Д.Д.ИВЛЕВ, Л. В. ЕРШОВ
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ
В ТЕОРИИ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
ТЕЛА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

Метод возмущений в теории упругопластического тела. И в-
л е в Д. Д., Е р ш о в Д. В., Главная редакция физико-математи-
физико-математической литературы издательства «Цау^а», М., 1978, 208 стр.
Метод возмущений Нашел широкое развитие в теоретической
механике, гидро- и газодинамике.Сравнительно меньшее развитие он
получил в теории пластичности, реологии. В монографии последо-
последовательно излагается метод возмущений применительно к статиче-
статическим задачам теории идеальной пластичности и теории малых уп-
ругопластических деформаций, основанный на введении некоторо-
некоторого малого параметра. В рассмотренных конкретных задачах малый
параметр характеризует возмущение статических и геометрических
краевых условий. Получены решения сложных нелинейных задач
с условиями сопряжения на неизвестной границе. Полученные ре-
решения могут быть также приложены к различным задачам теории
устойчивости.
Книга будет интересна широкому кругу читателей: инжене-
инженерам, научным работникам, аспирантам, студентам, специализиру-
специализирующимся в области механики твердого деформируемого тела.
Табл. 0, илл. 29, библ. 83.
Дюис Данилович Палев
Леонид Викторович Ершов
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В ТЕОРИИ УПРУГОИЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА
*М.,- 1978 г., 208 стр. с илл.
Редакторы Л. Г. Корнейчук, Н. Н. Васина
Техн. редактор Н. В. Ношелева
Корректоры Е. А. Белицкая, Л. С. Сомова
ИБ № 2208
Сдано в набор 03.02.78. Подписано к печати 15.05.78. T-0J266.
Бумага 84х10Р]/з21 тип. № 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Усл. печ. л. 10,92. Уч.-изд. л. 12,07. Тираж 3?С0 экз. Зак. № 158
Цена книги 1р. 30 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука», Москва, Шубинский пер., 10
20304—089 © Главная редакция
И „¦.»,„», -о 149-78 физико-математической литературы
0оа@^)-(8 издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава 1. Постановка задачи. Метод малого параметра 10
§ 1. Напряженное и деформированное состояния. Гра-
Граничные условия 10
§ 2. Упругость и пластичность 14
§ 3. Идеально пластическое тело 30
§ 4. Плоская и осесимметричная задачи 40
§ 5. Об определении перемещений в упругопластиче-
ских задачах теории идеальной пластичности ... 52
§ 6. Линеаризация. Общие соотношения, граничные ус-
условия, условия сопряжения 58
§ 7. Линеаризация и интегрирование соотношений тео-
теории идеальной пластичности 64
§ 8. Линеаризация и интегрирование соотношений тео-
теории малых упругопластических деформаций ... 89
§ 9. Напряженное и деформированное состояние упру-
упругой круговой кольцевой пластины, нагруженной в
своей плоскости 113
Глава 2. Задачи определения упругопластического со-
состояния тел 125
§ 1. Решение упругопластических задач теории иде-
идеальной пластичности методом малого параметра 125
§ 2. Двуосное растяжение толстой пластины с круглым
отверстием 128
§ 3. Двуосное растяжение толстой пластины с эллипти-
эллиптическим отверстием 138
§ 4. Эксцентричная труба под действием внутреннего
давления 146
§ 5. Двуосное растяжение тонкой пластины с круговым
отверстнем . . 150

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Двуоеное растяжение тонкой пластины с ьллшийчес-'
ким отверстием, свободным от усилий 160
§ 7. Двуосное растяжение пространства со сфериче-
сферической выточкой 164
i 8. Двуосное растяжение пространства с эллипсо-
эллипсоидальной полостью 171
§ 9. Коническая труба, находящаяся под действием
равномерного внутреннего давления 174
Добавление. Об учете упругой сжимаемости в случае
плоской деформации 186
О потере устойчивости пространственных
деформируемых тел 193
Литература 204

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга посвящена методу возмущений применитель-
применительно к решению статических задач упругопластического
состояния тел. Метод возмущений — метод приближен-
приближенного решения задач, основанный на введении величин,
малых по сравнению с некоторыми данными, так или
иначе «возмущающих» те или иные исходные решения.
В качестве «возмущающих» величин могут быть некоторые
параметры, либо координаты пространство — время.
В механике твердого деформируемого тела метод
возмущений нашел широкое применение в теории устой-
устойчивости.
В книге рассмотрены общие соотношения метода
возмущений для плоских и осесимметричных задач теории
идеальной пластичности и теории малых упругопластиче-
ских деформаций, основанные на введении некоторого
малого параметра. В конкретных задачах малый параметр
характеризует возмущение либо статических, либо гео-
геометрических краевых условий. Метод возмущения позво-
позволил получить решения сложных нелинейных задач с
условиями сопряжения на неизвестной границе.
Разумеется, приложения метода не ограничиваются
кругом рассмотренных задач; он может найти приложения
и дальнейшее развитие в теории упругопластических
и различных сложных сред.
В понятие метода возмущений может быть вложено
очень широкое содержание, к нему могут быть отнесены
различные методы асимптотических разложений, линеари-
линеаризации уравнений, развитые во многих областях механики
твердых деформируемых тел. Поэтому библиография,
помещенная в книге, ограничена: она содержит источники,
либо непосредственно примыкающие к содержанию моно-
монографии, либо иллуют рирующие, по нашему мнервю,

ПРЕДИСЛОВИЕ
достаточно близкие по идее к ней приложения метода
в разделах механики твердых деформируемых тел.
В процессе работы выявилась необходимость уточнения
постановок упругопластических задач: вопросы, связан-
связанные с определением перемещений, учет упругой сжимае-
сжимаемости и т. п.
С. А. Вульман много помогала нам при написании
книги, помощь ее трудно переоценить. Ю. М. Марушкей
приняла активное участие в проверке выкладок, в работе
над Добавлением, в оформлении рукописи монографии.
Мы благодарны С. А. Вульман и Ю. М. Марушкей
за помощь в работе.
Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов

ВВЕДЕНИЕ
Метод возмущений берет свое начало от работ Пуанка-
Пуанкаре, давшего ряд приближенных решений задачи о трех
телах в небесной механике. Позднее этот метод нашел
распространение в различных разделах механики, мате-
математики, физики.
В механике сплошных сред метод возмущений нашел
широкое применение в гидро- и газодинамике. С дости-
достижениями в этой области можно познакомиться, например,
по монографии Ван Дайка [3].
Теория устойчивости трехмерных твердых деформируе-
деформируемых тел, основанная на методе возмущений, ведет свое
начало, по-видимому, от Саусвелла. Обзор работ в этой
области дан А. Н. Гузем [8, 10].
А. А. Ильюшин [56] исследовал течение вязкопластиче-
ской полосы при малых возмущениях границы в лагран-
жевых координатах. Позднее А. Ю. Ишлинский [60, 61]
выполнил аналогичное исследование в эйлеровых коорди-
координатах.
Одна из первых работ, выполненных по непосредствен-
непосредственному приложению метода малого параметра к решению
упругопластических задач, принадлежит А. П. Соколову
[74]. Он определил в первом приближении двуосное
напряженное состояние тонкой пластины с круговым
отверстием при условии пластичности Треска.
Онат и Прагер [71] впервые дали решение задачи
жесткопластического анализа, основанное на полной
линеаризации уравнений для напряжений и скоростей
перемещений. В этой работе они отмечают, что линеари-
линеаризация по малому параметру позволила получить в гидро-
гидродинамике важные приближенные решения ряда задач,
недоступных для других методов. И продолжают: «...уди-
«...удивительно, что этот прием не используется столь широко
в математической теории пластичности». Несколько позднее

8 ВВЕДЕНИЕ
был выполнен ряд исследований по определению упруго-
пластического состояния тел методом малого параметра
(см., например, [42, 43, 46] и др.). Было рассмотрено
деформирование конической, эллиптической, эксцен-
эксцентрической, искривленной труб, находящихся под действи-
действием внутреннего давления [19, 29, 30, 32, 39], и ряд других
задач. Было проведено исследование процесса вдавлива-
вдавливания тонкого тела в жесткопластическую среду [16, 17,
44, 49, 50].
Исследованию ряда задач по упругопластическому
деформированию плоских и осесимметричных тел посвя-
посвящены также работы [4—6, 65, 66, 69, 70, 79]. Отметим,
что решение задачи для трехосного растяжения упруго-
пластического пространства, ослабленного сферическим
отверстием, в первом приближении дано Т. Д. Семыки-
ной [73]. Изложение некоторых решений упругопластиче-
ских задач, полученных методом малого параметра, можно
найти в монографии Г. Н. Савина [72].
Фундаментальное значение для метода малого парамет-
параметра имеет вопрос о сходимости приближений. Для упруго-
пластических задач этот вопрос нуждается в решении.
В данной книге сходимость метода проиллюстрирована
на двух примерах. Л. А. Галин [7] и Г. П. Черепанов [81]
дали замечательные точные решения в напряжениях
соответственно для двуосного растяжения толстой и тон-
тонкой пластины с круговым отверстием. Это пока единствен-
единственные точные решения нетривиальных двумерных упруго-
пластических плоских задач. Если ввести параметр б,
характеризующий разность между растягивающими уси-
усилиями (при 6 = 0 имеет место осесимметричное состояние
пластин), то решения Галина и Черепанова могут быть
разложены в ряд по б. Показано, что четыре приближения,
полученные непосредственно методом малого параметра,
в точности совпадают с четырьмя членами разложений
точных решений. Естественно, что единый алгоритм
метода позволяет получить и последующие приближения,
однако для описания точных решений в первом случае
достаточно двух, а во втором — четырех приближений.
Точные решения упругопластических задач основаны на
знании аналитических выражений для напряжений в
пластической зоне, для метода малого параметра не
играют в принципе никакой роли отсутствие аналитичес-

ВВЕДЕНИЕ
кого решения в пластической зоне, статическая опреде-
определимость или неопределимость задачи.
В теории устойчивости трехмерных твердых тел,
в отличие от постановки Саусвелла, которая предполагает
лагранжево представление о деформировании при потере
устойчивости, определилась постановка Лейбензона —
Ишлинского, в которой компоненты возмущенного состо-
состояния относятся к первоначальным координатам. Рас-
Рассматриваемые в настоящей монографии методы линеариза-
линеаризации по параметру также относят возмущенное состояние
к первоначальным координатам, поэтому различные ре-
решения, полученные в теории устойчивости в постановке
Лейбензона — Ишлинского, могут быть использованы для
решения упругопластических задач и наоборот. В связи
с этим отметим цикл работ по теории устойчивости
[1,21-28, 31, 33, 40].
Малый параметр может быть введен в теории пластично-
пластичности различным образом. А. А. Ильюшин [58] использовал
в качестве малого параметра величину, обратную модулю
объемного сжатия, и исследовал нормальные и касатель-
касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом
упругости. Отметим, что вопросы, связанные с линеариза-
линеаризацией по коэффициенту Пуассона, рассмотрены ниже
в Добавлении. Методом малого параметра, характеризую-
характеризующего геометрию тел, Л. М. Качанов [63, 64] рассмотрел
кручение круглых стержней переменного диаметра и
ползучесть овальных и разностенных труб. В работе [30]
малый параметр характеризует различие между плоским
деформированным и осесимметричным состояниями.
Б. А. Друянов [13, 14] при помощи метода малого параме-
параметра учел неоднородность пластического материала. Здесь
малый параметр характеризовал возмущение условия
пластичности. Свойства пластического материала харак-
характеризует малый параметр в работах Л. А. Толоконникова
и его сотрудников [76—78], а также в [83].
Отметим также работы А. Н. Гузя и его вотрудников
[11,12]. Каудерер[62] предложил при помощи малого пара-
параметра учитывать физическую нелинейность упругого мате-
материала. Эти представления были использованы в [37]; даль-
дальнейшее развитие они получили в работах И. А. Цурпала
[82].

ГЛАВА 1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО
ПАРАМЕТРА
§ 1. Напряженное и деформированное состояния.
Граничные условия
1. Рассмотрим сплошное твердое тело, в котором
определена ортогональная криволинейная система коор-
координат.
Напряженное состояние тела в данной точке сплошной
среды характеризуется симметричным тензором напряжения
A-1)
где cra, erg, Oy — нормальные, а т^р, Tpv, Tav — касатель-
касательные напряжения на площадках, ортогональных к коорди-
координатным осям.
В дальнейшем будем рассматривать три ортогональные
системы координат: декартову, цилиндрическую и сфе-
сферическую.
В данной точке тела всегда можно выбрать такие три
ортогональных направления 1,2, 3, вдоль которых каса-
касательные напряжения равны нулю. Эти направления назы-
называются главными, тензор напряжений в главных осях
имеет вид
0 \
0 . A.2)
\0 0 аз/
Пусть взаимная ориентация осей а, |5, Y и главных
направлений 1, 2, 3 в данной точке тела определяется
таблицей направляющих косинусов
a
Р
У
1
к
т1
«1
2
к
т2

3
h
т3


§ 1] НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ Ц
причем
% + 1\ + 1\ = 1, кщ + hm2 -f 13т3 = О,
"*i + ml + т1 = 1) m^ -f- т2тг2 + /п3тг3 = О,
«1 + ^2 Н- п\ = 1, /гг/г -f «2^2 + «3^3 = 0.
A.3)
Тогда связь между компонентами напряжений Оц и
главными напряжениями определяется по формулам
аа = ajx -\-a2h -\-^
0р = oxml -\-a2ml -f-
j- 03/г3,
A.4)
Симметричный тензор A.1) имеет три независимых
инварианта, которые могут быть представлены в виде
О = Vs Оц = Vs К + Ор + Оу),
+ Тар + Тру + Тау A.5)
3a Tap
Тензор напряжений может быть представлен в виде
суммы двух тензоров
<*и = <*8ij +a'a, A.6)
где б;; — единичный тензор, а 0ij — девиатор напряжений
/1 0 0\ / а«-° V T«v \
в«=(о 1 0 , 0у= V Ор-О тр? . A.7)
\0 0 1/ \ та? тр? вт-в/
Первый инвариант девиатора напряжений равен нулю,
второй и третий могут быть представлены в виде
6yi ' / _ ^ \2 | /_, _, \2 | (rt rr \2 I
2з = 0а0ра; + 2 Wav - ^^
Уравнения равновесия имеют вид:

12 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. t
в декартовой системе координат
дх ду dz ' A• )
a°z -о-
~аТ ~ и>
в цилиндрической системе координат
1 атге , дхгт ,
7" "эё" ~т~ dz ^
~а7" + 7" "эё" ~т~ dz ^ r
аг ' г ае
в сферической системе координат
Trectg6] =0,
^ + 7 Т? + ТЕВ^ + f I*, + ^ etge] - 0.
A.11)
2. При деформировании сплошной среды точки получа-
получают смещение U, составляющие которого обозначим иа,
Up, uv. Будем рассматривать случай малых деформаций;
деформация среды может быть охарактеризована сим-
симметричным тензором дефомации
eav\
A-12)
причем компоненты деформации связаны с компонентами
перемещений следующими соотношениями:
в декартовой системе координат
е -^ е -дЛ1 е -^
е* — дх ' 6у ~ ду ' е2 аг ' ^ 13)
в» e

§ 1] НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ
13
в цилиндрической системе координат
е- =
дг
г эе
е, =
дъ
A.14)
г i ' г эе J'
2 \ г ае
2 \дГ^ дг
в сферической системе координат
евф— 2
ae
г sin e Эф J '
A.15)
1 ^ф . "г , "е
г sin е Эф ~*~ г "+~ г
i X i ди. ',
2 [гsine
дг { г
Тензор A.12) имеет три инварианта, вполне аналогич-
аналогичные A.5):
е = х/з еи = х/з (еа + ер + еу),
h = — (еаев + epev + е7еа) + вав + е|т + 4а, A-16)
еар
Тензор A.12) может быть представлен в виде суммы
двух тензоров
etj = eotj + etj> (!•!')
где еу — девиатор деформаций
„' I о р р р \ И 4Я\
е^ = еар ер е РТ I • \1Лб)
Первый инвариант девиатора деформаций равен нулю,
второй и третий, аналогично A.8), могут быть представлены

14 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
в виде
б/.! = (еа - etf + (ер - еу? + (еу - eaf + 6 (в?р + е\у + е?)
т)
A-19)
3. На границе тела должны быть заданы граничные
условия, которые могут быть определены различным
образом. Предположим, что граница тела S состоит из
двух частей, S = Sx + $2, причем на части St определены
усилия, на второй части S2 — перемещения.
Пусть на некоторой элементарной площадке границы
i?! с нормалью п = (cos (an), cos ($n), cos (yn) ) определе-
определена нагрузка J? = (Ра, Р в, Ру). Тогда граничные условия
на S1 записываются в виде
аа cos (an) + таР cos (f5n) + хаУ cos (yn) = Pa,
TaP cos (an) + 0p cos (f5n) + rpv cos (yn) = Pp, A.20)
raV cos (an) + Tpv cos (Pn) + Oy cos (^n) = PT
На части границы 52 граничные условия записываются
в виде
иа = иа0, щ = Wpo, uv = uv0, A.21)
где иа0, Up0, uv0 — фиксированнные компоненты смещения
на S2.
Помимо перечисленных встречаются разнообразные
смешанные граничные условия, когда на части границы
определены различные комбинации усилий, перемещений
и деформаций (например, при действии абсолютно гладкого
штампа на деформируемое тело на контактной поверхно-
поверхности определены нормальное перемещение и касательные
контактные усилия, равные нулю, и т. п.).
§ 2. Упругость и пластичность
1. Упругое тело определяется следующим образом:
предполагается, что существует однозначная связь
еИ — °И и работа усилий, приложенных к элементу тела,
по любому замкнутому пути по напряжениям (или по
деформациям; это безразлично, так как связь ец — atj
предполагается однозначной) равна нулю. Элементарная
работа равна
dA = Oijdeu. A.22

§ 2] УПРУГОСТЬ И ПЛАСТИЧНОСТЬ 15
По определению упругого тела
A = <§ ог1 den = О, ф a{j de{j = 0. A.23)
а 'е
Из A.23) следует, что выражение dA является полным
дифференциалом," откуда
ЭА Ш /А О/\
oeii
где U(et]) = — А — потенциал напряжений.
Выражение d(at]Bij) является полным дифференциа-
дифференциалом по определению
d (<хуеу) = 0,
следовательно, выражение
еу da{j = d (awey) — ai;- dey
также есть полный дифференциал:
3- do = 0, F е0 do = 0.
Отсюда следует существование потенциала деформаций
W(Oij) такого, что
Конкретный вид потенциала U (или W) определяет
согласно A.24) (или A.25)) конкретные свойства упругой
среды.
Рассмотрим соотношения ец — Оц для изотропного
линейно-упругого тела при малых деформациях. Для
изотропного тела потенциал напряжений U(etj) может
зависеть лишь от трех инвариантов тензора деформаций.
В качестве трех независимых инвариантов выберем следую-
следующие:
е = V,*,,, 4 Is, A.26)
где е — первый инвариант тензора деформаций, /i, Is —
соответственно второй и третий инварианты девиатора
деформаций A.19).

16 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Соотношения линейной теории упругости имеют место
в случае, если потенциал U(ei}) является квадратичной
формой
A.27)
где К, G — произвольные постоянные, подлежащие экс-
экспериментальному определению х).
Постоянные К и G определяются из соотношений
<ух = ау = Oz = — Р = К{ех + еу + ez),
r = Gr,
где р — равномерное давление, ех -j- еу -\- ez — объемная
деформация, т — касательное (сдвигающее) напряжение,
Y — сдвиг, равный удвоенной деформации сдвига. Величи-
Величина К носит название объемного модуля, G — модуля
сдвига.
Согласно A.27) и A.24) получим соотношения линейно-
линейного закона Гука 2).
ах = ЪКе + 2G(ex — е), хху = 2Gexy (xyz). A.28)
Здесь и ниже {xyz) означает, что недостающие выражения
получаются из приведенных круговой перестановкой
индексов.
Из A.28) следует зависимость
0 = ЗКе. A.29)
Приведем другую форму записи закона Гука
elc^K + С)] e
где Е — модуль упругости, \л — коэффициент Пуассона.
Связь между постоянными К, G, с одной стороны, и
Е, ц,, — с другой, определяется формулами
? 2G(l+|v). A.31)
х) Третий инвариант не входит в выражение A.27), так как
в этом случае соотношения теории перестают быть линейными.
Если к A.27) присоединить слагаемое С {e'ije'jkenf13, где С = const,
то будут иметь место соотношения теории упругости, которые при
одноосном растяжении, сжатии или сдвиге приведут к соотношени-
соотношениям линейной теории упругости [53].
2) Соотношения связи Ojj — е« справедливы в таком же виде
в любой ортогональной системе координат.

§ 2] УПРУГОСТЬ И ПЛАСТИЧНОСТЬ 17
Для несжимаемого материала е = О, следовательно,
К = • оо, ц = 1/2, ^ = 3G.
2. Пластичность — свойство тела приобретать остаточ-
остаточные деформации. Тело начинает приобретать пластические
деформации после достижения комбинацией напряжений
некоторого вполне определенного предела пластичности.
Будем считать, что при пластическом деформировании
полная деформация слагается из двух частей: упругой
и пластической,
е15 = е°. + е?р A.32)
где e\j — упругая, a efj — пластическая составляющая
деформации.
Будем предполагать, что упругие свойства материала
не зависят от пластических и упругая составляющая
деформации определяется согласно закону Гука A.30).
Пластическое деформирование представляется как
результат элементарных сдвигов по различным направле-
направлениям в зависимости от вида напряженного состояния.
При этом имеет место процесс необратимого деформирова-
деформирования в результате преодоления внутреннего сопротивления,
в определенной степени аналогичный, с механической
точки зрения, процессу преодоления сухого трения.
Работа усилий, приложенных к элементу тела на
пластических деформациях по любому замкнутому пути
по напряжениям (цикл нагрузки и разгрузки), больше
нуля, если не все defj отличны от нуля:
A.33)
Процесс приобретения пластических деформаций по
определению не зависит от времени, аналогично тому, как
это имеет место в теории упругости: при фиксированных
нагрузках изменения упругих и пластических деформа-
деформаций не происходит. Время не входит явно в соотношения
теории пластичности.
Работа напряжений на приращениях пластических
деформаций существенно зависит от истории деформиро-
деформирования.
Соотношения "связи" Оц — еу в—теории пластичности
являются нвголономными и: свя^ывЬют между собой

18 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
приращения пластических деформаций defj и напряже-
напряжения Оц. Подобные теории носят установившееся название
теорий пластического течения, хотя более соответствую-
соответствующий существу дела термин — «теория приращений пласти-
пластических деформаций».
В теории пластического течения формулируется пре-
предельное соотношение —, функция нагружения
f(otj,4,Xi) = 0, A.34)
где %i — некоторые неголономные параметры, характери-
характеризующие зависимость изменения функции нагружения
от пути нагружения.
Пока в теле не возникли пластические деформации,
е?) = у,г = 0, и соотношение A-34) имеет вид
f(ai}) < 0. A.35)
Если напряженное состояние таково, что f{ou) <^ 0,
тело деформируется упруго. Если при нагружении в не-
некоторой точке тела впервые достигнуто состояние, при
котором имеет место f(Oij) = 0, то в этой точке тела ма-
материал достиг предела пластичности.
Пластические деформации возникают при активном
нагружении материала, которое имеет место при
g^-daw>0, A.36)
и не возникают при нейтральном нагружении и разгрузке
Л-do^O. A.37)
Соотношения связи defj — а^ в теории пластичности
формулируются обычно на основе принципа максимума
Мизеса: при фиксированных параметрах еу, %t для любого
данного значения компонент приращений пластической
деформации defj имеет место неравенство
aydegXT*^, A.38)
где otj — действительные компоненты напряжения,
а 0у — компоненты любого возможного напряженного

§2]
УПРУГОСТЬ И ПЛАСТИЧНОСТЬ
19
состояния, допускаемого данной функцией нагружения:
/ (o*j, efj, -ц) < 0.
A.39)
Из принципа максимума Мизеса следует ассоциирован-
ассоциированный закон течения — закон направленности приращения
пластической деформации (или скорости пластической
деформации) по градиенту к
поверхности нагружения.
В самом деле, предполо-
предположим (здесь и всюду ниже),
что приращение пластиче-
пластической деформации dep не за-
зависит от приращения напря-
напряжений.
Рассмотрим рис. 1. Сог-
Согласно A.38) угол между век-
векторами dep и а — о* должен
быть не тупым. В силу произ-
произвольности вектора о*, не вы-
выходящего за поверхность
нагружения /, неравенство
A.38) может быть выполнено
только в случае ортогональности dep к /, откуда имеем
Ряс. 1.
или еР. == ¦
Выражение A.40) определяет ассоциированный за-
закон пластического течения. Отметим, что из принципа
Мизеса следует также невогнутость поверхности нагру-
нагружения.
В теории пластичности при установлении ассоцииро^
ванного закона течения A.40) зачастую используются те
или иные постулаты, касающиеся поведения материала.
Эти постулаты приводят, как следствие, в первом при-
приближении к неравенству A.38), откуда и следуют соотно-
соотношения A.40).
Отметим, что подобные постулаты не являются следст-
следствием общих законов термодинамики; по существу, они
являются средством классификации свойств среды, в этом
и состоит их значение.

20
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА (ГЛ. 1
Рассмотрим замкнутый цикл нагружения \BAAXAB
(рис. 2) по напряжениям. Пусть АА1 достаточно мало, на
этом отрезке нагружения пластические деформации полу-
получают приращение бер. Ограничимся всюду, пока это не
будет оговорено, рассмотрением малых первого порядка.
Очевидно, что если С = const,
-А то можно записать
f+hf
$>Cde = C бер.
A.41)
Далее будем иметь
A.42)
В самом деле, работа напря-
напряжений на упругих деформациях
Рис. 2. в замкнутом цикле по напря-
напряжениям равна нулю, а прира-
приращение пластической деформации отлично от нуля только
в точке А. Можно получить также
e da = (ов - аА) бер.
A.43)
В самом деле,
epda = j bepdo = fiep(oB — aA).
о а А
Если во втором соотношении A.41) положить С =
и вычесть это выражение из A.42), получим
A.44)
Рассмотрим циклы, замкнутые по деформациям. Цик-
Циклу, замкнутому по деформациям в пространстве напряже-
напряжений, соответствует незамкнутый цикл ВААгАС (рис. 3).
В точках В и С полные деформации одни и те же по опре-
определению.
По определению
(j) С de = 0, С = const.
A.45)

§ 2]
УПРУГОСТЬ И ПЛАСТИЧНОСТЬ
21
Но так как на отрезке ААХ рис. 3 имеет место приращение
пластических деформаций 8ер, то согласно A.45) при раз-
разгрузке должно иметь место приращение упругих деформа-
деформаций бее, компенсирующее
приращение бер
бер -f бее = 0 или
бее = -8ер. A.46)
Приращению бе6 соответ-
соответствует приращение 60 =
= Ос — вв (см. рис. 3).
Предположим, что в точке
В деформация является уп-
упругой. Если в точке В дефор-
деформация является упругоплас-
тической ев = е% -f- e.fj, то
сместим начало отсчета на ве-
величину пластической дефор-
деформации и соответствующую ве-
величину работы напряжений на участке ВС будем
подсчитывать только на величинах упругих деформаций.
Обозначим для краткости соотношения закона Гука
0,
Рис. 3.
Тогда
а = Аее, ее = Во, В = А
-1
A.47)
Cdo = С(ос — ов) =
е
Рассмотрим далее интеграл
Здесь имеем
Abe" = — CAbep. A.48)
j)odep. A.49)
ode" = <j> Во do = V2 B(ol — a|) =
= i/2 ^ (ac + oB) (oc - oB) = V. 5 BaB + 6a) 6a =
= BoB Sa = aB 6ee = — oB 6ep. A.50)
Вполне аналогично A-42) получаем
= oA8ep. A.51)

22 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Из A.49)—A.51) находим
o.—aB)be . (I.dZ)
Рассмотрим интеграл
& edo = &d(oe) — Sade. A.53)
i/ i/ i/
ее е
Очевидно, что
(j) d (ее) = acec — aBeB = eeB (ac — aB) =
e
= e^6a = aB6ee = — aB6ep. A.54)
Согласно A.52), A.53), A.54) получим
Ф e da = — a .6ep. A.55)
e
Если положить в A.48) С = е^, то будем иметь
е
Из A.55) и A.56) найдем
(Г (е — ев) da = — (аА — ив> 8ер. A-57)
е
Согласно A.42) и A.55) получим
= 0. A.58)
Согласно A.43) и A.52) получим
>edo+ Sode = 0. A.59)
Согласно A.44) и A.57) получим
^ (а _ ав) бе + ^ (е — е?) da = 0. A.60)
а е
Соотношение
p fB(ie = O A.61)

g 2] УПРУГОСТЬ И ПЛАСТИЧНОСТЬ 23
имеет место, так как, по определению, равно нулю каждое
из слагаемых A.41), A.45). Вычитая из A.59) выражение
A.61), получим
§{e-eB)da + (j) (а - ав) da = 0. A.62)
а е
Неравенство Мизеса A.38) будет иметь место согласно
A.44) и A.43), если постулировать одно из неравенств
(а — ав) de > 0, (j)edo<0,
а A.63)
)d<0
В самом деле, неравенство @л — овMер !> О, следующее
из каждого из выражений A.63), с точностью до обо-
обозначений совпадает с неравенством A.38).
Неравенство Мизеса A.38) согласно A.52) и A.57)
будет также иметь место, если постулировать одно из
неравенств
j)ode>0, (f (a — aB) de > О, <j> (e — eB)da< 0. A.64)
ее е
Первое соотношение A.63) предложено Друккером х)
(«постулат устойчивости»), второе соотношение A.63) —
Хиллом 2). Первое соотношение A.64) выдвинуто А. А. Иль-
Ильюшиным 3) («постулат пластичности»), третье соотношение
A.63) и второе соотношение A.64) можно рассматривать
соответственно как обобщение постулатов Хилла и
А. А. Ильюшина, которые имеют место при ев = ав — 0.
Третье соотношение A.64) можно рассматривать как де-
деформационный аналог постулата Друккера.
Рассмотрим соотношения A.58)—A.60), A.62), не свя-
связывая себя предположениями о малости пути ААг (рис. 4).
') Drucker D. С, Some implications of work hardening and
ideal plasticity. Quart. Appl. Math., 1950, vol. 7, №4, pp. 411—418.
a) Hill R., On constitutive inequalities for simple materials.
Parts I, II. J. Mech. and Phys. Solids, 1968, vol. 16, № 4, pp. 229—242;
№ 5, pp. 315-322.
8) И л ь ю ш и н А. А., О постулате пластичности. Прикл.
матем. и механ., 1961, т. 25, стр. 503—507.

24
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Без ограничения общности можно считать, что путь
АгС, на котором происходит упругое деформирование,
проходит через точку В (см.
рис. 4). Тогда
с
A-65)
Соотношение A.58) примет вид
= & a de + <? е do =
а е
С
A.66)
Пластическая деформация
накапливается лишь на уча-
участке ААг (см. рис. 4), обозначим ее через Аер. На
отрезке ВС происходит упругое деформирование. По-
Поэтому
h = ав Дер + (ов + -1 Да) Дер, Да = ас - ав. A.67)
По определению, Дер -f Дее = 0, поэтому выраже-
выражение A.67) примет вид
AW = ]
Аналогично получим
I2 = <yedoJr<j)ode = <yd (ae)
a e a
Отметим, что
Аее
-f
с
+ i
= 0.
A.68)
A.69)
A.70)
В самом деле,
aB de = авДер = — авДе*,
ев da = евДа = авДев.
A-71)

§ 2] УПРУГОСТЬ И ПЛАСТИЧНОСТЬ 25
Вычитая из A.66) выражение A.70), получим
/3 = (j) (а — ав) de + $>(e — ев) da = - AVF. A.72)
а е
Вычитая из A.69) выражение A.61), справедливое для
любых отрезков ААХ (рис. 4), получим
/4 = (J) (е — ев) da + (р (а — ав) de = AW. A.73)
о е
Таким образом, из A.68), A.69), A.72), A.73) найдем
- 7Х = 72 = - /8 = П = AW. A.74)
В первом приближении соотношения A.74) равны ну-
нулю, так как величина ДW— г1г АоАее — второго поряд-
порядка малости.
3. Возможен другой подход к определению соотноше-
соотношений теории пластического течения. Скорость диссипации
механической энергии в единице объема тела D = аг;е$,
где е^ = defj/dt, будем называть диссипативной фун-
функцией.
Предположим, что
VS = D К еЬ ъ)- (!-75)
Введем принцип максимума, вполне аналогичный прин-
принципу максимума Мизеса A.38)]
a..eP>a..ef.p, A.76)
где еур — компонента любой возможной скорости дефор-
деформации, для которой имеет место
D (е{7- еЬ Ъ) < D К е«' Xj- A.77)
Из неравенства A.76) вполне аналогично A.40) сле-
следует направленность а по градиенту к поверхности D =
= const
О, = УЩ- A-78)

26 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Предположим, что D — однородная функция первого
порядка относительно компонент 8у; тогда
Из A.78) и A.79) получим, что у = 1 и A.78) прини-
принимает вид
В этом случае производные dD/defj — однородные функ-
функции нулевого порядка относительно efj, поэтому шесть
соотношений A.80) можно рассматривать как функции
пяти переменных, например, е^/е^. Предполагая раз-
разрешимость соотношений A.80) относительно е^/ец, в ре-
результате исключения еу получим конечное соотношение —
функцию нагружения A.34)
f(°tj, efj, %i) = 0.
Дифференцируя A.75), получим
e?.d0ij + oijdef.=j?-dzfj. A.81)
Из A.81) и A.80) найдем
е^йао = 0. A.82)
Дифференцируя функцию нагружения A.34), получим
Д 0. A.83)
Согласно A.82) и A.83) среди шести дифференциалов
doij независимых пять. Выбирая множитель v таким об-
образом, чтобы одно из слагаемых в выражении
обратилось в нуль, из условия независимости оставшихся
пяти дифференциалов получим ассоциированный закон
течения

§ 2] УПРУГОСТЬ И ПЛАСТИЧНОСТЬ 27
Таким образом, модель пластического тела может быть
введена двумя эквивалентными путями: либо через опре-
определение функции нагружения /, либо через определение
диссипативной функции однородной первого порядка от-
относительно компонент скорости D пластической дефор-
деформации. В обоих случаях следует формулировать соот-
соответствующий принцип максимума (или приводящие к ним
постулаты).
4. Запишем соотношения теории упругопластического
состояния материала по теории пластического течения.
Согласно A.32)
detj = detj + deft. A.86)
Тогда из A.30), A.34), A.40) следует
dex = -i- [dax — ц (dov + daz)] + dXjL,
dexv = -±- dxxy + ±-dl^- \x y-z), A.87)
xy
f(a.., e?., v.) = 0.
В зависимости от конкретного вида функции нагру-
нагружения /, будем иметь различные варианты соотношений
теории упругопластического течения. Условия нагруже-
нагружения определены соотношением A.36), в этом случае d% Ф 0.
В случае нейтрального нагружения и разгрузки A.37)
имеет место dk — 0.
В случае, когда функция нагружения имеет особен-
особенности (ребра, угловые точки) и определена в виде сово-
совокупности конечного или бесконечного числа гладких фун-
функций нагружения
/(Г) (ои, е% х.) = 0, г = 1, 2, ... A.88)
определяется обобщенный ассоциированный закон пла-
пластического течения.
По отношению к каждой функции вводится опреде-
определение разгрузки, нейтрального нагружения и нагрузки.
Напряженное состояние может соответствовать одной
или нескольким функциям нагружения A.88), причем
остальные функции нагружения отрицательны:
р = о, Ж 0, A.89)

28 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Разгрузка происходит, если приращение напряжений
Да таково, что имеют место соотношения
A.90)
В этом случае приращение пластических деформаций
и параметров %t равно нулю (defj — d%t = 0), а поверх-
поверхность нагружения при разгрузке не изменяется.
При нейтральном нагружении приращение напряжений
Да таково, что конец вектора а остается на фиксирован-
фиксированной кусочногладкой поверхности нагружения, причем для
некоторых кусков поверхности нагружения может про-
происходить разгрузка
где индексы т, п различны и исчерпывают всю совокуп-
совокупность индексов i.
При нейтральном нагружении поверхность нагруже-
нагружения не изменяется, и не происходит приращения пласти-
пластических деформаций и параметров %h т. е. defj = d%t = 0.
Нагружение будет иметь место, если приращение на-
напряжений Да таково, что хотя бы для одной или несколь-
нескольких функций нагружения /<т> из совокупности /W A.89)
выполняются соотношения
Для других функций /<п> из совокупности /(i) может
иметь место разгрузка или нейтральное нагружение
/М-0, ^*Ч,<0, 1^ = 0, A.93)
где индексы \i, v различны и исчерпывают всю совокуп-
совокупность индексов п.
Согласно обобщенному ассоциированному закону те-
нения вектор приращения пластической деформации dep
.слагается из составляющих deP№\ каждая из которых

2]
УПРУГОСТЬ И ПЛАСТИЧНОСТЬ
29
ортогональна соответствующей поверхности нагружения
f() — о, для которой имеет место нагружение.
Соотношения обобщенного закона течения имеют вид
A.94)
где
ve>0, если /w = 0,
v, = 0, если fq) < 0 или fq) = О,
d<r«>0,
0.
В определенных случаях соотношения теории пласти-
пластического течения могут быть проинтегрированы и оказы-
оказывается возможным от связи detj — datj перейти непосред-
непосредственно к связи между деформациями и напряжениями
?ц — аи- В этом случае имеют место
деформационные теории пластичности.
Деформационные теории пластичности
могут быть обоснованы при опреде-
определенных условиях для пропорциональ-
пропорциональных (простых) нагружений, а также
при наличии на поверхности нагруже-
ния особенностей: ребер, угловых точек
и т. п. Среди деформационных теорий
ниже рассмотрим теорию малых упру-
гопластических деформаций.
5. Рассмотрим, как изменяются ком-
компоненты напряжения и деформации при
переходе через поверхность S, разде-
разделяющую области Vе, Vp — упругого и упругопластиче-
ского состояния среды.
Введем в некоторой точке этой поверхности декартову
систему координат х, у, ъ так, чтобы оси х, у лежали
в касательной плоскости, а ось z — по нормали к ней
(рис. 5). Будем обозначать величины, относящиеся к об-
области Vе, одним штрихом, к области V9 — двумя штри-
штрихами.
Условия равновесия элемента поверхности S приводят
к равенствам
О» == Ozi T'xv == Тага, Тиг — Tuzi
Рис. 5.

30 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
ИЛИ
[ох] = [Тя/] = [ти] = 0, A.95)
где квадратные скобки означают величину разрыва со-
соответствующей компоненты.
Предположим, что в теле не возникают разрывы пе-
перемещений
[их] = [иу] = [щ] = 0. A.96)
Тогда прямоугольный элемент на поверхности S со сто-
сторонами Ах, Ау деформируется вполне определенным об-
образом, независимо от того, с какой стороны области —
упругой или упругопластической — приближаются к нему.
Последчее будет иметь место, если
вх — сх, ву = ву, еХу = вху
или
1ех] = 1еу] = [еху] = 0. A.97)
В упругой области Vе имеют место соотношения за-
закона Гука A.30), а в пластической области Vp имеют
место соотношения A.87). Но в силу непрерывности про-
процесса деформирования на границе упругой и пластической
областей приращения пластических деформаций defy рав-
равны нулю, т. е. на S в A.87) величина dk = 0. Таким
образом по обе стороны поверхности S в бесконечно
тонком слое имеют место соотношения закона Гука A.30).
Из A.30) и условий A.95) и A.97) следует, что на поверх-
поверхности раздела упругой и пластической областей все ком-
компоненты напряжений, деформаций и перемещений не-
непрерывны.
Отметим, что если при переходе через границу S
терпит разрыв одна из постоянных упругости, например,
коэффициент Пуассона, то это приводит к разрывам на-
напряжений и деформаций.
§ 3. Идеально пластическое тело
Простейшим вариантом теории пластичности является
теория идеальной пластичности. В этом случае предель-
предельное условие A.34) зависит только от напряжений, имеет
вид A.35)
/ (ои) = 0
и носит название условия пластичности.

§ 3] ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 31
Рассмотрим условие пластичности для изотропного
идеально пластического тела. В этом случае условие
пластичности может зависеть только от инвариантов тен-
тензора напряжений:
Н°и) = /К 2;, 2^ = 0. A.98)
Используя ассоциированный закон пластического те-
течения A.40), принимая во внимание A.8), получим
A.99)
5F
2 3
Из первого соотношения A.99) следует
de* = <&•!?-. A.100)
Обычно металлы в достаточно широком диапазоне дав-
давлений не обнаруживают остаточных свойств при всесто-
всестороннем растяжении-сжатии, другими словами, являют-
являются несжимаемыми по отношению к пластическим дефор-
деформациям. Условие несжимаемости dep — 0 будет иметь
место, если согласно A.100) условие пластичности не
зависит от первого инварианта тензора напряжений ст.
Условие пластичности A.98) в этом случае принимает
вид
/(Si, Б;) = 0. A.101)
Условие пластичности изотропного тела может быть
записано в другой форме. Вместо инвариантов о, 22, Б3
в качестве трех независимых инвариантов можно взять
величины трех главных напряжений аи аг, о3. Тогда
условие A.35) примет вид
/К, <т„ а,) = 0. A.102)
Предположим, что на тело действует равномерное дав-
давление р, но пластические свойства материала не зависят

32 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
от действия всестороннего давления; тогда
f(alf ст2, а3) = f(a1 + р, а2 + р, аа + р) = 0. A.103)
Дифференцируя соотношение A.103) по р, получим
?+ik+ik = °- <1Л04>
Из решения дифференциального уравнения A.104)
следует, что условие пластичности A.102) имеет вид
f(ai — °, ot — в3, оа — о,) = 0 A.105)
или
/(о-;, о-;, о-;,) = /(о"х — о, о-2 — а, о-3 — а) = 0. A.106)
Условия пластичности A.105), A.106) определяют ма-
материал, пластические свойства которого не зависят от
действия всестороннего давления, они вполне эквивален-
эквивалентны условию A.101).
Введем декартово пространство главных напряжений
at. В этом пространстве условие пластичности A.101)
(эквивалентные ему условия A.105), A.106)) интерпре-
интерпретируется целиндрической поверхностью с образующей,
параллельной оси ог = о*2 = о*3. Введем девиаторную пло-
плоскость о*! + о + о = 0, ортогональную к прямой а1 =
= о = о. Пересечение девиаторной плоскости с поверх-
поверхностью пластичности назовем кривой пластичности.
Рассмотрим три условия пластичности: условие пла-
пластичности максимального касательного напряжения —
условие Треска, условие пластичности октаэдрического
напряжения — условие Мизеса и условие пластичности
максимального приведенного напряжения.
Условие пластичности Треска (условие пластичности
максимального касательного напряжения).
1. Условие пластичности Треска записывается в виде
к = const, A.107)
где Тщах — максимальное касательное напряжение, или
К — ег, |< 2&, | о2 — о-31< 2/с, | а8 — ах |< 2к.
A.108)
В пространстве главных напряжений условие пласти-
пластичности Треска интерпретируется шестигранной призмой,

9 3]
ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
равнонаклоненнои к осям координат (рис. Q,a). Соот-
Соответствующий шестиугольник пластичности в девиаторной
плоскости изображен на рис. 6,6.
Предположим, что напряженное состояние соответ-
соответствует одной из граней *призмы Треска,
2к, ста — ст3 < 2&, A.109)
— сх2
откуда
а8.
A.110)
Вообще в дальнейшем будем нумеровать главные на-
напряжения таким образом, чтобы имело место A.110).
Согласно ассоциированному закону течения A.40), из
A.109) получим
del = dk, del = 0, del = - dk A.111)
или
def + def = 0, d^ = 0. A.112)
Таким образом, одно из приращений главных компо-
компонент пластической деформации равно нулю, т. е. пласти-
пластическое течение в этом случае оказывается весьма стес-
стесненным.
2 Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов

34 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Запишем уравнение грани Треска в декартовых ко-
координатах. Из A.4) и A.109) получим
ах = аг — 2Ы\ + (ст2 -
оу = аг — 2кт% + @*2 —
oz = ах — 2кп% + (<т2 — o-j)^,
хху = — 2М2т2 + (^ — о^1гт3, A.113)
tyz = — 2кт2щ + (о*2 — Oi)m8na,
Обозначим са — ffj = | и представим согласно A.113)
выражения второго и третьего инвариантов девиатора
напряжений в виде
A.114*
Исключая из A.114) величину ?, получим
4 (А;2 - Sj D&а - 2;J + 27 (Si)« = 0. A.115)
Используя условие пластичности A.115), можно полу
чить соотношения ассоциированного закона пластического
течения
del = -dX {ав'х - 5423 (а'уа'г - х\г + -J-Si)] ,
dely = — 2dk [otw — 54Ез(т1/2т:х.2 — ххуа'г)] (х у z),
A.116)
а = 12 DА;2 - Si) BA;* - Si).
2. Рассмотрим пересечение двух граней призмы Треска.
Для определенности выберем ребро аг — а3 = 2к, а% —
— с3 = 2к (ребро А на рис. 6, б), откуда
аг = о-2, аг — о3 = 2к. A.117)
Для определения соотношений закона пластического
течения в точках особенностей поверхностей пластичности
используется обобщенный ассоциированный закон плас-
пластического течения. В рассматриваемом случае A.117)

§ i] ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 35
будет иметь место
J == 0*1 — 0з — "*? "-— *-*) /2 — 0*2 — 0*3 *~~ ™^ — U,
de? = «Д^, del = dX,2, cfea == — ^i — йЯ.а, A.118)
dhy > 0, dX2 > 0.
Из A.118) следует del -\- del -j- del = 0. Очевидно,
что ребрам призмы Треска соответствует большая степень
свободы пластического течения. Из рассмотрения рис. 6, б
очевидно, что любое направление пластического течения
(любое приращение пластических деформаций) может со-
соответствовать ребрам призмы Треска.
Запишем уравнение ребра призмы Треска в декарто-
декартовых координатах. Из A.4) и A.117) следует
ах = о-! - 2Ы\, хху = - 2kl8m3,
о*з, = о*! — 2ктпз, xyz = — 2ктпзПз, A.119)
0*2 = 0*!
Из A.119) следует аг = а-\?1ък. Исключая из A.119)
направляющие косинусы, получим три независимых соот-
соотношения
(ах — а — Ч3к) (оу — а — */3к) = т^, (xyz),
A.120)
или
(ах — а — 2/sk) xyz = ххуххг (х у г). A.121)
Соотношения A.120) или A.121) определяют уравнение
ребра призмы Треска в пространстве тензора напряжений.
Отметим, что три уравнения равновесия A.9) и соот-
соотношения A.120) или A.121) образуют систему шести урав-
уравнений относительно шести неизвестных ац. Если гранич-
граничные условия заданы в напряжениях, то эта система урав-
уравнений является статически определимой.
Используя соотношения A.120) или A.121) в качестве
обобщенного пластического потенциала, можно получить
соотношения ассоциированного закона течения; ниже для
этих целей изберем другой путь. Для изотропного тела
ассоциированный закон течения утверждает совпадение
главных направлений тензора напряжений и приращений
(или скоростей) пластических деформаций. В этом легко
2*

36 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. I
убедиться: согласно A.99) из хху = xyz = xzx = 0 сразу
следует
dexy = deyZ = de?x = 0.
В основу вывода соотношений связи defj — ац поло-
положим условие совпадения главных направлений тензоров
напряжений и скоростей пластических деформаций. В этом
случае одна и та же таблица направляющих косинусов
определяет ориентацию главных осей 1, 2, 3 в декартовой
системе координат х, у, z и аналогично A.4) будем иметь
= в
= 8г/>
ef raj + efrej + г%п\ = ef,
A.122)
Рассмотрим систему уравнений
P;2 , p.2 , p,2 _ p
-f- г$1ат3 = ei?y, A.123)
— e«.
Определитель системы A.123) равен Д = ^^2^3. Из A.123)
следует
»8 — 8х -f- бжу -j h e«x — • A.1/4)
Аналогично найдем
Вз — Б«у "Z—г ev "Т е«* ~^~ 1
?3 "" A.125)
JAi + ^+J
Таким образом, из A.124),*A.123) следует
I „Р mS , Р reS Р I» , Р | Р П3 _
j A.126)
|Используя уравнения A.119), из A.126), присоеди-
присоединяя условие несжимаемости, получим искомую систему

g 3] ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 37
соотношений
devx-\-delv °v~^-'* +deP." ~"~
Ь dez
devx + del + depz=O. A.127)
Принимая во внимание, что at > a2 > c3, получим,
что могут иметь место два случая соответствия напряжен-
напряженного состояния ребру призмы Треска: аг — а3 = 2к,
аг = ст2 и о*! — с3 = 2&; с2 = °*з — соответственно ребра
А и F на рис. 6, б. Для ребра F в соотношениях A.120),
A.121), A.127) следует поменять знак у постоянной к.
Условие пластичности Мизееа.
Условие пластичности Мизееа утверждает равенство
постоянной второго инварианта девиатора напряжений.
В главных напряжениях оно имеет вид
(Ох - (Та)* + (<т« - asf + (а, - ot)* = Aj,
к0 = const. A.128)
В пространстве главных напряжений соотношение
A.128) интерпретируется круговым цилиндром, образую-
образующие которого равнонаклонены к осям координат (рис. 6, в),
соответствующая окружность пластичности в девиаторнои
плоскости изображена на рис. 6, г.
Установим соответствие между константами к — пре-
пределом текучести при сдвиге A.107) и к0 в соотношении
A.128). Если постоянная к определена из опыта на чистый
сдвиг: (Xj = — о"э = к, at = 0, то из A.128) следует к0 =
= \/бк. В этом случае взаимное расположение кривых
пластичности Треска и Мизееа показано на рис. 7, а.
Если постоянная к определена из опыта на одноовное рас-
растяжение аг = 2к, а2 = а% —= 0, то из A.128) следует
к0 = 2уг2&. В этом случае взаимное расположение кри-
кривых пластичности Треска и Мизееа показано на рис. 7, б.
Возможны и другие эксперименты по определению кон-
константы к, при которых взаимное расположение кривых
пластичности Треска и Миаеса будет иметь характер, изоб-
изображенный на psc. 7, в.

38 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. i
Из A.128) и соотношений ассоциированного закона те-
течения A.40) следует
def = 4dA.[ffi — -i-(cr, + <*)] A 2 3). A.129)
В декартовой системе координат условие пластичности
Мизеса записывается в виде
(Ох - оу)* + К - azf + (az - axf + 6 D, + А* +
+ •&)=*!!. A-130)
Согласно ассоциированному закону пластического те-
течения A.40) получим
del = 4dX [ax — -1 (ст„ + аг)] , deSy = 6dkxxy (x у z).
A.131)
Условие пластичности максимального приведенного на-
напряжения. Условие пластичности максимального приве-
приведенного напряжения записывается в виде
I Oi — а |тах < к*, к* = const, A.132)
где (с{ — о") гаах — максимальное приведенное напряже-
напряжение, или
К - V2 (сг, + * в) |< 3/2 А„ | а2 - V. (а. + ffi) |< 3U К,
A.133)
| СТз - V2 ((Тх + (Т2)|< '/» ^*-
В пространстве главных напряжений условие пластич-
пластичности максимального приведенного напряжения интер-

§ 3) ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО 39
претируется шестигранной призмой, равнонаклоненной
к осям координат (рис. 6, д). Соответствующий шести-
шестиугольник пластичности в девиаторной плоскости изобра-
изображен на рис. 6, е.
Грань AF определяется уравнениями
A.134)
—(Тз + V2 К + ога) < 3/2 &*.
Ребро Л определяется уравнениями
аг — V2 (da + (т3) = 3/2 А*, — а3 + V2 (ах + ст2) = 3/2 ^,
A.135)
откуда
ах — ал = 2к*, ст2 = V2 (ffi + ^з)- A.136)
Условия A.134), A.135) можно записать в компонен-
компонентах декартовой системы координат; здесь мы ограничим-
ограничимся рассмотрением соотношений в главных осях.
Установим соответствие между константами к — пре-
пределом текучести при сдвиге A.107) и кЦ:. Если постоянная
к определена из опыта на чистый сдвиг, ах = —а3 = к,
(Т2 = 0, то из A.136) следует к^ = к. Взаимное расположе-
расположение кривых пластичности Треска и максимального при-
приведенного напряжения показано на рис. 7, а. Если по-
постоянная к определена из опыта на одноосное растяжение
ах = 1к, а2 = а3 = 0, то из A.134) следует к^ = А/Зк.
В этом случае взаимное расположение кривых пластич-
пластичности Треска и максимального приведенного напряжения
показано на рис. 7, б. В случае других экспериментов по
определению константы к взаимное расположение кривых
пластичности Треска и максимального приведенного на-
напряжения может иметь вид, указанный на рис. 7, в.
Из A.134) и соотношений ассоциированного течения
A.40) для грани AF следует
def = dk, del = —Vs dX, del = -V2 d%. A.137)
Для ребра А согласно обобщенному ассоциированному
закону пластического течения из A.135) следует
del = dkj + V2 d*,, del = -V2 d\ + V2 dk2,
del => — 1lid%1 — dXs, d%i > 0. A.138)

40 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 1ГЛ. 4
§ 4. Плоская и оеесимметричная задачи
1. Плоская деформация реализуется в длинных приз-
призматических телах, когда нагрузка, нормальная к боковой
поверхности, не меняется вдоль образующей. Введем де-
картову систему координат х, у, z, направим ось z вдоль
оси тела. Тогда
Uz = <?xz = еУг = ez = xxz = xyz = 0. A.139)
Все отличные от нуля компоненты напряжений, пере-
перемещений и деформаций зависят от х, у. Уравнения равно-
равновесия A.9) примут вид
дх п ду —w> а* "^ ау
Соотношения A.13) запишутся в виде
** = "a— . 011 = ¦а', ^зя/ = ТГ Гя-^ + "а-2 • A-141)
* 3i " 9t/ x» 2 \ду ' дх) v '
Обозначим через L контур, образованный сечением тела
с плоскостью, ортогональной к оси z. Пусть L = Lx -f- L2,
где на Z^j определены усилия, на La — перемещения. Тогда
граничные условия A.20), A.21) примут вид
о-жсоз(пх) -{-rXy cos (пу) = Рх,
%ху cos (пх) 4- o"jy cos (ny) = Р^ на Llt A.142)
их — ихо, иу = иу0 на L2.
В части тела, находящейся в упругом состоянии, име-
имеет место закон Гука A.30), откуда согласно A.139) полу-
получим az — \х (ах 4- Оу)- Исключая компоненту az, полу-
получим искомое выражение закона Гука для случая плоской
деформации
вх = ~W Г* ~ Г=11 °у) ' 6у = ~2G~ \аУ ~ Г^~р а*) '
A.143)
Для несжимаемого материала fi = 1/2 и соотношения
A.143) принимают вид
1 1
ех = — ev = -щ (ах — ау), еху = -^ тку. A.144)

§ 4J ПЛОСКАЯ И ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧИ 41
Перейдем к определению зависимостей между напря-
напряжениями и приращениями деформаций в упругопласти-
ческой области. На основании A.32) имеем
den = de% + defy
Согласно A.32), A.87), A.99), учитывая, что рассматри-
рассматриваемые условия пластичности не зависят от а и принимая
во внимание A.139), получим искомые соотношения для
случая плоской деформации
dex = -g- [dax — \i (dav + daz)] +
dev = -=r [dov — [x (dax + daz)] +
0 = -g- [daz — \i (dov + dax)]
dexy = ± dxxy + dl [jL XxQ _ jLa-txx^ A.145)
xxx = XyZ = exz = вуг = ez = u,
S3 = az (axav — тхи).
Для условия пластичности Треска A.115) имеет место
JL - Si), A» 542;. A.146)
Для условия пластичности Мизеса A.130)
JL- = 1 JL_ = о. A.147)
as, as3
Согласно традиционной технике определения соот-
соотношений теории плоской деформации из третьего

42 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
соотношения A.145)
-=- [da, - |г (das + dav)] +dk /4- -^г- Bв2 — ах — av) +
2
следует найти компоненту ctz, исключить ее из оставшихся
соотношений A.145) и получить зависимости относительно
составляющих ах, ау, %ху. Существенные упрощения могут
быть достигнуты за счет предположения о несжимаемости
материала в упругой области. Тогда соотношение A.148)
удовлетворяется при
а* = 0 или аг = Va (<ух + <уу);
-^г- = 0 при o'z=0. A.149)
Э2
Если a'z = 0, то 2з = oz (o'xOv — т|у) = 0 и для
условия пластичности Треска согласно A.146) условия
A.149) выполнены. Для условия пластичности Мизеса
условия A.149) также имеют место.
Подставляя A.149) в A.115) и A.130), получим, что с
точностью до констант в правой части условия пластич-
пластичности Треска и Мизеса совпадают и сводятся к виду
К - <т„J + 4т1У = 4&*. A.150)
Если определяющим является эксперимент на чистый
сдвиг, то константы в правой части A.150) совпадают для
обоих условий.
Итак, условие пластичности A.150) имеет место для
упругопластического материала в случае плоской дефор-
деформации только для несжимаемого материала как в упругой,
так и в пластической области *). Если материал в упругой
*) При выполнении ассоциированного закона течения все усло-
условия пластичности для несжимаемого упругопластического материа-
материала в случае плоской деформации сводятся к A.150). Идея доказа-
доказательства состоит в следующем: так как de% = 0, в девиаторной пло-
плоскости вектор dep ортогонален вектору а2; тогда в силу ассоцииро-
ассоциированного закона течения кривая пластичности в точке приложения
вектора dep будет иметь касательную, параллельную плоскости
ai — аз — const, откуда и следует соотношение A.150).

§ 4] ПЛОСКАЯ И ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧИ 43
области сжимаем, то условия пластичности Треска и Ми-
зеса не сводятся к виду A.150) и не совпадают между со-
собой х).
В дальнейшем в случае плоской деформации будем
исходить из условия пластичности A.150). В этом случае
соотношения ассоциированного закона течения имеют вид
del = — i°x — Оу), del = — (av — ах),
deZy = dlrxv, d% = ±- У (del - devyf + 4*$ . A.151)
Учитывая A.144), A.151), можно выписать соотношения
связи между напряженным и деформированным состоя-
состоянием в упругопластической области для несжимаемого
материала
&х =-^-{d<yx — day) + -T-(ax~ay),
dev =1?-(doy-dox) + ^-(ov~ox), A.152)
d%xxv,
= 4Й».
Запишем исходные соотношения в полярной системе
координат г, 6. Соотношения A.140) — A.142) примут вид
даг
_
Г <7D or Г
ди_ а диа и„
я \ A.154)
"9 . 1 rf" N V ;
+ 2 эе
аг cos (гег) + *гв cos (ге6) = ^"п
тге cos (гег) + сте cos (иЭ) = Р& на Lx, A.155)
ur = иг0, щ = ueo на L2.
x) См. Добавление.

44 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Соотношения связи ец — ai} A.143), A.144), A.152)
сохраняют свой вид в любой ортогональной системе ко-
координат и записываются совершенно аналогично. Так, в
упругой области при |л = 1/2
«' = - е% = -А- (о-г _ „„), е% = ^-. A.156)
В упругопластической области при ц = 1/2
derQ - -^. + d^rr0, (ov - aeJ + 4тг29 =
2. Плоское напряженное состояние реализуется в
тонких плоских пластинах, нагруженных в своей плоско-
плоскости. Введем декартову систему координат х, у, z, направим
ось z ортогонально плоскости пластины; тогда
а* = rxz = xyz = exz = evx = 0. A.158)
Уравнения равновесия, соотношения связи между де-
деформациями и перемещениями, граничные условия при
плоском напряженном состоянии совпадают с соответству-
соответствующими соотношениями при плоской деформации A.140) —
A.142). Соотношения закона Гука A.30) принимают
вид
ех = — (о* — H°V)> ev = -g- К — Р°х),
A-159)
Для несжимаемого материала [х = 1/2 и соотношения
A.159) записываются в виде
°
3G ' "' ~ * *" A.160)
xy Tji ^ Q/'1
cxy 2G~' — OLr.
Сравним соотношения A.159) и A.143). Обозначим
A.161)

§4]
ПЛОСКАЯ И ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧИ
45
и нерепишеи соотношения A.143) в виде
1 , , 1 /
ег =
XV
2G
Ех = 2G A +
A.162)
Из A.159), A.162) следует хорошо известный факт, что
соотношения закона Гука для случаев плоской деформа-
деформации и плоского напряженного состояния с точностью до
обозначений совпадают между собой. Если в качестве
основных выбраны постоянные упругости G, (х, то любое
решение теории упругости для плоского напряженного
состояния справедливо для случая плоской деформации,
если заменить коэффициент Пу-
Пуассона [х на Цх и модуль упру-
упругости Е на Ev
Отметим, что если [х = 1/2,
то [хх = 1; если (хх = 1/2, то
(х = 1/3.
Перейдем к определению за-
зависимостей между напряже-
напряжениями и приращениями дефор-
деформаций в упругопластической
области.
2.1. Рассмотрим условие пла-
пластичности Треска, обозначим
o"z = 03 = 0, тогда в плоскости главных напряжений аь
а2 сечение плоскости а3 = 0 с призмой Треска опреде-
определит шестиугольник ABCDEF, изображенный на рис. 8.
Уравнения сторон шестиугольника ABCDEF согласно
A.108) будут иметь вид
0<(
0<
-2&<
—2ft<
-2&<
0<
Рис. 8.
«"а —
ах = 2к,
а% = 2к,
<*1 = 2к,
стх = — 2к,
а2 = — 2к,
а2 = 2к,
< 2к
< 2к
< 0
< 0
ах < 0
х < 2к
(АВ),
(ВС),
(CD), A.163)
(DE),
(EF),
(FA).
Запишем соотношения A.163) в компонентах декарто-
декартовой системы координат.

46 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА (ГЛ. 1
Примем в дальнейшем о^ ]> ст2. Отметим, что в зтом слу-
случае достаточно рассмотреть стороны АВ, FA, EF шести-
шестиугольника Треска, изображенного на рис. 8. Будем иметь
= 4" (Ох + ov) ±
• A.164)
Приведем таблицу, определяющую взаимную ориента-
ориентацию осей х, у и главных направлений 1, 2
X
У
1
cos a
sin а
2
— sin а
сова
Тогда
а = ох cos2fca + (Т2 sin2 a, ay = oxs\v?a + a2cosaa,
txy = 7г (^i — ff2) sin 2 a. A.165)
Из A.165), A.163) получим для стороны АВ
ах = 2к — Bк — a2) sin2a,
av = 2А — BА — <та) cos8a, A.166)
тжи = 7гB? — a2) sin 2a,
откуда найдем
(<тя - 2к)(оу
- т*у = 0.
A.167)
Из A.165), A.163) получим для стороны FA
®х = а2 + 2& cos2a, а у — а2 -(- 2& s*ni а> хху ~ к sin 2a,
A.168)
откуда
(ох — а уJ + Axly = 4A2 (FA). A.169)
Аналогично получим, что для стороны EF имеет место
условие
(ах + 2к) (ау + Щ - %1У - 0. A.170)

§ 4] ПЛОСКАЯ И ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧИ 47
Перейдем к соотношениям ассоциированного закона
пластического течения. Будем иметь
del + dej = 0, def, = O (AB),
def + deJ = O, dej = 0 (^4), A.171)
dej + dej = 0, cfef = 0 (?F).
Для изотропного тела аналогично A.165) имеем
de% = de\ cos2 a + del sina °c.
e^ = de* sin2 a + defcosaa, A.172)
i — deE) sin 2a.
Из A.171), A.172), A.166) получим
2k — Oy 2k — ax Xxy
del + del + del = 0 (AB). A.173)
Из A.171), A.172), A.168) находим
del _ < _дфу_=:йК dev^Q {FAy
A.174)
av ау-°*
Аналогично получим
2fc+%
del + del + del = 0 (EF)- A-175)
Окончательно при упругопластическом состоянии ма-
материала имеют место соотношения:
для стороны АВ шестиугольника Треска (рис. 8) —
dex — -g- (dax — ц dav) + dk Bk — av),
dev = -pr (day — \i dox) + d"k Bk — <jx), A.176)
(аж - 2Л) (av - 2A) — x% = 0;

48
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
для стороны FA —
dex -=-^-(dax —
dev = 4" (d(T" ~
dexy = ~2Q- dx
xy
d% (av ~~
A.177)
для стороны EF —
dex = -|- (da, — Ц dev) + dA, BA: + av),
dey =
A.178)
= ~2G~ dXxV
~ т*„ = 0.
2.2. Рассмотрим условие пластичности Мизеса. Кри-
Кривая пластичности, являющаяся пересечением плоскости
а3 = 0 с цилиндром Мизеса, пред-
представляет собой эллипс и дана на
рис. 9. Согласно A.128) для плос-
плоского напряженного состояния ус-
условие пластичности Мизеса имеет
вид в главных напряжениях
а* +0-?- ^(т, =-5-4 A-179)
В декартовой системе коорди-
координат согласно A.130) получим
Рис. 9.
Согласно
иметь
ассоциированному
del = dX Bax -
закону течения
- ои),
A.180)
будем
A.181)

§ 41 ПЛОСКАЯ И ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧИ 49
Окончательно запишем
dex = -g- (dax — \i dav) + dX Bax — ay),
dey =-^(day — \idax) + dXBay — ax), A.182)
dexv = ~2Q- dxxv + 3 dXXxy.
В полярной системе координат г, 6 для случая плоского
напряженного состояния имеют место соотношения
A.153) — A.155), соотношения связи е;3- — <ту сохраня-
сохраняют свой вид с заменой индексов х, у на г, 6.
3. Осесимметричное состояние реализуется в телах
вращения, когда нагрузка симметрична относительно
оси вращения и изменяется лишь вдоль меридиональных
сечений.
Осесимметричное состояние будем рассматривать в
цилиндрической и сферической системах координат.
В цилиндрической системе координат ось z направим
вдоль оси вращения тела. По определению компоненты
напряжений, деформаций и перемещений не зависят от
угла 6 и зависят лишь от г, г, причем
«в = егв = eQz = тг9 = tOz = 0. A.183)
Очевидно, что Qq — главное напряжение, поэтому поло-
положим о"е = о3.
Согласно A.10) уравнения равновесия для случая
осесимметричной задачи будут иметь вид
~дГ + -§г + г = и<
я , A.184)
9t" z Хтг - 0
4-
Соотношения A.14) примут вид
ди и ди
6rz~ 2
2 \ эх
A.185)
При рассмотрении осесимметричного состояния доста-
достаточно ограничиться меридиональным сечением тела

50
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. i
6 = const. Обозначим через L контур в меридиональной
плоскости (рис. 10). Пусть L = Ly + -^а. гДе на Lx оп-
определены усилия, а на L2 — перемещения.
Тогда граничные условия A.20), A.21) примут вид
ar cos (nr) + irz °os (nz) = Pr,
xTZ cos (nr) -f az cos (nz) = Pz на L1( A.186)
ur = Mr,,, uz = ul0 на L2.
Переход в плоскости rz к полярной системе координат
г, 6 эквивалентен в осесимметричном случае замене ци-
цилиндрической системы координат на
сферическую. Координате 0 в цилин-
цилиндрической системе координат соответ-
соответствует координата ф в сферической.
Для осесимметричного состояния
в сферической системе координат бу-
дет иметь место
и® = егч> = е0ф = тгф = Теф = 0.
A.187)
Компонента аф — главная; положим
О"ф = О.
Рис. 10. Согласно A.11) уравнения равно-
равновесия для случая осесимметричной
задачи будут иметь вид
да,
дх
й
1 дх й 1
ГО: J- О 1 ГЧт* I /ST
Соотношения A.15) примут вид
A.188)
ctg ej = о.
ди
диа
Перейдем к определению зависимостей между напря-
напряжениями и приращениями деформаций в упругопласти-
ческой области.

4]
ПЛОСКАЯ И ОСЁСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧИ
51
3.1. Рассмотрим условие пластичности Треска. На
рис. 11 показано сечение призмы Треска плоскостью сг3 =
= const. Полагая, как всегда, в± ^> сг2, получим, что для
вершин и ребер шестиугольника ABCDEF (рис. 11) име-
имеют место четыре типа напряженных состояний
(В),
Го"! = СГ2 = СГ3 + 2А,
| _ _ 2А- * :'
: del = Хг : Ха : (—Ьх —
01 = 0з
0а = 0з — 27с, 0з
02 > 03»
02,
= Я, : 0 :
f : de» : del = 0 : (— Х):Х
(EF),
0i = 0а + 2/f, 0i > 0з > 02, del '• de\ : def =
= X : (—X) : О (AF),
i =" 02 + 2А;, cra = cr3, def : de^ : def —
= (K +K):(~4-(-K) (A),
0i = 0» + 2/f, 0i = 03, del : del : del"=\1: (—Xx—X2):X2
> 0, X2 > 0.
A.190)
Наибольший интерес для дальнейшего представляют
состояния, соответствующие точкам A, F шестиуголь-
шестиугольника рис. 11. В этом слу-
случае имеет место наиболь-
шая свобода пластического
течения.
Так как
01, 02 = -j- @r + Oz) +
A.191)
то точкам A, F соответ-
ствует условие пластич-
пластичности
@г-
ere = Va
Рис. И.
T + oz)±2k. A.192)

52 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 1ГЛ. 1
Иэ условия изотропии следует
deP — del deL
<ft. (
Имеет место также условие несжимаемости
devr + de$ + de* = 0. A.194)
3.2. Условие пластичности Мизеса для осесимметрич-
ного случая в цилиндрической системе координат имеет
вид
(ог - or,J + (or, - сте)а + (ore - orrJ + 6тга, = kl A.195)
Соотношения ассоциированного закона течения за-
записываются в виде
def = dX Bar — ав — at),
del = dk B<те - ar - az), A.196)
del = dX Bat — crr — ст»),
deft — 3 dXxrz.
Соотношения A.191) — A.196) имеют вполне аналогич-
аналогичный вид в сферической системе координат при соответст-
соответствующей замене компонент ar, az, ав,хгг на аг, сте> огф, тге и
ет, ez, erz, ев на ег. ев, *гв, еФ.
§ 5. Об определении перемещений
в упругопластически;х эадачах теории
идеальной пластичности
Рассмотрим определение перемещений в статически
определимых упругопластических задачах теории идеаль-
идеальной пластичности. Под статически определимыми пони-
понимаются задачи, когда краевые условия в напряжениях
позволяют полностью определить напряженное состояние
в пластической области.
1. Выпишем соотношения связи е1} — ац для случая
плоской задачи
der = dex + dX -^— , de,, = del . „
x —^x ,-„,.. ^ - , „~y „ , — 5a-_", A>ig7J
dexv = dexu -f-
exv = dexu -f- -s- -g-—
lxv
f (os, ov, хху) = 0.

si
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
53
Рис. 12.
Пусть в некоторый момент нагружения упругопласти-
ческая граница, распространяющаяся от контура тела L,
занимает положение Lsl, а в последующий момент нагру-
нагружения — положение Lsi (рис. 12). Будем предполагать,
что задача является статиче-
статически определимой в любой мо-
момент нагружения и напря-
напряженное состояние в пласти-
пластической области полностью
определяется усилиями на
контуре L. Предположим, что
усилия на контуре тела L
фиксированы (например, кон-
контур L свободен от внешних
усилий), а нагружение осу-
осуществляется на некотором
контуре, прилегающем к уп-
упругой зоне. Тогда в любой
точке А при достижении в
ней пластического состояния все компоненты напряжения
являются фиксированными и не зависят от изменения
граничных условий вне контура L.
В рассматриваемом случае приращения напряжений в
пластической области равны нулю
dax = doy — dxxy = 0.
Тогда согласно закону Гука имеем
deex = de'y = de'xy — 0.
Следовательно, для любого элемента, находящегося в
пластическом состоянии, упругие деформации фиксиро-
фиксированы.
В пластической зоне имеют место следующие соотно-
соотношения:
СЬбу — СЬбу —
1 1 V С*"
ПР ПР ——
df
A.198)
/ (<*x, Oy, Xxy) = 0.

54 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА |ГЛ. i
Из A.198) следует
dev
df/dax - df/da
V
Величины df/dox, dfldov, df/drxy зависят от компо-
компонент напряжений и являются фиксированными в каждой
точке пластической области. Так как в случае малых де-
деформаций
то соотношения A.199) могут быть проинтегрированы во
времени, после чего будем иметь
2ер
ху A.200)
В соотношениях A.200) присутствуют компоненты
пластической деформации, так как только они испытывают
приращения в пластической зоне, причем при i = 0 име-
имеют место равенства е% = ву — e%v = 0. Момент времени
t = 0 для каждой точки А отсчитывается от момента
прохождения через нее упругопластической гра-
границы.
Полные деформации при f — 0, т. е. в момент возник-
возникновения пластических деформаций, отличны от нуля и
совпадают с упругими деформациями, накопленными
элементом тела к моменту достижения им предела теку-
текучести. Перепишем соотношения A.200) в виде
A.201)
дЦдох df/day df/dxxy •
Переходя к компонентам перемещений, согласно A.201)
получим
ди „ dv ди dv
df/dax - df/day дЦдхху • \
Два уравнения A.202) образуют замкнутую систему
относительно двух компонент перемещений и и v.

§ 5] OB ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 55
Определим тип уравнений A.202). Характеристический
определитель системы будет иметь вид
A.203)
откуда найдем уравнения характеристик
__Л di_ + _df_ |7 df \2 , df df у/.
2/1,2 = —
A.204)
Для несжимаемого пластического материала при плос-
плоской деформации
^ + ^- = 0; A.205)
в этом случае согласно A.204) система A.202) принадле-
принадлежит к гиперболическому типу и имеет два действительных
семейства характеристик:
df \»T/«
дб* i •* . A.206)
Для плоского напряженного состояния при условиях
пластичности A.167) или A.170) подкоренное выражение
A.204) равно нулю и система A.202) принадлежит к пара-
параболическому типу.
Итак, характер изменения деформированного состоя-
состояния в некоторой точке А в процессе нагружения в рассмат-
рассматриваемом случае представляется следующим образом: сна-
сначала возрастают упругие деформации; затем, когда гра-
граница упругопластического состояния материала достигает
точки А, процесс изменения упругих деформаций прек-
прекращается. При дальнейшем возрастании нагрузок, не-
несмотря на то, что напряженное состояние фиксировано,
начинают возникать пластические деформации.
2. В случае плоской деформации условие пластичнос-
пластичности имеет вид A.150) и уравнения A.202) в полярной

56 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
системе координат принимают вид
диг , "г . 1 див е . е
диг Ur ! див \ j / 9ие
-сте) = 0. A.208)
Если в пластической зоне напряженное состояние яв-
является осесимметричным, то хгв = 0 и уравнение A.208)
принимает вид
ди иа 1 ди.
± ° (
В случае плоского напряженного состояния при усло-
условии пластичности Треска для стороны FA (см. рис. 8) сог-
согласно A.174) исходные соотношения совпадают с соотно-
соотношениями теории плоской деформации. Для сторон АВ,
EF условие пластичности согласно A.167), A.170) имеет
вид
(аг + 2к)(а0 + Щ - т?е = 0 A.210)
и уравнение A.202) в полярной системе координат запи-
записывается следующим образом:
диг
иг
(д\ "г 1 д"е К 1 ( див
\ )Хв
\ дг г г dQ j "rH 2 V 9r г '
+ ~Г""дТг)(о>~ОГе)==0- A.212)
Предположим, что сте = ±2к, тге = 0, тогда из A.211)
и A.212) получим
ди
дг г "г" г 39 ~
Рассмотрим случай, когда напряженное состояние в
пластической области не является фиксированным: на-

§ 5) ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 57
грузки на контуре L, охватываемом пластической зоной,
изменяются в процессе нагружения.
Соотношение для определения перемещений
в этом случае вообще не интегрируется. Исключение со-
составляет случай осесимметричного состояния в пластиче-
пластической области. В этом случае A.214) принимает вид
откуда r— -it-0' *'"=0' <1-215>
3. В случае осевой симметрии рассмотрим условие пол-
полной пластичности. Соотношения ассоциированного зако-
закона пластического течения в цилиндрической системе ко-
координат имеют в этом случае вид A.193), A.194).
Если в пластической зоне компоненты ат, az, xrz опре-
определены и фиксированы, то вполне аналогично A.213) из
A.193), A.194) будем иметь
В случае, когда тгг =0, уравнение, аналогичное A.214),
принимает вид
е« = 0 или -^- + ^- = 0. A.219)
Уравнения A.217), A.219) справедливы и в случае
изменяющихся напряжений в пластической зоне при
т„ = 0.
В сферической системе координат уравнения, анало-
аналогичные A.217), A.218), будут иметь вид
диг
~д?
! див и\ t Г д I ив \
Г ~эв Г; г9 ~ "Г LrW \~Г)

58 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. i
Для случая изменяющихся напряжений в пластиче-
пластической зоне при тге = 0 наряду с уравнением A.220) будет
иметь место уравнение
^ ^^Г^о. A.222)
Отметим, что для материала, несжимаемого как по
пластическим, так и по упругим деформациям, правые
части уравнений A.207), A.217), A.220) равны нулю.
§ 6. Линеаризация. Общие соотношения,
граничные условия, условия сопряжения
1. Предположим, что искомое решение зависит от не-
некоторого параметра б. Будем искать решение в виде ря-
рядов по степеням этого параметра
сту = 5 Ьпо%\ щ = § 6"i4n), ew = 3 вМ"}. A-223)
п=о «=0 «=0
Линеаризация по параметру б заключается в разложе-
разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия,
граничных условий, соотношений связи ец — Оц и т. п.
в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены раз-
разложения при одинаковых степенях этого параметра, кото-
которые определяют систему уравнений, позволяющую раз-
развить метод последовательных приближений, если решение
при 6 = 0 (компоненты нулевого приближения cfy', е^)
являются известными.
Уравнения равновесия A.9)—A.11) линейны относи-
относительно компонент напряжений, поэтому они имеют место
для любого приближения
Соотношения связи между компонентами перемещений
и деформаций A.13)—A.15) также линейны относительно
компонент деформаций и перемещений, поэтому они со-
сохраняют свой вид для любого приближения
дх . -xv ---2 г- з^-т-эт
„(n) _ _^_ aW _ J_/_^_ _, У_ , A225)

§ 6] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 59
Рассмотрим граничные условия в напряжениях A.20).
Ограничимся случаем, когда граничные условия заданы
на контуре Ьг в плоскости двух переменных а, р. Пусть
на границе заданы нормальные и касательные усилия
av == Pv, tv = Рх на Lx. A.226)
Для определенности рассмотрим полярные координа-
координаты г, 9. Уравнение границы Ьг представим в виде
г = 5 *%F) = го + 6Я, г = 2 «%+! F). A.227)
Подставляя в A.226) разложение A.227) и учитывая,
что для компонент ctv> fv справедливы разложения, ана-
аналогичные A.223), получим при г = г0 разложения
dr
m,n«=o m=o
m,n=o m=0
Ограничиваясь четвертым приближением, из A.228)
получим, что при г = г0 имеет место
^^ A.2290
СТС»> 4- d^I> г 4- 3l0) Г? 4- ^^ г - ^ ^ 4- ^ Г
A.299,)
„сш, , ^.Н) г , ^1} Л 1 ( ^
3, A.299.)
г*
dr x "^ dr* 2 ' [dr3 3! ^ dr4 4!
d35<0> r2r9 d^P r* d*P r*r2
4! + dr3 2!

60
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Совершенно аналогично записываются выражения ли-
линеаризированных граничных условий для tv: чтобы по-
получить линеаризированные граничные условия для tv,
надо в A.229) заменить crv
на tv и Pv на Рх.
В линеаризированных
задачах теории пластично-
пластичности необходимо уметь
записывать граничные ус-
условия A.226) через ком-
компоненты основной системы
координат. Для этого сле-
следует учесть угол пово-
~~х рота напряжений при
переносе их на исходную
Рис- 13- окружность (г = г0). Рас-
Рассмотрим рис. 13. Угол 0Х
образован нормалью к контуру Lx; 0* = Эх — 8 — угол
поворота напряжений при переносе их на исходный
контур. Из известных формул теории упругости будем
иметь
О
= ат cos* 8* + Ое sin» 8* + 2тг9 sin 8* cos 8*,
v = (<*е — °т) sin 9* cos 9* + тге (cos* 8* — sin* 8*).
A.230)
Если уравнение границы тела Lx записать в виде х =
= х (8), у = у (8), то
cos 8Х =
sin 0j = — -
A.231)
где точка наверху означает дифференцирование по 8. Со-
Согласно A.227) можно записать
х = (r0 + 8r)cos 8, у = (r0 + 6f)sin 8,
± == —(г0 + б?) sin 8 + b'f cos 8,
У =* (re + bf) cos 8 + bf sin 8.
Учитывая, что
cos 6* = cos 0! cos 0 + sin 0j sin 8,
sin 8* = sin 8t cos 8 — cos 8X sin 8,
A.232)
A.233)

§ б] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 61
из A.233), A.231), A.232) получим
—Q* -
=
У (Го + И2 + (б>K V (г0 + 6r)* + F?f ¦
A.234)
Обозначая Rt = гг/г0, найдем
cos 0* = 1 + 6С1! + 6гС2 + 63С3 +
+ . ,
A.235)
sin 6* = 8^ + 6»5 + 635 + 8lS +
где
1 • а • 2 • •
Й' 2 | Q D
= .Д2 + лЧДь
1 . A.236)
R1R1 + RiRz-\—2~ ^i'
o~
Используя A.223), A.229), A.230), A.235), A.236),
получим искомые линеаризированные граничные условия:
при г = г0 должно иметь место
— 0г ) /fi — 1%\%п\ =¦ ~д^ g" ' ~г" Га'
ch ( ) { ) (
ЖТ + Х»"•:

62 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Л
2 (о<°> - о?
?) (ДА
, - R1R1) - 2
—
0) - о<0)) (Д, - R^+RlRi-R
>) (Д, - ДхДО - (oiIJ> - о«п>) Дх
- (а?> - а?)
п@) @)ч D
Четвертое и последующие приближения получаются ана-
аналогично; из-за громоздкости выражения их опустим.
Перейдем к условиям сопряжения решений. На Ls —
границе упругой и пластической областей, должно иметь
место
1аг] = [063 = [тге] = [щ] = [щ\ = [ег\ = [ев] = [еге1 = 0.
A.238)
Уравнение контура L, запишем в виде
г, - 2 6%, F) = го, + бг„ г, = 3 6"г„+1,, F). A.239)
п=о п=о
Учитывая разложения A.223), подставляя в A.238)
выражения A.239), получим исходное линеаризирован-
линеаризированное условие сопряжения. Очевидно, что условия сопряже-
сопряжения могут быть получены из A.229), если заключить ле-
левые части в квадратные скобки, поменять в них о^П) на
о|п)> . . ., а г„ на г„,.

S 6] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЙ 63
Выпишем условия сопряжения для компоненты а^:
i
Л
L(iv) , **) r . "Ф* ГЬ , ^г» 'Ъ , Н Л, ,
LCTr "i ЗГ~Г1» + ~5^ 2~+ ~1^~ "зГ+ ~d^ 4Г"
Условия сопряжения для компонент Ое> тге, wr, Me,
г» ^е» еге имеют вид, вполне аналогичный A.240).
Приведем условия сопряжения для компоненты и/.
тг^] = о.
,(И)
г ' dr
dr* 2 + йгз 3! +
= 0, fl.241)
L(iv) , <*4) r , Л<п) rj. , й,«> г»,

64 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Рассмотрим граничные условия в перемещениях A.21):
иа — uaQ, Uf, = wpo на La. A.242)
Уравнение границы La представим в виде A.227). Под-
Подставляя в A.241) разложение A.227) и учитывая, что для
компонент иа, мр справедливы разложения, аналогичные
A.227), получим при г = г0 разложения, вполне анало-
аналогичные A.228), A.229).
Отметим, что граничные условия, условия сопряжения
в случае плоской и осесимметричной задач в декарто-
декартовых, цилиндрических и сферических координатах совпа-
совпадают с вышеприведенными с точностью до обозначений.
§ 7. Линеаризация и интегрирование соотношений
теории идеальной пластичности
Ниже рассмотрены некоторые случаи интегрирования
линеаризированных соотношений теории идеальной плас-
пластичности.
1. Плоское деформированное состояние.
1.1. Рассмотрим условие пластичности
(ах — o-j,J + 4т*у = 4Л2 (к = const). A.243
Подставляя в A.243) разложения A.223), приравнивая
члены при одинаковых степенях б, получим
- 4"°) (<>Гт) - 4п-т)) + ^-С] = о (И
A.244)
В дальнейшем, если не оговорено особо, будем полагать
Тад = 0; тогда
а<?> - а*» = 2т,*, г, = sign (cx<?> - с<0)),
о5? - <#> = 0,
(crLn) - 0™)ф + 2х^ = 0, A.245)
4т^>тй = 0,
4- (°*П) - 4П)J + 2^Ч1П) +
4Г =о...

§ 71 ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 65
Уравнениям равновесия A.140) удовлетворим, пола-
полагая
Из A.245) и A.246) получим
« <*, 2/), A-247)
где р^11'1' (#, г/) — функция, зависящая от компонент не
выше (п — 1)-го приближения.
Решение уравнения A.247) представляется как сумма
общего решения однородного уравнения и частного реше-
решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение,
соответствующее уравнению A.247), имеет вид
и не зависит от порядка приближения. Последнее обстоя-
обстоятельство имеет место во всех случаях, рассмотренных ни-
ниже. Поэтому в дальнейшем для краткости будем ограни-
ограничиваться определением решения однородного уравнения
A.248) и аналогичных ему для первого приближения.
Полагая в A.248) п — 1, запишем решение уравнения
A.248) в виде
UA) (х, у) = Up (x-y) + Up (x + у). A.249)
Из A.249) и A.246) найдем
ар = ар = f1 (х — у) + /2 (х + у), A.250)
rPu = U(x-y)- U (х + У).
Уравнения, определяющие перемещения в пластиче-
пластической области A.201) для материала, несжимаемого и по
упругим составляющим деформаций, для условия плас-
пластичности A.243) при txy = 0 после линеаризации примут
вид
J0) _ „@)
0(о)
A.251)
3 Д. Д. Ивлев, Л. В. Кршов

00 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
+ ду -U'
A.251)
ду ' to
) 0 Dэ)-в
40)-
D1>-в.(,1))'Л)
Рассмотрим первое приближение. Первому уравне-
уравнению A.251) удовлетворим, полагая
Из A.252) и второго уравнения A.251) получим
5?-2?-0. A.253,
откуда
^> (*-?) + ^Т) (а: + ?). A.254)
Из A.254) и A.252) можно определить выражения пе-
перемещений, а далее — деформаций
„A) = cpW (х-у)+ ф<Х) (х + у),
у<1> = ф^ (Я _ у) - <р™ (X + у),
g(I, _ *P{4 , Ч1) e(i) _ ЫХ) , ^ ^ _ 0
вх - ~Щ~ + ~^f~ ' еУ - Щ~ + ~дгГ ' вх!1 - и'
A.255)
I = х — у, ц = х + у.
Отметим также, что решение волновых уравнений
A.248), A.253) может быть найдено методом разделения
переменных в виде тригонометрических рядов.
Определение последующих приближений сводится к
решению неоднородного уравнения A.253) с известной
правой частью.
1.2. Рассмотрим условие пластичности
(От - °в? + 4т?е = 4&2 (к = const). A.256)
Подставляя в A.256) разложения A.223), приравни-
приравнивая нулю члены при одинаковых степенях б, вполне

§ 7J ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ, ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 67
аналогично A.244) получим
@СО) _ О(о))г + 4т(оJ = tt>f
п A.257)
цстг —сте дстг —сте
т=о
Положим т^ = 0; тогда
сг<°> - о<0) = 2цк, ц = sign (a(rn) - 4°>),
о^!) - а^> = 0,
+ т(гв)в = 0, A.258)
/„(IV) „(rV)v л , 1 / (И) JUXs , отA)т(Ш) |
I _(ИJ г,
+ тг9 = и,..
Уравнениям равновесия A.153) удовлетворим, полагая
d)_
Стг ~
A.259)
Из A.258) и A.259) получим
= 0. A.260)
Будем искать решение в виде
фA) == R (г) cos (и8 + 60).
Тогда из A.260) следует, что R (г) удовлетворяет уравне-
уравнению
• г» *jJL_r.*!L + n»R:=O, A.261)
откуда
R = Соо + С01г2 при п = 0,
R = r(Cu + C12 In г) при и = 1,
3*

68 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
R = г [Сп1 cos (Vna - 1 In r) + Сп2 sin {Vn2 - 1 In г)]
при га>2, A.262)
(^оо» t'Oii Сц! Ci2> Сщ> Сп2 = const).
Окончательно получим
^^l Cn3] cos (Kn2-1 In r) + [- V^TZTCni +
+ Cn2 A - n2)] sin (W - 1 In r)} cos (n0 + во),
0^, A.263)
OO
= -^-sinF + во) + 4" ^«K^^T X
X [Cn2 cos (j/ — 1 In г) — Cnl sin (l/"n2 — 1 In r)\ x
X sin (тгб + 80).
Уравнения, определяющие перемещения в пластиче-
пластической области A.207), A.208) для материала, несжимаемо-
несжимаемого и по упругим деформациям, после линеаризации будут
иметь вид
г ае
;
дг
г дв
е@)
_ г, ег
~ (9)
0)
в
(I)
A.264)
дг
г дв
= 2
Рассмотрим первое приближение. Полагая
Г ~ШГ

§ 7] ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 69
удовлетворим тем самым первому из уравнений A.264),
из второго получим
дГ2 г дг
Полагая
= R* (r) sin (пв + в0),
из A.265) будем иметь
*?._JL«!. + 4^ = o. A.266
<fr2 г dr ' г2 v
Уравнение A.266) совпадает с A.261), его решение
известно A.262). Компоненты перемещения и деформа-
деформации в пластической области определяются по формулам
„т = -??-- (с* + с*п in r) cos F + е„) -
- Yj П [С*! COS (V^^l In Г) +
П=2
+ С*2 sin A/V — 1 In r)] cos (тгО + 60),
M(9T) = [Си + C*2 A + In r)] sin (n0 + во) +
COS A^»ГГ1 In Г)
+ (- Уп2 — 1 С„! + С„2) sin (у п* — 1 In r)] sin (тгб + 80),
A.267)
-j- ^ n YJp^A [C*! sin (К^ТГТ In r) -
— C*2 cos (l/тг2 — I Inr)] cos (иб Ч-в0),
-J? = 0.
Определение последующих приближений сводится к ре-
решению неоднородного уравнения A.265) с известной пра-
эой частью.

70 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. I
2. Плоское напряженное состояние. Рассмотрим усло-
условие пластичности Треска в полярных координатах
(Стг _ 2к)(ав - Щ + х% = 0 (к = const). A.268)
Подставляя в A.268) разложения A.223), приравнивая
члены при одинаковых степенях б, получим
(а<0) - 2й)(о?> - Щ - тТ = О,
т=0
_4Гг(гГт> = 0 (*>1), A.269)
(х<°> = 1, (х<т> = 0 при т > 1.
При Тг^ = 0 будем иметь s;
(ст^0) — 2ft)(o^0) — 2А) = 0. A.270)
Отметим, что в общем случае ст(г0) Ф 2к; в самом деле,
если положить о> = 2ft, то из уравнения равновесия
dr ' г — "
сразу следует, что of* — 2A; и, следовательно, имеет мес-
место однородное напряженное состояние на пределе теку-
текучести. В дальнейшем положим
Од — Z/t, I O> | ^ Z/t.
Остальные приближения примут вид
of > = О,
(II) / @) О 7 \ I —AJ П
О0 (Or — &К) ~г "Ъгв == "»
^@) О ТЛ t -w(^^)«(^) I O™-(^) (U) А /Л О<7>| \
jr — iiK) -f- Oq or -f- ZTreTre = u, (l.z/l)
^r — ^a) -p 0*0 0*7- -p 0*0 Oj. ~р 2t%rQ%rQ -j-
+ Tre = 0, . . .
Для первого приближения согласно A.259), A.271) име-
имеем
(I) д~Ф г.

§ 7] ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 71
тогда из A.272) и A.259) следует, что
a(D = епо) ;! F) r(i) = t\ F) A273)
где в @), ^ @) — произвольные функции, точка означа-
означает производную по 0.
Уравнения, определяющие перемещения в пластиче-
пластической области A.211), A.212), после линеаризации примут
вид
„(I) , я..A) е@)_е@)
иа | аи„ .. е„ ее „(I)
| i_ -- Г __ г,
I , ЯД **
г
A.274)
/«(о) Ло)"\ Я(П)_ / (о) (o)e>^(ii) c_(i) ,
> е е / ае 'г ег 'г ^ег
«FП)
9
Здесь
(п)е 1 , (п) (п), (п)е 1 , (п) (п).
(n)e _ 1 (n)
?re - G~ Тг6 '
Рассмотрим однородную систему уравнений для ком-
компонент перемещений
Очевидно, что uj = и @). Положим
wj1' = Cni cos (/г0 + 0О), uHI} = Д (г) sin (тг0 + 6о).

72 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Из второго уравнения A.275) следует
откуда
ту /1 j.
¦ — ^01' >
Следовательно,
dH
dr
Rn =
иа) -
R
г
—пСп1
oo
га С-
+ гС„
! COS (пв -
0,
при
f во),
при тг>1. A.276)
m -S (!-277)
ue = ^j (— raCni -(- Сп%г) sin (тгЭ -)- 0о)-
П=0
Исходя из A.277), могут быть определены компоненты
деформации
, » , , , . A.278)
ее = > ( ^„1 -f гаС„21 cos (яО + 0о),
п=0
Определение последующих приближений сводится к
решению неоднородных уравнений A.275) с известной
правой частью.
3. Осесимметричное состояние.
3.1. Рассмотрим условие пластичности A.192) в ци-
цилиндрической системе координат
(J,- - ozf + 4т?г = 4Аа, ae = ±.(ar + az)±2k, A.279)
к — const.
Подставляя в A.279) разложения компонент напряже-
напряжено) /-> »
нии и полагая %rz = 0, найдем
оГ - а<0) = 2цк, аF0) = ± (а?> - а^0)) ± 2к,
а?' - о« = 0, oiJ> = 4 (а?> - а?>);
!п> - ^П)) л^ + tff* = о, а^ = -1 <<4П> - ^П>);
A.280)

§ 71 ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 73
(а<Ш) - а<ш>) г* + 2tg>tg» = 0, а<ш> = -f (^Ш> ~ ^"^
<a<IV> - a<IV>) Л* + ± (о™ - <#<>)• + 2tg>tgn> + т™' = 0,
a(^) = ^_(aav)_a(iv)). A.280)
Из A.280) получим
а«> = <#> = а(Д A.281)
Из A.281) и A.184) следует
^- + ^ = 0, 4_ + %+^ = 0. A.282)
Первому уравнению A.282) удовлетворим, полагая
Из A.283) и второго уравнения A.282) получим
Решение однородного уравнения A.284) будем искать
в виде
фA) = R (r) cos (nz + z0). A.285)
Из A.285) и A.284) следует
dr* T r dT ^ '" "'
откуда
фA) = [cj0 (nr) + C2N0 (nr)] cos (nz + z0), A.286)
где /0) Л'о — функции Бесселя и Неймана нулевого по-
порядка.
Согласно A.283) и A.286) можно получить выражение
для компонент напряжений
ор = ОеХ) = о^ — п [Сг10 (пг) + C2N0 (nr)] sin(nz + z0),
A.287)
cos (nz

74 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 1ГЛ. 1
Определим также полиномиальные решения однород-
однородного уравнения A.284):
Ф0 = А, <ЬХ = АХ%, Ф2 = Л2(г2 + 222),
A.288)
Фз = л(г2г+422)' Ф4-^(г4 + 8г222 + -|-24) ,-..
(Ai = const),
а также
Во In г, Вх z In г, В2 (г2 + 2г2) In г + ZV2 + 2 E2 +Z>2) z\
В3 (гН + -|-z3) lnr + ZKr2z + 4"Eз + D3)z3, A.289)
54 (г* + 8rV + -|- г*) In r + ZL24 +
+ D54 + 8Z34) гг22 + D54 + -|- О4) г4,. ..
(Вь Di = const).
При интегрировании линеаризированных соотноше-
соотношений, определяющих деформированное состояние, будем
исходить из уравнений
и? -4- ^ -О
— + -^- - О,
A.290)
Второму уравнению. A.290) удовлетворим, полагая
u?> = ^i, «?> = -i^i. A.291)
Из A.291) и первого уравнения A.290) получим
Уравнения. A.292) и A.284) совпадают между собой и
решение для i^1) имеет вид
= [с*10 (иг) f C*N0 (nr)] sin («г + zo), A.293)
Ci, C2 = const.

8 7] ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 75
Отсюда
(I) Гп* dlr>(nr) пь dNa(nr)l . . .
U). = [Сх —j~ + C2 j?—*-[ S1U (nz + Zo),
u(P = — n [C*I0 (nr) + C*yV0 (nr)] cos (nz + z0),
eP = m2 [C*/0 (w) + C*yV0 (nr)j sin (nz + z0),
A.294)
+ Ca [/i2^0 (иг) + ^—i. j j sin (nz f z0),
4J) = 4- [Cl ^L + Ct ™?Щ sin {nz + *„),
e«> = o.
Определение последующих приближений может быть
сведено к решению неоднородного уравнения A.292) с
известной правой частью.
3.2. Рассмотрим условие пластичности Мизеса
(аг - аеJ + (o-d - ffzJ + (or, - а,J + 6т2гг = 6/с2,
А = const. A.295)
Задача в этом случае не является статически определимой,
соотношения ассоциированного закона пластического те-
течения имеют вид
дит ит duz диг диг
дг г dz dz ' дг
A.296)
Подставляя в A.295) разложения A.223), приравнивая
члены при одинаковых степенях б, получим (при т^ = 0)
«#> _ с/г°> = 2цк, ц = sign (of - a<°>),
а(гХ) - а^> = 0,
A.297)
/ ( П) ( Ч) I ( п.— П) (П-ГП) |
-}- (az — о,. )(JZ — ог ) -\- от,.. irz j — и.

76 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Подставив разложения A.223) в A.296), для первого
приближения, полагая г4°' = 0, efz — 0, xif = 0, получим
@) о (I)
"г ,о (I) (I) <I)v _ Оиг ,0 (о) (о) (o)v
^—(Zaz — ar — 0е ) — gz (Zaa —¦ a — o> )
A.298)
Учитывая A.297) и условие несжимаемости
из которого следует, что uf = С/г, получим
2Г
Определим первое приближение. Будем исходить из
уравнения неразрывности
ди.™ „a)
которому удовлетворим, полагая
Учитывая A.297), A.299), A.301), после подстановки в
уравнения равновесия
rg) W-ag) _
A.302)
i1»
—!^_ _| L_ f _Л. = О,
исключив е^1^ получим уравнение для определения ij)'1):
AЛ0Я)

§ 7] ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 77
Решение уравнения A.303) будем искать в виде
(Г> 2) = rR (r) cos nz. A.304)
После разделения переменных уравнение для опре-
определения функции R (г) разбивается на два
„ A.305)
= о.
где
Окончательно будем иметь
= [СЛ (|хг) + CJf0 (|ir) + гЛ (Цг) +
+ d72iV0 ([i, r)]cosrez, A.306)
где /0, iV0 —_функции Бесселя и Неймана нулевого по-
порядка; С,- иС( — сопряженные постоянные.
Компоненты напряжений, перемещений и деформаций
могут быть определены из A.299), A.301), A.302):
+ B + e-(««W) г А - 2 (Д + /,)] sin
r _|iL + 2 (/l
_ 2 (-gi- + _^. jj cos nz, A.307)
= n -jr [(/i + /2) 4"] sin "z>

78 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
ez = - — \^- + -j~j sin nz,
e<? = - -1-
r/a _ 2 (.Jl + jgL)j cos nz>
где
/i = <Vo (fir) + C,N0 (цг), /2 = dVo
В ряде случаев необходимо использовать полиноми-
полиномиальные решения уравнения A.303) вида
А0, i4xz, 42г2 + Л3г3, Л4г3г + Аъг3,
Лвг4 - (84e + 3At) rh* + 47z4,
а также
Во In г, 5xz In г, (Бгг2 + B3z2) In г + D2r2 + D3z\
(BfH + B5z3) In r + (D.rh + D6z*), A.308)
[#er4 - (85e + 357) r? + B^\ lnr +
+ Der* - (e/3Be - 2B7 + 5ZO + 2De) A2 + Daz\ ...
TjifiAt,Bi,Di — произвольные постоянные.
3.3. Рассмотрим условие пластичности A.192) в сфери-
сферической системе координат:
= 4A:2, аф = -i- (ае + ar) ± 2Л. A.309)
После линеаризации соотношений A.309) при условии
tr°e ~ 0, получим соотношения, вполне аналогичные
A.280). Аналогично A.281) будем иметь
Тогда уравнения равновесия A.188) примут вид
HV 1 т
я (I) A-31°)
9г т г /H

§ 7] ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 79
Второму уравнению A.310) удовлетворим, полагая
Тогда из первого уравнения A.310) получим
-o. (..3,2,
Полагая Ф = R (г) в (Э), после разделения переменных
будем иметь
rW" — 2rR' + п (п + 1) R = 0, A.313)
в" + в' ctg 9 + п (п + 1) в = 0. A.314)
Можно избрать другой путь решения. Первому урав-
уравнению A.310) удовлетворим, полагая
Тогда из второго уравнения A.310) получим
, . аФ*A) , вф*A) . 0 _ ..„._.
+ 4г —аг- + -gg- ctg 9 .-= 0. A.316)
Полагая Ф*(х> = Л* (г) 9*(J' @), после разделения пере-
переменных будем иметь
г2й*" + 4Й*' + тг (п + 1) Л* = 0, A.317)
в*" _ в*' ctg Э + п (п + 1) в* = 0. A.318)
При интегрировании линеаризированных соотношений,
определяющих деформированное состояние, будем исхо-
исходить из уравнений для первого приближения
A.319)
Второму уравнению A.319) удовлетворим, полагая
(I) 2 ^Т 9ф' '
дг ' 90 ' ^

80 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
тогда из первого уравнения A.319) получим
Полагая ¦ф<1) = v (r) <р (9), после разделения переменных
получим
г»»' + 4г»' + п (п + 1) v = 0, A.322)
ф" + ф' ctg 9 + п (п + 1) ф = 0. A.323)
Можно избрать другой путь решения. Первому урав-
уравнению A.319) удовлетворим, полагая
"r - r^sine дв ' •*" -
Тогда из второго уравнения A.319) получим
Полагая ¦ф*<1> = v* (r) ф* (9), после разделения перемен-
переменных будем иметь
гН*н — 2rv*' + п (п + 1) v* = 0, A.326)
ф*" _ 9*'ctg 9 + п (п + 1) ф* = 0. A.327)
Уравнения A.313) и A.326) совпадают между собой и
являются уравнениями Эйлера. Аналогично уравнения
A.317) и A.322) тоже являются уравнениями Эйлера.
Уравнения A.314) и A.323) совпадают между собой
и решением их являются функции Лежандра.
Уравнения A.318) и A.327) идентичны и решение их
есть у\ sin б, где yl — присоединенные функции Лежан-
Лежандра первого порядка.
Решение уравнения A.313) запишется в виде
D —— /** I /~* ««3 тттлтл" ~п — С\
¦* * 0 — ^ 00 ~ ^01* хл. у за. ft — VJ)
R% = Cur + С12гг при п = 1,
Rn = г'/' \Сп1 cos ( " -,' ) 'In г +
при тг>2. A.328)

§ 7] ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ . ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 81
Решение уравнения A.317) запишется в виде
*
* = Со + С*1Г~3 при п = О,
R* = СцГ-1 + с?г-« при п = 1,
* ,. Г * г/4я(я + 1) — 9 \'/2, 1 ,
Rn = r-1/' |Cnl cos [^— ^4 ) In rj +
+ Cn2sin I—v ~. ' 1 lnrl при и>2. A.329)
В дальнейшем нас будут интересовать решения, выра-
выраженные через полиномы Лежандра Рп (cos 9), и поэтому
можно записать
ФA) = Яо + 2 RnPn (cos 9), A.330)
n=i
Ф*A) = До* cos 9 + ? R* dPn(™5Q) sin 9. A.331)
n=i
Выражения для компонент напряжения можно полу-
получить из A.311) согласно A.330):
а?> = о#> = а?> = - С01 - 4" (Си + 2С12г) cos 9 +
f C/2Cni + aCn2) cos (а In г) +
+ (8/aCna — аСп1) sin (а In r)] Pn (cos 9),
Тгв = - -j(Cii + C12r) sin9 -f-
Y dP (cos 9)
+ г-'/» \ [Cnl cos (a In r) + Cn% sin (a In r)] ^ ,
a = Va K4« (« + 1) — 9.
Используя A.315) и A.331), компоненты напряжения
можно записать в виде
/ г*
ап) „(I) „(I) [ г* °oi
аг =ав =ov — — I с00 —
оо
+ -^- (гСи + С*2) cos 9 + r-V. ^ и (и + 1) [С*! cos (a In r) +
+ С*2 sin (a In г)] Pn (cos 9), A.333)

82 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
= - -р- с0* + -i- (rc* + с*) sin e +
оо
+ г-*/» ^ [(- 3/2С*! + аС*2) cos (а In r) -
П—2
— C/гС^! 4- аСщ) sin (a In r)] —2» —_
Так как в решении, не зависящем от 9, имеет место
тг9 = 0, то в A.333) С*х = 0 и очевидно, что A.333) сов-
совпадает с A.332).
Компоненты перемещения из A.320), A.322), A.323)
определяются по формулам!
[(— 3/2ап1 + олп2) cos (a In r)
п=2
+ aanl) sin (a In г)] Р„ (cos 0), g
icos («ln r) + fln2 sin (a In r)]
Перемещения можно определить также из A.324) и
A.326), A.327). В этом случае
и? = ф- + air +{^ + 2a* ) cos 0 -
оо
п (п -f- 1) [пщ cos (a In г) + #П2 sin (a In r)] Pn (cos 0),
П=2
A.335)
и?> = - 3a*i - (-71 + 2aJi ] sin 0 -
- r'/« \ fC/«fl*i Ь aa^a) cos (a In r) -f-
, — aanl) sin (a In r)] —-

§ 7] ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 83
Из соображений симметрии а*х = 0 и A.334) и A.335)
совпадают между собой.
Компоненты деформаций согласно A.334) можно запи-
записать в виде
г*/. ^ {C/4ап1 - 2oan2) cos (а In r)
+ [(- п (п + 1) -|- 3) ап2 + 2аап1] sin (а In r)} Pn (cos 6),
in -f1) ^-) anl + аяП2 cos (a In r) +
^ / J
3 \ 1 1
re (re + 1) g-J an2 + aom sin (a In r» Pn (cos 0) —
vh dP (cos 6)
— r1'1 \ [anl cos (a In r) + an2 sin (a In r)] ctg 0 ^
A.336)
-f- r~'l* ^ [(— 3/aani + aan2) cos (a In r) —
rl=2
— C/га„2 + а«ш) sin (a In r)\ Pn (cos 0) +
A dP (cos 6)
+ r-*/« N [ani cos (a In r) + an2 sin (a In r)] ctg 0 -^
n=2
V =
4V = o.
3.4. Рассмотрим условие пластичности Мизеса
(Or - ОеJ + (ое - оФJ + (ar - (ГфJ + 6т29 = 6/с2. A.337)
При этом условии пластичности задача не является
статически определимой, и необходимо использовать

84 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
ассоциированный закон течения
2аг — а0 — аф г Bа9 — сг — аф)
ие ctg 6 + ur
г Bаф — аг — ав) 6ггг8
и условие несжимаемости
A.338)
A.339)
Подставляя разложения напряжений A.223) в A.337),
получим
\\Jr ~~~ VQ ) -p ^1X0 U(p 7 -p ^CXr 1Хф ^ -p OCfQ — ОЯ. ,
n
I (Jo ——• От ) (Ой ~~~ Uni I ——
I //т(^) (^)\ / (^—W) (tl^W)i 1 ^i ('Tl) (т^—^)i /^ ~^ 4
Отметим, что если о*^ = ffe0) и т^ = 0, то найдем
ог<о) - о$} = ц УЗк, ц = sign (о?* - 40)),
- оГ - оГ) + (a<J) - etf У +
« ?У 4Г) ™ ^ = 0, A.340)
г, ГЗк Bolm> - о?п) - а(ФП1)) + (a<J> - <#>) @<П) - о?4) +
+ (о?> - a<r>) (oiu> - 0ln>) + (о<ц - a?) (oJn> - а^">) +
+ 6TMr> = 0.
Подставив разложения A.223) в A.338) и полагая
е^,0) = е^0) = —1/tei°\ т^ = 0, получим для первого при-
приближения

§ 71 ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 85
4° B0(го>-о#>-Чо)) =
= е<°> Bof> - of> - <#>) + «?> Bо»> - cf> - og»), A.341)
Так как из условия несжимаемости u<°> = С7г2, учитывая
A.340), запишем A.341) в виде
A-342)
где
л- зс
Условию несжимаемости A.339) удовлетворим, положив
96 '
„(i)
9 "" rsi
rsin6 dr *
Выразив деформации через функцию tJjW, подставим
A.342) в уравнения равновесия A.188), откуда, исключив
f\ получим уравнение для определения
2 cos6 dVr> , 2+cos3 6
г sine ае4 rsin2e эез ~ 4 sine э
1ау1) га4^1) 3cose
_ _
sine ~drW sine аг2ае2 г sine ае
cose a^pw с а^1) 6r2 a3ip<1)
Т~ <и'п2Й Яг ЯЙ ci"n О Яг ~Т~ а!
агае sine ar ^ sine эгз '
-I :—х 3~J 1 :~»~К а ., jr. =0. A.344)
sin В ar4 sin^ В or* д% s '
Решение этого уравнения будем искать в виде
Г; 0) = т+'ф (9). A.345)

86 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
После разделения переменных получим уравнение для
определения ф:
+ »*'сЬв8) f + *г№ - 7)ф = 0. A.346)
Уравнение A.346) разбивается на два:
ф1 — ctg 9ф; — vx (Vl + 1) фг= о, 4
ф2' — ctg Эфа' + v2 (va + 1) ф2 = О,
Vl(Vl + 1) = - -?-((i + |/3(х2- 7),
v2(v2 + 1) =
где
) = - ±- ((х
Общее решение уравнения A.344) имеет вид
i|j = rv[Cyvi (в) + Cafct (в)] sin 8, A.348)
где у\„ yl, — присоединенные функции Лежандра; С1
и С2 — комплексные постоянные.
В ряде случаев бывает необходимо использовать реше-
решения, где Рп (cos 9) — полиномы Лежандра.
Как следует из A.347), показатель степени ц в A.348)
определяется
Hu.,,4 = ± (*i ± iK), A.349)
кх = Vs К» (и + 1) + 7, Ля = Vs КЗв(п+1)-7.
Функция я|з<х> имеет вид
¦фо = a0i cos 9,
¦ф! = laur -|—— -\- а13гл -\—j-| sin15 9, (l.ooU)
лг*1 cos (k2 In r) — ОпгГ** sin (A:2 In r) +
fln4 1 d/
• cos (k2 In r) ?- sin («2 In r) sin 9 —

§ 7] ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 87
Используя A.350), A.342), A.189), A.343), получим
следующие выражения для напряжений, перемещений и
деформаций:
при п — 0 .
о> — «в — оф — а02,
т$ = 0,
иг — ^Г >
при п = 1
о?> = а?> = о?> = 124 (±L + *?¦) Pl (cos 0),
Tr9 _ - О
r """ \~—1~ -pr + Г + ai4J "i (cos е)'
„(I) _ „(I) _ ! „(I) „(I) _ ft / an , 2ei3 \ dPi (cos 6) .
при п >. 2
ffrJ) = и (и + 1L [BA"X — 3) (anl cos v — a«2 s^
— Bk1 -b 3) (an3 cos y — ani sin т)'"~'С1]Р„ (cos 0),
о™ = и (га + l)A {[Lj (r) anl + L2 (r) an2] r*« +
+ \U (г) а„3 + Ь4 (r) a«4] r-ft-} Р„ (cos 0) +
+ 2A {[Lb (r) anl - U (r) an2] r*' +
>n (cos 9)
+ fL7 (r) an3 - L8 (r) an4] r-*'} ctg 0 jg
(n \-i)A {\L9 (r) ani - Lw (г) а„2] rft> +
+ [Lu (г) апз - Lia (r) an4] r-s'} Pn (cos 0) -
- 2A {[L& (r) an - U (r)«n,J r*« -
dP (cos 9)
- \U (r) an3 - Lb (r) am] r"*'} ctg 0^^

88 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА |ГЛ. 1
т$ = - А {{2кх - 3) [U (г) ап1 - Ьв (г) а„2] т* -
- Bкг + 3) \U (r) an3 - Le (г) a^] rb}
и™ = п (п + 1) l(anl cos v — о™ sin
+ (an3 cos v — aw sin v)r-(*'+2) jPn (cos 9),
= {[Lb (r) anl - Le (r) an2] r*«-" +
+ \U(r) an3 - L8 (г) dP^&)
e?> = » (» + 1) {ощ [-Aa sin у + (kt - 2) cos
+ an2 l—kt cos v — (kt — 2) sin vl r^-3 —
— an3 [k2 sin v + (*! + 2) cos y]r-(**+3) +
+ ani l-k2 cos у + fo + 2) sin v]r-(t.+s)} />n (cos 9)t
eq,I} = n (n -+-1) [(anl cos y — fln2 sin y) r*l~3 +
-f (а-пз cos y — flrn sin y) r-(ft'+3)] Pn (cos 0) +
+ {[Ьъ (г) в»! + Le (г) аП2] г*«-« +
ЙР„ (COS 6)
+ Щ (г) а„з - Ьъ (г) ат] r-(ft.+«) ctg 9 —^ i ,
= в (л + 1) {anl [(- &! + 1) cos у + (*я - 1) ^п у] г^~3 +
+ апг [(кг — 1) sin y + {К — 1) cos y] r*«-3 +
+ Яг* [(*i + 1) cos y + (kt — 1) sin y] r-Vo+V -
— ani f(fei + 1) sin y + (k2 — 1) cos y] г-(к«3)} Рп (cos 0) —
- {[?5 (r) ani - Le (r) am) r^~3 +
dP (cos 6)
+ [L7 (r) ans - L8 (r) a^] H*««)} ctg 0
= {BAi - 3) [L, (r) eni - Le (r) an2] r*«-»-
- BAd + 3) [L, (r) an3 - Ls (r) a^] r-<*«+«}
Здесь
Y = k2 In r,
-^1 (r) = (^1 — 3) cos y +'^2 sin y,
L2 (r) = k2 cos y — (ki — 3) sin y,
Ls (r) = — (Ai — 3) cos y + A2 sin y,

g 8| ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 89
Lt (r) = к2 cos y + (^i + 3) sin y,
•^б (г) = ^i cos У ~~ кг sin Yi
Le (r) = к1 sin y Ч~ kz cos Yj
L7 (r) = —kt cos y — ко sin 7,
L8 (r) = —A"j sin y + k2 cos y,
L9 (r) = 3 (A:x — 1) cos y — A2 sin y,
¦^10 (r) == —кг cos y ¦— 3 (/ex — 1) sin y>
Ln (r) = —3 (At + 1) cos y — &2 s^n Yj
^12 (r) = —^2 cos ? + 3 (Ax + 1) sin Y-
§ 8. Линеаризация и интегрирование соотношений
теории малых упругопластических деформаций
Среди деформационных теорий ограничимся рассмо-
рассмотрением теории малых упругопластических деформаций.
Соотношения теории малых упругопластических де-
деформаций имеют вид
2 0 • О О •
ах — а = -я- — (ех — е), х^ = -=- —- ew,
2 »i , . 2 3г
2а. о о.
г / \ _ « г
i i
о-. = ф (ег), а = 3Ke, К = const, A.352)
Соотношение at = Ф (ег) определяет характер упроч-
упрочнения материала. Соотношение
at = Ае*, А, я = const A.353)
носит название степенного закона упрочнения.

90 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Соотношение о* = ЗКе определяет характер сжимае-
сжимаемости материала. Для несжимаемого материала можно
записать
Зе = ех + ev + ez = 0, К = оо, а ф 0. A.354)
Ниже рассмотрим некоторые случаи интегрирования
линеаризированных соотношений теории малых упруго-
пластических деформаций. Для простоты всюду будем
считать материал несжимаемым.
1. В случае плоской деформации имеем
exz = eVz = *zx = tyz = «z = 0, oz = -j- (ox + oy). A.355)
Соотношения! A.352) принимают вид
__ 4 sx _ 2 3i
°ж °1/ — ~g~ "J~ ex> тжу — з "J~ exyi
A.356)
Если обозначить; Ф (ег) = ЗТ (е^)е,-, то соотношения
A.356) примут вид
ax-av = 4T (в|)<?х, tXff = 2Y (e,)exv. A.357)
Предполагая справедливость разложений, вполне ана-
аналогичных A.223), получим
Ъ=2дпо1п), ei=SSne|n). A.358)
1.1. Для определенности положим, что в начальном
состоянии имеет место одноосное растяжение
oi0) = const, oi0) = xg) = 0, 40) = const; A.359)
тогда
,(<•>_ 2/3 (о) (i)_ 2/3 (i)
/~ /- (D2 A.360)
(И, _ 2/3 m /3 4Т l ^
3 + 4 @)
X
Аналогичные выражения будут иметь место для at.

§ 8J ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 91
Далее приходим к разложению W (et):
Здесь и в дальнейшем индекс «О» наверху у функции Y
означает, что значения функции и ее производных взяты
в исходном состоянии при et — е\0).
Используя разложения A.223), A.358), A.360), A.361),
получим
<?> = р№ + 2А1ех1\
а<"> = с,™
4П> = а<П) - 2^1б<"> - А2?» - Лз4J, A -362)
тх;/ = 2Вхвху — В^ее
где
2 ^о)е(О) @)
, 2
Из уравнений равновесия A.140) и A.362) получим
д (I) ве<1> ае<?)
дх дх дУ A.363)
откуда следует:
| о л ° е* л /л ос/л
1 дхду v '

92 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 1ГЛ. 1
Условию несжимаемости A.354) удовлетворим, полагая
(I) д$ ' (I) dit{ ' ,. Qe..
Ux =—т , Uv — т . (l.ODO)
оу ox
Подставляя A.365) в A.364), получим
A.366)
Соответствующее уравнение для n-го приближения
будет иметь вид
gg Ogr*. «1.367,
где /(n-J) — функция, зависящая от компонент не выше
(п — 1)-го приближения.
Полагая
= X (х) cos (пу + у0), A.368)
получим из A.366) после разделения переменных
Xiv _ 2пгАРХ" + п*Х = О,
откуда
X = Сх sh (nA,xa:) cos (пА,2г) + С2 ch (иА,^) sin (nk2x)
+ С3 sh (n^x) sin (иА,2а:) + С4 ch (nkxx) cos
A.369)
где
Ж, А2 = У {Вг -
Из A.362), A.365) можно легко получить выражения
для компонент напряжений и деформаций:
= —2Btn% [(C^ — С2кг) ch (nkjx) cos (пкгх) +
+ (СА + CjA-j) sh (иА,^) sin (nk2x) +
+ (CgAi + С4А2) ch (иА,^) sin (пА^ж) +
+ (—С3А2 + С^) sh (иА,ха:) cos (nA2a:)J sin (ny + y0),
= 2n2 {[CiA,! B4 j - BJ + 2A1C2k2] ch (nAxx) cos (nkjc) +
+ [—2A1C1ki + CjAj B4 i — BJ] sh (nA^) sin (пА2ж) +
2 + C^i B4! — 5J] sh (nA^) cos (nA2ar) +
i B4x — 5X)] ch (nAja:) sin (nk^x)} sin

§ 8] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 93
Тзд = — 2ге2 [Dx sh (nX^) cos (nX2x) +
+ D2 ch (пХгх) sin (rik^c) + ZK sh (nA.j.r) sin (nA.2:r) +
+ Д4 ch (пХгх) cos (nA,2:r)] cos (ny + Уо)»
i4X) = — n [Сг sh (nA,^) cos (nX2x) + C2 ch (пХгх) sin (nA,2a:) +
+ C3 sh (nA,^) sin (nA,2a;) -f-
+ C4 ch (nA,^) cos (nA,2:r)]sin (ny + y0), A.370)
UW = _n [(C^j + C2A,2) ch (nX-^x) cos (nA,2:r) +
+ (C2^-i — ciK) sb (nA,^) sin (nX2x) +
+ {С3Хг + C4A-!) sh (nA^ar) cos (nA,2a:) +
+ (CzX-l — C4A,2) ch (nA^ar) sin (nA,aa;)] cos {ny + y0),
e№ == -41) = —n2 [(C^ + C2X2) ch (nkjx) cos (nV) +
+ (^2^-1 — ^1^2) sh (пХгх) sin (nA,aa:) +
+ (C3A.2 + C4A,!) sh (n^!^ cos (nX2x) +
+ (^3^1 — ?4^2) cn (w^i^) sin (nX^r)] cos (ny + y0),
e?y = — -^- [i?i sh (nXxx) cos (nX^x) + D2 ch (пХхж) sin (геХ2ж) -f-
+ ^3 sh (nA,^) sin (nX2x) +
+ Z>4 ch (nXix) cos (nA,2a:)] cos (ny -f t/e),
где
/>! = A1C1 + C2M, D2 = AjCt- CXM, Ds = AxCb-
— CtM, Dt = AxCi + C3M, M = VBX (B1 — Al).
1.2. В случае плоской задачи в полярных координатах
будут иметь место соотношения
i
A.371)

94 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Используя закон степенного упрочнения A.353), из
A.371) получим
A 372)
тгв = % Ае*-^, А, х = const. ' '
В случае плоской деформации в полярных координатах
для начального осесимметричного состояния
откуда
^ + ^ = 0. A.373)
Из A.373) следует
f J ^-§-, С = const.
A.374)
Используя разложения A.223), A.358), A.360), A.362),
A.361), записанные в полярных координатах, и выраже-
выражения A.374), из A.372) получим
п) + F^1'
где В = 4- I^tA*'1, ? = 2 A — х), а функции Я»-1), вС1-1»
d \уз/
зависят от компонент не выше (п — 1)-го приближения,
причем F <°) = в<°) == 0.
Уравнению несжимаемости
п
~F~ "+¦ Т~~до~ + ~ и
удовлетворим, полагая
„(D _ 1 д%а) П) _ ЭхA)
Здесь примем также, что
Х<« = rR (r) Ф F),

§ 8] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 95
тогда
ит = - дф, в?) = (д + г ™) ф,
—-—)Ф- —Ф
Из A.375) и A.376) получим
R ..
— (p
Из уравнений равновесия A.153) и A.377) будем иметь
_R_..)
г ^ I
A.378)
Из первого уравнения A.377) будем иметь
5FW
Дифференцируя первое выражение A.378) по б, а вто-
второе по г, вычитая одно из другого и используя A.379),
полагая при этом ф = cos пв, получим уравнение
+ (92 + 6? + 5 + 2п2 A - 2x)J г2 ^- +
+ r-g- [(?2 - 1) - 2п2 Bх - 1) (д + 1)] +
+ R [и4 + A — ?я). — B - 92)и2] = г/^-^, A.380)
где СЛ11-1) определяется из решения (п — 1)-го прибли-
приближения.

96 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА (ГЛ. 1
Для решения уравнения Эйлера A.380) положим
R = гд, тогда для определения ц имеем уравнение
ц* + 2<7ц3 + [<72 - 2 - 2 (х - 1)п2]ц2 -
— 2д [1 - Bх - 1)п2]ц + 1 - ?2 + B — ?2)п2 + и4 = 0.
A.381)
При и = 1 уравнение A.381) принимает вид
ц [ц3 + 2дц* + х (д2 -4х) - 4дк] = 0. A.382)
Корни уравнения A.382) суть
l*i = 0, |*« = 2 A - к), ц3 = 2х, ц4 = -2. A.383)
При и ^> 1 уравнение A.381) раскладывается на со-
сомножители
A12 + дц + а + ib) (ц* + дц + а- ib) = 0, A.384)
где
а = -[1 + 2 (х - 1)»га»1,
6« = 4 {ге4к A - х) + и2 [A - хJ - х] - A - х2)},
а2 + Ь2 = A - и2J + а2 (и2 - 1).
Из A.384) следует, что корни уравнения A.381) имеют
вид
1^1, 2, 3, 4 =
Y V | ±
± 4- Y\[V{(f -4aJ+m2 -{q* -4aJ]- A-385)
Пользуясь значениями корней A.383), A.385), можно
записать общее решение однородного уравнения A.380),
а далее получить выражения для первого приближения
компонент напряженного и деформированного состояния:
при п = 0
¦= - 4xSCoi (l - j^-) r"-2 + C02, A.386)
re — u, uT — ^ , er ,.2i

§ 8] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 97
при п = 1
о*1* - Br" {(?2 + 4qx)Cnr-*-1 + 4x8Cura*-1 +
+ 4C13r-3} cos F + 90),
(#> = Br" {q*Cur-q-1 + 12х2С12г^~1 +
+ 4 A-2к)С13г-3} cos F + 9a),
т# = Br" {?«Cur«-i + 4*2C12r2«-* + 4C1B/-»} sin (9 + в„),
и™ = - (Сиг-Я + C12r2« + C13r~2) cos F + 90),
4I} = [Cu A - g)r~9 + C12 Bx + iy*-C13r-2} sin F+e0),
4 (?u + 12 +
+2C13r-3) cos @ + 60),
«# = (в'СцГ-*-» + 4x2C12r2"-' + 4C13r-3) sin F + во);
при n ;> 2
о?» = ^{/«-'Cm [((m, - 1) [m, (mj - 2) + f32] +
+ (? + 4) [% (mi - 1) + P2] + (i-q + «2
+ (? + 1) (n2 - 1)) cos ф In r) + p (-mj - p2 -1-
- re2 +4xre2) sin (p In r)] + ^~1Сп2 l((mi - 1) x
X К К - 2) - p2] + (g + 4) К (OTl - 1) - p2] +
+ A - q + re2 - 4jmV! + (y + 1) (и2 - 1)) x
Xsin (P In r) +
+ p (ml - p2 - 1 + na - 4ки2) cos ф In r)] +
+ r-a-tCna [((m, - 1) [p2 + 7?г2 (вц - 2)] +
+ (q + 4) [in, (m, - 1) + p2] +
+ A - q + n2 - 4ип2)т?г2 +
+ (q+i) (n2 - 1)) cos (p In r) +
+ P (-ml - P - 1 — n2 + Аяп2) sin (p In r)] +
+ r-<a+1)Cn4 [((m, - 1) К (m, - 1) - p2] +
+ (q + 4) К (m2 - 1) - P2] + A + q + n* — Ып2)п? +
+ (? + 1) (и2 - 1)) sin (p In r) + p (m\ - P2 - 1 +
+ n2 — 4кге2) cos (p In r)]} cos (w9 + 90),
4 Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов

98
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 1ГЛ. 1
(О _
{*°-1Сп1 [((/га - 1) [mi (то, - 2) -\
+ (д -|- 4) К (/», - 1) + Р2] -4-
+ A + q + п*)тх + (д + 1) («2 - 1)) cos C In r) +
+ Р (—/га? — Р — 1 + п2 — 4хга2) sin (P In r)] +
+ ^-'Ся. [(К - 1) К G71! - 2) - Р2] +
+ (Я + 4) [/га! К - 1) - Р2] +
+ A + д + ni)m1 + (д + 1) (п2 - 1)) sin (P In r) +
+ р (ml - Р — 1 + и2 - 4кп2) cos (P In r)] +
+г-а~*Сп3 [(К - 1) 1т, К - 1) + р2] +
+ (д + 4) К К - 1) + Р2] +
+ A + д + п2)т2 + (д + 1) (га2 - 1)) cos ф In r) +
+ Р (—mS - Р — 1 + га2 — 4гах) sin (P In r)] +
+ г-"-1 Cni [((и, - 1) [/га2 (т2 - 1) - Р2] +
+ (д + 4) [т, К - 1) - р2] +
+ A+ q + п*)т2 + (д + 1) (га2 - 1)) sin (p In r) +
р(/га2, — р — 1 + га2 — 4хга2) cos (р In г)]} cos (пв + в0),
= В (г»-1 [Сп1 (/га? + Р2 + п* - 1) cos (p In r) +
+ Сп2 (ml - р2 + га2 - 1) sin ф In r)] +
+ г-*-1 [Сп3 (/га22 + З2 + па - 1) cos (p In r) +
+ Cni (ml - р2 + га2 - 1) sin ф In r)]} sin (nQ + 9„),
= -пг-ч {(Cnlr« - Cn3r-<*) cos (p In r) +
+ (Спяг» + С„4г-«) sin (P In r)} cos (га0 + во),
) = r-9{Cnlr« [a cos ф In г) — Р sin ф In г) — д + И +
+ С„2г« [а sin (p In г) + Р cos ф In г) — д + 1] —
- Сп3г-а [а cos (p In г) + Р sin (p In г) + д - 1] -
— Cnir~a [а sin ф In г) — р cos ф In г) +
+ q - 1]} sin (га0 + во),
= -4Т) = -гаг-9-1 {Cnlr« [а cos (p In r) -
- р sin (p In r)—q} +
+ Сп2га [а sin (p In r) + р cos ф In r) — д] —
— Спзг~а [a cos (P In r) +
+ Р sin (P In г) + д] — Cnir~a [a sin ф In r) —
- р cos (Р In г) + д]} cos (в9 + в0),

§ 8] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 99
е# = г-* {т«Сп1 (ml + р2 + п2 - 1) cos (р In r) +
+ г«Сп2 (те? - р2 + п2 - 1) sin (р In r) +
+ г~аСпз (т22 + р2 + п2 - 1) cos (p In г) +
+ r-aCn4 (ml — р2 + пг - 1) sin (P In r)} sin (n9 + 0„),
где
"ii — — Я + а. т2 — —9 — а-
а - ]/4~ [1/G2-4аJ+1662 + (?2 - 4а)],
2. В случае осесимметричной деформации соотношения
теории малых упругопластических деформаций принимают
вид
2 о4 2 о.
сгг о = -^ - ег, сгг о = -^ — ег,
2s. 2a.
9 3 ei 9' 3 ei
a4 = Ф (ei), er + ee + ez = 0, A.387)
1^2 ^ r — e' ^~ ^ e — z' ' ' z — ''¦' '" rzJ '
e4 = -ig- [(er — eef + (e9 — ezf + (ez — ег)^ + 6e«]'.
2.1. Предположим, что в начальном состоянии имеет
место простое растяжение
аг0) = const, сх<0) = (тео) = т<? = 0,
Линеаризируя соотношения A.387) и учитывая A.388),
найдем в первом приближении
of> =
а? > =
(В -

100 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Второму приближению соответствует
СТ(П) = а<"> + 2Ве(Щ +{В-А) 4"> + 2 (А - В) H^L +
41J
<п> = а<п> + 2МП> + (^ - А) е[П)
а<п> = а<п> + 2МП> + (^ - А) е[П) +2 (А-
о™ =
,(o)
Z
2 (А-в)
где
A.391)
с = -*-
Уравнению неразрывности удовлетворим, полагая
иГ>=4-^' „i»> = -L^. A.392)
Используя A.392), соотношения A.389), A.392) и
уравнение равновесия A.184), получим уравнение для
определения функции <р<п>:
в °\{) , (ЗА-в)^1 .
Эх4 ^ ^ ' дг*д& Ч
гз дг "I" Та Э^ ^ d^~ " ^ •
Решение однородного уравнения A.393) ищем в виде
в (Г) Sin (Я2). A.394)

§ 8] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 101
Для определения R (г) будем иметь уравнение четвер-
четвертого порядка]
Я —— -??-—-.¦ Г/" о.ч, , 2B-\d*R
dr^ r dr3
которое разбивается на два:
dr2 r dr A.396)
dr* r dr
где.
^2= _g_[E_34)-f*
о " т / Tt
= О,
Окончательно получим
Ф«> = г [CMpr) + CaiVjd) + _
+ cih №) + c*Ni №)] sin te- A-397)
Здесь Iu N1 — функции Бесселя и Неймана первого по-
порядка.
Соотношения для напряжений и деформаций имеют вид
+ У В {В + ЗА) {rR[ela + гДаО] sin Xz,
. (Я \
2е )]sinX,z,
ЗА) {Rxe~ia + Д^е1") sin
т^ = 4" VB {В + ЗА) (Дхе-ta + Лав*«) cos Xz,
цA) = 1_ (дх _j_ д2) sin Xz, A.398)
4l> = — {B-i+ Щс-osXz,

102 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
41} = г [Ri + -^2 — г (/?! + i?2)] sin Xz,
= -J- {Rx + Rt) sin U, a = arctg
где
Rl = Г ВД (И
2.2. Рассмотрим линеаризованные соотношения осе-
симметричной задачи в случае, когда имеет место степен-
степенное упрочнение A.353) и в качестве нулевого приближе-
приближения берется решение осесимметричной задачи при плос-
плоском деформированном состоянии для трубы радиусов
а и Ъ (а <С Ь), находящейся под действием внутреннего
и внешнего давлений рх и р2 соответственно:
(о) _ (Рх — Рг) а2* A — Р2И)
„(о) (Рх— Pi) а и [Bх — 1) — р2к] .. „„„
°е = 2х гх ' A.о9У)
@) I : / @) | @)\ _@) /-. @) Ст) (о) л
°s = /2 (CTr I °e ji ~р| == "I мр = , и\ = U,
где
Удовлетворяя уравнению несжимаемости при помощи
функций, аналогичных A.392), получим согласно A.185)
выражения для компонент деформации п-то приближения
ее = — -г-
; д,
p З
)- ' / ' ^f00 I 0^(v) I Э2ф'п)\
" 2 \ р 3^ Р2 др р OS, J

§ 81 ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
Подставляя разложение A.223) в соотношение A.387),
учитывая A.399) и A.400), получим
A.401)
где
_ А I 2C Y'1 dn-V /("-D Ап-1)
— ~~Ъ~\л/%) '
— функции, зависящие от компонент не выше (п — 1)-го
приближения.
Подставляя соотношения A.401) в уравнения равнове-
равновесия A.184) и исключая величину а("\ получим одно урав-
уравнение для определения ф<п):
2Х-М-Х-1
4x2—1 б2ф("'
1- ¦. ^#i ^j--= Ф01. A.402)
р- dp3 op4 v '
Рассмотрим решение уравнения A.402) для первого
приближения,когда ф(п-1^ равно нулю. Положим
<р<» = R (p) cos Я?. A.403)
Уравнение для определения R имеет вид
d4/? 4x — 2 d3/?
dp4 p dp'"
= 0. A.404)

104 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Уравнение A.404) можно представить в виде
dp ' r I '
\ dp2 p dp ' ' у \ dp2 p dp
A.405)
причем
Решение уравнения A.405) запишется в виде
R = р* [«V* A*Р) + С2^к (цр) + ?Л(Й») +
A.406)
Здесь /и, 7VK — соответственно функции Бесселя и Ней-
Неймана и-го порядка, Си Сг — сопряженные постоянные.
Напряженное и деформированное состояние для пер-
первого приближения определяется соотношениями
sin
я) р К 1 — x X
XUPi-x + e " )R[ + (fl-K + eU >J} sinbg,
-ifi-,) ¦'"
sin %l
-y {R[ + R'2) cos %l, A.407)

81 ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДО5
2p l v
" "~ -x (Д^ф + Д»е-*ч>I cos \
R2 = р* [CJK (flp) + C2NK (pip)].
2.3. Рассмотрим линеаризованные соотношения осе-
симметричной задачи в случае, когда имеет место степен-
степенное упрочнение A.353) и в качестве нулевого приближе-
приближения берется решение для полой сферы радиусов а, Ь
(а -< Ъ), находящейся под действием внутреннего и внеш-
внешнего давления с интенсивностями рх и р2 соответственно:
„?> = 4"-
= 0,
Здесь
= i*IE i/ I Pg — .Pi I
2 К 2ЛA-азх) '
а = IT > P = T"' rl = sign (Pa — Pi)-
Условию A.220) для материала несжимаемого и по упру-
упругим деформациям можно удовлетворить, полагая
(п) 1
Учитывая A.189), разложения A.227) и соотношения
A.352), записанные в сферической системе координат при
условии тРФ = Теф = 0, выразим компоненты напряжений

106 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
п-то приближения через функцию ф(п);
р р3* V sin 8 98 + sin 9 dp dQ ) "+"'
(n) _ (n) _D_ / 2х дф(п> 2 cos 8 дФ(п)
(") _ (") I JL / 2х ^Ф(п) _ 2р cos 9 дф(">
Гф — О -f- з ^
A.410)
^ sine зрзеу ' Уф
(n) D_ / 2р () ()
9
где
Здесь/[ГЧ/еГЧ /ф"'1', /ге~х) - функции, зависящие от ком-
компонент не выше (п — 1)-го приближения.
Подставляя соотношения A.410) в уравнения равнове-
равновесия A.188), исключая в(п\ получим уравнение
з% —
_6(х_
Функция /("-I), зависящая от компонент не выше прибли-

§ 8] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 107
жения (га — 1), для первого приближения равна нулю.
Решение для первого приближения будем искать в виде.
<D(D(p, 9) = Д(р) в (9), A.412)
dP (cos 9)
где в = —2_ sin Э, Рп (cos 9) — полином Лежандра.
После подстановки A.412) в A.411) будем иметь урав-
уравнение для определения R:
р4 ^iv _ б (х - 1) р3/?'" +
+ [9х (х- 1) - п(п- 1) (Зк - 1I p2i?" -
- (Зх - 1) [6(х - 1) - п (га + 1) (Зх - 1)] pi?' +
+ га (га + 1) [П{п + 1)— Зх (Зх - 1)] R = 0. A.413)
Для решения уравнения Эйлера A.413) положим R =
= р^. Тогда ц определяется из уравнения
+ [9х3 + 9х - 7 - п (га + 1) (Зх - 1)]ц2 -
—Зхц [9х — 7 — га (га + 1)Cх — 1)] + п (п + 1) —
— ЗхCх— 1) = 0. A.414)
Уравнение A.414) при га > 2, к < 0,8 имеет четыре
комплексных корня
2, з, 4 = 4" {Зх ± "/4" К(9х2-4а) + 16Ь2+ (9х2 - 4д)±
| — (9х2 - 4а)} . A.415)
Здесь
а = -L [9х - 7 - га (га + 1) (Зх — 1)],
Ь2 = -|- [Зга2 (га - IJ A - х) (Зх + 1) +
+ 2га(га + 1) —(9х-7J].
При га = 1 имеем
l^i — 2, ^2 = Зх — 2, (j,3 = —1, |л4 = Зх + 1.
Выпишем выражения для напряжений и перемещений
в первом приближении:

108 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
при п — 0 (напряженное и деформированное состояние
обладает центральной симметрией)
„(I) __ nln 4хС"о2
ф у
4Г) = -^
A.416)
о?» =
при га = 1
S~~ Cn ~ ^Г — * (Зх — 1) рСц] Pi (cos 9),
(x-l)Cx-4)^ , 2Cx-2)Ci2)_4kCx_ 1
13j
X Pi (cos 9),
2C12 и(Э>с-1) г ]
[Д ^ + р-Йг + Си] Л (cos 9),
(I) 0 [3 9 C З +
e =
—Ш
(I) o [3% — 4 n 3C12 , 3% — 1 _ 1 n
= 2 [-^г Си - -^ + ^r C13J Pi (cos 0),
(I) JI) Г3х~4 Г L 3C12 L З^ — 1 Г
(cos 9),

§ 8] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ 109
при п ;> 2, к < 0,8
of' = п (п + 1) Z? [M1 cos v (*Ai - УуСп2) -
— Afx sin v {yfirn + Х\Спъ) + Macos у (ж2С,.з — 2/2^4) —
— М2 sin v (г/2Спз + z3Cni)] Pn (cos 0),
оф = п (п + 1) D [Мх cos 7 {zxCnl — txCn2) -
— Л/j sin 7 (^Сщ + zxCn2) + Л12 cos 7 (zzCna — t2Cni) —
— M2 sin 7 (i2Cn3 + z2Cn4)] Pn (cos 0) —
~2D[NX cos 7 (ftxCnl - РСП2) - л/х sin 7 фСп1 + hCn2) +
+ N2 cos 7 (й2Спз — РСП4) —
dP (cos 6)
- N2 sin 7 (РСПЗ + KCni)\ ctg0 —2^ ,
o^1' = n (n + 1) D [Mx cos 7 (viCnl — м^хСпг) —
— Mi sin 7 (WiCm + vxCn<i) + M2 cos 7 (y2Cn3 —
— M2 sin 7 (u;2 Cn3 + y2Cn4)] ^n (cos 0)+
+ 2?> [ л/х cos 7 (kxCnX -~ РСП2) -
— ЛГ2 sin 7 (PChi + AxCna) + Л^2 cos 7 (k2CnS — РС„4) —
- tf, sin 7 (PCn3 + KCni)\ ctg0 dP"°S
= -D [iVi cos 7 (exCnX - /xCn2) - Nx sin 7 (ДСщ + ехСп2) +
Л^2 cos 7 (e2CnS - /2Cn4) -^V 2 sin 7 (/2Cn3 + e?ni)]Pn ^ 9),
= nin^ti) INi cos 7 Cnx - N, sin YCn2 +
+ ^VxCn3 cos 7 — Af 2Cn4 sin 7] Pn (cos 0),
= рз^-2 [ Nx cos 7 (ftxCnl - РСП2) -
— iVj sin 7 фСп3 + йхСпа) + JV2 cos 7 (/c2Cn3 — РСП4) —
- yV2 sin 7 $Cn3 + ftjCn*)] dP"fe°S9) , A.418)
= (n + 1) np8(x-o (iV1 cost [(Ax - 2) Cnl - РСП2] -
-#! sin v tPCnl + (Ax - 2) Cn2] +
+ iV2cos у [(k2 - 2) Cna- ?>Cai] -
-JiV2 sin v [РСПЗ + (*„ - 2)С„4]} Рп (cos 0),
) n (n + 1) p3(*-« {Ыг cos 7 [A - kx) Cnl + РСП2] +
p

НО ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА (ГЛ. i
4- N% sin 7 [pCn3 + (к, - 1) Cni)} Pn (cos в) -
_;рз(к-1){А/1 cos Y (kiCni _ pCn2) _ A/1 Sin Y фСп1 + кхСпг) +
+ Л/2 cos 7 (k2CnS — PCU4) —
d/> (cos 0)
- л/2 sin 7 (|3Cn3 + ?2Cn4)} ctg 9 —^ i ,
4I} = n (я + 1) рзо^-i) {Л^! cos у (Сп1 - Cn2) -
— JVi sin 7 (Cnl + Cn2) + #2 cos 7 (Cn3 — Gn4) —
- N2 «,ji 7 (C«8 + С„4)} Л, (cos 6) +
+ p8<*-D {A/x cos 7 (kxCnX - РСП2) - Nx sin 7 (РСП1 + kxCM) +
+ Л^а cos 7 (k^Cna — f5Cn4) —
dP (cos 9)
- #2 sin 7 фСп3 + /t2Cn4)} ctg9
1cos У (eiC«i — /iC«2) —
^f* = 2 зA-И)
— N1 sin 7 (/xCni + ^iCn2) + Л^2 cos 7 (б?2Спз — /2Cn4) —
dp (cos 9)
— Л^2 sin 7 (/2Cn3 + еаСл4)] щ
Здесь использовались следующие) обозначения:
у = Р In p, Mt = р**-"* [(Зх - А,)« + Р*]-1, N, = р**-"
а;. = к\ + 3/сг (и - 1) + Л;г [18и2 + 15х - Р2 +
+ п (п + 1)] + ЗР (к + 1) - Зи[12и + п (п + 1I,
у, = 2Д|р - 6?гРх + Р№2 - 12х - и (в + 1)],
z. = _з/с?х + ЗА? (Зх - 1) Bх + 1) -
—А, [Зх (Р2 + 9х2 + 9х - 7) - и (и + 1)] +
[+ Зр2 (х - 1) + Зх [9х - в (и + 1I,
- р [Зх (9х2 - Зх + 1 + р2) - и (и + 1I,
v. = ^ B—Зх) + ЗА? Fх2 - Зх - 1) +
+ к, [Зх (^2 - 9х2 - 9х + 7) + п (п + 1)] +
+ Зх [18х2 - 12х - п (п + 1)] - Зр (х + 1),
щ = _ЗА?рх + 6AjPx (х - 1) + Зр2(9 - хР) -
- Р2 [Зх (9х2 - 9х + 1) + п (п + 1I,
et - А? - Р2 + я (л + 1) - Зх, /j = 3 (А, - 1),

§ 8]
ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
111
где
i = 1, 2,
-L
4- К(У^2 - 4аJ
(9х2 - 4а)]
-у V (9х2 - 4аJ + 16Ь2 - (9х2 - 4а).
3. Малый параметр 6 может характеризовать отклоне-
отклонение нелинейной диаграммы а — е от линейной.
Предположим, что имеют место соотношения теории
малых упругопластических деформаций A.352). Перепи-
Перепишем эти соотношения^ виде
olj = Т (ev)e'tj,
On = Ф (еи), а = Же, A.419)
? (еи) = 2Ф (еи)/Cеи),
где о"и и еи соответствуют интен-
сивностям напряжений и дефор-
деформаций A.352). Положим
T(eu) = 2G+Q(eu). A.420
ТогдаизA.419)иA.420)получим'
+ Q
(Ту =
e'iJt
^-u(eu)eu, A.421)
Рис. 14.
a = ЗКе.
В случае линейного упрочнения (рис. 14) имеем
au = 3Geu + 3 (б. - б) (еи - es), A.422)
где 3GS = dau/deu. Следовательно, в этом случае
~?(ец~ез) • A-423)
Пусть малый параметр 6 характеризует отклонение нели-
нелинейного участка диаграммы аи — еи от линейного. Ве-
Величину Q запишем в^виде
Q (еи) = бю (ev). A.424)
Очевидно, что при 6 = 0 соотношения A.421) перехо-
переходят в соотношения линейного закона Гука. В случае

112 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
линейного упрощения можно положить б = 2 (Gs — G),
тогда й (еи) = (еи — es)/eu.
Соотношения A.421) перепишем в виде
аи = "Юеи + Зкб ие + 6сог7,
A.425)
(otj = ол (еи) е'ц, к = К — 2/3G.
Подставим выражения A.425) в уравнения равно-
равновесия и при переходе к компонентам перемещений по-
получим
G (uUj + ujtii) + Ьикщ,„ = pFi — 8(Oij-j. A.426)
Граничные условия для напряжений примут вид
BGeu + k8ue) lt = Pt — &<Atjl3. A.427)
Решение будем искать в виде рядов по малому парамет-
параметру. По определению еи = 0^2/2) (еиеи)">, откуда
г н
+ ба —¦
Следовательно,
2 <i0) ' A.428)
Аналогичные выражения имеют место для а{^\ а?\ о^\ . . .
Выражения со и сог7- представимы в виде рядов:
Оо
со = 2 д"а><»> == со (ei? + бе™ -|- б*е(иП) + . . .),
Г „ о» A.429)
"р=0 ' 'q=n

§ !)] УПРУГАЯ КРУГОВАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ПЛАСТИНА ИЗ
Отсюда следует:
.(о)'
u
A.430)
' +
Согласно A.426) — A.428) имеет место рекуррентная
система уравнений:
G. (П) . (П) \. , fi я (П) 7-i(n) (П—1) /л /олч
(u\t jj -f- u)t jj) 4- 6^AUi, <j = p/^J ; — a>ij, f A.431)
и граничных условий:
у?1хвц -\- oAOjj^ ") lj = i-^] •— (D\jlj на Лр,
(n) (n) о
U<i —— ^iO На О ^»
Определение /г-го приближения сводится к решению зада-
задачи теории упругости при массовых и поверхностных уси-
усилиях pF — <»yj» Pi — atif lj и перемещениях
тщ\ Если внешние усилия, граничные условия не зави-
зависят от параметра б, то
Метод последовательных приближений для решения
задач теории малых упругопластических деформаций —
«метод упругих решений» — был предложен А. А. Илью-
Ильюшиным [57]. В отличие от указанного алгоритма А.. А.
Ильюшин не предполагал разложения функции со^ по сте-
степеням параметра б.
§ 9. Напряженное и деформированное состояние
упругой круговой кольцевой пластины,
нагруженной в своей плоскости
Для решения ряда задач требуется знать напряженное
и деформированное состояние в упругой круговой коль-
кольцевой пластине, нагруженной в своей плоскости.
Обозначим напряжения на внешнем контуре кольцевой
пластины г = г„ через о", т"о, а на внутреннем контуре
г = rt — через а\, x\q (рис. 15).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
Разложим контурные напряжения в ряды Фурье
о" =
= a0
ап cos nQ
sin
n=i
a" cos
n=l
j = a0 + 2 a" cos ra9
n=i
OD
r9 = ao + 2 a« cos "9
n=l
^" sin
bn sin
A.433)
n=i
bn sin «9.
n=i
Отметим, что контурные нагрузки при п = 0 суть а" =
= а0) о"г = а0, а кроме того при любом п > 1 каждая из
контурных нагрузок
a? = an cos /г9, a" = Ъп sin re9,
т а' cos /г9 т"е = b'n sin re9,
о"г = Ъ"п sin /г9,
Tre == b'n sin re9.
сама по себе образует систему,
находящуюся в равновесии.
Исключение составляют нагруз-
ки при га = 1:
т"е = «о + «i cos 9 + Ъ[ sin 9,
A.434)
т?0 = a'o + «Г cos 9 + &Г sin 9.
Рис. 15.
о" = аг cos 9 + &х sin 9,
or =
9 + Ь'[ sin 9,
Система нагрузок, соответствующая первому соотно-
соотношению A.434), статически эквивалентна силе величиной
Яй]/,,, направленной по полярной оси, и силе величиной
nbLrllf перпендикулярной к первой и проходящей через
центр кольцевой пластины. Система нагрузок, соответст-
соответствующая второму соотношению A.434), эквивалентна силе
n,b[ra, направленной по полярной оси, силе na{ra, перпен-
1) Здесь и ниже штрихи в нерхном индексе используются для
обозначений коэффициентов рядов^Фурье.

§ 91 УПРУГАЯ КРУГОВАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ПЛАСТИНА 1 ] 5
дикулярной к ней и проходящей через центр кольца и
моменту величиной 2па'0г1 и т. д.
Для того чтобы нагрузки A.434) находились в равно-
равновесии, необходимо выполнение соотношений
(«1 — Ь;)га — К — b'i) г-г = О,
Fi + «О га - (Ь[ + а?)п = 0, A.435)
а'Л — а'Уг = 0.
Ниже для каждого частного случая самоуравновешен-
самоуравновешенных нагрузок выпишем составляющие напряжений и пере-
перемещений х):
I. а" = а0, ol = а0, т"е = т?е = 0;
тогда
0Р = рГ=1 [«оР2 — «о — К — ао) |
тр9=0, A.436)
и = (р2-1)Д fA - И) КР2 - «о) + A + Ц) («о - «о) Р2/Р2] rtp,
и = 0.
Здесь и всюду в дальнейшем обозначено
^=Р> ^,=Р: т:Л:
II. о" = о*=0, т"е = ао, тгг6 = «о, а/о — «оГ2 = 0.
Тогда
(тР = о-е = U, тре = —а- = —— ,
Р ,„ Р A.437)
0 Л)
III. o"r = i, \
Tr9 = &Г sin 0,
x) Подробный вывод этих соотношений содержится в книге
Biezeno СВ., Grammel R., Technische Dynamik. Ber-
Berlin, Springer, 1 Aufl.: 1939; 2 Aufl.: 1953; русск. перев. Б и ц е-
н о К. Б., Граммель Р. Техническая динамика, Л., Гостех-
издат, 1950.

11E ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. I
причем
К — Ь[) га — (я; — b'i) /•; = 0.
Тогда
Го Р
= [3 т
от —1
-f - Зр) + pJ- (в1 - ej) C -J- + il)] cos 9,
, Cm+ 1N '/ m-1 1 + pa
от -J- 1 р
—j (аг — я,{3) f-p ~) j sin 0,
1 Г™+13™-1 о ^iiJi
л L m 3m -j- 1 x p ' m p2
где
Зт + 1
l =
3m + 1 «i — \ 4 —
8m B2 + l ^2(B4— II
Г - .i! —
3~ 2
2 8m 64-1 ^2F4— 1)'
IV. a" = &i sin 0, (Tr = &i sin 0, tJ?9 = aj cos 0,
Тк) = «i" cos 0,
причем
(&! + Я-) Га — {b{ + Я,) Гг = 0.

§ 91 УПРУГАЯ КРУГОВАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ПЛАСТИНА 117
Тогда
— Г р h Л- (Зт +')Р /(, I \ /1 + Р2 Р2 \ г
+ Ri4rr(bi — 6iP) (-5 К)] sine. (!-439)
р , ,_Cm + lN ., , - , m~l 1 + 62 ,
6i - Ь'Ф) C -|- + ^)] sin 0,
_ Г P h t Cm+ 1N /u , ' / m — 1 1 + ft2
TP6- LX 1"+rn(p2 + l)l°i-ral)(v 3m +1 ~
~~ Л Г Si^—Г C&i — &iP) ("И ^-I cos Q.
+ 1 3m - 1 ^ , p , m + 1
3O
So- La Wi sm ",
1 Г m + 1 3m —1 r /, p
m P
где
^ 3m +1 ,, '.
CF + )
m + 1 p2 r 5m + 1
r h 3m+1
3 2
2 8m 1+P2 +2(p«—1)
V. aar = an cos nQ + &n sin /i9,
(Tr = Tr9 = Тгг9 = О.
Тогда
+ и [(» + 1) - -i - p-*.] (^)(n+2) + („ - 2) [(» + 1) -
- "P2 - P2"] (-^-)П+ (и -J- 2) [(n - 1) - rep2 + p-2nj(-g-)"} X
X (a,, cos nQ -\-bnsm nd),

118 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
+ п [- (п + 1) 4- rip-* 4- Р-2П] ("|-)"(n+2)+ (n4-2)[-(n+lL-
4- «Р2 4- P2n)] (-ff + (п - 2) [- («-1L- «Р2 - р-2"] х
X (-J-) Л (ап cos nQ + bn sin nQ),
A.440)
+ »[(» + 1) - /Г2 - Г"] ("f )"(П+2) + »[-(»+!) +
4- яр2 + P211] (-|-)n + n [(в -1) - n^ + p-an] (-?-)""} x
X (an sin И0 — bn cos И0),
4- (и 4- 2 4- ^r)c* (t)"^1] pri (a" cos "9 + bn sin "9)l
+ (n -4+¦?)c* {тУп~1Г1pri (fln sin nQ ~bn cos w9)i
где
Г -(в-1) + Др-2-р'Я г -(В + 1) + яр-* + Р~'П
Ul 2(тг — 1)ЛГ ' °2~ 2(
' "* 2 (л — 1)JV ~" '
Здесь и всюду ниже обозначено
N = 2 (и2 - 1) - га2 (Р 4- Р2) + (Р"* + Р2")-
VI. Or = 0, O-J. = аЛ cos ге0 4- % sin nQ, x% = т^е = 0 .

§ 9] УПРУГАЯ КРУГОВАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ПЛАСТИНА 119
Тогда
(Гр=^-{« К» - 1) - «Р2 + Р-2П] Р(п-2) +
+ п [(п + 1) — га|32 - p2n] p-("+2) +
+ (п - 2) [(п + 1) - /гр - Р-2П] Рп +
+ (и + 2) [(га — 1) — /?р-2 + Р2"] Р""} К cos re9 + 6„ sin nQ),
+ п [- (и + 1) + rap2 + p2rt] p-C^> + (/г + 2) [- (га + 1) +
+ гср-2 + р-»»] р" + (п - 2) [- (/г - 1) + «Г2 - Р2"] Р-"} X
X (ап cos /гб + Ъп sin /г9),
тгв = ^т {«[-(»-1) + «Р2 - Р-2"] Рп~2 +
+ п \{п + 1) — /*Р2 — P2nJ p-<n+2) + п [— (и 4-1) +
4- яр + Р-2"] Рп + п [(га - 1) - яр + P2nJ p-"} X
X (an sin nQ — bn cos nQ),
(}] ^i ^a"cos nQ + 6"sin "e^
4- ^n — 4 4- ~j C4 f-|-j X J P^ (an sin геб — b"n cos гаЭ),
где
Г _ -(n-l)-hnpa-p-'" й-(„-2)
Cl - 2(»-1)ЛГ Р
(Д41LДрг + Г g_(n+2)
Р '
3 ""

120 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
VII. а" = el = 0, Tre = On cos nQ + Ъ'п sin nQ, т?9 = 0.
Тогда
аР = Ж {[~ (" - *> (" + 2) + и2Р + (» - 2) П (-|-Г2
+ [(п - 2) (п + 1) - п»р-« + (п + 2) р-*»] (-^-)
+ [- (n - 2)(n + 1) + (p? _ 4)P* - (n - 2) РП (-g-)n +
+ [(n - 1) (n + 2) - (n« - 4) p* - (n -f- 2) p-«»] (-?-)"*} x
X (— an sin nQ + 6n cos re0),
° = 2Г {[(" - 1) (» + 2) - «T2 - (n - 2) P2"] (-^
+ [- (n - 2) in + 1) + и2р-2 - (П<+ 2) p-an] (-JL)
+ [(n + l)(n + 2) - (n + 2Jp2 + (n + 2) p*"J (-|-)n +
+ [_ (n - 2) (n - 1) + (n - 2J p2 + (n - 2) p-2"] {-Vf1) X
X (— an sin /г9 + bn cos /г9),
A.442)
= 2Г {t(« - 1) (» + 2) - «2P-2 - (n - 2) Г] (-§-
+ [(n - 2) (n + 1) - nap-« + (n + 2) p-*»] (^-)
+ [/г(/г + 1)- n(n + 2)p« + „p.»] ^"+[n(n _ 1}_
- n (n - 2) p2 - rep-2"] (-г-)'"} К cos nQ + b'n sin nQ),
X
" Pr4 (— с sin re9 + b'n cos n0),
(f Г + (—4+y) c< (f Pu] x
X P^ (an cos re9 -(- fen sin «0),

§ 9] УПРУГАЯ КРУГОВАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ПЛАСТИНА 121
где
Г — (га — 1)(я + 2) — ra2jj~2 — (п — 2) ра"
r - (я - 2) (я + 1) + Г2 ~ (» + 2)
2 2я(я + 1)ЛГ
2"
r
4~
2 (я — 1) /V
VIII. <т" = агг = т^ = 0, Тгв = an cos тг9 + b'nSinnQ.
Тогда
аР = Ж U- {п - !) (ге + 2) + ге2Р2 + (и - 2) Р-2П] Рп +
+ [(п - 2) (п + 1) + (п + 2) Р2* - re2j32]p-(n+2> +
+ [- (п- 2) (п + 1) + (/г2 - 4) р~2 - (п - 2)$-™] р» +
+ [(/г - 1) (п + 2) - (ге2-4) р~2- (и + 2) р2"] р-"} X
Х(— а'п sin тг9 + 6„ cos тг9),
(Т9 = ^\Г (К" - 1) (« + 2) - «2Р2 - (/г - 2) Р~2"] р"-2> +
+ [- (п - 2) (п + 1) + тг2C2 — (тг + 2)р2>-<"+2> +
+ [(/г +1) (п+2) -(п + 2J р-2 + (ге+2)р-2"]р"+
+ [_(„_ 2) (и _ 1) + (в _ 2J р-2 +(в- 2) p2rtJp-n}X
Х(—an sin nQ + 6^ cos пб), A.443)
ТР9 = W Шп ~ !) (ге + 2) - ге2Р2 - (" - 2) Р-2"] Рп-2 +
+ [(в-2) (п + 1) - /г2р2 + (га + 2) p2llj p-("+2) +
+ [л (п + 1) - п (п + 2) р-2 + пр-*Чр» +
+ [п (тг - 1) - тг (тг - 2) р~2 - »р2п] р~п) X
ail cos тгб + Щ, sin »0),
+ » С + "У * (f)*" - (. - 2 + i±l) ft (f
+ (тг + 2 + ^-) C4 (-g-L"] Pr, (- a: sin тгб + b'"n cos тгб),

122 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. i
(п — 4 + -^-) С4 (-§-) " 1 P^i («n cos габ + b'n sin га0),
где
г _ [(» - 1) (я + 2) - »2Р2 - (» - 2) ?Г2"] Р"-2
1 2я(« — 1) /V
г .._ [- (^ - 2) (п + 1) + п^ - (я + 2)
2 2n(« + l)/V
_
3
г .-
4
2(л
Рассмотрим частный случай соотношений A.436) —
A.443) для случая неограниченной пластины с круговым
отверстием, когда га = оо, р = ро. После соответствую-
соответствующих предельных переходов получим:
I. Соотношения A.436) примут вид
— (а0 — а0) -^-J,
се = [а0 + («6 — «о) -^г] , тре = 0, A.444)
" = 4- [A — V) «о + A + [х) (а0 — Оо) -4] г;р, у -= 0.
II. Соотношения A.437) примут вид
а
СТр = СТв = 0, Тр0 = —j-,
A.445)

g 9] УПРУГАЯ КРУГОВАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ПЛАСТИНА 123
III. Соотношения A.438) рассмотрим в предположе-
предположении ах — Ъ[ = 0, d\ — Ъ\ — 0. Тогда
or9 = — ~? cos 9,
A.446)
IV. Соотношения A.439) рассмотрим в предположении
+ ai = 0, &i + аГ = 0. Тогда
A.447)
1 т 4- 1 Ь1 • о 1 т + 1 6i „
Г81П9 V —¦ -р ! 7Го rd COS 9.
Е т 2р2 *
Е т 2р2 г Е т 2р2
Рассмотрим случай неограниченной кольцевой пла-
пластины, когда усилия приложены по внутреннему контуру
пластины.
V. Соотношения A.440) могут иметь отличные от нуля
решения в случае неограниченной пластины, если п = 2.
'Тогда
°р = [l — -j-5- + -рг] («2 cos 29 + Ъ2 sin 29),
(те = — [l + -|r] (а2 cos 29 + b2 sin 29),
р9 = [— 1 — 4- + "^-] («2 sin 29 — 6a c
м=4- [t1+^r) (p - -p-) + -f]r 4 (ffl2 cos 2e+6a sin 29)'
тр9 = [— 1 — 4- + "^-] («2 sin 29 — 6a cos 29), A.448)
X гг (а2 sin 29 — Ъг cos 20).
VI. Соотношения A.441) примут вид
1 / п п 4- 2 \ " "
гр = -о- — ~^рг Ч п \ап cos re9 -1- 6П sin re0),
z V Р Р /

124 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. 1
1
п+2 -|——\\fln sin ret) — bn cos nk)),
1 Г п
m) pn+i ~2(л-1)Г
X
11" "
X —^- rt (а„ cos n0 + 6n sin nQ),
M 1C1-449)
ri (a" Sin n6 ~ b"n C0S re0)-
M
m) pn+l
VII. Соотношения A.442) для неограниченной пласти-
пластины решений не имеют.
VIII. Соотношения A.443) примут вид
стР = -у I ^5 ^— (— a™ sin re9 + Ъп cos геб),
Ое = -у (— "^а + —^—) (— a" sin ге6 + °п cos
Трв = -у f-^ х) (я« cos ге6 + b'nsin гаЭ), A.450)
я —2
J\ 1 ге +2 +
X /"; (— а„ sin геб -|- 6n cos геб),
Е
X ri (а'п cos и0 -|- b'n sin геб).

ГЛАВА 2
ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
§ 1. Решение упругопластических задач
теории идеальной пластичности методой малого
параметра
Рассмотрим алгоритм решения упругопластических
задач теории идеальной пластичности в случае, когда на-
напряженное состояние в пластической зоне является стати-
статически определимым. В этих задачах уравнения равновесия,
условие пластичности, статические граничные условия пол-
полностью определяют напряженное состояние в пластиче-
пластической зоне.
Статически определимые задачи сводятся к решению
гиперболических уравнений (плоская деформация, осе-
осевая симметрия и пространственное состояние в случае
полной пластичности) или параболических уравнений
(плоское напряженное состояние при условии пластично-
пластичности Треска х).
Рассмотрим для примера случай плоской деформации.
Пусть задано некоторое двусвязное тело, ограниченное
Достаточно гладкими контурами L1 и Ьг (рис. 16), к кото-
которым приложена внешняя нагрузка. Пусть, далее, пласти-
пластическая зона охватывает внутренний контур тела, a L, —
граница пластической зоны.
При решении задач теории пластичности необходимо
рассматривать весь процесс нагружения. Распределение
напряженного и деформированного состояния упруго-
пластического тела, вообще говоря, будет зависеть от
того, каким путем происходило изменение внешних на-
нагрузок. Активный процесс нагружения идеально пласти-
пластического тела имеет место в случае, когда пластическая
х) Анализ возможных случаев при плоском напряженном состо-
состоянии при различных условиях пластичности содержится в [51] и др.
работах.

12В
УИРУГОПЛЛС'ШЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. 2
зона в любой последующий момент нагружения включает
в себя пластическую зону в любой предыдущий момент
нагружения. В противном случае в 'отдельных частях
тела возникает разгрузка.
Для того чтобы задача была статически определимой,
необходимо предположить, что имеет место активный
процесс нагружения. Напряженное состояние в пласти-
пластической зоне в статически оп-
определимых задачах полно-
полностью определяется условия-
условиями на контуре Lx. Но по-
положение границы пластичес-
пластической зоны Ls может быть
определено только из реше-
решения ^упругопластической за-
задачи.
Если граница Ь1 не воз-
возмущается и внешние усилия
на внутреннем контуре L1
фиксированы (например, кон-
контур Z/j свободен от внешних
усилий), то изменение границы Ls происходит за счет
изменения усилий на внешнем контуре L2, к которому
примыкает зона упругого состояния материала.
Решение методом малого параметра определяется вбли-
вблизи исходного известного «невозмущенного» состояния.
Такими исходными решениями обычно являются хорошо
известные точные решения задач: равномерно растяги-
растягиваемые полоса или стержень, цилиндрическая труба, на-
находящаяся под действием равномерного внутреннего и
внешнего давления, кольцевая пластина под действием
равномерно распределенных усилий, полая сфера под дей-
действием равномерного внутреннего и внешнего давления
и т. п.
Решение в пластической зоне, как и всюду, ищется
в виде рядов
Рис. 16.
¦» -0
B.1)
Исходное, напряженное состояние crj'^ известно. Если на-
напряженное состояние в пластической зоне фиксировано и

§ 1] РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 127
совпадает с a\fp, то
4")Р = 0 при п > 1. B.2)
Если граница тела, примыкающая к пластической зоне,
или внешняя нагрузка на этой границе варьируются, то
в%)р фО при п > 1. B.3)
Рассмотрим далее условия сопряжения A.240). На
контуре непрерывны все компоненты напряжения
[ат] = [огв] = [хгв] = 0. B.4)
Пусть исходное напряженное состояние является осе-
симметричным; тогда всюду
[т<ое>] = 0. B.5)
Далее из уравнения равновесия
? + ^-о р.»,
и B.4) следует, что
= ° на
Из A.240), B.5), B.7) следует, что условия сопряжения
для компонент ar, xvq для re-го приближения не содержат
компоненты pras. Напомним, что условия сопряжения для
любого приближения снесены на исходный контур Ls —
границу пластической зоны в нулевом исходном прибли-
приближении. Для исходного осесимметричного состояния кон-
контур L°s — окружность.
Итак, вначале полностью может быть определено на-
напряженное состояние B.1) в пластической зоне. Далее ус-
условия сопряжения для компонент аг, ггд определяют гра-
граничные условия на контуре Ь°$ в первом приближении для
упругой зоны.
Для определения напряженного иТдеформированного
состояний в упругой области решается задача при задан-
заданных граничных условиях на контуре L°s и L2.
Из условия сопряжения компоненты cfe в первом при-
приближении определяется величина psl. Условия сопряже-

128 УПРУГОШ1АСТИЧЕСК0Е СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
Him для компонент а,., т,е определяют граничные условия
на контуре L\ во втором приближении для упругой зоны.
После определения напряженного состояния в упругой
зоне во втором приближении из условия сопряжения ком-
компоненты о*е во втором приближении определяется величи-
величина ps2 и т. д. По определенному напряженному состоянии
в упругой зоне определяются компоненты перемещения
в упругой зоне.
Условия сопряжения компонент перемещений A.241)
определяют граничные условия на контуре L°s для опре-
определения перемещений в пластической зоне. Перемещения
в пластической зоне полностью определяются заданием
перемещений на L°s-
Аналогично решаются статически определимые задачи
плоского напряженного, осесимметричного и пространст-
пространственного состояний.
Статически неопределимые задачи рассматриваются,
в принципе, аналогично, но решение их требует совмест-
совместного сопряжения компонент напряженного и деформиро-
деформированного состояний на исходном контуре L\. Примеры по-
подобных решений содержатся ниже.
Отметим, что в упругопластических задачах особый
интерес представляет определение положения упруго-
пластической границы. Возникновение пластических зон
ведет к перераспределению напряженного состояния,
максимум напряженного состояния достигается на грани-
границе упругопластического состояния.
§ 2. Двуосное растяжение толстой пластины
с круговым отверстием
1. Рассмотрим вначале упругопластическое состояние
толстостенной трубы радиусов а, Ъ (а < Ь), находящей-
находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений р0, р
(рис. 17) в случае плоской деформации. Материал трубы
будем предполагать несжимаемым.
В дальнейшем все величины, имеющие размерность
напряжения, отнесем к величине предела текучести к,
величины, имеющие размерность длины,— к некоторой
характерной длине. В качестве характерной длины

§ 2J ТОЛСТАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
129
выберем радиус пластической зоны rs. Обозначим
ар = аг/к, тр9 = ггв/к, q0 = ро/к,
q = р/к, р = г/г„ а = а/г„ B.8)
( Р = ЫГ„ Up = Ur/rs, Щ = Ue/rs.
Для безразмерных величин ав/к, G/k сохраним прежние
обозначения ад, G. Очевидно,
всюду
Тре= 0, ер9= 0, щ= 0. B.9)
Уравнение равновесия за-
запишется в виде
" • = 0, B.10)
dp ' Р
граничные условия —
<*р = — Яо при р = а, B.11)
<Тр = —q при р = р. B.12)
Рис. 17.
В пластической зоне, примыкающей к внутренней по-
поверхности трубы, имеет место условие пластичности
(Т9 - <Тр = 2х. B.13)
Знак х устанавливается ниже.
В упругой зоне A ^ р <; Р) распределение напряжений
определяется по формулам A.436)
B.14)
р ~ *в~~ 2GP2 '
Определяя А из граничного условия B.12), получим
. B.15)
5 Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов

130 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
В пластической зоне (а <; р"<; 1) из B.10), B.12) и
граничного условия B.11) найдем
< = —Яо+ 2и In (p/a), of - —до+ 2х A + In (р/а)).
B.16)
На границе упругопластического состояния материа-
материала имеют место условия сопряжения
[ор] = [ое] = 0 при р = 1. B.17)
Согласно B.17) из B.14) и B.15) получим
-q + B(i- Р2) = -<70 - 2х In a,
B.18)
-q + B(i + Р2) = -д0 + 2х A - In а).
Из B.18) определяется постоянная
В = ^, B.19)
а также трансцендентное соотношение для определения
радиуса пластической зоны
-^ = <7-?о + «A + 21па). B.20)
Знак к определяется из условия возникновения плас-
пластической зоны на внутреннем контуре а = rs, а = 1. Из
B.20) получим
К = Sign (g0 - д). B.21)
Согласно B.21) соотношение B.20) примет вид
(| д0 - q | + 2 In a - I)f32 + 1=0. B.22)
Компонента радиального перемещения всюду определяет-
определяется из условия несжимаемости
^ + ¦> = 0, B.23)
откуда
мр = Т ' еР = ~ ее = - -^ . «в = 0, ^ = gg- • B-24)
Используя выражения B.20), B.19), можно оконча-
окончательно записать соотношения для компонент напряже-
напряжений, перемещений и деформаций. В случае растягиваемой

|2J
ТОЛСТАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
131
бесконечной плоскости с отверстием E->- оо; соотношение
B.22) запишется следующим образом:
1па = 1 — \д0 — q\.
B.25)
Из B.25) можно в явном виде определить границу плас-
пластической зоны
B.26)
Компоненты напряжения в упругой области согласно
B.15), B.19) запишутся в виде
ае = ? т> ае = ? + -т- B-27)
Компоненты перемещения и деформации примут вид
ип =
2GP '
B.28)
2. Рассмотрим бесконечную плоскость с круговым от-
отверстием радиуса а, растягиваемую на бесконечности вза-
взаимно перпендикулярными
усилиями ри р%, причем
на контуре отверстия дей-
действует нормальное давле-
давление р0 (рис. 18).
За параметр б примем
величину
Pi —
2к
B.29)
Очевидно, что при б =
= 0 (р1 = р2) пластина на- Рис. 18.
ходится в осесимметрич-
ном состоянии.
При 6 = 1 имеет место рг — р% = 2к. В этом случае
на достаточном удалении от отверстия пластина находит-
находится в состоянии предельного сдвига.
Упругопластическое состояние пластины имеет место
при 0< б < 1.
Переходя к безразмерным координатам, припишем ин-
индекс «О» наверху компонентам исходного состояния и

132 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
ПОЛОЖИМ
где г° определяется согласно B.26).
Граничные условия на бесконечности перепишем
в виде
ofp^ = q — б cos 29,
ore = g + в cos 29, B.31)
где q
T = 6sin29, где q = ±±L.
На контуре отверстия имеют место следующие усло-
условия:
о? = —q0, tp'e = 0 при р = а. B.32)
Решение будем искать вблизи осесимметричного со-
состояния 6 = 0. Осесимметричное состояние в пластиче-
пластической зоне согласно B.16) определяется в виде
( ^) B.33)
<°>р = 0 х = 1
В рассматриваемой задаче внутренний контур и внеш-
внешние нагрузки на нем не варьируются, поэтому согласно
B.2)
о#)р = 0 при п > 1. B.34)
Пластическое напряженное состояние независимо от
величин нагрузок на бесконечности полностью определя-
определяется соотношениями^B.33). r;.j*j ,;'A|
Компоненты напряженного состояния в упругой об-
области в нулевом приближении определяются по формулам
B.27), деформированного состояния — B.28).
Определим первое приближение. Граничные условия
на бесконечности B.31) примут вид
в<Л) -« = - cos 29, х§ -о = sin 29, B.35)
B.36)

§ 21 ТОЛСТАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ 133
Из условий сопряжения решения A.240) согласно
B.33), B.27) получим
a(I)e = T(I)e==0 при р = 1, B.37)
а также
cr(i)e = 4p(I> прир = 1. B.38)
Граничные условия B.35), B.37) определяют согласно
A.448), A.449) решение в упругой зоне
Из B.39) и B.38) найдем
р<*> = cos 29. B.40)
Определим второе приближение. Согласно B.27), B.33),
B.34), B.39)—B.40) из условий сопряжения A.240) по-
получим
a(ii)e = _1 _ cos 49, B.41)
т$)е = -4 sin 49 при р = 1,
а также
4р<"> = (#1)е - 8 cos2 29 при р = 1. B.42)
Граничные условия B.36), B.41) определяют согласно
A.444), A.449), A.450) решение в упругой зоне
-|—¦4.)sin48.
Из B.43) и B.42) найдем
p(ii) = _ i- (i _ cos 49), {2.44)

134 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
Определим третье приближение. Согласно B.27),
B.33) - B.34), B.39), B.40), B.43), B.44) из условий соп-
сопряжения A.240) получим
а(Ш) в = _ з cos 29 - Щ- cos 69,
р 3 при р=1, B.45)
О)• = — 3 sin 29 - 15 sin 69,
а также
4p(iii) = a(iii)e_^LC0S2e — ^ cos 69 при р = 1. B.46)
Граничные условия B.36), B.45) определят согласно
A.449), A.450) решение в упругой зоне
B.47)
зш 29 + D- - -Щ) sin 69.
\ p6 p8 /
Из B.47) и B.46) найдем
р(Ш) = — (— cos 29 + cos 69). B.48)
Определим четвертое приближение. Согласно B.27),
B.33), B.34), B.39), B.40), B.43), B.44), B.47), B.48)
из условий сопряжения A.240) получим
apIV)e = — 10 cos 49 — Ц- cos 89,
2 при р = 1. B.49)
Tg,V)e = - 10 sin 49 - 56 sin 89,
а также
= a(Iv)«_-I_^cos49 — ij^cos89 при р= 1.B.50)
]_ _ у cos4e _ liil
Граничные условия B.36), B.49) определяют согласно
A.449), A.450) решение в упругой зоне
(IV) е 10 ,о , /175 126\ oq
apV) =__ cos 49+^-^) cos 89,
av)e 10 105 126
<IV)e 10 . ,fl . /70 126
*e =--^-sm49+(-?r--^

4 ?j ТОЛСТАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ 135
Из B.51) и B.50) найдем
p(iv) = -± (_ i _ 4 Cos 49 + 5 cos 89). B.52)
Аналогично определяются последующие приближения.
Согласно B.40), B.44), B.48), B.50) выпишем прибли-
приближения для упругопластической границы
рв = 1 + б cos 29 — -|-62 A — cos 49) -{-
+ -|- б3 (— cos 29 + cos 69) +
+ -^ б4 (- 1 - 4 cos49 + 5 cos 89) + .... B.53)
Компоненты напряжений в упругой области определе-
определены формулами B.39), B.43), B.47), B.51). Используя эти
выражения, из соотношений закона Гука согласно A.156)
получим выражения компонент перемещений в упругой
области:
+ 2б3 [±- cos 29 - (± - ±) cos 69] +
+ 46* [-1- cos 49 - (jr-jr) cos 8Q] + ¦ • - B-54)
( ^) (^ J
+ в» [A sin 26+ 2 (-? + ¦?¦) sin 66] +
Зная выражения компонент перемещений в упругой
области B.54), выражения для радиуса пластической зо-
зоны B.53), из условий сопряжения компонент перемещений
A.241) получим граничные условия для определения пе-
перемещений в пластической зоне:
B(D р = _ 1 cog 20 „(D р = * sin 29; B.550

136
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. i
(п)р
B.552)
(III)p
op
OQ . 1
cog 20 4- —
cos2 20 —
_ i.^1 (i _ cos 40) = ±-(9 cos 20- 5 cos 60),
±-
- cos4e) = Jg (sin 29 - Tsin 6e)
(IV)p
OQ , 1
cos 2e + IT
cos3 2e ^ т
_ _ (i _ cos 40)
cog2 2e +
~cos 29 + cos 69) ~
+ -^5- cos 20j =
j
= — (9 cos 40 — 3 cos 80 — 10),
.(IV) v
2!
3 и /m
_ _ A _ COS 40)
+
g^g
COS 20
20J =
= ^G8 sin 49+ 33 sin 89)
при p = 1,
где G — безразмерный модуль упругости, отнесенный к
величине к.
Для определения перемещений в пластической зоне
в рассматриваемом случае следует использовать уравне-
уравнения A.207), A.209). Так как тРе = 0, то уравнения для
любого приближения имеют вид A.267), решения которых
определены в виде A.267).

§ 21 ТОЛСТАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ 137
Из A.267) и граничных условий B.55) найдем компо-
компоненты перемещения в пластической области
^f = у - 46 [cos (l/3 In р) + 4г sin (]/3 In p)l cos 29 +
+ — б2 - 2б3 {[cos A/3 In p) — "J/3 sin (l/3~ln p)] cos 29 +
+ Jcos (|/35 In p) - p=-sin (l/35 In p)l cos 69J + ...,
= 26 [2;cos A/3 In p) + LL — yi:\ sin (/3 In p)] X
sin 29 + 262 ("cos A/15 In p) + y= sin (уЧб In p)l sin 49 -
- 63 J Г 2 cos (/3 In p) + LL + /3) sin (/3 In p)j sin 29 +
j
4G/
к
X
+ ... B.56)
Точное решение рассмотренной задачи в напряжениях
было дано Л. А. Галиным [7]. Показано, что в принятых
обозначениях границей пластической зоны является эл-
эллипс
\ + A = i B.57)
где координаты х, у отнесены к r°s.
Переходя к полярным координатам х = р cos 9, у =
= р sin 9, перепишем уравнение B.57) в виде
р = '-» .. B.58)
/1 — 26 cos 29 + б2
Разлагая соотношение B.58) в ряд, можно убедиться,
что первые четыре члена разложения B.58) в точности
совпадают с выражением B.53), полученным методом ма-
малого параметра. Л. А. Галин показал, что условие стати-
статической определимости для данной задачи накладывает
ограничение на отношение полуосей эллипса
6< A/2-1)а ж 0,1713. B.59)

13S
УЛРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. 2
На рис. 19 показана граница пластической зоны, пост-
построенная по формуле B.53) при б = 0,17. Здесь же пункти-
пунктиром нанесена граница, полученная по точному решению.
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 19.
Очевидно, что уже первые два приближения (кривые 1 и
2) дают удовлетворительную картину сходимости к точно-
точному решению.
§ 3. Двуосное растяжение толстой пластины
с эллиптическим отверстием
Рассмотрим бесконечную плоскость с эллиптическим
отверстием с полуосями а A + с), а A — с), растягивае-
растягиваемую на бесконечности вза-
взаимно перпендикулярными
усилиями pv p2, причем
на контуре отверстия L
действует нормальное дав-
давление р0 (рис. 20).
Положим
с =
Pi — P2.
—
Рис. 20.
B.60)
где б, d1, d2 — постоянные, принимающие значения в пре-
пределах: 0 < б < 1, 0 <^г < 1.

§ 3] ТОЛСТАЯ ПЛАСТИНА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 139
Очевидно, что при dx = 0, d2 = 1 имеет место двуос-
ное растяжение пластины, рассмотренное в предыдущем
параграфе; при dx = 1, d2 = 0 — имеет место пластина
с эллиптическим отверстием под действием нормального
давления. В нулевом приближении (при 6 = 0) имеет
место осесимметричное состояние плоскости с круговым
отверстием.
Переходя к безразмерным координатам, запишем урав-
уравнение эллипса отверстия г = г% (9) аналогично B.58) в
виде
аA
р. = —
* )Л-26^ cos +^
откуда
р = а + бр« -f- б2р(П) + б3р(ш) + . . . =
= а f I + 6di cos 29 — ^- 62^ A — cos 49) +
+ -g-б' rfi (— cos 29 + cos 69)] + • • • • B-62)
Предположим, что внутренний контур охвачен пласти-
пластической зоной. Рассмотрим граничные условия A.237).
Так как р0 = const, то правая часть в граничных услови-
условиях всюду равна нулю. В первом приближении граничные
условия A.237) с учетом B.33), B.62) примут вид
of)Р = —2dx cos 29, т(ре)Р = -Ых sin 29 при р = а.
B.63)
Из решения A.263) и граничных условий B.63) опре-
определим выражение напряжений в пластической зоне в пер-
первом приближении
= ^ (/3 sin х - cos % cos 29) , of)p = a(pI)p,
P., B„64)
^cosxsm29 X=K31n?-
Из граничных условий A.237) для второго приближе-
приближения с учетом B.33), B.64), B.62) получим
(И)р д 72 • ,0
tvPe = — 6 а\ sin 49

140 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
Из решения A.263) и граничных условий B.65) опре-
определим выражение напряжений в пластической зоне во вто-
втором приближении:
-f- cos 40 — (cos у — |^15 sin y) —
- ^ (8 + 11 cos 2% - 7 КЗ sin 2x)]} ,
-l--^D-7cos25c + K3sin2)c)+ B.66)
-f- cos 40 — (cos у —1/5 sin y) —
--jjCcos2x-7j/3"ain23c)]},
= dl sin 40 [^ cos у - -Hi A + 7 cos 2X + /3 sin 2x)] ,
Аналогично могут быть определены третье и любые
последующие приближения.
Определим решение в упругой области и радиус плас-
пластической зоны. Граничные условия на бесконечности ана-
аналогично B.31) запишутся в виде
о™ = q — 6d2 cos 20, а*" = q + 8d2 cos 20,
тГее = Srf2sin29. . B.67)
В первом приближении граничные условия на беско-
бесконечности примут вид
с,™*» = -d2 cos 29, т$хе = d2 sin 20; B.68)
в последующих приближениях —
4п)о°е = 0, т<,е)осе=0 при п>2. B.69)
Из условий сопряжения решения A.240) в первом при-
приближении согласно B.33), B.64) получим
4I)e = -2d1a (cos ъ + 1^3 sin x0)cos 20, %о = V^ In a,
B.70)
Tpe)e = — Ыха cos %0 sin 29 при p = 1,

§ 3] ТОЛСТАЯ ПЛАСТИНА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 141
а также
р<х> = -1 а(в1)е + 2dia (cos Xo + КЗ sin Xo) cos 29
при р = 1. B-71)
Согласно граничным условиям B.68), B.70) из A.448)
определим компоненты напряжения в упругой зоне
a<pI)e = cos 29 {- d2 (l - А + Л.) +
+ 2d,a [(-?¦ - A.) cos xo + (-|г - jr) V^si
o(9I)e = cos 29 [da (l + ±) + Ц?- C cos Xo - КЗ sin Xo)] ,
B.72)
= sin 29 {( f f)
f - -f) cos » + (-f - -f
Из B.72) и B.71) найдем
p<J) = (d, + 2d1a cos %0) cos 29. B.73)
Определим второе приближение. Из условий сопряже-
сопряжения решения A.240) во втором приближении согласно
B.33), B.64), B.66) получим
of1)е = А + В cos 49, , ._ _..
р при р = 1, B.74)
т{Д)е = D sin 49
где
А = ^- [- 1 + а2 D + cos 2xo+ K3"sin 2х0)] -
^2
В = -i- [a (cos v0 + |/5 sin y0) —
- a2 (8 + И cos 2Xo -f 7 ^3 sin 2x0) - (da + 2dlO cos x0J,
Z) = d2 [2a cos vo - a2 A + 7 cos 2х„ - КЗ sin 2Хо)] -
— 4 Bdxa cos Xo+ d2) tdi« C cos Xo + V^ sin Xo) + dzl
In a,

142 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
а также
Р<1Х) = 4" °9П)е + ^-Ц + а*{А+7соз2Хо-УЗ sin 2%0) -
— cos 40 [a (cos Yo + |^15 sin y0) —
-a2Ccos2x0+7|/3sin2x0)]}-
— A — cos 40) (d2 + 2di<x cos %0) [d2 + d^a C cos x0 —
-l/3sinxo)J. B.75)
Согласно граничным условиям B.69), B.74) из A.444),
A.449), A.450) определим компоненты напряжения в упру-
упругой области:
Из B.75) и B.76) найдем
Р»П) = - Т ^ ~ dld2(X D cos x» ~
+ ^- [1 - а2 A0 f 7 cos 2Xo - 3 V% sin 2Xo)] f
+ cos 401-^ da + <^i^2 а D cos Хо + 3 F^sin x0) +
+ d\ [- a cos Хо + а2 B + 5 cos 2Хо + ^ sin 2^)]} . B.77)
Выражения для третьего приближения имеют громозд-
громоздкий вид; ниже приведем уравнение границы пластической
зоны с учетом третьего приближения, полученное В. В.
Кузнецовым для случая равномерного растяжения плас-
пластины с эллиптическим отверстием, находящейся под дей-
действием равномерного внутреннего давления (d± = 1, d2 =
= 0):
ps = 1 + 26a cos Xo cos 20 + б2 j-i [1 — a2 A0 + 7 cos 2x0 —
-3K3sin2xo)J-
- cos 40[acosx0 - a2 B+5cos 2 xo+ Ц^ sin2 x0)]} +

§ 3] ТОЛСТАЯ ПЛАСТИНА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 143
+ б3 cos 29 {- ~ [(l2 +31^5 )cos x0 +
+ № + 21/15") sin xol + t [422 cos (Yo - Xo) -
-A21/3 + 141/15) sin (Yo - Xo) - A68 + 61/5) cos (Yo +
+ Xo) -F1/3 + 171/15) sin (Yo + Xo)] +
+ -^j- A63 cos Xo — 1001/3 sin Xo + 140 cos 3xo —
- 1051/3 sin 3x0)} + б3 cos 69 {-f- [y= sin tj0 +
+ 3A+ Yh) cos tjo] + g [C12 + 61/5) cos (Yo - Xo) +
+ A41/3 + 21/15) sin(Y0 - Xo) - A5K5~+ 285) cos (Yo +
+ Xo) - B3 /3 + 51/15) sin (Yo + Xo)] +
+ —r- E64 cos Xo — У^> sin Xo +
-r-cos oxo +11 К о sin о
a. B-78)
Ha рис. 21 представлены кривые 1, 2, 3, рассчитанные по
формуле B.78) при а = 0,7 и соответствующие первому,
/ I,Z' 0 0,2 Ofi 0,6 0,6 I 1,2
Рис. 21.
второму и третьему приближениям. На рис. 21, а приня-
принято 6 = 0,1, чему соответствует отношение малой полуоси
эллипса отверстия к большой, равное ^ 0,81, на рис. 21, б

144 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
принято б = 0,2, отношение полуосей соответственно рав-
равно х 0,67.
Обратимся к определению перемещений в упругой и
пластической областях.
По известным компонентам напряжений в упругой об-
области B.72), B.76) из A.30) можно получить выражения
+ ^г [cos Хо- КЗ sin Xo— ^ (cos /0- ^sin хо)\} cos 20,
B.79)
v<1)e « 2* [* (Р + "f) + ^ (cos X. - ? sin x.)] sin 29,
где здесь и ниже модуль сдвига отнесен к пределу теку-
текучести, а также —
B.80)
у(П> е = i [т Т(О ~ 5) + Т "F BS - 3Z))]sin 40'
где А, В, D определяются согласно B.74).
Из условий сопряжения перемещений A.241) в первом
приближении и B.79) получим при р = 1
u(I)p = 4jn (~ 2d2 ~ dia ^ sin х„) cos 20,
2 dia (cos Zo - ^ sin Xo)J sin 29.
Линеаризированные уравнения для определения пере-
перемещений в пластической области в первом приближении
имеют вид A.264). Используя решение однородной систе-
системы A.264) и определяя частное решение уравнения A.266)
с известной правой частью, получим
= {- 2 [d cos (x + Хо) + Сг sin (x + Xo)J +
+ Щ? (cos X - ^3 sin x)} cos 29, B.82)

§ 3J ТОЛСТАЯ ПЛАСТИНА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 145
vA)p = \{Сг + УЗС,) cos (х + хо) + (С2- КЗСО sin (х +
+ ^ф- cos x] sin 29,
Аналогично определяется второе приближение, для
которого приведем окончательное выражение
в(П)р = _ JCi cos (Y + Yo) + Ci sin (Y + Yo) +
+ ^ [Д + Q cos 2Х1 + Т sin 2Х1 + |j- (cos у - VIE sin у) -
— -^г- A + cos 2x —1^3 sin 2x)]} cos 49 - Cap, B.83)
»(П)Р = -г {(Ci + V^C»)cos (V + Yo) +
(С,--
*Т cos 2Xl - 1^3<? sin 2xi - ^ cos у
где
= - -J- [2d2 (cos x0 - КЗ sin Xo) -
— did (cos 2/0 + ]/ sin 2x0)],
Q = d2 + dta cos Xo, ^ = У^^2 + ^a sin %0.
На рис. 22 представлены перемещения на контуре от-
отверстия в случае равномерно растягиваемой толстой плас-
пластины с эллиптическим отверстием, находящейся под дей-
действием равномерного давления при a = 0,7 для случаев,
представленных на рис. 20. Кривые 1, 2 соответствуют
первому и второму приближениям радиального перемеще-

146
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. 2
ния. Кривые Г, 2' (рис. 22. б) и 3, 4 (рис. 22, а) соответ-
соответствуют первому и второму приближениям тангенциального
Рис. 22.
перемещения. Тангенциальные перемещения значительно
меньше радиальных.
§ 4. Эксцентричная труба
под действием внутреннего давление
Рассмотрим упругопластическое состояние эксцентрич-
эксцентричной трубы под действием внутреннего давления р. Пусть
радиусы стенок трубы а и
b (а <С Ъ), эксцентриситет
— с (рис. 23). Уравнение
внешнего контура трубы
(х — сJ + г/2 = Ь\ B.84)
Полагая х = г cos 9, у =
= г sin 9, перепишем B.84)
р2 — 2бр cos 9 4-
+ (б2 - |32) = 0, B.85)
где о = — .
Рис. 23.
Из B.85) найдем
р = б cos 9
— 62sin29=|3 f д cos 9 — FV2.3) sin2 9+ ...
B.86)

§ 4J ЭКСЦЕНТРИЧНАЯ ТРУБА 14?
Решение будем искать вблизи известного осесиммет-
ричного напряженного состояния
°Г~р—?, ^°)e = ^ + f, т<Г = 0, B.88)
где компоненты напряжения отнесены к величине преде-
предела текучести к, psi = rsi/r°s.
Линеаризированные граничные условия на внутрен-
внутренней поверхности трубы
</РП)Р = тр6)Р = 0 (» > 1) при р = а, B.89)
откуда аналогично B.2) всюду в пластической зоне
а<Г)р = т(рпе)р = а[)п)р=0. B.90)
Из условий сопряжения решения A.240), в первом
приближении согласно B.87), B.88) получим
cr(p1)e = T(pJe)e = 0 при р = 1, B.91)
а также
о(в)е = 4psl при р = 1. B.92)
Граничные условия на внешней поверхности трубы
в первом приближении согласно A.237), B.86), B.88)
примут вид
(Г<р1)е = _2|3-3 cos 9, т$е = -2,8-3 sin 9 при р = р.
B.93)
Условия B.91), B.93) позволяют определить согласно
A.440) напряжения в упругой области:
{2M)

148 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
Из B.92) и B.94) найдем
? B-95)
Определим второе приближение. Из условий сопряже-
сопряжения решения для второго приближения A.240) согласно
B.87), B.88), B.90), B.94) получим
8 B.96)
т(ре1)е = — (р4_1J sin 20, при р=1,
а также
PS2 = Ta9U)e + (p^riT2(l + cos2e) при р = 1. B.97)
Граничные условия на внешней поверхности трубы во
втором приближении согласно A.245), B.88), B.86), B.94)
примут вид
РЧ1И-1) [4р4 + ф* + 3)cos29]l
•$**= Р4(Р41_1) EР4 + 3) sin 29 при р = р. B.98)
Условия B.96), B.98) позволяют определить согласно
A.436), A.443) напряжения в упругой области
, / J 2_ J_\ J_
I Р Р3 + Рб/ P2
ГС- 1 + -1
LI 1+Р»
J
- 4 [(_ 1 + ^) + Ф*~ Р) ± + A -р«) -^ J!^} cos 29,

§ 4J ЭКСЦЕНТРИЧНАЯ ТРУБА 149
0(">е - 4 Гт« _ б2 -L 1} + Л! -4-
4 [A-p2) + (P2 - P4) -pV + (З - -|r +- -pr) P2] x
8P2 .1 Pnn од С9 QQ\
J4- +
+ 2 A - p») ^] 1p^IF} sin 29,
Из B.97) и B.99) найдем
2 , 1 f (pa— 1)(P«— 3)
1
p« Г/, _1_\4 _4_Л,__М*_

150
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
[гл.:
На рис. 24 показана граница пластической зоны при б =
= 0, 1, Р = 10/6 (г° = 0,6 Ъ) в первом A) и втором B)
приближениях.
Рис. 24.
Определим перемещения в упругой и пластической об-
областях в первом приближении. В нулевом приближении
ф) = -^ , у<»> = 0. B.100)
Перемещения в упругой области, соответствующие нап-
напряжениям B.94), находятся согласно A.156)
' — -i-)cos6,
B.101)
Условия сопряжения A.241) согласно B.100), B.101)
примут вид
u<i>p = 0, yd)p = —i-_sin0 при p = l. B.102)
Из A.274) и B.102) получим
=- ' (lnp+ l)sin9.
B.103)
§ 5. Двуосное растяжение тонкой пластины
с круговым отверстием
1. Рассмотрим вначале упругопластическое состояние
бесконечной пластины с круговым отверстием радиуса а.
Предположим, что пластина растягивается на бесконеч-
бесконечности равномерными усилиями р, а контур отверстия сво-

§ 5] ТОНКАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ 151
боден от усилий. Рассмотрим условие пластичности Трес-
Треска. Напряженное состояние в пластической зоне соответ-
соответствует стороне ВС (см. рис. 8), если положить аг = сть
вв = с2. Переходя к безразмерным координатам B.8),
интегрируя дифференциальное уравнение B.10) при усло-
условии Се = 1 и граничном условии стр = 0 при р = а, по-
получим
() аер = 1, т& = 0. B.104)
В упругой зоне A < р < оо) распределение напряже-
напряжений определяется по формулам B.14). Удовлетворяя гра-
граничному условию сгр = q при р = оо, где q — р/к, и усло-
условиям сопряжения [сГр] = [о"е] = 0 при р = 1, из B.14)
и B.104) получим
е
°р =
2^г. ое = д+2^г, тре = 0, g = l__.
B.105)
Из последнего условия B.105) найдем
Соотношения B.105) определяют перемещения в уп-
упругой зоне (коэффициент Пуассона здесь и ниже принять
равным 1/2)
[ ] "9 = 0, B.107)
где Е — безразмерный модуль упругости, отнесенный к
пределу текучести к. Из A.213), B.104) получим
u^ = ~(p-2alnp) + C, 4 = 0. B.108)
Из B.108), B.107) и условия сопряжения [мр] = 0 при
р = 1 получим окончательно
u? = -^-(a + p-2alnp), 4 = 0. B.109)
2. Постановка задачи о двуосном растяжении тонкой
пластины с круговым (или эллиптическим и т. п.) отверс-
отверстием совпадает с аналогичной постановкой задачи в слу-
случае плоской деформации (гл. 2 § 3). Отличие состоит в том,

152 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
что для случая плоского напряженного состояния имеет
место другое условие пластичности и, следовательно,
другое распределение напряженного и деформированного
состояния.
Рассмотрим бесконечную плоскость с круговым отвер-
отверстием радиуса а, растягиваемую на бесконечности взаим-
ноперпендикулярными усилиями ри р2. Контур отверстия
будем считать свободным от усилий.
За параметр б примем величину
6 = ^=^1, 0<6<1. B.110)
Граничные условия на бесконечности имеют вид B.31),
на контуре отверстия
0р = 0, т?е = 0 при р = а. B.111)
Решение будем искать вблизи осесимметричного сос-
состояния B.104), B.105), B.107), B.108). В рассматривае-
рассматриваемой задаче внутренний контур и нагрузки на нем не варь-
варьируются, поэтому согласно B.2)
о%)р =0 при п > 1. B.112)
Определим первое приближение. Граничные условия
на бесконечности B.31) принимают вид B.35), B.36). Из
условия сопряжения решений A.240) согласно B.104),
B.105), получим
о?1)е = т$е = 0 при р = 1, B.113)
а также
ap.i = о#)е при р = 1. B.114)
Граничные условия B.35), B.113) определяют соглас-
согласно A.448) решение в упругой зоне
aP' = (l -I-^rjcos26, B.115)
Tp@ = 11 -f- —5 j-1 sin 26.
Из B.115) и B.114) найдем
B.116)

§ 5] ТОНКАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ 153
Определим второе приближениеД Согласно B.104),
B.105), B.112), B.115), B.116) из условий сопряжения
A.240) получим
<*/PII)e=-4(l+cos4e), BЛ17)
а-4е1)е = — 16 sin 46 при р = 1,
а также
cc2pS2 = ct(T(IJ)e~ 12 A + cos 40) при р = 1.
B.118)
Граничные условия B.36), B.117) определяют, соглас-
согласно A.444), A.449), A.450) решение в упругой зоне
-?) sin 46.
Из B.118) и B.119) найдем
a2ps2 = _8 A _ 2 cos 46). B.120)
Определим третье приближение. Согласно B.104),
B.105), B.112), B.115), B.116), B.119), B.120) иэ условий
сопряжения A.240) получим
a2of П)е = 56 cos 20-136 cos 60,
m, B.121)
а2 т(ре )е = - 64 sin 20 - 256 sin 60, при р = 1,
а также
a8ps3 = a2o#II)e - 152 cos 20 - 296 cos 60 при р = 1.
B.122)
Граничные условия B.36), B.121) определяют соглас-
согласно A.448), A.450) решение в упругой зоне
а*„<ш>' =-"-cos 28 -(-¦^ - ™)cos66, B.123)
fc ,„ ее.

154 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
Из B.123) и B.122) найдем
«3ps3 = -80 (cos 20 — cos 60). B.124)
Определим четвертое приближение. Согласно B.104),
B.105), B.112), B.115), B.116), B.119), B.120), B.123),
B.124), из условий сопряжения A.240) получим
= —16—992 cos 40 — 2800 cos 80,
B 125)
a«r$V)e= -1088 sin 40 — 4256 sin 80, "
а также
a*Psi = a*o$y)e + 1696 cos 40 — 5264 cos 89
при p = 1.
Граничные условия B.36), B.125) определяют соглас-
согласно A.444), A.449), A.450) решение в упругой зоне
«Л,(IV). = _ J» + (И»._ j^P_)cos40 +
. /7280 10080 \ QQ
+ Hs ^w- c°s 80,
(IV)e _16_ , /¦ 96_ , ^280 '
e - p2
4368 , 10080 \ Qa
cos 80,
a3T('V)e _ /J^2_ _ 1280 \ g.n ,Q /5824 _ 10080 \ g. 8Q
B.127)
Из B.127) и B.126) найдем
a*psi = 32A-16 cos 49 + 14 cos 80). B.128;
Аналогично определяются последующие приближе-
приближения. Согласно B.116), B.120), B.124), B.128) выпишем
приближение для упругопластическои границы
ps = 1 + 46* cos 29 - 86*2 A-2 cos 40) -
-806*8 (cos 20 — cos 60) + 326*4 A-16 cos 40 +
+ 14 cos 80) + . . ., B.129)
где 6* = 6/a.
Компоненты напряжений в упругой области опреде-
определены формулами B.115), B.119), B.123), B.127). Исполь-

§ 5] ТОНКАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ 155
зуя эти выражения, из соотношений закона Гука соглас-
согласно A.160) получим выражения компонент перемещений
в упругой области:
- jr) «» 49] - 46*' Ц± _ -J.) cos 29 +
-^)cos69J + 86^-l_2(^_^c
-(¦^-^)сов86]+...}<», B.130)
- 4б*' (-F ~ ^) sin 49 + 45*' [(-L + ?) sin 29 -
52 105
Зная выражения компонент перемещений в упругой
области B.130), выражение для радиуса пластической
зоны B.129) из условий сопряжения компонент перемеще-
перемещений A.241) получим граничные условия для определения
перемещений в пластической зоне:
и?»-!-D-*) «я 20,
-^-(8-!¦)-«;
B.131)
»№= ^ К8 - i)cos 2е+D--8)cos 60]'

156 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
и ?У)Р= -"L Г± _ 4 + B4 — —)'cos 40 + (— - 20) cos 8э]
где ? — безразмерный модуль упругости, отнесенный
к величине к. Для определения перемещений в пласти-
пластической зоне в рассматриваемом случае следует использо-
использовать уравнения A.211), A.212). Так как о{?)р = 0, то
уравнения для любого приближения имеют вид A.275),
решения которых определены в виде A.277). Из A.277)
и граничных условий B.131) найдем компоненты переме-
перемещения в пластической области
Eul = -i- (a + р — 2а In р) + Ы* (— — i) cos 20 +
+ 46*'[4 L+2D--2)cos4e] +
+ 86*'j[(8 - -|-) cos 2G + (-| 8) cos 68] -
- 16б*4[4 - -L + ^~- - 2'4) cos46 +
+ /20 - -ii-) cos 80] + ...} a,,
B.132)j
Eul = {- 46* [(Г- -i-) p - D - 4-)] sin 20 +
+ 8P[D-5)p-4D-2)]sin40-
-;i66*'{[4D-l)P-D-8)]sin20 +
+[2G-i)p-3(8-4-)]sin6e}+
+ l5D— 9)P-8D--lo)]sin80 + ..-}«.
Точное решение рассмотренной задачи в напряжениях!
было дано Г. П. Черепановым [81]. Показано, что в при-|
пятых обозначениях границей пластической зоны являет-
является овал, уравнение которого может быть представлбЙО

§ 5] ТОНКАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВКРСТИЕМ 157
в параметрической форме
х = , [( + ) + W\
*л B.133)
у = -jZT^r fd — Щsin * — № sin 3?],
где координаты x, у отнесены к г", определяемому из
B.106); t — параметр.
Величина % в B.133) является действительным корнем
кубического уравнения
Решение B.133) справедливо при Я-< 1/3, в этом слу-
случае упругопластическая граница представляет некоторый
овал; при % ^> 1/3 появляется петля, которая лишена ме-
механического смысла.
Определим отношение полуосей овала при X = 1/3.
Обозначая полуоси овала
o=s(* = 0), 6 = у(* =
из B.133) получим
Таким образом, максимально возможное отношение
большей полуоси овала B.133) к меньшей равно четырем.
Вводя параметр б по формуле B.110) и обозначая (рг +
+ р2)/2к = д, учитывая, что 1 — д = V2 а, перепишем
B.134) в виде
К8 + 1 = 28*. B.135)
Из уравнения B.135), если разложить А. в ряд по б*,
получим
X = 26* — 8б*8 + О (б*5). B.136)
В осесимметричном случав (б* = 0) К = Яо = 0 и из
B.133) имеем
х = cos t, у = sin t, B.137)
откуда следует, что t = t0 — 0, где 9 — полярный угол.

158 УПРУГОПЛАСТИЧКСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ.2
Перейдем к полярной системе координат
х = р cos 9, у = р sin 9. B.138)
Положим
t = 9 + &*tv h = h + б**2 + 8*%
B.139)
Согласно B.133), B.138)
у sin 8 __ A—2A,)sin? — k2sin3t /9 1Af)\
~x~ cos!) A + 21)cost + X2cos3* ' ^ 4 ^
откуда имеем
— sin 6*?! + 2Vsin B0 + 6*?x) + %*sm D9 + 36*?x) = 0.
B.141)
Из разложения B.140) по параметру б* определим
t-L = 4 sin 20, t2 = 12 sin 40,
h = — -у- sin3 20 + 48 sin 60 - 16 sin 20, B.142)
tt = 16(—28 sin2 20 sin 46 + 12 sin 60 cos 20 +
+ 9/2 sin 80-6 sin 40),. . .
Далее из B.138) и B.133) найдем
р = -j^jr [A + *-2J+ 2^2A + cos 4г)+4 X A + X2) cos 2tJ2,
B.143)
где Я имеет разложение по б* B.136), а для cos 2t, cos At
имеют место следующие разложения по б*:
cos nt = cos nQ — ntxb* sin 20 —
г I Я2*2 \
— 6* Int^sinnQ -j—57—cosre0) —
— 6*' (nt3 sin re0 + -Sj- Ыг cos nQ — ~- t\ sin nQj —
— б*' nti sin nQ 4- -кг- (<2 + 2fif3) cos re0 —
or o^2 sin re0 — ~rrh cos «9 + ...,
я = 2,4. B.144)

§ 5]
ТОНКАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ
159
Разлагая B.143) в ряд по параметру 6*, используя
разложения B.136), B.139), B.142), B.144), полу-
получим 4)
ps = 1 + 46* cos 20 - 8б*2 A-2 cos 46) -
- 80 6*8(cos 20 - cos 60) + 326*4(l-16cos 40 +
+ 14 cos 80) + . . . B.145)
Выражение B.145) представляет собой разложение
в ряд по параметру б* границы пластической зоны B.133)
О 0,2 0,4 0,6 0,8 I
Рис. 25.
1,2 f,4
в полярной системе координат. Видно, что первые четыре
члена разложения совпадают с соответствующими чле-
членами разложения B.129).
Согласно B.135) б* ж 0,185 при X = 1/3. Следова-
Следовательно, решение B.129) следует использовать в пределах
0< б*< 0,185.
На рис. 25 показана граница пластической зоны,
построенная по формуле B.129) при б* = 0,1. При-
Приведены четыре приближения (кривые 1, 2, 3 и 4).
Здесь же нанесена пунктиром граница, полученная по
точному решению.
х) Приведенное разложение
Ю. М, Марушкей.
решения B.133) выполнено

160 УПРУГОПЛАСТИЧКСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
§ 6. Двуосное растяжение тонкой пластины
с эллиптическим отверстием, свободным от усилий
Для решения рассматриваемой задачи следует повто-
повторить процедуру решения задачи в случае плоской дефор-
деформации, используя вместо соотношений B.23), B.27), B.33)
соответственно выражения B.104), B.105), B.107), B.108).
Определим напряженное состояние в пластической зо-
зоне. В первом приближении граничные условия A.237)
с учетом B.104), B.62) примут вид
^ %<j>p = _2dlSm 20 при р = а.
B.146)
Из решений A.272), A.273) и граничных условий B.146)
определим выражение напряжений в пластической зоне
в первом приближении
„<¦>»., *,(-!—?.)„« 26, <#>» = <),
Из граничных условий A.237) для второго приближе-
приближения с учетом B.104), B.146), B.62) получим
при р = а. B.148)
Из решения A.273) и граничных условий B.148)
определим выражения напряжений в пластической зоне
во втором приближении:
р L\ 4Р Р / V 4 р р2 р3 / J
= ^-A —cos 46), B.149)
= Ы\ I -^- х") sin 46.
Аналогично могут быть определены третье и любые по-
последующие приближения.
Определим решение в упругой области и радиус пла-
пластической зоны. Граничные условия на бесконечности

§ 6] ТОНКАЯ ПЛАСТИНА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ 161
имеют вид B.67), в первом приближении B.68), в после-
последующих — B.69).
Из условия сопряжения решения A.240) в первом при-
приближении согласно B.105), B.147) получим
в™" = dlO C - 4а) cos 20,
m, при р = 1, B.150)
T(pIe)e=-2d1a2sin2e, У V ;
а также
apsi = 4I)e при р = 1. B.151)
Согласно граничным условиям B.68), B.150) из A.448),
A.449) определим компоненты напряжения в упругой
зоне:
1+ f j
jr) + dia (-±- ^-)] cos 29,
о$)е = [d, (l + -?-) + —l-] cos 20, B.152)
Из B.151) и B.152) найдем
Psl = (^1 + 3dx) cos 20. B.153)
Определим второе приближение. Согласно B.104),
B.105), B.147), B.149), B.152), B.153) из условий сопря-
сопряжения A.240) получим
о(рП)е = ad! (- 4" + «2) - * Fd! + 4 Л.) -
- \d\a F - 16a + 17a2) + d2 (odi + 4 -J-J] COs 49,
= _ Г^а Da - 8a2 + 9) + 8d2 (-L d2 -f 3d^] sin 40
при р = 1, B.154)
а также
12 -JL -
-f- 12 — -f- 24dida + —г ^ia)cos^
при р = 1. B.155)
6 Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов

162 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
Граничные условия B.69), B.154) определяют соглас-
согласно A.444), A.449), A.450) решение в упругой зоне:
B.156)
где
с2 = adl A5 + 44а - 58а2) + d2 (бО dx -f- 40 А) , B.157)
с3 = adl B5а2 - 20а - 3) - d2 (l8dx + 12 A J
Из B.155) и B.156) получим
Ps3 = d\ (-i 8а2) - -1- A8ад,а + 8d22) +
+ f- dl (т- -8а - 4 °2) + -г (т* +16 -I-)]cos 4е-
B.158)
Аналогично определяются последующие приближения.
Приведем уравнение границы пластической зоны с
учетом второго приближения для случая равномерного
растяжения пластинки с эллиптическим отверстием, сво-
свободным от усилий. Согласно B.153), B.158) получим
р, = 1 + 36 cos 26 + б2 |Y-i- - 8а2) -
s4e] + ... B.159)
На рис. 26 представлены кривые 1 и 2, рассчитанные по
формуле B.159) и соответствующие первому и второму
приближениям. Кривые 1' и 2' соответствуют первому и
второму приближениям, вычисленным по формуле B.62)
для внутреннего контура отверстия.
Обратимся к определению перемещений в упругой и
пластической областях. Используя выражения для ком-

«6]
ТОНКАЯ ПЛАСТИНА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ
163
понент напряжений в упругой области B.105), B.152),
B.156), из соотношений закона Гука согласно A.160)
Рис. 26.
получим выражения компонент перемещений в упругой
области:
— и =х|B-а)р f _
4
3
B.160)
Из условий сопряжения перемещений A.241) в пер-
первом приближении и B.159) получим при р = 1
JL
A,5 + 4а2 - 7,5а) + d, (-jj- _ в)] cos 20,
B.161)
vmP = _|_ [айх C — a) -f 4d2] sin 20.
Линеаризированные уравнения для определения пере-
перемещений в пластической области в первом приближении
6*

164 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
имеют вид A.274). Используя решение однородной систе-
системы A.275) и определяя частное решение системы A.274)
с известной правой частью, получим
u<i)P = -?. [dx A,5 + 4а2 - 7,5а) + d, (JL — в)] cos 20,
B.162)
vWp = -J- {[dx Gа2 - 12а + 3) + d, (-i- - 12 jj p -
— 2 [d1(l,5+4,5a2 —7,5a) + d2 (~ — вШ sin 26.
Аналогично определяется второе приближение, для
которого приведем окончательное выражение:
__
18I25а - 10)
+ \d\ A0,5a3 - 23,5а2 + 9,875а + 0,375) +
+ <% {w - -) + dA D" - 8а ~ 12)]cos 4e} '
B.163)
= JL l^d\ D2a3 - 101а2 + 52а - 3) +
, ,2 /24 40 \ . , , /24 , . .„\1
+ d'«(I? - IT] + dld* (" ~ 44<Х ~ 12]J Р ~
- 4 feA0,5a3 - 23,5а2 + 9,875а + 0,375) +
+ <(т-^) + .(-If *-«)]-«}•
§ 7. Двуосное растяжение пространства
со сферической выточкой
Рассмотрим напряженное и деформированное состоя-
состояние пространства, ослабленного сферической полостью
радиуса а и растягиваемого на бесконечности взаимно
перпендикулярными усилиями. Предположим, что начало
системы координат совпадает с центром сферической по-
полости. На бесконечности действуют растягивающее уси-
усилие Р2, направленное по оси z, и усилия Ри направленные

§ 7] ПРОСТРАНСТВО СО СФЕРИЧЕСКОЙ ВЫТОЧКОЙ 165
по осям х и' у. Предположим, что на поверхности сферы
задана нагрузка в виде равномерного давления интенсив-
интенсивности р.
Решение будем искать в сферической системе коорди-
координат г, 9, ф. Материал считаем несжимаемым, идеально
пластическим. В качестве условия пластичности примем
условие Треска A.192)
(оА- 0еJ + 4т?9 = 4, 0Ф = -\- (ор + oe) ± 2, B.164)
где все компоненты напряжения отнесены к пределу те-
текучести к.
Напряженное и деформированное состояние в пласти-
пластической области определяется соотношениями A.332),
A.334), A.336). Напряженное и деформированное состоя-
состояние в упругой области при осесимметричном нагружении
записывается в виде рядов по полиномам Лежандра:
при п = О
а,, =0ф = _24(з&О1 + -^),
тре = 0, ир = — -р-, щ = 0;
при п = 1
о-р --44 (ЗЬ11Р+1,5-^-3-^-) Pj (cosв),
о-*, = 0ф = _ Ц. (бЬ11Р + 3 -^2-) Рх (cos 0),
^1, B.165)
при в>2
0p = i^. [(» + 1) (и2 - и - 3) bnlpn

166 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
ЙР„ (COS 6)
X Ы
°<Р . = - Щ- [(» - 1) (» + 3) ^«1РП - rebn2pn"
-X [ (» + 3) VP" + &п2р"-2 - in - 2) -^- + J^-] х
(cos 6)
-д9 ctge,
тРе = Щ- [(п2 + 2») &niPn + (и -
Ь„, Ь„. 1 dPn (cos 6)
= Г л (»
+ и (и + 1) -^- - (п + 1) ^-] Pn (cos 0),
Граничные условия на бесконечности
_4Л,М_ ..«iMu. Bлв6)
1И ^
На поверхности сферической полости
о|5 = -р, т?в = 0 при р = а. B.167)

§ 7] ПРОСТРАНСТВО СО СФЕРИЧЕСКОЙ ВЫТОЧКОЙ 167
В качестве нулевого приближения примем напряжен-
напряженное и деформированное состояние пространства со сфе-
сферической полостью, растянутого на бесконечности равно-
равномерными усилиями д; на поверхности сферы задано рав-
равномерное давление р:
_@)p „@)p i о /О 1 P i Л \ ^@)P Г\
Oq = От = — p -J- z Z m hi, tp6j = u>
ц(о)р _ fe _1_ ц(о)р _ q.
B.168)
o<p)e — Я —з"бг '
@)e @)e I 2 1 _@)e n
ce = огф = ff H—о—гз-» Tpe = u>
@)е к 1 (о)е п а г
вр =-30"?-. ив =0, «= —, Р=—
Величины, имеющие размерность длины, отнесены к ра-
радиусу пластической зоны rs0, который определяется из
уравнения
4 D" — 1па) =Р + Ч- B.169)
В рассматриваемом случае внутренний контур и нагруз-
нагрузки на нем не' варьируются, поэтому в пластической зоне
о$)р = 0 при п > 1. B.170)
Исходя из граничных условий B.166), решение в упру-
упругой зоне будем искать в виде
A)е 4G
0
(cos 0),
B.171)
<I)e 2G /„, „ , „ 623 , Ьг4 \ dP2 (СОЗ 6)
ТРе =-y-p2iP Н- О22 Н- Л —г — 4 -^-j м .
Из B.171), граничных условий B.166), условий сопря-
сопряжения A.240) для компонент о*р, трв, а также B.170),

168 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
определим
&01 = Ш~ ' Ь°2 = ~ШГ ' &21 = °'
B.172)
h _ к , __5_ /с 2^ к_
Выражения для компонент напряженного и деформи-
деформированного состояния в упругой области для первого
приближения примут вид:
(i)e _ 2 / . 5 8 \ dP2 (cos 9)
тРе - — (— l ~ -^f + -^b) Щ
B.173)
Исходя из B.168), B.173) и условия сопряжения для
интенсивности напряжений, вполне аналогичного A.240),
где
Oi = -^- [К - сгеJ+ @9 - 0ф)* + (Оф - 0РJ + бтре]1'',
найдем
Р.1 = -4- [3 + 20Ра (cos в)]. B.175)
Используя B.172), условия сопряжения для компонент
перемещений A.241) и выражения A.334), получим
B.176)

§ 7] ПРОСТРАНСТВО СО СФЕРИЧЕСКОЙ ВЫТОЧКОЙ 169
(Dp 5fe / 1 \'/.Г . / /15" , \ ,
)]^^I. B.176)
При определении второго приближения для напря-
напряженного состояния в упругой области воспользуемся гра-
граничными условиями на бесконечности
о(рП)оов = т<$)оое = 0 B.177)
и условиями сопряжения о*р и тре для второго приближе-
приближения:
A.240)
Исходя из B.170), B.168), B.173) и B.175), условия
сопряжения A.240) можно записать в виде
0<рп>е = _ [0,635P4(cose) + 0,723P2(cos6) + 0,256],
B.178)
Тр1^ = [0,794 dP'?°sQ) + 0,904 dP^CQ°sQ)] при р = 1.
Решение в упругой области согласно краевым усло-
условиям B.177), B.178) ищем в виде суммы трех слагаемых
B.165), соответствующих п = 0, 2, 4.
Компоненты напряженного состояния в упругой об-
области для второго приближения имеют вид
= "?¦[- °'256 + ( 3'977 ~ if
+ ^10,909-^- — И,544 4") ^4 (cos 9I,
= ?¦[(-0,663+ 1,567^-)
-1,515-^+2,309^.)-^-],
B.179)

170
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. 2
а<")е = 1> [(°'0128 ~ °'0497^- - °-385 jr
3,723 -?¦- 1,925-1-) P2(cos0) +
+ B,424 ± - 8,081 ±.)Р, (cos 9)],
+ A,616^-+ 1,924 -jr)pa (cos 0) + 3,463 -Lpt (cos 0)].
Второе приближение гра-
границы пластической зоны оп-
определим из условия сопря-
сопряжения интенсивности напря-
напряжений, которое для второго
приближения имеет вид,
вполне аналогичный A.240):
О 0,2 0,4 0,6 0,8 I P, '
при р = 1. B.180)
Рис. 27.
Исходя из B.168) и B.170), условие B.180) можно за-
записать в виде
B.181)
p.sl d ,9 (I)e A)е
2 ар v v
при р = 1.
Из B.173), B.179) и B.181) получим
Ра2 = 0,056 + 0,266 Р2 (cos 0) + 1,288 Р4 (cos 0).
B.182)
Граница пластической зоны показана на рис. 27 в пер-
первом (кривая 1) и втором (кривая 2) приближениях.

§ 8] ПРОСТРАНСТВО С ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ 171
§ 8. Двуосное растяжение пространства
с эллипсоидальной полостью
Рассмотрим напряженное состояние вблизи эллипсои-
эллипсоидальной полости в неограниченной среде, растягиваемой
на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями.
Начало системы координат выбираем в точке пересече-
пересечения осей эллипсоида вращения. На бесконечности дей-
действуют: усилие Р2, направленное по оси z, и усилие Ръ
направленное по осям а; и у. На поверхности эллипсоида
задано равномерное давление интенсивности р.
Решение ищем в сферической системе координат. За-
Запишем уравнение поверхности эллипсоида вращения
—б^J '
где 0 < *х < 1.
Полагая
х = р sin 0 cos ф, у = р sin 0 sin ф, z = p cos 0,
преобразуем уравнение поверхности эллипсоида к виду
Vl +26«1cos8+ (btxf
Ограничиваясь вторым приближением, получим
B.183)
Материал считаем идеально пластическим, подчиняющим-
подчиняющимся условию Треска B.164), несжимаемым.
За нулевое приближение примем напряженное состоя-
состояние пространства со сферической полостью, растянутого
на бесконечности равномерными усилиями q; на поверх-
поверхности полости задано равномерное давление р B.168).
Условия на бесконечности аналогичны B.166):
^(cose) B-184)
1де q — ^7 , oca oTT

172 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
Линеаризированные граничные условия на поверх-
поверхности эллипсоида A.237) согласно B.168), B.183) для
первого приближения запишем в виде
a{pI)p = 4f! cos 26 = -J- h \— 1 + 4Pa (cos 6)J,
B.185)
(Dp t ¦ ом 8 _¦ ^-Pa (cos 6)
Tp? = 4^i sin 26 = — — h —^_—L при р = а.
Решение в пластической области согласно A.332) бу-
будем искать в виде
? ) cos (J^L 1н р)
D Сг2 - "^ Cl1)sin
B.186)
. п . ( /15" , \1 dP2 (cos в)
+ С22 sin (^-^2— In pjj 2J_—L .
Постоянные в B.186) определяются из граничных ус-
условий на поверхности эллипсоида B.185)
cos (-ф1 In a) - sin (^- In
3yi5L
)
+ cos
а)]
Напряженное состояние в пластической области имеет
вид
B.187)

'. 8] ПРОСТРАНСТВО С ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ 173
таг = -
3 /15
Для определения напряженного состояния в упругой
области воспользуемся граничными условиями на беско-
бесконечности B.184) и условиями сопряжения огр и тРе на
границе пластической зоны A.240), которые в данном
случае для первого приближения имеют вид
A)е A)р —AN —A)р „« Л л /о л QQ\
0р = (Тр , Трэ -= Тр9 При р — 1. (/.loo)
Решение в упругой зоне будем искать в виде B.171).
Постоянные в B.171) в данном случае таковы:
h — — **к Ъ — к l\t 4-1\ b =0
18Cr 12G
t h 5th
Ь22 = "
_ B.189)
2t2k . itxk Г / \
+
f /15 ,
cos I-Vln a
Первое приближение границы пластической зоны оп-
определим из условия сопряжения интенсивности о*,-, кото-
которое для первого приближения примет вид
при
Исходя из B.168) и B.187), B.189), найдем
sin (l?- In a) P2 (cos 9)] +
^ B.190)
При tx Ф 0, t2 Ф 0 имеет место двуосное растяжение
пространства с эллиптической выточкой. При tx = О,

174
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. 2
t2 = 1 — двуосное растяжение пространства со сферической
выточкой, рассмотренное в предыдущем параграфе; при
h = 1) /2 = 0 — равномерное растяжение пространства
О 0,25 0,5 0,75 1,0
Рис. 28.
1,25 Р,
с эллиптической выточкой. На рис. 28 показан о" положение
пластической зоны в первом приближении. Кривая 1 со-
соответствует случаю tx = t2 = 1, кривая 2 — случаю
к = 1, <2 = 0.
§ 9. Коническая труба, находящаяся
под действием равномерного внутреннего давления
Определим; напряженное и деформированное состоя-
состояние осесимметричной трубы под действием равномерного
внутреннего давления. Материал трубы несжимаемый,
упруго-идеально-пластический.
Решение будем искать вблизи известного состояния
цилиндрической трубы с внутренним радиусом а и внеш-
внешним Ь, нагруженной равномерным внутренним давлением
р (плоская деформация):
о «. =
? 4- 2
B.191)
2G
2G

S 91 КОНИЧЕСКАЯ ТРУБА 175
где q= -f, p = T, S=r, а = т, ро = f, р. = ^ ,
р02 - 2 In |30 = 1 - ? + 2 In а.
Здесь и ниже величины, имеющие размерность длины,
отнесены к внешнему радиусу цилиндра.
Внутренний контур рассматриваемой трубы опреде-
определяется уравнением р = о; уравнение внешнего контура в
общем случае может иметь вид
р - / (?) = 26»/„ (?), /0 = 1. B.192)
Предположим, что внешний контур свободен от на-
нагрузки, тогда
тР? sin у + ffp cos у = 0, у = п — яр,
о? sin у + Тр? cos v = 0, при р = 1, B.193)
где ар — угол между касательной к контуру и осью z:
. . df I . . dfldZ,
tg \b = ~, cosib= — . sin 11 = B —
^ /1 + Wldlf Y
Учитывая B.192), можно записать
cosy = - cosi|> = - 1 + 4- б2 (^
Так как для ар, а^, tpj можно записать разложения,
вполне аналогичные A.223), запишем линеаризированные
граничные условия B.193) в виде
)^ =0,B.195)
, daS0) f dh _ 0
при p = 1.

176 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
Рассмотрим коническую трубу; уравнение внешней
границы в этом случае можно представить в виде
/ = 1 - 6?. B.196)
Используя B.191), B.196), перепишем граничные ус-
условия на внешнем контуре B.195)
ст(р1)е = 2р20?,
4? = - К,
4Г=^С-Се при р=1.
Граничные условия на внутреннем контуре
<*рП)р = т$р = 0 B.198)
при р = а, п > 1.
Условия сопряжения решений в упругой и пластиче-
пластической областях представляют собой условие непрерывности
на границе пластической зоны напряжений и перемещений
[<тр] = М = [ир] = [ч] B.199)
при р = р0.
Линеаризированные соотношения B.199) имеют вид
A.240).
1. Рассмотрим напряженное и деформированное состо-
состояние конической трубы, материал которой подчиняется
условию пластичности Треска
К - чJ + ^к = 4,
°в= — К + оъ) ± 2.
В этом случае граничные условия на внутренней по-
поверхности полностью определяют напряженное состояние
в пластической области и, как следует из B.198) и A.294),
для напряженного состояния в пластической области
имеет место для всех приближений
= 0 при п > 1. B.200)

§ 9] КОНИЧЕСКАЯ ТРУБА 177
Для определения первого приближения в упругой об-
области используем граничные условия B.197) и условие
сопряжения о*р и tpj на границе пластической зоны, кото-
которое для первого приближения согласно B.200) имеет вид
в(р)е = 0, т$е = 0 при р = pD. B.201)
Удовлетворяя граничным условиям B.197), B.201),
следуя [67], получим решение в упругой области
aiI)e
ai
(I) e
P
1-Й
i —PS
l-Po2
ft2
Po
1 —
к Р
« 1-
(i+
02 \^
Po
4
- R2 P
Po
РП
PW'
PoM
РП
pi'
G 2A-R2)
B.202)
Первое приближение границы пластической зоны оп-
определим из условия сопряжения интенсивности напряже-
напряжений <т{, которое для первого приближения сводится к сле-
следующему:
= 0, B.203)
откуда
P^^C B.204)
Для определения перемещений в пластической зоне
воспользуемся условиями сопряжения ир и и^, которые в
первом приближении имеют вид
„ТОР_„A)е_ /с Po r
Up —Up —-Q-- г^-fe,
1 — Po
- ^ 1 _°п2 ПРИ Р = Ро- B.205)
7 Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов

178 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ (ГЛ.
Уравнению A.292) удовлетворим, полагая
t|r } = Ail + A2l In p, Ai = const,
и„г = *Г1 nWP.
B.206)
Из B.206) и B.205) получим
B.207)
Определим второе приближение. Как следует из B.197)
и B.202), граничные условия на внешнем контуре для вто-
второго приближения принимают вид
(II) е __ Рр C + Рр) р2 „г
при р = 1. B-208)
/тт\ р рп (О -г- Vn)
Условия сопряжения напряжений о*р и тР? A.240) на
границе пластической зоны для второго приближения с
учетом B.191), B.200), B.202), B.204) сводятся к следую-
следующему:
„(И)е_
A - $У "
5 при p = pV B.209)
Для того чтобы удовлетворить краевым условиям
B.208), B.209), возьмем в качестве функций Папковича [68]
функции
Во = ~- (8^4 — 24?2р2 + Зр4) + ~y~ B?2 — Р2) In P +
B.210)
-[- В? ]ц р, J5j = const.

§ 9] КОНИЧЕСКАЯ ТРУБА 179
Перемещения ир и щ согласно [67] определяются через
В, и Вг:
и* = —W(l°Bz + Во)' Ч = 2В* -~k&Bz + Во). B.211)
Краевые условия B.208), B.209) позволяют определить
постоянные
й [A-й?-2]
12A-р02K 2 '
Запишем решение в упругой области для второго
приближения:
= ?* (_ 12J?! + 2 |f) + ( -3J51P2 + 2Я4 In p)
# In p0 + Pg)
^i) -f (- 3?lP* + 2J54 In p)
4 In Po + 1) + 3gi(l^4
(i — PS) p2
In p -
-^- , B.213)
„(ID. _ Bi „
Из условия сопряжения интенсивности напряжений
<т,- определим второе приближение для границы пласти-
пластической зоны. Учитывая B.213), B.191), B.200), B.204),
7*

180
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. 2
получим
$ A2 + Зр* -
Р0BВ41п р0
8 A - PSK 2A — р^
B.214)
Граница пластической зоны указана на рис. 29. Сплош-
Сплошной кривой дается первое приближение по условиям плас-
пластичности Треска и Мизеса. Штриховой линии соответст-
соответствует второе приближение по Треска, штрих-пунктирной—
второе приближение по Мизесу.
Hittr ,= m
CC = 0,5
3b
Рис. 29.
Для определения перемещений в пластической области
выпишем условия сопряжения перемещений на границе
пластической зоны, которые для второго приближения,
как следует из B.213), B.202), B.207), имеют вид
A — Pg) -h 2?4р„ In р0 + рз
"fiT
при p = p0.
Функцию i|/n), аналогичную i|)W B.206), зададим в виде
= B6 In p + 5e(p2 + 2 С») In p + 57р2 + 2(Ве + В,) С2,
откуда
- 2В7р,
"р =-^S2-|--^-f й.рBР1лр4-
B.216)

§ 9] КОНИЧЕСКАЯ ТРУБА 181
Согласно B.215), из B.216) найдем
В* = ,м ^ [351 (р° ^ 2) + 5* D Ь Ро + Ро - 1) + Ро2],
0 B.217)
B
2. Определим напряженное и деформированное состоя-
состояние конической трубы, материал которой подчиняется
условию пластичности Мизеса:
(<тР - °ЪJ + ((Те - <3х? + К - <*рJ + 6т2рс = 6.
A.295)
В этом случае задача не является статически определимой.
Будем исходить из соотношений A.301), A.303), A.308).
Так как граничные условия для первого приближения име-
имеют вид B.197), B.198), а условия сопряжения
„(Dp rd)e_r(i)p
= Р°' ( }
то для определения решения в пластической зоне функцию
г)/1), согласно A.308), зададим в виде
+ Съ In р + С6р2 In p, Ct = const. B.219)
Напряжения и перемещения в пластической зоне выража-
выражаются через функцию г))'1) по формулам A.299), A.301).
Отсюда и из B.219) найдем
of)p = а(е1)р = 4- [4(С2 - С,) - 2С3р] S,
г
B.220)
-^ + Св B In p + 1).

182 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
Условия сопряжения ср и тр^ A.140) примут вид
„
n
где
Из условий B.221) и B.197) согласно [67] определим пе-
перемещения в упругой области в первом приближении
2G ,!),_ 2р04 g 2 fapo + t^Po^ , giPg g
-P2P
B-222)
1 — Po л Po
Для определения постоянных Cj, входящих в выражения
g1!, тх, используем условия сопряжения перемещений
Up — Up , и^ — К? при р — po (
и граничные условия B.197). Приравнивая члены при
одинаковых степенях ?, найдем Сг. Первое приближение
для напряженного и деформированного состояния в упру-
упругой и пластической области окончательно запишется так:
„(Dp _ „(Dp _ „(Dp _ _(Dp _ n »(I)P — k ^ ?
1 Po
цA)е _ _k_ _Jo___?_ ^(D6^ ^ Po ;
,2

§ 9) Коническая труба 183
Сравнивая B.200), B.202), B.207) с B.224), можно
убедиться в том, что первое приближение для напряжен-
напряженного и деформированного состояния конической трубы
при условии Мизеса полностью совпадает с решением при
условии пластичности Треска.
Уравнение границы пластической зоны для первого
приближения также определяется уравнением B.204).
Определим второе приближение. Граничные условия
на внешнем контуре запишутся в виде B.208). Условия
сопряжения компонент напряжений ср и тР? для второго
приближения аналогично B.209) запишутся так:
(II) е
Р ~~
(II) е (II) р _
при р = р0. B.225)
Исходя из B.208) и B.225), зададим функцию if*11) согласно
A.308),
,3- B.226)
С учетом A.301), A.299), B.226), найдем
арп>*> = а(вп>р = |? [ZL (In p + 1) +- 3D, - D3] -
- -j [D, + Dsp2 B In p + 1) +2D5 p2 + Do],
o{U) v = -g- [3ZL B In p + 1) + 6L>6 -2D3] - -J. ,
= ~ и CZ)*p ln p + -y"
ц =
B
Из граничных условий на внутреннем контуре B.198),
приравнивая нулю члены при одинаковых степенях С,

184 УПРУГОПЛАСТИЧВСКОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. 2
получим
Вг = 0, ?>4 = 0, 3De - D3 = 0,
Z>0 = - [?>3а2 B In а + 1) + 2?>Ба2]. ^^
Согласно B.228) найдем решение в пластической об-
области B.227):
a(pII)p = oiII)p = - -J Bp2lnp - 2а2 In а + р2 - а) -
р = -L [D3a2 B In а +1) + 2?>5а2], т^ р = 0, B.229)
j^ ^ ( ln р
Используя B.229), перепишем условия сопряжения
Р К ' B.230)
р* = -^ B32 In р0 - 2а2 In а + |3О2 - а2) - Щ- (Й - а2).
Краевое условрш B.230) отличается от условия B.209)
константой р* в правой части. Краевое условие B.208)
сохраняет свой вид. Поэтому решение краевой задачи для
определения напряженного и деформированного состояния
в упругой области слагается из решения B.213), B.212)
и решения задачи Ламе
= 0 при р= 1, B.231)
*, т?)е = 0 при р=а.
Это решение имеет вид
(II) в _ 1 Г зд2 а2 1 1
(П)е _
6 -
B232)

§ 9] КОНИЧЕСКАЯ ТРУБА 185
Таким образом, окончательное решение слагается из
суммы решений B.213), B.212) и B.232).
Для определения констант Dlt D3, Dh используем ус-
условия сопряжения перемещений. Из условий сопряже-
сопряжения перемещений для второго приближения
р р ,
при р = р0, B.233)
ц(П)в = ц(П)р
используя B.213), B.212), B.232) и B.229) и приравнивая
члены при одинаковых степенях ?, получим
_ * [(Pi + Pg + SgQpg 9 «4 1
B.234)
р* = 5j4 In ро + 3 - ^- B In a+ 1I -
Таким образом, второе приближение для напряженного и
деформированного состояния определено.
Уравнение границы пластической зоны определим из
условия сопряжения интенсивности напряжений at, от-
откуда
Ps2 = Ps2 + Pl, B.235)
где ps2 определяется выражением B.214), а
р* = А Г2?4а2 In ~ + 651(р20 - а2)]. B.236)
Ро L ™
Таким образом, граница пластической зоны при усло-
условии пластичности Мизеса отличается от границы пласти-
пластической зоны при условии пластичности Треска во втором
приближении на величину константы рД B.236). Грани-
Граница пластической зоны показана на рис. 29,

ДОБАВЛЕНИЕ
ОБ УЧЕТЕ УПРУГОЙ СЖИМАЕМОСТИ
В СЛУЧАЕ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим идеальное упругопластическое состояние
упруго сжимаемого материала в случае плоской деформа-
деформации. Соотношения закона связи de— а имеют вид A.145).
1. Предположим, что имеет место условие пластичности
Мизеса A.130). Для случая плоской деформации из A.145),
A.130) получим
dex = -^- [dax — ц (day + daz)] + -j- Bах — av — oz),
dev = -^ [d<Jy — И (doz + dox)] + -y- Bay — ax — oz), A)
0 = -L [doz - [i (dox + dOy)} + ^ Baz -ax- ay), B)
(or, - ay? + (or, - azf + (аг - axf + 6т*у = №. C)
Для определения искомых соотношений связи de — а
следует исключить из выражений A), C) компоненту az,
используя выражение B). Из B) следует
откуда искомое решение
х
az = ехр (- ~ El^j ^ exp (-|-^) QdK. D)
о
Соотношение D) легко может быть приведено к виду
Oz = И (°х + О-у) |о —
- 4 ехР (- -Т ЕХ) \ BИ - 1) ехР ("f El) iPx - Ь <т„) dk. E)

ДОБАВЛЕНИЕ 187
В случае несжимаемого материала ц = 1/2, интеграль-
интегральный член в E) исчезает и тогда первый член в правой
части E) представляет долю напряжения <зг, накопленную
за период изменения X от нуля до текущего значения,
т. е. за период развития пластических деформаций.
Соотношение E) сводится к виду o*z — Va (о*х + ау).
При ц Ф V2 соотношение E) сохраняет интегральный
характер и подстановка E) в C) приводит к условию
пластичности, использование которого в приложениях
затруднительно.
Представим коэффициент Пуассона в виде числового
ряда
[X = [Х0 + б^ + 68ЦЯ + • • • + 6Х + • • -,
Ио = V2, \ii = const, F)
где б — малый фиксированный параметр, характеризую-
характеризующий упругую сжимаемость материала. Полагая
ос оо оо
&пК, G)
разложим соотношения A), B) по малому параметру и
получим
™ = 4-
de™ = 4-
Т1
4- — V
dk <2a(n~m)
m \ ж —
ТПп=0
= 0. (9)

188 ДОБАВЛЕНИЕ
Разложение условия пластичности Мизеса C) по сте
пеням имеет вид
(oi0)-oTJ + (<г<0) - а[У + (ст<0) - off + бЩ = 6*»,
+ (a<m) - a<m)) (of""" - аГт>) ^
при га>1. A0)
Условие (9) можно записать следующим образом:
dZ 2
_J + -r?Zn = <?n_1(>w),JP), (И)
V „
m=l
m=l
где P (x, y, z) — некоторая фиксированная точка тела,
^0 — диссипативная функция при пластическом деформи-
деформировании элемента тела в нулевом (основном) приближении.
Функция Хо характеризует процесс нагружения эле-
элемента тела при пластическом деформировании. При ^0 =
= 0 имеет место упругое состояние рассматриваемого эле-
элемента тела в нулевом (основном) приближении в момент
перехода его в упругопластическое состояние. В дальней-
дальнейшем всем компонентам в момент ^0 = 0 припишем
индекс е внизу (индекс е вверху соответствует упругим сос-
составляющим деформированного состояния независимо от
того, является элемент в упругом или упругопластическом
состоянии).
Запишем соотношения закона Гука:
1 1
ех == -g- [Ох — И К + °z)], ey = ^-[av — \i (ax + az)],
A2)
exv = -g^- *xy, Oz = И (ах + av)-

ДОБАВЛЕНИЕ 189
Так как предполагается, что имеют место разложения
F), G), то соотношения A2) могут бытьиролинеаризирова-
ны по параметру б. Получим
(П) _ 1 Г., , (П) (nV j,
п
jim Co"j/e -\- Oxe -\- Zn-m е) i
П
II Г^""™) I гг(п-т> 17 \ I
Ыщ (,'5Оже -)- Оуе -f- Лп-m, ej ;
J
m=i
n
e^n> _ 1 T(n) _]_ J_ V1 T(n-m>
m=l
где
n
Zoe = ", Zne = ^j Цт Dо"ге — 2Zn-m, e) При П ^ i.
A3)
Рассмотрим подробнее первое и второе приближения.
В нулевом приближении уравнение A1) преобразуется в
i|L + -|tfZo = O, A4)
откуда
Zo = С ехр (-2/3Д0). A5)
В дальнейшем рассматриваем фиксированный элемент те-
тела, где С — постоянная для фиксированной точки Р. Так
как при ^0 = 0 имеет место о?,) = Va (oil? ~Ь oie), T- e-
ZOe — 0, то С = 0 и в случае упругопластического состо-
состояния тела всегда имеем
_(О) 1 / (О) | @)\ / А О\
®z == п 1О"х ~р О*у I. \-^^/
Условие пластичности A0) упрощается
((/я°> _)_ а(о)ча _|_ 4т^)г = 4/с2. A7)
Для первого приближения уравнение A1) записыва-
записывается следующим образом:
^ + >hEZx = Qo, Qo = 4|i1da?)/^0. A8)
я?

190 ДОБАВЛЕНИЕ
Решением уравнения A8) будет
1
= <Г3 $ qQodU + Zu\ , A9)
о
q = exp (V3EK0).
Согласно A3) имеем
Zu = 4ц1сй*). B0)
Таким образом, решение полностью определено. Под-
Подставляя oi1' = V2 (oi1' + СуТ) -\-Z-l) в линеаризированное ус-
условие пластичности Мизеса для первого приближения A0),
легко убедиться, что величина Zx не войдет в окончатель-
окончательное выражение условия пластичности
(о?° - 4°))(^) - <&) + *?№> = 0. B1)
Во втором приближении решение уравнения A1) пред-
представится следующим образом:
Z^q-iftgQidXo + Z*], B2)
о
где согласно A3)
Z2e = 4ц,оЙ> + 4^ - 2^ги. B3)
Подставляя оП) = Va (cr^11' + сГуП) -\- Z2) в линеари-
линеаризированное условие пластичности Мизеса для второго
приближения A0), получим
(о?> - Wide» - </„">) + *?№Р =
= -V2 [(<#> - (Т(УХ)J + 4tS' + ЧХ1 B4)
Аналогично определяются условия пластичности для по-
последующих приближений.
2. Рассмотрим условие пластичности Треска A.115).
В этом случае уравнение, аналогичное B), запишется так:
4" №°z — И (d°x + doy)] +
+ B0Z -ох- <т„) [- 4 BА2 - 22) DА2 - 22) +
+ 18 (а>;, - xlv) (о'хо'у - тЦ„ + VsSi)] = 0. B5)

ДОБАВЛЕНИЕ 191
В нулевом приближении (ц0 = V2) это уравнение удов-
удовлетворяется при az = V2 (ox + ву) и условие пластич-
пластичности Треска сводится к A7).
Используя разложения F), G), запишем уравнение
B5) для первого приближения
dZi
Выражения A3) получены исходя из закона Гука, и
не связаны с видом условия пластичности, поэтому выра-
выражение Zle определяется согласно B0).
Интегрируя уравнение B6) при условии B0), найдем
<#> = V2(of > + <#> + Zx), Zx = 4fx10<°>. B7)
Подставляя выражениеB7)в линеаризированноеусловие
пластичности Треска, которое имеет громоздкий вид и
здесь опущено, можно получить, что условие пластично-
пластичности сводится к виду B1), т. е. в первом приближении лине-
линеаризированные условия пластичности Треска и Мизеса для
упруго сжимаемого материала совпадают.
Во втором приближении уравнение B5) изменится
Интегрируя уравнение B8) при начальном условии B3),
получим
*
= V2(oi"> + «/„*> + Z2),
B9)
Z2 = 41х1(Г<1) + 4 (fx2 - 2$)<№>.
Подставляя выражение B9) и линеаризированное ус-
условие пластичности Треска во втором приближении, най-
найдем
= -V2 (o?> - (Г^J - 2т^Г- C0)
Аналогично определяются последующие приближения.
Проанализируем результаты. В первом приближении в
условие пластичности Треска и Мизеса B1) коэффициенты

192 ДОБАВЛЕНИЕ
jut;- в явном виде не входят. Во втором приближении в ус-
условия пластичности Треска C0) также не входят в яв-
явном виде Hi, но fx; входит в явном виде во второе прибли-
приближение условия пластичности Мизеса B4).
Условия пластичности B1), C0) совпадают с соответ-
соответствующими разложениями A.244) условия пластичности
A.243). Следовательно, для статически определимых за-
задач выражения компонент ах, ау, %ху в пластической зоне
в первом приближении будут совпадать как для упруго
несжимаемого, так и для упруго сжимаемого материалов
для обоих условий пластичности. Во втором приближе-
приближении для "статически определимых задач компоненты ох,
ву, ixy для условия пластичности Треска C0) также не
будут зависеть от упругой сжимаемости, но они будут за-
зависеть от нее для условия Мизеса B4).
От упругой сжимаемости в первом и последующих при-
приближениях будет зависеть компонента az и компонента
деформированного состояния.
Для статически неопределимых задач компоненты вх,
cy, ixy будут зависеть от коэффициентов ji,-, начиная с
первого приближения. Эта зависимость обусловлена необ-
необходимостью удовлетворения условий сопряжения напря-
напряжений при определении этих компонент.
3. Рассмотрим определение величины Яо для задач,
нулевым приближением для которых является идеальное
упругопластическое осесимметричное состояние толстой
плиты с круговым отверстием. Согласно B.28)
Если величина г фиксирована, то с ростом нагрузок
изменяется радиус пластической зоны rs. Пластическое
состояние впервые возникает в данной точке тела при
г = r°s, т. е. при р = 1. Из условия пластичности A.258)
и ассоциированного закона течения A.40) получим
dk0, C2)
откуда после интегрирования
к — ^@) — ^@> /QO\
л0 ер ер,: . V''J/
Здесь $> = ef (к0 = 0) = ef (p = 1).

ДОБАВЛЕНИЕ 193
Согласно C1) из C3) найдем
*«=Ы±-1)- C4)
Отсюда
*h = -^r • C5)
Имея выражения для Яо, dk0, можно перейти в интегралах
к интегрированию по р.
О ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
Вопросам потери устойчивости пространственных де-
деформируемых тел посвящена обширная литература, с со-
состоянием вопроса можно ознакомиться по монографии
А. Н. Гузя х) и его же обзорам [8, 10]. Основные уравне-
уравнения теории устойчивости, получаемые путем линеариза-
линеаризации нелинейных уравнений, содержат члены, где в виде
множителей входят компоненты основного невозмущенно-
невозмущенного состояния. Следовательно, в основные уравнения вхо-
входит параметр нагрузки, определяющий критические уси-
усилия, а это приводит к существенному усложнению задачи
даже в случае, когда невозмущенное состояние является
однородным. Л. С. Лейбензон 2) и А. Ю. Ишлинский
[59] использовали приближенный подход для исследова-
исследования устойчивости пространственных упругих тел. В этом
случае принимается, что компоненты возмущенного состоя-
состояния o°ij + Оу, а вследствии чего и компоненты возмуще-
возмущений Oij, удовлетворяют исходным уравнениям равнове-
равновесия A.9) (здесь и ниже штрих наверху приписан компо-
компонентам возмущения). В то же время граничные условия
записываются на возмущенной исходной поверхности те-
тела, и таким образом именно в граничные условия вводит-
вводится параметр нагружения. Задача при подобном подходе
упрощается, параметр нагружения определяется из су-
существенно более простых характеристических уравне-
!) Г у з ь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых
тел.— Киев: Наукова думка, 1971.
2) Лейбензон Л. С. О применении гармонических функций
к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболо-
оболочек.—Собрание трудов. Том 1. М.: Изд-воАН СССР, 1951.

194 ДОБАВЛЕНИЕ
ний 1). Л. С. Лейбензон получил решения задач устой-
устойчивости для упругих сферической и цилиндрической обо-
оболочек, находящихся под действием внутреннего и внеш-
внешнего давлений. В этих случаях исходное невозмущенное
состояние является неоднородным. При асимптотических
разложениях решений, полученных на основе подхода
Лейбензона — Ишлинского, первый член разложения для
критической силы совпадает со значением критической
силы, полученной на основе гипотез Кирхгофа •— Лява.
Для решения задач устойчивости пространственных
тел в постановке Лейбензона — Ишлинского могут быть
использованы результаты, полученные в §§ 6—8 гл. 1.
Ниже рассмотрены некоторые задачи.
1. Вначале остановимся на задаче об устойчивости
сжатой упругой полосы в случае плоской деформации,
рассмотренной Л. С. Лейбензоном и А. Ю. Ишлинским.
Пусть полоса шириной 2h сжата продольными усилиями
р. Направим ось х вдоль срединной линии, края полосы
у = ±h будем считать свободными от усилий.
Невозмущенное напряженное состояние полосы имеет
вид
о°х = -р, о° = т°у = 0. A)
Очевидно, что для несжимаемого материала в этом слу-
случае можно непосредственно использовать решение, приве-
приведенное в § 8 гл. 1 при Y (e,) = G.
Следуя [59], приведем несколько другой путь выкла-
выкладок для сжимаемого упругого материала.
Компоненты возмущений связаны соотношениями за-
закона Гука
ди' \ „, ди' , dv'
B)
дх ' ду /' " дх ' а?/ •
Здесь Я, и [х — постоянные Ламе.
Уравнения равновесия в перемещениях имеют вид
C)
х) Отметим, что на основе аналогичного подхода А. М. Жуков
[38] рассмотрел процесс образования шейки как процесс потерн
устойчивости.

ДОБАВЛЕНИЕ 195
Положим
и = / (ay) sin ах, v = / (ay) cos ои\ D)
Если обозначить через I длину полуволны возмущения
прямолинейной границы полосы, то а = я/1. Введем без-
безразмерный параметр ti = ay. Из B) и D) найдем
о'у = [^ (/ + g) + 2[ig]a cos ax,
t'xv = V> (f— g) + a sin ax, E)
0' = [/ + g]a cos ax,
где точка наверху означает дифференцирование по г).
Из C)—E) получим
( [
F)
(Я + 2ц) g - pg + (X + ц)/ = 0.
Решение линейной системы уравнений F) легко опре-
определяется. Выпучивание полосы происходит в одну сторо-
сторону вдоль оси у, поэтому функция g (r\) должна быть чет-
четной и искомое решение имеет вид
/ (г,) = - A sh г] - D (ii^ sh г] + г, ch )
g (ц) — A ch г\-\- Бц sh т), ,4,1) — const.
Из D), E), G) найдем
а у = 2[х \А sh ti + D (-т—г— sh ц -f ti ch ti ) a cos car,
r'xy = — 2[i J^4 ch ti + D ( x~^2^ ch ti — ti sh rjjj a sin ax, (8)
y' = (^4 ch ti -\- Dt\ sh ti) cos ax.
Искривление границы будет иметь вид
h + h' = /(Л + у')! + u'*xh + v'. (9)
Используя граничные условия A.237), которые в де-
декартовой системе координат имеют аналогичный вид, из
A), (9) получим

196 ДОБАВЛЕНИЕ
Из (8), A0) следует система линейных однородных урав-
уравнений относительно постоянных А и D:
A1)
A sh 3 + D { . ^ sh P + р ch p) = О, Р = сЛ.
Приравнивая определитель системы уравнений A1) ну-
нулю, получим искомое значение критической силы
A2)
Разлагая соотношение A2) в ряд по степеням параметра
Р, получим
Лр - 3 (Ь + 2|i) Р L + 15 (X.
Первый член ряда A3) представляет значение крити-
критической силы, получаемое на основе гипотез Кирхгофа —
Лява.
2. Уточненные уравнения теории устойчивости прост-
пространственных тел содержатся в монографиях В. В. Ново-
Новожилова х), В. В. Болотина 2) и цитированной выше моно-
монографии А. Н. Гузя. В работе [34] дано решение за-
задачи о потере устойчивости сжатой полосы по уточненной
теории.
Ниже, следуя [36], рассмотрим более общее решение
этой задачи.
Имеют место уравнения
+
+ Щ
8i; = 1 для i = /, Ьц = 0 для г ф ). A4)
Здесь Tij — компоненты нормали к поверхности тела.
х) Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости.—
М.: Гостехиздат, 1948.
2) Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой
устойчивости.— М.: Физматгиз, 1961.

ДОБАВЛЕНИЕ 197
Компоненты возмущенных форм движения запишутся
в виде
Щ = и\ + щ, ап- = o°ilt -f aik,
ah,' A5)
Z\rO ¦ v-' * 0 i '
i = Ai + Aj - p-^2 , pj = pi + /?{.
Заметим, что компоненты возмущений, вообще говоря,
зависят от времени. Подстановка выражений A5) в соот-
соотношения A4) даст уравнения возмущенного движения;
если с течением времени возмущения стремятся к нулю
(или являются периодическими), то рассматриваемая фор-
форма равновесия устойчива, в противном случае — неустой-
неустойчива.
Учитывая малость возмущений (т. е. пренебрегая их
квадратами и произведениями по сравнению с единицей)
и полагая, что невозмущенное состояние соответствует
недеформированному, нетрудно получить уравнения рав-
равновесия и граничные условия для компонент возмущений
в виде
ди, . К '
К
Естественно, что дополнительно к уравнениям A6) сле-
следует добавить соотношения, определяющие процесс де-
деформирования среды. В случае изотропной упругой сре-
среды эти законы имеют вид
Рассмотрим задачу об устойчивости сжатой бесконеч-
бесконечно длинной полосы шириной 2h в условиях плоской де-
деформации. Невозмущенное состояние полосы определя-
определяется соотношениями A).
Учитывая A), D) и A6) для компонент возмущений,
получим следующие уравнения движения:
90' , Т7, , d2v' d2v'
+^Vpp
A8)
__ai/_ dv'
дх ду '

198 ДОБАВЛЕНИЕ
Будем искать решения системы уравнений A8) в виде
и = f (ay) sin axT (at), v' = (ay) cos axT (at) A9)
(a = n/l).
Здесь I — длина полуволны «возмущения» границы.
Подставляя A9) в A8) и разделяя переменные, полу-
получим
_ Т _
—уг — U/,
Р/ B0)
g") + ^(g'/-g) + Pg Х
Интегрируя систему уравнений B0) и используя A9),
получим
и' = [А р ~~,рМ ~ ^ shкхау — D -ттг shk2 ay) sinажГ,
v'= (А сЪкхау-]-D сЪ k^ay) cos axT, B1)
,2 _ |> —Р+ РМ 1.2 _ (Я. +2^) — Р + РМ
Далее, используя соотношения A7) и B1), найдем вы-
выражения для компонент напряжений возмущенного со-
состояния. Подставляя найденные величины в граничные
условия A6), получим систему линейных и однородных
уравнений для определения произвольных постоянных
AnD.
Условие существования нетривиального решения этой
системы приводит к характеристическому уравнению
(р — pw — 2^)%1th А:2р + 4|лЛг2 (р — pw — ц)Ш k$ = 0, B2)
Р = nh/l.
Соотношение B2) можно рассматривать как неявную за-
зависимость р — pw от Я, (ли р.
При заданных параметрах К, ц, и р из уравнения B2)
можно определить корень р — pw = F (X, (Л, Р). При р <^
^ F (К, A, р) имеем w ^ 0, и из B0) следует, что состояние
A) устойчиво в определенном выше смысле (Т (t) — ог-
ограничено). Если же р ^> F (X, ц, Р), то состояние неус-
неустойчиво.
Отметим, что при р = F (Я, [i, P) имеет место бифурка-
бифуркационная форма потери] устойчивости. В этом случае при

ДОБАВЛЕНИЕ 199
малых р для критического значения ркр имеем
4р. (X + (х) „2 /. ЗХ + 10|х „2
Сравним разложения A3) и B3). Первый член разло-
разложения, представляющий эйлерову критическую силу, сов-
совпадает в обоих разложениях. Уточненная теория несколь-
несколько занижает значение критической силы; это обстоятельст-
обстоятельство связано с тем, что гипотезы Кирхгофа — Лява как бы
«ужесточают» систему.
3. Рассмотрим задачу о выпучивании толстостенной
трубы, находящейся под действием внутреннего давления.
Соотношения A.352) можно рассматривать как соотноше-
соотношения нелинейной теории упругости. Пусть труба радиусов
а и Ъ (а < Ъ) находится под действием внутреннего давле-
давления р.
Решение будем искать вблизи известного осесиммет-
ричного состояния трубы:
4е = О-
Здесь р = rib, a = alb, а, = Ае™, г — текущий радиус,
а, — интенсивность напряжений, е{ — интенсивность де-
деформаций.
В общем случае выпучивания толстостенной трубы
уравнения ее внешней и внутренней границы могут быть
представлены в виде
Р = 1 + к (9), Р = « + U (9)-
Решение задачи в общем случае не представляет прин-
принципиальных трудностей. Ниже оно проводится для слу-
случая
/х (Э) = кг cos 9, /2 (9) = к2 cos 9, B5)
где кх и к2 — безразмерные параметры.
Представим решение в виде
оР = а" + о-р, о9 = Ое + се,
О"г = О? + Oil U = и0 4- и', V ~ V0 + V ,
где и я v — перемещения в полярных координатах.

200 ДОБАВЛЕНИЕ
При выпучивании граница трубы становится неосесим-
метричной, точки границы получают возможные смещения
и', v'. Очевидно, что
р* = р* F*) ~ р + и' (8*) ~ р + и' (8) + <92 A).
B6)
Пользуясь общим решением A.386), получим
[4 A — т2)^™-3 + 4wi2C2p2™-1 +
+ 4С8р~Ч cos 6,
о-в = ?p2tt-™) [4 A — mfCtft™-* + 12m2C2pim-i +
+ 4 A — 2m)C3p~3] cos Э,
[4 A — wiJC1p2"'-3 4. 4wi2C2p2'"-1 +
+ 4C3p-3] sin Э, B7)
и = -[Cjp-ad-) + C2p2m + C3p-2] cos 6,
v = [Cj Bпг — l)p-2U-™) + C2 Bпг + l)p2m -
— C3p-2]sin Э,
где Clt C2, C3 — произвольные постоянные,
Из линеаризованных граничных условий имеем
f ' ° ( )^ ° 1
п' =
при р = а.
Из B4), B6) получим систему уравнений для определения
постоянных С, (г = 1, 2, 3)
+ al2^2 + «13^3 = 0. «21^1 + %2^2 + °1зСз = О,
B8)
4" a32^2 Л- a33^3 — 0, «41^1 + a32^2 4" a33^3 — О,
где
«32 = 1 — ™2 + d«. «32 = —a

ДОБАВЛЕНИЕ 201
«зз -= -™- A — ^з), a4i --= A — т)'2 — d,,
di = —^^™—, ^2 = adi-
25 A - a2 )
Очевидно, что C^ = 0, и система B8) сводится к однород-
однородной системе двух уравнений с двумя неизвестными. При-
Приравнивая нулю ее определитель, получим уравнение, от-
откуда
(М — У М* — № )т
Q I
где
М = а2 A — а2т) .+ т2 [1 - а2<т+2> ],
N == 2ат [1 — a*^)], B9)
Y (/3 )«Г-2™-2 A _ a2m j- — •
4. Рассмотрим потерю устойчивости вращающегося
диска. Обозначим через а — радиус диска, as — предел
текучести, со — угловая скорость вращения, g — уско-
ускорение силы тяжести, у — объемный вес, R° — радиус
пластической зоны. Материал диска будем считать не
сжимаемым.
Упругопластическое состояние круглого вращающе-
вращающегося диска определяется согласно [75]:
Ор _ л м2 „2 „ОР _ л _.ОР rv
где
1 i/ e.g
с =
=q
48 г о R0
a=q 21-5йB-й) ' Р = ' Ро==
Всюду компоненты напряжения отнесены к as.

202 Добавление
Решение будем искать в виде
ор = ol + <тР1 и = и0 + и', г; = v° + у',
где ими соответственно радиальное тангенциальное сме-
смещения точек диска, которые будем считать отнесенными к
радиусу а диска.
С точностью до бесконечно малых первого порядка
уравнение внешней границы диска, потерявшего устой-
устойчивость, можно записать в виде р = 1 + и'.
Линеаризованные граничные условия имеют вид
ар' + -^ГВ" = ()| *ре-(С-а°реL5г = О C0)
при р = 1.
Условия сопряжения решений для упругой и пласти-
пластической области приводятся к виду
°р = о?, tpee = 0, и° = в'р, v'e = v'p, о'ве = -JL_ ft = 0
e 0 и° = в'р v'e = v'p о'е = -JL
при p = p0, C1)
где po = rola — безразмерный радиус пластической зоны.
Будем искать решение в случае, когда уравнение
внешней границы диска после потери устойчивости с точ-
точностью до бесконечно малых первого порядка может быть
представлено в виде
р = 1 -+¦ к cos иб, п ;> 2, к ¦= const. C2)
Б этом лучае арр = 0.
Пользуясь выражениями для компонент напряжений
и перемещений в упругой области, граничными условия-
условиями C0) и условиями сопряжения C2), получим характе-
характеристическое уравнение для определения критического
значения {}„«:
X
л *-\ О Т} —О 1 j , г\ Д-YL ^

ДОБАВЛЕНИЕ 203
+ 3 (п* - 8в») РГ2 + ("а - 4в) + (и2 + An) |304Г] х
X [2 (п« - 1) С - п%Г2 - п*№Г* + 1 + pot]} = 0. C3)
По данному значению ро# легко найти критическое значе-
значение относительной угловой скорости (ujq.
Приведем значения относительной критической ско-
скорости a>Jq в зависимости от п:
п 2 3 4 5
щ/д 1,6701 1,7096 1,7218 1,7264
Здесь принято, что aJE = Is = 0,01.
В случае, если в C2) п = 1, то имеет место эксцентрич-
эксцентричная форма потери устойчивости, при которой в центре
диска возникает уравновешивающая сосредоточенная си-
сила. Таким образом, в условиях сопряжения C1) а'рр ф 0
характеристическое уравнение принимает вид
\ \ РоA+3&) , ,
ЙГ 1+
32 (l-pj.)
C4)
где
Можно показать, что единственным корнем уравнения
на отрезке @, 1) является {}„.,. = 0, которому соответствует
Полученные значения критических скоростей соответ-
соответствуют, очевидно, касателыюмодульным критическим наг-
нагрузкам в теории устойчивости упругопластических систем.
Сплошной диск постоянной толщины может потерять ус-
устойчивость до исчерпания своей несущей способности.

ЛИТЕРАТУРА
1. АлимжановМ. Т., Ершов Л. В. Устойчивость равно-
равновесия тел и некоторые задачи горного давления.— В сб. Проб-
Проблемы механики твердого деформированного тела.— Л.: Судо-
Судостроение, 1970.
2. Б е р е ж н о й И. А., И в л е в Д. Д. Об определяющих не-
неравенствах в теории пластичности.— Докл. АН СССР, 1976,
т. 227, № 4, 824—826.
3. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости.—
М.:Мир, 1967, с. 310.
4. В у л ь м а н С. А. О решении осесимметричных упругопла-
стических задач методом малого параметра.— Изв. АН СССР,
Механика твердого тела, 1969, № 3,
5. В у л ь м а н С. А. Приближенное решение упругопластиче-
ской задачи для полых тел, поверхность которых близка к сфери-
сферической.— Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1971, № 1.
6. Вульман С. А. Решение осесимметричных упругопласти-
ческих задач для тел из сжимаемого материала.— Прикл. ме-
механика, 1971, т. 7, вып. 7.
7. Галин Л. А. Плоская упругопластическая задача.— Прикл.
матем. и механика, 1946, т. 10, вып. 3.
8. Г у з ь А. Н. Трехмерная теория упругой устойчивости при
конечных докритических деформациях.— Прикл. механика,
1972, т. 8, вып. 12.
9. Г у з ь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных дефор-
деформациях.— Киев: Наукова думка, 1973.
10. Г у з ь А. Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем
сжатии.— Прикл. механика, 1976, т. 12, № 6.
И. Г у з ь А. Н., Чернышенко И. С, ШнеренкоК. И.
Сферические днища, ослабленные отверстиями.— Киев: Науко-
Наукова думка, 1970.
12. Г уз ь А. Н., Луговой П. 3., Ш у л ь г а Н. А. Кони-
Конические оболочки, ослабленные отверстиями.— Киев: Наукова
думка, 1976.
13. Друянов Б. А. Вдавливание штампа в толстую пластиче-
пластически неоднородную полосу.— Изв. АН СССР, ОТН, 1959, Ns 3.
14. Д р у я н о в Б. А. Вдавливание шероховатого штампа в тол-
толстую пластически неоднородную полосу.— Изв. .АН СССР,
ОТН, 1960, № 6.
15. Дуров В.В. Вдавливание тонкого лезвия в пластическую
среду в условиях плоской деформации.— Труды Научно-иссл.
ин-та матем. Воронежск. ун-та, 1971, вып. 4.
ЛИТЕРАТУРА
205
16. Дуров В. В. К задаче о вдавливании тонкого жесткого тела
в пластическую среду с упрочнением.— Прикл. матем. и меха-
механика, 1973, т. 37, вып. 4.
17. Дуров В. В., Ивлев Д. Д. О вдавливании тонкого жест-
жесткого тела в пластическую среду с упрочнением.— Прикл. ма-
матем. и механика, 1972, т. 36, вып. 3.
18. Е р ш о в Л. В. Упругопластическое состояние эксцентрика,
насаженного с натягом на упругий вал.— Вестник МГУ, 1957,
№ 5.
19. Ершов Л. В. Упругопластическое состояние конической и
искривленной труб. Вестник МГУ, 1958, № 3.
20. Ершов Л. В. Приближенное решение осесимметричных
упругопластических задач.— Изв. АН СССР, Механика и ма-
шиностр., 1959, № 3.
21. Ершов Л. В. Об осесимметричной потере устойчивости тол-
толстостенной сферической оболочки, находящейся под действием
равномерного давления.— Прикл. матем. и техн. физика, 1960,
№ 4.
22. Е р ш о в Л. В. Об образовании шейки в плоском образце при
растяжении.— Прикл. матем. и техн. физика, 1961, № 1.
23. Ершов Л. В. О постановке задачи устойчивости горных вы-
выработок.— Докл. АН СССР, 1962, т. 143, № 2.
24. Ершов Л. В. К вопросу о проявлении горного давления в
вертикальном шахтном стволе.— Изв. АН ССССР, Механика и
машиностр., 1962, № 6. "
25. Е р ш о в Л. В. Об учете влияния эффекта Баушингера на по-
потерю устойчивости сжатой полосы.— Прикл. матем. и механи-
механика, 1962, т. 26, вып. 3. *?3
26. Ершов Л. В. О проявлении горного давления в горизонталь-
горизонтальных выработках.— Докл. АН СССР, 1962, т. 145, № 2.
27. Е р ш о в Л. В. Искусственное усиление устойчивости целиков
путем установки подкрепляющих штанг.— Изв. АН СССР,
Механика и машиностр., 1963, № 2.
28. Е р ш о в Л. В. Исследование вопросов проявления горного
давления с позиций теории устойчивости упругопластических
тел. Прикл. механика, 1963, т. 9, вып. 4.
29. Е р ш о в Л. В., И в л е в Д. Д. Упругопластическое состоя-
состояние конической трубы, находящейся под действием внутреннего
давления.— Вестник МГУ, 1957, № 2.
30. Ершов Л. В., И в л е в Д. Д. Упругопластическое напря-
напряженное состояние полого толстостенного тора, находящегося
под действием внутреннего давления.— Изв. АН СССР, ОТН,
1957, № 7.
31. Е р ш о в Л. В., И в л е в Д. Д. О выпучивании толстостен-
толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления.—
Изв. АН СССР, ОТН, 1957, № 8.
32. Ершов Л. В., И в л е в Д. Д. Упругопластическое состоя-
состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внутрен-
внутреннего давления.— Изв. АН СССР, ОТН, 1957, № 9.
33. Ершов Л. В., Ивлев Д. Д. О потере устойчивости вра-
вращающихся дисков.— Изв. АН СССР, ОТН, 1958, № 1.

206
ЛИТЕРАТУРА
34. Е р ш о в Л. В., К а л у ж и н А. А. Об устойчивости полосы
при сжатии. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 4.
35. Ершов Л. В., Т е л и я н ц В. Н. Об общих соотношениях
метода малого параметра в осесимметричных задачах теории
малых упругопластических деформаций.— Прикл. матем. и
техн. физика, 1961, № 3.
36. Ершов Л. В., Т е л и я н ц В. Н. Об устойчивости равнове-
равновесия упругой полосы.— Инженерный журнал, МТТ, 1967, № 6.
37. Ж алнинВ. А., К теории нелинейных вязко-упругих сред.—
Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 4.
38. Жуков А. М., К вопросу о возникновении шейки в образце
при растяжении.— Инженерный сб., 1949, т. 5, вып. 2.
39. И в л е в Д. Д. Выпучивание эксцентричной трубы.— Изв.
АН СССР, ОТН, 1956, № 10.
40. И в л е в Д. Д. О потере несущей способности вращающихся
дисков, близких к круговому.— Изв. АН СССР, ОТН, 1957,
№ 1.
41. Ивлев Д. Д. Выпучивание толстостенной трубы, ослаблен-
ослабленной пологой осесимметричной выточкой.— Изв. АН СССР,
ОТН, 1957, № 5.
42. И в л е в Д. Д. Приближенное решение упругопластических
задач теории идеальной пластичности. Докл. АН СССР, 1957,
т. ИЗ, № 2.
43. И в л е в Д. Д. Приближенное решение задач теории малых
упругопластических деформаций.— Докл. АН СССР, 1957,
т. ИЗ, № 3.
44. Ивлев Д. Д. Вдавливание тонкого лезвия в пластическую
среду.— Изв. АН СССР, ОТН, 1957, № 10.
45. Ивлев Д. Д. Об определении перемещений в задаче Л. А. Га-
Галина.— Прикл. матем. и механика, 1957, т. 21, вып. 5.
46. Ивлев Д. Д. Приближенное решение плоских упругопласти-
упругопластических задач теории идеальной пластичности.— Вестник МГУ,
1957, № 5.
47. Ивлев Д. Д. К определению перемещений в задаче Л. А. Га-
Галина.— Прикл. матем. и механика, 1959, т. 23, вып. 5.
48. Ивлев Д. Д. Об уравнениях линеаризованных пространст-
пространственных задач теории идеальной пластичности.—Докл. АН СССР,
1960, т. 130, № 6.
49. Ивлев Д. Д. О вдавливании тонкого тела вращения в плас-
пластическое полупространство.— Прикл. матем. и техн. физ.,
1960, № 4.
50. И в л е в Д. Д. Об определении поверхности выпучившегося
материала при вдавливании тонкого лезвия в пластическое по-
полупространство.— Прикл. матем. и механика, 1961, т. 25,
вып. 2.
51. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности.— М.: Наука,
1966.
52. Ивлев Д. Д. Об определении перемещений в упругопласти-
упругопластических задачах теории идеальной пластичности.— В сб. Успехи
механики деформируемых сред.— М.: Наука, 1975.
53. И в л е в Д. Д. К построению теории упругости. — Докл.
АН СССР, 1961, т. 138, № 6.
ЛИТЕРАТУРА
207
54. Ивлев Д. Д.,Б ыковцев Г. И. Теория упрочняющегося
пластического тела.— М.: Наука, 1971.
55. Ивлев Д. Д., Е р ш о в Л. В. Приближенное решение уиру-
гопластических осесимметричных задач теории идеальной пла-
пластичности.— Вестник МГУ, 1958, № 2.
56. Ильюшин А. А. Деформация вязкопластического тела.—
Уч. записки МГУ, 1940, вып. 39.
57. Ильюшин А. А. Пластичность.— М.: Гостехиздат, 1948.
58. Ильюшин А. А. Нормальные и касательные напряжения
при чистом изгибе балки за пределом упругости и аналогия с
задачей об изгибе плит.— Инженерный со., 1954, т. 19.
59. И ш л и н с к и й А. Ю., Рассмотрение вопросов об устойчи-
устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической
теории упругости,— Украинский матем. журнал, 1954, т. 6,
№ 2.
60. И ш л и н с к и й А. Ю. Об устойчивости вязкопластического
течения полосы и круглого прута. — Прикл. матем. и механика,
1943, т. 7, вып. 3.
61. Ишлинский А. Ю. Об устойчивости вязкопластического
течения круглой пластинки.— Прикл. матем. и механика,
1943, т. 7, вып. 6.
62. Каудерер Г. Нелинейная механика.— М.: ИЛ, 1961.
63. К а ч а н о в Л. М. Пластическое кручение круглых стержней
переменного диаметра.— Прикл. матем. и механика, 1948,
т. 12, вып. 4.
64. Качанов Л.М. Ползучесть овальных и равностенных
труб.— Изв. АН СССР, ОТН, 1956, № 9.
65. Кузнецов В. В. Концентрация напряжений вблизи эллип-
эллиптического отверстия упругопластического тела.— Прикл. ме-
механика, 1972, № 5.
66. Кузнецов В. В. Об определении деформированного состоя-
состояния упругопластическои толстой плиты с эллиптическим отвер-
отверстием.— Прикл. механика, 1973, т. 9, № 9.
67. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости.—
М.: Гостехиздат, 1955.
68. Лурье А. И. Теория упругости.— М.: Наука, 1970.
69. Марушкей Ю. М. Двуосное растяжение упругопластиче-
упругопластического пространства с включением.— Изв. вузов, Машинострое-
Машиностроение, 1975, № 12.
70. Марушкей Ю. М. Об упру^пластическом состоянии сре-
среды с включением в виде эллиптического цилиндра.— Прикл.
механика, 1976, том 12, № 2.
71. О н а т Е., П р а г е р В. Образование шейки при пластиче-
? ском течении растягиваемого плоского образца.— В сб. пере-
переводов «Механика», 1955, № 4 C2).
72. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий.—
Киев: Наукова думка, 1968.
73. С е м ы к и н а Т. Д. О трехосном растяжении упругопласти-
упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью.—
Изв. АН СССР, Механика и машиностр., 1963, № 1.
74. С о к о л о в А. П. Об упругопластическом состоянии пластин-
пластинки.— Докл. АН СССР, 1948, т. 10, № 1.

208 литература
75. Соколовский В. В. Теория пластичности.— М.: Высшая
школа, 1969.
76. Тарасьев Г. С, Т о л о к о н н и к о в Л. А. Концентра-
Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале.—
В сб. Концентрация напряжений.— Киев: Наукова думка,
1962, Вып. 1.
77. Тарасьев Г. С, Толоконников Л. А. Конечные
плоские деформации сжимаемого материала.— Прикл. меха-
механика, 1966, т. 2, № 2.
78. Толоконников Л. А., Яковлев С. П., К у> ин В. Ф.
Плоская деформация со слабой пластической анизотропией.—
Прикл. механика, 1969, т. 5, № 8.
79. X а р ч е н к о А. П. Деформированное состояние вблизи эл-
эллиптического отверстия в упругопластическом теле.— Прикл.
механика, 1974, т. 10, вып. 3.
80. X и л л Р. Математическая теория пластичности.— М.: Гос-
техиздат, 1956.
81. Черепанов Г. П. Об одном методе решения упругопласти-
ческой задачи.— Прикл. матем. и механика, 1963, т. 27, вып. 3.
82. Ц у р п а л И. А. Расчет элементов конструкций из нелинейно
упругих материалов.— Киев, Технша, 1976.
83. Bychawski Z., Kopecki H. Sperezysto-plastyczna
deformacia i pelzanie powloki kulisty.— Rozpr. inz., 1967, t. 15,
№ 2, ss. 227—248.

v — •*
Метод
возмущений
в теории
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
ТЕЛА