/
Автор: Ишлинский А.Ю. Ивлев Д.Д.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация механика физика математика монография
ISBN: 5-9221-0141-2
Год: 2003
Текст
УДК 539.3; 539.214
ББК 22.251
И97
Ишлинский А. Ю., И в л е в Д. Д. Математическая теория пла-
пластичности. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003. - 704 с. - ISBN 5-9221-0141-2.
Монография посвящена одному из основных разделов механики дефор-
деформируемого твердого тела — математической теории пластичности, где ав-
авторам принадлежат результаты, имеющие фундаментальное значение для
теории и приложений. Изложено построение общих соотношений теории
идеальной пластичности, упрочняющегося материала, а также материалов
со сложными реологическими свойствами. Дано приложение теории к техно-
технологическим процессам обработки материалов давлением, деформированию
и течению пластических, вязкопластических тел и т.д.
Предназначена для научных работников, инженеров, аспирантов, студен-
студентов старших курсов, специализирующихся в области механики неупругого
деформирования тел и конструкций.
ISBN 5-9221-0141-2 © физматлит, 2001, 2003
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 8
Глава 1. Идеально пластическое тело 33
§ 1. Идеальная пластичность 33
§ 2. Условия пластичности 36
§ 3. Принцип максимума в пространстве напряжений. Пла-
Пластический потенциал и ассоциированный закон пласти-
пластического течения 39
§ 4. Принцип максимума в пространстве скоростей пласти-
пластических деформаций. Диссипативная функция и ассо-
ассоциированный закон нагружения 42
§ 5. Экстремальные свойства условий пластичности .... 47
§ 6. Гипотеза прочности формоизменения 50
§ 7. Кусочно линейные условия пластичности 60
§ 8. Уравнения деформирования тел
за пределом упругости 67
§ 9. Соотношения изотропии и обобщенный ассоциирован-
ассоциированный закон пластического течения 90
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения в обоб-
обобщенных переменных 105
§ 11. Соотношения ассоциированного закона нагружения
в обобщенных координатах 132
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности. 138
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности .... 161
§ 14. Вдавливание штампа в пластическую среду 180
§ 15. Плоские течения идеально пластической среды .... 185
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бри-
нелля 196
§ 17. Начальное пластическое течение при внедрении сфе-
сферического индентора в жесткопластическое полупро-
полупространство 222
§ 18. Внедрение гладкого клинообразного в плане штампа
с плоским основанием в жесткопластическое полупро-
полупространство 231
4 Содержание
§ 19. К теории кинематически определимых состояний иде-
идеально пластического тела 238
§ 20. Сдавливание несжимаемого пластического слоя шеро-
шероховатыми плитами.
Обобщение решения Прандтля 246
§ 21. Сдавливание сжимаемого идеально пластического
слоя шероховатыми плитами. Обобщение решения
Гартмана 260
Глава 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды . 265
§ 1. Упрочнение и разупрочнение.
Поверхность нагружения. Функция нагружения.
Нагружение и разгрузка 265
§ 2. Принцип максимума в пространстве напряжений. Ас-
Ассоциированный закон деформирования гладкие по-
поверхности нагружения 272
§ 3. Обобщенный ассоциированный закон нагружения, ку-
кусочно гладкие поверхности нагружения 278
§ 4. Об ограничении числа гладких функций нагружения
для сингулярной поверхности нагружения. Деформа-
Деформационные теории пластичности 281
§ 5. Диссипативная функция. Принцип максимума в про-
пространстве скоростей пластических деформаций .... 284
§ 6. Плоская деформация при наличии линейного упрочне-
упрочнения 290
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением . 304
§ 8. Теории изотропного и анизотропного упрочнения . . . 326
§ 9. Модели сложных сред 329
§ 10. Влияние вязкости на механическое поведение пласти-
пластических сред 337
§ 11. О влиянии внутреннего механизма вязкости на идеаль-
идеально пластическое поведение материала 340
§ 12. Уравнения деформирования не вполне упругих и вяз-
копластических тел 345
§ 13. Пространственное деформирование не вполне упругих
и вязкопластических тел 375
§ 14. Диссипативная функция в теории пластичности .... 379
§ 15. Некоторые применения статистики к описанию зако-
законов деформирования тел 387
Содержание
§ 16. О равнопрочном сечении балки 397
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке 402
§ 18. Трение качения 419
§ 19. О качении жестких и пневматических колес по дефор-
деформируемому грунту 433
§ 20. Прокатка и волочение при больших скоростях дефор-
деформирования 458
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов 465
§ 22. Продольные колебания стержня при наличии линейно-
линейного закона последействия и релаксации 481
§ 23. Плоские движения сыпучих сред 494
§ 24. Об ударе вязкопластического стержня о жесткую пре-
преграду 508
§ 25. К вопросу об ударе вязкопластического стержня о
жесткую преграду 516
§ 26. К динамике грунтовых сред 527
Глава 3. Линеаризированные задачи жесткопластического
анализа 531
§ 1. Растяжение бесконечно длинной идеально пластиче-
пластической полосы переменного сечения 531
§ 2. Растяжение идеально пластической плоской полосы,
ослабленной пологими симметричными выточками.
Полиномиальное решение 536
§ 3. Растяжение анизотропной идеально пластической по-
полосы 539
§ 4. Растяжение идеально пластической анизотропной
плоской полосы, ослабленной пологими симметричны-
симметричными выточками. Полиномиальное решение 542
§ 5. Линеаризация. Граничные условия, условия сопряже-
сопряжения, условие пластичности 547
§ 6. Растяжение идеально пластической полосы. Полино-
Полиномиальные решения 559
§ 7. Растяжение идеально пластического цилиндрического
стержня при условии пластичности Треска 561
§ 8. Растяжение идеально пластического цилиндрического
стержня при условии пластичности Мизеса 564
6 Содержание
§ 9. Напряженное состояние идеально пластического поло-
полого цилиндра,
близкого к круговому 569
§ 10. Напряженное состояние идеально пластических тел
вблизи сферической полости 577
§ 11. Напряженное состояние идеально пластических тел,
близких к коническим 583
§ 12. Растяжение идеально пластического прямоугольного
бруса, ослабленного пологими выточками, при условии
полной пластичности 587
§ 13. Растяжение идеально пластического прямоугольного
бруса, ослабленного пологими выточками, при условии
пластичности Мизеса 592
§ 14. Растяжение идеально пластического прямоугольного
бруса, ослабленного пологими выточками. Продолже-
Продолжение 596
§ 15. Линеаризированные уравнения пространственного те-
течения идеально пластических анизотропных тел. . . . 605
§ 16. Решение линеаризированных уравнений простран-
пространственного состояния идеально пластических тел .... 608
§ 17. Об устойчивости вязкопластического течения полосы
и круглого прута 611
§ 18. Об устойчивости вязкопластического течения круглой
пластины 643
§ 19. Вязкопластическое течение анизотропной полосы,
ослабленной пологими выточками 655
§ 20. Вязкопластическое течение полосы, ослабленной поло-
пологими выточками. Полиномиальное решение 659
§ 21. Растяжение толстой вязкоп ласти ческой плиты, растя-
растягиваемой в своей плоскости 662
§ 22. Сдавливание круглого в плане пластического слоя ше-
шероховатыми плитами 666
§ 23. Сдавливание пластического слоя искривленными и на-
наклонными
шероховатыми плитами 681
Литература 688
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория пластичности принадлежит к числу фундаментальных раз-
разделов механики деформируемого твердого тела.
Авторы настоящей монографии принимали участие в определении и
осмыслении основных общих соотношений теории идеальной пластич-
пластичности, основанной на представлении о сдвиговом характере пласти-
пластического деформирования, ведущем свое начало от основоположников
теории пластичности Треска и Сен-Венана.
В монографии излагается построение теории идеальной пластич-
пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых
уравнений гиперболического типа, вполне адекватных сдвиговому ха-
характеру деформирования идеального жесткопластического тела.
В монографии излагается впервые предложенная одним из авторов
теория трансляционного упрочнения и ее дальнейшее развитие. Имен-
Именно представления, основанные на трансляционном механизме упроч-
упрочнения, позволяют описать основные свойства пластической среды при
деформировании за пределом текучести.
В монографии излагаются также численные и приближенные ана-
аналитические методы решения задач, начало исследованию которых было
положено в работах одного из авторов более пятидесяти лет тому назад.
В монографию вошли фрагменты оригинальных исследований ав-
авторов. Авторы надеются, что по ним читатель сможет представить и
оценить поиск путей и результатов, приведших в определенной степени
к современному состоянию теории.
М.В. Михайлова проделала очень большую работу по подготовке
рукописи к печати, авторы выражают ей глубокую благодарность.
Авторы признательны также А.М.Васильевой, Д.В.Ильину,
Н.А.Ефимовой, В.Г.Ефремову, Л.А.Максимовой, Э.В.Павловой,
Г.В. Петрову, Т.И. Рыбаковой, Е.А. Целистовой за помощь в работе.
Авторы признательны Н.Б. Бартошевич-Жагель за большой труд
по редактированию книги.
ВВЕДЕНИЕ
Пластичность — свойство тел приобретать остаточные деформа-
деформации. Математическая теория пластичности занимается построением
математических моделей пластического деформирования тел, метода-
методами определения напряжений и деформаций в пластически деформи-
деформируемых средах. В математической теории пластичности за исходные
принимаются экспериментальные данные и непосредственно она не
связана с физическим объяснением свойств пластичности. Математи-
Математическая теория пластичности (далее — теория пластичности) связана, в
основном, со свойствами металлов, ее применения возможны к таким
материалам, как горные породы, лед и т.д.
Экспериментально доказано, что объемная деформация металлов в
достаточно широком диапазоне изменения давления является упругой,
то есть пластические деформации не вызывают изменения плотности.
Таким образом, при образовании пластической деформации металлов
основным является сдвиговой механизм. Напротив, такие среды, как
грунты, способны приобретать значительные необратимые изменения
объема при сравнительно небольших значениях всестороннего дав-
давления.
Наиболее важными экспериментами по определению пластических
свойств металлов являются растяжение-сжатие плоского или цилин-
цилиндрического образца и деформирование тонкостенной цилиндрической
трубки, находящейся под действием растягивающей силы, крутящего
момента и внутреннего давления (эксперименты, позволяющие ввести
независимый отсчет усилий и деформаций).
На рис. 1, а показана кривая «напряжение-деформация» при од-
одноосном растяжении образца из мягкой малоуглеродистой стали. В
начальной стадии, до точки Л, на диаграмме имеется характерный
линейный участок и зависимость а—е следует закону Гука. После точки
А диаграмма становится криволинейной, а на отрезке ВС она имеет
горизонтальную площадку, называемую площадкой текучести. Начи-
Начиная с точки С кривая снова идет вверх.
Отметим характерные точки диаграммы о-е. Напряжение а^, соот-
соответствующее точке А на рис. 1, а, называется пределом пропорциональ-
Введение
9
ности. Таким образом, предел пропорциональности — максимальное
напряжение, при котором справедлив линейный закон Гука.
~ё О
О
Рис. 1
Пределом упругости, или пределом пластичности, называется наи-
наибольшее напряжение, которое может выдержать данный материал, не
обнаруживая остаточных деформаций при разгрузке. Предел упруго-
упругости, вообще говоря, не совпадает с пределом пропорциональности и
может располагаться выше или ниже предела пропорциональности, но
обычно их различием пренебрегают.
Пределом текучести а в называется напряжение, начиная с которо-
которого имеет место площадка текучести. Площадка текучести характерна
для мягкой малоуглеродистой стали и некоторых сплавов. Для боль-
большинства других металлов площадка текучести не имеет места.
Предположим, что нагружение доведено до точки М на диаграм-
диаграмме, а далее следует разгрузка. Процесс разгрузки будет изображаться
прямой МР, параллельной прямой О А. Полная деформация е, соот-
соответствующая точке М диаграммы, состоит из двух частей — упругой ее
и пластической ер:
ер = ОР, ее = PN) .
Вторичное приложение растягивающих усилий вызовет процесс
упругого деформирования до достижения растягивающим напряжени-
напряжением значения, имевшего место в начальный момент разгрузки (напря-
(напряжение, соответствующее точке М на рис. 1, а). Таким образом, вывод
материала в пластическую область путем растяжения повышает пре-
предел упругости при растяжении. Это явление называется упрочнением
или наклепом.
При сжатии диаграмма «напряжение-деформация» подобна соот-
соответствующей диаграмме при растяжении, однако наклеп материала
при растяжении понижает по абсолютной величине предел упругости
при сжатии, и наоборот. Это явление называется эффектом Баушин-
гера. При пластическом деформировании наблюдается возникновение
анизотропии, то есть приобретение различных механических свойств в
10 Введение
разных направлениях. Эффект Баушингера — следствие приобретен-
приобретенной анизотропии материала.
Теория пластичности идеализирует поведение реальных материа-
материалов при пластическом деформировании. Обычно в теории пластично-
пластичности диаграмму о-е аппроксимируют схемой (рис. 1,6, в, г), состоящей
из двух участков: отрезка прямой О А, соответствующего упругому
состоянию материала, и отрезка AM, соответствующего состоянию
пластичности. На рис. 1, 6 изображена зависимость о—е для идеаль-
нопластического материала; в этом случае точка соответствует пре-
пределам пропорциональности, упругости и текучести одновременно. На
рис. 1, в, г показаны зависимости о-е для материалов с линейным и
нелинейным упрочнением; в этом случае точка А соответствует преде-
пределам пропорциональности и упругости.
Эксперименты показывают разнообразие в поведении металлов и
других твердых тел при пластическом деформировании. Существен-
Существенным оказывается влияние скорости нагружения. При повышенной тем-
температуре (а в некоторых случаях — даже при комнатной температуре)
твердые тела обнаруживают свойства ползучести, последействия и т. д.
Современная теория пластичности не в состоянии учесть в равной
мере все различные механические свойства твердых тел при пласти-
пластическом деформировании. Теория пластичности идеализирует сложное
поведение реальных материалов при пластическом деформировании,
причем для различных областей применения используются гипотезы,
определяющие различные модели пластических тел. Простейшей мо-
моделью пластического тела является модель идеального, изотропного,
несжимаемого жесткопластического тела.
Понятие идеальнопластического тела является предельной идеа-
идеализацией свойств реального пластически деформированного тела. В
связи с этим приведем высказывание Бриджмена [5]: «Понятие иде-
идеального пластического тела противоречит другим нашим представ-
представлениям о действительном поведении тел... Я не сомневаюсь в том,
что свойства почти всех тел, с которыми мы имеем дело на опы-
опыте, соответствуют нашим обычным представлениям, а понятие
идеального пластического тела есть, в лучшем случае, только аб-
абстракция. Сама потребность в такой идеализации свидетельствует
о том, что существуют довольно обычные случаи, когда тела от-
отклоняются от идеального поведения. Все же я считаю, что понятие
идеального пластического тела имеет большее значение, чем это
кажется на первый взгляд, но для того чтобы убедиться в этом,
мы должны охватить в своем опыте более широкий диапазон усло-
условий.
Введение
11
Для определенных типов деформации при возрастании величины
деформации до некоторого предела представление об идеальном пла-
пластическом теле может становиться хорошим приближением».
В настоящее время теория пластичности принадлежит к числу
развитых разделов механики сплошной среды, ей посвящены известные
монографии, среди которых отметим [1—75] и обзоры [76—84]. Ниже мы
остановимся на работах, к которым примыкает материал книги.
Возникновение теории пластичности принято относить ко времени
появления работы французского инженера Треска A864 г.). Анализи-
Анализируя результаты экспериментов по штамповке и выдавливанию загото-
заготовок из свинца, Треска выдвинул гипотезу, согласно которой пластиче-
пластическое течение возникает при достижении максимальным касательным
напряжением предельного значения
= |а» - Oj\/2 ^ k, k= COnst,
A)
где ттах — максимальное касательное напряжение, oi — главные ком-
компоненты тензора напряжений. Условие пластичности A) вошло в лите-
литературу как условие пластичности Треска.
Условие пластичности Треска A) интерпретируется в пространстве
главных напряжений шестигранной призмой, равнонаклоненной к оси
а1 = с>2 = аз (рис. 2, а). В девиаторной плоскости о\ +с>2+аз = 0 сечение
призмы Треска представляет правильный шестиугольник (рис. 2,6).
В 1870 году Сен-Венан использовал условие пластичности Треска
и предложил соотношения, описывающие идеальное пластическое те-
течение для случая плоской задачи. Соотношения, предложенные Сен-
Венаном, имеют следующий вид:
уравнения равновесия
дх ' ду °' дх л
где ох, Оу, хХу — компоненты напряжений;
ду
= 0,
B)
12 Введение
условие пластичности Треска
(<ух - оуJ + 4,2ху = 4к2; C)
условие несжи маем ости
гх+гу = 0; D)
условие изотропии, устанавливающее коаксиальность тензора на-
напряжений и тензора скоростей деформации,
где
ди
гж, гу, ?ху — компоненты скорости пластической деформации, и, v —
скорости перемещений.
Отметим, что условию изотропии E) можно придать форму
охгху + тхугу = тхугх + оугху. F)
Соотношения теории плоской задачи, сформулированные Сен-
Венаном, полностью сохраняют свое значение и по сей день.
Леви [184], используя замену переменных
Gx — су + к cos 26, ау = а — к cos 26, тху = к sin 26,
G)
о= (аж +оу)/2,
удовлетворил тем самым условию пластичности C) и, согласно G) и
B), получил систему квазилинейных уравнений
ох-
dv
1 ~ду
Су
5 ^
Ъху
ху =
1 I
21
(ди
Уду'
dv
^~дх
(8)
|^-2fc sin 26 |^ + 2к cos 26 |^ = О,
дх дх ду
f^ + 2& cos 26 !^-+2& sin 26 |^=0.
ду дх ду
Леви перешел в системе уравнений (8) к переменным
х = х (а, 6) , у = у (а, б) ,
получил линейную систему уравнений по отношению к неизвестным
ж, у и проинтегрировал полученную систему уравнений.
В 1871 году Леви [183] предложил уравнения пространственной
задачи теории пластичности. Уравнению грани призмы Треска A)
Введение
13
можно придать вид
л2
4(q'-k2)Dk2-q') - 27г/2 = О,
(9)
где
aij — °ij — Sija — индекс штрих наверху приписан компонентам девиа-
тора, </, г1 — соответственно второй и третий инварианты девиатора
напряжений.
Закон пластического течения Леви установил, предположив несжи-
несжимаемость материала:
а также пропорциональность компонент девиаторов напряжений и ско-
скорости деформаций
(Ух — G« Ож — (Уг (Уг — (Ух ^ху ^yz ^xz /1 r\\
z—— = -—— = -—— = — = — = —' A0)
где &ij — компоненты тензора скорости деформации.
На рис. 3, а показан шестиугольник Треска и направления пласти-
пластического течения, определяемые соотношениями Леви A0).
Рис.3
Хаар и Карман [229] A909 г.) обосновали утверждение, что теория
пластичности и теория предельного состояния грунтов (статика сыпу-
сыпучей среды) имеют общие основы. Ими было выдвинуто условие «полной
пластичности»: при достижении предельного состояния имеет место
14 Введение
соотношение
oi = с2, оз - cji = 2/с. A1)
Условие полной пластичности A1) описывается в рамках условия
пластичности максимального касательного напряжения и определяет
соответствие напряженного состояния ребру призмы Треска. Ребро
призмы Треска определяется как пересечение двух граней призмы
Треска:
_ oi -аз _ , _ °2-аз _ . /12ч
Lmaxi — еу — Л5 Lmax2 — о — Л5 \ /
откуда следует A1).
Согласно A1) максимальное касательное напряжение достигается
не на отдельной площадке, а на конусе с раствором угла тг/4 с осью
вдоль аз-
Xaap и Карман [229] отметили, что при <з\ = с>2 «эллипсоид напря-
напряжений» является в каждой области С (область пластического состо-
состояния материала) «эллипсоидом вращения», и указали на статическую
определимость общего случая пространственной задачи при условии
полной пластичности: «Мы получаем... вполне определенную систе-
систему из шести дифференциальных уравнений для шести неизвестных
величин напряжений».
Мизес [192] A913 г.) предложил в качестве условия пластичности
выражение предельного значения упругой энергии формоизменения
элемента тела. В качестве закона пластического течения предлагалось
использовать соотношения A0).
Математическая запись квадратичного условия пластичности Ми-
зеса оказалась проще, чем вид уравнения грани призмы Треска A9),
данного Леви.
Отметим, что ранее аналогичное условие пластичности было вы-
выдвинуто Губером A904 г.) и в литературе можно встретить название
«условие пластичности Губера-Мизеса». Условие пластичности Мизеса
имеет вид
условие пластичности A3) можно записать в главных напряжениях:
(oi - с2) + (а2 - а3) + (аз - ai) " = 8k2.
Условие пластичности Мизеса интерпретируется в пространстве
главных напряжений цилиндром, равнонаклоненным к осям координат
(рис. 4, а).
На рис. 4, б показаны окружность Мизеса в девиаторной плоскости
и направления пластического течения.
Введение
15
Прандтль [202] A920 г.) сформулировал понятие жесткопластиче-
ского тела: так как упругие деформации у большинства ма-
материалов чрезвычайно малы, а пластические деформации
часто бывают значительно большими, то ради упрощения мы
совершенно пренебрегаем упругими деформациями; упругая
часть тела, следовательно, рассматривается как жесткая.
Прандтль установил гиперболический характер уравнений плоской
задачи теории идеальной пластичности, ввел понятие линий сколь-
скольжения, совпадающих для изотропного идеальнопластического тела с
линиями действия максимальных касательных напряжений, указал
численные методы решения задач и дал классические решения задач о
вдавливании жестких штампов в идеально пластическую среду.
Рис. 4
Прандтль дал аналитическое решение уравнений B), C) о течении
полосы, сжатой шероховатыми плитами, послужившее основой для
расчета технологических процессов обработки металлов давлением:
1/г пш J/г пш
оу = — — + С, хху = —, С = const,
где 2h — толщина сдавливаемой полосы.
Генки [105] A923 г.) получил интегралы вдоль ортогональных ха-
характеристик, совпадающих с линиями скольжения:
A4)
а + 2kQ = const вдоль а-линии -^- = tg I 6 — -. 1 ,
ах V 4 1
а — 2kQ = const вдоль р-линии — = tg I 6 + - 1 ,
dx \ /
16 Введение
а также уравнения, устанавливающие фундаментальные свойства ли-
линий скольжения для плоской задачи.
Интегралы A4) носят название интегралы Генки. Он же иссле-
исследовал уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластич-
пластичности при условии полной пластичности и дал приближенное решение
задачи о вдавливании жесткого штампа с гладким плоским круговым
основанием в пластическое полупространство в предположении, что
сетка линий скольжения в осесимметричном случае совпадает с сеткой
характеристик Прандтля для плоской задачи.
Позднее один из авторов [170] A946 г.) развил численные методы
решения осесимметричных задач теории идеальной пластичности при
условии полной пластичности и дал решение задач о вдавливании
плоского и сферического штампов в идеальнопластическое полупро-
полупространство.
Прандтль [203] A923 г.) дал ряд классических примеров приложе-
приложений теорем Генки к определению предельного состояния идеальных
жесткопластических тел, в частности, аналитическое асимптотическое
решение задачи о сдавливании слоя шероховатыми плитами.
Мизес [235] A928 г.) предположил, что работа напряжений на при-
приращениях пластических деформаций имеет для действительного со-
состояния стационарное, экстремальное значение по отношению ко всем
возможным напряжениям, допускаемым данным условием пластично-
пластичности. Мизес рассмотрел условный экстремум функционала
dA = Oijdeij — d[if (a^), / (а^) = 0,
где deij — приращения пластических деформаций, / (а^) = 0 — усло-
условие пластичности, d\i — множитель Лагранжа.
Согласно Мизесу
7j—= 0, de^ = djiTj—, f(oij)=0 A5)
или
~ _ , df ? (- \ - П „ _ dei0 , _ Ф
где Eij — компоненты скорости пластической деформации.
Выражения A5), A6), устанавливающие связь между напряжения-
напряжениями и приращениями пластической деформации или компонентами ско-
скорости пластической деформации, получили название ассоциированного
закона течения.
Согласно A6), Леви [184] при построении соотношений простран-
пространственной задачи теории идеальной пластичности использовал уравне-
Введение 17
ние грани призмы Треска (9) и ассоциированный закон течения A0) к
условию пластичности Мизеса A3).
Гейрингер [76] A930 г.) получила соотношения для скоростей пере-
перемещений вдоль линий скольжения:
dU + VdQ = 0 вдоль ос-линий -— = tg I 6 — -
dx у 4
dV + UdQ = 0 вдоль ос-линий -У- = tg ( 6 + ^ I ,
ах у 4 у
где ?/, V — компоненты скорости вдоль линий скольжения.
Соотношения Гейрингер означают не что иное, как отсутствие удли-
удлинения вдоль линий максимального касательного напряжения и спра-
справедливы для любого изотропного несжимаемого материала.
До сороковых годов в теории идеальной пластичности был получен
ряд результатов, связанных с интегрированием уравнений плоской
задачи: С.Г. Михлин [39] A934 г.), С.А. Христианович [214] A936 г.).
Результаты упомянутых исследований открыли широкие возмож-
возможности для решения плоских задач теории идеальной пластичности.
Теория плоской задачи идеальнопластического тела характеризу-
характеризуется статической определимостью: два уравнения равновесия B) и
условие пластичности C) образуют систему трех уравнений относи-
относительно трех компонент напряжений аж, ау, тху. Система уравнений
для компонент напряжений и скоростей перемещений принадлежит к
гиперболическому типу с характеристиками, совпадающими с линия-
линиями действия максимальных касательных напряжений и являющими-
являющимися линиями скольжения. Гиперболический тип уравнений позволяет
определить зоны предельного состояния материала и границы обла-
областей пластического течения, характеризующиеся разрывом скоростей
перемещений.
Определение общих соотношений теории идеальной пластичности,
обладающих всеми особенностями плоской задачи, тесно связано с
развитием представлений обобщенного ассоциированного закона пла-
пластического течения.
В общем случае имеют место три уравнения равновесия:
дах 8тху , 8xxz л 8
8txz _ дтху да^ d%yz _
dz ~ ' дх + ду + dz
дх ду dz ' дх ду
A7)
дтхг diyz do* _ ^
дх ду dz
18 Введение
Чтобы задача была статически определимой, наряду с уравнениями
A7), должны иметь место три уравнения:
/i(o«) = 0, /2 (<*«)= О, /з(о«)=0. A8)
Система шести уравнений A7), A8) относительно шести неизвест-
неизвестных компонент напряжений Oij является статически определимой.
Оценивая положение с пространственной задачей теории идеаль-
идеальной пластичности, Прандтль A921) писал: «для разработки простран-
пространственной задачи до сих пор еще не найдено надлежащего пути и пока,
пожалуй, имеется мало перспектив ее решения».
Закон течения, соответствующий сингулярному критерию текуче-
текучести рассматривался Рейссом [239] A933 г.) для сингулярного условия
пластичности в виде двух соотношений:
/l @1,02,03) = 05 /2 @1,02,03) = О,
и представил соотношения пластического закона течения в виде
, 0/i _l 0/2 , 0/i , 0/2 , 0/i , 0/2
В работе одного из авторов [175] A946 г.) были предложены со-
соотношения пространственного состояния идеальнопластического тела
в предположении, что условие текучести определяется не одним, а
двумя соотношениями: «для пространственной задачи пластичности
имеют место два соотношения между главными напряжениями,
подобно гипотезе полной пластичности Хаара и Кармана. Этим пред-
предлагаемая теория отличается от теории Леей и Мизеса, в которых
принимается единственное соотношение. Для построения замкну-
замкнутой системы уравнений обоим авторам приходится вводить излишне
большие ограничения на величины скоростей деформирования, если
рассматривается течение пластической среды, а именно принимают-
принимаются справедливыми четыре соотношения:
du dv du dw dv du dw dv du dw '
ri i* Fin ri i* ri 7 ri *v Fin Flu ri 7 г}? rii*
где u,v,w — компоненты скорости какой-либо частицы пластической
среды. Эти соотношения содержат не только требование коаксиаль-
ности тензора напряжения и тензора скоростей деформирования, но
также и требование пропорциональности касательного напряжения
Введение 19
на произвольно ориентированной площадке к соответствующей ско-
скорости деформации сдвига (причем коэффициент пропорциональности
может меняться при переходе от одной точки тела к другой). В
частности, если где-либо в среде возникает напряженное состояние
с главными напряжениями
ai = с>2 = аз + 2&,
то из упомянутых выше теорий следует, что обязательно должно
осуществляться равенство г^ = 82. Согласно же нашей теории, долж-
должно быть только
8! > 0, 82 > О,
а соотношение между ними может быть произвольным».
Соотношения теории идеальной пластичности [175] записываются в
виде:
уравнения равновесия A7), условие пластичности
/i(a,g,r) = 0, /2 (a, q, r) = 0, A9)
где a, q, r — инварианты тензора напряжений
q = oxoy + oyoz + ozox — %xy — %yz — txz,
r = oxoyoz + 2xXyXyzxxz — oxxyz — oyxxz — ozxxy,
условия совпадения главных осей тензора напряжений и скоростей
деформации, условие изотропии
Gx^xy ~г ^ху?у ~г ^xz^yz — ^ху&х ~г ОуЕХу + TyZ?xz,
+ lyzZz = ^xz^xy + lyz^y + GzZyz, (Щ
условие несжимаемости
du dv dw , ч
еж ~г 8^ + 8^ = U, -р. \- -р. 1 р.— = U, (^1)
ох ду oz
где
_ ди _ dv _ dw
_ 1 (du dv\ _ 1 (du dw\ _ 1 f dv dw
гхУ - g ^^ + ^J ' 8ж2 - 2 \dz ~dx) ' 8y2: ~~ 2 y^z ^
Из B0) следуют соотношения изотропии для случая плоской зада-
чи G).
20 Введение
Девять уравнений A7), A9)—B1) образуют замкнутую систему
уравнений относительно девяти неизвестных: шести компонент напря-
напряжений Oij и трех компонент перемещений u,v,w.
Таким образом, автор [175] непосредственно обобщил соотношения
Сен-Венана F) и отказался от условий пропорциональности Леви A0).
Согласно [175] фиксированному напряженному состоянию может
соответствовать множество различных деформируемых состояний, та-
таким образом были развиты представления, описываемые в рамках обоб-
обобщенного ассоциированного закона пластического течения. Для двух
условий пластичности A9), определяющих модель изотропного иде-
альнопластического тела, соотношения обобщенного ассоциированного
закона течения сводятся к условиям изотропии B0).
Итак, в [175] сформулированы соотношения пространственно-
пространственного состояния идеальнопластического изотропного тела при
сингулярном условии пластичности A9) и обобщенном ассо-
ассоциированном законе пластического течения B0), B1).
Условия изотропии A1), B0) позволяют определить сдвиговой ха-
характер деформирования несжимаемого идеальнопластического тела
при однородном напряженном состоянии.
При
®х = сть Оу = С2, тху =0, oi - С2 = 2к B2)
из D), E) следует
р. + ?- = 0, 7Г + тг = 0. B3)
дх ду ду дх v J
Согласно B3) для определения компонент скорости деформации
имеет место волновое уравнение
В общем случае при
ох = cTi, Оу = С2, oz = аз, тху = xxz = Tyz = 0, B5)
согласно B0), B5) следует
(oi - с2) гху = 0, @2-03)8^=0, (o3-o1)zxz=0. B6)
Наибольшая свобода пластического течения имеет место при усло-
условии полной пластичности, в этом случае из A1), B6) следует
?xz = 0, Еуг = 0, гху ф 0. B7)
Введение 21
Соотношения B1), B7) могут быть записаны в виде
ди dv dw _ ди dw _ dv dw _ ( ,
дж d?/ dz dz dx dz ду у J
Из уравнений B8), вполне аналогично B4), следует волновое урав-
уравнение
д \\f д у #~\|f #\|/ ^\(/ d\\f , v
^ + 97"97 = 0' и = ^' * = %' и> = -^- B9)
Теория обобщенного ассоциированного закона течения для сингу-
сингулярных условий текучести получила развитие в работах В. Койтера
[80] A953 г.) и В. Прагера [47] A953 г.). Соотношения обобщенного
ассоциированного закона течения имеют вид:
где Ха = 0, если /а < 0, а также если /а = 0, /а = -^—- da^- ^ 0 и Ха ^ 0,
если /а = 0, d/a = 0.
Применительно к ребру призмы Треска соотношения обобщенного
ассоциированного закона можно представить следующим образом: че-
через пересечение двух плоскостей
g3-ci=2&, аз-о2 = 2к C0)
проходит пучок плоскостей
А,(аз-О1 -2k)+ii(o3-O2-2k) =0, А,^0, ц ^ 0. C1)
Каждая из плоскостей C0), лежащая между плоскостями A2),
является гладкой поверхностью текучести, к которой применимы соот-
соотношения Мизеса A6). Из A6), D0) следуют соотношения обобщенного
ассоциированного закона течения
81 = -А,, 82 = -Щ 83 = X + |1,
Из представлений обобщенного ассоциированного закона пласти-
пластического течения C1) следует, что любое деформированное состояние
может соответствовать ребру призмы Треска (рис. 3, б).
Грани призмы Треска соответствует одно направление течения
(рис. 3, 5), например,
ai — О2 = 2&, 8i =Х, 82 = —X, 83 = 0. C2)
Деформированное состояние, при котором одна главная скорость
деформации равна нулю, реализуется в случае плоской деформации.
22 Введение
Напряженное состояние, при котором на криволинейных поверхно-
поверхностях имеет место условие C2), реализуется в ограниченных случаях.
Три соотношения A8) при условии соответствия напряженного со-
состояния ребру призмы Треска установлены [116] в 1958 г.
Рассмотрим соотношения
Z + <5ГП + О^ тху — CJi /i /2 + О2ТП1ГП2
ау = ai/| + 02^2 +03^2, txz = 01/1/3 + a2mim3 + азщпз, C3)
Oz = ai/| + o2ml +а3ггз, %yz = o^hh + о2т2т3 -\-о3п2п3,
где li, гтг^, rii — направляющие косинусы, связанные условиями орто-
ортогональности
1\ + т\ + п\ = 1, hl2 + Ш!Ш2 + тгаггз = 0, ... C4)
Из A1), C3), C4) получим
C5)
az = ai + 2&П3, Tyz = 2kn2ns,
nj + nl + nl = 1. C6)
Из C5), C6) следует
a = ai+2&/3, oi=o-2fc/3, a = (сж + ay + az) /3. C7)
Из C5), C7) следуют три условия пластичности A8) в виде
'(gx-G + 2fc/3) 1yz = TxyTxz,
(оу-о + 2fc/3) тж;г = Тж^ту^, C8)
ч iPz - О ¦
или
\ох-а-
jy - a + 2fc/3) (oz - a + 2fc/3) = x2yz, C9)
или
+^+^=fc2, D0)
,{oz-a-k/3J+-?,+!*, =k\
Введение 23
или
(оу - агJ + 4т2,, = [4fc/3 - (а* - а)]2, D1)
Соотношению C8) можно придать форму
I
=o- -
О ТХ
Из D2) следует
Обозначим
ni = cosGi, n2 = cos62, n3 = cose3. D4)
Из A7), C5), C6), D4) имеет место система уравнений
4k cos 6i sin 6i — Ik cos 62 sin 6i — 2k cos 6i sin 62 -^— —
ox ox oy oy
- 2k cos 63 sin 9i -^- - 2k cos 9i sin 63 -^ = 0, A23, xyz), D5)
cos2 9i + cos2 62 + cos2 63 = 1. D6)
Система статически определимых уравнений D5), D6) принадле-
принадлежит к гиперболическому типу, если ввести обозначения
Ф (ж, у, z) = 0, й = coseii + cos62J + cos63k, D7)
где Ф — характеристическая поверхность, то уравнение для определе-
определения характеристических многообразий имеет вид
(й • grad^f) Г2(й • grad ФJ - (grad ФJ| = 0. D8)
Из D8) следует, что направление третьего главного напряжения
й является характеристическим, а также, что характеристические на-
направления образуют конус с углом раствора тг/4 (рис. 5) вокруг направ-
направления й. Характеристические поверхности совпадают с поверхностями
действия максимальных касательных напряжений.
24
Введение
Для любого изотропного тела справедливы условия изотропии B0).
В случае соответствия напряженного и деформированного состояния
ребру призмы Треска фиксируется лишь третье главное направле-
направление аз- Поэтому условие изотропии сводится к совпадению направлений
третьего главного напряжения и третьей главной скорости деформа-
деформации. Имеет место
гхуп2
D9)
Из D9) следует
+гху- +zxz- =гху-
- = гхг- +гуг- +ег. E0)
Присоединяя к двум уравнениям E0) условие несжимаемости B1),
переходя к компонентам скорости перемещения
ди dv dw
_ 1 f ди dv\ _ 1 f ди dw\ _ 1 f dv dw\
получим систему трех уравнений относительно трех неизвестных
и, v, w.
Введение 25
Отметим, что если воспользоваться соотношениями D2), то из двух
условий изотропии B0) следует третье, другими словами, среди трех
условий B0) в рассматриваемом случае независимые два.
Система уравнений B1), E0) принадлежит к гиперболическому
типу, характеристические многообразия для уравнений, определяющих
кинематику пластического течения, совпадают с характеристическими
многообразиями для поля напряжений D8).
Показано [21], что вдоль характеристических поверхностей воз-
возможны разрывы скорости перемещений, определяющих скольжение
пластически деформированного тела вдоль границ жесткого состояния
материала.
Согласно C5), C7) можно записать соотношения закона течения
E0) в виде
Gy -G-\~2k/3 GZ -G-\~2k/3 _
^xy ^xz
gx - о + 2к/3 gz - о + 2к/3
= ?xy \~ ?y + ?xz — =
_ GX ~G + 2k/3 , Gy ~G + 2k/3 , ( v
— ^xz г ?yz ге25 \рч
Ixz lyz
или
XZGZ ~G + 2k/3 VZGZ ~G + 2k/3 Z'
или
Построение соотношений теории идеальной пластичности возмож-
возможно из определения диссипативной функции:
и ассоциированного закона нагружения
D = OijZij = D(?i;j) E4)
E5)
26 Введение
Для случая идеальной пластичности диссипативная функция
D (zij) является однородной первой степени относительно г^-.
Согласно A1), B1) будем иметь
D = Oi8i + C2?2 + С>з?3 = 2&г3, E6)
?з = е^ + ?п\ + гП + 2
Рассмотрим функционал
D = 2к (гхп\ + г^гг^ + г^гг2; + 2
+ |i (гж + гу + е*) - v (гг? + гг| + гг| - l) . E7)
Согласно E5), E7) получим
ох = 2кп\ + |i, тху = 2кщп2,
l + [i, xxz = 2/СП1П3, E8)
^, = 0-2*5/3 = 01.
Выражения E8) совпадают с C5). Из
|^ |^ |^0. E9)
согласно E7) получим
2к (гжгг1 + гхуп2 + &xzn3) = \щ,
2к (гхуП1 + гуп2 + гугп3) = vn2, F0)
2k (гхгп1 + г^^ггг + ?^гг3)
Из F0) следуют соотношения E0). Таким образом из экстремума
функционала E7) определяются все основные соотношения теории
идеальной пластичности при условии полной пластичности.
Итак, условие соответствия напряженного состояния ребру приз-
призмы Треска C5) и соотношения обобщенного ассоциированного закона
течения E0) позволяют построить теорию идеальной пластичности
с единым математическим аппаратом, вполне адекватным сдвиговой
природе идеальнопластического течения.
Общая плоская задача. Из D6) найдем
cos2 9i + cos2 62 = sin2 63, F1)
Введение 27
откуда
/cos62\ * 2 , • 2 i
+(- = 1? cos^ + sin ф = 1.
ysine3y
F2)
i \ oiu из j
Из F2) следует
n\ = cos6i = cos ф sin 6, ri2 = cos 02 = sin psinO, n3=cos6. F3)
Предположим, что имеет место общая плоская задача
Из уравнений равновесия A7), соотношений C5), F3), F4) имеет
место система трех уравнений относительно трех неизвестных а, 6, ф.
Система уравнений принадлежит к гиперболическому типу, имеет три
характеристики
~7Ш' F5)
вдоль характеристик F5) имеют место соотношения
do ±\k(l + cos 6) /Vcosel dq = 0, F6)
третья характеристика
—— = tg ф, F7)
вдоль характеристики F7) имеет место соотношение
Sin9 do + к sin e sin 2ф dq + к dQ = 0. F8)
Аналогично рассматривается соответствующее поле скоростей.
На рис. 5 показано сечение конуса характеристик плоскостью. Ри-
Рисунок 5, а соответствует случаю, когда главное напряжение аз лежит в
плоскости сечения, характеристики ортогональны, этому случаю соот-
соответствует состояние плоской деформации. Случай общей плоской зада-
задачи соответствует рис. 5, 5, случай антиплоской деформации и кручения
— рис. 5, в.
Пространственный аналог решения Прандтля о сжатии слоя шеро-
шероховатыми плитами толщиной 2/г получен [189] в предположениях
txz = az-\-c\, xyz = bz + C2, a, 6, ci, C2 = const. F9)
Полагая
G0)
28 Введение
где индексы «плюс наверху», «минус наверху» приписаны компонентам
напряжения на контактных поверхностях плиты при z = ±/г.
При
сдавливающее давление распределено следующим образом
oz = — cos ^ + С, ? = ж cos ^ + у sin ^, С = const. G2)
Согласно G2) давление возрастает по плоскости линейно от края
плиты, скат плоскости вдоль биссектрисы угла, образованного направ-
направлениями результирующих касательных контактных напряжений G1).
Распределение Прандтля имеет место при ф = 0:
oz = -кх + С, G3)
при ф = тг/2
az = -^ + C. G4)
Интегрирование уравнений пространственного состояния.
В ортогональной системе координат ару, где ось у ортогональна направ-
направлению третьего главного направления аз, а а, р — линии совпадают с
характеристиками, вдоль у = const (рис. 5, а) имеют место соотношения
для напряжений
I Q
do — d(p = —ir^ (=F cos ф + sin cp),
2 Ну
do — dq> = —=?- (=p sin ф — cos ф), G5)
2/ty
где dSa, dS$ — элементы длины a, p — линий, Ry — радиус кривизны;
для скоростей перемещений
dVa - V?d<p = - -^ (Va cos ф - Vp sin ф),
dVp - Vady = - ^ (Va cos Ф - Vp sin Ф). G6)
Уравнения G5), G6) даны Р.И. Непершиным. Соотношения G5),
G6) позволяют развить численный метод решения пространственных
задач теории идеальной пластичности.
Ассоциированный закон течения в обобщенных перемен-
переменных. Используя соотношения C3), условие пластичности
)=0 G7)
Введение 29
можно переписать в виде
Fk(a1,a2,O3,li,mi,ni) = 0. G8)
Выражение диссипативной функции согласно C3) принимает вид
D = Oijtij = aiSi + o2E2 + о3Е3 + ХкЕк + | (/* + ш? + п?) +
+ V» (/,/* + ш^-шд; + гг^-гг*;), G9)
где Xk,\Li,Vi — множители Лагранжа.
Из условия экстремума функционала G9) следует
IP dD i dFk
+ eyll + zzl\ + 28^/^2 + 2гуМз +
- Xk ^m, + ^^m2 +
I ^xy^y >^ ^xz уz '*к
Jy
Изотропия материала имеет место в случае, если условие пластичности
G8) не зависит от /^ ш«5 пг- Члены в скобках (81) определяют влияние
анизотропии.
Статическая определимость анизотропии. Статическая опре-
определимость имеет место, если в C5) имеет место
к = к (a, rai,ra2,ra3) . (82)
Пусть имеет место условие пластичности
^ \Рх ~ °у) \ & \Ру — Gz) "г О [Oz — Ох) -Г
+ 6 (Dx2xy + Ex2xz + Fx2yz) = ко, (83)
Л, Б,... , ко = const.
Предположим, что предел текучести определяется из эксперимента
на одноосное растяжение
Oi = E2 — 0? ^3 — к (тТ-1, 77-2, 72-з) • (^4)
30 Введение
Согласно C3), (84) будем иметь
ох = кп\, оу = kn\, oz =
тху
(85)
Из (80), (85) получим зависимость предела текучести от направле-
направления растяжения
к (ni, гг2, гг3) = ко< Л (п\ — nfj + В [п\ — nfj + С [п\ — п\) +
+ Е (п2п3J + F (п3щJ] у\ (86)
Соотношения теории идеальной пластичности при условиях C5),
(86) являются статически определимыми.
Другой случай статически определимых задач соответствует пре-
предельному условию сопротивления отрыву [119]:
(сч)тах ^ d, d = const > 0, (87)
где (<3i)max ~ максимальное нормальное растягивающее напряжение.
В пространстве главных напряжений Oi условие (87) интерпретиру-
интерпретируется трехгранной пирамидой, составленной из трех четвертей плоско-
плоскости, сходящихся под прямым углом (рис. 2, в).
Статическая определимость имеет место в случае полного состояния
отрыва, соответствующего ребру пирамиды (рис. 2, в):
с>1 = с>2 = d, аз < d.
В этом случае имеют место три соотношения [119]
(сж - d) (оу - d) - т2ху = 0, (xyz)
или
(ах - d) %yz = TxyTxz, (xyz) .
Для деформированного состояния имеют место три соотношения
[119]
П<1 Пз п , ч
еж + zxy — + гхг — = 0, (xyz) .
Соответствующие системы уравнений для определения напряжен-
напряженного и деформированного состояний принадлежат к параболическому
типу и характеристические поверхности ортогональны к направлению
третьего главного напряжения.
Введение 31
Статически определимый характер, тип уравнений и их свойства
сохраняются при обобщенном предельном состоянии отрыва [129]
c>i = G2 = d (о, rti, гг2, гг3), аз < d
и ассоциированном законе течения.
Один из авторов [178] A954 г.) сформулировал соотношения теории
трансляционного упрочнения, предложенные соотношения имеют вид:
функция нагружения
(с^ - ce'ij) (d^ - ce'ij) = к2, k,c = const,
где eij — компоненты пластической деформации, штрих наверху при-
приписан компонентам девиатора, с — модуль упрочнения;
соотношения пластического деформирования
dex — dey dey — dez dez — dex
cx -ay - с (ex - ey) Gy -az - с (ey - ez) gz - gx - с (ez - ex)
dexy deyz dexz
^xy ceXy ^yz cCyZ txz cexz
условие нагружения
(а'у - ce'y) de'y ^ 0;
условие разгрузки
В работе [123] предложено построение теории сложных сред на
основе представлений о механизме трансляционного упрочнения и ас-
ассоциированного закона течения.
Идеи и результаты, изложенные выше, легли в основу содержания
настоящей книги.
Условие соответствия напряженного состояния ребру призмы Трес-
Треска, условию полной пластичности A1), A2) определяет, согласно пред-
представлениям обобщенного ассоциированного закона течения, макси-
максимальную возможную свободу течения идеальнопластического мате-
материала: сохраняя свойства изотропии, материал может иметь полную
свободу течения в плоскости главных напряжений ai = 02- В этой связи
сошлемся на А.А. Ильюшина [156], исходившего из условия полной пла-
пластичности при построении теории течения металлов между жесткими
поверхностями.
32 Введение
Состояние полной пластичности, и только оно, позволя-
позволяет сформулировать общую теорию идеальной пластичности
с единым математическим аппаратом статически определи-
определимых гиперболических уравнений, полностью соответствую-
соответствующих сдвиговой природе идеальнопластического деформиро-
деформирования.
Другая цель, которую преследовали авторы, — дать изложение и
обоснование теории трансляционного упрочнения, являющейся наибо-
наиболее естественным обобщением теории идеальной пластичности, опи-
описывающим основные, реально наблюдаемые эффекты приобретенной
анизотропии, эффекта Баушингера и т.д.
И, наконец, третий аспект книги — изложение результатов по линеа-
линеаризированным задачам теории пластичности методом малого парамет-
параметра, одним из мощных методов математической физики, позволяющем
получать приближенные аналитические решения и установить каче-
качественные особенности характера исследуемых течений.
Глава 1
ИДЕАЛЬНО ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
§ 1. Идеальная пластичность
Пластические деформации возникают при достижении некоторой
комбинации напряжений определенного предельного значения
/Ы = о. (l.i.i)
Функция / (oij) называется условием пластичности.
Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести пространство напря-
напряжений П тензора а^-. Шестимерное пространство П определим как
пространство, в котором декартовы координаты точки равны компо-
компонентам тензора напряжений а^-. Каждому тензору а^- в пространстве
П соответствует некоторая точка или вектор а с компонентами а^-.
Совершенно аналогично можно ввести пространство деформаций Э,
соответствующее тензору деформации е^-, и пространство скоростей
деформации Е, соответствующее тензору скоростей деформации г^-.
Условию пластичности A.1.1) в пространстве напряжений П со-
соответствует некоторая поверхность Е, называемая поверхностью пла-
пластичности. Область Q, лежащая внутри поверхности Е, является обла-
областью упругого состояния материала. Напряженные состояния, соответ-
соответствующие точкам области Q, не достигающим границы Е, не вызывают
остаточных деформаций.
Основные постулируемые свойства поверхности пластичности со-
состоят в следующем: она замкнута (в некоторых направлениях может
простираться до бесконечности), не проходит через начало координат
и любой луч, исходящий из начала координат, пересекает ее не более
одного раза.
Если материал упрочняется, т.е. с изменением деформированного
состояния пределы пластичности изменяются, то поверхность Е, и
соответственно область Q, меняются в процессе деформирования. Для
различных моделей пластических сред поведение поверхности пластич-
пластичности может быть различным: поверхность Е может приобретать ребра,
конические точки, испытывать расширение, перенос (рис. 6) и т. п.
Идеально пластической называется среда, для которой поверхность
пластичности фиксирована. В дальнейшем будем предполагать среду
идеально пластической. В этом случае условие пластичности A.1.1) не
34
Гл. 1. Идеально пластическое тело
зависит от параметров деформированного состояния и сохраняет свой
вид во время всего процесса пластического деформирования.
Для идеально пластического тела условие пластичности называют
так же условием текучести (функцией текучести), а поверхность пла-
пластичности — поверхностью текучести.
Следует отметить, что идеально пластический материал может
быть начально анизотропным, однако если он является изотропным
в начальный момент, то приобрести анизотропию он не может. Приоб-
Приобретенная анизотропия связана с изменением поверхности текучести Е
при изменении деформированного состояния, а для идеально пласти-
пластического материала поверхность Е фиксирована. Приобретенная пла-
пластическая анизотропия связана с изменением пределов пластичности
при деформировании, т.е. с упрочнением материала.
Независимым является предположение об эквивалентности свойств
материала при растягивающих и сжимающих нагрузках. Будем пред-
предполагать, что если элемент тела подвергнут нагрузкам, отличающимся
лишь знаком, то и деформации отличаются тоже только знаком. Изо-
Изотропные тела, деформации которых при нагружениях, отличающихся
только знаком напряжений, отличаются также только знаком, назовем
нормально изотропными, в противном случае тело назовем анормально
изотропным.
Нормально изотропные тела, очевидно, имеют одинаковые пределы
текучести при одноосном растяжении и сжатии. Примером анормально
изотропных материалов могут служить изотропные среды, пределы
текучести которых при одноосном растяжении и сжатии не совпадают.
Будем предполагать далее, что пластические свойства материала не
зависят от действия всестороннего давления.
Тензор напряжений а^- можно представить как сумму шарового
тензора и девиатора:
+
ij = 1 при г = j, bij = 0 при г ф j, A.1.2)
§ 1. Идеальная пластичность
35
где а = оц/3 = (ац + с>22 + азз)/3 — среднее давление, первый ин-
инвариант тензора напряжений; а^- — девиатор напряжений (здесь и в
дальнейшем девиаторам соответствующих тензоров и их компонентам
приписан штрих наверху). Первый инвариант девиатора равен нулю:
= 0
A.1.3)
Согласно A.1.2) условие пластичности A.1.1) может быть представ-
представлено в виде
f(a,a'ij)=0, A.1.4)
при независимости пластических свойств материала от действия все-
всестороннего давления р следует независимость условия пластичности от
среднего давления а, в этом случае условие пластичности A.1.1), A.1.4)
имеет вид
/(°«)=0. A.1.5)
Аналогично тензор скорости деформации можно представить в виде
4j = Ebij + 8-J5 8 = у, EU = 0. A.1.6)
Для несжимаемого материала 8 = 0.
Отметим, что из предположения о независимости пластических
свойств от действия всестороннего давления, вообще говоря, не следует,
что пластические деформации удовлетворяют условию несжимаемо-
несжимаемости, и наоборот.
Диаграмма растяжение-сжатие идеального жесткопластического
образца имеет вид, изображенный на рис. 7, а.
К
К
а
К,
Рис. 7
Моделью, интерпретирующей поведение идеального жесткопласти-
жесткопластического материала, может служить элемент сухого трения (рис. 7, б);
в этом случае сила Р соответствует напряжению, перемещение-
деформации. Модель сухого трения определяет необратимый характер
деформирования. По существу, модель идеально пластического тела —
36 Гл. 1. Идеально пластическое тело
это модель сплошной среды, элемент которой обладает свойствами
сухого трения.
Представим, что к элементу сухого трения через абсолютно гибкую
нить и блок без трения приложена сила тяжести Q < /С, где К — сила
сопротивления трению (рис. 7, в). Предельное усилие, при котором
элемент трения может сдвинуться вправо (рис. 7, в) — Р\ = К +
-\- Q = К\\ предельное усилие, при котором элемент трения может
сдвинуться влево — Pi = К — Q = K<i- Подобный механизм может
быть положен в основу построения теории идеальной пластичности с
различными пределами текучести на растяжение-сжатие (рис. 7, г).
§ 2. Условия пластичности
Предположим, что поверхность текучести в пространстве напряже-
напряжений является гладкой в окрестности точки, соответствующей пластиче-
пластическому напряженному состоянию элемента тела. В этом случае условие
пластичности определяется уравнением
/(о«)=0, A.2.1)
где f(<5ij) — дифференцируемая функция своих аргументов в окрест-
окрестности точки а^-, и, следовательно, поверхность текучести имеет в ней
единственную нормаль. При жестком состояния материала f(oij) < 0.
Кусочно гладкие поверхности текучести, имеющие особенности в
виде ребер или угловых точек, можно описать при помощи некоторого
числа гладких функций текучести
/р(<*;)=0, р = 1,2,...,п. A.2.2)
Жесткому состоянию материала соответствует отрицательное зна-
значение всех функций текучести: /р(а^) < 0. Пластическое состояние
достигается, если напряженное состояние удовлетворяет одному или
нескольким условиям пластичности A.2.2), причем остальные функции
текучести отрицательны:
fpidj) =0, р = 1, 2,. . . , к; fpidj) < 0, р = к + 1,. . . , п. A.2.3)
Соответствие напряженного и деформированного состояний глад-
гладкой части условия пластичности имеет место при к = 1.
Для изотропного идеально пластического тела имеют место условия
/р(о«) = /р(о,9/,г')=0, A.2.4)
§ 2. Условия пластичности 37
где q1 = o'ijo'ij, r' = ^'ij^'jk^'ki ~ соответственно второй и третий инва-
инварианты девиатора напряжений; здесь и в дальнейшем предполагается
суммирование по повторяющимся индексам.
Нормальный характер изотропии приводит к независимости пла-
пластического состояния от перемены знака напряжений на обратный;
следовательно, в этом случае
/р(оу) = /р(Н,9',И)=0, A.2.5)
так как a, q1 и г1 — однородные функции напряжений первого, третьего
и второго порядков соответственно.
В случае, когда пластические свойства материала не зависят от
всестороннего давления,
иЫ = Ш,У\) = 0. A.2.6)
Наряду с шестимерным пространством напряжений П можно ввести
трехмерное пространство главных напряжений Oi (i = 1,2,3), в кото-
котором декартовы координаты точки совпадают с компонентами главных
напряжений.
В пространстве главных напряжений условия пластичности A.2.6)
интерпретируются цилиндрической поверхностью с образующими, па-
параллельными прямой ai = с>2 = аз- Поэтому для определения свойств
условия пластичности A.2.6) достаточно рассмотреть свойства кривой
(назовем ее кривой пластичности или текучести), лежащей в пересече-
пересечении цилиндрической поверхности текучести с девиаторной плоскостью
oi + с>2 + аз = 0.
Свойства изотропии материала обеспечивают равноправие осей ai,
a2, аз, и, следовательно, кривая пластичности должна быть относитель-
относительно них симметрична. Кривая пластичности изотропного тела должна
состоять из шести одинаковых дуг, подобно тому, как это показано на
рис. 8. Для ее определения достаточно знать дугу Л В сегмента ЛОВ
с углом 60°.
Нормальный характер изотропии материала обусловливает незави-
независимость вида кривой пластичности от перемены знака напряжений на
обратный. Кривая пластичности в осях —oi, —02, —аз должна совпа-
совпадать с кривой пластичности в осях ai, a2, аз, и, следовательно, кривая
пластичности должна состоять из двенадцати одинаковых дуг, подобно
тому, как это имеет место на рис. 9. Для ее определения достаточно
знать дугу ЛВ сегмента ЛОВ с центральным углом 30°.
Среди наиболее часто встречаемых отметим три условия текучести
идеального нормально изотропного пластического тела: условие пла-
пластичности Треска (условие пластичности максимального касательно-
38
Гл. 1. Идеально пластическое тело
го напряжения), условие максимального приведенного напряжения и
условие пластичности Мизеса.
Рис. 8
Рис. 9
Условие пластичности максимального касательного напряжения
(Треска) записывается в виде
= - max{ |oi - <
:-а,|} = Л,
A.2.7)
где ттах — максимальное касательное напряжение. Условие пластич-
пластичности Треска интерпретируется в пространстве главных напряжений
шестигранной призмой, равнонаклонен-
ной к осям координат (рис. 3).
Условие пластичности октаздриче-
ского напряжения (Мизеса) записывает-
записывается в виде
^9 — СГ,„С>-• — к.
A.2.8)
Условие пластичности Мизеса интер-
интерпретируется в пространстве главных на-
напряжений круговым цилиндром, обра-
Рис. 10 зующие которого равнонаклонены к осям
координат (рис. 4).
Условие пластичности максимального приведенного напряжения
записывается в виде
= max{ |oi — а|, |ог — а|, |оз — о| } = fc,
A.2.9)
§ 3. Принцип максимума в пространстве напряжений 39
где smax — максимальное приведенное напряжение. Условие пластич-
пластичности максимального приведенного напряжения интерпретируется в
пространстве главных напряжений шестигранной призмой, равнона-
клоненной к осям координат (рис. 10).
§ 3. Принцип максимума в пространстве
напряжений. Пластический потенциал
и ассоциированный закон пластического течения
Обозначим через D скорость диссипации механической энергии в
единице объема. При пластическом деформировании жесткопластиче-
ского материала механическая работа усилий рассеивается в теплоту,
поэтому скорость диссипации механической энергии равна мощности
усилий:
D = vij?ij. A.3.1)
В качестве принципа, положенного в основу построения теории
пластичности, примем принцип максимума Мизеса: скорость дисси-
диссипации механической энергии в единице объема во время пластического
деформирования имеет максимальное значение для действительного
напряженного состояния среди всех напряженных состояний, допус-
допускаемых данным условием пластичности.
Принципу максимума можно дать другую формулировку: при лю-
любом данном значении компонент скорости деформации &ij имеет ме-
место неравенство
Vijtij ><йео-, A.3.2)
где Oij — действительные значения компонент напряжений, f (oij) =
= 0, соответствующие данному значению 8ij, o*j — компоненты лю-
любого возможного напряженного состояния, не превышающие предела
текучести, /(о*^) ^ 0.
Формулировка ослабленного принципа максимума требует выпол-
выполнения неравенства
В векторной форме неравенства A.3.2) и A.3.3) можно записать в
виде
сг > с*г, сг ^ с*г. A.3.4)
Предположим, что функция нагружения является гладкой, в каж-
каждой ее точке существует единственная нормаль и касательная плос-
плоскость.
40
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из A.3.3) следует, что
(а - а*) г > 0, (а - а*) г ^ О,
A.3.5)
т. е. вектор о — о* при любом возможном а* образует нетупой угол с
вектором г. Из рассмотрения рис. 11, а очевидно, что вектор г должен
Q
Рис. 11
быть направлен по нормали к поверхности нагружения, а сама поверх-
поверхность Е в случае выполнения первого неравенства A.3.5) должна быть
выпуклой по отношению к области Q; во втором случае поверхность Е
должна быть невогнутой относительно области Q. В противном случае
неравенство A.3.5) места не имеет (рис. 11, б).
В дальнейшем, предполагая справедливость принципа максимума в
форме A.3.3), будем рассматривать лишь такие условия пластичности,
соответствующие поверхности текучести которых в пространстве П
всюду выпуклы либо невогнуты относительно начала координат.
Таким образом, следствием принципа максимума Мизеса является
соотношение
of
\
df df
A.3.6)
Соотношение A.3.6) можно переписать в компонентах приращения
деформации:
ij = d\i——,
OGij
d\i = Xdt.
A.3.7)
Соотношения A.3.6), A.3.7) определяют ассоциированный закон
пластического течения. Согласно ассоциированному закону течения
условия пластичности и скорости деформации оказываются связан-
связанными между собой, каждое условие пластичности определяет свой
характер пластического течения.
§ 3. Принцип максимума в пространстве напряжений 41
Соотношения ассоциированного закона пластического течения
A.3.6) утверждают, что вектор скорости пластической деформации г
ортогонален поверхности текучести в пространстве П.
В случае задания нескольких условий пластичности A.2.3) имеет
место функционал
D = OijZij - Xpfpicij), p = 1, 2,. . . , &, A.3.8)
где Хр — неопределенные множители, постоянные для данных значений
компонент скорости деформации: Хр=Хр(г^).
В выражении A.3.8) варьируются компоненты напряженного состо-
состояния, экстремум величины D будет иметь место в случае, если
Поэтому из A.3.8) следует
eii=h>7rL> p = l,2,...,k. A.3.10)
OGij
Для случая совокупности гладких условий текучести A.2.4) вектор
г, согласно A.3.10), складывается из суммы векторов, ортогональных
гладким поверхностям текучести fp.
Кусочно гладкую поверхность можно рассматривать как предель-
предельную для последовательности гладких поверхностей, вложенных в дан-
данную; поэтому в точках особенностей поверхности текучести (ребрах,
угловых точках и т. п.) вектор г может принимать любое направление,
ограниченное направлениями нормалей прилежащих гладких кусков
поверхностей текучести.
При пластическом деформировании напряженное состояние удо-
удовлетворяет условию текучести и, так как скорость диссипации при этом
не может быть отрицательной, имеет место соотношение
Хр ^ 0, если fpidj) = 0, ^doij = 0. A.3.11)
OGij
Приращения пластической деформации отсутствуют, если напря-
напряжения не достигают предела текучести, т.е.
Хр = 0, если fpicij) < 0, A.3.12)
или если имеет место разгрузка:
Хр = 0, если fp(oij) = 0, ^doij < 0. A.3.13)
OGij
42 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Функции др называются пластическим потенциалом, если они опре-
определяют выражение для скоростей деформации в виде
Ч=Ъ1%- A-3-14)
Сравнивая выражения A.3.10), A.3.14), можно заключить, что при
ассоциированном законе пластического течения функции текучести fp
являются пластическим потенциалом.
Использование соотношений ассоциированного закона течения в
форме связи между напряжениями и скоростями деформации A.3.10)
имеет в теории идеального жесткопластического тела принципиальное
значение: оно позволяет, используя эйлерово представление о течении
вещества, сравнительно просто рассматривать конечные пластические
деформации подобно тому, как это имеет место, например, в теории
вязкой жидкости.
В то же время, несмотря на внешнее сходство соотношений ассо-
ассоциированного закона пластического течения A.3.10) с соотношениями
связи Oij — ?ij в теории вязкой жидкости, между обеими теориями
существует принципиальное различие: соотношения теории идеальной
пластичности однородны относительно дифференциала времени dt.
Параметры Хр в соотношениях A.3.10) не являются константами
материала, а изменяются при деформировании: Хр = Xp{tij).
§ 4. Принцип максимума в пространстве скоростей
пластических деформаций. Диссипативная
функция и ассоциированный закон нагружения
Рассмотрим скорость диссипации механической энергии в единице
объема жесткопластического тела, D = а^г^-, которую будем называть
также диссипативной функцией.
В пространстве напряжений диссипативная функция интерпрети-
интерпретируется скалярным произведением а и г. Вектор г определяется через
компоненты напряжения согласно ассоциированному закону течения.
В регулярных точках поверхность текучести Е имеет единственную
нормаль, поэтому вектор г однозначно определяет соответствующий
вектор а и скалярное произведение D = аг определяется однозначно
для данного г. В особых точках поверхности нагружения разные векто-
векторы г могут соответствовать одному вектору а, тем не менее, скалярное
произведение D = аг однозначно определяется заданием вектора г.
Наконец, если поверхность нагружения имеет невогнутые участки,
4. Принцип максимума в пространстве скоростей
43
то один вектор г может соответствовать разным точкам поверхности
нагружения, тем не менее, задание вектора г однозначно определяет
диссипативную функцию (рис. 12).
II
D = const
Рис. 12
Таким образом, имеет место соотношение
D =Ог^ =D^ij). A.4.1)
Диссипативная функция должна быть однородной первой степени
относительно компонент г^-, так как соотношение A.3.2) не должно
зависеть от дифференциала времени dt. Следовательно,
дВ
A.4.2)
Соотношение A.4.2) в полных дифференциалах, согласно A.4.1),
примет вид
8D
Используя соотношения ассоциированного закона течения A.3.6),
получим
Zijdoij = [i ——doij. A.4.5)
Для идеально пластического тела изменение напряженного состо-
состояния происходит вдоль поверхности текучести. Следовательно, соот-
соотношение A.4.5) равно нулю. Тогда из A.4.3), в силу независимости
приращений de^-, получим
дв
A.4.6)
44 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Соотношения A.4.6) могут быть названы ассоциированным законом
нагружения.
Построение теории идеально пластического тела может быть осу-
осуществлено исходя из определения диссипативной функции A.4.1).
Введем совокупность возможных компонент скорости пластических
деформаций г^-, для которых
D(^) ^ D(?ij). A.4.7)
Если в пространстве Е определена некоторая поверхность равного
уровня диссипативной функции D, то вектор возможной скорости де-
деформации г* лежит внутри объема, ограниченного этой поверхностью.
Введем принцип максимума, аналогичный принципу максимума
Мизеса A.3.2), A.3.3):
Из неравенства A.4.8) следует выпуклость (невогнутость) поверхно-
поверхностей равного уровня диссипативной функции и ассоциированный закон
нагружения:
Предположим, что D — однородная функция порядка т компо-
компонент &ij. Тогда
^-Eij. A.4.10)
Из A.4.10) и A.4.9) следует у = 1/га.
Если положить диссипативную функцию однородной второго по-
порядка, т = 2, у = 1/2, то соотношение A.4.6) определяет связь Oij —fyj
для вязкой жидкости.
Предположим, что D — однородная функция первого порядка отно-
относительно компонент 8^, тогда у = 1 и соотношения A.4.9) принимают
вид A.4.6).
Производные dD/dzij в этом случае являются однородными нуле-
нулевого порядка функциями относительно г^-, следовательно, шесть соот-
соотношений A.4.6) можно рассматривать как функции пяти переменных,
например г^/гц.
Предполагая разрешимость соотношений A.4.6) относительно
Eij/zui B результате исключения е^- получим некоторое определенное
конечное соотношение вида
/(оу)=0. A.4.11)
§ 4. Принцип максимума в пространстве скоростей 45
Из A.4.5) и A.4.6) найдем
Eijddj = 0. A.4.12)
Дифференцируя соотношение A.4.11), найдем
^rdaij=0. A.4.13)
Согласно A.4.13) среди шести дифференциалов doij лишь пять
независимых, откуда следует, что найдется такой множитель А, что
будет иметь место ассоциированный закон течения
гц=%Ц-. A.4.14)
Таким образом, модель пластического тела может быть введена
эквивалентными путями: либо через определение функции нагруже-
нагружения, либо через определение диссипативной функции D, однородной
первого порядка относительно компонент скорости пластической де-
деформации. В обоих случаях следует формулировать соответствую-
соответствующий принцип максимума.
Если поверхность диссипативной функции имеет особенность типа
ребер, конических или угловых точек, то подобная особенность может
быть рассмотрена как пересечение гладких поверхностей:
Dq = Dq(?ij). A.4.15)
Ассоциированный закон нагружения в этом случае может быть
записан в виде
^q-^JT, 0Cg ^ 0, ^OCg = 1. A.4.16)
J Я
На рис. 12 показано соответствие между поверхностью нагружения
и поверхностью равного уровня диссипативной функции.
Выпуклым участкам поверхности нагружения АВ,АС соответ-
соответствуют выпуклые участки аб, ас диссипативной функции. Особенно-
Особенностям Л, Б, С функции нагружения соответствуют участки невогнуто-
невогнутости аа, 66, ее диссипативной функции. Участку невогнутости ВС
соответствует острый угол be.
Используя определение диссипативной функции A.4.1), можно дать
интерпретацию параметру А,, входящему в соотношение ассоциирован-
ассоциированного закона течения A.3.6). Из A.4.1), A.3.6) следует
x=-aj—- (L4-17)
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Если функция нагружения может быть представлена в виде / =
= ф — k = О, где к = const, ср — однородная функция порядка т
компонент Oij, то A.4.17) можно представить в виде
X = -.—, D = ктХ. к.т = const.
кт
A.4.18)
Таким образом, X прямо пропорционально удельной скорости рас-
рассеяния механической энергии.
Рассмотрим диссипативные функции для некоторых условий пла-
пластичности.
Для изотропного тела имеем
D = oiei + С2?2 + с>з?з- A.4.19)
В случае условия пластичности Треска, согласно A.2.7), примем
d - cj = 2fc, Cj ^ск^Сг= 2k. A.4.20)
Согласно A.4.20), A.3.6) будем иметь
Из A.4.19)-A.4.21) получим
A.4.21)
О = к\ъ\тах, A.4.22)
где г^шах — максимальная главная компонента скорости деформации.
§ 5. Экстремальные свойства условий пластичности 47
В случае условия максимального приведенного напряжения, соглас-
согласно A.2.9), примем
Gi — а = к или 2ai — Oj —Ok = 3fc. A.4.23)
Согласно A.4.23), A.3.6) будем иметь
Ei = 2A,, zj = -X, гк = -X. A.4.24)
Из A.4.19), A.4.23), A.4.24) получим
D = 2%*|max, у, = (г, - г,-)/2, A.4.25)
ГДе ТА; max — максимальная скорость деформации сдвига.
В случае условия пластичности Мизеса A.2.8) имеем
D = kzijtij. A.4.26)
На рис. 13 под соответствующими кривыми текучести изображены
кривые равного уровня диссипативной функции.
§ 5. Экстремальные свойства условий пластичности
Конкретный материал характеризуется значениями констант ма-
материала. В теории упругости — независимые константы материала,
например модуль сдвига и коэффициент объемного сжатия. В тео-
теории несжимаемого идеального жесткопластического тела единственной
размерной постоянной материала является предел текучести. Предел
текучести не определяет условие текучести: одному и тому же пределу
могут соответствовать различные условия пластичности.
Сформулируем гипотезу: в определенном круге идеализированных
свойств пластической среды при данных константах материала про-
процесс деформирования вполне определен и характеризуется определен-
определенными экстремальными свойствами для всех возможных процессов в
рамках данных свойств и констант материала.
Пусть элемент тела нагружается усилиями, возрастающими пря-
прямо пропорционально некоторому параметру (в пространстве напряже-
напряжений нагружение ведется по лучу, исходящему из начала координат).
При определенном значении нагрузок достигается состояние текуче-
текучести (вектор напряжения достигает поверхности текучести), начинается
пластическое течение. Подобный эксперимент назовем простейшим.
В частности, простейшими экспериментами являются чистый сдвиг,
одноосное растяжение-сжатие, всестороннее растяжение-сжатие.
48
Гл. 1. Идеально пластическое тело
В девиаторной плоскости пространства главных напряжений про-
простейший эксперимент определяет некоторую экспериментальную точ-
точку, соответствующую возникновению пластических деформаций.
Совокупность невогнутых кривых пластичности, проходящих че-
через данную экспериментальную точку, назовем возможными кривыми
пластичности, соответствующие условия пластичности — возможными
условиями пластичности. Задание одной экспериментальной точки не
влияет на класс возможных условий текучести, устанавливая лишь их
взаимное расположение. Расположение возможных кривых пластично-
пластичности в случае задания экспериментальной точки при чистом сдвиге по-
показано на рис. 14, а. Расположение возможных кривых пластичности в
случае задания экспериментальной точки при одноосном растяжении-
сжатии показано на рис. 14, б. На рис. 14, в показано расположение
возможных кривых пластичности в общем случае задания эксперимен-
экспериментальной точки.
Среди всей совокупности возможных простейших экспериментов
выделим два независимых: всестороннее растяжение-сжатие и чистый
§ 5. Экстремальные свойства условий пластичности 49
сдвиг. Все напряженные состояния при остальных простейших экспе-
экспериментах, в том числе и одноосное растяжение-сжатие, являются ком-
комбинацией напряженных состояний сдвига и всестороннего растяжения-
сжатия .
Для несжимаемого материала эксперимент на всестороннее равно-
равномерное растяжение-сжатие не является существенным.
Предположим, что среди всей совокупности возможных простей-
простейших экспериментов для несжимаемого материала основным являет-
является эксперимент на чистый сдвиг, а расположение кривых текучести,
достигаемое при задании экспериментальной точки на чистый сдвиг,
является основным среди всей совокупности их возможных располо-
расположений при задании других экспериментальных точек. Предположим
далее, что среди всех возможных условий текучести при их основном
расположении (рис. 14, а) для идеально пластического материала реа-
реализуется то, которое соответствует максимуму скорости диссипации
механической энергии на единицу объема при заданных скоростях
деформации.
Введем определение: если две невогнутые кривые пластично-
пластичности расположены таким образом, что одна из них лежит внутри обла-
области, ограниченной другой кривой пластичности, причем кривые могут
иметь общие точки, то первая кривая называется внутренней, вторая-
внешней. Соответствующие условия пластичности назовем внутренним
и внешним.
Если ограничиться рассмотрением невогнутых поверхностей те-
текучести изотропного тела, то при заданной скорости деформации
диссипативная функция для внешнего условия пластичности больше
или равна диссипативной функции для внутреннего условия пластич-
пластичности.
Справедливость утверждения очевидна: при заданном векторе г
скалярное произведение аг принимает меньшее значение для внутрен-
внутренней кривой текучести.
Таким образом, согласно введенным гипотезам, среди всей совокуп-
совокупности возможных условий текучести реализуется условие пластичности
Треска, являющееся внешним по отношению ко всем условиям текуче-
текучести.
Экспериментальные исследования показывают, что условие пла-
пластичности Мизеса лучше согласуется с опытными данными, чем усло-
условие пластичности Треска. Можно предположить, что большее соот-
соответствие опытным данным условия пластичности Мизеса по сравне-
сравнению с условием Треска объясняется влиянием факторов побочного
характера, сопровождающих реальное деформирование и не имеющих
50 Гл. 1. Идеально пластическое тело
отношения к модели идеального жесткопластического тела, а именно,
упругостью, упрочнением, приобретенной анизотропией и т.д.
Известно также, что чем ярче у данного материала выражен предел
текучести (т. е. чем ближе диаграмма а — г реального материала к диа-
диаграмме а—г идеально пластического материала), тем ближе совпадение
экспериментальных данных с условием пластичности Треска.
Идеально пластическое течение возникает как результат малых
скольжений по определенным поверхностям скольжений, и линии
скольжения — линии Людерса — суть частное проявление поверхностей
скольжения. Именно условие пластичности Треска позволяет развить
теорию идеальной пластичности, вполне соответствующую сдвиговой
природе идеально пластического течения.
§ 6. Гипотеза прочности формоизменения
Расчет частей машины и сооружений на прочность требует знания
соотношений между компонентами тензора напряжений, при которых
начинается разрушение материала или, по меньшей мере, в нем воз-
возникают пластические деформации (наступает текучесть). Эти соотно-
соотношения приводятся в различных «гипотезах прочности», основанных
на тех или иных допущениях об основном факторе, определяющем
начало разрушения или появления текучести [65, 59]. При этом ма-
материалы, находящие себе применение в технике, делят, как правило,
на класс хрупких и класс пластических материалов. Первые нередко
удовлетворительно упруги при деформировании вплоть до разрушения
и часто обладают разными временными сопротивлениями при простом
растяжении Rz и при простом сжатии Rd. Вторые, напротив, имеют,
как правило, одинаковые временные сопротивления при испытании
на растяжение и на сжатие. Вместе с тем, такие материалы переста-
перестают подчиняться закону Гука уже задолго до разрушения, обнаружи-
обнаруживая свойство текучести, т.е. большого деформирования без заметного
увеличения усилий, действующих на материал. Напряжение, соответ-
соответствующее появлению текучести, называемое в дальнейшем пределом
текучести, оказывается для большинства материалов одним и тем же
при испытании как на растяжение, так и на сжатие. Было построено
несколько гипотез прочности хрупких тел. Наиболее удовлетворитель-
удовлетворительной из них, по-видимому, является гипотеза Мора, предложенная им в
1894 г. Что же касается гипотез прочности пластических тел, то здесь
следует упомянуть три гипотезы, которыми пользуются в практиче-
практических расчетах.
§ 6. Гипотеза прочности формоизменения 51
Во-первых, гипотеза Сен-Венана, которая принимает за фактор,
определяющий начало текучести, максимальное удлинение-сжатие ма-
материала.
Если обозначить через ai, 02, аз главные напряжения в данном зле-
менте материала, через v — коэффициент Пуассона и as — напряжение,
соответствующее пределу текучести при простом растяжении—сжатии,
то эта гипотеза приводит к условиям
oi - v @2 + аз) < as, |сз — v (oi + ог)| < as, A.6.1)
выполнение которых необходимо, чтобы явление текучести в данном
элементе материала не наступило. Здесь принято ai ^ 02 ^ 03-
Во второй гипотезе, высказанной еще Кулоном, за фактор, опре-
определяющий начало текучести, принимается максимальное касательное
напряжение, действующее по одной из площадок, проходящей через
данную точку материала. Эта гипотеза приводит к условию
<*i -a3 <as, A.6.2)
при выполнении которого текучесть в данном месте материала не
наступает.
Наконец, в третьей гипотезе, выдвигавшейся в разное время Губе-
Губером, Мизесом и Генки, за фактор, определяющий начало текучести,
принимается количество энергии, накопленной внутри единицы объ-
объема, за вычетом той части энергии, которая относится к равномерному
всестороннему растяжению-сжатию элемента напряжением, равным
одной трети суммы главных напряжений. Эта гипотеза приводит к
условию
1 - а2J + (а2 - а3J + (а3 - о,J < а,л/2, A.6.3)
при выполнении которого текучесть в данном элементе материала не
возникает.
Перечисленные гипотезы прочности имеют ряд недостатков. Так,
гипотеза Сен-Венана дает преувеличенную оценку прочности при плос-
плоском двустороннем растяжении-сжатии (ai = аз, а2 = 0) и допускает
разрушение материала при всестороннем сжатии, что не согласуется с
экспериментом.
Гипотеза Кулона не учитывает влияние среднего напряжения на
условие отсутствия текучести, что также не совпадает с экспериментом
и, кроме того, дает заниженную оценку прочности при чистом сдвиге.
Третья гипотеза, которую мы в дальнейшем будем именовать гипо-
гипотезой Губера-Мизеса, наилучшим образом согласующаяся с экспери-
экспериментом, не указывает основного направления текучести. Тем самым
52 Гл. 1. Идеально пластическое тело
затрудняется ее применение к изучению пластического равновесия,
что весьма успешно было проделано рядом авторов для плоского на-
напряженного состояния в рамках условия пластичности гипотезы Ку-
Кулона.
И гипотеза Кулона и гипотеза Губера-Мизеса дают отрицательный
ответ на вопрос о возможности разрушения материала при всесторон-
всестороннем растяжении, что, по-видимому, также не подтверждается экспе-
экспериментом. Этим недостатком обладает и предлагаемая ниже гипотеза,
которая, в известном смысле, сочетает идеи гипотез Губера-Мизеса и
Сен-Венана.
Пусть 8i, 82 и 8з — главные компоненты тензора деформаций, т.е.
удлинения в главных направлениях. Обозначим через Зе сумму этих
удлинений, так называемую объемную деформацию. Тогда величины
7i = 8i - 8, 72 = ?2 - е, 73 = ?з - е
характеризуют формоизменение элемента материала, ибо вследствие
соотношения
У1 + У2 + Уз = О
они игнорируют изменение величин ei, 82 и ез на одно и то же значение.
Эти величины 7ь У25 Уз и принимаются за факторы, определяющие
начало текучести.
Именно, чтобы явление текучести не наступало, необходимо выпол-
выполнение всех трех неравенств:
|yi| < ya, Ы < Уз и |уз| < у8,
где 7s — характерная для данного материала величина, определяемая
на основании результатов эксперимента на простое растяжение или
сжатие материала.
Нетрудно подсчитать значение величин 71, У2 и Уз- Имеем, согласно
закону Гука:
Ol — V @2 + О3) О2 — V @3 + Oi ) О3 — V @1 + О2)
El= ? ' E2 = ~ Ё ' ез= Ё ~'
следовательно,
1 -2v
oi + 02 + 03
гдес= .
§ 6. Гипотеза прочности формоизменения 53
Таким образом,
oi — v @2 + аз) A — 2v) @1 + 02
_ _
У! - 8! - 8 -
_ 1 +V
~ Е
2 1 1 \
зО1 " з°2" 3O3J '
Аналогично выражаются величины у2 и уз-
Обозначим через а[ величины, получающиеся умножением у^ на
постоянный множитель E/(l + v). Имеем, в частности:
i E 2 11
°i = тт^У1 = зО1 " з°2 " з°3 = Ol " °'
или, окончательно:
o'.=Oi-o (г = 1,2,3).
Величины a'l5 of2 и а3 имеют размерность напряжений и соответ-
соответствуют тем частям главных напряжений oi, 02 и аз, которые обуслов-
обусловливают одно лишь формоизменение элемента материала. Назовем их
напряжениями формоизменения. Заметим, что с^ +а2+а3 = 0. Полагая
получить условия отсутствия текучести в форме неравенств,
которым должны подчиняться величины Oj, of2 и а3, именно
|oi|<*, |а^| < Л, \а'3\<к. A.6.4)
Нетрудно найти соотношение, связывающее значение к со значе-
значением предела текучести as для данного материала. Для этой цели
подсчитаем значения величин oj, of2 и аз ПРИ простом растял<ении.
Именно, в этом случае
oi = а, а2 = 0, а3 = 0
и,следовательно,
Oj = 2а/3, о2 = — а/3, а3 = —а/3.
Наибольшим абсолютным значением обладает величина Oj, следо-
следовательно, она первой достигнет предельного значения /с, когда напря-
напряжение растяжения а, возрастая, станет равным os.
Таким образом,
& = 2as/3.
Проиллюстрируем теперь гипотезу прочности формоизменения
A.6.4) на примере построения расчетных формул для нескольких,
54 Гл. 1. Идеально пластическое тело
часто встречающихся типов напряженного состояния и сравним
результаты, следующие из этой гипотезы, с тем, что получается
исходя из гипотез Губера-Мизеса и Кулона. Как уже указывалось, эти
гипотезы считаются в настоящее время наиболее согласующимися с
данными эксперимента.
Пусть имеет место чистый сдвиг. Касательное напряжение, соответ-
соответствующее чистому сдвигу, обозначим через ттах.
Имеем в этом случае:
c>i = ттах, С2 = 0, аз = -ттах,
и, следовательно,
а = 0, а2 = xmax, а2 = 0, а3 = — ттах.
Условие отсутствия текучести примет, согласно нашей теории, вид
неравенства
cri =ттах < k < 2cs/3.
Отсюда следует, например, что при одном и том же запасе прочно-
прочности допускаемое напряжение при кручении RKp = 0.667Rz. Гипотеза
Кулона дает для этого случая соотношение RKp = О.бООЯ^, а гипотеза
Губера-Мизеса RKp = 0.577Rz. На практике нередко доводят величину
допускаемого напряжения при кручении до @.75 — 0.80) Rz.
Рассмотрим далее совместное действие крутящего и изгибающего
моментов, Мкр и Миз, на круглый вал. Как известно, при расчете на
прочность надлежит воспользоваться следующими напряжениями:
Миз + ^JM^+MГP Миз -
где W = яа3/16 = 0.2d3 — экваториальный момент сопротивления
вала. Таким образом, в этом случае
миз
°3~ 6W
и наибольшей по абсолютному значению является величина а\. Усло-
Условие отсутствия текучести имеет, в соответствии с теорией прочности
формоизменения A.6.4), следующий вид:
из т~ Мир 2
6W < 3С
§ 6. Гипотеза прочности формоизменения 55
или
M/W < ов,
где
— так называемый приведенный момент.
Напомним, что гипотеза прочности Кулона для приведенного мо-
момента дает формулу
а гипотеза Губера-Мизеса —
/ ч
М = \ М2 + -М2
ivi у -"'-'из ~ ^ кР"
Нетрудно показать, что приведенные моменты, подсчитанные в со-
соответствии с этими гипотезами прочности, всегда больше, чем подсчи-
подсчитанные согласно нашей гипотезе, если только Мкр ф 0. Следовательно,
при расчете вала на прочность исходя из гипотезы прочности формоиз-
формоизменения A.6.4) получится несколько меньшее значение диаметра, чем
согласно гипотезам Кулона и Губера-Мизеса.
Заметим, что формула для приведенного момента, следующая из
гипотезы прочности Сен-Венана, имеет вид
М =
где v — коэффициент Пуассона.
Этой формулой, несмотря на ее давность, нередко пользуются до
сих пор. При коэффициенте Пуассона v, равном 1/2, формула приве-
приведенного момента по Сен-Венану совпадает с нашей. Это объясняется
тем обстоятельством, что гипотеза прочности формоизменения осно-
основывалась на учете деформации элементов материала с исключением
изменения их объема, т. е. как бы при коэффициенте Пуассона, рав-
равном 1/2.
Приведем теперь случай сравнительно тонкого сферического сосу-
сосуда, находящегося под внутренним давлением р.
Для элемента, расположенного у внутренней поверхности сосуда,
имеем
где т = D/45 — число, определяемое геометрическими размерами
сосуда: диаметром сосуда D и толщиной стенки 5.
56 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Таким образом, получаем
_2га-1 ,_,_га + 1 ,_ 2га+ 2
и наибольшей по абсолютному значению оказывается величина а3.
Поэтому условие отсутствия текучести имеет вид
, 2га + 2 2 as
Гипотеза Кулона дает для этого случая тот же результат. Действи-
Действительно,
W = (^ - а3) /2,
и, следовательно, должно иметь место соотношение
тр + р < cs.
Легко проверить, что и гипотеза прочности Губера-Мизеса дает
в точности такое же условие отсутствия текучести. В самом деле,
согласно этой гипотезе, необходимо, чтобы
~ o2f + (о2 - а3J + (а3 - <л J = V2 {тр + р) < V2os,
т.е. р < as/(m + 1).
Обратимся к расчету цилиндрического сосуда, находящегося под
внутренним давлением. Здесь гипотеза прочности формоизменения
A.6.4) приводит к условию отсутствия текучести в виде
р<
+3m/2'
в то время как гипотезы прочности Кулона и Губера-Мизеса — соот-
соответственно к неравенствам
gs as
Р l+2m И Р VI + Зт + 4т2 '
что, как нетрудно убедиться, обусловливает меньшие запасы прочно-
прочности.
Рассмотрим, наконец, общий случай плоского напряженного состо-
состояния (о2 = 0).
Имеем теперь:
3 ^Ol + °3^' ^ = Ol ° = 3О1 3°3'
1 1 / 1 , 2
— ~зО1 ~~ 3°3' °3 = ~3О1 3°3"
6. Гипотеза прочности формоизменения
57
Условие отсутствия текучести, согласно гипотезе прочности формо-
формоизменения A.6.4), имеет следующий вид:
A.6.5)
2
зО1
1
°3
<
2
3°s'
1
"зО1
1
°3
<
2
3°s'
1
"зО1
2
+ 3°3
<
2
1 со
Рис. 15
Совокупность значений ai и аз, удовлетворяющих этим неравен-
неравенствам, соответствует на плоскости с координатами ai, аз внутренности
шестиугольника (рис. 15, а), образованного прямыми
- a3 = ±2os,
a3 = ±2os,
- 2a3 = ±2os.
Аналогичная область, соответствующая гипотезе Кулона A.6.2),
также ограничена шестиугольником, однако немного меньшим
58 Гл. 1. Идеально пластическое тело
(рис. 15,5). Стороны этого шестиугольника представляются урав-
уравнениями
CTi = =Ьов, ai — a2 = ±as, аз = =Ьов.
В свою очередь гипотеза прочности Губера-Мизеса A.6.3) приводит
к внутренности эллипса:
у (cji - аз) + а2 + а| = л/2а5, или а2 + а2; - aia3 = а2
Эллипс Губера-Мизеса оказывается вписанным в шестиугольник
A.6.4) (см. рис. 15, б) и является описанным по отношению к шести-
шестиугольнику Кулона A.6.2). Таким образом, расчет по гипотезе проч-
прочности формоизменения дает, вообще говоря, несколько больший запас
прочности, чем расчет по гипотезам Кулона и Губера-Мизеса.
Для сравнения на рис. 15, в изображена область, соответствующая
гипотезе Сен-Венана для коэффициента Пуассона v = 0.3, вместе с
шестиугольником A.6.5) (пунктир).
Для пространственного случая напряженного состояния область
отсутствия текучести изобразится внутренностью правильной шести-
шестигранной призмы, грани которой определяются плоскостями
2 1 1 2 2 1 1 2
3О1 " 3°2 " 3°3 ~ ^3°*' 3°2 " 3°3 " 3О1 ~ ^3°*'
2 1 1 .2
3O3OlO2 = ±3Os-
Ось этой призмы образует равные углы с положительными направ-
направлениями осей координат ai, a2, аз в так называемом пространстве
Хейга. В эту призму вписывается круглый цилиндр, соответствующий
гипотезе Губера-Мизеса и являющийся, в то же время, описанным
вокруг правильной шестигранной призмы, построенной по гипотезе
Кулона. На рис. 15, г изображено нормальное сечение всех трех по-
поверхностей.
Остановимся еще на влиянии среднего напряжения а2 на условие
отсутствия текучести. Для этой цели рассмотрим случай
ai > 0, а3 = -аь |а2| < аь
имеющий место, например, при кручении круглого вала с осевой на-
нагрузкой. По гипотезе Кулона среднее напряжение а2 не влияет на
условие отсутствия текучести. Поэтому область отсутствия текучести
при ai ^ <52 ^ с>з на диаграмме с координатами (a2, ai) изобразится
(рис. 16) треугольником со сторонами
ai = 0.5as.
6. Гипотеза прочности формоизменения
59
Следуя гипотезе Губера-Мизеса, получим область
>1 Н~ (gi — 02) Н~ (—cti — 02) <С V2as, |сУ21 < cji 7
ограниченную на диаграмме (a2, oi) прямыми a2 = ±oi и дугой эллип-
эллипса За2 + а| = а2. Так как в данном случае
2 1
— Oi — О — -Oi - -С2,
а2 =
1
то область отсутствия текучести, соответствующая нашей гипотезе,
при ai ^ О2 ^ as изобразится четырехугольником, ограниченным
прямыми О2 = =bai, 3ai ±02 = 2as. Последние в точках с>2 = ±0.5as,
ai = 0.5as касаются эллипса Губера-Мизеса.
0.577 а,
-а3
0.667 as
-2 а,
-а.
2а,
Рис. 16
Если снять для напряжения а2 ограничение ai ^ 02 ^ as, а условие
ai > 0 оставить, то на той же диаграмме (a2, ai) область отсутствия
текучести, естественно, расширится.
Теории Губера-Мизеса соответствует в таком случае внутренность
полузллипса
3a2 + C2 = a2, ci > 0,
теории Кулона — пятиугольник, ограниченный прямыми
<5\ = 0.5as, ai =0, ci ± a2 = as,
теории прочности формоизменения — также пятиугольник, но со сто-
сторонами
3ai ± O2 = 2as, 02 = ±as, ai = 0.
На рис. 16 образующиеся дополнительные области отсутствия теку-
текучести ограничены пунктиром. Нетрудно видеть, что они получаются в
результате пересечения круглого цилиндра и двух призм в простран-
пространстве Хейга (рис. 15, г) плоскостью ai = —03. Заметим также, что обла-
области отсутствия текучести, изображенные на рис. 14, б", представляют
собой сечение тех же поверхностей плоскостью а2 = 0.
60 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Любопытно отметить, что в случае плоской деформации (82 = 0)
условие отсутствия текучести A.6.4) по форме совпадает с условием,
следующим из гипотезы Кулона, если только предположить материал
почти несжимаемым. Действительно, при Зе = 8i + 82 + 83 = 0 имеем
ei = Yb ?2 = Y2 = 0, 83 = Y3 = -ei
и, пока еще предел упругости не достигнут,
Из соотношений
О] = ai — a, 02 = О2 — а, аз = аз ~~ с?
теперь получаем
CTi — аз = Oj — а3 = 2oj,
CTi + аз = о\ + а3 + 2а = 2а,
О2 = (^ + а = а = - (ai + аз) •
Условие отсутствия текучести заключается, очевидно, в неравен-
неравенстве |oj | < /с, или
1, | 2
-|oi - оз| — ттах < -ов.
Аналогичное условие следует из гипотезы Кулона.
Полученное выше соотношение a2 = (oi + аз) /2 принимается во
многих теориях пластичности, в том числе и в теории Губера-Мизеса.
§ 7. Кусочно линейные условия пластичности
1. Кусочно линейными условиями пластичности назовем кусочно
гладкие условия пластичности вида
fi = di<5-[ +biG2 + Ci<33 — ki=0, i = 1,2,. . . ,n, a,i,bi,Ci,ki = const.
A.7.1)
Кусочно линейные условия пластичности A.7.1) зависят от инвари-
инвариантов О1,О2,оз и имеют место для изотропной идеально пластической
среды.
В пространстве главных напряжений 01,02,03 кусочно линейным
условиям пластичности соответствуют поверхности, образованные пе-
пересечением плоскостей A.7.1).
§ 7. Кусочно линейные условия пластичности 61
Выразим уравнения граней и ребер кусочно линейных условий пла-
пластичности A.7.1) в компонентах тензора напряжений а^- в декартовой
системе координат.
Рассмотрим грань кусочно линейного условия пластичности:
ао\ + Ьо2 + саз — к, а-> b,c,k= const. A.7.2)
Переходя к компонентам девиатора
g'j = gi - а, а'2 = E2-E, а3 = а3 - а, а = - (ai + а2 + а3) , A.1.2)
а^ + а2 + а3 = 0, A.7.3)
придадим уравнению A.7.2) вид
^ + Ба'2 + Са3 = 1, A.7.4)
Л=, В = , С=г,
к — ра к — ра к — ра
Из A.7.3), A.7.4) найдем
Из выражения для второго инварианта девиатора напряжений:
и соотношений A.7.5) следует квадратное уравнение для определения
величины а3:
[(В - СJ + (С- АJ + (В-С)(С- А)] а'2 -
- [2С -(А + В)} </s + [l - (А - ВJ </] = 0. A.7.7)
Из A-7.7) следует
с'3 = {2 [(В - СJ + (С- АJ + (В-С)(С- А)] У' х
х j [2C - (А + В)} ±([2С-(А + В)}2 +
+ А[{В -СJ + (С - АJ + (В -С) (С - A)] [l-(A-BJq>] J |.
A.7.8)
62 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Используя выражение третьего инварианта девиатора напряжений:
г' = o'ijo'jbo'ki = оУао'з, A.7.9)
согласно A.7.5), A.7.8), можно получить выражение грани A.7.2) в виде
f(E,q',r',a,b,c) = 0
(развернутую запись ввиду громоздкости, опустим).
2. Уравнение ребра кусочно линейного условия пластичности A.7.1)
представим в виде
0-1 Oi + &lC>2 + С^аз = k] , tt2C>l + b2<32 + C2^>3 — &2- A.7.10)
Уравнения A.7.10), аналогично A.7.2), A.7.4), представим в виде
Лю! + Bic2 + ^а'з = 1, Л2о\ + Б2а2 + С2о'3 = 1, A.7.11)
где
л. — ai п. — ^i р _ cj
Pi = di + bi + Ci, г = 1, 2.
Из трех линейных уравнений A.7.3), A.7.11) найдем
°i = ^ [- (В, - В2) + (С, - С2)\, а'2 = 1 [- (d - С2) + (А, - А2)},
{ + (В! - В2)}, A.7.12)
Д = Ал (В2 - С2) + Вл (С2 - А2) + Сл (А2 - В2).
Согласно A.7.12), A.7.6), A.7.9) получим
- (А, - А2) (В, - В2) - (В, - В2) (d - С2) -
- {С, - С2) (А, - А2)], A.7.13)
г' = ^з [(Ai - А2J (В, - Вг) + (В, - В2J (Сг - С2) +
+ (С, - C2f {Ал - А2) - (А, - A2f {Сл - С2) -
- (В, - В2J (А, - А2) - {С, - С2J (В, - В2)}. A.7.14)
§ 7. Кусочно линейные условия пластичности 63
Соотношения A.7.13), A.7.14) определяют искомые выражения ре-
ребра кусочно линейного условия текучести в компонентах тензора на-
напряжений Oij.
Условие пластичности Треска. Уравнение грани условия пла-
пластичности Треска запишем в виде
о1-о2 = 2к или о'1-о'2 = 2к. A.7.15)
Из A.7.15), A.7.3) получим
oi = i B* - с/3), о/2 = -^B*+о/з)- A-7.16)
Из A.7.6), A.7.16) найдем
4D*2-0?)' 3o?=4((/-*2). A.7.17)
Из A.7.17), A.7.9) следует выражение грани условия пластичности
Треска, данное Леви
4(q'-4k2J(q'-k2)-27r'2=0. (9)
Рассмотрим ребро призмы Треска A2) (рис. 3):
g3-ci=2&, o3-o2 = 2k. A.7.18)
Соотношения A.7.18) можно переписать в виде
ai=a2, о3=о1+2к. A.7.19)
Предельное состояние, определяемое соотношениями A.7.17),
A.7.18), A.7.19), носит название состояния полной пластичности.
В компонентах девиатора A.1.2) условие полной пластичности
A.7.18), A.7.19) имеет вид
°з = |*> <5\=<5'2 = -\к. A.7.20)
Из A.7.20), A.7.6), A.7.9) следуют два соотношения:
q' = \k2, r' = f7k\ A.7.21)
Ниже покажем, что, вследствие кратности корней A.7.19) характе-
характеристического уравнения, два соотношения A.7.19) эквивалентны трем
соотношениям, вполне аналогично тому, как два соотношения
АаАя + ^2^з + ^з^1 = 0, АаАяАз = 0 при 1* + Х2 + ^з Ф 0
эквивалентны трем условиям
64
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Исследование состояния полной пластичности проведем исходя из
соотношений связи компонент напряжений Oij в декартовой системе
координат xyz с компонентами главных напряжений с^.
Взаимную ориентацию координатных осей ж, ?/, z и главных направ-
направлений 1,2,3 тензора напряжений определим таблицей направляющих
косинусов:
X
У
Z
1
h
h
h
2
mi
ТП2
m3
3
ni
n2
Причем имеет место
\\
+ п\ = 1,
= О,
= О,
77-177-3 = О,
A.7.22)
или
т\ + т\ + гтгз = 1,
+ nl +
= 1,
+ т2п2 +
+ /2^2 +
Связь между компонентами напряжения
тами напряжения Oi определяется по формулам
с = cji/ + о2т\ + аз^
= 0,
= 0, A.7.23)
= 0.
и главными компонен-
ау = 01/2
Из A.7.19), A.7.24) получим
ох = а - 2fc/3 +
оу=о- 2к/3 +
oz = а — 2fc/3 +
2 2 2-1
tt-j + гг2 + гг3 = 1.
Положим
A.7.24)
= 2kn2n3,
A.7.25)
A.7.26)
§ 7. Кусочно линейные условия пластичности 65
Согласно A.7.26) соотношения A.7.25) могут быть переписаны в
виде
ах = а — 2к/3 + 2/ccos2 6i, хху = 2&cos6i cos 62,
су =o-2k/3 + 2kcos2Q2, *yz = 2&cose2cose3, A.7.27)
oz = о — 2k/3 + 2&cos2e3, txz = 2/ccos6i cose3,
cos2 9i + cos2 62 + cos2 63 = 1. A.7.28)
Из A.7.27), A.7.28) следует
(сж - с + 2fc/3) (oy-c + 2fc/3) = т2у,
(ау - а + 2fc/3) {cz-o + 2fc/3) = т2^, A.7.29)
(oz - а + 2
а также
(аж - а
{су-а + 2fc/3) тЖ2 = ixyiyz, A.7.30)
- а + 2fc/3)
Таким образом, два соотношения в главных напряжениях A.7.19)
эквивалентны трем соотношениям A.7.29) или A.7.30).
Из соотношений A.7.30) следует
ox = о - -к-\ —, oy = о - -к-\ *-*-, oz = о- -к-\ —.
О ^yz «5 ^xz «5 ^ху
**, oz = о- -к-\
«5 у
A.7.31)
Из A.7.31) получаем
WC^ + ЪсуТу^ + Т^Т^ = ^ A.7.32)
lyz ^xz ЪХу
Из соотношения A.7.28) следует
+ ^^ = i. A.7.33)
Положим
cosGi cos62 . Оо (л _ олЛ
— =coscp, — =sinp, 63 = 26. A.7.34)
sin 63 sin 63
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Согласно A.7.34) соотношения A.7.27) примут вид
ах = а — 2k/3 + 2k cos2 cpsin2 63, xxy = k sin 2cpsin2 63,
Oy =0- 2&/3 + 2&sin2(psin2e3, xxz = fccos2q>sin 2e3, A.7.35)
az = a — 2fc/3 + 2k cos2 63, xyz = k sin cpsin 263.
В дальнейшем обозначим 2бз = 6, тогда, согласно A.7.35), получим
ах = a - 2fc/3 + /с A - cos e) cos2 ф, хху = (k/2) A - cos e) sin 2ф,
ау = a — 2fc/3 + k A — cos б) sin2 ф, тЖ2; = k sin 6 cos ф, A.7.36)
az = a — 2fc/3 + k A + cos б), т^^ = k sin 6 sin ср.
Из A.7.36) следует
(a* " <^J+4т2 = &2 A - coseJ , T2 = tL+4 = &2sin2e, A.7.37)
A-7.38)
Согласно A.7.37), A.7.38) касательное напряжение Т направлено
вдоль главного напряжения в плоскости ху.
Условие максимального приведенного напряжения. Усло-
Условие максимального приведенного напряжения запишем в виде
а3 = аз — а = /с
Согласно A.7.39)
а3 — k = 0, 2аз — oi — 02 = 3fc.
или,
1 -*
о
о
oi-fc
О
О
— k
= 0
A.7.39)
A.7.40)
at-A;
= 0.
A.7.41)
Из A.7.41) следует запись условия пластичности A.7.39) в компо-
компонентах декартовой системы координат:
(ох - о - k) (oy — о — k) (oz - a - k) + 2xXyXyZxyxz-
-(ox-o-k) T2yz -(oy-o-k) t2xz -(oz-o-k) т2ху = 0. A.7.42)
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 67
В случае ребра максимального приведенного напряжения имеют
место соотношения
Оо = оз — о = fc, Oi = ai — a = — к
A.7.43)
или a3 — к = О, a2 + к = 0.
Согласно A.7.43), аналогично A.7.41), A.7.42), в случае ребра мак-
максимального приведенного напряжения имеют место два условия пла-
пластичности:
(ох - о - к) (оу - о - к) (oz - о - к) + 2xXyXyzxyxz —
- (ох - с - к) %2yz -(oy-o-k) t2xz -(oz-o-k) т2ху = 0,
(ох -о + к) (оу - a + к) (oz - о + к) + 2xXyXyzxyxz-
- (ох - о + к) T2yz -(cy-o + k) t2xz -(Oz-o + k) т2ху = 0. A.7.44)
§ 8. Уравнения деформирования тел
за пределом упругости
Пространственная задача пластичности явилась предметом внима-
внимания многих ученых, начиная с Леви [233], предложившего обобще-
обобщение уравнений плоского пластического течения Сен-Венана на случай
пространственного пластического течения. Большие успехи в установ-
установлении уравнений пространственного пластического деформирования
принадлежат Генки [230], который развил результаты, полученные ра-
ранее Хааром и Карманом [229] и Мизесом [192]. А.А. Ильюшину [24] при-
принадлежит построение теории пластичности при произвольном упроч-
упрочнении в условиях так называемого простого нагружения с решением
большого круга практически важных задач.
Особенностью всех предложенных теорий пространственного пла-
пластического состояния является предположение о сохранении изотроп-
изотропности среды при деформировании. Именно изменение направления
пластического течения может быть произведено одним лишь изме-
изменением направления действия внешних сил на пластическое тело с
сохранением условия пластичности. Поэтому эффект Баушингера не
укладывается в рамки упомянутых теорий, т. е. растяжение образца за
предел текучести не сопровождается понижением предела текучести
при последующем сжатии того же образца, как это имеет место в
действительности.
68 Гл. 1. Идеально пластическое тело
В настоящий момент почти нет сведений о пластичности монокри-
монокристаллов при сложном напряженном состоянии. Вследствие этого по-
пока затруднительно, применяя статические методы исследования, дать
фактические обоснования поведению поликристаллических тел при
пластическом деформировании.
Здесь мы сделаем попытку построить уравнения деформирования
тел за пределами упругости, вводя некоторые простейшие гипотезы о
характере происходящих явлений, которые, как представляется, каче-
качественно оправдываются экспериментом.
Обозначим через ei, б2, ез главные компоненты деформации, а ве-
величины Si = ei — е, где е = (ei + e<i + ез) /3, назовем компонентами
формоизменения. Нетрудно видеть, что последние не зависят от вели-
величины объемной деформации и, кроме того,
Sl + S2 + $3 = 0.
При заданной ориентации главных направлений тензора дефор-
деформаций значения e,si, S2553 могут рассматриваться как обобщенные
координаты, определяющие деформацию бесконечно малого элемента
тела. Пусть a, Si, ?2, ?3 — обобщенные силы, соответствующие этим
координатам. Тогда должно иметь место равенство
ai 5 е\ + О2 5 б2 + аз 5 ез = За 5 е + S\ 5 s\ + Si 5 s<i + S3 5 S3,
где а1,а2,аз — напряжения на площадках, нормалями которых слу-
служат главные направления деформации. Естественно считать, что эти
напряжения также являются главными. Вариации 5е1,5е2,5ез незави-
независимы, причем имеют место соотношения
5е2 + 5е3) /3, 8si = 25ei/3 - Eе2 + 5е3) /3,
5s2 = 25е2/3 - Eе3 + 5ei) /3, 5s3 = 25е3/3 - (бе! + 5е2) /3.
Поэтому справедлива формула
и аналогичные формулы для О2 и 03. Следовательно,
a. = Si+G-r (г = 1, 2, 3),
где через Г обозначена треть суммы величин 5i, S2, S3, которые в даль-
дальнейшем будут именоваться главными напряжениями формоизменения.
Складывая приведенные выше соотношения, получим
a = @1 + a2 + a3) /3,
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 69
и, таким образом, а представляет собой среднеарифметическое нор-
нормальное напряжение.
Как и следовало ожидать, главные напряжения формоизменения
Si, S2 и Ss не определяются однозначно через главные нормальные
напряжения вследствие взаимозависимости величин si, S2 и S3. Имеем
^ =r + 2ai/3-c2/3-c3/3
и другие, подобные же, формулы для S2 и S3, в которых величина Г
не может быть определена из соображений статики.
Примем, что каждое напряжение формоизменения зависит лишь от
соответствующей ему компоненты формоизменения, т.е.
5i=/(ei), S2 = f(s2), S3 = f(s3),
где / — одна и та же функция. Точно так же среднее напряжение a
будем считать функцией одной переменной е — объемной деформации,
т.е.
где g — некоторая известная функция. Нетрудно видеть, что при взаим-
взаимной однозначности представленных функциональных соотношений мы
будем иметь дело с изотропным упругим телом. Это тело подчиняется
закону Гука, если функции / и g линейны. Действительно, полагая
Si=fcsi, S2 = bs2-> Ss = bss и a = Зхе,
получим
Si + S2 + S3 = ЗГ = b (s1 + s2 + s3) = 0.
Следовательно,
ai = Si+G-r = bsi+3xe = Cx-b)e + bet (i = 1, 2, 3).
Если ввести далее обозначения
b = 2[i и Зх - 6 = А,,
то немедленно придем к закону Гука в форме Ламе:
<5i = X е + 2|i ei.
Принимая иные формы зависимости между Si, S2, S3, аи
$Ь 525 5з5 е, можно получить многие известные ранее модели тел.
70
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Например, при соотношениях интегрального характера вида Вольтер-
ра:
t t
Si = bsi — cp(? — т) Si(x)dx, a = Зхе—3 \\f(t — т) e(x)dx,
—оо —оо
придем к уравнениям наследственности типа Больцмана-Вольтерра:
Oi=Xe
t
- f
- т) - q>(* - т)] е(т)
- т) е*(
Полагая Si = vdsi/dt, о = Зхе, получим такие же соотношения, как
и в уравнениях сжимаемой вязкой жидкости, и т.д.
Здесь мы изучим такую зависимость между Shs, которая известна
в литературе под названием линейного упрочнения, а именно: примем,
что в случае монотонного возрастания s имеют место соотношения
S = bs при s < К/Ь,
S = К + h {s- K/b) при a > К/Ь,
где К — пластическая постоянная среды, h < b — модуль упрочнения.
Таким образом, график зависимости S от s имеет перелом в точке с
координатами (S = /С, s = K/b), как показано на рис. 17.
Рис. 17
Рис. 18
Примем, что если после достижения некоторого значения s = s*
величина s начнет убывать, то S будет уменьшаться по линейному
закону с угловым коэффициентом 6, т. е.
S*-S = b(s-s*),
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 71
где S* — значение S, достигнутое при s = s*.
На рис. 18 изображена петля гистерезиса при периодическом изме-
изменении s.
Введем две прямые (см. рис. 18):
S = ±К + h (s т К/Ь),
и примем, что между ними находятся всевозможные пары совместных
значений S и s. При этом
dS = bds,
когда E, s) находится строго между обеими прямыми. Если же точка
E, s) находится на верхней граничной прямой
S = K + h (s- K/b),
то
dS = hds, ds > 0 и dS = bds, ds < 0.
Точно так же, если точка E, s) находится на нижней граничной пря-
прямой, т.е.
S = -K + h (s + K/b),
то
dS = hds, ds < 0 и dS = bds, ds > 0.
Очевидно, что в описываемом материале по отношению к напря-
напряжению S и деформации s имеет место эффект Баушингера. Действи-
Действительно, перелом графика при растяжении (точнее при сдвиге) за предел
упругости из естественного состояния происходит при напряжении S =
= К. Пусть было достигнуто напряжение S* > К и соответствующая
ему деформация s*. Тогда при последующем сжатии вначале будет
происходить упругая деформация, соответствующая прямой Л Б, S* —
— S = b (s* — s) с угловым коэффициентом 6, и затем в точке В ее
пересечения с нижней граничной прямой наступает второй перелом
графика, который соответствует уже пределу упругости при сжатии.
Нетрудно подсчитать значение этого предела упругости при сжа-
сжатии. Действительно, точка Л графика расположена на 1К выше точки
В. Точно таким же свойством обладают все другие пары точек пере-
пересечения с граничными прямыми прямых с угловым коэффициентом
Ь. Если ординату точки пересечения прямой ЛВ упругого сжатия с
нижней граничной прямой обозначим через Sd-> то будем иметь
Sd = S* - IK.
72
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Пусть S* ненамного больше К и, во всяком случае, S* < 1К. Тогда
Sd < 0 и \Sd\ < К,
что и соответствует эффекту Баушингера.
Выбранная зависимость между S и s описывает, вместе с тем, так
называемое явление наклепа (упрочнения). В самом деле, произведем
«растяжение» из естественного состояния напряжением S = S*, пре-
превышающим предел упругости К (рис. 19). Затем произведем разгрузку
dS =
Рис. 19
Рис. 20
до напряжения S = 0. В результате образуется некоторая остаточная
деформация so- Если теперь вновь начать растяжение, то диаграмма
(s, S) (см. рис. 19) пойдет по той же прямой обратно и, достигнув
верхней граничной прямой, получит перелом. Таким образом, предел
упругости окажется при повторном растяжении повышенным.
Если h = 0, получим идеализированную диаграмму Прандтля
(рис. 20) с горизонтальным участком текучести. Эффект Баушингера
и наклеп здесь уже отсутствуют. Для случая h = 0 при монотонном
растяжении из естественного состояния будем иметь
S = bs при s ^ К/Ь,
S = К при s ^ К/Ъ.
Совместные значения S и s здесь возможны лишь в области | S \ ^
^ К. Их изменения при произвольном деформировании (см. рис. 20)
связаны дифференциальными соотношениями
dS = bds при \ S \ < К,
а также
dS = 0, если S = К,
> 0 или S = -К, ds < 0.
Пусть элемент тела при h ^ 0 находится в естественном состоянии.
Тогда, если ни одна из величин S\, S2 и Ss не превышает критического
8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости
73
значения /С, мы будем иметь дело с обычным упругим изотропным
телом. Как было показано выше, в этом случае Г = 0, поэтому Si =
= 2ai/3 — 02/З — аз/3 и аналогично для S2 и S3.
Таким образом, область (|Si| < /С, |5г| < К, \ Ss\ < К) соот-
соответствует чисто упругим деформациям тела. В пространстве Хейга
с координатами 01,02,03 эта область
представляет внутреннюю часть шести-
шестигранной призмы с осью, одинаково накло-
наклоненной к положительным направлениям
осей oi,C2 и аз (рис. 21).
Закон Гука нарушается, если одна из
величин S в процессе деформирования
превысит значение /С, поэтому указанная
призма является характеристической по-
поверхностью для некоторой теории проч-
прочности [163] (см. рис. 10).
Из дальнейших примеров будет вид-
видно, что значительные пластические де-
деформации элемента возникнут лишь в случае, когда при его нагру-
жении два из трех напряжений формоизменения S в отдельности
превысят значение К.
Рассмотрим теперь процесс простого (монотонного) растяжения
тела, деформирование которого подчиняется приведенным соотноше-
соотношениям между Si и Si.
При простом растяжении
Рис. 21
= a
= 0,
О, а2 = О,
и в области упругих деформаций
Si = 2oi/3, S2 = -ci/3, S3 = -01/З.
Упругое растяжение будет происходить, пока Si ^ К. При этом
2ai/3 = Si = bsi = Ье\ — бе, е = а/к
и,следовательно,
где постоянная Е = Ьк/ Bх + Ь) является модулем Юнга.
Напряжения Si = К и соответственно
О1 = ЗК/2 = се
74 Гл. 1. Идеально пластическое тело
служат, таким образом, пределом упругости при растяжении.
Пусть теперь напряжение а = ai несколько превысит предел упру-
упругости ае. Тогда напряжение формоизменения Si окажется выше пла-
пластической постоянной /С, вследствие чего следует положить
S1= K + h (Sl- K/b) = К' + hsu
где введено обозначение
b
и принято, что h < b.
Для $2 и Ss будем иметь по-прежнему:
Складывая $i, S2 и $з, получим
ЗГ = К1 + ftSl + bs2 + 6s3 = К1 - (b - h)Sl,
так как si + s2 + S3 = 0.
Далее, учитывая, что с>2 = аз = 0, имеем
За = oi = Si + а - Г = К7 + hs1 + а - ( ^К' - Ь-^-
Замечая, что
- _ - _ ! °
3 х'
в результате получим
9 и 27 х
Отсюда заключаем, что деформирование за пределом упругости
вначале пойдет, следуя закону прямой с угловым коэффициентом
Е, _ 9к(Ь + 2h)
Заметим, что Е1 < Е, так как
и модуль упругости b больше модуля упрочнения h.
Для предельного случая несжимаемого материала (к = ос) и иде-
идеальной диаграммы Прандтля (h = 0) будем иметь Е' = Е/3. Вообще
же Е' > Е/3 и, таким образом, на этом участке диаграммы простого
растяжения удлинения не будут сильно отличаться от чисто упругих
8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости
75
(рис. 22). Этот результат в известной мере согласуется с эксперимен-
экспериментальными данными, отмечающими остаточные деформации при значе-
значениях растягивающих напряжений меньших предела текучести.
Рис. 22 Рис. 23
Второй участок диаграммы растяжения продолжается, пока
*О = О] > А, о2 | = | Оз | <. Аь^
Посчитаем теперь, какому напряжению ai соответствует начало
третьего участка, когда напряжения формоизменения S2 и Ss одно-
одновременно достигнут значения пластической постоянной К.
Для этой цели положим
откуда
S2 = bs2 = —К = $з,
s3) = 2К/Ь.
si =-(
Далее имеем
с is' i и b - h 2h b + h
b\ = К + nsi = —г—К + —К = —г—К
bob
ЗГ = Si + S2 + S3 = - A - h/b) К.
Таким образом,
и значение растягивающего напряжения на границе второго и третьего
участков оказывается равным:
О1 ={2 + h/b)K = os.
Напряжение os является для данного материала пределом текуче-
текучести, так как при дальнейшем увеличении растягивающего напряжения
76 Гл. 1. Идеально пластическое тело
начинается резкое возрастание деформации. Чтобы убедиться в этом,
найдем угловой коэффициент наклона третьего участка диаграммы
растяжения. Имеем для ai > os:
Si = К1 + ftsi и S2 = S3 = -К'
откуда ЗГ = —К'. Следовательно,
2a = Si - Г = К1 + ftsi + \к' = \к' + 1
о о
ИЛИ
и искомый угловой коэффициент равен
Е" =
Так как модуль упрочнения h предполагается значительно меньшим
модулей к и 6, то Е" соответственно меньше Е1 и ?и, следователь-
следовательно, третий участок диаграммы растяжения соответствует появлению
заметных удлинений при растяжении. Если считать материал несжи-
несжимаемым (к = оо) и значение модуля упрочнения h принять равным
нулю, то третий участок будет иметь горизонтальное направление,
характеризуя идеальную текучесть материала (рис. 23). При этом os =
= 2К.
В экспериментальных кривых не наблюдается резких изломов диа-
диаграммы растяжения, как это следует из проведенного теоретического
построения. Однако общий характер кривой зависимости а от е по-
получается тот же; гладкий же характер кривой может быть объяснен
статистическим эффектом распределения характерной величины К
для отдельных кристаллитов металла [169].
Прежде чем переходить к более сложным напряженным состояни-
состояниям, рассмотрим случай кручения круглого цилиндра.
Имеем для элемента, расположенного у поверхности цилиндра:
следовательно,
о = 0, е = 0.
До достижения предела упругости Г = 0, поэтому
Si = bsi = oi, S2 = bs2 = — c>2, S3 = 0;
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 77
кроме того,
Утах = ei - е2 = si - s2 = 2si = 2oi/6, ттах = 6ymax/2.
Очевидно, что величины 5i и *?2 одновременно достигают предель-
предельных значений ±/С при ттах = К и диаграмма зависимости касательного
напряжения т при чистом сдвиге от величины сдвига у имеет лишь
два участка. Угловой коэффициент наклона первого участка равен 6/2,
т. е. модулю сдвига ц = G = 6/2. Чтобы найти угловой коэффициент
второго участка, достаточно заметить, что после предела упругости
%iax = ai = S-у = К + hs-y = К + /гутах/2.
Таким образом, в случае h = 0 на диаграмме сдвига имеется гори-
горизонтальная площадка текучести.
Вследствие неоднородности напряженного состояния при кручении
лишь элементы поверхности перейдут в пластическое состояние. По-
Поэтому у диаграммы зависимости крутящего момента от угла закрутки
при переходе за предел упругости перелома не будет [176].
Остановимся подробнее на величине ттах, соответствующей перехо-
переходу в пластическое состояние элемента при чистом сдвиге.
Обозначим эту величину через т8. Согласно предыдущему имеем
Возникает вопрос: как определить величину ts на основании опытов
на простое растяжение?
При простом растяжении имеем два характерных напряжения:
предел упругости ае = ЗК/2 и предел текучести as = B + /г/6)К.
Следовательно,
Те =0.667се,
и, вместе с тем,
В реальных материалах обычно не делают строгого различия меж-
ду ае и as, и экспериментальные данные дают для те и т3 значения,
укладывающиеся в интервале @.500)-@.667)as. Тот же интервал за-
заполняют многие теории прочности [163].
Рассмотрим теперь плоскую деформацию несжимаемого упруго-
пластического материала без упрочнения (h = 0). В этом случае
е3 = 0
78 Гл. 1. Идеально пластическое тело
и
S3 = ез - е = -е.
Для несжимаемого материала имеем е = О, следовательно,
5з = 0, si = -s2 и Si = -S2, S3 = 0.
Далее, в пределах упругости
c>i = Si + а, а2 = — Si + а, аз = о,
откуда
аз = (ai + 02)/2, 01 - С2 = Si - S2 = 2Si.
Предел упругости будет достигнут, ели напряжение Si достигнет
критического значения К [165]. Для этого необходимо, чтобы
Oi — О2 = 2/f, ИЛИ Ттах = К.
Таким образом, для плоской деформации несжимаемого материала
условие пластичности совпадает с условием Сен-Венана.
В пластической области имеем
Ст1 = Si - Г + а, а2 = -Si - Г + а, а3 = -Г + а,
откуда аз = (oi + ог)/2, т.е. третье главное напряжение равно полу-
полусумме главных напряжений, направление которых лежит в плоскости
деформирования. Такое же соотношение принимается в теориях пла-
пластичности Мизеса и Генки.
Для сжимаемого материала выкладки несколько усложняются.
Имеем в упругой области
Si = fcsi, S2 = 6^2, S3 = &S3,
но
s3 = e3- e = -e,
следовательно,
s2 = —si - s3 = е — si
и
?2 = 6(e-si) = be-S1.
Так как объемная деформация бывает обычно небольшой, то следу-
следует ожидать, что из трех величин S скорее всего достигнет предельного
значения К одна из первых двух. Пусть такой окажется Si, тогда
Si=K, S2 = be-K
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 79
и далее
О1 = К + с = К + 3хе,
а2 = be - К + а = -К + F + Зх) е,
откуда, исключая е, получим соотношение
d F/3 + к) - с2 к = F/3 + 2х) X,
при котором имеет место наступление предела упругости. Однако, как
было показано ранее на примере простого растяжения, дальнейшее
увеличение напряжений не сопровождается большой деформацией,
пока и вторая из величин S по абсолютному значению не достигнет
критического значения К. По тем же соображениям такой величиной
скорее всего может оказаться ?2. В случае идеально пластического
материала (h = 0) следует положить
^ =К, S2 = -К.
Так как за пределом текучести
Ol=S1+c-r = K + c-r,
О2 = S2 ~\- О — Г = — К + О — Г,
то должно быть
О1 - а2 = 2К.
Таким образом, вновь получаем условие пластичности Сен-Венана.
Для третьего главного напряжения найдем выражение
а3 = S3 + а - Г = S3 + @1 + с2)/2,
но
S3 = -be = — — @1 +а2 +а3),
следовательно,
азA + Ь/9х) = A/2 - 6/9x)(oi + о2),
что близко к обычно принимаемому соотношению аз = (oi + а2)/2.
Обратимся к плоскому напряженному состоянию. В этом случае
а3 = 0 и в упругой области имеем
аз — #з + а = 0,
откуда
о = —S3 = Si + 02 •
80 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Далее имеем
ai = Si + о = 2S-[ + 52, a2 = S2 + a = Si + 252.
Таким образом, если аз = 0, то
S, = Bа, - о2)/3, S2 = Bа2 - oi)/3, S3 = -(oi + о2)/3.
Предел упругости материала достигается, если одна из величин S
примет по модулю значение К.
В зависимости от соотношения величин главных напряжений это
будет 5i, S2 или 5з- Пусть S\ = ±/С, тогда условием предела упруго-
упругости служит равенство
2а2 - oi =
Аналогичное соотношение будет иметь место и для случая
S2 = ±К.
Если же Ss = ±/C, то условие достижения предела упругости
принимает вид
oi + a2 = ±3/f.
Как уже было показано выше, значительные пластические дефор-
деформации могут появиться лишь тогда, когда две из величин S по мо-
модулю достигнут критического значения К. Ниже мы остановимся на
случае отсутствия упрочнения на графике зависимости S от s, т.е.
вновь примем угловой коэффициент h равным нулю (см. рис. 20). Это
означает, что при монотонном деформировании величина S, достиг-
достигнув критического значения ±/С, в дальнейшем остается постоянной.
Случай упрочнения h ф 0 не вносит принципиальных затруднений,
усложняя только выкладки.
Пусть при плоском напряженном состоянии (аз = 0) второе глав-
главное напряжение а2 равно некоторой положительной постоянной а2
меньшей З/С/2, но большей К. Тогда при <5\ = 0 будет иметь место
простое растяжение материала в пределах упругости. Будем теперь
увеличивать напряжение ai. Как легко усмотреть из выведенных для
5i, S2 и Ss формул, напряжения 5i и 52 по модулю будут вначале
уменьшаться, в то время как напряжение Ss (также по модулю) —
увеличивается. Оно первым достигнет критического значения —/С, как
только осуществится соотношение
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 81
из которого следует, что предел упругости будет достигнут при значе-
значении главного напряжения oi, равном
ai = ЗК — с>2.
Значения Si и S2 окажутся при этом следующими:
вг = Bci - с2)/3 = 2К - <5%, S2 = Bс2 - oi)/3 = a§ - К.
о
Убеждаемся, что так как в данном случае К < а^ < -/С, то ив
самом деле, при | Ss\ = К имеет место \ S-[\ < К, \ S2\ < К.
Будем далее увеличивать напряжение о\ за пределы значения ЗК —
— с>2. Величины 5i, S2 и Ss следует теперь определять из уравнений,
относящихся к пластической области деформирования:
c>i = $i + a — Г, с>2 = $2 + a — Г, аз = Ss + а — Г,
и допустить отсутствие упрочнения:
S3 = -К.
Учитывая, что G2 = а° и аз = 0, получаем
a - Г = К, Si=n-K, S2 = o%-K.
Напряжение формоизменения S2 в процессе увеличения ai в рас-
рассматриваемом примере плоского напряженного состояния остается по-
постоянным. Следовательно, только Si может достигнуть критического
значения /С, именно когда напряжение ai станет равным 2К. Далее,
при неизменных напряжениях ai, а2 и аз = 0 могут произойти значи-
значительные пластические деформации.
Пренебрежем объемной деформацией е, т.е. примем, что Si ^ е^.
Тогда из изложенного выше следует, что в описываемом процессе
деформация е2 в направлении второго главного напряжения а2 =
= &2 будет сохранять свое значение, в то время как деформации в
направлении первого главного напряжения и третьего (равного нулю)
могут оказаться значительными (имея разные знаки).
Плоскость, проходящую через направления значительного дефор-
деформирования, назовем плоскостью течения. В этой плоскости будем отме-
отмечать направление, соответствующее первой из величин S, достигших
критического значения /С, т.е. направление потери упругости. В разо-
разобранном случае им является направление 3, а плоскость течения —
плоскость A,3).
Если 0 < 0*2 < К, то картина явления становится несколько иной
и уже величина Si при возрастании ai первой достигнет критического
82 Гл. 1. Идеально пластическое тело
значения К. Из равенства
следует, что это осуществится при
Далее из уравнений для пластического состояния
О1 = К + а - Г, а% = ?2 + с - Г, 0 = ?2 + с - Г
получаем соответственно
а - Г = о! - X, ?2 = а^ + К - О!, S3 = К - gi.
Так как теперь, по предположению, К > а^ > 0, то при дальнейшем
возрастании ai за значение ЪК j2-\-E\j2 первым достигнет критического
значения —К напряжение формоизменения Ss- Это произойдет при
напряжении ai = 2К. Здесь вновь плоскостью течения оказывается
плоскость A,3), но направлением потери упругости является уже на-
направление 1.
Совершенно другая картина появления пластической деформации
возникает при а2 = а^ < 0. Тогда если — К < а^ < 0, то при возрас-
возрастании напряжения ai начиная с нуля первым достигнет критического
значения -\-К напряжение формоизменения S\, а затем напряжение ?2.
Как легко видеть из только что разобранного примера, последнее осу-
осуществится при напряжении ai, равном
О1 =2К + а%.
Если, наконец, —ЗК/2 < а^ < —К, то первой критического значе-
значения — К достигнет величина 52. Из равенства
-К = Ba!j-ai)/3
находим соответствующее значение ai, а именно:
О1 = 2^ + ЗК.
Напряжения Si и S% принимают при этом значения
5] = Bci - о2) /3 = 4 + 2К, 53 = - (oi + о2) /3 = -о§ - /f
О
и при принятом условии — -К < 0*2 < —К критического значения не
достигают.
Далее из уравнений
ai = #! + a - Г, ol = -K + о-Г, 0 = 53 + а-Г
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 83
получаем
5i = oi - о§ - К, S3 = -о°2-К (о°2 < 0) ,
и, как нетрудно видеть, критического значения -\-К при дальнейшем
увеличении напряжения ai может достичь лишь величина S\ при
напряжении
О1 = 2К + о°2.
Таким образом, в последних двух примерах плоскость течения одна
и та же. Это плоскость A,2). Однако направления потери упругости
разные, соответственно 2 и 1.
Во всех разнообразных примерах плоского напряженного состояния
(аз = 0) главное напряжение о2 = о® фиксировалось и находилось в
пределах —ЗК/2 < а2 < З/С/2, а напряжение ai возрастало начиная с
нуля.
Рассмотрим теперь последний пример, при котором о2 в процессе
своего изменения может выйти за эти пределы. Пусть о2 = ai — %,
где % — малая положительная величина. Тогда при аз = 0 в упругой
области для величин 5i, S2 и Ss получаем
S3 = -@1 +a2)/3 = -201/З +х/3.
Отсюда следует, что при возрастании ai первой достигнет критиче-
критического значения К величина Ss- Далее, уже при появлении пластической
деформации имеем
cTi = 5i + a — Г, ai — % = S2 + a — Г, 0 = —К + a — Г,
или
Si = ai - К, S2 = ai - К - %.
Второй достигнет критического значения величина 5i при ai = 2К.
Напряжение а2 может при этом сколь угодно мало отличаться от 2К.
Плоскостью течения теперь будет являться плоскость A,3). При % =
= 0, и следовательно ai =02, вместо этого возникает пластическое
деформирование по всем направлениям. По направлению 3 будет иметь
место пластическая деформация, равная сумме деформаций по направ-
направлениям 1 и 2, если не учитывать деформации объема. Действительно,
для этого случая при пластическом течении имеем
S1=S2 = K и S3 = -К,
84 Гл. 1. Идеально пластическое тело
откуда следует
«ь S2 > 0, и s3 < О,
а так как
si + s2 + s3 = 0 и si « ei, s2 « е2, s3 « е3,
то
I е3| = | ei| + | е2|.
Что же касается соотношения между деформациями е\ и е2, то оно
может быть произвольным и определяется кинематическими условия-
условиями деформирования. Это решительно отличает предлагаемую теорию
пространственной пластичности от теорий Леви и Генки, которые тре-
требуют для такого случая строгого равенства
ei = е2.
Резюмируя приведенные исследования плоского напряженного со-
состояния а3 = 0, можно сказать, что при напряжениях <з\ и а2 одного
знака плоскость течения всегда проходит через третье направление и
условием течения является достижение одним из напряжений <5\ и а2 по
модулю значения 2К. При напряжениях ai и а2 разных знаков течение
наступает при условии, совпадающем с условием пластичности Сен-
Венана:
I cTi — а2| = 2/С,
и плоскость течения проходит через оба этих направления.
Как уже неоднократно отмечалось, достижение одним из напря-
напряжений формоизменения критического значения ±/С еще не означа-
означает появления больших деформаций, а соответствует лишь переходу
за предел упругости в некоторой части тела. Внутри нее перемеще-
перемещения и напряжения могут быть найдены решением некоторой системы
уравнений, вывод которых будет намечен позже. Трудности решения
подобных систем осложняются неизвестностью границы, отделяющей
область тела, где возникло пластическое состояние, от области чисто
упругих деформаций.
Пусть какие-либо два напряжения S достигнут критического зна-
значения ±/С, тогда в случае отсутствия упрочнения будем иметь
О1 = Х + с-Г,
а2 = -Х + а-Г,
а3 = Ss + а - Г,
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 85
где для определенности положено, что Si достигло критического зна-
значения -\-К, а 52 — значения —К.
Из этих соотношений получаем
О1 - с2 = 2К
Так как напряжение S% еще не достигло критического значения, то
S3 = bs3,
где бз — соответствующая S3 компонента формоизменения.
Будем считать материал несжимаемым, тогда
ss = е3
и,следовательно,
Ье3 = оз - (oi +а2)/2.
При напрял<ениях 01,02 и аз, имеющих порядок пластической по-
постоянной, величина ез оказывается небольшой, а в предельном случае
идеально пластического материала, т. е. для бесконечно большого мо-
модуля сдвига 6, имеем
е3 = 0.
Заметим, что величина е3 является корнем алгебраического урав-
уравнения для главных деформаций:
х3 - Зех2 + фж - у = 0, A.8.1)
где
3e = ei+e2 + e3, q> = e2e3 + e3ei + eie2, \|/ = eie2e3. A.8.2)
Будем в дальнейшем считать пластическую деформацию настолько
малой, что компоненты ее можно с достаточной точностью подсчитать
по известным формулам
_ ди _ dv _ dw
ехх~Ъх' еуу~Ъх' 6zz~^'
_ dw dv _ ди dw _ dv ди ^ ' ' '
yz ~~dy~^~dz' €xz ~~dz+~d^' вху ~~дх+~ду'
где u,v,w — компоненты смещения.
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Так как ез = 0, то имеем
1
2
1 i
г!
du
~dx
( dv
\dx
( dw
1-
t dx
du\
du\
— 1
2
1 j
2!
'dv
dv
~dy
( dw
du\
dy)
dv\
— J
/
2
—
( dw
( dw
\dy
dw
du\
J
dv\
~d~z)
и, кроме того, в силу условия несжи маем ости:
n. I Г\ I Г\ I U
A.8.4)
A.8.5)
Наиболее интересным случаем при пространственной пластической
деформации является тот, при котором все три главные деформации
имеют значительную величину по сравнению с чисто упругими. При
этом все три напряжения формоизменения Si должны достичь крити-
критических значений. Теперь следует положить
<ц = ±К + с-Г (г = 1,2,3).
Здесь знак у каждой пластической постоянной должен совпадать
со знаком соответствующей компоненты формоизменения s^. Однако
их сумма равна нулю. Отсюда следует, что согласно предлагаемой те-
теории идеальной пластичности два главных напряжения должны быть
непременно равны друг другу, а третье отличаться от них на удвоенное
критическое значение 2К. Пусть для определенности
— с>2
а3 - о! = 2К.
Это означает, что
= S2 = -К и S3 = К,
причем компоненты формоизменения
положительно, при этом
отрицательные, a
Направление, соответствующее наибольшей компоненте формоиз-
формоизменения, можно назвать активным направлением течения.
Таким образом, для пространственной задачи пластичности имеют
место два соотношения между главными напряжениями, подобно гипо-
гипотезе полной пластичности Хаара и Кармана [213]. Этим предлагаемая
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 87
теория отличается от теории Леви и Мизеса [233, 192], в которых при-
принимается единственное соотношение. Для построения замкнутой систе-
системы уравнений обоим авторам приходится вводить излишне большие
ограничения на величины пластических деформаций (или скоростей
деформирования, если рассматривается течение пластической среды),
а именно принимаются справедливыми четыре соотношения:
dvx dvy dvx dvz dvy dvx dvz dvy dvx dvz
dx dy dx dz dx dy dy dz dz dx
A.8.6)
где vx,VyiVz — компоненты скорости (или перемещения) какой-либо
частицы пластической среды. Эти соотношения содержат не только
требование коаксиальности тензора напряжения и тензора скоростей
деформирования, но также и требование пропорциональности каса-
касательного напряжения на произвольно ориентированной площадке к
соответствующей скорости деформации сдвига (причем коэффициент
пропорциональности может меняться при переходе от одной точки тела
к другой). В частности, если где-либо в среде возникает напряженное
состояние с главными напряжениями
gi = G2 = аз + 2К,
то из упомянутых выше теорий следует, что обязательно должно осу-
осуществляться равенство е\ = е<±. Согласно же нашей теории, должно
быть только
ei > 0, е2 > О,
а соотношение между ними может быть произвольным.
Решение пространственной задачи пластичности сводится в нашем
случае к решению системы следующих девяти уравнений с девятью
неизвестными функциями и, v, w, аж, ау, oz,iyz,Tzx, тху:
'du du du du" _
at ^"дх^иду^"дг) ~ дх ^ ду ^ dz '
at l "dx l "dy l "dzj- dx l dy
ди dv dw _ ( ,
dx dy dz y
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Gx^Xy ~Г ^хуСуу ~Г ^XZ^yZ — ^уХ^ХХ ~Г Оувху ~\- Tyz^XZl
^yx^zx + oyezy + Tyzezz = xzxeyx + izyeyy + ozeyz, A.8.9)
^zx^xx ~r ^zy^xy ~r ^г^жг — ^cc^-zcc ~г ^xy^zy ~г ^жг^гг?
/i(o,9,r) = 0, A.8.10)
h(a,q,r) = 0. A.8.11)
Первые три уравнения A.8.7) являются уравнениями движения
механики сплошной среды, причем и, v и w представляют собой ком-
компоненты скорости частицы.
Четвертое уравнение A.8.8) выражает условие несжимаемости сре-
среды, следующие три уравнения A.8.9) — условие совпадения главных
осей тензора напряжений ox,ay,az, xyz, xzx, хху и тензора скоростей де-
деформирования exx,eyy,ezz, eyz = -yyz, ezx = -yzx, exy = -yxy, усло-
условие изотропии материала. Наконец, последние два уравнения A.8.10),
A.8.11) выражают условие пластичности через инварианты тензора
напряжений:
а = g (аж +су +az),
q = ayaz + azax + axay - x2yz - x2zx - x2xy, A.8.12)
r = oxoyoz + 2xzyxzxxxy — oxxyz — oyxzx — ozxxy.
Вывод их аналогичен выводу уравнений пластичности Леви, исхо-
исходящего из условия пластичности Кулона, т. е. условия типа
О1 - а2 = 2К.
В отличие от теории Леви задача о пластическом равновесии среды
при наличии осевой симметрии может быть решена без привлечения
обстоятельств ее деформирования [2, 5, 14].
Если рассматривается задача о малой пластической деформации, то
в написанных девяти уравнениях величины и, v и w следует трактовать
как компоненты перемещения частиц тела. Левые части первых трех
уравнений должны быть при этом соответственно изменены.
Рассмотрим случай осевой симметрии. Задачи теории пластичности
в том виде, как она была развита выше, для этого случая статически
определима. Действительно, уравнения равновесия в случае осевой
симметрии имеют вид
даг . dirz . ог — о9 _ п dirz . daz т^ _
дг + dz + г ~и' дг + dz + r ~и>
§ 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости 89
При этом предполагается, как обычно, что напряжения тг и xzQ
равны нулю и, следовательно, напряжение ае является главным. Таким
образом, можно положить
c>i = ае,
_ 1 ( , ч,1 П
с>2 — 2 Var т- a^J -+- - у [ог - oz
= -( + )-- [( ^~
2
Согласно изложенной выше теории пластичности представляются
три возможности:
а2 = аз, аз = ai или ai = аз
соответственно разным главным направлениям течения материала,
определяемым по конкретным условиям задачи.
Если главным направлением пластического течения является пер-
первое направление, то должно быть а2 = аз, откуда следует
cr=cz, xrz = 0 и or = ae ± 2K.
Уравнения равновесия приводятся теперь к виду
dz
Далее получаем
где с — произвольная постоянная.
Если же справедливы соотношения
Oq = ai = a2 = a3 ± 2/f,
т.е. третье направление является главным направлением течения, то,
в соответствии с приведенными выше формулами, имеем
2 V (°г ~
I (ar
' + 4т^ = 4/С2
и, следовательно, (ог — az) ' + 4т^ = 4/С2. Далее имеем
= a2 = - (ог + ож) + - у (or - a2J + 4t^ = - (о
90
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Уравнения равновесия приводятся в данном случае к виду
и тГ2;, как уже было показано, связаны соотношением
причем
Нетрудно убедиться, что полученная система уравнений относится
к гиперболическому типу и, следовательно, может решаться методом
характеристик аналогично задачам о плоском состоянии пластической
или сыпучей среды, изученных С.А. Христиановичем [ ] и В.В.Соко-
В.В.Соколовским [ ].
§ 9. Соотношения изотропии и обобщенный
ассоциированный закон пластического течения
1. Рассмотрим вывод условий изотропии. Предположим, что ориен-
ориентация осей координат ж, у, z и главных направлений тензора скорости
деформации 1,2,3 определяется направляющими косинусами ii,mi,rii,
приведенными в таблице § 7 (стр. 64).
Для направляющих косинусов справедливы соотношения
^ + m + n 1
шз
пз —
а также
+
п\
+ т\ = 1,
г| + п\ = 1
= 0,
т2т3 + п2п3 = 0,
= 0,
= 0,
= 0.
A.7.22)
+ т2п2 +
+ l2n2
A.7.23)
Для определителя А имеем
/i mi ni
A=l2 m2 n2
/3 m3 гг3
Имеют место также соотношения
/j = гтг2гг3 - гтг3гг2, mi = гг2/з - п312,
h = т3щ — Ш1П3, m2 =
/3 = Ш1П2 - m2ni, m3 =
= 1.
A.9.1)
щ = 12т3 - t3m2,
п2 = l3mi — /im3, A.9.2)
n3 = 1\т2 — 12т\.
§ 9. Соотношения изотропии и обобщенный ассоциированный закон 91
Связь компонент скорости деформации в декартовой системе коор-
координат с главными компонентами определяются соотношениями
г3гг2, гуг = 8i/2/3 + ?2т2т3 + 83гг2гг3, A.9.3)
83Ггз, 8Ж2 = 8i k /3
Из системы уравнений
A.9.4)
следует
82 = (гжШ1 + 8Ж2/ш2 + zxzm3) /mi, A.9.5)
?з = (ea-ni + 8Ж2/гг2 + 8Ж2гг3) /щ .
Аналогично A.9.4), A.9.5) получим
?2 = (ея-уШ! + гут2 + e^^ms) /m2, A.9.6)
?з = (e^rai + 8угг2 + е^^ггз) /гг2,
а также
ei = (txzh + e^/2 + 82/3) //з,
?2 = (еж^ггг1 + е^^шг + 82ш3) /ш3, A.9.7)
ез = (еж^^1 + е^^2 + е^гг3) /гг3.
Из A.9.5)—A.9.7) следуют три соотношения:
?i = (ея-Zi + 8жу/2 + Zxzh) /h =
= (zXyh + zyh + ^^^з) /h = {txzh + e^/2 + гх13) /h,
82 = (ежш1 + гхут2 + 8Ж2шз) /mi = (s^mj + 8уШ2 + е^тз) /г?г2 =
^^^2 + е^гггз) /ш3, A.9.8)
92 Гл. 1. Идеально пластическое тело
?з = (ea.ni + гхуп2 + гхгп3) /щ =
е^газ) /п2 = (еж^гг1 + е^гаг + ггп3) /гг3.
Для изотропного материала имеет место совпадение главных на-
направлений тензоров напряжений и скорости деформации. Для компо-
компонент напряжений в декартовой системе координат и главных компонент
напряжений для изотропного материала имеют место соотношения,
вполне аналогичные A.9.3):
= O1/2 + (J2m2 + <Уз^2? %yZ = Ol^2^3 ~^ 02^2^3 + С>3^2^35 A.9.9)
Для компонент напряжений справедливы формулы, аналогичные
A.9.8):
+ ^у/2 + tyzh) /h — (^2^1 + ^yzh + ^/3)
= (тжуШ1 + сут2
ozm3) /m3, A.9.10)
о3 = (охщ + ххуп2 + т
= ЫУП1 + оуп2 + Ту^ггз) /гг2 = {ixzni + т^^ггг + а^гг3) /п3.
Рассмотрим произведения ai8i, о2г2, о3г3. Используя соотношения
A.9.5)-A.9.7), A.9.10), для с^ получим
r~r (^xzh + tyzh + czh) (?Xyh + ?yh + ?yzh) 5 A.9.11)
§ 9. Соотношения изотропии и обобщенный ассоциированный закон 93
(h + h +
Аналогично можно получить подобные выражения для произведе-
произведений с>2?25 с>зе35 в которых величины косинусов ii соответственно заме-
заменены на mi^rii.
Из A.9.11) получим
= txytxll + GyZxyll + lyztxzll + Ixytxyhh + ^?^
+ Oy?xht2 + OyZxzfah + tyzZxhh + tyztxyfah- A.9.12)
Согласно A.9.11) имеют место два аналогичных выражения, если
заменить в A.9.12) /^ последовательно на rrii и П{.
Суммируя эти выражения, получим
охгху + тхугу + Txzzyz = тхугх + оугху + Tyzzxz, A.9.13)
а такл<е, согласно круговой перестановке индексов, найдем
^xy^xz ~г Gy&yz ~г tyz^z —^xz^xy ~г tyz^y ~г ^z^-yzt
A.9.14)
^xz^x + ^^Ea-i/ + OZEXZ =OXEXZ + Тж^г^^ + Txz?z.
Соотношения A.9.13), A.9.14), введенные в [175], справедливы толь-
только для изотропного тела и выражают условие совпадения главных осей
тензора напряжений и скоростей деформаций.
2. Для изотропного несжимаемого тела, согласно A.8.7)—A.8.9),
относительно девяти неизвестных: шести компонент напряжений Oij
и трех компонент скорости перемещений u,v,w — имеют место семь
уравнений:
три уравнения равновесия
дтху dixz
дх * ду * dz
_
дх ду dz '
94 Гл. 1. Идеально пластическое тело
условие несжимаемости
^ + % + ^ = 0' A-9Л6);
три соотношения изотропии
Gx^xy ~г ^ху?у ~г ^xz^yz = ^ху^х ~г Gy^xy ~г ^yz^xzi
^xy^xz ~г Gy^yz ~г ^yz^z — ^xz^xy ~г ^yz^y "¦" ^z^yzt ^1.У.1/ J
^Ж2;еж ~г ^yz^xy ~г С?2;?ж2; == ^ж?ж2; ~г ^xy?yz ~г ^Ж2е2;'
Для замыкания системы уравнений A.9.15)—A.9.17) достаточно
двух уравнений, устанавливающих связь между компонентами напря-
напряжений и скоростей деформаций.
Система уравнений A.9.15)—A.9.17) будет замкнутой, если предпо-
предположить, согласно A.8.10), A.8.11), что напряженное состояние удовле-
удовлетворяет пересечению двух гладких поверхностей текучести:
/i(°y) = 0, /2(oy)=0. A.9.18)
Согласно обобщенному ассоциированному закону пластического те-
течения A.3.10) из A.9.18) следует
?ж = М ^ Н А2 "^— , М, ^2^U,
в/ в/ A'9Л9)
2?x=h§^ + X2§^ (xyz).
ОТху ОТХу
Условие несжимаемости A.9.16) получается из A.9.19), если условия
текучести A.9.18) зависят от компонент девиатора:
/](%•)= 0, /2(а'у)=0, о^ау-вуо. A.9.20)
В самом деле, согласно A.9.20),
тогда из A.9.19), A.9.21) следует
еж+^+е* =0. A.9.22)
Согласно A.9.22) среди шести соотношений A.9.19) имеется пять
независимых:
Ё* " гУ - Л1 V да* ~ Осу ) ^ Л2 Kda* ~ Осу ) '
§ 9. Соотношения изотропии и обобщенный ассоциированный закон 95
дах д<
Исключая из пяти соотношений A.9.23) две величины A-i, ^25 полу-
получим три соотношения:
Ф1 (cJtijEti) = 05 Ф2 (cJtijEti) = 05 Фз (oij,Zij) = 05 A.9.24)
которые, наряду с тремя уравнениями равновесия A.9.15), услови-
условием несжи маем ости A.9.16), A.9.22) и двумя условиями пластичности
A.9.18), образуют замкнутую систему уравнений относительно а^-,
и, v, w.
В случае, когда условия пластичности A.9.18) определяют изо-
изотропное тело и зависят от инвариантов тензора напряжений, условия
A.9.24), как показано ниже в §10 и др., являются условиями изотропии
A.9.17).
Следовательно, условия изотропии A.9.17) могут рассматриваться
одновременно как следствие и как соотношения обобщенного ассоции-
ассоциированного закона пластического течения для изотропного тела.
3. Если имеет место одно условие пластичности
/(<*«) = 0, A.9.25)
где / (<Jij) — функция инвариантов тензора напряжений, то для замы-
замыкания системы восьми уравнений A.9.15)—A.9.17), A.9.25) достаточно
одного уравнения
ф(ао-,ео-)=0. A.9.26)
Рассмотрим условие пластичности в виде
Аа\ + Ва2 + Со'з = 1, Л, Б, С = const, о- = о» - 5^-а. A.9.27)
Из A.9.27), согласно ассоциированному закону пластического тече-
течения A.3.10), A.9.27), будем иметь
?1 = | BЛ - В - С), г2 = | BВ - Л - С), 8з = I BC - Л - В).
A.9.28)
Обозначим
а = \{2А-В-С), Ь=\BВ-А-С), с=\{2С-А-В).
A.9.29)
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Согласно A.9.28), A.9.29) будем иметь
ei=A,a, е2=АА, г3 = Хс, а + b + с = 0. A.9.30)
Из A.9.30) получим
Л = (etjEtj) /2 = -eie2 - 8283 - 8381 = ~Х2 (ab + bc + ca),
A.9.31)
•/3 = (zij?jk?ki) /3 = 8i8283 = Я, afcc,
где J2, J3 — инварианты тензора скорости деформации.
Из A.9.31) следует соотношение
эквивалентное в данном случае соотношению A.9.26).
Для грани условия пластичности Треска
cTi — с>2 = 2/с, О2^оз^О1, fc = const, A.9.32)
из ассоциированного закона течения A.3.10) будем иметь
81 = _е2 =х, г3 = 0. A.9.33)
Из A.9.31), A.9.33) следует
J3 = 0, zx?y?z - 2zxyEyzExz - гхг2уг - гуг2хг - ггг2ху = 0. A.9.34)
Соотношение A.9.34) замыкает систему восьми уравнений A.9.15)-
A.9.17), (9) для грани условия пластичности Треска.
4. Предположим, что имеет место однородное напряженное состо-
состояние аж, Gy, %Ху — const, в этом случае можно выбрать направление
осей координат вдоль главных направлений 1, 2, тогда
^ж=су1, су = С2, тху = 0; oi,O2= const. A.9.35)
Согласно A.9.35) уравнения равновесия C) удовлетворяются, из C),
A.9.35) имеем
ai -C2 = ±2fc, A.9.36)
из E), A.9.35) следует
еяу (ai - о2) = 0. A.9.37)
Предположим, что
О1 =о2, k = 0. A.9.38)
Согласно A.9.38) уравнение A.9.37) удовлетворяется, величина гху
может иметь значение, отличное от нуля. В данном случае течение
§ 9. Соотношения изотропии и обобщенный ассоциированный закон 97
изотропной среды определяется условием несжимаемости D), которое
представим в виде
IS +1=°- <L9-39)
Полагая наличие потенциала скорости:
и = —, v = —, A.9.40)
из A.9.40), A.9.39) получим
—%-\ 1=0- A.9.41)
дх2 ду2 v J
Из предположения A.9.40) следует безвихревой характер течения:
?-?=0. A.9.42)
ду дх
Соотношения A.9.39)-A.9.42) определяют кинематику потенциаль-
потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости.
При к ф 0 из уравнений A.9.36), A.9.37) следует
Уравнения A.9.39), A.9.43) определяют течение несжимаемой иде-
идеально пластической среды при однородном напряженном состоянии
A.9.35), A.9.36). Удовлетворим уравнению несжимаемости при помощи
функции тока:
Из A.9.44), A.9.43) следует
—2" о-=0. A.9.45)
дх2 ду2 V )
Таким образом, при сколь угодно малом к ф 0 однородное течение
изотропной среды определяется волновым уравнением A.9.45). Уравне-
Уравнение Лапласа A.9.41), определяющее потенциальное течение идеальной
несжимаемой жидкости, имеет место при равенстве компонент напря-
напряжений, ъ\ = <52 и не следует в пределе при к —> 0 A.9.36).
5. В случае пространственного течения рассмотрим уравнение
несжимаемости
_|_ _|_ — П A Q Aft)
98 Гл. 1. Идеально пластическое тело
и условия изотропии A.9.17).
Предположим, что
*ху = ^yz = ^xz = 05 <3х = СУ1, Су = а2, Oz = Gs]
A.9.46)
ai, а2, аз = const.
Согласно A.9.46) из A.9.17) будем иметь
?ху (ai - а2) = 0, гхг (oi - а3) = 0, е^ (а2 - а3) = 0. A.9.47)
Предположим, что
с] = с2 = а3, A.9.48)
в этом случае соотношения A.9.47) удовлетворены и величины
^хуч ?ж2 5 ?yz могут быть отличны от нуля.
Полагая наличие потенциала
согласно A.9.49), A.9.46), получим гармоническое уравнение Лапласа
о2 г>2 г>2
аЖ2 + ду2 + az2 " U>
Из условий A.9.49) следует отсутствие вихря:
ди dv _ dv dw _ dw ди _ ( .
dy dx dz dy dx dz v '
Соотношения A.9.46), A.9.49), A.9.50) определяют кинематику те-
течения идеальной несжимаемой жидкости.
В случае
ai=a2, ai-a3 = 2&, k ф 0, A.9.51)
согласно A.9.51), A.9.47), имеют место соотношения
ея* = EyZ = 0, A.9.52)
величина гху может быть отличной от нуля.
Уравнения A.9.52) в компонентах скорости перемещений имеют вид
^ + ^=0, §^ + ^=0. A.9.53)
dz dx dz ду у
Уравнениям A.9.53) удовлетворим, полагая
§ 9. Соотношения изотропии и обобщенный ассоциированный закон 99
Из A.9.54), A.9.46) следует волновое уравнение
q2 o2 о2
Таким образом, соотношения A.9.51), соответствующие условию
полной пластичности [4], определяют сдвиговой характер течения изо-
изотропной несжимаемой среды.
Из соотношений A.9.54) следует
7Г-7Г=О. A-9-56)
ду дх v '
Согласно A.9.56) течение, определяемое соотношениями A.9.46),
A.9.53), A.9.54), A.9.55), имеет безвихревой характер в плоскости ху.
В случае
Oi^oj, A.9.57)
согласно A.9.57), A.9.47), к соотношениям A.9.52) присоединяется
уравнение
Из A.9.54), A.9.57) следует
Дг°- (L9-59)
Из A.9.59), A.9.55) получим
Ф = /i (x + z) + h (х - z) + /з (y + z) + /4 (у - z). A.9.60)
Условия A.9.58), A.9.59) накладывают ограничения на характер
течения, определяемого A.9.46), A.9.42).
Итак, в случае, когда все главные напряжения равны между со-
собой A.9.48), имеет место течение идеальной несжимаемой жидкости
A.9.46), A.9.49), A.9.50). В случае, когда не все главные напряжения
равны между собой, максимальная свобода течения изотропной несжи-
несжимаемой среды имеет место при условии пластичности A.9.51). Течение
определяется соотношениями A.9.46), A.9.53)—A.9.55).
6. В случае ортогональных криволинейных координат ару условие
несжимаемости имеет вид
?р+ ?р+ ?у = 0. A.9.61)
100 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Если осям а, р, у поставить в соответствие главные напряжения
1, 2, 3, то условие A.9.47) примет вид
?ар (ai - а2) = 0, гау (oi - а3) = 0, гРу (а2 - а3) = 0. A.9.62)
Соотношениям
Oi=Oj, Oi—Ok=2k, A.9.63)
аналогично A.9.47), A.9.51), A.9.52), будут соответствовать три слу-
случая:
гау = гРу = 0, гаР^0, A.9.64)
?ap = % = 0, гау^0, A.9.65)
8ap=8ay = 0, 8ру^0. A.9.66)
Рассмотрим цилиндрическую систему координат: a = р, р = 6,
у = z. При условиях тре = xpz = tqz = 0 уравнения равновесия в
цилиндрической системе координат имеют вид
Имеют место соотношения
_ ди _ 1 dv и _ dw
F ap p ae p az
_ 1 Г д fv\ 1 ам] 1 \ldw dv
8pe~2 %lpJ+P p +
A.9.68)
где U)V)W — компоненты скорости перемещения вдоль осей р, 6, z.
Согласно A.9.61), A.9.68) уравнение несжимаемости имеет вид
dp p de p dz v y
В случае
ср=се, op-oz=2k A.9.70)
из A.9.67), A.9.70) следует
cp = cq = C, cz = -2k + C, C = const. A.9.71)
При условиях A.9.70), согласно A.9.64), A.9.68), имеем
9. Соотношения изотропии и обобщенный ассоциированный закон 101
Уравнениям A.9.72) удовлетворим, полагая
из A.9.69), A.9.73) получим уравнение
—о- + -п—п- Н о о- = 0- A.9.74)
dp р де р dp dz
В случае
Gp=G2? ср — се = 2& A.9.75)
из A.9.67), A.9.75) следует
ср = oz = -2fclnp + C, ce = -2fc(l + lnp) + C, С = const. A.9.76)
При условиях A.9.76), согласно A.9.65), A.9.68), имеем
ер* = ее* = О,
'?Л . д ( и \ л а /и\ , а /ад
Уравнениям A.9.77) удовлетворим, полагая
и = р2 —, v = —р —, w = р2 —, A.9.78)
из A.9.69), A.9.78) получим уравнение
2 ~ ~2 2" 2 + --Q- = 0- A.9.79)
В случае
Се — oz, Ср — Се — 2/с A.9.80)
из A.9.67), A.9.80) следует
ар = -2&1пр + С, се = с2 = -2А; A + 1пр) + С, С = const. A.9.81)
При условиях A.9.80), согласно A.9.66), A.9.68), имеем
A.9.82)
Первому из уравнений A.9.82) удовлетворим, полагая
102 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из второго уравнения A.9.82) и A.9.83) найдем
Согласно A.9.69), A.9.84) получим уравнения
d2w _ д f ди 1 dv u\ d2w _ 2
Из A.9.83), A.9.85) получим уравнения для определения функции
ф = дЪ/др:
^1 + 1^1-^|-5^-4ф = 0. A.9.86)
dz- р2 ае2 аР2 р ^р р2 v J
Рассмотрим сферическую систему координат: а = р, р = 6, у = ср.
При условиях тре = трф = Тоф — 0 уравнения равновесия в сфериче-
сферической системе координат имеют вид
A.9.87)
Имеют место соотношения
ди 1 Г д fv\ 1 ди
[Д^ +
_ _ f
-^, Ере-2 [Р^Др^ + р^
1 dv и 1 [sine д ( w \ 1 dv
1 dw и v _ 1 Г 1 ди д (w
~ё^Ф р р g6' 8рф~ 2 [^ёа^ + р^ [j
где u,v,w — компоненты скорости перемещения вдоль осей р, 6, ср.
Согласно A.9.61), A.9.88) уравнение несжимаемости имеет вид
ди 1 dv I dw 2u v _ /Л _ ОЛЧ
^- + -^- + -^—-5- + ^ + -ctge = O. A.9.89)
dp p de psine дф р р ° v J
В случае
ар = ае, ар-аф = 2^ A.9.90)
из A.9.87), A.9.90) следует
аР = ае = -2fc In (p sin е) + G, аф = -2/с A + In (p sin e)) + G,
G = const.
§ 9. Соотношения изотропии и обобщенный ассоциированный закон 103
При условиях A.9.90), согласно A.9.64), A.9.88), имеем
д ( w \ 8 ( и \
' A.9.92)
= о
(\ + (
дв \psmej дц \psin2e
Уравнениям A.9.92) удовлетворим, полагая
u = p2sin2e^; t, = psin2e^, w = -psine^, A.9.93)
up uQ С7ф
из A.9.89), A.9.93) получим уравнение
?4 4!4Vfl ^ ^ ^=0. A.9.94)
dp2 р2 дв2 р2 sin2 е <9Ф2 р ^р р2
В случае
сур = сф, ар-ае = 2/с A.9.95)
из A.9.87), A.9.95) следует
ар = сф = -2fc In (p/ sin е) + G, аф = -2k A + In (p/ sin e)) + G,
С = const.
A.9.96)
При условиях A.9.95), согласно A.9.65), A.9.88), имеем
?ре = ?еФ = 0,
) + ) U A.9.97)
— - + Sinz 6^- —: = 0.
dq> \pj дв \psmQJ
Первому из уравнений A.9.97) удовлетворим, полагая
"=<¦% • = -<•?¦ а.«.«)
Из A.9.98) и второго уравнения A.9.97) найдем
^fl. A.9.99)
104 Гл. 1. Идеально пластическое тело
СогласноA.9.89), A.9.98) получим уравнения
д2 ( w \ д (д^и ^д^ 2и v_
J р аё Т р ' '
д2 I w \ _
P sine у ~ sin2Q
A.9.100)
Из A.9.99), A.9.97) получим уравнение для определения функции
ф =
дЧ_т_дЧ 1 аф
В случае
ае = оф, ае-ар = 2^ A.9.102)
из A.9.87), A.9.102) следует
ар = 4k In p + G, се = аф = 2k A + 2 In p) + G, С = const. A.9.103)
При условиях A.9.102), согласно A.9.66), A.9.88), имеем
ере — ерф — 0?
p) -u' A.9.104)
= 0.
Уравнениям A.9.104) удовлетворим, полагая
2 ^V ^V P ^V /-i n irve:\
iz = —p — v = p— io = (l.y.luo)
op ae sin e аф '
из A.9.89), A.9.105) получим уравнение
2" Н 2 2""^ 2 . 2 2 "Б 1 2^~С^§е — 0. A.9.106)
$р р ^6 р sin 6 $ф Р Op p oQ
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 105
§ 10. Соотношения ассоциированного закона
течения в обобщенных переменных
1. Рассмотрим зависимости
Oij=oij(Qk,an), A.10.1)
где величины Qk назовем обобщенными напряжениями, ап — некото-
некоторые параметры, на которые могут быть наложены связи
Ф,Ы = 0. A.10.2)
Аналогично рассмотрим зависимости
еу =ео-№,Рт), A.10.3)
где Sk — обобщенные скорости деформации, рш — параметры, для
которых имеют место соотношения
Vr(Pm) = 0. A.10.4)
Мощность рассеяния механической энергии
N = Cijtij = охгх + оугу + ozzz + 2ххугху + 2xxzexz + 2xyzEyz A.10.5)
и условие пластичности
/р(оу) = 0, A.10.6)
согласно A.10.1), A.10.3), соответственно примут вид
7V = 7V(Qfc,5fc,cxn,pTO), A.10.7)
Fp(Qk,Sk,an,$m) = 0, A.10.8)
где имеют место связи A.10.2), A.10.4).
Согласно Мизесу (§3), при определении соотношений ассоцииро-
ассоциированного закона варьируются компоненты напряженного состояния при
налагаемых на них связях.
Для вариаций напряжений, согласно A.10.1), имеем
Ш9?6ап- AЛ0-9)
Рассмотрим функционал
W (Qfc, 5fc, an, pTO) - XpFp (Qk, Sk, an, pTO) - цдФд (an) = 0, A.10.10)
где Xp,\Lq — множители Лагранжа.
106 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Вариация функционала A.10.10) при изменении напряженного со-
состояния A.10.9) имеет вид
—bQk + —5ап - Хр ^ —6Qfc + ^-5anJ - ц, —5an = 0.
A.10.11)
Условия экстремума функционала A.10.11), определяющие соотно-
соотношения ассоциированного закона течения, в обобщенных переменных
будут иметь вид
8N 8FP ON 8FP дщ
Если функционал A.10.7) имеет вид
N = Qkqk(Sk,an,Vm), A.10.13)
то, согласно A.10.12), A.10.13), имеют место соотношения
Примем в качестве обобщенных переменных компоненты главных
напряжений с^ и направляющие косинусы li,mi,rii. Согласно A.10.5),
A.10.6), A.9.9), A.7.22) будем иметь
N = (ai/j + a2mj + c3rzi) гх (
(| ) + 2
02ГП2ГП3 + а3гг2гг3) гу2 + 2 (ai /1 /3 + G2mi rn3 + a3ni гг3) гЖ2.
A.10.15)
Согласно A.9.9) соотношение A.10.5) примет вид
F (ci, с2, a3, h, /2, ^з, mi, m2, m3, щ, гг2, гг3) = 0. A.10.16)
Соотношения ассоциированного закона пластического течения
определяются из условного экстремума функционала при использова-
использовании соотношений A.10.1):
А = N - XF - щ A\ + т\ + п\) - \i2 (l\ + Ш2 + п\) -
- !^з (^1 + тз + пз) - 2vi Сг'з + т2т3 + 77,2гг3) -
- 2v2 (/1/3 + т^тз + nin3) - 2v3 {hh + m1m2 + win2), A.10.17)
где m,Vi — множители Лагранжа.
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 107
Из A.10.15)-A.10.17) получим
е>=^' е*=С' ез=^?' <1лол8>
где
г2 = гжШ1
A.10.19)
Величины 81,82,83 определяют скорости деформации удлинения
вдоль направлений главных напряжений и в общем случае не совпа-
совпадают с главными компонентами тензора скорости деформаций. Совпа-
Совпадение имеет место только для изотропного тела.
Далее из A.10.16), A.10.17) следует
+i+/+v3/i, A.10.20)
X В F
cji (еж^^1 +е!/г/2 + е;г/з) = -^-
аналогично
л Л /у7
+8^7712+8^7713) = ^^^ + |127712 + Vi 7713 + V3771i , A.10.21)
л Л /у7
+ + +v2n3,
X BF
X BF
03 {zxZni +?yzn2 + е^^з) =
108 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из A.1.20), A.10.21) следует
< , \ (dF1 , dF , dF
Hi = (гжаж + гхутху + ) ^ l + +
= (гхутху
1
-
X IdF dF
X (dF dF dF
v2 = exxxz + zxyxvz + exzcz - - ^/ + +
— &Х^Ху ~Г &xyGy ~Г &XZ^yZ ел
= гхуах + гугху + гуггхг - -
x (dF dF
\1 +
1
A.10.22)
A, (dF OF OF
- \^ — ls + ^-m3 + ^^
X (dF. dF dF
A.10.23)
8F_ \
Уравнения A.10.22) определяют выражение множителей Лагранжа
Mi, Ms, Не-
Несоответственно соотношения ассоциированного течения определя-
определяют выражения A.10.23).
Для определения шестнадцати неизвестных ai, с>2, аз, гд, г?, ги
(компоненты скорости перемещения), X, /^, m^, rii имеем шестнадцать
уравнений: три уравнения равновесия, уравнение A.10.16), шесть
соотношений ассоциированного закона течения A.10.18), A.10.23) и
шесть соотношений ортогональности единичных ортов A.10.21).
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 109
Для изотропного случая условие пластичности A.10.16) не зависит
от направляющих косинусов:
F(oi,O2,o3) = 0, A.10.24)
и соотношения ассоциированного закона течения A.10.23) приобретают
вид
A.8.9)
= OXEXZ
Другая форма записи соотношений ассоциированного закона те-
течения имеет место, если использовать в качестве соотношения связи
A.7.23).
Выражения вполне аналогичные A.10.17) примут вид
А = N - XF - ос! A\ + 1\ + /|) - ос2 {т\ + т\ + гг^) -
- а3 (п\ Ч- гг| + n§) - 2Pi (mini + m2n2 + гтг3ггз) -
- 2p2 (/ini + /2гг2 + /Згг3) - 2p3 (Iimj + /2m2 + /3m3) . A.10.25)
Из A.10.25), A.10.15), A.10.16) получим A.10.18), A.10.19), a также
X BF
(/ +t + h)
-р2гг2, A.10.26)
XdF
л О pi
+ + Pi ^i
+гут2 +?у2ш3) = 2^^ + ос2ш2 + Pin2 + p3/2, A.10.27)
+ + p + p3/3,
110 Гл. 1. Идеально пластическое тело
аз(ежгс1 + гхуп2 + гхгп3) = -—
с>з (zxyn>i + %™2 + zyznz) = --^- + a3n2 + р2/2 + Piяг2, A.10.28)
л QP
eyzn2 + ezn3) = ^ -^- + a3n3 + Р2/3
Из A.10.26)-A.10.28), A.10.19) следует
I (OF 8F 8F
{l + l+l
х (dF dF dF . ( л
a2 = а2г2 -z—m\ + ——m2 + ——m^ , A.10.29)
2 уШ] ОГП2 ОГПз '
X f dF dF dF
OC3 ^ С^З^З — "~ I Til ~^~ ^° ~^~ ^
2 V C/TT-i
A, / OF OF OF
Pi = а2г23 - - ^ + +
= °3823 - 2
x {dF dF dF
dF dF dF
+ +
A, (dF dF dF
Рз = aiei2 - 2 ^ + ^^2 + ^
°2812 - 2
x ( dF dF dF
где
?12 =
, A.10.30)
/3mi) + 8y2 (Z2m3 + /3m2)
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 111
?13 = y у
zyz (l2n3 + /3n2),
?23 = ?жг?г1гг1 + гут2п2 + г^гтгзггз + гху
+ ?Ж2 (mine + шзП1) + гуг (т2п3 + гтг3гг2).
Для изотропного случая
oci = d8i, a2 = а2?2, ос3 = а3?з- A.10.31)
?12 = ?13 = ?23 = 0, Р! = р2 = Рз = 0. A.10.32)
Соотношения закона ассоциированного закона течения A.10.26)-
A.10.30), согласно A.10.24), A.10.31), A.10.32), сводятся к виду
A.10.33)
= 82Ш2, A.10.34)
= ?3^2, A.10.35)
Из соотношений A.10.33)—A.10.35), A.9.9) следуют соотношения
A.8.9).
2. Введем компоненты девиатора напряжений:
dj = a'ij + bijG, a = Cij/3 = (ах + ау + az) /3, A.10.36)
где bij — единичный тензор Кронекера.
Положим
oi=o + o^, a2=a + a2, аз = а + а3. A.10.37)
Очевидно, что
аж + а' + а2 = 0, c*i + а2 + а3 = 0. A.10.38)
112 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из A.10.37), A.10.21) следует
ar — ai tf + ^2mi + сцгг?,
A.10.39)
^1/ =^/1/2+^2^17712 +O/3nin2 (xyz, 123),
где (#?/?, 123) означают, что недостающие выражения получаются
круговой перестановкой индексов.
В дальнейшем обозначим компоненты девиатора
°S; = *ii> <>* = *¦ A.10.40)
Согласно A.10.15), A.10.36), A.10.39), A.10.40) получим
N = Зсг + (si/j + s2mi + s3nj) гх + (siZ| + s2m\
+ s2m3 + 53П3) гг + 2 (si/1/2 + s2m^m2 +
где
Соотношение A.10.16), согласно A.10.36), A.10.40), примет вид
F (a, si, s2, s3, /1, /2, <з» ^ь ^2, газ, ™i» ^2, п3) = 0. A.10.42)
Соотношения ассоциированного закона пластического течения
определяются из условия экстремума функционала при использовании
соотношений A.7.22), A.10.38):
А = N - XF - ц (si + s2 + s3) -
- |ii (l\ + m\ + nf) - |i2 (/2 + Ш2 + rig) - 113 (l\ -\-m\-\- nf) —
2 (si/2/3 + s2m2m3) eyz + 2 (si/3/1 + s2m3mi + s3n3ni) гЖ2,
A.10.41)
- 2vi (/2/з + m2ms + n2n3) - 2v2
- 2v3 (Zj/a + m1m2 + П!гг2) . A.10.43)
Из A.10.41)-A.10.43) получим
XdF ,dF BF BF ( ,
где 8i, г2, г3 определяются согласно A.10.19).
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 113
Из A.10.44) следует
Q OF CF ^3F 3F\
3|i=-^ A, I Д h о h7- ¦ A.10.45)
Далее имеют место формулы, вполне аналогичные A.10.20)-
A.10.23), в которых следует заменить выражения компонент а^-, а^ на
Рассмотрим случай изотропного материала:
F(o,8U82,83)=0. A.10.46)
В этом случае имеют место формулы A.10.44), A.10.45), соотноше-
соотношения A.8.9) принимают вид
®х^ху ~г ^ху?у ~г ^xz^yz = ^ху^х ~г Gy^xy ~г ^yz^xzi
"ixyZxz + dytyz + lyz^z = ^xz^xy + lyzty + dz^yz, A.10.47)
Переходя в A.10.47) от компонент девиатора к компонентам полных
напряжений A.10.36), получим, что соотношения A.10.47) переходят в
A.8.9).
В случае, когда условие предельного состояния A.10.42), A.10.46)
не зависит от величины а:
F(8Us2,8S) = 0, A.10.48)
согласно A.10.44), имеем условие несжимаемости
?x+?y+?z =0. A.10.49)
Три уравнения равновесия, три уравнения A.10.47), уравнение
несжимаемости A.10.49), условие предельного состояния A.10.48) опре-
определяют систему восьми уравнений относительно девяти неизвестных:
шести компонент напряжений Oij и трех компонент скорости переме-
перемещений и, v, w. Для замыкания системы уравнений следует привлечь
соотношения A.10.44), A.10.45), A.7.22).
В случае, когда условие предельного состояния определяется двумя
соотношениями:
F, (в1, в2, *з) =0, F2 = (в1, в2, в3) = 0, A.10.50)
система девяти неизвестных становится замкнутой и необходимость в
использовании соотношений A.10.44), A.10.45), A.7.22) отпадает.
114
Гл. 1. Идеально пластическое тело
3. Предположим, что взаимная ориентация осей координат ж, у, z и
главных направлений тензора скорости деформации 1, 2, 3 определя-
определяется направляющими косинусами 1^, т^, п^, приведенными в таблице:
X
У
Z
1
ll
12
1з
2
т1
т2
ГПз
3
ni
п2
«3
Для направляющих косинусов 1^, гщ, п^ справедливы соотноше-
соотношения A.9.9), A.7.22), A.7.23), для компонент напряжений в декартовой
системе координат и главных компонент напряжений имеют место
соотношения
хху = 01Ы2
оу =
a2m2
xyz
а2т2тз
= 0113
xxz = ai li 13
A.10.51)
Для компонент напряжений имеют место формулы, вполне анало-
аналогичные A.10.22)—A.10.24), A.8.9). В общем случае главные направле-
направления 1, 2, 3 и 1, 2, 3 не совпадают между собой, Ц ф 1^, ... Совпадение
главных направлений тензоров напряжений и скоростей деформации
имеет место для изотропного материала.
Рассмотрим выражение мощности рассеяния механической энер-
энергии:
N =
A.10.52)
Согласно A.10.15), A.10.25) запишем A.10.52) в виде
С3П2)
+ @113 + с2тз +
+ ?2^3 +
a2m2m3
г3гг2гг3) +
• A.10.53)
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения
115
Взаимную ориентацию главных осей тензоров напряжений и скоро-
скоростей деформации представим в таблице:
1
2
3
1
осп
0С21
0С31
2
0С12
0С22
0С32
3
0С13
0С23
осзз
Для направляющих косинусов а^ справедливы формулы, вполне
аналогичные A.7.22), A.7.23):
= о, * ф j.
A.10.54)
Имеют место соотношения
осп = li/i + I2/2 + Ыз, ос21 = mi/i + m2/2 + т3/з,
осз1 = uih + И2/2 + И3/35
0С12 — l + 1 + 1
A.10.55)
+ 12гг2 + 13гг3, an = mini + т2гг2 + т3гг3,
азз = riini + П2П2 + П3П3.
Из A.10.53), согласно A.10.55), получим
N =
+
+
+ ^
+ а2г3а23 + слеза^ + c^ain. A-Ю.56)
Предполол<им, что имеет место условие предельного состояния
F(aij)=0. A.10.57)
Согласно A.9.3), A.9.9) условие A.10.57) примет вид
^(о1,о2,оз,11,12,1з,т1,т2,тз,111,П2,пз) =0. A.10.58)
Соотношение ассоциированного закона пластического течения
определим из условия экстремума функционала:
А = N - XF - щ (lj + \\ + \\) - [i2 (m*
- [i3 (nj + П2 + П3 - 1) - V12
- v23 (mini + m2n2 + m3n3) - vi3
| + m§ - 1) -
+ l2m2 + l3m3) -
+ l2n2 + I3113), A.10.59)
116 Гл. 1. Идеально пластическое тело
при допустимых вариациях тензора напряжений X, щ, vij — являются
множителями Лагранжа.
Из A.10.59), учитывая A.10.56), A.10.58), найдем
b|?, A.10.60)
о гр
+ 820^2 + 83а^3 = X-j^.
Для изотропного тела осц = 0С22 = ос33 = 15ос^- = 0 при i ^ j и
соотношения A.10.60) приобретают вид
BF BF BF
Далее из A.10.59), A.10.55), A.10.56), A.10.58) следует
8F
Х +2
[eian/2 + 82ai2m2 +?3^13^2] = ^~БГ~ + 2|ii 12
A.10.61)
о rp
[eian/3 + 82ai2m3 +83ai3n3] = A,-^- + 2jiil3 +vi2m3 +vi3n3.
t/13
Аналогично из A.10.59), A.10.55), A.10.56), A.10.58) получим
В F
+83a23ni] = A^-+ 2|12т! +V12I1 +v23nb
В F
+ 2|i2m2 + V12I2 +v23n2,
д F
2a2 [?ia2i/3 + 82a22m3 + 83a23n3] = ^^- + 2|i2m3 + vi2l3 + v23n3,
а также
В F
+82a32mi +83a33ni] = X
В F
2a3 [eia3i/2 + ?20^2^2 + ?3a33n2] = ^^- + 2|i3n2 + v23m2 + vi3l2,
OF
2a3 [eia3i/3 + 82a32m3 + 83a33n3] = X- h 2|i3n3 + v23m3 + vi3l3.
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 117
Умножая A.10.61) соответственно на /i, /2, hi складывая получен-
полученные выражения согласно A.10.55), найдем
[о rp fl FT f) Fi1 1
Вполне аналогично получим
2c>2 [ + +
а также
2a3 [eiaeian + 82a32ai2 + ?3^33^13] =
2a3 [eia3iO2i + ?2oc32a22 + e3oc33a23] =
, A.10.64)
[о пт й FT ft FT
+ +
+?201220132 +?301230133] =
118 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Согласно A.10.62), A.10.64), а также A.10.63), A.10.66), A.10.65),
A.10.67) найдем
X
X
X
" 2 (ai - o2) '
д F д F ,\ ( д F д F ,\ ( д F
8ia2ia3i + ?2ос22осз2 +
2 (o2 — 03)
A.10.68)
e2a32ai2
2 @3 - 01)
Fл dF \ , (дЕл dF \ , (дРл dF
h J + [h ) + {h
Напряженное состояние определено компонентами a^ или значе-
значениями главных напряжений О{ и их ориентацией, определяемой на-
направляющими косинусами 1^, т^ пг- Скорость деформации может
быть определена компонентами е^- или значениями главных компонент
скорости деформации г^ и направляющими косинусами а^-. Трина-
Тринадцать уравнений: шесть уравнений A.10.54), уравнение A.10.58), шесть
уравнений A.10.60), A.10.68) относительно тринадцати неизвестных г^,
aij, X при известном напряженном состоянии полностью определяют
кинематику деформирования.
4. Рассмотрим в качестве обобщенных переменных величины мак-
максимальных касательных напряжений:
Ti = (о2 - а3) /2, т2 = (а3 - <л) /2, т3 = (oi - a2) /2. A.10.69)
Очевидно, что
Ч +т2+т3 = 0. A.10.70)
Будем иметь
2 2 2
ai = а + - (т3 - т2) , а2 = а + - (ц - т3), а3 = а + - (т2 - ti) .
A.10.71)
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 119
Аналогично имеют место соотношения
ei = е + (Уз - У2) /3, г2 = г + (yi - у3) /3, e3i = ? + fe - Ti) /3,
У1=г2-г3, У2=?з-?ь Уз = ?i - ?з, Yi+Y2+Y3i=0. A.10.72)
Для изотропного тела выражение A.10.5) принимает вид
N = ojei + о2г2 + а3г3. A.10.73)
Согласно A.10.71), A.10.72), A.10.70) выражение A.10.73) имеет
вид
N = Зсг + 2 (tiyi + т2у2 + т3у3) /3. A.10.74)
В случае, когда условие предельного состояния A.10.16) определено
в виде
^(о,Х1,х2,тз) = 0, A.10.75)
из экстремума функционала
A = N-XF-ii(xi+X2+xs), A.10.76)
согласно A.10.74)—A.10.76), получим соотношения ассоциированного
закона течения:
XdF 3XdF iXdF 3XdF
+ + +
Согласно A.10.71) соотношение A.10.15) примет вид
N = Заг + — [ti [т{ — щ) + т2 [п^ — Zj'J + т3 [1^ — тп^)] гх-\-
2
о
о
+ ^ Гт1 (т\ — По) + т2 (по — /о) + т3 (/о — г?2оI гг-\-
4
3
4
4
+ — [ti (гтг^ гтгз — ^i^3) + ^2 (щпз ~ ^1^з) + тз (^1^з ~~ '^1^гз)] ^г-
A.10.78)
120 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Условие предельного состояния A.10.57), согласно A.9.9), A.7.23),
примет вид
F (с, Ti, т2, тз, h, h, h, rni,m2, m3) = 0. A.10.79)
Присоединяя к функционалу A.10.72) соотношения связи, вполне
аналогичные A.10.17), а также A.10.70) с множителем Лагранжа щ
получим выражения условного экстремума функционала A.10.78):
XdF
A.10.80)
где
Yi = {еж (m\ - n\) + гу (ml - nfj + zz (ml - n\) +
+2 [гЖ2/ (mim2 - 7ii7i2) + г^^ (m2m3 - n2n3) + гЖ2 Цш3 - 7ii7i3)]} ,
72 = {гж (n? - I?) + гу (n\ - l\) + zz (n\ - /|) +
+2 [гЖ2/ (nin2 - /i/2) + zyz (n2n3 - hk) + ?xz (nin3 - /1/3)]} ,
Уз = К (i? - m\) + гу (/| - m\) + г2 (i| - mfj
+ 2 [exy (hl2 ~ m1m2) + ?yz (hh ~ m2m3)
Согласно A.10.80), A.10.72) имеет место A.10.77). Далее будем
иметь
- л XdF
о А (У']
^±^О, JU у /О j .
Отметим, что согласно A.10.69) имеет место
2 (тз — ^2) /3 = oi — о = si.
Таким образом, все соответствующие выражения ассоциированного
закона течения сводятся к A.10.20)—A.10.23) с заменой величин а^-, а^
н a (?„• а — 5 ^ т, ст„# — 5 2 •
Следовательно, все соответствующие соотношения ассоциированно-
ассоциированного закона течения определены.
В качестве примера рассмотрим грань призмы Треска:
тз — (oi — о2) /2 = /с, c>i ^ аз ^ с>2, к = const.
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 121
Согласно A.10.79), A.10.75), A.10.77) имеет место условие несжи-
несжимаемости
гх-\-еу -\-ez = 0.
Далее:
Yi=Y2=m уз=^ + Щ X=-3\l. A.10.81)
Соотношения A.10.81) можно переписать в виде 2yi = 2у2 = —уз,
откуда, согласно A.10.80), следует
2 {гж (т\ - п\) + гу (т\ ~ п2) + гг (mg - п\) +
+2 [гжу (miШ2 - П1П2) + е^^ (т2т3 - п2п3) + гж;г Цтз -
= 2 {гж (п? - /?) + гу (nl - /22) + г, (^ - /32) +
- Ыз) + ?x
+2 [гЖ2/ (/i/2 - mim2) + zyz (hk ~ m2m3) + zxz (/1/3 - mim3)]}.
A.10.82)
Имеют место также соотношения A.8.9).
В результате получим замкнутую систему двадцати одного соотно-
соотношения: двенадцати соотношений A.9.9), A.7.22), трех уравнений равно-
равновесия, условия несжи маем ости A.10.49), двух соотношений A.10.82) и
трех соотношений A.8.9) относительно двадцати одного неизвестного:
трех главных напряжений с^, шести компонент напряжений а^-, трех
скоростей перемещений u,v,w и девяти направляющих косинусов.
Соотношения ассоциированного закона нагружения имеют вид
тхуп2 + Txzn3) jrt\ = (тхущ + оуп2 + xyzn3) /п2 =
3. A.10.83)
Из A.10.83), A.7.25) следуют три соотношения A.8.9), из которых
любые два независимые.
5. Введем обобщенные напряжения
^1=о2-о3, т2 = с>з-с>1, T3=oi-O2- A.10.84)
Очевидно, что
Ti +Т2+т3 = 0. A.10.85)
122 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Согласно A.10.84)
О1=О2-\-Т3, О2=Оз+Т1, аЗ=СI+Т2, A.10.86)
В дальнейшем для удобства введем обозначения ?2 = —тз5 ?з = тг?
о2 = ci + ?2, аз = oi + ?3. Из A.10.86), A.10.85), A.9.9), получим
A.10.87)
Из A.10.87) следует
oi = а - (?2 + ?з) /3, ?2 = су2 —сть S3=a3-ai, A.10.88)
где о = (ох + оу + oz) /3.
Также имеют место соотношения для инвариантов:
h= ( аж - a + -?3 1 [Gy-G+ -?3
V 6 J 6
+ [Су - a + -?3 1 [gz-g+ -?3 1 +
^?3) - т2ху - T2yz - t2xz = \ [?2?3 - Щ ,
A.10.89)
/з = ( аж - a + -?3 1 [Оу-о+ -?3 1 ( oz - о + -?3 1 + 2ixyiyzixz-
\ 6 J \ 6 J \ 6 J
- ( аж - a + -?3 ) T2yz - ( ay - a + -?3 ) t2xz - ( az - a + -?3 ) t2x =
= ^2p2-3?3]. A.10.90)
Из A.10.87) получим
(сж - oi - Em2) (oy - 01 - Е2Шз) = (xxy - 2
(cy - 01 -
(oz - 01 - Е2Шз) (аж - ci - E2wii) = {xxz -
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 123
а также
— \^ху ~ S277iim2) \lxz —
т,<2 -
у - oi - E2m2) (тЖ2 - E2mim2) = (тЖ2/ - E2mim2) (iyz
* - oi - ?2m^) (тЖ2/
Подставляя соотношения A.10.87) в уравнения равновесия
дх
получим
(Е2 + S3) + mi (m grad Е2) + П1 (n grad E3) +
+ Е2 (т grad ?ni + ?ni div m) + E2 (n grad щ + ni div n) = 0,
m3/c, n = n\% + n2j + n3k A23, жу2;),
где г, j, /с — направляющие орты вдоль координатных осей ж, у, г.
Условие предельного состояния A.10.57), согласно A.10.87),
A.10.88), примет вид
F(o, E2,E3, mi, т2,т3,г11, га2, га3) = 0. A.10.91)
Выражение мощности рассеяния механической энергии, согласно
A.10.87), A.10.88), запишем в виде
N = GijEij = Зсг + Е2 (Е2 - г) + Е3 (Е3 - г),
где г = (гх + гу + ez) /3, Е2, Е% определяются аналогично A.10.23):
Е2 = гхт\ \ \
A.10.92)
2гхуп1п2 + 2г
В отличие от г2, г3 — главных компонент скорости деформации —
величины Е2, Е% определяют скорости деформации удлинения вдоль
направлений главных напряжений а2, а3. Совпадение е* и Е{ имеет
место для изотропного материала.
Соотношения ассоциированного закона течения определяются из
условия экстремума функционала
А = N - XF - |ii (т\ + т2 + т\) +
+ |LL2 (raf + п2 + гг3) — 2v (mini + m2n2 + т3гг3) . A.10.93)
124
Гл. 1. Идеально пластическое тело
В случае, если условие пластичности определяется заданием
нескольких функций F&, т.е. является сингулярным, в A.10.93) имеет
место сумма ^F^, в дальнейшем индекс к опустим:
X8F
dF
dF
гхут2 + гхггп3 =
ОТП
\- щ 7712
A.10.94)
A.10.95)
а также
+8^7712+82 7713 = — -
—
Щ 7713
+V771!
xdF
+ V7712
A.10.96)
1 \XdF
— k
Умножая A.10.95) последовательно на mi, 7712, 7713 и складывая
полученные выражения, согласно A.10.92), получим
<iio-97)
Аналогично из A.10.96) найдем
Согласно A.10.97), A.10.98), A.10.94) получим
\dF 8F\ 1 f OF OF
OF
A.10.99)
ldF dF
if OF OF
OF
A.10.100)
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 125
Умножая A.10.95) последовательно на щ, гг2,гг3 и складывая полу-
полученные выражения, получим
1 \х f dF dF , OF
[ [ + +
где Е23 — величина сдвига на площадках напряжений с>2, с>3,
^П2 +
гтг3гг2)
Аналогично из A.10.96) получим
Из A.10.101), A.10.102), A.10.85) найдем
X fv / OF dF dF
2(E2-E3) [Е [ + +
Подставляя в соотношения A.10.93)-(l. 10.96) выражения для
неопределенных множителей Лагранжа A.10.19), A.10.20), A.10.24),
получим искомые выражения ассоциированного закона пластического
течения.
В случае изотропного материала, mi = т^, П{ = гг^, условие
пластичности A.10.91) не зависит от величины т^, П{. В этом случае,
согласно A.10.99), A.10.100), A.10.103):
|ll=8iE2, Jl2=?2S3, V = 0.
Из A.10.95), A.10.96) следует
гут2 + ?
= (zxzmi + ?yz™<2 + ?z™<3) /m3, A.10.104)
гхуп2 + гхгпз) /щ = (г^щ + гуп2 + &yzn3) /n2 =
= {zxzni + гугп2 + ггп3) /гг3, A.10.105)
_ X&F
8 ~ 3 да '
126 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Соотношения A.10.104), A.10.105) определяют четыре уравнения,
однако независимыми из них являются любые три. В самом деле, из
A.10.17)-A.10.19) следует
т\ = (гхт1 + гхут2 + гхгт3) /е2, Щ = (гхт + гхуп2 + гхгп3) /e3,
т2 = {^хуГП! + гут2 + гугт3) /е2, п2 = (гхущ + гуп2 + е^газ) /г3,
/е2, гг3 = (г^гг! + г^^ггг + zzn3) /г3.
A.10.106)
Четыре соотношения A.10.104), A.10.105) следуют из шести урав-
уравнений A.10.106) за счет исключения величин г2, г3. Среди шести со-
соотношений A.10.106) пять независимых, так как любое из них может
быть выражено через другие. Согласно A.9.9), например:
l l + 777-277-2
Пз = ^7—'
поэтому среди четырех соотношений A.10.104), A.10.105) независимы-
независимыми являются три.
Рассмотрим условие пластичности Мизеса
F = (ai - с2J + (с2 - o3f + (o3 - aiJ-^2 = 0, k = const. A.10.107)
Согласно A.10.90) условие A.10.107) перепишем в виде
F = Е2, + Е2 + (Е2 - Е3J - к2 = 0. A.10.108)
Согласно A.10.108), A.10.94) получим
е = 0, Е2 = 2фЕ2 - Е3], Е3 = 2фЕ3 - Е2]. A.10.109)
Учитывая, что для изотропного тела Е2 = г2,Е3 = г3, переходя к
компонентам главных напряжений, перепишем соотношения A.10.109)
в виде
?1+?2 + ?з = 0, г2 = 6^(с2-с), е3 = бА,(аз-о). A.10.110)
Из A.10.110)
81 =6Я,(О1 -а). A.10.111)
Из A.10.110), A.10.111), A.10.5), A.10.25) для изотропного тела
следуют соотношения ассоциированного закона пластического течения
в форме Мизеса:
8Ж = Щох - а), гху = Шху (xyz) .
6. Рассмотрим случай полной пластичности
^2 — 0? CTi = О2.
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 127
Опуская индекс 3 у величины Ез, запишем соотношения A.10.87),
A.10.88) в виде
kjx — и] т ^1Ь\) ^ху '
Оу = О1 + Епз, xyz = Егг2гг3, A.10.112)
d=c-E/3, Е = сз-сь A.10.113)
откуда
(су-с + Е/3) (cz-c + Е/3) = т^, A.10.114)
(gz-g + E/3) (gx-g + Е/3) = x2xz,
а также
(аж — а + Е/3) xyz = тхутхг,
(су - а + Е/3) xxz =Txyxyz, A.10.115)
(oz — а + Е/3) хху = Txzxyz.
Инварианты A.10.89), A.10.90) в рассмотренном случае равны ну-
нулю:
h = [(ох - о + Е/3) (а, - а + Е/3) - х2ху] +
+ [(а, - а + Е/3) (cz-c + E/3) - x2yz] +
+ [(а* - а + Е/3) (аж - а + Е/3) - тж J = 0, A.10.116)
/3 = (аж - а + Е/3) [(ау - а + Е/3) {gz-g + Е/3) - т* J "
- ^xz [{<5у - а + Е/3) xxz - TXyTyz] -
- *ху [{oz - а + Е/3) хху - xxzxyz} = 0. A.10.117)
Соотношения A.10.116), A.10.117) имеют место согласно A.10.114),
A.10.115).
Условие предельного состояния A.10.57), согласно A.10.112), при-
примет вид
F(c, Е, пи гг2, гг3)=О. A.10.118)
128 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Выражение мощности рассеяния механической энергии, согласно
A.10.112), A.10.113), запишем в виде
N = OijZij = Зсг + Е (е3 - г) . A.10.119)
Соотношения ассоциированного закона течения определяются из
условия экстремума функционала
А = N - XF - ц (п\ + п\ + п\ - 1) , A.10.120)
где [i — множитель Лагранжа.
Из A.10.118)-A.10.120) получим
XdF fldF ^ d
д П2 +\1П2\ , A.10.122)
G77-2 |
^yz '"z i ^z'va V 9
Из A.10.122), A.10.121) следует
Соотношение A.10.123) определяет множитель Лагранжа ji.
Соотношения A.10.121)—A.10.123) определяют искомые соотноше-
соотношения ассоциированного закона течения.
Для изотропного материала величина F не зависит от гг^, выраже-
выражения ассоциированного закона течения A.10.121)—A.10.123) принимают
вид
— (гхщ + гхуп2 + гхгп3) = — (?xyni + + )
= ? (е.,», +еу2п2 +е2п3) = Я. (^ + ||) . A-10.124)
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 129
Из A.10.124) следуют три соотношения, два из которых являются
независимыми:
+ \ + = гхуп\ + zyn\n2 + гугп1п3,
гугп\ + ггп2п3, A.10.125)
+ гхуп2п3 + гЖ2ггз-
Если подставить в соотношение A.10.125) выражения riifij из
A.10.112), то получим соотношение A.8.9). Таким образом, в случае
полной пластичности только два из них являются независимыми. Усло-
Условие пластичности следует представить в виде A.10.114) или A.10.115).
Положим Е = /с, k = const, и отнесем компоненты напряжения к
величине к. Рассматривая A.10.114) в качестве обобщенного пластиче-
пластического потенциала, найдем
«* = j
+ ^\2[av-a+l)-[az-a+^)\ +
130 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из A.10.126), A.10.112) следует
(гхщ + гхуп2 + гхгп3) /щ = (гхущ + гуп2 + гухп3) /п2 =
= (zxZni + гугп2 + ггп3) /n3 =
= - [А* (п\ + п\) + Хг (гг^ + п\) + Я,з (гг^ + п\)] /3.
Рассматривая A.10.115) в качестве обобщенного пластического по-
потенциала, получим
гх =
3 - ^W3 + 2^Ж2//3, A.10.127)
2гЖ2/ = -h^xz - ^2Tyz +X3(oz - о+ 1/3),
2zyz = Xi (ojc — a + 1/3) — ^2^жу — h3xxz,
%?xz = -h^xy +X2(oy-o + 1/3) - X3Tyz.
Из A.10.127) следует
(гхщ + гЖ2/гг2 + гхгп3) /щ = (гхущ + гуп2 + г^^ггз) /гг2 =
= {zxZni + г^^ггз + ггп3) /п3 = - [ХЛп2п^ + ^2^in3 + X,3nin2] /3.
7. Рассмотрим линеаризированные уравнения. Предположим, что
^0 ^0 ^0 0 ^0 ^0 ^0 ^0 0 п
р0 _ р0 0 _ 0 0 _ 0 0 _ 0 _ 0 _ п
Решение будем искать в виде
где штрих приписан компонентам возмущений.
Предположим, что Е = /с, в этом случае из A.10.114), A.10.115)
следует
< = < = <? = о*, <у = 0- A.10.128)
Из соотношений A.8.9) следует
Оо_0о A.10.129)
О 5 ^"uz о 0 '
— с с — с
§ 10. Соотношения ассоциированного закона течения 131
Согласно A.10.128) уравнения равновесия примут вид
do txz _ da iyz _
dx dz ~ ' dy dz ~ '
A.10.130)
dz dx dy
Переходя в A.10.129) к компонентам скоростей перемещений, полу-
получим
du , dw' , dv' dw' , ,л л
В данном случае имеет место условие несжимаемости
^L + ^L + ^L = 0. A.10.132)
дх ду dz v y
Положим
dw , dw , dw /11
Из A.10.133), A.10.130) следует
Из A.10.131), A.10.133) найдем
ди _ dW
- Mxz
_
dz - Mxz дх дх '
A.10.135)
dv dW dw'
Дифференцируя соотношения A.10.132) по z, используя A.10.135),
получим
0--ш d-w д w ( д W д W
дх1 ду1 dz1 ~ V dx1 ул dy
Таким образом, для определения компонент напряжений возму-
возмущенного состояния a'ij при условии полной пластичности A.10.114),
A.10.115) имеют место однородное волновое уравнение A.10.134) и
соотношения A.10.133). Компоненты возмущений скорости переме-
перемещений u'^v'^w' определяются из неоднородного волнового уравнения
A.10.136) и соотношений A.10.135).
132 Гл. 1. Идеально пластическое тело
§ 11. Соотношения ассоциированного закона
нагружения в обобщенных координатах
1. Функционал, определяющий диссипативную функцию A.4.2):
с>жеж + ОуЕу + cz?z + 2тху?ху + 2xxz?xz + 2xyz?yz - D (zij) = О, A.11.1)
согласно A.10.1), A.10.3), A.10.5), можно переписать в виде
N (Qfc, Sk, ocn, pTO) - D Efc, pm) = 0. A.11.2)
При определении ассоциированного закона нагружения (§ 4 гл. 1)
варьируются компоненты деформированного состояния при налагае-
налагаемых на них связях. Для вариации скоростей деформации, согласно
A.10.3), имеем
Условный экстремум функционала следует искать с учетом связей
A.10.4):
N (Qfc, Я*, an, pTO) - D Efc, pTO) - цгг|/г (рто) = 0, A.11.4)
где [ir — множители Лагранжа.
Условия экстремума функционала A.11.4), определяющие соотно-
соотношения ассоциированного закона нагружения в обобщенных перемен-
переменных, будут иметь вид
дГ^_ 8D_ dN__ dD_ дуг_ , ,
dsk ~ dsk' дрт ~ дрт + ^r dpm • V'LL'b)
Если имеет место
N = SkPk(Qk,an,Vm), A.11.6)
то, согласно A.11.5), A.11.6), имеют место соотношения
Skd^ = d^+^d^- (L1L7)
В качестве обобщенных переменных примем компоненты главных
скоростей деформаций г^ и направляющие косинусы ii,mi,rii. Соглас-
Согласно A.11.1), A.11.4), A.9.3), A.7.22) будем иметь
l\ + г2Ш2 + г3п1) + oz (ei /| + 82Ш3
§11. Соотношения ассоциированного закона нагружения 133
?2т2т3
, е2, е3, /», ш»
^з (/§ + шз
- 2v2 (/1/3 + т1т3
- 2v3 (/2/i + т2т1 + п^) = 0, A.11.8)
где м-», V* — множители Лагранжа.
Согласно A.11.8), A.11.5) получим
3D 3D 3D
где
аз = oxnj + а^гг^ + aznl + 2ъхуп-[п2 + 2xyzn2n3 + 2тЖ2гг1гг3. A.11.10)
Величины 01,02,03 определяют нормальные напряжения вдоль
главных направлений компонент скорости деформации и в общем
случае не совпадают с главными компонентами тензора напряжений.
Совпадение имеет место только для изотропного случая.
Далее из A.11.8), A.11.5) следует
/ / / j \ 1dD 1 1 1
?i (ож/1 + ^xyl2 + Txzl3) = - ——г |ii/i + V3/2 + V2/35
ei (iXyh +oyi2 +xyzi3) = --Qj- -\-[i2h +V1Z3 +V3/1, A.11.11)
1 dD
аналогично
1 dD
Tx
, 1 dD
m3) = ^^7 +W^i + v3m2 + v2m3,
82 (Тжг/Ш] +0^7712+1^7713) = 2^^ ~\~ [12ТП2 -\-V117l3 -\-V317l1 , A.11.12)
1 Л 7~~)
?2 O + +)
134 Гл. 1. Идеально пластическое тело
( + +) ^Ът + ++
1 ri 7~~)
" 2дп2
1 dD
2>
Из A.11.11)-A.11.13) следует
\ (dD, dD 3D
A.11.13)
, dD
ИЗ = хЖ2 + + ^/ + +
A.11.14)
а также
vi =
\ (|?/2 + |^m2 + |?n2j , A.11.15)
v2 = rxz?x + Ъггху + ozexz - -
1 (dD dD dD
^k + +
\ \^-h + ^m, + ^щ J , A.11.16)
\
1 (dD dD dD
vs = *хугх + cyexy + bzzxz - - ^l + +
= охгху + тхугу + ixzeyz - \ [^h + ^m, + ^n^j . A.11.17)
Уравнения A.11.14) определяют выражения множителей Лагранжа
Для изотропного материала из A.11.15)—A.11.17) следуют соотно-
соотношения A.8.9).
§11. Соотношения ассоциированного закона нагружения 135
При определении ассоциированного закона нагружения введем ком-
компоненты девиатора
=4?
Диссипативную функцию определим в виде
В результате аналогичных рассуждений, при определении экстре-
экстремума функционала A.11.8), где
помимо ранее определенных, следует присоединить дополнительную
связь
ei + 82 + 4 = 0
с множителем Лагранжа ц.
Вполне аналогично A.11.9) получим
с=-— а1 = —+ц о2 = —+ц а3 = —+ц A1118)
Из A.11.18) следует
дР (дР дР дР
_
Р~
Формулы A.11.11)—A.11.17) сохраняют свой вид с заменой 8^,8^ на
гг j •> гг •
2. Введем обобщенные скорости деформации
Yi=82-83, ^=e3-ei, уз = 81-82. A.11.19)
Очевидно, что
У1 +У2 +уз = 0.
Согласно A.11.19)
?1=?2+Уз, ?2=?з+Уь ?з = ?1+У2, A.11.20)
?1=?з-У2, ?2=?1-Уз, е3 = е2-уь A.11.21)
В дальнейшем для удобства введем обозначения Е2 = —уз, Е% = у2,
тогда, согласно A.11.20), A.11.21):
82=81+?'2, гз=Ы+Е3. A.11.22)
136 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из A.11.22), A.9.3) получим
8Ж = ?i + Е2т\ + Е3п\, гху = Е2т1т2
гху
Е2т\ + Е'згг!, е^ = Е2т2т3 + Е3п2п3, A.11.23)
г2 = 8i + Е2т\
Из A.11.23) следует
El = г - (Е2 + Е3) /3, г = (?1 + г2 + е3) /3. A.11.24)
Из A.11.23) следует
(е* - ei - ^2^i) (еу - 8i - E2mf) = (гху - E2m1m2f ,
- ei - ?/2m§) = (e^^ - E2m2m3f , A.11.25)
(гх - г1 - Е2т\) = (гхг - Е2т1т3J ,
а также
(е* - 8i - Е2т\)(гуг - ei - Е2т2т3) =
= {zXy ~ E2m1m2)(Exz - Е2т1т3),
(гу - 81 - #2^2)(вя-г - ?i - Е2ГП1ГП3) =
= (гху - Е2т-[т2)(гуг - Е2т2т3), A.11.26)
Ж2/ - 8i - Е2т1т2) =
= (zXz ~ Е2т1т3)(гуг - Е2т2т3).
Функционал A.11.1), согласно A.11.23), A.11.24), запишем в виде
Е2т\ + Е3п\) + ау(ъ + Е2т\ + #3^2)+
+ ^(ei + #2^3 + ^з^з) + 2тжу (Е2т^т2 + Е3щп2) +
+ 2xyz (Е2т2т3 + Е3п2п3) + 2тЖ2 (Е2т1т3 + Е3п-[П3) -
- D (е, ?72, #з, пч, п<) = 0. A.11.27)
К соотношению A.11.27) следует добавить соотношение связи
т\ + т2 + т\ = 1, гг^ + гг^ + rig = 1, т^щ + т2п2 + гтгзггз = 0.
A.11.28)
§11. Соотношения ассоциированного закона нагружения
137
Из A.11.27), A.11.24) получим
1 ЬВ ЬВ
где а2,аз определяются согласно A.11.10).
Далее из A.11.27), A.11.28) получим
1 8В
1 Г1 dD
V7l2
A.11.29)
ххуп2
Е2 [2дт3
1 [i дв
Щ 7713
Е3 [2дт
1 [1 дВ
1 Г1 dD
A.11.30)
где |ii, |i2, v — множители Лагранжа для соответствующих выражений
A.11.28).
Из A.11.29), A.11.30) следует
= °282
_ I ( дВ
дВ
дв
2 V<
1 (дв дв
j_ Г \_( дв
Hi2 I
дв
дв
дв
2v =
1 [l
где
2x
xy
2x
yz
2xx
138 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Для изотропного материала
С>23 = V = 0.
3. Рассмотрим состояние полной кинематической определимости
Е2 = 0, ei=e2. A.11.31)
Из A.11.31), A.11.23)-A.11.26) следует
гх = г - Е/3 + Еп\, гху = Еп\п2,
Еу=Е-Е/3 + Еп1, гуг = Еп2п3, A.11.32)
гг = г - Е/3 + Еп\, гхг = Ещп3,
-е +Е/3) = е2ху,
(ех - г + Е/3) гуг = гхуехг,
{гу -г + E/3)exz =zxyzyz,
(ez - г + Е/3) гху = zxzzyz,
где Е = Е3.
Соотношения ассоциированного закона нагружения имеют вид
(охщ + тхуп2 + тхгп3) /п\ =
= (ЪхуЩ + °уп2 + Т^Пз) /П2 = (XxzU-i + ХугП2 + <5гП3) /П3. A.11.33)
Из A.11.33), A.11.32) следуют три соотношения A.9.17), независи-
независимыми из которых являются два.
§ 12. Свойства уравнений при условии полной
пластичности
1. Рассмотрим ребро призмы условия пластичности Треска (рис. 3),
другими словами, будем считать, что имеет место условие полной пла-
пластичности
c>i=G2, C3 = ai+2&, k = const. A.7.19)
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 139
В этом случае имеют место соотношения
ох = о — 2к/3 + 2к cos2 61, хху = 2к cos 61 cos 62,
оу = о - 2&/3 + 2&cos2e2, Tyz = 2&cose2cose3, A.7.27)
oz = о — 2k/3 + 2k cos2 63, xxz = 2&cos6i cos 63,
cos2 9i + cos2 62 + cos2 63 = 1. A.7.28)
Подставляя соотношения A.7.27) в уравнения равновесия
дах дтху dxxz _
~дх~ ^ ~ду~ ~dz~ '
дх ду dz v J
xyz да^ _
ду dz
дх + ду
получим уравнения
2к sin 26i -тг^ — 2к sin 61 cos 62 -тг^ — 2к cos 61 sin 62 -^— —
дх дх ду ду
— 2к sin 6i cos 63 -—^- — 2к cos 6i sin 63 -^ = О,
2к sin 61 cos 62 -тг^ — 2fc cos 61 sin 62 тг^ — 2/c sin 202 -^ —
^2/ ^ж аж ду
^ ^ =0, A.12.1)
2k sin 61 cos 63 — 2k cos 61 sin 63 — 2k sin 62 cos 63 -^— —
oz ox ox oy
- 2k cos 62 sin Q3^-2k sin 263^ = 0.
К системе дифференциальных уравнений присоединим дифферен-
дифференциальное соотношение, следующее из A.7.28):
sin29id9i +sin2e2de2+sin2e3de3 = 0. A.12.2)
Уравнение характеристической поверхности системы уравнений
A.12.1), A.12.2) представим в виде
V = V(*,y,*). A.12.3)
140
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Характеристические поверхности системы уравнений A.12.1),
A.12.2) находятся из определителя
7^ +
дх
ду . ду
-^ + sin 0i cos 62 t:—h
дх ду
-2A; cos 0i sin 02
ду
ду
ду
—2k cos 6i sin 63 7^—
dz
+ sin 6i cos 63
dy\
dz)
7Г-1
oy
2/cSin6i COS62 7T-
ox
/ . ду
— 2k COS 0] Sin 02 7Г~ "
V ox
длм
+ sin 202-
ду
+ sin 02 cos 0з
-p— — 2 к sin 0] cos 0з -х- — 2/г sin 02 cos 0з
dz dx
dz)
dy_
—2k cos 02 sin 03-
i / ду
—2&(cos0i sin 03 — +
\ ox
+ COS 02 Sin 0з
ду
ду
sin 20]
sin 202
+ sin 203
sin 203
= 0.
dz)
A.12.4)
где
Раскрывая определитель A.12.4), получим
(n grad y) 12 (n grad yf - (grad \|/J| = 0, A.12.5)
n = cos 6i i + cos 62j + cos 63k,
= _1+_J + _k.
Согласно A.12.5) характеристические направления определяются
соотношениями
ngrad\|/ = 0, A.12.6)
2 (n grad уJ — (grad уJ = 0.
A.12.7)
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 141
Согласно A.12.6) заключаем, что поверхности, ортогональные тре-
третьему главному направлению, являются характеристическими.
Из A.12.7) следует
2|n|2|grad\|/|2cos2(n,grad\|/) - |grad\|/|2 =0. A.12.8)
Поскольку |п| = 1, из A.12.8) найдем cos (n, grady) = ±д/2/2.
Следовательно, угол между нормалью к характеристической по-
поверхности \|/ = 0 и вектором п равен ±л;/4. Совокупность элементов
характеристических поверхностей образует конус с углом развода ±я/4
вокруг третьего главного направления. Характеристические поверх-
поверхности образуют всю совокупность поверхностей, пересекающих линии
третьего главного направления под углом, равным ±я/4.
Совокупность элементарных площадок, на которых действуют мак-
максимальные касательные напряжения, образуют поверхности макси-
максимальных касательных напряжений. Очевидно, что характеристические
поверхности совпадают с поверхностями максимальных касательных
напряжений.
Рассмотрим уравнения, определяющие деформированное состоя-
состояние. Соотношения A.10.154), определяющие пластическое течение при
условии полной пластичности, согласно A.7.26), будут иметь вид
COS62 COS63 _ COSGi COS63 _
cosGi cos62 /11Oftx
= ?xz — + ?yz — + еж. A.12.9)
COS63 ^ COS 03
Присоединим к двум соотношениям A.12.9) уравнение несжимемо-
сти
zx+ty+tz =0. A.12.10)
Используя соотношения Коши
ди dv dw
?х = di' ?y = %' ?z = ~д^'
_
?yz ~ 2
1 (dv dw\ 1 (ди dw
142 Гл. 1. Идеально пластическое тело
из A.12.9), A.12.10) получим систему трех уравнений относительно
трех неизвестных компонент скорости перемещений:
ди dv\ cos62 f ди dw
дх \ду дх ) cosGi \dz дх J cosGi
_ f ди dv\ cosGi dv (dv dw\ cos63
I Fia Ят I ™c a ~ Яш \ Я<? Fia
cos 62 dy ydz dy J cos 62
ди dw\ cos 6] f dv dw\ cos62 ^dw _
dz дх J cos63 ydz dy J cos63 ~ dz '
Fin cii) rim
7Г^ + 7Г + 1^=0- A-12.12)
ox oy oz
Если записать уравнение характеристической поверхности в виде
\|/ (ж, у, z) = 0, то найдем, что система трех уравнений A.12.12) относи-
относительно u,v,w — гиперболического типа, а уравнение характеристиче-
характеристических поверхностей имеет вид A.12.5). Таким образом, характеристиче-
характеристические многообразия для системы уравнений A.9.16), A.9.17) и системы
A.12.12) совпадают.
2. Предположим, что поверхность S является границей между пла-
пластическим и жестким материалом. Введем ортогональную криволиней-
криволинейную систему координат qi так, что уравнение поверхности S можно
записать в виде qs = const.
Обозначая через Ui компоненты скорости перемещений, получим,
что г^з = 0. Компоненты скорости сдвига будут иметь вид
ou\ и\ о ti\
7i з = — 5
Яз дцз Я] Я3 dc[3
A.12.13)
1 ди2 и2 dH2
723 = 5
где Hi — коэффициенты Ламе.
В жесткой области все компоненты скорости перемещений равны
нулю, а в пластической — равны конечной величине; поэтому произ-
производные величин щ и U2 по qs в пределе стремятся к бесконечности;
следовательно, составляющие 713? 723 на границе S неограниченно воз-
возрастают. Остальные компоненты скорости деформации на S конечны.
Рассмотрим соотношения пластического течения:
281+712 —+713^ =712 —+282+723^ =713— +723^ + 2е3, A.12.14)
77.] 77.] 77-2 77-2 77-3 77-3
где rti — направляющие косинусы третьего главного напряжения.
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 143
Сократим выражение A.12.14) на yi3 и обозначим 723/713 — о>-
Принимая во внимание, что yi3 —> оо и полагая а конечной величиной,
получим
— = а— = Ь а —. A.12.15)
П\ П2 П3 Пз
Исключая из выражений A.12.15) величину а, найдем
nj + nl-nl = 0. A.12.16)
Так как п\ + гг| + гг§ = 1, то, следовательно,
nj + nl = 1/2, гг§ = 1/2.
Согласно A.7.25)
Ti3 = ±2кп1п3, Т23 =
поэтому
Из A.12.17) следует, что поверхность S, вдоль которой происходит
скольжение пластического материала, совпадает с поверхностью дей-
действия максимальных касательных напряжений.
При а —} 0 должно иметь место п2 —> 0, поэтому приведенный вывод
сохраняет силу. Случай а —} оо рассматривается аналогично.
3. Рассмотрим условие предельного состояния в виде
тах{т„-/(а„)} = 0, A.12.18)
где тп,ап — соответственно касательное и нормальное напряжения на
площадке с нормалью п.
В компонентах главных напряжений условие A.12.18) можно пере-
переписать в виде
-\d -aj\sm2^ = f - (ci+Cj) - - (о* + о,-) cos 2со (г ф j),
A.12.19)
где ctg2co = df /доп.
В пространстве главных напряжений функция текучести A.12.19)
интерпретируется некоторой криволинейной шестигранной пирами-
пирамидой, расположенной симметрично относительно прямой ai = а2 = оз-
Уравнение произвольного ребра пирамиды можно представить в
виде
Oi=Oj, а=Ф{ок). A.12.20)
144 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из A.12.20), A.7.22), A.7.24), A.7.26) получим
A.12.21)
(xyz,
ох=ог
ъху = [<
123)
Hoi)
(У
(oi) -ai]cos2eb
- oi]cos6i cose2
ai индекс фиксирован),
Обозначим ai = g (a), тогда из A.12.21) получим соотношения
A.12.22)
Подставляя выражения A.12.21) в уравнения равновесия A.9.15) и
принимая во внимание A.7.28), получаем систему четырех уравнений
относительно четырех неизвестных, характеристический определитель
которой равен
(пgrad Ф) \(l + ^-\ (пgrad ФJ - (grad ФJ1 = 0,
^cosBi + ^cose2 + ^cose3 A.12.23)
dx dy dz v '
где Ф (ж, у, г) = 0 — уравнение характеристической поверхности систе-
системы.
Из соотношения A.12.23) следует, что одно семейство характери-
характеристических направлений совпадает с третьим главным направлением,
другое образует вокруг третьего главного направления круговой конус,
образующая которого составляет с третьим главным направлением
угол 6, причем
sine = ± , ! ^=. A.12.24)
/l + (to/d)
Используя соотношения A.12.22) в качестве пластического потен-
потенциала, получим
г'х = А* Bоу -ох-д)-Х2 (су + oz - 2д) + ^3 Bа2 - ох - д),
{xyz, 123), A.12.25)
+ с* - 2^) + Х3 (сг + аж - 2^)] + ^а.
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 145
Исключая из выражений A.12.25) три неопределенных множителя
Xi, получаем три уравнения для определения скоростей перемещений
Ui. Можно убедиться в том, что характеристические многообразия
систем уравнений для напряжений и компонент скорости перемеще-
перемещения совпадают между собой. Добавочный член — 6 в последнем
\daj
выражении A.12.25) влияет лишь на соотношения вдоль характери-
характеристических поверхностей.
Отметим частный случай, широко используемый в статике сыпучей
среды [56]:
таж|тп| = к + оп tgp, &, р = const. A.12.26)
Соотношения A.12.19) примут вид
\°г — Qj\ — 2fccosp + (oi + Oj) sinp (г ф j) . A.12.27)
В пространстве главных напряжений функция текучести A.12.27)
интерпретируется шестигранной пирамидой, исходящей из точки ai =
= Q2 = аз = — kctgp. Уравнения произвольного ребра можно записать
в виде
(\ ± sinp\ 2&cosp
Gi — Gi i Gh — Oi I : dz
3 \ 1 T sin p I
A12 28)
(* Ф h 3 фк, кф{),
причем для одного из ребер следует всюду взять верхний знак, а для
противоположного — нижний.
Функция д (а) примет вид
, ч ЗоA =F sinp)
3 (IT sinp)
Выражение A.12.24) имеет вид
sin e = ±v/(l±sinp)/2.
4. Рассмотрим элемент среды, зафиксированный в ортогональной
системе координат Х{. Будем предполагать, что пределы текучести при
одноосном растяжении и сжатии элемента по любому направлению,
фиксированному в системе ж^, известны.
Таким образом, если обозначить пределы текучести при растяже-
растяжении через /с, а пределы текучести при сжатии через s, то в общем случае
будем иметь к = к (/$), s = s (li), г = 1, 2, 3 . . ., где li — направляющие
косинусы, образованные направлением растя жен и я-сжатия с осями Х{.
146 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Имеет место равенство
/2+ /2+ /2 = 1. A.12.29)
Откладывая в направлениях растя жен и я-сжатия отрезки, пропор-
пропорциональные величинам /сие, получим поверхности, которые назовем
соответственно поверхностями анизотропии растяжения-сжатия. Для
изотропного тела эти поверхности, очевидно, являются сферами. В
общем случае поверхности анизотропии растяжения и сжатия могут
быть разрывными, например для слоистых материалов.
Обозначим через 1, 2, 3 три ортогональных направления, по кото-
которым действуют главные напряжения с^.
Пуст оси 1, 2, 3 составляют с осями Xi углы, косинусы которых
соответственно обозначим /^ ^г, Щ-
Рассмотрим условие пластичности. В силу предположения о незави-
независимости условия пластичности от величины гидростатического давле-
давления условие пластичности интерпретируется в пространстве главных
напряжений некоторой цилиндрической поверхностью, образующие
которой параллельны прямой ai = 02 = аз-
Кривую пересечения поверхности условия
пластичности с плоскостью ai +02 +03 = О
назовем кривой пластичности.
Соединив точки, соответствующие пре-
пределам текучести при растяжении и сжа-
сжатии, прямыми линиями, получим шести-
шестиугольник текучести (рис. 24). При совпа-
совпадении величин пределов текучести имеет
место условие пластичности Треска.
Таким образом, в сделанных предпо-
„ _, ложениях условие пластичности идеально
Рис. 24
пластического анизотропного тела интер-
интерпретируется некоторой шестигранной призмой, грани которой парал-
параллельны прямой E\ = E2 = аз, полностью определенной для каждого
фиксированного положения осей 1, 2, 3 величинами пределов теку-
текучести при растяжении-сжатии. При изменении ориентации осей 1, 2,
3 в системе x,y,z изменяется и призма, интерпретирующая условие
пластичности.
Запишем условие пластичности. Обозначим через к\ (/^), &2 (шг)?
&з (ni) пределы текучести при растяжении и через Si (/^), $2 (шг)?
S3 (rii) пределы текучести при сжатии в направлениях 1, 2, 3. Уравнение
плоскости, параллельной прямой ai = 02 = аз, запишем в виде
aoi + ba2 + ca3 = 1 (а + b + с = 0) . A.12.30)
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 147
Отсюда легко получить уравнения искомого условия пластичности
(рис. 24):
О] ( 1 1_\ _ОЗ
&i s3) s3
1 1
кч S3 ) hi S3
01,02 _ _
\ si кч )
A.12.31)
si \ si k3j k3
°3
Определим уравнения ребер призмы, интерпретирующей условие
пластичности. Искомые уравнения ребер запишутся в виде
oi = Oj = ok — 2kk, Oi = Oj = — ок — 2sk. A.12.32)
Соотношения A.12.32) обобщают условие полной пластичности изо-
изотропного тела. В дальнейшем рассмотрим условие о\ = 02 = с>з — 2&з,
причем опустим индекс 3 у величины к%.
Известно, что
(*У*). A.12.33)
Здесь и в дальнейшем символы (х у z, 123) означают, что осталь-
остальные зависимости получаются круговой перестановкой индексов. Ис-
Используя A.12.33), получаем
ох =о-2к/3 + 2кп^ тху=2кп1п2 (х у z, 12 3), A.12.34)
где
к = к (щ), о = (ох + оу + oz) /3,
148 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из A.12.34) легко получить
, _o_|fcJ =T2xy (Xyz) A.12.35)
или
( 2 \
сж - а - -k )xyz - xzxxxy = О {xyz). A.12.36)
V 6 J
Обратимся к определению закона пластического течения.
Рассматривая соотношения A.12.36) в качестве пластического по-
потенциала, получаем
еж = оА
2 дк . ^ 1 B дк
2 Л 2
- а- -к - -
О I О U%xy |
В данном случае существенным является необходимость дифферен-
дифференцирования функции к по компонентам напряженного состояния.
Для дальнейшего рассмотрения необходимо вывести некоторые со-
соотношения. На основании A.12.34) получим
(/7*?У Z \
123/"
A.12.38)
Из A.12.38) следует
Bож - а, - аJ = Cn2-l)
=
ily+ilz n\(\-n\) yi2
Ha основании соотношений A.9.11) найдем
dni _ пг A - п2)
A.12.39)
12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 149
дги__дги__ гц A - щ) (хух\
дсу ~ 8az ~ 2 A + п\) \ 123 ) '
A.12.40)
Подставляя выражения A.12.40) в соотношения A.12.37), исключая
величины А,1,А,2,А,з? получаем
^ж ~г
2, 2l
ау - о - -к az -а- -к
6 \ _ о
= d2
оя - о- -А;
oz -о- -А;
2 2
ая-а- -А; ау-а--А;
с 3 _|_ с ^
здесь
di = 2к -\ —щ + -—п2 + ^—гг3
Справедливо также условие несжимаемости
еж + zy + ez = 0.
A.12.41)
A.12.42)
Подставим выражения A.12.34) в уравнения равновесия A.9.15).
При этом получим
sin
а7 + д^ [з ~
. ае2
sinб2^"
150
Гл. 1. Идеально пластическое тело
дк
дп3
дк
здесь
= a,
cos2
=0
cos2 62 + cos2 0з = 1.
A.12.43)
A.12.44)
Система четырех уравнений A.12.43), A.12.44) относительно четы-
четырех неизвестных р, 9* является системой гиперболического типа. За-
Записывая уравнение характеристической поверхности в виде Ф (ж, ?/, z),
найдем, что характеристический определитель в векторной форме име-
имеет вид
- (grad ФJ + 2 (grad Ф • пJ - - (grad Ф • n) (grad Ф • а) +
К
+ \ (grad Ф • п) (а • п) = 0, A.12.45)
К
причем
П = П
Обозначим через а угол между векторами grad Ф и п, через р — угол
между векторами grad Ф и а, через у — угол между векторами а и п.
Из A.12.45) получим
— 1 + 2cos2 а — 6cosoccosp + 6cos2 occosy = 0 (b = |a|/fc) . A.12.46)
В данной точке тела при заданном напряженном состоянии направ-
направления а и п фиксированы, направления
grad Ф образуют некоторый характеристиче-
характеристический конус. Следовательно, угол у фиксиро-
фиксирован, углы а, р определяют направления об-
образующих характеристического конуса.
Предположим, что направления а, п,
grad Ф лежат в одной плоскости (рис. 25).
Тогда осо = ро — Уо- Из A.12.46) получим
ctg2oc0 = F/2) sin у.
A.12.47)
Рис. 25
Из A.12.47) следует, что направления
grad Ф в плоскости an взаимно ортогональны.
Проведем в плоскости an прямую, составляю-
составляющую с направлениями grad Ф, лежащими в
12. Свойства уравнений при условии полной пластичности
151
этой плоскости, углы, равные я/4. Это направление, которое назовем
осью характеристического конуса, составляет с направлением п угол,
равный осо — я/4. Найдем, чему равен угол между любой образующей
характеристического конуса и его осью. Нетрудно видеть, что искомый
угол определится из выражения
cosv
л/2 / cos2 a + sin ао cos ао
2 у cos а (sin ао + cos ао)
Для изотропного материала а = 0, а = ао = 1/4, cosv = д/2/2. В
общем же случае характеристический конус не будет прямым и круго-
круговым. Это обстоятельство является следствием анизотропии материала.
Отметим, что из A.12.47) следует cos а ф 0.
Если расписать систему уравнений A.12.41), A.12.42) в компонен-
компонентах скорости перемещений, то можно убедиться, что эта система трех
уравнений относительно трех неизвестных щ принадлежит к гипербо-
гиперболическому типу и уравнение характеристики поверхностей имеет вид
A.12.45).
Таким образом, замкнутые системы уравнений для напряжений и
скоростей деформации имеют совпадающие свойства.
5. Под условием сопротивления отрыву понимается условие пре-
предельного состояния
d =
0,
A.12.48)
где (oi)max — максимальное нормальное растягивающее напряжение.
Очевидно, что условия A.9.69),
A.12.48) являются частными случа-
случаями условия предельного состояния
A.9.49). Постоянные &, d являются
константами материала.
Условия предельного состояния
A.9.69), A.12.48) интерпретируются
в пространстве главных напряжений
<5i шестигранной призмой, ограничен-
ограниченной плоскостями, параллельными ко-
координатным плоскостям, ось кото-
которой равнонаклонена к осям координат
(рис. 26). На этом чертеже в плоскости
aic>2 показаны также сечения предель-
предельной поверхности плоскостями аз = const, которые представляют либо
квадрат, либо шестиугольник.
152 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Рассмотрим условие A.12.48). Предположим, что напряженное со-
состояние отвечает ребру
oi=d, с2 = d, a3<d. A.12.49)
В этом случае, на основании зависимостей A.12.33) и A.12.49),
получим
ох = d + 3 (а - d) п\, тху = 3 (о - d) щп2,
Су = d + 3 (а - d) n\, Tyz = 3 (о - d) п2пз, A.12.50)
oz = d + 3 (а - d) П3, tzx = 3 (о - d) n3ni.
Из A.12.50) следует искомое условие предельного сопротивления отры-
отрыву:
(аж - d) (оу -d)- т2ху = 0,
(cy-d)(cz-d)-T2yz=0, A.12.51)
(а, - d) (ox -d)- t2zx = 0.
Рассматривая соотношения A.9.63) в качестве «потенциала пре-
предельного состояния», получим
?1^0, 82^0, 83 = 0. A.12.52)
Аналогично из A.12.51) можно получить
ау — d az — d
еж + zxy — h zxz = 0,
гху^^ + гу + гуг^^ = 0, A.12.53)
TXy lyz
ах — d , av — d , _
++ 0
xz+Vz+^
Ixz ^yz
Предположим, что напряженное состояние отвечает грани
oi = d, ai < d, a3 < d. A.12.54)
Из A.12.54) и C.1) следует
El >0, 83=82=0. A.12.55)
На основании A.12.55) и соотношений, вполне аналогичных
A.12.33), получим
гх=г112\ 8y=8i/|, ?3=81/3, A.12.56)
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 153
Исключая из A.12.56) величины направляющих косинусов, находим
?х?у ~ *ly = 0. Ч** - 4z = О» ^х - eL = 0. A.12.57)
Переходя к компонентам скоростей перемещений, будем иметь
cb #*Л2_П Ov^Ow^ _ f Ov^ 0w\2 _
+' ~Oy~Oz~~ \Oz~ + ~Oy) ~ '
dz дх
Три уравнения A.12.58) относительно трех неизвестных и, v, w
образуют замкнутую систему. Задача в этом случае является кинема-
кинематически определимой.
Положим, как обычно, гг^ = cosB^ и подставим соотношения
A.12.50) в уравнения равновесия A.9.15). Получим систему трех урав-
уравнений:
о Ос Ос Ос
cos 61 — Ь cos 6i cos 02 т;—Ь cos 0i cos 02 т;
ox oy oz
— (а — d) sin 20i -^- — (а — d) sin 0i cos 02-~^- —
ox oy
— (a — d) cos 0i sin 02 -тт- — (a — d) sin 0i cos 0з —
^ + Fx =0 (xyz) . A.12.59)
Присоединим к трем уравнениям A.12.59) соотношение
cos2 0i + cos2 02 + cos2 0з = 1. A.7.28)
Характеристический определитель системы уравнений A.12.59),
A.7.28) имеет вид
Яф Яф Яф
— cos 0i + — cos 02 + -?- cos 0з = 0, A.12.60)
ox oy oz
где Ф (ж, у, z) = 0 — уравнение характеристической поверхности.
Из A.12.60) следует, что любая элементарная площадка, содержа-
содержащая направление главного напряжения Ok < d (<Ji = Oj = d), принад-
принадлежит характеристической поверхности.
Система трех уравнений A.12.53) относительно трех неизвестных
компонент скорости перемещения U{ обладает аналогичными свойст-
свойствами.
154
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Предположим, что предельное сопротивление отрыву достигнуто
на грани
ai = d, d = const. A.12.61)
Тогда, вполне аналогично A.7.42), условие предельного состояния
может быть записано в виде
(ож - d) (оу - d) (oz - d) + 2ixyiyzixz -
- (ox - d) T2yz - (oy - d) t2xz - (oz - d) т2ху = 0. A.12.62)
Предположим, что прямоугольный брус с образующей вдоль оси
растягивается напряжением az = р < d. На рис. 27 показано сечение
бруса в плоскости ху.
^—
/ °
//
У
/ /
/' I
Ч
ч
^ X
—*-
Рис. 27
Пусть далее ах = q < d, ay = хху = 0, тогда условие A.12.62)
примет вид
x2xzd + x2yz (d-q) = (d- p) (d - q) d. A.12.63)
Предельное значение отрыва может быть достигнуто за счет удо-
удовлетворения условия A.12.63), т.е. за счет скручивания бруса.
Условие A.12.63) может быть интерпретировано как предельное
условие при кручении стержня из анизотропного материала. Положим
= k (e) cos e, Tyz = к (е) sin e.
A.12.64)
Из A.12.64), A.12.63) найдем
-p)(d-q)d
На рис. 27 качественно показано положение линий разрыва при р =
= q = с/2. При q = 0 эффекты «анизотропии» места не имеют, положе-
положение линий разрыва показано в этом случае на рис. 27 пунктиром. При
фиксированном q положение линий разрыва неизменно, с изменением
р меняется величина предела сопротивления кручению.
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 155
6. Рассмотрим общие соотношения теории идеальной пластично-
пластичности и статики сыпучей среды при условии пластичности Треска и
его обобщениях на основании определения диссипативной функции.
Диссипативная функция при условии пластичности Треска имеет вид
D = 2&|г*|тах, к = const, A.12.66)
где г^тах — максимальная главная компонента скорости деформации.
В дальнейшем примем для определенности г^ = гз; материал будем
считать несжимаемым. Исходный функционал для определения ассо-
ассоциированного закона нагружения запишем в виде
D = 2кг3 (eij) + ц (гж + гу + zz) . A.12.67)
Необходимо знать выражение гз = ?3 fej)-
Обозначим через П{ направляющие косинусы третьего главного
направления в декартовой системе координат Х{. Тогда гг^гз = щть^.
Отсюда следует известная формула
?з = ^щп5. A.12.68)
Используя соотношение A.12.68), необходимо учесть, что П{ =
= П{ (г^), так как при изменении компонент тензора скоростей де-
деформации изменяется ориентация главных направлений. Учитывая
A.12.67), A.12.68), получим, согласно ассоциированному закону нагру-
нагружения:
A.12.69)
Покажем, что
д
^(гря)}=птпп. A.12.70)
Пусть, например, етп = ех, тогда
?- (гцщгч) = п\ + 2^щд-^ = п\ + 2е3 (щ^) . A.12.71)
Так как п\ + n<i + ns = 1, то последнее выражение в круглых
скобках в A.12.71) равно нулю. Аналогично доказывается утверждение
A.12.70) в общем случае.
Согласно A.12.69), A.12.70) будем иметь
ох = у, + 2кп\,..., тху = 2кп1п2,... A.12.72)
Невыписанные выражения A.12.72) получаются круговой переста-
перестановкой индексов.
156 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Согласно A.12.72)
0 = 0^8^/3. A.12.73)
Соотношения A.12.72), A.12.73) определяют условия пластичности,
соответствующие ребру призмы Треска, известному под названием
«условие полной пластичности». Для грани призмы Треска ai — о2 =
= 2k (о2 ^ аз ^ gi). Из ассоциированного закона течения в этом
случае имеем: 8i = X, г2 = —X, 83 = 0. Диссипативная функция имеет
вид
D = Gi8i + О282 + 0383 = 2kX =
Будем исходить из диссипативной функции D = 2кг^ при условиях
?i + ?2 — 05 ?з — 0- Исходный функционал будет иметь вид
D = 2кгг + w (?l + 82) + ц2гз, A.12.74)
где jii, |i2 — мнол<ители Лагранл<а. Пусть /$, гтг^ — направляющие коси-
косинусы главных направлений 8i, 82. Согласно A.12.69), A.12.70) получим
ох = 2Ы] + у? A\ + т\) + ii2nl. . . ,
хху = 2kiii2 + |ii (/1/2 + Ш1Ш2) + |i2^i^2, • • • A.12.75)
Из A.12.75) следует
0 = 2*5/3 + ^1 +^2- A.12.76)
После исключения из A.12.75) величин jij, [i2 получим условие
пластичности в форме Леви; соответствующие грани призмы Треска
будут иметь вид
4(q + k2)(q + 4k2J + 27r2=0; д = а^, г = а'^ка'к{, (9)
штрих приписан компонентам девиаторов.
Основные предельные условия статики сыпучей среды запишем в
виде
max |тп| = к + оп tgp, /с, р = const, A.12.26)
где тп,ап — касательные и нормальные напряжения. Соотношение
A.12.26) определяет в пространстве главных напряжений призму Ку-
Кулона, уравнение ребра которой можно записать в виде
(оз - oi) - @1 + 03) sin p = 2k cos p,
(аз - а2) - (а2 + a3)sinp = 2/ccosp. A.12.77)
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 157
Согласно обобщенному ассоциированному закону течения имеем
?2 = ^2 (-1 - sin р), г3 = Х2 (-1 - sin р),
г3 = A,i A - sin р) + Х2 A - sin p). A.12.78)
Из A.12.78) получим
D =агг =2kcosp(X1 +Хг), A.12.79)
+%2=~Ь~ ^+г2+гз)' ki+%2 = \[гз"(ei+г2)] • Aл2-8°)
Таким образом, имеет место дилатансионная зависимость:
ei + ?2 + ?3 + [?з " (е3 - ?2)] sin p = 0. A.12.81)
При определении соотношений статики сыпучей среды исходя из
определения диссипативной функции следует постулировать наличие
дилатансионной зависимости A.12.81). Исходный функционал следует
принять в одной из эквивалентных форм:
ж + гу + гх) + щ [гх + гу + гг + (е3 - ?i - ?2) sin p] ,
A.12.82)
D = к cos р (е3 - ?i - ?2) + Ц2 [гх + Ц + ?^ + (ез - ?i - ?2) sin p] .
A.12.83)
Будем исходить из выражения A.12.82). Преобразуя A.12.82) к виду
D = : (8Ж + Еу + Ez ) + Ui (?ж + ?u + ?2 ) A ~ Sin р) + Ez Sin p
sinp у / LV у у у J
A.12.84)
и учитывая A.12.72), получим
¦ ц [A - sin р) + 2гг2 sin р] ,..., A.12.85)
Из A.12.85) следует
^НЧ AЛ2-86)
Из A.12.85), A.12.86) следуют соотношения, определяющие
условия пластичности, соответствующие ребру призмы Кулона.
Аналогично может быть рассмотрен общий случай зависимости
тах{|тп| - /(сп)} =0.
158 Гл. 1. Идеально пластическое тело
7. Определим диссипативные функции для анизотропных пласти-
пластических сред. Для простоты рассмотрим плоскую деформацию и круче-
кручение.
Случай плоской деформации:
(о» - *у? + 4х2ху = 4k2 (в), A.12.87)
где Э — угол между первым главным направлением и осью х опреде-
определяется выражением
Э = I arctg 2Txy . A.12.88)
2 <5Х — Су
Таким образом, предел нагружения к = к (в) зависит от направле-
направления главного напряжения. Из соотношения A.12.87), согласно ассоци-
ассоциированному закону течения, получим
Г кл 1
гу = X \оу - ох - ^хху , A.12.89)
L к 1
гху = 2Х 2тху - - — (ах - ау)\ ,
где к1 = дк/д@. Диссипативную функцию определим формулой
D = ахгх + ОуЕу + 2тхугху. A.12.90)
Подставляя A.12.89) в A.12.90), будем иметь
п-А ( ^к' \^ ( к>
U — К \ОХ I Ох - Оу ~\- -Г^ху ] -ГОу \Оу - Ох - -Г^ху
L V Л / V Л
+ 2хху \2хху - ~ (ох - Оу) I . A.12.91)
После преобразований, учитывая соотношение A.12.87), получим
D =4Хк2(в). A.12.92)
Для определения параметра X воспользуемся формулой A.12.89)
Г к'
х - ?у = 2Х \ох - Оу + -j^^x
Г Ik1 1
, ?ху = 2Х 2ixy — - — (ах — Оу) ,
L 11Ъ \
A.12.93)
что приводит к выражению
(ея - гуJ + 4г2ху = 4Х2 [4к2 + к'2} , A.12.94)
§ 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности 159
откуда
ех - еуJ + 4е2ху
Подставляя A.12.95) в A.12.92), получим выражение диссипативной
функции для случая плоской деформации:
п - g/
Используя полученный результат, покажем, что исходя из A.12.96)
можно получить соотношение A.12.90). Действительно, из определения
диссипативной функции следует, что
Обозначим через Ф угол между первым главным направлением и
осью х
?= Jarctg^^. A.12.98)
2 гх — гу
Связь мел<ду углами Фи 6 будет выражаться формулой
Учитывая, что к = к (Э) и Э = Э (Ф), получаем, что к = к [Э (Ф)].
В силу этой зависимости согласно A.12.97) из A.12.96) будем иметь
Akk'Q - 2кл кг (Ак + A;") Q dB ду „ 2к2 (ех - гу)
QL dv dzx QL '
-гуJ+4г2ху, A.12.100)
где dQ/dy и ду/дгх находим из A.12.98) и A.12.99)
^r- = ^2—rw 7К, Р~ = ^. A.12.101)
dy Q + [к - кк ) дгх L
Выражения для оу и тху получаем аналогично. Тогда с учётом
A.12.101) выражения A.12.100) после преобразований примут вид
ох = z—
2 , A.12.102)
^ АС О^жту ~i~ ^ AC AC I ?qs ^17 /
Тжу = QL •
160 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Подставляя формулы A.12.102) в левую часть формулы A.12.87),
получаем выражение для функции нагружения
Таким образом, в случае плоской деформации при условии ани-
анизотропии основные соотношения теории можно получить, исходя из
определения диссипативной функции с учётом зависимости
к = к [0 (?)] .
Случай кручения:
Jxz+iz = k2(@), A.12.103)
где угол Э определяется как
0 = arctg—. A.12.104)
TyZ
Как и ранее, согласно ассоциированному закону течения из
A.12.103), A.12.104) получаем
Ухг = 2^ Ссхг + jTyZ) , yyz = 2Х Uyz - jxxzj . A.12.105)
Определяя диссипативную функцию формулой
О=тхгухг+тугууг, A.12.106)
получим
D = 2Хк2(в), A.12.107)
где
!\
Y*z+Yyz A.12.108)
[l + (*'/*)
Тогда
т^к- A.12.109)
Покажем, что и в этом случае из A.12.109) можно получить
A.12.103). Из определения диссипативной функции имеем
*** = ¦%?-> Ъ* = %?-- A.12.110)
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности 161
Соотношения между углами 6иФ выражаются формулами
k tg 0 - к'
tg\|/ = 5—; ,
A.12.111)
Ixz
Тогда
В \2кк'А2 - 2к2к' (к + к")] Т-^
к yXz Jjd\\r dyxz
*yz AB
где
Б2 ' dJyz ~ В2 '
A.12.113)
Л2
d\\f A2 + k'2 — kk"
Преобразуя A.12.112) с учётом A.12.113), имеем:
к (kyxz — k'yyz) к (kjyz + k'yxz)
AR , чг- AR ¦ A.12.114)
Подставляя A.12.114) в A.12.103), получаем
Таким образом, и в случае кручения, с учётом зависимости к =
= &[0(Ф)], можно получить исходные соотношения из определения
диссипативной функции.
§ 13. Плоская задача теории идеальной
пластичности
1. Условие пластичности в случае плоской задачи может быть запи-
записано в виде
F(ox,oy,Txy) =0, A.13.1)
где ox,Oy,ixy — соответственно компоненты нормальных и касатель-
касательных напряжений в декартовой системе координат ху.
162 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Воспользуемся заменой переменных
ох = о + q cos 2ф, Су = с — gcos2cp, хху = q sin 2ф, A.13.2)
где
""
2 ' *
Согласно A.13.3) условие пластичности A.13.1) запишется в виде
F(o,9,<p)=0. A.13.4)
Аналогично A.13.2) определим
гх =z + s cos 26, ?у = г- в cos 26, 8жу = s sin 26, A.13.5)
где гж, гу, гху — компоненты скорости деформации,
2 '
Из A.13.2), A.13.6) найдем
N = ож8ж +Оу?у + 2тхугху = 2(с 8 + gs cos2а), а = ф - 6. A.13.7)
Угол а = ф — 6, образованный направлениями главных напряже-
напряжений и скоростей деформации, назовем углом анизотропии, при а = О
направления главных напряжений и скоростей деформации совпадают
между собой.
Определяя, согласно A.13.7), A.13.1), A.13.4), условный экстремум
функционала
N-XF = 0, A.13.8)
получим соотношение ассоциированного закона течения:
dF dF dF
^ х 2 х
A.13.9)
2s cos2a = ?i-7j—, 4qs sm2a = X-^—. A.13.10)
Используя представление A.13.4), из A.13.9) можно получить
¦"^F I dF_( _ ^_J_d^ 1
\ da 2q dq 4a2 $Ф ху '
9 Я^ On Яп \°x °У' л„2 Я,пХхУ\ ' Vl.lo.llj
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности 163
dF ,J_^/
3q xy 2q2 3q> Х
Если в A.13.11) воспользоваться выражениями A.13.10), получим
соотношение A.13.6).
Введем диссипативную функцию согласно A.13.7) и A.13.5):
охгх + оугу + 2тхугху = О(гх,гу,гху) = ?>(г, s, б). A.13.12)
Соотношения ассоциированного закона, согласно A.13.7) и A.13.12),
запишем в виде
^ Ц -^. A.13.14)
Используя представления A.13.12), из A.13.13) получим
_ 1 3D 1 3D ( v I aD
°ж ~ 2 ^7 + 27^7(8ж " Еу) ~ J? ~dQExv>
13D 1 ал. . 1 ал ( ,
-Тж^~ 2 ds8^ 2s2 ^6 18ж 8^"
Если в A.13.15) воспользоваться выражениями A.13.14), получим
соотношения A.13.2).
Из A.13.10) можно получить
Аналогично из A.13.11) получим
2 = 1(—У + ( — —У ' - ^ 0D 3D
Согласно A.13.16), A.13.17) найдем
1 3F 3F 1 3D 3D
Из A.13.16), A.13.18) будем иметь
\_3F^3D^ \_dD_mdF_ _
q 3q 3s s Зв' 3q ~ '
164 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Рассмотрим случай, когда условие пластичности A.13.4) имеет вид
F = q - fc(9) = 0, 9 = *(q>), (ox-oI/J+4^I/=4fc2(9). A.13.19)
Покажем, что в этом случае диссипативная функция примет вид
D = /(9)s. A.13.20)
Наоборот, если диссипативная функция имеет вид A.8.20), условие
пластичности имеет вид A.13.19).
Согласно A.13.19), A.13.10) получим
:\k', к'=^. A.13.21)
аф
Из A.13.21) найдем
а = ф-9. A.13.22)
Из A.13.7), A.13.12), A.13.21) следует
D=Xk. A.13.23)
Из A.13.23), A.13.22) получим выражение A.13.20):
** A.13.24)
V4k2 + к12
Исходя из определения диссипативной функции A.13.24), согласно
A.13.14), будем иметь
о = 0, 2<7cos2a = /F), 4<?sin2a =/', f' = ^f. A.13.25)
Из A.13.25) найдем
=^. A.13.26)
Для определения угла анизотропии можно использовать выраже-
выражения A.13.22), A.13.25):
=*%=Ь& а=ф-е' AЛЗ-27)
откуда
e=^4arcts(^S)' *=°+l^{bdi)- AЛЗ-28)
В качестве примера рассмотрим случай анизотропии:
Л{ох -оуJ + 4Вх2ху +2С{хх -оу)хху =2; А,В,С = const. A.13.29)
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности 165
При С = 0 имеет место случай, рассмотренный в [67]. Изотропный
материал имеет место при А = В, С = 0. Используя A.13.2), из
A.13.29) найдем
q2 [А + В + (А - В) cos4cp + С sin 4cp] = 1. A.13.30)
Полагая далее при А ф В
^, A.13.31)
перепишем A.13.30), согласно A.13.31), в виде
q= , -1 =, а = л/(А- ВJ + С2. A.13.32)
Согласно A.13.6), A.13.27), A.13.32) найдем
tg2a= A "!П4(Ф-Р) A.13.33)
6 А + В + a cos 4(<р - р) v ;
При С = 0 из A.8.33), согласно A.8.31), A.8.32), будем иметь
- (Л-В) sin Ц . .
В изотропном случае при А = В в A.13.34) угол анизотропии а = 0.
Обозначим 5 = (А — В)/(А +В), тогда выражение A.13.34) примет
вид
tgoc = 58т4фA + бсовф). A.13.35)
Если 5 <С 1, то из A.13.35), A.13.27) следует
а= ^4~4sin49, а = ф-9. A.13.36)
Максимальное значение угла анизотропии
А- В
\Щ = 2
при Ф=о + -г,
8 ' 4 ' ---'-'•••
2. Рассмотрим условие пластичности
(сж - оуJ + 4х2ху = Ак2 (Ф). A.13.37)
Соотношения A.13.2) примут вид
®х = о + fc (ф) cos 2ф, Оу = а — к (ф) cos 2ф, тжу = к (ф) sin 2ф.
A.13.38)
Подставим выражения A.13.38) в уравнения равновесия
^ + if = 0' if+%" = 0' AЛЗ-39)
166 Гл. 1. Идеально пластическое тело
получим
^-[2fc(q>)sin2(p + fc'((p)cos2(|>] -^ + [2&(ф)сО8 2ф- &'(ф)8ш2ф] ^ =0,
ох ох оу
|^ - [2k (ф) cos 2Ф + к' (ф) sin 2Ф] |^ +
+ [2к (Ф) sin 2Ф - к1 (Ф) cos 2Ф] р- = 0, A.13.40)
где к' = dk/dq.
Уравнения характеристик системы уравнений A.13.40) имеют вид
dy _ -к' cos 2а + 2к sin 2ф ± у/Ак2 + /г/2 , 1Ч4Л
(/ж ~~ A;' sin 2ф + 2А; cos 2ф ' \ • • )
Используя, согласно A.13.27), выражения
к' = 2ktg2a, а = ф - 6, A.13.42)
преобразуем соотношение A.13.41) к виду
Очевидно, что характеристики A.13.41), A.13.43) ортогональны.
Первую из характеристик A.13.43) назовем ос-линией, вторую — р-
линией.
Согласно A.13.5), A.13.43) для анизотропного материала характе-
характеристики совпадают с линиями максимальной скорости сдвига, т. е. с
линиями скольжения. Для анизотропного тела линии скольжения не
совпадают с линиями максимальных касательных напряжений.
Вдоль характеристик имеют место соотношения
а ± F (ф) = const, F (ф) = [ \/ка + 4ШФ. A.13.44)
Для изотропного материала
к = ко= const, &' = 0, а = 0, ф = 9, A.13.45)
согласно A.13.43), A.13.44) имеем
И) AЛЗ-46)
а ± 2&ф = const. A.13.47)
Соотношения A.13.47) носят название интегралов Генки.
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности 167
Рассмотрим соотношения пластического течения. Будем искать экс-
экстремум работы напряжений на приращениях деформаций для некото-
некоторого элемента тела при дополнительном условии A.13.38):
dA = oxdex + oydey + 2nxydexy — d\i (ox - oy) + 4т^ - 4k2 (cp) .
Экстремум находится из условий
дЛ дЛ дЛ
дах дау дтХу
Будем иметь
= 0.
/ ^Ф л л 1 1 I иУУ
лг|, гу=Х\су-сх-4кк^,
A.13.48)
Из выражений A.13.3) следует, что
U^4 A.13.49)
— а
2
откуда получим
2
дах ~ Ак2' дау ~ 4fc2' дтху ~ 4к
Согласно A.13.50), A.13.48) соотношения пластического течения
анизотропных сред в случае плоской деформации примут вид
к' \ „ / *'
-т%ху , гу=Х[ау-сх- —txy ,
A-13.51)
Зависимости A.13.51), если исключить X, представляют два уравне-
уравнения относительно двух неизвестных и, v — компонент скорости пере-
перемещения. Уравнения относительно компонент скорости перемещения
принадлежат к гиперболическому типу и характеристики их совпадают
с характеристиками уравнений для напряжений A.13.43). Вдоль харак-
характеристик A.13.43), согласно A.13.5), удлинения равны нулю, поэтому
имеют место соотношения Гейрингер
0, A.13.52)
где и, v — компоненты скорости вдоль линий скольжения A.13.43).
168 Гл. 1. Идеально пластическое тело
3. Рассмотрим частный случай условия пластичности. Предполо-
Предположим, что условие пластичности A.13.4) не зависит от величины д, тогда
имеем
/(о,ф)=0. A.13.53).
Соотношение A.13.53) перепишем в виде
Ф = ф(о). A.13.54)
Подставляя соотношение A.13.2) в уравнения равновесия A.13.39)
и учитывая зависимость A.13.54), получим
A.13.55)
Два уравнения A.13.55) относительно двух неизвестных имеют ха-
характеристики
dy\ _cos2cp±\/l-4(%(?J
d)~
_р niu.
Х~ da' U-^bJ
При x — О из A.13.56) следует ортогональность характеристик.
Соотношения вдоль характеристик A.13.56) имеют вид
dq = ±yjl-4(xqJdo. A.13.57)
Согласно A.13.56) уравнения A.13.55) принадлежат к гиперболиче-
гиперболическому типу при
Предположим, что а = 2/сф, k = const, тогда, согласно A.13.58),
имеет место неравенство q < к.
Не умаляя общности, условие A.13.53) запишем в виде
F ft, о) = 0, ^ = tg29 = 2хху/{ох - су). A.13.59)
Используя A.13.59) в качестве пластического потенциала, учитывая
A.13.2), получим
= — ji (sin 2ф + 2%q), гу = [i (sin 2ф — 2%q), гху = jicos 2ф,
~, \>Q. A.13.60)
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности 169
Из A.13.60) следует
_^у_ = _Ц^Ив A.13.61)
Компоненты тензора скорости деформации связаны с компонента-
компонентами скорости перемещения соотношениями
ди dv ди dv ( ,
Из соотношений A.13.60), A.13.62) получим систему уравнений для
определения компонент скорости перемещения:
ди dv
(sin 2Ф - 2%q) — + (sin 2Ф + 2xq) — = 0,
/ \ / \ A.13.63)
о (ди dv\ ^ . (ди dv\ К J
cos 2ф F +sin2(p г + г =0.
^\дх ду) \ду дх)
Система уравнений A.13.63) имеет своими характеристиками выра-
выражения A.13.56). Вдоль характеристик имеют место условия
dudx + dvdy = 0 (^ = -^) • A.13.64)
Из A.13.64) следует, что приращение вектора скорости ортогональ-
ортогонально касательной и характеристике, приращения скорости вдоль харак-
характеристики отсутствуют, поэтому для скорости вдоль характеристик
имеют место соотношения Гейрингер A.13.52).
Определим диссипативную функцию
D = охгх + оугу + 2ххугху. A.13.65)
Подставляя в A.13.65) выражения для компонент тензора скорости
деформации, из A.13.60) получим
D = X^o. A.13.66)
Из A.13.60) найдем
8F
гх+гу=Х—. A.13.67)
Согласно A.13.66), A.13.67) получим
?) = ог, г = гх+гу. A.13.68)
Из A.13.59) определим
а = 5©. A.13.69)
170 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Принимая во внимание соотношения A.13.59), A.13.61), уравнение
A.13.69) можно переписать в виде
) A.13.70)
Согласно A.13.68), A.13.70) окончательное выражение для дисси-
пативной функции принимает вид
). A.13.71)
В качестве примера рассмотрим прямоугольную полосу под дей-
действием равномерных растягивающих и касательных усилий. Условие
предельного состояния примем в виде A.13.59).
Предположим, что полоса находится в состоянии равновесия под
действием постоянных напряжений о^, оу, т^у? удовлетворяющих соот-
соотношениям
F($o,ao)=0, e = ^K, cO = UcOx+c°y). A.13.72)
ах -ау I
Предположим, что напряженное состояние возмущается за счет
малых изменений напряжений, которые, в частности, могут возникнуть
за счет возмущений граничных условий, например при рассмотрении
пологих выточек и т. п. Представим напряженное состояние в виде
ох=о°х+ с'ж, оу=о°у+ о'у, тху = т°ху + т'ху. A.13.73)
Подставляя соотношения A.13.73) в A.13.72), проводя линеариза-
линеаризацию, получим
аа'х + pa; + 2yz'xy = 0, A.13.74)
ldF , о (n 6F о
Используя функцию напряжений
у~~д^' '*у--ШЩ> A.13.75)
д2и , д2и , д2и
из A.13.74), A.13.75) находим
д2и
д2и д2и , ад2и
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности 171
Когда у2 — ар > 0, общее решение уравнения A.13.76) будем искать
в виде
U = U, (х + с1У) + U2(x + c2y), A.13.77)
Согласно A.13.75), A.13.77) выражения для компонент тензора на-
напряжений записываются в виде
о'х = с\91 @ + с\д2 (Л), 4 = 91 (С) + 92 (л) ,
@ -с2ЫлЬ С = ж + С!2/, л = ж + с22/, A.13.78)
Решение A.13.78) может быть использовано для определения напря-
напряженного состояния в растягиваемом образце с пологими выточками.
4. Рассмотрим частный случай условия пластичности. Предполо-
Предположим, что условие пластичности A.13.4) не зависит от величин а, д,
тогда имеет место соотношение
/(ф)=0, ф = const. A.13.79)
Условие A.13.79), согласно A.13.3), перепишем в виде
* (ах ~ °у) ~ ^хУ =0, k = const. A.13.80)
Используя функцию напряжений
д2и д2и д2и ( Л
из A.13.81), A.13.80) найдем
*и\?иОш A1382)
ду1
Уравнение A.13.82) принадлежит к гиперболическому типу. Харак-
Характеристики уравнения имеют вид
Из A.13.83) и A.13.80) найдем
A.13.84)
172 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Согласно A.13.83), A.13.84) характеристики прямолинейные и вза-
взаимно ортогональные.
Общее решение уравнения A.13.82) может быть представлено в виде
U = U1(x + у tgq>) + U2 (х - у ctgФ). A.13.85)
Из A.13.80), согласно ассоциированному закону, получим для ком-
компонент скоростей деформаций:
Ex = -Ey = kX, гху = -Х, гх - гу + 2кгху = 0, X ^ 0, A.13.86)
ди dv о ди dv /Л Лп о_ч
где и, v — компоненты скорости перемещений.
Из A.13.86), A.13.87) получим систему уравнений:
= 0. A.13.88)
и \j у \jdu \ uy \jtiu i
Полагая
dW
u — v — uvv A.13.89)
из A.13.89), A.13.88) найдем
" д~^г I " 2|-^- = 0- A.13.90)
ду ) дхду v J
Уравнения A.13.90) и A.13.82) совпадают, решение можно записать
в виде
W = W^ (x + ytgq) + W2(x - у ctgq). A.13.91)
Согласно A.13.85), A.13.81), A.13.91), A.13.89) выражения для ком-
компонент напряжений и скоростей перемещений могут быть записаны в
следующем виде:
ох = /i @ tg2 ф + /2 (л) ctg2 ф,
оу = /i @ + h (л), Чу = -h @ tgcp + /2 (л) ctgq>, A.13.92)
я = 91 @ + 92 (л) , % = х + у tg ф, л = х - у ctg ф.
В девиаторной плоскости условие предельного состояния A.13.80)
интерпретируется прямой Л В (рис. 28), направление первой главной
компоненты девиатора скоростей деформации показано ортогональной
прямой CD, окружность соответствует условию q = const.
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности
173
Предположим, что на границе полуплоскости заданы напряжения
и скорости перемещений:
ау = р (х), ixy = q(x), и = щ (х), v = vi (х) при у = 0.
A.13.93)
Согласно A.13.93), A.13.92):
Ох =
sin 2ф
[р @ tgcp + р (л) ctgcp - q @ tg2 Ф + q (л) ctg2 cp] ,
sin 2ф
[р @ ctg Ф + р (л) tg Ф - q (^ + q (л)] ,
sin 2ф г
2 ^~
sin 2ф
A.13.94)
@ tg ф + гх1 (л) ctg ф +
- v^ (л)] ,
v =
sin 2ф
- гх1 (л) + wi E) ctg ф + v\ (л) tg ф] .
Рис. 28
Рис. 29
В качестве примера рассмотрим распределение постоянного давле-
давления на отрезке (рис. 29):
ау = р = const, |ж| ^ а, ау = 0, |ж| > а, хху = 0 при у = 0.
A.13.95)
Согласно A.13.95), A.13.93), A.13.94) получим в треугольной об-
области ЛВС: ах = Оу = р, хху = 0 в полосе DACE: ax = рсо82ф,
оу = р8т2ф, хху = -psm2(p, в полосе GBCF: ох = psm2q>, oy =
= рсо82ф, хху = — -р8т2ф, в треугольных зонах HAD, ECF, GBQ
все компоненты напряжения равны нулю: ох = оу = тху = 0.
174 Гл. 1. Идеально пластическое тело
5. Рассмотрим частный случай условия пластичности. Предполо-
Предположим, что условие пластичности A.13.4) не зависит от величин д, ср,
тогда имеет место соотношение
/(о)=0, а = const. A.13.96)
Согласно A.13.3) условие A.13.96) перепишем в виде
Ох+ву = s, s = const. A.13.97)
Рассматривая A.13.97) в качестве пластического потенциала, полу-
получим ?х = X, ?у = X, ?ху = О, X ^ О, ИЛИ
гх-гу=0, гху=0, A.13.98)
где гж, гу, гху — компоненты скорости деформации.
Условие A.13.98) перепишем в виде
?-?=0, 7г + тг=0, A-13.99)
дх ду ду дх
где и, v — компоненты скорости вдоль осей ж, у.
Уравнения A.13.99) определяют плоское бессдвиговое течение сжи-
сжимаемой среды.
Известно, что уравнения плоского потенциального течения идеаль-
идеальной несжимаемой жидкости имеют вид
Р + Р-=О, 7T-Jr=0. A.13.100)
дх ду ду дх v y
Очевидно, что уравнения A.13.100) отличаются от уравнений
A.13.99) заменой знака компоненты v на противоположный. Таким
образом, если и, v есть решение уравнений A.13.100), то и, —v является
решением уравнения A.13.99), и наоборот. Укажем другую форму
связи решений уравнений A.13.99), A.13.100). Из A.13.99) следует,
что существует функция комплексного переменного Z (z) = и + iv,
z = х + гу.
Припишем компонентам уравнений A.13.100) индекс нуль, тогда из
A.13.100) следует, что существует функция комплексного переменного
Zo (z) = uq — ivQ. Покажем, что
Z(z)Z0(z) = c, с = const. A.13.101)
Из A.13.101) получим
Z = c/Z0 = cZo/\Zol Zo = c/Z = cZ/\Z\. A.13.102)
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности 175
Из A.13.102) следует, что
M=-2—, ^=2^2 A.13.103)
или
«о = ^Ц, »0 = -^Ч- A.13.104)
гг + v и + г>
В справедливости формул A.13.103), A.13.104) и, следовательно,
формул A.13.101), A.13.102) можно убедиться непосредственной про-
проверкой.
Если ввести векторы скорости V (и, v), Vo (щ, ^оM то из A.13.103),
A.13.104) следует их коллинеарность. Для их модулей из A.13.101)
следует соотношение |V||Vo| = с.
Установленное соответствие решений уравнений A.13.99) и
A.13.100) позволяет использовать известные в теории потенциального
течения идеальной несжимаемой жидкости результаты для опреде-
определения полей скоростей в теории бессдвигового течения сжимаемой
среды.
Решения A.13.103), A.13.104) соответствуют обтеканию одних и тех
же тел, так как линии тока в обоих случаях совпадают. Так, обтекание
цилиндра потоком идеальной несжимаемой жидкости определяется
функцией Zo = 1 - 1/z2, с = 1.
Для случая бессдвигового течения обтекание того же цилиндра
будет определяться, согласно A.13.101), функцией
Z = z2/(z2-l). A.13.105)
При использовании решения A.13.105) следует иметь в виду огра-
ограничения, накладываемые соответствием решения условию предельного
состояния A.13.97), и условия разгрузки.
Отметим, что уравнения A.13.99) описывают бессдвиговой процесс
деформирования, происходящий за счет изменения объема. Уравнения
A.13.100) описывают сдвиговое деформирование без изменения объема
(несжимаемость).
Рассмотрим изменение плотности р пористого пластического мате-
материала при условии предельного состояния, соответствующего условию
A.13.97). Уравнение неразрывности имеет вид
^ ^0. A.13.106)
Уравнение A.13.106) с учетом A.13.99) преобразовывается к виду
и А [р („а + ,*)] + vj_ [р {и2 + „а)] = 0. AЛЗЛ07)
176 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Для определения интегралов уравнения A.13.107) имеем систему
dx/u = = dy/v = d [p (и2 + г?2)]/0. Независимые интегралы уравне-
уравнения A.13.107) имеют вид
/ (ж, у) = const, pV2 = const, V2 = u2 + v2, A.13.108)
где f (x,y) — функция тока.
Приписывая индексы 1 и 2 двум точкам вдоль одной линии тока, из
A.13.108) получим
Рассмотрим радиальное установившееся бессдвиговое течение сре-
среды, соответствующее прессованию в клинообразной матрице. Восполь-
Воспользуемся полярной системой координат г, 6. Обозначим компоненты ско-
скорости перемещения через иг, щ. Полагая течение радиальным, поло-
положим иг = иг (г), щ = 0. Компоненты скорости деформации имеют
вид гг = dur/dr, ге = иг/г, гге = 0. Соотношения A.13.99) сведутся к
одному: dur/dr — ur/r = 0. Отсюда
ur = Cr, гг=ге = С, С = const. A.13.109)
Плотность среды определяется из уравнения неразрывности
d(prur)/dr = 0, откуда, принимая во внимание A.13.109), найдем
рг2 = С\, С\ = const. Тогда вдоль линии тока pi г2 = р2^|? Р2 —
= Pi (r2/nJ.
Уравнение равновесия запишем в виде
^ + ^—^ = 0. A.13.110)
dr r v '
Используя условие предельного состояния аг + а0 = s, из A.13.110)
получим аг = Л/г2 + s/2, ае = —Л/г2 + s/2, где Л = const.
Если принять граничные условия
Сг = -Ра, (г = а); сг = -рь, (г = 6), A.13.111)
то условие предельного состояния принимает вид
В пространственном случае в сферической системе координат гбср
из условия предельного состояния
or+oe + o(? = s A.13.112)
согласно ассоциированному закону течения следует
ег = ее = е<р = А,, гге = ?еФ = ?гФ = 0, А ^ 0. A.13.113)
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности 177
В случае радиального течения иг = иг (г), щ = и^ = О, следова-
следовательно,
гг = dur/dr, ге = гф = глг/г, гге = ?гФ = ?еФ = 0. A.13.114)
Из A.13.113), A.13.114) получим единственное уравнение dur/dr —
— ur/r = 0, решение которого имеет вид, вполне аналогичный
A.13.109):
иг = С2г, гг = ге = гф = С2, С2 = const. A.13.115)
Из уравнения неразрывности d (рг2/мг) /dr = 0, принимая во вни-
внимание A.13.115), получим вдоль линии тока
Р2 — Pi
Таким образом, при радиальном течении в конической матрице
плотность среды возрастает обратно пропорционально кубу расстояния
до вершины матрицы.
При радиальном течении уравнение равновесия имеет вид
^! + 2^—^ =0, се = аф. A.13.116)
(XT V
Условие предельного состояния A.13.112) принимает вид ог +2а0 =
= s. С учетом этого, из уравнения A.13.116) находим ог = В /г3 + s/3,
oQ = Оц = —-В/г + s/З, где В = const. При граничных условиях
A.13.111) получим следующее условие предельного состояния:
раа3 + pbb3 = i* (b3 - а3) .
6. Рассмотрим соотношения общей плоской задачи теории идеаль-
идеальной пластичности при условии полной пластичности. Предположим,
что все компоненты напряжения A.7.40) зависят от переменных ж, у и
не зависят от координаты z:
Подставляя выражения A.7.40) в уравнения равновесия
дх ду dz ' дх ду dz ' \ • • )
дх ду ~dz^ ~
178 Гл. 1. Идеально пластическое тело
при предположениях A.13.117), получим систему трех уравнений от-
относительно трех неизвестных а, 6, ср:
О О О
-^- - k (I - cos e) sin 2ф^ + к A - cos e) cos 2ф^ +
дх v ' дх v ' ду
Oq к Oq
+ /с sin 6 cos ф——Ь — sin 6 sin 2ф-^— = О,
аж 2 а?/
^ + А; A - cos 6) cos 2ф^ + к A - cos e) sin 2ф^ +
+ -sine sin 2ф^ + fcsin9sin29^ =0, A.13.119)
аФ . 5ф ae ae
sin 6 sin ф^ sin 6 cos ф-^ cos 6 cos ф-^ cos 6 sin ф— = 0.
Для определения характеристик системы уравнений A.13.119) и
соотношений вдоль характеристик присоединим к системе уравнений
A.13.119) соотношения
да . да . , 0ф , . #Ф , ,
d+d d d+d d
^-dx + ^-dy = de. A.13.120)
дх ду
Рассматривая систему уравнений A.13.119), A.13.120) как алгебра-
алгебраическую относительно компонент
^ (
дх' ду' дх' ду' дх' ду' U-
можно определить
да _ Ai да _ А2 дц _ Аз
аФ _ А4 ^6 _ А5 дв _ А6
~ду ~ ~Х' ~дх~~1±' ~ду~~К'
где определители А, Д$ определяются по правилу Крамера.
Характеристики определяются как линии пересечения семейства
интегральных поверхностей, поэтому нормаль к интегральным по-
поверхностям вдоль характеристик не определена и на характеристиках
должно иметь место одновременное выполнение соотношений
Д = Д^=0, г = 1,2,..., 6. A.13.123)
§ 13. Плоская задача теории идеальной пластичности 179
Два семейства характеристик и соотношения вдоль них определя-
определяются из условий А = Д] = 0. Уравнения характеристик имеют вид
A.13.124)
l + cos e
2 v - cos 6
соотношения вдоль характеристик A.13.124):
da ± feA~CQS9)dcp = 0. A.13.125)
V cos e v y
Отметим, что для случая плоской деформации 6 = тт, costi =
= —1, ji = 0 характеристики A.13.124) становятся ортогональными,
соотношения A.13.61) переходят в соотношения Генки A.13.47).
В общем случае при 6^0 имеет место третья характеристика,
определяемая из соотношений Д = Aq = 0, уравнение характеристики
имеет вид
|;=tgep, A.13.126)
соотношение вдоль характеристики:
sine
1 - cos e
do + &sinesin2(pd(p + kdQ = 0. A.13.127)
Соотношения A.13.124)-A.13.127) определяют напряженное состо-
состояние для случая общей плоской задачи теории идеально пластического
тела. Рассмотрение других случаев к новым характеристикам не при-
приводит.
Отметим, что в случае плоской деформации, 6 = п, соотношение
A.13.127) вырождается.
При определении компонент скорости перемещений положим
и = и(х,у), v = v(x,y), w = w(x,y). A.13.128)
Согласно A.13.128), уравнение несжи маем ости A.12.10) примет вид
180 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Согласно A.10.124), A.12.11), A.13.128) найдем
~ди f ди dv\ f пъ п\ \ ydv dw пз dw n3 _ ~
~дх \ду дх) угм n2y ~ду дх п\ ду п2 '
ди f ди dv\ П2 dw (пз ni \ dw n-i ~dw _
~дх \ду дх) п\ дх \п\ пз) ду пз ~ dz '
A.13.130)
где, согласно A.7.26), A.7.34),
О 0 0
ni = coscpsin -, ri2 = sincpsin -, n3=cos-. A.13.131)
Три уравнения A.13.129), A.13.130) относительно трех неизвестных
u,v,w принадлежат к гиперболическому типу, характеристики опреде-
определяются уравнениями A.13.124), A.13.126).
Вдоль характеристики A.13.126) имеет место соотношение
sine [cosydu + sincpcfo] +cos6dw = 0. A.13.132)
В случае плоской деформации, 6 = тг, согласно A.13.132), имеет
место dw = 0.
Вдоль характеристик A.13.24) имеет место соотношение
du + dvtg L± f j -[ij -
-dw ПзAпз) Y=0. A.13.133)
Соотношения A.13.132), A.13.133) позволяют определить поле ско-
скоростей перемещений вдоль характеристик A.13.126), A.13.124).
§ 14. Вдавливание штампа в пластическую среду
Рассмотрим задачу Прандтля о вдавливании гладкого жестко-
жесткого штампа с плоским основанием в пластическое полупространство
(рис. 30).
Обозначим через 2а ширину штампа. Направим ось у вглубь по-
полупространства. Предположим, что при вдавливании штамп движется
вниз со скоростью V = const.
Поле напряжений может быть построено следующим образом. В
треугольной области ACD (аналогично — А'СD'), рис. 30, имеет место
§ 14. Вдавливание штампа в пластическую среду
181
равномерное напряженное состояние сжатия
<зх = ^ху = О, оу = -2k, ф = -, к = const.
A.14.1)
В центрированной области ЛВС (аналогично — А1 ВС) вдоль ос-
линии имеет место второй из интегралов A.13.47). Если ввести поляр-
D
ную систему координат г, ср так, как указано на рис. 30, то в области
ABC (аналогично — А'ВС) получим
Or = аф = -к
A.14.2)
В области ABA' имеет место равномерное напряженное состояние,
определяемое согласно A.13.2), A.14.2):
ох = —кп, Оу = -к B + п), хху = 0.
Предельное давление и предельная нагрузка соответственно будут
иметь вид
Р = Оу = -к B + тг) , Р = -2ак B + к) .
Рассмотрим непрерывное поле скоростей перемещений. В областях
равномерного напряженного состояния о?ф = 0, поэтому соотношения
Гейрингер A.13.43) принимают вдоль характеристик A.13.43) вид
откуда
да
va = va (p), «р = г>р (а).
A.14.3)
В центрированной области ABC (аналогично — А'ВС) из A.13.43)
легко получить
^а = г>ф = / (ф) + g (r), v$ = vr = -f (ф).
A.14.4)
182
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Линия BCD (аналогично — BCD') является границей жесткой
зоны материала, нормальная компонента скорости на ней равна нулю.
Из A.14.3), A.14.4) следует, что va = va($), v$ = 0 в области ABCD.
Аналогичные соотношения имеются в области А1 ВСD1.
Обе компоненты va и v$ скорости перемещений отличны от нуля
только в области А А' В. При этом на границе штампа А А' должны
удовлетворяться граничные условия
при ос + р = 0. A.14.5)
Здесь V = const — скорость движения штампа. На прямой АВ,
являющейся р-линией, v$ = 0. Пусть функция va (p) задана, т.е. из-
известно распределение скоростей вдоль р—линии. Так как va = const
на а—линиях, то граничные условия A.14.5) позволяют вычислить
компоненту скорости v$ в любой точке М на границе деформируе-
деформируемого материала (рис. 31). Скорость v$ не изменяется вдоль р—линии,
следовательно, функция г?а(р), заданная на АВ, однозначно опре-
определяет г?р (а) на А!В, что позволяет найти распределение скоростей
перемещений по точкам области ABA!. Значения va (p) на АВ могут
быть любыми, лишь бы удовлетворялись условия A.14.5), поэтому
распределение скоростей перемещений не единственно в области ABA'.
В частности, решение Прандтля будет иметь место при va = v$ =
a
В решении Хилла (рис. 32) поле скоростей перемещений определя-
определяется соотношениями
va = 1/2I/ , г;р = 0 в области BCDE,
v$ = л/2V, va = 0 в области ВС\ D\ E\.
Область неединственности в этом решении стянута в линии BCDE,
BC\D\E\. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть другие
§ 14. Вдавливание штампа в пластическую среду
183
решения задачи о штампе. Например, на рис. 33 приведено реше-
решение, для которого неоднозначность определения поля скоростей пе-
перемещений может иметь место в зонах АА\В, ABCDEFGHA и
в
////////
D
Рис. 32
Рассмотрим разрывные поля скоростей перемещений. Предпо-
Предположим, что поверхность гладкого штампа ограничена линией АА\
(рис. 34) и пластические зоны, примыкающие к границе штампа,
состоят из треугольников, в которых определены постоянные скорости,
имеющие равные проекции на вертикальную ось у.
Обозначим прямолинейные характеристики через ^,rj. Обозначим
скорость в треугольнике с вершинами т,т\ т + 1, т + 1; m, m + 1
(рис. 31) через
Vmm = ишгп\ + vmm} , A.14.6)
аналогично в треугольнике с вершинами гг, гг; п + 1, п + 1; гг, п + 1 —
через
Vnn = ипп\ + vnni. A.14.7)
Очевидно, что в прямоугольнике с вершинами т, гг; т + 1, гг; т +
+ 1, п + 1; т, п + 1 (рис. 34) скорость будет иметь вид
* тп —
A.14.8)
184
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Рассмотрим случай двух треугольных областей (рис. 35). Предпо-
Предположим, что в треугольных зонах ACD, С А\Е скорости равны и на-
т,т
п,п
т,т+1
п,п+\
А
Рис. 34
правлены вертикально вниз вдоль оси у. Согласно A.14.6)—A.14.8) в
четырехугольной зоне DC ЕВ скорость будет иметь ту же величину и
направление, и имеет место решение
Прандтля.
Если скорость в зоне ACD направ-
направлена вдоль оси CD, а в зоне С А\Е —
вдоль СЕ, то в зоне DC ЕВ скоро-
скорости отсутствуют и имеет место ре-
решение Хилла. Если скорость в зоне
ACD направлена вдоль оси AD, а в
зоне СА\ Е — вдоль А\ Е, то, согласно
A.14.6)—A.14.8), скорость в четырех-
четырехугольной зоне DCEВ будет постоянна и направлена вертикально вниз
вдоль оси у и имеет место решение с застойными зонами (рис. 36).
Застойные зоны заштрихованы.
Рис. 36
Все рассмотренные решения задачи о штампе являются полными,
т. е. допускают продолжение поля напряжений в жесткую область.
§ 15. Плоские течения идеально пластической среды
185
§ 15. Плоские течения идеально пластической
среды
1. Рассмотрим течение плоской полосы шириной 2/г из идеального
жесткопластического материала (рис. 37). Условие пластичности
/ \ 2 9 9 / \
где аж, ау, тху — компоненты напряжения в декартовой системе
координат, оси координат направлены, как указано на рис. 37. Для
рассматриваемой полосы
ож = 2k, <jy = хху = 0.
A.15.1)
Поле скоростей перемещений определяется из условий несжимае-
несжимаемости D) и изотропии F):
еж + ?у = 0; (сж - Оу) гху = (гх - гу) тху,
где гж, гу, гху — компоненты скорости деформации. Имеют место
соотношения
Г-^ L
где и, v — компоненты скоростей перемещения.
А
D
С
Ln
\F
\ D
\
\
\
о\
/
/
/
А
/ bx = 2k
х Ж
Е
\в
Рис. 37
Предполол<им, что прямая L (рис. 38) является линией действия
максимальных касательных напряжений т = /с, т.е. характеристикой.
Компоненты скорости перемещения, нормальные к характеристикам,
непрерывны, касательные компоненты скорости перемещения могут
терпеть разрыв. При разрыве, в результате возникающего сдвига, на
186
Гл. 1. Идеально пластическое тело
характеристиках происходит пластическое деформирование материа-
материала. Предположим, что слева от L материал движется со скоростью Vi,
справа скорость материала — V<i- Из условия равенства нормальных
компонент скорости следует
sina = V^sinp.
A.15.2)
Рассмотрим прямоугольник ЛВСD (рис. 38). За единицу времени
точка А сместится в положение А-[, точка В займет положение В-[,
точка С — положение Ci, линия ВС — положение В\С\. В следующий
момент времени точка А займет положение Аъ, точки В\, С\, D\
соответственно положения В<±, C<i-> ^25 прямоугольник ABCD дефор-
деформируется в параллелограмм A4B4C1D4. Очевидно, что их площади
равны между собой. Величина сдвига определяется углом ср (рис. 38),
имеет место равенство
tgcp =
2sin2C
A.15.3)
sin 2a + sin 2C"
Величина разрыва касательных компонент скорости на линии L
равна
[V] = -?- sin (a + р) = ^- sin (a + р). A.15.4)
sin a sin C
В работе [200] рассмотрено деформирование полосы с образованием
локального утоныпения — шейки, когда части полосы АОВЕ, CODF
(рис. 37) движутся как жесткое целое вправо и влево со скоростями V =
= 1 относительно начала координат. Материал в областях А О С, BOD
движется как жесткое целое соответственно вертикально вниз и вверх.
Промежуточное положение показано на рис. 39 (верхняя часть полосы).
Рис. 39
Первоначальная свободная граница материала АС займет положение
е/. Материал, занимавший первоначально положение квадрата abed
займет положение параллелограмма а^Ьче^ч. Очевидно, что треуголь-
треугольникам Aab, bee соответствуют треугольники А^а^Ь^ Ъ^е^е^. Отметим,
§ 15. Плоские течения идеально пластической среды
187
что Ad = de = AA<±. Область пластически деформированного материа-
материала в момент разрыва на рис. 39 заштрихована. В случае, рассмотренном
в [200], а = р = я/4, согласно A.15.3) tgcp = 1/2. Можно предположить,
что скорость движения материала в области АОС направлена под
углом а к оси у (рис. 40). Из условия равенства нормальных скоростей
движения на АО и СО получим, что жесткая часть материала АОЕ
движется вправо относительно начала координат со скоростью
Vi = V (cos a + sin а), A.15.5)
жесткая часть материала COF — влево со скоростью
V2 = V (cos a - sin а). A.15.6)
Области пластического деформирования в момент разрыва на
рис. 40 заштрихованы, причем МА = АА\, СМ = С\С. Из A.15.5),
A.15.6) следует
-Vi
A.15.7)
Рис. 40
Согласно A.15.7) скорости движения жестких частей материала
Vi, V2 относительно начала координат (точки разрушения материала)
определяют величину V и направление скорости движения а в зоне пла-
пластически деформируемого материала. При а = я/4, согласно A.15.5),
A.15.6), V2 = 0, скольжение материала происходит вдоль линии СО.
Конечное положение деформирования показано на рис. 41.
Рис. 41
188
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Величины 1/, а могут быть переменными и зависеть от парамет-
параметра X A.15.2), характеризующего, например, глубину шейки в области
пластического деформирования (рис. 39). В этом случае приращение
перемещения свободной границы жесткой области вдоль направления
растяжения (ось х) определяется согласно A.15.5), A.15.6):
ds1 = Vidk= V (X) (cosa + sin а) dX, A.15.8)
ds2 = \f2dX = V (X) (cos а — sin a) dX, a = a (X) .
Очевидно,
V(X)cosadX = dy.
A.15.9)
Интегрируя выражения A.15.6), A.15.7) в пределах от X до у, полу-
получим
A.15.10)
у
S = Г V sin adX, Si (X) = S2 (X) = S (X) = 0.
2. Предположим, что первоначальное положение пластического ма-
материала (рис. 42, а) ограничено прямыми С'С, F'OF, причем по
С
В
С
AM В
Рис. 42
§ 15. Плоские течения идеально пластической среды 189
F'OF имеет место жесткое гладкое основание. Предположим, что
раствор угла F'OF равен 2ji. Предположим далее, что очаг пласти-
пластического материала имеет место в зоне ВОВ1', в которой постоянная
скорость движения V направлена вдоль АО. Жесткая часть материала
CBOF движется со скоростью V\ вдоль OF, жесткая часть материала
С В'OF движется со скоростью Vi вдоль OF'. Из условия равенства
нормальных компонент скорости V и Vi на границах ВО, В'О будем
иметь
V cos (тс/4) = Vi cos (ц - к/4). A.15.11)
Очевидно, что рассмотренный выше случай образования шейки в
растягиваемом образце имеет место при ji = к/2. На рис. 42, б показано
положение материала в момент разрыва, при котором точка А достига-
достигает положения точки О. Промежуточное состояние показано на рис. 42, б
линией B[M[AiMiBi, окончательное — линией С'^В'^А^В^С^. Если
обозначить АО = /г, ВВ<± = S, то, согласно A.15.11),
A.15.12)
2 cos (\i - л/4)
Очевидно, что ширина рейки равна
глубина шейки характеризуется величинами
A.15.13)
AD = Scosn, OD = h(l- ^- 7S^ ,л^ • A-15.14)
у 2 2 cos (\i - л/4) J v y
На рис. 43, а показано деформирование материала при достаточно
малом угле раствора {i режущего инструмента F'OF.
На рис. 43, б тот же процесс представлен в обратимом виде: линия
С С фиксирована и деформирование осуществляется за счет внедре-
внедрения индентора.
Предположим, что пластическое полупространство из идеального
жесткопластического материала содержит жесткое включение в виде
клина FOF\ несимметрично расположенного к свободной границе
СС. Положение клина определим углами а, р, а также расстоянием
до свободной поверхности РО = h (рис. 44).
Зона пластического деформирования ограничена треугольником
В О В', в котором имеет место однородное напряженное состояние: ах =
= 2&, Оу = хху = 0. Линии ВО, В'О действия максимальных каса-
касательных напряжений ттах = к являются линиями скольжения, вдоль
190
Гл. 1. Идеально пластическое тело
С" В'
С В'
С[ В[/
б
Рис. 43
А Р
О\
В С
Рис. 44
§ 15. Плоские течения идеально пластической среды 191
которых касательные составляющие скорости терпят разрыв. Предпо-
Предположим, что жесткий материал в области С BOF движется вдоль OF со
скоростью V, в области С В1 OF1 — вдоль OF1 со скоростью V. Пред-
Предположим далее, что при течении материала вертикальные компоненты
скорости движения жесткого материала равны между собой, 1/cos ос =
= V cos р, и полупрямые ВС, В'С смещаются параллельно себе вдоль
оси у. Проекции скоростей V и V1 на нормали к характеристикам ВО,
В'О обозначим Vn, Vn (рис. 44):
Vn = V cos (тс/4 - а), Vn = V cos (тс/4 - р) . A.15.15)
Скорость движения в зоне пластического деформирования опреде-
определяется как равнодействующая скоростей Vn, V^ и равна U (рис. 44).
В процессе течения точка Л в конечный момент деформирования
достигнет положения А\, совпадающего с точкой О (рис. 44). Очевид-
Очевидно, что за это время точки В, В1 достигнут положения В\, В[. Зоны
деформированного материала будут совпадать с В\ОО\, В'ХОО\.
Угол [i наклона скорости U к оси у определяется из соотношения
Размеры чашечки, образующейся при конечном состоянии, опреде-
определяются из соотношений
В\ В] = В\ Н -\- В] Н,
Глубина чашечки определяется из соотношений
Л tga + tgp 1
|_2 + tga + tgpJ V )
При a = p, согласно A.15.18),
tga A.15.19)
1 + tg a
При наложении вертикальной скорости 1/cosa = l/'cosp прямые
ВС, В'С (рис. 44) фиксированы и деформирование осуществляется
за счет внедрения индентора FOF'.
На рис. 45 показан случай пробоя пластического слоя затупленным
индентором. Жесткий материал движется вдоль линий OF, О'F', в
192
Гл. 1. Идеально пластическое тело
очагах пластического деформирования АВО, А'О1 В1 скорость пла-
пластического материала направлена соответственно вдоль линий ВО,
В'О1, часть материала BOO1 В1 остается жесткой, показано конечное
В'
В
Рис. 45
положение материала, области деформированного состояния материа-
материала заштрихованы.
На рис. 46 показан случай индентора с вертикальными стенками,
область деформированного состояния материала заштрихована.
С А'
В'
В
Рис. 46
3. Рассмотрим квазистатический процесс деформирования идеаль-
идеально пластической среды путем сдвигов вдоль линий скольжения. Пред-
Предположим, что полоса шириной 2/г (рис. 47, а) находится под действием
равномерного одноосного растяжения ах = 2&, ау = хху = 0. Предель-
Предельное усилие растяжения равно
= 4kh.
A.15.20)
Линии скольжения (рис. 47, а) направлены к оси х под углами тг/4
(а—линии), и Зтг/4 (р—линии). В процессе деформирования скольжение
будет происходить в зоне, в которой напряженное состояние продолжа-
продолжает оставаться в предельном состоянии.
§ 15. Плоские течения идеально пластической среды
193
Предположим, что элементарное скольжение имеет место вдоль
линии скольжения АА\ (рис. 47, б), в результате чего произошло
утоныпение полосы на величину А/г.
2h
Рис. 47
Предельное усилие растяжения A.15.20) уменьшится на величи-
величину АР:
P-AP = 4k(h- А/г), АР = 4kAh.
A.15.21)
Дальнейшее деформирование может происходить по линиям сколь-
скольжения, лежащим в зоне BCDE (рис. 47, б). Очевидно, что в этой
зоне находится одна ос-линия, ЛЛ^, все другие ос-линии выходят за
пределы этой зоны, и множество р-линий, находящихся между линиями
скольжения BE и CD.
Предположим, что элементарный сдвиг той же величины происхо-
происходит по линии скольжения CD, в этом случае картина деформирования
представлена на рис. 47, в. В результате по линии CD произойдет до-
дополнительное утоныпение полосы на величину А/г, дальнейшее сколь-
скольжение может произойти либо на ос-линии B\D\, либо р-линии C\D\.
Переходя к пределу, рассматриваемый процесс можно представить
как обтекание жесткого клина FD\F\ (рис. 47, в) с раствором угла,
равным я/2.
Предположим, что симметричный процесс скольжения перво-
первоначально происходит по линиям скольжения AD, AD'', ВС, ВС
(рис. 48, а). В этом случае имеет место образование симметричных
очагов деформирования, линии скольжения показаны пунктиром
(рис. 48, б). Вначале происходит скольжение по линиям oci, pi,
далее — по линиям ос2, р2 и т. д.
194
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Очаг пластического деформирования в первой четверти ограничен
зоной О АСЫ (рис. 49); аналогично для других четвертей. Проме-
Промежуточное деформированное состояние свободной границы определено
ломаными
D
', F D
1 (рис. 49).
Рис. 48
В первой четверти материал деформируется в области
A^C^ENO, аналогично в остальных четвертях. Предположим,
что скорость движения жесткого материала, направленная вдоль оси
ж, численно равна единице. Первоначальное скольжение происходит
вдоль характеристик AD, AD1\ ВС, ВС. В промежуточном состоянии
G' Е'
С
Е G
F Н
область KC12EN является жесткой, в области КА\\А\^Ь материал
движется со скоростью, численно равной л/2/2 и направленной вдоль
А\\К. Точка А\\ смещается вдоль оси у со скоростью, численно
равной единице. Тангенциальные скорости терпят разрывы вдоль
линий скольжения КС\^. Линия разрыва скоростей перемещается,
KC\i смещается вдоль оси х со скоростью, численно равной единице.
Первоначальная не деформированная зона пластического материала
АС МО при деформировании переходит в зону, ограниченную ломаной
^11^412^12^^0. В конечный момент деформирования точки О, Л21,
?21 совпадают.
§ 15. Плоские течения идеально пластической среды
195
Зона пластического деформирования в первой четверти в конечный
момент ограничена ломаной OA22GP; tgv = 1/5, где v — угол наклона
границы деформированного материала A<ziG к оси х.
4. Рассмотрим течение полосы шириной h при ее вращении от-
относительно точки О (рис. 50). Зона пластического деформирования
совпадает с треугольником ВОВ'', в котором ах = 2&, ау = хху = 0.
Изгибающий момент М = kh2/2.
Обозначим через со угловую скорость вращения и определим скоро-
скорости перемещения в зоне ВОВ'\
и = сож, v =
A.15.22)
Линии тока течения A.15.22) представляют собой гиперболы ху =
= const. На характеристиках ВО, В10 разрыва скорости нет. Предпо-
Предположим, что промежуточное состояние свободной границы определяется
линией КК\ обозначим КО = г. При повороте жесткой зоны на угол
dcp элементарный отрезок МК переходит в отрезок NL (рис. 50), dr =
= К N = KL, откуда
r = Ce~^. A.15.23)
Величина г = ВО = \f2\i при ср = 0; в этом случае из A.15.23)
следует
= 1/2/ге
A.15.24)
С В'
В
К'
Рис. 50
На рис. 50 показано положение полосы при повороте каждой по-
половины на угол я/2. При этом А\О = he~n/2. Зона пластического
деформирования материала заштрихована.
196 Гл. 1. Идеально пластическое тело
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности
и проба Бринелля
Решение осесимметрической задачи пластичности имеет большое
значение для построения теории испытания материалов на твердость.
Весьма часто о твердости материала судят по размерам отпечатка от
давления какого-либо штампа, например стального шарика (метод Бри-
Бринелля) или конического острия (метод Роквелла) на плоскую границу
материала. Экспериментальные данные показали, что так называемые
числа твердости по Бринеллю и по Роквеллу связаны определенным
образом с временным сопротивлением материала и его пределом теку-
текучести.
Теоретическим рассмотрением явлений, наблюдающихся при про-
проникновении штампа в идеально пластическую среду, занимались Генки
[105], Прандтль [203] и В.В. Соколовский [54]. Последний решил зада-
задачу для случая плоской пластической деформации при весьма общих
предположениях об очертаниях границы среды и штампа и о характере
сил трения между ними. Ниже тот же вопрос изучается для случая
осевой симметрии на примере давления шара или плоского штампа на
идеальную пластическую среду с плоской границей.
Пренебрежем небольшим искривлением поверхности вокруг штам-
штампа, которое происходит при пластическом деформировании, и будем
считать границу пластической среды вне контакта со штампом плоской.
Строго говоря, свободная граница среды может считаться плоской
лишь в том случае, если предварительно сделана выемка материала
по форме штампа и его сила давления на среду не больше предельного
значения, при превышении которого штамп начинает погружаться в
среду. Примем, что при достижении этого предельного значения все
элементы среды вблизи штампа окажутся в пластическом состоянии.
Поместим начало цилиндрической системы координат г, \|/, z в плос-
плоскость, содержащую свободную границу среды, а ось z направим по оси
симметрии внутрь среды (рис. 51). Обозначим через иг, и^ и uz малые
перемещения ее частиц при незначительном увеличении силы давления
штампа на среду за достигнутое значение. В рассматриваемой задаче
перемещение и^ равно нулю.
Для точек среды, расположенных вблизи оси z, величины переме-
перемещений иг и uz представим в виде разложений
иг = ао + а\ г + а2 + • • • , uz = bo + b\ r + b2 + • • • ,
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 197
где ао, ой, а2,... и 6о, fei, 62,. . . — функции координаты 2;. На оси z
перемещение иг обращается в нуль, следовательно, ао = 0.
Рис. 52
Предполагая среду несжимаемой, имеем
d{rur) d{ruz) _
дг
dz
откуда заключаем, что 1а\ + dbo/dz = 0.
Очевидно, что на оси z справедливо неравенство гг = duz/dz < 0,
т.е. линейные элементы, имеющие ориентацию оси z, укорачиваются.
Таким образом,
db0
диг
r=0
и, следовательно, вблизи оси z компоненты деформации
диг
дг
2a2r
= — = fli + a2r + . . .
г
положительны.
Оси г и z в силу симметрии являются главными направлениями
деформации среды в точках оси z и близки к главным направлениям в
точках, расположенных около этой оси. Направление \|/ также является
всюду главным.
Обозначим через 01,02,03 главные напряжения в точках среды и
условимся, что ai ^ O2 ^ 03. Как оказывается, второе главное направ-
направление напряженного состояния совпадает в данном случае с направле-
направлением \|/, а первое и третье соответственно стремятся к направлениям z
и г при приближении к оси z.
Вблизи оси z соответствующие главные компоненты деформации
среды 81,82,83 удовлетворяют неравенствам ei < 0,82 > 0,83 > 0.
198 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Поэтому, следуя гипотезе пластичности Хаара-Кармана1) , положим
(*1 = с>2 — 2/С, с>2 = (Уз?
где К — пластическая постоянная среды.
Обозначим через а (см. рис. 51) угол между первым главным на-
направлением и осью z, тогда, как нетрудно усмотреть на соответствую-
соответствующем круге Мора (рис. 52), будут справедливы соотношения
ог = 12 (d + аз) + - (аз - ai) cos 2a,
irz = ~2 (аз -ai)sin2a.
Для точек оси z угол а равен нулю ио2 = oi, а аг = аз- В свою
очередь, для точек свободной границы среды oz = 0, а ог < 0. Так как
направления г и z являются для точек свободной границы главными
и ai < аз, то для этих точек oz = аз, ar = ai, a = тс/2. Таким образом,
можно считать, что при последовательном переходе от точек оси z к
точкам свободной поверхности среды угол а увеличивается от 0 до к/2
(см. рис. 51).
Будем предполагать отсутствующим трение между поверхностью
среды и поверхностью штампа. В таком случае нормаль к поверхности
контакта среды и штампа оказывается первым главным направлением
для тех элементов среды, которые примыкают к этой поверхности. Для
элементов среды, расположенных на окружности раздела свободной
границы среды и поверхности контакта, первое главное направление
неопределенно и зависит от пути, по которому совершается прибли-
приближение к точкам раздела. Если, например, подходить к этим точкам,
перемещаясь по свободной границе, то первым главным направлением
будет оставаться направление г; если же перемещаться по поверхности
контакта, то, как было только что указано, — направление нормали к
этой поверхности. Напряженное состояние в точках раздела является,
таким образом, особенным, оно будет изучено позднее.
Обозначим через 6 угол между направлением г и биссектрисой
прямого угла, образованного первым и третьим главными направле-
направлениями. Упомянутая биссектриса совпадает с направлением одного из
-1) Соотношения Хаара-Кармана [213] могут быть получены как предельные
из уравнения пространственного деформирования вязкопластической среды при
коэффициенте вязкости, равном нулю.
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 199
наибольших касательных напряжений для данной точки среды. Оче-
Очевидно (см. рис. 51), что
е = я/4 - ос.
Замечая далее, что (аз — gi) /2 = /С, получим, согласно кругу Мора
(см. рис. 52), что
аг = а + К sin 26, az = а — К sin 26, xrz = —К cos 26,
где а = (аг + az) /2. Далее имеем
cTi = С2 = аз = (аз + oi) /2 + (аз - oi) /2 = а + /f.
Подставляя выражения для напряжений oz:or:orz:o^ в уравнения
равновесия среды
даг дтгг с г — Су _ п dirz , daz Trz _ «
~0г ~0* г ' ~0г ~0* V '
приходим к двум дифференциальным уравнениям
|^ + 2/fcos2ef^ + 2Xsin2e|^ --(К - Xsin2e) = О,
dr dr dz r v y
|^ + 2Кsin 2е|^ - 2Хcos2e|^ - -Xcos2е = О
^z ^r dz r
для двух неизвестных функций а и 6 переменных г и z.
Эти уравнения относятся к классу гиперболических уравнений ма-
математической физики. Характеристики их ортогональны между собой,
и касательные к ним образуют с направлением г углы 6 и тг/2 +
+ 6 в каждой точке среды, кроме отмеченных выше особенных точек.
Действительно, умножая первое уравнение на cos 6, второе на sin 6 и
раздельно складывая их левые и правые части, получим
{да ог,де\ . {да ог,де\ К, . ,
cose — + 2К— +sme — + 2К— = — (cos e-sine).
\дг дгJ \dz dzj r v y
Умножая, в свою очередь, первое уравнение на — sin e, второе — на
cose и вновь складывая, имеем
(да ог,де\ (да ог,де\ К, . ,
-sine -—2/f— +cose -—2/f— = — (cose - sine).
\dr drj \dz dzj r v y
Вводя новые переменные ? = (a -\-2K0) /К, rj = (a — 2Kq) /K,
приходим к системе двух уравнений:
dl . dl 1 , .ч
cos Q——h sin Q-pr- = - (cos e — sin 9) ,
dr dz r v J
дц дц 1 , . ч
- sin e^-1 + cos e^-1 = - (cos e - sin e),
dr dz r v y
200
Гл. 1. Идеально пластическое тело
которые можно также представить в виде
д% 1 , . v дц 1 , . ч
—- = - (cos е - sin е), -—-; = - (cos e - sin e)
Здесь d/ds и д/ds1 — производные по направлениям, образующим
углы 6 и я/2 + 6 с осью г, т. е. по площадкам наибольших касательных
напряжений в данной точке среды (см. рис. 51).
Два ортогональных между собой семейства кривых в плоскости rz,
касательные к которым образуют углы 6 и к/2 + 6 с направлением г,
назовем, следуя общепринятому, семействами линий скольжения (ха-
(характеристик).
Полученные для функций ^ и rj уравнения показывают закон изме-
изменения этих функций вдоль линий скольжения. Поэтому если известны
значения функций ? и rj в двух близких точках, то можно приближенно
найти значения тех же самых функций в точке пересечения линий
скольжения разных семейств, проведенных через эти точки.
Действительно, пусть ^l5 Ль и ^м5 Лм — значения функций ? и rj
в точках L и М (рис. 53). По ним могут быть найдены значения 6/, и
D
Рис. 53
Рис. 54
6м и, следовательно, построены касательные в точках ЬиМклиниям
скольжения.
Обозначим через N точку пересечения двух касательных s и s' к
линии скольжения двух разных семейств, проведенных через точки L
и М. Так как, по предположению, точки L и М близки друг к другу,
то точка N приближенно определяет точку пересечения самих линий.
Пусть LN — касательная к линии скольжения первого семейства и
MN — к линии скольжения второго семейства. Если точка N лежит
на положительных направлениях этих касательных, т. е. полупрямых,
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 201
образующих углы 6/, и 6м + тг/2 с направлением г, то будем иметь
л г . cos0l -
Более точные выражения для значений ? и rj в точке TV мож-
можно получить, заменяя величины г/, и гм соответственно величинами
(гь + г^) /2 и (гм + гуу) /2.
Именно таким образом производились действия при решении кон-
конкретных задач, приводимых ниже. При этом положение точки N опре-
определялось графически, пересечением прямых LN и MN. Углы наклона
прямых вычислялись с точностью до тысячной доли радиана. При
построении их использовался специально изготовленный транспортир
с делением через каждые пять тысячных радиана. Таким образом,
тысячные доли радиана откладывались на глаз. Выбранные при ре-
решении задач линейные размеры построений обеспечивали верность в
третьем знаке после запятой для разности значений величин ? и rj,
так как измерения величин (гь + f лг) /2 и (гм + ^n) /2 производились
с точностью до миллиметра. Отрезки (cos 6/, — sinG/,) LN = ND и
(cos 6м — sin 6м) MTV = NE также измерялись на чертеже. Построе-
Построение отрезков ND и NЕ показано на рис. 54. Измерение производилось с
точностью до десятой доли миллиметра (также на глаз), что с избытком
обеспечило точность в третьем знаке после запятой для отношений
(cosGl — sinGb) LN (cos 6м — sin 6м) MN
(rL +nv)/2 И (rM + rN) /2 '
которые подсчитывались посредством логарифмической линейки.
Порядок вычислений поясняется схемой, представленной на рис. 55.
При этом
A) = (cos6L - sin 6L) LTV, B) = (rL + rN) /2, C) = A): B),
D) = (coseM - sin eM) MN, E) = (rM + rN) /2, F) = D): E),
^v = \l + C), 4n = у\м + F), QN = (?l - Ль) /2.
Пусть известны значения функций ^ и rj, а следовательно, и углы
6 = (? — г|) /4 вдоль дуги, не являющейся линией скольжения. Тогда
можно построить приближенное решение уравнений для этих функций
в некоторой треугольной области, одной из криволинейных сторон
202
Гл. 1. Идеально пластическое тело
которой является данная дуга. Для этого возьмем на ней (рис. 56) по-
последовательность достаточно близко расположенных точек [0, 0], [1,1],
[2, 2], [3, 3], ..., [гг, гг] и построим, отправляясь от каждой пары соседних
точек, новые точки [0,1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], ... по одну сторону кривой,
пользуясь только что описанным способом.
A)
B)
C)
D)
9
E)
0»,
F)
Рис. 55
Рис. 56
Найдя значения величин ^ и rj, а следовательно, и значение 6 =
= (^ — л) /4, можно продолжить построение и найти значения ? и rj в
точках [0, 2], [1, 3], [2, 4],... Затем можно построить точки [0, 3], [1, 4], ...
... , пока не придем к построению последней точки [0, гг].
Ломанные {[0,0], [0,1], [0,2], [0,3], ...}, {[1,1], [1,2], [1,3],
[1,4], ... }, ... представляют собой приближение к линиям скольжения
одного семейства, а ломанные {[1,1], [0,1], [2,2], [1,2], [0,2]}, {[3,3],
[2, 3], [1, 3], [0, 3]}, ... — к линиям другого.
Задача о нахождении функции ? и rj по их известным значениям
на некоторой гладкой дуге является задачей Коши для уравнений
гиперболического типа. Функции \ и rj могут быть при этом, вообще
говоря, найдены в области двух криволинейных треугольников, для
которых данная дуга является общей стороной, а другими сторонами
служат линии скольжения обоих семейств, проходящие через крайние
точки (рис. 57).
Если же известны значения функций ? и rj на двух дугах линий
скольжения разных семейств, исходящих из одной точки, то можно
найти значение ^ и rj и построить линии скольжения в области криво-
криволинейного четырехугольника, ограниченного двумя данными дугами и
двумя линиями скольжения разных семейств, проходящими через их
крайние точки (рис. 58).
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 203
Приближенное решение этой задачи, являющейся задачей Гурса
для уравнений гиперболического типа, может быть построено теми же
приемами, что и решение задачи Коши.
Выберем две последовательности достаточно близко расположен-
расположенных точек: [0, 0], [0,1], [0, 2], ..., [О,гг] на одной дуге и [0, 0], [1, 0], ...
..., [т,0] на другой.
[0,11]
[т,п]
Рис. 57
Рис. 58
По данным значениям ^ и rj в точках [0,1] и [1, 0] строим точку [1,1]
и определяем значения ^ и rj в этой точке. Затем по данным в точках
[0, 2] и [1,1] строим точку [1, 2]. Далее последовательно находим точки
[1,3], [1,4] и т.д.
Ломанная {[1,0], [1,1], [1,2], [1,3], [1,4], ...} представляет собой
приближение к линии скольжения первого семейства, проходящей че-
через точку [1,0]. Теперь по данным значениям ? и rj в точках [1,1], [1,2],
[1, 3], [1, 4], ... строим точки [2,1], [2, 2], [2, 3], [2, 4], ..., определяющие
приближенно новую линию скольжения.
Очевидно, что подобные построения точек и вычисление значений
в них функций ?, и г| можно продолжать до тех пор, пока не бу-
будет приближенно построена последняя линия скольжения [ш,0], [ш,1],
[т,2], ..., [га,гг], проходящая через крайнюю точку [т,0] дуги второй
заданной линии скольжения {[0, 0], [1, 0], [2, 0], [3, 0], ..., [т,0]}.
Последовательности {[0,1], [1,1], [2,1], [3,1], ..., [ш,1]}, {[0, 2], [1, 2],
[2, 2], [3, 2], ..., [т,2]}, {[0,3], [1,3], [2, 3], [3,3], ..., [т,3]}, ... прибли-
женно определяют второе семейство линий скольжения.
Если известны значения функций ? и rj на дуге одной из линий
скольжения, а на другой дуге, не являющейся линией скольжения, дано
соотношение между \ и rj, например rj = а\ + 6, то значения \ и rj
204
Гл. 1. Идеально пластическое тело
могут быть найдены в области, которая ограничена этими дугами и
двумя линиями скольжения, проходящими через крайние точки этих
дуг (рис. 59).
[т,т]
, ш [т,п]
Рис. 59
Для приближенного решения этой третьей задачи, которая явля-
является смешанной задачей уравнений гиперболического типа, возьмем
последовательность расположенных близко друг к другу точек [0,0],
[0,1], [0,2], [0,3], ..., [0, тт.] на заданной линии скольжения. В точке
[0,1] построим к ней нормаль и отметим точку [1,1] приближенного
пересечения данной дуги с линией скольжения, проходящей через точ-
ку[0,1].
В зависимости от принадлежности отрезка [0,1], [1,1] к первому или
ко второму семейству линий скольжения можно найти, отправляясь от
точки [0,1], приближенное значение функции ?, или функции rj в точке
[1,1]. Вследствие заданного соотношения между ^ и rj на второй дуге
этого достаточно для определения обеих функций ? и rj в точке [1,1].
Далее строим точно так же, как и в двух предыдущих задачах,
точки [1,2], [1,3], ...,[1,гг].
Значения величин ^ и rj в точке [1, 2] позволяют построить точку
[2, 2], которая приближенно лежит на пересечении второй данной дуги
с касательной к линии скольжения, проходящей через точку [0, 2].
Затем строим точки [2, 3], [2, 4], ..., [2, га]; [3, 3], ..., [3,га] и, наконец,
точки [га,га], [га,га+1], ..., [га,га], определяющие приближенно поло-
положение той линии скольжения, которая проходит через крайнюю точку
[га, га] второй дуги.
Точки {[0,га], [1,га], [2,га], ..., [гга, га]} определяют при этом ту линию
скольжения другого семейства, которая проходит через крайнюю точку
[0,га], расположенную на линии скольжения первого семейства.
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 205
Если линии скольжения одного и того же семейства пересекаются в
одной точке (рис. 60), то в непосредственной близости к этой точке
второе семейство линий скольжения, вследствие ортогональности к
первому, должно иметь вид дуг концентрических окружностей. Длины
[т,п] C)
B)
A)
[0,п]
Рис. 60
дуг этих окружностей, заключенные между крайними линиями сколь-
скольжения первого семейства, стремятся к нулю по мере приближения к
точке их пересечения. Поэтому одна из функций, ? или rj, должна
стремиться к некоторому предельному значению по мере приближения
к упомянутой точке.
Действительно, так как функции ^ и г| удовлетворяют уравнениям
-^ = - (cos е - sin е), —!\ = - (cos e - sin e),
OS Г OS Г
то при перемещении по дугам второго семейства (близким по форме к
дугам окружности) имеем на основании известной теоремы Лагранжа
^2 — ?i = QAs либо Л2 — Л1 = QAs',
где As и As' — длины соответствующих дуг, ^, Ъ^ и Ль Л2 — значения
функций ^ и л на их концах и Q — значение выражения (cos 6 — sin б) /г
в некоторой средней точке среды. По мере приближения к точке пересе-
206 Гл. 1. Идеально пластическое тело
чения линий скольжений величина As стремится к нулю, а величина Q
остается ограниченной. Следовательно, если касательная к дуге обра-
образует угол 6 с направлением г, то значения ^ и Ъ^ стремятся друг к
другу; если же она образует угол 9 + я/2, то стремятся друг к другу
значения rji и rj2-
С другой стороны, в непосредственной близости к упомянутой точке
остается справедливым соотношение 6 = (^ — rj) /4. Поэтому одна из
величин \ или rj стремится к разным пределам, зависящим от предель-
предельного угла наклона касательной к соответствующей линии скольжения
в точке пересечения. Вследствие этого будем называть пересечение
линий скольжения точкой разрыва1).
Пусть известны значения функций \ и rj вдоль дуги одной из линий
скольжения, проходящей через точку разрыва. Тогда можно последо-
последовательно построить дуги других линий скольжения, проходящих через
точку разрыва, и найти на них значение ?, и rj.
Решение этой задачи, которую мы будем называть задачей
Христиановича-Соколовского [54], аналогично решению задачи Гурса.
Возьмем (см. рис. 43) последовательность близко расположенных точек
{[0,0], [0,1], [0,2], ..., [О,гг]} на дуге с заданными на ней значениями
? и г| и проведем через точку разрыва [0,0] ряд прямых @), A), B),
C), ..., (т) (рис. 43), образующих малые углы друг с другом, причем
прямая @) является касательной к заданной линии скольжения.
Остальные прямые можно рассматривать как касательные к другим
линиям скольжения. Положение последней прямой (т) определяется
обычно условиями задачи.
Предельное значение одной из величин (?, или rj) в точке разрыва
является общим для всех линий одного семейства, а значение другой
определяется углом наклона касательной к направлению г. Если, на-
например, заданная линия скольжения такова, что касательная к ней
образует угол 6 с направлением г, то значение rj в точке разрыва [0, 0]
будет общим для всех проходящих через нее линий скольжения. Для
предельных значений ? имеем
где 6 — угол наклона касательной к выбранным линиям скольжения в
точке разрыва.
Итак, можно считать известными предельные значения функций \
и г| для линий скольжения, касательными к которым являются прямые
A), ...,{т).
-1) В.В.Соколовский называет эту точкой особой [54].
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 207
Построим в точке [0,1] касательные к линии скольжения второ-
второго семейства. Пересечение ее с прямой A) приближенно определит
точку [1,1] пересечения соответствующих линий скольжения, после
чего можно найти приближенные значения ? и rj в этой точке по данным
значениям их в точке [0,1] и предельным значениям в точке разрыва.
Затем строим точку [2,1] пересечения прямой B) с касательной к
линии скольжения второго семейства, проходящей через точку [1,1], и
находим приближенные значения ? и rj в этой точке. Далее подобным
же образом строим точки [3,1], [4,1], ..., [га,1], которые вместе с
точками [0,1], [1,1], [1,2] приближенно определяют положение линии
скольжения, проходящей через точку [0,1]. После этого данная задача
сводится к задаче Гурса о нахождении функций ? и rj по данным их
значениям соответственно на двух линиях скольжения {[0,1], [0, 2], ...
...,[0,п]}и{[0,1], [1,1], [2,1], ...,[т,1]}.
Таким образом, задача оказывается приближенно решенной в обла-
области криволинейного треугольника, которая ограничена двумя линиями
скольжения одного семейства, исходящими из точки разрыва, и пересе-
пересекающей их третьей линией скольжения другого семейства. Положение
последней линии определяется условиями задачи. Очевидно, что точку
разрыва можно рассматривать как дугу линии скольжения, стянувшу-
стянувшуюся в точку.
Некоторое представление о характере напряженного состояния
вблизи точки разрыва можно получить аналитически.
Будем считать напряжения вблизи точки разрыва равномерно огра-
ограниченными, т.е. меньшими по модулю некоторой константы, общей в
окрестности точки разрыва. Кроме того, допустим, что вблизи точки
разрыва функции ^ и rj могут быть представлены разложениями
а2р
Л =
где р — расстояние от точки разрыва; ао, аь а2? &з? • • • и
6(b bi, Ьг? Ьз , . . . — ФУНКЧИИ Угла Ф между направлениями г и прямой,
идущей к этой точке; ц>0иг?>0 — показатели, подлежащие
определению.
Замечая, что (рис. 61) z = р sin ср, г = I + p cos ср, где / — расстояние
между точкой разрыва и осью 2, имеем
208
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Последние соотношения позволяют преобразовать дифференциаль-
дифференциальные уравнения для 5 и rj к виду
cos e — sin e
р
дг\ . дг\ . , \ дг\ , \ 1 0Л cos e — sin e
— т— sin 6 + т— cos 6 = — sin F — ф) ——\- cos F — ф) --р— = —
дг dz у ' dp p dq> I +1
Здесь по-прежнему 6 = E — л) /4.
^ cos e + ^ sin е = cos (е - ф) ^ + sin (е - ф) - -^ = —
dr dz v y dp v J p дф /
Z
с
О
^^
-^
<
р
Рис.
—/—-
-—¦
61
р
-^
Правые и левые части полученных уравнений можно разложить
по степеням р. Коэффициенты при р в разложенных левых частях
уравнений оказываются соответственно равными
sin
а0 — bo
-ф
cos
ао — bo
Разложения правых частей уравнений не содержат отрицательных
степеней р, так как / ф 0. Следовательно, приведенные коэффициенты
должны обращаться в нуль. Это может иметь место в трех случаях:
1) dao/dq = 0, dbo/dq = 0;
2) dao/dq = 0, (ао — bo)/4 — ф = к/2 + тщ
3) dbo/ dy = 0, (ао — bo)/4 — ф = гтгтг,
где гтг — целое число.
В первом случае величины ао и bo суть постоянные величины и
значения ? и rj в точке р = 0 однозначны. Точка р = 0 при этом не
является точкой разрыва.
Во втором случае величина ао постоянна и, следовательно, значение
5 однозначно в точке р = 0. Для величины bo имеем выражение
bo = ао — Bя + 4тк) — 4ф.
Таким образом, предельное значение функций rj при приближении
к точке разрыва зависит от полярного угла ф.
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 209
В третьем случае, напротив, значение функции rj не зависит от пути
приближения к особой точке, так как величина 6о не зависит от угла ср.
Значение главного члена разложения функции ? вблизи точки разрыва
определяется при этом выражением
ао = bo -\- 4тп + 4ср
и тем самым в точке разрыва не однозначно.
В обоих последних случаях значение угла наклона касательной к
линии скольжения одного семейства стремится по мере приближения
к точке разрыва к значению полярного угла ср. Таким образом, в точке
разрыва линии одного из семейств пересекаются. Можно аналитически
показать, что вблизи точки разрыва линии другого семейства мало
отличаются от окружностей с центром в особой точке.
Далее последовательно вычисляются выражения для коэффициен-
коэффициентов ai, а2,. . .; 61, 62,... и определяются значения показателей {i и v.
Перейдем теперь к решению задачи о давлении абсолютно жесткого
штампа на идеально пластическую среду.
Примем, что сила давления на штамп имеет определенное предель-
предельное значение, после превышения которого штамп начинает погружать-
погружаться в среду и деформация последней становится значительной. Следо-
Следовательно, в области среды, окружающей штамп, надлежит положить,
как уже указывалось,
аг = а + К sin 26, az = а — К sin 26, xrz = —К cos 26.
Выше был введен угол а между первым главным направлением
тензора напряжений и осью z. Для свободной границы среды а = тс/2.
А так как 6 = тг/4 — а, то во всех точках этой границы 6 = — тг/4.
Учитывая, что на ней az = 0, имеем
Таким образом, во всех точках свободной границы среды
и, как следствие,
Зная функции ^ и rj на границе среды А В (рис. 62), можно, решая
задачу Коши, построить линии скольжения обоих семейств \ и rj в
треугольной области ABC, примыкающей к свободной границе.
Нетрудно видеть, что угол 6 уменьшается при перемещении по
линиям скольжения в глубь среды. Чтобы это доказать, рассмотрим
210
Гл. 1. Идеально пластическое тело
точку F, находящуюся на пересечении линии скольжения первого се-
семейства FD и линий скольжения второго семейства EF (см. рис. 62).
Вдоль линии FD справедливо соотношение
дЪ cos 6 — sin 6 1f, dr — dz
— = , откуда d\ = .
as r r
При перемещении из точки F в точку D координата г возрастает,
а z уменьшается. Таким образом, dr > 0, dz < 0 и, следовательно, d\ >
> 0. Поэтому значение ? в точке F меньше той же функции в точке D.
О
Рис. 62
Вдоль линии скольжения EF', в свою очередь,
cos e — sin e
откуда dr\ =
dr — dz
ds r r
При переходе от точки F к точке Е координаты г и z уменьшаются,
вследствие чего dx\ < 0. Поэтому значение функции rj в точке F больше
ее значения в точке Е, или, что то же, в точке D, так как функции \ и
rj на свободной границе среды постоянны.
Таким образом, значение разности ? — rj в точке F меньше, чем ее
значение в точках D и Е, а следовательно, и угол 6, вычисленный для
точки F, меньше, чем для точек D и Е, где он равен —я/4.
Если штамп абсолютно гладок, то линии скольжения будут прохо-
проходить под углом я/4 к его поверхности. Одна из таких линий пройдет
через точку Л, которая расположена на краю контактной поверхно-
поверхности. Через эту точку проходит другая линия скольжения АС того же
семейства, которая образует угол я/4 со свободной границей среды.
Таким образом, как уже отмечалось выше, эта точка является точкой
разрыва напряженного состояния и через нее проходит пучок линий
скольжения.
Так как АС является линией скольжения второго семейства (вдоль
нее происходит изменение функции rj), то и все остальные линии,
проходящие через эту точку, также будут принадлежать ко второму
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 211
семейству. Следовательно, предельное значение функции rj в точке А
зависит от пути, по которому идет приближение к этой точке. Функ-
Функция ?, в точке разрыва однозначна и равна — A + тг/2), как и на отрезке
А В свободной границы.
Считая линию скольжения АС (рис. 62) построенной в результате
решения задачи Коши по данным ^ и rj на участке границы А В и зная
значения функции ^ и rj на этой линии, можно, решая теперь уже задачу
Христиановича-Соколовского-Гурса, построить линии скольжения и
определить значения \ и rj в области GAC.
Рис. 63
При этом в конце концов окажется построенной линия скольжения
второго семейства, проходящая под углом к/4 к поверхности штампа
у точки А. Предельное значение функции на этой линии при прибли-
приближении к точке А может быть найдено непосредственно. Для этой цели
обозначим через %А угол между нормалью к поверхности штампа в
точке А и направлением г (рис. 63). Тогда угол наклона линии скольже-
скольжения первого семейства, ортогонального к линии АС, при приближении
(см. рис. 62) к точке А будет стремиться к значению хл — тг/4.
Таким образом, для линий АС и AG имеет соответственно предель-
предельные соотношения
К /
J \SAC -
=%A - J-
Так как предельные значения функции ^, т.е. величины
на обеих линиях равны между собой, то
и, конечно,
и
чи
212 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Далее, для полусуммы oag главных напряжений oj и оз = О2
на линии скольжения AG вблизи особой точки А имеем следующее
значение:
gag = \к {\ + л) = \к \- (j + l) + \ - 1 - 4Хл] = -К A + 2ХА).
Отсюда получаем, что (см. рис. 62) нормальное давление среды на
штамп в окрестности точки А определяется следующим образом:
-qA = c1=oAG-K = -B + 2Хл) К.
Наибольшее по модулю давление в точке А имеет место для плос-
плоского штампа. В этом случае хл — тг/2 и, таким образом, qA = B + к) К.
Как будет видно из дальнейших вычислений, давление на штамп
несколько увеличивается при перемещении по его поверхности к оси
симметрии.
Для определения закона распределения этого давления надлежит
решить (см. выше) смешанную задачу отыскания функций ? и rj в
области HAG (см. рис. 62). В самом деле, на границе штампа НА
имеем
где % — угол наклона к направлению г нормали к поверхности штампа.
Вместе с тем значения функций \ и rj на линии скольжения AG
становятся известными в результате решения предыдущей задачи
Христиановича-Соколовского-Гурса. Решая теперь задачу смешанно-
смешанного типа, можно построить линии скольжения и определить значения
функций \ и г| в треугольной области HAG и, в частности, найти их
значения на линии НА.
Так как величины главных напряжений <5\ и аз определяются фор-
формулами
то можно найти значения и этих величин на линии НА.
Нормальное давление q среды на штамп с точностью до знака равно
главному напряжению аь В результате задача окажется решенной.
Общее усилие давления сферического штампа на среду выражается
при этом криволинейным интегралом
= 2nrqsmxds = 2n rqdr,
АН АН
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 213
а твердость материала среды по Бринеллю — отношением
Нв = P/F,
где F — площадь контактной поверхности.
Заметим, что твердость по Бринеллю несколько отличается от сред-
среднего удельного давления на штамп — твердости по Мейеру, т. е. от
значения Нср = Нм = P/nl2, так как площадь поверхности контакта —
сферического сектора — больше площади соответствующего малого
круга.
Построение линий скольжения и графическое определение вспо-
вспомогательных величин для подсчета разностей значений ? и rj про-
производилось на листе ватмана, причем радиус / границы контактной
поверхности был взят равным 400 мм. На рис. 64 (случай плоского
штампа) и рис. 65 (штамп сферический) линии скольжения показаны
в уменьшенном масштабе1).
Для построения линий скольжения в области ЛВС (см. рис. 62 и 64)
на свободной границе были взяты точки [0,0], [1,1], [2,2], [3,3], ...
..., [10,10] на расстоянии 20 мм друг от друга.
Затем в соответствии с изложенным выше строились группы точек
[0,1], [1, 2], [2, 3], ..., [9,10]; [0, 2], [1, 3], [2,4], ..., [8,10] и т. д.
-1) На рис. 64 и 65 вспомогательные построения типа рис. 54 не воспроизведены.
Опущен также и ряд промежуточных линий скольжения. Полное построение и
подробные расчеты см. в докторской диссертации А.Ю. Ишлинского «Матема-
«Математическая теория вязкопластических и не вполне упругих тел», 1943 (хранится
в библиотеке МГУ).
214
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Результаты вычислений значений функций ? и rj в криволинейном
треугольнике ЛВС приведены в табл. I1).
Порядок этих и последующих вычислений поясняется схемой, пред-
представленной на рис. 38, клетки которой соответствуют данным табл. 1.
-17.9
Рис. 65
Существенными для дальнейшего построения являются точки [0,1],
[0,2], [0,3], ..., [0,10], которые лежат на линии скольжения АС
(см. рис. 62 и 64).
Для построения линий скольжения в области CAG через особую
точку А были проведены прямые с углами наклона 6 + к/2 к направ-
направлению г, соответственно равными 0.786, 0.851, 0.921, 0.991, ..., 2.221,
2.271, 2.316, 2.356. Участки построенных прямых, примыкающие к
особой точке Л, принимались за начальные участки линий скольжения,
проходящих через ту же точку.
Предельные значения угла 6 на этих линиях (при приближении
к особой точке А) равны соответственно —0.786, —0.720, —0.650,
-0.580, ..., 0.650, 0.700, 0.745, 0.785.
Построение точек в области СAG производилось последовательно
группами {[-1,1], [-1,2], [-1,3], ..., [-1,10]}, {[-2,1], [-2,2], ...
..., [—2,10]} и т.д., причем значения функций \ и rj в этих точках,
вычисленные по схеме рис. 55, также сводились в табл. 1.
-1) В табл. 1 и далее в табл. 3 в целях экономии места приведены значения ?,,
г) и 6 только для точек пересечения тех характеристик, которые воспроизведены
на рис. 64 и 65.
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 215
Для случая плоского штампа последней линией скольжения области
CAG является линия AG {[-24,1], [-24, 2], [-24, 3], ..., [-24,10]}.
Таблица 1
s1
10
8
6
4
2
0
Искомая
функция
Л
е
л
е
л
е
л
е
л
е
л
е
-27
-4.447
-7.390
0.735
-25
-4.176
-6.205
0.507
-3.782
-6.318
0.634
-23
-3.940
-5.420
0.370
-3.661
-5.550
0.472
-3.393
-5.629
0.559
-21
-3.749
-4.808
0.265
-3.529
-4.929
0.350
-3.307
-5.018
0.428
-3.091
-5.079
0.497
-19
-3.582
-4.269
0.172
-3.402
-4.379
0.244
-3.212
-4.467
0.314
-3.022
-4.536
0.379
-2.818
-4.590
0.443
-17
-3.447
-3.816
0.092
-3.292
-3.907
0.156
-3.123
-4.001
0.219
-2.952
-4.071
0.280
-2.764
-4.129
0.341
-2.571
-4.173
0.400
Построенные линии скольжения в области СAG для случая плос-
плоского штампа можно использовать и для других случаев, в частности
сферического и конического штампов. Поэтому линии скольжения се-
семейства г|, исходящие из особой точки Л, были построены с малыми
интервалами предельных значений угла 6.
Отправляясь от линии AG и найденных на ней значений функций
5, Л и 6, можно теперь отыскать их значения в области HAG. Постро-
Построение точек проводилось аналогичным образом — группами {[—25,1],
[-25,2], ..., [-25,10]}, {[-26,2], [-26,3], ..., [-26,10]} и т.д. вплоть
до точки Н [—34,10] завершающей все построение.
При подсчете значений функций ^ и rj учитывалось, что в точ-
точках контактной поверхности плоского штампа {[—25,1], [—26,2], ...
..., [—34,10]} имеет место соотношение
9 = (? - л)/4 = ти/4 или л = 5-3.142.
Результаты расчетов приведены в той же табл. 1.
216 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Далее в упомянутых точках плоской контактной поверхности под-
считывались значения функции а и напряжения az по формулам
и измерялись на чертеже расстояния (в миллиметрах) этих точек от
оси z. Интеграл
P = 2n \ rqdr (q = |gi | = \oz |) ,
j
АН
представляющий собой полное усилие давления штампа на пластиче-
пластическую среду, подсчитывался приближенно по формуле трапеций.
Значение q в точке Н при подсчете принято приближенно равным
значению той же функции в точке [—34,10]. Для более полного его
определения следовало бы построить такую линию скольжения, кото-
которая, имея начало на свободной поверхности среды, точно прошла бы
через точку Н (цент поверхности контакта). Построение, не указанное
на рис. 64, показало, что начало такой линии отстоит от точки [10,10]
на расстояние, меньшее 20 мм. Так как значение функции q в точке Н
оказывает малое влияние на значение силы Р, то указанное построение
опущено.
Результаты вычисления значений ai = az в точках контакта приве-
приведены в табл. 2,в которой
q = \o-K\, qr = КЯэ~1Гэ~2
По данным этой таблицы
Р = 2щг dr « 2nK^qrAr = 454000 • 2кК.
j
о
Учитывая, что площадь контактной поверхности F = nl2 в данном
случае равна 160000л;, получаем Р/F = 5.68/С = Нв-
Это и есть теоретическое значение твердости по Бринеллю Нв для
случая плоского штампа. При этом
os =2K = 0.352 ЯБ.
Построения и вычисления для случая сферического штампа ведутся
аналогичным образом. Последняя линия скольжения в области СAG
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 217
выбирается по углу %а-> который образует с направлением г нормаль
к поверхности штампа в точке А. Так, для сферического штампа,
рассмотренного в качестве примера (см. рис. 63, 64), значение хл взято
равным 1.185 или 67°55/. При этом предельное значение угла 6 на линии
скольжения AG равно 0.400. Таким образом, последней в области С AG
(см. рис. 64) в проведенном построении является линия скольжения
{[-17,1], [-17,2], [-17,3], ..., [-17,10]}.
Выбранному значению угла %а соответствует радиус сферы, равный
1063 мм, и погружение штампа в среду на 78.0 мм, что составляет
0.195 внешнего радиуса контактной поверхности (радиуса отпечатка).
Диаметр границы контактной поверхности составляет в данном случае
0.375 диаметра сферы штампа.
Так как линии скольжения в области ВАС и частью в области СAG
соответственно совпадают с линиями скольжения предыдущей задачи,
то построение их на рис. 65 опущено.
Итак, приближением к линии скольжения AG на рис. 64 теперь
будет являться линия {[-17, 0], [-17,1], [-17, 2], [-17, 3], ..., [-17,10]}.
Тем самым она становится исходной при построении линий скольжения
{[-18,1], [-18,2],..., [-18,10]}; {[-19,2], [-19,3],..., [-19,10]} и всех
остальных в области HAG для сферического штампа.
Вычисленные значения функций \ и rj в точках области HAG
приведены в табл. 3. При подсчете функций \ и rj в точках контактной
поверхности [—18,1], [—19, 2], ..., [—27,10] использовалось соотноше-
соотношение г| = ?, — 71 + 4%, которое, в частности, приводилось для точки А.
Значение % находилось по очевидной формуле
где г — измеряемое на чертеже (см. рис. 65) расстояние упомянутых
точек контактной поверхности от оси ?, а / = 400 — выбранное ранее
расстояние от точки А до оси z.
Результаты вычисления различных величин, в частности удельных
давлений q среды на поверхность штампа, необходимые для подсчета
общего усилия Р, с которым штамп давит на среду, приведены в табл. 4.
В ней
rA=l, e = x-j, л = ^-4б, q = \o-K
cosx= jCOSxa, о = — E +л),
218 Гл. 1. Идеально пластическое тело
По данным этой таблицы имеем
Р = 2ти Г qr dr « 2пК ^ gr Аг = 425100 •
о
Отношение
P/F = Нв,
где F подсчитывал ось по формуле
F = f — = 1.0387Г/2
(ти/4 - ха/2 = 0.193, cosO.193 = 0.9814),
для рассматриваемого сферического штампа оказалось равным 5.22 К
(для плоского 5.68 К).
Если же брать вместо площади F контактной поверхности величину
ее проекции F1 = nl2 (I = 400) на плоскую границу недеформирован-
ного тела, то отношение силы Р к величине этой проекции (твердость
по Мейеру) оказывается равным Нм — 5.31/С.
Для упругопластических тел без упрочнения следует считать спра-
справедливым соотношение os = 2/С, где os — предел текучести при про-
простом растяжении. Таким образом, в случае плоского штампа имеем os =
= 0.352 Нв-> а для сферического штампа — os = 0.383 Нв = 0.376 Нм-
Приведенные расчеты позволяют считать, что отношение предела
текучести as к числу твердости по Бринеллю Нв для упругопластиче-
упругопластических тел без упрочнения должно мало зависеть от диаметра отпечатка.
Это обстоятельство находится в соответствии с экспериментальными
данными, согласно которым as = 0.34 -=- 0.36 Нв1)-
-1) Шилд повторил решение задачи о давлении плоского штампа на идеально
пластическое полутело, пользуясь по существу той же методикой, однако более
совершенными для того времени вычислительными средствами [220].Расхождение
с приведенным решением оказалось в общем незначительным. В 1984 г. научные
сотрудники Института проблем механики АН СССР Н.Г. Бураго и А.Н.Туманов
заново проделали все вычисления на электронной вычислительной машине ЕС-
1055 с выходом на графопостроитель для вычерчивания линий скольжения
(характеристик). Результаты как в основном, так и в уточненном варианте
(с использованием вторых разностей) также сравнительно мало отличаются от
приведенных в настоящем параграфе.
Вместо приведенного в настоящей работе отношения gs/Hb =0.352 A943 г.)
между пределом текучести и числом твердости по Бринеллю Шилд A955 г.)
получил gs/Hb =0.359. Результаты Н.Г. Бураго A984 г.) оказались такими же,
как в настоящем параграфе. Они хранятся в библиотеке Института проблем
механики АН СССР.
§ 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля 219
о и
я -1
О
00
со
СО
1
(М
i—I
1
т—1
1
"^
1
сч
1
8
1
S
1
со
1
со
1
,_|
ю
(М
1
а
со
(М
1
1
,_|
|>
(М
1
00
(М
1
(М
О5
00
(М
1
СО
СО
о
со
1
а
8
со
1
483
со
1
СО
со
1
СО
со
1
00
со
1
|>
00
со
1
со
(М
а
со
1
(М
(М
о
1
о
,_|
ю
о
т—1
"^
СО
о
со
о
00
о
со
о
i—I
о
т—1
сч
ю
о
о
т—1
со
(М
1
129
1
ю
ю
1
я
00
ю
1
ю
ё
СО
1
00
со
СО
1
^
СО
СО
СО
1
СО
00
о
о
(М
00
о
1
ю
00
о
1
СО
а
00
о
1
О5
ОЭ
о
1
со
3
о
1
СО
о
1
о
о
1
162
о
о
оо
ю
о
СЧ
00
ю
о
00
СО
о
00
00
СО
о
ю
о
т—1
ю
(М
1
со
СО
(М
1
|>
(М
1
со
00
|>
(М
1
<—)
00
(М
1
СО
а
а
СЧ
1
00
ю
со
1
316
со
1
о
со
1
со
"^
"^
со
1
ю
00
со
1
8
ю
со
1
О5
ю
со
1
00
,_|
ю
о
Ь;
СО
о
ю
о
00
00
о
ю
о
СО
о
1—1
(М
1
225
1
ю
СО
ю
1
00
ю
1
СО
сч
СО
1
(М
00
со
СО
1
^_|
О5
СО
СО
СО
on
о
1
8
00
о
1
(М
СО
00
о
1
ю
о
1
,_|
ю
О5
о
1
СО
ю
о
ю
00
о
1
227
о
СО
ю
о
о
со
о
со
о
ю
|>
о
ю
00
|>
о
ю
(М
1
О5
СО
(М
1
СО
(М
(М
1
,_|
ы
1
со
а
(М
1
со
о
со
1
139
со
1
00
со
1
ю
1—1
(М
со
1
(^
а
со
1
00
(М
со
1
СО
ю
о
со
in
СО
о
,_|
ю
|>
о
со
СО
00
о
СО
СП
о
1—1
S
1
304
1
00
СО
ю
1
ю
1
00
СО
1
о
со
СО
1
СО
on
о
1
СО
(М
00
о
1
О5
СО
00
о
1
СО
1—1
О5
о
1
О5
ю
о
1
00
сч
о
1
291
о
сч
СО
о
Е2
СО
о
00
о
ю
|>
о
1
,_|
ю
сч
1
ю
ю
СО
сч
1
00
со
сч
1
[^
00
сч
1
СО
О5
00
сч
1
962
сч
1
00
а
сч
1
ТОО
со
1
о
1—1
о
со
1
ю
о
,_|
со
о
00
СО
о
00
СП
00
о
СО
1—1
СО
сч
1
366
1
о
ю
1
1—1
сч
О5
ю
1
сч
ю
СО
1
СО
00
о
1
О5
сч
00
о
1
СО
|>
00
о
1
о
00
о
о
ё
о
1
351
о
00
СО
о
ш
|>
о
ю
о
т—1
ю
сч
1
сч
СО
СО
сч
1
со
о
сч
1
,_|
г
сч
1
767
сч
1
сч
1
1—1
00
|>
сч
1
сч
,_|
ю
о
,—)
СО
о
[^
а
о
1—1
е
сч
1
416
1
ю
1
сЗ
ю
1
СО
|>
о
1
со
со
00
о
1
[^
сч
о
1
о
1—1
о
о
1
412
о
со
о
3
|>
о
,_|
ю
сч
1
,_|
ю
сч
1
^_|
ю
сч
1
571
сч
1
ю
сч
1
о
,_|
ю
о
со
о
7
со
{:
сч
1
453
1
ю
1
СО
00
о
1
о
со
о
о
о
470
о
00
о
Переменная
г
\
а/К
я/к
qr/K
~qf
Ar
cfrAr
H
0
-
-
-
6.600
-
-34,10
51.8
-4.022
-7.164
-5.593
6.593
341.5
170.8
51.8
8845
-33,9
103.3
-3.750
-6.892
-5.321
6.321
653.0
497.2
51.5
25608
-32,8
150.5
-3.549
-6.691
-5.120
6.120
921.1
787.0
47.2
37147
-31,7
190.9
-3.388
-6.530
-4.959
5.959
1137.6
1029.3
40.4
41585
-30,6
229.8
-3.248
-6.390
-4.819
5.819
1337.2
1237.4
38.9
48135
-29,5
263.1
-3.125
-6.267
-4.696
5.696
1498.6
1417.9
33.3
47216
-2
29
-3
-6
-4
5.,
16'
15'
3]
50
Переменная
г
Н
0
-27,10
58.3
-26,9
112.6
-25,8
160.2
-24,7
200.3
-23,6
237.8
-22,5
271.8
-2
30
Таблица 3
-26,2
352.4
-2.781
-5.923
-4.352
5.352
886.0
830.3
27.8
Ю882
-25,1
377.4
-2.671
-5.813
-4.242
5.242
1978.3
1932.2
25.0
48304
А
400.0
-2.571
-5.715
-4.142
5.142
2056.8
2017.6
22.6
45597
Таблица 4
19,2
55.6
-18,1
378.6
А
400.0
222
Гл. 1. Идеально пластическое тело
§ 17. Начальное пластическое течение
при внедрении сферического индентора
в жесткопластическое полупространство
Рассмотрим задачу о начальном пластическом течении при вне-
внедрении гладкого сферического штампа в жесткопластическое полу-
полупространство (рис. 66). Глубина лунки /г, радиус лунки а и радиус
сферической поверхности штампа R связаны соотношением
поэтому только две из трех указанных величин являются независимы-
независимыми. Если за характерный размер выбрать радиус лунки а, то един-
ственным независимым параметром задачи оказывается безразмерная
величина радиуса сферы R* = —, а два других безразмерных парамет-
параметра имеют вид
а* = 1, h* = R* -
Задачу решаем в цилиндрических координатах г, 2,ср для пласти-
пластического режима, соответствующего ребру призмы Треска в простран-
пространстве главных напряжений, при котором уравнения, описывающие поля
§ 17. Начальное пластическое течение при внедрении индентора 223
напряжений и скоростей, оказываются гиперболическими с характери-
характеристиками а, р, совпадающими с направлениями максимальных напря-
напряжений в плоскости г, z:
^=tg6 для a, -^ = -ctg6 для р. A.17.1)
Компоненты напряжения в цилиндрических координатах связаны с
нормальными и касательными напряжениями, действующими на пло-
площадках, совпадающих с характеристиками, уравнениями
ог = о — k sin 26, oz = о + к sin 26,
тг;г = &cos2e, оф = с + &, A.17.2)
Oi + О2 j Oi — О2
6 — угол между касательной к характеристике первого семейства и
положительным направлением оси г, к — пластическая постоянная.
Вдоль характеристик а, р имеют место дифференциальные соотно-
соотношения для функций а и 6
do - 2Ы6 = -(dr + dz), do + 2Ые = -(dr - dz), A.17.3)
для скоростей г?а, v$
2
— vadr), A.17.4)
2
dv$ + vada = —-(vadz + v
Компоненты скорости в цилиндрических координатах выражаются
через г?а, г?р по формулам
vr = va cos 6 — г^р sin 6, vz = ^asin6 + ^pcos6. A.17.5)
Закон пластического течения, ассоциированный с ребром призмы
Треска, удовлетворяется при выполнении неравенств для поля скоро-
скоростей
через д/да, д/д$ обозначено дифференцирование вдоль характери-
характеристик первого и второго семейства соответственно. При выполнении
условия A.17.6) диссипативная функция неотрицательна.
2. Граница 1.1-0.2 жесткопластического полупространства свободна
от нормальных и касательных напряжений. Сжимающие напряжения
ог = —2к вызывают на границе пластическое состояние.
224 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из уравнений A.17.2) следует
o = -fc, e=j, r^l, 2 = 0. A.17.7)
На гладкой границе 0.3-1.4 штампа, свободной от касательных на-
напряжений, имеем следующие граничные условия:
Зтг R* - h + z , оЧ
6=——ф, ф = arccos ^ , A.17.8)
va = г?р + V%v cos ф, 0 ^ r ^ 1, z =
Принимаем, что жесткопластическая граница совпадает с характе-
характеристикой 1.1—1.4 семейства р, которая пересекает поверхность штампа
в точке, лежащей на оси симметрии.
По условию несжи маем ости компонента скорости г?а, нормальная к
жесткопласти ческой границе, должна быть непрерывна при переходе
из жесткой области в пластическую. Разрыв компоненты скорости
г?р вдоль жесткопласти ческой границы также отсутствует, так как в
противном случае при приближении к оси симметрии он возрастал
бы неограниченно. Таким образом, вдоль жесткопласти ческой границы
1.1-1.4 скорости непрерывны
va = 0, г>р = 0. A.17.9)
3. Построение полей напряжений и скоростей, удовлетворяющих
дифференциальным уравнениям A.17.3), A.17.4) и граничным усло-
условиям A.17.7)—A.17.9), получено последовательным решением краевых
задач вначале для напряжений, а затем для скоростей численным мето-
методом. В уравнениях A.17.1), A.17.3), A.17.4) дифференциалы заменены
конечными разностями, а функции — средними значениями между
соседними узловыми точками. После аппроксимации дифференциаль-
дифференциальным уравнениям A.17.1), A.17.3) ставится в соответствие система из
четырех уравнений относительно неизвестных г, 2, о, 9. Два из этих
уравнений нелинейны. Система решена для каждой узловой точки
сетки итерационным методом с условием на окончание вычислений в
виде
(ri -rr1J + (^-^_1J + (ai-ai_1J + (ei-ei_1J ^ ИГ8, A.17.10)
г — номер итерационного цикла.
Аппроксимация дифференциальных уравнений A.17.4) конечными
разностями приводит к системе из двух линейных уравнений относи-
относительно скоростей va, v$ в рассматриваемой узловой точке сетки. Эта
система решена по формулам Крамера.
§ 17. Начальное пластическое течение при внедрении индентора 225
Построение поля напряжений и вычисление характеристик начина-
начинаем с решения задачи Коши в области 1.1-0.2-1.2 для уравнений A.17.1),
A.17.3) при граничном условии A.17.7). Граничные условия A.17.7) и
A.17.8) для функции 6 в точке пересечения границы жесткопласти-
ческого полупространства с границей штампа согласуем с помощью
вырожденной характеристики 0.2-0.3 семейства р, для которой
л . . Зтс L. h /**!-,* *\
т ^ 9 ^ ~г ~ Фо, Фо = arccos 1 - —И , A.17.11)
4 4 у ti \
г = 1, z = 0.
Так как координаты г, z на этой характеристике постоянны, то
второе уравнение A.17.3) принимает вид
йо + 2Ые = 0. A.17.12)
Условия A.17.11), A.17.12) определяют функции а, 6 и координаты
г, z на вырожденной характеристике 0.2-0.3. В области 0.2—1.2—1.3—
0.3 напряжения и характеристики получаем из решения задачи Гурса
по известным значениям а, 6, г, z на характеристиках 1.2—0.2 и 0.2—0.3.
Поле напряжений и характеристики в области 0.3-1.3-1.4 вычисляем,
решая смешанную краевую задачу для уравнений A.17.1), A.17.3) по
полученным значениям а, 6, г, z на характеристике 0.3-1.3 с использо-
использованием граничного условия A.17.8). При этом итерационным методом
решали систему уравнений, получающуюся при замене вторых уравне-
уравнений A.17.1), A.17.3) конечными разностями с добавлением граничных
условий A.17.8), из которой находили функции а, 6, г, z в узлах сетки
на границе штампа с точностью A.17.10).
Так как уравнения A.17.3) содержат г, то вычисления по ним в
окрестности оси симметрии приводят к большой погрешности. Поэтому
для этой окрестности вычисления выполняли по уравнениям, которые
следуют из A.17.3) при предельном переходе г —> 0, 6 —> Зтг/4:
do - 4Ые = 0, do + 4Ые = 0.
Построенное поле характеристик и известная функция 6 позволяют
вычислить поле скоростей, удовлетворяющее уравнениям A.17.4) и
граничным условиям. Поле скоростей в окрестности оси симметрии
имеет особенность: со стороны жесткой области скорости равны нулю,
а со стороны штампа скорость в точке 1.4 равна скорости штампа
v = 1. Так как вдоль характеристики 1.1-1.4 разрыва скорости нет,
то скорости жесткой зоны и штампа в окрестности оси симметрии
удается согласовать при помощи автомодельного решения в полярных
226 Гл. 1. Идеально пластическое тело
координатах с центром в точке 1.4:
vz = -arctg —. , A.17.13)
ТС ° у Sin \|/ у V У
\|/ — полярный угол, показанный на рис. 49.
В области 1.4-1.3-0.3 поле скоростей получаем из решения сме-
смешанной краевой задачи для уравнений A.4) при граничных условиях
A.17.9) на жесткопластической границе 1.3-1.4 и A.17.8) на границе
штампа с использованием A.17.13), A.17.5) в окрестности оси симмет-
симметрии. В области 1.1—1.2—1.3—0.3—0.2 решаем задачу Гурса для уравнений
A.17.4) при известных скоростях г?а, г?р на границе 1.1—1.3 и на харак-
характеристике 0.2—0.3 семейства р второе уравнение A.4) принимает вид
dv$ + vadQ = 0.
Вместе с вычислениями поля скоростей для каждой ячейки сетки
проверяли ассоциированный закон течения A.17.6), заменяя произ-
производные функций г?а, г?р,Э отношениями конечных разностей, а сами
функции — их средними значениями.
Вычисления показали, что закон пластического течения, ассоци-
ассоциированный с ребром призмы Треска, нарушается в некоторой части
области пластического течения при значениях параметра R* < 2.
При значениях #*, близких к единице, область нарушения ассоци-
ассоциированного закона течения распространяется от свободной границы
жесткопластического полупространства до поверхности штампа. Гра-
Границы этой области совпадают с характеристиками ос, р и находятся
выше жесткопласти ческой границы. С возрастанием значения R* от
единицы размеры области нарушения ассоциированного закона тече-
течения уменьшаются. Так, например, при R* = 1.25 указанная область,
ограниченная характеристиками а, р, совпадает только с частью поля
характеристик в области 1.1-0.2-1.2 и содержит единственную точку
штампа 0.2. При значениях параметра R* ^ 2 нарушения ассоцииро-
ассоциированного закона течения не происходило. Следовательно, при R* < 2
для пластического режима, соответствующего ребру призмы Треска
в пространстве главных напряжений (условие полной пластичности),
можно построить только статически возможные поля напряжений.
4. Построение полного решения задачи о пластическом течении
требует также доказательства неравенства текучести в жесткой обла-
области. Это доказательство выполняют путем продолжения пластического
поля напряжений в жесткую область с построением гипотетического
контура, свободного от напряжений, и введением линии разрыва напря-
напряжений, разделяющей область пластического равновесия, нагруженную
§ 17. Начальное пластическое течение при внедрении индентора 227
до пластического состояния, и область, в которой выполняется строгое
неравенство текучести.
Продолжение пластического поля напряжений в жесткую об-
область получено из решения смешанной краевой задачи для уравнений
A.17.1), A.17.3) по заданным значениям функций а, 6 на жесткопла-
стической границе 1.1-1.4 — характеристике семейства rj и граничном
условии на оси симметрии
а=^, г = 0. A.17.14)
Гипотетический контур, свободный от нормальных и касательных
напряжений, получен из решения обратной задачи Коши с использова-
использованием условий
a=-k, ?=tg(e-f). A.17.15)
Построение гипотетического свободного контура проводим до тех
пор, пока касательная к нему не будет параллельна оси z, что соответ-
соответствует условию а = Зтг/4. После этого от свободного контура проводим
линию разрыва напряжений, ниже которой материал находится в од-
одноосном напряженном состоянии в направлении оси z
сг = 0, сф = 0, xrz=0, az^0. A.17.16)
При выполнении условия \az\ ^ 2k продолжение напряжений в
жесткую область является статически допустимым и неравенство те-
текучести в жесткой зоне удовлетворяется.
Продолжение пластического поля напряжений выполнено путем
решения смешанной краевой задачи при условии A.17.14) и обрат-
обратной задачи Коши при условиях A.17.15). Построение линии разры-
разрыва напряжений, разделяющей область пластического равновесия и
область с одноосным напряженным состоянием A.17.16), выполнено
графическим интегрированием с использованием плоскости напряже-
напряжений.
5. Полные решения задачи могут быть получены для значений
параметра R* ^ 2. На рис. 67, 68 показаны примеры построенных
полей характеристик с продолжением пластического поля напряже-
напряжений в жесткую область. В области пластического равновесия поля
напряжений, примыкающие к гипотетическому свободному контуру
и к оси симметрии, сопрягаются по линии разрыва напряжений. От
нижней точки гипотетического свободного контура проведена линия
разрыва напряжений, ниже которой материал находится в одноосном
228
Гл. 1. Идеально пластическое тело
-1.0
г
г
/.
А N
3
1
0.54
ш
vrr/ultt
Ж "
-0.69
2
i
^——
1 Ah
ш
ЙЩ
1
If"
s- 1
S" 2
- 3
О
0.05
к0.62
Рис. 68
§ 17. Начальное пластическое течение при внедрении индентора 229
напряженном состоянии в направлении оси z без нарушения неравен-
неравенства текучести. Распределение напряжений az ниже линии разрыва
показано на графиках в нижней части обеих фигур. Линии разрыва
напряжений показаны пунктирными линиями.
На рис. 67, 68 показано также выпучивание границы жесткопласти-
ческого полупространства, построенное по значениям скоростей, при
бесконечно малом перемещении штампа А/г. Быстрое изменение ско-
скоростей в окрестности оси симметрии приводит к быстрому изменению
скоростей в окрестности точки 1.1 (рис. 66) границы полупространства.
На остальной части границы при приближении к штампу скорости
возрастают почти линейно. На рис. 69 показано изменение удельного
2.845
2.7
2.5
q/2k
.— ¦
¦
R*
6
Рис. 69
10
усилия, приложенного к штампу:
1
dr,
где значения а берутся для границы штампа от параметра R*. Для
R* = 2.66 в работе [170] получено q/2k = 2.66. На рис. 69 указанному
значению R* соответствует q/2k = 2.653. При R* —> оо удельное усилие
асимптотически стремится к значению 2.845 для штампа с плоским
основанием.
Приводим вычисленные поля напряжений и скоростей для R* = 2.
-a/2k
а
-v%/v
-vjv
г
Z
= 0.500
= 0.785
= 0.000
= 0.000
= 1.596
= 0.000
0.494
0.706
0.000
0.000
1.488
0.117
0.448
0.559
0.000
0.000
1.365
0.283
0.748
0.795
0.000
0.000
1.290
0.376
1.137
1.095
0.000
0.000
1.163
0.468
1.839
1.583
0.000
0.000
0.805
0.532
2.603
1.944
0.000
0.000
0.285
0.433
3.556
2.356
0.000
0.000
0.000
0.268
230
Гл. 1. Идеально пластическое тело
-а/2к
а
-vk/v
-vjv
г
Z
= 0.500
= 0.785
= 0.031
= 0.947
= 1.300
= 0.000
0.496
0.724
0.030
0.975
1.230
0.075
0.483
0.656
0.028
1.000
1.170
0.147
0.776
0.912
0.026
1.012
1.127
0.190
0.999
1.106
0.025
1.024
1.088
0.215
1.609
1.643
0.017
1.077
0.962
0.234
1.962
1.894
-0.006
1.222
0.746
0.196
2.130
2.024
-0.029
1.307
0.65
0.158
-а/2к
а
-vk/v
-v4/v
г
Z
= 0.500
= 0.785
= 0.109
= 1.409
= 1.000
= 0.000
0.638
0.923
0.106
1.395
1.000
0.000
0.776
1.061
0.103
1.380
1.000
0.000
0.914
1.199
0.100
1.366
1.000
0.000
1.052
1.337
0.097
1.352
1.000
0.000
1.328
1.613
0.090
1.327
1.000
0.000
1.535
1.820
0.083
1.309
1.000
0.000
1.547
1.833
0.083
1.308
1.000
0.000
Приводим вычисленные значения контактных напряжений и скоро-
скоростей на границе штампа для R* = 4 и R* = 10.
-а/2к
а
-vjv
-vjv
г
Z
= 1.818
= 2.103
= -0.075
= 1.445
= 1.000
= 0.000
1.944
2.128
-0.035
1.413
0.905
0.023
2.174
2.177
0.025
1.367
0.712
0.063
2.393
2.226
0.071
1.331
0.519
0.093
2.524
2.254
0.095
1.312
0.407
0.106
2.685
2.287
0.121
1.289
0.278
0.117
2.922
2.325
0.255
1.158
0.124
0.125
3.357
2.356
0.257
1.157
0.000
0.127
-а/2к
а
-v%/v
-v4/v
г
Z
= 1.971
= 2.256
= -0.072
= 1.479
= 1.000
= 0.000
2.040
2.262
-0.044
1.452
0.937
0.006
2.186
2.277
0.008
1.402
0.790
0.019
2.347
2.295
0.055
1.356
0.612
0.031
2.439
2.305
0.079
1.333
0.509
0.037
2.604
2.323
0.116
1.297
0.333
0.045
2.757
2.337
0.144
1.270
0.194
0.048
3.222+
2.356
0.257
1.157
0.000
0.050
§ 18. Внедрение гладкого клинообразного в плане штампа
231
Ниже приведены вычисленные значения скоростей на свободной
границе жесткопластического полупространства (г ^ 1, z = 0) для
тех же значений параметра задачи.
= 0.000
0.000
0.009
0.027
0.039
0.069
0.087
0.109
= 0.000
0.469
0.703
0.950
1.067
1.306
1.433
1.569
= 1.577
1.511
1.421
1.301
1.241
1.121
1.061
1.000
-vk/v
= 0.000
0.001
0.004
0.018
0.028
0.062
0.080
0.112
-vjv
= 0.000
0.326
0.547
0.827
0.952
1.265
1.399
1.619
= 1.574 1.540 1.480 1.360 1.300 1.150 1.090 1.000
В области 1.1-1.2-0.2 у свободной границы (рис. 66) результаты вычис-
вычислений характеристик и поля напряжений совпадают с автомодельным
решением [220].
§ 18. Внедрение гладкого клинообразного в плане
штампа с плоским основанием
в жесткопластическое полупространство
1. Двумерное пластическое течение в сферических координатах
р, 6, ф, при котором напряженно-деформированное состояние не зави-
зависит от радиальной координаты р, описывается следующими уравнени-
уравнениями:
уравнения равновесия
две , 1 дт$ф , /
условие пластичности
(се - афJ + 4теф = 4&2, k = const;
условие несжимаемости
8v 1 <9со
ъ~ + -— ^- + v ctg 6 = 0;
de sin е дф °
условие изотропии материала
2—sin2\|/ - cos2\|/ ( — + -— coctge I = 0.
A.18.1)
A.18.2)
A.18.3)
A.18.4)
232 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Здесь к — пластическая постоянная, v и со — компоненты скорости
течения в направлениях 6, ср соответственно; \|/ — угол между осью 6 и
первым главным направлением.
Уравнения A.18.3) и A.18.4) соответствуют ассоциированному за-
закону пластического течения. Уравнения A.18.1)—A.18.4) образуют за-
замкнутую систему относительно пяти неизвестных Св^Су, т9ф5 v5 ю-
Напряжение в радиальном направлении равно среднему напряже-
напряжению
Ср = р = (сф + се)/2.
Выражая напряжения ае,аф, Теф через величины р и \|/ с помощью
круга Мора
с>е — Р + к cos 2\|/, аф = р — к cos 2\|/, тоф — fcsin2\|/ A.18.5)
преобразуем уравнения A.18.1) и A.18.2) к виду
8Р . о ду , cos2?<9?
— sin 2x1/^- Н :—- V1 + cos 2\i/ ctg 6 = 0,
+ cos2?^ + f f +sin2?ctge = 0. ч
sin e #ф ^е sin e ф
A.18.6)
Уравнения A.18.6) относятся к гиперболическому типу; их харак-
характеристики имеют вид
(?) t(Tl/4) A.18.7)
12 Sin 9
Вдоль характеристик имеют место дифференциальные соотноше-
соотношения для функций Р и \|/:
dP =p d\\f =p cos edcp = 0. A.18.8)
Верхние знаки относятся к характеристикам первого семейства.
Обозначение двух семейств характеристик выбрано таким образом,
чтобы в правой системе координат 1,2 первое главное направление
проходило через первый и третий квадранты.
Уравнения A.18.3) и A.18.4) для скоростей также относятся к гипер-
гиперболическому типу; их характеристики совпадают с характеристиками
A.18.7) для напряжений. Дифференциальные соотношения вдоль ха-
характеристик для функций v, со имеют вид
[vtg(\|/=F 1/4ти) - co]cos6d(p + dv + dcotg(\|/=F 1/4ти) . A.18.9)
Уравнения A.18.9) преобразуются следующим образом. Компонен-
Компоненты скорости v, со в направлениях 6, ср выражаются через компоненты
§ 18. Внедрение гладкого клинообразного в плане штампа 233
скорости 1/, W в направлениях характеристик первого и второго се-
семейств уравнениями
v = V sin a + W cos а, со = W sin а — V cos а (а = \|/ + 1/4я) .
A.18.10)
Переходя в уравнениях A.18.9) от переменных v,co к переменным
1/, W с помощью преобразования A.18.10), получим [141] вдоль харак-
характеристик первого и второго семейства соответственно
dV -W (d\\f + cos edq>) = 0,
J A.18.11)
dW - V(d\\f +cos Qdy) = 0.
Отметим, что при 6 —> 1/2я уравнения сферического деформиро-
деформированного состояния переходят в уравнения плоской деформации.
2. Рассмотрим построение характеристик и поля напряжений. На
рис. 70 показано внедрение гладкого
клинообразного в плане штампа с плос-
плоским основанием в пластическое полу-
полупространство. В плане (рис. 70) клин
имеет угол раствора 2у и предполагает-
предполагается бесконечным. Штамп симметричен
относительно линии OOi, поэтому до-
достаточно рассмотреть одну его полови- ^Ч^ вх
ну. На рис. 71 показана половина штам-
штампа и структура поля характеристик в Рис. 70
плоскости 6, ф. Вертикальная ось, от
которой отсчитываются углы 6, совмещена с нормалью к полуплос-
полуплоскости, а начало сферической системы координат — с вершиной клина.
Свободная граница полуплоскости имеет координату 6 = я/2.
Граничные условия, необходимые для построения характеристик и
поля напряжений, имеют вид
1 _ / _ 1
~2'^ ~ V ~~ 2^
A.18.12)
Граничные условия на свободной поверхности полуплоскости (б =
= я/2, Ф ^ у) позволяют построить характеристики и вычислить
поле напряжений в области BMN (задача Коши). Так как граничные
условия на свободной поверхности не зависят от ф и в уравнениях
A.18.6) содержится только дифференцирование по ср, то решение в
области BMN не зависит от ср. Уравнения A.18.6) для этой области
234
Гл. 1. Идеально пластическое тело
принимают вид
dP
. dw
~ Sm ?~dQ + C°S ? Ctg 6 = '
cos 2\|/——Ь sin 2\(/ctg 6 = 0.
A.18.13)
Интегрирование уравнений A.18.13) при граничных условиях
A.18.12) для 6 = к/2 иф^у приводит к результату
Р = — In sin 6 - -, \|/ = 0.
у = 0.651
Рис. 71
Подставляя эти значения в уравнения A.18.5), получим
ае = -2^ In sine, аф =-2fc(lnsin9) + l, тОф = 0.
Уравнения характеристик при \|/ = 0 интегрируются:
A.18.14)
Ф1,2 = Фо
Фо
А •
(^ е=
Значения параметра фо = у и фо = п определяют характеристики
ВМ и NМ (рис. 71), ограничивающие область решения A.18.14).
В области OBMF решение получено численным методом при по-
помощи вычислительной машины. При этом уравнения A.18.7), A.18.8)
заменялись соотношениями в конечных разностях и решались методом
последовательных приближений в узловых точках поля характеристик.
Точность вычислений в каждой узловой точке определялась величи-
величиной
|q>i+i - ф»| ^ 0.0005, |9i+i - Qi\ ^ 0.0005.
Здесь индексы обозначают номер итерационного цикла. Сравнение
числовых значений, вычисленных в области ВМ N\ с точным решением
показало, что погрешность численных результатов составляет «1%.
§ 18. Внедрение гладкого клинообразного в плане штампа
235
Точка В будет особой точкой поля напряжений, в которой величина
\|/ меняется в пределах — к/2 ^ \|/ ^ 0. Замечая, что 6 б = тг/2, из первого
уравнения A.18.8) получим Р = \|/ — 1/2. В точке В характеристики
второго семейства стягиваются в точку с координатами 6 = тг/2, ф =
= у. Значения функций Р и \|/ в точке В и на характеристике ВМ
позволяют построить решение в области BMF Е\Е (вырожденная
задача Гурса). Полученные значения Р и \|/ на характеристике BE и
граничные условия A.18.12) на О В 6 = тг/2, ф ^ у определяют решение
в области О BE (задача смешанного типа). Приводим распределение
напряжения о% = oQ/2k по основанию О В штампа:
ф =
Ф =
0.003
1.827
0.324
2.468
0.012
1.916
0.400
2.512
0.051
2.086
0.439
2.529
0.082
2.167
0.481
2.544
0.122
2.244
0.522
2.556
0.169
2.318
0.564
2.564
0.291
2.442
0.651
2.571
Вычисления показали, что при значениях параметра фо, находящих-
находящихся в пределах 1.789 ^ фо ^ п и у = 0.651, характеристики первого
семейства в области OE\F ограничены огибающей OF, за которую
аналитическое решение не может быть продолжено. Ниже приводим
координаты огибающей и значения Р и \|/:
ф =
е =
-Р =
-? =
Ф =
е =
-Р =
-? =
0.000
1.571
1.286
1.571
0.156
2.018
1.388
2.121
0.045
1.633
1.496
1.821
0.191
2.130
1.168
2.015
0.058
1.661
1.470
1.924
0.246
2.246
0.952
1.898
0.101
1.768
1.550
2.041
0.281
2.306
0.814
1.865
0.121
1.837
1.549
2.121
0.326
2.367
0.699
1.805
0.131
1.886
1.528
2.186
0.485
2.525
0.396
1.638
0.140
1.939
1.527
2.223
0.521
2.560
0.298
1.638
Таким образом, для идеального жесткопластического тела при од-
одной и той же предельной нагрузке возможны два поля напряжений
(OBCDE и OBNMF), которые показаны на рис. 71. Ниже они будут
называться полем А и Б соответственно. Так как коэффициенты при
производных в уравнениях A.18.6) не зависят от ф, то построение полей
напряжений и характеристик не меняется при смещении вдоль оси ф.
236 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Поэтому поле А содержит также поле напряжений для у < 0.651.
При у —> 0 рассматриваемое решение переходит в решение Хилла для
плоской деформации. При у > 0.651 к центральной части штампа
примыкает жесткая область и построить поле скоростей в этом случае
подобным приемом не удается.
3. Поле скоростей строилось численным методом. При этом урав-
уравнения A.18.11) заменялись соотношениями в конечных разностях и
решались методом последовательных приближений в узловых точках
поля характеристик. Точность вычислений в каждой узловой точке
определялась величиной
\Vi+i ~ Vi\ ^ 0.0005, \WW - Wi\ ^ 0.0005.
Граничные условия, определяющие построение поля скоростей,
имеют вид
W-V = V2 на ОБ (е = тг/2,0^ф^у), A.18.15)
W = 0, V = -л/2 на OFMN (Фо = ти) и OEDC^ = 1.789.
Здесь скорость движения штампа принята равной единице. Первое
условие A.18.15) выражает непрерывность нормальной к поверхности
штампа компоненты скорости при переходе к пластической области
через границу ОБ. Второе условие выражает непрерывность нормаль-
нормальной компоненты скорости при переходе через жесткопластическую гра-
границу (VK=0) и разрыв касательной компоненты скорости (V = —л/2)
вдоль нее, распространяющийся от точки О штампа. Величина разрыва
остается постоянной вдоль жесткопласти ческой границы. Это следу-
следует из первого уравнения A.18.11) при VK=0. Алгоритмы построения
поля скоростей для полей напряжений А и Б существенно разли-
различаются.
При вычислении поля скоростей для поля А материал ниже ли-
линии OEDC принимается жестким. Граничные условия A.18.15) на
характеристике О? и на границе штампа ОБ позволяют построить
поле скоростей в области ОБЕ (задача смешенного типа). Известные
значения 1/, W на характеристиках БЕ и EDC определяют поле
скоростей в области ВСDE (задача Гурса).
При вычислении поля скоростей для поля Б материал ниже линии
OFMN принимается жестким. Заданные значения 1/, W на огибаю-
огибающей OF определяют поле скоростей в области OE\F (задача Коши).
Затем по данным на характеристике ОЕ и граничному условию на ОБ
строится поле скоростей в области ОБЕ (задача смешанного типа).
§ 18. Внедрение гладкого клинообразного в плане штампа
237
Поле скоростей в BNMF строится от характеристик BF и FMN
(задача Гурса). Из условия несжимаемости следует равенство потоков
скоростей через границу О В штампа и через свободную поверхность
полупространства:
q>olj2
Г
voY — ve=7r/2 "Ф-
j
Y
A.18.16)
Ol = 1.789 и Фо2 = 3.142
Здесь vo — скорость движения штампа,
для полей А и Б соответственно.
Условие A.18.16) использовалось для проверки накопленной по-
погрешности вычислений. Для поля А условие A.18.16) выполняется с
погрешностью 0.002. Для поля Б эта погрешность оказалась равной
0.095. Столь большая погрешность объяс-
объясняется тем, что численное решение в об-
области OFEi от огибающей ОЕ не уда-
удается построить достаточно точным. Для
обоих полей проверялось условие положи-
положительности диссипативной функции в каж-
каждой элементарной ячейке поля характери-
характеристик. Это условие выполняется, если де-
деформация элемента, ограниченного харак-
характеристиками, под действием касательных
напряжений, приложенных к его граням, и
под действием поля скоростей имеет один и
тот же вид. Для элементарной ячейки, по-
показанной на рис. 72, условие положитель-
положительности диссипативной функции выполняется, если компонента скорости
в направлении ai в точке b больше соответствующей компоненты в
точке а:
(v& - va) cos Ф + (щ — coa) sin Ф ^ 0,
A.18.17)
О
е
Рис. 72
Условие A.18.17) выполняется всюду для поля А и нарушается в
некоторых точках в области OE\F для поля Б. Нарушение условия
A.18.17) в последнем случае, по-видимому, объясняется большими по-
погрешностями вычислений в области OE\F.
На рис. 72 пунктирными линиями показано изменение скоростей voj
и vo2 вдоль свободной поверхности полупространства для полей А и Б
соответственно и перемещение штампа, принятое за единицу.
238 Гл. 1. Идеально пластическое тело
§ 19. К теории кинематически определимых
состояний идеально пластического тела
1. Кинематически определимые задачи в общем случае характери-
характеризуются тремя конечными независимыми соотношениями:
Л(еу)=0 (Л = 1,2,3), A.19.1)
где ?ij — компоненты тензора скорости деформации.
Три соотношения A.19.1) определяют замкнутую систему уравне-
уравнений относительно трех компонент скорости перемещения щ.
В осесимметричном случае достаточно двух соотношений
Д(ер,ев,е*,ер*)=О (г = 1,2), A.19.2)
так как компоненты скорости деформации выражаются через две ком-
компоненты скорости перемещения:
ди и dw 1 (ди dw
где гр, ее, ?2, zpz — компоненты скорости деформации; u,w — компонен-
компоненты скорости перемещения в цилиндрической системе координат р, 6, z.
Перейдем к главным скоростям деформации ei, 82, 83 (83 = ее). Тогда
Определим потенциал напряжений в виде
D (ei» ^2, е3) + |ii/1 (?1, ?2, ?3) + Ц2/2 (?1, ?2, ?3), A.19.5)
где jlli , JLL2 — неопределенные множители Лагранжа, /i = 0, /2 = 0.
Согласно A.19.5) будем иметь
<* = §?+*Sr+^ (i = 1'2'3b AЛ9-6)
где Oi — главные компоненты тензора напряжений. Положим
? = ? = ?' /1=^1-^2 = 0, /2 = се2-6е3=0, (i ^ ^
(а, 6, с = const) .
Соотношения A.19.6), согласно A.19.7), примут вид
dD , и dD , dD и (л in оч
О1 = -^-+щ6, а2 = ^ |iia + |i2c, а3 = ^ ^Ъ. A.19.8)
§ 19. К теории кинематически определимых состояний 239
Исключая |ii,|i2 из A.19.8), будем иметь
Полагая диссипативную функцию в виде
D = Ле1 + Вг2 + Сг3, Л, Б, С = const, A.19.10)
согласно A.19.9), A.19.10) получим
aci + ba2 + са3 = Ла + В6 + Gс. A.19.11)
Таким образом, при принятых предположениях условие пластично-
пластичности A.19.11) определяет произвольную плоскость (грань) в простран-
пространстве главных напряжений. Согласно ассоциированному закону течения
из A.19.11) следует A.19.7).
Кинематические соотношения A.19.7), согласно A.19.4), примут
вид
- а (гр + гг - д/(гр - г,J + 4гр2^ = 0,
с (гр + г, + А/(гр-г,J + 4гр2Л - 26г6 = 0. A.19.12)
Условия A.19.12) можно переписать в виде
2
а + Ь/ A.19.13)
^(ер+ег)-е9 = 0.
Имеет место также условие несжимаемости
ер + ее + е* =0. A.19.14)
Полагая здесь и в дальнейшем
Oij = o°j + bo^j, Eij = e°j + 5г^-,
и = u° + bu\ w = w° + bw*'. fl.19.15)
О I о / ° _1_ SI ' Ti Ti ° _1_ Sfi' _1_
240 Гл. 1. Идеально пластическое тело
где 5 — малый параметр, линеаризируя A.19.13), для компонент воз-
возмущений получим
А (ер + <) + 4 = 0, Вг'р + Сг'г + 2е'рг = 0,
г?р
a + b ?pz \ a+b PJ A.19.16)
^ 1 ( о 2а6
или, учитывая A.19.2),
Op OZ J р Op OZ OZ Op
Удовлетворим первому из уравнений A.19.17), полагая
Подставляя соотношения A.19.18) во второе уравнение A.19.17),
получим уравнение
^ и^^)=0. A.19.19)
z- dp-
Решение однородного уравнения A.19.19) будем искать в виде
ф = R(p)emz. A.19.20)
Подставляя A.19.20) в A.19.19), получим вырожденное гипергео-
гипергеометрическое уравнение относительно R (р):
рЯ" + ПС - В)тр- i J R! - (ш2р - ^т\ R = 0. A.19.21)
Решение однородного уравнения A.19.19) имеет вид
Ф (р, z) = exp U(В + С - ^4 + (В-СJ)р/2 + г\тЛх
х (c1F(pi,q1,ti)+C2(mip)lA+1)/AF(p2,q2,t2)) +
+ exp I \(B + С - ^4 + (В-СJ)р/2 + z\ тЛ х
§ 19. К теории кинематически определимых состояний 241
у + (Б-СгJ, A.19.22)
где F (р^5 9*51) — функция Похгаммера.
Компоненты скорости перемещения и, w определяются из A.19.22)
согласно A.19.18).
2. Предельное условие для общего случая плоской задачи можно
записать в виде
F{cx,oy,xxy) =0. A.19.23)
Линеаризируя A.19.23), для компонент возмущений получим
аах + Ьа'у + 2схху =0, a,b,c = const, A.19.24)
8F° 8F° 8F°
a=ik> ь=Ъ 2с=^ AЛ9-25)
индекс ноль наверху означает, что значения производных взяты при
Если в исходном состоянии тело недеформированно Х° = 0, то
соотношения ассоциированного закона течения имеют вид
г'х = Х'а, г'у = Х'Ь, г'ху = Х'с, X' > 0,
, е, е, A.19.26)
a b с
Согласно A.19.24)—A.19.26) получим выражение для диссипатив-
ной функции:
D=A/ = ^ = 4 = —¦ A.19.27)
a b с /
Потенциал напряжений следует определить в виде
D+vn (Ьг'х - аг'у) + ц2 (сг'х - аг'ху) , A.19.28)
где |ii,|i2 — неопределенные множители Лагранжа.
242 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Согласно A.19.28) возмущения компонент напряжений определя-
определяются в виде
dD , и , > 8D > дВ а (Л 1П оо,
ъх = —г + М + Д2С, ay = — -|iia, тжу = — ц2^, A.19.29)
0?ж дгу дгху *
где величина D определяется согласно A.19.27).
Из A.19.29), A.19.27) следует условие A.19.25).
Уравнения равновесия имеют вид
^хг^ху_=п д**У | дEУ = П
Удовлетворим уравнениям равновесия при помощи функции Эри:
д-и > 02?/ , д-и ( .
о-=в7' °«=в?' т** = --лг AЛ9'30)
Из A.19.30), A.19.25) находим
^ ^/^0. A.19.31)
Переходя к компонентам скорости перемещения u,v по формулам
Коши
, 0*' , 0^ , 1 (ди1 8v'
и, опуская индекс штрих наверху у компонент скорости перемещений,
из A.19.32), A.19.27) найдем
ди dv ди (ди dv\ /11Q,,x
о- a— = 0, 1с- а \ -—\- -—]=[]. A.1У.66)
дх ду дх уду дх) v y
Удовлетворим первому из уравнений A.19.33), полагая
и = а^, v = b^. A.19.34)
ду дх
Из A.19.33) и A.19.34) получим
Решение уравнения A.19.35) будем искать в виде
Ф = (Л + гЯ) е*(^ж+^M Л, В,т,п = const. A.19.36)
§ 19. К теории кинематически определимых состояний 243
Из A.19.36), A.19.35) получим
т (с ± л/с2 — ab)
nh2 = — '-. A.19.37)
Характер решения A.19.36) будет зависеть от знака дискриминанта
A.19.37). При с2 > ab получим
Ф = С\ cos (ах + су) cos ( д/с2 — aby) +
+ С2 sin (ах + су) sin U/c2 - aby) . A.19.38)
При с2 < аб будем иметь
Ф = Gi cos (аж + су) ch f ус2 —абу J +
+ С2 sin (ах + су) sh ('у'с2 - aby\ , A.19.39)
Gi, C2 = const.
Решение однородного уравнения A.19.31) будет иметь вид, анало-
аналогичный A.19.38), A.19.39).
Решение A.19.38), A.19.39) могут быть использованы для опреде-
определения компонент возмущений о^-,е^ в линеаризированных плоских
задачах теории идеальной пластичности.
3. Рассмотрим грань поверхности пластичности, определяемую в
пространстве главных напряжений уравнением:
2с3-С1 -с2 = к. A.19.40)
Согласно ассоциированному закону пластического течения из
A.19.40) имеем
81 = х, ?2 = К ?з = -2А,. A.19.41)
Рассмотрим соотношения связи между компонентами тензоров на-
напряжений и скоростей деформаций о^,е^- в ортогональной системе
координат x,y,z и главными компонентами напряжений и скоростей
деформаций а^г^. Предполагая материал изотропным, будем иметь
ох = <5i/2 -\-02rn2 +С3П2, хху = oi/ib + О2Ш1Ш2 + озгг1гг2, A.19.42)
г2 + ггг2
г2г?г2 + г3гг2, гху = 8i/i/2 + e2mim2 + e3nin2, A.19.43)
I2 + т2 + гг2 = 1, /i/2 + т\гп2 + win2 = 0 (жу^;, 123, 1тп),
A.19.44)
244 Гл. 1. Идеально пластическое тело
где li,mi,rii — направляющие косинусы, обозначения в круглых скоб-
скобках определяют круговую перестановку индексов.
Полагая
1\ + т°2 + п°3 = 1, 1°2 = II = т\ = ml = гг? = п°2 = О, A.19.45)
из A.19.42), A.19.43), A.19.45) будем иметь
4=4, $=4, 4=4, 4y=$z=4z=0- A-19.47)
Таким образом, согласно A.19.46), A.19.47), исходным является
однородное напряженно-деформированное состояние.
Линеаризируя соотношения A.19.40), A.19.41), получим
2сз-С1-С2 = 1, г?=?1о, г°2 = Х°, г°3 = -2\\ A.19.48)
2а'3 - а^ - а2 = 1, ei = Х*, г2 = Х*, г3 = -2Х*. A.19.49)
Предполагая разложение
/1=Zy + 5Zi, mi=m5 + 8mi, щ = гг? + Ьп^, A.19.50)
из A.19.44), A.19.45), A.19.50) найдем
1\ = т2 = гг'з = 0, 1'2 + т\ = 0,
A.19.51)
шз + П2 — 0, п\ + гг3 = 0.
Линеаризируя соотношения A.19.42), A.19.43), учитывая A.19.51),
получим
A.19.52)
/* Г' ^z 82/ ^ 83/' / / / A-19-53)
Согласно A.19.52), A.19.53), A.19.48), A.19.49) получим
2afz -c'x -c'y = 0, e'x = г'у = Xf, e'xy = 0, e'x +8^ +8^ = 0. A.19.54)
Переходя к компонентам скорости перемещений
, _ ди_ , _dv_ , _\_ (ди^ ch/\ , dw
Ех~~дх~' ЕУх~~ду> ЕхУ ~ 2 \~ду~ ~дх~
§ 19. К теории кинематически определимых состояний 245
и опуская индекс штрих наверху у компонент скорости перемещений,
согласно A.19.54), найдем
Решение системы трех уравнений A.19.55) относительно трех неиз-
неизвестных u,v,w ищем в виде
и = СХпетх епу eXz, v = CXmemx eny eXz,
A.19.56)
w = -2CmnemxenyeXz, С = const.
Из A.19.56), A.19.55) получим
т2 + п2 = 0.
Рассмотрим случай, когда т, X — мнимые величины. Будем иметь
и = —C^mXcos (mx + Xz) ch (my) + C2mXcos (my + Xz) ch (mx),
v = CimXsin (mx + Xz) sh (my) + ^m^sin (my + ^) sh (mx),
^ = 2Cim2 cos (шж + Я-2;) ch (my) — 2C2m2 sin (my + Xz) sh (шж),
A.19.57)
Поле скоростей перемещений A.19.57) можно рассматривать как
кинематически допустимое.
Можно предположить другой вариант решения. Положим
u = U(x,y)Z(z), v = V(x,y)Z(z),
A.19.58)
w = W(x,y)Z(z), ^ = Z(z).
Согласно A.19.55), A.19.58) получим
ди dv du dv ( Л (du^dv\ ,ЛлакаЛ
¦^— = ^—, -^- = -^— 5 И^(ж,2/) = - ^— + ^— • A.19.59)
dx dy dy dx v y у ^ж ^?/ /
Два первых соотношения A.19.59) представляют собой условия
Коши—Римана, следовательно, для компонент ?/, V имеет место пред-
представление в виде функции комплексного переменного:
Ffe) = U + iV, Z, = x + iy. A.19.60)
Задача определения скоростей перемещений сводится к определе-
определению функции F (^) по заданным граничным условиям.
246 Гл. 1. Идеально пластическое тело
§ 20. Сдавливание несжимаемого пластического
слоя шероховатыми плитами.
Обобщение решения Прандтля
Прандтль [202] предложил решение плоской задачи о сжатии слоя из
идеального жесткопластического материала шероховатыми плитами.
Это решение явилось основой теоретического анализа прикладных
задач обработки металлов давлением.
Позднее А. Надаи [42] дополнил решение Прандтля, определив со-
соответствующее поле скоростей перемещений.
Численные решения о сжатии полосы при различных соотношениях
длины и толщины выполнены В.В. Соколовским [54].
Надаи [42] обобщил решение Прандтля на случай сжатия слоя
наклонными шероховатыми плитами, а также плитами, изогнутыми в
виде концентрических окружностей. Ряд обобщений задачи Прандтля
принадлежит В.В. Гартману [42], который обобщил решения Прандтля
на случай линейной зависимости максимального касательного напря-
напряжения от среднего давления.
Перечисленные результаты относятся к случаю плоской задачи.
Хилл [67] предложил решение задачи о вдавливании стержня из сжи-
сжимающейся шероховатой втулки. Ряд обобщений решения Прандтля на
случай осесимметрического и пространственного течения приведен в
работах [21, 111, 133], а также в монографии М.А. Задояна [18].
Решение Прандтля получило многочисленные обобщения в работах
прикладного характера, изложенных в монографиях А.Д. Томленова
[62], В.Л.Колмогорова [30], И.Я. Тарновского [57], Н.М. Михина [38],
М.Я. Бровмана [6], Н.П. Громова [13], СИ. Губкина [14], А.А. Королева
[31], И.М.Павлова [45], М.В. Сторожева и Е.А.Попова [56], Е.П. Унк-
сова [63], Э.Томсона, Ч.Янга и Ш. Кобаяши [75], А.И.Целикова [69],
И.Л.Перлина [46].
Проблема течения пластического слоя между шероховатыми по-
поверхностями исследовалась А.А.Ильюшиным [155, 156]. В основе ис-
исходных предположений лежит решение Прандтля, а также некоторые
упрощения, носящие кинематический характер. Предполагается, что
осредненные скорости перемещений постоянны по толщине слоя. Пред-
Предполагается, что в плоскости, касательной к любой эквидистантной по-
поверхности, касательные напряжения равны нулю, главные напряжения
равны между собой (условие полной пластичности), нормальное напря-
напряжение вдоль толщины слоя постоянно. В этом случае для определения
20. Сдавливание несжимаемого пластического слоя
247
давления, действующего со стороны сжимающих плит, имеет место
уравнение постоянного ската и, следовательно, справедлива песчаная
аналогия.
Численное решение задачи о сжатии диска между параллельны-
параллельными плитами дано Р.И. Непершиным [199], это решение обсуждается в
монографии Б.А. Друянова и Р.И. Непершина [16]. Установлено, что
распределение осевого давления близко к
линейному, тем не менее нелинейный харак-
характер распределения выражен.
Ниже методом малого параметра рас-
рассматривается задача о сдавливании идеаль-
идеально пластического слоя шероховатыми пли-
плитами.
Приведем принадлежащее Прандтлю
аналитическое асимптотическое решение Рис. 73
задачи о сдавливании слоя толщиной 2h
шероховатыми плитами для случая плоской задачи (рис. 73).
Уравнения равновесия имеют вид
2А
дах дт,
~дх ~д
Условие пластичности:
ху _
= 0,
дх
ду
= 0.
зх - су) + 4т^ = 4&2, к = const.
Предположим
Согласно A.20.3) уравнения A.20.1), A.20.2) примут вид
%ху = —^5 к = const.
A.20.1)
A.20.2)
A.20.3)
к
Из A.20.3), A.20.4) следует
— _^ _u
Оу — — X ~\~ С)
с = const.
V V / h y h
A.20.5)
Решение A.20.5) имеет место в полосе \у\ ^ /г, на границе полосы
касательное напряжение достигает максимального значения
= к при \у\ = h.
A.20.6)
248
Гл. 1. Идеально пластическое тело
Поле скоростей перемещений определяется из уравнений D), E):
ди д^_
дх ^ ду ~ '
ди dv
ду дх _ 1ху
ди dv ax — ау'
~дх~ ~ду
Положим
v = ay, a = const.
Из D), A.20.7) следует
и = —ах + f(y).
Из E), A.20.7), A.20.8), A.20.5) следует
D)
E)
A.20.7)
A.20.8)
A.20.9)
Соотношение A.20.9) определяет функцию /(у), будем иметь
и = —ах ± ah\l 1—1^1 + с\, v = ay, c\ = const. A.20.10)
\tij
2. Рассмотрим обобщение решения Прандтля на случай простран-
пространственного состояния идеально пластического тела (рис. 74).
Рис. 74
Уравнения равновесия в декартовой системе координат имеют вид
О dixy
дах dixy dix
да^ diyz _
дх ^ ду ^ dz ' dx ^ dy ^ dz
A.9.15)
§ 20. Сдавливание несжимаемого пластического слоя 249
Выражения компонент напряжений при условии полной пластич-
пластичности имеют вид
?rv . ^xy^xz ^"^ . ^xytyz
Ox — СУ — -\ , Oy — С — ~\ ,
*" Xxz A.7.31)
A.7.32)
tyz ^xz ^xy
Следуя идеям Прандтля, положим
txz = az, Tyz = bz, a, b = const. A.20.11)
Из A.7.32), A.20.11) найдем
xy = "pTFJ (*
Согласно A.7.31), A.20.11) получим
2к а _ 2k b
2 A.20.13)
_ 2k abz2 v J
°z ~°~ т +1—•
О ^xii
Из A.20.13), A.9.15) будем иметь
да , л ^о , , л ^oz 8
abz2 2k
Из A.20.14) следует
a = — ax — by — ^^—h ^ + с, с = const. A.20.15)
Согласно A.20.15), A.20.13) окончательно будем иметь
ах = —ах — by + с \- т^ху,
тху о
Су = -ах -by + с- — + -тху, A.20.16)
oz = —ах — by + с,
где тху определяется из A.20.12).
250 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Соотношения, определяющие кинематику пластического течения,
могут быть записаны в виде
COS 62 COS 63 COS 61 COS 63
?+? + ?=?+? + ? =
= e^^+Ej/z?^ + ez, A.12.9)
COS63 У COS 63 '
?x+?y+?z=0> A.12.10)
du _ dv _ dw _ 1 (du dv\
A.12.11)
1 (dv dw\ 1 Idu dwx
Eyz ~ 2 \dz ^ dyj ' *xz - 2 \dz ^ dxj '
где 8ij — компоненты скорости пластической деформации, u,v,w —
компоненты скорости перемещения.
Используя выражения A.7.25), придадим соотношениям A.12.9)
вид
1 1 = ^xz [ 1 1
1
+ — + — I • A-20.17)
\byz ^xz ьХу J
Решение будем искать в виде
и = pix + q1y + u°(z), v = р2х + q2y + v° (z) , w = pz.
Из A.20.18) и уравнения несжимаемости A.12.10) следует
Pl +q2+p = 0. A.20.19)
Из A.20.18), A.20.17), A.12.11) получим
Pi . q\ +P2 1 du°
2 2 d
1 о~\ -\- х?9 1 du \ /I du I dv T)
- + ч F -\ 1 = тху I 1 Ь —
A.20.20)
где величины тжу, тЖ2;, %yz определяются согласно A.20.11), A.20.12).
Функции г^°, v° определяются из уравнений A.20.20), выражения
их опустим.
§ 20. Сдавливание несжимаемого пластического слоя 251
3. Рассмотрим слой пластического материала толщиной 2/г, предпо-
предположим, что оси координат лежат в плоскости z = 0, уравнение верхней
плоскости z = /ii, нижней — z = —/г2, /ii + /г2 = 2/г.
Положим
%xz = az + c\, Tyz = bz + c2, a, 6, ci, c2 = const. A.20.21)
Из A.20.21), A.7.32) получим
(az + a) (bz + с?)
± \ к2 - (az + Cly - (bz + с2) •
A.20.22)
Согласно A.20.21), A.7.31) имеем
2k (az + ci) 2k (bz + С2)
A.20.23)
2k 1
oz = о — ^- -\ • (az + ci) (bz + c2) .
О ТХу
Аналогично A.20.16) получим
ax = —ax — by + С -\—xy yz ,
A.20.24)
oz = —ax — by + G,
гдехжу,тЖ2,ту2 определяются согласно A.20.21), A.20.22).
Из A.20.24) следует
где i, j — единичные орты вдоль осей ж, у,
oz = -\/а2 + Ь2 (ж cose + у sine) + G,
где cose=^^^, sine=^J^, tge=-. A.20.26)
v a2 -\- b2 у а2 -\- b2 a
Введем ортогональные координаты
? = ж cos е + у sin е, л = -ж sin e + у cos e. A.20.27)
Согласно A.20.27) выражения A.20.26) примут вид
Oz = -Va2 + 62 • ^ + С. A.20.28)
252 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Припишем индекс «плюс сверху» компонентам напряжений на верх-
верхней стороне слоя, индекс «минус сверху» — на нижней.
На верхней и нижней сторонах слоя, согласно A.20.21), получим
+i, z1+2, u
c1, T~z = -bh2 + c2, z =-h2.
Векторы касательных напряжений на верхней и нижней сторонах
слоя будут иметь вид
Tj = t+zi + t+J, T2 = T~xi + т-J. A.20.30)
Величины результирующих касательных напряжений на верхней и
нижней сторонах слоя, согласно A.20.29), A.20.30), будут иметь вид
Т, = л/т+| + т+2 = л/(а/ц + ClJ + F/ц + c2f = хь
!
Т2 = y%xz + iyz = y(~ah2 + ciJ + (-bh2 + c2J = x2,
A.20.31)
где Ki, к2 — значения результирующих касательных напряжений на
сторонах слоя, xi, к2 ^ 1.
Угол между векторами Ti, T2, согласно A.20.29), A.20.30), опреде-
определяется из соотношения
Ti • Т2 с\ + с\ - (а2 + Ъ2) ЫН2 + (cia + c2b) (/ц - h2)
COS9 = = = ^ ,
L\ ' Li У1\ • Х2
A.20.32)
где Т\,Т2 — модули векторов Ti, T2.
Направления векторов Tj, T2 определяются из соотношений
^^^> (x.20.33)
ф = |12 - |ll •
Величины a, 6, Ci, c2 определяются заданием величин xi, x2, jii, |i2-
Предположим, что вектор Ti направлен вдоль оси ж, тогда, согласно
A.20.29), A.20.30):
T!=xii, afti+ci=xb 6/i!+c2 = 0, A.20.34)
Т2 = (-aft2 + ci) i + (-bh2 + c2) j, T2 = x2. A.20.35)
При выбранной ориентации векторов Ti, T2, согласно A.20.34),
A.20.33)
Ш=0, ф = ц2. A.20.36)
§ 20. Сдавливание несжимаемого пластического слоя 253
Из A.20.32), A.20.34), A.20.35), A.20.36) получим
2ah - xi . 2Ыг 2Ыг ( оп .
cos9= , sincp = , tg9=;—— . A.20.37)
Х2 Х2 2ап — к\
Из A.20.37) найдем
X] + х2 cos ф
а = Ь
Из A.20.38), A.20.28) следует
\
+ С. A.20.39)
Уравнение линии, параллельно которой изменяется давление az
A.20.39), согласно A.20.26)-A.20.28), имеет вид
b X2 sin ф t __ v
у = —х. у = х. A.20.40)
a xi + х2 cos ф v '
При xi = х2 = х, согласно A.20.38),
2 Ф . Ф Ф
х cos — х sin — cos —
а= —^-, b= 1 2., A.20.41)
соотношения A.20.39), A.20.40) принимают вид
. Ф
¦$ + С, y = tglx. A.20.42)
Таким образом, при xi = х2 = х, согласно A.20.42), возрастание
давления az происходит по линейному закону вдоль биссектрисы угла
между направлениями Tj, T2.
При ф = 0 имеет место решение
az = -?a + C, ^ = ж, а=^, Cl=b = c2 = 0. A.20.43)
h h v '
При ф = 7i/2
аг = -1^^ + с, 5=^(ж + 2/), A.20.44)
изменение давления происходит по прямым, параллельным прямой
у = х.
Для определения константы С A.20.24) следует воспользоваться
предположениями об интегральном характере распределения усилий
на краю плиты.
254 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Рассмотрим случай наложения на решение Прандтля A.28) следую-
следующих усилий:
A.20.45)
Решение Прандтля A.28) вытекает из A.20.45) при Х2 = 0.
Из A.20.45), A.7.32) получим
^ху
и:21
—x1x2z. A.20.46)
Сдвигающие усилия xyz = к2 приводят к появлению напряжений
тхуA.20.46), определяющих кручение вдоль оси у. Момент кручения
на единицу длины может быть определен из соотношения
М
1
= 2 f xxyzdz. A.20.47)
Согласно A.20.24), A.20.45) характер распределения сдавливающе-
сдавливающего напряжения
/ i \
A.20.48)
сохраняет линейный характер, величина сдвигающего усилия iyz = к2
оказывает влияние на угловой коэффициент прямой, определяющей
зависимость oz от координаты х. Величина сдвигающего напряжения
xyz = x2 определяет также влияние на значение постоянной С в
соотношениях A.20.24), A.20.48), определяемой из граничных условий.
При свободном крае полосы х = 0 следует положить
1
axdy = 0, при х = 0, A.20.49)
-1
где ах — определяется согласно A.20.23), A.20.45).
При Х2 = к, согласно A.20.45), щ = 0, соотношения A.20.45),
A.20.46), A.20.24) принимают вид
®х = С + к, оу = С, тху = txz = 0, Tyz = к. A.20.50)
Согласно A.20.49), A.20.50) имеет место
С = -к A.20.51)
§ 20. Сдавливание несжимаемого пластического слоя 255
и предельное напряженное состояние слоя, при выполнении условия
полной пластичности, согласно A.20.50), A.20.51), имеет вид
ох =0, оу = oz = -к, хху = xxz = 0, xyz = к. A.20.52)
Рассмотрим случай анизотропного материала. Для анизотропного
материала предел текучести к зависит от направления растяжения
oi=O2 = 0, аз = 2х (ni,n2,n3). A.20.53)
Предположим, что поверхность пределов текучести в пространстве
xyz определена в виде
Л (СЖ - СуJ + В(<5у- <5zf + C(CZ- <5xf +
+ б (Fx2yz + Gx2xy + Ht2xz) = 6*1 A.20.54)
где Л, Б, G, F, G, Я, к0 = const.
Из A.20.53), A.20.54) получим
+ б (F (nm2J + G (n2n3J + Я (ггзггО2) ) • A.20.55)
При растяжении вдоль оси х имеет место п^ = 1, гг2 = пз = 0, из
A.20.55) следует
§^§ A.20.56)
Аналогично
х! = *2@,1,0) = ^|, ^ = к2@,0,1) = |^|. A.20.57)
Далее будем иметь
И f 2 V2 Л _
4 ^ 2 ' 2'7~
—, —
A.2U.58)
2 ' 2 ' У Л + С + 6Я'
256 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из A.20.56)-A.20.58) найдем
уса 4x2/
Согласно A.20.59) вид предельной поверхности полностью опре-
определяется величинами пределов текучести х^, г = 1,2,. . . , 6. Предел
текучести х (щ, П2, т^з) п0 любому направлению, определяемому вели-
величинами ni, П2, пз, согласно A.20.55)—A.20.59), определяется заданием
пределов текучести х^, г = 1,2,. ..,6.
Из A.7.32), A.20.54) найдем
- 2т2ху [(В - 3G) x2yz + (С - ЗЯ) x2xz + 3x1] +
+ {В + С) x2xzx2yz = 0. A.20.60)
Принимая предположения A.20.21), из A.20.23) и A.20.60) опреде-
определим
1xy=*xy(z). A.20.61)
Согласно A.7.32), A.20.21), A.20.61) величина х = х (щ, тг2, тг3)
является функцией одной переменной z, следовательно из A.7.32),
A.20.21), A.9.15) следуют выражения A.20.24). Величина сдавливаю-
сдавливающего давления будет определяться согласно A.20.24):
az = -ах -Ьу + С. A.20.62)
Вид анизотропии не влияет на характер распределения давления,
определяемого величиной oz A.20.24), A.20.62). В выражениях для
компонент аж, ау A.20.24) влияние анизотропии, согласно A.20.21),
A.20.60) определяется величиной тху A.20.60), влияние анизотропии
проявляется величиной константы С A.20.24), A.20.62), определяемой
из граничных условий.
4. Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат
р, 6, z имеют вид
— ~ь ~ь — ~ь — о,
ар р аб oz p
20. Сдавливание несжимаемого пластического слоя 257
0тре 1 daQ 8tqz 2тр9 _ ~
^?? + i?!?? + ^ + S» =0. A.20.63)
ар p oQ dz p
Соотношения, определяющие условие полной пластичности, анало-
аналогично A.7.31), запишем в виде
Ор = о ^- + -е—^ 5 ае = су — + -—-,
T9Z of TPZ A-20.64)
=о-
A.20.65)
то-= т0-(р) . A.20.66)
Уравнения A.20.63), согласно A.20.64), A.20.66), примут вид
За d /тре^А 1 /третр, _ ТреТе, \ = A.20.67)
^р dp у Tez у Р \ T9z iPz )
~W + р"^ + 2тре = °' A.20.68)
|а + с^ + Тре =0 A.20.69)
dz dp p y
Полагая
р^ + 2тре = а, а = const, A.20.70)
из A.20.70) и A.20.68) получим
= - + 4, о =-а9 + / (р, г), С! = const. A.20.71)
2 р
Полагая
^ + ^ = 26, 6 = const, A.20.72)
dp p
из A.20.71) и A.20.72) получим
—, o = -26^ + ф(р,е), с2= const. A.20.73)
258 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Из A.20.67) следует
(p) + w F, z), F (p) = -^-^ -^ —. A.20.74)
Tez J V t9z Tpz у р
Из A.20.71), A.20.73), A.20.74) следует
a = -aQ- 2bz + F (p), A.20.75)
где F (p) определяется, согласно A.20.74), выражения тр0, %pz — соглас-
согласно A.20.71), A.20.73), A.20.65).
Компоненты напряжений определяются из выражений A.20.64),
A.20.71), A.20.73).
5. Положим
ч. =т^-(е). A.20.76)
Из A.20.76), A.20.64), A.20.63) следует
Положим
о= -alnp + a°(e), a = const. A.20.78)
Согласно A.20.78) из A.20.77) соответственно получим
+ _ VTe, = д A.20.79)
dp TQZ ipz
а° = -5^-2 Kpede, A.20.80)
Величины iij (б) связаны соотношением A.20.65).
Три уравнения A.20.81), A.20.79), A.20.65) определяют компоненты
Tij (б), величина а определяется согласно A.20.78), A.20.80), а компо-
компоненты напряжения — согласно A.20.64).
Отметим, что предположение т^ (z) не проходит.
§ 20. Сдавливание несжимаемого пластического слоя 259
6. Уравнения равновесия в сферической системе координат рбср
имеют вид
<L20-82>
в? + рto + ^Telh + р Ct-
Для данного случая справедливы соотношения A.20.64), A.20.65) с
заменой индекса z на ср, что и предполагается в дальнейшем. Предпо-
Предположим, что
ту = ту F). A.20.83)
Из A.20.64), A.20.82), A.20.83) следует
|о + dxpe + 2^ _ /трехр, + ХреХе,\ + 0 = Q
ар аб т9ф \ т:еФ т:РФ у
+
аб аб
d /ipeVpA + Зтрв + /ipeVp + ТрвТеЛ ctge = 0) A.20.84)
т6ф у \ 'Сеф 'Ср у
Положим
а = -a In р - 6ф + а0 (е), а, 6 = const. A.20.85)
Согласно A.20.85), из A.20.84) соответственно получим
a, A.20.86)
"9 'Сеф у 'Сеф ^рф у
а0 = -^> - f [зтрв + (^^ + ^) ctgel rfe = 0, A.20.87)
т J L V Х х / J
(
V
^ A.20.88)
Три уравнения A.20.86), A.20.88), A.20.65) определяют компонен-
компоненты Tij (б), величина а определяется согласно соотношениям A.20.85),
A.20.87), а компоненты напряжения — согласно A.20.64)
Предположения т^" (рM 4j (ф) не проходят.
260 Гл. 1. Идеально пластическое тело
§ 21. Сдавливание сжимаемого идеально
пластического слоя шероховатыми плитами.
Обобщение решения Гартмана
1. Рассмотрим сжатие идеально пластического слоя шероховатыми
плитами в случае, когда условие предельного состояния линейно зави-
зависит от среднего давления. В случае плоской задачи имеем
(ож - оу) + 4т%у = 4 (к + ао) ', о = -(ох + оу), к, а = const.
A.21.1)
Условию A.21.1) удовлетворим, полагая
Ох — су + ? cos 2ф, ау = а — ? cos 2cp,
Тя-у =5sin2q>, ^ = & + ас, а = ^ (^ - к) . A.21.2)
Из уравнений равновесия, A.21.1) и соотношений A.21.2) получим
I+cos 2(p)+Ssin 2<p - 2Ksin 2ф^ -cos 2ф
)K^+sin2<p%)=0- (L21-3)
Гартман [58] полагает
Ф = ф(»)- A-21.4)
В случае отсутствия влияния среднего давления при а = 0 пред-
предположение Гартмана A.21.4) сводится к предположению Прандтля
A.20.3). Согласно A.21.4) уравнения A.21.3) примут вид
|^ (- +C0S2CP) + |^sin2cp = -2^cos2cp^,
дх \а ) ду dy
|sin29+| fcos29) =2^sin2cp^. A.21.5)
дх ду \a J dy v J
Из A.21.5) найдем
A-21.6)
§ 21. Сдавливание сжимаемого идеально пластического слоя 261
Полагая в дальнейшем
? = п (у) ехр (Хх), А, = const, A.21.7)
перепишем A.21.6) в виде
аАХ + 2 (cos 2Ф- а) ^ =0,
^9^=0. A.21.8)
Первое соотношение A.21.8) определяет зависимость ср(у):
sin 2ф — 2аф + qy = const, q = аАХ. A.21.9)
Из второго соотношения A.21.8) и A.21.7) получим
? = Cexp(ta; + xcos2(p), C = const, к = ^-. A.21.10)
Согласно A.21.2), A.21.10) найдем
(\ \ к
Gx — С I —h cos 2ф 1 ехр (Аж + к cos 2cp) ,
\а ) а
(\ \ к
ау = С ( - -cos2q> ехр (Аж + к cos 2ф) - -, A.21.11)
^ху — С sin 2ф ехр (Хх + к cos 2ф),
где зависимость ф(у) определяется соотношениями A.21.9).
2. Условие предельного состояния для среды, свойства которой
зависят от среднего давления, запишем в виде A.7.27), полагая
к = ко + ао, &o,a = const. A.21.12)
В дальнейшем введем обозначение к = ^, тогда, согласно A.21.12),
^ = &о + ас, G=-(?-fc0). A.21.13)
Соотношения A.7.27), согласно A.21.13), примут вид
cos62,
A.21.14)
= c%- ko/3 + ^cos2e3, xxz = ^cosBi cos63,
cos2 9i + cos2 62 + cos2 Э3 = 1, c= -.
a 3
262 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Подставляя соотношения A.21.14) в уравнения равновесия A.9.15),
получим
-?- (с + cos 9i) + -w^ cos 9i cos 62 + -^- cos 9i cos 63 =
ox v / oy oz
_ Id (cos 0i cos 0i) d (cos 6i cos 02) d (cos 0i cos 0з) j
~ ~^ [ dx + dy + dz J '
dt dt t о \ dl
— COS 9i COS 62 + 7j- (C + COS 62 j + 7j- COS 62 COS 63 =
д (cos 0i cos 62) д (cos 62 cos 62) 0 (cos 62 cos 63)] (Л O1 n «ч
dx + dy + dz J ' U-21-15)
dl dl / 2 \
cos 9i cos 63 + -^ cos 62 cos 63 + -^ (c + cos^ e3) =
a?/ oz y /
_ Id (cos 0i cos 63) d (cos 62 cos 03) d (cos 63 cos 03) j
~ ~^ [ dx + dy + dz I *
Из A.21.15) можно определить
с db
— — = n grad (cos 61) + к cos 61 div n,
c^ OX
с db
--—^= ngrad (cos62) +xcos62divn,
"dv A.21.16)
с dt
— 7j— = ngrad (cos63) + xcos63 divn,
n = cos 61 i + cos 60] + cos 63k, к = .
1 + с
Следуя идеям Гартмана, положим
\ = Т[ (z) ехр (тпх + пу), ш,гг = const, 9^ = 9^ B;) . A.21.17)
Согласно A.21.17) уравнения A.21.16) примут вид
d cos 0i d cos e3 (л О1 1Оч
—me = cos63— hKCOsBi— , A.21.18)
CLZ CLZ
Л d cos e2 . Л d cos 0з /n O1 1Пч
—nc = cos63— h kcos62— , A.21.19)
dz dz
v y
§ 21. Сдавливание сэюимаемого идеально пластического слоя 263
Уравнение A.21.20) приводит к интегралу
Л = Сехр (-^-t^cos2e3 j , С = const. A.21.21)
\ 2с )
Из уравнений A.21.18), A.21.19) следует
d (п cos 6i — га cos 62) / ч cHncos03 л ,л пл ооЧ
—- — — + x(ncos6i - mcos62) -j = 0. A.21.22)
Уравнение A.21.22) интегрируется:
ncosBi - mcos62 = В (cose3)~x , В = const. A.21.23)
Из A.21.18), A.21.19) также следует
с (п cos 62 + т cos 61) =
cos0з dcos 0з / 2ъ\ ^cos0з ( .4
= ~2 d~z *(l-cos2e3)^^. A.21.24)
Соотношения A.21.24) запишем в виде
п cos ф2 + т cos ф1 = М,
A/^~K + A+x)cos2<P33in ^ A-21.25)
с dz
Интеграл A.21.23) перепишем следующим образом:
ncosBi - mcos62 = N, N = В (cos63)"x . A.21.26)
Из A.21.25), A.21.26) следует
Mm + Nn Мп — Nm {л пл __ч
cosBi = 2 2—5 cos62 = 2 2~- A.21.27)
га + п т + п
Используя соотношение cos2 61 + cos2 62 + cos2 63 = 1, согласно
A.21.27), получим
М = ±^(т2 + п2) sin2 63 - N2. A.21.28)
Из A.21.28), A.21.25) найдем
dz [-ус + A + ус) cos2 0з] sin 63 '
где N определяется согласно A.21.26).
A.21.29)
264 Гл. 1. Идеально пластическое тело
Согласно A.21.29) зависимость 63 (z) определяется квадратурой
Г
( )
2 + п2) sin2 е3 - В2 (cos 63)x
Из A.21.30), A.21.27) определяются функции 6i (z), 62 (z).
Величина ? определяется согласно A.21.17), A.21.21), таким
образом, могут быть определены компоненты напряжения согласно
A.21.14).
Случай плоской задачи имеет место при cos6i = 0 или cos 62 = 0.
Положим cos 62 = 0, тогда, обозначая 6i = ф, будем иметь 6з = тг/2 — ср.
Из A.21.19) следует п = 0, соотношение A.21.18) принимает вид
dcoscp dsinq ( Л
—тс = sin ф— Ьксовф—-—, A.21.31)
CLZ CLZ
ИЛИ
mcdz = [к cos2 ф — sin2 ф] о?ф. A.21.32)
Отсюда следует (с точностью до обозначений) интеграл A.21.8).
Отметим, что в плоском случае либо п = cos 62 = 0, либо т =
= cosBi = 0, поэтому В = N = 0 A.21.23), A.21.26) и интеграл A.21.8)
следует непосредственно из A.21.30).
Глава 2
УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО.
СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ
§ 1. Упрочнение и разупрочнение.
Поверхность нагружения. Функция нагружения.
Нагружение и разгрузка
Введем шестимерное пространство напряжений П, декартовы ко-
координаты точки которого являются компонентами симметричного тен-
тензора <5ij. Каждому значению тензора Gij в пространстве П соответ-
соответствует некоторая точка или вектор а с началом в начале координат
и компонентами а^. В пространстве ГГ рассмотрим область Q, содер-
содержащую начало координат, в которой упругопластическое тело будем
считать упругим (для любых точек внутри Q приращения напряже-
напряжений связаны с соответствующими приращениями деформаций законом
Гука). Для жесткопластического тела в области Q материал является
жестким. Обозначим через Е поверхность, ограничивающую область
Q. Точки поверхности Е соответствуют пределам упругости или пла-
пластичности. Поверхность Е называется поверхностью пластичности.
Обычно постулируемые свойства поверхности Е состоят в следующем:
она замкнута, но в некоторых направлениях может простираться до
бесконечности, не проходит через начало координат, и любой луч,
исходящий из начала координат, пересекает ее не более одного раза.
Идеально пластической называется среда, для которой поверхность
Е фиксирована. В этом случае поверхность пластичности носит также
название поверхность текучести.
Для упрочняющихся материалов поверхность Е может изменяться
при изменении напряженного состояния. Поверхность пластичности Е
в этом случае называется также поверхностью упрочнения или поверх-
поверхностью нагружения. Ниже используется последний термин.
Точку на поверхности Е, принадлежащую вектору действительного
напряженного состояния, будем называть точкой нагружения.
Характер изменения поверхности нагружения Е будем определять
двумя терминами: упрочнение и разупрочнение. Предположим, что
данному напряженному состоянию а соответствует некоторая опреде-
определенная поверхность нагружения Е. Обозначим через а* вектор напря-
напряжений, соответствующий любой точке данной поверхности нагружения
266 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
или внутренней точке области Q. Обозначим через Oq единичный
вектор (|oq| = 1), соответствующий вектору а*. Будем говорить, что
данное приращение напряжений Аа вызывает упрочнение в некотором
направлении, характеризуемом вектором ад, если в этом направлении
предел пластичности повышается. И наоборот, материал разупрочня-
ется, если в данном направлении предел пластичности понижается.
На рис. 75 поверхность Е в результате приращения напряжений Ао
перешла в Е + ДЕ. В направлении вектора а^ материал упрочнился,
в направлении Oq2 ~ разупрочнился.
Обычно в литературе термин упрочняю-
упрочняющееся пластическое тело используется
для определения пластических сред, по-
7E + AZ верхность нагружения которых изменяет-
изменяется в процессе изменения деформированно-
деформированного состояния элемента тела.
Предположим, что существует некото-
некоторая конечная система параметров и кон-
констант материала, определяющая состояние элемента упрочняющейся
пластической среды. Такую систему параметров и констант запишем в
виде
о0-, Т, е?., хи ки B.1.1)
где Т — температура, е^- — компоненты пластической деформации,
Хг — параметры упрочнения, которые могут быть связаны с остаточ-
остаточными деформациями неголономными связями, hi — константы мате-
материала.
В дальнейшем тепловые эффекты рассматривать не будем. Для
простоты будем считать процесс деформирования изотермическим:
Т = const, dT = 0, поэтому температуру не будем включать в число
определяющих параметров, в этом случае она может быть рассмотрена
в числе констант к{.
Предположим, что уравнение поверхности нагружения можно за-
записать в виде
«, e?wxi, *i)=0. B.1.2)
Функция / называется функцией нагружения.
Точки поверхности нагружения, в окрестности которых функция
нагружения дифференцируема по Oij и, следовательно, в этих точках
имеется единственная нормаль к Е, называются регулярными. Поверх-
Поверхность нагружения в окрестности регулярных точек является гладкой.
§ 1. Упрочнение и разупрочнение. Поверхность нагружения
267
Упругой (жесткой) области Q соответствуют отрицательные зна-
значения функции нагружения:
f
< 0.
B.1.3)
Введем понятия разгрузки, нейтрального нагружения и нагруже-
нагружения для регулярных точек поверхности нагружения.
Если напряженное состояние принадлежит поверхности Е и при-
приращения напряжений Аа переводят вектор а внутрь области Q, то
подобный процесс назовем разгрузкой. В этом случае приращения
напряжений связаны с приращениями деформаций законом Гука и
изменения пластических деформаций не происходит. Поверхность Е
при разгрузке не изменяется (рис. 76, а).
S + AS
Рис. 76
При разгрузке приращения пластических деформаций и парамет-
параметров %г равны нулю:
de% = 0, dXi = 0.
Согласно B.1.2), B.1.3) при разгрузке1):
df = d'f = P-doij < 0.
OGij
Нейтральное нагружение имеет место в том случае, когда при-
приращения напряжений До таковы, что конец вектора в любой момент
времени остается на фиксированной поверхности и изменения пласти-
пластических деформаций не происходит. Другими словами, при нейтральном
нагружении напряженное состояние находится на пределе упругости,
изменения поверхности Е не происходит.
В этом случае приращения напряжений и деформаций для упруго-
пластического тела связаны законом Гука, приращения пластических
деформаций и параметров %i равны нулю: de^ = 0, d%i = 0. Согласно
-1) Штрих после знака дифференциала означает, что дифференциал является
неполным.
268
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
B.1.2) при нейтральном нагружении
df = d'f = p-dcij = 0.
Если приращение напряжений Аа сопровождается приращением
пластических деформаций, то подобный процесс называется нагру-
жением. Для нагружения необходимо, чтобы исходное напряженное
состояние соответствовало пределу упругости; другими словами, конец
вектора а должен принадлежать поверхности Е. Процесс нагружения
упрочняющегося тела связан с изменением поверхности Е (рис. 76, б).
При нагружении de^ ф 0, d%i ф 0. Согласно B.1.2) при нагруже-
нагружеДифференциальные соотношения для
виде
могут быть записаны в
^y B.1.4)
Введенные определения разгрузки, нейтрального нагружения и на-
нагружения устанавливают ограничения на свойства упрочняющегося
упругопластического материала. В самом деле, принятые определения
разгрузки исключают возможность передвижения поверхности внутрь
ее первоначального положения в точке нагружения так, как указано
О
Рис. 77
на рис. 77, а, и тем самым исключают из рассмотрения материалы с
«неустойчивой» диаграммой о — е (рис. 77, б).
Но точки поверхности нагружения Е + ДЕ, лежащие вне непо-
непосредственной окрестности точки нагружения, при нагружении могут
смещаться внутрь области Q, ограниченной первоначальным поло-
§ 1. Упрочнение и разупрочнение. Поверхность нагружения 269
жением поверхности Е (рис. 76, б). Поверхность нагружения может
иметь особенности в виде ребер, конических или угловых точек. Точки
поверхности Е, соответствующие подобным особенностям, называют-
называются особыми или сингулярными. Кусочно гладкие поверхности нагру-
нагружения, имеющие особенности в виде ребер и угловых точек, можно
описать при помощи некоторого конечного или бесконечного числа
гладких функций нагружения:
) = О, г = 1, 2, ... B.1.5)
Функции нагружения f^ в пространстве напряжений ГГ соответ-
соответствует поверхность нагружения Ег. Упругой (жесткой) области Q со-
соответствует отрицательное значение всех функций нагружения f^ <
< 0. Соответствующее пересечение поверхностей Ег, ограничивающих
область Q, образует данную кусочно гладкую поверхность нагруже-
нагружения Е.
Кусочно гладкую поверхность можно рассматривать как предель-
предельную для последовательности гладких поверхностей, вложенных в дан-
данную кусочно гладкую поверхность, поэтому в точках особенностей
поверхности нагружения (ребрах, конических и угловых точках и т. п.)
вектор нормали может принимать любое направление, ограниченное
направлениями нормалей прилежащих гладких кусков поверхностей
нагружения.
Точка напряжений в некотором исходном состоянии может соответ-
соответствовать одной или нескольким функциям нагружения B.1.5), причем
остальные функции нагружения отрицательны:
/«=0, /О)<0. B.1.6)
Индексы г, j в B.1.6) различны и исчерпывают совокупность индек-
индексов г. Согласно B.1.6) данная особенность поверхности Е образована
пересечением нескольких поверхностей Е$.
Рассмотрим определения разгрузки, нейтрального нагружения и
нагрузки для особых точек поверхности нагружения B.1.6). В дан-
данном случае соответствующие определения для одной гладкой функции
нагружения / могут быть распространены на совокупность гладких
функций нагружения f^\ определяющих рассматриваемую особен-
особенность поверхности нагружения Е.
Смещение в упругую (жесткую) область или разгрузка происходят,
если приращение напряжений таково, что имеют место соотношения
/W=0, df^=d'f^ ^
270 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
В этом случае приращения пластических деформаций и параметров
%i равны нулю (de^j = 0, d%i = 0), а поверхность Е при разгрузке не
изменяется.
При нейтральном нагружении приращение напряжений Да таково,
что конец вектора а в любой момент времени остается на фиксирован-
фиксированной кусочно гладкой поверхности Е, причем для некоторых кусков Еп
может происходить разгрузка:
/<т> = 0, d/<m> = d'/(m) = Ц—doij = 0,
OGij
4j
OGij
где индексы m, п различны и исчерпывают всю совокупность индек-
индексов г.
Если т совпадает с несколькими индексами, то точка нагружения
при нейтральном нагружении продолжает оставаться особой точкой
поверхности нагружения Е, если т — единственный фиксированный
индекс, то точка нагружения при нейтральном нагружении смещается
с особой точки в регулярную точку поверхности Е.
При нейтральном нагружении изменения поверхности Е не проис-
происходит, приращения пластических деформаций и параметров ^г равны
нулю: de?j = 0, d%i = 0.
Нагружение будет иметь место, если приращение напряжений Ас
таково, что хотя бы для одной или нескольких функций нагружения
f(m) из совокупности /(*) B.1.6) выполняются соотношения
q Am)
/<•»> = о, d'/(m) = Ц^-<Ьц > о,
df(m) _ 9fldQ.. + 9fldeP + дЦйг. _ 0
Для других функций /(") из совокупности f^ может иметь место
разгрузка или нейтральное нагружение:
/(п)=0,
d'f(s) = ^ldaij < о, d'/(t) = ^datj = 0,
OGij OGij
где индексы s, t различны и исчерпывают всю совокупность индексов п.
Если в B.1.7) совокупность индексов т совпадает с совокупностью
индексов г, и, следовательно, для всех поверхностей нагружения Е$,
образующих данную особенность B.1.6) поверхности Е, происходит
§ 1. Упрочнение и разупрочнение. Поверхность нагружения 271
нагружение, то такое нагружение называется полным. Дифференци-
Дифференциальные соотношения для параметров %&, аналогичные B.1.4), могут
быть записаны в виде
dXk = A^de^, А™ (атп, е?тп, Хк). B.1.8)
Остановимся на ограничениях, накладываемых определениями раз-
разгрузки, нейтрального нагружения и нагружения на свойства упроч-
упрочняющегося пластического тела в случае кусочно гладких поверхностей
нагружения.
Из определения разгрузки, как и в случае гладкой поверхности
нагружения, следует, что материал не может обладать «неустойчивой»
диаграммой а — е (рис. 77, б).
При нагружении de^- ф 0, d%i ф 0, поэтому могут получить
перемещения все гладкие участки Ег поверхности нагружения, хотя
условия нагрузки B.1.7) выполняются лишь для одного или нескольких
участков из совокупности Ег. Но поверхности Ег должны переме-
перемещаться так, чтобы точка нагружения принадлежала кусочно гладкой
поверхности Е, ограничивающей область Q. Другими словами, ни одна
поверхность Ег не может сместиться, оставляя точку нагружения вне
поверхности Е. Проиллюстрируем сказанное (рис. 78). Особенность об-
разована пересечением поверхностей Ej, E2. Приращение напряжений
Аа таково, что нагружение испытывает только поверхность Ej, относи-
относительно поверхности Е2 имеет место разгрузка. Однако поверхность Е2
перемещается. Она может занять, например, положение Щ + АЕ^
но положение Е^ + АЕ^ она занять не может, так как в этом случае
точка нагружения оказалась бы вне поверхности Е и области Q.
272 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Приведем некоторые примеры выражений параметров %i.
Тейлором, Куини A931 г.) и Шмидтом A932 г.) предложено характе-
характеризовать историю деформирования одним параметром %, для которого
d% = Oijde^j, Одквистом A933 г.) — d% = \\-de\-de\-.
Можно, например, положить
d% = (oij - серЛ dep-, с = const.
В дальнейшем будут также рассматриваться параметры %&, опре-
определенные в виде
где Af) = A[f (omn, e^n, Xm, e?m)> причем Af) —однородная функ-
функция нулевого порядка переменных ?Pj.
Вообще относительно параметров %г предположим, что они зависят
от истории нагружения, данных значений напряжений и пластических
деформаций, но не зависят от скорости изменения напряжений 6^-.
§ 2. Принцип максимума в пространстве
напряжений. Ассоциированный закон
деформирования гладкие поверхности нагружения
Обозначим через D скорость диссипации механической работы:
v-vijtiji Чз ~ dt •
Основополагающим принципом при построении теории пластично-
пластичности является принцип максимума скорости диссипации механической
работы: при фиксированных параметрах ePj,%i скорость диссипации
механической работы в единице объема при пластическом деформиро-
деформировании имеет максимальное значение для действительного напряжен-
напряженного состояния Oij среди всех напряженных состояний o*j, допускае-
допускаемых данной функцией нагружения:
Принципу максимума можно дать другую формулировку: при фик-
фиксированных параметрах еР3-, %i для любого данного значения компо-
компонент скорости деформации е?. имеет место неравенство
оц% ><*:&, B.2.1)
Принцип максимума. Ассоциированный закон деформирования 273
где Oij — действительные значения компонент напряжений, соот-
соответствующие данному значению е^.; o*j — компоненты любого воз-
возможного напряженного состояния, допускаемого данной функцией
напряжения
Сформулированный принцип будем называть принципом максиму-
максимума Мизеса. Формулировка ослабленного принципа максимума Мизеса
требует выполнения нестрогого неравенства
OiAiXAy B-2-2)
В векторной форме неравенства B.2.1), B.2.2) можно переписать в
виде
cep>cV, сгр^с*гр. B.2.3)
Предположим, что функция нагружения является гладкой, в каж-
каждой ее точке существуют единственная нормаль и касательная плос-
плоскость.
Из B.2.3) следует, что
( *} Р \, П ( *^ Р "> П (О 9 А\
т. е. вектор а — а* при любом возможном а* образует нетупой угол
с вектором гр. Из рис. 79, а очевидно, что вектор гр должен быть
Рис. 79
направлен по нормали к поверхности нагружения, а сама поверхность
Е в случае выполнения первого неравенства B.2.4) должна быть вы-
выпуклой по отношению к области Q; во втором случае поверхность Е
должна быть невогнутой относительно области Q. В противном случае
неравенства B.2.4) не имеют места (рис. 79, б).
274 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Таким образом, следствием принципа максимума Мизеса является
соотношение
1/2
'J 0 /п с ' " "' '
Соотношение B.2.5) можно переписать в компонентах приращения
деформации:
de• • = dX-p.—, dX = \i dt. B.2.6)
J OGij
Величины |i°, dX удобно представить в виде
B.2.7)
1 ~ daij lJ' lJ ~ dt ¦
Тогда по определению нагрузки, разгрузки и нейтрального нагру-
жения соотношения B.2.5), B.2.6) можно представить в виде
jp _ h-i df ( df - \ /22 8)
3 dCiJ \д°гпп )
причем
При / = 0, / ЕЕ Ъ^Ьтп > О,
к= 0 при / < 0 или при / = 0, / ^ О,
или
de^j = /г -^— I damn 1 , B.2.9)
причем
Ф 0 при / = 0, d1 f = damn > О,
= 0 при / < 0 или при / = 0, d! f ^ 0.
Соотношения B.2.8), B.2.9) носят название ассоциированного за-
закона течения или деформирования. Термин «течение» связан с тем,
что в соотношениях B.2.5), B.2.8) фигурируют компоненты скорости
Принцип максимума. Ассоциированный закон деформирования 275
пластической деформации г^. Однако соотношения теории пластично-
пластичности однородны относительно дифференциала времени dt, а при фикси-
фиксированных условиях деформирования упрочняющегося пластического
тела не происходит. Функция h называется функцией упрочнения.
Симметричность тензоров напряжений и скоростей деформаций
влечет за собой соотношение
GijZij = ОцЕц + С>22?22 + ^33^33 + 2oi2?l2 + 2oi3?l3 + 2023^23-
В шестимерном подпространстве девятимерного пространства на-
напряжений Р ассоциированный закон течения принимает вид
Следовательно, если / зависит от компонент симметричного тензо-
тензора напряжений а^-, то ассоциированный закон течения имеет вид
Из ассоциированного закона течения в виде B.2.5) следует эквива-
эквивалентность определения параметров истории по соотношениям B.1.8)
и B.1.9). Так как А\^ в соотношении B.1.9) — однородная функция
нулевого порядка относительно е?., то
А{к) (а ер у ?р )- А{к) (а ер у °f
т.е. без ограничения общности можно считать, что А\- не зависит от
г^., а является функцией cmn, e^n, %т.
Функция упрочнения h может быть определена следующим обра-
образом. Дифференцируя выражение B.1.2), получим
^ = ^- + Щ^ + Ц^=0. B.2.10)
Подставляя в B.2.10) выражения B.1.8) и B.2.6), найдем
dX- 9f da- ( 9f df + 9f A(m) df У' B 2 Ш
Из B.2.7) и B.2.11) окончательно следует
ме
276 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Согласно B.2.8) можно получить
Соотношения B.2.8), B.2.9) могут быть записаны в векторной фор-
-1 (па) п при / = 0, па > О,
при / < 0, или при / = 0, па ^ О,
,_! ,_! ( df df\
где tin = a I —— —— I, a n — единичный вектор нормали к поверх-
V 6Ei0 VVij J
ности Е в точке нагружения (|п| = 1).
Компоненты вектора нормали п равны величинам
df ( df df
1°
Gij \ damn
Формула B.2.13) в векторной форме имеет вид
агр = Ногргр. B.2.14)
Следуя B.2.14), при нагружении всегда выполняется неравенство
6гр > 0 или cijf*. > 0. B.2.15)
Имеют место соотношения
Eij — Eij + 8ij5 Eij — eij — dt 5
B.2.16)
e «e d^ij p .p ij
4j — eij - dt 5 4j — eij - dt 5
x3 tjhkOhki^Ot, ^ ljhk hk> B.2.17)
^ • ~ ~ ~ — Const.
Согласно B.2.16), B.2.17), B.2.8) для упругопластического тела
окончательно можно записать
УОтп
;6hk, если / < 0 или / = 0 и / ^ 0.
?• =
,0, если /<0 или f = 0 и
Принцип максимума. Ассоциированный закон деформирования 277
В дальнейшем будем предполагать, что функции упрочнения h не
зависят от скоростей изменения напряжений а^-.
Отметим, что функция g называется пластическим потенциалом,
если efа = м°^—. При наличии ассоциированного закона пластическо-
•' OGij
го течения пластическим потенциалом является функция нагружения
/. Если пластический потенциал не совпадает с функцией нагружения,
то подобные законы связи е?. — oij называются неассоциированными.
Очевидно, что для неассоциированных законов связи е?. — oij принцип
максимума Мизеса не выполняется.
Объемные деформации металлов в достаточно широком диапазоне
изменения давления можно считать упругими. Следовательно, пласти-
пластическая составляющая скорости объемной деформации удовлетворяет
условию несжимаемости:
г?-=0. B.2.18)
Предположим, что к телу, находящемуся в однородном напряжен-
напряженном состоянии, приложено равномерное гидростатическое давление р.
Тогда напряженное состояние изменится на величину Oij -\-p&ij. Пред-
Предположим далее, что пластическое состояние не зависит от величины р,
в этом случае
O () 0. B.2.19)
Дифференцируя B.2.19) по р, получим df/doij = 0.
Это соотношение является условием независимости пластических
свойств материала от действия равномерного давления р. Легко по-
показать, что необходимым и достаточным условием его выполнения
является зависимость функции нагружения не от компонент тензора
напряжений а^-, а от компонент девиатора а^- = а^- — аб^, а = -оц.
Если функция нагружения зависит от компонент девиатора напря-
напряжений, следствием ассоциированного закона B.2.8) является условие
несжимаемости B.2.18).
В самом деле, обозначим ац = аж, <з\2 = Оху> • • •, тогда, если
функция нагружения зависит от компонент девиатора напряжений
/ (а^-, e^-,Xi5 ki) = 0, соотношения ассоциированного закона B.2.5)
примут вид
= 1
ХУ 2
278 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
где символ (xyz) означает, что невыписанные выражения получаются
круговой перестановкой индексов.
Согласно B.2.20) имеет место условие пластической несжимаемо-
несжимаемости:
р _ I р _ I ( р , гР i гР) — о
3" 3 ^ х у z>
Отметим, что функции нагружения, удовлетворяющие условию
-— = 0, интерпретируются в пространстве главных напряжений Oi
цилиндрическими поверхностями, образующие которых параллельны
прямой ai = <52 — 035 равнонаклоненной к осям а^. Вектор гр в
пространстве главных напряжений параллелен девиаторной плоскости
c>i + G2 + аз = 0, откуда и следует
§ 3. Обобщенный ассоциированный закон
нагружения, кусочно гладкие поверхности
нагружения
В случае, когда функция нагружения имеет особенности (ребра,
угловые точки) и определена в виде B.1.5), напряженное состояние
может соответствовать нескольким поверхностям нагружения:
B.3.1)
По отношению к каждой функции нагружения B.3.1) в § 1 было
введено определение нагрузки, разгрузки и нейтрального нагружения.
Согласно обобщенному ассоциированному закону течения вектор
скорости пластической деформации г^ слагается из составляющих
р(т) „
е?- , каждая из которых ортогональна соответствующей поверхности
нагружения f^ = 0, для которой имеет место нагружение. Для
поверхностей нагружения f^ = 0, относительно которых имеет место
разгрузка или нейтральное нагружение, соответствующая составляю-
составляющая вектора скорости пластической деформации равна нулю.
Соотношения обобщенного ассоциированного закона течения имеют
вид
V>) V ° df(r) (<2 3 2)
-т да..»
§ 3. Обобщенный ассоциированный закон нагружения 279
при этом
>0, если /<г>=0, /<г> = ^оц>0,
О
= 0, если /(г) < 0 или /(г) = О, /(г) = У— 6« ^ О.
ч OGij
Соотношения B.3.2) можно переписать в виде
B.3.3)
где
A, если /(г)=0, /(г)>0;
сг = <
[О, если f(r> < 0 или f(r> = 0, f(r' ^ 0.
В соотношениях B.3.2), B.3.3) знак ^ обозначает суммирование
г
по индексу г, причем в круглых скобках имеет место суммирование по
повторяющимся индексам т, п.
Очевидно, что при полном нагружении для всех поверхностей на-
нагружения, образующих данную особенность, все сг = 1, при непол-
неполном нагружении для некоторых индексов сг = 0. Смещение точки
нагружения из особой в регулярную точку поверхности нагружения
происходит, если лишь единственный коэффициент сг = 1, а остальные
равны нулю.
Функции упрочнения /г могут быть определены следующим обра-
образом. Дифференцируя выражения B.3.1), получим для данной особой
точки
Д -Р\Я) ?i -f\Q) /3 -f\Q)
ip(n\ ®J J i ® J J P i J J П /О О А \
Подставляя в B.3.4) выражения B.3.3), получим систему алгебра-
алгебраических уравнений относительно hr:
С/ J , С/ J , Г) I ^ ~ I J С/ J jf /»(т>) I J J Г\ /О О Г" \
— аоц + р ае^- / сгдг — а / I Н—б—°% — ^- (^•^•о)
dcij deid lJ y-J dcij J d%i
Очевидно, в B.3.5) должны быть использованы лишь те уравнения,
для которых сг = 1, поэтому число неизвестных совпадает с числом
уравнений. Величины hr могут быть определены из B.3.5).
280 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Согласно B.3.3) можно получить
1(()J B-3.6)
Векторная форма записи соотношений B.3.3) имеет вид
h KaK
где
fl при /(r)=0, nrc>0,
cr = <
[О при f^ < 0 или /(r)=O, nra^0,
nr — единичный вектор нормали к поверхности f^ = 0 в пространстве
напряжений Р. Компоненты вектора пг, очевидно, равны
Формула B.3.6) в векторной форме имеет вид
Следовательно, при нагружении всегда имеет место условие
B.2.15).
Согласно B.2.16), B.2.17), B.3.3) для упругопластического тела
окончательно можно записать:
4j = CijhkGhk +?Г?' 8Г? — /Jcr/i~1 f^r\ B.3.7)
г
где
fl, если /<г>=0,/<г>>0;
[О, если f^ < 0 или f^ = О, /М ^ О,
и
Eij = CijhkQhk, ^j — 05 если все сг = 0.
Условие независимости пластических свойств материала от дей-
действия равномерного давления р записывается аналогично следствию
§ 4. Об ограничении числа гладких функций нагружения 281
из B.2.19) в виде
/(9) Л/(9)
^=0. B.3.8)
При выполнении соотношений B.3.8) следствием обобщенного ассо-
ассоциированного закона течения является условие несжимаемости мате-
материала гр = е?/3 = 0.
§ 4. Об ограничении числа гладких функций
нагружения для сингулярной поверхности
нагружения. Деформационные теории
пластичности
Предположим, что точка нагружения соответствует особенности
поверхности нагружения Е, определяемой соотношениями
/«=0, /Ш<0, B.1.6)
где индексы i,j различны и исчерпывают всю совокупность индексов
г.
При нагружении, согласно B.1.7), имеет место равенство
Я/И ftA™>) ftA™>)
k k -krdXi=0- B-4Л)
Воспользуемся соотношениями d%k — А\3de^j, тогда B.4.1) пере-
перепишем в виде
л/Н я А™) я А™) (ил
Если функции /(ш) не зависят от скорости нагружения, то в данной
точке нагружения коэффициенты
df(rn) df(rn) df(rn) (fe)
в уравнениях B.4.2) представляют собой некоторые вполне определен-
определенные постоянные.
Предположим, что среди уравнений B.4.2) шесть являются линей-
линейно независимыми, так что возможно получить решение этой системы
относительно шести неизвестных:
, Fijkh = Fijkh \Gij,epij,%i,ki) . B.4.3)
282 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Соотношения B.4.3) полностью определяют по заданным прира-
приращениям напряжений приращения пластических деформаций в данной
сингулярной точке поверхности нагружения. Остальные функции на-
гружения f(m\ относительно которых имеет место нагружение, не мо-
могут определять другие линейно независимые уравнения B.4.2). В самом
деле, в этом случае возможно было бы определение другой системы
шести уравнений B.4.2), из которых была бы определена независимая
система соотношений B.4.3), и данные приращения напряжений doij
определяли бы в данной сингулярной точке поверхности нагружения
другую систему приращений пластических деформаций de\y Между
тем функции нагружения и условия нагружения должны быть опреде-
определены так, что данные приращения напряжений для упрочняющегося
пластического тела определяли бы приращения пластических дефор-
деформаций однозначно.
Итак, среди соотношений B.4.2) не более шести независимых.
Рассмотрим коническую особенность поверхности нагружения. В
окрестности данной точки поверхность нагружения можно предста-
представить как огибающую бесконечного числа плоскостей, а сингулярную
точку поверхности нагружения — как их пересечение. Из бесконечного
числа плоскостей нагружения достаточно выбрать шесть, нормали к
которым образуют систему линейно независимых векторов. Однако
если ограничиться только этими шестью плоскостями, т. е. аппроксима-
аппроксимацией конической особенности шестигранной пирамидой, то нельзя за-
записать исчерпывающие условия разгрузки, нейтрального нагружения
и нагружения для данной конической особенности поверхности нагру-
нагружения. Поэтому условия нагружения должны быть записаны с учетом
всех поверхностей нагружения, определяющих данную особенность.
При сингулярных поверхностях нагружения деформационные со-
соотношения могут не противоречить основным представлениям теории
пластичности. Предположим, что функции нагружения не зависят от
%i. Чтобы наглядно изложить основные соображения, положим внача-
вначале, что напряженное и деформированное состояния характеризуются
лишь двумя парами отличных от нуля компонент напряжений и дефор-
деформаций (например, случаи кручения или антиплоской деформации),
С>12, С>13, б12, б13 ф 0.
Тогда функции нагружения примут вид
= 0. B.4.4)
В пространстве напряжений функциям fW = 0 соответствуют
некоторые поверхности, величины е^- играют роль параметров. Любые
§ 4. Об ограничении числа гладких функций нагружения 283
две независимые функции B.4.4) могут быть рассмотрены как конеч-
конечные соотношения, из которых, вообще говоря, можно определить явную
зависимость
612 = Ф12 (с*12> О1з) , 613 = ф13 (°12, °13) • B.4.5)
Соотношения B.4.5) определяют искомую деформационную зави-
зависимость. Выражения ассоциированного закона течения B.3.3) играют
в этом случае роль соотношений, из которых могут быть определены
функции упрочнения /г&.
Предположим, что отличны от нуля по три компоненты напряжения
и деформации (случай плоской задачи):
Если существуют три независимые функции /^ = 0, то, вообще
говоря, можно определить
eij — Щ3 (а1Ьа22,С>12) ,i,j = 1,2.
Если в трехмерном пространстве Oij особенность функции нагру-
жения соответствует конической точке, то последняя может быть рас-
рассмотрена как огибающая касательных плоскостей. Из касательных
плоскостей, имеющих общую точку в вершине конуса, в трехмерном
пространстве независимых только три, остальные могут быть получены
как линейная комбинация независимых.
Аналогично может быть рассмотрен общий случай. Деформацион-
Деформационные соотношения
eij = Щ3 (отп) B.4.6)
будут иметь место, если для данной особенности поверхности нагруже-
нагружения существует шесть независимых конечных соотношений:
/(*)(оу,еу)=0. B.4.7)
Соотношения теории малых упругопластических деформаций име-
имеют вид
eij = ^%', еи = ф (а«) ' а = Ке'
°и = (%•%•) К еи = (е'^) К а = \щи B.4.8)
284 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Пусть B.4.6) является решением шести уравнений B.4.7). Предпо-
Предполагая тело изотропным, по теореме Гамильтона-Кзли получаем
ei:i = Abij + Boi:j + Coikokj, B.4.9)
где Л, ?, С — функции инвариантов тензора а^. Общие соотношения
B.4.9) переходят в B.4.8) при условии
С = О, ^Л/окк + В = К = const, В = В (ои).
Иными словами, теория малых упругопластических деформаций
фактически предполагает тензорно-линейную связь Oij — eij.
Отметим, что если G = 0, ЗА/okk + В = К = const, а В =
= В (okkiGuiGikGkjGji), то соотношения B.4.9) принимают вид
е„
= Ke. B.4.10)
Так как в B.4.10) В зависит не только отоу,а от ou, Okk и
то эти формулы пригодны для описания материалов, не обладающих
единой диаграммой ои — еи.
Очевидно, что при подобном обосновании соотношений теории ма-
малых упругопластических деформаций нет необходимости накладывать
ограничения на характер нагружения, следует потребовать лишь чтобы
нагружен и е было полным.
§ 5. Диссипативная функция. Принцип максимума
в пространстве скоростей пластических
деформаций
Скорость диссипации механической энергии в единице объема тела
D = OijZ^j будем называть также диссипативной функцией. Наряду с
функцией нагружения, диссипативная функция характеризует основ-
основные свойства модели упрочняющегося пластического тела.
Зафиксируем положение поверхности нагружения в пространстве
напряжений. Очевидно, что положение ее полностью определяется зна-
значением параметров е?., %г и постоянных к{. В пространстве напряжений
диссипативная функция интерпретируется скалярным произведением
векторов оиер. Вектор гр определяется через компоненты напряжения
согласно ассоциированному закону течения.
В регулярных точках поверхность нагружения имеет единственную
нормаль, поэтому вектор гр однозначно определяет соответствующий
вектор а и тем самым скалярное произведение D = огр. В особых
§ 5. Диссипативная функция. Принцип максимума
285
точках поверхности нагружения разные векторы гр могут соответство-
соответствовать одному вектору а, тем не менее скалярное произведение D =
= огр однозначно определяется заданием вектора гр. Наконец, если
поверхность нагружения имеет невогнутые участки, то один вектор гр
может соответствовать разным точкам поверх-
поверхности нагружения, тем не менее задание вектора
ер однозначно определяет диссипативную функ-
функцию (рис. 80).
Таким образом, должно иметь место соотно-
соотношение
() B-5.1)
Диссипативная функция должна быть одно-
однородной первой степени относительно компонент
zPj. Следовательно, по теореме Эйлера
Рис. 80
B.5.2)
При фиксированных параметрах ер^Хг запишем соотношение
B.5.1) в полных дифференциалах:
3D
B.5.3)
Используя соотношения ассоциированного закона течения B.2.5),
получим
При фиксированных параметрах еРрХг изменение напряженного
состояния происходит вдоль поверхности нагружения. Следовательно,
соотношение B.5.4) равно нулю. Тогда из B.5.3), в силу независимости
приращений dzPp получим
dD
B.5.5)
Соотношения B.5.5) могут быть названы ассоциированным законом
нагружения.
Если материал пластически несжимаемый (е^ = 0), то среди прира-
приращений dePj независимых будет только пять и формула B.5.5) примет
ВИД 0^=?
286 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Если функция D зависит от компонент симметрического тензо-
тензора г^-, то
дВ _ дВ
Оги ае12
Итак, если модель упрочняющегося пластического тела определена
соотношениями B.1.2), B.2.5), то может быть определена диссипатив-
ная функция B.5.1) такая, что имеет место B.5.2), B.5.5).
Построение теории упрочняющегося пластического тела может
быть осуществлено исходя из определения диссипативной функции
B.5.1). Аналогично пространству нагружения Р введем девятимерное
пространство скоростей пластических деформаций Ер, в котором
декартовы координаты точки равны компонентам тензора е?..
Каждому значению тензора е?. в пространстве Ер соответствует
некоторая точка или вектор гр с компонентами е?.. Функции B.5.1)
при фиксированных параметрах е?-,%$ определяют в пространстве Ер
поверхности равного уровня диссипативной функции. Введем совокуп-
совокупность возможных компонент скорости пластических деформаций е^*,
для которых
Таким образом, если в пространстве Ер определена некоторая по-
поверхность равного уровня диссипативной функции D, то вектор воз-
возможной скорости деформации гр* лежит внутри объема, ограниченного
этой поверхностью.
Введем принцип максимума скорости диссипации механической
энергии, аналогичный принципу максимума Мизеса:
°И% 2 aye?;. B.5.6)
Принцип максимума B.5.6) назовем принципом максимума Онзаге-
ра. Онзагер сформулировал принцип максимума скорости диссипации
[70, стр. 76], согласно которому в принятых обозначениях действитель-
действительные скорости пластической деформации максимизируют выражение
B-5-7)
Подставляя в B.5.7) вместо гр* величину е^., получим, что макси-
максимизируется выражение скорости диссипации о^-е^- = D(e^.).
Согласно принципу Онзагера
откуда следует B.5.6).
§ 5. Диссипативная функция. Принцип максимума 287
Принцип максимума скорости диссипации в виде B.5.6) был сфор-
сформулирован Циглером [70] и назван «принципом максимальной скоро-
скорости диссипации». Более общий принцип был назван им «принципом
минимальных необратимых сил».
Из неравенства B.5.6) следует выпуклость (невогнутость) поверхно-
поверхностей равного уровня диссипативной функции и ассоциированный закон
нагружения:
ЬВ ^(дВ
Предположим, что D — однородная функция порядка т компо-
компонент e?j. Тогда
тВ = Щг\у B.5.9)
Из B.5.9) и B.5.8) следует у = 1/га.
В случае, когда D — однородная функция первого порядка (у = 1),
то из B.5.8) следуют соотношения B.5.5). Тогда dD/дг^ оказываются
однородными функциями нулевого порядка относительно е^-. Следова-
Следовательно, шесть соотношений B.5.5) можно рассматривать как функции
пяти переменных, например е^-/еп-
Заметим, что когда диссипативная функция является однородной
функцией второго порядка (т = 2, у = 1/2), то соотношение B.5.5)
определяет связь а^ — г^ для вязкой жидкости.
Предполагая разрешимость соотношений B.5.5) относительно
ef7'/en? B результате исключения е^- получим некоторое определенное
конечное соотношение вида
р U \ Г\
Таким образом, получается функция нагружения в обычной форме.
Из B.5.3) и B.5.5) найдем
eP.daij = 0. B.5.10)
Далее, дифференцируя полученное соотношение вида B.1.2) при
фиксированных e^,%^ найдем
-J-d<5ij =0. B.5.11)
Соотношения B.5.10), B.5.11) могут быть рассмотрены при соответ-
соответствующих значениях а^,?^?-. Среди шести дифференциалов doij лишь
пять независимых, откуда следует, что найдется такой множитель ji°,
288 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
что будет иметь место ассоциированный закон течения:
е?,=^. B.2.5)
Таким образом, модель пластического тела может быть введена
эквивалентными путями: либо через определение функции нагруже-
ния, либо через определение диссипативной функции D однородной
первого порядка относительно компонент скорости пластической де-
деформации.
В каждом из этих случаев следует формулировать соответствую-
соответствующий принцип максимума.
Покажем, что из принципа максимума в пространстве Ер (принцип
максимальной скорости диссипации) следует принцип максимума в
пространстве Р (принцип максимума Мизеса), и наоборот.
Рассмотрим две различные пары соответствующих напряжений и
л. « A) РA) B) рB)
скоростей пластических деформации a\j , е^- и a\j , е^- , отвечающих
одной и той же функции нагружения при фиксированных значениях
e?j,Xii связанных ассоциированным законом пластического течения
и отвечающих одному уровню диссипативной функции, т.е. должны
иметь место равенства
^ > ePij iXiiki) = f (aif > ePij iXiik
Условия B.5.12) непротиворечивы. Последнее равенство B.5.12) мо-
может быть выполнено за счет компонент Gmn, Cmm которые не зависят
от o\j , o\j , но от которых, согласно ассоциированному закону течения,
рA) рB)
зависят е?> ;,г^) ;.
Другими словами, диссипативная функция D при данном напря-
напряженном состоянии Oij и при данных значениях е^-, Хг может иметь
различные значения в зависимости от скорости нагружения bij.
Согласно принципу максимальной скорости диссипации имеет ме-
место неравенство
^ PJg) B.5ЛЗ)
§ 5. Диссипативная функция. Принцип максимума
289
В данном случае роль возможных компонент скорости пластической
деформации играют e^j .
Тогда из B.5.13) и последнего равенства B.5.12) следует неравен-
неравенство
B.5.14)
ц =<,$-<,<$,
составляющее утверждение принципа максимума Мизеса.
Аналогично доказывается обратное положение: из B.5.14) следует
B.5.13).
Используя определение диссипативной функции, можно записать
критерий нагружения: D ^ 0. Соотношения для параметров %г могут
быть записаны в виде d%k — DdCk, где Ck играют роль, аналогичную
A\j в соотношениях B.1.4).
Если поверхность диссипативной функции имеет особенность типа
ребер, конических или угловых точек, то подобная особенность может
быть рассмотрена как пересечение гладких поверхностей
B.5.15)
Обобщенный ассоциированный закон нагружения в этом случае
может быть записан в виде
B.5.16)
На рис. 81 показано соответствие между поверхностью нагружения
D = const
Рис. 81
и поверхностью равного уровня диссипативной функции. Выпуклым
участкам поверхности нагружения АВ, АС соответствуют выпуклые
290 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
участки аб, ас диссипативной функции. Особенностям Л, Б, С функ-
функции нагружения соответствуют участки невогнутости аа, 66, ее дис-
диссипативной функции. И, наконец, участку невогнутости ВС соответ-
соответствует острый угол be.
Используя определение диссипативной функции B.5.1), можно дать
интерпретацию параметру ji°, входящему в соотношение ассоциирован-
ассоциированного закона течения B.2.5). Из B.5.1), B.2.5) следует
-1
Если функция нагружения может быть представлена в виде / =
= ф — k = 0, где к = const, ср — однородная функция порядка т
компонент Oij, то B.5.17) можно переписать в виде
jj = или D = &m|i°, &, m = const.
km
Таким образом, ji° прямо пропорционален удельной скорости рас-
рассеяния механической энергии. Функция упрочнения связана в этом
случае с диссипативной функцией соотношением
hD = km
Аналогично для сингулярных поверхностей нагружения, если
f(r) = ф(г) — кг = 0, где ф(г) — однородная функция порядка mr, из
B.3.3) можно получить
D = 2^ krmr[i^ &r, mr = const.
§ 6. Плоская деформация при наличии линейного
упрочнения
При растяжении большинства материалов имеет место линейная
чисто упругая зависимость между напряжением материала а и относи-
относительным удлинением г, пока напряжение не достигнет некоторой вели-
величины ае, называемой напряжением предела упругости, или практиче-
практически совпадающего с ним предела текучести as. После этого материал
растягивается при почти неизменном напряжении (на машинах, осуще-
осуществляющих постоянную скорость деформирования образцов, нередко
замечается даже некоторое падение напряжения). Затем, по оконча-
окончании этого явления, называемого текучестью, последующее растяжение
материала требует дальнейшего увеличения напряжения — наступает
6. Плоская деформация при наличии линейного упрочнения
291
явление упрочнения, которое оканчивается разрушением материала
при некотором напряжении аь-
Теория пластичности изучает механическое состояние материала за
пределом его линейного упругого деформирования. В простейшем ва-
варианте, в так называемой теории идеальной пластичности, диаграмма
зависимости между напряжением а и возрастающим относительным
удлинением г заменяется прямой (рис. 82, а) параллельной оси г.
В дальнейшем примем, что пределы упругости ае и пластичности as
совпадают.
В случае двухосного напряженного состояния в теории идеальной
пластичности разность главных напряжений принимается постоянной
и равной пределу текучести as. Это положение эквивалентно предполо-
предположению о том, что при пластическом состоянии материала наибольшее
касательное напряжение остается постоянным. Что же касается самой
деформации материала в пластическом состоянии, то обычно прини-
принимаются гипотезы несжи маем ости и совпадения осей тензора скоростей
деформации с осями тензора напряжений (или, что то же, гипотеза
совпадения линий скольжения с линиями наибольших касательных
напряжений).
Гипотеза о несжимаемости материала при пластическом дефор-
деформировании создает большие трудности при решении так называемых
упругопластических задач, т.е. таких, где часть материала находится
в упругом, а часть — в пластическом состоянии.
Действительно, пусть линия / отделяет область упругого состояния
от пластического, тогда в упругой области сумма главных относитель-
относительных удлинений может быть вообще переменной, тогда как в пласти-
пластической, в предположении несжимаемости, та же сумма должна быть
постоянной. Это ведет к разрыву тензора деформаций вдоль линии / и
образованию вдоль нее скачков напряженного состояния.
При изучении явлений, связанных с упрочнением, нередко упроща-
упрощают диаграмму растяжения (г, а), заменяя ее ломаной линией, состоя-
292
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
щей из двух прямых. Первая из них соответствует участку чисто упру-
упругого растяжения, а вторая, наклоненная под меньшим углом к оси г, —
растяжению уже при наличии упрочнения (рис. 82, б). Иногда рассмат-
рассматривают и более близкую к действительности диаграмму, состоящую из
трех прямолинейных участков: участка упругости, участка текучести,
параллельного оси г, и участка линейного упрочнения (рис. 82, в).
Известно, что переход при растяжении материала за предел упруго-
упругости сопровождается его увеличением при повторном растяжении (яв-
(явление наклепа) и уменьшением предела упругости этого же материала
при сжатии (эффект Баушингера). Кроме того, известно, что такое по-
повышение предела упругости материала с упрочнением при растяжении
в одном направлении сопровождается уменьшением предела упругости
при растяжении в перпендикулярном направлении.
Можно построить механическую модель, деформирование кото-
которой следует приведенным выше законам. Такая модель для случая
одномерного напряженного состояния частично описана в [223]. Что
же касается двумерной модели, иллюстрирующей свойства наклепа и
упрочнения, то, по-видимому, она здесь приводится впервые.
Рис. 83
Рис. 84
Представим себе цилиндр (рис. 83), ко дну которого прикреплена
пружина жесткости с, причем другой конец пружины посредством
гибкой нити длиной 25 соединен с поршнем. Перемещению поршня вну-
внутри цилиндра препятствует сила трения as. К поршню присоединена
вторая пружина — внешняя — жесткости 6, к свободному концу которой
приложена растягивающая сила а. Пусть в начальном состоянии, т.е.
при отсутствии силы а, конец внутренней пружины отстоит от поршня
на расстоянии 5. По мере увеличения силы а сначала за счет дефор-
деформации второй (внешней) пружины будет происходить удлинение г,
§ 6. Плоская деформация при наличии линейного упрочнения 293
пропорциональное а. Таким образом, пока о < os,
г = а/6.
При достижении силой а значения as поршень начнет скользить
внутри цилиндра и, следовательно, будем иметь
у ^ е^ у + 5, c = os,
чему соответствует второй участок диаграммы (см. рис. 82, в). На-
Наконец, когда нить натянется, последующее деформирование возможно
лишь при дальнейшем увеличении силы а (упрочнение). Сила, растяги-
растягивающая внутреннюю пружину, будет равна a —as, а общая деформация
модели
с а — as b + с as
г = - + 5Н = ——с + 5 ,
о с ос с
что на диаграмме (рис. 84) изобразится участком упрочнения.
Уменьшим далее силу а до нуля. Модель обретет теперь остаточную
деформацию, причем ее внутренняя пружина останется в напряженном
состоянии.
Если максимальное значение a = ai растягивающей силы не превос-
превосходило 2as, то натяжение внутренней пружины окажется менее as. Сле-
Следовательно, при уменьшении силы а от достигнутого максимального
значения ai до нуля, т. е. при разгрузке модели, никакого перемещения
поршня не произойдет. Остаточная деформация модели составит вели-
величину 8+(oi — os)/c, состоящую из половины длины нити и деформации
внутренней пружины.
Станем теперь модель вновь растягивать. Очевидно, что перемеще-
перемещение поршня вновь начнется лишь при достижении силой а своего пре-
предыдущего максимального значения оь Следовательно, предел упру-
упругости будет как бы повышен (наклеп). При дальнейшем увеличении
а начнется упрочнение по тому же закону г = о/Ь + 5 + (oi — os)/c,
однако без участка текучести, так как нить будет уже натянутой. При
этом разность a — as составит натяжение внутренней пружины.
Если же модель после уменьшения до нуля силы а (растягивающей
внешнюю пружину) затем сжимать, то к поршню будет приложено
суммарное усилие ai — as + |a|. Здесь ai — наибольшее значение дей-
действовавшей до этого растягивающей силы, а \а\ — абсолютное значение
силы, сжимающей внешнюю пружину. Пока упомянутое суммарное
усилие меньше силы трения as, будет происходить деформирование
лишь внешней пружины. При этом должно быть ai — as + |a| < as, т. e.
lal < 2os — oi.
294
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Движение поршня становится возможным при сжимающей силе,
превышающей значение
Выше было принято, что
— 01 = afs.
01 < 2os.
Следовательно, предел упругости при сжатии afs удовлетворяет
неравенству
О < v's < о„
т. е. оказывается пониженным по сравнению со сжатием модели из
исходного состояния.
Явление текучести при сжатии
скажется в продвижении поршня
внутрь цилиндра на расстояние 25,
пока он не коснется конца внутрен-
внутренней пружины. После этого насту-
наступит упрочнение уже при сжатии. На
рис. 84 показана петля гистерезиса
при периодическом изменении силы
в пределах
—oi < а < +oi
при условии ai < 2os. Для случая
Рис. 85 c>i > 2os соответствующая петля
изображена на рис. 85.
Если положить 5 = 0, то модель будет следовать диаграмме растя-
растяжения, приведенной на рис. 82, б", т.е. участка текучести не будет.
Наконец, если принять силу трения трога-
ния поршня с места afs большей силы трения
движения as, то диаграмма растяжения мо-
модели примет вид, изображенный на рис. 86,
т. е. в мгновение начала текучести произойдет <
падение напряжения.
Интересные обобщения модели могут быть
получены, если, помимо кулонова трения,
снабдить поршень житкостным трением. В
этом случае диаграмма растяжения будет из-
изменяться при изменении скорости деформирования, а само явление
растяжения — сопровождаться последействием и релаксацией.
Рис. 86
6. Плоская деформация при наличии линейного упрочнения
295
Обратимся к построению аналогичной двумерной модели, которая
при малых силах, действующих на нее, деформировалась бы по за-
законам упругого тела, а при достаточно больших силах в общем случае
могла описывать явления текучести и упрочнения (наклепа). При этом
повышение предела упругости при растяжении в одном направлении
должно сопровождаться понижением предела упругости при растяже-
растяжении в перпендикулярном направлении.
Представим себе четыре стенки (рис. 87), на которые действуют
нормальные силы Хх и Yy. При помощи специального механизма
(конструкция которого для дальнейшего несущественна) изменение
расстояния 6 между некоторыми двумя его точками осуществляется
равным сумме ехх + еуу расхожде-
расхождения друг от друга параллельных сте-
стенок модели, а аналогичное измене-
изменение у между двумя другими точками
механизма — равным разности ехх —
— еуу изменений расстояний между
вертикальными и соответственно го-
горизонтальными стенками модели.
Соединим первую пару точек
пружиной жесткости к, а меж-
между точками второй пары укрепим
поршневую модель, описанную вы-
выше (см. рис. 83). Пусть в начальном
положении при отсутствии взаим-
взаимных перемещений ехх и еуу стенок
двумерной модели и при отсутствии действия на них сил Хх и Уу
пружина и поршневая модель свободны от усилий. При действии на
модель сил Хх и Yy произойдут перемещения ежж, еуу, а следовательно,
и перемещения
Рис. 87
У=ехх-е
уу
В пружине жесткости к и в одномерной поршневой модели возник-
возникнут усилия Э и S. Так как двумерная модель находится в равновесии, то
усилия Э и S могут быть определены при помощи принципа возможных
перемещений, а именно
- 056 - ?5у = О
или
ХхЪехх +
(Хх-в- S) Ъехх + (Yy-e-S) Ъеуу = 0.
296 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Отсюда
в = (Хх + Yy) /2, S = (XX- Yy) /2,
и обратно,
Хх = 0 + S, Yy=e-S,
в — усилие в пружине жесткости к; следовательно
где к представляет собой модуль упругости изменения объема.
В свою очередь, S представляет собой усилие, возникшее в порш-
поршневой модели и ранее обозначавшееся а. Поэтому, пока |5| меньше
некоторой константы тв, аналогичной величине as, имеем
S = by,
где теперь у соответствует деформации г, константа b — модулю сдвига
G, а xs — предел упругости материала при чистом сдвиге.
Учитывая, что у = ехх — еуу, приходим к соотношениям
Хх = 0 + S = к (ехх + еуу) + Ъ (ехх - еуу) = XQ + 26ежж,
Уу = в - S = к (ежж + еуу) - b (ехх - еуу) = XQ + 2Ьеуу,
где X = к — Ь.
Таким образом, пока |5| < тв, или, что то же, \ХХ — Уу\/2 <
< тв, деформирование двумерной модели подчиняется тем же зако-
законам, что и деформирование абсолютно упругого плоского элемента в
математической теории упругости. Постоянные к — b и b играют роль
констант Ламе X и ji = G. Замечательно, что при плоской деформации
в принципе возможен случай, при котором константа X будет равной
нулю и даже отрицательной. Для этого достаточно, чтобы выполнялось
условие к < Ь.
В случае устремления модуля к в бесконечность вследствие ограни-
ограниченности усилий Хх, Yy, Q и S в пределе надлежит считать
9 = ежж + еуу = 0.
Модель соответствует теперь несжимаемому упругому материалу.
При бесконечном возрастании константы b по тем же причинам
окажется
ехх — еуу — 0
Такая модель соответствует упругому материалу, деформирующе-
деформирующемуся конформно, т. е. без искажения углов, равномерным растяжением
по всем направлениям для любой выбранной точки. Оба предельных
§ 6. Плоская деформация при наличии линейного упрочнения 297
случая интересны сами по себе, однако в дальнейшем не рассмат-
рассматриваются. Заметим только, что в первом случае (когда 6 = 0) на
деформирование оказывает влияние лишь разность главных напряже-
напряжений Хх — Yy. Предположение о несжи маем ости таких материалов, как
резина, у которой коэффициент всестороннего сжатия к весьма велик
по сравнению с модулем сдвига b = G, вполне допустимо.
Во втором предельном случае (при b —> ос) на деформирование
материала оказывает влияние лишь сумма главных напряжений. Этот
случай может представить интерес при качественных исследованиях
бесконечно малых конформных преобразований.
До сих пор принималось, что |5| < т8. Теперь допустим, что в
процессе изменения сил Хх и Уу возникло соотношение
Выше мы видели, что в этом случае деформация у(в старых обо-
обозначениях — г) поршневой модели будет величиной неопределенной,
заключенной, однако, при S > 0 в пределах xs/b ^ у ^ xs/b + 5.
Таким образом, при S = т3 модель находится в неопределенном
деформированном состоянии, подчиненном лишь условию
Главные направления тензора деформации каждого элемента рас-
рассматриваемого материала, по предположению, совпадают с главными
направлениями тензора напряжения. Этим отличается описываемое та-
такой моделью пластическое деформирование от соответствующего пла-
пластического течения по Сен-Венану, где главные направления тензора
скоростей деформации совпадают с главными направлениями тензора
напряжений.
Пусть теперь величина у достигла предельного значения xs/b + 5 и
начинается дальнейший рост усилия S = (Хх — Уу) /2.
Обращаясь вновь к законам деформирования поршневой модели,
имеем для этого случая г = а/6 + 5+(а — os)/c или в новых обозначе-
обозначениях
S , g , S-ts
где с — по-прежнему жесткость внутренней пружины поршневой мо-
модели (см. рис. 83 и 87). Отсюда
о be be
5 +
298 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Вводя здесь обозначения
be be
i:s
b + c ' b + с у с
и подставляя значение у = ехх — еуу, имеем
В результате приходим к соотношениям
Хх = & + S = к (ехх + еуу) + h (ехх - еуу) + %s,
Yy=G-S = K (exx + еуу) - h (ехх - еуу) - т^
или, что то же,
Хх = (к - h) 6 + 2hexx + <, Уу = (к - /г) 6 + 2heyy - t's,
которые и представляют закон деформирования рассматриваемой дву-
двумерной модели в зоне упрочнения и могут быть использованы для
описания закона деформирования материала за пределами упругости.
При этом надлежит от системы координат, связанной с главными осями
тензора напряжений, перейти к произвольно ориентированной систе-
системе. В соответствии с известными формулами преобразования полу-
получим следующие соотношения, связывающие между собой компоненты
тензоров напряжений и деформаций упругопластического тела в зоне
упрочнения для случая плоской деформации:
Хх = (к — h) 6 + 2hexx + xs (cos2 a — sin2 a) ,
Yy = (к — h) 6 + 2heyy — xs (cos2 a — sin2 a) ,
Xy = hexy + 2ts cos a sin a.
Здесь a — угол между главным направлением тензора напряжений
и новой осью х. Эти соотношения совместно с уравнениями равновесия
дх ду ох ду
условием совместности деформаций
д~еуу д ехх _ д еху
дх2 ду2 " дхду
и равенством
2a = 2Xy/(Xx-Yy),
§ 6. Плоская деформация при наличии линейного упрочнения 299
выражающим совпадение главных осей тензоров деформации и напря-
напряжений, образуют полную систему уравнений для определения напря-
напряженного и деформированного состояний упрочняющегося материала
при задании соответствующих граничных условий.
Разумеется, решение такой совокупности уравнений весьма затруд-
затруднительно даже для самых простых случаев упругопластической задачи
с упрочнением.
Приведем в качестве примера плоскую задачу с осевой симметрией.
Пусть материал не обладает площадкой текучести (см. рис. 82, б). В
этом случае следует в приведенных выше уравнениях положить 5 = 0,
и тогда будут иметь место лишь две области деформирования: упругая
и область упрочнения, а т'3 станет равным Ьт8/(Ь + с).
Рассмотрим бесконечную плоскость с круглым отверстием радиуса
а, по окружности которого приложено постоянное давление р. Пока р
мало, вся плоскость будет в чисто упругом состоянии. С повышением
давления вокруг отверстия появится зона упрочнения радиуса R, ко-
который будет увеличиваться при возрастании давления.
Согласно известным уравнениям плоской задачи в полярных коор-
координатах гиб имеем для обеих областей уравнение равновесия
d,Gr Gr — Oq _ ^
dr r
где ог и а0 — соответственно радиальное и кольцевое напряжения, а
массовые силы отсутствуют.
В упругой области справедлив закон Гука:
п du _ и и du
а =ЯЯ + 2ц—, ae = ^e + 2|i-, е = - + —.
dr г r dr
Здесь и — радиальное перемещение элементов плоскости, X и jj, —
константы Ламе. Перемещение, перпендикулярное радиусу, очевидно,
отсутствует.
Если в уравнение равновесия подставить выражения для аг и ое, то
придем к уравнению для и:
dru I du и _ _
решение которого имеет вид
и = Аг + В /г.
В этом решении константу А необходимо положить равной нулю,
упругая зона распространяется в бесконечность, где перемещение и
исчезает. В свою очередь, константу В следует считать положительной,
300 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
так как при наличии давления р по окружности отверстия смещения и
всюду больше нуля.
Подставляя значения и в выражения ог и ае, получим
аг = -2jiB/r2, се = 2jiB/r2.
В упругой зоне всюду должно быть - \аг — ае| ^ ts и, таким образом,
Отсюда следует, что границей упругой зоны является окружность
радиуса
R =
Внутри этой окружности расположена зона упрочнения. В ней
направление радиуса также является главным направлением тензора
напряжений. Поэтому справедливы соотношения
ог = (х - Л)в + 2hp- T-c's, oe = (x-h)Q + 2Л- ±x's.
(IT1 J1
Легко видеть, что здесь следует остановиться на верхнем знаке
перед x's = bxs/(b + с), так как роль Хх в формулах, выведенных выше,
играет теперь ае, а напряжению Уу соответствует ог (вдоль радиуса
имеет место сжатие материала, а в трансверсальном направлении —
растяжение). Следовательно,
ее - *V = У > 0,
что и предполагалось выше при выводе соотношений, заменяющих
закон Гука в зоне упрочнения.
Подставив значения аг и ае для зоны упрочнения в уравнение
равновесия
dar <5r — Oq p.
dr r
получим для определения величины радиального смещения и уравне-
уравнение
П)\ ^ + 2
\ dr г dr г
г
решение которого имеет вид
и = —^-r-rlnr + А'г -\
c + h
где А' и В' — константы интегрирования.
6. Плоская деформация при наличии линейного упрочнения
301
В свою очередь, подставляя значение и в выражения ог и ое, придем
к формулам
= г 1П Г
vt + h
ае =
В
Потребуем теперь, чтобы соблюдались следующие условия: во-
первых, аг = —р при г = а; во-вторых, при г = R значения аг и
ае, высчитанные по формулам упругой зоны и для зоны упрочнения,
оказались равными друг другу и тем самым на границе осуществились
равенства: аг = — тв, ае = i8. Из перечисленных условий немедленно
вытекают три уравнения
L In а + 2xAf - 2hBf/a2 = -р,
L In Я + 2хЛ' - 2hB'/R2 = -2iiB/R2 = -тв,
L In Я + 2хЛ' + 2hB'/R2 + L = 2цБ/Я2 = т,
для определения Л' и Б', а также радиуса R зоны упрочнения. Здесь
? = 2хт;/(х + /г).
Наибольший интерес представляет, конечно, величина радиуса зоны
упрочнения R. Чтобы определить Я, исключим из этих уравнений
константы А1 и В1. Имеем
Ыпа + р 2x-2h/a2
+ Ts 2x-2h/R'
L-xs2x 2h/R2
= 0.
После упрощений приходим к следующему уравнению для опреде-
определения искомого радиуса R:
L In —2" + Bxs — L) —2- = 2р — L.
а а
Напоминая, что 5 = 0, имеем x's = bxs/(b + с) и, следовательно,
% ~\~ гь % ~\~ гь о ~\~ с ос
где введено обозначение
> 1.
302 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Подставляя полученное для L выражение в уравнение для радиу-
радиуса R, после преобразования получим
Если р < т8, то уравнение для R имеет корень, меньший а. В самом
деле, при р = т3 уравнение имеет корень R = а, а левая часть уравне-
уравнения является монотонно возрастающей функцией R. Таким образом,
если р < т8, то зона упрочнения отсутствует; она появляется лишь,
когда р > т8. Радиус этой зоны, очевидно, неограниченно возрастает с
увеличением давления р.
В случае с = 0 прямая упрочнения на графике (см. рис. 82, б)
диаграммы растяжения (а, г) становится параллельной оси г
(см. рис. 82, а). При этом t's = ts и имеет место условие идеальной
пластичности Сен-Венана. Далее, при с = 0
h = bc/(b + c) = 0, сс=1.
Уравнение для определения радиуса пластической зоны R прини-
принимает теперь вид
In (R2/a2) = p/xs - 1,
откуда
R/a = exp - (р/т3 - 1) | ,
что совпадает с известным результатом решения упругопластической
задачи без упрочнения [68].
Зависимость безразмерного радиуса пластической зоны R/a от
величины р/т8 — 1 легко строится и в случае упрочняющегося пла-
пластического материала (с > 0, h > 0, а > 1). Это можно сделать,
например, задавая значения R/a в уравнении, связывающем радиус R
с давлением р, и находя из этого уравнения соответствующие значения
vhs -1.
Будем считать, что упрочнение материала невелико, т.е. h =
= bc/(b + с) мало по сравнению с к и, кроме того, жесткость вну-
внутренней пружины с мала по сравнению с жесткостью b пружины
внешней. Тогда а = (к + К) (Ь + с)/кЬ = 1 + А, где А — величина,
малая по сравнению с единицей. Зависимости радиуса пластической
зоны от давления на контуре при различных упрочнениях для этого
случая, а также для идеально пластического материала приведены на
рис. 88 A — идеально пластический материал, а = 1; 2-4 — материалы
с упрочнением соответственно при а = 1.05; 1.1; 1.2). Видно, что
6. Плоская деформация при наличии линейного упрочнения
303
R/a
при больших значениях давления р на контуре отверстия упрочнение
материала играет существенную роль.
В заключение покажем, что повышение предела упругости (текуче-
(текучести) при растяжении рассматриваемого материала в одном направле-
направлении сопровождается понижением
предела упругости при растяжении
в перпендикулярном направлении.
Обратимся вновь к двумерной мо-
модели (см. рис. 87) и нагрузим ее
одним растягивающим усилием Хх
так, чтобы перейти предел упруго-
упругости при растяжении в этом направ-
направлении, считая Уу = 0. Для этой цели
достаточно, чтобы было
1
1
и v Рис. 88
Если теперь усилие Хх снять, то
остаточная деформация у0 поршневой модели составит величину
n n n Хх — 2т5
i ^xx vv о
уу Ас
Здесь е®хх и еуу — остаточные деформации двумерной модели в
направлении осей х и у. Кроме того, принято, что 5 = 0, т. е. участок
текучести отсутствует (см. рис. 82, б).
Согласно вышеизложенному
-
X~S
Примем, что материал сжимаем (к = ос). Тогда после снятия
усилия Хх при равенстве усилия Уу нулю получим
О г 0 п
хх ' г/г/ = ^'
Нетрудно видеть, что остаточное удлинение в направлении оси х
окажется равным
о _
ехх ~
4с
Будем нагружать теперь двумерную модель лишь силой Yy в на-
направлении оси у. При этом следует положить Хх = 0, вследствие чего
поршневая модель окажется сжатой усилием
S=1-(XX-Yv) = -1-Yy.
304 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Пусть при первоначальном растяжении поршневой модели вели-
величина S не превосходила значения 2ts. Тогда, согласно предыдущему,
новый предел упругости будет достигнут при отрицательном значении
S = S2 = — (УуJ /2? равном по модулю значению
где Si = (ХхI /2 — усилие в поршневой модели при предшествующем
растяжении в направлении оси х усилием (ХХIШ
Так как S\ ^ тв, то \S2\ < тв, что и доказывает наличие упомянутого
понижения предела упругости.
Наглядно это понижение может быть объяснено тем обстоятель-
обстоятельством, что переход за предел упругости (текучести) при растяжении в
направлении оси х вызовет растяжение внутренней пружины одномер-
одномерной модели, включенной в механизм двумерной модели. После снятия
растягивающего усилия Хх это растяжение останется вследствие нали-
наличия силы трения поршня о стенки цилиндра одномерной модели. При
растяжении двумерной модели в направлении оси у внешняя пружина
одномерной модели будет сжиматься. А так как внутренняя пружина
растянута, то достаточно будет меньшего усилия со стороны внешней
пружины, чтобы сдвинуть поршень с места, т. е. достичь предела упру-
упругости .
§ 7. Общая теория пластичности с линейным
упрочнением
Одной из задач современной теории пластичности является уста-
установление законов пластичности для общего случая произвольного из-
изменения компонент тензора деформаций или тензора напряжений. В
настоящее время построены машины, которые в состоянии производить
такое сложное нагружение материала, и, следовательно, представляет-
представляется возможным изучить упомянутые законы экспериментальным путем.
Однако полезность некоторой предварительной теоретической схемы
закономерностей теории пластичности при сложном нагружении вряд
ли следует отрицать.
Излагаемая ниже теория пластичности ставит своей целью дать
исчерпывающее математическое описание взаимоизменения напряжен-
напряженного и деформированного состояний материала при произвольном из-
изменении направления главных осей и соотношений главных компонент
тензора деформаций или тензора напряжений в ходе деформирования
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 305
материала за пределом упругости. Явление наклепа и явление Баушин-
гера [19] органически укладываются в рамки новой теории и соответ-
соответствующим образом обобщаются. Соотношения известной теории пла-
пластичности Генки-Ильюшина [230, 24] при наличии линейного упроч-
упрочнения и простого нагружения (компоненты девиатора напряжений
изменяются пропорционально друг другу) полностью воспроизводятся.
При отсутствии упрочнения новая теория приводит к соотношениям
теории пластичности Прандтля-Рейсса [236, 237], причем математиче-
математическая формулировка последней теории становится более прозрачной.
Предлагаемая теория в настоящем ее построении приложима лишь
к материалам с линейным упрочнением (в том числе и к материалам
без упрочнения). Следует, однако, иметь в виду, что для материалов
с более сложным упрочнением нет надежных формул, связывающих
напряжение и деформацию даже для случая простого растяжения-
сжатия. Вместе с тем допускается обобщение на случай нелинейного
упрочнения.
Переходя далее к изложению новой теории, отметим, что, следуя
общепринятому, деформация объема считается упругой, линейно зави-
зависящей от суммы главных напряжений. Все компоненты деформации
считаются малыми по сравнению с единицей. Наконец, как принято
в классических теориях пластичности, считается, что скорость изме-
изменения деформации не оказывает заметного влияния на напряженное
состояние материала.
Таким образом, новая теория касается лишь соотношений между
компонентами девиаторов напряжения и деформации, т.е. тензоров
^ху
az — а
\Ъу е* - e/
В пределах упругости соответствующие компоненты этих тензоров
пропорциональны друг другу, причем коэффициент пропорционально-
пропорциональности равен удвоенному модулю упругости сдвига, т. е. 1G. Среднее нор-
нормальное напряжение (гидростатическое давление с обратным знаком)
3
и среднее относительное удлинение
1
1
" е i?ixy
Уух % - е
1
1
2Jxz
\yyz
306 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
связаны соотношением
где Е — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона.
Введем совокупность величин Xj (j = 1, 2, . . . , 6), а именно
= (ох - о) IА Х2 = (оу - о) IA Х3 = (сг-с)/у/2,
Х4 = Tyz Хъ = xzx X6 = хху.
Будем Xj (j = 1, 2, . . . , 6) трактовать как проекции (компоненты)
некоторого вектора удельного усилия X на ортогональные оси коорди-
координат шестимерного пространства.
Введем далее в том же шестимерном пространстве вектор дефор-
деформации ? с компонентами
Si = (ея - е) Л/2,
= (ех-г
Величины ^j с точностью до изменения объема определяют дефор-
деформацию, а величины Xj с точностью до гидростатического давления
определяют напряженное состояние материала.
Заметим, что всегда
Хг + Х2 + Х3 = 0, ^ + ^ + ^з = 0,
и, в сущности, мы имеем здесь дело не с шестимерным пространством,
а с пятимерным. Однако, не забывая этого обстоятельства, в дальней-
дальнейшем мы сохраним шестимерную трактовку векторов X и ? как более
удобную и приводящую к формулам симметричного вида. В пределах
упругости, согласно обобщенному закону Гука,
где G = Е/2 A + v) — модуль сдвига.
В классических теориях пластичности большую роль, как известно,
играют так называемые интенсивность напряжения с^ и интенсивность
деформации г^, определяемые формулами
-azf + (az -axf + (ах - ayf + 6 (^ + х\х + т*у),
(г, - гхJ + (ех - гуJ + 3/2 (у^
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 307
и являющиеся соответственно инвариантами второго порядка девиато-
ра напряжения и девиатора деформации.
Интенсивность напряжения О{ с точностью до постоянного множи-
множителя равна модулю вектора X, именно:
а, = |Х|д/з7
Аналогично имеем
где |^| — модуль вектора \.
Примем, что остаточные деформации при деформировании мате-
материала из так называемого естественного состояния появляются лишь
после того, как вектор деформации \ превысит по модулю некоторое
характерное для данного материала значение KjG^ где К — пласти-
пластическая постоянная (предел пластичности). При этом модуль векто-
вектора X окажется больше пластической постоянной /С, что совпадает с
формулировкой условия начала пластических деформаций в теории
пластичности Генки—Ильюшина [230, 24].
Введем теперь вектор х с проекциями
х3 = (г* -
которые определяют остаточную деформацию тела (также с точностью
до изменения объема). Здесь е°,...,у22/ и г° = 1/3 (е° + г° + е°) —
остаточные деформации.
Будем далее считать, что упругая часть деформации, т.е. разность
Z,j — Xj связана с напряжениями Xj соотношениями прямой пропорци-
пропорциональности:
где G — по-прежнему модуль сдвига.
Законы различных теорий пластичности выражают, в сущности,
правила, согласно которым по перемещению точки ^ (или, что то же,
конца одноименного вектора ?) с координатами ^- (полная деформация)
во введенном шестимерном пространстве определяется перемещение
точки х (конца вектора х) с координатами хj (остаточная деформация)
и тем самым изменение величин Xj (напряженное состояние).
В частности, теория Генки—Ильюшина приводит к требованию, что-
чтобы при так называемой активной пластической деформации (интен-
(интенсивность напряжений О{ = О{ (е$) возрастает) точка х находилась на
прямой, соединяющей начало координат с точкой \.
308 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Действительно, согласно этой теории компоненты девиатора напря-
напряжений и девиатора деформаций при активной пластической дефор-
деформации должны быть пропорциональны друг другу, что приводит к
пропорции
ож — о Су — о <5Z — о 2t^z 2tZ?C 2тЖу 2 oj
гх — г гу — г ez — г yyz yzx yxy 3 е«
из которой следует, что векторы X и \ параллельны. Далее, при
последующем уменьшении интенсивности напряжений с^, изменения
компонент девиатора напряжения должны быть пропорциональны из-
изменениям соответствующих компонент девиатора деформации (так
называемый закон упругой разгрузки). Следовательно, точка ж, изоб-
изображающая деформацию при полной разгрузке, будет находиться на
прямой, соединяющей точку \ с началом координат.
Что же касается расстояний точки х и точки ? от начала координат,
то они легко определяются, если принять во внимание соотношения те-
теории пластичности Генки-Ильюшина, которые в наших обозначениях
можно представить в виде
причем при первоначальном деформировании из естественного состоя-
состояния усилием |Х| = а^/л/З, последнее связано с образующейся деформа-
деформацией |^| = г^л/З заданным законом с^ = с^ (г^). Согласно новой теории
пластичности активная пластическая деформация происходит только
при соблюдении неравенства
ЕГ(-J. (р- . гп .] Т-Дrn A f\ гп . ^> О
I Kjl \ ^ О 9ЛУ о I ± ± tJU I XAJtJU I ^^ \J •
L \ J J J / J 1 J -^ I
где суммирование, как и всюду в дальнейшем, производится по индексу
j от 1 до 6. Коэффициент Н характеризует модуль упрочнения мате-
материала.
При активной пластической деформации величины Xj и ^- связаны
одним алгебраическим соотношением
и четырьмя независимыми дифференциальными, следующими из про-
пропорции
G fe - x2) - Hx2 ~ '" ~ G fa - x6) - Hx6 '
Одно из первых трех приведенных отношений может быть опущено
вследствие тождественных равенств ^i + ^2 + ^з — 05 #1 + #2 + %з — 0-
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 309
Дифференциальные соотношения пластического деформирования
можно также представить в виде
dxJ = dxJ =d± (а = 1 о frt
G^j-Xj)- Hxj Xj-Hxj K U J-'^'"-'u>1'
где ds — дифференциал дуги траектории, описываемой в шестимерном
пространстве точкой х\ разумеется,
Если, напротив,
то в приведенных выше дифференциальных соотношениях следует счи-
считать координаты Xj постоянными; этот случай соответствует упругой
разгрузке, Xj = G (^- - Xj).
При Н = 0, как уже было упомянуто, приходим, по существу, к
соотношениям теории Прандтля-Рейсса [236, 237]1).
Приведем теперь некоторые частные случаи деформаций для вы-
выявления особенностей новой теории.
1°. Пусть пластическая деформация происходит так, что точка \
перемещается в шестимерном пространстве по произвольной прямой.
Примем также, что условие (неравенство) осуществления активной
пластической деформации соблюдается.
Соответствующим введением новой прямоугольной системы коор-
координат rji, r|2, . . . , Лб всегда можно достичь того, чтобы упомянутая пря-
прямая оказалась параллельной одной из осей координат. Тогда уравнению
1) При Н ф 0 определяющие уравнения предлагаемой теории также являются
уравнениями типа теории течения. В этом случае начальная поверхность текуче-
текучести, представляющая в шестимерном пространстве напряжений Xi сферу радиуса
/С, в процессе пластического деформирования перемещается как жесткое целое,
причем перемещение центра сферы пропорционально вектору остаточной (пла-
(пластической) деформации. Закон упрочнения, при котором начальная поверхность
текучести испытывает перенос, сохраняя при этом свои размеры и форму, принято
называть трансляционным упрочнением. Впервые идея использования такого типа
упрочнения для описания эффекта Баушингера была высказана Рейссом [239].
Модель трансляционного упрочнения, аналогичная рассматриваемой в настоящей
работе, была независимо несколько позднее предложена Прагером [82] для
поверхности текучести общего вида.
Отметим, что наша модель и модель Прагера [82] получили дальнейшее развитие
в многочисленных работах (см. обзор [28]). Здесь в первую очередь следует
отметить работу Ю.И. Кадашевича и В.В. Новожилова [181], предложивших
вариант так называемого комбинированного упрочнения, при котором в процес-
процессе пластического деформирования поверхность текучести, кроме перемещения,
испытывает также всестороннее расширение. (Примеч. авт., 1984 г.)
310 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
прямой можно придать такой вид:
где аг, аз, . . . , осе — постоянные числа, а X — монотонно изменяющийся
параметр, определяющий положение точки ? на упомянутой прямой.
Началу деформации соответствует некоторое значение этого парамет-
параметра X = Х°, определяемое начальным значением координаты щ = л? •
Очевидно, что в новой системе координат алгебраическое соотноше-
соотношение сохраняет свою структуру, так как его левая часть представляет со-
собой квадрат модуля некоторого вектора и, следовательно, инвариантна
к преобразованию координат. То же относится и к дифференциальным
соотношениям, которые выражают параллельность упомянутого век-
вектора элементарному перемещению ds точки х.
В новых обозначениях алгебраическое и дифференциальное соотно-
соотношения предлагаемой теории пластичности представляются следующим
образом:
»>ад1-*1 %-?
0 = 1,2,...,6),
где г/j — координаты точки х в новой системе координат.
Так как из величин r\j лишь первая (щ = X) изменяется, то, диф-
дифференцируя алгебраическое соотношение по X, придем к соотношению
в дифференциалах:
[G (X - У1) - НУ1] GdX -J21G К- - Vj) ~ Нуд (G + H) dVj = 0.
Заменяя здесь дифференциалы dyj выражениями
dVj = lG Ыз -Уз)~ нУз\ ds/K,
получим
K[G{X-yi)-Hyi}GdX =
= Y, IG (^ " Vi) ~ НУо\2 (G + H)ds = К2 (G + Я) ds.
Учитывая, в частности, что
придем к дифференциальному уравнению
[G (X - у,) - Ну,}2 GdX =(G+H) K2dy,
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 311
для определения компоненты остаточной деформации у\ как функции
параметра X.
Интеграл этого уравнения имеет вид
G(\-Vi) - НУ1 = Kth(G\/K + Ci),
где С\ — постоянная, определяемая начальным условием у\ = у® при
х = х°.
Используя полученное дифференциальное уравнение и его инте-
интеграл, имеем
dyj = dy, = G[G(X-y,)-Hy,]dX =
G(rij-yj)-Hyj
К (G + Я)
откуда, учитывая, что r\j = aj = const (j = 2, 3, . . . , 6), в результате
интегрирования приходим к соотношениям
G (а,- - yj) - HVj = Cj sech {GX/К + d),
где Cj — постоянные, определяемые начальными условиями yj = у®
при X = Х° (начальная остаточная деформация). Эти постоянные (рав-
(равно как и начальные условия у® j = 2, 3, . . . , 6) не независимы между
собой, так как
[G (X - У1) - Ну,]2 + ? [G (а,- - Vj) - HVj}2 =
= K2th2 (GX/K + d) + J2Cj sech2 (GX/K + Ci) = K2,
и вследствие тождества th2 z = 1 — sech2 z должно быть
В некоторых случаях th [GXJК + С\) может выродиться в едини-
единицу (при С\ —> оо); при этом все константы Cj обратятся в нуль.
К этим случаям относятся, в частности, простейшие нагружения —
растяжение, сжатие и сдвиг — за предел упругости из первоначального
естественного состояния тела.
2°. В случае простого растяжения
<зх Ф 0, ау = az = Tyz = xzx = тху = 0, а = -ах
312 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
и, следовательно,
V - о) =
Х4 = Х5 = Х6 = 0.
Если деформирование ведется из естественного состояния, то
В соответствии с изложенным выше введем новую прямоугольную
систему координат Л1 ? Л25 • • • , Лб так, чтобы ось Л1 была параллельна
вектору X. Таких систем можно указать сколько угодно. Одной из
них будет система, определяемая следующей таблицей косинусов углов
между ее осями и осями исходной системы:
Л2
Лз
Л4
Л5
л«
2/V6
0
1/V3
0
0
0
-1/V6
1/л/2
1/л/З
0
0
0
-1/V6
-У у/2
1/л/З
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Обозначим проекции вектора X на оси r\j через Yj вектора ^ — через
^- и, наконец, вектора х — через yj.
Имеем в соответствии с таблицей косинусов:
Yy = 1-VQBX1 -Х2- Х3) = 1
Y2=1-V2(X2-X3) = 0,
Y3=
Y4 = Y5 = Y6= 0.
Согласно вышеизложенному, предел упругости будет достигнут,
если осуществится равенство
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 313
т. е. при
ож = K\[b = os.
Дальнейшее увеличение ах вызовет пластическую деформацию,
подчиняющуюся дифференциальным соотношениям
yi)-HVi Yj-Hyj К » -->•••>-,
и алгебраическому равенству
Так как Yj = О (j = 2, 3,. . . , 6), то согласно тем же дифференци-
дифференциальным соотношениям получим
где s — длина дуги траектории, описываемой точкой х при пластиче-
пластическом деформировании. В нашем случае у® = 0 и, следовательно, все
у^ (j = 2, 3, . . . , 6) тождественно равны нулю. Кроме того, как было
показано выше, Yj (j = 2, 3,. . . , 6) также равны нулю. В результате
алгебраическое равенство приводится к виду
откуда
_ Ул-К _ ах/УЗ- К
ш ~ н ~ н
Возвращаясь вновь к системе координат ^,^2? • • • ?^б? получим,
пользуясь таблицей косинусов, что остаточная деформация после рас-
растяжения за предел упругости такова:
I >/2 (а* - Ку/з\
х\ = V2e° = -V6yi = ^77 5
О Oil
\/б'
Так как
о
и, согласно закону Гука,
1 - 2v 1 - 2v
314 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
то выражение полной деформации гх за пределом упругости, т.е. при
^х > c>s, приобретает вид
Ох ®х — Os
8ж = 2(l+v)G + ЗЯ '
что соответствует закону линейного упрочнения.
3°. Пусть после растяжения некоторой полосы за предел упруго-
упругости напряжением а* полоса (или соответственно вырезанный из нее
элемент) растягивается напряжением ау. Подсчитаем, при каком на-
напряжении появятся новые пластические деформации и как они будут
изменяться по мере увеличения ау.
Теперь
-Al — —V^Oy/O, .A2 — \ ЛEу / о,
\г \г /о /п \г V" V П
Аз — Ai — —Л/^Оу/О, А4 — А5 — Ag — U
и, согласно предыдущему,
'о ~,0 _ ^0 _
О, Хп — Хо —
Vs (а; -
У= ЗЯ '
где а* — наибольшее напряжение, достигнутое при предварительном
растяжении полосы напряжением ах.
Введем новую систему координат Ci ? Сг 5 - - - ? Сб так5 чтобы ось ^
была параллельна вектору X. Одной из таких систем будет та, направ-
направление осей которой определяется следующей таблицей косинусов:
Ci -1/V6 2/V6 -1/V6 0 0 0
^2 -1/V2 0 1/д/2 0 0 0
Сз 1/л/З 1/л/З 1/л/З 0 0 0
С4 0 0 0 10 0
С5 0 0 0 0 10
Се О 0 0 0 0 1
Проекции вектора X на эти оси равны соответственно
±(-X1+2X2-X3) = ±oy,
Zo = Z% = ... = Za = 0.
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 315
Координаты точки ж0, характеризующей начальную остаточную де-
деформацию в новой системе координат, представляются выражениями
z\ — g v о {—х1 -\- гх2 — х3) — — 2^/1 —
го _ ! / о , оч _ ^*7/*
*S = ^ (*? + *§ + *§) =о,
Чтобы отыскать новый предел упругости а*, следует разрешить
уравнение
относительно а*. Получим, имея в виду корень а* > 0,
или, подставляя значения z\ и z\ и вводя обозначение
получим для предела упругости при растяжении в поперечном направ-
направлении формулу
1
2
Пусть а = 1.2, т.е. при предварительном растяжении напряжением
ох предел упругости os был превзойден на 20% . Тогда при последую-
последующем растяжении напряжением оу предел упругости будет достигнут
уже при напряжении
с* =0.885cs.
Рассмотрим, как будет происходить деформация полосы при даль-
дальнейшем растяжении напряжением ау за пределом упругости а*. За
исходные уравнения теперь следует принять соотношения
^2 — ^±(а — л о а\.
316 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
в которых в соответствии с изложенным выше
Zi = iV3o1/,Zi=0(j = 2,3,...,6),
а за начальные условия надлежит взять значения
Так как Z3 = ... = Ze = 0, то
zj=z°je-Hs/K=0(j=3,...,6).
Остается рассмотреть единственное дифференциальное соотноше-
соотношение
при наличии равенства
Аналогично выкладкам п. 1° получим
(day - HdZlV3) + H2z2dz2 = 0.
Подставляя сюда из дифференциального соотношения dz2 и учи-
учитывая предыдущее алгебраическое равенство, имеем
i (оу -
• \VSdoy - HK2dz, = 0.
Интеграл последнего дифференциального уравнения имеет следую-
следующий вид:
Здесь постоянная С находится из условия
су=а*у, Zl=z^ = -л/3 (о* - КлД] /6Я.
Уравнение для отыскания постоянной С можно привести к виду
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 317
Можно также показать, что левая часть уравнения по модулю
меньше единицы и тем самым уравнение всегда имеет действительное
решение.
Вновь используя алгебраическое равенство, получим
Нг2 = Кзесъ(^ф+Су
Нетрудно убедиться, что другое условие,
ov = а,., Zo = z9 = — аг — A vо *п.
\ /
в силу того же алгебраического равенства соблюдается.
Возвращаясь посредством таблицы косинусов к старым переменным
Xj, получим, в частности,
Так как согласно исходным соотношениям теории
ТО
или
-у- 2(l+v)G ' ЗЯ ЗЯ ы
Последнему выражению можно придать также форму
_
у
у 2(l+v)G^ ЗЯ ^ 3/
из которой следует, что при достаточно больших значениях оу из-
изменение деформации гу приближается к закону простого линейного
упрочнения, полученному в конце п. 2°.
Если растягивающее напряжение оу < а*, то в соответствии с
общими положениями теории следует считать ж2 = х% постоянным.
В этом случае
_
у ~
у ~ 2 A - v) G 6Я '
При оу = оу последняя и предыдущая формулы дают, разумеется,
один и тот же результат.
318 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
4°. Рассмотрим теперь растяжение косого элемента, который про-
произвольно вырезан из полосы, подвергающейся предварительному рас-
растяжению за предел упругости напряжения а*. Обозначим через 6 угол
между направлением элемента и осью х и через ае напряжение этого
элемента при последующем растяжении.
В соответствии с формулами сопротивления материалов и теории
упругости имеем
txy = Oq cos 6 sin 6, oz = xyz = xzx = 0,
и, следовательно, согласно вышеизложенному,
г = \V2oQ ("
cos2 6 - Л , Х2 = \ ^2ае (sin2 e - \
Х3 = --л/2ае, ^4 = ^5 = 0, Х6 = ае cose sine.
b
В п. 2° были подсчитаны остаточные деформации, которые воз-
возникают при предварительном растяжении полосы напряжением a*, a
именно
О 1 ЛТ°ж
\ — з
0 ^О 0 0 0
Зная эти величины, можно, пользуясь алгебраическим соотношени-
соотношением
найти, при каком значении напряжения ае = а^ будет достигнут предел
упругости при растяжении косого элемента.
В развернутом виде уравнение для упомянутого предела упругости
следующее:
Г 12
+ \ у\*% + l(<- kVs) | + (ае* cose sineJ = к2.
Положим
о: - кУз _ о; - os _ _ о; о;
/^/3 с
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением
319
Тогда после раскрытия скобок и приведения подобных членов по-
получим для и квадратное уравнение
и2 + A -3cos2 б) ри + р2 = 1.
Положительный корень этого уравнения определяет величину пре-
предела упругости ад, соответствующую растяжению элемента, а отрица-
отрицательный — его сжатию. При 6 = 90° получаем уравнение
и2 + ри+р2 = 1,
откуда
и = -р/2 + д/1 - Зр2/4.
что, как нетрудно проверить, совпадает с результатом, полученным
в п. 3°.
Если предел упругости при предварительном растяжении полосы
превзойден сравнительно немного, так что величина р имеет порядок
0.1-0.3, то при cos 6 = 1/л/З имеем
и2 = 1 - р2
1.
Таким образом, если элемент вырезан под углом около 55° к направ-
направлению первоначального растяжения, то предел упругости практически
оказывается тем же самым. В общем случае это имеет место при cos2 6 =
Рис. 89
5°. Подобным же образом можно исследовать интересную задачу
об отыскании установившегося процесса деформирования за пределом
упругости, когда конец вектора усилия X обращается (рис. 89, а)
вокруг начала координат по кругу.
320 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Предположим, что элемент материала вначале выводится в пласти-
пластическое состояние путем чистого сдвига
^ху Ф 05 Ох = Оу = Oz = Xyz = Xzx = 0.
Нагружение ведется до напряжения хху = т*, превышающего пла-
пластическую постоянную К.
Пусть далее производится сложное нагружение, при котором на-
напряжения в элементе меняются по закону
ох = -т* sin 28, оу = т* sin 28,
хху = т* cos 28, oz = xyz = xzx = 0,
где 6 — возрастающий параметр @ < 6 < ос). Такому закону изменения
напряжений отвечает постепенный поворот площадок максимального
напряжения сдвига в элементе вокруг оси z при сохранении постоянной
величины напряжения т* на этих площадках. При этом 6 является
углом поворота площадок сдвига в элементе, который отсчитывается
от их положения на начальном этапе нагружения.
Найдем, как меняются пластические деформации на этапе сложного
нагружения. Прежде всего определим остаточные деформации элемен-
элемента, отвечающие концу первого этапа — нагружения напряжением хху >
> К. Имеем
Х\ = X<i = Хз = Х4 = Х$ = 0, Xq = тху.
Из компонент вектора х, определяющего остаточные деформации
элемента, в данном случае отлична от нуля только компонента xq. Ее
значение определяется из алгебраического равенства
(Хв - НхвJ = {хху - НхвJ = К2,
откуда
Таким образом, пластические деформации в конце первого этапа
таковы:
О 0 0 0 0 г\
Х1 — Х2 — Х3 — Х4 — ХЪ — и5
о _ о _2о _
6 У ^ ~ Н
Xq — Уху — ^?"г",, — гг — гг \Ы
В последней формуле введен безразмерный параметр а = т*/К
(а > 1), который характеризует уровень достигнутых в конце первого
этапа касательных напряжений в элементе.
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 321
На этапе сложного нагружения, согласно вышеизложенному, имеем
Х1 = - -у= sin 29, Х2 = -у= sin 26,
Х6 = т* cos 26, Х3 = Х4 = Хъ = 0.
Из последней группы равенств следует (см. п. 2°), что хз = ж 4 =
= ж5 = 0 и, следовательно, деформация элемента остается плоской.
Поскольку Х\ (б), Х2 (б), Х% (б) — известные функции параметра 6, то
задача сводится к определению трех функций: х\ (б) , х2 (б), Xq (б) из
системы уравнений
dx\ dx2 dxQ
= Х2 - Нх2 = Х6 - Нх6 '
(Х2 - Hx2f + (Х6 - Нх6J = К2
при начальных условиях
Введем новую прямоугольную систему координат льЛ2? • • • ? Лб5
направление осей которой определяется следующей таблицей косину-
косинусов:
Л1
Л2
Лз
Л4
Л5
Лб
1/V2
1/V2
0
0
0
0
— 1/v 2
0
0
0
0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Проекции векторов X и х на оси этой системы равны соответственно
Y3 =
1
Х2) = -
Y4 = Y5.
¦x*sinp
= 0,
Уе = Х6
2), V2 = ±(X1
= т*
+ х
х, + х2) = о,
cosp
2)=0,
Уз = Уа = Уъ = 0, 2/6 = ж6,
где р = 26. Таким образом, в новой системе вектор усилий X и вектор
остаточной деформации х на этапе сложного нагружения все время
322 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
лежат в плоскости г|1Лб- При этом модуль вектора усилий сохраняет
постоянное значение, равное т*, так что конец вектора X описывает в
плоскости г|1Г|б окружность радиуса т* = аК (см. рис. 89, а).
Дифференциальное и алгебраическое соотношения для функций у\
и 2/е, рассматриваемых далее как функции аргумента р, в новой системе
координат имеют вид
уГГя^ = У^Я^' ^Уг-Нуг) +(Ye-Hye) =K ,
а начальные условия
щ @) = -^ [ая @) - ж2 @)] = 0,
Введем функцию ф(р), которая связана с искомыми у\ (р) и ?/б (Р)
соотношениями
—/fsincp = Vi — Яу1, /fcoscp = Ув — Я^/6.
Очевидно, что при этом алгебраическое равенство обращается в
тождество, а у\ (р) и у§ (р) выражаются через единственную неизвест-
неизвестную функцию ф(р). Имеем
1 к
У\ = -jj {Yi +/^sin9) = — (-asinp + sin9),
i w
y6 = — (Y6- К cosy) = — (acosp-cos9).
Подставляя эти вырал<ения в дифференциальное соотношение, по-
получим
+ cos(pd(p _ — a sin pdp + sin фс(ф
— sin ф cos ф
После преобразований приходим к следующему дифференциально-
дифференциальному уравнению для функции ср:
dcp/dp = a cos (ф — р) .
Используя определение ср, а тъкже учитывая, что Y\ @) = 0, Y§ @) =
= т* = аК, 2/i @) = 0, ye @) = К(а-1)/Н, найдем sin9@) =
= 0, cos ф @) = 1 и, следовательно, ср @) = 0.
Полученное уравнение легко интегрируется. Сделаем замену ср =
= р + \|/(р). Тогда \|/@) = ср(О) = 0, а само уравнение преобразуется
к виду
г^^ = -dp.
1 — a cos \|/
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением 323
В результате интегрирования имеем
или, учитывая начальное условие \|/@) = О,
= 2arctg' ^
Функция \|/ является монотонно возрастающей функцией аргумента
р. При больших р функция \|/ (р) стремится к некоторому постоянному
значению \|/* (а) = 2 arctg д/(а — 1) / (а + 1).
Используя определение ф и равенство ср = \|/ + р, получим
= -j4sin(p- со),
/i = -— [asinp- sin(\)/
ТУ"
у6 = —[a cos р - cos (\|/ + рI = A cos (p - со) .
В этих формулах параметр А = А (р, а) = К^/а2 + 1 - 2асов\|/(р)/Я
характеризует значение модуля вектора остаточных деформаций
(lxl = VVi + 2/6 = Л) •
В свою очередь, угол со, задаваемый равенством
sin со = (К/Я) sin \\f/A @ < со < тг/2),
определяет разность фаз между векторами X и х.
Принимая во внимание выражение для функции \|/(р), после эле-
элементарных, но громоздких преобразований получим
1/2
ach
(а2 - 1)
со (р) = arcsin -
Подставляя далее эти формулы в соотношения для у\ (р) и у§ (р),
находим закон изменения остаточных деформаций на этапе сложного
нагружения.
Проанализируем полученный результат. Заметим, что А (р) и
со(р) — монотонно возрастающие функции. При р = 0 имеем А @) =
= (а — 1)/С/Я, со@) = 0. При р —>• оо обе функции стремятся к
324 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
некоторым постоянным значениям
• Л
со —>> со* = arcsin -
\*
Следовательно, на этапе сложного нагружен и я модуль вектора оста-
остаточной деформации |х| = \/у\ + у\ = Л (р) растет, асимптотически
приближаясь к предельному значению Л*. Поскольку угол со характе-
характеризует отставание по фазе вектора х от вектора усилий X, то в силу
равенства со @) = 0 и монотонного роста функции со (р) в начале этапа
сложного нагружения вектор х постепенно отклоняется от вектора
X. При больших р функция со(р) —> со* = const, и, таким образом,
отставание стабилизируется, определяясь углом со*.
Характер изменения остаточных деформаций при сложном нагру-
жении иллюстрирует рис. 89, а, б. На рис. 89, б показана траектория,
которую описывает точка х в плоскости у\у§. Эта траектория имеет вид
расширяющейся спирали, асимптотически приближающейся к окруж-
окружности радиуса Л* = л/ос2 — 1К/Н. Данная окружность изображена на
рис. 89, б (пунктир). Рис. 89, а и б дают представление о взаимном
расположении вектора усилий X и вектора остаточной деформации х
на разных стадиях нагружения. Видно, что при малых углах р, т. е. в на-
начале сложного нагружения, поворот вектора усилия X практически не
вызывает изменения направления вектора х. Дальнейший рост р при-
приводит к тому, что вектор остаточной деформации х также вовлекается
во вращение. При больших значениях р отставание стабилизируется,
так что вращение векторов X и х происходит почти при постоянном
сдвиге фаз, равном со* = arcsin A/ос).
Приведенные рисунки построены для случая а = 1.2, т.е. отвечают
превышению напряжения сдвига т* над пределом упругости К на 20%.
Заметим, что и в данном случае модуль вектора остаточной деформа-
деформации на этапе сложного нагружения возрастает приблизительно в 2.3
раза, а угол со* = 54° 30'.
Возвращаясь к старым переменным ж^-, окончательно получим
хг =V2E°x = -^yi =-_
х2 = V%4 = ~f2/i = -^-4 sin (p-со),
жб = lly = Уб = Л cos (p - со).
Последние формулы вместе с приведенными выше выражениями
для Л (р) и со (р) определяют закон изменения пластических деформа-
деформаций элемента на этапе сложного нагружения.
§ 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением
325
Покажем, что полученному решению на всем этапе сложного нагру-
жения отвечает активная пластическая деформация. Для этого нужно
убедиться в том, что выполняется неравенство
левая часть которого представляет собой элементарную работу dAp,
расходуемую на совершение пластической деформации. Имеем
dAi = у (Xi — HxAdx>i =
J / j \ J J / J
'i - Hyj)dVj = (Y, - Ну,) dy, + (Y6 - Hy6) dy6 =
= К sin ф— (occospdp — совф^ф) + К cosy— (—asin pdp + sin фо?ф) =
к2 . к2
= ^i-asin (ф — р) dp = -rz-asinydfi.
Согласно предыдущему 0 ^ \|/ < тс/2, sin\(/ ^ 0, следовательно,
dAp ^ 0. Таким образом, на всем этапе сложного нагружения происхо-
происходит пластическая деформация.
Подобным, однако несколько более сложным образом можно иссле-
исследовать, как происходит пластическая деформация в случае вращения
напряженного состояния растя-
растяжения по закону
ох = a* cos2 е, оу = a* sin2 e,
ixy = a* cose sine,
где а — постоянная, превышаю-
превышающая предел упругости при растя-
растяжении as = уЪК.
6°. Можно представить се-
себе некую механическую модель,
поведение которой описывается
уравнениями предлагаемой тео-
теории пластичности при сложном
нагружении. Пусть в шестимер- рис qq
ном пространстве (фактически —
в пятимерном) в некой среде малый шарик связан пружинами жестко-
жесткости с с началом координат и жесткости Ъ — с концом вектора полной
деформации \ (рис. 90). Положение шарика определяется вектором х
326 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
(вектор остаточных деформаций). Усилие, развиваемое второй пружи-
пружиной, обозначим вектором X.
При перемещении шарика в среде он встречает постоянное со-
сопротивление К (пластическая постоянная), равное и противоположно
направленное равнодействующей усилий, развиваемых обеими пружи-
пружинами, прикрепленными к шарику. Элементарное перемещение шарика
направлено по упомянутой равнодействующей. Если положить b = G и
be/ (b + с) = Н (см. [165]), то в результате придем к изложенным выше
уравнениям общей теории пластичности с линейным упрочнением.
§ 8. Теории изотропного и анизотропного
упрочнения
Предположим, что функции нагружения упрочняющегося пласти-
пластического материала полностью определяются компонентами тензоров
напряжений и пластических деформаций
°- B-8Л)
Выбранный путь нагружения приводит к вполне определенному
деформированному состоянию, независимо от ориентации тела отно-
относительно некоторой декартовой системы координат Х{. Следовательно,
функции нагружения зависят только от инвариантов напряженного и
деформированного состояния. Инвариантами напряженного и дефор-
деформированного состояния будут инварианты тензоров а^-, е^-, а также
совместные инварианты этих тензоров. Число основных, базисных ин-
инвариантов, через которые могут быть выражены все инварианты тен-
тензоров а^, е?- (включая совместные), равно девяти. Это обстоятельство
соответствует тому факту, что данное напряженное и деформирован-
деформированное состояние полностью определяется шестью величинами главных
компонент тензоров напряжений Oij и пластических деформаций е?.,
а также тремя независимыми величинами, характеризующими взаим-
взаимную ориентацию главных направлений этих тензоров.
Таким образом, можно записать
где а^, е\ — главные компоненты теноров напряжений и пластических
деформаций; а, р, у — три величины, например, эйлеровы углы, харак-
характеризующие взаимную ориентацию главных направлений о*, е\.
§ 8. Теории изотропного и анизотропного упрочнения 327
В качестве базисных могут быть выбраны любые девять независи-
независимых инвариантов, например,
_ v _
2 "" 20*-7'0*-7' 3 ~~
РР _ ^ РР уР _ 1 Р РР уР _ 1 ^Р ^Р
П2 = ао-е?., П12 = дО^-е^е^, П21 = дО
Очевидно, что если функции нагружения B.8.1) зависят только от
инвариантов B.8.2), то материал является первоначально изотропным.
Если материал является первоначально анизотропным или стано-
становится анизотропным в процессе пластического деформирования таким
образом, что данный путь нагружения приводит к различным дефор-
деформированным состояниям в зависимости от ориентации тела в системе
координат Xi, то подобная анизотропия материала характеризуется
некоторым, вполне определенным тензором или тензорами анизотро-
анизотропии (которые могут быть различных порядков), и функции нагружения
в этом случае зависят от различных инвариантов этих тензоров, а
также от инвариантов тензоров а^-, eVy
Изотропное упрочнение. В теории изотропного упрочнения пред-
предполагается, что функции нагружения зависят только от инвариантов
тензора напряжений и тензора пластических деформаций
/<«)(о, Е2, S3, e", El El, к,) = 0.
В этом случае функции нагружения всегда инвариантны относи-
относительно преобразования системы координат и тело сохраняет свойства
изотропии во время процесса пластического деформирования.
В случае, когда пластические свойства материала не зависят от
действия гидростатического давления, функции нагружения имеют
вид
где Е2, S3, Е<?\ Е% — соответственно второй и третий инварианты
девиаторов напряжений и пластических деформаций.
Простейшие варианты теории изотропного упрочнения определя-
определяются следующими видами функций нагружения:
/ l^max} УглахJ = "Ь
f(Z'2,E'2p)=k. B.8.3)
328 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Рассмотрим, например, функцию нагружения B.8.3) в случае ли-
линейного упрочнения:
! I
(%•%•) 2 = k + а (е'.е*,) 2 , а = const. B.8.4)
Согласно ассоциированному закону пластического течения
<*=иЧ- B-8-5)
Аналогично могут быть рассмотрены соотношения е?. — а^- для
других функций нагружения.
Анизотропное упрочнение. В теории анизотропного упрочнения
ограничимся рассмотрением следующих функций нагружения:
/<«)(°. Е2, Ез, ер, Щ, El, П2, П12, П2], Ь)=0.
Как уже было отмечено, в этом случае данный путь нагружения
приводит к определенному деформированному состоянию, независимо
от ориентации тела в системе координат Х{.
В случае, когда пластические свойства материалов не зависят от
гидростатического давления, функции нагружения имеют вид
/<«> (Е'2, Е'3, Е'2Р, E'i, П'2, п;2, П'2], Ь)=0.
Рассмотрим один из вариантов теории анизотропного упрочнения.
Введем тензор активных напряжений а^- = а^- — s^-, где Sij =
= ae^j. Величина а может зависеть от инвариантов тензоров а^-,
е^-, в простейшем случае ее можно считать постоянной. Очевидно,
что совокупность независимых инвариантов тензора о^- охватывается
совокупностью инвариантов B.8.2).
Предположим, что функции нагружения имеют вид
/<«>(<й)=/<«>(оу-ву) = 0. B.8.6)
В пространстве тензора напряжений о^- поверхности нагружений
f(i) = 0 фиксированы, в пространстве действительного тензора напря-
напряжений Gij они испытывают жесткое смещение, определяемое компо-
компонентами тензора s^. Подобные теории носят название трансляционных
теорий анизотропного упрочнения.
Рассмотрим частный вид зависимости B.8.6), а именно
^. - ае?.) (а^- - ае?.) = *2, а = const. B.8.7)
§ 9. Модели сложных сред 329
Очевидно, что в данном случае имеет место линейное упрочнение.
Ассоциированный закон течения приводит к зависимости
B.8.8)
Отметим, что соотношения теории анизотропного упрочнения, ис-
использующие функции нагружения в виде
о' B-8-9)
где Sij = ae^ji a = const, имеют следующее свойство: закон упроч-
упрочнения, вообще говоря, меняется с переходом от первоначального про-
пространства напряжений к пространству меньшего числа измерений (пе-
(переход от общего пространственного случая к частным случаям плоской
задачи, чистого сдвига и т. п.). В частных случаях поверхность на-
нагружения не перемещается по направлению ассоциированного вектора
скорости.
Для устранения отмеченных особенностей можно принять
dsij = (oij - Sij) dv, dv > 0.
Закон упрочнения B.8.9) с такой его модификацией не меняется для
любого подпространства.
§ 9. Модели сложных сред
Многие среды обнаруживают при деформировании совместное про-
проявление упругих, вязких и пластических свойств. Для описания по-
поведения подобных сложных сред требуются соответствующие модели.
Ниже рассмотрим построение основных соотношений связи между на-
напряженным и деформированным состояниями для достаточно широко-
широкого класса реологически сложных сплошных сред. В основу построений
положим три основных механизма деформирования: упругий, пласти-
пластический и вязкий. Первый механизм определяет обратимый процесс
деформирования, два последних — необратимый. Для иллюстрации
свойств реологически сложных сред воспользуемся динамическими мо-
моделями (рис. 91). В подобных моделях сила соответствует напряжени-
напряжениям, а перемещение — деформациям моделируемой среды. Инерционные
свойства самих моделей не рассматриваются.
Упругий механизм деформирования Е моделируется пружиной, ко-
конец которой прикреплен к жесткой стенке (рис. 91, а). Жесткая стенка
может быть интерпретирована как механизм сухого трения при сколь
угодно большом коэффициенте сцепления. Механизм пластического
330
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
течения Р моделируется элементами сухого трения (рис. 91, б), т.е.
твердым телом, прижимаемым к шероховатой плоскости.
О
О
О
о
г
Рис. 91
Вязкий механизм можно изобразить двояко (рис. 91, в, г). В первом
случае (рис. 91, в) механизм вязкости будем обозначать индексом
V0, во втором случае — индексом V*. Как будет показано, различие
между этими моделями позволяет осуществить различные включения
механизма вязкости в сложные модели.
Рассмотрим простейшие комбинации механизмов: ЕР — модель
упругопластического тела (рис. 92, а), модель упруго-вязкого тела ЕV0
или EV* (рис. 92, 6", в). Для этих моделей полная деформация слагается
из упругой и пластической или упругой и вязкой:
de = dee + dep, de = dee + dev.
B.9.1)
Для упруго-вязкого и упругопластического тел упругие деформа-
деформации связаны с действительными напряжениями а^- законом Гука. Ни-
Никакого различия между моделями EV0 и EV* нет.
§ 9. Модели сложных сред
331
В случае последовательного действия механизмов Р и Е (рис. 92, г)
соответствующее деформирование является только пластическим (мо-
(модель соответствует упрочняющемуся жесткопластическому телу), по-
поэтому этот механизм будем обозначать Ре. Здесь и в дальнейшем пред-
предполагается, что деформированные внутренние упругие элементы не в
состоянии преодолеть сами по себе сил сопротивления пластических
элементов.
W
W
W
v°
е
Рис. 92
Рассмотрим последовательное соединение механизмов V0, Ей V*,
Е (рис. 92, д, е). Очевидно, что последовательное включение меха-
механизмов V0, Е приводит к силовой связи элементов: усилия в вязком
и упругом элементах равны {тело Максвелла), а последовательное
включение элементов V* ъ\ Е — к кинематической связи: перемещения
вязкого и упругого элементов одинаковы {тело Фойхта). Очевидно,
что модель V* Е соответствует параллельному включению элементов
упругости Е и вязкости V0.
Отметим, что при силовой связи упругого и вязкого элементов
последовательность их включения несущественна: модель ЕV0 эквива-
эквивалентна модели V°E. Однако в случае кинематической связи элементов
1/*, Е упругий элемент является внутренним (рис. 92, е), деформиро-
деформирование носит вязкий характер и соответствующую модель будем обозна-
обозначать V*e.
Таким образом, при принятой индексировке большие буквы указы-
указывают на механизм, определяющий характер деформирования; внутрен-
внутренние механизмы, не меняющие характер деформирования, обозначаются
соответственно малыми буквами.
332
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Отметим, что в рассматриваемом случае деформирование может
иметь характер упругий, вязкий, пластический, упруговязкий, упру-
гопластический. Модель, состоящую из механизмов Р и У*, следует
обозначать Рг?*, так как деформирование носит характер пластиче-
пластического и вязкий элемент V* является в данном случае внутренним. Для
того чтобы убедиться в этом, достаточно произвести разгрузку: полная
деформация оказывается остаточной.
Очевидно, что модель Pv° вполне эквивалентна модели Pv*, раз-
различие элементов V0, V* сказывается лишь при наличии последующих
элементов упругости или пластичности.
Из изложенного ясен принцип индексировки моделей, например,
моделей, изображенных на рис. 93. Их следует соответственно обозна-
обозначить EV°p, V*ep, Pev° (или Pev*), Pv*e, EPev*epe, V°epev*ep.
Л\\\\\\\\\У
/////////////////////////У
'///////////////////////У
б
wwv
W у W p W-
p
w
V*
w
p
w
w-
e
Рис. 93
Для построения связи между тензорами напряжений а^ и деформа-
деформаций рассмотрим двумерные динамические модели. На рис. 94 показаны
двумерные динамические модели, соответствующие одномерным моде-
моделям, приведенным на рис. 93.
Рассмотрим модель Pev*, изображенную на рис. 94, в. Обозначим
внешние усилия, действующие на элемент пластичности, через Ti, T2,
усилия в упругих пружинах — 5i, ?2, перемещения пластического
элемента — через gi, q^ вязкого элемента — п, r<i-
§ 9. Модели сложных сред
333
Очевидно, что перемещение пластического элемента будет происхо-
происходить, когда результирующие усилия достигнут некоторого предельного
значения
- SiJ + (T2 - S2f =
k = const,
B.9.2)
где к — предел сухого трения (модуль силы сцепления).
р
V
<
V*
<
А.
V
h
L
p
L
V*
V
Г
р
<
в
р
V
L
V*
<
—
Рис. 94
Приращение перемещения элемента пластичности происходит по
направлению равнодействующей, т.е.
B.9.3)
Т\ —Si T<i — Si
Натяжения в упругих пружинах связаны с перемещениями соотно-
соотношениями
S1=a(q1-r1), S2 = a(q2-r2), B.9.4)
где а — коэффициент жесткости пружины. Наконец, перемещения
вязкого элемента связаны с усилиями следующим образом:
= Т[Г2-
B.9.5)
Соотношения B.9.2)-B.9.5) полностью определяют механическое
поведение рассматриваемой модели.
334
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
При использовании динамических аналогий внешним усилиям Т\
поставим в соответствие тензор действительных напряжений а^-; уси-
усилиям в пружинах Si — тензор внутренних напряжений s^-; переме-
перемещениям qi — тензор действительных деформаций е^-; перемещениям
внутреннего элемента вязкости Г{ — тензор внутренних скоростей пе-
перемещений Kij.
Припишем, как обычно, девиаторам соответствующих тензоров
штрих наверху; будем считать для простоты материал несжимаемым
(связь между первыми инвариантами может быть сформулирована
независимо); более того, будем считать все тензоры внутренних дефор-
деформаций девиаторами. Тогда, согласно B.9.2), будем иметь
k = const.
B.9.6)
Соотношение B.9.3) соответствует ассоциированному закону тече-
Далее,
и, наконец,
*,-*?-.
s'ij = a(deij —
B.9.7)
B.9.8)
B.9.9)
Соотношения B.9.6)—B.9.9) полностью определяют свойства рас-
рассматриваемой модели Pev*.
На рис. 95, а изображена динамическая модель ЕРерере или, как ее
г
р
V
pjv
L
p
/7777777777777777/
а
А.
V
L
V*
<
/7777777777777777/
б
Рис. 95
удобно обозначать, ЕРе\р\ечрче^. Рассмотрим для нее определяющие
соотношения. Для внешнего упругого элемента будем иметь
B.9.10)
§ 9. Модели сложных сред 335
Обозначим тензор внутренних напряжений, соответствующий эле-
элементу еп, через s\™ , тензор внутренних деформаций, соответствующий
перемещениям элемента рп, — через Xij • Тогда запишем соответствен-
соответственно для элементов р, pi, P2 предельные условия (функции нагружения)
в виде
B.9.11)
Соотношения связи между тензорами напряжений и деформаций
определим из соотношений ассоциированного закона течения
где dX, dX-i, d^2 — неопределенные множители. Для того чтобы тензоры
деформаций были девиаторами, необходимо положить, что все условия
пластичности не зависят от первых инвариантов соответствующих тен-
тензоров. В соотношениях B.9.12) используется ассоциированный закон
течения. Представления ассоциированного закона течения следуют из
соображений экстремальности приращения работы напряжений на со-
соответствующих приращениях деформации. Эти соображения использо-
использованы выше как для действительных, так и для внутренних напряжений
и деформаций.
Дифференцирование в B.9.12) ведется по первому из напряжений,
хотя дифференцирование можно вести по суммарным напряжениям,
(п)
так как если s\j не зависит от а^-, то
а\?г3 ~ 8tj ) O{Si:j - 8tj )
д°а ' ds\f
поэтому
Of _ df <9фп _
0огз в(а„-,!}>)' в,™ d(s^-s^)'
Наконец, к соотношениям B.9.10)—B.9.12) следует присоединить
условия, следующие из представлений об упругом характере внутрен-
внутренних связей, а именно
B.9.13)
336 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
где ап — коэффициенты жесткости элементов еп, в простейшем случае
ап считаются константами материала.
Соотношения B.9.11)—B.9.13) полностью определяют свойства рас-
рассматриваемой модели ЕРе^р^ e<iVie<z- Отметим, что только компоненты
полной деформации е^- связаны с перемещениями формулами Коши,
остальным тензорам деформаций е^-, е?., Xij\ вообще говоря, переме-
перемещения в соответствие поставлены быть не могут. Уравнениям равно-
равновесия удовлетворяет тензор а^-, остальные тензоры напряжений s\™
уравнениям равновесия не удовлетворяют. Тензоры s^- , x\j играют
роль внутренних тензорных параметров модели.
Аналогично рассмотрим модель Е'^е^^егг^ез, изображенную на
рис. 95, б. Обозначим тензор внутренних скоростей деформаций, соот-
соответствующий скоростям перемещений элемента vn, через к^ . Получим
/ /A) v
B.9.14)
где rj, rjn — коэффициенты вязкости элементов 1/, vn соответственно.
К соотношениям B.9.14) следует присоединить условия, определяющие
напряжения, соответствующие натяжениям в элементах еп:
./A) / v A)\ ./B) / A) B)\ ./C) B)
S = fll [*ij ~ А) S = п* {X ~ A) S = a*A
B.9.15)
Соотношения B.9.1), B.9.10), B.9.14), B.9.15) полностью определя-
определяют свойства рассматриваемой модели.
Наконец, рассмотрим модель EV°e^v^e2V2es. В этой модели на-
напряжения во всех элементах одинаковы и равны а^-. Элементы Е, V
перестановочны, и в данном случае имеет место обычная модель вязко-
упругого тела Максвелла с суммарными коэффициентами упругости и
вязкости.
Построение связи а^ — е^ для сред, включающих в себя как состав-
составные части элементы пластичности, вязкости, упругости, не составля-
составляет трудностей, например, рассмотрим сложную модель ЕРe\Va
Очевидно, что будут иметь место соотношения
B.9.16)
?.
./A) ./B) ./A) ( p \ ./B) /
sij ~ sij = Wij, зУ = аг [%. - yiijj , sУ = a2 [Kij
§ 10. Влияние вязкости на поведение пластических сред 337
Соотношения B.9.16) определяют свойства рассматриваемой мо-
модели.
Изложенный подход конструирования связи а^ — е^ является непо-
непосредственным обобщением подхода, развитого в теории трансляцион-
трансляционного упрочнения. В данном случае не только основные, но и внутренние
механизмы пластичности определяют свои поверхности нагружения
в соответствующих пространствах напряжений, которые испытывают
перенос в этих пространствах.
Случай, когда связь между отдельными элементами жесткая, ин-
интерпретируется как предельный, рассмотренный при стремлении соот-
соответствующих коэффициентов ап к нулю.
Нелинейные эффекты могут быть учтены, если положить, что ве-
величины &п, г|п, ап зависят от инвариантов соответствующих тензоров.
Зависимость между первыми инвариантами соответствующих тен-
тензоров может быть установлена независимо.
Не представляет труда воспользоваться для внутренних элементов
кусочно линейными потенциалами.
§ 10. Влияние вязкости на механическое поведение
пластических сред
Рассмотрим обобщение модели анизотропного упрочняющегося
пластического тела путем введения внутреннего элемента вязкости,
который определяет релаксацию остаточных внутренних микро-
микронапряжений. Модель анизотропного упрочнения имеет индекс Ре,
обобщенная модель — индекс PEv*. Соответствующая двумерная
модель изображена на рис. 94, в.
Включение элементов вязкости в механическую модель материала
делает его модельные соотношения зависящими от времени. Следо-
Следовательно, механическое поведение материала становится различным
при разных скоростях нагружения. Следует различать два предельных
случая: скорость нагружения бесконечно мала; скорость нагружения
бесконечно велика (мгновенное нагружение). При бесконечно медлен-
медленном нагружении релаксационные процессы происходят в полной мере
и элемент вязкости не сопротивляется усилиям. В этом случае рассмат-
рассматриваемая модель ведет себя как идеально пластическое тело. В случае,
когда нагружение мгновенно, элемент вязкости ведет себя как жесткая
связь. При этом рассматриваемая модель ведет себя как анизотропно
упрочняющаяся пластическая среда. Аналогично материал ведет себя
при сколь угодно малом или сколь угодно большом коэффициенте
вязкости.
338 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Отметим также, что с неограниченным ростом жесткости упругого
элемента связь между элементами вязкости и пластичности стано-
становится жесткой и имеет место модель вязко-пластического тела {тело
Шведова-Бингама).
Приведем исходные соотношения. Функцию нагружения запишем в
виде
/(о«-««)=0. B.10.1)
Согласно B.10.1) предельная поверхность смещается в простран-
пространстве напряжений как жесткое целое на величину, определяемую компо-
компонентами Sij. Отметим, что в пространстве активных напряжений а^- =
= Oij — Sij поверхность нагружения фиксирована.
Предположим, что функция / является гладкой, тогда
<2ло-2)
Именно результирующие активные напряжения обусловливают
пластическое деформирование, поэтому условие нагружения можно
записать в виде
d^O, / = 0, ^da?,=0.
OGij
Условие разгрузки имеет вид
Согласно B.10.2) вектор приращений деформаций ортогонален по-
поверхности нагружения как в пространстве действительных напряже-
напряжений, так и в пространстве активных напряжений.
Предположим для простоты, что функция нагружения не зависит
от первых инвариантов тензоров а^-, s^j. Тогда, согласно B.10.2), ве-
величина dejj = 0. Далее положим
s'ij = (eti - *ij) ? sij = Wij, Kjj = 05 a = const • B.10.3)
Рассмотрим некоторые свойства модели. Материал жесткоп ласти -
ческий. Если вывести материал за предел пластичности и зафиксиро-
зафиксировать нагрузки, то будет иметь место процесс ползучести. В самом деле,
в одномерном случае
а = к + s, б = а(г + х), s=r\x.
При а = const s = 0. Значит, г + к = 0, откуда
г = —s/r\ = const, e = —st/h + const.
§ 10. Влияние вязкости на поведение пластических сред 339
Если материал вывести за предел пластичности, а затем разгрузить,
то поверхность нагружения за счет релаксации внутренних напряже-
напряжений Sij с течением времени будет стремиться занять исходное положе-
положение.
Рассмотрим случай нейтрального нагружения. Из B.10.1) следует,
что при этом
7p~F*i ~**i) = °- B.10.4)
При нейтральном нагружении приращение пластических деформа-
деформаций равно нулю: deij = 0, dX = 0.
Из первого соотношения B.10.3) для случаев нейтрального нагру-
нагружения и разгрузки получим
^. = -ах^, г^=0. B.10.5)
Из второго соотношения B.10.3) и B.10.5) найдем
./ _ а , _
Sij - л Sij - '
откуда
/ \ / \
я' — я/0 pvn | — — / 1 <?'• • — — — pvn I — -/I (9 M) (\\
гз г, F ^ n J, 3 ^ V у п у
где s^- — внутренние напряжения в момент времени t = 0, отсчитыва-
отсчитываемый от начала разгрузки или нейтрального нагружения.
Согласно B.10.6) при разгрузке или нейтральном нагружении ско-
скорости релаксации внутренних напряжений s^ пропорциональны вну-
внутренним напряжениям sfj и имеют противоположный знак (тенденция
к уменьшению). Согласно B.10.4) в пространстве напряжений при ней-
нейтральном нагружении вектор 6—s с компонентами Ь\ • — s\a ортогонален
нормали п к мгновенной поверхности нагружения / = 0.
На рис. 96 изображена регулярная поверхность нагружения / = 0.
В данной точке А к мгновенной поверхности нагружения проведена
нормаль п и построен вектор —s, который лежит вне поверхности
нагружения.
Вектор скорости изменений действительных напряжений а при
нейтральном нагружении направлен внутрь поверхности нагружения,
так что вектор 6 — s лежит в касательной плоскости к мгновенной
поверхности нагружения / = 0.
Следовательно, в данной точке регулярной поверхности нагруже-
нагружения вследствие релаксации внутренних напряжений экспериментатор
340
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
может наблюдать эффект «угловой точки» на поверхности нагру-
жения; приращение пластических деформаций может происходить и
в случае, когда вектор приращения на-
напряжений направлен внутрь исходной
поверхности нагружения.
Угол, образуемый вектором 6 с нор-
, малью п, зависит, очевидно, от скорости
нагружения. В случае мгновенного изме-
изменения напряжений |6| ^> |s| вектор 6 ор-
ортогонален вектору п. Чем меньше вели-
величина |6|, тем более явно выражен эффект
«угловой точки».
В данном случае может наблюдать-
наблюдаться эффект не только внутренней, но и
внешней «угловой точки». В самом де-
деле, если путем мгновенного изменения
вектора напряжений перейти из точки
А поверхности нагружения в точку В
(соответственно создать предельное состояние пластического элемента
на рис. 94, в путем изменения усилий 7^), то при этом векторы s, —s
сохранят свое первоначальное значение.
На замкнутой поверхности нагружения всегда найдутся такие точ-
точки, для которых вектор —s направлен внутрь поверхности нагружения.
Тогда вектор 6, соответствующий нейтральному нагружению, будет
лежать, вообще говоря, вне мгновенной поверхности нагружения и
образовывать острый угол с нормалью п в данной точке поверхности
нагружения.
Итак, эффекты релаксации внутренних остаточных напряже-
напряжений Sij, вызванные наличием внутреннего механизма вязкости,
обеспечивают возможность пластического деформирования, когда при-
приращение вектора напряжений Ао лежит либо внутри, либо вне области,
ограниченной поверхностью нагружения предыдущего состояния.
Рис. 96
§ 11. О влиянии внутреннего механизма вязкости
на идеально пластическое поведение материала
1. Рассмотрим влияние внутреннего механизма вязкости на идеаль-
идеально пластическое поведение материала. Соответствующие механические
схемы указаны на рис. 97, а, б. Схема, изображенная на рис. 97, а,
предполагает непрерывность силовой связи между элементами сухо-
сухого трения — включение элемента вязкости по типу Максвелла, на
§11.0 влиянии внутреннего механизма вязкости
341
рис. 97, б — непрерывность кинематической связи — включение эле-
элемента вязкости по типу Кельвина. Показано, что внутренний элемент
вязкости в случае, изображенном на рис. 97, а, приводит к накоплению
внутренних микродеформаций при течении идеально пластического
материала с пределом текучести &1+&2. Во втором случае (рис. 97, б)
имеет место обычное вязкопластическое тело Бингама.
v
У///////////////////////////////Л
Рис. 97
В обозначениях, предложенных в §9 гл. 2, материал, соответ-
соответствующий схеме, изображенной на рис. 97, а, имеет индекс Pv°p, на
рис. 97, б — Pv*p.
Рассмотрим вначале модель Pv°p (рис. 97, а). Движение первого
элемента сухого трения начинается при достижении внешним уси-
усилием Т предельного значения k\. Если скорость движения первого
элемента трения бесконечно мала, то элемент вязкости не оказывает
сопротивления и соответствующая
модель ведет себя как идеально пла-
пластическое тело с пределом текучести
к\ (линия ab на рис. 98). При уве-
увеличении скорости движения возрас-
возрастает сопротивление за счет вязкости
и соответствующая модель ведет себя
как вязкопластическое тело Бингама,
пока внутренние усилия не будут спо-
способны привести в движение второй,
внутренний элемент трения (линия ас
на рис. 98). При достаточно быстром нагружении включается внутрен-
внутренний элемент трения и соответствующая модель ведет себя как идеально
пластическое тело с пределом текучести &1+&2 (линия а^Ь^ на рис. 98).
Итак, при бесконечно медленном нагружении рассматриваемая мо-
модель ведет себя как идеально пластическое тело с пределом текуче-
текучести fci, при мгновенном — как идеально пластическое тело с пределом
текучести &1+&2.
Обозначим через Oij тензор действительных напряжений,Sij — тен-
тензор внутренних напряжений, соответствующий усилию, передаваемому
посредством элемента вязкости на второй элемент трения.
а1
а
О
с
^^
*i
кг
8
Рис. 98
342 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Отмечая девиаторы соответствующих тензоров штрихом и считая,
для простоты, материал несжимаемым, условие пластичности запишем
в виде
где к\ — предел текучести материала, соответствующий пределу сухого
трения первого элемента трения.
Согласно ассоциированному закону течения
B.11.2)
где ?ij — тензор скорости пластической деформации.
Для внутреннего элемента пластичности, соответствующего второ-
второму элементу трения, будем иметь
8ij8'ij ^ kh k2 = const. B.11.3)
Обозначим через Xij тензор скорости внутренних микродеформа-
микродеформаций, соответствующий скорости перемещения второго элемента трения.
Тогда, согласно B.11.3) и ассоциированному закону течения, получим
B.11.4)
Соотношения, характеризующие механическое поведение элемента
вязкости, запишем в виде (rj — коэффициент вязкости)
J -е' J J ^ 1,2 f 9 1 1 ^
»'а = Ф'ц - хц), s'ijs'a = *2- B.П.6)
В случае B.11.5) имеем вязкопластическое тело Бингама.
Ниже рассмотрим случай, когда s'ijs'ij = k\. Поведение рассматри-
рассматриваемой модели описывается уравнениями B.11.1)—B.11.4), B.11.6).
Исключая из уравнений B.11.4) и B.11.6) величину х%з-> находим
Поскольку ji ^ 0, то из последнего соотношения B.11.7) имеем
Л1/Ч^7^&2- B.11.8)
Это соотношение, если имеет место строгое неравенство, определяет
условие накапливания микродеформаций.
§11.0 влиянии внутреннего механизма вязкости 343
Если в B.11.8) имеет место равенство, то [i = 0 и из B.11.4) следует,
что %ij=O. Тогда из B.11.1), B.11.2) и B.11.7) можно получить
Если имеет место общее условие B.11.8), то из B.11.1), B.11.2),
B.11.4) и B.11.6) находим
^ ^* 0%% (* + ^J BЛ19)
Следовательно, как отмечалось выше, согласно B.11.9), при дефор-
деформировании внутреннего элемента пластичности тело ведет себя как
идеально пластическое с пределом текучести &1+&2.
В случае жесткой механической связи между элементами пластич-
пластичности при г| —> оо, согласно B.11.6), имеем е^- = Xij-
При rj ф 0 в теле, которое внешне ведет себя как идеально пласти-
пластическое, накапливаются внутренние микродеформации. Можно предпо-
предположить, что рост микродеформаций ведет к разрушению материала.
Критерий разрушения можно, например, ввести в форме
Г
у/XijXijdt ^ &, к = const.
j
Определим диссипативную функцию
D = a'ij?ij. B.11.10)
При выполнении условия B.11.8), согласно B.11.10) и первому со-
соотношению B.11.9), диссипативная функция будет иметь вид
D = \L*k2(k1+k2). B.11.11)
Если в B.11.8) имеет место равенство, то из B.11.11) следует, что
Таким образом, условие накапливания микродеформаций можно
записать в виде D = D*.
2. Рассмотрим модель Pv*p (рис. 97, б). В этом случае тензор вну-
внутренних напряжений, соответствующий усилию, действующему между
первым (вторым) элементом трения и элементом вязкости, обозначим
через s^-(i)(соответственно s^B))- Тогда будем иметь
344 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Из B.11.12) получим
^ 2
^ +
Эти соотношения определяют вязкопластическое тело Бингама.
3. В качестве примера рассмотрим осесимметричное течение мате-
материала (р, 6 — полярные координаты)
се - ср = л/2*! + л(ге - ?р). B.11.13)
Пусть и = и (р) — радиальная скорость, тогда
гр = du/dp, ге = и/р. B.11.14)
Из уравнения несжимаемости следует
и = с/р, c = c(t). B.11.15)
Из B.11.13)-B.11.15) получим
ов-ор = \^*!1+2л4- B.11.16)
Р
Тогда уравнение равновесия примет вид
+ 2л4- B.11.17)
«Р Р р
Интегрируя уравнение B.11.17), находим
ар = v^fcjlnp-л-т + A, A = A(t). B.11.18)
р
Из B.11.16) имеем
ар = i/2&! (In p + 1) + л 4 + А.
Р
Учитывая, что ар = — р при р = а и ар = 0 при р = b (a —
внутренний, b — внешний радиус трубы), из B.11.18) находим
а~ь~ л pa2 -V2ki(b2\nb-a2\na)
^—v л = ^—2 >.
При увеличении внутреннего давления р возникает пластическая
зона, в которой
, - Ор = V2^i + /c2j, ар = V2^i + к2) in- -р.
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел 345
Диссипация энергии
D = Ср8р + сеге = (се - ар)ге.
В зоне вязкопластического течения имеет место соотношение
B.11.16), поэтому
D= Г^2^+2Л4) 4- B.11.19)
V р / р
На границе раздела вязкой и пластической зон
D = D*. B.11.20)
Из B.11.19) и B.11.20) следует уравнение для определения радиуса
границы между вязкой и пластической зонами.
Очевидно, что при
\n(b/a) <p< i/2(&! + k2) \n(b/a)
существуют вязкая и пластическая зоны, а при
только пластическая.
§ 12. Уравнения деформирования не вполне
упругих и вязкопластических тел
Механические свойства реальных тел весьма разнообразны. Наряду
с в достаточной мере упругими — встречаются тела, почти лишенные
этого свойства (пластические тела). Напряженное состояние некоторых
из них в значительной степени зависит от скорости деформирования
(вязкопластические тела). В ряде случаев последние обладают свой-
свойством заметным образом изменять напряженное состояние при посто-
постоянной деформации (свойство релаксации), а также изменять деформи-
деформированное состояние при постоянном напряжении (свойство последей-
последействия).
Многие тела ведут себя как упругие при достаточно малых дефор-
деформациях и как пластические — при больших деформациях.
Весьма часто явления релаксации и последействия, известные под
общим названием наследственности, наблюдаются у тел, которые при
быстром деформировании неотличимы от вполне упругих. Эти же
явления могут проявляться при пластическом деформировании и быть
почти незаметными при упругом.
346 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
При монотонном увеличении пластической деформации, сопрово-
сопровождающейся возрастанием напряжения (явление упрочнения), наблю-
наблюдается повышение предела упругости при повторном деформировании
(наклеп). Например, при растяжении увеличивается значение напря-
напряжения, являющегося верхним пределом для чисто упругих деформаций
(повышение предела упругости).
Совместное математическое описание всех механических свойств
тел, разумеется, невозможно. В каждом отдельном случае это состав-
составляет предмет соответствующих дисциплин, например математической
теории упругости, теории пластичности, теории наследственности. При
построении этих дисциплин принимается та или иная идеализация
свойств тела. Так, в математической теории упругости тела считаются
абсолютно упругими при любых значениях напряжений, развиваю-
развивающихся внутри тела, а в классической теории пластичности (теории
Сен-Венана [242]) максимальное касательное напряжение принимает-
принимается постоянным при любой возрастающей или убывающей деформа-
деформации.
Характер внутренней структуры тел обычно не имеет значения для
построения упомянутых дисциплин. Оказывается вполне достаточным
представление тела в виде некоторого континуума, наделенного теми
или иными механическими свойствами, проявляющимися при простей-
простейших экспериментах над телом, например при растяжении и всесторон-
всестороннем сжатии.
Большие трудности обычно представляет переход от законов, ха-
характеризующих одномерные явления, к законам, описывающим ме-
механические явления пространственного характера. Это имело место,
например, при построении уравнений пространственной задачи пла-
пластичности. То же в еще большей степени относится к теориям, де-
делающим попытку совместного математического описания нескольких
механических свойств одного и того же тела.
Простейшими законами, которым подчиняется деформирование ре-
реальных тел, являются те, которые выражаются линейными соотноше-
соотношениями между характерными переменными деформации, как-то: напря-
напряжением, деформацией и их производными по времени. Реальные тела,
вообще говоря, не подчиняются таким линейным законам. Тем не менее
надлежащим образом используя линейные законы, можно построить
идеализированные тела, механические свойства которых имеют тот
же качественный характер, что и у реальных тел. При помощи со-
соображений, основанных на применении статистики, можно пытаться
в достаточной мере точно передать и количественные соотношения
(см. [169]).
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел 347
Ниже излагаются законы простейшего одномерного деформирова-
деформирования идеализированного тела, обладающего, наряду со свойством упру-
упругости, также и другими механическими свойствами, а именно вязко-
вязкостью, пластичностью (с упрочнением), релаксацией и последействием.
Абсолютная упругость, идеальная пластичность, вязкопластичность,
наследственная упругость простейшего типа являются частными слу-
случаями таких свойств.
1°. Остановимся сначала на связи между напряжением и дефор-
деформацией не вполне упругого или вязкоупругого тела без пластических
свойств. Для выражения закона, которому подчиняется деформирова-
деформирование упругих тел, достаточно иметь зависимость между их деформаци-
деформациями и значениями сил (нагрузок), производящих эту деформацию. Но
этого недостаточно для описания процесса деформирования не вполне
упругих тел, где существенную роль играют также скорости изменения
нагрузок и деформаций.
Если имеет место простое растяжение не вполне упругого бруса,
растягиваемого напряжением а, то характерными величинами для про-
процесса деформирования являются, как правило, помимо напряжения а
и относительного удлинения г, также и скорости их изменения do/ dt
и dz/ dt. Примем, что перечисленные величины удовлетворяют неко-
некоторому соотношению / (а, г, do/dt, dz/ dt, i) = 0, выражающему закон
деформирования не вполне упругого тела. В это соотношение может
входить явно и время t, так как с течением времени свойства тел могут
меняться (например, по мере повышения температуры тела).
Простейшей зависимостью такого типа является, очевидно, линей-
линейная зависимость, не содержащая времени t в явном виде, т. е.
о>1-тг + ^20 + «3-77 + «4? = 0, B.12.1)
где он — CL4 — физические константы тела [231]. Свободный член в
этой линейной зависимости должен отсутствовать, если принять, что
деформации не было до начала действия сил на тело. В дальнейшем
будет также показано, что константы аз и а^ непременно отрицательны,
причем всегда a<i/ а\ >а^/а%.
К этой же линейной зависимости можно прийти, допуская разложи-
разложимость функции / (а, г, do/dt, dz/ dt) в ряд Маклорена и ограничиваясь
лишь первыми членами разложения, считая / @, 0, 0, 0) = 0.
2°. Построим модель не вполне упругого тела, подчиняющегося при
деформации простейшему закону B.12.1). Представим себе (рис. 99, а)
пружину жесткости 6, соединенную последовательно с комбинацией
пружины жесткости с и поршня, движущегося в цилиндрическом со-
сосуде с вязкой жидкостью. Если к свободному концу первой пружины
348
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
приложить силу а, а сосуд с вязкой жидкостью вместе со свободным
концом второй пружины закрепить, то удлинение г всей конструкции
составится из удлинения 8i = a/b первой пружины и удлинения второй
пружины 82 = ог/с, где с>2 — сила, растягивающая вторую пружину.
При перемещении поршня в вязкой жидкости возникает сила сопро-
сопротивления этому перемещению jio^/dt, где dz<ij dt — скорость движе-
движения поршня, a JI— коэффициент, связанный с вязкостью жидкости и
размерами сосуда и поршня.
Рис. 99
Если пренебречь инерционным эффектом пружин и поршня, то,
очевидно,
а = с>2 +
С другой стороны,
О2 _
dt
dz I da
di~ b~di'
B.12.2)
B.12.3)
Подставляя эти выражения в предыдущее соотношение, получаем
а = с 8- -
или, после упрощения,
da Ъ + с de be
— -\ а = 6— Н г,
dt [i dt \i
B.12.5)
что совпадает с выражением B.12.1), если соответственно изменить
обозначения.
Теперь легко представить себе, что будет происходить с бруском
из не вполне упругого материала при нагрузке его достаточно быстро
возрастающей до значения ai растягивающей силой, остающейся затем
постоянной. Для этого обратимся к модели. При быстром приложении
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел
349
силы верхняя пружина тотчас же растянется на величину 8i = ai/6,
растяжение же второй пружины будет происходить постепенно благо-
благодаря демпфирующему действию поршня. Спустя достаточно большое
время растянется и вторая пружина на 82 = ai/c, так что общая
деформация модели составит
8 = 81 +82 = ( ^ + -
B.12.6)
При быстром снятии a = ai сейчас же исчезнет упругая деформация
первой пружины, т. е. 8i; деформация же второй пружины 82 вследствие
наличия поршня будет уменьшаться постепенно.
Рис. 100
Рис. 101
На рис. 100 схематически изображены соответствующие графики
силы а и деформации 8 как функции времени. Описанное явление —
запаздывание образования деформации при действии на брус растяги-
растягивающей силы — называется упругим последействием.
Если модель из исходного состояния внезапно растянуть, создав
деформацию 8 = 8i, и затем закрепить, то сначала нагруженной
окажется лишь первая пружина, и растягивающая ее сила окажется,
очевидно, равной Ьг\. Вторая же пружина из-за наличия поршня станет
растягиваться не сразу. По мере ее растяжения первая пружина начнет
несколько сокращаться, следовательно, усилие, возникшее в модели,
будет падать. После достаточно большого промежутка времени обе
пружины окажутся нагруженными одной и той же силой а, кото-
которую можно определить из соотношения B.12.5), полагая в нем 8 =
= 8i, de/dt = O,do/dt = 0. Если теперь модели быстро придать перво-
первоначальную длину (ei = 0), то в первое мгновение вторая (внутренняя)
350 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
пружина останется по-прежнему растянутой, а первая (внешняя) ока-
окажется сжатой; следовательно, вся модель будет внезапно нагружена
сжимающей нагрузкой. Затем, с течением времени первая и вторая
пружины примут первоначальную длину и модель придет в разгру-
разгруженное состояние.
На рис. 101 схематически изображены соответствующие графики
деформации и нагрузки модели. Уменьшение с течением времени уси-
усилия, возникающего в модели (ее внешней пружине) при постоянной
деформации, называется релаксацией.
3°. Все описанные выше явления легко могут быть изучены мате-
математически решением дифференциального уравнения модели B.12.5).
Предположим, например, что в течение весьма малого промежутка
времени т сила а изменяется от начального значения ао до oi, а дефор-
деформация г соответственно от имевшего место значения го до некоторого
подлежащего определению значения 8i.
Проинтегрировав левую и правую части дифференциального урав-
уравнения в пределах от t = 0 до t = т, получим
С! -со+ \b-^<5{t)dt = b{z1 -eo)+ [— e(t)dt. B.12.7)
о о
Так как выражения, стоящие под знаком интеграла в правой и
левой частях равенства, ограничены, то значения обоих интегралов тем
меньше, чем меньше промежуток времени т изменения величины а и
соответственно г. Считая этот промежуток бесконечно малым, полу-
получим
d -00 = 6(8! -г0), B.12.8)
т. е. при очень быстрых перепадах нагрузки деформация изменяется
пропорционально этим перепадам. Очевидно обратное предположение:
при быстрых деформациях модели возникающее в ней дополнитель-
дополнительное усилие пропорционально изменению деформации. Так как коэф-
коэффициентом пропорциональности служит величина 6, то это явление,
очевидно, происходит за счет деформирования одной первой внешней
пружины.
Пусть к модели, находившейся в произвольном состоянии, прило-
приложена постоянная сила со и в некоторое мгновение t = +0 деформация
пружины составляла величину го- Так как для этого случая при t > О
do/dt = 0, то имеем
,de be b + с , Л
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел 351
откуда, интегрируя получающееся для величины г линейное диффе-
дифференциальное уравнение, найдем
г = Ц + I J а0 + А ехр (~~А , B.12.10)
где А — константа интегрирования. При t = 0г = го, следовательно,
Q o + Л B.12.11)
и, окончательно,
Из рассмотрения этого выражения следует, что деформация модели
при действии постоянной силы ао с течением времени стремится к
(Ь + с) ао/Fс), независимо от ее первоначального значения ео- Это
стремление будет тем энергичнее, чем больше величина п = с/щ
которую естественно назвать коэффициентом интенсивности последей-
последействия.
Пусть, наконец, модель также из любого состояния подвергнута
растяжению или сжатию, после чего закреплена так, что деформация
ее составляет постоянную величину г = го- Тогда в модели разовьется
некоторое усилие а, которое будет изменяться с течением времени
(релаксация). Обозначим через ао значение этого усилия в мгновение
t = +0; тогда, замечая, что теперь de/dt = 0, получим для определения
усилия а дифференциальное уравнение
da b + c be /0191Qn
— + —-—а = —80 B.12.13)
с начальным условием а = ао в мгновение t = 0.
Интегрируя его, получим
B.12.14)
причем константа интегрирования В определится из условия а = ао
при t = 0, т. е.
ао = 1 ?о Н~ В- B.12.15)
о -\- с
Следовательно,
а = ^ео + (а0 - ^г0) ехр (-^-t) . B.12.16)
352 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Таким образом, усилие а в модели, поддерживаемой в постоянном
деформированном состоянии, стремится к значению го, не зави-
зависящему от начальных условий процесса. Это стремление будет тем ин-
интенсивнее, чем больше величина г = (b + c)/jll, которую можно назвать
коэффициентом интенсивности релаксации (обратная величина Т =
= 1/г называется обычно периодом релаксации; она имеет размерность
времени).
Приведенные математические рассуждения находятся в полном со-
согласии с описанными выше явлениями, схематически изображенными
на рис. 100 и 101. В них как раз и происходит либо почти внезапное
приложение нагрузки, либо весьма быстрое изменение деформации,
после чего сохраняется постоянное действие силы или поддержание
постоянной деформации растягиваемого или сжимаемого бруса из не
вполне упругого материала.
Возвращаясь теперь к закону B.12.5) деформации не вполне упру-
упругого стержня, замечаем, что этот закон можно представить в виде
ft ft B.12.17)
введя непосредственно физические константы
г = (Ъ + с)/ц, п = с/ц, B.12.18)
т. е. соответственно коэффициенты интенсивности релаксации напря-
напряжений г и упругого последействия п. Константа b является моду-
модулем упругости при быстрых деформированиях стержня. Жесткости
с второй (внутренней) пружины модели соответствует bn/(r — гг), а
коэффициенту вязкости ц — b/(r — гг), в чем легко убедиться, решая
соотношения B.12.18) относительно с и ji.
Как следствие отметим, что скорость релаксации г должна быть
больше скорости последействия. Иначе вязкость ji соответствующей
модели стала бы отрицательной, а материал стержня — способным
генерировать энергию.
Предельными случаями линейной зависимости B.12.17) являются
тела, деформирование которых подчиняется соотношениям
Первое из них, получающееся из B.12.17) при п = 0, было предло-
предложено еще Максвеллом [234]. Тело, подчиняющееся закону Максвелла,
обладает свойством релаксации, но лишено последействия. Ему соот-
соответствует модель без внутренней пружины, изображенная на рис. 99, б.
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел
353
Второе соотношение B.12.19) было использовано Томпсоном [243]
для описания явления последействия (рис. 99, в). Закон Томпсона
получается из B.12.17) в результате предельного перехода г —> ос, b —>
—> оо при условии b/r = щ где ц — ограниченная величина, имеющая
размерность коэффициента вязкости. Явление релаксации не имеет
места в телах, подчиняющихся этому закону, ибо при постоянном зна-
значении деформации г немедленно получаем о = сг = const, где с —
по-прежнему жесткость внутренней пружины.
Соотношения B.12.19) были использованы автором для построения
теории трения качения [158].
Заметим, что закон деформирования типа вязкой жидкости
de
B.12.20)
также можно рассматривать как предельный случай линейной наслед-
наследственности (см. рис. 99, в при с = 0, т.е. без пружины).
4°. Обобщение закона не вполне упругого растяжения-сжатия
стержня на другие виды деформации вполне возможно. Ограничимся
здесь, однако, лишь элементарной теорией изгиба бруса.
Будем считать, так же, как это делается в теории сопротивления
материалов, нормальные сечения бруса плоскими в течение всего вре-
времени деформирования, а нормальные напряжения, развивающиеся по
сечению, подчиняющимися закону B.12.17), где г — относительное
удлинение волокон бруса.
Если изгибающая пара с моментом
М действует в плоскости симметрии
бруса, то его изгиб будет происходить
в той же плоскости. При этом отно-
относительное удлинение г волокон, нахо-
находящихся на расстоянии у от нижнего
волокна бруса А В (рис. 102), предста-
вится формулой
С
А
В
DC
\
У
\
А'
^
В'
B.12.21)
Да/
где го — деформация нижнего волокна
и к — его кривизна.
Действительно, до деформации рис jq2
длина нижнего волокна АВ была рав-
равна длине волокна CD, удаленного на расстояние у от нижнего волокна
(или, точнее, от плоскости, проходящей через нижнее волокно перпен-
перпендикулярно плоскости симметрии). После деформации крайние сечения
элемента бруса повернутся друг относительно друга на некоторый угол
354 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Да, оставаясь при этом плоскими по предположению. Длины волокон
будут теперь уже другими и составят соответственно величины А'В' и
CD1.
Очевидно, что с точностью до малых высших порядков имеет место
соотношение
_ C>D> -CD _ {CD' - А'В') + {А'В' -АВ) _ Да
8~ CD ~ АВ -уАВ+ео, (ЛЛЛ.И)
а так как Да/ А В = к есть кривизна нижнего волокна, то приведенная
выше формула B.12.21) оправдана.
Легко теперь показать, что нейтральный слой пройдет через центр
тяжести сечения, если на брус не действуют продольные силы. Дей-
Действительно, в этом случае в течение всего процесса изгиба
Я
B.12.23)
где двойной интеграл распространен по всей площади поперечного
сечения бруса F, причем напряжение а является функцией координат
точек сечения и времени. Так как интеграл в течение всего времени
изгибания бруса равен нулю, то
B.12.24)
и, следовательно,
\\{ft+ra)dF = 0- BЛ2-25)
Далее, учитывая B.12.17), получаем
}|^ + гг6г) dF = 0. B.12.26)
/
Подставляя сюда выражения B.12.21) для г, имеем
= 0, B.12.27)
Я О
ribK) U
так как го,о?го/о?^,к и dx/dt — постоянные по отношению к процессу
интегрирования по площади и зависят лишь от времени.
Замечая, что
Я
ydF = Fyc, B.12.28)
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел 355
где ус — расстояние до центра тяжести, получим, производя сокраще-
сокращения:
^ + ^ус + п(г0+кус) = 0, B.12.29)
где го + кус = гс представляет собой относительное удлинение во-
волокна, лежащего в слое, проходящем через центр тяжести сечения.
Следовательно, dzc/dt + пгс = 0 и гс стремится к нулю при любых
исходных данных. В частности, если в начальное мгновение имело
место равенство гс = 0, то оно сохранится и в дальнейшем.
Таким образом, можно считать, что нейтральный слой при попереч-
поперечном изгибе не вполне упругого стержня проходит через центр тяжести
сечения. Чтобы подсчитать изгибающий момент в каком-либо сечении,
достаточно вычислить интеграл
М
= llyadF. B.12.30)
При этом изгибающий момент М, помимо зависимости от коорди-
координат сечения бруса, окажется также и функцией времени, причем
дМ _ П да
~dt~\\~dil
'-ydF. B.12.31)
II L/ С
J J
Если составить выражение
^ + rM=^y(^ + rajdF, B.12.32)
то, подставляя сюда do/dt + го = bdz/dt + Ьпг и замечая, что г = го +
+ ух и дг/'dt = dzo/dt + ydx/dt, получим
„„*) \\
y4F.
B.12.33)
Так как, согласно соотношению B.12.29), имеем
дго/dt + пг0 + (dx/dt + ггх) ус = 0,
то
Ш + гМ=(ь^ + ЬпЛA0-Рус), B.12.34)
где /о — момент инерции площади сечения относительно оси, проходя-
проходящей через нижнее волокно.
Выражение /о — Fy\ = I представляет собой момент инерции
площади сечения относительно центральной оси, расположенной в ней-
нейтральном слое сечения.
356 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Окончательно имеем следующую зависимость между изгибающим
моментом и кривизной нейтрального слоя волокон стержня:
— +rM = Ib^+nx). B.12.35)
При малых деформациях можно принять, как и в теории сопротив-
сопротивления материалов,
где w — смещение сечения в направлении, нормальном к недеформиро-
ванной оси балки, принятой за ось х. При этом можно развить теорию
интегрирования упругой линии стержня, аналогичную в ряде случаев
обычной теории сопротивления материалов.
5°. Ограничимся рассмотрением простейшего примера изгиба балки
из не вполне упругого материала, лежащей на двух опорах и нагружен-
нагруженной посередине переменным грузом Р = Р (t). Из условий w = 0 при
х = 0 и х = I следует, что в тех же точках выражение
W = ^ + nw = 0. B.12.37)
Точно так же можно показать, что посередине балки, т.е. при х =
= //2, имеет место 8W/дх = 0.
Далее, изгибающий момент в каком-либо сечении левой половины
балки представляется формулой
М = Рх/2, B.12.38)
и, следовательно,
дМ 1 dP
ut 2 dt
Таким образом, получаем
дМ ,.1
гМ=1- (^ + rP J х. B.12.40)
Если ввести обозначения
то, как нетрудно видеть,
N = Qx/2. B.12.42)
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел 357
Замечая теперь, что
d2W , Т д1 fdw \ ит ( д д-w
bl + nw ) = Ы [ -т-
дх2 " дх2 \dt ' —) - \atdx2 ' ^
= Ы-j^ + 6гг/х, B.12.43)
получим, согласно дифференциальному уравнению изгиба бруса
B.12.35), соотношение
d2W 1
5/ — -Q# B.12.44)
для левой половины балки и
6/^-^ = Iq (/ _ ж) B.12.45)
— для правой.
Эти соотношения по виду ничем не отличаются от обычных уравне-
уравнений сопротивления материалов для данного случая нагружения балки,
если только вместо прогиба w подставить функцию W — результат
действия на него дифференциального оператора (d/dt + г), и вместо
силы Р, вызывающей изгиб, аналогичную функцию Q. Так как и гра-
граничные условия остаются точно такими же, как и при изгибе упругого
стержня в теории сопротивления материалов, то, интегрируя получив-
получившиеся дифференциальные уравнения, найдем следующее значение W
в середине балки (т.е. при х = 1/2):
Подставляя сюда значения W и Q, получим соотношение между
прогибом в середине балки из не вполне упругого материала / и силой
Р, вызывающей этот прогиб, в виде
Это соотношение аналогично закону B.12.17), выражающему связь
между напряжением и деформацией при простом растяжении.
Максимальное напряжение при изгибе определяется по обычным
формулам сопротивления материалов. Действительно, из гипотезы
плоских сечений следует г = го + ку, где го — деформация нижнего
волокна, а из условия прохождения нейтрального слоя через центр
тяжести — равенство 0 = го + кус.
358 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Исключая из обоих равенств го, имеем
е = *(у-Ус), ft = ^(v-Vc), B-12.48)
Ql ' ' ^ ~" v \t/ t/cj \ rj+ i »«"" j • B.12.49)
Так как при ? = 0 балка была не нагружена и, следовательно, имело
место а = 0, то интеграл этого уравнения, как легко проверить, имеет
вид
t
а ее e~rt I ertb (у - ус) (^ + пЛ dt. B.12.50)
Отсюда вытекает, что напряжения меняются по линейному закону,
обращаясь в нуль в нейтральном слое, как и в обычной теории сопро-
сопротивления материалов. Таким образом, остается справедливой формула
м
о=Т(у~Ус), B.12.51)
где у—ус — расстояние рассматриваемого слоя волокон от нейтрального
слоя, а М — изгибающий момент.
6°. Покажем, что зависимость B.12.17) представляет собой частный
случай интегральной зависимости Больцмана-Вольтерра [222, 244]
t
be(t)=a(t)+ [ ф(*,т)о(т)Л, B.12.52)
t
г
o(t) = bz(t) -
j
при соответствующем выборе ядра (функции наследственности) ср (?, т)
или ее резольвенты \|/(?,т). Действительно, считая а и г функциями
времени, соотношение B.12.17) можно представить в виде
e~ntlt (еП*Ьг) = % + га' B.12.53)
откуда
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел 359
Наличие здесь множителя ет позволяет назначить интегралу, стоя-
стоящему в правой части равенства, пределы -оои t. Далее,
t t
[ет^т = ето(тI - [ nenxa(x)dx B.12.55)
—оо —оо
и, таким образом, имеем
t
be{t) = Ce-nt+a(t)+ [ (r - п)е-"('-т)а(т) dx. B.12.56)
Константу С следует положить равной нулю, так как а и г при t —>
—> —оо стремятся к нулю (естественное состояние тела).
В результате получаем интегральное соотношение
t
be(t)=c(t)+ [ {r-n)e-n{t-x)a{x)dx, B.12.57)
—оо
в котором ядро — функция наследственности — имеет вид
ф (t, т) = (г - п) ехр [-71 (t - т)] . B.12.58)
Точно так же можно было бы получить
[ йт, B.12.59)
j
—оо
где функция
у(*,т) = - (г - п) ехр [-га (t - т)] B.12.60)
является резольвентой ядра B.12.58).
Нетрудно убедиться, что и обратно, всякое интегральное уравнение
Вольтерра
t
bz(t)=o(t)+ I ф(*,т)о(т)йт B.12.61)
—оо
с ядром вида
Л ехр [-ос (? - т)] B.12.62)
дифференцированием может быть сведено к дифференциальному со-
соотношению между а и г, включающему а, г, do/dt и dz/dt в линейной
комбинации.
360 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Заметим, что ядра такого типа дают плохое соответствие теорети-
теоретических кривых экспериментальным данным. Поэтому на предлагаемый
закон следует смотреть как на описывающий явление, в основном, ка-
качественно. Однако, как уже упоминалось выше, представляя стержень
из не вполне упругого материала состоящим как бы из нитей со стати-
статическим распределением констант 6, г и гг, можно добиться получения
ядра наследственности ср(?,т), удовлетворительно согласующегося с
экспериментальными данными [169].
В отношении уравнений Больцмана-Вольтерра B.12.52), а также
и соотношения B.12.17), может быть сделан упрек в том, что они
не описывают чисто упругих явлений, которые почти всегда имеют
место при напряжениях, не превышающих предела упругости, равно
как и явления упрочнения и наклепа, наблюдаемого в металлах. Это
обстоятельство, как будет показано, может быть учтено дальнейшим
обобщением соотношения B.12.17) для описания деформирования уже
упруговязкопластического тела.
7°. Примем теперь, что наше тело при весьма медленном растя-
растяжении (или сжатии) из естественного состояния вначале имеет чисто
упругую деформацию г = а/Е, пока напряжение а, растягивающее
или сжимающее тело, не достигнет по модулю некоторого характер-
характерного для данного материала значения os (пластической постоянной).
Затем деформация становится пластической и изменяется, если пока
ограничиться растяжением, по линейному закону
е=|т + ^(а-а8), B.12.63)
ИЛИ
o = a + hz,a = ^Acs. B.12.64)
Здесь и выше Е — модуль упругости и h < Е — модуль упрочнения
материала. Заметим, что именно таким же образом деформируется
упругопластическое тело с линейным упрочнением, рассмотренное в
[165]. Поэтому последующее изложение вопросов весьма медленного
деформирования упруговязкопластического тела кратко воспроизво-
воспроизводит содержание законов одномерной деформации упругопластического
тела с линейным упрочнением, данное в [165]. Это необходимо для
ясного понимания законов поведения упруговязкопластических тел в
тех случаях, когда учет скорости деформирования уже существенен.
Напомним, что диаграмма растяжения упругопластического тела
в координатах (г, а) имеет вид ломаной ОЛВ (рис. 103), причем уча-
участок О Л соответствует упругой деформации г = о/ Е, пока о ^ os,
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел
361
а участок АВ — линейному упрочнению. Здесь о = а + 1г?>о3иа =
= as{E-h)/E.
При коэффициенте упрочнения /г, равном нулю, получим известную
диаграмму Прандтля (рис. 104) для идеального упругопластического
тела.
В
(е ',а'), а' = а5 = const
Рис. 104
Пусть напряжение а при медленном растяжении материала до-
достигнет некоторого значения а' > as и затем монотонно убывает
(см. рис. 103). Примем, что при этом деформация будет уменьшаться
по закону упругой разгрузки
(e'-e) = (J-c)/E, B.12.65)
где г' — то значение деформации, которое было достигнуто при напря-
напряжении а'.
При полной разгрузке, т. е. при а = 0, имеет место остаточная
деформация е°. Для ее значения нетрудно получить формулу
г° =г' -о'/Е. B.12.66)
Если после полной разгрузки напряжение а начнет вновь возрас-
возрастать, то деформация будет увеличиваться по закону B.12.65), т.е. как
бы упруго, пока ее значение не станет равным г''. Далее опять начнут
развиваться пластические деформации по закону B.12.63) и роль но-
нового предела текучести станет играть напряжение af > as. Тем самым
описывается известное явление наклепа, т. е. повышение предела теку-
текучести упругопластического тела с упрочнением при предварительном
его растяжении напряжением, большим as (см. рис. 103).
При h = 0, т. е. в случае упругопластического тела без упрочнения,
явление наклепа, разумеется, отсутствует и дальнейшая пластическая
деформация развивается так, как показано на рис. 104.
362
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
При дальнейшем изменении напряжения а после полной разгрузки в
сторону отрицательных значений (рис. 105) будем считать, что дефор-
деформация г уменьшается по тому же закону упругой разгрузки B.12.65),
пока напряжение в случае упругопластического тела с упрочнением не
Рис. 105
Рис. 106
достигнет значения а" = — Bas —о7) < 0 (считая для определенности
а' < 2аs). При последующем весьма медленном монотонном уменьше-
уменьшении напряжения примем, что деформация изменяется уже по новому
закону
e=-^| + ^(a + as), B.12.67)
или, что то же, a = —а + /гг, т.е. вновь становится пластической
(рис. 106). Здесь а = (Е - /г) as/E.
Наконец, если после достижения некоторого значения afff < a" < 0
напряжение опять начнет возрастать, то деформация будет увеличи-
увеличиваться следуя соотношению типа упругой разгрузки:
г г - Е{о
B.12.68)
где аш = —а + he'", пока разность а — аш не превысит значения 2as.
Далее изменение будет происходить, вновь следуя закону пластических
деформаций при наличии линейного упрочнения а = а + /гг. Новым
пределом текучести теперь окажется напряжение о1" + 2а8.
На рис. 107 показана диаграмма медленного деформирования упру-
говязкопластического тела при увеличении напряжения от нуля до
значения о' > os с последующим уменьшением до значения аш = —
—о' и увеличением вновь от значения offf до а' («петля гистерезиса»).
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел
363
Прямые а = ±а + he ограничивают, таким образом, область сов-
совместных для тела напряжения а и деформации г при весьма медленном
деформировании (рис. 108).
Рис. 107
Рис. 108
Если точка Л, изображающая совместное значение величин а и г,
находится внутри этой области, то изменение напряжения do и соот-
соответствующее изменение деформации dz связаны равенством
do = Edz.
B.12.69)
Если же точка А находится на верхней прямой (а = -\-а + /гг), то
do = hdz при dz > 0 и do = Edz при dz < 0. Для точек А нижней
границы (а = —а + /гг), напротив, do = hdz, когда de < 0 и do = Edz
при dz > 0 (см. также [165]).
Приведенные выше соотношения включают свойство повышения
предела упругости при повторном растяжении (наклеп, рис. 103) и
свойство понижения предела упругости при сжатии, если имело ме-
место предварительное растяжение за предел упругой деформации (так
называемый эффект Баушингера, рис. 106 и 107).
8°. При сравнительно больших скоростях деформирования тела
примем, что соотношение
или a =
const,
B.12.70)
сохраняется для совместных значений величин а и 8, соответствующих
внутренним точкам области, ограниченной прямыми a = ±a + he.
Кроме того, будем считать, что равенство do = Edz также справед-
справедливо и для точек верхней границы (а = а + /ге) при условии do < 0, и
для точек нижней границы (а = —а + /ге), если do > 0.
364
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
В упомянутых случаях скорости изменения напряжения и дефор-
деформации da/dt и dzjdt не играют роли при деформировании тела и
деформация имеет чисто упругий характер.
Напротив, при нарастании пластических деформаций того или ино-
иного знака примем, что имеет место дифференциальное соотношение
da
¦ = b— + bm
B.12.71)
где г, 6, п и \|/ — характерные для данного тела константы. Так как это
соотношение должно остаться справедливым и для весьма медленно
растущих пластических деформаций, то, сравнивая его с соотношени-
соотношениями а = ±а + /гг, получаем, что
h = bn/r и \|/ = ±га.
B.12.72)
В свою очередь, при весьма быстром деформировании, согласно
тому же дифференциальному соотношению, имеем
Tt=bdi или
а = Ьг + const,
B.12.73)
т. е. тело ведет себя вновь как вполне упругое. Естественно принять b
равной модулю упругости тела Е.
Так как, согласно B.12.64), B.12.72), B.12.70) и B.12.73),
E-h
то
Е = b и h =
\|/ = zbra = ± (г — гг) os.
bn
B.12.74)
B.12.75)
ао,ео
При этом знак плюс относится к точкам (г, а), расположенным выше
прямой а = /гг + а, и минус — к
точкам, находящимся ниже прямой
а = /гг — а (рис. 109).
В первом случае, если удержи-
удерживать деформацию г тела постоян-
постоянной, происходит убывание напряже-
напряжения, причем точка, изображающая
совместное значение напряжения а и
деформации г, движется вниз к гра-
граничной прямой о = /гг + а (рис. 109).
Во втором случае соответствующая
Рис. 109 точка движется вверх. Явление из-
изменения напряжения тела при неизменной деформации именуется, как
уже было упомянуто выше, релаксацией.
а0'80
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел 365
Пусть, например, в начальный момент времени t = 0 напряжение
тела имело значение ао, а деформация — значение го, причем
а0 > /гго + а. B.12.76)
Тогда при условии постоянства деформации тела получим
^ + rG = e~rt^_ (erto) = bm0 + га, B.12.77)
откуда
а = (а0 - /гг0 - a) e~rt + /гг0 + a (h = bn/r), B.12.78)
и, следовательно, напряжение убывает, стремясь к значению /гго + а.
Изменение напряжения происходит тем быстрее, чем больше значение
константы г — коэффициента интенсивности релаксаций.
Если же, наоборот, поддерживать постоянным напряжение тела, то
в первом случае точка (г, а) движется направо и деформация увели-
увеличивается, а во втором — налево (см. рис. 109). Как уже было указано,
явление изменения деформации при неизменном напряжении именует-
именуется последействием.
Пусть, например, напряжение тела а = ао постоянно, а деформация
г в начальный момент имела некоторое значение го, удовлетворяющее
условию
а0 > /гго + а. B.12.79)
Согласно основному соотношению для этого случая
гао = Ь — + Ьпг + га = be~nt — (еп?г) + га. B.12.80)
Отсюда с учетом начального условия г = го при t = 0 имеем
г (ао - а) \г (ао -а) 1 _nt _ а0 - а а0 - he0 - a _nt
г = ^-f - ^r - г0 е - = ^— = -^ е
Ьп | Ьп | h h
B.12.81)
следовательно, деформация возрастает, стремясь к значению
(ао — a)/h. Нетрудно видеть, что эта точка лежит на верхней граничной
прямой а = /гг + а.
Изменение деформации происходит тем энергичнее, чем больше
значение константы п — коэффициента интенсивности последействия.
Так как
ra = (r -n)os, ибо г>0 и а = —^os > 0, B.12.82)
hi
то г > гг, т.е. релаксация происходит интенсивнее последействия. При
отсутствии у материала области остаточных деформаций, т.е. когда
366 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
as = 0 и материал следует уравнению B.12.17), обоснование неравен-
неравенства г > п несколько сложнее (см. [162]).
9°. Рассмотрим более общий случай. Пусть напряжение а меняется
по заданному закону а = o(t). Если деформация г и напряжение а были
таковы, что изображающая точка (г, а) находилась внутри области
чисто упругих деформаций, то, согласно предыдущему, будем иметь
а-ао = 6(г-го), B.12.83)
где ао и го — значения величин а и г в начальное мгновение времени.
Это соотношение справедливо до тех пор, пока точка (г, а) не покинет
области чисто упругих деформаций. Если же исходная точка (г, а)
находится в области пластических деформаций, например выше гра-
граничной прямой а = /гг + а, то, преобразуя основное дифференциальное
соотношение к виду
e~rtft (^ = e~Htft (fee"*) + Га' B.12.84)
получим
t
Ъ (епгг -го) = ™A- ent) + [ ^{г~п)%^ (аегт) dx, B.12.85)
j
о
откуда, интегрируя по частям, имеем
t
<> ™ ( ™) ~nt
= o(t) + [ (г - п) е-п<*-т>а(т) dz - ™ + (bz0 - а0 + ™) e
B.12.86)
Здесь го и ао — вновь значения деформации и напряжения в исход-
исходное мгновение t = 0.
Последнее соотношение имеет характер формулы теории последей-
последействия Больцмана-Вольтерра B.12.52), осложненной дополнительными
членами в правой части равенства. Оно справедливо, пока точка (г, а)
находится выше граничной прямой о = /гг + а. При обратной задаче,
когда задано изменение деформации г = e(i) и требуется найти, как
меняется напряжение, можно, поступая совершенно аналогично пре-
предыдущему, прийти к формуле
t
a(t) = be(t) - Ur - n)e-r{t-x)bE(x)dx + a + (c0 - Ьг0 - a)e~rt. B.12.87)
о
Функции B.12.58) и B.12.60), т.е. (г - гг) ехр [-гг (t - т)] и
— (г — п) ехр [—г (t — т)], также могут быть названы соответственно
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел
367
функциями последействия и релаксации. С точки зрения теории
интегральных уравнений Вольтерра одна из них является резоль-
резольвентной другой. Количественную сторону наследственных явлений,
в частности явлений последействия и релаксации, такие функции
описывают недостаточно точно. Однако, как уже упоминалось ранее,
можно показать [169], что ядра Вольтерра достаточно общего типа
могут быть получены линейной комбинацией ядер типа показательной
функции.
Основное соотношение B.12.71)
da
B.12.88)
можно вместе с тем рассматривать как простейшее из соотношений
типа
da de \
B.12.89)
справедливых для некоторых тел, скорости деформирования которых
оказывают влияние на напряжение.
10°. Механические свойства одномерного растяжения-сжатия
рассматриваемого идеализированного упруговязкопластического тела
можно продемонстрировать на некоторой модели, более сложной,
чем приведенные на рис. 99, а-в. Модель состоит из двух пружин
%ЛУ//%//ЛХЛ
^b -
жесткости бис, соединенных последовательно, причем в месте их
соединения укреплен поршень, движущийся с кулоновым трением os
da
dt '
b-
\
h с
X
de
dt
1 ЬСс
b
368 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
внутри полого цилиндра (рис. 110, а), наполненного вязкой жидкостью.
Жидкость имеет возможность проходить сквозь отверстия в поршне
при перемещении последнего. Возникающее при этом дополнительное
сопротивление перемещению поршня пропорционально его скорости.
Если конец пружины, как и ранее жесткости с, прикрепить к
неподвижному дну цилиндра, а к свободному концу пружины
жесткости b приложить силу а, то перемещение этого конца г и
сила а будут теперь связаны соотношением
B.12.90)
где jj, — по-прежнему коэффициент вязкого трения поршня о стенки
цилиндра.
Это соотношение нетрудно получить, исключив величины 8i и 82 из
очевидных равенств г = 8i + 82, а = fcei, а =F as — Ц82 = С82, в которых,
как и ранее, ei означает деформацию внешней пружины (жесткости 6),
а 82 — внутренней (жесткости с).
Введя вновь обозначения B.12.18), придем к основному соотноше-
соотношению B.12.88).
Таким образом, законы деформирования рассматриваемого тела и
модели идентичны.
Пусть модель находится в «естественном состоянии», при кото-
котором внутренняя и внешняя пружины не натянуты. Если к модели
приложить возрастающую от нуля растягивающую силу а, то внача-
вначале будет иметь место растяжение одной внешней пружины («упру-
(«упругая деформация»). Затем, когда сила а превысит величину as куло-
нова трения, начнется перемещение поршня и растяжение внутрен-
внутренней пружины («пластическая деформация»). Точно так же наличие
вязкого трения обусловливает изменение во времени натяжения пру-
пружин после достаточно большого внезапного растяжения модели (ре-
(релаксация) и изменение с течением времени деформации при дей-
действии превышающей постоянной силы (последействие). При весьма
быстрых деформированиях модели поршень из-за вязкого трения не
будет успевать перемещаться, следовательно, деформироваться вна-
вначале будет одна внешняя пружина (упругий характер деформирова-
деформирования).
Вследствие наличия кулонова трения поршень, сдвинутый при рас-
растяжении модели с места, не возвращается к первоначальному поло-
положению при снятии нагрузки а (остаточная деформация). При после-
последующем сжатии (а < 0) поршень уже при абсолютном значении а,
меньшем, чем as, может быть вновь сдвинут с места в противоположном
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел 369
направлении вследствие натяжения внутренней пружины («эффект
Баушингера», имеющий место и в случае упруговязкопластического
тела).
Аналогично могут быть продемонстрированы на модели и другие
свойства рассматриваемого тела при одновременном растяжении, на-
например упрочнение (наклеп).
11°. Основываясь на свойствах данной модели, можно построить
теорию хрупкого и вязкого разрушений материала, принимая, что
хрупкому разрушению соответствует разрыв внешней пружины моде-
модели, а вязкому — разрыв внутренней пружины. При больших скоро-
скоростях деформирования или больших внезапно приложенных нагрузках
произойдет хрупкое разрушение, характеризуемое малой деформацией
(поршень модели не успеет сдвинуться с места).
При достаточно большой, но не разрывающей внешней пружины
нагрузке будет происходить вязкое разрушение, характеризуемое зна-
значительной предварительной деформацией материала и наличием неко-
некоторого интервала времени между мгновениями приложения нагрузки
и разрыва внутренней пружины. При этом, конечно, предполагается,
что внутренняя пружина менее прочна, чем внешняя.
Разрыв внутренней пружины может произойти также и спустя
некоторое время после внезапного деформирования модели, не разру-
разрушающего, однако, внешней пружины. При этом разрыву будет пред-
предшествовать перемещение поршня (рост пластической деформации за
счет упругой) и некоторое ослабление натяжения внешней пружины
(релаксация). Примерно такие свойства проявляют при разрыве пере-
перетянутые жильные струны.
Подробное изложение теории хрупкого и вязкого разрушений мате-
материала в случае os = 0, т.е. для упруговязкого материала B.12.17) без
пластических деформаций [174].
12°. Усложняя соотношение B.12.88) или B.12.90), можно сде-
сделать обозримыми и некоторые другие механические свойства тел при
растяжении—сжатии, в частности наличие площадки текучести [160].
Соответствующие уравнения имеют вид
если \о\ ^ as, |е — о/Ь\ ^ 5 и \го — пЬг ± ггб5| ^ as;
ft = bft ~(r ~ n) [a ~a*sign (a)] - BЛ2-92)
при |a| ^ as, |e - a/b\ ^ 5;
370
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
——\- га = Ь— + Ьпг — 6n5sign( г — - j — (г — n)as sign (га — пЬг),
B.12.93)
когда |е — а/Ь\ > 5 и одновременно \га — пЬг =р ггбб| ^ as.
Здесь 5 — длина площадки текучести на диаграмме зависимости
между напряжением и деформацией при простом растяжении или
сжатии. На рис. 111 изображена диаграмма областей значений а, г,
Рис. Ш
в которых справедливо то или иное приведенное выше соотношение
da/dt,a,de/dt и г. Области 1-9 соответствуют следующим соотноше-
соотношениям:
1 - 3 - а = 6ё,
4 - Ьг = а + (г - п) (а - as),
5 - Ьг = а + (г - п) (а + as),
6 — а + га = Ьг + Ьпг + (г — n)as — ггбб,
7 — а + га = be + Ьпг — (г — n)as + ггбб,
8 — а + га = Ьг + Ьпг + (г — n)as + ггбб,
9 - а + га = Ьг + Ьпг — (г — n)as — ггбб.
Соотношения B.12.91)—B.12.93) нетрудно получить, изучая дефор-
деформирование представленной выше на рис. 110, а модели, у которой
сделано еще одно усложнение: внутренняя пружина соединена с порш-
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел 371
нем не непосредственно, а нитью длиной 25 (рис. 110, в). При этом в
исходном состоянии конец внутренней пружины отстоит от поршня на
расстоянии 5 и, следовательно, нить не натянута.
13°. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи упруговязкопла-
стического тела.
Пусть константы bur основного дифференциального соотношения
B.12.88) стремятся к бесконечности, а отношение их — к постоянной ji.
В пределе получим формулу
а = ±os + \i^ + fte, h = \in, B.12.94)
определяющую закон деформирования так называемого вязкопласти-
ческого тела с упрочнением. Это тело не имеет чисто упругих деформа-
деформаций и лишено свойства релаксации. В области, ограниченной прямыми
(см. рис. 108)
c = ±cs+8, B.12.95)
при заданном постоянном значении деформации е = ei, т. е. при dz/dt =
= 0 значение напряжения а не является определенным и может заклю-
заключаться в пределах
os + ftei > a > -os + ftei. B.12.96)
Если, далее, в формуле B.12.94) коэффициент упрочнения h при-
принять равным нулю, то придем к закону деформирования
o = ±os+^i если ^ ф 0, B.12.97)
-as < а < ов, если ^ = 0, B.12.98)
впервые предложенному, по-видимому, Сен-Венаном [242]. Тело, под-
подчиняющееся такому закону, принято называть вязкопластическим (без
упрочнения). Вязкопластическое тело лишено свойств релаксации и
последействия. Пластическое сжатие металлов при больших скоростях
деформирования довольно хорошо согласуется с этим законом.
На рис. 112 показана диаграмма растяжения вязкопластического
тела с упрочнением при постоянной скорости деформирования из есте-
естественного состояния. Весьма малой скорости деформирования соответ-
соответствует прямая
с = св + /гг, B.12.99)
где h — коэффициент упрочнения.
При коэффициенте вязкости ji, равном нулю (или при весьма
медленном деформировании), вязкопластическое тело с упрочнением
372
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
B.12.92) обращается в просто пластическое тело с упрочнением. Оно
Рис. 112
Рис. 113
также лишено наследственности, т.е. не обладает свойством релакса-
релаксации и последействия. Диаграмма растяжения такого тела показана на
рис. 113. Внутри области, ограниченной прямыми
а = ±as + /гг,
B.12.100)
напряжение пластического тела с упрочнением может изменяться про-
произвольным образом в пределах — as + /гг < a < as + /гг (рис. 114). При
этом деформация остается постоянной (dz = 0). Если же точка (г, а),
изображающая совместное значение величин деформации и напряже-
8 = const
-о.
i
o = <js = const
s
Рис. 114
Рис. 115
ния тела, находится на верхней прямой (a = as + /гг), то при условии
dz > 0 следует положить da = hdz. Однако при da < 0 имеет место
de = 0.
То же соотношение сохраняется и для точек (г, а), расположенных
на нижней прямой (а = — as + /гг), когда de < 0.
Совместные значения величин а и г, лежащие за пределом области,
ограниченной упомянутыми прямыми, для такого тела невозможны.
§ 12. Уравнения не вполне упругих и вязкопластических тел
373
На том же рис. 114 представлена петля гистерезиса пластического тела
с упрочнением, или, что то же, вязкопластического тела с упрочнением
при чрезвычайно медленном деформировании.
Частным случаем упругопластического тела являются пластиче-
пластическое тело с упрочнением и идеально пластическое тело, лишенное
упрочнения.
Идеально пластическое тело, диаграмма растяжения которого изоб-
изображена на рис. 115, можно также рассматривать как предельный слу-
случай вязкопластического тела без упрочнения при коэффициенте вяз-
вязкости |i, равном нулю. При деформировании идеально пластического
тела напряжение а при растя жен и и-сжатии по модулю всегда равно
пределу текучести as; знак напряжения тот же, что и у de/dt. Если же
деформации не происходит, то напряжение а может принимать любое
значение, не превышающее по модулю значения as. Таким образом,
o=os при dz > 0, o=—os, если dz < 0 и \о\ < as, когда г = const.
Следует отметить, что тела, лишенные свойств упругости (вяз-
копластическое, пластическое с упрочнением и идеально пластиче-
пластическое), не являются далеко идущими
идеализациями реальных тел, так как
значения упругих деформаций обычно
во много раз меньше пластических. На
рис. 116 представлена для сравнения
диаграмма растяжения стали вплоть
до разрыва. За пределом текучести ее
упругая деформация составляет лишь
незначительную часть общей деформа-
деформации.
14°. Свойства приведенных част-
частных случаев вязкоупругопластическо-
го тела могут быть проиллюстрирова-
проиллюстрированы на упоминавшейся выше механической модели с соответствующим
упрощением ее конструкции. Напомним, что телу с линейной наслед-
наследственностью соответствует модель с устраненным кулоновым трением
о стенку цилиндра (см. рис. 99, а). Если удалить внутреннюю пружину
(см. рис. 99, б), то получится модель, соответствующая телу Максвел-
Максвелла, лишенному последействия; а если, оставив, внутреннюю пружину,
заменить внешнюю пружину жестким стержнем, т.е. положить b =
= оо(см. рис. 99, в), то придем к телу Томпсона, лишенному свойства
релаксации.
Вязкопластическому телу с упрочнением соответствует модель,
внешняя пружина которой в модели рис. 110, а также заменена жест-
Рис. 116
374
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
ким стержнем, однако кулоново трение поршня о стенки цилиндра
сохранено (рис. 117, а). Если, кроме того, устранить внутреннюю пру-
Рис. 117
жину, то такая модель будет соответствовать вязкопластическому телу
без упрочнения (рис. 117, б).
При устранении в модели рис. 110, а вязкого сопротивления дви-
движению поршня получается модель, соответствующая упругопласти-
ческому телу с упрочнением (рис. 110, б). Если в такой модели
(т.е. рис. 110, б) заменить внешнюю пружину жестким стержнем
(рис. 118, а), то получим соответствие пластическому телу с упроч-
упрочнением, а при сохранении внешней пружины и удалении внутренней —
упругопластическому телу без упрочнения (рис. 118, б).
§ 13. Пространственное деформирование тел 375
Наконец, идеально пластическому телу соответствует простейшая
модель, имеющая лишь поршень, движущийся в цилиндре с кулоновым
трением os (рис. 118, в).
§ 13. Пространственное деформирование не вполне
упругих и вязкопластических тел
Переход от законов одномерного деформирования тел к простран-
пространственным законам в достаточной мере сложен. Их построение требует
введения некоторых дополнительных гипотез.
Покажем этот переход для тел, законы одномерного деформиро-
деформирования которых были нами рассмотрены в §12 гл. 2 [25]. Примем, что
в естественном состоянии тела изотропны, а при деформировании из
естественного состояния тензор деформаций остается коаксиальным
тензору напряжения. При этом предполагается, что оси последнего
для данной точки тела не меняют своей ориентации в процессе дефор-
деформирования. Последнее замечание несущественно для непластических
тел (например для идеально упругих тел, вязкоупругих и для тел с
линейной наследственностью).
Напомним некоторые соображения общего характера, изложенные
в §12 гл. 2 [25] и основанные на приложении к деформированию произ-
произвольной среды.
Рассмотрим какой-либо элемент тела в форме прямоугольного па-
параллелепипеда, грани которого ориентированы по главным осям тен-
тензора напряжений. Пусть ai, с>2 и аз суть главные напряжения и ei, 82 и
гз — главные деформации элемента. Введем в рассмотрение, следуя §12
гл. 2, §6 гл. 1 [25], величины относительного формоизменения элемента
si 5 525 $з5 связанные с главными деформациями ei, 82,83 соотношениями
Si = Zi - 8.
Здесь, как и везде далее, г = 1,2,3, а Зе = 8i +82 + 83 представляет
собой относительное изменение объема элемента. Разумеется, si + S2 +
+ s3 = 0.
Знание Si, S2, S3 и ей главных осей вполне определяет деформиро-
деформированное состояние элемента.
Пусть величины, имеющие размерность напряжения 5i, ?2, ?3 и а,
представляют собой обобщенные силы, отнесенные соответственно к
обобщенным перемещениям Si,S25S3 и 8. По принципу возможных
перемещений имеем равенство
+ 02682 + 03683 = 5i6si + S2§s2 + ?3633 + Зобе.
376 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Заменяя в этом равенстве вариации 5si, 5^2, 5зз и $г их выра-
выражениями через вариации 5г1,5г2,5гз и сравнивая коэффициенты при
последних вариациях в правой и левой частях равенства, получим
соотношения
2 11
2 11
Таким образом, знание обобщенных сил 5i, $2? 5з и а вполне опре-
определяет напряженное состояние элемента. Складывая написанные выше
соотношения, получим За = о\ + с>2 + аз, следовательно, обобщенная
сила а представляет собой среднее арифметическое значение главных
напряжений или первый инвариант тензора напряжений. Обобщенные
силы S\,S2 и Ss будем называть напряжениями формоизменения.
Если ввести обозначение
г = I (Si + s2 + s3)
для суммы величин 5i, S2, S3, то на основании тех же соотношений
получим
Si =а -а + Г.
При этом величина Г не может быть определена посредством за-
законов статики и, следовательно, обратная задача определения обоб-
обобщенных сил 5i, *?2 и Ss по данным ai, a2 и аз неопределенна. Это
обстоятельство является следствием наличия соотношения s^ + S2 +
+ S3 = 0, в силу которого вариации 5s^ не независимы между собой.
Приведем ряд примеров построения законов пространственного де-
деформирования тел.
1°. Напряжения формоизменения Si пропорциональны s^, т.е. Si =
= bsi (i = 1, 2, 3). Пусть, кроме того, справедливо соотношение a = Зкг,
а Ь и к являются физическими константами.
Замечая, что
ЗГ = Si + S2 + S3 = b (Sl + s2 + s3) = 0,
получаем
d = Si + a - Г = bsi + Зкг = (Зк - 6) г + 6г* (г = 1, 2, 3).
§ 13. Пространственное деформирование тел 377
Вводя обозначения X = Зх — b и 2ji = 6, приходим к известным
соотношениям закона Гука в форме Ламе для упругого изотропного
тела.
2°. Предположим, что г = 0, а величины S и s связаны соотноше-
соотношениями
где [i — константа (коэффициент вязкости). Полагая а = —р, получаем
соотношения
о4 = -р + 2ц^- (г = 1,2,3),
характерные для несжимаемой вязкой жидкости.
Заметим, что для достаточно малых деформаций можно не делать
различия между производной какой-либо компоненты деформации по
времени и соответствующей компонентой скорости деформирования.
3°. Пусть имеют место интегральные соотношения типа Больцмана—
Вольтерра
t
Si (t) = bsi (i)- [ Ф (t - i)si (t) dx
—oo
и, кроме того,
t
o(t) =3xe(*) -3
—oo
Здесь q>(t — x) u %(t — x) — функции наследственности.
Нетрудно показать (§12 гл. 2 [25]), что закон линейного последей-
последействия, описываемый дифференциальными соотношениями
dSi о Ldsi , da / о de o /
-г— + rSi = b-j- + bnsi, — + r с = Зх— + Зхгг г,
at at at at
является частным случаем приведенных выше соотношений. Функции
наследственности представляются в этом случае экспонентами.
Так как si + S2 + S3 = 0, то в данном случае ЗГ = S^ + S2 + S3 = О,
следовательно,
= Si + а - Г = b (е* - г) + Зхг -
t
378 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
или окончательно
t
щ=ХЕ + 2т- | [3x(t-x)-9(t-x)]e(x)dx- f Ф (t - x)e< (x) dx,
— OO —OO
что представляет собой выражение закона пространственного дефор-
деформирования изотропного тела с наследственностью.
При переходе от главных осей тензора напряжений к произвольным
осям получим точно такие же формулы для нормальных (не главных)
напряжений. Для касательных же напряжений соответствующие фор-
формулы имеют вид
t
:(t)=\iy(t)- [
где 1 — касательное напряжение, а у — соответствующий угол сдвига.
4°. Рассмотрим далее закон пространственного деформирования
вязкопластического тела [153]. В этом случае принимаем, что
Si=±K8ign^+2v^ (. = 1,2,3),
где К — характерная для данного материала пластическая константа,
знак которой совпадает со знаком скорости формоизменения, a ц —
коэффициент вязкости. Так как всегда ds\/dt+ds2/'dt-\-dss/dt = 0, то
знак наибольшей по своему значению скорости компоненты формо-
формоизменения противоположен знаку двух других, если ни одна из них
не равна нулю. Пусть ds\jdt — наибольшая из dsi/dt. Примем для
определенности ds\/dt > 0. Тогда будем иметь
и, следовательно,
ЗГ = 5] + S2 + Ss = -К.
Считая материал несжимаемым, получим для главных напряжений
выражения
о, = St + а - Г = -р + ^К + 2ц^,
§ 14. Диссипативная функция в теории пластичности 379
В случае ds\jdt < 0 в этих выражениях следует всюду изменить
знак у константы К на обратный.
Подобные же построения можно сделать и для других тел при
иных формах зависимости каждого напряжения формоизменения Si
от соответствующей ему компоненты деформации Si. Для случая упру-
гопластического тела это произведено в §12 гл. 2 [25]. Иное построение
уравнений пространственного деформирования тел при произвольном
изменении главных осей и компонент тензора напряжений (или дефор-
деформации) можно произвести, следуя §7 гл. 2 [25], где это проделано для
упругопластического тела.
§ 14. Диссипативная функция в теории
пластичности
1. Рассмотрим диссипативные функции для некоторых сложных
сред и определение связи а^ — г^ на основе диссипативных функций.
Для вязкопластических сред функция нагружения зависит от компо-
компонент тензора скорости пластической деформации:
f^ij.eij^ij.Xi.ki) = 0, tij = -J^-, B.14.1)
в таких средах могут иметь место ползучесть, релаксация и т. п.
Рассмотрим модели вязкопластических сред, определенные на осно-
основе представлений о трансляционных механизмах упрочнения.
Обозначим через Sij — тензор внутренних напряжений; через а^- =
= Oij — Sij — тензор активных напряжений. Будем полагать, что тензор
микронапряжений зависит от компонент пластической деформации и
скорости пластической деформации
«у=ау(ец,еу). B-14.2)
Функция нагружения для подобных вязкопластических сред запи-
запишется в виде
/ (а^.) = fc, k = const. B.14.3)
Предположим справедливость принципа максимума Мизеса
Oij*ij ^OijbJ' B.14.4)
где o*j — любые возможные компоненты напряжения, удовлетворяю-
удовлетворяющие при фиксированных е^,г^- условию
/К-*«)<*• B-14.5)
380 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Неравенство B.14.4) можно переписать в виде
Oii^-^o?;^, (о?,-= ««-««, °?; = <й-ву), B.14.6)
откуда следует, что принцип максимума Мизеса справедлив и в про-
пространстве активных напряжений.
Из B.14.4) и B.14.6) следует справедливость ассоциированного за-
закона течения в пространстве как действительных, так и активных
напряжений:
«>->%-*& йИ- BЛ4-7)
Покажем, что в данном случае могут быть определены соответ-
соответствующие диссипативные функции, причем построение их удобно вести
не в пространстве действительных, а в пространстве активных напря-
напряжений.
Введем определения диссипативной функции в пространстве дей-
действительных напряжений,
D = aij?ij, B.14.8)
и в пространстве активных напряжений:
D° = <$j?ij. B.14.9)
Очевидно, что
D = D0 -\-8ijEij. B.14.10)
При выполнении ассоциированного закона течения имеет место
соотношение
Я° = Я°(е«) = о?,.еу. B.14.11)
Запишем B.14.11) в полных дифференциалах
ЯП0
^ l = ^J-cfey. B.14.12)
Дифференцируя B.14.3), получим
iij = 0. B.14.13)
94 ij
Из B.14.13) и ассоциированного закона течения B.14.7) следует:
Eijda^j = 0. B.14.14)
§ 14. Диссипативная функция в теории пластичности 381
Принимая во внимание B.14.14), из B.14.12) найдем
Если перейти к пространству действительных напряжений, то из
B.14.15) и B.14.10) получим
Итак, если определены функция нагружения B.14.3) и ассоцииро-
ассоциированный закон течения B.14.7), то существует диссипативная функция
D0, играющая роль потенциала активных напряжений. В пространстве
действительных напряжений связь Gij—Eij определяется соотношением
B.14.16).
Покажем, что возможно построение теории, в основе которой ле-
лежит определение диссипативной функции, а функция нагружения и
ассоциированный закон течения имеют место как следствие основных
предположений.
Предположим, что имеет место соотношение
, B.14.17)
Сформулируем принцип максимума
$$ BЛ4Л8)
где ?*• — вектор возможных скоростей деформации, лежащий внутри
объема, ограниченного поверхностью равного уровня диссипативной
функции в пространстве деформаций. Иными словами, для е*^ выпол-
выполняется неравенство
Как следствие неравенства B.14.18) имеет место ассоциированный
закон нагружения
Из B.14.19) следует, что для однородных функций D0 величина X —
постоянная.
Предположим, что D0 — однородная функция первой степени
относительно компонент г^-, следовательно, X = 1, а производные
382 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
dD°/dzij — функции, однородные нулевой степени относительно ком-
компонент ?ij. Тогда из соотношений B.14.18) можно получить некото-
некоторое конечное соотношение вида B.14.3), определяющее функцию на-
гружения. Повторяя рассуждения, приведенные при выводе формул
B.14.18), B.14.19), можно установить справедливость ассоциированно-
ассоциированного закона пластического течения:
Zij=A. B.14.20)
cfcij
Итак, функция нагружения B.14.3) и ассоциированный закон тече-
течения B.14.20) являются следствием определения диссипативной функ-
функции B.14.17) и принципа максимума B.14.18).
В качестве примера рассмотрим функцию нагружения
B.14.21)
ГДе O^j = Oij — Sij, Sij = Cl&ij ~\~ C2eiji cl •> C2 == COnst.
Согласно B.14.7) получим
%. B.14.22)
UGij
Определим диссипативную функцию. Возводя B.14.22) в квадрат,
получим
откуда
1\y=\^fj. B.14.23)
Умножая обе части равенства B.14.23) на г^-, найдем
^•^=2мху^=2цД°. B.14.24)
Из B.14.23) и B.14.24) получим
D° = k^-^~;. B.14.25)
Диссипативная функция D, согласно B.14.10), D.12.25), будет
иметь вид
D = k^/ZijZij + ciEijEij + C2eijEij. B.14.26)
Для действительных компонент напряжений получим
B.14.27)
Отметим частные случаи.
§ 14. Диссипативная функция в теории пластичности 383
При с\ = 0 имеет место теория трансляционного упрочнения.
При С2 = 0 имеет место случай вязкопластического тела (тело
Бингама).
В самом деле, при c<i = 0 будем иметь
B.14.28)
Из второго соотношения B.14.8) найдем
(oij -c^ijf = k2. B.14.29)
Из ассоциированного закона течения, согласно B.14.29), следует
Zij = 2\i(aij ~ city), 2|i = j-y/^J^j, B.14.30)
или
Eij = vdj, v = 2|i/(l + 2|ici). B.14.31)
Из B.14.29) и B.14.31) получим
djOij A - clVJ = k2. B.14.32)
Из B.14.30)-B.14.32) окончательно найдем
Выражения B.14.31), B.14.33) представляют основные соотноше-
соотношения модели вязкопластического тела Бингама в традиционной фор-
форме записи. Соотношения E2) вполне эквивалентны соотношениям
B.14.31), B.14.33).
2. Выше предполагалось, что диссипативная функция определяется
однозначно, однако, как показано ниже, существуют случаи, когда воз-
возможны различные выражения диссипативной функции, приводящие
к определению дилатансионной зависимости. Дилатансионная зависи-
зависимость играет роль дополнительной связи при определении зависимости
между напряженным и деформированным состояниями.
Чтобы наглядно изложить основные идеи, рассмотрим случай плос-
плоской деформации. Пусть функция нагружения имеет вид
Em +ao = 2k (е, ГJ , B.14.34)
где
1
е = ех + еу, Г = [(еж - eyf + 4е^| 2
384 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Согласно ассоциированному закону течения из B.14.34) получаем
гх = X [тТГ-2 (ах - ау) + а] ,
(сж - су) + а] , B.14.35)
-2, e{j = de^/dt.
Определяя диссипативную функцию как
D = oi^ij, B.14.36)
из B.14.35) имеем
D = 2kXm-X(m-l)ao. B.14.37)
Используя B.14.35), получаем
гх-гу= 2ХтТГ-2 (сж - ау),
гх +гу = 2аХ, B.14.38)
гху = 2ХттхуЪт-2,
откуда имеем для X два вырал<ения:
Из B.14.38) следует так называемая дилатансионная зависимость
между сдвиговыми и объемными составляющими скоростей деформа-
деформаций
характерная для подобных сред. Существование зависимости B.14.39)
является следствием ассоциированного закона течения. Для несжима-
несжимаемых сред а = 0, откуда гх + гу = 0.
Итак, соотношения ассоциированного закона течения можно запи-
записать окончательно в виде
/ =ех±еу ?*^?^ = ^^ B.14.41)
Второе соотношение в B.14.40) определяет условие изотропии сре-
среды. Соотношения B.14.34), B.14.40) образуют замкнутую систему
определяющих соотношений.
14. Диссипативная функция в теории пластичности
385
Согласно B.14.39) для диссипативной функции B.14.37) имеют ме-
место два аналитических выражения. Для несвязных грунтов при к = О
(отсутствует сцепление) имеет место D = 0.
Рассмотрим построение модели сыпучей среды на основании опре-
определения диссипативной функции. В этом случае необходимо учесть
наличие дилатансионной зависимости B.14.40). Диссипативную функ-
функцию следует рассматривать в виде
D = X [2k + (га - 1) E71
или, учитывая B.14.41),
D = lk\2k + (m-
тф 1,
m -i
m-1
rn гх + гу
Подставляя значение X из B.14.39), получаем
B.14.42)
B.14.43)
D =
2а
D =
m
\m ex + ey J
2mYT-' L ' v
При определении соотношений B.14.34), B.14.41) следует исходить
из ассоциированного закона нагружения Oij = dD/dzij при наличии
связи B.14.40). Таким образом,
_L_ _ *l±J*] J . BЛ4.44)
D = [2к + (га -
Согласно ассоциированному закону нагружения имеем:
4- м I
rnlYT
B.14.45)
(т -
Отсюда следует
сж - а
= 2 [2к + (га - 1) Е71
= [2к + (т -
1 " 2ц
B.14.46)
386 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Подставим полученные результаты в B.14.34) и будем иметь
— [2* + (т - 1) Ew] + [2k + (m - 1) Ew] A - 2ц) =
4fc 2(ш-1)^ш o/1 ч ^m ,.
= 1 -zl +2A — m) jiE — 4&ji = 2/c,
+
mm
откуда следует, что ji должно определяться соотношением
ji = 1/га.
Из зависимости B.14.46) сразу следует условие предельного рав-
равновесия B.14.34) при [i = 1/т, дилатансионная зависимость задается
априори, а соотношение изотропии определено B.14.46). Таким обра-
образом, исходя из определения диссипативной функции и дилатансионной
зависимости, а также из ассоциированного закона нагружения, можно
получить соотношения B.14.34), B.14.40), определяющие модель сы-
сыпучей среды.
Если исходить из выражения
то нетрудно убедиться, что оно также приведёт к соотношениям
B.14.34), B.14.40).
Заметим, что, зная по экспериментальным данным виды дилатан-
сионных зависимостей, можно с их помощью установить предел пла-
пластического течения.
Рассмотрим частные случаи нагружения.
А. В случае одноосного растяжения справедливы соотношения
сж^0, ау = хху = еху = 0. B.14.47)
Тогда
е = ех + еу, Г = ех - еу, Е = сж = с. B.14.48)
Из выражения дилатансионной зависимости B.14.40) имеем
de a
m-l '
B.14.49)
Из B.14.34) при условиях B.14.48), B.14.49) получим
о™ + аох =2А;(е,Г). B.14.50)
§ 15. Некоторые применения статистики 387
Тогда из B.14.49) и B.14.50) следует
de) +а(^)(т~1)=2*(е'Г)- BЛ4-51)
При данной зависимости Г = Г (е) может быть найдена функция
к (е, Г) и тем самым определена функция нагружения B.14.34).
Б. В условиях чистого сдвига
хху^0, ах=ау=0, еху^0, ех + еу = 0. B.14.52)
Тогда
Г = 2еЖ2/, Е = 2тЖ2/. B.14.53)
Из выражения дилатансионной зависимости B.14.40) получим
±jL = — а т]. B.14.54)
Из B.14.34) при условиях B.14.52) и B.14.53) имеем
т
— ^- ) (т1) = 2к (е, Г). B.14.55)
т de J
Таким образом, как и в п. А, получаем функцию нагружения
B.14.34).
Следовательно, для определения модели сыпучей среды в качестве
основных могут быть использованы экспериментальные результаты по
нахождению дилатансионных зависимостей Г = Г (е).
§ 15. Некоторые применения статистики
к описанию законов деформирования тел
Простейшие законы деформирования не вполне упругих и пласти-
пластических тел выражают кусочно линейные соотношения между напря-
напряжением, деформацией и их производными по времени [160]. Характер
этих соотношений может быть для одного же материала различным и
в зависимости от других параметров.
Качественная сторона деформирования реальных тел описывается
такими законами в общем удовлетворительно, однако количественные
соотношения, определяемые ими, подчас заметно отличаются от дей-
действительности. Попытки подправить законы таким образом, чтобы они
388 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
точнее описывали деформирование реальных тел, приводят обычно к
увеличению числа констант, входящих в математическое выражение
этих законов, причем сами константы перестают иметь наглядный
физический смысл.
Вместе с тем неоднородность микроструктуры материалов и боль-
большой диапазон изменения некоторых величин, характерных для дефор-
деформации данного материала (например, предела упругости), позволяют
надеяться, что можно описывать в достаточной мере точно деформиро-
деформирование реальных тел также и с количественной стороны. Для этой цели
следует представить реальное тело в виде совокупности большого числа
элементов, обладающих простейшими законами деформирования, но с
разными константами, входящими в выражение этих законов, подбирая
соответствующим образом распределение таких элементов. Автором
приведено ниже несколько примеров, иллюстрирующих это положе-
положение применительно к деформации простого растя жен и я-сжатия. При
этом деформирующееся тело представляется состоящим из большого
числа геометрически одинаковых волокон, ориентированных по на-
направлению растягивающей или сжимающей силы Р. Относительное
удлинение-сжатие всех волокон оказывается одинаковым, а усилия,
приходящиеся на отдельные волокна, будут различаться вследствие
разницы констант, которые входят в закон деформирования отдельных
волокон. Ограничимся разбросом в значениях одной из констант, при-
причем будем считать ее существенно положительной величиной. Пусть
на долю волокон, у которых значение этой константы заключено в
пределах а, а + da, приходится площадь поперечного сечения, рав-
равная
Fp (a) da,
где F — площадь всего сечения растягиваемого тела, а р (а) — неко-
некоторая функция распределения данной константы, удовлетворяющая,
разумеется, соотношению
оо
Jp(a)da=l.
о
Напряжение а каждого волокна, помимо общих обстоятельств де-
деформирования тела, определяется также значением своей константы
а для данного волокна. Поэтому суммарное усилие, развиваемое по
поперечному сечению тела, представится выражением
Р = F \ ap(a)da,
о
§ 15. Некоторые применения статистики 389
где а — некоторая функция ряда величин, например деформации и
времени, в состав которой входит упомянутый параметр а как одна из
характерных констант материала.
Считая, что волокна с разными значениями константы а распо-
расположены беспорядочным образом относительно друг друга и сечения
их исчезающе малы, можно принять усилие, которое приходится на
некоторую часть поперечного сечения, пропорциональным значению
площади этой части.
Отношение
представляет собой, таким образом, напряжение растяжения-сжатия
материала в обычном понимании этого термина, являясь вместе с тем
статическим средним напряжением отдельных волокон а.
Очевидно, что
оо
= ap(a)da.
о
В качестве первого примера рассмотрим случай линейного упроч-
упрочнения отдельных волокон, имеющих разные пределы пропорциональ-
пропорциональности as, но одинаковые модули упругости Е и упрочнения h. За
параметр а здесь можно принять отношение а8/Е, т.е. считать as =
= Еа. При монотонном растяжении волокон имеем последовательно:
упругое деформирование по закону Гука a = Е'г, пока г < а, или, что то
же, при а < os. И далее, если г > а, то наступает упрочнение по закону
a = Еа + /г(г — а). Для статистически среднего напряжения получаем
выражение
е оо
Г Г
6= [Ea+h(E-a)]p(a)da+ Ezp(a)da.
О е
Последовательно дифференцируя это выражение по переменной г,
получаем
е оо
f?=h^p(a)da+E^p(a)da и 0 = - (Е - h) р (г) .
О е
Если положить здесь h = 0, то придем к формулам, установленным
в [211].
Таким образом, при известном аналитическом выражении зависи-
зависимости среднего по сечению напряжения а от деформации г (диаграммы
390
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
растяжения) нахождение функций распределения р (ос) не представля-
представляет труда.
Заметим, что в случае ограниченной р(а) имеем
оо оо
lim^— = Е p(a)da = Е и птъ~ — ^ p(a)da = h.
Следовательно, константа Е равна угловому коэффициенту диа-
диаграммы растяжения при г = 0, а константа h — при г —> оо (разумеется,
при достаточно больших, но не превышающих временного сопротивле-
сопротивления напряжениях).
Кроме того, так как р(а) > 0 и Е > /г, то всегда
и, следовательно, кривая графика о(е) обращена выпуклостью кверху.
Пусть теперь
р (ос) = <
О, 0 ^ а < oci,
1
0С2 — ai
О а > 0С2,
а ^ а2,
где oci и а2 — характерные значения параметра а = as/E.
Очевидно, что, как и должно быть,
ОО 0С2
p(a)da =
da
а2 - си
= 1.
На основании формулы для д2а/дг2, приведенной выше, имеем
Следовательно, (рис. 119)
Е -
(E-h)(e-ai)
а2 -
г ^ ос2,
/г, г
§ 15. Некоторые применения статистики
391
Интегрируя по г выражение производной да/дг при условии а@) =
= 0, получаем
да
Ee-(E-h)
Ещ H о—
}?-ai)
(a2 - oci) + /г(г - a2), г ^ a2.
График зависимости a от г, построенный на основании этих формул,
имеет вид кривой О А на рис. 120 и близок по форме к диаграмме
растяжения некоторых сортов стали.
de
Рис. 119
Рис. 120
Если учесть характер зависимости напряжения а от деформации
г для отдельного волокна при переходе от его растяжения к после-
последующему сжатию и обратно, то получим для диаграмм (е,а) петлю
гистерезиса, близкую по форме к наблюдаемым (см. рис. 120, кривая
ABCDA).
Рассмотрим более подробно построение петли гистерезиса для дру-
другого вида функции р(ос), а именно
р(а) = 1/р, ос<р и p(a)=0,a>p,
причем будем считать р достаточно большим числом, а модуль упроч-
упрочнения h — равным нулю. Тогда закон деформирования волокна, предел
упругости которого равен Еа, примет вид
a = Еа, г < а и a = Еа = as, г > а,
если до деформации волокно находилось в естественном состоянии.
392
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Величина среднего напряжения всего материала при деформации
его из естественного состояния (пока г < р) определяется выражением
оо е C
Г Г 1 Г 1
= op(a)da= Ea-da+ Ez-da = Ее-
J J P J P
-P
Пусть деформация г достигла некоторого значения а, после чего
начала уменьшаться до значения а, а затем вновь увеличиваться. Во-
Волокна, предел упругости которых выше величины Еа, изменяют свое
напряжение по закону Гука:
о= Ее.
Что же касается волокон с пределами упругости, меньшими Еа, то
при уменьшении деформации напряжение в них изменяется (см. [160])
по закону
о = Еа- Е(а-е),
пока не будет достигнуто напряжение а = — Еа (рис. 121). Это про-
прост
Рис. 121 Рис. 122
изойдет при значении деформации
г = а — 2а,
после чего, т. е. при — а < г < а—2а, в таких волокнах будет сохраняться
постоянное напряжение
о = -Еа.
Таким образом, при данном значении деформации г имеют место
три группы волокон: со значением коэффициента а, большим а, со
значением а, заключенным в пределах (а, (а — г)/2), и, наконец, со
§ 15. Некоторые применения статистики 393
значением коэффициента а, меньшим (а — е)/2. Соответственно полу-
получаем
:= | op(a)da = I (-Ea)^da +
ос («~е)/2
a
о
(а-е)/2 а
или, после вычисления интегралов и упрощений,
Е, v2 #a2
о=Яе+^(«-е)»- — •
На графике зависимости а от г (рис. 122) деформированию матери-
материала из естественного состояния соответствует кривая ОЛ, а деформи-
деформированию от значения г, равного а, до значения —а — кривая ABC. Обе
кривые представляют собой дуги парабол. При значении г = — а имеем
т. е. знак напряжения a становится противоположным тому, который
был при г = -\-а.
Нетрудно показать, проводя аналогичное рассуждение, что при
последующем увеличении деформации г от —а до -\-а будем иметь
с = Ea-da+ \—Ea-\-E(a-\-e)]-da-\-\Ee-da,
J P J L ЛР J P
0 (a+e)/2 a
ИЛИ
(см. кривую CD А на рис. 122).
При г = а вновь получаем
Ea2
Таким образом, петля гистерезиса состоит из кусков двух парабол.
Площадь, ограниченная этой петлей, равна Е'а3/3р и представляет со-
собой потерю энергии на одно циклическое деформирование материала.
394 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
В теории колебаний систем за меру затухания колебаний принимают
отношение потери энергии при одном колебании к полной энергии
системы. Последняя пропорциональна квадрату амплитуды колебания.
В нашем примере мы имеем, таким образом, затухание, пропорциональ-
пропорциональное амплитуде.
Не проводя детального исследования, заметим, что можно дать
полную картину затухания колебаний с одной степенью свободы, осно-
основываясь на изложенном выше представлении материала как совокуп-
совокупности идеально пластических волокон с разными пределами упругости.
Пусть, например, стержень длиной /, материал которого подчиняется
только что описанным законам деформирования, одним концом жестко
заделан, а на другом конце несет массу т. Если стержень растянуть,
а затем предоставить самому себе, то, пренебрегая собственной массой
стержня, придем к дифференциальному уравнению
d2x _„ „Г„ . В.
т—2" — ~°г — ~*
где т — масса, х = г/ — удлинение стержня, а — первоначальное
значение удлинения и F — площадь сечения стержня.
Умножим обе части равенства на 2dx/dt и проинтегрируем по
времени. Получим
dxY _ EF / 2 (la-xf
X Л I
=
В начальное мгновение, т.е. когда х = Xq = al, скорость конца
стержня dx/dt равна нулю. После определения из этого условия по-
постоянной интегрирования G, приходим к соотношению
ml ( dx\ 2 2 , (жо — х) х0 , v
{) =ХХ +(*о*)
=Х°Х +вр* рГ(*о*)-
К концу первого полуколебания будем вновь иметь dx/dt = 0. Сле-
Следовательно,
где х\ — значение х к концу первого пол у колебания. Произведя сокра-
сокращение на множитель xq — х\, отличный от нуля, и введя обозначения
жо/р/ = %, х\ = — A — ?) xq, приходим к квадратному уравнению для
определения ?:
§ 15. Некоторые применения статистики 395
откуда
Считая параметр % малым и сохраняя перед радикалом знак плюс,
так как 0 < ? < 1, получаем, с точностью до малых порядка %2,
или
Таким образом, уменьшение амплитуды к концу полуколебания
приблизительно пропорционально квадрату начальной амплитуды.
Определение величины х как функции времени приводит к эллип-
эллиптическим функциям, и продолжительность полуколебания выражается
соответствующим эллиптическим интегралом. Трудности, связанные
с операциями над эллиптическими функциями, могут быть обойдены
при приближенном решении задачи по методу малого параметра, роль
которого может играть параметр %, введенный выше.
В качестве второго примера, иллюстрирующего применение ста-
статистики к описанию законов деформирования тел, рассмотрим рас-
растяжение тела, составленного из волокон, деформирование которого
подчиняется закону линейной наследственности
da ,de ,
37 + га = о — + от.
dt dt
Модуль быстрых деформирований волокон b и модуль весьма мед-
медленных деформирований bn/r = с будем считать у всех волокон оди-
одинаковыми. Разными у волокон будут, таким образом, коэффициенты
релаксации г и пропорциональные им в данном случае коэффициенты
последействия п. Если в начальный момент времени t = 0 имеет место
г = 0 и а = 0 (естественное состояние волокна), то закон деформирова-
деформирования волокна может быть записан в виде
t
ayt) ^ OEyt) — I OyT — TljG EyTjCLT.
О
Для среднего напряжения а имеем выражение
t
1 bz{t)- {b - c)r\ e~r{t-x:
о
так как bn = cr.
oo
396 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Переставив порядок интегрирования, получим
t оо
o(t) = be(t) - [ е(т)|(Ь - с) I ге"г(?-т)р(г)с
о о
Вводя обозначение
оо
К(х) = (Ь-с) [ re~rxp(r)dr,
о
приходим к известному закону теории наследственности Больцмана-
Вольтерра
t
a(t) = be(t)- \
j
где К(х) — ядро релаксации.
Остановимся на одном частном виде функции распределения р(г).
Пусть
{О, 0 < г < а,
-^^, а<г<оо @<а<1).
г
Так как
оо оо
Г м
Г / ч , Г
P(r)dr =
J J
г = ^^ = 1,
A - а) а
О а
то из трех величин а, М и а произвольно можно задать лишь две. Далее
имеем
Вводя переменную \ = гх, получим
При стремлении переменной х к нулю интеграл, стоящий в правой
части равенства, сходится к конечному пределу, так как при х = О
представляет собой гамма-функцию аргумента а.
§ 16. О равнопрочном сечении балки 397
Таким образом, при малых значениях переменной х полученное
нами ядро имеет особенность вида 1/жа, следовательно,
, „ М(Ь - с)Г(а)
если разность ? — т невелика.
Экспериментальные данные показывают, что ядро релаксации име-
имеет при малых значениях аргумента именно такой характер.
Заметим, что определение функции распределения по данному виду
ядра р(г) приводит к решению интегрального уравнения
оо
(Ъ -с) [ re-rxp(r)dr = К(х)
j
о
относительно функции р(г).
Интеграл, стоящий в левой части уравнения, представляет собой
преобразование Лапласа гр(г).
Применяя известное обращение Меллина, получим для р(г) форму-
формулу
s+гоо
(Ъ - с)гр(г) = ^т [ K(x)erxdx.
Здесь положительное число s выбирается таким, чтобы бесконечная
прямая, параллельная мнимой оси, по которой проводится интегриро-
интегрирование, была бы расположена правее всех особых точек ядра К (х) в
комплексной плоскости х.
Существуют способы приближенного подсчета интеграла обраще-
обращения Меллина, которые пригодны для случая ядра К (ж), заданного
таблицей или эмпирической формулой [35].
§ 16. О равнопрочном сечении балки
Согласно элементарной теории сопротивления материалов в каж-
каждом нормальном сечении балки, подверженной изгибу, возникают нор-
нормальные и касательные напряжения.
Нормальные напряжения представляются формулой
Мх
где М — величина изгибающего момента, х — расстояние рассмат-
рассматриваемого места сечения от нейтрального слоя (проходящего через
398
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
центр тяжести сечения и представляющего в случае простого изгиба
плоскость, перпендикулярную плоскости изгибающей пары М), / —
момент инерции сечения относительно нейтральной линии (прямой
пересечения нейтрального слоя с плоскостью сечения).
Касательные напряжения определяются по формуле
х = 7Р
где Q — перерезывающая сила, развивающаяся в данном сечении, S —
статический момент части площади сечения, ограниченной контуром
сечения и прямой, параллельной нейтральной линии, проведенной че-
через рассматриваемое место сечения, b — ширина отрезка только что
упомянутой прямой, находящейся в пределах контура сечения.
Для осуществления условий обеспечения прочности необходимо,
чтобы в любом месте сечения выполнялось одно из неравенств, при-
приводимых ниже, в зависимости от выбранной теории прочности [59, 65],
а именно:
в случае теории Галилея-Ренкина
1
где Rz — допускаемое напряжение при растяжении;
по теории Сен-Венана
1 -v,
где v — коэффициент Пуассона;
следуя теории Кулона,
согласно теории Мора,
1 -Л,
1+Д
где А = Rz/Rd и Rd — допускаемое напряжение на сжатие;
исходя из теории Мизеса-Генки
д/о2 + Зт2 ^ Rz
и, наконец, по теории одного из авторов [163]
§ 16. О равнопрочном сечении балки 399
Все приведенные выше неравенства могут быть объединены в одной
формуле:
1 — М-1 I , 1 + М- /~Q~> 9 ^ ТУ
—2—1°1 + ~^~^° + ШТ ^ Rz'
Действительно, давая величинам [i и т значения 0 и 4, получим
неравенство Галилея—Ренкина; значениям [i = v и т = 4 соответствует
неравенство Сен-Венана; ц = 1, т = 4 — Кулона; {i = Д, m = 4 —
Мора, ji=1, т = 3 — Мизеса-Генки и ц = 1/2, m = 4 — теория [163].
Возникает вопрос: нельзя ли сечению придать такое очертание, при
котором неравенство прочности обратилось бы в равенство во всех его
точках, т. е. сечение стало бы равнопрочным?
Для решения этого вопроса предположим, что такое сечение суще-
существует. Почти очевидно, что оно должно быть симметричным относи-
относительно нейтральной линии и прямой, перпендикулярной этой линии
и проходящей через центр тяжести. Примем эти две прямые за оси
декартовых координат х и у, причем ось у — за нейтральную линию.
Тогда имеем
а
уЙ)^^, / = 4|уЙ)^2^ и Ь = 2у(х),
х О
где а — половина высоты сечения (размер в направлении оси ж), у(х) —
половина ширины сечения в месте, находящемся на расстоянии х от
нейтральной линии.
Задача заключается в нахождении у как функции х из условия, что
всюду
1— М-1 I , 1 + М- /~Q~> 9 D
—2—1°1 + ~^~^° + ШТ = Rz'
где
MM QS Q
a = ~rx = — x, т = -n- =
I } Ib 2y(x)
|2
Подставляя значения а и т в условие равнопрочности и замечая, что
можно считать М > 0 и, х > 0 имеем
1 - цМ 1 +
Q2r? ^2
о Г Г 1
М2Т2 4- 777 — ^ 7/ Г^^ F r/F ^ — /?
2 U J
400 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
откуда
или
а
У (я) =
Таким образом, функция у (ж), дающая очертание сечения балки,
удовлетворяет однородному интегральному уравнению Вольтерра пер-
первого рода с ядром
К (х, %) =
На прямой ж = а ядро обращается в бесконечность. Действительно,
из условия прочности волокна, наиболее удаленного от нейтрального
слоя (х = а), следует равенство
М
— а = Rz, или RZI = Ma,
и, следовательно,
2
м2
4М2
(а — х) (а + [ix)
после чего интегральное уравнение, полученное выше, принимает вид
(Ж) =
у/(а - х) (a + {ix)
§ 16. О равнопрочном сечении балки
401
Пользуясь общей теорией интегральных уравнений типа Вольтерра,
можно было бы показать, что это уравнение, несмотря на особенность
ядра при х = а, не имеет решений, отличных от нуля.
Покажем это иным путем, ограничиваясь для простоты случаем
теории прочности Кулона, т.е. когда т = 4, [i = 1. В этом случае
уравнение принимает вид
I
у (х) \/а2 -х2 =
где введено обозначение q = 2Q/M.
Если бы решение у(х) полученного уравнения существовало, то
функция у (ж), представляющая это решение, была бы непрерывной
и дифференцируемой. Действительно, при разрывной функции у(х)
касательное напряжение
QS Q 1
1Ь
I у(х)
также претерпевало бы разрывы и условие равнопрочности не бы-
было бы осуществлено. Дифференцируемость функции у(х) следует из
существования производной у интеграла от непрерывной функции.
Поэтому, дифференцируя обе части интегрального уравнения, получим
dx
откуда
qx
у dx
а2-х2
т.е. дифференциальное уравнение для функции у = у (х). Его первый
интеграл имеет вид
In у = — - In (а — х) — - In (а + х) + qy а2 — х2 + In G,
А А
или, после упрощений,
у = exp \q\/a2 - х2) .
уо2 — х2 V /
Здесь С — постоянная интегрирования.
402 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Подставляя найденное решение в интегральное уравнение, прихо-
приходим к равенству
/
Cexp(q
a2-x2) = q\
= -С + С exp
откуда получаем, что С = 0. Следовательно, интегральное уравнение
не имеет решений, отличных от нуля.
Таким образом, получается любопытный результат: не существует
сечения балки, которое было бы равнопрочным во всех своих точках.
Этот результат имеет существенное значение для отыскания наивыгод-
наивыгоднейшего очертания сечения балки при заданном изгибающем моменте
М, перерезывающей силе Q и заданном габарите сечения (например,
прямоугольника, за пределы которого не должно выходить сечение).
Сечение в заданных габаритах, обладающее минимумом площади
при выполнении условий прочности, не может быть равнопрочным во
всех точках. Иначе говоря, в условии прочности
для отдельных зон сечений будет иметь место знак неравенства.
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке
1. Задача об отыскании остаточных напряжений в круглом пруте
при кручении за предел упругости элементарна, если считать, что прут
имеет бесконечно большую длину и его поверхность свободна от на-
напряжений. В этом случае, который рассматривался многими авторами,
сечения, нормальные к оси прута, остаются плоскими и не искажаются
в плане, т. е.
8г = 0, ге = 0, уге = 0. B.17.1)
Здесь и в дальнейшем будем пользоваться цилиндрической систе-
системой координат г6z, ось z которой является одновременно и осью прута
[36]. Так как при кручении прута сечения остаются на неизменном
расстоянии друг от друга и лишь поворачиваются вокруг оси прута,
то
ег=0, lrz=0. B.17.2)
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке
403
Таким образом, единственной, не равной нулю компонентой дефор-
деформации оказывается yzQ, выражение для которой, согласно известной
формуле сопротивления материалов, имеет вид
yzQ = $r, B.17.3)
где i3- — так называемый погонный угол крутки.
При кручении прута за предел упругости
напряжение т^е определяется в зависимости от
деформации yzQ по диаграмме
т = т(у) B.17.4)
для каждого конкретного материала (рис 123.).
Последняя строится исходя из экспериментально устанавливаемой за-
зависимости
Oi =о»(е»), B.17.5)
где О{ и &i — соответственно так называемые интенсивность напря-
напряжений и интенсивность деформаций [24]. Применительно к данному
случаю
п: 1
Gt =
B.17.6)
Зависимость B.17.4) может быть получена и непосредственно, а
именно при кручении за предел упругости полых тонкостенных труб.
Крутящий момент, соответствующий данной крутке цилиндриче-
цилиндрического образца, представляется формулой
М
кР = 2ти TzQr2dr.
о
B.17.7)
Считая здесь в соответствии с B.17.4) xzQ функцией yzQ и производя,
согласно B.17.3), замену переменной интегрирования г нау^е, получим
B.17.8)
Здесь для краткости переменная интегрирования обозначена через
у, а верхний предел уа представляет собой значение yzQ при г = а. Так
как согласно B.17.3)
Уа=Ъа, B.17.9)
404 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
то Мкр может быть представлен в виде
АЛ
кр
Мкр = 2каЧ (Уа), B.17.10)
где функция
B.17.11)
У<
о
может быть заранее построена по известной для данного материала
диаграмме B.17.4) чистого сдвига т = т (у). В случае крутки в пределах
упругости
т(у) = Gy, B.17.12)
и формула B.17.10) при учете соотношения B.17.9) и выражения
B.17.11) для функции Ф (уа) приводится к известному виду
Мкр = GIPV, Ip = \ш\ B.17.13)
Здесь G — модуль упругости сдвига.
Обозначим через xs предел упругости при сдвиге. Очевидно, что
формула B.17.13) справедлива, пока
Wc = ^a<Ts, или Мкр^^т,. B.17.14)
После перехода за предел упругости можно, согласно B.17.10) и
B.17.11), по заданному крутящему моменту Мкр определить угол сдви-
сдвига уа и далее, используя B.17.9), найти погонный угол крутки #.
2. При снятии крутящего момента происходит так называемая упру-
упругая разгрузка, подчиняющаяся закону
Tze-T°e = G(be-y2°9). B.17.15)
Здесь xzQ и yzQ — напряжение и деформация, которые имели место
при действии крутящего момента Мкр, т^е и у^е — остаточные напря-
напряжение и деформация. Если скручивающий момент снят полностью, то
а
[т°в2тиг2йг = 0. B.17.16)
о
Заметим, что в соответствии с B.17.3)
у% = Ъ°г, B.17.17)
где #° — остаточный погонный угол крутки.
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке
405
Интегрируя обе части равенства B.17.15) по г в пределах от г = 0
до г = а, предварительно умножив их на 2кг2 и используя соотношения
B.17.7), B.17.3), B.17.17) и B.17.13), получим, с учетом равенства
B.17.16):
MKp = G/p(#-#°). B.17.18)
Отсюда имеем формулу для остаточной крутки:
B.17.19)
Зная #°, можно найти, согласно B.17.3), B.17.15), B.17.17) и
B.17.18), закон изменения остаточных напряжений т^е по сечению
прута. Имеем
f =%zQ-^Lra B.17.20)
Все остальные компоненты напряжений равны нулю как при дей-
действии крутящего момента, так и после его снятия, ибо соответствующие
им компоненты деформаций B.17.1) и B.17.2) остаются без изменения.
На рис. 124 показана зпюра напряжений xzQ в случае прута из
Рис. 124
Рис. 125
материала, лишенного упрочнения. Диаграмма для такого материала
приведена на рис. 125.
Можно показать, что в этом случае крутящий момент Мкр связан с
углом погонной крутки соотношением
Мкр = 2mt ^ -
12G
з.«з
Мкр
B.17.21)
где ts — предел текучести материала.
406
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Пластическая деформация возникает в зоне
г > гв,
где rs определяется из условия
B.17.22)
B.17.23)
Остаточная погонная крутка находится по формуле B.12.19).
Пример 1. Если крутящий момент равен
31 з
кр = 48Ла Ts'
то i3- = 2xs/aG и зона пластической деформации начинается на рассто-
расстоянии rs = а/2 от оси прута.
Эпюра остаточных напряжений т^е показана на рис. 126. Напряже-
Напряжения т^е достигают по модулю максимума в двух местах: на расстоянии
г = а/2 от оси прута, где
_ II
~ 48 %s
и у боковой поверхности прута, где
21
Угол крутки # за пределом упругости в рассматриваемом примере
равен
48
31
31 GIV
а угол остаточной крутки определя-
определяется формулой
17
17Мкр
17 ts
24 aG'
Рис. 126
3. Рассмотрим более сложную за-
задачу об отыскании остаточных де-
деформаций и напряжений в круглом
полубесконечном пруте и в пруте ко-
конечных размеров.
Будем предполагать, что полу-
полубесконечный прут, а также прут конечных размеров образуются из
бесконечно длинного прута (скрученного за предел упругости и далее
разгруженного) посредством нормальных к его оси плоских разрезов,
не сопровождающихся заметной дополнительной пластической дефор-
деформацией.
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке
407
Вблизи разрезов закон распределения остаточных напряжений су-
существенно отличается от соответствующего закона в случае бесконечно
длинного прута, так как на торцевых сечениях напряжения tzQ обра-
обращаются в нуль. Кроме того, появляются остаточные напряжения т^е,
которые в бесконечно длинном пруте отсутствовали. В наличии этих
напряжений нетрудно убедиться, если рассмотреть равновесие части
прута (рис. 127), ограниченного торцом, каким-либо другим нормаль-
нормальным сечением и цилиндрической поверхностью г = г\ < а. По сече-
Рис. 127
нию, не являющемуся торцом, действуют остаточные напряжения т^е,
создающие момент относительно оси z (этот момент равен нулю лишь
при г\ = а). С другой стороны, напряжения tzQ на торце отсутствуют.
Следовательно, равновесие рассматриваемой части возможно лишь
при наличии напряжений тге, действующих по цилиндрической поверх-
поверхности г = п и создающих противоположный момент вокруг оси z.
Остаточные напряжения тг0 обусловливают искажение сечений в
их плоскости, так как соответствующая им компонента деформации
уге будет теперь отлична от нуля. Это означает, что радиусы сечений
искривятся. В результате, как будет показано ниже, в цилиндрических
слоях, состоящих из волокон, расположенных вблизи оси прута, крутка
по сравнению с бесконечно длинным прутом уменьшается. Наоборот, в
цилиндрических слоях, расположенных ближе к боковой поверхности,
крутка увеличивается.
Любопытно отметить, что если разрезы сделаны весьма близко друг
к другу, то остаточная крутка внутренних слоев, не претерпевших
пластических деформаций, окажется равной нулю. Крутка же слоев
волокон, которые имели деформацию за предел упругости, будет опре-
определяться только величиной пластической (в данном случае и остаточ-
остаточной) деформации. Напряжение тг9 при этом отсутствует.
Обозначим через и (г, z) остаточное перемещение v%, отсчитывае-
отсчитываемое от исходного состояния прута до его деформации за предел упру-
упругости и последующей разгрузки. Перемещения и® и vPz в нашем случае
равны нулю.
408 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Отличные от нуля остаточные деформации у®г и yj?e выражаются
через и (г, z) формулами
о _ ди[ ^ди[ _ ди^
oz г се oz
дщ 1 du° щ ди
представляющими общеизвестные выражения компонент тензора де-
деформаций в цилиндрических координатах [24] с учетом равенств г^ =
= и (г, z) , и® = uQz = 0. В соответствии с законом упругой разгрузки
т--4-о<ь.-А),
<„-& = С(,,,-7у.
Здесь, аналогично B.17.15), т^е, тге и У^е? Уге — напряжения и де-
деформации, которые имели место при кручении за предел упругости
бесконечно длинного прута заданным крутящим моментом Мкр; через
т^е, т^е и у^е, у^е обозначены остаточные напряжения и деформации в
полубесконечном и конечном куске прута после снятия момента Мкр и
последующих разрезов. В B.17.25) следует положить
тге = 0, уге = 0, уге = &г,
B.17.26)
= Ъе (г) ,
где величину погонной крутки # (до разгрузки прута) и функцию tzQ (г)
можно определить, пользуясь формулами и соотношениями B.17.8),
B.17.9), B.17.3) и B.17.4).
Из B.17.25), используя B.17.26), получаем теперь
Д=^в(г)-Сдг + Су°е, т°е = Суг°9. B.17.27)
Заменяя здесь остаточные деформации у^е и у^е их выражениями
согласно B.17.24), имеем
о ч B.17.28)
ди их v y
Напряжения т^е и т^е должны удовлетворять уравнению равновесия
Q 0 о 0 о О
^ + -^ + =^ = 0- B-17.29)
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке 409
Подставляя B.17.28) в B.17.29), получим после очевидных упроще-
упрощений дифференциальное уравнение второго порядка в частных произ-
производных
дг г дг г dz
для отыскания функции и (г, z).
4. Будем искать решение B.17.30) в виде
гл = ^*Г2; + > Лд. ch \- Bk sh Ji B.17.31)
^—^ у a a J у a J
для куска прута конечных размеров и
u = ifrz + YCke-a«-ajJc^-\ B.17.32)
— для полубесконечного прута.
Формулы B.17.31) и B.17.32) легко получаются при интегрирова-
интегрировании уравнения B.17.30) посредством метода разделения переменных.
При этом учитывается, что перемещение и (г, z) обращается в нуль
на оси прута (т.е. при г = 0) и, кроме того, отбрасывается слагаемое,
соответствующее повороту прута без деформации. При непосредствен-
непосредственной проверке формул B.17.31) и B.17.32) подстановкой в уравнение
B.17.30) необходимо учесть, что дифференциальное уравнение бессе-
бесселевой функции первого порядка имеет вид
J'l (Хх) + -J[ (Хх) + (х2 - ДЛ Jj (Xx) = 0. B.17.33)
х \ x-J
Выражения B.17.28) для остаточных напряжений прута конечной
длины принимают теперь, после использования формулы B.17.31),
следующий вид:
= Ъе (г) ~
?(^ ^)^(^) B.17.34)
akr\]
B.17.35)
410 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Если использовать известное соотношение теории бесселевых функ-
функций,
XxJ'n (Xx) = nJn (Xx) - XxJn+1 (Xx), B.17.36)
положив в нем п = 1, X = ос^/а, х = г, то формулы B.17.34) и
B.17.35) приведутся к виду
fakr
I —
0
V = --i:«fe^fech —+ B,sh—jJ2(J
Соответствующие формулы для полубесконечного прута, если в
B.17.28) подставить соотношения B.17.32) и сделать аналогичные вы-
выкладки, таковы:
= ^е (г) - G (Ъ - d*) r
B.17.38)
На боковой поверхности г = а остаточное напряжение т°е отсут-
отсутствует. Это приводит к трансцендентному уравнению
J2(ak)=0 B.17.39)
для отыскания корней ос*;.
Первые пять отличных от нуля корней уравнения B.17.39) суть
^ = 5.136; а2 = 8.417; а3 = 11.620;
B.17.40)
а4 = 14.796; а5 = 17.960.
Для определения коэффициентов А^ и В^ следует воспользоваться
условием обращения в нуль остаточных напряжений т^е на торцах
прута конечной длины, т.е. при
si=0, z2 = L B.17.41)
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке 411
На основании формулы B.17.34) на торцах получим
0 = Тгв (г) - СЪг + Gtfr + G Y, ^B^i (^f) , B.17.42)
B.17.43)
Умножим правые части соотношений B.17.42) и B.17.43) на 2кг2 и
далее проинтегрируем их в пределах от г = 0 до г = а. Используя при
п = 2 формулу теории бесселевых функций
[ хп Jn_! (Xx) dx = \xnJn №) B.17.44)
и учитывая равенство B.17.39), имеем
а
Г 2 т / ак \ , CL 2 т (ak \
Г J\ Г пГ = Г J2 Г
J Va у а* \а )
О
Таким образом, в обоих случаях получаем
9 (г) r2dr - Gd^ + Gtf*^ = 0. B.17.46)
= 0. B.17.45)
о
о
Учитывая B.17.7) и B.17.13), имеем
V*=V-MKp/GIp. B.17.47)
Сравнение этой формулы с B.17.19) дает равенство
#*=#°. B.17.48)
Последнее означает, что член ifrz в формуле B.17.31) определяет
остаточные перемещения бесконечно длинного прута до разреза его по
сечениям B.17.41).
В теории бесселевых функций известны формулы
х
(Х2 — у2) xJn (Xx) Jn ([ix) dx =x [[iJn (Xx) J'n ([ix) — XJn ([ix) J'n (Xx)} ,
о
B.17.49)
X
x [Jn (Xx)}2 dx = ^\ iJn &x)f + f 1 " 4Ц ) [Jn (kx)f > • B.17.50)
412 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Исключая из них производные от бесселевых функций Jn (Xx) и
Jn (fix) посредством равенства B.17.36), приходим к соотношениям
х
(Х2 - |i2) х Jn (Xx) Jn (\ix) dx =
о
= х [A,Jn+i (Xx) Jn Ых) - LiJn+i (vx) Jn (Xx)} , B.17.51)
- 2^ Jn (Xx) Jn+1 (^) + [Jn (Xx)f\ . B.17.52)
Заменяя в этих соотношениях переменную интегрирования х на г,
принимая верхний предел интегрирования равным а и, кроме того,
считая X = щ/а, \i = ос^/а, п = 1 и учитывая B.17.39), получим
формулы
а
Г Г / \ 1 А 2
г Г1 ^Г dr = —[Ji (щ)] . B.17.54)
J L V а /\ -
о
Умножим теперь правые части соотношений B.17.42) и B.17.43) на
rJ\ I —г 1 и проинтегрируем их в пределах от г = 0 до г = а. Приняв
V а )
во внимание формулы B.17.53) и B.17.54), а также B.17.45), имеем
а
О = |тже (г) Ji (^Л rdr + G^B~ [J, (щ)]2 , B.17.55)
а
О = Ке (г) Ji —г rdr+G— [ Л{ sh — + Б^ ch — — [
О
B.17.56)
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке 413
Решая уравнения B.17.55) и B.17.56) относительно А\ и В{ и меняя
индекс г на &, получим
||Н B-17.57)
B.17.58)
ы
о
В случае полубесконечного прута в результате подобных же выкла-
выкладок получаем
и = tiPrz + ^2 Cke~akz/aJi I — j, B.17.59)
причем
\т,е (г) Ji f ^ rdr. B.17.60)
J V а /
О
Таким образом, задача об отыскании функции и (г, z) свелась
к отысканию определенных интегралов, входящих в состав формул
B.17.57) и B.17.58) или B.17.60).
5. Величина поворота какой-либо элементарной площадки сечения
прута выражается формулой
Подставляя сюда выражение и (г, z) согласно B.17.31) и используя
(считая п = 1) формулу теории бесселевых функций
XxJfn (Xx) + nJn (Xx) = XxJn-! (Xx), B.17.62)
получим для со выражение
В частности, для сечения z = 0 имеем в центре прута (г = 0)
а у боковой поверхности (г = а)
?Л^о(аЛ). B.17.65)
414 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Для полубесконечного прута в свою очередь имеет место формула
со = Ф z + — 7 —Сье akZ'a Jn I ]. B.17.66)
2 ^-^ a V a /
6. В случае идеально пластического материала функция xzQ (r)
(см. пример 1) имеет вид
^е (г) = Gftr при г < г8,
B.17.67)
^е (г) = ^s при г > г8,
причем
Определение постоянных Ak, Bk или Gд; требует знания (см. фор-
формулы B.17.57), B.17.58) и B.17.60)) значений интегралов
(^) B.17.68)
о
каждый из которых разбивается на два, а именно:
rs a
[ G^rJ, f^\ rdr и [ tsJ, (^f) rdr. B.17.69)
О rs
Первый из них, согласно формуле B.17.44), равен
B.17.70)
Интегрируя по частям и используя соотношение, которое следует из
B.17.36) при п = 0, а именно
Jo ^—j = -J, ^—j , B.17.71)
второй интеграл B.17.69) можно привести к виду
А
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке 415
Таким образом, учитывая также B.17.67), получим что
2
п \ Т*
^ J
Здесь для интеграла от функции Jo (z) введено обозначение
Z
J*(z)= ljo(z)dz. B.17.74)
о
Согласно известной рекуррентной формуле теории бесселевых
функций
Jn+1 (z) + Jn_i (z) = =^Jn (z). B.17.75)
Используя эту формулу при п = 1, получим окончательно
- a*; Jo (ад.) + J (ад.) - J . B.17.76)
\ a )\
Посредством формулы B.17.76) выражения B.17.57), B.17.58) и
B.17.60) для коэффициентов Л&, Вк и С к можно преобразовать к
виду
- Ск = Вк = -Ак cth -^- = -
2a
Ji (ак)
х [2J, (^) - afcJo (afc) + Г (afc) - J* (^)j . C.17.77)
Дальнейшие расчеты по формулам B.17.63) или B.17.66) сводятся
к простым вычислениям.
Пример 2. Определим, какие остаточные деформации и напряжения
окажутся в пруте, рассмотренном в примере 1, если его разрезать на
две полубесконечные части. В примере было rs = a/2 и, следовательно,
в соответствии с B.17.77)
~ 2т3а 1 Г т f ак\ т / \ , т* / \ т* f ак
Ск = ~Г—з у2, ч 2JM T -a*Jo(a/fe) +J Ю-J I —
Сг а3 (ак) I V 1 ) \1
416 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Пользуясь таблицами бесселевых функций [8], получаем, используя
B.17.40), следующие значения первых четырех коэффициентов:
d = ^0.0556, С2 = -^0.0116,
G G
С3 = -^0.0008, С4 = -^0.0004.
Заметим, что значения функции J* (х) при х > 1.00 не табулиро-
табулированы и их приходится вычислять [8] по формуле
Г (х) = | Jo (х) dx=™ [Jo (х) Н'о (х) + J] (х) Но (х)} =
= — < Jo (ж //1 (ж) + Ji \х) Но {:
2 { 1п 1
или посредством численного интегрирования функции Jo (x).
На основании B.17.32) имеем для нашего примера формулу для
перемещений
- 0.0116e-8417z/aJi (8.417M -0.0008e-n-620z/aJ] И1.620Ч -
и, согласно примеру 1,
о _ 17 xs _ 17
Заметим, что в нашем примере rs = — и, следовательно,
где # — угол погонной крутки при первоначальном деформировании за
предел упругости.
§ 17. Об остаточных напряжениях при крутке 417
Оставляя только два члена в разложении по бесселевым функциям,
имеем
и = а2Ъ К).3542^f +0.0556 Jj ( 5.136^ J е-5Л36*/а -
- 0.0116Ji (в.417
Поворот элементов прута определяется формулой B.17.66), которая
для нашего примера принимает вид
©(г,*) = aflK).3542^+0.1428 Jo E-136^) еЛ36*/а -
- 0.0488J0 (sA17-^\ e-8-41W« + .. 1.
Для сечения z = 0 имеем при г = 0 и при г = а соответственно
со @, 0) = 0.0940а#, со@, а) = -0.0220а#.
Определим, наконец, остаточные напряжения в элементах сечений
z = 0, z = а/2 и z = а. Для этого следует воспользоваться формула-
формулами B.17.38), которые в нашем примере приводятся к виду
U. 136
0.0976Jj
.0 /пг <ч ., r\ оог/* —5.136z/a т
+ 0.0976 Jj
где функция tzQ (r) в соответствии с примером 1 определяется форму-
формулами
xzQ (г) = Gbr при 0 ^ г ^ а/2,
%zQ (г) = Gba/2 = ts = const, когда а ^ г ^ а/2.
Безразмерные значения напряжений т^е и т^е приводятся в табл. 5
и 6; см. также графики (рис. 128 и 129).
418
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
\0_
0.3
0.2
0.1
GQa
0.20
0.15
0.10
0.05
(
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 г/а
Рис. 128
z=oo
0.2
r/a
0.4
0.6 0.
Рис. 129
Табл и ца 5
Z
0
а/4
а/2
а
г/а
0
0
0
0
0
0.2
0.0012
0.0120
0.0044
0.0004
0.4
0.116
0.0463
0.0146
0.0012
0.6
0.276
0.0765
0.0212
0.0016
0.8
0.250
0.0604
0.0156
0.0011
1.0
0
0
0
0
z
а/4
а/2
а
оо
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.2
0426
0619
0701
.708
0
0
0
0
0.4
0986
.129
.141
.142
г/а
0.6
0.0841
0.105
0.112
0.113
0.8
-0.0092
-0.0143
-0.0165
-0.0167
Табл и ца 6
1.0
-0.116
-0.138
-0.145
-0.146
Как видно из графиков, а также табл. 5 (значения т^е/тв) и табл. 6
(значения т^е/С$а), остаточные напряжения в сечениях, расположен-
расположенных на расстоянии радиуса от края прута, почти не отличаются от
соответствующих напряжений в полубесконечном длинном пруте.
18. Трение качения 419
§ 18. Трение качения
Впервые трение качения изучалось А. Кулоном [225], установившим
экспериментально зависимость трения качения от силы давления катка
на основание (грунт), по которому каток перемещается. А. Морен [73]
в результате своих экспериментальных исследований дал для силы
трения качения F формулу
F = XQ/R,
где Q — сила давления катка на основание, R — радиус катка и X —
коэффициент, имеющий размерность длины, называемый коэффици-
коэффициентом трения качения.
Дюпюи [71] заметил, что коэффициент трения качения X не является
для разных материалов величиной постоянной и, кроме того, зависит
от радиуса катка. На основании своих опытов он заключил, что
Х = ,
и формула для силы трения качения приняла у него вид
F = cQ/R.
О. Рейнольде [241] объяснил возникновение силы трения качения
при перекатывании абсолютно упругого катка по абсолютно упругому
основанию относительным скольжением соприкасающихся поверхно-
поверхностей вследствие их деформации.
Г. Фромм [228] на основании теории Рейнольдса, сводившей изуче-
изучение трения качения к изучению трения скольжения в соприкасающихся
поверхностях, решил задачу о подсчете силы трения при фрикционной
передаче.
Трение при качении по не вполне упругим основаниям теоритически
не рассматривалось.
В настоящей работе изучается качение абсолютно жесткого катка
по релаксирующему и упруговязкому грунтам. Возникновение силы
трения объясняется при этом несимметричным распределением сил
давления катка на грунт по поверхности соприкосновения.
Законы, которым подчиняются напряжения и деформации в ре-
лаксирующем и упруговязком грунтах, выбраны наиболее простыми.
Математическая формулировка их аналогична известным законам ре-
релаксации и упруговязкого течения, данным Максвеллом [234] и Томп-
Томпсоном [243].
420
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Пусть каток шириной b и радиусом R катится без скольжения с
постоянной скоростью с по деформируемому грунту.
В этом случае все силы, действующие на каток, который примем
абсолютно жестким, уравновесятся. Эти силы следующие (рис. 130).
Рис. 130
1. Силы, извне приложенные к катку (включая силу тяжести),
которые, будучи приведены к геометрическому центру катка, образуют
пару с моментом L, горизонтальную силу F и вертикальную силу Q
(силу давления на грунт).
2. Сила сцепления грунта с катком F', удерживающая каток от
скольжения и обусловленная, главным образом, трением первого рода
поверхностей катка и грунта.
3. Распределенные по поверхности соприкосновения катка с грун-
грунтом вертикальные силы реакции грунта на каток. Удельное давле-
давление р, производимое этими силами, будем считать постоянным вдоль
образующих цилиндрической поверхности катка и зависящим лишь
от расстояния ? до вертикальной плоскости, проходящей через ось
катка. Поверхность соприкосновения катка с грунтом представляет
часть цилиндрической поверхности, передний край которой удален от
вертикальной плоскости, проходящей через ось катка, на некоторое
расстояние Ъ^ > 0 (начало соприкосновения катка с грунтом), а задний
на расстояние ^ < 0 (конец соприкосновения).
Условия равновесия сил, приложенных к катку, имеют вид
F-F' = 0, Q - J Ър{§ d% = 0, L + FR - J Ър {%)%<% = 0
(с малой погрешностью, происходящей за счет искривленности поверх-
поверхности соприкосновения).
18. Трение качения 421
Для ведомого колеса момент L = 0 и последнее уравнение опре-
определяет силу F, необходимую для поддержания постоянной скорости с
движения катка:
Сила F называется силой трения качения, а произведение FR =
= М — моментом трения качения. Таким образом,
Сила трения качения возникает вследствие некоторого смещения X
равнодействующей сил давления грунта на каток в сторону движе-
движения благодаря отсутствию симметрии поверхности соприкосновения
fe > |^i |) и неравномерного распределения сил давления по этой по-
поверхности. Это смещение X может быть найдено из соотношения
FR = XQ
и представляет собой плечо трения или коэффициент трения качения.
Если же каток ведущий, то к нему приложен движущий мо-
момент L, а сила F, направленная в сторону, обратную движению кат-
ка(см. рис. 130, пунктир), представляет собой сопротивление объекта,
приводимого катком в движение.
Третье уравнение равновесия (равенство нулю суммы моментов
всех сил относительно наинизшей точки катка) приводит при этом к
равенству
Здесь FR представляет момент полезного сопротивления, а форму-
формула для момента трения М остается точно такой же, как и выше.
Для осуществления качения необходимо, чтобы имело место нера-
неравенство
F' = F< fQ,
где / — коэффициент трения скольжения поверхности катка по поверх-
поверхности грунта. Иначе возникает проскальзывание.
При движении катка самая низкая точка Л опустится ниже поверх-
поверхности недеформированного грунта на некоторую глубину ^о5 представ-
представляющую одновременно осадку грунта под осью катка (рис. 131). Осадка
422
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
в некоторой другой точке В с точностью до малых четвертого порядка
равна
1 .9
так как
и 2/= 2/о-Л-
Здесь ?, и г| — координаты точки грунта В относительно подвижной
системы координат ^rj, начало которой находится в н аи низшей точке
катка Л, а ось rj вертикальна. Так как эта система координат перемеща-
перемещается поступательно со скоростью с вправо вместе с катком, то абсцисса
\ точки В с течением времени уменьшается и, очевидно, d^/dt = —с.
Поэтому скорость оседания грунта в какой-либо точке В под катком
составляет величину
dt 2R^dt R^'
Заметим, что производную по времени от удельного давления катка
на грунт можно выразить через производную по абсциссе \ соответ-
соответствующей точки грунта. Действительно,
dp dp d\ dp
C
В начале соприкосновения катка с грунтом (^ = Ъ^ > 0) осадка у
равна нулю (это будет следовать из законов, которым подчиняется
грунт) и, следовательно, 0 = у о — 1^/211, откуда
В конце соприкосновения (^ = ^ < 0) осадка, вообще говоря, не
нуль, но удельное давление следует считать равным нулю, так как
18. Трение качения 423
грунт в этом месте отходит от катка. Таким образом,
Что касается удельного давления в начале соприкосновения
(?, = ^2 > 0M то оно может быть и равно нулю и отлично от нуля
в зависимости от того, какому закону подчиняется грунт.
Релаксирующим грунтом будем называть грунт, подчиняющийся
закону
где К и [i — физические константы грунта. Константу К (размер-
(размерность кг/см3) назовем модулем жесткости грунта, a ji (размерность
кгс/см3) — коэффициентом внутреннего трения. Площадка такого
грунта, нагруженная постоянным давлением pi, опускается вниз. При
этом из дифференциального уравнения
следует
П I К
= Сехр[ ——
и при любых начальных данных осадка с течением времени стремится
к значению у\ = p\jK. Если нагрузку pi снять, то согласно тому же
дифференциальному уравнению получим
у = С ехр (
и через каждый интервал времени Т = \i/К, называемый периодом
релаксации, осадка будет уменьшается в е « 2.72 раза.
Таким образом, релаксирующий грунт ведет себя аналогично абсо-
абсолютно упругому основанию теории балок1), если рассматривать доста-
достаточно большие промежутки времени действия нагрузок. Из равенства
уг = pi/К следует возможность излома и разрыва поверхности при
кусочно непрерывной нагрузке на грунт pi, что представляет опреде-
определенный недостаток принятого закона реологического поведения грун-
грунта. Это может быть устранено введением соответствующих функций
влияний осадки одной точки грунта на осадку других и сведением
задачи к интегральным уравнениям, как это было сделано в теории
балок К. Вигхардом [245].
-1) По гипотезе Циммермана, у = р/$, где р — так называемый коэффициент
постели [11].
424 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
При качении абсолютно жесткого катка по релаксирующему грунту
с постоянной скоростью удельное давление согласно вышеизложенному
распределяется по поверхности соприкосновения следующим образом:
Сила давления катка на грунт будет выражаться формулой
а момент трения соответственно
ь
Если учесть, что
то выражения для Q и М могут быть упрощены исключением i/q и
приведены к виду
причем величины ^ и L& оказываются связанными соотношением
Введем безразмерные координаты граничных точек участка кон-
контакта
и = —^i (и < 0) и v = —^2 (v > 0) .
-it -it
Тогда три предыдущих соотношения примут вид
Q = = 1 / з _ ^ЗЧ , !а /2 , ^24
6/^Д2 Я 3 ^ W ^ 4а^ и > '
18. Трение качения 425
М
bKRs
О = и2 -
где q,m и а = 2[ic/ К R — также безразмерные величины.
Эти три соотношения решают задачу об определении силы трения
качения. Действительно, исключив из первых двух соотношений v
посредством третьего, имеем
q = I \(и2 - аи)* - и3] + -А Bи2 - аи) ,
т = \ [(и2 - аиJ - и4] + ^ [2 (и2 - аи)К и3] ,
и теперь по данным Q, 6, /С, Я, щ а следовательно, и а, из первого
соотношения определим и. Подставив найденное значение и во второе
соотношение, получим величину момента трения качения и затем силу
трения качения F = М/R.
Числовой пример. Пусть каток радиуса R =50 см, ширины b =5
см, нагруженный силой Q=250 кг, катится со скоростью с=2.5 см/с по
релаксирующему грунту с константами К=Ъ кг/см3 и ji=50 кгс/см3
(период релаксации такого грунта Т = ji//C=10c). При этом д=0.004, а
ос=1.
Из уравнения
0.004 = i \(и2 - 1 • и) ^ - и3 + j Bи2 -1-й)
находится значение и = —0.0135, после чего m оказывается равным
0.000290, а момент трения
М = mbKR3 = 902кг • см,
что соответствует силе трения F=18.04 кг и плечу трения X = M/Q =
= FR/Q =3.6 см.
Далее, так как
v= (и2 -аиJ =0.1170,
то границы поверхности соприкосновения определяются значениями ?:
ZI=Ru = -0.67см и ^2 = Rv = 5.85 см
и осадка грунта под центром катка
2/о = ^4 = 0.34 см.
426
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
В таблице 7 приведены значения силы трения качения для данного
числового примера при других значениях скорости с, а на рис. 132 изоб-
изображен график, построенный на основании этой таблицы. Сила трения,
Таблица 7
с, см/с
0.00
0.10
0.25
0.75
1.00
1.25
F,kf
0.00
5.17
10.78
19.18
20.10
20.30
и
-0.1817
-0.1623
-0.1357
-0.0734
-0.0538
-0.0403
V
0.1817
0.1812
0.1788
0.1656
0.1565
0.1476
с, см/с
1.50
2.00
2.50
10.00
40.00
160.00
F,kf
20.00
19.17
18.04
10.68
5.14
2.62
и
-0.0310
-0.0198
-0.0135
-0.0010
-0.0001
-0.0000
V
0.1398
0.1273
0.1170
0.0632
0.0316
0.0158
равная нулю при скорости с=0, возрастает в данном случае до зна-
значения 20.3 кг при с = 1.25 см/с, а затем при дальнейшем повышении
скорости уменьшается и асимптотически стремится к нулю. На рис. 133
изображен график изменения значений и и v в зависимости от скорости
F,kt
30
20
10
0 1.0 2.0 3.0 с, см/с
Рис. 132
\и\, v, см
1.0 2.0 3.0 с, см/с
Рис. 133
движения катка с; они асимптотически стремятся к нулю при возрас-
возрастании скорости, причем особенно быстро стремится к нулю значение и.
Если скорость движения катка столь мала, что величина а =
= 2[ic/KR оказывается во много раз меньше величин \и\ и г?, то с
точностью до малых высших порядков имеем
q=\
Ч B«а -аи) ~ \
18. Трение качения 427
=I [<«:
II Г/7/ I II \ -\— IV 111
3 oc ,3
Исключая |гл|, получаем
_ 1 М _ цс Q
Ша9
и далее, после подстановки ранее принятых обозначений:
Полученная формула для силы трения качения F справедлива при
достаточно малых скоростях с движения центра катка. Она имеет
структуру формулы Марена. Для абсолютно упругого грунта (ц = 0) и
для абсолютно жесткого (К = ос) сила трения качения обращается в
нуль. При малых скоростях с сила трения качения по релаксирующему
грунту пропорциональна его радиусу.
Пусть, напротив, скорость движения катка столь велика, что зна-
значения \и\ и v оказываются во много раз меньше а. Тогда, сохраняя в
выражениях для q и т лишь члены с высшими степенями а, имеем
1 Г - 1
q = - (гд2 — аи) - — v?\ + - Bи2 — аи) = - (—аи) ,
т = I [(и2 - аиJ - и4}+^ [2 (и2 - аи)Ки3] ^ j-J (-ati)t (и < 0).
После исключения и приходим к равенству
_ 4 /Г
откуда, подставив
М Q 2[ic
т= ~. q = w. a =-г—-,
bKR3 bKR2 KR'
получим М = - у Q3R/2{icb, а для силы трения качения F выражение
о
F =
Эта формула, справедливая при достаточно больших скоростях с
движения катка, показывает падение силы трения качения при увели-
увеличении скорости с центра катка и его ширины. Квадратный корень из
428 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
радиуса, стоящий в знаменателе полученной формулы, сближает ее с
экспериментальной формулой Дюпюи. Как любопытную особенность
следует отметить независимость силы трения качения от коэффици-
коэффициента жесткости К релаксирующего грунта при достаточно больших
значениях скорости с. Это объясняется малым значением осадки грун-
грунта под быстро перемещающимся катком, вследствие чего член К у,
стоящий в выражении закона релаксирующего грунта р = Ky+iidy/dt,
становится существенно большим по сравнению с [idy/dt.
На рис. 132 пунктирными линиями 1,2 изображены графики зави-
зависимостей силы трения от скорости согласно полученным приближен-
приближенным формулам
для приведенного выше примера.
Обе приближенные формулы дают одно и то же значение
9KR2b
при значении скорости с, равном
Вблизи этого значения скорости обе формулы, конечно, неверны,
и для подсчета силы трения следует обратиться к исходным соотно-
соотношениям. Тем не менее значения F\ и с\ могут служить для оценки
порядка числового значения максимальной силы трения качения F и с,
при которой сила максимальна. Для приведенного числового примера
имеем Fi = 40.8 кг и с\ = 0.762 см/с.
При значении скорости с, равном нулю, из исходных соотношений
о = к D - 5?) +
получаем
Isi
что позволяет вычислить половину хорды участка смятия под доста-
достаточно долго стоявшим на одном месте катком.
18. Трение качения 429
Так как у о = ^|/2Д, то осадка релаксирующего грунта под осью
катка составит в этом случае величину
9Q2
Выражения, полученные для Ъ^ и уо, сходны с формулами Герца
для смятия двух соприкасающихся тел [64].
Обратимся теперь к вязкоупругому грунту, подчиняющемуся за-
закону
dy dp
где к и v — физические константы грунта. Константу к назовем модулем
податливости, a v — коэффициентом текучести.
Площадка поверхности упруговязкого грунта, нагруженная посто-
постоянным давлением ро5 опускается вниз с постоянной скоростью, равной
vpo-
Если же площадку нагружать в течение весьма короткого времени
т от нуля до удельного давления pi, то осадка у\ площадки к концу
этого промежутка времени может быть оценена интегрированием со-
соотношения dy/dt = kdp/dt + vp в пределах от 0 до т. Так как у = 0 и
р = 0 при t = 0, то получим
2/i = /cpi + vpdt.
о
При малом значении коэффициента текучести v интегралом, стоя-
стоящим в правой части равенства, можно пренебречь, ибо он менее вели-
величины vpix. Поэтому при быстро возрастающих нагрузках
у « кр,
т. е. грунт ведет себя аналогично упругому основанию теории балок.
Одномерный характер закона упруговязкого грунта ведет к тем же
недостаткам описания явлений, что и закон релаксирующего грунта.
Если каток катится по упруговязкому грунту, то согласно вышеиз-
вышеизложенному следует вновь положить dy/dt = c?/R и dp/dt = —cdp/ d\.
Подставив эти выражения в исходное соотношение, получим
430 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
т. е. неоднородное линейное дифференциальное уравнение для функ-
функции р (^). Интегрируя это уравнение, считая скорость с катка постоян-
постоянной, имеем
р = Л ехр
Здесь Л — константа, определяемая из граничного условия р (^) =
= 0, так как при ^ = ^2 осадка грунта равна нулю и грунт лишь начинает
деформироваться под катком.
При ? = ^i, т. е. в месте отхода грунта от катка, давление р также
обращается в нуль. Следовательно, справедливы два соотношения:
связывающие три неизвестные величины: Л, ^ и Ъ^-
Сила давления катка на грунт представляется формулой
Q = } ЬР й) ^ = Ь
с± [ехр (^2) - ехр (Д
а момент трения соответственно
-^2)-^ехр
-^^|ехр(^2 -ехр ^
Выражения для величин Q и М могут быть упрощены, если исклю-
исключить из них константу Л посредством двух предыдущих соотношений.
Получим
18. Трение качения 431
Если теперь положить
_ ск
V '
где х — безразмерная величина, придем к формулам для безразмерных
величин q и момента трения т:
3 г» 1
V ft ^ -1/9 9\
т = 4^М = I D - 4) - \ И -
Кроме того,
О = aeXi + Xl + 1 (Xl = ^i < 0 j ,
О = аеХ2 +х2
Здесь
сАк ' * сЧЬЧ> ск%
Полученные четыре соотношения, содержащие х\, х^ q и гтг, реша-
решают задачу о нахождении силы трения при качении абсолютно жест-
жесткого катка по упруговязкому основанию. Действительно, первые два
соотношения в результате исключения константы а определяют х\ в
виде функции х2. Тем самым величины qu m оказываются функциями
параметра #2, и после его исключения получим
т = т (а), или М = FR = —л—т
^т ч 9
v4R \csk2b
Значения x\^x^^q и т оказываются при малом коэффициенте те-
текучести v и достаточно большой скорости движения центра катка с
малыми, что позволяет искомую функциональную зависимость т =
= т (q) искать посредством разложения величин X\,q и т в ряд по
степеням малого параметра x<i\ при этом, как оказывается, требуется
удержание малых величин достаточно большого порядка.
Исключая константу А из первых соотношений, получим
432 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
или, с точностью до малых шестого порядка:
откуда
Получившееся равенство можно рассматривать как уравнение для
определения величины х\. Отбрасывая тривиальный корень х\ = х^
который, конечно, не подходит, ибо х2 > 0, а Х\ < 0, можно получить
первое приближение для величины х\, пренебрегая величинами тре-
третьего и четвертого порядков относительно параметра х2. Имеем
+ xf) = 0,
ИЛИ
откуда
1
/3
~2 (Xl
2
х\ =
+ х2
(
+ Зх
) +
3
2
1 /
з ^Ж
1 ^]
3
1 - 2Ж2
Решению задачи соответствует малое значение х\, поэтому из двух
возможных знаков в решении квадратного уравнения следует взять
знак минус. Итак, с точностью до членов второго порядка относитель-
относительно Х2
2 2
Х\ = -Х2 + ~Х2.
Для получения величины х\ с точностью до малых четвертого
порядка положим
о
Х\ = -Х2 + \х\ + Р#2 + ТЖ2
о
и подставим это выражение в исходное уравнение для х\. Оно удовле-
удовлетворится с точностью до малых шестого порядка, если взять р = —4/9
и у = 44/135.
Таким образом, получаем, что
_ , 2 2 4 з , 44 4
§ 19. О качении жестких и пневматических колес 433
и если подставить значение х\ в выражения для величин q и т, то
придем к формулам
q =\ {x\- x\) = \x\ + . . . ,
ш = (ж| ж?) (ж| ж?) = ^х\ + ...,
в которых сохранены лишь первые члены разложения. Ограничиваясь
ими и исключая #2, имеем
1 ч/ 5
5
В результате момент М и сила трения качения F представляются
формулами
Таким образом, при сделанных предположениях сила трения при
качении абсолютно жесткого катка по упруговязкому основанию оказы-
оказывается прямо пропорциональной коэффициенту текучести v и обратно
пропорциональной скорости движения катка с. Сила трения качения
уменьшается при увеличении радиуса катка R и его ширины Ь.
§ 19. О качении жестких и пневматических колес
по деформируемому грунту
Ниже делается попытка разработать теорию образования колеи при
качении жестких и пневматических колес по деформируемому грунту,
а также объяснить процесс укатывания дороги и влияния скорости
движения на перекатывание. Попутно определяется величина момента
трения качения при разных условиях движения.
Математическое описание упомянутых вопросов возможно лишь в
случае принятия далеко идущих упрощающих предположений. Эти
предположения касаются, с одной стороны, законов, управляющих
деформацией грунта, и, с другой стороны, геометрии колеса и законов
деформирования пневматической шины (далее для краткости имену-
именуемой пневматиком). Предполагается, что распределение давления в
любом нормальном к оси колеса сечении поверхности соприкосновения
обода с грунтом одинаково. Таким образом, задача о перекатывании
приобретает плоский характер. Обод колеса в процессе деформации
остается цилиндрическим (в случае пневматика — уже не круглым).
В принципе возможна и более общая постановка исследования, при
434 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
которой поверхность соприкосновения, равно как и самый обод колеса,
предполагаются нецилиндрическими.
1°. О механических свойствах грунта. Закон деформирова-
деформирования грунта. Вопрос о колееобразовании тесно связан с механическими
свойствами грунта. Несмотря на то что механике грунтов посвяще-
посвящено большое число исследований, мы не имеем до настоящего време-
времени достаточно простых и удовлетворительных законов, управляющих
деформацией грунта при действии на него поверхностных сил. Так,
например,
закон Герстнера
р = сх, B.19.1)
закон Прандля
р = К = const B.19.2)
(здесь р — удельное давление на грунт; х — осадка грунта, с — коэф-
коэффициент пропорциональности, К — пластическая постоянная), хотя и
являются весьма простыми, но не описывают деформации грунта во
времени.
Известно, что если штамп давит с некоторой силой на грунт, то
деформация грунта изменяется с течением времени. При этом погру-
погружение штампа в грунт происходит тем более интенсивно, чем больше
давление на грунт. Если давление постоянно и не слишком велико, то
осадка грунта под штампом с течением времени стремится обычно к
некоторому пределу. Мы примем в дальнейшем, что предельные значе-
значения осадок пропорциональны соответствующей силе давления, т. е. что
закон Герстнера справедлив для предельных осадок, если только они
не превышают некоторого критического значения 5. Примем при этом,
что давление р и осадка х связаны между собой дифференциальной
зависимостью
dx
p = cx + [ix — , B.19.3)
где с — постоянная Герстнера; [i — коэффициент, характеризующий
вязкость грунта [20, 4].
Мы будем считать, что указанная дифференциальная зависимость
справедлива, пока в процессе изменения р и х скорость изменения
осадки dx/dt остается положительной, а сама осадка меньше некоторой
характерной для грунта постоянной 5.
Если х < 5, но р становится в процессе изменения меньше произве-
произведения еж, то деформация грунта прекращается и зависимость B.19.3)
§ 19. О качении жестких и пневматических колес
435
заменяется условием постоянства осадки
х = х\ (р < сх, х < 5) ,
B.19.4)
где Х\ — осадка, соответствующая моменту перемены знака разности
р — сх, т.е. моменту обращения dx/dt в нуль (максимальная осадка).
После повторного изменения знака разности р — сх (т. е. при р >
> сх) вновь оказывается справедливой дифференциальная зависи-
зависимость B.19.3) с начальным значением х = х\.
Если х > 5, т. е. при достаточно больших деформациях грунта,
зависимость B.19.3) заменяется следующей:
р = К +v
dx
К =
B.19.5)
Здесь предполагается, что р > К. Если в процессе изменения давле-
давление р становится меньше /С, то деформирование грунта прекращается
и, таким образом,
х = const при р < К, х > 5.
B.19.6)
Можно построить наглядную механическую модель, деформация
которой следует указанным выше закономерностям.
На рис. 134 представлено распределение
областей значений р и ж, соответствующих
закономерностям B.19.3)—B.19.6).
Рассмотрим теперь в качестве примера
деформацию грунта под действием посто-
постоянной нагрузки р = р0. Если ро < /С, то,
обращаясь к дифференциальному соотно-
соотношению B.19.3), получим
p=K + vdx/dt
dx
Ро — сх
B.19.7)
откуда после разделения переменных и интегрирования имеем
ct ро 1 ]
— = — In —
[I С ро — СХ
— х.
B.19.8)
Постоянная интегрирования определена из условия х = 0 при t = 0.
При t —»ос нетрудно получить из соотношения B.19.8)
= сх.
Таким образом, для предельных нагрузок оказывается справедли-
справедливым закон Герстнера.
436
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
При весьма малых значениях ?, а следовательно, и малых ж, т.е. в
начале процесса, имеем
2
\i С
откуда
^ ро ( сх с2х2
с V
СХ
-* = g-, B.19.9)
B.19.10)
Характерно, что выражение для осадки грунта х не зависит в этом
случае от коэффициента с. Это обстоятельство можно объяснить, если
непосредственно обратиться к соотношению B.19.3); очевидно, что
при малых х должна быть велика скорость изменения осадки dx/dt
(см. также B.19.7)) и, следовательно, второй член соотношения B.19.3)
должен быть больше первого.
Таким образом, при малых х
dx
что и дает после интегрирования формулу B.19.10).
Если ввести безразмерные переменные
,f с2 , , сх
t = 1 и х =
Ро
то соотношение B.19.8) примет вид
t> = -\ПA
B.19.11)
B.19.12)
B.19.13)
X —
1.1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
с
0
0.4 0.8
1.2
1.6
1.1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
г
-
У/.
/
i
-0.306^*
kl Л ) Л
1 1 1
'--?-t 0
0.4 0.8 1.2 f=^-t
Рис. 135 Рис. 136
График зависимости х' от t' изображен на рис. 135. При t' —>• оо
Если окажется, что ро/с > 5, то выражения, полученные ранее,
будут справедливы только для мгновения t*, при котором осадка х
§ 19. О качении жестких и пневматических колес 437
достигает значения 5. Поэтому, согласно формулам B.19.12) и B.19.13),
имеем
^ = и^1п_Р^_Ь6. B.19.14)
с2 ро-сд с v J
При х > 5 дифференциальное соотношение B.19.3) должно быть
заменено соотношением B.19.5), из которого при р = р0 = const
следует, что
dx = ро^ = congt (v = ^ к = c6) ^ B.19.15)
CLl V
т. е. после достижения осадкой х характерного значения 5 дальнейшее
погружение штампа будет происходить равномерно. Таким образом,
при х ^ 5 и соответственно х1 ^ сЬ/ро можно пользоваться для
определения закона изменения осадки во времени графиком рис. 135,
а в дальнейшем заменить его прямой, касающейся графика в точке с
абсциссой
t' = —t\
где t* определяется формулой B.19.14). На рис. 136 изображена подоб-
подобная кривая для случая, когда уравнение упомянутой прямой имеет вид
f = Зх'/2 - 0.306.
2°. Теория колееобразования. Случай колеса с жестким
ободом. В этом пункте мы рассмотрим вопрос об образовании и раз-
развитии колеи при движении по грунту колеса с жестким ободом. При
этом будем предполагать, что обод колеса представляет собой цилин-
цилиндрическую поверхность и при повторных проходах колесо движется
по той же самой колее. Будем считать, что деформирование грунта
происходит по законам, изложенным в 1°.
Итак, рассмотрим колесо радиуса Я, погруженное силой Р. Пусть
ось колеса перемещается со скоростью v слева направо (рис. 137).
Обозначим через hn глубину колеи после гг-го прохода. Так как грунт
предполагается лишенным свойств упругости, то при движении колеса
по грунту соприкосновение последнего с колесом прекращается в наи-
наинизшей точке колеса.
Длина проекции на горизонтальную плоскость области соприкос-
соприкосновения колеса с грунтом (см. рис. 137) определяется с достаточной
точностью по формуле
а = y/2R(hn-hn-i). B.19.16)
Обозначим через \ расстояние от какой-либо точки поверхности
соприкосновения колеса с грунтом до вертикальной плоскости, про-
438
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
ходящей через ось колеса. Тогда (см. рис. 137) осадка грунта, соответ-
соответствующая этой точке, может быть представлена в виде
х = Л« "
Ж
B.19.17)
Чтобы найти скорость изменения осадки dx/dt, следует продиффе-
продифференцировать выражение B.19.17) и учесть, что расстояние уменьшает-
уменьшается со скоростью v движения колеса.
Таким образом,
dt
dx _ 25 d\ _ \
h~dt = ~2R~di = HV'
B.19.18)
Так же как и ранее, будем различать два случая: ж < 5 и ж > 5. В
первом случае, согласно соотношению B.19.3), получим
Далее имеем
B.19.19)
B.19.20)
где b — ширина обода колеса.
Подставляя сюда выражение для р из B.19.19) и производя инте-
интегрирование, получим
va2 a4v
B.19.21)
§ 19. О качении эюестких и пневматических колес 439
Из формулы B.19.16) следует, что
hn = hn-i + ^- B.19.22)
Используя это соотношение, можно представить формулу B.19.21)
в виде
^Р = chn_ia+ ^с^ + № (^ + -^] . B.19.23)
Последнее равенство может служить уравнением для определения
величины а при заданных величинах c,ji, v, R, а также при заданной
глубине колеи hn-i перед очередным проходом колеса. После опреде-
определения величины а можно по формуле B.19.22) найти глубину колеи
после прохода колеса.
Принимая /го = 0, можно последовательными решениями уравне-
уравнения B.19.23) проследить рост глубины колеи в зависимости от числа
проходов, а именно
2 2 2
hi = —— hi = hi + —z— /гз = /i2 H~ wt> и т-Д-5 B.19.24)
где ai, tt2,... — соответствующие длины проекций на горизонтальную
плоскость поверхности контакта колеса с грунтом.
Рассмотрим частный случай ц = 0. Тогда уравнение B.19.23) при-
примет вид
ip = chn-ia + С^-. B.19.25)
Подставляя сюда величину а из формулы B.19.16) и вводя обозна-
обозначения
А/гп = hn - /гп_ь B.19.26)
получим
1 . / О \
B.19.27)
Введем безразмерные переменные ип и 5П, полагая
А/гп =уип, B.19.28)
Л„_! =у5п_ь B.19.29)
где
B.19.30)
440
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
В новых переменных уравнение B.19.27) примет вид
Полагая п = 1 и замечая, что 5о = 0, имеем
2
З1
2 f
откуда
= 1.31.
B.19.31)
B.19.32)
B.19.33)
Следовательно, согласно B.19.28), B.19.30) и B.19.33) получаем
B.19.34)
B.19.35)
hi = Д/ii = ущ =
Для определения u<i получаем согласно B.19.31)
=1,
так как 5i = щ = 1.31. Корень этого уравнения и<± = 0.40.
Далее для определения г^з имеем следующее уравнение:
1.71 + -и3) =1, B.19.36)
6 )
так как 62 = щ + u<i = 1.31 + 0.40 = 1.71. Его корень г^з = 0.28 и т. д.
3.0
2.0
1.0
0
yS
- /
(
2 4 6
Рис. 138
5
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
8 п 0
-
^—
1
5 10 15 и
Рис. 139
На рис. 138 приведен график изменения 5П в зависимости от числа
проходов колеса. Согласно формуле B.19.29) глубина колеи hn пропор-
пропорциональна переменной 5П.
Чтобы судить о характере изменения глубины колеи в результате
большого числа проходов колеса, заметим, что с возрастанием числа
§ 19. О качении эюестких и пневматических колес 441
проходов п величины 5n_i возрастают, а ип — убывают до нуля. По-
Поэтому согласно B.19.31), приближенно имеем
5„-1л/^=1, B.19.37)
откуда
ип = А5П = 1/5^_1. B.19.38)
Выражение B.19.38) может быть записано в виде уравнения в ко-
конечных разностях:
^ = -!-, B.19.39)
где An = 1.
Этому уравнению можно поставить в соответствие дифференциаль-
дифференциальное уравнение
й = г BЛ9-40)
Разделяя переменные и производя интегрирование, получим
^83 = п + с, B.19.41)
где с — постоянная интегрирования, которую можно определить, зада-
задаваясь каким-либо достаточно большим значением п и соответствующим
значением 5П, определяемым из уравнения B.19.31).
Из соотношения B.19.41)
+ c). B.19.42)
Эта формула позволяет судить о характере изменения глубины
колеи при большом числе проходов. На рис. 139 изображена кривая, со-
соответствующая зависимости B.19.42), причем при построении кривой
взята начальная точка с абсциссой п = 5. При этом с оказалось равным
0.4. На том же графике воспроизведены точки диаграммы рис. 138 для
п = 1, 2, 3, 4.
Заметим, что глубина колеи, согласно формуле B.19.42), неограни-
неограниченно возрастает по мере увеличения числа проходов. Такой резуль-
результат является, разумеется, следствием допущения отсутствия свойств
упругости как у грунта, так и у самого колеса. Действительно, согласно
B.19.16) колея не возрастает лишь при контакте колеса с грунтом по ли-
линии (т.е. при а = 0), что соответствует бесконечно большим удельным
давлениям, которые в принятой схеме не допускаются. Дорога, таким
образом, не укатывается в отличие от случая пневматика (см. 3°).
442 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Перейдем теперь ко второму случаю: х > 5. Согласно уравнению
B.19.5) и учитывая формулу B.19.18), имеем
р = #+ ц6=т = .К' + ц8»-Б- B.19.43)
at К
Подставляя это выражение в B.19.20), получим
а
И
pd\ = К а = [ibv^-. B.19.44)
Art
Последнее соотношение определяет а, т. е. длину участка соприкос-
соприкосновения колеса с грунтом. Далее, по формуле B.19.22) можно найти
изменение глубины колеи после прохода колеса. В отличие от предыду-
предыдущего случая это изменение не зависит от глубины колеи до очередного
прохода колеса. Из B.19.44) следует, что наибольшее значение вели-
величина а принимает при v = 0 или практически при весьма медленном
движении колеса.
В этом случае
а = Р/ЪК B.19.45)
и в соответствии с формулой B.19.22)
2
Ih-K-R'
B.19.46)
что находится в согласии с теорией колееобразования Н.Н. Иванова
[20].
При больших скоростях движения колеса в формуле B.19.44) можно
опустить первый член и соответственно получить приближенно
B.19.47)
откуда имеем
B.19.48)
Таким образом, изменение глубины колеи уменьшается с увеличе-
увеличением скорости, чем можно объяснить лучшую проходимость грунта при
повышенных скоростях движения.
В общем случае уравнение B.19.44) с учетом формулы B.19.16)
может быть приведено к виду
B.19.49)
§ 19. О качении жестких и пневматических колес 443
Если ввести безразмерные переменные Arj и и, связанные с величи-
величинами v и А/г соотношениями
-
Р
А/г = 2 2 Ал, B.19.50)
2b2K2R ' V )
2bK R / v
г; = —^-^ B.19.51)
то уравнение B.19.49) примет в новых переменных вид
д/Ал + гхДл = 1, B.19.52)
откуда
A4=1+2»-/^. B.19.53)
При гл = 0 получаем
ДЛ = 1,
следовательно, в соответствии с формулой B.19.46)
-
Р
А/г = 2 2 . B.19.54)
2b2K2R V y
Если значение гл велико, то из B.19.52) имеем приближенно
АЛ= ^- B.19.55)
Заменяя в B.19.55) Ал и и их выражениями через А/г и v, без труда
придем к формуле B.19.48).
Заметим, что если глубина колеи до прохода колеса была меньше
характерной константы 5, а после прохода оказалась больше, то по-
поверхность соприкосновения колеса следует разделить на две области.
В первой области а > I > \ (рис. 140), осадка точек грунта х < 5 и,
следовательно, для подсчета давления р надлежит применять формулу
B.19.19). Для второй области / > \ > 0, напротив, х > 5 и следует
пользоваться формулой B.19.43).
Расстояние / от границы, разделяющей эти области, до вертикаль-
вертикальной плоскости, проходящей через ось колеса, может быть определено
из уравнения
b=hn~^R- B.19.56)
444
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Соотношение B.19.20) представится теперь в виде
B.19.57)
причем выражение для р в первом интеграле следует брать в
соответствии с формулой B.19.43), а для второго интеграла — B.19.19).
Рис. 140
Таким образом,
Произведя интегрирование, придем к уравнению
isi . s: /2 . (и а3 \ _. \lv (hna2 a4
= Kl+^v— + clhna- — \+-l^r- —
— с I hnl —
B.19.58)
содержащему три неизвестные: а, /, hn.
Совместно с уравнениями B.19.56) и B.19.22) получаем систе-
систему трех уравнений для определения этих неизвестных по данным
§ 19. О качении жестких и пневматических колес 445
В частном случае, если /гп_1 = О, v = 0 (т. е. скорость движения
колеса весьма мала), имеем
(-^)-с(м-^), B-19.60)
где
- 5) и а = д/2ДЙ!. B.19.61)
Дальнейшее исследование этого уравнения требует уже численного
задания входящих в него величин Р, 6, Я, с, 5 и /С.
Изложенные выше рассуждения могут быть применены для опре-
определения сопротивления качению колеса по грунту. Величина этого
сопротивления характеризуется моментом М, который определяется
по формуле
M = bUpdZ). B.19.62)
о
Если х < 6, то, следуя формуле B.19.19), имеем
о
После интегрирования и использования формулы B.19.22) получим
2 &RJ R \ 3 15-Ry
Величина а, входящая в состав этой формулы, определяется из
уравнения B.19.23):
^Р = cftn_ia+ ^-с0- +[iv (hn-i^B + -^ ) • B.19.65)
Нетрудно видеть, что при hn-i = 0 и ji = О
a=d^^; B.19.66)
подставляя а в B.19.64), имеем
8 fl^- BЛ9-67)
446 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Сила трения качения выражается формулой F = М/R. Следова-
Следовательно,
1 з/81Р4
/8vSF' B.19.68)
что совпадает с формулой Гранвуане (см. [158, 164]). При достаточно
больших скоростях движения, считая hn-\ = 0 и сохраняя в формулах
B.19.64) и B.19.65) лишь члены, имеющие множитель v, получим
1 5
ГМ = цг;-^-о, B.19.69)
Ь * 15Я2 v ;
1-P = \iv-^. B.19.70)
Исключая отсюда а, придем к формулам
B.19.71)
B.19.72)
С увеличением скорости сопротивление качению здесь умень-
уменьшается .
В случае х > 5 в соответствии с формулой B.19.43) будем иметь
B.19.73)
о
или, после интегрирования:
1 2 з
-М = К°- +|i5^|-. B.19.74)
Величина а должна быть при этом найдена из соотношения
B.19.44):
B.19.75)
При [i = 0 аналогично вышеизложенному получим
И F=
Напротив, при К = 0 и при больших значениях v будем прибли-
приближенно иметь
{м = №^, B.19.77)
§ 19. О качении жестких и пневматических колес
447
Исключая из последних соотношений а, получим
следовательно, сила трения качения выражается формулой
B.19.78)
B.19.79)
B.19.80)
Она убывает с возрастанием скорости (ср. с [158]).
В последнем случае (х > 5) нетрудно исследовать влияние скорости
движения центра колеса v на силу трения качения и в общем виде. Если
ввести безразмерные величины а, \|/, т и и, связанные с величинами
й,Р,Ми!) соотношениями
M = KbR2m, v = ^щ
то формулы B.19.74) и B.19.75) примут вид
1 о 1 о
т = -ос + -mxd,
1 2
= ос+ -иа .
B.19.81)
B.19.82)
B.19.83)
т-
50
40
30
20
10
10~6 а-Ю-3
10
6.25
25
100 400
Рис. 141
1600
6400
25600 и
Последнее соотношение представляет собой квадратное уравнение
для величины а. Решая его, имеем
B.19.84)
448
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Подставляя это выражение в B.19.82), получим зависимость т от
и, что и будет характеризовать влияние скорости движения колеса на
силу трения.
На рис. 141 изображен график зависимости а и т от и, построенный
при значении \|/ = 0.01.
При малых значениях и, согласно B.19.83), имеем а = \|/ и, более
точно:
а = \|/ ¦
B.19.85)
Если теперь ввести B.19.85) в соотношение B.19.82) и пренебречь
степенями и выше первой, придем к формуле
/ 1 9 1
т = -\|/ - -
B.19.86)
При больших значениях и вернемся к формуле B.19.79). В безраз-
безразмерных величинах B.19.81) эта формула имеет вид
B.19.87)
3°. Теория колееобразования в случае пневматических
шин. При построении теории качения по грунту колеса с пневмати-
пневматической шиной необходимо учитывать деформацию самого пневматика.
Вследствие этого задача о колееобразовании становится более трудной,
чем в случае жесткого колеса. Задача остается достаточно сложной
даже после введения далеко идущих упрощающих предположений.
Рис. 142
Принятые допущения сводятся к следующим: 1) деформирование
грунта подчиняется законам, изложенным в 1°; 2) деформация пневма-
§ 19. О качении жестких и пневматических колес
449
тика в каждой точке считается пропорциональной давлению пневмати-
пневматика на грунт; 3) поверхность пневматика принимается цилиндрической.
Геометрическое соотношение, связывающее осадку х какой-либо
точки поверхности грунта в зависимости от ее расстояния ? от вер-
вертикальной плоскости (рис. 142), проходящей через ось колеса, с доста-
достаточным приближением таково:
X + y+2R= /ln + W B.19.88)
Здесь у — деформация пневматика; /гп_1 — глубина колеи, образо-
образовавшейся до очередного (гг-го) прохода колеса; а — расстояние наибо-
наиболее удаленных передних точек поверхности соприкосновения колеса с
грунтом от той же вертикальной плоскости.
В отличие от абсолютно жесткого колеса, соприкосновение пневма-
пневматика с грунтом будет прекращаться позади этой вертикальной плос-
плоскости на некотором расстоянии а' от нее. Поэтому глубина колеи hn
Рис. 143
после прохода колеса связана с величинами /гп_1,а и а' соотношением
(Рис 143)
B.19.89)
а
2R'
Для абсолютно жесткого колеса, разумеется, а' = 0.
Получим сначала формулы, связывающие нагрузку на колеса с раз-
размерами поверхности соприкосновения пневматика с абсолютно жест-
жестким грунтом. В этом случае а' = а, следовательно,
= \ bpdt»
B.19.90)
где b — ширина пневматика.
450 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Согласно принятому допущению о законе деформирования пневма-
пневматика в формуле B.19.90) следует положить
Р = РУ, B.19.91)
где р — характерная для данного пневматика упругая константа, зави-
зависящая, в частности, от давления в камере пневматика.
В случае абсолютно жесткого грунта hn-\ = 0, х = 0 и соотношение
B.19.88) приводится к виду
Подставляя B.19.92) в B.19.91) и затем в B.19.90), получим после
интегрирования формулу
Р = f?a\ B.19.93)
откуда
а = f§. B.19.94)
В результате деформации пневматика ось колеса опустится на ве-
величину
? й?? B-19-95)
Диаграммы, изображающие характер зависимостей B.19.93) и
B.19.95), близки к экспериментально наблюдавшимся А.К. Бируля [4].
Коэффициент р можно получить в результате соответствующей
обработки экспериментальных данных.
Рассмотрим наиболее простой случай качения пневматика с очень
малой скоростью в предположении, что грунт уже имеет деформацию
х > 5 (т. е. дорога в какой-то мере укатана). Очевидно, что деформация
грунта (рис. 143) начнется лишь на расстоянии / < а от упоминавшейся
выше вертикальной плоскости, когда осуществится равенство
р = $у = К, B.19.96)
т. е. давление пневматика на основание достигнет характерной для
грунта константы К.
Не уменьшая общности исследования, можно положить в формуле
B.19.88) ftn_! = 0, после чего
§ 19. О качении эюестких и пневматических колес 451
Подставляя сюда ? = 1,у = К/$, х = 0, имеем
B.19.98)
2 ,2
а I
откуда
/ = у/а2 - 2RK/V. B.19.99)
Заметим, что если
a2 = 2RK/^ B.19.100)
то / = 0 и, следовательно, при
а2 < 2RK/P B.19.101)
колея не углубляется. Так как в этом случае а1 = а (см. рис. 143), то на
основании формулы B.19.93), учитывая B.19.101), получим неравен-
неравенство
которое можно рассматривать как условие прохода пневматика по
предварительно несколько укатанной дороге без образования следа.
Пусть условие B.19.102) не выполняется. Тогда на участке поверх-
поверхности соприкосновения а > ^ > I давление пневматика на грунт
меньше постоянной К и определяется изменением его деформации.
Грунт здесь не деформируется. Далее на участке / > ? > 0 грунт уже
деформируется и согласно принятому закону B.19.5) давление на грунт
при малой скорости движения равно постоянной К. В соответствии
с соотношением B.19.96) деформация пневматика остается при этом
постоянной. Наконец, на задней части контактной поверхности, где
деформация пневматика начнет уменьшаться, соответственно будет
убывать и давление на грунт; что же касается деформации грунта /г,
то она тут постоянна и равна осадке грунта в точке ? = 0. Чтобы найти
осадку в этой точке, следует в формуле B.19.97) положить у = К/$ и
? = 0. Получим, имея в виду, что здесь следует положить х = /г,
h = u~l <2-19-108)
На рис. 144 изображен график распределения давления р под пнев-
матиком.
Аналитическая зависимость, представляющая это распределение,
имеет следующий вид:
р = р^^, а>^>1, B.19.104)
452 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
р = К, />^>0, B.19.105)
Р = Р^7г^' 0 > ^ > -а'. B.19.106)
Рис. 144
Полная нагрузка на колесо выражается очевидной формулой
О / а
pd^+\ pd^+\ pd\, B.19.107)
-а' 0 /
О
где
далее
— а' —п.'
BЛ9Л08)
B.19.109)
Собирая результаты интегрирования, получаем
1/3
2
B.19.111)
§ 19. О качении жестких и пневматических колес
453
Так как осадка пневматика при \ = 0 равна
а'2
B.19.112)
и, с другой стороны, в этом месте давление на грунт равно постоянной
К, то
РЙ = к> B.19.113)
откуда
Из формулы B.19.98) имеем
a2 =
B.19.114)
B.19.115)
Таким образом, из соотношения B.19.111) можно, учитывая
B.19.114) и B.19.115), после приведения подобных членов получить
следующее уравнение для определения величины /:
зя
B.19.116)
Зная /, нетрудно найти глубину образующейся колеи по формуле
h =
B.19.117)
которую легко усмотреть на рис. 144, а также из B.19.103) и B.19.115).
Произведем упрощение уравнения B.19.116) в предположении,
что / — малая величина по сравнению с а и, следовательно, по
сравнению с BKR/$I/2 = а' (см. формулы B.19.114) и B.19.115).
Пренебрегая в B.19.116) степенями / выше второй, получим при-
приближенно
1 р
Ь ЗЯ
y
р )
1+ 1 +
откуда
3
2KRJ
2К [2
~ з V
^2/^Ду
а:д Л зр/2
J2Kr\
B.19.119)
454 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Следовательно, глубина колеи, согласно B.19.117) и B.19.119), по-
после каждого прохода колеса возрастает на величину h = I2/2R. Форму-
Формула B.19.119) справедлива лишь в том случае, если выражение, стоящее
в скобках, положительно. В противном случае, т. е. когда
р , B.19.120)
в согласии с условием B.19.102), колея углубляться не будет, т.е. сле-
следует считать, что h = 0.
В рассмотренном примере мы приняли скорость движения колеса
достаточно малой и пренебрегли в выражении B.19.5), т. е. р = K-\-b\iv,
членом, содержащим v. При учете этого члена исследование становится
более сложным и, как можно показать, кривая деформирования грунта
под пневматиком не будет иметь точек излома при ? = 1. Кроме
того, деформация грунта будет продолжаться и позади вертикальной
плоскости, проходящей через ось колеса, т.е. при 0 > ? > —/' (/' < а1).
Однако глубина образующейся колеи будет тем меньше, чем больше
значение скорости движения колеса.
Рассмотрим другой частный случай, соответствующий закону
Герстнера р = сх. Этот закон получается (см. 1°) как частный случай
закона B.19.3):
dx
р = сх + \х,х—г,
dt
если вновь принять, что скорость движения колеса очень мала. Пусть
колесо совершает свой первый проход по грунту, т. е. примем hn-\ =
= 0. Тогда соотношение B.19.88) для этого случая представится в виде
B.19.97).
Деформация грунта начнется сразу же с мгновения соприкоснове-
соприкосновения колеса с грунтом, т.е. в месте, где \ = а, и закончится при \ = 0
(рис. 145).
Используя соотношения, справедливые для точек пневматика и
точек грунта при а > \ > 0:
р = сх, Р = $У, B.19.121)
исключим х и у из равенства B.19.97). Получим
Отсюда деформация пневматика в точке ? = 0 равна
\ Л BЛ9Л23)
§ 19. О качении жестких и пневматических колес
455
При этом, согласно B.19.97), при ? = 0 имеем
2
B.19.124)
С другой стороны, согласно той же формуле, учитывая, что при
? = —а1 имеет место х = h,y = 0, ,
приходим к равенству
Л = Й~Й' B-19.125)
следовательно, исключая из фор-
формулы B.19.124), согласно B.19.125),
осадку грунта /г, получим почти оче-
очевидное равенство
»> = & BЛ9Л26) Рис 145
Нетрудно видеть, что соотноше-
соотношение B.19.97) в пределах —а' < \ < 0 принимает вид
h + y=M~2R' B.19.127)
Используя B.19.125), включая h (см. также рис. 145), получим
у = й~й- <2-19-128)
Отсюда приходим к следующей формуле для давления на этом
участке поверхности соприкосновения колеса с грунтом:
BЛ9Л29)
Здесь а' определяется соотношениями B.19.123) и B.19.126) и пред-
представляется в виде
а = а
B.19.130)
Для силы Р давления колеса на грунт имеем выражение
О а
1
Р =
B.19.131)
456 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Подставляя в первый интеграл выражение р из B.19.129), а во
второй — из B.19.122) и произведя интегрирование, получим
Заменяя здесь а' через а, согласно B.19.130), приходим к формуле
Вместе с тем согласно соотношению B.19.125) и с учетом B.19.130),
получим
Подставляя а, определяемое соотношением B.19.133), имеем после
упрощений следующую окончательную формулу для глубины колеи,
образовавшейся после первого прохода колеса:
B.19.135)
При следующем проходе колеса деформация грунта начнется не в
точке ? = а, а несколько ближе к вертикальной плоскости, проходящей
через ось колеса в той точке, где давление на грунт со стороны пневма-
пневматика достигнет значения с/г, как это следует из механических свойств
грунта, описанных в 1°.
Таким образом, схема деформирования пневматика и грунта имеет
в этом случае примерно тот же характер, что и в разобранном примере
для случая х > 5. При последующих проходах колеса начало деформа-
деформации грунта под пневматиком будет все более и более приближаться
к упомянутой вертикальной плоскости, пока, наконец, деформация
грунта не прекратится. В этом случае можно считать, что грунтовая
дорога «укатана».
Если движение колеса происходит по одной и той же колее, то
нетрудно получить выражение для предельной глубины колеи /гтах.
Так как в пределе грунт не деформируется, то согласно формулам
B.19.95) и B.19.96) максимальное давление пневматика на грунт со-
составляет величину
C*W- B.19.136)
§ 19. О качении жестких и пневматических колес 457
Отсюда для искомой предельной глубины колеи получим формулу
4°. Некоторые замечания о деформировании грунта гу-
гусеницей. Для повышения проходимости механического транспорта
нашел большое применение так называемый гусеничный ход. Пре-
Преимущество гусеничного хода заключается в том, что вес движущих-
движущихся частей передается на большую площадь грунта и, следовательно,
удельное давление на грунт уменьшается сравнительно с движением
на колесах. Вследствие уменьшения удельного давления деформация
грунта оказывается меньше и, таким образом, проходимость транспор-
транспорта улучшается.
Современные гусеницы состоят из большого числа звеньев срав-
сравнительно малой длины. Поэтому при анализе можно представлять
гусеницу в виде некоторой тонкой ленты, жесткость которой при изгибе
вокруг оси, параллельной движению, бесконечно велика, а жесткость
вокруг другой оси, перпендикулярной первой и лежащей в плоскости
ленты, напротив, исчезающе мала.
Механической моделью такой ленты является гусеница со звеньями
бесконечно малой длины.
При таком представлении гусеницы можно считать, что любая
нагрузка, распределенная вдоль ленты симметрично относительно ее
средней линии, передается на грунт таким образом, что давление ока-
оказывается постоянным на каждом звене гусеницы и меняется лишь при
переходе от одного звена к другому. Следовательно, если по середине
гусеничной ленты, которая лежит в грунте, движутся колеса с жестким
ободом, то деформация грунта будет происходить так, как если бы
ширина обода колеса равнялась ширине ленты. Таким образом, если,
например, катки гусеничного хода имеют жесткий обод, то для подсче-
подсчета деформации грунта под гусеницей можно воспользоваться форму-
формулами, приведенными в 2°, считая размер b равным ширине гусеничной
ленты.
Благодаря наличию пружинной связи между катками гусенич-
гусеничного хода и основным корпусом можно приближенно считать, что
вес всей перемещающейся конструкции распределяется равномерно
между катками. Точно так же если по гусеничной ленте катится
колесо с пневматиком, то дело происходит так, как если бы шири-
ширина пневматика равнялась ширине ленты. При этом исходные гипо-
гипотезы удовлетворяются более точно, чем при движении пневматика
непосредственно по грунту. Действительно, гусеничная лента полно-
458 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
стью обеспечивает равенство осадок точек грунта, расположенных на
прямых, перпендикулярных движению колеса, т. е. на образующих
эквивалентного пневматика, ширина обода которого равна ширине
ленты .ленты.
Таким образом, все формулы п. 3° могут быть распространены и на
случай движения гусеничного хода с катками, имеющими эластичные
покрытия.
§ 20. Прокатка и волочение при больших скоростях
деформирования
При расчете напряжений, возникающих при прокатке и волочении
материала, обычно принято считать, что пластические деформации ма-
материала подчиняются закону Треска-Сен-Венана, согласно которому
максимальное касательное напряжение в каждой точке материала по-
постоянно и не зависит от скорости деформации. Так, например, поступил
Т. Карман [232], решая задачу о прокатке.
А.А. Ильюшин [24], рассматривая задачу о волочении через кони-
коническую матрицу без трения, принял, что максимальное касательное
напряжение зависит линейно от скорости деформации.
Ряд соображений об игре сил при прокатке дал А. Надаи [236].
В настоящем небольшом исследовании приводится схема прибли-
приближенного расчета усилий при прокатке и волочении материала с учетом
трения о внешние стенки и зависимости напряжений от скорости де-
деформации. Как будет показано, задача при некоторых упрощающих
предположениях сводится к интегрированию одного (в случае волоче-
волочения) или двух (в случае прокатки) обыкновенных линейных диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка.
1°. При рассмотрении задачи о прокатке составим уравнения дви-
движения элемента (рис. 146 и 147) прокатываемой полосы между двумя
сечениями х и x-\-dx. Если обозначить среднее по сечению нормальное
напряжение через аж, а удельное давление через д, то получим урав-
уравнение
pbwx = — (oxb) + q sin a + Qfqcosa, B.20.1)
где p — плотность материала, wx — среднее ускорение элемента, b —
переменная толщина полосы, / — коэффициент трения материала
полосы о вальцы, 6 — число, равное +1, если скорость элемента больше
окружной скорости вальцов, и —1 — если имеет место обратное соот-
соотношение.
§ 20. Прокатка и волочение при больших скоростях деформирования 459
Для большинства случаев инерционным членом pbwx можно прене-
пренебречь. Кроме того, с достаточным приближением можно считать
sin ос ^ —,
cos a ~ 1,
B.20.2)
где х — расстояние сечения от прямой, проходящей через центры
вальцов, и R — их радиус.
Рис. 146
Для толщины полосы b можно принять (см. рис. 146) следующую
зависимость от х:
2
Ъ(х) = 60 + ^-, B.20.3)
где 6о — ширина полосы после ее обжатия вальцами.
Упругим эффектом при деформировании полосы можно также пол-
полностью пренебречь и принять, что обжатие полосы прекращается в
сечении х = 0. Следовательно,
Ьо = 1- 2R,
B.20.4)
где / — расстояние между центрами вальцов.
Если до прокатки толщина полосы была Ь\, то из соотношения
bl = bo + 7г
B.20.5)
нетрудно найти длину а части полосы, которая подвергается обжатию.
Следуя Карману, примем напряжения ах и — q приближенно рав-
равными главным нормальным напряжениям полосы. Тогда максимальное
460 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
касательное напряжение для каждого сечения будет равно
W = \(ox-q). B.20.6)
Будем считать, что это напряжение линейно зависит от скорости
деформации сдвига, т. е.
W = К + ^утах, B.20.7)
где К — пластическая постоянная, [i — коэффициент вязкости матери-
материала, утах — скорость деформации сдвига (см. [166]). Последнюю можно
подсчитать из следующих соображений: пусть vx — средняя скорость
точек сечения х в направлении оси ж; если Q — объем материала
прокатываемого в единицу времени на единицу ширины полосы, и
полоса при прокатке не уширяется, то
^ = _J2 B.20.8)
так как течение полосы происходит в направлении отрицательной части
оси х.
Так как материал считается несжимаемым, то для скоростей де-
деформирования в направлении осей х и у при установившемся процессе
прокатки имеем
dx Ь2 dx' у х Ь2 dx
Принимая, как было сделано выше для напряженного состояния,
оси х и у за главные оси деформации, получим для максимальной
скорости сдвига в каждом сечении выражение
v — а —а — —zQ_— (9 9UQ\
/max — *^х *^у — 2 j * у&.. &\) .& j
Приравнивая B.20.6) и B.20.7) и учитывая B.20.9), найдем
B.20.10)
Выражение, стоящее в скобках в правой части этого равенства, есть
известная функция ж, если, конечно, на основании соответствующим
образом поставленных экспериментов пластическая постоянная К и
коэффициент вязкости ji определены для данного материала и для
температуры, при которой совершается прокатка.
При желании можно при решении задачи о прокатке учесть инер-
инерционные члены. При этом ускорение элемента полосы определяется на
§ 20. Прокатка и волочение при больших скоростях деформирования 461
основании известных соотношений гидродинамики по формуле
Подставляя выражение wx и д, согласно формулам B.20.11) и
B.20.10), в уравнение движения B.20.1), имеем
+ ^Jx)\ ' B-20Л2)
Вводя функцию
Р = сж6, B.20.13)
представляющую силу, с которой растягивается полоса в данном сече-
сечении, получим для этой функции дифференциальное уравнение
— = ф (ж, е) Р + у (ж, е), B.20.14)
где
b2 dx )
Rb(x) y J Ь dx \R J \ j
B.20.15)
Скорость точек сечения х = 0 больше окружной скорости вальцов
го Я, где w — угловая скорость вальцов. Поэтому сила трения имеет
направление положительной части оси ж и на участке, примыкающем к
этому сечению, следует положить 9 = +1. Точка другого крайнего сече-
сечения х = а имеет скорость, меньшую wЯ, и, следовательно, на участке,
примыкающем к сечению х = а, трение направлено в отрицательную
сторону оси х (затаск полосы); на этом участке надлежит считать 6 =
= -1.
Некоторое среднее сечение х = с @ < с < а), имеющее скорость,
равную окружной скорости вальцов, служит разделом рассмотренных
двух участков полосы.
Обозначим через Ро и Ра усилия, приложенные по краям (рис. 148)
полосы, которые могут иметь место при различных системах прокат-
прокатных станов (при прокатке без дополнительных сил следует положить
Ро и Ра равными нулю). Тогда для определения функции Р (х) внутри
интервала 0 < х < а следует проинтегрировать уравнение B.20.14) на
участке х ^ 0, полагая 6 = +1 при условии Р @) = Pq и 6 = —1 на
участке х ^ а при условии Р (а) = Ра.
Если прокатка при заданных силах Pq и Ра возможна, то получен-
полученные кривые Р\ (х) и P<i (х) пересекутся в некоторой точке с абсциссой
х = с. Эта точка является, очевидно, границей обоих участков. Найдя
462
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
ее, уже нетрудно определить из соотношения
Q
wR =
Ь(с)
B.20.16)
необходимую скорость вращения вальцов для получения заданной про-
производительности стана. Для расчета мощности, расходуемой станом,
нужно подсчитать удельное давление q по границе контакта вальцов
Рис. 148
Рис. 149
с полосой. Для этого следует воспользоваться формулой B.20.10), где
нужно положить ах = Р/b. Зная q как функцию ж, по формуле
с а
Т = / q(x)dx- f\ q(x)da
B.20.17)
определяем окружное усилие на вальцах.
После этого мощность, расходуемая на прокатку, может быть вы-
вычислена по формуле
= h(i
W = h (wRT + Ро? - Раул ) + Wf,
B.20.18)
где h — ширина полосы и Wf — мощность, расходуемая на преодоление
трения в самом стане.
Для подсчета трения, а также для расчета вальцов на прочность
и усталость следует вычислить полную силу давления вальца на по-
полосу, т.е. интеграл от функции q (x) в пределах от 0 до а. Реше-
Решение уравнения B.20.14) и вычисление интегралов, встречающихся в
приведенных формулах, можно осуществить одним из приближенных
способов [33].
2°. Задача о волочении требует примерно той же схемы расчета,
что и задача о прокатке. Составим прежде всего уравнения движе-
движения элемента материала, подвергающегося волочению (рис. 149). Если
§ 20. Прокатка и волочение при больших скоростях деформирования 463
через az обозначить среднее значение растягивающего напряжения
по сечению материала, нормальному к оси симметрии, и через q —
удельное давление на границу материала по поверхности матрицы, то
уравнение представится в виде
pFwz = ^(czF) + qsma + /gcosoc, B.20.19)
где F — площадь поперечного сечения материала, р — его плотность,
а — угол наклона касательной к образующей поверхности матрицы с
осью 2, / — коэффициент кулонова трения материала о стенки. Если
трение не подчиняется закону Кулона, то последний член правой части
уравнения должен быть соответственно изменен.
Пусть Q — объем материала, проходящий через матрицу в единицу
времени. Тогда средняя скорость движения частиц, расположенных по
какому-либо сечению, выразится формулой
vz = -|, B.20.20)
так как, согласно принятому на рис. 149 направлению оси z, движение
материала происходит в отрицательном направлении. При стационар-
стационарном процессе волочения получим для ускорения выражение
Зная очертания матрицы, нетрудно построить функции
dF
a = a(z), F = F(z) и -—=27irtgoc,
где г — радиус сечения материала, находящегося на расстоянии z от
левого края матрицы.
Будем считать, что в первом приближении аналогично задаче о
прокатке q = — аг, где аг — нормальное напряжение на площадках,
нормали к которым проходят через ось z.
Примем, кроме того, деформированное и напряженное состояния
по сечению материала однородными. Главные напряжения и главные
скорости деформирования можно положить приближенно равными:
dvz Q dF ( ,
1
?2 = ?3 = ~о{
464
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Для осесимметрического течения материала примем уравнения
пространственного деформирования вязкопластической среды, полу-
полученные нами ранее [166]. Так как по направлению оси z происходит
растяжение и, кроме того, деформация zz является наибольшей из
всех трех главных деформаций ei, 82, 83, то уравнения деформирования
примут вид
2Jf-L 2i
3 3
С2 =
откуда
- а3) + IK + ^jL ^.
Следовательно,
—ог = q = —oz = 2К
B.20.23)
B.20.24)
B.20.25)
IF- dz '
Подставляя значение q в уравнение движения элемента и вводя
обозначение
P = ozF, B.20.26)
придем к уравнению
где
sin а + / cos а
\\f(z) = — (sin а + / cos а) 1К +
IF*1 dz
Q2dF
являются известными функциями z. Начальным условием при волоче-
волочении обычно следует считать
где а — координата правого края матрицы. В результате решения
Рис. 150
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов
465
уравнения найдем усилие, которое необходимо развивать в материале
с левой стороны матрицы. При волочении последовательно через две
матрицы (рис. 150) начальное условие для первой матрицы будет тем
же, а для второй растягивающее усилие в материале с правой стороны
уже не будет равно нулю и определится из решения задачи для первой
матрицы.
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов
В технике, наряду с расчетами на прочность, существенную роль
играют расчеты на разрушение тех или иных материалов, необходимые
для успешного осуществления технологических процессов. Особенно
большое значение имеет расчет на разрушение в сельскохозяйственной
механике, где большинство процессов связано с разрушением части
проходящих через машину материалов растительного происхождения.
К сожалению, нет еще достаточно строгой и сколь-л ибо удовлетво-
удовлетворительной теории разрушения материалов. Многочисленные теории
прочности, применяемые в расчетах упругих систем, теряют силу при
приложении их к расчету не вполне упругих систем, где существенное
значение имеют и время действия сил на тело, и скорость, с которой
эти тела подвергаются деформированию.
Ниже изучаются условия разрушения простейших не вполне упру-
упругих тел в статических и динамических условиях на примере тела,
одномерное деформирование которого подчиняется ли-
линейному закону
1
B.21.1)
где а — напряжение иг — соответствующая деформа-
деформация, а 6, г и п — физические константы.
В [160] указана модель, поведение которой в точ-
точности подчиняется тому же закону B.21.1). Модель
(рис. 151) состоит из двух последовательно соединен-
соединенных безынерционных пружин и также безынерционно-
безынерционного поршня, перемещающегося с зазором в цилиндре,
наполненном вязкой жидкостью, плотность которой не
учитывается. Внутренняя пружина, обладающая жест-
жесткостью с, прикреплена одним концом к поршню, а другим — к непо-
неподвижному дну цилиндра. Внешняя пружина жесткости b растягивает-
растягивается (или сжимается) силой а, воздействуя с той же силой на поршень.
Рис. 151
466 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Полное удлинение модели г (сумма удлинений обеих пружин), как
нетрудно установить, связано с приложенной к модели силой соотно-
соотношением
dc b + c ,de be ( Л
~П ^ а — &31 ^ г5 B.21.2)
dt ц dt ц v y
где [i — коэффициент вязкого сопротивления перемещению поршня в
цилиндре.
Достаточно положить
Ь-±^=г,- = п, B.21.3)
чтобы равенства B.21.1) и B.21.2) стали идентичными. Согласно
B.21.3) следует, что всегда г > п.
Поведение не вполне упругого (или, что то же, упруговязкого) тела,
подчиняющегося закону B.21.1) при разных обстоятельствах нагруже-
ния и деформирования, описано в [160].
1°. Гипотезы разрушения не вполне упругого материала.
Наличие двух упругих начал соответственно двум пружинам модели
дает основание предполагать возможность двух видов разрушения не
вполне упругого материала при простейшем напряженном состоянии,
например бруса при растяжении. Одному виду разрушения соответ-
соответствует разрыв первой (внешней) пружины модели. Это разрушение
назовем внешним; оно будет иметь место, когда напряжение или со-
соответственно на модели растягивающая сила а превышают некоторое
предельное значение оь-
Другому виду разрушения соответствует разрыв второй (внутрен-
(внутренней) пружины модели; назовем его внутренним. Разрыв второй пружи-
пружины произойдет, когда приходящееся на нее усилие превысит некоторое
характерное значение а* = as. Удлинение 82 внутренней пружины
составляет величину е — ei, где 8i = a/b — удлинение первой пружины.
Так как усилие, возникающее во второй пружине, равно
(^ B.21.4)
где, согласно B.21.3),
с = bn/(r — п),
то ее разрушение наступит при осуществлении неравенства
с(г-?)><:.. B.21.5)
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов 467
Введем обозначение
с, = (г-п)о^ {2
с Ьп '
Тогда условие разрушения представится в виде неравенства
е-^>г*, B.21.7)
левая часть которого, очевидно, соответствует удлинению второй пру-
пружины модели.
Для большей наглядности в дальнейшем будем рассматривать усло-
условия разрушения лишь на модели. Таким образом, разрушение будет
иметь место при выполнении одного из следующих условий:
с > оь или с(г-^]>с*. B.21.8)
Так как при монотонном растяжении из естественного состояния
усилие, возникающее во второй пружине, всегда меньше усилия в
первой пружине, то внутреннее разрушение модели, т.е. выполнение
второго условия, возможно лишь при а* < а^, что и будем предполагать
в дальнейшем.
Можно указать предельное удлинение модели гтах, при достижении
которого непременно произойдет разрушение. Действительно, наиболь-
наибольшее удлинение первой пружины, не вызывающее ее разрушения, равно
?j = аь/b, тогда как у второй пружины предельно возможное удлине-
удлинение — 82 = а*/с. Поэтому
W = ei+?2=y + f B.21.9)
— наибольшее из всех возможных удлинений модели без разрушения. В
действительности разрушение может произойти и при меньшем удли-
удлинении, но, конечно, не ниже значения г* = о*/с, если по-прежнему
а* < at-
2°. Разрушение постоянной силой. Если к модели приложена
сила а, превышающая значение а^, то разрушение произойдет немед-
немедленно (внешнее разрушение). Если же сила а меньше предельного
значения а* < а^, то разрушение вообще не произойдет. Наконец, если
значение силы является промежуточным между а* и а&, то разрушение
будет внутренним и наступит спустя некоторое время после приложе-
приложения нагрузки.
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Нетрудно показать (см. [160]), что при действии постоянной нагруз-
нагрузки ао модель деформируется по закону
'1 Г
Ь с
ехр —t
1 и
B.21.10)
что следует в результате интегрирования дифференциального уравне-
уравнения B.21.2), связывающего величины деформации г и усилия а при
начальном условии г = го при t = 0. Здесь следует принять го = оо/Ь,
потому что сила, приложенная к недеформированной модели, вызовет
немедленное удлинение го первой пружины. Получим
go (с.
ехр —t
с V м-
B.21.11)
Подставляя это выражение в условие разрушения B.21.5), придем
к неравенству
со 11 - ехр ( --t ) | > о*, c/\l = г,
B.21.12)
которое удовлетворяется, если значение времени t будет превышать
значение
ts = U = Un
^^,п=-^. B.21.13)
I — О* Г — П
Примерный график зависимости между мгновением tp наступления
разрушения и величиной нагрузки oq представлен на рис. 152. Так
Рис. 152
как при о = оь происходит уже внешнее разрушение, то при а > аь
ордината кривой графика скачком обращается в нуль, т. е. разрушение
наступает мгновенно. Если а* < ао < а^, то разрушение наступает в
мгновение ?*, всегда превышающее значение
B.21.14)
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов 469
Значение ts становится бесконечно большим при ао = as = а*, что
очевидно.
Факт разрушения материалов спустя некоторое время после прило-
приложения нагрузок экспериментально подтверждается.
3°. Разрушение внезапно вызванной деформацией. При вне-
внезапно вызванной деформации го в самом начале оказывается нагружен-
нагруженной лишь первая пружина, следовательно, усилие, возникшее в модели,
будет равно
со = 6го. B.21.15)
Вновь нетрудно получить, интегрируя соотношение B.21.2), зако-
закономерность изменения усилия а в модели при условии постоянства
деформации г = го, а именно
be ( be \ ( b+c \ b+c
ехр I 1 1 , = г.
Положив ао = бго, получим
be b2
B.21.17)
Если бго > аб, то, очевидно, произойдет внешнее разрушение моде-
модели после внезапного деформирования. Если же бго < аг,, то разрушение
может быть лишь внутренним, для чего необходимо выполнение усло-
условия
f-^го--^-^zoexpl-^^tjl > a*, B.21.18)
или, после упрощения,
be
г0 1 - ехр —t > а*. B.21.19)
Левая часть неравенства возрастает при неограниченном увеличе-
увеличении интервала времени ?, но остается меньше значения Ьсго/(Ь + с).
Поэтому для разрушения необходимо, чтобы оказалось
г0 > b4L^°*- B.21.20)
Мгновение разрушения t* при выполнении этого условия определя-
определяется из равенства
-^Jl-expf-^OUo.. B.21.21)
470 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Таким образом,
*' = -1?гъ(\-Ц&±\. B.21.22)
Разрушение материалов спустя некоторое время после вызванной
деформации также нередко встречается.
4°. Разрушение равномерным деформированием. Если рас-
растяжение модели производить с постоянной скоростью, то усилие, воз-
возникающее в модели, можно определить непосредственно, используя
соотношение B.21.1), положив в нем г = vt. Приходим к дифферен-
дифференциальному уравнению
^ + га = bv A + nt), B.21.23)
общий интеграл которого имеет вид
^t+ (r-^b\ B.21.24)
Напомним, что константы run связаны с 6, с и ji формулами
B.21.3).
При растяжении из естественного состояния усилие а = 0 при t = 0,
что позволяет определить константу интегрирования С. В результате
получим
^^ ^ B.21.25)
Внешнее разрушение должно произойти в мгновение ?&, при кото-
котором наступит равенство
^ ^ a6. B.2i.26)
Однако может случиться и так, что внутреннее разрушение на-
наступит в более раннее мгновение t*. Так как условием внутреннего
разрушения является удовлетворение неравенства B.21.5), то значение
t* определится из уравнения
Щ = о., B.21.27)
p ( )
или, после очевидного упрощения и замены с на nb/(г — гг),
=o,. B.21.28)
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов 471
Как легко усмотреть из уравнений, определяющих мгновения раз-
разрушения tb и ?*, внутреннее разрушение сможет произойти, если а* <
< О5 и, кроме того, скорость деформирования v достаточно мала.
При достаточно большой скорости, напротив, всегда будет иметь место
внешнее разрушение.
Можно подсчитать работу, которую совершит внешняя сила а,
производя разрушение модели, или, что то же, удельную работу, по-
потребную для разрушения материала при растяжении с постоянной
скоростью. Так как элементарное перемещение точки приложения си-
силы а составляет величину vdt, то работа разрушения представляется
интегралом
tp
Л= lavdt. B.21.29)
j
о
Здесь верхний предел интегрирования tp следует полагать равным
наименьшему из чисел ^ и ^*-
Чтобы произвести фактический подсчет работы, затрачиваемой на
разрушение, и оценить влияние скорости v, перейдем к безразмерной
величине т, связанной с временем t соотношением
x = rt. B.21.30)
Тогда закон изменения усилия а теперь уже как функции т, согласно
B.21.25), примет вид
(^ ^ B.21.31)
а выражение для работы, затраченной на разрушение, соответственно
А = ijcvd =Щ^ К 4- е- - 1) + |] . B.21.32)
о
Здесь тр = rtp, где tp — интервал времени, по истечении которого
наступает разрушение, т.е. наименьшее из чисел tb и ?s, являющих-
являющихся соответственно корнями трансцендентных уравнений B.21.26) и
B.21.28), которые можно теперь преобразовать к виду
?-г — . B.21.34)
472 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Наименьший из корней этих уравнений и следует подставить в
формулу B.21.32) для удельной работы А.
Следует отметить два крайних случая: 1) деформирование с очень
большой скоростью v; 2) деформирование с ничтожно малой скоро-
скоростью.
При большом значении v разрушение вследствие разрыва внешней
пружины модели наступит очень скоро. В этом случае и для опреде-
определения мгновения разрушения tb следует воспользоваться уравнением
B.21.33). Замечая, что
e- = l-,+ ^-rf5 + ...) B.21.35)
можно, считая хр малым, уравнение B.21.33) представить так:
ъ = ^ A - е-р) - Тр + r-Z^ = Г^ь. B.21.36)
р п v ' р п р nbv v y
Отсюда с точностью до малых второго порядка
Заметим, что интервал времени т*, соответствующий внутреннему
разрушению, при тех же предположениях значительно больше тр, по-
полагаемого равным т&. Действительно, уравнение B.21.34) для опреде-
определения т*, считая его малым, можно преобразовать к виду
Пренебрегая малыми третьего порядка и выше, получим
x*~r\hir- B.21.39)
у nbv y
Составляя отношение т& и т*, имеем
B.21.40)
откуда непосредственно видно, что при достаточно большой скорости
деформирования v интервал времени тр окажется меньше т* в сколь
угодно большое число раз.
При очень быстром разрыве и соответственно малых значениях
%р = %ь выражение B.21.32) для работы, расходуемой на разрушение,
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов
473
представляется следующим образом:
Л =
nbv \ г — n
1-2-3 '
Подставляя сюда вместо тр его приближенное значение гоь/bv,
получим
Л = Ц, B.21.42)
т. е. как раз ту работу, которую надлежало бы затратить для растя-
растяжения первой пружины модели до создания в ней усилия оь- Этот ре-
результат можно предвидеть сразу. В самом деле, при быстром растяже-
растяжении вторая пружина модели вследствие наличия вязкости не успевает
сколько-нибудь заметно продеформироваться.
Чтобы подсчитать работу, потребную на внешнее разрушение при
не слишком больших скоростях, следует рассмотреть соотношение
B.21.33) совместно с равенством, следующим из формулы B.21.32), а
именно
B.21.43)
и исключить из них ть5 чтобы определить работу разрушения как функ-
функцию скорости. Для практических целей проще задаваться частными
0.5
0.167
0.5
Рис. 153
1.0
значениями т^ и, определяя по ним значения скорости v из уравнения
B.21.33), подсчитать по второму уравнению соответствующее этой ско-
скорости значение Л.
474 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
На рис. 153 дан график зависимости между безразмерными вели-
величинами иь и аь'.
^L j~\ B.21.44)
г — п
nbA
аь = ^ = -^ —f B.21.45)
при частном значении отношения (г — п)/п = b/с = 2, т. е. когда внеш-
внешняя пружина имеет жесткость в два раза большую, чем внутренняя.
Не представляет труда построить аналогичные графики и для
других значений отношения b/с и, кроме того, произвести по ним
пересчеты на фактическую скорость v и соответствующую ей работу
разрушения Л, если известны физические константы материала а^, 6,
г и п.
График, изображенный на рис. 153, перестает быть справедливым
при достаточно малом значении скорости v, так как вместо внешнего
разрушения при малой скорости деформирования произойдет разру-
разрушение внутреннее. Действительно, при малых скоростях v значение т&
будет велико, вследствие чего, согласно B.21.33), можно положить
^=,6 + ^A-е-ь)-т6 + ^,т6-^-^. B.21.46)
nbv п v ' п nbv r v y
Вместе с тем значение т* в этом случае определится в соответствии
с B.21.34) следующим образом:
г^ г^ B.21.47)
^ = т„ 1 + е « т„ 1, т, « ^
nbv nbv
Очевидно, что т* будет меньше ть5 если
nbv
т. е. когда а* в достаточной мере меньше оь или v мало.
Можно ограничиться для т* значением r2o*/nbv, которое будет
тем точнее, чем меньше скорость деформирования v. При этом рабо-
работа, затрачиваемая на разрушение, выразится приближенно формулой
B.21.32), в которой следует положить ор = а* и т* достаточно большим,
а именно:
jfW tl^. B.21.49)
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов 475
Подставляя сюда т* = r2o*/nbv, получим
что также можно было усмотреть непосредственно. В самом деле,
приведенное выше значение Л представляет собой работу, которую
нужно затратить для растяжения обеих пружин до создания в них
усилия а* при чрезвычайно медленном нагружении модели. В этом
случае потери на сопротивление поршня в вязкой жидкости ничтожны
вследствие весьма малой скорости деформирования.
Чтобы определить работу, расходуемую на внутреннее разрушение
(разрыв пружины жесткости с) при не слишком малой скорости дефор-
деформирования г?, следует, очевидно, обратиться к уравнениям B.21.32) и
B.21.34), т.е.
т, - 1 + е-* = ф ^Л (% + е-и - 1) + | = 44, B.21.51)
nbv n v ' 2 nbv
из которых можно в результате исключения т* по заданному значению
скорости v подсчитать величину работы Л.
Замечая, что имеют место равенства
^ (т. + е--1)-1, B.21.52)
V О*
B.21.53)
можно, задаваясь последовательными частными значениями т*, по-
построить графически зависимость между безразмерными величинами
nbv nbA ( Л
us = -з— и as = —г. B.21.54)
г"о* га*
После этого уже легко перейти к представлению работы разрушения
Л как функции скорости деформирования v.
На рис. 154 построен такой график для прежнего значения отно-
отношения Ь/с = (г — п)/п = 2. Он, разумеется, справедлив лишь для
достаточно малых скоростей деформирования, ибо при больших ско-
скоростях произойдет внешнее разрушение, и тогда следует пользоваться
уже графиком, изображенным на рис. 152.
Значение скорости деформирования v = г?о, отделяющее область
внутреннего разрушения от внешнего, можно найти, решая совместно
476
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
два уравнения B.21.33) и B.21.34), положив в них т& = т* = то, т-е.
г — п
A - е-) =
Г Eb
B.21.55)
п v 7 nbvo' nbvo'
относительно то и vq. Если приравнять частные от деления друг на
друга левых и отдельно правых частей последних равенств, то придем
к уравнению
то
B.21.56)
то - 1 + е хо а*
относительно одного лишь неизвестного то- После этого уже просто
определяется искомое граничное значение vq.
as
5
/ п ~А
3
2
1
0.51
0
1
Рис. 154
2 4
Рис. 155
Числовой пример. Пусть по-прежнему г — п/п = Ь/с = 2 и, кроме
того, оь/с* = 3. Тогда безразмерное значение мгновения разрушения
то определится из уравнения
то - 1 + е"
График функции
2 A-6-°)+то
=
B.21.57)
B.21.58)
изображен на рис. 155. Значение, равное 3.00, эта функция принимает
при то ~ 2.33. Соответствующее граничное значение скорости vq ока-
оказывается равным
2 2
vq = —— (то — 1 + е T°J р^ 0.25——. B.21.59)
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов
477
Для приведенного примера v/аь = v/3o* (v = const). Поэтому кри-
кривую зависимости работы Л, идущей на разрушение, от скорости де-
деформирования v, или, что в принципе то же, кривую зависимости
между безразмерными величинами иь = пЬу/г2оь и аь = пЬЛ/го^
можно построить, соответственно изменив масштаб кривой внутрен-
внутреннего разрушения, изображенной на рис. 154, и дополнив ее кривой
внешнего разрушения (см. рис. 153). В результате приходим к кривой
\а\
0.32
0.2
0.1
0.055'
- j
-I
1
Г—П _r\
п ~ ^
1
0.167
1
1 \ 1
0.25 0.5 0.75
Рис. 156
1.0 Щ
'й
т
1
Рис. 157
рис. 156, левая часть которой соответствует внутреннему разрушению,
правая — внешнему, а абсцисса их общей точки — граничному значению
скорости v.
Подобным же образом можно описать процесс разрушения и при
изгибе. При этом изменились бы лишь константы основного уравнения.
В самом деле, уравнения
— + га = о— + one
at at
dt
V i3 A*
nf
(приведенные в §12 гл. 2 настоящей книги) для изгиба балки на двух
опорах, нагруженной посередине силой Р = Р (t) , совершенно анало-
аналогичны.
5°. Разрушение динамической нагрузкой. Пусть стержень
из не вполне упругого материала подвергается действию растягиваю-
растягивающего удара со стороны массы т, обладающей начальной скоростью
(рис. 157). Если пренебречь влиянием собственной массы стержня,
то напряженное и деформированное состояния по его длине будут
однородными.
478 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Напряжение а материала при таком допущении окажется равным
— (га/F) d2u/dt2, где F — площадь сечения стержня, и — перемещение
правого конца стержня. Имеем
ml d2e
( v
B.21.60)
Напряжение а и относительное удлинение г не вполне упругого
стержня связаны соотношением do/dt + ro = bdz/dt + bm; подставляя
сюда напряжение для а, получим дифференциальное уравнение для
определения относительного удлинения г:
Im(d3? rf2e\ /de \ о /ОО1 А1х
—=- I —з "I" r—2 I "I" ^ I "л—|- гге 1 ^ и. B.21.Ы)
В начальное мгновение естественно считать относительное удлине-
удлинение г и напряжение а равными нулю. Принимая это мгновение за начало
отсчета времени и учитывая равенство Idz/dt = du/dt, получим, что
при t = 0 имеют место следующие начальные условия полученного
дифференциального уравнения для г = г (t):
? = 0, ^ = у,^| =0. B.21.62)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
е = Cie*1* + C2el2t + С3еуз\ B.21.63)
где уьУ2 и уз — корни характеристического уравнения.
Все его коэффициенты положительны. Следовательно, корни не
могут быть положительными и возможны лишь два случая: или все
три корня отрицательны, или один корень отрицателен, а два другие —
сопряженные комплексные. Покажем, следуя Раусу, что в последнем
случае действительная часть комплексных корней отрицательна.
Представим характеристическое уравнение в виде
^у+^=0. B.21.64)
lm lm
Согласно теореме Виета имеем
~Ы +У2+Уз) = г = аь
У1У2 + У2УЗ + УЗУ1 = —{ = «2, B.21.65)
bFn
-У1У2У3 = -^- = а3.
§ 21. Разрушение не вполне упругих материалов 479
Обозначим модуль вещественного отрицательного корня через х,
вещественную часть комплексных корней — через а, а мнимую —
через р. Тогда
У1 = -х,у2 = -а + рг и у3 = -ос-рг. B.21.66)
Ранее было показано, что коэффициент интенсивности релаксации
г должен быть больше коэффициента интенсивности последействия
гг, так как при переходе к модели не вполне упругого тела следует
положить г = (b + c)/|i и п = c/{i. Поэтому
hF hF
aiai = r—, >аъ = п—., B.21.67)
ml ml
т.е. г > гг, или
- (-к - 2а) [-к (-а + рг) + (-а + рг) (-а - рг) -
- к (-а - рг)] > х (-а + рг) (-а - рг) , B.21.68)
что после упрощения принимает вид
2х2а + 2а (а2 + р2 + 2ха) = 2а [(а + кJ + р2] > 0. B.21.69)
Здесь выражение в квадратных скобках всегда положительно. Сле-
Следовательно, это неравенство возможно лишь при условии а > 0, что
и доказывает предположение об отрицательности вещественной части
комплексных корней при г > п [162].
Общее решение дифференциального уравнения представляется те-
теперь в виде
8 = Се~ + e~at (Л cos p* + В sin p?). B.21.70)
Итак, в обоих рассмотренных случаях корней характеристического
уравнения относительное удлинение, в начальный момент возрастав-
возраставшее, так как при t = 0 dz/dt = v/l > 0, будет в дальнейшем убывать:
либо апериодически, когда все три корня характеристического уравне-
уравнения отрицательны, либо в результате затухающих колебаний массы,
производившей удар. При этом предполагается, что масса остается
после удара связанной с концом стержня.
Для отыскания решения, удовлетворяющего начальным условиям,
удобно исходить из общего решения дифференциального уравнения в
виде
8 = CWl + C2eY2t + C3eY3t, B.21.71)
где yi — отрицательный корень и С\ — действительное число, ау2, уз, Сч
и Сз — в зависимости от обстоятельств либо действительные, либо
480 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
комплексные числа. Из начальных условий следует:
у + у2С2 + у3С3, B.21.72)
0 = ^С!+ у22С2 +у1С3.
Отсюда, решая систему линейных уравнений, получим
2 2
_ уУ2 ~УЗ
(уз -Уг)(у2 -уз) (уз -
С2 = v-( иУз~У]и г, B.21.73)
(уз - У2 j (У2 - уз) (уз - yi j
(yi - У2) (уг - уз) (уз - yi)'
После отыскания yi, у2, уз, С\, С2, С3 нетрудно найти напряжение а
как функцию времени. Имеем
da , dz ,
— + га = 6— + бггг =
dt dt
i + n) eYlt + C2b fe + n) ета* + C3b (y3 + n) ew', B.21.74)
откуда
a = Aoe~rt + АЛе~ъ1 + A2e~^ + А3е-»1, B.21.75)
где константы А\, А4, ^4з, как легко убедиться, равны соответственно:
Л! = Ci6 , Л2 = С26 , А3 = С3о , B.21.76)
yi + г уг + г уз + г
а константа Ло определяется из условия обращения напряжения а в
нуль в начальный момент времени, т.е. из условия
Ао + Аг + А2 + А3 = 0. B.21.77)
Разрушение бруса наступит, как было найдено ранее, при
выполнении одного из условий: a > оь (внешнее разрушение),
[bn/(r — п)] (г — а/6) > а* (внутреннее разрушение).
§ 22. Продольные колебания стержня 481
Подставляя сюда значения а и г, получим условия в следующем
виде. Должно осуществиться одно из неравенств
+ 2^ ( ) г^
У2 + Г V J уз + Г
ИЛИ
+
- e~rt) Сг^ (е*« - e~rt)} > а6 B.21.78)
J уз + Г V J \ V '
bn
с,
yi +
г
eyxt
b
+
n
У2
-e
+ r
-rt
уз + Г
У1 +П ^ У2 + П УЗ
^ У2 + П УЗ + Tl] ( v
h O2—: h O3—:— > а*. B.21.79J
У1+Г У2 + Г УЗ + rJ V У
Так как в выражения С\, С2 и Сз скорость v ударяющей массы
входит множителем, то при достаточно большом значении скорости
выполнение одного из приведенных выше условий непременно осу-
осуществится и, следовательно, наступит разрушение бруса. В момент
разрушения скорость массы т, вообще говоря, будет отличаться от
нуля и, следовательно, не вся кинетическая энергия массы пойдет на
разрушение. Можно подобрать такое значение начальной скорости v,
при котором в мгновение разрушения скорость массы т окажется
равной нулю и, следовательно, вся ее энергия затратится на разруше-
разрушение стержня. При этом для разных значений массы будут получаться
различные минимальные разрушающие скорости v и соответственно
различные значения кинетической энергии mv2/2.
Может быть и так, что для одной и той же массы получатся две
минимальные скорости — одна сравнительно небольшая, соответствую-
соответствующая внутреннему разрушению, и другая значительно большая, со-
соответствующая внешнему разрушению. Приведенные выше формулы
слишком сложны, чтобы можно было исследовать этот интересный
вопрос в достаточно общем виде.
§ 22. Продольные колебания стержня при наличии
линейного закона последействия и релаксации
Многие материалы, находящие применение на практике, не вполне
упруги. Из класса не вполне упругих материалов следует особо вы-
выделить материалы, обладающие свойством релаксации и свойством
482 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
последействия. Под свойством релаксации понимается обычно способ-
способность тела изменять интенсивность своего напряженного состояния при
неизменном деформированном состоянии, а под свойством последей-
последействия — способность тела деформироваться по прекращении изменения
действующей на него нагрузки.
Материал, деформирование которого подчиняется линейному за-
закону
^ + га = 6^ + &ггг, B.22.1)
обладает и тем и другим свойством [172]. В самом деле, если растяги-
растягивающее (или сжимающее) напряжение а = ао постоянно, то при любом
своем начальном значении деформация г (относительное удлинение
или укорочение) стремится к одному и тому же пределу гоо = (bn/r) ао.
Точно так же, если деформация г = го удерживается постоянной, то
предельное значение напряжения оказывается равным а^ = (г/6гг)го,
каково бы оно ни было в исходное мгновение времени [172].
Материалы подобного рода относятся к так называемым матери-
материалам с наследственными свойствами. Их напряженное состояние o(t)
зависит от предшествующей истории изменения деформации г(г). Ма-
Математическим аппаратом, описывающим деформирование материалов
с наследственностью, являются интегральные уравнения Больцмана-
Вольтерра. Однако если ядро уравнения является экспоненциальной
функцией разности аргумента (времени) и переменной интегриро-
интегрирования, то интегральное уравнение сводится к дифференциальному
B.22.1) и решение многих задач упрощается.
Здесь мы рассмотрим продольные колебания стержня, поведение
материала которого подчиняется приведенному выше закону B.22.1).
Ограничимся случаем однородного стержня длиной / постоянного
поперечного сечения F. Если расстояние какого-либо сечения от одного
из его концов обозначить через ж, а малое перемещение сечения в
направлении его оси через u(x,t), то при малых смещениях будем
иметь
-я- <"">
Выделим элемент стержня длиной dx. Уравнение движения этого
элемента имеет вид
pFdx^ = F (с + ^-dx) - Fa, B.22.3)
ut \ Ox J
откуда
?=P^. B-22-4)
дх v dt
§ 22. Продольные колебания стержня
483
Покажем теперь, что задача о продольных колебаниях этого стерж-
стержня может иметь лишь единственное решение при условии упругой
заделки его концов (в частности, при свободных или при жестко закреп-
закрепленных концах), а также задания перемещения сечений и, их скоростей
du/dt и, кроме того, напряжений а в начальное мгновение ?о= 0 как
функций переменной ж, т.е. продольной координаты сечений стержня.
Знание распределения напряжений а по длине стержня существен-
существенно потому, что одним и тем же деформациям в материале, обладающим
свойством релаксации и последействия, могут соответствовать различ-
различные напряжения (они зависят от истории деформирования материала).
Пусть щ(х,г) и U2(x,t) — два решения задачи, удовлетворяющие
одним и тем же начальным условиям, a oi(x,t) и O2(x,t) — соответ-
соответствующие напряжения.
Вследствие линейности всех соотношений разность и = щ — u<i
будет также решением задачи, но с нулевыми начальными данными,
т. е.
и(х, t)
и(х,0) = 0,
dt
= 0, с(ж,0)=0.
B.22.5)
?=0
Покажем, что и тождественно равно нулю. Для этой цели рассмот-
рассмотрим интеграл
ди
Заметим, что первые два члена подынтегрального выражения со-
соответствуют сумме потенциальных энергий обеих пружин, введенной
в [172] модели, деформирование которой следует закону B.22.1).
Составим производную этого интеграла по времени. Имеем
dW _ Г Г 1 да
О
Замечая, что
пЪ
2и да
дг 1 8а
ди
ди д2и
B.22.7)
B.22.8)
в результате интегрирования по частям получаем
i . i '
ди
о
д
ди
о
дг
о о
484 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Производя теперь подстановку и приведение подобных членов, при-
приходим к равенству
dW _ сЫ , f f , nb ( _ а\ 1 f (h _ J_ да\ ^ ^ ^ ,
0
Считая заделку концов стержня упругой, следует положить:
с@, t) = ku{0, t) и a(/, t) = -k'u{l, t), B.22.11)
где k и k' — коэффициенты жесткости заделки.
Таким образом,
о
ll2 -I- h1 \ii(J i)]\ f9 99 19"l
Далее из соотношения B.22.1) следует
~hi ~ 9 7O = ~h° ~ П8' A.11.16)
следовательно, с помощью B.22.12) и B.22.13), согласно соотношению
B.22.10), имеем
га — nbe ( ra^i .
пе — \ ах.
г — п \ b
о
B.22.14)
Подставляя сюда выражение B.22.6) для W, приходим к равенству
dx
+ \k [и @, t)f + \k' [и (/, t)f \ =
^ о
В его правой части при г > п стоит заведомо отрицательная или
равная нулю величина. Поэтому выражение, стоящее в левой части
равенства в фигурных скобках, с течением времени может лишь убы-
убывать. Вместе с тем в начальное мгновение а, и (и, следовательно, г =
= ди/дх), а также du/dt равны нулю. Таким образом, для любого
§ 22. Продольные колебания стержня 485
другого мгновения должно быть
nb ( aV . Р (дих2:
2(г-п) V Ъ ' 2 \dt
dx
+ ifc [и @, t)]2 + ifc; [и (/, t)}2 ^ 0. B.22.16)
Неравенство здесь вообще невозможно, а чтобы имело место равен-
равенство, необходимо соблюдение тождеств
о = 0, г=^=0, ^у=05 м@,*)=0, u(l,t)=O. B.22.17)
В результате получаем
гх = О, B.22.18)
что и доказывает единственность решения.
Условие превышения коэффициента релаксации г над коэффици-
коэффициентом последействия п оказалось существенным для приведенного до-
доказательства. Если бы этого не было, то стержень имел бы способность
к возбуждению собственных колебаний, что физически нереально (для
модели, приводимой выше, случай r< n соответствует отрицательному
значению коэффициента вязкости).
Для дальнейших исследований удобно исключить из рассмотрения
величины а и г. Дифференцируя основное соотношение по ж, имеем
а так как
ff=^' e=fS' B-22-2°)
то имеем
Р^-1Г + Р^^-4 = Ьр-^- + бгг^-4. B.22.21)
Р dt3 Р dt2 dx2dt дх2 v J
Полученное дифференциальное уравнение третьего порядка в част-
частных производных надлежит решать при изучении колебаний стержня
при наличии релаксации и последействия простейшего типа.
Вид уравнения дает основание предполагать, что, наряду с за-
затухающими волновыми движениями, в стержне возможны движения
апериодического характера.
486 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Для построения решения уравнения B.22.21) относительно искомой
функции — перемещения и (ж, t) воспользуемся обычным методом Фу-
Фурье разделения переменных. Полагая
u(x,t) = X(x)T(t), B.22.22)
получаем
X (РТ'" + грТ") = X" (ЪТ1 + пЪТ), B.22.23)
или
где а2 — произвольная постоянная, перед которой здесь следует сохра-
сохранить знак минус.
Разберем в качестве примера задачу о продольных колебаниях
стержня с заделанными концами. В этом случае граничные условия
имеют вид
гх(О,*)=О, u(l,t) = 0 или Х@)=0, ХA) = 0. B.22.25)
Так как в данном случае
X = Л cos ax + В sin ax, B.22.26)
то Л = 0 и функция X (х) не будет тождественно равна нулю лишь при
выполнении условия
al = тпщ B.22.27)
где m — целое число.
Для функции Т (i) получаем дифференциальное уравнение
Т'" + rT" + q(T' + пТ) = 0, B.22.28)
где
Ьа?_=ъгт2 q>Q B.22.29)
Р р/
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
X3 + rX2 + q(X + n)=0. B.22.30)
Все его коэффициенты больше нуля, следовательно, оно не может
иметь положительных корней. Возможны два случая: или все три
корня отрицательны, или один корень отрицателен, а два других —
сопряженные комплексные. В последнем случае вещественные части
комплексных корней отрицательны, если только г > п. Действительно,
обозначим корни соответственно через ос+рг, а —рг, у. Тогда, согласно
§ 22. Продольные колебания стержня 487
теоремам Виета, имеем
2ос + у=-г, ос2 + р2 + 2осу = <?, (а2 + р2) у = -nq. B.22.31)
Разделим друг на друга соответственно левые и правые части по-
последних двух равенств. В результате, предполагая, что
-п > -г, B.22.32)
имеем
(a\tp2)L B.22.33)
а2 + (З2 + 2оф
откуда
2ос[(ос + уJ + р2] < 0, B.22.34)
что и доказывает отрицательность а.
Далее, если обе части второго равенства Виета умножить на у и
вычесть из них соответственно левые части третьего, то получим
2осу2 = q(n + y). B.22.35)
По только что доказанному
2осу2 < 0. B.22.36)
Следовательно,
гг + у<0, B.22.37)
откуда
-г < у < -га, B.22.38)
если принять во внимание также первое из равенств Виета B.22.31).
Покажем теперь, что появление трех отрицательных корней харак-
характеристического уравнения возможно лишь при достаточно малых по
сравнению с г значениях п и д, заключенных в некоторых пределах.
Чтобы исследовать этот вопрос, предположим, что все корни урав-
уравнения B.22.30) отрицательны и равны соответственно У1,у2,уз5 причем
пусть
У1 < У2 < Уз < 0. B.22.39)
Равенства Виета B.22.31) в этом случае примут вид
У1 + У2 + Уз = -г, У1У2 + У2Уз + УзУ1 = q, У1У2У3 = -nq. B.22.40)
При принятых обозначениях корень уз наименьший по модулю,
поэтому
: г. B.22.41)
488 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
С другой стороны, деля соответственно левые и правые части вто-
второго и третьего равенств друг на друга, получим
- + - + - = — или ^ + ^ + ^ = 1. B.22.42)
П У2 уз п |yi| |y2| |т& | га
Отсюда при условии
Ы + Ы + Ы = г B.22.43)
следует, что наименьшее значение величина 1/п принимает при
Ы = Ы = Ы=г/3. B.22.44)
Таким образом, в случае отрицательных корней всегда должно
иметь место неравенство
п ^ г/9. B.22.45)
Считая корень уз известным, можно найти оставшиеся два корня
решая квадратное уравнение
Ь2 + |(г + ъ)А + q + гу3 + уз2 = 0, B.22.46)
которое получится при делении левой части характеристического урав-
уравнения на двучлен X — уз-
Решение этого квадратного уравнения имеет вид
X = (r + Y3)±v' " • " " "'. B.22.47)
Чтобы корни были вещественными, необходимо
(г + узJ - 4(9 + гу3 + у23) }> 0. B.22.48)
Далее, в силу принятого условия B.22.39),
-(г + уз) ± J(r + узJ - 4(q + гуз + yf)
* < та. B.22.49)
Решение неравенств B.22.48), B.22.49) относительно q в свою оче-
очередь приводит к неравенствам
-УзBг + Зуз) < q < |(г2 - 2rY3 - Зу|). B.22.50)
При уз = 0 (в этом случае п= 0 и последействие отсутствует) имеем
условие
0 < q ^ i r2. B.22.51)
§ 22. Продольные колебания стержня 489
При увеличении модуля уз верхняя и нижняя границы возможного
значения q возрастают, приближаясь вместе с тем друг к другу.
При наибольшем значении |уз|, т.е. при уз = —г/3, три веществен-
вещественных корня имеют место лишь при
q = r2/3. B.22.52)
В этом случае все три корня равны между собой.
Разделим теперь левую и правую части третьего из равенств
B.22.40) соответственно на левую и правую части второго, получим
У1У2УЗ
У1У2 +У2УЗ +УЗУ1
откуда
= -п, B.22.53)
п = .\ < -уз. B.22.54)
1 +уз/у1 +уз/у2
Следовательно, уменьшение модуля уз сопровождается уменьшени-
уменьшением коэффициента последействия п.
Решение дифференциального уравнения B.22.28) для функции
T(t) имеет вид
Т = Diellt + D2el2t + D3els\ B.22.55)
где Xi Д2Д3 — корни характеристического уравнения B.22.30).
Заметим, что согласно B.22.28), B.22.29) для каждого m имеет
место своя система значений корней характеристического уравнения
М ,771 5 ^2,771 5 ^3,771 •
Общее решение дифференциального уравнения колебаний B.22.21)
представляется в виде
и(х, t)=f^ (Dhme^^ + D2ime^^ + D3,me^»j) sin ^.
m=l
B.22.56)
Остается удовлетворить начальным условиям. Пусть в начальное
мгновение t = 0 известны: перемещение и элементов стержня, их
скорость du/dt и ускорение d2u/dt2 = р~1до/дх как функции ко-
координаты х.
Разлагая эти функции в ряды по синусам кратных углов в интервале
0 ^ х ^ /, получим
и(х, 0) = 2_^Лт sin ——, —^-^ =2^Вт sin ~~Г>
B.22.57)
dt2
490 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Производя подсчет du/dt и д2и/dt2 из общего решения, полагая
в нем t = 0 и сравнивая коэффициенты при sinmnx/l, получаем
уравнения
?>! + D2 + D3 = Л,
= Б, B.22.58)
x\d1 + xId2 + xId3 = с
для определения констант D\, D2, D3 (индекс т в уравнениях опущен).
Детерминант системы B.22.58)
А = (h ~ A*)(A* - ^з)(^з - А*), B.22.59)
вообще говоря, отличен от нуля, за исключением случая кратных кор-
корней.
Если же при некотором значении т встречаются кратные корни,
то следует поступить так, как это обычно делается в теории линейных
дифференциальных уравнений. Например, если Х2 = Х3, то решение
уравнения B.22.28) представляется в виде
Т = Dielit + D2el2t + D3tel2\ B.22.60)
после чего для определения D\,D2, D3 приходим к уравнениям
Dx + D2 = А,
X1D1+X2D2 + D3 = Б, B.22.61)
\ l = С
с детерминантом
Д = (я,! -Х2J. B.22.62)
Наконец, в исключительном случае трех равных корней решение
уравнения B.22.28) имеет вид
Т = DieXlt + D2teXlt + D3t2eut B.22.63)
и детерминант становится равным 2.
Таким образом, все константы общего решения могут быть найдены.
Заметим, что обращение детерминанта B.22.59) в нуль возможно
в конечном числе случаев и лишь когда корни характеристического
уравнения отрицательны, что возможно только при
п < г/9 и 0 < q < r2/3. B.22.64)
Но в силу B.22.29) последнее неравенство будет справедливо лишь
для конечного числа значений т.
§ 22. Продольные колебания стержня 491
Это обстоятельство решает вопрос о сходимости ряда B.22.56),
которым представлено решение задачи. При t = 0 ряд сходится, так
как он представляет начальные значения и в интервале 0 ^ х ^ /. При
t > 0 у членов ряда появляются множители вида ехг, так как корни
характеристического уравнения B.22.30) либо отрицательные, либо
комплексные с отрицательной вещественной частью. Эти множители
могут лишь улучшить сходимость ряда (х < 0).
При t —> oo колебания будут затухать. Заметим, что колебания
представлены членами вида
eat(D1cospt + D2sinpt) (а < 0). B.22.65)
Но из характеристического уравнения B.22.30) следует, что при воз-
возрастании q один из корней стремится (убывая по модулю) к значению
—п. Так как два других корня при больших значениях q становятся
комплексными с отрицательными вещественными частями, то согласно
первому из равенств B.22.31)
2а = -г-у B.22.66)
(где у — значение отрицательного корня, а а — значение вещественной
части комплексного корня), при возрастании q величина а стремится,
возрастая по модулю, к значению —(г — п)/2.
Далее из второго равенства B.22.31) следует
р2 = q - 2ау - а2 > q - Г-^г - г2, B.22.67)
т.е. с возрастанием q, а следовательно, согласно B.22.29) и числа т
полуволн колебания стержня, возрастает частота колебаний р. Таким
образом, собственные колебания стержня с линейным законом после-
последействия и релаксации сопровождаются сравнительно быстрым зату-
затуханием высоких тонов колебания с «освобождением» основного тона,
если он существует.
В самом деле, может случиться, что для т = 1 все три корня
характеристического уравнения окажутся отрицательными и соответ-
соответствующее движение будет апериодическим. Кроме того, как было по-
показано выше, для колебаний стержня с последействием и релаксацией
возможен и такой случай, когда основной тон существует и, быть может,
существует несколько следующих тонов (соответственно для т = 2, 3
и т.д.). Затем для ряда чисел т соответствующие им тоны пропадают
из-за апериодичности движения и далее при больших числах т появ-
появляются вновь.
492 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Обратимся теперь к изучению волновых движений стержня. Огра-
Ограничимся здесь рассмотрением распространения волн простейшего ти-
типа. Для этой цели найдем частные решения уравнения B.22.9), в виде
u(x,t) = Cexp[ipt + i(c + if)x], B.22.68)
величины р, с, / будем считать действительными. Подставляя выраже-
выражение B.22.68) в дифференциальное уравнение B.22.21), замечаем, что
оно удовлетворится при условии
ргр2 + грр3 = bn(c + ifJ + ibp(c + ifJ, B.22.69)
или, разделяя вещественную и мнимую части, имеем
откуда
, _ 1 р3р(г - п) _ _^
2{П +/ } B.22.71)
/ С ^ ~гР Р о о" ^ AS.
Ь п2+р2
где
h > 0, s > 0. B.22.72)
Решая систему B.22.71), получим
i2 _ _ I /2 I h2 r2 — я 4- л/е2 _l h2 (9 99 74"!
где перед радикалом достаточно удержать знак плюс, так как знак
минус меняет лишь роли / и с в решении.
Таким образом,
/ = ±у-8 + \/s2 + h2 и с = ±ys + У^2 + /г2. B.22.74)
Если взять вещественную часть найденного частного решения урав-
уравнения, то получим
и = Ce~fx cos(pt + еж), B.22.75)
откуда следует, что р представляет собой частоту, с характеризует
длину волны (X = 2л:/с), а / — затухание волны при ее продвижении
вдоль стержня.
Выражения для / и с показывают, что затухание волны и скорость
распространения р/с зависят от частоты р, т. е. имеет место дисперсия
простейших волн.
§ 22. Продольные колебания стержня 493
Если частота р весьма мала, то
3/ \
B.22.76)
2 2
Р 2Р +rn P r 3
р ^Т7" = "~^р
2Ьп2
_ I
2Ьп \ т
т. е. затухание имеет порядок 0 (р2) частоты р и тоже весьма мало.
Для с2 имеем в этом случае выражение
c2«pP_L + A/[p^_L j + ( v - '^ | = /^ + оDч B.22.78)
26п у у 26пу у 26п у on
и, следовательно, скорость распространения волны
B.22.79)
° v н '
не зависит от частоты.
Точно так же при весьма большой частоте р
^U?2 + o(l), B.22.80)
и скорость распространения волны
а = Р = Л- B.22.82)
с V Р
вновь не зависит от частоты.
494 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Затухание / выражается в этом случае в виде
^J ' B>22-83)
т.е. стремится к некоторой постоянной.
Решение задачи Коши для стержня бесконечной длины, подобное
тому, какое имеется для абсолютно упругого стержня, получить пока не
удалось [115]. Существенно при этом отметить качественную разницу
между абсолютно упругим стержнем и стержнем с релаксацией и по-
последействием. Если в первом случае можно искать волновые решения
с разрывом непрерывности скоростей и применять их к практическим
расчетам, то во втором случае это уже недопустимо, ибо задача тре-
требует задания вторых производных смещения (или напряжений) вдоль
стержня.
§ 23. Плоские движения сыпучих сред
1°. Принято считать, что сыпучая среда (песок) находится в со-
состоянии равновесия, если касательное напряжение tv на произвольно
ориентированной элементарной площадке с нормалью п не больше
модуля соответствующего нормального напряжения av, умноженного
на коэффициент трения /, характеризующий данную среду. Очевид-
Очевидно, что идеально сыпучая среда не может обладать растягивающими
напряжениями, т.е. всюду должно быть
av < 0. B.23.1)
Таким образом, при равновесии сыпучей среды на всех элемен-
элементарных площадках, относящихся к любой точке среды, соблюдается
неравенство
W ^ -/av. B.23.2)
Если через каждую точку среды можно провести такую элементар-
элементарную площадку с нормалью гг*, для которой имеет место равенство
|vK-/cv, B.23.3)
то состояние равновесия среды называется предельным.
§ 23. Плоские движения сыпучих сред 495
Теория предельного состояния равновесия сыпучей среды явилась
предметом обстоятельного изучения рядом авторов, первым из кото-
которых был Кулон [224]. В.В. Соколовский [55] дал исчерпывающее иссле-
исследование плоского случая теории предельного равновесия среды, для
которой
Tv| ^т, - fav(av < 0), B.23.4)
где т3 — так называемый коэффициент сцепления среды.
Частными случаями среды Соколовского являются идеально пла-
пластическое тело (/ = 0, т3 — пластическая постоянная) и собственно
сыпучая среда, рассмотренная выше (т3 = 0).
Движение сыпучей среды, насколько нам известно, исследованию
не подвергалось.
Ниже строятся уравнения плоского движения собственно сыпучей
среды и рассматриваются некоторые примеры таких движений.
2°. Введем следующие гипотезы, характеризующие поведение сы-
сыпучей среды при ее движении.
I. Среда неупруга и несжимаема.
П. Значение напряжений в среде не зависит от скоростей ее дефор-
деформирования.
III. Направления главных осей напряженного состояния и главных
осей тензора скоростей деформации совпадают в каждой точке движу-
движущейся среды.
IV. Напряженное состояние среды удовлетворяет тем же условиям,
что и напряженное состояние предельного равновесия сыпучей среды,
т.е. условиям B.23.2), B.23.3).
Гипотезы I, II, и IV в разъяснениях не нуждаются. Пояснение к
гипотезе III будет приведено несколько ниже.
3°. Пусть и (ж, у) , v (ж, у) — проекции скорости какой-либо точки
на оси неподвижной декартовой системы координат ху\ ох,оу,тху —
компоненты тензора напряжения в той же системе; X и Y — компо-
компоненты массовых сил. Наконец, через р обозначим плотность сыпучей
среды.
Перечисленные гипотезы позволяют построить следующую систему
пяти уравнений, содержащих пять искомых функций u,v,ax,ay,xxy
трех независимых переменных ж, ?/, t:
(fa,fa,du\_ х д°х дтху
B.23.5)
~дх~^ ~ду~'
496
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
дх ^ ду '
dv/дх + ди/ду _ 2тх
ди/дх — dv /ду ах — ау'
B.23.6)
B.23.7)
B.23.8)
Первые два уравнения представляют собой дифференциальные
уравнения плоского движения произвольной сплошной среды. Равен-
Равенство B.23.6) выражает условие несжимаемости среды. В силу про-
пропорции B.23.7) главные оси тензора скоростей деформации и тензора
напряжений соответственно совпада-
совпадают. Наконец, алгебраическое соотно-
соотношение B.23.8), как нетрудно пока-
показать, является условием предельного
состояния какого-либо элемента сыпу-
сыпучей среды. Действительно, круг Мора
(рис. 158),
изображающий напряженное со-
состояние какого-либо элемента сыпу-
сыпучей среды, непременно должен ка-
касаться прямых
т = ±/с.
B.23.9)
Рис. 158
В противном случае, либо не будет
выполнено ни для какой площадки условие предельного напряженно-
напряженного состояния B.23.2), либо круг будет пересекать прямые B.23.9) и
для бесчисленного множества площадок будет нарушено неравенство
B.23.2).
Соединим точку касания круга одной из прямых B.23.9) с центром
круга. Из рассмотрения получившегося прямоугольного треугольника
имеем
О2
sin ф.
B.23.10)
Здесь
— главные напряжения элемента сыпучей среды,
— О2
B.23.11)
— максимальное касательное напряжение того же элемента, или, что то
же, радиус круга Мора, и ср — угол наклона касательной к оси абсцисс.
§ 23. Плоские движения сыпучих сред 497
Так как
/=tgq>, B.23.12)
то
sin ф = //Vl + Z2- B.23.13)
Учитывая теперь, что
и, кроме того,
2
-) +^L B.23.14)
B.23.1
2 2 '
приходим на основании формулы B.23.10) к соотношению B.23.8).
Для дальнейшего условие предельного состояния, т.е. соотношение
B.23.8) или эквивалентное ему равенство B.23.10), удобно представить
в другой форме. Считая для определенности ai > с>2 (|oi| < I02I),
получим, используя формулу B.23.11),
01 ~°2 = -sincp01 ~°2. B.23.16)
Отсюда
О1 = ка2, B.23.17)
где
к= ]~8?Пф = fVl + Z2"/J (* <0). B.23.18)
Таким образом, предельное напряженное состояние сыпучей среды
характеризуется, в частности, тем, что отношение главных напряжений
в любой ее точке одно и то же.
4°.Теперь представляется возможным пояснить гипотезу III, вве-
введенную выше.
Представим себе сыпучую среду в форме прямоугольника (рис. 159),
по граням которого действуют нормальные сжимающие напряжения
<*х и ®у(касательное напряжение тху равно нулю). Если
ох = koy;ox,oy < 0; \оу\ > |ож|, B.23.19)
то среда находится в состоянии предельного равновесия. Естественно
предположить, что размеры прямоугольника могут изменяться лишь
в направлении действия напряжений ох и оу. При этом соотношения
B.23.19) должны сохраняться. В силу симметрии углы прямоугольника
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
ш
Ш
не будут искажаться. Следовательно, в данном случае тензор возни-
возникающей бесконечно малой деформации (а так же тензор скоростей
деформации) коаксиален тензору напря-
напряжений.
Рассмотрим теперь частицу движу-
_ <jx щейся среды в форме бесконечно ма-
2 лого прямоугольника, стороны которого
I ориентированы по главным направлени-
- х ям тензора скоростей деформации.
ZTxy = 0 Спустя бесконечно малый промежу-
I ток времени dt длины сторон прямоуголь-
- ника претерпят относительные удлинения
B.23.20)
Рис. 159 гДе ei и б2 - главные скорости деформа-
деформации. Углы прямоугольника исказятся при
этом на величины высших порядков.
Таким образом, если отвлечься от перемещения частицы, соответ-
соответствующего перемещению ее как абсолютно жесткого тела, то дефор-
деформация происходит точно так же, как и в примере деформации среды
в форме прямоугольника со сторонами, параллельными осям хну.
В силу симметрии силы, приложенные к периметру такого бесконечно
малого прямоугольника, должны быть нормальны к его сторонам, т.е.
тензор напряжений должен иметь те же главные направления, что и
тензор скоростей деформации.
Влияние изменения направления действия сил на стороны выде-
выделенной частицы вследствие ее бесконечно малого поворота за время dt
приводит к поправкам высшего порядка малости. То же относится и
к влиянию массовых сил и сил инерции. Таким образом, гипотеза III
представляется обоснованной.
Заметим, что при условии
ei > e2 B.23.21)
главные напряжения oi, и а2 должны удовлетворять неравенству
d > c2. B.23.22)
А так как оба они отрицательны, то
|с2| > |d|. B.23.23)
§ 23. Плоские движения сыпучих сред 499
Наибольшее по модулю главное сжимающее напряжение в теории
сыпучей среды называется активным. Другое главное напряжение име-
именуется пассивным.
5°. Обращаясь к кругу Мора или к аналитическим соотношениям
сопротивления материалов, получаем уравнение
tg2e= 2Txy B.23.24)
ож — ау
для отыскания угла 6 между главным направлением тензора напряже-
напряжения и осью х. Уравнение B.23.24) допускает два решения, отличающи-
отличающиеся друг от друга на угол я/2, в соответствии с наличием двух взаимно
перпендикулярных главных направлений двумерного тензора второго
ранга.
Для тензора скоростей деформирования имеем аналогичную фор-
формулу
tg2fl= —^ , B.23.25)
база: €уу
где i3- — угол между главным направлением тензора скоростей дефор-
деформации и осью ж, а
ди dv dv , ди /2 2о 26л
— скорости соответствующих удлинений и скорость сдвига.
В силу гипотезы III правые части формул B.23.24) и B.23.25) долж-
должны быть равны друг другу, что и приводит к уравнению B.23.7).
6°. Уравнения движения непрерывной среды B.23.5) и условие
несжимаемости B.23.6), отнесенные к полярной системе координат,
имеют вид
0vr 0vr I 0vr Vq \ 0ar 1 дтгв ar — cq ,-,
Ot Ox v Oq v I Or r Oq v
Vq OVq 1 OVq VrVQ\ _ OirQ 1 Ogq 2irQ
B.23.27)
^ + — + -^ = 0. B.23.28)
Or r r Oq
Здесь vr и Vq — проекции скорости частицы соответственно на на-
направление радиус-вектора и на перпендикулярное к нему направление;
Fr и Fq — проекции массовых сил на те же направления; о^Ов и тг0 —
компоненты тензора напряжений в полярных координатах.
500 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Уравнения B.23.7) и B.23.8) в полярных координатах примут соот-
соответственно вид
dvQ I dvr vQ
J^+^~J _2^ B.23.29)
OVr 1 OVq Vr
дг г dQ r
o on о
7°. В случае движения с радиальной симметрией, при котором ско-
скорости всех частиц направлены по соответствующим радиус-векторам,
имеем
vr=vr(r,t), ve = 0. B.23.31)
На основании пропорции B.23.29) немедленно приходим к выводу,
что
тге = 0. B.23.32)
Второе из уравнений B.23.27) при условии pFe = 0 обращается в
тождество, а первое приводится к виду
(®Уг . dvr \ _ даг . <зг — о9 , р B 23 33)
Из условия несжимаемости
^ + ^ = 0 B.23.34)
Г/Т1 Т1
получаем, что
vr = ОШ, B.23.35)
где Q(t) — некоторая функция времени, имеющая простой механиче-
механический смысл, так как представляет собой с точностью до множителя
величину потока песка через окружность произвольного радиуса, окру-
окружающую начало координат. Выражение 2kQ (t) называется мощностью
потока в случае так называемого источника (плоская задача). При этом
Q(t)>0 B.23.36)
и
6rr = ^L = _0Ш < 0 еее = «г = Q_W > 0 ^2 23 37ч
§ 23. Плоские движения сыпучих сред 501
Следовательно, в соответствии с вышеизложенным главное напря-
напряжение ог является в данном случае активным, т.е.
аг\ > |се|. B.23.38)
Нетрудно убедиться, что условие предельного напряженного состо-
состояния B.23.30) приводится при учете неравенства B.23.38) и тождества
B.23.32) к виду
J B.23.39)
Напротив, в случае стока, т. е. при
B.23.40)
активным напряжением является ае и условие предельного напряжен-
напряженного состояния оказывается следующим:
B.23.41)
Для решения конкретных задач следует заменить в уравнении
B.23.33) скорость vr ее выражением через Q (?), согласно формуле
B.23.35), и напряжение а0 — через аг, пользуясь одним из равенств
B.23.39) или B.23.41) в зависимости от знака Q (t) . Соответственно
получим, полагая Fr = 0, уравнение
для источника и
рС^Г-ЗЛ^-— ' rn=(VTTp + fJ-l B-23.43)
^ \r dt г ) дг г \v / v y
в случае стока.
8°. Уравнения B.23.42) и B.23.43) можно использовать и для отыс-
отыскания предельного равновесия сыпучей среды, имеющей форму полого
бесконечного цилиндра. Для этой цели следует считать мощность ис-
источника или стока бесконечно малой величиной и положить в упомяну-
упомянутых уравнениях Q(t) =0, после чего они обращаются в обыкновенные
дифференциальные уравнения. Интегрируя их, получаем, что при од-
одном и том же давлении ра на внутренней границе цилиндра г = а
давление ръ на внешней границе г = b должно быть равно значению
РЬтш =[Т) Ра B.23.44)
502 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
в случае бесконечно медленного расширения цилиндра и
РЬтах = ( " ) Ра B.23.45)
при бесконечно медленном его обжатии.
Промежуточным значениям давления рь соответствует непредель-
непредельное состояние равновесия цилиндра, при котором равенство B.23.3)
может не достигаться ни в одной точке среды.
Интересно отметить, что при обращении в нуль одного из давлений
ра или рь равновесие сыпучей среды невозможно.
9°. При внезапных очень больших давлениях, действующих на пес-
песчаную среду в течение весьма малого промежутка времени, опреде-
определение поля скоростей среды сводится к решению дифференциальных
уравнений в импульсах напряжения.
Пусть, например, на внешней границе покоящегося полого пес-
песчаного цилиндра внезапно возникло давление р&, имеющее характер
импульса с интенсивностью /&. Интегрируя левую и правую части урав-
уравнения B.23.43) по времени в исчезающем малом интервале времени
0 ^ t ^ to, получим обыкновенное дифференциальное уравнение
dr r r /
Здесь Q — мощность внезапно возникшего стока и sr — импульс
напряжения аг.
Интеграл уравнения B.23.46)
ь\ pQ ( v
B.16.47)
должен удовлетворять двум граничным условиям:
8r(a)=0, sr(b) = -Ib. B.23.48)
Это дает возможность определить мощность стока Q; имеем
Учитывая формулу B.23.35), получим следующий закон распреде-
распределения скоростей в песчаном цилиндре в мгновение времени, непосред-
непосредственно следующее за импульсом:
§ 23. Плоские движения сыпучих сред 503
При т —>• 0 получаем известное выражение
vr = г^^т- B.23.51)
р1пF/а) г v y
для распределения скоростей идеальной несжимаемой жидкости в ре-
результате импульсивного обжатия полого цилиндра.
10°. Последующее движение полого песчаного цилиндра определя-
определяется исходным уравнением B.23.43) при соответствующих граничных
условиях на внешней и внутренней границах цилиндра.
Уравнение B.23.43) после умножения обеих его частей на г~ш
допускает частное интегрирование по переменной г, в результате ко-
которого образуется соотношение
—га 1^ч \
Vf ) B-23.52)
где / (t) — произвольная функция времени. Эту функцию нетрудно ис-
исключить из дальнейшего рассмотрения следующим приемом. Согласно
соотношению B.23.52) и граничным условиям имеют место равенства
B.23.53)
Приравнивая друг другу разности левых и правых частей послед-
последних равенств, получаем уравнение
j-™-2 _ Ъ-™-2
т dt т + 2
B.23.54)
в котором величины ра и ръ могут быть функциями времени, а также и
внешнего и внутреннего радиусов цилиндра а и 6. Последние связаны
соотношением
62 = а2 + с2, B.23.55)
где с — постоянная. Это соотношение выражает постоянство площади
сечения цилиндра при его деформации и является в сущности след-
следствием условия несжимаемости B.23.34).
Переменные Q (t) и а (?), содержащиеся в уравнении B.23.54), так-
также связаны между собой. Действительно, значение скорости vr на
внутренней границе цилиндра равно производной da/dt. Используя это
504 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
обстоятельство, получаем, согласно формуле B.23.35),
^ = а^^' B.23.56)
Исключая посредством соотношений B.23.55) и B.23.56) из урав-
уравнения B.23.54) переменные Q (t) и 6(?), приходим к обыкновенному
дифференциальному уравнению относительно единственной искомой
функции a (t):
dra
= ™ °—^—^2 + C^_m/2Pb. B.23.57)
Это уравнение при ра = pb = const интегрируется в квадратурах,
а в случае, если ра и рь не зависят от времени, допускает понижение
порядка.
Если ра = рь = 0, то проще всего исходить непосредственно из
уравнения B.23.54). Замечая, что
dQ(t) dQ (a) da I ^ , Л dQ (а) ( ,
—~Л— = —1 17 = ~Ч \а) —1 ' {I.I6.OQ)
at da at а аа
можно представить его, используя соотношение B.23.55), в виде
1 dQ m a m — [а + с )
Q da т + 2 o-m _ ^2 + j
ym/2
-а. B.23.59)
Обе части последнего равенства являются логарифмическими про-
производными по переменной а, вследствие чего имеем
1/(m+2)I B.23.60)
где С — постоянная интегрирования, определяемая из начальных усло-
условий движения. Далее, согласно соотношению B.23.56), получим
B.23.61)
где ао — начальное значение внутреннего радиуса цилиндра. Интеграл
B.23.61) при а —> 0 сходится, что позволяет получить выражение для
§ 23. Плоские движения сыпучих сред 505
продолжительности времени исчезновения внутренней полости цилин-
цилиндра
voao
х
о
Здесь vo — начальное значение скорости частиц на внутренней
границе цилиндра.
11°. Заметим, что уравнением B.23.42), которое описывает процесс
осесимметрического расширения песка, можно пользоваться лишь в
том случае, если в результате его решения напряжение аг оказывается
отрицательным. В частности, по этой причине уравнение B.23.42) не
может быть использовано при решении задачи о расширении полого
цилиндра, если давление на его границах отсутствует. Случай воз-
возникновения отрицательных давлений физически соответствует распа-
распадению сплошной среды на отдельные частицы, каждая из которых
совершает движение по инерции. Возможны и такие случаи движения
песка, при которых происходит постепенное разъединение среды на
частицы со своеобразной «волной распадения». Наконец, в некоторых
случаях может происходить и обратное явление — собирание песка в
квазисплошную среду на внешней границе ускоренно расширяющегося
полого цилиндра.
12°. Рассмотрим теперь другой случай движения песка при наличии
радиальной симметрии, а именно: пусть движение таково, что радиаль-
радиальная составляющая скорости частиц vr отсутствует и, следовательно, в
силу уравнения несжимаемости B.23.28) трансверсальная составляю-
составляющая Vq является функцией только координаты г и времени t.
Тогда на основании пропорции B.23.29) получаем, что
сг=се. B.23.63)
Кроме того, очевидно, что знак касательного напряжения тг0 дол-
должен совпадать со знаком скорости деформации сдвига
иначе не будет соблюдено соответствие между направлениями наи-
наибольшего по модулю (активного) напряжения и деформации сжатия
элементов песчаной среды. Для определенности будем считать знак
напряжения тг0 положительным.
506 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Условие B.23.30), которому удовлетворяют компоненты тензора
напряжения, сводится в нашем случае к соотношению
тге = -оссг, B.23.64)
где
а = //Vl + Z2 = sin ср. B.23.65)
В свою очередь уравнения движения песчаной среды B.23.27) при-
принимают вид
р = ^ B2366)
PW = ^7 + —• B-23-67)
Умножим обе части уравнения B.23.66) на —а и учтем соотношение
B.23.64). Получим равенство
ар^ = ^, B.23.68)
используя которое совместно с уравнением B.23.67), придем к формуле
B.23.69)
для определения напряжения тге, если известна скорость движения
частиц Vq как функция переменных rut.
Подставляя, согласно последней формуле, выражение тге в равен-
равенство B.23.68), получаем следующее уравнение в частных производных
относительно искомой функции vQ:
(%± + *)= 0, B.23.70)
г г J v J
которое можно представить также в виде
^ ^1 B.23.71)
Уравнение B.23.70) принадлежит к гиперболическому типу. Его
характеристиками являются в плоскости rt два семейства прямых t =
= const и г = const.
§ 23. Плоские движения сыпучих сред 507
13°. Нетрудно, не обращаясь к общей теории дифференциальных
уравнений гиперболического типа, получить некоторые полезные диф-
дифференциальные соотношения, имеющие место на этих характеристи-
характеристиках. Действительно, так как
8vA 82г
то на первом семействе характеристик (t = const, dt = 0) имеем
Используя уравнение B.23.70), можно исключить из последнего
равенства смешанную производную от искомой функции vQ по пере-
переменным г и t. В результате приходим к первому дифференциальному
соотношению
dvA Г 1 dvQ vQ f dvQ .vQ\] , ( v
~^r — ^T + ^a~ ~Ъ \ \\ dr. B.26.7b)
dt J I r dt r \dr r J \ v y
Аналогично получаем дифференциальное соотношение, справедли-
справедливое на втором семействе характеристик (г = const, dr = 0), а именно
К сожалению, дифференциальные соотношения B.23.75) и B.23.76)
не допускают интегрируемых комбинаций, вследствие чего исходное
уравнение B.23.70) существенно упростить нельзя.
14°. Конкретные задачи могут быть решены посредством обычного
метода замены дифференциальных соотношений B.23.75) и B.23.76)
приближенными конечно-разностными. Таким образом, можно, напри-
например, решить задачу Гурса об отыскании функции vQ по заданным ее
значениям на двух характеристиках.
Сюда относится задача об определении движения песка, если из-
известны значения скорости vQ как функции переменной г для начального
мгновения времени и закон изменения ее во времени на одной из границ
среды.
При решении задач подобного рода следует иметь в виду возмож-
возможность постепенного образования или, напротив, исчезновения зон, в
которых деформация сыпучей среды отсутствует. В этих зонах равен-
равенство B.23.3) в общем случае не выполняется. Кроме того, возможно
508 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
образование линий разрыва г = const значений скорости. На этих
линиях следует считать, что
Ы = -for- B.23.77)
15°. Простейшим примером образования линии разрыва является
случай стационарного движения песка, занимающего область а ^ г ^ b
при следующих условиях на границах:
vQ (a) = v% = const, B.23.78)
vQ{b) = 0. B.23.79)
Такое движение оказывается невозможным. Действительно, соглас-
согласно уравнению B.23.70), либо должно иметь место равенство vQ = 0, ли-
либо функция Vq удовлетворяет уравнению в обыкновенных производных
^ + - = 0, B.23.80)
dr r v '
решение которого имеет вид
^е = С 1г. B.23.81)
В обоих случаях нельзя удовлетворить одновременно обоим гранич-
граничным условиям B.23.78) и B.23.79).
Если же рассмотреть более сложный случай движения песка, при
котором vr ф 0, то, как можно показать, при тех же граничных
условиях B.23.78) и B.23.79) задача допускает решение. Это решение
в пределе, при vr —> 0, приводит к разрыву скорости vQ на линии г = а,
причем всюду, где г > а, vQ —> 0.
Заметим, что то же самое имеет место для аналогичной задачи
идеально пластической среды.
§ 24. Об ударе вязкопластического стержня
о жесткую преграду
Нестационарные задачи движения вязкопластических тел уже про-
продолжительное время привлекают внимание исследователей [54, 115,
182]. Анализ имеющихся точных и приближенных решений нестаци-
нестационарных задач вязкопластического течения частично приведен в [37].
В предлагаемой работе дается постановка и приближенное реше-
решение задачи об ударе о жесткую преграду вязкопластического стержня
конечной длины. Задача об упругопластическом ударе стержня о жест-
жесткую преграду была рассмотрена B.C. Ленским [185].
§ 24. Об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду 509
1°. Постановка задачи. Стержень конечной длины из несжи-
несжимаемого вязкопластического материала, движущийся поступательно в
направлении своей оси со скоростью — г?о, в мгновение t = 0 ударяется
о жесткую преграду (рис. 160). Движение стержня будем предполагать
квазиодномерным, напряжения и скорости считаются осредненными по
сечению стержня. В данном исследовании связь среднего по сечению
напряжения а и скорости деформации
dv/dx вязкопластической среды принима-
принимается в виде
M >os
B.24.1)
-xJt)-
Рис. 160
Здесь v(x,t) — скорость сечения
стержня с лагранжевой координатой х в
мгновение ?, as > 0 — пластическая по-
постоянная — предел текучести, [i — коэффициент вязкости материала
стержня. Продольная координата х отсчитывается от преграды вдоль
оси стержня в направлении против его движения.
Скорость распространения упругих возмущений в рассматриваемой
среде бесконечно велика, так как бесконечно велик модуль Юнга этой
среды. Поэтому примем, что возмущение охватывает сразу весь стер-
стержень и скорость сечений при любом t > 0 отличается от vq во всех его
точках. Почти очевидно, что а ^ 0 во всех сечениях стержня. Стержень
разделяется на две части: в одной из них @ ^ х ^ Xq (t)) , которую
можно назвать вязкопласти ческой областью, напряжения превосходят
по модулю as и здесь имеет место вязкопластическая деформация;
другую (хо (t) ^ х ^ /) естественно именовать жесткой областью. На-
Напряжения здесь по модулю меньше as, и эта часть стержня движется
как твердое тело. Координата подвижной границы вязкопласти ческой
и жесткой областей х = xq (t) должна быть определена в ходе решения
задачи; напряжения и скорости непрерывны.
Основное уравнение движения элементов стержня имеет следую-
следующий вид:
dv da
Р dt dx'
B.24.2)
где р — плотность материала стержня, предполагаемая постоянной, t —
время. В силу B.24.1) получаем, что в вязкопласти ческой области ско-
скорость сечений v = v (ж, t) удовлетворяет уравнению теплопроводности
dv
dx2'
B.24.3)
510 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
а в жесткой области — уравнению
^=0 (a* (t) < а < 0 • B-24-4)
Согласно последнему имеем
v = -v0 (t) (xo (t) ^ х ^ I), B.24.5)
где Vo (t) — модуль скорости сечений жесткой области стержня — пока
неизвестная функция времени. Уравнение движения жесткой области
можно представить в виде
где М = pFo [/ — xq (t)} — переменная масса жесткой части стержня,
Fq — площадь его сечения до деформации.
Ввиду непрерывности напряжения на подвижной границе х = xo (t)
соотношение B.24.6) приводится к виду
dt р [I - жо (*I" \*.**.i)
Далее, в силу непрерывности скоростей и напряжений на подвиж-
подвижной границе х = xq (t) имеем
v[xo(t),t] = -vo{t), jt-v[xo(t),t]=0. B.24.8)
Приведем такл<е граничное и начальное условия задачи. Они имеют
вид
v @, t) = 0 (t > 0); v (ж, 0) = -vo @ < х ^ I);
^о @) = ^о; хо = 0.
Таким образом, дело сводится к определению функций v(x,t),
vq (t) и xq (t), удовлетворяющих и условиям B.24.3), B.24.7)-B.24.9).
2°. Система основных уравнений в безразмерной форме.
Исследование удара вязкопластического стержня о жесткую преграду
свелось, таким образом, к задаче с подвижной границей для уравнения
теплопроводности, не приводящейся к традиционным краевым задачам
математической физики.
Для удобства перейдем к безразмерным переменным
I Л. Л^±. J_U J
^о (т) = х0 (t)/l, щ (т) = vo (t)/v0,
после чего в соответствии с B.24.3), B.24.7)-B.24.9) приходим к сово-
совокупности соотношений для определения неизвестных функций и (?, т),
§ 24. Об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду 511
B.24.11)
и Ко (t), т] = и0 (т), ^и[^о(т),т] =0,
и@,т = 0) (т>0), «U,0) = l @<^l), B.24.12)
dtt° (T) _ s (Q 24 13)
dx - 1-§о(х)' B-24.13)
мо @) = 1, & @) = 0. B.24.14)
Здесь s = asl/[ivo — параметр Сен-Венана — безразмерная комби-
комбинация определяющих параметров, характеризующая движение.
3°. Приближенное решение. Воспользуемся идеей метода
Капмана—Польгаузена теории пограничного слоя [32] и представим
функцию и (^, т) приближенно в виде1)
Функция B.24.15) удовлетворяет всем условиям B.24.12), если усло-
условиям B.24.14) удовлетворяют uq (т) и ^о (^)- Естественно, что функция
B.24.15) не удовлетворяет дифференциальному уравнению B.24.11)
точно. Потребуем, чтобы она удовлетворяла ему в среднем, т.е. об-
обращала в тождество интегральное соотношение, которое получается в
результате интегрирования уравнения B.24.11) по всей вязкопластиче-
вязкопластической области @ ^ ? ^ ^о (t))-
Интегрируя по частям и используя B.24.12), получим
¦J
-1) Это приблил<енное представление совпадает с тем, которое получается при
применении метода осреднения Слезкина-Тарга [53].
512 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Таким образом, искомое интегральное соотношение представляется
в виде
^ u(§,x)d$-uo(T)-^r = -(^f) • B.24.16)
В силу B.24.15) имеем
= ^igl B.24.17)
о ^~
Подставляя B.24.17) в B.24.16) и используя B.24.13), получаем
**» = -А_ _ 2^°W f2 24 18)
Из системы уравнений B.24.18) и B.24.13), учитывая условия
B.24.14), можно определить функции г^о (т) и ^о (^) и получить при-
приближенное решение рассматриваемой задачи. Удобно ввести новые
зависимые переменные
р = «о(х)/в, 9 = 5о(т). B.24.19)
Тогда система B.24.18), B.24.13) примет вид
Эта система не содержит параметра Сен-Венана s. Ее начальные
условия, согласно B.24.14), соответственно будут
р@) = 1/в, 9@) = 0. B.24.21)
Поделим друг на друга раздельно левые и правые части уравнений
B.24.20). Получаем
^ = -12 A - д/5) + —- B.24.22)
ар р
Качественное исследование уравнения B.24.22) проводится без за-
затруднений. Для области (р ^ 0, 0 ^ q ^ 1), представляющей интерес
для рассматриваемой задачи, интегральные кривые представлены на
рис. 161. В начале координат имеется особая точка типа узла; инте-
интегральные кривые выходят из начала, касаясь прямой q = 4p, и вблизи
начала координат удовлетворяют соотношению
B.24.23)
§ 24. Об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду 513
Сепаратриса разделяет интегральные кривые, выходящие из на-
начала, на два класса. Кривые класса 1 характеризуются возрастанием
ординаты q до некоторого максимума, меньшего единицы, располагаю-
располагающегося на кривой р = g/3(l —д/g), далее они поворачивают к оси
абсцисс и пересекают ее в некоторой конечной точке под одинаковым
углом. У интегральных кривых класса 2 ордината непрерывно возрас-
возрастает, так что кривые этого класса пересекают линию q = 1 и в об-
= 0.25
q = 4p
II
ш
/
\
0.5
Рис. 161
5 = 0.25
0.25 0.50
Рис. 163
т
0.5
0.25
5
Рис. 164
10
ласть (р ^ 0, 0 ^ q ^ 1) не возвращаются. В силу начальных условий
B.24.21) рассматриваемой задаче соответствуют интегральные кривые
класса 1; направление движения изображающей точки по интегральной
кривой при возрастании времени показано на рис. 161 стрелками.
4°. Приближенное представление решения для больших
значений параметра Сен-Венана. Форма стержня после уда-
удара. Проведенное исследование позволяет сделать следующие каче-
514 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
ственные выводы. Вязкопластическая область в начале движения рас-
расширяется, ее размер ^о (t) — л/q (t) возрастает до достижения некоторо-
некоторого максимума при т = то (s), после чего начинает убывать. В некоторое
мгновение т = i\ (s) вязкопластическая область исчезает и одновре-
одновременно обращается в нуль скорость щ (т) жесткой области и тем самым
всего стержня, т.е. движение стержня полностью прекращается. Во
всех случаях определенная часть стержня, примыкающая к свободной
границе х = /, остается недеформированной.
При малых т асимптотические представления основных характери-
характеристик движения имеют вид
^ (т) = д/ш + о (yfi) , щ (т) = 1 - sx. B.24.24)
При т, близких к Ti, характеристики движения таковы:
^о (т) = 2i/t7^ + о (л/тТ^т) , ^о (т) = s (ti - т). B.24.25)
В общем случае система B.24.20) требует для своего решения чис-
численного интегрирования; результаты интегрирования для нескольких
значений параметра Сен-Венана s представлены на рис. 162-164. Для
случая очень больших s = osI/[ivq решение можно выписать в явном
виде. В самом деле, в этом случае во все время движения q = t^ (т)
мало, так что можно пренебречь ^Jq сравнительно с единицей в правых
частях уравнений системы B.24.20). После этого решение системы
B.24.20), удовлетворяющее условиям B.24.21), немедленно получается
в явном виде:
Н(Н4} р=1-*> * = 1т B-24-26)
Можно пользоваться решением B.24.26), если 1 — ^fq будет отли-
отличаться от единицы не более чем, например, на 0.1. Простое вычисление
показывает, что для этого нужно, чтобы s было более 200.
Изложенный способ расчета можно уточнить без существенного
усложнения. Заменим в правых частях уравнений B.24.20) множитель
(l — у/я) на а и будем считать а пока некоторой постоянной. Легко
видеть, что при этом решение уравнений B.24.20) ), удовлетворяющее
условиям B.24.21), представится в виде
р = а(р-т), Ti=p, p= —. B.24.27)
Теперь следует установить связь а с параметром s, или, что то же
самое, определить зависимость р = ср (s) . Если функция a (s) станет
известной, то формулы B.24.27) определят приближенное решение,
§ 24. Об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду 515
причем наиболее интересные параметры — максимальная величина
вязкопластической области ^q и полное время движения tj — оказы-
оказываются равными
1-37 л fthT /—тт _ J_ _ / ч
as
B.24.28)
Уместно взять а равной среднему значению (l — ^fq) на всем
интервале движения. При этом функция р = щ (s) определится неявно.
Имеем
1
dy
т. е.
8 = -
dy
- 2/4)
-1
B.24.29)
График зависимости р = щ (s), соответствующий соотношению
B.24.29), представлен на рис. 165. Можно получить и явное аналити-
э
0.2
0.1
10
Рис. 165
0.4 0.8
Рис. 166
ческое представление решения задачи, если взять константу а равной
A — {у/я)) , где (y/q) означает среднее значение y/q за все время
движения. В силу B.24.27) имеем
= 1-
ЗГB)
516 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Отсюда функция р = q>2 (s) определяется в следующем конечном
виде:
[V4s + 1.052 - 1.05]2
Р = Ф2 (s) = ± -, L. B.24.30)
4s
Приближенные формулы дают удовлетворительную точность уже
при s > 2.
Определим теперь форму стержня после удара. Из условия несжи-
несжимаемости материала стержня имеем
^ B.24.31)
где F = F (х) — площадь сечения деформированного стержня, U —
продольное смещение в фиксированное мгновение времени, F — пло-
площадь сечения недеформированного стержня. В мгновение окончания
удара t = t\ имеем для произвольного сечения х:
= Г dvpV^ = l'T dvpV^ = _rlT du^d%_
J дх J дх J dl v '
9U
дх J
Здесь t* (x) и t** (x) ^ t* (x) — корни уравнения х = Xq (t) , т* (?)
и т** (^) — соответствующие им безразмерные величины, г = Re =
= pvqI/\l — параметр Рейнольдса. В силу B.24.15) и B.24.32) находим
На рис. 166 для различных значений параметра Сен-Венана s
построен график / (^), характеризующий изменение формы стержня
после удара.
§ 25. К вопросу об ударе вязкопластического
стержня о жесткую преграду
Рассматривается задача об ударе вязкопластического стержня о
неподвижную преграду. В общем случае решение задачи сводится к
рассмотрению уравнения теплопроводности с подвижной границей.
Здесь предлагается приближенный метод решения, при котором
масса стержня заменяется рядом сосредоточенных масс, расположен-
расположенных в середине безынерционных частей стержня равной длины. Тем
§ 25. К вопросу об ударе вязкопластического стержня 517
самым задача сводится к последовательному решению систем обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений с изменяющимся по мере раз-
развития удара числом искомых функций — скоростей сосредоточенных
масс.
1°. В работе [93] приведено приближенное решение задачи об ударе
о неподвижную преграду стержня постоянного сечения и конечной
длины /, материал которого подчиняется закону деформирования
dv
dv
-)»
dx
1 0, o\ ^ os.
B.25.1)
Здесь v = v(x,i) — скорость сечения стержня, находящегося до
удара на расстоянии х от левого торца; а (ж, t) — напряжение в том же
сечении (см. рис. 160 в §24 настоящей книги); as — предел текучести;
[i — коэффициент вязкости материала стержня.
При решении задачи было принято, что сечения стержня в про-
процессе удара остаются плоскими, распределение напряжений в каждом
сечении — равномерным. Картина удара предполагалась следующей.
В начальное мгновение t = 0 вязкопластические деформации стержня
развиваются в слое бесконечно малой толщины у его левого торца х =
= 0. Далее при t > 0 образуется вначале непрерывно расширяющаяся
область вязкопластических деформаций, в которой всюду \а\ > as.
Левая граница этой области примыкает к торцу х = 0, а правая, на
которой \а\ > as, движется по заранее неизвестному закону х = Xq (t)
к свободному торцу стержня х = I.
В некоторое мгновение расширение области вязкопластических де-
деформаций приостанавливается и ее правая граница, не достигнув торца
х = /, начинает движение в обратном направлении. Справа от границы
х = xq (t) наступает теперь «ожествление» материала стержня.
Таким образом, вязкопластическое деформирование стержня про-
происходит в изменяющейся с течением времени области 0 ^ х ^ хо (t) с
переменной правой границей. Вне этой области стержень не деформи-
деформируется, являясь как бы абсолютно жестким. К мгновению окончания
удара t = Т «ожествление» достигает левого торца стержня и все его
сечения оказываются неподвижными.
Функция v (ж, t) в области вязкопластических деформаций удовле-
удовлетворяет уравнению теплопроводности
518 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
которое получается после исключения функции а = а(ж,?) из закона
деформирования B.25.1) и дифференциального уравнения движения
стержня
dv да ( v
В равенствах B.25.2) и B.25.3) р — плотность материала стержня,
которая принимается постоянной.
В начальное мгновение t = 0 скорости всех сечений стержня оди-
одинаковы, направлены в стороны отрицательной части оси х и равны по
модулю Vq. Поэтому
v(x,0) = -vo0^ x^L B.25.4)
На левой границе области вязкопластических деформаций, где
стержень соприкасается с неподвижной преградой, при t > 0 имеет
место тождество
г; @,*) =0. B.25.5)
Наконец, на подвижной границе, т.е. при х = хо (i), соблюдаются
соотношения
dv
dv
x=xo(t)
= 0. B.25.6)
x=xo(t)
Первое из них выражает закон движения «жесткой» правой части
стержня хо (t) ^ х ^ /. Второе, в силу закона деформирования B.25.1),
следует из равенства на подвижной границе х = Xq (t) напряжения
а (ж, t) по модулю пределу текучести os.
Приближенное интегрирование уравнения B.25.2) при учете на-
начального условия B.25.4) и граничных условий B.25.5) и B.25.6) прове-
проведено в [93] методами теории пограничного слоя. Там же в координатах
—-— и — I 1 = —2~,Ti = —2~ I B.25.7J
построены графики, иллюстрирующие при разных значениях парамет-
параметра Сен-Венана
в = ^ B.25.8)
закон перемещения правой границы х = Xq (t) области вязкопластиче-
вязкопластических деформаций, а также графики изменения скорости жесткой части
стержня с течением времени.
2°. Предварительное предположение о характере изменения об-
области вязкопластических деформаций во времени составляет основу
§ 25. /С вопросу об ударе вязкопластического стержня
519
исследования [93]. Ниже приводим другое приближенное решение, где
такое предположение уже не требуется.
Идея этого приближенного решения, как уже указывалось, заклю-
заключается в замене действительного стержня некоторым схематическим.
Масса стержня представляется в виде п сосредоточенных масс, рас-
расположенных в средних сечениях соответствующих гг, равных по длине
долей стержня (рис. 167). Материал стержня между сосредоточенными
\
т/п
1/п
Рис. 167
массами принимается лишенным свойства инерции, однако следую-
следующим закону деформирования B.25.1). Тем самым вместо рассмотрения
уравнения теплопроводности с переменной границей можно свести за-
задачу к последовательному решению систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений с изменяющимся по мере развития удара числом
искомых функций. За последние принимаются скорости v\, г?2, • • •, vn
сечений, в которых расположены сосредоточенные массы.
В начальное мгновение удара t = 0 скорости всех сечений одинако-
одинаковы и равны —Vq. Выясним теперь вопрос о поведении безынерционных
стерженьков длиной //гг, заключенных между сосредоточенными мас-
массами, а также и стерженька вдвое меньшей длины между абсолютно
жесткой преградой и первой массой.
Напряжение а в любом сечении каждого из безынерционных стер-
стерженьков изменяется с течением времени. В силу закона B.25.1) стерже-
стерженек не деформируется, если напряжение в процессе удара не превзойдет
предела текучести os. Если же в каком-либо стерженьке напряжение по
модулю окажется большим предела текучести as, то его деформация,
в силу того же закона B.25.1), будет следовать уравнению
a* =n(w*-»*_]) у-о, (Л = 2,3, ..., п-1). B.25.9)
Это уравнение справедливо для всех стерженьков, кроме первого и
последнего. Уравнение деформирования первого стерженька при \а\ >
> os имеет вид
os
B.25.10)
520 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
Последний (п + 1)-й стерженек (длиной 1/2п) никогда не будет
деформироваться, так как напряжение в нем всегда равно нулю из-
за отсутствия сосредоточенной массы на его правом конце.
Первый стерженек (также длиной 1/2п) начинает деформироваться
в мгновение t = +0 при любой начальной скорости vq. Начальное на-
напряжение в нем определяется, согласно формуле B.25.10), выражением
ai@) = -^0^-as. B.25.11)
Второй стерженек в зависимости от начальной скорости либо на-
начинает деформироваться сразу же вместе с первым, либо не будет де-
деформироваться вовсе. Действительно, если предположить, что второй
и остальные стерженьки не деформируются, то они образуют твердое
тело массы т, движущееся по закону
m^L = _O|F, B.25.12)
где F — площадь поперечного сечения стержня.
Согласно соотношениям кинетостатики напряжение во втором стер-
стерженьке окажется равным
О2 = 5-^-оь B.25.13)
а в третьем еще несколько меньше, а именно
аз = ^оь B.25.14)
и т.д.
Очевидно, что в начальное мгновение второй стерженек ( а также
третий и другие) не будет деформироваться, если
|о2@)|<о„ B.25.15)
что, согласно формулам B.25.13) и B.25.11), имеет место при
v0 < о °*' ¦ B.25.16)
2п (п — 1) \i v y
Условие B.25.16) всегда будет нарушаться при достаточно большом
числе п. Поэтому в практически приемлемых случаях рассмотрения
задачи первый и второй стерженьки начинают деформироваться одно-
одновременно. Если же остальные стерженьки при этом останутся «жестки-
§ 25. /С вопросу об ударе вязкопластического стержня 521
ми», то дифференциальные уравнения движения рассматриваемой ме-
механической системы представляются уже следующей совокупностью:
( , m d,V2 \iF , \ , n
7Г5Г Т dt r
B.25.17)
при начальных условиях
Vi@) = v2@) = -vq. B.25.18)
Первое из уравнений B.25.17) представляет собой закон движения
первой массы, а второе — всех остальных, составляющих как бы единое
твердое тело.
В начальное мгновение времени t = +0, согласно второму уравне-
уравнению B.25.17) и начальным условиям B.25.18), имеем
(„_1)™** ,F. B.25.19)
ТЬ Cut
Сила osF приложена ко второй массе. Так как ускорения второй
и остальных масс одинаковы, то третий стерженек будет в мгновение
времени t = +0 сжат силой
°° (°) = ?=Т °" B.25.20)
а остальные соответственно меньшими силами. Отсюда следует, что
при какой угодно величине начальной скорости vq напряжения в тре-
третьем и остальных стерженьках в начальное мгновение по модулю не
достигают предела текучести os. Следовательно, их деформирование
может наступить лишь спустя некоторое время или не начаться вовсе.
В общем случае t > 0 напряжение в третьем стерженьке в пред-
предположении, что четвертый стерженек и все последующие остаются
жесткими, равно
[ ] B-25.21)
Если в процессе изменения функций v\ (t) и г^ (t) напряжение
аз по модулю достигнет предела текучести as, то вязкопластические
деформации захватят и третий стерженек. После этого движение си-
системы будет описываться уже совокупностью трех дифференциальных
уравнений:
mdvi \iF ( ч
B.25.22)
522
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
т dv3
а напряжение в четвертом стерженьке — выражением
с4 =
B.25.23)
Если |ст41 достигнет значения as, то начнет деформироваться чет-
четвертый стерженек.
Таким способом можно и далее последовательно строить систе-
системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс расширения
вязкопластической области стержня по мере развития удара. Если,
например, в данное мгновение в состоянии пластического деформи-
деформирования находится к стерженьков, то движение системы описывается
совокупностью к дифференциальных уравнений, которую удобно пред-
представить в следующей матричной форме:
-^ = cAv + bf. B.25.24)
Здесь А = [dij] — квадратная матрица порядка &, составленная из
коэффициентов системы дифференциальных уравнений, имеющая вид
= п2
-3
1
0
0
0
1
ItO
1
0
0
0
0
-2
0
0
0
0
1
0
0
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
ItO '.
z
0
0
0
1
—z
B.25.25)
где z = 1/(п — fc + 1), г; и / — /г-мерные векторы (Т — знак транспо-
транспонирования)
]Tf [00n/(nk + l)f
v = [vuv2,...,vk]
и, наконец, с и b — постоянные множители, равные
c = \iF/lm, b = csF/m.
B.25.26)
B.25.27)
Очевидно, что расширение области вязкопластических деформаций
прекратится, если напряжение в каком-либо очередном стерженьке
в процессе своего изменения не сможет достичь предела текучести.
В этом случае напряжение в предшествующем стерженьке, достиг-
достигнув некоторого максимального значения, начнет убывать и в какое-
то мгновение времени станет равным по модулю os. Как показывают
§ 25. /С вопросу об ударе вязкопластического стержня 523
расчеты, напряжения в остальных стерженьках, расположенных еще
левее, останутся несколько большими предела текучести.
Решение задачи следует теперь продолжать, предполагая, что число
деформирующихся стерженьков стало на единицу меньше, и следить за
изменением напряжения в ближайшем деформирующемся стерженьке
слева от «ожествившихся». Например, если четвертый стерженек так
и не начал деформироваться, то после «ожествления» третьего стер-
стерженька следует вновь вернуться к совокупности уравнений B.25.17),
принимая за начальные значения скоростей г?1 и г?2 те их величины,
которые соответствуют мгновению осуществления равенства [ов] =
= as. Далее надлежит следить за изменением напряжения во втором
стерженьке, пока, наконец, не прекратится деформация и в самом
первом стерженьке. Таким образом, можно шаг за шагом построить
всю приближенную картину удара стержня о неподвижную преграду.
3°. Для численного решения задачи при разных значениях пара-
параметра Сен-Венана s можно с успехом применить электронные вычис-
вычислительные машины. Так, изложенным выше методом было решено
несколько конкретных примеров на вычислительной машине М-20.
Решения задачи были получены в результате рассмотрения
уравнений B.25.24), для которых к пробегает значения 2, 3, ...
..., (г — 1), г, (г — 1), ..., 2, 1. Здесь г ^ (п — 1) — наибольший
порядковый номер стерженька, перешедшего в вязкопластическое
состояние.
Для удобства вычислений уравнение B.25.24) было предварительно
преобразовано к безмерным величинам г^,т и ?, согласно равенствам
vk = -^uk(k = l,2,...,r); t=^,%=j, B.25.28)
в которых, кроме обозначений, упоминавшихся ранее, т, ^, up* — соот-
соответственно безразмерные скорость, время, координата. В результате
оно стало следующим:
^=Au-f. B.25.29)
Интегрирование уравнения B.25.29) производилось численно [29]
посредством итераций в соответствии с формулой
= UU) + * [л^'+1) + Аи^} - А/, B.25.30)
где vS*} —столбцовый /с-мерный вектор с компонентами u\,u<i, . . . , Uk-
Величина шага h выбиралась из условия сходимости итерационного
524 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
процесса, а именно
h
где
2 „"„<!, B.25.31)
а^\ ^ An2. B.25.32)
4°. Решение задачи проводилось для нескольких значений безраз-
безразмерной начальной скорости стержня щ в интервале 0.05-10.0. Зна-
Значения параметра Сен-Венана B.25.8) соответственно равнялись s =
= 20.0, 10.0, 2.0, 1.0, 0.50, 0.25, 0.10. В результате вычислений были
получены величины скоростей каждого стерженька u\,u<i, ..., иг
для последовательных мгновений времени. Далее устанавливались ин-
интервалы времени, в течение которых каждый стерженек находился в
пластическом состоянии вплоть до его «ожествления», и тем самым
выяснялся закон скачкообразного перемещения границы вязкопласти-
ческих деформаций стержня \ = \ (т) .
Вначале было изучено, как влияет на решение задачи количество
делений основного стержня на различное число частей. С этой целью
задача решалась для каждого из приведенных выше значений началь-
начальной скорости г^о при делении стержня на 10, 20 и 40 частей. При этом
программа вычислений была составлена таким образом, чтобы можно
было предусмотреть любое число делений в пределах 50.
В результате анализа полученных данных можно сделать вывод,
что времена продолжительности удара при одной и той же величине
начальной скорости щ хорошо совпадают друг с другом при различных
количествах делений стержня на части. Однако максимальные значе-
значения зоны распространения пластических деформаций ^тах оказывают-
оказываются в общем случае отличными друг от друга.
На рис. 168 представлены сравнительные данные решений для двух
конкретных значений начальной скорости: щ = 0.5 и щ = 2.0. Для
каждой начальной скорости внешняя ступенчатая линия изображает
функцию \ (т) в случае деления стержня на 10 частей, внутренняя —
на 40. Между ними расположена ступенчатая линия, соответствующая
делению стержня на 20 частей.
В первом из приведенных примеров (uq = 0.5) максимальные значе-
значения области пластических деформаций ^тах совпадают друг с другом
при разных числах делений стержня. Во втором (uq = 2.0) величины
^тах несколько различны.
Из трех вариантов вычислений более точно определяется величина
протяженности зоны пластических деформаций при делении стержня
§ 25. /С вопросу об ударе вязкопластического стержня
525
на 40 частей. Поэтому, имея в виду возможно лучшее приближение
функции ? = ? (т) к ее истинному виду, следует использовать лишь
результаты расчетов в случае деления на 40 частей.
Решение задачи при различных значениях начальной скорости
представлены в виде графиков. На рис. 169 изображены графики
функции ? = ? (т), определяющей закон перемещения границы вяз-
копластических деформаций стержня. На рис. 170 построены графики,
иллюстрирующие изменения без-
безразмерной скорости жесткой части
стержня.
5°. С целью проверки точности
решения задачи было предпринято
аналитическое ее решение с соот-
соответствующими числовыми расчета-
расчетами для случая деления стержня на
10 частей при значении начальной
скорости г^о = 0.05. Этот вариант
легко считается «вручную», так как
пластические деформации в процес-
процессе удара распространяются только
на три первых стерженька. Решение
получено точным интегрированием систем дифференциальных уравне-
уравнений на каждом участке в соответствии с изложенным выше приемом.
Начальные условия для каждой последующей системы дифференци-
0.2
Рис. 170
526
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
альных уравнений определялись решением соответствующих транс-
трансцендентных уравнений с высокой точностью.
Табл и ца 8
Описание процесса
деформирования стержня
Переход в пластическое состояние
первых двух стерженьков
Переход в пластическое состояние
третьего стерженька
«Ожествление» третьего стерженька
«Ожествление» второго стерженька
Деформирование стержня
полностью прекращается
Безразмерное время
деформирования стерженьков
при «точном»
интегрировании
0.0
0.00163
0.0266
0.0373
0.0401
при машинном
интегрировании
0.0
0.00194
0.0285
0.0388
0.0423
В приведенной таблице указаны мгновения времени начала де-
деформирования каждого стерженька и последующего его «ожествле-
ния» как согласно точному интегрированию систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений, так и численному —
на машине М-20.
Сопоставим, наконец, результаты
решений задачи, полученные мето-
методами, изложенными выше и в ста-
статье [93]. Ограничимся значениями на-
начальных скоростей г^о = 0.1; щ = 2.0
и г/о = 4.0 (соответствующие пара-
параметры Сен-Венана равны s = 10, s =
= 0.5 и s = 0.25).
На рис. 171 приведены графики
этих решений. Непрерывными линия-
линиями изображены решения, определен-
определенные в работе [93], ступенчатыми —
описанным здесь методом. Следует
отметить, что результаты вычисле-
вычисления ^тах, характеризующей распро-
распространение пластической деформации,
полученные двумя указанными спосо-
способами, оказываются практически оди-
одинаковыми. Заметное различие между
Рис. 171 решениями наблюдается для времени
0.8
0.6
0.4
0.2
§ 26. К динамике грунтовых сред 527
продолжительности удара и то лишь при больших начальных скоро-
скоростях, в частности при г^о = 4.0 (см. рис. 171).
Числовые результаты, полученные методом, изложенным в данной
статье, и совершенно отличным от него методом, приведенным в [93],
близки друг к другу. Это в известной мере дает основание полагать, что
решения задачи обоими приближенными методами достаточно точны.
Ввиду простоты описанного здесь метода его можно рекомендовать
для использования на практике.
§ 26. К динамике грунтовых сред
1°. Грунтовые массы представляют собой сложные образования,
содержащие, наряду с основным веществом грунта (например, гли-
глиной), пустоты, частично заполненные водой. При действии на грунт
больших давлений, возникающих при взрыве, происходит своеобразная
«упаковка» грунта, приводящая к заметному (порядка 30%) увели-
увеличению его объемного веса. В этом отношении показательны опыты
Н.М. Сытого по образованию шахт глубиной до нескольких десятков
метров посредством взрыва в глинистых грунтах стволов. В глубо-
глубокое, сравнительно узкое (диаметром 10-15 см) отверстие опускался
длинный марлевый мешок, наполненный пироксилиновым порохом.
Отверстие заполнялось водой, после чего инициировался толовым за-
запалом взрыв. В результате в грунте образовывалось цилиндрическое
отверстие диаметром около 1 м, окруженное уплотненным грунтом,
годное для различных технических применений (устройство колодцев,
уплотнение фундаментов и т. п.).
Для математического описания подобных явлений представляет ин-
интерес следующая схема деформации грунта. При давлениях, не превы-
превышающих некоторой характерной для данного грунта константы ps, дви-
движение грунта происходит по закону несжимаемой идеальной жидкости
данной плотности ро- При давлении, равном ps, происходит «упаковка»
грунта до плотности pi, после чего грунт вновь деформируется как
идеальная жидкость, но уже новой постоянной плотности pi.
Таким образом, уравнение состояния грунта можно записать в сле-
следующей форме: при возрастании давления (нагружение)
{Ро, P^Psi
рь p>ps;
при убывании давления (разгрузка):
р = const.
528 Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
На рис. 172 показана примерная диаграмма зависимости между
давлением р и объемной деформацией грунта 6 = 1 — ро/р и иде-
идеализированная диаграмма, соответствующая указанной выше схеме.
На диаграмме 6i = 1 — ро/рь
Идея пренебрежения касательными уси-
усилиями в сплошной среде (например, в метал-
металле) при наличии больших давлений принад-
принадлежит М.А. Лаврентьеву.
Рассмотрим систему уравнений, описы-
описывающих осесимметрическую деформацию
грунта под действием давления ра, прило-
Г ~Ро Р женного к внутренней поверхности полого
цилиндра бесконечной длины. В соответ-
р -.^ ствии с принятой схемой следует различать
три области деформирования грунта: внеш-
внешнюю (Ь ^ г ^ г"), где давление р < ps и плотность р = ро; среднюю
(г" ^ r ^ rsM гДе Р — Ps и происходит «упаковка» грунта, и,
наконец, внутреннюю (rs ^ г ^ а), где р > ps и р = pi > ро (а и
b соответственно внутренний и внешний радиусы цилиндра, искомые
переменные величины). Обозначим через и (г, t) радиальную скорость
точек грунта. Функция и (г, i) удовлетворяет в соответствующих обла-
областях следующим уравнениям:
+
ди ди
Давление р = р (г, t) должно удовлетворять тем или иным гранич-
граничным условиям на переменных границах г = аиг = Ьи изменяется
вместе с плотностью р = р (г, i) непрерывно при переходе из одной
области в другую (если область rs^r^ r's' не вырождается в окруж-
окружность). Граничные условия (при расширении идеального газа внутри
полого цилиндра по закону политропы степени п) имеют вид:
ра = const • а~2п, рь = 0.
§ 26. К динамике грунтовых сред 529
В случае бесконечных размеров внешней области грунт в ней непо-
неподвижен, а давление равно критическому ps. Средняя область выро-
вырождается в окружность изменяющегося радиуса г = rs. При переходе
через эту окружность давление р и плотность р терпят разрыв, причем
имеют место соотношения [32]
^ („), р(,,)р.
at pi — ро pi — ро
В силу условия несжимаемости
ada
где ао — начальное значение радиуса отверстия.
Решение задачи сводится к интегрированию дифференциального
уравнения
*, = 2 ri2jE±-pA + po^±A^J /L (еци*^)-Л,
da a [I Pi рю -ро^о J/ V РЮ"-роаб/ J
где ж = (da/dtJ, а функция ра определяется в соответствии с особен-
особенностями задачи.
Начальное значение х определяется из соотношения
pipo (da\
pi - ро \dt J
Pa t=0 = Ps
pj pu \ "»«/ /
t=0
Для решения упомянутого дифференциального уравнения прибли-
приближенными методами следует знать значение производной переменной х
по аргументу а в начальный момент времени.
Нахождение этой производной связано с раскрытием неопределен-
неопределенности довольно сложного вида. Результат существенно зависит от ха-
характера изменения давления ра. Если, например, давление возникает
мгновенно и далее изменяется по закону политропы степени п = 1.5
(см. выше), то
dx 2 Eро — 3pi) ра \t=o ~ 2pops
da , 3popiflo
На рис. 173 приведен график, иллюстрирующий результаты числен-
численного интегрирования приведенного выше дифференциального уравне-
уравнения для одного конкретного случая: pa\t=o — 178000 кгс/см2, ps =
= 1000 кгс/см2, п = 1.5, ро = 2 г/см3, pi = 2.5 г/см3, uq = 5 см,
«max = 51 СМ, Т = 0.003 С.
530
Гл. 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды
В момент, когда переменная х превращается в нуль, все точки
грунта останавливаются. Полное время расширения отверстия опре-
определяется несобственным интегралом
Т =
da
а0
с большой
Для гипотетической среды с оолыпои степенью уплотнения
(pi ^> ро) Н.В. Зволинский получил приближенное дифференциальное
уравнение
2
z — а0 d z
\ z
а ~Ра) 91
ро (pi — ро)
где z = r2s.
В ряде случаев это уравнение интегрируется в элементарных функ-
функциях. Так, для случая внезапно приложенного и в дальнейшем постоян-
постоянного давления pa > ps полу-
2.Р-2
X, Mz • С
1770 -
1000 -
чается
rs=t
(Pa ~Pa) 91
> ps
в те-
теа, см
ро (pi — ро)
Если давление р
возникло внезапно и
чение некоторого времени t^
оставалось постоянным, а за-
затем скачком снизилось до зна-
значения ps, то радиус зоны
уплотнения грунта будет так-
также неограниченно расти. Для
больших значений t имеет ме-
место асимптотическая форму-
формула rs = const -?з .
В случае изменения давления р по адиабатическому закону уравне-
уравнение интегрируется в квадратурах. Отыскание окончательного радиуса
уплотненной зоны грунта сводится при этом к решению некоторого
алгебраического уравнения.
Аналогично может быть рассмотрена задача о расширении сфери-
сферического отверстия в грунте, деформирование которого подчиняется той
же схеме.
Глава 3
ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ
ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 1. Растяжение бесконечно длинной идеально
пластической полосы переменного сечения
При растяжении полосы постоянной ширины усилием q, равномер-
равномерно распределенным по ее торцам (рис. 174), пластическое состояние
= 2k
Рис. 174
наступает при
C.1.1)
где к — пластическая постоянная материала. При этом во всех точках
полосы возникает напряженное состояние, характеризующее следую-
следующими компонентами тензора напряжений:
v°x=2k, g°=0, 4=0.
C.1.2)
В случае растяжения полосы переменной ширины, материал
которой лишен упрочнения, т.е. обладает свойством идеальной
пластичности, достижение предельного напряженного состояния
/ /
Рис. 175
во всех ее точках, как правило, невозможно. Наряду с элементами, на-
находящимися в пластическом состоянии (область I на рис. 175), почти
всегда окажутся целые области полосы, где деформации останутся в
532 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
пределах упругости (область II). Решение соответствующей упруго-
пластической задачи представляет, конечно, исключительно большие
математические трудности. Замечательно, что тем не менее, если по-
полоса мало (точнее, бесконечно мало) отличается от полосы постоянной
ширины, в некоторых специальных случаях «сплошное» пластическое
напряженное состояние полосы (в рамках линейных уравнений тео-
теории возмущений) все же оказывается возможным. Так будет, в част-
частности, если «возмущение» границы исходной полосы постоянной ши-
ширины представляет собой синусоиду, протяжение которой равно или в
нечетное число раз меньше удвоенной ширины «невозмущенной» по-
полосы. В силу линейности уравнений, которыми описывается напря-
напряженное состояние «возмущенной» полосы, то же имеет место и для
«возмущений», являющихся конечной или бесконечной суммой таких
простейших синусоидальных возмущений.
В последнем случае амплитуды составляющих возмущений должны
достаточно быстро убывать по мере уменьшения длины их волны,
так как иначе соответствующие ряды для компонентов напряженного
состояния полосы могут оказаться расходящимися (см. ниже).
Итак, пусть граница полосы имеет малое периодическое возмущение
в два раза большей длины, чем ширина полосы 2/г, причем четные гар-
гармоники отсутствуют. Попытаемся построить «сплошное» пластическое
напряженное состояние такой полосы. Компоненты тензора напряже-
напряжений, которые обозначим через аж, оу и тжу, удовлетворяют при этом
условию идеальной пластичности
(vx - оуJ + 4т2ху = 4k\ C.1.3)
а также уравнениям равновесия
д_^ + э_^= ^ + ^ = 0 C14)
ох оу ох оу
с граничными условиями
ах cosxv + хху cosyv = 0, хху cosxv + ау cosyv = 0. C.1.5)
Здесь xv и yv — соответственно углы между нормалью v к границе
полосы и осями х и у. Граничные условия должны удовлетворяться на
криволинейных границах полосы и ее торцах. Так как в дальнейшем
полоса принимается бесконечно длинной, то условия на торцах можно
заменить требованием ограниченности решения уравнений C.1.4) и
равенством равнодействующей распределенных сил на торце растяги-
растягивающему усилию 2д/г, направленному вдоль оси х.
§ 1. Растяжение бесконечно длинной идеально пластической полосы 533
Пусть уравнения, которыми определяются криволинейные границы
полосы, имеют вид (рис. 176)
у = ± (h + 5 cos ax),
C.1.6)
где h — половина ширины исходной прямолинейной полосы, 5 — малая
величина, представляющая амплитуду «возмущения» границы исход-
исходной полосы; а — параметр (волновое число), связанный с длиной волны
«возмущения» X формулой
А, = 2п/а.
C.1.7)
В дальнейшем все величины, имеющие размерность длины, будем
считать безразмерными, отнесенными к некоторой характерной едини-
единице длины. Параметр 5 является безразмерной величиной.
У
2qh
Рис. 176
Рис. 177
Естественно предположить, что при малой амплитуде «возмуще-
«возмущения» 5 по сравнению с шириной полосы 2/г напряженное состояние
«возмущенной» полосы ох,ау,тху, будет мало отличаться от напряжен-
напряженного состояния исходной полосы.
Соответственно решение уравнений C.1.3) и C.1.4) будем искать в
виде
дох,
хху = хх
C.1.8)
lxy — *Xy
где 5а'ж, 5a^, 5т'Ж2/ — малые «возмущения» напряженного состояния ис-
исходной полосы, ширина которой постоянна. Подставляя выражения
C.1.8) в систему уравнений C.1.3) и C.1.4) и учитывая формулы C.1.2),
получаем соотношения
дх
ду
= 0,
дх
да'у
ду
= 0,
C.1.9)
В последнем из них опущены члены второго порядка относительно
малых величин 5^,5^ и &г?ху.
Из первых двух соотношений C.1.9) исключим переменную т'ху.
Тогда, используя третье соотношение C.1.9), придем для определения
534 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
ах к гиперболическому уравнению
^_^=0. C.1.10)
дх2 ду2 v J
Воспользуемся следующим частным решением этого уравнения:
ах = С cos ax cos ay, C.1.11)
где С — некоторая постоянная.
Подставив это решение в уравнения C.1.9), получим для функ-
функции х'ху следующее выражение:
i'xy = С sin ах sin ay + D, C.1.12)
где D — новая постоянная.
Для определения постоянных С и D следует обратиться к гранич-
граничным условиям задачи.
Нетрудно показать, используя уравнения C.1.6), что с точностью
до малых второго порядка относительно амплитуды возмущения 5
косинусы углов нормали к «возмущенной» границе полосы с осями х и
у представляются формулами
cosxv & absinax, cosyv^l. C.1.13)
В результате граничные условия C.1.5) преобразуются к виду
ох a cos ах + хху = 0, хху a sin ах + оу = 0. C.1.14)
Подставляя сюда значения аж, оу и тжу, согласно формулам C.1.8), и
учитывая равенства C.1.2), опуская малые высшего порядка, получим
соотношения
Ik a sin ах + хху = 0, оу=0. C.1.15)
Эти соотношения должны выполняться на криволинейной границе
полосы C.1.6). Однако с той же степенью точности достаточно потре-
потребовать их выполнения при у = ±/г, т. е. на невозмущенной границе.
Допускаемая при этом ошибка имеет второй порядок малости из-за
малости самих величин т? и ау. Учитывая формулы C.1.11) и C.1.12)
и последнее из соотношений C.1.9), граничные условия можно пред-
представить следующим образом:
—2k a sin ax = С sin ax sin ah + D,
С cos ax cos ah = 0. C.1.16)
Каждое из них обязано выполняться при любом значении ж, поэто-
поэтому константа D должна быть равной нулю. Учитывая это, приходим к
§ 1. Растяжение бесконечно длинной идеально пластической полосы 535
равенствам
-2k a = С sin aft, С cos ah = 0. C.1.17)
В рассматриваемом случае константа С отлична от нуля, иначе
границы полосы оказались бы прямолинейными. Согласно второму
равенству C.1.17) это возможно лишь в случае, если параметр а выра-
выражается формулой
a = 7i Bга+ 1)/2ft, C.1.18)
что соответствует следующей длине волны синусоидального «возмуще-
«возмущения» границы:
А, = 4ft/Bп + 1) . C.1.19)
Здесь п — целое число.
Учитывая далее соотношение C.1.18) в первом равенстве C.1.17),
имеем
с=кк Bп + 1) (!)»-!
п
(ЗЛ.20)
В результате в соответствии с формулами C.1.2), C.1.8), C.1.11),
C.1.12) и C.1.20) получаем следующие выражения для компонент тен-
тензора напряжений полосы переменной ширины:
о/ , */ i\n-i ък Bп + !)
ах = 2к + Ъ{—1) ^-7 cos ax cos ay,
гь
~/ -i\n-l nk Bп-\-1) /Q ., О1\
ау=д{—1) ^-7 cos ax cos ay, {дЛ.И)
~ ( л\п-\ кк Bп + 1) .
тху=Ь{—1) ^-7 sin axsm ay,
где параметр а определяется формулой C.1.18).
В общем случае, если симметричное возмущение границы имеет вид
бесконечной суммы
тгBп + 1) . яBп + 1) 1 /о 1 ооА
ncos^—Lx + PnSin^—J-xL C.1.22)
n=i L - J
то «возмущения» напряженного состояния выражаются формулами
itBn + l)
OO i-
•Jx = o'y = ^Y, ()П Bn + x) °
. тс Bп + 1) 1 тг
sin 2h х cos
2/1
536 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
. п Bп + 1)
n=l
2h
- pn cos
n Bn
. n Bn + l) ,o 1 oov
Lx sin —^-—V C.1.23)
Соответствующие ряды сходятся лишь в том случае, если бесконеч-
бесконечная сумма C.1.22) представляет собой достаточно гладкую функцию,
в силу чего коэффициенты ап и рп убывают быстрее, чем, например,
1/гг2. Необходимым условием этого является требование гладкости
границы полосы. Полоса, имеющая изломы границы (рис. 177), по этой
причине не может перейти в «сплошное» пластическое состояние.
Подобным образом может быть исследован и случай антисиммет-
антисимметричного «возмущения» границы полосы в форме
у = ±/г + 5 cosaz, C.1.24)
а также и самый общий случай периодического «возмущения».
§ 2. Растяжение идеально пластической плоской
полосы, ослабленной пологими симметричными
выточками. Полиномиальное решение
Рассмотрим течение плоской полосы шириной 2/г из идеально пла-
пластического материала, ослабленного пологой выточкой (рис. 178). В
с у
\
\
\
\
\
\
\
\
о
М А
\ / ^
X
Рис. 178
Рис. 179
дальнейшем все величины, имеющие размерность длины, отнесем к
величине h. Уравнение границы выточки представим в виде
у = ±A-Ьх2), 5=|, C.2.1)
где с — глубина выточки, 5 — малый безразмерный параметр.
§ 2. Растяжение идеально пластической плоской полосы 537
Решение для компонент напряженного и деформированного состо-
состояний будем искать в виде
ау^+бо^ и = u°+ 5U',
еу =??,.+бе^, t> = t>0 + 8t/,
где Gij, Eij — соответственно компоненты напряженного и деформиро-
деформированного состояний; и, v — компоненты скорости перемещения; индекс
ноль наверху приписан компонентам исходного невозмущенного состо-
состояния; штрих наверху — компонентам возмущенного состояния.
Имеют место формулы Коши
ди dv 1 f ди dv
Исходными являются: условие пластичности
(ож - СуJ + Ai%y = 4&2, к = const, C)
условие несжимаемости
8ж + Еу = о, D)
условие изотропии
^Г = г^Г" E)
^аз ^у с,х &у
Для невозмущенного состояния будем иметь
а°х=2к, о°у-тху = 0, г°х+г°у=0, г°ху=0. C.2.3)
В дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжения,
отнесем к величине предела текучести при растяжении 1к.
Для компонент возмущенного состояния, согласно C.2.2), C)-E),
C.2.3), получим
а'х - а'у = 0, C.2.4)
О _ О
е'х+е'у=0, е'ху = ^—\х'ху. C.2.5)
ах ау
Случай, рассмотренный в [200], имеет место при г^ = г^, при этом
?°Ху = 0.
Напряженное состояние может быть определено, согласно [200]:
ах = 2 5 A-
538 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Учитывая C.2.5), C.2.4), C.2.2) и переходя к компонентам скорости
перемещений, получим два уравнения для возмущений скорости пере-
перемещений:
ди дл/п dvf ду'
дх + ду ~U' 8y + дх ~*РХ' C.2.7)
Р = 8° = COnst .
Вводя функцию тока Ф, будем иметь
и = -^, « = 1^, Ф = Ф° + 8Ф;. C.2.8)
о у ох
Согласно C.2.8), C.2.2), C.2.7) получим
д- ф' д- ф' , а ф; , а ф; . .
8 C29)
Решение уравнения C.2.9) следует искать в виде полиномов второй
степени по ж, у. Области материала ЛОВЕ, CODF движутся как
жесткое целое, поэтому из условия сопряжения нормальных компонент
скорости на AD и С В положим
и1 — v1 = 0 при х = у;
C.2.10)
и + v = 0 при х = —у.
Искомое решение, удовлетворяющее C.2.9), C.2.10), имеет вид
Ф; = рх (х2 -у2),
C.2.11)
и1 = 2рху, v1 = р (Зх2 — у2) .
Течение в области АОС (BOD) происходит как жесткое целое,
причем
u° = Vsma, v° — V cos a, V = const. C.2.12)
Из C.2.12), C.2.11), согласно C.2.2), получим
и = V sina + 2bpxy, V = -V cosa + bpCx2 -у2) . C.2.13)
Уравнения линий тока течения C.2.13) имеют вид
ф = - {у cos а) х - (V sin а) у + Ьрх (ж2 - у2) . C.2.14)
Для вертикальной компоненты скорости будем иметь
где t — время.
§ 3. Растяжение анизотропной идеально пластической полосы 539
Полное время Т процесса течения образца получим, согласно
C.2.15), C.2.13), из уравнения
Из C.2.16) с точностью до малых высшего порядка найдем
oJP (l-3tg2a)l, 0<<х< = C.2.17)
3 V cos a v J \ 4 v '
Время, за которое частица свободной границы М достигнет грани-
границы жесткой области М\ (а, а) (рис. 178), определяется по формуле
а
=J^f, x = a-(y-a)tga. C.2.18)
Из C.2.18), C.2.13) найдем
5р A+а , 8 2
¦3a(l-a) tga- (l + a2) tg2aj
. C.2.19)
Двигаясь как жесткое целое, частица Mi достигает окончательного
положения M<i (рис. 179) за время Т — Тм- Следовательно, расстояния
S\ = M\M<i, аналогично S^ определяются из соотношений
S1 = V (Т - Тм) (cos a + sin a), S2 = V (T - TM) (cos a - sin a) .
C.2.20)
Уравнение свободной границы в координатах Xj определяется из
соотношений у = ах = а + S (а), откуда
х = у + S{y). C.2.21)
Величины S(y) в C.2.21) определяются согласно C.2.20), C.2.19),
C.2.17), причем а заменяется на у.
§ 3. Растяжение анизотропной идеально
пластической полосы
Рассмотрим напряженное состояние растягиваемой полосы из ани-
анизотропного идеального жесткопластического материала, ослабленной
выточками. Возьмем прямоугольную систему координат ху, причем
ось х выберем по направлению приложенного усилия.
540 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Пусть уравнения границы полосы имеют вид
2/= ± (ft + 8/(ж)) , ft = const, 8<1, C.3.1)
где 2ft — ширина исходной прямолинейной полосы, 5 — величина,
характеризующая глубину выточки.
Условие пластичности для материала, свойства которого не зависят
от гидростатического давления, запишем в виде
F(ox-oy, xxy) = 0. C.3.2)
Решение для компонент напряжений будем искать в виде C.2.2.).
В исходном невозмущенном состоянии E = 0), согласно C.3.2), име-
имеем
F(o°, 0) = 0, а°ж^0, с°у=ъху=0.
Раскладывая C.3.2) в ряд Тейлора в окрестности исходного напря-
напряженного состояния,
Я FT°
= FЫ>0) + 5aW
и выделяя члены при 5, получим линеаризованное условие пластично-
пластичности
(|?)/(^^) C.3.4)
где индекс градус наверху означает, что производные взяты при значе-
значениях напряжений в исходном невозмущенном состоянии.
Уравнениям равновесия удовлетворим, полагая
C.3.5)
ИзC
.3.4),
С
C
./ _
>ж —
.3.5)
дАи
ду2'
будем
ду2
п' —
°У ~
иметь
д2и
дх2
д2и
дх2'
-2k
1
lxy
д2и
дхду
д2и
дхду
= 0.
C.3.6)
Величина 2k связана с анизотропией. При k = 0 будем иметь
изотропный случай.
Методом разделения переменных найдем решение уравнения C.3.6)
U = Л cosm (ky + х) cos my I + k2y, Л = const. C.3.7)
§ 3. Растяжение анизотропной идеально пластической полосы 541
Из C.3.5), C.3.7) найдем
<з'х = —Am2 Bk2 + l) cos m (x + ky) cos тук2 + ly—
— ку к2 + 1 sin m (x + &y) sin my к2 + ly ,
ofy = —Am2 cos m (x + &y) cos m\/k2 + ly, C.3.8)
& cos m (x + ^2/) cos ^V^2 + ly—
— yk2 + 1 sin m (ж + /су) sin my к2 + ly .
Линеаризированные граничные условия, аналогично [179], имеют
вид
Gy = 0 при у = ±h,
ох — хху = О при у = ±/г.
C.3.9)
C.3.10)
Удовлетворим граничным условиям. Из C.3.8), C.3.9) найдем
^^ V к2 + 1
Согласно C.3.7), C.3.10) имеем
-Am2Vk2 + lsin m (ж + fcft) (-l)n - Ф (ж) = 0, ф (ж) = а° ^.
C.3.12)
Положим
Ф (ж) = Б sin ш (ж + /с/г), Б = const > 0,
тогда / (х) =
-В
та!
cosm (x + kh). Из C.3.12) получим
А =
(-1)п+] В
C.3.13)
Из C.3.8), C.3.11), C.3.13) найдем компоненты напряжений
к* + Х) cos 1~^т-г (х + *J/) cos % "оа+ У"
542 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
, (-1)п В яBп + 1) , . , ч яBп + 1)
о?. = , cos — , (х + ky) cos OI -у,
у \/РТТ 2/i\/PTT 2^
^Ртг Гcos wFtt (ж + *у) cos
i . тсBп
8Ш WP
При к = 0, получаем результаты § 1 настоящей главы.
§ 4. Растяжение идеально пластической
анизотропной плоской полосы, ослабленной
пологими симметричными выточками.
Полиномиальное решение
Рассмотрим течение растягиваемой полосы из анизотропного жест-
коп ласти ческого материала.
Исходные соотношения имеют вид:
уравнения равновесия
~дх + ду ~ ' дх + ~ду ~ ' У • • )
где аж, ay, тЖ2/ — компоненты напряжения в декартовой системе коор-
координат ж, у,
условие пластичности
F(ox,oy,Txy) =0. C.4.2)
Используя замену переменных
аж = а + Ecos2e, ау = а - Ecos2e, TX2/ = Esin2e, C.4.3)
где
согласно C.4.3), запишем условие пластичности C.4.2) в виде
F(a,E,6) =0. C.4.4)
В дальнейшем будем предполагать, что условие пластичности не за-
зависит от величины среднего давления а. Условие пластичности примем
§ 4. Растяжение идеально пластической анизотропной полосы 543
в форме [21]
(аж - суJ + 4х2ху = 4х2 F), 6 = - arctg -
C.4.5)
Эх — Оу
Соотношения ассоциированного закона пластического течения, со-
согласно C.4.5), примут вид [21]:
гж = X \(ох - су) + А , гж + гу = 0,
C.4.6)
й =
C.4.7)
где 83^,8^,83;^ — компоненты скорости пластической деформации.
Имеют место формулы Коши
ди
dv
1 (ди , dv
2
где и, v — компоненты скорости перемещения.
Из C.4.6), C.4.7) следует
где
tg26=
C.4.8)
Согласно C.4.8) угол ji = 9 — \|/ между главными направлениями
тензоров напряжений и скоростей деформаций характеризует анизо-
анизотропию материала.
Рис. 180
Для несжимаемого анизотропного идеального жесткопластическо-
го материала характеристики ортогональны и совпадают с линиями
максимальных скоростей сдвигов. Вдоль характеристик имеют место
544 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
соотношения Гейрингер, а также возможны разрывы касательных к
харатеристикам компонент скоростей перемещения.
Рассмотрим течение плоской полосы шириной 2/г из идеального
жесткопластического анизотропного материала, ослабленной пологими
выточками (рис. 180). В дальнейшем все величины, имеющие размер-
размерность длины, отнесем к величине h.
Уравнение границы выточки представим в виде
у = ±A-Ьх2), 8 = С/Л, C.4.9)
где С — глубина выточки, 5 — безразмерный малый параметр. Решение
будем искать в виде C.2.2)
В исходном состоянии, согласно C.4.5)-C.4.7),
а° = 2х0, а° = т°ху =0, к0 = к @), 6° = 0, C.4.10)
8° = -г°у = 2^°хо, 4у = -^°к0, *о = ^ . C.4.11)
е=о
Согласно C.4.10), C.4.11)
8о^ + i^_8o =o. C.4.12)
Из C.4.12) следует, что деформация сдвига ^ху имеет место, если
Уравнения равновесия C.4.1) для компонент возмущений сохраня-
сохраняют вид
= °> ^ + ^ = °- C-4-13)
дх ду дх ду
Линеаризируя условие пластичности C.4.5), согласно C.4.10), полу-
получим
<4 - < - -<v = о> Qf = т^- C-4-14)
х у х0 ху 2>со
Граничные условия на свободной границе полосы C.4.9) имеют вид
ох cos (пх) + тху cos (пу) = 0, тху cos (nx) + оу cos (ny) = 0, C.4.15)
где п — нормаль к свободной границе. Линеаризируя соотношения
C.4.15), согласно C.2.2), C.4.10), C.4.9), получим
х'ху = ±4х0ж, < =0 при у = ±1. C.4.16)
§ 4. Растяжение идеально пластической анизотропной полосы 545
Линеаризируя соотношения C.4.6), C.4.7), согласно C.2.2), C.4.10),
C.4.11) получим
А.Ч, 4 + < = 0,
/ л 0 о
гху=Х \2-
Из C.4.17), C.4.18) следует
ху
=Х» 2+ ^ -
C.4.17)
C.4.18)
C.4.19)
Переходя к компонентам скоростей перемещений, из C.4.19),
C.4.17), C.2.2), найдем
ди dv ди т;х
"л •" "л •" 2а^~ = 2р—
а?/ аж ох к
C.4.20)
ди , dv
о
Перейдем к определению напряженного и деформированного со-
состояний. Удовлетворяя уравнениям равновесия C.4.13) при помощи
функции напряжений
д2и
д2и
д2и
'дхду'
из C.4.21), C.4.14) получим уравнение
д2и д2и
-2а
д2и
дх2 ду2 дхду
= 0.
C.4.21)
C.4.22)
Решение уравнения C.4.22) будем искать в виде полинома с посто-
постоянными коэффициентами
U = Ах3 + Вх2у + Сху2 + Dy3 + Мх2 + Ny2 + 2Pxy. C.4.23)
Согласно C.4.21), C.4.23) получим
а' = 2Сх + 6Dy + 27V, а' = 6Ах + 2Ву + 2М,
У C.4.24)
^ 2(B + ^ + P)
546 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Удовлетворяя граничным условиям C.4.16), из C.4.24) найдем
<4 = 4хо [2ах - A + 4а2) у + A + 4а2)] , ^
о'у = 4х0 A - у), т'Ж2/ = 4х0 [ж - 2а A - у)] .
Удовлетворяя уравнению несжи маем ости при помощи функции
тока
согласно C.4.20), C.4.25) получим
Решение уравнения C.4.27) следует искать в виде полинома C.4.23),
заменив функцию U на \|/.
Из C.4.23), C.4.26) получим
и1 = -р- = - [Вх2 - 2Сху + 3Dy2 + 2Ny +
vf = ^= ЗЛх2 + 2Бж2/ + Су2 + 2Мж + 2Ру. C.4.28)
Из C.4.23), C.4.27) найдем
ЗА - 2Ва - С = 4р, Б - 2Gа -3D = Sap, М - N - 2Ра = -Sap.
C.4.29)
Характеристики, линии разрыва скоростей перемещений (рис. 180)
имеют вид
у — vx = 0, vy + х = 0, ^=tga. C.4.30)
Будем полагать, что компоненты скорости перемещения по нормали
к характеристикам, равны нулю
u'v — v'= 0 при у — vx = 0, и'-\-vv' = 0 при x + vy = 0. C.4.31)
Из C.4.31), C.4.28) получим
Л + Bv + Cv2 + Du3 = 0, Ли3 - Би2 + Cv - D = 0,
М + М;2 + 2Ри = 0, -Mv2 - N + 2Pv = 0. C.4.32)
Из C.4.32), C.4.29) следует
_, Р = -МA"). C.4.33)
§ 5. Линеаризация. Граничные условия, условия сопряэюения 547
Выпишем систему уравнений для определения коэффициентов
ЗА - 2Ва -С = 4р,
В - 2Са -3D = Sap,
Cv2 Dv3-0 C>4>34)
Av3 - Bv2 + Cv - D = 0.
Решение системы уравнений будет иметь вид
Ai До Дч Д/1
где
Д = _ [A + 4а2) v6 - 12av5 + 15v4 + 15^2 + 12аи + A + 4а2)] ,
A1=-16p(l-a2)t;2(l + t;2),
Д2 = —4р [Зг?5 + баг?4 + баг?2 — 3v~\ ,
Дз = — 4р \(l — 4а2) v6 + 6аг>5 + Зг>4 + Зг?2 — баг? + (l — 4а2)] ,
Д4 = -4pv [- A + 4а2) v4 + 2аг>3 + 2аг? + (l + 4а2)] .
Таким образом, согласно C.4.35), C.4.23), C.4.28), компоненты ско-
скорости возмущений определены.
Для изотропного тела a = 0, v = 1, тогда из C.4.25), C.4.23), C.4.28)
следует
с'х = с'у = 4х0 A - у), тху = 4х0ж, C.4.36)
у = рх (х2 - у2) , и' = 2рху, v1 = р (Зх2 - у2) , р = г°х. C.4.37)
§ 5. Линеаризация. Граничные условия, условия
сопряжения, условие пластичности
1. Предположим, что искомое решение зависит от некоторого па-
параметра 5. Будем искать решение в виде рядов по степеням этого
параметра
оо оо оо
гЭ / у ij ' * / у г ' гЭ / у ij У ' ' )
п=0 п=0 п=0
548 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Линеаризация по параметру 5 заключается в разложении всех ис-
исходных соотношений: уравнений равновесия, граничных условий, соот-
соотношений связи eij — Oij и т. п. в ряды по этому параметру. Далее выде-
выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра,
которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод
последовательных приближений, если решение при 5 = 0 (компоненты
нулевого приближения o\j , e]j ) является известным.
Уравнения равновесия A7) линейны относительно компонент на-
напряжений, поэтому они имеют место для любого приближения
Соотношения связи между компонентами перемещений и деформа-
деформаций также линейны относительно компонент деформаций и перемеще-
перемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения
[6'°'6)
е(
дх , е*у ~ 2\ ду + дх ) ' * * *
Рассмотрим граничные условия в напряжениях. Ограничимся слу-
случаем, когда граничные условия заданы на контуре L\ в плоскости двух
переменных а, р. Пусть на границе заданы нормальные и касательные
усилия
cv = Pv, tv = Рх на Lb C.5.4)
Для определенности рассмотрим полярные координаты г, 6. Урав-
Уравнение границы L\ представим в виде
оо
rn(e) = ro + 8f, f = ^8"rn+](e). C.5.5)
п=0 п=0
Подставляя в C.5.4) разложение C.5.5) и учитывая, что для компо-
компонент av,xv справедливы разложения, аналогичные C.5.1), получим при
г = го разложения
drm m\ ~2^° drm mV
т,п=0 m=0
C.5.6)
dmP% fm
°
° drm m\ ~2^° drm mV
m,n=0 m=0
5. Линеаризация. Граничные условия, условия сопряжения
549
Ограничиваясь четвертым приближением, из C.5.6) получим, что
при г = го имеет место
т
da
dPv
d2el0) r2,
dr2 2
da\
.(о)
dr
d2P r2
dr2 2
dpv
dr
dr
dr
3 3! ^ dr
dr
d2Pv
drs 3! ^ dr2
dr"
^ГЗ) C.5.7)
„(IV).
dr
dr
dr3 3!
dr4
4
4Г
J1)
dr
dr2
dr2
+
,3 (o)
dr
r2r2
-Г4 +
drs
d4Pv r\
dr4 4!
d3Pv
dr"
Совершенно аналогично записываются выражения линеаризиро-
линеаризированных граничных условий для tv: чтобы получить линеаризированные
граничные условия для tv, надо в C.5.7) за-
заменить av на tv и Pv на Рх.
В линеаризированных задачах теории
пластичности необходимо уметь записывать
граничные условия C.5.4) через компонен-
компоненты основной системы координат. Для этого
следует учесть угол поворота напряжений
при переносе их на исходную окружность
(г = го). Рассмотрим рис. 181. Угол 6i обра-
образован нормалью к контуру L\\ 6* = 61 — 6 —
угол поворота напряжений при переносе их на исходный контур. Из
известных формул теории упругости будем иметь
av = ar cos2 6* + се sin2 6* + 2тг0 sin 6* cos 6*,
Tv = (ae - or) sin 6* cos 6* + тг0 (cos2 6* - sin2 6*) . C.5.8)
Рис. 181
550 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Если уравнение границы тела L\ записать в виде х = х (б), у =
= У (в) , то
cos9i = —Г У , sinBi = , Х , C.5.9)
уж- + ?/- уж + У
где точка наверху означает дифференцирование по 6. Согласно C.5.5)
можно записать
х = (го + 5f) cos 6, у = (го + 5f) sin 6,
х = -(ro + 5f) sin e + 5r cose, C.5.10)
У = (го + 8f) cos 6 + 5f sin 6.
Учитывая, что
cos 6* = cos 6i cos 6 + sin 6i sin 6,
... . C-5.11)
sin 6 = sin 8i cos 6 - cos 8i sin 6,
из C.5.11), C.5.9), C.10) получим
cose* = ro+8f^=, sine* = f ^=. C.5.12)
у (ro + 5fJ + EfJ у (ro + bff + EfJ
Обозначая Д^ = ri/ro, найдем
cos e* = 1 + 5G! + 52C2 + 53C3 + 54C4 + ¦ ¦ ¦ >
C.5.13)
sin e* = 85i + 5252 + 5353 + 5454 + . . . ,
где
Gi =0, C2 = —-Я], Сз = R\R-^ — Я1Я2,
C4 = -R1R2 — -R1R1 — -R1 — R1R2 — R1R3 — R2 +ЗЯ1Я1Я2,
^ =-Ru S2 = -R2 + RiRu C.5.14)
^3 = Rs + Я1Я2 fl iii + Я1Я2 + ^
S4 = —R4 + R1R3 + R1R3 — R1R2 + R2R2 + ~^R\R2 —
q
— 27^1 R2R1 H~ ^1 ^1 ^2 ~~ о "^1 ^1 ~l~ ^1 ^1 '
A
Используя C.5.1), C.5.7), C.5.8), C.5.13), C.5.14), получим искомые
линеаризированные граничные условия: при г = го должны иметь
5. Линеаризация. Граничные условия, условия сопряэюения 551
место соотношения
d2Pv г2 dPv
г 2 dr 3!
dr
da*1' da<0) da<0) d3Pv r? dVv dPv
Г + ГГ + ^ГГз = лТ 3! + ^ХГ]Г2 + ^7Гз'
C.5.15)
(Л\ • I (V(\ (C\\\ I ' ' О * * Q \
re ^2 ~ I ae ~~ ar J I ^3 ~~ ^1 ^2 + Jtj rti — tii Ы2 — ^i I —
V / V /
- (o9 - a;y I 1Я2 - tiitii \ — I ae - a; I Я1 +
A L(n) _ fa(°) _ a(o)"\ Z'д _ Yi r\ - (a^ - c(lA R ] +
_d3P,r\ , d2K_ , dP,
552 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Четвертое и последующие приближения получаются аналогично;
из-за громоздкости их выражения опустим.
2. Перейдем к условиям сопряжения решений. На Ls — границе
упругой и пластической областей, должно иметь место
[or] = Ы = Ы = К] = [«в] = Ы = Ы = [егв] = 0. C.5.16)
Уравнение контура La запишем в виде
rs=Y^ 5"г«* (е) = г°* + 5F*' F* = 12 5"Г«+М (е)- C-5.17)
Учитывая разложения C.5.1), подставляя в C.5.16) выражения
C.5.17), получим исходное линеаризированное условие сопряжения.
Очевидно, что условия сопряжения могут быть получены из C.5.7),
если заключить левые части в квадратные скобки, поменять в них о\,
(п)
на <5г ,. . . , а тп на тпз.
Выпишем условия сопряжения для компоненты Or •
- о
dr
(п) do? ,d2a<0) г?. do?) 1
4 + -^rit + ~^^ + -^r^j = 0,
r?
¦+
dr >ls^ dr2 2 ^ dr3 3!
= 0, C.5.18)
г?.
dr Tu+ dr2 2 + dr3 3!
=0
при r = rOs.
§ 5. Линеаризация. Граничные условия, условия сопряэюения 553
Условия сопряжения для компонент ае, тге5 иг-> Щ-> ег, ее, еге
имеют вид, вполне аналогичный C.5.18).
Приведем условия сопряжения для компоненты иг\
"Г" + -7^r2« = 0,
dr rfr 2 dr
[ r dr l5 + dr2 2 dr3 3! +
i *^r i <*1АГ a Ur _ /n к in\
^r^'ls + "d? 2^ + "d^^f +
H i if" H ~f~r4s H ~f~r3s H V~r2s +
при г = rOs.
Рассмотрим граничные условия в перемещениях:
иа = ^ао5 ^р = ^(зо на L2. C.5.20)
Уравнение границы L<± представим в виде C.5.5). Подставляя в
C.5.19) разложение C.5.5) и учитывая, что для компонент иа, щ
справедливы разложения, аналогичные C.5.5), получим при г = tq
разложения, вполне аналогичные C.5.6), C.5.7).
Отметим, что граничные условия, условия сопряжения в случае
плоской и осесимметричной задач в декартовых, цилиндрических и
сферических координатах совпадают с вышеприведенными с точно-
точностью до обозначений.
3. Рассмотрим условие пластичности
(<*х ~ Vyf + 4т? = 4k2 (к = const) . C)
554 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Подставляя в C) разложения C.5.1), приравнивая члены при оди-
одинаковых степенях 5, получим
m=0
C.5.21)
В дальнейшем, если не оговорено особо, будем полагать vXy = 0;
тогда
=2^, л = «fl» (oi0) - о{,0)) ,
W2 = 0, C.5.22)
(о» - af)) л^ + <)т« = 0,
* + i (ain) - <f О' + ^«xi1") + xif = 0, ...
Уравнениям равновесия C.5.2) удовлетворим, полагая
Из C.5.22) и C.5.23) получим
Ч^-Ч^=^Чх>*> C-5-24)
где F^n~^ (ж, у) — функция, зависящая от компонент не выше
(п — 1)-го приближения.
Решение уравнения C.5.24) представляется как сумма общего реше-
решения однородного уравнения и частного решения неоднородного урав-
уравнения. Однородное уравнение, соответствующее C.5.24), имеет вид
^V-^-V=0 C.5.25)
дх1 ду2 v J
и не зависит от порядка приближения. Последнее обстоятельство имеет
место во всех случаях, рассмотренных ниже. Поэтому в дальнейшем
§ 5. Линеаризация. Граничные условия, условия сопряэюения 555
для краткости будем ограничиваться определением решения однород-
однородного уравнения C.64) и аналогичных ему для первого приближения.
Полагая в C.64) п =1, запишем решение уравнения C.5.25) в виде
(х, у) = C/j(I) (x-y) + f/«I} (х + у). C.5.26)
Из C.5.23) и C.5.26) найдем
°У =°У = fi(*-v) + f2(x + y),
$1 = h{x-y)~ /2 (х + у). C.5.27)
Уравнения, определяющие перемещения в пластической области
для материала, несжимаемого и по упругим составляющим деформа-
деформаций, для условия пластичности C) при тХу = 0 после линеаризации
примут вид
8пA) 8vA) е@) - е@) m
"' ~W ~д^~~ aL0)-40) xy' [ }
дх + ду
ду + дх L4
Рассмотрим первое приближение. Первому уравнению C.5.29) удо-
удовлетворим, полагая
Из C.5.30) и второго уравнения C.5.29) получим
9V" 5V"-0 C 5 31)
откуда
VC> = у<7) (а; - у) + 47) (ж + у). C.5.32)
Из C.5.32) и C.5.30) можно определить выражения перемещений,
а далее — деформаций:
556 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
JD = д^] | дф27) .(/) = ^Ф]7) ¦ ^Ф27) „@=п
^ дц ' 6^ и' C.5.33)
5 = ж -2/, л = ж+ 2/.
Отметим также, что решение волновых уравнений C.5.25), C.5.31)
может быть найдено методом разделения переменных в виде тригоно-
тригонометрических рядов.
Определение последующих приближений сводится к решению неод-
неоднородного уравнения C.5.31) с известной правой частью.
Рассмотрим условие пластичности
(ог - сеJ + 4т*е = 4k2 (к = const) . C.5.34)
Подставляя в C.5.34) разложения C.5.1), приравнивая к нулю чле-
члены при одинаковых степенях 5, вполне аналогично C.5.21) получим
[( ) ( ) ] =0 (п
т=0
C.5.35)
Положим x\.q = 0; тогда
о^-о^= 2т,*, ^ = sig
4° - 0^=0, (а^-а^^+^^о, C.5.36)
() _ () _ _
^ . wr "9 i i ~"rU "ГУ ' TO U, . . .
Уравнениям равновесия удовлетворим, полагая
~ дг
C.5.37)
Из C.5.36) и C.5.37) получим
_ Д2ЛA) офA) о2фA)
дг2 дг
Будем искать решение в виде
§ 5. Линеаризация. Граничные условия, условия сопряэюения 557
Тогда из C.5.38) следует, что R (г) удовлетворяет уравнению
О, C.5.39)
r2d R _гсШ 2j
dr2 dr
откуда
R — Coo + Coir2 при п = О,
R = г (Си + C^lnr) при га = 1,
Я = г (Сп\ cos f у п2 — 1 In r J + GП2 sin f у n2 — 1 In r J J при п ^ 2,
C.5.40)
(Coo, Coi, Сц, С12, Cni, Gn2 = const).
Окончательно получим
- lCn2] cos (д/п2-11п r) +
- lCni + Cn2 A - гг2)] sin (Vn2 - 1 In r) | cos (nQ + eo),
C.5.41)
(i) Си .
= — sin (e + eo) + -V пл/п2 - l
x ^2 cos ( v гг2 — 1 In r j — Cni sin ( у гг2 — 1 In r j sin (ггб + 6O).
Уравнения, определяющие перемещения в пластической области
для материала, несжимаемого и по упругим деформациям, после ли-
линеаризации будут иметь вид
Or
= 0,
— H
t4n) l a^^n)
г г д&
ТС)
C.5.42)
^<п» «
а(о) - а(о)
Or On
558 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Рассмотрим первое приближение. Полагая
d)_
е ~
г дв ' е дг '
удовлетворим тем самым первому из уравнений C.5.42), из второго
получим
о2 (I) I Q (I) I Q2 (I)
= 0.
C.5.43)
Полагая
из C.5.43) будем иметь
= Я* (г) sin (ггб + ео),
d2R* I dR* ,n
2 i 1 2"^ — U.
rfr r dr г
C.5.44)
Уравнение C.5.44) совпадает с C.5.39), его решение известно
C.5.40). Компоненты перемещения и деформации в пластической
области определяются по формулам
п=2
= (С?! + С*2 A + In r)) sin (гге + ео) +
п1 cos (\/п2 — 1 In r J + C*2sin (у/п2 - llnr j cos(n6 + 6О),
-11п г)
-л/ - Id + С*пЛ sin (л/ - 1 In r) I sin (гге + во), C.5.45)
n=2
cos
г г
оо
п=2
- Х [Cnl Sln Ып2 - 1 1П г) "
- G*2 cos (^/п2 — 1 In r J I cos (ггб + ео),
еA) - 0
еге — и.
Определение последующих приближений сводится к решению неод-
неоднородного уравнения C.5.44) с известной правой частью.
§ 6. Растяжение идеально пластической полосы 559
§ 6. Растяжение идеально пластической полосы.
Полиномиальные решения
Рассмотрим напряженное состояние растягиваемой полосы из иде-
идеального жесткопластического материала, ослабленной пологой выточ-
выточкой. Уравнения криволинейных границ полосы примем в виде
у = ± (ft + bqx2) , q = const. C.6.1)
Условие пластичности имеет вид
(cx-cyf + 4ily = 4k2. C)
Линеаризируя условие пластичности C), получим
а'х - а'у = 0, C.6.2)
+т*у=0, C.6.3)
^=0. C.6.4)
Линеаризированные граничные условия C.5.7) в декартовой систе-
системе координат примут вид
о'у = 0, %'ху - 4kqx = 0 при у = h, C.6.5)
42) - 8kq2x2 = 0, x(?y]+4kq2x2 = 0 при у = /г, C.6.6)
а{у3) + Wkq3x3 = 0, т<?) + 8kq3x3 = 0 при j/ = ft. C.6.7)
Полиномиальное решение в первом приближении запишем в виде
о'х = а'у = 4kq (h - у), Txy=4kqx. C.6.8)
Представим функцию нагружения U^ в виде полинома четвертой
степени:
U{2) = Л1У4 + Л2у3 + Л3у2 + Л4ху3 + Аъху2 + А6ху+
+ Л7ж22/2 + Л8х2у + Л9ж32/ + Л10ж2 + Лпх3 + Л12ж4, C.6.9)
где неизвестные постоянные А\ определяются из соотношений C.6.3),
C.6.6), C.6.8), C.6.9)
. 2kq2 . 8kq2h . ,,2.2 л 2
М = ^-, А2 = —^—, А3 = -4kq2h2, A4 =
560 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
= 4kq2h2, A7 = -4kq2,
2i2 л 4kq2h
2h2 A=1
л Ai 2i2 л
g, A10 = -4kq2h2, An=1^
C.6.10)
Таким образом, из C.6.9), C.6.10) окончательно получим
а<?> = -8kq2 ((у - hf - х {у - h) + х2) ,
OW = -8kq2 {{у -hf-x{y-h)- x2) , C.6.11)
- hf -4x(y-h) + x2) .
Для нахождения третьего приближения представим функцию на-
гружения U^ в виде полинома пятой степени:
[/C) = В1У5 + В2у4 + В3у3 + В4у2 + В5ху4 + В6ху3 +
+ В7ху2 + В8ху + В9х2у + Bwx2y2 + Впх2у3 + В12х3у +
+ Bi3x3y2 + Вих4у + В15х2 + В1вх3 + Вл7х4 + Bi8x5, C.6.12)
где неизвестные постоянные В, определяются из соотношений C.6.4),
C.6.7), C.6.8), C.6.11)
D 29kq3 D 26kq3h D 46kqsh2
Bi- ^-, B2-^g—, B3- з ,
D _ 40kq3h3 D _ 20kq3
B4- ^ , B5-—^-,
q3h 80kq3h3
80kq3h 32 80kq3h3 3 2
Be = ——, B7 = Wq h , B8 = g , B9 = -4bq h ,
—, B12 = -16kqih,
3 C.6.13)
Влз = 8kq3, Вы --
Bw = 8kq3h2, B17 = -2kq3h,
7. Растяжение идеально пластического цилиндрического стержня 561
Таким образом, из C.6.12), C.6.13) окончательно получим
1 /о" - 20/г) {у - ftJ - 20жу2 + 4<Мгху -
- 20h2x - 26/гж2 + 29х2у - 4:
аC) = -4kq3 ( i B9y - 20ft) (у - ftJ - 12ху2 +
+ 24/гжу - 12/г2ж + 6hx2 - 6х2у + 4х3 J, C.6.14)
^ — -4/с^3 ( V B/ ~ ^K ~ 29жу2 + h2hxy —
- 23h2x - Ylhx2 + \2x2y + 2^
§ 7. Растяжение идеально пластического
цилиндрического стержня при условии
пластичности Треска
Рассмотрим осесимметричное течение растягиваемого бесконечно
длинного круглого стержня переменного сечения из идеального жест-
коп ласти ческого материала при условии полной пластичности.
Уравнение поверхности стержня представим в виде
), 8<1. C.7.1)
Запишем условия предельного состояния:
C.7.2)
[(
Компоненты скорости деформации связаны с компонентами скоро-
скорости перемещения формулами Коши:
dv v ди 1 fdv ди
Соотношения пластического течения имеют вид
^¦ = Xle^ + Xae^' C-7-4)
562 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
где %i, %2 — неопределенные множители. Решение будем искать в виде
ар = ар° + 5ар, гр = гр° + 5г'р, и = и°р + Ц, X = ^° + 8А,', C.7.5)
где индекс «штрих» приписан компонентам возмущения, индекс «гра-
«градус» — компонентам начального невозмущенного состояния E = 0):
О О О г\ О су 1 О О О О О r\ /q *у f\\
р 6 pz ' z ~ ' р 0 pz V * /
Линеаризируя условие пластичности C.7.2), используя C.7.5),
C.7.6), получим
/ / / / / ( f \ I I I \ /ОТ *7\
Оп — On — О~ — О , О — — \^г> ~l~ ^fl ~г ^z I ' \*^# ' ' ' )
Уравнения равновесия для компонент возмущенного состояния,
учитывая C.7.7) , имеют вид
^ + ^f = 0' ~di + ^dz~ + f = 0' C>7>8)
Полагая
а' = -дФ/dz, xpz = дФ/др, C.7.9)
из C.7.8) получим
C.7.10)
dp2 dz2 р dp и"
Решение уравнения C.7.10) представим в виде
Ф = C/0(np)sinn2;, C.7.11)
где /о (ггр) — функция Бесселя нулевого порядка, тогда из C.7.9) най-
найдем
а' = — CuIq (ггр) cosnz, %pz = — Cnl\ (ггр) sinnz. C.7.12)
Обратимся к граничным условиям. С точностью до малых 2-го
порядка имеем
cos ггр ф 1, cosnz ф —bdf (z)/dz. C.7.13)
Предполагая, что боковая поверхность свободна от напряжений, ис-
используя C.7.5), C.7.6), C.7.13), запишем линеаризованные граничные
условия
/ rv / О ^/l^j rv „ V/„ /о 7 1/<\
о = и, т ^ — о^ = и, р = а Vz. lo.i.14)
р ' ?z z dz v J
Из 1-го граничного условия получаем
10(ап) =0. C.7.15)
7. Растяжение идеально пластического цилиндрического стержня 563
Уравнение C.7.15) имеет бесчисленное счетное множество корней:
an = nk, keN. C.7.16)
Из 2-го граничного условия имеем
-Cr^I1(nk)SmT^z-c°z^f=O. C.7.17)
Полагая / (z) = Лcosn^z/a, найдем
C = Aa°z/h(nk), keN. C.7.18)
Максимальная длина выточки будет щ = 2.4048.
Согласно C.7.12), C.7.16), C.7.18), определим искомое напряженное
состояние
z ah(nk) \ a
-Aa°znk
( Пк \ . Пк
—Р sin —z.
\av) a
C.7.19)
Рассмотрим уравнения для компонент скорости перемещения. Из
C.7.4), используя C.7.5), C.7.6), получим линеаризованный закон пла-
пластического течения
е'р + 4+е'е = 0, е'рг=0. C.7.20)
Согласно C.7.3), C.7.20) будем иметь
^ + ^ + -=0, §^ + ^=0. C.7.21)
dp dz р dz dp v у
Здесь и далее индекс «штрих» у компонент и и v опущен. Положим
и = -89/dz, v = 09/dp, C.7.22)
тогда из C.7.21) получим уравнение
дЧ/др2 - дЧ/dz2 + A/р)(вФ/вр) = 0,
совпадающее с уравнением C.7.10). Представляя решение в виде 9 =
= DIq (mp) sin mz, из C.7.22) получим
и = — Dmlo (rap) cosmz, v == Dml\ (rap) sin raz, D = const.
C.7.23)
Выражения C.7.23) могут быть использованы для определения по-
поля скоростей перемещений.
564 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
§ 8. Растяжение идеально пластического
цилиндрического стержня при условии
пластичности Мизеса
Рассмотрим растяжение идеально пластического цилиндрического
стержня при условии пластичности Мизеса. Соотношения теории иде-
идеальной пластичности при условии пластичности Мизеса в цилиндриче-
цилиндрической системе координат имеют вид
(ог - сеJ + (се - ozf + (az - orf + бт2^ = 6&2, k = const, C.8.1)
гг = Х Bcr -Cq-oz), Х^О, ге = Х Bсе - oz - ог) ,
zz =X Boz - ог - се) , гГг = 3Xxrz,
где cr, xrZi . . .; гг, егг, . . . — соответственно компоненты напряжений
и скоростей деформации в цилиндрической системе координат rQz.
Рассмотрим круглый цилиндр, уравнение поверхности которого
представим в виде
r = a + bf(z), a = const, C.8.3)
где 5 — малый параметр E <^С 1).
Цилиндр растягивается вдоль оси z, боковая поверхность свободна
от напряжений. Граничные условия на поверхности запишем в виде
cr cos (nr) + %rz cos (nz) = 0, %rz cos (nr) + oz cos (nz) = 0, C.8.4)
где п — нормаль к поверхности.
Смещение точек цилиндра происходит в меридиональных плоско-
плоскостях, положим
и = и (г, z), v = 0, w = w (r, z), C.8.5)
где u,v,w — компоненты скорости перемещения вдоль г, 6, z.
Имеют место формулы Коши
ди и dw
Уравнения равновесия имеют вид
r dr dz r
§ 8. Растяжение идеально пластического цилиндрического стержня 565
Решение будем искать в виде
Vij = °°ij + 5%- > ?ij = e°i + 5%- >
и = и° + Ьи', w = w°+bw', А, = А,° + 8А,', C.8.8)
а° = о? = т°з = О, а° = const, of = Зк2. C.8.9)
В силу C.8.1), C.8.8), C.8.9) линеаризированное условие пластич-
пластичности имеет вид
2o'z -a;-C0 = O. C.8.10)
Линеаризированные уравнения C.8.2) в силу C.8.8), C.8.9), C.8.10)
примут вид
е'г = Х° Ba'r -a'B- a'J - X>c°z, e'e = Х° Bа'в - а'г - a'r) - X>c°z,
?'z=2X'a°z, ?'rz=3X°x'rz. C.8.11)
Из C.8.6), C.8.10), C.8.11) получаем
9r r ; ; 9z dr C.8.12)
^гл и dw _
Удовлетворяя третьему уравнению C.8.12), положим
^ = -1^ ^ = 1^. C.8.13)
Г OZ Г ОГ
Из C.8.13), C.8.12), C.8.10) находим
1
1 / 1 а2Ф 1 дФ 1
2 2 о '
Из C.8.14), C.8.8), C.8.7) получаем
да^ 1_ (_l(fb_ 1 а3Ф _ 3 <92Ф ^^Ф\ _
аг + 6^° V г- а^3 г аг2^^ г2 3rd* + г3 ^ ) ~ '
566 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
исключив о'г, получим уравнение для определения Ф (г, z):
<94Ф <94Ф 1 <93Ф дЧ 2 <93Ф 3 дЧ 3 дФ /«o
г drdz2 + аИ г дг3 + г2 Зг2 г3
Решение уравнения C.8.16) ищем в виде
Ф(г,2) =(p(r)sinvz. C.8.17)
Тогда из C.8.16) и C.8.17) получим
ф + ^ + ^ ф + ^_^ _ Л ф/ + у4ф = 0 C>8>18)
Положим
Тогда C.8.18) можно записать следующим образом:
0- C'8-20)
Общим решением уравнения C.8.20) является сумма общих реше-
решений уравнений
ФУ - ^ + ц2Ф1 = 0, Ф'2' - iq^ + Д2Ф2 = 0, C.8.21)
которые подстановками
Ф1 (г) = rQi (цг), ф2 (г) = rQ2 (Дг) C.8.22)
приводятся к уравнениям
+ ^г»-1)^=0,
^ + (д2г2 -1) q2 = о.
Общие интегралы уравнений C.8.23), как известно, являются ли-
линейными комбинациями функций Бесселя и Неймана первого порядка.
Так как функции Неймана при г = 0 обращаются в бесконечность, то
в решение они не входят.
Для того чтобы Ф (г, z) не содержала мнимых членов, возьмем в ее
выражении произвольные постоянные сопряженными, то есть положим
Ф (г, z) = r [C\ih Ыг) + Cfl/i (Дг)] sinvz. C.8.24)
8. Растяжение идеально пластического цилиндрического стержня 567
Из C.8.15) и C.8.17) найдем
/ _ J_ (}_ /// _ J_ // J_ / 2^
Согласно C.8.25), C.8.17), C.8.14), C.8.13), C.8.6) имеем
cosvz ( 1 /„ 1 // / 1 2v\ , 2v
rv т v I f v ^7 ^
C.8.25)
cos vz
/// 1 //
ф ф
6X° V™T г2уФ USv г
sinv^v2.. 1_, , !_,/, C826)
,V , 1 , . /V V /
i = —фcosvz, w = —ф sinvz, e = ^^фcosvz ф cosvz,
Г Г г Г
, v / v , , ~: /2
8e = 2 ф COSVZ, ?^ = — ф COSVZ, ?rz =
Эти выражения легко упростить, если воспользоваться уравнения-
уравнениями C.8.21) и равенством ф = щ +Ф2- После сложения уравнений C.8.21)
имеем
ф7/ ф' = -v2 (е"з ф1 + е~ з"ф2) .
Продифференцировав равенства C.8.21) и сложив, получаем
ф'" - 1ф»
Подставив эти равенства в C.8.25) и C.8.26), будем иметь
, _ cosvz / 1 5* , 2 1 _5* , 2
Ог — 5—^ [ ^ ^ ф1 ~г —9^ф1 — —^ ^ Ф2 ~г —2^
1 / 5*\ , 2 1 / _5i\ , 2
— ( 2 — е з J ф1 2Ф1— B-е з ]ф2 ^q
Sin VZ о
/ Ф1 + Ф2 / . Ф1 + Ф2
1 =-vcosvz , го =sinvz -.
г г
C.8.27)
568 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
I v / Ф1 + Ф2 / /
ег = - cosvz I Ф1 - Ф2
\ S
I _ V . („ , ,. Л J _._ Ф1+Ф2
8е — 2 г
г
/ _
rz ~ 2r
- ез| ф1 + (l - е
Так как щ = C\xrli (\xr), ср2 = C\xrli (\xr), то cp'j = 2С10 (цг), <р'2 =
= 2С10 (Дг).
Тогда выражения C.8.27) примут вид
(CvJi (цг) - еТ С/о (цг) + СД/j (Дг) - е"Т С/о (Дг)) ,
2 - ef ) С/о (цг) - <>/] (цг) +
# COS VZ
COS VZ
+ B - e-f) С10 (Дг) - СД/] (Дг) J ,
v ((l - ет) С/о (дг) + (l - е-т) С/о (Дг)) ,
((l - ef\ C\ih (цг) + (l - е~^) СД/i (Д^)) , C.8.28)
и1 = —vcosvz (C\il\ (\ir) + i
2 _
w1 = - smvz [CIq (jir) + G/0 (Дг)) ,
(Дг) - 2E/о (цг) - 2С/0 (Дг)) ,
/ VCOSVZ /^ г / ч
г', = у cosv^ (С/о (цг) + С/о (Дг)) ,
Sin VZ о
((l - ef) Eц/! (цг) + (l - e-f) СД/i (Дг)) .
Линеаризируя граничные условия C.8.4), получим
a; = 0, х'гг-о1^= 0, r = a. C.8.29)
§ 9. Напряженное состояние полого цилиндра 569
Удовлетворяя выражения C.8.28) условиям C.8.29), найдем
C\ih (\ia) - ef C70 (\ia) + СД/i (Да) - e~?C70 (Да) = О,
/ = -V-^^ ((l " e^) бц/! M + (l - е-У) СД/i (Да)) . C.8.30)
Из первого условия находим
apio-vali ; То = /0 (да),
h = h М, Ti = /i (Да). C.8.31)
Тогда из второго условия
, Cvcosvz (v" - ^) (vV3/iIi - Ii/o - /ilo)
/- ^го-о т} ; • [б.ь.61)
ok az v 7i — \l1q
Положим / = Л cos z, Л = const, тогда искомое решение будет
определяться выражениями C.8.28), где значение коэффициента С
находится из соотношения C.8.32), а С — из C.8.31).
§ 9. Напряженное состояние идеально
пластического полого цилиндра,
близкого к круговому
Рассмотрим возмущенное напряженное состояние полой цилиндри-
цилиндрической трубы из идеально пластического материала.
1. Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат р, 6,
z имеют вид
дар , 1 $тРе , дтрг , Ор-Ое rv ^тре , 1 $Ое di$z 2тр6 Л
—- н —I—-—I—-— = о, —-—I 1 1—— = о,
^? + l^i + ^i +V =0. C.9.1)
ар р аб oz p
Условия пластического состояния представим в виде
2,\/ 2
- а + -kj (gq-g+ -kj = TpQ, ^ае - а + -к) (oz-o+ -к) = т^,
^, C.9.2)
570 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
а также
2 Л ( + 2
-к TQz = треТр2, се - а + -
6 J у 6
2 \
— к 1 тр0 = ^pz^QZ. (o.y.oj
3 /
Запишем граничные условия
ар cos (np) + Тре cos (пб) + xpz cos (nz) = Pp,
Тре cos (np) + ce cos (пб) + те^ cos (nz) = Pe, C.9.4)
%pz cos (np) + tQz cos (ne) + oz cos (nz) = Pz,
где n — нормаль к боковой поверхности, Рр, Р05 Pz ~ проекции усилий
на оси р, 6, z .
Решение будем искать в виде
'" хе = х' 7=х' "те =V " C'9'5)
где индекс градус приписан компонентам исходного состояния,
штрих — компонентам возмущенного состояния.
В качестве исходного рассмотрим напряженное состояние цилин-
цилиндрической трубы радиусов а, 6 (а < 6), находящейся под действием
внутреннего давления р и осевой нагрузки q.
В исходном состоянии
о°а°о°2/0, т° =т° =т° =0. C.9.6)
р' и' z I I pw pz vz v /
Из C.9.6) и уравнений равновесия C.9.1) получим
Условия пластичности C.9.2), C.9.3) в исходном состоянии C.9.6)
могут быть удовлетворены в трех случаях:
o°-o° + |fc = 0, o|-o° + |fc = 0, a:-a° + ?MO; C-9.8)
^6-^ + ^ = 0, a:-a° + |fc = 0, о°-о° + |л#0; C.9.9)
o°-o° + |fc = 0, o°-o° + |* = 0, o|-o° + |fc^0. C.9.10)
О О О
§ 9. Напряженное состояние полого цилиндра 571
Уравнение боковой поверхности полого цилиндра (внутренней или
внешней) представим в виде
r = ro + 5/(e,;z). C.9.11)
В дальнейшем отнесем величины, имеющие размерность длины,
к го и перепишем соотношение C.9.11) в виде
р = 1 + 8/(9,2:), 8<1, р = г/г0. C.9.12)
Согласно C.9.12) с точностью до малых высшего порядка будем
иметь
cos (пр) « 1, cos (пе) « -8S//S9, cos (nz) « -bdf/dz. C.9.13)
В рассматриваемом случае в граничных условиях C.9.4)
Рр = —р, р = const, Ре = 05 Pz = 0.
Из C.9.4), C.9.5), C.9.13) найдем
AQ9z)= 0, T'pe-5o°g=0,
uv u* C.9.14)
2. Рассмотрим случай C.9.8), тогда
а° = о°, a°z=a°p+2k. C.9.15)
Из C.9.7), C.9.15), C.9.4) следует
a° = ag = -p, a°=2fc-p, p = const. C.9.16)
Из C.9.5), C.9.2), C.9.3), C.9.8) получим
< = ^ = <? = <Л <е = 0. C.9.17)
Согласно C.9.17) уравнения равновесия примут вид
да d%pz 1 да d^z п d%pz 1 diQz да x'pz . /о . 1 о.
1 — (J 1 — (J 1 1 1 — (J # (о. У. J_o)
(jo (jz о cfQ (jz Oo о cfQ (jz p
Положим
a' = —, т z = , tQz = . C.9.19)
Согласно C.9.18), C.9.19) получим
572 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Решение уравнения C.9.20) представим в виде
Ф = Я (р) cos me cos nz. C.9.21)
Разделяя переменные в C.9.20), для функции R(p) получим урав-
уравнение Бесселя
R" + Я'/р + (п2 - т2/р2) R = 0. C.9.22)
Следовательно,
C2Nm(np)) cos mQcos nzV, C.9.23)
где С\, C2 = const, Jm(np), Nm(np) —соответственно функции Бесселя
и Неймана.
Из C.9.19), C.9.23) найдем
а' = — п (C\Jm (ггр) + C2Nm (ггр)) cos m6 sin nz,
%pz = —п (С\ J'm (ггр) + C2N'm (ггр)) cosmBcosnz,
tQz = —(С\ Jm (ггр) + C2Nm (ггр)) sin mQcosnz. C.9.24)
В случае C.9.15), C.9.17), согласно C.9.14), получим
а'р = 0, S//Se = 0, xpe-ba°zdf/dz = O. C.9.25)
Решение будем искать в предположениях
o'tj = а'у (р, z). C.9.26)
Положим / = Asmnz, A = const, тогда из C.9.25) будем иметь
СМп) + C2Nm(n) = 0, ChJ'm{n) + C2N'rn(n) + bAc°z = 0. C.9.27)
Из C.9.27) найдем
Из C.9.24), C.9.28) получим
п2
а' = —ЬАк (-р + 2к) [No (п) Jo (ггр) - Jo (n) No (ггр)] sin nz,
C.9.29)
xpz = —-ЬАк (—р + 2k) [No (n) J'o (ггр) — Jo (гг) Nq (np)} cos nz,
x -x (о)
В случае осевой симметрии %fQz = 0.
§ 9. Напряженное состояние полого цилиндра 573
3. Рассмотрим случай C.9.9), тогда
с° = с°, c°p=c°Q+2k. C.9.30)
Из C.9.7) и C.9.30) следует
°р=°р(р), o°Q=ooz=o°p-2k. C.9.31)
Из C.9.5), C.9.2), C.9.3), C.9.9) получим
о/р=о/в = о/ж=о/, 4=0. C.9.32)
Согласно C.9.32) уравнения равновесия примут вид
dp р дв dz '
V -
р "
C.9.33)
Положим
o = pV >7?' v = p^- C-9>34)
Согласно C.9.33), C.9.34) получим
Я2ф 1 Я2ф Я2ф 1 Яф
^-т - ^^-т - ^-т - ?^ = 0. C.9.35)
<9р2 р2 ае2 а^2 р <9р v J
Функция R(p) определяется из следующего уравнения:
R" - R'/p + (гг2 + ш2/р2) R = 0, C.9.36)
откуда
Я = p(Ci Jv(np) + C2Nv(np)), где v = y/l-m2.
Следовательно
Ф = p(Ci Jv(np) + C2A^(np))cosmecosn2;. C.9.37)
Из C.9.34), C.9.37) получим
а' = -[Ci(Jv(np) +pnJ'(np)) + C2(Nv(np) + pnNfv(np))} cos mQcos nz,
P
T'pe = — [Ci Jv(np) + C2Wv(rcp)]sinmecosn*, C.9.38)
= n[C\ Jv(np) + C2^Vy(^p)] cos TnQsin nz.
574 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
В случае C.9.31), C.9.32) положим /= В cos габ cos nz, В = const. Из
C.9.14) и C.9.38) получим два соотношения
откуда
CiJv(n) + C2Nv(n) = Щр + 2*),
я« C.9.39)
5р р дв dz
Положим
р
C.9.40)
Поле напряжений определяется из C.9.38), C.9.40).
В осесимметричном случае %fpQ = 0, т = 0, тогда
а' = -[Ci(Ji(np) + pnJi(np)) + C2(Afi(np) +pn7
т^ = n[Ci Ji(np) + G2A^i(np)]sinn^, ^ = 0, C.9.41)
f \pJi (n) + n(p + 2k) J[ (n)].
4. Рассмотрим случай C.9.10), тогда
a°=Cp, Ce=c°+2&. C.9.42)
Из C.9.7), C.9.42) следует
°p=°p(p), cy° = a°(p), a°=a°(p), a°=a°,+2^. C.9.43)
Из C.9.5), C.9.2), C.9.3), C.9.10) получим
efp = cfQ = cfz=cf, Tpz=0. C.9.44)
Согласно C.9.44) уравнения равновесия примут вид
д^,1_К=п 1 djz во'
др + р дв ' р дв + аг '
§ 9. Напряженное состояние полого цилиндра 575
Согласно C.9.45), C.9.46) будем иметь
^Чг " 4^4" + ^-т + -^ = 0. 3.9.47)
ар р аб oz p ар
Решение уравнения C.9.47) представим в виде C.9.21), тогда для
функции R(p) получим уравнение
R"
откуда
, где ц = л/1-Am2.
Из D3.9.46), C.9.49) получим
а' = —— \С-[ J^/2 {inp) +
= ^ Ci \inJl/2 (inp - — J^/2 (inp) j +
+ C2 I inN1^^ (inp) — —N^12 (inp)
inp) + C2N^/2 (inp)] cos me sin nz. C.9.50)
xQz = —— [CiJ
В случае C.9.42), C.9.44), согласно C.9.14), получим
o;=S^/(M=0, т'р9-5а°|{=0, |{=0 при p = 1.
C.9.51)
Решение будем искать в предположениях
°у=°«(р,е). C.9.52)
Согласно C.9.52) уравнение C.9.48) принимает вид
#" + -#' + ^r# = 0, C.9.53)
Р Р
576 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
откуда
(^/ A)/2 при ц = д/1 - 4ш2 ф О, C.9.54)
^(Сг1+Сг21пр) при ц = д/l " 4ш2 = 0. C.9.55)
VP
Так как
\|/= Я cos me, C.9.56)
из C.9.46), C.9.56), C.9.54) получим
sin me,
т'ре =
C>9>57)
Из C.9.46), C.9.56), C.9.55) найдем
а' = ^- (Ci + C2 In p) sin me, C.9.58)
PVP
ie = ^ [C2 B - In p) - d] cos me, 4 = 4 (p) .
Положим / = D sin me, D = const, тогда из C.9.51), C.9.57)
определим С\ и С^\
2тК2-КЛ1+») КЛ1-»)-2тК2
2m\i 2m\i v y
где
Kx = 2kW, K2 = Wm (-p + 2k).
Подставляя C.9.59) в C.9.57), будем иметь
_(ц+3)/2
а = ?—^ [2тХ2 (рд - 1) - ^i A - \i) ~ Рд A + \i)] sin me,
Кг A - ц2) (р^ - 1) | sin me, C.9.60)
§ 10. Напряженное состояние идеально пластических тел 577
Из C.9.51), C.9.58) получим
d = -Кг/т, С2 = К3/ Bт), C.9.61)
где
, К3 = Wm2 (-р + 2k) - 2kW.
Подставляя C.9.61) в C.9.58), определим поле напряжений
' [К3 In p - 2/fi] sin me,
з B - lnp) + 2^] cos me, C.9.62)
§ 10. Напря^сенное состояние идеально
пластических тел вблизи сферической полости
1. Рассмотрим возмущенное состояние полой сферы из идеально
пластического материала при условии полной пластичности.
Уравнения равновесия в сферической системе координат р, е, ср име-
имеют вид:
) = 0' (ЗЛ0Л)
^Г ^^^ + (Зтрф + 2теФ^е) =0.
р дд psine ^ф р F^ °ч> о /
Условия пластического состояния определяются соотношениями:
(g9 - а + ^k)(ap -a+U)- т% = 0, C.10.2)
О О
О 2 9 1
- а + -к) - те = 0, а = -(ар + ае + аф),
о «5
2 2
(оф — а + -/с)тре = Трфтеф, (ар - а + -ф ррф
d d C.10.3)
(ае - а + -/с)трф
578 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Граничные условия запишем в виде
ср/ + ТреШ + трфгг = Рр, тр0/
05
офгг = Рф,
где /, т, п — направляющие косинусы нормали; Рр, PQ, Р^ — проекции
усилий на оси р, 6, ср.
Решение будем искать в виде C.2.2).
В качестве нулевого состояния возьмем напряжения для полой сфе-
сферы внутреннего радиуса а и внешнего 6, находящейся под действием
внутреннего и внешнего давлений р и р^ соответственно.
о°р = -4k In р - р, с°р = о0/ = -4k In р + 2k - р,
C.10.5)
Op _ Op _ Op _ п v J
Tpe ~~ трф ~" т0ф ~" U5
где величины, имеющие размерность длины, отнесены к а.
Из C.10.5) и уравнений равновесия C.10.1) получим
Условия пластичности C.10.2), C.10.3) в исходном состоянии
C.10.5) могут быть удовлетворены в трех случаях:
2
3 ~~ '
3 ~~ '
2
2
3
¦!*
2
7^0;
#0.
C
C
C
.10.7)
.10.8)
.10.9)
2
Представим уравнение сферической полости в виде
р = ро + 5pi F, ф) E«1) C.10.10)
Разложения в ряд по малому параметру 5 для направляющих коси-
косинусов при р = ро имеют вид
- 1 _ *2^
2Pg
gPi , g2 ( РЛ ,
П = :—8-^- + -2 5^ Pi-^- + • • • , Pi =
po sin e аФ pi sin e V d* )
§ 10. Напряженное состояние идеально пластических тел 579
Примем в первом приближении
/«1, m «-!$!, пъ ^$1. C.10.12)
' ро де ' ро sm е ^ф v y
Из C.10.4), C.2.2), C.10.12) при р = р0 получим
2. Рассмотрим случай C.10.7), тогда
О 0 0 0 | о/ 0 г\ /о 1 п 1 /i\
Go = Gm, Оп = Go + АК. Хал = U. lo.lU.14)
Из C.2.2), C.10.2), C.10.3), C.10.7) получим:
°'p=o'e = < = °'> т'вФ = °- C.10.15)
Это позволяет записать уравнения равновесия C.10.1) следующим
образом:
C.10.16)
Введем функцию \|/ = \|/(р, 6, ср) таким образом, чтобы выполнялись
равенства
/__J_^? / _ J_^? / _ 1 ду /о 1П 17\
G — о _ . Т^д — о ^_ 1 Тр.,. — о ^. lO.lU.li )
Тогда последние два уравнения C.10.16) удовлетворяются, а первое
уравнение принимает вид
-^ + ^ + ^ + ^V^! + ^ctge = 0. C.10.18)
р2 др2 р3 <9р р4 дв2 р4 sin2 е <9Ф2 р4 ае 6 v ;
Полагая
), (з.ю.19)
из C.10.18) для определения R(p) получим уравнение Эйлера, решение
которого имеет вид
Д(р) = CipC+x)/2 + С2рC"х)/2, % = у/9-4п(п + 1). C.10.20)
580 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Методом разделения переменных найдем решение для Y(б, ср):
У(9,ф)= Y, Ц (атп cosrmp + 6mn sin my)P™(cose), C.10.21)
n=0m=0
где /^(cose) — присоединенный полином Лежандра.
Тогда из C.10.20) и C.10.21) получим
C2PC-*)/2)(amncosm<p + 6mnsi
n=0m=0
C.10.22)
Напряжения в этом случае определяются из C.10.17) и C.10.22):
= Ё Е h (^) р(+х)/2+^ (V) р("х)/2
h (^) рC+х)/2+^ (V) р(
n=0m=0 L V У V У
х (amn cos mcp + 6mn sin гтгф) Р™ (cos 6),
,(-х)/2
x (amn cos m(p + 6mn sin тф)—"^ , C.10.23)
Л-3-х)/2
x Fmn sin шф - amn cosmq)mP™(cose), т'Оф = 0.
С помощью граничных условий C.10.13) можно определить посто-
постоянные Ci, C<i- Для этого положим
оо
Pi (в, ф) = ^2 ^2 («mn cosшф) + 6шп sin шф)Р^(cose). C.10.24)
п=о т=0
Тогда, согласно C.10.24), C.10.23) и C.10.13), при р = р0 = 1
получим
С, = -^ka^-^2, С2 = -1±1
§ 10. Напряженное состояние идеально пластических тел 581
Коэффициенты amn, bmn вычисляются следующим образом:
2% к
1 С С
атп = —— р! (е, ф)Р™(со8б) cos mq> sin QdQdq,
тп о о
Ьтп = —— р! (е, ф) Р^ (cos б) sin ту sin (
mn о о
_ 2тг?т(п + т)! _ Г2 при т = 0,
шп Bп + 1)(п - т)!' т [1 при ш > 0.
3. Рассмотрим случай C.10.8), тогда
а°=а° -о_-о, о,.
^ = 0. C.10.25)
a=a + 2fc,
Из C.2.2), C.10.2), C.10.3) и C.10.8) получим
a'p = a'e = </„ = a', t'p6 = 0. C.10.26)
Согласно C.10.26) уравнения равновесия C.10.1) примут вид
= 9l + J_K=Q
' *T sine аФ '
dp " Psin9 аФ ' *T sine аФ lQ 2
Положим
C.10.28)
Тогда C.10.27) сводится к одному уравнению
p2^+4p^ + ^+3ctge^-^^4=0. C.10.29)
dp2 dp дв2 дв sin2 е дф2 v У
Будем искать частные решения уравнения C.10.29) в виде C.10.19).
Применяя обычную схему разделения переменных, получим решение
уравнения C.10.29) в виде:
х (amn совгтгф + 6mn sin г?гф)(81п 6I+0CP^a'a^(cos6), C.10.30)
С1С2 = const, % — л/9 + 4Х, X = — (n + a)(n + a+l), a = у 1 — m2,
где Pn ' (cosб) — полином Якоби.
582 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Из условий C.10.28) и C.10.30) определяются напряжения:
оо п
а' = Е Е (<?1Р(-3+х)/2+с2Р(-3-х)/2)х
n=0m=0
х (bmn cos mcp + атп sinmq))m(sin 6I+0CP^a'a^(cos
ОО П
= -Psine]T Y:
п=0т=0
х (атп совшф + 6mn sin rmp)(sin eI+aP^a'a)
оо п
п=0т=0
х (атп cos mcp + bmn sin mcp) x
A + a) sin ea cos eP^a'a» (cos в) + (sin e)i+°-9P"'"^cose)
4. Рассмотрим случай C.10.9). Тогда имеем
g°p=g°, a°=al + 2k. C.10.31)
Из C.2.2), C.10.2), C.10.3) и C.10.9) получим
°р = °'е = < = °', <Ф = 0. C.10.32)
Согласно C.10.32) уравнения равновесия C.10.1) примут вид
В этом случае введем функцию \|/ = \)/(р, 6, ср) таким образом, чтобы
выполнялись равенства
a-psine9e' Te*~sin2e%' pe ~ sine \дР Р) '
§11. Напряженное состояние тел, близких к коническим 583
Тогда из C.10.33) и C.10.34) будем иметь
Из уравнения C.10.35) определяется функция \|/:
оо п
' 4Г* (~1+х)/2_|_/^ (~l~x)/2W
п=0т=0
х (атп cos шФ + 6mn sin raq>)(sin 9I+0СР^а'а)(cos 9), C.10.36)
x = y/g + 4Я,, X,= -(n + a)(n
Напряжения в этом случае определяются согласно C.10.36),
C.10.34):
а' = -
sme
n=0m=0
х (amn cos гтгф + bmn sin гтгф) х
^ 9)
х A + а) cos 9 sin еар^а'а) (COs 9) + (sin9I+oc—-
ОО П
n=0m=0
x (amn sin гтгф — 6mn
ОО П /
= -iE E (^
n=0m=0
§ 11. Напря^сенное состояние идеально
пластических тел, близких к коническим
Рассмотрим напряженное состояние идеально пластических тел,
близких к коническим.
Сферическое деформированное состояние реализуется в телах ко-
конической формы, когда нагрузки, приложенные на боковой поверхно-
поверхности, постоянны вдоль образующих конуса.
584 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Как показано в [21], уравнения равновесия имеют вид
+ ^ + (
+ ^ + 2*с18в=0 <* =
Условие предельного состояния имеет вид
(се - сфJ + 4т2ф = 4k2, к = const. C.11.2)
Уравнение границы запишем в виде
е = ео + 5/(ф), ео = const, (З.и.З)
где 5 — малый параметр, 5 <^С 1.
Предположим, что боковая поверхность свободна от усилий, тогда
на границе
аф cos (ггф) + тОф cos (пв) — 05
т0фсо8(ггф) +aecos(n6) = 0, C.11.4)
где п — нормаль.
Решение будем искать в виде
оу=о^+5о/у, C.11.5)
\а°9-а;\=2к, а°=±2Ып^,
sin9 C.11.6)
Линеаризированное условие пластичности C.11.2), в силу C.11.5) и
C.11.6), принимает вид
a;-a; = 0, C.11.7)
а уравнения C.11.1) приводятся к виду
Удовлетворим уравнению C.11.9), полагая
sin 6
§11. Напряженное состояние тел, близких к коническим 585
Тогда уравнение C.11.8) принимает вид
—2- - ctg6- з г = °- C.11.11)
де2 #е sin2 е аФ2 v y
Положим
*(ф,е) = Ф(Ф)в(е), C.11.12)
тогда уравнение C.11.11) сводится к системе двух уравнений
ф" + ш2ф = 0, C.11.13)
0" - ctgee' + ^V® = 0, C.11.14)
sin 6
где т = const.
Решением уравнения C.11.13) является функция вида
ф(ф) = Cicosrmp. C.11.15)
Для решения уравнения C.11.14) произведем замену
к = cose, 0 ^ 6 ^ л, -1 ^ к ^ 1, C.11.16)
в результате которой рассматриваемое уравнение примет вид
или
(к2 - IJ 0" + m20 = 0. C.11.17)
Полагая в уравнении C.11.17)
0 = A-х) л E), ^ = lnj3^ -oo^^oo, C.11.18)
получим уравнение с постоянными коэффициентами
4 (л" - л') + ™2Л = 0, C.11.19)
решение которого будем искать в виде
Л (О = е^. C.11.20)
Характеристическое уравнение имеет вид
4Х2 -4Х-\-т2 = 0.
Тогда
1 1 \/т2 — 1
1) *.! = - + »?, Ая = --»р, Р = ^ . |т|>1; C.11.21)
586 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
2) ^1 = 2+9, ^2=2~9' q = 2~^' \т\<11 гп^О;
3) A,i = 0, Хг = 1, m = О;
4) Хг =Х2 = -, m = ±1.
Таким образом, согласно C.11.21), C.11.20), C.11.18) и C.11.16),
получаем
1) 0(е) = (С3 cos гх+ С4 sin гх) sine, C.11.22)
Vm2 — 1 . 1 + cos 6 , л
и = In , т\ > 1;
2 1 - cos 6' ' '
\т\ < 1, т ф 0;
4)
В дальнейшем будем рассматривать только случай 1).
Согласно C.11.10), C.11.12), C.11.15), C.11.16), C.11.22) компонен-
компоненты напряжений принимают вид
/ у/т2 — 1 \
= — ( (Л cos и + В sin и) ctg 6 (Л sin и — В cos и) : I cos гтгф,
C.11.23)
tL = —:— (Л cos и + В sin гл) sin гтгф, Л, В = const.
Sin О
Линеаризируя граничные условия C.11.4) с учетом C.11.3), C.11.5)
и C.11.6), получаем
а'е=0, т'еф-а^=0, 9 = 60. C.11.24)
Функцию / зададим в виде
/ = D cos гтгф, D = const,
§ 12. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 587
тогда, подставляя выражения C.11.23) в граничные условия C.11.24),
получим систему для определения коэффициентов А и В:
л _ R cos uoVm2 — 1 — sin uo cos Go
cos uo cos Go + sin UoVm2 — 1
Da°sine0 = Acosu0 + Bsinu0, C.11.25)
где
Vm2 — 1 . 1 + cos Go
^0 — ^ ln -, •
2 1 - cos Go
ЗАМЕЧАНИЕ: если вместо уравнения C.11.9) удовлетворить урав-
уравнению C.11.8) с помощью замены
то вместо уравнений C.11.11) и C.11.17) получим
<9Ф о аФ 1 дЧ Л
—о- +3ctg6^ о о- =0
^g2 & ^e sin2 g dif
(х2 - IJ 0" + 4k (у? - 1) 0' + т2в = 0,
которое, в итоге, сводится к гипергеометрическому уравнению
Я (а, р, у, л, 0 = 0,
где
6(е) = (-sin2e)%@, ^ = (l + cose)/2, s = (-1
а= -1 + д/l -ш2, р = 2 + д/l -ш2, у= 1 + д/l- ш
§ 12. Растя^сение идеально пластического
прямоугольного бруса, ослабленного пологими
выточками, при условии полной пластичности
Возьмем брус прямоугольного сечения, ось z направим вдоль оси
бруса, длины сторон вдоль осей ж, у обозначим соответственно через
2а, 26 (рис. 182).
Рассмотрим пластическое течение бруса под действием растягиваю-
растягивающей силы, действующей вдоль оси z.
588 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Уравнения сторон бруса представим в виде
х = ±(a + 8/i (y,z)),
C.12.1)
C.12.2)
Считая материал бруса идеально жесткопластическим, запишем
условия предельного состояния для главных компонент напряжений Oi
в виде:
= с2, а3 - oi = / (а), а = (ai + а2 + а3) /3.
C.12.3)
Ребро призмы Треска, интерпретирующей в пространстве главных
напряжений условие постоянства максимального касательного напря-
напряжения, имеет место при / (a) = const.
В ^>
z^
Условия связи главных компонент напряжений в декартовой систе-
системе координат ж, у, z записываются в виде
= 0 A23)
, C.12.4)
где 1{,т{,П{ — направляющие косинусы; недостающие соотношения
получаются круговой перестановкой индексов A23), (xyz).
Из C.12.3), C.12.4) найдем
C.12.5)
(cx-c + f (a) /3) К - a + / (a) /3) - х2ху = 0,
(аж - a + / (a) /3) xyz - xxyxxz = 0 (xyz) .
Решение будем искать в виде C.12.5).
§ 12. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 589
Невозмущенное состояние E = 0) примем в виде
а°г= const, a°x-f(^)=0, c°x = о° = х°ху = х°хг = x°yz = 0.
C.12.6)
Линеаризируя соотношения C.12.5), учитывая C.12.6), получим
о'х=о'у, v'z = Ko'x, x'xy=0, C.12.7)
3 да J / \ 3 да У
где индекс градус у производной df /да означает ее значение при а =
Из уравнений равновесия и C.12.7) будем иметь
о~ ~\~ о~ — -** 9~ ^ О, Т™.. ^ U, (о.1-2.о)
ох ду oz
i _ / _ 9V_ i _ ^^
, at/
%xz ~ дх' ху* ~ ду '
Отметим, что для условия пластичности Треска df°/до = 0, К =
= 1. В дальнейшем ограничимся случаем гиперболичности уравнения
C.12.8) и положим К = у?. Тогда уравнение C.12.8) примет вид
Решение уравнения C.12.9) представим в виде
U = С cos mx cos ny sin—, X = ±у т2 + гг2, С = const. C.12.10)
Согласно C.12.8), C.12.10) будем иметь
/ / —2 / ^^ ^
ах = ау = [i az = — cos mx cos ny cos —,
i'xz = Cm sin mx cos ny sin—, C.12.11)
xyz = Cn cos mx sin ny sin—, xxy=0.
590 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Предположим, что боковые грани свободны от напряжений, тогда
граничные условия на C.12.1), C.12.2) запишутся в виде
<зх1 + Ъхут + xxzn = 0,
W + Оугп + %yzn = 0, C.12.12)
^xzl + ^yzm + azn = 0,
где /, m, n — направляющие косинусы нормали к граням бруса.
Рассмотрим грань C.12.1). В этом случае нормаль к невозмущенной
грани совпадает с осью х. После линеаризации, согласно C.12.1), будем
иметь
®А. C.12.13)
Из граничных условий C.12.12), учитывая C.12.4), C.11.5), C.12.6),
получим
D=0, 4*-°*7> =0 прИ х = а' C.12.14)
Аналогично, для грани C.12.2)
ау=0, Tfyz-o°z-Jl =0 при у = Ь. C.12.15)
Из C.12.14) найдем
cosma = 0, -^- = (—1) —^cosnysin—, C.12.16)
dz
откуда
та = , к = 0, dzl,. . .
^-lDd,). C.12.17)
В дальнейшем, не умаляя общности, положим D = 0. Аналогично
из C.12.15) найдем
пBк + 1)
nb=
? / -1\А;+1 Cn\i Xz ( v
/2 = (-1) —о-^- cos шж cos—. C.12.18)
azX \i
Максимальная длина выточки будет при к = 0, тогда, согласно
C.12.17), C.12.18), получим
та = nb = я/2,
§ 12. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 591
следовательно
т=?, „ = ?. C.12.19)
Согласно C.12.11), C.12.19) определим искомое напряженное состо-
состояние для компонент возмущений:
„ n . nx ny . nVa2 + b2z ( Л
= C- sin - cos - sin 2аЬц , C.12.20)
Соотношения C.12.1), C.12.2) соответственно запишутся в виде
C.12.22)
Cn\i
В общем случае решение следует искать в виде бесконечной суммы
U = У^ Cij cos rriiX cos rijy sin -^—. C.12.23)
Согласно C.12.8), C.12.23) могут быть определены компоненты
напряжений. Если функция f\(y,z) определена, то из граничного
условия C.12.14), C.12.8) и C.12.23) получим
а°—^—^—- = 2_\ cijmi sm mi%cosrijysm -^—. C.12.24)
OZ *—^ [i
Из C.12.24) можно найти Cij. Тем самым все компоненты напряже-
напряжений будут определены. В этом случае из граничного условия C.12.15) и
выражения для x'yz можно получить значение функции /2 (x,z). Таким
образом, произвольно может быть задано уравнение одной боковой
выточки.
592 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
§ 13. Растяжение идеально пластического
прямоугольного бруса, ослабленного пологими
выточками, при условии пластичности Мизеса
Рассмотрим растяжение идеально пластического прямоугольного
бруса, ослабленного пологими выточками, при условии пластичности
Мизеса.
Соотношения теории идеальной пластичности запишем в виде:
гх = Xl 2ож - Су — az — ^- J , гху = ЗХтху, X ^ О,
\ /
гу = X ( 2оу —oz—gx — -^-\, ?xz = 3^тЖ2, C.13.1)
ez = X ( 2az - ax - Су - -^ J , zyz = SXxyz,
(<*x ~ vyf + К - ozf + (a, - axf + 6 (x2xy + x2xz + x2yz) = 6/ (a),
C.13.2)
о = ~(ox +oy +oz),
где аж, тЖ2/, . . . ; гж, гЖ2/, ... — соответственно компоненты напряжений
и скоростей деформации в декартовой системе координат ж, у, z.
Имеют место формулы Коши
ди dv dw
?xy - 2 \^dy + dxj , Zxz - 2 ^^ + dxJ » 8^ - 2 ^z 5
A.10.11)
где u,v,w — компоненты скорости перемещения вдоль осей х,у, z.
Рассмотрим брус квадратного поперечного сечения (рис. 182). Урав-
Уравнения поверхностей боковых граней представим в виде C.12.1), C.12.2)
при b = а.
Брус растягивается вдоль оси z, боковые грани свободны от напря-
напряжений. Граничные условия на боковых поверхностях удовлетворяют
условиям C.12.2).
§ 13. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 593
На грани ADEF (рис. 182), аналогично BCHG, согласно C.12.1)
направляющие косинусы нормали с точностью до малых высшего по-
порядка примут вид C.12.13).
Решение будем искать в виде
Oij = <%. + бс^, гц = е?,. + 8е^, и = и° + Ъи1, . . . , X = Х° + 8А,',
C.8.8)
где
C.13.3)
Согласно C.12.12), C.12.13), C.8.8), C.13.3) получим
<4=0, 4,= 0, т'ж,Та^=0, ж = ±а. C.13.4)
Аналогично для граней ABGF, DC НЕ (рис. 182) будем иметь
а;=0, <в=0, <гТо^ =0, У = ±а. C.13.6)
Удовлетворим уравнениям равновесия при помощи формул Макс-
Максвелла для компонент напряжений
(ЗЛЗ-7)
2 о2 о2
XI , ^ %3 / ^ Х2
z дх1 ду- ' yz
где %г — функции напряжений.
Решение будем искать при предположениях
Xi=-X2=X, Хз = О. C.13.8)
Из C.13.8), C.13.7) получим
, __ , __д\
%xz = dxdz' ту* = ~ dydz'
Согласно C.13.9) в плоскости ху для компонент возмущения имеет
место напряженное состояние чистого сдвига: о'х = — а^, т'ху = 0.
594 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Линеаризируя условие пластичности C.13.2), используя C.13.3),
C.8.8), получим
О /о / / / \ I / / | / | / \ r\ I U J /q I Q 1 Г\\
Согласно C.13.9) условие C.13.10) тождественно удовлетворяется.
Из C.13.1), C.13.3), C.8.8)получаем
о
г°х = е« = ~х° (а1 + *о) > ^ = ^° Bа° - к0), а° = о z ,
v° = —Х° (а° + ко) у-> w° = Х° Bа° — ко) z.
Согласно C.13.11), C.13.9), A.10.11), C.13.1) будем иметь
дх \ х у/ z
— ~Г — U, —^ ~Г ~^ VJ/V/ ^Ж25
оу ox oz ох
dv dw o /
~dz~ + ~dy~ = 6x %v*-
Положим
/ С/ Mr i С/ Mr i ^ _. (*У Л *i Л *У\
U — , и — , Uu — А — U. lO.J-O.-LoJ
Согласно C.13.9), C.13.12), C.13.13) будем иметь
( }
Искомое решение представим в виде
% = Рcospxcospy e~^z, ji = y2p = const,
уО.lo.
Ф = Q cos px cos py e~^z, Q = 6X°P = const.
Согласно C.13.9), C.13.13), C.13.14), C.13.15) найдем
<4 = "< = ~2Рр2 cos px cos ру е~^рг, ofz = 0, т' = 0,
§ 13. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 595
T'xz = л/2Рр2 sin px cospy e~^pz,
x'yz = -\/2Рр2 cos px sin py e~^pz,
v! = — 6X°Pp sin px cos py e~^2pz.
C.13.16)
vf = 6X° Pp cos px sin py e~^2pz, w' = 0,
г'х = -г'у = -6X°Pp2 cospx cos py e'^2^:, г'х = О, г'ху = О,
гху
2 ^
O Pp2 sin px cos py е
z'yz = -6V2X°Pp2cospxsmpy
Из граничных условий C.13.4), C.13.6) и условий C.13.16) получим
)*
Л (У, z) = - (-1)* ^-Ц^ cos ^Мке-^^, (ЗЛ3.17)
f2{x,z) = (-1) ^г-Ц^ ^cos-^——^е ^2« , Рд; = const.
oz 2a 2а
Тогда выражения C.13.16) примут вид
я2 A + 2/Q2 кA+2к)х жA+2к)у _
cos 2 cos 2 e
2fl
2
= 0, <у = 0,
, ик2A+2кJ . кA+2к)х кA+2к)у -t&
t' = Pfc r- „ Sin — '— COS —^— —e v
2\/2a 2a 2a
, DK2(l+2fcJ яA+2/Ь)а; . jt A + 2Jfe) j/ -<
2a S1" 2a
Kos
2a 2a
sm
t?7; = 0,
/ 0,0 n ^2A +Щ2 n(l+2k)x nil + 2k) у -
-г,. = — 6X ru ^ cos cos e
y 2a 2a 2a
< = o> eU = 0»
596 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
e>xz = ЖР/ <^j*>2 sin *V + ">« сое *
sin
Решения C.13.17), C.13.18) могут быть просуммированы по к.
Уравнения поверхностей боковых граней бруса C.12.1), C.12.2),
согласно C.13.17), запишутся соответственно в виде
а-8(-1) —^^ ^cos^—^-е ^ ,
C.13.19)
<w i4/fe Pk n(l +2k) n(l+2k)x —
+ 5(—1) —5—^— cos —-— —e
az 2a 2a
Условие пластичности для анизотропного материала записывается
в виде
Л (сж - СуJ + В(су- azJ + C(cz- axJ +
+ б (Dx2xy + Et2xz + Fx2yz) = б/ (а), C.13.20)
А,В,...= const.
Полученные результаты могут быть распространены на случай анизо-
анизотропного материала при В = С, Е = F.
§ 14. Растяжение идеально пластического
прямоугольного бруса, ослабленного пологими
выточками. Продолжение
Рассмотрим пространственное идеально пластическое состояние
призматических тел переменного прямоугольного сечения при условии
соответствия напряженного состояния граням и ребрам кусочно линей-
линейных условий текучести.
1. Обозначим через а^-, г^- компоненты тензоров напряжения и
скорости перемещения соответственно. Условие предельного состояния
запишем в виде
F(oy)=0. C.14.1)
Согласно ассоциированному закону течения будем иметь
BF
е«=ц?-, Ц^О. C.14.2)
§ 14. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 597
Припишем компонентам исходного состояния индекс градус навер-
наверху, компонентам возмущенного — индекс штрих наверху:
°Ц=<Рц+</ц, eij=$i+<j- C-14.3)
В качестве исходного примем однородное напряженно-деформи-
напряженно-деформированное состояние в декартовой системе координат ж, ?/, z:
о2=о?, 4 = 4, о5=<& х2„ = й = & = о, C-14-4)
г°=г?, г°=е°, г° = е°, г°ху = e°yz = г°2 = 0, C.14.5)
где а^, г^ — главные компоненты напряжения и скорости деформации.
Линеаризируя соотношения C.14.1), C.14.2) при условиях C.14.3)-
C.14.5), получим
а3о'3 = О, аг = ——= const (г = 1,2,3), C.14.6)
где индекс градус означает, что значения производных функций F, \\f{
ВЗЯТЫ при Oi = О®.
В дальнейшем будем полагать, что условие пластичности не зависит
от среднего давления а = (аж + оу + oz)/3. Тогда в формулах C.14.6),
C.14.7)
«1 + «2 + «з = 05 ?i + ?2 + Уз = 0. C.14.8)
Обозначим d\\f®/doj = Ь{^ согласно C.14.7), C.14.8), получим
8^ = Ц° (Ьцъ\ + 6i2C>2 + bisO3) + jl'tti, bij = bji, Ьп + bi2 + bis = 0.
C.14.9)
Соотношения связи между главными компонентами напряжений и
скоростей деформации с^, 8^ и компонентами а^-, 8^ в ортогональной
системе координат ж, у, z для изотропного тела запишем в виде
ох = cMi -\-o2rnj +c3rzi, тЖ2/ = giM2 + a2mim2 + a3nin2, C.14.10)
еж = ei/j + 82mi + 83П1, ?xy = 81/1/2 + г2т1т2 + 83nin2, C.14.11)
/1 + m\ + ni = 1, /i/2 + mim2 + nin2 = 0, C.14.12)
A23, xyz, Imn),
где /^, гтг^, rti — направляющие косинусы, обозначения
A23, xyz, Imn) означают, что недостающие выражения получаются
круговой перестановкой индексов 1, 2, 3, ж, у, z и косинусов /, т, п.
598 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Полагая, наряду с C.14.3):
/. = /О + /75 mi=m4 + m'i, щ = п°{ + п\,
1° = т1 = п°3 = 1, l\ = Z§ = т\ = т°3 = гг? = п% = О, C.14.13)
линеаризируя соотношения C.14.10)—C.14.12), получим
о%, C.14.14)
е' —с7 с' — с7 о7 — о7
гж — г1 ? гу — г2 ? г2; — гЗ ?
eL^ei'2 + ^mi, е^ = e^mj,+^n;2, 4, = egni+#з, C.14.15)
/7 = ш72 = гг'з = 0, Z^ + mi = 0, mf3+nf2 = 0, ni+Zg = 0. C.14.16)
Из C.14.14)-C.14.1б) найдем
тжу = аху?ху> Txz = axz^xz-> Tyz = ayz^yz<>
axy = ~o б", ayz = ~o б", axz = ~o б", C.14.17)
?ж -Ey Ey- ?z ?z ~ ?x
где, согласно ассоциированному закону течения, аху, ayz, axz ^ 0.
Для напряженно-деформированного состояния, определяемого со-
соотношениями C.14.3)-C.14.5), согласно C.14.14), C.14.15), соотноше-
соотношения C.14.6), C.14.9) можно переписать в виде
а^'х + а2ау + a3afz = 0, C.14.18)
г'х = ц° (Ьпс'х + Ь12с'у + b13c'z) + ц;а1 A23, xyz). C.14.19)
К семи соотношениям C.14.18), C.14.19), C.14.17) следует присо-
присоединить три уравнения равновесия:
94 dt dt <3-14-20)
Перейдем в соотношениях C.14.11), C.14.12) к компонентам скоро-
скоростей перемещений по формулам Коши:
<, = Щ^А, C.14.21)
где и\ — компоненты скорости перемещений.
Десять соотношений C.14.17)-C.14.20) определяют замкнутую си-
систему десяти уравнений относительно десяти независимых переменных
§ 14. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 599
Удовлетворим уравнениям равновесия при помощи функций напря-
напряжений Максвелла:
8^ ** , |!? hZ). (ЗЛ4.22)
dz- ду- ху дхду у 123 у
ду- ху дхду у 123 у
Решение будем искать в виде
Х{ = AiemxenyeXz, ц' = BemxenyeXz, v!{ = С\ешхeny'eXz,
C.14.23)
где Ai, ?, С*, m, ггД = const.
Согласно C.14.21)-C.14.23) из C.14.17)-C.14.20) найдем
А3п2) + а2 (Л3ш2 + АгХ2) + а3 (Л^2 + А2т2) = О,
C.14.24)
С1т = цо(бп (Л2?12 + А3п2) + 612 (Л3ш2 )
+ Ь13 (Лщ2 + А2т2) ) + Bai C.14.25)
(xyz, 123, гтггг^),
2азтп + аху (Cin + С2т) = 0 (xyz, 123, шггЯ,). C.14.26)
Подставляя в C.14.26) значения Ci из C.14.25), получим систему
трех уравнений:
[i° {A j [гг2 (б13гг2 + 623ш2) + X2 (б12гг2 + 622ш2)] +
+ А2 [X2 (Ьпп2 + 621ш2) + т2 (Ь13п2 + 623ш2)] +
+ А3 [т2 (Ъ12п2 + 622ш2) + п2 (bun2 + 62im2)] } +
+ в (а.п2 + a2m2) = 0 (жуг, 123, тпХ). C.14.27)
Присоединяя к трем уравнениям C.14.27) уравнение C.14.24), по-
получим однородную систему четырех уравнений относительно четырех
неизвестных Ai, В. Приравнивая определитель этой системы к нулю,
получим уравнение для определения зависимости значения X от т, гг,
выражение которого вследствие громоздкости здесь опустим.
2. Рассмотрим случай задания условия пластичности C.14.1) в виде
плоскости в пространстве главных напряжений:
aoi + bo2 + соз = 0, a + b + c = 0 (a, 6, с = const) . C.14.28)
600 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Линеаризируя соотношения C.14.28), учитывая C.14.14), получим
аа\ + Ьа2 + са3 = 0, аох + bafy + cdz = 0. C.14.29)
Согласно ассоциированному закону пластического течения
е°=А, е?=ц°6, е°=ц°с, ц° > 0, C.14.30)
4=ц'а, «?=ц'6, е'г=ц'с, ц'Х). C.14.31)
Отметим, что условия C.14.29), согласно C.14.31), можно записать
в виде
<44 + « + « = °- C.14.32)
Обозначая компоненты перемещения uf,vf,wf, удовлетворим соот-
соотношениям C.14.31), полагая
U=a V=b W=C »= (ЗЛ433)
Величины Efx,Efy,Efz определены согласно C.14.31), C.14.33). Из
C.14.33), C.14.21) будем иметь
г'ху = (а—- + ь—2"] (xyz, abc). C.14.34)
Из уравнений C.14.20), C.14.17), C.14.34) получим
я2<тЛ1
= 0
д4 , дЧ\ , / 92Ф , дЧ
2, abc).
C.14.35)
Три уравнения C.14.35) и соотношения C.14.29) определяют за-
замкнутую систему четырех уравнений относительно четырех неизвест-
неизвестных dx,dy,dz,$.
Положим
о'у =
, ofz = С3етх епу eXz,
C.14.36)
ф = АешхепуеХг, (Си Л, т,п,Х = const).
Из C.14.35), C.14.39), согласно C.14.36), найдем
1тС\ = —ЛпХ [аху (an2 + 6m2) + axz (aX2 + сгтг2)]
A23, гтггг?1, xyz, abc),
aCi + ЬС2 + сGз = 0. C.14.38)
§ 14. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 601
Из C.14.37), C.14.38) получим уравнение
ахуХ2 (an2 + bm2J + ayzm2 (bX2 + en2J + axzn2 (cm2 + aX2J = 0,
C.14.39)
или
X4 (a2axzn2 + b2ayzm2) + X2 \2m2n2c (axza + ayzb) +
+axyX2 (an2 + 6m2J] + c2m2n2 (axzm2 + a^n2) = 0. C.14.40)
Согласно C.14.34), C.14.36) будем иметь
г'ху = ^
(an2 + bX2) emxenyeXz (xyz, abc, mnX) . C.14.41)
Из C.14.41), C.14.39) получим
о-убх, + °у*«& + а**& = О- C.14.42)
Выражение C.14.42), согласно C.14.17), можно переписать в виде
Чу^'ху + V8U + Т^8^ = °- C.14.43)
Из C.14.32), C.14.43) следует
о'..г'.. = ofJx + а^; + с'Х + 2 (т'^8^ + т^г^ + xxzz'xz) = 0. C.14.44)
Таким образом, искомая связь C.14.39), C.14.40) между величина-
величинами т, гг, X может быть установлена из условия C.14.44).
На рис. 183 уравнению C.14.28) со-
соответствует грань PQ в девиаторной
плоскости.
Предположим, что
а°^0, а°=а°=0. C.14.45)
Согласно C.14.45) исходное напря-
напряженное состояние соответствует точке
Р на рис 183.
Из C.14.30) получим г°х - г°у =
= ц° (а — Ь). При а ф 6, ц° ф 0 величи-
величина г^ —г^ отлична от нуля, тогда, соглас-
согласно C.14.45), C.14.17), аху = 0, т'ху = Рис. 183
= 0, axz, ayz ф 0. В этом случае из
C.14.39) получим
ЬХ2 + сп2 = 0, аХ2 + ст2 = 0. C.14.46)
602 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Из C.14.46) получим
2 2 2 2
. о cm сп т п
а о а о у ат V ат
C.14.47)
При одноосном растяжении вдоль оси z имеет место г^ > 0; е°, г^ <
< 0, тогда с > 0, a, b < 0, следовательно, если т,п — мнимые
величины, X — также мнимая величина, и искомое решение может быть
определено в виде
Gfx = C\ cos mx cos ny cos Xz (xyz, mnX, 123),
х'ху = 05 xxz = axzAmnXcosmx sin ny cos Xz (ху, тп), C.14.48)
и1 = ЛапХ cos mx sin ггу sin Xz (ufvfwf, abc, mnX, xyz) .
Граничные условия на боковых гранях тела будут иметь вид
ох1-\-тхур-\-%xzq = 0 (xyz, Ipq), C.14.49)
где /,р, q — направляющие косинусы нормали к граням тела.
Уравнения граней зададим в виде
x = ±(h1+f1 (у, z)), /1/Л1 < 1, C.14.50)
у = ± (Л2 + /2 (у, ^)), /2/Л2 < 1. C.14.51)
Из C.14.50), C.14.51), C.14.48) при т'ху = 0 будем иметь
4=0, Tfxz-^o°z=0 при Ж = ЛЬ C.14.52)
4=0, Tfyz-^a°z=0 при у = Л2, C.14.53)
Из C.14.52), C.14.53), C.14.48) получим
ra/ii = - + rcfci, гг/г2 = - + 7i/c2, /ci, fc2 = ±0,1, 2,... C.14.54)
Отсюда при &i = &2 = 0 найдем m = ——, -т- = а/—.
2/ii rii у о
Функции /i,/2, при которых имеет место решение, определяются
согласно C.14.52), C.14.53), C.14.48).
Таким образом, решение в классе мнимых значений т,п,Х воз-
возможно при определенных соотношениях сторон бруса. В общем случае
решение следует искать в классе комплексных чисел, определяемых
согласно C.14.40).
§ 14. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса 603
Отметим, что грани аз — gi = 1 условия пластичности Треска
соответствуют значения а = — 1, 6 = 0, с = 1. Из C.14.46) получим п =
= 0, X = ±т. Таким образом, деформирование происходит в плоскости
xz и решение совпадает с результатами работы [179].
3. Рассмотрим ребро, определяемое пересечением двух плоскостей
текучести:
«1 + «2 + «3 = 05 6i + 62 + 63 = 0.
C.14.55)
Линеаризируя C.14.55), получим
а3 = 0. C.14.56)
Из C.14.56) следует
а'х = а'у = a'z = а'. C.14.57)
Согласно ассоциированному закону течения
81 =
у
C.14.58)
Из C.14.58), C.14.57), C.14.55) найдем
4^ж + « + а^; = 0. C.14.59)
Уравнения равновесия C.14.20), согласно C.14.57), C.14.17),
C.14.21), примут вид
ди' dv\ (ди dw\
C.14.60)
К трем уравнениям C.14.60) следует присоединить условие несжи-
несжимаемости
7Г + ?- + 9~f = °- (ЗЛ4-61)
дх ду dz v J
Решение системы четырех уравнений C.14.60), C.14.61) относитель-
относительно четырех неизвестных of ,uf ,vf, w' ищем в виде
и' = Схешх епу eXz, v' = С2ешх епу eXz, w' = С3ешх епу eXz,
а/ = АешхепуеХг, (С», Л, т,п,Х = const). C.14.62)
604 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
В дальнейшем положим
d = апХ, Сг = bXm, d = стп. C.14.63)
В данном случае здесь и ниже величины а,Ь,с — произвольные
постоянные.
Из C.14.62), C.14.63), C.14.61) получим
а + 6 + с = 0. C.14.64)
Из C.16.62), C.16.63), C.16.60) найдем три уравнения
1Ат + Хп (аху (an2 + bm2) + azx (аХ2 + cm2)) = 0 (xyz, mnX, abc)
C.14.65)
Умножая уравнения C.14.65) соответственно на апХ, ЬХт, стп,
складывая их, учитывая C.14.64), получим уравнение
ахуХ2 (an2 + bm2J + ayzm2 (bX2 + en2J + axzn2 (cm2 + aX2J = 0
C.14.66)
Уравнения C.14.39), C.14.66) по форме совпадают между собой.
В случае грани C.14.28), C.14.39) величины а,Ь,с — являются
физическими величинами, в случае ребра C.14.66) величины а, 6, с,
согласно C.14.63), — произвольные постоянные.
Определяя из C.14.36) постоянные С^, согласно C.14.63), из
C.14.36), C.14.62) найдем соответствие между напряженным и
деформированным состоянием для случаев грани и ребра:
с'ж ** и', оу <г± v1\ o'z <r± w1\ Ф' ^ а'. C.14.67)
Отметим, что, согласно C.14.62), C.14.63), C.14.21), C.14.17), соот-
соотношение C.14.66) можно переписать в виде C.14.43), принимая во вни-
внимание C.14.59), получим, что и в данном случае имеет место C.14.44).
В случае ofx = ofy = ofz = а', х'ху = 0, согласно C.14.22), будем иметь
д Х2 д Х3 д Х3 д Х-[ д~Х\ д Х2 д Х3 п {о 1 л аоЛ
dz- ду- дх- dz- ду- дх- дхду v J
Принимая Xi в виде C.14.23), из C.14.68) найдем
А2Х2 + Л3п2 = А3т2 + АгХ2 = А^п2 + Л2т2, А3тп = 0. C.14.69)
Полагая далее т, п ф 0, получим
Ai=A2, A3 = 0, Х2 = т2 + п2. C.14.70)
§ 15. Линеаризированные уравнения пространственного течения 605
Согласно C.14.23), C.14.70) искомое решение может быть опреде-
определено в виде
till i.9 л л i / О О
аж = °у = °z = а = АХ cos mx cos ny cos Xz, X = ±ymz + nz,
ifxy=0, t?xz = — AmXsin mxcosnysinXz (xy, run). C.14.71)
Согласно C.14.71), C.14.53), C.14.54) будем иметь
= 7u/2 + 7ufcb nh2= к/2+ кк2, fci, k2 = ±0,1,2... C.14.72)
При k\ = k2 = 0: m/гг = h2jh\.
§ 15. Линеаризированные уравнения
пространственного течения идеально пластических
анизотропных тел
Предположим, что напряжённое состояние соответствует ребру
призмы Треска (условие полной пластичности)
c>i=G2, 03 —oi=E. C.15.1)
Учитывая условия C.12.4) из C.15.1) получим
1 2
<зх = а — — Е + E72-J1, iXy -
о
2/ 1 2 C.15.2)
а2 = а - -Е + Егг3, т^^ = ^П2Пз,
Е = Е(ггьгг2,ггз),гг2 + гг2 + ггз = 1. C.15.3).
В дальнейшем индекс градус наверху припишем компонентам на-
начального состояния, индекс штрих наверху — компонентам возмуще-
возмущения. Рассмотрим случай, когда нормаль п (щ, П2, пз) совпадает с
осью z, тогда п\ = п\ = 0, п® = 1. Линеаризируя соотношения C.15.2),
C.15.3) получим
пз = °5 х'ху = °5 4z = *Wi, Tyz = Е0П2, C.15.4)
21 + ^Г
о
п2.
о
606 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Введём обозначения
1 дТ,
ЗТ,одп
1 дТ,
о
ЗЕ0 дп2
= В, Л, В = const. C.15.5)
о
Согласно C.15.4), C.15.5) получим
а'х = </у = а' - (Ai>xz + Bi>yz), </г = а'+ 2(Ai>xz + B-iyx). C.15.6)
Согласно C.15.4) уравнения равновесия примут вид
f f \ C.15.7)
~dz~ + ~дх~ + ~ду~ = 0'
Уравнениям равновесия C.15.7) удовлетворим, полагая
Из C.15.7) и C.15.8) получим уравнение
—7г -\ 7г + ЗА Ь ЗВ = 0. C.15.9)
дх2 ду dz2 dxdz dydz v J
Рассмотрим выражение скорости диссипации N = а^г^-, которое,
согласно C.17.2), примет вид
лт о v I v/ 2 | 2 | 2 |
), C.15.10)
Соотношения ассоциированного закона течения определяются из
условия экстремума функционала
А = N - XF - \i(n\ + п\ + п\ - 1), C.15.11)
где
F = Е - Е(щ, гг2, гг3) = 0, C.15.12)
Я,, ji — мнол<ители Лагранжа.
Соотношения ассоциированного закона течения запишем в виде
О П7
гж + . . . + 2гг!гг2гЖ2/ + . . . = А,— = Я, C.15.14)
§ 15. Линеаризированные уравнения пространственного течения 607
п2гху
1 , X
1 , X
1 , А,
-(- -
C.15.15)
Из соотношений ассоциированного закона течения получим для
исходного состояния
лО _ О О— П ° — __Л°4 ° _ __)Оп
А — 8^, 8 — U, Zxz — 2 ' У* ~ 2 '
О лО/ ^ ^^ i \-^ \ О i О л О
11 = V 2 дгГ / ' 8ж 8^ = ~ "
\ О '
Линеаризируя соотношения C.15.14), C.15.15), получим
C.15.16)
C.15.17)
C.15.18)
где
о
Сц = 9Х А + 8Ж -
С12 = 9^°
А
П qt, 0 г>2 , I1 0
O21 = УЛ i) + —8
C.15.19)
+ 8 —-
Переходя в C.15.18) к компонентам скоростей перемещений по фор-
формулам Коши, присоединяя условие несжимаемости C.15.13), учитывая
C.15.4), C.15.8), получим систему уравнений для нахождения компо-
компонент перемещения:
ди dv dw
ди dw'
^ + ~by-
ди' dw'
dw'
ди
ди
ди
~dy^
ди
C.15.20)
608 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
где
Из C.15.20) получим уравнение для определения w'\
d
2w' aVaV d\J d2w'
Компоненты и'\ vf определяются из соотношений C.15.20).
Для изотропного тела имеет место
А = В = 0,
О Ъ
= 0, (E0 = 2fc), C.15.23)
следовательно
/~i 0 0 s~i 0 s~i 0 0 /о 1 г ол\
^11 — ?2 ~~ ?Т) ^12 — ~еГ7У5 ^22 — ?2 ~ e7i' (О.15.24)
Таким образом, согласно C.15.23), C.15.24), для изотропного тела
имеют место уравнения
дх2 ^ ду2 dz2
C.15.25)
В случае отсутствия начального деформирования г^ = г^ = г^у = О
имеют место результаты, полученные в [21].
§ 16. Решение линеаризированных уравнений
пространственного состояния идеально
пластических тел
Рассмотрим решения волнового уравнения для определения компо-
компонент напряжений:
82W , 82W 82W Л ,Л ,Л ,ч
j =tj =tj =n' = _^K j =Ш. T> =®K j =n
ax ay °z ° gz i %xz gx > %yz Qy ) %xy u'
C.16.2)
§ 16. Линеаризированные уравнения пространственного состояния 609
и неоднородного волнового уравнения для компонент скоростей пере-
перемещений
2w'82w' 82w' nf 82W ^ 82
' C 6>3)
ди o 8W dw1 8v 8W dw1 . ла .
-дЧ = 2а**-^--^' ^ = 2a^w"W (ЗЛ6-4)
Решение уравнения C.16.1) будем искать в виде
W = A cos mx cos ny sin Xz, где Л, ш, гг, ^ — константы. C.16.5)
Из C.16.5), C.16.2)
ах = Оу = o'z = о' = — АХ cos mx cos ny cos Xz. C.16.6)
Подставляя C.16.5) в C.16.1), имеем
Х2 = т2 + п2. C.16.7)
Из C.16.5), C.16.3) найдем
dV dV dV OD
7Г Л о о- = 2Б cos mx cos ггу sin ^,
дх2 ду2 dz2 у C.16.8)
В = —Л [m2axz + n2ayz) ,
где
">xz — о 0 ' ^yz — о О '
Решение уравнения C.16.8) следует искать как сумму общего и
частного решений:
w' = w'mH+w'4. C.16.9)
Решение однородного уравнения C.16.8) можно записать в виде
^оДн — Cm cos px cos qy cos rz + Cn2 cos px cos qy sin rz+
+ C121 cos px sin qy cos rz + . . . + C222 sin px sin gysin rz, C.16.10)
r2 =p2 + q2, Cijk = const.
Частное решение уравнения C.16.8) будем искать в виде
w'4 = Ai sin mx cos ny sin Xz+
+ Л2 cos mx sin ny sin A,2 + Л3 cos гтгж cos ny cos A,2,
610 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
А-[ = а\х + Ъ\у + c\z, А2 = а2х + Ъ2у + c2z,
C.16.11)
А3 = а3х + b3y + c3z, aubuci = const.
Подставляя C.16.11) в C.16.8), учитывая C.16.7), получим
таг + пЪ2 + Хс3 = Б, C.16.12)
та2 + пЪг = 0, гг63 + Хс2 = 0, ^С! + та3 = 0. C.16.13)
Согласно C.16.13), C.16.11)
7lb~\ X
А2 = \- Ъ2у + c2z,
т C.16.14)
Xc2y .
+ C3Z
где величины Ъ\, с\, с2 — произвольные постоянные, а константы
^ь ^25 сз связаны соотношением C.16.12).
Согласно C.16.14) простейшее частное решение может быть выбра-
выбрано в предположении с3 = В/Х, а все остальные величины а^, 6^, с^
равны нулю:
w'4 = (В/Х) z cos mx cos ny cos Xz. C.16.15)
Таким образом, согласно C.18.10), C.18.15), общее решение уравне-
уравнения C.16.8) можно записать в виде
w = С cos px cos qy cos rz + (В/X) z cos mx cos ny cos Xz,
p2 + q2 = r2, m2 + n2 = X2, x=1jri С, В = const. C.16.16)
Рассмотрим толстостенную плиту толщиной \z\ ^ h. Уравнения
боковой поверхности плиты представим в виде
z = ± (h — 5/ (ж, у)), / = Kcosmxcosny, К = const. C.16.17)
Граничные условия на боковой поверхности плиты будут иметь вид
<=0, <у = Ъ <* = %> Z = ±h- (ЗЛ6Л8)
Согласно C.16.2), перепишем C.16.18) в виде
8W
^=0, W = f(x,y), z = ±h. C.16.19)
Из C.16.19), C.16.6) следует
sinAA = 0, X=^-, А; = 1,2,3,... C.16.20)
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 611
Из C.16.19), C.16.17), C.16.5) найдем
W = Кcosmxcosny cos ^, А = К, т2 + п2 = ^-. C.16.21)
ГЬ ГЬ
Согласно C.16.21) величины m, п в C.16.17) не являются произ-
произвольными, а связаны соотношениями C.16.21).
Из соотношений C.16.4), C.16.21), C.16.16) следует
ди
-д— = —2axz Km sin mx cos ny cos Xz-\-
p>
+ Cp sin px cos ny cos Xz -\ mz sm mx cos ny cos Xz, C.16.22)
dz
= —2ayz Kn cos mx sin ny cos Xz-\-
+ Cqcospxsin nycosXz -\ nz cos mx sin nycosXz. C.16.23)
Из C.16.22), C.16.23) получим
# n Km . . Л Cp . . .
и = —laxz sin mx cos ny sin A,2 H sin рж cos ny sin A,2+
A A
D
H—з гтг sin mx cos ny (;zA,sin Xz + cos Я-2;), C.16.24)
A
Kn
— cos гтгж sin ny sin A,2 H
A A
v = -2ayz —^- cos шж sin ny sin A,2 + -^- cos px sin ny sin Xz+
H—gncosmxsin ny (zXsinXz + cos^) . C.16.25)
A
Постоянные G, Б определяются из ограничений кинематики тече-
течения.
§ 17. Об устойчивости вязкопластического течения
полосы и круглого прута
Постановка вопроса об устойчивости вязкопластического течения
принадлежит А.А. Ильюшину [153], который составил дифференци-
дифференциальные уравнения и граничные условия плоскопараллельного течения
вязкопластической среды и решил задачу о нахождении течений, близ-
близких к плоскому равномерному деформированию полосы и плоскому
же деформированию цилиндра, сделав при этом интересные выводы
об устойчивости этих течений. В процессе выкладок А.А. Ильюшину
612 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
удалось преодолеть большие трудности, связанные с лагранжевым ме-
методом рассмотрения течения вязкопластического тела.
Ниже мы решаем вопрос об устойчивости вязкопластического те-
течения полосы и круглого прута, пользуясь иным методом, связанным
с эйлеровым способом описания движения сплошной среды (см. так-
также [167]).
Задача о полосе является более простой, и ее решение приводится
для сравнения с результатом А.А. Ильюшина. Задача о круглом пруте
является пространственной задачей, и для ее решения мы привлек-
привлекли уравнения пространственного деформирования вязкопласти ческой
среды, полученные нами ранее.
1. В случае плоского течения вязкопласти ческой среды между мак-
максимальным касательным напряжением ттах и максимальной скоростью
сдвига утах принимается зависимость
|Tmax| = # + HYmax|, C.17.1)
где К — пластическая постоянная, a \i — коэффициент вязкости. Поми-
Помимо этого, принимается предположение о том, что главные направления
тензора напряжений совпадают в каждой точке среды с главными
направлениями тензора скоростей деформирования.
Если через и и г?, как обычно, обозначить проекции скорости какой-
либо частицы среды на оси х и у прямоугольной системы координат,
а через ох,ау и хху — компоненты тензора напряжений, то сделанные
предположения немедленно приводят к соотношениям
ах = 2ii-—Ь К cos 2# + о, av = 2ll- К cos 2# + а,
ох у оу
^ C.17.2)
где а — среднее арифметическое нормальных напряжений ах и а^, a & —
угол между направлением, соответствующем наибольшему главному
напряжению, и осью ж, причем
р). C.17.3)
ду) v }
При выводе вышеприведенных соотношений принималось, что
ди/дх > 0, т.е. элементы среды, имеющие направление, параллельное
оси ж, удлиняются. В противном случае, если ди/дх < 0, то следует
во всех соотношениях изменить знак, стоящий перед пластической
постоянной К.
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 613
При пластическом течении объемная деформация крайне незначи-
незначительна, вследствие чего обычно принимают среду несжимаемой. Усло-
Условие несжимаемости приводит к известному соотношению
7Г + 7Г = О. C-17.4)
дх ду v y
Написанных соотношений оказывается достаточно, чтобы, исполь-
используя уравнения движения непрерывной среды
d^ + 9-^ + PX=pWx, ^ + |f + pV- = P^ C-17.5)
и условия на границе в форме
ож cos пх + хху cos yn = Хп (s), хху cos хп + ау cos yn = Yn (s),
C.17.6)
решать задачи о плоском течении вязкопластической среды. Здесь
р — плотность среды, X, У — проекции массовой силы, действующей
на частицу среды, wх и wy — проекции ускорения этой частицы,
Хп (s), Yn (s) — проекции сил, действующих на элементы границы,
положение которых определяется параметром s, n — внешняя нормаль
к ограничивающему среду контуру.
Заметим, что в большинстве случаев в уравнениях движения можно
опускать массовые силы и инерционные члены вследствие их малости
по сравнению с другими членами, входящими в те же уравнения.
2. Рассмотрим течение, определяемое законом
и = сож, v = —со?/, C.17.7)
где со — функция времени, не меняющая знака в процессе своего изме-
изменения. Для определенности будем считать, что со > 0.
Имеем для этого течения
0, C.17.8)
и можно положить Ф = 0. Далее, так как ди/дх = со > 0,
ох = К + 2|ico + а, оу = -К -2|1со + а, хху = 0. C.17.9)
Примем напряжение ау равным нулю, тогда
o, ах = 2К + 4|ico. C.17.10)
Такое напряженное состояние соответствует растяжению прямо-
прямоугольной полосы нормальными силами, равномерно распределенными
по ее краям и перпендикулярными оси у. При этом края полосы,
параллельные оси ж, свободны от усилий (рис. 184).
614 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Если же принять ах = О, то получим
с = -(К + 2|ico), оу = - (К + 4|ico),
C.17.11)
что соответствует сжатию полосы силами, действующими на края,
параллельные оси ж, причем силы нормальны к этим краям (рис. 185).
У
b
oi
У
X -^ i
ь
L
-b
mm
mm
L
X
Рис. 184
Рис. 185
Остановимся на первом случае и исследуем течение полосы, очер-
очертание которой близко к прямоугольному. Пусть в начальное мгновение
края полосы, перпендикулярные оси ж, прямолинейны. Края же, па-
Рис. 186
раллельные этой оси, претерпевают малое «возмущение» (рис. 186) и
описываются уравнениями
, у = — b — Ъcos ax.
C.17.12)
Здесь b — половина ширины исходной прямолинейной полосы, те-
течение которой будем называть основным или «невозмущенным»; 5 —
амплитуда возмущения, значение которой мало по сравнению с Ь.
Возмущение границы имеет, таким образом, синусоидальный ха-
характер1), симметричный относительно оси х. Будем считать, что по
длине полосы укладывается целое число полуволн возмущения, для
чего положим а = тп/1, где т — целое число.
-1) Аналогично можно рассмотреть течение полосы, если возмущение антисим-
антисимметрично относительно оси х и уравнения границы имеют вид у = b-\-8 cos ах
и у =—b + dcosax.
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 615
Если возмущение краев полосы, параллельных оси ж, носит более
сложный характер, то, пользуясь рядами Фурье, его можно предста-
представить в виде суммы простых синусоидальных возмущений.
Можно предположить, что при малой амплитуде возмущения 5 по
сравнению с шириной полосы 26 течение возмущенной полосы будет
мало отличаться от соответствующего невозмущенного течения, если
полоса по-прежнему подвергается действию нормальных усилий, рас-
распределенных по торцам х = 0, х = I. На этом основании разности
между скоростями возмущенного и основного движений считаются
малыми величинами по сравнению со скоростями основного движения.
Обозначим эти разности через и и v, причем
и = и'-и°, v = vf-v°, C.17.13)
где и' и v1 — проекции скорости частицы в возмущенном движении, а
и0 = сож и v° = —ауу — проекции скорости в основном движении.
Нетрудно видеть, что угол наклона оси х к направлению наиболь-
наибольшего главного напряжения будет малой величиной. Действительно,
согласно C.17.3),
ди
так как разность ди/дх — dv/dy принимается малой по сравнению с 2со.
Таким образом,
Для компонентов тензора напрял<ений возмущенного двил<ения
C.17.2) получим выражения
а'х = 2^ + К cos 20' + а' и 2цсо + К + а0 + 2ц|^ + а = а° + 2ц|^ + а,
а' = 2ц^- - К
* бу
-2цш - К + а0 + 2ц^ + а = 2ц^ + а, C.17.16)
ох оу
?)k™m»4jt+P
ду) \дх ду
616 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Здесь, вследствие малости угла тУ, принято
cos2fl'«l, sin2^^2^, C.17.17)
а величина а представляет собой разность между средними арифме-
арифметическими главных напряжений возмущенного и основного течений.
Так как скорости и0 и v° основного течения удовлетворяют уравне-
уравнению несжимаемости, то для возмущенного движения имеем
^ + ^ = ^ + ^=0. C.17.18)
дх ду дх ду v J
Отсюда следует существование для рассматриваемого мгновения
такой функции \|/(ж,?/), для которой справедливы соотношения
« = -!*, « = !*. C.17.19)
ду дх v J
Используя эти соотношения, получим для углатУ, согласно формуле
C.17.15), выражение
* = ~ №-!%), C-17.20)
4со \дх2 ду-) V J
а для компонентов тензора напряжений возмущенного движения
C.17.16) соответственно
о' = а^ — 2\i-—-—Ь а,
х х дхду
Txy"ц [^ ~ Ъ7; + ^ V^ " WJ " So Va? " a?
C.17.21)
Граничные условия C.17.6) на криволинейных краях возмущенной
полосы в данном случае имеют вид
о' cos xn + т' cos 2/гг = О,
C.17.22)
тху cos жгг + ау cos угг = 0.
Очевидно, что
cosxn
= cos ( « + f) = - sin а, C.17.23)
где а — угол между касательной к границе полосы и осью ж, причем
tga= ^ = ^(b + bcosax) = -absmax. C.17.24)
CLX CLX
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 617
Вследствие малости 5 угол а мал, и можно положить
since ^oc^tgос C.17.25)
и далее
= a5sin аж,
(п \ C.17.26)
cos уп = sin хп = sin I - + а 1 = cos а = 1.
\2 )
Замечая, кроме того, что <з'х отличается на малую величину от а^,
а т?ху и а'у сами представляют собой малые величины, получим, прене-
пренебрегая малыми порядка выше первого, условия на границе C.17.22) в
виде
a°xabsmax + xxy=O, ^ = 0. C.17.27)
Эти соотношения должны иметь место на самой границе полосы.
Однако граница является малым возмущением прямых у = b и у = —
— Ь. Поэтому с точностью до малых порядка выше первого достаточно
требовать удовлетворения написанных выше соотношений на самих
этих прямых и тем самым брать величины тху, ау при значении ко-
координаты у, равном ±6.
Подставляя выражения C.17.21) компонент тензора напряжений
возмущенного течения в уравнения движения C.17.5) и опуская в этих
уравнениях компоненты массовых сил и инерционные члены, получим
два уравнения
о°х ( д\ д\\ п
— ~ о = О,
4со \дх2ду dysj
дх
-—h 2|i о + -р- [ —о о I = О
ду дхду 4со \дх дхду )
для определения двух неизвестных функций а и \|/. Дифференцируя
первое уравнение по переменной у, а второе — по ж и исключая сме-
смешанную производную функции а, приходим к уравнению
4со дх у4со J дх ду 4со ду
содержащему одну неизвестную \|/, так называемую функцию тока.
Уравнение C.17.29) для функции \|/ принадлежит к эллиптическому
типу. В самом деле, согласно второй из формул C.17.10),
J7, = J7, = ^ + Мч C.17.30)
618 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
и можно представить это уравнение в виде
В предельных случаях, при К = 0 и при ji = 0, уравнение обраща-
обращается соответственно в уравнение функции тока медленного движения
вязкой жидкости:
V4x|/ = 0, C.17.32)
и медленного течения идеально пластического вещества,
C.17.33)
Последнее уравнение уже имеет гиперболический характер.
Если ввести обозначение
8 42К /О17О/|ч
' (ЗЛ7-34)
то уравнение для определения функции тока C.17.29) можно предста-
представить в виде
дх4 дх-ду- ду4
C.17.35)
дх дхду ду
По предположению со > 0, поэтому, согласно равенству C.17.34),
-К v < +1. C.17.36)
Предельного значения +1 коэффициент v достигает при бесконечно
большой скорости деформирования со, а значения —1 при скорости
деформирования, равной нулю. При этих предельных значениях v
вязкопластическое вещество описывается соответственно уравнениями
пуазелевого движения вязкой жидкости и уравнениями идеально пла-
пластического вещества [179].
Частное решение уравнения для функции тока \|/ будем искать,
сообразуясь с граничными условиями в виде
\|/ = ф (ay) sin аж, C.17.37)
где параметр а = тп/l меняется с течением времени обратно пропор-
пропорционально длине растягиваемой полосы.
Подставляя выражение C.17.37) для функции \|/ в дифференциаль-
дифференциальное уравнение C.17.35) и вводя новую переменную
t = ay, C.17.38)
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 619
получим для функции ф (t) = ф (ау) обыкновенное дифференциальное
уравнение
ф"" (t) - 2v9" (t) + Ф (t) = 0. C.17.39)
Его можно с помощью произведения двух коммутативных диффе-
дифференциальных операторов представить в форме
^0' C17'40)
где у = а + ргиу = ос — рг — два сопряженных комплексных числа,
причем
a=v'(l-v)/2, p=A/(l+v)/2. C.17.41)
Нетрудно убедиться, что
Уу = а2 + р2 = 1, у2 + у2 = 2 (а2 - р2) = -2v C.17.42)
и проверить тем самым справедливость такого представления урав-
уравнения C.17.39). Решение уравнения C.17.40) состоит из произвольной
линейной комбинации функций cos у z, cos у z, sin у z и sin у z. В симмет-
симметричных точках относительно оси х проекции скоростей на ось ?/, в силу
формул C.17.12), должны иметь противоположные знаки. Поэтому
v (ж, — у) = —v(x,y); а так как, согласно выражению C.17.37), v =
= d\\f/dx = acosax(p(ay), то функция ф (ау) должна быть нечетной.
Таким образом, решение уравнения C.17.40) для ф(?) следует взять в
виде
ф(?) = Csinyt + Csinyt. C.17.43)
При таком выборе вида решения функция ф (t) принимает веще-
вещественные значения и зависит от двух произвольных постоянных1),
входящих в состав сопряженных комплексных констант С и С.
Эти константы надлежит в дальнейшем определить так, чтобы
удовлетворялись граничные условия задачи.
3. Для отыскания среднего арифметического главных напряжений
воспользуемся уравнениями C.17.28). Подставив в эти уравнения функ-
функцию \|/, согласно C.17.37) и C.17.38) и учитывая, что из формулы
C.17.34) для коэффициента v
о»=^, 2ц-? = ^, C.17.44)
1 + v 4col+v
-1) Следует иметь в виду, что задача решается для фиксированного мгновения.
В противном случае надлежало бы считать С и С функциями времени.
620 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
имеем
д3 о0 д3 2 а3
дх \* 4соу дх2ду
да
Ф (ч — vф ш sin ах,
\cosax.
j
ду \* 4соу дхду2
C.17.45)
Интегрируя первое выражение соотношений C.17.45), приходим к
формуле
а = -^ W" (t) - vcp' (t)] cos ax + / (у), * = ау, C.17.46)
где / (у) — произвольная функция от переменной у.
Подставляя выражение для а во второе уравнение C.17.45), полу-
получаем
^ [Ф"" (t) - 2vcp" (t) + Ф (t)] cos аж - /' (у) = 0. C.17.47)
Сумма, стоящая в квадратных скобках, согласно C.17.39), равна
нулю. Таким образом, функция / (у) сводится к некоторой постоянной,
которую обозначим через Л.
Для компонент тензора напряжений возмущенного движения <з'у
и т'ху имеем, учитывая формулы C.17.21), выражения
дхду
а =
' (t) - ^^ W" (t) ~ v<?' (*)] cos ax + A =
= -1^- [ф//; (t) - A + 2v) ф; (*)] cos ax + Л, C.17.48)
о 2
Обозначим через h = ab значение ?, соответствующее границе
полосы у = Ь. Тогда, согласно граничным условиям, напряжение о'у
должно обратиться в нуль при t = ±/г и, следовательно, при любом
значении х
2
-2цу^ [ф'" (/г) - A + 2v) ф7 (/г)] cosaz + Л = 0, C.17.49)
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 621
так как q/ (t) и q/" (t) — четные функции. Отсюда заключаем, что
постоянная Л равна нулю и
q>'" (/г) - A + 2v) q/ (h) = 0. C.17.50)
Подставляя в это равенство выражение C.17.43) для функции q> (?),
получаем соотношение
У (у2 + 1 + 2v) С cos у/г + у (у2 + 1 + 2v) С cos у/г = 0. C.17.51)
Учитывая, что 2v = — (у2 + у2) и уу = 1, имеем
у(у2 + 1 + 2у)=уA-у2)=у-у, y(y2 + l + 2v)=y-y. C.17.52)
Следовательно,
С cos у/г - С cos у/г = 0. C.17.53)
Поэтому С = D cos yh и С = D cos у/г и
Ф (t) = D (cos у/г sin y? + cos у/г sin yt), C.17.54)
где D — новая постоянная, имеющая вещественное значение.
Для отыскания этой постоянной воспользуемся первым гранич-
граничным условием C.17.27). Подставив в него выражение C.17.44) для а^
и C.17.48) для ч!ху, а затем заменяя функцию ф (t) ее выражением
C.17.54), получим
4со5- aD [A -у2) cos у/г sin у/г + (l - у2) cos у/г sin у/г] =0. C.17.55)
Отсюда
D = C (C sin 2аЛ + ash 2C/i)' C.17.56)
причем в последних преобразованиях использованы соотношения
1 - у2 = 1 - а2 + р2 - 2арг = 2р2 - 2арг,
о о (ЗЛ7-57)
1 - f = 2р2 + 2арг
и равенства
sin (у + у) /г = sin 2ос/г, sin (y-y)h = sin г2р/г = гв/г2р/г. C.17.58)
Сумма, стоящая в квадратных скобках выражения C.17.55), поло-
положительна при всех значениях /г. Постоянная D, таким образом, всегда
ограничена и обращается в нуль, только если амплитуда возмущения
границы полосы 5 равна нулю. Отсюда следует, что в таком случае в
процессе деформирования возмущения не возникнут.
622 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Пусть 5^0. Заметим прежде всего, что согласно C.17.48) на торцах
полосы касательное напряжение исчезает, так как
sin al = sin тк = 0. C.17.59)
Нормальное напряжение <з'х на торце х = 0 отличается от соот-
соответствующего напряжения а^ для невозмущенной полосы на малую
величину. Подставив C.17.44), C.17.37) и C.17.46) в первую из формул
C.17.21), имеем
с'ж = ^ - 2ца2ф' (t) cos ax-f^ (ср'" (t) - vcp' (t)) cos ax, C.17.60)
где cos ax следует заменить единицей.
Равнодействующая всех нормальных усилий на торце, как и следо-
следовало ожидать, остается, с точностью до малых второго порядка, без
изменения. Действительно, величина этой равнодействующей опреде-
определяется интегралом
6+8 6+8
Р= ^
-6-8 -6-8
C.17.61)
Последний интеграл вследствие малости подынтегрального выра-
выражения и возмущения полосы на торце может быть взят в пределах от
—Ь до +6, чему соответствует интегрирование по переменной t = ay в
пределах —h до +/г. В результате, учитывая выражение C.17.54) для
функции ср(?), получаем
- y^D [A-у2) cos у/г sin у/г + (l - у2) cos у/г sin у /г] . C.17.62)
Выражение в скобках, будучи умноженным на aD, согласно
C.17.55), равно 4со5. Произведя очевидное сокращение, приходим
к формуле
Р = 26^ = 2Ъо°х C.17.63)
для равнодействующей усилий на торце невозмущенной полосы. То же
имеет место, разумеется, и для любого сечения полосы.
4. Рассмотрим какую-либо точку границы с абсциссой х. Возмуще-
Возмущение границы в этом месте равно
Л = 5cosaz. C.17.64)
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 623
Вертикальная составляющая v возмущения скорости основного те-
течения, согласно C.17.19), C.17.37) и C.17.54), выражается формулой
v = aD cos ах [cos у/г sin у/г + cos у/г sin у/г] = aD sin 2а /г cos ах.
C.17.65)
Возмущение будет иметь тенденцию расти, если эта составляющая
имеет тот же знак, что и возмущение rj, т. е. если
- = — Sin2ccft > 0. C.17.66)
Л 5
Такое возмущенное движение назовем, следуя А.А. Ильюшину,
неустойчивым.
Заметим, что так как /г = аЪ и а = у/A — v)/2, то а/г = ab^/(l — v)/2
и с учетом формулы C.17.34) условие неустойчивости C.17.66) можно
представить в виде
2пп < 2а/г = 2^6А/—-^— < Bгг + 1) тт, C.17.67)
/ у К + zjjxo
где п — целое число.
В процессе деформирования длина полосы / увеличивается, а ши-
ширина b уменьшается, поэтому одно и то же возмущение попеременно
возрастает и убывает, пока, наконец, величина 2а/г не становится мень-
меньше л, после чего движение становится окончательно неустойчивым, по
А.А. Ильюшину, и полоса должна разорваться.
При сжатии полосы имеет место обратная картина, в частности, воз-
возмущения, возрастающие при растяжении, будут при сжатии убывать.
5. Переходя к решению задачи об устойчивости вязкопластического
течения цилиндра, остановимся прежде всего на выводе уравнений про-
пространственного течения вязкопластической среды. Выделим элемент
среды в форме малого параллелепипеда, ребра которого ориентирова-
ориентированы по главным направлениям тензора напряжений. Примем в качестве
первой гипотезы о поведении среды, что главные оси тензора напря-
напряжений совпадают с главными осями тензора скоростей деформации в
каждой ее точке.
Пусть 8i, 82 и 8з — главные скорости деформирования элемента
среды и
38 = 8! +82+83 C.17.68)
— относительная скорость изменения его объема. Величины
8i=Ei-E C.17.69)
624 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
назовем скоростями формоизменения элемента среды; здесь и далее
г = 1,2,3.
В случае несжимаемости материала г = 0 и, следовательно,
Si=Ei. C.17.70)
Предположим, в качестве второй гипотезы, что скорость деформи-
деформирования вязкопластического тела остается неизменной, если главные
напряжения Oi увеличиваются или уменьшаются на одну и ту же
величину. Это означает, что существенное значение здесь имеют не
сами главные напряжения с^, а разности
а* =а-о, C.17.71)
где
а=^(а!+а2 + аз) C.17.72)
— среднее нормальное напряжение — первый инвариант тензора на-
напряжений.
Разности ог -ос точностью до некоторой аддитивной постоянной
Г, определяемой посредством закона деформирования конкретного ма-
материала, будем называть напряжениями формоизменения Si. Таким
образом,
5i=r + oi-o. C.17.73)
Очевидно, что
S1+S2 + S3 = 3T, C.17.74)
т. е. величина Г равна среднему арифметическому напряжений формо-
формоизменения S{.
Пусть все скорости формоизменения Si отличны от нуля. Тогда в
виде основного закона деформирования вязкопластического тела при-
примем следующее соотношение между напряжениями формоизменения
Si и одноименными скоростями деформирования s^:
Si = К sign Si +\isi. C.17.75)
Здесь К — характерная для данного материала пластическая по-
постоянная и [i — коэффициент вязкости.
Так как
«i +s2 + s3 = 0, C.17.76)
то одна из скоростей формоизменения Si должна по модулю равняться
сумме модулей двух других. Обозначим такую скорость через 8i и
будем ее считать, имея в виду последующее, положительной. Тогда г2
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута
625
и гз окажутся отрицательными, и в силу закона C.17.75) получим
S^ =K + \i8U S2 = -K + \l82, S3 = -K + [iss. C.17.77)
Согласно равенству C.19.74) имеем теперь
C.17.78)
вследствие чего соотношения C.19.73) приводятся к виду
X + Iisi = --/f + ci -a,
-К + цв2 = -\к + с2 - а,
о
-К + |is3 = - о К + аз - а.
C.17.79)
Отсюда, принимая материал несжимаемым и учитывая равенство
C.17.70), получаем окончательные формулы, связывающие главные
напряжения О{ с главными же скоростями деформирования г^ в случае
8i > 0, г2 < 0, г3 < 0, т.е. ei = |г2| + |г3|, а именно
C.17.80)
причем ai > a2, oi > аз-
Если 8i < 0, но |ei | больше и г2, и гз, то в формулах C.17.80) следует
изменить знак перед пластической постоянной на обратный.
Действуя согласно правилам преобразования компонент тензора на-
напряжений и тензора скоростей деформации, можно представить закон
пространственного деформирования вязкопластической среды в про-
произвольной системе координат и получить полную систему уравнений
для решения задач пространственного течения.
Заметим, что при ц = 0 (рис. 187), т.е. при
отсутствии у материала вязких свойств (а также
при исчезающе малых скоростях деформирова-
деформирования) соотношения C.21.80) обращаются в усло-
условия полной пластичности Хаара-Кармана [229,
175]:
-К
= а2 + 2/С, а2 =
C.17.81)
Рис. 187
626 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Рассмотрим теперь особый случай, когда одна из скоростей формо-
формоизменения, например s2, обращается тождественно в нуль. Подчиним
тогда деформирование вязкопластического тела несколько видоизме-
видоизмененному по сравнению с C.17.75) закону
S1=K + [isu -К ^S2^K, S3 = -K + [is3. C.17.82)
Здесь принято, что Si > 0. Таким образом, значение напряжения
формоизменения S2 остается неопределенным.
Учитывая равенство C.17.70), получаем при s2 = 0, что
s3 = -si C.17.83)
и, следовательно, согласно первой и третьей формулам C.17.82), а
также равенству
Г = \ (Si + S2 + S3) = ±S2, C.17.84)
C.17.73) принимает теперь вид
К -\-[is1 = -?2 + ci -a,
?2 = Is2 + G2-o, C.17.85)
о
-К + [is3 = -S2 + а3 - а,
откуда с учетом C.17.69)
ез). C.17.86)
Так как в данном случае 8i > г2 > г3 и ai > о2 > аз, то из C.17.86)
следует соотношение
Хтах = К + ^^Утах, Утах = El - 82, C.17.87)
которое имеет ту же структуру, что и рассмотренный выше закон
C.17.1) для плоского деформирования вязкопластической среды.
Значения главного напряжения а2, равно как и напряжения формо-
формоизменения $2, в рамках принятого закона C.19.82) остаются неопреде-
неопределенными. Однако из C.17.85) следует также, что
a2 = ^l±^ + 52, C.17.88)
и, во всяком случае, главное напряжение а2 при плоском деформиро-
деформированном состоянии отличается от полусуммы главных напряжений ai и
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 627
аз в соответствии с C.17.82) не более, чем на значение пластической
постоянной К1).
6. Итак, рассмотрим растяжение круглого цилиндра под действием
нормальных сил, равномерно распределенных по его торцам. В силу
симметрии и однородности деформации надлежит считать
гх=гу = -1-гг < 0, C.17.89)
где гж, гу и гг — скорости деформации в системе координат, ось z ко-
которой совпадает с осью цилиндра, причем гг > гж, гу. Таким образом,
по оси z направлена главная ось тензора скоростей деформирования,
соответствующая наибольшему значению скорости продольной дефор-
деформации. В цилиндрических координатах закон C.17.80) связи компонент
тензора напряжений и тензора скоростей деформации представится
теперь в виде
4
-К
C.17.90)
2
ог = а - -К + |18Г.
При этом роль главных напряжений 1, 2 и 3 упомянутых тензоров
играют z, 6 и г.
Так как боковая поверхность цилиндра свободна от усилий и напря-
напряженное состояние однородно, то следует положить
аг=0, се = 0. C.17.91)
Тогда, согласно C.17.90) и C.17.91), получаем
а=|я- + ^1?„ oz=2K + \vez. C.17.92)
Если через vz, vr, vQ обозначить составляющие скорости какой-
либо частицы цилиндра в цилиндрических координатах, то при рас-
растяжении цилиндра следует положить проекцию vQ равной нулю. На
основании известных формул имеем в этом случае
dvz dvr vr ,Q 17Qon
Zz = -^> Er = ~d^^ Eq = V C.17.93)
-1) Близкое к изложенному рассмотрение законов пространственного дефор-
деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел см. в гл. 2 настоящей
книги.
628 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
При растяжении скорость деформирования zz положительна; обо-
обозначим ее через со. Очевидно, что течение
vz =
1
Vr = -2
C.17.94)
где со > 0, имеет требуемые скорости деформирования. Растяжение
цилиндра, определяемое этим законом, назовем невозмущенным.
7. Исследуем течение тела, ограниченного поверхностью вращения,
близкой к поверхности круглого цилиндра. Пусть в некоторое мгнове-
мгновение времени уравнение образующей этой поверхности в цилиндриче-
цилиндрических координатах имеет вид
= R + 5 cos az,
C.17.95)
где R — радиус исходного цилиндра, 5 — малая величина, представ-
представляющая амплитуду «возмущения» поверхности цилиндра, и а — па-
параметр, характеризующий длину волн возмущения. Примем, что на
длине цилиндра / укладывается целое число га полуволн возмущения
поверхности и, следовательно,
а = гая//.
C.17.96)
Комбинируя простейшие гармонические возмущения с разным чис-
числом полуволн га, укладывающихся по длине цилиндра, можно полу-
получить возмущенную поверхность достаточно произвольного вида.
Вследствие малости элементарного возмущения следует ожидать,
что течение тела с возмущенной границей будет мало отличаться от
течения цилиндра, если сохранить те же растягивающие нормальные
усилия, действующие по торцам.
Рис. 188
Можно поэтому считать, что главная ось тензора скоростей дефор-
деформирования с наибольшей скоростью продольной деформации в возму-
возмущенном движении будет лежать в меридиональной плоскости (рис. 188)
и образовывать малый угол # с осью z. Пусть oj, a^, of3 — главные
напряжения в какой-либо точке сечения тела с возмущенной границей
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута
629
и е^, 82 и 83 — значения главных скоростей деформации в той же точке.
За первое главное направление тензора напряжений, а также тензора
скоростей деформирования примем направление, близкое к оси z, a
за третье — перпендикулярное первому и лежащее, как и первое, в
меридиональной плоскости.
Согласно известным формулам преобразования компонент тензора
напряжений и компонент тензора скоростей деформации (см. также
круги Мора на рис. 189, 190) имеем в данном случае соотношения
Рис. 189
Рис. 190
a'r = \
- а'з) cos 20,
C.17.97)
и аналогично
C.17.98)
Кроме того, конечно,
On — С?О •
C.17.99)
Так как первое направление является главным направлением те-
течения, то согласно закону деформирования вязкопластической среды
630 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
аналогично C.17.90) полагаем
C.17.100)
Подставляя значения а\ и о'2 в формулы C.17.97) для компонент
тензора напряжений и пользуясь также формулами C.17.98) для ком-
компонент скоростей деформации г^, г'г и Yrz, получим
c'z = с' + \к + К cos 2Ь + м4>
о
а'г =а' + \к- A-cos2d + ^e'r, C.17.101)
О
и, кроме того,
^ = <,'-\к + ^. C.17.102)
Для основного течения соответственно имеем
6 6 C.17.103)
т°Г2=0, o»=o»-|A: + M?g = 0.
Используя эти соотношения, можно представить выражения
C.17.101) в виде
c'z = a°z + a - К A - cos2#) + ц (e;z - е°) ,
2^'rz1 C.17.104)
а; = а + К A - cos2#) + ц (е; - ej) ,
Gq = а + |i D - ?е) 5
где теперь а = о'—о° — возмущение среднего арифметического главных
напряжений.
Вводя для разности проекций скоростей возмущенного и основного
движений обозначения
vz=v'z-v°z, vr = v'r-v°r, C.17.105)
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 631
приходим в соответствии с C.17.93) к равенствам
, о _ ®v'z dvz _ dvz
, _ o = fri_fo? = dvr_ C.17.106)
V V ?l ?l ?l '
UT UT UT
4 - ?e = -f - f = -
и, кроме того,
, dvr , dvz
? w <ЗЛ7Л07»
Полагая cos 2т} w 1 и sin 2# « 2тЗ- вследствие малости угла i3- и
принимая во внимание равенства C.17.106) и C.17.107), представим
выражения C.17.104) в форме
dvr , dvz\
— + — ,
dz drJ C.17.108)
, dvr vr
Здесь для определения угла # следует воспользоваться известной
формулой
dz dr ' C.17.109)
Так как величины dvz/dz и dvz/dr, представляющие собой возму-
возмущение скоростей деформирования, малы по сравнению со скоростями
деформирования основного течения г^ = со и г^ = —со/2, то с точностью
до малых второго порядка имеем
В результате выражение C.17.108) для напряжения %frz может быть
представлено в виде
Зш ;
так как
az = IK + -jico. (O.17.112J
632 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Вязкопластическая среда принимается несжимаемой. Поэтому име-
имеет место уравнение
^ + ^ + V = 0' или ?(™«) + !:(™г)=0. C.17.113)
Оно образуется в результате вычитания левых частей уравнения
несжимаемости возмущенного и основного течений. Вторая форма
уравнения C.17.113) позволяет заключить, что
rvz=-jfc, rvr = ^, C.17.114)
где % — некоторая функция переменных г и z, а также и времени,
которое в нашей задаче фиксировано.
Для компонент тензора напряжений возмущенного движения из
C.19.108) и C.19.111) получаем выражения
rz =iXS \r~dz2~~d:r \rlfr) '
/J C.17.115)
s = ^- > 0. C.17.116)
Отбросим инерционные члены и массовые силы в уравнениях про-
пространственного движения среды и перейдем к цилиндрическим коор-
координатам. При наличии осевой симметрии имеем
$^ + ^ + ^^=0, ^ + ^ + ^=0, C.17.117)
дг dz г дг dz г ч '
или
Подставляя сюда выражения C.17.115) для напряжений а^,
и Gq для определения функций а и % получим
<9<т д Г д (\дх\\, \д\ д (\ д\ \\ 1 дг
^ + ,,^\ - »*l VI f1-*)]- Д^ = О. C.17.118)
dz * drdz2 Or [ dr \rdr)\ ^dz-dr v J
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 633
Исключая из последних уравнений функцию а, имеем
в 1 в д 1 вх A 2)di д\ 1 д в 1 д\
дггдг дггдгк ' drr drdz2 гдг дг г dz2
После выполнения операций дифференцирования последнее урав-
уравнение представляется в форме
*\dr4 rdr3 ' r2dr2 r3dr
J^4=O. C.17.120)
8. Граничные условия на возмущенной боковой поверхности цилин-
цилиндра могут быть представлены аналогично условиям C.17.22) и C.17.27)
на криволинейных краях полосы. Для этого достаточно заменить ко-
координаты хну соответственно на z и г и напряжения а^, а' и т' на
а^, <з'г и i!rz. В результате получаем условия
oza&s'm az + xrz = 0, ar = 0, C.17.121)
причем аналогично задаче о растяжении полосы значения напряжений
i!rz и <з'г можно брать на границе невозмущенного течения, т. е. при г =
= R.
Сообразуясь с видом граничных условий, будем искать решение
дифференциального уравнения для функции % в виде
X = sin azq>(ar). C.17.122)
Подставляя это выражение в уравнение C.17.120) и производя со-
сокращения, получим обыкновенное дифференциальное уравнение для
функции ф (аг):
if 9 /о \ Г 1 "I
Ф" (t) - -ф'" (t) + 4 -2v ф" № - V W + ф (*)= °- C-17-123)
* V* / L * J
В нем за независимую переменную t принято произведение аг, а
коэффициент v представляет выражение
1 — s Зсоц — az Зсоц — 4К
V = = п = ^ —7Т7-
634 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
причем — 1 < v < 1. Левая часть уравнения для ф (t) может быть
представлена с помощью произведения двух коммутативных диффе-
дифференциальных операторов
где, как и выше,
у = ос + гр, у = ос-гр, а = y/(l-v)/2, р = ^/(l+v)/2. C.17.126)
Отсюда следует, что решение дифференциального уравнения
C.17.123) для ср(?) является суммой общих решений двух дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка. Подстановкой
ф(г) = ty(t), C.17.127)
где \\f(t) — новая неизвестная функция, эти уравнения приводятся к
известным уравнениям для функции Бесселя первого порядка [34]:
C.17.128)
Таким образом, функция ф (t) является линейной комбинацией
функций tJ\ (yt), tJ\ (yt), tNi (yt) и tNi (yt), где Ji (z) означает функ-
функцию Бесселя первого порядка и TVi (z) — функцию Неймана также
первого порядка.
Функция Неймана первого порядка при значении аргумента t, рав-
равном нулю, имеет простой полюс. Поэтому вследствие ограниченности
возмущения скоростей
1 д% а2
rdz Ь ' C.17.129)
vz = —— = — — cos azy (t)
J1 О Z и
на оси цилиндра следует опустить функции Неймана в выражении для
функции ф(?). Поэтому примем для функции ф (t) вырал<ение
Ф (t) = Си (t) + Си (t), C.17.130)
где через и (t) и u(t) будем обозначать функции
и (t) = ytJ1 (yt), u(t)= yt Ji (yt) . C.17.131)
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 635
Нетрудно видеть, что при такой форме записи функция ср (t) при-
принимает действительные значения и зависит от двух произвольных дей-
действительных констант, входящих в состав сопряженных комплексных
постоянных С и С. Из изложенного выше (см. C.17.125)) следует, что
сопряженные функции и и п удовлетворяют уравнениям
и" - \и' = -у2и, п" - ju1 = -fu. C.17.132)
9. Комплексную постоянную С можно найти из граничных условий
задачи. Для этой цели определим напряжение а и затем подсчитаем
напряжения <з'г и i!rz на боковой поверхности цилиндра. Подставим
в уравнения C.17.118) функцию %, выраженную через функцию ср (t)
согласно C.17.122), и определим из них частные производные функции
а по переменным г и z. Получим
оа
oa
f Г 3 213^
I \ а ,, ( v а , ( v а ( \\
= — [is cos az < v —ф \ar) ^ф \ar) ф \ar) > ,
( 3 2 3 ^
= цб sin az j уф (ar) - ^2-ф (ar) + ^ф (ar) - ^ф (ar) *> .
C.17.133)
Из последнего соотношения частным интегрированием по z прихо-
приходим к равенству
a = —\is cos az — ф//; (ar) — -^ф" (ar) + ( -3 — v— j ф7 (ar) + F (r),
C.17.134)
где F (r) — неизвестная функция переменной г. Для отыскания этой
функции подставим полученное выражение в первое из соотношений
C.17.133). Имеем
^s cos az КФ"" (ar) - ^У" (ar) + (^f - 2v^] Ф" (ar) -
^ (^
Вырал<ение в квадратных скобках этого равенства после замены пе-
переменной аг на переменную t обращается с точностью до множителя в
левую часть уравнения C.17.123) и, следовательно, равно нулю. Функ-
Функция F (г) сводится, таким образом, к некоторой постоянной, которую
обозначим буквой А. Выражение C.17.134) для среднего напряжения
636 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
а принимает теперь вид
о= —[isa3 cos az —ф/7/ (ar) гтф" (ar) + I 3 3 ) ф' (ar) + A.
C.17.136)
Далее, согласно C.17.115), выполняя подстановку C.17.122), прихо-
приходим к равенству
°r = a + Vfrr (r^f ) =° + №(l+v)a>3cosaz I—cp'(ar)- -^p(ar) .
C.17.137)
Заметим, что согласно C.17.124) здесь
l+v = l + ^^ = -. C.17.138)
s s v '
После введения переменной t и подстановки выражения C.17.136)
получим
Ф; (t) + iy^cp (*)| + Л. C.17.139)
Согласно второму граничному условию всюду на боковой границе
невозмущенного цилиндра напряжение ofr должно обращаться в нуль.
Поэтому Л = 0 и
ср'" (/г) - ^" (/г) + (р - 1 - 2v\ Ф' (/г) + ^ф(Л) = 0, C.17.140)
где h = ar — значение переменной ?, соответствующее границе. Под-
Подставим в последнее соотношение выражение C.17.130) функции ф через
функции и и п и заметим, что дифференцирование C.17.132) дает
«'" - -У + V = -Т2"', «'" - i«" + \vl = -fu1. C.17.141)
t t t t
Тогда из C.17.140) следует
+ [- (т2 + 1 + 2v) п' (К) + i^« (ЛI E = 0. C.17.142)
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута 637
Замечая, что согласно C.17.126) 2v = —у2 — у2 и 1 = уу, имеем
у2 + 1 + 2v = у (у - у) , у2 + 1 + 2v = у (у - у) , 1 + v = - (у - уJ /2.
C.17.143)
Используя эти равенства, получаем из C.17.142)
С С
уп' (h) + \ (у - у) п (h)/h уи' (h) + \ (у - у) и (h)/h
= D, C.17.144)
где D — действительная постоянная, так как отношения, стоящие в
левой и правой частях получившегося равенства, являются сопряжен-
сопряженными.
Заменяя в C.17.130) постоянные С и С на D, получим для функции
Ф выражение
ф = i
п(т. C.17.145)
Вторая формула C.17.115) — для касательного напряжения т^ —
после замены % выражением C.17.122) и аг на t принимает вид
з ¦
[isa sin az
г 1 1
Ф (t) - -ф (*) + ф(*) . C.17.146)
L ъ \
Оно обращается в нуль на крайних сечениях цилиндра. Подставляя
сюда представление C.17.130) функции ф через функции и и п и
учитывая C.17.132), получаем
A - у2) Си (t) + A - у2) Си (t)]_ . C.17.147)
Выражая здесь постоянные С и С в соответствии с C.17.144) через
D и принимая во внимание, что 1 — у2 = у (у — у) и 1 — у2 = у (у — у), в
силу C.17.126) имеем
, [isa3 sin az ,_ Л Г Г _, /Lv 1 ,_ ч гг (Л.) 1 /,ч
<^ = --—^— (т-т)я|у |у^ (Л) + 2 (у~у) н \и^~
- У \yu'(h) + \ (у-у) ^| й (*)]. C.17.148)
638 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
На границе невозмущенного течения, т.е. при t = /г, напряжение
xrz представляется формулой
[isa3 sin az ,_ , п
irz = - (у — у) 1J X
х \у2и (Л) п' (h) - fu (Л) и' (Л) - (у2 - у2) "(fe^(fe)l . C.17.149)
L ~ J
Полученное выражение можно несколько преобразовать. Для этой
цели рассмотрим функцию
В (t) = y2u (t) п! (t) - fu (t) и' (t) . C.17.150)
Подсчитаем ее производную и воспользуемся выражениями и" и п"
из равенств C.17.132). Получаем
В' (t) = {у2 - у2) и' (t) п' (t) + \ [у2и (t) п' (t) - fu (t) и' (t)]_ .
C.17.151)
Отсюда
ъ— = (у — у J и (t) и (t) (о.17.152)
и, следовательно,
t
В (t) = (у2 - f) tlu'{t)f{t)dt + Et, C.17.153)
о
где Е — константа интегрирования. Для ее определения заметим, что
разложение функции В (t) по степеням переменной t начинается с
членов третьей степени относительно ?, ибо функция и (t) разлагается
в ряд
и (t) = y*Ji (у*) = Y2*2/2 - Y4^4/16 + • • • C.17.154)
и аналогичное разложение имеет функция п (t). Разложение по степе-
степеням t интеграла, стоящего в правой части последнего равенства, также
начинается с членов третьей степени. Вследствие этого, сопоставляя
разложения левой и правой частей равенства, приходим к заключению,
что константа Е равна нулю. Используя полученное представление
функции В (?), можно выражение C.17.149) для напряжения x'rz на
границе течения представить в виде
h
т' = — Siisa3 sin aza$2D\ ————dt 9 , C.17.155)
[J t 2h2 Г
о
так как y — У = —2рг и у2 — у2 = 4осрг.
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута
639
Выражение в квадратных скобках представляет собой величину
существенно положительную. Действительно, полагая
и = tv и и = tv,
C.17.156)
где v и v — сопряженные функции переменной ?, разложение которых
начинается уже с первых степеней ?, имеем
1
и и ,,_,,, _Л/ vv ии 1 _
— =tvv+(vv)+T9 ^ = ^v.
C.17.157)
Теперь нетрудно убедиться, что выражение, стоящее в квадратных
скобках равенства C.17.155), представляет собой сумму следующих
положительных слагаемых:
h h
[ tv' (t) vf (t) dt + [ v{t)*{t)dt + \v (h) v (h). C.17.158)
о о
Подставляя выражение C.17.155) для i!rz при t = h в первое гра-
граничное условие C.17.121), получаем для постоянной D выражение
D = с°5 / < 8а f [isa2
J t
.0
(t)
u(h)u(h)
C.17.159)
в котором все множители существенно положительны. Таким образом,
константа D ограничена и всегда положительна.
10. Чтобы судить об устойчивости течения, определим проекцию
возмущения скорости на направление г. Подставим C.17.145) в первую
из формул C.17.129), имеем
vr =
a cos az
u(t)\. C.17.160)
4h\^( -\ u (h)
Для подсчета значения этой проекции на границе течения следует
положить t = /г, после чего
Vr =
ГЪ
[уп>
+ уу,
C.17.161)
Сумма, стоящая в квадратных скобках последнего выражения, мо-
может быть преобразована заменой функций и и п их представлением
C.17.131) через функции Бесселя комплексных аргументов. Согласно
640 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
известным соотношениям между функциями Бесселя [34]
и1 (t) = ± [ytJi (yt)} = у [Jy (yt) + ytJ'i (yt)} = y2tJ0 (yt) C.17.162)
и, аналогично,
u'(t) =ftJ0(yt). C.17.163)
Используя C.17.131), C.17.162) и C.17.163) в формуле C.17.161),
получаем
vr = a2h cos azD [Jj (у/г) Jo (у/г) + Ji (yoh) Jo (у/г)] . C.17.164)
11. Обозначим через rj расстояние точек возмущения границы от
цилиндрической поверхности невозмущенного течения. Имеем
г, = г0 - R = 5cosaz. C.17.165)
Если величины vr и rj имеют одинаковые знаки, т.е. vr/r\ > 0,
то амплитуда возмущения поверхности имеет тенденцию возрастать.
Напротив, при разных знаках у величин vr и rj, или при vr/r\ < 0,
возмущение должно убывать.
Составляя с помощью C.17.164) и C.17.165) отношение vr/r\ и учи-
учитывая, что величина Z), согласно выражению C.17.159), существенно
положительна, приходим к заключению, что знак отношения vr/r\
определяется знаком суммы, стоящей в квадратных скобках выраже-
выражения C.17.164).
При больших значениях h можно воспользоваться асимптотиче-
асимптотическим выражением бесселевых функций [34]:
Jo (z) и y^cos (z - fj , Ji (z) и y^sin (z-f), C.17.166)
вследствие чего
h W Jo (yh) + ^ {yh) Jo (yh)
Таким образом, асимптотическое представление для отношения
vr/r\ имеет вид
2a2D
cos2och. C.17.168)
I | 1HJ
Так как
/KV» -4-1- /KV» 4 / -4-1- 1 /
C.17.169)
§ 17. Об устойчивости течения полосы и круглого прута
641
где V — объем цилиндра, то h принимает достаточно большие значения
лишь при большом числе т полуволн возмущения и при небольшой по
сравнению с радиусом длине цилиндра /. По мере растяжения цилиндра
h убывает и отношение vr/r\ может несколько раз переменить свой знак.
При малых значениях h течение неустойчиво, так как отношение
vr /r| становиться положительным. В этом можно убедиться путем непо-
непосредственного подсчета по таблицам А. Динника [15, 72] выражения
Y = Ji (у/г) Jo (у/г) + J, (у/г) Jo (у/г) = U0U, + VOVU C.17.170)
где Uq,U\ и Vo, Vi — соответственно вещественные и мнимые части
функций Jo (у/г) и Ji (у/г).
Приведем табл. 9, содержащую значения Y по C.17.170) для неко-
некоторых значений параметра у. На рис. 191 представлены кривые для
зависимости C.17.170), построенные с помощью этой таблицы.
У
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1.0
2.0
4.0 h
Рис. 191
Так как согласно C.17.126)
-v)/2 = e{\ C.17.171)
то аргумент комплексного числа т связан с коэффициентом v соотно-
соотношением
v = -cos 2т C.17.172)
и, следовательно, в соответствии с C.17.116) и C.17.124)
1 _ Зсоц _ _
s o°
C.17.173)
Таким образом, малым значениям угла т соответствует малая ско-
скорость деформирования со.
Из рассмотренного поведения кривых на рис. 191 делаем заключе-
заключение, что при малых скоростях деформирования в принципе возможны
устойчивые течения в небольшом интервале значений числа /г. При
642 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
больших значениях числа h (что может иметь место при большом числе
т полуволн возмущения границы цилиндра) должна появиться устой-
устойчивость течения и при больших значениях скорости деформирования.
Это следует из асимптотического представления отношения vr/r\ при
больших значениях h.
Табл и ца 9
h
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
yi = exp ^г
0.000
0.096
0.185
0.285
0.310
0.337
0.339
0.317
0.274
0.217
0.152
0.087
0.022
-0.021
-0.055
-0.071
-0.072
-0.058
-0.033
-0.003
0.029
У2 =ехр—г
0.000
0.091
0.176
0.248
0.303
0.338
0.351
0.343
0.316
0.274
0.222
0.166
0.112
0.064
0.026
0.002
-0.008
-0.003
0.014
0.040
0.072
Зтт.
Уз =ехр—г
0.000
0.082
0.160
0.230
0.288
0.332
0.361
0.377
0.371
0.357
0.332
0.302
0.269
0.237
0.216
0.195
0.190
0.198
0.221
0.260
0.313
Можно показать, как и в задаче о полосе, что при сжатии цилин-
цилиндра должна наблюдаться обратная картина и течение, устойчивое при
каком-либо значении скорости деформирования со, становится неустой-
неустойчивым, если переменить направление деформирования. Поэтому при
малом значении числа h неустойчивые течения могут возникать лишь
§ 18. Об устойчивости течения круглой пластины 643
при сравнительно медленных течениях. А так как ширина этих обла-
областей значений h незначительна по сравнению с областями устойчивого
движения, то получение, например, шейки при сжатии цилиндра весь-
весьма затруднительно, хотя и возможно. Вместе с тем получение волн
возмущения малой длины на поверхности цилиндра возможно при
широких диапазонах изменения скорости деформирования, ибо при
этом число h принимает большие значения.
С небольшим видоизменением теория, развитая выше, может быть
применена к изучению деформирования пластической среды, имеющей
упрочнение [113]. Величины vr и vz будут играть при этом роль переме-
перемещений. Этим путем можно попытаться объяснить явление образования
шейки при растяжении и сжатии цилиндрических образцов.
Наконец, та же теория может быть применена к решению задачи о
медленном течении вязкой жидкости в трубе, радиус сечения которой
периодически изменяется [171].
§ 18. Об устойчивости вязкопластического течения
круглой пластины
1°. Рассмотрим тело вращения, симметричное относительно неко-
некоторой срединной плоскости ху. Пусть
z = ± [h + ? (г)], г = yjx2 + у2 C.18.1)
— уравнения поверхностей, ограничивающих в рассматриваемое мгно-
мгновение это тело, где ? (г) — некоторая функция, принимающая малые
значения по сравнению с величиной h и такая, что она может быть
разложена в ряды по функциям Бесселя.
Пусть указанное тело деформируется под действием осесимметри-
ческой нагрузки, приложенной к боковой цилиндрической поверхности
тела.
Можно ожидать, что вследствие малости функции ? (г) дефор-
деформирование тела будет мало отличаться от деформирования круглой
пластинки толщиной 2/г под действием нормальных усилий, распреде-
распределенных по ее цилиндрической поверхности.
Обозначим через о?, t®z, а^ и о® компоненты тензора напряжений
круглой пластины, а через и®, uQz, и® — компоненты скоростей ее точек
относительно цилиндрической системы координат rQz при ? (г) = 0.
Перечисленные величины определяют исходное однородное деформи-
деформирование, а соответствующие величины oj., т!гг, ofz, ofQ и u'r, ufz, ufQ —
644 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
«возмущенное» деформирование (течение) круглой пластинки, когда
С (г) 5*0.
Будем рассматривать разности <з'г — а^, i!rz — т^, o'z — а^, о'в —
— ад, а также иг = и'г — и®, uz = u'z — vPz и щ = ufQ — и® как
малые величины и называть их возмущениями величин, определяющих
основное движение. То же относится к разности среднеарифметических
нормальных напряжений а = af — а0:
I i ' | / | / \ 0 /0 | 0 | 0\ /Q 1 й О^
Определим сначала компоненты тензора напряжений и тензора
скоростей деформирования, относящихся к основному течению. Пред-
пол ожим для определенности, что пластина растягивается нормаль-
нормальными силами, равномерно распределенными по боковой поверхности с
интенсивностью q.
В силу осевой симметрии движения щ = 0. Поэтому величины
du°z _ о ®и°г _ о ^ _ о СЗ 18 31
dz z' дг r' r e
являются главными скоростями деформации пластины в исходном,
невозмущенном течении пластины. Считая деформацию пластины од-
однородной, положим
8о = ^ = -со(?), C.18.4)
где со(?) — положительная функция времени.
Примем материал пластины несжимаемым (точнее, лишенным объ-
объемной деформации). Тогда, как известно, должно соблюдаться условие
о 0 QiLz , OUr Ur _ /n -jo r\
o? = -^ 1—7Г 1 = U, (o.lo.oj
где Зг° — скорость объемной деформации.
Рассматривая теперь C.18.5) как дифференциальное уравнение от-
относительно перемещения и®, получим в результате интегрирования
соотношения
иг = -сог Н —, (d.l8.bj
в котором Л (t) — произвольная функция времени. Ее следует поло-
положить равной нулю, так как на оси симметрии пластины, то есть при
г = 0, перемещение и®, конечно, равно нулю.
Имеем теперь
Q 0 -1 0-1
0 UUr 1 0 Ur I /Q1Q7N
гг = -J— = -со, ге = — = -со C.18.7)
§ 18. Об устойчивости течения круглой пластины 645
и, следовательно, при со = со(?) > О
|е°|=г°г+г°. C.18.8)
С главными компонентами тензора скоростей деформации г^, е^, г^
свяжем, как и в [166], формулами
eor = s°r+e°, г° = *° + г°, е° = в°г + е° C.18.9)
так называемые скорости формоизменения s^, s?, s®. Согласно C.18.5)
материал несжимаем (г° = 0), и, таким образом,
Ро _ о о _ о о _ о ГЧ 1Я 10^
Следовательно, в соответствии с C.18.4) и C.18.7)
s°r > 0, s°Q > 0, s°z < 0. C.18.11)
Согласно предположенным в [166] уравнениям пространственного
деформирования вязкопластической среды представим главные напря-
напряжения d, C2, аз в виде
Oi = а + Si - Г (г = 1, 2, 3), C.18.12)
где
ЗГ = $i + $2 + S3, а = - (о<1 + С2 + аз) , ai ^ а2 ^ аз-
о
Величины *Si, которые называются напряжениями формоизмене-
формоизменения, подчиним, как и в [166], закону
Si = К sign Si+yiSi. C.18.13)
Учитывая равенства C.18.10) и неравенства C.18.11), главным осям
1, 2 и 3 тензора напряжения и совпадающим с ними главным осям
тензора скоростей деформации следует поставить в соответствие оси
г, Q и z. Получаем
Sz = -K-»bz, Sr = K + [iEr, 5е = Х + цге, Г = \к. C.18.14)
Возвращаясь к C.18.12), C.18.4) и C.18.7), приходим к исходным
для дальнейшего соотношениям, связывающим главные компоненты
тензора напряжений а^, а^, а® с функцией со (t):
а° = а0 + 5° - Г = а0 + \к + ^со, а° = а0 + S°z - Г = а0 - \к - цсо,
a°=o0 + S°-r = c0 + ^K+1-iuo. C.18.15)
646 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Верхнее и нижнее основания пластины (z = ±/г) свободны от уси-
усилий. Поэтому следует положить а^ = 0, вследствие чего
а0 = \к + цсо, с° = с° = 2К + |цш = 9-
C.18.16)
Последнее соотношение определяет со, характеризующую скорость
деформирования полосы, ибо вследствие граничных условий на бо-
боковой ее поверхности следует положить а? = q. Если пластина не
растягивается, а сжимается, то достаточно во всех приведенных выше
выражениях изменить знак у пластической постоянной.
2°. Для возмущенного движения направления двух из главных осей
тензора напряжения будут несколько отличаться от направлений осей
основного движения, а именно: ось 2, соответствующая направлению 6,
останется в силу симметрии неизменной, оси же 1 и 3, соответствующие
направлениям гиг, отклонятся от этих направлений на малый угол #
(рис. 192).
^—
q^j
^ ~ ^-—^""^
Z
— -
3
\и_
п
Z,dC/dr
•
^—*^
—т
Рис. 192
Из рассмотрения круга Мора (рис. 193) нетрудно получить соотно-
соотношения
/
ог =
1 — cos 2d, oz =
/ / /
О3 С)] — О3
cos 2d,
<z = ^Y^sin2d' C.18.17)
где а\ и 03 - главные напряжения, относящиеся к возмущенному
движению.
Аналогично (рис. 194) для скоростей деформирования имеем
i.i i i
C.18.18)
§ 18. Об устойчивости течения круглой пластины
647
где г\ и е3 — главные скорости деформирования, относящиеся к возму-
возмущенному движению.
X
Рис. 193 Рис. 194
Так как главным осям 1 и 3 соответствуют оси г и z, то
= а' + 1
откуда
C.18.19)
C.18.20)
Следовательно,
C.18.21)
В последних равенствах
диг
, _ ди^ _ ди[ ди^ _ _
8г ~ дг ~ дг дг ~ 2 ^ дг '
duz
= —со -
C.18.22)
диг
duz
где иг и uz — возмущения компонент основного движения, а а — возму-
возмущение среднего напряжения. Учитывая малость Ф, равенства C.18.21)
можно привести к виду
2 „ . 1 . . диг о
о
/ 0 4 IX
oz=ou - -Х-
C.18.23)
648 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
а так как с° = 2К + Зцсо/2 и с° = 0, то
а^2^ + ^р + а + ^,а^а + ^. C.18.24)
Далее имеем (см. рис. 194)
jrz _ (duz , диг\ ,\(\ .диЛ ( .du
C.18.25)
или, с точностью до малых второго порядка,
2*=f fe + ^V C.18.26)
Зсо у дг dz ) v J
Поэтому третье из равенств C.18.21) может быть преобразовано к
виду
гк 1 \ (диг диЛ (диг ди
где
3°. В дифференциальных уравнениях возмущенного движения от-
отбросим инерционные члены и массовые силы, считая влияние их на
движение незначительным. После этого уравнения примут вид
^ д^ с^*, =0^k + ^ + !k=0. C.18.29)
дг dz г дг dz r '
Подставляя сюда компоненты тензора напряжений, получим два
соотношения
C.18.30)
да d2uz _fd2uz , д2иг\ , 1 (duz durx
dz ^ dz2 ^
связывающие три неизвестные функции а, иг и uz. Для получения тре-
третьего соотношения следует воспользоваться условием несжимаемости
среды
or r
^=0. C.18.31)
dz v '
§ 18. Об устойчивости течения круглой пластины 649
Отсюда следует, что функции иг и uz могут быть представлены в
виде
где % — некоторая подлежащая определению функция.
Подставляя выражения C.18.32) для иг и uz в уравнения C.18.30),
получаем
1 да 1 ( л(\ 1
+ + A ) [ Xrz) '
C.18.33)
Ida (\ 1 1 \ 1
+
Дифференцируя первое равенство по переменной z, а второе —
по г и вычитая из одного другое, приходим к дифференциальному
уравнению в частных производных для функции %:
2 3 3 / 1 \
%ГГГГ--%ГГГ + ^2%ГГ-^%Г+Ъ [Xrrzz - ~Xrzz )+%zzzz =0, C.18.34)
г г г у r J
где
K '
В рассматриваемом случае со > 0 и, следовательно, —1 < v < 1.
Будем искать частное решение уравнения, определяющего функ-
функцию х, в виде
х = R(r)Z(z). C.18.36)
Подставляя выражение C.18.36) в уравнение C.18.34), приходим к
равенству
Я"" _ 2 д/// + ^д" _ ^дЛ Z + 2v (V - -Rf) Z" + flZ///; = 0,
r r2 rs J V r J
C.18.37)
которое, если ввести обозначение
Q = R" -R'/r, C.18.38)
может быть представлено в виде
(Q" - Q'/r) Z + 2vQZ" + ^Z/w = 0. C.18.39)
Переменные, зависящие от г, сократятся, если потребовать одно-
одновременно
Q" - Q'/r = mQ, Q = R" - R'/r = пД, C.18.40)
650 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
что возможно лишь при условии т = гг, причем функция R(r) должна
быть решением обыкновенного дифференциального уравнения
R" - Rf/r + a2R = 0, где а2 = -т. C.18.41)
В этом случае
Q" - Q/r = -a2Q = a4R, Q = -a2R, C.18.42)
и равенство C.18.37) приводится после сокращения на R(r) к виду
Z"" - 2va2Z" + a4Z = 0, C.18.43)
представляющему собой обыкновенное линейное уравнение с постоян-
постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение
X4 - 2va2X2 + а4 = 0 C.18.44)
имеет корни
±гу = ±г (а + рг), ±гу = ±г (а - рг), C.18.45)
где
C.18.46)
Следовательно, общее решение дифференциального уравнения
C.18.43) имеет вид
Z (z) = C\ sinyaz + C2cosyaz + Сз sinyaz + ^cosya^;. C.18.47)
Из условия симметричности движения относительно срединной
плоскости (z = 0)
uz(-z) = -uz(z). C.18.48)
А так как
^ = \fr=\R'{r)Z{z), C.18.49)
то Z{—z) = —Z(z), то есть функция Z (z) должна быть нечетной и,
следовательно, произвольные постоянные Сч и С^ должны обращаться
в нуль.
Выражение для Z (z) окажется вещественным, если взять его в
форме
Z (z) = Asmyaz + Asmyaz, C.18.50)
где Л и А — две сопряженные функции времени.
Решение уравнения C.18.41) выражается через функции Бесселя и
Неймана первого порядка, а именно [166]:
R (г) = BtrJt (ar) + B2rN1 (ar). C.18.51)
§ 18. Об устойчивости течения круглой пластины 651
Функция Неймана N\ имеет в нуле простой полюс, и так как иг и uz
ограничены при г=0, то В<± надлежит положить равной нулю. Таким
образом, частное решение уравнения для % можно представить в виде
%= (Asmyaz + Asmyaz) rJ-[(ar). C.18.52)
При этом без потери общности положено В^ = 1.
Для определения функции а обратимся к первому из соотношений
C.18.33) для частной производной этой функции по г.
Подставляя в него выражение C.18.36), получаем
Qr — ' г*ь~ ' vr i *ь „.*- \ " i ° "" i i ,. \ • C.18.53)
Далее заметим, что
C.18.54)
и, кроме того, согласно уравнению C.18.41), определяющему Я,
г а2 \ г г2 J а2
Поэтому, произведя интегрирование по переменной г, получаем
а2'
f(z,t). C.18.56)
С помощью второго соотношения C.18.33) и уравнений C.18.41)
и C.18.42), которым удовлетворяют функции R(r) и Z (z), нетрудно
убедиться, что fz (z,t) = 0 и, следовательно, произвольная функция
зависит лишь от времени. Для определения ее, а также комплексно-
значной функции Л, входящей в выражение C.18.50) для Z (z), следует
обратиться к граничным условиям.
4° Верхнее и нижнее основания тела вращения (круглой пластины),
деформирование которого мы рассматриваем, свободны от напряже-
напряжения, поэтому на поверхностях z = ±[/г + ^ (г)] должны удовлетворяться
условия
o'r cos nr + %rz cos nz = 0, %rz cos nr + o'z cos nz = 0. C.18.57)
Так как углы отклонения нормали п от оси z считаются малыми,
то можно положить (см. рис. 193) cosnz « 1 и cos nr « —дС,/дг. Кроме
того, вследствие малости возмущения границы ?(г), достаточно тре-
требовать удовлетворения этих условий не на криволинейных граничных
поверхностях, а на плоскостях z = ±/г.
652 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Таким образом, с учетом малости i!rz граничные условия C.18.57)
представлены следующим образом:
az=0 и i!rz = c'r|^ при z = ±h. C.18.58)
В последнем условии напряжение ofr может быть заменено на а^,
так как происходящая от этого погрешность имеет уже второй порядок
малости.
Выражение C.18.23) для afz с учетом формул C.18.32), C.18.36) и
C.18.56) может быть преобразовано к виду
/ , duz 1 д\
Так как при z = dz/г напрял<ение <з'г обращается в нуль при любом
значении г, то заключаем, прежде всего, что функция времени, входя-
входящая в выражение C.18.56) для а, равна нулю и должно иметь место
равенство
Z1" - а2 A + 2v) Z' = 0 при z = h. C.18.60)
Подставляя сюда выражение C.18.50) для Z, получаем
у A + 2v + у2) A cosyah + у (l + 2v + у2) A cosyah = 0. C.18.61)
Так как
у2 = (V(l-v)/2 + 2v/(l+v)/2J = -v + i^l-v2, yy = 1,
C.18.62)
то
2v = -y2-y2,y(l + 2v + y2) =y(l-y2) =y-y,
9Ч C.18.63)
y(l + 2v + y2) =-(y-y).
Поэтому равенство C.18.61) может быть представлено в виде про-
пропорции
—^Т = —^-т = D> C.18.64)
cosyah cosyah v '
где функция времени D имеет действительное значение, так как пер-
первые два отношения являются взаимно сопряженными. Таким образом,
имеем
Z (z) = D (cosyahsinyaz + cosya/isinyaz) . C.18.65)
§ 18. Об устойчивости течения круглой пластины 653
Далее, согласно формулам C.18.27), C.18.32), C.18.36) и C.18.41)
'' duz диЛ и 1 / 1
= я — —it Zi — itZi = it [Zi -\- a Zi i .
l+vr[y r J I l+vrv 7
C.18.66)
Подставляя сюда выражение C.18.65) для функции Z, получаем
2 о
т^ = — D [(l — у2) cosya/isinyaz + (l — у2) cosya/isinya^;] .
C.18.67)
Полагая в этом выражении z = h и замечая, что
1 - у2 = 1 - а2 + р2 - 2арг = 2р (р — га) C.18.68)
и, точно так же,
1-у2 = 2р(р + гос), C.18.69)
приходим к формуле
г). C.18.70)
Следовательно, второе граничное условие C.18.58) приводится к
виду
n|C =_±^I^DB$sm2aah + 2ash2$ah). C.18.71)
r dr 1+vr г / v /
Это условие может быть выполнено лишь при определенном виде
функции ?, а именно, при ? = 5Jo (ar). Действительно, в этом случае,
согласно C.18.51), учитывая, что В\ = 1, имеем
^ = аЫ'о (ar) = -a8Ji (ar) = -ab^1. C.18.72)
Производя сокращения, получим для функции времени D выраже-
выражение
тл V i~ VJ Qr О /о -1 о »vo\
~~ japa 2psin2aa/i+ 2ash2pa/i" \ • • )
В общем случае будем считать функцию С, (г) такой, что она допуска-
допускает разложение в ряды по функциям Бесселя или представление в виде
интеграла Фурье-Бесселя. В этом случае решение рассматриваемой
задачи получится в виде комбинации частных решений, найденных
654 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
выше. Ограничимся поэтому исследованием частного вида такого воз-
возмущения поверхности.
5°. Рассмотрим составляющую скорости какой-либо точки этой по-
поверхности, направленную параллельно оси вращения тела. Эта ско-
скорость отличается на величину uz от соответствующей скорости u®z
основного движения. Так как в основном движении не происходит иска-
искажения плоских границ пластины, то, если знак uz совпадает со знаком
возмущения ^(г), это возмущение имеет тенденцию к увеличению и,
обратно, при разных знаках этих величин имеет место тенденция к
известному сглаживанию возмущенной границы.
Для uz имеем
= - [J\ (ar) + arJ[ (ar)} D (cos yah sin yaz + cos yah sin yaz).
C.18.74)
Подставляя сюда значение D и замечая, что согласно известным
формулам теории бесселевых функций J\ (ar) -\-arJ[ (ar) = arJo (ar),
получаем
A + v) o°5 Jo (ar) cos yah sin yah + cos yah sin yah , ,
Uz = ^f3 2Csin2aa/i + 2ash2Ca/i ' ^ '
Знак отношения uz/C,(r) решает вопрос о тенденции возмущения
к возрастанию или, напротив, убыванию. Подставляя сюда значение
функции uz при z = h и ? (г) = 5Jo (ar), получаем, что для точек
границы тела
и^ _ A +v)o° sin 2aah , ,
С цр 2psin2aa/i + 2ash2pa/i" \ • • )
Знаменатель отношения положителен, поэтому его знак определя-
определяется знаком функции sin 2aah. Так как v = C|ico - А К) / (Зцсо + 4К), то
и при достаточно большой скорости деформирования гг = —со (со > 0)
любое возмущение поверхности тела по закону ? = 5Jo (ar) имеет
тенденцию к возрастанию (неустойчивая деформация по терминоло-
терминологии А.А.Ильюшина [153]). В самом деле, всегда можно подобрать
такую скорость деформирования, чтобы осуществилось неравенство
0 < 2aah < п.
19. Вязкопластическое течение анизотропной полосы 655
§ 19. Вязкопластическое течение анизотропной
полосы, ослабленной пологими выточками
Рассмотрим задачу об устойчивости течения полосы из изотропного
вязкопластического материала, ослабленного пологими выточками.
Условие пластичности для анизотропного вязкопластического ма-
материала запишем в виде
А (ох — оу — \i(ex — еу)) + 4В (тху — \iExy) +
+ С (ох - оу - [i(ex - Еу)) (тху - \угху) = 4k2, C.19.1)
где к — пластическая постоянная, ji — коэффициент вязкости,
Л, Б, С — постоянные, характеризующие анизотропию материала.
Согласно ассоциированному закону пластического течения, для
компонент скорости деформации из C.19.1) получим
ех = 2Х[А (ах - Су - [i(ex - еу)) + С (хху - [1гху)\, гу = -ех,
гху =Х[С(ох -Оу -ц(гж - гу)) + 4Б (хху - \iExy)\ , X ^ 0.
C.19.2)
Решение будем искать в виде
ау=о?,.+5с/у> ^=е?,.+5^,-, к = *? + **!, g
где 5 — малый безразмерный параметр.
Учитывая C.19.3), пролинеаризируем соотношения C.19.1) и
C.19.2). Для нулевого приближения получим
V (а° - 2цг°) - qiiz°xy = 4k2, 2рг°ху - дг°х = 0, C.19.4)
где
р = А (а° - 2ц г°х) - С^°ху, q = С (а° - 2ц г° ) - 4Вцг°ху,
О О
Р 2р q
Из соотношений C.19.4) можно определить зависимости г^ =
-е° (о0) иг0 =г° (о0)
— ьх \°х) и ьху ьху \°х)-
Для первого приблил<ения получим
а'ж-а;-2це'ж+со (х'ху - ^ху) = 0, 2ах'ху-2Ьг'ху+согх = 0, C.19.5)
где а = Х° (Am2 - Ссо + 4В) , b = \ia + 1.
656 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Условию несжимаемости материала
' дх ^ ду
удовлетворим, полагая
C.19.6)
Удовлетворяя уравнениям равновесия
да^ От^ = fc'xy дъу п
дх ^ ду ' дх ^ ду '
положим
д2и
д2и
°Х = о 2 5 °V = о 2 5
д2и
'дхду'
C.19.7)
Согласно C.19.5), C.19.6), C.19.7) получим систему для нахожде-
нахождения функций U = U(x, у) и Ф = Ф(ж, у):
2и д1
дх2 ду2
Лдх2 ду2) 2[1дхду;
д2и
где
Решение этой системы запишется в виде
U = U1-\- Ш2, Ф = Ф1 + гФ2,
= С\ cos (тх + осз?) ch рз^ + С<± sin (тх + осз?) sh |
С3 cos (тх + ос4^) с/гр4^ + С± sin (тх + a^t) sh |
= С\ sin
C.19.8)
ch p3t - С2 cos (тх + аз^) sh
С3 sin (гтгж + ос4^) ch p4^ — С4 cos (тх +
аз?) sh рз^—
= Do[G2 cos (тх + аз?) ch рз^ — С\ sin
Gз sin (тх
, C.19.9)
Ф1 = D0C2 sin (тх + а3?) с/гр3^ + С\ cos (гтгж + a3t) sh p3t—
— С4 sin (гтгж + а4^) ch р4^ — Cs cos (тж + ос4^) s
§ 19. Вязкопластическое течение анизотропной полосы 657
¦ = ту, А) = |^, «=-®, od =oc2 + p2+4, pj = 2ар,
Р=^
Для простоты дальнейших вычислений будем считать, что
U = Ui(x,y), * = *1(х,у). C.19.10)
Из C.19.7), C.19.8), C.19.10) найдем выражения для компонент
напряжений:
о'ж = т2[ ((р§ - а§) G! + 2а3р3С2) cos (шж + аз^) ch Рз^+
+ ((Рз - аз) С2 ~ 2a3p3Ci) sin (mx + a3t) sh
+ ((pi - а|) С3 + 2a4p4Cr4) cos (шж + a4t) ch
+ ((pl-ai) С^4 - 2a4p4Cr3) sin (mx + a4t) sh p4t], C.19.11)
cos (шж + a3t)c/ip3t + C2sin (тж + a3t) sh
+ G3 cos (mx + a4t) ch p4t + C4 sin (гтгж + a4t) sh
y - p3C2) cos (mx + a3t) ch
+ (p3Ci + OL3C2) sin (mi + a3t) sh
+ (a4G3 - p4C4) cos (шж + a4t) ch
+ (Р4С^3 + a4C4) sin (mi + a4t) sh p4* ]. C.19.12)
Уравнение границы представим в виде
у = ± (Ь + 5 cos mx),
где 6, у отнесены к единице длины.
Линеаризированные граничные условия будут иметь вид
о'у = 0, х'ху + та°х sin mx = 0, 2/ = ±6. C.19.13)
658 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Граничные условия должны выполняться при любом значении х
при у = ±6. Поэтому из C.19.11), C.19.13) получим систему уравнений
для нахождения неизвестных постоянных Ci, С2, С3, С4:
—а2С\ + Ь2С2 - е2С3 + d2C4 = 0;
C.19.14)
U3C1 + Ь3С2 + е3С3 + d3C4 = 0;
fl^Ci Н~ Ь4С2 + б4Сз Н~ d4C4 = ох/тп,
где /г = тб,
tti = cos аз /г спрз/г, fl2 = sin аз /г спрз/г,
аз == аза1 Н~ Рз^15 a4 — ~о^за2 Н~ Рз^2?
6i = sin аз/г впрз/г, b2=cosa3h shp3^,
b4 = cn3b2 + рз^2,
e2 = sin а4/г ch Р4Д,
ез — 0С4б1 + p4<ii, e4 = —a4e2 + p4<i2,
di = sin а4/г sh р4/г, d2 = cos a4
d3 ^ a4(ii — P461, d4 ^ a4d2 -
Из системы C.19.14) получим
Ai = a2 sin а3/г sh р3/г sh 2р4/г + (p2 ch р/г - p ch р2/г) cos а3/г sh Р4Д-
— (p + p2) cos a4h cos a2h sh рз/г,
A2 = a2 cos аз/г ch рз/г sh 2р4/г + (p2 ch р/г + p ch р2/г) sin a3h ch Р4Д—
- (P + p2) sin a4h cos а2/г ch р3/г,
A3 = —a2 sin a4h sh Р4Д sh 2рз/г + (p2 ch р/г + p ch р2/г) cos a4h sh рз/г+
+ (p — p2) cos аз/г cos а2/г sh Р4Д,
A4 = -a2 cos a4h ch р4/г sh 2р3/г + (p2 ch р/г - p ch р2/г) sin а4/г ch Рз/г+
+ (p — p2) sin азh cos a2h ch
A = (o| + p2) ch 2р2/г - (o| + p2) ch 2р/г + (p| - p2) cos 2а2/г.
§ 20. Течение полосы, ослабленной пологими выточками 659
Рассмотрим какую-либо точку границы с абсциссой х. Вертикаль-
Вертикальная составляющая г/ возмущения скорости основного течения, согласно
C.19.6), C.19.9), C.19.10), выражается формулой
Q
v1 = -г—^ Ei cos mx + 52 sin mx),
^ = ip (cos 2а2/г - ch
— oc2 (sin а/г cos а2/г ch р/г sh р2/г — cos а/г sin а2/г sh р/г ch рг
+ p2 (sin а/г sin а2/г ch р/г ch р2/г + cos а/г cos а2/г sh р/г sh р2/г),
S2 = i (a2 sh 2р2/г - p2 sin 2а2/г) +
+ a2 (sin а/г sin а2/г sh р/г ch р2/г - cos а/г cos а2/г ch р/г sh р2/г) +
+ p2 (sin а/г cos а2/г sh р/г sh р2/г — cos а/г sin а2/г ch р/г ch р2/г) .
Поведение амплитуды возмущения 5i, *S2 определяет устойчивость
течения полосы. В случае изотропии 52 = 0.
§ 20. Вязкопластическое течение полосы,
ослабленной пологими выточками.
Полиномиальное решение
Рассмотрим вязкопластическую полосу, ослабленную двумя сим-
симметричными выточками, уравнения которых запишем в виде
у = ±(h + qx2) , g/ft<l, q = const, C.20.1)
где 2/г — наименьшая ширина полосы.
Уравнения равновесия при отсутствии массовых сил и при условии
квазистатического плоскопараллельного течения имеют вид
6^+0^, ?>^+<^ = 0. C.20.2)
дх ду дх ду v y
Условие пластичности для вязкого материала имеет вид
((оя - о„) - ц(еж - гу)J + 4 (хх„ - \izxyf = 4k2, C.20.3)
где к — предел текучести, \i — коэффициент вязкости.
660 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
По формулам Коши
ди dv 1 (dv ди
где и, v — компоненты скорости перемещения вдоль осей ж, у.
Согласно ассоциированному закону пластического течения для ком-
компонент скорости деформации из C.20.3) получим
гх=2Х((ох-Оу)-\1(гх-гу)), гу = -гх,
?Ху = 4А, (тху - [iExy) , k > 0.
Решение будем искать в виде
а°у=г°ху=г°ху=0.
C.20.6)
=0.
В дальнейшем положим, что Х° = 0. Откуда
о°х=2к, г1=г°у=0 C.20.7)
(начальное состояние недеформированное).
Для компонент возмущенного состояния уравнения равновесия
C.20.2) и формулы Коши C.20.4) сохраняют свой вид.
Учитывая C.20.6), C.20.7), линеаризируем соотношения C.20.3) и
C.20.5). Для первого приближения получим
с'х-с'у-»(е'х-е'у) = 0, C.20.8)
4+<=0, ^=0, А.' = ^. C.20.9)
Линеаризированные граничные условия имеют вид
о'у = 0, х'ху = Akqx при у = h. C.20.10)
Согласно C.20.4) и C.20.9) для нахождения компонент и\ v1 полу-
получим систему двух дифференциальных уравнений:
ди_ dv_ _п ди dv' _
решение которой, согласно C.20.1), запишем в виде
и' = Вху, v1 = -\в (х2 + у2 - h2) . C.20.11)
§ 20. Течение полосы, ослабленной пологими выточками 661
Так как г/ = qx2 при у = /г, то
Б = -2q. C.20.12)
Тогда из C.20.4), C.20.11), C.20.12) получим
e'x = -2qy, z'y=2qy, г'ху=0. C.20.13)
Используя соотношения C.20.8), C.20.13), исключим из уравнений
равновесия напряжение <з'х. Тогда
дау^ дт^ = дтху дау
дх ^ ду ' дх ^ ду
Решение этой системы запишется в виде
а; = С]ж - С2у + С3, т'ху = С2х - Ciy + C4, C.20.14)
где С{ — неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий
C.20.10):
Ci=C4 = 0, C2=4kq, C3=4kqh. C.20.15)
Таким образом, из C.20.8), C.20.13), C.20.14), C.20.15) окончатель-
окончательно получим
c'x=4kq(h-y)-4iiqy, a'y = 4kq(h - у), x'xy=4kqx. C.20.16)
В случае отсутствия вязкости (ji = 0) имеют место результаты [179].
Для второго приближения линеаризированные соотношения
C.20.3) и C.20.5), согласно C.20.8), C.20.9), запишем как
гх +?2/ = °> гху = ^гхТху^ Х = 4jfe- C.20.18)
Линеаризированные граничные условия имеют вид
Су = 8kq2x2, х'ху = -4q2 (kx2 + 2[ixh) при у = h. C.20.19)
Согласно C.20.4), C.20.13), C.20.16), C.20.18) для нахождения ком-
компонент uff, v" получим систему двух уравнений:
ди" dv" п ди" dv" Ла 2
решение которой имеет вид
и" = -8q2xy2, v" = 8-q2y3.
662 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Следовательно,
? = -8q2y2, 4=8q2y\ 4y = -8q2xy. C.20.20)
Из C.20.16), C.20.17), C.2.20) имеем
с'х = oj; - 16</2 (kx2 + [iy2) . C.20.21)
Тогда, исключая из уравнений равновесия напряжение а", получим
r\ ft r\ ft о " О "
*Ь + *¦* = 32*,*», ^ + ^=0.
дх ду дх ду
Решение этой системы запишется в виде
с" = DlX2 - 2D2xy - (l6kq2 - D-Л у2 + D3x - D4y + D5,
C.20.22)
т'^ = D2x2 - 2 A6^G2 - Dj) жу - D22/2 + ^4^ - D32/ + D6,
где D^ — неизвестные постоянные, определяемые из граничных условий
C.20.19):
D1=8kq2, D2 = -4kq2, D3 = -8kq2h, D4 = -(ji + 2k)q2h,
D5 = -8(ц + ^)G2/г2, D6 = -4kq2h2.
C.20.23)
Таким образом, из C.20.21), C.20.22), C.20.23) окончательно нахо-
находим
[(/г - уJ + Ж(Л - у) + z2] - 8ц</2 [Л(Л - 2/) + 2у2] ,
= -8^92 [(/г - уJ + ж(Л - у) - х2} - 8\iq2h(h - у),
у = -4kq2 [{h - уJ + 4x{h -у) + х2} - 8цq2hx.
§ 21. Растяжение толстой вязкопластической
плиты, растягиваемой в своей плоскости
Рассматривается вязкопластическое течение толстой прямоуголь-
прямоугольной плиты, растягиваемой в своей плоскости, ослабленной пологими
выточками.
Предположим, что срединная плоскость плиты совпадает с плоско-
плоскостью хОу, обозначим через 2/г толщину плиты, так что \z\ ^ h.
Условие вязкопластического состояния запишем в виде
(рх - а- - к - [i?x) (су - а- - к - [i?y) = (хху - \i?xyf ,
(су - а- - к - [i?y) (az - а- - к - [i?z) = (xyz - \i?yzf , C.21.1)
§ 21. Растяжение толстой вязкопластической плиты 663
11 2
(сж - а- - к - цеж) (oz - а- - к - [izz) = (xxz - [izxz) ,
ji, к = const,
a также
(ож - О- - к - |18Ж) (xyz - [i?yz) = (xxy - [i?xy) (xxz - [i?xz) ,
(oy - a- - к - [iEy) (xxz - [iexz) = (xxy - [iExy) (xyz - [iEyz), C.21.2)
(oz - a- - к - [izz) (%xy - \izxy) = (%yz - [izyz) (txz - [izxz) .
Начальное напрял<енное состояние примем в виде
а°х=к, а°у = к, а°=0, т°ху = x°yz = x°xz = 0,
e?+8»+e2=O, «?, = е», = е», = 0. C.21.3)
Положим
аж = g°x + 5а!,, ау =ау+ Ьа'у, az = a°z + 5a^,
гх = г°х + 5е;я, 8^=8°+ Ц, 8, = 8° + &? C.21.4)
где штрих наверху припишем компонентам возмущения, 5 — малый
параметр.
Линеаризируя условие пластичности C.21.1), C.21.2), получим
с'ж = a' + lie!,, о'у = of + iie^, а^ = а' + \u!z,
Чу = \я!Ху, txz = [izfxz, xfyz = iiz'yz, C.21.5)
где, согласно C.21.3),
к к
C.21.6)
Подставив соотношение C.21.5) в уравнения равновесия
имеем
664 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
дг':
да_ dexz
dz дх
U5
ду дх
C.21.8)
Перейдем в соотношениях C.21.8) к компонентам скоростей пере-
перемещений по формулам Коши
_ 1 / ,
и, присоединяя условие несжимаемости,
получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными а', и\\
Q / Q / Q /
OU OV OW
дх ду dz
д*_ Ц1
дж 2
C.21.9)
C.21.10)
= 0,
+
V\
дхду
= 0, C.21.11)
дхду
+
— I
= 0,
= о.
2 V0*0* ^ dx'J^ 2 \dydz ^ 9у2 J'^dz2
Решение будем искать в виде
d = A cos mx cos ny cos A,2, и' = В sin mx cos ггу cos ^,
v'= С cos mx sin ny cos Xz, w1 = D cos mx cos ny sin Xz, C.21.12)
где Л, Б, G, Z), га, n, A, — константы.
Для того чтобы решение системы C.21.11) не было тривиально,
потребуем, чтобы ее определитель был равен нулю. Подставив функции
C.21.12) в C.21.11), получим
т
п
X
\хп
1
2V
1
а2
1771
ТГ
+
А
0
цп2
1
2й
га
2
¦а + !
п
мл
2|iran
+ Ц2А2
2
2 Ц1^
2liiraA
1
2 + Ц2П2
2
= 0.
C.21.13)
§ 21. Растяжение толстой вязкопластической плиты 665
В результате получим уравнение для определения зависимости
между m, n ,Х.
\i ((^Х2 + \i (т2 + гг2)) п2 + ([i2X2 + \i (m2 + п2)) т2) х
х (ЗХ2 - т2 - п2) (X2 + т2 + гг2) +
+ (цА2 + ц (т2 + гг2)) (ц2^2 + \i (т2 + гг2)) (?i2 - т2 - n2f = 0.
C.21.14)
Из системы уравнений C.21.13) найдем
п ц (п + ш2) + щ (Г - т2) + ц2ш2
C.21.17)
Обратимся к граничным условиям. Уравнения поверхности плиты
зададим в виде
z = ±(h-bf(x,y)). C.21.18)
В дальнейшем положим
/ (ж, у) = Kcosmxcosny, К = const. C.21.19)
Предположим, что поверхности плиты C.21.18) свободны от напря-
напряжений:
axl + ixyP + ixzQ = 0 (xyz), C.21.20)
где /,р, q — направляющие косинусы.
Из C.21.20), C.21.18), C.21.4) найдем
0^=0, 4, + fc^O, t/1/z + fc^=0, z = ±h. C.21.21)
Согласно C.21.5) перепишем C.21.21) в виде
°^~U' дх ~ kExz' ду~ kev*'Z~ П' tf.^.M)
Из C.21.12) следует
, BX+Dm . . Л , CX+Dn
Exz= о sin тх cos nysmXz, ?yz= о cos mx cos nV sin kz,
2 * 2
ofz = (A + \lDX) cos mx cos ny cos Xz. C.21.23)
666 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Тогда из C.21.22), C.21.23) получим
= 0,±1,...
-^- = -~r?xz = -Kmsmmxcosny,
OX n,
-pf- = —-pe' = — Knsin ny cos mx.
ay k y
Из C.21.25), C.21.26) следует
К =
2тк
(ВХ+ Dm) =
C.21.24)
C.21.25)
C.21.26)
C.21.27)
Подставляя в C.21.27) выражения C.21.15), C.21.16), получим
(m2 + n2)Gi! -ц2)=0. C.21.28)
Константы В, D, Л согласно C.21.15)—C.21.17), выражаются через
одну постоянную G, которая определяется из C.21.27) через заданную
амплитуду возмущения К.
§ 22. Сдавливание круглого в плане пластического
слоя П1ероховатыми плитами
1. Рассмотрим сдавливание круглого в плане пластического слоя
из идеального жесткопластического материала шероховатыми плитами
(рис. 195).
Исходные соотношения осесимметричного состояния идеально пла-
пластического тела при условии полной пластичности в цилиндрической
системе координат г, 6, z имеют вид:
уравнения равновесия
даг , d^rz , аг
R г
дг
C.22.1)
Рис. 195
где аг, а0, а^, xrz — компоненты напря-
напряжения;
условие полной пластичности
(ог — oz) + 4т^з = 4&2, к = const,
C.22.2)
cQ = {or+oz)/2±k, C.22.3)
где к — предел текучести при сдвиге.
§ 22. Сдавливание круглого в плане пластического слоя 667
Определим для дальнейшего знак в C.24.3). Обозначим главные
напряжения ai ^ с>2 ^ аз- Имеют место соотношения
ае = а2, oi-O3 = 2fc, ар + о^ = oi + с3. C.22.4)
Возможны два случая:
1) oi = с2,
C.22.5)
2) О2 = аз-
В первом случае C.22.5) из C.22.4) следует
ар + ог = 2ai - 2fc, ae = I (op + a*) + fc. C.22.6)
Во втором случае C.22.5) из C.22.4) следует
= 2с3 + 2fc, ae = - (op
1
2
При сжатии слоя ai > 0, 02 > 0, аз < 0, следовательно, имеет
место соотношение C.22.6).
Условие несжимаемости:
8r+8e + 8^=0. C.22.7)
Условие изотропии:
^^ = ^, C.22.8)
ог — az irz
где 8r, 8e, ez, ггг — компоненты скоростей деформации.
Имеют место формулы Коши
_ ди _и _ dw^ _1_ (д^и dw\ , ^ ,
где и, w — скорости перемещения вдоль осей г, z.
Положим
г = Я + р, R = const, dr = dp. C.22.10)
При переходе к переменным р, z следует заменить г на р: ар, тр2;,
Переходя к безразмерным переменным, в дальнейшем все компо-
компоненты, имеющие размерность длины, будем полагать отнесенными к
величине /г, компоненты, имеющие размерность напряжений — к вели-
величине предела текучести к.
В качестве малого параметра 5 примем величину
8=1 Д>1. C.22.11)
к
668 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Из C.22.10), C.22.11) следует
111
¦р я , , i i+sp"
C.22.12)
При 5 = 0 имеют место соотношения плоской задачи.
Уравнения равновесия C.22.1), согласно C.22.12), в переменных pz
примут вид
дар дтр2 5(ор - о9) _ ~ дтр2 да^ 5tpz _ , ,
Соотношения C.22.10) примут вид
du 5u д-ш 1 f ди dw
up 1 + op uz \ ®z ^Р
Решение будем искать в виде C.5.1).
2. Согласно C.22.13), C.5.1), C.22.2), C.22.6) в исходном нулевом
состоянии будем иметь
^Г + ^Г=0' C.22.14)
(а°р-а1J + 4^=4, C.22.16)
og = |(«^+o2)+l. C.22.17)
В первом приближении из C.22.13), C.5.1), C.22.2), C.22.6) будем
иметь
|f + ^f + K-°e)=O, C-22.18)
0^ = 1(о>р+с^) . C.22.21)
Во втором приближении из C.22.13), C.5.1), C.22.2), C.22.6) полу-
получим
д-? + d~t + К - °'>) - (°р - °5) р = °' C-22-22)
§ 22. Сдавливание круглого в плане пластического слоя
« - o'j) (о? - o2) + 4<^ = -i [« - a',J + -
C.22.23)
C.22.24)
C.22.25)
В третьем приближении из C.22.13), C.5.1), C.22.2), C.22.6) будем
иметь
up uz Р Р Р
"яГ + ^Г+V-VP + VP =0' C.22.27)
C.22.28)
р^ = 0, C.22.29)
C.22.30)
Аналогично для гг-го приближения найдем
т=0
(п)
п~1
(n)\ / 0 _ a0\ , 4 (n) 0
P
n-1
m=0
, C-22.31)
В исходном нулевом приближении, согласно Прандтлю [203], из
уравнений C.22.14)-C.22.17) будем иметь
~~ C.22.32)
C.22.33)
C.22.34)
C.22.35)
^о -
g = р + 60 + v 1 - z2 + 1? ^о = const.
670 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
В первом приближении, согласно C.22.18)-C.22.21), C.22.32)-
C.22.35), получим
1 = 0, C.22.36)
C.22.37)
дР ' dz
2x'pzz = 0. C.22.38)
Для определения компонент напряжений в первом приближении в
уравнениях C.22.36) положим
т^ = xfpz (z), d^ + Vl-z2 - 1 = -ai, ai = const. C.22.39)
Из C.22.36), C.22.39) получим
ap = aip + 6i + Ф1 B;), 61 = const. C.22.40)
Из C.22.37), C.22.38) будем иметь
ofz = 0,^ + ^ -z2/2. C.22.41)
Из C.22.40), C.22.41) найдем
2 v
t ^ JV1 z t^xpz z — \j. ^o.zz.^zj
Из C.22.39) получим
тр2; = A — a-[) — -zy 1 — z2 — arcsin z + ci, ci = const. C.22.43)
Из C.22.42) будем иметь
C.22.44)
Согласно C.22.40), C.22.41), C.22.43), C.22.44), C.22.21) запишем
компоненты первого приближения в виде
C.22.45)
C.22.46)
-z2/2,
x = A-01J; - -y/l - z2 - arcsin 2; + ci, C.22.47)
ае = -а1Р + 6 - — - /-
I —
C.22.48)
§ 22. Сдавливание круглого в плане пластического слоя 671
Во втором приближении, согласно C.22.22)-C.22.25), C.22.32)-
C.22.35), C.22.45)-C.22.48), будем иметь
где
/l = ар ~ az 5 Л = <7р - Gz' Ф1 = Тр^' ФО = ^pz
C.22.49)
В силу линейности задачи представим компоненты напряжений в
виде двух слагаемых:
<=«?+<?, a'2' = a'z'1+a'z'2, <2=<2l+<22, C.22.50)
причем
^ ^ 9iW=0, C.22.52)
К - <) /о (-г) + Ч'г1 • Фо (г) = в! (г), C.22.53)
а также
^ + ^ = /o(Z)p, C.22.54)
C-22.55)
«. " О /о (г) + 4т'р'22 • сро (z) = 0. C.22.56)
Предположим, что
<г1 = <„ («) • C-22.57)
Далее полол<им
_^i + /1B;) = _a2j a2 = const. C.22.58)
672 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Из C.22.51), C.22.58) найдем
сг? = а2р + Ь2 + Ф2 (z), 62 = const. C.22.59)
Из C.22.52), C.22.57) получим
< = a2p + fc2 + 9i(*), C.22.60)
здесь и в дальнейшем обозначение черта сверху означает интеграл от
функции по переменной z:
Ф1 = Ф1 (z)dz.
Из C.22.59), C.22.60), C.22.53) будем иметь
(Ф2 + <р, (*)) /о (z) + 4т^ • фо (z) = в, (z). C.22.61)
Из C.22.58) получим
<* = " («2^ + 7i (^)) + с2, с2 = const. C.22.62)
Из C.22.61) найдем
ф2 = e'W-^V^w _ (z) _ C>22>б3)
Jo (z)
Из C.22.59), C.22.60), C.22.62), C.22.63), C.22.25) будем иметь
а» = п2р + Ь2-щ (z) + @1 "/o4T"zl , C.22.64)
<=а2р + Ь2-Ч>1, C.22.65)
7i)+C2, C.22.66)
< = «2Р + 62 - Ф1 + Ql :/Tzl, C.22.67)
где функции /о, /i, Ф1, 6i определяются согласно C.22.49), C.22.32)-
C.22.34), C.22.45)-C.22.47).
При определении компонент oj^, a^2, т^ положим
<z2 = p7o + ^W- C.22.68)
Из C.22.54), C.22.68) получим
§ 22. Сдавливание круглого в плане пластического слоя 673
Из C.22.69) найдем
Из C.22.55), C.22.64) получим
^ = сро(?)р-7о. C.22.71)
Из C.22.68) найдем
do"Z2 =фо(?)р-7о. C.22.72)
Из C.22.70), C.22.72), C.22.64), C.22.56) будем иметь
- ФОР + То) /о + 4 (р/о~ + т) фо = 0. C.22.73)
Уравнению C.22.73) удовлетворим, полагая
/о+4/о~фо = 0, C.22.74)
(*i + То) /о + 4шФо = 0. C.22.75)
Из уравнения C.22.74) определяется функция m(z), из C.22.75) —
функция Fi (z), таким образом, согласно C.22.64), C.22.67), C.22.72),
компоненты ар'2, а, Тр^ определены.
Выражения компонент o^,t^ имеют весьма громоздкий вид, при-
приведем вырал<ение компоненты а^, определяющей сдавливающее напря-
л<ение вдоль вертикальной оси.
Согласно C.22.50), C.22.65), C.22.49), C.22.47), C.22.34), C.22.71)
будем иметь
- Зд/l - ^2 - W(l-^2K- 3^ arcsin z + ciz + с2, C.22.76)
ai, u2, 62, ci, C2 = const.
При z = 1 выражение C.22.76) принимает вид
o"z = (-02 + i) p + 62 - \ (a, - 1) - у + Cl + c2. C.22.77)
674 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Таким образом, согласно C.22.77), сдавливающее давление во вто-
втором приближении, как и в нулевом C.22.33), и в первом C.22.46)
приближениях сохраняет линейный характер по величине р.
В третьем приближении, согласно C.22.26)-C.22.28), C.22.32)-
C.22.35), C.22.45)-C.22.48), C.22.64)-C.22.67), структура исходных
уравнений будет иметь вид
Я 1П Я п1
-jf- + -^ + Ф2 - Ф1Р + ФОР2 = О,
(с'р" - o"J) /о + 4т?фо = щ + vip + х|/2р2,
где /^ фг, щ — известные функции переменной z.
Согласно C.22.50)-C.22.53) достаточно рассмотреть систему урав-
уравнений
^ + ^f-/iP + /oP2 = 0, C.22.78)
ФОР2=0, C.22.79)
Положим
К" - <') /о + 4<" <Р<> = ViP + V2P2• C.22.80)
\г = -7п> + 7оР2 - Ш] (z) р - т0 (z). C.22.81)
Из C.22.81), C.22.78) получим
dp dz dz
Из C.22.82) найдем
,„ 1 dmi 2 , dm0
°Р = 2 ^ГР + ^^
Из C.22.79), C.22.81) будем иметь
=*» Ало. C.22.82)
dz dz
^ m]. C.22.84)
Из C.22.84) получим
°'" = «PiP " ФоР2 + Ъ ~ 2/оР + mi. C.22.85)
§ 22. Сдавливание круглого в плане пластического слоя 675
Из C.22.80), C.22.83), C.22.85), C.22.81) будем иметь
+ 4 [/op2 - (/i + mi) p - то] Фо = ViP + V2P2. C.22.86)
Удовлетворяя соотношению C.22.86), положим
/о + 4/офо = ?2' C.22.87)
+Ш1)ф0=?ь C.22.88)
(F2 - mi) /о - шОфо = 0. C.22.89)
Функция mi определяется из C.22.87), функция то из C.22.88),
функция F2 из C.22.89).
Таким образом, в третьем приближении, согласно C.22.85), компо-
компоненты напряжения имеют квадратичную зависимость от величины р.
В общем виде достаточно рассмотреть систему уравнений
w +1& =/lp +/2р2 + • • • +/ир"' C-22-90)
^Г + ^ = Ф1 + Ф2Р + • • • + Ф„Р", C.22.91)
(оР - ог) /о + 4трг(р0 = Vi + V2P + • • • + Vnp", C.22.92)
где /», <р», у» — известные функции переменной z.
Следует положить
V = 7i"p + /2Р2 + • • • + 7^Р" - т0 - roip - ... - т„_]р"-1. C.22.93)
Из C.22.90), C.22.93) получим
^=dmo + dm1 + drn^ , 22
^р cb dz dz v у
Из C.22.89) найдем
a = P+P + + P +FfcW C2295)
Из C.22.91), C.24.94) будем иметь
f = - G7+ 2/^p + ... + ппр"-1) + mi + ... + (n -
C.22.96)
676 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Из C.22.96) получим
oz = ФГр + Ф2Р2 + • • • + Ф^рп
+ гаГ + ... + (га - 1)ш^ГТр71. C.22.97)
Из C.22.92), C.22.93), C.22.95), C.22.97) будем иметь рекуррентную
систему уравнений
^~2
У dz
— Ф-i + 2/2 +"
(^n + Л - wii) /о - 4шОфо = vo- C.22.98)
Из первого уравнения C.22.98) определяется функция ran_i, из
второго — тп-2 и т.д., из предпоследнего уравнения C.22.98) опреде-
определяется функция то, из последнего уравнения C.22.98) — функция Fn.
Таким образом, решение может быть полностью определено.
Согласно C.22.29)-C.22.31), C.22.93), C.22.95), C.22.97) структура
гг-го приближения для компонент напряжений представляет полино-
полиномы (гг-1)-й степени по переменной р с переменными коэффициентами,
зависящими от переменной z.
3. Рассмотрим определение констант в выражениях компонент на-
„ (п) (п) (п)
пряжении ар ,gz ,ipz •
Полагая край плиты свободным от напряжений, следует положить
1
[ Cpdp = 0, при р = 0. C.22.99)
-1
Из C.22.99), C.5.1) получим
1 1 1
J c°dp + 5j с^р + .-.+б71 J o{pn)dp = 0 при р = 0. C.22.100)
-1 -1 -1
Из C.22.100) будем иметь
1
Jc°dp = O, при р = 0, C.22.101)
-1
\ 22. Сдавливание круглого в плане пластического слоя 677
1
'pdp = O, при р = 0, C.22.102)
-1
1
J a{pn)dp = 0, при р = 0. C.22.103)
-1
Предполагая симметричный характер деформирования, получим
xpz=0 при z = 0. C.22.104)
Из C.22.104), C.5.1) получим
i% @) = 0, x'pz @) = 0, ..., т?> (р, 0) = 0. C.22.105)
Из C.22.34) следует
x°pz @) = ±1, z = ±1. C.22.106)
Предполагается отсутствие на свободном крае плиты усилий. Поло-
Положим
т'рЛ±1)=0, ..., т?>(р,±1)=0. C.22.107)
Из C.22.101), C.22.32) получим
Ь0=к/2. C.22.108)
Согласно C.22.45), C.22.46), C.22.105) будем иметь
' -l h z* 2(ai -l)^2 , 2z arcsin z ( ,
op = aip + Oi — . 1 . 2 , [6.II. 1U9J
Tfpz = (l-ai)z- \y/l- z2- arcsin z. C.22.110)
Из C.22.110), C.22.107) получим
п1 =ти/2 + 1. C.22.111)
Из C.22.109), C.22.102) будем иметь
6j =7i2/4-13/6. C.22.112)
Согласно выражениям C.22.32)-C.22.35), C.22.45)-C.22.48),
C.22.108), C.22.111), C.22.112) найдем
к2 13 z2 nz2 2z arcsin z
678 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
..l-l-lvl-
* 13
- arcsin
C.22.113)
ae = P + \ + 1 + V1 " z2+
т? 13 г2
Л - z1
Выражение для сдавливающего напряжения oz C.22.113) при z = 1
принимает вид
Рис. 196
На рис. 196 представлено изменение az
при 5 = 0.1.
4. Рассмотрим определение поля ско-
скоростей перемещений.
Условие несжимаемости C.22.7), со-
согласно C.22.9), примет вид
^ + ^ + «=0. C.22.114)
ар oz p
Условие изотропии C.22.8), согласно C.22.9), записывается в виде
В нулевом исходном приближении, согласно C.5.1), C.22.114),
C.22.115), имеют место соотношения
ди°
^^ Q
dp dz
C.22.116)
Эй0 9@° \ о (ди° д«?
) v +
Следует положить
C.22.118)
§ 22. Сдавливание круглого в плане пластического слоя 679
Согласно C.22.116), C.22.118), получим
м° =-р + W, (г). C.22.119)
Из C.22.17)-C.22.19) найдем
Цо = 2y/l-z2 + g0, go = const. C.22.120)
В дальнейшем положим д0 = 0.
Согласно C.22.118)—C.22.120) компоненты скорости перемещений в
нулевом исходном приближении определены.
В первом приближении, согласно C.5.1), C.22.114), C.22.115), име-
имеют место уравнения
^ + ^ + ио = 0, C.22.121)
ди1 8
+
Согласно выражениям C.22.118)-C.22.120), C.22.32)-C.22.34),
C.22.45)-C.22.47), C.22.121), C.22.122) будем иметь
где
гх; = р1Р2 + щ (^), р! = const, C.22.125)
со' = 9lp^ + Yl (z), ^! = const. C.22.126)
Из C.22.123)-C.22.126) получим
J C.22.127)
^ = Fo. C.22.128)
680 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Из C.22.113) следует
2Pl+Ql =l,2Pl-gi = 0, C.22.129)
^ = ^0' ~d^ = VT^ ~Sl C.22.130)
Согласно C.22.125)-C.22.130) компоненты скорости перемещения в
первом приближении определены.
Следует сделать ряд замечаний. Наличие в выражении для компо-
компонент скорости со' C.22.126) слагаемого q-^pz определяет непараллельное
сближение плит. При определении последующих приближений эта осо-
особенность будет иметь место. Отмеченное обстоятельство показывает,
что используемый прием не позволяет получить приемлемое поле ско-
скоростей для параллельного сближения плит. Приемлемое поле скоростей
может быть определено из построения численного решения для поля
скоростей перемещений.
Построение возможного поля скоростей, совместимого с полем на-
напряжений, указывает на действительный характер построенного поля
напряжений и, следовательно, предельных нагрузок.
5. Условие предельного состояния для неоднородного материала
запишем в виде
К - а,J + 4x2pz = 4k2 (p, z). C.22.131)
Предположим, что характер неоднородности имеет вид
к = к0 (z) + 8fci (z) + 52p&2 (z) + 53р2&з (*) + ...+ SVX (z) •
C.22.132)
Очевидно, что характер неоднородности, определяемый C.22.132),
позволяет сохранить возможность использовать алгоритм определения
решения C.22.90)-C.22.98).
Определим нулевое исходное решение. Согласно C.22.14)-C.22.16),
C.22.132) получим
o°z = р + 60, b0 = const, C.22.133)
= -г.
В первом приближении, аналогично C.22.3б)-C.22.38), согласно
C.22.132), будем иметь
/ о /
C.22.134)
§ 23. Сдавливание пластического слоя плитами 681
^ + М + ^ = 0, C.22.135)
ар oz
(а'р - а'2) 0s§ (*) - *2 + 2^* = 2fc0 (*) fc, B). C.22.136)
Следует положить
xfpz = xfpz (Z),-^L + ^jkl {z)-z2-l = -ai, ai = const. C.22.137)
Из C.22.134), C.22.133) получим
Gp = aip + 6i + Ф1 (z), 61 = const. C.22.138)
Из C.22.135), C.22.137) получим
c'z = aip + 61 - z2/2. C.22.139)
Из C.22.136)-C.22.139) найдем
(ф1 & + у) а/^о (^) " z2 + 2<^ = 2^o (*) *i (^) • C.22.140)
Функция Ф] (z) определяется согласно C.22.140):
= 2 [fcp (z) kj (z) - z'fZ\ z2
V ^0 (z) - z* l
Следовательно, согласно C.22.137)-C.22.139), компоненты первого
приближения определены. Аналогично определяются последующие
приближения.
§ 23. Сдавливание пластического слоя
искривленными и наклонными
шероховатыми плитами
Рассмотрим сдавливание пластического слоя искривленными и на-
наклонными шероховатыми плитами.
1. Напряженное состояние пространственного слоя толщиной 2/г,
сжатого вдоль оси z шероховатыми параллельными плитами, при усло-
условии полной пластичности определяется соотношениями
xxz = az, xyz = bz, a, b = const,
682 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
, abz2 a
ax = -ax -by h с + -тху,
1Xy 0
и abzl , , b
Gy = —ax — by \- c-\—тжу,
Тазу CL
oz = —ax — by + с, с = const,
C.23.1)
где Oij — компоненты тензора напряжений, к предел текучести на
сдвиг.
Рассмотрим задачу о сдавливании пластического слоя двумя кон-
концентрическими сферическими поверхностями.
Уравнения равновесия в сферической системе координат имеют вид
Соотношения, определяющие условие полной пластичности, запи-
запишем в виде
2 к ТреТрф 2 к
C.23.3)
| УСбф , ТрФТ9ф о, ^
В дальнейшем перейдем к безразмерным величинам: компоненты
напряжения отнесем к величине предела текучести на сдвиг /с, величи-
величины, имеющие размерность длины, — к величине h.
Введем замену переменных
-^J =y, Яср = ж,Я = const. C.23.4)
23. Сдавливание пластического слоя плитами 683
Выражения C.23.4) представим в виде
C-23-5)
где 5 — малый безразмерный параметр.
Используя соотношения C.23.5), перейдем в уравнениях равновесия
C.23.2) к переменным xyz:
daz I diyz 1 dxxz
A + 8) (8) д
= 0
dz A + dz) ду A + 8г) cos
+
1 day 1 dixy
A +5z) 5j A + 5z) cos E?/) ^ж
dz A +5z) 5j/ A + 5z) cos E?/)
+
d%xz 1 дтху 1 дах
dz A + dz) ду A + dz) cos (by) дх
1
При 5 = 0 уравнения C.23.6) переходят в уравнения равновесия в
декартовой системе координат ж, у, z.
Решение ищется в виде
оу=о?,.+5о'у. C.23.7)
В качестве исходного нулевого приближения используется решение
C.23.1).
В первом приближении, согласно C.23.6), C.23.7), C.23.3), имеем
дах , di'xy di'xz _ дах dixy _ ч О
дх + ду ^ dz ~ дх Z^ ду
д^ d^ + d^=d^z+d^z_ Зто
дх ду dz дх ду yz v y
, °iyz , OEZ 6%xz OTyz 0 0 0
^?/ ®z дх ду z x y>
684 Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
// 0 , 0 / \ О 00/
/ _/ , V^xy^xz "T ^xy^xz) tyz ~ ^xy^xz^yz
/ 0 | 0 / \ 0 00/
// 0_|_0/\0 00/
/ y^xz^yz ~r ^xz^yz) ^xy ^xz^yz^xy
= ° + I^Y '
/0_|_0/\0 00/ //0_|_0/\0 00/
^xy^xz ~r ^xy^xz) ^yz ^xy^xz^yz y^xy^yz ~r ^xy^yz) ^xz ^xy^yz^xz
0_|_0/\0 00/
t»»+t"t»«Jt-i>-t"t»»t-i> = 0) C.23.10)
где
Из C.23.1), C.23.8) получим
Ox + ду + dz ~
dt d4 dt C-23Л1)
д d \b ) xy
^ ^ = 4 + 3
дх ду dz \b a) xy
Следуя идеям Прандтля, положим
<z=<z(*), V=V(^ C.23.12)
тогда из C.23.12), C.23.10), C.23.1) получим, чтот^ = т!ху (z). Решение
системы C.23.11) имеет вид
т' (z) = a\z — 2az2 + ci, ai, c\ = const,
C.23.13)
Tyz (z) = b^z — 2bz + c2, 6i, c2 = const,
= -aia - Ь1У + с - /3 (г) + /i (^) + F(«),
biy + с - /з (^) + /2 (^) + F (z), C.23.14)
a^ = —a\x — b\y + с + F (z),
§ 23. Сдавливание пластического слоя плитами 685
х [I у ртту -z2 ± ^fVfj arcsin
// 0,0/\0_0 0/
л / \ y^xy^xz ~г ^xy^xz) ^yz ^xy^xz^yz
// 0,0/\0_0 0/
/2 (z) = -^uti—xy y*o *z—xy yz xz 5
/ / 0 , 0 / \ 0 0 0/
[^xz^yz + TzzTyz J 1xy — 1xz1yz1xy
/3 \z) = о 2 •
Величинах^ (z) определяется согласно C.23.10), C.23.13).
Согласно C.23.14), при искривлении плит сдавливающее давле-
давление oz при 2; = ±1в первом приближении сохраняет линейный харак-
характер, распределение касательных напряжений тЖ2;, xyz по толщине слоя
становится нелинейным. В первом приближении для искривленных
плит сохраняется песчаная аналогия, установленная в [156].
2. В случае плиты, образованной коническими сечениями при 6 =
= const, введем замену переменных
р = Я + 2/, Я(е-ти/2) = 2, Яср = ж, R = const. C.23.15)
Выражения C.23.15) представим в виде
В первом приближении аналогично C.23.6), C.23.8), согласно
C.23.16), C.23.7), C.23.2), C.23.1), имеем
y 6Тх^
дх + ду + dz ~ дху+ dz
дх ду dz дх
Кг К*
д^ + ду + д1 ~ fav +
соотношения C.23.9), C.23.10) сохраняются.
) Гл. 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа
Из C.23.1), C.23.17) получим
аж ду oz y
, ^ov , divz , л 36
<3-23Л8>
В этом случае решение имеет вид
h ^Kh
а'х = -a-iX -biy + -y2 + c- —z1 - /3 (z) + /i (z),
a', = -alX - biy + \y2 + с - ^z2 - /3 (z) + h (z),
a'z = -алх - Ьлу + \у2 + с- Z\z\ C.23.19)
T'xz (z) = aiz — 3\ iQxydz + ci, c\ = const,
xyz (z) = h\z + 2z ^ydz + c2, c2 = const,
.о ^_ l2z±i
lxy
2 [a + b )
-\—, arcsin
Согласно C.23.19) влияние искривления в первом приближении
приводит к появлению слагаемого by2/2, характеризующего отклоне-
отклонение сдавливающего напряжения oz от линейной зависимости, опреде-
определяемой песчаной аналогией [156].
3. В случае наклонной плиты, образованной сечениями ср = const,
введем замену переменных
p = R + x, Д(е-ти/2) = у, Rq> = z, R = const. C.23.20)
Выражения C.23.20) представим в виде
Нттй' e = ^+Sy' ф = 8*' s = i C-23-21)
§ 23. Сдавливание пластического слоя плитами 687
В первом приближении аналогично C.23.6), C.23.8), согласно
C.23.21), C.23.7), C.23.2), C.23.1), имеем
х ду dz ду dz x у zi
^ ^ ^ = ^
дх ду dz ду dz
Кд^ д^д^д^х_ Зто C23.22)
dz xy
дх ду dz ду
4-
+
5Ж + 9г/ + dz ~ ду х + dz x
соотношения C.23.9), C.23.10) сохраняются.
Из C.23.1), C.23.22) получим
дх + ду + dz ~ax + l ьт^'
dx'xy da'y dx'yz _ о
~dx~ + ~dy~ + ~dz~ ~ ~6%*У> F.26.26)
В этом случае решение имеет вид
с'ж = -а\х - Ь\у + |ж2 + с - -^z2 - /3 (z) + f1 (z),
-x +0-^* - fs (z)-\-f2 (z),
- Ъгу + |ж2 + с - ^?2, C.23.24)
¦22; ^ i®dz + ci, ci = const,
b J ж^у
TU (^) = hz - 3 тЖ2/о?2; + c2, c2 = const.
Согласно C.23.24) влияние искривления в первом приближении
приводит к появлению слагаемого аж2/2, характеризующего отклоне-
отклонение сдавливающего напряжения az от линейной зависимости, опреде-
определяемой песчаной аналогией [156].
ЛИТЕРАТУРА
1. Монографии
1. Лннин Б. Д., Бытев В. О., Сенашев СИ. Групповые свойства уравне-
уравнений упругости и пластичности. — Новосибирск: Наука, 1985.
2. Безухое И.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. —
М.: Высш. школа, 1961.
3. Биркгоф Г. Гидродинамика. — М.: ИЛ, 1963. — 244 с.
4. Бируля А. К. Эксплуатационные показатели грунтовых дорог. — М.; Л.:
Гостранстехиздат, 1937. — 106 с.
5. Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций и раз-
разрыва. — М.: ИЛ, 1965.
6. Бровман М.Я. Применение теории пластичности в прокатке. — М.:
Металлургия, 1965.
7. Быковцев Г. И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. — Владивосток:
Дальнаука, 1998.
8. Ватсон Д.Н. Теория бесселевых функций / Пер. с англ. — М.: ИЛ,
1949.-Ч. 1, 779 с. Ч. 2. 220 с.
9. Галин Л. А. Упруго- пластические задачи. — М.: Наука, 1984.
10. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу пре-
предельного равновесия. — М.: Стройиздат, 1949.
11. ГеккелерИ.В. Статика упругого тела. — Л.; М.: Гостехтеориздат,
1934.-287 с.
12. Гофман О., Закс Г Введение в теорию пластичности для инженеров. —
М.: Машгиз, 1957.
13. Громов Н.П. Теория обработки металлов давлением. — М.: Металлур-
Металлургия, 1967.
14. Губкин СИ. и др. Основы теории обработки металлов давлением. —
М.: Машгиз, 1959.
15. Динник А. Продольный изгиб. Кручение. — М.: Изд-во АН СССР,
1955.-392 с.
16. Друянов Б.А., Непершин Р. И. Теория технологической пластично-
пластичности. — М.: Машиностроение, 1990.
17. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. — М.:
Наука, 1978.
18. Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности. — М.:
Наука, 1992.
Литература 689
19. Зейтц Ф. Физика металлов /Пер. с англ. — М.; Л.: Гостехтеориздат,
1947.-364 с.
20. Иванов Н.Н. Грунтовые дороги. — Л.: Гостехтеориздат, 1931. — 256 с.
21. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. — М.: Наука, 1966.
22. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического те-
тела. — М.: Наука, 1971.
23. Ивлев Д. Д., Ершов Л. В. Метод возмущений в теории упруго- пластич-
пластичного тела. — М.: Наука, 1978.
24. Ильюшин А. А. Пластичность. — М.: Гостехиздат,1948.
25. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики, Т. 1, 2. — М.: Наука,
1986.
26. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969.
27. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. — М.: МГУ,
1979.
28. Кнетс И. В. Основные современные направления математической тео-
теории пластичности. — Рига: Зинатне, 1971. — 147 с.
29. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравне-
уравнений. - М.: ИЛ, 1953. - 460 с.
30. Колмогоров В. Л. Механика обработки металлов давлением. — Екате-
Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. техн. ун-та, Урал, политехи, ин-та, 2001.
31. Королев А. А. Конструкция и расчет машин и механизмов прокатных
станков. — М.: Металлургия, 1969.
32. Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. —
М.: Гостехтеориздат, 1948. — Т. 2, 612 с.
33. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. — Л.; М.: Изд-во
АН СССР, 1935.-541 с.
34. Кузьмин Р. О. Бесселевы функции. — Л.; М.: Гостехтеориздат, 1933. —
152 с.
35. Лурье А. И. Операционное исчисление в применениях к задачам меха-
механики. — М.; Л.: ОНТИ, Глав. ред. общетехн. лит-ры, 1938. — 224 с.
36. Ляв А. Математическая теория упругости / Пер. с англ. — М.; Л.:
ОНТИ. Гл. ред. общетехн. лит. и номогр., 1935. — 674 с.
37. Мирзадэюанзаде А. X. Вопросы гидродинамики вязкопластических и
вязких жидкостей в применении к нефтедобыче. — Баку: Азнефтеиз-
дат, 1959.-409 с.
38. Михин Н. М. Трение в условиях пластического контакта. — М.: Наука,
1968.
39. Михлин С. Г. Основные уравнения математической теории пластично-
пластичности. - М.: Изд. АН СССР, 1934.
40. Москвитин В. В. Пластичность при переменных нагружениях. — М.:
МГУ, 1965.
41. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред. —
М.: Наука, 1981.
42. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. — М.: ИЛ, 1954.
43. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. — М.: Мир,
690 Литература
44. Новожилов В. В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкци-
конструкционных материалах. — Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение,
1990.
45. Павлов И.М. Теория прокатки. — М.: Металлургиздат, 1950.
46. Перлин И. Л. Теория прессования металлов. — М.: Металлургиздат,
1964.
47. Прагер В. Проблемы теории пластичности. — М.: Физматгиз., 1958.
48. Прагер В., Ходэю Ф. Теория идеальнопластических тел. — М.: ИЛ, 1956.
49. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Нау-
Наука, 1988.
50. Рахматулин Х.А., Сагомонян А. Я., Алексеев П. А. Вопросы динами-
динамики грунтов. — М.: Изд-во МГУ, 1964. — 240 с.
51. Ревуженко А. Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный
анализ. — СО РАН, Изд-во Новосибирского университета, 2000. — 428 с.
52. Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материалов. — М.: Стройиздат, 1954.
53. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Гостех-
теориздат, 1955. — 520 с.
54. Соколовский В. В. Теория пластичности. — М.: Высш. школа, 1969.
55. Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. — М.: ГИТТЛ, 1954.
56. Сторожев М.В., Попов Е. А. Теория обработки металлов давлени-
давлением. — М.: Высш. школа, 1971.
57. Тарновский И.Я. и др. Теория обработки металлов давлением. — М.:
Металлургиздат, 1963.
58. Теория пластичности. Сборник переводов. — М.: ИЛ, 1948.
59. Тимошенко СП. История науки о сопротивлении материалов. / Пер.
с англ. — М.: Гостехтеоретиздат, 1957. — 536 с.
60. Толоконников Л. А. Механика деформируемого твердого тела. — М.:
Высш. школа, 1979.
61. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. — М.:
Мир, 1964.
62. Томленое А. Д. Теория пластического деформирования металлов. —
М.: Металлургия, 1972.
63. Унксов Е. П. Инженерные методы расчета усилий при обработке метал-
металлов давлением. — М.: Машгиз, 1966.
64. Феппель Л., Феппель Л. Сила и деформация. — М.; Л.: ОНТИ, Гл. ред.
общетехн. лит. и номогр., 1936. — Т. 2, 408 с.
65. Филоненко-Бородин М. М. Механические теории прочности. — М.:
Изд-во МГУ, 1961. — 91 с.
66. Фрейденталь А, Гейрингер X. Математические теории неупругой
сплошной среды. — М.: Госиздат физмат литературы, 1962.
67. Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: ГИТТЛ, 1956.
68. Христианович С.А., Михлин С. Г., Девисон Б. Б. Некоторые вопросы
механики сплошных сред. — М.: Изд. АН СССР, 1938.
69. Целиков А. И. Основы теории прокатки. — М.: Металлургия, 1965.
Литература 691
70. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых про-
процессов и механика сплошной среды. — М.: Мир, 1966.
71. Dupuit J. Essai et experiences sur le tirage des voitures et sur le frottement
de second espece. — P.: Carilian-Goeury, 1837. — 167 p.
72. Hayashi K. Tafeln der Besselschen, Theta, Kugel und anderer Funktio-
nen. — В.: Springer, 1930. — 126 s.
73. Morin A.J. Legons de mecanique pratique. Resistance des materiaux. —
P.:L. Hachette, 1853. - 456 p.
74. Sobotka Z. Reology of materials on ingenering structure. — Prague,
Academia, 1984. — 548 p.
75. Tomsen E. C, Yang Ch. Т., Kabayaschi S. Plastic deformation in metal
processing. — N.Y., 1965.
2. Обзоры
76. Гейрингер Г. Некоторые новые результаты теории идеально пластиче-
пластического тела, Проблема механики. Сб. Статей. — М.:Ил,1955
77. Ишлинский А. Ю. Пластичность (обзор) // Механика в СССР за трид-
тридцать лет A917-1947) М.; Л.: Гостехиздат, 1950. — С. 240-253; // Меха-
Механика, идеи задачи, приложения. — М.: Наука, 1985.
78. Ишлинский А.Ю. Развитие механики в СССР, в кн.: Октябрь и науч-
научный прогресс. — М.: АПН, 1967. — С. 567-626; // Механика, идеи задачи,
приложения. — М.: Наука, 1985.
79. Клюшников В. Д. О законах пластичности для материалов с упрочне-
упрочнением // ПММ. - 1958. - Т. 22, вып. 1.
80. Койтер В. Общие теоремы в теории упруго-пластических сред. — М.:
ИЛ, 1961.
81. Ольшак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пла-
пластичности. — М.: Мир, 1964.
82. Прагер В. Теория пластичности: обзор новейших успехов, см. [48].
83. Рейтман М.И., Шапиро Г. С. Теория оптимального проектирования
в строительной механике, теории упругости, и пластичности. Итоги
Науки. Изд. ВИНИТИ, 1966.
84. Ходэю Ф., Гудьер Д. Упругость и пластичность. — М.: ИЛ, 1960.
3. Статьи
85. Артемов М.А. Об одном предельном виде условия идеальной пластич-
пластичности // Изв. РАН. МТТ. - 1996. - № 2. - С. 134-137.
86. Артемов М.А., Ивлев Д. Д. О влиянии внутреннего механизма вязко-
вязкости на идеально пластическое повебдение материала // ПММ. — 1983. —
Т. 47, вып. 3. - С. 524-527.
692 Литература
87. Артемов М.А., Ивлев Д. Д. Об одном случае предельного состояния
тел // Изв. РАН. МТТ. - 1996. - № 3. - С. 43-45.
88. Артемов М.А., Ивлев Д. Д. Об идеально-пластическом состоянии
призматических тел переменного прямоугольного сечения // ДАН
РАН. - 1997. - Т. 353, № 1. - С. 47-50.
89. Артемов М.А., Ивлев Д. Д. Об общих соотношениях теории идеаль-
идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести // ДАН
РАН. - 1996. - Т. 350, № 3. - С. 332-334.
90. Артемов М.А., Ивлев Д. Д. О статических и кинематических соот-
соотношениях в теории идеальной пластичности при кусочно-линейных
условиях текучести // Изв. РАН. МТТ. — 1995. — № 3. — С. 104-110.
91. Артемов М.А., Ивлев Д. Д. О линеаризированных уравнениях кине-
кинематически определяемых задач // Изв. РАН.МТТ. — 1995. — № 6. —
С. 104-106.
92. Артемов М.А., Ивлев Д. Д. О кинематически определяемых состояни-
состояниях в теории идеальной пластичности // Вестник Воронежского госуни-
госуниверситета. — 1996. — № 2. — С. 78-85.
93. Баренблатт Г. И., Ишлинский А.Ю. Об ударе вязкопластического
стрежня о жесткую преграду // Прикл. математика и механика. —
1962. - Т. 26, вып. 3. - С. 497-502.
94. Бережной И. А., Ивлев Д. Д. О влиянии вязкости на механическое по-
поведение пластических сред // ДАН СССР. — 1965. — Т. 163, № 3. —
С. 595-598,
95. Бережной И.А., Ивлев Д. Д. Об определяющих неравенствах в теории
пластичности // ДАН СССР. - 1976. - Т. 227, № 4. - С. 824-826.
96. Бережной И. А., Ивлев Д. Д. Диссипативная функция в теории пла-
пластичности // Механика деформируемого тела, Межвузовский сборник,
Куйбышев. - 1977. - Вып. 3. - С. 5-22.
97. Бережной И.А., Ивлев Д. Д. Об интегральных неравенствах теории
упругопластического тела // ПММ. — 1980. — Т. 44, вып. 3. —
С. 540-549.
98. Бережной И. А., Ивлев Д. Д., Макаров Е.Б. О диссипативных функци-
функциях в теории вязкопластических сред // Проблемы механики сплошной
среды, к бОлетию акад. В.В. Новожиловы. — Л.:Судостроение,1970. —
С. 67-70
99. Бережной И.А., Ивлев Д.Д. , Макаров Е.Б. О деформационных мо-
моделях теории пластичности и сплошных сред // ПММ. — 1970. — Т. 34,
вып. 3. - С. 553-557.
100. Бережёной И. А., Ивлев Д. Д., Макаров Е.Б. О диссипативных функци-
функциях в теории вязкопластических сред // Проблемы механики сплошной
среды, к бОлетию акад. В.В. Новожиловы. — Л.:Судостроение,1970. —
С. 67-70
101. Быковцев Г. И. О кручении призматических стержней из анизотропно-
анизотропного идеальнопластического материала // Изв. АН СССР, ОТН,Механика
и машиностроение. — 1961. — № 3. — С. 151-157.
Литература 693
102. Васильева А. М. Растяжение круглого стержня переменного сечения из
идеальнопластического материала // Изв. РАН. МТТ. — 1997. — № 5. —
С. 155-157.
103. Васильева A.M., Ивлев Д. Д. О напряженном состоянии идеальнопла-
идеальнопластического полого цилиндра, близкого к круговому // Изв. РАН.
МТТ. - 1997. - № 4. - С. 113-119.
104. Васильева A.M., Ивлев Д.Д., Михайлова М.В. О растяжении полосы
и бруса переменного прямоугольного поперечного сечения из идеально-
пластического материала // Изв. РАН. МТТ. — 1996. —№ 6. — С. 79-87.
105. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в
пластических телах. Теория пластичности. — М.;ИА, 1948. — С. 80-101.
106. Григорьев Е. А., Ивлев Д. Д., Шитова Л. Б. Об образовании шейки
при течении анизотропной жесткопластической полосы // Изв. РАН.
МТТ. - 1989. - № 2. - С. 183-185.
107. Григорьев И. П., Ивлев Д. Д. О сдавливании круглого в плане идеаль-
идеально пластического слоя шероховатыми плитами // Изв. РАН, МТТ. —
2000. — JV* 1.-С. 129-140.
108. Ершов Л. В. Приближенное решение осесимметричных упругопласти-
ческих задач // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. — 1959. —
№3.
109. Ершов Л. В. Упругопластическое состояние вблизи сферической поло-
полосы // Изв. АН СССР ОТН., Механика и машиностроение. — 1960. —
№6.-С. 155-156.
ПО. Ершов Л. В., Телиянц В. Н. Об общих соотношениях малого параметра
в осесимметричных задачах теории малых упругопластических дефор-
деформаций //ПМТФ. — 1961.—№3. -С. 104-106.
111. Ершов Л. В., Ивлев Д. Д., Романов А. В. Об обобщениях решения
Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами //
Современные проблемы механики и авиации. — М.:Машиностроение,
1982.
112. Ефремов В. Г. Идеальнопластическое напряженное состояние тел вбли-
вблизи сферической полости // Известия РАН, МТТ. — 1999. — № 3. —
С. 70-75.
113. Жуков A.M. К вопросу возникновения шейки в образце при растяже-
растяжении // Инж. сб. - 1949. - Т. 5, вып. 2. - С. 34-51.
114. Захарова Т. Л. Об образовании шейки при растяжении идеально пла-
пластической изотропной полосы // ДАН РАН. — 1998. — Т. 358, № 3. —
С. 340-342.
115. Зверев И. И. Распространение возмущений в вязкоупругом и вязкопла-
стическом стержне // Прикл. математика и механика. — 1950. — Т. 14,
вып. 3. — С. 295-302.
116. Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и
статики сыпучей среды // ПММ. — 1958. — Т. 22, вып. 2. — С. 90-96.
694 Литература
117. Ивлев Д. Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при
условии пластичности Треска и его обобщениях // ДАН СССР. —
1959. - Т. 124, № 3. - С. 576-548.
118. Ивлев Д. Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ. —
1958. - Т. 22, вып. 6. - С. 850-855.
119. Ивлев Д. Д. К теории разрушения твердых тел // ПММ. — 1959. —
Т. 23, вып. 3.-С. 618-624.
120. Ивлев Д. Д. К теории идеальной пластической анизотропии // ПММ. —
1959. - Т. 23, вып. 6. - С. 1107-1114.
121. Ивлев Д. Д. Об экстремальных свойствах условий пластичности //
ПММ. - 1960. - Т. 24, вып. 5. - С. 951-955.
122. Ивлев Д. Д. Об идеально пластическом течении материала с учетом
остаточных микронапряжений // ПММ. — 1962. — Т. 26, вып. 4. —
С. 709-714.
123. Ивлев Д. Д. К теории сложных сред // ДАН СССР. — 1963. — Т. 148,
№ 1.-С. 64-66.
124. Ивлев Д. Д. О диссипативной функции в теории пластических сред //
ДАН СССР. - 1967. - Т. 176, № 5. - С. 1037-1039.
125. Ивлев Д. Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластичности и
статики сыпучей среды // ПММ. — 1972. — Т. 36, вып. 5. — С. 957-959.
126. Ивлев Д. Д., Романов Л. В. Об одном классе точных неавтомодельных
задач теории идеальной пластичности // Нелинейные модели и задачи
механики деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1984.
127. Ивлев Д. Д. К теории предельного состояния пористых тел // Изв.
РАН. МТТ. - 1992. - № 3. - С. 163-166.
128. Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности //
Проблемы механики сплошной среды, Сборник работ к 60-летию акад.
В.П. Мясникова. Владивосток, 1996. — С. 112-115.
129. Ивлев Д. Д. О статической определимости предельного состояния твер-
твердого тела при отрыве // Прикладная механика, Киев. — 1996. — Т. 32,
№6.-С. 48-51.
130. Ивлев Д. Д. Об определяющих соотношениях теории идеальной пла-
пластичности // Известия ИТА ЧР, Чебоксары, сводный том. — 1996. —
№ 3,4; 1997. - № 1,2. - С. 21-42,
131. Ивлев Д. Д. О соотношениях ассоциированного закона течения и на-
гружения в теории идеальной пластичности // Известия НАНИ ЧР,
Чебоксары. - 1997. - № 4. - С. 78-100.
132. Ивлев Д. Д. О соотношениях ассоциированного закона пластического
течения в обобщенных переменных // Известия ИТА ЧР, Чебоксары,
сводный том. - 1997. - № 3,4; 1998. - № 1,2. - С. 7-15.
133. Ивлев Д. Д. О пространственном течении идеальнопластического мате-
материала, сжатого шероховатыми плитами // Изв. РАН. ММТ, № 1,1998. —
С. 5-12.
134. Ивлев Д. Д. Об общих соотношениях теории идеальной пластично-
пластичности // ДАН. - 1998. - Т. 361, № 6. - С. 765-767.
Литература 695
135. Ивлев Д. Д. О соотношениях ассоциированного закона пластического
в обобщенных переменных // ДАН РАН. — 1998. — Т. 363, № 6. —
С. 775-776.
136. Ивлев Д. Д., Ишлинский А.Ю. Полная пластичность в теории идеаль-
нопластического тела //ДАН РАН. - 1999. - Т. 368, № 3. - С. 333-334.
137. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л.А. Условия изотропии
и обобщенный ассоциированный закон пластического течения // Изв.
РАН, МТТ. - 1999. - № 6. - С. 39- .
138. Ивлев Д. Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л. А. Условия изотропии и
обобщенный ассоциированный закон пластического течения // ДАН
РАН. - 2000. - Т. 371, № 1. - С. 49-51.
139. Ивлев Д. Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л. А. О свойствах течений
изотропной среды // Изв. РАН, МТТ. — 2000. — № 5, с .
140. Ивлев Д. Д., Ишлинский А.Ю., Максимова Л. А. О течениях изотроп-
изотропных сред // Изв. ДАН РАН. — 2000. — т , с .
141. Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. О сферическом деформированном со-
состоянии пластических сред // ПМТФ. — 1961. — № 1, с. .
142. Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. О предельном состоянии осесимметрич-
ных тел при условиях сопротивления сдвигу и отрыву // Известия АН
СССР. ОТН, механика и машиностроение. — 1963. — № 4. — С. 79-85.
143. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. Об идеальном жесткопластическом тече-
течении плоской полосы // ДАН РАН. — 1998. — Т. 363, № 4. — С. 483-485.
144. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О возмущенном течении растягиваемой
идеальнопластической полосы // ДАН РАН. — 1998. — Т. 363, № 5. —
С. 632-633.
145. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О плоских течениях идеально жест-
копластической среды // ДАН РАН. — 2000. — Т. 370, № 1. — С. 43-45.
146. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О свойствах соотношений общей плоской
задачи теории идеальной пластичности // ДАН РАН. — 2000. — Т. 373,
№1.-С. 39-41.
147. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. О вдавливании индентора в идеальную
жесткопластическую полосу // Изв. РАН, МТТ. — 2000. - № 3. -
С.131-136.
148. Ивлев Д. Д., Непершин Р. И. К задаче о внедрении гладкого клинооб-
клинообразного в плане штампа с плоским основанием в жесткопластическое
пространство // Изв. АН СССР, МТТ. - 1968. - № 6. - С. 115-118.
149. Ивлев Д. Д., Непершин Р. И. Внедрение гладкого сферического штампа
в жесткопластическое полупространство // Изв. АН СССР, МТТ. —
1974. — № 4. -С. 159-166.
150. Ивлев Д. Д., Романов А. В. Об условиях текучести идеальнопластиче-
ского тела // Изв. РАН, МТТ. - 1992. - № 5. - С. 107-109.
151. Ивлев Д. Д., Рыбакова Т. И. Об устойчивости вязкопластической поло-
полосы // ДАН РАН. - 1998. - Т. 358, № 5. - С. 630-632.
152. Ивлев Д. Д., Шитова Л. Б. Об одной модели предельного состояния
тел // Изв. РАН. МТТ. - 1996. — № 1. — С. 62-65.
696 Литература
153. Ильюшин А. А. Деформация вязкопластического тела // Учен. зап.
МГУ, Механика. - 1940. - Вып. 39. - С. 3-81.
154. Ильюшин А. А. Об испытаниях металлов при больших скоростях //
Инж. сб. - 1941. - Т. 1, вып. 1. - С. 13-26.
155. Ильюшин А. А. Вопросы теории течения пластического вещества по
поверхности // ПММ. — 1954. — Т. 18, вып. 3.
156. Ильюшин А. А. Полная пластичность в процессах течения между жест-
жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые при-
приложения // ПММ. - 1955. - Т. 19, вып. 6. - С. 693-713.
157. Ишлинский А. Ю. Эйлерово описание деформирования одной изо-
изотропной среды Публикуется по доработанной рукописи, относящей-
относящейся к 1936-1937 г.г.; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:
Наука-1986.-с.333-335.
158. Ишлинский А.Ю. Трение качения // Прикл. Математика и механи-
механика. - 1938. - Т. 2, вып. 2. - С. 245-260.
159. Ишлинский А.Ю. Заметка к статье А.Н. Герасимова «Проблема упру-
упругого последействия и внутреннее трение». ПММ. — 1939. — Т. 3,
вып. 2. — С. 163—164; Прикладные задачи механики. Т. 1. —
М.:Наука-1986.-с.218-220.
160. Ишлинский А.Ю. Линейные законы деформирования не вполне упру-
упругих тел // Докл. АН СССР. - 1940. - Т. 26, № 1. - С. 22-26.
161. Ишлинский А. Ю. О равнопрочном сечении балки // Учен. Зап. НГУ. —
1940. — Вып. 39. — С. 87-90; Прикладные задачи механики. Т. 1. —
М.:Наука, 1986. - с.114-118.
162. Ишлинский А. Ю. Продольные колебания стержня при наличии ли-
линейного закона последействие и релаксации // ПММ. — 1940. — Т. 4,
вып. 1. — С. 79-82; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука,
1986.-с.206-217.
163. Ишлинский А.Ю. Гипотеза прочности формоизменения // Учен. Зап.
МГУ. — 1940. — Вып. 46. — С. 104-114; Прикладные задачи механики.
Т. 1. - М.:Наука, 1986. - с.62-83.
164. Ишлинский А. Ю. Теория сопротивления перекатыванию (трение ка-
качения) и смежных явлений // Всесоюз. конф. по трению и износу в
машине. - М.; Л.: Изд-во АН СССР, Т. 22, 1940. - С. 155-264.
165. Ишлинский А. Ю. Плоская деформация при наличии линейного упроч-
упрочнения // ПММ. — 1941. — Т. 5, вып. 1. — С. 57-10; Прикладные задачи
механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.48-61.
166. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения поло-
полосы и круглого прута //ПММ. — 1943. — Т. 7, вып. 2. — С. 109-130;
Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.221-250.
167. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения круг-
круглой пластины // ПММ. — 1943. — Т. 7, вып. 6. — С. 405-412; Прикладные
задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.250-262.
Литература 697
168. Ишлинский А. Ю. Прокатка и волочение при больших скоростях дефор-
деформирования // ПММ. — 1943. — Т. 7, вып. 3. — С. 226-230; Прикладные
задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.262-268.
169. Ишлинский А.Ю. Некоторые применения статистики к описанию за-
законов деформирования тел // Изв. АН СССР.ОТН. — 1944. — № 9. —
С. 583-590; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. —
с.167-175.
170. Ишлинский А. Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба
Бренелля // ПММ. — 1944. — Т. 8, вып. 3. — С. 201-224; Прикладные
задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.17-42.
171. Ишлинский А. Ю. Задача о медленном течении вязкой жидкости в
круглой трубе переменного сечения // Прикл. математика и механи-
механика. - 1944. - Т. 8, вып. 5. - С. 395-400.
172. Ишлинский А. Ю. Уравнения деформирования не вполне упругих и
вязкопластических тел // Изв. АН СССР.ОТН. — 1945. — № 1/2. —
С. 34-35; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. —
с.134-161.
173. Ишлинский А.Ю. Пространственное деформирование не вполне упру-
упругих и вязкопластических тел // Изв. АН СССР.ОТН. — 1945. — № 3. —
С. 250-260; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. —
с.162-166.
174. Ишлинский А. Ю. Разрушения не вполне упругих материалов // Учен.
Зап. МГУ, Механика. — 1946. — Т. 1, вып. 117. — С. 90-108; Прикладные
задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.191-205.
175. Ишлинский А. Ю. Об уравнениях деформирования тел за пределом
упругости // Учен. зап. МГУ, Механика. — 1946. — Вып. 117. —
С. 90-108; Прикладные задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. —
с.62-83.
176. Ишлинский А. Ю. Об остаточных напряжениях при крутке // Укр. мат.
журн. — 1952. — Т. 4, № 2. — С. 155-167; Прикладные задачи механики.
Т. 1. - М.:Наука, 1986. - с.119-133.
177. Ишлинский А.Ю. О плоском движении песка // Укр. мат. журн. —
1954. — Т. 6, № 4. — С. 430-441; Прикладные задачи механики. Т. 1. —
М.:Наука, 1986. - с.320-332.
178. Ишлинский А. Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнени-
упрочнением // Укр. мат. журн. — 1954. — Т. 6, № 3. — С. 314-325; Прикладные
задачи механики. Т. 1. — М.:Наука, 1986. — с.84-103.
179. Ишлинский А.Ю. Растяжение бесконечно длинной идеальнопластиче-
ской полосы переменного сечения // ДАН АН УССР, Киев. — 1958. —
№ 1. —С. 12-15; Прикладные задачи механики. Т. 1. —М.:Наука, 1986.—
с.43-48.
180. Ишлинский А. /О., Кондратьева А. С. К теории динамического испыта-
испытания грунта ударником ДОРН И И // Совещ. По проходимости колесных
и гусеничных машин по целине и грунтовым дорогам (Москва, 25-29
мая 1948 г.). - М.: Изд-во АН СССР, 1950. - С. 56-61.
698 Литература
181. Кадашевич Ю.И., Новожилов В. В. Теория пластичности, учитываю-
учитывающая остаточные микронапряжения // Прикл. математика и механи-
механика. — 1958. — Т. 22, вып. 1. — С. 78-89.
182. Кочетков A.M. Приближенное решение некоторых задач нестацио-
нестационарного движения вязкопластической среды // Прикл. математика и
механика. — 1950. — Т. 14, вып. 4. — С. 433-436.
183. Леей М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, воз-
возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости //
Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил, 1948. — С. 20-23.
184. Леей М. Об интегрировании дифференциальных уравнений в част-
частных производных, относящихся к внутренним движениям в твердых
пластических телах, когда эти движения происходят параллельных
плоскостях // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил,1948. — С. 34-40.
185. Ленский В. С. Об упругопластическом ударе стержня о жесткую пре-
преграду // Прикл. математика и механика. — 1949. — Т. 13, вып. 2. —
С. 165-170.
186. Максимова Л. А. О линеаризированных уравнениях пространственных
течений идеальнопластических тел // ДАН РАН. — 1998. — Т. 385,
№ 6. - С. 772-773.
187. Максимова Л. А. О течении полосы из идеального жесткопластическо-
го материала, ослабленного пологими выточками // Изв. РАН, МТТ. —
1999. — №3. — С. 65-69.
188. Максимова Л. А. К задаче о вдавливании штампа в идеальнопластиче-
скую среду, «Прикладные задачи механики сплошных сред», Межву-
Межвузовский сборник научных трудов, Воронежский Госуниверситет, Воро-
Воронеж, 1999.-С. 164-168.
189. Максимова Л. А. О сжатии слоя из идеально жесткопластического
материала жесткими анизотропно шероховатыми плитами // ДАН
РАН. - 2000. - Т. 372, № 1. - С. 50-52.
190. Максимова Л. А. О предельном состоянии слоя, сжатого шероховатыми
плитами // ПММ. — 2000. — Т. 64, вып. 6.
191. Матченко Н.М., Толоконников Л. А. Плоская задача теории идеаль-
идеальной пластичности анизотропных материалов // Известия АН СССР
,МТТ. - 1975. — JV* 1. - С. 69-170.
192. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном со-
состоянии // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил,1948. — С. 57-69.
193. Миронов Б.Г. Линеаризированные уравнения теории идеальной пла-
пластичности // ДАН РАН. - 1999. - Т. 364, № 5. - С. 617-619.
194. Михайлова М. В. Растяжение идеальнопластического цилиндрического
стержня при условии пластичности Мизеса // Изв. РАН. МТТ. —
1997.-№5.-С. 158-162.
195. Михайлова М.В. О пространственном напряженном состоянии идеаль-
идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами // ДАН РАН
196. Михайлова М.В. О пространственном течении идеальнопластического
слоя, сжатого шероховатыми плитами // ДАН РАН
Литература 699
197. Михайлова М.В., Петров П.И. Полиномиальное решение линеаризи-
линеаризированных уравнений теории малых упругопластических деформаций в
полярных координатах // Изв. РАН, МТТ, № 5.
198. Михлин С. Г. Математическая теория пластичности // Христиано-
вич С.А., Михлин С.Г., Девисон Б. Б. Некоторые новые вопросы ме-
механики сплошной среды. / Под ред. Н.Е. Кочина. — М.: Изд. АН СССР,
1938.-С. 157-216.
199. Непершин Р. И. Пластическое течение при сжати диска между парал-
параллельными плитами // Машиноведение, № 1, 1968. — С. 97-100.
200. Онат Е., Прагер В. // Механика. — М.: ИЛ, 1955. — № 4. — С. 93-97.
201. Петров Г. В., Чекмарев Г. Е. О плоской задаче деформирования тел из
упрочняющегося материала // Известия И ТА ЧР, Чебоксары, сводный
том 1997 № 3,4, 1998 № 1,2. - С. 57-60.
202. Прандтль Л. О твердости пластических материалов и сопротивлении
резанию // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил, 1948.
203. Прандтль Л. Примеры применения теоремы Генки к равновесию пла-
пластических тел // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил, 1948.
204. Ревуженко А. Ф., Чанышев А. П., Шемякин Е.И. Математические мо-
модели упругопластических тел / Актуальные проблемы вычислительной
математики и математического моделирования. — Новосибирск, Наука,
1985.
205. Ревуэюенко А. Ф., Шемякин Е.И. К вопросу о плоском деформирова-
деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов //
Прикл. механика и техническая физика. — 1977. — № 3. — С. 157-173.
206. Рыбакова Т. И. Об устойчивости вязкопластического течения анизо-
анизотропной полосы // Известия ИТА ЧР, Чебоксары. — 1996. — № 1. —
С. 41-45.
207. Рыхлевский Я. Об обобщении одной классической задачи теории иде-
идеальной пластичности // Механика. Сб. пер. — М.: ИЛ, 1967. — №3. —
С.150-158.
208. Сайр М., Циглер Г. К задаче Прандтля о штампе // Механика. Сб.
пер. - М.: ИЛ, 1969. - № 2. - С. 117-128.
209. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, воз-
возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости //
Теория пластичности. Сб. пер. — М.:Ил,1948. — С. 11-19.
210. Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений,
возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для
этих тел. Некоторые приложения // Теория пластичности. Сб. пер. —
М.:Ил, 1948.-24-33.
211. Снитко П. К. К теории упругопластического состояния квазиизотроп-
квазиизотропных тел и методы вычисления скрытноупругих напряжений // Изв. АН
СССР. ОТН. - 1942. - № 7-8. - С. 63-73.
212. Соботка 3. Осесимметричные и трехмерные задачи предельного рав-
равновесия неоднородных сплошных сред // Механика, сб. пер. — М.: ИЛ,
1961.-С. 143-153.
700 Литература
213. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических
и сыпучих средах // Теория пластичности. Сб. пер. — М.: Ил,1948. —
С. 41-56.
214. Христианович С. А. Плоская задача математической теории пластич-
пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре // Мат. сб. —
1936. - Т. 1, № 4. - С. 511-534.
215. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластично-
пластичности // Инж. ж. МТТ. - 1967. - № 4, с. .
216. Шемякин Е. И. О хрупком разрушении твердых тел // Изв. РАН. МТТ,
№2, 1997.-С. 145-150.
217. Шемякин Е.И. Очерки геомеханики (горное давление и основа ме-
механики горных пород) // Научн. сообщ. ИГД им. А.А. Скочинского,
вып. 313/99.-С. 7-38.
218. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности // Физическая мезо-
механика. — 1999. — Т. 2, № 6. — С. 63-69.
219. Шестериков С.А. К построению теории идеальнопластического те-
тела // ПММ. - 1960. - Т. 24, вып. 3.
220. Шилд Р. О пластическом течении металлов в условиях осевой симмет-
симметрии // Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. период лит., 1957. —
№ 1.-С. 102-122.
221. Bishop J. F. W. On the complete solution to problems of deformation of a
plastic-rigid material // J. chech. Phys. Of Solid. — 1953. — V. 2, № 1.
222. Boltzmann L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung. - Sitzungs-
berichte der Mathematich-Naturwissenschaftlichen Klasse der Keiserlichen
Akademie der Wissenschaften. — 1874. — Bd. 70, H. 2. — S. 275.
223. Burgers J. Plasticity of crystalline substances in particular of metals //
Verh. Knkl nederl. acad. wet. Afd. Natuurk. 1 sect. — 1935. —V. 15, №. 3. —
P. 173-212.
224. Coulomb C. Application des regies de maximis et minirnis a quelques
problemes de statiquc, relatifs a l'architecture // Met. Acad. Sci., Paris. —
1776.-T. 7.
225. Coulomb Ch.A. Theorie des machines simples // Mem. acad. sci., Paris. —
1785.-T. 10.-P. 161-331.
226. Drucker D. С A more fundamental approach to plastic stress-strain rela-
relations // Proc. Jst US Nat. Conqr. Appl. Mech. — 1951. — 487.
227. Eason C, Shild R. T. The plastic indentation of a semi-infinite solid by
perfectly rough circular punch // ZAMM. — 1960. — V. 11. — P. 33.
228. Fromm H. Berechnung des Schlupfes beim Rollen deformierbarer
Scheiben // Ztschr. angew. Math, und Mech. — 1927. — Bd. 7, H. 1. —
S. 27-58.
229. Haar A, Karman Th.von. Zur Theorie der Spannungszustange in plastis-
chen und sandartigen Medien // Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Gott. Math.- phys.
Kl. - 1909. — H. 2. — S. 204-208.
230. Hencky H. Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im
Material hervorgerufenen Nachspannungcn // Ztschr. angew. Math, und
Литература 701
Mech. — 1924. — Bd. 4, H. 4. — S. 323-334. [Генки Г. К теории пла-
пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных
напряжений // Теория пластичности. Под ред. Ю.Н. Работнова. — М.:
Изд-во иностр, лит., 1948. — С. 114-135.]
231. Hohenemser К., Prager W. Uber die Ansatze der Mechanik isotroper Kon-
tinua // Ztschr. angew. Math, und Mech. — 1932. — Bd. 12, H. 4. —
S. 216-226.
232. Karman Th. Beitrad zur Theorie des Walzvorganges // Ztschr. angew.
Math. Und Mech. - 1925. - Bd. 5, H. 2. - S. 139-141.
233. Levy M. Memoire sur les equations generates des mouvements interieurs
des corps solides ductiles au dela les limites ou L'elasticite pourriait les
ramener a leur premier etat // C. r. Acad. sci. Papis. — 1870. — T. 70. —
P.1323-1225.
234. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases // Phil. Trans. Roy. Soc.
London. - 1867. - V. 157, pt. 1. - P. 49-88.
235. Mises R. Mechanic der plastischen Formanderung von Kristallen //
ZAMM. - 1928. - Bd. 8, H. 3. 161-184.
236. Nadai A. The forces required for rolling steel strip under tension // J. Appl.
Mech. - 1939. - V. 6, №. 2. - P. 54-62.
237. Prandtl L. Spannungsverteilung in plastischen Korpern // Proc. 1-st In-
Intern. Congr. for Appl. Mech., Delft. — 1924. — Delft: J. Waltman, 1925. —
P. 43-54.
238. Reuss A. Berucksichtigung der elastischen Formanderung in der Plas-
tizitatstheorie // Ztschr. angew. Math. und. Mech. — 1930. — Bd. 10, H. 2. —
S. 266-274.
239. Reuss A. Vereintachte Berechnung der plastischen Formanderungs-
gesch-windingkeiten bei Voraussetzung der Schubspannungsfliesbedingung
ZAMM. - 1933. - Bd. 13, 365.
240. Reuss E. Anisotropy caused by strain // Proc. IV Intern. Congr. for Appl.
Mech., Cambridge: University Press, 1935. — P. 241.
241. Reynolds O. On rolling friction // Phil. Trans. Roy. Soc. London. — 1876. —
V. 166, pt. l.-P. 155-174.
242. Saint-Venant B. Memoire sur l'etablissement des equations differentielles
des mouvements interieurs operes dans les corps solides ductiles an dela des
limites ou l'elasticite pourrait les ramener a leur premier etat // Liouville
J. Math. - 1871. - V. 16. - P. 308-316, 373-382.
243. Thompson J. H. C. On the theory of visco-elasticity: a thermodynami-
cal treatment of visco-elasticity and some problems of the vibrations of
visco-elastic solids // Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A. — 1933. —
V. 231, №. 703. - P. 339-407.
244. Volterra V. Sulle equazioni integrodifferenziali della theoria dell' elastici-
ta // Atti della Reale Accademia dei Lincei. — 1909. — V. 18, №. 2. —
P. 295.
245. Weighard K. Uber den Balken auf nachgiebiger Unterlage // Ztschr. angew.
Math, und Mech. — 1922. — Dd. 2, H. 3. — S. 165-184.
Научное издание
ИШЛИНСКИЙ Александр Юльевич
ИВЛЕВ Дюис Данилович
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагелъ
Оригинал-макет: В.В. Худяков
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 20.01.03. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 44. Уч.-изд. л. 44.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
ISBN 5-9221-0141-2
9 785922 101417