного композитного материала исследуется
отношение квадратов частот поперечных колебаний на основе
построенных уточненных уравнений, но без учета инерции вра-
вращения, и по классической теории. Показано, что учет попе-
поперечного сдвига приводит к существенному уменьшению час-
vJ тоты даже при малых относительных толщинах пластин.
В работе А. К. Шалабанова [2.62] A971) определяются
собственные частоты колебаний свободно опертой прямо-
прямоугольной ортотропной пластинки в уточненной полуобратной
постановке. Учитываются поперечные сдвиги (распределение
касательных напряжений по толщине задано), нормальные
поперечные напряжения и инерция вращения. Выполнены
численные расчеты частот для стеклопластика ВФТ-С, ре-
результаты которых представлены в виде графиков, демонстри-
демонстрирующих влияние уточняющих факторов на уменьшение час-
частот. Аналогичная задача рассмотрена для пластины, несу-
несущей расположенную посредине массу.
D. Schlottmann [2.189, 2.190] A967) исследует свободные
колебания прямоугольных пластин в уточненной постановке.
Используется решение статической задачи теории упругости
для толстой пластины в форме Буссинеска1'. Это решение до-
дополняется учетом динамических эффектов. Предполагается,
что массовые силы сосредоточены на боковых поверхностях
пластины. Силы инерции учитываются как внешние нагрузки
в теории пластин Кирхгофа, инерция вращения не учитывает-
учитывается. Таким образом, динамические эффекты учитываются
приближенно в граничных условиях. Рассмотрен случай гра-
'' Boussinesq J. Sur la resistance d'un anneau a la flexion С. г. Acad.
sci., 1883, 97, № 21, 1131—1132.
11*
163

ничных условий, близких к свободному отиранию. Всем гра-
граничным условиям удовлетворить не удается, на торцевых по-
поверхностях остаются не равные нулю касательные напряже-
напряжения. Дано сравнение с теорией Кирхгофа для первых шест-
шестнадцати форм колебаний.
Колебания упругих изотропных /прямоугольных пластин
с учетом только инерции вращения рассматривал М. Hase-
gawa [2.104] A967). В работе методом Ритца определен-а низ-
низшая частота для защемленных пластин при различных тол-
толщинах и соотношениях их сторон. Показано, что учет инерции
вращения снижает частоту и тем больше, чем толще пластина
и чем меньше разнятся длины сторон. Поправки незначитель-
незначительны, так как рассматривается низшая частота.
Определение собственных частот 'проводилось и в других
работах, некоторые из них описаны в § 19 и в работах [2.12,
2.13, 2.28, 2.127, 2.130, 2.131, 2.134, 2.165, 2.192, 2.196, 2.199,
2.204, 2.207, 2.219].
§ 25. Свободные колебания круговых пластин
Решение задачи о свободных осесимметричных колебани-
колебаниях пластины на основе уравнений типа Тимошенко дано
Е. Reissner'oM [2.187] A964).
Н. Deresiewicz и R. D. Mindlin B.85] A955) исследовали
собственные частоты осесимметричных изгибных колебаний
кругового диска со свободным краем по уточненной теории,
а в работе [2.86] A956) построены спектры частот по уточ-
уточненной и классической теориям для симметричных изгиб-
изгибных колебаний защемленного кругового диска.
Собственные колебания круговых и эллиптических плас-
пластин наследовал также W. R. Callahan1' [2.75] A956).
G. Martincek [2.140] A964), исходя из уточненных урав-
уравнений типа Тимошенко, исследовал свободные колебания кру-
круговой пластины со свободным «раем и колебания прямо-
прямоугольной пластины. Получена зависимость низшей безразмер-
безразмерной частоты со от относительной толщины hjr пластины.
Использованы уравнения классической теории и уточненной
теории с коэффициентом сдвига 5/6 и 2/3. Эти результаты
сравниваются с данными экспериментов. Обнаружено очень
хорошее соответствие теоретических и экспериментальных ре-
результатов в случае использования уточненных уравнений при
? = 5/6 для значений Q<h/r<\. Для свободных колебаний
прямоугольных пластин определены собственные частоты.
J. S. Bakshi и W. R. Callahan [2.71, 2.216] A966) волновое
уравнение изгибных колебаний пластин введением трех вспо-
вспомогательных функций в случае гармонических колебаний све-
>> См. стр. 124.
164
ли к системе трех уравнений типа Гельмгольца в полярных
координатах. Решение представляется бесконечными рядами
комбинаций функций Бесселя. Для кольца, защемленного ino
контурным окружностям, получена из граничных условий си-
система шести алгебраических уравнений, приводящая к ча-
частотному уравнению. Аналогичная система четырех уравне-
уравнений записана, исходя из классического уравнения изгибных
колебаний пластины. Показано, что в случае защемления по
контурным окружностям и двум радиальным линиям из по-
полученного решения нельзя получить частотное уравнение.
В работе В. НапеГа [2.100] A969) определяются собст-
собственные частоты защемленной круговой пластины с массой
посередине по теории типа Тимошенко. Приведены расчеты
для первых трех частот и форм колебаний при различных от-
относительных толщинах и соотношениях масс.
W. Wallisch ([2.212] A956) исследовал влияние деформа-
деформаций поперечного сдвига на свободные поперечные колебания
пластин. Вводится поправочный коэффициент сдвига, харак-
характеризующий деформации сдвига; компоненты вектора пере-
перемещений представляются в виде рядов по полиномам Бер-
нулли. Задача приводится к решению бесконечной системы
дифференциальных уравнений в частных производных. Для
круговой пластины при малых относительных толщинах h/r
определены асимптотические значения собственных частот.
Колебания пластин эллиптического и гиперболического
очертания рассматривали Е. N. Krishnappa, W. R. Callahan
[2.76, 2.118J A964—1966).
См. также [2.20, 2.68, 2.88, 2.109, 2.156, 2.205].
§ 26. Нелинейные задачи
Уточненная геометрически нелинейная теория динамики
пластин построена А. С. Eringen'oM [2.91] A966). При этом
принимаются во внимание: конечные поперечные отклонения;
деформация сдвига; инерция вращения; внутреннее демпфи-
демпфирование; массовые силы и моменты. Предполагается, что
компоненты вектора перемещений иа(хи Jfe, X& t) (a= 1,2,3)
можно разложить в ряды по x2jh
щ1ае2 = «о (у1, у2, t) + (еу3) и) (уи у2, t) +
+ (еу3J«МУ1'У2.') + ••. (^ = 1.2) B6.1)
и\ (у{, у2, t) + (ey3J«23 (Уь Уа. *) + (еу3)%43 (ylf y2, t) +...
Здесь Уг=Хгп, y3 = x3jae, e = hfa, е<1, х3=± /г/2 — верхняя и
нижняя поверхности. С учетом B6.1) компоненты тензора
деформаций принимают следующий вид
165

2ef//e* =
О
= «X + 4уз«23 + О
B6.2)
В классической теории предполагается и\=—мз,г и> следо-
следовательно, e3i = O(e3). Это соответствует отсутствию дефор-
деформаций поперечного сдвига. Связь между тензорами напряже-
напряжений и деформаций для однородного изотропного материала с
внутренним демпфированием записывается в виде
= Лг65а Р
B6.3)
1=0
Соотношения B6.3) можно написать так
-т) <р
(t—i)
B6.4)
Здесь I и т должны определяться из эксперимента. Из со-
соотношений > B6.4) как частный случай следует модель
Фойгта
+ G ')'«* (ЗД
Затем осуществляется обычный переход к усилиям и момен-
моментам с помощью операции усреднения по толщине. Модуль
поперечного сдвига представляется в виде ke2G', где k —
корректирующий множитель. Из условий равновесия и прин-
принципа Даламбера выведены уравнения движения
dt*
B6.6)
-^
О
Здесь 2e2p=K:l!{Ui,il + 2u32)+4G^ua2. Уточненные дифференци-
дифференциальные уравнения колебаний ортотропных упругих пластин
при больших отклонениях на основе модели Тимошенко и
166
теории Фёппля—Кармана получены в работе S. J. Medwa-
dowski [2.145J A958). В 1969 г. аналогичные уравнения в
случае изотропных пластин были выведены И. Т. Селезовым
[2.49].
G. Herrmann и А. Е. Armenakas [2.102] A960), исходя из
принципа Гамильтона—Остроградского, вывели пять уравне-
уравнений движения упругой однородной пластины при конечных
прогибах ее срединной поверхности и граничные условия в
рамках теории типа Тимошенко. Затем они рассмотрели
пластину под действием начальных напряжений с учетом
поперечного сдвига и инерции вращения и получили линеа-
линеаризованные уравнения движения относительно точки средин-
срединной поверхности и двух углов сдвига в ортогональных пло-
плоскостях. Решение этих уравнений продемонстрировано на за-
задачах определения частоты колебаний при равномерном
начальном сжатии, изгибающем моменте, поперечной сдвига-
сдвигающей силе.
В уточненной геометрически нелинейной постановке полу-
полуобратным методом поперечные колебания, динамическую
устойчивость и флаттерные колебания анизотропных пластин
рассматривали С. А. Ам'барцумян и В. Ц. Гнуни[3.13] A961).
Уточненные уравнения динамики гибкой пластины в ус-
условиях плоской деформации выведены М. П. Петренко и
Г. А. Комиссаровой [1.58] A965). Авторы пользовались ме-
методом степенных рядов. Полученные уравнения относятся к
балке-полоске бесконечной протяженности. Однако, авторы
применяют уравнения к изучению колебаний балки конечной
длины. Вводя в качестве малого параметра отношение тол-
толщины к длине балки и отбрасывая ряд членов, они полу-
получили систему двух связанных нелинейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. В случае свободных колебаний эти уравнения
решаются методом Бубнова при некоторых гипотетических
граничных условиях. Необходимо отметить, что вопрос оцен-
оценки порядка членов в уравнениях остается открытым, так как
не применяется какой-либо, хотя бы формально обоснован-
обоснованный критерий. В связи с этим неясно, какие члены следует
оставлять, а какие отбрасывать.
S. H. Advani [2.67] A965) вывел нелинейные уравнения,
¦описывающие осесимметричные колебания вращающихся ди-
дисков и учитывающие деформацию поперечного сдвига, инер-
инерцию поворота нормального элемента, растяжение срединной
плоскости и поверхностные силы. Рассматривается также
распространение продольных и поперечных волн в неограни-
неограниченной пластине. Задача решается в эллиптических
функциях.
В работе Y.-Y. Yu и J.-L. Lai [2.231] A966) предложен-
предложенный ранее вариационный метод [3.173] применяется для ре-
решения задачи о колебаниях трехслойной пластины с защем-
167

ленными краями в геометрически нелинейной постановке. По-
Показано, что влияние сдвига более существенно для
многослойных пластин, нежели для однородных, как при сво-
свободном опирании, так и в случае защемления. Кроме того,
влияние деформации сдвига более существенно при защем-
защемлении, чем при свободном опирании, независимо от того,
являются ли пластины многослойными или однородными.
Приведенные расчеты областей устойчивости и амплитуд с
учетом и без учета сдвига показывают, что имеются случаи,
когда в нелинейных решениях влиянием деформации сдвига
нельзя пренебрегать, даже если в аналогичной линейной за-
задаче это влияние мало.
Н. Ф. Морозов и М. Э. Юдовин [2.27—2.29] A969) реша-
решали задачу об осесимметричных колебаниях гибкой сплошной
круговой защемленной упругой толстой пластины на основе
уравнения Фёппля—Кармана; при этом авторы доказали схо-
сходимость решения — ряда, полученного методом Бубнова.
Отметим также работы [2.89, 2i217, 2:228, 2.230].
§ 27. Эксперименты
В настоящее время имеется
экспериментов, выполненных с
теорий динамики пластин.
2.0
1.5
1.0
0.5
0.15 '0.50 0.75 1.00 1.25 1J0
h/П
Фиг. 2.8. Сравнение теоретических и
и экспериментальных результатов в
случае свободных колебаний круго-
круговой пластины
'» См. стр. 164.
/
./
1/
г
7
/
/
/
/
1
незначительное количество
целью проверки уточненных
В 1958 г. Н. J. Plass
П.280] методом характери-
характеристик решил задачу о коле-
колебаниях полубесконечней пла-
пластины и обнаружил хорошее
соответствие расчетов с ре-
результатами экспериментов.
G. Martincek'» [2.140]
A964) сравнивал расчеты
низшей собственной частоты
по классической и уточнен-
уточненной теориям с эксперимен-
экспериментальными данными и полу-
получил хорошее соответствие.
Он рассмотрел собственные
колебания круглой пласти-
пластины со свободным краем. Ре-
Результаты сравнения приве-
приведены на фиг. 2.8. По оси
ординат отложена безраз-
безразмерная круговая частота
w = 2nf#/ VWp, по оси
абсцисс отложена вели-
168
чина h/R, где h — толщина, R — радиус пластины, f — часто-
частота колебаний. Пунктирная линия соответствует теории Кирх-
Кирхгофа, штрих-пунктирная и сплошная линии относятся к
теории типа Тимошенко, соответственно, для &2 = 2/3 и для
&2 = 5/6. Кружочками нанесены результаты экспериментов.
Расчеты по теории типа Тимошенко были выполнены при
двух значениях коэфиициента сдвига k2, и, как видно, кор-
корректный выбор величины этого коэффициента — 5/6 вме-
вместо 2/3 — приводит к хорошим результатам.
Исследование низшей собственной частоты квадратной
плиты со свободными краями имеется в работе В. Г. Ключ-
Ключниковой0 12.18] A966). Определена экспериментально зависи-
зависимость частоты от отношения толщины пластины к ее ширине
в интервале 0.05-^0.4. Результаты классической теории
Кирхгофа и уточненной по методу степенных рядов сравни-
сравниваются с экспериментальными данными. Показано, что уточ-
уточнение классической теории приводит к улучшению соответст-
соответствия теории и эксперимента.
Сопоставление теоретических и экспериментальных ре-
результатов имеется также в работах [2.70, 2.83, 2.96, 2.99,
2.117. 2.120, 2.143, 2.164, 2.174, 2.211].
Глава 4.
СИММЕТРИЧНЫЕ ПО ТОЛЩИНЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
§ 28. Введение
Как известно, простейшей аппроксимацией, описывающей
симметричные относительно срединной поверхности колеба-
колебания пластин, является обобщенное плоское напряженное со-
состояние. Эта аппроксимация легко получается из трехмер-
трехмерных уравнений теории упругости. Поясним это на примере
пластины, ориентированной в прямоугольной декартовой
системе координат х, у, г так, что ее срединная плоскость
описывается уравнением 2=0, а боковые поверхности —
уравнениями z=±h. Уравнения теории упругости записыва-
записываются в виде уравнений движения малого элемента
дах дхху dxxz_ дги
дх,
•i ulyz _i_ ""г
дгт
дх ' Зу
выражений для нормальных напряжений
') См. стр. 162.
169'

¦ + dy+lTz) + 2Qdx
. dv . d\
,dv , dw
, ¦ + ^"r"&/
выражений для касательных напряжений
/-, /dv , ддо ^
9ю . duv
B8.2)
B8.3)
[дхдг/
Следуя L. N. G. Filon'y [2.92] A903), будем предполагать,
что напряжение аг тождественно равно нулю всюду в пла-
пластине
аг = 0 B8.4)
а касательные напряжения тг, и
гранях пластины
равны нулю только на
г=-
'сл-г|г=±'1 — 0, w _ v _ _,
Кроме того, предполагается, что пластина тонкая, и поэтому
можно ввести средние по толщине напряжения и переме-
перемещения по формуле вида
B8.5)
B8.6)
— я
С учетом предположений B8.4) — B8.6) и условий симметрии
из системы B8.1) после интегрирования по г в пределах от
—h до +/г получаем
дт4,_ д2и*
~~dy~~9~W
да*. да,,*
да
X
B8.7)
dx
При аналогичных предположениях, если из третьего соотно-
соотношения в B8.2) выразить w* и подставить в первые два,
¦формулы B8.2) и B8.3) приводятся к виду
Idu* , ду*^
20%
__-,,/du* dv*
B8.8)
-
dx
где X' = 2GX/(X + 2G). Подставляя выражения B8.8) в урав-
уравнения B8.7) и опуская звездочки, приходим к уравнению
170
¦обобщенного плоского напряженного состояния относительно
вектора перемещения и в плоскости
P^ B8.9)
которое, как известно, можно записать в эквивалентной
форме
? е? = 0 и П,Ф = О • B8.10)
д(г,
где
Приближение обобщенного плоского напряженного состо-
состояния, как можно видеть, является гиперболическим.
Уравнения обобщенного плоского напряженного состоя-
состояния с помощью вариационного принципа Гамильтона—Ост-
Гамильтона—Остроградского выведены в [2.208] A959).
§ 29. Основные уравнения уточненных теорий
Симметричные относительно срединной поверхности коле-
колебания пластины в случае плоской деформации были рассмот-
рассмотрены еще Коши" [2.78] A828). Он, исходя из метода степен-
степенных рядов, показал, что уравнения обобщенного плоского
напряженного состояния вытекают из задачи динамической
теории упругости как их простейшее приближение.
В 1956 г. Т. R. Капе и R. D. Mindlin [2.111] построили
уточненную теорию симметричных колебаний пластин, в ко-
которой учитывается связь продольных движений с поперечны-
поперечными типа первой моды по толщине. Вводится аппроксимация,
которую можно рассматривать как расширение обобщенного
плоского напряженного состояния, но при этом авторы исхо-
исходят из трехмерной теории упругости, а не из классической
теории пластин. Модель обобщенного плоского напряженно-
напряженного состояния применима лишь при очень низких частотах,
так как она не учитывает связи продольных и поперечных
движений. Здесь эта связь приближенно учитывается: ком-
компоненты перемещений и потенциальная энергия V аппрокси-
аппроксимируются выражениями
их = их(х, у, t), Иу = и*(х, у, t)
2V = X
uz = zh~1u*z(x, у, t)
h + ЬгР + 2G (е^ +
B9.1)
>>См. §20.
171

В результате получены уравнения
О V2u* + Q. + O) grad div u* +
4- ' F-o д*п*
f grad л\ +
B9.2>
<92Й*
Здесь операторы grad, div и V2 —двумерные, k — корректи-
корректирующий коэффициент, F соответствует повер-Хностным силам
{Fx, f*yFz) = (zzx, zzy, °z)z=h — (izx, тгу, — ог)г=_Л
Как видно из выражений B9.1), уточнение обобщенного
плоского напряженного состояния производится введением
перемещений uz, которые линейно изменяются по толщине.
Для компенсации погрешности линейной аппроксимации
вводится поправочный коэффициент k, который выбирается
так, чтобы частота первой моды по толщине была правиль-
правильной, несмотря на приближенное распределение перемещений.
Величина k определяется приравниванием частоты первой
моды по толщине из точной теории с приближенной часто-
частотой, определяемой по формулам рассматриваемой теории,
откуда следует
?2 = ^J- B9.3)
На низких частотах связь продольных и поперечных дефор-
деформаций очень мала, все члены содержащие коэффициент k
малы, и построенная модель вырождается в обобщенное
плоское напряженное состояние. Нетрудно установить также,
что при Fz=0 с уменьшением h с точностью до членов пер-
первого порядка малости из B.92) следует уравнение обобщен-
обобщенного плоского напряженного состояния B9.9). Аппроксима-
Аппроксимация B9.1), B9.2) является одной из возможных, и даль-
дальнейшее ее уточнение будет приводить к повышению порядка
дифференциальных уравнений.
В случае свободных колебаний с частотой со можно вве-
ввести потенциалы по формулам
,,* _ д<Р, , <5фг дН . _ дф, дф2 дН
и привести уравнения B9.2) к трем независимым уравнениям
Гельмгольца
(
Выражение для и* имеет вид
=° B9-5)
a at равно
172
h(\ + 2G)
и.
Выше было принято
1/2
В отличие от обобщенного плоского напряженного состояния,
характеризуемого двумя видами волн без дисперсии (сдви-
(сдвиговая и дилатационная) со скоростями распространения cs
и ср, здесь появляется еще одна дилатационная волна. Кро-
Кроме того, две дилатационных волны согласно этой уточненной
теории распространяются с дисперсией, а сдвиговая волна
остается бездисперсионной.
Исследование выражений для 6i и 62 показывает, что 6i
всегда действительная величина, а б2 действительная при
•со/со>1 и мнимая при ш/со<1. Отсюда следует, что при
to = co спектр колебаний существенно изменяется.
R. D. Mindlin и М. A. Medick [2.161] A959) вывели
уточненные уравнения симметричных колебаний пластин,
учитывающие связь дилатационных и сдвиговых по толщине
деформаций. Они исходили из разложений компонент векто-
вектора перемещений в ряды по полиномам Лежандра. В дальней-
дальнейшем [2.197] A971) эта теория была применена к асимптоти-
асимптотическому исследованию радиальных осесимметричных колеба-
колебаний кругового диска с формами колебаний, характеризующи-
характеризующимися большими перемещениями вблизи края.
В работе И. Ф. Жарикова [2.11] A969) получены уточ-
уточненные уравнения «продольных» колебаний пластин с целью
расширения области применимости уравнений обобщенного
плоского напряженного состояния. Уточнение состоит в том,
что на основе проведенных автором экспериментов вводится
линейная аппроксимация нормальных перемещений
иг(х, у, z, t) = u(x, у, t) I B9.6)
После операции усреднения по координате z из уравне-
уравнений теории упругости получены три связанных уравнения,
которые приближенно учитывают толщинные колебания. Об-
Обнаружено хорошее соответствие экспериментальных и теоре-
теоретических результатов исследования дисперсии волн в случае
кругового диска. Для аналогичной задачи такое сравнение
провели также Т. R. Капе и R. D. Mindlin [2.111].
Приведем также гиперболические аппроксимации, постро-
построенные методом степенных рядов B0.44). В случае плоской
173

деформации для симметричных «продольных» колебаний в
первом приближении имеем уравнения обобщенного плоского
напряженного состояния
(-al55- + a2^-)« = O B9.7>
Во втором приближении получаем двухмодовую аппрокси-
аппроксимацию вида
Третье приближение дает трехмодовую аппроксимацию
д2
dt2
dt2dx2
¦+*э?-
aidx° +a2~dFdxT' a3~dFdxT + U4'dFjU ~и
Здесь коэффициенты ui и bh определяются с помощью формул
B0.48), а коэффициенты dm равны
1 —2v
-2V 1—V
3-2v (I—2v)D — 3v)
I—2v / 5!
I_2v/1T
5 1—2v) ?s
' ' ~ 1—2v ' 2 1— v J 5!
Исследование уравнений B9.7) — B9.9) и некоторые сравне-
сравнения будут приведены в следующем параграфе.
§ 30. Колебания и волны
При исследовании большинства практически интересных
задач решения точных уравнений построить не удается, а в
тех случаях, когда это оказывается возможным, анализ фи-
физических явлений затруднителен. Поэтому применяются ме-
менее строгие теории, сохраняющие наиболее важные основные
положения точного исследования, математический и физи-
физический анализ которых существенно упрощается. Однако,
приближенные теории не могут представить высшие формы
колебаний и в тех случаях, когда высшие формы несут зна-
значительную часть энергии, приближенные теории будут при-
приводить к ошибке. Показательной в этом отношении является
работа P. J. Torvika и J. J. McClatchey [2.206] A968), в
которой исследуется распространение волн в полубесконечном
упругом слое, к торцу которого приложена периодическая
во времени равномерно распределенная продольная сила.
Решения разыскиваются в виде рядов по собственным функ-
функциям задачи. В силу полноты системы функций эти ряды
усекаются с заданной погрешностью и, следовательно, гра-
174
ничные условия удовлетворяются приближенно. Коэффици-
Коэффициенты рядов определяются из вариационного метода. Подроб-
Подробно исследуется вклад каждой моды в амплитуду нормального'
напряжения и распределение энергии по модам в зависимо-
зависимости от частоты. Построены графики пяти мод и обнаружены
резонансные области. Показано, что на низких частотах до-
доминирующей является первая мода. В случае высоких ча-
частот первая мода исчезает и появляется несколько последую-
последующих мод, а максимальная доля общей энергии с увеличе-
увеличением частоты приходится сначала на вторую моду, затем на
третью.
Т. R. Капе и R. D. Mindlin [2.111] A956) рассмотрели на
основе своей уточненной теории1' свободные симметричные
колебания кругового диска со свободным краем. Исследова-
Исследованы различные случаи вырождения по двум параметрам —
частоте и диаметру. Изменение частоты колебаний диска в
зависимости от его диаметра показано на фиг. 2.9. Здесь
2.0
1.5
1.0
0.5\
г.5
2.0
1.5
W
0.5]
е
s
V
\г
—-
1 .
0 12 3^5
а/А
Фиг. 2.9. Изменение собственных
частот радиальных колебаний дис-
диска в зависимости от его диаметра
1.0
2.0
3.0
Фиг. 2.10. Сравнение фазовых скоро-
скоростей распространения бегущих волн
в упругой пластине
a/h — отношение радиуса диска к половине его толщины,
co2 = jt2(A, + 2G)/pB/iJ. Кривая, обозначенная цифрой 1, отно-
относится к первой моде колебаний по теории обобщенного пло-
плоского напряженного состояния, 2 — к первой моде по уточ-
уточненной теории, 3 — ко второй моде по уточненной теории.
Существенным оказывается появление новой ветви 2, кото-
которая при уменьшении величины отношения диаметра диска к
его толщине a/h до нуля стремится к конечному пределу.
При а//г-<1 диск вырождается в стержень. В этом случае
в основном проявляется мода колебаний по толщине (про-
(продольные колебания стержня), частота которой намного ни-
') См. стр. 171—173.
175

же, чем частота радиальных колебаний. Сравнение экспери-
экспериментальных результатов с приведенными на фиг. 2.9 обна-
обнаруживает очень хорошее соответствие.
В статье Т. R. Капе {2.112] A957) рассмотрено распро-
распространение бегущих волн в бесконечной пластине по трем тео-
теориям: точной, уточненной [2.111] и обобщенного плоского на-
напряженного состояния. Результаты приведены на фиг. 2.10,
где изображены фазовые скорости в зависимости от частоты.
Буквами ens обозначены кривые, относящиеся, соответст-
соответственно, к дилатационной и сдвиговой волнам по теории обоб-
обобщенного плоского напряженного состояния. Цифры 1 и 2
относятся, соответственно, <к первой и второй модам по уточ-
уточненной теории, 3 и 4 — к первой и второй модам по точной
теории. Хорошо видно, что уточненная теория является су-
существенно лучшей аппроксимацией, чем обобщенное плоское
напряженное состояние.
Здесь же исследуется отражение волн от свободного края
полубесконечной пластины при наклонном падении плоской
гармонической дилатационной волны. Анализ выполнен по
уточненной теории [2.111] и in о уравнениям обобщенного пло-
плоского напряженного состояния. Установлено, что при падении
любой волны на край возбуждаются все три типа волн, пред-
предсказываемых уточненной теорией. При определенных значе-
значениях угла падения и частоты возможны волны, амплитуда ко-
которых экспоненциально убывает с увеличением расстояния от
края, возможно также исчезновение некоторых из отражен-
отраженных волн.
D. С. Gazis и R. D Mindlin [2.94] A957) с помощью уточ-
уточненной теории, учитывающей первую симметричную моду по
ширине, исследуют переход от плоской деформации к обоб-
обобщенному плоскому напряженному состоянию. Это соответ-
соответствует переходу от пластины с шириной 2/г и толщиной 2а к
балке-стенке с шириной 2/г и высотой 2а. Вычислены предель-
предельные фазовые скорости при больших длинах волн (малых вол-
волновых числах т)), соответствующие низшим модам несиммет-
несимметричных (изгибных) и симметричных (растяжение — сжатие)
колебаний. Уточненные асимптотические значения этих ско-
скоростей с учетом влияния конечности ширины пластины име-
имеют вид
для изгибных колебаний балки-стенки (a/h>l)
J C°Л)
для изгибных колебаний широкой пластины (а
с па Г. яУ ! а \2~\
¦~ 10A —v) [Т) \
176
Здесь С\=УЕ/Зр. При h/a-+0 формула (ЗОЛ) дает выражение
для скорости, соответствующей обобщенному плоскому на-
напряженному состоянию; учет ширины приводит к увеличению
предельной фазовой скорости. Формула C0.2) при a/h-^-0 со-
соответствует плоской деформации; учет ширины дает умень-
уменьшение скорости. В случае симметричных колебаний типа
растяжение-сжатие учет ширины приводит к небольшому
уменьшению предельной скорости по сравнению со случаем
обобщенного плоского напряженного состояния.
D. С. Gazis и R. D. Mindlin [2.95] (I960) использовали
уточненные уравнения, учитывающие связь растягивающих
и сдвигающих по толщине деформащий[2.161], для исследова-
исследования колебаний кругового диска и полубесконечной пластины.
Полученные авторами трансцендентные частотные уравнения
решаются численно. Кроме действительных волновых чисел
рассмотрены также комплексные, которые не имеют смысла
в случае свободных колебаний бесконечной пластины. Пока-
Показано, что при наличии границ комплексные волновые числа
соответствуют модам, которые могут возбуждаться вблизи
краев. Это качественно согласуется с экспериментальными
исследованиями. Экспериментально было обнаружено, что
в круговом диске могут возбуждаться колебания, амплитуда
которых велика вблизи границы.
J. J. McCoy и R. D. Mindlin [2.142] A963) исследовали на
основе уточненной теории [2.161] распространение волн вдоль
края пластины. Обобщенное плоское напряженное состояние
учитывает только первую форму волны расширения и низ-
низшую форму поверхностного сдвига, а уточненная теория учи-
учитывает еще три формы, связанные с растяжением и симмет-
симметричным сдвигом по толщине. Поэтому решения по теории
обобщенного плоского напряженного состояния не зависят
от толщины. При очень низких частотах более высокие
формы уточненной теории имеют комплексные или мни-
мнимые константы распространения и быстро затухают при
удалении от края, и теория обобщенного плоского на-
напряженного состояния дает хорошее описание. С уве-
увеличением частоты влияние дополнительных форм возра-
возрастает, а зона распространения их все более уменьшается,
приближаясь к краю. После перехода через частоту первой
симметричной по толщине сдвиговой волны появляется вто-
вторая реальная /краевая волна, не улавливаемая элементарной
теорией.
В экспериментах О. Е. Jones'a и А. Т. Ellis'a [1.210] A963)
для широких полос результаты экспериментов сравнивались
с теоретическими результатами и было обнаружено, что тео-
теория плоского напряженного состояния оказывается несостоя-
несостоятельной при определении количественных параметров и учет
толщинных колебаний является необходимым.
12—2798
177

В работе {2.58] A966) исследуются резонансные явления»
продольно колеблющейся бесконечной пластине, находящей-
находящейся в газообразной или жидкой среде, при действии на 'пласти-
'пластину движущейся с некоторой постоянной скоростью v ступен-
ступенчатой нагрузки. Применяются уточненные уравнения, полу-
полученные для случая плоской деформации [1.51]. Решения по-
построены применением интегральных преобразований Лапла-
Лапласа и Фурье. При отсутствии среды обнаружены растущие с
течением времени решения при v = cs и v=[Ej(\—v2)p]'/2- Ис-
Исследуется также .влияние свойств окружающей пластину сре-
среды на появление растущих решений.
Распространение «продольных» бегущих волн в упругой
пластине согласно трем теориям B9.7), B9.8) 1н B9.9) бы-
было рассмотрено И. Т. Селезовым и Ю. Г. Кривоносом". Ре-
Решение разыскивается в виде
u = Uoexp[i{sx—at)] C0.3)
где s = 2nll; са = 2лс/1; I — длина волны; с — фазовая скорость.
Исходя из B9.7) — B9.9) и C0.3), получены дисперсионные
уравнения в первом приближении
с2 = -? <30-4>
во втором приближении
2п
4rMvWrf+irH <за5>
и в третьем приближении
Рассмотрим предельные случаи. При Z->0 из второго и
третьего приближений получаются корни, совпадающие с
C0.4), что соответствует обобщенному плоскому напряжен-
напряженному состоянию. При /->-0 по теореме предельности2' [2.54]
уравнения C0.4) — C0.6) вырождаются в уравнения характе-
характеристик, которые имеют вид в первом приближении
k2 — ^L
11 ~~ а
во втором приближении
?2= ¦"
2b3
¦ +
26
C0.7)
C0.8)
') Селезов П. Т., Кривонос Ю. Г. Об уточнении теории симметричных
колебаний пластин и распространении волновых фронтов. V. Всесоюзн.
симпоз. по распростр. упругих и упруго-пластич. волн. Тезисы докладов.
Алма-Ата, «Наука», 1971.
2> См. стр. 26 и 27.
178
и в третьем приближении
&6_ii k* + — &2_A=o C0.9)
Анализ показывает, что коэффициенты уравнений C0.8) и
C0.9) являются монотонно возрастающими функциями v в
интервале 0<v<0.5. Поэтому достаточно исследовать кор-
корни этих уравнений на концах этого интервала. Согласно при-
признаку Бюдана—Фурье в точках 0 и. 0.6, а значит и всюду
внутри интервала имеем все действительные корни, что и до-
доказывает гиперболичность построенных аппроксимаций. На
фиг. 2.11 приведены результаты расчетов по уравнениям
3.0
ол о.8 иг
lh\l
Фиг. 2.11. Сравнение фазовых скоростей
C0.4) — C0.6) при v = 0.3. Линии, обозначенные через kR, ke и
ks, относятся, соответственно, к волнам Релея, дилатаци-
онной и сдвиговой волнам в бесконечной упругой среде.
Линия &п относится к дилатационной волне по теории обоб-
обобщенного плоского напряженного состояния. Кривые сг\ и с32
соответствуют двухмодовой аппроксимации, Csi, C52, С53 —
трехмодовой аппроксимации, ск и cN — точные решения
(Н. Kolski и N. J. Nigro). Для «продольных» волн имеем
в первом приближении одну ветвь Сц = &и, во втором при-
приближении—две ветви с31 и с32, в третьем приближении —три
ветви С5ь сЪ2 и с53, причем с5\ и с53 становятся комплексными
при />0.8. На фиг. 2.12 (обозначения такие же, как и на
фиг. 2.11) приведены групповые скорости се, вычисленные по
формуле
12*
179

C0.10)
, 0
Фиг. 2.12. Сравнение групповых скоро-
скоростей
Выражения для dcjdl имеют вид во втором приближении
1 аг I
cd __ я Ь, 2я
и в третьем приближении
2я
C0.11)
+ ¦
2я
2я
C0.12)
Для качественного сравнения на фиг. 2.11 и 2.12 приведены
точные 'решения при v=0.29 в случае продольных колебаний
стержня кругового сечения ск [1.225] A954) и квадратного
Cn [1.265] A966). Из сравнения видно, что построенные
уточненные теории описывают хорошо фазовые скорости для
первой моды и менее удовлетворительно — для второй моды.
Групповые скорости, характеризующие перенос энергии,
уточненными теориями описываются хуже даже в случае
первой моды, а для второй моды — совсем плохо. В заклю-
заключение отметим, что полученные аппроксимации удовлетво-
удовлетворяют условию гиперболичности и существенно улучшают мо-
модель обобщенного плоского напряженного состояния. См.
также работы [2.80, 2.105, 2.107, 2.144, 2.147, 2.171, 2.181].
180
Часть 3.
ОБОЛОЧКИ
§ 31. Введение
Классическая линейная теория оболочек, как известно,
основана на таких предположениях:
толщина h оболочки мала по сравнению с радиусом кри-
кривизны R срединной поверхности;
деформации и перемещения достаточно малы, так что
величинами второго и выше порядка можно пренебречь;
компонента тензора напряжения или деформации, нор-
нормальная к срединной поверхности оболочки, мала по срав-
сравнению с другими компонентами;
нормали к недеформируемой поверхности оболочки оста-
остаются нормалями к деформируемой поверхности.
В теории оболочек по Ляву принимается также условие,
что z/r мало по сравнению с единицей в выражениях для
напряжений и деформаций. Одни из авторов оставляют чле-
члены порядка (г/гJ, другие частично или полностью отказы-
отказываются от гипотез 3 и 4. Различие отдельных подходов за-
заключено по существу в формулировке зависимости напряже-
напряжение—деформация.
Различают оболочки тонкие и толстые. Оболочку будем
условно называть тонкой, если выполняется неравенство
h s X Г31 1)
где h — толщина оболочки, R — характерный размер (мини-
(минимальная из двух величин — радиуса кривизны или размера
поверхности оболочки).
Кроме того, представляя функции, характеризующие ди-
динамический процесс, в виде наложения стоячих и бегущих
волн с длиной /, необходимо также ввести условие
10
C1.2)
которое не допускает к рассмотрению короткие волны. Ус-
Условие C1.2) накладывает ограничения на внешние нагруз-
131

ии — они должны выражаться достаточно плавными функци-
функциями координат срединной поверхности и времени.
Очевидно, можно положить в основу рассмотрения ча-
частотный спектр или показатель изменяемости.
Для толстых оболочек могут быть существенными эффек-
эффекты изгиба и деформации поперечного сдвига.
Применимость линейной теории (имеется в виду геомет-
геометрическая линейность) условно определим неравенством
[3.43, 3.130]
ii^<-L C1.3)
где и — вектор перемещения срединной поверхности обо-
оболочки.
Система дифференциальных уравнений классической тео-
теории упругих оболочек несовместна с естественными краевы-
краевыми условиями: она обеспечивает выполнение четырех незави-
независимых граничных условий вместо пяти. Устранение этого
противоречия посредством сокращения числа граничных ус-
условий усложняет классическую теорию. Уточненные теории
оболочек типа Тимошенко свободны от этого недостатка. Во-
Вообще, построение достаточно простой и внутренне согласован-
согласованной теории оболочек представляет очень большие трудности
Например, в работе [3.36] A969) высказывается сомнение в
возможности построения универсальной двухмерной теории
оболочек.
В этой части будут рассмотрены динамические теории
оболочек, которые являются более точными, чем теории, ос-
основанные на указанных выше гипотезах. Такие уточненные
теории занимают промежуточное положение между классиче-
классической теорией оболочек и трехмерной теорией упругости и
позволяют значительно расширить «ласе задач, которые не
поддаются решению в рамках динамической теории упруго-
упругости.
Глава 5.
ОБЩИЕ МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ
§ 32. Метод степеиных рядов и асимптотический
в общей теории оболочек
Метод степенных рядов был развит в работах Коши[2.78]
A828) и Пуассона [2.177] A829). Они рассматривали ста-
статику и динамику плоских пластин и искривленной по ци-
цилиндрической поверхности пластины1'. В дальнейшем этот
метод был применен Н. А. Килычевским2) [3.40, 3.41] A939,
1940) для построения общей статической теории оболочек.
Разложение компонент тензора напряжений в степенные ря-
182
ды по координате хз, нормальной к срединной поверхности
оболочки, и подстановка этих рядов в граничные условия на
внешней и внутренней поверхностях приводят к дифференци-
дифференциальным уравнениям, а подстановка в уравнения теории уп-
упругости— к рекуррентным символическим соотношениям,
позволяющим определить все коэффициенты разложений бо-
более высокого порядка. В случаях, когда имеет место сходи-
сходимость, можно удерживать в рядах определенное число членов
и получать уравнения теории оболочек с наперед заданной
точностью. Для вывода уравнений был (предложен итераци-
итерационный процесс. Очевидно, что задача приведения не имеет
единственного решения.
И. Т. Селезов [3.67] A960) рассматривал формулы после
применения процедуры метода степенных рядов как беско-
бесконечную символическую систему дифференциальных уравне-
уравнений относительно бесконечного числа неизвестных функ-
функций— (Коэффициентов рядов. Он показал, что введение пред-
предположений о сходимости и усечении такой бесконечной систе-
системы посредством сохранения всех пространственно-временных
дифференциальных операторов до определенного порядка
включительно приводит к замкнутой системе уравнений.
Больше того, такой подход приводит к гиперболическим
аппроксимациям, и уравнения типа Тимошенко следуют как
некоторые приближения из уравнений трехмерной теории уп-
упругости.
Метод степенных рядов к исследованию динамики цилинд-
цилиндрической оболочки применял в 1942 г. P. S Epstein [3.84],
затем эта работа была продолжена Е. Н. КелпагсГом3)
[3.118] A963). Они получили уравнения, несколько уточняю-
уточняющие классическую теорию.
Отметим также работу В. В. Новожилова и Р. М Фин-
тсельштейна C.62] A943), в которой применяется метод сте-
степенных рядов в криволинейных ортогональных координатах
как вспомогательная процедура. Э. И. Григолюк A951) при-
применил этот метод к двуслойным оболочкам. В этих работах с
целью обобщения гипотез Кирхгофа —Лява напряжения оп-
определяются в виде рядов Маклорена, в которых ограничива-
ограничиваются тремя членами
««a = Geaz=a0 + axz + а7 -^
г = Оерг = Ьо
C2.1)
1)
2)
3)
См.
См.
См.
°zz
§ 20
стр.
ниже.
39.
\
\—2v

Здесь а, Ь и с —функции только а и р. В случае гипотез
Кирхгофа —Лява
azz = 0, еаг=ерг=егг = 0 C2.2)
Граничные условия на поверхностях оболочки имеют вид
aaz=Xlt оРг=Гь <szz=Z1 при г=-
°az = X2, ap2 = K2, azz=Z2 При Z =
1
1
C2.3)
С учетом условий C2.3) соотношения C2.1) принимают вид
а2 (^2_ЬУ
4
2
C2.4)
Неизвестные величины ы, и, w и а2, 6г. ^2 определяются
из уравнений равновесия, которые записываются для основ-
основных величин и их моментов первого порядка, а затем осред-
няются по толщине.
Метод разложения по специальным функциям реализован-
И. Н. Векуа [3 24] A965); в этом методе разложения строят-
строятся не по степеням нормальной координаты х%, а по полино-
полиномам Лежандр^, что, по-видимому, улучшает сходимость.
Дважды непрерывно дифференцируемую функцию f(x), за-
заданную на сегменте [—1, 1], можно разложить в равномерно
сходящийся ряд по полиномам Лежандра Рп(х)
л=<
где
C2.5)
C2.6)
Величина / называется моментом функции f(x) в отношении
полинома Рп(х). Согласно теореме Вейерштрасса всякую
непрерывную функцию на любом конечном сегменте можно
приблизить с помощью полиномов от х1). Поэтому искомые
величины — компоненты вектора перемещения щ, тензора
напряжений atl и тензора деформаций е(/ (г, /=1,2,3), рас-
184
сматриваемые как функции переменной jc3, изменяющейся
в промежутке Л~<л:з-<й+, можно представить в виде
равенств вида
N
п=0
Ь)
где N — некоторое целое число, большее нуля,
2 . h++h-
C2.7)
C2.8)
h
Основная идея состоит в том, что вместо компонент ис, <зцт
п п п
etl отыскиваются их моменты ut, oty, e,; относительно полино-
полиномов Рп(ах3 — Ь). Эти моменты зависят от хъ х2, t и для них
выводится система уравнений с частными производными.
Уравнения движения
и уравнения закона Гука
(*,/= 1,2,3)
i,j=l, 2, 3)
C2.9)
C2.10)
умножаются на Рг(ах3—Ь) и интегрируются по х$ в преде-
пределах от h" до h+. В результате получается бесконечная си-
г
стема уравнений относительно, например, и}, которая затем
усекается. Более детально этим методом исследованы слу-
случаи N = 0 и N=1 и статические задачи. При N=1 выведены
уравнения колебаний симметричных оболочек и, как частный
случай, уравнения собственных колебаний пластинки. В по-
последующих работах И. Н. Векуа применительно к этому ме-
методу развил аппарат теории аналитических функций.
Применение метода степенных рядов к динамике оболо-
оболочек в криволинейных координатах дано в монографии
Н. А. Кильчевского [3 43] A963), обзор некоторых результа-
результатов в статической теории оболочек приведен в [3.130] A968).
В работе Y.-Y. Yu [3.174] A965) построена линейная
теория оболочек на основе обобщенного принципа Гамильто-
Гамильтона—Остроградского и метода степенных рядов. На основе
вариационного принципа в криволинейных ортогональных
координатах выводится обобщенное вариационное уравнение
движения упругой среды. Затем компоненты вектора пере-
перемещений и тензора деформаций представляются в виде бес-
бесконечных рядов и подставляются в вариационное уравнение
') См, например, Гончаров В Л Теория интерполирования и прибли-
приближения функций М, Гостехиздат, 1954
18&

движения, из которого следуют уравнения движения оболоч-
оболочки в напряжениях, граничные условия и зависимости «дефор-
«деформация—перемещение», «напряжение—деформация». Никаких
предположений о толщине оболочки не вводится. Усечением
рядов можно получать теории оболочек различной точности.
Показано, что введение понятия о малости относительной
толщины h/R<€l (h — толщина; R— наименьший радиус
кривизны срединной поверхности) и простейшее усечение
рядов приводит к аппроксимации первого порядка, которая
соответствует теории, учитывающей влияние деформации по-
поперечного сдвига.
Заслуживает внимания применение общего уравнения ди-
динамики к проблеме приведения 13.43]. В основе метода лежит
аппроксимация искомых функций конечными рядами (не
обязательно степенными), а затем реализация вариационного
принципа, приводящего к приближенным дифференциальным
уравнениям и соответствующим краевым условиям. Этим ме-
методом Д. В. Бабич в 1966 г. построил динамическую теорию
оболочек в криволинейных координатах с учетом несиммет-
несимметричности тензора напряжений [3.14]. Он исходил из аппрок-
аппроксимации компонент вектора перемещений и вектора враще-
вращений конечными степенными суммами и из вариационного
принципа Гамильтона—Остроградского и вывел дифферен-
дифференциальные уравнения движения и естественные краевые усло-
условия.
В работе L. Librescu [3.127] A969) конструируются уточ-
уточненные уравнения динамики анизотропных оболочек и пла-
пластин с учетом неоднородного температурного поля. Автор ис-
исходит из вариационного принципа Хеллингер—Рейсснера.
Компоненты тензора напряжений представляются в виде сте-
степенных рядов по нормальной координате и далее применяет-
применяется обычный метод степенных рядов.
Метод асимптотического интегрирования трехмерных
уравнений теории упругости сначала применялся в статиче-
статической теории оболочек М. W. Johnson'oM и Е. Reissner'oM
[3.108] A959), А. Л. Гольденвейзером [3.33] A963),
А. Е. Green'oM и P. M. Naghdi [3.94] A965). Было установ-
установлено, что при удовлетворении граничным условиям внутрен-
внутреннее решение и решение типа пограничного слоя должны рас-
рассматриваться отдельно. Разница между этими двумя типа-
типами решений зависит от масштаба координат. В последние
годы метод асимптотического интегрирования получил раз-
развитие в построений динамической теории оболочек.
В работе D. Draghicescu [3.83] A969) трехмерные урав-
уравнения динамической теории упругости асимптотическим ме-
методом приведены к двумерным уравнениям теории оболочек.
Смещения и деформации предполагаются малыми, и рас-
рассматривается случай, когда отношение толщины к характер-
186
•ному линейному размеру мало по сравнению с единицей.
Полученная система уравнений не зависит от толщины обо-
оболочки.
О. Е. Widera [3.164] A970) построил асимптотическую
теорию динамики оболочек вращения из трансверсального
изотропного материала при нулевых нормальных и касатель-
касательных нагрузках на внутренней и наружной поверхностях.
В качестве малого параметра принят
Ч = ЙГ«;1 <32Л)
где h >и R — толщина и радиус оболочки. Величины напря-
напряжений, перемещений и линейной масштабной единицы ц=
— L/R представляются в виде разложений по х\хр и подстав-
подставляются в уравнения трехмерной теории упругости, откуда
приравниванием выражений при одинаковых степенях г\1/2
могут быть получены различные приближения. Выписано
только первое приближение, которое соответствует классиче-
классической теории тонких оболочек. Отмечается, что третье прибли-
приближение улавливает эффекты изменения ширины, поперечного
сдвига и нормальных напряжений.
Отметим также возможность приложения к проблеме при-
приведения методов теории аппроксимации функций [3.43].
Оценка точности общей классической теории оболочек
производилась в работах В. В. Новожилова и Р. М. Фин-
кельштейна [3.62] A943), X. М. Муштари [3.53] A947), а
для биметаллических оболочек в работе Э. И. Григолюка
A951). В работе [3.62] разложением искомых функций по z
строится более точная статическая теория оболочек, по ко-
которой затем оценивается погрешность гипотез Кирхгофа—
Лява0. Показано, что она имеет порядок hjR по сравнению
с единицей. Поэтому теория Кирхгофа—Лява применима
только к тонким оболочкам, соотношения же упругости
можно принимать в наиболее упрощенном виде. В дальней-
дальнейшем было показано, что это не всегда справедливо2'.
Вопрос о погрешностях гипотез типа Кирхгофа—Лява и
соотношениях упругости в теории оболочек не нашел исчер-
исчерпывающего и обоснованного ответа, как это показано в ра-
работах [3.32, 3.37]. Различные уточненные теории, несмотря
на их значимость, также не являются до конца последова-
последовательными. Наряду с определением погрешности классической
теории оболочек за счет относительной толщины вводится в
рассмотрение также показатель изменяемости [3.34]. При
этом .к краевой задаче трехмерной теории упругости в орто-
ортогональной системе координат применяется метод асимптоти-
асимптотического интегрирования.
•> См. стр 184.
2) См. стр. 191.
187

§ 33. Цилиндрические оболочки
В 1960 г. И. Т. Селезов получил уточненные уравнения
осесимметр'Ичных колебаний цилиндрической оболочки в пе-
перемещениях методом степенных рядов [3.67]. Компоненты
вектора перемещений были представлены в виде рядов по
степеням радиальной координаты, из граничных условий на
внешней и внутренней поверхностях получены дифференци-
дифференциальные уравнения, а из уравнений теории упругости — рекур-
рекуррентные символические соотношения, позволяющие выразить
все искомые функции в разложениях через какие-либо две.
С точностью до членов порядка | (|=/t//? — относительная
толщина) получена система двух дифференциальных уравне-
уравнений. При таком подходе в коэффициентах уравнений отсут-
отсутствуют какие-либо искусственно вводимые величины, как,
например, коэффициент сдвига в модели Тимошенко и ее
обобщениях, в уравнениях сохраняются все члены до опреде-
определенного порядка малости, что облегчает оценку точности по-
полученного приближения, наконец, остается возможность
дальнейшего уточнения уравнений по заданному логически
стройному алгоритму. К недостаткам относятся громоздкость
выкладок и сложность уравнений и граничных условий.
В работе [3.68] A961) было показано, что применение
метода степенных рядов для цилиндрической оболочки не
гарантирует единственность приведения трехмерной задачи к
двумерной: сведение усеченной системы к одному или двум
уравнениям с сохранением всех членов до определенного
порядка малости зависит от порядка исключения функций.
Здесь же посредством введения дополнительных упрощаю-
упрощающих предположений построена весьма приближенная гипер-
гиперболическая аппроксимация. Полученные уравнения имеют
одинаковую степень точности описания продольных и по-
поперечных колебаний в отличие от известных уточненных
уравнений [3.1281 A956) и [3.103] A956), описывающих
поперечные колебания точнее, чем продольные.
В статье [3.69] A963) было показано, что построенная
приближенная теория описывает распространение четырех
видов волн с дисперсией и что она хорошо согласуется с
результатами трехмерной теории упругости при достаточно
коротких длинах волн, и даже при больших относительных
толщинах, и хуже при больших длинах волн, где справедли-
справедлива классическая теория. При коротких длинах волн 1/R-+0
эта теория вырождается в уточненную теорию пластин
[3.67]. Несколько позже J. H. Heimann'oM и Н. Kolsky
[3.102] A966) на основе теоретического анализа трехмерной
задачи было доказано и экспериментально подтверждено, что
такое вырождение в действительности имеет место при |<1
и l/R<l.
188
Е. Б. Омецинская [3.63] A970) методом степенных рядов
вывела два варианта уточненных уравнений осесимметрич-
ных колебаний круговой цилиндрической оболочки. При этом
в уравнениях сохранены все члены до порядка куба относи-
относительной толщины. Первый подход был применен в [2.50,
3.67] и состоит в исключении из конечной системы диффе-
дифференциальных уравнений ряда неизвестных функций и полу-
получении разрешающих уравнений. Во втором подходе число
неизвестных функций уменьшается методом итераций. Пока-
Показано, что метод итераций приводит к более слабым аппрок-
аппроксимациям. В качестве примера исследуется дисперсия
волн и дано рравнение с классической и трехмерной тео-
теориями.
В [3.54] A960) выводятся уточненные уравнения неосе-
симметричных колебаний цилиндрической оболочки на осно-
основе метода степенных рядов. Определяется показатель изме-
изменяемости напряженного состояния р2~sco + К2 + т2 (со— ча-
частота; К и т — характеризуют изменяемость вдоль осевой и
дуговой координат соответственно) и оценивается асимптоти-
асимптотическая погрешность решений. Уточненные уравнения строят-
строятся исходя из бесконечной системы уравнений. В основу по-
полагается критерий точности, основанный на сохранении чле-
членов до некоторого порядка малости as(a=h]/r\2R), Получе-
Получена система уравнений с точностью до а4. Утверждается без
доказательства, что построенные аппроксимации являются
гиперболическими.
Е. Н. Kennard [3.118—3.121] A953—1958) рассматривает
задачу о малых упругих колебаниях круговой цилиндриче-
цилиндрической оболочки в развитии статьи [3.84]. Считая, что искомые
функции являются аналитическими по г, автор разлагает в
ряды по степеням z компоненты тензора напряжений и век-
вектора перемещений. Пользуясь граничными условиями и об-
общими соотношениями теории упругости, автор исключает
слагаемые, содержащие производные от искомых величин
по переменной г. Это позволяет вывести уравнения движения
без привлечения гипотез о неизменяемости нормального эле-
элемента и получать уравнения с любой степенью точности,
которая оценивается степенью h. Получены уравнения в пе-
перемещениях с точностью до h2 включительно. В приближе-
приближении тонких оболочек предполагается, что h/R очень мало и
изменение любой функции вдоль срединной поверхности на
расстояниях порядка h тоже мало. В этом случае, как по-
полагает автор статьи, метод степенных рядов справедлив и
законно усечение рядов. Показано, что несоблюдение второго
условия может приводить к «паразитным» решениям. Про-
Проверкой служит предельный переход /t-*-0. Если в этом случае
мембранные уравнения имеют решение и притом единствен-
единственное, то построенное приближенное решение действительно
189

учитывает поправки, связанные с толщиной h=?0. Затем за-
записано приближенное выражение для энергии деформации а
виде двух членов, порядка h и /г3 [3.119]. Применение вари-
вариационного метода приводит к уравнениям, отличным от ра-
ранее полученных, что объясняется неопределенностью алго-
алгоритма.
В [3.120, 3.121] выражение для потенциальной энергии и
уравнения движения упрощаются и показано их отличие от
уравнений Флюгге [3.85] A932). Показано также, что при-
приближенные уравнения могут быть получены непосредственно
из трехмерных уравнений, если в них подставить соответст-
соответствующие разложения, и что завышенный порядок дифферен-
дифференциальных уравнений, не соответствующий числу обычных
граничных условий, приводит к ограничению, при котором
в рассмотрение вводились лишь слабо изменяющиеся реше-
решения!, обеспечивающие отсутствие «паразитных» решений. От-
Отметим, что работы Е. Н. Kennard'a породили скептическое от-
отношение к уточнению классической теории оболочек (см., на-
например, обзор P. M. Naghdi [3.141] A956)).
B. М. Даревский на примере цилиндрической оболочки
показал, что различные варианты теории Кирхгофа—Лява
дают различные погрешности и вопрос о замене исходных
соотношений упругости в этих теориях более простыми в
пределах погрешности порядка h/R в общем случае произ-
произвольной оболочки при произвольной нагрузке остается от-
открытым [3.39] A961). В работах [3.55, 3.56] A962) было
показано для цилиндрической оболочки, что в асимптотиче-
асимптотическом смысле не все варианты теории Кирхгофа—Лява яв-
являются обоснованными и правильное решение дает теория
В. В. Новожилова, благодаря взаимной компенсации погреш-
погрешностей. Поэтому не всегда более тщательное соблюдение
гипотез Гирхгофа—Лява приводит к уточнению решения.
C. Г. Саксонов [3.66] A971) рассмотрел приведение трех-
трехмерной задачи к двумерной, исходя из общего уравнения
динамики и аппроксимации вектора перемещения полино-
полиномом по нормальной координате. Применением теоремы Ост-
Остроградского—Гаусса к уравнению динамики получены урав-
уравнения движения и естественные краевые условия для круго-
круговой цилиндрической оболочки. Проведены расчеты фазовой
скорости для низшей моды осесимметричных колебаний тол-
толстой оболочки и обнаружено хорошее соответствие с точным
решением.
М. W. Johnson и О. Е. Widera [3.111] A969) построили
на основе трехмерных уравнений теории упругости асимпто-
асимптотические уравнения осесимметричных колебаний цилиндри-
цилиндрической ортотропной оболочки (см. фиг. 3.1). Они исходили
из уравнений движения
190
Фиг. 3.1. Цилиндрическая оболочка
выражений для деформаций
и физических уравнений
1 . ч V/ _
= -с^Cе —vs^ —-g-ar, тГ2
C3.1)
C3.2)
C3.3)
В приведенных соотношениях направление нормали к средин-
срединной поверхности является осью упругой симметрии, и наличие
пяти упругих постоянных позволяет легко проследить влия-
влияние поперечного сдвига v нормальной компоненты напряжения
по индексу L
Если ввести безразмерные величины по формулам
Г — О
и,- \ A -
C3.4)
и подставить в соотношения C3.1) —C3.3), то получаем
уравнения
V2) *ji = _ JL
2т) A + v)
191

- v2) vz = 7j (s, - vse - vn5r)
A-.
C3.5)
f- [A +
s2]' + 7) A + tjp) A -
1A +
Здесь b — характерная длина в осевом направлении,
1 ^ ^
На цилиндрических поверхностях заданы граничные условия
5гг = 5г=0(р= ± 1) C3.7)
Предпблагая, что -q-^l в каждой точке оболочки, можно
написать асимптотические разложения
п ft
а = 2 (у]1/2У vU), s = 2 (rf'y sU) C3.8)
•Отношение t}/\>., в которое входит характерная длина, также
представляется в виде разложения
i<» C3.9)
Здесь предполагается р.(/) — 0A). Подставляя асимптоти-
асимптотические разложения C3.8) и C3.9) в уравнения C3.5) и C3.7)
сохраняя члены при различных степенях yj1'2 и интегрируя
по р, приходим к различным асимптотическим приближениям.
Из соотношений C3.6) и C3.9) легко получить порядок ха-
характерной длины b и выделить три основных случая: й = О (Л),
b = O[(ha)lj2] и Ь = О{а). В каждом из указанных случаев
низшие приближения соответствуют известным теориям:
Ь = 0 (Л) — плоской деформации, b = O[(haIl2] — теории тонких
пологих оболочек, Ь — 0 (а) — мембранной теории оболочек.
Более высокие приближения позволяют учесть толщинные
поправки, связанные с эффектами поперечного сдвига, нор-
нормальных напряжений, инерции вращения. Общие асимптоти-
асимптотические приближения построены наложением указанных трех
приближений. Полученные аппроксимации удовлетворяют
условию предельности: при h/b, стремящемся к нулю, имеем
cfcs -э- }^2 A + v) и при h/b, стремящемся к бесконечности,
имеем с-+сц.
Полученные уравнения были применены к исследованию
распространения продольных волн в оболочке. Установлено
192
хорошее соответствие с точными решениями для фазовых ско-
скоростей {3.103].
Отмечается, что в предыдущих асимптотических уравне-
уравнениях разыскивали разложение 'частоты вместо характерной
длины и что разложение r\l[i существенно расширяет пределы
применимости асимптотического метода.
Расширение динамической теории цилиндрических оболо-
оболочек в смысле определения частот и форм колебаний дано в
работе J. F. Bird'a [3.79]. Из точного решения [3.78] установ-
установлено, 'что колебания >по толщине распадаются на дв>а раз-
различных класса: почти чисто дилата.цисмшые и почти чисто
сдвиговые, т. е. связь между Р- и S-волнами слабая. Это да-
дает возможность применить метод возмущений. Рассмотрены
случаи свободных, опертых или защемленных краев, а также
граничное условие импедансного типа на внутренней поверх-
поверхности оболочки. В точных 1решенияхцилинд>рические функции
при больших аргументах заменяются их асимптотическими
представлениями и применяется метод возмущений. В резуль-
результате получены простые частотные уравнения, содержащие толь-
только алгебраические и тригометрические функции, и расчеты
могут быть выполнены даже без применения Э'ВМ. Да«о
сравнение с точными (решениями. Такой подход применим, ес-
если известно точное решение и осевая длина волны велика по
сравнению с радиальной длиной волны.
Глава 6.
МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА МОДЕЛИ ТИМОШЕНКО
§ 34. Произвольные оболочки
Уравнения динамической теории оболочек с учетом инер-
инерции вращения и деформации поперечного сдвига в криволи-
криволинейной ортогональной системе координат выведены
P. M. Naghdi {3.142] A957). Его построение в значительной
мере основано на исследованиях Е. Reissner'a и других авто-
авторов [2.184—2.186] A944—1947), [3.93] A950), [3.152] A952).
Обозначим символами |i и \г криволинейные координаты точ-
точки срединной поверхности оболочки, характеризуемой глав-
главными радиусами (кривизны R\ и R2, а буквой ? — координату
в направлении внешней нормали к срединной поверхности.
Соответствующие орты tb t2 и п образуют 'Правую систему.
В ортогональной системе координат имеем выражения для
квадрата линейного элемента1
( ]iJl2 + dV C4.1)
193
вектора перемещения
13—2798

и компонент тензора деформаций
C4.2»
a2
C4.3)
LV-
Усилия вводятся по формулам, выражающим осреднение на-
напряжений и их моментов по толщине оболочки h
А|2
6НЁ
^-) Л
\м.
, . ft/2
б- S (
1 -ft/2
C4.4)
Компоненты вектора перемещения задаются в виде
C4.5)
где pi и р2 — углы наклона нормали к срединной поверхности,
а до' и до" характеризуют поперечные нормальные толщинные
деформации. На основе аппроксимаций C4.5) и формул
C4.3) и C4.4) определяются приближенные выражения для
деформаций и напряжений в зависимости от усилий, которые
подставляются в вариационное уравнение Е. Reissner'a1).
В результате получены пять уравнений движения
d(aiiV,,,)
За,
dat
¦> Reissner E. On a variational therem in elasticity. J. Math, and Phys.,
1950, 29, № 2, 90—95.
194
1 I
(^1)?+ C4.6,
1Г
3
20
+
даг
А3 Г/ 1
1(
^ 20 RJ
Выражения для удельных усилий в срединной поверхности
имеют вид
+ -¦
v А2
1—v 12
5 г
«2
C4.7)
Соотношения для удельных изгибающего и удельных крутя-
крутящего моментов будут
C4.9)
C4.10)
Выражение для удельных поперечного усилия запишется
в виде
13*
195

Выше приняты обозначения (/г=1,2)
4- —
It
4
д<хх
Si = ^l
w
a2
а
a2
Pn* и g*—соответственно, касательное т„? и нормальное с*;
напряжения на 'внешней и внутренней поверхностях оболоч-
оболочки к±; Е — модуль Юнга; G — модуль сдвига; D = ?/i3/12(l—
v2); v—коэффициент Пуассона. Формулы для N2, N2U М2,
M2i и Q2, а также для k\, еД yi° и 5i записываются аналогич-
аналогично: достаточно s приведенных выражениях произвести взаим-
взаимную перестановку индексов 1 и 2. Деформация поперечного
сдвига учитывается в Qi и Q2 с -коэффициентом сдвига k2 =
= 5/6, инерция вращения — в правых частях уравнений C4.6).
Слагаемые в фигурных скобках и формулах C4.7), C4.9) и
C4.11) характеризуют влияние нормальных по толщине на-
напряжений.
Полуобратный метод построения статической теории ани^
зотропных оболочек с учетом деформаций сдвига был развит
С. А. Амбарцумяном [3.11, 3.12] A958, 1961). Предполагает-
Предполагается как и в классической теории1', что компонента тензора де-
деформаций, нормальная к срединной поверхности, равна нулю
et;2=O и что напряжения ах, малы по сравнению с аь а2 итиг.
Но касательные напряжения т^ и тг^по толщине оболочки
предполагаются заданными по закону квадратной параболы
+
C4.12)
[
Здесь функции ф(а, р) и ij)(a, p) подлежат определению.
. стр. 182.
196
В работах Л. Я- Айнолы [3.4—3.7] A966) приведены уточ-
уточненные по Тимошенко уравнения динамики оболочек произ-
произвольной кривизны, вытекающие из вариационного принципа
Гамильтона — Остроградского. В отличие от других исследо-
исследований вариационный принцип формулируется для задач с
начальными условиями. В работе {3.6} уточненные уравнения
выведены в усилиях и моментах и доказана их эквивалент-
эквивалентность модели типа Тимошенко. В [3.7] A968) проводится
преобразование Лежандра вариационного принципа, эквива-
эквивалентного уравнениям и соотношениям, а также граничными
начальным условиям линейной теории типа! Тимошенко для
упругих оболочек. Формулируется также вариационный прин-
принцип, являющийся аналогом принципа Кастилияно в статике
оболочек. Показано, что этот принцип эквивалентен уравне-
уравнениям движения, а также граничным и начальным условиям
уточненной теории оболочек, сформулированной с помощью
усилий и моментов.
J. E. Stoneking и А. Р. Boresi {3. 159] A970) вывели в пе-
перемещениях уравнения свободных неосесшмметричных коле-
колебаний ортотропных оболочек вращения с учетом эффектов
поперечных сдвигов и инерции вращения. Ортотропия соот-
соответствует продольному или поперечному армированию обо-
оболочки волокнами. Авторы исходили из аппроксимаций ком-
компонент вектора перемещений полиномами, причем тангенци-
тангенциальные компоненты U и V изменяются по толщине по ли-
линейному закону, а поперечная W—по параболе
U (х, у, z, t) = и0 (х, у, t) + u1(x, у, t) г
V(x,y,z,t) = vo(x,y,t) + vl(x,y,t)z C4.13)
W (х, у, z, t) = w0 (x, y, t) + wx (x, y,t)z + w2 (x, y, t) z2
Кроме того, при определении главных напряжений нормаль-
нормальное напряжение crz полагается равным нулю. Дифференциаль-
Дифференциальные уравнения и граничные условия получены из вариацион-
вариационного принципа Лагранжа. Для решения задачи на собствен-
собственные значения применяется метод разделения переменных в
сочетании с методом кусочных полиномов, согласно которому
искомые фунщии для произвольного малого интервала вдоль
меридиана аппроксимируются полиномами третьей степени
с непрерывными функциями и их первыми производными в
концах этого интервала. В конечном итоге авторы получают
систему 14(iV+l) однородных алгебраических уравнений
относительно 14(jV+1) неизвестных, где iV — число интерва-
интервалов деления меридиана. Равенство нулю определителя этой
системы дает условия для определения собственных частот, а
затем и форм колебаний. Описанная выше методика была
применена к исследованию неосесимметричных {т—\ и м =
= 2,3,4; п и т — число окружных и продольных полуволн) по-
197

перечных колебаний цилиндрической оболочки и сегмента
тора с продольными или окружными волокнами. Сравнение с
результатами расчета по классической теории показывает, что
влияние деформаций поперечных сдвигов может быть значи-
значительным. Оно возрастает с увеличением п и всегда приводит
к снижению частоты свободных колебаний. Отмечается, что
сравнение уточненной теории с классической затруднено
из-за отсутствия точного соответствия граничных условий в
том и другом случае. Например, условию отсутствия поворо-
поворота на краю согласно классической теории dwo/dx=*O соответ-
соответствует в уточненной теории условие Wi = O. Коэффициент
сдвига по аиалогии с теорией пластам выбирается так, что-
чтобы результаты уточненной теории оболочек совпадали с ре-
результатами, полученными из решения трехмерных уравнений,
теории упругости в предельных случаях. Некоторые исследо-
исследователи исходили из того, чтобы было соответствие с частота-
частотами для волн сдвига, распространяющихся в направлении тол-
толщины [3.132] (Ш67)'>.
В других исследованиях предполагается, что фазовая ско-
скорость первой формы колебаний с нулевой длиной волны
должна соответствовать скорости распространения волн Ре-
лея [3.103] A956).
§ 35. Цилиндрические оболочки
Уточненные уравнения динамики цилиндрической оболоч-
оболочки были предложены рядом авторов. За небольшим исключе-
исключением все теории основаны на модели Тимошенко и отлича-
отличаются друг от друга лишь характером вывода уравнений.
Т. С. Lin и G. W. Morgan вывели уравнения осесиммет-
ричных колебаний цилиндрической оболочки с учетом инер-
инерция вращения и поперечного сдвига из рассмотрения дина'-
мического равновесия элемента оболочки [3.128] A956). Про-
Прогиб принят постоянным по толщине, осевое перемещение —
линейно зависящим от радиуса, поперечное сжатие не учи-
учитывается. Получена система трех уравнений относительно
осевого перемещения срединной поверхности, прогиба и по-
поперечной силы. Решение однородных уравнений ищется для
волнового синусоидального процесса. Построены графики за-
зависимости фазовой скорости от квадрата приведенной часто-
частоты для трех первых форм колебаний. При этом влияние
инерции вращения и поперечного сдвига существенно для вы-
высоких частот и проявляется в снижении скорости распростра-
распространения волн и появлении новой формы колебаний, обусловлен-
обусловленной сдвигом. Коэффициент сдвига принимался, k=8/9 (v =
=0.3) согласно экспериментам L. Filon'a для прямоугольных
0 См. также § 6 и § 21
198
стержней. Отмечается, что динамическую задачу нельзя ре-
решать, разлагая функции в ряды и сохраняя только члены
высокого поридкя h/R, необходимо также строить разложе-
разложения по hjl и удерживать члены высокого порядка по этому
параметру. Сформулированная теория справедлива при /г/7?<1
и Л//<1.
G. Herrmann и I. Mirsky [3.103] A966) также построили
уточненную теорию осесимметрических колебаний цилиндри-
цилиндрической оболочки, исходя из уравнений трехмерной теории уп-
упругости. Учтены эффекты поперечного сдвига и инерции вра-
вращения и предполагается, что толщина цилиндра неизменна,
а осевое перемещение линейно зависит от расстояния от сре-
срединной поверхности цилиндра.
Перемещения аппроксимируются выражениями')
)
а напряжения осредняются по толщине. При вычислении уси-
усилий в уравнении закона Гука радиальные напряжения пола-
полагаются равными нулю, логарифмический член разлагается в
степенной ряд по h/R и удерживаются члены до (h/RKвклю-
(h/RKвключительно. В результате получена система трех уравнений от-
относительно прогиба w, осевого перемещения и и угла попе-
поперечного сдвига tyx
р/
v 3
Выражения для удельных усилий можно записать в следую-
следующем виде:
», Eh [ ди . w . h1 , Л
JV* (I—v!)Ld* "^ R ^ Ш TtJ
«,_*.<?*[¦,+¦?]
C5.3)
Здесь / = /г3/12, ? = ?Л3/12(/—v2), EP = Eh/(l—v2), ft2 —коэф-
—коэффициент сдвига. В случае R-^^ указанная система сводится
') Сравни с C4.5).
199

к уравнениям поперечных колебаний пластин R. Mindlin'a
[2.150]. Система интересна тем, что в ней есть три жесткости:
изгибнает, растяжения — сжатия, поперечного сдвига —и три
инерционных члена: продольная, поперечная и вращательная
инерции. Получено и анализируется дисперсионное уравне-
уравнение. Приводится зависимость фазовой скорости c/cs от отно-
отношения толщины цилиндра к длине волны h/l при относитель-
относительной толщине h/R = 1/30 и v=0 3, согласно точной трехмерной
теории, согласно классической теории пластин, мембранной и
иэгибной теории оболочек, согласно дредлагаемому варианту
теории, в пренебрежении инерщией вращения, в пренебреже-
пренебрежении поперечным сдвигом (см. фиг. 3.2, где цифрой 1 обоз-
1.6
t DJ
0Л
0
мз
ii
5
"'130
К'
Ч
«^¦^
д. ¦¦¦
^—-¦
-
^>—¦
к
—
—к-
0,1 02 0.3 0Л 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Фиг 3 2 Сравнение фазовых скоростей для низ-
низшей моды по различным теориям
начены результаты, найденные из точного решения и по тео-
теории типа Тимошенко; 2 — по теории, учитывающей только
деформации сдвига; 3 — по теории, учитывающей только
инерцию вращения; 4 — по моментной теории оболочек; 5 —
по мембранной теории; 6 —по классической теории пластин).
В пренебрежении осевой инерцией установлено, что ве-
величина фазовой скорости может быть вычислена по формуле
которая имеет место при
C5.4>
C5.5)
Для больших длин волн, длина волны больше радиуса 1>R,
мембранная теория дает хорошие результаты по фазовой ско-
скорости. В противном случае необходимо применять изгибную
теорию.
Аналогичная теория построена затем исходя из принципа
Гамильтона — Остроградского [3.134]. Получена система че-
200
тырех линейных уравнений. В случае бесконечно длинного
цилиндра исследуется распространение свободных гармони-
гармонических волн. Дано сравнение изменения фазовой скорости в
зависимости от величины отношения толщины оболочки к
длине волны для/г//? = 2/3, 1, 2 и v=0.3c результатами рас-
расчетов, полученных на основе трехмерной теории упругости.
Приведена зависимость фазовой скорости от h/l при h/R =
= 1/30, 1/4, 2/3, 1, 2 (h^b—a; R=(a + bJ; b — наружный ра-
радиус цилиндра; а — внутренний) для низшей формы колеба-
колебаний. При т = 2/3 фазовые скорости практически совпадают;
при т—\ фазовая скорость, .вычисленная из уравнений тео-
теории упругости,.ниже на несколько процентов значений, опре-
определенных по теории толстой оболочки; при т = 2, т. е. в слу-
случае сплошного цилиндра, точные значения для фазовой ско-
скорости на 15—20% ниже приближенных.
I. Mirsky и G. Herrman построили уравнения неосесиммет-
ричных колебаний цилиндрической круговой оболочки посто-
постоянной толщины с учетом поперечного сдвига и инерции вра-
вращения в предположении постоянства прогиба по толщине
[3.132] A957). Эти уравнения содержат пять переменных —
осевое и кольцевое смещения срединной поверхности, про-
прогиб, а также углы поворота нормали к срединной поверхно-
поверхности в продольной плоскости оболочки и в плоскости попереч-
поперечного сечения. Усилия получены с точностью до членов (h/RK.
Определение коэффициентов поперечного сдвига по
R. D. Mindlin'y [2.150] путем приравнивания частот, опреде-
определенных для чисто сдвиговых колебаний из полученных урав-
уравнений теории оболочек и уравнений пространственной теории
упругости, показало зависимость их от числа полуволн в со-
соответствующем направлении. Принимается kx = ko = nl2}^3 в-
предположении, что число полуволн не очень велико и обо-
оболочка тонка. Эти величины соответствуют значениям коэф-
коэффициентов сдвига, полученным ранее для пластины
R. D. МтсШп'ым [2.150]. Определены значения пяти осевых
фазовых скоростей в зависимости от длины полуволны
h/1=0-1 длят h/R = 1/30, 1/10, 1/4 при v=0.3 и м=1^6 (п —
число окружных волн).
P. M. Naghdi и R M. Cooper [3 82, 3.140] A956, 1957) вы-
вывели уравнения динамики цилиндрической оболочки с учетом
инерции вращения и поперечного сдвига в двух варантах: на
базе уравнений Лява и Доннелла. Первый вариант совпадает
с моделью Т. С. Lin'a и G. W. Morgan'a [3 128], G. Herrman'a
и I. Mirsky [3 103]. Второй вариант существенно проще пер-
первого, в нем разумным образом отброшены величины, малые
по сравнению с единицей.
Эти упрощенные уравнения имеют вид
201

1—v d2ux , 1 +v
~dF
ds2
I
i Г
2
1 + v 3*u
^ a dx ' 3^2 ~u
ds
. J_ 3ay
2 3xi3s ~^1г~ЬТ'
' З/2
= 0
_
12
ds2
' 3^а =
¦fc)-
C5.6)
~j'
' 12 Л
1 + v д*$х \
i[~dr~]~Vs)~ ' 12
12 ^ 3s' ^ -2 Зх2 ^ 2 dxds)'
Для соответствующих удельных усилий получены выражения
ds
C5.7)
3s
¦ +
Зл:
Здесь s — окружная координата,
l—
1—V
Если в формулах C5.6) и C5.7) перейти к осесимметрично-
му случаю, то получим уравнения, которые следуют из C5.2)
и C5.3) после отбрасывания подчеркнутых членов. Затем
исследуются фазовые скорости и амплитудные отношения в
случае распространения волн в бесконечной оболочке, осе-
симметричных, неосесимметричных, вращательных. Показа-
Показано, что оба уточненных варианта находятся в хорошем соот-
соответствии для всей области длин волн. Результаты сравнива-
сравниваются также с классической теорией.
В работах D. С. Gazis'a [3.89—3 91] A958) для полого
цилиндра, в котором распространяется гармоническая волна,
построено точное решение и исследованы предельные случаи.
В случае осесимметричного движения и бесконечной длины
волны по осевой координате существуют три несвязанные
формы колебаний: расширение и сдвиг при плоской дефор-
деформации и продольный сдвиг. Последняя форма существует
также и в неосесимметричном случае. В осесимметричном
случае возможны также связанные продольно-изгибные коле-
202
ёания. Получены численные результаты для числа окружных
волн h—l,2 и для l/30<h/R<2. Сравнение с теорией I. Mir-
sky и G. Herrmann'a по фазовым скоростям обнаруживает
хорошее соответствие для первых трех мод. Для четвертой,
пятой и более высоких мод требуется более точная теория.
Это имеет и практическое значение, например, формы выше
пятой могут возбуждаться в линиях задержки.
В статьях J. E. Greenspon'a [3.95—3.98] A958) в поста-
постановке трехмерной теории упругости' исследуются изгибные
неосесимметричные колебания цилиндрической оболочки ко-
конечной длины при следующих граничных условиях на торцах
о22 = ыг=ые=0 и на внешней и внутренней поверхностях
оге=о/-е = аГ2 = Р- Такие условия соответствуют случаю, когда
края свободны для продольных перемещений и шарнирно
закреплены относительно изгибных перемещений. Решения
по 8 и z выбираются в виде произведения тригонометриче-
тригонометрических функций так, чтобы граничные условия на торцах удов-
удовлетворялись. Условия же на поверхностях приводят к частот-
частотному уравнению. Показано, что с увеличением относительной
толщины область применимости классической теории смеща-
смещается все дальше и дальше в сторону длинных волн. Теория
типа Тимошенко редуцируется к точным решениям по часто-
частотам соответствующим выбором коэффициента сдвига. Необ-
Необходимо отметить, что наличие коэффициента сдвига является
недостатком теории, так как лишает возможности сделать
какие-либо оценки. Кроме того, по фазовым скоростям нель-
нельзя судить об аппроксимации деформированного и напряжен-
напряженного состояния. Например, в работе [3.96] для толстой обо-
оболочки h/R=0.7 построено распределение перемещений и на-
напряжений по толщине. Видно сильное отклонение от предпо-
предположений теории оболочек о линейном распределении переме-
перемещений и напряжений и агг=0.
Y.-Y. Yu рассмотрел различные варианты уравнений ди-
динамики цилиндрической оболочки, в том числе и уравнения,
учитывающие инерцию вращения и поперечный сдвиг [3.170]
A957). Проводятся упрощения уравнений путем отбрасыва-
отбрасывания относительно малых членов. Методом тригонометриче-
тригонометрических рядов и методом Бубнова решаются задачи о свобод-
свободных колебаниях замкнутых цилиндрических оболочек при
различных краевык условиях. В [3.171] он вывел уточненные
уравнения для цилиндрической оболочки и показал, что они
могут быть сведены к уравнениям типа Доннелла — Тимо-
Тимошенко.
В [3.172] исследуется распространение волн в упругой
цилиндрической оболочке с учетом поперечного сдвига и
инерции вращения. Получено пять уравнений в перемеще-
перемещениях относительно перемещений точки срединной поверхно-
поверхности и углов сдвига в продольной и поперечной плоскостях
203

в предположении, что перемещения изменяются по линейно-
линейному закону по толщине, прогиб постоянен, а радиальные
напряжения незначительны. Величина h2/l2R2 считалась ма-
малой по сравнению с единицей, постоянная сдвига принима-
принималась на основе равенства частоты бесконечно коротких волн
частоте поверхностных волн Релея (при v=0.3, &2 = 0.86).
Затем выписываются системы уравнений, которые автором
названы уравнениями типа Доннелла. Эта система состоит
также из пяти уравнений относительно прежних переменных,
но одно из них содержит только функцию прогиба, а каж-
каждое из четырех остальных одно из переменных и прогиб.
Последняя система решена для бесконечно длинной обо-
оболочки (или- цилиндрической оболочки конечной длины с
опертыми краями). Подсчитаны собственные частоты (их
пять), фазовые и групповые скорости для случая бесконечно
длинных и бесконечно коротких волн. При бесконечно длин-
длинных волнах частоты конечны, а фазовые и групповые ско-
скорости имеют бесконечное значение; исключение составляет
случай, когда имеет место одна волна в окружном направ-
направлении, при этом низшее значение частоты равно нулю, а
низшее значение фазовой скорости конечно. При бесконечно
коротких волнах групповая скорость с учетом поперечного
сдвига и инерции вращения всегда конечна. Уравнения для
оболочки, полученные в работе в пренебрежении инерцией
вращения и поперечным сдвигом близки к уравнениям
Флюгге. Числовые результаты приведены для чисел волн в
окружном направлении 2 и 5; v=0.3; h/R—1/30, 1/10; К —
= 2я/?// = 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500.
G. Herrmann и А. Е. Armenakas, исходя из соотношений
нелинейной теории упругости и принципа Гамильтона—Ост-
Гамильтона—Остроградского, получили уточненные уравнения движения и
контурные условия для цилиндрической оболочки при раз-
различных нагрузках [3.104] A963). Из этих уравнений при не-
некоторых допущениях следуют классические уравнения типа
Флюгге—Тимошенко и Донелла.
P. W. Smith [3.156] A958) обсуждает уточненные уравне-
уравнения I. Mirsky и G. Herrmann'a и вопросы симметрии урав-
уравнений движения упругих оболочек. В частности, отмечается
неудовлетворенность отсутствием симметрии этих уравнений.
Исследованию минимальных значений фазовых скоростей
в цилиндрической оболочке, знание которых важно для пони-
понимания процесса прохождения звука через оболочки, посвя-
посвящена работа P. W. Smith'a [3.157] A958). Показано, что
значения минимума фазовых скоростей аксиальных нормаль-
нормальных волн и минимум собственных частот, вычисленные по
классической теории оболочек, не совпадают со значениями
по уточненной теории I. Mirsky и G. Herrmann'a [3.132], в
особенности минимум, соответствующий частоте, близкой к
204
кольцевому резонансу. Даны уточненные формулы для мини-
минимальных фазовых скоростей.
Уточненная теория динамики ортотропной цилиндриче-
цилиндрической оболочки построена I. Mirsky [3.135] A964). Он учиты-
учитывал поперечные нормальные напряжения, влияние инерции
вращения и поперечного сдвига. Применением принципа Га-
Гамильтона—Остроградского к уравнениям трехмерной теории
упругости получены шесть уравнений движения в напряже-
напряжениях и перемещениях. Для случая распространения свобод-
свободных гармонических волн в бесконечной оболочке выведено
дисперсионное уравнение, из которого определяются частоты
(шесть ветвей) в зависимости от длины волны для изотроп-
изотропных (сталь) и неизотропных (цинк, магний, молибден, воль-
вольфрам) материалов при различных толщинах и числах
окружных полуволн. Коэффициенты сдвига kx и fee опреде-
определяются по R. D. Mindlin'y [2.1501, зависимость от т и п не
учитывается, что дает ошибку не более 10%. Для изотроп-
изотропного материала результаты сравниваются с точными реше-
решениями D. С. Gazis'a", на основании чего автор полагает, что
первые четыре формы колебаний описываются хорошо и это
будет справедливо также для ортотропной оболочки.
В работе Е. Н. Вакег'а и G. Herrmann'a [13.77] A966)
также дан вывод уравнений типа Тимошенко для ортотроп-
ортотропной круговой цилиндрической оболочки.
Э. И. Григолюк 13.38] A957) дал подробное изложение
вопросов построения уравнений многослойных оболочек. Для
таких оболочек учет деформации сдвига в уравнениях оказы-
оказывается весьма существенным. В ряде случаев деформация
сдвига заполнителя является единственным из того, что име-
имеет значение. Роль заполнителя сводится к передаче нормаль-
нормального давления на несущие слои и поперечных сдвигающих
усилий. Поскольку модуль сдвига заполнителя незначителен,
соответствующие поперечные деформации его будут велики
и должны быть учтены при расчете. Поперечный же сдвиг
несущих слоев пренебрежимо мал.
J. P. Jones и J. S. Whittier [3.113—3.115] A966—1969)
рассмотрели колебания двухслойной оболочки с безмассовым
связующим слоем, поведение каждого слоя описывается
уравнениями типа G. Herrmann'a и I. Mirsky C5.2). Иссле-
Исследуется распространение осесимметричных гармонических
волн. Определены предельные частоты при АгЮ, из сравне-
сравнения которых с точными решениями получены величины коэф-
коэффициентов сдвига для каждого слоя: сравнивались частоты
колебаний сдвига по толщине оболочки. Из сравнения дис-
дисперсионных кривых (четыре формы), соответствующих при-
приближенной и точной теориям, устанавливаются пределы при-
ч См. стр. 203.
205

менимости рассматриваемой аппроксимации: A = s#<7.9 к
Q = co#/p<5.3. Здесь s — волновое число, со — частота, Я —
толщина пакета, р — среднее арифметическое скоростей эк-
виволюминальной и дилатационной волн. Эти неравенства
гарантируют точность в пределах пяти процентов. Сравни-
Сравниваются также радиальные и осевые перемещения для не-
нескольких волновых чисел и устанавливается применимость
гипотез Кирхгофа—Лява (Д<0.8; Q<0.2). Как видно, уточ-
уточненная теория сильно расширяет пределы применимости по
частотам и меньше по перемещениям.
Эти же авторы рассмотрели аналогичную задачу, но с
соединительной прокладкой между слоями [3.114] A968), ко-
которая беэинерционна и характеризуется только конечной
жесткостью на сдвиг. Условия равновесия прокладки приво-
приводят к равенству прогибов, а также нормальных и касатель-
касательных напряжений на поверхностях примыкающих слоев. Для
случая распространения гармонических волн в осевом на-
направлении получено дисперсионное уравнение (определитель
пятого порядка), в которое входит безразмерный параметр
жесткости прокладки B = GH2/b(Eih[+E2fi2), где G и Ь —
модуль сдвига и толщина прокладки; Е\ и Е2, hi и h2 — мо-
модули Юнга и толщины слоев. Цель работы состоит в иссле-
исследовании влияния параметра В на колебания оболочки. В слу-
случае предельных частот (волновое число равно нулю) полу-
получены аналитические формулы для пяти фазовых скоростей
(осевое и радиальное движения, три типа осевых сдвиговых,
движений). В общем случае вычисления выполнены на ЭВМ.
Показано, что существует промежуточная область критиче-4
ских значений 5кр, которая разделяет области «мягких» и
«жестких» В. При 5-<Бкр и Б>Бкр применимы приближен- ¦
ные теории, предложенные ранее.
Y. Kagawa [3.116] A968) на основе уравнений I. Mirsky
и G. Herrmann'a [3.132] исследовал свободные колебания
трехслойных цилиндрических оболочек бесконечной длины с
жестким заполнителем. Рассматриваются пять типов колеба-
колебаний. Полученные частоты сравниваются с результатами дру-
других авторов для однородных цилиндров в случае осесиммет-
ричных форм колебаний слоистых цилиндров.
В работе Т.-М. Hsu и T.-S. Wang'a 63.106] A970) выве-
выведены уточненные уравнения динамики многослойной цилинд-
цилиндрической оболочки с ортотропными слоями. Приняты следу-
следующие предположения:
оболочка в поперечном направлении z нерастяжима, по-
поэтому в оболочечных соотношениях деформация — переме-
перемещение для /-го слоя полагается
е{=-5— = 0
* дг
206
откуда
все слои остаются упругими и подчиняются обобщенному
закону Гука для ортотропного материала с учетом попереч-
поперечной нерастяжимости;
между слоями нет проскальзывания;
прокладка между слоями достаточно тонкая, так что гео-
геометрия оболочки не изменяется и инерцией прокладки можно
пренебречь;
изменение поперечных сдвигающих напряжений т?г и т^,
(или х^г) представляется в следующей форме для /-го слоя
Чг = Я (*) ^ (х, б) '
, б) + (z
Здесь Х> и Y> — тангенциальные составляющие поверхност-
поверхностной нагрузки, h> — толщина /-го слоя, /{(г) и f{(z) — функ-
функции, характеризующие изменение поперечных сдвигающих
напряжений и удовлетворяющие условиям
Виду функций |У и f2j здесь не придается конкретного зна-
значения.
Исходя из указанных гипотез, выведена система пяти
уравнений движения с учетом инерции вращения относитель-
относительно величин, ui, v\ wj, q^' и г|Я и записаны граничные условия
для свободно опертого, защемленного или свободного края.
Рассмотренный подход называется полуобратным и приме-
применялся в случае параболического распределения поперечных
касательных напряжений по толщине С. А. Амбарцумяном"
[3.12] A961).
A. Kornecki [3.124] A971) исследовал балочные колеба-
колебания круговой цилиндрической оболочки. Уравнения коле-
колебаний тонкой оболочки в форме Лява сведены к разрешаю-
разрешающему уравнению относительно одной потенциальной функ-
функции и рассмотрен случай, когда число окружных волн п=1.
Показано, что для тонких оболочек h2/h2Rz<^l и больших
длин волн (в осевом направлении l/R>l (это дает возмож-
возможность пренебречь производными более высокого порядка)
можно вывести уравнение поперечных колебаний балки с
учетом инерции вращения (уравнения Релея). Отмечается,
что уравнение балки Тимошенко не может быть получено
аналогичным способом, так как сечения в процессе дефор-
деформации предполагаются плоскими и не депланирующими.
См. стр. 197.
207

В случае же упрощенных уравнений Доннелла нельзя1 полу-
получить даже уравнение Релея, а только классическое уравне-
уравнение изгибных колебаний балки.
§ 36. Сферические оболочки
A. Kalnins [3.1171 A961) уточнил соотношения, получен-
полученные в своей предыдущей работе, применительно к исследо-
исследованию неосесимметричных колебаний упругих сферических
пологих оболочек введением продольной и поперечной инер-
инерции, а также поперечного сдвига, с целью расширения пре-
пределов применимости теории по частотам и толщинам по
сравнению с классической теорией оболочек. Задача приве-
приведена к трем независимым дифференциальным уравнениям
относительно прогиба и двух функций, определяющих пере-
перемещения вдоль линий кривизны. Приведено решение этой
системы и рассмотрены свободные колебания оболочки, за-
защемленной по краю. Частотный спектр пологой оболочки
подразделяется на три части, которые соответствуют трем
доминирующим формам колебаний: сдвиговая по толщине,
продольная, поперечная.
В работе [3.1431 осесимметричная задача об изгибных
колебаниях тонкой упругой сферической оболочки приведена
к решению системы двух дифференциальных уравнений, со-
содержащих прогиб и силовую функцию. Получено решение
этой системы при гармонических колебаниях в функциях
Лежандра и приведены результаты расчета низшей частоты.
Неосесимметричные колебания полусферической оболочки со
свободным краем рассмотрены в предположении о мембран-
мембранном характере деформации. Приведено сопоставление частот
чисто изгибных колебаний и колебаний растяжения.
С. Prasad [3.1461 A964) привел систему пяти уравнений
динамики непологой сферической оболочки с учетом инерции
вращения и поперечного сдвига. В сферической системе ко-
координат (г, 0, ф) эти уравнения имеют вид
~W
ад0
ж
C6.1)
эма
cosec
- м*) cte9 - ^Qe=Т2
208
Удельные усилия и моменты определяются формулами
^e=77-^[f-S- + «') + vfactg8 + ^cosece + ™
= (t-v')i?[\ dQ
C6.2)
Ц
м,=% f v-^ + т^-cosec 9 +Pe ctse] ^36-2)
Здесь Ne, iVv и Л/вФ — мембранные усилия; Мв, Mv и Меф —
изгибающие моменты; Qe и Qv — поперечные усилия; и, v и
<щ_перемещения срединной поверхности в направлениях б, ср
и г; /?е, pv и q — поверхностные нагрузки; ре и Рф — углы по-
поворота нормали; ks — коэффициент сдвига
^1 +
Введением вспомогательных переменных эта система сведена
к трем уравнениям: несвязанное операторное уравнение ше-
шестого порядка для прогиба и два уравнения второго поряд-
порядка для вспомогательных переменных, одно из которых —
связанное. Для экспоненциальной зависимости от времени
построены решения, обнаруживающие пять связанных форм
колебаний; для замкнутой сферической оболочки они могут
быть несвязанными. Первая форма —растяжение, вторая —
поперечных перемещений, третья — сдвиговая по толщине,
четвертая — вращательная без сдвига, пятая — вращательная
со сдвигом. Исследуются частные случаи и получены урав-
уравнения для пологой оболочки.
Вывод уравнений типа Тимошенко в случае осесимметрич-
ных движений сферической оболочки имеется также в рабо-
работе М. P. Mortell'a [3.1371 A969).
А. К. Галиньш 03.31] A970) записал уравнения движения
в усилиях и моментах, а также в перемещениях для пологой
ортотропной сферической оболочки с учетом влияния дефор-
деформаций поперечного сдвига, инерции вращения и поперечных
нормальных напряжений а3з. Учитывается также воздействие
стационарного температурного поля. Трехмерная задача сво-
14—2798 209

дится к двумерной, исходя из разложении в степенные ряды
по нормальной координате компонент вектора перемещения,
тензора деформации и тензора напряжения. Затем приме-
применяется вариационный принцип Гамильтона—Остроградского,
нз которого следуют уравнения движения оболочки и гранич-
граничные условия. При этом отброшены члены порядка г\2 по срав-
сравнению с единицей (r\ = h2/a2X; 2h — толщина оболочки; а —
радиус срединной поверхности; К — показатель изменя-
изменяемости) . <aN
Сравнение результатов, следующих из трехмерной теории
и из теории оболочек, дано в [3.1551 A969).
§ 37. Конические оболочки
Колебания упругой конической оболочки рассмотрены
Н. Garnet'oM и J. Кетрпег'ом [/3.88] A964). Уравнения дви-
движения в осесимметричном случае с учетом инерции враще-
вращения <и поперечного сдвига записаны исходя из уточненной
теории, приведенной P. M. Naghdi0 [3.142]. Перемещения
оболочки Ub в меридиональном направлении х и W в нор-
нормальном направлении z (см. фиг. 3.3) имеют вид
xcosaC- zsincC
Фиг. 3.3. Система координат, смеще-
смещения и параметры конической оболочки
Ub{х, z, t) =u(x, t) + z$(x, t), W(x, z, t) ^w(x, t) C7.1)
Здесь и и w — перемещения срединной поверхности, р — из-
изменение угла наклона нормали к срединной поверхности.
Из C4.3) с учетом C7.1) получаем для деформаций
¦>См. § 34.
210
C7.2)
дх
Здесь
да
C7.3)
иЛ Л Л l.gWi
« Эр , Р -ay л\
rx^=jt, «e^ {?' •*'
Соотношения между напряжениями и перемещениями по тео-
теории, учитывающей поперечный сдвиг, для оболочки толщины
h получаем из выражений C7.2) и C4.7) —C4.11)
Л/ — Eh \ди 4- /» | w ) _Л^ _ctg_a_api
* = A—vJ) |_Лс l^" *tgay+ ! 12 л: дх\
Eh Г« , о> . ..Эй _ A!ctga,
C7.5)
Здесь величина с2 обозначает коэффициент сдвига, значение
Ci=l соответствует уточненной теории, Ci = 0 — классической
теории Кирхгофа—Лява.
Формулы C7.3) — C7.5) подставляются в вариационное
уравнение
Q C7.6)
которое затем применяется для исследования собственных
колебаний. Выражения для 6U и ЬТ имеют вид
=[[ [Nxbex
Mxbkx
87"
= РЛ CC \ubu + -^ рЬ
C7.7)
sin a
C7.8)
§ 38. Нелинейные уточненные теории
Первые работы по нелинейной уточненной динамической
теории оболочек принадлежат М. П. Галину [3.29] A961).
Он рассмотрел нелинейные задачи в физической и геометри-
геометрической постановках. В работе [3.29] на основе модели Тимо-
Тимошенко получены гиперболические уравнения динамики обо-
14*
121

лочек вращения в перемещениях при упруго-пластическом
осеоимметричном деформировании. Определены характери-
характеристики и условия на них, исследованы условия распростране-
распространения слабых и сильных разрывов. В упругой области разры-
разрывы продольных деформаций (изгибающие моменты) и мери-
меридиональных усилий характеризуются скоростью VEjpA —v2),
а разрывы деформаций сдвига — скоростью V kG/p. Показа-
но, что в области упруго-пластических деформаций может
существовать волна сильного разрыва со скоростью распро-
распространения меньшей, чем]/ ?7рA—v2).
В работе Y.-Y. Yu [3.173] A963) дана вариационная фор-
формулировка для гибкой трехслойной цилиндрической оболоч-
оболочки в рамках1 модели Тимошенко. Для решения конкретных
задач рекомендуется применять метод Бубнова. Рассмотре-
Рассмотрены свободные колебания трехслойной цилиндрической обо-
оболочки, шарнирно опертой по торцам, при больших прогибах.
Определена низшая частота и показано, что влияние дефор-
деформаций сдвига для трехслойных оболочек в некоторых слу-
случаях может быть значительно большим, чем для однородных
оболочек.
Л. Я. Айнола построил геометрически нелинейную теорию
упругих оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного
вариационного принципа Гамильтона—Остроградского [3.2]
A965). Получены также уравнения в возмущениях примени-
применительно к исследованию динамической устойчивости начально-
начального состояния движения. Исходя из вариационного принципа
для геометрически нелинейной теории упругости и вводя ос-
основные гипотезы модели Тимошенко, он вывел уточненные
уравнения динамики гибких оболочек в криволинейных коор-
координатах [3.6] A968).
L. M. Habip и J. К. Ebciogly записали в произвольных
криволинейных координатах уравнения динамики оболочек
в относительном состоянии, под которым понимается неко-
некоторое исходное недеформированное, что очень существенно
для нелинейных задач [3.100, 3.101] A965). Уравнения вы-
выведены в физически и геометрически нелинейной постановке
из уравнений трехмерной теории упругости введением гипо-
гипотез теории Тимошенко.
Глава 7.
ПРИЛОЖЕНИЯ УТОЧНЕННЫХ ТЕОРИЙ ОБОЛОЧЕК
§ 39. Распространение волн и вынужденные колебания
Неустановившиеся динамические процессы и распростра-
распространение волн с использованием уточненных линейных уравне-
уравнений оболочек в основном исследованы для цилиндрических
212
изотропных, анизотропных и слоистых оболочек. Для оболо-
оболочек другой конфигурации и по нелинейным задачам работ
значительно меньше.
И. Т. Селезов исследовал колебания -бесконечной цилинд-
цилиндрической оболочки под действием сосредоточенной кольце-
кольцевой наирузки, изменяющейся во времени как функция Хе-
висайда, [3.67] A960). Он исходил из метода степенных ря-
рядов и записал решения в виде интегралов Римана — Мелли-
на. В работе [3.70] A962) на основе уточненных уравнений
динамики цилиндрической оболочки [3.68] построены опера-
операционным методом решения неустановившихся движений типа
гидравлического удара.
Автором работы [3.71] на основе уточненных уравнений
было исследовано распространение малых возмущений в гид-
гидроупругой системе типа цилиндрическая оболочка — жид-
жидкость. Исследование характеристик и фазовых скоростей об-
обнаружило существенное качественное отличие результатов
такой постановки от классической, состоящее в том, что пе-
перед фронтом распространения возмущений в жидкости час-
частицы ее не будут находиться в покое, а будут двигаться.
Движение их вызывается движением стенок оболочки, в ко-
которой волны распространяются с более высокой скоростью,
чем скорость звука в жидкости.
Н. А. Алумяэ на основе уравнений типа Тимошенко рас-
рассмотрел нестационарные осесимм'етричные колебания .полу-
.полубесконечной оболочки методом преобразования Лапласа
[3.8] A961). Из анализа контурных интегралов следует, что
при медленном изменении осевой нагрузки (период больше
времени прохождения упругой волной расстояния, равного
радиусу) не требуется привлечения гиперболических уравне-
уравнений и напряженное состояние можно разложить на безмо-
ментное плюс краевые эффекты. Этот вывод, по-видимому,
будет справедлив не только для гармонической во времени
нагрузки, рассмотренной в работе, но и для произвольной
функции, гладкой и имеющей указанное характерное время
изменения.
В работе Н. А. Алумяэ и Л. Поверуса [3.9] A963) на осно-
основе уравнений I. Mirsky и G. Hermann'a [3.132] исследованы
переходные динамические про-цессы в цилиндрической обо-
оболочке, на край которой действует осевая сила типа функции
Хевисайда во времени и типа cos n0 по дуговой координате.
Методом преобразования Лапласа построено численное реше-
решение с помощью аппроксимации подынтегральной функции
вблизи фронта волны. Построено также асимптотическое ре-
решение, описывающее процессы вдали от фронта волны. По-
Показано, что для определения тангенциальных характеристик
деформации при малых п и больших моментах времени мож-
213

но применять вместо моментной полубезмоментную теорию
оболочек, учитывающую окружные моменты и сдвигающие
усилия.
Л. М. Лямшев [3.50а—3.50в, 3.51] A957—1963) применил
уравнения, выведенные методом степенных рядов C.118], к
исследованию рассеяния плоской акустической волны круго-
круговой цилиндрической оболочкой конечной длины при шарнир-
шарнирном стирании торцов. Упругая оболочка в виде вставки рас-
расположена в абсолютно жестком цилиндрическом экране.
В работе J. P. Jones'a и P. G. Bhuta [3.112] A964) иссле-
исследуется круговая цилиндрическая оболочка под воздействием
подвижной кольцевой нагрузки. Установлено, что существу-
существуют режимы, которые требуют учета инерции вращения и де-
деформации сдвига и постановки задачи с начальными усло-
условиями.
В. И. Борисенжо исследовал динамическую устойчивость
шарнирно опертой цилиндрической оболочки при продольном
ударе по торцу [3.17] A965) на основе уравнений G. Негг-
mann'a и I. Mirsky C5.2). Сравнение с результатами клас-
классической теории обнаруживает, что при больших и малых
Ikp/R Aкр и R — длина и радиус оболочки) уточнение сущест-
существенно, а в промежуточной области, представляющей наи-
наибольший практический интерес, — несущественно.
А. Тюманок исследовал неустановившееся движение по-
полубесконечной цилиндрической оболочки, от защемленного
края которой равномерно движется осесимметричная волна
давления с докритической скоростью [3.72] A966). Исследо-
Исследования проводились на основе уравнений типа Тимошенко В
работе показано, что при больших временах основной вклад
в перемещения оболочки вносит безмоментное решение. В
моментной части решения существенными оказываются крае-
краевой эффект и группа волн с низкой скоростью.
В статье М. J. Forrestal'a и G. Herrmann'a [3.86] A965)
исследуются процессы в окруженной сжимаемой средой бес-
бесконечно длинной цилиндрической оболочке, вдоль которой
движется ступенчатая волна давления. Построено стационар-
стационарное решение в подвижной системе координат, так что наблю-
наблюдатель находится на фронте волны. Установлено, что учет
инерции вращения и поперечного сдвига в уравнениях движе-
движения приводит к увеличению частоты осцилляции перед фрон-
фронтом «волны.
W. R. Spillers [3.158] A965) записал в усилиях и переме-
перемещениях уравнения осесимметричного движения цилиндриче-
цилиндрической оболочки по G. Herrmann'y и I. Mirsky [3.103] Посколь-
Поскольку число уравнений велико и характеристическое уравнение
не поддается решению, а характеристические направления
можно определить, то имеет смысл применять метод характе-
характеристик, который дает явные результаты для волновых фрон-
214
тов и допускает численную реализацию за фронтами. Исход-
Исходная система записывается в виде семи уравнений первого
порядка, для которой ставится задача Коши Рассматривает-
Рассматривается полубесконечная оболочка, на торце которой задан рав-
равномерно распределенный по контуру скачок продольной ско-
скорости типа функции Хевисаида во времени Решения постро-
построены методом Куранта1'. Рассматривается также вязко-упру-
вязко-упругая задача в случае несжимаемой максвелловой среды
посредством замены упругих постоянных дифференциальны-
дифференциальными вязко-упругими операторами. Приведены численные ре-
результаты для фиксированных моментов времени (см. фиг. 3.4
¦1
Яембрища
Оболочка типа
Тимошенко
ми »™
¦¦1 ¦
/
\
0 0.1 U4 0.6 0.8 1.0 1.2 1Л 1.6 1.8
I
Фиг. 3 4 Радиальная скорость
¦
¦
-
—'
1-1
№¦ r
__
1 ~
——
Оболочка т
Тимош-ен
-и пру га я
-Вязко упру г
1
'№
'--2
ом
0.2
О 0.2 6JIWWW12 1M"i? 1.8~
Фиг 3 5 Осевое усилие
cp =
и 3.5, где l=xR~^ — осевая координата, x = cptR~l
~УЕ/р{\— v2), nx = NxJtEh/{l—v2)]-1 — осевое усилие)". Из
расчетов видно, что в окрестности волновых фронтов при до-
достаточно больших моментах времени безмоментная теория не-
шрименима.
В работах [3.57, 3.59] A966) исследуется распростране-
распространение осесимметричных волн в полубесконечной оболочке, к
торцу которой прикладывается осевая нагрузка типа функ-
функции Хевисаида во времени. Построены методом конечных
разностей и сравниваются между собой решения трехмерной
теории, теории типа Тимошенко, теории Кирхгофа — Лява,
теории стержней. Обсуждаются области применимости этих
См ссылку на стр. 23
215

теорий по продольным перемещениям и напряжениям и пока-
показана возможность применения приближенных теорий в до-
довольно широкой области даже при резком изменении на-
нагрузки.
Tang Sing-Chin [3.160] A966) (применительно к расчету
ударных труб рассмотрел задачу о колебаниях круговой по-
полубесконечной цилиндрической оболочки, по внутренней по-
поверхности которой перемещается с постоянной скоростью о =
= const сосредоточенный осесимметричный источник возму-
возмущений. На основе уравнений C6.2) исследуются применитель-
применительно « методу характеристик выражения, описывающие разры-
разрывы. Различаются три случая: в первых двух скорость и
совпадает с се или cs, в третьем — v?=ce, v = cs. Бегущее воз-
возмущение принято в виде б-фунции Дирака, и в случаях v — ce
или v = cs имеют место «резонансные» явления (прогиб стре-
стремится к бесконечности). Поэтому следует рассматривать ре-
реальную распределенную нагрузку, а не сосредоточенную.
В C.161] A967) рассматривается поведение тонкостенной
упругой цилиндрической оболочки конечных размеров при
действии на нее ступенчатой волны давления, распространяю-
распространяющейся в осевом направлении. Движение оболочки описывает-
описывается линейными уравнениями типа Тимошенко C5.2), решения
которых для шарнирного опирания отыскиваются в виде ря-
рядов по собственным функциям. Исследуется влияние инер-
инерции 'вращения, поперечных сдвигов и инерции в осевом нап-
направлении на величину реакции оболочки.
D. E. Johnson и R. Creif [3.109} A966) исследовали в уточ-
уточненной по Тимошенко постановке реакцию цилиндрической
оболочки на действие внешней натрузки, изменяющейся во
времени по произвольному закону. Для всех зависимых пе-
переменных вводится преобразование Фурье в окружном нап-
направлении и получено в матричном виде разрешающее урав-
уравнение, 'которое решается численно методом конечных разно-
разностей. Рассмотрены колебания консольно заделанной оболочки
при динамическом обжатии.
Г. Н. Пучка в 1967 г. исследовал гидравлический удар в
полубесконечном упругом трубопроводе [3.65] A967), движе-
движение которого описывается гиперболическими уравнениями
C5.2). Определяется давление при мгновенном закрытии кон-
конца трубы. Методом преобразования Лапласа показано су-
существование трех фронтов волн и построено решение при
малых временах. Давление представлено в виде четырех со-
составляющих, соответствующих гидродинамической части, а
также иэгибной, продольной и сдвиговой деформациям. Об-
Обнаружено, что последние два вклада (эффекты уточнения
уравнений теории оболочек) мало влияют на головное зна-
значение волны давления.
216
Н. Reismann и J. Padlog [3.148] A967) дали формальное
решение задачи о динамической реакции замкнутой цилинд-
цилиндрической оболочки конечной длины с однородными граничны-
граничными условиями при осесимметричном деформировании. При-
Применяется метод разложения перемещений по собственным
функциям свободных колебаний оболочки. Приведены усло-
условия нормализации и ортогонализации собственных функций.
Даны примеры и сравнение с классической теорией оболочек.
Н. Reismann и P. S. Pawlick [3.150] A968) исследовали
действие радиальной сосредоточенной импульсной силы на
круговую цилиндрическую оболочку в условиях плоской де-
деформации. Внешняя нагрузка, представляющая собой дву-
двумерную б-функцию (по угловой координате и по времени),
раскладывается в тригонометрический ряд. Методом гармо-
гармонического анализа с применением интегрального преобразо-
преобразования Лапласа по времени получено решение задачи в пере-
перемещениях с использованием трех различных систем уравне-
уравнений оболочек: безмоментной, Флюгге, уточненных по Тимо-
Тимошенко. На основании полученных решений построены кривые
изменения по времени прогиба и кольцевых напряжений в
трех характерных точках оболочки ф=0, л/2, я при v=0.3.
Установлено, что в начальной стадии близкие результаты по-
получаются на основе безмоментных и уточненных уравнений, а
при больших моментах времени уравнения Флюгге приводят
к таким же результатам, как и уточненные уравнения типа
Тимошенко.
В работе М. Э. Кутсера и У. К. Нигула [3.47] A969) рас-
рассматриваются гиперболические уравнения), соответствующие
уточненной по Тимошенко теории осесиммегричното деформи-
деформирования оболочек. Для определения положения и интенсивно-
интенсивности фронтовых разрывов применяется метод преобразования
Лапласа и его асимптотическая реализация при больших по
модулю параметрах преобразования (малые моменты вре-
времени).
В [3.49] A969) рассматриваются на основе уравнений ти-
типа Тимошенко осесимметричные волновые процессы в оболоч-
оболочках вращения постоянной толщины. Нагрузка предпола-
предполагается в виде волны давления с убывающей скоростью рас-
распространения, но вначале скорость ее превышает хотя бы
одну из характерных скоростей рассматриваемой гиперболи-
гиперболической системы уравнений. На основе упрощенных уравнений
по лапласовым изображениям построены асимптотические
решения при больших величинах параметра преобразования в
окрестности поперечных сечений, определяющих седловые
точки. Эти решения справедливы вблизи наибольших разры-
разрывов, вдали от которых решения рекомендуется находить чис-
численно методом конечных разностей. В качестве примера рас-
рассмотрена круговая цилиндрическая оболочка, подверженная
217

действию сферической волны с центром на оси. Работы [3.60]
и [2.173] повторяют предыдущие исследования.
Л. Ю. Поверус [3.64] A970) в рамках теории типа Тимо-
Тимошенко исследовал распространение осесиммегричных возму-
возмущений в полубесконечной оболочке, к торцу которой прило-
приложена продольная нагрузка типа функции Хевисайда во вре-
времени t. Для участка оболочки /(/), охваченного возмущения-
возмущениями, применяется вариационная формулировка [1.114]. Пере-
Перемещения аппроксимируются в виде сумм произведений вре-
временной и координатной функций, последняя удовлетворяет
граничным условиям. После подстановки в вариационную
формулу получена система обыкновенных дифференциальных
уравнений по t, которая приближенно интегрируется исходя
из представления искомых функций в виде степенных рядов
по t. Рассмотрен конкретный пример.
В работе К. Schiffner'a и С. R. Steele'a [3.154] A971) ис-
исследуется переходная реакция полубесконечной цилиндриче-
цилиндрической оболочки на постоянную осесимметричную ступенчатую
нагрузку, движущуюся вдоль оси оболочки с постоянной
скоростью v0. Край оболочки свободно оперт, движение опи-
описывается уточненными по Тимошенко уравнениями, решение
строится методом интегрального синус-преобразования
Фурье. Уравнения движения C5.6), выведенные P. M. Naghdi
и R. М. Соорег'ом [3.140, 3.82], записываются в виде
__ 2
v
а
о
дг
X
C9.1)
Здесь kx — кривизна; гх и ее — продольная и окружная де-
деформации. При v = 0 система C9.1) распадается на две неза-
независимые подсистемы, которые являются, как показано, по-
полезной моделью, описывающей динамическое поведение осе-
симметрично деформированной цилиндрической оболочки с
достаточной точностью, когда волновое число 5 удовлетворя-
удовлетворяет неравенству
s>a'/4 C9.2)
где a=12a2//i2&i. Такая аппроксимация соответствует балке
Тимошенко на упругом основании.
В работе исследованы корни характеристического уравне-
уравнения шестой степени, соответствующего системе C9.1), и
получены асимптотические установившиеся решения при
.218
t->-co посредством приближенного вычисления интегралов
обращения методом перевала для различных скоростей дви-
движения нагрузки Vq. Установлено, что имеются две критиче-
критические скорости. Одна равна «стержневой» скорости (Е/рI!2,
другая — значительно меньше, т. е. [3A—v2)]/4 (Л/aI/2-
(?/р)'/2 (см. фиг. 3.6). При скоростях движения нагрузки vo,
меньших низшей критической, для деформаций (напряже-
(напряжений) вблизи фронта движения нагрузки пригодно статиче-
статическое решение. При скоростях Vo выше критической «стерж-
«стержневой» оболочку можно считать мгновенно нагружаемой
(коротковолновая часть реакции хорошо описывается урав-
уравнениями балки Тимошенко на упругом основании), и в этом
случае максимальные динамические напряжения примерно
в два раза больше статических. При низшей икр реакция
возрастает по мере удаления фронта нагрузки от торца и
динамический коэффициент усиления пропорционален
1.0
us
ah
&
n
" 10 50 '30 500 1000
aift
Фиг 3 6 Критические скорости
«I
10
\>
Ч
50 100 500 Ш
alh
Фиг. 3 7. Коэффициент усиления А
lla-
---
*
/
/
/
У*
=5
*
9.
lx/(ah) V2]1/2 (фиг. 3.7, где сплошная линия относится к низ-
низшей критической скорости, пунктир — к высшей критической
скорости). Отсюда следует, что на расстояниях, больших
краевой зоны статического изгибного решения, вблизи низ-
низшей критической скорости движение нагрузки может приво-
приводить к большим деформациям. Для нагрузок, движущихся
со «стержневой» скоростью, динамический коэффициент
усиления также возрастает с расстоянием фронта нагрузки
от торца пропорционального (х/аJ/3. Эта критическая ско-
скорость, следовательно, важна только при очень больших
Ца (фиг. 3.7).
Движение с постоянной скоростью Vo вблизи сдвиговой
скорости cs или скорости распространения возмущений в
плоской пластине не является опасным. Наибольшие напря-
напряжения можно ожидать в зонах, когда нагрузка либо уско-
ускоряется, проходя через минимальную фазовую скорость, либо
замедляется, переходя через «стержневую» скорость.
219

Анизотропная цилиндрическая оболочка в режиме коле-
колебаний типа флаттера была рассмотрена Г. Е. Багдасаряном
[3.15] A964). Он исходил из уравнений, учитывающих каса-
касательные напряжения, распределенные по параболическому
закону по толщине согласно полуобратной постановке
С. А. Амбарцумяна".
Уточненные по Тимошенко уравнения осесимметричных
колебаний ортотропной цилиндрической оболочки применя-
применялись при исследовании задач гемодинамики в работе [3.251
A969), в которой исследовалось распространение синусои-
синусоидальных волн в оболочке, заполненной вязкой несжимае-
несжимаемой жидкостью.
М. J. Forrestal и М. J. Sagartz [3.87] A970) по аналогии
со своей предыдущей работой [3.1531 применили метод ин-
интегральных преобразований Лапласа и вычислили нестацио-
нестационарные напряжения изгиба и сдвига в заделке полубесконеч-
полубесконечной ортотропной круговой цилиндрической оболочки под
воздействием равномерно распределенного радиального им-
импульса типа ^-функции Дирака во времени. Они исходили
из уточненных уравнений типа Тимошенко, ввели упрощаю-
упрощающее предположение об отсутствии продольного усилия и све-
свели задачу к интегрированию системы дифференциальных
уравнений относительно прогиба w и угла поворота нормали
¦ф. Расчетным путем было установлено, что с увеличением
отношения E/G изгибные напряжения уменьшаются и рас-
расхождение уточненной теории с классической теорией Кирх-
Кирхгофа—Лява сильно возрастает. Результаты приведены на
фиг. 3.8 и 3.9, где сплошная линия относится к теории обо-
оболочек типа Тимошенко, пунктир — к классической теории из-
изгиба оболочек.
Колебания трехслойной бесконечно протяженной цилин-
цилиндрической оболочки под действием осесимметричной кольце-
кольцевой нагрузки, движущейся с постоянной скоростью вдоль
оси цилиндра, рассмотрены в работе G. Неггтапп'а и
Е. Н. Baker'a [3.1051 A967). Учитываются начальные осевые
напряжения, инерция осевого, радиального и вращательного
движений, внешнее вязкое демпфирование, пропорциональ-
пропорциональное скорости радиального движения оболочки, и внутреннее
демпфирование материала заполнителя, пропорциональное
скорости сдвига. Принято, что заполнитель работает только
на сдвиг. Методом интегрального преобразования Фурье
получены формулы для критической скорости движения
внешней нагрузки в зависимости от параметров оболочки «
заполнителя, демпфирования и начальных напряжений. Ис-
Исследовано влияние сдвига и демпфирования материала за-
заполнителя на формы изгиба.
'» См. стр. 197.
220
Исследование фазовых скоростей представляет интерес
не только как характеристика дисперсии .волн и информация
для построения решений, но и имеет самостоятельное значе-
значение в акустике. Известно, например, если скорость распро-
распространения звуковых волн вдоль цилиндрической оболочки
равна скорости распространения бегущих изгибных волн в
стенке, то потери при передаче в этом случае очень малы.
В связи с этим в работе J. Vooren'a [3.163] A969) проведе-
проведено исследование зависимости скорости распространения Се
Фиг. 3.8. Напряжения изгиба при
а/А= 10, v=0,3
0 0.2 0Л 0.6 D.81.0 И 1Л
X
Фиг. 3.9. Поперечная сила при
a/ft=10, v=0.3
от частоты со для круговой трехслойной цилиндрической обо-
оболочки. Оболочка состоит из внешних тонких слоев большой
жесткости и внутреннего заполнителя малой жесткости в
продольном направлении. Учитывается инерция вращения и
предполагается, что заполнитель воспринимает лишь попе-
поперечные сдвиговые деформации. Рассмотрены осесимметрич-
ный случай — «осевые» или крутильные волны и неосесим-
метричный (число волн в окружном направлении равно п=
= 1, 2, 3 и 10). Разобраны низкочастотное и высокочастотное
221

приближения. Приведены численные результаты и дан их.
подробный анализ. Обсудим основные результаты для осе-
симметричной задачи. Система уравнений распадается на
две независимых подсистемы, одна — относительно продоль-
продольного перемещения и, поперечного w и сдвиговой деформации
fxz, другая — относительно окружного перемещения v и
сдвиговой деформации 7<р*> соответствующей крутильным
колебаниям оболочки. Первая подсистема имеет следующий
вид
т д*
у_д_
а дх
д*
д3
[ 4а дх1 a A dt2
v
а дх
1 д!
а~Ы?
А дх
а В dt2
~дТ2-
в
C9.3)
C9.4>
C9.5)
Здесь л;, ф и г — осевая, окружная и радиальная координа-
координаты; h — толщина внешнего слоя; с — толщина сэндвича ми-
минус h; а — радиус срединной поверхности; v — коэффициент
Пуассона; Л=2?7г/A—v2) —нормальная жесткость трех-
трехслойного пакета на единицу площади; m — общая масса
сэндвича на единицу 'площади; mc, nif, mg — массы заполни-
заполнителя, одного внешнего слоя, одного клеевого слоя на единицу
площади; I = mcd2l\2+ (mf + mg)с2/12; Sxz — сдвиговая жест-
жесткость заполнителя.
После подстановки в уравнения C9.3) — C9.5) решений
вида ех,р((ох/сЕ—a>t) получаем дисперсионное уравнение
of В
C9.6)
?
Если сЕ устремить к бесконечности с?->оо, то из C9.6>
получаем асимптоты функции сЕ(ч>)
4"
5"
т
C9.7)
C9.8)
222
Такие колебания не зависят от осевой координаты. Формула
C9.7) соответствует колебаниям типа радиального расшире-
расширения, а формула C9.8) —колебаниям сдвига в направлении х
На низких частотах последним членом в выражении
C9.6) можно пренебречь и найти значение скорости в явном
виде сЕ2(со). Такое приближение описывает движения, близ-
близкие к продольным. Для реальных оболочек типа сэндвич
В ?? а*
C9.9)
при этом соотношение для с2Е (ш) упрощается и принимает вид
1
т
-2 _(l-v2)A a1 A(l-v2)
L- ?-. '.
¦cm v m
C9.10)
При и)->0 получаем
-/. --|/A(l-v2)
C9.11)
Из выражения C9.10) видно, что на распространение осе-
симметричных низкочастотных волн сдвиговая жесткость
Sxz практически не влияет. В случае высоких частот можно
пренебречь первым членом в уравнении C9.6). Если, кроме
того, учесть соотношение C9.9) и ограничиться короткими
длинами волн по сравнению с радиусом а, то получаем
i-x)(f^-^U^-^-b2-^ = 0 C9.12)
C9.
Из уравнения C9.12) имеем одно решение
- I f m
OE4 = CL=y -д-
которое описывает скорость, равную скорости распростране-
распространения продольных волн в плоской панели. Два других решения
соответствуют случаю, когда перемещение и срединной по-
поверхности равно нулю. При ш-> оо из C9.12) получаем
С?1 =
т
ИЛИ
'—Vt
C9.14)
C9.15)
что соответствует движениям, обусловленным поперечным
сдвигом yxz. На фиг. 3.10 изображены деформации, описы-
описываемые формулами C9.14) и C9.15).
223

я-напраШние
к ~
/1/ / ///1
Tf7~/7~n~
Фиг 3.10. Сдвиговые деформации трехслойиой оболочки
Колебания двухслойной оболочки, слои которой соедине-
соединены упругой прокладкой, рассмотрены в работах J. P. Jones'a
и J. S. Whitter'a1» [S.I 13—3.115] A966—1969).
Отметим, две работы, которые содержат результаты ис-
исследований колебаний цилиндрических оболочек на основе
уравнений, полученных в нелинейной постановке. В первой
из них В. И. Борисенко и А. И. Клокова [3.18] A966) иссле-
исследуют численно на основе нелинейных волновых уравнений
М. П. Галина [3.29] поперечные перемещения в шарнирно
опертой цилиндрической оболочке при различных скоростях
продольно ударяющего тела. Получена картина поперечных
отклонений до второго отражения. Показано, что максиму-
максимумы в разные моменты времени локализуются вблизи одного
или другого торца. Во второй А. Лахе и Л. Поверус [3.50]
A970) рассматривали распространение осесимметричных
разрывов деформации в цилиндрической оболочке, исходя из
геометрически нелинейных уравнений типа Тимошенко. Ус-
Условия для разрывов выведены из вариационного принципа и
законов сохранения. Для разрывного решения получена си-
система восьми квазилинейных гиперболических уравнений,
которую предлагается решать методом Курамта21. Из иссле-
исследования характеристик этой системы подтверждается поло-
положение, высказанное Р. Курантом, что в случае нелинейных
уравнений гиперболического типа линии разрывов уже не
являются характеристиками.
Поведение сферического сегмента при падении плоской
волны давления (без обратного влияния) в начальной ста-
стадии исследовал Н. А. Алумяэ [3.10] A966). Развивая метод
качественного исследования разрывов, пользуясь преобразо-
преобразованием Лапласа и методом перевала, он показал, что ком-
компонента нормального ускорения имеет наиболее сильный
разрыв, распространяющийся со скоростью волны сдвига.
J. /P. Wilkinson и A. Kalnins [3.166] A965) исследовали
неосесимметричные колебания сферической оболочки на ос-
224
') См стр 194.
2> См. ссылку на стр. 23.
нове уточненных уравнений C6.1), приведенных С. Prasad'oM
[3.146], но с учетом инерционных членов. Как пример рас-
рассмотрена сферическая оболочка с невесомым жестким вклю-
включением, симметрично расположенным и нагруженным осцил^-
лирующими силой и моментом. Показано, что поперечный
сдвиг и инерция вращения играют пренебрежимо малую
роль в области низких частот Я<2, где Л2 = ра2ш2A — \2)/Е.
В [3.167] рассмотрена оболочка типа сферического купо-
купола или сферического пояса при действии периодически изме-
изменяющейся во времени радиальной сосредоточенной силы,
приложенной в произвольной точке. Общее решение задачи
получено в виде суммы сингулярного решения, не учитываю-
учитывающего граничные условия, и регулярного решения, удовлетво-
удовлетворяющего заданным граничным условиям. Радиальное сме-
смещение и функция напряжений представлены в виде рядов по
функциям Лежандра. Эти ряды получены с помощью теоре-
теоремы сложения для сферических функций при переходе от
решения с силой в полюсе сферы к решению с силой в про-
произвольной точке сферы. Случай стационарной нагрузки по-
получается предельным переходом, если частоту колебания на-
нагрузки устремить к нулю. Приведены результаты численного
расчета и дано сравнение с решением по классической
теории.
Н. Д. Векслер и У. К. Нигул [3.20, 3.58] A966) исследо-
исследовали поведение сферической оболочки, внезапно нагруженной
в полюсе. В прифронтовой области строятся асимптотиче-
асимптотические решения, следуя W. Fliigge и Е. Е. Zajac [1.163], а при
удалении от фронта применяется метод конечных разностей.
Обнаружено, что при удалении от первого фронта сущест-
существуют сильные осцилляции малой амплитуды, а при удалении
от второго фронта движения носит экспоненциальный харак-
характер. В работе [3.19] приведены численные результаты для
оболочки с /t/#=l/25. Исследуется возможность перехода от
расчета по уточненной теории типа Тимошенко к расчету по
теории Кирхгофа—Лява. Анализируется характер напряжен-
напряженного состояния вблизи места приложения нагрузки и влия-
влияние размера области, занятой нагрузкой.
Н. Д. Векслер [3.21] A967) исследовал фронтовые раз-
разрывы в начальный момент времени без учета отражений для
сферической оболочки переменной толщины. В [3.22] A968)
построены прифронтовые асимптотики в случае осесиммет-
ричной деформации для тороидальной и конической обо-
оболочек.
Н. Reismann и P. M. Culkowski [3.149] A968) рассмотре-
рассмотрели осесимметричные собственные и вынужденные колебания
сферических оболочек, жестко заделанных по краю. Они ис-
исходили из классических и уточненных уравнений. При дейст-
действии на оболочку внешнего давления, изменяющегося во вре-
15—2798
225

мени по ступенчатому закону, разложением перемещений по>
собственным функциям получено точное решение. Нагрузка
распределена по части поверхности оболочки, включая вер-
вершину. Построены кривые изменения по времени прогиба и
напряжений в центре купола, расчеты проведены по обеим
теориям.
М. P. Mortell [3.137] A969) изучал реакцию сферической
оболочки при симметричном относительно вертикальной оси
деформировании. Рассмотрена оболочка с центральным вы-
вырезом (8 = 9о), к краю которой мгновенно прикладывается
распределенный изгибающий момент Мв. Исследуется рас-
распространение волновых фронтов методом преобразования
Лапласа при малых временах. В отличие от обычно приме-
применяемой процедуры искомые функции сразу представлены в
виде асимптотических разложений по обратным степеням
параметра преобразования р и подставлены в исходные урав-
уравнения, которые сильно упрощаются и поэтому легко реша-
решаются. Решение получено в промежутке 60<9<л для движе-
движения волнового фронта до 8=я и обратно. Выделены и иссле-
исследованы сингулярные решения при 6 = л. Для больших времен
решение выгодно строить методом разложения по собствен-
собственным функциям, при этом, однако, анализ распространения
волновых фронтов оказывается затруднительным.
Аналогичную задачу, но для оболочки вращения в рамках:
линейной теории типа Тимошенко рассматривал Н. Д. Векс-
лер КЗ.23] A971). Изгибающий момент Ма прикладывается
вдоль одной из параллелей. Решение представляется в виде
бегущих волн, следующих к вершине оболочки и отражаю-
отражающихся от нее. Поведение решения на фронтах волн анализи-
анализируется путем применения интегрального преобразования
Лапласа и использования асимптотического метода обраще-
обращения контурных интегралов при больших значениях парамет-
параметра преобразования.
Анализ решений трехмерных уравнений теории упругости
и уточненных уравнений динамики сферической оболочки
имеется в работах А. Н. Shah и С. V. Ramakrishnan [3.155^
3.147] A969).
Коническая оболочка под действием осевого удара была
рассмотрена в уточненной постановке P. Ch. Chou и
R. W. Mortimer'oM [3.80] A969).
В работе А. П. Филиппова и Е. Г. Янютина [3.73] A971)
рассмотрены колебания круговой конической оболочки под
воздействием произвольной осесимметричной нагрузки.
В пространстве лапласовых изображений решение трех
обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами ищется в виде сходящихся рядов Фурье—
Бесселя. В качестве примера определяется начальная реакция
226
на нагрузку, описываемую импульсной функцией Хевисайда.
Построено распределение прогибов вдоль образующей.
Отметим также исследования [3.46, 3.48, 3.52, 3.63, 3.81,
3.106, 3.110, 3.122, 3.125, 3.129, 3.136, 3.138, 3.151, 3.162].
§ 40. Свободные колебания оболочек
Работы, посвященные анализу свободных колебаний обо-
оболочек в уточненной постановке, были в значительной мере
уже охарактеризованы в предыдущих разделах. Остановим-
Остановимся еще на некоторых исследованиях.
Частотное уравнение осесимметричных колебаний цилин-
цилиндрической оболочки, на основе трехмерных уравнений теории
упругости, получил еще J. Ghosh 03.92] A923).
В. В. Болотин [2.5] A966) установил существование точек
сгущения собственных частот у оболочек положительной, ну:
левой и отрицательной гауссовой кривизны. Как известно,
влияние «нерции вращения и деформации сдвига в случае
гладких оболочек ощутимо лишь при достаточно больших,
волновых числах, а в этом случае влияние кривизны средин-
срединной поверхности оболочки очень мало. Поэтому приближен-
приближенную оценку этих уточняющих факторов можно получить из
рассмотрения колебаний упругой пластины".
Н. Garnet и J. Kempner [3.881 A964) на основе уравнений
C7.5) —C7.8) исследовали методом Ритца собственные осе-
симметричные колебания усеченной конической оболочки. На
краях оболочки * = *[ и х=х2 (см. фиг. 3.3) удовлетворяется
h№*1/5 LfMfr
w
0 5° 10° 15° W°15°W° 35'
оС
Фиг. 3.11. Отношение частот по
классической теории <ас и по тео-
теории с учетом поперечного сдвига
и» в зависимости от а
условие ш = 0. Установлено, что влиянием инерции вращения
можно пренебречь, а деформация поперечного сдвига оказы-
оказывает значительное влияние на колебания коротких конусов.
Некоторые из результатов сравнения с классической теорией
приведены на фиг. 3.11 и 3.12, где сплошная линия соответ-
соответствует hJR=0.2, пунктир — hjR = 0.15.
>) См. стр. 160.
15*
227

cC--iO°
i
~$W0 0.1 HI ff.3 OA 0,5 0.6 47 0.8 0.9 1.0
Фиг. 3.12 Отношение частот <ос н ш,
в зависимости от UR
М. D. Bacon и Ch. W. Bert [3.76] A967) исследуют сво-
свободные осесимметричные и несимметричные колебания трех-
трехслойных оболочек вращения. Предполагается, что заполни-
заполнитель воспринимает поперечный сдвиг. Авторы исходят из ме-
метода Релея—Ритца и приводят задачу к исследованию
усеченной системы линейных однородных алгебраических
уравнений, которая решается на ЭЦВМ. В качестве приме-
примера рассмотрены осесимметричные колебания усеченной кони-
конической оболочки и несимметричные колебания усеченного
параболоида вращения.
В. Д. Вылекжанин [3.28] A970) рассмотрел задачу о
свободных колебаниях трансверсально изотропной пологой
сферической оболочки, ограниченной в плане прямоугольны-
прямоугольными отрезками и свободно опертой на краях. Учитываются
деформации поперечного сдвига, нормальные напряжения по
толщине принимаются равными нулю. Устанавливается мате-
математическая аналогия между указанной задачей и соответст-
соответствующей задачей о свободных колебаниях мембраны. Сфор-
Сформулированы две изопериметрические теоремы (треугольники
четырехугольник в плане заданной площади) для основной
частоты трансверсально-изотропной сферической оболочки и
пластины.
См. также [3.74, 3.75, 3.77, 3.99, 3.107, 3.123, 3.131, 3 144,
3.145,3.168,3.169].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Из приведенного обзора легко обнаружить частичные, а
в некоторых случаях даже полные пробелы в теории и при-
приложениях уточненных уравнений динамики стержней, пла-
пластин и оболочек. Отметим некоторые из вопросов, требующие
дальнейшего развития.
Необходимо дальнейшее развитие математических мето-
методов приведения трехмерной динамической задачи теории
упругости к двумерной и одномерной. Сюда относятся мето-
методы разложения в ряды по некоторым функциям или степе-
степеням толщинной координаты и асимптотические методы по-
228
строения приближенных уравнений на основе трехмерных
уравнений динамической теории упругости.
Такие методы следует развивать не только в теории пла-
пластин и оболочек, но и в динамической теории стержней.
Причем последняя задача является более трудной.
В настоящее время, как и раньше, проблема приведения
трехмерной задачи теории упругости к двумерной далека от
завершения и построение логически стройных и математиче-
математически обоснованных алгоритмов остается актуальным.
К построению уточненных уравнений целесообразно при-
привлекать вариационные подходы, которые являются весьма
эффективными для получения внутренне непротиворечивых
математически корректных моделей.
Необходимо дальнейшее исследование в направлении ма-
математического обоснования методов приведения — исследова-
исследования вопросов сходимости, оценки погрешностей, краевых ус-
условий, возможностей ускорения сходимости и т. п.
По-прежнему остается актуальной необходимость сравне-
сравнения результатов приближенных теорий с результатами ана-
аналитических и численных решений задач трехмерной динами-у
ческой теории упругости. Желательно иметь сравнение ре-
результатов приближенных теорий с точными решениями для
стержней различных поперечных сечений. Имеющиеся срав-
сравнения на основе уравнений плоской деформации или обоб-
обобщенного плоского напряженного состояния не убедительны,
поскольку эти уравнения сами являются приближенными.
Важным направлением является разработка аналитиче-
аналитических и других методов построения уточненных теорий дина-
динамики стержней, пластин и обо почек в случае геометрически
и физически нелинейных тел, анизотропных, тел, а также по-
построение уточненных теорий с учетом влияния температур-
температурных, электромагнитных и других полей.
,Актуальным является развитие аналитических и числен-
численных методов решения задач распространения неустановив-
неустановившихся волн и решение в уточненной постановке задач дина-
динамики слоистых и анизотропных стержней, пластин и обо-
оболочек.
Нельзя, наконец, не отметить имеющийся в настоящее
время большой пробел в области экспериментальных ис-
исследований.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.1
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
' 1.10.
,1.11.
,1.12.
1.13.
230
1. СТЕРЖНИ
Андреев О. О. Собственные колебания круговых арок с учетом
продольной деформации оси, деформации сдвига и инерции враще-
вращения поперечного сечения. Тр. Моск. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1969,
вып. 342, 5—.13 — РЖМет, 1970, 9В231.
Архипов А. С. Напряжения в балке при однократном действии
мгновенного импульса с учетом влияния внутреннего трения, де-
деформации сдвига, инерции вращения и распределения импульса по
длине балки. Тр. Моск. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1966, вып. 225,
35—55-РЖМех, 1967, 1В166.
Архипов А. С. Расчет балки на действие импульса с учетом сдви-
сдвига, инерции вращения я внутреннего трения. Тр. Моск. ин-та инж.
ж.-д. трансп., 1970, вып. 311, 82—87 — РЖМех, 1970, 10В252.
Бабаев Н. Н. О поперечных колебаниях стержня переменного се-
сечения с учетом деформации сдвига и сил внутреннего неупругого
сопротивления. Инженерный сб., 1955, 22, 17—25 — РЖМех 1956,
№ 11, 7788.
Белоус А. А. Колебания и статическая устойчивость плоских и
пространственных рам. В сб. Расчет пространственных конструкций.
Вып. 3. М., Госстройиздат, .1955, 211—?64 — РЖМех, 1956, № 10,
6923.
Вольмир А. С. Устойчивость при ударе. В сб. Строит, механика,
М„ Госстройиздат, 1966, 61—67 —РЖМех, 1968, 1В211.
Вольмир А. С, Кильдибеков И. Г. Исследование процесса
выпучивания стержней при ударе. Докл. АН СССР, 1966, 167, №4,
775—777 — РЖМех, 1966, 12В244.
Воробьев Н. Л. К вопросу о качественных методах определения
критических нагрузок и частот свободных колебаний стержней. В
сб. Вопр. надежности и долговечности сельхозмашин. Ростов-на-До-
Ростов-на-Дону, 1968, 20—29 —РЖМех, 1969, 6В213.
Воробьев Н. Д. Влияние касательных напряжений на частоту
свободных колебаний стержней. Тр. Новочерк. политехи. ин-та,
11970, 204, 67—69 —РЖМех, 1970, 12ВЗО7.
Воробьев Ю. С, Гонтаровский П. П., Филиппов А. П.
Исследование колебаний стержней по уточненным теориям. В сб.
3-й Всес. съезд по теор. и прикл. механ., 1968. Аннотации докл. М.,
1968, 80 —РЖМех, 1968, 7В272.
Гаврилив Ю. М. К вопросу о поперечном изгибе балки прямо-
прямоугольного сечения. Докл. Львовск. политехи, ин-та, 1960, 4, вып. 1,
31—36.
Гаврилив Ю. М. Экспериментальное исследование упругих де-
деформаций при поперечном изгибе двутавровой балки. Докл. Львовск.
политехи, ин-та, I960, 4, вып. 2, 40—45 —РЖМех, 1962, 4В375.
Г а в р и л i в Ю. М. Графоаналггичняй способ обчисления додаткових
прогишв балок прямокутного i тонкостшних nepepi3ie. Доповда
АН УРСР, 1965, № 11, 1461—1464 —РЖМех, 1966, 6В513.
1.14. Гаврилив Ю. М. Приближенное определение коэффициента сдви-
сдвига Кз реальной балки тонкостенного профиля. Веста. Львовск. по-
литехн. ин-та, 1967, № 20, 182—189 —РЖМех, 1968, 9В797.
1.15. Гаврил1в Ю. М. Визначення додаткового кута повороту опорних
nepepi3ie тонкостшно! балки — елемента основно! системи методу
сил. Доповш АН УРСР, 1968, А, № 1, 73—76 — РЖМех 1969,
1В956.
1.16. Галин М. П. Распространение упруго-пластических изгибносдвиго-
вых волн в балках. Изв. АН СССР. Отд. техн. н. Механ. и маши-
ностр., 1950, № 2, 88—89 —РЖМех, 1960, № 7, 9326.
1.17. Г е н к и и М. Д., Тарханов Г. В. Исследование поперечных и
крутильных колебаний высоких балок. Машиноведение, 1971, №4,
7—12 — РЖМех, /1971, lil B229.
1.18 Гордиенко Б. А. Выпучивание стержней при ударном нагруже-
нии. Изв. АН СССР. Механ. тверд, тела, 1969, № 1, 185—188—
РЖМех, il969, 9B224.
1.19. Гусев М. Ф. Исследование уравнений свободных поперечных коле-
колебаний составного стержня с учетом инерции вращения. Тр. ЦНИИ
строит, конструкций, 1970, вып. 9, 74—90—РЖМех, 1971, 6В351.
1.20. Диментберг Ф. М. О влиянии деформаций сдвига на попереч-
поперечные колебания вращающегося вала с распределенными по длине
дисками. В сб. Поперечные колебания и критические скорости. М.,
Изд-во АН СССР, 1953, №2, 107—120 — РЖМех, 1954, №2,
2282.
1.21. Дмитриева Ж. Н. Исследование нелинейных колебаний балки-
полоски при учете инерции вращения и влияния перерезывающих
сил. Тр. Ленингр. технолог, ин-та целлюлозно-бум. пром-сти, 1969,
вып. 24, 154—A59 —РЖМех, 1970, 7В274.
1.22. Забашта Н. Ф. Частоты и формы собственных колебаний приз-
призматических балок с равномерно распределенной массой при учете
деформации сдвига. Сопротивл. материалов и теория сооруж. Меж-
вед, респ. научн. сб., 1970, вып. 12, 105—120 —РЖМех, 1971,
6В353.
123. Иванов Е. Г. К расчету балки на упругом основании, нагружен-
нагруженной динамической нагрузкой. В сб. Импульсн. нагружение конст-
конструкций. Вып. ,1. Чебоксары, 1970, 3—10—РЖМех, 1971, 5В244.
1.24. Кабул о в В. К- Исследование колебаний балок постоянного сече-
сечения с помощью интегральных уравнений типа баланса. Вычисл. ма-
математика, сб. 3, 1958, 138—148 —РЖМех, 1959, № 9, 10582.
1.25. Кабулов В. К. Некоторые вопросы построения прикладной тео-
теории колебаний стержней. Изв. АН УзССР. Сер. техн. н, 1959, №2,
32—47 —РЖМех, 1961, 5В119.
1.26. Кабулов В. К. Интегральные уравнения типа Вольтерра для по-
поперечных колебаний балки. В сб. Исслед, по матем. анализу
ханике в Узбекистане. Ташкент, АН УзССР, 1960,
РЖМех, 1961, 11В148.
1.27. Кабулов В. К. Упругие и упруго-пластические колебания балок
с сосредоточенными массами. В сб. Вопр. вычисл. матем. Ташкент,
АН УзССР, 1963, 140—148 —РЖМех, 1964, ЗВ2О1.
чJ.28. Кабулов В. К. О волновых уравнениях колебания балок, плас-
пластин и оболочек. В сб. Вопр. вычисл. матем. Ташкент, АН УзССР,
11963, 104—139 — РЖМех, 1964, ЗВ195.
1.2S. Кабулов В. К. Алгоритмизация в теории упругости и деформа-
деформационной теории пластичности. Ташкент, «Фан», 1966—РЖМех,
,1967, 7В234К.
J.30. Каринский С. С, Лейдерман Ю. Р., Черкашина А. А.
К теории распространения изгибных волн в тонком кривом стерж-
231
и ме-
-187 —

1.31.
1.32.
1.33.
1.34.
1.35.
1.36.
1.37.
• 1.38.
- 1.39.
140.
1.40a.
1.41.
142.
1.43.
1.44.
1.45.
1.46.
232
не. УзССР Фанлар Акад. докл., Докл. АН УзССР, 1970, № 11, J9—
21—РЖМех, 1971, 5В130.
Картошкин Л. И. Колебания сдвига некоторых ступенчатых
стержней. Изв. АН УзССР. Сер. техн. н„ 1961, № 1, 51— 57-w
РЖМех, 1961, 12B20I1.
Кильчинская Г. А., Петренко М. П. Распространение про-
продольных термоупругих волн в стержне. В сб. Тепловые напряж. в
элементах конструкций. Вып. 5. Киев, «Наук, думка» 1965, 189—
195 —РЖМех, 1966, 7Bil53.
Коваленко В. И. К определению частот собственных колебаний
коротких лопаток паровых турбин. Инженерный ж. Механ тверд,
тела, 1968, № 6, 41—45 —РЖМех, 1969, 6В205.
Кудрявцев Е. П. Об учете сдвигов н инерции вращения на нз-
гибные колебания упругих стержней. Изв. АН СССР. Отд. техн. н.
Механ. н машнностр., 1960, № 5, 156—1159 — РЖМех, 1962, 4В169.
Кузьменко В О. До пнтання про вплнв зсуву та шерцп обер-
тання на поперечш коливання стержш'в. Прнкл. мехашка, 1962, 8,
№ 4, 389—393 — РЖМех, 1963, 10В287.
Кучеров В. Г. Решение уравнений колебания стержня перемен-
переменного сечення методом характеристик. В сб. Прочность и долговеч-
долговечность деталей машин. Ижевск, 1967, 75—80 — РЖМех, 1968,
9В321.
Лейдерман Ю. Р., Черкашина А. А., Карннский С. С.
О распространении изгибно-крутильных волн в тонком кривом
стержне с учетом явления сдвига. УзССР Фанлар Акад. докл.,
Докл. АН УзССР, 1971, № б, 9—11—РЖМех, 1971, 11В108.
Леонтьев Г. Я. К учету деформаций сдвига и инерции вращения
сечений в теории колебаний непризматнческнх стержней. Изв. АН
СССР. Отд. техн. н. Механ. н машнностр., 1960, № 1, 127—132 —
РЖМех, 1960, № \% 16652.
Лизарев А. Д. О влиянии инерции вращения н сдвигов на попе-
поперечные колебания упруго защемленных стержней. Изв АН СССР.
Отд. техн. н. Механ. и машиностр., ,1963, № 3, 134—il37 — РЖМех,
1964, 5В191.
Лнзарев А. Д. Влияние инерции вращения н сдвигов на собст-
собственные колебания несвободных рам. Строит, механ. и расчет со-
руж., 1(964, № 5, 42—45 —РЖМех, 1965, 6В112.
ЛямшевЛ М. Рассеяние звука тонким ограниченным стержнем.
Акуст. ж, 1958, 4, № 1, 51—58 —РЖМех, 1958, № 1;1, 12205.
Маматкулов Ш. О колебании стойки с учетом сдвига н инер-
инерции вращения сечений, несущей на свободном конце приведенную
массу. Научн. тр. Ташкентск. ун-та, 1968, вып. 316, 188—201 —
РЖМех, 1969, 7В281.
Маматкулов Ш. К интегрированию волнового уравнения коле-
колебания стойки переменного сечення, несущей резервуар с жидкостью.
УзССР Фанлар Акад. докл., Докл. АН УзССР, 1969, № 1, 11—14 —
РЖМех, 1969, 9В337.
Марьямова Ф. А. О поперечном ударе упругого тела о балку.
Изв. Киевск. полнтехн. нн-та, 1954A955), 16, 6—13 —РЖМех, 1956,
№ 7, 4678.
Марьямова Ф. А. Новый способ исследования явления попереч-
поперечных колебаний стержня. Сб. тр. Моск. заочн. полигр. ин-та, 1957,
вып. 5, 161—168 —РЖМех, 1957, № ill, 13108.
Марьямова Ф. А. Исследование волнового характера дифферен-
дифференциального уравнения поперечных колебаний балок. Сб. тр. Моск.
заочн. полигр. ин-та, 1957, вып. 5, .169-4175 —РЖМех, 1958, № 2„
2108.
Мар'ямова Ф. А. До разрахунку в1льних коливань тонкого-
пружного стержня. Bichhk Акад буд-ва i арх1тект. УРСР, 1960,
№2, 38—43 —РЖМех, 1961, 5В127.
1.47. Мар'ямоваФ. А. До пнтання про поперечний удар пружного тша
об стержень. Наук зап. Укр. пол^р. ш-ту, 1961, 13, 19—23 —РЖМех,
1962, 8В162.
1.48. Me ще р я к о в В. Б. Изгибно-крутильные колебания и динамиче-
динамическая устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля с
учетом сдвигов. Тр. Моск. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1970, вып. 311,
75—81—РЖМех, 1970, 10В249.
1.49. Муморцев А. Н. Поперечный удар по стержню сплошного или
составного сечения при различных условиях закрепления опорных
сеченнй. В сб. Расчет пространствен, строит, конструкций. Куйбы-
Куйбышев, 1970, 115—126—РЖМех, 1971, 2В297.
1.50. Муморцев А. Н. Определение прогибов стержня с различными
краевыми условиями прн ударе. Изв. высш учебн. заведеняй. Стр-во
н архит., $70, № 11, 50—56 —РЖМех, 1971, 6В362.
1.51. Новожилов В В., Слепян Л. И. О принципе Сен-Венана в
динамике стержней. Прикл. матем. и механ., 1965, 29 № 2, 261—
281—РЖМех, 1966, 2В183.
1.52. Новоторцев В. И. Метод последовательных приближений в при-
применении к исследованию колебаний инженерных конструкций. Влия-
Влияние на частоту колебаний деформаций сдвига, инерции вращения и
продольных колебаний жестких рамных систем. Тр. сейсмологичес-
сейсмологического ин-та, № 70. М,—Л , Изд-во АН СССР, 1935.
1.53. Палю нас В. А, Палю йене А. И. Расчет собственных колеба-
колебаний балок в жидкости с учетом сдвлга и инерции поворота сече-
сечення. Liet. mech. rinkinys, Лит. механ. сб., 1969, № 1, 82—87 —
РЖМех, 1970, 11В368.
1.54. Петренко М. П. Волны напряжений при продольных колебаниях
стержней переменной толщины. Изв. АН СССР. Отд. техн. н. Ме-
Механ. н машиностр., 1960, № 5, 160—161 — РЖМех, 1961, 6В102.
1.55. Петренко М. П. Про поперечш коливання коротких стержшв та
ix сшвудар з пружним tuiom. Прикл. мехашка, 1961, 7, № 2, 171—
179 —РЖМех, 1962, 2В179.
1.56. Петренко М. П. Про наближений розв'язок уточненого функци-
функционального р1вняння теори удару. Прикл. мехашка, 1961, 7, № о,
563—565 — РЖМех, 1962, 7В86.
1.57. Петренко М. П. К расширению теории продольных колебаний
прямолинейного стержня. Изв. Киевск. полнтехн. ин-та, 19&1, 31,
61— 72 — РЖМех, 1962, 7В68.
1.58. Петренко М. П., Комиссарова Г. Л. О нелинейных колеба-
колебаниях гибких стержней. Прикл. механика, 1965, 1, №7, 117—il21 —
РЖМех, Ш66, ЗВ87.
1.59. Петров А. А. К вопросу о волноьом характере колебаний лопа-
лопаток турбин. Тр. Ленингр. кораблестроит. ин-та, 1962, 40, 85—88 —
РЖМех, 1963, 11В205.
1.60. Петров А. А. Деформация цилиндрической лопатки под дейст-
действием ударной нагрузки. Тр. Ленингр. кораблестроит. ин-та, 1964,
вып. 43, 137—'151 — РЖМех, \1965, 6В126.
1.61. Подбел л о М. С. Влияние инерции вращения поперечных сече-
сеченнй пролетных строений на частоты нх свободных вертикальных ко-
колебаний. Сб тр. Ленингр. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1969, вып. 29U,
П7-,123 —РЖМех, 1969, 12В248.
1.62. Пономарев С. Д., Бидерман В. Л. и др. Основы современ-
современных методов расчета на прочность в машиностроении. М., Машгиз,
1950.
1.63. Постнов В. А. Вынужденные колебания плоского перекрытия с
учетом сдвига. Тр. Ленипгр., кораблестроит. ин-та, 1960, вып. 31,
51—62 —РЖМех, 1961, 12В193.
1.64. Предтече некий С. Н. К вопросу о вляянни инерции враще-
вращения на поперечные колебания балок. Изв. АН ЛатвССР, 1954, № 9,
,123—128 —РЖМех, 1955, № 6, 3223.
233

1.
1.65. Размадзе Г. Н. О природе волн изгиба. Тр. координац. сове-
совещаний по гидротехн., 1970, вып. 54, 411—Ш — РЖМех, 1971,
1В272.
J.66. Рапопорт И. М. О колебаниях упругих стержней. Докл. АН
СССР, 1963, 153, № 4, 790—793 —РЖМех, а964, 11В170.
1.67. Рапопорт И. М. Динамика упругого тела, частично заполненно-
заполненного жидкостью. М., «Машиностроение», 1966 — РЖМех, 1967,
12Б2116К.
С а л т а н о в Н. В., Т к а л и ч Е. Ф., Ткалич В. С. К теории
волн в стержнях. Тр. семинара по матем. физ. и нелинейн. колеба-
колебаниям. Ин-т матем. АН УССР, 1969A970), вып. 3, 276—282 —
РЖМех, 19711, 1B9G.
1.69. Сеницкнй Ю. Э. Об учете деформаций сдвига при исследовании
устойчивости и колебаний составных стержней. Изв. высш. учеби.
заведений, Стр-во и архитект., 1966, № 6, 48—52 — РЖМех, 1967,
4В208.
<" 1.70. Сехниашвили Э. А. Определение частот свободных изгибных
колебаний призматических стержней с учетом деформаций сдвига
и упругости опорных закреплений относительно угловых деформа-
деформаций. В сб. Исслед по теории сооруж. Вып. 11. М., Госстройиздат,
1962, 105-114 —РЖМех, 1963, 5В143.
Солдатов К- И. Применение метода деформаций к определению
свободных колебаний балок на упруго оседающих опорах. Тр. Днеп-
ропетр. ин-та инж ж.-д. трансп., 1970, вып. ЫО, 48—56 — РЖМех,
il970, 10B239.
Телегина В. С. О влиянии инерции вращения и сдвигов на по-
1.71.
1.72.
.. _ „. ^. „ ™вяплп ппсуции вращения и сдвигов на по
перечные колебания балок при ударном нагружении. В сб. Вопр. ди
1.73.
1.75.
1.76.
7. Рига, АН ЛатвССР,' "l96l[ 65—74*—
упругого
Механ. и
намики и прочности. Вып.
РЖМех, 1962, 10В160.
Утешева В. И. Приближенные уравнения динамики
стержня кругового поперечного сечения. Изв. АН СССР
машиностр., 1963, № 4, 154—161 — РЖМех, 1964, ЗВ133.
1.74. Утешева В. И. О погрешности приближенных уравнений динами-
динамического изгиба цилиндрического стержня. Изв. АН СССР. Механика,
1965, № 6, М4—М9 — РЖМех, 1966, 5В228.
Филиппов А. П. Колебания упругих систем. Киев, АН УССР,
1956 —РЖМех, 1958, № 8, 9116К.
Филиппов А. П., Скляр В. А. Поперечный удар по стержню
при учете инерции вращения и сил перерезывания. Прикл. механика,
1968, 4, № 7, 1—7 —РЖМех, 1968, 11В254.
1.77. Флексер М. Ш. Об учете влияния инерции вращения и перерезы-
перерезывающих сил на поперечные колебания стержня конечной длины.
Инженерный сб., 1956, 23, 138—139 — РЖМех, 1957, № 5, 5926.
1.78. Флексер М. Ш. О поперечных колебаниях стержней. Прикл. ма-
матем. и механ., 1958, 22, № 5, 696—697 — РЖМех, 1959, № Ц, 14082.
1.79. Хачиян Э. Е. К вопросу о влиянии деформации сдвига при сво-
свободных и вынужденных колебаниях гибких сооружений. Айкакан
ССР Гитутюннери Академиа. Зекуйцнер. Докл. АН АрмССР, 1963,
37, № 3, 1,13—119 —РЖМех, 1964, 8В264.
Хачиян Э. Е. К определению частот и форм колебаний стержней
при совместном учете деформаций изгиба и сдвига. Айкакан ССР
Гитутюннери Академиаи тегекагир. Техникакан гитутюннери сериа,
Изв. АН АрмССР. Сер. техн. н., 1968, 21, № 4, 41—49 —РЖМех,
1969, ЗВ314.
Хвингия М. В. Влияние сдвигов и инерции вращения на частоту
изгибных колебаний упругих стержней. Инженерный ж., 1963, 3,
№ 4, 727—73Й — РЖМех, 1964, 11В174.
1.82. Христофоров В. В. О поперечных колебаниях стержня с уче-
учетом влияния инерции вращения при симметричных граничных усло-
1.80.
.1.81
.234
виях. В сб. Исслед. по дифференц. уравнениям. Ташкент, АН УэССР,
1963, 176—,183 —РЖМех, 1964, ЗВ132.
j 1.83. Цейтлин А. И. О влиянии сдвига и инерции вращения при ко-
колебаниях балки, лежащей на упругом основании. Прнкл. матем. и
механ., 1961, 25, № 2, 362—364 — РЖМех, 1963, ЗВ164.
( 1.84. Цейтлин А. И. О решении уравнения Тимошенко для балки на
упругом основании. Тр. Казахск. фил. Акад. стр-ва и архитект.
СССР, 1961, сб. 3E), 250—254 — РЖМех, 1963, 2В150.
1 85. Ц ы в и л ьс к и й В. Л. Колебания балки с сосредоточенными мас-
массами с учетом инерции вращения и деформации сдвига Сб. тр.
Всес. заочн. политехи, ин-та, 1966, вып. 35, 140—150—РЖМех, 1967,
9В205.
1.86. Черкасов А. П. Влияние поперечной силы и инерции поворота
сечений на динамическую устойчивость стержней Тр. Харьковск.
инж.-строит. ин-та, 1961, вып. 16, 21—32 —РЖМех, 1963, 5В140.
1.87. Черниговская Е. И. Движение силы и колебания балки, ле-
лежащей на винклеровском основании и имеющей упругие опоры иа
концах. В сб. Колебания зданий и сооружений. М, Госстройиздат,
11963, 124—144 —РЖМех, 1963, 12В142.
1.88. Шарафутдинов В. И. К решению задачи о поперечных коле-
колебаниях балки с учетом сдвига и инерции поворота. УзССР Фанлар
Акац ахбороти, Изв. УзССР. Сер. техн. н., 1962, № 6, 28—35 —
РЖМех, 1962, 12В176.
1.89. Яковлев А. С. Вынужденные колебания бесконечной балки при
учете инерции упругого основания и инерции вращения и сдвига в
балке. Сб. Моск. инж.-строит. ин-та, 1068, № 53 86—97 — РЖМех,
1968, 9В324
1.90. A b r a m s о п Н. N. Flexural waves in elastic beams oi circular cross
section. J. Acoust. Soc. Amer., 1957, 29, № 1, 42—46 —РЖМех,
1960, № 9, 12087.
1.91. Abramson H. N., Plass H. J., Ripperger E. A. Stress wave
propagation in rods and beams. Advances Appl. Mech. 5, New York,
N. Y., 1958, Ml—194 — РЖМех, 1960, № 5, 6371.
1.92. A ch en bach J. D., Sun С. Т. Moving load on a flexibly suppor-
supported Timoshenko beam. Internat. J. Solids and Struct., 1965, 1, № 4,
353-370 — РЖМех, 1966, 7B206.
1.93. A ch en bach J. D., Fang S. J. Asymptotic analysis of the modes
of wave propagation in a solid cylinder. J. Acoust. Soc. Amer., 1970,
47, № 5, Part 2, 1282—1289 —РЖМех, 1971, 1B91.
1.94. Adamson Bo. Funktionssattet hos elastiska balkar, payerkade av
detonationsbelastningar med hansyn tagen till rotationstroghet och
skjuvkrafter. 1955 —РЖМех, 1958, № 6, 6977K.
1.95. Ad em J. On the axially-symmetric steady wave propagation in ela-
elastic circular rods. Quart. Appl. Math., 1954, 12, № 3, 261—275 —
РЖМех, 1959, № 8, 9141.
1.96. Aggarwal H. R., С ranch E. T. A theory of torsional and coup-
coupled bending torsional waves in thin-walled open section beams.
Trans. ASME, 1967, E34, № 2, 337—343 — РЖМех, 1968, 4B161.
1.97. Ah be H. Einfluss der Biegungssteifigkeit und der Rotationstragheit
der Saitenteilchen auf die Eigenschwingungen der gespannten physi-
schen Saite mit festen Encien. Forsch Geb. Ingenieurwesens, 1960, 26,
№ 6, 204—205 — РЖМех, 1961, 10B145.
1.98. Alter man Z., Karal F. C. Propagation of elastic waves in a
semi-infinite cylindrical rod using finite difference methods. J. Sound
and Vibr., 1970, 13, № 2, 115—145— РЖМех, 1971, 5B124.
1.99. Anderson R. A. Flexural vibrations in uniform beams according
to the Timoshenko theory. J. Appl. Mech., 1953, 20, № 4, 504—510 —
РЖМех, 1956, № 10, 6931.
1.100. Anderson R. A. Wave groups in the flexural motion of beams
235

1.101.
1.102.
1.103.
1.104.
1.105.
1.106.
1.107.
1.108.
1.109.
1.110.
l.Ili.
1.1A2.
1.113.
1.114.
1.115.
1.1116.
1.-117.
1.118.
1Л19.
236
predicted by the Timoshenko theory. J. Appl. Mech., 1954, 21, № 4,
388—394 — РЖМех, 1957, № 3, 3440.
A n t m a n S. S., Warner W. H. Dynamical theory of hyperelastic
rods. Arch. Ration. Mech. and Analysis, il966, 23, № 2, 135—162 —
РЖМех, 11968, 4B162.
Aprahamian R., Even sen D. A. Applications of holography to
dynamics: high-frequency vibrations of beams. Pap. Amer. Soc. Mech.
Eng., 1970, № WA/APM-5 — РЖМех, 1971, 8B229.
Aprahamian R., Evensen D. A., Mix son J. S.,
Wright J. E. Application of pulsed holographic interferometry to
the measurement of propagating transverse waves in beams. Exp.
Mech., i!971, 11, № 7, 309—320 — РЖМех, 1972, 1B142.
Ay re R. S., Jacob sen L. S. Natural frequencies of continuous
beams of uniform span length. J. Appl. Mech., 1950, 17, №4,391—395.
Barducci I., Pisenl G. Studio sperimentale sulla dipendenza
delle autofrequenze flessionali di sbarrette a sezione rettangolare, dal
rapporto fra spessore e lunghezza. Ricerca scient., 1955, 25, № 2,
254—262 — РЖМех, 1956, № 4, 2376.
В a r r A. D. S. Some notes in the resonance of Timoshenko beams
and the effects of lateral inertia on flexural vibration. Actes.
IX Congr. internat. median, appl. T. 7. Bruxelles. Univ. Bruxelles,
1957, 448—458 — РЖМех, 1960, № 6, 7830.
В a r r A. D. S. Cross-section distortion and the Timoshenko beam
equation. Trans. ASME, 1959, E26, № 1, 1143—144 —РЖМех, 1960,
№ 12, H6651.
В e r g e r B. S. Dynamic response functions. J. Engng Mech. Div.
Proc. Amer. Soc. Civil Engrs, 1964, 90, № 4, 131—148 — РЖМех,
1965, 6B116.
Bert С W., W i 1 к i n s D. J., С r i s m a n W. С Damping in sand-
sandwich beams with shear-flexible cores. Trans. ASME, A967, B89, № 4,
662—670 —РЖМех, 11968, 10B340.
В i e 1 а к J. Base moment for a class of linear systems. J. Engng
Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Eng., 1969, 95, № 5, 1053—1062 —
РЖМех, 1971, 2B293.
Bishop R. E. D. Longitudinal waves in beams. Aeronaut. Quart.,
1952, 3, Part IV, 280—293.
В 1 e i с h H. H., Shaw R. Dominance of shear stresses in early sta-
stages of impulsive motinon of beams. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs,
1959, № A-60; J. Appl. Mech., ,1960, 27, № 1, 132—138 — РЖМех,
1961, 1B127.
Bokor A., Mason J. M., L e v e n t h a 11 H. G. General method
for the evalution of natural frequencies of transverse beam vibration
according to the Timoshenko theory. Acustica, 1969, 21, № 1, 41—44.
В о 1 e у В. A. An approximate theory of lateral impact on beams.
J. Appl. Mech., 1955, 22, № 1, 69—76 —РЖМех, 1956, № 9, 6193.
В о I e у В А., С h а о С. - С. Some solutions of the Timoshenko beam
equations. J. Appl. Mech., 1955, 22, № 4, 579—586 — РЖМех, 1957,
№ 3, 3459.
В о 1 e у В. A On the use of sine transforms in Timoshenko beam
impact problems. J. Appl. Mech., 1957, 24, № 1, 152—153 —РЖМех,
1958, № 3, 3213.
В о 1 e у В. А., С h а о С. - С. An approximate analysis of Timoshenko
beams under dynamic loads. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs, 1957,
№ A-17, 6 pp.; J. Appl. Mech., 1958, 25, № 1, 31—36—РЖМех, 1959,
№ 8, 9142: 9143.
В о I e у В. A. On a dynamical Saint-Venant principle. J. Appl. Mech.,
1960, E27, № 1, 74—78.
Brepta R. Critical comments to the solution of longitudinal impact
in bars treated by Lowe's equations. Strojnicky casop., 1969, 20, № 2,
125—139 —РЖМех, 1970, 3B225.
1.126.
1.127.
1.128.
1.129.
1.120. Bresse M. Cours de mecanique appliquee. Paris, Mallet-Bachelier,
1859.
1.121. Brittain F. H. A more exact theory of flexural wave propagation
in elastic beams. Doct. diss. Univ. 111., 1966, 59 pp. «Dissert. Abstrs.»,
1967, B27, № 11, 3956—3957 — РЖМех, 1968, 6В215Д.
1.122. Brunelle E. J. The statics and dynamics of a transversely isotro-
isotropic Timoshenko beam. J. Compos. Mater., 1970, 4, July, 404—416 —
РЖМех, 1971, 3B298.
1.123. Brunelle E. J. Elastic instability of transversely isotropic Timo-
Timoshenko beams. AIAA Journal, 1970, 8, № 12, 2271—2273 — РЖМех,
1971, 8B284.
1.124. Buttler H. Zur Timoshenko-theorie des schwingenden prismati-
schen Balkens mit Beriicksichtigung der Dampfung. Wiss. Z. Univ.
Rostok. Math.-naturwiss Reihe, 1964, 13, № 1, 59—63 —РЖМех,
1966, 5B249.
1.125. Buttler H. Theoretische Untersuchungen erzwungcner elastischer
Schiffskorperschwingungen mit dem Ziel der Vorausbestimrnung auf-
tretender Amplituden in Rezonanzfall. Schiffbauforschung, 1966, 5,
Л"? 3—4, 141—170 —РЖМех, 1967, 3B173.
Buttler H. Zum Problem der instationaren Resonanz bei Biege-
schwingungen von Staben. Schiffbauforschung, 1969, 8, № 5—6,
193—196 —РЖМех, 1970, 7B280.
С a 1 i g о D., С a 1 a b r e s e P. Influenza del taglio trasversale e
dell' inerzia rotazionale sulle vibrazioni delle travi elastiche. Rend,
mat., 1970, 3, № 3, 4Ш—506.
Carnegie W. A note on the use of the variational method to deri-
derive the equations of motion of a vibrating beam of uniform cross-sec-
cross-section taking account of shear deflection and rotary inertia. Bull. Mech.
Engng Educ, 1963, 2, № 1, 35—40.
Carnegie W. Vibrations of pre-lwisted cantilever blading allowing
for rotary inertia and shear deflection. J. Mech. Engng Sci., 1964, 6,
№ 2, 105—109 —РЖМех, 1965, IB 125.
1.130. Carnegie W. A note on the application of the variational method
to derive tne equations of dynamic motion of a pretwisted cantilever
blade mounted on the periphery of a rotating disc allowing for shear
deflection, rotatory inertia and torsion bending. Bull. Mech. Engng
Educ, 1966, 5, № 3, 221—223 —РЖМех, 1967, 4B217.
1.131. Carr J. B. The effect of shear flexibility and rotatory inertia on
the natural frequencies of uniform beams. Aeronaut. Quart., 1970, 21,
№ 1, 79—90 —РЖМех, 1970, 9B240.
1.132. Cheng F. Y. Vibrations of Timoshenko beams and frameworks.
J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1970, 96, № 3, 551—571 —
РЖМех, 1970, 11B288.
1.133. Chree С The equations of an isotropic elastic solid in polar and
cylindrical coordinates, then solution and application. Trans. Cam-
Cambridge Philos. Soc, 1889, 14, Part III, 250—369.
1.134. Chree С On the longitudinal vibrations of aelotropic bars with one
axis of material symmetry. Quart. J. Pure and Appl. Math., 1890, 24,
340.
1.135. Clark J. A., Durelli A. J. Optical stress analysis of flexural wa-
waves in a bar. Pap. Amer. Soc. Mech. Eng., 1970, № APM-Z; Trans.
ASME, 1970, E37, № 2, 331—338 — РЖМех, 1971, 2B311; РЖМех,
1971, 7B99.
1.136. Clary R. R., Leadbetter S. A. An analytical and experimental
investigation of the natural frequencies of uniform rectangular-cross-
section free-free sandwich beams. NASA, Techn. Note, 1963, D-1967.
1.137. Con way H. D., Jakubowski M. Axial impact of short cylindri-
cylindrical bars. Trans. ASME, 1969, E36, № 4, 809—813 —РЖМех, 1970,
9B192.
237

1.138. Cow per G. R. The shear coefficient in Timoshenko's beam theory.
Trans. ASME, 1966, E33, №2, 335—340 — РЖМех, 1967, 2B217.
1Л39. Crandall S. H. The Timoshenko beam on an elastic foundation.
Proc. 3rd Midwest. Conf. Solid Mech. A957, Ann Arbor, Mich.). Ann
Arbor, Univ. Mich. Press, 1957, 146—159— РЖМех, 1960, № 8,10697.
Crandall S. H., Y i 1 d i z A. Random vibration of beams. Paper
Amer. Soc. Mech. Engrs., 1961, № WA-149 — РЖМех, 1962, 12B174,
Da vies R. M A critical study of the Hopkinson pressure bar. Phi-
los. Trans. Roy. Soc. London, 1948, A240, № 821, 375—457.
Da vies R. M. Stress waves in solids. Appl. Mech. Reviews, 1953, 6,
№ 1, 1—3.
Da vies R. M. Stress waves in solids. Surveys in mechanics. A col-
collection of surveys of the present position of research in some branches
of mechanics, written in commenmoration of the 70th birthday of
G. I. Taylor. Cambridge, Univ. press, 1956, 64—138; Дейвис Р. М.
Волны напряжении в твердых телах. М., Изд-ио ин. лит., 1961.
Da vies R. M. Approximate theories of the propagation of elastic
waves in bounded solids. J. Geophys. Res., 1958, 63, № 3, 609—611.
Discuss., 611—612 —РЖМех, 1961, 2B85.
D a w s о n B. The orthogonality condition of normal modes of pre-
twisted cantilever blading including shear and rotary inertia effects.
Bull. Mech. Engng Educ, 1967, 6, №4, 345—355 — РЖМех, 1968,
12B302.
Dawson B. Rotary inertia and shear in beam vibration treated by
the Ritz method. Aeronaut. J., 1968, 72, № 688, 341— 344 — РЖМех,
1968, 10B358.
Dawson B, Ghosh N. G., Carnegie W. Effect of slenderness
ratio on the naturai frequencies of pre-twisted cantilever beams of
uniform rectangular cross-section. J. Mech. Eng. Sci., 1971', 13, № 1,
51—59 —РЖМех, 1971, 9B264.
. Dengler M. A., G о 1 a n d M. Transverse impact of long beams
including rotatory inertia and shear effects. Proc. First U. S. Nat.
Congr. Appl. Mech., Publ. Amer. Soc. Mech. Engrs, N. Y., 1952,
179—186 —РЖМех, 1954, № 11, 5748.
. D e n g 1 e r M. A., Goodman L. E. Flexural wa\e solution of coup-
coupled equations representing the more exact theory of bending. J. Appl.
Mech., 1954, 21, № 2, 204—205 — РЖМех, 1955, № 8, 4514.
Dengler M. A., Goodman L. E. Discussion on the paper: «Fle-
«Flexural vibrations in uniform beams according to the Timoshenko theo-
theory» by R A. Anderson — Author's closure. J. Appl. Mech., 1954, 2h
№ 2, 202-204 — РЖМех, 1957, № 2, 2255.
De Vault G. P., Curtis C. W. Problem of elastic bar with mi-
mixed time-dependent end conditions of general form. J. Acoust. Soc
Amer., 1959, 31, № 5, 1959, 635 —РЖМех, 1960, № 6, 7831.
D о 1 p h G. L. On the Timoshenko theory of transverse beam vibra-
vibrations. Quart. Appl. Math, 1954, 12, №2, 175—187 —РЖМех, 1955,
№ 5, 2594.
D u d e к Т. J. Young's and shear moduli of unidirectional composites
by a resonant beam method. J. Compos. Mater., 1970, 4, Apr., 232—
241—РЖМех, 1970, 12B1245.
Duke R. K, Keeffe R. E. Miscile model testing in a high explo-
explosive blast environment. (AIAA/ASME 9th Structures, Struct. Dynam.
and Mater. Conf., Palm Springs, Calif./Apr. 1—3, 1968); AIAA Paper,
1968, № 313 — РЖМех, 1969, 2B335.
Ebner A. M., Billington D. P. Steady state vibration of dam-
damped Timoshenko beams. J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs,
1968, 94, № 3, 737—760 — РЖМех, 1968, 11B292.
Endo M., Taniguchi O. Flexural vibrations of a ring of rectan-
rectangular cross section. Bull. JSME, 1969, 12, № 52, 747—755 — РЖМех,
1970, 5B252.
1.140.
1.141.
1.142.
1.143.
1.144.
H.145.
1.146.
1.147
1.148.
1.149.
1.150
1.151.
1.152.
1.153.
1.154.
1.155.
1.156.
238
1.157. Endo M, Taniguchi O. Elexural vibrations of a ring. Нихон-
кикай гаккай ромбунсю. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng., 1970, 36,
№292, 2011—2018. Discuss., 2Q18—2019 — РЖМех, Ч971, 9B258.
1.158. Erin gen A. C. Transverse impact on beams and plates. J. Appl.
Mech., 1953, 20, № 4, 461—468 — РЖМех, 1957, № 1, 974.
1.159. Favre H. Propagation des vibrations transversaies sinusoidales de
moyenne longueur d'onde le long d'une barre prismatique quasi ela-
stiquement deformabie. Bull, techn. Suisse romande, 1964, 90, № 22,
385—393 — РЖМех, 1965, 5B163.
1.160. Fettis H. E. Some simplifications in the treatment of rotary-inertia
effects for transverse vibration of beams. J. Aero/Space Sci., 1961, 28,
№ 3, 252—253 — РЖМех, 1962, 2B182.
1.161. Florence A. L. Traveling force on a Timoshenko beam. Trans.
ASME, 1965, E32, № 2, 351—358 — РЖМех, 1966, 4B182
'1.162 Fliigge W. Die Ausbreitung von Biegungswellen in Staben. Z. an-
gew. Math, und Mech., 1942, 22, № 6, 312—318.
1.163. Fliigge W., Zajac E. E. Bending impact waves in beams. Ingr-
Arch., 1959, 28, 59—70 — РЖМех, 1960, № 4, 5082.
1Л64. Folk R., Fox G, Shook С A., Curtis С W. Elastic strain pro-
produced by sudden application of pressure to one end of a cylindrical
bar. 1. Theory. J. Acoust. Soc. Amer., 1958, 30, № 6, 552—558 —
РЖМех, 1959, № 7, 8000.
1.165. Fontenot L. L. Wave groups in the flexural motions of beams
subjected to axial tension according to the modifies Timoshenko theo-
theory. Proc. 5th Imternat. Sympos. Space Technol. and Sci., Tokyo, 1963,
Tokyo AGNE Corp., 1964, 587—602 — РЖМех, 1967, 2B'176.
1.666. Fraser W. B. Stress wave propagation in rectangular bars. Inter-
nat. J. Solids and Struct., 1969, 5, № 4, 379—397 — РЖМех, 1969,
8B232.
11.167. F u С. С. A method for the numerical integration of the equations of
motion arising from a finite-element analysis. Trans. ASME, 1970, E37,
№ 3, 599—605 — РЖМех, 1971, 5B205.
1.168. Gaines J. H., Volt err a E. Transverse vibrations of cantilevel
bars of variable cross sections. J. Acoust. Soc. Amer., 1966, 39, № 4,
674—679 — РЖМех, 1967, 3B167.
1.169. Gaines J. H., Volt err a E. Upper and lovyer bounds of frequen-
frequencies for cantilever bars of variable cross sections. Trans. ASME, 1966,
E33, № 4, 948—950 — РЖМех, 1967, 11B234.
1.170. Gaines J. H., Volt err a E. Upper and lower frequencies of ta-
tapered beams. J. Engng Mech. Div. Proc. Amer. Soc Civil Engrs
1968, 94, № 2, 465—488 — РЖМех, 1969, 1B404.
1171. Gaines J. H., Volt err a E. Upper and lower frequencies of
tapered beams. (Errata). J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil
Eng., 1969, 95, № 1, 319 —РЖМех, 1970, 1B236.
1.172. Garrelick J. M., Benveniste J. E. Comparison of beam im-
impact models. AIAA Journal, 1970, 8, № 4, 823—825—РЖМех, 1970,
11B332.
1.173. Goens E. Ober die Bestimmung des Elastizitatsmoduls von Staben
mit Hilfe von Biegunsschwingungen. Ann. Physik , 1931, 11, № 6,
649—678.
1.174. G о 1 a n d M., Wickersham P. D., Dengler M. A. Propagation
of elastic impact in beams in bending. J. Appl. Mech., 1055, 22, № 1,
1—7—РЖМех, 1956, № 2, 1048.
1.175. Goldsmith W., Cunningham D. M. Kinematic phenomena ob-
observed during the oblique impact of a sphere on a beam. Paper Amer.
Soc. Mech. Engrs, 1956, № APM-40—РЖМех, 1957, № 7, 8204
1.176. Goldsmith W. Impact. The theory and physical behaviour of col-
colliding solids. London, Arnold, 1960; Гольдсмит В. Удар. Теория it
физические свойства соударяемых тел. М., Стройиздат, 1965—
РЖМех, 1966, 2В300К.
2391

1.177.
1 178.
1.179.
G о п d a J. Prispevok к odvodeniu differencialnej rovnice ohyboveho
kmitania nosnika о stalom priereze. Strojnicky casop, 1959, 10, № 1,
31—36—РЖМех, 1960, № 2, 2394.
G о п d a J. Vplyv rotacnej zotrvacnosti a priecnej sily na
vlastne kmitanie prosteho nosnika о stalom pnereze. Strojnicky Ca-
Casop., 1960, 11, № 4, 206—212—РЖМех, 1961, 5B136.
G о n d a J. Vypocet vlastnych kmitov nosnikov s vplyvom rotacnej
zotrvacnosti prierezu a pricraej sily pomocou elektronickeho analogo-
veho pofr'taca. Sb. vedec. prac. Strojn. fak. Slov. vysokej skoly teohn.
Bratislave, 1961, 1, № 1, 35—55 —РЖМех, 1965, 6B120.
G о n d a J. Vseobecne odvodenie diferencialnej rovnice ohyboveho
kmitania nosnika so stalum prierezom. Sb. vedec. prac Strojn. fak.
Slov. vysokej skoly techn. Bratislave, 1962, 2, 61—67 —РЖМех, 1965,
12B141.
G о n d a J. Vynutene ohybove kmitanie prostych nosnikov s uvazo-
vanim о roznych vplyvoch zatazenia. Strojnicky casop., 1969, 20,
№ 1, 4—13—РЖМех, 1970, 3B3O3.
Graff K. F. Elastic wave propagation in a curved sonic transmis-
transmission line. IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics, 1970, 17, № il, I—6—
РЖМех, 1970, 1OB186.
Green A. E., Laws N. A general theory of rods. Proc. Roy. Soc.
London, 1966, *293, № 1433, 145—155—РЖМех, 1967, 8B508.
Gross D. Timoshenko-Theorie und Elastodynamik. Schiffbaufor-
schung, 1969, 8, № 5—6, 215—271—РЖМех, 1970, 7B285.
Gross D. Fortpflanzung von Transversalwellen in scheibenartigen
orthotropen Balken. Z. angew Math, und Mech., 1971, 51, № 4,
321—323—РЖМех, 1972, HB302.
G u i 11 о 11 e R. J. The effects of shear deformation and rotary iner-
inertia on modal data a nonuniform beam. AIAA Sound. Rocket Vehicle
Technol. Spcialist Conf., Wilhamsburg, Va, 1967. New York, N. Y., s. a.,
395—401 —РЖМех, 1968, 5B279
Hardie D., Parkins R. N. A study of the errors due to shear
and rotatory inertia in the determination of Young's modulus by fle-
xural vibrations. J. Phys. (Brit. J. Appl. Phys.), 1968, Dl, № 1, 77—
85— РЖМех, 1968, 9B343
Hart S., Cowper G R Comments on the paper: «A study of the
errors due to shear and rotatory inertia in the determination of Yo-
Young's modulus by flexural vibrations» by D. Hardie and R. N. Par-
Parkins. J. Phys. (Brit. J. Appl. Phys.), 1968, Dl, № 12, 1763—1768—
РЖМех, 1969, БВ280.
Hearinon R. F. S. The influence of shear and rotatory inertia on
the free flexural vibration of wooden beams. Brit. J. Appl. Phys., 1958,
9, № 10, 381—389-РЖМех, 1959, № 9, 10584.
Henrych J., Reficha P. Dynamika kruhoveho prstence s ohledem
na obkiopujici. jej prosredi. Stavebn. cas, 1971, 19, № 1, 41—60 —
РЖМех, 1971, 6B341.
Herrmann G. Forced motions of elastic rods. J. Appl. Mech.,
1954, 21, № 3, 221—224—РЖМех, 1957, № 4, 4673.
Herrmann G. Forced motions of Timoshenko beams. J. Appl.
Mech, 1955, 22, № 1, 53—56-РЖМех, 1960, № 1, 999.
Hertelendy P. An approximate theory governing symmetric mo-
motions of elastic rods of rectangular or square cross section. Trans.
ASME, 1968, E35, № 2, 333-341—РЖМех, 1968, 11B319.
Hoi den A. N. Londitudmal modes of elastic waves in isotropic
cylinders and slabs. Bell System. Techn. J, 1951, 30, № 4, Part 1,
956—969.
1.196. Housner G. W., Tso W. K. Dynamic behavior of supercritically
toaded struts. J. Engng Merih. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Erogire, 1962,
88, № 5, Part 1, 41—65—РЖМех, 1963, 8B172.
240
1.180.
1.181.
1.182.
1.183.
1.184.
1.185.
1.186.
1.187.
1.188
1.189.
1.190.
1.191.
1.192.
1.193.
1.194.
1.196. Howe С. E, Howe R. M. Application of the electronic differential
analyzer to the oscillation of beams, including shear and rotary iner-
inertia. J. Appl. Mech, 1955, 22, № 1, 13—19—РЖМех, 1956, № 3, N653;
1957, № 3, 3476.
1.197. Huang Т. С Effect of rotatory inertia and shear on the vibration
of beams treated by the approximate methods of Ritz and Galerkin.
Proc 3ind U. S. Nat. Gongr. Appl. Mechanics, Providence Rhode
Island, 1968, New York, N. Y, 1958, 189—194—РЖМех, 1962, 4B168.
1.198. Huang Т. С. The effect of rotatory inertia and of shear deforma-
deformation on the frequency and normal mode equations of uniform beams
with simple end conditions. Trans. ASME, 1961, E28, № 4, 579—584—
РЖМех, 1962, 8B161.
1.199. Huang T. C, Wo N. C. Approximate analysis of flexiurail vibrations
of beams. Developm. Mech. Vol. 1. New York, 1961, 73—86 —РЖМех
1963, 12B146.
1.200. Huang T. C, Kung С S. New tables of eigenfunctions represen-
representing normal modes of vibration of Timoshenko beams. Developm.
Tihieoret. and Appl. Mech. Vol. 1. New York, Plenum Press, 1963,
59—71— РЖМех, 1965, 1Ш152.
1.201. Huang T. C, Huang F. С. С On precession and critical speeds
of two-bearing machines with overhung weight. Trans. ASME, 1967,
B89, № 4, 713—718 —РЖМех, 1968, 7B278.
1.202. Huang T. C, Huang С С. Free vibrations of viscoelastic Timo-
Timoshenko beams. Pap. Amer. Soc. Mech. Eng., 1970, № WA/APM-44—
РЖМех, 1971, 8B469.
1.203. Hudson G. E. Dispersion of elastic waves in solid circular
cylinders. Phys. Review, 1943, 63, № 1—2, 46—51.
1.204. Huffington N. J. Response of elastic columns to axial pufee
loading. AIAA Journal, 1963, 1, №9, 2099—2104 — РЖМех, 1964,
5B200.
1.205. Hurty W. C, Rubinstein M. F. On the effect of rotatory iner-
inertia and shear in beam vibration. J. Franklin Inst, 1964, 278, № 2,
124—132—РЖМех, 1965, 4B185.
1.206. Imachi I. On the lateral mass impact applied to a long uniform
bar with two flexural freedoms-bending and shearing. Mem. Fac.
Engrg, Nagoya Univ., 1950, 2.
1.207. Jacobsen L. S. Natuial frequencies of uniform cantilever beams
of symmetrical cross section. J. Appl. Mech, 1938, 5, № 1, Al—A6.
1.208. Jacobsen L. S. Natural periods of uniform cantilever beams.
Trans. Amer. Soc. Civil Engrs, 1939, 104, Paper № 2025, 402—439.
1.209. Jones J. P. Thermoelastic vibrations of a beam. J. Acoust. Soc. Amer,
1966, 39, № 3, 542—548 — РЖМех, 1967, 6B195.
1.210. Jones О E, Ellis A. T. Longitudinal strain pulse propagation
in wide rectangular bars. Part 1. Theoretical considerations. Part. 2.
Experimental observations and comparisons with theory. Trans.
ASME, 1963, E30,№ 1, 51—60; 61—69 —РЖМех, 1963, И В160; 11B163.
1.211. Jones О. E, Norwood F. R. Axially symmetric cross-sectional
strain and stress distributions in suddenly loaded elastic bars. Trans.
ASME, 1967, E34, № 3, 718—724 —РЖМех, 1968, 6B213.
1.212. Jones R. P. N. The wave method for solving flexural vibration
problems. J. Appl. Mech, 1954, 21, № 1, 75—80 —РЖМех, 1955,
№ 1, 379.
1.213. Jones R. P. N. Transient flexuTal stresses in an infinite beam.
Quart. J. Mech and Appl. Math, 1955, 8, № 3, 373—384 — РЖМех,
1956, № 9, 6194.
1.214. Jones R. P. N. The reflection of transverse waves in beams. Quart.
J. Mech. and Appl. Math., 1956, 9, №4, 499—507 — РЖМех, 1957,
№ 10, 11938.
1.215. Jones R. P. N. Transverse impact waves in a bar under conditions
16—2798
241

1.216.
1.217.
1.218.
1.219.
1.220.
K221.
1.222.
1.223.
1.224.
of plane-strain elasticity. Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1964, 17,
№ 4, 401—421 — РЖМех, 1965, 9B111.
К a n a i F. On vibration of an infinite Timoshenko beam and shear
coefficient. Proc. 9tih Japan Niat. Ccmgir. Appl Meoh., 1959 A959,
Tokyo). Tokyo, 1960, 409—416 — РЖМех, 1962, 2B183.
К a p u г К. К- Vibrations of a Timoshenko beam, using finite-element
approach. J. Acoust. Soc. Amer., 1966, 40, № 5, 1058—1063 — РЖМех,
1967, 6B199.
Karnopp B. H., Fung J. С On the approximate determination
of natural flequencies and modes of canti'lever beams. Act a Mech.,
1970, 9, № 1—2, 109—120 —РЖМех, 1970, I №319.
Karnopp B. H, N a ge n d r a B. On the oscillations of statically-
indeterminate beams. Acta Mech., 1970, 9, M 1—2, 121 — 129 —
РЖМех, 1970, 12B3I3.
Kelly J. M. The impact of mass on a beam. Internet J. Solids
and Struct., 1967, 3, № 2, 191—196—РЖМех, 1967, 10B207.
Kerlin R. L., Snowdon J. C. Driving-point impedances of canti-
cantilever beams — comparison measurement and theory. J. Acoust. Soc.
Amer., 1970, 47, № 1, Part 2, 220—228—РЖМех, 1970, 8B305.
Klarhoefer Ch. Ober die Beanspruchung von dunnen Kreisbo-
ganstabeffi bei Beiigieschwingungen in ilhner Ebene. Techn. Ber. Heiin-
iniich-Heirtz-In'sit, Schwingungisficc&ch, 1968, № 92—РЖМех,
5B240.
К 1 e b s с h A. Theorie der Elasticitat fester Korper. Leipzig, 1862.
Ко 1 sky H. Stress waves in solids Oxford, Clarendon Press,
1971,
... ... „„.iU^ uaiuju, vjiaieiiuun press, 1
Волны напряжения в твердых телах. М, Изд-во
1953;
1.225.
1.226.
1.227.
1.228.
1.229.
1.230.
1.231.
1.232.
1.233.
1.234.
1.235.
1.236.
1.237.
242
ИЧ'.
of longitudinal elastic waves along
1954, 45, №366, 712—726-РЖМех,
'Кольский Г.
лит., 1955.
Ко 1 sky H. The propagation
cylindrical bars. Philos. Mag.,
1959, № 11, 14052.
Kovac E. J., Anderson W. J., Scott R. A Forced non-linear
vibrations of a damped sandwich beam. J. Sound and Vibr., 1971,
17, № 1 25—39—РЖМех, 1971, 12B299.
KozesnikJ. Dymaimika stiroju (Vybnane stati). iPraha, SNTL, 1958;
Кожешн-ик Я. Динамика машин. М., Машгиз, 1961.
K>rusze\vski E. Т. Effect of trains verse shear and rotatory inertia
on the natural frequency of a uniform beam.NACA, Techn. Note,
1949, № 1909
, Kumal T. Damping factors in the higher modes of ship vibrations.
Europ. Shipbuild, 1958, 7, № 1, 29—34 — РЖМех, 1960, № 12, 10666.
Kumai T. Effects of shear deflection and rotatory inertia on the
damping of the flexural vibration of a ship hull. Europ. Shipbuild,
1964, 13, № 3, 48—51—РЖМех, 1965, 4B137.
К u о S. S. Bending waves in free-free beams. Proc. 4th Midwest.
Ccmf. Solid Mech. Austin, Texas, 1959, S. .1., s. a., 457—467 — РЖМех,
1961, 10B116.
Kuo C. Methods of vibration calculation. Europ. Shipbuild., 1981,
10, №6, 136—144 —РЖМех, 1962, I1B224.
Lame G. Lecons sur la theorie mathematique de l'elasticite des corps
solidas. Pads, 1852.
Lee H. C. A generalized minimum principle and its application to
the vforation of a wedge with rotatory inertia and shear. Trans.
ASME, 1963, E30, № 2, '176—180—РЖМех, 1964, 8B2OO.
Lee H. C, Bisshopp К. Е. Application of integral equations to
the f!.;xural vibration of a wedge with rotary inertia and shear. J.
Franklin Inst., 1964, 277, № 4, 327—336 — РЖМех, 1964, 1,1 В17И.
Leonard R. W., Budiansky B. On traveling waves in beams.
NACA Repte, 1954, № 1173 —РЖМех, 19-56, № 10, 6922.
Leonard R. W., Budiansky B. On traveling waves in beams.
1238.
1.2S9.
1.240.
1.241.
1.242.
1.243.
1.244.
1.245.
1.246.
1.247.
1.248.
1.249.
1.250.
1.251.
1.252.
1.253.
1.254.
1.255.
NACA Techn Note, № 2874 —РЖМех, 1954, № 1, 1743.
Leonard R. W. On solutions for the transient response of beams.
Techn Rept. Nat. Aeronaut, and Space Admin, 1959, № R2|l -¦-
РЖМех, 1960, № 12, 16650.
L i p к a J. Wplyw bezwladnosci obrotowej oraz sil poprzecznych na
drgania wlasne wiryjijcych prgtow. Arch, bodowy maszyn, 1970, 7,
№ 3, 283—284 — РЖМех, 1962, 1Б123.
Love A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity.
Cambridge, Univ. Press, 1927 Dth edition); Ляв А. Математическая
теория )пругости. М,—Л,, ОНТИ, 1935.
Marinescu A. Ober die Schwingungen der Rakete. Rev. roumaine
sci. techn. Ser. mec. appl, 1967, 12, № 5, 1145—'1164 —РЖМех, 1968,
7B290.
Me dick M. A. One-dimensional theories of wave propagation and
vtibmatiions in elastic bars of rectangulair cross section. Trans. ASME,
1966, E33, № 3, 489—49.5 —РЖМех, 1967, 6B160.
M e d ; с k M. A. On plate theory and longitudinal waves in noncircu-
lar bars. Trans. ASME, 1967, E34, № 2, 513—515 —РЖМех, 1968,
9B243.
M e n g i Y, M с N i v e n H. D. Analysis of the transient excitation
of an clastic rod by the method of characteristics. Int. J. Solids and
Struct, 1970, 6, № 7, 871—892 —РЖМех, 1970, 12B236. ,
Miklowitz J. Flexural wave solutions of coupled equations rep-
representing the more exact theory of bending. J. Appl. Mech, 1963, 20,
№ 4, 511—514 —РЖМех, 195,5, № 1, 378.
Miklowitz J. Traveling compessional waves in an elastic rod ac-
coirdjimg to the more exact one-dimeneiiomail theory. Proc. 2nd U. S.
Nat. Congr. Appl. Mech, Ann Arbor, Mich, 1954. New York, 1955,
179—186 —РЖМех, 1958, № 5, 5751.
Miklowitz J. The propagation of compessional waves in a disper-
dispersive eiastic rod. Part 1. Results from the theory. J. Appl. Mech.,
1957, 54, № 2, 231—244 — РЖМех, 1958, '№ 4, 4502.
Miklowitz J, Nisewanger C. R. The propagation of com-
pressional waves in a dispersive elastic rod. Part II. Experimental
results end comparison with theory. J. Appl. Mech, 1957, 24, № 2,
240—244 —РЖМех, 1958, № 4, 4503.
Miklowitz J. On the use of approximate theories of an elastic
rod in problems of longitudinal impact. Proc. 3rd U. S. Nat. Congr.
Appl. Mechanics, Providence, Rhode Island, 1S58. New York, N. Y.,
1958, 215—224 —РЖМех, 196Й, 7B69.
Miklowitz J. Recent developments in elastic wave propagation.
Appl. Mech. Rev, I960, 13, № 12, 865—878 — РЖМех, 1962, 1B90.
MindlinR D, Herrmann G. A one-dimensional theory of com-
pressional waves in an elastic rod. Proc. First U. S. Nat. Congr.
Appl. Mech, Publ. Amer. Soc. Mech. Engins, N. Y, 1952, 187—191?
Proc. 2nd U. S. Nat. Congr. Aopl. Mech, Ann Arbor, Mich, 1954,
New York, II955, 233 —РЖМех, 1954, № 11, 5747; 1957, № 10, 11934.
M i n d 1 i n R. D, Deresiewicz H. Timoshenko's shear coefficient
for flexural vibrations of beams. Proc. 2nd U. S. Nat. Congr. Appl.
Meicth, Ann Arbor, Mich, 1954. New Yomk, 1955, 175—178 —РЖМех,
1957, №. 10, 11951.
Mi n d 1 i n R. D, M с N i v e n H. D. Axially symmetric waves in ela-
elastic nods. Paper Amer. Soc. Mech, Engine, 1959, № APMW-2; Trains.
ASME, 1960, E27, № 1, 145—151 — РЖМех, 1961, 1B144.
Mindlin R. D, Fox E. A. Vibrations and waves in elastic bars of
rectangular cross section. Paper. Amer. Soc. Mec. Engrs, 1959,
№ APM-23; J. App,l. Mech, 1960, 27, Ser. E, № 1, 152—158 —РЖМех,
1960, № 10, 13555.
Mi г sky I. Axisymmetric vibrations of orthotropic cylinders. 4.
16*
243

1.256.
1.257.
1.258.
1.259.
1.260.
1.261.
1.262.
1.263.
1.264.
1.265.
1.266.
1.267.
1.268.
1.269.
1.270.
1.271.
1.272.
1.273.
1.274.
244
Soc. Amer., 1964, 36, № 11, 2106—2112 — РЖМех,
1966,
waves in a naturally curved rod. Quart.
1961, 14, № 2, 155—172—РЖМех, 1962,
Journal, 1970,
1970,
Acoust.
IIB'158.
M о r 1 e у L. S. D. Elastic
J. Mech. and Appl. Math.,
3B130.
Morse R. W. Compressional waves along an anisotropic circular
cylinder having hexagonal symmetry. J. Acoust. Soc. Amer 1954
26, № 6, 1018—1021—РЖМех, 1956, № 1, 402.
Mucichescu Dan. Sur la propagation des ondes transversales
dans une barre elastique infinie. Rev. roumaine math, pures et appl.
1970, 15, № 2, 285—292.
M u r t у A. V. K. Vibrations of short beams. AIAA
8, № 1, 34—38 —РЖМех, 1970, 9B241.
Murty A. V. K. Analysis of short beams. AIAA Journal
8, № 11, 2098—2100—РЖМех, 1971, 6B479.
N a r i b о 1 i G. A. Asymptotic theory of wave-motion in rods. Z.
angew. Math, und Mech., 1969, 49, № 9, 525—531—РЖМех, 1970,
6B218.
Nederveen С J., Schwarzl F. R. Corrections for shear and
rotatory inertia on flexural vibrations of beams. Brit. J. Appl. Phys.,
1964, 15, № 3, 323—325—РЖМех, 1964, 10B164.
Nemat'Nasser S. Instability of a cantilever under a foillower
force according to Timoshenko beam theory. Trans. ASME, 1967,
E34, № 2, 484—485—РЖМех, 1968, 3B170.
Newman M. K. Effect of rotatory inertia and shear on maximum
strain in cantilever impact excitation. J. Aeronaut. Sci., 1955, 22,
No 5, 313—320, 348—РЖМех, 1956, № 12, 8544.
Nigro N. J. Steady-state wave propagation in infinite bars of
noncircular cross-section. J. Acoust. Soc. Amer., 1966, 40, № 8,
1501—1508—РЖМех, 1967, 12B211.
N о w i n s к i J. L. Propagation of longitudinal waves in circu-
circular cylindrically orthotropic bars. Trans. ASME, 1967, B89, !№ 3,
408—412—РЖМех, 1968, 5B235.
No win ski J. L. On the transverse wave propagation in
pic Timoshenko bars. Internat. J. Mech. Sci., 1969, II,
693—РЖМех, 1970, 4B211.
Odaka Tadao, Nakahara Ichiro. Stresses in
beam impacted by an elastic bar. Bull. JSME, 1967,
863—872; Нихон кикай гаккай ромбунсю, Trans. Japan, Soc. Mech.
Engirs, 1967, 33, № 248, 533—541 — РЖМех, 1968, 5B282; 12B255.
Ohnabe H., Nowinski J. L. On the propagation of flexural wa-
waves in anisotropic bars. Ing.-Arch., 1971, 40, № 5, 327—338—РЖМех,
1972, 4B325.
Oliver J. Elastic wave dispersion in a cylindrical rod by a wide-
wideband short-duration pulse technique. J. Acoust. Soc. Amer., 1957, 29,
№ 2, 189—194—РЖМех, 1958, № 3; 3200.
Orbanowski H. H. Application of variational methods to the
linear and non-linear analysis of dynamic buckling of columns and
plates Doct. diss., Polytechn. Inst. Brooklyn, 1967, Dissert. Abstrs,
1967, B28, № 3, 919—РЖМех, 1968, 11В301Д.
Раи H H. Vibration of a viscoelastic Timoshenko beam. J. Engng
Mech. Div. Prac. Amer. Soc. Civil Engrs, 1966, 92, № 2, 213—
234—РЖМех, 1967, 2B315.
P a u 1 В., F u С. С. The semi-infinite beam with a step velocity
prescribed at the tip. Trans. ASME, 1967, E34, № 1, 230—232—
РЖМех, 1968, 1B216.
Petrovsky V. Vpliv smyku a setrvacnych momenty na vlastni
kmitocet prismatickych nosni'ku. Strojirenstvi, 1960, 10, № 6, 428—
432—РЖМех, 1961, 3B122.
orthotro-
№ 8, 689—
an
10,
infinite
№ 42,
der transversalen
1947, 25/27, № 3,
1.275. Pfeiffer F. Dber die Differentialgleichung
Stabsohwingungen. Z. angew. Maitti. und Meoh.,
83-91.
1.276. Philipson L. L On the role of extension in the flexural vibra-
vibrations of rings. J. Appl. Mech., 1956, 23, № 3, 364—366—РЖМех,
1957, Ns 6, 7077.
1.277. Рйегсе A. D. Physical interpretation of the WKB or eikoaai ap-
approximation waves and vibrations in inhomogeneous beams and pla-
plates. J. Acoust. Soc. Amer., 1970, 48, № 1, Part 2, 275—284—РЖМех,
1971, 1B242.
1.278. Pi 1 key W. D. The dynamic response of structural members. An
improvement in classical methodology. Aeronaut. Quart 1967 18,
№ 2, 143—149—РЖМех, 1968, 6B271.
1.279. Piszczek K. Pewne zagadnienie statecznosci dynamieznej prgta
pryzmatycznego z masg na koncu. Rozpr. inz., 1959, 7, № 2 145—
166—РЖМех, 1961, 3B113.
1.280. PI ass H. J. Some solutions of the Timoshenko beam equation for
short pulse-type loading. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs, 1958,
№ APM-3; J. Appl. Mech., 1958, 25, № 3; 379—385—РЖМех, 1959.
№ 5, 5488; 5489.
1.281. P о chh a m mer L. Dber die Fortpflanzungsgeschwindigkeitera
kleiner Schwingungen in einem unbegrenzten isotropen Kreiszylinder.
J. reine und angew. Math., 1876, 81, № 4, 324—336.
1.282. Porat I., Niv M. Vibration of a rotating shaft by the «Timoshen-
«Timoshenko Beam» theory. Isr. J. Technol., 1971, 9, № 5, 535—546—РЖМех,
1972, 3B336.
1.283. Prescott J. Elastic waves and vibrations of thin rods. Phil.
Mag., 1942, 33, Ser. 7, № 225, 703—754.
1.284. Procopovici E. Аьирга defarmarid transversale a umei bare ao-
licitate prin §oc axial. Studii si cercetari mec. apl., 1957, 8, № 1,
147—154—РЖМех, 1958, № 7, 7950.
1.285. P и j a r a K. K., Nakra В. С Forced vibrations of >a two layered
beam arrangement, J. Sci. and Engng 'Res,., 1968, 12, № 1. 116—¦
124—РЖМех, 1969, 4B335.
1.286. Pujara К. К. Shear deformation in the vibrations of rings. J.
Sound and Vibr., 1970, 12, № 2, 252—РЖМех, 1970, 12B292.
1.287. Radosavljevic Lj. B. Contribution to the research of influen-
influence of rotatory inertia and shearing force on the lateral vibrations
of prismatic bars. Publs. Inst. math. Acad. serbe Sci., 1953, 5, 145—¦
154—РЖМех, 1956, № 9, 6195.
1.288. Радосавл>евип Л. Прилог испитиваау утицн]а инерци]'е
обртааа и трансверзалних сила на транверзалие осцилаци]е хо-
могених чреда. 36. Маш. фак. Техн. велика школа Београду,
1953—1954, 81—87—РЖМех, 1956, № 8, 5408.
1.289. Ranganath S. Normal impact of an infinite elastic beam by a se-
semi-infinite elastic rod. Pap. Amer. Soc. Mech. Eng., 1970.
№ WA/APM-54—РЖМех, 1971, 9B273.
1.290. Rao S. S., Sundararajan V. Inplane flexural vibrations of cir-
circular rings. Trans. ASME, 1969, E36, № 3, 620—625—РЖМех, 1970,
5B253.
1.291. Rao S. S. Effects of transverse shear and rotatory inertia on the coup-
coupled twist-bending vibrations of circular rings. J> Sound and Vibr.,
1971, 16, № 4, 551—566—РЖМех, 1971, 12B294.
1 292 Rao S. S. Three-dimensional vibrations of a ring on an elastic foun-
foundation. Aeronaut. J., 1971, 75, № 726, 417—419—РЖМех, 1971, 12B293.
1.293. Raskovic D. Wlasnosci funkcji wlasnych dla drgaft poprzecznych
belek jednorodnych z uwzglednieniem wplywu scinania i bezwladnosci
ahrotawej. Rozpr. inz., 1958, 6, № 2, 205—217 —РЖМех, 1960, № 1,
997.
245

1.294. Rayleigh J. W. S. The theory of sound. Vol. 1—2. London, Mac-
mililan and Co., 1877—1888; Релей Д. В. Теория звука. Т. 1—2. М.,
Гостехиздат, 1955.
1.295. Rhines W. J. Discussion on the paper: «The semi-infinite beam with
a step velocity prescribed at the tip» by B. Paul and С. С. Fu. — Aut-
Author's reply. Trans. ASME, 1967, E34, № 3, 791—792—РЖМех, 1968,
8B325.
1.296. Ripperger E. A., Abramson H. N. Reflection and transmission
of elastic pulses in a bar at a discontinuity in cross section. Proc.
3rd Midwesit. Gonf. Solid Mech. A957, Aimn Arbor, Mich.). Ann Arbor,
Univ. Mich. Press, 1957, 135—145—РЖМех, 1960, № 9, 12088.
1.297. Ripperger E. A., Abramson H. N. A study of the propagation
of fliexuiral waves in elastic beams. Paper Amer. Sac. Mech. Engrs,
1957, № APM-11; J. Appl. Mech., 1957, 24, № 3, 431—434—РЖМех,
1958, № 8, 9075; 9076.
1.298. R i s s о n ё R. F., Williams J. J. Vibrations of non-uniform cantile-
cantilever beams. Engineer, 1965, 220, № 5722, 497—506 — РЖМех, 1966,
4B175.
1.299. Robinson A. Transient stresses in beams of variable characteristics.
Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1957, 10, № 2, 148—159—РЖМех,
1958, № 7, 7961.
1.300. S a g a r t z M. J., К e e r L. M., Herrmann G. In-plane transient res-
response of a sandwich ring to radial impact. J. Acoust. Soc. Amer., 1970,
47, № 5, Part 2, 1381—1389—РЖМех, 1970, 12B291.
1.301. Saito H., Murakami T. Vibrations of an infinite beam on an
elastic foundation with consideration of mass of a foundation. Bull.
JSME, 1969, 12, № 50, 200—205; Нихон кикай гаккай ромбунсю, Trans.
Japan Soc. Mech. Engrs, 1968, 34, \N? 264, 1394—1399 — РЖМех,
1969, 3B310; 12B252.
1.302. Samuels J. C, Erin gen A. C. Response of a simply supported
Timoshenko beam to a purely random Gaussian process. Paper Amer.
Sac. Mecih. Engrs, 1958, № APM-1; J. Appl. Mech., 1958, 25. № 4,
496—500—РЖМех, 1959, № 5, 5490.
1.303. Saunders H. Extension of the Myklestad matrix method to include
rotary inertia and shear deformation. J. Acoust. Soc. Amer., 1960, 32,
№ 3, 403—410—РЖМех, 1961, 7B158.
1.304. Schirmer H. Dber Biegewellen in Staben. Ing.-Arch., 1952, 20, № 4,
247—257.
1.305. Schleinig W. Biegeschwingungen von Staben mit periodisher
Dickenanderung. Hochfrequenztechn. und Electroakust., 1970, 79,
№ 2, 41—51—РЖМех, 1971, 11B233.
1.306. Skalak R. Longitudinal impact of a semi-infinite circular elastic
bar. J. Appl. Mech., 1957, 24, № 1, 59—64—РЖМех, 1957, № ю,
11936.
1.307. Snowdon J. С Transverse vibration of internally damped beams
with rotary inertia and shear. J. Acoust. Soc. Amer., 1963, 35, № 11,
1897—1898.
1.308. Snowdon J. С Transverse vibration of beams with internal dam-
damping, rotary inertia and shear. J. Acoust. Soc. Amer., 1963, 35, № 12,
1997—2006—РЖМех, 1964, 7B178.
1.309. Snowdon J. С Response of a simply clamped beam to vibratory
forces and moments. J. Acoust. Soc. Amer., 1964, 36, № 3, 495—501—
РЖМех, 1965, 1B140.
1.310. Snowdon J. С. Longitudinal vibration of internally damped rods. J.
Awust. Soc. Amer., 1964, 36, 502—510—РЖМех, 1964, 10B162.
1.311. Snowdon J. С Mechanical impedance of free — free beams. J.
Acoust. Soc. Amer., 1965, 37, № 2, 240—249—РЖМех, 1966, 4B183.
1.312. S p i n n e г С, R e i с h a r d T. W., T e f f t W. E. A comparison of ex-
experimental and theoretical relations between Young's modulus and
1.313.
1.314.
the flexural and longitudinal resonance frequencies of uniform bars.
J. Res. Nat. Bur. Standarts, 1960, A64, № 2, 147—155—РЖМех 1961,
8B580.
S t e e 1 e С R. The finite beam with a moving load. Trans. ASME,
1967, E34, № 1, 111—118—РЖМех, 1968, 6B273.
S t e e 1 e С R. The Timoshenko beam with a moving load. Paper
Amer. Soc. Miech. Engrs, 1968, № WA/APM-2; Trans. ASME, 1968,
E35, № 3, 481—488—РЖМех, 1969, 4B336; 9B282.
1.315. Stern M. Matrix method of coupling shear flexibility and rotatory
inertia in bending vibration. J. Aeronaut. Sci., 1955, 22, № 4, 276—
278—РЖМех, 1956, № 5, 3116.
1.316. Stojek Z. О zastosowaniu zasady Hamiltona do wyprowadzania
rownan drgan gietnych belki z uwzglednieniem scinania. Rozpr. inz.,
1960, 8, № 2, 201—210—РЖМех, 1961, 7B157.
1.317. Stojek D. Zur Schubverfoimung im Biebalken. Z. angew. Math, und
Mech., 1964, 44, № 8—9, 393—396—РЖМех, 1965, 7B375
1.318. Straube R. Die Anwendung der Storungsrechnung auf freie Biege-
Biegeschwingungen von Staben bei Beriicksichtigung der Schubverformung
und der Drehtragheit. Wiss. Z. Techn. Univ. Dresden, 1963, 12, № 5,
1173—1176—РЖМех, 1964, 10B163.
Szidarovszky J. Natural vibration of
1.319.
a bar under
Acta techn.
1.320.
-1.321
1.322.
taking the effect of shear in consideration,
hung., 1960, 31, № 3—4, 261—268—РЖМех, 1961, 10B139.
-'---' хт«*..»о1 „;Kratinn of я har under axic
axial force,
Acad. sci.
Szidarovsky J. Natural vibration of a bar under axial force, ta-
taking into consideration the effect of shearing force and rotatory iner-
inertia. Acta techn. Acad. sci. hung, 1962, 39, № 1—2, 29—41—РЖМех,
1963, 5B145.
Tabairrok В., Karnopp В. Н. Analysis of the oscillations of the
Timoshenko beam. Z. angew. Math, und Phys., 1967, 18, № 4, 580—
587—РЖМех, 1968, 6B272.
Tang Sing-Chih. A solution to the Timoshenko beam under a mo-.
ving force. AIAA Journal, 1966, 4, № 4> 711—713—РЖМех, 1967,
4B211.
1.323. Terazawa K-, Matsuura V. Transverse vibration of higher
frequencies of beams of uniform cross 'section, taking into account
the effect of shear. Appl. Mech. Rev., 1960, 13, № 3, 178, (№ 1158).
1.324. Tidbury G. H. Analytical treatment of beam vibrations. Part 10.
Rotary inertia and shear defommabifiity. Automot. Design Engmg,
1965, 4, 71—72—РЖМех, 1966, 7B197.
1.324a. Timoshenko S. On the differential equation for the flexural vib-
vibrations of prismiatical rods. Glasnik Hrvafckoga prirodasilovnoga
Drustva, Zagreb, 1920, godina 32, № 2, 55—57.
Timoshenko S. On the coirnection for shear of the differential
equation for transverse vibrations of prismatic bar. Phil. Mag., 1921,
Ser. 6, 41, № 245, 744—746; Timoshenko S. P. The collected papers.
New York—Toronto—London, McGraw-Hill Book Co., 1953, 288—290.
Timoshenko S. On the transverse vibrations of bars of uniform
cross-sections. Phil. Mag., 1922, Ser. 6, 43, № 253, 125—131; Timo-
Timoshenko S. P. The collected papers. New York—Toronto—London, Mc-
McGraw-Hill Book Co., 1953, 329—333.
1.327. Timoshenko S. Theory of elasticity. 1st ed. New York—London,
McGraw-Hill Book Co.,1934; Тимошенко С. П. Теория упругости.
Л. —М., ОНТИ, 1937.
Timoshenko S. Vibration problems in engineering. 3 ed. Van
Nostrand, 1955—РЖМех, 1958, № 10, 11488K; Тимошенко С. П.
Колебания в инженерном деле. М., Физматгиз, 1959—РЖМех, 1960,
№ 2, 241 ОК.
J.329. Timoshenko S. Strength of materials. 3d ed. Part I. Elementa-
Elementary theory and problems. Part II. Advanced theory and problems. New
247
1.325.
1.326.
1.328.
246

1.330.
1.331.
1.332.
1.333.
1.334.
1.335.
1.336.
1.337.
1.338.
1.339.
1.340.
1.341.
1.342.
1.343.
1.344.
1.345.
1.346.
1.346a
1.347.
1.348.
248
York—Toronto—London, Van Nostrand Co., Princeton, N. J., 1955; Ти-
Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Том I, Элементарная
теория и задачи. Том II. Более сложные вопросы теории и задачи,
М., «Наука», 1965 — РЖМех, 1966, ЗВ366К.
Т г a i 11 - N a s h R. W., Collar A. R. The effects of shear flexibility
and rotatory inertia on the bending vibrations of beams. Quart. J. Mech.
and Appl. Math., 1953, 6, № 2, 186—222—РЖМех, 1953, № 3, 1305.
Tvergaard Viggo. Free vibrations of beam-like structures. Int.
J. Solids and Struct., 1971. 7, № 7, 789—803 — РЖМех, 1971, 11B235.
Viigness I. Transverse waves in beams. Piroc. SESA, 1951, 8, № 2,
69—82.
Vodicka V. Longitudinal vibrations of a conical bar. Appl. Scient.
Res., 1962, All, № 1, 13—16—РЖМех, 1963, 8B115.
Vogel D. Eigenfrequenzen der Biegeschwingungen unverwundener,
freistehender Turbinenschaufeln unter Berucksichtigung von Zusatzef-
fekten. Konstruktion, 1969, 21, № 1, 27—30—РЖМех, 1969, 7B270.
V о 1 e k J. Ohybovo kmitani prosteho nosniku vyvolane razem tyce s
uvazovanim deformace podpor. Aplikace na Timosenkuv nosnik. Sb. ref.
5 konf. Dynam. stroju, Liblice 1968. Liblice, 1968, 329—338—РЖМех,
1969, 3B307.
Volterra E. Some application of the method of «Internal Constrains»
to dynamic problems. Verformung und Fliessen Festkorpers. IUTAM
Colloq. Madrid, 1955. Berlin, Springer, 1956, 236—250—РЖМех,
1957, № 10, 11950.
Volterra E. A one-dimensional theory of wave-propagation in
clastic rods based on the «Method of internal constraints». Ingr-Arch.,
1955, 23, № 6, 410—420—РЖМех, 1957, № 1, 994.
Volterra E. The equations of motion for curved and twisted elastic
bars deduced by the use of the «Method of internal constraints».
Ingr.-Arch., 1956, 24, № 6, 392—400—РЖМех, 1957, № 9, 10824.
Volterra E. Eigenvibrations of twisted and curved elongated bars.
Acties IX Congr. internal mecan. appl. T. 7. Bruxelles, Univ. BruxaMas,
1957, 279—284—РЖМех, 1960, № 12, 16655.
Voiliterra E. Dispersion of longitudinal waves. J. Engng Mech.
Div. Pirioc. Amer. Soc. Civiil Engris, 1957, 83, № 3, 1322—1—1322—24 —
РЖМех, 1958, № 9, 10308.
Volterra E. On the dispersion of waves in elastic bars. Actes IX
Congr. internat. mecan. appl. T. 7. Bruxelles, Univ. Bruxelles, 1957,
285—292—РЖМех, 1960, № 6, 7810.
Volterra E. Alcune recenti applicazioni del metodo dell' elasticita
vincolata a problemi della dinamica. Giorn. genio civile, 1958, 96,
№ 7—8, 464—498—РЖМех, 1959, № 11, 14060.
Volterra E. Method of internal constraints and its application. J.
Engng Mech. Div. Proc. Ameir. Soc. Ciivfill Engrs, 1961, 87, № 4, Rairt 1,
103—127—РЖМех, 1963, 10B334.
Volterra E. Second approximation of method of «internal constraints
and its applications. Internat. J. Mech. Sci., 1961, 3, № 1—2, 47—67—
РЖМех, 1963, 10B213.
Vybiral B. Fontpflanzung transversaler Wellen in zugbelasteten
Staben. Acta mech., 1970, 10, № 1—2, 37—57—РЖМех, 1971, 9B84.
Wang Т. М. Natural frequencies of continuous Timoshenko beams.
J. Sound and Vibr., 1970, 13, № 4, 409—414 — РЖМех, 1971, 6B348.
. W a n g Т. М. Comment of «Natural frequencies of oontinuvus Timo-
stanko beams» by T. M. W a <a g.—Author's reply. J. Sound .and Vibr.,
1971, 19, № 3, 376—377 — РЖМех, 1972, 7B203.
Wei d man D. J. The effects of shear deformations and oross-sectio-
inal distortion on the natural frequencies of wide-flanged beams De-
velopm. Mech Vol. 1. New York, 1961, 47—60 —РЖМех, 1963, 12B147.
Weigand A. Biegeschwingungen von Staben unter Berucksichtig-
und der Schubverformung und der Drehtragheit (Freie und erzwunge-
ne Schwingungen, Einshaltvorgange). Wiss. Z. Techn. Univ. Dresden,.
1962, 11, № 3, 483—496—РЖМех, 1963, 5B144.
1.349. Wi eck о ws ki J. Rozwi§za<nia podstawowe dla harmonicrnych
drgan gietnych, stacjomarnych, polograniczonych belek jedno- i wielo-
podporowych. Prace Inst. masz. przeplyw., 1961, № 5, 103—121—
РЖМех, 1964, IB 192.
Wilraanski K. Obci§zenia dynamiczne belek. Belka Timoshenki.
Mechan. teor. i stosow., 1964, 2, 83—96—РЖМех, 1966, 5B234.
Yang С G. Propagation of discontinuous waves in nonuoi.farm Ti-
mostaiko beams. Trans. ASME, 1966, E33, № 3, 706—708 — РЖМех,.
1967, 7B145.
Zachmanoglou E. C, Volterra E. An engineering theory of,
longitudinal wave propagation in cylindrical elastic rods. Proc. 3rd
U. S. Nat. Congr. Appl. Mechanics, Providence, Rhode Island, 1958.
New York, N. Y., 1958, 239—245 — РЖМех, 1961, 12B166.
1.350.
1.351.
1.352.
2.1.
2.2.
2.3.
\J 2.3a.
2.4.
2.5.
2.6.
\J2.7.
2.8.
.12.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2. ПЛАСТИНЫ
Айнола Л. О расчетных моделях упругих пластинок для дина-
динамических задач. ENSV Teaduste Akad. toimetised. Finis. — matem. ja
itehn. seer., Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-матем. и техн. н., 1963, 12,
№ 1, 31— 37 — РЖМех, 1963, 11В187.
Ам б а р цу'м я н С. А., X а ч а т р я н А. А. Об устойчивости и ко-
колебаниях анизотропных пластинок. Изв. АН СССР, Отд. техн. н.,
Механ. и машииостр., 1960, № 1, 113—122— РЖМех, 1961, 4В126.
Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. Прочность,,
устойчивость и колебания. М., «Наука», 1967 —РЖМех, 1968, 8В233К.
Верди невский В. Л. Об уравнениях, описывающих поперечные
колебания тонких упругих пластин. Изв. АН СССР. Мех. тверд.
тела, 1972, № 5.
Болотин В. В. Динамический краевой эффект при упругих коле-
колебаниях пластин. Инженерный сб., 1961, 31, 3—14 — РЖМех, 1962,
6В131.
Болотин В. В. Плотность собственных значений в задачах о
колебаниях упругих пластин и оболочек. Тр. VI Всес. конференции
по теории оболочек и пластинок, 1966. М., «Наука», 1966, 161—167 —
РЖМех, 1967, 11В186.
Векслер Н. Д., Мяиниль А. И., Нигул У. К. Применение
метода сеток в теории типа Тимошенко для исследования переход-
переходных волновых процессов деформации плит конечных размеров.
Прикл. механика, 1965, 1, № 12, 38—49— РЖМех, 1966, 6В149.
Власов Б. Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок. Изв.
АН СССР. Отд. техн. н., 1957, № 12, 57—60 —РЖМех, 1959, № 1,
740.
Григорьянц Н. М. Свободные колебания тонких плит с учетом
инерции вращения. Строит, механ. и расчет сооруж., 1961, № 3f
36—37 —РЖМех, 1962, 4В165.
Дубиикин М. В. Колебания плит с учетом инерции вращения и
сдвига. Изв. АН СССР. Отд. техн. н„ 1958, № 12, 131—135—
РЖМех, 1961, 10В130.
Дубинкин В. М. О распространении волн в бесконечных пли-
плитах. Прикл. матем. и механ., 1959, 23, № 5, 984—987 — РЖМех,
1962, 10В116.
Жариков И. Ф. О распространении импульса а тонких пластин-
пластинках. Научн. сообщ. ин-та горного дела им. А. А. Скочинского, 1969,
№ 63, 141—152 —РЖМех, 1970, IBI96.
Именитов Л. Б. Исследование собственных колебаний пластан
без использования гипотезы Кирхгофа — Лява. Строит, механ. и
расчет сооруж., 1969, № 5, 46—60 —РЖМех, 1970, ЗВ273.
249

V2.27.
V2.28.
250
2.13. Имей и то в Л. Б. К вопросу о собственных колебаниях прямо-
прямоугольных пластинок. Тр. VII Всес. конференции по теории оболо-
оболочек и пластинок, 1969. М, «Наука», 1970, 251—255—РЖМех, 1971,
Ш249.
Кильчевский Н. А. Исследования некоторых вопросов теории
упругости. Изв. Киевск. политехи, ин-та, 1954, 15, 96—111 —
РЖМех, 1956, № 5, 3025.
Кильчинская Г. А. Распространение термоупругих волн в
упругого слое при конвективном теплообмене на его поверхностях.
В сб. Тепловые напряж. в элементах конструкций. Вып. 6. Киев,
«Наук, думка», 1966, 174—183 —РЖМех, 1967, 5В194.
Кильчинская Г. А. Исследование волновых процессов с обрат-
обратным термоупругим эффектом в нагретых упругих телах. Прикл.
механика, 1966, 2, № 10, 16— 21 — РЖМех, 1967, 4В146.
Кильчинская Г. А. Распространение термоупругих волн в теп-
лопроводящем слое постоянной толщины. Прикл. механика, 1967,
3, № 12, 78—83 —РЖМех, 1968, 5В219
Ключникова В. Г. Корректирование приближенного решения
задачи о собственных колебаниях плиты в неклассической поста-
постановке. Прикл. механика, 1966, 2, № 12, 27—32 — РЖМех, 1967,
5В236.
Коваленко Г. П., Филиппов А. П. Действие подвижной
иагрузкн на пластину, лежащую на упругом полупространстве с пе-
переменными параметрами. Тр. VII Веес. конференции по- теории
оболочек и пластинок, 1969. М, «Наука», 1970, 290—292 — РЖМех,
1971, 1В244.
Корнилов А. А. Колебания кольцевой пластины переменной тол-
толщины произвольного профиля с учетом инерции вращения и дефор-
деформации сдвига. Вестн. Кневск. политехи, ин-та. Сер. машиностр.,
1968, № 5, 8—14 —РЖМех, 1969, 4В317.
Красюков В. П. Колебания анизотропных пластинок с учетом
инерции вращения и деформации сдвига. Научн. тр. Саратовск.
политехи, ин-та, 1966, вып. 23, 107—1Ю—РЖМех, 1967, 12В221.
К у тс ер М. Э., Нигул У.К. О применении символического метода
А. И. Лурье в динамике плит при деформации, симметричной отно-
относительно срединной поверхности. ENSV Tead. Akad. toknetiseid.
Fuue.-maliem. ja tehn. seer., Изв. АН ЭстССР. Сер. физ -матем. и
техн. н„ 1965, 14, № 3, 385—392 — РЖМех, 1966, 6В209.
Ларионов Г. И. Свободные колебания прямоугольной траиевер-
сально-изотротюй пластинки, подкрепленной ребрами жесткости, с
учетом инерцчн вращения и сдвига. В сб. Теория расчета н надеж-
надежность приборов. Саратов, Саратовск. ун-т, 1969, 24—28 — РЖМех,
1970, 6В255.
Маня В. Об одной теории тонких упругих плоских лластин без
гипотезы Лява—Кирхгофа. Rev. roumaine sci. techn. Ser. тёс. appl.,
1964, 9, № 2, 415—444 —РЖМех, 1965, 5B100.
Маня В. Колебания упругих тонких плоских пластин в теории
без гипотезы Лява—Кирхгофа. Rev. roumaine sci. techn. Ser. тёс.
appl., 1964, 9, № 5, 1136—1164 — РЖМех, 1966, 2B181.
Мелконян А. П., Хачатрян А. А. О колебаниях траяовер-
сально-изотрокиых круглых пластинок. Айкакаи ССР Гитутюннери
Академией тегекагир. Механика. Изв. АН АрмССР. Механика, 1966,
19, № 3, 26—33—РЖМех, 1967, 1В153.
Морозов Н. Ф. О нелинейных колебаниях тонких пластин с уче-
учетом инерции вращения. Докл. АН СССР, 1967, 176, № 3, 522—525 —
РЖМех, 1968, 10В328.
Морозов Н. Ф. Нелинейные колебания тонких пластин с учетом
инерции вращения. Дифференц. уравнения, 1968, 4, № 5, 932—9Э7—
РЖМех, 1968, 12В278.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2 22.
'2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.29. Мо р озо в Н. Ф., Юдовин М. Э. О сходимости приближений
Бубнова—Галеркина в задачах о нелинейных колебаниях тонкой
пластины при учете инерции вращения. Изо высш. учебн заведений.
Математика', 1969, № 8, 47—51 — РЖМех, 1970, ЗВ255.
2.30. Москаленко В. Н. К применению уточненных теорий изгиба
пластинок в задаче о собственных колебаниях. Инженерный ж.,
1961, 1, № 3, 93—101—РЖМех, ,1963, 6В172.
2.31. Москаленко В. Н. Об учете инерции вращения н деформации
сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин. В сб Теория
пластин и оболочек. Киев, АН УССР, 1962, 264—266 — РЖМех 1963
9В127.
2.32. Москаленко В. Н. Собственные колебания трехслойных пла-
пластин, прямоугольных в плане. В сб. Теория оболочек и пластин.
Ереван, АН АрмССР, 1964, 706—714 — РЖМех, 1964, 11В154.
2.33. Мое к а л ей ко В. Н. Асимптотическое интегрирование уравнений
трехмерной динамической теории упругости, собственные колебания
упругого параллелепипеда. Сб. докл. Научяо-техн. конференции
Моск. энерг. ин-та. Секц. Энергомашиностр. Подсекция динамики
и прочности машин. М, 1967, 200—218 —РЖМех, 1968, 8В258.
2.34. Москаленко В. Н. Собственные колебания толстых плит. Айка-
кан ССР Гитутюннери Академиаи тегекагир. Механика, Изв. АН
Ар.мССР. Механика, 1968, 21, № 5—6, 57—64 — РЖМех, 1969,
8В257.
2.36. Мяннил А., Нигул У. О напряженных состояниях упругой плиты
при распространении синусоидальных волн изгиба. Изв. АН ЭстССР.
Сер. физ.-матем. и техн. н., 1963, 12, № 3, 273—283 — РЖМех, 1964,
ЗВ114.
2 36. Мяннил А. И., Нигул У. К. О результатах сопоставления мето-
метода сеток и метода перевала при анализе переходного волнового
процесса деформации плит. Прикл. матем. и мех., 1966, 30, № 2,
375—378 — РЖМех, 1966, 12В113.
2.37. Нигул У. К. О применении символического метода А. И. Лурье
в трехмерной теории динамики упругих плит. Изв. АН ЭстССР.
Сер. физ.-матем. и техн. н., 1963, 12, № 2, 146—155 —РЖМех, 1964,
ЗВ1ОЗ.
2.38. Нигул У. К. О применении символического метода А. И. Лурье к
анализу напряженных состояний и двумерных теорий упругих плит,
Прикл. матем. и механ., 1963, 27, №" 3, 583—588 — РЖМех, 1964,
ЗВ77.
2.39. Нигул У. К. Применение трехмерной теории упругости к анализу
волнового процесса изгиба полубесконечной плиты при кратко-
кратковременно действующей краевой нагрузке. Прикл. матем. и механ.,
1963, 27, № 6, 1044—1056—РЖМех, 1964, 6В126.
2 40. Ни гул У. К. О методах и результатах анализ-а переходных вол-
волновых процессов изгиба упругой плиты. Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-
матем. и техн. н., 1965, 14, № 3, 345—384 — РЖМех, 1966, 4ВГ26.
2.411. Ни кит ии Л В. Распространение поперечных упруго-вязко-лла-
стичеоких волн в балках и пластинах. Инженерный сб., 1960, 30,
31—46 — РЖМех, 1961, 6В204.
2.43. Огибалов П. М. Изгиб, устойчивость н колебания пластинок. М.,
Моск. ун-т, 1958 —РЖМех, 1960, № 1, 974К.
243. О м ецинска я Е Б. Обобщенные уравнения динамики пластин.
Прикл. механика, 1969, 5, № 5, 64—70—РЖМех, 1969, ИВ 162.
2.44. Петрашень Г. И. К теории колебаний тонких пластин. Уч. зап.
ЛГУ. Сер. матем. н Динамические задачи теории упругости. Вып. 24.
1951, № 149, 172—249.
2.45. Петрашень Г. И., Молотков Л. А. О некоторых проблемах
динамической теории упругости в случае сред, содержащих тонкие
251

слои. Вести. Лениигр. ун-та, 1958, №22, 137—156 —РЖМех, I960,
№ 9, 12076.
2.46. Петрашень Г. И., Молотков Л. А. О колебаниях однород-
однородных и слоистых пластин. В сб. Теория оболочек и пластин. Ереван,
АН АрмССР, 1964, 788—794 — РЖМех, 1965, 4В166.
2.47. Петрашень Г. И. Проблемы инженерной теории колебаний вы-
вырожденных систем. В сб. Исслед. по упругости и пластичности. Л...
Ленингр. ун-т, 1966, №5, 3—33 —РЖМех, 1967, 7В151.
2.48. Прокопов В. К. Применение символического метода к выводу
уравнений теории плит. Прикл. матем. и мех., 1965, 29, № 5, 902—
919 —РЖМех, 1966, 6В12.
2.49. Селезов I. Т. Про р1вняння руху гнучких пластин. Прикл. меха-
нша, 1959, 5, №4, 444—448 — РЖМех, 1961, 10В128.
2.50. Селезов I. Т. Дослщження поперечних коливань пластиии.
Прикл. мехашка, 1960, 6, № 3, 319—327 — РЖМех, 1961, 6В117.
2.51. Селезов I. Т. Про поперечш коливання пластини. Доповш АН
УРСР, 1960, №9, 1190—1193 —РЖМех, 1962, 12В171.
2.52. Селезов I. Т. Про гшотези, яю лежать в ochobi уточнених р!в-
нянь поперечних коливань пластин, i деяга особливосп цих р1Внянь.
Прикл. мехашка, 1961, 7, №5, 538—546 — РЖМех, 1962. 12В172.
2.53. Селезов И. Т., Кильчинская Г. А. Приведение трехмерной
динамической задачи термоупругости к двумерной для слоя посто-
постоянной толщины. В сб. Тепловые напряжения в элементах конструк-
конструкций. Вып. 4. Киев, «Наук, думка», 1964, 172—179 — РЖМех, 1965,
6В137.
12.54. Селезов И. Т. Концепция гиперболичности в теории управля-
управляемых динамических систем. Сб. Кибернетика и вычисл техника.
Вып. 1. Киев, «Наук, думка», 1969, 131—137.
2.55. Селезов И. Т. Стабилизация магнитогидродинамической флат-
терной неустойчивости распределенным управлением. Магнит, гид-
гидродинамика, 1970, №3, 30—34 —РЖМех, 1971, ЗВ461.
2.56. Селезова Л. В. Динам1чна нестшюсть пружноУ пластини, що
обтжаеться ютзованнм газом. Доповад АН УРСР, 1970, А, № 4,
361—364 —РЖМех, 1970, 12В345.
2.57. Селезова Л. В. Влияние магнитного поля на флаттерные коле-
колебания упругой пластины. Прикл механика, 1970, 6, № 5, 82—87 —
РЖМех, 1970, 10В282.
2.58. С л е п я и Л. И. Резонансные явления в пластинах и оболочках
при бегущей нагрузке. Тр. VI Всес. конференции по теории оболо-
оболочек « пластинок, 1966. М., «Наука», 1966, 690—696 — РЖМех, 1968,
4В158.
2.59. У ф л я н д Я- С. Распространение волн при поперечных колебаниях
стержней и пластин. Прикл. матем. и мех., 1948, 12, № 3, 287—300.
2.60. Филиппов А. П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по
круглой плите. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1971, № 6, 102—
109 —РЖМех, 1972, 4В293.
2.61. Филиппов А. П., Скляр В. А. Поперечный упругий удар по-
прямоугольной плите с учетом инерции вращения и перерезыва-
перерезывающих сил. Динамика и прочность машин. Респ. межвед темат.
научи.-техи. сб., 1971, вып. 14, 12—19 —РЖМех, 1972, 4В294.
2.62. Шалабанов А. К. Влияние поперечных сдвигов на частоты
колебаний ортотропных пластин с сосредоточенными массами. Сб.
аспирантск. работ. Казанск. ун-т. Теория пластин и оболочек,
1971, вып. 1, 119—126 —РЖМех, 1972, 2В224.
2.63. Шлоттман Д Работа кафедры деталей маш»ш технического
факультета Ростокского университета. Тр. Ленингр. кораблестроит.
ин-та, 1968, вып. 62, 129—134 — РЖМех, 1969, 10В131.
2.64. Якушев Н. 3. К теории колебаний плит средней толщины. В сб.
252
2.65.
2.66.
Нелинейн. теория пластин и оболочек. Казань, Казаиск. ун-т, 1962,
51—60 — РЖМех, 1963, 10В260.
AchenbachJ. D., Keshava S. P. Free waves in a plate suppor-
supported by a semi-infinite continuum. Trans. ASME, 1967, E34, № 2,
397—404 — РЖМех, 1968, 3B131.
AchenbachJ. D., Keshava S. P., Herrmann G. Moving lo-
load on a plate resting on an elastic half space. Trans. ASME, 1967,
E34, № 4, 910—914 —РЖМех, 1968, 10B285.
2.67. Advani S. H. Non-linear vibrations of spinning discs and wave
piopagation in an infinite plate. Doct. diss. Stanford Univ., 1965 —
РЖМех, 1967, 11В203Д.
2.68. A g g a r w a 1 R. R., Shaw E. A. G. Axially symmetric vibrations of
a finite isotropic disk. IV. J. Acoust. Soc. Amer., 1954, 26, № 3,
341—342.
2.69. A 1 p e r S., M a g r a b E. B. Radiation from the forced harmonic
vibrations of a clamped circular plate in an acoustic fluid. J Acoust.
Soc. Amer., 1970, 48, № 3, Part 2, 681—691—РЖМех, 1971, 2B415.
2.70. Aprahamian R., Evensen D. A. Applications of holography to
dynamics: high-frequency vibrations of plates. Trans. ASME, 1970,
E37, №4, 1083—1090 —РЖМех, 1971, 8B202.
2.71. Bakshi J. S., Callahan W. R. Flexural vibrations of a circular
ring when transverse shear and rotary inertia are considered. J.
Acoust. Soc. Amer., 1966, 40, № 2, 372—375 — РЖМех, 1967, 7B164.
2.7E. Bleustein J. L. Some simple modes of wave propagation in an
infinite piezoelectric plate. J. Acoust. Soc. Amer., 1969, 45, № 3,
614—620.
2.73. В о 1 о t i n V. V. The density of eigenvaluos in vibration problems of
elastic plates and shells. Proc. Vibrat. Probl., Polish. Acad. Sci., 1965,
6, № 4, 341-351—РЖМех, 1966, 9B158.
2 74 В r u n e 11 e E. J. Buckling of transversely isotropic Mindlin plates.
' AIAA Journal, 1971, 9, № 6, 1018—1022 —РЖМех, 1972, 1B363.
Callahan W. R. On the flexural vibrations of circular and ellipti-
elliptical plates Quart. Appl. Math., 1956, 13, № 4, 371—.380 —РЖМех,
1958. № 6, 6963.
2.76. Callahan W. R. Flexural vibrations of elliptical plates when trans-
transverse shear anri rotary inertia are considered. J. Acoust. Soc. Amer.,
1964, 36, № 5, 823^829 — РЖМех, 1964, 12B140.
2.77. С a r 1 e у Т. G., Langhaur H. L. Transverse shearing stress in
rectangular plates. J. Enging Mean. D/iiv. Prac. Amer. Soc. Civil Engrs,
1968, 94, № 1, 137—151 —РЖМех, 1968, 11B184.
2 78 Cauchy A. L. Sur l'equilibre et le mouvement d'une lame solide. Ex-
ercices Math., 1828, 3, 245—326.
2 79 С h а о С С, Р а о Y. - H. On the flexural motions of plates at the
cut-off frequency. Trans. ASME, 1964, E31, № 1, 22—24 — РЖМех,
1964, 11B162.
Chens S L, Jahanshahi A. On dynamic stress concentration
around a discontinuity. Trans. ASME, 1967, E34, № 2, 385—391 —
РЖМех, 1968, 3B141.
С h о u P. C. Flexural wave propagation in a circular plate due to
impulsive loads. Proc. 6th Internet. Sympos. Space Technol. and Sci.,
Tokyo, 1965. Tokyo, 1966, 393—406 — РЖМех, 1968, 4ВЦ59.
2 82 Cremer L. Bemerkung zur Ausbreitung von «Biegewellen» in Sta-
' ben und Platten. Z. angew. Math, und Mech., 1943, 23, № 5, 291—294.
2.83. Dally J. W., D u r e 11 i A. J., R i 1 e у W. F. Photoelastic study of
stress wave propagation in large plates. Proc. Soc. Exptl. Stress
Analysis, I960, 17, № 2, 33—50 — РЖМех, 1961, 11Б120.
284 Dengler M. A. Transversale Wellen in Staben und Platten unter
stofiformiger Belastung. Osterr. Ing.-Arch., 1956, 10, № 1, 39—66 —
РЖМех, 1957, № 2, 2245.
253
2.75.
2.80.
2.81.

2.85. Deresiewicz H., Mindlin R. D. Axially symmetric flexura
vibrations of a circular disk. J. Appl. Mech., 1955, 22, № 1 86—88-
РЖМех, 1955, № 9, 5172.
2.86. Deresiewicz H. Symmetric flexural vibrations of a clamped cir
cular disk. J. Appl. Mech., 1956, 23, № 2, 319 —РЖМех, 1957, № 10
11948.
Dyer I. Moment impedance of plates. J. Acoust. Soc. Amer., 1960
32, № 10, 1290—1297 —РЖМех, 1961, 10B1.31.
Dzialo F. J., Hoppmann VV. H. Flexural vibration of circularlj
stiffened circular plates with consideration of rotatory inertia. Trans
ASME, 1967, E34, № 3, 766—768 - РЖМех, 1968, 8B299.
Ebcioglu I. K- A large-deflection theory of anisotropic plates
Img.-Aroh., 1964, 33, № 6, 396—403 — РЖМех, 1965, 10B161.
¦E rim gen A. C. Transverse impact on beams and plates. J. Appl
Mech., 1963, 20, № 4, 461—468 — РЖМех, 1957, № 1, 974.
Erin gen A. C. On the nonlinear oscillations of viscoelastic plates,
J. Appl. Mech., 1955, 22, № 4, 563—567—РЖМех, 1957, № 11, 13180.
Fiiflon L. N. G. On an approximate 'solution for the bending of
a beam of rectangular cross-section under any system of load, with
special reference to points of concentrated or discontinuous loading.
Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1903, Ser. A, 201, № 334, 6*—155.
Friedrichs K. O., Dressier R. F. A boundary-layer theory for
elastic plates. Communs Pure and Appl. Math., 1961, 14, № 1, 1—33 —
РЖМех, 1963, 8B14.
G a z i s D. C, Mindlin R. D. Influence of width on velocites of
long waves in plates. Paper Amer. Soc. Mech., Engns, 1957,
№ APM-29; J. Appl. Mech., 1957, 24, l№ 4, 541—^546 — РЖМех, 1958.
№ 5, 5750; -1958, № 7, 7936.
G a z i s D. C, Mindlin R. D. Extensional vibrations and waves in
a circular disk and a semi-infinite pla<te. J. Appl. Mech., 1960, E27,
2.87.
2.88.
2.89.
2.90.
2.91.
2.92.
2.93.
2.94.
2.95.
2.96.
2.97.
2.98.
2.99.
2.100.
2.101.
№ 3, 541—5'J.
Goodier J. N
Transition Irorp
1959, E26, № 1,
Goodman R.
Epstein method
plate using the
1096^1098 —
2.102.
2.103.
2.104.
254
., Ripperger E. A. Response of a slab to impact.
surface wave to flexural dehavior. Trans. ASME,
146—147 —РЖМех, 1961, 4B102.
R. Reflection from a thin infinite
._. _ „. J. Acoust. Soc. Amer. 1961 33 №
РЖМех, 1962, 3B120.
Guntze R. Eimittlung transversaler Eigenfrequenzen diinner Rech-
teckscheiben und Vergleich mit der Naherung von Timoshenko. Acta
mech., 1969, 7, № 4, 233—247 — РЖМех, 1970, 2B298.
G r i g s b у Т. N., T a j с h m a n E. J. Properties of Lamb waves re-
relevant to the ultrasonic inspection of thin plates. IRE Trans. Ultra-
Ultrasonics Engng, 1961, 8, № 1, 26—33 —РЖМех, 1962, 1B88
H a n e 1 B. Axialsyrnmetrische Eigenschwingungen der eingespannten
Kreisplatte mit Einzelmasse. Schiffbauforschung, 1969, 8, № 3—4,
185—190 —РЖМех, 1970, 4B260.
Hasegawa M. Influence of rotatory inertia on transverse vibra-
vibrations of isotropic, elastic, rectangular plates. Proc. 16th Japan Nat.
Gongr. Appl. Mech., Tokyo, 1966. Tokyo, 1967, 291—293 — РЖМех,
1969, 4B322.
Herrmann G., Armenakas A. E. Vibrations and stability of
plates under initial stress. J. Engng Meoh. Diiv. Piroc. Amer. Soc.
Civiiil Engrs, 1960, 86, № 3, 65—94 — РЖМех, 1961, 8B120.
Huang Т. С Application of variational methods to the vibration of
plates including rotatory inertia and shear. Developm. Mech., Vol. 1.
New York, 1961, 61—72 —РЖМех, 1964, 3B126.
Jahanshahi A., Monzel F. J. Effects of rotatory inertia and
transverse shear on the response of elastic plates to moving forces.
Ing.-Arch., 1965, 34, № 6, 401—410 —РЖМех, 1966, 8B147.
2.105. J a h s m a n W. E. Propagation of abrupt circular wave fronts in
elastic sheets and plates. Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mecha-
Mechanics, Providence, Rhode Island, 1958. New York, N. Y., 1958, 195—
202 —РЖМех, 1961, 12B165.
2.106. Je r r a r d R. P. Vibration of quartz crystal plates. Quart. Appl.
Math., 1960, 18, № 2, 173—181 — РЖМех, 1961, 11B132.
2.107. Jones R P. N. Transverse impact waves in a bar under conditions
of plane-strain elasticity. Quart. J. Mech. and Appl Math, 1964,
17, №4, 401—421—РЖМех, 1965, 9B111.
2.108. K^czkowski Z. The influence of the shear forces and the 'rota-
(toiry inertia on the vibration of an anisotropic plate. Arch. mech. Sto-
sowanej, 1960, 12, № 4, 531—532 — РЖМех, 1961, 12B183.
2 109. K^czkowski Z. Der Einfluss der Schubverzerrungen und des
Drehbeharrungsvermogens auf die Schwingungsfrequenz von anisotro-
pen Platten. Bull. Acad. polon. Sci. Ser. sci. techn., 1960, 8, № 7h
343—349 — РЖМех, 1961, 8B114.
2.110. Kane T. R. Reflection of flexural waves at the edge of a plate. J.
Appl. Mech., 1954, 21, № 3, 213—220 — РЖМех, 1960, № 6, 7809.
2.111. Kane T. R., Mindlin R. D. High-frequency extensional vibrations
of plates. Paper Amer. Soc. Mean. Engr., 1955, № A-50; J. Appl.
Mech., 1956, 23, № 2, 277—283 — РЖМех, 1957, № 1, 971.
2.112. Капе Т. R. Reflection of dilatational waves at the edge a plate. J.
Appl. Mech., 1957, 24, № 2, 219—227 — РЖМех, 1958, № 6, 6960.
2.113. К ' г с h h о f f G. Dber das Gleichgewicht und die Bewegung einer
elastischen Scheibe. J. reine und angew. Math., 1850, 40, № 1, 51—88.
2.114. Kirchhoff G. R. Vorlesungen uber mathematische Physik. Mecha-
nik. Leipzig, Teubner, 1876; Кирхгоф Г. Механика Лекции по-
математической физике. М, АН СССР, 1962.
2.115. Koenig H. A, Davids N. Dynamical finite element analysis
for elastic waves in beams and plates. Internet. J. Solids and Struct.,
1968, 4, №6, 643—660 — РЖМех, 1968, 12B284.
2.116. Koenig H. A., Davids N. The damped transient behaviour of
finite beams and plates. Int. J. Numer. Methods Eng., 1969, 1, №2,
151 —162 —РЖМех, 1969, 9B278.
2.117. Kr a u t e r A. I., Bulkeley P. Z. Effect of central clamping on
transverse vibrations of spinning membrane disks. Trans. ASME,
1970, E37, №4, 1037—1042 — РЖМех, 1971, 8B235.
2.118. Krishnappa E. N., Call a nan W. R. Vibration of plates boun-
bounded by parts of elliptical and hyperbolic cylinders. J. Acoust. Soc.
Amer., 1966, 40, № 6, 1534—1539 — РЖМех, 1967, 11B204.
2.119. Kurtze G., Bolt R. H. On the interaction between plate bending
waves and their radiation load. Akust. Beih., 1959, 9, № 1, 238—
242 —РЖМех, 1962, 8Б116.
2.120. Kuppers H. Die Untersuchung der Ausbreitung von Stofiwellen in
Platten auf schierenoptischem und spannungsoptischem Wege. For-
schungsber. Landes Nordrhein—Westfalen, 1961, № 976 — РЖМех>
1963, IB 144.
2.1И. L a m b H. On the flexure of an elastic plate (Appendix.) Proc. Lond.
Math. Soc, 1889—1890, 21, 85—90.
2.122. Lamb H. On waves in an elastic plate. Proc. Roy. Soc. London,.
1917, ser. A, 93, № A648, 114—128.
2.123. Lange J. N. Bending wave propagation in rods and plates. J.
Acoust. Soc. Amer., 1963, 35, № 3, 378—388 — РЖМех, 1963, 11B164.
2.124. Laura P. A. Effect of shear and rotatory inertia on flexural vibra-
vibrations of rib-stiffened plates. J. Acoust. Soc. Amer., 1968, 44, № 1,.
283—284 — РЖМех, 1969, 1B364.
2.125. Lee H. С A generalized minimum principle and its application to-
the vibration of a wedge with rotatory inertia and shear. Trans.
ASME, 1963, E30, № 2, 176—180 — РЖМех, 1964, 8B200.
255-

2.126.
2.127.
2.128.
2.129.
2.130.
2.131.
2.132.
2.133.
2.134.
2.135.
2.136.
2.137.
plates. AIAA Paper, 1969,
Lee H. С Author's closure to discussion on the paper: «A generali-
generalized minimum principle and its application to the vibration of a wed-
wedge with rotatory inertia and shear» Trans. ASME, 1964, E31, № 4,
734 —РЖМех, 1965, 6B130.
Lee H. С., В i s s h о р р К- Е. Application of integral equations to
the flexural vibration of a wedge with rotary inertia and shear. J.
Franklin Inst., 1964, 277, №4, 327—336 — РЖМех, 1964, 11B171.
Lee P. C. Y., Spencer W. J. Shear-flexure-twist vibrations in rec-
rectangular AT-cut quartz plates with partial electrodes. J. Acoust. Soc.
Amer., 1969, 45, № 3, 637—645.
Lee P. C. Y., Chen S h. - S h. Vibrations of contoured and partially
plated, contoured rectangular, AT-cut quartz plates. J. Acoust. Soc.
Amer., 1969, 46, №5, Part 2, 1193—1202 — РЖМех, 1970, 7B246.
Lee Yu-Chung, Reismann H. Dynamics of rectangular plates.
Imtemat. J. Emgng Sci., 1969, 7, № 1, 93—^113 — РЖМех, 1969,
8B262.
L e i s s a A. W. Free vibrations of elastic
№24 — РЖМех, 1969, 8B26I.
Lloyd J. R., Miiklowitz J. Wave propagation in an elastic beam
or plate on an elastic foundation. Trans. ASME», 1962, E29, № 3,
459—464 — РЖМех, 1963, 10B253.
Lloyd J. R., Miklowitz J. On the use of double integral trans-
transforms in the study of dispersive elastic wave propagation. Proc 4th
U. S. Nat. Congr. Appl Mech, Berkeley, Calif., 1962 Vol. I. Ox-
Oxford—London—New York—Pans, Pergamon Press, 1962, 255—
267 —РЖМех, 1964, IB 133
L u S. - S. The forced vibrations of rectangular orthotropic plates ta-
taking into account the effect of shear deformation and rotatory iner-
inertia; its application to the vibration of the ship's double bottom.
Чжунго цзаочуань, Zhong-duo zao-chauan, 1964, № 1, 68—74 —
РЖМех, 1965, 2B140.
Maiden С j. The stresses produced in a thin elastic plate by a
transverse impulsive force. Philos. Mag, 1958, 3, №36, 1413—
1423 —РЖМех, 1961, 1В129.
M a n e a V. Considerate asupra teoriei placilor plane elastice subjiri.
apl. Acad. RPR, 1963, 14, № 4, 851—866 —
2.138.
2.139.
2.140.
plane elastice
metoda functi-
1963, 14, № 5,
in teoria fara
Acad. RPR,
Studii si cercetari mec.
РЖМех, 1965, 5B101.
M a n e a V. Construire solutiei ecuatiilor placilor
subjiri, din teonia fara ipoteza Love—Kirchhoff, prin
ilor analitice. Studii si cercetari mec. apl. Acad. RPR,
1145—1161—РЖМех, 1964, 9B89.
Manea V. Vibra{iile placilor plane subtjri elastice
ipoteza Love—Kirchhoff. Studii si cercetari mec apl
1964, 15, №2, 305—323 — РЖМех, 1965, 4B17I
Marafioti F., Johnston E. R. Effects of rotary inertia on the
supersonic flutter of sandwich panels. AIAA Journal, 1971, 9, № 2,
245—249 — РЖМех, 1971, 8B32I.
Martincek G. Vplyv smyku a rotacnej zotrvacnosti pri kmitani
dosak. Strajnicky casop., 1964, 15, № 4, 337—357 — РЖМех, 1965,
4B172.
2.141. Martinek J., Yeh Gordon С. К. Sound scattering and trans-
transmission by thin elastic rectangular plates. Quart. J. Mech. and Appl.
Math., 1955, 8, № 2, 179—190 —РЖМех, 1956, № 7, 4674
2.142. McCoy J. J., Mindlin R. D. Extensional waves along the edge
of an elastic plate. Paper. Amer. Soc. Mean. Engirs, 1962, № WA-79—
РЖМех, 1963, 10B216.
2.143. Me dick M. A. On classical plate theory and wave propagation.
Trans. ASME, 1961, E28, № 2, 223—228 — РЖМех, 1962, 6B104.
M e d ii с к М А., Р а о Y. - H. Extensicmal vibrations of thin rectangu-
2.144.
256
lar plates. J. Acoust. Soc. Amer., 1965, 37, № 1, 59—65 — РЖМех
1966, 3B101.
2.145. Medwadowski S. J. A refined theory of elastic, orthotropic pla-
plates. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs, 1958, № APM-16; J. Appl. Medh
1958, 25, № 4, 437—443 — РЖМех, 1960, № 5, 6337, 6338.
2.146. Miklowitz J. Discussion of the paper: «The wave method for
solving flexural vibration problems» by Jones F. P. N. J Appl
Mech., 1957, 21, № 4, 414—415 —РЖМех, 1959, № 10, 12281.
2.147. M i к 1 о w i t z J. Plane-stress unloading waves emanating from a
suddenly punched hole in a stetched elastic plate. Paper Amer. Soc.
Mech. Engrs, 1959, № A-46 — РЖМех, 1961, 6B98.
2.148. Miklowitz J. Flexural stress waves in an infinite elastic plate
due to a suddenly applied concentrated transverse load. Trans.
ASME, 1960, E27, № 4, 681—689 —РЖМех, 1961, 10B100.
2.149. Miklowitz J. Transient wave propagation in elastic rods and
plates. J. Geophys. Res., 1963, 68, №4, 1190—1192 —РЖМех, 1963,
11B158
2Л50. Mindlin R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural
motions of isotropic, elastic plates. J. Appl. Mech., 1951, 18 № 1,
31—38.
2.151. Mindlin R. D. Thickness-shear and flexural vibTations of crystal
plates. J. Appl. Phys., 1951, 22, № 3, 316—323.
2.152. M in d 1 in R. D. Forced thickness-shear and flexural vibrations of
piezoelectric crystal plates. J. Appl. Phys., 1952, 23, № 1, 83—88.
2.153. Mindlin R. D., Forray M. Thickness-shear flexural vibrations of
contoured crystal plates. J. Appl. Phys, 1954, 25, № 1, Ii2—20—
РЖМех, 1959, № 10, 12277.
2.154. M i nd 1 i n R. D., Deresiewicz H. Thickness-shear vibrations of
piezoelectric crystal plates with incomplete electrodes. J. Appl Phys.,
1954, 25, № 1, 21—24.
2.155. M i nd 1 i n R. D., Deresiewicz H. Suppression of overtones of
thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates. J. Appl.
Phys., 1954, 25, № 1, 25—27.
2.156. Min d li n R. D., Deresiewicz H. Thickness-shear and flexural
vibrations of a circular disk. J. Appl. Phys., 1954, 25, № 10, 1329—
1332—РЖМех, 1955, № 110, 5686.
2.157. M i n d 1 i n R. D., Deresiewicz H. Thickness-shear and flexural
vibrations of rectangular crystal plates. J. Appl. Phys., 1955, 26,
№,12, 1435—1442—РЖМех, 1957, № 4, 4670.
2.158. Mindlin R. D., Schacknow A., Deresiewicz H. Flexural
vibrations of rectangular plates. Paper Amer. Soc Mech Engrs 1955,
№ A-78; J. Appl. Mech., 1956, 23, № 3, 430—436—РЖМех, 1958, № 8,
9087; 9088.
2.159. Mindlin R. D. Simple modes of vibration of crystails. J. Appl.
Phys., 1956, 27, № 12, 1462—1466—РЖМех, 1958, № 4, 4505.
2.160. Mindlin R. D. Vibrations df an infinite, elastic plate at its cut-off
frequencies. Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mechanics, Providence,
Rhode bland, 1958. New York, N. Y., 1958, 225—226—РЖМех, 1961,
12B188.
2.161. Mindlin R. D., Me die к М. A. Extensional vibrations of elastic
plates. Paper Amer. Soc. Mech Engrs, 1959, № APM-4; Trans. ASME,
1959, E26, № 4, 561—569— РЖМех, 1961, 1B138; IBI39.
2.162. Mindlin R. D. Waves and vibrations in isatiropnc, elastic plates.
Struct. Mech., Oxford—London—New York—Paris, Pergamon Press,
1960, 199—232—РЖМех, 1961, '1SL23.
2.163. Mindlin R. D. High frequency vibrations of crystal plates. Quart.
Appl. Math., 1961, 19, № il, 51—61—РЖМех, 1963, 3B152.
2.164. Mindlin R. D., Gazis D. С Strong resonances of rectangular
AT—cut quartz plates. Proc. 4th U. S. Nat. Congr. Appl. Mech. Ber-
17—2798
257

keley, Calif., 1962, Vol. 1. Oxford—London—New York—Paris, Per-
gamom Press, 1962, 305—310—РЖМех, '1(964, 7Ы61.
. Mind lin R. D. High frequency vibrations of plated, crystal plates.
Progr. Appl. Mech , New York, McMillan Co.; London, Collier McMil-
McMillan Ltd, 1963, 73—84—РЖМех, 1965, 8B202.
. Mind lin R. D., Lee P. С Y. Thickness-shear and flexural vibrati-
vibrations of partially plated, crystal plates. Internal J. Solids and Struct.,
1966, 2, № 1, 125—139.
. Mind lin R. D., Spencer W. J. Anharmonic, thickness-twist over-
overtones of thickness-shear and flexural vibrations of rectangular, AT-
cut quartz plates. J. Acoust. Soc. Amer., 1967, 42, № 6, 1268—1277.
Mitra M. Propagation of elastic waves in an infinite plate of cylin-
dricaMy aelotropic material. Z. angew. Math, und Phys., 1959, 10,
№ 6, 579—583— РЖМех, 1960, № .10,113553.
Mori D Lateral impact on an infinite plate. Proc. 4th Japan Nat.
Congr. Appl. Mech., 1954. Tokyo, 1955, 361—364—РЖМех, I960, № 8,
10670.
Narasimhamurthy P. The effect of transverse shear deformati-
deformation and rotatory inertia in wave propagation and vibration of thin
elastic plates. Proc. 3rd Congr. Theor. Appl. Mech., India, 1957.
Nariboli G. A., Tsai Y. M. Asymptotic nature of extensional wa-
waves in an infinite elastic plate. J. Acoust. Soc. Amer., 1970, 47, № 3,
Part 2, 857—861—РЖМех, 1970, 10B188.
Nigul U. On the application of methods of three-dimensional ana-
analysis to problems of propagation of transient plane bending waves in
elastic plates. I. Bull. Acad. polon. sci. techn., 1968, 16, № 8, 647—
652—РЖМех, '1969, 5B180.
. N i g u 1 U Regions of effective application of the methods of three-
dimensional and two-dimensional analysis of transient stress waves
in shells and plates. Internal J. Solids and Struct., 1969, 5, № 6,
607—627—РЖМех, 1970, 2B274.
Niklas L. Plattenwellen. Materialprufung, 1962, 4, № 1, 12—20—
РЖМех, 1962, 10ВЫЗ.
Olsson R. G. Transversale Wellen in Stab-en und Platten unter stos-
sfarmiger Belastung. О si err. Ingir-Arcih., 1958, 12, № 1—2, 93—95.
Pfeiffer F. Elastokinetik. Handbuch der Physik. Band VI: Mecha-
nik der elastischen Кбгрег. Berlin, Verlag von J. Springer, 1928,
309—403; Пфейффер П. Колебания упругих тел Л.—М., Гостех-
издат, 1934
Poisson S. D. Memoire sur l'equilibre et le mouvement des corps
elastiques. Mem. Acad. Roy. Sci., '1829, 8, 357—570.
P о p e G G. A buckling behaviour in axial compression of stigMiy-
ou/rved paniefe, iiinsJuding the effect of shear defonmabiility. Internal.
J. Solids and Struct., 1968, 4, № 3, 323—340—РЖМех, 1968, 11B221.
Pursey H. The launching and propagation of elastic waves in pla-
plates. Quart. J. Mech. and Appl. Math., '1957, 10, № 1, 45—62—РЖМех,
1957, № 8, 9363.
2.180. P у t e 1 A., Davids N. Further transient analysis of stress wave pro-
propagation in plates. Proc. 4th Midwest. Conf. Solid Mech., Austin, Te-
Texas, 1959, S. 1, s. a., 358—381—РЖМех, 1962, 1B86.
2.181. Ra der D. The propagation of extensional cylindrical pulses in elastic
plates. J. Mech. and Phys. Solids, 1969, 17, № 2, 91—109—РЖМех,
1969, 8B216.
2.182. Ray lei gh J. W. On the free vibrations of an infinite plate of ho-
homogeneous isotropic elastic matter. Proc. London Math. Soc, 1888—
1889, 20, № 357, 225—234.
2.183. Reismann H. Forced motion of elastic plates. Trans. ASME, 1968,
E35, № 3, 510—515—РЖМех, 1969, 4B321.
258
2.165
2 166
2.167,
2.168.
2.169.
2.170.
2.171.
2.172.
2.173.
2.174.
2.175
2.176.
2.177.
2.178.
2.179.
2.184. Reissner E. On the theory or" bending of elastic plates. J. Math,
and Phys., 1944, 23, № 4, 184—191'.
2.185. 'Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the ben-
bending af elastic plates. J. Appl. Mech , 1945, 12, № 2, A-69—A-77.
2.186. Reissner E On bending of elastic plates. Quart. Appl. Math.,
1947, 5, № 1, 55—68.
2.187. Reissner E. On axi-symmetrical vibrations of circular plates of
uniform thickness, including the effects of transverse shear deforma-
deformation and rotatory inertia. J. Acoust. Soc. Amer., 1954, 26, № 2, 252—
253—РЖМех, 1956, № 5, 3111.
2.188. Rosenfeld R. L., Miklowitz J. Wave fronts in elastic rods and
plates. Proc. 4th U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., Berkeley. Calif., 1962.
Vol. il. Oxford—London—New York—Paris, Pergamon Press, 1962,
293—303—РЖМех, 1964, IB 132.
2.189. Schlottmann D. Die Eigenfrequenzen der frei gelagerten Rechteck-
platte bei Beriicksichtigung der Schubverformung. Bautechnik, 1967,
44, № 7, 246—248—РЖМех, '1968, 3B157.
2.190. Schlottmann D. Dber eine Naherungsmethode zur Berechnung
von Eigenschwingungen platten-und scheibenartiger Balken sowie
dicker Platten bei Berucksichtigung der Schubverformung. Schiffbau-
forschung, 1969, № 1—2, 22—27—РЖМех, 1970, 1B216.
2.191. Shaw E. A. G. On the resonant vita tiaras of thick barium titianate
disks. J. Acoust. Soc. Amer., 1956, 28, № 1, 38—50.
2.192. Sherwood J. W. С Propagation in an infinite elastic plate. J. Aco-
Acoust. Soc. Amer., 1958, 30, № .10, 979—984—РЖМех, 1961, 10B104.
2.193. Shin go T. The wave velocities of -transverse vibrations of rectan-
rectangular thin plates, considering Rayleigh's rotatory moment of inertia
and Timoshenko's effect of shear. Добоку гаккай ромбунсю, Trans.
Japan Soc. Civil Engrs, 1954, № 19, 8—11—РЖМех, 1955, № 6. 3219.
2.194. SkudTzyk J., Kautz B. R., Greene D. С Vibration of, and
bend|iing-wa<ve propagation in plates. J. Aooust. Sioc. Ameir., 1961, 33,
№ 1, 36—45—РЖМех, 1961, 12B164.
2.105. S ri n i v a s S., J og a Rao С V., Rao A. K. An exact analysis for
vibration of simply-supported -homogeneous and laminated thick re-
rectangular plates. J. Sound and Vibr., 1970, 12, № 2, 187—199—
РЖМех, 1970, 12B266.
2.196. S r i n i v a s S., Rao A. K- Bending, vibration and buckling of simply
supported thick orthotropic rectangular plates and laminates. Int. J.
Solids and Struct., 1970, 6, № 11, 1463—1481—РЖМех, 1971, 3B401.
2.197. T a s i J. An asymptotic analysis of the end mode in a circular disk.
J. Acoust. Soc. Amer., 1971, 50, № 5, Part 2, 1384—1386—РЖМех,
,1972, 4B3O3.
2.198. Thomas D. A. Mechanical impedances for thin plates. J. Acoust.
Soc. Amer., 1960, 32, № Ю, 1302—1304—РЖМех, 1961, 8B119.
2.199. Thorkildsen R. L., Hoppmann W. H. Effect of rotatory iner-
inertia on the frequencies of vibration of stiffened plates. Trans. ASME,
1959, E26, № 2, 298-300—РЖМех, I960, № 6, 7821.
2.200. Tiersten H. F. Elastic surface waves guided by thin films. J. Appl.
Phys., 1969, 40, № 2, 770—789—РЖМех, 1969, 12B188.
2.201. Tif fen R. An investigation of the transverse displacement equation
of elastic plate theory. Quart. J. Meeh. and Appl. Main., 1961, 14,
№ 1, 59—74—РЖМех, 1961, 11B12.
2.202. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates; low
and high mode dispersion. J. Aooust. Soc. Amer., 1957, 29, № 1, 37—
42—РЖМех, 1961, 3B82.
2.203. Tomar J. S. Flexural vibrations of isotropic elastic plates. Proc.
Nat. Inst. Sci. India, 1963, A28, № 6, 872—880—РЖМех, 1964, 4B149.
2.204. Tomar J. S. On flexural vibrations of isotropic elastic thin square
plates according to Mindlin's theory. Proc. Nat. Inst. Sci. India, 1963,
A29, № 2, 169—179 —РЖМех, 1964, 8B232.
17*
259

2.205.
2.206.
2.207.
2.208.
2.209.
2.210.
2.211.
2.212.
2.213.
2.214.
2.215.
2.216.
23П.
2.218.
2.219.
2.220.
2.221.
2.222.
2.223.
2.224.
2.225.
260
Tom a r J. S. On flexural vibrations of isotropic elastic thin circular
plates according to Mindlin's theory. Proc. Nat. Inst. Sci. India 1963
A29, № 5, 552—560 — РЖМех, 1965, 7B121.
Tarvik P. J., McClatchey J. J. Response of an elastic plate to
a cyclic longitudinal force. J. Acoust. Soc. Amer., 1968, 44 № 1 59—
64 — РЖМех, 1969, 1B371.
U h r i g R. On a finite approach of kinetic beam and plate problems.
Rev. franc, mec, 1965, № 15, 87—95—РЖМех, 1967, 1B160.
Volterra E., Zachmanoglou E. C. On longitudinal waves in
<am elastic plate. J. Engng Me*. Div. Proc. Amer Soc. Oivil Engirs
1959, 85, № 1, Part 1, 33—49 —РЖМех, 1961, 1B122.
Volterra E. Influenza del taglio nella dinamica e nella statica delle
piastre sottili. Atti Accad. naz. Lincei. Rend. Cl. sci. fis. mat e natur
1960, 29, № 1—2, 33—37 —РЖМех, 1961, 12B163.
Volterra E. Influenza del taglio nella dinamica e nella statica delle
piastre sottili. Nota 1. Atti. Accad. naz. Lincei. Rend. Cl sci. fis., mat.
e natur., 1960, 28, № 6, 794—801 — РЖМех, 1961, 12В'18б.
Volterra E. Vibrations of circular elastic rings. Israel J. Techiral.,
1967, 5, № 4, 225—233 — РЖМех, 1968, 8B301.
Wallisch W. Einfluss der Schubverzerrung auf die Eigenschwin-
gungen von Platten. Z. angew. Math, und Mech., 1956, 36, № 7—8,
291—293 —РЖМех, 1959, № 1, 783.
Walter W. W., Anderson G. L. Wave propagation in an infinite
elastic plate in contact with an inviscid liquid layer. J. Acoust. Soc.
Amer., 1970, 47, № 5, Part 2, 1398—1407—РЖМех, 1970, 11B362.
Westbrook D. R. Symbolic approach to dynamical problems in pla-
plates. J. Acoust. Soc. Amer., 1968, 44, № 4, 1083—1092—РЖМех, 1969,
3B281.
W i d e г а О. Е. An asymptotic theory for the motion of elastic plates.
Acta mech., 1970, 9, № 1, № 1—2, 64—66 — РЖМех, 1970, 12B278.
Will к in son J. P. D. Comments on the paper: «Flexural vibration of
a circular ring when transverse shear and rotatory inertia are conside-
considered» by Bakshi J. S. and GalJatam W. R. J. Aooosl Soc. Amei.,
1967, 41, № 2, 523—524 — РЖМех, 1967, 11B220.
WuCehng-Ih, VinsonJ. R. Influences of large amplitudes, trans-
transverse shear deformation, and rotatory inertia on lateral vibrations of
transversely isotropic plates. Trans. ASME, 1969, E36, № 2, 254—260 —
РЖМех, 1970, 3B252.
Wu С I., VinsonJ, R. The natural vibrations of plates composed of
composite materials. Fibre Sci. and Technol., 1969. 2, № 2, 97—
109 —РЖМех, 1970, 7B245.
Wu С I., VinsonJ. R. Free vibrations of plates and beams of pyro-
lytic graphite type materials. AIAA Journal, 1970, 8, № 2, 246—251 —
РЖМех, 1970, 11B279.
Yen D. H. Y., Chou С. С Response of a plate supported by a fluid
half space to a moving pressure. Trans. ASME, 4970, E37, № 4, 1050—
Ю54 — РЖМех, 1971, 6B522.
Yen D H Y. T a n g S. С On the vibration of an elastic plate on an
elastic foundation. J. Sound and Vibr., 1971, 14, № 1, 81—89 —
РЖМех, 1971, 9B232.
Yil di z A. On the damping of a multilayer plate. J. Acoust. Soc.
Amer., 1962, 34, № 3, 353-354 — РЖМех, 1964, 3B125.
Yu Y. - Y. A new theory of elastic sandwich plates — one-dimensional
case Paper Amer. Soc. Mech. Emigre, 1959, № APM-23; J. Appl. Mech.,
1959, E26, 415—421 — РЖМех, 1961, 3B66.
Y u Y - Y Simple thickness-shear modes of vibration of infinite sand-
sandwich plates. Trans. ASME, 1959, E26, № 4, 679-681 — РЖМех, 1961,
6B1H6.
Y u Y - Y Simplified vibration analysis of elastic sandwich plates. J.
Aero/Space Sci., 1960, 27, № 12, 894—900 — РЖМех, 1961, 12B184.
2.226. Y u Y. - Y. Forced flexural vibrations of sandwich plates in plane strain.
J. Appl. Mech., 1960, E27, № 3, 535—540.
2.227. Y u Y. - Y. Flexural vibrations of elastic sandwich plates. J. Aero/Spa-
Aero/Space Sci., I960, 27, № 4, 272—282, 290 —РЖМех, 1962, 9B153.
2.228. Yu Y. - Y. Nonlinear flexural vibrations of sandwich plates. J. Acoust.
Soc. Amer., 1962, 34, № 9, Part 1, 1176—1183 — РЖМех, 1963, 8B118.
2.229. Yu Y. - Y. Damping of flexural vibrations of sandwich plates. J. Ae-
Aero/Space Sci., 1962, 29, № 7, 790—803 — РЖМех, 1963, 10B258.
2.230. Yu Y. - Y. Generalized Hamilton's principle and variational equation of
motion in nonlinear elasticity theory, with application to plate theory.
J. Acoust. Soc. Amer., 1964, 36, № 1, 111—120 —РЖМех, 1964, 10B4.
2.231. Yu Y.-Y., Lai J.-L. Influence of transverse shear and edge condition
on nonlinear vibration and dynamic buckling of homogeneous and
sandwich plates. Trans. ASME, 1966, E33, № 4, 934—936 — РЖМех,
1967, 11B199.
2.232. Z о r s к i H., Lyons W. С Dynamics of thermoelastic plates. Arch,
mech. stosowanej, 1965, 17, № 3, 497—516 — РЖМех, 1967, 2B174.
3. ОБОЛОЧКИ
^ 3.1. Айнола Л. Я., Ни гул У. Волновые процессы деформации упру-
упругих плит и оболочек. Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-матем. и техн. н.,
1965, 14, № 1, 3—63—РЖМех, ,1966, 2В131.
3.2. Айнола Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих
оболочек. Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-матем. и техн. н., 1965, 14,
№ 3, 337—344—РЖМех, 1966, 5В193.
3.3. Айнола Л. Я. Вариационные принципы и теоремы взаимности для
динамических задач теории оболочек. Тр. VI Всес. конференции по
теории оболочек и пластинок, 1966. М., «Наука», 1966, 9—13 —
РЖМех, 1968, 1В176.
3.4. Айнола Л. Я. Вариационные принципы динамики теории оболо-
оболочек. Докл. АН СССР, 1967, 172, № 6, 1296—1298—РЖМех, 1967,
7В155.
3.5. Айнола Л. Я- Уравнения теории типа Тимошенко упругих оболо-
оболочек в усилиях и моментах. Изв. АН ЭстССР. Физ., матем., 1967, 16,
№ 4, 463—465— РЖМех, 1968, 7В227.
3.6. Айнола Л. Я. Вариационные методы для нелинейных уравнений
движения оболочек. Прикл. матем. и механ., 1968, 32, № 1, 154—
158—РЖМех, 1968, 9В281.
3.7. Айнола Л. Я К вариационным принципам динамической теории
оболочек. Изв. АН ЭстССР. Физ., матем., 1968, 17, № 3, 283—289 —
РЖМех, 1969, 1ВЗЗЗ.
3.8. Алумяэ Н. А. О применимости метода расчленения напряженного
состояния при решении осесимметричных задач динамики замкнутой
цилиндрической оболочки. Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-магем. и
техн. н., 1961, 10, № 3, 171—181—РЖМех, 1963, 9В125.
3.9. Алумяэ Н. А., Поверус Л. Переходный процесс упругой де-
деформации в замкнутой кругоцилиндрической оболочке при неосесим-
метрической краевой нагрузке. Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-матем.
и техн. н., 1963, 12, № 1, 13—23—РЖМех, 1964, 4В142.
3J0. Алумяэ Н. А. Разрывы в ускорениях упругой сферической обо-
оболочки, создаваемых плоской волной давления. Тр. VI Всес. конфе-
конференции по теории оболочек и пластинок, 1966. М., Наука, 1966, 44—
47—РЖМех, 1967, 9В177.
3.11. Ам б а р цу м я н С. А. К общей теории анизотропных оболочек.
Прикл. матем и механ., 1958, 22, № 2, 226—237—РЖМех, 1959, № 4,
4144.
3.12 Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М., Физмат-
' гиз, 1961—РЖМех, 1962, 9В89К-
3.13. Амбарцумян С. А.. Гнуни В. Ц. О вынужденных колебаниях
261

и динамической устойчивости трехслойных ортотропных пластинок.
Изд. АН СССР. Отд. техн. н. Мех. и машиностр., 1961, № 3, 117—
123—РЖМех, 1962, 5В153.
3.14. Бабич Д. В. Основные уравнения движения оболочки с учетом не-
несимметричности тензора напряжений. Прикл. механика, 1966, 2,
№ 12, 41—48—РЖМех, 1967, 5В213.
3.15. Багдасарян Г. Е. Устойчивость анизотропной слоистой цилинд-
цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа. Айкакан ССР Ти-
тутюннери Академиа. Зекуйцнер. Докл. АН АрмССР, 1964, 39, № 5,
271—278—РЖМех, 1965, 10Б207.
3.16. Болотин В. В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек.
Прнкл. матем. и механ., 1960, 24, № 5, 831—842—РЖМех, 1962,
8В139; поправка к этой статье: Прикл. матем. и механ., 1962, 26,
№ 2, 392—РЖМех, 1963, 7В129.
3.17. Борисенко В. И. Об устойчивости цилиндрической оболочки при
продольном ударе. Прикл. механика, 1965, 1, № 5, 100—104—РЖМех,
1965, 1ЙВ132.
3.18. Борисенко В. И., Клокова А. И. Закритическая деформация
цилиндрической оболочки .при ударе. Прикл. механика, 1966,2, № 10,
29—3.5—РЖМех, 1967, 4В177.
3.19. Векслер Н. Д. К расчету сферической оболочки на динамичес-
динамическую нагрузку. ENSV Teajd. Akad. toiirneitiised. Fuuis.-miaite'm. ja tehn.
seer., Изв. АН ЭстССР. Сер. фнз.-матем. и техн. н., 1965, 14, № 4,
559—563—РЖМех, 1966, 12В115.
3.20. Векслер Н. Д., Н и г у л У. К- К теории волновых процессов прн
осеснмметричной деформации сферической оболочки. Инженерный ж.
Механ. тверд, тела, 1966, № 1, 74—80—РЖМех, 1966, 9В163.
3.21. Векслер Н. Д. Исследование фронтовых разрывов при осесиммет-
ричной деформации оболочек вращения и круглой плиты. Всес. снм-
поз. Переходные процессы деформации оболочек и пластин, Тарту,
1967. Таллин, 1967, 41—49.
3.22. Векслер Н. Д. Осесимметричные нестационарные процессы дефор-
деформации оболочек 'вращения. Изв. АН ЭстССР. физ.-матем., 1968, 17,
№ 1, 34—40—РЖМех, 1969, 1В356.
3.23. Векслер Н. Д. Распространение упругих волн в оболочках враще-
вращения прн осесимметричной деформации. Изв. АН СССР. Механ. тверд,
тела, 1971, № 3, 163—166 —РЖМех, 1971, 10В55.
3.24. Век у а И. Н. Об одном методе расчета призматических оболочек.
Тр. Тбнлнсск. матем. ин-та, 1955, 21, 191—259 —РЖМех, 1956, № 10,
6857.
3.26. Вольмир А. С, Герштейн М. С. Динамические и статические
задачи теории деформируемых оболочек кровеносной системы. Прикл.
механика, 1969, 5, № 1, 3—10 —РЖМех, 1969, 6В179.
3.26. В о р о в и ч И. И., Ш л е и е в М. А. Пластины н оболочки. В сб. Ме-
Механика. Упругость н пластичность. 1963. (Итоги науки. ВИНИТИ
АН СССР.) М„ 1965, 91—176.
3.27. ВоровичИ. И. Некоторые математические вопросы теории пластин
и оболочек. Тр. II Всес. съезда по теор. и прикл. механ., 1964. Обз.
докл. Вып. 3. М., «Наука», 1966, 116—136 —РЖМех, 1967, 4В73.
3.28. Вылекжанин В. Д. О мембранной аналогии в задачах свободных
колебаний пологих сферических оболочек и устойчивости пластин.
В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 6—7. Казань,
Казан, ун-т, 1970, 538—546 — РЖМех, 11971, 4В178.
3.29. Галин М. П. Распространение упруго-пластических волн изгиба и
сдвига прн осесимметричных деформациях оболочек вращения. Ин-
Инженерный сб., 1961, 31, 135—170 —РЖМех, 1962, 2В291.
3.30. ГалиньшА. К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям.
В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. Вып. 6—7. Казань, Ка-
Казан, ун-т, 1970, 23—64 —РЖМех, 1971, 4В127.
262
-3.31. Галиньш А. К. Уравнения движения пологой ортотропной сфери-
сферической оболочки средней толщины. В сб. Исслед. по теории пластин
н оболочек. Вып. 6—7. Казань, Казан, ун-т, 1970, 572—581 — РЖМех,
1971.3В261.
3.32. Гольденвейзер А. Л. Развитие теории упругих тонких оболочек.
Тр. Всес. съезда по теор. и прнкл. механ., 1960. М.—Л , АН СССР,
1962, 339—357 — РЖМех, 1963, 7В40.
3.33. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории оболо-
оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории
упругости. Прикл. матем. и механ., 1963, 27, № 4, 593—608 — РЖМех
1964, 5В62.
3.34. Гольденвейзер А. Л. О погрешностях классической линейной
теории оболочек и возможностях ее уточнения. Прикл матем и ме-
механ., 1965, 29, № 4, 701—715 — РЖМех, 1966, 4В49.
3.35. Гольденвейзер А. Л. Методы обоснования и уточнения теории
оболочек. (Обзор последних работ.) Прнкл. матем. и мехаи, 1968,
32, № 4, 684—695 — РЖМех, 1969, 5В61.
3.36. Гольденвейзер А. Л. О двумерных уравнениях общей линейной
теории тонких упругих оболочек. В сб. Пробл. гидродннам. н механ.
оплошной среды. М., «Наука», 1969, 161—175 —РЖМех, 1969, 12В85.
3.37. Гольденвейзер А. Л. Некоторые вопросы общей линейной тео-
теории оболочек. Тр. VII Всес. конференции по теории оболочек и плас-
пластинок, 1969. М., «Наука», 1970, 749—754 — РЖМех, 1971, 2В164.
3.38. Г р и г о л ю к Э. И. Уравнения трехслойных оболочек с легким запол-
заполнителем. Изв. АН СССР. Отд. техн. н„ 1957, № 1, 77—84 —РЖМех,
1957, № 11, 13032.
3.39. Даревский В. М. Об основных соотношениях теории тонких обо-
оболочек. Прикл. матем. и механ., 1961, 25, № 3, 519—535 — РЖМех,
1962, 8В67.
3.40. Кильчевский Н. А. Обобщение современной теории оболочек.
Прикл. матем. и механ., 1939, 2, № 4, 427—438.
3.41. К. i л ь ч е в с ь к и й М. О. Основш р!вняння р!вноваги пружних обо-
лонок * деяк! методи 5х 'штегрування. В зб. праць гн-ту матем.
АН УРСР. Вип. 4. КИ1В, АН УРСР, 1940, 83—148; Вип. 5. КиТв,
АН УРСР, 1940, 73—97; Вип. 6. Ки1в, АН УРСР, 1941, 51—104.
3.42. Кнльчевский Н. А. Анализ различных методов приведения трех-
трехмерных задач теории упругости к двумерным и исследование поста-
постановки краевых задач теории оболочек. В сб. Теория пластин и оболо-
оболочек. Киев, АН УССР, 1962, 58—69 — РЖМех, 1964, 1В39.
3 43. Кильчевский Н. А Основы аналитической механики оболочек.
Т. I. Киев, АН УССР, 1963—РЖМех, 1964, 7В95К.
3.44. КнльчевскнйН. А., Ремизова Н. И., ИздебскаяГ. А.
Развитие механики оболочек на Украине за годы Советской власти.
Прикл. механика, 1967, 3, № 10, 65—76 — РЖМех, 1968, ЗВ65.
3.45. Кильчевскнй Н. А. Теория нестационарных динамических про-
процессов в оболочках. Прикл. механика, 1968, 4, № 8, 1—18 —РЖМех,
19Й9, 1В334.
3.46. Корнев В. М. О формах потери устойчивости упругих оболочек
прн интенсивном нагружении. Изв. АН СССР. Механ. тверд, тела,
1969, № 2, 129—135 —РЖМех, 1969, 8В251.
3.47. Кутсер М. Э., Ни гул У. К. Метод анализа фронтовых разрывов,
возбуждаемых волной давления в мембранах и оболочках. Прикл.
матем. и механ., 1969, 33, № 4, 609—621 — РЖМех, 1970, 2В257.
3.46. Кутсер М. Э. Влияние акустической среды на интенсивность фрон-
фронтовых разрывов упругих волн, возбужденных волной давления в обо-
оболочках вращения. Изв. АН ЭстССР. Физ., мат., 1970, 19, № 3, 374—
376 —РЖМех, 1971, ЗВ113.
3.49. Кутсер М. Э., Ни гул У. К. О фронтовых разрывах, возбужден-
возбужденных волной давления в оболочках. Тр. VII Всес. конференции по
263

М., «Наука», 1970, 340—345
3.50.
3.50а
3.506
3.50в.
3.51.
3.52.
3.53.
3.54.
3.55.
3.56.
3.57.
3.58.
3.59.
3.60.
3.61.
3.62.
3.63.
3.64.
264
теории оболочек и пластинок, 1969.
РЖМех, 1971, 1В232.
Лахе А., По вер ус Л. Исследование условий распространения
разрывов осесимметричной нелинейной деформации цилиндрической
оболочки. Изв. АН ЭстССР. Физ., матем., 1970, 19, № 4, 423—427 —
РЖМех, 1971, 6В110.
Л я м ш е в Л. М. Дифракция звука на упругой цилиндрической
оболочке. Докл. АН СССР, 1957, 115, № 2, 271—273.
Лямшев Л. М. Дифракция звука на безграничной тонкой упру-
упругой цилиндрической оболочке. Акуст. ж., 1958, 4, № 2, 161—167 —
РЖМех, 1959, № 12, 13158.
Лямшев Л. М. Отражение звука цилиндрической оболочкой в
движущейся среде. Акуст. ж., 1963, 9, № 3, 329—335.
Лямшев Л. М. Рассеяние звука цилиндрической оболочкой в
движущейся среде. Докл. АН СССР, 1963, 152, № 6, 1339—1341 —
РЖМех, 1964, 2Б120.
Метсавээр Я. А. О применении теории оболочек в задачах рас-
рассеяния акустических волн от сферических оболочек в жидкой среде.
Тр. VII Всес. конференции по теории оболочек и пластинок, 1969.
М., «Наука», 1970, 421—424 —РЖМех, 1971, 1В381.
М у ш т а р и X. М Об области применимости приближенной теории
оболочек Кирхгофа—Лява. Прикл. матем. и механ., 1947, 11, № 5,.
517—520.
Ни гул У. К- Линейные уравнения динамики упругой круговой
цилиндрической оболочки, свободные от гипотез. Тр. Таллинск. по-
литехн. ин-та, 1960, А, № 176 —РЖМех, 1961, 11В128.
Ни гул У. К. Асимптотическая теория статики и динамики упругих
круговых цилиндрических оболочек. Прикл. матем. и механ., 1962,
26, № 5, 923—930 — РЖМех, 1963, 10В239.
Ни гул У. К. Асимптотическая теория статики и динамики упругих
круговых цилиндрических оболочек и анализ точности различных
вариантов теории Кирхгофа—Лява. В сб. Теория оболочек и пла-
пластин. Ереван, АН АрмССР, 1964, 738—742 — РЖМех, 1964, 10В53.
Ни гул У. К- О применимости приближенных теорий при переход-
ных процессах деформации круговых цилиндрических оболочек. Тр.
VI Всес. конференции по теории оболочек и пластинок,
«Наука», 1966, 593—599 — РЖМех, 1967, 8В180.
Н и г у л У. К. Предварительные результаты анализа переходного
процесса деформации сферической оболочки, подвергнутой воздей-
воздействию плоской волны давления. Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-матем.
и техн. н„ 11966, 15, № 1, 156—158 — РЖМех, 1968, 5В226.
Н и г у л У. К-, П е т е р с о н М. Алгоритм метода трехмерных сеток
для анализа динамических переходных процессов осесимметричной
деформации цилиндрической оболочки. Изв. АН ЭстССР. Сер. физ.-
матем. и техн. н., 1966, 15, № 1, 28—36 — РЖМех, 1966, 11В191.
Ни гул У. К. Сопоставление результатов анализа переходных вол-
волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и
приближенным теориям. Прикл. матем. и механ., 1969, 33, № 2,
308—322 — РЖМех, 1969, 12В211.
Ни гул У. К- Волновые процессы деформации оболочек и пластин.
Тр. VI Всес. конференции по теории оболочек и пластинок, 1969.
М„ «Наука», 1970, 846—883 — РЖМех, 1971, 2В260.
Новожилов В. В., Финкельштейн Р. М. О погрешности
гипотез Кирхгофа в теории оболочек. Прикл. матем. и механ., 1943,
7, № 5, 331—340.
Омецинская Е. Б. Распространение коротких волн в цилинд-
цилиндрической оболочке. Прикл. механика, 1970, 6, № 10, 60—65 —
РЖМех, 1971, ЗВ107.
Поверус Л. Ю. Исследование распространения упругих волн де-
3.65.
3.66.
3.67.
3.68.
3.69.
3.70.
3.71.
rf.72.
3.73.
3.74.
3J6.
3.76.
3.77.
3.78.
3.79.
3.80.
3.81.
3.82.
формации в цилиндрической оболочке вариационным методом. Тр.
Таллин, политехи, ин-та, 1970, А, № 297, 57—65 — РЖМех, 1971,
6В305.
Пучка Г. Н. Гидравлический удар в упругом цилиндрическом
трубопроводе. Всес. симпоз. Переходные процессы деформации обо-
оболочек и пластин, Тарту, 1967. Таллин, 1967, 105—112.
Саксонов С. Г. О распространении волн в цилиндрической обо-
оболочке. Прикл. механика, 1971, 7, № 1, 124—428 — РЖМех, 1971,
8В96.
Селезов И. Т. Исследование распространения упругих волн в-
плитах и оболочках. Тр. конференции по теории пластин и оболочек,
1960. Казань, 1961, 347—352 — РЖМех, 1962, 11В148.
Селезов И. Т. О волнах в цилиндрической оболочке. В сб. Тео-
Теория пластин и оболочек. Киев, АН УССР, 1962, 249—253 — РЖМех,
1963, 10В212.
Селезов I. Т. Дослщження хвильових процеав в цилшдричнш
оболонщ на ocuoBi узагальнено! теорп. Прикл. мехашка, 1963, 9,
№ 5, 480—486 — РЖМех, 1964, 5В147.
Селезов И. Т., Никулинская С. Н. Обобщение задачи о-
гидравлическом ударе в упругом трубопроводе. В сб. Теория обо-
оболочек и пластин. Ереван, АН АрмССР, 1964, 871—876 — РЖМех,
1964, '11Б192.
Селезов И. Т. О распространении малых возмущений в упругой
цилиндрической оболочке, наполненной жидкостью. Прикл. механика,
1965, 1, № 3, 10—16 —РЖМех, 1965, 11Б247.
Тюмаиок А. Неустановившееся осесимметричное колебание ци-
цилиндрической оболочки, возбуждаемое подвижной нагрузкой. Изв.
АН ЭстССР. Сер. физ.-матем. и техн. н., 1965, 14, № з, 414—422 —
РЖМех, 1967, 1В139.
Филиппов А. П., Я н ю т и н Е. Г. Определение начальной реакции
конической оболочки на импульсивную нагрузку. Прикл. механика,
1971,7, № 8, 111—114 —РЖМех, 1971, 12В254.
Якушев Н. 3. Колебания цилиндрической оболочки средней тол-
толщины. В сб. Исслед. по теории пластин и оболочек. № 3. Казань, Ка-
занск. ун-т, 1965, 173—180 —РЖМех, 1966, 6В169.
Advani S. H., Lee Y. С. Free vibrations of fluid—filled spherical
shells. J. Sound and Vibr., 1970, 12, № 4, 453—462 — РЖМех, 1971,
2B432.
Bacon M. D., Bert С h. W. Unsymmetric free vibrations of ortho-
tropic sandwich shells of revolution. AIAA Journal, 1967, 5, № 3, 413—
417 —РЖМех, 1967, 11В190-
Baker E. H., Herrmann G. Vibrations of orthotropic cylindrical
sandwich shells under initial stress. AIAA Journal, 1966, 4, № 6,
1063—1070 —РЖМех, 1967, 4B179.
В i r d J. F, H a r t R. W, M с С 1 u r e F. Т. Vibrations of thick—walled
hollow cylinders: exact numerical solutions. J. Acoust. Soc. Amer., 1960,
32, № 11, 1404—1412^» РЖМех, 1962, 8B137.
Bird J. F. Vibrations of thick—walled hollow cylinders: approximate
theory. J. Acoust. Soc. Amer, 1960, 32, № 11, 1413—'1419 — РЖМех,
1962, 8B138.
С h о u P. С h, Mortimer R. W. Axisymmetrical motions of nearly—
flat shells of revolution. AIAA/ASME 8th Struct., Struct. Dynam. and1
Mater. Conf, Palm Springs, Calif., 1967, New York, N. Y, Amer. Inst.
Aeronaut, and Astronaut., s. a., 695—705 — РЖМех, 1969, 1B335.
Chou P. Ch. Analysis of axisymmetrical motions of cylindrical shells-
by the method of characteristics. AIAA Journal, 1968, 6, № 8, 1492—
1497 —РЖМех, 1969, 4B308.
Cooper R. M., N a g h d i P. M. Propagation of nonaxially symmetric
waves in elastic cylindrical shells. J. Acoust. Soc. Amer, 1957, 29,
№ 12, 1365—1373 — РЖМех, 1958, № 11, 13052.
265

3.83
3.84
3.85
¦3.86.
3.87.
3.88.
3.89.
3.90.
3.91.
3.92.
3.93.
3.94.
3.95.
3.96.
3.97
398.
3.99.
3.100.
•3.101.
3.102.
3.103.
266
Draghicescu D. The dynamic bidimensional theory of elastic shells
by asymptotic integration of the elasticity equations. Rev. roumaine sci.
techn. Ser. mec. appl., 1969, 14, №6, 1355—1368 — РЖМех, 1970,
10B207.
. E p s t e i n P. S. On the theory of elastic vibrations in plates and shells.
J. Math, and Phys., 1942, 21, № 3, 198—209.
. Fliigge W. Die Stabilitat der Kreiszylinderschale. Ing.-Arch., 1932, 3,
№ 5, 463-506.
Forrestal M. J., Herrmann G. Response of a submerged cylin-
cylindrical shell to an axially propagating step wave. Paper. Amer. Soc.
Mech. Engrs, 1965, № APM-19; Trans ASME, 1965, E32, № 4, 788—
792 —РЖМех,'1966, 10B148; 10B149
Forrestal M. J., Sagartz M. J. Transient stresses at a clamped
support of an orthotropic, circular, cylindrical shell. AIAA Journal,
1970, 8, № 3, 577—579 — РЖМех, 1970, 11B271.
Garnet H., Kempner J. Axisymmetric free vibrations of conical
shells. Trans. ASME, 1964, E31, № 3, 458—466 — РЖМех, 1965, 4B148.
G a z i s D. С Exact analysis of the plane-strain vibrations of thick-wal-
thick-walled hollow cylinders. J. Acoust. Soc. Amer., 1958, 30, № 8, 786—794 —
РЖМех, 1960, № 3, 3747.
G a z i s D. С Three-dimensional investigation of the propagation of
waves in hollow circular cylinders. I. Analitical foundation. II. Nume-
Numerical results. J. Acoust. Soc. Amer., 1959, 31, № 5, 568—573; 573—578 —
РЖМех, 1960, № 4, 5073; 5074.
G a z i s D. C. Comments on «Vibrations of thick cylindrical shells».
J. Acoust. Soc. Amer, 1960, 32, № 5, 611—613 — РЖМех, 1962, 6B127.
Ghosh J. Longitudinal vibrations of a hollow cylinder. Bull. Calc.
Math. Soc, 1923—1924, 14, № 1, 31—40.
Green A. E., Zerna W. The equilibrium of thin elastic shells. Quart.
J. Mech. and Appl. Math., 1950, 3, № 4, 9—22.
Green A. E., Naghdi P. M. Some remarks on the linear theory of
shells. Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1965, 18, № 3, 257—276 —
РЖМех, 1966, 9B58.
Greenspon J. F. Flexunal vibrations of a thick wail led circular cy-
cylinders. Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mechanics, Providence, Rho-
Rhode Island, 1958, New York. N. Y, 1958, 163—173 — РЖМех, 1961,
12B'178.
. Greenspon J. F. Vibrations of thick cylindrical shells. J. Acoust.
Soc. Amer, 1959, 31, № 12, 1682—1683 — РЖМех, 1961, 7B139.
. Greenspon J. F. Flexural vibrations of a thick walled circular cy-
cylinder according to the exact theory of elasticity. JAS Rept, 1959,
№ 14; J. Aero/Space Sci, 1960, 27, № 1, 37—40—РЖМех, 1961,
12B179; 12B180.
Gre>einspon J. F. Vibrations of a ,thfck-watted cylindrical shell—
comparison of the exact theory with approximate theories. J. Acoust.
Soc. Amer, 1960, 32, № 5, 571— 578 — РЖМех, 1961, 6B112.
Gupta A. P. On free vibrations of spherical sandwich shells. In-
Indian J. Pure and Appl. Math, 1970, 1, № 4, 524—536 — РЖМех, 1971,
6B294.
H a b i p L. M, E b с i 0 g 1 u I. K- On the equations of motion of
shells in the reference state. Ingr-Arch, 1965, 34, № 1, 28—32 —
РЖМех, 1966, 2B153.
H a b i p L. M. Theory of elastic shells in the reference state. Ingr-
Arch, '1965, 34, № 4, 228—237 — РЖМех, 1966, 5B76.
Heimann J. H, Ко 1 sky H. The propagation of elastic waves
in thin cylindrical shells. J. Mech. and Phys. Solids, 1966, 14, № 3,
121—130 —РЖМех, 1967, 4B154.
Herrmann G, Mirsky I. Three—dimensional and shell—theory
analysis of axially symmetric motions of cylinders. Paper Amer. Soc.
Univ.
1971,
of the
№ 4
theo-
371—
cylindrical
№ 3, 486—
Me*. Engrs, 1956, № APM-32; J. Appl. Medh, 1956, 23, № 4, 563—
568 — РЖМех, 1957, № 8, 9367; 9368.
Herrmann G, Armenakas A. E. Dynamic behavior of cylind-
cylindrical shells under initial stress. Proc. 4th U. S. Nat. Congr. Appl.
Mech, Berkeley, Calif, 1962. Vol. 1. Oxford—London—New York-
Pans, Pergamon Press, 203—213 — РЖМех, 1964, 2B128.
Herrmann G, Baker E. H. Response of cylindrical sandwich
shells to moving-loads. Trans. ASME, 1967, E34, № 1 81—86 —
РЖМех, 1967, 11B198.
Hsu Teh-Mi n, Wang James Ting-Shun. A theory of
laminated cylindrical shells consisting of layers of orthotropic lami-
laminae. AIAA Journal, 1970, 8, № 12, 2141—2146 —РЖМех 1971
6B131.
Jain R. K- Axisymmetric vibrations of thick spherical «hells.
Roorkee Res. J, 1970, 12, № 1—2, Part 5, 17—30 —РЖМех
6B293.
Johnson M. W, R e i s s n e r E. On the foundations
ry of thin elastic shells. J. Math, and Phys, 1959, 37,
392-РЖМех, 1961, 1B52
Johnson D. E, Creif R. Dynamic response of a
shell: two numerical methods. AIAA Journal 1966, 4,
494 —РЖМех, 1966, 1UB188.
3.110. Johnson N. E. The impact of a spherical shell on an elastic sur-
surface. Doct. diss. Univ. South. Calif, 1967. Dissert. Abstrs, 1968, B28,
№ 8, 3314 —РЖМех, 1968, 11В260Д.
Johnson M. \V, W i d e г а О. Е. An asymptotic dynamic theory
for cylindrical shells. Stud. Appl. Math, 1969, 48, № 3, 205—226 —
РЖМех, 1970, 5B238.
Jones J. P, В h u t a P. G. Response of cylindrical shells to moving
loads. Trans. ASME, 1964, E31, № 1 105—111 — РЖМех, 1964,
10B145.
Jones J. P, Whittier J. S. Axially symmetric motions of a two-
layened Timoshenkobtype cylindrical shell. Trans. ASME, 1966, E33,
№ 4, 833-844 —РЖМех, 1967, 9B193.
3.114. Jones J. P., Whittier J. S. Effect of bond shear deformation on
the dynamics of a two-layered Timoshenko-type cylindrical shell. AlA\
Paper, 1968, № 354 — РЖМех, 1969, 1B350.
Jones J. P, Whittier J. S. Dynamics of a flexibly bonded two-
layered Timoshenko-type cylindrical shell. AIAA Journal, 1969, 7, №2,
244—250 —РЖМех, 1970, 3B239.
К a g a w a Y. Non-axially symmetric vibrations of sandwich cylindri-
cylindrical shells. J. Sound and Vihr, 1968, 7, № 1, 39—48 — РЖМех, 1968,
12B270.
3 117. К a 1 n i ns A. On vibrations of shallow spherical shells. J. Acoust.
Soc. Amer, 1961, 33, № 8, 1102—1107 ч РЖМех, 1963, 5B122.
3.118. Kennard E. H. The new approach to shell theory, circular cylin-
cylinders. J. Appl. Mech, 1953, 20, № 1, 33—40 —РЖМех, 1953, № 2,
802.
3.119. Ke n n a r d E. H. Cylindrical shells: energy, equilibrium, addenda
and erratum. J. Appl. Mech, 1955, 22, № 1, 111—'116.
3.120. Kennard E. H. Approximate energy and equilibrium equations for
cylindrical shells. J. Appl. Mech, 1956, 23, № 4, 645—646 — РЖМех,
1958, № 3, 3170.
Kennard E. H. A fresh test of the Epstein equations for cylinders.
Paper Amer. Soc. Mech. Engrs, 1958, № A-18; J. Appl. Mech, 1958,
25, № 4, 553—555 — РЖМех, 1961, 4B122; 4B123.
3.122. King W. W, Frederick D. Transient elastic waves in a fluid-
filled cylinder. J. Engng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs,
il968, 94, №. 5, 1215—il230 —РЖМех, 1969, 5B319.
267
3 104.
3 105.
3 106.
3 107.
3.108.
3.109.
3.111.
3112.
3.113.
3.115.
3.116.
3.121.

К о р 1 i к В. Axisymmetric vibrations of homogeneous and sandwich
«hallow spherical shells. Doct. diss. Polytechn. Inst. Brooklyn, 1966.
Dissert. Abstrs., 1966, B27, № 6, 1955 —РЖМех, 1968, 7В215Д.
Kornecki A. A note on beam-type vibrations of circular cylindri-
cylindrical shells. J. Sound and Vibr., 1971, 14, № 1, 1—6 —РЖМех, 1971,
6B302.
Kraus H., Kalnins A. Transient vibration of thin elastic shells.
J. Acoust. Soc. Amer., 1965 38, №6, 994—1002 — РЖМех, 1967,
5B273.
К га us s F. L'ber die Qriuodgteiahungen der ELastizitatetheoirie schwach
dieformierter Schalen. Math. Annalen, 1929, 101, № 1, 61—92.
Libreecu L. The elastokinetic problem in the theory of anisotropic
shells and plates. I. General theory of shells. Rev. roumaine sci.
techn. Ser. mec. appl., 1969, 14, №2, 249—261 — РЖМех, 1970,
2B279.
Lin T. C, Morgan G. W. A study of axisymmetric vibrations of
cylindrical shells as affected by rotatory inertia and transverse shear.
Paper Amer. Soc. Mech. Engrs, 1955, № A-59; J. Appl. Mech, 1956
23, № 2, 255-^261 —РЖМех, 1967, № 2, 2243; 1958, № 7, 7944
Longcope D. B. Motion of a rigid cylinder within a shell-core
structure. AIAA Journal, 1970, 8, №5, 967—968 — РЖМех, 1970,
12B253.
Martinez-Marquez A. General theory for thick shell analy-
analysis. J. Engng Mech. Div. Proc. Amer. Sqc. Civil Engrs, 1966, 92,
№ 6, 185—203 — РЖМех, 1967, 12B82.
McDonald D. A problem in the free vibration of stiffened cylind-
cylindrical shells. AIAA Journal, 1970 8, №2, 252—<258 — РЖМех, 1970,
12B254.
Mirsky I., Herrmann G. Nonaxially symmetric motions of cy-
cylindrical shells. J. Acoust Soc. Amer., 1957, 29, № 10, 1116-1123 —
РЖМех, 1959, № 3, 2958.
Mirsky I., Herrmann G. Nonaxially symmetric motions of cy-
cylindrical shells. J. Acoust. Soc. Amer., 1959, 31, № 2, 250—РЖМех,
1960, № HI, 15051.
Mirsky I., Herrmann G. Axially symmetric motions of thick
cylindrical shells. Paper Amer Sac. Mech. Engrs, 1967, № A-19: J.
Appl. Mech., 1958, 25, № 1, 97—102 — РЖМех, 1959, № 1, 779; № 5,
5476.
Mire к у I. Vibrations of orthatropic thick, cylindrical shells. J.
Acoust. Soc. Amer., 1964, 36, № 1, 41—51—РЖМех, 1964, 8B209.
Mortell M. P. Traveling load on a cylindrical shell. J. Acoust.
Soc. Amer., 1968, 44, № 6, 1664—1670 — РЖМех, 1969, 8B244.
Mortell M. P. Waves on a spherical shell. J. Acoust. Soc. Amer.,
1969, 45, № 1, 144—149 —РЖМех, 1969, 8B242.
Mortimer R. W. Axisymmetric motions of nearly—flat shells of
revolution. Doct diss. Drexel Inst. Technol., 1967. Dissert. Abstrs.,
1968, B28, № 8, 3317 —РЖМех, 1968, 11В258Д.
Naghdi P. M, Berry J. G. On the equations of mention of cylin-
cylindrical shells. J. Appl. Mech., 1954, 21, №2, 160—166 — РЖМех,
1955, № 4, 2031.
Naghdi P. M., Cooper R. M. Propagation of elastic waves in
cylindrical shells including the effects of transverse shear and rotary-
inertia. J. Acoust. Soc. Amer., 1956, 28, № 1, 56—63 — РЖМех, 1959,
№ 7, 7998.
Naghdi P. M. A survey of recent progress in the theory of elas-
elastic shells. Appl. Mech Revs, 1956, 9, № 9, 365—368 — РЖМех, 1957,
№ 9, 10785.
3.142. Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shells. Quart. AppL
Math., 1957, 14, № 4, 369—380 — РЖМех, 1958, № 4, 4425.
268
3.123.
3.124.
3.125.
3.126.
3.127.
3.128.
3.129.
3.130.
3.131.
3.132.
3.133.
3.134.
3.135.
3.136.
3.137.
3.138.
3.139.
3.140.
3.141.
3.143.
3.144.
3.145.
3.146.
3.147.
3.148.
.149.
.3.150.
3.151.
3.152.
3.153.
3.154.
3.155.
Naghdi P. M., Kalnins A. On vibrations of elastic spherical
shells. Paper Amer. Soc. Mech. Engrs, 1961, № WA-42; Trans. ASME,
1962, E29, № 1, 65—72 —РЖМех, il962, 12B165; 1963, 6B167.
P a d о v a n J., К о р 1 i к В. Vibrations of closed and open sandwich
cylindrical shells using refined theory. J Acoust. Soc. Amer., 1970, 47,
№ 3, Part 2, 862—869.
P a r t h a n S., Johns D. J. Effects of in-plane and rotatory inertia
on the frequencies of eccentrically stiffened cylindrical shells. AIAA
Journal, 1970, 8, № 3, 592—594 — РЖМех, 1970, 12B256.
P r a s a d С On vibrations of spherical shells. J. Acoust. Soc. Amer,
1964, 36, № 3, 489—494 — РЖМех, 1964, 1OB144.
Ramakrishnan С V., Shah A. H. Vibration of an aelotropic
spherical shell. J Acoust. Soc. Amer., 1970, 47 № 5 Part 2, 1366—
1374.
Reismann H., Padlog J. Forced, axi-symmetric motions of cy-
Jindrical shells. J. Franklin Inst., 1967, 284, № 5, 308-319 - РЖМех,
1968, 8B281.
Reismann H, Culkowski P. M. Forced axisyrnrrretric motion
of shallow spherical shells. J. Engng Meoh. Div. Prac. Amer. Soc.
Givil Engrs, 1968, 94, № 2, 653—670 — РЖМех, 1968, 11B259
Reismann H., Pawlick P. S. Plane-strain dynamic response of
a cylindrical shell—a comparison study of three different shell theo-
theories. Trans. ASME, 1968, E35, № 2, 297—305 — РЖМех, 1968,
I11B268.
Reismann H., Medige J. Forced motion of cylindrical shells.
J. Enging Mech. Diiv. Proc. Amer. Soc. Givil Engrs, 1968, 94, № 5,
Iil67—1182 —РЖМех, 1969, 8B238.
Reissner E. Stress strain relations in the theory of thin elastic
'shells. J. Math. Phys., 1952, 31, № 2, 109—il!9.
Sagartz M. J., Forrestal M. J. Transient stresses at a clam-
clamped support of a circular cylindrical shell. Trans. ASME, A969, E36,
№ 2, 367—369 — РЖМех, 1970, 3B208.
Schiffner K-, Steele С R. Cylindrical shell with an axisymmet-
axisymmetric moving load. AIAA Journal, 1971, 9, № 1 37-47 —РЖМех,
1971, 7B207.
Shah A. H., Ramkriehnan С V., Datta S.
nal and shell-theory analysis of elastic waves in a
Part 1. Analytical foundation. Part 2. Numerical
K- Three-dimensio-
Three-dimensiohollow sphere,
results. Trans.
3.156.
3.157.
3.158.
3.159.
3.160.
3.161.
3.162,
3.163
ASME, 1969, Е36, №U3, 431'—439,40—444 — РЖМехГ 1970, 6B2O1;
6B202.
Smith P. W. Vibrations of cylindrical shells. J. Acoust. Soc. Amer.,
1958, 30, № 1, 83—84 —РЖМех, 1958, № ц, 13050.
Smith P. W. Minimum axial phase velocity in shells. J. Acoust.
Soc. Amer., 1958, 30, №2, 140—141 —^ЖМех, 1958, № 11, 13051.
Spillers W. R. Wave propagation in a thin cylindrical shell.
Trans. ASME, 1965, E32, №2, 346—350 — РЖМех, 1966, 2B130.
S t о n e к i n g J. E., В о г е s i A. P. A theory for free vibration of
orthotropic shells of revolution. Nucl. Eng. and Des., 1970, 14, № 2,
271—285—РЖМех, 1971, 6B297.
Tang Sing-Chih. Stress-discontinuity propagation in a cylindri-
cylindrical shell under a moving ring load. Trans. ASME, 1966, E33, № 2,
465—467 — РЖМех, '1967, 6B171.
Tang Sing-Chih. Response of a finite tube to moving pressure.
J. Engng Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engins, 1967, 93, № 3,
239—256 — РЖМех, 1968, 1B190.
.Tang Sing-Chih, Ven David H. Y. Interaction of a plane
acoustic wave with an elastic spherical shell. J. Acoust. Soc. Amer.,
1970, 47, № 5, Part 2, 1325—1333.
. Vooren J. van der. The propagation of elastic waves in circular
cylindrical shells of sandwich-type. Versl. en verh. Nat. lucht-en ruim-
269

3.164.
3.165.
3.166.
3.167.
3.168.
3.169.
3.170.
3.171.
3.172.
3.173.
3.174.
tevaartlab., Amsterdam, 196Э, 3!5, W31/1—W31/35 — РЖМех, 197Г,
11B92.
Wider а О. Е. An asymptotic theory for the rotationally symmetric
vibrations of shells of revolution. Z. angew. Math und Mech., 1970,
50, Sonderh. 1—4, 251—252—РЖМех, 1971, 2B250.
Wideira О. Е. Asymptotic theories for ttie unsymmetric vibrations
of cylindrical shells. Part 1. Derivation. Part 2. Application. Z. an-
angew. Math, und Phys., 1970, 21, №3, 378—399 — РЖМех, 1970,
12B257; 12B258.
Wilkinson J. P., К a 1 n i n s A. On nonsymmetrical dynamic prob-.
lems of elastic spherical shells. Trans-. ASME, 1965, E32, № 3 525—
532 —РЖМех, 1966, 9B160.
WiJkibnson J. P., Kalinins A. Deformation of open sphariica!
shells under arbitrarily located concentrated loads. Trans. ASME,
1966, E33, № 2, 305—312 —РЖМех, 11966, 12B164; 1967, 5B224.
Wilkinson J P. D. The oscillations of a sandwich sphere. Trans.
ASME, 1969, E36, № 2, 307—309 — РЖМех, 1970, 2B276.
Wilkinson J. P. D., D а С о s t a M. J. Underwater behavior of
free-flooded ceramic ring transducers. Pap. Amer. Soc. Mech. Eng.,
1970, № WA/De-7 — РЖМех, 1971, 8B335.
Y u Y. - Y. Dynamic equations of Donnel's type for cylindrical shells
with application to vibration problems. Actes IX Congr. internet, me-
can appl., T. 7. Bruxelles, Univ. Bruxelles, 1957, 261—278 — РЖМех,
1960, № 12, 1663/1.
Y u Y. - Y. On the Donnell equations and Donnell-type equations of
'thin cylindrical shells. Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mechanics,
Providence Rhode Island, 1958. New York, N. Y., 4958 479—487 —
РЖМех, 1962, ЫВ71.
Yu Y. - Y. Vibrations of thin cylindrical shells analyzed by means of
Donnell-type equations. Preprint. Inst. Aeronaut. Sci., 1958, № 769;
J Aero/Space Sci., 1858, 25, № 111, 699—715—РЖМех, 1959, №5,
5477; 1959, №11, 14062.
Yu Y. - Y. Application of variational equation of motion to the non-
nonlinear vibration analysis of homogeneous and layered plates and
shells. Trans. ASME, 1963, E30, № 1, 79—86 — РЖМех, 1963,'
12B128.
Yu Y. - Y. On linear equations of isotropic elastic plates and shells.
J. Franklin Inst., 1965, 280, № 5, 395—416 —РЖМех, 1967, 2B58.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Список основных обозначений 10
Часть 1. Стержни
Глава 1. Поперечные колебания стержней. Основные уравнения
уточненных теорий и их приложение 12
§ 1. Введение 12
§ 2. Методы, основанные на модели Тимошенко .... 14
§ 3. Исследование уравнений Тимошенко 23
§ 4. Математические аппроксимации 38
§ 5. Вариационные формулировки 44
§ 6. Коэффициент сдвига 49
§ 7. Распространение воли и вынужденные колебания при
ударном возбуждении 56
§ 8. Колебания при подвижных нагрузках 70
§ 9. Колебания и волны при периодическом и случайном воз-
возбуждении 71
§ 10. Динамическая устойчивость 75
§ 11. Свободные колебания однородных стержней . ... 78
§ 12. Свободные колебания неоднородных стержней . . .91
§ 13. Эксперименты 95
Глава 2. Продольные колебания стержней 102
§ 14. Введение 102
§ 15. Основные уравнения уточненных теорий 104
§ 16. Распространение волн 109
§ 17. Эксперименты 114
Часть 2. Пластины
Глава 3. Несимметричные по толщине (поперечные) колебания
пластин. Основные уравнения уточненных теорий и их при-
приложение ,, Нб
§ 18. Введение 116
§ 19. Методы, основанные на модели Тимошенко . . . .119
§ 20. Математические аппроксимации 131
§ 21. Коэффициент сдвига '47
§ 22. Исследование уточненных уравнений и сравнение с точ-
точными решениями '49
§ 23. Распространение волн и вынужденные колебания . . 154
§ 24. Свободные колебания прямоугольных пластин . . .160
§ 25. Свободные колебания круговых пластин 164
§ 26. Нелинейные задачи '65
§ 27. Эксперименты '68
Глава 4. Симметричные по толщине колебания пластин . . . 169
§ 28. Введение 169
§ 29. Основные уравнения уточненных теорий '71
§ 30. Колебания и волны 174
27 f

Часть 3. Оболочки
§ 31. Введение 181
Глава 5. Общие методы аппроксимации 182
§ 32. Метод степенных рядов и асимптотический в общей тео-
теории оболочек 182
§ 33. Цилиндрические оболочки 188
Глава 6. Методы, основанные на модели Тимошенко .... 193
§ 34. Произвольные оболочки 193
§ 35. Цилиндрические оболочки 198
§ 36. Сферические оболочки 208
§ 37. Конические оболочки 210
§ 38. Нелинейные уточненные теории 211
Глава 7. Приложения уточненных теорий оболочек .... 212
§ 39. Распространение волн и вынужденные колебания . . 212
§ 40. Свободные колебания оболочек 227
Заключение 228
Список литературы 230
Технический редактор Л. А. Белова
Подписано в печать 18JIX-197 3 г. Формат бумаги 60x904» Тираж 550 »ка.
Печ. л. 17,0 Уч.-изд. л. 17,86 Цена 2 р. ОЗк Заказ 2798
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ. Люберцы, Октябрьский пр ., 403
Итоги науки
«Механика твердых деформируемых тел», Том 5, 1973 г.
Стр.
18
20
22
43
48
ел
04
59
72
78
127
128
146
173
178
180
Строка
2 сверху
3 снизу
1, 2, 8, 9,
10 сверху
1 снизу
6 сверху
8 сверху
1 снизу
1 сверху
11 снизу
12 снизу
5 сверху
6 сверху
19 снизу
16 снизу
10 снизу
15 сверху
11 снизу
1, 3,
5 сверху
Напечатано
Q = — GF(x, t)
Р2?/ 5% а,р2?/ <35ш
GF* dt* + GF* Л5
г,
j
@) @) @) @)
w = F(z,t), orr= <?oo = 0, azz = F'
ri
El
a" k2a*GF
c'R
2
CS
p = N iF
д Г day2 "I
r^— Qxi) (x} —^
ox I v ' ox J
\D6(ty+(*')]' + pliw2w = 0
[D6ty+ «>')]' + phaJw = 0
h3^hh2
CO
s*7 = 2 x2S('Jn)
n=a
(Do + |2D,) wa + Mo (gMj) q
@703
cd
Id
Следует читать
Q = — GF(f(x, t)
p2F/ d*w Oip2F/ dVjy
GF* dtl + GF* 67-
r)
@) @) @) @)
w = F (z, t), arr =- am = 0, ozz = Z7
u = vrF', Orz = 0, /?" = F
Zf/
a= to2GF
2
2
0 = yv//?
d г a^2 1
a* L ( } dx J
(D,il>')' — D6 (-ф + ш') +- р/ш3ф = О
[De (ф + ш')]' + pto2oy = 0
h3 ^ hh2
CO
(Do + g2D,) шо = (Mo + ?M,) g
@/@
/-> 00
dc