Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. X. РОЗОВ
Дифференциальные
уравнения
с малым параметром
и релаксационные
колебания
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1975
517.2
М71
УДК 517.9
Дифференциальные уравнения с малым параметром
и релаксационные колебания, Е. Ф. Мищенко,
Н. X. Розов. Главная редакция физико-математиче-
ской литературы изд-ва «Наука», 1975, стр. 248.
Монография посвящена изложению метода построе-
ния асимптотических решений нормальных автономных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений
с малым параметром при некоторых производных.
Описываемый метод позволяет получать асимптотиче-
ские представления для траекторий таких систем на
любом отрезке времени, вычислять периодические реше-
ния и находить различные характеризующие решение
величины (в частности, период периодического решения).
Рассматриваемые вопросы представляют интерес при
исследовании ряда механических, физических и техни-
ческих задач, например, в теории релаксационных
колебаний.
Книга рассчитана на научных работников (матема-
тиков, механиков, физиков), на инженеров-исследова-
телей и студентов, интересующихся дифференциальными
уравнениями, теорией асимптотических методов и при-
менением этих методов для решения прикладных задач.
Библ. 66 назв., рис. 50.
20203—143
М 053(02)75 51'75
© Главная редакция
физико-математической литера-
туры изд-ва «Наука», 1975
Оглавление
Предисловие .................................... . * < . .	6
Глава I. Зависимость решений от малых параметров. Примеры
релаксационных колебаний ............................... 7
§ 1.	Случай гладкой зависимости. Теорема Пуанкаре ...	7
§ 2.	Зависимость решений от параметра на бесконечном про-
межутке времени .......................................  9
§ 3.	Уравнения с малым параметром при производных.
Примеры................................................ 11
§ 4.	Системы второго порядка. Быстрые и медленные дви-
жения. Релаксационные колебания . ......................15
§ 5.	Системы произвольного порядка. Быстрые и медленные
движения. Релаксационные колебания......................23
§	6.	Решения вырожденной системы уравнений..........30
§	7.	Асимптотическое разложение решений	по параметру 35
§	8.	Обзор основных результатов.......................40
Глава II. Системы второго порядка. Асимптотическое вычис-
ление решений.......................................... 45
§ 1.	Основные предположения	и определения..........45
§ 2.	Нулевое приближение..............................51
§ 3.	Асимптотические приближения траектории на участке
медленного движения...................................55
§ 4.	Доказательство асимптотических представлений участка
медленного движения...................................59
§ 5.	Локальные координаты в	окрестности точки	срыва	.	.	63
§ 6.	Асимптотические приближения траектории в начале
участка срыва.......................................... 67
§ 7.	Связь асимптотических приближений с истинными тра-
екториями в начале участка срыва .........	70
§ 8.	Специальные переменные для участка срыва..........75
§ 9.	Одно уравнение типа Риккати.........................76
§ 10.	Асимптотические приближения траектории в непосред-
ственной близости от точки срыва .......................81
§11.	Связь асимптотических приближений с истинными тра-
екториями в непосредственной близости от точки срыва 85
1 *
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 12.	Асимптотические ряды для коэффициентов разложения
вблизи точки срыва ........................................ 92
§	13.	Регуляризация несобственных	интегралов............98
§	14.	Асимптотические приближения	траектории в конце
участка срыва .......................................107
§ 15.	Связь асимптотических приближений с истинными тра-
екториями в конце участка срыва............................111
§ 16.	Доказательство асимптотических представлений участка
срыва .....................................................116
§ 17.	Асимптотические приближения траектории на участке
быстрого движения..........................................121
§ 18.	Доказательство асимптотических представлений участка
быстрого движения  ........................................126
§ 19.	Специальные переменные для участка падения .... 129
§ 20.	Асимптотические приближения траектории на участке
падения ...................................................134
§ 21.	Доказательство асимптотических представлений участ-
ка падения.................................................142
§ 22.	Асимптотические приближения траектории на началь-
ных участках быстрого движения и падения...............150
Глава III. Системы второго порядка. Периодические решения,
близкие к разрывным....................................  .	156
§ 1.	Существование и единственность периодического реше-
ния, близкого к разрывному ................................156
§ 2.	Асимптотические приближения траектории периодичес-
кого решения...........................................160
§	3.	Вычисление времени медленного движения.......161
§	4.	Вычисление времени срыва.....................163
§	5.	Вычисление времени быстрого движения.........177
§	6.	Вычисление времени падения...................178
§	7.	Асимптотическая формула для периода релаксационного
колебания ...........................................186
§	8.	Уравнение Ван-дер-Поля. Формула Дородницына	.	.	191
Глава IV. Системы произвольного порядка. Асимптотическое
вычисление решений...........................................194
§ 1.	Основные предположения..............................194
§ 2.	Нулевое приближение.................................196
§ 3.	Локальные координаты в окрестности точки срыва . . 200
§ 4.	Асимптотические приближения траектории в начале
участка срыва .........................................204
оглавление
р
о
§ 5.	Асимптотические приближения траектории в непосред-
ственной близости от точки срыва.......................212
§ 6.	Асимптотические приближения траектории в конце уча-
стка срыва.............................................218
§	7.	Вектор смещения..................................222
Глава V. Системы произвольного порядка. Периодические ре-
шения, близкие к разрывным...........................  224
§	1.	Некоторые вспомогательные отображения............224
§ 2. Существование периодического решения, близкого к
разрывному. Асимптотическое вычисление' траектории 229
§ 3. Асимптотическая формула для периода релаксационного
колебания .............................................235
Литература................................................244
Предисловие
Обыкновенным дифференциальным уравнениям, содер-
жащим малые параметры при производных, посвящена
обширная литература. В настоящей книге рассматрива-
ются вопросы, связанные с асимптотическим вычисле-
нием так называемых релаксационных колебаний — пе-
риодических решений, состоящих как из участков мед-
ленного, так и из участков быстрого изменения фазовых пе-
ременных. В связи с этим подробно исследуется поведение
решений дифференциальных уравнений с малым пара-
метром при производных вблизи сингулярных точек.
В основном результаты, излагаемые в настоящей кни-
ге, принадлежат Л. С. Понтрягину и авторам. Кроме
того, учтены и использованы известные работы А. А. До-
родницына об уравнении Ван-дер-Поля, Н. А. Желез-
нова и Л. В. Родыгина о релаксационных колебаниях
в радиотехнических системах, А. Н. Тихонова и А. Б. Ва-
сильевой о дифференциальных уравнениях с малым па-
раметром при производных.
Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов
Глава I
Зависимость решений от малых параметров.
Примеры релаксационных колебаний
Описывая работу реального объекта или течение реального
процесса дифференциальными уравнениями, мы переходим от самого
объекта (процесса) к его идеализированной модели. Почти всякая
математическая идеализация в значительной степени сводится к пре-
небрежению малыми величинами. Поэтому вопрос о том, насколько
это пренебрежение искажает истинную картину явления, становится
основным. Так возникает математическая проблема зависимости
решений дифференциальных уравнений от малых параметров.
В настоящей главе будет дана общая характеристика различ-
ных типов этой зависимости для нормальной автономной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. Для простоты изло-
жения ограничимся случаем одного параметра.
§ 1. Случай гладкой зависимости. Теорема Пуанкаре
Рассмотрим автономную систему дифференциальных
уравнений
х* = Р‘(х1, .х", в),	1 = 1,	(1.1)
или, в векторной форме,
x = F(x, е),	(1.2)
где х = (х\ . ..,хя)—п-мерный вектор евклидова прост-
ранства Rn; F(x, в)=(Г1(х, б), ...tFn(xt 8))—n-мерная
вектор-функция аргументов х и 8; 8—числовой пара-
метр. Впредь мы будем считать параметр 8 малым:
0<8<80,	(1.3)
где е0—малое число.
Пусть функции F1 (х1, ..., х", е), i = 1,..., п, определены
и непрерывны в некоторой области G изменения пере-
менных х1, ...» х", е, где 8 принадлежит отрезку (1.3).
Обозначим через
Х = ф(/, е)	(1.4)
решение системы (1.2), удовлетворяющее начальному
условию х0 = ф (/р, е), (х0, е)£б. Наряду с системой (1.2)
8
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
рассмотрим систему
x = F(x, 0),	(1.5)
получающуюся из (1.2) при е = 0. Пусть
% = <₽„(/)	(1.6)
— решение системы (1.5) с тем же начальным условием
х0 = <Ро(^о) и определенное на некотором конечном от-
резке времени
(1.7)
При малом е правые части систем (1.2) и (1.5) явля-
ются близкими. Естественно поставить вопрос, как отли-
чаются друг от друга решения (1.4) и (1.6). В большом
числе практически важных случаев ответ на этот вопрос
дают следующие хорошо известные теоремы (см., напри-
мер, [45], [30], [23], [3]):
Теорема 1 (о непрерывной зависимости решений от
параметра). Если правые части системы (1.2) в области G
непрерывно дифференцируемы по переменным х1, ..., хп
и непрерывны по е, то при достаточно малом е решение
(1.4) определено на том же отрезке (1.7), что и реше-
ние (1.6), и может быть представлено в виде
(Р(/,'е) = ф0(/) + Я0(/, ё),	(1.8)
где R0(t, в)—►О при в—>0 равномерно по t на всем от-
резке (1.7).
Теорема 2 (о дифференцируемости решений по па-
раметру). Если правые части системы (1.2) имеют в об-
ласти G непрерывные частные производные до порядка
т 1 включительно по совокупности всех переменных,
то при достаточно малом е решение (1.4) fможно пред-
ставить в виде
<p(t е) = Фо (0 + 8<Pi (<)+••• +еи“1ф„_1 (0+ ₽«(*. «),
(1-9)
где Rm(t, е)—>0 при в—>0 как величина порядка &т
равномерно по t на всем отрезке (1.7).
Теорема 3 (теорема Пуанкаре об аналитичности
решений по параметру). Если правые части системы (1.2)
являются в области G аналитическими функциями
всех своих аргументов, то при достаточно малом е
§ 2]
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА ВРЕМЕНИ
9
решение (1.4) можно представить в виде ряда
<J>(t е) = ф0 (0 + 2
т-1
(110)
равномерно сходящегося на всем отрезке (1.7).
Теоремы 1, 2, 3 не только утверждают, что при ма-
лом в на конечном отрезке времени решение (1.4) мало
отклоняется от решения (1.6), но и указывают способ
вычисления этого отклонения с произвольной степенью
точности.
§ 2. Зависимость решений от параметра
на бесконечном промежутке времени
Сформулированные теоремы 1, 2, 3 не дают ответа на
вопрос, как отклоняется решение (1.4) от решения (1.6)
на бесконечном промежутке времени. Простейшие
примеры показывают, что это отклонение не всегда мало.
Более того, если решение (1.6) определено при всех
то решение (1.4), вообще говоря, не будет определено на
всем промежутке t t0.
Пример 1. Скалярное уравнение
х = (х 4- е)3
при 8 = 0 переходит в уравнение
(2.1)
(2.2)
Решением уравнения (2.2), имеющим при Z = 0 нулевое
начальное значение, является х = (р0 (/) = 0, 0^/<оо.
Решением уравнения (2.1) с тем же начальным условием
будет
g,
х = ср (Z, е) । е,
это решение определено лишь на интервале 0^/<l/s.
Пример 2. Рассмотрим электрический контур, со-
ставленный из конденсатора емкости С и катушки с ин-
дуктивностью L, соединенных последовательно (рис. 1).
Если пренебречь малым омическим сопротивлением про-
водников, то зависимость силы тока i от времени в этом
10
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
контуре описывается (см., например, [45]) уравнением
d2i
dt2
(2.3)
Но правомерна ли такая идеализация цепи, при которой
мы пренебрегаем малым омическим сопротивлением R со-
	. ставляющих цепь проводников? Дру-
I гими словами, близки ли решения
j уравнения (2.3) к решениям уравне-
^==\(	^5 ния
I	= °	<2-4)
#	при малом /??
Рис. 1.	Если нас интересует лишь ко-
нечный отрезок времени, то, оче-
видно, решения уравнений (2.3) и (2.4) с одним и
тем же начальным условием близки. На бесконечном
же промежутке времени это не так: / (Z)—»*0 при t —юо,
тогда как i (t) совершает периодические колебания с по-
стоянной амплитудой. Фазовые портреты уравнений (2.3)
/л л \	/ .	di \	/ т	di \
и (2.4)	в плоскостях I i, j	, соответственно I / ,	1	,
существенно различны: единственное положение равнове-
сия уравнения (2.3) является центром, а уравнения (2.4)—
фокусом (рис. 2).
ПРИМЕРЫ
11
§ 3]
§ 3. Уравнения с малым параметром при производных.
Примеры
Другой причиной неприменимости теорем 1, 2, 3 для
оценки уклонения решения (1.4) от решения (1.6) даже
на конечном отрезке времени может быть разрывная
(или негладкая) зависимость правых частей системы (1.1)
от параметра е. Так, в частности, обстоит дело с нормаль-
ными системами, в которые малый положительный пара-
метр е входит множителем при некоторых производных,
т. е. с системами вида
Г ex'= fz (А . .xk, у1, ..., уг),
I	-----Л у\ ...,у‘),	/= 1, ...,Z,
где Д и gJ'—гладкие функции всех своих k-\~l = n аргу-
ментов. Очевидно, что если переписать систему (3.1) в виде
(1.1), .то в правых частях появятся функции кото-
рые неограниченно возрастают при е—►О.
Систему (3.1) можно привести к виду (1.1) и так,
чтобы параметр е входил в правую часть гладко. Для этого
достаточно сделать замену t = еО; тогда получим
/ Ayl
У1’ ,У,)> i=l. •••.*.
' du'	(3-2)
К системе (3.2) теоремы 1, 2, 3 уже применимы, но прак-
тическая польза от этого не велика: можно гарантировать
близость решений системы (3.2) и системы, получающейся
из нее при 8 = 0, лишь на конечном отрезке времени 0,
т. е. на бесконечно малом вместе с 8 отрезке вре-
мени t.
[‘Рассмотрим два физических примера, приводящих
к системам дифференциальных уравнений типа (3.1).
В дальнейшем эти примеры будут играть важную иллю-
стративную роль.
Пример 3 (уравнение Ван-дер-Поля). Рассмотрим
ламповый генератор на триоде с колебательным контуром
в анодной цепи; схема генератора приведена на рис. 3.
Если обозначить через 1 силу тока, идущего через со-
противление Ьа или, что то же самое, через индуктив-
12
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
ность kb, то оказывается, что величина I как функция
времени t удовлетворяет дифференциальному уравнению
(см. [45], [7], [3])
L^+Rw + T, = rf(M^t}' (3'3>
где M — положительная константа (коэффициент взаимо-
индукции), a f (и)— характеристика лампы—монотонно
возрастающая гладкая
Рис. 4.
Рис. 3.
рис. 4. Можно считать, что производная f (и) принимает
свое максимальное значение при и —О, т. е. что f" (0) —О,
Г" (0) < 0.
Известно (см., например, [45]), что ламповый генера-
тор является источником незатухающих периодических
колебаний, если его параметры удовлетворяют условию
(3-4)
J	*>	f 7	\
в этом случае на фазовой плоскости I/ , уравнения
(3.3) имеется единственный устойчивый предельный цикл.
Если вместо 1(f) ввести неизвестную функцию i(t) =
= /(t)—f(0), то из уравнения (3.3) получим
£С3^+/?(^‘) + 1' = 0’	(3-5)
где F (v) ss RCv—f (Mv) 4-f (0). Уравнение (3.5) называется
уравнением Рэлея.
Рассмотрим идеализированный случай, когда характе-
ристику f(u) лампы можно (по крайней мере, для не
ПРИМЕРЫ
13
очень больших по абсолютной величине значений и) за-
менить кубической параболой:
Ц«)=Д0)+Г (0)«+1г'(0)«я-
Тогда
F (и) = (RC—f (0) М) а—4	(0) AW,
причем f"' (0) М3 < 0, a RC—[' (ОУ М < 0 в силу условия
(3.4), и уравнение (3.5) принимает вид
lct^+ [(«с-г (°)М)-|Г'(°)ЛР(^У]^- + < = о.
Если в этом уравнении перейти к новому
t = tl]f LC и к новой неизвестной функции
времени
где а2 =	—
4 Г' (0) М*
то придем к уравнению
d2z
de
dz . 1 / dz \3'
зЛТГ; .
где Л = t ~C > 0- Наконец, продифференцировав
последнее уравнение еще раз по t и приняв за неизве-
стную функцию х = получим уравнение Ван-дер-
Поля [11]
^£ + Ч-1+^]^ + х = 0.	(3.6)
Уравнение (3.6) в рассматриваемой идеализации опи-
сывает работу лампового генератора. Параметры самого
генератора характеризуются здесь одним параметром X.
Мы уже упоминали, что при условии (3.4) в генераторе
возникают самовозбуждающиеся периодические колебания
(автоколебания); это математически адекватно тому факту,
что уравнение Ван-дер-Поля при любом X > 0 имеет
в плоскости (х, устойчивый предельный цикл.
При малых значениях параметра % уравнение (3.6)
близко к уравнению линейного осциллятора, и автоколе-
бания в генераторе близки к простым гармоническим
колебаниям. По мере роста А автоколебания все более и
14
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
более отличаются от гармонических, а при больших зна-
чениях X характер автоколебаний уже существенно иной-
колебания, как говорят, становятся релаксационными.
При большом значении параметра Х>0 уравнение
(3.6) легко привести к системе вида (3.1). В самом деле,
положим
х
j/=J(x’-l)dx + l£, G=4, 8 = Ь (3.7)
о
тогда после очевидных преобразований из уравнения (3.6)
получим систему второго порядка, в которой для крат-
кости будем снова писать t вместо
( dx 1 ч ,
18St=y—3х +х’
) dj,	(3.8)
здесь е>0—малый параметр. В дальнейшем систему
(3.8) будем также называть уравнением Ван-дер-Поля.
Отметим, что к системам второго порядка вида (3.1)
(т. е. при k = l=\) приводит изучение многих радиотех-
нических схем. Таковы, например, ламповый мультиви-
братор с одним /?С-звеном, при описании работы которого
существенную роль играют малые паразитные емкости
(см. [3]), некоторые типы мультивибраторов на туннельных
диодах (см. [54]) и др.
Пример 4. Работа ряда радиотехнических приборов
(таких, как двухламповый генератор Фрюгауфа, симмет-
ричный мультивибратор и др.; см. [3]) при учете малых
паразитных емкостей, индуктивностей и т. п. описывается
системами дифференциальных уравнений четвертого по-
рядка вида
iex1 = — « (у1 — у2) 4- <р (х1)—х2,
ех2 =а (у1—у2) + ф (х2)—х1,
У1 = х1,
/? = х2,
(3.9)
где а > б—константа, а ф (и), — 1 < и < 1,— гладкая
функция аргумента и, график которой изображен на
§ 4]
СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
15
рис. 5 (эта кривая представляет собой преобразованную
характеристику лампы, см. рис. 4). Без учета же пара-
зитных параметров работа этих приборов описывается
системой уравнений, получающейся
из (3.9) при е = 0:
—а (г/1—г/2) + ф (х1)—х2 = 0,
I а (г/1—г/2)-Ьф(х2)—х1 = 0,
1	У1 = хг,
I	i/2=x2.
(3.10)
Радиофизикам давно было извест-
но, что в упомянутых приборах могут
возникать периодические колебания
необычного характера: при некото-
рых значениях времени токи (или
напряжения) претерпевают скачко-
образные изменения, а в проме-
жутке между этими значениями
меняются плавно. Колебания такого типа называют релак-
сационными. Однако все попытки теоретически объяснить
это явление с помощью системы (ЗЛО) не удавались:
приходилось вводить дополнительные физические гипотезы
(«гипотеза скачка»; см. [2]). Впервые чисто математически,
без дополнительных физических гипотез, явление релак-
сационных колебаний в системе вида (3.1) было объяснено
в работе [20] и ее развитии [38]. В § 5 мы воспроизведем
это объяснение на примере систем (3.9) и (3.10).
§ 4. Системы второго порядка.
Быстрые и медленные движения.
Релаксационные колебания
Рассмотрим систему уравнений второго порядка
( zx = f(x, у),
i y = g(x. у).
где х и у—скалярные функции времени t, а е—малый
положительный параметр. Пусть
/(х, г/) = 0,
’	(4-2)
y = gU, У)
16
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
— вырожденная система, соответствующая системе (4.1),
т. е. система, получающаяся из (4.1) при е = 0. Система
(4.2) не является нормальной системой дифференциальных
уравнений (первое из уравнений системы (4.2) не диффе-
ренциальное). Поэтому для нее не существует решения
с произвольной начальной точкой (х0, г/0); речь может
идти лишь о решениях с начальной точкой, лежащей на
кривой f(x, //) = 0, так как все траектории вырожденной
системы (4.2) (в силу ее первого уравнения) расположены
на указанной кривой.
Ввиду этого ставить вопрос о близости решений си-
стем (4.1) и (4.2) имеет смысл лишь для тех решений
системы (4.1), начальные точки которых лежат в малой
(вместе с б) окрестности кривой f (х, у) — 0. Оказывается,
однако, что даже и такие решения системы (4.1) не всегда
при е—>0 стремятся к решениям вырожденной системы
(4.2). Важно также выяснить, при каких условиях про-
извольная траектория системы (4.1) из своей начальной
точки (х0, у о), расположенной на конечном расстоянии от
кривой f (х, у) = 0, попадет в малую (вместе с е) окрест-
ность этой кривой, сколько на это потребуется времени
и т. д.
На все такие вопросы будут даны исчерпывающие от-
веты в главах II и III. Здесь же мы изложим лишь не-
которые из результатов (без доказательств и точных оце-
нок), дадим их наглядное обоснование и, в частности,
покажем, что у системы типа (4.1) возможны периодиче-
ские решения, имеющие характер релаксационных коле-
баний.
Начнем с уравнения Ван-дер-Поля (3.8). Соответству-
ющей вырожденной системой будет
У—i-x3 + x = 0,
У= — х;
(4.3)
таким образом, траектории всех решений вырожденной
системы лежат на кубической параболе
*/-- --х3+х —0.	(4.4)
О
Если говорить о целых траекториях системы (4.3), то их,
очевидно, всего пять (рис. 6): (—оо, SJ, (+оо, S2),
§ 41
СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
17
непосредственно построить
(О, SJ, (О, S2) — направление движения по каждой из этих
траекторий при возрастании t указано стрелками —и, на-
конец, точка О— единствен^
Существенным обстоятельст-
вом является тот факт, что
фазовая точка системы (4.3),
начав движение из точки Ро,
лежащей, например, на вет-
ви (— оо, Sj) кривой (4.4), за
конечное время дости-
гает точки SP Однако из точ-
ки S] не выходит ни одна
траектория системы (4.3), и
потому из рассмотрения вы-
рожденной системы невоз-
можно сделать какое-либо
заключение о дальнейшем
движении фазовой точки.
С другой стороны, легко
векторное поле фазовых скоростей невырожденной системы
+ ©О
Рис. 7.
(3.8) (рис. 7). Из его анализа следует, что траектория
системы (3.8) из произвольной начальной точки Qo, не
лежащей на кривой (4.4), сначала входит в малую (вместе
с в) окрестность ветви (—оо,	(или ветви (-у оо, S2)),
18
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ параметров [гл. i
а затем при всех значениях времени проходит вблизи
контура Во = /WiS2, состоящего из горизонтальных
отрезков SiPl, S2P2 и дуг P2Slt кривой (4,4) (рис. 8).
Отсюда уже ясно, что вблизи контура Во существует
замкнутая траектория Be системы (3.8) (рис. 9). В самом
деле, возьмем (см. рис. 8)
отрезок LlL2 малой ко-
нечной длины, парал-
лельный оси Ох и пере-
секающий дугу P2St во
внутренней точке L. В
силу сказанного перехо-
дом по траекториям си-
стемы (3.8) этот отрезок
отобразится в свою часть,
расположенную на ма-
лом (вместе с е) расстоя-
нии от точки L. Такое
отображение имеет не-
подвижную точку, через
которую и проходит замкнутая траектория системы (3.8).
Как видно из уравнений (3.8), движение по участкам
цикла Ве» расположенным вблизи дуг Р23г и PtS2 кон-
СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
19
тура Во. происходит с конечной скоростью. Участки
же, расположенные вблизи отрезков и S2P2, прохо-
дятся почти мгновенно, так как вдоль этих участков
горизонтальная составляющая вектора фазовой скорости
имеет величину порядка 1/е, Другими словами, при дви-
жении по траектории Be сравнительно медленные, плав-
ные изменения состояния системы чередуются с весьма
быстрыми, скачкообразными (рис. 10). Периодическое дви-
жение такого типа и называется релаксационным (или,
иначе, разрывным) колебанием (см. [3], [7], [55]).
Такова, в общих чертах, фазовая картина уравнения
Ван-дер-Поля. Ее специфической особенностью является
наличие быстрых и медленных движений и переходов от
‘одних к другим—срывов (вблизи точек Sx и S2) и падений
(вблизи точек Рх и Р2).
Эта специфика в полной мере присуща и фазовой кар-
тине произвольной системы второго порядка типа (4.1).
Причины прохождения траекторий системы (4.1) вблизи
некоторых участков кривой Г, выделяемой в плоскости
(х, у) уравнением
f (х, у) = О,
(4-5)
можно объяснить кинематически, в терминах устойчивости
и неустойчивости положения равновесия вспомогательного
уравнения первого порядка, а явление срыва—бифурка-
цией этого положения равновесия.
Совокупность тех точек кривой Г, в которых выпол-
няется неравенство
^Н»,У)<0,	(4-6)
20
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
назовем устойчивым участком кривой Г. Совокупность тех
точек кривой Г, в которых выполняется неравенство
^(*.«/)>0,	(4.7)
назовем неустойчивым участком кривой Г. Устойчивые и
неустойчивые участки разделяются точками, в которых
=	(4.8)
будем для простоты считать, что такие точки расположены
на кривой Г изолированно. Например, кривая Г для
уравнения Ван-дер-Поля (ку-
бическая парабола (4.4)), как
легко видеть, состоит из
двух устойчивых участков
(—оо, SJ, (4- оо, S2) и одно-
го неустойчивого (51э S2),
а разделяющих точек две:
и S2 (см. рис. 6).
Рассмотрим теперь первое
из уравнений (4.1):
&x = f(x, у) (4.9)
и будем считать величину у
в нем параметром. Тогда при
фиксированном значении этого параметра, например, при
у = у^ уравнение (4.9) среди своих решений может иметь
положения равновесия; пусть xt—одно из них. По самому
определению положения равновесия f (хп уг) — 0 и, следо-
вательно, точка (х15 уг) принадлежит кривой Г. Наоборот,
если (х,, у^ — какая-либо точка кривой Г, то xt является
положением равновесия уравнения (4.9) при у=--ух.
Таким образом, мы имеем взаимно однозначное соот-
ветствие между всеми точками кривой Г и всеми поло-
жениями равновесия семейства уравнений (4.9) при все-
возможных значениях у. При этом в силу неравенств (4.6)
и (4.7) устойчивые участки кривой Г состоят из устойчи-
вых положений равновесия, а неустойчивые — из неустой-
чивых. Разделяющие же точки, т. е. точки кривой (4.5),
в которых выполняется равенство (4.8), являются точками
слияния устойчивого и неустойчивого положений равно-
весия. Например, на рис. 11 координата у^у2 точки
СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
21
§ 41
слияния S является бифуркационным значением парамет-
ра yz при у < у2 в окрестности точки S уравнение (4.9)
имеет два положения равновесия (одно устойчивое и од-
но неустойчивое), а при у > у2 вблизи точки S поло-
жений равновесия нет.
Используя эти соображения, можно трактовать дви-
жение по произвольной фазовой траектории системы (4.1)
Рис, 12.
следующим образом (рис. 12). В каждой точке фазовой
плоскости (х, у) (или той области, где рассматривается
система (4.1)) определен вектор фазовой скорости систе-
мы (4.1) (ср. с рис. 7):
v(x, y) = (yf(x, у), g(x, у)) .
Пусть z/j — начальная точка движения. Если она
находится на конечном расстоянии от кривой (4.5), то
вектор фазовой скорости в этой точке при конечной вто-
рой компоненте имеет бесконечно большую первую, ком-
поненту. Следовательно, произойдет быстрое, почти мгно-
венное изменение координаты х при почти неизменном
значении координаты у, т. е. движение по траектории
22
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
системы (4,1) будет близким к движению по прямой у = ух
в силу уравнения
ex = f(x, у,).	(4.10)
Характер этого движения не изменится до тех пор,
пока компоненты вектора фазовой скорости не станут
сравнимыми, т. е. пока фазовая точка системы (4.1) не
приблизится к кривой Г (на расстояние порядка е) или,
что все равно, пока точка х, перемещающаяся по закону
(4.10), не приблизится к одному из устойчивых положе-
ний равновесия. (В случае, когда уравнение (4.10) не
имеет устойчивых положений равновесия, фазовая точка
системы (4.1) с большой скоростью уйдет в бесконечность
почти по прямой y — yv)
После этого движение по траектории системы (4.1)
будет происходить плавно, вблизи устойчивого участка
кривой Г, как бы сопровождая движущееся по кривой Г
устойчивое положение равновесия уравнения (4.9) при
меняющемся у. Изменение у происходит медленно в силу
вырожденной системы (4.2).
Если на рассматриваемом устойчивом участке кривой
Г нет положений равновесия системы (4.2), то может
случиться, что величина у за конечное время достигнет
некоторого бифуркационного значения, например, у — у^.
(В случае, когда бифуркационного значения не окажется,
фазовая точка системы (4.1) медленно уходит в бесконеч-
ность, оставаясь вблизи кривой Г.) При этом значении у
сопровождаемое устойчивое положение равновесия исче-
зает, а фазовая точка системы (4.1) быстро устремится
(почти по прямой г/—г/а) в окрестность другого устойчи-
вого положения равновесия уравнения
ex«f (х, у2)
(или, если такового нет, уйдет в бесконечность), и т. д.
Возможно, что в результате последовательного чере-
дования медленных и быстрых движений возникнет зам-
кнутая траектория (ср. с рис. 9). Тогда соответствующее
ей периодическое решение системы (4.1) будет релак-
сационным колебанием. Легко привести примеры,
когда таких замкнутых траекторий даже несколько
(рис. 13).
§ 5J
СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
23
Имея в виду описанную кинематическую интерпрета-
цию, переменную х называют быстрой, а переменную у —
медленной. Уравнение (4.9), в котором у рассматривается
как параметр, называется уравнением быстрых движений,
соответствующим системе (4.1).
§ 5. Системы произвольного порядка.
Быстрые и медленные движения.
Релаксационные колебания
Рассмотрим систему уравнений (3.1) произвольного
порядка с малым параметром при некоторых производных.
Положив
х = (хг, ..., хА), у = (у\ ..у1),
f = (f\	....gl),
перепишем ее в векторной форме:
1вх = Цх,у),
I У=ё{х, у).	' ’ '
Фазовое пространство Rn,	системы (5.1) естест-
венно распадается в прямую сумму ^-мерного подпрост-
ранства Xk и Z-мерного подпространства Y1.
24
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. 1
Пусть
П <*•*) = °-	(52)
I y=g(.x, у)
— соответствующая вырожденная система, т. е. система,
получающаяся из (5.1) при 8 = 0. Первое из уравнений
системы (5.2)
/ (X, у) = О	(5.3)
выделяет в пространстве Rn /-мерную поверхность Г и,
следовательно, все траектории вырожденной системы (5.2)
лежат на этой поверхности. Поэтому для системы (5.2)
не существует решения с произвольной начальной точ-
кой (х0, у0), а речь может идти лишь о решениях с на-
чальной точкой, принадлежащей поверхности Г.
Ввиду этого ставить вопрос о близости решений си-
стем (5.1) и (5.2) имеет смысл лишь для тех решений си-
стемы (5.1), начальные точки которых лежат в малой
(вместе с е) окрестности поверхности Г. Оказывается,
однако, что даже и такие решения системы (5.1) не все-
гда при е—►() стремятся к решениям системы (5.2).
Важно также выяснить, при каких условиях произвольная
траектория системы (5.1) из своей начальной точки (х0, у0),
расположенной на конечном расстоянии от поверхности
(5.3), попадет в малую (вместе с е) окрестность этой по-
верхности, сколько на это потребуется времени и т. д.
Все такие вопросы будут рассмотрены в главах IV, V.
Здесь же мы дадим лишь качественное описание фазового
портрета системы (5.1) и на примере проиллюстрируем
возможность возникновения релаксационных колебаний
в системе типа (5.1).
В каждой точке (х, у) фазового пространства Rn (или
той области, где рассматривается система (5.1)) система
(5.1) определяет вектор фазовой скорости
V(х, у) = (у f (х, у), g(x,y)\.	(5.4)
у с	у
Вторая компонента вектора фазовой скорости имеет, как
мы видим, конечное значение, первая же, вообще говоря,
бесконечно велика. Поэтому для фазовой картины системы
(5.1) характерно наличие быстрых и медленных движений.
При этом быстрые движения происходят вдали от по-
верхности Г почти параллельно подпространству Xk, а
§ 5]	СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
25
медленные—вблизи поверхности Г, там, где первая и
вторая компонентьГвектора (5.4) становятся сравнимыми.
Опишем в общих чертах движение по произвольной
фазовой траектории системы (5.1) (рис. 14, 15; ср. с рис. 12).
26
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. 1
Если начальная точка Q0(x1, У1) находится на конечном
расстоянии от поверхности (5.3), то можно считать, что
вектор у почти не меняется, в то время как вектор х
претерпевает быстрое, почти мгновенное изменение, т. е.
движение по траектории системы (5.1) будет близким
к движению по плоскости у = уА в силу системы
tx = f(x, уг).	(5.5)
Систему
zx = f(x, у),	(5.6)
в которой у рассматривается как (векторный) параметр,
будем называть системой уравнений быстрых движений,
соответствующей системе (5.1), а переменную х—быстрой
переменной.
Предположим, что система (5.6) при каждом значении у
своими стационарными решениями может иметь лишь по-
ложения равновесия. Тогда, если система (5.5) имеет
устойчивые положения равновесия, точка х, перемещаю-
щаяся по закону (5.5), быстро приблизится к одному из
них, например, к х = х2, а потому фазовая точка системы
(5.1) попадет в окрестность (порядка е) точки Ро (х2, ух),
(В случае, когда система (5.5) не имеет устойчивых по-
ложений равновесия, фазовая точка системы (5.1) с боль-
шой скоростью уйдет в бесконечность почти по плоскости
У = Уг-)
После этого переменные х и у в системе (5.1) будут
изменяться уже со сравнимыми скоростями, а движение
по траектории этой системы будет происходить плавно,
вблизи поверхности Г. Заметим, что такое движение яв-
ляется как бы сопровождением устойчивого положения
равновесия системы (5.6), перемещающегося по поверхно-
сти Г при меняющемся у. Изменение у происходит мед-
ленно, подчиняясь вырожденной системе (5.2). Поэтому
переменную у естественно назвать медленной переменной.
Характер движения фазовой точки системы (5.1) вблизи
поверхности Г сохранится до тех пор, пока при некото-
ром бифуркационном значении у, например, при у = у2,
сопровождаемое устойчивое положение равновесие не
исчезнет (в результате слияния с некоторым неустойчи-
вым положением равновесия системы (5.6)). Тогда фазо-
вая точка системы (5.1) быстро устремится (почти по
СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
27
плоскости (/ — у2) в окрестность другого устойчивого по-
ложения равновесия системы
ех = /(х, у2)
(или уйдет в бесконечность, если такового нет), и т. д.
Может случиться, что в результате последовательного
чередования медленных и быстрых движений возникнет
замкнутая траектория. Тогда соответствующее ей перио-
дическое решение системы (5.1) будет релаксационным
колебанием.
Рассмотрим пример 4, т. е. систему уравнений (3.9).
Соответствующая система уравнений быстрых движений
такова:
I ex1 = — а (у1—у2) + <р (х1) —х2,	.
I ex’ = а (у1—//’) + ч> (х2)—х1;	' ' '
она определена лишь в квадрате | х11 < 1, | ха | < 1 пло-
скости (х1, х2). Положениями равновесия системы (5.7)
являются точки пересечения кривых
(х1, х2) =—а (у1—у2) + <р (х1) — х2 - 0,	(5.8)
К8(х\ х3) =а (у1—у2) + ф(х3)—х^О,	(5.9)
т. е. кривых, получающихся параллельным сдвигом гра-
фиков функций х2 = ф(х’) и х1^ ф(х2) (см. рис. 5) вдоль
координатных осей. Легко убедиться, что в зависимости
от значений параметров у1, у2 возможны лишь следующие
три случая:
а)	система (5.7) имеет три положения равновесия Р1э
Р2, Роу причем Pt и Р.,—устойчивые узлы, а Ро—седло
(рис. 16);
б)	система (5.7) имеет два положения равновесия,
Рг—Ро и Ръ (или Р2 — Ро и первое из которых —не-
устойчивый седло-узел, а второе— устойчивый узел
(рис. 17);
в)	система (5.7) имеет лишь одно положение равнове-
сия Ps (или PJ, являющееся устойчивым узлом (рис. 18).
Фазовые портреты системы (5.7), соответствующие этим
трем случаям, схематически изображены на рис. 19—21.
Кроме того, легко установить (например, применив кри-
терий Бендиксона; см. [3], [30]), что система (5.7) ни
при каких значениях параметров у1, у2 не имеет замкну-
тых траекторий.

ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. 1
Рис. 20.
Рис. 21.
§ 5)
СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
29
Пусть теперь Q0(xJ, х2, у\, yl)— произвольная началь-
ная точка траектории системы (3.9); будем считать, что
при у уг = (//}, yl) в плоскости (х1, х2) для системы (5.7)
осуществляется случай а) (см. рис. 16 и 19; другие воз-
можности рассматриваются аналогично). Так как вектор
х—(х\х-) меняется быстро, а вектор у^{уг,уг) почти
не меняется, то можно считать, что выходящая из точки
Qo траектория системы (3.9), оставаясь еблизи плсскости
У1 = У2 — У1> быстро приблизится к одному из устой-
чивых положений равновесия системы
J ех' = — a(j4— й-'р (х1)—х2,
| ех2 =а(у}—уг1)Ч <р(х2)—х1
(ср. с системой (5.5) и рис. 14), например, к устойчивому
узлу Рг (—а, а), где а > 0.
Затем переменные х1, х2, у1, у2 начнут меняться со
сравнимыми скоростями, и фазовая точка системы (3.9)
будет сопровождать положение равновесия медленно
перемещающееся по мере изменения у} и у2 (ср. с рис. 15).
Характер этого перемещения легко проследить. Так как
в силу двух последних уравнений системы (3.9)
//1==^,	*/2 = *2,	(5.10)
а вблизи точки справедливы неравенства х1 < 0, х2 > 0,
то при возрастании t разность у1—у2 убывает. Это значит,
что кривая (5.8) движется параллельно самой себе вверх
вдоль оси х2, а кривая (5.9) — влево вдоль оси х1. Но
тогда устойчивое положение равновесия движется
навстречу седлу PQ и в некоторый момент времени при
бифуркационном значении y = y2 = (y*t у2) сливается с ним,
а затем исчезает (см. рис. 16, 17 и 19, 20).
После этого исчезновения переменные х1, х2 вновь
начинают меняться быстро, а переменные г/1, у2 почти
не меняются. Поэтому можно считать, что фазовая точка
системы (3.9), оставаясь вблизи плоскости у1 = у\, у2 =
быстро устремится к устойчивому положению равновесия
системы
f ex1 = —а (yl—yl) + ф (я1) — х2,
I ex2 = a(^—z/|) + <р (х2)—х1,
т. е. к устойчивому узлу Р2(Ь, —Ь), где b > 0 (см. рис.
18 и 21).
30 ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [гл. i
Переменные х1, х2, z/1, у2 снова начинают меняться
со сравнимыми скоростями. Из уравнений (5.10) заключаем,
что разность у1—уъ при возрастании t будет возрастать,
так что кривая (5.8) перемещается вниз вдоль оси х1, а
кривая (5.9)—вправо вдоль оси х2. В результате через
определенные промежутки времени последовательно воз-
никнут картины, изображенные на рис. 17, 16, 22 и,
наконец, 23. После этого фазовая точка системы (3.9)
быстро устремится к остающемуся устойчивому положению
равновесия Plt и весь процесс повторяется.
Таким образом, система (3.9) имеет периодическое
решение, описывающее релаксационное колебание.
§ 6. Решения вырожденной системы уравнений
Рассмотрим более подробно вырожденную систему (5.2),
соответствующую системе (5.1), или, что то же самое, (3.1).
В ®илу первого из уравнений (5.2) траектории вырож-
денной системы лежат на /-мерной поверхности Г, выде-
ляемой в пространстве уравнением (5.3), или, в ска-
лярной форме, уравнениями
^(х1, ..., хл, у1, .. ., z/z) = 0,
/*(х1, ..., х*, у1, . .., ^) = 0.
(6.1)
§ 6]
РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННОЙ СИСТЕМЫ
31
Совокупность тех точек поверхности Г, в которых все
собственные значения матрицы
^(х1, .xk, г/1, ..., у1) =
=	• • •>	•-1 #9 , а, 0= 1, . . ., 6, (6.2)
дхР
имеют отрицательные действительные части, назовем ус-
тойчивой областью поверхности Г; будем обозначать эту
область Г_. Совокупность тех точек поверхности Г, в
которых выполняется соотношение
det5X(x\ ..хЛ, у\ у1) = 0,	(6.3)
назовем линией срыва\ будем обозначать ее Го. Линия
срыва Го является (/—1)-мерным подмножеством поверх-
ности Г и, вообще говоря, разбивает Г на две или не-
сколько частей.
Система уравнений быстрых движений (5.6), соответ-
ствующая системе (5.1), в скалярной форме запишется
так:
( ex1 = f1 (х1, ..., х\ у1,
...... ............................ (6.4)
( exk = fk(x\ ..., хА, z/1, ..у1).
Напомним, что в системе (6.4) величины г/1,	рас-
сматриваются как параметры. При фиксированном значе-
нии этих параметров, например, при
система (6.4) среди своих решений может иметь положения
'равновесия; пусть (xj, ..., х{)—одно из них. Тогда точ-
ка Ро:
С^О’ Уб) = О'®» • • • » 4. Уо1 • •  ।	(6.5)
по самому определению положения равновесия принадлежит
поверхности Г (рис. 24). Наоборот, если (6.5)—какая-либо
точка поверхности Г, то (xj, ..., xj) является положением
равновесия системы (6.4), в которой вместо у1, у*
подставлены значения уЪ, ..., у[,
Таким образом, мы имеем взаимно однозначное соот-
ветствие между всеми точками поверхности Г и всеми
положениями равновесия семейства систем уравнений (6.4)
при всевозможных значениях у1, ..у1. При этом в силу
32 ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. 1
данного выше определения устойчивая область Г_ поверх-
ности Г состоит из устойчивых положений равновесия.
Перейдем к вырожденной системе (5.2). Чтобы найти
ее решения, достаточно, очевидно, сначала разрешить
Рис. 24.
соотношения (6.1) относительно переменных х1, .. ., х*.
=	(у\ ..^), i=l,	(6.6)
а затем решить следующую нормальную систему I урав-
нений с I неизвестными функциями (см. второе из урав-
нений (5.2)):
. .^(у1....у‘),у',-(67)
/=1......I.
Пусть (6.5) — некоторая точка поверхности Г, так что
(см. (6.6))
Хо = ф' (//о, . . . , у10),	1 = 1,
и пусть
yJ'-yf(0, /= 1, • • •, Л
— решение системы (6.7), удовлетворяющее начальным
условиям
Уо~ У} (^о)> / = 1» . . .5 /•
§ 6]	РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННОЙ СИСТЕМЫ
33
Тогда ясно, что система функций
х1 = х! (0 ^‘(y^f),	(/)), 1 = 1,..., k,
yi=yj(t), /=1......I,	1 '°7
будет решением вырожденной системы (5.2) с начальным
значением (6.5) при /=-/„. Другими словами, траектория
решения (6.8) в момент t = /0 исходит из точки (6.5) и
лежит на поверхности Г (см. рис. 24).
Нетрудно понять, что построение решения (6.8) вырож-
денной системы (5.2) возможно только для тех значений
t /0, для которых соотношения
f(x\ ...,хА, у1 (Г), ...,#*(/)) = О, i=l,
допускают однозначное разрешение относительно х1, .. .,xk.
На основании известной теоремы о неявных функциях
можно утверждать, что решение (6.8) заведомо определено
от / = до того момента t — когда определитель
det 91 (Xi (/), ..., х* (/), у' (0, ..., у‘ (0)	(6-9)
впервые обращается в нуль, или, что то же (см. (6.3)),
когда траектория решения (6.8) впервые достигает линии
срыва Го в некоторой точке
S(x4M,	/(«,	(6.Ю)
(см. рис. 24). В общем случае никаких выводов о даль-
нейшем поведении решения (6.8) из рассмотрения только
самой вырожденной системы (5.2) сделать нельзя: из точки S
при возрастании времени не выходит ни одной траектории
вырожденной системы.
Однако если трактовать траектории вырожденной си-
стемы (5.2) как пределы траекторий системы (5.1) при
е—>0, то, принимая во внимание изложенные в § 5 со-
ображения, в ряде случаев можно доопределить решение
(6.8) и при t > tv.
Пусть при	траектория решения (6.8) при-
надлежит устойчивой области Г_ поверхности Г, а при
t == tx эта траектория приходит в точку S на линии срыва Го.
Так как определитель (6.9) в точке (6.10) обращается
в нуль, то по крайней мере одно из собственных значе-
ний матрицы ЭД (см. (6.2)) в этой точке равно нулю; будем
считать, что в нуль обращается только одно собственное
значение, а все остальные k—1 ее собственных значений
2 Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов
34
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
имеют отрицательные действительные части *). Предполо-
жим также, что в 6-мерной плоскости, выделяемой в про-
странстве Rn уравнениями
y1 = y1(t1)...yl = yl(tj<	(6.11)
существует траектория системы (6.4) (в которую вместо
параметров у1, ..у1 подставлены их значения (6.11)),
примыкающая при t—>— оо к точке (х1 (G), •••» хА(/х)),
а при t—>-f-oo приближающаяся к некоторому устойчи-
вому положению равновесия (xl, . ..,х*).
Тогда будем считать, что фазовая точка вырожденной
системы (5.2) совершает при t = tx мгновенный скачок, из
точки S (см. (6.10)) в точку
P(xl, ...,х5, y\tx),	(6.12)
также лежащую на поверхности Г (точнее, в устойчивой
области Г_; см. рис. 24). Дальнейшее движение фазовой
точки проходит по траектории вырожденной системы (5.2),
исходящей в момент t — tx из точки Р (см. (6.12)). Если
в процессе этого движения фазовая точка снова попадает
на линию срыва Го, то происходит следующий мгновен-
ный скачок, и т. д. Исходя из приведенной интерпрета-
ции, точку S называют точкой срыва, а точку Р—точкой
падения, следующей за этой точкой срыва.
Получающаяся вектор-функция (хг(0, xk(t),
у1^), ...,//*(?)) является разрывной (в момент t = tx,
вообще говоря, все ее компоненты испытывают скачки) и
удовлетворяет вырожденной системе (5.2) всюду вне точек
разрыва. Такую функцию естественно назвать разрывным
решением вырожденной системы. Траектория разрывного
решения представляет собой непрерывную кривую в фа-
зовом пространстве Rn и состоит из чередующихся участ-
ков двух типов:
а)	участков, лежащих в устойчивой области Г_ по-
верхности Г и проходимых за конечное время;
б)	участков между точкой срыва и следующей за ней
точкой падения, лежащих в плоскостях, параллельных
подпространству Xk, и проходимых мгновенно.
*) Кроме того, предполагаются выполненными еще некоторые
условия невырожденности; они точно формулируются в гл. IV.
§ 7]	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ	35
Если из чередующихся участков этих типов получается
замкнутая траектория, то говорят, что вырожденная си-
стема имеет разрывное периодическое решение.
Особенно наглядно определение разрывного решения
в случае, когда х и у—скалярные переменные, так что
вырожденная система имеет вид (4.2). Принимая во вни-
мание изложенные в § 4 соображения о характере тра-
екторий системы (4.1), легко убедиться, что траектория
разрывного решения вырожденной системы (4.2) состоит
из проходимых за конечное время дуг устойчивых участ-
ков кривой Г и проходимых мгновенно горизонтальных
отрезков от точки срыва до точки падения (см. рис. 12).
Изображенная на рис. 8, 9 замкнутая кривая Зо является
траекторией разрывного периодического решения вырож-
денной системы (4.3).
§ 7. Асимптотическое разложение решений по параметру
Основы общей теории асимптотических методов и раз-
нообразные примеры их использования в математических
и прикладных вопросах изложены, например, в [10], [17],
[24], [26], [27], [65]. Мы напомним здесь кратко лишь
саму постановку задачи асимптотического разложения по
параметру решений системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений и получения асимптотических прибли-
жений для решений с той или иной степенью точности.
Рассмотрим нормальную автономную систему (см. (1.1),
(1-2))
x = F(x, е)	(7.1)
с малым параметром е > 0 и пусть
х = ф(/, е),
(7.2)
—-ее решение, выделяемое определенным дополнительным
условием при каждом значении параметра. Поскольку
в общем случае невозможно найти явное выражение для
решения (7.2) при фиксированном значении е > 0 и тем
более невозможно отыскать точную формулу для функ-
ции <р (/, е) как функции двух переменных, то возникает
задача получения приближенных представлений для функ-
ции (7.2), т. е. получения приближенных решений си-
стемы (7.1).
2*
36
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
Если при малом, но фиксированном значении е = 8*
удается определить функцию х = <р(£, е*) такую, что на
отрезке	выполняется оценка
||ф(Л 8*) — ф(/, 8*)||<6,
(7-3)
где 6—заданная величина (скажем, 6 — 0,0001), то функ-
ция х = ф (/, 8*) называется приближенным решением, удов-
летворяющим системе (7.1) при 8=8* на отрезке
с заданной точностью. Такое определение приближенного
решения связано в первую очередь с численными мето-
дами, Разработанные к настоящему моменту численные
методы решения обыкновенных дифференциальных урав-
нений в сочетании с возможностями современных вычи-
слительных машин позволяют с высокой точностью нахо-
дить решения практически любой системы вида (7.1) при
произвольном фиксированном значении параметра.
Однако вычисление функций х = ф(/, 8*) даже для
достаточно густого, но все же конечного набора конкрет-
ных значений параметра, вообще говоря, не дает ответа
на многие вопросы, касающиеся качественной структуры
решений системы (7.1) при малых значениях 8. Поэтому
весьма важно выяснить характер зависимости решения
(7.2) от параметра 8 при е—>-0, т. е. выявить в полной
мере предельные свойства функции <р(/, е) двух пере-
менных при стремлении второго аргумента к нулю. Именно
эту задачу имеют в виду, когда говорят об изучении
решений системы (7.1) «при достаточно малых значениях
параметра 8».
Эффективным средством решения такого рода задач
оказываются асимптотические методы, приводящие к по-
строению приближенных решений в ином, чем указано
выше, смысле—асимптотических приближений. Если в (7.3)
отклонение приближенного решения от точного оцени-
вается вполне определенной константой, то отклонение
асимптотического приближения от точного решения ха-
рактеризуется величиной того или иного порядка малости
относительно 8 при е—>0.
Естественной идеей, восходящей к обычной формуле
Тейлора, является попытка аппроксимировать функцию
(7.2) при достаточно малых значениях параметра поли-
номом по 8 или разложить эту функцию в степенной
§ 71
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ
37
ряд по е:
Ф(Л е) = ф0(/)4-еф1(/)+...4-е*фА(/)+... . (7.4)
Тогда частичная сумма ряда (7.4) будет служить при-
ближенным выражением для функции ф(/, е), причем
тем более точным, чем больше членов ряда взято и чем
меньше значение 8.
Оказывается, что при определенных условиях (см. тео-
ремы 1, 2, 3) эту идею действительно удается реализо-
вать— именно такой смысл и имеют равенства (1.8)—(1.10).
Например, формула (1.8) означает, что Ншф(/, б) сущест-
е->0
вует равномерно на отрезке /0 t <1 Т и равен функции
х = ф0(/), которая определяется в результате интегриро-
вания системы (7.1) при 8 = 0. Иначе говоря, функция
х = <р0(/) является нулевым приближением решения (7.2)
при достаточно малых значениях параметра 8 > 0.
Далее, равенство (1.9) нужно понимать следующим
образом: существуют такое число е0 > 0 и такая константа
М > 0, что для любого е, 0^8 ^80, на всем отрезке
справедливо неравенство
Ц<р(/,	е)||<Л1е«	(7.5)
где 8) = <Ро(О4-е<Р1(О+---+е'”’1Ч>,»-1(О- В та-
ком случае говорят, что функция х=Фт_1(/, е) является
асимптотическим приближением решения (7.2) при е—>0
с точностью до величин порядка малости ът. Наконец,
соотношение (1.10) показывает, что неравенство (7.5) вы-
полняется при любом натуральном т (константа М зависит
от т)\ сам ряд (1.10) при этом называют асимптотическим
разложением решения (7.2) при 8—>0.
Если условия теорем 1, 2, 3 не выполнены, то при-
менять формулы (1.8)—(1.10), вообще говоря, нельзя. Так
обстоит дело, например, в случае, когда рассматривае-
мая система (7.1) имеет вид (3.1), т. е. когда правая
часть системы зависит от малого параметра 8 сингуляр-
ным образом. Произвольное решение такой системы при
малых значениях 8 > 0 уже не может быть аппроксими-
ровано частичными суммами ряда по целым положитель-
ным степеням параметра.
В подобных ситуациях пытаются вместо полинома по
е эффективно (т. е. без интегрирования системы (7.1) при
£ > 0) построить функцию более общего вида, дающую
38
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
приближенное выражение для решения (7.2) с отбрасы-
ванием величин того или иного порядка малости относи-
тельно е при е—>0. Эта функция называется асимпто-
тическим приближением решения (7.2) при 8—^0 с
указанной степенью точности. Вместо степенного ряда
стремятся получить ряд по некоторым функциям 8, отрезки
которого служат асимптотическими приближениями реше-
ния (7.2) все более и более высокого порядка. Такой ряд
называют асимптотическим разложением решения (7.2)
при 8—>0.
Процедуру возникновения асимптотических приближе-
ний и асимптотического разложения решения (7.2) при
8--0в общем случае можно пояснить следующим обра-
зом. Прежде всего поставим вопрос: имеет ли решение (7.2)
определенный предел при 8—^0, т. е. существует ли
такая функция х=Фо(О>	чт0 оно предста-
вимо в виде
ф(/, 8) = <po(O + A1<p(G е),	(7.6)
где функция Д2ф (/, б) стремится к нулю при 8—>0
равномерно на отрезке	Если представле-
ние (7.6) возможно, то пишут:
<p(t е) = ф0(о+о(1),
(7.7)
функция х = Фо(О называется нулевым приближением
решения (7.2) при 8—>0.
Затем естественно выяснить, с какой скоростью
А1ср(/, в) стремится к нулю, т. е. определить порядок
величины функции A^(/, е) по сравнению с 8 при е-^0.
Например, может оказаться, что при 8-^0 эта функция
стремится к нулю как 82/3 равномерно на отрезке
Тогда представление (7.6) записывают в форме
ф(*, 8) = ф0 (/)4-0 (е2/3),
Точный смысл этого равенства следующий (ср. с (7.5)):
существуют такое число е0 > 0 и такая константа М > 0,
что для любого е, 0 < 8 < е0, на всем отрезке
справедливо неравенство
е)— <р0 (/) IK Л!б2/=>.
Если удастся выделить главный член функции Ахф (/, е)
при 8--0, т. е. записать ее в виде
А1ф(/, е) = 82/3ф1 (0 4-А2ф(/, е),
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ
39
где функция А2ф(/, е) стремится к нулю при е—>0 уже
быстрее, чем е2/3, то из (7.6) получаем:
<р(/, Е) = <ро(О + е2/3Ф1(О + А2ф(/, е),
или, что то же самое,
Ф(^ е) = Фо(0 + £2/3Ф1(0 + о(Ег/8),	(7.8)
Точный смысл этого равенства следующий: существуют
такое число е0 > 0 и такая функция ®(е), стремящаяся
к нулю при 8—>0, что для любого 8, 0 < 8 < 80, на всем
отрезке t0^Zt^T справедливо неравенство
||ф (*> е)~ф0 (*) — е2/3ф1 (0 ||	(в).
Может оказаться, что функция Д2ф(^ 8) ПРИ *0
стремится к нулю, скажем, как 8 In (1/е); тогда представ-
ление (7.8) удается уточнить:
ф(Л е) = <р0	+	(0 + 0 ( eln у) ,
Выделяя главный член функции А2ф(/, е) при е—>0,
найдем приближение более высокого порядка:
<Р(0 ®) = Фо(О + ег/9Ч>1 (0 + е Inт-Фг (0 +
если затем уточнить порядок остаточного члена в этой
формуле, то получится представление типа
<р (/, е) = <р„ (0 + е2/а <р, (0 + е In у ф3 (0 + О (е),
и т. д. Неограниченно продолжая, если возможно, опи-
санный процесс, придем к асимптотическому разложению
решения (7.2) при 8—>0, например:
<P(t 8)=<P.(0 + e,/’9’i (0 + еIn ф,(0 + еф3 (t) +
+ е‘/3 Ф. (t) + еъ/’ф5 (f) + в» In i Ф„ (/) + е’ф, (/)+.-.
Подчеркнем, что в общем случае этот асимптотический
ряд не обязан быть сходящимся (ср. с (1.10)).
40
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ
[ГЛ. I
Конечно, мы изложили сейчас лишь основные моменты
простейшей схемы образования асимптотических прибли-
жений; в конкретных случаях возникают те или иные
модификации и усложнения. Так, может оказаться, что
представление (7.6) невозможно, но имеет место равенство
ф (t, е) = Фо (Л е) + Д1Ф (/, б), tQ < t < Г, (7.9)
где функция ф0(£, б) эффективно вычисляется, а функция
Д^ (/, е) стремится к нулю вместе с е равномерно на
отрезке	В таком случае представляет интерес
выделение главного члена функции A^(/,e) при е—>0.
Если, скажем,
Д1Ф (/, в) =	ф1 (Zj е) Д2ф (/, е), t9 sg t sg Г,
где Д2ф(/, е) при е—>0 стремится к нулю уже быстрее,
чем е«/3ф1(/, е), то из (7.9) получаем
Ф (/, в) = ф0 (/, б) + в2/3 фг (t, б) + Д2ф (/, б), t9 Т,
и т. д. Отдельно требуется на каждом шаге проводить
оценку порядка малости остаточного члена.
Весьма типичной является ситуация, когда для реше-
ния (7.2) на разных участках интересующего нас отрезка
справедливы асимптотические разложения раз-
личной структуры, и потому сразу на всем отрезке
асимптотическое разложение решения (7.2)
получить не удается. Тогда на каждом участке строится
свое асимптотическое приближение решения (7.2), причем
с таким расчетом, чтобы в точках стыка смежных участ-
ков эти приближения согласовывались и в совокупности
давали асимптотическое приближение решения (7.2) с тре-
буемой степенью точности.
Отметим, что для разных компонент рассматриваемого
решения (7.2) символ о(1) в формуле (7.7) может озна-
чать функции, стремящиеся к нулю при е—>0 с разной
скоростью. Тогда разные компоненты решения (7.2) имеют
асимптотические приближения различной структуры.
*
§ 8. Обзор основных результатов
Опишем кратко содержание последующих глав настоя-
щей книги и укажем на некоторые другие результаты,
относящиеся к сформулированным в §§ 4, 5 задачам.
Предварительно отметим, что физические и математи-
ОБЗОР ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
41
§ 8]
ческие основы теории релаксационных колебаний, а также
многочисленные конкретные примеры колебательных
систем такого типа можно найти, в частности, в моно-
графиях [3], [7], [25], [30], [55], [63].
Глава II посвящена подробному изучению системы
второго порядка (4.1). Нашей целью является получение
асимптотических формул, дающих приближение траекто-
рий этой системы с произвольной степенью точности по
е при е—>0. Оказывается, что траекторию системы (4.1),
выделяемую некоторым начальным условием, можно спе-
циальным образом разбить на несколько участков и на
каждом участке построить свое асимптотическое пред-
ставление с произвольной степенью точности; при этом
в пограничных точках участков асимптотические прибли-
жения сшиваются. Существенно подчеркнуть, что асимпто-
тические разложения траектории на одних ее участках
осуществляются по целым неотрицательным степеням е,
а на других—по величинам E"/3lnv (1/е), где п и v —
неотрицательные целые числа. Коэффициенты всех этих
разложений рекуррентно определяются без интегрирова-
ния системы (4.1), т. е. непосредственно по функциям
f(X, у) и g(x, у).
В главе III выясняются условия существования
у системы (4.1) устойчивого периодического решения,
имеющего характер релаксационного колебания; эти усло-
вия формулируются в терминах функций f(x,y) и g(xt у).
Результаты главы II позволяют провести асимптотическое
вычисление с любой степенью точности предельного цикла
Зе системы (4.1), отвечающего релаксационному колеба-
нию. Существенный интерес представляет вычисление
одной из важнейших характеристик релаксационного
колебания—его периода. Оказывается, что для периода
Те цикла 3s справедливо асимптотическое разложение
<»	л(л-2)
Те = К01 Ел/3	KnTvlnv( —
rt=2 v=0	.
где л (n) — целочисленная функция, определенная для
целых неотрицательных значений аргумента:
{k, если п = 3/г,
k 4-1, если п = 3^4~1,
kt если п = 36 4-2,
42
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ [ГЛ. I
а Кп, v—коэффициенты, эффективно определяемые без
интегрирования системы (4.1). В качестве примера рас-
сматривается задача построения асимптотического прибли-
жения для периода релаксационного колебания в системе,
описываемой уравнением Ван-дер-Поля (3.6), (3.8).
Результаты глав II, III получаются на основе разви-
тия идей Л. С. Понтрягина [44], [43] применительно
к системам второго порядка и представляют собой завер-
шение исследований [35], [50]; см. также [37], [52]. Под-
робное изложение этих результатов ' публикуется впер-
вые; некоторые дальнейшие обобщения можно найти
в [48], [51]. Из работ, посвященных асимптотической
теории релаксационных колебаний в системах второго
порядка, упомянем [9], [19], [22], [26], [28], [59], [61],
[62]. Отметим, что асимптотическое вычисление предель-
ного цикла уравнения Ван-дер-Поля было проведено
А. А. Дородницыным [18] (см. также [7]), который,
в частности, получил первые четыре члена разложения
для периода релаксационного колебания.
Свойства решений многомерной системы (5.1) сущест-
венно зависят от того, каковы стационарные решения
системы уравнений быстрых движений (5.6). Более просто
исследование проводится в предположении, что система
(5.6) при любом значении у своими стационарными реше-
ниями имеет лишь положения равновесия. Именно этот
случай рассматривается в главе IV, где получены асимп-
тотические формулы, дающие приближение траекторий
системы (5.1) с точностью до величин порядка малости
8 при 8—>0. Подчеркнем, что для определения коэффи-
циентов построенных асимптотических представлений тре-
буется интегрировать лишь вырожденную систему (5.2).
Задача нахождения приближений траекторий системы (5.1)
с произвольной степенью точности по 8 до настоящего
времени не решена.
Среди решений многомерной системы (5.1) возможны
и периодические решения, имеющие характер релакса-
ционного колебания. Глава V посвящена выяснению
достаточных условий существования у системы (5.1) по
крайней мере одной замкнутой траектории, отвечающей
релаксационному колебанию; эти условия формулируются
в терминах вырожденной системы (5.2). С использованием
результатов главы IV выводится асимптотическая фор-
§ 8]	ОБЗОР ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ	43
мула для периода релаксационного колебания с учетом
величин порядка малости б2/3 и е1п(1/е) и с пренебре-
жением величинами порядка малости е. Асимптотическое
разложение для периода релаксационного колебания
в многомерном случае до сих пор не известно,
В главах IV, V воспроизводится с некоторыми допол-
нениями содержание основанных на идеях Л, С. Понтря-
гина [44] исследований [38], [43], [34]; см. также [37],
[39], [40]. В монографической литературе материал этих
исследований освещается впервые; их результаты были
описаны в [36], [41], [42]. Отметим, что в главах IV,V
существенно используются методы и результаты
А. Н. Тихонова [56], [57] и А. Б. Васильевой [12], [13];
см. также [14]. Из работ, посвященных асимптотической
теории релаксационных колебаний в многомерных систе-
мах, упомянем [29], [53].
Если предположение о том, что при каждом значении
у система (5.6) имеет своими-стационарными решениями
только положения равновесия, не выполняется, то воз-
никают многочисленные интересные и трудные задачи.
Их рассмотрение осталось вне рамок настоящей книги,
и мы ограничимся лишь тем, что перечислим несколько
таких задач и укажем на некоторые результаты. Более
подробную библиографию можно найти в [8].
Большой интерес представляет случай, когда каждое
решение системы уравнений быстрых движений (5.6) при
t —-> оо стремится к экспоненциально устойчивому перио-
дическому решению. Опишем в общих чертах движение
фазовой точки системы (5.1) в этом случае.
Сделав замену / = е0, представим систему (5.6) в виде
t/х г* /	\
(х* у)
(у—параметр) и обозначим ее периодическое решение
L(y) через х = <р(0, у), а его период—через Т (у). Далее,
введем в рассмотрение осредненную систему
т(у)
%=s(y)> S б) =	[ s(ф (6. у), у)
1	т (У)
Если начальная точка Qo (xr, у^ находится на конечном
расстоянии от цикла Ь(уг), то фазовая точка системы (5.1)
44
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ МЭЛЫХ ПАРАМЕТРОВ
[ГЛ. I
быстро (за время порядка е) приблизится к нему.
Затем медленная переменная y(t, будет близка к осред-
ненному решению y(t), а быстрая переменная x(t, е)
будет оставаться вблизи циклов L(y(t)), совершая при
этом быстрые колебания вдоль них с периодом по t,
близким к &T(y(t)). Здесь существенно разная ситуация
возникает в зависимости от того, имеет осредненная
система своим стационарным решением устойчивое поло-
жение равновесия или периодическое решение.
Точные формулировки результатов исследования дви-
жения фазовой точки системы (5.1) в рассматриваемом
случае приведены в [44], [46], [47], [49]. Отметим, что
исследование этой и аналогичных задач тесно связано
с методами, развитыми Н. Н. Боголюбовым и Ю. А. Мит-
ропольским (см., например, [7], [27], [32], [33], [15]).
Изучались и различные другие ситуации, которые
могут возникнуть в системе уравнений быстрых движе-
ний: система быстрых движений гамильтонова или имеет
первые интегралы (см. [31], [4]); система быстрых дви-
жений имеет вырожденное положение равновесия или
вырожденный предельный цикл (см. [6]); система быстрых
движений двумерна и имеет неустойчивый предельный
цикл, причем лежащая внутри цикла часть плоскости
есть область притяжения устойчивого фокуса (см. [64])
и т. д. Однако во всех этих случаях общая картина
поведения траекторий системы (5.1) в полной мере еще
не выяснена.
Наконец, система (5.1) рассматривалась в предполо-
жении, что вырожденная система (5.2) имеет замкнутую
траекторию L, целиком лежащую в устойчивой области
Г_ поверхности Г. Оказалось, что тогда при определен-
ных условиях система (5.1) имеет периодическое реше-
ние, траектория которого близка к кривой L (см.
[60], [5]).
Глава II
Системы второго порядка.
Асимптотическое вычисление решений
Изучение целого ряда реальных объектов с одной степенью
свободы приводит к нормальным автономным системам обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка, содержащим малый
параметр при одной из производных. Для таких систем удается
наиболее полно ответить на поставленные в главе I вопросы о за-
висимости решений от параметра.
В настоящей главе построено асимптотическое разложение
фазовых траекторий системы второго порядка с малым параметром
при производной. Полученные формулы позволяют приближенно
вычислять любой конечный участок траектории с произвольной сте-
пенью точности.
§ 1. Основные предположения и определения
Будем изучать фазовые траектории системы
f ИХ = f (Х, у),	(11)
I y=g(x, у),
где х и у—скалярные функции независимой переменной t,
а е—малый положительный параметр. Правые части
системы (1.1) будем считать определенными во всей фазо-
вой плоскости (х, у) и достаточно гладкими, т. е. диффе-
ренцируемыми по совокупности переменных х и у столько
раз, сколько это потребуется в ходе рассуждений.
Системе (1.1), которую мы будем называть невырож-
денной, поставим в соответствие вырожденную систему,
получающуюся из (1.1), если положить параметр е рав-
ным нулю:
(Г.2)
I У=ё(х, У)-
В дальнейшем существенную роль играет кривая Г, вы-
деляемая в плоскости (х, у) первым из уравнений си-
стемы (1.2):
f(x, </) = 0.	(1.3)
• Сделаем несколько предположений о геометрических свой-
ствах этой кривой, а также условимся о терминологии.
46
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. И
Будем считать, что кривая Г (вообще говоря, не обя-
зательно связная) состоит только из обыкновенных точек,
т, е. в каждой точке кривой (1.3) выполняется неравенство
[£ (х, «/)]* +1Д (X. </)Г>0.	(1.4)
Точки кривой Г, для которых справедливо равенство
fx(x, у) = 0,	(1.5)
назовем нерегулярными, а остальные ее точки—регуляр-
ными. Мы будем предполагать, что нерегулярные точки
расположены на кривой Г изолированно (хотя, воз-
можно, в бесконечном числе, если кривая Г неограничена)
и что все они являются невырожденными в том смысле,
что в каждой из них выполняется условие
Г* (х,у)Ф 0.	(1.6)
Участки кривой Г, состоящие только из регулярных
точек, назовем регулярными участками. Например, на
рис. 25 изображена кривая Г, имеющая шесть нерегу-
лярных точек; они разбивают Г на семь регулярных
участков.
Рассмотрим какой-нибудь регулярный участок кри-
вой Г между нерегулярными точками S*(sJ, sj), S(sx, s2).
Поскольку вдоль него производная f'x(x, у) не обра-
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
47
щается в нуль, то (по теореме о неявной функции) со-
отношение (1.3) можно однозначно разрешить относи-
тельно х и записать уравнение этого участка в явном
виде
^=^о(г/).	(1-7)
где аргумент у пробегает интервал между значениями sj
и s2 (см. рис. 25; возможны случаи sj——оо, s2 = oo).
Тогда
Н*0(У), //) = 0	(1.8)
на интервале изменения у между s2 и $2. Дифференцируя
это тождество, найдем производную функции (1.7):
х'„(у) =—(1.9)
определяющую касательную к кривой Г в точках регу-
лярного участка. Заметим, что на регулярном участке
могут быть точки (например, точка К на рис. 25), в ко-
торых касательная параллельна оси Оу\ в таких точках
y) = Q.
Рассмотрим какую-нибудь нерегулярную точку S(s1}s2).
В окрестности этой точки соотношение (1.3) нельзя
однозначно разрешить относительно х, так как /'(S) —О,
f*(S)=^O (см. (1.5), (1.6)). Иначе говоря, нерегулярная
точка является точкой локального экстремума кривой Г.
Однако в силу условия (1.4) имеем f'y(S)=£Q и потому
производная fy(x, у) не обращается в нуль в окрестности
точки S. Следовательно, уравнение (1.3) кривой Г в неко-
торой окрестности точки S можно записать в явном виде-
(см. рис. 25)
r/ = r(x),Xi<x<x2,	х2).	(1.10)
Тогда Y (sj -- s2 и
f (х, Y (х)) = 0, хг<х<х2.	(1.11)
Дифференцируя дважды это тождество и учитывая соот-
ношения (1.5), (1.6), получим
r'(s,) = 0, r'(S1) = —
Iff w?
(1.12)
Таким образом, функция (1.10) по формуле Тейлора
48
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. Г
может быть представлена в виде
+r'"(St+t^--51))(x-s1)3, (1.13)
ziy
где ft £ [0, 1] — константа, a Х!<1х^ха. Отсюда видно,
что условие (1.6) невырожденности нерегулярной точки
равносильно предположению о том, что в малой окрест-
ности этой точки кривая Г ведет себя, грубо говоря, как
парабола второй степени в окрестности своей вершины.
Регулярный участок (1.7) между нерегулярными точ-
ками <S* и S кривой Г назовем устойчивым участком,
если при всех значениях у между sj и s2 выполнено
неравенство
ГЛх0(у). </)<0.	(1.14)
Так как вдоль нерегулярного участка производная fx(x, у)
не обращается в нуль, то функция (1.7) является некрат-
ным корнем уравнения (1.3), а потому функция f(x, у)
по разные стороны кривой Г имеет противоположные
знаки. Неравенство (1.14) означает, что функция f(x, у)
при переходе через график устойчивого участка кривой Г
в направлении возрастания координаты х меняет
знак с плюса на минус. Регулярный участок (1.7), вдоль
которого выполняется неравенство f'x(x9(y)t у) > 0, назо-
вем неустойчивым участком. На рис. 25 устойчивые уча-
стки кривой Г выделены более жирно.
Непосредственный анализ поля фазовых скоростей
невырожденной системы (1.1) показывает (ср. с гл. I, § 4),
что если регулярный участок кривой Г устойчив, то в
его окрестности все векторы поля направлены к графику
этого участка, а если неустойчив—то от него (см. рис. 7),
Из предположения о невырожденности нерегулярных
точек следует, что каждая такая точка является общей
границей устойчивого и неустойчивого участков, которые
примыкают к ней с разных сторон, подобно тому как две
ветви параболы второй степени примыкают к ее вершине
(см. рис. 11).
Впредь мы будем считать, что на устойчивых участках
нет положений равновесия системы (1.1), а также, что
ни одна из нерегулярных точек не является положением
равновесия этой системы. Другими словами, предпола-
гается, что в каждой точке любого устойчивого участка
§ 1]
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
49
и в каждой нерегулярной точке кривой Г выполнено
условие g (х, у) 0.
Нерегулярную точку S кривой Г назовем точкой срыва,
если в точке S имеет место равенство
sign[/;(S)/;(S)g(S)]=l.	(1.15)
Из этого соотношения и представления (1.13) следует,
f"(S)<0, f'(S)<0, д(£)>0
Lf
Рис. 26.
%W>0, f’(S)<0, д(8)<0	%(S)<4 $S)>0, g(S)<6
Рис. 27.
что если точка срыва S является точкой локального
максимума кривой Г, то g (S) > 0, а если точкой локаль-
ного минимума, то g(S) <0. Иначе говоря, вблизи точки
срыва типа изображенных на рис. 26 векторы фазовой
скорости невырожденной системы (1.1) направлены вверх,
а вблизи точки срыва типа изображенных на рис. 27—
50
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. II
вниз. Таким образом, нерегулярная точка является точ-
кой срыва, если в окрестности этой точки векторы фазо-
вой скорости системы (1.1) направлены в сторону выпук-
лости кривой Г.
Отметим, что вдоль всего примыкающего к точке
срыва S устойчивого участка функция g(x, у) имеет тот
же знак, что и в точке S. Если устойчивый участок
с обоих концов ограничен нерегулярными точками (т. е.
он не уходит в бесконечность), то одна из этих точек
есть точка срыва, а другая не является точкой срыва.
Пусть (х*, у*)—некоторая, точка фазовой плоскости
системы (1.1). Мы скажем, что эта точка принадлежит
области притяжения устойчивого участка (1.7) между
нерегулярными точками S* и S, если решение х = х(0)
уравнения
% =	(1.16)
с начальным условием х(0) = х* обладает свойством
lim х (б) = х0 («/•).	(1.17)
0 -> + да
Это значит, что область притяжения устойчивого участка
(1.7) состоит из всех таких точек (х*, г/*), что у* принад-
лежит интервалу оси ординат с концами в точках s* и s2,
а при каждом фиксированном у* в качестве х* допуска-
ются точки области притяжения асимптотически устойчи-
вого положения равновесия х = х0(г/*) уравнения (1.16)
(рис. 28; область притяжения заштрихована). Уравнение
(1.16), в котором у* рассматривается как параметр, назы-
вают уравнением быстрых движений, соответствующим
системе (1.1); оно получается из первого уравнения
системы (1.1) переходом к быстрому времени 0 = //е.
Если точка (х*, у*) принадлежит области притяжения
устойчивого участка (1.7), то точку Р*(х0(у*), у*) пере-
сечения прямой у = у* с графиком этого участка назовем
точкой падения из точки (х*, у*) (см. рис. 28).
Наконец, будем предполагать, что среди нерегулярных
точек кривой Г никакие две не имеют одинаковых орди-
нат. Пусть S (sx, sa) — точка срыва, удовлетворяющая та-
кому условию: она принадлежит границе области притя-
жения некоторого устойчивого участка (1.7), но отлична
от его концевых точек S* и S (см. рис. 28). Это озна-
§ 21
НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
51
чает, что s2 принадлежит интервалу между точками s2 и
s2 а неустойчивый ус, выходящий из полуустойчивого
положения равновесия x = st уравнения (1.16) при значе-
нии параметра y* = s2, обладает свойством (1.17). Тогда
точкой падения, следующей за точкой срыва S,r назовем
Рис. 28.
точку Р (х0 (s2), s2) пересечения прямой i/ = s2 с графиком
устойчивого участка (1.7). В случае, если точка срыва S
не удовлетворяет сформулированному условию, точка паде-
ния, следующая за этой точкой срыва, не определяется.
§ 2.	Нулевое приближение
Для системы (1.2) можно ввести понятие разрывного
решения (см. гл. I, § 6); тогда под фазовыми траекто-
риями этой системы естественно понимать траектории ее
разрывных решений. Однако, как легко убедиться, фазо-
вый портрет системы (1.2) допускает и непосредственное
описание. Именно, фазовой траекторией вырожденной
системы (1.2) с начальной точкой Q мы назовем непре-
рывную кривую $ в плоскости (х, у), которая получается
последовательно по такому правилу:
52
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. П
1.	Если точка Q не лежит на кривой Г и не принад-
лежит области притяжения какого-либо из устойчивых
участков этой кривой, то траектория представляет
собой параллельный оси Ох луч, выходящий из точки Q
и имеющий направление вектора (f(Q), 0). Фазовая
точка системы (1.2) мгновенно уходит по этому лучу в
бесконечность.
2.	Если точка Q не лежит на кривой Г и принадле-
жит области притяжения некоторого устойчивого участка
этой кривой, то траектория $ своим первым звеном имеет
параллельный оси Ох отрезок от точки Q до точки паде-
ния из точки Q на кривую Г. Фазовая точка системы
(1.2) проходит этот отрезок мгновенно.
3.	Если точка Q принадлежит некоторому устойчивому
участку кривой Г и граница этого участка содержит
точку срыва, то траектория £ своим первым звеном имеет
дугу кривой Г от точки Q до точки срыва. Фазовая
точка системы (1.2) проходит эту дугу за вполне опре-
деленное конечное время. Такую дугу кривой Г назовем
участком медленного движения траектории
4.	Если точка Q принадлежит некоторому устойчи-
вому участку кривой Г и граница этого участка не содер-
жит точки срыва, то траектория $ представляет собой
дугу кривой Г от точки Q до бесконечности.
5.	Если точка Q является точкой срыва кривой Г и
следующая за этой точкой срыва точка падения суще-
ствует, то траектория £ своим первым звеном имеет
параллельный оси Ох отрезок от точки Q до точки
падения. Фазовая точка системы (1.2) проходит этот
отрезок мгновенно. Такой отрезок назовем участком
быстрого движения траектории £.
6.	Если точка Q является точкой срыва кривой Г и
следующей за этой точкой срыва точки падения нет, то
траектория £ представляет собой параллельный оси Ох
луч, выходящий из точки Q и имеющий направление
вектора (М(0), 0).
На рис. 29 изображены фазовые траектории системы
(1.2), построенные по указанному правилу. Фазовые тра-
ектории вырожденной системы, начинающиеся в точках
неустойчивых участков кривой Г или в нерегулярных
точках этой кривой, отличных от точек срыва, мы опре-
делять не будем. Подчеркнем, что фазовая траектория
НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
53
системы (1.2) эффективно вычисляется, если только из-
вестны функции f (х, у), g (х, у) и указана начальная
точка.
Пусть теперь Q0(x0,#0)— некоторая фиксированная
точка фазовой плоскости (х, у), не лежащая на неустой-
чивых участках кривой Г и отличная от нерегулярных
точек этой кривой. Обозначим через
х = х(/, в), y = y(t,fi)	(2.1)
решение невырожденной системы (1.1), удовлетворяющее
начальному условию
х “ *о» y\t=t* = Уо*	(2-2)
и пусть £е—фазовая траектория в плоскости (х, у), от-
вечающая решению (2.1). Последующие параграфы этой
главы посвящены построению асимптотических прибли-
жений траектории при е—► ().
Построим фазовую траекторию вырожденной системы
(1.2), начинающуюся в той же точке Qo (см. рис. 29).
В предположениях, перечисленных в § 1, легко провести
эвристический анализ (см. гл. I, § 4) движения фазовой
точки невырожденной системы (1.1) в плоскости (х, у).
54
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
Такой анализ показывает, что в произвольной ограничен-
ной части фазовой плоскости при достаточно малых е
траектория $в проходит всюду вблизи траектории £0.
Для доказательства этого факта достаточно указать такую
окрестность траектории £0 малой, но конечной (т.е.
не зависящей от е) ширины, что векторы фазовой ско-
рости системы (1.1) при достаточно малых е во всех
точках границы направлены внутрь окрестности. Способ
построения искомой окрестности, очевидным образом
использующий конкретные свойства вектора фазовой ско-
рости невырожденной системы, ясен из примера, пред-
ставленного на рис. 30.
Справедливо и более сильное утверждение: в произ-
вольной ограниченной части фазовой плоскости кривая
служит нулевым асимптотическим приближением траек-
тории £е, т.е. &8—пРи ”0 равномерно на любом
отрезке траектории £0 конечной длины. В этом можно
убедиться, если, используя ряд простых оценок, провести
несколько более тонкое построение окрестности траекто-
рии £0 — так, чтобы окрестность стягивалась к кривой £0
при е—>0 (см. [19], [3]). Однако мы не будем приводить
§ 3] ПРИБЛИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ МЕДЛЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
55
здесь подробное доказательство, поскольку ниже, при
вычислении асимптотических приближений траектории i8,
сформулированный результат получится автоматически.
Из анализа структуры вектора фазовой скорости невы-
рожденной системы естественно заключить (см. гл. I, §4),
что фазовая точка системы (1.1) проходит участки тра-
ектории $в, расположенные вдали от кривой Г, суще-
ственно быстрее, чем участки траектории дГ8, располо-
женные вблизи кривой Г. Поэтому траекторию мы
разобьем на участки следующих четырех типов (см. рис. 30):
а)	участок медленного движения, лежащий вблизи
участка медленного движения траектории $0, вне конеч-
ных окрестностей точки падения и точки срыва;
б)	участок срыва, лежащий в конечной окрестности
точки срыва траектории £0;
в)	участок быстрого движения, лежащий вблизи уча-
стка быстрого движения траектории £0, вне конечных
окрестностей точки срыва и точки падения;
г)	участок падения, лежащий в конечной окрестности
точки падения траектории £0.
Задача построения асимптотических приближений от-
резка траектории £е любой конечной длины, очевидно,
сводится к таким же задачам для каждого из указанных
участков (отдельно нужно рассмотреть еще начальный
участок быстрого движения, исходящий из начальной
точки, и следующий за ним начальный участок падения).
Эти задачи решаются в следующих параграфах. В резуль-
тате мы получим формулы, позволяющие вычислять отре-
зок кривой д8 произвольной конечной длины с точностью
до величин наперед заданного порядка малости относи-
тельно 8. Уходящий в бесконечность участок траектории
изучаться не будет.
§ 3. Асимптотические приближения траектории
на участке медленного движения
Рассмотрим некоторый участок медленного движения
PS траектории S£o, лежащий на устойчивом участке (1.7)
кривой Г (рис. 31). Здесь Р (р1, р2)—точка падения тра-
ектории a S (sn s2)—точка срыва, являющаяся гра-
ничной точкой устойчивого участка (1.7). Вторую гранич-
56
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
ную точку этого участка обозначим S*(sJ, sj) (случай
s* = 4zoc не исключается). Тогда, очевидно, выполнено
соотношение
s* sign g (S) < р2 sign g (S) < s, sign g (S).
На дуге PS возьмем точку R(r,, r2), отстоящую на
малое конечное расстояние от точки срыва S, и точку
дам	gIS)<0
Рис. 31.
(rj, г®), отстоящую на малое конечное расстояние от
точки падения Р. Уравнение участка RQR траектории £0
можно записать в виде
х = х0 (У) > sign g (S)< у sign g (S) r2 sign g (S). (3.1)
Пусть, далее, R* (rj, r*2)—точка участка S*S, отстоящая
на малое конечное расстояние от нерегулярной точки S*.
В силу устойчивости участка (1.7) вдоль дуги R*R (и тем
более—вдоль кривой (3.1)) справедлива оценка
ГхМу\у)^-Ь<ь	(3.2)
Так как на устойчивом участке (1.7) нет положений
равновесия системы (1.1), то существует такая конечная
окрестность кривой (3.1):
Г° sign g (S)< у sign g (S)< r2 sign g (S), | x—(y) |< 6
§ 3] ПРИБЛИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ МЕДЛЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
57
(см. рис. 31), которая целиком лежит в области притя-
жения устойчивого участка (1.7) и в каждой точке кото-
рой имеет место неравенство *)
I g (X, у) | > k > 0.
(3.3)
Так как при достаточно малых е траектория £е близка к тра-
ектории Хо (см. § 2 и рис. 30), то траектория $8 входит
в область (7м через участок y = rf границы и покидает
эту область через участок у = г2 границы. Отрезок траек-
тории £е, лежащий в области 7/м, назовем участком
медленного движения.
В силу неравенства (3.3) вдоль участка медленного
движения траектории координата у с течением времени t
меняется монотонно. Поэтому уравнение такого участка
можно записать не в параметрической форме (2.1), а в виде
х = хЛ(у, е), sign g (S)< у sign g(S}^r2 sign g (5), (3.4)
принимая за независимую переменную координату у. Ясно,
что функция (3.4) является решением уравнения
с гладкой правой частью, которое эквивалентно системе
(1.1). Используя уравнение (3.5), будем искать асимпто-
тическое разложение участка медленного движения (3.4).
Построим формальный степенной ряд
X (у) 4-8X1 (у) + • •. +е«хй(«/)+ . ..	(3.6)
так, чтобы он формально удовлетворял уравнению
(3.5) на интервале изменения у между sj и s2. Коэффи-
циенты этого ряда определим следующим образом. Подста-
вим ряд (3.6) в левую и правую части уравнения (3.5)
и формально продифференцируем почленно левую часть,
а правую часть разложим в ряд по степеням е. Такое
*) Различные константы, точная величина которых не имеет
значения, часто будут обозначаться одинаково.
58
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. Ц
разложение удобно проводить с помощью формулы
/	сю \
/1
/1=1
£	П
Z < £ S  >,. •
/1 = 1 fe= 1	. . . +1к = п,
которая легко проверяется. Затем приравняем выражения,
стоящие слева и справа при одинаковых степенях е.
В результате указанных операций придем к равенствам
h(x„(y), у) = 0.
x'0(y) = x1(y)h'x(x0(y),y),
Xn—i (у) ~ хп (у) hx (х0 (у), у) -|-
+Фя-1(х,(у), Х,(у).................Х„.,(у)), п^2.
Первое из равенств (3.8) тождественно выполняется, если
в качестве х0(у) взять функцию (1.7) (см. (1.8) и (3.5)).
Так как
(3.10)
h'x (х„ (у), у) =	(3.9)
0\У/> У) ё(х0(у),у) *	v 7
и потому hx(xQ(y), у)У=0 в силу (3.2), то остальные ра-
венства (3.8), представляющие собой линейные алгебраи-
ческие уравнения, однозначно последовательно определяют
коэффициенты x;(z/), 2=1, 2, ...:
х (м	(у) ’ у) S М * У)
1У	ГхШу),у)
(здесь использовано соотношение (1.9));
(£) =• /, , s •; Iх" -1ОО £ <хо (£) > у)—
fx(x0(y), у) I
_У fxVi (ХО (у), у)
L* v’
V=2
(</)•• *iv (у) +
- + /v = «.
/>*
i-\k—n~ 1.	v= 1	.
«>о,	1	i
2.
. - + iv=*.
/>'	I
п
§ 4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 59
Из полученных формул непосредственно видно, что
функции xz(i/), i =	1, 2, определены и являются
гладкими при изменении у на интервале между s* и з2.
Подчеркнем, что каждая из этих функций эффективно
вычисляется только через значения правых частей системы
(1.1) и нескольких их производных на участке S*S кри-
вой Г. Конечно, все эти функции можно рассматривать
и на любом отрезке изменения г/, входящем в интервал
между sj и s2, например, на отрезке между и г2.
В § 4 мы убедимся, что частичная, сумма построен-
ного ряда (3.6)
е) = х0(у) + ех1(у) + ...+е»л:л(у)	(3.12)
является при 8 —► 0 асимптотическим приближением
участка медленного движения (3.4) траектории &8:
Хц(у, e) = XN-1(y, e) + O(ew),
г°г sign g (S)< у sign g (S)< r, sign g (S),
(3.13)
где А/ — произвольное натуральное число. В частности,
отсюда вытекает, что
*ъ(у, е) = *0 (г/)+О(е),
г® sign g (S)< у sign g (S)	г, sign g (S),
t. e. участок (3.1) траектории служит нулевым приб-
лижением рассматриваемого участка медленного движения
траектории £8. Приближение более высокого порядка
имеет вид (см. 3.10))
xt {у, в) = х0 (у) + г	+ о (^),
ЬМу),у)	(3-14)
г® sign g(S) <у sign g (S) < r2 sign g (S).
§ 4. Доказательство асимптотических представлений
участка медленного движения
Установим связь построенных в § 3 функций Хп (у, 8)
с траекториями системы (1.1), т. е. выясним, для отрезков
каких траекторий этой системы справедливо асимптоти-
ческое представление типа (3.13). Затем будет доказана
асимптотическая формула (3.13) для участка медленного
движения (3.4) траектории £е.
60
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. П
Лемма 1. Если точки R* и R на дуге S*S фиксиро-
ваны, то для любого n = 0, 1, 2, ... найдется такая
константа Мп > 0, что имеет место неравенство
I %п (у) I ,	(4 1)
/;signg(SX{/signg(S)<r2signg(S). ' ' 7
Доказательство проводится по индукции. При этом
используются формулы (3.10), (3.11), неравенство (3.2)
и тот факт, что функции f (х, у), g(x, у) и их производные
ограничены вблизи участка (1.7), вне конечных окрест-
ностей нерегулярных точек S* и S.
Лемма 2. При достаточно малых г существует такая
константа Сп > 0, что производная в силу системы (1.1)
положительна в каждой точке кривой
^(у, х) = х—Хп(у, &) + Сп&п+1^0,
г 2 sign g (S)< у sign g (S) < r2 sign g (S),
и отрицательна в каждой точке кривой
М2(у> х)=х—Хп (у, е)—С„£л+1 = 0,
rl sign g (S)< у sign g (5) < r 2 sign g (S).
(4.2)
(4.3)
Производная в силу системы (1.1) в произвольной
точке кривой (4.2) равна
d№}
dt
dXn {у, б) , dy
dy
__dx
(i.i) dt d.D
y)x
’ dt (i.i)
Найдем доминирующий член этого выражения при доста-
точно малых 8, считая, что rJsigng(S) С #signg(S)
^r2signer(S). Привлекая неравенство (4.1), получаем
g(X„(y, в)—С„ея+‘. y)=g(x,(y), у) + О(е.),
h(X„(y, e.)-Cnt.^\y)=h(Xn(y, в), у)-
- С„е»+% (х, ((/).$/)+ О
где оценка остаточных членов при е —> 0 равномерна
на отрезке изменения у между г2 и G- Далее, из
самого процесса построения функций Х;(у) (см. (3.8)) и
§ 4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 61
формулы (3.7) следует
dXn {у, s) __
dy
= h (Хп (у, в), у) + 8"+1хп+i (у) h'x (х0 (у) , у) + О (гп+2). (4.5)
Равенства (4.4), (4.5) и формула (3.9) позволяют
утверждать, что
^-‘1., , = — е" + %„+1 (у)} /i(x0 (i/), у) + 0 (е" + 1).
При достаточно малых 8 выписанный в правой части член
является доминирующим. Если выбрать константу Сп > 0
достаточно большой, то в силу неравенств (4.1) и (3.2)
этот член будет строго положительным на всем отрезке
изменения у между г2 и г2. Следовательно, в каждой точке
кривой (4.2) можно обеспечить неравенство
dt
Аналогично проверяется, что при достаточно малых 8
в каждой точке кривой (4.3) можно обеспечить неравенство
dt
выбирая константу Сп > 0 достаточно большой.
Пусть /?° (г?, г°)—произвольная внутренняя точка
дуги R*R. Докажем следующее утверждение о возмож-
ности асимптотического приближения отрезков траекторий
системы (1.1) частичными суммами ряда (3.6).
Теорема 1. Пусть (1.7) — устойчивый участок кри-
вой Г, функция Х„(г/, 8), п^О, определена формулой
(3.12), а х — х(у, 8)—решение уравнения (3.5) с начальным
значением при у=г2, удовлетворяющим для достаточно
малых 8 условию
| х (г°2, Е)-Х„ (г», 8) I < С8"+1> С > 0.	(4.6)
Тогда при достаточно малых 8 это решение определено
на всем отрезке
rt sign g (S) < у sign g (S) < ra sign g (S)
и представимо в виде
(4.7)
signg (S) < у signg (S) < r2 signg (S),
62
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. и
причем равномерно на отрезке (4.7)
e)l< Cle"+\ Сп — const > 0.	(4.9)
Эта теорема непосредственно вытекает из леммы 2.
В самом деле, рассмотрим полосу л между кривыми (4.2)
и (4.3), причем пусть константа Сп > 0 столь велика, что
утверждение леммы 2 выполнено (рис. 32). Если решение
Рис. 32.	Гис. 33.
х = х(г/, е) уравнения (3.5) удовлетворяет начальному
условию (4.6), то (увеличив, если надо, константу С„)
можно считать, что начальная точка (х(г®, е)» гг) соот-
ветствующей траектории системы (1.1) находится в по-
лосе л. В силу леммы 2 любая траектория системы (1.1),
исходящая из произвольной внутренней точки полосы л,
не пересекает на кривую х) = 0, ни кривую
Э^а (#, х) = 0. Кроме того, в полосе л нет положений
равновесия системы (1.1). Поэтому функция х = х(у, е)
определена на всем отрезке (4.7), а ее график лежит внутри
полосы л. Но тогда, очевидно, справедливо представление
(4.8) и оценка (4.9).
Теорема I устанавливает, для отрезков каких траекто-
рий системы (1.1) справедливо асимптотическое представ-
ление (3.13).
Возьмем теперь в качестве Я0 (rj, г£) точку дуги PS,
отстоящую на малое конечное расстояние от точки па-
ЛОКАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
63
§ 5]
дения Р, и пусть А—точка пересечения траектории $8,
определенной в § 2, с прямой У=г°2, лежащая на гра-
нице области (/м (рис. 33; ср. с рис. 31). Эта точка —
начальная точка участка медленного движений—является
одновременно конечной для предшествующего участка
падения. Участок падения траектории будет подробно
рассмотрен в §§ 19—22. Там мы убедимся, что абсцисса
точки А удовлетворяет неравенству (4.6). Другими сло-
вами, условие (4.6) для функции (3.4) действительно
выполняется при любом целом п^О, а потому теорема I
применима для получения асимптотических приближений
участка медленного движения траектории &Е. Тем самым
формула (3.13) доказана.
Очевидно, что формула (3.13) дает возможность приб-
лиженно вычислять участок медленного движения траек-
тории с наперед заданной точностью—до величин
порядка малости не ниже еа, а > 0, при 8—0 равномерно
на всем этом участке.
Теорема II. При достаточно малых е для участка
медленного движения (3.4) траектории справедливо
асимптотическое представление
е) = Х]о](», 8) + О(ев),
Гг sign g (S) С у sign g (S) < r2 sign g (S),
где a > 0—произвольное число, а символ ]a] означает наи-
большее целое число, строго меньшее числа а*). Для на-
хождения функции Х]0] (у, е) не требуется интегрировать
невырожденную систему (1.1).
§ 5. Локальные координаты в окрестности точки срыва
Из формул (3.10), (3.11) видно, что функции хДу),
1 = 1,2, ..., неограниченно возрастают (по абсолютной
величине) при у—^s2. Поэтому ряд (3.6) уже нельзя рас-
сматривать в качестве асимптотического разложения тра-
ектории на всем отрезке изменения переменной у между
точками г° и s2. Построение асимптотических приближе-
ний участка траектории Ste, лежащего вблизи точки
срыва S(sn s2), требует использования рядов иной
структуры.
*) Символом [aj, как обычно, обозначается наибольшее целое
число, не превосходящее числа а.
64
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
|ГЛ. II
I
Для получения асимптотических представлений указан-
ного участка удобно сначала в малой конечной окрест-
ности точки срыва S ввести вместо х и у локальные
координаты | и т] так, чтобы точка срыва стала началом
координат, а примыкающая к ней часть кривой Г пре-
вратилась в дугу квадратной параболы. Переход к таким
координатам осуществляется следующим образом.
В окрестности точки срыва S (sn s2) уравнение кривой Г
записывается в виде (1.13). Определим функцию
</=ч> W=
(5.1)
ясно, что ^/ = (р(х) есть действительнозначная в окрест-
ности значения х = 0 гладкая функция, причем
<р(0)=0,
ф' (0) =
2/i(S)
(5.2)
Так как <р' (0) > 0 (см. (1.12)), то <р' (х) > 0 всюду на не-
котором отрезке р_1^х^р+1, где р_г<0, р+1 > 0.
Поэтому функция #=<p(x), p-i^Cx^p+1, имеет гладкую
обратную функцию, которую мы обозначим х = ф(г/),
— Я*^У^Я*> Функцию х = ф(г/) можно считать опреде-
ленной и на меньшем отрезке — при	где q—малое
(во всяком случае, не большее единицы) положи-
тельное число, не зависящее от е; соответствующий отре-
зок p_i^x^p+1 определения функции z/ = <p(x) нахо-
дится непосредственно.
Рассмотрим малую конечную окрестность Vs точки
срыва S:
Si Н-р_ 1 х	sr-|~ Р+1» $2 Я У	^2 ~~Ь Я*
будем предполагать, что в окрестности Vs функции
fx(x, у), f'y(x, у), g(x, у) сохраняют знак (этого всегда
можно добиться за счет уменьшения числа q). Введем
теперь вместо координат х и у новые координаты 5 и ту.
| = <р(х—sjsign fi(S),
r] = (*/—s2)signg(S);
f x = s1 + ip(gsign/:;(S)),
1 «/ = s34-T)signg(S).
§ 5]
ЛОКАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
65
Формулы (5.3) устанавливают взаимно однозначное глад-
кое соответствие между областью Us плоскости (х, у) и
малой конечной окрестностью L70 начала координат плос-
кости (J, п):
(рис. 34). Очевидно, что сама точка срыва S соответствует
началу координат £ = 0, i] = 0. Легко проверить, используя
равенство (1.15), что участок кривой (1.13), отвечаю-
щий отрезку s14-p_1^x^s1 + p+1 изменения х, в новых
координатах превращается в дугу параболы

(5.4)
а тождество (1.11) принимает вид
f(Si + ^dsign/HS)), s2— ^2signg(S)) = 0, 111<q. (5.5)
Исследуя каждый из возможных случаев, представленных
на рис. 26, 27, убеждаемся, что примыкающая к точке
срыва S часть устойчивого участка кривой I" в новых
координатах превращается в дугу параболы (5.4), соот-
ветствующую промежутку —изменения
3 Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов
66
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
Переписывая невырожденную систему (1.1) в новых
координатах, получим
где введены обозначения
a/t =	(Г24-ч) (В sign/*(.$)) sign £(S)
/ (*i + 41 (£ sign £(S)),s2 + iq sign g(S)) ’	(5.7)
₽ (L n) H £ (S1 + ^ (£ siSn f"x (5)> s2 + T] sign g (S)) |.
Отметим, что функция a (£, г]) определена всюду в обла-
сти t/0, в том числе и на кривой (5.4). В самойл деле,
в силу (5.5)
f(Si+iH£sign£(S), s,+т) sign g(S)) =
= (S’ + П) fy (Si + (E sign fx ($)). s3 — Is sign g (3) 4-
-И (I2 + П) sign g (3)) sign g (S)
(здесь константа ft £ [О, 1]), а функция f'y (.г, у) отлична
от нуля в области Us. Очевидно, что a (£, т]) и р (£, т]) —
гладкие функции своих аргументов. Наконец, легко убе-
диться (привлекая соотношение (1.15) и тот факт, что
g (х, у) 0 в области Us) в справедливости неравенств
a(5^)>^>0, ₽(g, т!)>А!>0	(5.8)
в каждой точке области Uo, так что, в частности,
а (0, 0) > 0, р (0, 0) > 0.
Для сокращения записи условимся в дальнейшем зна-
чения функций a(g, ц), Р(|, ц) и др. и их производных
an (I, П), (L n), Pip (I, Л) и ДР- при 5 = 0, т) = 0 обозна-
чать a, р, а' , а|, р|п и т. д.
Обозначим через Q (q^, 7Г) точку с абсциссой
?Г = 5, 4- P_s|gn f.{S)	+ Sign £ (3))
и через Q+(qf, qt)—точку с абсциссой
qt=Si 4- psign rx<s> = s, + 4 (q sign fx (3))
(точка Q~ лежит на устойчивом участке кривой Г, при-
мыкающем к точке срыва S, а точка Q + —на горизон-
тальном отрезке, выходящем из точки срыва S; ср.
с рис. 34). Непосредственно проверяется, что уравнение
участка Q~Q + траектории $0, независимо от того, какой
§ б]
ПРИБЛИЖЕНИЯ В НАЧАЛЕ УЧАСТКА СРЫВА
67
из изображенных на рис. 26, 27 случаев имеет
в координатах т] записывается так:
место,
(5.9)
Так как при достаточно малых 8 траектория близка
к траектории $0 (см. §2 и рис. 30), то траектория $8 вхо-
дит в область Us через участок
х = q~, q2 sign g (S)< у sign g (S) < s2 sign g (S)
границы, покидает эту область через участок
х q+, s2 sign g (S) < у sign g (S) < s2 sign g (S) + q
границы и расположена всюду выше участка Q_Q + тра-
ектории $0, если g(S)Z>§, и всюду ниже этого участка,
если g (S) < 0. Отрезок траектории £е, лежащий в об-
ласти Us, назовем участком срыва. Согласно формулам (5.3)
этому участку соответствует отрезок траектории
£ = £(/, е), т) = т)(/, е)	(5.10)
системы (5.6), лежащий в расположенной выше кривой
(5.9) части 7Z области UQ (см. рис. 34).
§ 6. Асимптотические приближения траектории
в начале участка срыва
Поскольку в области 7Z выполнены неравенства £2 +
+ т] > 0 и а (£, т]) > 0 (см. (5.8)), то вдоль участка срыва
траектории координата £ с течением времени i монотон-
но возрастает. Поэтому уравнение такого участка можно
записать не в параметрической форме (5.10), а в виде
n = in®(5. е),	—	(6-1)
принимая за независимую переменную координату g. Ясно,
что функция (6.1) является решением уравнения
где
П)э«(£. П)Р (£. Ч)	(6-3)
— определенная всюду в области Uo гладкая функция;
уравнение (6.2) эквивалентно системе (5.6). Из соотно-
шений (5.8) следует, что в любой точке области Uo (и, тем
ч*
68
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. II
более, области СИ) справедливо неравенство
V(L > о,
(6.4)
так что, в частности, у —у (0,0) >0.
Оказывается, что нельзя получить асимптотическое
разложение при 8—>0 участка срыва (6.1) в виде ряда
по целым положительным степеням 8. Поэтому сначала,
используя уравнение (6.2), мы будем искать асимптоти-
ческое разложение траектории в начале участка срыва—
на отрезке—где Gj > 0—величина, малая
вместе с 8, т. е. —>0 при 8 ^0. Иначе говоря, речь
пойдет об асимптотических приближениях функции
т) = Пг(5. «).	—®i.
(6.5)
совпадающей с функцией (6.1) на общем отрезке их опре-
деления.
Построим формальный степенной ряд
Л = По (Ю + еП1 (Ю + • • • +	(£)+•••	(6.6)
так, чтобы он формально удовлетворял уравнению
(6.2) на промежутке —изменения £. Коэффи-
циенты этого ряда определим следующим образом. В ка-
честве По(£) возьмем функцию (5.9), рассматривая ее на
промежутке —^^^<0. Такой выбор вполне естествен,
поскольку (5.9) есть уравнение участка траектории £0
в координатах £, т]. Далее, подставим ряд (6.6) в левую
и правую части уравнения (6.2) и формально продиффе-
ренцируем почленно левую часть, а правую часть раз-
ложим в ряд по степеням 8. Это разложение удобно про-
водить с помощью формулы
(6.7)
являющейся частным случаем соотношения (3.7). Затем
приравняем выражения, стоящие слева и справа при
одинаковых степенях 8.
ПРИБЛИЖЕНИЯ В НАЧАЛЕ УЧАСТКА СРЫВА
69
В результате указанных операций придем к равенствам
_______ У (В) Цо (В))
цИ?) ’
(£)+?;(£ по св»,	(6.8)
111 (I)
111 (?)
+ Фп-1 ОШ), Л1(?), —, Л«-1 (£)),	">2.
Первое из равенств (6.8) в силу выбора функции т]0(£)
позволяет найти
=	(6.9)
Так как
У (?» Т|о (?)) _	_	, п
пИЮ ' т(5. -V)*u’
то остальные равенства (6.8), представляющие собой ли-
нейные алгебраические уравнения, однозначно последо-
вательно определяют коэффициенты цДВ), i = 2, 3, ...:
Из полученных формул непосредственно видно, что
функции T]t-(£), 1 = 0, 1,2, ..., определены и являются
гладкими на полуинтервале —</^£<0 изменения £.
Подчеркнем, что каждая из этих функций эффективно
вычисляется только через значения функции у(£, ц)
и нескольких ее производных на участке —
кривой (5.9).
В §§ 7, 16 мы убедимся, что частичная сумма постро-
енного ряда (6.6)
H„(g, e) = T)0© + eri1(U+-.-+«',n„®	(6.11
является при 8 —► О асимптотическим приближением
*
70
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. П
участка (6.5) траектории £8:
Th а, Е) = Hjv, (L 8) + о	-q < I <-а1г
(6.12)
где А\— произвольное натуральное число, а
а1 = еЧ 0 < \ < 1/3.	(6.13)
§ 7. Связь асимптотических приближений
с истинными траекториями
в начале участка срыва
Выясним, для отрезков каких траекторий системы (5.6)
справедливо асимптотическое представление типа (6.12),
(6.13).
Лемма 3. Для любого п = 0, 1,2, ... найдется такая
константа Мп > 0, что имеет место неравенство
|53',-гП„(Ю|СА1„, -9С5<0.	(7.1)
Если воспользоваться формулами (6.9), (6.10) и тем
фактом, что функция у (В, т]) и ее производные ограни-
чены в области 41, то по индукции доказывается оценка
|езя"!+“лГ’(Ю|<Мп.т, -<7<е<о,
где т—любое целое неотрицательное число. Неравенство
(7.1)—частный случай этой оценки при т = 0.
Более подробные вычисления позволяют убедиться,
что при любом натуральном п функция (В) имеет асим-
птотический ряд
сс
в—-о, (7.2)
6	£ = 0
причем можно получить рекуррентную формулу для по-
следовательного отыскания коэффициентов т$. Так как,
в частности,
га-1
По = — 4 . П? = — ^4^ S Tlo’lo-v. п>2,	(7.3)
V = I
то т)о < 0 при любом натуральном п (см. (6.4)), а потому
т]„(В) —> + °о	при	В~>—0,	если	п—нечетное;
(В)—►—оо	при	В—>—0,	если	п—четное.	' ’ '
§ 7]
СВЯЗЬ С ИСТИННЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ
71
Лемма 4. При достаточно малых е существует такая
константа Сп > 0, что производная в силу уравнения
(6.2) в каждой точке кривой
n)STl—H„(g, е) + С„н^г=О, —Oj,
(7-5)
положительна при нечетном п и отрицательна при чет-
ном п, а в каждой точке кривой
3f2®.	s)—С„£~ = 0,	а,, (7.6)
отрицательна при нечетном п и положительна при чет-
ном п.
Производная в силу уравнения (6.2) в произвольной
точке кривой (7.5) равна
d^ =d^ dH„ (Е, £) J C„s»+i
dE (6.2) d% (6.2) dt, rdE E3" + 1
?(e, H»(E, e) С^зя + t) (% ,e)
(3n+l) Cne
g3n + 2
Найдем доминирующий член этого выражения при до-
статочно малых в, считая, что ——ах, где
(^ = 8^, 0 <	< 1/3 (см. (6.13)). Привлекая соотноше-
ния (6.9) и (7.1), получаем
v(?. н„(5. еУ-с»—!
рП + 1
Е2+Н„ (Е,
у (Е, Н„ (Е, е))
Еа + Н„ (Е, 8)
+ е" у(Е, -V)E3"-i + 0 (£"+1 (ЗП+ S))’ <7-7)
оценка остаточного члена в этой формулё равномерна на
отрезке ——ох. Далее, из самого процесса по-
строения функций цг (Е) (см. (6.8)) и формул (3.7), (6.7)
следует
(Е, И _ у (Е, Н„ (g, г))
dE Е2 + Н„ (Е, е)
-е“ т	т’ге+1 (?) + 0 (е"+*-х‘ (3',+!>>; <7-8>
остаточный член в этой формуле в силу соотношений
(7.1) и (6.13) на отрезке —строго более
72
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. II
высокого псрядка малости при е—>0, чем второй выписан-
ный член правой части.
Равенства (7.7) и (7.8) позволяют утверждать, что
„	4
(0.2) ь т (ё, -I2)!3"-1
© + С„} +
+ 0(8
Л+ 1-%! (ЗЛ+ 2
Если 0 < \ < 1/3, то при достаточно малых 8 выписан-
ный в правой части член является доминирующим. В силу
неравенства (7.1) при достаточно большой константе
Сп > 0 он будет строго положительным при нечетном и
и строго отрицательным при четном п на всем отрезке
—	—<*1 <0- Следовательно, в каждой точке кри-
вой (7.5) можно обеспечить неравенство

(б,2)
k>0,
если п—нечетное число,
или
неравенство
dl
0,
если п—четное число.
Аналогично проверяется, что при достаточно малых 8
в каждой точке кривой (7.6) можно обеспечить неравен-
ство
—k < 0, если п — нечетное число,
<$, (6.2)^
или неравенство
если п—четное число,
d% (6.2)
выбирая константу Сп > 0 достаточно большой.
Докажем следующее утверждение о возможности
асимптотического приближения отрезков траекторий си-
стемы (5.6) частичными суммами ряда (6.6).
Теорема III. Пусть — произвольное число, под-
чиненное неравенству 0<Х1<1/3, функция H„(g, 8),
п^0, определена формулой (6.11), а т] = т] (g, 8)—реше-
ние уравнения (6.2) с начальным значением при g = — q,
7 = const>0, удовлетворяющим для достаточно малых 8
условию
|т](—<7. 8)-Н„(-<7, е)|<С8"” С>0.	(7.9)
Тогда при достаточно малых 8 это решение определено
на всем отрезке —(/^Cg^C—ах,	и представимо
§ ?]
связь с истинными траекториями
73
в виде
т)(£, e) = H„(g, e)4-Dtn(Ij, е),	(7.10)
причем равномерно на отрезке ——<h
| Dtrt (£, 8) | < Cn8"+1-Xi <3n+1), Cn = const > 0. (7.11)
Теорема III непосредственно вытекает из леммы 4.
Ясно, что при нечетном п кривая (7.6) проходит всюду
выше кривой (7.5), а при четном п, наоборот, кривая
(7.5) проходит всюду выше кривой (7.6). Рассмотрим
полосу л меж^ этими кривыми, причем пусть константа
Сп > 0 столь велика, что утверждение леммы 4 выполнено.
Если решение т] = т](£, е) уравнения (6.2) удовлетворяет
начальному условию (7.9), то (увеличив, если надо,
константу Сп) можно считать, что начальная точка
(—Л (—7’ £)) находится в полосе л. Так как в силу
леммы 4 любое решение уравнения (6.2), исходящее из
произвольной точки полосы л, не пересекает ни кривую
(L л) = 0» ни кривую I7f®2(£, Т]) = 0, то функция
т]= т] (£, е) определена на всем отрезке ——с^,
а ее график лежит внутри полосы л. Но тогда, очевидно,
справедливо представление (7.10) и оценка (7.11).
Весьма важным фактом является наличие непосред-
ственной связи между коэффициентами асимптотических
рядов (3.6) и (6.6). Оказывается, что если ряд (6.6)
переписать с помощью формул (5.3) в координатах х, у,
то получающийся ряд
У = S, + По (ф (X—s,) sign f; (S)) sign g (S) +
+	(<P (x—s>) sign ($)) sign g (S) + ...
.. . 4-e"r|„(<p(x—sj sign ft (S)) sign g(S)+ ... (7.12)
будет формальным обращением ряда (3.6), причем п-й
коэффициент ряда (7.12) выражается только через те
коэффициенты ряда (3.6), номера которых не превосхо-
дят п. Для доказательства этого утверждения необходимо
установить справедливость соответствующих соотношений
между коэффициентами рядов (3.6) и (6.6):
х, (sa + П» (?) sign g (S)) = s, + ф (| sign f"x (S)),
’ll (?) *; (s2 + T)o (?) sign g (S)) sign g(S) +
+ (s2 + П. (5) sign g (S)) = 0,
74
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
что можно сделать, привлекая тождества (1.11), (5.5) и
выражения для коэффициентов указанных рядов (см.
(3.10), (3.11), (6.9), (6.10)).
Покажем теперь, что функция (6.5), описывающая
траекторию £е в начале участка срыва, удовлетворяет
условию (7.9) при любом целом /г^О. Выберем число q
в соответствии со сказанным в § 5 и тем самым определим
точку Q~ (q~, q~) на дуге PS траектории (рис. 35;
ср. с рис. 34). Пусть B(7f, г2)—точка пересечения тра-
ектории с прямой х— q^, лежащая на границе обла-
сти Us, а ^(г15 г2)—точ-
"	ка на дуге AS, имеющая
Рис. 35.
ка медленного движения АВ
ту же ординату, что и точ-
ка В (так что Г1 = х0(г2)).
Точка В—начальная точка
участка срыва — является
одновременно конечной для
предшествующего участка
медленного движения (см.
рис. 33). Подчеркнем, что
хотя величина г2 зависит
от е, однако при доста-
точно малых е точка R
отстоит на конечное рас-
стояние от точки срыва S,
а потому для асимптоти-
ческого вычисления у част-
траектории можно ис-
пользовать результаты, указанные в §§ 3, 4,
Необходимое для проверки условия (7.9) значение
Л&(—е) вычислим следующим образом. Фиксируем
произвольное целое число и, привлекая уже дока-
занное асимптотическое представление (3.13) участка
медленного движения АВ, найдем абсциссу точки В:
q- = x%(r2, е) = Х„(г2, е)+О(е«+1).
Переходя к координатам £, т] по формулам (5.3), получим
соотношение
S1+’И—<7 sign £(£)) =
= X„(s2 + r]s(— q, e)signg(S), е) + О(е'“’), (7.13)
из которого и нужно определить интересующее нас зна-
§8]
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ УЧАСТКА СРЫВА
75
чение т]$(—7, е) с требуемой точностью. Но в силу ука-
занной выше связи между коэффициентами рядов (3 6) и
(6.6) можно утверждать, что обращение равенства (7.13)
приведет к соотношению
т)е(— <7. е) = Н„(— Ч< е) + О(е“+1).
Таким образом, условие (7.9) для функции (6.5) действи-
тельно выполняется при любом целом п^О.
§ 8. Специальные переменные для участка срыва
Соотношения (7.4) показывают, что ряд (6,6) по целым
положительным степеням параметра 8 нельзя рассматри-
вать в качестве асимптотического разложения траекто-
рии на всем отрезке —(j^g^O изменения переменной g.
Например, функция т]1 (g) при g ——0 неограниченно
возрастает (см, (6.8)), а потому разность %(g, е)—г)о(£)>
характеризующая отклонение траекторий $е и $0, не будет
уже величиной порядка 8 при 8—>0 равномерно на от-
резке —
Однако порядок указанной разности все же можно
определить—она оказывается величиной порядка 82/3 при
8—>0 равномерно на некотором отрезке изменения g, вклю-
чающем значение g = 0. Для того чтобы установить это и
получить асимптотические представления траектории $8 на
упомянутом отрезке изменения g, сделаем новое преобра-
зование переменных.
От переменных g, ti, t перейдем к переменным ц, у, т
по формулам
g = p«, т] = р2и, / = р2т,	(8.1)
где введено обозначение
р3 = уе.
(8.2)
Ясно, что р, можно рассматривать как новый параметр,
положительный (см. (6.4))vh малый вместе с 8, но более
низкого порядка малости (точнее, порядка 81/3) при 8—>0.
Время т являетя быстрым: третье из соотношений (8.1)
показывает, что конечному отрезку изменения t соответ-
ствует промежуток изменения т порядка 1/рЛ. Первые
два соотношения (8.1) устанавливают взаимно однозначное
соответствие между 1 малой конечной окрестностью Uo
76
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ [ГЛ- I
начала координат плоскости (£, г]) и бесконечно большой
(при е—>0) областью (7J плоскости (и, и). При этом на-
чало координат плоскости (£, т]) переходит в начало коор-
динат плоскости (и, v), а кривой (5.9) соответствует
кривая
( —иа, —
V~ (	0,
Переписывая систему (5.6) в новых переменных, по-
лучим
du 	и2-]-и
dx (ил. и?и) ’
dv	8.4)
эта система уже не содержит малого параметра при про-
изводной. Очевидно, что правые части системы (8.4) опре-
делены и являются гладкими функциями всюду в обла-
сти Uq. Согласно формулам (8.1) участку срыва (5.10)
траектории $е соответствует отрезок траектории
и — и(т, ц), и = и(т, р)	(8.5)
системы (8.4), лежащий в расположенной выше кривой
(8.3) части П* области Uq. Отметим, что уравнение (8.3)
описывает в координатах и, v участок (5.9) траектории
однако кривая (8.3) уже не удовлетворяет системе, по-
лучающейся из (8.4) при ц = 0.
§ 9. Одно уравнение типа Риккати
При построении нулевого приближения траекторий
системы (8.4) возникает уравнение
=	(9-1)
Если считать и функцией независимой переменной и, то
уравнение (9.1) перепишется в виде
= » +	(9-2)
Уравнение (9.2) — специальное уравнение Риккати', его
решения можно выразить через специальные функции
(см. [21]). Используя эти выражения, построим картину
интегральных кривых уравнения (9.1).
ОДНО УРАВНЕНИЕ ТИПА РИККАТИ
77
ведем в уравнении (9.2) вместо и новую неизвестную
цию e(v) по формуле
\	u(v) =-----
7 е(и)
	(9.3)
dv	4	7
Для e(v) получается линейное дифференциальное урав-
нение
d2e
dv2
(9.4)
которое называют уравнением Эйри. Это уравнение заме
ной переменных
у V
приводится к уравнению Бесселя
z2
d2w ( dw j
dz2 ' ? dz
w= 0,
фундаментальную систему решений которого составляют
бесселевы функции первого рода порядка —1/3 и 1/3,
т. е. функции J_1/3(z) и Ji/;j(z). Поэтому общее решение
уравнения (9.4) таково:
,—	( 9	\	i—	[ 2	\
e(v) = C1|/pJ.1/,	+Сг)/»/1/31	, (9.5)
\ О J	\ О	J
где Ci и С2—произвольные постоянные.
Возвращаясь к уравнению Риккати (9,2), выразим
из соотношений (9,5) и (9.3) его общее решение через
бесселевы функции;
J t/, f I
,/з I
-  <96)
[ _ n3/2
V’ \ 3 J
причем константа с пробегает все действительные значе-
ния (включая и оо). Формулой (9,6) удобно пользоваться
при	поскольку для неотрицательных значений
аргумента она непосредственно определяет действительные
значения функции u = u(v, с). При отрицательных зна-
чениях аргумента, т. е, при —v > 0, предпочтительнее
иное представление того же общего решения:
и ==— У—v
-------М--------------------72---------7\ ' <9'7)
78
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[г/л, II
где Iv (z)—модифицированная функция Ьесселя первого
рода порядка v; оно непосредственно определяет действи-
тельные значения функции u = u(u, с) при v < 0. /
Выясним, как ведут себя кривые, являющиеся ^рафи-
ками функций семейства, заданного уравнением (9.6) или,
что то же, уравнением (9.7). При любом с (включая с= оо)
соответствующая функция u — u(v, с) этого семейства
определена на всей оси и, за исключением точек, в ко-
торых обращается в нуль знаменатель в правой части
формулы (9.6) или (9.7). При	1 одна такая точка
лежит на полуоси и счетная последовательность
таких точек, уходящая в бесконечность,— на полуоси
v > 0; при остальных значениях с имеется только счетная
последовательность таких точек, уходящая в бесконеч-
ность, на положительной полуоси *). При приближении
к каждой такой точке слева функция и (у, с) стремится
к -j-oo, а при приближении справа она стремится к —оо.
Для любой функции семейства и — u(v, с), кроме функции
и = и (у, 1), справедливо асимптотическое представление
u(v, с) = У—v[14-O((—и)'3/а)], v—+—оо, с#=1,
тогда как для функции u = u(vt 1) имеет место асимпто-
тическое представление**)
и(и, 1) = — К—o[l-f-O((—v)-3/2)], v—>—оо.
Другими словами, графики всех функций и = и (v, с),	1,
при v—>—оо неограниченно приближаются к верхней
ветви параболы П (г, u)==u-]-u2 = 0, являющейся изокли-
ной нуля для уравнения (9.2), a u = u(v, 1)—единст-
венная функция, график которой при v—►—оо неогра-
ниченно приближается к нижней ветви этой параболы.
Отметим еще, что кривые семейства и = и (v, с) имеют пе-
региб в точках своего пересечения с кривой 1-ф2ци-|-
+ 2и3“0, состоящей из двух ветвей и Г2-
*) Это следует из того факта (см., например, [66]), что функция
c/_i/3(z)—(z) имеет на полуоси единственный нуль, если
0 «с с < 1, и не имеет там нулей при всех других действительных
значениях с, а функция cJ (z) +	(z) имеет при любом дей-
ствительном значении с счетное число нулей на полуоси z > 0 (все
эти нули—простые).
••) Для доказательства нужно использовать известные асимпто-
ти’-сские формулы при z—► оо для функций /у(з) и /_v(z) —
§ 91	ОДНО УРАВНЕНИЕ ТИПА РИККАТИ	79
Рис. 36 представляет картину интегральных кривых
уравнения Риккати (9.2). Из сказанного выше следует,
что уравнение (9.2) имеет решения лишь следующих трех
типов\
1) континуум кривых, каждая из которых определена
на (своем) полубесконечном влево интервале, неограни-
ченно приближается при v—►—оо к кривой и У—и и
Рис. 36.
стремится к + оо при приближении к правому концу ин-
тервала определения;
2) континуум кривых, каждая из которых определена
на (своем) конечном интервале, стремится к —оо при
приближении к левому концу интервала определения и
стремится к + оо при приближении к правому его концу;
3) единственную кривую, определенную на полу-
бесконечном влево интервале, неограниченно приближаю-
щуюся при и—>—оо к кривой	—К —v и стремящуюся
80
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[/л. II
к -f- °° при приближении к правому концу интервала
определения.	I
Эта последняя кривая, как видно из рис. 36, отделяет
область, целиком заполненную кривыми первого типа, от
области, целиком заполненной кривыми второго типа.
Такое решение называется разделяющим решением урав-
нения Риккати.
Разделяющее решениелг = uor(v) уравнения (9.2) опре-
делено на интервале — оо < и < Qo, где Qo—наименьший
положительный нуль знаме-
нателя в формуле (9.6) при
с—1. Это решение представ-
ляет собой монотонно возрас-
тающую от — оо до 4-оо вы-
пуклую вниз кривую. На
участке — оо < и 0 она за-
ключена между нижней ветвью
параболы П и кривой Г,.
Если на рис. 36 все кри-
вые зеркально отобразить от-
носительно биссектрисы пер-
вого и третьего координатных
углов, то получится картина
интегральных кривых урав-
нения (9.1). В частности, разделяющее решение u — u0(v)
уравнения Риккати (9.2) при таком отображении перехо-
дит в решение
п = у0(и)	(9.8>
уравнения (9.1). Именно эта функция (рис. 37) в даль-
нейшем будет играть особую роль при построении асим-
птотических приближений траекторий системы (8.4). Хотя
функцию (9.8) не удается явно записать через известные
функции, ее свойства можно изучать, используя выраже-
ние для обратной к ней функции и = и0(и) и само урав-
нение (9.1).
Очевидно, что функция (9.8) определена на всей пря-
мой — оо < и < оо и представляет собой монотонно воз-
растающую выпуклую вверх кривую, причем
lim yo(u)=Qo>O,	(9.9)
и -*+ 00
Подчеркнем, что (9.8)—единственное решение урав-
ПРИБЛИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ТОЧКИ СРЫВА
81
нения (9.1), неограниченно приближающееся при и—> — оо
к левой ветви параболы — и2. Более точно, справед-
лива неравенство
\ —а2 < v0 (и) <— и2—~, —оо < и < 0.	(9.10)
Нам потребуются еще асимптотические формулы для
функции (9.8) при больших отрицательных и больших
положительных значениях аргумента. Эти формулы легко
получаются непосредственно из уравнения (9.1):
и——оо; (9.11)
и—>-|-оо. (9.12)
§10. Асимптотические приближения траектории
в непосредственной близости от точки срыва
Поскольку в области 7£* выполнены неравенства а2 +
+ v > 0 и а (ри, р2у) >0, у > 0 (см. (5.8), (6.4)), то вдоль
участка (8.5) координата и с течением времени т моно-
тонно возрастает. Следовательно, уравнение такого уча-
стка можно записать не в параметрической форме (8.5),
а в виде
v =	р), — (?/р<и<<7/р,	(10.1)
принимая за независимую переменную координату и; эта
функция получается из (6.1) в результате замены (8.1),
(8.2). Ясно, что функция (10.1) является решением урав-
нения	dv _ у (pu, p2i') du	u2-j-v	(Ю.2)
где	т v(5. n)	(10.3)
— определенная всюду в области гладкая функция;
уравнение (10.2) эквивалентно системе (8.4). Из соотно-
шения (10.3) следует, что у = у(О, 0)=1.
Оказывается, что нельзя получить асимптотическое
разложение при р—>0 (т. е. при &—>0) функции (10.1)
в виде ряда по целым положительным степеням р.
I
82	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ [г//. II
Поэтому сейчас, используя уравнение (10.2), мы будем
искать асимптотическое разложение функции (10. IV, но
не на всем отрезке ее определения, а лишь на отрезке
— <»! и <о2, где > 0, <о2 > 0—величины, бесконечно
большие при бесконечно малом р, т. е. со,—
/=1, 2, при 8—*0.
Построим формальный степенной ряд
v = v0 (и) + р^ (и) + ... + p"v„ (и) + ...	(10.4)
так, чтобы он формально удовлетворял уравнению
(10.2) на всей оси — оо < и < оо. Подставим ряд (10.4)
в уравнение (10.2) и его правую часть формально раз-
ложим в ряд по степеням р. Такое разложение легко
получить с помощью формул (3.7) и (6.6):
у ( ра 2	)	х
-—(10-5)
Л=1
где коэффициент при pft, k 1, равен *)
(10.6)
ит~п
(т—л)!
v-l
%-'Л
Затем приравняем выражения, стоящие слева и справа
при одинаковых степенях р.
Вдрезультате придем к равенствам
di’o (и) _	1
du	и2 + ц» (и) ’
du 1J • • •’ du	• • •
*) Сумму, в которой верхний предел суммирования меньше
нижнего, будем всегда считать равной нулю. Если условие, стоящее
при знаке суммы, ие выполняется для некоторого слагаемого, то
это слагаемое считается равным нулю.
§ W]	ПРИБЛИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ТОЧКИ СРЫВА	83
Из соотношений (10.6) видно, что коэффициент раз-
ложения (10.5) выражается только через функции и0(и),
^(и), ... ,оА._х(и), vk(u), причем функция^ (и) встречается
в выражениигдля этого коэффициента лишь один раз —
в слагаемом, отвечающем значениям l = k и v=l. По-
этому, если ввести обозначение
=	+	fe=1’2..... (Ю.8)
равенства (10.7), начиная со второго, можно переписать
в виде
dp, (и) .	(ц)	_ ф ( }
du "Г" [и2 + у0 (u)]2	'	u2^v0
dvJl J_________________= ф (u\	n^>
du Uu2 + M“)l2 n{ h
(10.9)
Первое из равенств (10.7) означает, что функция v0(u)
есть решение уравнения (9.1). Обратим внимание на то,
что мы пришли к уравнению (9.1) без какого-либо до-
полнительного условия, которое фиксировало бы частное
решение. Поэтому определение функции vQ(u) на основа-
нии первого равенства (10.7) является нетривиальным.
В качестве vQ(u) возьмем решение(9.8) уравнения (9.1).
Такой выбор можно пояснить следующими наводящими
соображениями. Если желать, чтобы частичные суммы
ряда (10.4) представляли собой асимптотические прибли-
жения при р—>0 функции (10.1), то коэффициент v0(u)
должен рассматриваться как нулевое приближение. Из
результатов § 6 видно, что на отрезке —	—ojp
нулевым приближением траектории служит кривая
и = — и2. Поскольку эта функция среди решений уравне-
ния (9.1) не содержится, то ее в качестве vQ(u) принять
нельзя. Однако естественно в качестве (и) взять такое
решение уравнения (9.1), которое бы мало отличалось от
указанного нулевого приближения на отрезке —<?/р^
— для достаточно малых р. Так как при р —0
отрезок —стягивается в —оо (см. (6.13),
(8.2)), то логично остановить выбор на решении, неогра-
ниченно приближающемся при и —► — оо к криво1!
и —— и9. А, как показано в § 9, у уравнения (9.1) имеется
единственное решение, обладающее этим свойством,—
функция (9.8). Конечно, приведенные рассуждения лишь
эвристические—необходимость выбора в качестве v9(u)
84
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 11
функции (9.8) в полной мере обосновывается только
строгим доказательством (см. § 11) факта асимптотической
близости частичных сумм ряда (10.4) к функции (10.1).
Обратимся теперь к равенствам (10.9). Так как функ-
ция Фл(и), п^1, выражается только через функции
v0(u), yi(u)»	и не зависит от функции v„(u),
то эти равенства представляют собой линейные неодно-
родные дифференциальные уравнения, из которых можно
последовательно находить коэффициенты (u), i — 1,2,....
Однако и здесь ни для одного из этих уравнений не
указано никакого дополнительного условия, которое вы-
деляло бы определенное решение. Выберем функции
u,<(u), I—1,2, ..., следующим образом (мы опускаем
эвристические соображения, поясняющие разумность имен-
но такого выбора). В качестве и, (и) возьмем частное
решение первого из уравнений (10.9):
U	_
f 0 d0
юх(и)^^(и) J	[02 + (0)J ’	(Ю.10)
— 00
где
сю
a/Z (u) = exp у ^02^ y0 (0)J3 •	(10.11)
и
Если функции vv(u)y ...,^„-^(u) уже определены, так что
функция Ф„(и) (см. (10.8)) известна, то в качестве vn(ti)
выберем частное решение n-го уравнения (10.9):
и
v„(u)=^(u) J JgdO, п>1.	(10.12)
— оо
В дальнейшем мы покажем, что формула (10.12) имеет
смысл при любом л^1, а потому функции (и), i =
= 0, 1,2, ... , определены и являются гладкими на всей
прямой изменения и. Будет также установлено, что каждая
из этих функций эффективно вычисляется только через
значения функции у(|, tj) и нескольких ее производных
в начале координат (что касается функции q0(u), то она
вообще не зависит от конкретного вида уравнения (10.2)).
В §§ 11, 16 мы убедимся, что частичная сумма пост-
роенного ряда (10.4)
En(«, |i)=t',(ii) + |iol(ii)+...+n4(“) (10.13)
СВЯЗЬ С ИСТИННЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ
85
является при е--0 асимптотическим приближением того
участка решения (10.1) уравнения (10.2), который отве-
чает отрезку
—	<о1 = о’1/р.»	о)2 — а3/р, (10.14)
где Oi >0, о2 > 0—такие величины, что при е—>0 имеем
сг(-—>0 и одновременно <of-—i=l, 2. Точно сфор-
мулировать результат удобнее, вернувшись от перемен-
ных и, и к координатам 5, г] (см. 8.1)). При этом урав-
нение (10.2) перейдет в уравнение (6.2), а решение (10.1),
рассматриваемое на отрезке (10.14), будет описываться
функцией
(10.15)
Ясно, что функция (10.15) совпадает с функцией (6.1) на
общем отрезке их определения и представляет собой
уравнение участка траектории 3?в в непосредственной б ли-
зости от точки срыва. Мы докажем, что справедливы
следующие асимптотические представления участка (10.15)
траектории
(10.16)
здесь N2 и N3—произвольные натуральные числа, причем
N2 > V3, а
(10.17)
0,-еЧ	0 <Хх<1/3;	о2 = еЧ	0 < Л2 < 1/3. (10.18)
§11. Связь асимптотических приближений
с истинными траекториями
Цф непосредственной близости от точки срыва
Выясним, для отрезков каких траекторий системы (5.6)
справедливы асимптотические представления типа (10.16)—
(10.18).
86
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
Лемма 5. Для любого п = 1, 2, ... функция . ип (и)
определена при всех действительных значениях и и имеют
место асимптотические формулы
. .	v'<-	S”
v„ (“)---2------------
v = 0
V1 (n—2v)l 2
+	|u|rt“4)
при и —►—оо; (11.1)
vt (и) = Yg In и + О (1) при и—>Ч-оо,
1)
v2 (w) = u +0 (1) при и—+ + □©,
Vt3)
V3(u) = -^- U2 4-0 (In и) при W~>4-OO,
1 w
v„(u)=-^—Y.u"-l + O(u"-s), n^4,
f If 1 I fl I J
при U—>4-00. ,
(11.2)
Убедимся прежде всего, что участвующие в форму-
лах (10.11), (10.12) несобственные интегралы сходятся.
Сходимость несобственного интеграла в формуле (10.11)
немедленно вытекает из соотношения (9.9). Следовательно,
введенная в (10.11) функция аЯ(и) определена и беско-
нечно дифференцируема на всей оси и, принимает лишь
положительные значения и является монотонно убываю-
щей. Используя асимптотические представления (9.11) и
(9.12), легко проверить, что
__________-Ьиэ Г / 1 X
сЯ(и) = $е 3 u2p+O(j-^-3J
где Л1—некоторая константа *), и
«0(и) = 1+ о (ДД ПРИ
*) Можно показать, что
Я-ехр У
— <к>
при и
и —►4-00.
оо, (11.3)
(П-4)
4«2А0 («) 4~— А” (и) У du,
где введены обозначения функций
Д“ (и) «=
1 при «<•—!,
О при и > —1;
I 1 при и<0,
| 0 при и > 0.
§ 111
СВЯЗЬ С ИСТИННЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ
87
Рассмотрим теперь введенную в (10.10) функцию (и).
Из представления (9.11) следует, что для правой части
первого из уравнений (10.9) справедлива асимптотическая
формула
ФДи) =—27gU24-O	ПРИ и—*—°0*
Так как функция 1/а<(м) при и—>—сю экспоненциально
убывает (см. (11.3)), то сходимость несобственного инте-
грала в формуле (10.10) очевидна. Таким образом, функ-
ция v±(u) определена и бесконечно дифференцируема на
всей оси и. Для отыскания асимптотики функции vt(u)
при и—>—оо можно применить, например, правило Лопи-
таля, учитывая представление (11.3); в результате мы
придем к формуле (11.1) при п—1. Асимптотика функции
vt(u] при и—>4-оо, указанная в (11.2), находится инте-
грированием асимптотического представления
ф1(«)	?£  п( 1 А	1
= — 4-О ) ПРИ и—>4-°°>
и '	\ и3 J г	1	’
получаемого для подынтегральной функции в (10.10)
с помощью формул (11.4) и (9.12).
Далее доказательство леммы проводится по индукции.
Допустим, что для функций v±(u), ..., vn_1(u) утвержде-
ние леммы верно. Тогда, привлекая формулы (10.8) и (10.6),
найдем асимптотические представления для правой части
n-го уравнения (10.9);
О*/*] 2 /_(rt-2v) (v)
фЛ“) = - X 	па"+1+0(И"-г)
v = о 4
при и—►—оо;	(11.5)
Ф„ (и) =	и”“2 4-0 (и”“4) при и—>4-°°.	(Н-6)
Так как функция \/о£(и) при и—>—оо экспоненциально
убывает, то сходимость несобственного интеграла в фор-
муле (10.12) очевидна. Учитывая соотношения (11.3) и
(11.4), нетрудно убедиться в справедливости асимптоти-
ческих формул (11.1) и (11.2).
Лемма 6. Пусть F0(u)—определенная и гладкая на
всей прямой функция, принимающая положительные зна-
чения, причем F0(uy -- \ при и^.—1 и F0(u)^ln и
88
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. II
при и е;
Р1(и)=
| х | при | х |
x2+-j при |х| <1;
Р„(и)=14-|и|”, л>2.
(И.7)
При достаточно малых & существует такая константа
Сп > 0, что производная в силу уравнения (10.2), положи-
тельна в каждой точке кривой
Тг(и, v)=V — Vn(u, [l)'}~Crilln + 1Fn(u) = Ot —
и отрицательна в каждой точке кривой
Xa(u, v) = v—V„(u, ц)~С„ц“+’Р„(и) = 0, —
w2’
(И-8)
(H-9)
Производная в силу уравнения (10.2) в произвольной
точке кривой (11.8) равна
___________ dv ________dVn (ц> Н-) 1	р ц" + 1Р _
du \ (10.2) ~ du (10.2) du__________________________rnW)~
n2Vn(u, y,) — Criy” + 3Fn(u))
dV„(u,
Найдем знак этого выражения при достаточно малых е,
считая, что —(см. (10.14), (10.18)).
По формуле Тейлора получаем
у(|ш, р2У„ (и, ti) — Cnp,n+3Fn (и)) =	1	.
+	p) —	+	(и) ц2+уо(ы)-Г
. +Жн/,4-ад+1нл+1 + ^+ан"+2- (НЛО)
Воспользуемся формулами (10.5) и (10.6), выбрав в них
величины vk, /г^0, следующим образом:
= («);
о{=^(и), г = 1, ..., п;
^+1 = — Ш“); ^/ = 0»	/>п + 2.
Ясно, что выбор величин ул + 1, vn+2t ... никак не отра-
жается на коэффициентах ..., S1H„ разложения (10.5),
а потому
ЭД* = k = 1, ...,
п
(1111)
§ И]
СВЯЗЬ С ИСТИННЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ
89
(в случае п — 0 эти равенства, естественно, не присутст-
вуют). Далее, так как величина + 1 входит в выражение
для коэффициента йИл+1 лишь один раз, то, привлекая
формулу (10 8) при k — п4-1 и подставляя туда вместо
u„+i функцию —CnFn(u), можем записать
ад+1 = Ф„+1(«) + Й5>2.	(И.12)
Наконец, поскольку функция Fn (и) и при и—>—оо, и
при и—>4-о° имеет такой же порядок роста, как и функ-
ция |v„+1(u)| (см. (11.1), (И.2)), a vy = 0,	то
коэффициент sDJJ+2 остаточного члена формулы (11.10)
в силу (10.8) имеет ту же асимптотику при и—>—оо и
при и—>4-°°» что и функция Ф„+2(п). Поэтому на осно-
вании асимптотических представлений (11.5) и (11.6)
0)Й+3
Ш1л+3
ип
Мп + 2»
—- оо <4 и	—-1;
1 и <4 оо.
(11.13)
(11.14)
Соотношения (11.10) — (11.12) и (J0.8) позволяют ут-
верждать, что
du
=.ч'’+1(фп+1(“)4
(10.2)
-j-и0	у
Для определения знака этой производной рассмотрим
отдельно строго отрицательные, строго положительные и
лежащие вблизи нуля значения и. Будем считать, что
п ^2 (см. (11.7)); в случаях н~1 и п —0 рассуждения
изменяются несущественно.
На отрезке —	—ji/Z/i/3, учитывая соотноше-
ния (11.13) и (10.14), можно переписать равенство (11.15)
в виде
du
(10 .2)
где символ О (crL) означает член, имеющий порядок ма-
лости не ниже еЛ>, 0 <^<1/3, при е—>0 равномерно
на указанном отрезке. С помощью асимптотического пред-
90
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕШЕНКИ
[гл. II
ставления (11.5) и справедливого при всех —jJ/n/3
неравенства (см. (9.10))
1	п j
и2 [и2 + и0 («)]2 — |«| 3 > 1 ’
убеждаемся, что, если выбрать константу Сп > 0 доста-
точно большой, выражение в фигурных скобках будет
строго положительным на всем отрезке — (Oj и п/3.
На отрезке 1 и со2, учитывая соотношения (11.14)
и (10.14), можно переписать равенство (11.15) в виде
d^\
du
(Ю.2) r	I
Фд + 1 (ц)
un~l
С п ______ 1________________
ип~1 [М2 + («)]‘2~Г [и2 Но (и)]2
ЬО(02))>,
где символ О(о2) означает член, имеющий порядок ма-
лости не ниже еЛ«, 0 < Х2 < 1/3, при е—>0 равномерно
на указанном отрезке. С помощью асимптотического пред-
ставления (11.6) убеждаемся, что, если выбрать константу
Сп > 0 достаточно большой, выражение в фигурных скоб-
ках будет строго положительным на всем отрезке 1 <1 и со2.
Наконец, очевидно, что, если выбрать константу Сп > 0
достаточно большой, выражение в фигурных скобках
в формуле (11.15) будет строго положительным на всем
отрезке —£//?/3<Си^1. Следовательно, в каждой точке
кривой (11.8) можно обеспечить неравенство
d^i
du
(10.2)
0.
Аналогично проверяется утверждение леммы относи-
тельно знака производной в силу уравнения (10.2) в каж-
дой точке кривой (11.9).
Следующая лемма решает вопрос о возможности асимп-
тотического приближения отрезков решений уравнения
(10.2) частичными суммами ряда (10.4).
Лемма 7. Пусть v — v(u, р)—решение уравнения
(10.2) с начальным значением при и = — а\, удовлетворя-
ющим для достаточно малых е условию
|и(—(ог, р)—Vk(— (Oi, р) | < Ср*+,(о*, С > 0. (11.16)
Тогда при достаточно малых е и при любом целом k*^.k
$ И]
связь с истинными траекториями
91
существует, такая константа Ck > 0, что справедливы
оценки
|у(п, р)—УДц, р)|	— «^//<0;
I v(u, р) —Vft* (и, р) | < САрА* (и), 0<и<со2.
(11.17)
Лемма 7 непосредственно вытекает из леммы 6. В са-
мом деле, рассмотрим отвечающую отрезку —о^^и^СО
часть полосы л между кривыми (11.8) и (11.9) при n = k,
причем пусть константа Ск > 0 столь велика, что утверж-
дение леммы 6 выполнено. Если решение v = v(u, р) урав-
нения (10.2) удовлетворяет начальному условию (11.16),
то (увеличив, если надо, константу Ск) можно считать,
что начальная точка (—а^, и(—а)х, р)) находится в по-
лосе л. В силу леммы 6 любое решение уравнения (10.2),
начинающееся в произвольной точке полосы л, не пере-
секает ни кривую Т\(и, и)= 0, ни кривую Ж2(«,с)--0,
а потому график функции v — u(u, р) лежит внутри по-
лосы л при изменении и на отрезке — и 0. Отсюда
следует первая из оценок (11,17). Далее, рассмотрим отве-
чающую отрезку 0 и о)2 часть полосы л* между кри-
выми (11.8) и (11.9) при n — k\ Так как k*^k, то ясно,
что константу Ck > 0 можно взять столь большой, чтобы
точка (0, v (0, р)) находилась в полосе л* и было выпол-
нено утверждение леммы 6. Но тогда, очевидно, спра-
ведлива вторая из оценок (11.17).
Возвращаясь к координатам £, т] по формулам (8.1),
переформулируем лемму 7 как утверждение о возможности
построения асимптотических приближений типа (10.16) —
(10.18) для отрезков траекторий системы (5.6).
Теорема IV. Пусть и Х2—произвольные числа,
подчиненные неравенствам 0 < ^ < 1/3, 0 < А2 < 1/3,
функция Vn(u, р), п^0, определена формулой (10.13), а
*q== Л Iх)—решение уравнения (6.2) с начальным значе-
нием при £ = — ох, <т1 —	, удовлетворяющим для доста-
точно малых е условию
01,ц)—
\ г
р <Сео?, С> 0. (11.18)
Тогда при достаточно малых & это решение определено
на всем отрезке —п3 = 8х«, и представимо
92
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. 11
в виде
(	(.1, и)+:){„(?, е), -^<£<0,
I	\.	г*	/
л(5> н) = \	/	Е	X
ц2У„.	ц)4-ЭТл.(5, е), OsCs<®..
\	\	г	’
где и* — произвольное целое число, подчиненное условию
^п, причем равномерно на отрезке —
| ?){„ (g, е) | < С„е1+лХ>, Сп = const > 0,
и равномерно на отрезке 0 g о,
м Гсое1п~ при п* — 0,_	. А
1(£, &) | < j ° е	Cn*— const > 0.
[ Сп*е1+Л*л* при п*^1,
§ 12. Асимптотические ряды
для коэффициентов разложения вблизи точки срыва
Нам потребуются некоторые более глубокие свойства
коэффициентов vn(u), n = 0, 1, 2, .... разложения (10.4)
и, в частности, представления этих функций в виде
асимптотических рядов при и—>— оо и при и—^4-оо.
Такие ряды получаются методами, обычно применяемыми
для отыскания асимптотических разложений решений
дифференциальных уравнений (см., например, [10], [17],
[65]). Не воспроизводя здесь во всех деталях довольно
громоздкие вычисления, мы сформулируем окончательные
результаты и наметим пути их доказательства.
Займемся сначала функцией v0(u), введенной в § 9.
Подчеркнем, что эта функция не зависит от конкретного
вида системы (8.4), или, что то же самое, уравнения (10.2).
При неположительных значениях аргумента опреде-
лим функцию 20(и) соотношением
v0(u} — — и2+z„(u),	— оо<ц^0.	(12.1)
Из (9.1) получается уравнение
которому удовлетворяет функция z0(u), причем z0(u)—
его единственное решение, стремящееся к нулю при
и—„—оо. С помощью этого уравнения нетрудно убе-
§ 121
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ряды

диться, что для функции 2й(и) справедливо следующее
разложение в асимптотический ряд*):
GO
*.(«)'(12.2)
fc = 0 1
коэффициенты al этого ряда можно последовательно
вычислять по рекуррентной формуле
k - 1
a«=-l, а£ = X "M-i-v. k >1. (12.3)
v = О
В частности, легко проверить, что (ср. с (9.11))
1	1	5 И 539	19 .
— 2и	8u4	32u7	32и10	512и13	• < •
Асимптотическое разложение функции v0 (и) при
и—>4~оо находится непосредственно из уравнения (9.1).
Как и любое ограниченное на всей положительной полу-
оси решение этого уравнения, функция v0(w) имеет асимп-
тотический ряд вида**)
00
м«)+=£ 4г+&г.о.	(12.5)
k = 1
Коэффициенты bl, 0, &¥=0, ряда (12.5) можно последова-
тельно вычислять по рекуррентной формуле
(12.6)
k - 3
ч.=w, .+1Е b°.	k > 2.
V = 1
Что касается константы b%t 0, то она должна быть най-
дена, исходя из специфики определения решения v0(w),
выделяющей эту функцию из множества всех ограничен-
*)	Асимптотическое разложение функции F (л), —оо < х < оо,
при х—оо условимся обозначать через Г(х)-, а при х—►4-00 —
через F (х) + .
**	) Ряды (суммы), в которых суммирование ведется по всем
значениям индекса, за исключением значения, следующего за на-
чальным будем обозначать символом например,
00	00
ck ~ 2	= Ст 4“ Ст + 2 4“ ст + 3 4“ • • •
k—m,
k m+ 1
94	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ [ГЛ, II
ных при и—оо решений уравнения (9.1), а именно
(см. (9.9));
<0-^-	(12.7)
В частности, легко проверить, что (ср. с (9.12))
v (tiV—(>___LiBl______!__I 7Q0 I 4&о~ 5 I /ioo\
о и+з«з 4u4	5^+18«e+ 28u7
Обратимся теперь к функциям vn(u), n=l,2, ...,
введенным в § 10. Оказывается, что функция vn(u) имеет
при и—► — оо следующий асимптотический ряд*):
»„(«)-=и"-* £-4-, л>1,	(12.9)
А= 0
причем можно получить рекуррентную формулу, позво-
ляющую последовательно вычислять коэффициенты
этого ряда. В частности, легко проверить, что (ср, с (11,1))
v (и}~ — — 21_________21 .
-	2	8w3-г...,
v Ila-_	u , Tfl ,
-----4----“ +s?+--->	(12.10)
v3(u)~=	«* +
, vr+6?rt+6Mn+3TVr ,
+-----------ш------------+ • • •
Весьма важным фактом является наличие непосред-
ственной связи между коэффициентами асимптотических
рядов (12.2), (12.9) и (7.2):
«>0,	А>0.	(12.11)
Схематически эта связь представлена на рис. 38: в стро-
ках таблицы расположены коэффициенты разложений
функций Т”'!!*(5)> * = 1,2, ..., по степеням £ при J—►—0,
а столбцы таблицы содержат коэффициенты разложений
функций z0(u), vm(u)t m=l,2, по тем же степеням
и при и~►—оо (в скобках указаны соответствующие
степени).
*) При п — 0 формула (12.9) дает асимптотическое разложение
12.2) функции г0 (и) при и—-> — оо.
§ 12]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
95
Для доказательства формулы (12.9) достаточно более
подробно провести вычисления, с помощью которых была
	z0 (и)	1*1 (и)	f2 (w)	. . .	(и)	> . >
	Л-л” т ° (-1)	nJ 1 —=а* (0)	*1J	2 Y ~а° (i)		т — = (т-1)	* * 
П, ®	°	1 11 С4 О |d 5=* | ?-	21-а1 1 (-3)	-е I js ьэ| ЬЭ»Э Л	’1 1	°	-  .	<3	1 II	£ 5=* |	* г *
Чз (5)	-е | гз Wl© Cd т	” 1	Cl "4 Ю©	-е I ^3 со н>со II Т Su а>	"’lojtFw II _ о ьо М СП ***»•	• • 	-el “|5W 11 1 в 2 “3	
  •	• « 	•  •	• • •		. . -	•  «
(В)	0 (—ЗГ + 2)	л! V* (-ЗГ+3)	1 •=* Z.. Ь8 *-• +		«Г *т	т У1 (—3i + 2 + m)	♦ •* 
* 1 1	* » •	- ..	• • •		*  	*	 V
Рис. 38.
установлена лемма 5. Прежде всего убедимся, что вве-
денная в (10.11) функция имеет асимптотический
ряд (ср. с (11.3))
a(U)-=Ste-^u’U>
Л = о
Допустив справедливость разложения вида (12.9) для
функций цДи), ..., vn_i(«), легко проверить, что
J” Ql , V
L	(12.12)
i, + . . . +t‘v =1,	k = 0
где под ц, следует понимать функцию z0(u) с асимптоти-
ческим рядом (12.2). Теперь, исходя из самого определе-
ния (10.12) функции ип (и) и используя формулы (10.8),
96
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
(10.6) и (12.12), после элементарных выкладок найдем
асимптотический ряд для функции Фп (и) при и—>—оо,
а затем получим и разложение (12.9).
Равенство (12.11) при « = 0 и любом k^O непосред-
ственно вытекает из сравнения формул (7.3) и (12.3).
Для доказательства этого равенства в случае произволь-
ного п 1 необходимо воспользоваться общими рекур-
рентными формулами, т. е. подсчитать коэффициент т]*+1
при степени	в разложении функции т]А+1 (£) при
g—►—0, исходя из формулы (6.10), и коэффициент апк
при степени и~зк в разложении функции ип(и) при
и—►—оо, исходя из формул (10.12), (10.11), (10.8), (10.6).
Асимптотическое разложение функции vn (и) при
и -»4-оо имеет уже не степенную, а более сложную
структуру—оно содержит члены вида uAlnv«. Оказы-
вается, что для функции ип (и) справедливо следующее
разложение в асимптотический ряд*):
п	00
м«)+ - Е Е’ bk-4 “ + 6г.«<»>1п"
v — О Л- 3v+ I - п
где
если п 1 (mod 3),
если ц=1(шобЗ),
ц^О,
(12.13)
(12.14)
— целочисленная функция целочисленного аргумента (ее
график представлен на рис. 39). Для коэффициентов раз-
*) При п--0 формула (12.13) совпадает с асимптотическим раз-
ложением (12,5) функции vq (и) при и—►-Р00-
§ 12]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
97
ложения (12.13) можно получить рекуррентную формулу
весьма громоздкого вида. Существенно, однако, подчерк-
нуть, что эта формула позволяет последовательно вычи-
слять коэффициенты bk, v, если известна величина 0.
Что касается константы
^.о = Йл,	(12.15)
то она характеризует то специфическое свойство решения
vn(u), которое выделяет эту функцию из множества всех
решений n-го уравнения (10.9) (ср. с (12.7)). В частно-
сти, легко проверить, что (ср. с (11.2))
v1(u)^^lnu + Q1 + ^ + J^-+ 3Q1~2^ +
(“)+ = +
~,2	~,2
+ Л^ + а1ПЧ>±^+.-..	(12.16)
t>, (ц)+ = Ж- + Q" (6'ТЧ~ 1П u + Q3 +
I	о
I П (й2) — 2Yn)lnu I
+--------2й------
Для доказательства формулы (12.13) достаточно более
подробно провести вычисления, с помощью которых была
установлена лемма 5. Прежде всего убедимся, что функ-
ция оЯ(й) имеет асимптотический ряд (ср. с (11.4))
°0 +
Е. mt
k = 3 и
Допустив справедливость разложения вида (12.13) для
функций иДи), ..., y«-i(w), можно после элементарных
выкладок найти асимптотический ряд при и—► 4~оо для
выражения
,	2,	v((u) ... ti, (и),
G+...+fv=G	v
о
а затем, используя формулы (10.8) и (10.6), получить
разложение
« <»
V = 0 A=3v+2“rt
4 Е. Ф. Мищенко, Н, X. Розов
98
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
Формула (12.13) теперь следует непосредственно из опре-
деления (10.12) функции vn(u).
Обратим внимание еще на одно важное обстоятель-
ство. Очевидно, что функции vn(u), n^l, зависят от
конкретного вида системы (8.4) или, что то же самое,
уравнения (10.2). Однако характер этой зависимости
легко усматривается, если проанализировать структуру
формул (10.6). Именно, каждая функция vn(u), nj>l,
является линейной комбинацией некоторого числа уни-
версальных функций (не зависящих от конкретного вида
уравнения (10.2)) с коэффициентами, выражающимися
через значения функции -у (£, ц) и нескольких ее произ-
водных в начале координат. Например, можно проверить,
что
= (“)>
и
(12.17)
— со
Щ («) =	^2,1 («) + 7^2, 2 («) + Vi ^2.3 («),
где
и
v2il(a)==o^(u) у
— »
и
v2,2(u)==<^(u) J и0 (6)	,
— 00
и
V2,3(u) = ^(a) j	[*,(6)^-9] Л, •
— 00
Таким образом, для определения коэффициентов ряда
(10.4) нужно знать лишь значения функции ц) и ее
производных в начале координат и не требуется инте-
грировать невырожденную систему (8.4). Аналогичное
утверждение справедливо относительно констант (12.15).
§ 13. Регуляризация несобственных интегралов
В дальнейшем нам придется рассматривать интегралы
с переменным пределом интегрирования, принадлежащим
некоторому промежутку (отрезку или полуоси) с сингу-
§ 13 j РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	99
лярным концом, так что подынтегральная функция на
всем этом промежутке в обычном смысле не интегри-
руется. Для получения асимптотики таких интегралов
при приближении переменного предела интегрирования
к сингулярному концу промежутка необходимо ввести
обобщенные интегралы специального вида, т. е. опреде-
лить некую регуляризацию несобственных интегралов.
Используемый ниже метод регуляризации, основанный
на идее вычитания неинтегрируемых особенностей подын-
тегральной функции, восходит к Адамару (см. [1]).
Пусть h(x) £	[0, р], где р > 0 — фиксированное
число, и h (0)#=0, а п—некоторое натуральное число.
Найдем асимптотическое разложение при х—>4-0 функции
(13.1)
определенной, очевидно, при всех 0<х^р. Вычитая
из функции h (£) первые п членов ее разложения в ряд
Тейлора в нуле, можно переписать функцию (13.1) в виде
(0)
k\ (n—k —
n — 2
lnp+ S
&=0
h W (0)
kl (n—k— 1)
In.r
(n —1)1 in 
Первый из получившихся интегралов существует, а асимп-
тотическое разложение второго при х—>4~0 легко нахо-
дится. Поэтому функция (13.1) при х—>4-0 имеет
4*
100
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. h
следующий асимптотический ряд:
У Л<п + *-п (0) t (0)
X- (« + * —1)1* (n —1)! Ш*Т
A=l-n,	'
k 0
р
th®
о
где
Lh (х)
h (0) h' (0)
„ dx= I
хп ,1
о
h (0)	h' (0)
(л —l)p«-i l!(n — 2)р”-2
Хп	] 1 хп - 1
№ -1) (0) 1 ,
, --ПГ- ^Х—
(п — 1)! х J
(л-2)! р + (л-1)! 1П/?
(13.3)
о
р
— вполне определенная константа.
Соотношение (13.3) представляет собой определение
специального обобщенного интеграла по отрезку 0^х<Гр
от функции вида x~nh(x), не интегрируемой в обычном
смысле на этом отрезке.
Укажем некоторые свойства обобщенного интеграла
(13.3). Очевидно, что он является линейным функцио-
налом:
(-у)
хп
2
(х)‘
хт
dx = a1
dx.
(13.4)
Непосредственно проверяется равенство
р > 0, р* > 0. (13.5)
Если рассмотреть обобщенный в смысле (13.3) интеграл
с переменным верхним пределом, то из самого опре-
деления следует аналог формулы Ньютона — Лейбница:
=	0<х<р.	(13.6)
о
Формула (13.6) позволяет с помощью обобщенного инте-
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
101
грала записывать решение некоторых обыкновенных диф-
ференциальных уравнений с сингулярной правой частью.
Например, решением уравнения
3i=^r> Л (х) е С» [0, pL Л(0)#=0, (1з.7)
является функция
х
y = C+fy$dt, 0<х^р,	(13.8)
о
где С—произвольная постоянная. Отметим, что функ-
ция (13.8) не определена при х-~0 и неограниченно воз-
растает по абсолютной величине при х—*-|-0; ее асимп-
тотика при х—>4-0 определяется с помощью формулы
(13.3).
Понятие обобщенного интеграла распространяется на
функции более общего вида. Пусть f (х)	[0, р],
g(x)£O [0, р], причем f (0) =0= 0, a g (х) = xng1 (х), где
gi(x)^0 на отрезке О^х^р. Тогда естественно ввести
следующее определение:
р	р
U-^dx = k^dx, где h(x) = -^.	(13.9)
Jg(x)	J	хп	v	7	£1(х)	V	7
о	о
Правило преобразования обобщенного интеграла (13.3)
при бесконечно дифференцируемой замене переменной
интегрирования
х = ф(р); <р(0) = 0, <р((?) = р; <р'(р) > 0 для
(13.10)
дается формулой
Р	Q
J	Хп	J	ф“ (*/)
о	о
п
+ L ф* w (°)...............<13-11}
k=\ п к '
Интеграл в правой части формулы (13.11) понимается
в смысле (13.9), а ФДг,, ...,zft), k=l, ..., я,— неко-
торые универсальные функции, вид которых не зависит
102
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. II
ни от функции h(x), ни от чисел п и р, ни от замены
(13.10):
= 10 12,1,
__ Z2
“ 2zJ ’
_4z1z3—
—	24z{
(13.12)
Наметим доказательство формулы (13.11). Используя
определение (13.3), сделаем замену (13.10) в соответст-
вующем обычном интеграле:
dx =
а
J ф" (у)
о
n- 1
h (<P (У)) — 12 Tin ч>й	dy~
k-o
n — 2
V A(A) (0)
.	1пр.
— k — \)pn-k-i	(л —1)!
С другой стороны, в соответствии с (13.9), имеем:
1 МФ (У)) ч'(У) И1, =	(У) j.. _
J фй(у) У J Уп У
о	о
9	Г	л-1 , П
dy-
о	L	£=о
_ "у <°>	4- Ь'п-1>(0) ,п я
(n — k—	(Л—1)!	**
где
й (p) = ГМФ14О)Ф'Х0 .	(13ЛЗ)
ф« (у)	'	>
§ 13]
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
103
Поэтому
р
я
о
б
Фп (у) я! т » I
А-О
~ &<*) (0)
п - k -1 рп - А -1
л-2
№> (0)"
fa" h
41ji[А'"(0) In q— h,n~*>(0) Inp] =
=/мф(0>ф'(у)^ +
J ф (f/)	* 1
о
л- 2
	(0)
Л<*' (0)

фп“ A- 1 (6)
^4iji (0) In 6—/i”-1’ (0) In <p (6)] к
Далее следует воспользоваться соотношениями
А(0)
А'(0)
/»(0)
[ф'(0)]"-*’
Л'(0)
[ф'(0)]"-а
(П ^2 [ф' (О)р^ (0)’
A(«-i>(o) = /i(«-n (0),
получающимися последовательным дифференцированием
равенства (13.13). С их помощью нетрудно убедиться,
что предел, к которому мы пришли выше, существует
и равен внеинтегральному члену формулы (13.11). Как
общее соотношение, связывающее А(/г’(0) с /ц0), h' (0), ...
..., h{k} (0), так и выражения для функций ФА (г1э ..., zA),
fc=l, ii, могут быть получены с помощью форму-
лы для ^-й производной сложной функции (см., напри-
мер, [16]).
104
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
Если h(x)^C°°[—р, 0], где р > 0, и /i(0)=^0, то
аналогично (13.3) определяется
Lh(x),	С	ГН*)	А(0)	h'(Q)	hln-i4Q)i
J	J	L *"	хП	Ex'1-1	(n-l)!xj	Г
-p	-p
i (- Ijn-lft (0) t (_1)П-2Л'(0) ,	, (—1)Л<«-2> (0)
"T“ (n-l)c»-1 “Hl (n—2)p«-2 *“•••	(n-2)!p
(n — i)i (13.14)
используя этот обобщенный интеграл, не представляет
труда выписать для функции
х
-р
асимптотическое разложение при х —►—0 (подобное раз-
ложению (13.2)). Очевидным образом вводятся также
обобщенные интегралы
3
1 h(x)
J (х—а)п
а
dx,
h(x)
(х-Р)«
dx,
если h(x) £ С°° [а, 0] и /i(a)=#0 или /i(0)^O соответ-
ственно. Это в свою очередь позволяет производить в об-
общенном интеграле (13.3) (или (13.14)) бесконечно диф-
ференцируемую замену переменной интегрирования более
общего вида, чем (13.10). Так, правило преобразования
интеграла (13.3) при замене
х = Ч>(уУ ф(а) = 0, ф(0) = р; q/(y)y=0 (13.15)
дается формулой
р	3
£*(*)	£Нф(у))Ф#(у)
J Ф"(0 у
X
п
+ Еф* to' to).................ч>(М to)).
(13.16)
где ФА(гп ...,zft), k=l, ..., n,—те же функции, что
и в формуле (13.11) (см. (13.12)).
§ 131
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
105
Использованный прием определения обобщенного ин-
теграла путем вычитания неинтегрируемых особенностей
подынтегральной функции вполне применим и для более
широкого класса функций, обладающих особенностями
не степенного типа, а более сложного. Например, если
Л(х)€С* [0, р], где р > 0, и /i(0)#=0, а пи т—нату-
ральные числа, то по определению
Р
11п (х) fa =
J Xn
0
Р
Р In^x)
J хп~^
о
+ № (0)
v!
v=0
П-2
т
mlhW (0) inA р
1п«>+1р
v!fe! (л—V —pn-v-i ’ (п —1)1 (/п + 1)
Свойства этого обобщенного интеграла аналогичны свойст-
вам интеграла (13.3)
Наконец, можно естественным образом ввести понятие
обобщенного контурного интеграла
Ф/(х, у) dx +g (х, y)dy
Г
в случае, когда функции f(x, у) и g(x, у) бесконечно
дифференцируемы вдоль кривой Г всюду, кроме конечного
числа точек, в которых эти функции имеют степенные или
степенно-логарифмические особенности
До сих пор речь шла об обобщенных интегралах по
конечному отрезку интегрирования с одним сингулярным
концом. Покажем, как та же идея вычитания неинтегри-
руемых особенностей подынтегральной функции позволяет
в ряде случаев определять обобщенные интегралы и на
полуоси (сингулярность—в бесконечности).
Пусть функция h (х) £ С [0, оо) при больших положи-
тельных значениях аргумента раскладывается в асимпто-
тический ряд
ft(x) = a„x" + a„_1xn-l+ ... +а1х+а0 +++++ ... -
Л л
= £ -7Г-, X —+ оо. (13.18)
— п
106
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
Найдем асимптотическое разложение при х—°° функ-
ции
х
о
(13.19)
определенной, очевидно, при всех 0^х<оо. Полагая
при
при
О ^х < 1,
1	< оо,
перепишем функцию (13.19) в виде
f о
Д+(*)=| I
Первый из получившихся интегралов существует, а асимп-
тотическое разложение второго при х—> + оо легко нахо-
дится. Поэтому функция (13.19) при х—-*4“°° имеет сле-
дующий асимптотический ряд:
п
ks= о ~
+Ь ($)<%-£	*-н-оо,
о	*=2	'
(13.20)
§ И]
ПРИБЛИЖЕНИЯ В КОНЦЕ УЧАСТКА СРЫВА
107
где
Ф h (х) dx = I
о	о
h (х)—апхп— ... —агх—ай
(13.21)
— вполне определенная константа.
Соотношение (13.21) представляет собой определение
обобщенного интеграла по полуоси О^х < оо от функции
со степенным асимптотическим разложением (13.18) при
х —4- оо. Если речь идет о полуоси — оо < х 0, то роль
функции Д+ (х) играет функция
1 при —оо<х<1—1,
А (*) I 0 при — 1 < х 0.
Аналогично (13.21) вводится обобщенный интеграл по полу-
оси 0^х<оо от функции, асимптотическое разложение
которой при х—>-f-oo имеет степенно-логарифмический
характер (например, (12.13)).
§ 14. Асимптотические приближения траектории
в конце участка срыва
Как было доказано (см. (11.1), (11.2)), функции ц(и)
неограниченно возрастают (по абсолютной величине) и при
и—>—оо (для i=2, 3, ...), и при и—>+оо (для i = 1,2,...).
Именно этот факт не позволяет использовать ряд (10.4)
для получения асимптотических представлений траекто-
рии на всем участке срыва, т. е. при изменении пере-
менной на отрезке—q J q. Чтобы завершить по-
• строение асимптотических приближений участка срыва,
нам придется теперь привлечь уже не степенное, а более
сложное разложение—по величинам lnv (1/ц).
В § 6 указывалось, что уравнение участка срыва траек-
тории £е можно записать в виде (6.1), причем эта функция
является решением уравнения (6.2). Условимся вместо в
использовать параметр ц (см. (8.2)). Тогда функцию (6.1)
естественно обозначить через
»l = ’li(E> н) = ’ll (В, н’/т), —(14-1)
а уравнение, которому функция (14.1) удовлетворяет,
108
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. П
перепишется так (ср. с (10.3)):
„з У П)
(Н.2)
Используя уравнение (14.2),-будем искать асимптоти-
ческое разложение траектории £е в конце участка срыва —
на отрезке о2 g q, где о2 > 0—величина, малая вместе
с 8, т. е. о2—>0 при е—> 0. Иначе говоря, речь пойдет
об асимптотических приближениях функции
Л =’1г (£, н).
(14.3)
совпадающей с функцией (14.1) (и, следовательно, с (6.1))
на общем отрезке их определения.
Построим формальный ряд
оо л(п— 2)
1=1(1*	(14.4)
n=2	v = 0
так, чтобы он формально удовлетворял уравнению (14.2)
на промежутке 0 < g q изменения g. В § 16 выяснятся
соображения, по которым необходимо брать ряд именно
указанного вида,— такую структуру имеют асимптотичес-
кие приближения значения (а2, р) траектории $е в точке
g = a2, вычисленные по формулам § 10.
Коэффициенты этого ряда определим следующим обра-
зом. Подставим ряд (14.4) в уравнение (14.2) и его пра-
вую часть формально разложим в ряд по величинам
р'г lnv (1/р). Такое разложение удобно проводить с помощью
формулы
Y
/ _ Y (t 0)
CO
,2 + 2 р"г«
n= 1
00 n k
Е2
(k — m)!V", + 2
I k= I tn =0
 •^,(14.5)
1. > 1
}
вытекающей
краткости
^!=0,
из соотношений (3.7) и (6.7). Положив для
П (П-2)
№.«)= £ Uv(£)inv-y.
v»0
н>2, (14.6)
§ Hl
ПРИБЛИЖЕНИЯ В КОНЦЕ УЧАСТКА СРЫВА
109
и применив формулу (14.5), приравняем выражения, по-
лучающиеся в левой и правой частях уравнения (14.2)
при одинаковых степенях р:
u>;(g)=o,	^(5)=о,
W'nW =
п-3~|
у у (~i)"-tf-m,(to)
Ы ^*0 (*-/n)!V” + 2 ,.1 +
Е “’ч
, + ^ = п -3,
i. > 2
J
.. wi
к
Поскольку для функции (12.14) справедливо равенство
max (л(^— 2)+ ... + л(ц—2)} = л (п — 2) — 1,
^1+ ... + I £, = п — 3 ,
1. > 2, п > 5
(14.8)
нетрудно убедиться, что (см. (14.6))
Л (п - 2) - 1
у .witt = у n*a)inv7«
Г,+ ... +i’A = n-3,	v=-0
(14.9)
причем при любом п 5 функции k (5) выражаются
только через коэффициенты Ln, у(Ю> т^п—3. Из соот-
ношения (14.9) ясно, что правая часть л-го равенства (14.7)
при л^>5 является многочленом от 1п(1/р) степени
л (л— 2)—1 с коэффициентами, не зависящими от функ-
ций £л, v (5), V —0, 1, . ..,л(л—2). Теперь приравняем выра-
жения, стоящие слева и справа в каждом из соотноше-
ний (14.7) при одинаковых степенях In (1/р).
В результате указанных операций мы придем к равен-
ствам
е;..(?)=о; и.(1)=о.
£4. о (I) =“ 0* ^п. я (п—а> (£) = 0, Л 5,
(14.10)
г	/р\	у	У
<ьп,	Z-i	Zj	(Л —	^n,	Jfc(s).
Jk«s 1	m*0
n>5, v—0, 1,	n(n—2)—1.
но
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл/ II
Эти равенства представляют собой дифференциальные
уравнения с разделенными переменными, но, как правило,
с сингулярной при правой частью (уравнения типа,
например, (13.7)). Отметим, что ни для одного из урав-
нений (14.10) не указано никакого дополнительного усло-
вия, которое выделяло бы определенное решение. Поэтому
из уравнений (14.10) можно последовательно находить
коэффициенты £„iV (5), причем каждый из них определяется
с точностью до произвольной аддитивной константы (ср.
с (13.8)). Выберем в качестве Cn.v(^) такие функции:
Сз, о (£) — ^о, 0>
£з,. (S) = bi, I, £.,,(£) = bj,.+J	<10;
о
U.©=bJ,.;	(14.11)
Сп, л (n-2) (С) = ^0, л (п—в)» П 5,
Гп -3~[
f L 2 J ft	/0 Q)
Uv(5)=b?-+5> L E	e,
0 ft-1 m-0	' r
n^5, v = 0, 1, л(п—2)—1;
входящие сюда константы b$iV участвуют в асимптоти-
ческих разложениях (12.5), (12.13), а функции *(5)
последовательно определяются соотношением (14.9), При-
чины, по которым необходимо выбирать коэффициенты
Сл, V(C) именно указанным способом, выяснятся в § 16.
Используя результаты § 13, легко проверить, [что
функции Сл, v (5) определены и являются гладкими Гна
полуинтервале 0 < ? изменения |. Подчеркнем, что
каждая из этих функций эффективно вычисляется только
через значения функции у (С, т]) и нескольких ее произ-
водных на участке	кривой (5.9).
В §§ 15, 16 мы убедимся, что частичная сумма по-
строенного ряда (14.4)
Л n(ft-2)	.
z„(5,	|*)=2>* 2	?о(5)1п^	(14.12)
Ь2 v = o	И
является при в —► 0 асимптотическим приближением
§ \15]	СВЯЗЬ С ИСТИННЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ
учс^тка (14.3) траектории &8:
111
nJ (L ц) =
О(^),
Za© р,) + 0(8*~Ч
Z,G, |x)+o(eml”
Zaz.+3(5, |i) + o(e"^’’'!<'V‘+2))

где N —произвольное натуральное число, a
(14.13)
а2 = вЧ 0 < 2l2 < 1/3.	04.14)
§ 15. Связь асимптотических приближений
с истинными траекториями
в конце участка срыва
Лемма 8. Для любого п = 2, 3, ... и любого
v = 0, 1, ..., л(п—2) найдется такая константа Мп, v > О,
что имеют место неравенства
| л (п — 2) (В) |	-44п. л (п — 2)»

|^-2-4n.v©K^.v,
v = 0, 1, .... л(л—2) —1, 0 <
v = 0, 1, ..., л(п—2)—1, О<5<«7.
Если воспользоваться формулами (14.9) — (14.11),
свойствами обобщенного интеграла (см. § 13) и тем фактом,
что функция у© ц) и ее производные ограничены в об-
ласти ‘U, то по индукции доказывается оценка (15.2),
а затем и неравенства (15.1). Отметим, что все функции
Zn, л(п-2) (5)» п^2, являются константами.
Более подробные вычисления позволяют убедиться,
что функция £n, v© при любом натуральном п ^2 и лю-
бом v = 0, 1, .... л(п—2) имеет асимптотический ряд
Л(п—2)—V — 1 оо
Uv(E)= 2	2	£Ш‘1пх5+
И=0	А=2-П+К4V
Е—+0, (15.3)
112
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл/П
причем можно получить рекуррентную формулу весьма
громоздкого вида для последовательного отыскания крэф-
фициентов Так как, в частности,
to. о ^о.о,	G-1.0- Л	(15 4)
/•«.О	__71 — 4/ ?2. OJ-n-2, 0 1 _L V4 f*+2, 0 5-Л-Х-2, 0 )	„ \ A
Ъ2—n, 0	n 2 \ ’°’ 0b4— n, or 2 ^-rf 0 bX+4— П, 0 h	П,
'	K— 1	/
то ясно, что функции g„.0(g), rt^5, при 5—>4-0 стре-
мятся либо к 4"оо> либо к —оо, в зависимости от
значения п. В общем случае функции £rt> V(J),
/7. >; 5, v^n,(n — 2), при £—>4-0 также стремятся либо
к 4-оо, либо к —оо, в зависимости от значений п и v.
15]
СВЯЗЬ С ИСТИННЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ
113
(15.5)
\ Весьма важным фактом является наличие непосредст-
венной связи между коэффициентами асимптотических
рядов (15.3) и (12.13):
ГП, V_ Г'У fan+k~2
X — v'v+XL/-&, v+x>
n = 3, 5, 6, ..., v = 0, 1, ..., л (n—2)— 1,
x = 0, 1, ...,л(п—2)—1—v, k~^2—
УП. V	_ pv	hn~2
Ъ0, Л (.n—ii—V '-'Л (П—2)и0, Л (П—2)»
n^2, V = 0, 1, .... л(/1— !
Схематически эта связь представлена на рис, 40. Точками
изображены коэффициенты b%tV при членах вида u“Alnvu,
присутствующих в асимптотических разложениях при
и—>4-оо функций y0(u), Vj (u), v2(u), • • •• Ломаные (кру-
жочки) проведены через те из этих коэффициентов, кото-
рые входят в асимптотическое разложение при £—> -О
соответствующей функции tm>x(£), причем входят как
коэффициенты при членах вида lnv 5 (биномиальные
коэффициенты, фигурирующие в формулах (15.5), в схеме
не учтены). Для доказательства равенств (15.5) необхо-
димо воспользоваться общими рекуррентными формулами
(ср., например, (15.4) и (12.6)).
Лемма 9. Пусть
«г
п + 1	Л(П-1)-1 ’
— Г______L |1П + 1
п-1 Г н
а2
£/е
. 0n“v
v = 0	аа
lnv—, /1 = 2,4,5
ji *	’	’
5
ц5 . .С
ТЗ- + Н5
°2 J
а2
При достаточно малых в существует такая константа
Сп > 0, что производная в силу уравнения (14.2) положи-
тельна в каждой точке кривой
ЭМЕ, п) = п—(s, u) + C„F„ (I, H. a2) = 0,
(15.6)
и отрицательна в каждой точке кривой
9£s(£,	10—Ц. =
(15.7)
Доказательство леммы проведем в предположении, что
в случае /г = 3 рассуждения изменяются несущест-
114
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
венно. Производная в силу уравнения (14.2) в произ-
вольной точке кривой (15.6) при и^З равна 
dl
,, з Т Z„fc Р) (^» Р> ^г)) _____
(14.2) И l2 + z„(|, р)-СЛ(£, и, а2)
Л (п — 1)- 1
Р) | С ..л + 1 у 1 Тпу 1
dl	£"-vin p •
Найдем доминирующий член этого выражения при доста-
точно малых е, считая, что ст2 q, где о2-^е7-2,
0<Х2< 1/3 (см. (14.14)).
Привлекая соотношения (15.1) и очевидное для доста-
точно малых е неравенство
rt +1
0<F„(5. И. с2)<2-^Г,
<т2
п=/=3,
получаем
и3 У Zn (^, р) —(^, р, а2)) __
И £2+ZnG, р)-СЛ(£, р, а2)
= и’wb(Hr+O(tl'1+4’^('!+3)); (15’8)
оценка остаточного члена в этой формуле равномерна на
отрезке	q. Далее из самого процесса построения
функций v(£) (см. (14.6), (14.7)) и формулы (14.5)
следует
din (Е, Р) _,,з у(Е, Z„(E, р)) 
Р)
—^р.',+,т'„+1 + 0(ц"+2-3>-<"+'>).	(15.9)
Для оценки остаточного члена в формуле (15.9) исполь-
зуется неравенство
d „	v рп
W*	о""1 ’
К = const, о2 q, п = 2, 4, 5, . ..,
справедливость которого при достаточно малых 8 уста-
навливается с помощью соотношений (15.2); легко убе-
диться, что этот остаточный член на отрезке
строго более высокого порядка малости при 8—>0, чем
второй выписанный член правой части.
15]
СВЯЗЬ С ИСТИННЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ
115
Равенства (15.8), (15.9) и тот факт, что &+1, я(п_п (5) — О
(см. (14.10)), позволяют утверждать, что
Л {П- 1)-1
?*|(и.в=р"+1 Е ^«+^©+с„]1п’±+
-р О (|1л + 2“3^2 <л+ D), /2=^=3.
Если 0 < Х2 < 1/3, то при достаточно малых е выписан-
ный в правой части член является доминирующим. В силу
неравенства (15.2) при достаточно большой константе
Сп > 0 он будет строго положительным на всем отрезке
Следовательно, утверждение леммы для кри-
вой (15.6) доказано. Для кривой (15.7) рассуждения
проводятся аналогично.
Из леммы 9 непосредственно вытекает следующее
утверждение о возможности асимптотического приближе-
ния отрезков траекторий системы (5.6) частичными сум-
мами ряда (14.4).
Теорема V. Пусть —произвольное число, подчи-
ненное неравенству 0 < 12 < 1/3, функция (В» ц), п 2,
определена формулой (14.12), а ,п = 'П*(£> н)—решение
уравнения (14.2) с начальным значением при 1 = в2, о2 = еЧ
удовлетворяющим для достаточно малых е условию
H)-Z„(a2, Н)1<С-^-, п^З, С>0, (15.10)
Па
или (при /2=3)
|Ч*(а2> |x)-Z,(a2> |х)|<С('ц4+-4-'), С > 0.
\ аз /
Тогда при достаточно малых 8 это решение определено
на всем отрезке о2^В^?, Я =const >0, и представимо
в виде
T1*(J, p) = Zn(S, +	(В, е),
причем равномерно на отрезке оа В Я
п+1 . ,
f-t з	О
С„е 3
при п^З,
Сп = const > 0.
при п = 3,
116
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
§ 16. Доказательство асимптотических представлений
участка срыва
В теоремах III—V указаны асимптотические пред-
ставления участков траекторий системы (5.6), соответст-
вующих различным частям отрезка —изменения
переменной £, в предположении, что начальная точка
каждого из этих участков удовлетворяет определенному
условию. Сейчас мы покажем, что полученные результаты
можно согласовать между собой так, чтобы построить
асимптотическое приближение участка срыва траектории
£е с наперед заданной точностью—до величин порядка
малости не ниже еа, а > 0, при 8—^0 равномерно на всем
этом участке.
Допустим сначала, что характеризующее желаемую
точность число а > 4/3.
Начнем с построения асимптотического приближения
функции (10.15) на отрезке —0; эта функция
описывает траекторию д£с в левосторонней малой вместе
с 8 окрестности точки срыва. Из соотношений (10.16),
(10.18) видно, что равномерно на отрезке —с^^З^О
будет обеспечена желаемая точность, если числа и на-
туральное N2 выбрать так, чтобы удовлетворялись нера-
венства
0 <М<1/3,	l+\.V2>a.	(16.1)
Далее для построения асимптотического приближения
функции (6.5), описывающей траекторию в начале
участка срыва, воспользуемся соотношениями (6.12), (6.13).
Ясно, что равномерно на отрезке ——ох будет
обеспечена желаемая точность, если натуральное число
выбрать так, чтобы удовлетворялось неравенство
N, —\ (ЗА\—2) > 1 {-	(16.2)
В силу теоремы III искомое асимптотическое пред-
ставление функции (6.5) возможно, если для нее в точке
5 — —q = const, выполнено условие (7.9) при n = Nl—1.
Однако, как было выяснено в § 7, для функции (6.5)
условие (7.9) действительно выполняется при любом
целом п^О.
В силу теоремы IV искомое асимптотическое представ-
ление функции (10.15) на отрезке —возможно,
если для нее в точке £ = — ot выполнено условие (11.18)
§ ^6] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 117
при n--- N2. Так как для функций (6.5) и (10.15), описы-
вающих последовательные участки траектории £е, имеет
место равенство f)*(—ai»>) = 11fc(—е)» то необходимое
для проверки условия (11.18) значение r|£(—'Olt |i) можно
вычислить, используя уже доказанное асимптотическое
представление (6.12) функции (6.5). Привлекая разложе-
ние (7.2) и учитывая неравенство (16.2), получим
п«(—=	»1, е)= 2	а1) + 0(еа, *) =
т = о
= — о?+ Е Е <-з-^Гт + 0(еа"!). (16.3)
Для фигурирующей в условии (11.18) величины
Н®Уу,(— ц) с помощью разложений (12.2), (12.9)
находим
а2 J г-з?:; J	т
= -^+Ё Е - Т“вт-15^=*=-!+О(еа?'’)-(16-4)
А=0 т=I	1
Поменяв в формуле (16.4) порядок суммирования и срав-
нивая ее с формулой (16.3) с учетом соотношения (12.11),
убеждаемся, что условие (11.18) действительно выпол-
няется.
Перейдем к построению асимптотического приближе-
ния функции (14.3), описывающей траекторию Хе в конце
участка срыва. Из соотношений (14_.13), (14.14) очевидно,
что равномерно на отрезке	будет обеспечена
желаемая точность, если числа %2 и натуральное jV4 вы-
брать так, чтобы удовлетворились неравенства
0<Х,<-’-, ^-%,(^+2)>а.	(16.5)
Наконец, проведем построение асимптотического при-
ближения функции (10.15) на отрезке 0^J^o2; эта
функция описывает траекторию в правосторонней ма-
лой вместе с е окрестности точки срыва. Соотношения
118	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ [ГЛ. II
(10.17), (10.18) показывают, что равномерно на отрезке
0	| ^а2 будет обеспечена желаемая точность, если нату*
ральное число V3 выбрать так, чтобы удовлетворялось
неравенство
1+ЧЛГ,>^-МЛГ4+2).	(16.6)
В силу теоремы IV искомое асимптотическое представ-
ление функции (10.15) на отрезке 0^g^o2 возможно,
если числа V2 и V3 дополнительно удовлетворяют нера-
венству
V2>V3.	(16.7)
В силу теоремы V искомое асимптотическое представ-
ление функции (14.3) возможно, если для нее в"точке
£ = <у2 выполнено условие (15.10) при n = V4+3. Так как
для функций (10.15) и (14.3), описывающих последова-
тельные участки траектории д£е, имеет место равенство
т|®(о2, И) =ТН(°2» н)> то необходимое для проверки усло-
вия (15.10) значение т]£(о2, ц) можно вычислить, исполь-
зуя уже доказанное асимптотическое представление (10.17)
функции (10.15). Привлекая разложение (12.13) и Счи-
тывая неравенство (16.6), получим
Пг (<*2> Ю =
т=0
ЛГ3 т	4 4* 3
т = 0V—0 k~3v + 3
A^s + 2	✓ м
+ s	v+О (^
Jfe = 2	4 2
\	Zii^*+4
'	4 2
k-m-z,v а|_т-з1П ц
N 4 + 3	2)-l
ft = 2	V x = 0
"jt(A-2)-1 /V,
v=x m=v	2
АЙ-2
„ Ч ^О.ЖА—2)
Г*

(1|Л^ 4+ <\
fer)- (16-8)
2 z
Для фигурирующей в условии (15.10) величины Zw4+3 (о2, ц)
§ 16] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 119
с помощью разложения (15.3) находим:
N« + 3 n(k- 2)
Z^+3((Ta, н) = Si1* S	=
ft = 2	x = 0	r1
A^4+3 n(k- 2)
= Eh* L 1п*1Г
ft=2 x = 0
”Jt(ft-2)-x- 1
v-0
/Vs + 2- k
E
m=2—k+v+n
ЙйдГШ’а, +
1
O.n(.k—2)—X
In"*-2’-*^ +o
(jN4+2
Сравнивая формулы (16.8) и (16.9) с учетом соотношений
(15.5) и (14.11), убеждаемся, что условие (15.10) дейст-
вительно выполняется.
Непосредственно видно, что при любом а > 4/3 числа
7=1» •••>4, можно выбрать в соответствии с
неравенствами (16.1), (16.2), (16.5)—(16.7) и, таким об-
разом, получить асимптотическое приближение участка
срыва (6.1) траектории с наперед заданной точностью.
Например, взяв
\ = Ч=1/7, Л/х-3, У2 = У3 = 7, ЛГ4—5,
мы придем к формуле, дающей асимптотическое прибли-
жение участка срыва с точностью до малых порядка не
ниже е2. Более того, для такого выбора имеется довольно
много возможностей, что позволяет в каждом конкретном
случае подыскивать наиболее удобную формулу.
С помощью младших приближений, указанных в соот-
ношениях (6.12), (10.16), (10.17), (14.13), удается построить
и такие асимптотические представления участка срыва
(6.1), в которых характеризующее желаемую точность
число а ^4/3. Простейшая из этих формул имеет вид
пИЕ, е)=
-ЕЧ-0 (е*'8),
0(е2^),
(16.10)
Отсюда вытекает, что кривая (5.9)—-участок траекто-
рии —служит нулевым приближением рассматривае-
мого участка срыва траектории £в. Большую точность
120
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. II
доставляет формула (см. (14.11) и (12.7))
- 5’+ 81)1 (5)+ 0(8’).
М5>е) = <
-g2+|l% (4')+0(8-).
кг/
НЧ(^-)+О(е“),
—е1/1 < £ < О,
ОСКе1-».
Q0H» + O(e“),
(16.11)
где а—произвольное число, подчиненное условию2/3<а< 1.
Она, в частности, показывает, что в непосредственной
близости от точки срыва траектории $е отклоняется от
траектории на величину более низкого порядка ма-
лости, чем е. Например, при £ = 0 из (16.11) получаем
т]г (0, е) = (0) у2/3Е®/3+О (еа), 2/3 < а < 1.
Приведем также следующую формулу:
ML е) =
По (L+ 811! ©+ 0(8*»),
РЧ (£) + НЧ (7 ) + нЧ (7) +
+ нЧ(4')+°(е‘/3)- -e^C^eV’,
\ г* /
L.o© И2 +?з.1©1131п^ +
Г
+ £з,о(5)Н3 + 0(е4/3),
(16.12)
ее легко конкретизировать, используя выражения для
входящих сюда коэффициентов (см. (5.9), (6.9), (12.17),
(14.11)). Отметим, что доказательство формулы (16.12)
можно провести и без привлечения общих соотношений
(12.11), (15.5) — достаточно сослаться на равенства (6.9),
(6.10), (12.1), (12.4), (12.8), (12.10), (12.16), (14.11).
Теорема VI. При достаточно малых е для участка
срыва траектории lje, лежащего в окрестности точки
срыва S, справедливо асимптотическое представление с
равномерной точностью до малых порядка не ниже е°,
где а > 0 — произвольное число. При 0 < а ^2/3 достаточно
взять нулевое приближение (16.10); при 2/3<а^4/3
можно использовать формулы (16.11) или (16.12); при
§17] ПРИБЛИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ БЫСТРОГО ДВИЖЕНИЯ
121
а > 4/3 искомое асимптотическое представление описы-
вается соотношениями (6.12), (6.13), (10,16)—(10,18),
(14.13), (14.14), в которых числа Х2, Nlt N2, N3i
необходимо подобрать в соответствии с неравенствами
(16.1), (16.2), (16.5)—(16.7). Затем следует сделать пре-
образование координат (5.3). Для нахождения коэффици-
ентов указанного асимптотического представления не тре-
буется интегрировать невырожденную систему (1.1).
§ 17. Асимптотические приближения траектории
на участке быстрого движения
Рассмотрим участок быстрого движения SP траекто-
рии £0; здесь S(sn s2)—точка срыва, a P(plt р2)—сле-
дующая за ней точка падения, лежащая на некотором
устойчивом участке х~х0(у) кривой Г (рис. 41; анало-
гичная картина имеет место и при других типах точки
срыва S, изображенных на рис. 26, 27). Тогда, очевидно,
выполнены соотношения
ра = s2, sign f"x (5) < Pi sign f"x (5).
На горизонтальном отрезке SP возьмем точку Q+ (р+, q%)
в соответствии со сказанным в § 5 и точку Р° (р?, р°), от-
стоящую на малое конечное расстояние от точки паде-
ния Р. Уравнение участка Q+P° траектории можно
записать в виде
y = s2, sign/;(S)<xsign/J(S)^p?sign/J(S). (17.1)
Так как отрезок (17.1) не пересекается с кривой Г,
то существует такая конечная окрестность U& этого от-
резка:
Я1 sign /; (3) х sign /; (3) р? sign /; (5), | у—s21 <6|х—s21
(см. рис. 41), которая целиком лежит в области притя-
жения устойчивого участка х = х„(у) и в каждой точке
которой имеет место неравенство
|/(х,р)|>£>0.	(17.2)
Так как при достаточно малых 8 траектория $в близка к
траектории (см, § 2 и рис. 30), то траектория ^вхо-
дит в область Uь через участок х = дг = Si 4- psign f" (s\
границы и покидает эту область через участок x = p°t
122
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
границы. Отрезок траектории $Е, лежащий в области Uq,
назовем участком быстрого движения.
Пусть D(q+,d)—точка пересечения траектории с
прямой x = q+, лежащая на границе области Ub (см. рис. 35;
ср. с рис. 41). Так как эта точка—начальная точка
Рис. 41.
участка быстрого движения—является одновременно ко-
нечной для предшествующего участка срыва, то согласно
(14.3), (8.2) и (5.3) имеем
d = s3 + r]t y1/3e1/3)signg-(S).
Выписывая формальное значение ряда (14.4) при % = q и
возвращаясь от параметра р к параметру 8, придем к раз-
ложению
d =—	-j~
а>	Я(/1-2)
1	1	1 1Х
In----lnv	=
е г
оо	Л(л—2)
= s2+J>»'3 SX.vln’y. (17.3)
/1 = 2	v=0
коэффициенты которого вычисляются по формуле
л (п — 2)
dn,v = signg(S) £	1 &-VCx- Y"/8	X (?) (17.4)
о**
x = v
В силу неравенства (17.2) вдоль участка быстрого
движения траектории координата х с течением вре-
мени t меняется монотонно. Поэтому уравнение такого
4-signg-(S) ^7»/зе»л £ £я>н(17)(у Г
§ 17] ПРИБЛИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ БЫСТРОГО ДВИЖЕНИЯ 123
участка можно записать в виде
У=У1(Х, е),
qt Sign f~ (S) ^x sign f’ (S)<p° sign f'x (S),
принимая за независимую переменную координату х. Ясно,
что функция (17.5) является решением эквивалентного
системе (1.1) уравнения
^=е*-&4=й(;с, у)	(17.6)
dx f (х, у) 4 ’ 31	’
с гладкой правой частью и удовлетворяет условию
У^, =	(17.7)
Используя уравнение (17.6) и условие (17.7), мы будем
искать асимптотическое разложение участка быстрого
движения (17.5).
Построим формальный ряд
со	я(п-2)
у=Х'е"'3 Z	(17.8)
n=0	v=0
так, чтобы он формально удовлетворял уравнению (17.6)
на интервале изменения х между и рг и условию (17.7).
Подставив ряд (17.8) в уравнение (17.6) и формально
разложив его правую часть в ряд по величинам гп^9 lnv(l/e),
приравняем выражения, стоящие слева и справа при оди-
наковых степенях е, а затем — при одинаковых степенях
In (1/е) (ср, с § 14). В результате придем к равенствам
Уо, о (*) = 0; о (х) = 0;
у'з, 1W = о, у',. „ (х)=А (х, уа,„ (%)); у',. „ (х) = 0;
//л, Я (Л—2) (^) = 0» ft 5,
(х „ /м.	(И.9)
у'п,лх)= Е у ( ’Лм( ?- Пл(л.
А=1
v = 0, 1, ..., л(п—2) — 1,
где W%tk(x)—функции, вводимые с помощью соотношений
124
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
||'Л, If
(см. (14.8))
rn(G-2)	л(‘л“2)
Е Е </>. v,(x)ln'4-’ 11 У1* vs(*)lnV*4- --=
^ + ... + 1л= L vt=0	vA=0	J
= га-3,
(/>2
л(га-2)-1
= L n4Winv4. «>5'	<17Л°)
v=0
Из соотношений (17.10) ясно, что при любом п>5
функции (х) выражаются только через коэффициенты
Ут,у(х), т^п—3. Поэтому равенства (17.9) представляют
собой дифференциальные уравнения с разделенными пере-
менными. Подставив ряд (17.8) в соотношение (17.7), (17.3)
и приравняв выражения при одинаковых величинах
e«/’lnv(l/e), придем к равенствам
//о,0 (?1) = S2>	/1'7 11\
yn,v(qt) = dnrV, n>2, v = 0, 1, ..., л(п—2). 1	;
Уравнения (17.9) вместе с соответствующими начальными
условиями (17.11) однозначно последовательно определяют
коэффициенты уп.у(х):
00 s2,
//2,0 (%) ~ ^2’0»
Уза (%) — ^з,и
X
Уз,0 (^) = ^3,0 “И (^> S2) dz,
У*,0 00 ^4,0’
Уп, л (га-2) (х) = dnt л (п-2)»
Г п~з~|
Уп.V« = d„,V +	£ - 4,
Л=1
л
v = 0, 1, ...,л(п—2) —1.
Из полученных формул непосредственно видно, что
функции уп, v (я) определены и являются гладкими при
изменении х на интервале между и р:. Подчеркнем,
§ 17] ПРИБЛИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ БЫСТРОГО ДВИЖЕНИЯ 125
что каждая из этих функций эффективно вычисляется
только через значения правых частей системы (1.1) и
нескольких их производных на участке SP траектории £0.
Конечно, все эти функции можно рассматривать и на
отрезке изменения х между и pj.
В § 18 мы убедимся, что частичная сумма построен-
ного ряда (17.8)
п	n(k-2)
Y„(x, е) = £* *'« X ^.vWln’y <17-13)
А = 0	v=0
является при е -► 0 асимптотическим приближением
участка быстрого движения (17.5) траектории £е:
р2 + О(Е^з),
Рг(х, е)= <	/	1 \
Улг-нИх, е) + О( е з
'	4	' (17.14)
sign /; (S) < x sign/; (S)< p“ sign /; (5),
где N—произвольное натуральное число. В частности,
отсюда видно, что участок (17.1) траектории $0 служит
нулевым приближением рассматриваемого участка быст-
рого движения траектории £е. Используя соотношения
(17.12), (17.4) и (14.11), можно указать и приближения
более высокого порядка, например:
+ 68. „у*/3 sign g (S) е2/3 + ЭД. ,7 sign g (S) e In 1 +
+ ( —	i?ln Т + ЭД.оу) signg(S) e-|-
+ signg(S)|^°l.d0+ j	dz e + O(E*/3>,
°	J (Г
41 sign /; (S) < x sign /; (S) < p° sign/; (S).
Так как 0 > 0 (cm. (12.7), (9.9)), то из формулы (17.15)
легко заключить, что участок быстрого движения (17.5)
траектории %ъне пересекает отрезка Q+P° траектории 5?0
и расположен всюду выше этого отрезка, если g(S)>0,
и всюду ниже него, если g(S) < 0 (ср. с § 5).
126
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
(гл. h
§ 18. Доказательство асимптотических представлений
участка быстрого движения
Установим справедливость асимптотической формулы
(17.14) для участка быстрого движения (17.5) траекто-
рии &8.
Лемма 10. Если точки Q+ и Р° на отрезке SP фи-
ксированы, то для любого п = 2,3, ... и любого v =
= 0, 1, ..., л (п—2) найдется такая константа Mnt v > 0,
что имеют место неравенства
| Уп, V (-Я) I M-n, I Уп, V (я) j ^п, v>
Sign /; (S) < X sign fl (S) < pl sign (S).
(18.1)
Доказательство проводится по индукции с помощью
формул (17.12), (17.9), неравенства (17.2) и того факта,
что функции /(х, //), g(x, у) и их производные ограни-
чены в области Ub- Отметим, что все функции уп, Я(П-г)(х),
п^2, являются константами.
Лемма 11. Пусть
С	—	1
Fn(x, e) = Jf(z, s2)dze 3 In11*"-1)-,
Si
1.
П
При достаточно малых £ существует такая константа
что производная в силу системы (1.1) положи-
тельна в каждой точке кривой
Xt(x, y)=y—Ya(x, e) + CnF„(x, е) = 0,
9i sign fl ($) < х sign fJ (S) С Pl sign fl (5),
и отрицательна в каждой точке кривой
%\(х> У')^У—У„(х, e)—C„F„(x, е) = 0,
9i sign fl (S) < x sign f"x (S) < pl sign f"x (5).
Допустим, что n^4; в остальных случаях рассуж-
дения изменяются несущественно. Производная в силу
системы (1.1) в произвольной точке кривой З^Дх, у)=®
§ 18] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 127
равна
dt (id
dy
dt (1.1)
__dYn (х, f.) dx p dFn(x, 8) dx
dx dt (i.i) "T" ” dx dt
(i-i)
=	y»(x. ^)—C»F„(x, eme£(x, Y„(x, e)—
—C„F„(x, E))-^i±) + c„f (x, sa)e"’1 ln»«—>1
Привлекая неравенства (18.1), получаем
f(x, Y„(x, s)—C„Fn(x, s)) = f(x, s2) + 0(8a^),
й (x, Yn (x, 8) CnFn (X, 8)) =
= A(x, Yn (x, e)) + o(e 3 1пл<л-1)у
a из самого процесса построения функций уПг v (х) (см. (17.9))
следует
(х’ £) = ей(х, Y„(xt 8)) + о( е~ 1пл(п-1)-11),
ах	s /
Таким образом, можно утверждать, что
d&r
dt
п - г	[ п - г
^C„f2(x, s^e—ln^-^+ot е~ 1п7Т^-1>’1у
п
и, следовательно, рассматриваемая производная строго
положительна при достаточно малых е. Заметим еще, что
функции Fn (х, е), п = 0, 2, 3, . .., строго положительны
на всем отрезке изменения х между и р£.
Возьмем теперь на участке быстрого движения SP
траектории 5£0 точки Q+ и Р° в соответствии со сказан-
ным в § 17. Из леммы 11 непосредственно вытекает сле-
дующее утверждение.
Теорема VII. Пусть S (slt s2) —точка срыва кривой Г,
функция Yn(xy е), n^l, определена формулой (17.13), а
у=у (х, е)—решение уравнения (17.6) с начальным значе-
нием при x = s1-F psjgn f"(S) = qJ, удовлетворяющим для
128
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ, II
достаточно малых 8 условию
П+1	1
\y(qt, *)~Y»(qX, е) | < Се » In’H'-ol, С > 0. (18.2)
О
Тогда при достаточно малых 8 это решение определено
на всем отрезке
qt Sign /; (S)	х sign f’x (S) < Pl sign (S)	(18.3)
и представимо в виде
у(х, e,) = Y„(x, e) + ®„(x, е),
<?? sign f ’ (S) C x sign f~x (S)	p" sign f'x (S),
причем равномерно на отрезке (18.3)
|fR„(x, e) I < С„8 8 In”!"-1) —, C„ = const>0.
s
Функция (17.5), описывающая участок быстрого дви-
жения траектории 5Ге, при любом целом п 1 удовлет-
воряет условию (18.2), что ясно из выбора начальных
условий (17.11). Поэтому теорема VII применима для
получения асимптотических приближений участка быстрого
движения траектории £в. Тем самым формула (17.14)
доказана.
Очевидно, что формула (17.14) дает возможность при-
ближенно вычислять участок быстрого движения траек-
тории $е с произвольной степенью точности. Однако
соответствующий результат удобнее сформулировать, если
вместо функций (17.13) рассмотреть частичные суммы
построенного ряда (17.8) несколько иного вида:
У„ (х, е) =
п - I Л (А - 2)	Л (п -2)
У *£A/S X	+	V (х) lnv-i- .
А = 0	v = 0	v= I
Оказывается, что справедливо следующее асимптотическое
представление участка быстрого движения (17.5) траек-
тории
/ 2V+ 1 х
^з-(х, e) = YN + } (л, е)4-О\е 3 ),
qt sign f"x (S) < % sign f~x (S)<p{ sign fx (S),
где N—произвольное натуральное число. Доказательство
§ 19] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ УЧАСТКА ПАДЕНИЯ 129
этого утверждения получается с помощью рассуждений,
совершенно аналогичных проведенным выше.
Теорема VIII. При достаточно малых е для участка
быстрого движения (17.5) траектории справедливо
асимптотическое представление
Ух (х, 8) = У]3а+! ] (х, е) + О (е«),
Qi sign Г* ($) <х sign fx(3) < р? sign f’ (3),
где a ^2/3—произвольное число; при 0 < а < 2/3 можно
использовать нулевое приближение. Для нахождения функ-
ции У]за+1](х, е) не требуется интегрировать невырож-
денную систему (1.1).
§ 19. Специальные переменные для участка падения
Из формул (17.12) видно, что функции //„v(x),
п = 3,5, 6, ..., v —О, 1, . ..,л(п—2) — 1, неограниченно
возрастают (по абсолютной величине) при х—> pt. Поэтому
ряд (17.8) уже нельзя рассматривать в качестве асимп-
тотического разложения траектории £е на всем отрезке
изменения переменной х между точками qf и рг. Для
построения асимптотических приближений участка тра-
ектории 5g, лежащего вблизи точки падения P(plt р2),
потребуется использовать новые специальные переменные.
Пусть следующий за участком быстрого движения SP
участок медленного движения траектории 50 лежит на
устойчивом участке х х0 (у) кривой Г (рис. 42, 43; ана-
логичная картина имеет место и при других типах точки
срыва S, изображенных на рис. 26, 27). Обозначим через
*$($!, s2) точку срыва, граничную для участка х = х0(у),
а через S* (sj, sj) — вторую граничную точку этого участка
(ср. с § 3). Тогда, очевидно, выполнены соотношения
p2=s2, sJsigng(P) < p2signg(P)< s2signg(P),
sign g(P) = sign g(S).
Рассмотрим малую конечную окрестность Up точки
падения Р\
Pl % Pl "4~ ’ Pi ^2 У Pi "Т ^2»
которая целиком лежит в области притяжения устойчивого
5 Е. Ф. Мищенко. Н. X. Розов
130
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 11
Рис. 42.
Рис. 43.
§ 19] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ УЧАСТКА ПАДЕНИЯ 131
участка х = х0(у) и в каждой точке которой имеет
место неравенство
|g(x, у)\>k > 0.	(19.1)
Далее, в силу устойчивости участка х = х0(у) вдоль его
любого отрезка выполнено условие f'x (х0 (//), #)<—k < 0;
х. о этом у можно предполагать, что в области U р справед-
лива оценка
fx(xt у)
. g(x, у)
/ (х, У) gx (X, у)
g2(x, У)
signg(P)^—k < 0. (19.2)
Наконец, будем считать, что кривая х — хй(у) пересе-
кается именно с горизонтальными участками у = р*— 62
и У = Ръ-\~$ъ границы области Up в точках Р~г и Р+1
соответственно (см. рис. 42, 43). Все эти требования можно
удовлетворить за счет уменьшения чисел и 62.
В качестве точки Р° (pf, р£), о которой говорилось
в § 17, возьмем точку пересечения отрезка SP с грани-
цей области Up. Расположенный в этой области участок
P°PPSigng(P) траектории л0 состоит из горизонтального
отрезка Р°Р, имеющего уравнение
у = s„ р°sign fx(S)	sign/;(S) <Pt sign fx (S), (19.3)
и дуги PPsigng(P) кривой Г, имеющей уравнение
X =Х, (у), рг sign g (Р)< у sign g (Р)< рг sign g (Р) 4-8,.(19.4)
Так как при достаточно малых е траектория близка
к траектории £0 (см. § 2 и рис. 30), то траектория
входит в область Up через участок х = р? границы и по-
кидает эту область через участок у = р2 + sign g (Р)
границы. Отрезок траектории £е, лежащий в области Up,
назовем участком падения.
Пусть Е (р[, е)—точка пересечения траектории $с
с прямой х — р°, лежащая на границе области Up
(рис. 44, 45; ср. с рис. 42, 43). Так как эта точка — на-
чальная точка участка падения — является одновременно
конечной для предшествующего участка быстрого движе-
ния, то согласно (17.5) имеем
е=Уг(р°, е).
В силу неравенства (19.1) вдоль участка падения траек-
тории £е координата у с течением времени t меняется
5*
132
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
f”(S)<0,f'(S)>0,g(S)<0
д(Р)<0
Рис. 45.
§ 19] СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ДЛЯ УЧАСТКА ПАДЕНИЯ 133
монотонно. Поэтому уравнение такого участка можно
записать в виде
х = х%(у, е),	(19 5)
е sign g(P)<y sign g(P)^p2 sign g(P) + 62, V ’
принимая за независимую переменную координату у. Ясно,
что функция (19.5) является решением эквивалентного
системе (1.1) уравнения (ср. с (3.5))
с гладкой правой частью и удовлетворяет условию
х(е, e.) = p'i.	(19.7)
Оказывается, что асимптотические приближения кри-
вой (19.5) в некоторой малой вместе с е окрестности
начального значения у^е и вне этой окрестности
имеют существенно различную структуру. Построение
асимптотического разложения участка падения траекто-
рии $е вне упомянутой окрестности мы проведем, исполь-
зуя уравнение (19.6), а для получения асимптотических
представлений кривой (19.5) в непосредственной близости
значения у^е сделаем новое преобразование переменных.
От исходных переменных х, у, t перейдем к перемен-
ным z, w, 0 по формулам
x = p1+sz, y = e^-e>b\nw, / = е0;	(19.8)
s = — sign/;($)----signf(P’), b =—-2— =----------
hx (P)	fx (P)
Время 0 является быстрым (см. § 1), а первые два со-
отношения (19.8) устанавливают взаимно однозначное
соответствие между областью Up плоскости (х, у) и неко-
торой областью и*Р плоскости (z, w), причем начальной
точке Е участка падения отвечает точка z0~-(p"—pY)s > О,
w0=l. Переписывая систему (1.1) в новых переменных,
получим
f	+ е + гЫпау),
J “°	(19.9)
I > = ft-£(Pi+S2> e+eftln®);
эта система уже не содержит малого параметра при про-
изводной.
134	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ [ГЛ. II
Согласно формулам (19.8) участку падения траекто-
рии соответствует участок траектории системы (19.9),
лежащий в области Up и начинающийся в точке (г0, w0).
Из второго уравнения (19.9) видно, что вдоль этого
участка координата w с течением времени 0 монотонно
возрастает. Следовательно, уравнение такого участка
можно записать в виде
~ у (тп. о\ 1 <г'Ра) sign S (У) /iq
z — Изцдо, е), 1^ш^ехр—-	, (19.1U)
принимая за независимую переменную координату w.
Если теперь, считая w параметром, вернуться к коорди-
натам х, у, то кривая (19.5) перепишется в параметри-
ческой форме
Х = Х2(^, е) = p1 + s?s:(^, е), У=У% (^, £) = ^т^1п^,
(19.11)
причем w изменяется на отрезке, указанном в (19.10).
§ 20. Асимптотические приближения траектории
на участке падения
Прежде всего найдем асимптотические представления
функций x%(w, е) и е) как функций переменной
(параметра) w. Для этого необходимо построить асимп-
тотические приближения функции z%(w, е) на некотором
отрезке изменения ш.
Ясно, что функция (19.10) является решением экви-
валентного системе (19.9) уравнения (ср. с (19.6))
l& = ^-k(Pi+sz' e + ebinw)	(20.1)
с гладкой правой частью и удовлетворяет условию
(см. (19.7))
z(l, e) = (rf—Pi)s-	(20.2)
Используя уравнение (20.1) и условие (20.2), будем
искать асимптотические представления функции (19.10),
но не на всем отрезке ее определения, а лишь на отрезке
1	1/еа, где а > 0—действительное число. При этом
нам потребуется также разложение, представляющее
§ 20]
ПРИБЛИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ ПАДЕНИЯ
135
собой формальное значение ряда (17.8) при х = р®:
оо	п(п-2)
= У,	. &n, V lnV — , &nt V = Уп, V (pl)’ (20.3)
n = 2	v=0
Построим формальный ряд
со	Л(п-2)
z = У Еп/3 У Zn, V (ay) lnv Y (20.4)
n=0	v=0
так, чтобы он формально удовлетворял уравнению
(20.1) на полуинтервале 1<Сйу<оо изменения w и усло-
вию (20.2). Коэффициенты этого ряда определим следую-
щим образом. Подставим ряды (20.4), (20.3) в уравне-
ние (20.1) и его правую часть формально разложим в
ряд по величинам ел/3 lnv(l/e). Такое разложение удобно
проводить с помощью формулы (ср. с (3.7))
/со	ОО	Ч
Т' ( У	У a h У № Уk )= F (х0, г/0) Т~
X n=1	А=1	/
У
п=1	k-1	а+р —А,
а > 0, 0 > 0
Уо)
а!р!
X 2 xh • • -Xia У11 • •
4 + ...+fa+
+ /i + •• • +	= «.
(20.5)
которая проверяется непосредственно. Положив для
краткости
Л (п —2)
?1 = 0, Zn(w)= у z,J(V(^)lnv—, п>2;
Л;-2) i	(20.6)
еп= У, е„, vlnv —,	п^2,
V = 0
и применив формулу (20.5), приравняем выражения, по-
лучающиеся в левой и правой частях уравнения (20.1)
136
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
при одинаковых степенях е:
4,	(Pl+sz„, „ (да), р2),
4 (®) =	(20'7)
S7 + 1£/я +11 пт w	чгч
х-------5------- Д Zi, ... ziaelt ...elfi +
ii +... + ia +
+ /, + .. . + /p = n — 3m,
iv>2, /v>2
/ 0, если n 0 (mod 3),
I	n . n M 2,
' |	(pi |-5Z0, о (t^), P2) sb 3 In 3 w
\	(n/3) 1	w ’
если n = 0 (mod3).
Поскольку для функции (12.14) справедливы равенства
л(п— 3/л) = л (п)—т и (ср. с (14.8))
max	{л (ii —2)+...-|-л(1\—2)} = л (m—2), (20.8)
G + ... + ik-rn,
t’v> 2, m > 2
нетрудно убедиться, что (см. (20.6))
Zit . . .	. . £?/р =
it + ... + ia +
+ /1+ ... + /р =n-3m,
а+0=й,
/v>2, /v>2. n-3m>2
я (n-2)-m
= E	(20.9)
V=0
Из соотношения (20.9) ясно, что правая часть n-го ра-
венства (20.7) при является многочленом от In (1/е)
степени л(п — 2) с коэффициентами, зависящими от функ-
ций ZktV(w), & = 0, 1,	Теперь приравняем выра-
жения, стоящие слева и справа в каждом из соотношений
(20.7) при одинаковых степенях In (1/е). Кроме того, под-
ставим ряд (20.4) в соотношение (20.2) и приравняем
выражения, находящиеся слева и справа при одинаковых
величинах 8^31пу(1/е).
§ 20]	ПРИБЛИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ ПАДЕНИЯ
137
Отметим, что функция zn (<£>) входит в правую часть
n-го равенства (20.7) лишь один раз—в слагаемое,
отвечающее значениям m = 0, k=l, а=1, Р = 0. Отсюда
в свою очередь вытекает, что при любом п^2 каждая
из функций го,у(ш), v = 0, 1, ...,л(м—2), встречается
в упомянутом многочлене от In (1/е) только однажды —
в коэффициенте при lnv(l/e). Следовательно, в результате
указанных выше операций мы придем к равенствам
(ср. с § 10)
4,oH = ^/i(Pi + sz».»(a!'). Рг). г0.0(1) = (р!—pjs;
4. . И-г,,. И	= ф, , и -
= e,.asM'(P, + s20.0(w). ра)> Zfct(1) = 0;	(20J0)
4,v (w)-z„tv(w)= фя „ (W),
гп,у(1) = 0» п^2, v = 0, 1, ..., л(п—2).
Правая часть Фп>¥(оу) соответствующего равенства (20.10)
при п^2 выражается только через функции z0,0(t£>)»
..., zn_2, v (с^) и не содержит функции zn_^]^},
znK(w). Легко также убедиться, что каждая из функций
Фп>v(w), п^2, зависит от констант e2j0, . ..,erttV, но
величины ekiK при k > п в выражение для этой функции
не входят.
Первая пара равенств (20.10) представляет собой диф-
ференциальное уравнение с разделенными переменными
и начальное условие для него. Решая эту задачу, нахо-
дим функцию
w = w(z) =
{,	2	\
signf’x(S)	f	g(Pi+sx.p2) , I
g(f>)	s	IX\	j	j	7(Pl4-sx.	p2)	f v 7
(pJ-Ptp	J
Непосредственно проверяется, что функция (20.11) опре-
делена на полуинтервале 0 < z (р$—pjs, принимает
значения и неограниченно возрастает при z—^0,
а ее график—монотонно убывающая выпуклая вниз
(см. (19.2)) кривая. Функция
? = г0,0(ш)	(20.12)
138
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. I
— начальный коэффициент ряда (20.4)—является обратной
к функции (20.11). Ясно, что функция (20.12) определена
на полуинтервале 1 оо, монотонно убывает и асимп-
тотически приближается при w—>оо к оси w (рис. 46).
Остальные пары равенств (20.10) описывают начальные
задачи для линейных дифференциальных уравнений и
потому однозначно последовательно определяют коэффи-
циенты zntV(w) ряда (20,4):
hy (Pi + szp, о (х), рй) .
(х)
РФ Ы	(20-13)
1
n^2, v = 0, 1, ..л (n—2);
Z«,o(“0=*8. os^ W
здесь использовано обозначение для функции
w ,
Н =ехр С ^(й+^..W.p,)
, J	X
1
(20.14)
Из полученных формул непосредственно видно, что
функции гП1 v (wj определены и являются гладкими на
полуинтервале l^t^<oo изменения w. Подчеркнем, что
каждая из этих функций эффективно вычисляется только
через значения правых частей системы (1.1) и нескольких
их производных на отрезке аРтраектории $0 и через
конечное число начальных коэффициентов разложения
(20.3). Последнее особенно существенно, поскольку ни
точное значение величины е, ни ее разложение (20.3) нам
не известны, и мы можем использовать лишь частичные
§ 201
ПРИБЛИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ ПАДЕНИЯ
139
суммы ряда (20.3)
п	П(Л-2)
Ея& = ?>* L e*,vln4,
k-0	V = 0
(20.15)
которые служат асимптотическими приближениями этой
величины.
В § 21 мы убедимся, что частичная сумма построен-
ного ряда (20.4)
п l п(А-2>
Z„(®,e) = £*eM V	(20.16)
А—0 ’	| v=0
является при е—>0 асимптотическим приближением того
участка решения (19.10) задачи (20.1), (20.2), который
отвечает отрезку 1	1/ев, где я > 0—произвольное
число. Функции (19.11), рассматриваемые на указанном
отрезке изменения параметра w, представляют уравнение
траектории в начале участка падения. Мы докажем,
что справедливы следующие асимптотические представле-
ния траектории &е в начале участка падения'.
X^(W, е) = ^+520. „(to)+0(8^’).	..
1 w <1 1 /е2/8;
yz(w, е) = р2 + О(е!/’),
{*x(w, в) = р1+«г0,0(ш)+«г2,0 (ач) е*/’+0 f е 1п^-),
1	1/е;
y*(w, 8) = p2+e2>oe’/‘ + ofeln4-') ,	(20.17)
/ #+» . \
е) ^p1-\-sZN+2 (w, е) + о( е 3 1п"^+1> — ),
\	J
AN 3
1	1/е 3 ,
f — Л
y%{w, е) = Ед^ + 2 (e) + e61n^ + Ol е 8 1пл(ЛЛ+1 > — J ,
где /V—произвольное натуральное число. В частности,
отсюда видно, что участок (19.3) траектории служит
140
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
нулевым приближением траектории $е в начале участка
падения. Приведем также пример приближения более
высокого порядка
' Xz (и>, в) = Pl + sz0,0 (ffil) + sz4,„ (к>) в*/» +
+ sz3,! (te>) е In4- + szSi „ (и>) в + 0 (в</»)>
,	(20.18)
' JM®, e) = ps + e4, оР-^’+ез, i«ln—+е8,0в +
+ е61поу + 0 (е4/3),
1 w	1/е*/3 .
Рассмотрим на траектории 5£е точку G(x, у), коорди-
наты которой определяются по формулам (19.11) при
значении параметра ш = е~(ЛГ+3?/3, и пусть Ро—точка на
дуге кривой Г, имеющая ту же ординату, что и
точка G (см. рис. 44, 45). Точка G является конечной
для изученного только что отрезка EG траектории
в начале участка падения. Нам, очевидно, остается про-
вести вычисление траектории $8 в конце участка падения,
т. е. построить асимптотические представления функции
(19.5) на отрезке
у sign g (Р)< у sign g (Р) < р2 sign g (Р) + 62.
Для этого используем уравнение (19.6) и уравнение
х = х0(у) устойчивого участка S*S кривой Г.
Построим формальный степенной ряд
х = х0 (у) +	(у) + ... +	(у) 4-...	(20.19)
так, чтобы он формально удовлетворял уравнению
(19.6) на интервале изменения у между s2 и s2. Коэф-
фициенты этого ряда отыскиваются так же, как и в § 3;
нужно лишь учесть, что сейчас мы должны исходить из
функции ха(у). Подчеркнем, что каждая из функций
хп (у) определена и является гладкой при изменении у
на интервале между sj и s2 и эффективно вычисляется
только через значения правых частей системы (1.1) и
нескольких их производных на участке кривой Г.
§ 201
ПРИБЛИЖЕНИЯ НА УЧАСТКЕ ПАДЕНИЯ
141
В § 21 мы убедимся, что частичная сумма построен-
ного ряда (20.19)
Хп (У> е) = х0 (у) + e*i (г/) + ... + е"х„ (у) (20.20)
является при е—>0 асимптотическим приближением тра-
ектории £е в конце участка падения:
х0 (у) + О (еа/3), sign g (Р) + О (е2/3) <
< У sign g (Р) < р.2 sign g (Р) + 6а;
ХоG/) + O(\ln-^ , £2(e)sign£(P) +
+ o(eln-i)<0slgng(^X
X.	J
< sign g (Я+ss;
( H±* л (20.21)
I X™+3-|G/,e) + O(e » ln"<"+i)± 1
J з J	\	7
f£w+s(e) + ^i^6e ln-^)signg(P) +
/ ^ + 3	I \
+ O(e 3 1пя(ЛГ + 1) — ) //signg(P)
<PsSigng(P) + 62,
где N — произвольное натуральное число, В частности,
отсюда видно, что участок (19.4) траектории $0 служит
нулевым приближением траектории в конце участка
падения. В качестве приближения более высокого по-
рядка приведем формулу (ср. с (3.14))
хг (у, е)=
= х0 (г/)+е
— fi(x0(!/) , y)g&(y), у) [
/? (х0 (у), у)
О(е4/3),
(20.22)
е
е 1п4+«з, о81 signg(P)+O(e‘/3X
Q /	Ь	J
у sign g (Р) рг sign g (Р) + 6,.
142
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
§21. Доказательство асимптотических представлений
участка падения
Лемма 12. Для функций zntV(w)t определенных ра-
венствами (20.12), (20.13), справедливы следующие асимп-
тотические представления:
{(pf-Pi)s	1
1 г(Р1+«.рг)^г1 I о f И
g(P) J	Р»)	+ к®*/
о	/
при ►оо; (21.1)
Zn,v(^) = 0(lnn(n-2)“M при &У—>ОО,
д>2, v = 0, 1, ..., л(п—2).	{	}
Соотношение (21,1) легко установить, если сначала,
используя результаты § 13, выписать асимптотику функ-
ции (20.11) при г—>0:
ш = ехр X—1п?4
sfx (Р)
g (Р)
<Р?~Р1) s
g (Pl + sx, pg)
f (Pl 4 sx, pg)
0.
Доказательство соотношений (21.2) проводится по индук-
ции. Прежде всего проверим, что введенная равенством
(20.14) функция Л* (се») имеет асимптотическое представление
оо
./»/ х+ 1	£ bh'x (Pi4-S2o, о (*)> Рг)	/ 1 X /О1 о\
И+ =—ехр у ---------------------~-----------dx+°	(21,3)
1
Асимптотика функции г210(йУ) при w—>оо получается
непосредственно из первого равенства (20.13) с учетом
формулы (21.3). Если, далее, предположить, что утверж-
дение леммы выполнено для функций г*, v(w), k < и, то,
привлекая равенства (20.7) и (20.9), найдем
Ф„. v (®) + = ° (-J- 1пя(л-”-^
(21.4)
Соотношения (20.13), (21.3) и (21.4) в свою очередь при-
водят к представлению (21.2).
§ 21) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 143
Более подробные вычисления позволяют убедиться,
что функция г010(^) и функция zn,v(w) при любом нату-
ральном п^2 и любом v = 0, 1,	л (и—2), имеют
асимптотические ряды
2о,о(И+—цу’л »
Л = 1
n(n-a)-v	оо л(л-2)-
г„, V (®)+ = У, г2; £ 1пи w + у У
причем можно получить формулы весьма громоздкого
вида для последовательного отыскания коэффициентов
В частности, легко проверить, что
гг,« W+ = ег, „sbh'y (Р)+0 (-^-	,
(21.6)
гз. о (®)+ = sbWy (Р) In 14) + (е3, „sb—sb2) by (Р) +
+ О f— In2 uj') .
1	\ w )
Относительно функций x{(y) справедливо утвержде-
ние, аналогичное лемме 1. Отметим также, что значение
каждой из функций Х;(у) и ее производных при у — рг
эффективно вычисляются через значения частных произ-
водных функции f(xt у) в точке падения Р. Это в свою
очередь позволяет найти формулы для последовательного
отыскания коэффициентов x*iV разложения, представля-
ющего собой формальное значение ряда (20.19) при
г/ = е-|-8& In w\
со
У*, е'у- (е -\-zb In w) =
f = о
оо Я (п-2) л (n-2)-v
= Р1 + Це"/з У У л£, v lnx!4)lnv 7 	(21.7)
п=2	V=0	Х=0
Разложение (21.7) легко получается с помощью равенств
(20.3), (3.7), (20.8).
144
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
Весьма важным фактом является наличие непосредст-
венной связи между коэффициентами рядов (21.5) и (21.7):
v_________________________/х
*>^0 , X — V»
n^2, v = 0, 1, ...» л(п— 2), х = 0, 1, ..л(п— 2)—v.
(21.8)
Для доказательства равенств (21.8) необходимо восполь-
зоваться общими формулами для соответствующих коэф-
фициентов разложений (21.5) и (21.7),
Лемма 13. Пусть
п + 1 Л “ 1 )
Fn (w, е) е 3 X (1+1пя<л-1Ьт [п v__ f п~^\.
При достаточно малых 8 существует такая константа
Сп^>0, что производная в силу уравнения (20.1) положи-
тельна в каждой точке кривой
ЗГ1 («у, z) = z—Zn{w, z)+CnFn(wt 8) = 0,	1<^< l/efl,
(21-9)
и отрицательна в каждой точке кривой
T2(w, z) = z—Zn(w, z)—CnFn(w, 8)=0,	1<^<1/ея;
(21.10)
здесь a > 0—произвольное число.
Допустим, что п^4, и вычислим производную в силу
уравнения (20.1) в произвольной точке кривой (wt г)=0:
1(00.1)=h +sz"	я)>е+£Ь 1п	-
dZn (ю, е) , r dFn (w, с)
dw ' п dw
Из самого процесса построения функций zn< v (w) (см.
(20.7), (20.10)) следует, что
I(20.1) = IT 8~ {[- (Pl +sz0, о («>), Р>)С„ +
+ ®Ф»+1,п«-1) W] 1П4 +
_ц У. [—W^(Pi+szo.oW. Р2)С»(1+ln’"',’1)_vK))+
1	v=0
+ aXD„+1> v (w) + (л (n — 1)—v) Cn In31 да] lnv Д +
+ O( e~In™’-) . (21.11)
\	£ J
§ 21] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 145
В силу свойств функции (20.12) и условия (19.2) на
всем полуинтервале выполнено неравенство
&/i;(Pi+sz„,o(an), PsX — k<0.
Далее, каждая из функций Ort+i,v(^) ограничена на
любом конечном отрезке из этого полуинтервала, а при
w—* оо имеет асимптотику, указанную в (21.4), Отсюда
нетрудно заключить, что все выражения в квадратных
скобках в равенстве (21.11) будут строго положительны
на отрезке 1	1где а > 0, если выбрать константу
Сп > 0 достаточно большой.
Поскольку начальная точка решения (19.10) уравне-
ния (20.1) находится в полосе между кривыми (21.9) и
(21.10) (см. (20.2), (20.10)), то лемма 13 решает вопрос
о возможности асимптотического приближения частичными
суммами ряда (20.4) участка этого решения, отвечающего
отрезку 1 <	1/е“, а > 0, изменения w. Возвратимся
теперь к координатам х, у, считая w параметром, и одно-
временно используем асимптотические приближения (20.15)
величины е. В результате можно получить следующее
утверждение об асимптотических представлениях траек-
торий системы (1.1) в начале участка падения.
Теорема IX. Пусть P(pL, р2)—внутренняя точка
устойчивого участка 8*3 кривой Г, функция Zn(w, е),
n > 1, определена формулой (20.16), величина Еп (е), п 1,
определена формулой (20.15), а
x = x(w, е) 4-sz (w, е), y=y(w, е) = z/° 4-еЬ 1пш
— записанное в параметрической форме решение уравне-
ния (19.6) с начальной точкой при w = 1, удовлетворяю-
щей для достаточно малых е условиям
л + 1	.
|г(1, ^-(p’-pJsKCe ’
„+1	О». (21.12)
| у°—Еп (е)|<Се ’ 1п"и-«1,
Тогда при достаточно малых 8 это решение определено
П II
на всем отрезке 1 ^а’^1/8 3 изменения параметра до
и представимо в виде
X(Wt8)=p1-}-sZn(Wt 8)+ЗД(^>е),	.
у (до, е) = Е„(е) + еМп1е> + Э-^(е),	А'
146
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
п+1
причем равномерно на отрезке l^w^Cl/e 3
,4-1	,  С„ = const >0.
|(е) [ < С„в •
В силу представления (17.14) и выбора начальных
условий в (20.10) функции (19.11), описывающие траек-
торию в начале участка падения, при любом целом
п^ 1 удовлетворяют условиям (21.12). Поэтому теорема IX
применима для получения асимптотических приближений
траектории в начале участка падения. Тем самым
формулы (20.17) доказаны.
Далее нам потребуется одно обобщение леммы 2.
Обозначим через Я0(г01, г02) и 7?Q(rJ, HD произвольные
внутренние точки дуги 5*5, отстоящие на конечное рас-
стояние как от концов этой дуги, так и друг от друга,
причем resigng(S) < resign g (S).
Лемма 14. Пусть
0	I	л
F(y, e) = ^=^-e“ln₽y + ^=£^-e>
r2— Г02	Г2— Г02
(21.13)
0<a<l, p>0.
При достаточно малых e существует такая константа
Сп > 0, что производная в силу системы (1-1) полежи-
те льна в каждой точке кривой
ХЛу, х)=х—Х„(у, е) +С„8”Е (у, е) = 0,
r„ sign g (S)< у sign g (S) < rj sign g (S),
и отрицательна в каждой точке кривой
!Кг(у, x)^x—Xn(y, e)—CnenF(y, s) = 0,
г„2 sign g (§) < у sign g (§) C rj sign g (S).
Нетрудно найти производную в силу системы (1.1)
в произвольной точке кривой (у, х)=0:
= ±-g(X„(y, е)—C„enF(у, в), у) lh(Xn(y, в)—
(1.1) ь 1
—CnEnF (//, е), у)—е
dXn (у, е) r rn + xdF (У’ е)1
dy	dy f
§ 21] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 147
В предположении (при п = 0 рассуждения изме-
няются несущественно) получаем'(ср. с § 4)
g(X„(y, s)—C„enF(y, е), y) = g(xII(y), y) + O(s),
h(X„(y, e)—C„enF (у, s), y) = h(X„(y,s),y)—
—Спг,пР (у, e) h'x (x„ (у), у) + О (e"+ 1+a In* Д •
Эти равенства и формула, аналогичная (4.5), позволяют
утверждать, что
dt (i.i)
= — 8” "1 {CnF (у, е) + exrt+1 (г/)} f'x (х0 (у), у) +
+ 0 (8л+»1пР-^ .
\ е /
Привлекая неравенство (19.2) и определение (21.13),
убеждаемся, что рассматриваемая производная будет
строго положительной при достаточно малых 8, если
выбрать константу Сп > 0 достаточно большой.
Из леммы 14 непосредственно следует аналогичное
теореме I утверждение о возможности асимптотического
приближения отрезков траекторий системы (1.1) частич-
ными суммами ряда (20,19).
Теорема X. Пусть х = х0 (у)—устойчивый участок
кривой Г, функция Хп(у,ъ), п^О, определена форму-
лой (20.20), а х = х(у,в)—решение уравнения (19.6) с на-
чальным значением при у=г02, удовлетворяющим для доста-
точно малых 8 условию
|-*'(Л»2»е) Хп (г02> е) I < Сеп+а In*5 — ,
С>0, 0<а<1, р>0.
Тогда при достаточно малых 8 это решение определено
на всем отрезке
r02 sign g (S)< у sign g (S) < r° sign g (S) (21,15)
и представимо в виде
х (у, 8) = Хп (у, е) +	(у, 8),
resign g (§) < у sign g (§) < г; sign g (S),
148
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
причем равномерно на отрезке (21.15)
I *>?„ (У, е) | < In Р j-, С„ = const > 0. (21.16)
Возьмем теперь в качестве точку, которая была
определена в §20, а в качестве R°—точку Pei gip) (см. § 19);
в этом случае
/'02=)'.	Л - р2 + 62 sign g (Р)
(см. рис. 42—45). Покажем, что функция (19.5), описы-
вающая траекторию в конце участка падения, удов-
летворяет условию (21.14). Фиксируем произвольное на-
туральное число W и, привлекая последнюю пару фор-
мул (20.17) (для первых двух пар формул (20.17) рас-
суждения аналогичны), найдем координаты точки G:
/ АЧЗ \	/ N + 3	\
х^=рг +sZN + i I	3 ,еJ+Ol 8 8 1пл<л/+1>— ),
АЧ 3	, \
y = ^+2(e) + ^§^b81ny+O^e « ln”<"+’>.
Поэтому, используя разложения (21.5), можем записать:
/г=0
АЧЗ
АГ±2 л(л-2)	/ АЧ 3 \
гл/3 У. 3 /1п%’т +
V=0
X	А/ + 2
+ О( в”"3- 1пл^ + 1)1	+	8Л/3Х
'	л = 2
л (Л-2) v	/ дг+з	X
х £ szS;W^^)Xlnv4 + o(e~ln"'"+1>l).
\ О /	о	\	с J
v=0 X—0	4	7
С другой стороны, учитывая разложение (21.7), получаем
1
8
АЧЗ	.
, J 8 1пя^+1) —
АЧ2 л(л-2) v
л = 2	v=0	х = 0
3	/	8
( N+3	1\
| g 8 1пЛ(А' + 1)	.
\	8 J
§ 21] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 149
Если воспользоваться соотношениями (21.8), то нетрудно
убедиться, что условие (21.14) для функции (19.5) дейст-
вительно выполняется при n = ](N + 3)/3] и соответствую-
щих а, р.
Следовательно, теорема X применима для получения
асимптотических приближений траектории в конце
участка падения. Тем самым формулы (20.21) доказаны.
Подчеркнем, что хотя величина у зависит от е, однако
при достаточно малых 8 расстояние между точками Ro
и Л-ign g(P> конечно.
Очевидно, что формулы (20.17), (20.21) дают возмож-
ность приближенно вычислять участок падения траекто-
рии с точностью до величин порядка малости не
ниже 8Л, а > 0. Например, если а > 4/3, то следует ис-
пользовать последнюю пару формул (20.17), выбрав на-
туральное число N из условия N > За—3, и последнюю
формулу (20.21).
Теорема XI. При достаточно малых е для участка
падения траектории $е, лежащего в окрестности точки
падения Р, справедливо асимптотическое представление
с равномерной точностью до малых порядка не ниже 8d,
где а > 0—произвольное число. Искомое асимптотическое
представление описывается соотношениями (20.17) и (20.21)
при соответствующем выборе числа N, причем для нахож-
дения коэффициентов этого представления не требуется
интегрировать невырожденную систему (1.1).
Пусть Л—точка пересечения траектории $е с прямой
# = rJ=p2-j-62signg(P), лежащая на границе области Up
(см. рис. 44, 45). Более внимательный анализ теоремы X
и леммы 14 позволяет получить для остаточного члена
вместо оценки (21.16) неравенство
15*» (У, е) | < С„еп F (у, е),
справедливое на отрезке (21.15). Отсюда, учитывая опре-
деление (21.13), немедленно следует, что
|3Ft„(?L е) | < C„e"+1.
Это в свою очередь означает, что абсцисса точки А удов-
летворяет условию типа (4.6). Поскольку точка А—
150
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. II
конечная точка участка падения — является одновременно
начальной для последующего участка медленного движе-
ния, то для асимптотического вычисления этого участка
медленного движения применимы результаты §§ 3, 4.
§ 22. Асимптотические приближения траектории
на начальных участках быстрого движения и падения
В §§ 17—21 при изучении участков быстрого движения
и падения предполагалось, что эти участки следуют за
участком срыва. Сейчас мы кратко остановимся на задаче
асимптотического вычисления начального участка быст-
рого движения и начального участка падения траектории
(см. § 2).
Пусть начальная точка <20(х0, у0) траектории $е не
принадлежит кривой Г; будем для простоты считать, что
Рис. 47.
координаты этой точки не зависят от 8. Обозначим через
Р0(р01, р02) точку падения из точки Qo, лежащую на не-
котором устойчивом участке х — х0(у) кривой Г (рис. 47;
аналогичная картина имеет место и при иных располо-
жениях векторов f(Q0) и g(P0)). На горизонтальном
отрезке Q0Pd возьмем точку (р?, р°), отстоящую на
малое конечное расстояние от точки падения Ро, а на
участке х = х0(у) возьмем точки Р+1 и P_lt лежащие по
разные стороны от точки падения Ро и отстоящие от нее
на малое конечное расстояние.
§ 22]
ПРИБЛИЖЕНИЯ НА НАЧАЛЬНЫХ УЧАСТКАХ
151
Очевидно, что участок Q0^<Aigng(p0» траект0Рии
состоит из горизонтального отрезка Q0P0, имеющего
уравнение
У=У0, sign/(Q0)<x sign/(Q0)<p01 sign/(Qo),
и дуги P0Psign g(P0> кривой Г, имеющей уравнение
X=х„ (у), у„ sign g (Р„) < у sign g (Ро)< (/„ sign g (Ро) + 62.
Аналогично тому, как это делалось в § § 17, 19, построим
конечные окрестности и UP., примыкающие друг
к другу по отрезку прямой х-р^. Отрезок траектории £в,
лежащий в области /7Бо» назовем начальным участком
быстрого движения, а отрезок траектории Хе, лежащий
в области UРо, назовем начальным участком падения.
Уравнение начального участка быстрого движения
можно записать в виде
У = Уъ(х, е),	122 п
Хо Sign /(Q,) <хsign/(Q„)<р»sign/ (Q0),
причем функция (22.1) является решением уравнения
(17.6) и удовлетворяет условию
У (X., е) = у..	(22,2)
Асимптотическое разложение функции (22.1) будем искать
в виде формального степенного ряда
У = */о (*) + e//i W + • • • + ъпУп (*) + •••	(22.3)
(в отличие от ряда (17.8)). Подставив ряд (22.3) в урав-
нение (17.6) и в условие (22.2), после необходимых вы-
числений найдем коэффициенты У/(х), 1 = 0, 1,2, ...:
X
У о W = у„,	У1(х)=\ i (г, у,) dz,
Хо
* п- 1	(
УпW = ) £	 X yll(z')...yl(z')dz,n^2.
х0 V=1	Q+».+/v=rt-l,
1
Оказывается (доказательство аналогично рассужде-
ниям, проведенным в § 18), что частичная сумма постро-
енного ряда (22.3)
Уп(х, е.)=у. (х) + еу, (х) + ... + tnyn (х)
152	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ [ГЛ. 11
является при е —> О асимптотическим приближением на-
чального участка быстрого движения (22 J) траектории
у1(х, е) = П_,(х, е) + О(е"),
X» sign f (QoX х sign f (QoX p'{ sign f (Qo),
где N—произвольное натуральное число. В качестве при-
мера приведем формулу
X
yl(x, е) =z/04-e	+
J I Уо)
х„ sign [( Q оХ х sign f (Q „)< pf sign f (Q,).
Перейдем к вычислению начального участка падения.
Пусть Е° (pj, е°)—точка пересечения траектории £е с пря-
мой х~р[ (см. рис. 47), так что e° = yi(pit е). Нам по-
требуются формальное значение ряда (22.3) при х р[ и
частичные суммы этого ряда:
«“=!/» +2 V", е„=у„(р«); Е>(е) = у„ + 2еке.”. (22.4)
п—1	k—1
Уравнение начального участка падения можно запи-
сать в виде
х = х*(у, е),	(22.5)
е° sign g (Р„) < у sign g (Ро) <уа sign g (Р„) + 62,
причем функция (22.5) является решением уравнения
(19.6) и удовлетворяет условию х(е°, е) = р[. Замена
переменных (ср. с (19.8))
х — р014- sz, у = е° 4- eb In
s = -signf(P»), b = —S^L
1х\Н 0)
приводит к уравнению и начальному условию
+ е’+еМпю). г(1, е) = (р?—p01)s. (22.6)
Решению г = г^(ш, е) задачи (22.6) отвечает параметри-
ческая форма записи кривой (22.5):
x = xi (ш, е) = pQl + sz“ (ш, е),	2
y=y^(w, е) = 4- eb In w.
§ 22]
ПРИБЛИЖЕНИЯ НА НАЧАЛЬНЫХ УЧАСТКАХ
153
Асимптотическое разложение функции z~z°(&y, е)
будем искать в виде формального степенного ряда
z = z0(^) + ez1(^)+ ... +е%(ш)+ ...	(22.8)
(в отличие от ряда (20.4)). Подставив ряды (22.8), (22.4)
в соотношения (22.6) и воспользовавшись формулой (20.5),
после необходимых вычислений получим равенства
?;(®) =S^h(_p0l + sz„(w), у,), г0(1)=(р«—p01)s;
4 (да)—?„(») bh'l(P°' V0W’ У0)
г„(1) = 0, п>1,
(22.9)
где
Ф„ (®) = - z„ (w) ^(p„ + «oW. Уо) +
। h(yy (р01 + sip (w), t/p) sbn+1 In" re?
П\	VI) '
^a4P+m) (Poi + szoH, t/0) sa+4CT+1ln^
otlplml	w
я-1п —т
т=01
*х + ...	+	р
+/1 + ... + /й =п-т,
iv>i. iv>i
что выражение Фп (ш) при каждом
Легко убедиться,
п^1 зависит только от функций z0(ip), гДш),
z„_i (ay) (и только от констант у0, е±, . .., еп).
Первая пара равенств (22.9) определяет функцию
ш = ay(z)	exp sign/(P°)	f*
v 7 r	I g(Po) 6 /v }	J	f (Poi + sx, Уо)	I
(p°-Poi )s
(ср. c (20.11)), обратная к которой является начальным
коэффициентом г0(ш) ряда (22.8). Из остальных пар
равенств (22.9) находим коэффициенты гДау), €=1,2, .. ••
W
z„ (w) =	dx,
1
W r
X (w) = exp Г bllx (Pm + sz°(x)’yo) dx, n>l.
*J	%
1
154
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 11
Оказывается (доказательство аналогично рассужде-
ниям, проведенным в § 21), что если
Z® (ш, е) = г0 (ш) + ezx (ш) +... + е% (ш)
— частичная сумма построенного ряда (22.8), то справед-
ливы следующие асимптотические представления кривой
(22.7) на указанных отрезках изменения ш:
(х£(ш,е) = р01 + sz0 (ш)4-0 (е In -И ,
]	/	1 \	7	1^ш^1/е,
|^(ау, ь) = у9 4-Of е In— J ,
I x$(ay,£)=-p01+sZ)V(ay,e)-|-o(ejV+1 In*41	,
1	+ 1/е^+1,
|	(ay, &) = E°n (e) + еЬ In ш + O (e^1),
где N — произвольное натуральное число. В качестве при-
мера приведем представление
w 1/е2.
С g (х, Уо) g (Ро)
f'x(P0)
С помощью этой формулы и соответствующих резуль-
татов §§ 17, 20 можно объяснить одно существенное раз-
личие между поведением траектории £е на участках
быстрого движения и падения, следующих за участком
срыва, и на начальных участках быстрого движения и
падения. В ситуации, когда
sign [g (S) g (P)] = -1. sign [g(S) f (P«) f’ (P)] = 4-1
(один из таких случаев изображен на рис. 44), траекто-
рия на участках быстрого движения и падения не
пересекает траекторию $0. В аналогичной ситуации, когда
sign fe(Qo) g (РЛ = -1. sign [g (Q.) f (P°) f’y (P„)] = +1
(один из таких случаев изображен на рис. 47), траекто-
§ 22]
ПРИБЛИЖЕНИЯ НА НАЧАЛЬНЫХ УЧАСТКАХ
155
рия на начальных участках быстрого движения и
падения пересекает (дважды) траекторию £0.
Рассмотрим теперь для уравнения (19.6) (см. также
(3.5)) формальный степенной ряд (3.6) (ср. с (20.19)).
Вычисление коэффициентов этого ряда описано в [§ 3;
начальным коэффициентом служит функция, входящая
в уравнение х = х0(у) устойчивого участка кривой Г
(см. рис. 47).
Оказывается (доказательство аналогично рассужде-
ниям, проведенным в § 21), что если (3.12)—частичная
сумма построенного ряда (3.6), то справедливы следую-
щие асимптотические приближения функции (22.5) на
указанных отрезках изменения аргумента:
ln4)<i/signg(P0)
€> /
xl(y,
хо (У) + О(е1п-Г)
(/osigng(/’„) 4-0 (е
<(/.signg(P,) + 6,;
XN(y, е) +0 (e"+1 ln"«	,
(En (e) + (N +1) be In-i-) signg (Po) 4-
+О (eA,+1) < у sign g (P.) C y„ sign g (P„) 4- 6S,
где N—произвольное натуральное число. В качестве при-
мера приведем приближение
хЦу, г)=х.(у) 4-е ММу).у)Д(*(у). »>4.о(еЧп*	,
fx (*о (у), у)	\	8 >
+	signg(P.)4-O(e’)
< У sign g (РоХ у о Sign g (Р„) 4- 6,.
Обозначим точку Psigng(p.) через R°(r[, г§) и пусть
А—точка пересечения траектории с прямой = =
= i/o4-52signg(P0), лежащая на границе области Uр0
(см. рис. 47). Существенным обстоятельством является тот
факт, что абсцисса точки А удовлетворяет условию (4.6).
Поэтому для асимптотического вычисления участка мед-
ленного движения траектории $8, следующего за началь-
ным участком падения, применимы результаты §§ 3, 4.
Глава III
Системы второго порядка.
Периодические решения, близкие к разрывным
Среди фазовых траекторий вырожденной системы могут быть и
замкнутые, соответствующие разрывным периодическим решениям.
Оказывается, что при достаточно малом значении параметра вблизи
каждой такой траектории лежит устойчивый предельный цикл не-
вырожденной системы; отвечающее ему периодическое решение
имеет характер релаксационного колебания.
В настоящей главе мы проведем асимптотическое вычисление
с произвольной степенью точности траектории периодического реше-
ния, близкого к разрывному, системы второго порядка с малым
параметром при производной. Будет получено асимптотическое раз-
ложение для периода релаксационного колебания.
§ 1. Существование и единственность
периодического решения, близкого к разрывному
Продолжим изучение фазовых траекторий невырож-
денной системы
iex = f(x, у),
I У = §(х,у),
где х и у—скалярные функции независимой переменной
t, а е—малый положительный параметр; все предполо-
жения, сделанные в главе II, § 1, сохраняются*). Про-
стейшие примеры показывают (см. гл. I, § 4), что соот-
ветствующая вырожденная система
( f(x, z/) = 0,
< •	(1-2)
I у)
среди своих фазовых траекторий может иметь и замкну-
тые траектории. Подчеркнем, что наличие (или отсут-
ствие) у системы (1.2) таких траекторий устанавливается
(ср. с гл. II, § 2) непосредственно с помощью функций
f(x, У)>	У)* и Для этого не требуется решать си-
стему (1.2).
*) В дальнейшем при ссылках на формулы предыдущих глав
римская цифра означает номер главы.
§ 1)
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
157
В дальнейшем мы будем предполагать, что система
(1.2) имеет замкнутую фазовую траекторию Во- Из рас-
смотрений главы II, § 2 следует, что траектория Во
представляет собой непрерывную замкнутую кривую
в плоскости (х, z/), состоящую из конечного числа чере-
дующихся между собой участков медленного и быстрого
движения (рис. 48).
Рис. 48.
Решение x = x(t), y~y(t) системы (1.2), фазовой
траекторией которого служит кривая Во» является раз-
рывным периодическим решением (см. гл. I, § 6). При этом
координата у решения с течением времени t меняется
непрерывно, а координата х испытывает разрывы (первого
рода) при всех тех значениях /, при которых фазовая
точка системы (1.2) попадает в точки срыва траектории Во-
Что касается участков этого решения между соседними
точками разрыва, то они получаются следующим образом.
Пусть в момент разрыва t — t* фазовая точка си-
стемы (1.2) оказывается в точке падения Р (рг, р3), ле-
жащей на устойчивом участке х~хй(у) кривой Г (см.
рис. 48). Подставим функцию х = хй(у) во второе из
158 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ, III
уравнений (1.2):
У=ёМУ). У)-	(1-3)
Условие y(t*)~p2 однозначно выделяет решение y — y*(t)
уравнения (1.3), определенное при	где /**
следующий за /* момент разрыва, т. е. момент попада-
ния фазовой точки системы (1.2) в точку срыва 5(8г, sa),
граничную для участка х = х0(у). Затем уравнение этого
участка позволяет получить и функцию x=x* (t)=x9 (у* (/)),
Так как участки быстрого движения траектории Зо
проходятся мгновенно, то период То соответствующего
разрывного периодического решения вырожденной системы
(1.2) равен сумме времен, затрачиваемых фазовой точкой
системы (1.2) на прохождение всех участков медленного
движения траектории 3<г Из уравнения (1.3) легко найти
это время для участка PS (см. рис. 48):
s2
» = С dy — С dtJ •
?s J g(xo(y), у) J g(x. У) *
P,	PS
(1.4)
для остальных участков медленного движения оно опре-
деляется аналогично. В итоге можем записать*.
Л=^-гЦ.	(1.5)
° J g (х, у)'	4
3.
где интеграл берется в направлении движения по траек-
тории Зо* Подчеркнем, что период То разрывного перио-
дического решения эффективно вычисляется только через
значения функции g(x, у) на контуре Зо-
Легко убедиться, что при достаточно малых & вблизи
траектории 30 лежит хотя бы одна замкнутая траек-
тория невырожденной системы (1.1). Дл яJдоказательства
этого факта достаточно построить (ср. с гл. II, § 2 и
рис. 30) такую кольцеобразную окрестность замкнутой
кривой Зо малой, но конечной ширины, что векторы
фазовой скорости системы (1.1) при достаточно малых е
во всех точках границы направлены внутрь окрестности.
Однако справедливо и более сильное утверждение
(см [3], [19]).
Теорема XII. Пусть выполнены предположения,сфор-
мулированные в главе II, § 1, и пусть вырожденная си-
§ 1]	СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
159
стема (1.2) имеет замкнутую фазовую траекторию 30. Тогда
при любом достаточно малом е невырожденная система (1.1)
имеет единственный и устойчивый предельный цикл Зе»
для которого кривая Зо служит нулевым асимптотическим
приближением, т. е. Зе—>3о равномерно при е—>0.
В самом деле, рассмотрим участок медленного дви-
жения PS замкнутой траектории Зо (см. рис. 48) и возь-
мем на нем точку L, отстоящую на конечное расстояние
как от точки падения Р, так и от точки срыва S. Пусть
ЬгЬ2—параллельный оси Ох отрезок с серединой в точке L
и длины ЗЛ^е, где —константа, участвующая в оценке
(П.4.1) при л=1. Используя построенные в главе II
асимптотические приближения, нетрудно проверить, что
траектория системы (1.1), начинающаяся в произвольной
точке отрезка за время, близкое к То (см. (1.5)),
снова пересекает отрезок LXL2. Следовательно, переход
по траекториям системы (1.1) порождает непрерывное
отображение отрезка ЬгЬ2 в себя. Поскольку у такого
отображения всегда есть неподвижная точка, невырож-
денная система (1.1) имеет по крайней мере одну замкну-
тую траекторию, нулевым асимптотическим приближением
которой является кривая Зо-
Обозначим через Зе любую из замкнутых траекторий
системы (1.1), обладающих свойством: 3s—ь?о ПРИ 8—►О-
Можно показать, что при достаточно малых е справедливо
неравенство
ф -^f'Ax, y) + s'y(x< у) dt
0.	(1.6)
Для доказательства следует найти доминирующий член
указанного в (1.6) интеграла при достаточно малых е,
взяв построенные в главе II асимптотические приближе-
ния участков траектории Зе с точностью до О(е1п (1/е));
этот член оказывается отрицательным. Мы не будем при-
водить здесь соответствующие выкладки, так как они
аналогичны вычислениям, проводимым ниже в §§ 3—6.
Из неравенства (1.6) на основании признака орбитальной
устойчивости Пуанкаре (см., например, [30], [3], [55])
заключаем, что замкнутая траектория Зе является устой-
чивым предельным циклом системы (1.1).
Отсюда в свою очередь вытекает, что система (1.1)
имеет единственную замкнутую траекторию, нулевым
160 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
асимптотическим приближением которой служит кривая р0.
Действительно, если бы таких траекторий существовало
несколько, то по меньшей мере одна из них должна быть
неустойчивой, а это противоречит неравенству (1.6).
Итак, при любом достаточно малом g система (1.1)
имеет единственное периодическое решение, равномерно
стремящееся к разрывному периодическому решению си-
стемы (1.2) при е—>0. Последующие параграфы этой главы
посвящены построению асимптотических приближений
цикла ре и его периода при 8—>0.
§ 2. Асимптотические приближения
траектории периодического решения
Предельный цикл р8 представляет собой замкнутую
кривую в плоскости (х, у), состоящую из конечного числа
чередующихся между собой участков медленного движе-
ния, срыва, быстрого движения и падения. Для асимпто-
тического вычисления участков траектории Яе можно
использовать формулы, полученные в главе II, причем
в качестве нулевого приближения в этих формулах сле-
дует брать соответствующие участки траектории Яо.
Рассмотрим на траектории 30 последовательные участки
медленного движения PS, быстрого движения SP и мед-
ленного движения PS (см. рис. 48). На этих участках
возьмем точки R°, Q", R, Q + , Р° и а на близком
к отрезку R°SPRfl участке траектории ре—точки Л, В,
£), Е и Л; правила выбора всех указанных точек опи-
саны в главе II (ср. с рис. 33, 35, 44, 45). Задача асимпто-
тического вычисления цикла ре, очевидно, сводится к за-
даче асимптотического вычисления его отрезка ABDEA.
Уравнение участка медленного движения АВ цикла ре
можно записать в виде
х = х?1(у, 8), r° sign g (S)< у sign g(S)<r2 sign g(S); (2.1)
асимптотические приближения этой функции построены
в главе II, § 3.
Уравнение участка срыва BD цикла Яб можно запи-
сать (в соответствующих локальных координатах, введен-
ных в окрестности точки срыва S) в виде
Л = Лз (£» е),	— q < q\	(2.2)
§ 3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ МЕДЛЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 161
асимптотические приближения этой функции построены
в главе II, § 16, а переход к координатам х, у осу-
ществляется по формулам главы II, § 5.
Уравнение участка быстрого движения DE цикла Be
можно записать в виде
у = у,(х,г),
ft sign Я (S) с х sign Г, (S) с р” sign ft (S);
асимптотические приближения этой функции построены
в главе II, § 17.
Уравнение участка падения ЕА цикла Be можно за-
писать в виде
х = хц(у, е), ~	4)
е sign g (Р)< у sign g	sign g (P);
асимптотические приближения этой функции построены
в главе II, § 20.
Следовательно, приведенные в главе II асимптотиче-
ские формулы дают возможность провести вычисление
близкого к разрывному периодического решения системы
(1.1) с произвольной степенью точности и, в частности,
определить амплитуду соответствующего релаксационного
колебания. Эти же формулы позволяют построить асимп-
тотическое разложение для периода Тъ релаксационного
колебания, имеющего траекторию Зе- Предварительно
отдельно вычислим время, затрачиваемое фазовой точкой
системы (1.1) на прохождение участка медленного дви-
жения АВ (время медленного движения), участка срыва BD
(время срыва), участка быстрого движения DE (время
быстрого движения) и участка падения ЕА (время па-
дения) траектории Be-
§ 3. Вычисление времени медленного движения
Рассмотрим участок медленного движения АВ траек-
тории Ве, который расположен вблизи отрезка R°R устой-
чивого участка x = xG(y) кривой Г (см. рис. 48); уравнение
участка АВ имеет вид (2.1). Время движения фазовой
точки системы (1.1) вдоль участка АВ будем вычислять
6 Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов
162 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
по формуле
Гг
т — С _ с
Ав ~ J g (X, у) ” J g (Х? (у, Е), у) ‘
АВ	го
г2
Подставим сюда вместо функции (2.1) ее асимптоти-
ческое приближение (см. (II.3.13)) и разложим подын-
тегральное выражение по степеням в (см. (II.3.7), (II.6.7)).
Тогда после несложных преобразований и элементарной
оценки остаточного члена получим
= Г dy I
J
г°
2
АГ-1 г2 _
S е" f gn (У,	(</), Х^у),
п- 1	<
хп(уУ)<1у + О(^ (3.1)
где функция g„(y, х0(у), хг(у), ...,х„(у)) определяются
как коэффициенты указанного разложения.
Ясно, что первый член формулы (3.1) представляет
собой время движения фазовой точки вырожденной си-
стемы (1.2) вдоль отрезка R°R ее траектории Зо
(ср. с (1.4)):
г 2
С dy  . f* dy  гр	/п о\
J у)~ J g(x, y)~TR0R'	(3'2)
r0	RQR
2
В главе II, § 3 мы видели, что каждая из функ-
ций Х;(у), i = 1,2, ..., выражается только через значения
правых частей системы (1.1) и нескольких их производ-
ных на дуге х = х0(у) кривой Г. Поэтому подынтеграль-
ную функцию второго члена формулы (3.1) можно пред-
ставить в виде
g„ (у, х0 (у), %1 (у), . -., Хп (</)) == g„ [f (х0 (у), у), g (х„ (у), I/)],
причем выражения £л(/(х, y)t g(x, у)] эффективно вы-
числяются при любом натуральном п и содержат только
функции f(x, у), g(x, у) и их производные.
Таким образом, справедливо следующее асимптоти-
ческое представление для времени медленного движения
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ СРЫВА
163
по участку АВ:
тав = тr”r+ 2 е" J &.(/(*, у), g (А </)) dy + О (е*),
п= 1	R0R
(3.3)
где W— произвольное натуральное число. В частности,
если воспользоваться формулой (II.3.14), то легко убе-
диться, что
Тлв = Т^+г f *lS^l. dy + O(&).
J fx(x,y)g(x,y)
R°R
Отсюда, принимая во внимание выполняющееся вдоль
кривой f (х, г/) = 0 соотношение
y)dxA~fy(x, y)dy = Q,
находим первое приближение времени медленного дви-
жения по участку АВ:
Tab = TRoR + е С	dx + O(&).	(3.4)
В RR J fx (х, у) g (х, у)	' ’	'	'
RQR
§ 4. Вычисление времени срыва
Рассмотрим участок срыва BD траектории ;^е, ко-
торый проходит вблизи отрезка Q~SQ+ траектории
(см. рис. 48). В окрестности точки срыва S вместо
координат х, у введем локальные координаты г]
(см. гл. II, § 5). В этих координатах система (1.1) за-
пишется в виде (II.5.6), а уравнение участка BD —
в виде (2.2).. Ясно, что время срыва TBD равно времени
движения фазовой точки системы (II.5.6) вдоль уча-
стка (2.2), которое будем вычислять по формуле (см. пер-
вое из уравнений (П.5.6))
(41)
Здесь использованы обозначения (II.6.3) и
'Л) — Р -q) 5	(4-2)
функция 6 (£, т]) определена и строго положительна всюду
в области Uo (см. гл. II, § 5), так что, в частности,
6 = 6(0, 0) > 0.
6
*
161 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, близкие к РАЗРЫВНЫМ [гл, lit
Так как асимптотические представления функции
'П = т1з(5> в) различны на разных частях участка срыва,
мы разобьем интеграл в формуле (4.1) на четыре инте-
грала— по отрезкам —	—су1? —
<т2^£^<7 соответственно. При этом величины
Oj и а2 определяются согласно правилу, описанному
в главе II, § 16, где следует положить a---N.
Вычислим сначала время Т-Чг _й1 движения фазовой
точки системы (11.5.6) по отрезку участка (2.2), который
отвечает изменению g в пределах ——ах. Учиты-
вая уравнение (II.6.2) и привлекая асимптотическое
приближение функции (2.2) в начале участка срыва
(см. (II.6.12)), после интегрирования по частям и оценки
остаточного члена получим
2g6(g, -g2)dg-
Исходя из асимптотических разложений’ (11.7.2) для
функций t|/(g), 1, 2, ..., легко проверить, что
с f tk — 1)
s - У, ••• ^(1)=
+lk=«.
l/> 1
00
=lirZ^4v. g—►—o.
»	v=0
С помощью этих разложений можно регуляризовать
(см. (11.13.14)) интегралы, входящие во второй член
Вычисление времени срыва
165
формулы (4.3):
Выражение (—aj получается, если, следуя главе II,
§13, подробно выписать соответствующие асимптотиче-
ские разложения интегралов (ср. с (II.13.1) — (II.13.3)).
Мы не будем приводить это выражение полностью,
а отметим только, что оно представляет собой сумму
возникающих при регуляризации явно зависящих от ох
членов вида
С8я1поп 1?Сп<1У;
остальные возникающие при регуляризации слагаемые
попадут в остаточный член.
Третий член формулы (4.3) перепишем так:
=	(-9), (4.5)
где выражения	—ах) и <§2(—q) определяются очевид-
ным образом.
Вычислим, далее, время T-Glto движения фазовой
точки системы (11.5.6) по отрезку участка (2.2), который
отвечает изменению | в пределах —ог^£<0. Учитывая
уравнение (II. 10.2) и привлекая асимптотическое прибли-
жение функции (2.2) в левосторонней малой вместе с е
окрестности точки срыва (см. (II. 10.16)), (II. 12.1)), после
166 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. Ill
элементарных преобразований получим
о
причем здесь символ v0(iz), встречающийся при £у--=2,
означает функцию г0 (и) (ср. с гл. II, § 12).
Раскладывая функцию (5, —52) в ряд Тейлора
в точке 5 = 0 и полагая затем ё = рц (напомним, что при
е—*0 имеем —>оо, однако	>0), мы придем
к разложению
—pu2)=	(4.7)
v=0
коэффициенты 6* которого эффективно вычисляются. Если
выполнить замену переменной интегрирования 5 = ци,
то, используя разложение (4.7), второй член формулы (4.6)
запишем в форме
Л/а+ 3 п- 1 [т/2]
Е	Е Е	х
n=3	m=2 I
0
X	S Vit-2(u). ..Vi а(u)du+ 0(8^.
«/	+»L— tfl,	"
iy > 2
Входящие сюда интегралы можно регуляризовать (ср.
с (11.13.21)), найдя предварительно с помощью соотно-
шения (11.12.12) асимптотическое разложение подынте-
гральной функции при и—>—оо. В результате второй
§ 4]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ СРЫВА
167
член формулы (4.6) преобразуется так:
?v2+ 2
п = 2
' V (I. -I2)
kl
3/V — 1	п— 1 [т/2]
” L S бл-«-1х
л=3	т—2 А=1
vZ1_2(iz)...v/ 2(u)drz +
:у>2
J N
(4.8)
Выражение £3(—oj получается, если, следуя главе II,
§ 13, подробно выписать соответствующие асимптотиче-
ские разложения интегралов (ср. с (11.13.20)). Отметим,
что оно представляет собой сумму возникающих при
регуляризации явно зависящих от cq членов вида
Ф" In Oj и имеющих порядок малости ниже О (е7^.
Возникающие при регуляризации члены, не зависящие
от olf появляются, очевидно, только из слагаемых вида
с/и, входящих в асимптотические разложения подынте-
гральных функций. Эти члены выписаны в формуле (4.8)
отдельно; нетрудно убедиться, что их коэффициенты эф-
фективно определяются:
Зп-1 х
Лп = — У, 22	К = min
m=2 А=1
Третий член формулы (4.6) с помощью естественных
обозначений представим следующим образом:
/Va+2	[л/2]	..
П-2	k=l
о
-о,
= ^(0)-^(-ai). (4.9)
1\
И /
168 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
Для получения асимптотической формулы для вре-
мени 0 движения по первой половине участка срыва
остается объединить результаты (4.3) и (4.6), учитывая
соотношения (4.4), (4.5), (4.8), (4.9). Существенно, что
при этом все члены, явно зависящие от о1я исчезнут,
так как справедливы равенства
gs(_a1)_<S1(-a1) = 0(8"),
©1 (—<*>)	(-»i) = 0 (е").
Докажем, например, первое из равенств (4.10). Исполь-
зуя разложение (11.7.2), можем написать:
Wi— 1 п
®2 (—®1) = £ е" £
п—1 k—1
(_„
и
‘Л*
Д',- 1 п
п— 1 k
(—01).. %(—Oj) =
ft! X
N + 3n-2k
x S (—i)'’-j"^+2<,"3'‘	2
v=0	L + ...+rfr = v, *
fl+...+/fe = n
•	+ 0 (eA).
k
С другой стороны, привлекая асимптотическое разложс
ние (II. 12.9), получаем
§ 4]	ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ СРЫВА	169
Отсюда видно, что достаточно установить равенство
уп 2	2	П/1- П;*
fx+... +ik=n-k, 1	*	1 к
/1+...+/л=у	/1+...+/ftSn
при всех возможных значениях индексов. Но это равен-
ство, очевидно, является прямым следствием формулы
(II.12.11).
Таким образом, имеет место следующее асимптотиче-
ское представление времени движения вдоль первой по-
ловины участка срыва BD:
°	3W-1
7-,.,= - J 2g6(g, -£М+ 2 Л">8»/« +
N
+ £ 4?еЧп 1 ®	(0) + О (е"). (4.11)
П=1
В частности, если воспользоваться формулами (II. 16.12)
и (11.6.9), то нетрудно проверить, что
Т —
1 -д.ч —
0
= - J 2J6 (|, -g«) dl +Т«/«6г0 (0) е»/«-1 т8£ е In | +
-q
о	о
|т6ЦпТ+	^dg-^Lju)^
—q	- а>
+g	'8 + at>, (0) е + О (8*/»).	(4.12)
ЛЧ
Вычислим теперь время T9t движения фазовой точки
системы (11.5.6) по отрезку участка (2.2), который отве-
чает изменению g в пределах 0^^^о2. Учитывая урав-
нение (II. 10.2) и привлекая асимптотическое прибли-
жение функции (2.2) в правосторонней малой вместе
с е окрестности точки* срыва (см. (11.10.17)), после не-
сложных преобразований ч оценки остаточного члена
170 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
получим (ср. с (4.6))
здесь символ а0 (и) означает функцию, введенную в гла-
ве II, § 9.
Используя разложение (ср. с (4.7))
v= и
коэффициенты 6J которого эффективно вычисляются, и вы-
полнив замену переменной интегрирования £ = запи-
шем первый член формулы (4.13) в форме
УУ3 + 3	и - 1 [т/2]
2 И” 2	$п-т-1Х
п=3 т= 2 k- 1
2	vJ>2(«)...^_2(u)du + O(e^).
0	/1 + ...+ »£— т,
*/>2
Исходя из формулы (II. 12.13), найдем асимптотическое
разложение подынтегральной функции при и ->4- оо, пос-
ле чего можно регуляризовать указанные интегралы.
§ 4]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ СРЫВА
171
.В результате первый член формулы (4.13) преобразуется
так:
ЗАГ-1 п-1[т/2]
= 2 Н" 2 2 х
n = 3	m = 2 k-1
00
ХЧ>и»-”-1	2 Dl,-t(u)...vlll.t(u)du +
'г2
3W л(л- 2)
+ Ен" X <vlnv4-+®5((’2)+0(8'v)- (4.14)
n=3	v=0
Выражение (а2) представляет собой сумму возникаю-
щих при регуляризации явно зависящих от <т2 членов вида
сцпа™ lnv (1/р) 1пиа2, имеющих порядок малости ниже О (eN).
Возникающие при регуляризации члены, не зависящие
от сг2, появляются, очевидно, только из слагаемых вида
oz-1lnvu, входящих в асимптотические разложения под-
интегральных функций. Эти члены выписаны в формуле
(4.14) отдельно; их коэффициенты эффективно опре-
деляются, если подробно выписать соответствующие асим-
птотические разложения (см. гл. II, § 13).
Рассмотрим второй член формулы (4.13). Сделав замену
переменной J = ци и воспользовавшись разложением в ряд
Тейлора (Р^» 0) = У, pv6*uv, ри 0, получим
v=o
JV, + 2 п [т/2]
п — 2 m=2k=l	ii+,.- + ib~m,
ij>2
Непосредственный анализ этого выражения с привлече-
нием формулы (II. 12.13) позволяет установить его-асимп-
тотическое разложение при «-> + «> и, в частности, выде-
лить в асимптотическом разложении слагаемые вида clnvu.
Ясно, что только из таких слагаемых после подстановки
и — со2 я» cfj/p возникнут члены, не зависящие от сг2.
172 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
В результате необходимых вычислений убеждаемся, что
второй член формулы (4.13) можно переписать следующим
образом:
tf,+2	[л/2]
3^ л(л —2)
О
= Ен" Е ^Vlnv-L + ®,(G2)-@,(0) + 0(8");
n=2	v=0
(415)

я
здесь коэффициенты эффективно определяются, а смысл
выражений <Se(o?) и ё, (0) непосредственно ясен.
Вычислим, наконец, время ТОаЛ движения фазовой
точки системы (II.5.6) по отрезку участка (2.2), который
отвечает изменению | в пределах	Учитывая
соотношение (4.2) и привлекая асимптотическое прибли-
жение функции (2.2) в конце участка срыва (см. (11.14.13)),
можем записать:
<*«
/ AG+2 л(м~2)	X
’ а Е, £ ц-> 2 Uv©lnv(l/n)
= J- цз I	____ILzi_____________L At _J_ О
sa+ 21*“ 2 Uv © in» (i/н)
n = 2	v = 0
Разложение подынтегральной функции в этой формуле
по величинам р," lnv (1/р) осуществляется в точности так
же, как и аналогичное преобразование в главе II, § 14.
Если затем, используя асимптотические разложения
(II. 15.3) для функций £nv (£), регуляризовать (см. (11.13.17))
получившиеся интегралы, то после простых преобразова-
ний найдем (см. (II. 14.9))
У	3W	л(л-2)- 1
=	Ен" Е 1пЦх
%	n=5 V = 0	f
Гл-31
tJ k s
; X £ £	(k_m^	& dl+ (аа)+0 (е^).
Л~1	(4.16
§ 4]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ СРЫВА
173
Выражение ©8 (о2) представляет собой сумму возникаю-
щих при регуляризации явно зависящих от <у2 членов
вида lnv (1/ц) 1пхо2, имеющих порядок малости ниже
О (s").
Для получения асимптотической формулы для време-
ни TQtq движения по второй половине участка срыва
остается объединить результаты (4.13) и (4.16), учитывая
соотношения (4.14), (4.15). Существенно, что при этом все
члены, явно зависящие от о2, исчезнут, так как справед-
ливо равенство (ср. с (4.10))
&s (<^) + еб (о2)-(<т2) = О (8").	(4.17)
Проверку равенства (4.17) можно провести прямыми эле-
ментарными, но весьма громоздкими вычислениями, если,
следуя главе II, § 13, подробно выписать соответствующие
асимптотические разложения и использовать формулы
(II.15.5).
Таким образом, имеет место следующее асимптотичес-
кое представление времени движения вдоль второй поло-
вины участка срыва BD:
3N	Жп-2)
e7(0)+0(e^).(4.18)
n=2	v=0
В частности, если воспользоваться формулами (11.16.12),
то нетрудно проверить, что
т.,, = Т2/’ в (Йо—V. (0)) в’/’ +1	In | +
8----
оо	д
4-	— -^-а£1пу—и0 (и) du -у
о	о
—ац1 (0)8 + 0 (е<-3), (4.19)
Лемма 15. Для времени движения фазовой точки не-
вырожденной системы (1.1) вдоль участка срыва ВD тра-
ектории Зе, лежащего вблизи отрезка Q~SQ+ траекто-
рии Зо, справедливо асимптотическое представление
TV + 1	Я(п — 2)	/ дг + 2
TaD = Tq-s + Е в’/« £ Л„., lnv ± + 0 (	1п*"> У
пя 2	v=0	\	.
(4.20)
174 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [гЛ. 111
где N—произвольное натуральное число, Для нахождения
коэффициентов An,v не требуется интегрировать сис-
тему (1.1).
Так как время срыва Тв^— я =	0 + То, q (см.
(4.1)), то утверждение леммы немедленно следует из фор-
мул (4.11) и (4.18). В самом деле, из соотношений (11.5,3),
(11.5.7) вытекает, что
О	ss
- И<£. -£«~ J J
q-	0. S
где Tq-s—время движения фазовой точки вырожденной
системы (1.2) вдоль участка ее траектории По- Далее,
очевидно, что (0) =	(0) (см. (4-9) и (4,15)). Наконец,
из формулы (4.5) ясно, что ©2(—q) представляет собой
полином по е.
Коэффициенты 4ft(V представления (4.20) вычисляются
непосредственно через значения правых частей системы
(1.1) и нескольких их производных на отрезке +
траектории Зо« В этом нетрудно убедиться, если проана-
лизировать определения коэффициентов в формулах (4.4),
(4.8), (4.14), (4.15), (4.16).
В главе II, § 6 мы видели, что каждая из функций
T].(g), i=l,2,выражается только через значения
функции у (5, л) и нескольких ее производных на участке
—?<Е<0 кривой т] = —J2. Поэтому обобщенный интег-
рал (см. (4.4))
о
-Я	Ц+-=
представляет собой обобщенный криволинейный интеграл
по указанному участку. Если выполнить замену перемен-
ных (II.5.3), то придем (ср. с (11.13.15), (11.13.16)) к
обобщенному криволинейному интегралу по отрезку
кривой Г от функции, выражающейся только через функ-
ции f(x,y), g(x, у) и их производные; появляющиеся
внеинтегральные члены выражаются только через значе-
ния этих функций и их производных в точке срыва S.
Аналогичное утверждение имеет место и относительно обоб-
щенных интегралов, фигурирующих в формуле (4.16).
6g V
fe!
§ 4]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ СРЫВА
175
Далее, обобщенный интеграл (см. (4.8))
о
Фи"-"-1 у vlt.,(u)...vlk.,(u)du
— оо	4j + ...+4^= Ш,
s->2
является линейной комбинацией универсальных констант
(обобщенных интегралов от универсальных функций) с
коэффициентами, выражающимися через значения правых
частей системы (1.1) и их производных в точке срыва S
(ср. с (11.12.17)). Аналогичное утверждение имеет место
и относительно обобщенных интегралов, фигурирующих
в формуле (4.14).
Наконец, константа (см. (4.8)) выражается че-
рез значение соответствующей производной функции
g(x, у) в точке срыва S (см. (4.7)), а константа Лп (см.
(4.8)) выражается через значения правых частей системы
(1.1) и их производных в точке срыва S и универсаль-
ные константы (коэффициенты асимптотических разложе-
ний универсальных функций). Аналогичные утверждения
справедливы и относительно констант, фигурирующих в
формулах (4.14), (4.15).
В качестве примера представления (4.20) укажем сле-
дующую формулу (см. (4.12), (4.19)):
rBD = Tq-s-M,.	+ 43, te In У + Л3, ,е + О (е*/’),
Лг,0 = ^6й„ Л3,1=4(Тв| + 2?|6),
(4.21)
Л, о =	(Т®6 + 2^6) In у—уб	+
0	,	9
> 1 7	-£2) 6g (S, -В2)	। 1а & °) Л? г « (~<Л -?2)
-г Ф “	'	2|	’ aS -Г Ф —р "г _2q
-д	о
Входящие сюда величины с помощью формул, приведен-
ных в гл. II, §§ 5, 12, 13, могут быть выражены непо-
средственно через правые части системы (1.1) и, следо-
176 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
вательно, определяются без интегрирования этой си-
стемы:
ф' (0) =
2fy(S) ’
,/x3> (S) fy(S) 3fxy(S) fx (S)
Gf'y* (S)
/	2
(S)
(5)
signg(S);
a = 1 /	----г, 6 = Ig(S) I,
V \fx(S)fy(S)\ H	Ц
2	1
I j" /Q\ f' /nJ ’	“ I ff CS) I ’
I fx (5) fy (S) I	Is P) I
, _	2/<3) (S) r,
Vf X
2/; (5)
/x(5)
sign fa (Я
(4.22)
Vy (S)
fx(S)
sign fa (S);
6t — —&x
0
J) 7(1,-I2) 6g(1,-12)
—Q
2|
I	Jl+
лк /xp- y)g(x> y)
s'AS)
fx (S) g (S)
ln<p' (0),
<7
la(L0)Jt. 1 dx ,	<p"(0)	.	r"/o\ <	//л,
J-gr- dt = J + a Sign fx(S) + a5 In q>' (0);
Qo= lim v0(u), 1^ - lim [X (u) — In u}\
U -+ co	U -+ W
0	co
A = 1 + zQ (u) du щ (u) dtr,
— CD	0
a(—z?, —q2) _ I
-2«	f'x(Q-) '
§ 5]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ БЫСТРОГО ДВИЖЕНИЯ
177
§ 5. Вычисление времени быстрого движения
Рассмотрим участок быстрого движения DE траекто-
рии Зе» который расположен вблизи отрезка Q+P° тра-
ектории Зо (см- Рис- 48); уравнение участка DE имеет
вид (2.3). Время движения фазовой точки системы (1.1)
вдоль участка DE будем вычислять по формуле
Подставим сюда вместо функции (2.3) ее асимптоти-
ческое приближение (см. (II.17.14)) и разложим подын-
тегральное выражение по величинам 8П/3 lnv (1/е). Тогда
после элементарных преобразований получим
ои
1	,	W + 4	л(м-2)~1
TDE=S \ У У X
J /(х, s2) * Z-i	Z-I е
q+	п = 5	v = О
Pl
X j f„, V (x, yQt 0 (x), y2t 0 (x), ... , yn-&i x (x)) dx -F
«1
/ JV+5	\
+ o e 3	, (5.1)
\ £ /
где функции v(x, i/o.o (x), i/2, 0(x), ..., ^_5iX(x)) оп-
ределяются как коэффициенты указанного разложения.
В главе II, § 17 мы видели, что каждая из функций
v(x) выражается только через значения правых частей
системы (1.1) и нескольких их производных на участке
SP траектории Зо- Поэтому подынтегральную функцию
второго члена формулы (5.1) можно представить в виде
f п, v (х, у$г о (х), y2t о (х), - - . , Уп-ь, х (-^)) —
f п, v [f (х, S2), S (^> ^2)],
причем выражения fn v [/(х, у), g(x, у)] эффективно вычис-
ляются при любом натуральном	любом натураль-
ном v,	— 2)^—1, и содержат только функции
f(x,y), g(x, у) и их производные.
176 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
вательно, определяются без интегрирования этой си-
стемы:
<р' (0) =
а
2f'y(S)	’
fx4S)fy(S) — 3fxy(S)fx(S) 1 /~ 2fy(S)
(S)	V fx(S)
у I lx ly |
8(S)। V I/;(5>/;(S)i ’	8= i«(S)i ’
“TO1-
Jfx PJ
K=_gx(S)
6 g2 (S)
signg(S);
sign f'y (S),
sign f'y (S);
о
—q

1 ^~gx(x,y) dx +
J e fx & y} g (X, y)
g'x(S)
fx (S) g (S)
ln<p'(0),
£a(|, 0) «.	£ dx ,	ф"(0)	•	( r\ //ЛЧ
J-p—dj= J + sign Zx(S)+aE In <p (0);
0	SQ+	'
Qo= lim un(u), - lim (w)~In u];
U -+ <ю	U —► 00
0
/0 “ 1 -f-
— 00
co
z0 (u) du u0 (u) dwf
о
a (—g, —q2) _	1
-2« /;<<?-) ’
§ 5]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ БЫСТРОГО ДВИЖЕНИЯ
177
§ 5. Вычисление времени быстрого движения
Рассмотрим участок быстрого движения DE траекто-
рии Зе» который расположен вблизи отрезка Q тра-
ектории Зо (см- Рис- 48); уравнение участка DE имеет
вид (2.3). Время движения фазовой точки системы (1.1)
вдоль участка DE будем вычислять по формуле
р?
dx _ С ___________dx
f(x, Е J f(xty3(xte))
Подставим сюда вместо функции (2.3) ее асимптоти-
ческое приближение (см. (II. 17.14)) и разложим подын-
тегральное выражение по величинам еп/3 lnv (1/е). Тогда
после элементарных преобразований получим
lnv—х
8
Р?
fп, V (*» Vo» 0 (я),
Va.oW»  • •» Уп-6, и (x))dx 4-
/ УУ + 5	\
4-о( в 3 1пя<*>у 1,
где функции Лг, v (х, Vo, 0 (*), Vs.oW, 	V«-e, х(*)) оп-
ределяются как коэффициенты указанного разложения.
В главе II, § 17 мы видели, что каждая из функций
уп, v (*) выражается только через значения правых частей
системы (1.1) и нескольких их производных на участке
SP траектории Зо- Поэтому подынтегральную функцию
второго члена формулы (5.1) можно представить в виде
fп, V	Vo, о С^)» V2, о (^)>   ' , Уп — Ь, X (^)) —
^fnt v [f (я, S2), ^f(%, S2)],
причем выражения fn v [f (x, y), g(x, у)] эффективно вычис-
ляются при любом натуральном	любом натураль-
ном v, 0^v^n;(/2 — 2)—1, и содержат только функции
f (х, у), g(x, у) и их производные.
178 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
Таким образом, справедливо следующее асимптотиче-
ское представление для времени быстрого движения по
участку DE:
Н ^ + 4	Л(л-2)-1
ТОЕ=г J	Е 1П’±Х
Q+ Р°	п-5	v = 0
х J fn, V [f (х, у), g(x, y)]dx + O\£ 3 1пл<А0— 1	(5.2)
Q + Р»	X	/
где N—произвольное натуральное число. В частности,
очевидно, что
^-е У Л^7)+0<е’/3>-	<5-3)
Q+po
§ 6. Вычисление времени падения
Рассмотрим участок падения ЕА траектории Зе, кото-
рый проходит вблизи отрезка P°PR° траектории Зо (см.
рис. 48); уравнение участка ЕА имеет вид (2.4). Время
падения будем вычислять по формуле
гр ___ С dy
J g(x, уУ	(6.1)
ЕА
Так как асимптотические представления кривой (2.4)
различны на разных частях участка падения, мы разобьем
интеграл в формуле (6.1) на два интеграла — по дугам
EG и GA соответственно. Напомним, что выбор точки
G(x,y) на отрезке ЕА траектории Зе зависит от жела-
емой точности асимптотического представления участка
падения (см. гл. II, § 20).
Вычислим сначала время движения фазовой точки
системы (1.1) вдоль дуги EG. Если воспользоваться па-
раметрической формой (II.19.11) уравнения этой дуги,
то можно записать:
у. С = g С_____________________bdw___________
EG J g{x,y) J Wg (pi-\-sZy(w, e), e^-eb In ш) ’
EG	1
здесь co—значение параметра до, соответствующее точке G.
Привлекая асимптотическое представление кривой (2.4)
§ 61
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПАДЕНИЯ
179
в начале участка падения (см. (11.20.17)) и раскладывая
подынтегральное выражение по величинам 8'г/3 lnv (1 /е)
(см. (II.20.5)), после несложных преобразований и эле-
ментарной оценки остаточного члена получим
<0
Teg — в С
b dw
sz0, о (^)> Pa)
А+ 5
£gn/3
п = 5
Л (п-2)- 1
Е invlx
v = 0
(О
*8. о («О»
zn-s. x(w))dw+
1
3 1пл^+1)±)	(6.2)
где функции ^*,v(Pi + s20,0(йу), z2i0(^), ..., zn_5iH(^))
определяются как коэффициенты указанного разложения,
а со = g-(w<-3)/3
Исходя из асимптотического представления (II.21.1)
для функции zo,o(w)» легко проверить, что
------—_------------- —"----
wg(Pi+szo,o(w), pj g(P)w 1	\ w2
Поэтому можно регуляризовать (ср. с (II.13.18)—(II.13.21))
интеграл, входящий в первый член формулы (6.2); с уче-
том значения со = e_(7V + 3)/3 и соотношений (II. 19.8) на-
ходим
(О
Г*	b dw	__
J L^g(Pi + s*o,o И. Рг) “
со
I?	b dw	I
J ^(Pi + sZo, о (^), р2)~” f'x(p)
е 1п со + О
(6.3)
Аналогично преобразуется второй член формулы (6.2).
Если провести вычисления, аналогичные приведенным в
главе II, §20, и воспользоваться разложениями (II.21.5),
то нетрудно убедиться в справедливости асимптотического
представления (ср. с (II. 21.4))
ёп, v (Pi + s?o
0(ш), г2,п« .... zn-s, хИ)' =
Л (п —2) —V - 1
(Х=0
180 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
С помощью этих соотношений можно регуляризовать ин-
тегралы, входящие во второй член формулы (6.2):
# + 5	л(л-'2)-1
У, е."13 У 1п” -i-х
n=5	v=0
v(P14-SZ0,0 И» Z2,oM ?Л-5,х(ЬУ))<^ =
^ + 5
Л (л-2)- 1
= У в-/9
п — 5
X v (p!±szOtO(w), z2t0(w), .... Zn-5, x(^))d^ +
JV + 8
+ eo(®) + O e 3 In — ) . (6.4)
Выражение (co) получается, если подробно выписать
соответствующие асимптотические разложения интегралов,
и представляет собой сумму возникающих при регуля-
ризации членов, явно зависящих от со:
Л (л-2) - 1 л (л- 2)-V
л. V	i
lnv — 1прсо.
Р	£
Вычислим теперь время движения фазовой точки си-
стемы (1.1) вдоль дуги GA. Если воспользоваться урав-
нением этой дуги в форме (2.4) (ср. с (II. 19.5)), то
 _IC dy _ е	,
Gj4 ’J	J	g(X?(y,£),y)
GA	У
где у = e-\-sb In co—ордината точки G (см. гл. II, §20).
Привлекая асимптотическое представление кривой (2.4) в
конце участка падения (см. (11.20.21)), после очевидных
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПАДЕНИЯ
181
преобразований получим (ср. с § 3)
7°
г2
у* 1 * _ С
J g(x0 (у), у)
$0
п= 1
^+3
- •, xAy))dy+O[ е 3 In^+D-i- ).
\	с* /
Так как функции х4-(г/), i = 0, 1, .... определены на всем
промежутке изменения переменной у между sj и s,2 (см.
гл. II, §§ 3, 19), то эту формулу естественно переписать
в виде
GA ~
7°
г 2
т *	| 3
____ч- У
J g{4{y}>y} S
Ра	Рг
А’ + 31
3 J V
У Е“ (	xn(y))dy +
п— I
Р2
Г dv
J g(xQ(y)t у)
Pt
/ jV + З	\
+ 0 е 3 ln"(*+’)-L .(6.5)
Повторяя рассуждения § 3, легко проверить, что пер:
вые два члена формулы (6.5) преобразуются так:
70
г 2
?2°
Г dy
J g (xQ (у), у)
Pi
п- 1
р2
17V + 31
J 3 J
+ У е“ \gn\f{x,y),g(x,y)}dy,	(6.6)
р«°
здесь ТР^9—время движения фазовой точки вырожденной
системы (1.2) вдоль участка PR0 ее траектории Зо (СР-
с (3.2)).
182 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. Ш
Рассмотрим третий член формулы (6.5). Учитывая,
что (см. (II.20.21), (11.20.17), (П.20.15))
/ 2V + 3
И
С
y = e-\-eb \пв)~Ех+2 (е)+еМп со4~0( е 3 1пя^ + 1>-|-^ ,
вводя функцию
G„ (у)	,
g(x0(y), у)
помощью формулы Тейлора находим:
dy
J g (*0 (y)t у)
Pt
£[EN+2(E)-\-&b\n<i)— p2]k
k\
/ tf + 3
у |E*+2 (e)—Pal* G'*-» (pj +	(m) +
k\
k=]
-POl P. 3 In я (N + D.L 1.
полностью выписан лишь первый член, получаю-
по формуле бинома Ньютона; очевидно, что он
Здесь
щийся
содержит слагаемые, не зависящие от величины со. Можно
непосредственно проверить (см. (II.20,8)), что
"|Л7 + 3"|
2 J
У j^+a(e)—
N + 2	л (n-2)
W + 3	. \
e s Inrt(w+1>± I (6.8)
= 2-^/3 2- ^n.vinv
n=2	vtd
причем коэффициенты v эффективно определяются.
Выражение (co) представляет собой сумму возникающих
§ б]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПАДЕНИЯ
183
при применении формулы бинома Ньютона явно завися-
щих от со членов, имеющих порядок малости ниже порядка
остаточного члена.
Совершенно аналогично преобразуется и четвертый
член формулы (6.5). Положим
Gn (y)=g„ (У, *0 (</) xL(y).х„ (у))-,
тогда, как нетрудно убедиться,
]аг+з1
з J у
S Е„(У,х0(у), *Лу)> .. ., xn(y))dy^=
п=} Pt
“12V + 31	”|^’ + 3-3n“|
J 3 J J 2 I
= E в" £ ^(a.-N*Gg-»(Pt)+
n—1	&=1
/ ^ + 3	\
+ <£** (co) 4- 0 ( e 3 1пл^-2> — ) =
\	6 у
W + 2	л(т-2)-1
=	E	®m,vlnv4 +
m = 5	v=0
/ ^ + 3	\
4" (co) 4“ l 8 3 lnnCV-2)— ), (6.9)
где коэффициенты $3*п,у эффективно определяются. Вы-
ражение <£**(<£>) представляет собой сумму явно завися-
щих от со членов, имеющих порядок малости ниже по-
рядка остаточного члена.
Лемма 16. Для времени движения фазовой точки не-
вырожденной системы (1.1) вдоль участка падения ЕА
траектории 38, лежащего вблизи отрезка P°PR° траек-
тории Зо» справедливо асимптотическое представление
J з J
ТЕЛ=ТР&+ S, 8" f Snlf (х, у), g(x, y)]dy+
N+1	л(л-2)	/ А7 + 2	\
+ £s"/;> X B„,vln4 + 0(e 3 ln"W± I,(6.10)
n—2	v=0
184 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. Ill
где N — произвольное натуральное число. Для нахождения
коэффициентов Вп ч не требуется интегрировать систе-
му (1.1).
Так как время падения Tea = Teg vTqa, то для до*
казательства леммы достаточно объединить результаты (6.2)
и (6.5), учитывая соотношения (6.3), (6.4), (6.6) — (6.9).
Существенно, что при этом все члены, явно зависящие
от со, исчезнут, поскольку справедливо равенство
---— е In ® + ©в (®)—@* (со)—©** (со) —
fx (Р)
/ N+2 \
= 0 8 3 InJt(AZ) 1 )	(6.11)
\ е J
Проверку равенства (6.11) можно провести прямыми эле-
ментарными, но весьма громоздкими вычислениями, если
подробно выписать соответствующие выражения и исполь-
зовать формулы (II.21.7), (II.21.8).
Коэффициенты представления (6.10) вычисляются
непосредственно через значения правых частей системы (1.1)
и нескольких их производных на участке быстрого дви-
жения SP траектории Зо- В этом нетрудно убедиться,
если проанализировать определения коэффициентов в фор-
мулах (6.3), (6.4), (6.8), (6.9).
В главе II, § 20 мы видели, что каждая из функций
zn, v (оу) выражается только через значения функций
f(x,y), У) и нескольких их производных на отрезке
SP. Если выполнить замену переменной x=p1 + szOi 0 (оу)
(см. (11.20.11), (11.20.12) и (II.19.8)), то обобщенный ин-
теграл (см. (6.4))
GD
gi,v(Pi+szilt(w), г,,0(ш).....z„_s,x(w))dw
1
преобразуется в обобщенный интеграл по отрезку Р9Р
траектории Зо от функции, выражающейся только через
функции f(x,y), g(x,y) и их производные. В получаю-
щемся интеграле, как и в появляющихся внеинтегральных
членах, будут, кроме того, фигурировать величины, вы-
ражающиеся только через значения этих функций и их
производных на отрезке SP°. Что касается констант 5В*, v и
Ж*, v (см- (6.8), (6.9)), то они, очевидно, выражаются
§ 61
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ПАДЕНИЯ
185
только через значения функций f(x, у), g(x, у) и их про-
изводных на участке SP (см. (II.20.3) и гл. II, § 17).
В качестве примера представления (6.10) укажем сле-
дующую формулу, которую нетрудно проверить, если вос-
пользоваться равенствами (11.20.18), (II.21.6), (11.20.22),
(3.4), (II.20.3), (11.17.15):]
Tea=Т1 pr° + е ( "? /  ч “Ь
fx(x, y)g(x, у)
PR0
. г.	i 1	,	~
i ^2,0°	1 ^3, Iе 111 е Г ^3, 0° 1	/’
2,о = — jjp^signg(S), В3,1 = — ^Lsigng(S),
_ yjQl „/С' ,	_,сч	(612)
з.о g (ру Sign g (v) “Г Qg (p)Slgri g (o)
г	q
V(S. °)jt I C S(x,y)Av ,
1
g(P)
о
Q+P°
QO
Ь dw
J wg (Pi + SZO, 0 (ay), p2) *
1
Выполняя замену (II.5.3), найдем (см. гл. II, § 13)
q
sign g (5) <i Ц-’ 0)
t/ s
0
_1_ 1 g (x'
J f (x, y)
SQ +
sign f'y (S) + % In <₽' (0) sign g (S).
(U)
(6.13)
Далее, переходя к новой переменной интегрирования
x = Pi + sz0 0(да), получим (см. (II.19.8), (II.20.11),
(11.21.1)): '
00	Pi
£ У dw	£ dx 1
J ^g(Pi + szOiO(w), р2) Jf(x,pt)r fx(P) 1,0
1	р[
= i ~ГГ^-------An & vrAdx. (6.14)
J f (x, y) g(P) 1 f (X, y)	v
p*p	p*p
186 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 111
Следовательно, входящие в формулу (6.12) величины
определяются (см. (4.22), (6.13), (6.14)) без интегриро-
вания системы (1.1) непосредственно через ее правые
части.
§ 7. Асимптотическая формула
для периода релаксационного колебания
Сейчас мы применим результаты §§ 3—6 для получения
асимптотической формулы, позволяющей вычислять с про-
извольной степенью точности период релаксационного
колебания, описываемого невырожденной системой (1.1).
Пусть Во—замкнутая траектория вырожденной си-
стемы (1.2) (см. рис. 48). Обозначим через Sn ..., SM
все различные точки срыва траектории Зо» занумерованные
в той последовательности, в какой их проходит фазовая
точка системы (1.2). Далее, обозначим через Р1( .. ., Рм
точки падения этой траектории, считая, что Рт—точка
падения, следующая за точкой срыва Sm, т \, ..., М.
Тогда траектория Зо естественно разбивается на М пар
смежных участков медленного и быстрого движения:
«$Л), (T\S2; S2P2)...SMPM). (?'!)
Теорема ХШ. Пусть выполнены предположения,
сформулированные в главе 11, § 1 и в § 1. Для периода Те
предельного цикла Зе невырожденной системы (1.1) спра-
ведливо асимптотическое представление
м	f N+2	\
7’e=T0+SA.7’+o(e •	(7.2)
т=]	4	7
где N—произвольное натуральное число, 7\—период замк-
нутой траектории Зо» вычисляемый по формуле (1.5), а
величина &тТ, /п—1, ..., М, представляется в виде
N + 1 л (п~ 2)
Д»7’=^е"/’ £	(7.3)
п — 2	v=0
Коэффициенты при каждом т,	выра-
жаются непосредственно через значения правых частей
системы (1.1) и их производных на соответствующей паре
(Pm-iSm', SmPm) смежных участков траектории Зо, так
ПЕРИОД РЕЛАКСАЦИОННОГО КОЛЕБАНИЯ
187
что для определения этих коэффициентов не требуется
интегрировать невырожденную систему (1-1).
Из пар смежных участков (7.1) возьмем произвольную
пару (PS; SP) и рассмотрим близкий участок ABDEA
траектории Зе (см. § 2 и рис. 48). Объединяя результаты
(3.3), (4.11), (4.18), (5.2) и (6.10) с учетом требуемой
точности, легко находим следующее представление для
времени движения фазовой точки системы (1.1) вдоль
этого участка:
"р + 21
J 3 J г
Taa=T^s + 2 е" J ё„[Нх'У')> g(x>y)]dy+
n=l ROQ-
J з J с
+ Г0-я+ 2	J gnlftx, у). g(x. y)]dy —
n=l	Q~R
1W + 21
АГ + 1	J 3 J
-©,(-?)+ £ Asw + £ In 1+
n~3	n=l
^+ 1
gn/s
Л (n — 2)
v=0	q+ po
dx
f(*Ty)
W + l л(п-2)—1
+ X 8"/s £ ln4J fn,y[f(x,y), glx, y)]dx+
n = 5	v=0	Q4-po
jV+ 1	л (n — 2)
+ Le"/S £ sn,Jn'4+7’₽a.+
n — 2 v—0
1# + 2l
J 3 J p
+ 2 8’ J y), g(x, y)]dy+
n=l
/ N + i	. \
+ 01 e 3 lnIt<^>—(7.4)
\	£ у
Для вычисления периода Т& цикла Зе нужно составить
выражения типа (7.4) для каждой из пар смежных участ-
ков (7.1), а затем сложить все такие выражения. При
этом, очевидно, можно произвести перегруппировку сла-
гаемых, а именно: последние два выписанных члена
188 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [гл. Ill
формулы (7.4)
~1 А ; 2 ~|
J 3 J п
Т’рд.Н- 2 8" J Sn U (x,y), g (х, y)]dy
n=i	PR0
отнесем к выражению, которое отвечает паре смежных
участков, последующей за парой (PS; SP), а к выражению
(7.4) присоединим два аналогичных члена
m t
т;-R.+ 2 8“ J gn[f(x, у), g(x,y)]dy (7.5)
п = \ P R$
из выражения, которое отвечает'паре смежных участков,
предшествующей паре (PS; SP). Слагаемые (7.5) объеди-
ним соответственно с первым и вторым членами фор-
мулы (7.4).
Далее рассмотрим третий, четвертый и пятый члены
формулы (7.4). Из результатов главы II, § 7 и § 4 настоя-
щей главы непосредственно видно, что с точностью до
величин требуемого порядка малости каждый из этих
членов представляется полиномом по е. Более подробные
вычисления позволяют, убедиться, что справедливо со-
отношение
]^]	г
Tq-r+ 2 8’ J g„[f (х, у), g <х, x)]dy— ©,(—<?) =
/1=1	Q-Я
/ 7V + 2	\
= О^е 3	(7.6)
Таким образом, имея в виду указанную выше пере-
группировку слагаемых и учитывая равенство (7.6), можно
участку ABDEA траектории Зе поставить в соответствие
выражение
JV+1	л(га-2)	/ дг + 2	X
т'ла=TPs + £ е"/» £ ^alnvl+ol Е—
П = 2	v=0	4
Коэффициенты этого выражения, очевидно, определяются
лишь значениями функций f(x, г/), g(x, у) и их произ-
водных на участке PSP траектории Зо- Отсюда немед-
ленно вытекают формулы (7.2) и (7.3).
§ п
11ЁРИ0Д РЕЛАКСАЦИОННОГО КОЛЕБАНИЯ
189
Теорема XIII до конца решает вопрос о структуре
асимптотического разложения периода Те релаксационного
колебания в системе второго порядка (1.1), которому
отвечает устойчивый предельный цикл Зе> близкий к фа-
зовой траектории Зо разрывного периодического решения
вырожденной системы (1.2). Это разложение имеет вид
ос	л(п-2)
П=0 у—О
I
(7-7)
где (см. (II.12.14))
л(п) =
если
если
п ф 1 (mod 3),
п = 1 (mod 3),
или, что то же самое,
, ч п , 2 У 3 , лп
n(n)=3+-1-tgT.
Ряд (7.7) является естественным обобщением обычного
асимптотического степенного ряда и обладает многими
свойствами формальных степенных рядов.
Подчеркнем, что структура (7.7) асимптотического
разложения для периода релаксационного колебания по-
лучена при некоторых предположениях (см. гл. II, § 1 и § 1)
относительно системы (1.1) и, в частности, в предположении
о невырожденности всех точек срыва траектории Зо
(см. (II.1.6), (II.1.15)). Структура асимптотического раз-
ложения в случае, когда нерегулярные точки траектории Зо
имеют более общую природу, выясняется в [51].
Коэффициенты разложения (7.7) определяются рекур-
рентным образом без интегрирования невырожденной си-
стемы (1.1). Проводя более подробно вычисления, опи-
санные в §§ 3—6, можно найти явные выражения для
любого наперед заданного числа этих коэффициентов
непосредственно через функции f(x,y) и g(x,y). Например,
если исходить из представлений (3.4), (4.21), (5.3), (6.12)
и учесть соотношения (4.22), (6.13) и (6.14), то после
элементарных преобразований нетрудно установить сле-
дующее утверждение.
Теорема XIV. Для периода Те предельного цикла Зе
невырожденной системы (1.1), удовлетворяющей предполо-
жениям главы 11, § 1 и § 1, справедливо асимптотическое
190 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. 1П
представление
м
+° (е4/а): (7-8>
Зо к	т-1
здесь величина ктТ, т=\, . М, соответствует паре
SmPm) смежных участков траектории Во и вы-
числяется по формуле
Д„7' = ЭС,™(1е.2;1!-Ж”1е1п^ + Ж"(,К,	(7.9)
О
где
^« = T2/’(S»)fioX(SA).
^“1 = у Ti (SJ х (S- Л») +| 7 (««) «6 (5„),
«’?,=	&	, йл(х' ^4-
fx(x, y)g(x, у)
“m -1®
, 1	<fr______1	1 g(x. y) .
+ J f(*. <0 g(Pm) J /(*,»)
SmPm	SmPm
+ Tj(s®)Qi—у % (s»>) In T (5J+
+ Yi (S„) In <p' (SJ 4- T (S„)	sign n (Sa) X (SmPm)-
\bm)
-Y(Sm)6i(S„) r/o+llnV(Sm)-|lnq>'(Sjl ;
(7.Ю)
<P" (S„) =
X (S„P„) =
fx* (Sa) f'u (Sm)	(S„)
6fy (8И) <p' (S„)
1(ад—г(Р^)] S1£n£(s”-)’
signg(SJ,
v(SJ lg<S”’)l]/'|Z®(s„)(-(s„)r
(S J =	sign g (S„),
St (S„) = —	Sign f'y (Sm),
§ 8]
ФОРМУЛА ДОРОДНИЦЫНА
191
Q0 = limti0 (u), Qj = lim [г\ (u)—Inu],
и ®	U -► 00
0	®
/0 = 1 + z0 (u) du y0 (u)du.
— Co	0
§ 8. Уравнение Ван-дер-Поля. Формула Дородницына
Применим теорему XIV для приближенного вычисле-
ния периода релаксационного колебания в системе, опи-
сываемой уравнением Ван-дер-Поля.
Мы уже отмечали (см. гл. I, § 3), что при любом
значении параметра А > 0 среди решений уравнения
Ван-дер-Поля (см. (1.3.6))
^£+ц_1+х.)£+х = 0	(8.1)
существует и периодическое. Нетрудно убедиться, что при
достаточно больших значениях параметра А это периоди-
ческое решение имеет характер релаксационного колебания.
Введем еще одну неизвестную у, новое время t и
параметр е по формулам (ср. с (1.3.7))
X
у = f (х2— 1) dx 4
о
1 dx
к di ’
/ — , е —	.	(8.2)
Тогда от уравнения (8.1) легко перейти к системе вто-
рого порядка (ср. с (1.3.8))
ех ~ у—-тгХ3
О
У = — х
(8-3)
с малым (положительным) параметром при производной,
т. е. к системе того типа, который изучается в преды-
дущей и настоящей главах. Непосредственно проверяется,
что система (8.3) удовлетворяет всем предположениям,
сформулированным в § 1 и в главе II, § 1. В частности,
ясно (см. гл. I, § 4), что вырожденная система
г/ —-^-х34-х = 0,
О
.у = — X
192 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ, III
имеет замкнутую фазовую траекторию Зо (см. рис. 8),
состоящую из двух участков Р28г и PjS2 медленного
движения и двух участков и S2P2 быстрого движе-
ния, Координаты точек срыва S1( S2 и точек падения
Рг, Р2 таковы:
^(-1,2/3), Sa(l, -2/3), Л(2, 2/3), Ра(-2, -2/3).
(8-5)
Из теоремы ХП теперь следует, что у невырожденной
системы (8.3) при каждом достаточно малом значении
параметра 8 существует единственный и устойчивый пре-
дельный цикл Зе» причем 3е~^3о равномерно при 8—>0.
Другими словами, система, описываемая уравнением (8.1),
при достаточно больших значениях параметра X совер-
шает устойчивое релаксационное колебание.
Применяя формулы главы II, удается получить асимп-
тотическое представление с произвольной степенью точно-
сти по 8 для замкнутой траектории Зе системы (8.3),
например, с точностью до величин порядка малости е4/3
при е—>0. Тем самым решается задача приближенного
нахождения близкого к разрывному периодического ре-
шения уравнения (8.1)/В частности, можно рассмотреть
и задачу о вычислении важной характеристики релакса-
ционного колебания — его амплитуды. Мы, однако, не
будем останавливаться здесь на всех этих задачах и
ограничимся лишь построением асимптотического прибли-
жения для периода релаксационного колебания с точно-
стью до величин порядка малости е4^3.
Согласно формуле (7.8) для периода Ts предельного
цикла Зе системы (8.3) справедливо асимптотическое
представление
Те = Т0 + Д1Т + Д2Т + О(84/3),	(8.6)
где То — период замкнутой траектории Зо системы (8.4),
а величины и Д2Т соответствуют парам (РД; ^PJ
и (Pi52; S2P2) смежных участков этой траектории. Оче-
видно, что
Т, = ^ = 3-21п2.
Зо Х
Далее, заметим, что поле фазовых скоростей системы (8.3)
обладает центральной симметрией, а потому Д17 = Д27',
так что достаточно вычислить, например, величину Д^.
§ 8]
ФОРМУЛА ДОРОДНИЦЫНА
193
По формулам (7.10) с учетом (8.5) легко получаем:
<₽'($1)=1, <₽"№) =-1/3,	Z(S1P1) = 3/2,
T(S1) = 1. n(SI) = -2/3,	6j(S,)--=l.
Нетрудно найти значения и участвующих в формулах
(7.10) обобщенных интегралов (см. гл. II, § 13):
1
= |1п2—Ь1п 3,
0	2
£ dx ________ о £ dx	q £ dx
Д и [х^х~	(Т-2)’(х+1)2~6 J (х-2)(х+1)3-
SjP, У~~^Х -|-Х	-1	0
2 1 о	1
3 1и 3	з ,
2
— х dx __Q	xdx	4 . q 1
J 1 ~	" 6 J (х-2) (х+ I)2 “ “ Т Ш З- *
яД у-^ + х	Д']
Теперь уже можно выписать выражение для величины
&1Т (см. (7.9)), а затем подставить его в соотношение (8.6).
В результате придем к следующему асимптотическому
представлению для периода траектории £е системы (8.3):
Те = 3— 2 In 2+3Qoe’/= —1 е In - +
+ (з 1п2 —In 3—2Q,—2/J е +0 (е4/3); (8.7)
входящие сюда универсальные константы Qo, ££ и /0
определены в (7.10). Подчеркнем, что здесь период вы-
числен относительно времени t. Если же вернуться к вре-
мени t и параметру % (см. (8.2)), то равенство (8.7) пере-
пишется в виде
7\ = (3—2 In 2) % + 3Q0V1/3 — -f-Ш +
+ (31П2—1пЗ—2Q,—2Z,) j + О
Это—-известная формула Дородницына для периода релак-
сационного колебания системы, описываемой уравнением
Ван-дер-Поля (см. [18], [58]).
7 Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов
Глава IV
Системы произвольного порядка.
Асимптотическое вычисление решений
В отличие от случая п = 2, рассмотренного в двух предыдущих
главах, асимптотическое разложение траекторий системы произволь-
ного порядка п, содержащей малый параметр при части производ-
ных, до сих пор не известно. В частности, не удалось получить и
асимптотическое разложение периодических решений, описывающих
релаксационные колебания.
В настоящей главе вычислено асимптотическое ^ приближение
траекторий системы произвольного порядка с малым параметром 8
при части производных с точностью до величин порядка малости
не ниже 8.
§ 1. Основные предположения
Будем изучать фазовые траектории системы
I	= f (X1,
1 !?=g'(*1. ••,х4, У1, У1),
/=1, ...,&, /=1, ...,/, k-]-l = n,
где е — малый положительный параметр. Буквами х, у,
f, g без индексов будем обозначать векторы
x = (xh ...,х*), f = (f\
У = {уг, •	</'). g = (g1, ,g‘)-
Правые части системы (1.1) предполагаются определен-
ными во всем фазовом пространстве Rn переменных
х1, ..., х\ у1, ..., у1 и достаточно гладкими, т. е. диф-
ференцируемыми по совокупности этих переменных столько
раз, сколько нужно при проведении вычислений. Фазо-
вое пространство /?", n = k-]-l, системы (1.1) ^представ-
ляет собой прямую сумму ^-мерного подпространства Xk
и /-мерного подпространства Y1.
Системе (1.1), которую мы назовем невырожденной,
поставим в соответствие вырожденную систему, получаю-
щуюся из (1.1), если положить е = 0:
Г /‘(х1, ..хк, у1, ..у‘) = о, i=l,...,k,
[y^g^x1........хк, у1....у1), /=1,	(12)
ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
196
§ И
Кроме того, введем соответствующую системе (1.1) си-
стему уравнений быстрых движений
=	...,х*, у1, ..., у1), 4 = 1, ...,&. (1.3)
Это—нормальная система k-ro порядка, в которой вели-
чины у1, --^у1 считаются параметрами. Фазовое прост-
ранство системы (1.3) отождествим с ^-мерной плоскостью
Xki ; пространства Rn, состоящей из точек (х1, ..., xk,
у1, ..., у1), где у1, ..., у1—фиксированы. Будем предпо-
лагать, что система (1.3) при любых значениях параметров
у1, ..., у1 своими стационарными решениями имеет лишь
положения равновесия.
В дальнейшем существенную роль играет /-мерная
поверхность Г, выделяемая в пространстве /?" совокуп-
ностью первых k уравнений системы (1.2):
/Ч*1» ..., xk, у1, ..., у1У = О, 1 = 1, ..., k, (1.4)
Ясно, что эта поверхность представляет собой множество
всех положений равновесия системы (1.3) при всевоз-
можных значениях параметров у1, . .., у1 (см. рис. 24).
Рассмотрим матрицу
определенную в пространстве Rn и, в частности, на по-
верхности Г. Совокупность тех точек поверхности (1.4),
в которых все собственные значения матрицы (1.5) имеют
отрицательные действительные части, назовем устойчивой
областью поверхности Г и обозначим Г_. Впредь будем
считать, что в устойчивой области Г_ нет положений
равновесия системы (1.1).
Точки поверхности Г, для которых справедливо ра-
венство
det 51 (х1, . ..,хА, у1, ...,г/9=0,	(1.6)
назовем нерегулярными, В общем случае множество Го
всех нерегулярных точек является (Z—1)-мерным под-
множеством поверхности Г и разбивает эту поверхность
на две или несколько частей. В силу соотношения (1.6)
в каждой нерегулярной точке хотя бы одно собственное
значение матрицы 51 обращается в нуль.
7*
196
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
Нерегулярную точку S (xj, ..., xj, у}, .. ., поверх-
ности Г назовем точкой срыва, если выполнены следую-
щие условия:
а)	точка S не является положением равновесия си-
стемы (1.1), т. е. £(3)т^0;
б)	все собственные значения матрицы 91 (S), кроме
одного, которое обращается в нуль, имеют отрицательные
действительные части;
в)	у системы (1.3) при у1==Уо,	У1~У1^ существует
лишь одна траектория, примыкающая к точке S при
t ->—'оо;
г)	в любой ^-мерной плоскости пространства Rn, ко-
,Лг
торая получается из плоскости Xyit yi сдвигом на век-
тор h (пропорциональный вектору g(S) и достаточно
малый, но не зависящий от в), нет положений равнове-
сия системы (1.3), близких в пространстве Rn к точке S.
Пусть (х1, ..., xk, у1,	у1)—точка пространства
Rn, не лежащая на поверхности Г. Рассмотрим выходя-
щую из данной точки траекторию системы (1.3) (в кото-
рую вместо параметров у1, ..., у1 подставлены их зна-
чения ух = у\ У1 = У1). Если эта траектория при
возрастании t стремится к устойчивому положению рав-
новесия (х1, ..., хА, г/1, ..у1), принадлежащему устой-
чивой области Г_, то точку (х1, ..., х/г, у1, ..., у1)
назовем точкой падения из точки (х\ ..., хл, у1, . .., у1)
(см. рис. 14, 15).
Наконец, пусть S (xj, ..., xj,	, ylQ)—точка срыва,
удовлетворяющая такому дополнительному условию:
траектория системы (1.3) при y1=yl, --.,у1=Уоу примы-
кающая при t -+— оо к точке 5, асимптотически при-
ближается при t	к устойчивому положению рав-
новесия Р (xl, ..., х*, #}, • • • > Уо), лежащему в устойчивой
области Г_. Тогда точку Р назовем точкой падения,
следующей за точкой срыва S (см. рис. 14, 15).
§ 2. Нулевое приближение
Для системы (1.2) можно ввести понятие разрывного
решения (см. гл. I, § 6); тогда под фазовыми траекто-
риями этой системы естественно понимать траектории ее
НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
197
§ 2]
разрывных решений. Другими словами, фазовой траек-
торией вырожденной системы (1.2) с начальной точкой Q
назовем непрерывную кривую St в пространстве Rn, ко-
торая получается последовательно по такому правилу:
1.	Если точка Q (х1, . . ., xk, у1, . . ., у1) не лежит на
поверхности Г, то существует единственная траектория
системы (1.3), выходящая из точки Q. Эта траектория
либо уходит в бесконечность, либо приближается к не-
которому положению равновесия. В дальнейшем мы
ограничимся рассмотрением лишь того случая, когда су-
ществует точка падения из точки Q. Тогда траектория $
своим первым звеном имеет лежащую в плоскости Xt
дугу траектории системы (1.3), начинающуюся в точке Q
и пополненную точкой падения из точки Q. Фазовая
точка системы (1.2) проходит это звено траектории St
мгновенно и попадает в устойчивую область Г_.
2.	Если точка Q (х1, . ..,xft, у1, ..., у1) принадле-
жит устойчивой области Г_, то однозначно определяется
траектория системы (1.2), выходящая из точки Q (см.
гл. I, § 6). Эта траектория либо всегда остается в устой-
чивой области Г_, либо в некоторый момент времени
попадает в точку 5^Г0. В дальнейшем мы ограничимся
рассмотрением лишь того случая, когда S является точкой
срыва. Тогда траектория St своим первым звеном имеет
лежащую в устойчивой области Г_ дугу QS траектории
системы (1.2). Фазовая точка системы (1.2) проходит это
звено траектории St за вполне определенное конечное
время. Такое звено назовем участком медленного движе-
ния траектории
3.	Если точка Q (xj, ...,xj, f/J, . . ., у10) является
точкой срыва, то существует единственная траектория
системы (1.3), примыкающая при t—►—оо к точке Q.
Эта траектория при t—-го° либо уходит в бесконеч-
ность, либо приближается к некоторому положению рав-
новесия. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением
лишь того случая, когда существует точка падения Р,
следующая за точкой срыва Q. Тогда траектория St своим
первым звеном имеет лежащую в плоскости X}ti дугу
указанной траектории системы (1.3), пополненную точ-
ками Q и Р. Фазовая точка системы (1.2) проходит это
198
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
звено траектории £ мгновенно и попадает в устойчивую
область Г_. Такое звено назовем участком быстрого дви-
жения траектории
На рис. 14, 15, 24 изображены, в частности, фазовые
траектории системы (1.2), построенные по указанному
правилу в перечисленных выше предположениях. Во всех
других случаях фазовые траектории вырожденной системы
мы определять не будем.
Пусть теперь	—некоторая фиксированная точка
фазового пространства Rn и существует фазовая траек-
тория $0 вырожденной системы (1-2), исходящая из этой
точки. Обозначим через фазовую траекторию невы-
рожденной системы (1.1) с той же начальной точкой Qq.
Наводящие'* соображения, изложенные в главе I, § 5,
подсказывают, что справедливо следующее утверждение.
Теорема XV. В произвольной ограниченной части
фазового пространства кривая служит нулевым асимп-
тотическим приближением траектории $в, т. е, £е—
при е—>0 равномерно на любом отрезке траектории
конечной длины.
Доказательство теоремы XV не просто. Сравнительно
легко оно получается для участка траектории между
двумя последовательными точками срыва вне конечных
не зависящих от 8) окрестностей этих точек (см. [57],
12]). Более того, для такого'участка траектории £е можно
указать равномерное асимптотическое приближение с точ-
ностью до величин порядка е, если воспользоваться
одним обобщением предложенного в [13], [14] алгоритма
построения асимптотического разложения. Мы сформули-
руем соответствующий результат, но не будем останав-
ливаться на его обосновании, так как необходимые рас-
суждения аналогичны приведенным в [14].
Теорема XVI. Пусть
x^x^t, 8), i= I, ...,&, yl=yJ(t, e), /= 1, ..., Z, (2.1)
— решение невырожденной системы (1.1), удовлетворяющее
начальным условиям
х'(/п 8) = х'+а/82/3 4-Z?,'eln(l/e)-bO(e), Z = 1, ...,Zj,
(2.2)
r//(Zi, 8)-^+^’82/3+d78 1n(l/e)+0(8),	/=1,
НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
199
причем точка Q (х1, ..., xk, у1, ..., у1) лежит на конеч-
ном расстоянии от поверхности Г и существует точка
падения Р (х1, ..., х\ у1, ..., у1) из точки" Q, принад-
лежащая устойчивой области Г_. Пусть, далее,
=	«=1------k,
— решение системы уравнений быстрых движений (1.3)
при у1=у\ ..., у1 = у1 и начальных условиях
1Гх(0) = х'’—х1', 1 = 1, ....k.
Наконец, пусть
i=l, ...,k, yf = yl(t), /=1,	(2.3)
— решение вырожденной системы (1.2) с начальными
условиями
уКЮ^у', /=1>	1-
Если участок траектории решения (2.3), отвечающий от-
резку tx^.t ^/2, целиком расположен в устойчивой обла-
сти Г„ вне конечной окрестности множества Го, то
решение (2.1) определено на всем отрезке	и
равномерно на этом отрезке представимо в виде
х'(/, е) = х'о(О+П?х 4-Ф;(^ е)е2/« +
+ Ф'(/, e)eln-J-H-O(e), i=l, ...,k,
С
£//(/, e) = г/j(0 + (*> е)82/3 e)81ny + 0(e),
о
/ 1» • • •» л
причем функции yl(t, е), Ф* (t, е), ipy(/, е), W(/, 8) эф-
фективно определяются. Если —произвольное не завися-
щее от е число, удовлетворяющее условию tr < tx < /2, то
на отрезке	для решения (2.1) имеет место рав-
номерное представление
xl(t, е) = х'(/)Н-О(е), i=l, ...,k,
yi{t, 8) = f//o(O + ^(8),	/=1,
Из теоремы XVI видно, что при подходе к точке
срыва на малом конечном расстоянии от этой точки траек-
200	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ [гл. (V
тория $е отличается от траектории на величину по-
рядка е. Дальнейшие параграфы настоящей главы посвя-
щены построению асимптотического приближения траек-
тории &Е с пренебрежением величинами порядка е
в конечной окрестности точки срыва. В частности, мы
убедимся, что и в такой окрестности нулевым асимпто-
тическим приближением участка траектории £е служит
соответствующий участок траектории £0. Кроме того, мы
покажем, что при отходе от точки срыва на малом ко-
нечном расстоянии от этой точки для траектории $е
справедливо представление типа (2.2); таким образом,
для вычисления последующего участка траектории
можно применить теорему XVI.
§ 3. Локальные координаты в окрестности точки срыва
Для асимптотического вычисления траекторий £Е си-
стемы (1.1) вблизи точки срыва введем в малой, но
конечной (т. е. не зависящей от е) окрестности этой точки
вместо х1, ..., xk, у1, . .., у1 локальные координаты
g1, ..., gft, т]1, ..., т)', в которых система (1.1) запишется
в достаточно простой форме.
Пусть S(xJ, ..., z/J, ..., —точка срыва. Раз-
ложим правые части системы (1.1) в окрестности точки S
по формулам Тейлора, выписывая лишь члены, которые
понадобятся в дальнейшем:
/*(х‘,	х", у1,	у‘) =
= л; (х“-х?) +В-, (ук—уЧ) + A'af) (х“-х?) (х»-8) +
+ А1^ (х“-х“) (х₽—х?) (xv-xv)
(3.1)
gj^x1, xk, у1,	y*)=
=g/(x*„, ..., xka, yl, + Ci (x“—x?) + ...,
/=1, .... I.
В формулах (3.1) мы, пользуясь тензорными обозначе-
ниями, опускаем знак суммирования—если в некотором
члене один и тот же индекс встречается сверху и снизу,
§ 3]	ЛОКАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ	201
то это автоматически означает суммирование по нему
в естественных пределах, например:
k
Л1 (Уа va'i  'У' А1' (у* 
(X	Xq )— zia	А0/,
а= 1
в‘^-1И)= 2
м= 1
Согласно определению точки срыва S матрица
a (S) = II А‘а II = || д1‘ (*°' - 	- у!^ [[	(3.2)
имеет лишь одно нулевое собственное значение (кратно-
сти единица). Принадлежащий ему единичный собствен-
ный вектор обозначим
т = (тл, ..., mk).
Собственный вектор с нулевым собственным значением
транспонированной матрицы обозначим
n = (nlt ..., nk).
Вектор п определяется однозначно, если дополнительно
потребовать выполнение нормирующего соотношения
щапа=1.	(3.3)
Таким образом, справедливы равенства
Л‘а/па = 0, Л?па = 0,	Z=l,	(3.4)
Возьмем линейно независимую систему векторов
ег,	..., ег- = (е}, ...,	<?*),	1=1,	(3.5)
где е1 = т,	а другие е{ таковы,	что	(ef,	п) = 0 и в осталь-
ном произвольны. Далее, возьмем линейно независимую
систему векторов
/in ...,	—	..., /ф, j= 1, ..., /, (3.6)
где h1 = g=(g\ ..., gl) = g(xi, ..., 4»	•••> *4),
а остальные hj произвольны. Пусть вектор x—x0 раскла-
дывается по базису (3.5) с коэффициентами I1, ...,
а вектор у—у0 раскладывается по базису (3.6) с коэф-
фициентами i]1, ..., if:
X? 4 = I* = 1, . •  ,	(3 7)
у1'—у1 = ^Щь,
202
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
Воспользовавшись соотношениями (3.1), (3.3), (3.4)
и проведя очевидные преобразования, найдем, что в коор-
динатах g1... gft, т]1, ..., if система (1.1) запишется
так:
' ef1 = Р (Г1)’ + qy+Ь^' + d* (5*)3 +
+ с^1Лх + 4^Т' + ....
4'=41а'+*й2+Я(11)а+з;(1,)3+	,38)
+ 4W‘+'-U4“'+..., 1 = 2....k,
П1= 1 + Й5‘+ •••.
, n/=^B*+ ... / = 2.I.
Здесь, как нетрудно проверить,
р =	q = n.aB%gK, d} = n6A^mamtsm't,
b}=naB«ff, j = 2..........I,	(3.9)
r} =2nrAZfimtte?, 1 = 2,	k.
a g{t j — 1, ...,/, суть коэффициенты разложения вектора
fe=||C4||m, &=(&’..............Й.'),	^ = Cima,
по базису hj.......ht, В формулах (3.8), как и всюду
в дальнейшем, суммирование по штрихованному индексу
начинается с двух, например:
а_ ___________ i_________
а‘а.1а’= 2	bi.^’= 2 №'
а'=2	х' = 2
Заметим, что в ^первом из уравнений (3.8) коэффици-
енты при g1.....g* равны нулю. Далее, матрица
0 0	...	0
0
:	II а1'. ||
подобна матрице (3.2), а потому все k — 1 собственных
значений матрицы ||а£,|| имеют отрицательные действи-
тельные части.
§ 3]
ЛОКАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
203
В дальнейшем будем считать, что точка срыва S удо-
влетворяет следующему условию невырожденности:
Рт^О, ^т^О.
Систему (3.8) можно еще несколько упростить. Положим
J^P’2^3?1,	_g'=g', i = 2.....k-
Л1 = р~1/3<7"1/3'П1,	т]^=т]4 j = 2,	(3.10)
Тогда система (3.8) перепишется в виде
' е|^(^+111+^т1«'+с/1а1)з+
+^v+'-uir+...>
+ b^rf + 4 (g1)* + d{ (g1)3 +	zo i n
+ 4gV+r£,gig«'+ ..i = 2,	(
. 'П/=й¥+--->	7 = 2, ..., /,
(здесь точкой обозначено дифференцирование по 7), где
b} = b]p^q-^\	j = 2,	/,
4' = 4'Р’1/3<Г1/3> 4=^P”5/3Q1/3> ' = 2....../3 12)
c/i = 5jp-5/3^i/3(	=
Й-=^р-2/3^1/3.
Систему (3.11) назовем канонической формой системы (1.1)
в окрестности точки срыва. Хотя в (3.11) точкой обозна-
чается дифференцирование по в дальнейшем для удоб-
ства мы вместо t всюду писать /, а к истинному
времени t (см. (3.10)) вернемся только в главе V. Для
краткости правые части системы (3.11) обозначим соот-
ветственно через Ф', W:
ф1 ^ (gi)2 +	+4g V+d{ (g1)3 +	+ ...,
Ф' = аиаЧ^Лх + 4’(£1)2+...> t-2, ...,А-,
^1+йЧ...,
/=2.......I.
204
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
§ 4. Асимптотические приближения траектории
в начале участка срыва
В малой конечной окрестности точки срыва S от си-
стемы (1.1) перейдем к системе (см. (3.13))
/е^Ф'а1...........т)1.	n'). i=l, (41}
1	.....ё*. -п1......пЭ. /=1...........i; 1 '
точка срыва расположена теперь в начале координат.
Отрезок траектории &£, лежащий в этой окрестности,
назовем участком срыва.
Наряду с системой (4.1) рассмотрим соответствующую
ей вырожденную систему
f Ф'(£\ ....	п1,	Л') = 0, г=1....k,
...,g\ П1, ...» nz), 7=1,	(4‘2)
Пусть
«=1......k>	/=1......I, (4.3)
— ее решение, определенное на отрезке — t 0
и удовлетворяющее конечным условиям
Ш0) = 0,
функции (4.3) описывают в новых координатах участок
траектории д£0, примыкающий к точке срыва. Прежде
всего вычислим траекторию решения (4.3), приняв вдоль
нее за независимую переменную координату g1.
Непосредственно видно, что при g1 = ... = gA = rf = ...
... = = 0 функциональный определитель
дф1	ЗФ1
	
ch]1	сх> слт Ь9
дФ2	дФ2
th]1	Qj СГг? ГЛ
d®k	офА
ch]1	
ЗФ1
ОФ2
^фА
отличен от нуля. Поэтому из первых k соотношений (4.2)
величины тр, g2, ..., gft можно выразить через g1, rf, . .., rf.
Легко проверить, что эти выражения имеют такой вид:
=	гр.....¥),	,44ч
тр......1]'). ' = 2......k\ ' '
§ 4]
ПРИБЛИЖЕНИЯ В НАЧАЛЕ УЧАСТКА СРЫВА
205
здесь k'—числовые коэффициенты, а функции hl..hk
не содержат членов aQ и ^(g1)2, где а и b—константы.
Дифференцируя по t первое из соотношений (4.4),
получим
откуда
ti Y]1—
или, подставляя сюда вместо ip, if' их значения из (4.1)
и (3.13),
£1 =	+ -	<^1^+ ••)	м 5)
-2g1+A(I	’	V '
Далее, заменяя в уравнении (4.5) и в последних I уравне-
ниях (4.2) величины if, g2, ..., gft их выражениями (4.4),
придем к следующей системе уравнений для g1, i]2.if:
( gi= 1+^ + -..
J S -2g'+^. ’	(4.6)
I »?=Й51+- . / = 2,
здесь многоточием заменены выражения, не содержащие
членов вида a, bg1, где а и b—константы.
В достаточно малой конечной окрестности точки
=	=-rf = 0 правая часть первого из уравнений
(4.6) положительна при g1 < 0. Поэтому на участке
— p^g1^O, где р—достаточно малое, но не зависящее
от 8 число, можно принять за независимую переменную
координату g1 и вместо системы (4.6) рассматривать
систему

Решением системы (4.7), проходящим при g1==0 через
точку ip=...=if = O, как нетрудно убедиться, будет
лН£,) = -уй(Е1)’4-..., / = 2....I; (4.8)
многоточием заменены более высокие степени gl. Подставляя
выражения (4.8) в правые части равенств (4.4), находим
разложения траектории решения (4.3) по степеням g1.
205
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
Выпишем их с точностью до членов третьей степени:
Й (S1) = k- (£*)“+1‘ (g’)’ +  • , I = 2.k,
пИЙ)=- (?*)’+
+ (4 Я- + с; -di-rk, ka') (5*)’ + •  , (4.9)
2
пИН=-уЙ(Г)3+...,	/ = 2,
здесь I1—константы.
Итак, траектория решения (4.3) вычислена; она опре-
делена на всем отрезке —р^^^О.
Возвратимся теперь к системе (4.1). В достаточно
малой, но конечной окрестности начала координат Uo за
независимую переменную можно принять координату V
и вместо системы (4.1) рассмотреть систему
J ф1^1,
| W . Ч"(Р.   ВМ1...П')
I	5М*.....п')	’
i — 2, .... k,
(4.Ю)
/=--1....I.
Пусть
Й=Й(5,.'О. 1 = 2................k,
t)/=T]/(g1, e), /=1.....I,
(4.П)
— решение системы (4.10) с начальной (при 51 = — р)
точкой, лежащей в области UQ и отстоящей от начальной
(при^1 = —р) точки траектории (4.9) на величину порядка е.
Это решение естественно попытаться приближенно пред-
ставить в виде сумм
й'" = Й(51) + гЙ(т-..+елШ5,)> » = 2.......k,
(4.12)
П'-" = т1о/(Й) + е111(Й)+ • • +E'vntai), /=1,
где функции Й(Й). л((5)> f—2,	/=1, • •I, v=
=0,1, ..N, определяются из системы (4.10) подстановкой
в нее выражений (4.12) и последующим приравниванием
коэффициентов разложений при одинаковых степенях е.
Оказывается, однако, что функции ^v(^)> Tlt(^1) имеют
в точке £1=0 особенности типа степенных и логарифми-
ческих полюсов, причем тем более высокого порядка, чем
ПРИБЛИЖЕНИЯ В НАЧАЛЕ УЧАСТКА СРЫВА
207
больше индекс v. Поэтому от аппроксимации решения (4.11)
суммами вида (4.12) на всем отрезке —при-
ходится отказаться. Но мы можем поступить следующим
образом (ср. с гл. II, §§ 6, 7): возьмем величину —e?-i
и подберем число^ > 0 так, чтобы на отрезке—
каждое следующее приближение равномерно
отличалось от предыдущего на величины более высокого
порядка малости, чем фигурирующие в^предыдущем при-
ближении. Так как мы хотим провести вычисление траек-
тории с точностью до величин порядка е, то, как
показывают дальнейшие расчеты, достаточно взять Oj = е2/7
и определить только первые и вторые приближения, т. е.
вычислить суммы
5',2 = ^(51) + ^<1(51) + «2Й(61). » = 2.k,
л'’2=л№1)+ел1(^)+е2г]й|1), /=1...../.	‘ ?
Функции 5И51) и ЛИ?1) Уже найдены из решения
вырожденной системы (4.2) и представляются форму-
лами (4.9). Проведем вычисление функций ^(Jj1),
i = 2 k, и л/Q1), j= 1, • • •, I-
Подставляя суммы (4.13) в правую и левую части
уравнения
d? “ Ф1 пх)
и приравнивая свободные члены в разложениях по сте-
пеням в, находим
dnU1) _ WS^1)’1^1))
d?	6Ф1
где
6ф, = 5^[ф1(^- Е?' (V). n?(EW +
+1ф1 (Е1. Е“' (V). < (5*)] . (4.14)
откуда получаем
6ф1=W (^’к (S1)i	(4Л5)
В этих формулах мы прибегли к сокращенной записи со-
вокупности аргументов, стоящих под знаками функций Ф1
и Т1: вместо (g1, . rf, -..ЛО пишем (£а, лх),
вместо (£2, ...,£*) пишем Qa'). Такие обозначения будут
использоваться и в дальнейшем.
208
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
Далее, подставляя суммы (4.13) в правую и левую
части последних I—1 уравнений (4.10) и приравнивая
в разложениях по степеням е свободные члены и коэф-
фициенты при е, после небольших вычислений получим
dl1 "	ЗФ1	’	..
(4.16)
riTli (V) =_____(niK--------Г6Ч^—(Г|'У 62ФЧ
«s1	1 w J'
Здесь через 6W обозначен коэффициент при е в разложе-
нии функции W(g1, 5а'-2, пх‘2)>а через 62Ф1—коэффициент
при е2 в разложении функции Ф1(£\ 5а'>2, пх> 2)- Так как
W -Г«=4*11/ — бФ^Е^Ф1
то	62Ф1 + (т]1)/ 6Ф1, а потому
б2ф1 =
(nJ)'
Подставляя выражение (4.17) в равенство
элементарных преобразований найдем
(*>{)'=[(nJ)' 6T'-(< 64"]+. i
(4.16), после
(4.18)
Аналогично, из первых k — 1 уравнений (4.10) полу-
чаем (g$)'= бФ'/бФ1, откуда, принимая во внимание (4.15),
S?' + -^-4? = (Si)'	 ‘ = 2...М4.19)
Кроме того, для /=1 имеем (см. (4.15), (4.14))
+г,»' - Л1 <“ £?'	20)
Положим
4^. = 1 + в1(51), ^-=^(В1);
при этом очевидно, что B^OJ ^O, Z)^(0) = 0. Объединяя
соотношения (4.19), (4.20) и (4.18), получим следующую
ПРИБЛИЖЕНИЯ В НАЧАЛЕ УЧАСТКА СРЫВА
209
§ 4]
систему уравнений для определения искомых функций
( дф1 tB' I дф1' A rrl v Т1 . л ,
dgp' 5i + 'Ht — (So)	> I — 2,
(1+в1(5ж=-^г+яит'+(5>. («и
(n()'=^-[(4J)W-(n0W1]+^^^, /=2..............I.
Первые k уравнений этой системы—конечные, послед-
ние /—1 уравнений—дифференциальные. Выражая из пер-
вых £—1 уравнений (4.21) функции gf, £'=2,
через rft, н— 1, ..., /, и подставляя полученные выра-
жения
5Г=С0'(£1)1)Г + £е'(£1). ₽'=2.....k, (4.22)
в правые части последних I—1 уравнений (4.21), после
очевидных вычислений найдем
« = № (Е1) + Nl (Е1) П? +	. / = 2...I, (4.23)
причем, как легко проверить,
AZ'(0) = M(0)=0, /=2......I, 0=1.......Z.
Далее, подставляя выражения (4.22) в k-e уравнение
(4.21), дифференцируя затем полученное соотношение по g1
и подставляя найденное таким путем выражение для (т]})<
в (4.23), приходим к системе уравнений для определения
функций rtf, ..., rfp
ЙЧпГ+еИ1)^)', /=2, .... i.
(4.24)
Здесь, как нетрудно видеть, функции
(?4-(V), А14.(Е'). /=2....I, О'= 2.....Z,
обращаются в нуль при gx = 0, а функции P^(gx),
/ = 2.../, имеют при gx = 0 полюсы первого порядка
и их главные члены суть соответственно gf{/2g1.
Наличие полюсов первого порядка при gx = 0 у правых
частей системы (4.24) наводит на мысль искать решение
jtoii системы в виде
i)f=/fZ(gi)ln|Ei| + L/(E*), / = 2.Z. (4.25)
х/г8 В. Ф. Мищенко, Н. X. Розов
210
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
Подставляя выражение (4.25) в уравнение (4.24), получим
(КО' 1п 154 + -|Г + (LJy = р/+ n'vK1»' In 154+

(^Т1п|5Ч + тг + (^Г
Приравняв коэффициенты при In | g11, придем к системе
уравнений для опредения функций АУЙ1):
+ (&&<>'У, j = 2.....I;
кроме того, имеем естественные начальные условия
Д7(0) — g{/2. Таким образом, функции КЩ1), j = 2,.. ,,1,
определяются однозначно. После этого из системы
(Z/)' = pj_	+ QI,	)'	(4.26)
можно определить и функции //(J1), j = 2, Правда,
мы не знаем для них начальных условий, однако правые
части системы (4.26) не имеют в нуле особенностей и все
функции ограничены на отрезке —P^V^JO-
Итак, можем записать, что

Здесь и дальше символ 0(1) заменяет члены, равномерно
ограниченные на всем отрезке —р^^^О. Далее, из
системы (4.21) непосредственно следует:
’ll (5‘) = - 2gi -у in 154+о (1);
5!(5l) = ^+^ln|54 + O(l). «=2.k.
где М* и № — константы.
Вычисление функций Йй1), 1=2, ..., k и Лай1)»
j—1, ..., /, проводится аналогично. Мы опустим все
промежуточные выкладки и выпишем лишь окончательный
результат в форме, достаточной для вычисления реше-
ния (4.11) с точностью до величин порядка s:
’1И5,)= -8^1)7 +6’(5*).
’ll (Е*)=6Л51),	/=2 I,
51(54 =	+У (54- i = 2.........k.
§ 4]	ПРИБЛИЖЕНИЯ В НАЧАЛЕ УЧАСТКА СРЫВА	211
Здесь qi—числовые коэффициенты, а функции б'Д-1),.
/=1......Z, у'Й1)» Z = 2, ..., k, хотя и неограничены
при g1—>0, но таковы, что равномерно на отрезке
—	01, где = е2/7 , величины е2^'^1) и е2у (g1)
суть величины порядка о(е) при е—►О.
Таким образом, мы вычислили нулевое, первое и второе
формальные приближения решения (4.11). Тот факт, что*
каждое из этих формальных приближений действительна
представляет решение (4.11) на отрезке —p^J1^—
с точностью до величин более высокого порядка малости,,
требует, конечно, специального доказательства. Такое
доказательство можно провести (см. [40]) по аналогии
с двумерным случаем, разобранным в главе II, § 7.
Здесь же мы ограничимся лишь формулировкой следую-
щего утверждения.
Теорема XVII. На отрезке — р^1^—е2,‘7 ре-
шение (4.11) представимо в виде
1‘=Е'о (51)+ «# (51)(Е1)+81' (Е1, е)
= (£+> + /'(r)3+...+e(^+Af'ln|5l|) +
+ e’^I + K''(51, е), i = 2, ...,kr
Л1 = (6‘) + enl (V) + е’Л1, (Е1) + (Е1. е) =-
=-(51)’ + ({bUr'+c;-d;-4^'\r)3+... (4.27),
... +е (—2|i—§	ln IS11) +
+ '=!8^+®1(51. «).
’l/=i'l/(E1) + S'n{(E1)+®/(S1. £)s
|’g{(£1),+ -.. +*4lnIS*l + W1. ®). / = 2.Z.
где многоточием заменены члены степени (51)4 и выше,
а функции 3^* (£г, в), i = 2,	^(б1, е), /= 1,
имеют на всем отрезке —р^^1^—е2/7 величину по-
рядка £ или выше.

212
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
§ 5. Асимптотические приближения траектории
в непосредственной близости от точки срыва
Проведем вычисление решения (4.1В на отрезке
—	где о2 = 82/» (напомним, что сгх = е2/7).
Мы увидим, что здесь оно значительно сильнее откло-
няется от соответствующего решения вырожденной си-
стемы—на величины порядка 82/3 и eln(l/s).
Прежде всего сделаем замену переменных (ср.с гл. II, § 8)
g^pu1, & = i = 2......................k,
=	/ = 2..../,	(5.1)
£ = р2Т, р3 = 8
и будем рассматривать р как новый малый параметр.
Введенное здесь время т является быстрым: при р—► ()
конечному отрезку изменения t соответствует бесконечно
большой промежуток изменения т. Формулы (5.1) уста-
навливают взаимно однозначное соответствие между малой
конечной окрестностью UQ начала координат пространства
(g1, ..., gft, т]1, ..., r]z) и бесконечно большой (при 8—>0)
областью Uq пространства (и1, .. ., uk, v1.vl)\ геомет-
рически они означают растяжения вдоль каждой из
осей g, т], причем коэффициенты растяжения различны,
но тем больше, чем меньше параметр 8.
Замена (5.1) приводит систему (4.1) к следующему
виду:
u1 = (u1)2 + ^1 +
+ р [b^rV*' + c'ldv1 +	(и1)3-}-/’^^'] + ...,
pu' =	+ bfa1 + 4 (u1)2 ~p
+ p [b£,ux' + dj (u^+cju1»1 + r^u1^'] + ..., (5.2)
i = 2, ..., k,
v1 = 1 -bH£lul+ ...»
(здесь точкой обозначено дифференцирование уже по т),
или, если ввести новые обозначения для правых частей
системы (5.2),
и1 = у1(иа, vK, р),
’ pi? = q/(ua, vK, р), i = 2,	(5-3)
<	и/=ф/(иа, Vх, р), /=1,
§5]
ПРИБЛИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ТОЧКИ СРЫВА
213
Приняв координату и1 за независимую переменную,
вместо системы (5.3) будем рассматривать систему
did	И)	ь
фчи“.г, И)’	 *’	....
did _-ф/ (иа, УХ, р.)	._ .	.
vK, н) ’	/=1’		’
которая получается из системы (4.10) в результате за-
мены (5.1). Решение системы (5.4), соответствующее (при
замене (5.1)) участку решения (4.11)^для	— alf
естественно попытаться приближенно представить в виде
сумм
«'" =	(u1) + H“'i (“*) + • • • + нМг («О. i = 2, .  •, k,
vi’ =	+	...+|i"v'w(u1), /=1,
где функции
^(u1), ^(и1), i = 2,	/=1, v = 0, 1, ...» АГ,
определяются из системы (5.4) подстановкой в нее выра-
жений (5.5) и последующим приравниванием коэффици-
ентов разложений при одинаковых степенях р.
Таким путем ] для указанных функций получаются
дифференциальные уравнения, и первая трудность заклю-
чается в том, чтобы из множества решений этих уравне-
ний выбрать вполне определенные (с аналогичной ситуа-
цией мы уже сталкивались в гл. II, § 10). Необходимые
начальные условия для выделения определенных част-
ных решений будем искать из условия «стыковки» при-
ближений (5.5) с функциями (4.27) в точке и1 = —
(т. е. g1 = — Oj) с искомой степенью точности. Оказы-
вается, однако, что почти все функции ^(и1), Щ(и1)
неограниченно возрастают при и1 —+ Поэтому от
аппроксимации вычисляемого решения суммами вида (5.5)
на всем отрезке —(т. е. —с^/р и1 р/р)
приходится отказаться. Мы поступим следующим обра-
зом (ср. с гл. II, §§ 10, 11): возьмем величину о2 —
и подберем число к2 > 0 так, чтобы на отрезке —с^/р^
^и1^о2/р (т. е. —o1^g1^o2) обеспечивалось равно-
мерное асимптотическое приближение искомой точности.
Так как мы хотим провести вычисление траектории
с точностью до^величин порядка е, то, как показывают
214
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
дальнейшие расчеты, достаточно взять о2 = е2 9 и опре-
делить только нулевые и первые приближения.
Начнем с вычисления функций «Ца1)» *=2, ...,&,
иЦи1), /=U описывающих нулевое приближение.
Для них сразу получается система уравнений, являю-
щаяся вырожденной по отношению к системе (5.4):
' иа' + b{vl + с*0 (а1)2 = О,
dv1 _	1
du1 (а1)2-(--у1 *
dvJ____ g^u1
\ du1 (u1)2-!-??1 ’
(=2, .. k,
.....1.
(5.6)
В этой системе k-e уравнение независимо и приводится
к уравнению Риккати (см. гл. II, § 9). В качестве
vlfu1) возьмем функцию (II.9.8), связанную с разделяю-
щим решением уравнения Риккати. Напомним нужные
в дальнейшем формулы:
nJ (w1) = — (и1)2 + z0 (u1), — оо < и1 < О,
М^1) =	+	’
y}(tt1)+ = Q0— +	, Qo= limuj^1).
u	\/ /	ц!да
Определив функцию ^(м1), из последних I—1 урав-
нений (5.6) найдем
Мы видим, что функции ^(и1) находятся с точностью
до аддитивных констант. Выберем эти функции вполне
определенным образом, а именно:

и1 du1'
(u^ + oifu1)
фп1.
2 р.
/ = 2,	(5.8)
Учитывая формулы (5.7), после элементарных вычисле-
ний найдем асимптотические представления для функ-
ций (5.8):
И» (“*)" = — %-gi (“*)’ +	In I u‘|—4- In 7? + О (1),
2 z f (5-9)
vi,(ul)+ = g{\nul—^-1п-^ + О(1), / = 2,
ПРИБЛИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ТОЧКИ СРЫВА
215
Теперь из первых k—1 уравнений системы (5.6),
которые являются конечными, однозначно определяются
функции иЦи1), t = 2, .k. Проведя небольшие вычис-
ления, получим для них асимптотические представления:
(«*) - = k‘ (и'У++О ,
«' («О + = Й‘ («*)• + s' + i+0 ((^5 ) ,	(5-1 °)
' = 2.k.
где £2J, s‘„, n'—числовые коэффициенты.
Перейдем к вычислению следующего формального
приближения
“'1 = «,о(“1)+н“1(“1),	1 = 2,
т. е. к определению функций ^(u1), f = 2, ...,k и
(и1),
Подставляя суммы (5.11) в правую и левую части
уравнения
do1 _ Ф1	°х> р)
Л ji)
и приравнивая коэффициенты при р, в разложениях по
степеням р,, получим линейное дифференциальное урав-
нение для функции и} (и1):
do*	и}	__/ i\ i	1	1
[(u*)’+uj(ui)p “	+2 [(и,)3+4(и1)]2 Ш ’
где
,Ч 	(и1)
cju1»; (и») + 4 (и1)3 +	(И1)
[(Ui)3+o1o(«,)]>
К»
о
и1 du1
(U1)3+4(U*) ’
х' = 2......I.
Это уравнение не зависит от функций of, .. ., о',
и3 ..., uf и может быть решено отдельно. В качестве
216
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
функции и} (и1) возьмем следующее его частное решение:
и1
(«9 j + ±ад'in 1,
— JO
(5.12)
где (см. (II.10.11))
СО
С м
ho’+t-iw]*
W
Из формулы (5.12), учитывая асимптотические представ-
ления (II.11.3), (II.11.4), (5.7), (5.9) и (5.10), легко найти
асимптотические представления для функции и} (и1):
(“*)" = ( 4	+с;—j;—r^,ka' ) (и1)3—
-уIn Iи* |+1In -J-+0 (1), (5.13)
»} (и1)+ = (gl—d{—r‘ ,Q“') In u1 + b^gf' In -i-+o (1).;
Зная функцию и} (и1), можно однозначно определить
функции и{ (u1), i = 2, ...,&. Для этого подставим
суммы (5.11) в правую и левую части первых k—1 урав-
нений (5.4) и приравняем коэффициенты при р в разло-
жениях по степеням р:
(и‘о)' [(и1)® +»о]	+	+
Это—система линейных алгебраических уравнений с от-
личным от нуля детерминантом. Решив ее, найдем функ-
ции ^(iz1), i = 2, ...,&. Их явные выражения в даль-
нейшем не потребуются, а нужны будут лишь асимптоти-
ческие представления при больших отрицательных и
больших положительных значениях и1. Такие представ-
ления нетрудно получить, привлекая формулы (5.7),
(5.9), (5.10), (5.13):
и{ (и1)' = /' (u1)3 + АГ' In I u11—ЛГЧп-i- + o;(i),
и‘ (и1)+ = (О' (а1)3 + si In и1+п{ In 1+о (1)?	14)
i = 2,
где (dt, s(, п{—числовые коэффициенты.
§ 5]
ПРИБЛИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ТОЧКИ СРЫВА
217
Таким образом, мы вычислили следующее формальное
приближение решений системы (5.4):
= и‘о (и1) +	(и1), i = 2, . .., 6,
v1 = vj(и1) ч-(«х)>	/ = 2,	'
Обратим внимание, что функции (см. 5.5)	(и1), ...
. .., и{ (и1) не определялись. Это объясняется тем, что
уже приближение (5.15) обеспечивает искомую точность
«стыковки» с решением (4.27) в точке — — су.
В самом деле, в координатах g1,	т|х, .. ., r]z
приближение (5.15) запишется так (см. (5.1)):
£'' = е2 314(£'/р) + еиЩ1/^), i = 2,
И1 = s2 *vS(&7.u) + w} (§‘/н).	(5-16)
if= «»£ (£*/н).	/ = 2,
Пользуясь асимптотическими представлениями функций
«о (^)»	(^ )»	i ~ 2, .  ., ky
иЦн1), уЦи1),	/--=2, ...,/,
для больших отрицательных и1 (см. (5.7), (5.9), (5.10),
(5.13), (5.14)), нетрудно найти значения сумм (5.16) при
= — Or с точностью до величин порядка е:
l! = k'cl-M +е (- £ + N1 In а,) +
+ е24+0(е), i = 2,
01
Л1 = “af— (+cj—di —	) о} +
\ о	у
+ е(4—In аЛ + & Ч- + ° (Е)>
\ zai z	J 8а’
п/==2-ёг/аз + 8^_1п(Т1_ро(е), / = 2, ..., /.
Сравнивая эти выражения с выражениями, получающи-
мися из формул (4.27) при = — ох, где а1 = е®/7, не-
посредственно убеждаемся, что они действительно совпа-
дают с точностью до величин порядка е.
Тот факт, что формально построенное приближение
(5.15) в самом деле дает асимптотическое приближение
решений системы (5.4) на отрезке — оч/|л <1 и1 о2/И»
9 Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розор
218
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. IV
где о2— е2/9, с точностью до величин порядка 8, нуждается
в специальном доказательстве. Такое доказательство
можно провести (см. [40]) по аналогии с двумерным
случаем, разобранным в главе II, § 11; здесь же мы это
доказательство опустим.
Теорема XVIII. На отрезке —82/7^g1^82'9 ре-
шение (4.11) представимо в виде
5‘ = 82,3u',(51/H) + e“'i(§1» + ^,'(51, е), i = 2, ..k,
Л1 =	(57Н) + et>} (В7Н) + (В*. е),	(5.18)
’1/=еи'(В7в) + ®у(В1, е). / = 2,
где е, а функции ^' (g1, е), i —2, . ..,&,	е),
/—1,...,/, имеют на всем отрезке — 82/7 < g1 82/9
величину порядка е или выше.
§ 6. Асимптотические приближения траектории
в конце участка срыва
Проведем вычисление решения (4.11) на отрезке
сг2 £1 ’С Р» где р — малое, но конечное число (напомним,
что о2 = е2'9). Мы увидим, что в конце участка срыва,
т. е. на конечном расстоянии от поверхности Г, траекто-
рия действительно представима в виде (2.2).
На отрезке Оз^^^Р функции (4.11) являются ре-
шением невырожденной системы (4.10). Пусть
^2, ...Д,	/= 1,	(6.1)
— решение соответствующей вырожденной системы
/	ни) .-_9 А
f=o, / = 1,
\ иь
(6.2)
определенное на промежутке 0<g1^Cp и удовлетворяю-
щее начальным условиям
lim IU^) = 0, / = 2,...Д, й(0) = 0» /=1,
V ->о
функции (6.1) описывают участок траектории $0, выхо-
дящий из точки срыва (начала координат). Непосредст-
венно из системы (6.2) получаем, что
=	«' = 2.	(63)
л7о С^1)= о,	j = 1,. - -, /,
многоточием здесь заменены члены более высокой степени
ПРИБЛИЖЕНИЯ В КОНЦЕ УЧАСТКА СРЫВА
219
по g1, а константы Qq (см. (5.10)) удовлетворяют алгеб-
раической системе
a^Qf' + cto = 0»	7^2, ...,6.	(6.4)
Решение (4.11) при g’^o^ попытаемся приближенно
представить в виде сумм
В1'’3 = а1) +t{ (S1) е2'3 +й (g1) 8 In У + I' (В1) е,
[' = 2,	(6.5)
п/, з = п/ (gi) + (gi) е2/з 4- 7|/ (gi) е In - + ni (I1) е,
/ =~ 1,	...j/,
где функции
&О ПШ1)* * = 2,	/=1,...,/( v = 0, 1,2, 3,
определяются из системы (4.10) подстановкой в нее вы-
ражений (6.5) и последующим приравниванием соответ-
ствующих коэффициентов разложений. Необходимые
начальные условия будем искать из условия «стыковки»
приближений (6.5) с функциями (5.18) в точке g1 = cr?
(т. е. и1 — о2/р) с искомой степенью точности. Так как мы
котим провести вычисление траектории с точностью
до величин порядка 8, то, как показывают дальнейшие
расчеты, достаточно определить только выписанные в (6.5)
функции.
Функции god1) и id1) Уже найдены из решения вы-
рожденной системы (6.2) и представляются формулами (6.3).
Проведем вычисление функций ^.(g1), j= 1, ..., Z, v =
= 1, 2, 3. Предварительно по формулам (5.18) с помощью
асимптотических представлений функций (5.17) для боль-
ших положительных и1 получим значение решения (4.11)
при gx = cf2 с точностью до величинйюрядка 8:
t 	G2
+ -ф-1 eIn4- + s(e In o2 +0 (8), i = 2,
О	8
Пг = Р0е2/3 — —-h
10	<t2 1	(6.6)
+ 4	' ) 8 1П T +
+ (£{“di —	e ln a-2 + ° (e)»
n7^^^8 1пг + £1еln	+	/ = 2, ..., Z.
9*
220
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ
[гл. IV
Подставляя суммы (6.5) в правую и левую части по-
следних I уравнений системы (4.10) и приравнивая в раз-
ложениях коэффициенты при членах одного порядка
малости, приходим к уравнениям
(л!)' = о, (й)'=0,
fa.y IT а»). а1».
ф'а1, it а1),	(6.7)
Сп()'=О, (~T|i)' = 0,
,-iY - w.iT(V). ij? а1» ; _ 9	,
w ф-а1.вта'),^а'))' 1	’l-
Соотношения (6.3) и (3.13) позволяют легко подсчитать,
что при	—► + 0
По О = L г	0(п
ФЧГЛоа' Оно О (^)2
W’.ir (S1), по (S1)) _ g{ , пт f_9 j
Отсюда видно, что решения уравнений (6.7) на проме-
жутке 0 < можно записать в виде (см. гл. II, § 13)
niai)=/<b
й (В1) =--s-+(g!~dl-rl.fi?') In е + О (1);
(6.8)
пке)=к;, чде)=А1.
пие)=г(1пе+о(1), /=2,
Входящие сюда константы /<{,	/=1, t следует
выбрать так, чтобы при каждом /=1,	значе-
ние rf’3 второй сумцы (6.5) при — сг2 отличалось от
значения компоненты rf решения (4.11) в точке ^'--гт2
(см. (6.6)) на величину порядка е:
A> = Q0. KJ-y(gl-di-rl,fi?' + y^.gr');
К' = о, f(l=^g[, /=2......../.
Формулами (6.8), (6.9) функции Т1((Г)» / = 1»
v=l, 2, 3, полностью определены.
Перейдем к вычислению функций S^1), i = 2,
v= 1, 2, 3. Подставляя суммы (6.5) в правую и левую
§ 6|
ПРИБЛИЖЕНИЯ В КОНЦЕ УЧАСТКА СРЫВА
221
части первых k—1 уравнений системы (4.10) и прирав-
нивая в разложениях коэффициенты при е- 3, находим
(ф1)2®)' = (ф1	if +(ф1	л?;
' ' vbl/ dt? д$‘j \ дг|« Л|*/
здесь функции Ф', /=1, ...» k, и их производные бе-
рутся в точке (51, tf* (51), Лой1))- Если учесть соотно-
шения (3.13), (6.3), (6.4), (6.7) и (6.8), то нетрудно убе-
диться, что для функций (I1), г- 2, получается
линейная система с иррегулярно особой точкой при ^1=0:
i-2,.... k-
многоточием заменены члены, имеющие при g1 — 0 полюс
порядка ниже второго. Линейные системы такого типа
хорошо изучены (см., например, [10]). Аналогичного вида
линейные системы получаются и для функций |£(|1)»
Ш^1)» * —2, ...» k. Начальные условия для этих систем
следует подобрать так, чтобы при каждом Z—2, ..., k
значение f1’3 первой суммы из (6.5) при отлича-
лось от значения компоненты %* решения (4.11) в точке
— о2 (см. (6.6)) на величину порядка е.
Конечно, необходимо еще специально доказать, что
формально построенное приближение (6.5) действительно
служит асимптотическим приближением решения (4.11)
на отрезке о2^^1^р с точностью до величин по-
рядка е. Такое доказательство можно провести (см. [40]),
однако, как и в предыдущих параграфах, мы его здесь
опустим.
Теорема XIX. На отрезке 82/’^^1^р реше-
ние (4.11) представимо в виде
V =Q‘(g>)2+,--- +U (5')ег/э +!', (g*bln-T +
с
+ Й	i = 2,
т]1 = Qoe2''3 +
о \	£	j	c,
+ e I- Jr+fel-dl-r*,Q»')lng*l +e*(g1, e),
Ь	J
1l/ = -§-g/e,n7 + e£/1ng1 + £'(g>, e), / = 2,
(6.10)
222
Асимптотическое вычисление решений
[гл. IV
где функции (g1, е), Z = 2,	(g1, е), j = 1, /,
имеют на всем, отрезке е2/9 g1 р величину порядка е
или выше.
§ 7. Вектор смещения
Обозначим через А —(А1, Az) вектор с координатами
Д' = Qoe2'3 +1 (gi—d*—г*, Q“' + ~	) г In у,
4. 1 .	1	1	(7.D
A'=6-g(eln~, / = 2,
Вектор А будем называть вектором смещения, соответст-
вующим точке срыва S(x0, yQ). Сравнение формул (6.10)
и (7.1) показывает, что А представляет собой с точностью
до величин порядка е вектор отклонения решения (4.11)
в точке £1 = р от линейного подпространства 2?, состоя-
щего из точек (J1, ...,	0, ..., 0),
Система (4.1) получается из системы (1.1) линейным
преобразованием координат в окрестности точки срыва
5(х0,р0)- Это преобразование (см. § 3) не перемешивает
быстрых и медленных переменных, т. е. переводит пло-
k
скость Х.л .1 в подпространство 2?, а плоскость
.............Уо
Y 1 k — в подпространство Hz, состоящее из точек
(0, ..., 0, т)1, ..., т)*)- Таким образом, вектор смещения А
характе.изует отклонение решения (4.11) в конце участка
А
срыва от плоскости л i /.
.........................& о
Вектор смещения зависит от точки срыва S (х0, у0),
но, естественно, не зависит от произвола в выборе ло-
кальной системы координат в окрестности этой точки.
Сейчас мы найдем инвариантное выражение для вектора А,
т. е. выразим его компоненты через величины, получае-
мые непосредственно из правых частей системы (1.1), и
координаты точки срыва.
Прежде всего, очевидно, что
А = АХАХ,	(7.2)
где hlt ..., hi—базис (3.6), причем (см. (3.10))
J^p-i^-ipA1, Ах'-А*', х' = 2,	(7.3)
ВЕКТОР СМЕЩЕНИЯ
223
Учитывая равенства (3.12), (7.3) и употребляя символ
Кронекера бу, непосредственно из (7.1) получим выраже-
ния для величин А7:
А' = (Г gi е In - + тта е’ /3 +
6pS1 8 1	1 pl/3^1/3
г я/ / ЬЙГ dl 7УРоа' \ Р ln I i==i I
Подставляя эти выражения в формулу (7.2), находим
инвариантное выражение для вектора смещения:
Д = _ро- р-р 2/3 I
р1/з?1/зёь
tl .	/ Г S
6р *	Зр2
& Y
Зр2 /3^2/3 j
eln^-. (7.4)
Для входящих в формулу (7.4) векторов g, К и чисел
р, qy s ---dl мы уже указали инвариантные выражения
(см. § 3). Остается найти константы
r = blg*, ^=7Ж'-
Из равенств
Ь} = па ВЩ, g^ =
(см. (3.9)) сразу получаем
г = п^С^т^	(7.5)
Вычислим k. Выражение для уже получено (см.
(3.9)), а величины Q?' удовлетворяют системе линейных
уравнений (6.4). Учитывая формулы преобразования ко-
ординат (3.7), без труда проверим, что
с% = l$'AfynvmK,
где || l*j\\—матрица, обратная матрице |[ef ||. Подставляя
эти выражения cf' в систему (6.4) и решая ее относительно
QJ', приходим к равенству
где || ftp,'|| — матрица, обратная матрице || а$' ||. Поэтому
k = —2niA^mne^bf/liv'A^m9mK.
Положим
dg = <ftfz7V;
нетрудно сообразить, что матрица || d% || однозначно опре-
деляется матрицей || А1^ ||. Таким образом, окончательно
* = — -ijrmniAiatmad^A^Km,fmK. (7.6)
А7 7
Глава V
Системы произвольного порядка.
Периодические решения, близкие к разрывным
Среди решений вырожденной системы могут быть и разрывные
периодические решения. Оказывается, что при некоторых предполо-
жениях вблизи каждой замкнутой траектории, соответствующей
такому решению, лежит по меньшей мере одна замкнутая траекто-
рия невырожденной системы; отвечающее этой траектории периоди-
ческое решение имеет характер релаксационного колебания.
В настоящей главе мы укажем условия существования перио-
дического решения, близкого к разрывному, системы произвольного
порядка с малым параметром 8 при части производных. Будет про-
ведено асимптотическое вычисление траектории и периода такого реше-
ния с точностью до величин порядка малости не ниже &.
§ 1. Некоторые вспомогательные отображения
Продолжим изучение фазовых траекторий невырож-
денной системы (IV. 1.1); все предположения, сделанные
в главе IV, § 1, сохраняются. Кроме того, в дальнейшем
будем предполагать, что соответствующая вырожденная
система (IV. 1.2) среди своих разрывных решений имеет
периодическое (см. гл. I, §§ 5, 6); его траекторию обо-
значим Зо-
Из рассмотрений главы IV, § 2 следует, что траекто-
рия Зо представляет собой непрерывную замкнутую кри-
вую в пространстве /?”, состоящую из конечного числа
чередующихся между собой участков медленного и быст-
рого движения. Без ограничения общности можно для
определенности считать, что эта траектория состоит из четы-
рех участков—двух участков медленного движения и двух
участков быстрого движения (рис. 49). Пусть 5 х и S2—точки
срыва траектории Зо» a Pt и Р2— соответственно следующие
за ними точки падения. Обозначим через u^P^SJ, u2(PA,S2)
участки медленного движения, а через vr (5n	Р2)~
участки быстрого движения. Напомним, что участки
ил(Р2, SJ и u2(P1,S2), кроме своих концевых точек
и S2, лежат в устойчивой области Г_ поверхности Г,
а точки срыва и 32 принадлежат множеству Го.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
225
Относительно рассматриваемого разрывного периоди-
ческого решения вырожденной системы (IV. 1.2) сделаем
следующее предположение: замкнутая траектория Зи яв-
ляется изолированной и устойчивой. Это значит, что одно-
кратный обход по траекториям разрывных решений сис-
темы (IV. 1.2), близким к траектории Зо> порождает
Рис. 49.
непрерывное отображение ср в себя любой достаточно ма-
лой, но конечной (/—1)-мерной окрестности из множе-
ства Го точки срыва (соответственно S2), причем
единственной неподвижной точкой отображения (р является
точка Si (соответственно 52). Дополнительно также пред-
положим, что линейная часть отображения ср обладает
тем же свойством.
Сконструируем несколько вспомогательных отображе-
ний, индуцируемых обходом по траекториям разрывных
решений вырожденной системы (IV. 1.2).
Пусть S* и S*2—(I — 1)-мерные плоскости, касающиеся
соответственно в точках срыва и поверхности Го,
выделяемой в пространстве Rn уравнениями (IV. 1.4) и
(IV. 1.6). Далее, пусть Р* и Р*—/-мерные плоскости, каса-
ющиеся соответственно в точках падения Р± и Р2 поверх-
226 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. V
ности Г. Будем трактовать S*, S*, Р*, Р2 как векторные
пространства с нулями соответственно в точках Sn S2,
Л, Л-
Построим линейное отображение
м;: s;->p2*
пространства S* в пространство Р* следующим образом.
Обозначим через /х время движения фазовой точки вы-
рожденной системы (IV. 1.2) по участку u1(P2tS1) траек-
тории Во- Пусть 514-6S1 — произвольная точка поверх-
ности Го, близкая к точке срыва 5Г Тогда существует
точка Р2~|-6Р2 на поверхности Г, близкая к точке паде-
ния Р2 и переходящая в точку	за то же время
tx по некоторой близкой к ur (Р2, траектории (6SJ
системы (IV. 1.2). Соответствие
определяет, таким образом, отображение
U(S1)~>V(P2)
(/—1)-мерной окрестности U (5J из множества Го точки
срыва в /-мерную окрестность V (Р2) из множества Г
точки падения Р2. Линейную часть отображения Шс мы
и обозначим Л4*. Совершенно аналогично строится линей-
ное отображение
Пространства S*, 52, Р*, Р2 параллельно перенесем
так, чтобы их нули перешли в нуль пространства Rn,
а затем спроектируем эти пространства в направлении Xk
в пространство Y1. При таком проектировании лЛ. про-
странства Р* и Р2 отобразятся на пространство Y1. Дей-
ствительно, вырождения произойти не может, так как
в точках падения и Р2 определить матрицы (IV. 1.5)
отличен от нуля, а потому пространства Р{ и Р2 не со-
держат направлений, параллельных пространству Хк. При
проектировании пх пространства S* и S* отобразятся
в пространство Y1 также без вырождения, т. е. отобра-
зятся на некоторые (/— 1)-мерные подпространства Si и S2
пространства Y1:
Sr, jia.S2 = S2.
Это следует из того, что в точках срыва S, и S2 лишь
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
227
§ 1]
одно собственное значение матрицы (IV. 1.5) обращается
в нуль.
Уравнения плоскостей и S2 нетрудно выписать явно.
Найдем, например, уравнение плоскости Для этого
достаточно, очевидно, из уравнений
= 1=1, (1.1)'
СДЛи	С/
определяющих касательную плоскость к поверхности Г
в точке срыва (х^, ..., xf, у\, ..., z/f), исключить пере-
менные ха, а— 1, ..k, а затем заменить	на z/K,
х—1, Пусть n^=(nlt ..., nJ —собственный вектор
с нулевым собственным значением матрицы, транспони-
рованной к матрице 5Х (5Х), причем выполнено соотноше-
ние (IV.3.3). Свертывая (1.1) с па, получим
°У
Введем ковариантный вектор
=	.....Л)>	п 2.
lwJ = naB^,	1u>Kgx(S1)= 1.
Тогда уравнение плоскости SL запишется в виде
^ = 0.	~	(1.3)
Аналогично выводится и уравнение плоскости S2:
гадх = 0.	(1.4)
Проектирование ях и отображения А4‘, М\ естествен-
ным образом порождают отображения
>Yl, Мг-S-,—*Yl
подпространств и S2 в пространство Yl‘.
Afi =	1, Al 2 = л^А^л^1.
Эти отображения можно разными способами продолжить
до отображений пространства Y1 на себя. Обозначим
через АТ и N2 такие продолжения, при которых образы
векторов g(SJ и g(S2) задаются формулами
A\£(S1W(P8), N£(SJ=g(PJ-
Таким образом, мы предполагаем выполненным некото-
рое условиеневырожденности, а именно: трансверсальность
228 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. V
вектора ^(5J к пространству и вектора g(S2) к про-
странству SJ.
Итак, построены отображения и V2 пространства
Y1 на себя:
N^.Y^Y1,	N.-.Y^Y1.
Фактическое вычисление этих отображений можно про-
вести, решая систему уравнений в вариациях, соответ-
ствующую вырожденной системе (IV. 1.2).
Пользуясь отображениями и N2, введем следую-
щие линейные отображения L± и L2 пространства Y1
в себя:
=	(i^>
L2y = N2'y— (2ш, V2-^)^(S2).
Докажем, что отображение Lx переводит Y1 на 5Г, а ото-
бражение L2 переводит Y1 на S2. Ясно, что Yl = Yx + У2,
где Vi = ^5!, a Y2 — одномерное подпространство, по-
рожденное вектором g(P2). Если y^Ylf то
и Lxy ^Sx. Если же y£Y2, то
и Lry = Q в силу последнего из соотношений (1.2). Для
отображения Ь2 утверждение проверяется аналогично.
Определим, далее, отображения и П2 соответственно
подпространств и S2 на себя как композиции отобра-
жений Lx и £2:
Ili — Ti2 — L2LX.	(1-5)
Нетрудно сообразить, что отображения (1.5) индуцируются
проекциями в пространство Y1 линейных приближений
отображений окрестностей U (5J, соответственно U (S2),
в себя, порождаемых обходом по фазовым траекториям
вырожденной системы (IV. 1.2). Единственной неподвиж-
ной точкой отображений (1.5) является вектор z/ = 0.
С помощью отображений (1.5) построим, наконец,
отображения Ilf и Щ подпространств и S2 на себя сле-
дующим образом:	,
[Ла (//^1)-|-Лг]>	/1
n^LJL^ + AJ+AJ,	U ;
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ
229
§ 21
где и Д2—-векторы смещения, соответствующие точкам
срыва Sx и 52 (см. гл. IV, § 7). Отображения (1.6)
сконструированы здесь чисто формально. Ниже мы ис-
пользуем их для изучения близкого к разрывному перио-
дического решения системы (IV. 1.1).
§ 2. Существование периодического решения,
близкого к разрывному.
Асимптотическое вычисление траектории
Поставим следующий вопрос: верно ли, что при до-
статочно малых е невырожденная система (IV. 1.1) имеет
замкнутую траекторию, нулевым асимптотическим при-
ближением которой служит кривая Зо? Оказывается, что
при перечисленных выше предположениях у системы
(IV. 1.1) действительно существует по крайней мере одна
такая траектория. Однако, в отличге от двумерного слу-
чая (см. гл. Ill, § I), доказательство этого факта весьма
не просто. Кроме того, остается не известным, является
ли такая траектория единстгенной.
Докажем, что у невырожденной системы (IV.1.1) су-
ществует периодическое решение, траектория которого
при е—>0 равномерно стремится к замкнутой кривой 30.
Одновременно будет проведено и вычисление траектории
& с точностью до величин порядка малости е и выше.
Теорем-а XX. Пусть —неподвижный вектор
отображения Ilf, а 62£S2—неподвижный вектор отобра-
жения Щ:
61 —	[L2 (бх -f- AJ -|- Д2],
62=l2[l1(62+a2)+a1].	1 }
Пусть, далее, и б252—прообразы векторов 6t и б2
при проектировании в касательных плоскостях S* и S2, а
S, -Ь SSj и S2 4- &$2—точки окрестностей U и U (52) на
поверхности Го, соответствующие векторам б^ и 6252.
Пусть, наконец, щ (6SJ и ua(6S2)—участки траекторий
вырожденной системы (IV, 1.2), проходящие соответственно
вблизи участков ц^Р*, St) и и2(Р1, S2) и упирающиеся
в точки срыва &S} и SaH-6S2. Тогда существует пе-
риодическое решение невырожденной системы (IV. 1.1),
траектория Зв которого на конечном отрезке изменения
t проходит в г-окрестностях участков и u2(6S2).
230 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ |ГЛ. V
Для доказательства этой теоремы будет нужна следую-
щая лемма, представляющая и самостоятельный интерес.
Лемма 17. Пусть X*— k-мерная плоскость в про-
странстве Rn, состоящая из точек (х, z/0), где уй—постоян-
ный вектор. Пусть, далее, (х0, у0)—точка пересечения
плоскости Х^ с поверхностью Г. П редположим, что
в этой точке все собственные значения матрицы имеют
отрицательные действительные части. Возьмем два ре-
шения системы (IV.1.1):
x=x1(t),	(2.2)
х = х2(1),	У=УЛ0,	(2-3)
из которых первое проходит при t — ta через точку (х„, у„),
а второе при t = t0 имеет начальную точку в плоскости
Ху9, отстоящую от точки (х0, t/0) на достаточно малом,
но конечном расстоянии. Тогда существует такое число
t' > что при t^t' решения (2.2) и (2.3) совпадают
с точностью до величин порядка 8 на некотором конечном
отрезке изменения t‘.
х2 (1) = х, (1) + О (е),	yt (1) = i/1 (t) + О (е).
При этом можно считать, что |/'—1J—.0 при г—>0.
Сформулированная лемма представляет собой, по су-
ществу, частный случай теоремы XVI (см. [34], [14]). Мы
приведем здесь простое прямое доказательство, опираю-
щееся на метод функций Ляпунова.
Точка (х0, уй) является точкой экспоненциально устой-
чивого равновесия для системы (см. (IV. 1.3))
|г=Ж......... хк, yi), 1=1, .... k, 0 = //е. (2.4)
Известно (см. [45]), что в этом случае существует поло-
жительно определенная квадратичная форма W (и) ком-
понент вектора и = х—х0—функция Ляпунова. Производ-
ная этой функции в силу системы, получающейся лине-
аризацией системы (2.4), удовлетворяет следующему
неравенству:
sf‘(xa, y^ и1 <	(2.5)
ди* dxJ
где а—положительная константа. Положим
и (0 = х8 (/)~*1 (0,	v (/) = уя (О—4/i (О
§ 2] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ	231
и вычислим производную функции	по /:
d
di

1 ar (f/ , ч , S,
— 8 $и1	^2’	(^1’	—
1 a if
8 ди* 1
&)“&)+/'Уг) — /'	^)] =
i 0W
е ди1
dxi	dyv

производные df'jdxi, df^dy* взяты, в соответствии с фор-
мулой Лагранжа, при промежуточных значениях аргу-
ментов. Учитывая неравенство (2.5), отсюда сразу же
получаем
4 F (“ (0)] < - 1aW (и (П) +1 тт 4т (У?-УП,
dt	8	8 ди1 dtp1
. А	(2.6
a = const>0.	4
Определим теперь нормы || и ||, || v || векторов и—х2—xlf
v—y2—yY по формулам
IIUII = |/Щй), |Н = 1/ 2(y2v-yn"--
г V=1
Дифференцируя тождество || и (t) ||2 = W (и (/)) по t и ис-
пользуя неравенство (2.6), после элементарных преобра-
зований найдем:
^-(| х2	II <
< — 7 аП	(0—*1 (0II + 4 b II у2 (/) — ух (t) ||,
а == const > 0, a = const>0.
Аналогично получается оценка для производной по t
функции ||v(0||:
=А X	Tt м-уь <
i
<УЪ \^iM-yb
q — const > 0.
232 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [гЛ. V
Так как, далее,
^•(<4—У{) = ёЧх2, Уг)—g'(.xi< Уг)+ёЧх1< y2)—g4xi' У1) =
= ^(хг~ *1) +	У1)< /=1. ••./>
дх1	dyv
то приходим к неравенству
< с (II«11 + II v||). c=const>0.
Таким образом, если положить
S = ||«l|, Л = ||У ||,	(2.7)
то для £ и г| получим следующую систему дифференци-
альных неравенств:
2
8
76тЬ
I dt
i^<f(s + n);
здесь а, Ь, с—положительные константы, причем, очевидно,
можно считать, что b > а. Наряду с системой (2.8) рас-
смотрим систему линейных дифференциальных уравнений,
получающуюся, если в (2.8) знаки неравенств заменить
знаками равенств:
) dt - s Н
(^- = С(?+П).
8
(2-9)
Мы сравним функции £ и т|, определяемые форму-
лами (2.7) и удовлетворяющие системе неравенств (2.8),
с решениями системы уравнений (2.9). Для этого возьмем
(рис. 50) треугольник ОАВ, стороны которого в плоско-
сти (д, т|) заданы уравнениями
ОА'. т|~0; ОВ: — + = 0; АВ\ i] + 2e-^ (g—1)=-- 0.
Докажем, что через каждую точку стороны АВ, имеющую
абсциссу £ > £0, где £0—’Некоторое малое положительное
число порядка е, траектории системы (2.9) входят внутрь
треугольника ОАВ. Действительно, производная функции
т] + 2е-^-(^—1) в силу системы (2.9) в любой точке
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ
233
стороны АВ равна
V(g) = {c(5 + il) + 2e^(-lag + 7^)^=_28^f;_I)-
Непосредственно проверяется, что эта производная отри-
цательна для всех значений £ > £0, где £0 находится из
уравнения V (£) — 0 и,
как легко видеть, имеет
порядок е.
Наряду с треуголь-
ником ОАВ рассмотрим
треугольник ADE с вер-
шиной Е (50, 0) и сторо-
ной DE, параллельной
оси О г(см. рис. 50). Пусть	Рис. 50.
(р, 0) — произвольная
точка на его стороне АЕ. Элементарные рассуждения пока-
зывают, что решение системы (2.9), начинающееся при t =
— /0 в этой точке, при некотором tf > /0 пересечет отре-
зок DE, причем Г—при 8—ДО. Отсюда и из нера-
венств (2.8) сразу следует, чтс>7Ресли кривая £ = £(/),
rj —т|(0 (где Функции £ (/) и т|(/) определены форму-
лами (2.7)) при / = начинается в точке (р, 0), то она
пересечет отрезок DE даже при некотором t" <
Это означает, что, во-первых, норма ||х2(/)—х± (/) || за
время t"—/0 уменьшается до величины порядка е, а, во-
вторых, за это же время норма ||i/2(/)—*/i(0|l возрастет
не более чем на величину порядка е. Затем соотношения
II-ч (/)—Jtj (0Н=о(«)>
II Уг W-Уг (О II = О(е)
сохранятся уже на некотором конечном отрезке измене-
ния /. Тем самым лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы XX. Прежде всего
отметим, что векторы и 62 (см. (2.1)) существуют в силу
предположения об устойчивости замкнутой траектории 30
Возьмем произвольную точку q на участке u1(6S1)
отстоящую от точки срыва Sj + fiSj на конечное расстоя
ние. Пусть Vl~' (q)—достаточно малая (но конечных, н
зависящих от 8 размеров) I—1-мерная окрестность точки
на поверхности Г, трансверсальная в этой точке к тра
ектории u1(6S1). Пусть, далее, Wk(q)-~6-мерный доста
точно малый (но конечных, не зависящих от 8 размеров
234 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [гл. V
открытый куб с ребрами, параллельными координатным
осям пространства Xk и с центром в точке q. Обозначим
через	декартово произведение У/-1(k(q).
Пусть uB—некоторая траектория системы (IV. 1.1) с на-
чальной точкой (?£, отстоящей от точки q на расстояние
порядка 8, т. е. p(q, ^8) = 0(s). Покажем прежде всего,
что траектория ив вновь пересечет область б*+/_1((?) в не-
которой точке Qe, причем р (<?, Q8) — 0(e).
В силу результатов гл. IV траектория и& на некото-
ром конечном своем протяжении идет вдоль участка ur (65х),
отклоняясь от него лишь на величины порядка 8. Однако
при подходе к точке срыва Si+6Si отклонение траекто-
рии иЕ от участка (6SJ будет уже величиной порядка
й82/з In (1/8).
Обозначим через Х^1+а51 /г-мерную плоскость прост-
ранства R'1, параллельную подпространству Xk и прохо-
дящую через точку срыва	Именно в этой пло-
скости, очевидно, лежит продолжение траектории (6SJ
системы (IV. 1.2). Из результатов главы IV следует, что
траектория и8, обойдя точку срыва Sx + в дальнейшем
пойдет с точностью до величин порядка 8 в /г-мерной пло-
скости у = const пространства Rn> получающейся из пло-
скости Xst+fiSi сдвигом на вектор смещения A(S1 + 6S1)
соответствующий точке срыва Sx Но вектор имеет,
как это следует из соотношений (2.1), величину порядка
8а/3, а потому точки Sx и Sj + SSj отличаются также на
величину порядка 82/3. Отсюда непосредственно вытекает,
что
A(S1 + 6S1) = A1+0(e).
Таким образом, можно считать, что продолжение тра-
ектории иъ лежит с точностью до величин порядка 8
в плоскости Xsj+es^AJ пространства Rnt которая полу-
чается из плоскости Xs1+es1 параллельным сдвигом на
вектор Ах.
Обозначим через Р1-[-ЬР1 точку пересечения плоскости
Xsj+esjfAj) с поверхностью Г и проведем через эту точку
траекторию системы (IV. 1.2). Пусть указанная траекто-
рия имеет точку срыва S2 + 6S3; саму траекторию тогда
можно обозначить u2(6S2). Образ отклонения точек S2 и
S2-|-6S2 в касательной плоскости S2 обозначим через 6Х52,
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПЕРИОДА
235
§ 3]
а образ вектора 6р$2 при проектировании в простран-
ство Y1 — через 62. Нетрудно сообразить, что
63 = l2(61+a1).
При подходе к поверхности Г (т. е. к точке -\-bPj)
траектория ие будет отходить от плоскости +
однако в силу леммы 17 в дальнейшем она пойдет на
некотором конечном своем протяжении в 8-окрестности
траектории u2(6S2). Такое совпадение траекторий us и
u2(6S2) с точностью до величины порядка 8 нарушится
лишь вблизи точки срыва S2 + 6S2: эту точку траектория
и& обойдет, отклоняясь от траектории u2(6S2) на величину
порядка ае2/3-pte 1п (l/е). Затем по описанной схеме тра-
ектория иг вновь пойдет в 8-окрестности участка и± (6S3)
некоторой траектории системы (IV. 1.2). Из только что
проведенных рассуждений легко следует, что образом
вектора 6^ в пространстве S3 будет вектор
[^(бх + AJ + AJ,
т. е. вектор (см. (2.1)). Следовательно, участок (6S3)
с точностью до величин порядка 8 совпадает с участком
ujeSi).
Для завершения доказательства теоремы остается
убедиться, что среди траекторий ие, поведение которых
мы только что описали, есть замкнутая траектория Зе-
Для этого в свою очередь достаточно установить, что
обход по траекториям системы (IV. 1.1) порождает непре-
рывное отображение множества 6A+Z“1(<y) в себя. Но пос-
леднее немедленно вытекает из проведенных выше рас-
суждений и из леммы 17, если учесть, что обход по
траекториям разрывных решений системы (IV. 1.2) порож-
дает (в силу предположения об устойчивости траекто-
рии <’о) непрерывное отображение окрестности Р-1(<у)
в себя.
§ 3. Асимптотическая формула
для периода релаксационного колебания
Теорема XX утверждает, что при достаточно малом е
система (IV. 1.1) имеет периодическое решение, равномерно
стремящееся к разрывному периодическому решению си-
стемы (IV. 1.2) при 8—>0. Траектория Зе периодического
236 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ (ГЛ. V
решения системы (IV. 1.1) была вычислена с точностью до
величин порядка малости е. С той же точностью вычислим
теперь период этого решения.
Пусть на прохождение участка (Р2, SJ фазовая
точка вырожденной системы (IV. 1.2) затрачивает время
7\0, а на прохождение участка u2(Pt, S2) —время Тзо,
так что период разрывного периодического решения,
имеющего траекторию Зо> равен
Л = Ло + Ло-	(3.1)
Наряду с участками	и u2(Pn S2) рассмот-
рим участки траекторий системы (IV. 1.2)
u2(6S2) = u2(Pi + 6Pn S2 + 6S2),
расположенные вблизи участков ulf соответственно и2, и
имеющие точками срыва точки S1+6S1h S24-6S2, где
отклонения и 632 определяются теоремой XX. При
этом начальные точки Ра + 6Р2, Pi + 6/\ выберем так,
чтобы время движения фазовой точки системы (IV. 1.2)
по участку tq (6SJ было равно 7\0, а по участку u2(6S2)
равно Т20. Подчеркнем, что отклонения 6S1 и 6S2 суть
величины порядка малости 82/3. Урежем теперь участки
uJSSJ и u3(6S2), т. е. введем вместо них их части
(&SJ = «1 (Pi, 5;), u2 (SSj) = u2 (p;, s;),
начальные и конечные точки которых Pi, S[, P'lt S'2 от-
стоят от соответствующих начальных и конечных точек
участков u± (6SJ и u2 (6S2) на достаточно малое, но конеч-
ное расстояние.
Пусть участок (6SJ описывается решением вырож-
денной системы (IV. 1.2)
X* = Х() (/), 1=1,	tp = УQ (/), j = 1,
где t пробегает отрезок	ясно, что время дви-
жения фазовой точки системы (IV. 1.2) вдоль участка (6SJ
равно t2—t1. В силу теоремы XX траектория Зе содер-
жит участок, представляющийся при	в виде
х^ = хв (/) Xj (/, е), i = 1, ..., &,
y! = yb(t)+y((tt 8),
§ 3]
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПЕРИОДА
237
где функции (/, s), у{ (/, е) имеют на всем отрезке
величину порядка е. Обозначим этот участок (иг (6SJ);
очевидно, что время движения фазовой точки системы
(IV. 1,1) вдоль участка <38 (1^(650) равно Л-Л+О(6).
Пусть BeGSi + ^Si)—непосредственно следующий за
Зе (ux (6SJ) участок траектории Зе» огибающий точку срыва
+ будем считать, что участок	имеет
малую, но конечную длину. В окрестности точки срыва
*51 + ^1 система (IV. 1.1) линейным преобразованием
координат приводится к канонической форме (IV.3.11), а
вдоль участка Зе (^ + можно принять за независимую
переменную координату J1. Тогда уравнение этого
участка запишется в виде
е), 1 = 2.k,	s), /=1....I,
— р<5’<р-
(3.2)
Функции (3.2) были вычислены нами в главе IV, §§ 4-—6,
с точностью до малых порядка 8, Используя полученные
там результаты, найдем с той же точностью время Т~р р
движения фазовой точки системы (IV. 1.1) вдоль участка
(Sj+esj.
Разобьем отрезок — р р точками	,
^ = 0,	= ст2» где сгх — 8г/7, о2 = 82/9, на четыре отрезка:
— Р<	(Т1, — Hi <
Очевидно, что
Т'-р, р — 7,-р.-а1 + 7'-<уь о+7'о, о2 +7'аг. р« (3.3)
При вычислении этого времени будем исходить из фор-
мулы
Т.р.р^ j [п* (Г, 8)] 6 (Г, Г'(V. 8), т]к (51, е)) d^1, (3.4)
где (gl, 8), ^(g1, 8), а'= 2, ...»/г, х= 1, ..суть
функции (3.2) и (см. (IV.3.13))
(£\ £а » Л*) =	’
На отрезке — p^J1^—о\ для функций (3.2) справед-
ливы асимптотические приближения (IV.4.27). Рассмат-
ривая в формуле (3.4) интеграл по отрезку — р 51 ох.
238 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. V
подставим в подынтегральное выражение представления
(IV.4.27) и проведем разложения по формуле Тейлора;
в частности, отметим, что при I1—>0
s (I1. £?' (51). п? (Г)) = 1“ЙЕ* + о ((I1)2).
После несложных преобразований и элементарной
оценки остаточного члена окончательно получим
где для краткости введено обозначение
-С1
-р
Рассматривая в формуле (3.4) интеграл по отрезку
—и выполнив преобразование переменных
(IV.5.1), легко убеждаемся, что
о	i
0 = И2 У ~^Г [у1 (м\ и)] ^1 (М1? ыа' (U1, р)? v% (и1г р) ’
-(0,
.7)
здесь	определение функции ф1 (иа, и*, р) содер-
жится в (IV.5.3) и (IV.5.2), а функции
и‘= и{(и\ р), 1 = 2,	&=&(иг, р),
(3.8)
в новых координатах описывают участок (3.2). На отрезке
—	для функций (3.2) справедливы асимп-
тотические приближения (IV.5.18), поэтому для функций
(3.8) можно использовать представления (IV.5.15). Кроме
того, очевидно, что
7Т7П---/ I 1 Ч--------Г“; = 1—P^w' + O (р2 (ц1)2).
ip1 («1, иа (и1, р), vH(ux, р), р)	\	/
Подставляя эти представления в формулу (3.7) и произ-
водя оценку остаточного члена, получим
о
r_CTv0 = p2 j ^T[vi(u1)4-pu}(u1)](l —р^и1) ^ + 0(6).
(3.9)
§ 3] АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПЕРИОДА	239
Имея в виду разложения (IV.4.9) траектории вырожден-
ной системы, перепишем соотношение (3.9) так:
о
-и,
+ И (уbbgi' + С?—di — г'а,ka')(и'У (I — (.igju1)du1 +
+ и2 j зд[го(“*)]U—ng'iu’Jdu' + p3 j [»!(«*)—
— (y	4-cf—d{—rla-ka’^ (u1)3] (1 — pgJu'Jdu^-OCe).
(3.10)
Первый член формулы (3.10) для краткости обозначим
Т°С1)0; возвращаясь к переменной интегрирования на-
ходим
7’%,.»= J 4h(?,)2+
+	di-ria-ka'} (Ы (i-g:r)rfg*=
= J	<(VW + 0(e).	(3.11)
-Cl
Во втором члене формулы (3.10) выполним интегрирова-
ние по частям, а затем, учитывая представление (IV.5.7)
при и1—► — оо, проведем регуляризацию интеграла (см.
гл. II, § 13):
о
Р2 У-^г1го(“')](•—ИЙ"1)d“‘ =
-(Oi
lt3 ц6 I	I
= Н%(0)-2^ + ^ + |йН31п^ +
+ ygln’lna. 1-0 (в).
Третий член формулы (3.10) проинтегрируем по
240 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ к РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. V
частям и вычислим, привлекая представление (IV.5.13)
при и1	— оо;
о
— со1
/9	1
—	+ dj—r^ka') (и1)3 (1— Iig'u^du1^
= у b^'gi V3 In - + у	>3 ln ai "I" 0 (е)-
Таким образом, окончательно получим
р	р 2
о + г» (0)Е 2/3 - 25Г -I -	+
+ 4	в 1п | 1 (?}+61«£Г') е In а. + О (е). (3.12)
Рассматривая в формуле (3.4) интеграл по отрезку
и проводя аналогичные рассуждения, легко
убеждаемся, что
10,
р2 JК(t^+iwl (W1)](1— P^w1)du1 Д-0 (е);
о
здесь со2 = ст2/р (ср. с (3.9)). Перепишем эту формулу
в виде
С02
То. ’•=
о
СО 2	СО 2
— H3g}J-jjrM(“1)]“lc[“1 + lt3 j-Jr [»i (“')]	+ О(е)>
о	о
а затем выполним интегрирование по частям и, учитывая
представления (IV.5.7), (IV.5.13) при и1—> + оо, прове-
дем регуляризацию интегралов. После элементарных
вычислений окончательно получим
Л.о2=-Ро-го(0)]г='3—
IJ 2
—4 (<*i +е In 1- (dj + rl.Q“') е In а,+О (f). (3.13)
О	о
§ 3]
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПЕРИОДА
241
На отрезке	для функций (3.2) справед-
ливы асимптотические приближения (IV.6.10). Рассматри-
вая в формуле (3.4) интеграл по отрезку (т,2 сС £4р и
подставляя в подынтегральное* выражение представления
(IV.6.10), после небольших преобразований окончательно
получим
Р + И + 'а' ^?,) е In а2 + О (е).	(3.14)
v2
Для вычисления времени Т_р> р остается подставить
выражения (3.5), (3.12), (3.13) и (3.14) в формулу (3.3):
Т-р, р = т%, „ +	+ (1 Q -у D	е In 4+0 (в).
(3.15)
Здесь Т°_/111 — Га_р_а^-\-Т0_в^а (см. (3.6), (3.11)) есть
время, затрачиваемое фазовой точкой вырожденной си-
стемы (IV. 1.2) на прохождение участка траектории ut (65t)
между точками и Sj-j-SSp Константа Qo не зависит
от конкретного вида системы (IV. 1.1) и является универ-
сальной (см. гл. II, § 9). Далее,
D—d{, К =	(3.16)
инвариантные выражения для этих величин даны в гла-
ве IV (см. (IV.3.12), (IV.7.5), (IV.7.6)).
Коэффициенты (3.16) формулы (3.15), очевидно, за-
висят от значений правых частей системы (IV. 1.1) и их
нескольких производных в точке срыва Sj-j-fiSj. Но
с точностью до величин по меньшей мере порядка е
время T-Pt р останется тем же, если вместо величин (3.16),
соответствующих точке срыва Sj + SSj, взять величины,
соответствующие точке срыва Снабдим эти величины
индексом единица:	£\, Кг.
Итак, получена асимптотическая формула для вычис-
ления времени Т1 , затрачиваемого фазовой точкой
невырожденной системы (IV.1.1) на прохождение участка
7’1р.р-Г'(,°„ + ^2/3 +
+ (4<31-4°1-4/<Зе1пт+0(Е>; <ЗЛ7>
\ U	О	О /	О
242 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ, БЛИЗКИЕ К РАЗРЫВНЫМ [ГЛ. V
здесь 0 — время, затрачиваемое фазовой точкой
вырожденной системы (IV. 1.2) на прохождение участка
(SI, SX + 6SX) траектории ^(SSJ. Аналогичные вычисле-
ния можно провести и для участка 3B(52 + 6S2) траекто-
рии Зе» огибающего точку срыва S3+6S2; затрачиваемое
на его прохождение время
7’’-р.₽=7’1,р.«+й»еа/3 +
+ (4Q2-4D*-4^')e,nT+°(f)- (3J8>
\ и	О	О j	о
Вычислим теперь время т1? затрачиваемое в простран-
стве Y1 на переход из точки в плоскость V2S2 при
движении с постоянной скоростью g(Px). Плоскость S2 опре-
деляется в пространстве Y1 ковариантным вектором
2ш~ (2az\, ..., 2Ш;), соответствующим точке срыва S2; коор-
динаты этого вектора мы уже вычисляли (см. (1.3), (1.4)).
Легко проверить, что V2S2—образ плоскости S2 при
отображении V2—определяется ковариантным вектором
2ш' = (Х, ...,	), причем
= <7^0»
где || t/p —матрица преобразования Элементарный
расчет показывает, что
т,= У',А?„ + О(е).
1	<2® . g(Pl)) '	' '
Но, как легко проверить,
(X. г(Л))=(з®. w2-‘g(P1)) = Ga>, g(S2))= i,
(X. Д1) = (.2®,л/г1Д1),
а поэтому окончательно
Ь = (2Ш, ^-^0 + 0(8).	(3.19)
Аналогично находится время т2, затрачиваемое на пере-
ход из точки Д2 в плоскость при движении с по-
стоянной скоростью g(P2)'
T2=(lte>, V?^2) + O(8).	(3.20)
Принимая во внимание формулы (3.1), (3.17)—(3.20)
и теорему XX, не представляет труда завершить вывод
§3]
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПЕРИОДА
243
асимптотической формулы для периода релаксационного
колебания.
Теорема XXI. Для периода Те траектории Зе не-
вырожденной системы (IV. 1.1) справедлива асимптотичес-
кая формула
Те = Т0 + ДП + ДП + О(е),
где То—период траектории Зо вырожденной системы
(IV. 1.2), а Д7Т и ДТе представляют собой следующие
выражения:
&Т1 =	+ (4 Q,-у D. -1К1) г In	,
дг==-й(,Е2''3
\ U	О	О	с
для вычисления которых не требуется интегрировать
невырожденную систему (IV. 1.1).
Литература
1.	Адамар Ж. (Н adamard J.), Le probleme de Cauchy et les
equations aux derivees partielles lineaireshyperboliques, Hermann,
Paris, 1932. См. также: Lectures on Cauchy’s problem in linear
hyperbolic differential equations, Dover, New York, 1952.
2.	Андронов А. А., Витт А. А., Разрывные периодические
решения и теория мультивибратора Абрагама и Блоха, Докл.
АН СССР, №8 (1930), 189—192. См, также: А пдронов А. А.,
Собрание трудов, Изд-во АН СССР, 1956 , 65—69.
3.	Андронов А. А., Витт А. А., ХайкинС. Э., Теория
колебаний, изд. 2-е, переработка и дополнения Н. А. Же-
лез цо в а, Физматгиз, М., 1959.
4.	Аносов Д. В., Осреднение в системах обыкновенных диф-
ференциальных уравнений с быстроколеблющимися решениями,
Лзв. АН СССР, сер. матем. 24, № 5 (1960), 721—742.
5.	Аносов Д. В., О предельных циклах систем дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при старших производных,
Матем. сб. 50, № 3 (1960), 299—334.
6.	Беляева М. А., Приближенное решение системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений с малым параметром при
производных, Докл. АН СССР 189, № 6 (1969), 1167—1170,
7.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимпто-
тические методы в теории нелинейных колебаний, «Наука»,
М., 1974,
8.	Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Федорюк М. В.,
Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, Итоги науки. Математика. Математический
анализ —1967, ВИНИТИ, М., 1969, 5—73.
9.	Вазов В. (Wasow W. R.), Singular perturbation methods
for nonlinear oscillations, Proceedings of the symposium on non-
linear circuit analysis, Polytechn. Inst, of Brooklyn, 1953, 75—98.
10.	Вазов B. (Wasow W. R.), Асимптотические разложения
решений обыкновенных дифференциальных уравнений, «Мир»,
М., 1968.
И. Ван-дер-Поль Б. (Van der Pol В.), On relaxation oscil-
lations, Philos. Mag. (7) 2, № 11 (1926), 978—992.
12.	Васильева А. Б., О дифференциальных уравнениях, со-
держащих малые параметры при производных, Матем. сб. 31,
№ 3 (1952), 587—644.
13.	Васильева А. Б., Асимптотика решений некоторых задач
для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений
с малым параметром при старших производных, Успехи матем.
наук 18, Ns 3 (1963), 15—86.
ЛИТЕРАТУРА
245
14.	Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Асимптотические
разложения решений сингулярно возмущенных уравнений,
«Наука», М., 1973.
15.	Волосов В. М., Моргунов Б. И., Метод осреднения
в теории нелинейных колебательных систем, Изд-во МГУ,
М., 1971.
16.	Гр адштейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, «Наука», М,, 1971.
17.	де Брейн Н. Г. (d е В г u i j n N. G.), Асимптотические
методы в анализе, ИЛ, М., 1961.
18.	Дородницын А. А., Асимптотическое решение уравнения
Ван-дер-Поля, Прикл. машем. и механ. 11, № 3 (1947), 313—328.
19,	Железцов Н. А., К теории разрывных колебаний в систе-
мах второго порядка, Изв. высших учебн. заведений. Радио-
физика 1, № 1 (1958), 67-78.
20	Железцов Н_ А., Родыгип Л. В., К теории симметрич-
ного мультивибратора, Дока. АН СССР 81, №3(1951), 391—392.
21.	Камке Э. (Kamke Е.), Справочник по обыкновенным диф-
ференциальным уравнениям, «Наука», М., 1971.
22.	Картрайт М. (Cartwright М. L.), Van der Pol’s equation
for relaxation oscillations, Contributions to the theory of nonlinear
oscillations, Princeton Univ. Press, 1952, 3—18.
23.	Коддингтон Э, А., Левинсон H, (Coddington E. A.,
Levinson N,), Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, ИЛ, М., 1958,
24_ К о пеон Э. Т. (Сор son Е. Т.), Асимптотические разложе-
ния, «Мир», М,, 1966.
25,	Кор бе йе Ф, (1е С о г b е i 1 1 е г Ph.), Les systemes autoentre-
tenues et les oscillations de relaxation, Hermann, Paris, 1931.
26.	Коул Дж- (Cole J. D.), Методы возмущений в прикладной
математике, «Мир», М,, 1972.
27,	Крылов Н. М., Б о г о л ю б о в Н. Н., Введение в нелиней-
ную механику, Изд-во АН УССР, Киев, 1937.
28,	Ласалль Ж. (L a S а 1 1 е J.), Relaxation oscillations, Quart. J.
Appt. Math. 7, № I (1949), 1 — 19.
29,	Левинсон H. (Levinson N.), Perturbations of disconti-
nuous solutions of nonlinear systems of differential equations,
Acta Math. 82, № 1—2 (1951), 71—106.
30.	Лефшец C, (Lefschetz S.), Геометрическая теория диф-
ференциальных уравнений, ИЛ, М,, 1961.
31.	Макаева Г, С,, Асимптотическое поведение решений диф-
ференциальных уравнений с малым параметром, системы «быстрых
движений» которых гамильтоновые, Изв. А И СССР, сер. машем.
25, № 5 (1961), 685—716.
32.	Митропольский Ю. А., Проблемы асимптотической теории
нестационарных колебаний, «Наука», М., 1964.
33,	Митропольский Ю. А., Метод усреднения в нелинейной
механике, «Наукова думка», Киев, 1971,
34.	Мищенко Е. Ф., Асимптотическое вычисление периодических
решений систем дифференциальных уравнений, содержащих
малые параметры при производных, Изв. АН СССР, сер. машем. 21,
№ 5 (1957), 627 — 654.
246
Литература
35,	Мищенко Е. Ф., Асимптотическая теория релаксационных
колебаний, описываемых системами второго порядка, Матем.
сб. 44, № 4 (1958), 457—480.
36.	Мищенко Е, Ф., Асимптотические методы в теории релакса-
ционных колебаний, Успехи матем. наук 14, № 6 (1959), 229—
236.
37,	Мищенко Е. Ф,, Differential equations containing a small
parameter and relaxation oscillations, Univ, of Michigan, 196ч.
38.	Мищенко E, Ф,, Понтрягин Л. С., Периодические реше-
ния систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным,
Докл. АН СССР 102, № 5 (1955), 889—891.
39,	Мищенко Е, Ф., Понтрягин Л, С,, Доказательство
некоторых асимптотических формул для решений дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром, Докл. АН СССР 120,
№ 5 (1958), 967—969.
40.	Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С,, Вывод некоторых
асимптотических оценок для решений дифференциальных урав-
нений с малым параметром при производных, Изе. АН СССР,
сер. матем. 23, Ns 5 (1959), 643—660.
4 1, Мищенко Е, Ф., Понтрягин Л. С,, Differential equations
with a small parameter attached to the higher derivatives and
some problems in the theory of oscillations, IRE Trans. Circuit
Theory 7, № 4 (1960), 527—535,
42.	Мищенко E. Ф., Понтрягин Л. C,, Relaxation oscilla-
tions and differential equations containing a small parameter with
the senior derivative, Calcutta mathematical socitey. The golden
jubilee commemoration volume (1958—1959), Calcutta, 1963,
141—150.
43.	Понтрягин Л. С., Асимптотическое поведение решений сис-
тем дифференциальных уравнений с малым параметром при выс-
ших производных, Изв. АН СССР, сер. матем. 21, № 5 (1957),
605—626.
44.	Понтрягин Л. С., Системы, обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений с малыми параметрами при высших производ-
ных, Тр. 3-го Всесоюзного математического съезда, т. 111, Изд-во
АН СССР, 1958, 570—577,
45.	Понтрягин Л. С,, Обыкновенные дифференциальные урав-
нения, «Наука», М., 1965,
46.	Понтрягин Л. С,, Родыгин Л, В„ Приближенное реше-
ние одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
с малым параметром при производных, Докл. АН СССР 131,
№ 2 (1960), 255—258.
47,	Понтрягин Л. С,, Родыгин Л. В,, Периодическое реше-
ние одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
с малым параметром при производных, Докл. АН СССР 132,
№ 3 (1960), 537- 540.
48.	П у л ь к и н С. С., Р о з о в Н. X., К асимптотической теории
релаксационных колебаний в системах с одной степенью свободы.
I. Вычисление фазовых траекторий, Вестн. Моск, ун-та, сер.
матем., механ., № 2 (1964), 70—82.
49.	Родыгин Л. В., О существовании инвариантного тора для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержа-
ЛИТЕРАТУРА
247
щей малый параметр, Изо. высших учебн. заведений. Радиофизика
3, № 1 (1960), 116—129.
50.	Розов Н. X., Асимптотическое вычисление близких к разрыв-
ным периодических решений систем дифференциальных урав-
нений второго порядка, Докл. АН СССР 145, № 1 (1962), 38—40.
51.	Розов Н. X., К асимптотической теории релаксационных
колебаний в системах с одной степенью свободы. II. Вычисле-
ние периода предельного цикла, Вестн. Моск, ун-та, сер. матем.,
механ.., № 3 (1964), 56—65.
52.	Розов Н. X., Асимптотическое вычисление близких к разрыв-
ным периодических решений, описывающих релаксационные
колебания в системах с одной степенью свободы, Международ-
ный конгресс математиков. Тезисы кратких научных сообщений:
секция 6, М., 1966, 45—46.
53.	Сибуя Я. (S i b и у a Ya.), On perturbations of discontinuous
solutions of ordinary differential equations, Natur. Sci. Rept,
Ochanomizu Univ. 11, № 1 (1960), 1—18.
54.	Сидоров А. С., Теория и проектирование нелинейных им-
пульсных схем на туннельных диодах, «Сов. радио», М., 1971.
55.	Стокер Дж. (Stoker J. J.), Нелинейные колебания в меха-
нических и электрических системах, ИЛ, М., 1953.
56.	Тихонов А. Н., О зависимости решений дифференциальных
уравнений от малого параметра, Матем. сб. 22, № 2 (1948),
193—204.
57.	Тихонов А. Н., Системы дифференциальных уравнений, содер-
жащие малые параметры при производных, Матем. сб. 31,
№ 3 (1952), 575-586.
58.	Урабе М. (Ur a be М.), Численное исследование периодичес-
ких решений уравнения Ван-дер-Поля, Тр. Международного
симпозиума по нелинейным колебаниям, т. II, Изд-во АН УССР,
Киев, 1963, 367—376.
59.	Фландерс Д., Стокер Дж. (Flanders D. A., Sto-
ker J. J.), The limit case of relaxation oscillations, Studies in
nonlinear vibration theory, New York Univ., 1946, 51—64.
60.	Флэтто Л., Левинсон H. (Flatto L., Levinson N.),
Periodic solutions of singularly perturbed systems, J. Rational
Meeh. Anal. 4, № 6 (1955), 943—950. См. также: Математика 2,
№ 2 (1958), 61—68.
61.	Хааг Ж. (Haag J.), Etude asymptotique des oscillations de
relaxation, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3) 60, (1943), 35—64.
62.	Хааг Ж- (Haag J.), Exemples concrets d’etude asympto-
tique d’oscillation de relaxation, Ann Sci. Ecole Norm. Sup. (3) 61
(1944), 65—111.
63.	X а а г Ж. (H a ag J.), Les mouvements vibratoires, Press. Univ,
de France, Paris, t. I, 1952, t. II, 1955.
64.	Шишкова M. А., Рассмотрение одной системы дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при высших производных,
Докл. АН СССР 209, № 3 (1973), 576—579.
65.	Эр де й и A. (Erdelyi А.), Асимптотические разложения,
Физматгиз, М., 1962.
66.	Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. (Janke Е., Emde F.,
Losch F.), Специальные функции — формулы, графики, таб-
лицы, «Наука», М., 1968.
Евгений Фролович Мищенко,
Николай Христович Розов
М., 1975 г., 248 стр, с илл.
Редактор И. Е. Морозова
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры Е. А. Белицкая, И. В. Хорошаева
Сдано в набор 25/1V 1975 г. Подписано к печати
13/Х 1975 г. Бумага 84X108V82-
Физ. печ. л. 7,75. Условн. печ. л. 13,02.
Уч.-изд. л. 1 3,58,
Тираж 7000 экз. Т-17334. Цена книги 1 р, 02 к.
Заказ № 3054
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
1 1 7071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Набрано в Ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии
имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано во 2-ой типографии
издательства «Наука»,
Москва Г-99, Шубинский пер., 10,