/
Теги: аэродинамика теория полёта
Текст
Ю. А. КОШМАРОВ, Ю. А. РЫЖОВ
ПРИКЛАДНАЯ
ДИНАМИКА
РАЗРЕЖЕННОГО
ГАЗА
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1977
УДК 533.6.011.8 : 532.526.001.2
Рецензент д-р техн, наук, проф. А. И. Леонтьев
Кошмаров Ю. А., Рыжов Ю. А. Прикладная динамика разреженного газа.
М., «Машиностроение», 1977, 184 с.
В книге рассматриваются обтекание тел потоком разреженного газа,
течение газа в каналах различной конфигурации, теплообмен в разрежен-
ном газе. При обсуждении теоретических основ на первый план выдвигают-
ся физические аспекты описываемых процессов. Систематизированы экспе-
риментальные данные и результаты численных решений большого числа
типичных для инженерной практики задач.
Книга рассчитана на научных сотрудников и инженеров, работающих
в различных областях техники, а также аспирантов и студентов старших
курсов, специализирующихся в области аэромеханики и вакуумной техники.
Табл. 13, ил. 86, список лит. 202 назв.
ИБ № 1148
Юрий Антонович Кошмаров, Юрий Алексеевич Рыжов
ПРИКЛАДНАЯ ДИНАМИКА РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
Редактор издательства Г. Д. Журавлева Художник Е. В. Бекетов
Технический редактор Т. С. Старых Корректор Е. П. Карнаух
Сдано в набор 14/XII-1976 г. Подписано к печати 10/ПЫ977 г. Т-02160
Формат 70ХЮ8’/1б Бумага № 2 Усл. печ. л. 16,1 Уч.-изд. л. 15,77
Цена 2 р. 90 к. Тираж 2400 эк,з.______________Изд. № 422________________________
Издательство «Машиностроение*, 107885 Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3.
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
Хохловский пер., 7. Тип. зак. 1942.
31808-177
К -------------177—77
038(01)-77
© Издательство «Машиностроение», 1977 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Во многих современных отраслях промышленности — электронной,
радиотехнической, атомной, оптической, металлургической и др.— ши-
роко используются производственные Процессы, протекающие при очень
низких давлениях. Вакуумные печи в металлургии, напыление пленок
в вакууме, вакуумная пайка и сварка, разделение изотопов, вакуумное
замораживание и сушка в производстве лекарственных препаратов, ваку-
умная теплоизоляция в криогенике — все это лишь небольшая часть при-
меров применения вакуума в технике. Важная роль принадлежит ваку-
умной технике при создании экспериментальных установок и аппаратуры
для исследований в области ядерной физики, физики плазмы, физики
твердого тела, материаловедения и т. п.
Развитие и совершенствование вакуумной техники потребовало глу-
бокого изучения законов тепло-массообмена и движения газа при боль-
ших степенях разрежения. Особенно большой практический интерес к
механике разреженного газа вызвало развитие авиационной и ракетно-
космической техники. Расчет аэродинамических характеристик летатель-
ных аппаратов, движущихся на больших высотах около Земли или
других планет; разработка молекулярных заборников газа; создание
датчиков для ракетного зондирования верхних слоев атмосферы; проек-
тирование экспериментальных стендов для моделирования гиперзвуково-
го движения аппарата на больших высотах; создание наземных испыта-
тельных комплексов, в которых имитируются условия космического
пространства, и т. д. — все эти задачи относятся в значительной степени
к разделу науки, называемому механикой разреженного газа (или дина-
микой разреженного газа). О чрезвычайно большом значении этого раз-
дела науки свидетельствует огромное число работ о движении разрежен-
ного газа, публикуемых в последнее время в периодической печати
в СССР и за рубежом (особенно в США, Англии, Франции), а также те-
матика национальных и международных конференций по механике и
физике. Начиная с 1958 г., с двухгодичным интервалом проводятся
международные симпозиумы, целиком посвященные динамике разрежен-
ного газа.
Предметом изучения динамики разреженного газа являются, глав-
ным образом, процессы тепло-массообмена и движения газов при значи-
тельных степенях разрежения. При условиях, когда степень разрежения
газа велика, методы расчета теплоотдачи и течений газов, основанные на
уравнениях обычной газовой динамики, становятся непригодными. В этих
условиях дискретный (молекулярный) характер газовой среды проявля-
ется совершенно иначе, чем в случае «плотных» газов.
Фундаментом динамики разреженных газов являются молекулярно-
кинетические представления о структуре газа. В этом отношении дина-
мика разреженных газов является одним из ответвлений молекулярно-
кинетической теории вещества.
Настоящая монография посвящена прикладным вопросам динамики
разреженного газа. Основное внимание при этом уделено задачам о.теп-
лообмене и сопротивлении тел в потоке нейтрального разреженного газа,
внутренним течениям.
Основная цель, которая преследовалась при создании настоящей
монографии, заключалась в систематизации и обобщении результатов,
теоретических и экспериментальных исследований, представляющих
наибольший практической интерес.
Первая глава написана проф. Ю.А. Кошмаровым и проф. Ю. А. Ры-
жовым. Вторая и третья главы написаны проф. Ю. А. Кошмаровым.
Авторы выражают благодарность члену-корреспонденту АН СССР
В. С. Авдуевскому, высказавшему ряд ценных замечаний о структуре и
направленности монографии, и канд. техн, наук С. Б. Свирщевскому,
М. А. Шаровой, Г. В. Симаковой, Н. В. Родиной, Р. В. Вериной за по-
мощь при подготовке рукописи.
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
§ 1.1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ СТРУКТУРА ГАЗОВ
Газ представляет собой совокупность огромного числа материаль-
ных частиц, называемых молекулами. Например, вблизи поверхности
Земли в 1 см3 воздуха содержится приблизительно 1019 молекул, а на
высоте Г00 км (где давление составляет приблизительно одну миллион-
ную от давления у поверхности) в 1 см3 содержится 1013 молекул.
Каждая молекула является центром некоторого силового поля. Две
молекулы притягиваются друг к другу, когда они значительно удалены
друг от друга, и отталкиваются при достаточном сближении. Во многих
случаях молекулу можно рассматривать как центр сферически симмет-
ричного силового поля. Сила взаимодействия F между такими молекула-
ми является функцией только межмолекулярного расстояния г. Следует
отметить, что силовое поле у двухатомных и многоатомных молекул не-
сферическое. Однако, если нас интересуют лишь осредненные результаты
взаимодействия большого числа разно ориентированных относительно
друг друга молекул, то в первом приближении силу взаимодействия этих
молекул также можно считать при решении многих задач лишь функцией
межмолекулярного расстояния.
Для описания силового поля молекулы удобно использовать потен-
циальную энергию взаимодействия Ф. Потенциальная энергия Ф(г) и
сила F(г) связаны простыми соотношениями F\r)= ~d<F>!dr, ф(г) —
= ^F(r)dr.
Г
Конкретный вид функций F(r) и Ф(г) зависит от природы молекул. Для
большинства простых молекул можно воспользоваться формулой следу-
ющего вида:
ф = /С1Г-^-/С2Г-^. (1.1)
Первый член в правой части формулы (1.1) описывает энергию оттал-
кивания, а второй — энергию притяжения. Частным видом этой форму-
лы является следующее выражение:
ф=4Ф0Г(-^У2-р^У51 . (1.2)
1\ г J \ г / J
Функцию (1.2) называют потенциалом Ленарда — Джонса (6—12). Па-
раметры Фо и Го характеризуют химическую разновидность молекул.
Величина г0 есть значение г, при котором потенциал равен нулю, и рав-
няется нескольким ангстремам. Например, для гелия го = 2,57-1О”8 см,
для азота го=3,7-1О~8 см [12]. Величина Фо— максимальное значение
энергии притяжения (или глубина потенциальной ямы), которое дости-
гается при г — —21/6 г0. Величина Фо/& (k — постоянная Больцмана) мо-
жет составлять в зависимости от природы газа десятки и сотни градусов
Кельвина. Потенциал Ленарда — Джонса дает близкое к реальному
представление о взаимодействии между молекулами. Из (1.2) нетрудно
видеть, что при больших расстояниях (г^>г0) превалируют силы притя-
жения, а при малых расстояниях (г<г0) — силы отталкивания. Важно
подчеркнуть, что величина межмолекулярных сил быстро убывает с рас-
стоянием между молекулами. Эти силы становятся заметными лишь на
расстояниях порядка линейных размеров самих молекул, т. е. tfa рас-
стояниях, равных нескольким ангстремам.
Характерной особенностью разреженного газа является то, что его
молекулы разделены в среднем большими расстояниями, значительно
превышающими расстояния, на которых заметны межмолекулярные си-
лы. Представим себе мгновенный объемный снимок молекул, заключен-
ных, например, в 1 см 3 воздуха у поверхности Земли. Молекулы распре-
делены в рассматриваемом объеме почти равномерно. На каждую моле-
кулу приходится небольшая часть от кубического сантиметра, равная
10~19 см3. Следовательно, расстояние между молекулами в среднем равно
3 / _io ____6
г* = у 10 ^10 см, т. е. почти на два порядка больше расстоя-
ния, на котором заметны межмолекулярные силы.
Молекулы газа, находясь в движении, большую часть времени прак-
тически не взаимодействуют друг с другом, так как находятся на боль-
ших расстояниях друг от друга. Взаимодействие между молекулами
становится существенным лишь при заметном сближении их. Время про-
цесса взаимодействия очень мало по сравнению со временем свободного
движения. Например, при нормальных условиях (при этих условиях ско-
рость молекул воздуха в среднем равна С~300 м/с) время прохождения
двумя сближающимися молекулами воздуха расстояния порядка 1 А
(т. е. расстояния, на котором заметно проявляются межмолекулярные
силы) составляет величину тс~10~13 с. При этом время свободного дви-
жения на два порядка больше. Короткий промежуток времени тс, в тече-
ние которого молекулы взаимодействуют, называют временем столкно-
вения, а сам процесс взаимодействия — столкновением. Поскольку вре-
мя столкновения молекул газа очень мало по сравнению со временем их
свободного движения, вероятность взаимодействия одновременно трех и
более молекул (т. е. вероятность тройных и более столкновений) прене-
брежимо мала. Практически в разреженном газе имеют место лишь пар-
ные столкновения. При столкновениях молекулы обмениваются импуль-
сом и энергией. Обычно каждую пару сталкивающихся частиц можно
рассматривать в момент столкновения как изолированную систему.
Действием внешних сил можно пренебрчь. Перед столкновением две мо-
лекулы проходят относительно большие расстояния, выходя из началь-
ных точек, удаленных друг от друга настолько, что вначале эти молеку-
лы движутся совершенно независимо. Движение молекул и их столкно-
вения во всем практически интересном диапазоне условий обычно можно
рассматривать с позиций классической ньютоновской механики.
§ 1.2. СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ
Рассмотрим столкновение двух молекул, массы которых <mi и т2.
Будем считать, что при столкновении не происходит химической реакции,
что потенциал взаимодействия Ф зависит лишь от расстояния между
частицами г. В процессе взаимодействия выполняются законы сохране-
ния массы, импульса и энергии. С учетом этого можем записать:
/П1 Ц-Ш2 = т,\-\-т2, — ^1^1 4“ ^2^2 = ^1^1 4-w2fe >
где §1 и ^2 — скорости соответственно первой и второй молекул перед
столкновением; &— скорости молекул после столкновений; т/ и
т2'— массы молекул после столкновения.
Все приведенные выше выражения законов сохранения для двух
сталкивающихся частиц можно записать в виде
^ + ^ = ^+^2,
где Ч^, 4^*2— соответственно масса, импульс или энергия частицы. Вели-
чины Т называют сумматорными инвариантами.
Решение задачи о столкновении двух частиц сильно упрощается,
если вместо системы отсчета, скрепленной со стенками заполненного га-
зом сосуда, или стенами лаборатории (лабораторная система отсчета),
выбрать систему отсчета, скрепленную с центром инерции (центром
масс) рассматриваемых частиц, называемую системой центра инерции.
Центр инерции сталкивающихся молекул движется равномерно и пря-
молинейно (так как система изолированная). В этой системе координат
движения молекул описывается вторым законом Ньютона
rn2^§-==-F(P), (1.3)
где ri и Яг — радиусы-векторы частиц; F— сила, действующая на первую
частицу со стороны второй и зависящая от г = й—г2.
Радиус-вектор центра масс в рассматриваемой системе координат
равен нулю, т. е.
Ц.и
Щ\Г\ + т2г2
т\ + /п2
0.
Следовательно,
Из (1.4) следует, что
г,= ^—г- г2=----------------------------------'^—г. (1.5)
' ТП\ + ТП2 + /П2
Если выражения (1.5) подставить в систему уравнения (1.3), то она
сведется к одному уравнению для г
(1-4)
7W0-^-=F(r);
ах1
(1.6)
где Af0=-miZn2 - (при m1=m2=m имеем Af0=m/2). Величину на-
+ /П2
зывают приведенной массой системы.
Таким образом, в системе центра масс задача о столкновении двух
молекул сводится к задаче о движении одной частицы с приведенной
массой 7И0 в центральном силовом поле F(r), центр которого совпадает
с началом координат. Пусть скорость частицы с массой 7И0 вдали от си-
лового центра численно равна g и направлена вдоль прямой, отстоящей
на расстоянии b от силового центра О (рис. 1.1). Величину b называют
прицельным расстоянием. Вдали от силового центра потенциальная энер-
гия молекулы Ф = 0, а ее полная энергия и численное значение момента
импульса относительно точки О равны соответственно
и МйёЬ.
В процессе движения частицы с массой Мо в центральном силовом поле
сохраняется полная энергия и момент импульса. Следовательно (здесь
используем полярные координаты),
1 Г/ dr V । I dft \2"| । , х
L\ dx ) у dx J J
М^.а^-=МйёЬ.
(1.7)
_ Mpg"1 .
2 ’
Рис. 1.1. Пояснительная схема к задаче о столк-
новении двух частиц
Исключая из системы (1.7) время и
интегрируя, получим уравнение траек-
тории частицы
9=b' I --------------- + const.
J „]/(_?*(£)_ 21
V Mog2 П
(1.8)
Из закона сохранения энергии следу-
ет, что величина относительной скоро-
сти молекул не изменяется, т. е. g = g',
где g' — относительная скорость после
столкновения. Кроме того, из закона сохранения момента количества
движения вытекает, что Ь—Ь'. Из (1.8) нетрудно найти угол во, соответ-
ствующий минимальному расстоянию rmm, и угол отклонения % (угол
между векторами относительной скорости до и после столкновения), ко-
торый связан с 0о соотношением (см. рис. 1.1): % = л — 20о.
Формула для 0о записывается следующим образом:
dr_________
2Ф(г) №
(1.9)
Значение гтщ в (1.9) определяется из уравнения
j (Лп1п)Q
d,n
При исследованиях течений разреженного газа часто используют упрощенные
модели молекул. Одной из таких моделей является модель, согласно которой между
молекулами действуют лишь силы отталкивания. Эта модель не учитывает силы притя-
жения. Формула для потенциала взаимодействия таких молекул получается из (1.1),
если отбросить член, учитывающий энергию притяжения:
Ф=——. (1.10)
Величину s называют показателем отталкивания. Сопоставляя результаты опытных
исследований вязкости (теплопроводности) газов с теоретическими расчетами, в кото-
рых используется модель (1.10), установили, что значения s, обеспечивающие наилуч-
шее согласование, лежат в пределах от 5 до 15. Молекулы, у которых s=5, принято
называть максвелловскими, а газ, состоящий из таких молекул, — максвелловским га-
зом. Максвелловская модель, как будет видно в дальнейшем, очень удобна при теоре-
тических расчетах, так как упрощает вычисления. Однако следует иметь в виду, что эта
модель имеет ограниченный характер применения.
Для молекул со степенным законом взаимодействия (1.10) формула (1.9) преобра-
зуется к виду
(1.Н>
где ₽ = Ыг, ft, = b/rmln-, х = 6
\_Х 1) /\
Значение Ро определяется из уравнения 1 — р^ —
1
s — 1
В теоретических исследованиях часто используется еще более простая модель
молекулы, которая представляет собой абсолютно упругий и идеально гладкий шар.
Эта модель дает лишь грубое представление о сильных короткодействующих силах от-
талкивания. Потенциал взаимодействия в этом случае записывается в виде
ф (г) = оо при г < d;
ф(г) — Ъ при г > d,
(1.12)
где d — диаметр молекулы.
Диаметр d подбирается таким образом, чтобы получить наилучшее согласование
с результатами расчетов на основе более точных моделей или с данными опытов.
В этом смысле столкновение реальных молекул как бы заменяется столкновением экви-
валентных им шаров. При движении двух упругих шаров столкновения не происходит,
если b>d. Столкновение происходит, если b<d. В момент соприкосновения шаров
относительная скорость мгновенно меняет свое направление. Сфера, эквивалентная
реальной молекуле, движется по траектории (в системе центра масс), состоящей из
двух прямых, расположенных под углом х друг к другу (см. рис. 1.1). Эти линии яв-
ляются асимптотами траектории реальной молекулы. Угол отклонения для твердых сфер
вычисляется по формуле
х = 2 arccos (bld) при b < d; )
Л < (1.1о)
X = 0 при b > d. )
Мы рассмотрели выше относительное движение двух сталкивающихся молекул.
Это движение происходит в плоскости, связанной с центром масс и, следовательно,
- - ^161 4- /п2$2
двигающейся в пространстве с постоянной скоростью £о» гДе 6о =-------------------•
4“ /^2
В этой плоскости лежат векторы относительных скоростей g = — $2 и g' =
Эту плоскость принято называть плоскостью относительного движения. Свяжем с этой
плоскостью другую плоскость, перпендикулярную вектору g и проходящую через нача-
ло координат (см. рис. 1.1, плоскость II). Эту плоскость можно назвать плоскостью
мишени. Расстояние между точкой А (точка пересечения линии, на которой лежит век-
тор g, с плоскостью мишени) и началом координат О есть прицельное расстояние.
В дальнейшем необходимо будет фиксировать положение точки А (или плоскости отно-
сительного движения) в пространстве относительного движения. С этой целью удобно
ввести цилиндрические координаты b и е. Угол е есть угол между рассматриваемой
плоскостью относительного движения и некоторой фиксированною плоскостью (см.
плоскость III на рис. 1.1). Параметры b и 8 называются прицельными параметрами
столкновения.
После того как решена задача об относительном движении сталкивающихся мо-
лекул, нетрудно получить формулы, связывающие величины составляющих скоростей
молекул до и после столкновения (подробные выкладки даны в ряде книг, напри-
мер [39]:
= 6x1 + (6x2 — 6x1) cos2 60 + “ [£2 — (£х2 — Sxi)2]1/2 sin 29q cos
6f/i = 6z/i 4- (61/2 — 6^i) cos2 Oo 4- 2 — (61/2 — 6z/i)2]1/2 sin 20q cos (02 — e),’
tzl = 521 + (522 - 621) cos2 00 + te2 — (6*2 — 5zl)2]1/2 sin 200 cos (03 — e),
(1.14)
где £xi, %yi, %zi — проекции вектора скорости молекулы перед столкновением на оси
произвольной прямоугольной системы координат XYZ. Значком «штрих» отмечены со-
ставляющие скорости первой молекулы после столкновения; индексом г=1 обозначены
составляющие скорости первой молекулы, индексом i=2 — второй молекулы.
Углы 02 и 0з определяются уравнениями
___________(6x2 ~ 6x1) (61/2 ~~ 61/1)_____________,
U2 - (6x2 - 6х1)2]1/2 - (6//2 - 6</1Я1/2 ’
____________(6x2 — 6x1) (6z2 — 6*1)______________
[£2 - (6x2 - 6х1)2]1/2 [g2 ~ (6.2 - 521)2]1/2 '
(1.15)
Формулы для получаются чз (1.14) — (1.15) путем замены £i на £2> и наоборот.
§ 1.3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МОЛЕКУЛ
I И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ГАЗА
Динамическое состояние системы из N одинаковых одноатомных
молекул, находящихся в некотором ограниченном объеме V, будет опре-
делено совершенно точно, если известны положения и скорости всех час-
тиц в отдельности. С точки зрения классической механики координаты
и -скорости всех частиц можно определить в каждый момент времени,
если будут заданы начальные и граничные условия, путем решения си-
стемы N уравнений Ньютона:
m^- = Fl (/=1, 2, 3,..., TV), (1-16)
Однако такой подход к описанию молекул газа наталкивается на прин-
ципиальные трудности. Например, для того чтобы рассчитать результат
столкновения какой-либо молекулы газа со стенкой сосуда, нужно знать
совершенно точно поведение атомов стенки в момент столкновения. В то
же время поведение атомов стенки сосуда зависит от воздействия окру-
жающей среды. Ясно, что детерминированные граничные условия для
системы уравнений (1.16) исключаются. Кроме всего прочего, следует
иметь в виду, что число молекул, образующих газ, чрезвычайно велико.
Например, даже при давлении в миллиард раз меньшем, чем давление
у поверхности Земли, в 1 см3 воздуха содержится приблизительно 1010
молекул. Задача совместного решения такого огромного числа уравне-
ний Ньютона является фантастически сложной.
В связи со сказанным выше для описания состояния и поведения
системы, состоящей из огромного числа молекул, приходится пользовать-
ся статистическими методами. В основе молекулярной статистики лежит
положение о неупорядоченности (хаотичности) движения молекул отно-
сительно друг друга. Согласно этому положению движения любых двух
молекул, кроме только что столкнувшихся, рассматриваются как неза-
висимые. Скорости молекул могут принимать из-за столкновений любые
значения, образуя непрерывный спектр случайных величин. Выделим в
пространстве, заполненном газом, макроскопически малый объем dV=
—dxdydz, т. е. такой объем, линейные размеры которого малы по срав-
нению с характерным размером задачи, но в котором содержится очень
большое число молекул. Пусть в этом объеме содержится в момент вре-
мени х число частиц, равное ndV (где п — число частиц, приходящееся
на единицу объема). Найдем вероятность dP того, что взятая наугад
молекула этого объема будет иметь скорость, составляющие которой
лежат в интервале от до ix~j~d^x, ^y-\~d^y, lz-\-d%z. Если рас-
сматривать общее число молекул в этом объеме как испытания, а число
молекул dN, имеющих указанные скорости, как благоприятные случаи,
то вероятность dP следует вычислять по формуле
dP=dN!ndV. (1.17)
Очевидно, что ndV должно быть очень большим числом, что практически
всегда выполняется. Вероятность dP зависит от значений gz, около
которых выбраны интервалы d^ d^z. Действительно, рассматривая,
например, равновесное состояние газа, вряд ли можно насчитать боль-
шое число молекул, скорость которых в данный момент очень близка
к нулю или составляет многие тысячи километров в секунду. Очевидно,
что вероятность dP должна зависеть, с одной стороны, от значений gx,
около которых выбраны интервалы d^Xi d%y, d%z, а с другой —
dP прямо пропорциональна величинам этих интервалов. Это положение
можно записать в виде
dP=Fd^xd^z, (1.18)
где F — функция, зависящая от выбранных значений gz.
Сопоставляя формулы (1.17) и (1.18), получим следующее выраже-
ние, позволяющее вычислить ожидаемое число молекул с выбранными
скоростями в выделенном объеме dV,
dN=nFdlxdlydlzdxdydz. (1.19)
До сих пор рассматривались молекулы в объеме около некоторой
фиксированной точки (xyz) и в некоторый момент т. Очевидно, что в
разных точках пространства и в разные моменты времени искомая ве-
роятность dP может быть различной. Следовательно, функция F в фор-
муле (1.18) будет также функцией координат и времени F=F (gx, gz,
x, у, z, т). Функция F называется функцией распределения скоростей мо-
лекул, поскольку от нее зависит характер распределения вероятностей
dP. Совокупность всех значений вероятностей для случайных величин
ёх, Ь есть распределение этих величин. Отметим одно важное свойст-
во совокупности значений вероятностей
^dP=^-=\. (1.20)
ndV . 1 ’
Учитывая, что
4-00
^dN=^(nFd^xd’zvd,izdV) = dV J J J nF di,xd^yd^z,
— oo
получим из (1.20) следующее выражение:
^Fd^d^X. (1.21)
--ОО
Условие (1.21) называется условием нормировки.
Вместо функции F в расчетах удобно использовать функцию f = nF.
Если известна функция распределения скоростей, то можно вычис-
лить любые макроскопические параметры газа. Физический смысл опе-
раций вычислений макроскопических величин заключается в осреднении
соответствующих молекулярных признаков всех молекул, находящихся
в элементарном объеме dV, в данный момент времени. Например, со-
ставляющую видимой (макроскопической) скорости их получим осред-
нением значений всех N=^ndV молекул, находящихся в dV\
4-00
Ujc= ==~^dV jjj n^Fd^yd^dV =
— oo
+ oo 4” 00
= "и” J JJ (1.22)
— oo — oo
Аналогично выражаются через f составляющие видимой скорости газа
иу и uz\
+ °°
^yf^x^y^zt
7 п-23)
uz = JJ J ^zfd^d^d^.
—00
Составляющие скоростей молекул можно представить в ви-
де суммы составляющих видимой скоростей газа и отклонений от этих
средних значений gx=Wx+Cx, %y=uy+Cy, %z=uz+Cz, где Сх, Су, Cz —
отклонения от средних значений, так называемые тепловые скорости мо-
лекул (или скорости хаотического движения).
Отметим, что поскольку отклонения могут быть и в большую и в
меньшую сторону от щ, то
jjj C^d^yd^ §^CiFdCxdCvdCz=O,
--ОО --ОО
где Z=x, у, z.
Исходя из определения температуры газа (температура есть сред-
няя кинетическая энергия теплового движения молекул, измеряемая в
градусах), можно выразить ее через F следующим образом:
+ ОО
т=Т JJJТ+с"у+Fdi-d^ (1 -24>
--ОО
где k — постоянная Больцмана (k=mR).
Если же воспользоваться вместо F функцией f, получим
4-00
Т=J J J Т(с"+Су+fdC*dCydC>-
— 00
Давление в газе, согласно определению его в кинетической теории,
можно выразить через / следующим образом:
4- ОО
р=± m JJJ (С2х-\-С1 + С2г) fdCxdCydCz. (1.25)
Составляющие теплового потока qi и напряжение трения Р^ выража-
ются через f следующим образом *:
4-00
CiT <C*+Cy + C*)fdC-dCydC*' U-26)
где г=х, у, z,
Pti~tn ^^CiCjfdCxdCydCz, . (1.27)
---------------------------ОО
где i£j.
Можно также ввести составляющие температуры:
у XX у РуУ у __ Pzz
хх mnR ’ УУ mnR ’ zz mnR
где Рц = т JJJ C2ifdCxdCydCz.
Если газ в объеме dV находится в равновесии, то компоненты глав-
ных напряжений Ри не зависят от направлений и все составляющие тем-
пературы совпадают (см. § 1.5).
* Здесь рассматривается одноатомный газ. Для многоатомного газа необходимо
учитывать также внутреннюю энергию.
Рис. 1.2. Пояснительная схема к выводу урав-
нения Больцмана:
ф — молекулы, скорости которых лежат в интервале
значений от до £х + d^x, Ьу + “ЧР +
О —все остальные молекулы
§ 1.4. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
В предыдущем параграфе было
показано, что все макроскопические
характеристики течения нетрудно вы-
числить, если известна функция рас-
пределения скоростей молекул. Таким
образом, решение всякой задачи ди-
намики разреженного газа сводится к
отысканию функции распределения скоростей. В общем случае для
отыскания вида функции распределения скоростей молекул обращают-
ся к уравнению Больцмана, выведенному им в 1872 г. Это уравнение
получается при рассмотрении 'баланса частиц выделенного класса в
элементе объема физического пространства.
Выделим в газе, состоящем из одноатомных молекул, около точки
(%, у, z) элемент физического пространства dV=dxdydz (рис. 1.2).
В этом элементе в момент времени т содержится ndV частиц (где п—
числовая плотность молекул в точке х, у, z). Скорости всех молекул раз-
личны по величине и направлению. Из числа ndV молекул выделим мо-
лекулы, у которых значения составляющих скорстей лежат в интервале
значений соответственно от gx, до gx + d|x, Zy + d%y, %z+d^z. Рас-
смотрим изменение числа этих выделенных частиц за малое время dr,
величина которого, однако, много больше времени столкновения тс. Из-
менение числа молекул выделенного класса за время dx может быть обу-
словлено следующими причинами: а) движением молекул, в результате
чего некоторое количество молекул выделенного класса покинет объем
•dV, а некоторое с такими же скоростями поступит в dV\ б) действием
внешнего поля массовых сил (например, сил тяжести), в результате че-
го часть молекул объема dV может изменить за время dx свою скорость
и пополнить класс выделенных молекул, а с другой стороны, некоторое
число молекул выделенного класса может так изменить свою скорость
под действием внешних сил, что выйдет из числа выделенных; в) столкно-
вениями молекул, в результате которых могут «погибать» молекулы вы-
деленного класса (так как при столкновениях с другими молекулами
у них изменяется скорость), или наоборот, при столкновениях молекул,
ранее не входивших в выделенный класс, могут «рождаться» молекулы
со скоростями, лежащими в указанном интервале значений.
Вычислим изменения, обусловленные движением молекул. Слева
от элемента имеется какое-то количество молекул, скорости которых
лежат в выделенном интервале значений. Те молекулы, которые находят-
ся на расстоянии gxdr, обязательно попадут за время dx в элемент dV.
Таким образом, все молекулы с выделенными значениями скоростей,
находящиеся в объеме %xdxdydz, за время dx непременно попадут через
левую грань dydz в dV и пополнят класс выделенных частиц. Число этих
молекул в объеме ^Xdxdydz (из определения F) равно (nF)xdgxX
Xd^yd^^dxdydz. Через правую грань dydz молекулы выделенного клас-
са будут покидать dV. Число уходящих молекул через правую грань вы-
числяется аналогично: (nF)x+dxd^xdlyd^xdxdydz. Используем разло-
жение в ряд Тейлора и опустим малые члены второго и более высоких
порядков. Тогда число уходящих частиц через правую грань dydz мож-
но представить в виде f(/zF)x -[- d^xd^yd%£xdxdydz.
Разность между числом поступающих и уходящих частиц равна
JLlzD-dwlVdx,
дх
где d(d = d^xd^yd^z — элемент пространства скоростей.
Аналогичным образом можно рассмотреть потоки выделенных мо-
лекул через грани dxdy и dxdz. Сумма разностей между числом посту-
пающих и уходящих частиц через все грани будет равна
11^1 + l^]d^dr.
[ . дх ' у ду ~ z dz J
Будем считать, что внешние силы отсутствуют (или, по крайней ме-
ре, ими можно пренебречь). Тогда с учетом изменения числа частиц из-за
столкновений, получим следующее балансовое уравнение:
of
дх
df
дх
* ду
df
dz
(1.29)
где J — член, учитывающий влияние столкновений. Конкретный вид чле-
на J в уравнении (1.29) зависит от вида потенциала межмолекулярного
взаимодействия Ф. Подробный вывод выражения для J приведен во мно-
гих монографиях [12, 39, 50]. Выпишем здесь лишь конечный результат
4-оо 2л: оо
(/71 - //i) gbdbdsd^d^d^,
(1.30)
где /=/(^> х, у, z, т); х, у, z, т); /'=
= /(Ь. ty, Ь. х, у, z, т); f'i=f (U, bi, х, у, z, t); $xl, £г1 —
составляющие скорости^ молекул, сталкивающихся с молекулами выде-
ленного класса; g = %—— относительная скорость сталкивающихся мо-
лекул; b и е — прицельные параметры столкновения (см. § 1.3 гл. I);
%х', Ы и ^с/, ^i', gzi' — составляющие скоростей молекул, при столк-
новениях которых «рождаются» молекулы выделенного класса.
Интегрирование в (1.30) ведется по всем значениям скоростей
т. е. учитывается столкновение всех молекул с молекулами выделенного
класса (^-молекулами). Кроме того, учтены всевозможные значения при-
цельного угла е (от 0 до 2л) и величины прицельного расстояния b
(от 0 до оо). Столкновительный член J принято называть интегралом
столкновений.
Интеграл столкновений можно представить как сумму двух интегралов
J = /+ + /-, (1.31)
4- оо 2тг со
где/+= С Г С f'f^gbdbdtd^
— со о о
4-оо 2к 4-оо
j_=/v; v= j j f igbdbdzdu>i, J Qd^ = J J J Qd^xldZyidZzi •
— oo 0 — oo
Член J+ в (1.31) вызывают интегралом обратных столкновений. Этот интеграл
учитывает число «рождающихся» частиц_выделенного класса в результате столкнове-
ний молекул других классов. Скорости g' и g/ частиц, при столкновениях которых
«рождаются» молекулы выделенного класса, по величине точно такие, какие имеются
после столкновения у молекул ^основного класса и молекул, скорость которых _|ь По
направлению %' и g/ обратны g и После столкновения частиц со скоростями % и
«рождаются» частицы со скоростями £ и gi. В этом смысле столкновения частиц со
скоростями %' и являются «обратными» по отношению к столкновениям частиц со_
скоростями | и gi. В силу сказанного, скорости %' и можно выразить через £ и gi
при помощи формул (1.14) — (1.15).
Второй член в правой части выражения (1.31) называют интегралом прямых
столкновений. Этот интеграл учитывает уменьшение числа выделенных частиц из-за их
столкновений с молекулами других классов. Величину v называют частотой столк-
новений.
Для молекул со степенным законом взаимодействия вместо прицельного расстоя-
ния b удобно ввести переменную х:
1
х = b
. OTg2 у-1
4(s-l)/<J ‘
(1.32)
С учетом (1.32) интеграл столкновений для молекул со степенным потенциалом взаимо-
действия примет вид
+ ОО 2k оо
---ОО о О
(1.33)
При s=5 (максвелловские молекулы) имеем
Для молекул в виде абсолютно упругих сфер выражение для интеграла столкновений
принимает вид
Ч-оо 2 л: к/2
/= J J j — ffi) gd2 sin ф cos (1.34)
— oo о 6
где d — диаметр молекул; ф — угол между направлением линии удара и вектором от-
носительной скорости.
Уравнение (1.29) называется уравнением Больцмана. Уравнение Больцмана яв-
ляется нелинейным интегро-дифференциальным уравнением. Это уравнение можно
записать также в чисто интегральной форме [7, 22]:
f (5, Г, т) = f (£, r0> fa) exp
J А, ехР
'Со
(1.35)
где г — радиус-вектор точки физического пространства, заполненного газом; т — вре
мя; го — радиус-вектор точки (пространства, где находились бы в предшествующи
момент времени т0 все молекулы, имеющие скорость £ 4-£ Ч- d^t если бы они двига-
лись вдоль направления £ без столкновений с молекулами других классов, г0 = г —
— £(т —т0); = v (ть гТ1, £) —частота столкновений в точке гТ1 в момент т^;
= г — С(т — т1); то < Т1 < Т1 < т2 < V = Jt j + — интеграл обрат-
ных столкновений, вычисленный в точке в момент времени iq, = J f'flgdad^9
оо 2к
da = bdbdz, Ла2 = J bdb [ dz.
о b
§ 1.5. МАКСВЕЛЛОВСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ПАРАМЕТРЫ ХАОТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ
Рассмотрим равновесное состояние газа. В этом случае свойства га-
за не меняются со временем и остаются одинаковыми во всех точках
пространства занимаемого газа. Следовательно, функция распределения
скоростей молекул не зависит от координат и времени. Она зависит
только от величин |ж, gz. Уравнение Больцмана в этом случае прини-
мает следующий вид
4- оо 2л: оо
J J ffi)gbdbd&d^ = O.
—<х> 0 б
Число прямых и обратных столкновений в этом случае будет одинаково,
если
(1-36)
Строгое доказательство необходимости выполнения условия (1.36) да-
ется в (39, 50]. Логарифмируя (1.36), получим
(1.37)
где Ф'=1п[/(й ь)], ф;=1п[/(^, и)];
«•=in[/($x, UJ; $я)Ь
Условие (1.37) выполняется, если функции W являются сумматорными
инвариантами (см. § 1.2), или в общем случае — линейной комбинацией
последних. Отсюда следует, что
ln/=^1m + ^2Am?x+^2^ + ^2^ + ^3-y^ » (1.38)
где k\, ku и кз — постоянные.
Выражение (1.38) можно переписать в виде
f=exp [kxm 4- k2xmlx + k2ytn^y + k2zm^z + k3 .
Постоянные #i, k2i, k3 (пять величин) можно выразить через п, Г, их,
и uz, если использовать формулы (1.21) — (1.24). В результате получим
следующую формулу для функции распределения:
= --------^9-еХр
(2лЯТ)3/2 г
С2 -Ь С2 + С2
2RT ’
(1.39)
где Сх=£х — их\ Cy=ty — uy; Cz=lz — uz\ их, utJ, ^ — составляющие
макроскопической скорости движения газа в системе координат XYZ, от-
носительно которой газ движется в целом; R— газовая постоянная. Эта
функция распределения впервые была найдена Максвеллом и носит его
имя. Подставляя максвелловскую функцию распределения (1.39) в фор-
мулы (1.26) и (1.27), получаем qi = 0, Рц = 0 (при В газе, находя-
щемся в тепловом равновесии, отсутствуют тепловые потоки и напряже-
ние трения. Воспользовавшись (1.39), можно вычислить для равновес-
ного состояния такие параметры хаотического движения молекул как
средняя квадратичная скорость теплового движения ]/”С2, наиболее
вероятная величина скорости молекул Ст, средняя величина тепловой
скорости молекул С.
Значение ]/"С2 определяется следующим образом:
С2 =
Y (С2х + С2у + С2г) fdCxdCydCz
1/2 _____
= V'3RT. (1.40)
Чтобы вычислить среднюю величину тепловой скорости молекул
перейдем в пространстве скоростей к сферической системе координат С,
Ф, 0. Число молекул, содержащихся в единичном объеме физического
пространства и имеющих величину скорости от С до C + dC, выражается
следующим образом:
4лС2------ехр (---------—) dC. (1.41)
(2л^Г)3/2 \ 2ЛТ ) k
Осредняя всевозможные значения С, получим среднюю величину
тепловой скорости
(1-42)
Значение наиболее вероятной величины скорости молекул Ст соот-
ветствует тому значению С, которым обладает наибольшее число моле-
кул. Следовательно, Ст определяется из условия экстремума функции
(1.41):
Cm=V2RT. (1.43)
Зная функцию распределения, нетрудно вычислить число столкно-
вений в единицу времени. Будем рассматривать молекулы в виде твердых
шаров диаметра d. В единице объема за единицу времени число столкно-
вений молекул, имеющих скорости от £ до g+z/g, с молекулами, скорости
которых лежат в интервале значений от gi до £i + dgi, составляет величи-
ну (см. § 1.4) ffigd2 sin ф cos фб/фб/ебДо^оэ, где da)x = dCx\dCy\dCzy
d(d = dCxdCydCz. Интегрируя по всем значениям ф (от 0 до л/2), е (от О
до л/2) и Ci, получим число столкновений молекул выделенного класса
с молекулами всех других классов. Интегрируя затем по всем значени-
ям С, получим удвоенное значение общего числа столкновений за едини-
цу времени (удвоенное потому, что в процессе интегрирования каждое
столкновение учитывалось дважды). Следовательно, число столкновений
Nc за единицу времени в единице объема будет равно
4-оо 4- оо 2г. тг/2
ffig sin ф cos
- ОО - OO О О
Подставляя сюда максвелловскую функцию распределения (1.39) и про-
водя вычисления (подробно <эти вычисления даны, например, в [39]), по-
лучим Nc = 2n2d? VnRT,
Каждое столкновение — это встреча двух частиц. Следовательно, чтобы
получить число столкновений v, испытываемых в среднем за единицу
времени одной частицей, нужно .поделить удвоенное число Nc на общее
число частиц:
v = 4nd2 (1.44)
Величину v называют частотой столкновения. При нормальных условиях,
например, величина v для воздуха составляет приблизительно величину
v«109.l/c. Величина то, обратная v, есть среднее время свободного дви-
жения частицы (время между двумя последовательными столкновения-
ми частицы):
4пдГ21/ nRT
Умножая to на среднюю величину тепловой скорости молекул С, получим
средний свободный пробег молекул I в системе координат, относительно
которой газ в целом покоится:
/=т0С =—, (1.46)
]/ 2/?а
где o=jtd2. Величину о называют сечением столкновения молекул.
Следует различать средний свободный пробег молекул I и среднее
расстояние между молекулами г* (см. § 1.1). Например, на высоте
300 км от поверхности Земли длина свободного пробега составляет ве-
личину Z~ 103 м (п=1015 м-3, о=10~18 м2), а среднее расстояние между
молекулами составляет величину г*=10-5 м. Необходимо отметить, что
понятие средней длины свободного пробега достаточно очевидно лишь
для модели молекул в виде твердых шаров. Для реальных молекул,
являющихся центрами силовых полей, это понятие становится неопре-
деленным. Однако, как уже отмечалось, реальным молекулам всегда
можно сопоставить модель в виде твердых сфер, подбирая соответствую-
щим образом их диаметр. Определенные таким образом диаметры назы-
ваются эффективными диаметрами, а соответствующая им величина а
называется эффективным сечением столкновения.
§ 1.6. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
При помощи уравнения Больцмана можно получить уравнения,
описывающие поведение макроскопических параметров газа, являющих-
ся моментами функции распределения (см. § 1.3). Пусть функция
<р (£х, М —есть некоторый молекулярный признак, такой как, напри-
мер, импульс mg или энергия-^mg2 и т. п. Умножим обе части уравнения
Больцмана (1.29) на функцию (pd^xd^yd^z и затем проинтегрируем
каждую часть по всем значениям gx, £>у,
= f (1-47)
ду J dz J
где da=d$xd%yd^.
Поскольку переменные (%, у, z) и (gx, gy, gz) являются независимыми, то
уравнение (1.47) можно преобразовать к виду
JL (j +л./л>)+JL +-L- (J а/л>)=
= J ffjgbdbded^d^. (1.48)
Величины J vfd^ = ср, j и т- п- есть макроскопические
характеристики газа. Уравнение (1.48) называют общим уравнением
переноса. Вшервые оно было получено в 1868 г. Максвеллом, когда урав-
нение Больцмана было еще неизвестно. Естественно, для того чтобы по-
лучить это уравнение, Максвелл использовал иные рассуждения (см. на-
пример, [39]).
Рассмотрим вид получающегося из (1.48) уравнения, если положить
<р = т (т — масса молекулы). В этом случае
J <ofd&=m § fdo)=mn = p; ^^fd^=m ^ifd^ — pu^
где f = x, у, z; Ui— составляющие макроскопической скорости газа.
Используя тот факт, что при столкновениях молекул их масса не
меняется, можно показать, что (подробно это сделано, например, в
[21, 70])
m J* f J J (/'/1— f /i) gbdbd^1d^=G.
Таким образом, при <р = т из (1.48) вытекает следующее уравнение:
dp t д?их , дриу । д^иг
дх дх ‘ ду ‘ дг ’ 1
Уравнение (1.49) называется в обычной газовой динамике уравнением
неразрывности. Положим теперь <p = mgi (где i = x, у, z). В силу того, что
при столкновениях суммарный импульс молекул не изменяется, правая
часть (1.48) обращается в нуль. В результате имеем
p p dux dPxx i dPxy । dPXz . (1.50)
dr dtiij dx dPyx 1 1 dy 1 dPyy । dz ’ dPyz .
dx dx dy dz
p duz — dPzx ' i dPzy । dP^
dx dx 1 1 dy dz
где dU[ _ ди,[ J- 11 du[ _L„ dui I dill 1 z dz
dr dx T и x dx И- и 1 У dy j
иу, иг — компоненты макроскопической скорости газа; Рхх, Руу, Pzz,
Рху=Рух, Pxz=Pzx> Pyz=Pzy — компоненты тензора напряжения
(см. § 1.3). Уравнения (1.50) есть уравнения движения газа.
Положим cp=-y-m(d+^+^)- В этом случае правая часть урав-
нения (1.48) снова обращается в нуль, так как при столкновениях сум-
марная энергия частиц не изменяется. После несложных преобразований
получим следующее уравнение:
--- (р^) И--(Р^Х^ “хРXX “F UyP ху Ч- UzPxz) Ч~
/ I \* л I л лл j у лу | Л£/ I
— (pw^ +
ихРух ИуРуу 4“ UZPyz) +
(?игЕ+ихР
ZX + VyPyz + uzP'zzj 4
ддх I дду
дх ду
dqz
dz
0, (1.51)
где E=cvT-\—+ + —изохорная теплоемкость; q
qy, Яг — составляющие теплового потока; (Рхх-\-Руу-\-PZz)~
температура газа. Уравнение (1.51) называется уравнением энергии.
Полученные пять уравнений являются фундаментальными уравне-
ниями газовой динамики. В представленной здесь форме эти уравнения
являются незамкнутыми, так как помимо пяти неизвестных р, их, иу, uz
и Т содержат еще неизвестные функции Рху, PXZi PyZ) РХХ) Руу,
qx, qy, qz (величина Pzz выражается через Т и Рхх, Руу). Всего неизвест-
ных функций тринадцать. Чтобы сделать систему уравнений замкнутой,
необходимы дополнительные связи между первыми пятью функциями и
остальными восьмью функциями. В обычной газовой динамике тензор
напряжений предполагают пропорциональным тензору скоростей дефор-
мации (закон Стокса), а вектор потока тепла — градиенту температуры
(закон Фурье). При этом используются дополнительные предположения
об изотропности и однородности среды, что позволяет все коэффициенты
(число их 81), связывающие компоненты тензоров, выразить через два
коэффициента вязкости. Однако законы Стокса и Фурье являются част-
ными и применимы лишь тогда, когда средняя длина свободного пробе-
га молекул исчезающе мала по сравнению с характерными размерами
задачи. В общем случае нужно решать уравнение Больцмана.
В принципе из уравнения переноса можно получить сколько угодно
макроскопических уравнений, задаваясь различными функциями
Ф (5х, 1у, £z). Отметим пока лишь, что при функциях <р, не являющихся
сумматорными инвариантами столкновений, правая часть уравнения пе-
реноса (1.48) не обращается в нуль.
В дальнейшем (см. гл. III) мы будем использовать функции следую-
щего вида:
(1.52)
где а, р, т) — целые числа (1. 2, 3, 4 ...). Макроскопические величины
Март], которые соответствуют таким функциям <р:
называются моментами функции распределения, а величины
A Ja₽7] = J —
моментами интеграла столкновений. Сумма чисел (a+p + т)) определяет
порядок момента функции распределения. Если а+р + т) = 0, то момент
функции распределения имеет нулевой порядок. Если а+р + т) = 1, то мы
имеем момент функции распределения первого порядка и т. д. Уравне-
ния, получаемые из (1.48) при использовании функции (1.52), называ-
ются моментными уравнениями. Полученные выше уравнения (1.49) —
(1.51) есть моментные уравнения, содержащие моменты нулевого, пер-
вого, второго и третьего порядков. При (а+р + т])>3 мы будем полу-
чать моментные уравнения, содержащие моменты более высокого по-
рядка.
Если решить уравнение Больцмана и затеАм найденную функцию
распределения подставить в выражения для моментов, то любое момент-
ное уравнение, полученное описанным выше способом, будет удовлет-
воряться.
§ 1.7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ С ПОВЕРХНОСТЬЮ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Уравнение Больцмана описывает бесчисленное множество конкрет-
ных процессов. Чтобы выделить какой-либо процесс, необходимо доба-
вить к этому уравнению соответствующие условия однозначности, и в
частности, граничные и начальные условия для функции распределения
скоростей молекул.
Чтобы сформулировать граничные условия для функции распреде-
ления на поверхности твердого тела, омываемого газом, необходимо знать
механизм взаимодействия молекул газа с поверхностью. В конечном
счете должен быть определен характер отражения молекул (функция рас-
пределения отраженных от поверхности молекул). Физическая картина
взаимодействия молекул газа с позиций молекулярно-кинетических пред-
ставлений выглядит следующим образом.
Твердое состояние (кристаллическое состояние) характеризуется
определенным, закономерным расположением микрочастиц (атомов,
ионов, молекул) в пространстве. Для чистых металлов, например, харак-
терными структурами кристаллических решеток являются объемно-цент-
рированная кубическая решетка (Mo, W, Та и др.), гранецентрированная
кубическая решетка (Al, Си, Ag, Pt и др.) и гексогональная решетка
плотной упаковки (Mg, Re и др.). Расстояния между атомами (или иона-
ми) в решетка?< различны для различных веществ и колеблются в пре-
делах нескольких ангстрем. При любой температуре атомы в кристалле
совершают колебания около своих положений равновесия, т. е. относи-
тельно узлов решетки. Эти колебания, вообще говоря, носят негармони-
ческий характер. Между атомами решетки существуют определенные си-
лы взаимосвязи, проявляющиеся при относительном смещении атомов
Рис. 1.3. Модель взаимодействия молекулы га-
за пг с атомами поверхности твердого тела
Пунктиром показаны направления сил взаимодейст-
вия между молекулой газа m и атомами поверхно-
сти М. Силы связи между атомами М условно по-
казаны в виде пружинок
друг относительно друга. Одной из
простейших механических моделей
кристаллической решетки является
модель, состоящая из материальных
точек (атомов), соединенных опреде-
ленным образом при помощи абсолют-
но упругих пружин, характеризуемых
некоторыми силовыми постоянными (рис. 1.3). Согласно этой модели,
если один из атомов решетки испытывает какое-то возмущение, обус-
ловленное внешними причинами (например, удар молекулы газа), то
из-за связей между атомами решетки возмущение распространяется на
всю кристаллическую структуру. Таким образом, уже с этой точки зре-
ния задача о взаимодействии молекул газа с кристаллической решеткой
представляется довольно сложной, поскольку необходимо рассматривать
динамику не одного атома поверхности, а целого «ансамбля» взаимо-
связанных частиц. Механической моделью столкновения молекулы с по-
верхностью тела, отражающей сравнительно полно действительные чер-
ты процесса, является модель, показанная на рис. 1.3. Приближающая-
ся к поверхности молекула пг вступает в силовое взаимодействие не с
одним каким-либо атомом решетки, а с целым коллективом атомов М,
окружающих точку на поверхности, к которой устремляется падающая
молекула газа. Полная сила, действующая на молекулу газа, опреде-
ляется суммированием всех сил, действующих на нее от каждого атома
поверхности.
При рассмотрении взаимодействия газа с поверхностью тела необ-
ходимо иметь в виду то обстоятельство, что подавляющее большинство
технических поверхностей в микромасштабе не являются гладкими.
По сравнению с молекулярными размерами поверхность тела представ-
ляется сильно шероховатой, обладающей глубокими впадинами и боль-
шими выступами. Молекула газа, попав во впадину, может испытать
многократные столкновения с атомами решетки поверхности тела преж-
де, чем ей удастся снова вернуться в газ. Эффективный (результирую-
щий) характер отражения молекул от шероховатой поверхности может
существенно отличаться от характера отражения, соответствующего
микроскопически гладкой поверхности. Если даже в результате однократ-
ного столкновения обмен (например, энергией) молекулы газа с решет-
кой поверхности будет далеко не полным, то в результате многократных
столкновений молекула газа придет в равновесие со стенкой.
Из изложенного выше становятся ясными трудности, которые воз-
никают при решении задачи взаимодействия молекул газа с твердой по-
верхностью. Современное состояние этой проблемы хорошо освещается
в монографиях [2, 46]. Отметим здесь лишь, что в общем случае характер
взамодействия молекул газа с твердой поверхностью зависит от многих
величин; энергии и массы падающих частиц, структуры падающих моле-
кул (одно-, двух- и т. д. атомные частицы), вида кристаллической струк-
туры материала поверхности, температуры поверхности, характера сил
взаимодействия между падающими молекулами и атомами поверхности,
от характера механической обработки поверхности и т. д. В определен-
ных условиях на поверхности образуется сплошной или в виде островов
слой адсорбированных молекул. Взаимодействие молекул с поверх-
ностью, покрытой слоем адсорбированных молекул, оказывается иным,
нежели в случае чистой поверхности.
Рис. 1.4. Схема зеркального отражения молекулы от поверхности тела
Рис. 1.5. Диаграмма распределения по направлениям потоков отраженных молекул при
диффузном отражении
/____
\ 2RTr
Установление точного вида функции распределения для отраженных
молекул связано с большими трудностями. При расчетах сейчас исполь-
зуют приближенные представления относительного вида этой функции.
Механизм взаимодействия молекул с поверхностью тела учитывается
при этом путем введения в аппроксимирующую функцию распределения
для отраженных молекул некоторого набора макроскопических парамет-
ров, зависящих от перечисленных выше факторов, которые определяют
характер взаимодействия молекул с телом. Эти параметры в свою оче-
редь определяются при помощи эксперимента.
Одной из наиболее давно известных аппроксимирующих функций
распределения является предложенная Максвеллом так называемая
зеркально-диффузная функция следующего вида:
fr(rw, £-2^лга, t) ?2- exp
(1.53)
где ax, nr, Tr — макроскопические параметры, смысл которых рассмотрим
ниже; fr — функция распределения отраженных молекул; R — газовая
постоянная; fw — радиус-вектор точки поверхности тела; fi — функция
распределения падающих молекул.
Аппроксимирующая функция состоит из двух слагаемых. Первое
слагаемое в правой части (1.53) учитывает молекулы, которые отража-
ются от поверхности зеркально, а второе — диффузно.
Коэффициент ах, называемый коэффициентом диффузного отраже-
ния, представляет собой долю молекул, отражающихся от поверхности
диффузно. Величина (1—ах) представляет собой долю молекул, отража-
ющихся зеркально. В случае зеркального отражения, когда молекула
имеет скорость gr, перед столкновением с поверхностью ее скорость (рис.
1.4) будет & = —2%гпп, где п— единичный вектор, нормальный к поверх-
ности. Все молекулы, имеющие перед столкновением скорость §г-, после
столкновения зеркальным образом с поверхностью перейдут в класс мо-
лекул, имеющих скорость gr. Доля таких молекул от числа падающих
равна (1 — ajfi (?z, 7W, т).
Теперь рассмотрим второй член (1.53). При диффузном отражении
от поверхности считается, что молекулы разлетаются так, что распреде-
ление чисел молекул по различным направлениям отвечает закону коси-
нуса. Если величину плотности молекулярного потока от стенки по раз-
личным направлениям 7Ф изобразить в виде стрелки, то конец этой
стрелки опишет сферическую поверхность (рис. 1.5). Этому закону и со-
ответствует второй член (1.53).
Физический смысл ах можно интерпретировать по-другому. С этой
целью сравним тангенциальный импульс PiXi приносимый падающими
молекулами, и тангенциальный импульс Ргх, уносимый отраженными
молекулами. Суммарный импульс тех частиц, которые отражаются диф-
фузно, равен нулю. Зеркально отраженные частицы в сумме уносят им-
пульс, равный (1 — a^Pix- Разность между и Ргт равна Piz— Prz—
=PiX — (l—ax)Pix=axPix, откуда следует
(1.54)
Из (1.54) следует, что ах представляет собой долю тангенциального
импульса, переданного стенке падающими молекулами. На этом основа-
нии коэффициент ах называют коэффициентом аккомодации тангенци-
ального импульса. С его помощью можно определить суммарный танген-
циальный импульс отраженных молекул, если известен импульс падаю-
щих частиц.
Величину Тг подбирают таким образом, чтобы принятая аппрокси-
мация для fr правильно определяла суммарную энергию отраженных
молекул. При этом используют опытные данные о термическом коэффи-
циенте аккомодации (приспособления) молекул к условиям на стенке.
Термический коэффициент аккомодации аэ представляет собой долю
энергии, отданной подающими молекулами стенке, от той энергии, кото-
рую они могли бы отдать стенке, если бы молекулы полностью аккомоди-
ровали к условияхМ на стенке:
где Ei — энергия падающих молекул; Ег — энергия отраженных моле-
кул; Ew — энергия, которую имели бы отраженные молекулы при полной
аккомодации.
Когда молекулы полностью аккомодируют к условиям на стенке, от-
раженные молекулы образуют газ, находящийся в тепловом равновесии
со стенкой. В этом случае температура газа из отраженных молекул рав-
на температуре стенки, т. е. Tr=Tw,
Величину пг назначают из условия равенства числа падающих
и отраженных Nr молекул (т. е. из условия сохранения частиц, которое
должно выполняться, если отсутствует захват частиц поверхностью
тела):
Nt = Nr, (1.56)
Рассмотрим связь между Тг и аэ для одноатомного газа *. Восполь-
зовавшись формулой (1.53), вычислим Ег и Ew. Количество молекул, ухо-
дящих в единицу времени с единицы площади элемента поверхности dA
(рис. 1.6) и имеющих скорость в интервале значений составит
величину ^nfrd®. Эти молекулы уносят энергию — m&nfrd^- Суммар-
ная энергия, уносимая молекулами всех классов, получается интегриро-
ванием по скоростям
Г
Er= J (1.57)
*л>°
* В случае одноатомного газа при вычислении Ei и Ег учитывается лишь энергия
поступательного движения частиц. В случае многоатомных молекул необходимо также
учесть внутреннюю энергию молекул. Поэтому взаимодействие многоатомных молекул
-с поверхностью иногда характеризуют несколькими коэффициентами аккомодации
(см. гл. II, § 2.6).
Рис. 1.6. Пояснительная схема к вычислению числа
молекул, отраженных от элемента поверхности dA
Подставляя в (1.57) функцию (1.53)„
получим
Er={\—ax)Ei-\-az
mnT
2|Zji
(2/?Гг)3/2
Энергия, уносимая молекулами при
полной аккомодации (аэ=1, ат=1,
составит величину
У Г\1
Подставляя результаты вычислений Ег и Ew в (1.55) и учитывая ус-
ловие сохранения частиц (1.56), получим
где Е~
•т* _ I I _ \ Ej_____I Дэ 'г*
Г~Ч az ) 2mRNi ‘ . w’
с ^2
I £Л—у- f id^ — суммарная энергия падающих частиц;
(1.58)
Nt-
число частиц, падающих в единицу времени на единицу поверхности.
Если ах = лэ, то Tr=^Tw.
Предельным случаем зеркально-диффузной схемы отражения явля-
ется случай, когда все молекулы отражаются диффузно с максвеллов-
ским распределением, отвечающим температуре стенки. В этом случае
«т=1, аэ=1. Второй предельный случай — когда все молекулы отражают-
ся зеркально, т. е. когда ат=0, аэ=0. Действительные значения ах и ап
лежат между этими крайними значениями.
Еще одной разновидностью аппроксимирующей функции распреде-
ления для отраженных молекул является максвелловская функция рас-
пределения с некоторой поступательной скоростью Z7*:
/,=----------™ еХР
(2jr/?rw)3/2
2RT щ
В этом выражении содержатся два параметра: угол 0, составляемый
вектором U* с нормалью к поверхности, и приведенное значение скоро-
сти поступательного движения S^=Ujy2RTw-
§ 1.8. ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА.
РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЙ
Во многих случаях в связи с трудностями решения уравнения Больц-
мана возникают вопросы об экспериментальных путях исследования те-
чений разреженного газа и в связи с этим вопросы о моделировании и
критериях подобия.
Проведем обсуждение вопросов подобия применительно к характер-
ному классу стационарных задач о теплообмене и сопротивлении тел, об-
текаемых безграничным потоком газа, состоящего из одноатомных час-
тиц (т. е. применительно к классу задач о внешнем обтекании при от-
сутствии внешних массовых сил). В соответствии с типичными для
многих случаев условиями положим, что на бесконечном удалении от те-
ла газ невозмущен и находится в равновесии так, что его состояние
описывается максвелловской функцией распределения:
п
------------exp
(2л7?Гео)з/2
(^— ^хоо)2 + — ^ooj2 + (^— Мгоо)2
2RT
(1.59)
где иХоо. иУ9О, uzoo — составляющие скорости видимого (макроскопичес-
ского) движения газа в целом в системе координат, связанной с обтекае-
мым телом; Too — температура газа на бесконечности; Поо — числовая
плотность молекул на бесконечности. Будем считать, что функция рас-
пределения fr для отраженных молекул от поверхности тела в рассматри-
ваемых условиях достаточно хорошо аппроксимируется максвелловской
зеркально-диффузной функцией:
/г=(1-ах)/.4-ах
пг I
—Н^"ехР I
(2лЯ77)3/2 \
2RTr
(1.60)
Рассмотрим некоторую группу явлений, описываемых уравнением
Больцмана (1.29) и одинаковыми по форме и содержанию условиями
однозначности. Различие процессов, принадлежащих к этой группе, мо-
жет состоять лишь в том, что размерные величины, входящие в условия
однозначности, могут иметь различные численные значения. Таким об-
разом, будем иметь в виду ряд случаев обтекания тел, геометрия которых
подобна, а ориентация относительно вектора видимой скорости — одина-
кова. Будем считать, что во всех случаях координатные системы связаны
с телом и введены подобным образом. В качестве примера можно пред-
ставить себе стационарное обтекание двух цилиндров различного диа-
метра, имеющих разную температуру поверхности. Размерные величины
Poo, Too, I/оо также могут различаться по величине.
Выявим условия, при которых явления данной группы будут подоб-
ными. Приведем уравнение Больцмана и граничные условия .к безраз-
мерному виду. В качестве масштабов для скоростей, числовой плотности
молекул, температур, сечений столкновения молекул и функций распре-
деления выберем для каждого явления соответствующие размерные
величины, связанные всякий раз с условиями на бесконечности. Для ко-
ординат в качестве масштаба выберем характерный размер тела L.
Перейдем в уравнении Больцмана и в выражениях (1.59) и (1.60) от
размерных переменных к безразмерным по формулам:
(с.=ГЖ),
с
TW=TW^=TWT^ d = dd
л
. Г "оо
11^ = 11^, f = f ------ , X = XL и т. д.,
с3
ГЛ
Goo — сечение столкновений на бесконечности. Безразмерные уравне-
ния Больцмана и граничные условия будут иметь следующий вид:
&х ду dz л у 2 Кп
ехР {- [(L -- + (Ь - ф^]};
л3'2
(1-61)
/,-(1 ехр [ - +£*
Гтг7’Л3'2 7.
~ \ ~
где Tr= 1--------
\ аг /
J — l И (f'f'i—ff^gd^ sin <]>costydtydedu; Kn = — = — -----число
U f v
Кнудсена; 5=— = 1/ —M —параметр, являющийся аналогом
/2^ V 2
числа Маха и называемый скоростным отношением; М — число Маха
TW=TWITOO — температурный параметр; = ^00 + ^00 + ^00; Фъ ФъФ-г~
направляющие косинусы. Кинетическая теория газов позволяет выразить
сечение столкновений Ооо, входящее в число Кнудсена, через параметр
газа Цоо, называемый коэффициентом вязкости [12, 39]:
<з = ш/2 = —— V пт ^Т— . (1.62)
16 р.
Этот параметр сравнительно просто опредляется опытным путем на ос-
нове измерений напряжения трения в газовом слое между двумя движу-
щимися относительно друг друга поверхностями при условии, что сред-
няя длина свободного пробега молекул в газе есть исчезающе малая
величина по сравнению с толщиной слоя. Параметр ц можно считать
(так же как температуру и плотность) одной из макроскопических харак-
теристик свойств газа. Коэффициент вязкости зависит от природы газа
и температуры:
|Л=|Л1 (где 1/2<ш(Г)< 1). (1.63)
Опытные зависимости (1.63) позволяют рассчитать с помощью (1.62) ве-
личину сечения столкновений, проследить характер зависимости о от от-
носительной скорости сталкивающихся молекул. Если воспользоваться
формулой (1.62), то выражение для числа Кнудсена можно представить
в следующем виде:
Кп=---------------°?----1бУу -^-=1,27/у — , (1.64)
5]/2л 5У2л Re Re
L
где M —число Маха; Re= °°---------число Рейнольдса.
^оо
Из (1.61) вытекает, что для соблюдения подобия при обтекании
геометрически подобных тел одинаковым газом необходимо выполнение
условий
Kn=idem, M = idem, 7w=idem, a-=idem, a3=idem. (1.65)
В ряде случаев, в сравнительно широком диапазоне условий, может на-
блюдаться одинаковая схема отражения молекул — полностью диффуз-
ное отражение при полной термической аккомодации (а3=1, ат=1). Ког-
да это имеет место во всех сравниваемых случаях, то для подобия не-
обходимо выполнение условий:
Kn=idem, M = idem, 7+=idem.
(1.66)
Из (1.64) следует, что при одинаковых числах Маха (M = idem), условие
Kn = idem равносильно условию Re = idem.
При гиперзвуковом обтекании (М»1) формулу (1.64) можно пре-
образовать, учитывая (1.63) и вводя число Рейнольдса с коэффициентом
вязкости при температуре торможения Го, к следующему виду:
Кп
16 ]/у 7 2
5]/27
м1-2^
Reg
(1.67)
_ ,, , , 2 Re fx0 roo .
где Re0-P.i/.Zfr0=—; C.=— —;
Г0=7\ (1 +— M2) T’-M2.
Из (1-67) следует, что при <n—* -^-Kn~l/Re0.
Рассмотрим физический смысл числа Кнудсена Кп = /«,/£. Во-пер-
вых, это число можно рассматривать как отношение среднего свободно-
го пробега молекул к характерному размеру тела. Другое физическое со-
держание числа Кнудсена можно обнаружить, если проанализировать
процесс приведения к безразмерному виду уравнения Больцмана в
результате деления размерного множителя, появившегося перед безраз-
мерными конвективными членами левой части, на размерный множитель,
появившийся перед безразмерным интегралом столкновения. Размерный
множитель перед интегралом столкновений можно рассматривать как
масштаб числа молекул выделенного класса, появившихся из-за столкно-
вений; множитель перед левой частью — как масштаб прибыли молекул
из-за конвекции (движения).
В том случае, когда Кп—>оо, роль столкновений незначительна, т. е.
функция распределения практически не зависит от столкновений между
молекулами газа, и правый член уравнения (интеграл столкновений)
можно отбросить. Наоборот, когда основной вклад в баланс выделенных
молекул дают столкновения между молекулами газа, число Кп->0. В этом
случае роль столкновительного члена в уравнении Больцмана становится
главной. Таким образом, число Кнудсена можно рассматривать как меру
влияния на свойства газа (функцию распределения) межмолекулярных
столкновений.
Режим, при котором отсутствует влияние столкновений молекул га-
за между собой на функцию распределения (и следовательно, и на про-
цессы течения, теплообмена), называют свободномолекулярным. Этот
режим реализуется при очень больших числах Кнудсена (Кп-^оо). В свою
очередь, большие числа Кнудсена (Z^>L) реализуются обычно, когда
в газе очень низкое давление или (что то же самое) очень высокое раз-
режение. При малых числах Кнудсена (Кп->0) функция распределения
из-за огромного числа столкновений молекул между собой определяется
прежде всего этими столкновениями. Большое число столкновений спо-
собствует сглаживанию различий между отдельными группами молекул,
т. е. способствует установлению равновесия в газе. Поэтому функция
распределения в этом случае в каждой точке должна мало отличаться
от максвелловской. Этот режим соответствует режиму «сплошной» сре-
ды, которая описывается уравнениями Навье — Стокса — Фурье (12].
Малые числа Кнудсена (Z<^L) реализуются обычно, когда в газе доволь-
но высокие давления.
Режим, лежащий между свободномолекулярным и континуумным
(навье-стоксовским), называется промежуточным. При промежуточном
и свободномолекулярном режимах уравнения Навье — Стокса — Фурье
являются непригодными. При этих режимах дискретный характер газо-
вой среды проявляется совершенно иначе, чем в случае плотных газов.
В свете сказанного выше критерий Кнудсена выступает как параметр
степени разреженности. Рассматривая классификацию режимов, следу-
ет отметить, что промежуточный режим в свою очередь иногда раздела-
ют на почти свободномолекулярный режим (когда имеются малые отли-
чия от свободномолекулярного режима), режим скольжения (когда сте-
пень разрежения еще мала и отличия от обычной навье-стоксовской
среды незначительны) и, наконец, режим, занимающий переходное по-
ложение между указанными. Для каждого из режимов (в связи с фи-
зическими особенностями влияния межмолекулярных столкновений^
имеются различия в методах расчета течений газа. Рассмотрим вопрос
о границах применимости теорий, развитых для различных режимов теп-
ловых и динамических процессов в разреженном газе.
Математически строгим условием существования свободномолеку-
лярного режима (такого режима, когда можно отбросить в уравнении
Больцмана интеграл столкновений J) является условие Кп=оо. В этом
случае исчезают принципиальные математические трудности, связанные
с решением уравнения Больцмана. Для этих условий сравнительно лег-
ко строятся теоретические методы расчетов теплоотдачи и сопротивления
тел в потоке. Если иметь в виду практические требования к точности
определения тепловых потоков и сопротивления, то эти методы при опре-
деленных дополнительных условиях могут быть использованы и тогда,
когда числа Кп хотя и велики, но не бесконечны. При этом встает вопрос
о границах применимости методов. В качестве исходного условия при
этом, естественно, выставляется некоторая степень точности вычисленных
результатов по отношению к действительным (обычно допускается от-
клонение до 1%). Область, где применимы в указанном смысле методы,
основанные на предположении существования свободномолекулярных
условий, называется свободномолекулярной. Из аналогичных соображе-
ний вводится понятие области континуума Навье — Стокса — Фурье.
Из общей постановки [т. е. из выражений (1.61)] следует, что ре-
шение в неявном виде записывается так: / = /($х, х, у, г, Кп, М,
Tw....). Отсюда ясно, что вид функции распределения и, следовательно,
характер процесса (течение, теплообмен) зависят от ряда факторов —
Kn, М, Tw, формы тела и т. д. Как следствие этого обстоятельства, от
тех же факторов будут зависеть границы применимости того или иного
метода расчета, построенного для конкретного режима (свободномоле-
кулярного, континуумного и т. д.). Может оказаться, например, что ха-
рактеры обтекания двух тел одинаковой формы при равных числах Кп,
но при разных числах М и Tw будут различными. Для одного из этих тел
можно использовать методы, развитые для свободномолекулярного режи-
ма, а для другого эти методы окажутся неприемлемыми. Важно подчерк-
нуть, что число Кп не является единственным критерием, опредляющим
границу той или иной области.
Оценим приближенно границу свободномолекулярной области применительно к
классу задач внешнего обтекания. Для оценок воспользуемся известными положениями
элементарной кинетической теории газов. Будем полагать, что речь идет об обтекании
выпуклого тела. При свободномолекулярных условиях около тела существуют два
класса молекул: молекулы набегающего потока (О-молекулы) и молекулы, отраженные
поверхностью (U^-молекулы) (рис. 1.7).
Теория свободномолекулярного режима будет применима до тех пор, пока число
столкновений между молекулами этих двух классов в окрестностях тела достаточно
мала (так, что столкновения между О- и П^-молекулами заметно не сказываются на
величинах тепловых потоков и сопротивлении). Это будет иметь «место, если средняя
длина свободного пробега отраженных молекул в атмосфере налетающих частиц будет
велика по сравнению с размерами тела. В этом случае отраженные молекулы без столк-
новений с падающими частицами уйдут достаточно далеко от тела. Их числовая
плотность по мере удаления от тела быстро понижается. При столкновениях на боль-
ших расстояниях из-за малой плотности отраженных молекул существенного их влияния
на набегающий поток уже не будет. Кроме того, образующиеся в результате столкнове-
ний молекулы, отличающиеся в среднем по своим динамическим свойствам от молекул
набегающего потока, будут иметь очень малую вероятность попадания на тело, так как
они рассеиваются во всех направлениях. Плотность потока отраженных частиц умень-
шается из-за их разлета приблизительно пропорционально квадрату расстояния от тела.
Следовательно, если в среднем отраженные молекулы будут проходить без столкнове-
ний, расстояние Zw^lO L (где L — характерный размер тела), то их влияние на набе-
гающий поток будет пренебрежимо малым. Таким образом, в качестве границы приме-
нимости свободномолекулярной теории можно принять условие /w/А^Ю.
Рис. 1.7. Схема обтекания тела свободномолекулярным потоком:
ф — ^-молекулы; О — О-молекулы
Средняя длина свободного пробега IT-молекул в атмосфере О-молекул согласно
vw
элементарной кинетической теории определяется формулой 1^ =--------------,
П Q U
' о OWWO
где Cow— сечение столкновений О- и I^-молекул; По — числовая плотность О-молекул
(мо^Поо); п<х> — числовая плотность молекул в набегающем потоке; vwo— величина
средней относительной скорости W- и О-молекул перед столкновением; Vw— скорость
отраженных частиц (определяется температурой поверхности и условиями акко-
модации).
В случае, когда набегающий поток дозвуковой и температура тела Tw не сильно
отличается от термодинамической температуры набегающего потока Т«, можно считать,
что vw vow У/Л2^Гоо. В этом случае относительная скорость падающих и отра-
женных частиц Vow приблизительно равна наиболее вероятной скорости теплового
движения частиц в набегающем потоке. Скорость отраженных частиц (определяемая
условием Tw = Too) —того же порядка. Поскольку относительная скорость перед столк-
новением Vow того же порядка, что и скорость хаотического движения, то [см. формулы
(1.62), (1.63)] (yow~Goo. С учетом этих положений получим 1уу ~-------- = /<„.
П О
оо оо
Граница свободномолекулярной области определяется при М<1 и TW^Tо© условием
> 10.
(1.68)
В
дается
случае
сильно
случае, когда поток гиперзвуковой (М^>1) и поверхность тела сильно охлаж-
т. е. TW<^T
у — 1\ \
—-—I M2I, уже нельзя считать, что vWo = vw. В этом
vWo~U<x>. Кроме того, Cow будет, отличаться от Поо, поскольку vow и С со
различаются. Воспользовавшись формулой (1.62), получим
/ Т'ооД1/2 1 аоо
r0ooJ С*М,’
(у — 1\
где ТОте=Гте =
В этом случае
с*м
п а
tw = Tw/T0„.
Таким образом, при М^>1 граница свободномолекулярной области определяется
условием
-у- « -у- М С^2 = Kn М C*t%2 > 10. (1.69)
ГЛАВА II
СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ ОБЛАСТЬ
МЕХАНИКИ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
§ 2.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОГО РЕЖИМА
В этой главе рассматривается движение газа и его взаимодействие
с различными телами при таких условиях, когда можно пренебречь
столкновениями молекул газа друг с другом. С точки зрения математи-
ческого описания это значит, что в уравнении Больцмана можно отбро-
сить интеграл столкновений. При отсутствии внешних сил это уравнение
принимает вид
(2.1)
dr
Для стационарного случая имеем
г-^7=0. (2.2)
дг
Общее решение этого уравнения можно найти методом характеристик.
Характеристическое уравнение есть просто уравнение движения частицы
в отсутствии внешних сил. В этом случае траекторией движения частицы
является прямая линия. Функция распределения постоянна вдоль траек-
тории частиц
/(г, I т)=/(7—ёдт, т, т0) (Дт—т—т0). (2.3)
Например, для случая стационарного обтекания тела безграничным по-
током общее решение можно интерпретировать следующим образом.
Рассмотрим в точке г физического пространства молекулы со скоростя-
ми, значения которых заключены в интервале от § до Если ско-
рость g такая, что соответствующая траектория, проведенная от точки г
в сторону, обратную направлению g, не пересекает тело, то функция рас-
пределения для этих молекул будет’Та же, что и на бесконечности. Если
g такая, что траектория пересекает тело, функция распределения будет
той, которую имеют отраженные частицы на поверхности тела. Всевоз-
можные значния g, для которых функция распределения такая же, как
на бесконечности, образуют некоторую часть пространства скоростей,
а в оставшейся части мы будем иметь функцию распределения отражен-
ных молекул. Все векторы отраженных частиц, находящихся в точке г,
лежат внутри некоторого конуса с телесным углом при вершине 4л—Qoc,
а векторы частиц, пришедших из бесконечности — внутри телесного угла
Йоо (см., например, рис. 2.29). Функцию распределения в каждой точке г
можно рассматривать как сумму двух функций
/=/1 + /2. (2.4)
где fi — определяется из граничных условий на бесконечности, а /г — из
Рис. 2.1. Схема к выводу формулы (2.5)
граничных условий на поверхности
тела. Здесь следует учесть, что fi
равно нулю для значений g из кону-
са с 4л —Qoo, a f2 равна нулю для
g из Qoo. Из сказанного ясно, что
функция распределения при свобод-
номолекулярном режиме разрывна
в пространстве скоростей.
После того как найдена функция
распределения, в принципе нетрудно
вычислить все макроскопические
характеристики, которые являются
моментами функции распределения.
Задачи с начальными условиями
решаются тривиально при помощи
формулы (2.3) [61]. Однако граничные задачи, возникающие при иссле-
довании внутренних течений (течений в каналах) или обтекания тела с
вогнутыми поверхностями, являются далеко не простыми.
При рассмотрении ряда задач в дальнейшем необходимо будет уметь определять
поток молекул от некоторой воображаемой элементарной площадки da, расположенной
в газе, в элементарный телесный угол dQ, построенный около заданного направления.
Рассмотрим такую площадку, расположенную в неподвижном газе с максвелловским
f п I С +
распределением f = — exp I ~ ——--------I. Система координат свя-
(2л/?Г)3/2 \ 2ЯГ /
зана с площадкой и при этом ось Z направлена вдоль нормали к этой площадке
(рис. 2.1). Выделим некоторое направление, характеризуемое углами 0 и ф. Найдем
поток молекул от площадки в телесный угол, равный dQ = sin QdcpdQ.
Введем сферическую систему координат для скоростей молекул g, 0, ф. Элемент
объема в пространстве скоростей равен
du = d^yd^z £2 sin 0^0rfg =
где ^2=g2 +g2+g2.
Число молекул, величина скорости которых лежит в интервале значений от g до g + dg,
п / £2 \
равно d^N =----------—- $2 exp — —— d^dQ.
(2л/?Г)3/2 \ 2/?Г)
Число таких молекул, проходящих в единицу времени через площадку в заданном на-
п I £2 \
правлении, равно ^d^Nds ~ g cos Qd'iNds =----------- £3 Cos 0 exp I —--- 1 d£dQd<3.
(2л/?7')3/2 \ 2/?Г /
Общее число молекул, проходящих в единицу времени от площадки do в заданном на-
правлении, получим, интегрируя последнее выражение по g от 0 до оо (обозначим это
число d2Na ),
dW, = п
RT cos QdQ.
d<3.
(2.5)
л
Если проинтегрировать это выражение по всем 0 от 0 до л/2 и всем ф от 0 до 2л, то
получим суммарный поток молекул через площадку d<5\
(2.6)
Аналогичным образом можно рассчитать поток молекул от площадки, если макроскопи-
ческая скорость газа относительно этой площадки не равна нулю.
Рис. 2.2. Пояснительная схема переноса тепла через слой газа при свободномолеку-
лярном режиме
§ 2.2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ НЕПОДВИЖНЫЙ СЛОЙ ГАЗА
ПРИ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ РЕЖИМЕ
1. Слой газа между безграничными плоскими
параллельными поверхностями
Рассмотрим процесс переноса тепла молекулами одноатомного га-
за, заключенного между двумя безграничными непроницаемыми твердыми
поверхностями, параллельными друг другу и имеющими разные темпе-
ратуры Twi и Tw2 (рис. 2.2). На практике с такой задачей можно
столкнуться, например, при разработке вакуумно-экранной тепловой изо-
ляции. Воспользуемся декартовой системой координат XYZ, начало от-
счета которой лежит на стенке /, а ось Y направлена по нормали от этой
стенки. Толщину газового слоя обозначим L. Предположим, что отраже-
ние молекул от поверхности стенок является диффузным с полной тер-
мической аккомодацией. Следовательно, функция распределения для мо-
лекул, отраженных с поверхности 1 (т. е. молекул, у которых ^>0), бу-
дет иметь вид
f = nwX / _
' wl (2n/?7-wl)3/2 Р \ 2RTwl )'
Для молекул, отраженных с поверхности 2 (т. е. для молекул, у ко-
торых ^<0), функция распределения имеет вид
/w2 =----- 479 ехР
г2 । г 2 । (-2
2RTw2
(2.8)
При свободномолекулярных условиях молекулы, отраженные от сте-
нок, нигде не сталкиваются между собой. Таким образом, в каждой точ-
ке слоя L имеются две группы молекул, одна из которых состоит из мо-
лекул, отраженных от стенки /, а другая — от стенки 2. Функции рас-
пределения для каждой из этих групп остаются неизменными во всех
точках, поскольку отсутствует влияние столкновений и массовых сил.
Выделим в слое газа малый объем dxdydz. В этом элементе объема
для молекул, у которых ^>0, распределение скоростей описывается
формулой (2.7), для молекул, у которых ^<0,— формулой (2.8). Если
аналогично физическому пространству, характеризуемому координатами
х, у, z, ввести понятие пространства скоростей, характеризуемого коор-
динатами gz, то можно сделать следующий вывод. Существует два
полупространства скоростей, для которых функции распределения раз-
личны. Для полупространства ^>0 функция распределения описывается
формулой (2.7), для %у<0 — формулой (2.8). Границей этих полупро-
странств является плоскость ^ = 0. На этой плоскости функция распре-
деления разрывна.
Из всего сказанного следует, что функция распределения в любой
точке слоя имеет вид
f =-----ехр (----------10t ($„) 4-------ехр (----------02 (М, (2.9)
J 2RTW\ ) lKSy,'(2nRTW2'f2 ^RT^J Л'у> '
где $2=d+^+& ступенчатая функция Хевисайда (г=1,2):
я ti при ^>0; fl (> I-/0 при ^>0;
(0 при ^<0; (1 при ^<0.
Значения nw\ и nw2 можно выразить через числовую плотность мо-
лекул и, которая обычно бывает задана
«= f f f ---2^2—
JJJ (2aRTwl)W
2RTwl
nw2
(ZnRT^2
?x+ty+ g
2RT ^g)2
nwl ~b ^w2
2
dlxdlydlz
(2.10)
Кроме того, между nwi и nw2 существует зависимость, которая выте-
кает из условия равенства числа падающих на стенку и отраженных от
нее молекул (Ni=Nr)- Число падающих в единицу времени на единицу
поверхности молкул составляет величину
4~ оо 0 4~ о©
7V/1= J f J lyfttxdlydb.
— ОО — оо — ОО
(2.11)
Число отраженных в единицу времени с единицы поверхности молекул
равно
4-оо 4~ 00 4~ °®
Mri= f f f lyfd^dlydb. (2.12)
Подставляя в выражения (2.11) и (2.12) функцию (2.9) и приравни-
вая результаты вычислений, получим
^w2 г Twl
С помощью (2.13) и (2.10) значения nw\ и nw2 можно выразить через п,
7wi и Tw2:
nwi=2п -УТ^Т^ ; (2.14)
1 + ]/ Т wi
nW2=2/1------ 1 . (2.15)
1 + у ТigfjTwi
Значение температуры в каждой точке слоя вычисляется следующим
образом:
Т=
3nR [(2л«Г№1)3/2
4-оо 4- оо 4- °о
J $2ехр
— оо 0 — оо
9РТ } d^xd^yd^z-y-
4-оо 0 4-ео
—п-^ f f f $2ех₽
ггл/гг^)372 J J J
—«• ОО — ОО —оо
‘2RT^d^dU
1 igft
($2=Й+Й+Й-
(2.16)
Подставляя в (2.16) вместо nwi и nw2 результаты вычислений (2.14)
и (2.15), получим
t=VtwXtw2.
(2.17)
Из (2.17) следует, что температура газа остается неизменной по тол-
щине газового слоя. На поверхностях стенок температура разрывна.
На стенке 1 (см. рис. 2.2) она скачкообразно меняется от Т до Tw\, т. е.
температура газа не равна температуре стенки. Аналогичная картина
имеет место на стенке 2. Наличие скачков температуры является харак-
терной особенностью процессов теплообмена при больших степенях раз-
режения. Вычислим, наконец, тепловой поток qy через слой газа
( VT^l \twX-Tw2},
(2.18)
где p=mn — плотность газа.
При малых температурных перепадах (Twi/Tw2-+1) формула (2.18)
упрощается:^ =р/? (7wl~rw2)- Формула (2.18) справедлива
при условии полной термической аккомодации молекул (т. е. при аэ=1).
В случае, когда отражение диффузное, но коэффициенты термической ак-
комодации отличны от единицы, функции распределения для отраженных
от стенок молекул имеют вид
Z. пГ1 ( С + \ / 'Г 'Г / 'Г
fwl ~ (2aRTrl)^ еХ₽ \ ZRT^ ) ’ ГАе Trl Twl И Тг2 Ти2'
i = 1 и 2.
Значения температур Тт\ и Тг2 можно выразить через Tw\ и Tw2, если
заданы коэффициенты термической аккомодации аЭ1 и аЭ2-
Trt=(l-ae2)—
' 1 927 2mRNi2
(2.19)
где
-77- f = Д_- mnr2 (RTr2)3/2;
1 - У 2л
4-ео 0 4-оо
Nti= f f f ^f^xd^z=-^(RTr2)112-, El2=^=mnrl(RTrlf12-,
ЛЛЛ V2n У 2л
JVZ2—(Я7»172.
У2л
Формулы (2.19) после подстановки в них значений Ei и Ni прини-
мают вид
ГГ1 = (1 —Лэ1)7г2-\~аэ(ГТгЪ — (1 —^э2)^г1“ЬЛэ2^2* (2.20)
Из (2.20) следует
у-. Дэ1 (1 — Дэ2) ~Ь Дэ2^та>2 . (2 21)
7* = Дэ2 (1 — дэ1) T*w2 ~Ь О'эхТwi /2 22)
rl— 1 — (1 — аЭ1) (1 — аэ2) ‘
Температура газа в каждой точке слоя составляет величину
7'=Кгг17г2. (2.23)
Тепловой поток через единицу поверхности стенки равен
q 1 8 у-, ( VТпТг2______| Дэ1Дэ2 (Twl — Туй) (2 24)
& г Я I "|/ । "|/ I ^э! +• ^э2 ^Э1аэ2
При небольших температурных перепадах (Tri/Tr2->1) и равенстве ко-
эффициентов аккомодации на обеих стенках (аЭ1 = аэ2=аэ) формула
(2.24) упрощается:
№ 1/^-z~(Twl-Tw2). (2.25)
у л z — а3
Выше рассматривался одноатомный газ. Если газ состоит из много-
атомных молекул, то необходимо учесть внутреннюю энергию молекул.
Внутренняя энергия каждой молекулы, согласно принципу равного рас-
пределения энергии по степеням свободы, составляет в среднем величину,
равную -^mjRT. где у = есть число внутренних степеней сво-
боды. Энергия, приносимая -падающими молекулами на стенку /, со-
ставляет величину ~~ rnjRTr2N. Энергия, уносимая с этой стенки
отраженными молекулами, равна — mjRTrXNп. Вклад в тепловой по-
ток q за счет внутренней энергии молекул составит величину
(Trl — Tr2).
(2.26)
Подставляя в (2.26) выражения (2.21) и (2.22), а затем суммируя
результат с выражением (2.24), получим следующую формулу:
q= cv (у 4- 1) р 1/" —--УТгхТп gaiaa2(rwi-Tw2) , (2.27)
V 2л Тг2 ^Э1 ^э2 Лэ1#э2
где cv — изохорная теплоемкость; y = cp)cv— отношение изобарной к изо-
хорной теплоемкостей.
Аналогичным образом получены приводимые ниже формулы для
цилиндрического и сферического слоев [199].
2. Слой газа между коаксиальными цилиндрами
Температуры молекул, отражающихся от внутреннего и внешнего цилиндров, оп-
ределяются следующим образом:
Дэ1 [0э2 (1 — ri/r2) Ч- (Г1/Г2)] + (1 — Дэ1) 032^2 . ооч
Т\ > (« • у
#э2 + #э1 (1 — #32) (г1/г2)
Tr2 =
[0э1 (1 — дэ2) (Г 1/^2)] ^wl 4~ 0&2^w2
0э2 + 0э1 (1 — Лэ2) (П/^)
(2.29)
где аЭ1 и аЭ2, Tw\ и Tw2— коэффициенты аккомодации энергии, температуры соответст-
венно на внутреннем и внешнем цилиндрах; и и г2 (И <^2) — радиусы цилиндров.
Распределение температуры газа в слое описывается следующей формулой:
где г — расстояние от оси цилиндров.
Формула для теплового потока через единицу поверхности внутреннего цилиндра
имеет вид
__/ . 1 г-1 / R 0э10э2(Тwi Тw2) чу
\ V 2 2л #э2 4~ 031 (1 — 032) (г1/г2)
_ (Г2/Г1) arccos (Г1/Г2) — У1 — (п/^г)2
(л/2) [(r2/rj) — (Г1/г2)1
(2.31)
где р=7И/У—средняя плотность газа (М — масса газа, заключенного в слое, V — пол-
ный объем слоя). Тепловой поток через единицу поверхности внешнего цилиндра со-
ставляет величину q2= Если r2jr\-+- оо (тонкая проволока в центре цилиндра
большого радиуса), то формула (2.31) преобразуется к виду
0э1 (Т wi Т •
Если перепад температур невелик (т. е. Tri/Tr2->1), то формула (2.31) принимает вид
031032 (Тwi Тм2)
0э2 -Ь 0Э1 (1 — 0э2) (Г1/Г2)’
При ri/r2->l из (2.30) и (2.31) получаются формулы для слоя между плоскими по-
верхностями.
3. Слой газа, заключенный
между концентрическими сферами
Температуры молекул, отражающихся от внутренней и внешней сфер, определя-
ются следующим образом:
0э1 [032 (1 — г 4“ Тwl 4" (1 — 0э1) 0э2^w2
Тп =------L—1; [(2.32)
0э2 4“ 0э1 (1 — 0э2) (г 1/г2)2
. 031 (1 0э2) (Гl/r2)2^wl 4" 0э2^w2 /Л ООч
' 1 т2 —----------------------------------, (2.
0э2 + 0э1 (1 — 0э2) (г 1/г2)2
где Дэ1 и аэ2; Тг\ и Тг2 — коэффициенты аккомодации и температуры соответственно на
внутренней и внешней сферах; гх и г2 — радиусы сфер (ri<r2).
Распределение температуры газа в слое описывается формулой
1 + 4" [(Л1/Гг2)1/2 - 1] {1 - [1 - (п/гя1/2}
Т = Тг2-----------------------------------------------, (2.34)
1 + у- [(Лг/Тн)1/2 - 1] {1 - [1 - (г1/г)2]1/2}
где г — расстояние от центра сфер.
Формула для теплового потока через единицу поверхности внутренней сферы
имеет вид
_____Дэ1 Дэ2 (Л.1 — w2)
Яэ2 + Лэ1 (1 ~ Лэ2) (П/Г2)2
' 1 1 / 1 1 М1_[(Г2/П)2-1]Уг11~1
Уъг 2 kl/ТЛ Г572д J.
(2.35)
При малых температурных перепадах (т. е. Тн/Т^-И) формула (2.35) упрощается:
ДЭ1#э2 (Тwi — Тw2)__________
0э2 + Лэ1 (1 — Лэ2) (И /''г)2
Тепловой поток через единицу поверхности внешней сферы составляет величину
^2=^71 (г i/r2)2.
§ 2.3. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА
ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТВИЕ В ТОНКОЙ СТЕНКЕ
Течение газа через отверстие в тонкой перегородке, разделяющей
два больших объема, при больших числах Кнудсена является одной из
классических задач динамики разреженного газа. Закономерности тако-
го течения представляют большой практический интерес и используются
при разработке вакуумных трактов, создании установок для моделирова-
ния условий движения аппаратов в верхних слоях атмосферы, создании
стендов для градуирования манометров методом потока, конструировании
лабораторных устройств для формирования молекулярных пучков само-
го различного назначения и т. д.
Важной особенностью течения через отверстие в тонкой перегородке
является то, что общие закономерности поведения газа не осложняются
влиянием взаимодействия молекул газа с поверхностью ограничивающих
твердых стенок. В связи с этим обстоятельством и тем, что характери-
стики такого течения сравнительно доступны для экспериментального
определения, следует подчеркнуть эталонный характер этой задачи для
разработки теоретических моделей течения в промежуточной области ди-
намики разреженного газа.
Рассмотрим стационарное течение газа через отверстие площадью А
в бесконечно тонкой перегородке, разделяющей две камеры, при услови-
ях, когда размеры отверстия много меньше размеров камер и длин
средних свободных пробегов молекул в обеих камерах. В этом случае
попавшая через отверстие в камеру молекула сталкивается с другими
молекулами или со стенкой на очень большом расстоянии от отверстия
и может оказаться снова около отверстия, лишь испытав много столкно-
вений. Поскольку поток молекул из отверстия является расходящимся, то
его плотность по мере удаления от отверстия быстро понижается. По-
этому столкновения этих молекул на больших расстояниях от отверстия
не будут оказывать заметного влияния на состояние газа в камере. После
ряда столкновений влетевшие в камеру молекулы придут в равнове-
сие с газом в этой камере. Вдали от отверстия газ в каждой камере на-
ходится в равновесном состоянии, которое характеризуется соответствен-
но некоторыми значениями давлений р\ и р2, температур Т\ и Тг> плот-
ностей pi и р2. Эти параметры поддерживаются в камерах неизменными.
Функции распределения молекул по скоростям на больших расстояниях
от отверстия в каждой камере являются максвелловскими функциями для
покоящегося газа, т. е.
/. =----exp ( - , (2.36)
(2л/?7,)^2 h \ 2RT{ ) 1 '
Камера 1
Камера 2
Рис. 2.3. Пояснительная схема к задаче о течении газа через отверстие
где — числовая плотность молекул; Тг — температура газа, Z=l, 2 со-
ответственно для первой и второй камер.
Здесь и далее используется система координат, начало которой рас-
положено посредине отверстия, а ось X направлена перпендикулярно
к плоскости отверстия в сторону от большего давления к меньшему (рис.
2.3). В элементарном объеме dV около каждой точки, находящейся
в камере 2 (или в камере /) на расстоянии х от отверстия, можно выде-
лить две группы молекул. Во-первых, это молекулы, которые пришли
мз камеры 1 в камеру 2. Векторы скоростей этих молекул лежат внутри
некоторого конуса. На рис. 2.3 этот конус заштрихован. Во-первых, это
молекулы газа, заполняющего камеру 2. Векторы скоростей этих моле-
кул лежат вне упомянутого конуса. В силу того, что молекулы не стал-
киваются, функции распределения молекул по скоростям для каждой
группы различны и соответственно равны f\ и /2, выражения для которых
даются формулой (2.36).
Рассмотрим прежде всего характеристики течения в сечении отвер-
стия (х=0). В элементарном объеме около любой точки в сечении от-
верстия находятся молекулы, идущие из первой камеры во вторую (все
молекулы, у которых £ж>0), и молекулы, идущие из второй камеры
в первую (все молекулы, у которых gx<0). Если аналогично физическо-
му пространству с координатами X, У, Z ввести пространство скоростей
с координатами gz, то можно сказать, что функция распределения
в сечении отверстия терпит разрыв в пространстве скоростей на плоско-
сти £х=0. С учетом сказанного функция распределения в любой точке
отверстия будет иметь вид f=fi0i(gx) +f202(^x), где fi и f2 даны форму-
лой (2.36); 01 (gx) и 62(5*) —ступенчатые функции:
fi )_р ПРИ k>0: р /. . Р^ри ^>0’
1 ( х (0 при < 0; 2 ?х j 1 при < 0.
После того как установлен вид функции распределения, нетрудно вычи-
слить все макроскопические характеристики течения в сечении отверстия.
Плотность газа
Р=m [ fd^= Pi--------
J (2aR7\)3ft
2ЯГ1
X d^x^t/d^z “1“ ?2
1
(2лЯГ2)3/2
tx+ti+Z \
2RT2 J
X rf$x^i/rf$z="^_(Pi4" Рг),
(2.37)
где p;=mn(.
Скорость газа
их=— f $ v/<Z<o = —Pil^i-Pp Гг/?^ . (2.38)
п J ' уп Pl + ₽2
В частном случае, когда Т1 = Т2=Т, формула (2.38) преобразуется к виду
„ i/ 2#r Pi — Р2
х у Л Pl + P2 ‘
Массовый расход газа (масса газа, перетекающего из одной камеры
в другую за единицу времени)
О=Р^Л=(Р1/^-Р,/^)л. (2.39)
С учетом того, что p=p/RT, формула (2.39) может быть преобразована
к виду О—
Pi
^2nR \УГ1
тМ А‘
/Г2 )
Из этой формулы следует, что расход через отверстие будет равен
нулю, если Pi/V7\=р2/УТ^. Как известно,, при Кп->0 (режим конти-
нуума Навье — Стокса) условием отсутствия течения является лишь ра-
венство Р1=Р2-
В частном случае, когда Т\ = Т2=Т, формула (2.39) принимает вид
О = —=г(А-А) Л.
у 2itRT
(2.40)
1
В вакуумной технике часто используется вместо G величина Q = Gpt/pi>
называемая «потоком газа». Из (2.40) получается следующая формула
для Q: Q=77(pi—р2),
где П=RT 12ы —величина, называемая «пропускной способ-
ностью» отверстия.
Формула (2.39) проверялась экспериментально рядом исследовате-
лей. Условия, при которых проводились экспериментальные исследования
течения газа через круглое отверстие, приведены в табл. 2.1. Опытами
охвачен широкий диапазон отношений давлений р21р\. Во всех упомяну-
тых исследованиях толщина перегородки составляла малую величину па
сравнению с диаметром отверстия. Эффект конечной толщины перего-
родки, оценку которого можно сделать на основе теории течения разре-
женного газа по коротким трубам, был пренебрежимо мал. Данные из-
мерений массового расхода через круглое отверстие представлены на
рис. 2,4, а в виде зависимости GIGm от числа Kni = /i/P, где G — измерен-
ный массовый расход; Gm— расход, вычисленный по формуле (2.39);
D — диаметр отверстия; Ц — средняя длина свободного пробега в камере
с большим давлением (Zi=l,27p.1/p1'|//?T1).
Таблица 2.1
Условия опытов по измерению расхода газа
через круглое отверстие при изотермических условиях — Т2)
Исследователь, год публикации, ссылка Газ Диаметр от- верстия D, см Относи- тельная толщина перегоро- док 8/D Отноше- ние давле- ний в ка- мерах Pi/Pi Диапазон чисел Кнуд- сена Кги — - IJD
Липман [126] 1961 г. Аг Не 0,1047 0,0985 0,025 10+3 50-0,005
Стрикант [181, 182] 1965 г. JN2 n2 2,54 0,005 2-17 1,7-0,1
Лорд и др. [130] 1967 г. Аг 0,1 0,025 10+4 4-0,6
Сметана и др. [168] 1967 г. n2 1,148 0,011 2-50 2,7—5-10~4
Борисов С. Ф. и др. [5] 1973 г. Не Ne Аг н2 1,49-10~2 0,03 1-10 600-Ю"-2
Науман, Чан [145] 1974 г. Воздух 0,7 1,0 2,0 4,0 0,7 0,05 0,025 0,0125 1-103 5—10“4
Примечание, б — толщина стенки.
Из рис. 2.4, а следует, что опытные данные, полученные при больших
числах Кнудсена КП1>10, хорошо согласуются с формулой (2.39). При
числах Кнудсена Kni<10 течение газа через отверстие нельзя еще счи-
тать свободномолекулярным. В этих условиях на характеристики течения
оказывают заметное влияние столкновения молекул вблизи отверстия.
На рис. 2.4, б показаны результаты аналогичных исследований те-
чения газа через прямоугольное отверстие, ширина которого составляла
G/Gn,
4 И
&-Аг
я-Аг
0-Аг[16в]
+-не
• -Не
'168]
ъ-Нг\126]
®-Н2\16в]
&-Ne[168]
Воздух [181,182]
1,0
0 ' -
----ga.
Рис. 2.4. Данные измерений массового расхода разреженного газа через отверстия:
в —круглое отверстие: / — по формуле (2.39); // — теория [144]; /// — теория [198]; IV — теория [61];
б — прямоугольное отверстие а/б=1,15-10“’2 ; / — по формуле (2.39)
~JJO\
* \ -т—е-
* р
ф
Рис. 2.5. Графики функции распределения в потоке газа за отверстием при больших
числах Кнудсена и р^Рг+О:
а—О—данные [131, 133]; сплошная линия — по формуле (2.41); б—О и Ч-данные [163, 164];
сплошная линия — максвелловское распределение
2а=9,59-10~3 см, длина 26 = 0,8357 см (см. рис. 2.3, а), а толщина пере-
городки 10-4 см [5]. Исследования проводились при условиях, когда зна-
чения pi и р2 отличались незначительно, а Т1 = Тг- На рис. 2.4, б резуль-
таты опытов представлены в виде зависимости GIGm от числа Кнудсена
КП1 = /1/26, где G, Gm, Zi— то же, что на рис. 2.4, а, 2Ь — наибольший
размер щели. Как видно из рис. 2.4, б, значения расхода при Кп]>2
близки к значениям, получаемым по формуле (2.39).
Особый интерес представляют результаты опытных исследований
функции распределения скоростей молекул, вылетающих через отверстие
из камеры 1 в камеру 2 [131, 133, 163, 164]. В опытах измерялась в раз-
ных точках за отверстием величина, представляющая собой произведе-
ние функции распределения fi на |п (где п = 5 в [131, 133] и п=3 в [163,
164]), т.
На рис. 2.5, а даны результаты измерений функции Т*5) в потоке це-
зиевого газа за отверстием (£> = 0,0524 см) при числе Kni = Zi/D=18,
температуре Л=403 К и ра/рг-^-О. Опытные данные представлены в виде
зависимости ЧГ(5) = ЧГ^’/^ах от безразмерной скорости молекул
где — максимальное значение функции W), наблю-
давшееся в опыте. При максвелловском законе распределения функция
имеет вид
Чг(м5)=п1л~3/2с5ехр( —с2). (2.41)
Максимум функции ЧГ(5) достагается при с» = |/^-|- = 1,581 (что легко
найти по правилам отыскания экстремума функции). Для сравнения на
рис. 2.5, а нанесена сплошной линией максвелловская функция Ф(м5)
<2.41), отнесенная к своему максимальному значению, т. е.
пг(5) с5ехр( —«2)
м — ~ •
(5/2)5^2 ехр ( — 5/2)
Как следует из графика, экспериментальная функция распределения
хорошо согласуется с максвелловской.
На рис. 2.5, б даны результаты измерений функции ЧЛ3) в потоке
ксенона и аргона за отверстием (диаметром £> = 0,69 мм) при числах
Кнудсена соответственно Kni = 5,6 и 8,6; температуре 7\ = 302^ К и
Опытные данные представлены в виде зависимости ^(3) =
— цЛ3)/цг(£)х от c = ^/^2RT1. Для сравнения на этом же графике нанесе-
на сплошной линией кривая, соответствующая максвелловскому закону
распределения, т. е.
ф(-з) = с3ехр( — с2)
(3/2)3/2ехр(-3/2)
При той точности измерений, которая была в опытах, отличие опытной
функции распределения от максвелловской обнаружить еще нельзя.
Перейдем теперь к рассмотрению структуры течения перед и за от-
верстием. Макроскопические характеристики течения вблизи отверстия
вычисляются по той же схеме, что и в сечении отверстия. Нетрудно ви-
деть при этом, что функция распределения в разных точках, вообще
говоря, будет иметь разные поверхности разрыва в пространстве скоро-
стей (см. рис. 2.3). Структура течения вблизи отверстия существенно
зависит от формы отверстия. Ограничимся рассмотрением структуры по-
тока для случаев прямоугольного и круглого отверстий, имеющих наи-
больший практический интерес.
Структура течения около прямоугольного отверстия. Рассмотрим
течение газа через отверстие, геометрия которого показана на рис. 2.3, а.
Начало координат поместим в центр отверстия, ось X направим по по-
току перпендикулярно к плоскости отверстия. Рассмотрим сначала рас-
пределение макроскопических параметров течения вдоль оси X при ус-
ловии, когда Рг/Pi-^O. В этом случае можно принять f2 = 0. Выделим
около произвольной точки (х, у=0, z=0) элементарный объем dV. Моле-
кулы, поступающие в этот объем из камеры /, могут иметь следующие
значения составляющих скоростей (см. рис. 2.3)
0<^<«=, ~1Х — —. (2.42)
X X X X
В пространстве скоростей, определяемом условиями (2.42), распределе-
ние молекул по скоростям описывается максвелловской функцией
выражение для которой дается формулой (2.36). В остальной части про-
странства скоростей f=f2=0. Значение плотности в точке (х, у=0, z=0)
получим, интегрируя функцию распределения по пространству скоростей
ОО 2
= Pjn-»/2 f Q~Cx erf /erf /4-) dcx. (2.43)
о \ X ! \x)
Здесь и далее x=x]a, a=b!a, с^уУ^Цу, i=x, у, z, erfp=
2 c
— —— I — интеграл вероятности. Чтобы вычислить интеграл (2.43),
V я 6
поступим следующим образом. Продифференцируем (2.43) по х и вос-
пользуемся затем таблицами [14]:
1 dp
Pi dx
2
пх1
^exp
х^Ч-а2
Х2
Х2 / \ X J
“____________2x2 + g2 + 1_______
Я (х2 + а2) (J2 + 1) ]/j2 4. а2 + 1
Интегрируя по х и учитывая при этом, что р->0 при х->оо, получим окон-
чательно
' р = _L arctg / _а ----------\ , Р—— .
я \ X У х2 + а2 + 1 / ₽1
(2.44)
Если от переменной х=х/а перейти к х=х/УаЬ, удобной при срав-
нении результатов для отверстий разной конфигурации, то получим
следующую формулу для р: р = —arctg/--------- - 1 ........-1 Из (2.44)
я _ \ х Ух2 + а + (1/а) /
следует, что р—>1 при х —»—оо, при х—>0 р—>0,5. В случае, когда
отверстие квадратное, формула (2.44) преобразуется к виду
1 . / 1
Р =•— arctg -----------------
я \ х у х2 + 2
На рис. 2.6, а представлены распределения плотности вдоль оси отвер-
стия, рассчитанные по формуле (2.44) для двух случаев а=0,1 и а=1.
Характерно, что на расстояниях х=5 плотность в потоке за квадратным
отверстием составляет уже одну сотую от значения плотности в камере /.
Еще быстрее падает плотность с увеличением х для прямоугольных,
отверстий (a;Sl).
Аналогичным образом можно получить формулу для вычисления
плотности в любой точке около отверстия. В случае квадратного отвер-
стия (а=1) формула получается следующего вида:
Р- —[arctg - arctg +
4я L хУр-Н + 2 х у /2 + Л + 2
Рис. 2.6. Графики распределения плотности р, скорости их, температуры газа Т, про-
дольной и поперечной температур Тх и Ту, плотности тока рих вдоль оси отверстия
(отсчет х производится от перегородки):
а — прямоугольное (д/а=0,1) и квадратное (Ь/а=1) отверстия; б — круглое отверстие
_arctg (^d(F-d +arctg (£±2^±2L_1,
xV lt-h + 2 xV P + H + 2 .
(2.45)
где p==p/pi; z=z]a\ y=y]a-, x=xja; l2=x2-{-y2-\-z2-, H=2(y-[-z');
h=2(y — z).
Если в (2.45) положить y = 0, то получим формулу, позволяющую вычи-
слить плотность в любой точке плоскости у = 0 (плоскость чертежа см.
на рис. 2.3),
p=24arctg
— arctg
г— 1
На рис. 2.7, а представлено поле плотности в плоскости у = 0 за квад-
ратным отверстием, рассчитанное по (2.45).
Перейдем к рассмотрению распределения плотности тока рих и ско-
рости газа их вдоль оси отверстия
z/a
Рис. 2.7. Поле плотности в потоке за отверстием в плоскости у=0:
а — квадратное отверстие; б — круглое отверстие
рих= tn Pi ? сх exp (— 4) erf (erf dcx. (2.46)
J V n J \ x J Д x /
Интегрируя по частям (2.46), получим
° fl— — arctg Vx* + a2 V * (2.47)
Vx2+a2 ' n /
где piix=puxfPi
При x=0 р«х=1, при x—»oo pux—>0. Если перейти от переменной
x=x/a к x=x]Vab, то получим следующую формулу:
Р«х=
1
"К ах2 + 1
Распределение скоростей их по оси X получим, разделив (2.47) на (2.44),
(2.48)
где их=их 1у
Для квадратного отверстия (а=1) формула (2.48) упрощается и при-
нимает вид
Если х->0, то их—>0,5. Если х->оо, то их->1. Распределения рих и йх
вдоль оси X, вычисленные для квадратного (а=1) и прямоугольного
(а = 0,1) отверстий, показаны на рис. 2.6, а.
Структура течения около круглого отверстия. Рассмотрим течение
газа через круглое отверстие, диаметром D = 2a (см. рис. 2.3, б). Найдем
распределение плотности р, скорости их и плотности тока рих вдоль оси
отверстия при условии, когда pzIpr+Q (т. е. /2 = 0). Воспользуемся цилин-
дрической системой координат х, г, <р (см. рис. 2.3, б). Выделим около
точки (х, г = 0) малый объём dV. Составляющие скоростей молекул,
поступающих в этот объем из камеры /, могут иметь, как это видно из
рис. 2.3, следующие значения:
0<Х<оо, (2.49)
где £+&
Число молекул dN с составляющими скоростей и
содержащихся в элементарном объеме (2ngrdgrdgx) пространства ско-
ростей (2.49), будет равно
. rfAr=2nWWS,-^exp(-^). (2.50)
Интегрируя (2.50) по всем возможным значениям скоростей, т. е. по
пространству (2.49), мы получим плотность в точке (х, г=0)
P = -?zr ( ехр(-4) [ cr ехр( —с2)dcTdcx=±- ( 1 х V (2.51)
Ул о’ V УВ+1/
Здесь и далее p=p/Pi; сг=$г/]/2/?Г1; х=х/а. Умножив (2.50) на т^х
и интегрируя затем по пространству скоростей (2.49), получим значение
~ сх!х
рих=4 С схехр( — с2х) crexp( — с2) dcrdcx=^±—, (2.52)
& ___ о3 х2 +1
где йж=Р«х/Р1 •
Наконец, разделив (2.52) на (2.51), получим закон распределения ско-
рости газа вдоль оси отверстия
х
V> + 1
(2.53)
где их=щ
— ЯЛ-
л
Рассмотрим в заключение распределение температуры газа вдоль оси.
Введем понятия продольной и поперечной температур, исходя из соот-
ношений — kTx= — т&х — uxf', — kTu= — /п($„ — «„)2; -^—kTz=
где Тх— «продольная» температура, характеризующая разброс по ско-
ростям gx, а Ту и Tz— «поперечные» температуры, характеризующие
разброс по и gz; черта над квадратами' «тепловых» скоростей
(gi—Wj)2 означает осреднение; k — постоянная Больцмана. На оси X
в силу симметрии имеем
/ р2
Ty=Tz=— —
у z k \ 2
Температура газа Т выражается через Тх, Ту и Tz следующим образом:
Т=±{Тх+ТУ + Тг).
о
(2.54)
Вычислим температуру Ту и Tz:
Г=Л = — С
у 2nR J J
о о
/ Р2 ! л2 \
*------ехР----------------л) dlrdlx. (2.55)
(2л^Г!)3/2 \ 2^1 /
Интегрируя (2.55) и подставляя выражение для п (2.51), получим
г —т — 1__—( х
у 12 1 2 ---
\У Х2 + 1
(2.56)
где
Найдем распределение продольной температуры Тх вдоль оси X
/ Р2 I Р2 \
z9--d”\3/2- ехР (--^Г (2-57)
(2лЛГ!)3/2 \ 2аГ 1 /
Интегрируя (2.57) и подставляя вместо п выражение (2.51), получим
Тх = (1 —-W1------------V-------х - , (2.58)
_ \ П/\ Ух2-Ь1 / УХ2 +1
где ТХ=ТХП\.
Подставляя (2.56) и (2.58) в (2.54), найдем температуру газа
о о
Т
1
7
X \__________X2 1
1 ' х2 + 1 J
(2.59)
где Г = 777\.
Распределения р, р«х, их, Т вдоль оси отверстия, рассчитанные по
формулам (2.51) — (2.53), (2.56), (2.58) и (2.59), представлены на
рис. 2.6, б.
Схема вычислений макроскопических параметров течения в точках,
не лежащих на оси, аналогична. На рис. 2.7, б представлены результаты
вычислений поля плотности за круглым отверстием [104].
Полученные результаты для случая ^2 = 0 легко обобщить на случай,
когда /2=/=0, (Рг>0). Так как молекулы двух встречных потоков не стал-
киваются между собой, то значения р, их и т. д. представляют собой су-
перпозицию результатов вычислений для каждого потока. Например,
для круглого отверстия значение плотности в точке х на оси будет равно
Р = 2_[1-----—------1-—(1-1----—----.
2 L Vx2+1 P1 \ ]Лс24-1 /J
где Г=Р/Р1.
Течение смеси газов через отверстие. Выше было рассмотрено стационарное тече-
ние однородного газа, т. е. газа, состоящего из молекул одной природы. Из полученной
выше формулы (2.38) видно, что скорость истечения зависит помимо всего прочего от
массы молекул, а именно, она пропорциональна величине У 7? (где R=k!m). С увели-
чением массы молекулы скорость истечения уменьшается. С этим обстоятельством свя-
зан ряд особенностей истечения смеси тазов. В частности, при истечении из камеры в
вакуум смеси, состав которой поддерживается постоянным, вытекающий газ будет
обогащен более легкой компонентой. На этом явлении основан один из используемых в
практике методов разделения изотопов [143].
Особенности течения смеси газов проиллюстрируем на примере задачи о вытекании
газа из сосуда в вакуум. Рассмотрим сосуд, наполненный смесью двух газов, числовая
плотность молекул которой равна По=Ло1+по2, где nOi и п02 соответственно числовая
плотность молекул первого и второго газов. В начальный момент времени открывается
отверстие в тонкой стенке сосуда и начинается процесс истечения газа в окружающую
среду. Мы ограничимся рассмотрением той части процесса истечения, когда можно счи-
тать давление в окружающей среде пренебрежимо малым по сравнению с давлением в
сосуде. Будем предполагать, что размеры сосуда велики, а размеры отверстия доста-
точно малы, чтобы считать состояние газа вдали от отверстия равновесным в каждый
момент процесса истечения. Другими словами, мы будем предполагать, что процесс
понижения давления в сосуде очень медленный. Температуру газа в сосуде будем
предполагать не меняющейся.
Уравнение расхода для каждого газа, входящего в состав смеси, будет
иметь вид *
Vdni^ni}/ -^Adx, (2.60)
где V — объем сосуда; А — площадь отверстия; т — время; Т — температура; Ri— га-
зовая постоянная i-го газа; mi — масса молекул i-го газа, k — постоянная Больцмана;
rii — числовая плотность молекул t-го газа в момент т. Интегрируя (2.60) с учетом
(-. / т^\
— t I/ ----I, где / =
____ V ^2 /
Л j /~ R\T
= т — L/ "2л”"- безразмерное время. Отношение числовых плотностей молекул га-
зов в момент т равно
(2.61)
Используя (2.61), мы можем вычислить мольные концентрации хг-, давление р и газо-
вую постоянную смеси в сосуде для любого момента времени
Х1 =
их
Л1 + П2
(«1/П2)
1 + (Л1/П2) ’
Х2 = 1 — Xi,
И2 Г 1 + (Л1/П2)
л02 L 1 + (^01/^02)
Рис. 2.8. Графики изменения со временем моль-
ных концентраций смеси двух газов, давления
смеси и газовой постоянной смеси в резервуаре
при свободномолекулярном истечении газа че-
рез отверстие
к- гл + "'-2^ул + _Щ.\1 / гл + ja- 2U-W, +ЛП,
|_\ ГП2 nQ2j . Л2*/_1Л 1_\ ^2 П2 )\ И02 )J
где р=р1рп, В=Р/Ро', ро и 7?о — соответственно давление и газовая постоянная смеси
в начальный момент времени. На рис. 2.8 представлены зависимости Xi(t), x2(t), p(t),
- m2
B(t) для случая --= 4, *oi = x02 = 0,5 (*o* — начальная мольная концентрация
i-ro газа). Из графиков видно, что к моменту, когда давление в сосуде составляет одну
десятую от первоначального, мольная концентрация тяжелой компоненты возросла до
х2=0,85, а легкой уменьшилась до значения Xi=0,15.
§ 2.4. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
В КАНАЛАХ
Течение разреженного газа в канале является одной из важнейших
в прикладном отношении задач динамики разреженного газа. Первые
исследования, посвященные этой задаче, были выполнены Кнудсеном
в 1909 г. [114], Смолуховским в 1910 г. [171] и Клаузингом в 1932 г.
[88]. Дальнейшее развитие теория течения разреженного газа в каналах
получила в трудах ряда отечественных и зарубежных исследователей,
опубликованных в период с 1960 по 1974 гг.
Анализ свободномолекулярных течений в каналах мы начнем с рас-
смотрения относительно простого случая — движения газа по соединяю-
щему два резервуара осесимметричному каналу, внутренняя поверхность
которого является сферической [97]. При этом будем предполагать, что
попавшие на стенку канала молекулы отражаются диффузно. В этом
случае отсутствуют математические трудности и, в то же время, сохраня-
ются многие характерные черты течений газа в любых каналах.
1. Канал со сферической геометрией
Рассмотрим стационарное течение газа через канал, соединяющий
камеры А и В. Размеры канала много меньше размеров камер и средних
длин свободных пробегов молекул в обеих камерах. Вдали от входного
и выходного отверстий канала газ находится в равновесных состояниях
соответственно при давлениях ра и ръ, плотностях ра и р&, температуре
Та = Тъ=Т. Стенки канала имеют ту же температуру, что и газ в камерах.
Геометрия канала показана на рис. 2.9. Канал имеет на входе диа-
метр, равный 2га, а на выходе — 2г&. Длина канала равна L. Внутренняя
поверхность канала есть часть сферы, вырезанная двумя параллельными
плоскостями. Радиус этой сферы равен rs. Будем использовать цилиндри-
ческую систему координат, начало которой расположено в резервуаре А
на оси канала в точке, отстоящей от центра сферической поверхности на
Рис. 2.9. Пояснительная схема к за-
даче о течении газа через канал со
сферической геометрией
величину, равную rs. Ось X
направлена вдоль оси канала
в сторону резервуара В.
Течение в канале можно
рассматривать как наложение
двух молекулярных потоков,
один из которых направлен из
резервуара А в В, а второй —
из В в Л. При свободномоле-
кулярном режиме эти потоки
не взаимодействуют друг с
другом. Следовательно, каж-
дый поток можно рассматривать отдельно. Будем рассматривать поток
из резервуара А.
Как было показано раньше (см. § 2.3), через сечение входного от-
верстия будет проходить в единицу времени из резервуара А в полость
канала следующее количество молекул:
(2.62)
Однако не все эти молекулы попадут в резрвуар В. Часть из этого числа
молекул попадет на стенку канала. Некоторые из них, отражаясь, на-
правляются к выходу из канала. Эти молекулы достигают резервуара В
так же, как молекулы, проходящие канал без столкновений со стенками.
Некоторые из ударяющихся о стенку молекул отражаются в обратном
направлении, в сторону входа в канал. Эти молекулы вернутся в резер-
вуар А. Результирующее число молекул, проходящих в единицу времени
из А в В, меньше, чем число, рассчитанное по формуле (2.62).
Для того чтобы определить результирующий расход молекул, необ-
ходимо найти величину обратного потока, возникающего из-за отражения
молекул от стенок канала. Для этого нужно знать число молекул, излу-
чаемых в единицу времени с единицы поверхности каждого элемента
стенки канала. Количество молекул, излучаемых каждым элементом
поверхности канала, найдем из условия баланса потоков частиц для эле-
мента поверхности de. Поскольку стенка предполагается непроницаемой,
не поглощающей и не генерирующей частиц (стенка лишь отражает мо-
лекулы), то количество падающих и отражаемых частиц должно быть
одинаковым, т. е.
dN<3r=dNaaJrdN<3a, (2.63)
где dNor — поток частиц от элемента do; dNac — поток к элементу do из
резервуара Д; dNGO — поток к элементу do отраженных от стенок канала
молекул (см. рис. 2.13).
Так как распределение по скоростям для отраженных молекул яв-
ляется максвелловским (диффузное отражение), то поток частиц dNar
от do можно выразить следующим образом:
4-оо 4-оо 4-оо 2 . а2 । >2 \
dN„=de f f С Ь- ехр(------}dbd№=
J J J (2л/?Г)3/2 X /
—оо —оо О
=^г(л)1/(2.64)
где £а, Sp, Sv— составляющие скоростей молекул в декартовой системе
координат, связанной с элементом do так, что ось а есть нормаль к эле-
менту do; пг(х)—плотность для отраженных молекул, вычисляемая из
условия непроницаемости стенки. Величина пг(х) в силу осевой симмет-
рии течения зависит лишь от координаты х.
Теперь перейдем к рассмотрению величины dNOG. Выделим на по-
верхности канала еще один элемент — do' (см. рис. 2.9). Поток частиц
от этого элемента в телесный угол dQaa, под которым с элемента do' ви-
ден элемент do, составит величину (см. § 2.1)
rfWoe=nr(x')l/' (2.65)
|/ 2л л
где dQaa=da cos 6/Н2; Я —расстояние между da и dar; 9 и 6' —углы
соответственно между нормалями к площадкам do, do' и отрезком Н.
Из рис. 2.9 видно, что в рассматриваемом случае 0 = 0' и f/ = 2rscos 0.
С учетом этого выражение (2.65) можно представить в следующем виде:
aw..=nr(x')l/ (2.66)
V 2л 4лг%
Отметим, что dQ = do'lrs\ есть телесный угол, под которым виден элемент
do' из центра сферической поверхности.
Из (2.66) следует, что для всех равновеликих элементов поверхности
канала с одинаковыми координатами х' и г' значение d2NO(J получается
одинаковым. Эти элементы образуют кольцевую поверхность, величина
которой равна ^do'=2nrsdx'.
Поток отраженных молекул на элемент do с этой кольцевой поверхности
составит величину
Интегрируя это выражение по х', получим величину потока dNao-.
--- хь
nAx'}dx'. (2.67)
2jt 2г J
ха
Наконец, рассмотрим величину потока dNa(5. Для вычисления этой
величины введем «контрольную» поверхность, являющуюся боковой по-
верхностью шарового сегмента, опирающегося на входное отверстие (на
рис. 2.9 показана 1пунктиром). Выделим на этой поверхности эле-
мент doa* Число молекул, падающих из резервуара А на этот элемент,
/пр
--daa. Далее с поверхности doa
2л
эти молекулы рассеиваются в сторону отверстия диффузно, т. е. по зако-
ну косинуса. Отметим, что такой же поток молекул падает из резервуа-
ра А на любой другой равновеликий элемент контрольной поверхности.
Теперь вычислим поток молекул, поступающих от doa к элементу do
(схема вычислений аналогична вычислению d2Noo):
.№=«./(2.6S)
Из (2.68) видно, что от всех равновеликих элементов контрольной по-
верхности doa поступают к do одинаковые потоки. Суммируя эти потоки,
получим величину
(2.69)
г 2л 2jtrj J г s
Здесь ^4/<5а=2ш\ха. Отметим, что 2а=2лг5ха/г^ есть телесный угол,
под которым видно входное отверстие из центра сферы.
Подставляя результаты вычисления (2.64), (2.68) и (2.69) в балан-
совое уравнение (2.63), получим следующее интегральное уравнение:
хь
nr(x) = -^—\nr(x')dx' + na-^-. (2.70)
2Г$ J 2Г$
ха
Уравнение (2.70) есть вырожденное интегральное уравнение Фредгольма
2-го рода. Решение этого уравнения получим следующим образом. Вве-
хь
дем обозначение С = J nr(x')dx'.
ха
1 х
Тогда (2.70) примет вид лг(х) =-----С-\-па—— .
2г s 2r s
Умножим это уравнение на dx и проинтегрируем полученное выражение
в интервале от ха до х&. В результате получим
s “8 (2-71)
Из (2.71) следует w ха (ХЬ ха) • а * 2r s — (хь — ха) (2.72)
Подставляя (2.72) в (2.70), получим
п.. (х)=п„ — =const. м a2.rs-(xb-xa) (2.73)
Формулу (2.73) можно представить также в следующем виде: пг(х)=
— па — =па———, где —телесный угол, под которым
4л — ^ab “Ь
видна поверхность канала из центра сферы, Qab = nrs ^Xb ~х<^; —
d
телесный угол, под которым видно выходное отверстие канала. Углы
2а, и Qab связаны соотношением 2fl + S*+2flz>=4n.
Результаты вычислений позволяют сделать два замечания. Во-пер-
вых, потоки частиц, поступающие из резервуара А на любые равновели-
кие элементы поверхности канала, одинаковы. Во-вторых, потоки отра-
женных частиц от всех равновеликих элементов поверхности канала то-
же одинаковы.
Теперь нетрудно найти поток молекул, отражающихся от стенок
канала обратно в резервуар А. Число молекул, падающих из канала на
элемент контрольной поверхности doa, определим по формуле (2.67), за-
менив в ней do на doa. Подставляя значение пг, получим
d N аа —
*а (ХЬ — ха)
2r s [2r s — (хь — ха)]
или
4" &ь
d<sa.
(2-74)
Суммарный обратный поток молекул, отраженных стенками канала,
составит величину
ИЛИ
*ь — *а ~ J2
2гs - (хй — ха)
ЬдЬ&д
4“
--- 2
N.a = na
2л 4л
Результирующий поток молекул через канал из резервуара А в В
получим, вычитая из значения Na обратный поток Noa,
N АВ
V R2n'2arsXa
2rs — xb
2rs — (xb — xa)
(2.75)
Формулу (2.75) можно представить в виде
QgQb
&а 4~ ®Ь
Аналогичным путем можно найти второй результирующий поток моле-
кул из резервуара В в А:
NBA=nb}f-ZL г? ~aQb-.
ВА ь у 2л ав 4-
Расход молекул газа через канал будет равен разности Nab и NBa'.
N=NA.-NSA = tn„-n„y\/' (2.76)
У 2Л Qa 4-
Умножая (2.76) на массу молекулы т, получим формулу для массового
расхода газа через канал
(2.77)
* С учетом уравнения состояния (p=\pRT) формулу (2.77) можно записать
следующим образом: О4Д=—~ Pb r2s —.
У12лИТ +
Сопоставим полученные формулы для расхода с формулами для от-
верстия в тонкой стенке, радиус которого равен радиусу входного от-
верстия канала, OABIQa=NAB/Na = U7,
где
W=—--------. (2.78)
Qa 4- Qb
Величина W по своему содержанию есть вероятность того, что молекула,
войдя через входное отверстие в канал из первого резервуара, попадет
во второй резервуар. Эту величину, имеющую фундаментальное значение
в вакуумной технике, называют вероятностью прохождения или коэффи-
циентом Клаузинга. С использованием этого понятия формулы для опре-
деления расхода через канал можно записать в виде
N=W (Лв-Лд)1/’^-лг’;
У 2Л
OAB=W —?^^лг2а.
у 2лЯТ
Рис. 2.10. График зависимости коэффициентов
Клаузинга для осесимметричных сферических
каналов с одинаковыми входными и выходны-
ми отверстиями от Llra:
сплошная линия — теория сферического канала;
пунктирная — теория круглой трубы; точки — опыт-
ные данные для круглой трубы —> — [ПО]; 4----[31,
91]; О — [134]; □ — [80]; V — [161]
В случае канала со сферической геометрией вычисления коэффициента Клаузинга,
как это было видно, не связаны с большими трудностями. Определение этого коэффи-
циента для каналов с другой геометрией наталкивается на определенные математиче-
ские трудности (см. дальше). Поскольку короткие круглые трубы, сужающиеся и рас-
ширяющиеся (диффузорные и конфузорные) конические каналы по своей геометрии
близки к каналу со сферической геометрией, то формула (2.78) может служить основой
для приближенных инженерных расчетов этих каналов. В связи с этим остановимся
на некоторых частных случаях геометрии рассматриваемого канала.
Рассмотрим осесимметричный канал со сферической геометрией, у которого
йа = Пь, т. е. у которого входное и выходное отверстия одинаковы: га=гь (рис. 2.10).
Формула (2.78) в этом случае может быть преобразована к виду
IF=l+^-Z2-^-Z 1/ 1+^"Z2, (2.80)
4 2 Г 4
где l=L/ra — относительная длина канала. Из (2.80) следует, что при /-> оо значение
№->0,5.
При /^1 рассматриваемый канал близок по своей геометрии к короткой круглой
трубе. На рис. 2.10 дается сравнение коэффициентов Клаузинга для коротких круглых
труб (см. следующий раздел) и каналов со сферической геометрией. Дополнением к
рис. 2.10 является табл. 2.2, где приведены значения № для круглой трубы и канала
со сферической геометрией при нескольких значениях I. Из сравнения следует вывод о
том, что при /^1 значения № для круглых труб и каналов со сферической геометрией
отличаются не более, чем на 3%.
Таблица 2.2
Коэффициенты Клаузинга для круглых труб и каналов
со сферической геометрией
z = L/ra ОД 0,5 1,0 5,0 10
Сферический канал, W Круглая труба, № 0,9524 0,9524 0,8048 0,8013 0,6910 0,6720 0,5185 0,3146 0,5049 0,1973
Теперь рассмотрим осесимметричный канал со сферической геометрией, у которого
Qa>&b, т. е. у которого входное отверстие больше выходного: га>гь (рис. 2.11). Пре-
образуем формулу (2.78) к более удобному виду, воспользовавшись следующими гео-
метрическими соотношениями:
a + b — 2rs — L, r2a=a(2rs — a), r2b = b (2rs — b),
b = rs — ]/r2 — r2b, ra— rb~ £tgp, (2.81)
где f} —полуугол «сужения» канала; a — расстояние между плоскостью входного сече-
ния канала и передней точкой пересечения сферы с осью канала; b — расстояние меж-
Рис. 2.11. График зависимости коэффициентов Клаузинга для конфузорных сферических
каналов от Г.
сплошные линии — теория сферических каналов; Ч--теоретические расчеты конических диффу-
зоров [192]
ду плоскостью выходного сечения и задней точкой пересечений сферы с осью канала;
га и гь — соответственно радиусы входного и выходного отверстий.
Приведем формулу (2.78) сначала к виду
w = 2 у J_ 2-(L/rs)-(b/rs-)
\ra) rs 2—(L/rs)
(2.82)
Введем обозначение: 2=(ro/r<)2. При помощи формул (2.81) величину Z можно выра-
зить через угол сужения и относительную длину
Z =
14-(1-Ztg g)2 Z4 + [(j-ZtgP)2-l]2 )-1
2
4/2
(2.83)
где l=L/ra — относительная длина канала.
Отметим, что Z^l. Условию Z=1 соответствует случай, когда радиус
стия равен радиусу сферы и a=rs, а угол р< 45°. Для таких каналов,
из (2.83), значение I определяется величиной угла сужения ^(z=i) =
входного отвер-
как это следует
2tg₽
1 + tg2 р *
Наибольшее значение /(z = d соответствует углу (3=45°. Для каналов, у которых а = г«.
формулу (2.82) можно преобразовать к виду
^(z-i) = 2 •
(2.84)
На рис. 2.11 зависимость (2.84) представлена пунктирной линией. Слева от этой ли-
нии — область каналов, у которых a>rs, справа — область а<г«. Максимальная отно-
сительная длина «конфузорного» канала со сферической геометрией определяется усло-
вием /max = ctg р.
При /=/тах радиус выходного отверстия равен нулю, т. е. гь = 0. В этом случае 1Г=0.
С учетом введенных обозначений формулу (2.82) для конфузорных каналов можно
представить в следующем виде:
тг 9[i-Vi-2(i-/tg^] [i-z/z + Vi-zq-zig^]
z(2-z]/7)
где Z(P, /) дается формулой (2.83). Формула (2.85) применима в интервале значений
относительной длины канала O^/^ctg р.
Из (2.85) при Р=0 вытекает формула (2.80).
Рассматриваемые каналы со сферической геометрией при /^1 близки к кониче-
ским сужающимся каналам. На рис. 2.11 дается сравнение коэффициентов Клаузинга
для этих каналов. Результаты расчетов по формуле (2.85) для ряда значений углов
Рис. 2.12. Г рафик зависимости коэффициен-
тов Клаузинга для диффузорных сфериче-
ских каналов от Llra:
сплошные линии — теория сферического канала;
пунктирные — теория конических каналов [192];
Ч---теоретические расчеты конических диффузо-
ров [ПО]
сужения представлены на рис. 2.11 в виде
зависимостей W(l). Эти зависимости даны
сплошными линиями. Результаты расчетов
коэффициентов Клаузинга для конических
суживающихся каналов при (3=15°, 30°, 45°
и 60°, взятые из работы [192], обозначены
на рис. 2.11 крестиками. Из сравнения мож-
но заключить, что при больших и малых
углах сужения коэффициенты Клаузинга
для конических конфузоров, относительная
длина которых /^1, почти не отличаются
от значений этих коэффициентов для «су-
живающихся» каналов со сферический гео-
метрией. При />1 и Р<45° коэффициенты
Клаузинга для суживающихся конических
каналов, как показывает теория и экспери-
мент, заметно отличаются от коэффициентов для каналов со сферической геометрией,
имеющих те же значения I и (3 [23, 192].
Наконец, рассмотрим осесимметричный канал со сферической геометрией, у кото-
рого Ио<Пь, т. е. входное отверстие меньше выходного: га<гъ (рис. 2.12). В этом
случае выполняются следующие соотношения: гъ — ra=LtgP; a—rs — — r2a •
Для расширяющегося канала формулу (2.78) можно преобразовать к следующе-
му виду:
m п [1 - /1 - Zi ] [1 - z/z? + /1 - Z1 ]
W = 2 —-------------------- _ -------— , (2.86>
z1(2-iVz1)
где
p+(l+/tgp)2,
Z1 = I 2
Z4 + [(l+ZtgP)2-l]2
4Z2 J
Здесь P — полуугол «расширения» канала. На рис. 2.12 дано сравнение коэффициентов
Клаузинга для расширяющихся сферических каналов с результатами расчетов кони-
ческих диффузоров [ПО, 175, 192].
Результаты расчетов по формуле (2.86) представлены сплошными линиями. Ре-
зультаты расчетов конических каналов, взятые из работы [ПО], представлены крести-
ками. Пунктирными линиями нанесены результаты расчетов, взятые из [192]. Данные
работы [175] практически совпадают с данными работы [192]. Дополнением к рис. 2.12
является табл. 2.3, где приведены коэффициенты Клаузинга для диффузорных кониче-
ских и сферических каналов при разных углах раскрытия и относительных длинах.
Данные для конических каналов взяты из работы [ПО].
Результаты сравнения позволяют заключить, что коэффициенты Клаузинга для
коротких расширяющихся конических каналов при /^1 отличаются от коэффициентов
для соответствующих каналов со сферической геометрией не более, чем на 2%. Инте-
ресно отметить, что коэффициенты Клаузинга для расширяющихся каналов при |3>60°
практически не отличаются от единицы. Это значит, что истечение через такие каналы
такое же, как через отверстие в тонкой стенке (/=0). Экспериментальные данные, полу-
ченные для конического расширяющегося канала с р=75° и /<1 [161], подтверждают
этот вывод.
Перейдем к дальнейшему анализу свойств течения в канале со сферической гео-
метрией. Как отмечалось, коэффициент Клаузинга представляет собой вероятность того,
что молекула, войдя в полость канала из камеры А, попадает в камеру В. Можно
ввести еще ряд характеристик течения, которые по своему содержанию представляют
вероятность того или иного события. Найдем вероятность того, что молекула, попав из
камеры А в полость канала, пролетит прямо без столкновений с поверхностью стенки
канала в камеру В. Для этого вычислим сначала число таких молекул Nab. Восполь-
зуемся формулой (2.69), в которой лишь нужно заменить теперь do на d<5b (где dob
есть элемент поверхности шарового сегмента опирающегося на выходное отверстие):
1/—
V 2л
4л
Г
2
Таблица 2.3
Коэффициенты Клаузинга для диффузорных конических и сферических каналов
₽ I w ₽ 1 W
сферический канал конический канал сферический канал конический канал
0,1 0,9674 0,9673 о,1 0,9927 0,9927
i no 0,5 0,8719 0,8686 0,5 0,9778 0,9762
1U l,o 0,8082 0,7908 4U 1,0 0,9745 0,9681
10 0,8200 0,6172 10 0,9913 0,9605
0,1 0,9787 0,9786 0,1 0,9964 0,9964
0,5 0,9214 0,9185 кло 0,5 0,9907 0,9896
ZU 1,0 0,8904 0,8764 OU 1,0 0,9905 0,9870
10 0,9311 0,7964 10 0,9975 0,9852
0,1 0,9869 0,9869 0,1 0,9986 0,9986
Qno 0,5 0,9557 0,9534 0,5 0,9970 0,9965
OU 1,0 0,9434 0,9334 OU 1,0 0,9974 0,9959
10 0,9742 0,9081 10 0,9995 0,9956
где Qb = — — телесный угол, под которым видно из центра сферы выходное от-
rs
верстие. Разделив Маь на число молекул Na, влетающих в полость канала из камеры Л,
получим величину wab, представляющую собой вероятность того, что молекула, попав
через входное отверстие в канал, прямо без столкновений с поверхностью стенки про-
летит в камеру В,
™ab =
Nab
Na
QgQb
4rt2 2
' л
4л
Применительно к осесимметричному сферическому каналу эту формулу можно записать
в виде wab = W £1 — — I Z j ,
где Z и W даются для «конфузорных» каналов соответственно формулами (2.83) и
(2.85), а для «диффузорных» — формулами (2.86). Для каналов, у которых входное и
выходное отверстия одинаковы, значение W вычисляется по формуле (2.80), а значение
Z по формуле Z = + -j- Z2^
Найдем теперь вероятность того, что молекула, попавшая из камеры А через
входное отверстие в полость канала, столкнется с поверхностью стенки канала. Сначала
при помощи формулы (2.69) вычислим количество молекул из числа Na, сталкиваю-
/7^7' QaQab 2
!2л 4л 5
формулой (2.74), заменив лишь в ней dca на dab, N„b= па
Разделив Naa на Na, получим вероятность wa<J того, что молекула, влетевшая в полость
канала, столкнется со стенкой канала wa<3 =
где йаь=4л — Qa — йь.
Найдем, наконец, вероятность w того, что отраженная молекула в итоге попадет
в камеру В. Предварительно вычислим число молекул, испускаемых в единицу, времени
поверхностью канала по направлению к выходному отверстию. Для этого воспользуемся
&а&Ь^аЬ 2
2л 4л (Qa + 2*) rs'
Разделив N„ ъ на Naa, мы получим вероятность а>: w =
Ngt> Qb
Naa “ +
Рис. 2.13. Схема молекулярных потоков в полости сферического канала
Рис. 2.14. Пояснительная схема к вычислению макроскопических параметров течения
на оси канала
Рассмотрим теперь уравнение баланса для потока частиц через выходное отверстие
(рис. 2.13): Nab = Nab + Nab — Nab 4- wNa<3.
Разделив это уравнение на Na, получим выражение, связывающее вероятности W, wab,
waa и w: 1Г = wab + waaw.
В случае течения газа по осесимметричному каналу, не обладающему сфериче-
ской геометрией, вероятности waa и w для разных элементов поверхности различны,
т. е. будут зависеть от продольной координаты (см. дальше).
Отметим, что общее число молекул N9 ь, испускаемых в единицу времени поверх-
ностью канала в сторону входного отверстия, можно представить в виде
Nab N ь
аг аг
где Naa —число молекул, прилетающих на стенку из камеры Л; Afoo— число молекул,
падающих на стенку после столкновений с ее поверхностью; Nar— общее число моле-
кул, испускаемых поверхностью канала в единицу времени. Перепишем это выражение
^ab Naa
в следующем виде: Nab = Nаа —— + N°b .
аг ar
Nab
Введем обозначения waa = —— , wah = —— .
N N
4 ar ar
Величина представляет собой вероятность того, что молекула, испускаемая стен-
кой, упадет снова на поверхность стенки канала.
Величина wab есть вероятность того, что испускаемая стенкой молекула проследует
прямо к выходному отверстию. Разделим Nab на число молекул, прилетающих из ка-
меры А на стенку канала 7Vaa . С учетом ранее сказанного получим w=wab
Это уравнение связывает вероятности w, wab и w В случае осесимметричного ка-
нала, не обладающего сферической геометрией, вероятности wQb и w Ga для разных
элементов поверхности канала будут различными, т. е. будут зависеть от продольной
координаты. Отметим, что именно в таких терминах вероятностей была рассмотрена
задача о течении через канал Клаузингом [88].
Перейдем к рассмотрению поля течения в канале со сферической
геометрией. Схема расчетов микроскопических параметров течения ана-
логична той, которая использовалась уже в задаче о течении газа через
отверстие (см. §. 2.3). Особенностью является то обстоятельство, что в
каждой точке поля присутствуют молекулы двух классов — отраженные
от поверхности канала и прилетевшие прямо из резервуара А. Для про-
стоты ограничимся рассмотрением случая, когда у осесимметричного
сферического канала входное и выходное отверстия одинаковы. При
этом будем предполагать, что потоком из камеры В в А можно прене-
бречь, т. е. давление в резервуаре В пренебрежимо мало по сравнению
с давлением в резервуаре А. По-прежнему будем использовать цилинд-
рическую систему координат, однако, начало ее поместим на входе в ка-
нал (рис. 2.14). Мы ограничимся вычислением макроскопических пара-
метров течения в точках, лежащих на оси канала. Выделим около точки,
лежащей на оси X (х>/), малый объем dV (см. рис. 2.14). В этом объеме
присутствуют молекулы двух классов. Для молекул, пришедших прямо
из резервуара А без столкновений со стенками канала, функция распрс-
деления имеет вид fa = —ехр---------х г .
(2nRT)L 2ЯГ J
Значения и этих молекул лежат в следующих интервалах (см.
рис. 2.14): 0<Х<оо, 0<£г<Х
Векторы скоростей молекул этого класса лежат внутри заштрихованно-
го конуса на рис. 2.14. Для молекул, пришедших в dV после отражения
от стенки канала, функция распределения имеет вид
fr=—~ exp f \ ,
7 (2лЯТ)8^ 2/?г /
где пг согласно (2.73) в рассматриваемом случае будет составлять ве-
личину пг=0,5па.
Интервалы возможных значений и для отраженных частиц в рас-
сматриваемой точке будут следующими: 0<gx<oo,
Вычислим плотность в рассматриваемой точке
С 2^rfrd^x , (2.87)
где x=x/ra\ l—L]ra.
Подставляя выражения для fa и fr в (2.87) и интегрируя, получим
тпг
2
р = 1
2
_ - . (2.88)
/(x-Z)2 + l J
Первое слагаемое в (2.88) есть вклад молекул, прилетевших из камеры
А без столкновений с поверхностью канала, а второе — вклад молекул,
прилетевших после отражения от поверхности. Подставляя в (2.88) зна-
чение иг, получим
_1_
2
х — 1
Y{x~iy +i
(2.89)
где р=р/ра. При /=0 формула (2.89) переходит в формулу для отверстия
в тонкой стенке (см. § 2.3). Полученная формула применима при поло-
жительных и отрицательных значениях х. В этом нетрудно убедиться,
проделав аналогичные вычисления для х<0. Положив в (2.89) значение
.7=0,5/, получим значение плотности в центре канала р = 0,5ра. Отметим,
что в случае, когда Qa^rQb (т. е. гаУ=гь), плотность в центре канала со-
ставляет величину р = ра-------— .
Формулу (2.89) нетрудно обобщить на случай, когда р2=Н=0. Путем супео-
Рис. 2.15. График распределения плотности на оси сферического канала с одинаковыми
входным и выходным отверстиями при разных значениях относительной длины
канала
Рис. 2.16. График распределения плотности тока на оси канала при разных значениях
относительной длины канала
позиции результатов для двух независимых молекулярных потоков по-
лучим
P=y(Pa+Pj-4-(P^-P^[-7^=-+ 7 Х~г —]• (2-90)
2 4 1/72 + 1 /(7-Z)2+ 1 J
На рис. 2.15 показано изменени плотности вдоль оси каналов, име-
ющих разную относительную длину Z. Кривая / = 0 соответствует случаю
истечения через отверстие. На этом же рисунке для сравнения пунктиром
дано распределение плотности вдоль оси короткой круглой трубы с отно-
сительной длиной 1 = 2. Данные для трубы взяты из работы [155].
Перейдем к вычислению плотности тока рих
(оо 00 \
J [ f j j-(2-91)
о ° ° /
Подставляя в (2.91) функции fan fr и интегрируя, получим
(* — О2
(7- 1)2 + 1
(2.92)
где рих=рих/ра
Первое слагаемое в (2.92) есть вклад молекул, прилетающих прямо из
камеры А, а второе — вклад отраженных о стенки канала молекул. Под-
ставляя в (2.92) значение пг, получим
т, = 1 —L Г + .
2 [ *2+ 1 (х —Z)2+ 1
(2.93)
Положив в (2.93) х==-^-/,
получим значение pzzx в центре канала
PZZz— 1 . =---------- .
(xeyj) l+0,05Z2
На рис. 2.16 показано изменение рих вдоль оси каналов, имеющих раз-
ную относительную длину Z. Обращает на себя внимание немонотонный
характер изменения величины рих при Z>1.
Рис. 2.17. Пояснительная схема к задаче о течении газа в круглой трубе
Значение скорости газа на оси канала получим, воспользовавшись
формулами (2.89) и (2.93),
(Х-/)2+ 1
х — 1 1
V (x-Z)2+ 1 ]|
где их=и
— RT.
Л
1-—
2
2. Цилиндрическая круглая труба
Рассмотрим теперь течение газа из камеры А в камеру В по круглой
трубе радиуса г, длина которой равна L. Будем использовать систему
координат, начало которой находится в точке пересечения плоскости вхо-
да с осью трубы (рис. 2.17). Остальные исходные условия те же, что
в предыдущей задаче. Найдем расход газа. Число молекул, проходящих
в единицу времени из камеры А через входное сечение в полость канала,
дает выражение (2.62). Часть из этого числа молекул испытает столкно-
вения со стенкой канала и после отражения возвращается обратно в ка-
меру А. Результирующий поток молекул из Л в В будет равен разно-
сти потоков молекул, входящих в полость канала и вылетающих после
отражения обратно. Вычислим обратный поток молекул. С этой целью
рассмотрим баланс частиц для произвольного элемента поверхности
трубы do (см. рис. 2.17). Из условия сохранения частиц следует
dN'r=dNa, + dN„, (2.94)
где dNor— число молекул, «излучаемых» в единицу времени элементом
da; dNa<J — число падающих в единицу времени на этот элемент молекул,
прилетающих прямо из камеры A; dNaa — число падающих на элемент
молекул, испытавших столкновения со стенкой канала.
Выражение для dNar дается формулой (2.64). Выражение для
dNoa получим следующим образом. Выделим еще один элемент поверх-
ности do' (см. рис. 2.17). Число молекул, падающих на do с do', составит
величину (2.65)
(РЫаа=пт (х') \/~ — -°--С05 6' </2, (2.95)
У 2л л
где пг(х')—числовая плотность для отраженных молекул от элемента
, , dv cos 0 ,
da ; du =——------телесный угол, под которым виден элемент do с
do'; Н —расстояние между do и do'; 0 и 0' — углы соответственно между
нормалями к элементам do, do' и отрезком Н. Значение Н можно выра-
зить через координаты элементов da и da'\
Н = У(х-х’У + (у-у'У + (г-гу.
Переходя к цилиндрическим координатам (х, г, <р), получим
(2.96)
Косинусы углов 0 и 0' также можно выразить через координаты элемен
тов da и da':
cos.
\ Н ) 1 г \ И J г \ Н ) ' г \ Н )
Переходя к цилиндрическим координатам, получим
cos 9 = cos 6'=2 — sin2
Н
(2.97)
Величину элементарной площадки da' можно представить следующим
выражением:
ds' — г dy'dx'.
(2.98)
С учетом (2.96) — (2.98) выражение (2.05) можно представить в виде
--- 4si„4(^
"<V"=FV -STГ------------- (2-99)
г (х — х')2 4-4г2 sin2 I—-—1
Количество молекул, падающих на элемент da с кольца, шириной 2лгб/х',
получим, интегрируя (2.99) по углу <р'. При этом удобно отсчитывать
угол q/ от значения, соответствующего положению площадки da. Коли-
чество молекул, падающих на da со всей поверхности трубы, получим,
суммируя (интегрируя) потоки с элементарных колец. С учетом сказан-
ного можно записать
(X — х')2 + 4r2 sin2
dx'.
После интегрирования по ф' получим
dNaa= d<s f /1 - J x - x' | ...J2U-_X,)2 + 3] | nr (X') dx', (2.100)
Г 2л J ( 2 [(x — x')2 + I]3/2 j
где x=x/2r; x'=x'/2r; L — L]2r.
Теперь рассмотрим поток dNa<3. Число падающих на элемент da мо-
лекул, стартовавших с элементарной площадки входного сечения трубы,
составляет величину
RT d<sa cos 0i dz cos 62
2я лН*
где Ha — расстояние между площадками doa и do; 0j— угол между осью
канала и отрезком На\ 02 — угол между нормалью к площадке do и от-
резком На (см. рис. 2.17). Интегрируя потоки от всех doa, получим
1 + 2x2
/1 +Х2
Подставив результаты вычислений потоков в (2.94) и разделив правую
и левую части уравнения на па, получим уравнение следующего вида:
L
w(x)=/(x)4- ^К(х, x')w (x')dx',
b
(2.101)
где
К (х,х')—\ — \х — х' \
2(х —х')2 + 3 .
2[(х-х')2 + 1]3/а ’
Па
Это уравнение называют уравнением Клаузинга, которое является ин-
тегральным уравнением Фредгольма второго рода с ядром К (.г, х'),
зависящим только от абсолютной величины разности продольных ко-
ординат.
Рассмотрение уравнения (2.101) показывает, что распределение
w(x) вдоль трубы зависит от единственного параметра — отношения
длины трубы к диаметру. Вид функции w(x) можно найти для каждого
значения L численным интегрированием уравнения (2.101). На рис. 2.18
даны результаты численного решения (сплошные линии) методом после-
довательных приближений, взятые из работ [81, 176]. Дополнением к это-
му рисунку является табл. 2.4, в которой даны значения w,_ взятые из
работы {103}, в зависимости от x = x/L при значении параметра L = A/2r= 1.
Из рисунка видно, что зависимость w(x) близка к линейной. Функция
w(x) обладает свойством симметрии, которое заключается в следующем:
w (L—x)===l — w(x). (2.102)
Из (2.102) следует, что независимо от длины трубы всегда w(L/2) = 1/2.
Свойство симметрии позволяет рассчитывать функцию ш(х) лишь для
половины трубы. Если в интервале O^x^.L/2 значения w известны, то
в интервале L/2^x^L они могут быть легко вычислены при помощи
(2.102). Отметим, что в первом приближении вид функции ш(х) можно
установить аналитичским путем, аппроксимируя функцию f (х) и ядро
К (х, х'), например, экспонентами. Этим путем в работе [20] получена
следующая формула:
СК/ - 1--------------------.
2(1 4- £) 1 + L
Расчеты по этой формуле даны на
рис. 2.18 пунктирными линиями.
Несмотря на кажущееся согласие
этой формулы с численным решени-
ем уравнения Клаузинга, следует
иметь в виду ее приближенный ха-
рактер. В частности, при расчетах
распределения локальных значений
макроскопических параметров (ско-
рости, плотности, плотности тока)
эта формула может приводить к ка-
чественно неверным результатам.
Рис. 2.18. Кривые численного решения урав-
нения Клаузинга для круглой трубы
Результаты численного решения уравнения Клаузинга при L = 1
xlL 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
W 0,75762 0,70730 0,65601 0,60420 0,55215 0,50000
После того как найдена функция можно перейти к определению
расхода газа. Вычислим обратный поток отраженных молекул. Число
частиц, падающих с элемента поверхности канала do на элементарную
площадку входного сечения трубы doa, составляет величину
d2Naa = nr
da COS 62^gg cos Ql
(2.103)
Число частиц, стартующих с элемента do и вылетающих через входное
отверстие обратно в камеру Л, получим, интегрируя (2.103) по doa'.
dN.. = ±nrtxY\/' %
1+2x2
К1 +х2
(2.104)
где dn=rd(fidx.
Общее число молекул, стартующих со стенки канала и вылетающих об-
ратно в камеру А, получим, интегрируя (2.104) по da:
1 +2x2
/1 +Х2
(2.105)
Расход молекул (т. е. число молекул, стартовавших из камеры А и до-
шедших до камеры В за единицу времени) составит величину
NAB=Na-N,a = na\/'
у 2Л
L
1 — 2 но (х)
о
1 + 2x2
/1 + х2
2х dx\.
(2.106)
Аналогично рассчитывается молекулярный поток из камеры В в камеру
А. Число молекул, стартовавших из камеры В и дошедших до камеры А,
составит величину
1 of П \ I 1+2 (7- — х)2
1 — 2 I но (L — х) - _ _ —
6J L Kl + (i-x)2
2(£ —х) dx
(2.107)
Подстановкой t>=L—х получаем интеграл, входящий в (2.107), точно
таким же, как в уравнении (2.106). Суммарный расход молекул через
канал равен алгебраической сумме потоков Nab и Nba'.
1+2x2
V1 +х2
2х
(2.108)
Рис. 2.19. График зависимости коэффициента Клаузинга от относительной длины трубы:
сплошная линия — теория; точки — опытные данные:
О- [134]; v — [146J; • -[НО]; 4- - [ЗЦ91]; □ - [161]; △ - 95; △ - [83]; X -[137]
Рис. 2.20. Пояснительная схема к вычислению плотности тока на оси круглой трубы
Разделив N на расход молекул через отверстие, т. е. на множитель перед
фигурной скобкой в уравнении (2.108), получим коэффициент Клаузинга
для трубы:
W= 1-2 f w(x)Г—Lt-2*2--
г) L 1A+*2
2x dx.
(2.109)
С учетом (2..109) формулы для .молекулярного и массового расходов
можно представить в виде
N=W-nr2]/ ^-(па-пь), O=W-пг2{Ра~ Рь}.
V 2я У2лЦТ
Значения W вычислялись путем решения уравнения Клаузинга рядом
исследователей [93, 103, 176]. На рис. 2.19 представлены результаты
этих вычислений в виде зависимости коэффициента Клаузинга от вели-
чины отношения L/r (сплошная линия). Для сравнения на этом же гра-
фике нанесены данные ряда экспериментальных исследований (точки),
полученные при больших числах Кнудсена [31, 83, 91, 95, НО, 134, 137,
146, 161]. Наряду с вычислениями W, решая уравнения Клаузинга, эта
задача решалась методом*Монте-Карло [86, 87, 90]. В табл. 2.5 дается
сводка результатов вычислений коэффициентов Клаузинга. Там же при-
водятся для сравнения результаты приближенных вычислений, впервые
сделанные Клаузингом, которые сейчас представляют не только истори-
ческий, но и определенный практический интерес. Отметим, что для слу-
чая L—>оо можно получить аналитическое решение уравнения Клаузинга.
Это асимптотическое решение записывается в виде =
Для труб конечной длины при Л/г^500 эта формула дает ошибку, не
превышающую 1%.
После того как решено уравнение Клаузинга, найдена функция w(x), можно
рассчитать распределение локальных макроскопических параметров потока. Расчеты
проводились рядом исследователей [81, 155, 156, 172]. Ограничимся рассмотрением схемы
расчета плотности тока рих на оси трубы при условии, когда потоком из камеры В в А
можно пренебречь.
Выделим в центре некоторого сечения трубы малую площадку do0 (рис. 2.20).
Найдем проходящий через единицу поверхности этой площадки поток молекул, старто-
вавших со стенки канала. Для этого рассмотрим элемент поверхности канала do,
3—1942 65
координаты которого %i, г, <р. Поток молекул с этого элемента поверхности, приходя-
щийся на единицу поверхности элемента da>0, составит величину
d (пих)а = пг
Г пт
Ul)|/
COS 01COS 02
(2.110)
где da = rd<fdxi, Hq = (x — x^)2 + r2;
COS 01 = г)Н^ COS 02 = X — XiIHq.
Таблица 2.5
Коэффициенты Клаузинга для круглых труб, W
Z/r Гарел ис [103], 1973 г. Чунг, [86], 1971 г. Берман, [75], 1969 г. Девис [90], 1960 г. Де Маркусj [93], 1955 г. Клаузинг [88], 1932 г.
0,1 0,95248 0,95240 0,9524
0,2 0,9090 — 0,90919 — 0,90922 0,9092
0,3 — — 0,86993 — 0,86993 0,8699
0,4 — — 0,83408 — 0,83408 0,8341
0,5 0,8012 0,80170 0,80127 0,804 0,80127 0,8013
0,6 — — 0,77115 — — 0,7711
0,7 — — 0,74341 — — 0,7434
0,8 —. — 0,71778 — — 0,7177
0,9 — — 0,69404 — — 0,6940
1 0,6720 0,67192 0,67198 0,678 0,67198 0,6720
1,5 0,5815 0,58165 — 0,571 0,58148 0,5810
2 0,5142 0,51486 0,51423 0,522 0,51423 0,5136
3 .— 0,41974 0,42006 0,425 0,42006 0,4205
4 — 0,35619 0,35658 0,361 0,35658 0,3589
5 0,3105 0,31074 0,31053 0,315 0,31053 0,3146
6 — 0,2V823 0,27546 — 0,27547 0,2807
7 — — 0,24776 — — 0,2537
8 — — 0,22530 — — 0,2316
9 — — 0,20668 — — 0,2131
10 0,1909 — 0,19099 — 0,19099 0,1973
15 0,4370 — — — — •—
20 0,109 — 0,10934 — 0,10938 0,1135
25 0,0899 — — — — —
50 0,0488 — 0,04852 — — 0,0499
100 — — 0,02529 — — 0,02558
500 — — 0,005264 — — —
1000 — — 0,002648 — — 0,002658
Интегрируя (2.110) по do, получим суммарный поток отраженных молекул через еди-
ницу поверхности элемента do0:
(иих) = 2г2 1/ С nr (*i) “--------——П1О dxx. (2.111)
х,<3 V 2л .) 4 [(X — Х1)2 + Г2]2
о
Переходя к безразмерным координатам в (2.111), получим
{пиД = 2па 1 f w (хО —_ ^Х_ -----dx\, (2.112)
• 2я J [(AT-A^+IP
где l=L/r\ Х\=Х\!г.
Плотность тока молекул, стартовавших из резервуара А и без столкновений со стенка-
ми долетающих до элемента da0, составит величину [см. формулу (2.52), § 2.3]:
(пих)а = па1/ . (2.113)
Г 2" 1 + х2
Рис. 2.21. График структуры свободномолекулярного течения в трубе:
а — распределение плотности тока на оси круглой трубы при разных значениях относительной
длины трубы; б — распределение плотности тока по радиусу трубы в сечениях, отстоящих на раз-
ных расстояниях от входа (У — безразмерное расстояние по радиусу от стенки канала)
Суммируя результаты вычислений (2.112) и (2.113), получим формулу для плотности
тока на оси канала
I
+ 2 j* w (Г.)
6
(X — Xt)
[(7-^)2 + 1]2
(2.114)
Введем понятие средней по сечению трубы плотность тока рих = Олг2.
Среднюю плотность тока можно выразить следующим образом: рих = Wpa
Разделив рих на рих, получим безразмерную плотность тока:
1
рих= •—
(х — Xi)
К*-*1)2+1]2
(2.115)
1
Коэффициент W для значений 0</< 1000 дается в табл. 2.5. На рис. 2.21 представлены
результаты расчетов рих на оси канала для ряда значений параметра l=Llr. Распре-
деление рих по оси канала является симметричным относительно середины трубы. При
/>2_наблюдается немонотонный характер распределения рих. Для труб с Z^l функция
достаточно хорошо аппроксимируется линейной зависимостью следующего вида:
w (xi) = w (0) + [1 — 2w (0)] ,
(2.116)
где w(0) есть значение w при х=0 (см. рис. 2.18). Подставляя (2.116) в (2.115) и
интегрируя, получим следующую приближенную формулу для труб с /^2:
ji-gco)! r__i__ +---------j-----1
1x2+1 (/ — Х)2 + 1 J
[1—2w(0)l , _ -
—-----^7,--L [arc tg х + arc tg (I — х)].
Рис. 2.22. График, зависимости коэффициентов Клаузинга от L/h для канала, образо-
ванного двумя плоскими поверхностями, отстоящими друг от друга на расстоянии h:
а — поверхности имеют одинаковую длину L в направлении течения; б — одна поверхность конеч-
ного размера в направлении течения, другая — бесконечна
Рис. 2.23. Кривые численного решения уравнения Клаузинга для канала, образованного
двумя плоскими поверхностями одинакового размера в направлении течения
В принципе нетрудно вычислить рих в любой точке канала. На рис. 2.21, б пред-
ставлены взятые из работы [176] результаты расчетов распределения рих по радиусу
трубы. На этом рисунке видно скольжение газа у стенки.
3. Канал, образованный двумя плоскими
параллельными поверхностями
Рассмотрим перетекание газа из одного резервуара в другой через
канал, образованный двумя параллельными плоскими поверхностями
одинакового размера L в направлении течения и отстоящими друг от
друга на расстоянии h (рис. 2.22, а). Предполагается, что ширина кана-
ла & в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, бесконечно
велика. Остальные исходные положения те же, что в предыдущих за-
дачах.
Используя схему анализа, которая уже применялась в предыдущем
пункте настоящего параграфа, мы получим для рассматриваемого случая
уравнение Клаузинга, отличающееся от уравнения для трубы лишь ви-
дом ядра и свободного члена:
1
w (х) = f W + j*К (х, х') w (x')dx', (2.117)
о7
где
/ (х)=-И1
X
72 + (Л/£)2
К(х, P)=_L-----------------------
2 [(х-х')2 + (А/£)2]’/.
х—хЩ x'=x'IL', w (х)=яг (х)/яа.
Функция w(x) обладает свойством симметрии: w(x) = l—ш(1—х).
Результаты численного решения уравнения Клаузинга для рассмат-
риваемого канала при разных значениях параметра (Llh) представлены
на рис. 2.23 [174].
Массовый расход газа, приходящийся на единицу ширины канала»,
составит величину
Q = Pb) W,
V^nRT
где W— коэффициент Клаузинга, который вычисляется по формуле
(2.118)
Из (2.117) и (2.118) следует, что коэффициент W зависит лишь от отно-
шения длины к высоте канала. Результаты вычислений коэффициента
Клаузинга для рассматриваемого канала путем численного интегрирова-
ния уравнений (2.117) и (2.118) представлены на рис. 2.22 в виде зави-
симости (сплошная линия) W=f(L!h).
При малых значениях параметра (Llh) значения W можно вычис-
лить, используя следующую приближенную формулу (74]:
«7=1—— (AV (2.119)
2 U / 4 \ А / 24 \ Л / к
Значения W, даваемые формулой (2.119), при Л/Л=0,5 отличаются от ре-
зультатов, полученных из численного решения, приблизительно на 0,2%.
Эта разница быстро уменьшается с уменьшением параметра L/Л. Если
воспользоваться вариационным методом, то можно получить для W сле-
дующую приближенную формулу (36, 74]:
W=± (1 - L/h + /W7) -
-2-------[/./Л- In (д/Л + У 1 + £2/Л2)]
---------1 ———. (2.120)
(Д/Л)3 + 3 (£/А)2 + 4 — (4 + Г 2/Л2) У1 +
Эта формула удовлетворительно согласуется с результатами, полученны-
ми из численных решений.
Разновидностью канала, образованного двумя параллельными по-
верхностями, является случай, когда одна плоская поверхность имеет
конечный размер L в направлении течения, а другая безгранична (см.
рис. 2.22, б). Такой канал представляет собой модель вакуумного уплот-
нения [177]. В этом случае задача усложняется. Вместо одного интеграль-
ного уравнения здесь для определения распределения числовой плотно-
сти пг необходимо решить систему четырех взаимосвязанных интеграль-
ных уравнений. На рис. 2.22 представлена зависимость коэффициента
Клаузинга для такого канала от отношения L/h.
4. Кольцевой канал
Задача о течении газа из одного резервуара в другой по кольцевому
каналу решается точно так же, как и предыдущие. Формулу для массо-
вого расхода можно записать в следующем виде:
0= «г! (1 - Л2) W,
V2KRT
где А = Г1/г2 — отношение радиусов цилиндров, образующих канал
(Г2>^1).
Коэффициенты Клаузинга для кольцевого канала (UZ« 104)
Мп — п) k
0,1 0,2 0,4 0,6 о, 0,95
0,5 8017 8022 8030 8037 8043 8046
1,0 6737 6754 6783 6808 6829 6842
1,5 5842 5867 5915 < 5958 5997 6020
2,0 5175 5206 5266 5324 5378 5413
2,5 4655 4690 4758 4826 4894 4940
3,0 4237 4274 4348 4423 4501 4558
3,5 3893 3931 4007 4087 4174 4241
4,0 4604 3642 3720 3804 3896 3972
5,0 3123 3181 3260 3347 3448 3538
6,0 2791 2828 2906 2994 3100 3201
7,0 . 2513 2548 2625 2712 2820 2929
3,0 2286 2321 2395 2481 2589 2704
9,0 2099 2132 2204 2288 2896 2515
10,0 1941 1973 2042 2124 2230 2352
15 1414 1440 1499 1569 1666 1792
25 921,7 941,1 984,5 1038 1116 1230
50 496,0 507,6 533,9 567,4 618,2 700,4
100 258,9 265,4 280,1 299,2 328,9 380,5
200 132,7 136,1 144,0 154,3 170,6 200,1
500 53,97 55,40 58,69 63,04 70,00 82,99
103 27,15 27,88 29,56 31,77 35,34 42,09
104 2,733 2,807 2,978 3,204 3,570 4,273
Коэффициент Клаузинга зависит от двух параметров k и /=
—Ъ1(г2—и), где L—длина канала по потоку. Результаты вычислений
полученные при помощи вариационного метода, представлены в
табл. 2.6, заимствованной из работы [75]. Отметим, что предельным зна-
чениям геометрического фактора Л = 0 и &->1 соответствуют цилиндри-
ческая круглая труба и канал, образованный двумя параллельными
пластинами, одинакового размера L в направлении течения.
На рис. 2.24 дано сравнёние теории (сплошная линия) с результа-
тами экспериментальных исследований [125, 136, 146]. На этом же гра-
Рис. 2.24. График зависимости коэффициентов Клаузинга от I для кольцевых каналов
70
Рис. 2.25. Пояснительная схема к задаче о течении газа в канале прямоугольного
сечения
фике штриховой и штрихпунктирной линиями нанесены зависимости
W(L/h) для плоского канала и кругой трубы, сплошная линия—теория
кольцевого канала.
5. Каналы прямоугольного сечения
Рассмотрим перетекание газа из одной камеры в другую по прямому
каналу, сечение которого представляет собой прямоугольник со сторона-
ми h и Ь. Будем использовать систему координат, начало которой распо-
ложено в плоскости входного сечения канала, а ось направлена вдоль
канала (рис. 2.25). Остальные исходные положения такие же, как в пре-
дыдущих задачах. Вычислим поток газа из камеры А в камеру В.
Следуя ранее уже применявшейся методике, найдем распределение чис-
ловой плотности пг. Прежде всего отметим, что в силу симметрии рас-
пределения пг на боковых поверхностях канала одинаковы, т. е. пг1 (х
у, z=0)=nrl(x, у, z=b)=nrl(x, у).
Аналогичное следует сказать о распределении пг на верхней и нижней
поверхностях канала nr2 (х, у=0, z)—nr2(x, y=hr z)±=#r2(x, 2)*
Составим уравнение для вычисления nr2(x, z). Для этого рассмотрим
баланс частиц на элементарной площадке do=dxdz, расположенной на
верхней поверхности канала (см. рис. 2.25). Координаты этого элемента
поверхности х, y=h, z. Найдем сначала число частиц, прилетающих на
do с левой боковой поверхности канала. Для этого выделим на этой
поверхности малый элемент do\=dy\dxx, координаты которого у\ п
^=0. Расстояние между do и dot составляет величину
//1 = V(x-x1)2-]-(y—y1)2-{-z2 .
Углы между нормалями к этим элементам поверхности и отрезком
Нх определяются следующими соотношениями:
cos91 = -^~~^1 ; cosG^z/ffp
Hi
Поток молекул с элемента do\ на do составит величину
_ пп (х„ 91) . (2.121)
у 2Л л
С учетом геометрических соотношений .выражение (2.121) можно запи-
сать в виде
(PN= «/1)1/" — -------2(.h-yx)dXXdyy----. (2Д22)
rt rll у 2я я f(x_A.l)2 + (ft_y1)2 + ,?2]2
Число молекул, поступающих на элемент do со всей левой боковой
стенки канала, получим, интегрируя (2.122):
у--- Л L
dNrl=—\/ ^Lda^{nrl(xu У1)-------------z(-h~^---------dXidy^ (2.123)
rt я V 2я J J г Пх-Х1)2 + (Л-^1)2+г2]2 1
Аналогичным образом вычисляется поток отраженных молекул на do
<с правой боковой стенки:
О о
(2.124)
Теперь найдем поток молекул с нижней стенки канала. Выделим пло-
щадку do2z=dx2dz2. Расстояние между элементами do и do2 составляет
величину
н2 = /(х-х2)2+Л2 + (г-г2)2 .
Косинусы углов между нормалями к этим элементам поверхности и от-
резком Н2 равны cos 02=cos 62= •
я2
С учетом геометрических соотношений поток с нижней поверхности ка-
нала на элемент do можно выразить следующим образом:
у----ь L
dJV<p=-L]/ —do\ fnr2(x2, z2)--------------hUx.dz2--------.
л И 2л J J r2V [(х-х2)2 + Л2 + (г-г2)2]2
о о
(2.125)
Суммируя результаты вычислений (2.123), (2.124) и (2.125), получим
поток отраженных молекул на элемент do. Найдем теперь число молекул,
прилетающих на элемент do из камеры А. Выделим на поверхности
входного сечения канала элементарную площадку doa=dyadza, коорди-
наты которой ха = 0, уа, za. Расстояние между do и doa составляет ве-
личину
На= /^+(й-уаР+(^-^.
Косинусы углов между нормалями к этим площадкам и отрезком На со-
ставляют величины
X к h — у а
cos 6а=--; cos (L=-----.
** и 7 a rr
** а ** а
Поток молекул с площадки doa на элемент do составит величину
RT ^аа cos de cos 6а
2л л ч2 ’
11 а
Л^а=п,ау
где па — числовая плотность молекул в камере А, С учетом геометриче-
ских соотношений получим следующую формулу для определения числа
частиц, прилетающих из резервуара А на элемент da:
/' b h
Ж. n da f [------x(h- ya)dy(ldza (2.126)
2л J J [x2 + (A-0a)2 + (*-*a)2]2
0 0
Поток частиц от элемента da можно выразить через пт, (х, г) следую*
щим образом:
dN{r2}=\/‘~-~nr2(x, z)da.
у 2л
Число частиц, испускаемых элементом поверхности, равно числу частиц,
падающих на него, т. е.
dNtf=dNa^~ dNrl+dN*rl+dN^K (2.127)
Подставляя в (2.127) результаты вычислений, получим следующее ин-
тегральное уравнение:
h 1
-w2(x, z)=/2(x, F) + ~ J $ ®i(Fi, Fi)^2i(Fi, У1, ~Х, z)dx!dyi +
О о
~ь 1
+ Л J J W2 ^2’ ^22 ^2’ Z2’ х’ z) dx2d~z2. (2.128)
о о
Здесь использованы следующие обозначения:
х—хЩ у=уЩ z—z/L} h=hlL, Ь=ЬЩ
^(F, *}= пг2(х,7)_.
Па Па
~bh _ _ —
. 1 С Г ________x(h- уа)________г _
/2(-«. г)— л J J {^-vCh-la)2 + (z-za)^ dya Za'
is z \__ №
K22 (x2, z2, X, z)=——-------=-----—--------
[(.x-x^ + h^ + Cz-z^y
^21(*1> Fl> X, Z) = —^-------------------1_
[(x-xW + Ui-y.tf + z^
_________<b- F)(ft-У1)
[(X - Г1)2 + (Л-У1)2 + (7- Г)2]2 *
В уравнение (2.128) входят две неизвестные функции w2(х, z) и Wi(x9 у).
Аналогичным образом можно составить балансовое уравнение для эле-
ментарной площадки, расположенной на боковой поверхности канала.
В результате получим еще одно интегральное уравнение:
~ь 1
y)=f1(x, JW2(x2, z2)K12(x2, z2, X,
о 0
h 1
+ “ J f ®1 (Fl, Fl) (Xi, Fl. F, F) dxxdyu (2.129)
o b
00
АГ 12 0*2» ^2> X, у) =
xzadygdza
[*a + (У- УаР 4- <?]2
Z2 (А — У)
[(х-х2)2 4-(:у-Л)2 + г|]2
___________£2_У_________
[(•* — х2)2 4- ~Уй + гг1
Z/1, х, у)=—-— --— -----—•
[(x-xip + ly-y^ + iw
Для того чтобы найти W\(x, у) и w2(x, г), необходимо решить систему
двух двумерных интегральных уравнений (2.128) и (2.129). В работе
[Зо| для решения этой системы уравнений был применен вариационный
метод Ритца и затем была найдена верхняя граница для коэффициентов
Клаузинга
ц/_ 1+^(0 /2
2 £/4-2/
Здесь использованы следующие обозначения:
г- 6/2 Л/2
/1(г, x)dz+ /2(у, х)
--b/2 —h/2
dx\
L
J=J x]N(x)dx;
о 4
JV(x)=l —JrfXj j /1Й, xJrfSi— j’rfx! j f2(y, x)dy‘,
0 —b[2 Q -h/2
y = y — hl2, z = z — b!2.
В табл. 2.7 даны результаты вычислений W для каналов, у которых
Ljb=A. Отметим, что условие &/Л->оо соответствует каналу, образован-
ному двумя пластинами. Этот случай рассмотрен в in. 3 настоящего пара-
графа. Течение в канале прямоугольного сечения изучалось также ме-
тодом Монте-Карло [68]. В табл. 2.7 даны результаты вычислений этим
методом значений W для накалов, у которых L/b = 2. Данные экспери-
ментальных исследований при L/b=0,24; 8,65; 2,04 и соответственно
£/Л=447; 89,5; 89, о которых сообщается в работе [45], хорошо согласу-
ются с теорией *.
Таблица 2.7
Коэффициенты Клаузинга для каналов прямоугольного сечения
£/ft = 4 6/Л 1 5 10 20 50 100
W 0,242 0,113 0,0729 0,0451 0,0226 0,0131
-Z/U2 b/h 1 2 3 4 — —
W 0,33 0,32 0,285 0,237 — —
* Корректное сравнение теории и опыта авторы [45] дали позднее, в работе [36].
Рис. 2.26. График зависимости коэффициента Кла-
узинга от L/R для прямоугольного колена:
1 __ расчет по методу Монте-Карло; 2 — эксперименталь-
ные данные
6. Каналы сложной конфигурации
При проектировании различных ва-
куумных систем или аппаратов часто бы-
вает необходимым рассчитывать расход
газа через тракты очень сложной конфи-
гурации, включающие в себя такие эле-
менты: как экраны, прямоугольные коле-
на, жалюзи и т. п. Наиболее эффектив-
ным методом расчета в этих случаях яв-
ляется метод Монте-Карло. При вычис-
лениях вероятности прохождения (т. е.'
коэффициента Клаузинга) поступают
следующим образом. Молекулы, которые
вошли через входное отверстие в исследуемый тракт, прослеживаются
до тех пор, пока они либо покинут тракт через выходное отверстие, ли-
бо возвратятся к выходному отверстию. Отношение числа частиц, про-
шедших через тракт, к числу частиц, вошедших в него, эквивалентно
коэффициенту Клаузинга для данного направления: Wab = NabINa. Рас-
ход молекул через тракт равен Nab=Nab — NbWba.
Если распределение молекул газа в обеих камерах максвелловское, то
AaWab=AbWba, (2.130)
где Ла, Аь— площади входного и выходного отверстий канала. Это ра-
венство можно получить, рассматривая случай JVab = 0 и учитывая, что
Na~Aa, Nb~Ab. Соотношение (2.130) позволяет ограничиться расчетом
вероятности прохождения Wab- Отметим, что для каналов -с Аа=Аь ве-
роятности прохождения Wab и Wba одинаковы.
Расчеты различных трактов с характерными для практики конфигу-
рациями проводились при помощи метода Монте-Карло рядом исследо-
вателей [31, 86, 90, 68]. На рис. 2.26 даны некоторые результаты расчетов.
7. Влияние характера взаимодействия молекул
со стенкой и макроскопической шероховатости
поверхности канала на течение газа
Рассматривая выше течение газа в каналах, мы предполагали, что падающие на
твердую стенку молекулы рассеиваются от нее диффузно (т. е. по закону косинуса).
Можно предположить, что так отражается только часть молекул. Другая же часть
молекул отражается зеркально. Вводя коэффициент зеркального отражения а8> функ-
цию распределения fr для отраженных молекул с элемента поверхности de можно пред-
ставить следующим образом:
Г 2 2 2
ЛЬ. Ss. Ш + -----—i' — (2-131)
-j- oo -j- oo 0
где N= J d^x J d^y J ^zf 5z)rfSz;
--OO -OO --OO
f — функция распределения падающих молекул; gx, gz — составляющие скоростей
молекул в системе координат, связанной с элементом de, ось которой направлена по
нормали от поверхности; а8 — коэффициент зеркального отражения.
Очевидно, что а8 связан с коэффициентом диффузного отражения следующим
соотношением: as=l — ах . Чем больше значение as, тем больше доля зеркально отра-
жающихся молекул. С увеличением коэффициента а8, падает сопротивление трубы,,
т. е. возрастает вероятность прохождения W.
Рис. 2.27. Зависимость коэффициента Клаузинга для круглой трубы от коэффициента
зеркального отражения а8
Рис. 2.28. График влияния шероховатости трубы на коэффициент Клаузинга (Wo — ко-
эффициент Клаузинга для гладкой трубы, W — для шероховатой трубы):
И —опыт для L/r«4,9; теория: 4-L/r=l; О — L/r=2; △ — L/r=3; X — Ь/г=5
Задача о течении газа в гладкой круглой трубе с использованием модели взаимо-
действия, описываемой уравнением (2.130), была рассмотрена в работах [92, 87].
Результаты вычислений коэффициентов Клаузинга для труб с различной относительной
длиной (L/r=l; 2; 100) при разных значениях коэффициента зеркального отражения
представлены на рис. 2.27 в виде зависимости W(a8). При а8 = 0 значения W равны
коэффициентам Клаузинга, вычисленным в предположении полностью диффузного
отражения. При а8 = 1 значение W для любой длины трубы равно единице. В последнем
случае труба не оказывает сопротивления потоку (сколько молекул вошло из камеры в
трубу, столько же и выйдет через противоположный конец трубы). На рис. 2.27 при-
ведены также результаты вычислений W при разных а8 методом Монте-Карло (точ-
ки) [56].
Результаты численного решения задачи о течении газа в трубе при 0^а8^1
можно в первом приближении аппроксимировать следующей формулой:
1 4~ (1 — Д s)
1 — as + Wд (1 + us)
(2.132)
где Wd — коэффициент Клаузинга для гладкой трубы при полностью диффузном отра-
жении молекул от стенки (а8=0); W— коэффициент Клаузинга при д8#=0. Отметим,
что Смолуховским была предложена следующая приближенная формула [171];
2 1 а?
W=Wd-------------= Wd . (2.133)
дт 1 — as
На рис. 2.27 результаты расчетов по формуле (2.133) представлены пунктирными ли-
ниями. Из сравнения этой формулы с результатами корректного решения следует, что
•область применимости формулы Смолуховского ограничена условиями д8<С1,
При больших значениях а8 формула Смолуховского дает физически неверные резуль-
таты.
Характеристики течения газа в канале зависят также от вида и степени шерохо-
ватости стенок канала. Эффект шероховатости проявляется в том, что падающие из
камеры молекулы на поверхность выступов неровностей стенки канала могут иметь
большую вероятность отражения обратно в камеру. Это приводит к тому, что коэффи-
циент Клаузинга уменьшается, т. е. сопротивление канала увеличивается. Влияние
неровностей различного типа на величину коэффициента Клаузинга можно теоретически
-исследовать методом Монте-Карло. Такое исследование в предположении, что отраже-
ние молекул от каждого элемента поверхности является диффузным, выполнено Деви-
сом, Левенсоном и Миллероном [91]. Результаты расчетов коэффициентов Клаузинга
для круглых труб различной относительной длины (L/r=l; 2; 3; 5) при условии, что
«а поверхности канала имеется нарезка треугольного вида, представлены на рис. 2.28
в виде зависимости отношения коэффициентов Клаузинга для шероховатой и гладкой
труб с одинаковыми в свете сечениями от полуугла раскрытия впадин р. Относительная
высота выступов равна д/г=0,05. Пунктирными линиями представлены сглаженные
результаты. Влияние «шероховатости» указанного типа при полууглах раскрытия впа-
дин р=20-7-40° наибольшее.
В реальных условиях необходимо учитывать одновременно влияние характера
отражения молекул и шероховатости. Эффекты зеркального отражения и шероховато-
сти переплетаются весьма сложным образом.
В табл. 2.8 даны значения измеренных вероятностей прохождения мрлекул раз-
личных газов (Н2, Не, Аг, СО2) для круглых стеклянных и медных труб с полирован-
ной поверхностью [91]. Ошибки экспериментального определения вероятностей прохож-
дения не превышали 0,6%. Для сравнения в этой таблице даны теоретические значения
коэффициентов Клаузинга, подсчитанные для гладких труб при диффузном отражении.
Из сравнения опытных и теоретических данных следует, что характер отражения моле-
кул является не полностью диффузным. Однако это отличие весьма незначительно. Если
не учитывать эффект шероховатости, то этим опытным данным соответствует значение
коэффициента зеркального отражения а8 <0,05. Необходимо, однако, иметь в виду, что
полированная поверхность в молекулярном масштабе выглядит весьма неровной.
Таблица 2.8
Сравнение опытных значений коэффициентов Клаузинга для полированных труб
с теоретическими расчетами гладких труб при диффузном отражении
LIr ^ИЗМ ^теор LIr изм теор
1,03 0,683 0,667 4,86 0,309 0,315
2,04 0,536 0,509 0,97 0,684 0,679
3,02 0,440 0,419 1,94 0,530 0,522
5,03 0,314 0,309 2,90 0,439 0,428
1,95 0,531 0,519 4,84 0,308 0,317
2,91 0,429 0,428
Поо
-----------ехр
§ 2.5. СТАЦИОНАРНОЕ ОБТЕКАНИЕ НЕВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
БЕЗГРАНИЧНЫМ ПОТОКОМ
Задача о свободномолекулярном обтекании невыпуклых тел имеет
огромное прикладное значение. К этой задаче сводятся расчеты аэроди-
намических характеристик летательных аппаратов сложной формы, воз-
духозаборников, аэродинамических насадков, турбомолекулярных насо-
сов и т. д.
1. Общее положение
Будем рассматривать обтекание тел при следующих условиях. Влия-
ние силы отсутствуют или ими можно пренебречь. На достаточном уда-
лении от тела (где возмущение, вносимое в поток телом, практически
отсутствует) газ находится в равновесном состоянии, которому соответ-
ствует максвелловская функция распределения следующего вида:
(^г—^оо c°s <Р1)2 4- COS <?2)2 + fe—cos <?з)2~
]’
(2.134)
где Поо, t/оо, Гоо — соответственно числовая плотность молекул, величина
скорости и температура невозмущенного потока; фЬ ф2, Фз~^углы меж-
ду направлением вектора скорости набегающего потока — UK и осями
декартовой системы координат, связанной с телом (рис. 2.29).
Поверхность тела не поглощает и не генерирует молекул. Следова-
тельно, выполняется условие сохранения частиц на поверхности тела.
Закон отражения молекул газа от поверхности тела известен, т. е. из-
вестен_вид функции (ядра) рассеивания молекул К (г, Ъе В,)- Величина
АГ(г » £/> $г)^г есть вероятность того, что после удара о стенку в точке г
молекула, имевшая значение скорости от до приобретает
скорость в диапазоне от до Для того чтобы рассчитать по-
Рис. 2.29. Пояснительная схема обтекания
невыпуклого тела
ле макроскопических параметров
течения около тела, найти силы,
действующие на тело, и тепловые
потоки в тело, нужно знать функ-
цию распределения во всех точках
около тела.
Рассмотрим некоторую точку А
вблизи тела (см. рис. 2.29). В эле-
ментарном объеме, построенном
около этой точки, будут находиться
молекулы, пришедшие с поверхно-
сти тела (отраженные молекулы), и
молекулы, пришедшие из окружаю-
щего свободного пространства, где
поток невозмущен. Векторы скоро*
стей первой группы молекул лежат внутри телесного угла (4л — Qooa),
а второй — внутри угла Qooa. Таким образом, функция распределения в
точках около тела разрывна в пространстве скоростей f=foo+fr, где /оо —
функция распределения молекул, скорости которых лежат внутри телес-
ного угла Qooa; fr — функция распределения отраженных молекул. Функ-
ция foo дается выражением (2.134). Функция распределения отраженных
молекул в каждой точке на поверхности тела выражается через Л" (г,
5Г) следующим образом:
л (Г, и=_[ к (Г, $г)Л(г, ^d^,
л<0
(2.135)
где — скорости соответственно падающих на поверхность и отра-
женных ею молекул; fi (г, gi)—функция распределения молекул, пада-
ющих на элемент поверхности do, положение которого задано радиус-
вектором г; п— внешняя нормаль к элементу поверхности do (см. рис.
2.29). Чтобы воспользоваться формулой (2.135) для вычисления fr,
нужно знать функцию fi. Если тело выпуклое, то/г' = /оо, так как отражен-
ные от поверхности тела молекулы не могут попасть на тело. Иначе об-
стоит дело в случае невыпуклого тела. Молекулы, падающие на каждый
элемент невыпуклой поверхности, можно разделить на две группы. Пер-
вую группу составляют молекулы, пришедшие со стороны свободного
пространства из области невозмущенного течения. Векторы скоростей
этих молекул лежат внутри телесного угла Qoo. Этот угол равен углу, под
которым видно с элемента do свободное пространство (см. рис. 2.29).
Функция распределения для этих молекул fi<x> дается выражением
(2.134). Вторая группа молекул — это молекулы, которые приходят на
элемент do после отражения от других участков поверхности тела. Век-
торы скоростей этих молекул лежат в телесном угле, равном (2л—Qoo).
Функцию распределения fir для молекул второй группы можно предста-
вить в виде
fir (г, lir)= J К (г', ^г€(2л-2Ц,
Е/Г<0
где g— скорость молекул, падающих на элемент поверхности do', поло-
жение которого задано радиус-вектором г'; £гг — скорость отраженных от
элемента do' молекул, направляющихся к элементу do; п' — нормаль к
элементу поверхности do' (см. рис. 2.29).
Используя условие сохранения молекул на поверхности тела, мы по-
лучим следующее уравнение, которому должна удовлетворять функ-
ция fr:
_f (Гй)Л<^=- _J J &,)flrdK
е«>о LaeSoo £€(2^-2^)
(2.136)
Левая часть этого уравнения есть поток уходящих частиц с единицы
площади элемента zZo, правая часть — сумма падающих на единицу пло-
щади этого элемента потоков молекул, стартовавших из бесконечности
и с поверхности тела. Задача отыскания fr при произвольном законе от-
ражения молекул от поверхности тела является весьма сложной.
Ограничимся здесь рассмотрением обтекания тел при диффузном
отражении молекул от поверхности тела и полной термической аккомо-
дации. Такой характер взаимодействия молекул с поверхностью наибо-
лее близок к рельным условиям. При диффузном законе отражения вид
функции распределения скоростей отраженных молекул не зависит от
конкретного вида функции распределения падающих'молекул:
——г)——ехр
[2л£Г«, (г)]3/»
£ + + £
(2.137)
Будем считать заданным распределением температуры поверхности
тела 7w(r), если тело «неадиабатное». Если же тело «адиабатное», то
Tw(г) определяется из условия равенства нулю теплового потока от газа
к стенке. Распределение числовой плотности пг(г) в (2.137), вообще го-
воря, неизвестно. Чтобы найти пг(г), воспользуемся уравнением (2.136).
Число молекул, уходящих с единицы площади элемента поверхности do
за единицу времени, получим, подставляя в левую часть уравнения
(2.136) функцию (2.137):
^(7)=nr(7)l/' (2.138)
Вычислим падающий поток молекул, стартовавших с других участ-
ков поверхности тела. Выделим некоторый элемент поверхности тела
do', положение которого определяется радиус-вектором г' (см. рис.
2.29). Количество молекул, прилетающих с da' за единицу времени на
единицу площади элемента do, составляет величину
dNm=nr (7') 1/".cos6'cos9 da', (2.139)
г 2л л№
где 0' и 0 — углы между нормалями к рассматриваемым элементам по-
верхности (do и do') и отрезком Н,Н= [г—г'| —расстояние между эле-
ментами do и do'.
Интегрируя потоки со всех элементарных, участков поверхности, ви-
димых из элемента do, получим следующую формулу:
(2.140)
"“/ч cos о Cos о
где и (г, г )=------—----; о — поверхность тела, видимая из элемента
л//2
do. Выражение (2.140) можно представить в виде
Nx (7)= J Nr (7') О (г, Р) da', (2.141)
где Nr(r') = nr(r')VRTw{r')l2n—поток отраженных частиц с единицы
площади элемента do'.
Вычислим, наконец, падающий поток молекул, прилетающих из бес-
конечности. Введем связанные с элементом da три единичных вектора
т, п, Ъ, соответственно касательный вектор, нормаль и бинормаль (см.
рис. 2.29). Отметим, что вектор макроскопической скорости невозмущен-
ного течения U<x> составляет с векторами т, п, Ъ углы соответственно <хь
аг, «3. Воспользуемся сферической системой координат, в которой элемент
пространства скоростей определяется выражением d£=g2dgdQ, где =
= sin0d0dp; 0 и р — углы, отсчитываемые соответственно от нормали п
и вектора т. В результате вычислений получим (41]
Я7\
2л
(2.142)
где
Q(r)=J- J Л (Z) cos 0«f2; yl(Z)=(l-[-Z2)exp( —S2)-|-
+ /л Z Z2j(l-|-erfZ)exp(Z2- S2);
Z=S (cos aj cos p sin 0-J-cos a2 cos 0 -f-cos ag sin p sin 0);
z
S=UoolV2^\o; erfZ=—f exp(-/2)J/.
/« i
Подставляя результаты вычислений (2.138), (2.141) и (2.142) в
(2.136) получим интегральное уравнение, аналогичное тому, которое бы-
ло получено при рассмотрении задачи о течении в каналах (см. § 2.4):
^('•)=Q(r)-|-tf.V (n')O(r, r')d°',
(2.143)
где Nr=Nrlti„
Это уравнение есть уравнение Фредгольма второго рода с симметричным
ядром.
Если воспользоваться выражением (2.138), то уравнение (2.143)
можно преобразовать к следующему виду:
Я.(г)=-^—l-frt.(r/)l /~ T^Q-G(r, (2.144)
Vrw(r) J *
где nr=nr!n^
В случае, когда температура поверхности тела во всех точках одинако-
ва и равна температуре набегающего потока (Tw=TO0), уравнение
(2.144) принимает вид
Mr)=Q(r)+jn(r')G(r, г')da'.
(2.145)
В этом случае распределение пг (так же, как потоков отраженных час-
тиц Ж-) зависит лишь от,геометрии тела, его ориентации относительно
вектора скорости набегающего потока U<» и числа S. Решив уравнение
(2.143) или (2.144), мы найдем распределение Nr(r) и пг(г). После это-
го функция распределения отраженных молекул в каждой точке по-
верхности тела будет полностью определена.
Отметим, что задача резко упрощается, если тело выпуклое. В этом
случае имеем (йсо=2л):
vVa, = 0;
Nr(r) = л~1/ —— (ехр( — S2 sin2$)-|-K«'5 sin ф[1-|-ег1 (S sin ф)]);
У 2 л
пт(г)= Лоо 1/ {ехр( — S2 sin2ф)+S sin ф[ 1 -J-erf (к9 sin ф)]},
где ф— угол атаки для элемента поверхности do (вектор IL образует
z л
угол (—
— ф) с внутренней нормалью к поверхности).
Макроскопические параметры течения являются моментами функ-
ции распределения. Формулы для вычисления, например, плотности газа
р и составляющих макроскопической скорости в некоторой точке А име-
ют следующий вид:
?=tn J j fTdb
и. = -1-/пГ J Ufrdi
L £€2д со £6(4*—2д со;
где i=x, у, Z.
Вычисление локальных тепловых потоков от газа в тело сводится к
нахождению энергии, приносимой падающими и уносимой отраженными
молекулами. Полная энергия, приносимая падающими молекулами на
элемент поверхности do (так же, как энергия, уносимая отраженными
молекулами), состоит из энергии поступательного движения молекул и
их внутренней энергии. Внутренняя энергия молекулы, согласно прин-
ципу равного распределения энергии по степеням свободы, составляет
в среднем величину, равную — jmRT\ где j—---------—число внут-
ренних степеней свободы; Т — температура газа; y = cP!cv— отношение
изобарной и изохорной теплоемкостей.
Энергия, уносимая отраженными молекулами за единицу времени с
единицы площади элемента do, вычисляется по формуле
^(r)= J + (2.146)
ё«>о
Подставляя в (2.146) функцию (2.137) и интегрируя, получим следую-
щее выражение:
Er(r)=Nr(r) 2m/?7’e,(r)
4- — -~-3v mRTw (r)l=Nr (r) w7?7’g,(r),
'2 у —1 j k Y—1 2
(2.147)
где ^(r)=nr(r)|/^p-.
Энергия, приносимая за единицу времени на единицу площади эле-
мента do молекулами, стартовавшими с других участков поверхности
тела, вычисляется по формуле
Е" (г) = J -Ш- mRT^r'\. Nr (г') Q (г, г') </У. (2.148)
а
При Tw—const формула (2.148) принимает вид £,jj=y + 1 m^Tw-Naa.
Y 1 2
Энергия, приносимая на единицу площади элемента da молекулами
невозмущенного потока, вычисляется по следующей формуле:
F.(7) = J (2.149)
Гез*,
Для вычисления первого слагаемого в правой части (2.149) удобно вос-
пользоваться местной сферической системой координат. После интегри-
рования получим следующее выражение для этого слагаемого:
0,5 [2RT„)3/2 j D (Z) cos 6rf9,
где
( 9 \
2 + Z2 Z2 + —
D (Z) =-----exp (-52)+
2л у л
+-L^+5Z2+-^](l+erfZ)eXp(Z2-S2).
Плотность теплового потока от газа к телу равняется разности между
энергиями, приносимой и уносимой молекулами,
^=£.(7) + ^ (7) - £г(7), (2.150)
где qw=d2QJdadx\ d2Q — количество тепла, поступившее в тело за время
dx через поверхность da.
Если тело «адиабатное», то ^w = 0. В этом случае из (2.150) с уче-
том (2.148) получается следующее уравнение:
E'r (7)=Z\.(7) +(7)0(7, 7)^', (2.151)
а
где Е/— энергия, уносимая отраженными молекулами с единицы пло-
щади элемента da за единицу времени при равновесной температуре по-
верхности Те.
Уравнение (2.151) аналогично уравнению (2.143). После решения
(2.151) можно вычислить равновесную температуру
ГД7)=£(7)/^Д7) (2.152)
Y 1 2
Вычислим нормальный импульс, передаваемый молекулами едини-
це площади элемента поверхности da. Этот импульс можно представить
в виде
Pn=Pnoo+Pna + Pnr. (2.153)
где Рпоо — импульс передаваемый молекулами, пришедшими на элемент
da из бесконечности; Pn<j — импульс, передаваемый молекулами, отра-
женными от других участков поверхности; Рпг — реактивный импульс.
Найдем величину Рпо. Число молекул со скоростями от g до g + dg,
которые в единицу времени поступают с элемента da' на элемент da,
равно
ft г (/•')
[2rt/?rw(~')]3/2
exp
c2
2RTW (7')
$3 cosG'afa'di-dQ,
(2.154)
где dQ = docos 0/Я2— телесный угол, под которым виден элемент da с
элемента da'.
Умножая (2.154) на g cosO, мы получим нормальный импульс, ко-
торый эти молекулы передают элементу da:
тггг (г’)
-------— ехр
[2л/?7\а('-')13/2
cos 9 cos 6'д?б'с?^2.
(2.155)'
2^ (И
Интегрируя (2.155) по всем значениям g, получим нормальный импульс,
передаваемый всеми молекулами, приходящими с элемента da7:
3 /"/\nrrr /"7\ cos в cos G'da'dQ,
— тпг(г)2РТw(r)
Л
Нормальный импульс, передаваемый этими молекулами единице по-
верхности элемента da, составит величину
3 cos2 9 cos в' ,
— тпг (г') RTW (г')-----------—--------rfa
2 Л/7 2
(2.156)
Нормальный импульс, передаваемый единице площади элемента da
приходящими со всех участков поверхности тела молекулами, получим,
интегрируя выражение (2.156):
Рла (r) = ~-m j>nr(r')/?7w(r')cos 0-0(7, r')rfa'. (2.157)
Реактивный импульс (импульс, передаваемый уходящими с элемен-
та da молекулами) составит величину
P„r(7) = m j fyrdl=mnrW^ . (2.i58)
Е„>0
Теперь формулу для Рп можем записать в следующем виде:
Рп (7)=(7) + Рпг (7) + 3 j Рпг (7') cos 9 • Q (7, 7Z) rfa'. (2.159)
а
Тангенциальный импульс, передаваемый единице площади элемента
da, можно представить в виде Px(r)=Pxoo-\-Px<3, vjis, Рхоо —импульс,
передаваемый молекулами, приходящими из бесконечности; РХ(5 — им-
пульс передаваемый молекулами, отраженными от других участков по-
верхности.
Схема вычисления PX(J аналогична той, которая использована для
вычисления Рп(5. Касательный импульс, передаваемый единице площади
элемента da молекулами, приходящими с элемента da', составляет ве-
личинуmnr(r')RTw(r') sin 0-0 (г, г')^а'-
Составляющая этого импульса в направлении т будет равна
~ mnr(r,}RTw{rr) sin 6cos p-O(r, r') da'. (2.160)
Интегрируя (2.160) по всем da', получим Рта.
Описанный выше путь решения задачи о свободномолекулярном
обтекании невыпуклого тела сводится к решению интегрального уравне-
ния Фредгольма второго рода. Решение этого уравнения для тел слож-
ной формы представляет известные трудности. Наряду с этим путем в
Рис. 2.30. Пояснительная схема обтекания полусферы
последнее время получил развитие метод статистических испытаний
(метод Монте-Карло). Обзор результатов, полученных этим методом,
дается в дальнейшем.
Перейдем к рассмотрению обтекания ряда конкретных тел.
2. Полусфера
Рассмотрим обтекание полусферы гиперзвуковым потоком (S^>1)
при условиях, когда вектор скорости набегающего потока параллелен
оси симметрии тела и температура поверхности тела всюду поддержи-
вается одинаковой, равной Tw [35, 152].
Для рассматриваемой поверхности выполняются следующие геомет-
рические соотношения (рис. 2.30, а):
9 = 0'; //=2r5cosG,
где rs — радиус сферической поверхности.
Ядро интегрального уравнения (2.143) в этом случае имеет вид
0(7, Р)=—1— = const. (2.161)
4 ЯГ*
Подставляя (2.161) в (2.143), получим следующее уравнение:
jv,(7)=am7)4—{—с, (2.162)
где C=^NT(r')da'', a=4nr2s.
а
Умножив обе части уравнения (2.162) на da и проинтегрировав по всей
поверхности, получим
0=^-]-------— С, (2.163)
4лг^
где A/'oos=J N„(г) da' —число молекул набегающего потока, падающих
за единицу времени на всю вогнутую поверхность а.
Отметим, что общее число падающих молекул набегающего потока
равно числу молекул падающих на поверхность круга, радиуса rs. С уче-
том этого замечания можем записать
N^=ar]
-j- ОО -J- ОО -{-ОО
J J ^f-d^yd^
— ОО -ОО О
(2.164)
п
где /оо =------—
(ZnRTjW
(llr-goo)2 + ^+ег
2^
Введем переменные
lx-U„ _ Ьу „ „
— _______» Су .------’ С z--------•
V^-RT^ V2RT^ V^RT"
Интеграл в (2.164) преобразуется к виду
N«,2=nr2sti„ V 2RT^. J J J {cx^S)^[ — {c2-\-c2y-\rciz}\dcxdCydczt
— oo —OO —S
где S=UJV2RT„.
Интегрируя, получим следующую формулу:
AU^rk]/_^k[exp(-S2)+rSS(l+erf S)], (2.165)
у 2л
s
где erfS=—(* exp (— /2) dt.
V* $
Подставляя (2.165) в (2.163), найдем значение С:
С=2лr2n. \f [exp (- S2)+VnS (1 + erf $)].
Число отраженных молекул NO(j9 падающих за единицу времени на
единицу площади любого элемента вогнутой поверхности, составляет
величину
ЛГ„=-Ья.1/ -^_[exp(-S2)4-]/xS(l+erfS)l. (2.166)
2 2л
Формула (2.166) справедлива для любых значений S. При S^>1 (прак-
тически при S^5) из формулы (2.166) следует, что
N„=±nJL. (2.167)
Число молекул набегающего потока Noo(r), падающих на единицу
площади элемента поверхности do за единицу времени, вычислим пре-
небрегая тепловым движением молекул *:
N«о (r)=n„U« cos а, (2.168)
где а — угол между нормалью к элементу поверхности do и вектором
Uсо (см. рис. 2.30, а). Отметим, что
cosa=x/rs, (2.169)
где х — координата элемента do.
♦ Формула (2.168) тем точнее, чем больше число 3.
Число молекул Nr, уходящих с единицы площади элемента da за
единицу времени, получим, подставляя в (2.162) выражения (2.167) и
(2.168),
(2.170)
Подставляя в (2.138) выражения (2.170), найдем
(2.171)
Теперь перейдем к расчетам полей макроскопических параметров
течения, тепловых потоков в тело и сил, действующих на вогнутую по-
лусферу. Найдем распределение плотности газа р и плотности тока
ршх вдоль оси X перед полусферой. В рассматриваемом случае имеем
«со Г (k -+ £ + £
=----------ехр —--------------------
(btRT^2 L
Пг
d + ^ + gf
2RTW
где пг дается выражением (2.171).
После интегрирования получаются следующие формулы:
~р=1+-Гя5 1/ KiW;
г W
Р«х=1 — к2(х\
где р=р/роо; риЛ.=риЛ./роо6/оо; x=x!rs-,
(2.172)
(2.173)
Х2
i + &
При х=1 имеем — 2,33 и Кг=1. Таким образом, у стенки имеем
(р~«х)да=0.
При х = 0 имеем А] = 1 и Лг = 14/12. На рис. 2.31 зависимости (2.172) и
(2.173) представлены графически.
Аналогичным образом вычисляется температура газа на оси X пе-
ред полусферой
7 = 4
Р
>^i(x) ~4«х(*)52, (2.174)
ОО о
где Т — TfT^-, ~их = ux/U
При S»1 внутренней энергией молекул набегающего потока
пренебречь по сравнению с энергией поступательного движения,
том этого получим
можно
С уче-
E(X)=nO0Ucos а ——
(2.176)
Подставляя в (2.150) выражения (2.175) — (2.176), получим сле-
дующую формулу:
<7w=P„^cosa(-^— -V-+1-.y?M. (2.177)
\ 2 у — 1 2 /
Рассмотрим случай адиабатной стенки (^w = 0). Воспользовавшись
уравнением (2.151), найдем Ег\ В рассматриваемом случае это уравне-
ние будет иметь вид
Е'г (г) =£.(г) + —Ц- [ Ег (г')
* a
Решая это уравнение аналогично тому, как решалось уравнение (2.162),
получим
(2.178)
Подставляя в (2.152) выражения (2.178) и (2.170), получим следующее
значение равновесной температуры:
‘ Y + l R
2у
Y+ 1
U2
——=const.
2с р
(2.179)
В рассматриваемом случае равновесная температура одинакова для
всех участков поверхности. При 1 имеем
U2 V— 1
^=Г.^-М»=7-0,
где То — температура адиабатно заторможенного потока. С учетом этого
формулу для равновесной температуры можно представить в виде
Отметим, что'2у> (у+1). Следовательно, равновесная температура Те
больше То. Коэффициент восстановления температуры в данном случае
составляет величину г=2у/(у+1).
С учетом (2.179) формулу (2.177) можно преобразовать к виду
qw=cp?JJ„ cos а ^±1 (Те-Т„). (2.180)
zy
Суммарный поток тепла получим, интегрируя (2.180) по всей вогнутой
поверхности,
qs=cp?JJx -^1 nr2s(Te-Tw). (2.181)
Из (2.181) вытекает следующая формула для среднего числа Статона
St= Y + 1-, где St=qJ2xr2sc ?JJ~(Te — Tw).
4у
Найдем силу, действующую на единицу поверхности полусферы в
центральной точке (x=rs, у = 0). Из (2.157) с учетом (2.161) и (2.171)
следует
Pna=—mn^U„ -V 2я/?7>_ (7cosa + — kos0orfa'. (2.182)
2 4лг< J \ 2 /
* <з
Отметим следующее (см. рис. 2.30, б):
ео=-^-(л —a), cos0o=sin-^-=|/ -|-(1 — cos а),
cosa=jc'/rs, da'—rsd^dx', (2.183)
где q> — угол, отсчитываемый в плоскости YZ от оси У. Подставляя
(2.183) в (2.182) и интегрируя, получим
Рпв=V x,PTw. (2.184)
Из (2.158) с учетом (2.171) следует
VaRTw. (2.185)
Подставляя (2.184) и (2.185) в (2.153), получим
+-Т1/Т5-)’ (2-186)
2 \ О У 7 со /
__1 Г С) ( 9 1 3 "j/" 2 \ 0 О
где е0=И 2л ---------—j~3,8.
Для теплоизолированной поверхности (Tv = Te) из (2.186) следует
Рис. 2.32. Графики сопротивления и теплоотдачи полусферы:
а — по формуле (2.187); б — по формуле (2.181)
Для результирующей силы Fx, действующей на всю вогнутую поверх-
ность, получается следующая формула:
с/>=2+т]/т7> (2.187)
где CD—Fx/nr2-^-p„U2^; е=1,06]/л.
В ряде работ обтекание полусферы исследовалось методом Монте-
Карло. На рис. 2.32 представлены результаты вычислений сопротивле-
ния и теплообмена, полученные Фэном [99, 100] при диффузном отра-
жении молекул от поверхности и полной термической аккомодации
(пунктирные линии). Для сравнения на этом графике сплошными лини-
ями даны результаты расчетов по формулам (2.181) и (2.187). При чис-
лах 5>5 эти формулы хорошо согласуются с данными, полученными ме-
тодом статистических испытаний. На рис. 2.33 приведены результаты
расчетов теплообмена полусферы при диффузном отражении с различ-
ной степенью термической аккомодации (аэ=04-1).
3 . Цилиндрическая поверхность
Рассмотрим обтекание бесконечной цилиндрической поверхности
гиперзвуковым (S^>1) потоком газа (рис. 2.34) при условии, что отсут-
ствует затенение одних участков другими (т. е. а<^ю,
и вектор скорости потока И<х> перпендикулярен оси цилиндрической по-
верхности (оси Z).
Для рассматриваемой поверхности можно записать следующие гео-
метрические соотношения:
Н = p/cos ф; р — 2r s sin
*->• с 0111 I Л I
. . . s 2
do —rsdbdz =---------------!—-------db dty,
COS2 Ф
cos 9 = cos ^r — H cos2 ф/2г5,
где rs — радиус цилиндрической поверхности; Н — расстояние между
элементами поверхности da и da'; ф— угол между отрезками Н и р.
Рис. 2.33. График влияния коэффициента аккомодации на теплоотдачу сферы
Рис. 2.34. Пояснительная схема обтекания невыпуклой цилиндрической поверхности
Ядро интегрального уравнения (2.143) будет иметь вид
а (г. ?)=^А.
(2.188)
Отметим, что в случае бесконечного цилиндра величина Nr зависит
лишь от угловой координаты б. Подставляя (2.188) в (2.143), получим
Nr=nJJ„ cos(8 — а)-[
Т.
+ св
J Nr (S') cos2 ф sin J •2 5 | db'dty.
TZ ---CD
T
Интегрируя по ф, получим
+ co
A/’r(8)=ra„f/00cos(8-a) + -j- J TV, (S') sin
— CD
8~8' Lx-
(2.189)
з
Решая это интегральное уравнение, получим Nr= nooU0O'X
Xcos(S-a); где A=-^-r.oot7oocosa fl-|-2 sin2-^-V, 2? = -^ nJJ^ sin a X
cos3
(D (D
cos — + co sin —
Формула для определения nr будет иметь вид
пг=ГА + В8 + ^-п„/7тесо5(8-а)1 / 1/ . (2.190)
Схема вычислений макроскопических параметров течения около
цилиндрической поверхности, тепловых потоков и сил, действующих на
вогнутую поверхность, аналогична той, которая использовалась при
рассмотрении сферической поверхности. Выпишем конечные результаты
некоторых вычислений. Распределение плотности р вдоль оси X перед
Рис. 2.35. График сопротивления невыпуклой цилиндрической поверхности:
=0,25; О) = 0; а = 0; О - Lzlrs » 4; □ - - 20
Рис. 2.36. Пояснительная схема обтекания полого клина
полуцилиндром (со = 0) при нулевом угле атаки (а = 0) описывается сле-
дующей формулой:
р=1+У7.$]/’ (2.191)
~ ~ X 1
где р=р/р„; x=x)rs\ cos<p=-------- ; sin <р=— ; К-^х) —
V 2 + х2 ]Л + *2
3 Г л / sin 2ф \ 1 । ф
= — -—х — (ср------^J~lcos +~ 5 х~координата, отсчиты-
ваемая от оси цилиндрической поверхности вдоль оси X.
При х= +1 имеем = 1,73.
Для коэффициента лобового сопротивления при нулевом угле атаки
(а=0) получается следующая формула:
+ (2.192)
где CD=Fx/2r5L^cosa) ; е = ]Лл •/(о>).
При <о = 0 значение f (со) = 1,03, а при со~>л/2 f(co)~>l. На рис. 2.35
приведены данные по сопротивлению полуцилиндра (со = 0) конечной дли-
ны (Lz/rs=4H20) при нулевом угле атаки (а = 0), полученные методом ста-
тистических испытаний [100] (точки и пунктирная линия). На этом же
графике сплошной линией представлены расчеты по формуле (2.192)
для бесконечного цилиндра. Для равновесной температуры получается
такая же формула, как в случае полусферы ($.179).
4. Полый клин
Рассмотрим обтекание бесконечно длинного симметричного полого
клина, обращенного вогнутостью навстречу потоку [2, 41]. Размеры,
клина заданы величинами L и <о (рис. 2.36). Пусть вектор скорости на-
бегающего потока Uoo направлен по биссектрисе двугранного угла клина,
температура поверхности везде равна Tw, отражение молекул — диффуз-
ное. На каждый элемент поверхности do, принадлежащий одной из сто-
рон угла, падают молекулы невозмущенного потока и молекулы, отра-
зившиеся от поверхности, образующей вторую сторону двугранного угла.
Будем использовать следующие обозначения: Н — расстояние меж-
ду двумя интерферирующими элементами поверхности da и do'; п и
п'—нормали к элементам поверхности; 0 и 0' — углы между отрезком
Н и нормалями соответственно п и nr\ х, z — координаты элемента по-
верхности da (ось Z перпендикулярна плоскости рис. 2.36). Нетрудно
видеть, что
Н2= Z2_|_(x2_|_x'2 — <2хх' cos 2d)) cos"2 (d;
п х sin 2(о х' sin 2(о
cos 0=----------; cos 0 =---------;
H cos (о H cos (о
= (2.193)
COS (О
где z расстояние между элементами da и da' по оси Z. Ввиду бесконеч-
ной длины клина по оси Z потоки падающих и отраженных молекул
(Nr, Neo, NO(j) зависят только от координаты х. В силу симметрии тече-
ния эти зависимости для обеих поверхностей одинаковы. С учетом этих
замечаний и соотношений (2.193) из (2.143) получается после интегри-
рования по z следующее интегральное уравнение:
Nr (7)=ЛГ (x) + -L С Nr (Р) _ , (2.194)
2 J (х2 + х'2 — 2хх' cos 2ш)3/2
где x=x)L.
При появляется особенность в уравнении (2.194). Чтобы ее рас-
крыть следует перейти от интегрирования по поверхности к интегрирова-
нию по направлениям. В результате удается получить следующую про-
стую формулу для Nr в точке х=0: Nr (0)=?7оо (O)/sin2<D. Если поток
гиперзвуковой (5 > 1), то N <*>sin <d и, следовательно,
(0)=zioo47oo/sin <d; пг (0) = rt^Usin <d 4^-
Некоторые результаты расчетов при 7,w/7,oo = 0,5 и коэффициенте ак-
комодации аэ=0,14-1 приведены на рис. 2.37. На первом графике дана
зависимость коэффициента сопротивления полого клина с со=15° от ско-
рости потока, т. е. от S, а на втором — от угла раскрытия со (при посто-
янном значении 5 = 6). Коэффициент сопротивления отнесен к коэффи-
циенту сопротивления выпуклого тела, получающегося, если закрыть
клиновидную полость пластиной шириной 2L sin со. Приведенные резуль-
таты позволяют судить о влиянии многократного отражения молекул
на сопротивление тела.
5. Молекулярные заборники газа
Молекулярные заборники газа могут использоваться на искусствен-
ных спутниках для сбора газа в разреженных слоях атмосферы с раз-
личными целями, например для взятия проб из окружающей среды, для
накопления рабочего тела в ионных двигателях и т. д. Заборник пред-
ставляет собой сужающийся канал, обращенный широкой своей частью
к набегающему потоку газа. Геометрия канала может быть сферической,
конической и т. д. [6, 35, 68, 192].
Рассмотрим осесимметричный сферический канал с полууглом рас-
крытия р>0 и радиусами на входе и, на выходе г2 (рис. 2.38). Ограни-
чимся следующими условиями: поток гиперзвуковой (5~>оо); отражение
'Л/~А
Рис. 2.37. Графики сопротивления полого клина в свободномолекулярном потоке:
а ~ зависимость относительного коэффициента сопротивления клина от числа S (0=15°; у=1,4;
TWITOO =0,5); б — зависимость относителного коэффициента сопротивления клина от полуугла
раскрытия о (S=6; Тх =0,5; у=1,4)
Рис. 2.38. График зависимости массового расхода газа через выходное отверстие забор-
ника газа от полуугла раскрытия р:
сплошные линии — по формуле для сферического заборника [199]; пунктирные — теория кониче-
ского заборника [192]
молекул от стенок канала диффузное; температура стенки постоянная
(равная Tw); молекулы, достигшие выходного сечения канала, вернуться
назад в канал не могут (обратный поток отсутствует); вектор скорости
набегающего потока £/«> параллелен оси симметрии канала. Вычислим
расход газа и определим расходную характеристику, представляющую
собой отношение массового расхода газа через заборник к тому расхо-
ду, который имел бы место через отверстие, равное выходному отвер-
стию канала. В рассматриваемом случае расход молекул через отвер-
стие радиуса г2 при отсутствии заборника составлял бы величину
Л^ео2=^ео^/соЛ;г1. (2.195)
Общее количество молекул, за единицу времени влетающих в за-
борник, будет равно
A^ool = ZZeot/ooJtrt (2.196)
Число молекул, сталкивающихся со стенкой канала, будет равно
NM=nM,n(rl-rl). (2.197)
Найдем распределение потоков отраженных молекул Nr(r). Интеграль-
ное уравнение для Nr(r) записывается в виде (2.162). Для данного слу-
чая получаем
С=Дсо/7«>л(Г1 —г|) ——-—,
4лг^ — а
где o = 2nrsL— поверхность канала.
В результате получается следующая формула для Nr(r):
Nr (7)=АГ» (7) 4- nJL •
4Л/-2 — а
Плотность падающих потоков частиц невозмущенного потока в точках
поверхности, находящихся в «затененной» области, равна нулю, а в
«освещенной» NM (r)=cosB, где б — угол между нормалью к
элементу поверхности и вектором U<*>.
Аналогично тому, как это делалось при рассмотрении эффузии че-
рез сферический канал (см. § 2.3), найдем число молекул, стартовавших
со стенок канала и вылетающих через выходное отверстие:
дг _ „ и _ П(г1~г1)
4лг^ — а
где з2=2ш\6; 6=rs —]/г2 — ri
Суммарный расход молекул через заборник составляет величину
Отношение массового расхода газа через заборник к расходу через от-
верстие с радиусом г2, если бы перед этим отверстием отсутствовал
заборник, составит величину
— ^(г? —г2)
О=1-|---U(2.198)
[ri(2rs-£)
Используя геометрические соотношения, формулу (2.198) можно при-
вести к следующему виду:
G=l+l(l+W)2-l]f (2.199)
V 2-Z]/ Zi )
где РГ-ЛУ1; z=£/r2.
1 1 2 r 4Z2 J 7 2
Рассмотрим теперь осесимметричный конический заборник с полу-
углом раскрытия ₽ и радиусами: на входе гь на выходе г2. Ограничимся
теми же условиями, что и в предыдущем случае. При этих условиях
формулы (2.195) — (2.197) применимы и для конического заборника.
Интегральное уравнение для Nr в этом случае имеет вид
Nr (x)=n00U00 sin ₽ + J Nr(x') К (x, x')dx', (2.200)
где К(x, x')=——~ cospctgp (1 -1/". -^7-);
2x \ у c -f- 1 • c 1 J
x2 + x'2—2xx’ sin2 В , o г
c =------—;— ------x^rjCtg?; x2—r2ctgp; x1~x2=L;
2xx' cos2 p
x — координата, отсчитываемая вдоль оси симметрии канала. Числен-
ные решения уравнения (2.200) и расчеты расхода G при разных р и
/=Ll~2 проводились рядом авторов [6, 35, 192].
Рис. 2.39. График зависимости массового
расхода газа через конический заборник от
относительной длины I при значении пара-
метра I tg р—5,536:
сплошная линия — теория; точки — экспери-
мент [6]: О — Не; ф — N2
На рис^2.38 шредата1влены зави-
симости G(p) для сферического
(оплошные линии) «и конического
(пунктирные линии) каналов 1при
значениях Z=0,5; J_; 2; 5; 10. При
/<2 зависимости G(p) для кониче-
ских .и сферических каналов отлича-
ются незначительно. Эти зависимо-
сти для сферических и конических
каналов при больших 2 сильно раз-
личаются. В отличие от конических
сферические каналы не позволяют
увеличить расход больше, чем в два раза. _
На рис. 2.39 представлены результаты вычислений G на основе
численного решения уравнения (2.200) для конического заборника при
значениях 2 = 20-4-14.0 и 2 tg р = 5,536. На этом графике для сравнения
нанесены экспериментальные данные, полученные для заборников с та-
ким же значением параметра 2tg р при Si>l. Опытные данные получены
в аэродинамической трубе при использовании в качестве рабочего газа
азота и гелия. Диапазон абсолютных значений скорости потока азота
составлял 780-4-2600 м/с, а гелия— 1600-4-3050 м/с. Модели заборников
были выполнены из латуни и стекла. Теория хорошо согласуется
с опытом.
6. Свободномолекулярные зонды давления
Закономерности взаимодействия тел со свободномолекулярным по-
током широко используются для измерения параметров течения разре-
женного газа. Рассмотрим одну из разновидностей зонда давления —
тонкостенный резервуар с малым отверстием. На практике обычно ис-
пользуются резервуары сферической или цилиндрической формы (2.40).
Теория такого зонда очень проста, если выполняются перечисляемые
ниже условия: резервуар имеет такие размеры, что режим его обте-
кания— свободномолекулярный; размеры отверстия много меньше сред-
ней длины свободного пробега молекул как в набегающем потоке, так
и в резервуаре; размеры отверстия малы по сравнению с размерами
резервуара (так, что этот резервуар можно рассматривать как беско-
нечную емкость), но очень велики по сравнению с толщиной стенки со-
суда (так, что при расчете потоков молекул применимы формулы для
бесконечно тонкой диафрагмы); резервуар представляет собой выпуклое
тело, вследствие чего отраженные от его внешней поверхности молекулы
не могут попасть в отверстие; температура стенок сосуда всюду оди-
накова. Если такой зонд ввести в поток, то через некоторое время в его
полости установится давление, величина которого будет зависеть от па-
раметров набегающего потока и ориентации отверстия относительно
вектора скорости потока. При этом число молекул набегающего потока,
влетающих через отверстие в резервуар, будет равно числу молекул,
вылетающих из резервуара.
Число молекул набегающего потока, проходящих за единицу вре-
мени через единицу площади отверстия, равно
N+=n(X> 1/ {ехр( — S2 cos2 ф) 4-Ул-S’ cos ф [ 1 -J-erf (S cos ф)]}, (2.201)
где ф— угол между вектором скорости потока Uoo и нормалью к плос-
кости отверстия.
Поскольку отверстие мало, то газ внутри емкости находится в рав-
новесии и оно не нарушается из-за незначительного потока влетающих
через отверстие частиц. Число молекул, вылетающих из сосуда за еди-
ницу времени через единицу площади отверстия, будет равно
(2.202)
где П\, Tw — числовая плотность молекул и температура газа в резер-
вуаре.
Приравнивая правые части выражений (2.201) и (2.202) и исполь-
зуя уравнение состояния, получим следующее выражение для давления
в резервуаре:
А=Роо-|/"2k- {ехр(-S2cos2<p)4-]/rtScos<Hl + erf (Seos<|>)]}, (2.203)
где poo — давление в невозмущенном потоке.
Обозначим через ро' величину давления в резервуаре при ф = 0, а
через рс — величину давления при ф = л/2. Из формулы (2.203) следует
-^-{exp(-S2)+VnS[l+erfS]}; (2.204)
РС=Р-]/ (2-205)
Разделив друг на друга выражения (2.204) и (2.205), получим следую-
щую формулу:
j9o/pc = exp( —S2)+)/rtS(14-er ). (2.206)
Если измерить ръ и рс, то затем можно при помощи формулы
(2.206) найти параметр потока 5.
На рис. 2.40 представлены результаты экспериментальных исследо-
ваний зондов типа «резервуар с отверстием» при числах Кнудсена Кп =
= /ооДО>10 [147, 149]. По оси ординат отложено отношение измеренных
значений ро' и рс, по оси абсцисс — число S= j/"М. Кружочками
представлены данные для зондов, представляющих собой полую сферу с
отверстием и цилиндр с отверстием на боковой поверхности. Крестика-
ми нанесены результаты для резервуара цилиндрической формы с от-
верстием на торцевой поверхности. Сферические зонды имели диаметр
резервуара D= 10,20 мм, диаметр отверстия d = 0,8 мм, относительную
толщину стенки 6/rf=0,025. Цилиндрические зонды имели диаметр ре-
зервуара D= 4, 5, 8, 10 мм и такие же d и 6. Для сравнения на этом же
графике дана теоретическая зависимость (2.206). Опыт и теория нахо-
дятся в хорошем согласии.
В практике лабораторных исследований получили распространение
зонды давления, выполненные в виде трубки (рис. 2.41). Одним концом
трубка вводится в поток. Другой ее конец соединен с резервуаром, в
котором измеряется давление. Длина трубки выбирается обычно такой,
чтобы возмущение потока, которое создается резервуаром, не сказыва-
лось вблизи открытого конца трубки. Найдем соотношение между дав-
лением в набегающем потоке и установившемся давлением в резервуаре
р\ при условиях, когда вектор скорости набегающего потока t/«> направ-
Рис. 2.40. График зависимости давления в полости с отверстием от относительной ско-
POCTU S.-
сплошная линия —по формуле (2.206); точки — данные опытов для сферических и цилиндрических
зондов [147, 149]
Рис. 2.41. График зависимости относительного давления в зонде от числа S (длинная
трубка, L/r^l):
сплошная линия —по формуле (2.212); крестики и кружочки — опытные данные соответственно,
для трубок с L/r=50 и 200 [149]
лен вдоль оси трубки и размеры трубки малы по сравнению с длиной
свободного пробега молекул как в набегающем потоке, так и в резерву-
аре. Воспользуемся снова тем фактом, что при установившемся режиме
поток молекул из резервуара через трубку во внешнюю среду равен
потоку молекул в резервуар из внешней среды. При свободномолеку-
лярном режиме молекулы внутри трубки не сталкиваются между собой.
Следовательно, эти потоки можно рассматривать независимо друг от
Друга.
Число молекул, уходящих за единицу времени из резервуара через
трубку во внешнюю среду А^~, вычисляется по формуле (2.106), полу-
ченной в § 2.4:
N~=NXW(L\ (2.207)
где Nx=nxnr21/ число молекул, влетающих в трубку из
г 2л
резервуара; Тх — числовая платность молекул и температура газа в
резервуаре; г — радиус трубки; L = Ljr\ W(L)—коэффициент Клаузин-
га, значения которого даны в табл. 2.5.
Теперь рассмотрим поток молекул из внешней среды в резервуар
N+. Следуя той же схеме, которая была использована при выводе фор-
мулы (2.106), получим
Z),
(2.208)
где
N00^ = n00nr2
1/^ [ехр( —S2)+]/kS(l+erf$)}.
Рис. 2.42. Теоретические значения величины W(S, L)IW(L) для коротких трубок:
а —пунктирная линия с кружочками — точное решение [192] при S=l; сплошная линия — прибли-
женное решение на основе линейной аппроксимации хфункции w(x) [108, 150, 157]; б— сплошные
линии — приближенное решение [108, 150, 157] при L/r=2 и 4; крестики и кружочки — метод Мон-
те-Карло [68]
Значение IF(S, L) в (2.208) вычисляется по формуле
L
IF(S, £)=l-2jw(x)
О
1+2x2
У1+Х2
2х dx,
(2.209)
где чю (x)—Nr {x)/N^; Nr(x)=nr(x)l/ ; x—xlr-, х — координа-
у 2л
та, отсчитываемая вдоль оси трубки (см. рис. 2.41). Входящая в (2.209)
функция w(x) определяется из интегрального уравнения (2.143), кото-
рое в данном случае можно записать следующим образом:
_ _ L - _ _ _
•w (х)=f (х, S)-(- j* •w (х') К(x, x')dx',
о
(2.210)
где X(x, x')=l- | x—x' | 2^-_5')2 + 3..; f (x, S)=N.(x)/N«s;
2[(x — x')2+ I]3/2
Afco(x) — число частиц невозмущенного потока, которые падают за еди-
ницу времени на единицу внутренней поверхности трубки в точках с ко-
ординатой х, не испытав перед этим столкновений со стенками трубки
(2.142).
Вычисление коэффициента №(5, L) на основе численного решения
интегрального уравнения (2.210) проводились при 5=1 и различных
значениях L в работе (192]. В работах [108, 150, 157] был использован
^приближенный метод определения IF(5, Z), в основе которого лежит
-лийейная аппроксимация функции w(x). В этих работах получены об-
ширные результаты, позволяющие оценить влияние на величину W(S,L)
длины трубки и числа _Маха. Наконец, в работе [68] был использован
для определения №(5, L) метод статистических испытаний. На рис. 2.42
приведены некоторые результата этих работ. По оси ординат отложено
значение коэффициента W(St L), отнесенного к значению этого коэф-
фициента, отвечающего условию 5 = 0. На рис. 2.42, а дается сравнение
результатов точного численного решения и приближенного при 5=1 и
значениях £ = 0-+2. Между результатами точного решения и приближен-
ного имеется некоторое расхождение (до 5%). На рис. 2.42, б дается
сравнение результатов приближенных вычислений с полученными мето-
де
дом статистических испытаний при S = 04-10 и Z=2,4. Разница между
результатами, полученными этими методами, не более 54-6%. После
того как решена задача об отыскании №(S, Z), нетрудно найти соотно-
шение между давлением в зонде р\ и давлением в набегающем потоке
Роо. Приравняем правые части выражений (2.207) и (2.208). В резуль-
тате получим следующую формулу:
Pl=p i/^l_[eXp(_S2)+]AFS(l+erfS)]T(r, S), ’(2.211)
где Ф(£, S)=1F(S, Z)/IT(Z).
В случае, когда длина трубки по сравнению с радиусом очень ве-
лика (L/r->oo), формула (2.211) принимает вид
-Ц [exp(-S2)+r^(l+erf S)]+4 (l+erfS)b
(2.212)
Имеющиеся экспериментальные данные [149, 183] хорошо согласуются
с выводами теории (см. рис. 2.41).
7. Тела сложной формы и группы тел
При сложной геометрии течения решение интегрального уравнения
для потока частиц с элемента поверхности невыпуклого тела и после-
дующие вычисления аэродинамических характеристик является делом
весьма трудоемким. В связи с этим целесообразно использование мето-
да Монте-Карло. Следуя работе [4], кратко опишем общую схему ре-
шения задачи свободномолекулярного обтекания тела (или группы тел}
методом Монте-Карло при условии, что задана функция распределения
молекул по скоростям для набегающего потока и известен закон взаимо-
действия молекул с поверхностью. Прежде всего выбирается «контроль-
ная» поверхность. При этом необходимо выполнить условие: через кон-
трольную поверхность могут пролетать молекулы из набегающего
потока (даже те, которые пролетают мимо тела), но ни одна молекула
набегающего потока, достигающая тела, не должна миновать контроль-
ную поверхность. В наиболее общем случае такая поверхность пред-
ставляется замкнутой (например, сфера). _ _
Поток молекул, имеющих скорости от g до (g+dg), через элемент
контрольной поверхности dA составляет величину dV=foo|3d£sini|)><
Хсоэфб/фАрбМ, где ф— угол между внутренней нормалью к элементу
dA и направлением скорости g; <р — орбитальный угол. Далее выбирают-
ся с некоторой плотностью вероятности координаты элемента dA на
контрольной поверхности, величина скорости g и ее направление, зада-
ваемое углами ф и <р. Определяется, попал ли поток молекул dN на по-
верхность тела. Если поток молекул dN достиг тела, то он принес в
точку попадания составляющие импульса m^^N.m^ydN.m^N, энергию
— trigdN и т. д. Все эти величины запоминаются в ячейках памяти
^ВМ. Закон взаимодействия молекул с поверхностью задан, т. е. задана
вероятность отражения в данном направлении с данной скоростью. Ра-
зыгрывается с некоторой плотностью вероятности скорость отраженного
потока и ее направление. Отраженный поток молекул уносит состав-
ляющие импульса m^xrdN, m%yrdN, m^zrdN, энергию ~ m%r2dN. Эти вели-
чины также запоминаются в ячейках памяти ЭВМ. Далее определяется»
пересек ли отраженный поток поверхность тела или нет. Если пересек»
5)
Рис. 2.43. Аэродинамические характеристики цилиндра с коническим за-
острением и оперением L=5rx; 0=45®; SW=UOO Ц/ 2RTW>
a — угол атаки):
О — с учетом первого отражения; S—с учетом интерференции
Рис. 2.44. Схема турбомолекулярного насоса:
1 — диск; 2 — лопатки; 3 — двигатель
то определяются координаты точки пере-
сечения и засылаются в ячейки памяти
ЭВМ соответствующие молекулярные
признаки, а затем вновь разыгрывается
отражение и т. д. Этот процесс продол-
жается до тех пор, пока отраженный по-
ток молекул после n-го отражения не вы-
летит из контрольного объема. После
проведения достаточно большого числа
испытаний вычисляются аэродинамиче-
ские характеристики путем алгебраиче-
ского суммирования соответствующих
молекулярных признаков, запоминаемых при попадании потока моле-
кул на элементы поверхности и отражении этого потока. Результат де-
лится на число испытаний и на величину площади элемента поверхности
тела.
При расчете суммарных аэродинамических характеристик следует
запоминать молекулярные признаки в момент первого попадания потока
молекул dN на поверхность тела и в момент его последнего отражения,
после которого частицы вылетят из контрольного объема. Алгебраиче-
ская сумма этих признаков делится на число испытаний. Возможность
поочередного слежения за разными потоками частиц dN обусловлена
тем, что молекулы не взаимодействуют друг с другом. Картину обтека-
ния можно представить затем как наложение многих картин, получен-
ных для каждого отдельного потока.
Возможности метода Монте-Карло иллюстрирует рис. 2.43. На этом
рисунке представлены результаты расчетов аэродинамических сил Pn
и Рх, действующих на тело (конфигурация которого показана на рис.
2.43, а) в гиперзвуковом (Л4->оо) потоке. На рис. 2.43,6 даны резуль-
таты расчетов составляющей силы Pn при различных углах атаки а и
диффузном отражении молекул. Величину Pn можно представить в виде
суммы Pn=Pnco + APn, где Pn<x> — сила, обусловленная первым попа-
данием молекул на тело; APn— добавка, обусловленная интерферен-
цией и первым отражением. Аналогично (рис. 2.43, в) РХ = РХОО Ц- ДРт.
8. Турбомолекулярный насос
Для получения высокого и сверхвысокого вакуума, свободного от
присутствия органических паров, широко применяются турбомолекуляр-
ные насосы. Разработка теории турбомолекулярных насосов была на-
чата Крюгером и Шапиро [118]. Дальнейшее развитие эта теория полу-
чила в работах [158, 159, 160] и др. На рис. 2.44 показана схема простей-
шего насоса, имеющего один ряд вращающихся лопаток. Насос
перекачивает газ из камеры А в камеру В. Газ в обеих камерах настоль-
ко разрежен, что столкновениями молекул между собой можно
пренебречь при рассмотрении взаимодействия движущихся лопаток с
газом. В силу этого поток молекул из камеры А в В и обратный поток
молекул из камеры В в А можно рассматривать независимо. Число
молекул Nab, стартовавших из камеры А и достигших камеры В, можно
выразить следующим образом: NAb=NiAs\Wi, где А^— число моле-
кул, падающих из камеры А за единицу времени на единицу поверхности
входного сечения межлопаточного канала; Ац— суммарная площадь
входных сечений всех межлопаточных каналов; Wi — коэффициент Кла-
узинга для молекул из камеры А (вероятность прохождения молекулы
из камеры А в В). Аналогичное выражение можно записать для потока
молекул из камеры В в камеру A: Nba=N2Ax2W2. Результирующий
расход молекул равен разности потоков Nab и NBa:
NA^N1A^Wl-N2A^W2. (2.213)
где N — результирующий расход, приходящийся на единицу площади
входного сечения межлопаточного канала.
Разделив правую и левую части выражения (2.213) на NiA^i, по-
лучим
W = wl- — — w2, (2.214)
Ml
где W=N/Ni — результирующая вероятность перехода молекул через
рабочее колесо (или коэффициент откачки).
Будем считать, что вдали от диска газ в камерах находится в рав-
новесии при давлениях р\ и р2 и температурах Л и Т2. Если функции
распределения молекул, падающих из камер А и В на лопатки, являют-
ся максвелловскими, то
^=«11/• (2-215)
При Л21 = Л22 и 1\ = Т2 выражение (2.214) с учетом (2.215) преобразу-
ется к виду
= (2.216)
где Як=р21р\ — степень сжатия в насосе.
Максимальная степень сжатия лКтах реализуется при нулевом ре-
зультирующем расходе (Л^ = 0, 1^=0). Из (2.216) вытекает следующая
формула для определения максимальной степени сжатия: лкшах = W\IW2.
При степени сжатия лк=1 коэффициент откачки W равен разности ко-
эффициентов Wi и W2: W=Wi—W2. Степень сжатия лк и коэффициент
откачки W являются основными величинами, которыми характеризуют
турбомолекулярный насос. Из сказанного выше видно, что для их опре-
деления нужно знать коэффициенты W\ и W2.
Задача нахождения Wi и W2 сводится к задаче о свободномолеку-
лярном течении газа через канал в перегородке, разделяющей два объ-
ема* Особенностью является при этом то, что канал движется относи-
тельно газа, заполняющего эти объемы. Кроме того, нужно учитывать то,
что одна из стенок канала неподвижна и что имеется зазор между ло-
патками и неподвижным корпусом. Если длина лопаток достаточно
велика по сравнению с шириной лопаток и шагом решетки, но мала по
сравнению с диаметром диска, то в известном приближении концевыми
эффектами можно пренебречь и считать течение плоским. Простейшей
конфигурацией лопаток является плоская пластинка.
Рассмотрим плоскую решетку, составленную из тонких пластинок шириной Ь, уста-
новленных параллельно друг другу (рис. 2.45). Шаг решетки равен t, угол установки
пластин а. Будем использовать систему координат, связанную с решеткой. Газ, запол-
няющий пространство слева и справа от решетки, движется в целом относительно нее
со скоростью U, параллельной решетке. Функции распределения молекул, падающих на
решетку, являются максвелловскими. Будем считать, что температуры набегающего по-
тока и пластинок одинаковы, отражение молекул от стенок — диффузное. Выделим один
из каналов, образуемых соседними пластинами, и рассмотрим течение газа через него
(см. рис. 2.45, а). Следуя той же схеме, которая использовалась при рассмотрении зон-
дов давления и воздухозаборников, сначала рассмотрим поток молекул из камеры А
через канал в камеру В. Рассмотрим баланс падающих и отраженных частиц для неко-
торого произвольно выбранного элемента одной из поверхностей канала do (см.
рис. 2.45). Положение этого элемента задано координатами х и z (х— отсчитывается
вдоль ширины лопатки; z— вдоль длины). Начало координат поместим на передней
Рис. 2.45. Плоская решетка. К выводу формулы (2.219)
кромке лопатки. С единицы поверхности элемента da за единицу времени уходит сле-
дующее количество молекул:
Nr (х) = пг (х)
Значение пг(х) не зависит от координаты 2, поскольку длина лопаток бесконечна. На
этот элемент поступают молекулы непосредственно из камеры А и молекулы, отражен-
ные от противоположной стенки канала. Найдем поток отраженных молекул к эле-
менту da. .
Выделим на противоположной стенке канала элемент da'=dx'dz\ положение
которого задано координатами х' и z' (х' — отсчитывается вдоль ширины лопатки от
передней кромки). Расстояние между элементами da и da' составит величину (см<
рис. 2.45)
Н = у г2 + Z2, (2.217)
где Z = ^r —г (если z = 0, то Z—z'); г% = (х — х' 4- t cos а)2 4- Л2; А = /since
Углы между отрезком Н и нормалями к элементам da и da' одинаковы по величине.
При этом (см. рис. 2.45, а)
л h t sin а
cos 6' = cos fl = — =------------------------------------—. (2.218)
Н [Z2 4- /2 sin2 a 4- (x — x' 4-1 cos a)2]1/2
С учетом (2.217) и (2.218) формула (2.140) для числа отраженных молекул, падающих
на единицу поверхности элемента da за единицу времени, примет вид
b + оо
=~ J пг{х')
0 --------ОО
Интегрируя правую часть (2.219) по z (это можно сделать поскольку пт(х') не зависит
от г), получим следующее выражение:
ъ
(*) = (*')
0
Введем безразмерные координаты х=хЦ и x'=x']t. С учетом последнего преобра-
зуем (2.220) к виду
/-----
dx'
----------=—---------------777- (2.221)
[sin2 a 4-(х —х'4-cos a)2]3'2
RT
ft sin2adx'd2
(2.219)
2л [Z2 4- t2 sin2a 4- (x — x' 4- t cos
RT
sin2 adx'
2jx [/2 sin2 a 4- (x — x' 4- t cos a)2]3/2
(2.220)
__ — sin2 a _ / RT Г _
ЛГаа(х) = ^“5— 1/ Пг(Х)
2 I/ 2Л .
Рис. 2.46. Плоская решетка. К выводу формулы (2.230)
*Число молекул Ni(x), падающих непосредственно из камеры А на единицу поверхности
^элемента da за единицу времени, вычислим, используя формулу (2.142):
Ni (х) = Л!
----- exp ( — 52) sin (<р 4- а) +
4- exp [ — S2 cos2 (<р 4- а)] 4- S2 sin2 (<р 4- а)]]
S sin (<р4-а)
2 С
1 + —— I ехр(— fl)dt
Vn j’
COS
(2.222)
„ л /----- x 4- cos а
где S = U (у 2RT; <pi = arctg-------;------
— — —угол, под которым виден с элемента da вход в канал (см. рис. 2.45, б).
Используя условие баланса частиц и выражения (2.221) и (2:222), получим сле-
дующее интегральное уравнение:
Пг О) = /1 (х) +
sin2 а Г
~ J
о
dx'
[sin2 а 4- (х — х' 4- cos а)2]3/2
(2.223)
где лг = nrtnx\ fi (х) = Ni/ni
Аналогичным образом получается уравнение, описывающее распределение Лт(х') на
.второй поверхности канала:
nr (*') = /2(х') 4-
bft
sin2 а С ~ — dx
—------- 1 пг (х)--------------—----—----------------—,
2 J [sin2 а 4- (х — х' 4- cos а)2]3'2
(2.224)
ггде
/2 U') = M (х')М1
Функция П\(хг) получается из (2.222), если S и а заменить соответственно на (—S)
и (л—а). Решить уравнения (2.223) — (2.224) можно численными методами. Результа-
ты численного решения для ряда значений a, b^t и S приведены, например, в работе
[159]. После того, как найдены зависимости пт(х) и пт(х'), можно рассчитать Доток
молекул из камеры А через канал в камеру В.
Выделим на поверхности входного сечения канала элемент do 1=dydz (рис. 2.46).
Найдем число проходящих за единицу времени через этот элемент (обратно в объем Л)
молекул, отраженных от стенок канала.
Выделим на поверхности одной из стенок элемент do=dxdz. Расстояние между
элементами do и doi составляет величину
^1=]/ Zl + rl,
(2.225>
где г{2=х2+у2+2ху cos а; х — координата элемента do, отсчитываемая вдоль ширины
лопатки; у — координата элемента do\, отсчитываемая вдоль оси У; Zj расстояние
между элементами do и do\, отсчитываемое вдоль длины лопаток (см. рис. 2.46, б).
Косинусы углов между отрезком Нх и нормалями к элементам doi и do соответ-
ственно равны
cos 01 = m-JНу cos 0 = т/Hi,
(2.226>
где mi и m — отрезки нормалей к элементам do\ и do (см. рис. 2.46, a); mi=xsina;
т=у sin а.
С учетом (2.225) и (2.226) получается следующая формула для потока отраженных,
молекул с элемента do на элемент do\:
(PNal = nr (х) 1 / —— Gt (х, d^da,
(2.227>
____________ху sin2 a____________
л [Z2 + x2 4- #2 -1- 2xy cos a] 2
Интегрируя (2.227) по всей поверхности стенки канала, получим число отраженных
этой стенкой молекул, возвращающихся через элемент площади doi в объем А:
dNol = d<si
________ху sin^odxdz_______
л [Z2 + х2 + ^2 + 2ху cos a]2
(2.228>
Поскольку Пт(х) не зависит от Z, то в (2.228) можно выполнить интегрирование по zz
ху sin2 oxix
1 1
(х2 4- г/2 4- 2ху cos a)3/2
(2.229>
Поток отраженных молекул, падающих на поверхность входа, равную И (далее при-
мем 1=1), получим, интегрируя (2.229):
О
cos a 4- х I —
1 ~ —Л "Z ~ " I
К X2 4- 2х cos a 4- 1 I
(2.230)
гдех = хД; пг(х)=пг(х)/п1.
Аналогичным образом вычисляется поток отраженных молекул в объем А со второй
поверхности канала:
dW'i = пг (х
х' (t — у) 3\x^odx9dz
[Z2 4- х'2 4- (* - 0)2 4- 2х' (t - у) cos a]2
Далее, интегрируя по z и по х', получим
_ х'(Z—v) sin2arfxF
nr (х ) —--------------------------------—
[х'2 4- (t — у)2 4- 2х' (t — у) cos a]3^
Окончательно имеем
1 < яг
^1 = ТП11/ 2Г'.) пЛх'}
о
х' — cos a
(2.231)
w=^w1-wl
0,10,51 2 J 8
Рис. 2.47. Зависимость отношения и разности коэффициентов и W2 от относитель-
ной скорости S при различной геометрии решетки:
a — t/b=l-, 6 — t/b = l,5; e — t!b=2
Общий поток отраженных частиц через рассматриваемый участок поверхности входного
сечения канала составит величину АГвВ = N9i + АГа1.
Число частиц, влетающих из объема А в полость канала через рассматриваемый участок
поверхности входного сечения канала, составляет величину = Л1
Разность между W1S и We2
из объема А через канал в камеру
где
дает число молекул, проходящих в единицу времени
х 4- cos а
V х2 4- 2х cos а 4- 1
— cos(x4-l
Аналогичным образом можно вычислить коэффициент Клаузинга для потока молекул,
стартующих из объема В.
На рис. 2.47 представлены заимствованные из работы [101] результаты вычислений
Wi и W2 при tlb = \\ 1,5; 2 и а=10°, 20°, 30°, 45° и 60° в диапазоне значений относитель-
ной скорости S=0-7-3. Эти результаты были получены с помощью ЭВМ методом после-
довательных приближений. На нижних графиках дано отношение коэффициентов
^1/^2 в зависимости от 5. Из этих графиков хорошо видно, что №1>№г, т. е. вероят-
ность перехода молекул из камеры А через канал в камеру В больше, чем вероятность
перехода молекул из камеры В в камеру А. Отношение Wi/W2 есть максимально
достижимая степень сжатия. На верхних графиках дана разность коэффициентов
W=W\ — W2 в зависимости от 5. Результаты теоретических расчетов характеристик
решеток хорошо согласуются с данными опытов [118, 158]. Исследование характеристик
решеток можно выполнить также при помощи метода статистических испытаний. Этот
метод был применен, например, в работах [19, 118].
Наряду с турбомолекулярными насосами- в практике используются механические
насосы цилиндрического, дискового и других типов. Приложение теории свободномоле-
кулярного течения к расчету таких насосов дано в работе [19].
§ 2.6. СТАЦИОНАРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
При свободномолекулярном обтекании выпуклого тела отраженные
от его поверхности молекулы газа не могут попасть снова на тело. Это
обстоятельство позволяет рассматривать взаимодействие каждого эле-
мента поверхности тела с потоком независимо от других участков по-
верхности, благодаря чему теория обтекания для выпуклых тел много
проще по сравнению с теорией для невыпуклых тел.
Рассмотрим обтекание некоторого неподвижного тела безграничным
потоком при отсутствии внешних сил. Отраженные от тела молекулы
уходят на большие расстояния, не испытывая столкновений друг с дру-
гом и с молекулами, падающими на тело. Плотность отраженных частиц
с расстоянием быстро падает. На очень больших расстояниях их плот-
ность становится исчезающе малой, поэтому они не вносят заметных воз-
мущений в набегающий поток там, где могут испытывать первое
столкновение. Будем считать, что состояние газа в невозмущенном пото-
ке является равновесным. Функция распределения скоростей молекул
в невозмущенном потоке — максвелловская. На поверхности тела вы-
полняется условие непроницаемости — число падающих молекул равно
числу отраженных. Распыление атомов поверхности отсутствует. Усло-
вия на поверхности тела (температура поверхности, коэффициент акко-
модации, схема отражения) будем считать известными.
Выделим элемент поверхности тела do (рис. 2.48,а). Введем декар-
тову систему координат, связанную и этим элементом так, чтобы начало
отсчета находилось на этом элементе, а ось X была направлена вдоль
внутренней нормали к этому элементу. Ось Y расположим таким обра-
зом, чтобы плоскость XY был& параллельна скорости набегающего по-
тока Uco, Угол между вектором U<x> и внутренней нормалью (т. е. осью
X), отсчитываемый от нормали по часовой стрелке, обозначим
<р = л/2—р.
Функция распределения для молекул невозмущенного потока в ис-
пользуемой системе координат будет иметь вид
Г - ^°° Sin Р)2 + + U- C0S
(2xRT„)W еХР|_“ 2/гТ^
(2.232)
где Поо; Тео — числовая плотность молекул и температура газа.
Вычислим число молекул, падающих на элемент do. Сначала из
всех этих молекул выделим те, скорость которых лежит в интервале
значений от g до l>+d^. Молекулы, обладающие такой скоростью, обя-
зательно попадут на элемент do по истечении единицы времени, если
они будут находиться внутри цилиндра, основание которого do, а высо-
та равна gx (см. рис. 2.48,6). Объем этого цилиндра равен ^xdo. Число
Рис. 2.48. Схема обтекания выпуклого тела. К выводу формулы (2.234)
молекул, обладающих указанным значением скорости и находящихся
в этом цилиндре, равно
(2.233)
Проинтегрировав выражение (2.233) по всем возможным значениям g и
разделив результат на do, получим общее число молекул, падающих
за единицу времени на единицу площади элемента:
^-Г($„). (2.234)
г
Здесь и далее используются следующие обозначения: Sn — абсолютное
значение проекции скорости потока на внутреннюю нормаль к элементу
поверхности (т. е. на ось X), деленное на наивероятнейшую скорость
хаотического движения молекул в невозмущенном потоке у
8п=ия1У2КГж-, Un= | Ux sin ₽ | .
Функция T(Sn) в (2.234) имеет следующий вид:
а) для элементов поверхности, обращенных навстречу потоку (про-
екция вектора на внутреннюю нормаль к элементу поверхности есть
положительная величина):
Т (S„)=exp (- S2) + (1 + erf 5„);
б) для элементов, находящихся в «теневой» части тела (проекция
вектора СД» на внутреннюю нормаль к элементу есть отрицательная ве-
личина) :
Ф (5„)=exp (- S2) - VnSn (1 - erf S„).
Умножив выражение (2.233) на а затем проинтегрировав
результат по всем возможным значениям получим тангенциальный
импульс Рть приносимый падающими молекулами за единицу времени
на единицу площади элемента:
Л,- = PitA. cos₽]/Т(5Я), (2.235)
где роо = шПоо; т — масса молекулы.
Умножив выражение (2.233) на mt,xldo, а затем проинтегрировав
результат по всем значениям |, получим нормальный импульс Рп«, при-
носимый падающими молекулами за единицу времени на единицу пло-
щади элемента:
Ип1-----
(1 ± erfS„) .
(2.236)
В скобках выражения (2.236) берутся знаки плюс, если t7ooSinp>0,
и знак минус, если t/oosinp<0.
Для того чтобы вычислить энергию поступательного движения мо-
лекул, падающих в единицу времени на единицу площади элемента do,
нужно умножить выражение (2.233) на т(^х2 + ^2 + ^2)/2б/о и проин-
тегрировать затем по всем возможным значениям скоростей молекул.
В результате получим следующую формулу:
р (RT^^ г/ г \ 1 1
E'i= Ip2 + v) vexp(-52)l . (2.237)
У 2л L' 2 I 2 J
Здесь и далее S=U
Двух-, трехатомные молекулы обладают помимо поступательной
еще и внутренней энергией. Внутренняя энергия каждой падающей мо-
лекулы, согласно принципу равного распределения энергии по степеням
свободы, составляет в среднем величину jmRT^, где J=-- —
число внутренних степеней свободы. Умножив энергию одной молекулы
на число падающих частиц Nif получим поток энергии к единице пло-
щади элемента do, обусловленный внутренней энергией молекул:
(^44 Р- (PT ~)3/2w (S№),
2]/2л V Y-1 )
(2.238)
где y = cPlcv — отношение изобарной и изохорной теплоемкостей газа.
Теперь перейдем к вычислению нормальной р и каса-
тельной т сил, действующих на единицу площади элемента ds, и
удельного теплового потока в стенку qw. Имеем х = РХ1 — P-r, p=Pni-\-
qw=(E'l-Jr^'i'l — (Er+£r), где (£^ + £Д Рхг и Рпг — соответственно
энергия, тангенциальный и нормальный импульсы, уносимые отражен-
ными молекулами. Будем считать, как уже говорилось, что нам извест-
ны коэффициенты аккомодации импульсов и энергии
(2.239)
где CL-ty аэ —- коэффициенты аккомодации соответственно танген-
циального и нормального импульсов, энергии поступательного движения
и внутренней энергии молекул; Pnw, E'w, E”w — соответственно нормаль-
ный импульс, энергия поступательного движения и внутренняя энергия,
уносимые отраженными молекулами при условии, если бы они отража-
лись с максвелловским распределением
W
-----з}Гехр 1
(2лЯГда)3/2 \
(2.240)
Значение nw в (2.240) определяется из условия непроницаемости поверх-
ности тела
Значения Pnw и Ew получим, используя (2.146) и (2.158),
V2nPTw, Ew=2mPTwNi. (2.241)
Выражение для E’w получим, умножив число отраженных молекул Nr
на среднюю величину внутренней энергии молекулы:
^=4“ (£.242)
2 у 1
Формулы для т, р и с учетом (2.239) можно представить в виде
х=ахРхр, р=(2 — ап) Pn!-]-a„Pnw
qw=a'3(E'i — £w) + «; (£»• — Ew)-
(2.243)
Подставляя в (2.243) выражения (2.235), (2.238), (2.241) и (2.242), по-
лучим следующие формулы:
^(5Л);
^z(2-a„) + ^
Ул z
^(SB)+-i-U±erfSel
(2.244)
p = ?^RT^
(2.245)
Qw
_,М*7'оо)3/2
У 2л
У21-)] (5Л) - -у «э ехР (- Sn)} • (2.246)
Если положить аэ=аэ=аэ, то формула (2.246) примет вид
&3
м*г-)3/2
___Y + 1 Т w
2(у-1)^7
T(S„)~^-ехр( —Sn)
Из (2.246) нетрудно найти равновесную температуру элемента по-
верхности do. Равновесной температурой поверхности Те (или темпера-
турой восстановления) называют температуру теплоизолированной по-
верхности (отвод тепла внутрь тела и лучистый теплообмен отсутству-
ют). Положив в (2.246) qw = 0, получим формулу для Те. В частности,
при у = 5/3 (одноатомный газ) формула для локальной температуры вос-
становления имеет вид
т=т^ —
е 2
1 ехР (-•$%)
2 W(S„)
(2.247)
Из (2.247) следует, что для любого элемента поверхности, обращенного
навстречу потоку (sin 0^0), Те больше температуры адиабатно затор-
у — 1
моженного
е и \ ‘ 2 J \ ‘ 5 /
Этот результат объясняется тем, что при адиабатном торможении часть
энергии потока расходуется на работу против сил давления, чего не мо-
жет быть при свободномолекулярном обтекании.
Знание величины Те позволяет судить о направлении теплового
потока qw- Если Tw<Te, то тепло отдается газом стенке, если же Tw>7e,
то тепло поступает от стенки в омывающий ее газ.
Равновесную температуру принято выражать через температурный
коэффициент восстановления г:
Т^Т^+гУ—^З2^, где r = (Te/T.. — l) j (V~1}-S2.
Из (2.247) вытекает следующая формула для коэффициента восстанов-
ления при обтекании одноатомным газом:
= 5 [(252 + 1) т (Sn) - exp ( - S2)
8 L 52ЧГ (S„)
На рис. 2.49 показана зависимость г от S для трех положений do. Верх-
няя кривая соответствует такому положению элемента, когда он обра-
щен навстречу потоку, так что вектор направлен вдоль внутренней
нормали к элементу и sin 0=1. Нижняя кривая соответствует случаю,
когда элемент находится в «теневой» части поверхности тела, при этом
по
Рис. 2.49. График зависимости
коэффициента восстановления
температуры элемента поверх-
ности тела:
/ — для sin р — 1; 2 — sin 3= — 1;
<3 — sin 3=0
вектор Uco направлен на-
встречу внутренней нор-
мали, sin0= — 1. Если
поверхность элемента па-
раллельна скорости пото-
2у
ка Uco, то имеем г= ——
С помощью выраже-
ний (2.244—(2.246) мож-
но рассчитать локальные
значения величин т, р, qw-
Интегрируя эти выраже-
ния по всей поверхности
тела, можно найти сопротивление и подъемную силу для выпуклого тела
любой формы, а также общее количество тепла, поступающего (или
уходящего) через всю поверхность тела. Приведем конечные результаты
интегрирования лишь для некоторых тел (пластинки, шара, цилиндра и
конуса).
Бесконечно тонкая пластина (ап — ах=аэ=1, Tw=const)
сх=—?г-ехр( — S2 sin2p) + 2sinp('l+—-)erf(S sin
, Улs ' 26 >
C^==^erf(Ssin + sin 8 cos Р;
_ 1 у + 1
V«S 4Y
[exp( — 52 sin2 p)-j-Ул 5 sin perf(S sin p)];
r= —-—
Y + 1
____________Ул sin p erf (S sin p)_____________
S [exp( — S2 sin2 P) + Ул S sin p erf (S sin p)]
(2.248)
(2.249)
(2.250)
(2.251)
Здесь использованы следующие обозначения:
Сх=Х 1^-pMlA-, Cy=Y j
St=a/cppJJ~, r=(Te — Ta>)/(T0 — Too);
a=Q/2A(Te~Twy, 5=(/и//2^Т;
A — площадь одной стороны пластины; X — сила сопротивления пласти-
ны (направлена вдоль вецтора скорости Uco); Y — подъемная сила (пер-
пендикулярная X, лежит в плоскости, образуемой нормалью к пластине
и вектором Uco); Q — суммарный тепловой поток через обе омываемые
поверхности пластины; Те — температура пластины, которая реализует-
ся, если Q = 0 и теплопроводность пластины бесконечно большая; р—
угол атаки (вектор Uco образует угол —pj с внутренней нор-
малью к передней поверхности пластины).
При 0 = 0 формулы для аэродинамических характеристик пластины
упрощаются:
Сх=2//л5; ^=0; г=2у/(у+1).
Для сравнения приведем также формулы для Сх и Су, которые получа-
ются, если предположить, что отражение молекул является зеркальным
(аэ = 0, ап = 0, ат = 0):
Схй——sin20exp(— S2 sin2 0) -|- [4 sin3 0-|~ 2 sin И erf (S’ sin 6);
KnS L 52 -<
Cy0 = 4 sin ^os P exp( — S2 sin2 p)-f- ( 2c05^--|-4 sin2 p cos p^ erf (S sin p).
VnS ' 52 '
Шар (ап = ах=аэ=1, 7’го=const)
2S2 +1 , |
---— exp (-S2)^-
S3K л
4S4 + 4S2-1 _2
4S4 1 3
S (2S2 + 1)(S + ierfc S) + (S2 - -Ц erf S
Y ____________________________________\________2 )
(2.252)
St=^-±^-/’14-—ierfcS4——erfS); (2.253)
, i . j . (2-254)
Y+ S2| S2-f$erfcS + -^-erfS 1
Здесь Cx=X I — pJJl — ; St=a/c_p0/700;
/2 4 F
ierfcS= J(1 — erfx)dx; г==(Те—Т„)/(Т0—Тж);
а=(?/[лР2(Ге-Гю)];
D — диаметр шара; Te — температура шара, которая реализуется при
Q=0 и бесконечно большой теплопроводности материала шара; Q —
суммарный поток тепла в шар через всю его поверхность.
Сила сопротивления в (2.252) отнесена к площади сечения шара
—л£>2, а тепловой поток в (2.253) к полной поверхности шара л£>2. Для
сравнения приведем здесь также формулу для Сх, которая пЬлучается
при зеркальном отражении молекул (ac=0, an = 0):
23*+1 _ №-№-;
2S‘
При S»1 формулы для аэродинамических характеристик шара
(2.252) — (2.254) упрощаются:
___Q | Л I | 1 .
х— + 3 5 |/ Тоо +52 ’
St=(y+ 1)/8у; г=2у/(у+1).
Эти формулы можно практически применять при 5^5.
Рис. 2.50. График зависимости коэффициента сопротивления шара от числа М:
а —при зеркальном отражении; б — при диффузном отражении
Рис. 2.51. График зависимости коэффициента сопротивления цилиндра от числа М:
а — при зеркальном отражении; б — при диффузном отражении
Зависимости коэффициента сопротивления шара от числа М при
диффузном и зеркальном отражении молекул при Тю/Тоо=1 представле-
ны графически на рис. 2.50. В табл. 2.9 дана зависимость Сх от числа S
при Tw = Te.
Поперечно-обтекаемый круговой цилиндр
(ап = ах=аэ=1, Tw=const)
л3/»
IF
(2.555)
(2.256)
(2.257)
a=Q/xDL(Te—Tv);
(£2 \ / S2 \
Ii IT”) — модифицированные функции Бесселя первого рода
нулевого и первого порядка; D, L — диаметр и длина цилиндра; Те — тем-
пература цилиндра при Q=0 и бесконечной теплопроводности материа-
ла. Сила сопротивления X отнесена к площади сечения цилиндра DL,
а суммарный тепловой поток Q отнесен к полной поверхности цилиндра
xDL. В приведенных формулах не учитывается влияние торцов, т. е.
предполагается, что цилиндр «бесконечный» (L/Z>^>1).
При S^>1 формулы упрощаются:
Сх=2-\
~4S~
St=(Y4-l)/2yjr; г=2у/(у-|-1).
Коэффициенты сопротивления сферы и цилиндра в свободномолекулярном потоке
одно- и двухатомного газов при диффузном отражении молекул
(# т = #n==#3==l) И Tw — Te
Таблица 2.9
s = / f" о,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9* 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,5 3 3,5 4
Сх сферы 7 = 5/3 41,95 21,15 14,26 10,87 8,861 7,552 6,638 5,969 5,463 5,070 4,506 4,128 3,862 3,669 3,525 3,292 3,178 3,076 3,021
7 = 7/5 41,93 21,13 14,23 10,82 8,801 7,482 6,560 5,884 5,372 4,973 4,399 4,013 3,742 3,544 3,396 3,156 3,018 2,933 2,876
Сх цилиндра 7 = 5/3 40,62 20,69 13,85 1 10,59 8,664 7,412 6,543 5,907 5,428 5,056 4,525 4,170 3,923 3,744 3,611 3,397 3,275 3,200 3,158
7 = 7/5 40,60 20,66 13,80 10,52 8,587 7,324 6,445 5,801 5,315 4,936 4,395 4,032 3,779 3,595 3,458 3,237 3,110 3,032 2,986
Этими формулами можно практически пользоваться при 5^5. Если
отражение молекул зеркальное, имеем
На рис. 2.51 зависимость коэффициента сопротивления цилиндра от
числа М при 7’W/7'«>=1 представлна графически. В табл. 2.9 дана зави-
симость Сх от числа S при Tw=Te.
Прямой круговой конус при нулевом угле атаки
(ап — ах=а3—1, Tw—const)
(ось конуса параллельна скорости набегающего потока)
?irl/^exP(-52sin2^+
f ОО /
+G sin ? /т^+ег! (S sin m-Co-
\ ZO г * со Г
(2.258)
Здесь Сх=Х I -i-Poot/м ; d — диаметр основания конуса; ₽— полу-
угол при вершине конуса (sinp=d/2L); L — длина образующей конуса;
Со — коэффициент, учитывающий вклад основания конуса в сопротивле-
ние конуса:
C0=7^exp(-S2)-(l+^r](l-erfS) +
У л S ' '
1/2к{/я S[1 —erf S] —ехр(—S2)}. (2.259)
г
При5зтр^>1 (практические, при S sin 0^5) формула (2.258)
упрощается:
Cx=2+-l^sinpi/' —+ — -
Х S И ГОО 52
Формулы для теплового потока в боковую поверхность конуса и
температурного коэффициента восстановления имеют вид
St= -^L1- Т (S sin Р); (2.260)
л S
_ Y (2S2 + 1) (S sin р) — exp ( — S2 sin2 р) .
Y + l S2^ (S фп р)
(2.261)
где
St=a/cpP„i/„; a = Q /-^(Ге-7\,);
Q — суммарный тепловой поток в конус через его боковую поверхность,
-у itdL — боковая поверхность конуса;
верхности конуса,- реализующаяся при
Те — температура боковой по-
= 0, т. е. при условии равенства
нулю теплового потока в каждой точке боковой поверхности конуса.
npnSsinp»! формулы (2.260) и (2.261) упрощаются:
Sf— У. + 1 sin Р;
2у
Y+ 1
Рис. 2.52. График зависимости средних температурных коэффициентов восстановления
теплопроводных тел от скорости потока:
1 — поперечно-обтекаемая пластина (р = л/2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 —шар; 4 —
продольно-обтекаемая пластина (3=0)
Рис. 2.53. График зависимости средних чисел Стантона для разных тел от относитель-
ной скорости:
/ — поперечно-обтекаемая пластина (3 = Л/2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 — шар; 4 — про-
дольно-обтекаемая пластина (3=0)
Формула для определения теплового потока в донную поверхность ко-
нуса имеет вид
Q = (Г52 _ (V + 1) ' .___Y_1 у
4 /27 U 2(y-1) Y-l JA
X [exp( — S2) — /7 S(l— erf S)] — -Lexp( — 52)1, (2.262)
где Qo — суммарный тепловой поток в донную поверхность; —----------пло-
щадь основания конуса.
Приведенные выше зависимости чисел Стантона St и коэффициентов
восстановления г от числа S для пластинки, сферы и цилиндров пред-
ставлены на рис. 2.52 и 2.53 Дополнением к этим рисункам является
табл. 2.10.
Из изложенного выше можно сделать следующее заключение. Если задача состоит
лишь в определении действующих на тело сил и тепловых потоков, то нет необходимо-
сти знать функцию распределения отраженных молекул. Для решения этой задачи
достаточно знать лишь коэффициенты аккомодации. Однако, если нас интересует поле
течения вокруг тела, то знание функции распределения отраженных молекул необходи-
мо. Схему расчета поля течения рассмотрим на примере обтекания круглой тонкой
пластинки, расположенной перпендикулярно скорости набегающего потока (рис. 2.54).
Пусть функция распределения для молекул невозмущенного потока дается выражением
(2.232), в котором для данного случая следует положить sin 0=1, cos 0=0. Будем пред-
полагать* что функция распределения отраженных молекул есть максвелловская с тем-
пературой, равной температуре стенки:
nw ( е + \
-------ТГ ехр I---------oZT------/
(2n/?rw)/’ \ /
Значение nw определяется из условия непроницаемости пластинки
(2.263)
Таблица 2.10
Числа Стантона и коэффициенты восстановления продольно обтекаемой и поперечно обтекаемой пластинок, шара
и поперечно обтекаемого цилиндра
Тело Пара- метр со II
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1 1,2 1,6 2 3 4 1 5 оо
Продольно- обтекаемая пластинка sin р == 0 hh)st оо 0,7052 0,3526 0,2351 0,1763 0,1411 0,1175 0,0882 0,0705 0,0470 0,0353 0,0282 0
Поперечно- обтекаемая пластинка, sin р =х 1 p-)st \ Y + 1/ 00 0,7333 0,4076 0,3150 0,2785 0,2626 0,2554 0,2509 0,2501 — — — 0,2500
( У + 1\ Г k Y / 4,0000 3,8982 3,6423 3,3314 3,0341 2,8024 2,6187 2,3800 2,2487 2,1111 2,06 2,04 2,0000
Шар \ Y + 1/ оо 0,7146 0,3711’ 0,2623 0,2117 0,1840 0,1672 0,1493 0,1406 0,1319 0,129 0,128 0,1250
/ Y + Ц Г k Y / 2,6667 2,6551 2,6140 2,5575 2,4927 2,4273 2,3663 2,2659 2,1947 2,0994 2,059 2,038 2,0000
Поперечно- обтекаемый цилиндр (—4)st \ Y + 1/ 00 0,7193 0,3745 0,2756 0,2287 0,2040 0,1899 0,1758 0,1695 0,1636 0,1617 0,1608 0,1592
( Y + 1\ Г к Y ) 3,0000 2,9708 2,8916 2,7826 2,6651 2,5541 2,4572 2,3115 2,2179 2,1049 2,0605 2,0392 2,0000
и частицы, отраженные поверхностью тела, с
Рис. 2.54. Схема обтекания диска
Из (2.263) вытекает
Значение nw для всех точек перед-
ней поверхности одинаково. Аналогичное
положение на теневой поверхности пла-
стинки. В каждую точку около обтекае-
мого тела (например, в точку А на
рис. 2.54) приходят частицы набегающе-
го потока с функцией распределения f»
функцией fr. Для каждой точки можно
построить в пространстве скоростей (и соответственно в физическом пространстве) об-
ласть, в которой лежат векторы скоростей отраженных частиц. На рис. 2.54 векторы
скоростей отраженных от тела молекул, пришедших в точку А, лежат внутри телесного
угла Qr. Молекулы, векторы скоростей которых лежат в телесном угле, равном 4л—Qr,
приходят из бесконечности. Эти молекулы обладают свойствами, зависящими только
от условий в набегающем потоке. Таким образом, функция распределения в каждой
точке разрывна в пространстве скоростей и ее можно представить как сумму двух
функций: f=foo-]rfr. __
Здесь следует учитывать, что f«> равна нулю для скоростей £ из телесного угла Qr, a fr
равно нулю для £ из телесного угла (4л—Qr). Вычисление параметров потока (плот-
ности, плотности тока и т. д.) производится по формуле:
У,
Z)= J ?(5)Л^ +
Т€2Г
. J
£6(4z-2f)
= ?!(•«> У, г) + ^(х, у, z),
где = ?(О-
некоторое молекулярное свойство, напри-
мер, импульс /п£, энергия — 'mt2 и т. д. Вычисление <pi и <р2 можно проводить независи-
мо. Параметр потока <р есть суперпозиция <pi и ф2.
Ограничимся вычислениями параметров течения на оси симметрии диска, т. е.
вдоль оси X. Найдем вначале распределение плотности отраженных частиц вдоль
оси X. Эта задача аналогична рассмотренной в § 2.3 задаче о распределении плотности
за круглым отверстием (диск можно рассматривать как отверстие, из которого выте-
кает газ с распределением fr). Воспользуемся результатами, полученными для круглого
отверстия. Распределение плотности отраженных частиц на оси X будет описываться
следующей формулой:
Л1 =
1
/1 + 1/Зс2
(2.264)
где П1 — числовая плотность отраженных частиц в точке х;
W(S) = ехр ( — S2) + Ул (1 4- erf 5) S для х < 0;
W(S) = ехр ( — S2) — Ул (1 — erf S) S для х > 0;
х—х!а\ а — радиус диска.
Выражение (2.264) можно представить в виде
П1 = Т п
— VF(S)(l-cos ₽),
w
где Р — полуугол при вершине конуса, основанием которого является диск, а высота
которого равна расстоянию от диска до рассматриваемой на оси точки (см. рис. 2.54).
Теперь вычислим плотность частиц набегающего потока на оси X. При этом можно
воспользоваться следующей формулой:
И2= и
(2.265)
£62,
Рис. 2.55. Поле плотности около шара, обтекаемого свободномолекулярным потоком,
при 5 = 9,13 (М=10) и диффузном ^отражении молекул от поверхности:
“ - -Ь'б- Т^ТЖ - 42,67
Для вычисления интеграла в (2.265) удобно использовать цилиндрическую систему
координат, в которой формулы для кольцевого элемента пространства скоростей и
функции распределения имеют вид
«оо
аш = /„о =-----------гг ехр
Подставляя (2.266) в (2.265) и интегрируя, получим для х>0 (за диском)
= {1 — erf S + cos₽[l 4-erf (Seos ₽)J}, (2.267)
для x<0 (перед диском)
^2 = пм {1 4- erf S 4- cos р [1 — erf (S cos £)]}, (2.268)
(5ж-
(2.266)
Плотность газа на оси вычисляется по формуле p = /n(ni4-n2).
При 5»1 формулы (2.264) и (2.267) упрощаются. В частности, формула, описывающая
распределение плотности газа перед диском вдоль оси симметрии (х<0), будет
иметь вид
р = шпх
-(1-cosp) .
W
(2.269)
Аналогичным образом вычисляется макроскопическая скорость, температура и т. д.
Поля течений около различных тел рассчитывались в работах [30, 98, 117, 148]. На
рис. 2.55 показано поле плотностей около шара при значении относительной скорости
S
М = 9,13 и диффузном отражении молекул от поверхности сферы [117].
На верхней половине рисунка приведены результаты расчетов для холодного шара
(rw/Too = l). На нижней половине показано поле плотностей около адиабатной сферы
(Tw=Те). На рис. 2.56 приведены результаты расчетов поля плотностей около сферы
при 5=0,913 и Tw/Too = l (верхняя половина рисунка), Tw/7oo = l,42 (нижняя половина
Рис. 2.56. Поле плотности около шара при 5 = 0,913 (М=1) и диффузном отражении
молекул:
a- б- -1,42
рисунка). На рис. 2.57 показано поле плотностей около конуса с полууглом при вер-
шине, равном 20°, при 5=5, температурном факторе Tw/Tсо=4 и диффузном отражении
молекул от поверхности конуса [98].
Выше при рассмотрении обтекания тел всюду предполагалось, что обтекается
неподвижное тело равновесным потоком однородного газа. Если газ представляет собой
смесь, то, вообще говоря, подсчет потоков импульса и энергии нужно проводить от-
дельно для каждой компоненты газа. Затем результаты суммируются. Однако, если
коэффициенты аккомодации для всех компонент не сильно отличаются, то при больших
скоростях (5^> 1) с достаточной точностью можно рассматривать газ как однокомпо-
нентный со средним молекулярным весом [10]. Набегающий поток мощет иметь на бес-
конечности не максвелловскую функцию распределения. Для течений, близких к равно-
весным, в качестве функции распределения набегающего потока может быть взята
функция навье-стоксовского приближения. Анализ показал, что неравновесность суще-
ственно сказывается лишь при малых скоростях и в случае течений с очень большими
градиентами [49, 73].
В ряде случаев представляет интерес обтекание осесимметричных вращающихся
тел. Рассмотрим обтекание сферы, ось вращения которой перпендикулярна скорости
набегающего потока [197]. Из результатов вычислений следует, что сопротивление
сферы не зависит от вращения. Подъемная сила F (сила в направлении, перпендику-
лярном скорости потока и оси вращения) составляет величину
^ = 4 (2.270)
О
где rs — радиус сферы; 5=rsco/£7oo; со — угловая скорость вращения сферы; а х— коэф-
фициент аккомодации тангенциального импульса. Интересно отметить, что сила F на-
правлена противоположно тому, что наблюдается в континуумном потоке.
Схема отражения молекул от поверхности при условиях, которые обычно реали-
зуются в лабораторных аэродинамических установках, близка к диффузной с полной
термической аккомодацией. Однако, такая схема отражения не единственно возможная
для всех случаев. В частности, при движении спутников в натурных условиях, возмож-
но, что более реальной схемой является диффузное отражение с неполной термической
аккомодацией (<зэ<1). Это обстоятельство существенно может сказываться на величине
температуры в функции распределения отраженных молекул. Так как импульс отражен-
ных частиц при уменьшении аэ увеличивается, то изменяются аэродинамические харак-
теристики тела [47]. Чтобы учесть этот эффект, необходимо в ранее приведенных
формулах для Сх и Су заменить Tw на Тт, где Тт — соответствует температуре для
отраженных молекул. Полученные таким образом формулы будут соответствовать
предположению о том, что для всех точек поверхности Tr=const. Значение Тг подби-
Рис. 2.57. Поле плотности около конуса с полууглом у вершины 20° при диффузном
отражении, 5=5 и гс — длина образующей конуса
рается из условия согласования формул с опытом. Некоторые сведения о действитель-
ном характере взаимодействия молекул с поверхностью спутников получены из наблю-
дений за движением спутников. Однако пока еще эти сведения недостаточны. В ряде
работ предлагается использовать для расчета аэродинамических характеристик спутни-
ков модели отражения, в которых при помощи набора специальных параметров учи-
тывается зависимость функции распределения отраженных молекул от угла падения
молекул на элемент поверхности, энергии молекул и т. д. [2, 61]. Однако при исполь-
зовании этих схем для практических оценок возникают проблемы определения пара-
метров, содержащихся в этих схемах.
ГЛАВА III
ПРОМЕЖУТОЧНАЯ ОБЛАСТЬ
ДИНАМИКИ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
§ 3.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Строгое теоретическое решение той или иной задачи в промежуточ-
ной области динамики разреженного газа должно получаться в резуль-
тате интегрирования уравнения Больцмана (или системы уравнений
Больцмана, если газ состоит из молекул разной природы) при соответ-
ствующих граничных и начальных условиях. После того как найдена
функция распределения, с помощью квадратур определяются любые
макроскопические величины (скорость, температура, давление, тепловой
поток и т. д., см. § 1.3).
Граничные условия для уравнения Больцмана задаются в виде
функции распределения для молекул, движущихся от границы во внут-
реннюю область газа. Функция распределения во всех внутренних точ-
ках должна определяться из решения уравнения Больцмана. Функция
распределения в точках границы для молекул, летящих по направлению
к ней, также должна быть определена после решения уравнения Больц-
мана. При решении уравнения Больцмана необходимо еще знать зави-
симость скоростей молекул после столкновения от скоростей до столкно-
вения. Эта зависимость может быть получена, если известен потенциал
взаимодействия двух частиц (см. § 1.2). Строгие аналитические методы
решения уравнения Больцмана, пригодные при любых степенях разре-
жения, отсутствуют. Классический метод, разработанный в трудах Гиль-
берта, Энскога, Чепмена и Барнетта, в конечном итоге приводит в пер-
вом приближении к уравнениям Навье — Стокса, т. е. к уравнениям
обычной газовой динамики (12, 22]. Второму приближению для функции
распределения соответствуют уравнения Барнетта и т. д. Следует отме-
тить, что этот метод позволяет выразить коэффициенты переноса (вяз-
кости, теплопроводности и т. д.) через известные свойства молекул.
Еще недавно (в начале 50-х годов) существовало мнение, что макро-
скопические уравнения более высоких приближений (барнеттовские, су-
пербарнеттовские и т. д.) могут служить основой для описания значи-
тельно разреженных газов, когда уже не годятся уравнения Навье —
Стокса. Считалось, что при помощи метода Чепмена — Энскога путем
увеличения степени приближения можно получить набор макроскопиче-
ских уравнений для описания режимов течения при какой угодно сте-
пени разрежения. При этом лишь существовала некоторая неясность в
том, как формулировать граничные условия. Однако проведенные в
период с 1950 по 1960 гг. эксперименты, посвященные изучению струк-
туры ударной волны, поглощения и рассеивания ультразвука, темпера-
турных и скоростных полей у стенки, показали, что барнеттовские урав-
нения теряют свою справедливость в ряде случаев даже быстрее, чем
уравнения Навье — Стокса.
Исследования метода Чепмена — Энскога привели к выводу о том,
что получаемые этим методом решения справедливы лишь в асимптоти-
ческом смысле (при Кп->0) [22]. Увеличение порядка приближения в
большинстве случаев не позволяет расширить диапазон применимости
получаемых макроскопических уравнений. Уравнения Барнетта и урав-
нения более высоких приближений не имеют более широких пределов
применимости по сравнению с уравнениями Навье — Стокса. Эти урав-
нения обычно годны лишь тогда, когда еще вполне хороши уравнения
Навье — Стокса. Барнеттовские и супербарнеттовские уравнения имеют
весьма ограниченную ценность и дают информацию лишь о некоторых
очень тонких характеристиках течения и теплообмена. Исключение со-
ставляют лишь особые вырожденные течения. Таким образом, метод
Чепмена — Энскога пригоден лишь для условий, когда число Кнудсена
очень мало. Этот метод позволяет перейти от описания газа на уровне
функции распределения к макроскопическому (гидродинамическому)
уровню, где используются уравнения Навье — Стокса. Граничными ус-
ловиями нулевого приближения для этих уравнений являются условия
«полного прилипания». Граничными условиями первого приближения
для этих уравнений являются условия скольжения:
ДГ=7°-= — *1Дэ- — il—) ; (3.1)
w аэ 128 \ду ]w
, (3.2)
8 L д'У дх
где у — координата, отсчитываемая от стенки по нормали; Tw — темпе-
ратура поверхности тела; Т° и их° — граничные значения температуры и
скорости газа при у = 0; ki — постоянные (&i = 0,827, k2= 1,012, &3 = 0,42);
/ — средняя длина свободного пробега. Выражения (3.1) и (3.2) полу-
чены в предположении, что отражение диффузное и термический коэф-
фициент аккомодации аэ не слишком мал по сравнению с единицей. От-
метим, что Т° и пх°, являющиеся граничными условиями на стенке для
уравнений Навье — Стокса, не равны истинной температуре и скорости
газа у стенки.
В промежуточной области динамики разреженного газа, где непри-
менимы концепции континуума Навье — Стокса с условиями (3.1) и (3.2)
или свободномолекулярного режима, необходимо обращаться к уравне-
нию Больцмана. Как уже отмечалось выше, строгие аналитические ме-
тоды решения этого уравнения, пригодные для промежуточной области,
отсутствуют. Однако при помощи современных электронных вычисли-
тельных машин можно решать уравнение Больцмана численными ме-
тодами [9, 55, 56, 57]. Для прямого интегрирования уравнения Больцма-
на используются различные приемы. Основная трудность численного ре-
шения этого уравнения состоит в вычислении интеграла столкновений.
Вычисление этого интеграла классическими (регулярными) методами
требует слишком много времени даже на наиболее быстродействующих
вычислительных машинах. Более эффективным методом вычисления это-
го интеграла оказался метод Монте-Карло. На основе метода прямого
численного интегрирования уравнения Больцмана, базирующегося на
проведении итераций этого уравнения и вычислении интеграла столкно-
вения методом Монте-Карло, решен ряд типичных задач динамики газов.
Решение задач динамики разреженного газа возможно, вообще говоря,
на основе прямого моделирования движения и столкновений молекул
[9]. Реальные молекулы заменяются их статистическими моделями и за-
тем при помощи вычислительных машин прослеживается движение од-
ной или нескольких выбранных частиц. Этот метод называют методом
численного эксперимента или методом статистических испытаний Монте-
Карло. Метод статистических испытаний может быть реализован различ-
ными путями.
В основе методов численного эксперимента лежат те же статистиче-
ские гипотезы, что и уравнения Больцмана. Однако вопрос об эквива-
лентности результатов, полученных при помощи этих методов, решению»
уравнения Больцмана требует специального анализа и является далеко
не простым {8, 16]. Строго обоснованные методы численного решения
уравнения Больцмана пока связаны со значительными затратами ма
шинного времени. Однако громадная информация, которая получается
в результате интегрирования уравнения Больцмана, при решении многих
конкретных вопросов (теплопередача, сопротивление, расход и т. nJ
оказывается излишней. Обычно при решении инженерных задач интере-
суются лишь некоторыми макроскопическими величинами, являющи-
мися первыми моментами функции распределения (скорость, давление,
температура, тепловой поток и т. д). Моменты являются ицтеграламк
от функции распределения и, следовательно, обладают «пониженной»
чувствительностью к виду функции распределения. Поэтому для их оп-
ределения может оказаться достаточным приближенное представление
функции распределения. Эти соображения явились основанием для
разработки различных приближенных методов решения задач динамики
разреженного газа. Всевозможные приближенные методы можно услов-
но разделить на две группы. Первую группу составляют методы, кото-
рые базируются на использовании некоторой аппроксимации функции
распределения. Аппроксимация подбирается в соответствии с физиче-
скими особенностями рассматриваемой задачи. К этим методам отно-
сится широкий класс моментных методов. Разновидностями последних
являются так называемые интегрально-моментные [1] и дифференциаль-
но-моментные методы [11, 24, 25, 66, 71, 122, 123, 127, 128, 129, 187 и др.].
Рассмотрим сущность дифференциально-моментного метода. Пер-
вым вопросом, который нужно рассмотреть на пути решения той или
иной конкретной задачи, является выбор приближенного представления
функции распределения. Для граничных задач, к которым относятся за-
дачи о теплообмене и сопротивлении тел в потоке газа, характерной
особенностью является разрывность функции распределения в прост-
ранстве скоростей, имеющая место всегда, по крайней мере, вблизи по-
верхности тела. Особенно четко эта разрывность просматривается в сво-
бодномолекулярных условиях (см. гл. II). Специфическое поведение
функции распределения вблизи границ можно учесть путем использова-
ния таких аппроксимаций функции распределения, которые имеют раз-
рывы в пространстве скоростей. Границы в пространстве скоростей, на
которых функция распределения терпит разрывы, естественно, найти на
основе свободномолекулярного решения. Наиболее простым видом ап-
проксимации является представление функции распределения в виде не-
которой суммы максвелловских функций:
k __ _
/ = /1м + /2м+ • • • +Ам= X? ----Л""'7/Т еХР--
(biRT^2 L 2RTi J
где /1м — функция распределения для первой области пространства ско-
ростей; f2м — то же для второй области пространства скоростей и т. д_
Каждая функция /м, входящая в (3.3), отлична от нуля лишь в «своей» об-
ласти пространства скоростей. В остальных областях она равна нулю. Ма-
кроскопические величины пг-, Т{,щв (3.3) в каждой точке физического про-
странства могут быть различными и, кроме того, со временем могут из-
меняться. Отметим, что функция распределения в виде (3.3) является
точным решением для свободномолекулярного режима, если молекулы
отражаются от границ (поверхности тела) диффузно с максвелловским
распределением. Сказанное относительно функции распределения (3.3)
поясним на примере задачи о стационарной теплопередаче через плоский
слой газа. Как отмечалось в первой главе, при свободномолекулярном
режиме функция распределения терпит разрыв в пространстве скоростей
на плоскости ^=0. Для полупространства скоростей ^>0, следуя ска-
занному выше, принимаем аппроксимацию функции распределения в
виде
•^1м (2л/?Г!)3/2 еХР
£ + + 6» '
2ЛГ1
(3.4)
Для другого полупространства (^<0) принимается
/2м=------ w -exp--------------- . (3.5>
(2л/?г2)3/2 2/?г2 J k
Таким образом, имеем
/=/1м+/2„. (3.6)
Функция (3.6) получила название двухпоточной (или двухсторон-
ней) максвелловской функции. В отличие от свободномолекулярного
решения здесь величины tii и Ti не являются постоянными в физическом
пространстве, а зависят от координаты у. Конкретный вид этих зависи-
мостей неизвестен и подлежит отысканию.
Вторым этапом рассматриваемого метода является получение урав-
нений для определения макроскопических параметров, входящих в ап-
проксимацию функции распределения, т. е. функций пДх, у, х. т)г
7\(х, У, 2, т) и т. д. При этом обращаются к уравнению переноса (см.
§ 1.6). Подставляя в уравнение переноса аппроксимацию функции рас-
пределения (3.3) и задавая различные выражения для ф(£х, gz)> мы
можем получить сколько угодно моментных уравнений. Для определения
макроскопических параметров, входящих в аппроксимацию функции
распределения, необходимо иметь число уравнений, равное числу этих
макропараметров. Здесь поступают следующим образом. Поскольку ос-
новной интерес представляют моменты низких порядков, то прежде все-
го используют уравнения, соответствующие функциям ф, являющимся
сумматорными инвариантами столкновений (см. § 1.6). При этих ф мо-
менты интеграла столкновения обращаются в нуль. Уравнения, полу-
чающиеся при этом, являются уравнениями сохранения массы, импуль-
са и энергии. К этим уравнениям добавляется необходимое количество
моментных уравнений, соответствующих моментам более высоких по-
рядков, например, получающихся при
<р=^-^Ч2 И т. д. (3.7)
При функциях ф, не являющихся сумматорными инвариантами
столкновений, моменты интеграла столкновений не обращаются в нуль.
Результат интегрирования при этом зависит от закона взаимодействия
между молекулами. Структура интеграла столкновения существенно
упрощается в случае, если принять, что молекулы взаимодействуют по
закону пятой степени (максвелловская модель взаимодействия). В этом
случае вычисления моментов интеграла столкновений могут быть вы-
полнены аналитически [40, 111]. Например, при ф = т£х£|/ имеем
△/=--—РХу, (3.8)
р-
где р, Т — плотность и температура; Рху — составляющая тензора на-
„ RT ! /~ 2m3 . .
пряжении; р<=-—• у —коэффициент вязкости для максвеллов-
ского газа (Д2= 1,3682; К — постоянная в законе взаимодействия Г =
= /Сг-5). В свою очередь величины р, Тит. д., которые содержатся в
(3.8), могут быть выражены через параметры иг-, 7\, входящие в
аппроксимацию (3.3). В частности, в случае рассмотренного выше при-
мера о теплопередаче через слой газа при использовании (3.6) будем
иметь
?==т \fd's>==tn{ 5 + 5 •^2м^==/п(~"11”2) (3*9)
и т. д.
Аппроксимация функции распределения вида (3.3) позволяет точно
формулировать граничные условия для получаемых макроскопических
уравнений.
Третьим, заключительным, этапом дифференциально-моментного ме-
тода является отыскание решения полученной системы дифференциаль-
ных уравнений при сформулированных граничных и начальных усло-
виях. Более детальные представления об этом методе можно получить в
§ 3.2, 3.3, 3.4. Если рассматривать моментный метод в целом, то можно
сделать следующее заключение. Этот метод позволяет перейти от опи-
сания задачи на уровне функции распределения к описанию на макро-
уровне, где снимаются определенные математические трудности (разу-
меется, за счет потери точности). Задача отыскания функции распреде-
ления заменяется рассмотрением некоторого континуума, характеризуе-
мого тем или иным набором макроскопических параметров. Характерной
чертой метода является определенный произвол в выборе вида аппрок-
симации функции распределения и моментных уравнений. В принципе
этот метод дает лишь приближенные результаты. В интегрально-момент-
ных методах уравнения для макроскопических параметров, входящих в
аппроксимацию функции распределения, получаются при помощи ин-
тегральной формы уравнения Больцмана. Эти методы в той же степени
иррациональны, как и дифференциально-моментные.
Вторую группу приближенных методов решения задач динамики
разреженных газов составляют методы, базирующиеся на аппроксима-
ции уравнения Больцмана путем упрощения правой его части, т. е. ин-
теграла столкновений (54, 60, 76]. Уравнения, получаемые из уравнения
Больцмана путем аппроксимации интеграла столкновения, называют
модельными кинетическими уравнениями или кинетическими моделями.
Одной из таких моделей является релаксационная модель, предложен-
ная Бхатнагаром, Гроссом и Круком [76]. Эту модель можно получить
из следующих соображений. Поскольку интеграл столкновений в урав-
нении Больцмана характеризует скорость стремления функции распре-
деления к максвелловской равновесной функции, то в первом приближе-
нии эту скорость можнр представить в виде отношения разности дейст-
вительной функции распределения f и локально равновесной функции fe
к некоторому характерному времени то. С учетом этого получается сле-
дующее уравнение:
df j , AL_i_t AL it df — fe-f
dx dx dy dz t0
(3.10)
Уравнение (3.10) называют моделью БГК (Бхатнагара — Гросса — Кру-
ка). Для То было предложено следующее значение:
(3.11)
где р, — коэффициент вязкости; р — давление.
Выражение в правой части модельного уравнения (3.10) обладает
всеми важными свойствами интеграла столкновений точного уравнения
Больцмана и его следует рассматривать как модель интеграла столкно-
вений. Действительно, эта модель интеграла столкновений зависит от f
во всем пространстве скоростей и локальна в физическом пространстве
и времени. Она обеспечивает выполнение законов сохранения, т. е. при
m^t‘, (i=x, у, z) имеем
fyf/g~/Vw=0 (3.i2)
J \ *0 J
Nwqr аппроксимации уравнения Больцмана рассмотрен в работе
Е. М. Шахова [60]. Метод Е. М. Шахова позволяет свести уравнение
Больцмана к последовательности аппроксимирующих уравнений.
Сущность этого метода заключается в следующем. Столкновительный член уравне-
ния Больцмана
j=/+~v/ (3.13>
заменяется приближенным выражением, структура которого выбирается близкой к
виду больцмановского интеграла:
Q = Q+ — Nf. (3-14)
В формулах (3.13) и (3.14) использованы следующие обозначения:
/+= J f J f f'xgbdbdzd<^-, v = J J figbdbdtdiai; du>1 = d^xdkydZtl,
— OO о 0 —oo 0 0
(/+ и Q+ — точный и приближенный операторы обратных столкновений; v и N—точ-
ная и приближенная частоты столкновений).
Приближенный оператор Q должен выбираться таким образом, чтобы выполнялись
условия равенства некоторого числа (от нулевого до i-ro порядка) моментов от точного
и приближенного операторов столкновений, т. е.
J Qydu = J Jyd^, (3.15)
или J = J J Nydu> = J vcpt/w, (3.16)
где ?=1; kb ZAj> kAfik,---
При выполнении условий (3.16) некоторое число моментных уравнений, получаемых из
аппроксимирующего и точного кинетического уравнений, будут совпадать.
В качестве аппроксимирующей формулы для Q+ можно использовать следующее
выражение:
Q+ = ATF+, (3.17)
где Л+ = fe [а<°> + + ...]; fe = exp [ - ;
—макроскопические параметры, которые выражаются через моменты функции рас-
пределения из соотношений (3.16).
Для газа, состоящего из молекул с сечениями столкновений, обратно пропорцио-
нальными относительной скорости сталкивающихся частиц, частота столкновений
не зависит от относительной скорости:
АГ = J figbdbdzd^i = = р/р., (3.18)
где ц — коэффициент вязкости газа; р — давление.
Сохраняя в (3.17) только члены до второго порядка включительно и полагая в
(3.16) <р=1, с'а, получим уравнение БГК.
Переходя к следующему приближению и ограничиваясь представлением F+ по
свернутым полиномам Эрмита, получим для Q следующее выражение:
Q = P/V- [fe [1 + (1 - PC 4 S«?« (°2 ~ 4-YI “ /). (3.19)
IL о \ 2 ) \ J
где с= с/У2RT', Рг — число Прандтля.
Модельное уравнение, например, для рассматривавшейся выше задачи о теплопередаче
•через плоский слой газа записывается с учетом (3.19) следующим образом:
д/ (Г 4 5 \1 )
1у = Р/F (Л [14- (1 — Pr) — Syty[ ? _ — jJ _ f |, (3.20)
‘Где 1у = tylVzRT-, I2 = (£ + ^ + 62)/ У2ЛГ;
2 Г -о
р = nkT = — rt \ l2/^;
о J
Sy = § kyV'fdm] п = J fdm\ dm = d^xd^yd^z-
Это приближенное кинетическое уравнение называют S-моделью.
На основе интегрирования модельных кинетических уравнений решено большое
число задач в промежуточной области динамики разреженного газа — теплопередача
через слой газа, течение Куэтта, течение Пуазейля, обтекание продольно и поперечно
поставленных в поток пластинок, обтекание сферы и цилиндра, истечение в вакуум
« др. (см. § 3.5, 3.6, 3.7). Как правило, качественные и количественные результаты, по-
лученные при решении этих задач, удовлетворительно согласуются с опытными
данными.
В отдельную группу можно выделить разнообразные приближенные
методы, называемые методами теории первых столкновений [2, 22, 27].
Под теорией первых столкновений понимают теорию, в которой учиты-
вается влияние лишь однократных (первых) столкновений между отра-
женными и набегающими молекулами. В области, где методы теории
первых столкновений применимы, поправки к свободномолекулярному
решению обычно не превышают 54-10%. Исключение составляет случай
продольного обтекания гиперзвуковым потоком холодной тонкой плас-
тинки. Результаты, полученные при помощи методов теории первых
столкновений, носят ограниченный характер.
В заключение обзора необходимо отметить, что теоретическим рас-
четам всегда присуща некоторая неточность из-за того, что законы меж-
молекулярных взаимодействий (столкновений) известны лишь прибли-
женно. Для того чтобы получить результаты, точно согласующиеся с
экспериментом, иногда приходится перебирать различные модели
столкновения молекул. Путь «подгонки» решений к результатам изме-
рений позволяет уточнить сведения о законах взаимодействия молекул.
Следует также иметь в виду, что определенные трудности на пути тео-
ретического решения инженерных задач могут возникать из-за неполно-
ты знаний законов взаимодействия молекул с твердой стенкой.
§ 3.2. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО СТЕНКИ,
ВНЕЗАПНО ПРИВЕДЕННОЙ В ДВИЖЕНИЕ
Рассмотрим нестационарное течение газа, которое возникает, когда
плоская безграничная пластина, ранее покоившаяся в газе, внезапно на-
чинает двигаться параллельно своей плоскости с постоянной скоростью
U. Решение этой задачи при предположениях, что движение газа описы-
вается уравнениями Навье — Стокса (а на поверхности выполняются
условия «полного прилипания») и можно пренебречь изменением плот-
ности в газе, было дано в работе Стокса [186]*. При этих предположе-
ниях из уравнений Навье-Стокса остается следующее:
ди д2и
р----=и------,
дх ду%
(3.21)
и — скорость газа, параллельная плоскости пластины; р, р, — плот-
ность и вязкость газа; у — координата, отсчитываемая по нормали к
* Во многих работах эту задачу называют задачей Рэлея. Однако следует заме-
тить, что впервые решение этой задачи было дано Стоксом
пластине (предполагается, что поверхность пластины лежит в плоскост»
£=0).
Начальные и граничные условия формулировались следующим об-
разом:
при т-^0 и—0 для всех у;
при t > 0
u=U для
w=0 для
г/=0;
У—*оо.
(3.22>
Отметим, что плотность и вязкость можно считать постоянными при ус-
ловиях, когда скорость пластины мала по сравнению со скоростью звука
в газе и температура пластины равна температуре газа в невозмущен-
ной части объема. Если эти условия не выполняются, задача становится
более сложной [185].
Решение (3.21) с учетом (3.22) имеет вид
“=4-erfU/ (з-2з>
где РХу — напряжение трения.
Из (3.23) следует, что на поверхности пластины (г/ = 0) при т->0
напряжение трения Этот результат не соответствует действ и-
тельности. В начальный период времени, когда х <^llV2RT (I —
средний свободный пробег), отразившиеся от пластины молекулы и па-
дающие молекулы почти не испытывают столкновений. При малых вре-
менах режим течения близок к свободномолекулярному. Поэтому для
определения скорости газа и касательной силы на поверхности пласти-
ны следует воспользоваться теорией свободномолекулярного течения.
В случае, если отражение молекул диффузное, получаются следующие
предельные (для т->0) значения скорости и напряжения трения на по-
верхности пластины:
(U)^0 = -Lu, (Pxy}y^=?U]f(3.24)
2 У
С течением времени режим движения газа будет все больше откло-
няться от свободномолекулярного. Молекулы, сталкивающиеся с плас-
тиной, будут испытывать много столкновений с молекулами, которые
перед этим отразились от поверхности пластины. По истечении достаточ-
но большого времени движение газа достигнет околоравновесного со-
стояния, описываемого уравнениями (3.23). В промежуточной области
необходимо обращаться к методам кинетической теории. Для решения
задачи о течении газа около внезапно начавшей двигаться стенки вос-
пользуемся дифференциально-моментным методом (24]. Рассмотрим дви-
жение газа около начавшей двигаться стенки, ограничившись условиями
малости числа М (т. е. М=1) и равенства температур стенки
и невозмущенного объема газа (т. е. Tw = Too). Будем полагать, что от-
ражение молекул от стенки диффузное и взаимодействие молекул газа
между собой происходит по закону пятой степени (максвелловская мо-
дель молекул).
Воспользуемся аппроксимацией функции распределения вида;
при ^<0
/—/1м — (гл^го3/2 ехр
при ^>0
/=/гм=-----------п-2—ехр
J J м (2л/?Г2) 7
Gx-m)2 + (^-vi)2 + ^
2^71
(£х “ w2)2 + (Su — V2)2 +
2ЯГ~2
(3.25)
Входящие в (3.25) — (3.26) макроскопические параметры пь п2> Т\,
Т2, иь ы2, Vi, V2 являются неизвестными функциями двух переменных у
и т. До начала движения значения этих параметров были
«х—Т\=Т2—Т°°, «i = «2=0, txi=tx2=:0. (3.27)
После того как пластина начала двигаться, имеем при любых т:
йо=£/ для w=0; ]
2 > (3 28)
Д1 = Й2=0, ^ = ^=0, /г1 = /г2=/гоо, для у—>оо ) '
Условия (3.28) можно дополнить соотношением, вытекающим из предпо-
ложения о непроницаемости стенки. Уравнения для определения макро-
скопических параметров, входящих в (3.25) и (3.26) получим, обращаясь
к уравнению переноса, которое для рассматриваемой задачи принимает
вид
+ = (3.29)
где d^=d^diyd^z-
Поскольку аппроксимация функции распределения содержит восемь не-
известных параметров, необходимо ограничиться системой уравнений,
соответствующей восьми линейно независимым функциям cp(gx, £z).
В качестве таких функций можно выбрать, например:
<Р1=/п, <Р2=т?х, ?3=^> ?4=4_/п(^+Й+^);
% = = = (d+$y+$z).
В силу предположений М<1 и Tw=T<x> мы можем считать, что из-
менения плотности и температуры в любой точке потока в любой момент
времени пренебрежимо малы, т. е.
п—п^ [1+О(М2)], Л.=Ло[1 + О(М2)].
Поскольку составляющая скорости газа вдоль нормали к пластине
обусловлена изменением плотности (см. уравнение (3.29) при <pi = m),
то при рассматриваемых условиях ее величина также очень мала. С уче-
том сказанного будем иметь
+ ^2^2+^2 erf
2л
—Л — erf
V2rt2 )
(3.30)
— («14-«г);
Здесь мы использовали соотношения
—^1—«1; erf/—
V2RTi \ У 2RTi / Ул \V2RTi
—U‘V'-— И Т. П.
V2RTi
Из (3.30) следует, что для определения тангенциальной скорости тече-
ния и и касательного напряжения Рху необходимо найти функции щ (у, т)
лзо
и u2(y, т). Для отыскания этих функций достаточно двух уравнений,
которые можно получить из (3.29) при cp2=/ngx и = Отметим,.
что
△J(m^) = 0,
Д/(т$Л)=------
Н* со
mn~Rr'° _р
где Цоо — коэффициент вязкости, который для максвелловской модели
взаимодействие молекул определяется по формуле
(k — постоянная Больцмана, А2= 1,3682, К — постоянная в законе
=Я/г5).
Итак, уравнения для щ и «2 при принятых нами ограничениях
иметь вид
М“^ ^ + Й1) + Ш/2^ («2-«1) = 0:
м (й2+й1)+vdr.
Здесь введены безразмерные величины
- _ о UI
iii = it-JU', у — уЩ x = xU[l-, Re=—-—,
И* ОО
где I — средняя длина свободного пробега.
С другой стороны имеем < *
2 гqo у оо
Таким образом, уравнения (3.31) можно представить в форме
M-gL+- =0;
]/2лу
о.
Y dy Y М
Соответствующие начальные и граничные условия формулируются так:
будут
(3.31)
(3.32)
(3.33)
при т-<0 для всех у и=0, Рху=0;
при т>-0 для у—>оо и=0-, Рху = 0;
для у=0 2и-\-~Рху=2.
(3.34)
Система (3.33) представляет собой линейную систему дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами. Для ее решения целе-
сообразно применить преобразование Лапласа по переменной т, обоз-
начая
оо оо
и*= j* и^-Р' dx, Р*ху= j* Pxy£-P’dx.
о б7
После преобразования получим для изображающих функций и* и Р*ху
следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
М V2лури*-\- —0;
ду
1 Re
у М
^£-=о.
ду
(3.35)
Решение этой системы должно стремиться к нулю на бесконечности и
удовлетворять условию, полученному из (3.34), а именно:
2и* (0, р) + Р*ху (0, р) = — . (3.36)
р
Решение однородной системы уравнений (3.35) можно представить в
виде
и*=и^ъ<Р)у ~р*ху— з (/?)еа<^.. (3.37)
Условием, которому должна удовлетворять о(р), является
.из которого следует
(3.38)
Выражение (3.38) записано с отрицательным знаком, так как положи-
тельный ^корень не имеет физического смысла (при //->оо искомые функ-
ции и и Рху стремятся к нулю).
Значения аир определяются из соотношения, получаемого подста-
новкой выражений (3.37) в любое из уравнений (3.35) и в условие
(3.36)
Изображения функций ил* и и2* мы можем получить, используя (3.37)4-
(3.39) и соотношения
* 1 / * ! *\ ГЛ* * *
и = —(Я1 + «2), —
При помощи правил операционного исчисления и существующих таблиц
сложно теперь найти по изображениям функций Ui* и и2* их оригиналы.
В результате получим следующие формулы для скорости газа и каса-
тельного напряжения на стенке (у = 0):
и (т, 0)
ехр( —Л)/0(Л) 0(Л-О)+
2л
л — 2
л /4
-г-^”ехрТТ
Л — 2 \ Л — 2
л -{- 2
л — 2
/ /0,0(А —0);
Рис. ЗА. Графики зависимости скорости (а) и напряжения трения (б) на внезапно на-
чавшей двигаться плоской стенке от времени:
/ — по формулам (3.40) и (3.41); 2 — теория континуума Навье-Стокса
Рху<х, 0)
л — 2
exp(^i
2 У 2л f / л + 2
—----\ ехр--------
л-2 J F \ л-2
о
0(Л-О)-
_2У2^еХр(-Л)./о(Л)0(Л-О).
Л — 2
Здесь введены обозначения
л Роо^оо Роо
Л=——— х= —— х\
(3-41)
— давление; /0(2) —функция Бесселя первого рода нулевого порядка
«от мнимого аргумента; 0(Л—0) —ступенчатая функция Хевисайда, рав-
ная единице при Л>0 и нулю при Л<0.
Из (3.40) и (3.41) следует, что при Л->0 (т. е. при т—>0) скорость
таза и напряжения трения на стенке стремятся к следующим значениям:
limT_>o «=—------- ~0,44; 11шх-о/>гУ=2-----------~1,1.
л — 2 у л — 2
Эти результаты несколько отличаются от (3.24), что объясняется при-
ближенным характером метода решения. Этот недостаток можно устра-
нить путем использования иной аппроксимации функции распределения
(см., например, работу [102]). Другой путь — использование модельного
кинетического уравнения. Решение этой задачи на основе БГК-модели
приведено в рабоче Черчиньяни [54].
При больших временах по сравнению с периодом межмолекуляр-
ных столкновений, т. е. при роо/?Гоот/2|1оо^> 1, формулы (3.40) и (3.41)
хорошо согласуются с континуумным решением (3.23). На рис. 3.1 за-
висимости (3.40) и (3.41) представлены графически. Для сравнения на
этих же графиках приведены зависимости (3.23).
§ 3.3. ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА РАЗРЕЖЕННЫМИ ГАЗАМИ,
ЗАКЛЮЧЕННЫМИ МЕЖДУ НЕПОДВИЖНЫМИ СООСНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ,
КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ СФЕРАМИ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ
1. Цилиндрический слой
Рассмотрим передачу тепла газом, заключенным между двумя со-
осными цилиндрами, радиусы которых соответственно п и г2 (Г1<<2).
Будем полагать, что длина цилиндров L очень велика по сравнению с
Рис. 3.2. Пояснительная схема к задаче о передаче тепла
через цилиндрический слой газа
радиусом внешнего цилиндра так
что концевыми эффектами можно пренебречь.
Температура поверхности внешнего цилиндра
всюду постоянна и равна Tw2, а внутреннего
Twi (Tw\ < 7\я). Требуется определить темпе-
ратурное поле в газе и поток тепла, обуслов-
ленный движением молекул.
В предельном случае при Кп~>0 (при от-
сутствии естественной конвенции и небольших температурных перепа-
дах, Twi/TW2->l) решение записывается в следующем виде [38]:
q —— ^w2) .
rc r In (r2/ri)
'Г 'Г {'Г 'Г \ In (^/^1)
1 —1 wl ~ и wl 1 W2) , , , . >
In (Г2/П)
(3.42)
где X — коэффициент теплопроводности газа; qTC — тепловой поток, при-
ходящийся на единицу цилиндрической поверхности.
Для другого предельного случая, когда реализуется свободномоле-
кулярный режим (Кп^>1), решение задачи о передаче тепла через ци-
линдрический слой газа было дано выше в гл. II (§ 2.2).
Рассмотрим теперь передачу тепла одноатомным газом в промежу-
точной области. Воспользуемся при этом разновидностью моментного
метода, уже применявшегося нами при решении задачи об импульсив-
ном движении пластины (см. предыдущий параграф).
При рассмотрении цилиндрического слоя удобно воспользоваться
цилиндрической системой координат, ось Z которой совпадает с осью
цилиндров. В этой системе координат уравнение переноса для рассмат-
риваемого случая записывается следующим образом:
J + J fdfo=r^J, (3.43)
где г, $е> $г — радиальная, тангенциальная и осевая составляющие ско-
ростей молекул (рис. 3.2), <р=<р($г< $о>
В качестве аппроксимирующей функции распределения возьмем че-
тырехмоментное двухстороннее максвелловское распределение. Молеку-
лы в каждой точке слоя, скорость которых £Р = 1/Г направлена
от внтреннего цилиндра, будем характеризовать функцией (см. рис. 3.2,
область /):
f — f = ni(f) exD _ +
J J 1м [2ЛЯТ1 (г)]3/2 Р L 2/?Г1 (г)
Для этих молекул имеем
£e=$pcostp; sin ф,
где а-<ф<^л — а, а=arccos г Jr.
Остальные молекулы будем характеризовать функцией
f — f — п2 (О рхр &
J J2u [2лЯГ2 (r)]3/2 L 2^Г2 (г)
(3-44)
Для этих молекул имеем л—а<ф<2л+а.
Макроскопические параметры пДг), nz(r), Л (г) и Tz(г) являются
неизвестными функциями радиального расстояния. Все осредненные ве-
личины можно выразить через эти четыре параметра, используя формулу
тс—а оо -f-оо 2тс4-а <» 4-°°
? = J J j J J j (3.46)
а 0 —оо тс—а О —оо
Подставляя в (3.46) последовательно
?=/п; -Ь/п$2; $р ,
получим с учетом (3.44) и (3.45) следующие выражения для плотности,
температуры и радиального теплового потока:
р= [ mfd‘t>==-^-[n1(3t — 2a)-j-n2(n-j-2a)]; (3.47)
J 2я
Т = -5- С fd4>= --1-Г1 *я ~ 2ct) + n2?2 (я + 2а) ; (3.48)
Зр/? J /11 (л — 2а)-ь П2 (л 4-2а)
qr=tn $"Г fdus==m COS а [Д1 ^Г1)3/2~"2 (ЯЛЛ (3.49)
Уравнения для неизвестных функций nt (г), Т: (г) получим из (3.43),
полагая последовательно <p=/n; -±-m£2; m^2. Для первых трех
функций <р правая часть (3.43) обращается в нуль. При <р-~^-т^2 пра-
вая часть уравнения не равна нулю. В этом случае, чтобы вычислить
момент интеграла столкновений, необходимо знать закон взаимодей-
ствия молекул газа между собой. Примем, что молекулы взаимодейст-
вуют по закону пятой степени (максвелловская модель). Тогда будем
иметь [111]: Д/=—— — qr-
3 и
После несложных вычислений и преобразований получим следую-
щую систему уравнений:
«1 V/'i = «2 *;
(sin 2а— 2а) -4г — (nil\ 4-П27'2) = 0;
dr dr
п^Г-nzT^-, (3.50)
(sin 2а —2а) X (й^-йгГгНл -4г (й^+йгЛ) +
dr dr
+ 4(Kni)-1— К(я-2а)+^(л4-2а)]=0,
1о г
где йг = -^—; 7=—; Kn1=-^; —А—
nwl Twl г I г I mnwl у 2RTw1
(Krti — число Кнудсена; l\ — средняя длина свободного пробега, вычис-
ленная при условиях на внутреннем цилиндре (для максвелловских мо-
лекул —постоянная интегрирования).
* При выводе этого уравнения использовано условие непроницаемости стенок
Чтобы сформулировать граничные условия, необходимо знать закон
взаимодействия молекул со стенками. Примем, что отражение молекул
от стенок диффузное с полной термической аккомодацией. Тогда гра-
ничные условия будут записываться так:
7^!= 1, 7\=1 при г=1;
при ~т = ^.
' W1 И
(3.51)
Если перепад температур между цилиндрами мал, то уравнения
(3.50) можно линеаризовать. Дальнейшие рассуждения будем вести,
полагая, что ТWi/T»2~*1, т. е. температуры цилиндров отличаются незна-
чительно. В этом случае функции п» и Ti мало отличаются от единицы.
Их можно представить в следующем виде:
nz=l-|-2Vz, fz=l+/z, (3.52)
где Nj и ti — малые величины по сравнению с единицей.
Подставляя (3.52) в (3.50) и линеаризуя результаты, получим сле-
дующую систему уравнений:
(sin 2а — 2а) —=• (7VZ -|-/i — Л^2—t2) -I- л —= (Л/j _Н^2)==^>
(3.53)
(ЛГ1_^)+А(/1_/2)=р;
^1+/2)+АКпг^=о
и граничные условия /z=0 и JVi=O приг=1,/2=—(1—
= —е при r=r2/r1. Последнее уравнение системы (3.53) получена
с учетом того, что из первого и третьего уравнений следует t\—/2=₽,
,V2—AG Кроме того, с учетом этих формул из второго уравне-
ния системы имеем ATi + /i+./V2+<2=const. Из граничных условий и соот-
ношения (6—t2) = Р следует t2 = — ₽ при г=1; ^ = £—8 при r=r2lrv
Интегрируя последнее уравнение системы (3.53), получим
(^+*2)7, - ft+*2)7-1= “ ^71п 7^ •
Подставляя сюда граничные значения для t, получим следующее
выражение для постоянной
4 1 Г2
15 Km ri
Решение системы (3.53) имеет вид
Nt=-—£-
1 15 Kni
1 । 4 1.-1
—---------In г;
2 1 15 Kni J
Л—
±-2-1п7
15 Kni
Обращаясь теперь к формуле (3.49) и учитывая (3.54), получим
. р _________j________
ягс ₽о 1+_XK RZk]-1 ’
4 L n J
(3.55)
где 0О есть 0 при Koi—>0, qrc — тепловой поток, вычисляемый по формуле
(3.42), причем
Из (3.48) с учетом (3.54) получим формулу для температуры газа
Twl' Т
Т wl — Т w2
(3.56)
где
A-Lin^'
15 КП! П .
Формулы (3.55) и (3.56) получены в предположении, что термиче-
ские коэффициенты аккомодации равны единице. Нетрудно получить
формулы для произвольных значений коэффициентов аккомодации [109].
Рассмотрим случай, когда на внутреннем цилиндре аккомодация неполная, т. е.
В этом случае первое граничное условие для уравнений (3.3) заменяется выражением
/1 = (1 — аЭ1) /2 при г = 1.
(3.57>
Второе граничное условие оставим прежним. Такие условия представляются реальными
для случая (задача о тонкой проволоке в цилиндре большого диаметра). При
граничных условиях (3.57) решение уравнений (3.53) дает следующую формулу для
теплового потока:
4г ________J_______
Я'с ^JULbAl-*-
4 L nJ
(3.58)
Эта формула при Кп~-> оо дает тот же результат, что и свободномолекулярная теория
при произвольных коэффициентах аккомодации в случае, если г2^гь
В случае, если г21г\-*Л, реальными будут граничные условия следующего вида
(Оэ1 = Яэ2 = Лэ):
/1 = (1 — аэ) t2 при г = 1;
h = (1 — лэ) — «эе при 7 = Г2/Г!.
(3.59)
Из выражения 0=(Л —12) с учетом (3.59) получим
/2= — ?/лэ, *1= —
1 — лэ 0 - 1
-------р при г = 1;
Лэ
t\ = ₽/аэ— е, ^2
#э
£ — Р ПРИ Г = Г2/Г1.
Выражение для (3 будет иметь вид
8 =-----
н 2—аэ
а3
£
4 1
15 Kni
1 Г2
In----
(3.60)
С учетом (3.60) получим
Я
Ягс
1—1
(3.61)
С учетом того, что
г2 — Г1
--------С 1, эту формулу можно записать в виде
Яг _
Ягс
Кп
где Kn = Z1/(r2 — и).
При Кп»1 эта формула
Г2/Г1->1.
согласуется со свободномолекулярной теорией для случая
Формула, из которой вытекают как частные случаи (3.55), (3.58) и (3.61), будет
иметь вид
Яг
Ягс
1
— I — 1 I — Knj
г2 \ дэ2 / J 4
(3.62)
1
1
Формула (3.62) согласуется с решениями для Кп-*0 и Кп-*- оо. При помощи
(3.62) можно определить границы применимости теорий обычного континуума
(3.55),
и сво-
бодномолекулярного режима для рассматриваемой задачи.
Наибольшее число Кнудсена Кп^, при котором еще применима теория континуума,
найдем, положив, что результаты, полученные при помощи (3.42) и (3.62), не должны
отличаться более, чем на 2%:
«"-I' = 0,02.
Ягс
Подставляя в (3.63) выражение (3.62), получим
(3.63)
Кп-
0,00545 1п Г2/Г1
(3.64)
1
1Мэ1 + — -------1
L г2 \ дэ2 / J
Наименьшее число Кнудсена Kni**, при котором еще применима с точностью до
2% теория свободномолекулярного режима, найдем из условия
Ягт Яг
Ягт
= 0,02.
Подставляя сюда (3.62), получим
13 In г2/П
(3.65)
(3.66)
Kni=l/rr
На рис. 3.3 представлены границы
различных режимов, рассчитанные по
формулам (3.64) и (3.66). Пунктиром
показаны границы областей для г2/^1 = Ю
при ai=a2=0, сплошными линиями для
г2/г1 = 1000. Из полученных результатов
видно, что границы областей режимов
существенно зависит от геометрии и ко-
эффициентов аккомодации.
В работе [66] для решения задачи
о передаче тепла через цилиндрический
слой газа была использована другая
разновидность моментного метода, бази-
Рис. 3.3. Границы свободномолекулярной
и континуумной областей:
I — континуума; II — свободномолекулярная;
III — промежуточная
Рис. 3.4. График теплопередачи через цилиндрический слой одноатомного газа:
сплошная линия — формула (3.62); точки — эксперименты Диббса и Спрингера, Терехова и Фроло-
вой; при г2/п=1,075; 1,105; 1,17: X — Не, 0 — Аг, V — Ne, □ — Хе; + — Не rt/rt « 327;
О — Аг rt/rt ~ 332; △ — Ne rt/rt — 332
рующегося на использовании так называемой «бимодальной» аппроксимирующей функ-
ции распределения вида
Г ^2 ~1 72^2*2 Г £2 ”1
fi = a‘(r) (2n«rwi)3/2 еХР [ “ 2RTW1] + ₽/ (Г) (2nRTw2f^ ехр [ “ 2/?Гто2] ’
(3.67)
где i=l для области /; i=2 для области II (см. рис. 3.2); at (r) и pi (г) —неизвестные
функции.
( г%\
Полученная этим методом зависимость #r|Kni, — | при малой разнице температур
К Г1 /
цилиндров практически не отличается от (3.65).
Задачу о передаче тепла через слой газа можно решить на основе использования
БГК-модели. Этот метод был применен в работах [69, 188]. В работе [69] модель
Бхатнагара — Гросса — Крука преобразуется в систему интегральных уравнений, кото-
рые затем решаются вариационным методом. Результаты расчетов для разных Kni,
г2/Г1 и Пэь приведенные в этой работе, хорошо согласуются с моментным методом.
На рис. 3.4 приведены результаты экспериментов [48, 96]. Условия, при которых
проводили измерение Диббс и Спрингер [96], были следующими. Разность температур
цилиндров была незначительной (TWi — 311 К, — 303 К).Отношение радиусов цилинд-
ров составляло величину г2!г\=327 в опытах с гелием и ГгЛ1=332 в опытах с аргоном
и неоном. Значения коэффициентов аккомодации для внутреннего цилиндра, сделанного
из вольфрама, были предварительно определены сравнением измеренных тепловых пото-
ков при свободномолекулярном режиме со свободномолекулярной теорией. Они были
равны для гелия, неона, аргона соответственно 0,283; 0,467; 0,7328. Таким образом,
условия опытов соответствуют предположениям, при которых была получена фор-
мула (3.58).
На этом же графике приведены результаты измерений А. Д. Терехова и Е. Н. Фро-
ловой [48]. Эти данные были получены также при малой разности температур цилинд-
ров. Однако геометрический фактор был иным: г2/г\ = 1,0754-1,17. Коэффициенты акко-
модации на поверхностях цилиндров, изготовленных из хромоникелевой стали, были
определены тем же методом, что и в работе [96]. Значения коэффициентов аккомодации
для гелия, неона, аргона и ксенона были равны соответственно 0,265; 0,582; 0,74; 0,99.
Рис. 3.5. График теплопередачи через цилиндрический слой разреженного воздуха:
сплошная линия — формула (3.68); точки — опытные данные Терехова и Фроловой
Результаты опытов на рис. 3.4 представлены в виде зависимости q/qrc от комплекса
Значения чисел Кнудсена, имевшие место в опытах, вычислялись по формуле (1.45),
приведенной в § 1.5 (гл. I). При этом величина сечений столкновения молекул определя-
лась на основе опытных зависимостей вязкости газов от температуры и формулы
(1.62), приведенной в § 1.8 (гл. I). Формула (3.62), представленная на графике сплош-
ной линией, удовлетворительно согласуется с опытными данными.
Помимо упомянутых экспериментальных исследований с одноатомными газами
имеется работа Шафера и др. [162], выполненная с аргоном для г2/П = 141. Однако в
этой работе не измерялся коэффициент аккомодации. Если принять его таким же, как в
работах [48, 96], то данные опытов [162] также удовлетворительно согласуются с фор-
мулой (3.62).
Формулы (3.55), (3.58), (3.62) применимы лишь для одноатомных газов, состоя-
щих из молекул одинаковой природы. Методом, который был использован для получе-
ния этих формул, можно также рассмотреть и теплопередачу в смеси одноатомных
газов [202].
Чтобы учесть многоатомность молекул, нужно ввести поправочный коэффициент
перед вторым членом знаменателя формулы (3.62) [178]:
Чг ________________________________1______________________
Ч” 1+Br_L+n.(j__,)iaK„1rtoz2.-
L «э1 Г2 \ #э2 /J 4 |_ Г\
(3.68)
где В = 1 для одноатомного газа; В=38/45 для двухатомного газа.
На рис. 3.5 дается сравнение формулы (3.68) с опытными данными для возду-
ха [48]. Коэффициенты аккомодации в этих опытах были измерены и составляли вели-
чину ai—a2=0,693, а геометрический фактор был г21г^ —1,075—1,17. Недостатком дру-
гих известных экспериментальных работ [78, 162, 153] является то, что не определялся
коэффициент аккомодации, что затрудняет сравнение полученных данных.
На рис. 3.6 представлены результаты экспериментов [26, 78, 153] для воздуха в
15
твкП1
виде зависимости величины qrlqrc от комплекса ---------. Сплошная линия отвечает
In Г2/Гх
формуле (3.68) при oi=o2=l.
Рис. 3.6. График теплопередачи через цилиндрический слой воздуха:
сплошная линия — формула (3.68); точки — опытные данные Бомельбурга, Кошмарова и Иванова,
Проберта и др.
„ , Р wl Р w2
Влияние температурного фактора ——-------- рассматривалось теоретически в
Гwl •
Pwl — Р w2 л
ряде работ [26, 132]. При ------- <0,3 влияние температурного фактора неболь-
Pwi
<пое и лежит в пределах погрешности приведенных выше данных.
2. Сферический слой
Рассмотрим теперь передачу тепла через неподвижный одноатом-
ный газ, заключенный между двумя концентрическими сферами, радиу-
сы которых ri и г2 (пСгг)- Ограничимся снова условиями, когда темпе-
ратуры поверхностей сфер различаются незначительно, т. е.
Twl Т. 1. Если предположить, что взаимодействие молекул между
Р wl
собой можно аппроксимировать максвелловской моделью, и считать,
что отражение молекул от стенок диффузное с полной термической ак-
комодацией, то получим, применяя моментный метод с использованием
двухсторонней максвелловской функции, следующие формулы для теп-
лового потока и температуры [122]:
1
Яг
Яге
1 + "TKni
(3.69)
_________ 1_£1_
G+l/1 -(т)’)+~8)—-
1 wl — У w2 * \ Г \ г / / 1 _£1_
Г2
(3.70)
где 8 —(1 4--^-/[Кп1 fl — —'ll! *
I 15 / L \ Г2 /JJ
яловой поток при Кп—*0.
а ____\ rlr2 (Tail — Twi) -р
</ rr Л --------------- -- 1 с-
г2(Г2_Г1)
Рис. 3.7. График теплопередачи через сферический слой газа:
сплошная линия — формула (3.71); точки — опытные данные Спрингера и Вана, Такао: + Heri/r2=7;
О — ВОЗДУХ Г1/Г2= ®°
Если предположить, что на внешней стенке имеет место температурное равновесие^
а на внутренней сфере аккомодация неполная (т. е. <2э1<1), то получается следующая
формула для теплового потока:
QrlQrc — 1
Условия, для которых получена эта формула, реализуются тогда, когда г21г^\.
Полученную формулу можно обобщить для газов любой атомности, вводя попра-
вочный коэффициент В перед вторым членом знаменателя:
Яг _ __________________1_________________
qrc 1 + В (~) (Кп1/дэ1) fl — —1
\ 4 / \ Г 2 )
(3.71>
где В=1 для одноатомного газа, В=38/45 для двухатомного газа.
На рис. 3.7 приводится сравнение формулы (3.71) с экспериментальными данны-
ми для гелия, заключенного между двумя стеклянными сферами, отношения радиусов
которых Г2/П=7 [179]. Эти опытные данные получены при ATw/Twi = 0,14. Коэффициент
аккомодации в этих опытах был равен аЭ1 = 0,3. На рис. 3.7 приведены также данные
для воздуха, полученные в работе [189] при г21гу-+- оо. Коэффициент аккомодации в
опытах с воздухом был близок к единице. Результаты всех экспериментов удовлетво-
рительно согласуются с формулой (3.71).
При помощи (3.71) нетрудно установить границы применимости теорий обычного
континуума и свободномолекулярного режима. Полагая, как и ранее (qTc— Ят)1Ягс =
= 0,02, получим наибольшее значение числа Кнудсена, при котором еще пригодна с точ-
ностью до 2% формула теории обычного контура:
Кп1ш = 0,00545аЭ1 (1 — П/г2)-
(3.72)
Аналогично можно найти границу свободномолекулярной области. Если сравнить (3.72)
с (3.64), то можно придти к выводу, что граничные числа Кнудсена для сферического
и цилиндрического слоев могут заметно различаться.
3. Плоский слой
Рассмотрим теплопередачу через разреженный газ, заключенный
между двумя параллельными неподвижными плоскими поверхностями,
имеющими разную температуру. Решим эту задачу для одноатомного
газа, снова используя моментный метод.
Уравнение переноса для этого случая имеет вид
(3.73)
Воспользуемся снова аппроксимирующей функцией в виде двухсто-
роннею максвелловского распределения [см. §3.1, формулы (3.4), (3.5)].
Уравнения для макропараметров nt (у) и Тt(у) получим из уравне-
ния (3.73), полагая <p=m; -i- m(d+^+^); j^Ux+^+d) и
принимая при этом, что молекулы взаимодействуют между собой по за-
кону пятой степени:
—(п{Г\4“ П2Г2) 4—КП2 ^^2 (#1 4“Л2)— 1»
dy 15
(3.74)
где си и «2 — константы интегрирования; Кп2 = /г/^ — число Кнудсена;
L — расстояние между пластинами; /2— средняя длина свободного про-
бега, вычисляемая для максвелловских молекул по формуле
№w2
mnw2
Vrtw2
(1*^2 — вязкость газа при температуре второй пластины Tw2; nw2 — значе-
ние П2 на второй пластине; ni=—— ; 7\ =—— ; у=— .
1^w2 Тw2 L /
Ограничимся, как в предыдущих задачах, условием Уд|2 < 1.
____ _ Twl
Тогда nz=l-|-7^;; Т~ l-f-/z, где Nt и tt малые величины по сравнению
с единицей. Линеаризуя (3.74), получим следующую систему уравнений:
-[- —/1 — JV2+ — Ni -[- ЛГ2 ~Ьii ~Ьh—ai — 2;
^2—/i=aia2; -==- (Л+^Ч--^" — (^Ч-АгП^О-
ay 15
(3.75)
Будем считать, что молекулы отражаются от стенок диффузно и
коэффициенты аккомодации равны единице. Тогда граничные условия
формулируются так:
/2=0 и N2=Q при г/=0;
при ?=1.
* w2
(3.76)
Из третьего уравнения системы (3.75) следует /1=—aia2 при у=0 и
^2 = 0102+ (Twi—Tw2)/Tw2 при у=1.
Интегрируя четвертое уравнение системы (3.75) с учетом условий
(3.76) и аю2<С1 (это следует из третьего уравнения, ai->-2), получим
Ct1a2 =
'R wl Т w2
4 \
1+— ЮН
ID J
(3.77)
При Kn-*-0 имеем
(a1a2)0=
7*01 T*tt>2
(3.78)
Рис, 3.8. График теплопередачи через плоский слой разреженного газа:
сплошная линия — формула (3.82); пунктирная линия — решение Черчиньяни и Бассанини (модель-
ное уравнение); — решение уравнения Больцмана; экспериментальные данные Теагана и Сприн-
гера, Кошмаров: + — Аг Гда1/Гда2 - 1,013; О — N«rtt)1/7'TO2 “ ^О13: v “ воздух _ 1,1 -г-1,2
Тепловой поток выражается через /1 и /2 следующим образом:
q = tn [ гу -77- fd^-=mn.w2RTw21 / — RTw2 (/2-A).
J 2 у Л
(3.79)
Подставляя в (3.79) значение (t2—ti), получим
Я _ 1
dr 15
1+ТКп
4
(3.80).
•Для температуры получается следующее выражение:
Т wx — Т
Т Тщ/2
(3.81)
где qc=\ T^zJ^.
___4______1__-|.
15 Kn ] ’
К — коэффициент теплопровод-
ности газа.
Формулу (3.80) можно получить, также из решения для цилиндрического (или
сферического) слоя, устремив г21гу-+\. Обратившись к формуле (3.68) для цилиндриче-
ского слоя, получим формулу для плоского слоя, учитывающую влияние атомности,
газа и коэффициента аккомодации,
_£_ =______________J____________
Яс 1+221£эв_1£Кп’
а3 4
ИЛИ
я_ = ______1_______
Ят . Дэ 4 1
+ 2 — дэ 15 ВКп
(3.82).
где qm — тепловой поток, подсчитанный по теории свободномолекулярного режима;
Kn=//L число Кнудсена; I — средняя длина свободного пробега молекул; В = 1 и 38/45
соответственно для одноатомного и двухатомного газов.
На рис. 3.8 дается сравнение формулы (3.82) с результатами экспериментов [191}
и автора. В этих экспериментах измерялись тепловые потоки через плоские слои арго-
на, азота и воздуха. Коэффициенты аккомодации в этих опытах равнялись для аргона
аэ = 0,826, для азота аэ=0,76, для воздуха аэ~0,95. Температурный фактор мало отли-
чался от единицы, т. е. Tw\ITw2~ 1,013. Формула (3.82), представленная на рис. 3.8
сплошной линией, хорошо согласуется с опытными данными. Наряду с измерениями
тепловых потоков в работе [191] исследовалось поле плотности в плоском слое при
rwi/TW2=l,14 и Кп = 14-0,05. Данные этих измерений хорошо согласуются с моментным
решением.
В случае, если разница температур пластин значительна, необходимо решать
нелинеаризованную систему уравнений (3.74). Решение этой системы уравнений при
граничных условиях, соответствующих полной аккомодации, получено в работе [127].
Теплопередача через слой газа при значениях Tw\ITw2i существенно отличающихся от
'единицы, в экспериментальном отношении изучена пока мало. Имеются лишь некото-
рые опытные данные о распределении плотности в слое гелия и азота при 7'wI/7'w2=3,72
я Кп=0,5834-0,033 [63]. Сравнение этих данных с решением, полученным при помощи
описанного выше метода, показало большое расхождение опытных и теоретических
результатов. Это обусловлено тем, что описанный метод при больших температурных
перепадах «работает» плохо. Полученное выше решение основывалось на использовании
простейшей аппроксимации функции распределения в виде двухстороннего максвеллов-
ского распределения.
В работе [121] было использовано шестимоментное распределение вида
С + £ \
/
2^1
n3/2(27?ri,1)1/2(2/?Txi)
2RTyi
л3''2(2/?7'у2)1/2(2/?7’л2) '
2RTyi
£
2RTxl
для < 0;
для > 0.
Для отыскания шести неизвестных функций (ni, ng, Т хъ Туъ Ту?) использовались
2 3 2 п
моментные уравнения, соответствующие <р = /п, т£у, —-—; т¥у\ т^х. Полу-
ченная при этом зависимость q (Кп) для максвелловской модели молекул почти не от-
личается от зависимости (3.82).
Еще одна разновидность аппроксимирующей функции в виде бимодального двух-
лоточного распределения использовалась в работе [71]:
f = fw\ = а1 (У) fwi + ₽1 (У) f w2 для < 0;
/ = /w2 = 02 (.У) fwl + ₽2 (У) fwi ДЛЯ Ьу > 0;
/,_________nWj Г S2 ~]\
(2л/?гда/)3/2 eXPL , 2RTwi ])’
где TWi — температура t-й стенки; ai(#), Pi(i/)» и р2(#)—неизвестные функции
(функции «влияния»).
Результаты этой работы почти не отличаются от тех, которые следуют из (3.82).
Задача о теплопередаче исследовалась также на основе модельных уравнений
[60, 54]. Для решения модельных уравнений использовались различные численные мето-
ды. Результаты всех упомянутых исследований практически совпадают. На рис. 3.8 пред-
ставлена пунктирной линией зависимость, полученная в работе [54] для одноатомного
/ \
газа [при ——< 1] на основе решения БГК-модели. В строгой постановке (на осно-
\ TW1 )
ве уравнения Больцмана) задача о теплопередаче через слой газа численно решалась
в работах [3, 51, 201]. Метод прямого численного решения основывался на вычислении
интегралов столкновения по небольшому числу случайных испытаний (методом Монте-
Карло) в сочетании с интегральными итерациями уравнения Больцмана. Газ предпо-
лагался одноатомным и однокомпонентным, состоящим из упругих жестких сферических
молекул. На стенках было принято условие полной аккомодации. Функция распреде-
ления отраженных молекул предполагалась максвелловская. Итерации для каждого
числа Кнудсена начинались со свободномолекулярного решения. Сходимость устанавли-
валась по поведению физических величин плотности, температуры, теплового потока.
При достижении сходимости профили плотности и температуры не меняются от
итерации к итерации и тепловой поток становится не зависящим от координат. Для
получения решения с меньшим числом Кнудсена в качестве нулевого приближения
использовалось ранее полученное решение с большим числом Кнудсена. Результаты,
полученные на основе прямого интегрирования уравнения Больцмана для небольших
температурных перепадов (Гw2/Twi=0,7), приведены на рис. 3.8 (темные треугольные
точки). С этими результатами хорошо согласуется формула (3.82), полученная момент-
яым методом.
Рис. 3.9. График зависимости коэффициента трения на внешней (неподвижной) цилинд-
рической поверхности от степени разрежения:
/ — свободномолекулярный предел; II — теория континуума Навье-Стокса; /// — формула (3.94);
+, △, О — опытные данные Талбота и Бауера для криптона при Г2/Г1 = 1,12 и соответственно чис-
лах М=0,214; 0,44; 0,88; ф, X — опытные данные Талбота и Бауера для аргона при Г2/Г1 = 1,12
и числах М=0,211; 0,435; □—опыты Культо для гелия при Г2/Г1 = 1,235 и М=0,1284-0,51;
♦,ф —опыты Культо и Чанга для воздуха при соответственно г21г\ = \Д2 и 1,235, М=0,154-0,55
и М=0,4 4- 1,4
§ 3.4. ТЕЧЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ
(ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА)
Рассмотрим установившееся движение газа между двумя коаксиаль-
ными цилиндрическими поверхностями, одна из которых (внутренняя
радиуса rj) вращается с угловой скоростью со, а вторая (внешняя радиу-
са г2>Г1)—неподвижна (рис. 3.9). Ограничимся условиями, когда тем-
пературы поверхностей одинаковы (равны Г), а линейная скорость вра-
щающейся поверхности мала по сравнению со средней скоростью хаоти-
ческого движения молекул, т. е.
М=о)г1/Уу^7;< 1.
В предельном случае при Кп->0, когда применима теория контину-
ума Навье — Стокса с граничными условиями полного прилипания, рас-
пределения скоростей газа и касательных напряжений по кольцевому
слою при рассматриваемых условиях описываются формулами (лами-
нарное движение):
О)Г? Г2— Г?
и=—5--------— :
где г — текущий радиус; ц— вязкость газа.
Из (3.83) вытекает следующая формула для коэффициента трения
на внешней цилиндрической поверхности (при г = г2):
^=^777 • <3'84)
где 4=^,; Re= ; CD=-^>^;
р (“г1)2
р — плотность газа.
В другом предельном случае, при Кп->оо, когда режим течения сво-
бодномолекулярный, формула для коэффициента трения на внешней
поверхности при диффузном отражении молекул от стенок записывается
следующим образом:
(3.85)
Д2
где y = cP!cv — отношение изобарной и изохорной теплоемкостей газа.
Задача о цилиндрическом течении Куэтта в промежуточной обла-
сти динамики разреженного газа теоретически рассматривалась во мно-
гих работах [11, 79, 54]. Много внимания уделено было предельному
случаю, когда Г2/^1“>1, т. е. течению между плоскими поверхностями
[22, 60, 71, 127]. Эти исследования проводились в различной постановке
(линейной и нелинейной) и разными методами (моментные методы, чис-
ленные решения модельных уравнений, метод статистических испытаний
Монте-Карло и т. д.). Этой задаче посвящен также ряд эксперименталь-
ных исследований [64, 119].
Здесь мы воспользуемся дифференциально-моментным методом,
следуя В. С. Галкину [11]. Можно отметить, забегая вперед, что резуль-
таты, полученные на основе численного решения линеаризованной
БГК-модели [79, 54], хорошо согласуются с полученными ниже форму-
лами.
Учитывая геометрию задачи, целесообразно воспользоваться ци-
линдрической системой координат г, 0, z. Уравнение переноса для рас-
сматриваемой задачи приводилось уже выше в § 3.3 настоящей главы.
При рассматриваемых условиях плотность, давление и температуру
газа можно считать постоянными во всем поле течения. В соответствии
с общими принципами выбранного нами метода примем в качестве ап-
проксимирующей функции распределения двухстороннее максвелловское
распределение:
f=fi = -----п ехр
J J 1 (2л£Г)3/2 к
2RT
(3.86)
Причем:
/=/1, й/ = й1(г) nPH а<ф<(л — а;
/=/2, й(,==и2(г) при л — а<(Ф<(2л-|-а,
где a=arccos(r1/r).
Так как Мс1, то выражение (3.86) может быть приближенно пред-
ставлено в следующем виде:
---^Л+Г2уММ;^1')еХр(г-Д±Д\ (3.87)
(2л7?Г)3/2 \ V2RT J \ 2RT J
где er=$psin<|>; b=^cos<p; «z = «,./wi.
Подставляя функцию (3.87) в уравнение переноса (3.43) и принимая
<p = mge, полчим следующую систему уравнений для функций Ui(r)
и и2(г):
^1 — ^2=гр;
— dui — ri ?
Г --i---Ил =---------
d7 I 27
(3.88)
(3.89)
где r=rlr{\ р— постоянная интегрирования; I — средняя длина свобод-
ного пробега молекул.
При выводе уравнения (3.89) интеграл столкновений был вычислен
для максвелловской модели молекул.
Будем считать, что отражение молекул от стенок диффузное. Тогда,
граничные условия запишутся следующим образом:
М1=1 при г=1;
«2=0 при г=Д,
(3.90)
где Д=г2/п-
Уравнения (3.88) — (3.89) при краевых условиях (3.90) имеют сле-
дующее решение:
ц1+ы2 __ 1 Lfx—г 1 -l-г fi М
2 4 Кп 5 \ 7 ) ' (. 2 /
(3.91)
где <1+..92 Кп=1/Л_
/1 2+ь Г1 И 2 Re
Р^1(г2-П)
Iх
Макроскопическая скорость газа и напряжение сдвига Рге выража-
ются с помощью (3.87) через и2 и р следующим образом:
и=
4- U2
2
а + sin а cos а
л
Ле
(3.92)
(3.93)
Из (3.93) вытекает следующая формула для коэффициента трения
на внешней (неподвижной) цилиндрической поверхности:
=---------1—--------, (3.94)
С°т t 1 + Д , /~ 2 Re
1 + 4Д2 |/ лу М
где С Dm — коэффициент трения при свободномолекулярном режиме
(3.85).
При M/Re->0 из (3.94) вытекает формула (3.84), а при M/Re->oo
формула (3.85). На рис. 3.9 дается сравнение полученной зависимости
(3.94) с данными экспериментальных исследований, о которых сообща-
ется в работах (54, 119]. На этом рисунке результаты опытов для одно-
атомных (у = 5/3) и двухатомных (у = 7/5) газов представлены в виде
х G +д) 1 /" 2 Не _
зависимости отношения (CD/CDm) от комплекса -------- I/-------, в
4Д2 у лу М
котором число Re вычислялось по опытным коэффициентам вязкости.
Зависимость (3.94) представлена на рис. 3.9 линией III, формуле (3.84)
соответствует линия II. Линия I соответствует свободномолекулярному
пределу. Интересно отметить, что полученная для частного закона мо-
лекулярного взаимодействия формула (3.94) хорошо согласуется с дан-
ными экспериментов с различными газами (криптон, аргон, гелий, воз-
дух). Эта формула, как следует из сравнения ее с опытом, пригодна для
расчетов трения при числах М<1. При числах М>1 задача Куэтта су-
щественно усложняется. 1Четод, использованный выше, в этом случае не-
пригоден [60].
§ 3.5. ТЕЧЕНИЕ В КАНАЛАХ
1. Течение между двумя параллельными
плоскими стенками
Рассмотрим установившееся движение газа в канале, образованном
двумя параллельными плоскими безграничными поверхностями, при сле-
дующих условиях. Температура поверхностей, образующих канал, всюду
постоянна и равна Т. Движение газа происходит под действием очень
малого градиента давления (перепада давления).
Теоретически эта задача исследовалась различными методами —
методом Монте-Карло, моментными методами, на основе численного ре-
шения модельного кинетического уравнения [44, 53, 54, 112, 128]. Рас-
смотрим схему решения задачи на основе БГК-модели.
Модельное уравнение для рассматриваемого случая записывается
следующим образом:
(3.95)
- п
~ tyiRTf!2 еХР
С + ^ + - а)2
2RT
(3.96)
где f = f{xy z, gx, gz) —функция распределения скоростей молекул; х,
z— координаты (ось z направлена по потоку, а ось х перпендикулярна
к стенкам канала, см. рис. 3.10); p = p(z) —давление; n = n(z) —число-
вая плотность молекул; ц— коэффициент вязкости; и = и(х, z) —макро-
скопическая скорость газа.
Так как градиент давления мал, то 5 = — < 1. Выраже-
V 2RT
ние (3.96) можно линеаризовать относительно S:
fe = [\+2czS\fb, (3.97)
где •/f°== (2nff)3/2 ехР(~~с2); с2=<£+^ + с2; ci = ^=. (i=x, у, Z)
При рассматриваемых условиях искомая функция / должна мало
отличаться от равновесной максвелловской и поэтому ее можно пред-
ставить в следующем виде:
+ су, сг, х)], (3.98)
где с2Ф(сх, су, cZy х) —малая по сравнению с единицей добавка. Измене-
ние j вдоль канала учитывается в (3.98) функцией n(z), а поперек ка-
нала — функцией Ф.
Подставим (3.98) в (3.95). После несложных преобразований по-
лучим
сх - К (1 + сгФ)= 8 (25 - Ф), (3.99)
дх
где 8=_^_==_±_8_ = _8__J_; x=2L. -z==JL. K=_Ld2L=
P-V^Rr 1 a a n dz
1 dp
=-----ъ-; а —расстояние между стенками.
p dz
Так как А'<С1 и (с2Ф)<^1, то их произведением можно пренебречь.
В результате получим следующее уравнение:
сх 2® _ К = 8 (25 - Ф). (3.100)
a
20
Рис. 3.10. График расхода газа через канал, образованный двумя параллельными плос-
кими стенками:
/ — решение модельного уравнения; 77 — теория континуума Навье-Стокса; точки — опытные дан-
ные Донга и Брамлея: 4---Н2; X — Не; △ — СО2; О — воздух; □ — фреон, опытные данные По-
роднова и др.; V — Ne, <£>— А
Граничные условия для функции Ф сформулируем, приняв, что от-
ражение молекул от стенок канала диффузное (функция распределения
для отраженных молекул — максвелловская):
Л=Л.(Х=-Т' ^>°)=(2^n^exp(~ci); (3-101)
^<°)= (г"ет^ ехр(-с»). (3.102)
Сопоставляя (3.101) и (3.102) с (3.98), придем к следующим усло-
виям:
ф+ = фЛс=—, cx>oj=O, Фда— Ф (х= + (3-ЮЗ)
Интегрируя уравнение (3.100) и учитывая условия (3.103), получим
Ф+(х, cx>0) = 28 I
-1/2
Г в — -
ехр-------(х — х )
сх
dx';
(3.104)
Ф"(х, cx<0) = 28 j
+ 1/2
dx’.
На рис. 3.10 поясняется содержание величин х и х', входящих в (3.104).
В (3.104) содержится неизвестная функция S(x). Эта функция мо-
жет быть выражена через Ф согласно определению макроскопической
скорости следующим образом:
+ °°
Ш c^d^d^- <3-105)
— оо
С учетом (3.98) формулу (3.105) можно преобразовать к следую-
щему виду:
5 =
c2z^~^dcxdcydcz.
(3.106)
Поскольку нас интересует не сама функция распределения f (или
Ф), а макроскопическая скорость S, то мы преобразуем уравнения
(3.104) так, чтобы иметь уравнение для S(x). С этой целью умножим
сумму выражений (3.104) на л“8/ас22ехр (—с2) и проинтегрируем затем
по б/со—dcx dcy dcz.
В результате получим следующее интегральное уравнение для S(х):
+ 1/2
5(7) = —— f ГЛ_4-5(7)1^(8 ] х-х' | )dx', (3.107)
i/T" J L 2s J
И Я -12
где /_1(8 | х — х' | )= f — ехр Г — + — I x — xr | Y| dcx.
J СХ L \ сх \
о
Это уравнение можно решить численными методами. После того как най-
дено распределение скорости по сечению канала, нетрудно найти объем-
ный расход газа, приходящийся на единицу площади поперечного сече-
ния канала:
+Л/2
J u(x)dx. (3.108)
—а/2
Разделив q на 1—— V 2А71, получим так называемый приведен-
I 2р dz I
ный расход Q:
+ 1/2
9 Р — —
Q=— \ S(x)dx.
К J
-1/2
В табл. 3.1 приведены результаты расчетов Q для разных значений
параметра разреженности 6, взятые из [54, 112].
Таблица 3.1
Зависимость приведенного расхода газа Q
от параметра разреженности 6
5 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
Q 3,0499 2,5242 2,3026 2,1668 2,0716 2,0331 1,7030 1,6025 1,5599 1,5427 1,5396 1,5391 1,5408 1,5441 1,5488 1,5546
5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40
Q 1,5615 1,5692 1,5776 1,5867 1,5963 1,7117 1,8468 1,9928 2,1421 2,2957 2,4516 2,6091 2,7669 4,292 7,454
На рис. 3.10 теоретическая зависимость Q(6) представлена кривой
/. На этом же рисунке нанесены результаты опытов Донга и Бромлея
[95], а также Б. Т. Породнова и др. [45]. В опытах Донга и Бромлея изу-
чалось течение в длинном канале, высота которого составляла а =
= 3,24-10-3 м, относительная длина L/a = 392 и относительная ширина
Z>/L=0,18. В работе (45] использовался канал, у которого а=18*10-6 м,
Л/а=445, &/L = 4,45. Температура в опытах была комнатной. Значение
приведенного расхода Q вычислялось по результатам измерений следую-
щим образом:
Q = (<M
где р=--1 -- ; &p=Pi~ р2, Pi и /^ — соответственно давление перед
и за каналом; А =Ь -а — площадь сечения канала; — измеренный
объемный расход.
Данные опытов хорошо согласуются с теоретическим решением при
значениях параметра 6^0,1 (т. е. Кп^Ю). При меньших значениях 6
опытные данные отходят от теоретической кривой. Это объясняется тем,
что в опытах использовались каналы конечной ширины. При Кп>10 в
этих каналах были существенными боковые эффекты.
Как видно из табл. 3.1 и рис. 3.10, зависимость Q(6) является немо-
нотонной. При 6—1,1 наблюдается минимум приведенного расхода. Это
явление называют парадоксом Кнудсена.
На риг. 3.10 линией II представлена теоретическая зависимость, по-
лученная в теории континуума Навье—Стокса: Qc= 1/66. Из сопоставле-
ния кривых I и II нетрудно сделать заключение о том, что теория кон-
тинуума пригодна лишь при числах Кп^0,01.
Из сравнения опытных данных с теорией можно заключить, что при
температурах, близких к комнатной, действительная схема отражения
молекул от стенок мало отличается от диффузной, т. е. коэффициент
аккомодации тангенциального импульса близок к единице. Вообще го-
воря, возможны иные ситуации. Зависимость приведенного расхода от
величины коэффициента аккомодации тангенциального импульса теоре-
тически исследовалась в работе [53]. С уменьшением этого коэффициента
приведенный расход возрастает.
2. Течение в круглой трубе
Рассмотрим теперь течение газа в круглой трубе бесконечной длины
{Lla-^oo, а и L радиус и длина трубы) под действием малого градиента
давления при постоянной температуре поверхности канала (85]. Восполь-
зуемся снова модельным кинетическим уравнением, которое примени-
тельно к данному случаю записывается следующим образом:
I(3.109)
иг иг р.
где г— радиус-вектор точки, лежащей в рассматриваемом сечении трубы
(начало координат расположено на оси трубы, ось z направлена вдоль
по потоку, | г | =Ух2-\-у2); $ —вектор скорости, лежащий в плоско-
сти рассматриваемого сечения трубы ( | В I — остальные
обозначения те же, что в уравнении (3.95). На тех же основаниях, что и
в предыдущей задаче,представим искомую функцию f в виде
7, r)=/0(z)[l + ®], (3.110)
где Ф = Ф(7, с2, с)-, exp [ - с2 - 4]; cz=lz/V‘2#T;
c— I $ I lY^RT. Подставляя (3.110) в (3.109) и линеаризируя выражение
для fe, получим
С ^--сЛ=Ч2сг5-Ф], (3.111)
где 7,=7/а; К=—8=——; S=u/V2RT.
р дг у-У 2RT
Макроскопическая скорость S, входящая в (3.111), выражается че-
рез Ф следующим образом:
+ °°
s=s (г.) = JJJ сгФ ехр [ - (С2+4)] dczde. (3.112)
— оо
Умножая (3.111) на —сгехр( — с2) и интегрируя по составляющей
Ул
скорости сг, получим
7-^-—L /< = § [S-ф], (3.113)
дг* 2
+ оо
где Ф = Т(гф, с)=—(* с2Фехр( — c2z) dcz.
У Л — оо
Скорость S(r*) выражается через Y следующим образом:
4-00
S(r,)=-J- JJ'Fexp( — &}dc. (3.114)
— оо
Итак, в результате преобразований задача свелась к нахождению функ-
ции Ч7, т. е. к решению уравнения (3.113).
Граничные условия для V сформулируем, считая, что отражение
молекул от стенок трубы диффузное. В этом случае для отраженных
молекул (для них сп>0, п — внутренняя нормаль к поверхности трубы,
см. рис. 3.11) имеем
fw=f[z^ 1 Н =«, ед >0) — ехР I - g2- (3.115)
Из (3.115) и (3.110) следует
ФЮ=Ф ( | Г| =а, с2, 77>0)=0, ^ ( |7 | =а, сп>0)=0. (3.116)
Интегрируя (3.113) вдоль направления с (см. рис. 3.11) и учитывая
граничное условие (3.116), получим
_ _ s (6S +4" к)
W (г*, с) = V ехр Г - 5(*_ }1 ds', (3.117)
J I С I L I С I J
где s=\r»M — r„|; s — s'= | г* —г' | ; г»м — безразмерный радиус-вектор
точки М, лежащей на поверхности трубы в рассматриваемом сечении
( |г«ж I =1).
Используя (3.114) и (3.117), получим интегральное уравнение для
макроскопической скорости:
где J0(B | ге —г' | ) — интеграл следующего вида:
Л W = ехр|^ —с2 —-ylrfc.
о
Рис. 3.11. График, расхода газа через круглую трубу:
/ — решение модельного кинетического уравнения; II — теория континуума Навье-Стокса;
III — свободномолекулярный предел. Опытные данные Породнова и др.: Ч-Ar; XNe и Не.
Опытные данные Донга и Брамлея: О — Н2; □ —Не; △—воздух CO2;v— фреон. Штриховая
линия — эмпирическая формула Кнудсена
Уравнение (3.118) можно решить численными методами {85, 135].
После этого нетрудно вычислить приведенный расход газа
Q(8)=---------С 2nr«(r)dr, (3.119)
КА V 2RT
где А = ла2— площадь сечения трубы; и(г)—функция, полученная из
(3.118).
В табл. 3.2 приведены результаты вычислений Q для различных
значений параметра б. На рис. 3.11 зависимость Q(6) представлена гра-
фически (кривая /). Так же, как в случае плоской щели, здесь наблю-
дается парадокс Кнудсена. Для сравнения на этом же рисунке приведе-
ны зависимости для свободно-молекулярного режима (линия III) и
режима континуума Навье—Стокса с условиями «полного прилипания»
(линия //) соответственно:
Qm=—(3.120)
з/л
Qf = -^8. (3.121)
Из сопоставления теоретических зависимостей (3.119), (3.120) и
(3.121) нетрудно оценить границы областей континуумного и свободно-
молекулярного режимов. Теория континуума применима при Кп^0,01,
а теория свободномолекулярного режима при Кп^ 100.
На рис. 3.11 приведены результаты экспериментальных исследова-
ний Донга и Бромлея (95], данные Б. Т. Породнова и др. [43]. Приведен-
Таблица 3.2
Зависимость приведенного расхода газа Q
через круглую трубу от параметра разреженности б
5 0,01 0,02 0,04 0,08 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1 2 4 6 8 10
Q 1,4768 1,4608 1,4391 1,4131 1,4043 1,3820 1,3767 1,3796 1,3982 1,4261 • 1,4594 1,6608 2,1188 2,5999 3,0894 3,5821
ный расход Q вычислялся по результатам измерений следующим об-
разом:
Q=q . / — VzRT,
4ll pL 2
где ^ — объемный расход газа через трубу; ; Д/?=р1 —р2;
Pi и р2 — давления перед и за рабочим участком трубы; а — радиус тру-
бы; Т — температура стенок трубы.
В опытах Бромлея и Донга изучалось течение в трубе, отношение
длины которой к радиусу составляло величину L/a^88. В опытах По-
роднова и др. изучалось течение при L/а^бОО. Температура стенок ка-
налов равнялась комнатной. Результаты теоретических расчетов удов-
летворительно согласуются с данными опытов. Разброс эксперименталь-
ных точек обусловлен с одной стороны погрешностями измерений, а с
другой — различным характером взаимодействия молекул разных газов
со стенкой.
На рис. 3.11 нанесена также пунктирной линией (линия IV) эмпи-
рическая зависимость Кнудсена:
Q=—lВ-]-8,52 -1 ±.2^8—|. ' (3.122)
4 \ V 2 +4,94В J
С формулой (3.122) удовлетворительно согласуются (с точностью до
5%) результаты Г. Брауна, А. Динардо, Г. Ченга и Т. Шервуда, прово-
дивших эксперименты с воздухом и водородом в медных и железных
трубах при Lja^ 100 [80], а также опытные данные М. Миллигана, полу-
ченные для аргона в стальной трубе с L/a = 672 [142].
Гореловым С. А. было проведено теоретическое исследование тече-
ния газа в круглой бесконечной трубе на основе уравнения Больцмана
[13]. Результаты его расчетов удовлетворительно согласуются с данны-
ми, полученными на основе модельного уравнения.
3. Течение в кольцевом канале
Рассмотрим течение разреженного газа под действием малого гра-
диента давления между двумя соосными круглыми бесконечными ци-
линдрами радиусов а и Ь<а (рис. 3.12). Так же, как и в предыдущих
случаях, будем считать, что температура стенок всюду постоянная и от-
ражение молекул от стенок — диффузное. Воспользуемся снова модель-
ным кинетическим уравнением (3.109). Будем искать решение в виде
(3.110). Следуя тем же путем, который использовался при решении за-
дачи о течении в круглой трубе, придем к интегральному уравнению для
макроскопической скорости такого же вида, как уравнение (3.118).
Отличие будет иметь место лишь в области интегрирования. В табл. 3.3
приведены результаты вычислений расхода для трех значений у (70, 135].
Рис. 3.12. График зависимости приведенного
расхода газа через кольцевые каналы от пара-
метра разреженности при разных значениях
геометрического фактора Ь/а
На рис. 3.12 представлены теоре-
тические зависимости величины
Q/(l—у2) от параметра разреженно-
сти 6(1—у) для ряда значений геомет-
рического фактора у = 0,175; 0,35;
0,523; 0,7; 0,872. В табл. 3.3 и на рис.
3.12 использованы следующие обозна-
чения:
ра . q Qv~
\pdz / 2
а
9б= 2пги (г) dr.
ь
Таблица 3.3
Зависимость приведенного расхода через кольцевой канал
от параметра разреженности 6(1—у)
и отношения радиусов цилиндров y=bja
6(1^7) Q
Ч=Ъ/а
0,175 0,35 0,7
0 1,26 0,95 0,288
0,0001 1,2582 0,9422 0,2876
0,001 1,2537 0,9386 0,2863
0,01 1,2325 0,9210 0,2791
0,1 1,1645 0,8636 0,2549
0,2 1,1408 0,8418 0,2446
0,3 1,1320 0,8321 0,2389
0,4 1,1303 0,8279 0,2354
0,5 1,1327 0,8270 0,2333
0,6 1,1377 0,8283 0,2320
0,7 1,1446 0,8310 0,2313
0,8 1,1527 0,8347 0,2311
0,9 1,1619 0,8393 0,2312
1,0 1,1718 0,8445 0,2316
1,1 1,1823 0,8501 0,2322
1,2 1,1933 0,8562 0,2330
1,3 1,2047 0,8626 0,2346
1,5 1,2284 0,8762 0,2363
1,7 1,2529 0,8905 0,2390
2 1,2908 0,9131 0,2437 '
2,5 1,3557 0,9527 0,2525
3 1,4219 0,9939 0,2621
4 1,5557 1,0790 0,2831
5 1,6901 1,1663 0,3053
6 1,8246 1,2551 0,3283
8 2,0931 1,4352 0,3755
10 2,3605 1,6171 0,4237
Экспериментальные исследования движения разреженного газа в
длинных кольцевых каналах (ЬЦа—6) >100) проводились Донгом н
Бромлеем {95], Берманом и Маегли (136] и др. при следующих значениях
геометрического фактора: у = 0,523; 0,872; 0,665; 0,822; 0,9226; 0,8711;
0,9932. Результаты измерений расхода газа при разных числах Кнудсена
удовлетворительно согласуются с теоретическими расчетами по описан-
ной выше схеме. Разброс экспериментальных данных около соответст-
вующих каждому значению у теоретических зависимостей Q(6) при-
близительно такой же, как на рис. 3.11 для круглой трубы.
4. Течение в каналах квадратного сечения
Течение в длинных каналах квадратного сечения в промежуточной
области динамики газа исследовалось главным образом эксперименталь-
ными методами [33, 142]. Результаты опытов показали, что для прибли-
женных оценок расхода газа при Lla>№ можно использовать следую-
щую эмпирическую формулу:
q____ 8а3 Др / л X1/2 Зя
_ ”з ~L IjpF J L 128Kn
v + Kn
4______
1 + Kn
(ЗЛ23)
где 2a— длина стороны квадратного сечения канала; L — длина канала*
Др = Р1—р2 — перепад давлений на длине A; G — массовый расход газа^
Кп — число Кнудсена.
5. Короткие каналы и отверстия
Выше рассматривались течения разреженного газа в длинных кана-
лах (L/a->oo). Полученные зависимости Q(6) можно использовать для
практических расчетов течений в каналах с L/a>100. В таких каналах
на большей их части течение является полностью развитым и влиянием
входной и выходной областей можно пренебречь.
Течение в коротких трубах на значительной их части или даже
всюду является неразвитым и зависит от условий на концах трубы [81,
82, 106, 137, 155, 172]. На рис. 3.13 представлены взятые из работы (137}
экспериментальные зависимости безразмерного расхода G от числа Рей-
нольдса Re для круглых коротких труб (L/Z>=2-?-10) с прямоугольным
входом (L и D соответственно длина и диаметр трубы) при двух значе-
ниях отношений давлений pi/p2 = 2 и 100 (pi и р2— давления в камерах
перед и за трубой). Величина G представляет собой отношение изме-
ренного массового расхода (т) к расходу через отверстие при изоэнтроп-
ном критическом режиме истечения
G=m/m„ где т, = А?УyRT p,=pJRT^
7
Pi и Ti — соответственно давление и температура в камере перед тру-
бой; y = cplcv (в опытах у= 1,4). Число Рейнольдса представляет собой
величину, вычисляемую по формуле
1 т
— niD _ G V лу (Y + 1) 1 2 / 2 Х1"1
Л-рц Кп L 4 J \ Y + 1 / *
Рис. 3.13. График, зависимости расхода газа через короткие каналы от числа Рейнольдса:
a — Pllp2==2-, б — pI/p2=100; O-A/D-2; U-L/D=3\ q-L/D=4; &-L/D=b\ +—L]D^\ v-LID=10
где pv=pi/RTr, pn — вязкость; l\ — средний свободный пробег при pi и
Ti; Kn=/i/D — число Кнудсена.
Пунктирными линиями на рис. 3.13 даны значения расхода Gm, под-
считанные по теории свободномолекулярного течения при диффузном
отражении молекул от стенок трубы:
(7+1)
о.=(1 (2-V)-*,
4 \ Р\1 \ * /
где W=W(L/D) —коэффициент Клаузинга (см. § 2.4).
Из графиков видно, что при малых числах Re (т. е. при больших
Кп) расход для каждого значения геометрического фактора L/D при-
ближается к величине, даваемой теорией свободномолекулярного тече-
ния. При больших числах Re величина G стремится к единице. В проме-
жуточной области зависимость G(Re) при имеет монотонный
характер.
Предельному значению геометрического фактора LID-+-Q соответст-
вует отверстие в тонкой стенке. Течение через отверстие изучалось тео-
ретически и экспериментально многими исследователями [5, 32, 126,
144]. На рис. 2.4 представлены все опубликованные результаты экспе-
риментальных измерений расхода через круглое отверстие в области
чисел Kn^l. На этом же графике приведены теоретические зависимо-
сти Р. Нарасимхи, Д. Виллиса и Е. М. Шахова, полученные на основе
модельных кинетических уравнений. Результаты вычислений Е. М. Ша-
хова согласуются с данными опытов при Кп~1 наилучшим образом.
§ 3.6. ПЛОСКОЕ ОБТЕКАНИЕ
Рассмотрим вначале поперечное обтекание бесконечного круглого
цилиндра (L'iD-ж), L — длина образующей, D — диаметр цилиндра) по-
током разреженного газа при малых значениях макроскопической ско-
рости набегающего потока, т. е. при
5=1/
V 2
В первом приближении эту задачу можно решить при помощи диф-
ференциально-моментного метода. Воспользуемся аппроксимирующей
функцией распределения следующего вида:
(2л/?Т)3/2 еХР
?~?2 (2xRT)3/2 еХР
(?2-Цн)2 + (?0-а91)2 + ^
2RT
Gr-ttr2)2 + (ee-«B2)2 + e|
2RT
(3.124)
где fi — функция распределения для молекул, векторы скоростей кото-
рых лежат в области I, а /2— для молекул, векторы скоростей которых
лежат в области II (см. рис. 3.2); gr, ge, — компоненты вектора ско-
рости молекулы; uri, иГ2, «еь «ег — неизвестные функции координат гиВ
(здесь и далее используется цилиндрическая система координат).
Так как М<С1, формулы (3.124) можно линеаризовать
п
(2л/??)3/2
(url sin ф . cos ф) ехр
+
2RT
Здесь 5р= 5г + & Ф= arctg / \ .
Ve /
Подставляя (3.125) в уравнение переноса и полагая <p=/n; mgr; mge;
m|r|e, получим следующую систему четырех уравнений для параметров
иГг и «е»-:
-4=г[гыг1 (— — а-1—— sin2a^-l-r«r2f— -|-а--— sin 2a)l-f-
д г L г \ 2 2 J ' г\2 2 /J
+ [«ei (у - а ~ Y sin 2«) + «ег (у+« + у sin а)]=0;
-у- [(“и - «г2) (2 + sin2 а)]’+ [(«„ - йе2) cos3 а] +
+ («ri — «rt) c°s3 а=0;
I(«81 ~ «ег)cos2 “1 + УГ “ “г2) COS3 “1 +
+ («01 - «ег) cos3a=0;
г17 р91 (т ~ а —Гsin 4а)+“°2 (т+а “ тsin 4а)]+
+ (у - а - -1- Sin4a)4-K,2 (у+«~у sin4a)j+
4-[«01 —а-—2 sin 2а -]—- sin 4а^~р «02[—-ра-|-2 sin 2а +
| \ 2 4 j \ 2
+ sin 4aj] + -у- cos2 а (^ - «“)=О,
(3.126)
где a=arccos (-=-); 0<а<-^-;
m-nU^D -
Re=—;r
%r — Uri U6l
---; иri=—u6l =-----
D rl U ei U„
Ua, — скорость потока на бесконечном расстоянии от цилиндра.
При вычислении столкновительного члена предполагалось, что мо-
лекулы взаимодействуют в соответствии с максвелловской моделью.
Изменением плотности, как это можно было заметить из (3.124), мы пре-
небрегаем. Граничные условия сформулируем, предполагая отражение
молекул от поверхности цилиндра полностью диффуз
ur2= — cos9, a02=sin9 при г—>оо;
«г1=0, «01=О при г—>1.
Введем новые переменные
«г1-|-«Л2=^1cos6» «н — ur2=U2cosb-,
«е1-|-«в2 = И1 sin 9, «01 —и02=У2 sin 9,
где Ui=Ui(ry, Vi = Vi(r).
Граничные условия для новых переменных запишутся' следующим об
.разом:
C/1-f-t/2=0, ^ + ^2=0 при 7=1;
Ui — U2=—2, V\— V2=2 при г = оо.
(3.127)
(3.128)
(3.129)
При помощи (3.128) система уравнений (3.126) преобразуется к си-
стеме обычных линейных дифференциальных уравнений:
[(sin2 а+2) U2]' + cos3 а (У2 - U2}=0;
(3.131)
[cos2 аИ2]' cos3 а (У2 — £/2)=0;
(3.132)
г -------i-sin4a)y1j —г[аУ2]' — ------sin 4aji/1-|-aZ72-f-
+(т+т sin 4а j V\ -j-(a-|-2 sin 2a -[--j- sin 4a-f-
+ 1/^7 ->c°s2“)^=0- (З.1.33)
где значок «штрих» означает дифференцирование по г.
Из (3.131) и (3.132) вытекает
i/2=M-----, . У2=-£о-^Кз72-1 . (3.134)
у Зг2 — 1
Так как на бесконечности V2 должно быть конечным, то &i = 0.
учетом (3.134) из уравнений (3.133) и (3.130) получается обыкновен-
ное дифференциальное уравнение второго порядка для C/j:
sin 4a\ r T* f — /
—p+r(-
Л
~2
+ sin 4acos 4 a ctg a
sin 4 a-[-cos 4 a ctg a j 6^ =
= A0(2sin2a4—-n-4-—ctga-(- ——-^-cos2a.
0 \ r 4 & 1 у 2y M
(31135)
Уравнение (3.135) является линейным с переменными коэффициен-
тами. Путем аппроксимации коэффициентов уравнения (3.135) в работе
[129] получено приближенное аналитическое решение, согласно кото-
рому
t/i — (£0
л Re Ло
2у М г*
для г > 1;
1_1/ 2 Re
8 У лу М
£0а4 для г -> 1 •
(3.136)
(3.137)
t/i— —£0
Из условия «стыковки» формул (3.136) и (3.137) получается следу-
ющее выражение для k^\
1
Re
М
(3.138)
Отметим, что M/Re~Kn.
Для коэффициента сопротивления получается выражение следую-
щего вида:
CD=-----, (3.139)
1 + ^-
De
где CD—XI -i- pU«,DL — коэффициент сопротивления цилиндра; X —
сила, действующая на цилиндр длиной L; CJym=f(y, М) —коэффициент
сопротивления, подсчитанный по теории свободномолекулярного обтека-
ния (см. гл. II); CDc=f(Re)—коэффициент сопротивления, подсчитан-
ный по теории континуума Навье-Стокса.
Для малых чисел Маха (М^0,01) формула для Сщп, приведенная,
во второй главе, преобразуется к виду
С Dm
_ Ул 6 + л
~~4 S
(3.140)
где 5=
С этим выражением согласуется результат, который следует из рас-
смотренного выше решения. Для функции CDc(Re) из полученного реше-
ния вытекает приближенная формула, хорошо согласующаяся с опытом
при Кп-H), если Re~l. Однако формула (3.139) будет лучше соответ-
ствовать предельной (континуумной) теории, если для определения Сде
воспользоваться зависимостью, полученной на основе уравнений Навье-
Стокса [193]:
CDc=-------—------(ReD < 1)
ReD(2-lnReD) v
(3.141)
Рис. 3.14. График коэффициента сопротивления цилиндра, обтекаемого разреженным
газом с дозвуковой скоростью:
/ — теория континуума Навье-Стокса; // — теория свободномолекулярного режима; точки — опыт-
ные данные Кудевилля и др.; пунктирные линии — формула (3.139); Ч-5=0,013; О — 5=0,027, △ —
5 = 0,054; □—5=0,107; V-5=0,197
На рис. 3.14 представлено сравнение формулы (3.139) с данными
опытов [89]. На этом рисунке сплошной линией (линия /) представлена
теория континуума Навье-Стокса (формула (3.141); штрихпунктирны-
ми горизонтальными линиями в левой части графика даны значения CDm
для значений 5=0,0134-0,197.
Зависимости CD(Re) представлены на рис. 3.14 штриховыми линия-
ми. Из графика видно, что формула (3.139) с использованием (3.141)
хорошо согласуется с опытом (при Red).
В работе [190] эта же задача анализировалась на основе БГК-урав-
нения. Полученные при этом ассимптотические формулы для CD (при
Кп-*0 и Кп—>оо) удовлетворительно согласуются с формулой (3.139).
Рассмотрим теперь другой предельный случай — обтекание цилинд-
ра потоком при больших числах М, т. е. 5^>1. При числах 5>10 сопро-
тивление цилиндра в континуумном потоке (Кп->0) можно рассчиты-
вать на основе модифицированной теории Ньютона, согласно которой
С _ 2 / Y + 1 \Г(у+1)2-11/7-1
Dc~ 3 I у ' (3 }
Для у = 1А имеем CDc ж 1,24.
При свободномолекулярном режиме (см. гл. II) в случае диффузно-
го отражения молекул имеем для S> 10:
CDm = 2 + (3.143)
Рис. 3.15. Коэффициент сопротивления цилиндра в промежуточной области при гипер-
звуковом обтекании (у—1,4):
/ — свободномолекулярный предел. Данные опытов: О— М«10.1; /^«=0,091 [165], △ —М—9,3; <да"0,17$
[1651; +-М=224-25; /^=0,614-1 [115]; х-М-194-24; /ад=0,084-0,16 [115]; □-М-9,94-10,1; fw-l [139];
V—М=8,8; zw-l [169]
Сравнивая (3.142) и (3.143), можем заключить, что при изменении
числа Кнудсена от Кп=0 до Кп = оо коэффициент сопротивления ци-
линдра в гиперзвуковом потоке изменяется сравнительно немного. На-
пример, если /w=l, то коэффициент сопротивления изменяется от 1,24
до 2,74. Еще меньше будет изменение, если tw<\.
На рис. 3.15 представлены результаты измерений коэффициента со-
противления. Эти данные представлены в виде зависимости приведенно-
го коэффициента сопротивления Ср=(Ср—Cpc)/(CDrn—CDc) от числа
Кнудсена Кп = /оо/7). Значения CDc и CDm рассчитаны по формулам соот-
ветственно (3.142) и (3.143). Использование приведенного коэффициен-
та Cd удобно в том отношении, что его предельные значения не зависят
от температурного фактора tw и равны СЪ(Кп->0) =0, Cp(Kn->oo) = 1.
Анализируя данные опытов, можем отметить значительный разброс
результатов, полученных разными авторами, при малом температурном
факторе tw=0,091 и 0,08—0,16 [115, 165] и числах Кп^1~2. Помимо
влияния коэффициентов аккомодации на результаты измерений, в этих
опытах имели место, по-видимому, систематические погрешности. Ре-
зультаты'измерений приближенно описываются формулой следующего
вида (см. рис. 3.15, пунктирная линия):
Задача об обтекании цилиндра в промежуточной области динамики
разреженного газа при числах 1^М<10 рассматривалась рядом иссле-
дователей [15, 57, 195]. В этих работах для численного решения задачи
использовался метод статистического моделирования (метод Монте-
Карло) и метод характеристик. Результаты вычислений суммарных аэ-
родинамических характеристик (например, коэффициентов сопротивле-
ния), полученные разными методами, удовлетворительно согласуются
друг с другом и с данными опытов.
Рассмотрим кратко схему решения задачи на основе модельного
кинетического уравнения методом характеристик, использованным
Е. Ф. Лимаром (57]. Так как функция распределения не зависит от коор-
динаты z (ось z направлена вдоль оси цилиндра, т. е. перпендикулярна
скорости набегающего потока {/«>), то целесообразно модельное уравне-
ние осреднить по составляющей вектора скорости частиц. Для этого
умножим правую и левую части этого уравнения на и затем проин-
тегрируем обе части уравнения по всем значениям gz. Записывая резуль-
тат в безразмерной форме (плотность и температура отнесены соответ-
ственно к значениям этих параметров на бесконечности и Too; скоро-
сти молекул и макроскопическая скорость газа к ]/ координаты к
радиусу цилиндра г0; интеграл от функции распределения по dgz к вели-
чине Поо/2л7?Тоо), получим для максвелловских молекул (p/np = const)
следующее уравнение:
. §____L_
* дх ду КП
(3.144)
+ °°
ГДе fi fi Уч ty) J f{x>y> d^zi С2=(£х #г/)2>
—оо
16 И (Poo)
5 V ‘InRT
Kn= —
Го
число Кнудсена, составленное из длины
•свободного пробега в невозмущенном потоке и радиуса цилиндра.
Таким образом, вместо функции распределения f мы перешли к
•функции fi. Макроскопические параметры — плотность и составляющие
^скорости — выражаются через fi следующим образом:
4-00
— 00
4- 00
^х=== jy ^xfid^xd^yi
— со
Uy
4-00
— 00
Введем еще одну функцию
4-00
f 2Z== f 2^,'Хч Уч Вх» ^)= J $>х f (Х, У, В2) d^z.
, —оо
Для этой функции из модельного уравнения можно получить, умно-
жая его на gz2dgz и затем интегрируя по d%z, следующее уравнение:
df2
dx
\у—^ = --— \п еХР
(3.145)
Введение /г позволяет записать для температуры следующую формулу:
4-00
г==1^тП(2с2/1+/2)^г
— оо
Граничные условия на бесконечности записываются следующим обра-
зом:
/1 — ехР [ (5ж ^1»
Л=ехр [ - ($х —S)2 - ],
(3.146)
где 5=(17оо/27?Тоо.
Чтобы сформулировать граничные условия на поверхности цилиндра,
будем считать отражение молекул диффузным, т. е.
[р2 t
—ЦА ’р=1’2-
Tw J
(3.147)
Плотность nw определяется из условия непротекания. Если положить,
что теплообмен отсутствует (адиабатная стенка), то температура ци-
линдра Tw будет определяться из условия равенства потоков энергии.
Уравнения (3.144) и (3.145) являются интегродифференциальными,
так как функции fi и /2 в правой части содержатся под знаком интегра-
ла (см. формулы для п, и и Т). Эта сцстема уравнений с граничными
условиями (3.146) и (3.147) решается численно следующим образом.
Около цилиндра в плоскости ху выбирается прямоугольная область G
достаточно больших размеров. Условия, заданные на бесконечности,
считаются заданными на границе этой области. В области G вводится
прямоугольная сетка с шагами hx и hy по осям х и у. Кроме того, функ-
ции распределения и макропараметры вычисляются в узлах, располо-
женных на поверхности цилиндра равномерно с шагом hc, при этом
учитывается разрыв значений вычисляемых функций на твердой поверх-
ности тела и в газе. Ввиду симметрии задачи макропараметры вычисля-
ются только в одной половине плоскости.
Уравнения (3.144) и (3.145) решаются методом итераций вдоль
характеристик. При дифференцировании вдоль траектории молекулы,
которая является характеристикой, уравнения могут быть записаны в
виде
(3148)
di*
где V=]/~ k—номер итерации; Z, — координата вдоль характе-
8 1 ото
ристики, а =--; р= 1, 2;
5/л Кп
с- п / с2 \ п для₽=1;
\ т / In для ₽=2.
В качестве начальных условий для уравнений (3.148) задаются значе-
ния fa и /2 в точке хоуо границы для частиц, вылетающих из этой точки
со скоростью g(gx, gz), которая определяет данную характеристику
(х—Хо) 1У=(у—Уо)1х.
Введем в пространстве скоростей полярную систему координат V,
<р, (gx='Vcos(p, gy=Vsin(p). Пусть в каждом из узлов сетки в &-й итера-
ции известны значения п, их, иу, 7. Для определения этих величин в
следующей итерации необходимо вычислить значения функций fa и в
узлах и проинтегрировать их по V и <р. Выбрав для вычисления момен-
тов квадратурную формулу, получим систему узлов Vi, cpj, в которых нуж-
но вычислить функции распределения. Если узлы квадратурной форму-
лы одинаковы для всех точек плоскости х, у, то они образуют сетку
характеристик, покрывающую эту плоскость. Проведем, начиная от ка-
Kn^L^/D
ft) KnD~~
Puc. 3.16. График сравнения численных решений с опытом при (а) 5=3,35 и (б) 5=4,95:
Ч---опытные данные [138]; △, V, ф, ©, 0 — метод Монте-Карло (для модельного уравнения)
Ц5]; □ — численное решение модельного уравнения методом характеристики (данные Е. Ф. Ли-
мара); ф « метод Монте-Карло [195]
кой-либо точки границы, на которой известны значения макропараметров
для соответствующего значения скорости, характеристику, которая опре-
деляется координатами Уг-, ф; одного из узлов квадратурной формулы.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (3.148) с начальными дан-
ными на границе могут быть легко решены численно, если производную
по /* аппроксимировать конечноразностным выражением
V /м—=ап(^ (F<*)/+1 _ (3.149)
AZ*
Здесь индексами /, (i+1) обозначаются точки пересечения характери-
стики с линиями сетки. Поскольку они в общем случае не совпадают с
узлами сетки, то значения макропараметров в этих точках, необходи-
мые для решения (3.149), должны быть вычислены с помощью интерпо-
ляции между ближайшими узлами сетки. С помощью соотношения
(3.149) значения функции распределения в таких точках можно вы-
числить последовательно, проходя от границы вдоль характеристики по
направлению движения частицы. Однако вычисленные таким образом
значения функции распределения в общем случае не лежат в узлах сет-
ки. Для того чтобы получить значения функции распределения в узлах
сетки, необходимо воспользоваться интерполяцией. Величина функций
распределения fp в узле сетки для заданных значений Vf, получает-
ся путем интерполяции между двумя значениями fp, вычисленными в
точках пересечения с линией сетки двух соседних характеристик (прове-
денных из двух соседних узлов на границе при одинаковых значениях
Vi, ф;), лежащих по разные стороны от узла. При этом можно вести вы-
числения таким образом, что не будет необходимо запоминать функцию
распределения, а можно будет ограничиться запоминанием макропара-
метров в узлах сетки.
На рис. 3.16 приведены результаты расчетов Е. Ф. Лимара при чис-
лах 5= М =3,95; 4,95, числах Кп=2Кпр=0,44-20 и Zw=l. На
графиках отмечены свободномолекулярные (линии /) и континуумные
(линии //) пределы. Следует отметить, что результаты расчетов хорошо
согласуются с опытом.
Интересно отметить, что использование в расчетах разных моделей
молекул (твердые сферы, максвелловская модель) и разных уравнений
(Х-модель, ц-модель, моделирование уравнения Больцмана — метод
Монте-Карло) приводит к мало отличающимся результатам в коэффи-
циентах сопротивления.. Различие здесь такого же порядка, что и точ-
ность имеющихся опытных данных [42, 180, 195].
На рис. 3.17 представлены результаты вычислений поля плотности
около цилиндра при S=5, Кп = 1 и tw~ 1. Следует отметить, что расче-
ты, основанные на уравнении Больцмана с использованием метода ста-
тистических испытаний [195], дают несколько иную картину. Для срав-
нения на рис. 3.17, б приведены результаты работы [195], полученные
для тех же значений S, Кп и tw. Результаты расчетов полей позволяют
сделать следующие качественные выводы. Толщина сжатого слоя перед
цилиндром в области переходного по числам Кпр режима значительно
толще, чем в газодинамическом пределе. При уменьшении числа KnD
толщина сжатого слоя уменьшается, а величины плотности и температу-
ры в окрестности точки торможения растут. При увеличении числа М
(при фиксированном числе KnD) область сжатия перед телом несколько
сокращается, плотность и температура в окрестности точки торможения
увеличиваются, размер возмущенной области над телом растет. При
этом точка цилиндра, в которой начинается зона разрежения, смещает-
ся несколько вниз по потоку.
5)
a)
Рис. 3.17. Поле плотности около цилиндра при S=5, Кп=1 и <ю=1:
а — решение модельного уравнения методом характеристик; б — метод Монте-Карло [195]
Рассмотренные выше методы решения задачи об обтекании цилинд-
ра позволяют также анализировать теплоотдачу в промежуточной об-
ласти динамики газов. Однако систематических результатов, которые в
принципе можно получить на основе численного решения кинетических
уравнений, сейчас еще не накоплено. В то же время этому вопросу было
посвящено большое число экспериментальных исследований, в результа-
те которых накоплен обширный фактический материал (21, 62, 65, 67, 72,
94, 124]. Особенно много изучалась интегральная теплоотдача цилиндра,
выполненного из материала с большой теплопроводностью. Интерес к
этой задаче связан с широким использованием в испытательской и лабо-
раторной практике термоанемометров.
Экспериментально установлено, что при не очень больших числах
Рейнольдса при континуумном обтекании (KnD<0,01) относительная
температура восстановления цилиндра т)с=7'е/7о (где Те и То — соответ-
ственно температура восстановления и температура адиабатно затормо-
женного потока) является только функцией числа Маха и изменяется от
т]с=<1 при М—>-0 до цс=0,95 при М>2 [94]:
^=1-0,05
M3-5
1,175 + М3'5
(3.150)
При свободномолекулярном режиме относительная температура
восстановления зависит от y = cp/cv и от числа М, также уменьшаясь с
ростом М (см. гл. II). При числах М>10 значение этой температуры
почти не отличается от предельного значения (^т)м»оо =——.
Y 1
При больших М разность (т]т—т]с) практически не зависит от чис-
ла М.
На рис. 3.18 представлены результаты большого числа опытов, про-
веденных при у=1,4 и М>0,4 в диапазоне Кпл = /оо/£>== 0,04 4-11. В рабо-
те [94] установлено, что результаты всех опытов в первом приближении
можно описать
ния III):
следующей эмпирической формулой (см. рис. 3.18, ли-
izn 1,193
— 0,493 Ч-Кп^193
(3.151)
Рис. 3.18. График температурного коэффициента восстановления цилиндра в промежу-
точной области:
/ — континуумный предел; // — свободномолекулярный предел; /// — формула (3.151). Опытные
данные: из [94]— О*—М=5,8; ф—М=3,05; ^-М=2 и 4; X— М=2ч-3,2; Д —М=0,6: △ —М==1,2;
V—M = l,t;J)—М»0,8; из [67]-1 М =4-^6; из [21]— □— М*2,7; из [65] — ф — М=0,41; из [21] (дан
йые Л. В. Козлова) — V — М=3; <— М=4
Рис. 3.19. Теплообмен цилиндра. Зависимость среднего числа Нуссельта Ntio от числа
Рейнольдса Re0:
/ — теория свободномолекулярного режима, формула (3.154); // — континуумный предел; точки —
данные различных исследователей, суммированные в работе [67], М=1,5 4-6, и данные Коппен-
вальнера [124],• М=204-24
где значение т]с определяется по формуле (3.150), а разность (цт—т]с)
определяется при помощи следующего выражения:
м2,8
^-^=0,2167-------- • (3.152)
0,852М2’8
При М>3 формулы (3.150) и (3.152) упрощаются:
^ — 0,95; ^-^=0,2167.
Многочисленные опыты, проведенные при числах Reo = 0,044-100 и
0,3^/w^l [67, 72, 124], показали, что теплоотдача цилиндра, обтекаемо-
го двухатомным газом при М^2, удовлетворительно (с точностью
±10%) описывается в промежуточной области (0,01 <Кп< 100) следую-
щей эмпирической формулой (рис. 3.19):
где Re0
а
Nu0= ]Лх24-6Ее0 —а,
tJJJ) кт aD
------- Nu0=--------;
^(T'o) X(T0)
______Q______. __ T w .
aD (ц — tw)T0 ’ w To ’
(3.153)
Re0
Re„C*
r,==2k = 1,167—0,217
To
И (TJ To _
И(Т'о) ’
1
0,35Re0
a=0,4582; 6=0,17422; а — средний коэффициент теплоотдачи; Q — сум-
марный тепловой поток, приходящийся на единицу длины (образующей)
цилиндра; р.(Т'о) и Л.(Т'о) —вязкость и теплопроводность при температу-
ре адиабатно заторможенного потока То; Tw — температура поверхности
цилиндра.
При Reo->O (Кп->оо) формула (3.153) преобразуется к виду
Nu=— — Reo=O,1911 Re0.
2 а
(3.154)
Выражение (3.154) соответствует результату, полученному в теории
свободномолекулярного гиперзвукового обтекания при у= 1,4; Рг = 0,7 и
аэ= 1. При числах М<2 в формуле (3.153) появляется поправочный
множитель, сложным образом зависящий от М и Re [67, 94].
Рассмотренная выше задача относится к классу плоских задач
внешнего обтекания. Одной из интереснейших задач этого класса явля-
ется задача об обтекании тонкой пластины конечной (вдоль по потоку)
длины и бесконечного размаха. В зависимости от угла атаки характер
обтекания пластины существенно различный. При поперечном обтекании
(угол атаки равен л/2) возникает картина, похожая на картину обтека-
ния цилиндра. При нулевом угле атаки обтекание пластины дает пре-
дельную картину течения около тонких заостренных тел.
Теоретические исследования обтекания пластины в промежуточной
области проводились на основе численного решения модельных кинети-
ческих уравнений [56, 58], на основе численного решения уравнения
Больцмана [52], а также методом Монте-Карло [194]. Эксперименталь-
ные данные о теплоотдаче пластины конечной длины получены в работе
[29]. В результате исследований было установлено, что при больших
числах М(М>4) коэффициенты сопротивления Cx=XI~pJJl
и теплоотдачи CH = ql^ooCpUoo(Te—Tw) для продольно-обтекаемой (при
нулевом угле атаки) пластины в области почти свободномолекулярного
обтекания (100>Кп>1) существенно больше значений, даваемых теори-
ей свободномолекулярного режима. Таким образом, зависимости Сх(Кп)
и Сн(Кп) для пластины при М>4 оказываются немонотонными в про-
межуточной области динамики разреженного газа. Это явление можно
объяснить приближенно так. При больших числах Маха молекулы, про-
летающие при нулевом угле атаки около пластины, движутся по траек-
ториям, почти параллельным плоскости пластины. Угол наклона траек-
тории в среднем равен ^=arctg—---------• На пластину молекулы
со
падают за счет тепловой скорости соо = У<2ЩУиз относительно тонкой
зоны над поверхностью пластины. Отраженные молекулы при числах
Кп>1 проходят через эту зону без столконовений с падающими на пла-
стину молекулами и сталкиваются с молекулами невозмущенного потока
за пределами указанной зоны. После столкновения отраженной молеку-
лы с молекулой набегающего потока одна из них может направиться к
пластине. Так возникает направленный к пластине поток большого чис-
ла молекул первых столкновений. Эти молекулы обусловливают допол-
нительные потоки импульса и энергии. При ненулевом угле атаки, когда
Msina^sl (а — угол атаки), описанное явление уже не имеет места.
Одним из частных вопросов задачи о продольном обтекании пласти-
ны бесконечного размаха является задача о течении вблизи передней
кромки бесконечно тонкой пластины, длина L которой, отсчитываемая
от передней кромки вниз по потоку, равна бесконечности, т. е. Кп =
Этому вопросу было посвящено большое число эксперимен-
тальных и теоретических работ (см. например, (166]). Следует отметить,
что распределение тепловых потоков и касательных напряжений на
стенке вблизи передней кромки такой пластины иное, чем на пластине
конечной длины. Чем больше число Кнудсена, составленное из длины
свободного пробега молекул в невозмущенном потоке и длины пластины
L, тем структура течения около кромки больше отличается от той, кото-
рая наблюдается при Кп = /оо/А->0.
§ 3.7. ОБТЕКАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ
Рассмотрим задачу о сопротивлении сферы при малых числах Маха.
Если воспользоваться дифференциально-моментным методом, который
описан в предыдущем параграфе при рассмотрении обтекания цилиндра,
то получим следующую формулу для коэффициента сопротивления (под-
робные выкладки даны в (264]):
Со=СОтГ1+^-Г1, (3.155)
8 /о । л \ л Г 2 1 п а ъ р.
где CDm— 3 (2 + 4 ) ]/ Яу м > cdc— Re . Re— , D диа-
d=a / —-РооС/оо —р А—сила, действующая на шар.
Полученное при этом выражение для CDm [формула (7.2)] в точно-
сти соответствует результату, полученному в теории свободномолеку-
лярного режима при диффузном отражении молекул для М->0 (см.
гл. II). Выражение для CDc с точностью до постоянного коэффициента а
совпадает с формулой Стокса, полученной в теории континуума. Учиты-
вая, что метод решения является приближенным, целесообразно скор-
ректировать конечный результат таким образом, чтобы при Кп->0 (т. е.
Рис. 3.20. График зависимости коэффициента сопротивления сферы от числа Рейнольдса:
пунктирные линии — формула (3.158); а — неохлаждаемая сфера «1). Опытные данные:
1 — №=8,65 4-10,35; 2 —М=8ч-10; 3 — М=6; 4 — М=5; 5 — М=5 (данные взяты из [105]);
6 —М.==6-?-12 [105]; 1 — М=5ч-9,2 [17]; 8 — М=8,3 [170]; б — охлаждаемая сфера fw«0,2. Опыт-
ные данные: / — №=6, tw=0.26; 2 — №==54-12,5, tw =0,08 4-0,125; 3 — М=5; <^=0,2; 4 — М=5,
/^=0,18; 5 — №=10,6ч-10,8, t^—0,10 ч- 0,3 (данные взяты из [105]): 6 — М=бч-12, Zw=0,25 [105];
7 — №=10, tw =0,2 [140]; 5 —М=15 4-27, tw =0,035 [120]
при M/Re->0) из формулы (3.155) вытекала формула Стокса. С учетом
сказанного, следует положить а = 24. При этом значении коэффициента
а формула (3.155) удовлетворительно согласуется с опытными данными
и результатами, полученными на основе численного решения модельного
кинетического уравнения [54]. Формулу (3.155) можно применить при
Re<0,l и любых числах Кнудсена.
Рассмотрим теперь гиперзвуковое (MS>1) обтекание шара. В этом
случае при континуумном обтекании коэффициент сопротивления шара,
согласно модифицированной теории Ньютона, составляет величину
С ——
Y + 1
> Y
’ (V + I)2
4у
|1/т—1
(3.156)
Рис. 3.21. Температурный коэффициент восстановления сферы в промежуточной области
динамики разреженного газа:
/ — свободномолекулярный предел; II— формула (3.159); Ч-опытные данные [37, 28]
При 7=1,4 из (3.156) следует СЪс=О,917. В другом предельном случае —
при свободномолекулярном режиме — коэффициент сопротивления шара
вычисляется по следующей формуле:
(3.157)
На рис. 3.20 представлены в виде зависимости Co=/(Reo) результа-
ты измерений коэффициентов сопротивления в промежуточной области
динамики газов (ОД<Reo<lOOO) при гиперзвуковом (М>5) обтекании
шара двухатомным газом (воздух, азот). Данные, приведенные на
рис. 3.20, а, получены при условии теплового равновесия шара, т. е. при
tw = Tw/T0^l [17, 105, 170]. На рис. 3.20, б представлены результаты, по-
лученные при Zw~0,2 (0,1 </w<0,3) (105, 120, 140]. Эксперименты [105,
140] проводились при То=ЗОО4-ЗООО К. В работе [120] температура тор-
можения составляла 70 = 9000 К. Штрихпунктирными линиями указаны
предельные значения CD, подсчитанные по формулам (3.156) и (3.157).
Из графиков нетрудно заключить, что коэффициент сопротивления шара
в промежуточной области зависит от Re0 и tw. Зависимость коэффициен-
та сопротивления от этих параметров удовлетворительно описывается
следующей эмпирической формулой (на графиках представлена пунк-
тирными линиями):
Cd—Cdc~[
61 Dm С De________
1 + 0,16 (Re0/~0,1)n ’
(3.158)
где «=0,8+ °’2 tw=TJT^ С.
1 4- О,1Кео
|*<7\) т0 .
Р „UD Re^C*
k оо оо оо
<х(Го) “
\ 2 /
Со<,=0,917 (для у=1,4);
Cd„=2+0,63# (для Y= 1,4);
ц(7о)—вязкость газа при температуре адиабатного торможения Го;
Tw — температура поверхности шара; роо, СЛ» — плотность и скорость
невозмущенного потока; D — диаметр шара.
На рис. 3.21 представлены в виде зависимости r=/(Re0) результаты
измерений температурных коэффициентов восстановления шара, сделан-
Рис. 3.22. Теплоотдача сферы обтекае-
мой гиперзвуковым потоком разре-
женного газа:
О — опытные данные [28, 37]
ного из теплопроводного мате-
риала. Эти опытные данные
получены при сверхзвуковом
обтекании шара (2,3<М<;3).
потоком воздуха [28, 37]. Тем-
пература торможения в этих
опытах составляла величину
То«300 К. Зависимость r(Re0)
в диапазоне чисел Reo=l-i-
400 удовлетворительно опи-
сывается формулой следующего вида (кривая 77):
rm гс____
1 +0,0251^
(3.159)
где rm = - —- = 1,167 (для М>5); г.=0,91; г= ———
у +1 с То — Т,
Наконец, на рис. 3.22 приведены данные [28, 37] по теплоотдаче ша-
ра, обтекаемого сверхзвуковым потоком (3<М<8); в виде зависимости
Nue=|f(Reo), где Nue=---------—--------, A = nD2 — поверхность сфе-
(Те ? (Т е) А
ры; Те — равновесная температура шара; Tw — температура поверхности
шара; Л(Тв) —теплопроводность воздуха при температуре, равной Те\
Q — суммарный поток тепла в сферу. На этом же рисунке штрихпунктир-
ной линией представлена для сравнения зависимость, полученная в тео-
рии свободномолекулярного режима для М^> 1 и аэ = 1;
NuOT=-^—ProRe0«:O,15 Re0.
8у
Теоретическое исследование сопротивления и теплоотдачи сферы на
основе численного решения модельного уравнения проводились И. Н. Ла-
риной [57]. Результаты ее расчетов удовлетворительно согласуются с
приведенными выше опытными данными.
Рассмотрим схему решения задачи на основе модельного урав-
нения:
> df [ t df . £ df P (f
-j "Г a । л e J)»
ox dy dz [л
r7Tp f _ n РУП Г — (£-r — цх)2 + (£y — Uyf1 + (tz — ttz)2l
ГДе (2л/?Л3/2 PL 2/?T J*
Приведем это уравнение к безразмерному виду, принимая за характер-
ную скорость j/2/^Гсо, за характерную длину диаметр сферы D, за ха-
рактерные плотность и температуру — плотность и температуру невоз-
мущенного потока Поо, Гоо. Кроме того, воспользуемся следующими соот-
ношениями для вязкости и длины свободного пробега молекул:
И I Т V I = 16__________________________Ноо
|л“ \TJ ' 5
где 0,5<д><1. После несложных преобразований уравнение записывает-
ся в следующем виде:
^4+ -Ц- + Ъ -^=-------------------«7'(1~<0) (Л - /). (3-160)
дх ду dz 5 у л Кп
где ^i=li/yr2/^T x=x/D; y=y/D; z=z/D; n=n/n^; T=T/T„\ f =
= {fln^(2RT412-, ¥ji=l^D.
Граничное условие на бесконечности записывается в следующем ви-
де (ось х направлена параллельно скорости потока, система координат
связана с шаром):
А = л-з/2 ехр [ - ($х - S')2 - С -
(3.161)
где S=U^/V2RT„.
На поверхности сферы будем предполагать диффузное отражение и пол-
ную термическую аккомодацию. Тогда для отраженных молекул функ-
ция распределения в безразмерном виде записывается следующим об-
разом:
f W
П<Ц)
(nTw)3/2
(3.162)
где 1 ‘уу * ‘уу! * со) ft^y fi<yy! ft со*
Дополнительным условием является свойство непроницаемости поверх-
ности сферы. В этом случае числа падающих и отраженных частиц оди-
наковы. Отсюда следует
nw= — 2 С (£«)/</«>
\Tw' aio
(d<ti = d^d^yd^}-
(3.163)
Здесь ft— внешняя нормаль к поверхности сферы.
Входящие в (3.160) макропараметры п, 7, йг выражаются через ис-
комую функцию распределения следующим образом:
п= С fd^\ fiu=^fd<x). пТ=^Л ^ — u)2fd^. (3.164)
Решение задачи об обтекании сферы сводится к решению системы
уравнений (3.160), (3.163) с граничными условиями (3.161), (3.162),
(3.163).
Численное решение этой задачи можно получить при помощи метода
интегральных итераций. Так как течение осесимметричное, то для полу-
чения полной картины течения достаточно провести расчеты макропара-
метров в одной плоскости (например, в плоскости xz, проходящей через
центр шара и параллельной скорости набегающего потока Uoo). При
этом целесообразно перейти в этой плоскости к полярным координатам
г, а, а в пространстве скоростей — к сферическим координатам 0, (р.
За ось 0=0 удобно выбирать в каждой точке поля луч а, а угол ф отсчи-
тывать от оси z.
В методе интегральных итераций используется интегральная форма
уравнения (3.160)), которое с учетом сказанного выше можно записать
следующим образом:
/(г, а,
9, <р)ехр
I v(Z', у') t/ф'
+ у p(Z, y)/e(Z,
о
у, 0, ср) ехр
ф
—j- j" v (Z', у) t/ф' д/ф,
о
(3.165)
y=arccos
где /=/(ф)=Уф2-|-г2 — 2^rcos0;
г cos а — ф (cos в cos а — sin в c°s ? sin а)^
г
>|>4=У 1 +г2 —2г cos?, если 0<arcsin —;
г
ф5=/?оо, если 0^>arcsin— ;
Г
cos ys= cos р cos а Ц- sin р sin а cos р;
p=arcsin (г sin 6) —6; v=-----
5 ]/л Kn
r — расстояние от центра шара до рассматриваемой точки, отнесен-
ное к радиусу сферы.
Система уравнений (3.165), (3.164) является нелинейной с неизвест-
ными п, й, Г, /. Схема вычислений выглядит так.
Известные значения и(*"Х), Г(Й“Х) и значение полу-
ченное по формуле (3.163) для известной /(*“Х), подставляются в пра-
вую часть уравнения (3.165), затем найденное значение функции рас-
пределения fw служит для определения величин nw. и{к\ Т{к) и
в следующем приближении. Такая схема метода итераций удобна тем,
что не требует запоминания функции распределения. В каждой итерации
следует запомнить для каждой точки координатной сетки лишь четыре
первых момента функции распределения и значение плотности отражен-
ных частиц nw на теле.
Таким образом, решение задачи сводится к вычислению четырех-
кратных интегралов в каждой точке сетки поля. При вычислении функ-
ции распределения /(г, кх, £) интегрирование вдоль луча с направлением
а проводится методом трапеций. Шаг h интегрирования по ф выбирает-
ся в зависимости отЦ v, так как при малых значениях £ и больших
значениях у экспонента в подынтегральной функции резко затухает.
При расчете и, их, uz, Т трехкратные интегралы по скоростям вычисля-
ются методом Монте-Карло. Для повышения точности счета дисперсия
уменьшается при помощи вычитания из подынтегральной функции ло-
кально-максвелловской функции распределения, умноженной соответст-
венно на 1, lx, lz, (£—й)2, с параметрами и{к~1\ т{к~г>
из предыдущей итерации.
Расчеты, проведенные И. Н. Лариной на машине БЭСМ-6, показали,
что этот метод дает возможность за 2—5 ч машинного времени (в зави-
симости от чисел М и Кп) получить решение задачи с точностью 14-2%.
Выше обсуждалось обтекание сферы. Другой характерной задачей
внешнего обтекания осесимметричных тел является обтекание острого
конуса. Этой задаче было посвящено большое число экспериментальных
и теоретических работ (см., например, [113, 116, 196]. Из теории и опытов
следует, что сопротивление и теплоотдача конусов при нулевом угле ата-
ки зависят от числа Reo, температурного фактора tw и угла при вершине
конуса р.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баранцев Р. Г. Метод интегральных моментных кинетических уравнений.—
В сб.: «Аэродинамика разреженных газов», Л., Изд-во ЛГУ, 1965, вып. 2, с. 62—78.
2. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхно-
стями. М., «Наука», 1975, 344 с.
3. Бишаев А. М., Рыков В. А. Теплопередача между бесконечными параллельными
пластинами в разреженном газе. — Механика жидкости и газа. Изд. АН СССР, 1972,
№ 1, с. 87—91.
4. Богачева А. А., Перепухов В. А., Рухман Э. Е. Применение метода Монте-
Карло к расчету аэродинамических характеристик тел сложной формы в свободномоле-
кулярном потоке. — «Журн. вычислительной математики и математической физики»,
1968, т. 8, № 6, с. 1395—1402.
5. Борисов С. Ф. и др. Течение разреженных газов через отверстие при малых
перепадах давления. — «Жури, технической физики», 1973, т. 43, № 8, с. 1735—1739.
6. Боровков И. С., Вершинин И. Д. О коэффициенте расхода воздухозаборника
при свободномолекулярном режиме течения.—Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 5,
с. 72—77.
7. Валандер С. В. Уравнения и постановка задач в аэродинамике разреженных
газов. — В сб.: Аэродинамика разреженных газов. Л., Изд-во ЛГУ, 1963, № 1, с. 7—37.
8. Власов В. И., Хлопков Ю. А. Вариант метода Монте-Карло для решения ли-
нейных задач динамики разреженного газа. — «Журн. вычислительной математики и
математической физики». 1973, т. 13, № 4, с. 1075—1079.
9. Вычислительные методы в динамике разреженных газов. М., «Мир»,
1969, 276 с.
10. Галкин В. С. Об учете молекулярного состава воздуха при расчетах коэффи-
циентов аэродинамических сил и температуры тела в свободномолекулярном потоке
при больших сверхзвуковых скоростях. — «Инженерный журнал», 1961, № 1, с. 175—176.
И. Галкин В. С. Цилиндрическое течение Куэтта в разреженном газе. — «Инже-
нерный журнал», 1965, т. 5, № 3, с. 533—555.
12. Гиршфельдер Д., Кертис Н., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей.
М., ИЛ, 1961, 929 с.
13. Горелов С. А. Течение разреженного газа в трубе. Механика жидкости и газа.
Изв. АН СССР. 1974, № 1, с. 176—179.
14. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведе-
ний. М., ГИФМЛ, 1963, 1100 с.
15. Григорьев Ю. Н., Иванов М. С. Расчет обтекания цилиндра разреженным га-
зом на основе модельного кинетического уравнения. — Численные методы механики
сплошной среды. АН СССР СО ВЦ, Новосибирск, 1974, т. 5, № 1, с. 152—154.
16. Григорьев Ю. Н., Иванов М. С., Харитонова Н. И. К вопросу о решении не-
линейных кинетических уравнений динамики разреженного газа методами Монте-Карло.
Сб.: «Численные методы механики сплошной среды». Новосибирск, ВЦ СО АН СССР,
1971, т. 1, № 4, с. 101—107.
17. Гусев В. Н., Коган М. Н., Перепухов М. Н. О подобии и изменении аэроди-
намических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях пото-
ка.— Ученые записи ЦАГИ, 1970, т. 1, № 1, с. 24—33.
18. Иванов А. Е., Кошмаров Ю. А. Исследование распределения температуры в
кольцевом слое разреженного газа. — Энергетика и транспорт. Изв. АН СССР, 1973,
№ 3, с. 98—103.
19. Иванов В. П., Неймарк Ю. И. Расчет молекулярных насосов. — Механика жид-
кости и газа. Известия АН СССР. 1968, № 3, с. 176—183.
20. Ивановский А. И. Некоторые вопросы взаимодействия измерительной полости
с потоком разреженного газа.—Труды ЦАО. 1964, вып. 56, с. 49—96.
21. Изаков М. Н., Перов С. П. Исследование теплообмена цилиндра в потоке раз-
реженного газа. — Механика и машиностроение. Известия АН СССР. 1962, № 1,
с. 42—51.
22. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., «Наука», 1967, 440 с.
23. Колуэлл. О потоках газов малой плотности в насадках. — Теоретические осно-
вы инженерных расчетов. 1969, № 1, с. 92—99.
24. Кошмаров Ю. А. Течение разреженного газа около стенки, внезапно приведен-
ной в движение. — «Инженерный журнал», 1963, т. 3, № 3, с. 433—441.
25. Кошмаров Ю. А. К вопросу о влиянии разрежения на процесс газодинамиче-
ского вдува или отсоса через омываемую потоком стенку. — «Инженерно-физический
журнал», 1964, т. 2, № 6, с. 48—54.
26. Кошмаров Ю. А., Иванов А. Е. Экспериментальное исследование теплопереда-
чи через разреженный газ между коаксиальными цилиндрами. — Энергетика и транс-
порт. Известия АН СССР. 1971, № 4, с. 156—161.
27. Кошмаров Ю. А., Свирщевский С. Б. Теплоотдача пластины в гиперзвуковом
почти свободномолекулярном потоке. — Энергетика и транспорт. Известия АН СССР.
1974, № 4, с. 138—145.
28. Кошмаров Ю. А., Свиршевский С. Б. Теплоотдача сферы в промежуточной
области динамики разреженного газа. — Механика жидкости и газа. Известия АН СССР.
1972, № 2, с. 170—172.
29. Кошмаров Ю. А., Свирщевский С. Б. Теплообмен пластины и влияние перед-
ней кромки в потоке разреженного газа. — Механика жидкости и газа. Известия АН
СССР. 1975, № 2, с. 118—125.
3Q. Ларина И. Н. Поле плотности вокруг конуса в свободномолекулярном пото-
ке.— Механика жидкости и газа. Известия АН СССР. 1968, № 4, с. 172—176.
31. Левенсон Л., Миллерон Н., Девис Д. Выбор оптимальной проводимости ва-
куумной системы в режиме молекулярного течения. — В сб.: Современная вакуумная
техника. М., ИЛ, 1963, с. 82—93.
32. Лимар Е. Ф., Светцов В. В., Шидловский В. П. Плоская задача об истечении
газа в вакуум при произвольных числах Кнудсена. — «Журнал вычислительной мате-
матики и математической физики», 1974, т. 14, № 1, с. 188—197.
33. Миллигэн, Уилкерсон. Влияние перепада давлений на молекулярный расход
при течении разреженного газа в длинных трубах квадратного сечения. — Конструиро-
вание и технология машиностроения. 1973, «Мир», № 1, с. 296—299.
34. Мое. Коэффициенты сопротивления конусов и цилиндров согласно модели
Шамберга. — Ракетная техника и космонавтика. 1973, № 3, с. 168—171.
35. Мусанов С. В. Аэродинамические характеристики осесимметричных полостей
в свободномолекулярном потоке. — Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3, № 5, с. 104—109.
36. Неудачин И. Г., Породнов Б. Т., Суетин П. Е. Кнудсеновское течение газов в
прямоугольном канале конечной длины.— «Журнал технической физики», 1972, т. 42,
вып. 6, с. 1306—1309.
37. Никольский Ю. В., Первушин Г. Е., Черникова Л. Г. Экспериментальное ис-
следование теплопередачи на сферах и тонких конусах в гиперзвуковом потоке разре-
женного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 1, с. 71—77.
38. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. Под
ред. проф. Кошкина В. К. М., «Машиностроение», 1975, 624 с.
39. Паттерсон Г. Н. Молекулярное течение газов. М., Физматгиз, 1960, 272 с.
40. Перминов В. Д., Фридлендер О. Г. Моменты интеграла столкновений для мак-
свелловских молекул. ПМТФ, 1965, № 6, с. 114—116.
41. Пономарев В. Я. Обтекание невыпуклого клина свободномолекулярным пото-
ком с конечным числом Маха. — Механика жидкости и газа. Изв. АН СССР. 1967,
№ 4, с. 145—150.
42. Пономарев В. Я., Филиппова Н. А. Экспериментальное исследование сопротив-
ления цилиндра в разреженном газе. — Механика жидкости и газа. Известия АН СССР.
1969, № 6, с. 166—169.
43. Породов Б. Т. и др. Экспериментальное исследование течения разреженных
газов в капиллярном сите. — «Журн. технической физики», 1974, т. 44, вып. 4,
с. 818—823.
44. Породов Б. Т., Суетин П. Е. Течение разреженного газа между двумя парал-
лельными плоскостями. — Механика жидкости и газа. Изв. АН СССР. 1967, № 6,
с. 93—98.
45. Породов Б. Т., Суетин П. Е., Борисов С. Ф. Течение газов в плоской щели в
широком диапазоне чисел Кнудсена. — «Журнал технической физики», 1970, т. 40,
вып. 11, с. 2383—2391.
46. Пярнпуу А. А. ‘Взаимодействие молекул газа с поверхностями. М., «Наука»,
1974, 192 с.
47. Спрингер. Влияние термического коэффициента аккомодации на сопротивление
сферы и цилиндра в свободномолекулярном потоке. — Ракетная техника и космонавти-
ка. 1964, № 1, с. 167—169.
48. Терехов А. Д., Фролова Е. Н. Экспериментальное сравнение методов опреде-
ления термического коэффициента аккомодации. ПМТФ, 1972, № 4, с. 173—176.
49. Туэрян, Мейз. Теплообмен на сфере при свободномолекулярном течении неодно-
родного газа. — Ракетная техника и космонавтика. 1963, № 11, с. 232—235.
50. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М., ИЛ,
1960, 510 с.
51. Черемисин Ф. Г. Решение кинетического уравнения Больцмана в задаче о
теплопередаче между параллельными бесконечными стенками в разреженном газе. —
Механика жидкости и газа. Известия АН СССР. 1970, № 5, с. 185—188.
52. Черемисин Ф. Г. Решение плоской задачи аэродинамики разреженного газа на
основе кинетического уравнения Больцмана. Доклады АН СССР, 1973, т. 209, № 4,
с. 811—814.
53. Черняк В. Г. и др. Плоское течение Пуазейля при произвольной аккомодации
тангенциального импульса, Изв. высших учебных заведений. М., «Физика», 1973, № 6,
с. 107—110.
54. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.,
«Мир» 1973, 246 с.
55. Численные методы в теории разреженных газов. Труды ВЦ АН СССР, М.,
ВЦ АН СССР, 1969, 184 с.
56. Численные методы в динамике разреженных газов. М., ВЦ АН СССР, 1973,
вып. 1, 196 с.
57. Численные методы в динамике разреженных газов. М., ВЦ АН СССР, 1975,
вып. 2, 168 с.
58. Шахов Е. М. Продольное обтекание пластины потоком разреженного газа. —
Механика жидкости и газа. Изв. АН СССР, 1973, № 2, с. 119—126.
59. Шахов Е. М. Решение осесимметричных задач теории разреженных газов ме-
тодом конечных разностей. — «Журн. вычислительной математики и математической
физики», 1974, т. 14, № 4, с. 970—981.
60. Шахов Е. М. Метод исследования движений разреженного газа. М., «Наука»,
1974, 208 с
61. Шидловский В. П. Введение в динамику разреженного газа. М., «Наука»*,
1965, 218 с.
62. Aihara Y., Koyama Н. Heat transfer from a circular cylinder in a rarefied gas
stream. — AIAA Journal, 1972, v. 10, No. 10, pp. 1386—1387.
63. Alofs D. J., Flagan В. C., Springer G. S. Density distribution measurements in
rarefied gases contained between parallel plates at high Temperature differences. — The
Physics of Fluids, 1971, v. 14, No. 3, pp. 529—533.
64. Alofs D. J., Springer G. S. Cylindrical Couette flow experiments in the transition
regime. — The Physics of Fluids, 1971, v. 14, No. 2, pp. 298—305.
65. Atassi H., Brun E. A. Heat transfer from wires in a rarefied low. speed flow.—
Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1967, v. 1, pp. 1221—1234.
66. Balasubramanian R., Oberai M. Application of a momentum method to some
rarefied gas flow problems. — Z. Angew. Math, und Phys., 1970, v. 21, No. 6,
pp. 1097—1101.
67. Baldwin L. V., Laurence J. C., Sandborn V. A. Heat transfer from transverse
and yawed Cylinders in continuum, Slip, and Free Molecule air flows. — Journal of Heat
Transfer. Transactions of Am. Soc. Meeh. Eng., Ser. C., 1960, v. 82, pp. 77—86.
68. Ballance J. O. A Monte-Carlo approach to transition and free molecular flow
problems. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1967, v. 1, pp. 575—588.
69. Bassanini P., Cercignani C., Pagani C. D. Influence of the accomodation
coefficient on the heat transfer in a rarefied gas. — Intern. Journal of Heat and Mass
Transfer, 1968, v. 11, No. 9, pp. 1359—1369.
70. Bassanini P., Cercignani C., Sernagiotto F. Flow of rarefied gas in a tube of
annular section. — The Physics of Fluids, 1966, v. 9, No. 6, pp. 1174—1178.
71. Beck J. W. Gaskinetische Bechandlung der komressiblen Couette-Strommung
mittels bimodaler Zweistromverteilung. — Ingenieur-Archiv, 1967, Bd. 35, No. 5,
s. 305—322.
72. Behrens W. Total temperature thermocouple probe based on recovery temperature
of circular cylinder. — International Journal of Heat and Mass Transfer, 1971, v. 14,
No. 10, pp. 1621—1630.
73. Bell S., Schaaf S. A. Aerodynamic forces on a cylinder for the free molecule
flow of a nonuniform gas. — Journal of the American Rocket Society, 1953, v. 23, No. 2,
pp. 314—322.
74. Berman A. S. Free molecule transmission Probabilities. — Journal of Applied
Physics, 1965, v. 36, No. 10, pp. 3356.
75. Berman A. S. Free molecule flow in an Annulus. — Journal of Applied Physics,
1969, v. 40, pp. 4991—4992.
76. Bhatnagar P. L., Gross E. P., Krook M. A. A model for collision process in
gases. — Phys. Revew, 1954, v. 94, No. 3, pp. 511—530.
77. Bloxsom D. E., Rhodes В. V. Experimental effect of bluntness and gas rarefaction
on drag coefficients and stagnation heat transfer of axisymmetric shapes in hypersonic
flow. — Journal of the Aerospace Sciences, 1962, v. 29, No. 12, pp. 1429—1432.
78. Bomelburg H. J. Heat loss from very thin heated wires in rarefied gas. — The
Physics of Fluids, 1959, v. 2, No. 6, pp. 717—718.
79. Bramlette T. T., Leonard Y. W. Finite element analysis of the linearized BGK
Boltzmann equation. — International Journal for numerical methods in engineering, 1972,
v. 4, No. 4, pp. 501—507.
80. Brown G. P., Di Nardo A., Cheng G. K., Sherwood T. K. The flow of gases in
pipes at low pressures. — Journal of Applied Physics, 1946, v. 17, No. 10, pp. 802—813.
81. Cadamer E. O. Radial density variation of the molecular flux from a Short
cylindrical tube: a computer solution and comparison with experimental data. — C. A. S. I.
Transactions, 1970, v. 3, No. 2, pp. 84—94.
82. Carley С. T., Smetana F. O. Experiments on transition regime flow through a
short tube with a ballmouth entry. — AIAA Journal, 1966, v. 4, No. 1, pp. 47—54.
83. Carlson K. D., Gilles P. W., Thorn R. J. Analysis of molecular flow in an
Isothermal Enclosure. — The Journal of Chemical Physics, 1963, v. 38, No. 9,
pp. 2064—2074.
84. Carlsson K. D. Gilles P. W., Thorn R. J. Molecular and Hydrodynamical
effusion of mercury vapor from Knudsen cells. — The Journal of Chemical Physics, 1963,
v. 38, No. 11, pp. 2725—2735.
85. Cercignani C., Sernagiotto F. Cylindrical Poiseuille flow of rarefied gas. — The'
Physics of Fluids, 1966, v. 9, No. 1, pp. 40—44.
86. Choong P. T. Modified Monte Carlo Technique for clausing factor calculations. —
Journal of Computational Physics, 1971, v. 7, No. 2, pp. 358—360.
87. Choong P. T., Mason E. A. Calculation of obstruction effects on rarefied particle
streaming through short Tubes. — Journal of Applied Physics, 1971, v. 42, No. 10.
pp. 3755—3761.
88. Clausing P. Uber die Stromung sehr verdiinnter Gase durch Rohren von
beliebiger LaTige. — Ann. der Physik, 1932, v. 12, 5th series, pp. 961—989. (The Journal
of Vacuum Science and Technology, 1971, v. 8, No. 5, pp. 636—646.)
89. Coudeville H., Trepaud P., Brun E. A. Drag measurements in slip and transition
flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1965, v. 1, pp. 444—466.
90. Davis D. H. A Monte Carlo calculation of molecular flow rates through’
cylindrical elbow and pipes of other shapes. — Journal of Applied Physics, 1960, v. 31r
No. 7, pp. 1169—1176.
91. Davis D. H., Levenson L. L., Milleron N. Effect of «Rougher-than-Rough»
Surfaces on molecular flow through short ducts. — Journal of Applied Physics, 1964, v. 35,
No. 3, part I, pp. 529—532.
92. DeMarcus W. C. The influence of specular reflection on the Knudsen Conductance
of circular capillaries. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1961,
pp. 161—168.
93. DeMarcus W. C.\ Hopper E. H. Knudsen flow througn a circular capillary.—
Journal of Chemical Physics, 1955, v. 23, pp. 1344.
94. Dewey C. F. A correlation of convective heat transfer and recovery temperature
data for cylinders in compressible flow. — Intern. Journal Heat and Mass Transfer, 1965,
v. 8, No. 2, pp. 245—252.
95. Dong W., Bromley L. A. Vacuum flow of gases through channels with circular,
annular and rectangular gross sections. — Transactions of the eighth national vacuum
symposium and second international congress on vacuum science and technology. Per-
gamon Press, N. Y., 1962, v. 2, pp. 1116—1132.
96. Dybbs A., Springer G. S. Heat conduction experiments in rarefied gases between
concentric cylinders. — The Physics of Fluids, 1965, v. 8, No. 11, pp. 1946—1950.
97. Edwards J. G., Gilles P. W. Effusion from spherical orifices. I, Transmission by
Molecular flow. — The Journal of Chemical Physics, 1966, v. 44, No. 12, pp. 4426—4430.
98. Elliott J. P. Density and Velocity fields in collisionless flow past a diffusely
reflecting cone. — Canadian Journal of Physics, 1970, v. 48, No. 13, pp. 1628—1631.
99. Fan C. Monte-Carlo Calculation of free molecule flow over concave spherical
surfaces. — AIAA Journal, 1969, No. 9, pp. 1803—1805.
100. Fan C. Heat transfer and forces on concave surfaces in free molecule flow. —
Paper ASME, WA/HT-17, 1971, pp. 2—11.
101. Frank R. Konstruktiver Aufbau und mathematische Auslegung von Turbomole-
kularpumpen des Typs «TURBOVAC» mit senkrecht angeordnetem Axialkompressor. —
Vak.-Techn., 1974, v. 23, No. 4, ss. 109—114.
102. Friedrich R. Gaskinetische Behandlung des Rayleigh-Problems bei mafiig bis
stark verdiinnten Gasen. — Ingenieur-Archiv, 1973, Bd. 42, H. 5, ss. 341—354.
103. Garelis E., Wainwright T. E. Free-molecule flow in a right circular cylinder. —
The Physics of Fluids, 1973, v. 16, No. 4, pp. 476—481.
104. Gustafson W. A., Kiel R. E. Free Molecule Density Field for Orifice Flow. —
The Physics of Fluids, 1964, v. 7, No. 3, pp. 472—473.
105. Hadjimichalis K. S., Brundin C. L. The effect of wall temperature on sphere
drag in hypersonic transition flow. — Rarefied Gas Dynamics, DFVLR-Press, Gottingen,
1974, v. 11, pp. D. 13—1 + D. 13—9.
106. Hanks R. W., Weissberg H. L. Slow viscous of rarefied gases through short
tubes. — Journal of Applied Physics, 1964, v. 35, No. 1, pp. 142—144.
107. Hegna Harwood A., Berman A. S. Rarefied gas flow through a slit. — The
Physics of Fluids, 1972, v. 15, No. 10, pp. 1850—1852.
108. Hughes P. C., De Leeuw J. H. Theory for the free molecule impact probe at an
angle of attack.— Rarefied Gas. Dynamics, vol. 1, Academic Press, N. Y., 1965,
pp. 653—676.
109. Hurlbut F. C. Note on conductive beat transfer from a fine wire. — The Physics
of Fluids, 1964, v. 7, No. 6, op. r^4—960.
110. Iczkowski R. P., Margrave J. L., Robinson S. M. Effusion of gases through
conical orifices. — The Journal of Physical Chemistrv. 1963, v. 67, No. 2, pp. 229—233.
111. Ikenberry E., Truesdell C. On the pressures and the flux of energy in a gas
according to Maxwell’s kinetic theory. — Journal Rat. Meeh. Anal., 1956, v. 5, No. 5.
112. Kanki T., Iuchi S. Poiseuille flow and thermal creep of a rarefied gas between
rommung durch Rohren. — Ann. der Physik, 1909, v. 28, s. 75—300.
113. Keel A. G., Kraige L. C., Passmore R. G., Zapata R. N. Hypersonic low density
cone drag. — AIAA Journal, 1972, v. 10, No. 5, pp. 561—562.
114. Knudsen M. Die Gesetze der Molecular Shrommung uad der inneren Reibungst-
parallel plates. — The Physics of Fluids, 1973, v. 16, No. 5, pp. 594—599.
115. Koppenwallner G. Experimentelle Untersuchung der Druckverteilung und des
Wiederstands von querangstromten Kreiszylindern bei hypersonischen Maschzahlen inr
Bereich von Kontinuums bis freier Molekularstromung. — Zeitschrift fiir Flugwissenschaf-
ten, 1969, 17 jahrhang, Heft 10, ss. 321—332.
116. Koshmarov Yu. A. Heat transfer of a sharp cone in a supersonic rarefied gas
flow. — Intern. Journ. Heat and Mass Transfer, 1966, v. 9, pp. 951—957.
117. Kraemer K. Gas Stromungsfeld der Kugel'bei unendlich grofier Knudsenzall.—
Z. Angew. Math, and Meeh., 1967, b. 47, Sonderheft, ss. 150—153.
118. Kruger С. H., Shapiro A. H. The axial-flow compressor in the free-molecule
range. — Rarefied Gas Dynamics (L. Talbot, ed.), Academic Press, N. Y., 1961,
pp. 117—140.
119. Kuhlthau A. R. Air friction on rapidly moving surfaces. — Journal of Applied
Physics, 1949, v. 20, No. 2, pp. 217—223.
120. Kussoy M. J., Stewart D. A., Hortsman С. C. Sphere Drag in near-free-molecule
hypersonic flow. — AIAA Journal, 1970, No. 11, pp. 2104—2105.
121. Lavin M. L., Haviland J. K. Application of a moment method to heat transfer
in rarefied gases. — The Physics of Fluids, 1962, v. 5, No. 3, pp. 274—279.
122. Lees L. Kinetic theory description of rarefied gas flow. — Journal of the
Society for Industrial and Applied Mathematic, 1965, v. 13, No. 1, pp. 278—311.
123. Lees. L., Liu C. Kinetic theory description of conductive heat transfer from fine
wire. — The Physics of Fluids, 1962, v. 5, No. 10, pp. 1137—1148.
124. Legge H. Hyperschallstromung geringer Dichte an stumpfen Korpern. —
«Theoretische and expetimental Methoden der Stromungsmechanik unter besonderer
Beriicksichtigung der Wiedereintritsprobleme», 1971, v. I, Lehrgang fiir Raumfahrtechnik,
Gottingen, pp. 11-14-11—33.
125. Levenson L. L., Mi 11 er on N., Davis D. H. — Molecular flow conductance.—
Le Vide, 1963, v. 18, No. 103, pp. 42—50.
126. Liepmann H. W. Gaskinetics and gasdynamics of Orifice Flow. — Journal of
Fluid Mechanics, 1961, v. 10, part 1, pp. 65—79.
127. Liu C., Lees L. Kinetic theory description of plane compressible Couette
flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1961, pp. 391—428.
128. Liu C. Y. Plane Poiseuille flow of a rarefied gas. — The Physics of Fluids,
1968, v. 11, No. 3, pp. 481—485.
129. Liu C. Y., Passamaneck R. Kinetic theory description of flow over a cylinder at
low speeds. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1967, v. 1, pp. 607—622.
130. Lord R. G., Hurlbut F. C., Willis D. R. Nearly free molecule flow through a
circular orifice at high pressure ratios. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press,
1967, v. 2, pp. 1235—1242.
131. Lou Y. S. Velocity Distribution Measurements in a near-free molecule orifice
flow. — Journal of Applied Physics, 1971, v. 42, No. 2, pp. 536—544.
132. Lou Y. S., Shih T. K. Nonlinear heat conductions in rarefied gases. — AIAA
Journal, 1972, v. 10, No. 9, pp. 1149—1150.
133. Lou Y. S., Stickney R. E. Velocity Distribution Measurements for near-free
molecule flow through an orifice. — The Physics of Fluids, 1970, v. 13, No. 2, pp. 528—531.
134. Lund L. M., Berman A. S. Flow and Self-Diffusion of gases in capillaries.—
Part I and II. Journal of Applied Physics, 1966, v. 37, No. 6, pp. 2489—2508.
135. Loyalka S? K. On numerical solutions of the linearized integral equations in
rarefied gas flow. — Rarefied Gas Dynamics (Proceedings of the ninth international
Symposium, 1974), DFVLR-Press, PORZ-Wahn, Germany, 1974, v. 1, pp. A5—14-A5—10.
136. Maegley W. J., Berman A. S. Transition from free-molecule to continuum flow
in an Annulus. — The Physics of Fluids, 1972, v. 15, No. 5, pp. 780—785.
137. Marchman J. F., Mason W. H. Transition regime tube flow. — Paper ASME,
1972, 72-FE-4, pp. 1—12.
138. Maslach G. J., Schaaf S. A. Cylinder drag in the transition from continuum to
free-molecular flow. — Phys, of Fluids, 1963, v. 6, pp. 312—320.
139. Maslach G. J.', Willis R. D., Tang S., Ko D. Recent experimental and theoretical
extensions of nearly free molecular flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press,
New York, 1965, v. 1, pp. 433—443.
140. Masson D. J., Morris D. N., Bloxsom D. E. Measurements of sphere drag from
hypersonic continuum to free-molecule flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press,
N. Y., 1961, v. 1, pp. 643—661.
141. Milligan M. W. Low-density gas flow in long tubes. — AIAA Journal, 1966,
v. 4, No. 4, pp. 745—746.
142. Milligan M. W., Patterson K. W. Rarefied gas flow through long square
tubes. — Paper ASME (Journal of Engineering for Industry), 1970, No. 70-WA/PID-l,
pp. 1—4.
143. Muntz E. P., Hammel В. B. Rarefaction phenomena in gas and isotope separa-
tions.— Rarefied Gas Dynamics, DFVLR-Press, Porz-Wahn, Germany, v. 1,
B.l—14-B.l—10.
144. Narasimha R. Orifice flow at high Knudsen numbers. — Journal of Fluid
Mechanics, 1961, v. 10, No. 3, pp. 371—384.
145. Naumann A., Chun С. H. Mass-flow measurements fol sharp-edged orifices in
low density flow. — Rarefied Gas Dynamics, DFVLR-Press, PORZ-Wahn, Germany, 1974,
v. 11, p. D21—14-D21—10.
146. Oatley C. W. The experimental determination of the speed of a vacuum pump
and of components of a vacuum system. — British Journal of Applied Physics, 1954, v. 5,
No, 9, pp. 358—362.
147. Onji A. Experiments of an orifice-type pressure, probe set in a body in a nearly-
free-molecule flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1967, pp. 1527—1542.
148. Ortloff C. R. Wall temperature and speed ratio effects on free molecule flat
plate flows. — The Physics of Fluids, 1967, v. 10, No. 2, pp. 460—462.
149. Patterson G. N. A Synthetic view of the mechanics of rarefied gases. — AIAA
Journal, 1965, No. 4, pp. 3—18.
150. Pond H. L. The effect of entrance velocity on the flow of a rarefied gas
through a tube. — Journal of the Aerospace Sciences, 1962, v. 29, No. 8, pp. 917—920.
151. Porodnov В. T., Suetin P. E., Borisov S. F., Akinshin V. D. Experimental
investigation of rarefied gas flow in different chanales. — Journal of Fluid Mechanics,
1974, v. 64, part 3, pp. 417—437.
152. Pratt M. J. Concave surfaces in free molecule flow. — AIAA Journal, v. 1, No. 7,
pp. 1716—1717, 1963.
153. Probert S. D., Brooks R. G., Thomas T. R., Maxwell J. Heat losses through
rarefied fluids. — International Journal of Heat and Mass Transfer, 1967, v. 10, No. 2,
pp. 135—148.
154. Richter G. Numerical solution of the Krook kinetic equation for flow past a
cylinder. — The Physics of Fluids, 1973, v. 16, No. 10, pp. 1599—1606.
155. Robertson S. J. Density field for free-molecule flow through circular ducts. —
The Physics of Fluids, 1965, v. 8, No. 3, pp. 539—540.
156. Roesner K. Einflufi fester Wande auf die Berechnung von feldgrofien fiir den
Grenzfall grofier Knudsen-Zahlen. — ZAMM, Mechanik der Fliissigkeiten und Gase, 1973,
v. 53, No. 4, ss. Т.119—T.121.
157. Rothe D. E., De Leeuw J. H. The free-molecule impact pressure probe of arbit-
rary length. — AIAA Journal, 1963, v. 1, No. 1, pp. 220—221.
158. Sawada T. The axial flow molecular pump (4-th report). — Bulletin of the
JSME, 1973, v. 16, No. 96, pp. 933—1001.
159. Sawada T., Suzuki M., Taniguchi O. The axial flow molecular pump (2-nd
report). —Bulletin of the JSME, 1971, v. 14, No. 67, pp. 48—57.
160. Sawada T., Taniguchi O. The axial flow molecular pump (3-rd report).—
Bulletin of JSME, 1973, v. 16, No. 92, pp. 312—318.
161. Schaetzle W. J. A Study of free molecular flow through various length cylind-
rical nozzles. — Transactions of the third international vacuum congress, Stuttgart.
Oxford and others, Pergamon Press, 1967, v. 2, part I, pp. 105—114.
162. Schafer K., Rating W., Eucken A. Uber den Einfluss des Geheimmten Austauschs
der Translations und Schwingungs-energie auf das Warmeleitvermogen der Gase. — Ann.
der Physik, 1942, v. 42, pp. 176—202.
163. Scott J. E. Some applications of atomic and molecular beams to fluid dyna-
mics. — Entropie, 1971, No. 42, pp. 3—12.
164. Scott J. E., Morton H. S., Phipps J. A., Moonan J. F. Distribution function
Measurements in rarefied gas flow through an orifice. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y.,
Academic Press, 1966, v. 2, pp. 331—349.
165. Sharpe C. L. Experimental Cylinder Drag data for hypersonic rarefied flow.—
AIAA Journal, 1969, No. 8, pp. 1611—1612.
166. Shorenstein M. L., Probstein R. F. The hypersonic leading edge problem. —
AIAA Journal, 1968, No. 10, pp. 1896—1906.
167. Sims W. H. Experimental sphere drag result in the near-free molecule regime. —
Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1969, v. 1, pp. 751—756.
168. Smetana F. O., Sherrill W. A., Schort D. R. Measurements of the discharge
characteristics of sharp-edged and round-edge orifices in the transition regime. — Rarefied
Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1967, v. 2, pp. 1243—1256.
169. Smolderen J. J., Wendt J. F., Navesu. The measurement of drag forces in low
density flows using a modulation technique. — 18 International Astronautical Congress,
Belgrad, 1967, Proc. 1968, v. 3, pp. 277—282.
170. Smolderen J. J., Wendt J. F., Naveau J., Bramlette T. T. Sphere and cone drag
coefficients in hypersonic transitional flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academics Press,
N. Y., 1969, v. 1, pp. 903r—907.
171. Smoluchowski M. Zur Kinetischen Theorie der Transpiration uad Diffusion
Verdiinnter Gase..—Ann. der Physik, 1910, v. 33, 4 series, pp. 1559—1570.
172. Sparrow E. M., Haji Sheikh. Velocity profile and other Local Quantities in
free-molecule tube flow. — The Physics of Fluids, 1964, v. 7, No. 8, pp. 1256—1261.
173. Sparrow E. W., Jonsson V. K. Simultaneous heat transfer in a circular tube by
free-molecule convection and thermal radiation. — Intern.-Journal of Heat and Mass
Transfer, 1963, v. 6, No. 9, pp. 841—852.
174. Sparrow E. M., Jonsson V. K. Fluid flow and convective-radiative energy trans-
fer in a parallel-plate channel under free-molecule conditions. — A. I. Ch. E. Journal. 1963,
v. 9, No. 4, pp. 516—523.
175. Sparrow E. M., Johnson V. K. Free-molecule flow and convective-radiative
Energy Transport in a Tapered Tube or conical Nozzle. — American Institute of Aerona-
tical and Astronautical Journal (AIAAJ), 1963, v. 1, No. 5, pp. 1081—1087.
176. Sparrow E. M., Jonsson V. K., Lundgreen T. S. Free-molecule tube flow and
adiabatic wall temperatures. — Journal Heat Transfer Transactions of ASME. Ser. C.,
1963, v. 85, No. 2, pp. 111—118.
177. Sparrow E. M., Yu H. S., Lundgren T. S. Free molecule flow through slit and
Annular orifices in the presence of participating bounding walls. — Paper ASME
N 69-WA/APM-26, 1969, pp. 1—8.
178. Springer G. S., Ratonyi R. Heat conduction from circular cylinders in rarefied
gases. — ASME Paper, 1965, No. 65-HT-4, pp. 1—6.
179. Springer G. S., Wan S. F. Note on the application of a moment method to heat
conduction in rarefied gases between concentric spheres. — AIAA Journal, 1966, No. 8,
pp. 800—801.
180. Sreekanth A. K. Drag measurement on circular cylinders and spheres in the
transition regime at a Mach number of 2. — AIAA Journal, 1962, No. 5, pp. 465—471.
181. Sreekanth A. K. Transition Flow through short circular tubes. — The Physics of
Fluid, 1965, v. 8, No. 11, pp. 1951—1956.
182. Sreekanth A. K. Some Experiments on the Flow of a Rarefied gas through a
circular orifice. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1965, v. 1, pp. 621—629.
183. Sreekanth A. K. Experiments on impact probes in a rarefied subsonic gas
stream. — AIAA Journal, 1968, v. 6, No. 5, pp. 927—929.
184. Stephenson W. B., Whitfield D. L. Drag measurement in a lowdensity gas
stream. — Aerospace and electronic systems, 1971, v. 7, No. 6, pp. 1131—1137.
185. Stewartson K. On the impulsive motion of a flat plate in a viscous fluid. —
The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1973, v. 26, part 2,
pp. 143—152.
186. Stokes G. G. On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendu-
lums.— Trans. Cambr. Phil., v. IX, No. 8; Math, and Phys. Papers, Cambridge, 1901,
v. Ill, pp. 1—141.
187. Sugimura T., Liu C. Y. Four-moment and six-moment solutions to convective
heat transfer from a sphere. — Paper ASME, WA/HT-1, 1973, pp. 1—11.
188. Su C. L., Willis D. R. Heat conduction in a rarefied gas between concentric
cylinders. — The Physics of Fluids, 1968, v. 11, No. 10, pp. 2131—2143.
189. Takao K. Heat transfer from a sphere in a rarefied gas. — Rarefied Gas Dyna-
mics, Academic Press, New York, 1963, v. 2, pp. 102—111.
190. Tamada K-, Yamamoto K. Flow of rarefied gas past a circular cylinder at low
Mach numbers. — Memoirs of the Faculty of Engineering Kyoto University. 1968, v. 30,
No. 2, pp. 132—152.
191. Teagan W. P., Springer G. S. Heat-transfer and density-distribution measure-
ments between parallel plates in the transition regime. — The Physics of Fluids, 1968,
v. 11, No. 3, pp. 497—506.
192. Tewnsend S. J., Patterson G. N., Sinclair S. R. M. Free-molecule flow through
conical Tubes. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1965, v. 1, pp. 641—652.
193. Tritton D. J. Experiments on the flow past a circular cylinder at low Reynolds
numbers. — Journal of Fluid Mechanics, 1959, v. 6, No. 4, pp. 547—567.
194. Vogenitz F. W., Broadwell Y. E., Bild G. A. Leading edge flow by the Monte-
Carlo direct simulation technique. — AIAA Journal, 1970, No. 3, pp. 504—510.
195. Vogenitz F. W., Bord G. C., Broadwell J. E., Rungaldier H. Theoretical and
experimental study of rarefied supersonic flows about several simple shapes. — AIAA
Journal, 1968, No. 12, pp. 2388—2394.
196. Vogenitz F. W., Takata G. Y., Rarefied hypersonic flow about cones and flate
plates by Monte-Carlo simulation. — AIAA Journal, 1971, No. 1, pp. 94—100.
197. Wang С. T. Free molecular flow over a rotating Sphere. — AIAA Journal, 1972,
v. 10, No. 5, pp 713—714.
198. Willis D. R. Mass flow through a circular orifice and two-dimensional slit at
high Knudsen numbers. — Journal of Fluid Mechanics, 1965, v. 21, No. 1, pp. 21—31.
199. Wu Y. Kinetic theory of thermal molecular flow between coaxial cylinders and
concentric Spheres. — The Journal of Chemical Physics, 1970, v. 52, No. 3, pp. 1494—1498.
200. Wuest W., Koppenwallner G. Experimentelle und theoretische Untersuchungen
Verschiedener Konfigurationen von tragenden Wiedereinrittskorpern in hypersonischer
Stromung geringer Dichte. — «Jahrbuch Dentsch. Ges. Luft und Raumfahrt», 1970, Koln,
1971, ss. 75—90.
201. Yen S. M. Monte-Carlo solutions of nonlinear Boltzmann equation for problems
of* heat transfer in rarefied gases. — International Journal of Heat and Mass Transfer,
1971, v. 14, No. 11, pp. 1865—1869.
202. Yen В. T., Frohn A. Stationare Warmeleitung in ruhenden binaren Gasgemischen
fiir beliebige Knudsenzahlen. — ZAMM (Zeitschrift fiir angemandt Mathematik und Me-
chanik), 1972, Bd. 52, Ht. 4, ss. 90—92.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
Предисловие.............................................................. 3
Глава I. Элементы кинетической теории газов.............................. 5
§ 1.1. Молекулярная структура газов................................. . . 5
§ 1.2. Столкновение частиц............................................. 6
§ 1.3. Функция распределения скоростей молекул и макроскопические пара-
метры газа........................................................... 10
§ 1.4. Уравнение Больцмана........................ 13
§ 1.5. Максвелловская функция распределения и параметры хаотического
движения молекул................................................ 15
§ 1.6. Общее уравнение переноса и макроскопические уравнения газовой
динамики............................................................ 18
§ 1.7. Взаимодействие молекул с поверхностью твердого тела. Граничные ус-
ловия для функции распределения...................................... 20
§ 1.8. Подобие течений разреженного газа. Режимы течений.............. 24
Глйва II. Свободномолекулярная область механики разреженного газа ... 30
§2.1 . Общие положения теории свободномолекулярного режима............. 30
§ 2.2. Теплопередача через неподвижный слой газа при свободномолекуляр-
ном режиме . ........................................................ 32
1. Слой газа между безграничными плоскими параллельными поверх-
ностями ............................................................ 32
2. Слой газа между коаксиальными цилиндрами......................... 35
3. Слой газа, заключенный между концентрическими сферами............ 36
§ 2.3. Свободномолекулярное течение газа через отверстие в тонкой стенке . 37
§ 2.4. Свободномолекулярные течения газа в каналах.................... 49
1. Канал со сферической геометрией................................. 49
2. Цилиндрическая круглая труба................................... 61
3. Канал, образованный двумя плоскими параллельными поверхностями . . 68
4. Кольцевой канал................................................. 69
5. Каналы прямоугольного сечения . . .............................. 71
6. Каналы сложной конфигурации..................................... 75
7. Влияние характера взаимодействия молекул со стенкой и макроскопи-
ческой шероховатости поверхности канала на течение газа.......... 75
§ 2.5. Стационарное обтекание невыпуклых тел безграничным потоком ... 77
1. Общее положение............................................ 77
2. Полусфера......................................... .. ......... 64
3. Цилиндрическая поверхность..................................... 89
4. Полый клин................... ................................. 91
5. Молекулярные заборники газа*................................... 92
6. Свободномолекулярные зонды давления............................ 9э
7. Тела сложной формы и группы тел................................ 99
8. Турбомолекулярный насос.......•............................. .191
§ 2.6. Стационарное обтекание выпуклых тел.........................х
Глава III. Промежуточная область динамики разреженного газа . . . ... . . 122
§3.1. Теоретические методы......................................... 122
§ 3.2. Течение газа около стенки, внезапно приведенной в движение .... 128
§ 3.3. Передача тепла разреженными газами, заключенными между непо-
движными соосными цилиндрами, концентрическими сферами и парал-
лельными пластинами......................... . ....................133
1. Цилиндрический слой..............................................133
2. Сферический слой................................................ 141
3. Плоский слой.....................................................142
§ 3.4. Течение разреженного газа между вращающимися цилиндрами (тече-
ние Куэтта).......................................................... 146
§ 3.5. Течение в каналах.........................................149
1. Течение между двумя параллельными плоскими стенками...............149
2. Течение в круглой трубе..........................................152
3. Течение в кольцевом канале.......................................155
4. Течение в каналах квадратного сечения...........................157
5. Короткие каналы и отверстия ... ............................... 158
§ 3.6. Плоское обтекание...............................................159
§ 3.7. Обтекание осесимметричных тел..................................171
Список литературы...........................................................177