D
ДЛЯ ВУЗОВ

АЭРОГИДРОМЕХАНИКА
Рекомендовано
Комитетом по высшей школе Миннауки России
в качестве учебника для студентов
высших технических учебных заведений
Москва
•Машиностроение-
1993

ББК 39.52
А 99
УДК 629. 7.015:533.6
ФЕДЕРАЛЬНАЯ ЦЕЛЕВАЯ ПРОГРАММА КНИГОИЗДАНИЯ РОССИИ
Авторы: Е. Н. Бондарев, В. Т. Дубасов, Ю. А. Рыжов, С. Б. Свирщевский,
Н. В. Семенников
Рецензенты: кафедра «Теория полета и аэродинамика» МГТУ им. Н. Э. Баумана и
д-р техн. наук Н. А. Анфимов
Аэрогидромеханика: Учебник для студентов высших технических
А99 учебных заведений/Е. Н. Бондарев, В. Т. Дубасов, Ю. А. Рыжов
и др.— М.: Машиностроение, 1993.—608 с: ил.
ISBN 5-217-01989-1
Рассмотрены закономерности течений сплошной и разреженной сред при
взаимодействии с обтекаемыми поверхностями в широком диапазоне скоростей
потока. Изложены методы расчета отрывных и струйных течений вязкой среды,
аэродинамических характеристик различных тел при установившихся и
неустановившихся течениях.
2705140400—410
А 232—92 ББК 39.52
038(01)—93
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Бондарев Евгений Николаевич, Дубасов Василий Тимофеевич, Рыжов Юрий Алексеевич,
Свирщевский Станислав Брониславович, Семенников Николай Витальевич
АЭРОГИДРОМЕХАНИКА
Редакторы Н. М. Кущ-Жарко, И. Н. Мымрина
Художественный редактор В. В. Лебедев
Технические редакторы Н. М. Харитонова, Т. С. Старых
Корректор А. А. Хрусталева
ИБ № 6224
Сдано в набор 19.08.92. Подписано в печать 31.12.92. Формат 70х1001/1б- Бумага офсетная. Гарнитура
тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л. 49,4. Усл. кр.-отт. 49,4. Уч.-изд. л. 43,03. Тираж 3860 экз. Заказ 924. «С».
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение», 107076, Москва, Стромынский
пер., 4
Отпечатано в Московской типографии № 4 Министерства печати и информации Российской
Федерации, 129041, Москва, Б. Переяславская ул., 46. Зак. 150 с диапозитивов, изготовленных в
ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени ГМП «Первая
Образцовая типография» Министерства печати и информации Российской Федерации. 113054. Москва,
Валовая, 28
ISBN 5-217-01989-1 © Е. Н. Бондарев, В. Т. Дубасов, Ю. А. Рыжов
и др., 1993

ПРЕДИСЛОВИЕ
В учебнике последовательно излагаются основы механики
сплошных и разреженных сред. Исследование конкретных типов течений
базируется на аналитических и численных решениях уравнений Эйлера,
Навье — Стокса, Больцмана и их модельных представлений с
привлечением результатов обширных экспериментов. При отборе и компоновке
материала особое внимание уделено физической картине течений,
математической постановке, прикладному смыслу получаемых решений.
Нашли свое отражение в учебнике и новые направления
современной теории, имеющие важное значение для развивающейся
авиационно-космической техники: отрывные и струйные течения вязкой
жидкости, механика разреженных газов и т. д.
Применение ЭВМ способствовало существенному изменению и
совершенствованию методики исследования течений, привело к созданию
нового направления в аэрогидромеханике — вычислительного
эксперимента. Поэтому в данном учебнике используется концепция численного
решения.
Структура и содержание книги обусловлены целью дать будущим
специалистам учебник, позволяющий ориентироваться в современных
методах решения задач аэрогидромеханики и решать проблемы,
выдвигаемые практикой. В его основе лежат положения классической
ньютоновской механики, разнообразные модели сплошных и
разреженных сред (в рамках их применимости).
Учебник «Аэрогидромеханика» состоит из двадцати двух глав.
В первой главе кратко излагаются основные физические
закономерности течений, обсуждаются уровни описания этих течений,
взаимодействие сред с обтекаемыми поверхностями, параметры атмосфер планет.
Часть, составленная из 2... 17 глав, посвящена механике идеальной
и вязкой сплошных сред. В ней большое внимание уделяется
современным аналитическим и численным методам расчета течений
жидкостей и газов с малыми и большими возмущениями; приводятся
сведения о расчетах ламинарных и турбулентных пограничных слоев;
анализируются отрывные и струйные течения вязких сред; излагаются
методы расчета аэродинамических характеристик различных тел при
установившихся и неустановившихся течениях и проблемы, связанные
с ними.
В части учебника, состоящей из 18...22 глав, рассмотрены основы
механики разреженных газов, в которой исследуются явления в
условиях, когда отношение средней длины свободного пробега молекул
к характерному аэродинамическому размеру не является малой
величиной; освещаются многие теоретические проблемы, связанные
с решением кинетического уравнения Больцмана, уделяется внимание
з

выводу из него уравнений механики сплошных сред, построению
соответствующих граничных условий; рассмотрены многие прикладные
задачи.
Настоящий учебник предназначен для студентов высших учебных
заведений, специализирующихся в области аэрогидромеханики, а также
может быть полезен инженерам, аспирантам и научным работникам,
занимающимся исследованиями в области авиационной и космической
техники. В значительной мере основой для книги послужили курсы
лекций, читаемые авторами в Московском авиационном институте
им. С. Орджоникидзе. На подборе материала сказались их научные
интересы. При написании книги авторы опирались на богатый опыт
исследований таких ученых, как В. С. Авдуевский, Н. Е. Кочин,
И. А. Кибель, Н. В. Розе, Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Г. Н.
Абрамович, Г. Шлихтинг.
Авторы учебника выражают глубокую благодарность рецензентам:
члену-корреспонденту РАН Н. А. Анфимову и сотрудникам кафедры
«Теория полета и аэродинамики МГТУ им. Н. Э. Баумана профессорам
Н. Ф. Краснову и Л. Н. Лысенко и доценту В. Н. Кошевому за данные
ими рекомендации.
4

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Наименование величин
X, yt z—декартовы координаты;
S, A, F — площадь;
/, D—характерный размер;
X—удлинение; приведенная скорость; теплопроводность;
г) —сужение;
а, р, у— углы атаки, скольжения, крена;
V — скорость летательного аппарата;
а—скорость звука;
U—скорость потока;
Ф — потенциал скорости;
\}/—функция тока;
Г—циркуляция скорости;
t—время;
Т—температура;
р—плотность;
р—давление;
/—энтальпия;
s—энтропия;
m—масса молекулы;
Л—молярная масса;
п—концентрация; степень нерасчетности струи;
С—тепловая (собственная) или случайная скорость молекул;
£■—абсолютная скорость молекул, lf=C?+C/;
у—показатель адиабаты; отношение удельных теплоемкостеи;
ц—динамическая вязкость;
v—кинематическая вязкость; частота столкновений;
Ср, Cv—удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме
соответственно;
5—толщина пограничного слоя;
q—скоростной напор;
ср—коэффициент давления;
cf—коэффициент трения;
т—напряжение трения;
d%—элемент объема в пространстве скоростей, d^=dt,xd^yd^z;
d% — элемент объема в физическом пространстве, dX=dxdydz;
f—функция распределения скоростей молекул;
Ф—межмолекулярный потенциал взаимодействия;
/ — средняя длина свободного пробега молекул;
X, У, Z — аэродинамические силы;
М — аэродинамический момент;
5

с, т—аэродинамические коэффициенты;
К — аэродинамическое качество;
са, та—производные аэродинамических коэффициентов;
М—число Маха;
Кп—число Кнудсена;
S — скоростное отношение;
Nu—число Нуссельта;
Рг — число Прандтля;
Re—число Рейнольдса;
St—число Стантона;
Sh—число Струхаля;
Fr — число Фруда;
Sc—число Шмидта;
Ей—число Эйлера;
Индексы
т —свободномолекулярное значение;
н, оо —невозмущенное значение;
w—значение на поверхности;
е—параметры потока на границе пограничного слоя;
о—параметры заторможенного потока;
а—параметры потока на срезе сопла;
х, у, z—составляющие в направлении осей х, у, z соответственно.
6

ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТЕЧЕНИЙ
Аэрогидромеханика — часть общей механики, изучающая законы
движения и равновесия жидкостей и газов, их силового и теплового
взаимодействий с обтекаемыми телами и поверхностями. В общем
случае их познание является весьма трудным. Определение
аэродинамических сил и моментов, действующих на тела при заданных
условиях движения, является одной из основных задач
аэрогидромеханики. Они зависят от геометрической формы тела, его ориентации
по отношению к направлению движения, его скорости, свойств
и состояния среды (жидкости, газа и плазмы). Для нахождения
характеристик взаимодействия среды с движущимися в ней телами
разработаны разнообразные методы и алгоритмы [1, 6, 9, 16, 22,
47, 50, 52, 58, 65, 68, 76, 77, 87, 91, 93, 95, 98, 100].
Аэрогидромеханика основывается на общих уравнениях механики
жидкости и газа. Их решение требует знаний характерных свойств
каждой из этих сред. Саму среду, потоки можно описывать на
микроскопическом или макроскопическом уровне.
При изучении вопросов обтекания тел жидкостью или газом
в рамках макроскопического подхода в первом приближении
применяются уравнения движения несжимаемой идеальной жидкости, т. е.
уравнения гидромеханики (при малых скоростях — числах Маха М<^:1)
и сжимаемой идеальной жидкости (при больших скоростях — числах
М^1). Поскольку реальные жидкости и газы обладают вязкостью
и теплопроводностью, то в относительно тонкой области, прилегающей
к обтекаемой поверхности, обнаруживается пограничный слой
(с ламинарной или турбулентной формой течения). Для описания
течения и теплообмена в пограничных слоях (динамических и тепловых)
применяются уравнения движения вязких жидкостей и газов (уравнения
Навье—Стокса и их аппроксимации). Большие трудности вызывает
изучение вихревых и отрывных течений. За пределами пограничного
слоя поток можно рассматривать как невязкий и нетеплопроводный.
Здесь течение описывается простыми уравнениями идеальной среды
(уравнениями Эйлера), которые следуют из уравнений Навье—Стокса,
если отбросить в них члены, характеризующие вязкость,
теплопроводность и диссипацию.
Течение разреженных сред изучается на основе молекулярно-
кинетических представлений и описывается уравнением Больцмана.
В случае, когда отношение средней длины свободного пробега молекул
в среде к характерному аэродинамическому размеру мало, уравнения
Навье—Стокса могут быть получены из уравнения Больцмана с
помощью асимптотических разложений Гильберта и Чепмена—Энскога
[43, 88].
7

§ 1.1. МОЛЕКУЛЯРНАЯ СТРУКТУРА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
Согласно современным представлениям из молекул состоят
вещества в газообразном и жидком состояниях (в твердом состоянии
из молекул состоят лишь вещества, кристаллическая решетка которых
имеет молекулярную структуру). Поэтому среда, в которой движется
тело, представляет собой совокупность огромного числа материальных
частиц, называемых молекулами. Под молекулами будем в дальнейшем
понимать атомы, ионы, собственно молекулы, а также сложные
молекулярные образования, находящиеся в постоянном движении.
Свойства газов, жидкостей и твердых тел существенно зависят
от структуры молекул, непосредственно связанной с силами
взаимодействия между ними. Согласно кинетической теории материи молекулы
являются центром некоторого силового поля, обусловленного
взаимодействием электронов и ядер. Когда молекулы удалены друг от
друга, то между ними действуют силы притяжения (ван-дер-ваальсовы
силы). При сближении между молекулами возникают силы
отталкивания (валентные силы).
Во многих случаях молекулу можно рассматривать как центр
сферически симметричного силового поля. Сила взаимодействия
3F между такими молекулами является функцией только
межмолекулярного расстояния г.
Для описания силового поля используется потенциал взаимодей-
00
ствия Ф(г)=| !F{r)dr, который определяет работу по перемещению
г
молекул из бесконечности в данную точку пространства, задаваемую
величиной г. Когда сила J*(r), действующая между молекулами,
существенно изменяет скорости и траектории их движения, происходит
столкновение частиц. Если межмолекулярное расстояние больше
нескольких диаметров молекул (d&2 • 10~8см), то Ф(г)-*0. Во многих
случаях взаимодействие молекул приближенно описывается формулой
следующего вида:
Ф(г) = К1г~\-К2г-у,2, (1.1)
где Kt и V; (/=1, 2) — постоянные, зависящие от природы и состояния
среды. Первый член в формуле (1.1) описывает энергию отталкивания,
второй — энергию притяжения. В диапазоне малых энергий частиц
(низких скоростей) взаимодействие молекул с поверхностью почти
всегда сопровождается захватом, поэтому здесь основное внимание
уделяется части потенциала взаимодействия, описывающей притяжение.
При больших энергиях падающих частиц, наоборот, достаточно
ограничиться короткодействующей силой отталкивания.
Одной из широко применяемых моделей взаимодействия является
модель упругих сфер, в которой молекулы подобны твердым шарам
диаметром d, а потенциал взаимодействия
joo при r<d;
v ; (О при r>d.
Эффективный диаметр шаров d назначается из условия осреднения
изменений импульса или энергии при различной ориентации молекул
относительно друг друга при встрече. Преимущество этой модели —
возможность получать результаты аналитически. Модель твердых

сфер весьма далека от реальности:
на малых расстояниях потенциал
растет слишком быстро, на больших —
взаимодействие не учитывается.
Потенциал точечного центра
отталкивания (рис. 1.1) можно записать
в виде
(1.3)
I
I
<P(r)i
-я>„ H
Рис. 1.1. Модели потенциалов
взаимодействия:
1 — точечный центр отталкивания; 2 —
потенциал Леннарда — Джонса
ф(г)=а:г-(у-1).
Эта модель позволяет лучше
описать явления переноса. Для
большинства реальных газов v = 9 для мягких
молекул и v=15 для жестких. Если
v = 5, то такая модель называется
максвеллов ским газом. Она весьма
удобна в математическом отношении.
При v-юо модель (1.3) превращается
в модель твердых сфер.
Широкое распространение получил потенциал Леннарда—Джонса
(рис. 1.1):
Ф(г) = 4Ф0[(го/г)12-(г0/г)6], (1.4)
где Фр — максимальная энергия притяжения, которая достигается при
r = 21/(Y0. Величина г0 есть значение г, при котором Ф(г) = 0 (например,
для гелия г о = 2,51 - 10 ~8 см, для азота г0 = 3,7 • 10~8 см). Этот потенциал
дает более реалистический закон взаимодействия, поскольку учитывает
и силы притяжения. Используются и более сложные потенциалы
взаимодействия [43, 88].
Рассмотрим простой газ, образованный молекулами одинаковых
структур. На основании закона Авогадро моли разных газов при
заданных температуре и давлении имеют одинаковые объемы. Число
молекул в одном моле газа является фундаментальной физической
константой и называется числом Авогадро JfА = 6,022 • 1023 1 /моль.
Следовательно, число молекул п в единичном объеме, или их
концентрация (числовая плотность), для любого газа при нормальных
условиях (Гс = 273,15 К, рс= 101325 Н/м2) равна 2,6868 • 1019 1/см3. Эта
величина является стандартной числовой плотностью, а число молекул
в 1 см3 есть число Лошмидта NL. Масса молекулы в кг
т = Ж\ЛгА= 1,660 -10"27^, (1.5)
где М — молярная масса газа. Молекулы при нормальных физических
условиях сравнительно свободно перемещаются относительно друг
друга, так как разделены расстояниями, на которых их
взаимодействие мало. Так, средний объем, занятый одной молекулой, равен
1/7VL, а среднее расстояние между ними г* = (\ /NL)113 &3 • Ю-6 см (см.^
рис. 18.1). Величина г* на два порядка превышает расстояние г, на
котором проявляются межмолекулярные силы. Аналогично и время
столкновения на два порядка меньше времени их свободного
движения.
Модель газа, молекулы которого рассматриваются как
невзаимодействующие друг с другом материальные точки, называется
идеальным (совершенным) газом. Причем собственный объем молекул
такого газа в нормальных условиях пренебрежимо мал, а его
9

молекулы рассматриваются как материальные точки. Воздух при
нормальных условиях удовлетворяет условию совершенства газа r*^>d.
Практически газы, состоящие из нейтральных молекул, до
давлений порядка сотен атмосфер могут считаться идеальными. До этих
же давлений вероятность столкновения (т. е. сильного взаимодействия)
одновременно трех и более молекул пренебрежимо мала по сравнению
с вероятностью парных столкновений.
Движение молекул и их столкновения для всех режимов обтекания,
встречающихся в аэрогидромеханике, могут быть описаны с помощью
классической ньютоновской механики. Квантомеханический подход
становится необходимым лишь для легких газов (Не, Н2) и при очень
низких температурах, когда длина волны де Бройля lB = h/(mu)
(h — постоянная Планка, /г = 6,62 • Ю-34 Дж -с; ти — количество
движения частицы) становится сравнимой с размером молекулы или средним
расстоянием между молекулами г„. Для нормальных условий в воздухе
/Б~2-10~9 см. Квантовые эффекты следует учитывать и при неупругих
столкновениях молекул, связанных с возбуждением внутренних степеней
свободы молекул (вращательных, колебательных с набором разных
частот), электронных уровней и т. п. На основе положений квантовой
механики вычисляются и потенциалы межмолекулярных
взаимодействий. Однако в дальнейшем будем полагать, что потенциал
взаимодействия известен и задан.
Релятивистские эффекты проявляются лишь при очень больших
скоростях молекул, сопоставимых со скоростью света с = 2,998 • 108 м/с,
т. е. при очень больших энергиях (температурах). Оценить их можно
по зависимости ш, = ш[1-([//с)2]"1/2, где т* — масса движущегося
тела; т — масса покоя. При скорости налетающей на тело молекулы
кислорода (в аэрогидромеханике используется принцип обращения
движения, следующий из общего принципа относительности
применительно к системе обтекаемое тело — среда) £/=8-103м/с или энергии
частицы—10 эВ* (U/c)2&l • Ю-10«с 1. Поскольку приведенное
соотношение указывает на постоянство массы при таких скоростях
(температурах газа), то рассматриваемое движение среды является
нерелятивистским. Таким образом, в широких диапазонах температур
(от десятков до сотен тысяч градусов Кельвина) и давлений (до
сотен атмосфер) движение газа (жидкости) рассматривается с позиций
классической ньютоновской механики.
Сведения о молекулярной структуре жидкости из-за ее
сложности являются менее полными, чем для газа. Потенциалы
взаимодействия для молекул жидкости того же порядка, что и у
твердых тел. Поскольку построение общих теоретических
закономерностей между макроскопическими параметрами (давлением,
температурой и т. д.) и молекулярной структурой жидкости достаточно
затруднено, в аэрогидромеханике применяются эмпирические
зависимости между этими характеристиками [58]. Некоторые из них
приведены ниже.
Микроскопическая (молекулярная) модель, таким образом,
представляет корпускулярную структуру среды, содержащую информацию
о положении и скорости каждой молекулы в произвольный момент
времени. Такое подробное описание не всегда необходимо, тем более,
* 1 эВ/молекула= 1,1605 • 104 К.
10

что поток среды, как правило, описывается с помощью
макропараметров. В аэрогидромеханике для нормальных плотностей вводится
макроскопическая модель, согласно которой газ или жидкость ведет
себя как континуум, а его математическое описание дается
зависимостями макроскопических характеристик от координат и времени.
Гипотеза сплошности среды, введенная в науку Д'Аламбером
и Эйлером, позволила заменить реальную дискретную среду моделью
сплошной материальной среды, масса которой непрерывно
распределена по объему. Молекулярное же строение газа и жидкости
учитывается через их физические свойства — вязкость,
теплопроводность, диффузию и т. д. В механике сплошных сред широко
используется понятие жидкой частицы, обозначающее малый объем
сплошной среды (физически бесконечно малый жидкий объем).
Совокупность непрерывно распределенных по объему жидких частиц
определяет исследуемый газ или жидкость. О степени разреженности
среды можно судить по числу Кнудсена
Kn = //L, (1.6)
где L — характерный аэродинамический размер; /—средняя длина
свободного пробега молекул, определяемая как среднее расстояние,
проходимое молекулами между двумя столкновениями. Сплошная
среда (континуум) характеризуется исчезающе малой средней длиной
свободного пробега и бесконечно большой частотой столкновений
(частота столкновений — среднее число столкновений, претерпеваемых
молекулой в единицу времени).
§ 1.2. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
И ФУНКЦИИ СОСТОЯНИЯ СРЕДЫ
Состояние, физические и механические свойства среды
характеризуются ее плотностью, давлением, температурой, энтальпией
и т. д. Макроскопические параметры с позиций механики разреженных
сред являются соответствующими моментами функции распределения
молекулярных скоростей /.
Плотность. Выберем в окрестности точки В(х, у, z) элементарный
объем AV (см. рис. 1.4). При непрерывном распределении массы
в объеме AV содержится масса среды, равная Am. Тогда величина
p = Am/AV называется средней плотностью среды в объеме AV.
Плотность среды в данной точке
В СИ плотность среды р измеряется в кг/м3. В общем случае
плотность среды в данной точке может с течением времени t
изменяться, т. е. р = р(х, у, z, t).
Если плотность среды р не зависит от времени и координат
точек пространства, то среда будет однородной и несжимаемой
(р = const). Между р и п существует связь. Если среда состоит из
частиц одного сорта, то
р = пт, (1.7)
где п — концентрация частиц; т — масса частицы.
11

Давление — скалярная величина, характеризующая в случае
равновесия произвольной и движения идеальной сред интенсивность
нормальных (перпендикулярных к поверхности) сил, действующих со
стороны среды на любую произвольно ориентированную единичную
площадку, помещенную в нее. Если силы распределены вдоль
поверхности равномерно, то давление на любую часть поверхности
рср = Р/А, где Р—сумма приложенных перпендикулярно к этой части
поверхности сил; А—площадь указанной части поверхности. При
неравномерном распределении сил вводится величина
Р= lim %-, (1.8)
называемая нормальным напряжением в данной точке среды,
действующим на произвольную элементарную площадку А А, выделенную
в среде, на которую действует по нормали к ней сила АР.
Единицей измерения давления в СИ является Паскаль (1Па= 1 Н/м2;
1 мм рт. ст. = 133,322 Па).
Температура. Если движение молекул среды носит классический
характер, то температура связана со средней кинетической энергией
поступательного движения молекул:
-кТ=-тС\ (1.9)
2 2' v '
где &=1,38 • 10~23 Дж/К — постоянная Больцмана; С2 — среднее
значение квадрата тепловой скорости молекул. Термодинамическая
температура Т, строго говоря, характеризует равновесное состояние
газа. Формула (1.9) применима лишь для одноатомного газа,
поскольку молекулы обладают только поступательной энергией.
В таком газе кинетическая температура поступательного движения
Ти равна термодинамической температуре Т. В неравновесном
случае кинетическая температура, подсчитанная по поступательному
движению молекул, равна
-кТпътгп = - тС2,
где 8П—удельная энергия, связанная с тепловым или поступательным
движением молекул. Поскольку двухатомные и многоатомные
молекулы обладают и внутренней энергией, связанной с вращательными
и колебательными энергетическими модами, то температуру для
внутренних мод Тв можно определить аналогично Гп, связав ее
с числом внутренних степеней свободы:
1-^кТв = тгв, (1.10)
где £ = (5 — 3 у) I (у — 1) — число внутренних степеней свободы,
y = Cp/Cv — отношение удельных теплоемкостей при постоянных
давлении и объеме (для двухатомных газов и воздуха у = 1,4); ев — удельная
энергия, связанная с внутренними модами. Тогда для неравновесного
газа кинетическая температура определяется соотношением [22]
^ = 37щт; (1П)
12

Температурная шкала, связанная с определением (1.9), называется
абсолютной шкалой Кельвина. Значение Г=0 называется абсолютным
нулем температуры.
Уравнение состояния газа. Между основными макроскопическими
параметрами существует зависимость, которую в общем можно
записать в виде
J^(p, р, Г) = 0.
Нахождение вида функции SF„ определяющей уравнение состояния
на основе представлений о молекулярном строении среды,—
чрезвычайно сложная задача, точно решенная только для идеального
газа. Для этой модели уравнение состояния имеет вид
p = pRT=nkT, (1.12)
где k = mR; R—удельная газовая постоянная. Известно, что R = CP — CV.
Ее значение определяется следующим образом:
R = ®\M, (1.13)
где ^ = 8314,4 Дж/(кмоль-К)—универсальная (молярная) газовая
постоянная', М— молярная масса. Для воздуха ^ = 28,96 кг/кмоль
и Д-287 Дж/(кг- К).
Для большинства задач аэрогидромеханики уравнение (1.12) дает
хорошие результаты, совпадающие с опытными данными в широких
диапазонах изменения макропараметров. Заметные отклонения
свойств воздуха от свойств идеального газа наблюдаются при
высоких давлениях и низких температурах. При движении
затупленного тела в атмосфере Земли с гиперзвуковой скоростью за головной
ударной волной и в пограничном слое образуются области с такими
высокими температурами, при которых возникают диссоциация
(распад молекул на составные элементы) молекул воздуха (при
Т> 2000...2500 К) и его ионизация (отрыв электронов от атомов),
происходящая при Т> 5000...6000 К. В этих случаях вместо уравнения
состояния (1.12) следует воспользоваться соответствующими
диаграммами состояния газа и таблицами термодинамических функций [1,
9, 13, 52, 58].
Вводятся следующие функции состояния среды: внутренняя энергия
8, энтальпия /, энтропия s, зависящие от двух произвольных
макропараметров состояния.
Энтальпия определяется соотношением di=CpdT. Полагая, что
Ср постоянна, можно получить
i=CpT=^- RT=-^-p-. (1.14)
у—1 у—1р
Энтропия имеет вид ds = dq/T, где dq — суммарная теплота,
подведенная к 1 кг массы газа извне. Нетрудно выразить энтропию
через параметры состояния:
s=Cv\n{p/Py) + const. (1.15)
Если s = const, т. е. энтропия постоянна, то процесс называется
изоэнтропическим. В этом случае связь между р и р следующая:
/?/p7 = const. (1.16)
13

Сжимаемость — способность среды изменять свой объем (и
плотность) при изменениях давления и температуры (или внешних условий).
Сжимаемость характеризуется коэффициентом сжимаемости среды
Pp = ^ = iP_. (1.17)
Fp Vdp pdp v J
Формула (1.17) показывает, что изменение давления на величину
Ар в изотермическом процессе (Г= const) вызывает соответствующее
относительное изменение объема А V/ V (т. е. относительную объемную
деформацию). Коэффициент сжимаемости большинства жидкостей
лежит в пределах 10~9...10-10 (Н/м2)-1. В этих средах расстояние
между соседними частицами порядка 10 ~8 см и сравнимо с размерами
атомов и молекул. Поэтому жидкости обладают очень малой
сжимаемостью. Величина (^=1/рр называется модулем объемной
упругости. Для воды при нормальных условиях (^ = 2,25 • 109 Н/м2.
Уравнение (1.17) выражает закон Гука для жидкой среды. Изменение
температуры при неизменном внешнем давлении приводит к
незначительному изменению объема жидкости. Капельные жидкости (воду,
масло и др.) можно считать несжимаемыми, а их плотность р = const.
С учетом соотношения (1.12) из (1.17) следует, что для газов
(при Г= const) РР=1//7, или $=р.
Эти формулы указывают на большую сжимаемость газовой
среды. Как уже отмечалось, среднее расстояние между частицами
в газе значительно превышает их размеры. Поэтому газы при
значительных изменениях внешнего давления и температуры
существенно изменяют свой объем, и их плотность может изменяться
в очень широких пределах.
Из курса физики известно, что скорость распространения малых
возмущений в упругих средах — скорость звука a = (dp/dp)1/2.
Для модели несжимаемой среды dp = 0, и поэтому а=со. Для
изоэнтропических течений из уравнения (1.16) следует, что dp/dp = yp/p.
Следовательно, с учетом (1.12)
a = (yRT)112. (1.18)
Таким образом, малые возмущения распространяются в сжимаемой
среде с конечной скоростью а, зависящей от температуры и ее физических
свойств. Отношение скорости течения среды U к скорости звука
M=U/a (1.19)
называется числом Маха. Для движущейся среды число М является
мерой сжимаемости, а также характеризует режим течения. При
малых скоростях М«: 1, и в этом случае газовую среду можно
считать несжимаемой, т. е. положить в первом приближении р = const.
Это условие указывает на то, что законы движения жидкости и газа
и их взаимодействия с обтекаемым телом оказываются идентичными.
§ 1.3. ПЕРЕНОСНЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ И ЖИДКОСТЕЙ
При движении среды молекулы обмениваются импульсами,
энергией, происходит перенос массы. Физические явления,
сопровождающиеся переносом массы, импульса и энергии при движении
молекул, называются явлениями переноса. Молекулярный перенос обус-
14

Рис. 1.2. Распределение скоростей и температур в пограничном слое:
I — вязкое течение; И — невязкое течение; / — распределение термодинамической температуры в
пограничном слое на адиабатной стенке при М>1; 2 — распределение термодинамической температуры
в пограничном слое на неадиабцтной стенке при М > 1 (поток тепла направлен от газа в стенку)
ловлен тепловым хаотическим движением частиц. Явление переноса,
связанное с макроскопическим движением молекул в направлении
видимой скорости, называется конвекцией.
Молекулярный перенос разделяют на явления вязкости,
теплопроводности и диффузии. Для описания этих явлений вводятся
коэффициенты переноса. Элементарная кинетическая теория газов позволяет
получить приближенные соотношения для расчета этих коэффициентов.
Рассмотрим одномерное движение газа вдоль оси х (рис. 1.2).
Имеется некоторое распределение макроскопической скорости и~и[у).
Плотность, температуру и давление в газе примем постоянными.
Вследствие теплового движения молекулы пересекают плоскость В—В.
Число таких частиц пропорционально концентрации п и средней
скорости хаотического движения С. Те молекулы, которые пересекли
плоскость В —В, испытали последнее столкновение в среднем на
расстоянии, равном средней длине свободного пробега /.
Следовательно, каждая молекула, пересекающая плоскость сверху вниз несет
в среднем импульс (в направлении оси х), равный m[u + ~l),
( ди д
а молекула, идущая снизу вверх,— т [и / .
V ду J
Разность этих импульсов равна
-ImnCl-. (1.20)
6 ду
Множитель - в (1.20) учитывает, что все направления при
6
хаотическом движении молекул равновероятны. В направлении у (или
15

—у) движется только 1/6 всех молекул. С макроскопической точки
зрения на основании закона Ньютона эта разность импульсов является
касательным напряжением т (т. е. силой внутреннего трения,
приходящейся на единицу площади):
х = Ц?. (1.21)
ду
Здесь в качестве коэффициента пропорциональности используется
вязкость газа ц. Приравнивая выражения (1.20) и (1.21), можно
получить, что динамическая вязкость
\i = -mnCl. (1.22)
Способность газов (или жидкостей) оказывать сопротивление силам,
сдвигающим один слой газа (или жидкости) по отношению к другому,
называется вязкостью среды.
Теплопроводность — один из видов переноса теплоты от более
нагретых частей среды к менее нагретым, приводящий к выравниванию
температур. Выражение для теплопроводности газа X можно получить
так же, как и для ц. Результаты теории Чепмена—Энскога для
переносных свойств простого газа, состоящего из упругих сферических
молекул диаметром d, показывают, что в первом приближении
вязкость и теплопроводность газа вычисляются по формулам [22, 88]:
5 т (RT\'2 , 15
Используя выражение для средней длины свободного пробега в
равновесном слое (см. формулу (18.1)), можно получить
\i = ~ p(2nRTY'2l. (1.24)
Для газа, состоящего из молекул со степенным законом
взаимодействия, формула для вязкости (1.23) обобщается следующим образом:
5m{RTInyi2(2mRTIK)2^-^
Ц 8^(v)r[4-2/(v-l)] > V'^)
где К—постоянная в законе межмолекулярного взаимодействия
(см. формулу (1.3)); Г — гамма-функция; A2(v) — интегральный
множитель, численные значения которого табулированы [22, 88]:
v 5 7 9 11 15 21 оо
A2(v) 0,436 0,357 0,332 0,319 0,309 0,307 0,333
Так как для одноатомного газа удельная теплоемкость Ср при
постоянном давлении равна (5/2) R, то число Прандтля Рг = цСрД = 2/3.
На рис. 1.3 показаны переносные свойства воздуха, полученные
на основании молекулярно-кинетической теории Чепмена — Энскога
и теории Брокау [37], для широкого диапазона давлений и температур
среды. В СИ единицей измерения \х является Н-с/м2, а X — Вт/(м-К).
Значения \х и X для различных сред табулированы [58]. Широко
применяется формула Сатерленда (полученная в кинетической теории газов)
Vl\io = {TITof12 [(Г0 + ГС)/(Г+ГС)]. (1.26)
16

jd-Ю^Па-с
Л, Вт/(м-К)
1
1/ I i
У4/
10000
a)
ZOOOO
0
5000
Я)
10000
T,K
0
5000
B)
10000
Рис. 1.3. Переносные свойства воздуха при температурах 100...20000 К в диапазоне
давления р 103...107 Па:
а — вязкость; б—теплопроводность; в — число Прандтля Рг = ср|лД; 1—/?=107Па; 2—/>=105Па;
3_р=Ю3Па
Здесь индекс «0» относится к вязкости при некоторой определенной
температуре Т0; Тс — постоянная Сатерленда, зависящая от физических
свойств среды. Для воздуха \х0 = 1,72 • Ю-5 Н *с/м2, ГС=122К при
Г0 = 273 К. В практических расчетах для газов часто пользуются
приближенными степенными зависимостями вида
\i/lio = {T/ToY,
(1.27)
где п — показатель, различный для разных газов и зависящий от
температуры. Из сравнения формул (1.26) и (1.27) видно, что при
Г-юо величиной Тс можно пренебречь, так как ТС<^:Т. Тогда из
выражения (1.27) следует, что при Г-юо величина я->0,5.
Соответственно, если Г->0, то я->1,5. Таким образом, 0,5 <ж 1,5. Для
воздуха при 7X700 К /?^0,75. В теоретических расчетах для воздуха
удобно принять «=1. Д. Чепмен и М. Рубезин предложили формулу
JM_ _
С,
То'
(1.28)
где Сх подбирается в каждом конкретном случае с помощью формулы
Сатерленда для выбранного диапазона температур. Вычисление
вязкости для многокомпонентной смеси газа представляет определенные
трудности, несмотря на то, что существует ряд методов для ее
определения [43, 58, 88].
Из приведенных формул видно, что вязкость газов увеличивается
с ростом температуры. Вязкость же капельных жидкостей (воды,
масла и др.) почти не зависит от давления и уменьшается при
повышении температуры. Эти свойства газа и жидкости объясняются
особенностями молекулярных движений в средах. Для воды вязкость
можно определить по формуле
17

\i= 1,79 • 10~5(1 +0,034U + 0,00022H2)~1, (1.29)
где температура t измеряется по шкале Цельсия.
В аэрогидромеханике часто используется отношение ц/р — так
называемая кинематическая вязкость (м2/с). Решение задач
аэрогидромеханики с учетом вязкости и теплопроводности движущейся среды
приводит к большим математическим трудностям. Эти трудности
почти не уменьшаются, если переносные свойства среды учитывать
лишь в тонком слое около поверхности тела при континуумном
подходе. Если вязкость и теплопроводность равны нулю, то среда
называется идеальной.
§ 1.4. УРОВНИ ОПИСАНИЯ ТЕЧЕНИЙ.
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНОЙ
И РАЗРЕЖЕННОЙ СРЕД
Изучать течение газа, его взаимодействие с обтекаемыми
поверхностями можно на различных уровнях, и в частности на
молекулярном, болъцмановском или газодинамическом уровне описания
[16]. На каждом уровне имеются свои теоретические модели, методы
и экспериментальные средства.
Рассмотрим одноатомный газ, состоящий из достаточно большого
числа N частиц. Динамическое состояние системы N частиц
описывается с помощью наборов 3N декартовых координат частиц х{ и 3N
составляющих их скоростей ^ в каждый момент времени t. Если
в 6А^-мерном фазовом пространстве, где описывается движение газа,
наборы координат и скоростей частиц заданы только в начальный
момент времени, то в следующие моменты времени система из
N частиц, движущихся в соответствии с законами механики,
описывается с помощью полной системы TV уравнений движения Ньютона
(или уравнения Лиувилля, если рассматривается ансамбль таких
систем)
mi-^ = Fi(t, z\, ..., zN)\ i=\, 2, ..., N, 2( = (хь^),
где mh Fj — масса и сила, действующая на /-ю молекулу;
xt — радиус-вектор, характеризующий положение частицы в
пространстве. Практическое описание реального течения среды на таком
молекулярном уровне — задача нереальная. Поэтому необходимо
переходить к менее полному — статистическому описанию системы,
базирующемуся на положениях теории вероятности. Отметим, что
молекулярный уровень характеризуется уравнениями Ньютона (или
основным уравнением статистической механики для газа — уравнением
Лиувилля для огромного числа взаимодействующих частиц), моделями
атомной структуры поверхности и потенциалов взаимодействия Ф(г).
Переход на менее полный, болъцмановский уровень совершается
путем усреднения по элементарному пространственно-временному
объему. Задача сводится к решению уравнения Больцмана (если газ
однокомпонентный) для функции распределения скоростей молекул
f (х, jf, t). Аэрогазодинамические задачи для кинетического уравнения
Больцмана требуют знания функций взаимодействия, описывающих
процессы взаимодействия газов с обтекаемыми поверхностями (т. е.
18

*>(r)\
'v\
^
Молекулярный уровень
(уравнение //иувилля)
f (*,?,*)*
i
Больцмановсний уровень
(уравнение Больцмана)
JL.A.Vs
!
Газодинамический уровень
(уравнении Иавье-Стокса)
Рис. 1.4. Уровни описания явлений в механике жидкости и газа
рассеяние, распыление, захват, массоотделение на поверхности).
Модельные функции взаимодействия, построенные с усреднением по
характерным параметрам, определяют граничные условия для функции
распределения /.
Газодинамический уровень связан с усреднением по скоростям
молекул и содержит уравнения переноса для макроскопических
величин— плотности, скорости и т. п. (уравнения Навье—Стокса и т. п.).
Импульс и энергия, переданные поверхности тела, характеризуются
коэффициентами обмена, связанными с макропараметрами, которые
определяют функцию распределения.
Переход на более низкий уровень упрощает описание, но
сопровождается потерей точности решения. Поэтому выбор подходящего
уровня важен при формулировании задачи и получении решения.
Схематически эти уровни описания представлены на рис. 1.4. Связь
каждого уровня с более высоким уровнем описания осуществляется
через ряд функций. На молекулярном уровне такую роль играют
потенциалы взаимодействия Ф(А моделирующие явления электронной
структуры атомных частиц; на больцмановском— функции
распределения /, на газодинамическом — коэффициенты переноса: вязкость ц,
теплопроводность А,, коэффициент диффузии D.
В основе больцмановского уровня описания лежит функция
распределения / (х, £, /), представляющая собой плотность вероятности
нахождения частицы в заданном элементарном объеме фазового
пространства вне зависимости от положения других частиц. Такое
описание не требует выполнения условия Kn = //L«:l (см. формулу
(1.6)). Введение функции / означает также, что неоднородные процессы,
рассматриваемые в разреженных средах, протекают во времена,
существенно превышающие времена корреляции, связанные с
движением частиц различных классов в фазовом пространстве, т. е. при
условии, когда /KOp<§cL. Здесь L — характерный размер
рассматриваемого явления, а /кор — корреляционная длина, например линейный
размер частицы или ее сечения столкновений. Это условие обычно
не накладывает каких-либо дополнительных ограничений на значение
числа Кнудсена.
Когда же число Кп «с 1, в качестве математической модели
используется модель вязкого теплопроводного сжимаемого газа —
уравнения Навье—Стокса. Они применимы в широких диапазонах
скоростей течений, сил трения, теплопередачи и т. п. и в целом
дают правильное описание различных свойств сплошной среды: зон
19

бессл70лнн о дательное
уравнение Больцмана
Полные уравнения
Над ье- Станса
Парадолиэоданнь/е (/рад-
нения Над ье- С тонга
Уравнения пограничного
слоя
| Ураднения Зйлера i
| Уравнение лотен-г
циала (недяз -
ное течение)
j/ ' ' ' ' ' h ' *-
О -* Y 0,01 0,1 1,0 10 100 v *- оо число Кп
Континуумное Свободно молекулярное
течение течение
Рис. 1.5. Математические модели сплошной и разреженной сред
с большими градиентами параметров (ударная волна, пограничный
слой и др.), перехода течения из ламинарного режима в турбулентный
и самих этих типов течений, отрыва потока, струйных течений. При
определенных физических предположениях указанные течения
описываются уравнениями типа уравнений пограничного слоя.
Одной из основных в аэрогидромеханике является модель
несжимаемой идеальной среды. Пренебрежение переносными свойствами среды,
ее сжимаемостью существенно упрощает математическое описание
течений. Такой подход позволяет получить ряд совпадающих с опытом
результатов, пригодных для практических приложений. Схематичное
изображение ряда моделей в механике сплошной и разреженной сред
показано на рис. 1.5.
§ 1.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СРЕДЫ
С ОБТЕКАЕМЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ.
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, МОМЕНТЫ И ТЕПЛОВЫЕ ПОТОКИ
В зависимости от физической и математической постановок
задач аэрогидромеханики определяются различные граничные условия,
характеризующие взаимодействие среды с обтекаемыми поверхностями.
Как правило, граничные условия формулируются в невозмущенном
набегающем потоке, за ударной волной, на границах разрывов, на срезе
сопл, в затопленном пространстве, на самих обтекаемых поверхностях
и т. п. Условия могут быть математически простыми, полученными из
известных соотношений, или найденными в процессе решения специальных
уравнений. На рис. 1.6 представлен ряд граничных условий, применяемых
в механике сплошной и разреженной сред. В модели идеальной невязкой
среды принимается, что нормальная составляющая скорости ип на твердой
неподвижной поверхности равна нулю (рис. 1.6, а). Для вязкой среды на
поверхности тела формулируются условия прилипания, т. е. и нормальная,
и касательная составляющие скорости равны нулю (рис. 1.6, б). Поскольку
при любом сколь угодно малом числе Кп вблизи твердой поверхности
имеется слой Кнудсена толщиной порядка длины свободного пробега
(рис. 1.6, в), то требуется установить истинные макроскопические
граничные условия для уравнений Навье — Стокса. Согласно кинетической
Молекулярная^
(диснрегпная)
модель
Уравнение Вольцмана
Манросно-
пичесная
(контину -
умная)
модель
20

а) 5)
в) г)
Рис. 1.6. Граничные условия в механике жидкости и газа
теории газов при слабых разрежениях необходимо формулировать
условия со скольжением (см. гл. 22). Больцмановский уровень описания
требует знания функций распределения /«, для частиц невозмущенного
потока и fw для частиц, уходящих от поверхности тела (рис. 1.6, г).
Силовое воздействие среды на тело сводится к силам давления
и трения, распределенным по поверхности тела. Такая
пространственная система сил может быть приведена к равнодействующей
этих сил — аэродинамической силе 1А и к паре сил с моментом М,
называемым аэродинамическим моментом. Аэродинамические сила
и момент планера определяются формулами
RA = $(p„ + Tn)dA, (1.30)
Е
M=\[rx(p„ + xn)]dA, (1.31)
где интегралы берутся по всей внешней поверхности тела Е;
рп и тп — векторы проекций давления и напряжения трения на нормаль
к элементу поверхности dA\ г — радиус-вектор элемента поверхности,
проведенный из точки, относительно которой вычисляется момент.
В аэрогидромеханике обычно пользуются проекциями
аэродинамических силы и момента на оси скоростной и связанной ортогональных
правых систем координат.
В скоростной системе координат (рис. 1.7, а), которой удобно
пользоваться при постоянной скорости полета, Ха — сила лобового
или аэродинамического сопротивления — есть проекция RA _на ось ха,
направленная противоположно вектору скорости полета V\ Ya и Za —
аэродинамическая подъемная сила и аэродинамическая боковая сила —
проекции RA на оси уа ji za соответственно. Составляющие
аэродинамического момента М по осям скоростной системы координат:
Мха — аэродинамический момент крена; Муа — аэродинамический момент
рыскания и Мга — аэродинамический момент тангажа. Составляющие
21

а.)
Рис. 1.7. Проекции аэродинамических силы и момента в скоростной (а) и связанной
(б) системах координат:
а — угол атаки; (3 — угол скольжения
момента положительны при совпадении с направлениями
соответствующих осей.
В связанной с летящим телом системе координат (рис. 1.7, б)
ось х совпадает с продольной осью летательного аппарата и
направлена вперед по его движению. Разложение М в связанной системе
аналогично разложению в скоростной, а составляющие RA по осям
этой системы называются аэродинамическими продольной X, нормальной
Y и поперечной Z силами соответственно.
Конвективный тепловой поток через единицу поверхности тела
определяется уравнением
q = {a/Cp){ie-iw), (1.32)
где q — тепловой поток, Вт/м2; Ср— теплоемкость газа, Дж/(кг-К);
*е> *w — энтальпии газа, соответствующие температуре адиабатной
стенки Те и температуре поверхности Tw, Дж/кг; а — коэффициент
теплоотдачи, Вт/(м2-К). Для идеального газа (i=CpT) уравнение
(1.32) преобразуется к виду
(1.33)
q = a(Te-Tw).
Температура адиабатной стенки называется температурой
восстановления. Если температура поверхности тела равна температуре
восстановления (т.е. re=rw), то q = 0, и теплообмен отсутствует. Если
Tw<Te, то поток тепла направлен в тело (см. рис. 1.2). Если же
Tw>Te7 то поверхность тела отдает тепло газу.
Отличие температуры восстановления от температуры адиабатно
заторможенного потока характеризуется коэффициентом
восстановления г, определяемым по формуле
Те-Тж_(Те/То0
-1
(1.34)
где М—число Маха; Га
Т0-Тж М2(у-1)/2'
-термодинамическая температура потока.
§ 1.6. АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ И ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Методология аэродинамического проектирования
летательных аппаратов (ЛА) и их поверхностей базируется на законах
и положениях механики жидкостей и газов. Тип течения определяет

форму тела и позволяет установить соответствующие типы ЛА,
а также выработать основные концепции по их проектированию.
Такой подход многократно подтверждался историей развития
авиационно-космической техники.
Различные этапы проектирования ЛА связаны с широким
использованием теоретических (аналитических), экспериментальных и
вычислительных методов в аэрогидромеханике. Выбор же метода
исследования зависит от поставленной цели, подходящего уровня
описания, экспериментальных и вычислительных средств, денежных
средств, необходимых для решения поставленной проблемы, и т. п.
Среда около обтекаемого тела может быть задана матрицей
физических макропараметров, описывающей каждую точку в
выделенной трехмерной области течения. Значения этих параметров
изменяются от точки к точке и под действием сил меняются по времени.
Основные процессы, протекающие во многих типах течений,
описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных,
которые связывают между собой значения и скорости изменения
переменных в соседних точках среды. Поскольку найти точное
аналитическое решение в явном виде (за исключением простейших
случаев) невозможно, необходимы численные методы, которые хотя
и не приводят к точному результату, но позволяют обеспечить
допустимую погрешность вычислений. Разработка приближенного
численного метода связана во многих случаях с дискретным описанием
изучаемой среды, поскольку вводится расчетная сетка с конечным
множеством узлов в рассматриваемой области. В этих узлах частные
производные аппроксимируются подходящими конечно-разностными
выражениями, дифференциальные уравнения заменяются системой
обычных алгебраических уравнений. Расчет на ЭВМ связан с
итерационным процессом, приводящим к новым значениям переменных
в каждом узле, которые вычисляются по предыдущим значениям
переменных в этом и соседних узлах сетки. Необходимые числа
узлов и итераций, обеспечивающие вычисления и приближающие
описание среды к истинному, в значительной мере зависят от
принятого численного метода, характерного шага итерации и т. д.
Реализация вычислительного подхода связана с формированием
геометрического облика ЛА; построением расчетной сетки; подбором
вычислительного метода, реализующего принятую физическую и
математическую модели течения; созданием расчетного алгоритма и
программного комплекса; выбором соответствующего вычислительного
средства. Эти составляющие обеспечивают проведение так называемого
вычислительного эксперимента (дополняющего, естественно,
физический). Но вычислительный эксперимент позволяет вести исследование
при таких условиях (например, по диапазонам чисел Kn, М, Re,
tw и т. д.), когда другие методы и подходы невозможны. Подробное
обсуждение указанных проблем выходит за рамки настоящего учебника
(см. [6, 18, 59, 111]). Ограничимся кратким рассмотрением некоторых
положений.
Имеются различные способы задания формы ЛА и его
поверхностей, пригодные для реализации на ЭВМ (одно из требований
к ним — сокращение до минимума машинного времени). Основные
среди них — аналитические и численные. В первом способе применяются
различные комбинации аналитических формул, описывающие отрезки
линий на поверхности тела, фрагменты плоскостей (в том числе
23

второго и более высокого порядков) и т. п. Во втором — массивы
чисел, определяющие координаты ряда точек в отдельных сечениях,
различные интерполяционные процедуры для формирования формы
тела (кубические и экспоненциальные интерполяционные сплайны
и др.).
Выбор подходящего способа часто связан с конкретной
постановкой задачи. Так, представление облика ЛА в виде панельной или
полигональной модели (т. е. совокупности треугольных или /с-угольных
плоских панелей) подходит для целого класса таких расчетных
методов, не требующих выполнения условия гладкости поверхности,
как панельные методы, методы локального взаимодействия, методы
статистического моделирования. Численные способы из-за их
относительной простоты, по-видимому, более предпочтительны при
описании Л А сложной геометрической формы.
Один из наиболее ответственных этапов в численных исследованиях
течений — построение расчетных сеток. Необходимо выбрать тип
(топологию) и метод построения сетки. Этот выбор зависит от
многих факторов [6,18,111]. Так, например, при расчете вязких
течений более подходит тип сетки, связанной с обтекаемым телом.
В ней координатные линии одного семейства охватывают обтекаемое
тело, а координатные линии другого семейства располагаются
ортогонально к поверхности. Узлы вдоль этого направления должны
сгущаться вблизи самого тела, обеспечивая тем самым допустимую
погрешность расчета характеристик пограничного вязкого слоя у
поверхности.
После выбора типа сетки определяется сам метод построения
расчетной сетки. Имеется множество разнообразных методов, которые
условно можно разделить на алгебраические и дифференциальные.
Алгебраические методы включают в себя конформные (основанные на
положениях теории функции комплексного переменного и др.) и
неконформные (включающие метод преобразований на многих поверхностях,
метод трансфинитной интерполяции и т. д.). Дифференциальные
методы основаны на решении соответствующих дифференциальных
уравнений эллиптического, гиперболического и параболического типов.
Следует отметить, что выбранная расчетная сетка может оказаться
не самой лучшей при решении поставленной задачи. Напомним, что
сетка оказывает определяющее влияние на точность полученного
численного решения. Предпочтение следует отдать построению сеток,
адаптирующихся в процессе решения (узлы на фиксированной сетке
в выбранной области течения размещаются до получения решения).
Развиваются процедуры построения сеток, которые удовлетворяют
требованиям, налагаемым уравнениями Навье — Стокса и уравнением
Больцмана. Например, положения метода Л. Эриксона трансфинитной
интерполяции сеток, разработанного для крыльев и других трехмерных
тел, оказались пригодными для построения и адаптации сетки при
прямом моделировании методом Монте-Карло. Такая процедура
приводит к уменьшению общих вычислительных затрат вследствие
упрощения построения и изменения сеток. Используются и процедуры
с бессеточными схемами [38, 39].
Важными являются развитие и дальнейшее совершенствование
методов и средств аналитической и вычислительной
аэрогидромеханики. Все они базируются на фундаментальных законах течений
жидких и газообразных сред. Ценными представляются направления,
24

связанные с зональными, гибридными (или комбинированными) и
адаптивными методами расчета.
Зональные методы основаны на разделении сложного
пространственного течения на отдельные зоны с собственными характерными
особенностями движения среды. К каждому зональному типу течения
применяется свой специфический метод. Пример зонального разбиения
течения показан на рис. 1.2. В зоне I для описания течения у
поверхности крыла можно использовать уравнения Навье — Стокса, в
зоне II — уравнения Эйлера (или полное уравнение потенциала).
Для гибридных методов характерно, что совместно с основным
алгоритмом применяются разнообразные приемы и процедуры,
направленные на ускорение сходимости итераций, уменьшение погрешности
вычислений и т. п. К таким методам относятся так называемые
многосеточные методы, основанные на поочередном применении
мелких и грубых сеток, приводящие к ускорению процесса уменьшения
невязок уравнения и сходимости решения.
Адаптивные методы базируются на трансформации расчетных
сеток в зависимости от характера решения. Так, например, возможна
корректировка расположения узлов сетки в процессе проведения
расчета путем их сгущения в областях течения с большими градиентами
макропараметров. Эти методы обеспечивают повышение точности
решения и позволяют рационально использовать память ЭВМ.
Спектр методов, используемых в аэродинамическом
проектировании ЛА, достаточно широк и включает в себя как простые инженерные
методы, так и методы высокого уровня сложности, основанные на
решении уравнения потенциала скорости, уравнений Эйлера, Навье —
Стокса, Барнетта, Больцмана и др. Выбор метода зависит от
требуемого уровня описания среды, адекватности выбранной модели
реальной физической картине течения. Целесообразно пользоваться
и методами, основанными на упрощенных физических и
математических моделях течений. Используются, например, линеаризированные
и асимптотические приближения (полученные при изучении структуры
течений в условиях, когда числа Kn, М, Re и т. п. стремятся к своим
предельным значениям). К ним можно отнести методы локального
взаимодействия в сплошных и разреженных средах, асимптотическую
теорию гиперзвуковых течений вязкого газа (для модели тонкого
ударного слоя), асимптотическую теорию взаимодействия и отрыва
пограничного слоя при сверхзвуковых скоростях.
Если упрощения не приводят к поставленной цели, необходим
переход к численному решению исходной системы уравнений при
заданных условиях однозначности. Конечно, расчет макропараметров,
аэродинамических коэффициентов сил и моментов, тепловых потоков
и других характерных величин должен сопровождаться оценкой
погрешностей полученных результатов. Они включают погрешности,
вызванные принятыми физической и математической моделями среды
(пренебрежением вязкостью среды, эффектами интерференции,
конечностью чисел М и др.), моделью взаимодействия потоков с
обтекаемыми поверхностями (неадекватность моделей взаимодействия
натурным условиям и т. п.), вычислительными процедурами
(аппроксимацией геометрического облика ЛА, использованием квадратурных
формул, построением расчетной сетки и пр.).
Применение многих вычислительных методов сдерживается
недостаточными быстродействием и объемом памяти современных ЭВМ.
25

Хотя остаются и проблемы чисто математического моделирования
ряда сложных явлений в движущихся средах (в частности,
моделирования турбулентных течений). Из вычислительных средств в численном
эксперименте используются как персональные компьютеры, так и
супер-ЭВМ с векторными и матричными процессорами. Форма
параллельной организации вычислений — одна из наиболее эффективных при
моделировании сплошных и разреженных сред в задачах, где процесс
вычислений поддается расщеплению. Для решения современных
проблем аэрогидромеханики требуются увеличение мощности больших
ЭВМ и усовершенствование их архитектуры. В технологии
аэродинамического проектирования необходимой является визуализация
процедур задания геометрии тел, результатов моделирования течений и пр.
Аэродинамическое проектирование и исследование течений требуют
программного обеспечения, связанного с созданием пакетов
прикладных программ, т. е. некоторой системы программ, обеспечивающей
проведение вычислительных работ. Среди них программы по
аэродинамическому расчету, оптимизации форм ЛА с учетом
аэродинамических, прочностных, экономических решений и т. д. Существуют
самые разнообразные по назначению, структуре и содержанию пакеты,
комплексы программ, вплоть до экспертных систем, содержащих базы
соответствующих знаний. Все они в той или иной мере используют
концепции искусственного интеллекта.
§ 1.7. ФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ПЛАНЕТНЫХ АТМОСФЕР
И КОСМИЧЕСКОЙ СРЕДЫ
Аэродинамические нагрузки и тепловые потоки, время полета
и баллистического существования, траекторные перегрузки и
компоновочные схемы тел существенно зависят от физических
характеристик среды, в которой движется летательный аппарат.
Атмосфера—внешняя оболочка планеты, формирование которой
обусловлено эволюцией планеты*. Структура, химический состав
и динамика атмосферы определяются положением планеты в
Солнечной системе, ее массой и параметрами движения. Атмосферы
наблюдаются на Венере, Земле и Марсе. Меркурий имеет очень
разреженную газовую оболочку. Основные компоненты в атмосфере
Земли — азот (78%) и кислород (21%), Венеры и Марса—углекислый
газ (до 95%) и азот. Давление атмосферы у Земли — 1 атм, у
поверхности Венеры — 90 атм, а у Марса — 0,006 атм. Средняя температура
у поверхности Земли — 288 К, у Венеры достигает 735 К, на Марсе —
230 К. Атмосферы планет-гигантов в основном водородно-гелиевые.
Обнаружены атмосферы у ряда спутников планет. В межпланетном
пространстве давление составляет 10_11...10~12 Па, а в
межгалактическом— порядка Ю-14 Па.
Вертикальная структура атмосферы планеты обусловлена полем
тяготения этой планеты, химическим составом, средней молекулярной
массой и температурой атмосферы. По составу атмосферу можно
разделить на гомосферу и гетеросферу. Гомосфера (homos —
одинаковый)— часть атмосферы с однородным составом, для которой
* Физика космоса. Маленькая энциклопедия. М., Советская энциклопедия, 1986,
783 с.
26

Магнитопауза т-
Магнитосфера
Плазмолауза
i i i i i i i
101 Ю3 105 107
■Тур&опауза-
■Мезолауза
Стратопауза
\
1
Стратоарера
\ ■
1
Тропосдэера
■
w ю11 ю13 ю15 ю17 ю19 п^м-з
-200 0 200
600
600 t°,C
Рис. 1.8. Вертикальное строение нейтральной атмосферы и ионосферы Земли:
/—концентрация нейтральной среды; 2—температура; 3, 4 — концентрации электронов дневной
и ночной структур соответственно; 5—высоты низкоорбитальных космических аппаратов (КА);
6—высоты геостационарных КА
характерен процесс турбулентного перемешивания. В гетеросфере
(heteros — другой, разный) из-за диффузии и диссоциации молекулярных
составляющих состав среды изменяется. Там, где концентрация газа
менее 1012...1013см"3, процесс диффузии начинает преобладать над
турбулентным перемешиванием. Такой уровень называется турбопаузой
(turbo — вихрь); в земной атмосфере он находится на высоте
100... 120 км (рис. 1.8).
Распределение температуры по высоте определяется из баланса
энергетических процессов в атмосфере. В энергетическом балансе
учитывается поглощение тепла в различных зонах, потери тепла на
излучение и фотохимические реакции, теплопроводность, конвекцию
и т. д. Поэтому по изменению температуры в атмосфере могут быть
выделены характерные области. В самой нижней части атмосферы,
называемой тропосферой (tropos — изменение), тепло переносится от
27

первичного источника нагрева — поверхности планеты — за счет
турбулентного конвективного движения. Здесь температура падает с
ростом высоты, достигая минимума на уровне тропопаузы, выше
которого атмосфера становится прозрачной для теплового излучения.
В стратосфере (stratum — слой) температура среды возрастает из-за
поглощения солнечных ультрафиолетового и частично инфракрасного
излучений слоем озона, достигая максимума на стратопаузе.
Температурный пик — мезопик (mesos — промежуточный), разделяющий
стратосферу и мезосферу, присутствует только в атмосфере Земли
и располагается на высоте 50 + 5 км. Выше этого уровня простирается
мезосфера, причем температура достигает второго минимума на
уровне мезопаузы (для Земли 85 + 5 км) из-за существования
углекислого газа и воды, которые обеспечивают охлаждение среды за счет
собственного излучения в инфракрасной области спектра. Эта область
является динамически неустойчивой из-за того, что в ней еще
наблюдается конвективное движение.
Над мезопаузой в термосфере (thermos — теплый) происходит
быстрый рост температуры с увеличением высоты (до максимального
значения 1500...2000 К на высоте нескольких тысяч километров),
вызванный поглощением в высоких слоях атмосферы солнечных
коротковолнового ультрафиолетового и рентгеновского излучений
и нагреванием среды. Если в нижней части термосферы определяющим
процессом переноса тепла является конвекция, то тепло, выделяющееся
в ее верхней части, переносится за счет теплопроводности. В
термопаузе поглощательная способность солнечного излучения незначительна
и практически не изменяется с высотой. Выше термосферы
располагается изотермическая область—экзосфера (ехо — внешний). Эк-
зосфера является внешней частью атмосфер планет с низкой
концентрацией нейтральных частиц. В ней столкновения между частицами
становятся маловероятными. Экзосфера Земли, называемая геокороной,
простирается до высот* порядка 100 тыс. км и состоит из атомов
водорода. В ней функция распределения скоростей частиц не является
максвелловской вследствие ухода частиц с высокими скоростями без
столкновений с другими атомами в космическое пространство.
Постоянная температура в области, лежащей выше термопаузы, называется
экзосферной температурой.
Область атмосферы, находящаяся ниже термопаузы, относится
к баросфере (baros—тяжесть), где распределение давления
соответствует экспоненциальному закону. Тропосфера составляет так
называемую нижнюю атмосферу. Область, простирающаяся от тропосферы
до мезопаузы, включая нижнюю термосферу (ниже 110 км), относят
к средней атмосфере. Выше располагается верхняя атмосфера. Верхняя
граница атмосферы Земли, в которой газовая среда гравитационно
связана с планетой, располагается на расстоянии (8... 12) Яъ где
R3—экваториальный радиус Земли, i?3 = 6378 км.
Под действием солнечного ультрафиолетового излучения
происходят диссоциация и ионизация молекул и атомов. Ионизированная
область верхней атмосферы называется ионосферой (для Земли это
область, лежащая выше 50 км). Поглощение более длинноволновой
части ультрафиолетового излучения приводит в дневное время к
значительной диссоциации кислорода и малых атмосферных составляющих
(воды, углекислого газа и др.) на высотах Я^ 100 км. Начиная
с высоты 100 км состав атмосферы заметно отличается от ее состава
28

на уровне моря. На очень больших высотах атомарный водород
и гелий становятся основными компонентами атмосферы.
В ионосфере Земли можно выделить области D, Е и F. Нижняя
граница ионосферы совпадает с областью D (60...90 км), где наиболее
проникающее излучение (галактические и солнечные космические лучи)
создает достаточное число ионных и электронных пар, которые
оказывают значительное влияние на распределение радиоволн. Область
между 90 и 110 км называют областью Е. В ней источниками
ионизации является солнечное рентгеновское и коротковолновое
ультрафиолетовое излучения. Выше 130 км располагается область F.
Выступ в распределении электронов (см. рис. 1.8) на высотах
150...200 км (область Fx) обусловлен максимумом ионообразования
под действием солнечного коротковолнового излучения. Часть области
F, лежащую выше Fl9 часто обозначают F2. Максимум электронной
концентрации в области F2 возникает в результате совместного
влияния химических процессов и диффузии плазмы.
Во внешнем слое ионосферы движение ионов (в основном Н + )
контролируется магнитным полем планеты (если она имеет магнитное
поле). Магнитосфера планеты содержит заряженные частицы низких
(тепловых) и высоких (радиационных) энергий. В этом случае солнечный
ветер (поток плазмы, непрерывно истекающий от Солнца с
гиперзвуковой скоростью около 400 км/с при расширении горячей солнечной
короны), встречаясь с планетой (Землей, Меркурием, Юпитером,
Сатурном) тормозится либо ее собственным магнитным полем, либо
наведенным в результате взаимодействия с ионосферой. Собственное
или наведенное магнитное поле и создает магнитосферу планеты.
Граница магнитосферы—магнитопауза, т. е. уровень, где солнечный
ветер взаимодействует с собственным магнитным полем планеты.
Зона резкого спада концентрации плазмы в магнитосфере называется
плазмопаузой. Область, расположенную ниже ее, называют плазмо-
сферой.
Часть атмосферы в интервале высот 20... 110 км, где химические
процессы являются основными, называется хемосферой. Основным
результатом фотодиссоциации кислорода для сравнительно высоких
давлений, характерных для стратосферы, является образование
озонного слоя. Он носит название озоносфера.
Анализ структуры, динамики и энергетических характеристик
нейтральной атмосферы и ионосферы планет представляет собой
сложную проблему. Так, например, для верхней атмосферы планеты
необходимо учитывать многокомпонентность среды, разнообразные
химические реакции в сочетании с процессами тепло- и массопереноса,
воздействие солнечного электромагнитного излучения, гравитационных
и магнитных полей и т. д. Строгое описание процессов в такой
среде базируется на положениях кинетической теории
многокомпонентных газов. Но с позиций макроскопического уровня описания
и макроскопических свойств верхнюю (как и нижнюю) атмосферу
можно рассматривать как континуумную среду, приняв ряд
необходимых допущений. В такой постановке можно использовать систему
обобщенных уравнений многокомпонентной гидромеханики.
Для определения режимов обтекания ЛА, их моделирования
в наземных условиях и проведения аэрогидромеханических расчетов
необходимо учитывать реальные свойства газовой среды планеты.
Как указывалось, атмосфера Земли, находящаяся в непрерывном
29

изменении, подвержена влиянию солнечной, галактической и земной
радиации. Изменение солнечной активности сопровождается
существенными вариациями потоков электромагнитного и корпускулярного
излучений, приводящих к значительным изменениям протекания фо-
тодиссоционных, ионизационных и других процессов в ее среде.
Вариации параметров верхней атмосферы Земли
удовлетворительно коррелируются с изменениями индекса F10,7» представляющего
собой среднюю суточную плотность потока солнечного радиоизлучения
на длине волны 10,7 см и частоте 2800 МГц [48]. Связь между
радиоизлучением и плотностью атмосферы обусловлена тем, что
ультрафиолетовое и рентгеновское излучения, обуславливающие
разогрев атмосферы, генерируются в тех же областях Солнца, что
и излучение на длине волны 10,7 см. Солнечная активность изменяется
по циклам. Наряду с длительными вариациями плотности атмосферы,
совпадающими с 11-летними изменениями солнечной активности,
наблюдаются суточные вариации (имеющие максимум в 14 часов
местного времени и минимум в 4 часа), вариации со средним периодом
в 27 дней (периодом обращения Солнца вокруг своей оси), полугодовые
вариации (с минимумом в июне — июле и максимумом в декабре —
январе).
Распределение параметров атмосферы Земли и ее состав, их
основные вариации, связанные с солнечной и геомагнитной
активностями, временем суток, сезоном, широтой и другими факторами,
обобщены в различных моделях атмосферы. Для приведения
результатов расчетов к одинаковым условиям используется так называемая
стандартная атмосфера*, соответствующая Международному
стандарту ИСО**, где даны значения основных физических параметров
атмосферы в функции геометрической и геопотенциальной высот
в диапазоне от —2 до +1200 км, определенные на основе
среднегодовых данных многолетних наблюдений. Эта модель основана на
использовании уравнения Состояния идеального газа и условия
статического равновесия для среднего уровня солнечной активности. За
начало отсчета высоты принят уровень моря (// = 0), при котором
стандартное барометрическое давление воздуха рс = 760 мм рт. ст.=
= 101325 Па, стандартная температура Гс = 288,15 К, стандартная
концентрация яс = 25,471 • 1024 м-5, стандартная плотность рс =
= 1,225 кг/м3 на географической широте ф = 45°32'33" при молярной
массе воздуха Мс = 28,96442 кг/кмоль.
Для определения параметров верхней атмосферы Земли можно
использовать различные модели. Так, модель «Атмосфера Земли
верхняя. Модель плотности для баллистического обеспечения
искусственных спутников Земли», ГОСТ 25645.115—84, построенная по
данным о торможении искусственных спутников Земли (ИСЗ),
позволяет определить среднюю плотность атмосферы Земли в диапазоне
высот от 20 до 150 км для различных уровней солнечной активности.
Модель атмосферы CIRA-72***, также основанная на данных о
торможении ИСЗ, позволяет вычислять плотность, температуру, концен-
* Атмосфера стандартная. Параметры. ГОСТ 4401-81.
** ИСО (International Organization for Standartization — Международная организация
по стандартам).
*** COSPAR International Reference Atmosphere, 1972. COSPAR — Международный
комитет по исследованию космического пространства.
30

Н,км
900~
800
700
600
500
да
300 \
20 0\
150
100
"^-^^^
- ^^«^^
^^\?П>^
"-ч^
Аг\
-
1 ^
^v^4
\im
>v
\\
Не V
\
\^
\\
\\^^
10 10z
10*
10б
а)
п-ьсм-3
Н,нм 1500 1000 500 Г, К
900
800
700
600
500
400
300
200
150
100
' I I 1 /
1 1 /
- |* \3 2 /1
! 1 /
1 / /
- \ \ I /
Л \ /
- ^Ж
/*\
• l 1 1 1 1 1 1 \
10~210 10z Ю* 106 1,м
Рис. 1.9. Распределение параметров верхней атмосферы Земли:
а — концентрация основных компонентов для среднего уровня солнечной активности при экзосферной
температуре ТЭ=1000К; б—длина свободного пробега частиц газа (—) и его температура ( )
при разных уровнях солнечной активности: 1 — F10 7 = 65 • 1022 Вт/(м2 -Гц), /м=4 ч (местное время);
2 —F10,7 = 250-1022 Вт/(м2-Гц), /м=11ч; 3 — ГЭ=10Ь0К; 4 — 7Э=1500К
трации газовых компонент О, N2, 02, Н, Не, Аг среды для различных
уровней солнечной и геомагнитной активностей на высотах
ПО...2000 км. На рис. 1.9 представлены значения некоторых параметров
атмосферы, вычисленные по этой модели. Атомарный кислород
преобладает на высоте 200...700 км. Пунктирной линией на рис. 1.9, а
отмечена суммарная концентрация Ищ частиц верхней атмосферы.
Более полное представление об изменении параметров атмосферы
Земли на высотах 85...2000 км дает модель CIRA-86, основанная на
теоретическом подходе и обширной базе данных (измерениях
температуры и состава газа, некогерентного рассеяния радиоволн) [106].
Таблица 1.1
Н, км
Г, К
р, Па
р, кг/м3
ц, Па • с
/, м
кг/моль
Примерный состав
газа
288,15
1,013ч
1,255
2,5472
1,789"
6,633"
28,96
20
40
60
216,65
250,35
255,80
5,5294
2,871л
2,247 +
8,891"
3,996"
3,059"
1,84924
8,30822
6,36321
1,421"
1,600"
9,139"
2,034"
2,656"
28,96
28,96
28,96
N2 (78,084%);
02 (20,947%);
Аг (0,934%);
С02 (0,034%);
Ne (1,818-10~3%);
Не(5,24-10_4%);
СН4(2-10-4%);
Kr(l,14-10~4%);
Н2(5-10"5%);
Xe(8,7-10~6%);
О3((2...7)-10"6%)
N2 (78,6%);
02(21,2%);
Аг(0,91%);
О3(0,16-10"3%);
О (10~4%)
31

Продолжение табл. 1.1
Н, км
80
ПО
200
400
600
800
1000
2000
Г, К
180,70
257,6
1168,3
1481,9
1497,0
1499,1
1499,6
1500
р, Па
1,037
8,166"3
1,837-4
1,047"5
1,096'6
1,660"7
3,981 "8
2,649 "9
р, кг/м3
1,999 "5
9,910"8
4,ОЮ"10
1,390"п
1,380"12
1,810"13
3,120"14
8,470"16
п, м 3
4,15720
2,24418
1,14016
4,90914
5,30913
8,01712
1,92312
1,276 п
ц, Па-с
—
/, м
4,065 "3
0,840
216,1
8607
10182
кг/моль
28,96
26,60
21,21
17,09
15,62
13,61
9,76
3,99
Примерный состав
газа
N2; О; 02; Аг; Не
О; N2; 02; Не; Аг
О; N2; Не; 02; Аг
О; Не; N2; 02; Н;
Аг
О; Не; N2; Н; 02
Не; О; Н; N2; 02
Не; Н; О
Примечание: степень п числа означает 10".
Для представления о порядке величин в табл. 1.1 приведены
некоторые значения параметров атмосферы Земли на различных
высотах для средних условий солнечной активности: температуры Г,
давления /?, плотности р, концентрации л, вязкости \х, длины свободного
пробега нейтральных частиц /, средней молярной массы Л и состав
газа. До высот 100... 120 км (границы между гомосферой и гетеро-
сферой) химический состав атмосферы мало изменяется с увеличением
высоты, а турбулентное перемешивание обеспечивает постоянство
молярной массы. Однако высотные профили концентраций малых
компонент средней атмосферы указывают на существенное изменение
ее состава. До высот порядка 180 км преобладает основная
компонента—молекулярный азот, в термосфере — атомарный кислород.
В зависимости от температуры среды относительная величина
Ел,/л (О) минимальна на высоте 400...600 км (среднее относительное
содержание атомарного кислорода на высоте 450 км около 90%).
На высотах выше 2000...3000 км основной нейтральной
составляющей атмосферы является атомарный водород, основным ионом —
Н + . Эта область именуется протоносферой.
При движении космического аппарата в межпланетных условиях
на него воздействуют частицы плазмы солнечного происхождения.
В солнечном ветре преобладают ионы водорода Н + , ионы гелия Не +
(Н + —91,3%, 2Не + —8,6%, Не+ —0,1%). Средняя плотность потока
протонов на орбите Земли составляет 2,4-108 (см2-с)"1, их скорость
около 400 км/с, концентрация — 6см""3. Средняя энергия ионов Н +
составляет 829 эВ. Нестационарные потоки солнечного ветра, исходящие
из областей короны Солнца (коронарных дыр и др.), могут достигать
Ю^.-.Ю11 протон/(см2-с) при энергиях 5...10 кэВ.
На орбитах Земли нейтральная составляющая солнечного ветра
(атомы Н), образованная перезарядкой этих частиц на межзвездном газе,
обладает энергией около 1 кэВ с плотностью потока 103...104 (см2-с)-1.
Основным источником межпланетной пыли являются кометы.
Освоение околоземного пространства, реализация программ
исследования кометы Галлея и др. [119] привели к необходимости изучения
и определения метеорной* опасности на космических трассах. В аэро-
* Метеорное тело, метеороид — твердое тело, движущееся в межпланетном
пространстве, размером больше атома (молекулы) и меньше астероида.
32

гидромеханике начинают играть роль ранее не рассматриваемые
явления, сопровождающие движение КА в гетерогенных средах [67, 119].
Общая масса метеорной материи в Солнечной системе 10* ...1020 г.
Две трети от нее составляют частицы (пыль) массой га,= 10~6...10~3 г,
плотностью р*= 10~4...1 г/см3, обладающие скоростями 11...72 км/с.
Межпланетная пыль в эклиптике на орбите Земли (на расстояниях
г«1а. е. от Солнца) состоит из частиц с характерным размером от
нескольких микрометров до сантиметра. При удалении от Солнца
на г = 0,1...1 а. е. концентрация частиц радиусом 1...100 мкм
уменьшается по закону г-1,3. По данным К А «Пионер-10, -11», измерявших
распределение пыли на расстояниях 1...3 а. е. от Солнца, для частиц
этих классов показатель становится равным —1,5. При удалении на
г~20 а. е. наблюдается постоянный поток пылевых частиц. Вклад
в пылевую составляющую околоземного пространства вносят
астероидные пояса и межзвездная пыль.
§ 1.8. ХАРАКТЕРНЫЕ УСЛОВИЯ ДВИЖЕНИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Движение любого летательного аппарата как единого
аэроупругого объекта определяется его аэродинамическими и прочностными
характеристиками, параметрами двигательных установок. По
заданной скорости полета и известным параметрам, определяющим
состояние атмосферы, нетрудно вычислить значения всех характерных
чисел, определяющих режим обтекания Л А (чисел М, Re, Kn, Tw/T0
и т. д.).
По диапазону скоростей, или чисел М, можно выделить движение
Л А при малых (М<0,3), дозвуковых (М<Мкр, Мкр — критическое
число Маха), звуковых (М = 1), околозвуковых, или трансзвуковых,
(Мкр<М<1,2), сверхзвуковых (1,2^М<4) и гиперзвуковых (М^4...5)
скоростях. Столь широкий спектр скоростей в аэрогидромеханике
позволяет установить характерные типы ЛА и проследить за эволюцией
их аэродинамических форм.
В зависимости от числа Рейнольдса (O^Re^oo), характеризующего
соотношение инерционных и вязкостных сил в потоке, изменяется
характер обтекания тела. Уменьшение чисел Re приводит к проявлению
вязких эффектов в изучаемых явлениях. При числах Re-юо
наблюдается переход к невязкой (идеальной) среде. Так, ограничиваясь рамками
механики сплошной среды, например по числам Рейнольдса, можно
выделить четыре известных характерных режима при обтекании
заостренных тонких тел (маневренного самолета, ракеты и т. п.):
безвихревое обтекание тела; обтекание с образованием симметричных
вихрей при отрыве потока; обтекание с установившейся асимметричной
вихревой системой и обтекание тела с образованием зоны, подобной
аэродинамическому следу. Эти основные режимы последовательно
реализуются при увеличении угла атаки от 0 до 90°. Структуры
вихревых систем и их взаимодействие с обтекаемыми поверхностями
ЛА существенно влияют как на аэродинамические характеристики
ЛА, так и на их устойчивость и управляемость. В частности,
асимметричный характер обтекания тонких тел при больших углах
атаки приводит к появлению боковой силы и момента рыскания. В то
же время отрывной характер течения (особенно если оно управляемое)
способен в ряде случаев играть и конструктивную роль [94].
2 Зак 150 33

н,км
10 ViKm/c
Рис. 1.10. Траектория полета КА многоразового применения и условные границы
различных областей течений:
1—траектория выхода на орбиту; 2 — траектория спуска; 3 — идеальный газ; 4—область
термохимического равновесия; 5 — область термохимических неравновесных режимов течения; 6—область
континуума; 7—область переходного режима течения разреженного газа; 8 — область свободно-
молекулярного течения; рс — плотность среды на уровне моря; /—длина свободного пробега молекул
По числу Кп можно судить о сплошности среды. Моделью
континуумного течения пользуются, когда межмолекулярные
столкновения оказывают определяющее влияние на состояние среды (т. е.
при Кп-»0). Свободномолекулярная картина обтекания наблюдается,
когда возможные столкновения частиц в окрестности тела не
оказывают влияния на характеристики обтекания тела (т. е. при Кп-юо).
Целый спектр режимов обтекания наблюдается при движении
ЛА по траектории спуска и выхода на орбиту Земли. На рис. 1.10
показаны типичные параметры полета космического самолета. При
скоростях до 1...2 км/с не наблюдается существенного отклонения
поведения модели идеального газа от поведения реальной среды.
Увеличение скорости полета приводит к росту температуры в
пограничных слоях и за скачками уплотнений, к развитию диссоциационных,
ионизационных, рекомбинационных явлений, возбуждению
вращательных и колебательных степеней свободы атомов в молекулах и другим
релаксационным процессам. При этом наступает нарушение
термохимического равновесия среды, увеличивается ее вязкость, при малых
числах Re возрастает толщина пограничного слоя, возникает
взаимодействие ударных волн с пограничным слоем. С увеличением
разреженности среды (на больших высотах полета) определение
процессов, происходящих на расстояниях, соизмеримых с длинами
свободных пробегов молекул, требует привлечения кинетической
модели гиперзвукового обтекания.
Для аэротермодинамического расчета различных типов
летательных аппаратов требуется детальное знание таких явлений, как
поведение ламинарных и турбулентных высокоскоростных пограничных
слоев, и в особенности при различных положениях органов управления;
влияние на устойчивость пограничного слоя свойств реального газа
и характеристик обтекаемой поверхности; взаимодействие скачков
уплотнения с пограничными слоями, другими скачками и вихревыми
структурами (в частности, в зонах срывных течений); проявление
свойств реального газа при повышенных температурах, вызывающих
диссоциацию и химические реакции; каталитичность обтекаемых
поверхностей; влияние разреженности среды на аэротермодинамические
характеристики; взаимодействие струй двигателей с обтекаемыми
34

поверхностями; повышение эффективности аэродинамических органов
управления на больших высотах и т. д.
Одним из параметров взаимодействия газа с обтекаемой
поверхностью является скорость частицы. В околоземном пространстве
скорость частицы % относительно^ единичного элемента поверхности
ЛА, движущегося со скоростью V, определяется соотношением
C=wa + C-F-[d?xF].
Здесь иа—скорость направленного движения атмосферы относительно
Земли; С—скорость теплового движения частицы; ю—угловая
скорость Л А; г—радиус-вектор единичной площадки (поверхности Л А)
относительно центра масс ЛА. Характерная скорость ЛА
У=[В{2/г.-1/а)У'2, (1.35)
где В—геоцентрическая гравитационная постоянная, B = Gm3 =
= (398600,5±0,3)' Ю9 м3/с2; G — кавендишева гравитационная
постоянная, G = (6,6745±0,0008)-10-11 м3/(кг-с2); т3 — масса Земли;
а — большая полуось эллиптической орбиты; г,— модуль радиуса-
вектора, определяющего положение ЛА относительно центра Земли.
При круговой орбите ЛА (г* = а) получим
К=(2?/г.)1/2 = [Д/(Л, + Я)]1'2, (1.36)
где Яъ — радиус Земли. Формулу (1.36) можно использовать и для
расчета круговых скоростей обращения искусственных спутников других
планет, взяв для них соответствующие значения В и радиуса планеты.
Скоростное отношение S определяет отношение скорости аппарата
к наиболее вероятной скорости частиц при температуре Т:
U/2
S=
(HcT/m)1'2
mB
(R3 + H)2kT
(1.37)
где т—масса частицы; к—постоянная Больцмана. Об изменении
S с изменением высоты Н можно судить по рис. 1.11.
Основным источником воздействия на КА, движущиеся в верхней
атмосфере Земли при Н ^800 км, явля- s
ются нейтральные частицы. Для низких г
околоземных орбит при К^8 км/с
характерны энергии частиц Е{ — тУ2/2
порядка 5...10эВ и плотности потоков
1013...1015 (см2-с)"1. При Я>800км
определяющим является солнечное
давление. В этом случае расчет
аэродинамических характеристик аппаратов
аналогичен расчету по свободномолекуляр-
ной теории [119].
Химически активные компоненты
газа могут вызывать на поверхностях
КА физико-химические процессы. Они
влияют на взаимодействие газа с
поверхностью, изменяя характеристики
силового и теплового воздействий. Де-
сорбционные и другие процессы мас-
соотделения, сопутствующие
движению аппарата в условиях низкой плот-
HjKM
Рис. 1.11. Зависимость скоростного
отношения S от высоты круговой
орбиты для четырех экзосферных
температур (модельные расчеты
Г. Р. Карра)
35

Рис. 1.12. Типичные скорости входа в
атмосферы планет Солнечной системы космических
аппаратов (расчет В. Олстада):
/ — Марс; 2— Венера; 3— Земля; 4 — Уран; 5 —
Нептун; 6—Сатурн; 7—Юпитер; р — плотность
атмосферы; 1, 2 — углекислый газ; 3— воздух; 4...7 — во-
дородно-гелиевая атмосфера
О 10 20 30 40 50 V,km/c
ности газа, приводят к образованию около него собственной внешней
атмосферы, которую во многих случаях необходимо учитывать [67].
На высотах //>2000км внешние возмущения от набегающего
потока создаются заряженными частицами. В периоды сильных
солнечной и геомагнитной активностей резко возрастает концентрация
заряженных частиц, приводящая к дополнительным моментам и силам,
вследствие взаимодействия ионов с электрически заряженными
поверхностями К А. Такое взаимодействие способно изменить его
аэродинамические характеристики на 20...30%.
На рис. 1.12 приведены значения скоростей входа в атмосферы
планет. Так, например, скорость входа зонда в атмосферу Юпитера
равна —60 км/с. В современной практике относительная скорость
межпланетной станции «Вега» при пролете газопылевой комы кометы
Галлея достигала 79,2 км/с, а энергия молекул воды,
взаимодействовавших с поверхностями, 552,5 эВ [119]. Такой уровень энергий
подобен энергии частиц плазмы солнечного происхождения,
воздействующих на поверхности космических аппаратов в межпланетных
условиях. Следует отметить, что при энергиях 102...103 эВ частицы
атомного масштаба способны выбить от 0,1 до 1 атомов самой
поверхности в зависимости от материала, угла падения и т. п. (этот
процесс соответствует физическому распылению) [119]. Взаимодействие
потоков пылевых частиц с поверхностями космических аппаратов
рассматривается в работе [119].
Многие из указанных характерных условий движения ЛА
рассмотрены в данном учебнике.
<?,г/см3
36

ГЛАВА 2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Задачей кинематического описания сплошной среды является
изучение ее движения без учета сил, вызывающих это движение.
§ 2.1. МЕТОДЫ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Для исследования движения сплошной среды существуют два
метода, предложенные Лагранжем и Эйлером.
Метод Лагранжа. Рассмотрим движение среды в неподвижной
системе координат, которую будем считать основной (рис. 2.1).
Выделим частицу среды М, положение которой в пространстве
определяется или ее координатами (х, у, z), или радиусом-вектором
Г (рис. 2.1). Очевидно, что положение частицы в пространстве в любой
момент времени будет определено, если будет известна зависимость
радиуса-вектора г от времени
'=/(')• (2-1)
Так как в сплошной среде присутствует бесчисленное множество
частиц, то для изучения движения среды мы должны составить
бесчисленное множество зависимостей (2.1), что затрудняет описание
движения среды. С другой стороны, положение частицы М будет
зависеть от того, какое положение она занимала в некоторый момент
времени to. Пусть при t = to положение частицы М определяется
параметрами а, Ь, с, которые могут быть и координатами частицы.
Изменяя параметры а, Ь, с, мы можем определить положение всех
частиц в области D в момент времени t = to (рис. 2.1). Таким образом,
для описания движения сплошной среды, занимающей при t=to
область D, необходимо иметь зависимость
F=/(f, а, Ь, с), (2.2)
или в координатной форме
x=fi(t, а, Ь, с); y=fi(t, а, Ь, с);
z=/3(r, а, Ь, с). (2.3)
Функции f, /i, /2, /з и их первые
и вторые производные должны быть
в данной области однозначными и
непрерывными. Пунктирная линия на
рис. 2.1, представляющая собой
геометрическое место точек пребывания
частицы М В пространстве В различные Рис. 2.1. Частица и ее траектория
37

моменты времени, называется ее траекторией. Изменение положения
частицы М в пространстве в единицу времени есть ее скорость, поэтому
V=dr/dt. (2.4)
Здесь символы дифференцирования по времени относятся к данной
частице (субстанции), поэтому эта производная называется
субстанциальной производной. Следует заметить, что при дифференцировании
параметры а, Ь и с считаются постоянными. Изменяя параметры я,
Ь, с, получаем в любой момент времени скорости всех частиц,
находящихся в области D в момент времени t = to.
Изменение скорости частицы в единицу времени есть ускорение
частицы, следовательно,
W=dVjdt. (2.5)
Если не пользоваться принятой символикой субстанциальных
производных, то проекции скорости и ускорения вычисляются по
формулам
u = dfi/dt; v = df2/dt; w = df3/dt, (2.6)
wx = d2fi/dt2; Wy = d2f2/dt2; wz = d2f3ldt2. (2.7)
Таким образом, если известны уравнения движения (2.3), то
можно определить скорости и ускорения сплошной среды в любой
момент времени. Из приведенных рассуждений следует, что в методе
Лагранжа независимой переменной будет время t, а зависимыми —
координаты х, у, z или радиус-вектор г. Параметры t, а, Ь,
с называются переменными Лагранжа.
Метод Эйлера. В отличие от метода Лагранжа в методе Эйлера
фиксируется не отдельная частица среды, а точка пространства
с координатами х, у, z (например, точка М на рис. 2.1), и исследуется
изменение скорости в, этой точке с течением времени. При этом
под скоростью в данной точке пространства следует понимать
скорость V, которую будет иметь произвольная частица среды,
находящаяся в этой точке в данный момент времени. Соответствие
скорости и точек пространства называется полем скоростей. Таким
образом, метод Эйлера заключается в выражении скоростей частиц
в функции от времени и координат х, у, z, т. е. в изучении поля
скоростей и его изменения во времени. Совокупность величин х, у,
z, t называется переменными Эйлера. Таким образом, движение среды
по методу Эйлера описывается соотношением
V=F(t, х, у, z), (2.8)
или в скалярной форме
u = F1(t, х, у, z); v = F2(t, х, у, z); w = F3(t, х, у, z). (2.9)
Предполагая движение непрерывным, считаем F, Fu F2,
F3 однозначными, непрерывными и дифференцируемыми функциями
аргументов х, у, z, t. Ускорение частицы определяется, как указывалось
выше, по формуле (2.5), т. е. мы обязаны проследить изменение
скорости частицы среды (субстанции). При определении ускорения
по известному полю скоростей, заданному формулой (2.8), поступим
следующим образом. Пусть в некоторый момент времени / частица
находилась в точке с координатами х, у, z и имела скорость V,
38

а в момент t + At частица среды переместилась в точку с координатами
х + Ах, у + Ау, z + Az и имеет скорость V+AV. Тогда на основании
(2.8) имеем
V+AV=F(t + At, х + Ах, у + Ау, z + Az). (2.10)
Разлагая последнее выражение в ряд Тейлора, находим:
V+AV=F(t, х, у, z) + AtdP/dt + AxdP/dx + AydP/dy + AzdP/dz + ...9
(2.11)
откуда
AV=AtdV/dt + AxdV/dx + AydV/dy + AzdV/dz+... . (2.12)
Здесь следует отметить, что Ах, Ay, Az — изменения координат
частицы (субстанции) за время At.
Разделив выражение (2.12) на At и перейдя к пределу, устремив
А г к нулю, получим
dV I dt = dV I dt + udV I дх + vdV I ду + wdV I dz = dV I dt + {V -V)V.
Следовательно,
W=dV/dt + (V-V)V. (2.13)
Таким образом, если задано поле скоростей, то ускорение частиц
легко вычисляется по формуле (2.13).
Проекции ускорения на оси координат вычисляются по формулам,
вытекающим из уравнения (2.13),
wx = du/dt + (V-V)u = du/dt+V-Vu;
wy = dv/dt+(V-V)v = dv/dt+V-Vv;
wz = dw/dt + (V-V)w = dw/dt+V-Vw.
Из выражения (2.13) следует, что ускорение состоит из двух
слагаемых: первое слагаемое, равное dV/dt, вычисляется при
фиксированных координатах, поэтому эта часть ускорения называется
локальной составляющей, второе слагаемое, равное (V-V)V,
характеризует изменение поля скоростей при переходе от одной точки
пространства к другой, поэтому оно называется конвективной
составляющей ускорения.
Для нахождения уравнений траекторий частиц в методе Эйлера
следует воспользоваться соотношениями (2.9), заменив и, v, w
соответственно на dx/dt, dy/dt, dz / dt, и проинтегрировать систему
уравнений
dx/dt=f1(x, у, z, t); dy/dt=f2(x, у, z, /); dz/dt=f3(x, у, z, t).
(2.14)
После интегрирования получим
x = (pi(f, а, Ъ, с); у = Ц)2{*, а, Ъ, с);
(2.15)
z = (p3(/, а, Ъ, с),
где а, Ъ, с — произвольные постоянные, значения которых определяются
из начальных условий. Уравнение траектории найдем, исключив время
/ из уравнений (2.15).
39

Если движение происходит так, что в любой фиксированной
точке пространства скорость, давление, плотность, температура и
другие параметры движущейся среды не изменяются со временем, то
такое поле параметров называется стационарным, а
движение—установившимся. Если же в любой фиксированной точке пространства
параметры потока изменяются со временем, то поле называемся
нестационарным, а движение — неустановившимся.
§ 2.2. ЛИНИИ И ТРУБКИ ТОКА. УРАВНЕНИЕ РАСХОДА
Пусть мы имеем некоторую область пространства,
заполненную сплошной средой. В каждой точке пространства в данный
момент времени известны направление и величина скорости, иначе
говоря, известно поле скоростей. Выберем некоторую точку 1 (рис. 2.2),
скорость в которой будет V1. Возьмем точку 2, близко расположенную
к точке^ 1 на векторе скорости Vx, и пусть скорость в этой точке
будет V2. На векторе V2 возьмем точку 3 с вектором скорости
Уз и т. д.
Отрезки между точками 7, 2, 3 образуют некоторую ломаную
линию. Если провести огибающую векторов скорости, то получим
линию, которая и называется линией тока. Следовательно, линия
тока есть кривая, в точках которой в данный момент времени
различные частицы, расположенные на ней, имеют скорости,
направленные по касательным к ней.
Различие между линией тока и траекторией заключается в том,
что на линии тока скорости различных частиц среды в данный
момент времени направлены по касательным к ней, а на траектории
скорость одной и той же частицы в разные моменты времени
направлена по касательной к ней. Иллюстрация различия линии тока
и траектории приведена на рис. 2.3.
При нестационарном поле скоростей, очевидно, форма линий
тока с течением времени меняется. Таким образом, линии тока
представляют собой мгновенную геометрическую характеристику
нестационарного поля скоростей. Кстати, заметим, что подобную линию
можно построить для любого поля векторов иной физической природы.
Если отвлечься от физической природы, то построенная подобным
образом линия называется векторной линией данного поля векторов.
Пользуясь определением линии тока, заключаем, что элемент
дуги ds (см. рис. 2.2) и вектор скорости колинеарны, поэтому уравнение
линии тока в векторной форме запишется в виде
dsxV=0. (2.16)
/
Рис. 2.2. Линия тока Рис. 2.3. Линия тока и траектории
40

Если обозначить проекции ds и V соответственно dx, dy,
dz и и, v, w, то условие (2.16) в координатной форме записывается
в виде
J
/с
= 0,
dx dy dz
и v w
где 7, J, К—орты декартовой системы координат, откуда находим
уравнение линии тока в декартовой системе координат
dx/u = dy /v = dz I w. (2.17)
В эти соотношения при нестационарном поле скоростей время
входит в качестве параметра. Изменение параметра / влечет за собой
изменение и линии тока, иначе говоря, форма линии тока при
неустановившемся движении с течением времени изменяется.
Если поле скоростей стационарное, т. е. V не зависит от времени,
то соотношение (2.17) не содержит параметра t и линии тока не
зависят от времени. При движении частицы среды проекции скорости
и ее координаты связаны соотношениями
dx/dt = u; dy/dt = v; dz/dt = w. (2.18)
Если V—функция координат, то, исключая из уравнений (2.18)
время t, находим уравнение траектории частицы
dx I u — dy I v = dz I w. (2.19)
Уравнение (2.19) при условии, что и, v, w не зависят от времени,
совпадает с (2.17), поэтому линии тока и траектории частиц при
установившемся движении совпадают между собой.
Возьмем замкнутый контур, ограничивающий элементарную
площадку da; через точки этого контура будут проходить
линии тока. Поверхность, образованная линиями тока,
проходящими через замкнутый контур, называется трубкой тока. Форма
трубки тока при неустановившемся движении с течением времени
изменяется вследствие того, что изменяются линии тока. При
установившемся движении трубка тоже сохраняется. Если трубка
тока не изменяется, то частицы среды при своем движении остаются
внутри трубки тока и, следовательно, в этом случае движение среды
можно рассматривать как движение по отдельным трубкам или
струйкам.
При установившемся движении легко найти зависимость между
площадью сечения трубки и средней скоростью в этом сечении.
Выберем два сечения I и II (рис. 2.4),
и пусть в этих сечениях плотности,
скорости и площади сечений будут
соответственно pl5 Vi9 а1 и р2, V2, сг2.
Пусть за время А/ частицы, расположенные
в сечении I, переместились в сечение Г,
а из сечения II — в 1Г. Так как масса
жидкости при установившемся движении
в объеме между сечениями I и II с течением
времени не изменяется, то mI_II = mr_ir.
Так как mv_u присутствует в этих двух
объемах, то, вычитая ее из написанного рИс. 2.4. Трубка тока
41

выше равенства, находим: л*1-г = >ип_1Г. Следовательно,
р1К1а1А/ = р2К2а2А^ откуда рКа = const. Это уравнение называется
уравнением массового расхода. Для несжимаемой среды р = const,
поэтому Va = const. Это уравнение называется уравнением объемного
расхода.
§ 2.3. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА МАСС
(УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ)
Уравнением расхода устанавливается зависимость между
скоростью, плотностью и площадью сечения трубки тока при
установившемся движении жидкости вдоль этой трубки. Теперь
установим связь между плотностью и скоростью в более общем
случае, предполагая скорость и плотность непрерывными функциями
времени и координат.
Будем рассматривать движение сплошной среды в неподвижной
декартовой системе координат. Выберем элемент пространства в виде
элементарного параллелепипеда (рис. 2.5) с размерами Ах, Ay, Az.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в точке М(х, ук z). Пусть
в точке М будут плотность р(х, у, z) и скорость V(x, у, z).
Масса среды в данном объеме с точностью до малых высшего
порядка в момент времени / будет mf = pAx, где At = AxAj;Az.
В следующий момент времени t + At масса выделенного
объема будет
d2mt
rnt+At = mt + ^At + 2i д(2
ld2"hAt2 + ...
Таким образом, вследствие изменения плотности среды в
данном фиксированном объеме масса за время At изменится на
величину
А dmk А , 1 д2т, А 7 (до 1 д2р А \ А А
-(И
AtAx.
(2.20)
Здесь и далее члены более высокого порядка малости, чем At (или
Ах, Ay, Az в координатных
разложениях), обозначены многоточием.
Изменение массы в данном
фиксированном объеме будет происходить
за счет ее переноса через границы
объема. Вычислим теперь изменение
массы в данном объеме за время
At при ее переносе через границы
объема. Для этой цели проведем через
точку М(х, у, z) площадку,
перпендикулярную оси Ох. Через эту
площадку за время At в направлении
Xz оси Ох будет протекать масса среды
Рис. 2.5. Элементарный объем про- ™M = puAtAyAz, тогда через площадку
странства I будет переноситься масса среды
У]
0
I L
с
F
/ \
1
1
i i
М 1
•
_
Ах/2
G/r
Л
\/Аг.
D
лу
В
Е АХ N
42

тх = тм —
дтм
дх
1 д2тм (Ах
~г\ дх2
дтм(Ьх\
ри —
д(ри) (Ах
дх \ 2
а через противоположную грань II —
+ ...
т„ =
. d(pu)(Ax\
AtAyAz,
AtAyAz.
Полагая втекающую в объем массу положительной, а
вытекающую— отрицательной, получим, что изменение массы в данном
объеме при переносе ее через грани I и II, перпендикулярные оси
Ох, будет
Атх =
д(ри)
ду
+ ...
А/Ат.
(2.21)
Рассуждая аналогично, получим изменения массы в данном объеме
при переносе ее через грани, перпендикулярные осям Оу и 0z,
Ату= —
Лтг =
а И
d{pw)
dz "
-]
+ ... А/Ат,
]
+ ... А/Ат.
(2.22)
(2.23)
Суммируя уравнения (2.21), (2.22), (2.23) и приравнивая (2.20),
затем сокращая на АгАт и переходя к пределу, устремляя At к нулю
и стягивая элементарный параллелепипед в точку М, получаем
уравнение
др.|..д(Рц).[..э(Рр) ■ d(p>v)_Q
dt дх ду dz
(2.24)
которое и называется уравнением неразрывности. Это уравнение
справедливо для любой сплошной среды — вязкой и сжимаемой—при
установившемся и неустановившемся движениях и является основным
уравнением механики сплошной среды. В векторной форме это
уравнение записывается в виде
др
dt
+ div(pF) = 0.
(2.25)
Так как при выводе уравнения неразрывности предполагалось,
что скорость V и плотность р являются непрерывными функциями
координат и времени, то данное уравнение является математическим
выражением существования течения среды без образования
поверхностей разрыва.
Дифференцируя правую часть уравнения (2.24), имеем
др (ди dv dw\ , dp dp dp Л
43

и, учитывая, что p = p(f, х, у, z),
^+pdivK=0. (2.26)
dt
Для установившегося движения — = 0, и из уравнения (2.25)
dt
получаем
div(pF) = 0. (2.27)
В случае несжимаемой среды, когда р = const, из выражения (2.26)
находим: divF=0, или в скалярной форме
?+?+? = °- (2.28)
дх о у OZ
Уравнение неразрывности можно получить иным путем, если
воспользоваться законом сохранения массы. В самом деле, рассмотрим
движение некоторого объема Ат сплошной среды, масса которого
равна рАт. Так как масса в данном объеме во времени сохраняется,
то рАт = 0, откуда
^А, + р^!)=0.
dt dt
Деля последнее выражение на Ат и учитывая, что
lim
Ат—О
1 d(Ax)
= divF,
At dt
находим ранее полученное уравнение неразрывности
^-bpdivF=0. (2.29)
dt
§ 2.4. ДВИЖЩИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Рассмотрим движение частицы сплошной среды в декартовой
системе координат. Выберем точку М(х, у, z), определяемую радиусом-
вектором г (рис. 2.6). Возьмем вторую точку М1(х1, уи Zj),
определяемую радиусом-вектором ги Положение точки Мх по отношению
к М определим вектором /г, считая его по модулю малым.
Векторы гх и г связаны соотношением
гх=Г+Л. (2.30)
Рассматривая движение среды по методу Лагранжа и
дифференцируя по времени выражение (2.30), находим:
V^V+dh/dt. (2.31)
Представляя h = h°h, где h°—единичный вектор вектора h, получаем
V1 = V+h°- + h — . (2.32)
dt dt
Отсюда следует, что скорость точки Мх складывается из трех
слагаемых: первое определяет поступательное движение частицы,
второе—деформационное движение, третье — вращательное движение.
Таким образом, движение частицы сплошной среды складывается из
44

У\
0
i
"<у
^Г*м )
аь.
Рис. 2.6. Частица сплошной среды:
М—болюс частицы; Мх — произвольная точка частицы
Рис. 2.7. Деформация частицы за
время А/ (в плоскости Ojcy)
поступательного, деформационного и вращательного движений. Это
положение было установлено Гельмгольцем, поэтому оно называется
теоремой Гельмгольца.
Определим теперь скорости деформаций и вращения частиц при
заданном поле скоростей. Для простоты рассуждений возьмем частицу
среды в виде элементарного параллелепипеда (см. рис. 2.5) и
рассмотрим его проекцию на координатную плоскость Оху (рис. 2.7).
Пусть проекции скорости точки А будут и, v, тогда для точки
В с точностью до малых первого порядка имеем
ди
dv
ив = и + Ах—+...; vB = v +Ах—{-...;
для точки С
Разности
дх
ди
дх
dv
ис = и + Ау—-+...; vc = v + Ay—К..
ду
ив — и = Ах—+...,
дх
vB — v = Ax — +...
ду
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
определяют проекции относительной скорости точки В по отношению
к точке А, а разности
ис-и = Ау — + ..
ду
a dv ,
vc-v = Ay — +.
ду
(2.37)
(2.38)
— проекции относительной скорости точки С по отношению к точке А.
Выражения (2.35) и (2.38) представляют собой скорости изменения
длин отрезков соответственно А В и АС, величины которых зависят
от выбранных размеров элементарного параллелепипеда. Предел
отношения изменения скорости, отнесенного к длине, т. е.
,. ив — и ди
lim = —= 8X
Ах—о Ах ох
(2.39)
45

называется относительной скоростью линейной деформации вдоль
оси Ох.
Аналогично вдоль осей Оу и 0z имеем
eyy = dv/dy, (2.40)
szz = dw/dz. (2.41)
Линейная деформация частицы одновременно будет сопровождаться
и ее объемной деформацией. Нетрудно видеть, что относительная
скорость объемной деформации частицы
lim (l^) = div P=?+?+£ = e„ + e„ + e„-e. (2.42)
дт^о \Ат dt J дх ду dz
В случае несжимаемой среды divK=0 и 6 = 0.
Помимо растяжения (сжатия) в силу разности скоростей в точках
А и В и точках А и С частица будет испытывать угловую деформацию.
Найдем скорости угловых деформаций. За время At точка В
переместится в направлении, параллельном оси Оу, по отношению к точке
А на расстояние (см. рис. 2.7)
(v + -Ax\At-vAt=-AxAt. (2.43)
\ дх ) дх
Поэтому отрезок АВ повернется на угол ухА/ и займет положение
АВ±. В силу малости угла tgy1A/ = y1A/, поэтому
YiA^ — A/H-...; lim (yiAt) = d^-At. (2.44)
дх Дх-^о дх
Угловая скорость вращения отрезка АВ вокруг точки А
y1=y1At/At = dv/dx. (2.45)
Аналогично, угловая скорость вращения отрезка АС вокруг точки А
* у2 = ди/ду. (2.46)
За скорость изменения прямого угла в точке А, определяющую
угловую деформацию, принимается полусумма уА и у2, поэтому
относительная скорость угловой деформации жидкой частицы в
плоскости Оху, которую обозначим еху, определяется уравнением
\(ди dv
"2\ду Ibc
** = №+£)■ (2-47)
Аналогично определяются скорости угловых деформаций в
плоскостях Oyz и Ozx, поэтому
11dv dw
'2\dz Ту
ъЫт:+^.)> (2-48)
«--;(£+£} (2-49)
Займемся вычислением скорости вращения элементарной частицы.
За угловую скорость вращения частицы принимают угол поворота
биссектрисы <ВАС в единицу времени. Обозначая у At угол между
биссектрисами AF и AFU находим (см. рис. 2.7):
46

YiAz + oc — уА/ = я;/4;
y2A/ + a + yA/ = 7i/4.
Вычитая из первого равенства второе, имеем
yAt = -(y1At-y2At).
(2.50)
Тогда проекция угловой скорости вращения жидкой частицы на
ось 0z будет
,. у At 1 ( dv du
coz= hm -— = - —
дх-^о А' 2\дх ду
Ау—0
(2.51)
Аналогично, проекции угловой скорости на оси Ох и Оу будут
со^1(^-8А (2.52)
2\ду dzj9
1(ди dw
W> = 2\b~3x
(2.53)
В отличие от угловой скорости твердого тела полученные
выражения зависят от выбора точки, относительно которой
рассматривается вращение частицы. В механике сплошной среды сох, со^,
a>z называют компонентами вихря. Следовательно, вектор вихря
a> = -rotF, или <3=-VxK
2 ' 2
(2.54)
Легко показать, что скорость в окрестности произвольной точки
М может быть вычислена через скорости поступательного,
деформационного и вращательного движений следующим образом:
и1 = и + Ахгхх + Аугху + Az£xz + WyAz — cozAy;
v1 = v + AyEyy + Azeyz + Ax гух + cozAx — ooxAz;
w1 — w + Azezz + Ax ezx + A_yezy + coxA>> — wyAx,
где и, v, w — компоненты скорости в точке М.
Первые слагаемые в правых частях—скорости поступательного
движения, вторые — скорости линейной деформации, третьи и
четвертые—скорости угловой деформации, пятые и шестые—скорости
вращательного движения.
Величины, определяющие скорость деформации элементарного
объема жидкости, можно записать в виде
XX
'ух
•zx
^•ху
£уу
&zy
^•xz
У2
£zz
=
ди
Тс
1 (ди dv
2\ду дх
1 /ди dw
2\Tz Тс
\(dv ди
2\Тс Ту
dv_
Ту
1 / dv dw
2\dz ~ду
1 f dw ди
2\dx dz
1 I dw dv
2\dy dz
dw
Tz
Элементы правой матрицы образуют симметричный тензор скоростей
деформации жидкой частицы.
47

§ 2.5. ПОНЯТИЕ О ВИХРЕВОМ И БЕЗВИХРЕВОМ ТЕЧЕНИЯХ
В зависимости от того, какую величину имеет вектор
угловой скорости вращения жидких частиц в различных точках
пространства, занятого сплошной средой, течение сплошной среды
можно разделить на два типа:
1) вихревое, если й^О, т.е. rotF#0;
2) безвихревое или потенциальное, если <5 = 0, т.е. rotK=0.
В вязкой среде из-за наличия в ней внутреннего трения постоянно
наблюдается образование вихревых течений. Однако изучение второго
типа течений — потенциального — весьма важно в аэрогидромеханике,
так как во многих случаях эта схема течения дает близкую
к действительности картину.
Из равенства <5 = 0 следует, что со* = оо^ = coz = 0, или
dv ди_(\. $w ^v_г\. ди ^и;_п /"> ЪЪ\
дх ду ду dz ' dz дх
Перепишем (2.55) в виде
dv/dx = du/dy; dw/dy = dv/dz; du/dz = dw/dx (2.56)
и рассмотрим дифференциальный трехчлен udx + vdy + wdz. Равенства
(2.56) являются необходимыми и достаточными условиями того,
чтобы этот дифференциальный трехчлен был полным дифференциалом
некоторой функции ср (t, х, у, z):
udx + vdy + wdz = dq> = — dx H— dy + — dz. (2.57)
дх ду dz
Из (2.57), сравнивая коэффициенты при dx, dy, dz, находим:
и = дц)/дх; v = dq>/dy; w = d(p/dz, (2.58)
откуда следует, что *
V=ru+fv + kw = i^+f^+kd^ = W^ = gmd(p. (2.59)
дх ду dz
Функция ф (t, х, у, z) называется потенциалом скорости и играет
большую роль в аэрогидромеханике.
Практическая важность потенциальных течений видна на примере
несжимаемой среды. В этом случае, используя уравнение
неразрывности
du/dx+dv/dy + dw/dz = 0 (2.60)
и подставляя в него выражения (2.58), получаем, что потенциал
скорости ф удовлетворяет уравнению
d2(p/dx2 + d2q>/dy2 + d2q)/dz2 = A(p = 0, (2.61)
которое называется уравнением Лапласа.
Функция ф, удовлетворяющая этому уравнению, называется
гармонической функцией. Уравнение Лапласа является хорошо
изученным линейным дифференциальным уравнением второго порядка
в частных производных. Чтобы определить поле скоростей,
достаточно теперь решить это уравнение при соответствующих
граничных условиях.
48

§ 2.6. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ
В аэрогидромеханике важную роль играет понятие
циркуляции скорости Г. Выделим в движущейся сплошной среде некоторый
фиксированный замкнутый контур С (рис. 2.8). Выберем на контуре
С точку М, в которой скорость
представляется вектором К, и составим
произведение Kcos (Vds) ds = Vcos a ds. Так
как Kcosa=Ks, где Vs — проекция
вектора скорости на направление
касательной к контуру С в точке М, то
К cos (Vds)ds=Vsds=V-ds.
Беря от этого выражения криволинейный
интеграл по дуге АВ, получим
Г= j ?-ds.
(2.62)
АВ
ЭТО выражение называется циркуляцией Рис- 28- Определение циркуляции
л г» г\г СКОрОСТИ
скорости по дуге АВ. Обычно
циркуляция скорости Г вычисляется по всему замкнутому контуру С, тогда
Tc = §V'ds. (2.63)
Используя известную формулу скалярного произведения двух
векторов а(ах, ау, aj) и b(bx, by, bz) a-b = axbx + ayby + azbz и учитывая,
что ds = Tdx+fdy-\-kdz в декартовой системе координат, найдем:
rc = §(udx + vdy + wdz). (2.64)
При вычислении Гс по формулам (2.63) или (2.64) направление
интегрирования считается положительным, если область, ограниченная
контуром С, остается слева.
В случае потенциального течения, когда F=grad(p,
grad ф • ds =
ox oy oz
б/ф = фв-фл, (2.65)
откуда видно, что в этом случае циркуляция скорости не зависит
от формы дуги интегрирования АВ, а определяется лишь значениями
потенциала скорости на ее концах. Если контур замкнутый, а потенциал
скорости — однозначная функция координат, то Гс = 0. Однако если
потенциал скорости — неоднозначная функция координат, то Гс/0.
49

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 3.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Динамика жидкости и газа представляет собой часть более
общего раздела физики, называющегося механикой сплошной среды.
Как сказано в гл. 1, реальные газ и жидкость состоят из отдельных
молекул и в действительности сплошной среды не представляют.
Реальные жидкости обладают вязкостью, теплопроводностью,
поверхностным натяжением, в них идут процессы диффузионного
перемешивания и др.
В аэрогидромеханике широко используется модель невязкого
течения, в которой жидкость или газ представляют в виде сплошной
среды, лишенной вязкости и теплопроводности, с непрерывным
распределением материи в пространстве. Эта модель жидкости при
больших значениях скорости потока и плотности жидкости или газа
хорошо описывает процессы и явления, возникающие при обтекании
твердых тел вдали от них. Она удовлетворяет законам сохранения,
уравнениям механики Ньютона и условию непротекания жидкости
через твердую обтекаемую поверхность. Однако модель невязкого
течения оказывается непригодной для описания процессов вблизи
обтекаемой поверхности. При ее применении возникают парадоксы
типа известного парадокса Д'Аламбера, согласно которому
помещенное в поток жидкости гладкое тело не испытывает сопротивления,
что не соответствует нашему опыту и экспериментальным данным,
полученным в аэродинамических трубах.
В действительности реальные газ и жидкость обладают свойством
вязкости, связанным с молекулярной структурой жидкости. Рассмотрим
плоскопараллельный поток жидкости с переменной продольной
составляющей скорости поперек потока. Отдельные слои жидкости
движутся с разными средними скоростями. Известно, что молекулы
в потоке движутся беспорядочно. Если молекула из слоя с меньшей
средней скоростью движения попадает в слой с большей средней
скоростью, то в результате ряда столкновений скорость и количество
движения этой молекулы возрастут, а скорости тех молекул, которые
затратили свой импульс на разгон этой молекулы, несколько
уменьшатся. Таким образом, в реальной вязкой жидкости осуществляется
поперечный перенос количества движения между слоями жидкости,
движущимися с разными скоростями, от слоев с большими скоростями
к слоям с меньшими скоростями. Собственные движения молекул
способствуют выравниванию средних значений скоростей отдельных
слоев жидкости.
Каждая отдельная молекула обладает количеством движения,
энергией и принадлежит к какому-либо виду химических веществ.
50

Если в соседних слоях движутся потоки жидкостей разного химического
состава, то переход молекул из одного слоя в другой приводит
к изменению состава всего потока. Таким образом, в потоке
происходит процесс диффузии вещества.
Если в потоке неравномерно распределены температуры слоев
жидкости (скорости хаотического теплового движения молекул разные),
то переход молекул между слоями способствует выравниванию поля
температур и в потоке наблюдается процесс теплопроводности.
Изменение количества движения некоторого слоя жидкости согласно
законам механики означает, что в жидкости действуют некоторые
силы, параллельные направлению движения жидкости. Эти силы
называются силами внутреннего трения.
Опыты показывают, что на границе обтекаемого твердого тела
средняя скорость достаточно плотного потока вязкого газа близка
к нулю. Поэтому в качестве граничного условия на поверхности
тела принимается условие прилипания, т. е. все компоненты вектора
скорости на стенке в вязкой жидкости принимаются равными нулю.
В невязкой жидкости используется граничное условие непротекания,
когда нулю приравнивается только нормальная к поверхности
компонента вектора скорости на стенке. В литературе невязкую жидкость
часто называют идеальной жидкостью.
§ 3.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ЧАСТИЦУ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА ЖИДКОСТИ
В динамике сплошной среды изучается ее движение с учетом
сил, вызывающих это движение. В жидкости и газе могут действовать
силы различного физического происхождения, и их следует
классифицировать.
Пусть мы имеем некоторый объем сплошной среды, ограниченный
поверхностью £ (рис. 3.1). Силы, действие которых распространяется
на каждую частицу данного объема, называются массовыми
(объемными) силами. К ним относятся силы гравитационного поля, инерции
в относительном движении, электромагнитные и т. д. Силы, действие
которых распространяется на частицы, расположенные на поверхности
Е, называются поверхностными силами.
Выделим на поверхности Е элементарную площадку Аа,
ориентируемую нормалью п. На эту площадку будет действовать сила
АР, величина и направление которой будут зависеть от размеров
площадки Аа и ее ориентации. Отношение
АР/Ао=р*п (3.1)
называется средним напряжением на площадке Аа. Величину
рп= lim — (3.2)
да^0 Act
называют напряжением в данной точке на площадке, ориентируемой
нормалью п.
Напряжение рп будет составлять с нормалью п в общем случае
некоторый угол. Разложим напряжение на составляющие в направлении
нормали и направлении, расположенном в касательной плоскости
51

'*/
АР
А<5
Рис. 3.1. Нормальные и
касательные напряжения
пендикулярным оси Ох и
(рис. З.1.). Обозначим составляющую по
нормали рпгп а составляющую в
касательной плоскости рпх. Первая
называется нормальным, а вторая —
касательным напряжением.
Будем рассматривать только
поверхностные силы и попытаемся найти общее
выражение для поверхностной силы,
приходящейся на единицу объема.
Выделим в жидкости прямоугольный
параллелепипед со сторонами dx, dy, dz
и объемом dz = dxdydz.
Рассмотрим силы, действующие на
грани этого параллелепипеда (рис. 3.2).
Пусть левая нижняя передняя вершина
лежит в точке с координатами х, у, z.
К обеим граням параллелепипеда, пер-
имеющим площадки dydz, приложены
результирующие напряжения, равные соответственно рх и рх +
-\-{dpx/dx)dx. Эти напряжения являются векторами и представляют
собой приходящиеся на единицу площади результирующие поверхностных
сил. Индекс х здесь показывает, что рассматриваемые векторы
действуют на площадку, перпендикулярную оси Ох. Аналогичные
векторы сил приложены к площадкам, перпендикулярным осям Оу и Oz.
Из анализа уравнений баланса сил, действующих на элементарный
объем, следует, что составляющие результирующей поверхностной
силы имеют вид
(dpx/dx)dx(dydz); (dpy/dy)dy(dxdz); (dpzjdz)dz(dxdy).
Сложив эти составляющие и разделив полученную сумму на Ат,
получим приходящуюся на единицу объема результирующую
поверхностную силу \
P=dpx/dx + dpy/dy + dpz/dz, (3.3)
где рх, ру, pz — приложенные к соответствующим граням элементарного
объема векторы напряжений.
Если рассмотреть равновесие элементарной жидкой частицы,
показанной на рис. 3.3, под действием поверхностных сил, то нетрудно
показать, что
Рп =Рх cos (пх) +РУ cos (пу) +Pz c°s (nz).
Раскладывая каждое из напряжений рх, ру, pz по осям координат
и обозначая в дальнейшем составляющие этих напряжений,
перпендикулярные к элементарным площадкам, (нормальные напряжения)
а (например, охх), а составляющие, лежащие в плоскости элементарных
площадок, (касательные напряжения) т (например, т^), получим
С "I J Т'ху ~т~ & ^XZi
(3.4)
pz = TTzx+fxzy-\-kGzz.
В формулах (3.4) первый индекс у напряжений а и т указывает, какой
оси перпендикулярна рассматриваемая площадка, второй — ось
координат, параллельно которой направлено рассматриваемое напряжение.
РУ = 7тху -\-/ауу + kiyz;
52

Рис. 3.2. Напряжения, действующие по Рис. }.3. Вектор напряжений рп, действующий
границам частицы сплошной среды на площадке, ориентированной нормалью п
Таким образом, напряженное состояние определяется девятью
скалярными величинами, совокупность которых составляет тензор
напряжений. Рассмотрим свойства тензора напряжений. Тензор
напряжений симметричен относительно главной диагонали, так как
касательные напряжения с одинаковыми, но расположенными в
обратном порядке индексами равны между собой: ixy — xyx; txz = tzjc;
xyz = Tzr В этом легко убедиться, рассмотрев мгновенное вращение
элементарного объема жидкости.
В невязкой жидкости, где трения нет, остаются только нормальные
напряжения, а касательные обращаются в нуль: ^xy = ^yz = Tzx = 0. В этом
случае
<5ХХ = <3yy = (5zz= —р,
где р—давление. Это соотношение можно записать иначе:
- (ахх + оуу + gzz) = -р.
Для вязкой жидкости также вводится величина
-{<Jxx + oyy + Gzz). (3.5)
Она является первым инвариантом тензора напряжений, т. е. не
зависит от выбора системы координат.
В покоящейся жидкости силы трения не возникают и напряжения
определяются гидростатическим давлением, а в движущейся жидкости
появляются силы трения.
Чтобы определить, от каких величин зависит внутреннее трение,
рассмотрим так называемое простое срезывающее течение. Пусть
жидкость движется между двумя параллельными пластинами (рис. 3.4).
Нижняя пластина удерживается неподвижной, а верхняя движется
параллельно нижней с постоянной скоростью U. Растояние между
пластинами равно h. Тонкий слой жидкости, примыкающий к нижней
пластине, находится в покое, а слой жидкости, примыкающий к верхней
53

u = l/
ss///s//s//;;///ss/////a
пластине, обладает скоростью U,
равной скорости верхней пластины.
Опыты показывают, что любой
промежуточный слой движется со скоростью и,
пропорциональной расстоянию у от
неподвижной пластины: u=Uy/h.
Для того, чтобы двигать
верхнюю пластину со скоростью U, к ней
надо приложить силу, вектор которой
направлен в сторону движения
пластины. К нижней пластине, чтобы
удержать ее, надо приложить такую
же силу, но противоположного на-
Рис. 3.4. Распределение скоростей правления. ОПЫТЫ показывают, ЧТО
в простом срезывающем течении эта ^^ ПрИХОдЯЩаяся на единицу
площади, должна быть x = [iu/h. Величина х является касательным
напряжением и имеет в СИ размерность Н/м2.
Из опытов видно, что предыдущую формулу можно
распространить на более общий случай движения жидкости с неравномерным
поперечным профилем скоростей, когда один слой жидкости, имеющий
скорость С/, движется вдоль другого слоя жидкости, скорость которого
U+Au; при этом х будет касательным напряжением внутри жидкости.
Для этого случая выведенную ранее формулу следует переписать так:
x = [idu/dy. (3.6)
Формула (3.6) называется законом трения Ньютона (1687 г.) и по
форме похожа на закон Гука для определения касательных напряжений
в твердом упругом теле
x = Gy,
G—модуль сдвига; у
3.5), у= hm
где
(рис. _,, ,- - ,
записать: u = de/dt, тогда
изменение первоначально прямого угла
смещение вдоль оси Ох. Можно
Де
ди д дг
д дг__
^~dt~dy~
-и
~dt'
В твердом упругом теле касательное напряжение пропорционально
угловой деформации у. Для жидкостей касательное напряжение
пропорционально скорости деформации dy/dt. Аналогия между
законом Ньютона и законом Гука может
быть использована для установления
связи между тензором напряжений и
полем скоростей для общего случая
движения сплошной среды.
В формуле (3.6) коэффициент
пропорциональности \х — динамическая
вязкость. Величина \х зависит от рода
жидкости или газа и определяется
экспериментально. Вязкость капельных жи-
,,. „ , дкостей (воды, масла) почти не зависит
Рис. 3.5. Деформация жидкого эле- пявгтения но ситтьно уменьшается
мента при действии касательных ОТ Даштения, НО СИЛЬНО уменьшается
напряжений ПРИ повышении температуры. Напротив,
54

вязкость газов с ростом температуры увеличивается. Зависимость
вязкости газов от температуры описывается эмпирической формулой
Сатерленда.
§ 3.3. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И СКОРОСТЯМИ ДЕФОРМАЦИЙ. ЗАКОН ТРЕНИЯ СТОКСА
Если жидкость движется, то тензор напряжений имеет вид
а если находится в состоянии покоя, то
-/7 0 0
0-/7 0
0 0-/7
Так как в покоящейся жидкости существует однородное поле
гидростатического напряжения, можно ввести девиатор напряжений охх = с'хх —
—р. Теперь тензор напряжений имеет вид
Gxx—P
*ху
Оуу-р
(3.7)
*zy G'zz-P
Если перейти локально к главным осям 0хи Qyu 0zb то касательные
напряжения обращаются в нуль и тензор напряжений примет вид
0 0
hi-P
0
0
а*1-Р
(3.8)
Ограничимся рассмотрением только ньютоновских и изотропных
жидкостей. Жидкость называется изотропной, если вид связи между
составляющими тензора напряженного состояния и тензора скоростей
деформаций одинаков для всех направлений. Жидкость называется
ньютоновской, если указанная связь линейная. Такие жидкости, как
воздух и вода, обладают этими свойствами.
Этим требованиям можно удовлетворить, если принять, что
указанная связь имеет вид
о'х1 = X(du/dxl + dv/dy1 + dw/dz1) + 2\idu/dxl;
G,yl=X(du/dx1+dv/dy1+dw/dz1) + 2iidv/dy1;
<^'zi=X(du/dx1-\-dv/dyl-\-dw/dz1)-{-2[idw/dz1.
(3.9)
Множитель 2 введен для того, чтобы коэффициент ц совпадал
с динамической вязкостью в законе трения Ньютона для случая
простого срезывающего течения.
С помощью методов тензорной алгебры можно перейти от
главных осей к произвольной системе координат. В этом случае
55

в тензоре напряжений появятся касательные напряжения и система
уравнений (3.9) примет вид
o'xx = Xdiv V+2[idu/dx;
<jyy = 'k div V+2\idv/dy;
o'zz = \div V+2\idw/dz; ^ щ
txy = *yx = И (ди/ду + dv/ dx);
Tyz = Tzy = [i(dv/dz + dw/dy);
xzx = Txz = M- (dw/dx + du/dz).
Если применить эту систему уравнений к рассмотренному ранее
случаю простого срезывающего течения между параллельными
пластинами, то придем к выражению x = \idujdy.
Это означает, что система уравнений (3.10) является обобщением
закона трения Ньютона, а величина |i тождественна динамической
вязкости. Это оправдывает введение множителя 2 в формуле для
а'х1. Однако в систему уравнений (3.10) входит еще множитель
X перед div V, «ответственный» за объемное сжатие элемента жидкости.
Рассмотрим первый инвариант тензора напряжений. В случае невязкого
течения он записывается в виде
- (охх + Оуу + CTZZ) = —р,
так как в невязкой жидкости ахх = а^ = azz = — р. Поскольку
^хх — ^хх—р, то в ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
- (а*х + ауз, + gzz) = - (а;х + а;, + ^
2
Здесь и/ = А,+-ц—объемная вязкость.
Динамическая вязкость ц в рамках модели сплошной среды
определяется экспериментально. Для того чтобы определить величину
ц' и замкнуть задачу Стоке в 1845 г. предложил принять [х' = 0, или
X = — (2/3) |х (гипотеза Стокса).
Если учесть, что Х = — (2/3) ц и gxx = o'xx — р, то получим следующие
выражения для напряжений элементарного объема жидкости:
Vxx= -p-4\xdiv V+2\i-^-\
3 ох
оуу= -/?--|idiv F+2|i^;
gzz= -p--\idiv V+2\y^-\
_ _ I ди dv
( dv , dw
(3.11)
dz dy
— — dw du
TZx-xxz = m—-f-
56

где р — местное гидродинамическое давление. Система уравнений (3.11)
носит название закона трения Стокса и является обобщением закона
трения Ньютона для случая трехмерного течения (обобщенным
законом Ньютона).
Движение сплошной среды подчиняется законам механики
Ньютона. При этом движении выполняются законы сохранения массы,
количества движения и энергии. С помощью этих законов можно
получить систему дифференциальных уравнений, описывающих
изменения в потоке движущейся сплошной среды компонент скорости,
давления, температуры, плотности. Математическим выражением
закона сохранения массы при движении сплошной среды является
уравнение неразрывности (2.25). Выведем теперь соотношения,
являющиеся математическими выражениями законов сохранения количества
движения и полной энергии.
§ 3.4. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ.
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И НАВЬЕ —СТОКСА
Рассмотрим движение сплошной среды, предполагая
скорость, плотность, напряжения и массовые силы непрерывными
функциями времени и координат. В системе координат Oxyz выделим
элемент пространства в виде элементарного параллелепипеда с
размерами Ах, Ay, Az, как указано на рис. 2.5.
Пусть точка М(х, у, z) является точкой пересечения диагоналей
параллелепипеда и пусть в этой точке р = р(х, у, z, t); V=V(x, у, z, t).
Тогда количество движения частиц среды в данном ^фиксированном
объеме в некоторый момент времени t будет Q = pVAxAyAz=pVAx,
где Ат — объем параллелепипеда. В момент времени t + At количество
движения изменится вследствие изменений плотности и скорости
частиц, пришедших в этот объем в момент времени t + At, и будет
Q1 = Q + d§At+... .
Изменение количества движения в данном фиксированном объеме за
время At запишется в виде
Afi = fA, + ...-
dt
AtAx. (3.12)
Количество движения в данном объеме изменяется за счет:
а) переноса количества движения через границы объема; б) импульса
поверхностных сил; в) импульса массовых сил.
Вычислим изменение количества движения за счет его переноса
через границы объема. Для этой цели проведем через точку М (см.
рис. 2.5) площадку, перпендикулярную оси Ох. Через эту площадку
за время At в положительном направлении оси Ох переносится
количество движения
QM = pVuAtAyAz.
Через площадку I переносится количество движения
6i
т7 д(риР)Ах1
puV--K-^—L— + .
дх 2
AtAyAz. (3.13)
57

Через грань II за время At переносится количество движения
Сг =
т7 , г(риУ) Ах ,
AtAyAz.
(3.14)
Изменение количества движения при переносе его через грани,
перпендикулярные оси Ох, получим, если из (3.13) вычтем (3.14). Тогда
AG* = 6i-G2=-
д(риУ)
дх
+ ...
At Ах.
(3.15)
Рассуждая аналогично, находим изменение количества движения в
данном объеме при переносе сплошной среды через две другие пары
граней, соответственно перпендикулярные осям 0^ и 0z:
де,= -
A£z =
d(pvV)
d(pwV)
dz
+ ... \AtAx,
-]
+ ... ДгЛт.
(3.16)
(3.17)
Складывая соотношения (3.15), (3.16) и (3.17), получим изменение
количества движения в данном объеме за счет его переноса через
границы объема, равное
д(риУ) | d(pvV) | d(pwV) |
дх ду dz
At At.
(3.18)
Теперь вычислим импульсы поверхностных сил. Пусть на площадке
с нормалью, параллельной оси Ох и направленной в ее положительную
сторону, напряжение будет рх, а на противоположной стороне р-х.
Очевидно, рх=—р-х. Импульс силы, действующей на площадку 7,
АХ =4
Ах др-х
~~2~дх~
+ ...
AtAyAz.
На противоположной грани 2 действует импульс силы
АЛ =
А+Т*+-
At Ay Az.
(3.19)
(3.20)
Суммарный импульс для граней, перпендикулярных оси Ох, будет
равен сумме уравнений (3.19) и (3.20):
AJx = (dpx/dx+...)AtAx. (3.21)
Здесь учтено, что рх=—р-х. Аналогично получим импульсы
поверхностных сил, действующих на грани, перпендикулярные осям Оу и 0z:
AJy = (dpy/dy + ...)AtAx, (3.22)
AJz = (dpz/dz+...)AtA%. (3.23)
Складывая уравнения (3.21), (3.22) и (3.23), получим импульс
поверхностных сил
AJ=(dpx/dx + dpy/dy + dpz/dz+...)AtAT. (3.24)
Обозначим массовую силу, приходящуюся на единицу массы, F.
Тогда импульс массовых сил будет
58

AJF=pFAtAx. (3.25)
Суммируя выражения (3.18), (3.24) и (3.25), приравнивая полученную
сумму соотношению (3.12), затем сокращая полученный результат
на Д/Ат и переходя к пределу, устремляя At к нулю и стягивая
элементарный параллелепипед в точку М, получим
d(pV) { d{puV)^ d(pvV) | d(pwV)_pp | дрх удр,л др2^
dt дх ду dz дх ду dz
Уравнение (3.26) называется уравнением переноса количества движения
в напряжениях. Оно справедливо в самом общем случае движения
сплошной среды. Дифференцируя почленно левую часть уравнения
(3.26) и учитывая уравнение неразрывности, получим
dV
~dt
dv
"dt'
dV
i -
дх
dV
i
ду
' dz'
~ ** v ' p\dx ду dz
d_V. /Л
dt'
(3.27)
Из векторного анализа известно, что для любого вектора а имеет
место равенство V(a2/2) = (a- V) а-\-ах rot а. Используя данное
соотношение и преобразуя левую часть уравнения (3.27), получим уравнение
dt 2
+ rotVxV=F+-
Р
дрх dpy dpz
dx dy dz
(3.28)
которое носит название уравнения переноса количества движения
в форме Лэмба-Громеки. Оно удобно тем, что в его левой части
в явном виде выделены члены, содержащие вектор угловой скорости
вращения жидких частиц со = (1/2) rot К
Если вместо векторов напряжений рх, ру, pz в уравнение (3.27)
подставить их выражения через компоненты тензора напряжений
и использовать закон трения Стокса, то можно получить уравнения
pdu „ dp d
!—=рХ -Л—
dt dx dx
pdv ЛГ dp d
dy dy
pdw
■i-i*")H[-(H)]+=["
du dw \\
Tz+~dx~)y
Ъ
dv du
дх dy
dt
rr dp d
2 *L-l div V
dz 3
+i
dw du
dx dz
)}
+
^
dw dv
(3.29)
Система дифференциальных уравнений (3.29) носит название
уравнений Навъе — Стокса и описывает течение вязкого газа.
Для идеальной среды |i = 0, и из уравнений (3.29) получим
du du du du ЛГ I dp
— + U — + V — +w— = X—-f\
dt ox dy dz p ox
dv , dv , dv , dv ЛГ 1 dp
-+u—+v—+w-=Y—-;
dt dx dy dz p oy
dw , dw t dw , dw _ 1 dp
+ u +v +w =Z —.
dt dx dy dz p dz
(3.30)
59

Уравнения (3.30) называются уравнениями Эйлера и описывают
движение идеальной сплошной среды. В векторной форме они
записываются в виде
—+ (?■ V) ?= — = F-- V/?. (3.31)
dt v ; dt р r v J
§ 3.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ
Выделим элемент объема Ax = AxAyAz (см. рис. (2.5)) с
центром в точке M(x,y,z). Пусть в точке М известны скорость
V(x, у, z, t), плотность р(х, у, z, t), напряжения и массовые силы,
предполагаемые непрерывными функциями координат и времени.
Тогда (рК2/2)Ах— кинетическая энергия среды в данный момент
времени; рК2/2—кинетическая энергия, приходящаяся на единицу
объема; V /2 — кинетическая энергия, приходящаяся на единицу массы.
Обозначим внутреннюю энергию, зависящую от свойств и структуры
среды и приходящуюся на единицу массы, е, тогда ре — внутренняя
энергия единицы объема, а ре Ах — внутренняя энергия данного объема.
Сумму внутренней и кинетической энергий называют полной энергией
Е данного объема среды. Тогда в данный момент времени t
( v2\
E=l еЛ I рАх = £"Ах.
Здесь £" = p[e + (F2/2)] — полная энергия единицы объема.
В следующий момент времени t1 = t + At произойдет изменение
дЕ'
полной энергии, и она будет Е1 = (Е,+—- At+ ...) Ах. Следовательно,
dt
изменение полной энергии за время At запишется в виде
AE=(d-^-At+ ...J Ах. (3.32)
Изменение полной энергии в данном объеме может происходить
за счет: а) ее переноса через границы объема; б) работы массовых
сил; в) работы поверхностных сил; г) потока тепла через границы
объема (внутренние источники тепла не рассматриваются).
Изменение полной энергии за счет переноса через границы
выделенного элементарного объема можно получить аналогично тому,
как это было сделано выше для расчета изменения количества движения.
Тогда член уравнения, учитывающий перенос масс, примет вид
АЕ=
д{иЕ') d(vE') d(wE')
At Ах. (3.33)
дх ду dz
Определим работу массовых сил. Если обозначить F силу,
приходящуюся на единицу массы, то ее элементарная работа за время At будет
AAF = p(F-V)AtA%. (3.34)
Для нахождения работы поверхностных сил обозначим вектор
напряжения на площадке, проходящей через точку М (см. рис. 2.5),
с направлением нормали, совпадающим с положительным
направлением оси Ох, рх, а с противоположным направлением нормали—р-х.
Очевидно, что рх=—р-х.
60

Элементарная работа силы с напряжением р-х будет
AAM = (p-x-V)AtAyAz.
Элементарная работа поверхностной силы, действующей на площадку
I (см. рис. 2.5),
ААХ =
а на площадку II —
ААи =
дх 2
дх 2
At Ay Az
AtAyAz.
Сумма элементарных работ поверхностных сил, действующих на
грани, перпендикулярные оси Ох, запишется в виде
ААГ
д(рх-У)
дх
+ ...
At Ах.
(3.35)
Здесь учтено, что р-х=—рх. Точно так же для других пар граней
получим
ААУ =
ААТ =
д{ру'У)
ду
d(pz-V)
dz
+ ...
+ ...
At Ax,
At Ax.
(3.36)
(3.37)
Суммируя (3.35), (3.36) и (3.37), найдем элементарную работу
поверхностных сил:
АА =
Ь{рх'У) д{ру-У) d(pz-V)
дх
ду
dz
At Ах.
(3.38)
Найдем изменение полной энергии за счет тепловых потоков.
Обозначим q удельный вектор теплового потока, приходящегося на
единицу времени и единицу площади. Тогда тепловой поток через
площадку, проходящую через точку М (см. рис. 2.5) и
перпендикулярную оси Ох, в направлении этой оси будет Q = gxAy Az At, а через
площадки I и II соответственно
Qi-
qx-^dfx+...)AyAzAv,
Изменение полной энергии от тепловых потоков, переносимых через
площадки, перпендикулярные оси Ох, определяется соотношением
де*=-
дх
+ ... \AtAx.
Аналогично для других пар граней
да,-
ду
+ ... Д*Дт; AQZ =
8Ji
dz
+ ... \AlAx.
(3.39)
(3.40)
61

Суммируя уравнения (3.39) и (3.40), получаем изменение полной
энергии за счет тепловых потоков
дб=-(*+*+*)АгАт- ^
Суммируя соотношения (3.33), (3.34), (3.38) и (3.41) и приравнивая
полученную сумму соотношению (3.32), сокращая найденное выражение
на At Ах, переходя к пределу при А/->0 и стягивая элементарный
параллелепипед в точку М(х, у, z), получаем следующее уравнение:
дЕ'_{ д(иЕ>) j d(vE')_} _d(wE')_ ^рл р | д(рх'У) [
dt дх ду dz дх
+^ + ^-div<f. (3.42)
ду dz * v у
Подставляя в (3.42) выражение Е' = р [e + (V2/2)] и учитывая уравнение
неразрывности, находим:
+^+^-di„- (3.43)
ду dz
Это уравнение называется уравнением изменения полной энергии
и справедливо для любой зависимости напряжений от скоростей
деформации объема.
Пользуясь законом Стокса для определения векторов напряжений
Рху РУ> Pz, можно раскрыть правую часть выражения (3.43). Однако
вычисления эти громоздки. Поэтому проделывать их не будем, а для
дальнейших целей выделим в выражениях для векторов рХ9 ру,
pz слагаемые, не зависящие от вязкости:
рх=-Тр + 5х; py=-jp + oy; pz=-kp + 5Zi (3.44)
где ох, ду, 5Z зависят от вязкости. Теперь уравнение переноса полной
энергии после несложных преобразований можно записать в
следующем виде:
Н)Мр<.+^)]-рС">+^
+-Ч—-+~Ч—--diwq. (3.45)
ду dz * v '
Если исключить из левой части полученного уравнения
кинетическую энергию, то получим уравнение для изменения внутренней
энергии. Для этой цели воспользуемся уравнением движения в форме
Лэмба — Громеки, а именно
P(f+era^ + w) = p/+§4f+f, (3.46,
где со = - rot V.
62

Умножим уравнение (3.46) скалярно на вектор V:
г(?к-т
^pp-V+V-^+V-^+V-^. (3.47)
дх ду oz
Вычитая уравнение (3.47) из уравнения изменения полной энергии
(3.43), получим
р ^-+F-grad,J=/v _+л. _+л. _-div*. (3.48)
Отсюда следует, что изменение внутренней энергии не зависит
от работы массовых сил и определяется частью работы поверхностных
сил и тепловыми потоками.
§ 3.6. ПОЛНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ
ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
В самом общем случае движение сплошной среды
описывается следующими уравнениями: 1) уравнением неразрывности (2.25);
2) уравнением переноса количества движения в напряжениях (3.27);
3) уравнением изменения полной энергии (3.43).
Эта система уравнений с учетом зависимостей между напряжениями
и скоростями линейных и угловых деформаций, определяемых законом
Стокса, содержит следующие неизвестные величины: плотность р,
скорость V, давление р и внутреннюю энергию е, зависящую от
температуры среды. Таким образом, система уравнений (2.25), (3.27)
и (3.43) будет неполной, так как число неизвестных функций на
единицу больше числа уравнений. Чтобы получить замкнутую систему
уравнений, необходимо иметь дополнительно еще одно уравнение. Это
уравнение не может быть получено на основании законов механики,
поэтому необходимо обратиться к законам термодинамики. Уравнение,
определяющее связь между плотностью, давлением и температурой, т. е.
F(p,p,T) = 09 (3.49)
называется уравнением связи. В качестве этого уравнения обычно
используется уравнение состояния среды. Присоединяя к уравнениям
неразрывности, переноса количества движения и переноса полной
энергии уравнение состояния, будем иметь замкнутую систему
уравнений.
В различных частных случаях система уравнений (2.25), (3.27),
(3.43), (3.49) значительно упрощается. Например, в случае движения
невязкой сжимаемой среды получим систему
g + div(PK) = 0;
dl+(V-V)V=F-l-Vpi
IK+^K'p
= p(^-K)-div^; (3.50)
F(p,/>, Г) = 0.
63

Система уравнений (2.25), (3.27), (3.43), (3.49), описывающая
движение сплошной среды, в основном состоит из дифференциальных
уравнений, решения которых содержат произвольные функции и
произвольные постоянные. Чтобы достичь определенности в решении
конкретных задач о движении сплошной среды, эти произвольные
функции и постоянные нужно подчинить ряду добавочных условий,
выбираемых из физических соображений. Указанные дополнительные
условия получили название начальных и граничных условий.
§ 3.7. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Под начальными условиями понимают такие условия,
которым должно удовлетворять решение системы уравнений (2.25),
(3.27), (3.43), (3.49) в начальный момент движения (/ = 0) во всех
точках пространства, занятого сплошной средой. Граничными
условиями называются условия, которые должны выполняться на границах
сплошной среды в любой момент времени при ее движении.
Рассмотрим движение невязкой сплошной среды. Начальные
условия состоят в том, что в момент времени t = 0 задается состояние
движения, т. е. поле скоростей
и(х, у, z, 0) =Л (х, y,z); v(х, у, z, 0) =/2 (х, у, z);
w(x, у, z, 0)=/3(х, у, z), (3.51)
где fl9 f2, /3 — наперед заданные функции координат.
Граничные условия определяются из физических условий движения
сплошной среды. Так, например, если рассматривается обтекание
неподвижного твердого! тела идеальной средой, то в силу непротекания
жидкости через поверхность тела нормальная составляющая скорости
на ней должна равняться нулю, т. е. скорости частиц среды должны
лежать в касательной плоскости. Если F(x, у, z) = 0—уравнение
поверхности обтекаемого тела, то граничное условие, называемое условием
непротекания, записывается в виде K-gradi^O.
Когда тело движется в жидкости, в силу непротекания частиц
жидкости через поверхность тела нормальная к поверхности
составляющая их скорости должна равняться нормальной составляющей
скорости точек поверхности тела, т.е. УПЖИДК= Vnrena.
При обтекании поверхности тела вязкой жидкостью на поверхности
тела выполняется условие прилипания, т. е. принимается, что на
обтекаемой поверхности все компоненты вектора скорости (а не
только нормальная составляющая, как для невязкого течения)
обращаются в нуль.
Помимо условий на поверхности тела необходимо учесть условия
на бесконечности (в бесконечно удаленных от тела точках). Например,
для несжимаемой среды в первом из рассмотренных выше случаев
на бесконечности должны быть заданы значения давления
рад и скорости V^\ во втором — только значение давления, так как
скорость ^ = 0.
Рассмотренные примеры не исчерпывают всех возможных случаев
граничных условий.
64

§ 3.8. ПОДОБИЕ ЯВЛЕНИЙ В АЭРОГИДРОМЕХАНИКЕ
3.8.1. Понятии о подобие явлений
При исследовании физических явлений существенное значение
имеет их подобие. Подобие явлений служит теоретической основой
их моделирования, успешно применяющегося в экспериментальных
исследованиях. В теоретических исследованиях подобие явлений может
подсказать структуру искомого решения. В основе подобия явлений
лежит понятие сходственных пространственно-временных точек. Если
во всех точках рассматриваемых областей изменения времени и
координат выполняются условия t1=ktt2\ r1=klr2, где
?i и г2 — радиусы-векторы; kt и kt — постоянные для всех точек
величины, то такие точки называются сходственными пространственно-
временными точками. Первое условие указывает на изменение масштаба
изменения времени, а второе соотношение — на геометрическое подобие
областей, т. е. на изменение масштабов изменения линейных величин,
поэтому величины kt и кх называются масштабными коэффициентами.
Два физических явления называются подобными, если в
сходственных пространственно-временных точках величины, определяющие
одно явление, могут быть получены из величин, определяющих другое
явление, простым умножением их на одни и те же постоянные,
называемые масштабными коэффициентами.
3.8.2. Критерии, числа подобия
Установим условия, при которых будет иметь место подобие
потоков. Для этой цели обратимся к полной системе уравнений,
описывающих движение сплошной среды. Так как при выполнении подобия
масштабы однородных величин должны сохраняться, то
дифференциальные уравнения, описывающие одно явление, должны
преобразовываться в дифференциальные уравнения, описывающие другое явление.
Пусть к\—масштабные коэффициенты изменения времени,
линейных, кинематических величин, давления, плотности, внутренней энергии
и других величин, входящих в дифференциальные уравнения
исследуемых явлений:
fc, = !i; *, = *=*=£!; V^kyV^ *Р = 5Ь..., (3.52)
Н х2 Уг *2 . Р2
где индекс 1 относится к течению 1 в системе координат Ox1y1zl,
а индекс 2—к течению 2 в системе координат 0х2у2^2- Обтекание
тела в системе Ox1y1z1 описывается системой уравнений
^+div1(p1^1) = 0;
oti Pi Pi V dxi дУ± dzi
д
.И)
4-diVi
к-№
= Pi(^i-
+ d(axl • У,) | д(ду1 • У,) | d{ozl • У,) diy^
дх1 dyi dzi
3 Зак 150
Р
'1 = PiRiT1.
)■
Vi) +
(3.53)
65

Преобразуем с помощью масштабных коэффициентов уравнения
(3.53) для течения 1 в уравнения для течения 2:
^♦^««МрЛ)-*
кг dV2 kY
+-f{V2-V2)V2=kFF2-
к. 1
V2jp2 +
кукр ( дЪх2 доу2 ddz2
1
a Pi \ , , , . , * г, ч . /с
л И?
^р^ер2^2 + ^р/с^р2— +-div2 [kpkvkep2V2e2 + kpkpp2V2-r +
+ kykpp2V2- ) = ^Р^^Р2(^2'^) +
Р2
A:? L ^.
2-^2)[^(аУ2-^2)|
ду2
д(В22-У2У
dz2
—£div2q2;
крр2 = (кСр СР2 - kCv CVi) кр кт р2 Т2.
Деля первое уравнение на kpkv/kh получаем
Второе уравнение разделим на kv/kh тогда будем иметь
-гт"~г--"г^К2 * v2; к2———
ktkv ot2 к у
(3.54)
^(f2.V2)f2 = ^^-^fV2,2 + r^
д<зх2 dcrv2 5a.
£Р£к р2
кукгк9 р2
.х2 ^Ру2 UVzl
дх2 ду2 dz2
(3.55)
Умножая третье уравнение на kx\kpkv, найдем:
я (Ь\К . *i ^v\\ л. (к т-у , Г/ v2 кр =у
^Xmp2e2+^p2^)+d^uP2V2e2+p2V2T+m^v-
2 Pi
= k-£p2(F2-V2)- ..
kv kaki
x2-F2) + f(ay2-F2)ia(az2-F2)-
d.x2 dy2 dz2
Уравнение состояния запишем в следующей форме:
(Ккткср kpkTkCv \
-^div2^3.56)
(3.57)
Так как уравнения второго течения могут быть записаны без
масштабных коэффициентов, то в соотношениях (3.54)...(3.57)
комплексы, содержащие эти коэффициенты, необходимо приравнять к
единице. Поэтому находим (без повторений):
1) kJikyk^l; 2) krkJky^U
3) кр/(крк2у)=\; 4)kJ(kpklkv)=U
5) ktke/ktky-^l; 6) ke/kv=l;
1) kq/(kpkv) = u Z)kCpkpkT/kp=u
9) kCvkpkT/kp=\.
66

Из первого соотношения
= Sh. (3.58)
/1 /2
Vth V2t2
Sh— безразмерная величина, характеризующая нестационарное
движение, называемая числом Струхаля.
Если сплошная среда движется в поле земного тяготения, то
величина F во втором соотношении будет ускорением свободного
падения. В этом случае второе соотношение запишется в виде
gill gih
Fr — безразмерная величина, учитывающая влияние земного тяготения
на течение среды, называемая числом Фруда.
Рассматривая третье соотношение, получаем
jf^-E, (3.60)
Ей — безразмерная величина, характеризующая отношение статического
и динамического давлений, называемая числом Эйлера.
Из четвертого соотношения имеем
M=M=Re. (3.61)
Vi v2
Найденная безразмерная величина, учитывающая влияние вязкости
на течение сплошной среды, называется числом Рейнолъдса.
Шестое и первое соотношения эквивалентны пятому. Поэтому
далее будем использовать только шестое соотношение.
Из восьмого и девятого соотношений следует, что
Pol Р\ == ^У2/ у1'
или (3.62)
где у — показатель адиабаты.
Предполагая, что вектор теплового потока подчиняется закону
Фурье q= — X grad Т, и учитывая, что внутренняя энергия e = CvT, из
шестого и седьмого соотношений находим:
ky ' kikpky
откуда
kxk^kvkCv
Исключая из полученного выражения ktkv и учитывая, что k[l = kpklkv,
a kCv = kc, с помощью четвертого соотношения находим:
КксР
откуда следует, что
ц1СР1А1=ц2сРаА2=Рг. (3.63)
Этот параметр называется числом Прандтля.
3* 67

Число Эйлера с учетом равенства CpJCVi = CP2/CV2 = y можно
записать в виде
v\ = VI
Ti.Pi/Pi У2Р2/Р2'
Выражения, стоящие в знаменателе,— скорости звука, а поэтому для
сжимаемой среды должно выполняться условие
V1/a1 = V2/a2 = M. (3.64)
Параметр М называют числом Маха.
Перечисленные выше критерии подобия получены без учета
граничных условий. Существенными граничными условиями при
обтекании тела вязким потоком являются равенство нулю скоростей
на поверхности тела и условие, накладываемое на температуру стенки
Tw. Условие, накладываемое на скорость, не дает нового параметра
подобия. Но температура поверхности тела определяет поток тепла
между телом и сплошной средой и вводит добавочное условие
подобия. В самом деле, поток тепла определяется по закону Фурье
соотношением q= —ХдТ/дп, а по закону Ньютона — выражением
q = <x(Tw—To0), где а—коэффициент теплоотдачи. Следовательно,
0L(To0 — Tw) = XdT/dn (Too—температура в бесконечно удаленной от
стенки точке). Пользуясь масштабными коэффициентами, находим:
a1/1/A,1 = a2/2A2 = Nu. (3.65)
Этот критерий называется числом Нусселыпа.
Итак, для выполнения динамического подобия двух течений
должны выполняться равенства чисел Струхаля Sh, Маха М, Фруда
Fr, Рейнольдса Re, Нуссельта Nu. Кроме того, физические свойства
сред должны быть таковы, чтобы выполнялись равенства отношений
теплоемкостей при постоянных давлении и объеме и чисел Прандтля.
Если при обтекании двух тел потоком с разными физическими
свойствами выполняется равенство всех указанных критериев подобия,
то такое подобие называют полным. Если же выполняется равенство
только части критериев подобия, а остальные не оказывают
существенного влияния на рассматриваемое явление, то такое подобие называют
частичным. Так, например, если при установившемся обтекании тела
массовыми силами, сжимаемостью и теплопроводностью среды можно
пренебречь, то для подобия достаточно равенства чисел Рейнольдса.
3.8.3. Структурные формулы для аэродинамических силы
и момента
Теория подобия в совокупности с теорией размерностей
физических величин позволяет, не интегрируя дифференциальных
уравнений, установить структурную функциональную связь между
физическими величинами. Мы ограничимся здесь установлением таких
связей между результирующими аэродинамических сил и их моментов
и физическими величинами, характеризующими среду, обтекающую
твердое тело. При обтекании тела вязким, сжимаемым потоком
результирующая аэродинамических сил R и результирующий момент
М зависят от плотности среды р, скорости потока V, геометрии
обтекаемого тела, времени t, вязкости среды, характеризуемой ди-
68

намической вязкостью ц, поля тяготения массовых сил, определяемых
ускорением свободного падения g, сжимаемости среды, определяемой
параметром (Зр, а также от параметров, определяющих его ориентацию
по отношению к потоку. Следовательно,
R=f(p, К U U ц, g, РР, В, С, Д ..., а, (3, ...), (3.66)
M=F{p, V, /, t, ii, g, рр, В, С, Д ..., а, р, ...), (3.67)
где В, С, D — величины, характеризующие геометрию тела; а, р,
...—безразмерные параметры, определяющие ориентацию тела по
отношению к потоку.
В механических явлениях имеются три величины с независимыми
размерностями. Независимость размерностей означает, что формула,
выражающая размерность одной величины, не может быть получена
комбинацией в виде степенного одночлена из размерностей других
величин. Например, размерности плотности ML~3, скорости LT'1*
длины L независимы, а размерности длины L, скорости LT~*
и ускорения LT~2 зависимы, ибо LT~2 = L5(LT~i)e.
Сравнивая показатели степеней, получим 8 + 8=1, 8 = 2, откуда
5= — 1 и е = 2. В нашем случае за независимые размерности принимаем
размерности плотности р, скорости V и длины /. Размерности
остальных физических величин, входящих в соотношения (3.66) и (3.67),
могут быть выражены через степени размерностей р, V и /. Выбор
независимых размерностей р, V и / обусловлен тем, что эти величины
сохраняются во всех частных случаях движения сплошной среды.
В самом деле при установившемся движении в выражениях (3.66)
и (3.67) исчезает время /, при движении идеальной среды—коэффициент
|i, при движении несжимаемой среды — Рр, при пренебрежении полем
массовых сил—g, но во всех этих случаях сохраняются р, V и /,
размерности которых, как это указывалось выше, независимы.
Размерности всех остальных физических величин, входящих в соотношения
(3.66) и (3.67), выражаются через размерности р, V и /:
[*]=!>]"■ [к]»'[/]».; [лг]=[р]"[к]»[/]'; [г]=[р]-[к]",[0"*;
[Ц] = [р]* !>]'.[/]»; |>;Ир]"[К]"[/]«.; [Рр] = [р]*т*[Т|'->
(3.68)
где т(, а, Ъ, с, nt, pt, q{, st — некоторые постоянные, которые
определяются в дальнейшем. Изменим теперь единицы измерения
плотности, скорости и длины, положив р1 =А:рр; V1=kvV; l1=kll,
где кр, ку, kt — масштабные коэффициенты. Тогда
Rl=k^kr>kT'R=kRR; Ml=klkbvkclM=kMM; t1=k"f,'k1?kpt = ktt;
щ^'ЛрЛрИ-^и; g1 = kl'k^k]*g=kgg; Pp=ksp'ki>k?'=kK$p.
(3.69)
В новой системе единиц измерения соотношения (3.66) и (3.67)
можно записать в виде
R1=kRR=kRfjp, V, I, t, u, g, рр, а, (3,
M^kMM=^kMF(p, V, I, t, ц, g, рр, а, р\
или
^i=/(fcpP. kvv> Kh ktt, /сцц, kh$p, а, P,
69
...), (3.70)
...). (3-71)
...), (3.72)

Ml=F(kpp, kvV, ktl, ktt, k^, А:р#рр, oc, (3, ...). (3.73)
Полученные выражения показывают, что функции / и F
обладают свойством однородности относительно масштабных
коэффициентов кр, kv и кг
Сопоставляя (3.70) с (3.72) и (3.71) с (3.73), находим:
R=k^kym*kTm>? (*рр, kvV, kj, ktt, к^, kgg, к^р, а, ...), (3.74)
M=k~akybkrcF{k9^ kvV, kxl, ktt, k^, kgg, £Pppp, a, ...). (3.75)
Известно, что функция, обладающая свойством однородности
относительно своих аргументов, может быть преобразована к
соотношению, содержащему набор комбинаций безразмерных величин.
Для сокращения числа аргументов у функций / и F произвольные
масштабные коэффициенты кр, kv, kt выберем так, чтобы крр=\;
kvV=\; kll=\, тогда
R = pm>Vm*!m>f(l,l,l,t/(pn*Vn4n>), \i/(pp*Vp*lp>), g/{pqiVq*l«>), ...),
(3.76)
M=paVblcF(l,l,\,t/(p"iVn4n>), \i/(pp>Vp>lp>), gl{pqiVq*lq>), ...).
* (3.77)
Чтобы выражения, стоящие в правых частях соотношений (3.76)
и (3.77), имели размерности силы и момента, потребуем, чтобы эти
размерности имели коэффициенты функций / и F, а сами функции
были безразмерными. Тогда
т1 = 1; га2 = 2; т3 = 2;
а=\; Ь = 2; с = Ъ,
а из условия безразмерности аргументов функций / и F
Tii =0; «2 = 1; п3 = \; p1 = l; p2 = U Рз = 1'>
4i=0; ^2==2;i Яъ=-1'> s1=-l; s2=-2; s3 = 0.
Подставляя эти значения в уравнения (3.76) и (3.77), получим
R=(pV2/2)S-2f (Sh, Re, Fr, M2, a, p, ...), (3.78)
M = (pV2/2)Sl-2F(Sh, Re, Fr, M2, a, p, ...). (3.79)
Обозначая 2f =cR, 2F = cm, находим: R=cR(pV2 /2)S;
M=cm(pV2/2)SI, где cR, cm — соответственно векторные
коэффициенты аэродинамической силы и момента аэродинамических сил, которые,
как это видно из предыдущего, зависят от критериев подобия — чисел
Sh, Re, Fr, М и от безразмерных геометрических величин,
характеризующих обтекаемое тело; рК2/2 — скоростной напор набегающего
потока; S и /—соответственно характерные площадь и линейный
размер тела.
§ 3.9. УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ВЯЗКОЙ СРЕДЫ. РОЛЬ ЧИСЛА РЕЙНОЛЬДСА
Исследования вязких течений с использованием системы
уравнений Навье — Стокса и экспериментальными методами
показывают, что в зависимости от значения числа Рейнольдса можно
выделить несколько характерных режимов течения. При числах
70

Рейнольдса порядка единицы и меньше влияние вязкости
распространяется на область течения, размеры которой намного больше
размеров обтекаемого тела. При малых числах Рейнольдса (до
единицы) действующие в потоке силы инерции намного меньше сил
трения и давления, ими можно пренебречь и тем самым упростить
и линеаризовать систему уравнений Навье — Стокса, отбросив
конвективные члены этой системы уравнений. Такие течения называются
ползущими, и система уравнений для них выглядит так:
dp/dx = [i(d2u/dx2 + d2u/dy2 + d2u/dz2);
dp/dy = \i(d2v/dx2 + d2v/dy2 + d2v/dz2);
dp/dz = ii(d2wldx2 + d2w/dy2 + d2w/dz2y, (180)
ди/дх + dv /ду + dw /dz = 0.
Для этой системы уравнений на обтекаемой поверхности
используются такие же граничные условия, как и для полной системы
уравнений Навье — Стокса, т. е. условия прилипания. С использованием
этой системы уравнений решена известная задача Стокса о ползущем
течении около сферы (см. гл. 13).
При числах Рейнольдса порядка 102 область влияния вязкости
на течение по порядку величин соизмерима с размерами обтекаемого
тела и для расчета поля течения обычно используют численные
методы решения полной системы уравнений Навье — Стокса.
При числах Рейнольдса порядка 103 и более влияние вязкости
на течение около хорошо обтекаемого тела сосредоточено в тонком
пристеночном слое, называемом пограничным. В этом случае
характеристики поля течения на расстояниях от обтекаемого тела,
соизмеримых с его характерными размерами, мало изменяются с
увеличением числа Рейнольдса, и при стремлении числа Рейнольдса к
бесконечности можно в системе уравнений Навье — Стокса отбросить
все члены, в которые входит динамическая вязкость ц. В результате
получается система уравнений для невязкого течения (3.50).
Рассмотрим вопрос о граничных условиях на обтекаемой
поверхности для этой системы уравнений. В реальном вязком потоке на
обтекаемой поверхности выполняются условия прилипания и все
компоненты вектора скорости обращаются в нуль, поэтому и при
больших значениях числа Рейнольдса вблизи обтекаемой поверхности
всегда остается тонкий слой течения, в котором силы трения и инерции
одинаковы по порядку величин. При стремлении числа Рейнольдса
к бесконечности этот слой не исчезает, однако при ламинарном
режиме течения его толщина 5 уменьшается пропорционально Re~1/2.
При Re-»оо 8->0 и внутри пограничного слоя продольная
составляющая вектора скорости на бесконечно малом расстоянии от
обтекаемой поверхности изменяется от нуля на самой стенке до
некоторого конечного значения. Это обстоятельство дает возможность
при решении системы уравнений Эйлера граничное условие прилипания
для вязкого газа заменить на граничное условие непротекания для
невязкого течения, когда оставляется равной нулю только нормальная
к обтекаемой поверхности компонента вектора скорости.
Для описания течения в тонком вязком пограничном слое около
обтекаемой поверхности уравнения Навье — Стокса также могут быть
упрощены путем оценки порядков величин каждого члена системы
уравнений с учетом того, что толщина пограничного слоя намного
71

меньше характерного размера обтекаемого тела. Система уравнений
Прандтля для расчета течения в пограничном слое для плоского
течения имеет вид
p"E+"r,~£+£("?,>!£!+!£!-°- <3-81»
При этом используется граничное условие прилипания на
обтекаемой поверхности и асимптотическое граничное условие
на внешней границе пограничного слоя u-*Ue при у-юо, где Ue —
скорость невязкого течения на обтекаемой поверхности, найденная
из решения уравнений Эйлера с использованием на стенке граничного
условия непротекания. Вывод системы уравнений пограничного
слоя и методы ее решения рассмотрены в гл. 14. Область
применимости уравнений Эйлера для невязкого течения по числам
Рейнольдса тесно связана с областью применимости уравнений
пограничного слоя.
В последние годы для решения различных задач
аэрогидромеханики находят широкое применение так называемые параболизованные
уравнения Навье — Стокса. В реальном потоке имеют место
аэрогидродинамические явления самых разных масштабов. Уравнения Эйлера
построены так, что описывают главным образом явления в невязком
потоке, характерные размеры которых соизмеримы по масштабу
с размерами обтекаемого тела, и не описывают явления в тонком
вязком пограничном слое непосредственно около обтекаемой
поверхности. Течение в этой области описывается уравнениями пограничного
слоя Прандтля. В классической теории пограничного слоя влияние
этого вязкого слоя на внешний почти невязкий поток обычно не
учитывается. Чтобы совместно описать почти невязкое течение в
области, соизмеримой с характерными размерами обтекаемого тела,
и в тонком вязком пограничном слое, а также учесть их
взаимодействие, можно использовать параболизованные уравнения Навье —
Стокса, в которых сохранены все члены полной системы уравнений
Навье — Стокса, входящие в уравнения Эйлера для невязкого течения
и в уравнения пограничного слоя Прандтля, и опущены члены,
содержащие вторые и смешанные производные по продольной
координате. В разных вариантах параболизованной системы уравнений
Навье — Стокса в случае необходимости могут сохраняться и другие
члены полной системы, не содержащие вторых и смешанных
производных по продольной координате.
§ 3.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ,
ОПИСЫВАЮЩИХ ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ НЕВЯЗКОЙ СРЕДЫ
3.10.1. Интегралы уравнения переноса количества движения
Уравнения движения сплошной среды в общем виде не
проинтегрированы. Можно проинтегрировать уравнения движения
невязкой среды при следующих условиях: 1) при установившемся
движении невязкой баротропной среды в потенциальном поле массовых
сил; 2) при неустановившемся потенциальном (безвихревом) движении
баротропной среды в потенциальном поле массовых сил.
72

Возьмем общее уравнение переноса количества движения невязкой
идеальной среды (3.31) с левой частью в форме Лэмба — Громеки
(см. (3.28))
dV/dt + gKid(V2/2) + 2[(Sx V~] = F-(l/p)gr&dp (3.82)
и рассмотрим случай установившегося движения, когда dV/dt = 0.
Уравнение (3.82) примет вид
grad — + 2\(5xV']=F-- grad/?. (3.83)
2 р
Если массовые силы — силы потенциального поля, то
# = VC/=-Vn, (3.84)
где U—силовая функция; П — потенциал массовых сил.
Для баротропной среды, когда давление зависит только от
плотности, т. е. p=f(p),
- grad/? = grad Р,
р
где P=$(dp/p) — функция давления.
Тогда уравнение (3.83) можно записать в следующем виде:
V(V2/2-U+P) = 2[Vx&~]. (3.85)
Выберем в потоке среды некоторую линию L, на которой
возьмем вектор bs, направленный по касательной к ней. Умножим
уравнение (3.85) скалярно на 6s. Имея в виду, что вдоль дуги
(Vf-8s) = df, получим d(V2/2-U+P) = 2([Vx(5]'bs) или, пользуясь
свойством смешанного произведения векторов, имеем
d(V2/2-U+P) = 2([Vx(S]'bs) = 2([bsxV]'S) = 2([exbs]'Vy (3.86)
В зависимости от выбора линии L правая часть полученного
выражения будет различной, поэтому попробуем выбрать так L,
чтобы правая часть уравнения (3.86) обращалась в нуль. Это возможно
в четырех случаях, когда:
1) 5s\\V (линия L совпадает с линией тока);
2) 5/Цср;
3) со || К (поля вихрей и скорости коллинеарны — винтовое
движение);
4) со = 0 (безвихревое движение). Во всех случаях d(V2/2— U+
+ Р) = 0, откуда
V2/2-U+P = const. (3.87)
Полученное уравнение называется уравнением Бернулли.
Постоянная в правой части уравнения Бернулли неизменна вдоль
данной линии тока и вдоль линий, на которых 6Г||со. При переходе
от одной из указанных выше линий к другой значение постоянной
изменяется. В случаях, когда со || V и со = 0 (безвихревое движение),
постоянная сохраняет свое значение во всей рассматриваемой области
течения среды.
Если среда несжимаема (p = const) и массовые силы—силы
тяжести, то функция давления Р=р/р, силовая функция U=—gz
и уравнение Бернулли после деления на ускорение свободного падения
запишется в виде
73

p v2
z-\ h — = const,
(3.88)
где z — геометрическая высота.
Уравнением (3.88) пользуются в
гидравлике при рассмотрении движения жидкости.
В аэродинамике при незначительных
изменениях геометрической высоты давление в
точках земной атмосферы изменяется
незначительно, поэтому массовыми силами можно
Рис. 3.6. Линии тока и точка пренебречь. В этом случае уравнение Бернул-
торможения при обтекании ли можно записать в следующем виде:
затупленного тела потоком 1/2/о _ t ex oq\
малых скоростей Р + Р" /Z —СОШ1, (З.оУ)
где р — статическое давление; рК2/2—динамическое давление, или
скоростной напор. Для небольшой скорости можно воздух (газ)
считать несжимаемым и для определения поля давлений по известному
полю скоростей пользоваться соотношением (3.89).
Постоянная в этом уравнении определяется, если известны
давление и скорости в какой-нибудь точке или на линии тока,
или на вихревой линии, или в любой точке потока при потенциальном
течении. Если рассматривается обтекание некоторого тела, то
в точке разделения потока О скорость равна нулю (рис. 3.6).
Эта точка называется критической точкой, или точкой торможения
потока, а параметры потока (давление, плотность, температура
и т. д.) — параметрами адиабатического торможения. Пусть давление
в точке торможения потока р=р0> тогда уравнение Берну лли
записывается в виде
p + pV2/2=p0. (3.90)
Сумма статического и динамического давлений называется полным
давлением. i
Постоянную в уравнении Бернулли можно определить, если на
линии тока вдали от тела (на бесконечности) задать значения давления
Рп и скорости К^, тогда уравнение Бернулли запишется в виде
p-Pau = pVH2-9V2l2. (3.91)
Разность давлений в данной точке и в невозмущенном потоке
называется избыточным давлением, которое может быть величиной
как положительной, так и отрицательной. Отношение избыточного
давления к скоростному напору является безразмерной величиной
и называется коэффициентом давления:
{p-P*)l(pVi/2) = cp. (3.92)
Из этого выражения следует уравнение
Р=Рх + (рУЦ2)ср.
Для несжимаемой жидкости из выражения (3.91) находим:
cp=\-V2IVl. (3.93)
Отсюда следует, что в критической точке, где V=0, с =\.
В случае движения сжимаемой баротропной среды, когда вдоль
линии тока энтропия S=Cv\n(p/py) остается постоянной,
Р/Ру=Ро1р1> (3.94)
74

где р0 и р0 — параметры торможения; y = Cp/Cv, Ср — удельная
теплоемкость при постоянном давлении; Cv — удельная теплоемкость при
постоянном объеме. Определяя функцию давления, имеем
Р =
Р Ро
Так как из (3.94) (р0/р)1/у--
р= i dp
)-1'УИп =
dp-
:Ро/Р> то
Y-1
Ро )1/У^
Ро*
,(y-\)h
Y-1 Ро
(3.95)
С учетом выражений (3.94) и (3.95), пренебрегая массовыми
силами, из (3.87) находим:
р- + —
2
= const.
(3.96)
У
7-1 р
Если течение неустановившееся, т. е. д V\дгф0, то уравнения
движения сплошной среды можно проинтегдировать лишь в случае
потенциального движения, когда G) = (l/2)rot V = 0. Так как для
потенциального движения K = grad(p, то
dt dtv ^} \dt)
(3.97)
Подставляя (3.97) в уравнение Лэмба — Громеки (3.82), найдем:
V(dq>/dt+V2/2-U+P) = 0. (3.98)
Умножая (3.98) скалярно на bs и интегрируя, получим
d(p/dt+V2/2-U+P=F(t)9 (3.99)
где F(t)—произвольная функция, зависящая только от времени (она
появилась в правой части уравнения (3.99) вместо const потому, что
потенциал скорости зависит в данном случае не только от координат,
но и от времени). Уравнение (3.99) называется интегралом Лагранжа —
Коти и связывает давление со скоростью при неустановившемся
движении.
Если течение установившееся и потенциальное, то F(t) = const,
и мы приходим к уже найденному ранее уравнению Бернулли (3.87).
3.10.2. Интеграл уравнения переноса полной энергии
Уравнение переноса полной энергии можно
проинтегрировать лишь в случае установившегося движения идеальной нетеплоп-
~ д { V2^
роводнои среды. Так как при этом — \е-\
^ dt \ _^ 2
(ц = 0) и, следовательно, px=—ip, Py=—jp, Pz=~kPi то из уравнения
(3.45) будем иметь
= 0; q = 0; 6X = 6=6Z = 0
д
дх
1 2 р
+
+
dz
ду
V2 Р
= pF-V.
+
(3.100)
75

Предполагая, что массовые силы — силы потенциального поля,
т.е. F = WU, найдем:
-И+НК[-И+Н
д
~fhc
ри
+
pw[e+^- + ?--U
= 0,
(3.101)
или
U + ^ + ^-£/)div(pK)+pK-grad^+^ + ^-^J = 0. (3.
102)
В силу уравнения неразрывности первое слагаемое в соотношении
(3.102) равно нулю. Сокращая второе слагаемое в (3.102) на р и имея
в виду, что при установившемся движении V = kbs, где к—некоторая
функция координат; 5s — вектор, касательный к линии тока, получим
bs-gmd(e+V2/2+р/р— U) = 0, откуда окончательно
e+V2/2+p/p-U=const. (3.103)
Так как e = CvT, а из уравнения Клапейрона р = pRT=(Cp — Cv)рГ,
то e+p/p = CpT=i, где /—энтальпия, поэтому
i+V2/2-U=comt (3.104)
Соотношение (3.104) называется интегралом уравнения переноса
полной энергии', const в этом уравнении остается неизменной вдоль
данной линии тока. В случае, когда течение изоэнергетическое (полная
энергия в потоке остается постоянной), const одинакова для всего
пространства.
Для совершенного газа интеграл (3.104) и уравнение Бернулли
совпадают по форме. Действительно, в силу равенств
e = CvT; e+- = CvT+- = Cv —+ - = —- -,
Р р рД р у-1 р
где по уравнению Майера R = Cp — Cv, из (3.104) при С/=0 получим
V2 ' у р ---- (3.105)
- + — - = const,
2 у-1 Р
откуда видно, что (3.105) и уравнение Бернулли (3.96) совпадают.
Однако интеграл уравнения переноса полной энергии является более
общим соотношением, чем уравнение Бернулли, так как он получен
без требования баротропности среды, которое было необходимо при
выводе уравнения Бернулли (3.96). Поэтому интеграл уравнения
переноса полной энергии можно использовать в качестве замыкающего
уравнения для связи давления с плотностью и скоростью при расчете
установившихся изоэнергетических небаротропных движений газа.
76

ГЛАВА 4. ОСНОВЫ АЭРОГИДРОСТАТИКИ
§ 4.1. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Состояние равновесия сплошной среды — частный
случай ее движения при условии, что скорость и ускорение в любой
момент времени равны нулю, а физические параметры среды от
времени не зависят. Если скорость равна нулю, то, как следует
из обобщенного закона Ньютона, соотношения для напряжений
принимают вид
Px=-tP', Py=-JP', &=-&• (4.1)
Подставляя их в уравнение движения, в котором необходимо
положить К=0, получим уравнение равновесия сплошной среды
рр-Чр = 0. (4.2)
В случае отсутствия массовых сил уравнения равновесия
принимают вид
др/дх = 0; др/ду = 0; dp/dz = 0, (4.3)
откуда следует, что давление одинаково во всех точках жидкости.
Эти соотношения известны под названием закона Паскаля.
Равновесие жидкостей и газов возможно лишь в том случае,
когда массовые силы удовлетворяют определенным условиям. Чтобы
установить эти условия, исключим из соотношения (4.2) давление
и плотность. Беря от векторов, входящих в уравнение (4.2), операцию
rot, получим
rot (pF) = р rot F+ Vp х F= 0. (4.4)
Умножая (4.4) скалярно jia ^вектор F и учитывая, что
смешанное произведение [VpxF] F=0, находим искомое условие
для массовых сил
F-TotF=09 (4.5)
или в скалярной форме
X(dZldy-dY/dz)+ Y(dX/dz-dZ/dx) +
+ Z(dY/dx-dX/dy) = 0, (4.6)
где X, Y, Z—проекции вектора F на оси декартовой системы
координат.
Из (4.5) следует, что^ поверхность f(x, у, z) = 0 ортогональна
силовым линиям вектора F.
77

Условие (4.5) выполняется, если положить, что массовые силы
имеют потенциал П, тогда
F=-Vn. (4.7)
Подставляя соотношение (4.7) в (4.2), приходим к заключению,
что поверхность равного потенциала, которая называется изопотен-
циалъной поверхностью, совпадает с поверхностью равного давления
{изобарой). Из уравнений (4.7) и (4.4) следует, что поверхность равной
плотности {изостера) совпадает с изопотенциальной поверхностью.
Таким образом, изопотенциальная поверхность, изобара и изостера
совпадают.
Так как равновесие возможно только при F= — Vn, то, разделив
(4.2) на р, находим: -V/?=— VII.
р
Предполагая среду баротропной, для которой р =f(p), и вводя
функцию давления Р = |(ф/р), находим: — Vn = VP, откуда, умножая
скалярно на произвольно ориентированный элементарный вектор bs
и интегрируя, найдем:
Р+П = const. (4.8)
Полученное уравнение является основным уравнением равновесия
баротропной сплошной среды.
§ 4.2. ОСНОВНОЙ ГИДРОСТАТИЧЕСКИЙ ЗАКОН
Для несжимаемой жидкости плотность р = const, тогда
функция давления Р=/?/р, а потенциальная функция для силы тяжести
tl=gz, если ось Oz направлена в сторону, противоположную
направлению ускорения свободного падения. В этом случае изопотенциальные
поверхности будут при z = const, т. е. эти поверхности —
горизонтальные плоскости. Следовательно, давление в горизонтальных плоскостях
будет постоянным; эти плоскости называются поверхностями уровня.
Подставляя выражения для Р и П в уравнение (4.8), умножая на
р и обозначая pg = y, находим:
p + yz = const. (4.9)
Если координатную ось Oz направить по направлению силы
тяжести, то формула (4.9) запишется в виде
p = yz + const. (4.10)
Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность, к
которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление р0,
то эта поверхность — горизонтальная плоскость. Взяв на ней начало
координат, из (4.10) при z = 0 получим const =р0. Тогда уравнение
(4.10) принимает вид
p=p0 + yz. (4.11)
Соотношение (4.11) выражает известный гидростатический закон:
давление на глубине z от поверхности равно внешнему давлению,
сложенному с весом столба жидкости, высота которого равна z,
а площадь основания равна единице (1 см2, 1 м2 и т. д.).
78

§ 4.3. ДАВЛЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ
НА НАКЛОНЕННУЮ ПЛОСКУЮ ФИГУРУ. ЦЕНТР ДАВЛЕНИЯ
Пусть в тяжелую жидкость погружена плоская фигура S.
Выберем систему координат так, чтобы ось Оу была расположена
в плоскости фигуры (рис. 4.1). Пусть давление на поверхности жидкости
при z = 0 равно р0, тогда давление в любой точке в жидкости будет
определяться из выражения (4.11).
Если на поверхности фигуры выбрать элементарную площадку
da, то действующая на нее сила dR=pda направлена в
сторону, обратную направлению орта нормали. Вектор результирующей
силы
R=-$$pn°do. (4.12)
ст
Так как для точек плоской фигуры S орт нормали п° = const,
то R = —п° $$(р0 + yz)da, откуда
R = -л°(/>0а + 7 JJzrfa). (4.13)
а
Последний интеграл есть статический момент площади фигуры
S, равный zca, где zc—координата центра тяжести площади фигуры
S. Таким образом, главный вектор сил давления
R=-n°{Po + yzc)G. (4.14)
Отсюда следует, что модуль главного вектора сил давления равен
давлению в центре масс плоской фигуры, умноженному на площадь
фигуры. Если изменять положение фигуры, вращая ее вокруг центра
масс, то числовое значение главного вектора сил давления в силу
соотношения (4.14) не изменяется. Следовательно, модуль главного
вектора сил давления не зависит от наклона плоской фигуры, а зависит
от глубины погружения ее центра тяжести.
Наибольший интерес представляет главный вектор сил
избыточного давления p—p0 = yz, в этом случае формула (4.14)
принимает вид
R=-n°yzca. (4.15)
Следовательно, числовое значение главного вектора сил давления
будет равно весу жидкости в объеме цилиндра с площадью основания,
равной площади плоской фигуры, и высотой, равной глубине
погружения ее центра тяжести.
Общее выражение главного
момента относительно начала координат
записывается в форме
M0=-$$p(rxn°)do, (4.16)
а
где г—радиус-вектор точки плоской
фигуры. Для избыточных
гидростатических давлений имеем
_ Рис. 4.1. Силы давления, действующие
Мо = — у f f Z(Fx n° ) d<5. (4.17) на погруженную в жидкость наклонен-
с ную плоскую фигуру
79

Для определения главного момента удобнее систему координат
расположить в плоскости самой фигуры S.
Проводя преобразования и имея в виду, что у'=у,
R = yzca = yx'casmO, находим координаты центра давления в системе
Ох'у' (см. рис. 4.1):
Jjx' d<j JjVydcT
x'D=—,—; y'D=—,—; zb=o. (4.18)
XC(T XC<7
Из полученных выражений следует, что положение центра давления
не зависит от наклона пластины. Заметим, что \\x'2da и ^jx'y'da—
а а
соответственно момент инерции площади фигуры относительно
плоскости Oy'z' и центробежный момент инерции относительно осей х\
у' (см. рис. 4.1).
§ 4.4. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ЗАМКНУТУЮ ПОВЕРХНОСТЬ.
ЗАКОН АРХИМЕДА
Сила, действующая на элементарную площадку, выбранную
на поверхности £ тела (рис. 4.2), определяется выражением
P=-yj$zn°da, (4.19)
где п° — орт внешней нормали поверхности £. Определим проекции
этой силы на оси координат:
dPx = — уJJzcos(п°х)da; dPy = — у JJzcos(n°y)da;
dPz = - у JJ z cos (n°z) da. (4.20)
Для определения проекции силы Р на ось Ох поступим следующим
образом: через контур площадки da проведем цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными оси Ох. Тогда на
противоположной стороне поверхности £ эта поверхность вырежет
некоторую площадку da с нормалью п\ (рис. 4.2). Так как dacos(n°x)
есть проекция dax на плоскость, перпендикулярную оси Ох, то нетрудно
заметить, что da cos (п°х)= — dax cos(«?x), поэтому при
интегрировании получим Рх = 0, Ру = 0, откуда следует, что горизонтальные
составляющие гидродинамических сил, действующих на замкнутую
поверхность, равны нулю.
Определим теперь вертикальную составляющую силы Р. С этой
целью через контур площадки da± проведем цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными оси 0z (рис. 4.3). На
противоположной стороне £ эта поверхность вырежет площадку da2
с нормалью «2- Проекция на ось 0z элементарной силы, действующей на
площадку dali будет dPzl = —yz1da1cos(n(lz), а на площадку da2 —
dPz2= —yz2da2cos(F12Z). Так как da1 cos(n°lz)= — daz, a da2 cos(n2z) =
80

Рис. 4.2. Определение горизонтальной
составляющей архимедовой силы
Рис. 4.3. Определение вертикальной
составляющей архимедовой силы
= doz, то, суммируя dPzl и dPz2, находим: dPz = — y(z2 — z1)daz.
Разность z2 — г^ есть высота столбика между площадками dox и dc2.
Умноженная на d<jZi она равна элементарному объему dx. Поэтому
dPz = — ydx. Интегрируя по объему, находим:
Pz=-yx.
(4.21)
Таким образом, сила давления тяжелой жидкости на замкнутую
поверхность имеет равнодействующую, численно равную весу жидкости,
помещающейся в объеме погруженной части тела, и направленную снизу
вверх. Это положение было установлено Архимедом и называется
законом Архимеда. Сила Pz часто называется архимедовой силой.
Определим теперь точку приложения архимедовой силы. Согласно
теореме о моменте равнодействующей имеем
PzxD = y\\\xdx\ PzyD = y\\\ydx.
Так как в этих выражениях интегралы представляют статические
моменты объема, которые равны произведению объема на координаты
его центра тяжести, то PzxD=—ухсх, PzyD= —уус*, откуда находим:
Xd — xc'> Ув—Ус-
(4.22)
него будут
Следовательно, равнодействующую можно приложить в центре
масс геометрического объема.
Если в жидкость погружено тело
действовать две силы Рид,
направленные по одной прямой, но в разные
стороны (рис. 4.4, а). Если G>P, то
тело утонет, если P>G, то всплывет.
При P = G тело будет находиться
в равновесии. Заметим, что если точка
D лежит выше центра тяжести, то
равновесие будет устойчивым
(рис. 4.4, б). В самом деле, если тело
вывести из равновесия, например
наклонить его по ходу часовой стрелки,
то силы Р и G образуют пару сил,
Равновесие
в жидкость тела:
С—центр тяжести; D —
погруженного
центр давления
81

которая будет возвращать тело в положение равновесия (рис. 4.4, б).
Если центр давления расположен ниже центра тяжести, то равновесие
будет неустойчивым, ибо возникающая пара сил будет отклонять
тело дальше от положения равновесия (рис. 4.4, в). Это заключение
справедливо только для тел, полностью погруженных в жидкость.
§ 4.5. РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ,
ПЛАВАЮЩИХ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
Пусть мы имеем некоторое тело, плавающее на поверхности
жидкости (рис. 4.5). Линия пересечения поверхности тела плоскостью
уровня жидкости называется ватерлинией. Плоскость, ограниченная
ватерлинией, называется плоскостью плавания, а нормаль к ней,
проходящая через центры тяжести и давления,— осью плавания.
Очевидно,- при равновесии необходимо, чтобы вес тела G был
равен архимедовой силе Р, т. е. P = G.
Выясним, при каких условиях равновесие будет устойчивым.
В случае, когда тело отклоняется от положения равновесия, объем
погруженной части тела изменяется, и, следовательно, изменяется
положение центра давления. Для определения
кр условий устойчивого равновесия рассмотрим
| тело, как указано на рис. 4.6. Пусть тело
Ш наклонилось по ходу часовой стрелки на
некоторый малый угол а, тогда на ту часть
___ тела, которая оказалась затопленной (область
_— ВОВ' на рис. 4.6), будет действовать
дополнительная архимедова сила 7V, направленная
Рис. 4.5. Силы, действующие на плавающее на
поверхности жидкости тело:
(j <Г—центр тяжести; D — центр давления
Рис. 4.6. Равновесие наклоненного пла- Рис. 4.7. Метацентр (М) и метацентрическая
вающего на поверхности жидкости тела: высота:
С—центр тяжести; D — центр давления С—центр тяжести; D' — центр давления
наклоненного тела, D — центр давления тела в
первоначальном положении
82

вверх. В осушенной части (область ЕОЕ' на рис. 4.6) архимедова
сила будет отсутствовать. Условно можно считать, что на наклоненное
тело дополнительно к Р и G действует пара сил (N, —N). Равновесие
будет устойчивым, если момент восстанавливающей^ пары (N, —N)
будет больше момента опрокидывающей пары (<?, Р).
Можно указать еще один признак устойчивого равновесия.
Рассмотрим силы, действующие на тело, плавающее на поверхности
и выведенное из положения равновесия (рис. 4.7). При изменении
положения тела центр давления переместится из точки D в точку
D'. На тело будут действовать две силы G и Р', образуя пару сил.
Если линия действия силы Р\ приложенной в точке D', пересекает
ось плавания в точке М, расположенной выше центра тяжести, то
возникающая пара сил будет возвращать тело в положение равновесия.
Точка М пересечения линии действия силы Р' с осью плавания
называется метацентром, а расстояние СМ—метацентрической
высотой. Таким образом, для устойчивого равновесия необходимо и
достаточно, чтобы метацентр был расположен выше центра тяжести
или чтобы метацентрическая высота была величиной положительной.
§ 4.6. РАВНОВЕСИЕ ЗЕМНОЙ АТМОСФЕРЫ
Уравнение равновесия сжимаемой баротропной среды при
массовых силах, имеющих потенциал П, записывается в виде (4.8).
Потенциальная функция для силы тяжести (ось Oz направлена
вверх) запишется следующим образом:
Tl=g{z-z0). (4.23)
Предполагая воздух совершенным газом, на основании уравнения
Клапейрона имеем p = pRT.
Условие баротропности среды p=f(p) будет выполнено в случаях,
когда:
1) среда несжимаемая, т. е. р = const;
2) процесс изотермичен, т. е. температура Т= const;
3) процесс адиабатичен (нет притока тепла извне), т. е. /? = pY- const.
Предполагая на поверхности уровня моря z0 = 0; р=Ро\ Р = Рсь
T=T0i для изотермического процесса получим
Р = (Ро//>о)а ' (4.24)
а для адиабатического процесса —
WaHp/Po)y- (4.25)
Рассмотрим случай изотермического процесса. Подставляя
выражения для П и р в (4.8) и учитывая, что при
T=const Р= \<Z-=El
J Р <
—, находим: gz+—Inр = const.
Р Ро
Принимая во внимание условия на уровне моря, находим:
z = (p0lgPo)\n(polp). (4.26)
Таким образом, по измеренному давлению можно определить
высоту над уровнем моря.
83

ГЛАВА 5. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 5.1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВИХРЕЙ
В данном разделе рассматриваются такие движения
сплошной среды, когда вектор ю = (1/2) rot К/0. Эти движения называются
вихревыми, и их изучение имеет большое практическое значение.
Вихревые движения часто наблюдаются на практике, например смерчи
и циклоны в атмосфере. Перемещающееся в жидкости тело оставляет
позади себя область, заполненную вихрями, на образование которых
нужно затратить энергию. Эта энергия получается за счет движущегося
тела, которое должно, таким образом, преодолевать некоторое
сопротивление жидкости, называемое вихревым. На основе теории
вихрей построены теории крыльев конечного и бесконечного размахов
и решены многие другие технические задачи.
§ 5.2. ВИХРЕВАЯ ЛИНИЯ И ВИХРЕВАЯ ТРУБКА.
НАПРЯЖЕННОСТЬ ВИХРЯ. ТЕОРЕМА СТОКСА
Линия, в точках которой векторы со направлены по
касательным к ней, называется вихревой линией. Уравнение вихревой
линии определяется из условия коллинеарности векторов ш и 5?
(рис. 5.1)
5$хю = 0, (5.1)
или в аналитической форме в декартовой системе координат
dx/(ox = dy/(oy = dz/(oz. (5.2)
Компоненты вихря должны удовлетворять условию
div<3=0, (5.3)
вытекающему из определения вихря.
Выберем в пространстве некоторый элементарный замкнутый
контур, через точки которого пройдут вихревые линии, образуя
некоторую поверхность (рис. 5.2). Поверхность, образованная
вихревыми линиями, проходящими через замкнутый контур, называется
вихревой трубкой, а жидкость, заключенная в ней,— вихревым шнуром
или просто вихрем.
Произведение площади сечения do вихревой трубки на удвоенную
длину проекции вектора вихря на нормаль к сечению называется
напряженностью вихря:
^х = 2со„</а = 2ю-«°я?а. (5.4)
84

Рис. 5.1. Вихревая линия: Рис. 5.2. Вихревая трубка
f—вектор касательной к линии L в точке А
Выберем в пространстве, занятом сплошной средой, некоторый
замкнутый контур L, на который опирается незамкнутая поверхность
£ (рис. 5.3). Пусть эту поверхность пронизывают вихревые линии.
Напряженности вихрей, пронизывающих элементарную площадку do
на поверхности Е, определяются по формуле (5.4).
Напряженность вихрей, пронизывающих поверхность £, получим,
интегрируя выражение (5.4) по поверхности Г:
х = 2 ^(3-n°do.
(5.5)
Напряженность (или интенсивность) вихря связана с циркуляцией
скорости Г. Эта связь устанавливается теоремой Стокса.
Докажем теорему Стокса: напряженность вихрей, пронизывающих
незамкнутую поверхность Е, опирающуюся на замкнутый контур L,
равна циркуляции вектора скорости по контуру L. Из определения
напряженности вихрей (5.5) находим:
х = 2 J J [сох cos (п°х) + Юу cos (п°у) + со2 cos (n°z)~\ da.
i
Используя соотношения (2.51)...(2.53), получим
х =
[(нЬ^Кй-еЬ'^Кн)-^
(5.6)
do. (5.7)
Рис. 5.3. Схема к определению связи
между циркуляцией и напряженностью
вихрей
Рис. 5.4. Схема к определению
суммарной завихренности, пронизывающей
замкнутую поверхность
85

В курсе математики доказывается формула, принадлежащая Стоксу
и записываемая в виде
(Pdx + Qdy + Rdz) =
_-_Jcos(^) + (---)cos(^) +
+ (^_^)С08(«°2)
do.
\дх ду
Применяя эту формулу, из (5.7) находим:
или
к = J (udx + vdy + wdz),
L
х = Г,
(5.8)
что и требовалось доказать.
Из теоремы Стокса следует, что если контур L не охватывает
вихрь, то циркуляция равна нулю.
Если поверхность замкнутая, то напряженность вихрей,
пронизывающих эту поверхность, равна нулю. Убедиться в этом можно
следующим образом. Пусть имеем некоторую поверхность, которую
рассечем плоскостью на две части (рис. 5.4). В сечении получим
контур L. Направления обхода верхней и нижней частей поверхности
по контуру L будут противоположными, поэтому суммарная
циркуляция будет равна нулю. Следовательно, суммарная напряженность
вихрей, пронизывающих замкнутую поверхность, равна нулю.
§ 5.3. ТЕОРЕМА КЕЛЬВИНА
Теорема Стокса устанавливает связь между напряженностью
вихревой трубки и циркуляцией скорости по контуру, охватывающему
эту трубку в данный момент времени. Естественно возникает вопрос
об изменении циркуляции скорости во времени.
Изменение циркуляции во времени устанавливается теоремой
Кельвина: производная по времени циркуляции вектора скорости по
замкнутому контуру, проходящему через одни и те же частицы
среды, равна циркуляции вектора
ускорения по тому же контуру.
Пусть контур L связан с одними
и теми же частицами (рис. 5.5).
Возьмем на этом контуре некоторую
частицу М среды, положение которой
в пространстве определяется^
радиусом-вектором F; ее скорость V=dr/dt.
Возьмем на контуре L близко
расположенную точку Ми
определяемую вектором bs. Ее положение
в пространстве по отношению к
выбранному началу отсчета определяет-
Рис. 5.5. Схема к определению
циркуляции по замкнутому контуру,
проходящему через одни и те же частицы
ся радиусом-вектором
ri=r + 8.?.
тогда
86

Скорость точки М1? с одной стороны^определяется как V1=drl/dt.
С другой стороны, V1 = V+bV; bV=(dVjds)bs.
Дифференцируя Г по времени, находим: Vi = V+d(bs)ldt, откуда
d{bs)/dt = bV.
По определению циркуляции скорости T = §V-bs.
L
Дифференцируя это выражение по времени, получим
dT/dt = § (dV/dt) • bs+§ V- d(bs)/dt,
L L
или dT/dt = §W-bs + §V'bV, где W—вектор ускорения.
L L
Так как V-bV=b(V2/2), то §V-bV=§b(V2/2) = 0 и
L L
— = &W-bs. (5.9)
dt I
Как это следует из приведенного доказательства,
полученное соотношение не зависит от физических свойств среды, т. е.
вязкости и сжимаемости, поэтому производная циркуляции вектора
скорости по времени для любой среды равна циркуляции вектора
ускорения.
Если рассматривать движение идеальной баротропной среды при
однозначном потенциале массовых сил, то уравнения движения в форме
Эйлера записываются в виде
W=VU--VP,
р
и так как среда баротропная, то p=f(p) и W=V{U— Р).
Подставляя в уравнение (5.9) это соотношение, находим:
dr/dt = §bs-V(U-P) = §d(U-P). (5.10)
L L
При однозначном потенциале массовых сил интеграл (5.10) равен
нулю, следовательно,
dT/dt = 0, т.е. T = const. (5.11)
Из (5.11) следует, что при движении идеальной баротропной
среды при однозначном потенциале массовых сил циркуляция вектора
скорости по контуру, проходящему через одни и те же частицы,
с течением времени не изменяется.
Теорема Кельвина играет важную роль в установлении характера
движения идеальной баротропной среды. Если движение такой среды
начинается из состояния покоя и является непрерывным, то циркуляция
скорости по контуру, проходящему через одни и те же частицы
среды, равна нулю, так как в начальный момент времени Г = 0
в силу равенства нулю скорости потока. При этом, как следует из
теоремы Стокса, вихри в потоке будут отсутствовать, а движение
будет потенциальным во все моменты времени. Указанные выше
условия выполняются при движении идеальной несжимаемой среды
(р = const) и идеального газа при дозвуковых скоростях, а также
87

в некоторых случаях околозвуковых и сверхзвуковых течений газа.
Во всех этих случаях нужно решать задачи обтекания тел идеальной
средой, полагая движение потенциальным.
Циркуляция скорости по некоторому контуру может быть отлична
от нуля в идеальной баротропной среде при наличии потенциала
массовых сил, лишь когда функция давления Р или скорость потока
V терпят разрыв на некоторых поверхностях, пересекаемых этим
контуром, вследствие чего интеграл в выражении (5.10) не обращается
в нуль. Однако и в этом случае движение идеальной несжимаемой
среды или газа при дозвуковых скоростях вне этих поверхностей
остается потенциальным.
§ 5.4. ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
5.4.1. Первая теорема Гельмгольца о вихрях
Так как напряженность вихревой трубки и циркуляция
вектора скорости по контуру, охватывающему вихревую трубку, по
теореме Стокса равны, то можно установить, что напряженность
вихревой трубки вдоль трубки в данный момент времени не изменяется
(1-я теорема Гельмгольца).
Пусть мы имеем некоторую вихревую трубку. Выберем два
сечения 1 и 2 (рис. 5.6).
Пусть хь Гх и х2, Г2 — напряженности и циркуляции вихревой
трубки в сечениях 1 и 2 соответственно. Тогда на основании
теоремы Стокса Х! = Г15 х2 = Г2. Разрежем контуры
Li и L2 и соединим их концы линиями ЛВ и В'А'. Поверхность,
натянутая на полученный таким образом контур, вихревыми линиями
не пронизывается, поэтому по теореме Стокса циркуляция скорости
по этому контуру равна нулю, т.е. Т\ + ТАВ — Г2 + ГВ'Л' = 0.
Так как ГАВ=— ГВ>А', а Г1=х1, Г2 = х2, то хх=х2, т.е. вдоль
вихревой трубки ее напряженность не изменяется.
Большое значение для анализа возможных форм существования
вихрей имеют следствия из 1-й теоремы Гельмгольца.
1. Вихревая трубка в потоке не может оканчиваться острием,
так как в этом случае площадь ее сечения равна нулю, а напряженность
постоянная, следовательно, вектор вихря <3 должен стремиться к
бесконечности, что физически не имеет смысла.
ч 2. Вихревые трубки в замкнутом сосуде или
J будут замкнутыми, или своими концами будут
/ упираться в стенки сосуда.
2 3. Если имеется поверхность раздела двух
сред, то вихрь своими концами опирается на
поверхность раздела (например, смерч).
Рис. 5.6. Вихревая трубка и охватывающий ее контур
88

5.4.2. Вторая теорема Гельмгольца
В идеальной баротропной среде при однозначном потенциале
массовых сил вихревая трубка не разрушается.
Пусть мы имеем вихревую трубку, на поверхности которой
возьмем контур L (рис. 5.7). Вследствие того, что контур не охватывает
вихрей, циркуляция по этому контуру равна нулю, т. е. в данный
момент времени TL = 0. В последующие моменты времени трубка
при движении среды будет деформироваться. Будет деформироваться
и контур L, проходящий через произвольно выбранные частицы. На
основании теоремы Кельвина циркуляция по контуру не изменится,
а так как в начале движения она была равна нулю, то и в последующие
моменты rL = 0. Это означает, что частицы, связанные с контуром
L, будут оставаться на поверхности вихревой трубки. Так как контур
выбран произвольно на поверхности, то заключаем, что поверхность
вихревой трубки образована одними и теми же частицами среды,
т. е. вихревая трубка с течением времени не разрушается.
5.4.3. Третья теорема Гельмгольца
В идеальной баротропной среде при однозначном потенциале
массовых сил напряженность вихревой трубки с течением времени
не изменяется. Проведем замкнутый контур L, проходящий через
частицы, расположенные на поверхности вихревой трубки (рис. 5.8).
На основании теоремы Стокса Г = х. На основании 2-й теоремы
Гельмгольца контур L всегда будет расположен на поверхности
вихревой трубки, а на основании теоремы Кельвина при движении
идеальной баротропной среды при однозначном потенциале массовых
сил циркуляция скорости по контуру L с течением времени не
изменяется, поэтому х = const в любой момент времени.
Может показаться, что 1-я и 3-я теоремы Гельмгольца одинаковы,
однако это не так. Разница между этими теоремами заключается
в том, что согласно 1-й теореме напряженность х = const вдоль
вихревой трубки в данный момент времени и для любой среды,
в то время как по 3-й теореме х = const в любой момент времени,
но лишь в случае идеальной баротропной среды.
Из 2-й и 3-й теорем Гельмгольца следует, что если в идеальной
баротропной среде при однозначном потенциале массовых сил в
некоторой области не было вихрей, то они и не возникнут. Однако
Рис. 5.7. Вихревая трубка и лежащий на Рис. 5.8. Схема к вычислению циркуляции по
ее поверхности контур контуру, охватывающему вихревую трубку
89

если вихри возникли, то с течением времени они сохраняются.
Необходимо отметить, что это справедливо только при указанных
выше ограничениях. Если среда идеальная, но не баротропная, то
вихри могут возникать и исчезать.
§ 5.5. ВЛИЯНИЕ ВИХРЯ НА ОКРУЖАЮЩУЮ СПЛОШНУЮ СРЕДУ
Если задано поле скоростей движущейся среды, то известно
и поле вихрей, так как легко найти 65=(1/2) rot V. Не менее важной
является и обратная задача определения поля скоростей по заданному
полю вихрей, так как вихрь оказывает существенное влияние на
окружающее его пространство.
Чтобы выяснить это влияние, рассмотрим находящуюся в
безграничной жидкости бесконечную прямолинейную вихревую трубку,
поперечным сечением которой является круг радиусом г0. В этом случае
достаточно проанализировать течение в плоскости, перпендикулярной оси
вихря. Будем рассматривать вихрь как совокупность частиц,
вращающихся по закону твердого тела с угловой скоростью со. Вне окружности
г0 (ядра вихря) завихренность равна нулю. Проведем окружности
радиусами гх и г2, концентрические с окружностью радиусом г0, причем
r1<r0<r2 (рис. 5.9). Пусть V1 и V2 — скорости на окружностях с
радиусами i\ и г2. В силу симметрии ясно, что скорости любых точек на
окружности радиусом гх одинаковы по величине и направлены по
касательным к этой окружности, в противном случае радиальные
составляющие скоростей давали бы расход через окружность радиуса г0,
не равный нулю, чего не должно быть. Аналогично скорость в любой
точке окружности с радиусом г2 направлена по касательной к ней.
На основании теоремы Стокса будем иметь
J V1ds1=2conrj, если rx<r0\
j* r2ds2 = 2(uKro, если r2>r0,
где ds — элемент дуги окружности. Так как величины Vx и V2
постоянны на соответствующих окружностях, то
\\ 2кг2V2 — Incurq.
Отсюда следует, что Vi=cor1 при
г1<гсъ ^2 = сого/г2 ПРИ ri>ro- Когда
'Ч^'г^^съ ^/i = ^2==coro5 т- е- скорость
при переходе через окружность
радиусом г0 меняется непрерывно.
Таким образом, можно сказать,
что описанный вихрь образует
некоторое поле скоростей. Это поле
скоростей называется индуцированным
полем скоростей, а скорость любой
точки такого поля называется
индуцированной скоростью. В своем
центре описанный вихрь скорость не
индуцирует. Это означает, что в
покоящейся жидкости центр вихря остается
неподвижным.
2nr1Vl=2ncor
Рис. 5.9. Распределение скоростей
внутри и вне цилиндрического вихря
90

Найдем распределение давления внутри и вне плоского вихря.
Предположим, что вихрь находится в первоначально
невозмущенной среде, т.е. скорость на бесконечности ^=0. Давление на
бесконечности обозначим р^. Тогда для любой точки вне вихря
будем иметь
p + pV2/2=Pt09 (5.12)
откуда, так как в поле вихря при любых г>г0 К=оого/г, получим
р-Ра0=-р(о2гЦ{2г2) (r0<r<co). (5.13)
Из формулы (5.13) следует, что при приближении к вихрю (при
уменьшении величины г) давление непрерывно убывает и всюду вне
вихря меньше давления рт в спокойной окружающей среде.
Найдем изменение давления внутри ядра вихря (г<г0). Так как
при г<г0 поток непотенциальный, мы не можем воспользоваться
ранее найденными интегралами уравнений Эйлера.
Предположим, что для определения давления внутри ядра вихря
тем не менее можно воспользоваться уравнениями Эйлера (3.30).
Тогда для установившегося движения, пренебрегая массовыми силами
и имея в виду, что при г<г0 и=—соу; v = tox, получим
j 1 dp ? I dp
-ш2х= —/; -co2^=— f.
p ox p oy
Умножая первое из полученных уравнений на dx, а второе на
dy и складывая, находим: dp = рсо2(xdx-hydy) = (раз2/2)dr29 откуда
/> = P^r2 + const. (5.14)
Постоянную интегрирования const определим из условия, что на
границе ядра вихря при г = г0 давление внутри равно давлению
снаружи, определенному по формуле (5.13). Тогда
const=/?00 —рсо2Го-
Подставляя найденное выражение в (5.14), окончательно получим
Р-Р„ = Р-^(г2-2гЪ). (5.15)
Рис. 5.10. Распределение давления внутри и вне сечения цилиндрического вихря
91

При r<r0 для ядра вихря разность р—р^ — величина
отрицательная, убывающая при приближении к оси вихря и стремящаяся при
г->0 к — рсо2Го- График изменения давления в вихре представлен на
рис. 5.10.
Таким образом, в поле вихря давление убывает при приближении
к оси вихря, причем наиболее сильно в ядре вихря. Этим объясняется
известное свойство подсасывания вихрей, разрушительное действие
смерчей и т. д.
§ 5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
ПО ЗАДАННОМУ ПОЛЮ ВИХРЕЙ.
ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА БИО —САВАРА
Пусть в неограниченной области несжимаемой среды имеется
некоторая завихренная область D. Требуется определить скорость
в произвольной точке М с координатами х, у, z, которая индуцируется
распределением вихрей в области D (рис. 5.11). Искомый вектор
скорости определяется из соотношения
rotF=2o5, (5.16)
где <3 (£, г], Q—известная величина. Решение будет единственным,
если задано еще одно условие для вектора скорости, а именно
dWV=b(x, у, z), (5.17)
где Ь(х, у, z)—некоторая известная скалярная функция.
Будем рассматривать случай несжимаемой среды, тогда (5.17)
принимает вид
divK=0. (5.18)
Таким образом, для определения вектора скорости V имеем систему
уравнений (5.16) и (5.\8).
Из (5.18) следует, что вектор V можно искать в виде
V=-voiA, (5.19)
где А—некоторый вектор, называемый векторным потенциалом.
Действительно, нетрудно убедиться, что для любого произвольного
вектора a divrot<?=0.
Подставляя соотношение (5.19)
M(*,y>z), в (5.16), получаем
rot rot А = V div А — А А = 4со.
Не нарушая^ общности, можно
положить, что div А = 0, тогда предыдущее
соотношение принимает вид
д2А/дх2 + д2А/ду2 + д2А/дг2= -4со.
(5.20)
Рис. 5.11. Схема к определению Уравнение (5.20) называется вектор-
индуцированной завихренной об- ным уравнением Пуассона. Решением
ластью скорости уравнения (5.20) является функция
92

Рис. 5.12. Схема к определению индуцированной вихревой трубкой
скорости
Л=1
я
gfeti.Qrf^^
V(^-y2+(y-i)2+(z-C)2 *.
I
(5.21)
rfs-
-Л
где r = V(*-^)2 + (j-n)2 + (z-Q2.
Для определения скорости в точке М
достаточно подставить (5.21) в (5.19) и учесть, что
операция rot в (5.19) берется по координатам х, у, z, тогда
V=-
2л
rotM- jd^dridt,.
(5.22)
Из векторного анализа известно, что rot(Xa) = Xrota + VXxa, где
X — произвольный скаляр; а—произвольный вектор. В нашем случае
а = со; X=l/r; rotMco = 0, так как со от х, у, z не зависит, а является
функцией £, Л» £• Градиент 1/г равен —Г/г3, поэтому окончательно
'-sflj^^-si
-Jx.
(5.23)
Полученную • формулу можно назвать обобщением формулы Био —
Савара для завихренного объема несжимаемой среды. Скорость,
вычисленная по формуле (5.23), называется индуцированной скоростью.
В случае одного вихревого шнура (рис. 5.12) соотношение (5.23)
принимает иной вид. Элемент объема вихревого шнура
dx = dt, dr\ dt) = dsda,
где ds—отрезок вихревого шнура, a do — площадь поперечного
сечения (рис. 5.12). По теореме Стокса имеем j"j coda = Г/2, где
о
Г — циркуляция или напряженность вихревого шнура. Замечая, что
со = coco"; ds = ds(5°, где со0 — орт вектора со, из (5.23) находим:
4л
dsxr
Формула (5.24) носит название формулы Био-
вихревой нити.
(5.24)
- Савара для одной
§ 5.7. СКОРОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ВИХРЕМ
(ОТРЕЗКОМ ВИХРЕВОГО ШНУРА, ВИХРЕВЫМ КОЛЬЦОМ)
1. Пусть мы имеем прямолинейный отрезок вихревого шнура
длиной /, расположенный вдоль оси Ох. Требуется определить величину
и направление скорости, индуцированной этим отрезком в некоторой
точке M(x,y9z) (рис. 5.13).
93

M(x,y,z)
Рис. 5.13. Схема к определению индуциро- Рис. 5.14. Вектор скорости, индуцирован-
ванной отрезком прямолинейного вихря ско- ной замкнутым вихревым кольцом
рости
Согласно формуле Био — Савара (5.24) имеем
4тс
<Ъ.
w =
4п
с3-
-3
; r = ^(x-^)2+y2 + z2
Вычисляя интегралы находим:
Tz
-/
4тф2 + 22)
___Г>__
4тф2 + 22)
J(x-l)2+y2 + z2 Jx2+y2 + z2J
х — l X
_J(x-l)2+y2 + z2 V-v2 + v2 + z2J
Из полученных соотношений следует, что прямолинейный вихревой
отрезок индуцирует скорости лишь в плоскостях, перпендикулярных
оси отрезка, причем абсолютная величина скорости
х — l X
4nh
У(*-/)2+л2 ^й?
где h = у/у2 + z2 — длина перпендикуляра, опущенного из точки М на
ось Ох. Так как cosa1=x/^/x2 + h2; cos а2 = (х — /)/у/(х — l)2 + h2,
предыдущее соотношение можно переписать в виде
г
V— — |cosot2 — cosaJ. (5.25)
Полагая в случае полубесконечного вихревого шнура а2 = я;
а1=п/2, получим V=T/(4nh). В случае бесконечного вихревого шнура
а2 = л; ах=0, тогда V=T/(2nh), откуда следует, что скорость,
индуцируемая бесконечным прямолинейным вихревым шнуром, в два
раза больше, чем индуцируемая полубесконечным.
94

2. Пусть мы имеем вихревое кольцо радиусом R, лежащее
в плоскости Оху, с центром в начале координат. Требуется определить
скорости, индуцируемые этим кольцом на оси z (рис. 5.14).
Согласно формуле Био — Савара имеем
и = — ф
4тг
zdx\ Г
^ ■• v=— — I
4л
i-f; w = —ф-
Н 4л
Д^л-л^
Из рис. 5.14 видно, что £> = Rcosd; r\ = RsinQ; r2 = £2 + ri2-f
+ z2 = i?2 + z2.
Поэтому
u = -
Аналогично v = 0.
Для компоненты w имеем
2п
4тг
zR cos 0^/0
(i?2 + z2)3'2
= 0.
W~4^J (*2 + z2)3'2 2(R2 + z2
Таким образом, на своей оси вихревое кольцо индуцирует только
скорость, направленную вдоль оси.
§5.8. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВИХРЯ С ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДОЙ
Если вихрь находится в поле скоростей другого вихря или
в движущемся потоке, то между ними происходит взаимодействие.
Найдем силу, с которой движущаяся среда действует на находящийся
в ней вихрь. Для этого рассмотрим изменение количества движения
вихревого кольца.
Рассматривая количество движения, индуцируемое замкнутым
вихревым шнуром, находящимся в беспредельной несжимаемой среде,
можно показать, что проекция вектора количества движения на
какую-либо ось равна произведению плотности среды, циркуляции
и площади, ограниченной проекцией контура вихря на плоскость,
перпендикулярную этой оси.
Пусть V—суммарный вектор относительной скорости в точке
А вихревого кольца по отношению к частицам жидкости, определяемый
в общем случае с учетом скоростей, индуцированных другими
имеющимися в потоке
вихрями. За время At элементарный
отрезок вихревого кольца ds,
выделенный в окрестности
точки А, пройдет путь, равный
произведению VAt (рис. 5.15).
За счет этого произойдут
изменения площадей проекций
вихревого кольца на
плоскости, перпендикулярные осям
координат. Пусть эти
изменения площадей соответственно
Ш
Рис. 5.15. Схема к определению силы
взаимодействия вихря с окружающей средой
95

Aax, Aay, Aaz. Тогда изменения проекций вектора количества
движения, индуцированного элементарным отрезком ds вихревого
кольца за время At, будут
Аб; = ГрАах; А<2; = ГрАа,; AQ'z = rpAaz. (5.26)
Обозначим п° — единичный вектор нормали, перпендикулярный
к плоскости, проходящей через векторы со и К. Тогда
Aax = Aacos(/f\x); Аау = Aacos(п°у); Aaz = Aacos(«°z). (5.27)
Так как изменение вектора количества движения, индуцируемого
элементарным отрезком вихревого кольца, есть AQ' = iAQ'x+jAQ'y +
+ IcAQ'z, то А2' = ГрАал°.
В свою очередь, как видно из рис. (5.15), A<j = dsVAtsmoi. Поэтому,
подставляя в соотношение для AQ' выражение для Аа и деля на
А/, получаем AQ'/At = TpVdsn° sin a = TpVxds.
Переходя к пределу при Ar-*0, будем иметь
dQf/dt = TpVxds~: (5.28)
Поскольку изменение количества движения равно действующей
силе, то из (5.28) находим:
dF' = dQ'/dt=-rpVxds~: (5.29)
где dF'—сила, действующая со стороны среды на отрезок вихревого
кольца. Суммарная сила, действующая на все вихревое кольцо,
запишется в виде
И=рГ §(dsxP). (5.30)
L
Найденные соотношения (5.29) и (5.30) играют важную роль во
многих практических задачах аэрогидромеханики.
§5.9. ВИХРЬ В ВЯЗКОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
Рассмотрим вихревое движение вязкой несжимаемой
сплошной среды и воспользуемся уравнениями Навье — Стокса (3.29),
которые для этого случая запишем в векторной форме:
^+V^ + 2[(3xK]=-Iv^ + vAF, (5.31)
где А — оператор Лапласа. Возьмем операцию rot от левой и правой
частей (5.31):
-(rot K) + 2rot Гю х К] = vA rot V.
Пользуясь формулами векторного анализа, раскроем ^rot [сох К],
учитывая, что divco = 0, а для несжимаемой среды divF=0. После
несложных преобразований получим
aco/a/ + (K-V)co-(co-V)K=vAco. (5.32)
96

Соотношение (5.32) называется уравнением Гельмголъца и описывает
движение вихря в вязкой несжимаемой среде.
Рассмотрим изменение прямолинейного бесконечного вихря с
течением времени. В данном случае удобно использовать цилиндрическую
систему координат (х, г, 9), ось Ох ^которой совпадает с осью
вихря. В этой системе со = сох°; V= V§°, где х°, §° — орты выбранной
системы координат. Раскрывая в этой системе^ операции V и А, в
силу указанных выше соотношений получим (K-V)co = 0; (co-V)K=0;
d2(S/dx2 — 0 (так как по теореме Гельмгольца со = const вдоль оси
вихря); д2со/д02 = О (так как из условий симметрии со = х°/(г)). Поэтому
из уравнения (5.32) найдем:
ТГ-г^Тг)- (533)
Уравнение (5.33) совпадает по типу с уравнением
теплопроводности, и его решение можно искать с помощью методов теорий
размерности и подобия. Из физических соображений следует, что
модуль завихренности со=/(г, г, v). Вводя масштабные коэффициенты,
получим
kt dh~ к? Г1дг\Г1дГ1)' ^ }
Здесь индексом 1 обозначены параметры в новой системе единиц
измерения. Так как в этой системе уравнение (5.34) может быть
записано без масштабных коэффициентов, потребуем, чтобы
kvktk;2 = \ или r2/(v/) = rf/(v1^1) = ^. (5.35)
Найденный параметр % является параметром подобия
рассматриваемого явления.
Учитывая это, будем искать решение поставленной задачи в виде
со=^Ф(^), (5.36)
где Г—циркуляция, величина которой пропорциональна модулю
завихренности со. Вычисляя производные, входящие в уравнение (5.33),
и выполняя несложные преобразования, получим
_ d
откуда
«•>-4*(«s>
5Ф-~45^+С (5.37)
Постоянную интегрирования, входящую в (5.37), определим из условия,
что при *-юо £-►(). Тогда С=0 и а?Ф/^=-Ф/4. Поэтому Ф = ^е"г2/(4у°,
где А — неизвестная пока константа интегрирования. Подставляя
данное решение в уравнение (5.35), имеем
со
= A-e~r2K4vt\ (5.38)
Для вычисления константы А поступим следующим образом. Возьмем
плоскость, перпендикулярную оси вихря, и подсчитаем циркуляцию
4 Зак 150
97

TR по окружности радиусом R, охватывающей вихрь. На основании
теоремы Стокса и решения (5.38) будем иметь
Гк = (-4пАГ)[е-«21^-\].
При t-+0 Гд->Ге~л2/(4у/)->0, поэтому А = \/(4п). Окончательно получим
со = — e-r2/(4v'>. (5.39)
Anvt
Из соотношения (5.39) видно, что в вязкой среде вихрь с течением
времени разрушается (со-^0 при /->оо), в отличие от идеальной среды,
где вихри с течением времени сохраняются (если они возникли (см.
§ 5.4)). Это кардинальным образом отличает вихри в вязкой среде
от вихрей в идеальных жидкостях и газах.
Отметим, что при подсчете индуцированных вихрем в своей
окрестности скоростей в вязкой среде необходимо учитывать радиус
ядра вихря. В частности, для случая бесконечного прямолинейного
вихря с постоянным распределением завихренности (со = const) внутри
ядра радиусом г0 модуль индуцированной вихрем скорости можно
подсчитать по формуле
'"'-я{1+1(гУ-2(т)'—Ь <*«»
где Г—циркуляция скорости; h—расстояние (по перпендикуляру) от
точки, в которой подсчитывается скорость, до оси вихря. При г0-+0
и заданной напряженности Г имеем |К| = Г/(2тсА), что совпадает
с формулой для скорости, индуцируемой бесконечной прямолинейной
вихревой нитью в невязкой среде.
98

ГЛАВА 6 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
§6.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО
УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ
6.1.1. Постановка задачи об определении
силового воздействия идеальной несжимаемой среды
на твердое тело
Если рассматривается движение идеальной несжимаемой
среды, начинающееся из состояния покоя, то, как показано в § 5.3,
оно является потенциальным. В этом случае для определения поля
скоростей можно использовать уравнение (2.61) для потенциала
скорости ф (х, у, z, t), связанного с компонентами скорости
выражениями (2.58).
Решение уравнения (2.61) должно быть подчинено граничным
условиям, вытекающим из физических условий решаемой задачи. Так,
например, если рассмотреть обтекание неподвижного тела потоком
жидкости с заданной скоростью V^ на бесконечности, то потенциал
скорости должен удовлетворять следующим условиям:
на бесконечности
V9|00=K00; (6.1)
на поверхности тела в силу непротекания жидкости через его
поверхность £
~дп
= 0. (6.2)
z
Если же рассматривать движение тела в покоящейся жидкости,
то на бесконечности
Уф = 0, (6.3)
а на поверхности тела
дер
~дп
= Vnr, (6.4)
где Vnr — нормальная составляющая скорости точки на поверхности
тела.
Как только становится известным поле скоростей, легко
отыскивается и поле давлений, для чего следует воспользоваться уравнением
Бернулли (3.89) или (3.90), в котором постоянная в правой части
одинакова для всего пространства. После вычисления давления в любой
4*
99

точке поверхности Е обтекаемого тела подсчитываются главный
вектор сил давления (полная аэродинамическая сила) и главный
момент по формулам
R=-^pn°dG, (6.5)
i
M=-^p[rxn°]da, (6.6)
i
где п° — орт внешней нормали к поверхности тела; г—радиус-вектор
точки поверхности тела.
Таким образом, задача об определении силового воздействия
идеальной несжимаемой среды на помещенное в нее тело сводится
к решению уравнения Лапласа (2.61) при соответствующих граничных
условиях и дальнейшему вычислению давления на поверхности тела
и суммарных силы и момента. В дальнейшем будет показано, что
для вычисления силы и момента достаточно знать только поле
скоростей.
6.1.2. Основные свойства потенциальных течений
в односвязной и многосвязной областях
Введем понятие связности области, поскольку потенциал
скорости и, следовательно, потенциальные течения имеют различные
свойства в односвязной и многосвязной областях. Будем называть
областью часть пространства, ограниченного одной или несколькими
замкнутыми поверхностями. Объем внутри поверхности назовем
внутренней областью, а вне ее — внешней. В плоскости областью
называется часть плоскости, ограниченная одной или несколькими
замкнутыми линиями..
Область D называется односвязной, если произвольный замкнутый
контур L, целиком расположенный в этой области, непрерывным
деформированием можно стянуть в любую точку области D.
Например, если в неограниченном пространстве имеется тело без
протоков, произвольно выбранный во внешней области контур
L (рис. 6.1) можно непрерывным деформированием стянуть в точку.
В этом случае область будет односвязной. Если же имеется тело
с протоком (рис. 6.2), то можно указать такой контур Ll9 который
нельзя непрерывным деформированием стянуть в точку. В этом
случае внешняя и внутренняя области будут неодносвязными
(многосвязными). Но, если провести перегородку а (рис. 6.2), то область
превращается в односвязную, так как при наличии указанной
перегородки любой произвольно выбранный контур L или L2 можно
стянуть в точку.
Под порядком связности понимают число, на единицу большее
числа перегородок, с помощью которых неодносвязная область
превращается в односвязную.
• Рассмотрим теперь основные свойства потенциала скорости в
односвязной области.
1. В потенциальном потоке проекция вектора скорости на заданное
направление равна частной производной потенциала скорости по
этому направлению.
100

Рис. 6.1. Контур и тело в односвязном Рис. 6.2. Сечение тела и контуры L, в мно-
пространстве: госвязном пространстве:
/—тело; 2—точка 1 — тело; L, Lx, L2 — контуры; а — перегородка
Пусть в области, заполненной жидкостью, имеется некоторая
линия L, в каждой точке которой определены величина и направление
вектора скорости V. Выберем некоторую прямую /, проходящую
через произвольную точку линии L. Разложив вектор скорости по
осям декартовых координат и проецируя V и ее составляющие на
направление /, находим:
Kj==wcos(S;) + t;cos(/y) + wcos (£), (6.7)
где Vt — проекция скорости на направление /. Так как и = дц>/дх;
v = d(p/dy; w = d(p/dz; cos (he) = dx/dl; cos (ly) = dy/dl; cos (lz) = dz/dl, то
из уравнения (6.7) получим
К, = 3ф/в/. (6.8)
2. В высшей математике доказывается, что при непрерывном
и однозначном градиенте потенциала скорости (при непрерывной
и однозначной скорости течения жидкости) потенциал скорости
также будет однозначной и непрерывной функцией. Гидродинамически
это означает, что циркуляция скорости по любому замкнутому
контуру, целиком расположенному в односвязной области, будет
равна нулю, т. е.
r = |(^-df) = f(V9-df) = f/9 = 0. (6.9)
Из условия (6.9) также вытекает важное свойство потенциального
течения жидкости в односвязной области, состоящее в том, что
в такой области при потенциальном течении не может быть замкнутых
линий тока, поскольку вдоль этих линий циркуляция не может
обратиться в нуль. Действительно, при выборе направления
интегрирования, совпадающим с направлением вектора скорости,
подынтегральное выражение в (6.9) всегда будет положительным, поэтому
вдоль замкнутой линии тока Г#0.
Таким образом, линии тока при потенциальном течении в
односвязной области должны пронизывать поверхность S,
ограничивающую эту область. Поэтому, если границей односвязной области
являются твердые стенки, то внутри нее не может существовать
безвихревое течение.
3. При движении несжимаемой сплошной среды (р = const) перенос
массы через границу односвязной области равен нулю.
В самом деле,^ в этой области всюду выполняется уравнение
неразрывности divK=0. Интегрируя его по области D и преоб-
101

разовывая интеграл по области в интеграл по ее границе по
обобщенной формуле Остроградского — Гаусса, получим
D I
и для потенциального потока в односвязной области находим:
~дп'
dL = 0.
(6.10)
4. В односвязной области, занятой жидкостью, потенциал скорости
не имеет ни максимума, ни минимума.
Доказательство проведем от противного. Пусть, например, в точке
Р потенциал скорости имеет максимум. Если окружить точку Р сферой
а малого радиуса 8, то внутри сферы потенциал ф будет меньше,
чем в точке Р. Если взять точку S на поверхности сферы, то
ф(Р)>ф(£). Потенциал ф(Р) можно представить в виде
Ф(р)=Ф(5)+б(аФ(5)/аг)+....
При ф(£)<ф(Р) в окрестности точки Р на сфере ду/дг<0
и всегда можно подобрать такое е>0, при котором это условие
удовлетворяется на сфере всюду. Так как сфера принадлежит
односвязной области D, то учитывая, что дф /дг = дц> / дп, находим: м ф -
Л\
дг
-Жт<0.
Это противоречит пункту 3, и, следовательно, потенциал скорости
в односвязной области не имеет максимума. Аналогично убеждаемся,
что потенциал скорости не имеет и минимума.
5. Кинетическая энергия потенциального потока несжимаемой
идеальной жидкости заэисит только от значений потенциала скорости
на границе области и его производной по нормали.
Кинетическая энергия Т жидкости в области Z), ограниченной
поверхностью £, вычисляется по формуле
т-'-
]\¥^=
+
Так как
дх дх дх \ дх
5(р \ 2 _ д(р дф _ д I Зф
dz I dz dz dz \ dz
52ф /дф
дх2
-ф-531» he =-^^=
by
'+(S; j
dip dq>
dx.
(6.11)
dy by dy
дф\ д2(р
-ф
а2Ф
dz2'
то, подставляя эти выражения в (6.11)
и имея в виду, что потенциал скорости удовлетворяет уравнению
Лапласа, после преобразования интеграла по формуле
Остроградского— Гаусса находим:
Т=>
•2*
(6.12)
Формула (6.12) применима и для внешней области, если в бесконечности
Ф имеет порядок 1/г2. Из соотношения (6.12) вытекает следующее:
102

а) Если на границе области дц>/дп = 0, то кинетическая энергия
равна нулю. Это возможно в силу (6.11) только в том случае, когда
всюду в области D скорость К=Уф = 0. Следовательно, в области
D жидкость покоится и ф = const.
б) Если на границе области ф = const и удовлетворяется условие
(6.10), то в этом случае кинетическая энергия также равна нулю.
Следовательно, в области D скорость частиц жидкости равна нулю
и потенциал скорости будет величиной постоянной. Так как потенциал
является непрерывной функцией, не имеющей в области D ни
максимума, ни минимума, то значение потенциала скорости внутри
области совпадает с его значением на ее границе.
в) Если на одной части границы области дф/дл = 0, а на другой
ф = const, то при выполнении условия (6.10) кинетическая энергия
обращается в нуль. Следовательно, скорость всюду в области равна
нулю, а потенциал будет постоянным и равным значению на ее
границе вследствие того, что внутри области он не имеет ни
максимума, ни минимума.
Свойства а, б, в дают возможность доказать единственность
решения уравнения Лапласа. В самом деле, предположим, что мы
имеем две функции фх и ф2, удовлетворяющие уравнению Лапласа
и условиям на границе Е: 9iIe=/(x, .у, z); Ф2|е=/(х, У<> z)- Вследствие
линейности уравнения Лапласа функция F=(pi — ф2 также будет
решением уравнения Лапласа, а на границе i^l^O. Тогда на основании
свойства б внутри области F будет постоянной и равной нулю,
поэтому ф1 = ф2. Теперь предположим, что на границе области заданы
значения
дп
,-*<*'■*%
= \\f(x,y9z).
I
Для функции 7г=ф1 — ф2, имеем (dF/dn)\i: = 0, тогда на основании
свойства а внутри области F— const и, следовательно, ф^фг + const.
Несущественную постоянную всегда можно положить равной нулю,
поэтому ф1 = ф2. Наконец, предположим, что заданы значения функций
ф! и ф2 на одной части границы области Е', а на другой Е"
значения их производных по нормали, тогда для функции FF\^ = 0,
^|г- = 0. В этом случае на основании свойства в функция внутри
области будет равна нулю, поэтому ф1 = ф2.
Итак, решение уравнения Лапласа будет единственным и
однозначным, если циркуляция по замкнутому контуру, расположенному
в области Д равна нулю и на границе области заданы:
1) либо значение потенциала ф (задача Дирихле);
2) либо значение дср/дп (задача Неймана);
3) либо значение ф на одной части границы и д(р/дп на остальной
части (смешанная задача).
Рассмотренные выше условия однозначности и единственности
решения будут справедливы и для внешней области, если потенциал
скорости ф в бесконечности имеет порядок 1/г2. В этом случае
'5*
— (TL по бесконечно удаленной поверхности,
дп
интегралы
а также функции ф и дср/дп на ней равны нулю. Сохраняются
103

только условия на внутренней границе. При движении жидкости
в неодносвязной области нестягиваемый в точку контур можно рассечь
линиями на ряд стягиваемых и нестягиваемых контуров, причем
каждый нестягиваемый контур только один раз пересечет перегородку.
В этом случае общая циркуляция скорости будет равна сумме
циркуляции по нестягиваемым контурам, т. е.
г=г1+г2+...+гп,
а потенциал скорости будет неоднозначной функцией. Для того,
чтобы получить решение гидродинамической задачи, необходимо
помимо обычных граничных условий задать столько значений Г,
сколько нужно провести перегородок, превращающих неодносвязную
область в односвязную, или задать дополнительные условия, из
которых можно определить циркуляции по нестягиваемым контурам.
Этот факт будет в дальнейшем широко использоваться при изучении
движения среды в неодносвязной области.
6.1.3. Метод наложения потенциальных потоков.
Потенциалы простейших течений
Уравнение Лапласа линейное, поэтому сумма любых его
решений также будет его решением, т. е. функция
п
Ф=1фк (6.13)
/c=i
будет удовлетворять уравнению Лапласа.
Это означает, что любой потенциальный поток идеальной
несжимаемой среды можно представить как результат наложения
более простых потенциальных течений друг на друга. На основании
(6.13) имеем \
Vcp= t Vcpfc, (6.14)
или, так как Vq>=K, V(pft=Kfc,
V= t *V (6-15)
Откуда следует, что при наложении потенциальных потоков их
скорости складываются геометрически, в отличие от потенциалов,
которые складываются алгебраически. Рассмотренный выше метод
получения сложных потенциальных течений называется методом
наложения потенциальных потоков.
Рассмотрим теперь простейшие течения несжимаемой среды
и определим потенциалы скорости этих течений.
Источник. Представим полую сферу с отверстиями в поверхности,
просверленными по ее радиусам, к которой подведена тонкая трубочка,
по которой течет жидкость под достаточно большим давлением.
Через отверстия в сфере будут вытекать струйки жидкости равномерно
во все стороны. Уменьшая размеры сферы и увеличивая число
отверстий, получим в пределе истечение жидкости из точки. Это предельное
течение называется точечным пространственным источником.
104

Итак, пусть из некоторой точки происходит истечение жидкости.
Окружим эту точку сферой некоторого радиуса г. Вследствие
центральной симметрии скорости будут направлены по радиусам и в точках
сферы будут равны Vr. В силу неразрывности движения расход
жидкости Q через поверхность сферы любого радиуса г является
величиной постоянной и определяется выражением
Q = 4nr2Vr. (6.16)
Поэтому Vr = Q/(4nr2), и так как Vr = d(p/dr, то
Ф=-е/(4яг). (6.17)
Постоянную интегрирования можно положить равной нулю, как
не имеющую существенного значения. Нетрудно убедиться, что функция
llr=l/y/x2+y2 + z2 удовлетворяет уравнению Лапласа всюду за
исключением начала координат. Следовательно, выражение (6.17) является
потенциалом скорости пространственного точечного источника.
Сток. Если изменить направление течения жидкости в источнике
на обратное, т. е. считать, что жидкость втекает в точку, то такое
предельное течение называется стоком. Потенциал скорости стока
выражается формулой
Ф = е/(4тгг). (6.18)
В случае, когда источник или сток находится в точке N(£,9 rj, Q,
в формулах (6.17) и (6.18) следует положить
r = y/(x-^y + (y-vi)2 + {z-Q2. (6.19)
Плоский источник. Истечение жидкости из точки в плоскости
называется плоским источником. Если обозначить интенсивность
источника g, то расход жидкости через окружность радиусом г будет
Q = 2nrVr. Откуда Vr = d(p/dr = Q/(2nr). Здесь г = ^/(х-\)2 + (у-г()2, где
£, и г\—координаты источника.
Интегрируя выражение для Vr и отбрасывая несущественную
постоянную, будем иметь
Ф=-^1пг. (6.20)
Если записать уравнение Лапласа в полярных координатах, то
нетрудно убедиться, что формула (6.20) ему удовлетворяет.
Плоский сток. Потенциал скорости плоского стока получим, если
в формуле (6.20) заменим у Q знак на обратный, т.е. ф=—— lnr.
Диполь. Течение жидкости, полученное в
результате наложения источника и стока
одинаковой переменной интенсивности, обратно
пропорциональной расстоянию между ними,
стремящемуся к нулю, называется диполем
(дублетом).
Пусть в некоторой точке А находится
пространственный источник интенсивностью М/(2/г),
а на расстоянии 2/z — сток с той же
интенсивностью по модулю (рис. 6.3) (М постоянная
Рис. 6.3. Схема для определения потенциала скорости диполя
105

величина). Тогда потенциалы источника и стока в некоторой точке
Р рассматриваемой области выражаются формулами
__М 1 _М 1
фист" 2Л4^' Фст-2Л4^'
Потенциал суммарного потока от источника и стока равен сумме
их потенциалов:
ф__£±(±_Г)__£1^. (6.21)
Выберем на прямой, соединяющей источник и сток, точку О,
делящую расстояние между ними пополам, как указано на рис. 6.3.
Тогда Г1=г4-/Г, г2 = г-Я n^rl = r2±2(r-h) + h2; ri = r2-2(r-/*) + /*2.
Откуда г\ — Г2 = 4(Г-/Г) = 4/г(Г-Я°), где h° — орт вектора /Г. Из последнего
выражения находим:
г1-г2 = 4А(г-Л)/(г1 + г2).
Подставляя в выражение (6.21), получим
_ М 4h(r-H°)
ф~ 2Л 4яг1г2(г1 + г2)'
Приближая источник и сток друг к другу, т. е. к точке О,
в пределе получим течение, определяемое потенциалом скорости
У An г3
Вектор, направленный от стока к^ источнику по прямой
АВ и определяемый выражением М—МЯ0, называется моментом
диполя, а прямая АВ—осью диполя. Итак, потенциал диполя
записывается в виде
(М-г) McosG Mcos(Mr) ,, ~~ч
Плоский диполь.- Определения плоского и пространственного
диполей совпадают между собой, но потенциалы их будут различны.
Потенциал плоского диполя определяется выражением
М-г М cos (Mr) ,с ^.ч
ф=- —1= —>—'-. (6.23)
2ш2 2ш
Потенциал скорости прямолинейного вихревого шнура. Пусть мы
имеем бесконечный прямолинейный вихревой шнур. Индуцируемые
этим шнуром течения будут одинаковыми в перпендикулярных к нему
плоскостях, поэтому достаточно исследовать движение в этой
плоскости. Пусть след от пересечения вихря плоскостью будет точкой
0. Тогда линии тока будут концентрическими окружностями с центром
в точке 0.
Скорости направлены по касательным к окружности и зависят
только от радиуса. Циркуляция скорости Г = 2тггКе в силу теоремы
Стокса не зависит от радиуса г. Поэтому
v =г =1 д(р
9 2ш г ае'
106

Выполняя интегрирование и опуская несущественную постоянную,
получим
*=£е-
(6.24)
6.1.4. Примеры применения метода наложения
потенциальных потоков
Обтекание плоского полутела. Рассмотрим течение, которое
получается в результате наложения равномерного прямолинейного
потока со скоростью V^ на поток от плоского источника
интенсивности Q, расположенного в начале координат (рис. 6.4).
Воспользуемся полярной системой координат, тогда потенциалы равномерного
потока и источника запишутся соответственно в виде
Фоо = Jocose; фист=—lnr,
а потенциал результирующего потока —
9=)/^ г cos 6+-^-In г. (6.25)
Проекции скорости на направления радиуса и перпендикулярное
к нему соответственно
^=^cose+f,
or 2ш
= --Г=-Као Sin9.
г 50
(6.26)
(6.27)
Определим положение критической точки, в которой Кг = 0и Ке = 0.
Из этих условий находим 60 = л;, r0 = Q/(2nVo0).
Линии тока найдем из уравнения
dr/Vr = rdQ/VQ.
Подставляя в (6.28) Vr и Ке из (6.26) и (6.27), получим
— -, откуда имеем dr/dd -f г ctg 6 = —
(6.28)
dr
К» sinG'
2nVms\nQ
VmcosQ + Q/(2nr)
Мы получили
Рис. 6.4. Линии тока при наложении
равномерного потока на источник:
1 — линии тока прямолинейного равномерного потока;
2—линии тока источника, расположенного в
начале координат; 3—линии тока результирующего
течения; А В—линия тока, проходящая через точку
торможения А
107

линейное дифференциальное уравнение первого порядка, интегрируя
которое, находим: г sin 0 = С— 6. Определим уравнение линии
27гКда
тока, проходящей через критическую точку с координатами 60 = я,
r0 = Q/(2nVo0). Для этой точки C=g/(2F00), следовательно, уравнение
этой линии тока
2nVm sin6
Из полученного выражения видно, что искомая линия тока
пересекает полярную ось только в одной точке А, координаты
которой 0 = я, г = г0. На рис. 6.4 эта кривая дана со штриховкой.
Она разделяет результирующее течение на две области: внешнюю
(со стороны набегающего на источник равномерного потока), где
линии тока результирующего течения ее огибают, и внутреннюю,
где остальные линии тока результирующего течения как бы заключены
внутри нее. Если не рассматривать внутреннюю область, то в
идеальном потоке эту кривую можно принять за твердую стенку,
а внешнее течение рассматривать как результат обтекания полутела
равномерным прямолинейным потоком.
Если равномерный прямолинейный поток наложить на
пространственный источник, то в результате получится течение, среди линий
тока которого будут линии, образующие незамкнутую поверхность
вращения. Эту поверхность можно принять за обтекаемое
пространственное полутело — аналог рассмотренного выше плоского полутела.
В предыдущем случае интенсивность источников, помещенных
в потоке, не равнялась нулю, поэтому мы получали незамкнутую
поверхность. Теперь рассмотрим случаи, когда суммарная
интенсивность источников и стоков, помещенных в поток, равна нулю.
Обтекание замкнутого овала. Пусть в равномерном прямолинейном
потоке, движущемся со \скоростью V^, размещены плоские источник
и сток одинаковой интенсивности (рис. 6.5). В этом случае потенциал
скорости определяется соотношением
Ф= F00x + £lnr-£lnv/(x-«)2-;;2,
а проекции скорости на оси координат —
Qx Q(x-a) .
u=Vo0 +
v = -
2к(х2+у2) 2к[(х-а)2+у2У
Qy Qy
2к(х2+у2) 2n[(x-a)2+y2]'
В критической точке у = 0; У^ + Q/(2пх) — Q/[2к(х — а)~\ = 0, откуда
у = 0 и х = а/2 + yja 2/4 + Qa/ (2я V^). Следовательно, критические точки
будут расположены на оси вне источника и стока на одинаковых
расстояниях, и среди линий тока получится замкнутый контур
(отмеченный на рис. 6.5 штриховкой).
В случае пространственных источника и стока получается
замкнутая поверхность. Вообще, если сумма интенсивностей источников
и стоков равна нулю, то в равномерном потоке всегда найдется
замкнутая поверхность, на которой Vn = 0.
108

Рис. 6.5. Линии тока результирующего течения,
полученного в результате наложения
равномерного прямолинейного потока на источник
и сток одинаковых по модулю интенсивностей
Например, когда в равномерный невозмущенный поток,
движущийся со скоростью Кад, помещается плоский диполь с моментом,
направленным навстречу этому потоку, среди линий тока
результирующего течения имеется окружность. Если же диполь будет
пространственным, среди линий тока сложного течения будут линии,
образующие сферу.
Из рассмотренных примеров следует, что если не рассматривать
течение внутри обтекаемого контура, то обтекание тела произвольной
формы можно представить как результат наложения прямолинейного
равномерного набегающего потока на течение от системы источников
и стоков или диполей, распределенных внутри или (как будет показано
ниже) по поверхности тела. При этом, чтобы тело было замкнутым,
необходимо потребовать выполнения условия
I а=о,
i = i
где Qi—интенсивность г-го источника или стока.
6.1.5. Аэродинамические сила и момент, действующие
на обтекаемую твердую замкнутую поверхность.
Парадокс Д'Аламбера
Пусть на неограниченный равномерный прямолинейный
поток, движущийся с постоянной скоростью Kqo, наложены течения
от источников, стоков и вихрей, расположенных внутри области,
ограниченной поверхностью Е _{рис. 6.6). В точках этой поверхности
скорость постоянна и равна V^. Пусть в результирующем потоке
имеется поверхность S, ограничивающая объем /, в точках которой
нормальная составляющая скорости К„ = 0. Это означает, что
поверхность S образована линиями тока и на ней нет источников и стоков
конечной интенсивности. Однако на поверхности S могут располагаться
вихри, либо пересекающие линии тока, либо
совпадающие с их направлениями.
Вследствие того, что на поверхности
S К„ = 0, эту поверхность в потоке идеальной
жидкости можно рассматривать как твердую
стенку и, следовательно, определять силы,
действующие на нее.
Рассмотрим два случая.
В первом случае жидкость заключена
внутри поверхности S (внутренняя задача). Пусть
J—Внутренний объем; П° — орт внешней нор- Рис. 6.6. Определение
мали; р—давление в точках поверхности аэродинамических силы
t с А - - и момента, действующих
(рис. 6.6), тогда главный вектор и главный на обтека;мую Замкну-
момент относительно начала координат сил Тую поверхность
109

давления, действующих на поверхность S, соответственно определяются
формулами (6.5) и (6.6).
Подставляя (3.89) в (6.5) и (6.6) и принимая во внимание
равенство нулю интегралов, содержащих постоянную С, находим:
Д=-р
s
n°^dS; М0=-р
[Fxn°]^-dS.
Преобразуем поверхностные интегралы по обобщенной формуле
Остроградского — Гаусса
JJjL(V)* = JJ*-(«°)dS,
т S
где L—линейный оператор; т — объем, заключенный внутри S. Тогда
j j
Так как V(K2/2) = (FV) V+ Fxrot К, то подставляя это выражение
в написанные выше соотношения и преобразовывая их к более
простому виду (учитывая, что £/„ = 0 на поверхности S), найдем:
R = p^VdWVdT-p^[VxvotV]dx,
(6.30)
М0 = р JJJ [г х F] div ГЛ-р JJJ [г х [Fx rot К]] А.
(6.31)
Если известно поле скоростей в области / (внутренняя задача), то
выражениями (6.30) и . (6.31) определяется воздействие потока на
стенку S.
Наиболее важным является второй случай, когда поверхность
S обтекается внешним потоком. В этом случае область т1з занятая
жидкостью, ограничена поверхностями S и Е. Обозначим внешнюю
нормаль области п\ (рис. 6.6), тогда главный вектор и главный
момент сил давления определяется формулами
R = \\pn\dS; M0 = \\\rxn\]pdS.
s s
Воспользовавшись уравнением Бернулли, находим:
*- v:
R=-p
п\ — dS; М0=-р
[rxn^dS.
(6.32)
Полученные выражения аналогичны выражениям для внутренней
задачи. Поэтому, если бы на поверхности Z скорость равнялась
нулю, можно было бы, преобразовывая поверхностные интегралы
(6.32) по формуле Остроградского — Гаусса в интегралы по объему
т1з получить аналогичные соотношениям (6.30) и (6.31) выражения
для главного вектора и главного момента сил давления. В
действительности же на поверхности X скорость равна V^. Учитывая это
ПО

обстоятельство, после преобразований и разграничения интегрирования
по внешней и внутренней областям, получим
^=pJH(^-^)div^T-pJJJ[(F-K00)xrotF]rfT-
т т
- р JJJ Vx div Vdx + р JJJ [Vx x rot К] A, (6.33)
^o = PШ [rx(P- ?„)]div FA-p JfJ[rx [(К- ?«,)xrot K]] A-
T T
- P fЯ 17* ^ ] div 9.dx + p JJJ [r x [ Кда x rot F]] A. (6.34)
J J
Заметим, что V—V^—скорость, индуцируемая в точках внешней
области системой источников, стоков и вихрей, находящихся во
внутренней / и внешней тх областях. При этом следует помнить,
что источники, стоки и вихри в этих точках при вычислении
индуцированной скорости исключаются.
Из последних выражений следует, что если во внешнем потоке
нет источников, стоков и вихрей, то главный вектор сил давления
равен нулю. Иначе говоря, в потенциальном потоке без особенностей
тело не испытывает воздействия потока. Это утверждение известно
под названием парадокса Д'Аламбера и доказано здесь в самом
общем случае. Что касается главного момента, то он может обратиться
в нуль только для трех специальных взаимно перпендикулярных
направлений скорости набегающего потока Кда, но эти случаи здесь
не рассматриваются.
§ 6.2. ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
Движение называется плоским или плоскопараллельным,
если все частицы, лежащие на одном и том же перпендикуляре
к некоторой неподвижной плоскости, движутся параллельно этой
плоскости. В этом случае параметры такого движения зависят только
от двух пространственных декартовых координат.
6.2.1. Функция тока и ее свойства
В случае плоского течения уравнение неразрывности (2.28)
удовлетворяется, если ввести в рассмотрение функцию \|/ (х, у), такую,
что для нее выполняются условия
u = dty/dy; v=-dy\f/dx. (6.35)
Отметим основные свойства функции \|/(х, у). Прежде всего
подставим (6.35) в уравнение линии тока (2.17), записанное для
плоского движения. Получим (dty/dx) dx + (di|//d>>) dy = dty = 0. Откуда
следует, что вдоль линии тока \|/ = const. Вследствие этого
функцию \|/ называют функцией тока. Рассмотрим теперь в
плоскости Оху произвольную линию, проходящую через точки А и В
(рис. 6.7). Через эти точки будут проходить линии тока, вдоль
Ш

которых функции тока ^а = С1
и \|/в = С2. Выберем на линии АВ
элемент дуги ds, совпадающий с ка-
' сательной Г, образующей с осью Ох
угол 0, и проведем нормаль N9
образующую с осью Ох угол у.
Объемный расход жидкости через
элемент ds будет
n ,п ~ N dQ= Vnds или dQ= — (уcos9 — usinQ) ds.
Рис. 6.7. Схема к определению рас- ^ п ^ \ )
хода жидкости через кривую АВ Так как cos Qds = dx; sinQds = dy,
то, используя (6.35), получим dQ = (dtyldx)dx + (dty/dy)dy = dty. Откуда
e=f#=^-^- (б.зб)
A
Таким образом, расход равен разности значений функций тока
в точках В и А и не зависит от формы кривой АВ. Из выражения
для вихря в плоском движении coz= 1/2 [(dv/dx) — (ди/ду)] с учетом
(6.35) будем иметь
д2^/дх2 + д2^/ду2 = -2сог, (6.37)
откуда в случае потенциального движения
д2у\!/дх2 + д2у\г/ду2 = 0. (6.38)
Следовательно, функция тока в потенциальном движении
удовлетворяет уравнению Лапласа и является гармонической функцией.
6.2.2. Комплексный потенциал и комплексная скорость
Установим связь между потенциалом скорости и функцией
тока. Используя связь потенциала скорости и функции тока с
компонентами скорости в плоском течении и = д(р/дх; v = dy/dy; и = д^/ду;
v = — dty/дх, получим
д(р/дх = ду\г/ду, д<р/ду = - д^/дх. (6.39)
Соотношения (6.39) называются условиями Коши — Римана. Они
показывают, что каждая кривая ср = const пересекается под прямым
углом с линией \|/ = const, т. е. они ортогональны (рис. 6.8).
Функции ф и \|/ называются сопряженными. Условия Коши —
Римана позволяют выразить одну из сопряженных функций через
другую.
Как известно, условия Коши — Римана (6.39) являются условиями
существования аналитической функции W(z) комплексного переменного
z = x + iy, определяемой соотношением
W(z) = <p-H\|/, i = yf-i. (6.40)
Определяя производную dW/dz, имеем
dW/dz = ду/дх + idty/dx = д^/ду - id<p/dy. (6.41)
Откуда следует, что производная dW/dz тесно связана со скоростью
течения жидкости, а именно
V=dW/dz = u-iv. (6.42)
112

Рис. 6.8. Линии тока \|/ = const и линии равного
потенциала ф = const
const
Выражение V—u — iv> называется комплексной сопряженной скоростью,
а сама функция W(z)—комплексным потенциалом или
характеристической функцией течения (выражение V=u + iv называется комплексной
скоростью). Модуль скорости определяется соотношением
V\=y/u2 + v2 = \dW/dz\.
(6.43)
Если (pfc и v|/fc (fc=l, 2, ..., п)—соответственно потенциалы скорости
и функции тока отдельных потоков, то при их наложении потенциал
скорости и функция тока сложного течения имеют вид
Ф= Z Ф*; Ф = Z ^
(6.44)
Умножая второе соотношение из (6.44) на * = ■>/— 1 и складывая
с первым, найдем комплексный потенциал сложного течения:
fc=l
(6.45)
Откуда видно, что при наложении потенциальных потоков их
характеристические функции складываются алгебраически.
Очень часто при обтекании плоских тел требуется вычислить
нормальную V„ и касательную VT составляющие скорости в точках
некоторой линии, например АВ (рис. 6.9).
Нетрудно показать, что проекции вектора скорости на направления
касательной и нормали можно определить по формулам
"'-«•(Sy
.мф*
(6.46)
где т — угол между касательной к линии АВ и осью Ох (рис. 6.9).
В том случае, когда линия АВ является линией тока или твердой
стенкой, нормальная составляющая скорости равна нулю, а
касательная является действительной величиной. Рассмотрим интеграл
— dz, так как dz = dseix9 то
dz
— dz=[(VT + iVn)ds, откуда
dz L
—-dz = T + iQ,
dz
(6.47)
113

д Рис. 6.9. Нормальная и тангенциальная составляющие
скорости:
Т—вектор касательной к линии в точке С; п — вектор нормали
О X
где Г—циркуляция скорости; Q — объемный расход жидкости через
контур, по которому ведется интегрирование.
6.2.3. Связь плоской гидродинамической задачи
с теорией функций комплексного переменного
Соотношение W(z) = (p + ity показывает, что тот или иной
выбор аналитической функции W{z) дает определенную картину линий
тока \|/ = const и линий равного потенциала ф = const. Иными словами,
выбор W устанавливает определенную кинематическую картину
плоского течения. Поэтому задача об определении поля скоростей
в плоском течении несжимаемой среды сводится к нахождению
функции W при соответствующих граничных условиях. Как известно,
при обтекании тела в бесконечно удаленной точке поток невозмущен,
поэтому на бесконечности
= uo,-ivo0. • (6.48)
Контур тела является линией тока, на которой функция тока \|/ = const.
Постоянную можно принять равной нулю, тогда на контуре должно
выполняться соотношение
lmW(z) = 0. (6.49)
В свою очередь, некоторые важнейшие свойства аналитических функций
имеют гидродинамическое истолкование.
6.2.4. Примеры комплексных потенциалов
(простейшие плоские потенциальные потоки)
1. Рассмотрим характеристическую функцию течения W(z) =
= az, где а>0—действительная величина, и попытаемся установить,
какое течение она описывает. Для этой цели необходимо определить
скорости и найти линии тока. Дифференцируя по z, имеем dW\dz —
= u — iv = a. Откуда и = а, v = 0. Разделяя действительную и мнимую
части функции W, получим
Ф = ах; y\f = ay.
Приравнивая функцию тока к постоянной величине, находим уравнение
линий тока у = const. Отсюда следует, что линии тока — прямые,
параллельные оси Ох. Таким образом, функция W=az является
комплексным потенциалом прямолинейного равномерного течения со
скоростью V=a, направленной вдоль действительной оси Ох (рис. 6.10).
dW\
~cb\
114

УА
п дыль 1 an i ^Jir>ti£>ic Duminnm. i±u лакал
г1'9, где r = N/x2-f v2; 0 = arctg(^/x), на-
:м: ф + /\|/ = дгие''л® = яг" (cos «0 + * sin «0),
-^
ip=const
V=a l
]>^<
canst
-4-
I
Рис. 6.10. Линии тока \J/ = const
и линии равного потенциала
Ф = const равномерного
прямолинейного потока
В общем случае функция W—(a + ib)z,
где а и Ъ—действительные величины,
является комплексным потенциалом
прямолинейного течения со скоростью,
направленной под углом к действительной оси Ох.
2. Рассмотрим функцию W=azn, где
а и п действительные величины. Полагая
z = re
ходим
откуда (p = #rncos(«0), \|/ = ^rnsin(«0). При
равнивая v|/ = const = С, получаем уравнение
линий тока (в полярной системе координат)
r = [C/sin(/i9)]1/B.
Так как на линии тока нормальная
составляющая вектора скорости в любой ее точке Vn = 0, то, если
показатель степени п > 1, рассматриваемая функция W описывает
течение внутри угла, меньшего п и имеющего вершину в начале
координат (рис. 6.11, а). Если же и<1, то эта функция описывает
течение около угла, большего п (рис. 6.11, б).
Найдем модуль скорости в угловой точке (при г->0). Так как
в полярной системе координат Vr = -^-, ^ = ~^?' то К = anr"'1 cos (nQ),
VB= —anrn~ 1sin(n 0), | У\ = у/У?+Ув =anrn~1. Поэтому при n>\ в
угловой точке (r = 0) |F| = 0, т.е. при обтекании угла, меньшего тс,
потоком невязкой несжимаемой среды скорость в вершине угла
конечна и равна нулю. Вообще при пересечении двух линий тока
скорость в точке их пересечения обращается в нуль.
При п<\ модуль скорости невязкой несжимаемой среды в вершине
угла обращается в бесконечность. Физически это невозможно, так
как согласно интегралу Бернулли давление р в этой точке будет
отрицательным (/?-» —оо). Поэтому в действительности при обтекании
угла, большего п, высокоскоростной поток должен отрываться от
вершины угла. В жидкости будет формироваться вихревая поверхность
(рис. 6.11, в).
3. Рассмотрим функцию W=a\nz9 где а>0 и величина
действительная. Полагая z = reie, находим:
Ф = я1пг; \|/ = я0.
*) Ю 6)
Рис. 6.11. Линии тока при обтекании угла, меньшего и большего п
115

t/j=C0nst
(p=canst
Рис. 6.12. Линии тока (v|/ = const) и линии
равного потенциала (ф = const) плоского
источника
(p=const
tp=CO/7st
Рис. 6.13. Линии тока (\|/ = const) и линии
равного потенциала (ф = const) плоского
вихря
Приравнивая функцию тока к постоянной величине, получим
9 = const. Откуда следует, что линии тока — прямые, выходящие из
начала координат (рис. 6.12). Потенциал скорости ср = я1пг, и, если
a = Q/(2n), как было ранее установлено, ф—потенциал плоского
точечного источника. Поэтому функция
W(z) = ±-\nz
(6.50)
— комплексный потенциал плоского источника. Если я<0, то
жидкость наоборот стекается вдоль прямых в начало координат
и мы имеем сток. Из условия dW\dz — a\z следует, что поле
скоростей, описываемое характеристической функцией течения W(z) =
= a\nz, непрерывно и конечно во всех точках плоскости течения
за исключением отдельной изолированной точки z = 0 (начала
координат), являющейся особой логарифмической точкой для W{z)
и простым полюсом для скорости V.
Если источник расположен в некоторой точке а^ плоскости z,
то W(z) = ^-\n(z-a1).
4. Рассмотрим функцию W(z) = —.lnz, где А—действительная
величина. Полагая z = re'e, находим:
\\f = (-A/2n)\nr; y = (A/2n)Q.
Уравнением линий тока является г = const. Откуда следует, что линии
тока—концентрические окружности с центром в начале координат
(рис. 6.13).
Поле скоростей непрерывно и конечно, за исключением точки
z = 0, где скорость будет бесконечно велика. Такое течение называется
циркуляционным, а точка z = 0 — вихревой точкой (или точечным
вихрем).
Определим циркуляцию скорости по окружности радиусом г:
r + iQ = Q)^dz = —-2ni = A.
J dz 2ni
Следовательно, постоянная А имеет смысл циркуляции скорости
и называется напряженностью (интенсивностью) вихревой точки. Если
116

точечный вихрь расположен в точке z = a1
плоскости z, то его комплексный потенциал
W(z) = ^\n(z-ai).
(6.51)
ip=const
5. Рассмотрим течение, которое
получается совмещением источника и стока
при условии, что предел произведения их
интенсивности на расстояние между ними
равен некоторой постоянной величине, на- ifj=catrst
зываемой моментом диполя.
Пусть в точке Л (О, —h) расположен
сток интенсивности —Q, а в точке
В (О, И) — источник той же интенсивности.
Величина h — малая. Тогда комплексный потенциал сложного течения
Рис. 6.14. Линии тока (\|/ = const)
и линии равного потенциала
(ф = const) плоского диполя
^(z) = £ln(z-A)-£ln(z + A), или FT(z) = £|":
■n|.-i)-h,(.+i
Так как h/z — величина малая, то, разлагая логарифмы в ряд, получим
; + ...-1_(*)-1(*У-..."1 откуда W(z) =
*(z)=g[l.
z 2\\z
_Q2\h\
2л z
(1+...), где члены высшего порядка малости в скобках
опущены. Переходя к пределу, и считая, что lim(2Q-|A|) = M, получим
Прямая, соединяющая сток с источником, называется осью диполя.
Положительным направлением момента диполя считается направление
от стока к источнику. Выделяя в последнем выражении действительную
и мнимую части, находим:
<р=--
Мх
* = ;
My
2п(х2+у2У Y 2к(х2+у2У
откуда, приравнивая \|/ = const, получаем х2+у2 — Су = 0. Последнее
соотношение является уравнением линий тока — окружностей с
центрами на оси 0^ (рис. 6.14). Следовательно, простой полюс z = 0
комплексного потенциала является диполем, помещенным в начале
координат.
Если диполь расположен в точке ях плоскости z, а вектор его
момента составляет с действительной осью угол 5, то
W(z)=-
Mtli
2n(z — ai)
(6.52)
С помощью рассмотренных выше простейших потенциальных
течений и метода наложения потенциальных потоков можно получить
различные сложные потенциальные потоки, представляющие
практический интерес. В качестве примера построения такого сложного
течения рассмотрим случай обтекания окружности потоком
несжимаемой среды.
117

6.2.5. Обтекание окружности плоскопараллельным потоком
несжимаемой среды
Выше уже отмечалось, что при наложении
плоскопараллельного потока на поток от плоского диполя среди линий тока
сложного течения имеется окружность. Вернемся к этой задаче
и рассмотрим течение, получающееся в результате наложения двух
потоков: поступательного, направленного под углом ос к
действительной оси, и потока от диполя с моментом те15, помещенного в начале
координат. Характеристическая функция течения суммарного потока
запишется в виде
W(z)=VQOe-i«z-'^, (6.53)
где т—модуль момента диполя; z = reiB. Выберем те1'6 так, чтобы
среди линий тока была окружность с радиусом R и центром в
начале координат. На окружности нормальная составляющая скорости
должна равняться нулю. Найдем нормальную составляющую скорости
Vn. Так как dW/dz=Vo0e~ia+mei*/z2, то, пользуясь выражениями
(6.46) и подставляя в них соотношение для dW/dz, в точках окружности
радиуса R имеем
Ки = 1т
i(Kee'(e-->+£e'(e-e>
откуда, учитывая, что это соотношение справедливо для любой точки
окружности (любого значения 9), находим после несложных
преобразований: m—V^R2 (так как т>0).
Из полученного результата следует, что среди линий тока
рассматриваемого течения окружность будет только в том случае,
когда момент диполя направлен навстречу скорости невозмущенного
потока и по модулю гЗавен V^R2.
Окончательно, характеристическая функция течения примет вид
W(z)= ^-'«(z+i? 2e2l'74 (6.54)
Определяя в точках окружности (при r = i?e,e) dW/dz и VTi получим
для тангенциальной составляющей скорости
^=-2^00^(0-^. (6.55)
Знак «минус» показывает, что направление течения жидкости будет
противоположным направлению положительного отсчета углов 0.
Положение критических точек, в которых скорость VT = 0, определится
из соотношения sin(0 — ос) = 0, откуда 0iKp = a; 02кр = я + (х.
На рис. 6.15 представлена картина линий тока в рассматриваемом
случае. Подсчитаем циркуляцию скорости Г. На основании уравнения
(6.47) Г = 0. Поэтому рассмотренное течение называется
бесциркуляционным обтеканием окружности.
При плоском обтекании тела сплошной средой область,
занятая ею, является двусвязной. Поэтому, как отмечалось ранее,
общее решение уравнения Лапласа для потенциала скорости
будет неоднозначной функцией. В рассмотренном выше частном
случае обтекания окружности Г = 0 и потенциал скорости будет
однозначным. Рассмотрим решение задачи об обтекании окруж-
118

Рис. 6.15. Линии тока при обтекании
окружности безциркуляционным потоком
Рис. 6.16. Линии тока при обтекании
окружности циркуляционным потоком
ности с другим набором функций, входящих в комплексный
потенциал W{z).
Вспомним, что если в начале координат имеется точечный вихрь
с интенсивностью Г#0, то линиями тока будут окружности с центром
в начале координат. Очевидно, если наложить на поток, определяемый
предыдущим решением, поток от точечного вихря, находящегося
в начале координат, то среди линий тока результирующего течения
обязательно будет искомая окружность. Составим характеристическую
функцию
W{z)=Vne-**(
z-\ +—lnz.
z ) 2т
(6.56)
Тогда —=V00e
dz
1-
R2e2
■А. Следовательно,
А есть циркуляция Г. Обтекание окружности в случае, когда I"V0,
называется циркуляционным. Потенциал скорости
Ф=Кю(г+^)со8(в-а)+£е.
Из приведенного выражения для потенциала скорости видно, что он
неоднозначен. Критические точки на окружности определяются из
dw\ л
= 0, откуда
условия
dz
z = Re«
in(0-a) =
sin
InV^R
(6.57)
Критические точки будут расположены на окружности при условии,
что Г/(4тсК00^]<1.
На рис. 6.16 дана картина линий тока в случае циркуляционного
обтекания окружности. Сравнение с рис. 6.15 показывает, что в
рассмотренном случае течение не будет симметричным относительно
прямой, параллельной вектору скорости и проходящей через центр
окружности, но симметрия сохраняется относительно прямой,
перпендикулярной к вектору скорости Кда. Совершенно очевидно, что
силовые взаимодействия среды и обтекаемого тела при безцир-
куляционном и циркуляционном обтеканиях окружности будут
различными.
119

6.2.6. Сила и момент, действующие на цилиндр
произвольной формы. Формулы Жуковского — Чаплыгина
Получим формулы для главного вектора и главного момента
сил давления, действующих на неподвижный контур произвольной
формы при безотрывном обтекании его установившимся
потенциальным потоком несжимаемой среды.
Пусть в плоскости комплексного переменного z обтекается
замкнутый контур L произвольной формы (рис. 6.17). Пусть
характеристическая функция течения будет W{z). Определим проекции силы
pds на оси координат:
dX= —pds cos у; dY=pds sin у.
Так как у = 0 + я/2, то dX= — pdssm 0; dY=pds cos 0, или dX=—pdy,
dY=pdx. Умножая dX на i=y/ — 1 и складывая с dY, получим
d(Y+iX)=pdz,
где dz = dx — idy.
Используя уравнение Бернулли в точках контура L, имеем
p = C-pV2T/2,
где VT—скорость, направленная по касательной к контуру.
Следовательно,
Y+iX=§(C-pVl/2)dz.
L
Интеграл от первого слагаемого равен нулю, поэтому
Y+iX=-^&)V$dz. (6.58)
Это выражение справедливо при любом безотрывном движении
идеальной среды. При потенциальном течении имеет место
соотношение
VT = [(dW/dz)e*]L = 0,
так как на контуре L V* = Q. Кроме того, поскольку dz = dseiQ,
a dz = dse~lQ, то dz = dze~'lie. Подставляя полученные выражения
в формулу для сил, находим:
Рис. 6.17. Определение сил и
момента, действующих на
произвольный замкнутый контур
120
У+ИГ=-|Ф
№
(6.59)
Выражение (6.59) называется первой
формулой Жуковского—Чаплыгина.
Как известно из механики, действие
произвольной системы сил эквивалентно
действию их главного вектора и
главного момента. Главный вектор сил
определяется формулой (6.59). Определим
главный момент распределенных по
контуру L сил давления относительно
начала координат.

По определению момента силы, имеем
dM0 = (xdY-ydX)£.
Учитывая выражение для dX и dY, имеем dM0=p(xdx+ydy). Из
выражения zdz = (х + iy) (dx — idy) = (xdx+>>ф>) + i (ydx — xdy) находим:
xdx+ydy = Re (zdz).
Отсюда ctM0 = Re(pzdz). Пользуясь формулой Бернулли и
записывая выражение для М0 сразу для потенциального течения, получим
M0=-Rq?-(\)(—Yzdz.
2
\dz J
(6.60)
Полученное соотношение называется второй формулой Жуковского —
Чаплыгина и позволяет определить главный момент относительно
начала координат.
6.2.7. Примеры определения силы и момента,
действующих на обтекаемое тело
1. Ранее было рассмотрено обтекание круглого цилиндра
поступательным циркуляционным потоком. Для этого случая
характеристическая функция течения имеет вид (вектор скорости
набегающего потока направлен вдоль оси Ох, ос = 0)
Отсюда находим:
Fr(z)-r„(z+£)-JLlnz.
^=К.(1-*П+£ и (^Y^Vid-lK+K)*
dz \ z2 J 2nz \ dz J \ z2 z
-1 2/ГТ°°- 2UVmR2
2nz 2nz3 4n2z2
Подставляя последнее выражение в (6.59) и пользуясь теорией вычетов
аналитических функций, получим
г+аг=-5^-27С1=ргкю.
z In
Откуда
Y^pTV^ Х=0. (6.61)
Из формул (6.61) видно, что силы, действующие на окружность,
зависят от циркуляции скорости по контуру, охватывающему
обтекаемую окружность. Если Г = 0 (безциркуляционное обтекание, линии
тока симметричны относительно плоскости, проходящей через
критические точки), силы воздействия среды на окружность равны нулю.
В этом случае мы имеем хорошо известный парадокс Д'Аламбера.
Если rVO, парадокс Д'Аламбера не имеет места. Согласно формуле
(6.61), со стороны среды на тело действует сила, перпендикулярная
вектору скорости набегающего потока и называемая подъемной силой.
Формула (6.61) для подъемной силы Y называется формулой
Жуковского и получена здесь для частного случая — обтекания окружности.
Составляющая сил давления, параллельная вектору скорости V^ при
любых Г равна нулю, т. е. тело при установившемся движении
в идеальной среде не испытывает сопротивления, хотя может иметь
подъемную силу. Наконец, определяя главный момент, получим Мо = 0.
121

2. Пусть в результате наложения потоков: а) равномерного
прямолинейного со скоростью Кда; б) от п дискретных источников
интенсивностью qk\ в) от т дискретных диполей с моментами Mkei6k;
г) от р дискретных вихрей с циркуляциями Гк, расположенных
в некоторой ограниченной области, среди линий тока получается
замкнутый контур L. Требуется определить силу и момент,
действующие на этот контур. Пусть источники, интенсивность которых
п
подчиняется условию £ #* = 0 (так как контур замкнут), расположены
внутри контура в точках aki диполи — в точках Ьк, вихри — в точках
ск. Тогда характеристическая функция течения, обусловленная
указанным выше наложением потоков, принимает вид
W(z)=V„z+t ^\n{z-ak)-
Дифференцируя W(z) по z, находим комплексную сопряженную
скорость, а затем, пользуясь соотношениями (6.56) и (6.60), силы
и момент, действующие на контур:
M0=-pK00Re
-рК00Г=-рКаэ X Гк;
к=1
Р / п т \
fc=l \k=l ft=l /.
Lfc=l
Из полученных выражений следует, что, во-первых, сила,
действующая на замкнутый контур, зависит только от интенсивности
системы вихрей, расположенных внутри контура, и не зависит от
источников и диполей ^и, во-вторых, главный момент зависит от
интенсивности вихрей, источников и моментов диполей и их
расположения внутри контура профиля.
В предыдущем примере все особенности были расположены
внутри некоторой области, ограниченной замкнутым контуром L.
Теперь предположим, что в области, занятой движущейся средой,
расположены источники, стоки и вихри заданных интенсивностей,
причем часть из них находится внутри замкнутого контура,
образованного линией тока, другая часть вне контура. В этом случае
непосредственное применение формул Чаплыгина—Жуковского
невозможно, поэтому воспользуемся для определения главного вектора
и главного момента аэродинамических сил формулами (6.33) и (6.34),
которые в случае плоского движения запишутся в форме
*=ptf(P-^)<Uv»ta-pJJ[(P-P»)x
£ £
xrot 9]rfE-pJf К div Й/о + рЯ[Гв xrot V]da;
a a
Ai0 = ptf[rx(V-Va,)]divPdZ-ptf[rx[{V-V00)xTOtP]]crL-
£ £
-pfl[rxFe]divP</a + pft[rx[P„xrotP]]</a.
О о
122

Учитывая, что rotF=2co£ и V^^u^+Jv^ (т.е., что вектор
невозмущенного потока направлен под некоторым углом к оси Ох),
а сумма интенсивностей источников в области а равна нулю,
обозначая вектор^ скорости, индуцированной системой особенностей
в данной точке, W= V— V^ и вводя для плоского течения W= Wx — iWy
(Wx, Wy — проекции вектора скорости W на оси декартовой системы
координат), получим
Ry + iRx = /р Я J^div 9dL + р \\ 2со WdL - рКот Г, (6.62)
i i
Mo=-pImJJz^divrflE + pReJj2a)z^/Z +
i х
+ pImJJzF00divPrfa--pReJj2©zK00rfa, (6.63)
a a
где Г—циркуляция вектора скорости по контуру L; со — алгебраическое
значение завихренности.
Последнее слагаемое в выражении (6.62) — подъемная сила по
Жуковскому. Формулы (6.62) и (6.63) в случае плоского движения
удобны для определения сил взаимного влияния отдельных частей
летательного аппарата.
6.2.8. Расчет обтекания плоских контуров
методом конформных отображений
Теория аналитических функций дает возможность решить
задачу об обтекании произвольного плоского контура потоком
несжимаемой среды с помощью конформного отображения внешней
области обтекаемого контура на внешнюю область окружности.
Предположим, что в плоскости z комплексного переменного
окружность радиусом R обтекается циркуляционным потоком
несжимаемой среды со скоростью, равной V^0 в бесконечности и направленной
под углом а к действительной оси Ох (рис. 6.18). Характеристическая
функция такого течения определяется соотношением (6.56), где А= — Г.
Пусть в плоскости С, имеется контур С (рис. 6.18), а функция
C=/(z) (6.64)
реализует конформное отображение внешности круга на внешность
контура С так, что бесконечно удаленной точке плоскости z
соответствует бесконечно удаленная точка плоскости £ = £ + гп.
Если мы из уравнения (6.64) определим z и подставим в формулу
(6.56), то получим характеристическую функцию обтекания контура С.
Практическое осуществление этой
операции представляет в некоторых
случаях непреодолимые трудности. Между
тем поле скоростей в плоскости
обтекаемого контура С можно
определить, зная только комплексный
потенциал обтекания окружности и
функцию, реализующую конформное ото- „ ,, D ^ .
с ~г Рис. 6.18. Отображение заданного
бражение внешней области окружности в плоскости с про|иля на окружность
на внешнюю область контура С. в плоскости z
123

Действительно, так как
^-|КЛ = -, н
dW dWdz dW 1
ТО
«;-&«,-* rw (6-65)
y^-iV^m (6-66)
откуда видно, что поле скоростей при обтекании контура С
определяется функциями W(z) и £=/(z). Из (6.66) следует, что модуль
скорости при обтекании контура С
WcMVol^, (6.67)
где \V0\ — модуль скорости при обтекании окружности, а аргумент
скорости
arg Fc = arg H0-arg/'(z). (6.68)
В бесконечно удаленных точках
l^oclH^oool^-vj. (6.69)
Всегда можно выбрать функцию f[z) так, чтобы направление скорости
на бесконечности не изменялось. Это означает, что arg/'(oo) = 0
и ас = ос0. Точно также, если это требуется, мы можем по своему
усмотрению выбрать |/'(оо)|.
Итак, если известна функция, осуществляющая конформное
отображение обтекаемого ^контура на окружность, то поле скоростей
при его обтекании вполне определено. Пользуясь уравнениями (6.47)
и (6.64), нетрудно показать, что циркуляция скорости при конформном
преобразовании сохраняется.
Зная характеристическую функцию течения при обтекании
контура С, можно определить силы и момент, действующие на
контур.
Выражая производные по £ через z согласно формулам
Жуковского — Чаплыгина находим:
Момент относительно начала координат подсчитывается на основании
соотношения
Если отображение области, внешней относительно окружности, на
область, внешнюю относительно заданного контура, требует
отображений на ряд вспомогательных областей, например плоскости
z на zx с помощью функции zx =/t (z), плоскости z1 на плос-
124

кость z2 с помощью zx—f1[z1) и т. д. и zn на С, с помощью £ =
=/n(z„), то
dW_dW dz dz1 dzn_
§ 6.3. ПОСТУЛАТ ЖУКОВСКОГО—ЧАПЛЫГИНА
Несмотря на то, что при решении задачи об обтекании
плоского контура достаточно знать лишь характеристическую функцию
течения при обтекании окружности и преобразующую функцию £=/(z),
эта задача до конца пока нами не решена. Дело в том, что мы
не знаем циркуляцию Г, входящую в соотношение (6.71) в потенциале
W[z) (см., например, (6.56)). Как было показано в задаче об обтекании
окружности, значения циркуляции Г и скорости V^ определяют
положение критических точек на окружности, т. е. каждым значениям
Г и Кю соответствует своя картина течения. Таким образом, задача
об обтекании плоского контура при заданной скорости Кда только
тогда будет иметь единственное решение, когда будет определена
циркуляция Г. Если контур С имеет угловую точку, то циркуляцию
Г удается определить однозначным образом, наложив дополнительные
условия на скорость в этой точке. В случае, когда контур не имеет
угловой точки (например, овал) должна быть задана либо циркуляция
Г, либо положение критической точки.
В зависимости от значения циркуляции Г возможны три
принципиально различных случая обтекания контура с угловой точкой,
показанных на рис. 6.19. Если точка схода струи жидкости находится
либо на верхней (рис. 6.19, а), либо на нижней (рис. 6.19, в) частях
контура, в окрестности его угловой точки локально мы имеем
обтекание угла, большего п. Как было показано ранее (см. п. 6.2.4),
в этом случае при безотрывном обтекании контура скорость в угловой
точке стремится к бесконечности, что физически не имеет смысла.
Рис. 6.19. Схема возможного безотрыв- Рис. 6.20. Окрестности угловой точки
ного обтекания контура с угловой точкой профиля и точки, в которую она
перепотоком невязкой среды ходит на окружности
125

Только при совпадении точки схода струй с угловой точкой контура
скорость будет либо конечной величиной, либо будет обращаться
в нуль. Последнее имеет место тогда, когда угол заострения хвостика
контура является конечным и в окрестности угловой точки мы
локально имеем случай обтекания угла, меньшего тс. Поэтому в конце
1909 г. С. А. Чаплыгин выдвинул в качестве наблюдаемого в
эксперименте факта постулат: среди бесконечного числа теоретически
возможных плавных обтеканий профиля с угловой точкой на задней
кромке (рис. 6.19) в действительности осуществляется обтекание
с конечной скоростью в этой точке. В этом случае точка схода
струй с профиля совпадает с его угловой точкой (рис. 6.19, б). На
основании этого постулата определяется циркуляция скорости Г.
Найдем соотношение для определения циркуляции скорости при
обтекании контура с угловой точкой. Пусть точке А контура
С соответствует на окружности радиуса R в плоскости z точка А'
(рис. 6.20) с координатой
z0 = Re-™o.
Точки А и А' являются особыми точками конформного
преобразования, так как в них нарушается основное свойство этого
преобразования—сохранение углов между касательными к преобразуемым
контурам. Из рис. 6.20 видно, что внешний угол между касательными
в точке А равен 2я —5, где 8—угол заострения хвостика профиля,
а внешний угол в точке А' равен п. С точностью до малых высшего
порядка малости преобразование контура С вблизи точки А на
окружность вблизи точки А' дается соотношением
C-^ = M(z-z0)<2"-8»",»)
где М—некоторое действительное число. Дифференцируя £ по z,
находим при С = Сл:
(11Л^]м(г--^)<2*~8,/*,=0- (б-73)
dW dW dL
По правилу дифференцирования сложных функций —=—-—?. Откуда
dz d^ dz
с учетом соотношения (6.73) получаем, что в точке А'
dW/dz = 0. (6.74)
Таким образом, угловая точка А некоторого контура С переходит в
критическую точку А' окружности на плоскости z. Поскольку при
известной функции конформного преобразования C=/(z) положение точки
А' известно, циркуляция Г вполне определяется из соотношения (6.74).
В заключение отметим, что функция преобразования £=/(z)
является достаточно простой лишь для ограниченного класса профилей,
называемых теоретическими профилями (например, профили
Жуковского, Чаплыгина). В случае профиля произвольной формы
разработано несколько вычислительных методов, удобных для
практического использования, например метод экстремальных свойств функций,
преобразующих область на круг*.
* А. В. Канторович и В. И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа, 1949.
С. 381—386.
126

§ 6.4. ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ ЖУКОВСКОГО
В качестве примера применения метода конформных
преобразований рассмотрим случай обтекания профиля Жуковского.
Пусть в плоскости комплексного переменного z имеется
окружность К радиусом R, центр которой смещен по действительной
оси на расстояние d (рис. 6.21). Проведем окружность К0 радиусом
г0 с центром в начале координат.
Выясним, во что отобразится окружность К на плоскости £, если
С = ;
z + -
1\
(6.75)
Преобразование (6.75) называется преобразованием Жуковского.
Полагая z = reiB, £ = £-Wrj, находим:
t=\(r+f)cosQ; n=l(r-^ bin 0.
(6.76)
При выбранном преобразовании точка А переходит в точку А',
В в В' и С в С. Окружность радиусом г0 преобразуется в
отрезок А'В'. Так как окружность К расположена симметрично
относительно действительной оси, то она отображается в
симметричную относительно оси 0£ замкнутую кривую. Вследствие того,
что окружности К0 и К в точке А имеют общую касательную, на
плоскости £ замкнутый контур также должен иметь с отрезком
А'В' общую касательную, иначе говоря, точка А' является точкой
возврата. Полученный контур называется симметричным профилем
Жуковского.
Определим уравнения контура профиля. Исключим из уравнений
(6.76) г. Из геометрических соображений (рис. 6.21), учитывая, что
г всегда больше нуля, и пренебрегая d2/rl, имеем
r = ro + d(l+cos0).
Подставляя соотношение (6.77) в (6.76), получим
(6.77).
£=-cos0; r|=d(l+cos 9)sin9.
(6.78)
Соотношения (6.78) и являются уравнениями контура профиля
Жуковского в параметрической форме. Максимальное значение
г] определим из уравнения dr\/dQ = Oi тогда cos 0 +cos 20 = 0. Откуда
Рис. 6.21. Профиль Жуковского в физической и вспомогательной плоскостях
127

з /з
0 = 7i/3, поэтому Лтах = —— d. Следовательно, относительная толщина
профиля
с~~ь TV
где с—толщина; Ъ—хорда профиля. Положение максимальной
толщины определяется соотношением £с = 6/4. Найдем силу и момент,
действующие на профиль Жуковского.
В системе координат с началом в точке 0Ь характеристическая
функция обтекания окружности К записывается в виде
^(zO=-Kcoe'-(z1+^^) + ^lnz1. (6.79)
Значение циркуляции определим из условия равенства нулю скорости
в точке А, тогда
Г = 47^ R sin а. (6.80)
Подставляя выражение (6.79) в формулу Жуковского — Чаплыгина
(6.59) и раскладывая выражение, стоящее под знаком интеграла,
в ряд, получим
Г^грКооГсовос; Х1=2рУ00Гьта. (6.81)
Подставляя в (6.81) выражение для Г, полученное из соотношения
(6.80), находим:
Y1 = SnpV2o0RsmacosaL; X1 = %npV2O0Rsm2a. (6.82)
Подъемная сила профиля Ya = 2pVCX)r = %npV2X)RsmaL. Так как
2Vo0 = UO0, где U <«— скорость невозмущенного потока обтекания
профиля, то Ya — 2n———-IRsmvi. Поскольку jR = r0 + d, 6 = 2г0, то
■>¥Ы
Ya = 2n ^ °° ( 1 + 2 - )Ъ sin а, а коэффициент подъемной силы суа =
= Ya/po0U2o0b = 2nl 1+— Jsinoc = 27t(l+0,77c)sina.
Отсюда следует, что с увеличением относительной толщины с = с/Ь
коэффициент подъемной силы суа увеличивается.
Как известно, подъемная сила направлена перпендикулярно
вектору скорости набегающего потока. Для определения линии ее
действия определим по формуле (6.60) момент аэродинамических сил,
действующих на симметричный профиль Жуковского. Проводя
вычисления и учитывая, что координата центра давления хд (точки
приложения равнодействующей аэродинамических сил) может быть
найдена по формуле
хд = хл/Ь=-т2/су, (6.83)
где т2 — коэффициент момента тангажа; су — коэффициент
аэродинамической нормальной силы профиля, найдем, что центр
давления находится на расстоянии, равном 1/4 £, от носка
профиля.
128

§ 6.5. МЕТОД ОТРАЖЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ ТЕЧЕНИЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
При расчете плоских и пространственных потенциальных
течений несжимаемой среды большую роль играет метод
отражения, используемый при решении задач об обтекании тел вблизи
границы среды и задач, связанных с аэродинамической
интерференцией частей летательного аппарата. Рассмотрим коротко суть
указанного метода.
Пусть имеются два источника одинаковой интенсивности Q,
расположенные на оси Оу и находящиеся на расстоянии 2/i
один от другого (рис. 6.22). Определим поле скоростей, индуцируемое
этими источниками. Так как суммарный потенциал в данном
случае будет
ф=-#
+ -
4п \sjx2 + (y-h)2 + z2 Jx2 + {y + h)2 + z
4 Л1
All \ Г! Г2
то проекции скорости на оси выбранной системы координат
определятся из соотношений
4п\г\ А)' " 4к
y—h y+h
П
+ -
Qz ( 1 , 1
(6.84)
Найдем плоскости, для которых нормальные составляющие
скорости к этим плоскостям равны нулю. Из соотношений (6.84) видно,
что такими плоскостями являются координатные плоскости; при х = 0
и = 0 и, следовательно, вектор скорости расположен в плоскости Ozy;
при ^ = 0 v = 0 — в плоскости Oxz; при z = 0 w = 0 — в плоскости Оху.
Кроме того, в плоскости, проходящей через источники, нормальная
составляющая скорости будет равна нулю (см. рис. 6.22). В самом
деле, из рис. 6.22 находим:
Vn = и cos \|/ — w sin v|/ = и (z / г) — w (х / г).
Подставляя значения и и w, получим Vn = 0. Радиальная составляющая
скорости в точке А будет
Vr = w cos \|/ + и sin \|/ = w (z / г) + и (х / г).
Подставляя значения и и w и имея в виду, что х2+у2 = г2, находим:
+ [r2 + (y + h)2-]-3'2}.
Наибольший интерес представляет
плоскость у = 0, в которой
Ох
и = —
w = -
2я \Jjc2 + z2 + A2)3'2/ 2тг \{x2 + z2 + h2yi2)'
(6.85)
Эту плоскость можно принять за твердую
стенку и рассматривать течение от
источника при наличии твердой стенки. Из
полученного можно сделать общий вывод:
1
h
1
/
h
А
/г
У1
а
i
1 о
\ /
!
Q
1
> \
э^
\* ЛЧ
X
1 и
^ V
Рис. 6.22. Отражение источника
от плоской стенки
129

чтобы рассмотреть течение от источника при наличии твердой стенки,
нужно рассматривать течение от двух источников равной
интенсивности, зеркально отображенных относительно плоскости.
Точно также можно показать, что течение от вихря вблизи
плоской твердой стенки можно получить, зеркально отображая вихрь
относительно этой плоскости и изменяя знак его циркуляции на
обратный.
Если вблизи твердой стенки расположен диполь, то, как и ранее,
течение можно изучить, используя зеркальное отражение диполя.
Поскольку диполь—соединение в одной точке источника и стока,
то необходимо отображать их одновременно. В этом случае вектор
момента диполя меняет свое направление. Потенциал скорости
в произвольной точке пространства в рассматриваемом случае
определяется из соотношения
(M.-FQ (М2-г2)
ф 4nrl 4кг\
Здесь М1 и М2 — векторы моментов исходного и отраженного диполей
соответственно; гх и г2—радиусы-векторы, соединяющие указанные
диполи с точкой, в которой определяется потенциал скорости.
Если течение плоское, комплексный потенциал имеет вид
V ' 2n(z-ih) 2n(z + ihY
где h — расстояние от диполя до твердой стенки. Помимо отображения
относительно плоскости можно рассматривать отображение
относительно бесконечного кругового цилиндра (окружности). Такие
отображения мы проанализируем на примере плоских течений.
Прежде всего докажем общую теорему об отображении
относительно окружности, рассмотрев изменение характеристической функции
течения при внесении в поток с комплексным потенциалом W0
окружности радиусом R. Это равносильно тому, что на заданный поток
с потенциалом W0(z) необходимо так наложить другой поток, чтобы
среди линий тока результирующего течения была окружность радиусом
R. Пусть комплексный потенциал потока, накладываемого на исходный
поток, будет W1(z), тогда для результирующего течения
^(z)=^o(z)+^1(z) = 9o + 91 + /(x|/o + ^i).
На контуре окружности значение функции тока \|/ = \|г 0 —I- v|/ ± должно
быть постоянным. Эту постоянную всегда можно принять равной
нулю. Используя данное условие находим, что на окружности
W0(z)+W1(z) = RcW(z).
Полученное условие _ легко выполняется, если положить, что на
окружности W1(z)= W0 (z).
Следовательно, при отображении относительно цилиндра
характеристическая функция результирующего течения определяется из
соотношения
W(z)=W0(z)+W0(z).
Так как на цилиндре z = R2/z, то окончательно
W(z)=W0{z)+W0(R2/z). (6.86)
130

Рассмотрим несколько примеров
применения доказанной теоремы.
1. Пусть в равномерный
плоскопараллельный поток с потенциалом W0 — az помещена
окружность радиусом R. Тогда комплексный
потенциал результирующего течения
определится из соотношения
W(z) = az + aR2 / z = a(z + R2 / z).
Нетрудно видеть, что мы получили случай
бесциркуляционного обтекания окружности,
рассмотренный ранее.
2. Пусть в плоскости комплексного переменного z в точке а на
действительной оси имеется вихрь интенсивности Г и окружность
радиусом R<a с центром в начале координат (рис. 6.23). Тогда
*М*) = -^1п(2-в).
Характеристическую функцию течения обтекания окружности потоком
вихря получим в виде
rR2
$щ-е.
Рис. 6.23. Отражение
вихря относительно
окружности
lV(z) = —bi(z-a)-—]n[
Так как
— а-
а к
z Z~
R^
а
то W(z) =—ln(z — а) ln( z—— )+—lnz ln( — а).
v ' 2ni v ; 2я1 \ а J 2ni 2ni v ;
Отбрасывая постоянную величину, находим комплексный потенциал
обтекания цилиндра потоком вихря:
W(z)=— кф-я)-— lnfz-— )+— lnz. (6.87)
v ' 2ni v ' 2ni \ a J 2ni
Отсюда заключаем, что рассматриваемое бесциркуляционное течение
эквивалентно течению трех вихрей: заданному в точке я, зеркально
отображенному относительно окружности с противоположной
циркуляцией и вихрю в начале координат с заданной циркуляцией.
Аналогичным образом рассматривается обтекание окружности потоком
от источника, диполя и т. п.
5*
131

ГЛАВА 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСОБЕННОСТЕЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ
ПОТОКОМ НЕВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
Ранее (см. п. 6.1.4) мы видели, что обтекание тела некоторой
формы можно представить как результат наложения прямолинейного
равномерного набегающего потока на поток от системы источников
и стоков или диполей. Если тело имеет сложную форму, подобрать
распределение источников и стоков конечной интенсивности так, чтобы
на поверхности тела удовлетворялось условие непротекания, практически
нельзя. Решить такую задачу можно только с помощью непрерывного
распределения источников и стоков или диполей по объему или, как
будет показано ниже, по поверхности обтекаемого тела.
§ 7.1. ПОТЕНЦИАЛЫ НЕПРЕРЫВНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ИСТОЧНИКОВ, СТОКОВ И ВИХРЕЙ
Предположим, что источники и стоки равномерно
распределены в некоторой области D, ограниченной замкнутой
поверхностью £ (рис. 7.1). Выделим в области D около точки N (£, r\, Q
элементарный объем dx = db, dr\ dt^, тогда интенсивность источников
в этом объеме будет dQ = q (TV) dx, где q (JV)— объемная плотность
\ АО
источников в точке N(£9r\,Q, q(N)= lim —.
Дт-^О £т
Если выбрать точку М (х, у, z) вне области D, то потенциал
скорости от источника в точке N запишется в виде
1 4я г
(7.1)
где r = y/(x-t,)2 + {y-y\)2 + {z-Q2.
Потенциал скорости вне области D от источников, находящихся в
области D, получим, если выражение (7.1) проинтегрируем по всему объему:
Ф(М)=-±
I
(7.2)
или в сокращенной записи
ср(М)=--
q (N) di
(7.3)
Легко показать, что потенциал скорости всюду вне области D
удовлетворяет уравнению Лапласа.
132

Соотношение (7.2) часто называют
объемным или ньютоновым потенциалом.
Если точка М (х, у, z) находится
внутри области D, заполненной непрерывно
распределенными по ней с плотностью
q источниками, потенциал скорости будет
удовлетворять уравнению Пуассона
Aq> = q(x,y, z).
Его решением является функция
'«Ъ,Ч&
Ф(М)=--
У(*-02+(:к-л)2+(*-С)2
Рис. 7.1. Определение поля
скоростей, индуцированного
непрерывно распределенными по
области D источниками
Таким образом, потенциальное течение вне и внутри области D можно
получить, непрерывно распределяя по этой области источники и стоки.
Покажем теперь, что потенциальное течение может быть получено
с помощью распределения источников или диполей не только по
объему, но и по границе области D.
Предположим, что имеется односвязная область D, ограниченная
поверхностью Е. Спрашивается, какие гидродинамические особенности
нужно распределить по поверхности Е, чтобы они создавали внутри
области D потенциальное течение. Для того чтобы ответить на этот
вопрос, воспользуемся известным соотношением из теории
гармонических функций — формулой Грина, согласно которой потенциал скорости
в любой точке М области D будет
Ф(М) =
4ти
г дп
д_ \_
дп г
dL.
(7.4)
Так как на поверхности -— = VN
on г
_cos(n г)
1\ ^п
и УЛ
з» то Т
J дп
Поэтому
Ф("К{]
1 дц>
г дп
аъ-
1
4я
ф cos (п г) jy
(7.5)
> I 2
Подынтегральное выражение первого интеграла, входящего в правую
часть выражения (7.5), умноженное на 1/(4я), представляет собой
источник с интенсивностью д<р/дп. Подынтегральное выражение
второго интеграла, также умноженное на 1/(4я), является диполем с
моментом, равным ф и направленным в направлении нормали п. Отсюда
следует, что потенциальное течение внутри области D можно получить
распределением на поверхности £, ограничивающей эту область,
источников, стоков и диполей.
Формулу (7.5) можно применять и для внешней области при
условии, что потенциал ф имеет в бесконечности порядок 1/г. Тогда
интегралы в выражении (7.5) по бесконечно удаленной поверхности
обращаются в нули.
133

В случае плоского течения выражение для
потенциала в точке М принимает вид
Ф(м)=±|
Ф — (In r) — -5 In г
^ дп v ' дп
ds, (7.6)
Рис. 7.2. Внутренняя (1)
и внешняя (2) части
пространства
где L—контур, ограничивающий область
Е в этом случае. Формулу (7.6) можно
применять и для внешней области при указанных
ранее для нее условиях, т.е., если ф~1/г на
бесконечности.
Таким образом, распределяя по границе
области D источники и стоки и диполи, мы можем осуществить
внутреннее потенциальное течение. Однако в соотношениях (7.5) и (7.6)
(называемых формулами Грина) нам неизвестна связь между
функциями ф и дц>/дп. В точках границы рассматриваемой области мы
знаем только их значения. Поэтому при определении потенциала
в точке М внутри области D мы не можем одновременно задавать
на ее границе источники и диполи. Эту неопределенность задачи
необходимо ликвидировать.
Докажем теперь, что потенциальное движение может быть
получено распределением на границе области или только источников,
или только диполей.
Пусть мы имеем поверхность Е, которая разделяет пространство
на две части — внешнюю и внутреннюю (рис. 7.2). Пусть потенциалы
скорости во внутренней и внешней областях будут соответственно
Фх и ф2, а орты нормалей я? и п\. Тогда на основании формулы
(7.5) имеем для внутренней области
ф,4Д
г drii
(р! COS (г «!
dZ,
(7.7)
а для внешней области —
0 = -
4л
I
1 3ip2 q>2Cos(r л2)
г дп2 г2
</Е.
(7.8)
Так как п\=—П2 = п°\ cos {г п1)= — cos (г «2) = cos (г л), то, складывая
(7.7) и (7.8), получим
4ti JJ г\дп дп J 4тг J J г2 к '
Первый интеграл в соотношении (7.9) представляет собой
потенциал, создаваемый распределением источников, имеющих поверхност-
d<Pi д<р2
ную плотность — ——, а второй — потенциал диполей с моментами,
дп дп
по модулю равными фх — ф2 и направленными по нормали к
поверхности.
134

Так как (р2— произвольная функция, но удовлетворяющая
уравнению Лапласа, то ее выбором можно распорядиться по собственному
усмотрению.
Положим -pL = -pL> но Ф1^Ф2- Тогда, так как нормальная
и тангенциальная составляющие скорости в точках поверхности
Е связаны с потенциалом скорости соотношениями Vn = d(p/dn,
Ут = дц>/дт, то, вследствие того, что Ф1^ф2, -p- = -pL, УП1 = УП2,
от от
а Ут\фУтг, т.е. при переходе через границу области D в случае,
когда по границе области — поверхности Е распределены диполи,
нормальная составляющая скорости сохраняется, а тангенциальная
и потенциал скорости терпят разрыв.
Если же (Pi = (p2, но д(р1/дпФд<р2/дп, то движение обусловлено
распределением источников по границе области. В этом случае терпит
разрыв нормальная составляющая скорости (Ки1#Ки2), а
тангенциальная не изменяется (КГ1 = КГ2). Потенциалы скорости источников,
распределенных на поверхности, иногда называют потенциалом
простого слоя, а диполей—потенциалом двойного слоя.
Потенциальное движение может быть осуществлено не только
с помощью распределения по поверхности Е источников или диполей,
но и с помощью непрерывного распределения по этой поверхности
вихрей. Можно показать, что поле скоростей, создаваемое
непрерывным распределением диполей, эквивалентно полю скоростей,
создаваемому вихревым слоем. Причем потенциал вихревого слоя
1
Ф = —
Тг(/Г°-г
^JE, (7.10)
где п° — единичный вектор нормали в данной точке поверхности Е.
Полученное соотношение совпадает с выражением для потенциала
скорости от системы диполей с моментами га = Г, направленными
по нормали к поверхности Е.
В случае, когда моменты диполей постоянны во всех точках
поверхности Е, поле скоростей системы таких диполей эквивалентно
полю скоростей замкнутого вихревого шнура с интенсивностью
r = m = const, натянутого по границе L поверхности Е.
§ 7.2. МЕТОД ВИХРЕВОГО СЛОЯ В ЗАДАЧАХ ОБТЕКАНИЯ
ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛОСКИХ КОНТУРОВ
Рассмотренный в гл. 6 метод конформных отображений при
решении задач об обтекании профиля крыла потоком несжимаемой
среды оказывается очень сложным в случае произвольных и особенно
многосвязных областей. В настоящее время разработаны методы
расчета аэродинамических характеристик профилей с широким
применением в расчетах ЭВМ. В этих методах потенциальное течение
вне профиля получают путем наложения плоскопараллельного
набегающего потока на поток, создаваемый слоем вихрей, непрерывным
135

образом распределенных по контуру
профиля. Поэтому такие методы
называют методами вихревого слоя.
Особенности одного из них будут
рассмотрены ниже.
Прежде чем перейти к изложению
метода, заметим, что потенциальное
течение в некоторой области можно
Рис. 7.3. Распределение вихрей по кон- получить наложением плоскопарал-
туру профиля в методе вихревого слоя лельного потока на ПОТОК либо ОТ
источников, либо от диполей, распределенных по поверхности
обтекаемого тела. Как было показано в § 7.1, при переходе через
поверхность, по которой распределены источники, терпит разрыв
нормальная составляющая скорости, а тангенциальная сохраняется.
В случае диполей, наоборот, сохраняется нормальная составляющая
скорости, а тангенциальная терпит разрыв. При обтекании твердого
тела идеальной средой на поверхности тела должно выполняться
условие непротекания, согласно которому нормальная составляющая
скорости на поверхности тела К„ = 0, а тангенциальная УтФ0.
С другой стороны, внутри твердого тела течения нет и,
следовательно, внутри обтекаемого тела Vn = 0 и VT = 0. Отсюда видно, что
наиболее естественным с физической точки зрения является
распределение по поверхности обтекаемого тела диполей или слоя вихрей.
Пусть по контуру С непрерывным образом распределены вихри
с погонной циркуляцией у (Q, зависящей от положения точки N (Q
на контуре (рис. 7.3).
Наложим на поток от системы вихрей плоский равномерный
поток со скоростью Ко,, направленной в сторону положительного
направления оси Ох под углом а к ней. Тогда комплексный потенциал
результирующего течения определится из соотношения,
W(z)==VO0e-i-z-^-i§j{Q\n{z-Qds. (7.11)
Откуда
dz~ °° 2я*? z-C '
Используя (6.46) и вводя т — угол наклона касательной к контуру
к действительной оси, получим
1 In Z — L,
Так как интеграл несобственный, то, выделяя особенность в точке
М, получаем
откуда, выделяя действительную и мнимые части, а затем приравнивая
Vn нулю, получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода
для определения плотности вихрей у
1 X (у-ц) sim + (x-£,)cost , - . , v . 10Ч
y-Jy{ (Д)Ч(,-^ ^2VaSm(x-a). (7.12)
136

Здесь £,, г] — координаты точки N; х, у — координаты точки М,
в которой определяется плотность у.
Для решения уравнения (7.12) применяются различные методы
приближенного вычисления интеграла через значения искомых функций
в различных точках контура или с помощью рядов. Во всех случаях
уравнение (7.12) сводится к системе линейных алгебраических
уравнений. При этом в любом методе приближенного интегрирования
этого уравнения в случае профиля с конечным углом заострения
необходимо учитывать поведение функции у (Q вблизи угловой точки
в кормовой части профиля, где производная бесконечно велика*.
§ 7.3. ТОНКИЙ ПРОФИЛЬ В НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим обтекание при малом угле атаки тонкого
слабоизогнутого профиля потоком несжимаемой среды. Профиль крыла
вносит возмущения в равномерный набегающий поток. Эти
возмущения заменим возмущениями, создаваемыми системой вихрей,
непрерывно распределенных по контуру профиля. Так как профиль
тонкий, вихри можно сконцентрировать на средней линии. В силу
малой изогнутости профиля его средняя линия мало отклоняется
от хорды, поэтому вихри можно принять распределенными по хорде
профиля и заменить задачу об обтекании профиля задачей об
обтекании системы вихрей с погонной циркуляцией у (£),
распределенных вдоль хорды (О, Ь), расположенной на действительной оси
(рис. 7.4).
Пусть вектор скорости Кю набегающего потока составляет угол
а с осью Ох. Тогда характеристическая функция течения, полученного
от наложения плоскопараллельного потока на поток от вихрей,
запишется в виде
ь
W{z)=Vxe--z-^-. fyOOMz-i;)^. (7.13)
О
Скорость в любой точке плоскости будет
u-iv=VO0e~~m+—
2п
2~\ '
откуда
и= Vx cosa + —
2%
(x-tf+y2'
t)= Vm sina-
2 it
{x-QyjQdl,
(x-tf+y2 "
(7.14)
* Майкапар Г. И. Особенность плотности вихрей у задней кромки профиля
крыла. Труды МАИ, № 385, 1977.
137

Вторые слагаемые в правых
частях выражений (7.14) представляют
собой скорости возмущений,
создаваемые вихревой системой, значения
которых могут быть найдены только
после определения функции у (£),
зависящей от геометрических
параметров профиля.
Теперь получим условия на
контуре профиля. Граничные условия на
контуре заменим граничными условиями на средней линии. Это
допущение не внесет больших погрешностей, так как рассматривается
тонкий профиль. Пусть уравнение средней линии профиля будет
yl=f(xl). Скорость потока направлена по касательной к этой линии,
следовательно, dy1/dx1=v/u.
Подставляя в это равенство v и и из (7.14) и пренебрегая у\,
получим
Рис. 7.4. Вихревой слой в теории
тонких профилей
dyi
dx{
= ос-
0
271 Кте J х-
*1
5 '
(7.15)
Интегральное уравнение (7.15) используется для определения у (£).
Будем решать это уравнение приближенно. Сделаем замену
переменной, положив
£ = -(l-cos\|/), 0^1|/^7с;
(7.16)
JC = -(1-COS0), О^б^тс.
Кроме того, положим^
у (ty) = 2Vm ( А0 ctg |+ £ Ак sinkty ),
(7.17)
где А0, Ак — неизвестные, но постоянные коэффициенты, к=\,..., со.
Определяя ydt, и подставляя его в уравнение (7.15), а также
учитывая, что
cos Arvj/t/\|/ sin к6
= 7Г
cos\|/ — cos 6 sin О
находим:
dy\
dxx
= oc — A0 + Yj AkcoskQ.
(7.18)
Следует иметь в виду, что в выражении (7.18) производная dy1/dx1
должна быть определена, как функция параметра 0.
Умножая левую и правую части уравнения (7.18) на с/0 и
интегрируя от 0 до я, получаем
dn
dXl
dQ = n(aL — A0),
138

откуда
A0 = OL
п
^dQ. (7.19)
Умножая левую и правую части уравнения (7.18) на cos А:9 и интегрируя
от 0 до л, находим:
п
"<*cos*e</e=^,
_dx*- 2
о
следовательно,
я
coskQdQ. (7.20)
п J dxi
о
Таким образом, функция у (0) определена.
Найдем теперь аэродинамические силу и момент, действующие
на профиль. Согласно теореме о взаимодействии вихря с потоком
в поточной системе координат dYa = ру (t,) V^dZ,, откуда для силы,
действующей на профиль, находим:
ъ
Га = рУл
l(%)d\.
Необходимо иметь в виду, что суммарные силы и момент от
индуцированных скоростей будут равны нулю и здесь не учитываются.
Подставляя в формулу для Ya функцию у (£), определенную
соотношением (7.17), делая замену переменной и интегрируя, получаем
Ya = pVlb(nA0-{-KA1/2X откуда
c-=^t=2n{Ao+f>- (7-21)
2
Из выражения (7.21) видно, что коэффициент подъемной силы,
действующей на тонкий профиль, зависит только от первых двух
коэффициентов разложения циркуляции в ряд. Используя соотношения
(7.19) и (7.20), находим:
суа = 2п(а-а0), (7.22)
где а0—угол атаки при нулевой подъемной силе,
ос0 =
я
)=Л |^i(l-cos9Ue. (7.23)
п J dxi v '
Из формулы (7.22) следует, что коэффициент подъемной силы тонкого
профиля прямо пропорционален углу атаки а, а производная Суа = 2п
одинакова для всех тонких профилей независимо от их формы/ Как
видно из соотношений (7.22) и (7.23), форма тонкого профиля влияет
только на угол атаки ое0 при нулевой подъемной силе.
139;

Найдем момент аэродинамических сил относительно носка профиля:
£/Mx«-^ye«-(*/2)(l-cos\|/)flfye.
Подставляя выражения для dYa и у (£), делая замену переменной
и интегрируя, находим:
т
2 \^2 " 2 х 4
Определяя коэффициент момента, получаем
2
Принимая во внимание (7.21), имеем
fnz = rnz0-cyaIA, (7.24)
где mz0—коэффициент момента при нулевой подъемной силе,
я
:0=1 £i (cos29-cose)rf0. (7.25)
о
Положение центра давления при малых углах атаки определяется
выражением
- _ _ mz _ 1 _ mz0
с 4 с
а положение фокуса—точки на хорде профиля, момент относительно
которой не зависит от изменения угла атаки а,—соотношением
h xFa mz — mz0 1 а *)с\
*Fa-T- " J- (7.26)
Из соотношения (7.26) следует, что для всех тонких профилей
независимо от их формы относительная координата фокуса профиля
равна 1/4.
В заключение отметим, что приведенный метод расчета
аэродинамических характеристик тонких профилей дает хорошие результаты
при определении суммарных аэродинамических силы и момента, но
распределение давления, найденное с помощью этого метода, плохо
сходится с экспериментальными результатами. Кроме того, в
рассмотренном методе не учитывалась толщина профиля. Для того,
чтобы сделать это необходимо по средней линии профиля распределить
источники, суммарная интенсивность которых удовлетворяет соот-
ъ
ношению J #(£)*/£ = О, где q (£)—плотность источников и стоков,
о
§ 7.4. ПОНЯТИЕ О ПОДСАСЫВАЮЩЕЙ СИЛЕ
Слагаемое Л0 ctg (\|//2) в формуле (7.17) обусловлено
особенностями обтекания передней кромки вихревого отрезка при угле
атаки ос#0. Дело в том, что, выбирая значение циркуляции, можно
при ос т* 0 добиться конечности значения скорости на задней кромке
140

пластинки, но на передней кромке скорость будет стремиться к
бесконечности, что противоречит физическому смыслу. В действительности
вследствие влияния вязкости жидкости произойдет срыв потока
с острой кромки с последующим образованием вихря подобно
изображенному на рис. 7.5. Для объяснения влияния этого вихря на
аэродинамические характеристики рассмотрим следующую простейшую
схему течения жидкости.
Пусть в точке х=— а имеется вихрь интенсивностью —Г. На
вихревой поток наложим равномерный поток со скоростью Кю,
направленный под углом а к оси Ох (рис. 7.5). Поместим в этот
поток круглый цилиндр радиусом R, тогда согласно методу отражения
(см. § 6.5) комплексный потенциал обтекания цилиндра равномерным
потоком с вихрем вне его с точностью до постоянной имеет вид
W(z) = Кда e-£a(z+ **!1\ - -Ч \n{z + a) + I- ln(z+ -) - £- lnz.
v ' \ z J 2ni y ' 2ni \ a J 2ni
Наложим на этот поток циркуляционный поток с вихрем
интенсивностью — Г0, расположенным в начале координат. Тогда
комплексный потенциал результирующего течения определяется из
соотношения
2ш V а
2ni
lnz.
(7.27)
Отобразим внешнюю область окружности на плоскость £ с помощью
функции Жуковского
C = (l/2)(z + *2/z), (7.28)
тогда окружность отобразится в отрезок прямой (см. рис. 7.5).
Если из соотношения (7.28) выразить z через £ и подставить
7*
.в
[)&
Рис. 7.5. Определение подсасывающей силы плоской пластинки:
а—схема отрывного обтекания пластинки с образованием вихря вблизи ее передней кромки;
б—пластинка в присутствии вихря в физической плоскости £; в — окружность во вспомогательной
плоскости z, на которую отображается пластинка; £/да — скорость набегающего на пластинку
невозмущенного потока, \J^ — 2Va_
141

в (7.27), то получим характеристическую функцию обтекания отрезка
в плоскости £.
Комплексная скорость обтекания отрезка
V*> lV* 1-Я2/*2 I V ^ / 2nz^2nz + a
Из найденного выражения видно, что в точках А' и В' пластинки
(рис. 7.5, б), соответствующих точкам окружности А и В, т. е. при
z=±R (рис. 7.5, в), скорость обращается в бесконечность. До сих
пор циркуляции Г0 и Г были произвольными. Подчиним их условию,
потребовав, чтобы выражение, стоящее в фигурных скобках в
соотношении (7.29), при z = ±R обращалось в нуль. Тогда если обозначить
Г0 + Г = /0, то
J0 = 2nVO0sma((a2 + R2)/a); r = 2nVO0sma((a2-R2)la). (7.30)
Определяя скорость в точке Р расположения внешнего вихря в
плоскости £, учтем, что находящийся в точке р вихрь интенсивности
Г в ней скорость не индуцирует. Поэтому после преобразований
находим:
^=+2F00cosoc; Уц = 2 V^ sin а.
Силы, действующие на пластинку, определяем из уравнения (6.62):
^n = 2pFoor0cosa; R^= -2pKoor0sina. (7.31)
Так как силы, действующие на пластинку,—силы давления, то
их результирующая должна быть направлена перпендикулярно
пластинке. Составляющая Л есть результат действия присоединенного
вихря и называется подсасывающей силой. Подсасывающая сила,
как это следует из (7.31;, есть проекция подъемной силы Уа = 2рК00Г0
(где 2К00 = £/00—скорость невозмущенного потока при обтекании
пластинки в плоскости Q на направление пластинки. Таким образом,
сила, подсчитанная по формуле Жуковского, учитывает и
подсасывающую силу.
§ 7.5. ОБТЕКАНИЕ ТЕЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
Ранее мы видели, что наложение равномерного
прямолинейного потока на поток от источника и стока, находящихся на одной
линии, позволяет построить в плоском случае течение около овала.
В пространственном случае овалу будет соответствовать тело,
образованное вращением овала около линии, соединяющей источник
и сток. Таким образом, обтекание произвольного тела вращения при
нулевом угле атаки можно получить путем наложения равномерного
прямолинейного потока на поток от источников и стоков, непрерывно
распределенных вдоль оси тела. При этом их суммарная интенсивность
должна быть равна нулю, иначе тело не будет замкнутым.
Обтекание тела вращения под углом атаки (не являющееся
осесимметричным течением) можно представить как результат
наложения двух потенциальных потоков: осесимметричного, направленного
142

н
о.
вдоль оси тела и имеющего скорость
V^ cos ос, и поперечного со скоростью
К,» sin а. При этом, если решение осе-
симметричной задачи отыскивается с
помощью распределения вдоль оси
тела источников и стоков, то решение
задачи поперечного обтекания можно
получить, распределяя вдоль оси тела
диполи с моментами т (£),
направленными навстречу поперечному потоку.
Если необходимо найти
распределение давления по поверхности тела
произвольной формы, то
использовать для этой цели размещение вдоль
линии или по объему источников
и диполей крайне неудобно и
целесообразнее воспользоваться их
поверхностным распределением.
Рассмотрим метод расчета распределения давления по поверхности
пространственного тела произвольной формы, в котором по
поверхности тела распределяются источники и стоки. Пусть для простоты
тело произвольной формы обтекается прямолинейным потоком со
скоростью на бесконечности V^, направленной вдоль оси Ох (рис. 7.6).
Распределим непрерывным образом по поверхности Е источники
и стоки. Пусть их поверхностная плотность будет
q(N)= lim f,
v ' дст_*0 Да
где Д<2—интенсивность источников (стоков) на площадке Лет;
N(^, г|, £)—произвольная точка поверхности Е. Тогда потенциал
скорости в произвольной точке М(х, у, z) пространства будет
иметь вид
Рис. 7.6. Схема к расчету обтекания
пространственного тела методом
источников и стоков
Ф(м) = -1|
q(N)
da+Vxx,
(7.32)
где r = yJ(x-Z,Y+{y-r\Y+(z-W
Скорость в точке М
Ум =
4rt
q(N)VMl-\do+i
»-h\№
da+iVn,
где г = 1(х — fy + ]{y — л) +k(z — Q, 7, J, к — орты декартовой системы
координат.
В точках на поверхности тела
VT=iVa +
1 [[я("Ж
4я JJ г?
da
143

(индекс «т» обозначает точку на поверхности тела). Определим
нормальную составляющую скорости Утп:
или
Vm={Vr-n0) = VODcos{n0x) + -
4тс
q(TT-n°
VTn=V„cos{n°x) + ^-
do,
q(N)cos(rrn°) ^
(7.33)
При приближении точки М к точке N подынтегральное выражение
стремится к бесконечности, следовательно, интеграл будет
несобственным. Окружим точку N (когда она совпадает с точкой М)
полусферой S радиуса 8 (см. рис. 7.6), тогда правую часть соотношения
(7.33) можно представить в виде
vTn= K.coe(fo) +1 Л ^Э АТ+ i ||^Э as.
i-s s
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем значении
и переходя к пределу, находим:
VT„=Vaocos(n°x) +
gcosKrn}do+9-.
(7.34)
Так как на поверхности тела вследствие условия непротекания
Ктп = 0, то, приравнивая правую часть (7.34) нулю, находим:
i+
»1
q cos (\\ п
da= — V^ cos (п°х).
(7.35)
для искомой
быть решено,
функции q интегральное уравнение,
например, методом последовательных
Мы получили
которое может
приближений.
В настоящее время в связи с широким использованием ЭВМ
в технических расчетах при решении задач о пространственном
обтекании различных тел идеальной средой получили широкое
распространение методы конечных элементов. В этих методах поверхность
тела разбивается на большое число ячеек (рис. 7.7), которые
приближенно представляются какой-либо аналитической поверхностью. На каждом
элементе распределяются источники, интенсивность которых в пределах
ячейки принимается постоянной. Это позволяет в пределах ячейки
вычислить интеграл, входящий в соотношение (7.35). Условия иепротека-
ния удовлетворяются, как правило, в центре тяжести фигуры ячейки,
например в точке Мтп. Таким образом, в данном методе уравнение
(7.35) заменяется системой линейных алгебраических уравнений для
определения интенсивности источников qik. Решение полученной системы
проводится с помощью ЭВМ. Как только становятся известными
интенсивности qik, нетрудно вычислить скорости в контрольных точках
144

соответствующих ячеек, и, следовательно,
давление, а затем главный вектор и
главный момент, действующие на тело.
Заметим, что на основании парадокса
Д'Аламбера главный вектор равен нулю. J^
В рассмотренном примере обтекания
тела произвольной формы суммарная
сила была равна нулю, так как в этом
Случае Отсутствовали ИСТОЧНИКИ, СТОКИ Рис- 7.7. Разбиение поверхности те-
и вихри вне тела. ла на ячеики
В действительности, при обтекании тела вязкой жидкостью вблизи
поверхности тела существует слой заторможенных частиц, называемый
пограничным слоем. Срываясь с поверхности тела, частицы,
двигавшиеся в этом слое, образуют за телом аэродинамический след,
заполненный вихрями. В идеальной среде при обтекании тела такую
область, моделирующую аэродинамический след, необходимо вводить
искусственно. Размеры и конфигурация завихренной области за телом
зависят от геометрии самого тела. Так, например, при обтекании
крыла конечного размаха с его задней кромки будет сходить
вихревой след, образующий некоторую цилиндрическую поверхность, при
переходе через которую потенциал скорости терпит разрыв. Поэтому
вне крыла на этой поверхности необходимо распределить диполи
или, что то же самое, вихри.
Как было показано в п. 6.1.5, в идеальной среде на тело со
стороны среды будет действовать полная аэродинамическая сила
R только в том случае, если вне тела есть источники (стоки) или
диполи, или вихри. В идеальной среде одинаково допустимы обтекания
тела как без вихревого следа, так и с ним. Поэтому, чтобы получить
силу R, действующую на тело, в идеальной среде мы должны
моделировать вихревой след за телом, вводя его искусственно. Таким
образом, гидродинамической моделью тела производной формы,
испытывающего действие аэродинамической силы (тела с подъемной
силой), является модель, в которой по поверхности и по
присоединенному вихревому следу располагаются диполи или вихри. Такая модель
часто называется вихревой. В настоящее время такая вихревая модель
тела является общепринятой и с успехом используется для расчетов
на ЭВМ.
Наиболее простой вихревой моделью тела с подъемной силой
является модель вихревой несущей нити, основные положения которой
будут рассмотрены в п. 7.6.2.
§ 7.6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
7.6.1. Вихревые модели крыла конечного размаха
Предположим, что на крыло конечного размаха,
составленное для простоты из одинаковых профилей с угловой точкой, набегает
прямолинейный равномерный поток под углом атаки, равным
а (рис. 7.8). В случае обтекания крыла без срыва потока с верхней
поверхности точка схода струй жидкости с профиля крыла совпадает
с угловой точкой, а передняя критическая точка смещается на
нижнюю поверхность. Давление на нижней поверхности становится
145

Рис. 7.8. Крыло конечного размаха Рис. 7.9. Линии тока на верхней и нижней
в равномерном потоке поверхностях крыла конечного размаха:
верхняя поверхность; нижняя поверх-
болыне давления на верхней поверхности, и возникает подъемная
сила. В отличие от плоского течения в окрестности профиля крыла
(крыла бесконечного размаха) при обтекании крыла конечного размаха
возникает перетекание жидкости через боковые кромки из области
повышенного давления на нижней поверхности в область пониженного
давления на верхней поверхности крыла. Это приводит к изменению
направлений линий тока сверху и снизу крыла по сравнению со
случаем крыла бесконечного размаха (рис. 7.9). Вследствие разных
направлений линий тока на нижней и верхней поверхностях крыла
вблизи его задней кромки возникает поверхность, на которой терпит
разрыв тангенциальная составляющая скорости, т. е. вихревая пелена
(по сути дела присоединенная к задней кромке). Она и является
необходимым условием существования подъемной силы.
Действительно, при отсутствии вихревой пелены циркуляция скорости по любому
контуру С, охватывающему некоторое сечение крыла, была бы равна
нулю и согласно § 6.1 была бы равна нулю полная аэродинамическая
сила R, действующая на сечение крыла. Если же Г#0, то согласно
теореме Стокса незамкнутую поверхность, опирающуюся на замкнутый
контур С, пронизывают вихри, суммарная интенсивность которых
определяется выражением
1J
(£>ndZ = r/2. В самом простом (грубом)
случае все вихри, пересекающие поверхность 2 можно заменить
одним вихрем, условно проходящим внутри крыла и как бы вытянутым
вдоль размаха крыла, имеющим постоянную напряженность Г и
пересекающим поверхность £ (рис. 7.10). Это означает, что он должен
распространяться и в жидкости за пределами крыла (например,
условно на расстоянии 8 от боковой кромки крыла). Согласно
теоремам Гельмгольца оборваться в жидкости этот вихрь не может.
Он как бы сносится потоком за крыло, и вблизи боковых кромок
за крылом возникают свободные вихри, замыкающиеся в бесконечно
удаленной точке за крылом в кольцо. Вихрь, условно проходящий
по крылу, называют присоединенным вихрем, а вихри, сбегающие
с концов крыла,— свободными, или отсоединенными.
Рассмотренная гидродинамическая модель крыла конечного
размаха является, конечно, очень грубым приближением, так как
вследствие перетекания через боковые кромки подъемная сила сечений
146

Рис. 7.12. Свертывание
пелены за крылом
вихревой
Рис. 7.10. Простейшая гидродинами- Рис. 7.11. Присоединенный вихрь (1) перемен-
ческая модель крыла конечного раз- ной интенсивности Г и вихревая пелена (2):
маха условно показанное крыло
вдоль размаха крыла не остается
постоянной. Это означает, что при переходе
от одного контура С к другому должна
изменяться циркуляция скорости, в то
время как в рассмотренной выше модели
она остается постоянной. Для того
чтобы это учесть, необходимо ввести
присоединенный вихрь переменной
интенсивности, причем из каждой точки такого
вихря должен сбегать отсоединенный
вихрь с интенсивностью dT (рис. 7.11), а за крылом образовываться
непрерывная вихревая пелена.
Гидродинамическая модель крыла конечного размаха, в которой
крыло заменяется присоединенным вихрем переменной интенсивности
и вихревой пеленой, получила название вихревой несущей нити.
Вихревая пелена, образующаяся за крылом, является неустойчивой
и на некотором расстоянии от задней кромки сворачивается в два
вихревых жгута (рис. 7.12). Кроме того, необходимо также учесть
изменение циркуляции не только вдоль размаха, но и вдоль хорды.
Поэтому в настоящее время используются более сложные вихревые
модели крыла. Например, если крыло тонкое, оно заменяется вихревой
поверхностью, а за крылом вводится вихревая пелена, форма и
положение которой по отношению к крылу находятся в процессе решения
задачи. Такая модель называется вихревой несущей поверхностью. Для
удобства ее часто заменяют моделью с дискретным распределением
подковообразных вихрей.
7.6.2. Основы теории вихревой несущей нити
Замена крыла конечного размаха присоединенным вихрем
переменной интенсивности со сбегающей с него вихревой пеленой
дает хорошие результаты при расчете сил и моментов, действующих
на крыло, только для крыльев большого удлинения (k = l2/S>3, где
X — удлинение крыла; /—размах (см. рис. 7.8); S—площадь крыла
в плане). В этом случае перетекание через боковые кромки делает
существенно пространственным течение лишь вблизи них, а на
большей части крыла поток около сечения крыла конечного размаха
можно считать тождественным или близким к плоскопараллельному
147

Рис. 7.13. Треугольник скоростей и силы, действующие на сечение крыла:
а—треугольник скоростей в точке А присоединенного вихря; б—треугольник сил, действующих
на сечение крыла (треугольник скоростей условно перенесен в кормовую точку сечения)
потоку около такого же сечения—профиля крыла бесконечного размаха.
Предполагается, что если крыло имеет большое удлинение, каждое
такое сечение обтекается независимо от соседнего (гипотеза плоских
сечений), но под углом атаки, отличающимся от геометрического угла
атаки крыла. Дело в том, что свободные вихри, сбегающие с крыла,
индуцируют в точке А присоединенного вихря скорость t/, вследствие
чего истинный угол атаки обтекания сечения крыла конечного размаха
уменьшается на величину Аа (рис. 7.13, а), называемую углом скоса
потока. В самом простом случае замены крыла подковообразным
вихрем с интенсивностью Г = const (см. рис. 7.10) индуцируемая
свободным вихрем в точках присоединенного вихря скорость и угол
скоса потока подсчитываются по формулам
i/=-r/(4ic[(Z/2) + e-z]); tgAa=-i//K00.
Причем знак минус в правой части второй формулы берется
потому, что принято считать угол скоса потока положительным,
если индуцированная скорость направлена в отрицательном
направлении оси Оу.
Вследствие появления угла скоса потока истинная скорость
Кист обтекания сечения крыла конечного размаха отличается от
скорости набегающего потока Кда, а истинный угол атаки не равен
геометрическому углу атаки а сечения крыла (рис. 7.13,6) и
определяется из соотношения
аИст = (^—Аа- (7.36)
Так как угол скоса потока мал по величине, можно принять, что
tgAa^Aa, поэтому
Aa^-tZ/K*. (7.37)
Согласно теореме Жуковского равнодействующая сил давления
направлена перпендикулярно вектору скорости набегающего потока.
Таким образом, при обтекании сечения крыла конечного размаха
сила d#ce4 = pFHCTrdz направлена перпендикулярно истинной скорости
Кист, а не скорости К^, как это было бы в случае обтекания крыла
бесконечного размаха. Если разложить эту силу на две составляющие:
по нормали к скорости V^ и вдоль нее, то мы получим подъемную
силу сечения крыла конечного размаха
jyace4 = JRcosAa=pF00r6?z (7.38)
148

и силу
dXai сеч = Ya tg Аа = - pv' Tdz,
(7.39)
появившуюся вследствие влияния
свободных вихрей и
отсутствующую у крыла бесконечного
размаха. Следовательно, крыло
конечного размаха, обтекаемое
идеальной средой, будет иметь не только
подъемную силу, но и
сопротивление Xai, называемое индуктивным.
Рассмотрим теперь обтекание
крыла конечного размаха, заменив
его присоединенным вихрем
переменной по размаху интенсивности
и вихревой пеленой. Так как Г = Г(г), то с каждого элемента крыла
dzx сбегает элементарный вихрь с циркуляцией (dT/dz^dZi. Определим
скорость, которую индуцирует этот элементарный вихрь в точке
А присоединенного вихря (рис. 7.14):
^^(dT/dz^dz,
4n(zl — z)
Из рис. 7.14 следует, что dF/dz1<0; dz1>0; z1—z>0; dv'<0, т. е.
индуцированная скорость направлена в сторону, противоположную
положительному направлению оси Оу.
Скорость и угол скоса, которые в точке А индуцирует вся вихре-
пелена крыла, определяются из соотношений
1/2 1/2
Рис. 7.14. Определение индуцированных
скоростей при обтекании крыла
конечного размаха:
1—распределение циркуляции по размаху
крыла; 2—свободный вихрь, сбегающий с каждого
элемента крыла dzt
вая
"'=i \
(dT/dz^dz,
Аа= —
1
4яИ„
(dT/dz1)dz1
Zi~Z
(7.40)
-1/2 -1/2
Интегралы, входящие в соотношения (7.40), являются
несобственными, так как при z1=z подынтегральные выражения обращаются
в бесконечность. Для того чтобы их вычислить, из интервала
интегрирования необходимо исключить точку zx=z и разыскивать
значение интеграла как предел выражения
1/2 z-z 1/2
(dTjdz^dzi
Zi-Z
= toll Г f WT/^i)*! + Г dTldz,
Е —О |_ J zx-z J zx-z
-1/2 -1/2 z + e
где e—малая величина. Физически это означает, что элементарный
вихрь, выходящий из точки А и не индуцирующий в самом себе
скорость, из рассмотрения исключен. Используя вторую формулу
(7.40), теперь легко найти в любом сечении крыла угол скоса потока
Аос и определить с помощью равенства (7.36) истинный угол атаки.
Интегрируя выражения (7.38) и (7.39) по размаху крыла, найдем
подъемную силу и силу индуктивного сопротивления:
1/2
Ya = pV„ J T(z)dz, (7.41)
-1/2
149

1/2 1/2
*-—£ I т^
idTldz^ dz (? 42)
-1/2 -1/2
Из формул (7.41) и (7.42) видно, что характеристики крыла
конечного размаха будут вполне определены, если будет известно
распределение циркуляции по размаху крыла.
Для отыскания Г(г) воспользуемся следующими соображениями.
С одной стороны, подъемную силу элементарного участка крыла
можно определить по формуле (7.38), с другой стороны — на основании
теории подобия
dYa = cyaao^b(z)dz9 (7.43)
где суаоо—коэффициент подъемной силы сечения крыла бесконечного
размаха; b(z) — хорда крыла в данном сечении. Сравнивая (7.38)
и (7.43), легко находим, что
Г(*)Ц cya(X3V„b(z). (7.44)
Полученное соотношение называется уравнением связи.
Так как при небольших углах атаки зависимость коэффициента
подъемной силы сечения крыла (т. е. профиля крыла) от угла атаки
линейная, то
сУаоо = сауаооаЙСТ = с<1уаао(а-А(хХ (7.45)
где cyaoo = dcyaoo/da. Подставляя (7.45) в уравнение связи (7.44) и
учитывая выражение (7.40) для угла скоса потока, находим:
1/2
T(z) = \c^VO0b(z)
a(z) + -L- f W*J*>\ Г7.46)
-1/2
Соотношение (7.46) называется основным интегро-дифференциаль-
ным уравнением крыла конечного размаха и служит для определения
циркуляции T(z).
Рассмотрим один из методов решения этого уравнения (метод
Глауэрта—Трефтца). Сделаем замену переменной, положив z —
= — (1/2) cos G, и представим циркуляцию в виде ряда:
00
T = 2lVao X Л sin л 9, (7.47)
где Ап — постоянные коэффициенты, определяемые из решения задачи.
Подставляя выражение (7.47) в (7.46) и вводя обозначение |i = cJaoo6/(4/),
после преобразований получаем уравнение для определения
коэффициентов разложения циркуляции
оо
£ («|i + sin0)^nsin«0 = |aasin0. (7.48)
Для приближенного решения уравнения (7.48), удовлетворяющегося
в точках присоединенного вихря, сохраняется определенное число
150

членов ряда для Г(0). Выбирается столько сечений крыла, сколько
оставлено членов ряда, и для каждого сечения (со своими параметрами
а> Ь, Суаой) записывается уравнение (7.48). В результате получается
система линейных алгебраических уравнений для определения
коэффициентов Ап. Расчетные сечения крыла необходимо выбирать в
характерных точках крыла: в месте резкого изменения профиля крыла,
в местах заметного изменения хорды и т. д. Причем в случае обтекания
симметричного крыла без угла скольжения коэффициенты Ап с четными
номерами обращаются в нуль, что значительно упрощает решение.
После того, как найдены коэффициенты Апу легко рассчитать
силы, действующие на крыло. Определяя подъемную силу, имеем
Ya = n^l2A1. Поэтому
суа = пХА1. (7.49)
Из формулы (7.49) видно, что подъемная сила крыла и ее
коэффициент зависят только от первого коэффициента разложения
циркуляции в ряд и с увеличением удлинения крыла возрастают.
Остальные коэффициенты оказывают влияние только на распределение
нагрузки по размаху крыла. Индуктивное сопротивление определяем
следующим образом:
V2 °° V2 °°
Xai = nl2 ^f I пА2п; cxai = XJ ^fS=nk^ nAl (7.50)
/1=1 n= 1
Из соотношения (7.50) для cxai видно, что коэффициент
индуктивного сопротивления cxai зависит от всех коэффициентов разложения
00
циркуляции в ряд, а так как £ пА\ всегда больше нуля, то и cxai>0
при любом отрицательном или положительном угле атаки.
Умножим и разделим правую часть второго соотношения (7.50)
на ^i и учтем, что А1 = суа/кХ, тогда
п= 1 х
где 1+6=5 (l+^f
Расчеты показывают, что 8<1. Из соотношения (7.51) следует,
что с увеличением удлинения X коэффициент индуктивного
сопротивления убывает.
Представляет интерес определение условий, при которых 5 = 0,
а индуктивное сопротивление крыла минимально. Как следует из
формулы (7.51), в этом случае все коэффициенты Ап, кроме Аи
должны обращаться в нуль. Поэтому
r = 2/Foo^1sin0.
Обозначая Г0 циркуляцию в среднем сечении крыла (при 6 = я/2),
получаем А1 = Г0/(21УО0) и, следовательно, r = rosin0. Так как
z=--cos0, то sine = ,/l-[z/(//2)]2.
Поэтому
(Г/Г0)2+[2/(//2)]2 = 1. (7.52)
151

Отсюда видно, что индуктивное сопротивление при заданной
подъемной силе будет минимальным в случае эллиптического закона
распределения циркуляции по размаху крыла.
Заметим, что при эллиптическом законе распределения
циркуляции индуцированная скорость и угол скоса по размаху крыла
не изменяются.
7.6.3. Метод дискретных вихрей в теории крыла
конечного размаха
Если крыло имеет удлинение А,<3, то даже при
определении его суммарных аэродинамических сил и моментов
пользоваться теорией вихревой несущей нити нельзя вследствие
возрастающих с уменьшением удлинения погрешностей. В этом случае
необходимо учитывать реальное распределение давления не
только по размаху крыла, как это делалось для крыльев большого
удлинения (к>3), но и по хорде крыла. Отсюда следует, что
необходимо учитывать изменение циркуляции как по размаху,
так и по хорде. Это приводит к замене крыла системой
непрерывно распределенных по поверхности крыла присоединенных
вихрей и вихревой пеленой, сходящей с задней кромки крыла и
распространяющейся до бесконечности. При этом в общем случае
необходимо учитывать отмеченную выше неустойчивость вихревой
пелены и ее сворачивание в вихревые жгуты за крылом. Причем
форму и положение вихревой пелены, изменение напряженности
вихрей по хорде и размаху необходимо рассчитывать в процессе
решения задачи.
Наиболее просто поставленная задача решается в случае обтекания
тонкого слабоизогнутого крыла при малом угле атаки. В силу того,
что крыло тонкое, вихревой слой можно разместить по средней
поверхности крыла, а так как крыло малоизогнуто, то вихревой
слой можно снести на 'плоскость течения Oxz. В этой же плоскости
располагается сбегающая с крыла вихревая пелена и удовлетворяется
граничное условие непротекания, согласно которому на поверхности
крыла Vn = 0.
Если уравнение поверхности крыла задано в связанной системе
координат (Xi, у1, zt) в виде F(xu уи z1)=>y1—f(xu 2Х) = 0, то на
поверхности крыла (V-VF) = 0. Так как F=r(K00cosa+w') +
+j(VaosmvL + v,)+kw', где в случае тонкого слабоизогнутого крыла
скорости возмущений и\ v\ w' намного меньше Кда, то на
поверхности крыла
-(F00cosa+w/)—+(Koosina+i;,)-w'-^ = 0. (7.53)
dxi dzi
Здесь dfjdxi и dfjdz^—величины, пропорциональные косинусам углов
наклона нормали к поверхности крыла соответственно к осям 0хх
и Ozx. Оценивая величины, входящие в (7.53), и пренебрегая малыми
второго порядка, получаем
OL-df/dx^-v'/V», (7.54)
где v' можно вычислить в точках проекции S крыла на
плоскость Oxz.
152

Voo
Рис. 7.15. Разбиение крыла на ячейки и
система косых подковообразных дискретных
вихрей
Рис. 7.16. Косой подковообразный вихрь
и контрольная точка на ячейке крыла
Для упрощения решения задачи непрерывно распределенный по
S и вихревой пелене вихревой слой заменяют системой дискретных
подковообразных вихрей. При этом область S разбивают на N полос
по размаху, а каждую к-ю полосу, в свою очередь, разбивают на
п частей по хорде. На каждой получившейся при таком делении
области S и имеющей номер ik ячейке размещают подковообразный
косой вихрь с напряженностью Г17с, постоянной для данной ячейки
(рис. 7.15). Полочки присоединенных вихрей располагают на расстоянии
1/4 ширины ячейки от передней кромки, а свободные концы
подковообразного вихря ячейки пускают по ее границе в бесконечность (рис. 7.16).
Таким образом, в рассматриваемом методе крыло заменяется nN
подковообразными вихрями, напряженность которых необходимо
определить из решения задачи.
Для определения напряженности подковообразных вихрей
используется граничное условие непротекания в форме (7.54),
записываемое столько раз, сколько взято подковообразных вихрей.
Контрольные точки, в которых удовлетворяется условие непротекания,
выбираются на середине размаха каждой ячейки на расстоянии 3/4
ее хорды от передней кромки (рис. 7.16). В каждой контрольной
точке \xv по формуле Био — Савара подсчитывается скорость,
индуцируемая в ней всеми подковообразными вихрями,
расположенными в области S:
i=l /с = 1
(7.55)
где v'ik(Tik) — скорость, индуцируемая ik-м подковообразным вихрем
в точке jlxv. Если форма крыла известна, т. е. известны конфигурация
и размеры каждого подковообразного вихря и расположение
контрольных точек, то по формуле Био — Савара легко вычислить
скорость f^ с точностью до Tik.
Если подставить соотношение (7.55) в условие (7.54), записав
его для каждой контрольной точки \iv в виде
u-idf/dx^^ -u'uv/Poo, С7-56)
153

то в результате получается система nN алгебраических уравнений
для определения интенсивности подковообразных вихрей Tik. Так как
интенсивность Tik каждого вихря не меняется, то точность
рассматриваемого метода зависит от числа выбранных по хорде и размаху
вихрей.
Определив циркуляцию Tik каждого вихря, нетрудно найти
подъемную силу, моментные характеристики крыла и распределение
давления по крылу. Например, чтобы найти коэффициент подъемной
силы А>го сечения крыла, необходимо взять сумму интенсивностей
вихрей в этом сечении
л
* к 2ш* ik сеч'
i=l
а затем по уравнению связи найти коэффициент подъемной силы
сечения:
, = 21^/(6*^),
где Ьк — хорда А>го сечения.
7.6.4. Представление интенсивности вихревого слоя
на несущей поверхности полиномами
В любом методе, в котором используется представление
вихревого слоя с помощью системы дискретных вихрей, решающее
значение имеет относительное расположение вихрей и контрольных
точек, так как при приближении к вихрю скорость стремится
к бесконечности.
Указанного недостатка лишены методы, в которых используется
непрерывное распределение вихрей с бесконечно малой интенсивностью
по поверхности крыла. .
Пусть мы имеем крыло произвольной формы в плане, тонкое и
малоизогнутое, тогда непрерывный вихревой слой, расположенный на
поверхности крыла, можно снести на плоскость Oxz (рис. 7.17). Выберем
на этой плоскости площадку db> dC,, через которую проходит
присоединенный вихрь с интенсивностью ydZ,, где у(£, Q — плотность вихревого
слоя. С этой площадки в сторону основного потока будет сноситься
свободный вихрь с интенсивностью
(djydt,)
V * .
учитывает уменьшение
циркуляции вдоль размаха крыла.
Предположим, что передняя и задняя
кромки крыла являются кусочно-
гладкими линиями, заданными
уравнениями zn>K = zn<K(x) и z3.K =
= z3.k(*)- Определим по формуле
Био — Савара индуцированную
скорость в некоторой точке
Р(х, у), которая складывается из
скорости, индуцируемой свобод-
Рис. 7.17. Схема крыла к расчету поля ско- „- ТХ/ГТТ jn ы ттпт^гиатттти^ишлх™
ростей крыла методом непрерывного вих- ^ЫМИ dvi И присоединенными
ревого слоя dv2 вихрями.
J. <
^^~\
Svu.
( Р
V Р(',У) |{
~t%
I
18Г"
1
I! \
0 "^^^
5 >/
' X
di,), где знак минус
154

Тогда
*1--й2<*«>
(z-Qdt*
[(х-^)2+(^-С)2]3
где у(£, Q—поверхностная плотность вихревого слоя, у(£, Q =
= lim —, А а— элементарная площадка области S. Выполняя ин-
дст —о Асг
тегрирование, получим
1 <*у(ЬС)
dv1-
4п
1-
*"6
^ L y(*-^)2-(z-o2
В свою очередь, индуцированная элементом присоединенного вихря
скорость будет
UVl 4n[(x-V2Hz-Q2]312'
Таким образом, индуцированная в точке Р (х, у) всеми
присоединенными и свободными вихрями скорость
4я
+
у(*-У
[(x-^)2 + (z-Q2]
-П2!3/2
d\dK,.
Интегрируя по частям по £ первое слагаемое подынтегрального
выражения последнего уравнения и предполагая, что на контуре
крыла в плане yd^ = 0, имеем
1/2
V = -
4тг
(z-Q2
-1/2
Y& о|~1- *;/ —Ъфс, (7.57)
где хплс, х,.к—соответственно координаты передней и задней кромок.
Подставляя (7.57) в (7.54), получаем уравнение для определения
плотности у вихревого слоя. Однако применение численных методов
интегрирования этого уравнения осложняется наличием в
подынтегральном выражении (7.57) сильной особенности при £ = z, что
необходимо учитывать в любом методе определения плотности вихревого
слоя. Так же, как и в случае обтекания тонкого профиля, положим
■* = *n.K + -(l-cose); ^x^-il-costi^,
(7.58)
где 0, 6Х—новые переменные; Ь — хорда крыла в этом сечении.
Кроме того, положим z = - zx; £ = - £^; тогда выражение (7.57)
записывается в виде
v = -
4я/
+ 1
6gi)<*Ci
fei-k)2.
-1 о
cos Gi—cos 6
т(е,0
4/(cose1-cos0)2 + (/2/^2)(z1-Ci)2
1-
sinGi^Gi.
(7.59)
155

Входящую в формулу (7.59) поверхностную плотность вихревого слоя
у(0, Q представим в виде
°Ы> (. 2 т = 0
СО СО . ")
+ 7^ I I ^СТяпивЛ, (7.60)
т=0л=1 Z J
где а0т, атп — неизвестные подлежащие определению коэффициенты.
Последнее соотношение является комбинацией хорошо известных
решений для распределения нагрузки вдоль хорды тонкого профиля
крыла и распределения нагрузки вдоль размаха крыла в теории
вихревой несущей нити. Причем на концах крыла у(9ь ^) обращается
в нуль, как это и имеет место в теории вихревой несущей нити
(но производная имеет бесконечное значение), а на передней кромке
Y(9bCi) обращается в бесконечность. На задней кромке крыла
У(9ь Ci) = 0, так как скорость на ней согласно условию Жуковского —
Чаплыгина должна быть равна нулю. Подставляя выражение (7.60)
в (7.59), определяем индуцированную скорость как функцию
коэффициентов а0т, атп.
Для определения этих неизвестных коэффициентов необходимо
взять столько контрольных точек, сколько оставлено коэффициентов,
для каждой контрольной точки определить v и записать условие
(7.56). В результате проделанных операций получается система
алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов.
Одним из достоинств рассматриваемого метода является
возможность получения достаточно точного решения для простого в плане
крыла при малом числе контрольных точек. После того, как найдена
плотность вихрей у(0, Q, легко определяются распределение нагрузки,
суммарные силы и моменты, действующие на крыло.
156

ГЛАВА 8. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
И СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В ГАЗЕ
§ 8.1. ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИКИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
Прежде всего отметим, что при изучении движения газа
в силу небольшой пространственной протяженности обтекаемых тел
в уравнениях, описывающих это движение, можно отбросить массовые
силы. Действительно, при изменении координаты по вертикали на
величину Az давление изменяется на величину \Ap\=gpAz. Откуда
на основании уравнения состояния совершенного газа в форме
Менделеева — Клапейрона получим
\Ap\/p=gAzl{R7).
Если температура Г=273 К, то относительному изменению давления
|А/?|//? = 0,01 соответствует Az = 80m, в то время как линейный размер
летательного аппарата в этом направлении не превышает обычно
нескольких метров.
Другой особенностью динамики сжимаемой жидкости является
необходимость учета сжимаемости газа, движущегося с большой
скоростью. Изменения давления в точке, где скорость потока К=0,
подсчитанные с помощью методов теории несжимаемой среды и для
сжимаемой среды, будут отличаться не более чем на 2%, если
скорость потока V< 100 м/с. С ростом скорости это различие будет
расти, что и приводит к необходимости учета сжимаемости воздуха.
В свою очередь, учет сжимаемости вызывает привлечение помимо
уравнения состояния некоторых вопросов термодинамики, ее законов
и понятий, что не делалось в динамике несжимаемой жидкости.
При больших скоростях полета теплообмен с окружающим
пространством, как правило, не успевает совершиться, поэтому
в динамике сжимаемой жидкости мы можем ограничиться
рассмотрением адиабатических движений.
Отметим еще одну особенность сжимаемой среды. Если в
несжимаемой среде в некоторой точке изменить давление на величину Ар,
то во всей области, занятой несжимаемой средой, давление мгновенно
изменится на ту же величину, т. е. скорость распространения
возмущений равна бесконечности. Иначе обстоит дело с распространением
малых возмущений в упругих средах. Эти возмущения
распространяются как упругие волны со скоростью а = ^/Е/р, где Е — модуль
объемнбй упругой деформации среды.
Если под влиянием изменения давления на величину Ар произошло
изменение объема Ах, то dp— —Edx/x. Так как сжимаемость среды
характеризуется коэффициентом сжимаемости (Зр= , то модуль
х dp
упругой деформации Е=\/$р. Следовательно, скорость
распространения малых возмущений а= 1/^рРР. Отсюда видно, что а характеризует
157

сжимаемость среды. На основании закона сохранения массы рт = const,
поэтому dp/p=—dx/x и, следовательно, рр = —-. Тогда скорость
Р dp
малых возмущений в газе
а = V'dp/dp. (8.1)
Эту величину называют скоростью звука.
Из вышеизложенного следует, что скорость звука является мерой
сжимаемости среды, а число Маха
M=V/a (8.2)
— определяющий параметр при движении сжимаемых сред. Как
следует из теории подобия, число М является критерием подобия
по сжимаемости.
Распространение малых возмущений в сжимаемой среде
существенно зависит от скорости движения источника возмущений.
Если источник малых возмущений покоится, т. е. скорость его
движения К=0, то малые возмущения давления распространяются
в виде сферических волн (рис. 8.1, а) во все стороны и заполняют все
пространство, занятое сплошной средой. В случае, когда скорость его
движения V^O, распространение возмущений различно для скоростей
движения V<a и V>a. При дозвуковой скорости движения источника
Рис. 8.1. Распространение малых возмущений в газе при разных скоростях движения
источника малых возмущений:
а— К=0; б— V<a; e—V=a\ г—У>а
158

возмущений (V<a) сферические волны возмущений давления обгоняют
движущийся источник возмущений и так же, как при покоющемся
источнике, заполняют все пространство (рис. 8.1,5). При сверхзвуковой
скорости движения источника возмущений (V>a) последние не успевают
его обогнать и распространяются в ограниченной области пространства
внутри поверхности, огибающей все волны возмущений. Эта поверхность
называется конусом возмущений или конусом Маха, а линии ее
пересечения с плоскостью, проходящей через ось конуса, называются
линиями возмущений или линиями Маха. Из рис. 8.1, г видно, что
линии возмущений составляют с вектором скорости движения источника
возмущений угол ц, называемый углом возмущения, причем
sinn = fl//(K/)=l/M. (8.3)
Таким образом, в случае полета летательного аппарата со
сверхзвуковой скоростью возмущения впереди него не
распространяются, в отличие от полета с дозвуковой скоростью. Это свойство
распространения возмущений иногда называют правилом
«запрещенных сигналов».
Оно является причиной возможного возникновения в газе при
таких скоростях поверхностей сильного разрыва—ударных волн. При
переходе через ударную волну параметры газа изменяются
скачкообразно, а само явление образования ударных волн присуще только
сжимаемым жидкостям. Существование ударных волн перед летящими
с большими скоростями телами приводит к резкому уменьшению
роли сил трения в образовании сопротивления тел по сравнению
с другими факторами, вызванными изменением давления. Поэтому
при умеренных температурах (Г<1500К) за исключением случаев,
связанных с определением сил сопротивления, обусловленных трением,
или изучением вопросов отрыва потока, силами вязкости в динамике
сжимаемой среды можно пренебрегать.
§ 8.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕВЯЗКОГО
НЕТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА. КРИТЕРИЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОСТИ
УСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
Из рассмотренного выше следует, что уравнения,
описывающие движение сжимаемой жидкости, являются уравнениями движения
идеального нетеплопроводного газа при отсутствии внешних массовых
сил. К ним относятся уравнения (3.50), в которых необходимо положить
Р=0 и q = 0, уравнение неразрывности (2.25), уравнение переноса
полной энергии для совершенного нетеплопроводного газа. В последнем
уравнении внутренняя энергия при умеренных температурах e = CvT.
Замыкающим в этой системе является уравнение состояния
совершенного газа в форме Менделеева — Клапейрона, в котором газовая
постоянная R обычно связывается с удельными теплоемкостями при
постоянном давлении Ср и постоянном * объеме Cv уравнением Майера
R = CP-CV. (8.4)
Часто уравнение состояния записывают через особую функцию
состояния — энтропию S, определяемую для совершенного газа
соотношением
S=Cv\n{p/py) + const. (8.5)
159

На основании (8.5) уравнение состояния часто записывают в виде
p==pye(s-so)/cv (86)
и используют для замыкания указанной выше системы уравнений.
Процессы подвода тепла к газу могут быть различными. Если
при движении газа теплообмен с окружающим пространством и потери
теплоты отсутствуют, то
S=const и (р/ру) = const. (8.7)
Процессы, обладающие указанными свойствами, являются обратимыми
и называются изоэнтропическими. В реальных процессах, несмотря
на отсутствие обмена теплом с внешним пространством, возможны
необратимые превращения механической энергии в тепловую. Согласно
второму закону термодинамики в изолированной системе, где внешний
теплообмен отсутствует, возможны лишь такие процессы, когда
энтропия системы не уменьшается. Это означает, что реальные
процессы в газах происходят так, что
dS>0.
Уравнения Эйлера в векторной форме, входящие в систему
уравнений газовой динамики, можно записать с помощью первого
закона термодинамики. Вводя энтальпию (теплосодержание газа)
i=CpT=e+p- = -^-p- (8.8)
р у-1 р
и используя первый закон термодинамики
dq = de+pd(l/p),
где dq—подведенная к системе, состоящей из большого числа
материальных частиц, теплота, получим
TdS=di—dp/р.
Так как dS=(7S'br); di = (4i-br); dp = (4p-br), где 5г — вектор,
направленный по касательной к произвольной линии в пространстве^
то {T4S—Vz'-f (l/p)V/?} -8г = 0 и в силу произвольности вектора Ьг
T4S=Vi--4p. (8.9)
р
Подставляя выражение (8.9) в уравнение Эйлера и учитывая, что
(V'\7)V=\7(V2/2)-VxrotV, a rotF=2co,
где ю—угловая скорость вращения частиц, находим:
dV/dt + 4(V2/2)-2Vxa=TVS-Vi, или
dV/dt + 4i.0-T4S=2Vxw. (8.10)
Здесь /0 = /+К2/2— полная энтальпия потока (энтальпия торможения).
Соотношение (8.10), называемое уравнением Крокко, удобно тем, что
оно связывает между собой завихренность потока, полную энтальпию
и энтропию.
Рассмотрим установившееся течение сжимаемой нетеплопроводной
среды. В этом случае система уравнений, описывающая ее движение,
состоит из уравнения неразрывности (2.27), состояния (3.4) и уравнений
160

Vi0-T4S=2Vxu>, (8.11)
div(pK{/+F2/2}) = 0. (8.12)
Беря операцию div в (8.12) и учитывая уравнение неразрывности
(2.27), _получим V- V{/+ V2/2} = V- V/o = 0. Так как вдоль линии тока
V=kbr, где к — некоторая скалярная функция; Ьг — векторный элемент
линии тока, то 5 г • Vzo = dzo = 0, откуда вдоль линии тока
/0 = const. (8.13)
Умножим скалярно на Ьг левую и правую части уравнения (8.11):
di0-TdS=2[Vx(^'br = 2[brxP^'(o = 2[(oxbf]'V. (8.14)
Если 5Г—векторный элемент линии тока, то dio = 0 и Ьгх К=0, и,
следовательно, вдоль линии тока не только /0 = const> но и
dS=0 и S=const. (8.15)
Если же 5г — вектор, направленный произвольно, и приращения
полной энтальпии и энтропии di0 и dS по этому произвольному
направлению равны нулю, то из (8.14) следует, что Кхю = 0. Это
соотношение выполняется в следующих трех случаях: 1) |К| = 0 (этот
случай отсутствия движения из рассмотрения исключается как не
представляющий интереса); 2) V\\(o, т. е. в случае винтового движения
(это условие не выполняется, если движение плоское); 3) ю = 0, т. е.
в случае безвихревого движения. Таким образом, адиабатическое
движение сжимаемой жидкости только тогда будет безвихревым или
потенциальным, когда вдоль любого направления
г0 = const; £=const. (8.16)
Такое движение в дальнейшем будем называть изоэнтропическим
и изоэнергетическим.
Эти соотношения всегда имеют место при установившемся
течении, если оно однородно на бесконечности и в нем нет
поверхностей сильного разрыва переменного радиуса кривизны.
Поскольку поверхности сильного разрыва возникают только при
сверхзвуковых скоростях, то установившееся дозвуковое течение идеального
газа, начавшееся из состояния покоя, всегда является потенциальным.
§ 8.3. ОДНОМЕРНЫЕ ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
Одномерное изоэнтропическое течение является одним из
простейших случаев течения газа, и в то же время его результаты
широко используются как при изучении более сложных течений, так
и в практических приложениях, связанных с конструированием
аэродинамических труб, газодинамических установок и т. д. Напомним,
что одномерным называется такое движение, при котором параметры
потока зависят от одной пространственной переменной.
8.3.1. Уравнения одномерного изоэнтропического
течения газа
Будем рассматривать одномерное установившееся течение
газа с постоянной энтропией, при котором достаточно изучить течение
в элементарной струйке переменного сечения (рис. 8.2). В этом случае
уравнение неразрывности переходит в уравнение расхода
6 Зак 150
161

Рис. 8.2. Струйка газа
переноса полной энергии,
pVF=0. (8.17)
Вместо уравнений Эйлера и уравнения
переноса полной энергии следует взять их
интегралы. Но, как было показано в § 3.10,
уравнение Бернулли и интеграл уравнения
переноса полной энергии в
рассматриваемом случае движения газа совпадают.
Поэтому достаточно рассмотреть одно из этих
соотношений, например интеграл уравнения
который в одномерном течении имеет вид
. V2
i +— = const.
2
(8.18)
Уравнение состояния при постоянной энтропии согласно (8.5) можно
записать в виде
Ро
(8.19)
где р0, ро—давление и плотность адиабатически заторможенного
потока. Из соотношения (8.19) следует, что изоэнтропическое течение газа
является частным случаем движения баротропной среды. Соотношения
(8.17)...(8.19) полностью определяют изменения скорости, плотности и
давления в одномерном течении. Для определения температуры
необходимо воспользоваться уравнением состояния для совершенного газа
p = pRT
и по найденным из решения системы уравнений (8.17)...(8.19) давлению
и плотности рассчитать температуру.
8.3.2. Зависимость параметров потока
от его скорости, чисел М и X
Для установления зависимости параметров потока от его
скорости в одномерном изоэнтропическом течении воспользуемся
соотношением (8.18), определив константу из условий в точке
торможения. Уравнение (8.18) принимает вид
i+K2/2 = i0, (8.20)
где i0—энтальпия в точке торможения (далее индекс «0» обозначает
параметры в точке торможения). Разделим левую и правую части
соотношения (8.20) на /0, тогда при Ср = const
i _т _ v2 _ v2
'о ?о
2/о
(8.21)
где Vm2LX = y/2i0 — максимально возможная скорость течения газа
в одномерном изоэнтропическом движении. При V=Vmax /=0 и,
следовательно, Т=0, р = 0. Это соответствует условиям расширения
потока до полного вакуума. Поскольку уравнение состояния в
рассматриваемом случае можно записать в любой из двух форм
р/ру=Ро/руо и р/р0 = рТ/(р0Т0), то имеют место соотношения
pIPo^iT/ToY^-'K р/Ро^Г/Г^-1*. (8.22)
162

т/то,Р/Ро>?/?о
1.0 \
Поэтому, подставляя в (8.22) уравнение
(8.21), находим:
WJP0 = [l-I/2/^max]*-1);
р/Ро = [1-И2/^,]1/(т-1). (8-23)
Так как в одномерном изоэнтропическом
течении параметры торможения /0, Т0, р0
и р0 остаются постоянными (обмен теплотой
и, следовательно, энергией с окружающей
средой отсутствует, а также нет потерь),
то из соотношений (8.21) и (8.23) следует,
что с ростом скорости от нуля до Ктах
параметры потока непрерывно уменьшаются
и стремятся к нулю при K-*Fmax. Это
обстоятельство существенно отличает
движение газа от движения несжимаемой
среды, где плотность при любом изменении
скорости оставалась постоянной.
Найдем выражение для скорости звука в изоэнтропическом течении
газа. Используя соотношения (8.1) и (8.19), легко находим, что
V/Vmax
Рис. 8.3. Зависимость
газодинамических параметров от
скорости потока
a2=yP = yRT и а2 Ро RT
Р Ро
откуда
(8.24)
(8.25)
(8.26)
(8.27)
а21а20 = Т/Т0.
Подставляя в (8.25) соотношение (8.21), получаем
a2/a20 = T/T0 = l-V2/VLx.
Подставляя затем (8.26) в (8.23), находим:
plp0 = {a2laiy«-»- р/р0 = (а*1а20у<ь-
Из соотношения (8.26) видно, что с увеличением скорости потока
скорость звука в нем уменьшается. Эту скорость звука в дальнейшем
мы будем называть местной. На рис. 8.3 представлены зависимости
отношений р/р0, р/р0> Т/Т0 от V/Vmax. Видно, что при увеличении
скорости потока наиболее сильно уменьшается давление.
Установим зависимость параметров потока от числа М. Поскольку
Y-l Ро Y-1
формулу (8.26) можно переписать в виде
У2\ 7 Y-l
а%,
а2 = а\
= а§-
(8.28)
Деля соотношение (8.28) на а2 и учитывая, что число М= V/a, получим
io=1+IzlM2.
(8.29)
Тогда в силу (8.27)
\Y/(Y-D
Р
1 +
Y-1
М'
Ро =
Р
1+^М2
2
1/(Y-D
^=1+1:
-М2. (8.30)
163

Соотношения (8.30) позволяют легко вычислить параметры потока
по известным параметрам торможения р0, р0, Т0, числу М и
показателю адиабаты.
Помимо зависимостей (8.30) в технических расчетах используются
формулы, которыми устанавливается связь между параметрами потока
и числом X=V/aKp, называемым часто коэффициентом скорости. Здесь
акр— критическая скорость, под которой понимают скорость потока,
равную скорости звука. При V=ciKp числа М = 1иА,= 1.Из соотношения
(8.28) следует, что
«i-^-^i». (8-31>
На основании (8.26) и (8.22) получаем, что при V=aKp
Г.р_ 2 . /,Р /М*--1'. р, /j^""
Т0 Y+l Ро V7+V Ро VY+1
(8.32)
Из соотношений (8.32) видно, что критические параметры Гкр, ркр,
ркр зависят только от параметров торможения и показателя адиабаты,
причем критические параметры всегда меньше параметров торможения.
Используя уравнение (8.31), имеем
а.2р Y-l V2mJ V2max y+l
Поэтому на основании (8.21) и (8.23)
\y/(Y-D
P_.m_f, Y-l. '""-"
£-.W-^l-IZIX>j . (8.33,
Установим связь между числами М и X. Сравнивая уравнения
(8.30) и (8.33), находим:
ЩЦ*
\ = Mj^/Jl+—М2. (8.34)
Из соотношения (8.34) видно, что при изменении числа М от нуля
до оо, число X изменяется в пределах от 0 до ^(у Ч- 1)/(у— 1), т. е.
остается ограниченной величиной.
Подсчитаем теперь расход газа через сечение струи и его полный
импульс. Выражение для определения расхода принимает вид
g = pKF==pPoK^PF==p ^ I-*-}*2
Ро Якр \ У+1 /
2 \ i/(Y-D
J77I Ро«кР^(^) = Ркр "кр Fq(X), (8.35)
где F—площадь сечения струи.
В формуле (8.35)
«W-£-(*i) <■-£*) . (8.36,
164

Рис. 8.4. Зависимость удельного расхода
от коэффициента скорости
Рис. 8.5. Зависимость площади сечения
струи от числа Маха
причем произведение рК называется удельным расходом газа.
Проанализируем изменение удельного расхода в зависимости от
изменения коэффициента скорости X. Из выражения (8.36) видно, что
функция q(X) обращается в нуль при Х = 0 и Х = ^/(у+\)/(у— 1), т. е.
при К=Ктах. Поэтому на основании теоремы Ролля в указанном
интервале эта функция имеет, по крайней мере, один экстремум.
Определяя производную q(X) по X и приравнивая ее нулю, находим,
что dq(X)/dX = 0 при Х=\ и A, = N/(y+l)/(y—1), что соответствует
V=aKp и V=Vmax. Изменение q(X) в зависимости от X представлено
на рис. 8.4.
Функция q(X) оказывается очень удобной при расчете площади
сечения струи. Переписывая уравнение расхода (8.17) в виде
pVF=pKpVKpFKp
и учитывая соотношения (8.35) и (8.36), легко находим:
F/FKp=l/q{X),
или, используя связь числа X с числом М, получим
(8.37)
F
Y+1
(Y + 1)/[2(y-1)]
1 +
у-1
М'
(Y+l)/[2(y-l)]
(8.38)
Изменение площади сечения струи в зависимости от числа М потока
в струе представлено на рис. 8.5. Видно, что одному и тому же
отношению площадей соответствуют два значения числа Маха:
дозвуковое и сверхзвуковое.
Определим теперь полный импульс струи, под которым понимают
сумму импульса давления и количества движения в единицу времени:
I=pF+QV=Q[(pF/Q)+V] = Q{V+p/pV).
Используя соотношения V=XaKp, а2 = ур/р и учитывая связь скорости
звука а с критической скоростью звука акр, скоростью звука
адиабатически заторможенного потока а0 и коэффициентом скорости X,
находим:
/=^е*кр
b+{) = y-^-QaKpz(X),
(8.39)
165

где z(X) = X+\/X. Функции т(Х), п(к), г (к), q(k), z(k) широко
используются в практических расчетах одномерных внутренних течений
газа, и их значения затабулированы и приведены в справочной
литературе для различных значений показателя адиабаты у.
8.3.3. Зависимость изменения площади сечения струи
от скорости потока
Рассматривая движение газа в элементарной трубке тока,
мы установили изменения плотности давления, температуры, скорости
звука от скорости потока. Теперь определим изменение площади
сечения струйки от скорости потока. Связь площади сечения струйки
со скоростью устанавливается уравнением расхода (8.17).
Прологарифмируем сначала (8.17), а затем продифференцируем полученное
выражение. В результате найдем:
dp/p + dF/F+dV/V=0. (8.40)
Исключим из (8.40) dp/p. Так как на основании формул (8.22), (8.27)
и (8.28) dp/p= —М2 dV/V, то, подставляя полученное выражение для
dp/p в (8.40), находим:
dF/F=(M2-\)dV/V. (8.41)
Соотношение (8.41) устанавливает связь между относительным
изменением площади сечения струи dF/F и относительным изменением
скорости dV/V. Видно, что при ускоренном движении дозвукового
потока (М<1) площадь сечения струи уменьшается, в то время как
при ускоренном движении сверхзвукового потока (М>1) площадь ее
сечения увеличивается. Замедление движения, наоборот, происходит
в случае увеличения площади сечения струи дозвукового потока и при
уменьшении ее для сверхзвукового.
Таким образом, чтфбы получить сверхзвуковую скорость потока
в струе, площадь ее сечения сначала необходимо уменьшать, а затем
увеличивать. Канал с указанным изменением площади сечения
называется соплом Л аваля.
В сотношении (8.41) случай М = 1 является особым и требует
отдельного рассмотрения. Можно показать, что при V<a скорость
в горле сопла достигает максимума,
а давление минимума. Этот случай
представлен на рис. 8.6 кривой 1.
Можно также показать, что изменение
I j х скорости в окрестности горла сопла
^Vffr7777T77^^ dV/dx=±a^RJ2,
j | где R = d2F/dx2.
- | -—-^ j Отсюда следует, что после критиче-
\l^- I ского сечения возможны два варианта
>^ I движения: дозвуковое движение с из-
J^-^^_ менением давления по кривой 2 или
] >- сверхзвуковое — с изменением давле-
0 х ния по кривой 3 (рис. 8.6). Реализация
Рис. 8.6. Изменение давления при те- ТОГО ИЛИ ИНОГО режима течения будет
чении газа по соплу Лаваля зависеть от условий на срезе сопла.
-I ь
166

Если рСреза</7кр> т° течение будет соответствовать кривой 3,
т. е. в расширяющейся части будет сверхзвуковое течение. Если
/?cpe3a>/?Kp, то течение будет дозвуковым и соответствующим кривой
2. Если внешнее давление рн равно давлению на срезе сопла
и (Рн— береза)>Ркр (кривая 2), то это соответствует расчетному случаю
расходного сопла. В этом случае масса газа, вытекающая из сопла,
будет наибольшей.
Если внешнее давление рн равно давлению на срезе сопла
и (Рн ~Рсреза) <Ртр (кривая 3), то это соответствует расчетному случаю
сверхзвукового сопла.
Если (рн>Рсреза)<Ркр> то сопло называют перерасширенным.
Если (Рн<Рсреза)<РкР, т° сопло называют недорасширенным.
В общем случае, если рсреза"£Рн> то говорят, что сопло имеет
нерасчетный режим течения.
§ 8.4. ТЕЧЕНИЯ ГАЗА С ПОВЕРХНОСТЯМИ
СИЛЬНОГО РАЗРЫВА
8.4.1. Поверхности разрыва скорости в жидкости и газе
В отличие от случая движения несжимаемой жидкости при
движении газа в нем могут возникать поверхности (слои очень
малой толщины), при переходе через которые параметры газа
резко меняются. Если в жидкости (р = const) возможны лишь
поверхности разрыва тангенциальной составляющей скорости
(примером которых является вихревой слой), то в газе
возможны поверхности разрыва как тангенциальной, так и
нормальной составляющих скорости. Обусловлено это тем, что при
Уп\ Ф Уп2 на некоторой поверхности £ условие сохранения масс
при переходе через эту поверхность может выполняться, так как
в силу сжимаемости газа при изменении скорости меняется и его
плотность, т.е. Pi^p2- В несжимаемой жидкости, когда р = const,
при Уп1фУп2 это условие не выполняется, что и приводит к
отсутствию в жидкостях поверхностей разрыва нормальной
составляющей скорости. Разрывы нормальной составляющей скорости
в газе сопровождаются соответствующими разрывами плотности,
давления и температуры. В действительности имеют место не
поверхности разрыва, а узкие области сильного изменения скорости,
давления, температуры, плотности, в которых существенно влияние
вязкости и теплопроводности. Толщина таких областей сравнима
с длиной свободного пробега молекул. Внутри них происходят
термодинамически необратимые процессы, а вне этих областей
течение можно считать при умеренных скоростях движения газа
адиабатическим.
При наличии в газе поверхностей разрыва параметров потока
дифференциальные уравнения Эйлера, описывающие движение газа,
становятся несправедливыми и необходимо обратиться к уравнениям
газовой динамики в интегральной форме. Интегральная форма
уравнений движения сплошной среды иначе называется уравнениями
движения конечных объемов. Преимущество этих уравнений перед
уравнениями в дифференциальной форме заключается в том, что
при их выводе не накладываются условия непрерывности параметров
потока.
167

8.4.2. Интегральная форма уравнений газовой динамики
При выводе уравнений в интегральной форме мы
ограничимся только установившимся движением и укажем, как можно получить
уравнения и для неустановившегося движения.
Пусть в потоке имеется некоторая замкнутая поверхность Е,
ограничивающая объем т (рис. 8.7). Рассмотрим перенос масс через
эту поверхность. Для этой цели выберем на поверхности элементарную
площадку da с огзтом нормали п°. Пусть скорость в точках этой
площадки будет V, тогда масса, переносимая за единицу времени
через площадку da, будет dm = pV-n°da. Для установившегося
движения масса, переносимая через замкнутую поверхность £, будет равна
нулю, если внутри объема т нет ни источников, ни стоков,
следовательно,
IJ
pV-n°da = 0.
(8.42)
Количество движения, переносимое через элемент поверхности в
единицу времени, будет равно p(V-n°)Vda. Интеграл по поверхности
будет представлять собой изменение количества движения в единицу
времени, которое равно силам, действующим по поверхности
(массовыми силами пренебрегаем):
\p(V-n°)Vda=- \\pn°da9 ]
\[[p{V-no)V+pn°]da = 0.
(8.43)
Теперь рассмотрим изменение полной энергии в единицу времени.
Полная энергия, переносимая через площадку do в единицу времени,
будет p(V-n°)(e+V2/2)da. Изменение полной энергии в объеме
т равно ее изменению вследствие переноса через поверхность £ и в
случае идеальной нетеплопроводной среды равно работе только
поверхностных сил (массовыми силами пре-
4$ небрегаем), поэтому
p(V-n°)(e+V2/2+p/p)da = 0. (8.44)
Рис. 8.7. Объем пространства с
поверхностью сильного разрыва S
Для совершенного газа при
умеренных температурах уравнение (8.44)
можно записать в следующей
эквивалентной форме:
p(V-n°)(i+V2/2)da = 0. (8.45)
168

Уравнения (8.42), (8.43) и (8.45) удобны тем, что они справедливы
как при непрерывных, так и при прерывных изменениях параметров
потока. Если параметры потока являются непрерывными функциями
координат, то путем преобразования поверхностных интегралов в
объемные можно получить соответствующие уравнения в
дифференциальной форме.
8.4.3. Условия динамической совместности
Получим теперь соотношения, которым должны
удовлетворять параметры потока в газе при наличии в нем поверхности
разрыва.
Пусть в объеме х (см. рис. 8.7) имеется единственная поверхность
разрыва S, делящая этот объем на две части I и И. Будем
приписывать параметрам потока при подходе к поверхности S из
I области индекс «1», а при подходе из области II — соответственно
индекс «2». Разбивая интеграл по поверхности Е на сумму интегралов
по поверхностям £1} £2 и S, находим из уравнения (8.42):
[fp(F-*°№+[L^
p(V'n°)dT,2 = 0
и, имея в виду, что сумма крайних интегралов в силу уравнения
(8.42) равна нулю, получаем
[Р2 (^2 -^)+Pl(^l •>??)] ^=0.
Так как п\= — «2 = «s» т°
Я'
(P2^2'«S-PlP1-n§)rf5 = 0.
Последнее равенство должно выполняться для любой поверхности
S, следовательно, в точках этой поверхности подынтегральное
выражение должно равняться нулю, т. е.
p2(*V*S) = Pi(*V*S). (8.46)
Совершенно аналогичные рассуждения применительно к интегралам
(8.43) и (8.45) с учетом равенства (8.46) приводят к следующим
соотношениям:
PiVni(V2-V1) = {p1-p2)n°s, (8.47)
i2+F22/2 = i1+F12/2. (8.48)
В формуле (8.47) Vnl — нормальная составляющая вектора скорости
Vl в точках поверхности разрыва S. Если спроектировать векторные
величины в уравнении (8.47) на направление нормали к поверхности
разрыва и направление, расположенное в касательной плоскости,
получающееся от пересечения касательной плоскости с плоскостью,
проходящей через нормаль и вектор скорости перед поверхностью
169

разрыва, то найдем следующую систему алгебраических уравнений
(при Уп1Ф0 и Кп2^0):
p2Vn2 = PlVnll PlVnl{Vn2-Vnl)=Pl-P2l VT2=VT1\
i2+Vl/2 = i1 + V?/2. (8.49)
Уравнения (8.49) называются условиями динамической совместности.
Обозначая, как и ранее, индексом «О» параметры адиабатически
заторможенного потока, из последнего уравнения (8.49) получим
1о1 = |'о2, (8.50)
т. е. полная энергия при переходе через адиабатическую поверхность
разрыва не меняется. Так как для совершенных газов при умеренных
температурах i=CpT, то из (8.50) имеем Т01 = Т02, т. е. при переходе
через адиабатическую поверхность разрыва температура торможения
сохраняется, так как а0, Fmax, акр связаны с Г0, то а01 = а02;
^maxl=^max2; «кр1=«кР2- УчИТЫВаЯ, ЧТО / = -L-^, ИЗ СООТНОШвНИЯ
у-1 р
(8.50) находим:
Р02/Р01 = Р02/Р01 = ст. (8.51)
Отношение Po2/Poi = G или Po2/Poi = cr называется коэффициентом
сохранения ("или коэффициентом восстановления) полного давления при
переходе через поверхность разрыва. Выразим коэффициент а через
параметры потока перед поверхностью разрыва и за ней. Рассмотрим
линию тока, проходящую через точки торможения. Так как энтропии
вдоль линии тока перед поверхностью разрыва и за ней постоянны,
но неодинаковы, то имеем Pi/p\=PoilpyQ1', P2lPy2=Po2/Py02, поэтому
a = (^1//?2)1/(Y-1)(P2/Pi)Y/(Y-1). (8.52)
8.4.4. Классификация разрывов в газе
1. Предположим, что масса среды не переносится через
поверхность разрыва S, т.е. PiVnl = p2Vn2 = 0, но плотности среды
до и после разрыва неодинаковы, Pi#p2- Тогда Vni = Vn2 = 0, и из
уравнения (8.47) следует, что Pi=p2, т.е. давление при переходе
через поверхность разрыва не изменяется. Из уравнения (8.47) видно,
что эти условия удовлетворяются при любых VT и, как это следует
из (8.49), при любых /. Это означает, что при переходе через
поверхность S касательная составляющая скорости, энтальпия и,
следовательно, температура могут терпеть разрыв. Итак, если
нормальные составляющие скорости на поверхности разрыва равны нулю,
давление при переходе через эту поверхность сохраняется, а
касательные составляющие скорости, плотность и температура терпят разрыв,
то такая поверхность называется контактным разрывом.
2. Теперь предположим, что через поверхность разрыва
переносится масса, т. е. рУпфО. Пусть при этом нормальная составляющая
скорости разрыва не терпит, Vnl = Vn2. Тогда из соотношений (8.49)
находим, что Pi = P2; Pi=P2\ Ут\ = Ут2* т- е- в рассматриваемом
случае плотность, скорость, давление, тангенциальная составляющая
скорости и энтальпия при переходе через поверхность S не изменяются
170

и, следовательно, поверхность разрыва отсутствует. Аналогичный
результат получается и при предположении равенства плотностей
(р1=:р2) до и после разрыва.
3. Пусть рК„т^0 и Уп\фУп2, т.е. нормальная составляющая
скорости терпит разрыв при переходе через поверхность S. Это
эквивалентно условию pi^p2. Тогда из соотношений (8.49) находим,
что р2Фр\ и *2^*i- При этом возможны два случая: p2>pi и р2<Pi•
В случае p2>Pi из (8.49) заключаем, что Vn2<Vnl, а Рг>Р\-
Так как при переходе через поверхность S Vn2<V„i, a VT2=VT1,
то V2<Vl9 и, следовательно, i2>ii- Такая поверхность разрыва
называется скачком уплотнения.
В случае, когда p2<Pi, имеем Vn2>Vnl, V2>Vl9 p2<pl9 i2<h-
Такая поверхность называется скачком расширения. Таким образом,
условия динамической совместности допускают существование как
скачков уплотнения, так и скачков расширения.
Рассмотренные поверхности разрыва называют также
поверхностями сильного разрыва, так как при переходе через них терпят
разрыв те или иные параметры потока. Существуют также поверхности,
при переходе через которые терпят разрыв производные параметров
потока. Такие поверхности называют поверхностями слабого разрыва
или характеристическими поверхностями.
8.4.5. Ударная адиабата
На основании условий динамической совместности и
уравнения состояния установим зависимость отношения р2/рх от отношения
Рг/Pi- Из первого уравнения (8.49) находим:
r nl г п2
Pi
Подставляя это равенство во второе уравнение (8.49), имеем
Pi vni 0 - PilP2)=Pi (1 -P2IP1).
Учитывая третье и четвертое уравнения (8.49), после
преобразований получим
Y+1 р2 !
_у-1 pi
/
7+1 Р2
_у-1 Pi_
Соотношение (8.53) называется ударной адиабатой. Из этого уравнения
следует, что при p2/Pi->(Y+ 1)/(у—1) p2/Pi^^9 а при p2/Pi-*l
р2/р1-+\.
Зависимость р2//?i=/(р2/pi) в логарифмических координатах
представлена на рис. 8.8, там же приведена изоэнтропа /?2//?i = (p2/Pi)Y.
Из графика видно, что при 0,5<р2/р!^2 ударная адиабата совпадает
с изоэнтропой.
Если рассмотреть изменение энтропии при переходе через
поверхность разрыва, то можно показать, что
Y+1 Р2
/>1\Р2/ 1±1_Р^ \Р2/
7-1 р!
171

Pt/Pf>b-S1
0,1 \ 0,5
s\io V?/
(r+i)/(r-D
Рис. 8.8. Ударная адиабата (2J,
изоэнтропа (1) и зависимость
изменения энтропии S2 — Sl при
переходе через поверхность
сильного разрыва от изменения
плотности (3)
а в окрестности T| = p2/pi = l,
о2 — S± — Cv
(л-1)3
d3S2
~d^
+ ...,
где Si, S2—энтропии перед поверхностью разрыва и за ней
соответственно. На рис. 8.8 показана зависимость *S2 — Si=/(P2/pi)- Видно,
что при 0,5<p2/pi^2 (что соответствует значениям числа Маха
0,6<М<2) изменение энтропии при переходе через поверхность
сильного разрыва будет незначительным.
Во всех этих рассуждениях мы опирались только на условия
динамической совместности, поэтому эти результаты будут
справедливы для скачков как уплотнения, так и расширения.
8.4.6. Условия термодинамической совместности
Покажем, что сильные разрывы являются источниками
необратимых термодинамических процессов. В самом деле, согласно
второму закону термодинамики необратимые процессы протекают
всегда при возрастании энтропии, т.е. S2-Si>0, поэтому, выражая
эту разность через давление р и плотность р и учитывая уравнение
(8.53), найдем, что
аг) — 1
(а-л) Л'
>1,
(8.54)
172

Рис. 8.9. Ударная
адиабата (1) и изоэнтропа (2)
где а = (у+1)/(у — 1). Этим неравенством
накладываются дополнительные к условиям
динамической совместности требования к параметрам
потока на поверхности разрыва. Условие (8.54)
удовлетворяется, как это следует из графика,
приведенного на рис. 8.8 при p2>Pi-
Таким образом, из условий
термодинамической совместности следует, что так как
в изолированной системе действительные
физические необратимые процессы протекают при
S2>SU то возможны лишь скачки уплотнения.
Скачки же расширения физически существовать
не могут.
Сравним процесс повышения давления
в скачке уплотнения (ударное сжатие) с изоэнтропическим сжатием,
для которого S2 = SX и p2/Pi={p2/pi)y-
Из предыдущего следует, что ударное сжатие не является
изоэнтропическим процессом, причем при одинаковых изменениях
плотности в обоих процессах давление за скачком оказывается больше,
чем перед скачком (см. рис. 8.8). При неограниченном возрастании
давления в изоэнтропическом процессе плотность также неограниченно
возрастает, в то время как при ударном сжатии остается ограниченной
величиной и при p2/pi~*oo, p2/pi-»(y+r)/(y—1). Используя уравнения
состояния и ударной адиабаты, легко найти, что при ударном сжатии
изменения температуры и давления связаны соотношением
У+*Р2 , (pi)2
)]/[££♦'}
(8.55)
в то время как в изоэнтропическом процессе Т2/Т1=(р2/р1)(у~1)/у.
Отсюда следует (рис. 8.9), что при одинаковых изменениях давления
в обоих процессах температура при ударном сжатии оказывается
больше. Этот сильный разогрев газа при переходе через скачок
уплотнения и является причиной того, что плотность за скачком
остается ограниченной.
Условия динамической и термодинамической совместности дают
возможность установить, что возникновение скачков уплотнения
возможно только в сверхзвуковом потоке. В самом деле, возрастание
энтропии при переходе через скачок уплотнения приводит к условию
(/>2//>l)(Pl/p2)Y>l,
а из уравнения динамической совместности (8.49)
Рг_л , yVnii Ь
Pi
l-=l+±
Следовательно, для скачков уплотнения должно выполняться условие
1VIJ 92
1 >
1
Так как при скачке уплотнения p2/pi>l, то, полагая p2/Pi = l+.x,
учитывая, что (p2/pl)y = (l+x)y>l+yx, и подставляя выражение для
(P2/Pi)Y в написанное выше неравенство, получаем при х>0 Vni/ai>l.
173

V1 >a
a)
Рис. 8.10. Присоединенные (а) и отошедшие (б) скачки уплотнения (стационарные
ударные волны) при обтекании заостренных и затупленных тел:
1—тело; 2—скачок
Поскольку V1>VnU отсюда следует, что V1>a1. Это означает, что
скачки уплотнения образуются только при сверхзвуковых скоростях
потока и в зависимости от конфигурации обтекаемого тела могут
быть присоединенными и отсоединенными (рис. 8.10). Опыт
показывает, что скачки уплотнения могут быть как перпендикулярными
к вектору скорости набегающего потока, так и неперпендикулярными.
Если угол наклона скачка (3 (под которым понимают угол между
вектором скорости набегающего потока и касательной плоскостью
к фронту скачка (см. рис. 8.10 или 8.11)) одинаков для всех точек
фронта скачка и меньше 90°, то скачок называют косым. При р = 90°,
одинаковом для всех точек фронта скачка, скачок называют прямым.
Если при переходе от точки к точке вдоль фронта скачка его угол
наклона меняется, то скачок называют криволинейным.
НАЛ. Определение параметров потока за скачком уплотнения
Предположим, что вектор скорости составляет с фронтом
скачка угол р (рис. 8.11), и определим изменения плотности, давления,
температуры и других параметров газа при переходе через скачок
уплотнения. Для этой цели воспользуемся условиями динамической
совместности. Из (8.49) следует, что
El
Pi
= 1-
Pi Ki / К
Pi
Vnl
или, обозначая Vnl/a1=Mnl=M1sm$, с учетом первого уравнения
(8.49) имеем
P2/Pi = l-yMt1(p1/p2-l).
Перепишем четвертое уравнение (8.49) в виде
174
(8.56)

У Pi ) v2m_
У-Ipi 2
Y Pi { VI.
y-lp2 2
и подставим в это соотношение выражение
(8.56). После элементарных алгебраических
преобразований получим
1-
2 2 р2
= 0,
Рис. 8.11. Косой скачок
уплотнения
откуда находим первое решение
1-Pi/P2 = 0, или р! = р2.
Это означает, что плотность будет непрерывной функцией, и, как
это следует из уравнений динамической совместности, будут
непрерывными давление, температура и другие параметры. Иначе говоря,
в этом случае скачка уплотнения не будет. Второе решение имеет вид
Р2_ (у+\)м2п1
(8.57)
(8.58)
(8.59)
Pl 2 + (Y-l)M„V
Подставляя (8.57) в (8.56), находим:
р2_2уМн21-(у-1)
Pi Y+1
Пользуясь уравнением Клапейрона, с учетом соотношений (8.57)
и (8.58) получим
Т2_[2уМ2п1-(у-1)][2 + (у-\)М2п1]
Найдем скорость звука и число М потока за скачком. Так как
?l=zE±P± = Tl то
а\ PiPi тх'
а2_[2уМ21-(у-1)][2 + (7-1)М21]
и после некоторых преобразований получим
f2_[2 + (Y-l)Mn21]2 + (Y+l)2Mw41ctg2p
[2уМ21-(у-1)][2 + (у-1)М21]
М22-
(8.60)
(8.61)
Можно указать иное соотношение для определения числа М2. Если
воспользоваться условием сохранения энтропии вдоль линии тока,
то легко найти:
1+^м!
2 2 _7\
Эта зависимость будет справедлива как для косых, так и для прямых
скачков уплотнения.
Определим теперь изменение энтропии и коэффициент сохранения
полного давления. Так как
175

S2 — Sl = Cv In
щ Pi
PI\P2
-Cv\nay~1 = -R\nG,
где R— газовая постоянная, то, используя уравнения (8.57) и (8.58),
получаем
(8.62)
Подставим в уравнение (8.52) соотношения (8.57) и (8.58), тогда
„., MiiA^«.",~
.г-1
7+1
(1+1)1
2(7-0
Y
Y-1
N&
/
27
1
. (8.63)
В заключение установим связь между нормальными
составляющими скорости до и после скачка. Из первого уравнения (8.49)
с учетом (8.57) находим:
_^1[2+(у-1)М„21]
Так как М^^Ц-
Я 1
„ i+fezog-ft, то
vnlvn2=
7+1
*§•
at
7-1
7+1
7+1
(8.64)
Соотношение (8.64) называется уравнением Прандтля.
Формулы (8.57)...(8.64) справедливы как для косого, так и для
прямого скачка. В последнем случае в них необходимо положить
Мл1 = М!. Для прямого скачка VT = 0 и из (8.64) следует, что
V1V2^alv, или Х1Х2 = \,
откуда видно, что за прямым скачком скорость всегда дозвуковая.
Проанализируем найденные соотношения. Прежде всего, отметим
еще раз, что при переходе через скачок
Рг>Ри Р2>Рь T2>Tl; а2>ах; Vn2<Vni; M2<Mi.
При М„! = 1 p2/Pi = P2/Pi = T2/T1=a2/a1 = \, а=1, т. е. разрыв параметров
отсутствует и скачок вырождается в волну возмущения. Действительно,
в этом случае M1 = l/sinP, откуда видно, что Р = ц, где \i — угол
возмущения. При Мп1-»оо (что соответствует Mi-юо, так как ц<Р<7г/2
и является ограниченной величиной) p2/pi-*co, Т2/Т1-^оо, fl2/fli-»oo,
а Р21р^{у+Щу-1), М2 VE(Y-1)' + {У+ l)2ctg2 Р]/[2у(у-1)1 а^О.
Изменения отношений p2/pi, p2/Pi, Т2/Ти sl также коэффициенты
сохранения полного давления а в зависимости от числа Mnl=M1 sinp
представлены на рис. 8.12.
Из приведенных выше соотношений следует, что значение энтропии
за скачком зависит от числа Мх и угла наклона фронта скачка.
Если скачок криволинейный, то угол наклона фронта изменяется при
переходе от точки к точке вдоль скачка и, тем самым, меняется
и энтропия за скачком, не оставаясь постоянной для различных
линий тока. Это означает, что поток за криволинейным скачком
уплотнения становится вихревым.
176

Рис. 8.12. Зависимости отношений параметров
потока за скачком уплотнения и перед ним, а также
коэффициента восстановления полного давления
а от числа Mnl=Mi sin (3
Сравним изменения параметров
потока при переходе через прямой и косой
скачки уплотнения при одном и том же
числе Мх. Так как Ркос.ск<гс/2, то
M^sinP^<СК<М1 и изменение параметров
потока при переходе через косой скачок
уплотнения значительно меньше, чем при
переходе через прямой, а коэффициент
сохранения полного давления больше.
Изменение энтропии характеризует
необратимый переход части механической
энергии в тепловую, поэтому при полете затупленных тел с образованием
отсоединенных скачков уплотнения их сопротивление оказывается
больше, чем у тел с заостренными носовыми частями, перед которыми
возникают присоединенные, более слабые скачки уплотнения.
Из формул (8.57)...(8.64) видно, что параметры потока за скачком
уплотнения вполне определяются, если известен угол наклона скачка.
Для того, чтобы найти угол р (см. рис. 8.11), воспользуемся
соотношениями
Kr2=F2cos(p-8); Kn^cosp;
K„2=F2sin(p-8); Knl = KlSinp,
где 8—угол поворота потока за скачком уплотнения. В силу (8.49)
tg(p-6)=gtgp.
Подставляя соотношение (8.57) в предыдущее выражение и делая
ряд несложных тригонометрических и алгебраических преобразований,
находим:
7+1
Ctg8 = tgP
М2
М? sin2 (3-1
(8.65)
Формула (8.65) связывает угол поворота потока 8 за скачком уплотнения
с числом Мх и углом наклона скачка. Из полученного соотношения
следует, что 8 = 0 в двух случаях: 1) когда Mfsin2p—1=0, т.е. когда
sinP=l/M1 и P = jii—это случай вырождения скачка уплотнения в волну
возмущения, при переходе через которую параметры потока разрыва
не терпят; 2) Р = тг/2—это случай прямого скачка уплотнения. Изменение
угла Р в зависимости от угла е и числа Мх представлено на рис. 8.13.
Из графика видно, что каждому числу Мь соответствует максимальное
значение угла 8пред, на который может повернуться поток, проходя
фронт косого скачка уплотнения. Величина 8пред зависит от числа Mt.
При заданном числе Мх одному и тому же углу поворота потока
соответствуют два значения угла наклона скачка р, принадлежащих
сильному и слабому скачкам. За сильным косым скачком скорость
дозвуковая, а за слабым сверхзвуковая. В действительности, если,
177

о 4 в п т го гч 2д зг зб w м чь
о * в 12 16 го г* гв зг 36 м м ^°
Рис. 8.13. Зависимость угла наклона косого скачка от числа Маха перед скачком
и угла поворота за скачком:
слабый скачок е<епред; сильный скачок е>епред; М2 = 1
например, клин с углом полураствора е<епред имеет конечную длину,
то при умеренных сверхзвуковых скоростях всегда реализуются слабые
присоединенные косые скачки. Если же г>епред, то возникает
отсоединенный криволинейный скачок уплотнения.
8.4.8. Системы ^скачков уплотнения
Торможение потока и повышение давления в скачках
уплотнения широко используются на практике. Однако в скачках
уплотнения совершаются необратимые процессы и, как следствие,
имеют место потери полного давления по сравнению с непрерывным
сжатием потока. Наибольшие потери полного давления наблюдаются
в прямом скачке. Для снижения потерь полного давления организуют
систему косых скачков с замыкающим прямым скачком.
При числах Mi < 1,4...1,5 коэффициент восстановления полного
давления мало отличается от единицы (а = 0,9582...0,9298), поэтому
для торможения потока можно ограничиться одним прямым скачком.
При числах М1 = 1,6...2,0 можно применять систему, состоящую из
одного косого и одного прямого скачков. При больших числах
Мх необходимо иметь систему из нескольких косых и одного
замыкающего прямого скачка. Коэффициент восстановления полного
давления системы скачков, состоящей из косых скачков и одного
прямого скачка, вычисляется по формуле
п
_ РОп Р02Р03 РОп _. _. Т~Г _ /о гг\
^сист = — = ... = а1...аи = Ца/, (8.66)
/?01 P0lP02 Р0п-1 i
причем его надо выбрать так, чтобы асист = атах.
178

В формуле (8.66)
^/^"1/Л \Y/(Y-D
Pj+l
7+1
Pi+i_ (7+1)М?зт2р,-
J \/7,-+i/ \ Pj- у ' Л+1 27М?8т2р,-(7-1)' P; 2 + (7-l)M?sin2(3/
Если мы подставим выражения для Pj/pj+1 и pJ.+ 1/p. в (8.66),
то получим выражение для коэффициента восстановления полного
давления, зависящее от Му. sinp^. Нахождение максимума этого
выражения приводит к условию Мх sin(31=M2 sinP2... = M„_1sinPn_1. Отсюда
следует, что коэффициент восстановления полного давления системы
скачков будет максимальным в том случае, когда интенсивности
скачков системы, характеризуемые величинами М,- sinP;., будут
одинаковы. В этом случае будут одинаковыми отношения статических
давлений, плотностей, температур за скачком и перед скачком, а также
будут одинаковыми и коэффициенты восстановления полного давления.
Результаты расчетов показывают, что коэффициенты восстановления
полного давления в косых скачках оптимальной системы меньше, чем
в замыкающем прямом скачке, углы наклона и углы поворота потока
в направлении течения возрастают, а числа М убывают.
8.4.9. Взаимодействие и отражение скачков уплотнения
Скачки уплотнения могут взаимодействовать между собой
и отражаться от границ сплошной среды.
Рассмотрим отражение косого скачка от твердой плоской стенки.
В зависимости от угла наклона Рх падающего скачка уплотнения
возможны различные случаи отражения скачка. Пусть из точки
А выходит скачок уплотнения (рис. 8.14) и под углом рх падает на
плоскую стенку в точке В. В этой точке поток должен был бы
повернуться на угол е15 чему мешает плоская стенка. Поэтому
в точке В возникает другой скачок уплотнения — отраженный, за
которым поток снова получает направление вдоль плоской стенки.
Так как угол zt известен, то нетрудно определить число М2 за
падающим скачком и рассчитать угол наклона Р2 отраженного скачка
и все параметры газа при переходе через него.
Если угол поворота потока гх за падающим скачком меньше
предельного угла поворота потока, подсчитанного по числу Маха
за этим скачком М2, то отраженный скачок будет косым с углом
Р2, а сам процесс отражения будет называться правильным или
Рис. 8.14. Регулярное отражение
скачка в идеальном газе .от твердой
стенки:
1—твердая стенка; 2— падающий скачок;
3 — отраженный скачок
7/777777777777777777777777
В В'
Рис. 8.15. Маховское отражение скачка в
идеальном газе от твердой стенки:
1—твердая стенка; 2 — падающий скачок; 3 — прямой
скачок; 4 — отраженный скачок; 5 — поверхность
разрыва скорости
179

регулярным. При больших углах поворота ех этот угол может
превышать предельный для числа М2, и тогда косой отраженный скачок
в точке В не реализуется. Поскольку на стенке изменения направления
вектора скорости потока в этом случае произойти не может, то на
стенке при ех > епред (М2) возможен только прямой скачок. Падающий
косой скачок до стенки не доходит, и возникает система скачков,
показанная на рис. 8.15. Течение за скачком А В дозвуковое, при
котором возможно установившееся течение за скачком А'С вдоль
стенки ВВ\ так как за АВ' линии тока непараллельны. В точке А
вектор скорости потока непараллелен ВВ', и его угол поворота при
переходе через АС меньше, чем при переходе через А А. В точке
А возникает поверхность разрыва скорости AD, при переходе через
которую давление сохраняется, но меняются по величине скорость,
плотность и температура. Рассмотренный тип отражения называется
отражением по Маху, а точка А—тройной точкой.
Если косой скачок падает на свободную границу газа, на которой
давление постоянно, он может отразиться от нее либо в виде другого
скачка уплотнения, либо в виде веера волн разрежения.
Взаимодействие скачков уплотнения может быть двух видов:
взаимодействие двух скачков, вызванных отклонениями потока
противоположных знаков (рис. 8.16), и взаимодействие двух скачков,
вызванных отклонениями потока одинаковых знаков. При первом
типе взаимодействия, когда в общем случае г1фг2, скачки пересекаются
в точке А. Параметры потока и его направления в областях II и III
(рис. 8.16) определяются по известным углам отклонения потока ех
и е2 и параметрам в области I, а в области IV — из условий течения
в точке пересечения А. Направление вектора скорости в области II
отличается от аналогичного в области III на угол е1 + г2- Отклонение
потока при переходе из области II в область IV через скачок AD
должно быть связано с отклонением при переходе из области III
в область IV через сказок АЕ таким образом, чтобы направления
скоростей в области IV после этих отклонений были одинаковыми,
совпадающими с AF. Давления вдоль AF после перехода газа через
скачки AD и АЕ также должны быть одинаковыми. Эти два условия
позволяют рассчитать углы наклона этих скачков и изменения
параметров потока. Если интенсивности скачков сильно различаются
Рис. 8.16. Взаимодействие косых скачков Рис. 8.17. Взаимодействие косых скачков
уплотнения при отклонениях потоков уплотнения при отклонениях потоков од-
разных знаков ного знака
180

между собой, то изменения энтропии при переходе через скачки АЕ
и AD будут различными и при равных давлениях в областях AEF
и ADF области IV будут различные скорости и плотности. Это
означает, что линия AF будет линией разрыва скорости и в точке
А будет возникать вихрь бесконечной интенсивности.
При втором типе взаимодействия двух скачков, вызванных
отклонениями потока одного знака, снова надо рассматривать условие
стационарности течения вдоль линии AF (рис. 8.17). При переходе
через линию тока АЕ, выходящую из точки пересечения скачков А,
давление не должно терпеть разрыв. Если же предположить, что за
скачком AD направление потока такое же, как и в области III, то
станет ясно, что в этом случае в области IV давление будет отличаться
от давления в области III. Это обуславливается неодинаковым сжатием
потока при переходе через скачок AD и систему скачков АВ и АС.
Для того чтобы давления и направления скоростей вдоль AF и в
областях III и IV были одинаковыми, из точки А должна выходить
отраженная волна АЕ. Обычно интенсивность этой волны мала, и во
многих случаях ею можно пренебречь. Тогда положение скачка AD
определяется из предположения, что угол поворота потока при переходе
через AD равен e1+e2, т- е- такой же, как в области III. Вдоль линии
AF происходит разрыв скорости, вызывающий вихревое течение.
8.4.10. Скорость распространения ударной волны
Пусть имеется ударная волна, которая движется по
отношению к некоторой системе координат со скоростью U,
направленной по нормали к фронту волны (рис. 8.18). Пусть перед волной
нормальная составляющая скорости среды Vnl, давление р 19 плотность
р19 а за ней соответственно Vn2, р2 и р2. Тогда уравнение расхода
запишется в виде
Pi{U-V.i) = Pi(U-VH2),
а уравнение импульсов —
Pi(U-Vnl)(VH2-VHl)=p2-Pl.
Исключая из этих уравнений Vn2, находим:
U-Vnl= lEiz£±*Lm
V p2-pi Pi
Если перед фронтом скачка скорость У
равна нулю, то Pi=p0, Pi = Po- Тогда
£/= Ip^-Po Р2
V Р2-Ро Ро
Разность давлений р2—р1
характеризует интенсивность ударной волны.
Если Рг~Р\=^Р\ P2~~Pi=:^P' то
в пределе при Ар -► 0 получим
Иначе говоря, скорость
распространения ВОЛНЫ слабых возмущений равна Рис. 8>18. Треугольники скоростей пе-
СКОрОСТИ звука. ред и за движущейся ударной волной
181
\^^У?п \Vit п
/С*

глава 9. ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
НЕВЯЗКОГО ГАЗА С БОЛЬШИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
§ 9.1. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Получим основные уравнения установившегося движения
газа. Для этого обратимся к уравнениям неразрывности (2.27)
и уравнению Эйлера в векторной форме, которые можно записать
иначе, если учесть, что а2 = dp /dp и, следовательно, р-1 Wp = a2 Vlnp:
divK=-F-Vlnp; (F-V)F=-a2Vlnp.
Исключим из этих уравнений плотность _р. Для этого первое из них
скалярно умножим на а2, а второе — на К, и из первого произведения
вычтем второе. В результате получим
a2divV-V-(V-V)V = 0. (9.1)
Данное уравнение, записанное в векторной форме, является основным
уравнением газовой динамики при установившемся движении. В
декартовых и цилиндрических координатах оно соответственно имеет вид
/ ? 2\ ди , t 2 2\ dv , t 2 2\ dw ( ди dv
(fl -" ) Тх+(а ~v ) Т,+(а ~w ) Tz-uv{Yy + rx
dv dw\ ( dw . du\ /п .
t,+t,)-wu\tx+Tzp0; (9-2)
v ' dr r r v ' oQ v ' ox \ or r dv
Уравнения (9.2) и (9.3) справедливы и для вихревого движения газа.
При потенциальном движении в (9.2) нужно положить
а в (9.3)
д(р д<р д(р
и——-\ v = —-; w= —-;
5л: dj> dz
дф 1 д<р 5ф
r dr' e r ae' x дх
В равенстве (9.2) в случае плоского движения >v = 0; d(p/dz = 0,
а в случае осесимметричного движения vQ = 0; dcp/d9 = 0.
Решения уравнения (9.2)...(9.3) будут различными в зависимости
от типа уравнения. Из курса математики известно, что
дифференциальные уравнения в частных производных бывают трех типов:
эллиптического, параболического и гиперболического. Следует
выяснить, к какому типу относятся эти уравнения. Для простоты, мы
это сделаем на примере уравнений, зависящих от двух переменных,
используя понятие характеристик уравнений в частных производных.
182

§ 9.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОГО
И ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЧЕНИЙ ГАЗА
Найдем характеристики уравнений плоского и
осесимметричного установившихся движений газа.
Уравнения плоского движения получим из уравнения (9.2), имея
в виду, что в таком течении w = 0. Тогда
Так как это уравнение справедливо как для вихревого, так и для
безвихревого движения, то для определенности положим
dv/dy-du/dx = 2a. (9.5)
Аналогичные уравнения для осесимметричного течения получим,
учитывая, что в уравнении (9.3) vB = 0. Тогда
(а а-°«) tx~v*v< {-д7+т:)^а -^ fr-r- (9-6)
а выражение для вихря
dvr/dx-dvx/dr = 2a>. (9.7)
Уравнения плоского и осесимметричного течений газа можно привести
к единой системе
(а*-и2) d^-uv (*L+a-h)+{a*-v*) д^=-аЧ \ (9.8)
v ' дх \дц дх J v ц/ дт) r\ v
dvr]/dx-du/dr[ = 2(oi (9.9)
где для плоского движения ц=у и 8 = 0, а для осесимметричного
т| = г и 6=1. Присоединим к системе уравнений (9.8) и (9.9) уравнения
совместности
ах дх дг\
ах ох дт\
где X = dr[/dx.
Исключим из уравнений (9.8) и (9.9) с помощью (9.10) и (9.11)
производные ди/дх и dv^/dx. Тогда
-[X(a*-«*) + uv4-] £ + [(„*-,») +
5,^ + ^=_2со-^. (9.13)
дг\ дг\ dx
Уравнение характеристик для этой системы получим, приравняв ее
определитель нулю:
-Х(а2 — и2) — uvr] a2 — v2-{-'kuvr]
1 X
А =
= 0. (9.14)
183

Раскрывая (9.14) и делая элементарные преобразования, будем иметь
(я2-и2)^2 + 2^ + (я2-^) = 0, (9.15)
откуда
где V2 = u2 + v*.
Выражения (9.15) и (9. 16) показывают, что направления
характеристик для вихревых и потенциальных течений одинаковы. Различие
заключается только в энтропии. В случае потенциального течения
энтропия постоянна, а при вихревом движении она изменяется при
переходе от одной линии тока к другой. Изменение энтропии связано
с наличием в потоке вихрей.
Линии, задаваемые уравнением (9.16), являются характеристиками
уравнений (9.8) и (9.9). Из уравнения (9.16) видно, что при скорости
движения, большей скорости звука, имеются два различных
действительных семейства характеристик. В этом случае уравнения системы
(9.8), (9.9) будут гиперболического типа. При V<a получаются два
различных мнимых семейства характеристик и система будет
эллиптического типа. Наконец, при V=a имеются два действительных
слившихся семейства характеристик, а уравнения (9.8), (9.9) будут
параболического типа.
Изменение типа уравнений (9.8), (9.9) при переходе от дозвуковых
к сверхзвуковым скоростям, а также нелинейность уравнения (9.8)
(или полной системы уравнений газовой динамики) являются основными
трудностями при исследовании движения сжимаемой среды. В силу
изменения типа уравнений методы их решения будут различными
в дозвуковой, звуковой и сверхзвуковой областях течения газа.
Наиболее сложным решение будет в случае, когда в потоке имеются
одновременно дозвуковые, звуковые и сверхзвуковые области. Такие
течения (и задачи газовой динамики) называются смешанными.
Исследование характеристик системы уравнений газовой динамики
в случае зависимости параметров потока от трех пространственных
координат показывает, что при установившемся течении газа и
скорости течения V<а уравнения этой системы принадлежат к
эллиптическому типу, при К=я— к параболическому, а при V>a — к
гиперболическому. Если же течение неустановившееся, а параметры
потока зависят от трех пространственных координат, то уравнения
этой системы гиперболического типа. Последнее обстоятельство в
настоящее время используется при решении задач численными методами.
Эффективное определение характеристик требует знания поля
скоростей в плоскости течения газа (физической плоскости). Поэтому
необходимо провести дальнейшее исследование. Будем называть после
интегрирования уравнений (9.16) кривые r\1=f1(x) с положительным
знаком у радикала характеристиками 1-го семейства, a r\2=f2(x)
с отрицательным знаком у радикала — характеристиками 2-го
семейства. Таким образом, при V > а все поле течения может быть
покрыто двумя семействами действительных характеристик.
Поставим вопрос: как будут изменяться компоненты скорости
при переходе от одной точки к другой вдоль характеристики
семейства I или II. Пусть в физической плоскости (плоскости течения
газа) имеется характеристика первого семейства I (рис. 9.1). Пусть
в точке М известны величина и направление скорости V. Введем
184

а) ?)
Рис. 9.1. Характеристики в физической плоскости (а) и плоскости годографа (б)
плоскость изменения компонент скорости — плоскость и, ьц. Тогда
в плоскости w, v^ точке М будет соответствовать точка т. При
перемещении вдоль характеристики в физической плоскости концы
векторов скорости будут скользить в плоскости и, ул по кривой
тт1. При определении скорости вдоль характеристики II второго
семейства получим кривую тт\. Каждая из кривых в плоскости и,
v4 будет годографом векторов скоростей вдоль характеристик в
физической плоскости. Плоскость и, v4 называют плоскостью годографа,
а годографы ттх и тт\—характеристиками в плоскости годографа.
Годографы, или характеристики в плоскости годографа дают
геометрическое представление об изменении скорости вдоль характеристики
в физической плоскости. Изменение скорости вдоль характеристики
в физической плоскости можно получить, если найти производные
ди/дг\ и дуц/дг[ из уравнений (9.12) и (9.13). Это можно сделать
при условии, что определители, полученные заменой столбцов
определителя (см. формулу (9.14)) правыми частями уравнений (9.12)
и (9.13), обращаются в нули. Следовательно,
-а2г^
/2 2\ du i dvn
dx
dx
a2-v„-\-Xuvv
-2co +
d_s
dx
=o,
откуда
<Ч_-М"2-»2Н» |2co i+v
dx a2 — vl dx
2
-Xa2e
(9.17)
(9.18)
Для плоского движения в (9.18) мы должны положить г\=у и е = 0.
Тогда, учитывая свойства корней уравнения (9.15), имеем
dv X du , ~ { л , Xuv
dx ХХХ2 dx у a —v
Для осесимметричного движения г\ = г, 6=1, поэтому
dvr X avx 0 / 1 /ivxvr \ . 2
XlX2 dx у az — v;
■Ха2
(9.19)
(9.20)
dx XlX2 dx у a* — v?J г
Для потенциальных потоков ю = 0, и из уравнений (9.19) и (9.20)
следует, что для плоского течения
dv _ X
du А,х Х2
(9.21)
185

а для осесимметричного —
^=-J^^-Xa2X (9.22)
dx ХхХ2 dx г
Уравнения (9.19)...(9.22) называются уравнениями зависимости
параметров потока вдоль характеристик в физической плоскости.
Эти уравнения в газовой динамике принято также называть ура-
внениями характеристик в плоскости годографа вектора скорости.
Наиболее простой вид у характеристик в плоскости годографа
будет при потенциальном плоском движении. В этом случае из
уравнения (9.21) имеем
-.-(£).--£ --(=).--£■ <9-23)
Из полученных выражений легко установить ортогональность
характеристик первого семейства в плоскости годографа скорости и
характеристик второго семейства в плоскости течения газа и наоборот.
В самом деле, из соотношений (9.23) имеем
т2Х1 = — 1 и т1Х2= — \. (9.24)
Поэтому касательные к характеристике первого семейства в физической
плоскости и к характеристике второго семейства плоскости годографа
ортогональны. Точно так же касательная к характеристике второго
семейства в физической плоскости ортогональна касательной к
характеристике первого семейства в плоскости годографа.
Из соотношений (9.23) также следует, что вдоль характеристик
в физической плоскости составляющие вектора скорости и, v
удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению в
переменных и, v, поскольку правая часть уравнений (9.23) зависит только
от и и v и не зависит \ от х и у. Поэтому для любых безвихревых
движений газа характеристики в плоскости годографа скорости имеют
всегда один и тот же вид и могут быть рассчитаны раз и навсегда.
Однако характеристики в физической плоскости будут различными
для разных задач потенциальных течений газа.
Проинтегрируем уравнение характеристик в плоскости годографа.
Для этой цели наиболее удобно воспользоваться полярной системой
координат и непосредственно вывести уравнение характеристик в этой
системе. Пусть в плоскости годографа имеется некоторая
характеристика первого семейства (рис. 9.2). Так как касательная к этой
характеристике перпендикулярна касательной к характеристике второго
семейства в физической плоскости, а последняя составляет с вектором
скорости угол возмущения ц, то из рис. 9.2 находим: VdQ = dVctg\x,
или, так как ctgn= ±л/М2-1 = ±y/v2/a2-l, ±dQ = —y/V2/а2-\.
Интегрируя, получаем
±6 = [ЩarctgУ(у-1)/(у+1) Ум2-1 -arctg JM2-\ + const,
\ ЛГ~ 1
(9.25)
где знаки « + » предусматривают арифметическое значение корней.
В равенстве (9.25) число Маха потока удовлетворяет соотношению
186

Рис. 9.2. Определение изменения
скорости вдоль характеристики
Рис. 9.3. Характеристики в плоскости
годографа при безвихревом движении
l^M^oo, поэтому при const = 0 М = 1 и 0^|6|^- / 1 (при
у=1,4 0<|6|<129,5°). Y~
Геометрический смысл уравнения (9.25) заключается в следующем.
При изменении числа М от 1 до оо скорость потока изменяется
в пределах от якр до Vmax. Поэтому, если в плоскости годографа
из некоторого центра описать две окружности радиусами акр и Ктах,
то изменение скорости будет лежать внутри кольца яКр^ ^ ^шах-
Уравнение (9.25) представляет эпициклоиду, которая описывается
точкой окружности диаметром Ктах —якр, катящейся по окружности
радиуса акр. Обычно рассматривают безразмерные скорости,
отнесенные к акр. Тогда внутренняя окружность будет иметь радиус, равный
единице, а внешняя — равный ^/(у 4-1 )/(у — 1). Уравнение (9.25)
определяет первое и второе семейства характеристик, различающиеся знаком
0. Задавая различные значения постоянной в этом уравнении, можно
раз и навсегда вычертить сетку характеристик в плоскости годографа
(рис. 9.3). Поэтому, если найдены характеристики в физической
плоскости и известно их соответствие характеристикам в плоскости
годографа, можно решать краевые задачи потенциального течения газа.
Обычно понятие характеристик вводится исходя из невозможности
решения задачи Коши. Здесь мы покажем, что характеристики можно
рассматривать с физической точки зрения как огибающие семейства
линий возмущений.
В самом деле, при сверхзвуковом
течении газа каждую точку, где
происходит малое изменение параметров
потока, можно представить
источником возмущений и, следовательно, из
каждой точки можно провести линии
возмущений. Таким образом,
физическая плотность течения будет покрыта
этими линиями. Если такое семейство
линий возмущений имеет огибающую,
то направление касательной к
огибающей должно совпадать с направле- д ^х
нием линии возмущений. Если
уравнение огибающей V =/(*), ТО, как Рис 9.4. Характеристика в физической
(Q А\ плоскости:
Следует ИЗ рИС. [У.Ч), д 2—линия возмущений; 3—характеристика
Н
187

л
Рис. 9.5. Область зависимости Рис. 9.6. Область влияния
*/*-** = *(ц+в) = ^.
Так как tg\i=l/y/V2/a2 — 1; tg0 = f/w, то после преобразований
получаем
(a2-u2)(^X + 2uv ^ + (a2-v2) = 0.
v ' \dx] dx ч '
Найденное уравнение совпадает в случае плоского течения с уравнением
(9.15). Следовательно, огибающая семейства линий возмущений
является характеристикой. Из этого свойства характеристики вытекает
важное следствие, согласно которому проекция скорости на нормаль
к характеристике равна скорости звука.
Отметим еще одно свойство характеристик (без доказательства).
Оказывается, характеристики можно определить как кривые, на
которых имеет место разрыв производных функций при непрерывности
самих функций. '
В заключение перечислим основные свойства
характеристик:
1) характеристики—кривые, из которых может быть построена
интегральная поверхность;
2) характеристики—кривые, на которых частные производные по
координатам параметров потока терпят разрыв при непрерывности
самих параметров;
3) характеристики — огибающие семейства линий возмущения (см.
рис. 9.4);
4) проекция скорости на нормаль к характеристике равна скорости
звука;
5) из каждой точки области сверхзвукового потока выходят две
различные характеристики. Скорость потока направлена по биссектрисе
угла между касательными к характеристикам;
6) характеристики определяют области влияния и зависимости.
Действительно, пусть заданы начальные условия на некоторой кривой
L, не являющейся характеристикой. Выберем участок АВ на этой
кривой (рис. 9.5). Из точек А и В выходит по две характеристики
I и II. Значение функций внутри треугольника АСВ будет зависеть
только от начальных данных на участке АВ и не будет зависеть
от начальных данных вне АВ. Область АСВ называется областью
188

зависимости. В свою очередь, областью влияния точки Q на кривой
L называется область, точки которой испытывают влияние начальных
данных в точке Q (рис. 9.6).
§9.3. ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПОТОКА
МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК
Применим полученные в предыдущем параграфе результаты
к расчету поля скоростей сверхзвукового плоского установившегося
течения газа. Для простоты рассуждений вначале ограничимся
потенциальным течением, потом укажем порядок расчета вихревых течений.
Рассмотрим основные задачи, к которым можно свести расчеты
поля скоростей сверхзвукового потока.
Задача 1 (задача Коши). Пусть на дуге АВ некоторой линии L,
не являющейся характеристикой, (рис. 9.7) будут заданы значения
скорости. Проведем из точек А и В характеристики I и II различных
семейств, пересекающиеся в точке С (характеристики одного и того
же семейства не пересекаются). Разобьем дугу АВ на п частей
точками Аи А2, ..., А{. Рассмотрим участок дуги AtAi+l. Из точек
At и Ai+1 выходят характеристики различных семейств, которые
заменим касательными, пересекающимися в точке Nj. Пусть
координаты точек А((хь yt); Ai+1{xi+l9 yi+i); Nj(xj, yj). Тогда, пользуясь
формулой (9.16), находим:
У]-У1
л . У]-У1+1
zA4At9
w> (9-26)
Xj — Xi Xj — Xi+i
где XlAi и k2A(+1—направления характеристик первого и второго
семейств, выходящих из точек А( и Ai+l. Из уравнений (9.26)
определяются координаты точки Nj(xj, у3). На основании уравнения
(9.21), записанного в конечных разностях, имеем
„(л_
.,<«)—.
-(h('>-hw),
(9.27)
v
(Л __„(*)_ _
!><*>= —(||">-И(<)).
(9.28)
Ук
Отсюда отыскиваются проекции скорости ии) и vU) в точке
Nj(xj, у3). Модуль скорости Vj = y/(uU))2 + (vU))2, направление скорости
определяется углом 6;-, тангенс которого равен vU)/uU). Таким
образом, величина и направление скорости
в точке Nj могут быть легко найдены.
Выполняя расчеты для точек Nj+1, Nj+2 ••• »
получаем ряд точек, в которых будут
известны величины и направления
скорости. Принимая значения скорости в
точках Nj за начальные данные, аналогичным
методом найдем значения скоростей в
следующем ряду точек (расположенных ближе
к точке С, чем точки Nj), и т. д.
до тех пор, пока область
характеристического треугольника ABC не будет по- и Л
крыта элементарными треугольниками. То- Рис 9 7 решение задачи Коши
чность расчета будет зависеть от плотности методом характеристик
189

распределения по области ЛВС выбранных точек Л{ на дуге
АВ. Чем больше плотность точек, тем результат точнее.
Задача 2 (задача Гурса). На дугах АВ и AD характеристик
различных семейств, выходящих из точки А, заданы проекции скорости
и и v. Требуется определить поле скоростей в характеристическом
четырехугольнике ABCD (рис. 9.8).
Разобьем дуги АВ и AD соответственно на п и т частей. Пусть
в точках АЛхь уг) и BAxjf у^) проекции скорости соответственно
будут i/(I), ir° и ии\ v*j). Проведем из точек ^ и ^ отрезки
характеристик I и II различных семейств, которые пересекутся в точке
Wii(*ii> уц). Координаты этой точки можно найти из уравнений
Уп-Улх
*11 —Хах
— ^1Л,1
Уп-
Xll ~XBt
■=Х-
2В,>
(9.29)
где Xt и Х2 определяются по начальным данным согласно формуле
(9.16).
Запишем в конечных разностях уравнение зависимости (9.21).
Тогда для характеристик, выходящих из точек Ах и Ви будем иметь
v(Nll)_v(Al)== i_(M(Wll)_I|M1))>
(9.30)
„(»п).
-i(Bi)-
^-lB,
(и
(W,,)_M(B1r
'*)•
(9.31)
Из уравнений (9.30) и (9.31) в точке Nxl находим значения и и v,
которые принимаем за начальные данные для определения положения
точки N12 и значений проекций скорости в ней. В результате получим
ряд точек N, в которых значения проекций скоростей снова
принимаются за начальные. Затем указанным выше способом рассчитываются
координаты точек второго и следующих рядов, в которых
определяются скорости. Это делается до тех пор, пока вся область ABCD
не будет заполнена точками с известными в них скоростями.
Задача 3. Твердая стенка АС (рис. 9.9) обтекается сверхзвуковым
потоком. Из точки А на стенке выходит характеристика I первого
семейства, вдоль которой известны скорости. Требуется определить
поле скоростей в характеристическом треугольнике ABC.
Разобьем дугу АВ на п частей и получим точки А((хь уг). Из
точки Ах проведем направление характеристики II второго семейства
У А У *
Рис. 9.8. Решение задачи Гурса
методом характеристик
0 X
Рис. 9.9. Определение поля скоростей методом
характеристик в окрестности твердой стенки
190

до пересечения со стенкой в точке Bt. Координаты этой точки
найдем из совместного решения уравнения направления характеристики
второго семейства
Ув-Уа,
ХВ~ХА1
= Х2
(9.32)
и уравнения стенки
У =/{*)■ (9.33)
Определив положение точки Ви приступим к нахождению скорости
в этой точке. Из уравнения зависимости (9.21) имеем
V(B,)_V(A,)= —L(Mw.)_MW')).
(9.34)
Второе уравнение составим, учитывая граничное условие на стенке.
В силу условия непротекания скорость направлена по касательной
к стенке, поэтому
{dyldx)B=v^lu^\ (9.35)
Теперь, зная параметры потока в точках А2 и Ви проведем из этих
точек направления характеристик второго и первого семейств до
пересечения в точке Сх. Координаты этой точки и параметры потока
в ней определяются так же, как и в задаче 2. Затем из точки
Сг проведем до пересечения со стенкой в точке В2 прямую,
аппроксимирующую характеристику второго семейства. Координаты
точки В2 и скорость в этой точке находятся аналогично предыдущим.
Далее процесс расчета повторяется до тех пор, пока область
треугольника ABC не будет заполнена точками с известными
скоростями.
Задача 4. Из точки А на свободной поверхности среды проведена
характеристика АВ, вдоль которой заданы скорости потока. Требуется
определить решение в характеристическом треугольнике ABC, форму
свободной поверхности и характеристику, выходящую из точки
В (рис. 9.10).
Разобьем дугу характеристики АВ на п частей, в результате
получим точки Nu N2. Из точки А проведем направление, совпадающее
с направлением известной скорости
в этой точке; из точки N1 проведем
направление характеристики I первого
семейства до пересечения с направлением
скорости в точке Qx.
Координаты точки Qx получим из
уравнений
Уй-Ул
3
На
Уа-Уы,
-X1Ni. (9.36)
XQt—xA иА xQi—xNi
Скорость в этой точке найдем из
соотношений
yfli-%i =
1
^2N,
(uQl-uNi)9
(u2 + v2)A = (u2 + v%r
(9.37)
(9.38)
Рис. 9.10. Определение поля
скоростей методом характеристик
в окрестности свободной
поверхности
191

Последнее равенство вытекает из условия, что на свободной
поверхности давление постоянно. (Поэтому на основании уравнения Бернулли
и скорость по модулю будет величиной постоянной.) Определив из
(9.37) и (9.38) величины uQi и vQi, направление скорости найдем из
условия tg6 = vQJuQi. Дальнейшие1 расчеты аналогичны изложенным
в предыдущих задачах.
Теперь посмотрим, какие изменения вносятся в расчеты поля
скоростей при вихревом движении газа.
Так как при потенциальном и вихревом движениях направления
характеристик одни и те же, одинаковы и уравнения, используемые
для расчета координат точек, в которых определяются параметры
потока. Отличаются только уравнения зависимости (для плоского
течения — уравнение (9.19) и для осесимметричного течения — (9.20)),
для записи которых в конечных разностях все известно из начальных
данных, за исключением завидренности со. Величина со должна быть
найдена из уравнения 23 х V = TVS, которое записано здесь для
изоэнергетического течения.
В рассматриваемых случаях вектор вихря 3 перпендикулярен
вектору скорости, поэтому из условия 2|со х V | = Г| V3>| находим:
2coV=T-,
dn
где dS/dn — производная энтропии по нормали к линии тока.
Исключая из этого выражения температуру с помощью уравнения
p = pRT, имеем
2со=—-. (9.39)
yRV dn V J
Величину dS/dn определим из следующих соображений. Пусть в
соседних близких точках А(хА, уА) и В(хв, ув) известны величины на1ГОав_
ления скоростей VA и VB. Так как dS/dn—градиент энтропии,
направленный по нормали к линии тока, т. е. перпендикулярно вектору
скорости в данной точке, то направления АСХ и ВС2 и градиенты
энтропии в соседних точках отличаются друг от друга.
Приближенно будем считать их равными, тогда, с одной стороны,
SN = SA + (dS/dn)A sin [iAAN, (9.40)
а с другой—
SN = SB - (dS/dn)B sin \iBBN, (9.41)
где \iA и \xB — углы векторов скорости соответственно с направлениями
характеристик в точках А и В.
Из выражений (9.40) и (9.41) в силу соотношения (dS/dn)A =
= (dS/dn)B = dS/dn находим:
dS SA — SB
(9.42)
dn AN sin \xA + BN sin jiB
Подставляя (9.42) в соотношение (9.39), получаем
192

Теперь, пользуясь описанным выше приемом, мы можем
рассчитать поле скоростей вихревых плоских и осесимметричных
течений газа.
§ 9.4. НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
1. Рассмотрим плоское радиальное движение газа, при
котором в полярной системе координат 1>е = 0, vr=f(r). В этом случае
из уравнения неразрывности получаем
|(гр*г) = 0. (9.44)
Определяя вектор вихря, имеем rotK=0, откуда видно, что
рассматриваемое движение будет потенциальным. Из уравнения (9.44) находим:
г pvr = const = С, или pvr = C/r.
Так как pvr—удельный массовый расход, то вычисляя массовый
расход через окружность некоторого радиуса г, имеем
Q = C2n.
Отсюда следует, что массовый расход через окружность не зависит
от ее радиуса. Рассматриваемое течение называется источником
в сжимаемом потоке. Теперь удельный расход запишется в виде
Q
Известно, что массовый удельный расход достигает максимального
значения при V—a и равен ркраКр- Поэтому течение имеет место
только при r>rmin, где rmin = g/(27ipKpaKp). Следовательно, в сжимаемом
потоке мы должны отказаться от понятия точечного источника
и представлять источник как окружность, из точек которой вытекает
газ со скоростью звука. Таким образом, для рассматриваемого
источника имеем соотношение
РкрЯхр Г
откуда при г =оо риг = 0. Равенство нулю удельного расхода возможно
в двух случаях: при vr = 0 и при р = 0, что соответствует vr = vm!ix.
Поэтому в случае плоского источника при истечении газа из точек
окружности радиусом rmin дальнейшее течение будет или только
дозвуковым, или только сверхзвуковым в зависимости от того, будет
ли Роо>РкР или Роэ<ркр. Аналогичное явление наблюдается и при
пространственном источнике. Различие заключается только в
выражении (9.45). Для пространственного источника имеем соотношение
J^ = feV. (9.46)
РкрЯкр \ Г )
2. Рассмотрим течение сжимаемой среды, в котором в полярной
системе координат
vr = 0; vB=f(r). (9.47)
7 Зак 150 193

Уравнение линий тока в этой системе координат записывается как
dr/vr = rdQ/vQ.
Так как согласно (9.47) в последнем соотношении vr = 0, то мы
должны потребовать, чтобы dr = 0. Тогда г = const. Таким образом,
при заданном поле скоростей (9.47) движение газа будет происходить
по концентрическим окружностям. Из (9.47) видно, что вдоль линий
тока ие = const и, как это следует из уравнения неразрывности, вдоль
этих линий плотность также будет величиной постоянной и будет
зависеть только от г.
Определим циркуляцию Г по окружности некоторого радиуса г:
Г = 2nrvQ,
откуда
*=£■ (9-48)
Таким образом, рассматриваемое течение соответствует плоскому
вихрю в газе. Предположим, что среда баротропная. Тогда согласно
теореме Кельвина циркуляция в рассматриваемом течении должна
сохраняться, поэтому из (9.48) при V= Vmax имеем
'«*.==-£-, (9.49)
где rmin—минимальный радиус вихря.
Следовательно, в газовой динамике исключается понятие точечного
вихря, рассматриваемого в несжимаемой среде. Распределение скорости
вблизи вихря в газе дается формулой
М =. (9.50)
-^-+м2
Y-1
Движение возможно только в области r>rmin. Так как К->0 при
г->оо, то вдали от центра вихря движение будет дозвуковым. Оно
остается таким в области гкр<г<оо, где rKp = J-—-rmin. При
Y-1
у<Г<Гп
движение будет сверхзвуковым. В данном случде имеет место
непрерывный переход из сверхзвуковой области в дозвуковую. Вследствие
баротропности среды течение будет изоэнтропическим, поэтому все
параметры потока могут легко определяться по формулам изоэнт-
ропического течения.
3. Теперь рассмотрим класс центрированных течений,
которыми в общем случае называют такие движения сплошной среды,
при которых параметры потока—скорость, давление, плотность,
температура и другие физические и кинематические величины
сохраняют постоянные значения вдоль лучей, выходящих из некоторого
центра. В плоском движении среды эти лучи лежат в одной плоскости;
в пространственном течении лучи могут образовывать некоторую
194

коническую поверхность. В этом случае рассматриваемое течение
называют коническим.
При исследовании плоского потенциального установившегося
сверхзвукового центрированного течения газа удобнее воспользоваться
полярной системой координат (г, 6). Если в уравнении (9.3) положим
, = 0
дц>
= 0
дер
1 дц>
— 5 £>е = —-^ то получим уравнение для потенциала
дг г дв
скорости в этой системе, тогда
(п2 „2\д2Ф / 2 п2\!д2Ф 2vrv0 д2<р Vr{a2 + vl)_c
дг2
ае2
дгдв
(9.51)
Напомним, что здесь а2 = а% — -—(v? + v$).
Если плоское движение является центрированным, то
перечисленные выше условия выполняются при потенциале скорости
<p = rF(e). (9.52)
Тогда
гг = ЭФ/вг = ^(в); K,-I5|-|=F'(e).
Подставляя эти выражения в уравнение (9.51), находим:
F'(6)
PF'2 a2+F'2
az a'
откуда после некоторых преобразований получаем
{a2-F'2)(F" + F) = 0.
Уравнение (9.53) распадается на два:
F" + F=0;
F'2 = a2.
(9.53)
(9.54)
(9.55)
Таким образом, в плоскости возможны два типа центрированных
течений, определяемых соответственно уравнениями (9.54) и (9.55).
Не вдаваясь в детали, отметим, что течение, определяемое
уравнением (9.54), есть сверхзвуковое течение внутри тупого угла,
меньшего 180°; из центра О будет
выходить скачок уплотнения (рис. 9.11).
При достаточно большом угле поворота
потока 8 скачок уплотнения будет
отсоединенным. В этом случае нарушается
условие центрированного течения. Более
подробно рассмотрим течение,
определяемое уравнением (9.55), которое запишем
в развернутом виде
*7'2_^2
г =а0-
F' =
-?L±(f2 + F'2)9 или
(9.56)
м и
Рис. 9.11. Обтекание вогнутого
угла (меньшего п) сверхзвуковым
потоком:
1 — твердая стенка; 2—скачок уплот-
195

Разделяя переменные в (9.56), имеем
dF/JV2max-F2=y
Откуда после интегрирования находим:
vr = F=Vmaxsin
(9.57)
где а — постоянная интегрирования.
Линии тока в данном течении определяются из уравнения
rdQ
откуда, интегрируя, находим:
с{созШ(9+а)]}
(y+l)/(Y-l)
(9.58)
Из полученного решения видно, что линии тока искривляются.
Определим теперь изменение скорости вдоль линии тока. Для
этого снова обратимся к уравнению (9.55), из которого следует, что
проекция скорости на перпендикуляр к лучу 0 = const, выходящему
из точки О, равна скорости звука. Вдоль таких лучей (см. рис. 9.12)
скорость постоянна и составляет с лучом угол }i, тангенс которого
равен 1/^/М2 —1. Из указанного следует, что эти лучи являются
линиями возмущения, (совпадающими с характеристиками 1-го
семейства физической плоскости. Поэтому изменение направления и величина
скорости будут определяться характеристикой 2-го семейства в
плоскости годографа, для которой согласно соотношению (9.25)
-— jM2-\ - arctg jM2-l - const.
Y+l V V
(9.59)
Отсчет углов 0 и картина течения показаны на рис. 9.12. Видно,
что уравнение (9.55) описывает обтекание угла, большего 180°.
Константу в соотношении (9.59) определим из условий на первой
линии возмущения О А, для которой М = М00, а 0 = 0:
const =
■-arctg^y^yMi-lj-arctgyMi-l.
Правая часть полученного выражения представляет собой угол
поворота звукового потока (М = 1) до достижения повернувшимся
потоком скорости, соответствующей числу Мю, Этот угол мы будем
в дальнейшем называть фиктивным углом поворота потока 0Ф. Таким
образом, окончательно
0 + 0*
-arctg
- arctg .ум2 — 1.
(9.60)
196

Кх, = К
/
Рис. 9.12. Обтекание выпуклого угла (большего и) равномерным сверхзвуковым потоком:
/—твердая стенка (линия COD); 2—линии расширения (характеристики): О А—линия расширения,
отделяющая область невозмущенного потока I от области расширения II, в которой осуществляется
поворот сверхзвукового потока; О В—линия расширения, разделяющая область расширения II
и область повернувшегося потока III, где вектор скорости Vnj параллелен стенке OD
Из уравнения (9.60) следует, что для нахождения числа М,
соответствующего заданному углу поворота 0 сверхзвукового
потока с числом Моо, необходимо прежде всего найти 9Ф, затем
составить сумму 04-0ф и по ней найти число М повернувшегося
потока.
Формула (9.60) позволяет установить максимальный угол поворота
звукового потока (М = 1) при его расширении в вакуум (р = 0). Тогда
Я / ry-j-l \
0ф = О, а М = оо, следовательно, 0тах=-( /- 1) (при у = 1,4
9тах= 129,5°). Если же сверхзвуковой поток с числом Мда вытекает
в вакуум, то он может повернуться на предельный угол 0пред>
меньший 0тах и определяемый соотношением
'•'пред ^тах ^ф •
Рассмотренное обтекание тупого угла, большего 180°,
называется течением Прандтля — Майера и является течением
расширения сверхзвукового потока. В области СО А (рис. 9.12) имеет место
равномерное течение со скоростью Ут. Расширение потока
(поворот потока) начинается на луче О А, являющемся первой
характеристикой, угол наклона которой по отношению к линии СО
равен Цда ^(1^ = 1/^/Мда — 1). Заканчивается расширение потока на
луче О В, отделяющем область изменения направления потока AQB
от области повернувшегося потока BOD. В области АО В
составляющие скорости устанавливаются соотношениями (9.57), в которых
угол ос определяется из условий на первой характеристике О А.
В области BOD будет равномерное течение, с большей, чем V^,
скоростью.
Нетрудно найти и параметры повернувшегося потока. Для этой
цели необходимо определить по известным параметрам потока
в области СО А и числу М^ параметры торможения, затем по углу
8 найти число М повернувшегося потока и определить по этому
числу параметры потока в области BOD.
197

§ 9.5. ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРЕННЫХ ТЕЛ С ПРИСОЕДИНЕННОЙ
УДАРНОЙ ВОЛНОЙ
9.5.1. Круглый конус в сверхзвуковом установившемся
невязком потоке газа при нулевом угле атаки
Простейшим примером обтекания заостренного тела
установившимся сверхзвуковым потоком является обтекание круглого
конуса. При определенном полуугле 0К раствора конуса при его
вершине перед конусом образуется присоединенная к вершине конуса
ударная волна (рис. 9.13). Течение между ударной волной и
поверхностью конуса обладает рядом особенностей. Опыты показывают,
что если обтекаемый конус круглый, то ударная волна—также
круглый конус, соосный обтекаемому. Течение за такой волной
обладает замечательной особенностью. Его параметры не зависят от
расстояния вдоль луча, проведенного из вершины конуса. Подобные
течения называются коническими и являются пространственным
аналогом центрированных течений. Кроме того, поскольку угол атаки
а = 0, течение обладает свойством симметрии относительно оси конуса,
т. е. является осесимметричным. Так как в рассматриваемом случае
угол наклона элемента поверхности ударной волны по отношению
к вектору скорости потока перед волной всюду один и тот же, то
изменения энтропии за ударной волной на любой линии тока
одинаковы. Учтем, что рассматривается обтекание конуса однородным
потоком (изоэнергетическим), откуда следует, что dS/dn = 0 и dio/dn = 0
(п — направление нормали к линии тока за ударной волной) и на
основании критерия потенциальности установившегося течения газа
течение в ударном слое между волной и телом является
потенциальным. Таким образом, в рассматриваемой задаче обтекания круглого
конуса течение в ударном слое является коническим, осесимметричным
и потенциальным. *
Коническое течение удобнее рассматривать в сферической системе
координат (г, 6, 0). Координаты точки в этой системе и в декартовой
системе координат связаны соотношениями
x = rcos0; >> = rsin0cos$; z = rsin0sin$. (9.61)
Используя выражения (9.61), основное уравнение установившегося
течения газа, а также свойства коничности (параметры потока не
зависят от радиуса г, т.е. vr = F1(Q); vQ = F2(Q)) и осесимметричности
(параметры потока не зависят от координаты $, т. е. д/д& = 0), получим
(л Vq\cIvq vrvQ dvr ~ А л
где a2 = y-^(Vi3x-V2); V2 = v2 + v$.
Так как рассматриваемое течение
потенциально, то
Vr = ^ V* = ~rT^ (9-63)
где ф — потенциал скорости.
Учитывая свойство коничности, из соот-
Рис. 9.13. Схема обтекания круглого
конуса сверхзвуковым потоком:
1 — конус; 2—конический скачок уплотнения
198

ношений (9.63) находим, что q> = rF(0), откуда vr = F(B); vQ =
= dF/dQ = F'(Q) и, следовательно,
ve = dvr/dQ. (9.64)
Таким образом, поле скоростей в ударном слое при обтекании
круглого конуса может быть рассчитано на основании системы
уравнений (9.62) и (9.64). При этом
V2 =V2 -V—a2 =V2 (l+— —
Установим граничные условия, которым должно удовлетворять
решение системы уравнений (9.62) и (9.64).
На поверхности круглого конуса при 9 = 0К должно выполняться
условие непротекания u„(9K) = 0, которое в рассмотренном случае
примет вид
|>в(е,) = 0. (9.65)
Тогда из уравнения (9.62) получим, что
</е
-2*,(еж). (9.66)
На поверхности ударной волны должны выполняться условия
динамической совместности. Из условия сохранения тангенциальной
составляющей вектора скорости при переходе через ударную волну
(скачок уплотнения) имеем
17г(Р)=КвС08р, (9.67)
где Р—угол наклона конического скачка уплотнения по отношению
к его оси. Для определения составляющей vQ можно использовать
уравнение Прандтля (8.64), которое записывается в виде
-1>в(Р)Кда81пр = як2р-^ K2Mcos2p. (9.68)
В левой части соотношения (9.68) знак минус поставлен потому, что
за положительное направление vQ принимается направление, при
котором 9 увеличивается.
Итак, для определения поля скоростей в ударном слое должна
быть использована система уравнений (9.62) и (9.64) совместно
с граничными условиями (9.65)...(9.68).
Решение задачи выполняется численно. Для этого, прежде всего,
все параметры, входящие в указанные выше уравнения, приводятся
к безразмерному виду, например путем деления на Fmax, т. е. вводятся
vr = vr/Vmax; vB = vB/Vmax; а = а/Утлх. (9.69)
Затем уравнения системы (9.62) и (9.64) записываются в конечных
разностях, а именно:
*Ч0л+1) = М9п)-
vQctgQ + (2-v2la2)vr
А9; (9.70)
\-vila2
^(9n + i) = ^(9„) + t;e(9n)A9, (9.71)
где 9„ — промежуточный угол в ударном слое; 9П+1 = 9П + Д9, А9 —
приращение угла 9. Расчет можно проводить двумя путями: идя от
волны к конусу и, наоборот, от конуса к волне.
199

Моо>1
5)
Рис. 9.14. Линии тока при обтекании клина (а) и круглого конуса (б):
1 — обтекаемое тело; 2—скачок уплотнения; 3—линия тока
Рассмотрим второй путь. Заданы угол 0К и компонента скорости
#Г(0К). Используя уравнение (9.70) и давая приращение А 6, находим
для 01 = 9К+А0:
tJe(ei)=-2i;r(0K)A0.
Найти гТг(0!) из уравнения (9.71) мы не можем, так как £е(0к) = О
в силу условия (9.65). Поэтому в окрестности 0 = 0К представляем vr как
Ме)-Ме.)+^Ае+1^(де)'-к...
Так как £-„„ то *Ш = 0, а *№= -2^(9К).
Поэтому
^(0i) = ^(eK + A0) = iJr(0K)-iJr(0K)(A0)2 + ... .
После определения параметров потока на первом промежуточном
конусе 01? на втором —02 = 0i + A0 и т. д.; все параметры
рассчитываются на основании системы уравнений (9.70), (9.71).
Расчет продолжается до тех пор, пока на некотором
промежуточном конусе 0„ не будут удовлетворены граничные условия (9.67)
и (9.68). Этот промежуточный конус и принимается за скачок
уплотнения. По известным из расчетов значениям угла наклона скачка
уплотнения Р и относительной радиальной составляющей скорости
потока за скачком tJr(p) можно найти Кда и число Мда, а затем из
условий динамической совместности параметры набегающего потока.
Параметры потока на любом промежу-
~ " " f точном конусе внутри ударного слоя
можно найти по формулам изоэнтропических
течений.
I Рассмотрим некоторые результаты
расчета обтекания круглого конуса сверх-
Рис. 9.15. Зависимость модуля и компонент^ скорости
от угла 0 в коническом течении (9К = 30°; К(0К) = О,5;
Mes2,05; Р = 47°414):
1 — относительный модуль скорости V; 2—относительная
радиальная составляющая vr, 3 — относительная трансвер-
сальная составляющая скорости ив

с- О
ЬО
20
0
7.
-/ У
С и
2
L.
/
J Л/о
Рис. 9.16. Углы наклона конического (сплошная Рис. 9.17. Предельные углы поворота
линия) и косого (пунктир) скачков уплотнения: потока за присоединенным кониче-
/ — Мда = 1,5; 2—N1^ = 00 ским (/) и косым (2) скачками
уплотнения
звуковым потоком. В отличие от случая обтекания клина, где линии
тока за присоединенным к клину скачком уплотнения были прямыми
и параллельными клину, при обтекании конуса линии тока за скачком
искривлены (рис. 9.14), давление возрастает по направлению от скачка
к конусу, а скорость уменьшается. В связи с этим в рассматриваемом
коническом течении в ударном слое возможен непрерывный переход
от сверхзвуковых к дозвуковым скоростям потока. На рис. 9.15
показано изменение по углу 0 безразмерного модуля скорости
и составляющих вектора скорости vr и vB. Видно, что при изменении
0 от 0К до р радиальная составляющая скорости уменьшается,
а относительный модуль скорости и компонента vQ растут.
Вследствие растекания потока во всех направлениях (простран-
ственности течения) при прочих равных условиях угол наклона
конического скачка уплотнения оказывается меньше, чем угол наклона
косого скачка (рис. 9.16), а предельный угол поворота потока за
коническим скачком больше (рис. 9.17). Так как поверхность конуса —
поверхность тока и скорость vr на ней постоянна, то и давление
на поверхности конуса также постоянно. Его интегрирование
показывает, что коэффициент сопротивления круглого конуса в сверхзвуковом
потоке не равен нулю и определяется как
^ха вл Ср \Р к /5
т. е. равен коэффициенту давления на поверхности конуса. Так как
сопротивление конуса в сверхзвуковом потоке обусловлено изменением
сил давления вследствие влияния скачка уплотнения, то оно называется
волновым. Зависимость коэффициента схавл конуса от числа
Мда показана на рис. 9.23.
9.5.2. Обтекание круглого конуса сверхзвуковым потоком
при ненулевом угле атаки
При обтекании круглого конуса сверхзвуковым потоком при
ненулевом угле атаки с присоединенной к вершине конуса ударной
волной течение в ударном слое также является коническим.
Связано это с тем, что ударная волна является конической
поверхностью с вершиной, совпадающей с вершиной обтекаемого
конуса. Однако течение в ударном слое не является осесимметричным
201

и потенциальным. Дело в том, что угол наклона элемента
поверхости ударной волны по отношению к вектору скорости
набегающего потока в данном случае изменяется при переходе
от одной линии тока к другой, что вызывает различные изменения
энтропии для разных линий тока при переходе газа через ударную
волну. Поток за ней становится вихревым. Его параметры зависят
от трех пространственных переменных г, 0, 0.
Для решения задачи об обтекании конуса при ненулевом угле
атаки невязким потоком совершенного газа используется полная
система уравнений газовой динамики с граничными условиями:
непротекания (vn = 0) на поверхности конуса и условиями динамической
совместности на ударной волне. Ранее для решения этой задачи был
разработан метод разложения параметров потока в ряды по степеням
а или а/6к (теория Стоуна первого и второго приближений). В этих
рядах удерживались члены, содержащие множители а и а2..., т. е.
любой параметр представлялся в виде
/=/о + осЛ + а2/2 + ...,
где/о — параметр потока при обтекании круглого конуса при нулевом
угле атаки, зависящий только от координаты 0. Функции /ь А ...
зависят от 0 и 0 и разлагаются в ряды Фурье по coshO и sinw9(w = l,
2, ..., т). Подстановки этих разложений в исходную систему уравнений
и граничные условия и приравнивание нулю членов, содержащих
в виде коэффициентов а0, а , а2 ..., позволяют получить системы
для определения функций fl9 f2 ....
Оказалось, что при определении функций ft никаких затруднений
не встретилось. В частности, было найдено, что St= const (Si—параметр,
входящий в разложение энтропии в ряд). Анализируя уравнения для
определения функций f2i Стоун заметил, что некоторые из членов
этих уравнений обращаются в бесконечность при 0 = 0К. Тем не менее
Стоун считал, что решение с точностью до а2 определяет параметры
потока в ударном слое при 0>0*, где 0* —0К — малая величина.
Сравнение результатов расчетов по этой теории с экспериментальными
данными показывает, что теория неплохо предсказывает при ос<0к/2
значение давления на поверхности конуса.
В дальнейшем Ферри было найдено, что на поверхности конуса
энтропия должна быть постоянной величиной, а линии тока, вдоль
которых энтропия S=const, сходятся на единичной сфере в точку
0 = 0, 0 = 0К, где образуется особенность, называемая теперь
особенностью Ферри. Так как в теории Стоуна энтропия
S=S0 + olS1cos&+...,
то теория Стоуна не может использоваться в окрестности поверхности
конуса при 0->0к. Ферри ввел понятие вихревого слоя, примыкающего
к поверхности конуса. В вихревом слое все параметры потока, кроме
давления р и составляющей скорости vQ, могут существенно отличаться
от их значений по теории Стоуна. Эта идея была развита Ферри
и многими другими авторами, которые получили решения для
вихревого слоя.
В настоящее время параметры потока в окрестности конуса,
обтекаемого под углом атаки, рассчитаны численными методами,
например методом установления (см. п. 9.6.2). Получены результаты,
превосходящие по точности те, которые были рассчитаны по теории
202

Рис. 9.18. Распределение относительного давления
р/р^ по поверхности круглого конуса при а =12,2°
и Мю = 2:
0 = 0—значение угла 9 в плоскости симметрии (плоскости
изменения угла атаки а) на подветренной стороне конуса;
3 = 180° — значение угла Э в плоскости симметрии на
наветренной стороне (обращенной к набегающему потоку)
Стоуна. Однако эта теория сохраняет свое
значение для малых углов а. Решение для
вихревого слоя также является важным,
поскольку оно дает возможность
предсказывать те случаи, когда в численном
решении происходит потеря точности, а также потому, что при U-»tfK
численным методом трудно рассчитать параметры потока.
На рис. 9.18 показано распределение давления по поверхности
конуса. Видно, что на наветренной стороне конуса при а#0 давление
больше, чем на подветренной. Отметим, что при увеличении угла
0К коэффициент давления возрастает по всей поверхности конуса.
Параметры потока в окрестности конуса при нулевом и ненулевом
углах атаки используются в качестве начальных данных для расчета
параметров потока и определения аэродинамических характеристик
заостренных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком с присоединенной
ударной волной. Кроме того, их можно использовать для
приближенной оценки аэродинамических характеристик заостренных и
затупленных тел. В частности, для этой цели применяется метод местных
конусов, в котором принимается, что параметры потока в
рассматриваемой точке поверхности тела вращения при заданном угле атаки
будут такими же, как и на образующей некоторого круглого конуса,
обтекаемого невозмущенным потоком под нулевым углом атаки.
Угол полураствора при вершине такого конуса определяется формулой
а2
0к = со — а cos 9——ctgcosin2$,
где а>—угол между касательной к образующей и осью тела вращения;
0—угол, характеризующий положение меридиональной плоскости,
в которой лежит рассматриваемая точка поверхности тела. Имеются
и другие варианты аналогичных приближенных методов.
§ 9.6. ОБТЕКАНИЕ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ С ОТОШЕДШЕЙ
УДАРНОЙ ВОЛНОЙ
9.6.1. Особенности сверхзвукового обтекания
затупленных тел
При обтекании затупленного тела сверхзвуковым потоком
перед телом образуется отошедший скачок уплотнения (стационарная
ударная волна), простирающийся далеко вниз по потоку и отделяющий
области возмущенного за волной потока от невозмущенного перед
ней. Область течения газа между ударной волной и поверхностью
обтекаемого тела часто называют ударным слоем. В центральной
его части, там, где угол наклона фронта ударной волны к вектору
скорости набегающего потока близок к 90°, течение является
дозвуковым. Растекающийся вдоль тела от точки А (где скорость
I 1 i ' ' '
О W 60 120 160 #,°
203

Рис. 9.19. Картина течения при обтекании затупленного
тела с отошедшей ударной волной:
1 — ударная волна; 2 — звуковая линия (поверхность); 3 — предельная
характеристика; 4 — поверхность тела
VA = 0) поток ускоряется и становится
сверхзвуковым. Поэтому течение за отошедшей от
тела ударной волной является смешанным:
дозвуковым и сверхзвуковым. В плоском случае
дозвуковую и сверхзвуковую области течения
в ударном слое разделяет звуковая линия, на
которой скорость потока равна местной
скорости звука (М = 1). В пространственном течении
эти области разделены звуковой поверхностью,
обладающей тем же свойством (рис. 9.19).
Рассмотренная картина течения позволяет сформулировать
математическую задачу об определении параметров течения в окрестности
затупленного тела. В этой задаче необходимо найти решение системы
уравнений газовой динамики в области, ограниченной отошедшей
ударной волной и поверхностью тела,— ударном слое,
удовлетворяющее граничным условиям на ударной волне и теле.
Смешанный характер течения в ударном слое вносит большие
трудности в решение указанной задачи. Эти трудности, прежде всего,
обусловлены изменением типа системы уравнений газовой динамики
при переходе через звуковую линию (звуковую поверхность). В
настоящее время нет строгих математических результатов, относящихся
к существованию и единственности решения этой задачи. Кроме того,
здесь заранее не известны формы ударной волны и звуковой линии
(звуковой поверхности), а также еще одной границы, которую обычно
называют предельной характеристикой (в пространственном случае
предельной характеристической поверхностью, касающейся звуковой
поверхности вдоль замкнутой линии).
Поскольку форма ударной волны заранее не известна, это
вызывает появление в граничных условиях дополнительной неизвестной
функции. Существенную роль играет область, примыкающая к звуковой
линии (поверхности) и расположенная между ней и предельной
характеристикой (характеристической поверхностью). В этой области
течение является околозвуковым, и возмущения в ней влияют, с одной
стороны, на звуковую линию (поверхность) и, следовательно, на
дозвуковую часть течения, расположенную в ударном слое выше по
потоку, а с другой—на часть сверхзвукового течения, расположенную
ниже по потоку, зависящую от звуковой линии (поверхности) и
влияющую на форму ударной волны в рассматриваемой области. Формы
звуковых линий и предельных характеристик существенно зависят от
формы обтекаемого тела и числа Маха набегающего потока, и в общем
пространственном случае исследование областей влияния чрезвычайно
затруднено. Между тем, знание этих областей необходимо для
правильного решения задачи. Любые численные расчеты области
сверхзвукового течения в ударном слое необходимо начинать ниже
по потоку от предельной характеристики (предельной
характеристической поверхности) или, по крайней мере, с нее самой. В то же
время, любые численные расчеты в области дозвукового течения
необходимо доводить до этой характеристики и немного продолжить
внутрь области, расположенной за характеристикой ниже по потоку.
204

9.6.2. Методы решения задачи об обтекании
затупленных тел сверхзвуковым потоком
В настоящее время задачу об определении поля скоростей
и других газодинамических функций во всей области возмущенного
течения вблизи поверхности тела принято разделять на две
самостоятельные задачи и решать их независимо. В первой задаче
определяются параметры потока в дозвуковой области течения внутри ударного
слоя с небольшим выходом в сверхзвуковую область за предельную
характеристику. Во второй задаче, используя результаты первой,
рассчитываются параметры потока в сверхзвуковой части ударного
слоя. Здесь можно использовать различные методы расчета, например
метод сеток, метод характеристик и др.
Рассмотрим некоторые методы решения первой задачи.
Метод интегральных соотношений. В этом методе задача
интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений в
частных производных сводится к решению некоторой аппроксимирующей
системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Система уравнений газовой динамики записывается в так
называемой дивергентной форме:
дР{(х, у, ии ..., un)/dx+dQi(x, у, ul9 ..., ип)/ду = Ц(х, у, ul9 ..., ип),
(9.72)
где щ = щ(х9 у)—неизвестные функции, /=1, 2, ..., п, п — некоторое
целое число; Д, Qi9 Ц — известные функции х, у, щ.
Область интегрирования между телом и ударной волной, заданная,
например, границами х = 0, х = х„ у = 09 у = А(х), где х*—координата
правой границы области интегрирования; А(х)—уравнение ударной
волны, разбивается на N полос линиями ук(х) = А{х)— -, fc=l,
2, ..., N. При этом у1(х) = А{х). Система (9.72) интегрируется по
одной из переменных (например, по у) в пределах полученных полос
от 0 до ук. Результатом такого интегрирования будут соотношения
d
Тх
Pidx-dJm^±zii{Pi)k+{Qi)k-mo,
dx N
Ltdy. (9.73)
Затем, в соотношениях (9.73) подынтегральные функции Pt, и Ц
аппроксимируются интерполяционными полиномами
Л= 2 am(x)yml Lt= Z bm(x)ym, (9.74)
m=0 m=0
где m — целое число, в которых коэффициенты am и bm являются
линейными функциями значений Pt и Ц на границах полос. После
подстановки полиномов (9.74) в (9.73) получают nN нелинейных
обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций
и„(ук) на границах раздела полос. Эта система дополняется граничным
условием непротекания на поверхности тела (при у = 0) и условиями
динамической совместности на поверхности ударной волны (у = А(х)).
Полная система уравнений решается численно с помощью ЭВМ.
205

Метод линий. В другом варианте рассмотренного метода
приближенное интегрирование выполняется по двум направлениям (Метод
Г. Ф. Теленина). Для решения задачи используется сферическая система
координат. Составляющие скорости задаются в виде степенных
полиномов. Например, в плоском течении
т т
u= Z иЦф2^, v= Z v]fe)62J+1, (9.75)
J=0 ;=0
где % = г /2^ ' —нормированный радиус, гх(&) — радиус ударной вол-
ны, г2(Э)—радиус тела; м° и v°. являются нелинейными функциями
значении компонентов скорости и и v на т+\ лучах (при
симметричном течении).
Форма ударной волны, т. е. функция r2 (6), задается приближенно
в виде аналогичного (9.75) полинома. Подстановка (9.75) и г2(0]
в исходную систему уравнений газовой динамики дает для т+1
лучей т +1 обыкновенных дифференциальных уравнений для
определения функций и0 и и?. Интегрирование полученной системы ведется
от ударной волны к телу. Параметры ударной волны подбираются
так, чтобы выполнялось условие непротекания на теле.
В трехмерном случае решение в методе линий представляется
полиномами по 9 с коэффициентами, зависящими от меридионального угла &.
Метод установления. В этом методе для определения параметров
потока между ударной волной и телом ищется решение системы
нестационарных уравнений газовой динамики, удовлетворяющих
начальным данным (при / = 0), условию непротекания на поверхности
тела и условиям динамической совместности на ударной волне.
Стационарное течение между волной и телом получается в процессе
расчета как предел нестационарного процесса. Поэтому метод и
получил название метода установления.
Исходная система уравнений газовой динамики заменяется
разностной. Для определения искомых функций получается система
алгебраических конечно-разностных уравнений, дополненных
граничными условиями. Основным шагом при интегрировании является шаг
по времени, т. е. переход от предыдущего tn к последующему tn+1
временному1 промежутку. Расчет заканчивается тогда, когда скорость
ударной волны станет равной нулю, а все параметры потока перестанут
изменяться по времени, т. е. будет выполняться условие — = 0, где
dt
X—какой-либо параметр потока.
Метод крупных частиц. В методе крупных частиц, разработанном
О. М. Белоцерковским и Ю. М.Давыдовым, параметры течения между
ударной волной и поверхностью тела (в ударном слое) рассчитываются
численно в отдельных ячейках, на которые разбивается область
интегрирования. Расчет проводится в несколько этапов.
На первом этапе, который называется эйлеровым, параметры
потока определяются без учета движения газа через границы ячеек.
При этом предполагается, что изменяются только те параметры,
которые относятся к данной ячейке в целом. Члены уравнений,
содержащие произведение pV (конвективные), опускаются. Система
уравнений существенно упрощается. Плотность оказывается постоянной
(p = const), т. е. поле плотности «заморожено».
206

VOQ>al
Рис. 9.20. Ударные волны и звуковые линии Рис. 9.21. Ударные волны при обтека-
(поверхности) при обтекании сферы сверх- нии сферы и цилиндра:
звуковым потоком: / — цилиндр; 2—сфера; М^=4;
7-М00 = 1,15; 2-
ная волна;
-М =1,3; 3 — IVT
удар-
М^ = оо
- звуковая линия (поверхность)
На втором этапе, называемом лагранжевым, вычисляются потоки
массы (крупных частиц) через границы ячейки. При этом полагают,
что вся масса ячейки переносится за счет скорости, направленной
по нормали к границе ячейки. Таким образом, на этом этапе речь
идет о смещении крупной частицы относительно ее первоначальных
границ.
На третьем этапе, являющемся заключительным в этом методе
расчета, на основе физических законов сохранения (массы, импульса,
энергии), записанных в конечно-разностной форме, уточняются
параметры газа в каждой ячейке. Расчет ведется по времени до тех пор,
пока процесс не установится. Ударная волна строится как слой
конечной толщины.
Описанный метод достаточно универсален и может применяться
для расчета дозвуковых, трансзвуковых и сверхзвуковых течений
вязкого и невязкого газа. Одним из его недостатков является трудность
получения информации в сильно разреженных областях, откуда могут
«уйти» все частицы.
На рис. 9.20...9.23 представлены некоторые результаты расчетов
обтекания затупленных тел. Из рис. 9.20 видно, что с ростом числа
М набегающего потока ударная волна приближается к поверхности
тела. Область дозвукового течения за ударной волной уменьшается.
О 0,2 0,4 0,6 0,0 1,0 в
Рис. 9.22. Распределение давления на
образующей круглого цилиндра при
О 1,52,0 3,0 6,0 Mt
Рис. 9.23. Зависимости коэффициентов
волнового сопротивления сферы (а) и круглого конуса
(б) от числа Маха набегающего потока
207

Расстояние от ударной волны до тела уменьшается и с ростом показателя
адиабаты. Пространственность течения также оказывает существенное
влияние на это расстояние. При прочих равных условиях отход
ударной волны от цилиндра оказывается больше, чем от сферы
(рис. 9.21). Связано это с тем, что в последнем случае поток
растекается в трех направлениях, в то время как при обтекании
цилиндра та же масса газа растекается только в двух направлениях.
На рис. 9.22 показано изменение давления по контуру тела. Видно,
что с ростом угловой координаты 0 давление падает (скорость
растет). На рис. 9.23 показано изменение коэффициента волнового
сопротивления сферы в зависимости от числа М^. Видно, что
с ростом Мда и уменьшением показателя адиабаты коэффициенты
схавл сферы растут, в отличие от схавл заостренных тел (конуса),
для которых с ростом Мда схавл падают.
208

ГЛАВА 10. ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
С МАЛЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
§ 10.1. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Метод возмущений широко используется при исследовании
различных сложных вопросов физики. Сущность этого метода мы
рассмотрим здесь применительно к исследованию движения сплошной
сжимаемой среды.
Пусть имеется некоторое течение газа, поле скоростей которого
Vx считается известным. Предположим, что в этот поток поместили
некоторое тело, тогда изменится форма линий тока, изменится и поле
скоростей. Отклонения линий тока, скорости и, следовательно,
давления, плотности, температуры и других параметров потока от
первоначально заданных значений называют возмущениями. Пусть
параметры возмущенного ^потока _будут V, р, р, Т и т. д., тогда их
можно представить так: V=VX+V\ р=Рх+р', р = р1 + р/, Г=7\ + Г',
..., где у', р', р', Г', ...— возмущения.
Наиболее важным и весьма продуктивным, как мы увидим
в дальнейшем, является предположение о малости возмущений по
сравнению с параметрами невозмущенного потока. Предполагая
\Vf\/\V1\<t:U \р'\/Р1«:1;
|p'|/Pi^l; iri/7^1; ...,
будем считать эти отношения величинами первого порядка малости,
квадратами и произведениями которых можно пренебречь. Это
обстоятельство дает возможность существенно упростить нелинейные
уравнения газовой динамики и свести их к более простым линейным
уравнениям. Процесс преобразования нелинейных уравнений к
линейным называется линеаризацией уравнений.
Уравнения газовой динамики для установившегося движения
невязкого газа запишем в форме Лэмба—Громеки
divpf=0,
у1!+2[юх F]=--V/7.
Уравнение состояния выберем в форме
p/Poo={p/P°o)ye(S-So)/Cv-
Предполагая основной невозмущенный поток прямолинейным
и равномерным, движущимся со скоростью Vm= const, представим
параметры возмущенного потока в виде суммы параметров
невозмущенного потока и возмущений:
?=?«> + ?'; р-Роо+р'; р=р«,+р'; s^s^+s'.
209

Подставим эти величины в записанные выше уравнения и пренебрежем
малыми второго порядка. В результате получим
PoodivF4(Koo-Vp') = 0, (10.1)
Poo{V(?00-r,) + 2[s'x?co]} = -V/i/, (Ю.2)
/>' = *5>P'+/>eog. (Ю.З)
Уравнения (10.1)...(10.3) и есть линеаризованные уравнения газовой
динамики.
Умножая скалярно уравнение (10.2) на вектор элемента некоторой
дуги, равный dr, получаем
^{^7Рсо+К00-Г} = 2[Г00хш,]^Я.
Правая часть этого равенства обращается в нуль в четырех случаях:
1) когда выбранная линия совпадает с линией тока
невозмущенного потока (dr\\ Кда);
2) когда она совпадает с вихревой линией возмущенного потока
(<W); _ _ _ _
3) в случае колинеарности векторов со' и V^ {(^'\\V^)\
4) когда оо' = 0, т. е. в случае потенциального потока.
Во всех перечисленных случаях /?/Роо + ^<»' V' = const. Принимая
в бесконечности возмущения равными нулю, получаем
/>-/>»=-РсоРсо-?'. (Ю.4)
Уравнение (10.4) является интегралом уравнения (10.2) и называется
линеаризованным уравнением Бернулли.
Определим теперь изменение плотности в зависимости от
изменения скорости. С этой целью, используя соотношение a2 — dp/dp,
уравнение (3.83) запишем в виде
p/v-^+2<3x Й=-д2Ур.
Линеаризация этого уравнения приводит к следующему результату:
PooV (?„ • P' + al f) = 2^ х ©'. 00.5)
Умножая скалярно уравнение (10.5) на элемент дуги dr, находим:
К'?' + аЪ^=0. (10.6)
Роо
Здесь учтено, что возмущения на бесконечности равны нулю. Из
уравнений (10.6) и (10.4) имеем
P' = alp'. (10.7)
Используя соотношения (10.3) и (10.7), заключаем, что «S" = 0,
т. е. энтропия возмущенного движения не изменяется. Это означает,
что, если основной поток был потенциальным, то и возмущенный
линеаризованный поток остается потенциальным.
Обратимся к основному уравнению газовой динамики (9.1).
Предполагая невозмущенный поток прямолинейным и равномерным,
210

движущимся со скоростью У
получим
В декартовой системе координат оно имеет вид
const и проводя линеаризацию,
(10.8)
? \ ди' , i 1 2 \ dv' i / 2 2 \ dvv'
du' dv'
ду dx
dw' dv'
dy dz
'°°~oo,^+^1-0-
(10.9)
Поскольку 5" = 0, то основной и возмущенный потоки потенциальные,
и поэтому
dw' dv'
dv' du' _~
dx dy
= 0; ^-^ = 0
dy dz dz dx
(10.10)
и можно ввести потенциал возмущений Ф, связанный со скоростями
возмущений соотношениями
и' = дФ/дх; у' = дФ/ду; ы' = дФ/дг. (10.11)
Если скорость невозмущенного потока направлена вдоль оси Ох,
то Uoo = 0, u00 = Vo0 и уравнение (10.9) имеет вид
(10.12)
Оно может быть использовано для анализа дозвуковых и
сверхзвуковых возмущенных течений газа.
Уравнения характеристик для плоского движения записываются
следующим образом: Xlt2 = ± 1 /^/М^ — 1.
Интегрируя их, находим:
у= ±x/-4/M^0-l+const. (10.13)
Отсюда видно, что характеристики в' физической плоскости течения
будут прямыми, совпадающими с линиями возмущения
невозмущенного потока.
Изменения скорости вдоль характеристик, определяются
соотношениями
v^—u'^y/Ml-l-ui; v'2=~u'2=-jMl-l'u'2. (10.14)
Скачки уплотнения в
линеаризованном сверхзвуковом потоке вырождаются
в линии возмущений. В самом деле,
пусть А В (рис. 10.1) будет элементом
скачка с углом р наклона фронта скачка
к вектору скорости невозмущенного
потока. Так как проекции скорости на
направление касательной к фронту
скачка перед скачком VTaD и за скачком
VT равны, то имеем
Рис. 10.1 Слабый скачок уплотне-
Коо cos р = (Ую — и') cos Р + v' sin р, ния
211

откуда t//w' = ctgp. С другой стороны, на основании соотношений
(10.13) заключаем, что ctg $ = у/М20 — \. Следовательно, Р = Цоо, гДе
Цоо — угол наклона характеристики, совпадающей с линией возмущения
набегающего невозмущенного потока.
§ 10.2. УПРОЩЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОКОЛОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА
Упрощение уравнений околозвуковых течений газа требует
специального рассмотрения, так как изложенная в § 10.1 линеаризация
в данном случае будет несправедлива. Объясняется это тем, что
околозвуковые течения весьма чувствительны к возмущениям,
вносимым в равномерный поток. При обтекании тонкого тела, имеющего
различные протяженности в разных направлениях, в этих направлениях
будут создаваться и различные возмущения. Предполагая
протяженность тела вдоль оси Ох наибольшей по сравнению с протяженностями
вдоль осей Оу и 0z, исследуем возмущенное движение около тела.
Одновременно введем афинное преобразование координат, полагая
u=Vao + eufc9 ЛД); t> = e-t;($,TbC); и> = 8™и^, л, С), (Ю.15)
$ = ^; л = ер~; С = е«-. (Ю.16)
Xq Xq Xq
В (10.15) и (10.16) е — малая величина; и, v, w, £, л> С — считаются
величинами порядка единицы; х0—некоторая константа, имеющая
размерность длины; п, т, р, q—некоторые постоянные, которые будут
определены в процессе анализа уравнений.
Будем исходить из уравнения (9.2).
Подставляя в известную формулу для скорости звука соотношения
(10.15) и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим
a2 = al^(y-\)suu-y—(z2nv2 + E2mw2). (10.17)
Так как мы пока не знаем постоянных п и т в соотношении (10.17),
необходимо сохранить последние слагаемые. Подставляя соотношения
(10.15)...(10.17) в (9.2), находим:
в[й2да-К2аэ-(у+1)8Коой + 0(82",82-)]| +
+ е-+р[а2)-(у_1)еКвой+0(б2",б2|")]^+
-(Fro + 8£)8"tj(8*+1^ + 8"^W
Потребуем, чтобы величины, стоящие в круглых скобках трех
последних членов предыдущего соотношения и содержащие параметр
8, были одного порядка, тогда р+\=п\ n + q = m+p; q+\=m.
212

Так как /? > О и # > О, то га > 1; w> 1. Поэтому величинами выше
второго порядка малости можно пренебречь, и мы будем иметь
е[й^-К2ж-(у+1)8К0Ой]|+е" + "й^^ + е'"+^ = 0. (10.18)
В найденном соотношении для сохранения одинакового порядка
слагаемых мы должны потребовать, чтобы п+р = 2; m + q = 2. При
этом необходимо, чтобы разность a\,— V\ была порядка 8. Из
предыдущего уравнения находим: « = 3/2; га = 3/2; р=\\1\ #=1/2.
Возвращаясь в уравнении (10.18) к старым переменным, деля на
а2ъ и учитывая, что MO0=VO0/ao0, получим
Вводя потенциал возмущений Ф(х, у, z), связанный со скоростями
возмущений u',vr,w' соотношениями (10.11), из (10.19) находим:
(i-m2„)^+^+¥t=(t+i)-^^^. 00.20)
Мы получили хотя и упрощенное, но нелинейное уравнение
околозвукового течения газа, чем и обусловлена сложность изучения
даже возмущенных околозвуковых течений газа.
§ 10.3. ПРОФИЛЬ КРЫЛА В ЛИНЕАРИЗОВАННОМ ПОТОКЕ
При обтекании равномерным потоком газа плоской
пластинки при угле атаки, равном нулю, на ее поверхности скорость равна
скорости невозмущенного набегающего потока. Если же профиль
имеет толщину и угол атаки, отличные от нуля, то на его поверхности
скорость может стать равной или даже большей местной скорости
звука. Число Маха набегающего невозмущенного потока, при котором
в некоторой точке профиля появляется скорость, равная скорости
звука, называется критическим числом Маха (Мкр). При числах Маха
набегающего невозмущенного потока Моо>Мкр вблизи поверхности
профиля возникают зоны местных сверхзвуковых скоростей,
замыкаемые скачками уплотнения. Поэтому при М00>Мкр аэродинамические
характеристики профиля сильно изменяются, особенно резко возрастает
сопротивление профиля.
Обычно различают следующие случаи обтекания профилей:
1. Если течение около профиля таково, что ни в одной точке
потока скорость не достигает скорости звука, то такое обтекание
профиля называют дозвуковым. Здесь М00<Мкр профиля.
2. Если число Маха набегающего невозмущенного потока
Мда таково, что Мкр<М00<1, то вблизи профиля существуют
области как дозвукового, так и сверхзвукового течений. Такое
обтекание профиля называют околозвуковым или трансзвуковым.
Околозвуковые эффекты проявляются и при числах Маха
набегающего потока, несколько больших единицы, поэтому область
околозвукового обтекания профиля устанавливают обычно при
числах Мкр<Мда^1,2.
3. Если число М00>1, то обтекание профиля называют
сверхзвуковым (более точно при М00>1,2).
213

В дальнейшем полученные нами теоретические решения при
обтекании профилей мы будем распространять на указанные здесь
диапазоны чисел М^.
10.3.1. Силы и момент, действующие на профиль
Если распределение давления по контуру профиля известно,
то главный вектор аэродинамических сил и главный момент
вычисляются по формулам (6.5) и (6.6). Полагая, что контур профиля
задан уравнениями
>>1н=/нЫ; ь=/.Ы (ю.21)
(индексы «н» — нижняя часть, «в» — верхняя) в связанной системе
координат, и, вводя коэффициент давления и коэффициенты сил
и момента, после несложных преобразований находим:
1
Cy = i{cPn-CpB)dxu (10.22)
о
1
Ц(с^-с^Ь' (ш-2з)
о
1
mz= -\{срп-сръ)х^хи (10.24)
о
где х1=х1/Ь.
Положение центра давления определяется формулой (6.83), а положение
фокуса формулой
_ _ m2-mz0
XFa — .
Суа
Между коэффициентами аэродинамических сил в связанной и
скоростной системах координат имеет место связь
суа = су cos ос — сх sin а;
(10.25)
сха — сх cos а+СУ sin а.
При малых углах атаки sin a»a, cosa^l, поэтому для подсчета
коэффициентов суа и сха можно использовать формулы
суа = су; сха = сх+суа, (10.26)
где коэффициенты су и сх определяются формулами (10.22) и (10.23).
10.3.2. Обтекание тонкого профиля крыла
дозвуковым потоком (М00<Мкр)
Рассмотрим обтекание профиля крыла установившимся
потоком сжимаемой среды с числом М00<Мкр. Будем предполагать
профиль тонким, малоизогнутым и обтекаемым под малым углом
атаки а. В этом случае возмущения, вносимые профилем в
равномерный поток, будут малыми, и мы можем воспользоваться лине-
214

Рис. 10.2. Схема к выводу граничного условия при
обтекании тонкого профиля
аризованными уравнениями газовой динамики. Для определения
силового воздействия среды на обтекаемый профиль необходимо сначала
рассчитать поле скоростей, воспользовавшись уравнением (10.12) для
потенциала возмущений Ф, которое в данном случае имеет вид
(i-му—+^=о.
(10.27)
Заметим, что это уравнение записано в поточных координатах.
Найдем граничные условия, которым должен удовлетворять
потенциал возмущений при безотрывном обтекании профиля. Пусть
контур профиля задан в связанной системе координат уравнениями
(10.21). При безотрывном обтекании профиля вектор скорости в каждой
точке контура профиля должен быть направлен по касательной
(условие непротекания на контуре Vn = 0). Разложим вектор скорости
на контуре профиля на составляющие по осям поточной системы
координат (рис. 10.2). Тогда
tge^/w^iZ/^ + w').
Учитывая малость значений v' и и\ находим:
. л\ v' 1 дФ
tg0 =—= .
Если обозначить через \|/ угол касательной к контуру с осью Ох, то
Из геометрических соображений следует, что \|/ = ос + 0, тогда
Для малых углов атаки и тонких профилей (малые 0) имеем
Таким образом, на контуре профиля
дФ
Ту
= М/'Ы-4
(10.28)
Уравнение (10.28) является искомым граничным условием для
потенциала возмущений. После решения уравнения (10.27) совместно
с граничным условием (10.28), т. е. после определения поля скоростей,
давление в любой точке потока может быть рассчитано по
линеаризованному уравнению Бернулли, которому соответствует
коэффициент давления
215

•>"тЛ- <1029)
Как только коэффициенты давления
в точках контура профиля будут
определены, коэффициенты сил и момента,
действующих на профиль, могут быть
Рис. 10.3. Тонкий профиль в не- найдены по формулам (10.22)...(10 24).
сжимаемой среде При дозвуковом обтекании профиля,
т.е. при М00<Мкр, уравнение (10.27) во
всей области теления будет эллиптического типа. К этому же типу
принадлежит и уравнение Лапласа, которому удовлетворяет потенциал
скорости при обтекании профиля потоком несжимаемой среды.
Уравнение (10.27) отличается от уравнения Лапласа лишь постоянным
коэффициентом при первом члене, поэтому, естественно, возникает
вопрос о возможности сведения задачи об обтекании профиля
сжимаемым потоком к задаче обтекания некоторого профиля другой
формы потоком несжимаемой среды.
Пусть в потоке несжимаемой жидкости имеется профиль, заданный
уравнением
Л1=*&). (Ю.ЗО)
Пусть скорость невозмущенного несжимаемого потока К^н будет
направлена под углом атаки ан к оси 0^х (рис. 10.3). Потенциал
возмущений при обтекании профиля несжимаемой средой Фх (£, ц)
удовлетворяет уравнению Лапласа
д2Ф1/д^2 + д2Ф1/дц2 = 09 (10.31)
которое нужно решать при граничном условии на профиле (условии
непротекания)
3Oi/^=H00H[g/(4i)-cxH]. (10.32)
Условие (10.32) получено по описанной выше для тонкого профиля
методике. Для коэффициента давления в несжимаемой среде
будем иметь
с'»—£ir (10-33)
Попытаемся путем афинных преобразований свести задачу об
обтекании профиля сжимаемым потоком к задаче обтекания профиля
несжимаемой средой. При этом последнюю задачу будем считать
решенной. Для этой цели положим
х = Ъ х1 = ^; ^ = (3л; Ф = уФь (10.34)
где (3 и у — некоторые пока неизвестные, но постоянные коэффициенты.
Подставим выражения (10.34) в соотношения (10.27), (10.28) и (10.29).
Будем иметь
ЫЬ <10-36>
216

c'"=-jri^- (10-37)
В (10.37) коэффициент давления в произвольной точке на профиле
в дозвуковом потоке обозначен срсж. Величинами с этим индексом
далее в данном параграфе обозначены и другие аэродинамические
коэффициенты профиля в сжимаемом дозвуковом потоке. С учетом
формул (10.28), (10.32) и (10.33) соотношения (10.36) и (10.37) можно
переписать так:
Vnif'ixih^lv^lg'^-aLnl (10.38)
оон
срнсж. (10.39)
Для того чтобы уравнение (10.35) совпадало с уравнением (10.31),
необходимо положить (1 — М £,) |32 = 1, откуда
р=1/УГ^Щ. (Ю.40)
Далее возможны две задачи, соответствующие вопросам:
1. Каким должен быть профиль в несжимаемом потоке, чтобы
распределение давления по контуру профиля было таким же, как
и в сжимаемом потоке?
2. Как изменяется распределение давлений по контуру заданного
профиля при обтекании его потоками сжимаемой и несжимаемой сред?
Рассмотрим эти задачи по порядку. При одинаковом
распределении давления (задача 1) необходимо потребовать, чтобы yVaOH/Vao = l.
Тогда из уравнения (10.38) с учетом (10.40) будем иметь
/,W-a = >/l-M5)[g'ft1)-cxH].
Так как форма контура и углы атаки независимы между собой, то
/'(x^y/l-Ml-g'fa); а = У1-М2да-осн.
Выполняя интегрирование, находим:
^1 = Л1>/1-М5).
Следовательно, для того чтобы получить одинаковые распределения
давления по контуру профиля в потоках сжимаемой и несжимаемой
сред, необходимо все ординаты профиля в несжимаемом потоке
увеличить в l/^/l —Mj, раз. Иначе говоря, относительная толщина
профиля, помещенного в несжимаемый поток, должна быть
в l/^/l—Мда раз больше. Кроме того, угол атаки более толстого
профиля должен быть увеличенным во столько же раз.
В задаче 2 форма профиля и углы атаки сохраняются, поэтому
в уравнении (10.38) следует положить yVaoH/($Vao)=l.
Тогда
срсж = срнсж/^1-М1. (10.41)
Иначе говоря, коэффициент давления в сжимаемом потоке
увеличивается в \jyj\-М^ раз по сравнению с несжимаемым потоком.
Подсчитаем теперь аэродинамические коэффициенты сил и
момента. Так как согласно формуле (10.22)
217

Сусж J \^рн ^рв/сж"-^1?
О
1
^унсж J V рн ^рв/нсж^Ч1» -*1 Sl>
о
то с учетом соотношения (10.41) имеем
или, так как при ос <с 1 су = cyai то
^уасж== Суансж/\/ *■ ^сю« (1U.4Z)
Аналогично, используя формулу (10.24) и формулу для
аэродинамического фокуса, легко находим, что коэффициенты момента и
относительные координаты аэродинамического фокуса профиля в
дозвуковом потоке и несжимаемой среде связаны соотношениями
^гсж ^гнсж/v ^ -М- оо >
(10.43)
■*\Fa еж ^Fa н
Из формул (10.42), (10.43) следует, что с увеличением
числа Маха дозвукового набегающего потока коэффициенты
подъемной силы и момента тонкого профиля возрастают, а
относительная координата фокуса профиля не зависит от числа
Маха.
Коэффициент P=l/^/l—Мда иногда называют поправкой на
сжимаемость Прандтля — Глауэрта, а сам метод учета влияния
сжимаемости на аэродинамические характеристики профиля с помощью
линеаризации основных уравнений газовой динамики—методом
Прандтля— Глауэрта. Следует отметить, что для нетонких профилей или
тонких профилей при немалых углах атаки полученные выводы
(формулы (10.42), (10.43)) неточны. Данная теория дает заниженные
значения коэффициентов су и тг.
Хотя формально рассмотренная теория справедлива при любых
числах М00<1, при Mqo^I коэффициенты cyi mz стремятся к
бесконечности. Сильное расхождение теории с опытом начинает
наблюдаться при числах М00>Мкр. Поэтому полученные результаты следует
применять при М00<Мкр.
10.3.3. Профиль крыла в линеаризованном сверхзвуковом
потоке
Так как уравнение для потенциала возмущений при
обтекании профиля сверхзвуковым потоком отличается от соотношения
(10.27) лишь знаком при первом члене, сначала мы рассмотрим
задачу об обтекании профиля сверхзвуковым потоком.
Отметим некоторые отличительные особенности сверхзвуковых
профилей:
1. Передняя кромка должна быть острой. В этом случае скачок
уплотнения будет присоединенным, если угол поворота потока при
входе на переднюю кромку будет меньше предельного угла поворота
потока за скачком уплотнения.
218

2. Профили должны быть тонкими и малой вогнутости. Тогда
угол наклона элемента контура к вектору скорости набегающего
потока будет малым. Следовательно, угол поворота потока также
будет малой величиной, и произведение M^sinp, где (3—угол наклона
фронта скачка уплотнения, будет близким к единице. Поэтому скачок
будет мало отличаться, как показано в п. 10.1.1, от линии возмущения,
и в этом случае можно воспользоваться линеаризованными
уравнениями.
Итак, пусть тонкий профиль произвольной формы обтекается
линеаризованным сверхзвуковым равномерным потоком при малом
угле атаки в плоскости Оху. Пусть уравнения его контура для верхней
и нижней ветвей заданы в форме (10.21).
Уравнение для определения потенциала возмущений
принимает вид
<Mi->S-S-*
(10.44)
Граничное условие на контуре профиля определяется уравнением
(10.28). Коэффициент давления в любой точке линеаризованного
потока можно найти из соотношения (10.29).
Уравнение (10.44), в отличие от уравнения (10.27), описывающего
изменение потенциала возмущений при обтекании тонкого профиля
дозвуковым потоком, принадлежит теперь гиперболическому типу,
и метод его решения иной. Запишем уравнение характеристик для
уравнения (10.44)
откуда
(Mi-l)(dy/dx)2-\=0,
У=±х/у/М2ао-1 + С,
(10.45)
где С—некоторая константа. Из соотношения (10.45) видно, что
характеристики — прямые линии, наклоненные к оси Ох поточной
системы координат Оху (т. е. к вектору скорости V^) под углом
возмущений ±Цоо, при этом tg|i00= ±l/4/Mj> — 1. Как известно, если
одна характеристика какого-либо семейства—прямая линия, то все
характеристики этого семейства прямые линии, вдоль которых скорости
по величине и направлению, а
следовательно, и давления (см. формулу
(10.29)) одинаковы. Поэтому поле
скоростей в области между линиями
возмущений, проходящими через
переднюю и заднюю точки профиля,
будет определяться их значениями на
контуре профиля, в том числе и
бесконечно далеко от профиля, где
возмущения должны были бы затухать.
Конечность возмущений во всей
области возмущенного движения около
профиля (рис. 10.4)—дефект
рассматриваемой линейной теории обтекания
профиля.
ИЗ,ВеЛН?1е хаРактеРистики УРав" Рис. 10.4. Тонкий профиль в линеа-
нения (10.44) ПОЗВОЛЯЮТ привести его ризованном сверхзвуковом потоке
219

к каноническому виду и найти его общее решение. Введем, пользуясь
соотношением (10.45), характеристические координаты (рис. 10.4):
Ъ=у-х/y/Ml-1; ч=у + х/^М1-\.
Тогда уравнение (10.44) принимает вид
После его интегрирования получаем
Ф = Х1^) + Х2(л),
где %i(fy, Х2(л) — произвольные функции своих аргументов.
Возвращаясь к старым переменным х и у, окончательно получаем
Ф = Х1{у-х/^М1-1) + х2{у + х/^М200-\). (10.46)
Возмущения, возникающие на верхней части контура профиля,
не проникают через стенки и не передаются на нижнюю часть
контура и наоборот. Так как согласно задаче Коши решение на
верхней полуплоскости определено в треугольнике, ограниченном
стенкой и характеристиками первого семейства ОА и второго семейства
СА, а для нижней полуплоскости — в треугольнике ОСВ (см. рис. 10.4),
то следует рассмотреть изменения параметров потока только в этих
треугольниках. На верхней полуплоскости поле скоростей определяется
распределением скорости вдоль верхней части контура профиля. Здесь
значение скорости совпадает с ее значением вдоль характеристики
первого семейства. Потому поле скоростей на верхней полуплоскости
будет зависеть только от координаты £, а на нижней — только от
координаты г|. Таким образом, решение в треугольнике 0А С
определяется функцией XiOd)» а в треугольнике ОСВ—функцией Х2(л)-
Воспользуемся этим обстоятельством и найдем коэффициенты давления
на верхней и нижней ветвях контура профиля.
Для верхней ветви имеем
<S>» = Xi{y-x/jMl-l). (10.47)
Дифференцируя по х и у уравнение (10.47), получаем
,_дФв 1 , ,_дФв_ ,
а* ум 2,-1 ду
где «штрих» означает дифференцирование функции Xi по своему
аргументу. Таким образом,
дФв^ 1 дФъ
дх ум 5,-1 дУ '
Из граничных условий (10.28) следует, что на контуре профиля
дФ>^ У„ fdylB ^
^ ум*,-1 \ dxi
Используя выражение (10.29) для коэффициента давления, легко
находим, что на верхней ветви контура профиля коэффициент давления
определяется соотношением
220

, . P^-ol) = —- (/;-«). (10.48)
Записывая потенциал возмущений для нижней ветви профиля
в форме
Фн=%2Ск+*Л/м5,-1)
и проводя аналогичные рассуждения, находим, что на нижней ветви
контура профиля для коэффициента давления справедливо соотношение
2 Л^-ocV --4= (/н-ос). (10.49)
v/Mi-l \ dxi J Vmj,-i
Формулы (10.48), (10.49) были впервые получены Аккеретом
в 1925 г. Данная теория дает расхождение с экспериментом вблизи
носка и хвостика профиля. Расхождения вблизи хвостика профиля
объясняются взаимодействием ударной волны с пограничным слоем,
приводящим к росту давления за косым скачком уплотнения,
возникающим у задней кромки, и распространению повышенного давления
за скачком вверх по потоку через дозвуковую часть пограничного слоя.
Несмотря на некоторые неточности в определении давления,
линейная теория дает хорошее приближение при вычислении
коэффициентов суммарных сил и момента, действующих на профиль.
Определим эти коэффициенты. Пользуясь формулами (10.22)...(10.24),
(10.48) и (10.49), находим:
с^ = 4а/>/м5,-1, (10.50)
4а2 2
УЩ~=Т ум--1
(f?+f'i)dxu (10.51)
о
1
mz= -\ cya+--J== [(f'v+f^x.dx,. (10.52)
о
При выводе формул (10.50)...(10.52) учтено, что
1 1
|/н^1=|/в^1=0.
о о
Применяя формулы для относительных координат центра давления
и фокуса профиля, получаем
1
хц = \~ (fs+f^Xidxu xFa = 1-. (10.53)
о
Таким образом, в соответствии с линейной теорией коэффициент
подъемной силы при сверхзвуковых скоростях прямо пропорционален
углу атаки и так же, как и координата фокуса, не зависит от формы
профиля. Коэффициенты лобового сопротивления и момента и
относительная координата центра давления зависят как от угла атаки профиля,
так и от его формы. Из формулы (10.51) видно, что коэффициент лобо-
221

вого сопротивления состоит из двух слагаемых, первое из которых
зависит только от числа Маха набегающего потока и угла атаки и при
прочих равных условиях совпадает с коэффициентом лобового
сопротивления плоской пластины (профиля нулевой толщины) при сверхзвуковых
скоростях, а второе не зависит от угла атаки, а зависит только от
формы профиля и числа Маха. Последнее слагаемое часто называют
минимальным волновым сопротивлением профиля. Появление лобового
сопротивления при сверхзвуковых скоростях обусловлено
возникновением вблизи профиля в сверхзвуковом потоке скачков уплотнения
(ударных волн), вырождающихся при малых возмущениях, вносимых
профилем в поток, в линии возмущения. Поэтому сопротивление
профиля (и других тел) в идеальной среде при сверхзвуковых скоростях
называют волновым сопротивлением.
10.3.4. Профиль крыла с минимальным
волновым сопротивлением
Линейная теория позволяет не только получить простые
формулы для вычисления аэродинамических коэффициентов тонких
профилей, но и ответить на вопрос о наиболее выгодной форме
профиля из всех возможных в сверхзвуковом потоке. Очевидно, что
поскольку сопротивление зависит от формы профиля, то ее можно
выбрать так, чтобы волновое сопротивление было минимальным. Из
формулы (10.51) следует, что если f'B=f'H = 0, то сха минимально,
что соответствует случаю вырождения профиля в плоскую пластину,
и потому не представляет интереса. Следовательно, возникает задача
выбора формы профиля ненулевой толщины таким образом, чтобы
(/;2+Л2)^1=^влтщ. (Ю.54)
и
Из вариационного исчисления известно, что равенство нулю
ъ
первой вариации функционала J F(x, у, y')dx приводит к решению
о
уравнения Эйлера
d dF dF_
dx dy ' by
В нашем случае FH=y'iH; FB=y'iB, поэтому из уравнений Эйлера
находим: .yiH = 0; ^iB==0. Интегрируя, получаем уравнения ветвей
контура профиля
У1в = а1х1+Ь1; yiH = a2x1+b2. (10.55)
Если форма контура не подчинена дополнительным условиям, то,
удовлетворяя условиям на концах, приходим к выражениям yiB = 0;
3;1н = 0, т. е. профиль вырождается в плоскую пластинку. Если профиль
имеет конечную относительную толщину с, то контур профиля должен
быть составлен согласно соотношениям (10.55) из отрезков прямых,
так как без наличия угловых точек на верхней и нижней частях
контура профиля в этом случае нельзя удовлетворить граничным
условиям на концах.
222

Рис. 10.5. Схема к определению формы
профиля минимального волнового сопротивления:
хи, х12 — координаты угловых точек А на верхней
и В на нижней частях контура профиля соответственно
уЛ
А
0
<^Р"^
^^V/ I .
в
1
-"J^I
<^ $
1
*1
\
Пусть профиль имеет угловые точки (рис. 10.5) и коэффициент
волнового сопротивления
Х11 1 *12
C-Jtfl
Jwl-\
dxx +
1-Хц
dx1-\-
dxx +
+
1-^12
dxx
Интегрируя, получаем
2
Ум2те-1
г2
с1
1 1
Хц 1—^11
+ с\
1 , 1)1
*12 1-^12/J'
(10.56)
Требуется найти минимум функционала (10.56) при условии, что
с1 + с2 = с. Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа,
будем определять безусловный минимум функции:
F=cU ^+
Х\ i 1 —х±
+ cl\±+
*12 1— *12
+ Х(с1 + с2),
(10.57)
где X—множитель Лагранжа. Из условия минимума функции (10.57)
dF dF dF dF ч
(определяя , , —, — и приравнивая их нулю) находим:
dxi2 дхц дсг дс2
_ 1 __1 -_-_1-
Следовательно, из всевозможных профилей заданной относительной
толщины с с угловыми точками на нижней и верхней ветвях контура
минимальное сопротивление будет у ромба, имеющего
г =-
4с2 4а2
Действительно, если уравнение (10.51), определяющее коэффициент
волнового сопротивления тонкого профиля, переписать в виде
^ха
4а2
+ -
Кс2
(10.58)
1
где A^=2j(j;/12H+j?'12B)^jc1, у1=у1/с, с — толщина профиля, то ромб
о
будет иметь наименьший коэффициент К. В частности, если
профиль четырехугольный (хсФ\/2, где хс = хс/Ь, хс—координата
223

точки максимальной толщины), то К=—-——; для профиля, об-
хс(\-хс)
разованного дугами парабол, К=\6/3. Изменение дополнительных
условий, налагаемых обычно при определении профиля наименьшего
волнового сопротивления, приводит к изменению его формы.
Если задана площадь профиля S, то, пользуясь методом
неопределенных множителей Лагранжа, можно показать, что профилем
с наименьшим волновым сопротивлением будет симметричный
профиль, ограниченный дугами парабол.
10.3.5. Тонкий профиль в околозвуковом потоке газа
Рассмотрим особенности безотрывного обтекания профиля
околозвуковым потоком газа при числах М00>Мкр. Если число
М00<Мкр, то ни на нижнем, ни на верхнем контурах профиля
скорость не достигает величины, равной скорости звука, и обтекание
профиля является чисто дозвуковым. С ростом числа Маха
набегающего потока скорости вблизи профиля увеличиваются, и при
Мо0 = Мкр в некоторой точке А верхней части его контура скорость
достигает величины, равной местной скорости звука. При дальнейшем
увеличении скорости дозвукового потока (росте числа М^ в диапазоне
Мкр<М00<1) на верхней части контура профиля возникает зона
местных сверхзвуковых скоростей, заканчивающаяся скачком
уплотнения, за которым поток снова становится дозвуковым. Зону местных
сверхзвуковых скоростей и дозвуковой возмущенный набегающий
поток разделяет звуковая линия 2 (рис. 10.6), имеющая общую
касательную со скачком, перпендикулярную к линии тока, проходящей
через вершину скачка. Так как на поверхности обтекаемого тела
всегда присутствует пограничный вязкий слой, в котором частицы
сильно заторможены и. следовательно, в части этого слоя имеются
скорости, меньшие скорости звука, то скачок обычно не доходит до
обтекаемой стенки. Вследствие того, что давление за скачком
повышается, пограничный слой перед скачком «вспухает», так как это
повышение давления передается вперед по потоку через дозвуковую
часть пограничного слоя, где скачка нет. «Вспухание» пограничного
слоя перед скачком вызывает отклонение линий тока невязкого
течения на внешней границе пограничного слоя, вследствие чего в его
сверхзвуковой зоне происходит торможение потока. Все это приводит
к возникновению дополнительного косого скачка, который вместе
с основным скачком имеет форму, похожую на греческую букву А,.
Поэтому такой скачок получил наименование А-образного скачка
(рис. 10.7). Следует отметить, что устойчивый основной скачок об-
Рис. 10.6. Картина течения и распределение
давления при обтекании профиля
околозвуковым потоком с местной сверхзвуковой
зоной Мкр<М00<1:
1 — профиль; 2—звуковая линия; 3—местная
сверхзвуковая зона; 4—скачок уплотнения;
распределение давления по профилю при наличии
местной сверхзвуковой зоны и скачка уплотнения;
распределение давления по профилю без
местной сверхзвуковой зоны и скачка уплотнения

мкр м
Рис. 10.7. Образование ^-образного скачка при Рис. 10.8. Влияние числа Маха Мм на
обтекании профиля околозвуковым потоком коэффициенты подъемной силы
газа: суа и лобового сопротивления
1—профиль; 2—звуковая линия; 3—основной скачок; сха профиля при околозвуковых ско-
4—косые скачки; 5—граница пограничного слоя ростях
разуется при числах М^, которым соответствует местное число М,
равное приблизительно 1,05.
С возрастанием числа М^ скачок смещается к кормовой части
профиля, и его интенсивность быстро возрастает. Увеличение
интенсивности скачка обычно оказывается достаточным, чтобы вызвать
отрыв потока за скачком. В случае турбулентного пограничного слоя
отрыв возникает при местном числе Маха перед скачком,
приблизительно равным 1,25. Между тем, при обтекании профиля под углом
атаки поток вблизи нижней части контура профиля также становится
сверхзвуковым, и там развивается течение, аналогичное описанному
выше течению вблизи верхней поверхности. Дальнейшее возрастание
числа Мда приводит к смещению скачков на верхней и нижней частях
профиля к хвостовой кромке профиля, и вблизи профиля, за
исключением окрестности его вершины, поток становится
сверхзвуковым. Это происходит при числах M^^l.
Аналогичные условия течения вблизи верхней и нижней частей
профиля сохраняются и при числах М^, чуть больших единицы,
когда перед профилем возникает отсоединенный скачок уплотнения.
Наконец, при еще больших значениях М00>1 устанавливается чисто
сверхзвуковое течение с присоединенным головным и косым хвостовым
скачками уплотнения. Очевидно, что поведение пограничного слоя
имеет существенное значение для развития структуры околозвукового
течения около профиля.
Изменение давления по контуру симметричного профиля,
обтекаемого околозвуковым потоком с числом Маха Мкр<М00<1 при
нулевом угле атаки, показано сплошной линией на рис. 10.6. Если
бы местный скачок уплотнения отсутствовал, то в кормовой точке
профиля было бы более высокое давление, равное давлению изоэн-
тропически заторможенного потока, такому же как и в лобовой
точке профиля. В результате силы давления, действующие на лобовую
часть, уравновешивались бы силами давления, действующими на
кормовую часть профиля, и его сопротивление в идеальной среде
равнялось бы нулю (парадокс Д'Аламбера). Как видно из рис. 10.6,
при наличии местной сверхзвуковой зоны, заканчивающейся скачком
уплотнения, такого уравновешивания не происходит, и появляется
8 Зак !50 <}/}г

сила сопротивления, обычно называемая волновым сопротивлением.
Очевидно, что волновое сопротивление при околозвуковых скоростях
тем больше, чем больше потери полного давления в местном скачке
уплотнения, зависящие от числа Маха перед скачком.
Возникновение местных скачков уплотнения на верхней и нижней
поверхностях приводит к значительному изменению коэффициентов
сха, суа и mz (рис. 10.8). Не останавливаясь на деталях, отметим, что
характер их изменения при околозвуковых скоростях существенно
зависит от формы профиля и интенсивности скачков уплотнения на
верхней и нижней поверхностях. На рис. 10.8 указано значение числа
Маха М', при превышении которого сха быстро возрастает. Оно
обычно соответствует местному числу Маха перед скачком, равному
1,15. При Мкр<М00<М/ поведение коэффициентов суа тонкого профиля
описывается формулой (10.42), а коэффициенты волнового
сопротивления пренебрежимо малы.
Особенность рассматриваемого околозвукового течения в
окрестности профиля состоит в том, что здесь одновременно существуют
области как дозвукового, так и сверхзвукового течений. Как известно,
такие течения называются смешанными. В каждой области такого
течения уравнение для потенциала возмущений, получающееся из
уравнения (10.20),
будет иметь различный тип: в дозвуковой области оно будет
принадлежать к эллиптическому типу, а в сверхзвуковой — к
гиперболическому. Решение уравнения (10.59) в настоящее время получают
численными методами.
226

ГЛАВА 11. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
С МАЛЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
§ 11.1. КРЫЛО КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
В ЛИНЕАРИЗОВАННОМ ПОТОКЕ
11.1.1. Силы и моменты, действующие на крыло
конечного размаха
Если распределение давления по поверхности крыла известно,
то главные векторы аэродинамической силы и момента вычисляются
по формулам (6.5) и (6.6).
Пусть поверхность задана уравнением F(xl9 yl9 z1)=y1—f(x1, г^ = 0
в связанной системе координат. Раскрывая соотношения (6.5) и (6.6),
учитывая уравнение поверхности крыла и переходя к коэффициенту
давления ср и безразмерным аэродинамическим коэффициентам,
найдем:
-ДО
S
1 г
S
-JJJ
s
8f- + c dfAdS-
\(cPH-cpB)dS;
X<~b<"f)ds-
1 г
тх — —
SboJ
S
ту=-
i
"Sbo
{(cpu-Cp^ZidS;
J
If
"'■Ms+
+ c,
\xi(cpn-cp^dS.
(11.1)
l
'Sbo
Если крыло имеет плоскость симметрии и обтекается без
скольжения, то распределения давления по его левой и правой консолям
совершенно одинаковы. В этом случае боковая сила Z, моменты
8- 227

рыскания Му и крена Мх равны нулю.
Центр давления и фокус крыла при
таком обтекании будут расположены
на оси 0хг и могут быть найдены
по формулам
•Хд— »
XFa —
Рис. 11.1 Схема к обтеканию тонкого
крыла дозвуковым линеаризованным
Для вычисления коэффициентов
аэродинамических сил в поточной
системе координат необходимо
использовать формулы связи между
поточной и связанной системами коор-
ihmukum динат. Если крыло симметрично
относительно плоскости Ох^ и ось Oz поточной системы совпадает
с осью Ozi связанной (рис. 11.1), то для пересчета аэродинамических
коэффициентов из одной системы координат в другую при малых
углах атаки можно обратиться к формулам (10.26).
11.1.2. Крыло конечного размаха в дозвуковом потоке
газа
Рассмотрим обтекание равномерным прямолинейным
дозвуковым потоком тонкого, малоизогнутого с малым углом атаки
крыла конечного размаха. Аэродинамическую схему обтекания крыла
сжимаемым потоком примем аналогичной схеме обтекания крыла
несжимаемым потоком, а именно: поверхность крыла заменим системой
присоединенных вихрей и будем полагать, что с задней кромки крыла
сбегают свободные вихри, образующие вихревую пелену. Вследствие
того, что угол атаки мал, вихревую пелену будем считать* расположенной
в плоскости Oxz. В принятой схеме обтекания крыла поток будет
всюду потенциальным, за исключением поверхности крыла и вихревой
пелены. При этом потенциал скорости на вихревом слое терпит
разрыв. Разность потенциалов на вихревой пелене свободных вихрей
равна циркуляции Г по контуру С, охватывающему крыло (см.
рис. 11.1). Так как рассматривается тонкое крыло, то вносимые крылом
в равномерный поток возмущения будут малыми, поэтому для
отыскания потенциала возмущений мы можем воспользоваться
линеаризованным уравнением (10.12) с граничным условием на поверхности
крыла (7.54), в котором v' = (dQ>/dy)\s.
Коэффициент давления, необходимый для определения
аэродинамических коэффициентов сил и моментов, действующих со стороны
потока на крыло, как и ранее, вычисляется согласно формуле (10.29).
Уравнение (10.12) при Моо<1 принадлежит, как и- уравнение
Лапласа, к эллиптическому типу и отличается от уравнения Лапласа
лишь постоянным множителем при первом члене. Поэтому
воспользуемся описанным ранее приемом сведения уравнения (10.27) к
уравнению Лапласа. Сделаем преобразование координат и потенциала,
положив
х=(3^; у = ц; z = £; Ф = уФ15
(11.2)
где р и у некоторые постоянные коэффициенты. Вычисляя производные,
входящие в (10.12) и (10.29), находим соответственно:
228

\-Mj д2Ф, д2Ф, д2Ф,_
(З2 д^^дц2 + 5С2 '
гьф±
^(1^-
с„= —
2 у дФ!
(11.3)
(11.4)
(11.5)
Выберем теперь коэффициент (3 так, чтобы уравнение (11.3)
совпало в пространстве 4лС с уравнением Лапласа, описывающим
изменение потенциала возмущений в несжимаемой среде.
(Пространство ^г£ можно рассматривать как фиктивное пространство
несжимаемой среды.) Для этого необходимо потребовать, чтобы
(1-М^/р2)=1, откуда
P^-ML (11.6)
Теперь из (11.3) получим уравнение
д2$1 д2Ф, дЧ,
(11.7)
и если его решение известно, то можно найти и решение исходного
уравнения (10.12). При этом, поскольку коэффициент у остался
неопределенным, необходимо ответить на два вопроса.
1. Обтекание какого крыла в фиктивном пространстве
несжимаемой среды следует рассмотреть?
2. Какие граничные условия необходимо поставить на этом крыле,
чтобы полностью удовлетворялось граничное условие (11.4) в любой
точке исходного крыла?
Ответим сначала на первый вопрос. Так как согласно (11.2)
линейные размеры в направлении осей Оу и Oz не изменяются, то
очевидно, что крыло деформируется лишь в направлении оси Ох.
Размах и толщина крыла при этом не изменяются. На рис. 11.2
показаны исходное крыло и деформированное. Как видно из рис. 11.2
и формул связи (11.2), имеют место соотношения
boi^bo/y/l-Ml; bKl=bK/J\-Ml; /1 = /; S^S/Jl -Ml, (11.8)
где индекс «1» относится к деформированному крылу; S—площадь
крыла, а безразмерные геометрические параметры: удлинение X = l2/S,
сужение r\=b0/bK, угол стреловидности по передней кромке Хп.к
определяются равенствами
Х^Ху/l-Ml; Л1 = Л> tgXi„.K = tgXn.K/>/l-M|
(11.9)
Рис. 11.2. Тонкое крыло в дозвуковом потоке
(а) и в фиктивном пространстве несжимаемой
среды (б):
^о» ^к» ^oi> 6*1—корневая и концевая хорды
соответственно исходного и деформированного крыльев; /—
размах крыла; х„ % — Угол стреловидности передней
кромки крыла
ТТ^Г
с
' /
0
у*/*» t
\
к
-1
г*?
т
229

Таким образом, в фиктивном пространстве несжимаемой среды мы
должны рассмотреть деформированное крыло с геометрическими
параметрами, определяемыми формулами (11.8) и (11.9).
Ответим теперь на второй вопрос. Пусть уравнение
деформированного крыла, обтекаемого равномерным потоком несжимаемой
среды со скоростью VaDl, будет T|i"~/i(^i> Ci) = 0- Тогда в любой
точке его поверхности при безотрывном обтекании должно
выполняться условие
{дФ1/дц)\81=Уай1(д/11д^-а1). (11.10)
Определяя из выражений (11.4) и (11.10) производную дФ^дг)
и приравнивая результаты, находим:
Вследствие независимости формы профиля и углов атаки, имеем
4w=V*>iW> — a=Fooia1, (11.11)
кроме того, из (11.5) имеем
оСР1-
В этих выражениях пока остается неизвестным у. Так как на
V ,v
вихревой пелене давление непрерывно, там —^-1=1. В точках на
' оо Р
поверхности крыла это соотношение не должно выполняться, поэтому
у остается неопределенным. Выберем y=Vao/Vaoi, тогда на
поверхности крыла
1*1='А a=ai; С|Вы,
Р д^ 0JL' и р р
Принимая во внимание соотношение (11.6), имеем
сР = ср1/y/1-Ml. (11.12)
Так как коэффициенты давления связаны с коэффициентами
суммарных аэродинамических сил и моментов, то, используя в случае
обтекания симметричного крыла без скольжения соотношения (11.1),
находим:
cy = cylly/\-M1COi mz = mzllJ\-Ml^ xFa = xFal. (11.13)
Формулами (11.13) устанавливается связь между аэродинамическими
коэффициентами исходного и деформированного крыльев.
Укажем порядок расчета аэродинамических характеристик крыльев
при больших дозвуковых скоростях, но при М00<Мкр. Сначала по
геометрическим параметрам исходного крыла с помощью формул
(11.8) и (11.9) рассчитываются геометрические параметры
деформированного крыла. Затем с помощью методов несущей нити или
метода дискретных вихрей, удобного для использования ЭВМ,
рассчитываются аэродинамические характеристики деформированного
230

крыла в несжимаемой среде. Как только они становятся известными,
с помощью формул (11.12) и (11.13) рассчитываются аэродинамические
характеристики исходного крыла. Особенно удобно определять
коэффициенты суммарных аэродинамических сил и моментов крыльев,
если имеются серии систематических расчетов крыльев в несжимаемой
среде.
11.1.3. Особенности обтекания крыла конечного размаха
сверхзвуковым потоком. Классификация кромок крыла
Прежде всего отметим то обстоятельство, что в потоке
сверхзвуковых скоростей возмущения, связанные с перетеканием
воздуха через боковые кромки крыла и образованием вихревой пелены,
часто сказываются не на всей поверхности крыла, а лишь на
определенных ее частях или не сказываются вообще. Это существенно
отличает рассматриваемый случай от случая обтекания крыла
дозвуковым потоком. Указанное обстоятельство следует иметь в виду
и использовать при расчете аэродинамических характеристик крыльев
в сверхзвуковом потоке.
На рис. 11.3 представлены распределения нагрузки — разности
коэффициентов давления на нижней и верхней поверхностях крыла — в
дозвуковом и сверхзвуковом потоках. Как видим, в дозвуковом
потоке перетекание воздуха сказывается на всей поверхности крыла,
уменьшая разность срн — срв по сравнению со случаем крыла
бесконечного размаха (профиля крыла). Иначе обстоит дело в
сверхзвуковом потоке. Возмущения, вызванные перетеканием потока
с нижней поверхности крыла на верхнюю, распространяются лишь
внутри конуса Маха, проведенного из данной точки боковой кромки.
Максимальные области влияния перетекания ограничены конусами
Маха, проведенными из вершин крыла (области II и 1Г). Вне
указанных областей перетекание не влияет на скорости и давления
в точках поверхности крыла, и здесь (область I) распределение
нагрузки такое же, как и в случае обтекания крыла бесконечного
размаха (профиля крыла, см. формулы (10.48) и (10.49)). Для
крыльев более сложной формы в плане эти различия еще
существеннее.
U
Срн'Срв
W\
V > а
J*~
А
Е
04
О
а)
о
в)
Рис. 11.3. Распределения нагрузки по размаху крыла конечного размаха при дозвуковых
(а) и сверхзвуковых скоростях (б) и форма крыла в плане (в) при отсутствии влияния
перетекания через боковые кромки при сверхзвуковых скоростях:
I — 1 — сечение крыла при .v = const
231

Рис. 11.4. Скользящее крыло в сверхзвуковом потоке:
а—дозвуковая передняя кромка крыла; б—звуковая передняя кромка; в—сверхзвуковая передняя
кромка
Очевидно, что если сделать крыло со срезанными кромками, как
показано на рис. 11.3, в, то перетекание воздуха при заданном числе
Маха не будет сказываться вообще и распределение нагрузки будет
таким же, как и в области I. Из сказанного выше следует, что при
обтекании крыла сверхзвуковым потоком большое значение имеет
характер взаимодействия потоков через кромки крыла. В зависимости
от этого взаимодействия кромки крыльев называют дозвуковыми,
звуковыми и сверхзвуковыми.
Для того чтобы разобраться в этом, рассмотрим характер
обтекания скользящего крыла бесконечного размаха сверхзвуковым
потоком. Прежде всего отметим, что при обтекании такого крыла
основную роль играет скорость набегающего потока, нормальная
к передней кромке крыла, Упо0. Это обусловлено тем, что в силу
равенства тангенциальных составляющих скорости в данной точке
крыла VT и на бесконечности VToo величина давления в данной
точке крыла зависит только от Кпоо.
Предположим теперь, что скорость набегающего потока Vao>a009
но Knoo= K00cosx<«o05 гДе X — Угол скольжения крыла; а^—скорость
звука, подсчитанная по параметрам набегающего потока. Отсюда
cos5C<fl00/F00, или, так как а^/Vao = l/Mao = sm\xa09 то cos % < sin \л т,
\iao>n/2 — %. Последнее означает, что линии возмущения проходят
перед передней кромкой (рис. 11.4, а). Характер обтекания1 крыла,
несмотря на сверхзвуковую скорость набегающего потока, такой же,
как и в дозвуковом потоке. Вся передняя кромка находится в области
возмущенного течения, через переднюю кромку происходит
взаимодействие потоков на нижней и верхней поверхностях. Поэтому в
рассмотренном случае кромку называют дозвуковой, а взаимодействие
потоков и передача через нее возмущений являются ее отличительными
особенностями.
Если Уо0>аО0, но K00cosx = tfoo> то угол возмущений [1О0 = к/2 — %
и линия возмущений, проведенная из точки передней кромки,
совпадает с ней (рис. 11.4, б). Кромку при этих условиях называют
звуковой.
Если же VO0>aO0, но K00cosx>«00, то [хО0<п/2-% (рис. 11.4, в).
Перетекание потока через такую кромку с нижней поверхности на
верхнюю отсутствует, а кромку называют сверхзвуковой. Ее
особенность— отсутствие передачи через нее возмущений.
232

Введенные понятия кромок обобщаются на случай крыла
конечного размаха в сверхзвуковом потоке. Характер кромки легко
определяется, если из какой-либо ее точки провести конус возмущений
(на плоскости линии возмущений). На основании вышеизложенного
легко видеть, что если кромка попадает в этот конус, то она
дозвуковая, если нет — то сверхзвуковая.
11.1.4. Постановка задачи об обтекании крыла
конечного размаха сверхзвуковым потоком
Рассмотрим обтекание тонкого, слабоизогнутого крыла
произвольной формы в плане равномерным сверхзвуковым потоком газа.
Пусть поверхность крыла задана уравнением Fbq, уи z1)=yi—f(x1,
z1) = 0. Пусть скорость невозмущенного потока У^ направлена вдоль
оси Ох поточной системы, наклоненной к оси 0xt под малым углом
атаки ос (рис. 11.5). При сформулированных здесь условиях крыло
вносит малые возмущения в равномерный набегающий поток, и мы
можем воспользоваться результатами линейной теории. Потенциал
возмущений Ф(х, у, z) удовлетворяет уравнению
I °° ' Ъхг ду2 dz2 '
(11.14)
принадлежащему к гиперболическому типу. Вследствие этого для его
решения мы не можем воспользоваться методом, изложенным
в п. 11.1.2 для случая обтекания крыла дозвуковым потоком, и должны
искать другие пути решения.
Установим граничные условия для= потенциала возмущений Ф.
При обтекании крыла точки его поверхности являются
источниками возмущений, концентрирующихся внутри конусов возмущений,
исходящих из этих точек. Огибающая поверхность Е указанных
конусов является границей, отделяющей невозмущенный поток от
возмущенного в окрестности крыла. Отсюда следует, что потенциал
возмущений на поверхности Е, часто называемой волновой
поверхностью, обращается в нуль. Это и есть первое граничное условие
для функции Ф:
Ф|г = 0.
(11.15)
На поверхности крыла должно выполняться условие непротекания
(7.54), в котором v'y = (dQ>/dy)\s.
и
+1/г**
$*€£■
г , 7 0
ЗтвЗ
;1/2
Рис. 11.5. Картина течения при обтекании тон- Рис. 11.6. Схема к выводу граничного
кого крыла линеаризованным сверхзвуковым условия для потенциала возмущений
потоком: на вихревой пелене
1 — крыло; 2—волновая поверхность; 3 — вихревая
233

Рис. 11.7. Схема к постановке
граничных условий при обтекании тонкого
крыла сверхзвуковым
линеаризованным потоком
При наличии подъемной силы,
создаваемой крылом, за ним
образуется вихревая пелена. В линейной
теории предполагается, что эта пелена
расположена в плоскости Oxz. Найдем
условие, которому должен
удовлетворять потенциал возмущений на
вихревой пелене. На вихревой пелене
составляющая скорости возмущений
v' будет непрерывной, а
тангенциальная терпит разрыв, так как сверху
и снизу от вихревой пелены
составляющая скорости и'' имеет разные
д .
направления и величины (рис. 11.6). Поскольку v\= — <b\x, -fO, z),
vr-=—Ф(х, — 0, z), то заключаем, что Ф(х, у, z)=— Ф(х, —у, z),
т. е. потенциал возмущений Ф — нечетная функция по отношению
к координате у (здесь v'+—значение v' сверху, т.е. при у-+0 при
подходе к пелене из области у>0, a i/_—снизу, т.е. при у-+0 при
подходе к пелене из области ^<0). На вихревой пелене давление
разрыва не терпит. Это означает, что ср+=ср-. Используя (10.29),
легко находим, что (дФ/дх)+ = (дФ/дх)_.
В то же время вследствие нечетности потенциала возмущений
должно быть (дФ/дх)+ = — (дФ/дх)-.
Одновременно эти условия могут выполняться лишь только в том
случае, когда на вихревой пелене Ех (см. рис. 11.5 и 11.7)
(дФ1дх)\г=0.
(11.16)
Это третье граничное усЬовие для потенциала возмущений.
Так как граничное условие (11.16) поставлено на плоскости Oxz,
а условие (7.54) может быть записано для проекции крыла S на
эту плоскость, то целесообразно все граничные условия ставить на
плоскости Oxz. Как видно из рис. 11.7, волновая поверхность Е (на
рис. 11.7 ее след — линии Маха А В и А' В\ отделяющие области Е'
и Е" от области невозмущенного потока), проекция крыла S и вихревая
пелена Ех ограничивают части этой плоскости Е' и Е". На них
также должны быть поставлены граничные условия. Поскольку
потенциал возмущений непрерывен всюду, за исключением поверхности
крыла и вихревой пелены, на указанных участках X' и Е" плоскости
Oxz он также непрерывен. Но тогда в силу его нечетности имеем
Ф(х, 0, z)|s. г- = 0.
(11.17)
Итак, для определения потенциала возмущений в случае обтекания
крыла конечного размаха сверхзвуковым потоком мы должны
воспользоваться уравнением (11.14) и граничными условиями (11.15),
(7.54), (11.16) и (11.17).
Отметим, что вследствие линейности основного уравнения (11.14)
и граничных условий общую задачу можно расчленить на ряд
отдельных, более простых задач и воспользоваться методом наложения
потенциальных потоков.
234

11.1.5. Метод источников и стоков в теории крыла
конечного размаха в сверхзвуковом потоке
Для определения потенциала возмущений Ф на основании
уравнения (11.14) и указанных выше граничных условий в настоящее
время широко используют метод источников и стоков. Согласно
этому методу возмущения, вносимые крылом в равномерный
набегающий поток, считают эквивалентными возмущениям,
индуцируемым непрерывным распределением источников и стоков,
расположенных в областях S, Dl5 Е' и £" плоскости Oxz. Интенсивность
источников и стоков выбирается таким образом, чтобы в указанных
частях плоскости Oxz выполнялись соответствующие граничные
условия.
Преобразуем уравнение (11.14) к новому виду, положив
х = х' у/М^ — Х, y = iy\ z = iz\ i=yj —\. (11.18)
Тогда из (11.14) получим
д^Ф д2Ф д2Ф
I^2 И/2 а
Видно, что преобразование (11.18) позволило свести уравнение (11.14)
к уравнению Лапласа, решение которого записывается как
Ф=—Я. l ; Q = const. (11.20)
4*>/Jc'a+/2 + z"
Соотношение (11.20), как известно, является потенциалом
пространственного источника (при Q>0) в несжимаемой среде, помещенного
в начало координат. Если вернуться к старым переменным, то из
(11.20) найдем:
2+Ът+Ы = 0. (11.19)
Потенциал Ф, определенный соотношением (11.21), удовлетворяет
уравнению (11.14) при любом значении мощности источника Q.
Отличительная особенность решения (11.21) состоит в том,
что действительное решение будет в области, где подкоренное
выражение
x2-(M2oo-l)(y2 + z2)^0. (11.22)
Переходя к цилиндрическим координатам, т. е. обозначая y2 + z2 = r2,
находим: х2 — (М 2С — 1)г2^0. Это выражение является уравнением
поверхности круглого конуса с вершиной в начале координат и
полууглом раствора при вершине со, причем tgco = r/x. Из этого соотношения
находим, что
х = Гу/МЪ-19
поэтому
tgco=l/A/M2,-l=tg^00.
Следовательно, действительные решения уравнения (11.14) будут иметь
место только внутри конуса возмущений с полууглом раствора
00 = 11^, проведенного из точки, где расположен источник.
235

Рис. 11.8. Прямой и обратный конусы Рис. 11.9. Удвоение возмущений внутри
Маха конуса Маха
Формула (11.22) определяет левую и правую части конуса
возмущений (рис. 11.8). Однако левая часть конуса расположена
впереди точки 0, куда возмущения от источника в сверхзвуковом
потоке дойти не могут. Поэтому возмущения «сносятся» в
сверхзвуковом потоке в правую часть конуса и удваиваются. Действительно,
если внутри конуса возмущений взять какую-либо точку N, то в этой
точке возмущения, которые начали распространяться от источника,
когда он находился в положении хг (рис. 11.9), накладываются на
возмущения от источника, распространяющиеся, когда он прошел
эту точку и находится в положении х2.
Таким образом, для потенциала возмущений от источника,
расположенного в точке с координатами £, г\, £, мы должны записать
следующее выражение:
ф=-6& л, дум1:^/{2яУ(х-^)2-(м2а)-1)[(^-л)2+(^-д2]}.
(11.23)
Источник в сверхзвуковом потоке влияет на потенциал возмущения
не в любой точке пространства, а лишь в той, которая попадает
в конус влияния. Предположим, что имеется некоторая область, где
расположены источники возмущений в сверхзвуковом потоке. Это
могут быть отдельные или непрерывно распределенные по поверхности
или объему источники, например источники 0, 0l5 02. Нам необходимо
найти, от каких из них возмущения достигнут заданной точки
пространства. Как видно из рис. (11.10), точки А достигнут возмущения
только тех источников, для которых эта точка находится внутри
конусов возмущений с вершинами в источниках возмущений (т. е.
источников 0, 01? 02, но не 03 и 04). Это означает, что точки
А достигнут возмущения только тех источников, которые попадают
внутрь конуса с вершиной в точке А и образующими, параллельными
образующим конусов возмущений с раструбом, обращенным к
невозмущенному потоку. Построенный таким образом конус называется
конусом влияния.
Рис. 11.10. Схема к определению ко- Рис. 11.11. Определение области источников,
нуса влияния влияющих на потенциал возмущений в точке А
236

Например, если источники возмущений непрерывно распределены
по плоскости Oxz и требуется определить, от каких источников
возмущения достигнут при числе 1^4^ = 2 точки А (а, 1, 1) (рис. 11.11),
то необходимо сначала записать уравнение конуса влияния с вершиной
в точке А
Положив затем v = 0, получим пересечение этого конуса с
плоскостью Oxz. Тогда (х — a)2 — 3(z—1)2 = 3. Последнее выражение
определяет гиперболу с вершиной, расположенной на прямой z=l
и имеющей координаты х = а±у/з. Здесь знак « + » должен быть
опущен, как не отвечающий определению конуса возмущений. Теперь,
если a<N/3, то возмущения не достигнут точки А; при а>у/3,
наоборот, достигнут. (Источники, влияющие на потенциал возмущений
в точке А расположены на рис. 11.11 в заштрихованной области.)
Отметим еще одну особенность решения (11.23). Если источник
имеет конечную интенсивность Q, то для всех точек, лежащих на
поверхности (х — ^)2 — (М ^ — 1)[(у — r\)2+(z — £)2] = 0, потенциал
возмущений— бесконечная величина. Поэтому при отыскании потенциала
возмущений при обтекании крыла конечного размаха пользуются
не дискретными источниками, а непрерывно распределенными
источниками с поверхностной плотностью я{°)= nm (А£?/Аа)>
где А а—элементарная площадка поверхности с распределенными
на ней непрерывным образом источниками; AQ—суммарная
интенсивность источников на этой площадке. Таким образом, общее
решение уравнения (11.14) в методе источников и стоков обычно
записывается в виде
Ф(х, у, z\=-l [Y , gfe.n,<;)*T (1L24)
a
Здесь множитель ^/М^ —1 в числителе правой части опущен, а
область интегрирования а определяется конкретно для каждой точки
N(x9 у, z) с учетом конуса влияния с вершиной в этой точке. Неизвестная
поверхностная плотность источников и стоков #(£, т|, £) определяется
на основании граничных условий.
Уравнение (11.14), формулы (11.23) и (11.24) упрощаются, если
положить x^x'^/Mi-l; у=у'\ z = z'\ £, = £,'у/м1>-1, л = Л', £ = £'•
Из уравнений (11.14) и (11.23) получаем
Ф =
Q^ " ■ У (11.26)
2я^'-^)2-(/-Л')2-(^~0
При выбранном преобразовании трансформируются форма крыла
в плане, относительная толщина профилей в сечениях, относительное
удлинение и стреловидность крыла, но сохраняются размах и
абсолютные значения толщин крыла. Эти изменения показаны на
рис. 11.12 на примере треугольного крыла, причем из рис. 11.12
следует, что
237

2
0
1 гУ
х'
\\
\ \
1 = 1'
V
1
' 1
Т
Рис. 11.12. Крыло в фиктивном преобразованном пространстве:
1 — исходное крыло; 2—преобразованное крыло
tgXn.K = tgXn.K/v/Mi-l=tgXn.Ktg|ioo=".
Здесь штрих обозначает параметры трансформированного крыла;
S—площадь крыла в плане; величину п называют параметром
стреловидности. Если п<\, то кромка крыла является сверхзвуковой,
если л>1, то дозвуковой, при п=\ кромка звуковая. Преобразованный
конус возмущений (рис. 11.13) связан с исходным соотношением
tgH.' = tgn0
y/Ml-\
= 1,
откуда следует, что его угол полураствора при вершине ц' = 45°
независимо от числа Маха набегающего потока Мю. Это существенно
упрощает построение конусов влияния.
Граничные условия (11.15), (11.16) и (11.17) в новой
системе координат имеют прежний вид, а условие (7.54)
записывается так: I
{дФ1ду)\81=У^[{дЛдх\){\1^Щ\)-а\ (11.27)
Неизвестная поверхностная плотность источников и стоков,
входящая в выражение для потенциала возмущений (11.24), определяется
с помощью граничных условий (11.15), (11.16), (11.17) и (7.54) или
(11.27). Строгое рассмотрение этого процесса приведено в книге
Е. А. Красильщиковой [51]. Здесь мы отметим, что в общем случае
для любой точки плоскости Oxz (см. рис. 11.7)
<
у = 0
(11.28)
Рис. 11.13. Исходный (/) и
преобразованный (2) конусы Маха
Для области S этой плоскости
производная (дФ/ду)\у=0 нам известна на
основании граничного условия (7.54).
В остальных частях этой плоскости £',
Е", Ех функцию q необходимо найти.
При определении q в областях Е' или
Е" используется граничное условие
(11.17). На основании теории уравнений
238

Of
Рис. 11.14. Схема влияния источников областей
L' и L" на потенциал возмущений в точке N:
S—проекция крыла; I — центральная область S, где
нет влияния перетекания; II, W — области, где надо
учитывать влияние перетекания
Рис. 11.15. Схема к определению
потенциала возмущений в областях Z'
и Е" при обтекании треугольного
крыла с дозвуковой передней кромкой
Абеля можно показать [51], что если точка N принадлежит крылу
с дозвуковой боковой кромкой, то потенциал возмущений в этой
точке зависит только от распределения источников в области S*0 на
крыле (рис. 11.14). Источники, расположенные в области S\ и области
а*, принадлежащей Е', на потенциал в точке N не влияют, взаимно
погашая друг друга. В этом проявляется влияние перетекания воздуха
через дозвуковые боковые кромки.
Данное правило определения интенсивностей источников в областях
Е' и Е" накладывает определенные условия на определение потенциала
возмущений в точках крыла с дозвуковыми боковыми кромками.
Во-первых, при различных числах Мто на крыле может быть много
зон, где сказывается влияние боковых кромок. В силу этого изложенный
прием необходимо применять, двигаясь последовательно от вершины
крыла к его задней кромке. Во-вторых, если крыло не имеет конечного
участка сверхзвуковой передней кромки, как, например, в случае
обтекания треугольного крыла с дозвуковыми передними кромками
(рис. 11.15), то при определении потенциала в точке Q области Е'
в конус влияния попадают источники неизвестной интенсивности из
области Е" (и наоборот). Тогда интегральное уравнение, получающееся
из граничного условия (11.17), будет содержать в качестве искомых
функций интенсивности источников из области Е'—q1 и из Е"—q2.
И им нельзя будет воспользоваться для определения qlt Поэтому
метод источников и стоков применим только тогда, когда крыло
имеет конечный участок сверхзвуковой передней кромки. Преодоление
указанной трудности в методе источников возможно лишь при
искусственном введении малого участка такой кромки (см. п. 11.1.6.).
Если крыло имеет дозвуковую заднюю кромку, то возмущения,
исходящие от вихревой пелены, могут доходить до определенных точек
крыла. В этом случае потенциал возмущений в данных точках необходимо
определять с учетом интенсивностей источников и стоков, распределенных
по вихревой пелене. Эта интенсивность находится с помощью решения
интегрального уравнения, являющегося следствием применения
граничного условия (11.16).
239

11.1.6. Численный метод расчета аэродинамических
характеристик тонких крыльев при сверхзвуковых скоростях
Вычисление потенциалов возмущений, а затем
коэффициентов давления и суммарных сил и моментов, действующих на
крыло, даже в случае крыльев относительно простых форм в плане
представляет часто большие математические трудности. Эти
трудности в значительной степени возрастают, если требуется определить
аэродинамические характеристики крыла сложной формы в плане,
например со смешанными передними кромками. (Кромки крыла
в сверхзвуковом потоке называют смешанными в том случае, когда
одни их части являются дозвуковыми, а другие — сверхзвуковыми.)
Поэтому для решения задач обтекания крыльев сверхзвуковым потоком
в настоящее время используются численные методы, связанные
с широким применением ЭВМ. Теоретической основой этих методов
чаще всего является рассмотренный ранее в общих чертах метод
источников и стоков. Здесь, не повторяя основных положений этого
метода, мы коснемся тех его особенностей, которые связаны с
реализацией метода на ЭВМ.
Рассмотрим произвольное в плане крыло, которое обтекается
равномерным сверхзвуковым потоком под малым углом атаки.
Потенциал возмущений должен определяться на основании
уравнения (11.14) и граничных условий (11.15), (7.54), (11.16) и (11.17).
Согласно методу источников и стоков будем искать решение
уравнения (11.14) в виде (11.26). Введем характеристическую систему
координат Ox1zl с осями, параллельными линиям возмущений,
проведенными из точек В и В\ и началом в точке 01 (рис. 11.16).
Связь между новой и исходной системами координат устанавливается
формулами
x1=x-x0-y/M2co-\(z-z0); zj ^x-Xo + ^Mi - 1 {z-z0);
Ь-Ъ-Хо-у/Щ^Ъ-го); Zi-k-Xo + y/Ml-lfc-Zo), (П.29)
где x0i z0—координаты точки 0^
Система 01xlz1 удобна тем, что в области интегрирования всегда
хх^0 и z^O. Проведем также линии хх= const и zx= const,
параллельные осям характеристической системы и выходящие из точек
С и С". Теперь крыло заключено в область а плоскости 01x1zl
(область в виде ромба, ограниченного отрезками Oii7, FE, OiF',
0i
Рис. П. 16. Характеристический ромб и области
с различными характерами возмущенного течения
при обтекании тонкого крыла сверхзвуковым
линеаризованным потоком:
I — проекция крыла на плоскость Олт; а —
характеристический ромб (область между линиями F0,, 0ХГ', F Е, EF)
240

F'E)\ эту область мы и будем рассматривать в дальнейшем. Из
рис. 11.16 видно, что область а состоит из пяти подобластей (I...V),
в каждой из которых необходимо определить интенсивность
источников и стоков.
Соотношение (11.24) в характеристической системе координат
(01x1z1) имеет вид
Ф(Р)=-
2к^М1-\
где Xi и Zx—координаты точки Р, в которой определяется потенциал
возмущений. Будем определять потенциал возмущений,
устанавливаемый данной формулой, приближенно. Для этого разобьем область
интегрирования а на ячейки, разделив отрезки [О^] и [0^'] осей
OiZt и 0^! на N равных частей, проведя линии, параллельные
этим осям (рис. 11.17). Минимальный шаг разбиения h выбирается
из условия кратности расстояния от вершины крыла 0 до начала
характеристической системы координат 0^
Кромки крыла будут пересекать ячейки так, что целый ряд ячеек
будет принадлежать одновременно крылу и областям, находящимся
вне крыла. Изменим области интегрирования I...V таким образом,
чтобы каждая из них содержала только целое число ячеек. При
этом обычно считают, что ячейка принадлежит соответствующей
области, если на ней расположена середина ячейки. В результате
таких действий исходное крыло будет заменено на новое с
«зазубренными» кромками (рис. 11.17). Очевидно, что чем большее число
ячеек мы разместим в области интегрирования, тем меньше это
новое крыло будет отличаться от исходного крыла. Замена последнего
«зазубренным» крылом основана на предположении, что в рамках
линейной теории малые изменения формы крыла в плане приводят
к малым изменениям его аэродинамических характеристик. Это
означает, что аэродинамические характеристики «зазубренного» крыла
будут близки к характеристикам исходного крыла, а при 7V->oo они
будут совпадать.
l>=canst
Рис. 11.17. Схема к численному методу Рис. 11.18. Схема к определению интенсив-
источников при обтекании крыла сверх- ности источников ячейки, принадлежащей
звуковым потоком: области Е':
исходное крыло; преобразо- исходное крыло; «зазубренное»
ванное («зазубренное») крыло
крыло, штриховкой отмечены ik-e ячейки,
влияющие на потенциал в ци-й ячейке
241

Положим для простоты, что на любой ik-й ячейке из области
интегрирования а поверхностная плотность источников и стоков
#(£ь Ci) — величина постоянная. Тогда формула для Ф(А) примет вид
2тц/М^-1;=1к=1
^1^1 (1130)
>/(*i-5i)(^-Ci)
В уравнении (11.30) суммирование проводится по всем /А>м ячейкам,
попадающим в конус влияния, проведенный из точки А, а интеграл
вычисляется по площади ячейки o*ik и зависит только от ее величины
и расстояния от ячейки до точки Р.
Результат интегрирования запишем в виде
\\
Л У ГГМ*Ь *Ь*). (1L31)
где /г—длина стороны ячейки. Теперь формула (11.30) запишется так:
Ф(/»)=-_J=£ £?»**, (11.32)
27r>/M«-li=sifc=i
здесь aik — известные величины, зависящие от размера ячеек и их
расположения относительно точки Р, в которой вычисляется потенциал
возмущений.
Укажем теперь, как находятся поверхностные плотности qik.
Обратимся к рис. 11.16. В областях IV и IV, отсекаемых на плоскости
01x1z1 волновой поверхностью и осями координат 0^ и 01z1,
возмущения от крыла отсутствуют. Поэтому во всех ячейках,
принадлежащих этим областям, функции qik = 0. На поверхности крыла
(область I на рис. 11.16) плотность источников и стоков нам известна.
Она определяется граничным условием (7.54). Посмотрим, как
находятся qik для ячеек из областей V и V.
На рис. 11.18 область V показана в крупном масштабе.
Интенсивность qik ячеек этой области определяют последовательно, начиная
с первой ячейки, лежащей вне крыла вблизи его вершины. Пусть
номер какой-либо ячейки этой области — jiv. Тогда, используя
граничное условие (11.17) и выражение (11.32), имеем для точки (jn, v+1),
лежащей в центре ячейки с таким же номером,
Фц.у+1=£ I qikaik = 0. (11.33)
i = 1 к = 1
Как уже отмечалось ранее, метод источников и стоков применим
только в том случае, когда передняя кромка имеет сверхзвуковой
участок. Чтобы уравнение (11.33) было разрешимо относительно #цу,
необходимо предположить, что такой участок у нас есть. Это означает,
что интенсивность источников ячейки, расположенной в вершине
крыла, должна быть известна. Обычно считают, что для указанной
ячейки интенсивность источников определяется граничным условием
(7.54). Теперь из (11.33) легко определяется функция q^, причем
величины aik соответствующих ячеек могут быть вычислены заранее.
Записывая аналогичное (11.33) соотношение для следующей ячейки
242

(ji, v + 2) из полосы (i = const и повторяя те же самые рассуждения,
найдем следующую неизвестную величину #цу+2- Продолжая этот
процесс, в конечном итоге найдем плотность источников и стоков
на всех ячейках из областей V и V.
Процесс вычисления величин qik ячеек, расположенных в областях
II и 1Г, идентичен описанному выше для V и V.
Интенсивность источников qik ячеек из области III определяется
из условия непрерывности давления на вихревой пелене,
характеризуемого граничным условием (11.16), откуда следует, что в ячейках
области III подъемные силы равны нулю. Используя это и определяя
подъемную силу ячейки данной области через qik, получаем уравнение
для нахождения неизвестной плотности источников и стоков в ячейках
этой области. Расчет ведется начиная с первой ячейки, имеющей
минимальные значения координат ^ и £х. При расчете для нее
величины q^ плотности всех ik-x ячеек, попадающих в конус влияния
указанной ячейки, либо известны (ячейки на крыле и вне крыла),
либо уже определены на основании решения задачи для областей
IV, IV, II и 1Г. Процесс повторяется до тех пор, пока во всей
области III не будут известны величины q^ для всех ячеек.
Как только величины qik во всей области интегрирования
становятся известными, можно найти (если это требуется) давления на верхней
и нижней поверхностях крыла, попадающих в цилиндр, с
образующими, параллельными оси Оу и проходящими через точки контура
ik-й ячейки. Затем, пользуясь формулами (11.1), можно вычислить
коэффициенты аэродинамических сил и моментов, действующих на
крыло.
11.1.7. Критерии подобия при обтекании тонких
трапециевидных крыльев линеаризованным потоком
Рассмотрим обтекание двух тонких крыльев с различными
числами Маха, скоростями набегающего потока и показателями
адиабаты. Как и ранее (см. гл. 3) будем называть два течения
подобными, если уравнение для потенциала возмущений и граничное
условие, определяющие одно течение, можно свести к уравнению
и граничному условию, определяющим второе течение. Поскольку
уравнение для потенциала возмущений при околозвуковых скоростях
отличается от соответствующего уравнения для дозвуковых и
сверхзвуковых скоростей только правой частью, а граничное условие для
точек крыла одно и то же для дозвуковых, околозвуковых и
сверхзвуковых скоростей, подобие при обтекании крыльев рассмотрим на
примере околозвуковых течений.
Пусть течение вблизи первого крыла характеризуется числом
Маха набегающего потока Мь скоростью набегающего потока Uu
показателем адиабаты уь а второе соответственно — М2, U2, У г-
Уравнения (10.20), (7.54) и выражение для коэффициента давления
(10.29) для первого потока имеют вид
т1=и1(-^-а1); cpi=-—-А (11.34)
243

а для второго —
/1 л/г2^2ф2 а2Ф2 а2Ф2 , чМ^Ф2а2Ф2. аФ2 /а/2 \
Ср2=_А^. (11.35)
р2 и2дх2 v 7
Введем преобразование координат и потенциалов, положив
*i = Pi& ^1 = Л; zi=C; dfl/dx1-a1=x1(dfld^-a); Ф^^Ф; х2 = Р2^;
^2 = Л; ^2 = С; д/2/дх2-*2 = т2(дЛдЬ-а); Ф2 = /с2Ф, (11.36)
где рь р2, &ь А:2—некоторые постоянные, но пока неизвестные
коэффициенты; Т]. и т2—параметры, характеризующие углы атаки
и (или) относительные толщины с1 и с2 профилей крыльев.
Подставляя соотношения (11.36) в (11.34) и (11.35) и вычисляя
входящие в последние выражения производные, получим для первого
потока
/1 м2\М2Ф,, д2Ф t , д2Ф (71 + 1)М?А:2дФд2Ф , ЗФ TJ fdf \
2 кхдФ
"UiTiK'
(11.37)
а для второго—
(1-М1)к2д2Ф , д2ф,и д2Ф_(у2 + 1)М22к2дФд2Ф
, дФ T. fdf \ 2 к2дФ ... ,„
*алГ^Ч*~Т с'"~ъмГ (1138)
Если явления обтекания крыльев подобны, то (11.37) и (11.38)
должны взаимно переходить друг в друга. Поэтому для совпадения
(11.37) и (11.38) мы должны потребовать, чтобы
Р? Pi ' t/iP? lT2 ЫрГ *i ^ ' *i *2 '
(11.39)
Исключая из этих соотношений коэффициенты рь р2, кх и къ находим:
(Yi + 1)M2t1=(y2 + 1)M22t2
Ср1^ЕМ= уем|. (п.41)
т1 ^2
Полученные соотношения и являются условиями подобия при
обтекании тонких крыльев околозвуковым потоком при малых
углах атаки. Заметим, что эти соотношения по виду не
отличаются от условий подобия при обтекании профилей околозвуковым
потоком.
Преобразование (11.36), в котором коэффициенты рх и р2
определены первой формулой соотношений (11.39), было применено
244

для изучения обтекания крыльев дозвуковым и сверхзвуковым
потоками. При этом было показано, что задачу об
определении аэродинамических характеристик исходного крыла при
дозвуковых скоростях можно свести к аналогичной задаче для
деформированного крыла в несжимаемой среде, а при сверхзвуковых
скоростях — к задаче об обтекании деформированного крыла потоком
с числом N100 = ^/2. Между геометрическими параметрами исходного
и деформированного крыльев и углами атаки на основании формул
(11.9) для дозвуковых скоростей и аналогичных формул для
сверхзвуковых скоростей имеется связь
A,1 = XV/|1-MS,|; *П1 = Л; MgXin.K = ktgxn.K;
ci = c, ах = а. (11.42)
В формулах (11.42) индексом «1» обозначены параметры и угол
атаки деформированного крыла. Аэродинамические характеристики
исходного и деформированного крыльев связаны при дозвуковых
и сверхзвуковых скоростях соотношениями
ср = ср1/^/\1-МЦ; cya = cyally/\l-Ml>\; mz = mzl/^/\ 1—М^|;
сХавп = схавл1 /^Mi-l. (11.43)
Пользуясь соотношениями (11.42) и (11.43), можно по известным
аэродинамическим коэффициентам деформированного крыла найти
аналогичные коэффициенты исходного крыла. Поэтому параметры
^М1"^!; MgXin.K=ktgXn.K; Л1 = л (П-44)
являются критериями подобия при обтекании крыльев дозвуковым
и сверхзвуковым потоками.
При околозвуковых скоростях эти критерии также справедливы.
Но в данном случае, как следует из соотношений (11.40) и (11.41),
cpJ\l-Ml\/T=f[(y+l)M200T/J\\-Ml\*l (11.45)
т. е. критерием подобия является также аргумент функции в
правой части уравнения (11.45), которому для удобства придают
другой вид
х,=ц-м5,|/[(у+1)м5)т]2'3,
также полученный на основании соотношений (11.40) и (11.41).
В случае обтекания крыльев потоком воздуха с числами Маха,
близкими к единице, можно считать, что х* = 11— М« |/т2/3. Тогда
мы можем написать для двух крыльев
|1_М?| |1-МЦ
(11.46)
тг х2'
а с учетом указанных выше критериев подобия
Wll-M?| = b2V/|l-M2|; Л1=Л2; Mgxi„.« = b2tgx2n...01.47)
Вместо критерия (11.46) обычно используют другой критерий подобия,
образованный комбинацией (11.46) и первого равенства системы
(11.47), а именно
Л,1т1/3 = Л,2т^3 = А,т1/3. (11.48)
245

Таким образом, критериями подобия при обтекании тонких
крыльев околозвуковым потоком являются параметры Х^/\ 1 — М£> |,
A,tgXn.K> Л> ^с1/3. Здесь в последнем критерии, имеющем место
только в случае околозвукового потока, параметр т заменен на
относительную толщину профиля крыла с, что обусловлено
равенствами (11.36).
Посмотрим теперь, какие функциональные зависимости для
коэффициентов аэродинамических сил и моментов должны иметь место
в околозвуковом потоке. Из соотношений (11.42) и (11.46) следует,
что при подобии потоков при обтекании двух крыльев околозвуковым
потоком должно выполняться соотношение cpljx\13 = ср2/х2/3 = ср/х2/3.
Отсюда, учитывая связь между коэффициентами давления и
коэффициентами подъемной силы крыла, силы сопротивления и момента
тангажа, находим, что
Cyal Суа2 Суа . ^zl '^z2 ^z , ^хавл1 ^хавл2 ^хавл /л i ЛС\\
^~^Р~?7з' ^"~^"~г^' ~W~~W~^T' '
Из формул преобразования (11.36) следует, что при подобии
Л1 = Л2 = Л; а1/т1=а2/т2 = а/т; с1/х1 = с2/т2 = с/т. (11.50)
Дифференцируя первое из равенств (11.49) по углу атаки а, находим:
xf3 х221Ъ da,'
так как углы атаки и относительные толщины независимы между
собой. Учитывая соотношения (11.50) и (11.48), из последнего равенства
имеем (в силу того, что ^ос2/^/а1 = т2/т1)
£?al Al =Cyh/'^2=:Cya/'^:)
аналогично
Для коэффициента волнового сопротивления получаем
^хавл1 Схавп2 ^дсавл
A,j С i ^"2^2 "С
Поэтому на основании вышеизложенного можно заключить, что
функциональные зависимости для аэродинамических коэффициентов
тонких трапециевидных крыльев в околозвуковом диапазоне скоростей
должны иметь вид
£=/i(MT=MU ^хп.к, л, ^"1/3);
^(M'-^l. ^^Хп.к, л, ^"1/3); (п.51)
xFa=f3{W\l-M200\, ^tgXn.K, Л, ^"1/3).
Эти же соотношения справедливы как для дозвуковых, так
и для сверхзвуковых скоростей. Причем при дозвуковых и
сверхзвуковых скоростях критерий Хс1/3 в соотношениях (11.51) должен
быть опущен. Вместо параметра A,tgxn.K обычно используется Xtg%0t5
(или :UgXc).
246

Рис. 11.19. Зависимость производной с*а коэффициента подъемной силы тонкого
трапециевидного крыла от параметров подобия:
- эксперимент;
Щхс=о
расчет по линейной теории
Рис. 11.20. Зависимость коэффициента
сопротивления тонкого трапециевидного
крыла (профиль — ромб, хс = 0,5) от
параметров подобия:
эксиеримен г; — — расчет по линейной
теории; %с—угол стреловидности по линии
максимальных толщин
xFa
Щ Хо^6
кЩР?
Л1//-Л/& Ч- 10 14 Л///&-/
Рис. 11.21. Зависимость относительной
координаты аэродинамического фокуса
тонкого трапециевидного крыла от
параметров подобия
Примеры обобщенных зависимостей Суа/Х, схавп/Хс2, xFa тонких
трапециевидных крыльев простой формы в плане от критериев
подобия при числах 0<Моо<3 приведены на рис. И. 19... 11.21.
Наблюдаемое расхождение между теорией и экспериментом объясняется
влиянием вязкости. На рис. 11.19 и 11.20 четыре определяющие
величины с«а/Х и схаъл/(Хс2) параметра; X^J] l-M^J, ktgXo.s (или
247

^tgXc); Л—сужение простого трапециевидного крыла; Хс1/3 — параметр
трансзвукового подобия, о котором имеет смысл говорить только
тогда, когда
§ 11.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
К РАСЧЕТУ ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ТЕЛ
Возможны следующие принципиально различные подходы к
решению задачи о расчете аэродинамических характеристик
летательного аппарата:
а) расчет аэродинамических характеристик летательного аппарата
как тела сложной формы;
б) расчет аэродинамических характеристик летательного аппарата
путем получения характеристик отдельных его частей, таких как
крыло, фюзеляж, оперение, органы управления, и последующего учета
их взаимного влияния (аэродинамической интерференции).
11.2.1. Численные методы расчета аэродинамических
характеристик летательного аппарата как тела
сложной формы
Данный путь расчета аэродинамических характеристик
летательного аппарата является наиболее сложным, но в то же время
и самым перспективным. Основой для решения задачи о расчете
аэродинамических характеристик при такой постановке является либо
линейная теория, либо метод сквозного счета, в котором дается
«точное» численное решение уравнений газовой динамики. Последний
метод развивается для сверхзвуковых течений, причем метод построен
таким образом, что в процессе решения выделяются поверхности
сильного разрыва—сказки уплотнения. В процессе решения можно
получить не только суммарные аэродинамические характеристики, но
и распределенные характеристики с учетом взаимодействия между
отдельными частями Л А.
Несмотря на ограниченность линейной теории малыми углами
атаки и тонкими формами летательного аппарата данный подход
справедлив в широком диапазоне чисел Мда. В настоящее время
наметились несколько путей решения задачи в рамках линейной теории.
При дозвуковых скоростях используется метод [20, 21],
основанный на следующей схематизации. Так как все основные несущие
элементы современных ЛА являются сравнительно тонкими и
слабоизогнутыми, то для большей части летательного аппарата можно считать, что
cos(nx)<^:l, где п — нормаль к поверхности в данной точке. Используя
это неравенство и рассматривая в дальнейшем только линеаризованные
задачи находим, что при расчете нагрузок и соответствующих
суммарных аэродинамических характеристик можно реальный самолет
заменить схематизированным, у которого граничные условия «сносятся»
на соответствующие плоскости, параллельные продольной оси 0хх ЛА
(рис. 11.22). Таким образом, при данном подходе летательный аппарат
рассматривается как крыло сложной формы в плане. Изгиб средних
поверхностей фюзеляжа, крыла и оперений, а также малые
симметричные отклонения любой механизации крыла или горизонтального
оперения рассматриваются как деформации указанного крыла—по
248

Рис. 11.22. Упрощенная аэродинамическая схема
летательного аппарата
нормали к его поверхности.
Таким образом, в данном
методе задача об определении
аэродинамических
характеристик ЛА при дозвуковых
скоростях решается теми же
методами и с помощью того
же алгоритма, что и для
крыла конечного размаха сложной
формы в плане, т. е. методом
дискретных подковообразных
вихрей.
Учет сжимаемости при
данном подходе проводится
так же, как в п. 11.1.2.
Значительным усложнением рассмотренного выше подхода в
рамках линейной теории является метод, в котором по всей поверхности
летательного аппарата, а не только по базовым поверхностям,
непрерывным образом распределяются источники, стоки и вихри.
Интенсивность этих гидродинамических особенностей определяется
так, чтобы удовлетворялось граничное условие на поверхности
тела К„ = 0.
Для упрощения решения поверхность ЛА разбивается на большое
число панелей, на каждой из которых распределяются те или иные
особенности с постоянной или переменной интенсивностью. Например,
возможен подход, когда на панелях фюзеляжа самолета
распределяются источники с постоянной интенсивностью, а на панелях крыла
и оперения — подковообразные вихри с линейно меняющейся вдоль
потока интенсивностью. Если же фюзеляж вытянут вдоль оси Ох
и имеет круглое поперечное сечение, то можно упростить задачу,
распределив источники вдоль оси фюзеляжа, а не на панелях,
расположенных на его поверхности. Это существенно сократит
трудоемкость вычислений.
Поле скоростей, создаваемое распределением особенностей на
панели, может быть определено заранее в явном виде и представлено
в виде формул. Абсолютные значения индуцированных особенностями
скоростей при этом зависят от интенсивности особенностей,
распределенных на ik-vi. панели, для определения которой используется
граничное условие непротекания в контрольных точках, выбранных
на поверхности Л А. После того как интенсивности особенностей
определены, вычисляются коэффициенты давления в* контрольных
точках, а затем путем численного интегрирования находятся силы
и моменты, действующие на весь летательный аппарат или его
отдельную часть.
Основная трудность при таком подходе заключается в реализации
вычислений. Для обеспечения приемлемой точности поверхность ЛА
в ряде случаев должна быть разделена на очень большое число
панелей (до нескольких тысяч), что приводит к очень большому
порядку системы алгебраических уравнений для определения интен-
сивностей особенностей. Это требует использования ЭВМ с большими
оперативной памятью и быстродействием. Влияние сжимаемости здесь
учитывается с помощью преобразований, аналогичных
преобразованиям (11.2) или (11.18).
249

11.2.2. Метод расчета аэродинамических характеристик
летательного аппарата, основанный на учете
аэродинамической интерференции его поверхностей
При определении аэродинамических характеристик ЛА как
сложного тела часто используется другое направление, основанное на
знании; аэродинамических характеристик отдельных его частей и
последующем учете их взаимного влияния, называемого аэродинамической
интерференцией. Только знанием аэродинамических характеристик
отдельных частей ЛА обойтись нельзя, так как из-за взаимного влияния
отдельных частей сумма аэродинамических коэффициентов отдельных
частей не равна коэффициентам аппарата в целом. Связано это с тем,
что из-за взаимного влияния одной части на другую изменяются
формы линий тока и скачков уплотнения, вызываемых каждой частью
Л А в отдельности. Это приводит к изменению распределения давления
и суммарных характеристик частей ЛА по сравнению с
характеристиками его изолированных частей в свободном потоке.
Существует интерференция между крылом (оперением) и
фюзеляжем ЛА (изменяются распределения давления и суммарные
характеристики), между крылом и горизонтальным оперением из-за скоса
и торможения потока у оперения и т. д. Однако более существенной
является классификация взаимодействия частей ЛА по степени влияния
этого взаимодействия на характеристики летательного аппарата. Здесь
можно отметить, что интерференция может быть вредной —
отрицательной (вследствие нее растет сопротивление, падает качество)
и полезной—положительной (растут подъемная сила и качество). Не
останавливаясь на подробной физической картине взаимодействия
между различными частями ЛА, рассмотрим некоторые пути учета
интерференции и улучшения характеристик летательного аппарата.
Подъемная сила и момент
\
Рассмотрим аэродинамические характеристики комбинации
крыло— фюзеляж. Согласно сформулированному выше подходу
представим подъемную силу комбинации крыло — фюзеляж в виде
Yq = Удф + ^аиз.к + А ^ак(ф) + А ^аф(к)?
где 7аф и 7аиз.к—подъемные силы изолированных фюзеляжа и крыла
соответственно, причем в дальнейшем под изолированным крылом
понимается крыло, составленное из двух омываемых потоком консолей;
ЛУак(ф)> АУаф(к)—добавки на крыле и фюзеляже вследствие их взаимного
влияния. Аналогично представляется и момент относительно носка
корпуса:
Mz = М2ф + MZK + А Уаф(к) хдф,
где М2ф — момент тангажа изолированного корпуса; MZK — момент
крыла с учетом интерференции; хАф — координата приложения
дополнительной нормальной силы на корпусе вследствие влияния крыла.
Формулы для подъемной силы и момента удобно представить
в виде
„ -* а -* аф I -**-к -* из. к"г-^ф -* аиз. к -* аф~т" Aj; / а из. к?
Mz = Мгф + Yk хД ш к + А Увф(К) *дф.
250

Здесь Кк — коэффициент интерференции, учитывающий подъемную силу
изолированного крыла и добавочную подъемную силу на крыле,
возникающую вследствие влияния корпуса; К$—коэффициент
интерференции, учитывающий дополнительную подъемную силу на
корпусе, возникающую вследствие влияния крыла; Къ = Кк + Кф\ хдк —
координата центра давления крыла с учетом интерференции. Таким
образом, в данном подходе проблема учета интерференции сводится
к определению коэффициентов интерференции Кк, Кф (или К^)
и соответствующих центров давления.
Общепринятым методом определения коэффициентов
интерференции и координат центров давления является использование линейной
теории. Здесь можно применять методы, рассмотренные ранее. Однако
наиболее распространенным методом в настоящее время является
метод теории тонкого тела.
Как известно, в рамках линейной теории для определения поля
скоростей в окрестности обтекаемого тела необходимо решить
уравнение (10.12). Если ввести безразмерные координаты x = x/L\ у=у/1\
z = z/l, где L и /—характерные длины вдоль осей 0хг и 0уг
(L—длина корпуса; /—размах консоли крыла), уравнение (10.12)
примет вид
1л х,г2\'2д2Ф , д2Ф , д2Ф Л
Если рассматривать обтекание тонких тел, характеризуемых тем,
что их поперечные размеры, такие как размах, толщины и т. д.,
малы по сравнению с длиной, то /2/L2<$cl и первым членом
в последнем уравнении можно пренебречь. Тогда для определения
Ф запишем уравнение ^у+-^ = 0, или, переходя снова к размерным
переменным,
а2Ф а2Ф
ар" а?
2+^ = 0. (11.52)
Это уравнение описывает возмущенное течение несжимаемой среды
в плоскости Oyz, называемой плоскостью поперечного течения. Таким
образом, в приближении тонкого тела потенциал возмущения
отыскивается на основе решения уравнения (11.52) при соответствующих
граничных условиях, причем данный подход применим как при
Moo^l, так и при М00>1.
Необходимо отметить, что отбрасывание первого члена в
уравнении (10.12) привело к тому, что общее решение уравнения
(11.52) зависит только от координат у и z и в общем случае
представляется в виде
Ф = Ф*(у, z)+g{x)9 (11.53)
где Ф*(у, z) — определяет изменение течения в поперечной плоскости,
обусловленное в общем случае не только углом атаки, но и изменением
поперечного сечения тела; g(x) — пока произвольная функция своего
аргумента.
Согласно теории тонкого тела интенсивность изменения его
поперечного сечения можно аппроксимировать источником в
плоскости Ojyz, помещенным в двумерный поток жидкости постоян-
251

Рис. 11.23. Схема к определению потенциала
Фа методом конформных отображений:
а—исходный 'контур поперечного сечения Л А
в физической плоскости а; б — контур поперечного
сечения ЛА в преобразованной плоскости а*
ной плотности. Потенциал
возмущения, обусловленный источником,
имеет вид
<b* = ±S'(x)lnr, (11.54)
где S'(x) = dS/dx, S—площадь поперечного сечения тела. Обозначим
Фа потенциал возмущения, обусловленный поперечным течением за
счет угла атаки. Тогда в общем случае
Ф = Фв + Фф+g(*), (11.55)
где g(x) определяется на основании решения полного уравнения
и учитывает влияние числа Мю. Анализ в рамках линейной теории
дает уравнение [100]
L
g(x) = ^ln(l-My[4x(L-x)]-l
s'(*iM'(*)
dx1
при дозвуковых скоростях и
' 2л 2х 2л х — Хл
при сверхзвуковых скоростях. По-прежнему, S(x) — площадь
поперечного сечения тела.
Замечательной особенностью функции g(x), одинаковой для осе-
симметричных тонких тел и тонких тел с произвольным поперечным
сечением, но имеющих такое же распределение площадей поперечного
сечения по длине, что и осесимметричное тело, является то, что
эта функция в силу своей симметричности влияет лишь на
сопротивление, но не влияет на поперечные силы и моменты. Поэтому для
определения подъемной силы Ya и момента Mz тонкой комбинации
крыло — фюзеляж необходимо рассмотреть лишь потенциал Фа,
который можно определить, рассматривая обтекание сечения фюзеляжа
потоком несжимаемой среды со скоростью K^sina^ К^ос. При этом
широко используется метод конформных отображений.
В качестве примера рассмотрим обтекание поперечным потоком
поперечного сечения комбинации крыло — фюзеляж, показанное на
рис. 11.23 (схема — среднеплан). Плоскость, в которой определяется
течение, является физической плоскостью комплексного переменного
a = z + iy; плоскость, в которой течение известно около окружности
радиусом г о, является преобразованной плоскостью a* = £ + /r|
(рис. 11.23). Переменные а и а* связаны между собой соотношениями
1
a a* 2\ /
252

Определяя из данных соотношений а*, получим
1
т* =
2
[H)+,/RR
Знак плюс перед радикалом в последнем выражении указывает на
зависимость между комплексными переменными а и а* для верхней
полуплоскости. При осуществлении преобразований для нижней
полуплоскости следует взять знак минус.
Комплексный потенциал при обтекании цилиндра радиусом
г0 в плоскости а* определяется соотношением
Ж(а*)=-/аК00(а*~г§/ст*).
Подставляя сюда выражение для а*, получим
W=-ia Vm V(a + rg/a)2-4rg.
Чтобы найти полное выражение комплексного потенциала Wa,
обуславливающего потенциал Фа, к найденному выражению необходимо
прибавить комплексный потенциал потока, параллельного оси Оу,
и равный iaV^a. Окончательно комплексный потенциал при обтекании
заданной конфигурации имеет вид
Жa(a)=-/aF00[V(a + r2/a)2-(/Чr2//,)2-^]. 01-56)
Следует отметить, что рассмотренное выше поперечное течение в чисто
двумерном случае не имеет физического смысла из-за срыва потока.
Силы и моменты, действующие на тонкое тело, можно определить,
рассматривая поток количества движения через контрольную
поверхность, состоящую из областей S1 (плоскость х = 0), S3 (плоскость
x — L) и цилиндра S2 и окружающую тело (рис. 11.24). Применение
этого приема дает [100]
Z^iY^-ipnVlSW^do-ipnVlS^-i^), (11.57)
где Уа, Zfl — соответственно подъемная и боковая силы комбинации
крыло — фюзеляж; 5Д—площадь ее донного среза; осд, (Зд—
соответственно углы атаки и скольжения в донном сечении комбинации;
Жа(а) определяется по формуле (11.56). Для вычисления интеграла
в соотношении (11.57) разложим Wa(o) в ряд (по биному Ньютона)
и применим теорию вычетов. Получим
^.(а)=-.Ч*^{а-^[(/ч£)2-2г2] + ...}
и, учитывая коэффициент при 1/а, находим [100]:
Уа = яр0ОК5>а(/'а-г2 + г4//'а)д, (Н.58)
где индекс «д» — означает донное сечение. В данном случае—случае
симметричной относительно оси Оу конфигурации боковая сила
равна нулю.
Из найденного результата как частные случаи легко находятся
подъемные силы изолированных крыла и корпуса. Полагая в последнем
случае 1'д = гд, находим:
Ya^npnVlrlu, (11.59)
откуда, переходя к коэффициенту подъемной силы, получим уравнение
253

ьуаф ~
Pco^J
- = 2a,
(11.60)
показывающее, что в рамках теории
тонкого тела коэффициент подъемной
силы изолированного тела не зависит
от числа Мю. В случае изолированного
крыла (гд = 0) получаем
Г«.,.« = яРооИ5>/'2а. (Н.61)
Следовательно, любое тонкое крыло
с прямой нестреловидной задней
кромкой имеет коэффициент подъемной силы
к\
PacVl
-ос.
(11.62)
Сравнение экспериментальных данных
Рис. 11.24. Контрольная
поверхность и тонкое тело при
определении сил, действующих на тонкую
комбинацию крыло — фюзеляж
с результатами расчетов по теории тонкого тела и теории несущей
поверхности показывает, что формула для суа1ЛЗшК завышает значение
подъемной силы на 10% и более при удлинениях крыла Х>\.
Найдем теперь суммарный коэффициент интерференции К^:
&L = V * а ■* а ф J •« а из. к •
Подставляя в данное соотношение формулы (11.58) и (11.59) и
учитывая, что
Ya^K = nPooVi{l'-r)lai, (11.63)
определено для крыла, составленного из двух консолей,
\
*z = (l+(r//'))2. (11.64)
Отсюда видно, что коэффициент Къ является только функцией
отношения (/"//')д.
Для того чтобы вычислить
коэффициенты Кк и АГф по отдельности, а также
определить центры давления дополнительных
интерференционных сил, необходимо найти
коэффициенты давления в любой точке
рассматриваемой комбинации, а затем
выполнить интегрирование. Результаты
вычислений коэффициентов Кк и Кф представлены
на рис. 11.25, откуда видно, что как и
коэффициент Xs, коэффициенты Кк и Кф зависят
только от отношения (г/Г)л. Так как Кк
изменяется в пределах от 1 до 2, то несущие
свойства консолей в присутствии корпуса
возрастают. Объясняется это тем, что
истинные углы атаки сечений консоли крыла
возрастают в присутствии корпуса за счет
скоса потока при его обтекании по
сравнению со случаем изолированного крыла.
получим
Кк
Kg)
О 0,2 0,4 0,6 Оув r/l'
Рис. 11.25. Зависимость
коэффициентов интерференции от
относительного размаха
консолей крыла, установленного на
цилиндрическом фюзеляже
254

Расчеты показывают, что интерференция крыла с корпусом не
оказывает существенного влияния на положение центра давления
несущих консолей как по размаху, так и по хорде. Поэтому
в практических расчетах, когда используется теория тонкого тела,
влиянием интерференции на положение центра давления консолей
крыльев можно пренебречь. Влияние интерференции на положение
центра давления корпуса, наоборот, существенно.
Метод учета аэродинамической интерференции с помощью
коэффициентов интерференции можно распространить и на случай
нетонких конфигураций. При этом допускается, что теория тонкого
тела позволяет правильно определить отношения подъемной силы
крыла в присутствии фюзеляжа и дополнительной подъемной силы,
возникающей на фюзеляже, к подъемной силе изолированного крыла.
Аэродинамические коэффициенты в этом случае могут быть вычислены
по коэффициентам интерференции, найденным по теории тонкого
тела, и коэффициентам изолированного крыла, найденным либо по
линейной теории, либо из экспериментальных данных. Однако в ряде
случаев такой подход может оказаться неточным.
Сопротивление летательного аппарата
В общем случае коэффициент сопротивления летательного
аппарата можно представить в виде
Сха ^ха 0 ~т~ ^xai э
где сха0— коэффициент сопротивления при нулевой подъемной силе;
cxai— коэффициент индуктивного сопротивления. Взаимодействие
различных частей ЛА оказывает влияние на оба вида сопротивления.
Коэффициент сха0 складывается из двух частей, первая обусловлена
распределением давления по поверхности Л А, а вторая—силами трения.
Изменение сха0 комбинации крыло — фюзеляж прежде всего связано
с изменением развития пограничного слоя в местах стыка крыла и
корпуса. Здесь пограничные слои крыла и корпуса сливаются, и их общая
толщина возрастает, появляются условия, благоприятствующие отрыву
в областях, где градиент давления dp/dx>0 и течение напоминает
течение в расширяющемся канале—диффузоре. Вследствие
возникновения преждевременного отрыва растет сопротивление, возникает вредная
интерференция. Для устранения отрыва применяют «зализы» или
системы управления пограничным слоем путем отсоса или сдува.
При околозвуковых скоростях в местах стыка крыла с корпусом
в силу наложения полей скоростей от крыла и корпуса создаются
также условия, способствующие появлению скачков уплотнения, что
ведет к росту коэффициента сха0 комбинации крыло—корпус. Если
рассматривать критические числа Мкр, то Мкр комбинации меньше
Мкр изолированного крыла или фюзеляжа, так как в комбинации
у крыла
где АКФ — обусловлено влиянием фюзеляжа. Поэтому условия, когда
V=a, для комбинации достигаются быстрее. Однако существуют
такие условия, когда сопротивление давления можно уменьшить.
Как и при определении подъемной силы, сопротивление давления
тонкого тела в сверхзвуковом потоке можно получить, рассматривая
255

изменение количества движения через контрольную поверхность,
окружающую тело (см. рис. 11.24). Тогда в системе координат,
неподвижно связанной с телом, имеющим донный срез, найдем [100]:
X Хя — рад V 0
-РОО^
ГГзфзф , Г
s2 s3-
Я
{P~Poo)dS3-
-'l+SH
где ^ = (/700—/7д)5д—донное сопротивление, /?д—донное давление;
S,— соответствующие площади; Ф — потенциал возмущений,
удовлетворяющий уравнению (11.55). Используя выражение для потенциала
ф = фф+g(x), после преобразований можно получить
L
X—х
п= i л \x\v\x\ax- _ t_frtl_,
2 v /°v / 2
•/ %/
0 Сд
где Сд—контур тела в донном сечении. Если подставить в это
выражение формулу для функции g(x), полученную в случае
сверхзвуковых скоростей, то после преобразований получим
PA=\s"(x)8(x)dx~\s'{L)g{L)~lT8^ds' (1L65)
S " (x-l ) In (x — xx) dxx +
^=-±[S"(x)dx
p^Vl 2л J У '
о 0
L
+^5"(L) [s'^^X^L-x^dx^^S'^Vjln
л/М2да-1
фл
d-^ds
(11.66)
которое дает изменение сопротивления в зависимости от числа М^.
Если S'(L) — 0, что соответствует заостренной или цилиндрической
кормовой части тела, то сопротивление становится независимым от
числа Маха.
Если найти разность между сопротивлениями комбинации крыло —
фюзеляж X и эквивалентного тела вращения с тем же распределением
площадей поперечного сечения, что и у исходной комбинации, Хэквт, то
х ХЭКВ1
P«,vi
\W-ed°+lS'2(L)br(L),
дп
4л
(11.67)
где ФФ = ^ S"(x)lnr.
Данное соотношение справедливо во всем диапазоне скоростей, в том
числе и в трансзвуковой области. Во многих случаях правая часть
256

этого выражения обращается в нуль (например, для тел,
заканчивающихся острием или цилиндрической частью, параллельной
невозмущенному потоку), и тогда сопротивление комбинации крыло —
корпус равно сопротивлению эквивалентного тела вращения.
Из полученного результата следует общий вывод, известный под
названием трансзвукового правила площадей:
можно уменьшить сопротивление комбинации крыло—корпус,
выбирая форму корпуса такой, чтобы эквивалентное тело вращения
имело гладкое распределение площадей.
При сверхзвуковых скоростях сечения комбинации должны
выбираться не в плоскостях, перпендикулярных оси Ох, а в плоскостях
составляющих с осью фюзеляжа угол Маха ц^. Если составленное
таким образом эквивалентное тело вращения будет телом оптимальной
формы с точки зрения минимума волнового сопротивления, то
и комбинация в целом также будет иметь минимальное схавл. В этом
заключается сверхзвуковое правило площадей.
На практике бывает трудно построить эквивалентное тело
вращения с помощью сечений комбинации крыло—тело сложной формы
плоскостями Маха. При Мда-^1 в пределе сверхзвуковое правило
площадей переходит в трансзвуковое.
9 Зак. 150
257

ГЛАВА 12. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 12.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В ПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Неустановившееся течение сплошной среды характеризуется
тем, что параметры потока зависят не только от пространственных
координат (например, декартовых х, у, z), но и от времени t.
Введение новой независимой переменной—времени / дополнительно
к независимым переменным стационарной аэрогидромеханики
обусловлено необходимостью исследования важных теоретических и
практических задач, связанных с произвольным движением ЛА, а также
с такими явлениями, как флаттер и бафтинг.
12.1.1. Скорость и ускорение в подвижной системе
координат
Исследование нестационарных движений сплошной среды
удобнее проводить в подвижной системе координат. Прежде всего
получим выражения для скорости и ускорения в этой системе.
Пусть у нас есть две системы координат: неподвижная О^г^
и подвижная Oxyz, неизменно связанная с движущимся телом
(рис. 12.1). Пусть тело движется произвольным образом по отношению
к неподвижной системе О^г^. Обозначим V0{t) скорость движения
начала подвижной системы координат Oxyz, а й(/) — мгновенную
угловую скорость вращения тела вокруг этого начала. Положение
частицы среды в подвижной системе определяется радиусом-вектором
г. На основании теоремы сложения скоростей запишем
q=K+Ve, (12.1)
где q — вектор скорости абсолютного движения частицы (скорость
ом частицы в неподвижной системе координат,
У\ ""J / или абсолютной системе, далее абсолютная
скорость); Vr — вектор скорости относи-
*v0 тельного движения частицы (по отношению
к^ подвижной системе координат Oxyz);
Ve—вектор скорости переносного
движения, т. е. вектор скорости частицы
жидкости при движении вместе с подвижной
системой относительно абсолютной
системы координат О^г^.
П
Уо1 ^ В свою очередь, переносная скорость
£ Ve равна сумме скоростей поступательного
Рис. 12.1. Системы координат, и вращательного движений:
и скорости при произвольном
движении твердого тела _ _ _ ^
в сплошной среде Ve=V0 + (bxr, (12.2)
258

Рис. 12.2. Схема к
определению ускорения в подвижной
системе координат
и, следовательно, вектор скорости
абсолютного движения
g=V0 + $>xr+Vr. (12.3)
Ускорение частиц в абсолютном
движении равно субстанциальной производной по
времени скорости этого движения, или
W= dq/dt.
Иначе говоря, ускорение W есть изменение
скорости q в единицу времени.
Для определения ускорения в подвижной
системе координат построим годограф
вектора q в этой системе. Перенесем параллельно
самим себе векторы q, чтобы они исходили
из начала подвижной системы координат.
Геометрическое место концов вектора q будет некоторой кривой у,
называемой годографом вектора q (рис. 12.2). При движении частицы
М вдоль своей траектории Г вектор скорости будет менять свое
направление и величину, а соответствующая частице М точка т будет
перемещаться по годографу у. Скорость изменения положения точки
т, направленная по касательной к годографу у, называется локальной
(местной по отношению к подвижной системе координат) производной
и обозначается dq/dt. Помимо локального изменения скорости
происходит изменение скорости при вращении системы координат вокруг
своего начала, это изменение определяется по формуле Эйлера: йх#.
Таким образом, ускорение будет
W^dq/dt + cbxq,
где dq/dt — локальная производная, характеризующая изменение
абсолютной скорости в единицу времени в подвижной системе координат.
Раскрывая выражение локальной производной, находим:
и, следовательно, в подвижной системе координат ускорение
запишется в виде
W=d4+{Vr'V)q + 5>xq.
ot
(12.4)
Выразим относительную скорость Vr через скорости абсолютного
и переносного движений. Из уравнения (12.1) имеем Vr = q—Ve. Тогда
iV=8-£+{q-4)q-{Ve-4)q + a>xq.
(12.5)
Применяя формулы векторного анализа и учитывая, что (<rV)Fe =
= (bxq, rotFe = 2co, после преобразований получаем
W=f+vK-{Ve'q)\-Vrxxoiq.
(12.6)
Соотношение (12.6) позволяет вычислить ускорение частицы в
подвижной системе координат.
9'
259

12.1.2. Уравнения, описывающие движение
сплошной среды в подвижной системе координат
Выберем в подвижной системе координат частицу среды
в виде элементарного параллелепипеда. Если обозначить F массовую
силу, приходящуюся на единицу массы, то, пренебрегая вязкостью
среды и пользуясь теоремой о движении центра масс, имеем
pW=pf-4p. (12.7)
Подставляя выражение для ускорения W из (12.6), получаем
|+ V |£ - ( К ■ qji -Vrx rot q= F- I Vp. (12.8)
Полученное уравнение является дифференциальным уравнением
движения идеальной сплошной среды в подвижной системе координат. Его
можно записать в скалярной форме в декартовой или любой другой
подвижной системе координат.
Уравнение (12.8) содержит три неизвестные величины: ql р, р,
и поэтому мы должны обратиться к другим уравнениям, описывающим
движение жидкости и газа. Так как в дальнейшем основное внимание
будет уделено произвольному движению твердых тел в несжимаемой
среде, то здесь мы рассмотрим только уравнение неразрывности,
опуская уравнение переноса полной энергии.
Уравнение неразрывности легко выводится из закона сохранения
массы. Если массу объема Ах обозначить Am, то
Am =рАх = const.
Взяв субстанциальную производную Am по времени t, имеем
«/(Am) _</(РЛт) _Q
dt dt
Выполняя дифференцирование в последнем выражении, деля
полученный результат на Ах и переходя к пределу при Ах->0, находим:
— +p lim-—— =0.
dt Лт-0АХ dt
В подвижной системе координат
lim = div Vr.
Дт-0АТ dt
Так как — = — + (Vr • Vp), то окончательно
dt dt v r/
g+div(pKr)=0. (12.9)
Соотношение (12.9) — уравнение неразрывности в подвижной системе
координат. Для замыкания системы уравнений (12.8) и (12.9) следует
использовать уравнение состояния /(/?, р) = 0. Теперь получили
замкнутую систему уравнений, из которой определяются неизвестные q, р, р.
Из уравнений (12.8) и (12.9) легко получаются уравнения движения
в неподвижной системе координат. В самом деле, если положить
скорость переносного движения Ке = 0, тогда q= Vr— V и уравнения
(12.8) и (12.9) запишутся в виде уравнений (3.82) и (2.24), являющихся
260

уравнением движения невязкой среды в форме Лэмба—Громеки
и уравнением неразрывности в неподвижной системе координат.
Для установившегося движения получим соответствующие
уравнения, если в соотношениях (12.8) и (12.9) положим dq/dt = 0 и dp/dt = 0.
Рассмотрим теперь потенциальное движение сплошной среды.
В этом случае rot*f=0 и, следовательно,
q = 4q>(x,y,z, t), (12.10)
где ф(х, у, z, t)—потенциал скорости абсолютного движения.
(Заметим, что если абсолютное движение потенциальное, то относительное
движение — вихревое и наоборот.) Подставляя rot<f=0 и соотношение
(12.10) в (12.8), получаем уравнения движения:
в подвижной системе координат —
v{S+H'w)}-/-;v* <Ш1)
в неподвижной системе координат —
'{г+тИ-> С2..2,
Для установившихся движений достаточно в уравнениях (12.11) и (12.12)
положить d<p/dt = 0.
12.1.3. Интегралы уравнений движения
Уравнение (12.8) можно проинтегрировать в случае баро-
тропной среды и наличия потенциала массовых сил, когда р = р(/?),
- V/? = VP, a F=4U, где U—силовая функция. Тогда уравнение (12.8)
Р
для случая установившегося движения при dq/dt = Q запишется в виде
^H-{Ve'g)-U+p\ = [Vrxrotql (12.13)
Выберем в пространстве некоторую линию L и на ней элемент
5£ Умножив уравнение (12.13) скалярно на 5£ получим
d{(q2/2)-{Ve-q) -С/+/>} =
= [Vr xrot (f\ • bs*= [rot qx 5^] • Vr = \bfx Vr~] -rotq.
Правая часть найденного соотношения обращается в нуль в следующих
случаях:
а) когда 5.Г|| Vr, т. е. выбранная линия L совпадает с линией
тока в относительном движении среды;
б) когда 8^11 rot q, т. е. линия L совпадает с вихревой линией
абсолютного движения;
в) когда Vr || rot q, т. е. поле относительной скорости колинеарно
полю вихрей в абсолютном движении;
г) когда rot<f=0, т. е. при потенциальном движении. В этом
случае правая часть последнего выражения обращается в нуль
независимо от выбора линии L. Во всех перечисленных случаях имеем
q2/2- ( Ve-q) - U+P = const, (12.14)
261

где постоянная в правой части одна и та же в случаях виги меняется
при переходе от одной линии к другой в случаях а и б. Уравнение
(12.14) называют уравнением Бернулли для установившегося движения
среды в подвижной системе координат. От уравнения движения в
абсолютной (неподвижной) системе координат оно отличается наличием в
левой части члена (Ve'o)> учитывающего скорость переносного движения.
Если течение неустановившееся, то проинтегрировать уравнение
(12.8) можно лишь для потенциального течения баротропной среды
при наличии потенциала массовых сил. Из уравнения (12.11) с учетом
соотношений <f=V(p, totq = 0 имеем
V{dy/dt + q2/2-{Ve'q)-U+P} = 0.
Умножая скалярно левую и правую части последнего выражения на
векторный элемент bf любого направления, находим:
d{d<p/dt + q2/2-(Ve-q)-U+P} = 0.
Так как величины, входящие в полученное выражение, зависят не
только от координат х, у, z, но и от времени t, то получим
dy/dt + q2/2-(Ve-q)-U+P = F(t). (12.15)
Соотношение (12.15) называется интегралом Коти—Лагранжа для
потенциального неустановившегося движения в подвижной системе
координат.
Для несжимаемой жидкости функция давления Р = |ф/р=/?/р,
тогда из (12.15)
p/p=-dq>/dt-q2/2+(Ve-q) + U+F{t).
Произвольную функцию F(t) определим из условия на бесконечности,
предполагая, что потенциал скорости в бесконечности имеет порядок
1/г. Тогда, если пренебречь массовыми силами, получаем
РЗЕМ = -дЛ-1+{уе-д). (12.16)
р ot 2
12.1.4. Уравнения для потенциала скорости
Рассмотрим течение газа с постоянной энтропией S=const.
В этом случае уравнение состояния и функция давления Р определяются
соотношениями — = — = const и P=—L.~ соответственно. Здесь и да-
pY К у—i Р
лее индексом «О» обозначены параметры потока в неподвижной
среде. Используя выражение для квадрата скорости звука в изоэн-
тропическом течении а2 = ур/р, для функции давления найдем
Р = а2Цу-1). (12.17)
Подставляя это выражение в (12.15) и пренебрегая массовыми силами,
находим:
Учитывая, что на бесконечности (р~1/г, имеем
262
*<<>-,_,.

Следовательно,
a2 = a20-(y-\){d<p/dt + q2/2-(Ve-q)}. (12.18)
Сопоставляя уравнения (12.17) и (12.18), получаем
р0 у !_ а2
PjY-1 Y-l
и так как у/?о/Ро = Яо> то р/р0= (я2/До) 1^~1\ (12.19)
Давление определим из уравнения состояния
/V/?o=(p/po)Y.
Учитывая выражение (12.19), получаем
^o=(fl2/e8)Y/(Y"1). (12.20)
Записывая уравнение состояния совершенного газа (в форме
Менделеева — Клапейрона)
— = Л-??.
Т0 Ро Р
и используя уравнения (12.19) и (12.20), находим
Т/То = а2/а1 (12.21)
Формулы (12.19), (12.20) и (12.21) по внешнему виду совпадают
с формулами изоэнтропического установившегося движения. Различие
заключается только в выражениях для скорости звука. При этом
параметры потока, т. е. давление, плотность, температура и скорость
звука, вполне определяются, если известен потенциал скорости
ф(х, у, z, /) в подвижной системе координат.
Дифференциальное уравнение для потенциала скорости мы сможем
найти, если с помощью соотношения (12.19) исключим из уравнения
неразрывности (12.9) плотность р. Предварительно уравнение
неразрывности запишем в виде
|-lnp + divFr + (Fr-Vlnp) = 0. (12.22)
Из (12.19) имеем
lnp = lnp0H {1пд2-1пяо},
у—1
тогда
Vlnp = r-lT-7Vfl2.
(у-\)а2
Подставляя выражения для а2 (12.18), находим:
Vlnp=-l{^V9+iv^2-V(Fe^)
Подставляя Vlnp в уравнение (12.22), находя Vq2/2, V{Ve-q) и (tf*V) Ve
и делая ряд преобразований, получаем
a2divq-
^2Kr.f+Kr.(Kr-V)^-|^+[c5xKr]}
cf=0. (12.23)
263

Имея в виду, что # = Vcp, после простых преобразований имеем
\а Vrx) дх2^\а Vry) ду2^\а Vrz) dz2 д{2 ^rxVry дхду
~ d2q> ~ d2q> « d2q> - d2q> „ d2q>
-2v"v" Wrlv"v'* мГх-Ъ'* rni~lv- шу~Ъ- mz+
+ f^ + fixPrYv<p = 0. (12.24)
Уравнение (12.24) называется уравнением для потенциала скорости
сжимаемой среды в подвижной системе координат.
Если движение рассматривается по отношению к неподвижной
системе^координат, то в уравнении (12.24) мы должны положить
Vr = q> Ve = 0. Тогда последнее слагаемое этого соотношения
обращается в нуль, и мы получим
£+(«2-4 £+(«?-■) £+(«2-') S+2** £L+2bqz ц+
dzdx Чх didx^ Чу dtdy Чг dtdz
+ 2qz4x 2£+2* ^+2qy ^+2q, ^ = 0. (12.25)
В несжимаемой среде малые возмущения давления
распространяются с бесконечно большой скоростью, поэтому если
рассматривается движение такой среды, то левую часть уравнения
(12.24) мы должны разделить на а2 и положить я=оо. Тогда из
(12.24) получим
Aq> = d2<p/dx2 + d2<p/dy2'+d2<pldz2 = 0. (12.26)
Таким образом, потенциал скорости ср абсолютного движения
несжимаемой среды удовлетворяет уравнению Лапласа. Это уравнение остается
справедливым как в подвижной, так и в неподвижной системах
координат при установившемся и неустановившемся движениях.
Различия будут только в граничных условиях.
В заключение заметим, что из уравнения (12.23), записанного
в векторной форме, легко получить уравнения в цилиндрической,
сферической и других системах координат.
§ 12.2. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
12.2.1. Потенциал скорости при произвольном движении
твердого тела в несжимаемой среде
Предположим, что в несжимаемой среде, покоящейся в
бесконечности, движется твердое тело. Выберем систему координат Oxyz,
неизменно связанную с твердым телом. Пусть начало координат
этой системы имеет скорость V0(t), а сама система — мгновенную
угловую скорость (3(f) (см. рис. 12.1). Пусть в этой системе уравнение
поверхности тела задано в виде
F(t, х, у, z) = 0. (12.27)
264

Наличие в уравнении времени t указывает, что поверхность тела
деформируется с течением времени и скорость деформации в
направлении нормали
Va^=-8{/^(dF/dx)2+(dF/dy)2 + (dF/dz)2. (12.28)
В самом деле, рассмотрим некоторую точку на поверхности
Е. Координаты этой точки в данный момент времени удовлетворяют
уравнению (12.27). В момент времени t + At координаты
рассматриваемой точки будут х + Ах, у + Ау, z + Az. Поскольку точка
должна оставаться на поверхности твердого тела, то из уравнения
(12.27) имеем
F(t + At9 х+Ах, у + Ау, z + Az) = 0.
Разлагая последнее выражение в ряд, получим
F(t, х, у, z) + dlAt + d£Ax+fyAy+f2Az+...=0.
Здесь первое слагаемое в силу соотношения (12.27) равно нулю.
Разделив последнее выражение на А/ и перейдя к пределу при Аг-юо,
получим
dF , dF , dF , dF Л
to+Txu'*+Tyv'*+Tzw'*ss0>
где индекс «деф» означает скорость деформационного движения
твердого тела. Если разделить полученное соотношение на
y/(dF/дх)2 + (dF/ду)2 + (dF/dz)2 и учесть, что коэффициенты при
проекциях скорости будут равны направляющим косинусам нормали
к поверхности тела, то придем к формуле (12.28). Таким образом,
в общем случае скорость точки VT поверхности тела равна сумме
скоростей поступательного движения со скоростью центра О V0,
вращательного движения вокруг точки 0 с угловой скоростью
ю и деформационного движения, т. е.
?т=К0 + юхг+?деф. (12.29)
Предположим, что абсолютное движение несжимаемой среды,
вызванное движением в ней твердого тела,— потенциальное с
потенциалом скорости ф, имеющим в бесконечности порядок 1/г. В этом
случае потенциал скорости ф определяется из уравнения Лапласа
(12.26).
Установим граничные условия, которым должен удовлетворять
потенциал скорости ф.
В бесконечно удаленной точке возмущения от тела должны
отсутствовать, поэтому в бесконечности (поскольку q = 0)
V9L = 0. (12.30)
На поверхности тела согласно условию непротекания нормальная
составляющая скорости частицы среды ду/дп должна быть равна
нормальной составляющей скорости точки поверхности тела VnTi
поэтому на поверхности тела
(д<р/дп%=Упт. . (12.31)
96S

Раскрывая (12.31), имеем после простых преобразований
(d(p/dn)\x = u0l+v0m + w0n + (ux(yn — zm) + coy(zl—хп) +
+ G>z(xm-yl)+ К„деф, (12.32)
где /, т, п—направляющие косинусы нормали к поверхности тела;
х, у, z—координаты точки поверхности тела.
Так как уравнение (12.26) и граничное условие (12.32) линейные,
то можно воспользоваться методом наложения потенциальных потоков
и представить общее решение уравнения (12.26) в виде
Ф = н0ф1(х, у, *) + !><>Ф2(*, У у *) + и>оФз(*, У, z) + cd^4(x, у, z) +
+ а>/р5(х, у, z) + G)z96(x, у, 2)+Кпдефф7(х, у, z), (12.33)
где функции <Pi(x, у, z) зависят только от координат х, у, z и являются
потенциалами потоков, вызванных поступательным движением тела
вдоль осей Ох, Оу, Oz, вращательным движением около тех же осей
и деформационным движением твердого тела.
Подставляя уравнение (12.33) в (12.26) и пользуясь независимостью
проекций скорости поступательного движения тела, угловой скорости
вращения и скорости деформационного движения тела, находим:
Аф! = 0. (12.34)
Подставляя уравнение (12.33) в (12.32) и снова пользуясь
независимостью указанных скоростей, получаем граничные условия для
функций ф,- на поверхности тела £
5ф1
дп
= /;
5ф_2
дп
= т;
афз
дп
= п\
дп
— zl—xn;
= xm-yl; —
—уп—zm\
= 1.
(12.35)
Таким образом, изучение произвольного движения тела в
несжимаемой среде можно свести к решению частных задач, в которых
рассматриваются отдельные простые движения. При этом поле
скоростей вполне определяется из решения уравнений (12.34) с
граничными условиями (12.35).
12.2.2. Аэродинамические сила
на твердое тело
и момент, действующие
После решения уравнения Лапласа (12.26) для потенциала
скорости движения несжимаемой жидкости давление в точках
поверхности Е тела определяется из интеграла Коши—Лагранжа (12.16),
а^ затем по формулам (6.5) и (6.6) находятся главный вектор
R аэродинамических сил и их главный момент М0, действующие на
твердое тело. За центр приведения аэродинамических сил принимается
начало подвижной системы координат.
Подставляя (12.16) в (6.5) и (6.6) и учитывая, что интеграл по
замкнутой поверхности £ от />«,(*) обращается в нуль, находим:
R
Р
ot
n?£rfcr-jj
n°(Ve-q)do,
(12.36)
266

Мо_
Р
[гхЯ?]£*т +
f [гхя;]
r^^<LdG_
[rxn°T] (Ve-q)da, (12.37)
где п° — орт внешней нормали к поверхности тела; г—радиус-вектор
точек поверхности.
Выражения (12.36) и (12.37) являются общими формулами,
определяющими главный вектор и главный момент, действующие на
твердое тело, произвольно движущееся в несжимаемой жидкости.
Они позволяют подсчитать главный вектор и главный момент, если
известно распределение абсолютной скорости q в окрестности тела.
Однако заключение о величинах силы R и момента М0 можно
сделать и без знания поля скоростей.
Для этого необходимо рассмотреть движение твердого тела
в неограниченной области несжимаемой жидкости. Пользуясь
обобщенной формулой Остроградского—Гаусса, можно показать, что
R
р
?>+
qdivqdx —
[qxxotq] dx —
-flf['.*-a
[qxco]dx-
\dx,
(12.38)
Mo.
P
rxj- \dx + [fxqjdivqdx —
[r x \qx rotg]] dx +
+
[P0x£]A+|Tj
[со x \fx qj] dx —
[r x [Vex rotqj]dx, (12.39)
где твнеш — внешняя область, занятая жидкостью; твнут — внутренний
объем тела. Формулами (12.38) и (12.39) определяются главный вектор
и главный момент сил, действующих на твердое тело при его
произвольном движении в несжимаемой жидкости. Они удобны тем,
что позволяют проанализировать влияния внешних к телу
гидродинамических особенностей (источников, стоков, диполей, вихрей). Так,
например, из (12.38) видно, что при произвольном движении твердого
тела в несжимаемой среде главный вектор не равен нулю, даже
если вне тела нет источников (div*f=0) и вихрей (rot^=0), т. е.
парадокс Д'Аламбера не имеет места, как это было в случае
установившегося прямолинейного движения.
В случае плоского движения, когда твердое тело вырождается
в некоторый замкнутый контур, интегралы по объему следует заменить
интегралами по соответствующей плоскости. Если вне обтекаемого
контура нет источников (стоков) (т. е. всюду div<f=0) и нет вихрей
(rot(f=0), формулы (12.38) и (12.39) принимают вид
267

Мо_
Р
°внутр ствнутр
Г Ггх^Ъа+ (Т [Fox^da- (Т [г х [Vех rotqj] do
(в силу инвариантности относительно времени напряженности
завихренности codo интеграл [qx($]do = 0, а [ю х [гх #]] da = О,
так
как rxq\\(5, где авнутр — внутренняя область).
Пользуясь формулой Остроградского—Гаусса, преобразуем
интегралы подобласти, входящие в правые части последних выражений
для R и М0, в интегралы по контуру. Тогда
R д
1=1 <bn0T<pds-&){Vex{n0rxq}}ds',
j j
^=1|{гхи?}ф^+К0х{|Фи?Л}-
-§{rx{fex{n°xq}}}ds.
Здесь интегралы определяются по обтекаемому контуру; п° — орт
внешней к контуру нормали.
Пусть уравнения контура заданы в параметрической форме:
x = x(Q); y=y(9,t); -n^Q^n,
где 0—некоторый параметр; t—время, т. е. будем считать, что
контур изменяется со временем в направлении, перпендикулярном
к хорде. Тогда, проделывая несложные вычисления, получаем для
проекций главного вектора на оси связанной системы координат
и главного момента следующие выражения:
+ я + л
дц>
X т, „ -dT д
-=и0Г-х—+-
р dt dt
39 J
+ Т
-J
39
dQ;
x^dQ
39
>>■
(12.40)
(12.41)
м(
p
o=_f2 3r i_3 Г
2 dt 2dt J
(x*+y*)?gd9+ ^(xU0+yV0)d^dQ. (12.42)
Здесь x, у, r0 — координаты некоторой точки на профиле, в
которой потенциал ф терпит разрыв, и ее расстояние от начала
координат.
268

12.2.3. Метод определения суммарных аэродинамических
характеристик твердого тела по кинетической энергии среды
В некоторых случаях бывает достаточно знания суммарных
аэродинамических сил и моментов, действующих на твердое тело
при его произвольном движении в сплошной среде. Посмотрим,
нельзя ли определить указанные силы и моменты, если будет известна
кинетическая энергия среды. Для этого представим среду и движущееся
в ней твердое тело как единую материальную систему. Тогда
кинетическая энергия такой системы будет Т=ТЖ+ТТТ, где Тж —
кинетическая энергия сплошной среды; Гтт—кинетическая энергия
твердого тела.
Кинетическая энергия тела вычисляется общепринятыми методами:
Гт.т=-1мк£+1/сю2. (12.43)
Здесь Vc—скорость центра масс тела; М—масса тела; 1С—момент
инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс;
со—мгновенная угловая скорость тела.
Кинетическая энергия жидкости определяется по формуле
-ДО
pq2dx. (12.44)
В случае потенциального течения q = Vq>, поэтому, представляя
выражение (12.44) в форме
Т =£
ж 2
|jV-V<p)A
и пользуясь обобщенной формулой Остроградского — Гаусса, находим:
<=fj]W?M£, или Гж=-Н[
<р??<*2:. (12.45)
on
z z
Знак «минус» перед интегралом поставлен потому, что внешняя
нормаль к поверхности Е тела является внутренней для объема
жидкости. Интеграл же по бесконечно удаленной поверхности в силу
принятых условий cp|oo~l/r равен нулю.
Потенциал скорости можно записать в более общем виде, положив
7
Ф= X Ч>кЯк,
к=1
^ = q1l+q2m + q3ri + q4r{yri-zm)-}-q5(zl-xn) +
+ q6{xm-yl) + ql9 (12.46)
где qx = u0, q2 = v0i q3 = w0, ^4 = cox, q5 = ®y, Яб = ®2, Я1=Кд*ф! U ™,
n — направляющие косинусы нормали к поверхности тела; х, у,
z—координаты точки поверхности тела.
Кинетическую энергию жидкости можно записать в виде
269

Г«=-?1 ihjMj. (12.47)
Zk=l j=l
Здесь
<P*5^Z, (12.48)
где Xkj—инерционные коэффициенты, к—I, 2, ..., 7, 7=1, 2, ..., 7. Таких
коэффициентов в выражении кинетической энергии будет 28, потому
что при кФ] Xkj = Xjk. Значения этих коэффициентов зависят от формы
и направления движения тела. Так, например, при поступательном
движении твердого тела вдоль оси Ох кинетическая энергия будет
Т = < р
■*■ УК
Д* £«).».
2в
откуда видно, что инерционный коэффициент X х х = — р JJ ф х Id Е = mx
i
имеет размерность массы. Кинетическая энергия системы
Т=Тт.т+Тж = иЛ(Мт + тх),
т. е. движение тела в жидкости будет отличаться от движения
в пустоте наличием дополнительного к массе МТ слагаемого шх,
называемого присоединенной массой, которая зависит от формы тела
и направления его движения. Если тело вращается относительно
какой-либо оси, то в выражении для кинетической энергии получим
дополнительное слагаемое, называемое присоединенным моментом
инерции. _^
Для того чтобы найти главный вектор R сил давления и главный
момент M0i воспользуемся теоремами об изменениях количества
движения и момента количества движения материальной системы.
Окружим тело сферой Ех радиусом а с центром в начале подвижной
системы координат. Тогда количество движения сплошной среды,
заключенной в объеме т, ограниченном поверхностями £х и Е, будет
£=Шм&, О2-49)
т
а главный момент количества движения относительно начала
неподвижной системы координат
Loi=W[Txq]pdT = [r0xQ] + L0, (12.50)
т
гл,е Г—радиус-вектор точки в неподвижной системе координат;
L0—момент количества движения относительно начала неподвижной
системы координат.
Определим теперь внешние силы, действующие на объем т. Эти
силы сводятся к силам давления на поверхностях Е и Х^. Главный
вектор сил давления на поверхности £ будет равен — JJ/?w°rfL. Это
z
выражение совпадает с (6.5), следовательно, главный вектор сил,
действующих на поверхности Е, будет
2
270

а на поверхности £х
El
Здесь предполагается, что поверхность Ех удалена в бесконечность
и для точек этой поверхности в данный момент времени Poo(t)
— величина постоянная (/?£>—орт внутренней нормали к поверхности
Ei). Главный момент сил давления на поверхности Z
^oi=-Jj[(F0 + FI)xir°]^£=-lJ[r'oxiro]^Z-JJ[rIx/ro]^Z,
Е IE
а на поверхности Ех
^01 = РооЯ[ГИХ"°оо]^1=0.
El
Поэтому внешние силы, действующие на ^эбъем т, приводятся
к^главному вектору R и главному моменту М01 = [Г0 хЖ] + М0, где
М0 — момент сил относительно начала подвижной системы координат.
На основании теорем об изменении количества движения и
момента количества движения имеем
dQ/dt = R; dL01/dt = M01.
Здесь производные по времени определяют скорость изменения
векторов Q и L01 в неподвижной системе координат. В этой системе
dQ/dt = dQ/dt + (5x Q=R;
dL0Jdt = [V0x^ + [r0xdQ/dt] + dL0Jdt+[(5xL01]=M0 + [roxR],
где dQ/dt _и dL01/dt—локальные производные, характеризующие
изменение Q и L01 в подвижной системе координат. Поэтому для
определения главного вектора и главного момента относительно
начала подвижной системы координат, действующих на твердое тело
при его движении в идеальной жидкости, получим
dl$/dt+(5xQ=R, (12.51)
dL0/dt+ V0 х Q +ю x LQ = M0. (12.52)
Установим связь между кинетической энергией, количеством
движения и моментом количества движения. По определению
количества движения имеем
e=JJJp7*=JJJpvq>*.
X т
Преобразовывая объемный интеграл по обобщенной формуле
Остроградского — Гаусса, находим:
Q
ч.
рф/TrfE,
Е
где знак «минус» учитывает, что п° — внутренняя нормаль объема
(внешняя для тела).
Проекции Q на оси подвижной системы координат запишем в виде
271

е,= -
ТрФ«Е = - fТрф^JZ; б,= - ffpq>»tt/Z= - ("Lp^E;
ft—J/w-i-JJ,
I I
Подставляя выражение для ф из (12.46) и учитывая (12.48), получаем
e*=-Pl
k=lj
qk<?k^r-d2<=-p £ Xlkqk;
дп k=i
^=~РД \\^^dX=-pJ:X2kqk; (12.53)
fc=l J
Принимая во внимание (12.47), находим:
Qx = dT/dqx; Qy = dT/dq2; Qz = 8T/dq3. (12.54)
Совершенно так же определяется момент количества движения
относительно начала подвижной системы координат:
£о = JJJ [г х q] prfc = f JJ [г х Уф] рА.
т т
Преобразовывая последнее соотношение по формуле Остроградского —
Гаусса, находим:
L0=-tf<p[rxn°-\pd?:.
f I
Знак «минус» выбран потому, что здесь п° — орт внутренней нормали
объема х. _^
Проекции вектора L0 на оси координат с учетом выражения
(12.50) будут
LQx= — pq>(yn — zm)dl,= —
i i
Г Г Г (
L0y= — p(p(zl—xn)d5L= —
J J J J
Lqz— —
pq>(xm—yl)dlL= —
рФ-rfZ;
„£«;
■*£«■
Подставляя в найденные формулы потенциал скорости из (12.45)
и учитывая (12.48), имеем
L0x=-p Yu
k= 1 J
qk^k-^-diL^-p Y, ^кАгЯк',
0П /c=l
272

L0y=-P Z
k=U
Lcpt^Z = -p X Xk5qk; (12.55)
I
Используя (12.47) и (12.46), находим:
L0x = dT/d(ox; L0y = dT/day; L0z = dT/d(oz. (12.56)
Записывая уравнения (12.51) и (12.52) в проекциях на оси декартовой
системы координат, окончательно получаем
d(dT\ дТ дТ _.
- — ) + (Оу-—ю2 —= Х;
dtydqj *dq3 dq2
d(dT\ дТ дТ v /10 __ч
m)+a'N;-°'wrri (1157)
d(dT\ дТ дТ ^
-J* br~ +cd*^—<»,—=Z;
dt\dq3J dq2 ' oqv
d(dT\ . ar_. <w дт__ аг_
dt\d(nx) dq3 dq2 У d(Oz z д(йу
d(dT\x . дТ . дТ t дТ дТ .. /,осоч
<//дг\ t . дт . дт , дт дт %ж
dt\d(oJ ^ dq2 * dqx д(йу у д(йх
Формулы (12.57) и (12.58) позволяют найти проекции на оси подвижной
системы координат главного вектора и главного момента, если
известна кинетическая энергия Гж.
12.2.4. Методы определения потенциалов (pt
Укажем методы определения потенциалов cpf, входящих
в формулу (12.33). Так как любая из этих функций удовлетворяет
уравнению Лапласа и одинаковым условиям на бесконечности, то
рассуждения проведем для любой функции, опуская ее индекс. Можно
указать несколько путей определения функций (pf.
Для простых по форме тел (бесконечных кругового и
эллиптического цилиндров в случае их движения в направлениях,
перпендикулярных их оси, шара и других тел) можно использовать
имеющиеся точные аналитические решения уравнения Лапласа. Если
тело имеет сложную форму и аналитическое решение уравнения
(12.26) при соответствующих граничных условиях отсутствует,
необходимо использовать приближенные методы.
В настоящее время наиболее употребительным является метод
особенностей, в котором решение уравнения Лапласа при
соответствующих граничных условиях сводится к решению интегральных
уравнений. В частности, если тело не создает подъемной силы,
то наиболее употребительным путем решения является метод
273

распределенных по поверхности тела источников. Если обозначить
#(£, г|, £) плотность источников, распределенных по поверхности
тела, то потенциал ф определится из соотношения
^-ij]
g«U,^C)<*s
где г = ч/(х — fy2 + {y — r|)2 + (z—^)2—расстояние от точки N(^, ц9 £)
на поверхности тела Е до точки М(х, у, z), где вычисляется потенциал
скорости. В свою очередь поверхностная плотность источников
#f(£, г], £) может быть найдена из соотношения
2 4тс
l_JJg(^.C)cos(^)^=/(;C)j;)Z))
где л° — орт внешней к поверхности тела нормали, а /(х, ;;, z)
— определяется граничными условиями на поверхности Е для
потенциала (pf. Напомним, что ф определяется в системе координат,
неизменно связанной с движущимся телом, (подвижной системе)
и в силу этого ф можно рассчитать один раз и навсегда, если
форма тела задана.
§ 12.3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА.
ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЛИПСА И ПЛАСТИНЫ
В ЖИДКОСТИ
Рассмотрим потенциальное плоскопараллельное движение
несжимаемой жидкости, вызванное произвольным движением в ней
эллипса. Движение эллипса задано проекциями вектора скорости
Vn u0(t) и v0(t) его центра на подвижные оси и угловой скоростью
(u(t) вращения вокруг центра (рис. 12.3). Пусть эллипс задан
уравнением
х2/а2+у2/Ь2 = \. (12.59)
Введем эллиптические координаты т и 6, связанные с декартовыми
координатами соотношениями
x = cchxcos0; y = cshxsinQ. (12.60)
Полагая, например, т = т0 и исключая из (12.60) переменную 9, находим:
c2ch2x0 c2sh2x0
Сопоставляя (12.59) и (12.61), получаем полуоси эллипса
a = cchx0; b = cshx0,
откуда постоянная с2 — а2 — Ъ2, т. е. с есть расстояние между фокусами
эллипса. Параметр т определяется следующими уравнениями,
вытекающими из (12.61):
я = с(ет° + е~т°)/2; /? = с(ет°-е"т°)/2.
Отсюда
T0 = lnv/(a + ft)/(fl-*). (12.62)
274

Полагая в (12.60) постоянной, например,
переменную 9 (9 = 90) и исключая т, имеем
г2
= 1. (12.63)
C2COS290 c2sin2G0
Мы получили семейство софокус-
ных гипербол. При этом т0^т^оо;
0^9^2л.
При потенциальном движении
потенциал скорости удовлетворяет уравнению
Лапласа, которое в криволинейных кор-
динатах х, 9 записывается как
Рис. 12.3. Произвольное движение
эллипса в несжимаемой среде
дх
где Нх и Нв — параметры Ламе, определяемые формулами
(12.64)
Нт = ^(дх/дт)2 + (ду/дт)2; HQ = J(dx/dQ)2 + (dy/dQ)2.
Учитывая соотношения (12.60), находим, что Ят = Яе. Поэтому
уравнение (12.64) в эллиптических координатах принимает вид
д2ц>/дт2 + д2у/дв2 = 0. (12.65)
Потенциал скорости должен удовлетворять граничным условиям в
бесконечности (12.30) и на контуре (12.31). При плоском поступательном
и вращательном движениях проекции скорости точек эллипса будут
поэтому
и = и0 — coy, v = v0 + сох,
Упт — («о — юу)cos (пх) + {vo + tox) cos (ny).
Направляющие косинусы нормали к эллипсу определяются из
уравнения эллипса (12.61):
cos (nx) = b cos д/Нх; cos(ny) = asinQ/HXi
где Нх = I ^/(sh т cos 9)2 + (ch т sin 9)2. Кроме того д<р/дп= -1
Таким образом, граничное условие на контуре эллипса
записывается как
= u0b cos Q + v0asinQ-\—{a2 — b2) sin 29.
(12.66)
Будем искать решение уравнения (12.65) в форме
<р=д(т)г(е).
После подстановки этого соотношения в (12.65), разделения
переменных и интегрирования, получим
9 = (C1eXt + C2e-XT)(^xcosA,e + 5xsinA,e)-|-xe, (12.67)
где Cl5 С2, Ах, Вх, к, X—константы интегрирования. Так как
скорость в бесконечности равна нулю, то в выражении (12.67) следует
положить Сх=0, поэтому
9 = e-XT(^(cosX9 + £xsinX,9) + x9. (12.68)
275

Представим потенциал скорости при движении эллипса в форме
Ф = "0ф1+1>0Ф2 + С0фз.
Тогда вследствие независимости w0, v0, со заключаем, что каждая
из функций ф1э ф2 и фз удовлетворяет уравнению (12.65), решение
которого записывается в форме (12.68) с граничными условиями,
вытекающими из общего условия (12.66),
=*cose;(^
= a cos 6;
= ^2-62)sin20.
Удовлетворяя этим граничным условиям, находим:
Ф^-е^Асовв; ф2=-e^-'asinO; ф3 = -i(a2-62)e2(T°-T)sin20.
Следовательно,
9=_eTo-^Wo^cos0-bi;o«sine)-^(a2-^2)e2(To-T)sin20 + x0. (12.69)
Циклическая постоянная х определится, если будет известно либо
положение критической точки, в которой относительная скорость
равна нулю, либо значение циркуляции по контуру эллипса.
Относительная скорость на контуре эллипса направлена по касательной
к нему, поэтому
K=gs-Ves; rr=£-[(*,-«j*§+fc+mx)§]
откуда, учитывая, что -^=—\-^-) и ds = HTdQ, получаем
ds Hx\oQ J
И
x = acosQ; y = bsinQ.
Принимая во внимание (12.69), в котором на эллипсе т = т0, находим:
Vrds--
(a+b)(u0sind — focos0)—-{a2 — Z>2)cos20 + x + cotf6
IrfG.
(12.70)
Пусть критическая точка имеет угловую координату 0 = я. Так
как в ней Кг = 0, то
х= -(a + b)v0+^(a2-b2-2ab).
(12.71)
Циркуляция Г = ^ф = 2т1Х, поэтому
Г= -2n(a + b)v0 + Ti(a2-2ab-b2)(o. (12.72)
Теперь воспользуемся формулами (12.40)...(12.42) и определим
силы и момент, действующие на эллипс при произвольном движении.
Так как на контуре эллипса т = т0 и -^-ds = — dd, то, находя из
ds 59
276

уравнения (12.69) производную д(р/дд, а из (12.72) циркуляцию
Г и учитывая, что х = — а; у = 0, г = а имеем:
Х/р = -nb2u0 + 2n(a + b)v2) + nb(2a + b)v0(o;
Y/p = —n(3a2 + 2ab)v0 — 2n(a-\-b)u0v0 + n(a2 — 2ab — 2b2)u0(o +
+ ъа{а2-2аЬ-Ь2)щ (12.73)
M0/p = ^{a2-b2)(a + b)v0-^(a2-b2)(a2-ab-b2)(b-w
Формулы (12.73) получены в предположении равенства нулю
относительной скорости в задней точке эллипса ( — а, 0). Ими
определяются силы и момент, действующие на эллипс при его произвольном
движении в несжимаемой жидкости.
Рассмотрим некоторые частные случаи движения эллипса.
1. Пусть эллипс движется поступательно с постоянной скоростью
V0 и углом атаки а. В этом случае и0 = V0 cos a; v0= — V0 sin а. Из
формул (12.73) находим:
X/p = 2n(a + b)V2sm2a;
Y/p = 2к [а + b) V2 sin ос cos а;
M0/p = n(a2 — b2) К02 sin а cos а,
откуда
с*=-
-=27i(l + c)sin2a;
2
Y
•2а
Су'9У02
- = 2 л (1 + с) sin a cos ос;
2a
M0
-(1—c2)sin2oc,
2
где c=b/a;
2. Рассмотрим движение пластины с постоянной скоростью
К0, направленной под углом атаки a=/(f) (рис. 12.4). В этом
случае
со = ос; и0= K0cosa; t;0= — (F0sinoc + oca).
Подставляя эти величины в (12.73), учитывая (12.72), находя
силы и момент, действующие на пластинку, а затем их
аэродинамические коэффициенты в связанной с пластиной системе координат,
получим
сх = 2л sin2 a; су = 2л sin a cos a —
^ да n era
-Incosa---^;
(12.74)
я . _ я aa 7i я a
m2=-sm2a+--cosa--_
Рис. 12.4. Движение плоской
пластинки в несжимаемой среде
277

Циркуляция будет вычисляться по формуле:
T = 2n(aV0smoL-\-na2d). (12.75)
Принимая изменение угла атаки по закону а = ос0 + е sin &/, где ос0, е,
к—константы, имеем
су = к sin 2а — 2п Sh cos осе cos kt — Sh2 8 sin kt; „^ ifi\
Г = 2na V0 sin а+n V0 Sh 8 cos kt,
где Sh — ka/Vo — число Струхаля.
Из рассмотренных выше примеров видно, что сила и момент,
действующие на движущееся произвольным образом в несжимаемой
среде твердое тело, зависят от числа Струхаля и кинематических
параметров а, а, ..., и, и и т. д. При малых возмущениях, вносимых
телом в поток, коэффициент давления и любой из аэродинамических
коэффициентов сил и моментов можно представить в виде
п
ср= Z (cp'qt+4l(ii)>
(12.77)
п
су= Z (cy'Vi + cpii)*
и т. д., где q{—некоторый кинематический параметр (например, угол
атаки а, угол скольжения р, угловая скорость coz и т. д.);
qt—производная по времени параметра q{. Величины
dcPldqt = c*4 c^ = dcyldqi\ ... (12.78)
называют производными аэродинамических коэффициентов по углу
атаки, скольжения и т. д. Величины
cf^dcyldfamf^dmjdqt);... (12.79)
иногда называют вращательными производными. Так как здесь мы
специально ограничились случаем малых возмущений, то в формулах
(12.77) записаны производные первого порядка. В общем случае
могут появиться производные высших порядков.
Таким образом, влияние нестационарности проявляется через
изменение коэффициентов сил и моментов в зависимости от
параметров, характеризующих движение тела, которые, в свою очередь,
зависят от времени. С другой стороны, можно показать, что искомое
движение в окрестности твердого тела можно получить с помощью
определенного распределения вихрей в потоке.
§ 12.4. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ И КРЫЛА
КОНЕЧНОГО РАЗМАХА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
12.4.1. Вихревая модель твердого тела, движущегося
в идеальной несжимаемой среде
В § 12.2 мы использовали для изучения неустановившегося
движения сплошной среды метод, основанный на непосредственном
решении гидродинамических уравнений движения. С другой стороны,
278

можно показать, что при изучении движения твердого тела можно
исходить из распределения вихрей в потоке, необходимого для
получения искомого движения в окрестности твердого тела. В самом
деле, в общем случае движения твердого тела скорости его точек
вычисляются согласно Эйлеру по формуле
Vr=V0 + exr,
где К0—скорость поступательного движения тела; ю — мгновенная
угловая скорость твердого тела относительно его центра; г—радиус-
вектор, соединяющий произвольную точку тела с центром.
Абсолютная скорость частиц жидкости, омывающей тело, в
подвижной системе координат, неизменно связанной с телом,
определяется выражением (12.3).
Вследствие того, что на поверхности тела в силу условия
непротекания VnT = qn, при переходе через поверхность нормальная
составляющая скорости не изменяется, в то время как касательная
составляющая qT—Утт^^г терпит разрыв. Скачок касательной
составляющей равен относительной скорости Vr. Из общей теории
известно, что поверхность разрыва тангенциальной и непрерывность
нормальной составляющих скорости в сплошной среде можно
получить с помощью вихревого слоя. Поэтому при таком подходе
для моделирования течения наиболее естественно предположить, что
внутренность тела заполнена жидкостью, частицы которой движутся
со скоростью Vjj= V0 + G>xr (т. е. жидкость движется поступательно
со скоростью V0 с равномерной завихренностью rotFT = 2o5), а
на поверхности тела гзаспределен вихревой слой с поверхностной
плотностью, равной Vr. Иначе говоря, можно представить, что
воздействие движущегося в сплошной среде твердого тела на
частицы этой среды эквивалентно влиянию на них завихренности,
непрерывно распределенной внутри поверхности тела. Эту
завихренность часто называют присоединенной, так как она «жестко» связана
с телом.
Однако такая модель рассматриваемого явления при
неустановившемся движении будет неполной. В самом деле, при неустановившемся
движении твердого тела напряженность завихренности, распределенной
внутри тела, а также вихревого слоя с течением времени будет
изменяться. Согласно закону сохранения циркуляции скорости (теорема
Кельвина) изменение напряженности вихря в какой-либо точке на
величину Ду должно сопровождаться образованием новой
завихренности с интенсивностью — Ду. Эта завихренность возникает в
абсолютном (неподвижном) пространстве и соответствует в данный
момент времени конфигурации движущегося тела. Ее часто называют
свободной завихренностью. За телом все время образуется новая
завихренная область, переходящая в вихревой след с непрерывно
распределенными вихрями. Вследствие вихревой индукции частицы
в системе будут перемещаться, образуя сложное движение. Пренебрегая
индуктивными скоростями, предположим, что свободные вихри в
абсолютном пространстве являются неподвижными.
Таким образом, вихревая система, используемая для решения
задачи о произвольном движении твердого тела в несжимаемой
среде, должна состоять из присоединенных вихрей, распределенных
внутри тела, вихревого слоя, распределенного по его поверхности,
свободной завихренности и вихревого следа, остающегося за телом
279

Рис. 12.5. Вихревая модель твердого тела,
движущегося в невязкой несжимаемой среде
(рис. 12.5). При этом структура свободной завихренности и вихревого
следа определяется структурой присоединенной завихренности,
изменяющейся с течением времени.
12.4.2. Вихревая модель тонкого профиля крыла,
движущегося с малыми возмущениями в несжимаемой среде
Как уже отмечалось, в случае движения профиля крыла
изменение присоединенной завихренности внутри контура профиля
и на самом контуре порождает свободную завихренность, остающуюся
в пространстве, в котором движется профиль, и образующую вихревой
след. Форма вихревого следа при произвольном движении профиля
очень сложна и трудно поддается математическому описанию.
Поэтому здесь мы ограничимся более простым случаем,
предполагая профиль тонким, малоизогнутым, а угловую скорость и
скорость в направлении, перпендикулярном к хорде, будем считать
малыми по сравнению со скоростью вдоль хорды. В этом случае
присоединенную завихренность по контуру профиля можно заменить
завихренностью, распределенной по хорде и имеющей погонную
плотность у(х\ t') (рис. 12.6), а вихревой след расположить вдоль
прямой на продолжении хорды Ь.
Для установления зависимости изменения интенсивностей
свободной завихренности и вихревого следа от изменения интенсивности
присоединенной завихренности на оси Ох выберем некоторую
неподвижную точку А с координатой х, соответствующей моменту времени
/ в неподвижной системе координат (рис. 12.6). Через эту точку при
движении профиля будут проходить в различные моменты времени
точки с разной присоединенной завихренностью. Отметим одну из
них, например точку А' с координатой х', соответствующей моменту
времени t'<t. Пусть в этой точке присоединенная завихренность
имеет погонную плотность у(х', t'). В соседний, близкий к t' момент
времени t' + At' изменение интенсивности определится из соотношения
В соответствии с теоремой Кельвина должна возникнуть свободная
завихренность с интенсивностью — Аг-^——- — -^—'- . При
движении профиля интенсивность свободной завихренности будет
изменяться. Связь между текущей координатой х' и временем /',
как это следует из рис. 12.6, будет х — x' = u0(t — /'), откуда dy/dt' = dy/dt,
t,= [t—(x — xf)lu0~\dtf = dx/u0. Изменение интенсивности за время At
в любом положении будет определяться из соотношения
. / , х — х'
_ivL/ t х~х\ Ах' - 1 V и0 J [Ах'
280

Здесь и далее и0 = V0 cos а.
Следовательно, каждый элемент Ах'9
проходящий через точку А9 будет вносить
изменение интенсивности на величину
Ау. Если принять во внимание
изменение интенсивности завихренности
проходящими завихренностями на
отрезке от передней кромки профиля до
точки с координатой х, то плотность
свободной завихренности в этой точке
в пределе при Ах' -> 0 получим в виде
интеграла
Ь/2
У\
^6/1
Ь^Т^хЩ^Ш
уь/2 х
-V*
Рис. 12.6. Вихревая модель тонкого
профиля крыла, движущегося с
малыми возмущениями в несжимаемой
среде
"<*•'>--£ J (И*'-^J*'- (12-80)
X
Совершенно аналогично получим выражение для плотности
завихренности в точке В с координатой £ (см. рис. 12.6):
Ь/2
"($•')—i \{НХ''1-Х^г))*х'- (12-81)
-Ь/2
Итак, на профиле существуют присоединенная завихренность
интенсивности у(х\ ?) (иногда ее называют квазистационарной) и свободная
завихренность интенсивности е(х9 t). Таким образом, полная
интенсивность завихренности на профиле будет
у(х, t) = y0(x, t)+e(x9 t).
Обозначим циркуляции присоединенной и свободной завихрен-
ностей, а также завихренности в следе соответственно Г0, Г\ и Г8, тогда
Ь/2 Ь/2 Ь/2
у0(х, t)dx; Гх =
г(х, t)dx; Ге =
z{\,t)d%. (12-82)
-Ь/2 -Ь/2 -Ь/2
На основании теоремы Кельвина общая циркуляция остается
постоянной и равной нулю, следовательно,
Го + Гх + ГХ). (12.83)
Циркуляции Г0 и Ti можно выразить через интенсивность е(£, i)
завихренности в следе. Для этого рассмотрим движение жидкости,
вызванное движением окружности в ее плоскости. Как было указано
выше, движение жидкости в этом случае вызывается системой
завихренностей, распределенных по площади и контуру круга. Заменим
общую присоединенную циркуляцию Г вихрем в центре окружности.
Пусть вне окружности вдоль действительной оси Ох расположен
вихревой след. Выберем завихренный элемент с координатой — s
интенсивностью Г, = е(1у, t)ds. Окружность сохранится как линия тока,
если внутри нее поместить зеркально отображенный вихрь,
противоположный по знаку напряженности (рис. 12.7, а). Характеристическая
функция течения записывается в виде
281

Рис. 12.7. Схема к определению интенсивности
завихренности в следе:
а—пластинка и вихрь в физической плоскости; б—
окружность и вихрь в преобразованной плоскости
**?
W(z) = — lnz + — ln( z + — ) - — ln(z+A (12.84)
x 7 2ni 27i/ \ 5 / 2ni v '
Отобразим внешнюю область круга на внешность отрезка (-R, + R)
плоскости £ (рис. 12.7,6) с помощью функции
ИК>
Комплексную сопряженную скорость течения в плоскости £ находим
из выражения
dW
•4-^=-^
и так как
*/W fife
то
vt-wn
Г/г /г ,»(,-*»/,) I /(z2_^2)
Распределение скоростей в точках хорды профиля ( — R, +R) получим
из уравнения (12.84), положив z = ite'e:
* 1 / Г , Г'
-R2/s
sinQ\2nR 2nR 2RcosQ+s + R2/s;
Так как положение завихренности в следе в плоскости £
определяется согласно формуле, связывающей £ с z, как
0р
1
Г + Г
^
2^sin9\ i?cos9 + £,
из полученного выражения следует, что 1^ = 0, а
1 /^ . ™ v^1^
^=~
2nR sin 9
г+г
(12.85)
(12.86)
i?cos9 + £,
В скобках последнее слагаемое указывает на влияние завихренности
следа на распределение скорости по профилю. Из полученного
выражения для скорости следует, что в точках 0 = 0 и Э = тс скорость
обращается в бесконечность. В реальных условиях носок профиля
имеет утолщение, и скорость там будет конечной. Поэтому, пользуясь
постулатом Жуковского — Чаплыгина, потребуем, чтобы при 0 = я
1^ = 0. Из этого условия находим:
Г=-Г'
?, + *
(12.87)
282

Из (12.87) следует, что завихренность в следе будет иметь знак,
обратный знаку присоединенной завихренности на профиле. Подставляя
Г из (12.87) в (12.86), находим:
v - г /5+* 1+cose (пт
На верхней стороне профиля при 0^0^ л; скорость выражается
формулой (12.88). На нижней стороне при n^Q^ln скорость будет
Г E + R 1+cosG
2nsmQyJ ^-R RcosQ + t,
Следовательно, скорость терпит разрыв, равный
_ _ 2Г /£ + Д 1+cosG
Ч( + ) Ч(-)~ 2nsmQ\j Z,-R RcosQ + Z,'
Так как нормальная составляющая ил = 0 при переходе через профиль
непрерывна, а тангенциальная терпит разрыв, то приходим к
заключению, что интенсивность вихревого слоя вдоль хорды профиля равна
удвоенному значению v^i+), т. е.
Y(0, ,) = _!_ Щ '+"»» (12.89)
'v ; TisinG V Ь-R RcosQ + Z, V }
Считая вихревой след простирающимся до бесконечности, находим:
-Ь/2
Y(9, t) = i±2^ f 1Щ J%L rfjj, (12.90)
- 00
ИЛИ
Y(M=ctg?-/(9). (12.91)
Вследствие того, что y(0, t) есть удвоенное значение скорости на
верхней стороне профиля, то при О^0<л ^>0, поэтому в уравнении
(12.91) /(9)=—/( —0). Иначе говоря, функция /(0,/) может быть
представлена в виде ряда по синусам. Итак, интенсивность
завихренности на профиле должна иметь вид
у(0, t) = A0cig *- + t Asinfc0. (12.92)
2 /c=i
Полученное выражение совпадает с аналогичным распределением
завихренности при стационарном обтекании профиля. Различие
заключается только в том, что при неустановившемся течении
коэффициенты А0, Аи ..., Ак будут зависеть от времени t.
Определив интенсивности присоединенной и свободной завихрен-
ностей, а также вихревого следа, можно записать комплексный
потенциал и найти из выражения dW/dz = qx — iqy скорости qx и qy\
Ь/2 Ь/2 -Ь/2
ЧХ 271
ydx' j zdx j е<
Ч-х')2+у\ J (xi-xy+yl J (Xi+Z
b/2 -b/2
283

b/2
b/2
-b/2
ь~-
1
" 2л
y(*i-*V*'
+
e(xt— x)dx
+
(*i"K)2+.y
J-
(jc!-j:')2+j;i ' J (*i-*)2+>'2
"-b/2 -b/2 -oo
Для точек контура профиля j^—величина малая, поэтому, пренебрегая
величинами второго порядка малости, получаем
Ь/2 Ь/2 -Ь/2
Ях=~
ydx'
+
-b/2
b/2
j zdx
+
-b/2
b/2
q>=Tn
-Ь/2
+
*Ъ 1.
-b/2 -b/2 -oo
Если принять, что уравнение контура профиля задано в
параметрической форме
х = х(в), y = hy1(Q, t) о^е^к,
где h — малая величина, а контур с течением времени меняется так,
что его хорда остается постоянной, то пределы интегрирования по
х не будут зависеть от времени. В этом случае
cos(nx) = —hy^ly/x2-\-h2y\\ cos(ny) = x/^Jx2 + h2y\.
Для тонкого профиля при /z2«0(e2) cos(nx)^—hy1; cos(wy)^l,
поэтому нормальная составляющая абсолютной скорости в точках
профиля будет qn = qxcos{nx)+qycos(ny)^:—qxhy1+qy. Так как qx~h,
то q„ = qy. Используя условия непротекания (12.31) и учитывая, что
Уеп= Vexcos(nx) + Veycos(ny); Vex = V0cos<x-G)yh^ V0;
Vey= -^ F0sina+a)Xi = — К0а+©Х!,
находим:
Ven= - V0y- V0a+(oxl = - V0(a+y-cox1/V0).
Таким образом, имеем
b/2
* РП
1
2я
у(х\ t)dx'
+
b/2
J *!-■
-b/2
dx
+
(12.93)
'-b/2 -b/2 -oo
Принимая во внимание выражения плотности для свободной
завихренности и вихревого следа, замечаем, что уравнение (12.93) является
интегрально-дифференциальным уравнением для определения
плотности завихренности: присоединенной, свободной и вихревого следа.
12.4.3. Метод дискретных вихрей в задаче о движении
тонкого профиля в несжимаемой среде
Интегрально-дифференциальное уравнение (12.93) в
настоящее время решается численно. Можно применять и метод дискретных
вихрей, который наиболее удобен при использовании ЭВМ.
284

Рис. 12.8. Схема к определению аэродинамических
характеристик тонкого профиля при произвольном
движении методом дискретных вихрей
^ в/т
1 !'
)(' )(' К' )(—*-
Г/ г2...гт
Гп
Рассмотрим распределение присоединенных вихрей по хорде
тонкого профиля крыла. Разобьем хорду крыла на п частей. Поместим
присоединенный вихрь в точке отрезка вихря с номером т на
расстоянии 1/4 его длины, отсчитанной от конца отрезка в направлении
носка профиля (рис. 12.8). Координата присоединенного вихря номер
т определяется из условия
хт = Ь{4т-\)/{4п).
Здесь хт отсчитывается в системе координат, ось Ох которой
направлена вдоль хорды профиля в направлении движения профиля,
а ее начало совпадает с задней точкой профиля. Координаты
контрольных точек, в которых выполняется условие непротекания,
определяются из выражения
xv = b(4m-3)/{4n).
Предположим, что изменение напряженности вихря Гт
осуществляется по закону, изображенному на рис. 12.9. Выберем интервалы
времени, необходимые для перемещения профиля на расстояние,
равное Ь/п, т.е. At = b/nU0. Тогда за первый интервал времени
напряженность присоединенного вихря изменится на величину ЛГ^,
за второй интервал времени — на ЛГ^\ за интервал времени номер
s—соответственно на ЛГ^. Таким образом, ЛГ^Г^-Г^ 1}.
При движении профиля и, следовательно, при изменении
напряженности присоединенных вихрей возникают свободные вихри, которые
считаются неподвижными в абсолютном пространстве. Обозначим
координату свободного вихря, образованного присоединенным вихрем
с номером т после s интервалов времени (номер s означает, что
вихрь перемещен на расстояние sb/n), ^). Тогда ^m):=xm-sb/n.
Подставляя выражение для хт, находим:
W = b[4{m-s)-l]/(4n).
При £т>0 свободные вихри будут находиться внутри контура
профиля; при £т<0 свободные вихри вне профиля образуют
вихревой след.
Итак, после каждого перемещения профиля на величину Ь/п
образуется система свободных вихрей. На основании формулы Био —
Савара в контрольных точках системой Гт
присоединенных и свободных вихрей при
перемещении вихря номер s
индуцируется скорость
АГ<»\
»?}= I
Гт 1
^ 9-ТГ
Индуцированная в контрольной точке
с номером v всеми системами вихрей
скорость t;v при их перемещениях за
Рис. 12.9. Изменение
напряженности вихрей Гт во времени
285

интервалы времени с номерами, изменяющимися от единицы до
принятого расчетного значения у, определяется из выражения
У
1
~2п
m=l v m s=lm=l Av
На основании граничного условия в этой точке vv равна нормальной
составляющей переносной скорости, поэтому для определения
неизвестных интенсивностей Г£} получаем соотношение
\m=l v m s = 1 m = 1 v ^>m
(12.94)
Расчет начинается с первого перемещения у=1 в предположении
Г^^О. Затем из уравнения (12.94) определяются интенсивности
присоединенных вихрей Г^}. При у = 2 в уравнениях (12.94) будут известны
Г^}, следовательно, можно определить все Г^} и т. д. до требуемого
расчетного значения у. Силы и момент, действующие на профиль,
определяются из соотношений (12.40)...(12.42).
В качестве примера приведем результаты расчетов производных
аэродинамических коэффициентов пластинки бесконечного удлинения
(А,= оо), движущейся со скоростью V0 в несжимаемой среде в
направлении чоси Ох и совершающей угловые гармонические колебания
относительно оси 0z с круговой частотой р [21]. Результаты расчетов
показывают, что при числе Струхаля Sh=/?*->0 (p*=pb/V0, b—хорда
пластинки) производные коэффициентов подъемной силы суа и
продольного момента mz по углу атаки а и безразмерной угловой
скорости вращения пластинки coz (coz = bQz/V0, Qz — абсолютная угловая
скорость вращения пластинки относительно оси 0z) будут cja = 2rc;
с% = п/2; т? = я/2; in?=.<). .
Производные с*а, mz, Cyi, m®z при /?*->0 будут равны минус
бесконечности. При числах Струхаля /?*-»оо имеют место соотношения [21]
Суа = Щ с% = п/2; т* = к/4; т* = 0; с% = к/4; с^ = 0;
т**=-п/16; /и?-=-я/64.
Изменение коэффициентов плоской пластинки бесконечного удлинения
при любых числах Струхаля можно проследить по графикам
(рис. 12.10) [21], построенным для случая, когда начало связанной
5,0\
2,5
О
-2,5V
oft
L /•
[-
I *
1
10
Р*
Рис. 12.10. Зависимости аэродинамических коэффициентов плоской пластинки от числа
Струхаля р*
286

системы координат Oxyz выбрано на расстоянии половины хорды
пластинки от ее носка (относительная центровка (условное положение
центра масс пластины) хПгМ = хц%и/Ь = 0,5). Как видим, с ростом числа
Струхаля коэффициенты cja, т\, с^ монотонно убывают, оставаясь
практически постоянными при /?*^5, a cjfl, га", с^, наоборот,
возрастают.
Следует отметить, что если относительная центровка хц.м = 0,25,
то при любых значениях числа Струхаля для пластинки
га° = 0; /и;=-я/8; т**=-ф; га^=-3тг/64.
12.4.4. Неустановившееся движение крыла конечного размаха
в несжимаемой среде
Рассмотрим движение тонкого малоизогнутого крыла
заданной формы в плане. Будем считать, что скорость движения крыла
в направлении, перпендикулярном к центральной хорде, является малой
по сравнению со скоростью вдоль хорды. Кроме того, угловая скорость
вращения вокруг поперечной оси также считается малой величиной.
Связанную с крылом систему осей координат выберем так, как
показано на рис. 12.11. Как указывалось в п. 12.4.1, течение в
окрестности крыла можно представить как течение, обусловленное
равномерной завихренностью внутри крыла и вихревым слоем на
поверхности крыла, образующими систему присоединенных вихрей,
свободной завихренностью и вихревым следом за крылом. Будем
предполагать, что в случае тонкого крыла присоединенные вихри
расположены в плоскости Oxz (рис. 12.11). Тогда свободные вихри
и вихревой след, образующиеся при движении крыла и изменении
напряженности присоединенных вихрей, согласно теореме Кельвина
также будут расположены в плоскости Oxz.
Точное решение задачи о неустановившемся движении крыла
конечного размаха, также как и для профиля, сводится к решению
интегрально-дифференциального уравнения, из которого определяется
неизвестная напряженность вихрей. В силу сложности решения этого
уравнения здесь, как и в п. 12.4.3, мы воспользуемся методом
дискретных вихрей и вместо дискретных вихревых систем будем
рассматривать слой диполей. Это можно сделать потому, что течение,
индуцируемое вихревым слоем, эквивалентно течению, создаваемому
системой диполей с моментами, перпендикулярными поверхности слоя
и равными плотности вихревого слоя.
Разобьем поверхность крыла на М полос, параллельных оси Oz,
и на N полос, параллельных оси Ох. Рассмотрим ячейку га-й полоски,
t At t+At t
Рис. 12.11. Схема для определения парамет- Рис. 12.12. Изменение с течением времени
ров неустановившегося движения крыла ко- плотности моментов диполей |im>„
нечного размаха в несжимаемой среде
287

параллельной оси Oz, и ячейку и-й полоски, параллельной оси Ох.
Пусть координаты центра масс ячейки будут хт,„; zm>n, а среднее
значение плотности момента диполя, приложенного в центре масс
площадки,— цш>„. Пусть момент диполя цшп изменяется во времени,
как указано на рис. 12.12.
Разобьем изменение времени / на равные интервалы времени.
Тогда изменение |ЛШ,П за интервал s будет АцЙ|и = ц2!п~~ЦЙ,^1)-
Изменение момента присоединенного диполя будет равно моменту свободного
диполя. Выберем интервалы времени At = b/M.
Координаты свободного диполя за период перемещения крыла
t^ = Afs, будут Й!Я = \,„^Р); tt]n = Zm,n-
Если £й„>0, то свободный диполь будет расположен на поверхности
крыла. Если £>{т]п<0, то диполь будет относиться к вихревому следу
крыла.
Потенциал скорости присоединенных диполей за у перемещений
будет
Фпр=г1 ly№.\.{x-Xm..)2+y2 + {z-Zm,.)2Y3'2. (12.95)
47tm=l„=l
Потенциал скорости свободных диполей за у перемещений будет
у М N
ф«=г1 I Ij'(h£!.-h£.-.1))[(*-^).)2+J'2+(^-C2!.)2]-3/2. (12.96)
47Cs=l m=l ii=l
Общий потенциал ср равен их сумме:
Ф = ФпР+Фсв. (12.97)
Нормальные составляющие скорости на поверхности тонкого крыла
можно подсчитать в точках области S плоскости Oxz, на которую
проецируется крыло:
* vn^v = (dq>/dy)\y=0.
Принимая во внимание уравнения (12.95)...(12.97), находим:
М N
4™„ = £ X №п[(х-хт,п)2+(2-гт,п)2]-3>2 +
т—1п=1
+ £ £ £(йй--ий.--1))[(*-*й»)2+(^-г111.11)2]-3'2.
5=1т=1 и= 1
На поверхности крыла в силу непротекания жидкости vn=Ven.
Потребуем, чтобы условие непротекания выполнялось в центрах
масс ячеек, т.е. в точках с координатами xPiq9 zp>q (/7=1, 2, ..., М,
q—\, 2, ..., TV). Тогда для определения средних значений моментов
диполей ячеек имеем соотношение
4яКе„= £ £ A[(xP,q-xm,ny+(zp,q-Zm,n)2y^ +
т=1л=1
(12.98)
+ 11 1(йй.-йг;-1))[(*Р.«-^.)2+(^.,-г-..)2]-3/2-
s= 1m= 1л= 1
Порядок расчета аналогичен принятому при расчете обтекания
профиля, а именно: полагаем у= 1, определяем правые части выражения
288

t
\Cya
Суа
О 2 4 6 8 10 p*
Рис. 12.13. Влияние удлинения X на Рис. 12.14. Влияние числа Струхаля р* на
производные аэродинамических коэф- производные аэродинамических коэффициентов
фициентов крыла при числе Струхаля тонких трапециевидных крыльев:
/?*->0 прямоугольное крыло; —•— треугольное
крыло; стреловидное крыло
(12.98) во всех точках с координатами х„ч, zPtq, для которых рфт,
цфп. Кроме того, принимаем ц^}„ = 0. Правые части приравниваем
к выражениям для Ven в этих точках. В результате получаем систему
MN уравнений, из которых определяются все \i{m}„. Далее полагаем
у = 2; теперь в правые части уравнений (12.98) будут входить известные
величины [i{^n. Из этой новой системы уравнений определяем \i{^\.
Далее процесс повторяется до требуемого числа у. Заметим, что
для удовлетворения условий Жуковского — Чаплыгина на задней
кромке крыла при составлении системы уравнений следует выбирать
контрольную точку не в центре масс ячейки, а на задней кромке.
Некоторые результаты расчетов аэродинамических характеристик
тонких крыльев в несжимаемой среде при весьма малых числах
Струхаля (Sh=/?*—>0) представлены на рис. 12.13 для случая
прямоугольного крыла, когда ось Oz расположена на носке его хорды
[21]. Видно, что увеличение удлинения крыла, как и следовало
ожидать, приводит к возрастанию несущих свойств крыла (cje
увеличивается с ростом X). Аналогично с*а меняются и другие
аэродинамические коэффициенты «без точек»: с^, га", га"г. При этом
также видно, что с ростом удлинения крыла повышается
демпфирование крыла (растет т*ж). Коэффициенты аэродинамических
производных «с точками» также сильно зависят от удлинения крыла
в несжимаемой среде (рис. 12.13).
Влияние формы крыла в плане и числа Струхаля на некоторые
аэродинамические коэффициенты крыла с удлинением А, = 2,5 в
несжимаемой среде можно проследить по графикам рис. 12.14 [21]. Как
видим, наличие угла стреловидности у крыла большого удлинения
приводит к заметному снижению его аэродинамических производных
по сравнению с прямоугольным крылом при всех значениях числа
Струхаля (при небольшом удлинении крыла X и р*-+0 влияние угла
стреловидности почти отсутствует). Наибольшее влияние числа
Струхаля наблюдается в рассматриваемом случае при сравнительно
небольших значениях р*. Более подробно с результатами расчетов
аэродинамических характеристик тонких крыльев при
неустановившемся движении можно ознакомиться в работе [21].
10 Зак 150
289

ГЛАВА 13. ВЯЗКИЕ ТЕЧЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 13.1. УРАВНЕНИЕ НАВЬЕ —СТОКСА
ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Практика показывает, что реальные вязкие течения газа
и жидкости достаточно точно описываются уравнениями Навье —
Стокса. Удобно применить эти уравнения прежде всего к течениям
несжимаемой жидкости. Для несжимаемых течений плотность р = const,
и записанная ранее система уравнений Навье — Стокса значительно
упрощается. Упрощается также и уравнение неразрывности и
принимает вид
_.. j^ _ди dv dw
dx dy dz
■о.
(13.1)
Далее при малых изменениях температуры динамическую вязкость
\i можно считать практически постоянной величиной. Уравнение
состояния также упрощается и принимает вид р = const. Тогда первое
уравнение из системы уравнений Навье — Стокса записывается
следующим образом:
du „
дх дх
И
п ди 2 ..
2 — --div
| дх 3
М-
dv , ди
^Тх + Уу
+
dz
ди , д w
^Ь + Тх
= х-
'дх ^\дх2 +ду2 +dz2
(13.2)
Аналогичным образом преобразуются и другие уравнения. Тогда
система уравнений для несжимаемой жидкости при отсутствии
теплообмена записывается так:
[ди , ди , ди , ди\ л. др , (д2и , д2и , д2и
р — + W — + V — +W— =^--^-+|1 ТЧ + ТЧ +
Kl а' я- ду dz) дх ^\дх2 ду2
dt
дх

diet
дх
ду
dz
rdvt dv , dv , dv\ v dp , I d2v d2v d2v\
dy
dx2 dy2 dz'
(13.3)
dt
dx
f dw , dw , dw , dw\ ^ dp , (d2w d2w , d2w\
dz:
В этих уравнениях массовые силы считаются заданными и
остаются только четыре неизвестные величины: и, v, w, р. Для их определения
есть четыре уравнения, включая уравнение неразрывности. Чтобы
замкнуть задачу, надо задать еще граничные и начальные условия.
В вязкой жидкости в условиях сплошной среды ставятся условие
прилипания и условие непротекания, т. е. полагается, что нормальная
290

и касательная составляющие вектора скорости на стенке равны нулю:
Uw — vw = 0. Так как и ww = 0, и vw = 0, то в дальнейшем для краткости
будем говорить о граничных условиях прилипания для вязкой
жидкости.
§ 13.2. СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Система уравнений Навье — Стокса достаточно сложная,
однако в некоторых частных случаях все же можно найти точные
решения. В основном это те случаи, когда удается избавиться от
нелинейных членов системы уравнений Навье — Стокса. Один из простых
случаев точных решений — слоистые течения, в которых не равна
нулю только одна составляющая скорости. Пусть ифО, a v = 0 и w = 0.
Из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости следует,
что —+—+— = 0. Если v = 0 и w = 0, то ди/дх = 0, следовательно,
дх ду dz
иФи(х). Тогда u = u(t,y, z). Система уравнений Навье — Стокса
принимает следующий вид:
ди ЛГ др , ( д2и д2и
0=F-^; 0 = Z-^.
ду dz
(13.4)
Будем считать, что массовые силы пренебрежимо малы. Так как
v = w = Q, то из второго и третьего уравнений системы уравнений
Навье — Стокса следует, что
|=|=0; ,=,(*), (13-5)
а первое уравнение принимает вид
ди dp , ( д2и д2и\ /10 гч
ртг-тх^\1?+^)- (116)
В случае стационарного течения получим следующее линейное
уравнение:
dp_ fdh4_ д^и
~dx~^ VdP^lh
Hl^+bil- 03-7)
13.2.1. Течение в плоском канале
Если рассматривается установившееся течение в плоском
канале (рис. 13.1), то —=—=—7 = 0. Тогда уравнение (13.7) преобразу-
dt dz dz
ется к виду
Е-"£. <"*>
10* 291

',
0
+ ь
"Чч"
л
*)
^У
-ь
X
Левая часть уравнения (13.8) не зависит от у,
а правая от х. Это возможно только, если — = const.
dx
Уравнение (13.8) с граничными условиями и = 0 при
у=±Ь может быть проинтегрировано. После
интегрирования получим
1
(Ь2-у2).
(13.9)
dp
2ц \ dx
Рис. 13.1. Профиль
скорости в плос- Следовательно, в канале имеет место параболическое
ком канале распределение скоростей. Перед всем выражением
стоит знак минус, так как dp/dx <0. Здесь величину dp/dx следует
рассматривать как заданный постоянный градиент давления.
13.2.2. Течение Куэтта
Пусть теперь одна стенка плоского канала покоится, а другая
движется с постоянной скоростью U. Такое течение называется
течением Куэтта (рис. 13.2). Течение Куэтта является обобщением
случаев течения в плоском канале и простого срезывающего течения.
Если dp/dx = О, и одна стенка движется,
то мы имеем дело с простым
срезывающим течением, если dp/dxФО, и стенки
неподвижны, то имеем дело с течением
в плоском канале. Если расстояние между
стенками равно А, то граничные условия
прилипания записываются так: и = 0 при
у = 0; u=U при y = h. После интегрирования
уравнения (13.8). получим
Рис. 13.2, Профиль скорости
в течении Куэтта
-у-и
1+р 1
(13.10)
На рис. 13.2 показаны профили скорости для различных значений
безразмерного градиента давления:
Р =
dC„
J^_dp_ I
~2iUJdx~~~4d((x/h)/Re)'
(13.11)
Если P=0, то u = j U. Это профиль скорости для простого
срезывающего течения, с анализа которого было начато изучение динамики
вязкой жидкости.
13.2.3. Течение Пуазейля в круглой цилиндрической трубе
Осесимметричное слоистое течение в прямолинейной трубе
с круглым поперечным сечением является аналогом течения в плоском
канале (рис. 13.3). Пусть ось трубы совпадает с осью х, а радиальную
координату у будем измерять от оси трубы по нормали к оси х.
Составляющая скорости вдоль оси х равна и, остальные составляющие
скорости равны нулю. Скорость и = и(у) не зависит от х. Уравнение
Навье — Стокса для слоистого течения в прямолинейной круглой
292

цилиндрической трубе в цилиндрической
системе координат (с граничными
условиями и = 0 при y = R) выглядит так:
dp
dx
= И
d2u 1 du
dy 2 у dy
(13.12)
Проинтегрировав это обыкновенное
дифференциальное уравнение по частям, получим
"^
dp
dx
(R2-y2). (13.13)
Рис. 13.3. Профиль скорости
в течении Пуазейля
(Числовой коэффициент здесь равен 1/4, в отличие от плоского
случая течения, где он равен 1/2.) Величина dp/dx — постоянный
градиент давления, который следует считать заданным. Распределение
скорости изображается параболоидом вращения. Максимальная
скорость течения имеет место на оси трубы:
= 4ц
dp
~~di
(13.14)
Объем параболоида вращения равен nR2h/2. Отсюда средняя по
расходу скорость потока в трубе иср = итах/2. Тогда
dp
dx
(13.15)
Это уравнение можно записать в безразмерной форме:
(кр№= -64, (13.16)
где 5 = (x/£)/Re, Re = ucpD/v.
Безразмерный градиент давления не зависит от числа Рейнольдса,
если используется переменная £> = (x/D)/Re.
Объемный расход жидкости в трубе определяется равенством
Q = nR2ucp =
8ц
dp
dx
(13.17)
Уравнение для расхода Q называется законом Гагена — Пуазейля.
Решение формально справедливо для любых значений числа
Рейнольдса. В действительности такое течение осуществляется только
в узких трубах в потоках малых скоростей, когда число Рейнольдса
Re = ^<2300 = ReKp.
V
Это число Рейнольдса называется критическим. При Re>ReKp течение
перестает быть слоистым и ламинарным, а становится беспорядочным,
турбулентным. Если в такой трубе подкрасить отдельную струйку
жидкости, то при Re>ReKp можно наблюдать переход от ламинарного
слоистого течения к беспорядочному турбулентному.
В технических расчетах вводится коэффициент сопротивления
трубы X:
dx I
2
(13.18)
293

Подставив выражение для dp/dx из (13.15) в уравнение (13.18),
получим
рмс2р R2 pucpD Re
Эта зависимость хорошо подтверждается экспериментальными
данными и может быть использована для определения динамической
вязкости |i рабочей жидкости.
§ 13.3. ПОЛЗУЩИЕ ТЕЧЕНИЯ
Рассмотрим предельный случай течения, когда силы трения
значительно больше сил инерции. Такие движения имеют место при
очень малых скоростях или при очень малых числах Рейнольдса.
Течения при малых числах Рейнольдса (порядка единицы) называются
ползущими. Для описания этих течений можно упростить уравнения
Навье — Стокса, отбросив инерционные члены в левой части уравнений,
в которые в качестве коэффициентов входят компоненты вектора
скорости. Тогда получим, что
др_ (дЧ дЧ д2и
Тх~^\д^+ду2+д22
dp_it ('d2v % d2v t dV
(13.20)
dy ^{dx^dy^dz2
dp_ I d2w d2w d2w
Vz~^\dx~2+~by2+'dz~2
. du dv dw_~
dx dy dz
В качестве граничных условий на стенке используются
условия прилипания. Эти уравнения линейные и допускают точное
решение.
В 1851 г. Стоке решил задачу о медленном движении сферы
в вязкой жидкости. Рассмотрим задачу об обтекании покоящейся
сферы, центр которой находится в начале координат, (рис. 13.4)
потоком вязкой жидкости при следующих граничных условиях на
поверхности сферы: u = v = w = 0 при r = R, где R—радиус сферы;
r = y/x2+y2 + z2. На бесконечности поток направлен параллельно оси
х. Тогда u^U, D-+0, w->0 при г->оо.
Уравнения Навье — Стокса для ползущих течений в сферической
системе координат с учетом симметрии обтекания сферы имеют вид
др_ (d2vr 1 d2vr 2dvr ctgO dvr 2vr 2ctg9 2 dvQ
~dr~~^ \J^+72W~^~r'di:'{'~^'dQ~72 ?~ Vq~72^b
]_fy_ f d2vQ 1 d2vQ 2 дщ ctgQ dvQ 2 dvr vQ \ ГП ?1^
7аё~ц \ча^+^^+7¥"+"7Га0+^аё"г28т20у); U^U
dvr 1 dvQ 2vr yectg6 л
t-+"^+~+ = 0>
or r ov r r
294

где vr, vQ—компоненты вектора скорости
в сферической системе координат.
Граничные условия на поверхности сферы в
сферической системе координат принимают
вид vr(R, Q) = vB(R, 6) = 0, а граничные
условия на бесконечности преобразуются
следующим образом: vr-> £/cos0, vQ -+ — UsinQ
при г -» оо. Будем искать решение в форме,
соответствующей граничным условиям на
бесконечности: vr=f(r)cosd; vB= — g(г)sin6;
p = [ih(r)cosQ.
Подставив эти выражения в систему
уравнений Навье — Стокса для ползущего
течения, получим три обыкновенных дифференциальных уравнения для
функций /, g, h
h>=f» + 2-f>-4JIzil;
г г
Рис. 13.4. Схема к задаче Стокса
о вязком течении около шара
г г г
(13.22)
/' +
2 (Г-*).
0.
Эти уравнения интегрируются и дают следующие результаты:
3R 1 Л3
vr(r,9)=UcosQ[l-~+~
0,(r,e)=-t/sine(l-^-i^
1 4 г 4 гл
, ал 3 UR д 3 URx
P(r, e)-jp00=- Ц -j. COS0= -- \i —.
Следовательно, давление на поверхности сферы
3 \lUx
(13.23)
Р-Роо =
(13.24)
Максимальное значение давление рх имеет в передней критической
точке x/R = — 1; минимальное р2 — в задней критической точке x/R = +1:
Pl,2-Poo=±
3 \xU
2 IF'
Касательное напряжение трения на поверхности сферы описывается
формулой
*е =
— — sin(
2 R
Максимальное значение касательного напряжения трения т достигается
в миделевом сечении сферы:
3 \iU
Т=-2Т
295

Эта величина численно совпадает с избыточным давлением в передней
критической точке. Проинтегрировав давление и касательное
напряжение по поверхности сферы, можно вычислить ее полное сопротивление:
X=6n\iUR. (13.25)
Эта формула называется формулой Стокса для сопротивления сферы.
Здесь одна треть сопротивления создается за счет разности давлений
и две трети за счет трения. Следует отметить, что в стоксовском
приближении сопротивление сферы пропорционально первой степени
скорости, а при больших значениях числа Рейнольдса сопротивление
сферы пропорционально квадрату скорости. Экспериментальные
данные показывают, что формула Стокса справедлива при числах
Рейнольдса Re = UD/v < 1, где D = 2R. Можно вычислить коэффициент
сопротивления сферы, использовав зависимость
X=cxSpU2/2 = 6n\xUR.
Отсюда
cx = 24/Re. (13.26)
Картина линий тока при Re^l около сферы симметрична, без
образования области отрывного течения за сферой.
Решение Стокса в 1910 г. было улучшено Озееном путем
частичного учета инерционных членов в уравнении Навье — Стокса для
ползущих течений. Озеен принял, что u=U+u', v = v\ w = w' и w'<$c£/,
v' <$с U, w' <$с U, где и', v\ w' — малые возмущения скорости.
Если пренебречь членами порядка и'2, то в уравнениях Навье —
Стокса остаются члены типа
ди' ш Т7 dv' т Tj dw'
дх' дх9 дх
и исчезают члены вида
, ди' щ , ди' # , dw'
дх* дх' дх
Система уравнений принимает вид
ТТ ди' др I д2и' д2и' д2и'
тт dv' dp ( d2v' d2v' d2v
TTdw' dp I d2w' d2w' d2w'
(13.27)
du' dv' du>'_n
dx dy dz
с граничными условиями прилипания на поверхности сферы
Полученные уравнения линейные. Решение ищется в виде ряда по
числам Рейнольдса. Ограничиваясь только первыми членами ряда,
Озеен получил формулу для коэффициента сопротивления сферы
296

Эта формула пригодна для чисел Рейнольдса Re<5, а формула
Стокса—только до чисел Рейнольдса Re<l.
Существуют и другие точные решения уравнений Навье — Стокса.
Назовем наиболее известные из них:
1) слоистое течение между двумя коаксиальными вращающимися
цилиндрами;
2) плоское и осесимметричное течения около критической точки;
3) течение вблизи вращающегося диска;
4) течения в суживающихся и расширяющихся каналах;
5) задача Ландау об истечении струи в затопленное пространство.
Точных решений уравнений Навье — Стокса относительно немного,
но они играют важную роль в динамике вязкой жидкости и газа.
Как известно, при выводе уравнений Навье — Стокса были
использованы некоторые предположения и гипотезы. Совпадение точных
решений и экспериментальных данных подтверждает правильность
уравнений Навье — Стокса. При создании приближенных и численных
методов расчета течений жидкости точные решения уравнений Навье —
Стокса служат для проверки правильности оценки их погрешности
и области их применимости.
§ 13.4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ —СТОКСА
В настоящее время в связи с развитием
электронно-вычислительной техники большое распространение нашли численные методы
решения уравнений Навье — Стокса.
Сложность решения уравнений Навье—Стокса, в том числе и
численного, заключается в том, что они обладают свойствами
эллиптических уравнений по пространственным координатам так же, как
и уравнения Эйлера для невязкого дозвукового течения. Это означает,
что возмущения от любой точки потока или границы могут
распространяться во всех направлениях: вниз по потоку, вверх по потоку,
поперек потока. Однако по времени уравнения Навье—Стокса обладают
свойствами параболических уравнений: на решение влияет только
предыстория развития потока по времени, а будущее развитие потока
по времени не влияет на решение в данное мгновение. Поэтому часто
для решения уравнений Навье—Стокса используется метод
установления. Этот метод заключается в следующем: для решения задачи
о некотором стационарном течении, описываемом уравнениями Навье —
Стокса с заданными граничными условиями, задается начальное поле
течения и решается нестационарная задача для уравнений Навье —
Стокса с теми же граничными условиями. Нестационарная задача
решается до того момента времени, когда решение по времени
перестанет изменяться в пределах заданной точности. Полученное
решение принимается за решение стационарной задачи. Такой метод
применим, если стационарное решение существует и оно единственное,
что может не всегда выполняться, так как эти уравнения нелинейные.
Численное решение уравнений Навье — Стокса осложняется также
тем, что эти уравнения нелинейные. Эту трудность обычно обходят
путем линеаризации уравнений и применения итераций. При решении
уравнений Навье — Стокса методом установления, продвигаясь по
времени шаг за шагом, используют наиболее простой метод линеаризации
уравнений — перенесение решения с предыдущего шага по времени
297

на последующий или экстраполяцию решения по двум предыдущим
шагам. Тогда на новом шаге по времени решение становится
известным приближенно и все коэффициенты уравнений Навье — Стокса
могут быть приближенно вычислены—уравнения становятся
линейными, и для их решения может быть использован любой подходящий
метод, например один из вариантов метода прогонки. После того,
как получено новое решение на этом шаге по времени, коэффициенты
уравнений могут быть снова вычислены и решение повторено. Такие
итерации проводятся до тех пор, пока не сойдутся для данного
момента времени.
Есть еще трудности в решении уравнений Навье — Стокса. Часто
надо решить задачу обтекания тела безграничным потоком, а численное
решение уравнений Навье — Стокса мы ищем обычно в ограниченной
счетной области, и на границах счетной области надо поставить
физически правильные граничные условия таким образом, чтобы
достаточно точно смоделировать обтекание тела безграничным
потоком. Аналогичная задача возникает при экспериментальном
определении характеристик летательного аппарата в аэродинамической трубе,
размеры которой ограничены. Можно попытаться решить задачу
обтекания тел в неограниченной области путем введения новых
переменных по пространству типа
£=1-—I—; г| = 1-7-Ц-. (13.28)
Ъ (1+*)"' ' (\+уУ v }
Тогда для п = 1 получим:
при х = 0 у = 0, £ = 0, л = 0;
при х=\ у=\, £, = 0,5, г| = 0,5;
при х=оо у=оэ, £=1, Г| = 1.
Однако применение этих переменных приводит к появлению очень
больших шагов по пространству на границах области (х, >>) и к
соответствующей потере точности решения. Чаще решение ищется в
ограниченной области, и важно на этих расположенных на конечном
расстоянии границах правильно поставить граничные условия.
Рассмотрим, например, обтекание кругового цилиндра бесконечным
потоком. Выделим некоторый контрольный объем ABCD (рис. 13.5).
Возможна постановка следующих граничных условий. Можно
считать, что контрольный объем A BCD очень большой по сравнению
с диаметром цилиндра. На всех границах можно пренебрегать
влиянием цилиндра на течение и в качестве краевого условия поставить
условие существования невозмущенного потока, как это было сделано
Стоксом при аналитическом решении задачи об обтекании шара.
Однако при численном решении задачи в ограниченной счетной
области заранее допускается погрешность в определении интеграла
количества движения по всей области.
Проинтегрировав уравнение количества движения для выделенного
объема при этих граничных условиях, получим, что изменения
количества движения нет, т. е. цилиндр в вязком потоке сопротивления
не имеет. Это неверно. Относительная погрешность расчета
сопротивления цилиндра будет тем меньше, чем меньше отношение силы
сопротивления цилиндра к количеству движения втекающей в
контрольный объем жидкости. Чтобы уменьшить это отношение, надо
отодвигать границы области дальше от цилиндра на такое расстояние,
298

A I X *П
Рис. 13.5. Контрольный объем ABCD
около цилиндра
Рис. 13.6. Схема к задаче о вязком
течении около решетки цилиндров
при котором изменение силы сопротивления цилиндра станет меньше
заданной малой величины.
Можно поставить граничные условия другим способом.
Рассмотрим решетку цилиндров и на границах ВС и AD поставим условие
симметрии (рис. 13.6), т. е.
1, = 0; df/dy = 09 (13.29)
где /=и, р, Т.
При увеличении расстояния h между цилиндрами уменьшается
его влияние на картину обтекания. При h -> оо получим обтекание
цилиндра бесконечным потоком.
Можно ввести аналогию с экспериментом в аэродинамической
трубе — поместить цилиндр в канал с твердыми стенками; на
соответствующих границах счетной области поставим условие прилипания.
Как и в аэродинамической трубе, стенки канала должны быть
расположены достаточно далеко от модели, чтобы их влияние мало
сказывалось на результатах решения.
На выходе из контрольного объема на границе CD также надо
поставить граничные условия. Часто используется «мягкое» условие
d2f/dx2 = 0, (13.30)
где f=u, v, р, Т.
Это условие означает, что вблизи границы CD функции /
изменяются линейно. Граничные условия такого типа можно применять,
когда решение вблизи границы гладкое, граница не пересекается
крутыми волнами сжатия и контактными разрывами.
В качестве граничных условий могут быть также использованы
более сложные уравнения, например уравнения Эйлера или парабо-
лизованные уравнения Навье — Стокса.
В настоящее время существуют задачи, решенные численно
с использованием полной системы уравнений Навье — Стокса.
Большинство задач решалось методом установления. В частности решались
следующие задачи:
1) о вязкой нерасчетной струе, истекающей в затопленное
пространство или в спутный поток;
2) о вязкой струе, истекающей в вакуум;
3) об обтекании шара или цилиндра вязким газом при разных
значениях числа Маха;
299

4) об обтекании выпуклого угла сверхзвуковым потоком
вязкого газа;
5) о свободноконвективном течении жидкости в баке,
подогреваемом снизу или сбоку;
6) о вязком течении между двумя вращающимися цилиндрами;
7) о трехмерном дозвуковом вязком нестационарном течении
в плоском или круглом канале и др.
С использованием полной системы уравнений Навье — Стокса
решено не так уж много задач. Появление более быстродействующих ЭВМ
с большей оперативной памятью повышает возможности численного
решения задач аэрогидромеханики с использованием полной системы
уравнений Навье — Стокса. В качестве примера рассмотрим результаты
численного решения задачи об истечении вязкого газа в вакуум.
§ 13.5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИСТЕЧЕНИИ
ВЯЗКОГО ГАЗА ИЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КАНАЛА В ВАКУУМ
Задача об истечении струи вязкого газа в вакуум имеет
практическое значение и давно привлекает внимание исследователей.
Эта задача в точной и приближенной постановках решается в рамках
модели невязкого течения газа. В этом случае при истечении невязкого
газа из цилиндрического канала в вакуум скорость потока газа
в выходном сечении достигает скорости звука и равна скорости звука
во всей цилиндрической части канала, включая выходное сечение.
Расчеты струи газа, истекающей из цилиндрического канала в вакуум,
выполнили методом характеристик В. Л. Жохов и А. А. Хомутский,
Э. А. Ашратов и др. Разработаны также приближенные методы расчета.
Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными
показало, что в приосевой части струи совпадение хорошее, а в
периферийной, где сказывается влияние пограничного слоя, наросшего на стенках
цилиндра,—гораздо хуже. Совместный расчет двумерных осесиммет-
ричных вязких течений* газа в цилиндрическом канале и в струе
в рамках полной системы уравнений Навье—Стокса позволяет добиться
улучшения совпадения результатов расчетов и экспериментов.
Рассмотрим истечение струи вязкого газа из цилиндрического
канала в вакуум в присутствии ограничивающей плоской поверхности,
проходящей через выходное сечение канала (рис. 13.7). Задача решается
численно с использованием полной системы уравнений Навье — Стокса.
Разработанная модель течения позволяет учесть воздействие внешней
среды, в которую происходит истечение, на структуру потока в
выходном сечении канала, а также влияние дозвуковой части пограничного
слоя в канале на поле течения струи. Схема изучаемой области
показана на рис. 13.7. Она включает в себя канал длиной L от
входного сечения О А до выходного сечения В В', а также часть
внешней среды, ограниченную более широким цилиндром B'BCDE.
Физическая картина течения в достаточно длинном канале,
открытом к вакууму, может быть представлена следующим образом:
при движении вязкого газа вдоль внутренней поверхности канала
нарастает пограничный слой 5, что приводит к уменьшению
эффективного проходного сечения, оттеснению линий тока к оси и разгону
дозвукового потока. Со стороны выходного сечения канала из области
низкого давления по пограничному слою против потока
распространяются возмущения, которые ведут к снижению давления вблизи
зоо

О В1 F" Е
Рис. 13.7. Линии M=const в вязком течении внутри канала, открытого в вакуум при
ReKD = 200; Г„=1; L=10
выходного сечения канала и препятствуют нарастанию пограничного
слоя. Начиная с некоторого сечения по мере приближения к выходному
срезу канала профиль скорости наполняется, и эффективное проходное
сечение канала увеличивается. Линии тока в канале образуют сопло
типа сопла Лаваля с жидким контуром, при этом внутри канала
скорость потока достигает скорости звука и затем становится
сверхзвуковой.
Неравномерный поток, сформированный в канале, а также
пограничный слой, нарастающий за кромкой канала вдоль поверхности
ВС, определяют свойства струи, особенно в ее периферийной части.
Из-за взаимного влияния течений в канале и в струе эти течения
необходимо рассчитывать совместно.
Систему уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа запишем
в безразмерном виде в цилиндрической системе координат:
dt dx dy \дх у dy I
du du du / 1Х I е др де \ 1
dt дх ду v ' \р дх дх) Rep
+
1 д
У Ъу
W
ди
Ту
У
dv . dv dv / ,ч
—+w —+v —+(y-1)
dt дх ду v '
dv
1
e dp de ,
p дх ду J Rep
4 d_
3 ~dx
d_[yv)
dy
"d
du
dx
+
+
_4_ d_
Ту Ту
dv\ . d
WTy) + Tx
du
Ту
2 d
~3 Ту
*aixi-=r
7
dv
2 d
3 V dy
(13.31)
de . de de , ^
dt dx dy v '
du 1 d[yv)
dx у dy
1
Rep
+
d ( de\ 1 д
dx \ dx) у dy
de
+
du 1 5 и
5.x jh dy
^ +
301

Здесь х—координата, направленная вдоль оси канала; у—координата,
направленная по нормали к оси х; t—время; и — составляющая
скорости вдоль оси х; v—составляющая скорости вдоль оси у; р —
плотность; е—внутренняя энергия; ц—динамическая вязкость;
у—отношение удельных теплоемкостей; Re—число Рейнольдса; Рг—число Пранд-
тля. К записанной системе уравнений следует добавить зависимость
динамической вязкости от температуры. При образовании безразмерных
переменных геометрические величины отнесены к радиусу канала, а
параметры потока — к критическим параметрам во входном сечении канала.
Примем, что на входе в канал сформирован однородный поток
с прямоугольным профилем скорости. Для определения
газодинамических параметров во входном сечении используем равенство расходов
во входном и выходном сечениях, которое должно выполняться
в стационарном случае, а также заданные значения полной энергии
и энтропии. Таким образом, на границе О А при х = 0 запишем
следующие краевые условия:
и2 _м*2_1_ . е — е*
(13.32)
j puydy\x=0 = i Puydy\x=L.
о о
Здесь звездочкой обозначены критические величины параметров
во входном сечении канала. (В качестве критических используются
параметры изоэнтропического потока в точке, где скорость равна
скорости звука.) На поверхности канала А В задаются условия
прилипания потока и температура Tw. Примем, что у стенки течение
близко к слоистому и плотность на стенке определим из условия
нулевого градиента давления по нормали к твердой поверхности:
(dp/dn)w = 0. (13.33)
На оси ОЕ используем условия симметрии течения
vtob^te ( }
ду ду ду v J
По условию задачи на верхней и правой границах CD и DE
имеет место вытекание газа из рассматриваемой области, что позволяет
использовать здесь условия «свободного вытекания»
3 = 0, ft = {u9v,p9e}, (13.35)
on
где п — нормаль к соответствующей поверхности.
При расчетах используем следующие граничные условия вдоль
поверхности ВС:
а) условия прилипания потока
uw = vw = 0, Tw = const, (dp/dx)x=L = 0; (13.36)
б) условия отсутствия теплообмена и трения на стенке
ww = 0, — = — = — = 0; (13.37)
дх ох ох
в) условия скольжения потока в разреженном газе.
302

В качестве начальных условий в канале О ABB' зададим
равномерный звуковой поток, а во внешней среде — распределение параметров,
соответствующее течению от источника.
Исходную систему дифференциальных уравнений (13.31)
аппроксимируем с помощью неявной разностной схемы метода расщепления,
предложенной В. М. Ковеня и др. [23]. Область интегрирования
покрывается прямоугольной неравномерной разностной сеткой. С
помощью логарифмического сгущения можно уменьшать шаги
разностной сетки около стенки канала и вблизи его выходного сечения.
Методические исследования показали, что в окрестности кромки
выходного сечения канала проявляются погрешности аппроксимации,
влияющие на распределение газодинамических параметров в
периферийной части струи. С целью исключения погрешности аппроксимации
около угловой точки и получения более точного численного решения
поставленная задача решается в три этапа.
На первом этапе рассчитывается течение газа в канале, открытом
в вакуум, и в некоторой части внешней среды за выходным сечением.
При этом движение газа в канале рассчитывается на подробной
разностной сетке, а во внешней среде—на грубой.
На втором этапе проводится уточнение газодинамических
параметров вблизи кромки выходного сечения канала во внешней среде (на
поверхности FF' (см. рис. 13.7)) путем выделения этой малой области
и проведения в ней специальных расчетов поворота на 90° вязкого
потока, сформированного в канале. Расчеты ведутся с использованием
полной системы уравнений Навье — Стокса тем же методом.
На третьем этапе распределения газодинамических параметров
вдоль поверхностей FF' и FF" используются как граничные условия
для расчета поля течения струи. В расчетах разностная сетка содержит
до 3760 узлов.
Типичная картина течения газа в канале для случая L=10
(L—отношение длины канала к его радиусу), Re = 200, Tw=\, у =1,4, полученная
расчетным путем, представлена на рис. 13.7. Особенностями течения
являются наличие звуковой поверхности, втянутой внутрь канала, скорость
потока практически по всему выходному сечению сверхзвуковая, за
исключением небольшой кольцевой области вблизи кромки выходного
сечения. Число Маха на оси выходного сечения составляет примерно
1,3. Во внутренней области течения между границей пограничного слоя
и осью симметрии в канале изомахи при М<1 практически
перпендикулярны продольной оси, а в пограничном слое за счет торможения
потока они сходятся к кромке выходного сечения. Внешняя граница
пограничного слоя максимально приближается к оси симметрии в
окрестности точки пересечения звуковой поверхности с осью симметрии.
Давление практически постоянно в поперечных сечениях в средней
части канала. В сечении, где на оси канала достигается скорость
звука, появляется поперечный градиент давления. На стенке давление
становится меньше, чем на оси. По мере продвижения к выходному
сечению перепад давлений между осью и стенкой растет и достигает
около 30% значения давления на выходе из канала.
В зависимости от параметра L/Re реализуются различные режимы
течения в канале. В п. 13.2.3 показано, что безразмерный градиент
давления dcPld^ в течении Пуазейля в цилиндрическом канале бесконечной
длины— постоянная величина (здесь £ = (x/Z))/Re). В работе [73] и др.
показано, что при одинаковых условиях на входе в канал конечной длины
303

0,5 0,75 1,0 1,25 М О 0,6 1,0 и
Рис. 13.8. Профили чисел Маха в вязком Рис. 13.9. Профили скорости в вязком
течении внутри цилиндрического канала: течении внутри цилиндрического канала:
L=10; L = 0,5 расчет; О, х, А—эксперимент
распределение параметров в нем также зависит от координаты £.
Проведенные расчеты свидетельствуют, что для случая истечения газа в
вакуум параметр такого типа также может служить параметром подобия
течения газа для достаточно длинных каналов. Характерные распределения
числа Маха в выходном сечении канала при L=10, соответствующие
различным значениям параметра L/Re, приведены на рис. 13.8. Если
пограничный слой заполняет весь канал, распределение числа Маха в
выходном сечении близко к параболическому (кривая L/Re=0,5 на рис. 13.8).
В выходном сечении максимальная скорость в этом случае
достигается на оси, и число Маха примерно равно единице.
Уменьшение параметра L/Re от 0,5 до 0,06.. .0,07 приводит
к увеличению числа Маха на оси канала. Характер распределения
числа Маха сохраняется, однако профиль скорости становится более
наполненным. При этом максимальное число Маха на оси достаточно
длинного канала составляет 1,35 и реализуется при значениях параметра
L/Re = 0,06...0,07 (кривая L/Re = 0,06 на рис. 13.8). Этот режим течения
характеризуется началом смыкания внешних границ пограничного слоя
вблизи выходного сечения канала. Дальнейшее уменьшение параметра
L/Re<0,06 приводит к немонотонному распределению числа Маха
в выходном сечении. Максимальное по сечению число М достигается
в периферийной части потока (кривая L/Re = 0,002 на рис. 13.8).
Расчеты показали, что при малых длинах каналов распределение
числа Маха в выходном сечении при постоянном значении параметра
L/Re зависит не только его значения, но и от длины канала. Из
расчетов следует, что наибольшее влияние длины канала на
распределение газодинамических параметров в выходном сечении канала
проявляется при L<2.
Постановка задачи при численном исследовании близка к условиям
эксперимента [73], однако имеются следующие отличия. В
эксперименте входной участок канала выполнен в виде плавного изгиба, что
дает возможность сформировать на входе в канал безотрывной поток,
в котором, однако, существует пограничный слой. Сопоставление
расчетных и экспериментальных распределений скорости в поперечных
сечениях канала при L=10, Re = 492, rw=l,23 приведено на рис. 13.9.
Для полученных выше характеристик распределений
газодинамических параметров на срезе канала проведено исследование поля
течения струи, истекающей в вакуум. Размеры расчетного поля вдоль
координат х и у соответственно составляли 20 и 25 радиусов канала.
На рис. 13.10 показаны изомахи в струе, истекающей из канала
при значении параметра L/Re = 0,002 и при Re = 5000. Расчеты проведены
с использованием условий скольжения вдоль поверхности ВС и условий
304

7(Г
W
10~5\
10
-6
к
к
\
ч
^
TKJ
\2
О 5 10 х
Рис. 13.10. Линии М = const в вязкой
струе, истекающей из цилиндрического
канала в вакуум при L/Re = 0,002; Re = 5000:
прилипание, скольжение; —• —
невязкий газ
ю
20 у/га
Рис. 13.11. Распределение безразмерного
давления pw вдоль поверхности, примыкающей
к выходному сечению цилиндрического
канала при L/Re = 0,0002; Re = 5000:
расчет; Л — эксперимент
прилипания и для невязкого потока. В результате воздействия
пограничного слоя, нарастающего за угловой кромкой выходного сечения
канала вдоль поверхности ВС, линии равных чисел Маха в периферийной
части струи не приходят на поверхность ВС, а расходятся под
некоторым углом от нее. Учет условий скольжения потока существенно
сказывается на положении линии М= const. Течение в периферийной
части струи характеризуется быстрым уменьшением плотности при
удалении от среза канала в плоскости его выходного сечения, что
соответственно уменьшает местное число Рейнольдса и приводит
к быстрому росту толщины пограничного слоя.
Струя, истекающая из канала в полупространство, оказывает
силовое воздействие на ограниченную плоскость, проходящую через его
выходное сечение. Распределение давления, полученное в расчетах для
струи, истекающей из канала при L=10, Re = 5000 и различных
граничных условиях вдоль поверхности ВС, приведено на рис. 13.11. Кривая 1
получена при использовании условий прилипания потока; 2—для
случая отсутствия трения и теплообмена, а 3—с учетом условий скольжения.
В непосредственной близости от среза канала давление на стенке
более чем на порядок превышает давление, полученное по теории
Прандтля — Майера для звукового потока в выходном сечении канала,
а уровень давления, полученный в настоящих расчетах с учетом
влияния сил вязкости, значительно выше, чем по теории невязкого течения
(кривая 4). Анализ результатов расчетов, проведенных с учетом
эффекта скольжения, показывает, что при Re = 5000 имеет место скачок
скорости на поверхности ВС в области 1,5<^<10, величина которого
составляет до 15%, т. е. течение соответствует режиму скольжения.
При ^>15 скачок скорости на поверхности превышает 15%, что
позволяет отнести эту область к переходному режиму течения.
Результаты расчетов, проведенных с использованием условий
скольжения на поверхности ВС, достаточно хорошо согласуются с
экспериментальными данными работы [29], приведенными на рис. 13.11.
305

ГЛАВА 14. ТЕОРИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
§ 14.1. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ в вязкой жидкости
И ЕГО СВОЙСТВА
Рассмотрим вязкое течение около хорошо обтекаемого тела,
например пластины, при больших числах Рейнольдса (рис. 14.1).
Опыты показывают, что влияние вязкости на течение в таких случаях
сосредоточено в тонком слое вблизи стенки, который называют
пограничным слоем. Наибольшее влияние вязкость оказывает на течение
непосредственно у самой обтекаемой поверхности. С ростом расстояния
от стенки влияние вязкости уменьшается и на некотором расстоянии
становится пренебрежимо малым. Вне пограничного слоя течение
мало отличается от невязкого.
Рассмотрим, как влияет вязкость на поле скоростей около
пластины. На пластину набегает невозмущенный поток с однородным
распределением скорости. На самой пластине всюду выполняется
условие прилипания и(х, 0) = v(x, 0) = 0. По мере увеличения расстояния
от поверхности скорость потока увеличивается и на некотором
расстоянии становится почти равной скорости невозмущенного
невязкого потока Ue. За толщину пограничного слоя 5 условимся принимать
такое расстояние от стенки у, на котором скорость потока на 1%
отличается от скорости невозмущенного невязкого потока Ue, т. е.
Ь=у, где u = 0,99Ue.
Пограничный слой теУ тоньше, чем меньше динамическая вязкость
ц или чем больше число Рейнольдса Rex = pUex/[i. Касательное
напряжение трения на стенке, определяемое законом трения Ньютона
ди\
(14.1)
может быть очень большим, так как с уменьшением вязкости
jj. уменьшается толщина пограничного слоя 5, следовательно,
увеличивается градиент скорости поперек пограничного слоя (du/dy)w~Ue/b
и касательное напряжение xw остается большим.
Вне пограничного слоя поперечный градиент скорости гораздо
меньше, чем внутри него, и величина т в этой области мала.
Поэтому для теоретического исследования течения жидкости с малой
вязкостью можно разбить все поле
течения на две области: 1) область
тонкого пограничного слоя вблизи
стенки, где силы инерции соизмеримы
с силами трения и их следует
учитывать; 2) область вне пограничного
слоя, в которой силами трения
вследствие их малости по сравнению с
силами инерции можно пренебречь
\\\\\\\\\\\\^\Ч\\\\\\\\\
Рис. 14.1. Пограничный слой на пла
стине
306

(Vfi
с
(
Рис. 14.2. Отрывное
течение около цилиндра
и применить уравнения, полученные для
невязких течений. В этом случае задачу расчета
обтекания тела вязкой жидкостью при больших
числах Рейнольдса можно решать в два этапа.
На первом этапе принимаем, что пограничный
слой бесконечно тонкий и область невязкого
течения распространяется вплоть до обтекаемой
поверхности. Тогда можно рассчитать
распределение давления на обтекаемой поверхности
и поле давления в потоке методами теории
невязких течений. На втором этапе
рассчитываем вязкое течение в тонком пограничном слое
около поверхности с рассчитанным на первом этапе распределением
давления. Оказалось, что уравнения движения вязкой жидкости
в тонком пограничном слое можно сильно упростить. Эту идею
выдвинул Людвиг Прандтль в 1904 году, и она оказалась чрезвычайно
плодотворной. С ее помощью было решено большое число важных
для практики задач. Уравнения движения вязкой жидкости для тонкого
пограничного слоя носят название уравнений Прандтля.
Разделение течения на две области (область невязкого течения
и пограничный слой) возможно не во всех случаях. При отрыве
потока от обтекаемой поверхности влияние вязкости сказывается на
течении и вне пограничного слоя, а вблизи поверхности возникает
возвратное течение. Такие явления наблюдаются при обтекании многих
тел, например при обтекании цилиндра (рис. 14.2). Уравнения
пограничного слоя Прандтля применимы только в области присоединенного
течения вплоть до точки отрыва. Теория пограничного слоя описана
в книгах [50, 58, 98] и др.
§ 14.2. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
То обстоятельство, что при больших числах. Рейнольдса
силы вязкости существенным образом влияют на течение только
в тонком пристеночном пограничном слое, позволило Прандтлю
упростить уравнения Навье—Стокса для случая больших чисел
Рейнольдса и вывести новые уравнения для этого тонкого слоя. Следуя
Прандтлю, при выводе уравнений пограничного слоя будем считать,
что его толщина 8 мала по сравнению с некоторой характерной
длиной L обтекаемого тела, т. е. 5<cL. Рассмотрим теперь уравнения
Навье—Стокса для плоского несжимаемого течения. В прямоугольной
декартовой системе координат в размерной форме они имеют вид
ди , ди , ди
dp
дх
+ й
д2и д^и
д^1 др
dv dv , dv dp , / d2v , d2v
p¥, + puVx+pvFy=-8-y+n^+
dy dy
dx dy
dy:
(14.2)
Перепишем уравнения Навье — Стокса в безразмерной форме.
Для этого все скорости отнесем к характерной скорости V. Масштаб
307

скорости У выберем так, чтобы отношение и/У имело порядок
единицы: u/V~\. Все длины отнесем к характерному линейному
размеру L, который выберем так, чтобы безразмерная производная
продольной составляющей скорости по продольной координате имела
порядок единицы: д(и/У)/д(х/Ь)~1. Давление р приведем к
безразмерному виду, разделив его на рК2, а время / разделим на L/V.
Полученные безразмерные величины обозначим для простоты теми
же буквами. Безразмерные уравнения Навье — Стокса примут вид
1118 1/5 82 1 1/52
dv , dv , dv dp , 1 / d2v , d2v\ /1 . ..
■ 7,+иТх+%=-Ту+кА^+^)' (l4-4)
5 l 6 55/6 52 5 5/52
^+^ = 0. (14.5)
дх ду
Здесь Re = pKL/|a. В качестве граничного условия используем условие
прилипания uw = vw = 0 при ^ = 0 и условие стремления скорости на
внешней границе пограничного слоя к скорости невязкого течения:
u-+Ue при у-+оо. Введем безразмерную толщину пограничного слоя
b/L и обозначим ее той же буквой 5, причем примем, что 5<к1.
Оценим порядок величин отдельных членов системы уравнений
Навье — Стокса с целью выделения главных членов и отбросим
малые. Начнем с уравнения неразрывности (14.5). Масштаб L выбран
так, чтобы величина безразмерной производной ди/дх имела порядок
единицы, т. е. ди/дх~\.\ Следовательно,
1. На стенке vw = 0,
(ve — vw)~ve. Величина
—
kl
вне пограничного слоя v = ve, значит, Av
у изменяется от 0 до 5, поэтому А^^б. Следовательно, dv/dy^ve/b~l,
т.е. v~ve~8<ас 1 внутри пограничного слоя. Будем считать, что
рассматриваются только такие случаи нестационарного течения, когда
ди ди л dv dv ~ гт,
~и—~\ и _^м_~5. Теперь оценим производные скорости, вхо-
dt дх dt дх
дящие в систему уравнений Навье — Стокса, учитывая, что
безразмерная скорость течения на внешней границе пограничного слоя
порядка единицы:
dv
Ту
ди Дм 1 ди 1
ду Ау 5 дх
д2и ^ Аи ^ 1 д2и
ty2~Ap~d2' &?~ '
Av 5 . d2v Av 5
1
~5
Члены уравнений, зависящие от вязкости, входят в систему
уравнений с малым множителем 1/Re. Однако вблизи стенки их
значения должны быть того же порядка, что и инерциальные члены
308

ди 1 д2и t д2и\ „
уравнении и — I—^Н—- 1. Если учесть только порядки величин,
то 1~—(1+—). Так как 1/82»1, то —^«—4 и член уравнения
Re у Ь2) ' дх2 ду2 JV
(14.3) с величиной (д2и/дх2) можно отбросить. Тогда 52~1/Re или
8~1/Re. Все члены второго уравнения системы уравнений Навье —
Стокса, соответствующего проекции уравнения количества движения
на ось у, имеют порядок, не превышающий 5. Отсюда следует, что
поперечный градиент давления также имеет порядок 5, или ~ ~ — ~ 5,
ду о
т. е. Ар~Ь2. Разность давлений поперек пограничного слоя очень
мала, и в пределах принятых оценок членов уравнения давление
поперек пограничного слоя можно считать постоянным и равным
давлению в невязком потоке на внешней границе пограничного слоя.
Градиент давления поперек пограничного слоя можно принять равным
нулю: др/ду = 0.
Таким образом, давление в пограничном слое определяется
внешним невязким течением, и его следует рассматривать как функцию,
заранее известную из расчета невязкого течения и зависящую только
от продольной координаты х и времени /. Однако величина
продольного градиента давления dpjdx не может быть произвольной
величиной. Из оценок порядка членов первого уравнения системы
уравнений Навье-Стокса (14.3) следует, что все они не превышают
единицу. Следовательно, порядок безразмерного градиента давления
тоже не должен превосходить единицу: др/дх~1. Иначе говоря,
порядок величины безразмерного продольного градиента давления
должен быть таким же, как у члена уравнения пограничного слоя,
др 1 д2и „ ,
зависящего от вязкости: — ~ или в размерной форме
дх Re ду
Иначе это соотношение можно записать так:
др д2и тт ,~2
дх *ду:
г=(др/дх)Ь* (146)
Если Г по порядку величин превосходит единицу, то уравнения
пограничного слоя теряют физический смысл и их нельзя применять
для расчета вязкого течения около стенки. Эксперименты показывают,
что в этом случае обычно имеет место отрыв пограничного слоя.
Отрывное вязкое течение следует описывать полной системой
уравнений Навье — Стокса. Следовательно, величину Г можно использовать
как критерий отрыва ламинарного пограничного слоя.
Рассмотрим течение на внешней границе пограничного слоя. В этой
области продольная составляющая скорости асимптотически стремится
к скорости внешнего невязкого течения: u->Ue при j^-юо. Давление
внутри пограничного слоя такое же, как в невязком стационарном
потоке на внешней границе пограничного слоя. В невязком потоке
течение вдоль обтекаемой стенки описывается уравнением Бернулли
и2
р + р—1=const
г 2
309

или соотношением
dx р dx
Для определения распределения давления р=р(х) в пограничном
слое можно использовать уравнение Бернулли для линии тока
невязкого течения, совпадающей со стенкой. Это течение
рассчитывается заранее, до решения задачи о вязком пограничном слое.
Итак, после упрощения системы уравнений Навье — Стокса для
случая течения в тонком вязком пристеночном пограничном слое
получим систему безразмерных уравнений
ди ди ди _ dp 1 д2и щ
~di ~дх ~ду~~Тх Re dp'
ди dv _ ~
дх ду
(14.7)
или в размерном виде
ди , ди , ди 1 dp , д2и
— + U — + V — = — -f + v — \
ot дх ду р dx ду
ди dv _ ~
дх ду
(14.8)
с размерными граничными условиями прилипания на стенке
uw = vw = 0 при ^ = 0 (14.9)
и асимптотическим граничным условием
u-+Ue при у-+со. (14.10)
Система уравнений (14.8) с граничными условиями (14.9), (14.10)
называется системой уравнений Прандтля для пограничного слоя. Для
стационарного течения система уравнений пограничного слоя
существенно проще исходной системы уравнений Навье — Стокса и имеет вид
ди t ди ТТ dUe , д2и
UT + VT=Ueir + VT!>
дх ду дх ду"
dJL+t=0.
дх ду
(14.11)
В этом случае, во-первых, одно из уравнений Навье — Стокса,
соответствующее проекции количества движения на ось ;;, полностью
отпало. Функция распределения давления р—р{х) внутри пограничного
слоя считается заданной, известной из расчета невязкого течения.
Во-вторых, в уравнении, соответствующем проекции количества
движения на ось х, исчез член с д2и/дх2 и в соответствии с этим изменился
тип уравнения. Если система уравнений Навье — Стокса обладает
свойствами уравнений эллиптического типа и для нее должны быть
поставлены граничные условия на всех границах по пространству,
то система уравнений пограничного слоя обладает свойствами
уравнений параболического типа и для нее не надо ставить граничное
310

условие в конце обтекаемой поверхности. Эта система допускает
получение решения шаг за шагом в направлении х маршевым
методом. Если известно решение в некотором сечении х0, то можно
построить решение в соседнем сечении х1=х0 + Ах, затем в сечении
х2 = х1+Ах и т. д.
Можно оценить область применимости уравнений пограничного
слоя по числам Рейнольдса исходя из предположения, что в тонком
пограничном слое его толщина много меньше характерной длины
обтекаемой поверхности, т.е. 8«L или 8«1. Выше при выводе
уравнений пограничного слоя и оценке их членов было показано,
что S/L^l/^/Re. Если принять, что Ь=у в точке, где u = 0,99Ue, то
из экспериментальных данных и точных решений уравнений
пограничного слоя несжимаемой жидкости на теплоизолированной поверхности
следует
5_
Z"
(14.12)
Будем считать, что уравнениями пограничного слоя можно
пользоваться, если 5/L<0,l. В этом случае толщина пограничного
слоя на порядок меньше длины обтекаемой поверхности. В
соответствии с уравнением (14.12) значению величины 5/L = 0,l соответствует
значение числа Рейнольдса ReL = 2,5-103. При числах Рейнольдса
больших, чем 103, теория пограничного слоя вполне применима
в случае безотрывного течения.
Из уравнения (14.12) следует, что §~^JL ^/v. Поскольку длина
пластины произвольна, то это соотношение справедливо и для части
пластины, находящейся на расстоянии х от передней кромки, т. е.
Ь~^/х. Оценка области применимости уравнений пограничного слоя
по числам Рейнольдса является также и оценкой области применимости
уравнений Эйлера для невязкого течения вне тонкого пограничного
слоя. Действительно, при числах Re>103 влияние вязкости
сосредоточено в тонком пристеночном слое толщиной 5, а вне этого
слоя течение практически невязкое. При меньших числах Рейнольдса
размер области вязкого течения около тела соизмерим с характерным
размером обтекаемого тела, и уравнения Эйлера не могут быть
применимы.
§ 14.3. О ХАРАКТЕРЕ ВЛИЯНИЯ ЧИСЛА РЕЙНОЛЬДСА
НА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
форме
Рассмотрим уравнения пограничного слоя в безразмерной
ди , ды тт dUe , 1 д2и
и — + v — = Ue—-Н г;
дх ду dx Re ду
дх ду
(14.13)
с граничными условиями ww = t;w = 0 при ^ = 0 и u-+Ue при у-+со.
При заданном распределении скорости невязкого течения вдоль
обтекаемой стенки Ue(x) развитие пограничного слоя зависит только
311

от одного параметра — числа Рейнольдса Re=£/00L/v. В отличие от
уравнений Навье — Стокса уравнения пограничного слоя можно
привести к виду, который не зависит от числа Рейнольдса. Введем
переменные у'^у^/кё и v' = v^/Re и подставим их в уравнения
пограничного слоя (14.13). Получим уравнения
ди , , ди тт d(Je , д2и
дх ду ах ду
дх ду'
(14.14)
с граничными условиями uw = w'w = 0 при у' = 0 и u->Ue при у'->со.
Теперь в систему уравнений (14.14) число Рейнольдса не входит.
Решение системы уравнений (14.14) не зависит от числа Re.
Изменение числа Рейнольдса приводит только к растяжению поперечной
координаты и изменению поперечной скорости пропорционально
1/^/Re. Иначе говоря, для заданного тела с заданным распределением
скорости невязкого течения вдоль обтекаемой поверхности
безразмерные составляющие скорости и и и' являются функциями только
безразмерных координат х и у' и не зависят от числа Рейнольдса
в явной форме.
Рассмотрим, например, поперечное обтекание цилиндра. При
больших значениях числа Re точка отрыва ламинарного пограничного
слоя расположена при значении угловой координаты фотр»81...82°
(измеренной от передней критической точки) и ее положение не
зависит от числа Рейнольдса даже при Re-юо (если пограничный
слой остается ламинарным). При средних и малых числах Рейнольдса
(Re<103) положение точки отрыва зависит от числа Рейнольдса.
При таких значениях числа Re уравнения пограничного слоя не-
пременимы, и введение^ преобразование переменных не
учитывает полностью влияние числа Рейнольдса на течение. При Re<103
течение следует описывать полной системой уравнений Навье —
Стокса.
§ 14.4. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В систему уравнений Навье — Стокса входит уравнение
энергии, которое для установившегося плоского течения может быть
записано в следующей форме:
?4M^h°kl+T+i)-*
д \ . , 4 и2 , v2 . ,
ди 2 dv
ду 3 о у
д / 1 . и2 4 v2 \ . dv 2 ди
РдДРг 2 32/ ^ ду Ъ^ ду
= 0, (14.15)
т
где Рг = цСрД—число Прандтля; i=\CpdT—энтальпия газа. Если
о
Ср = const, то i=CpT. Если принять, что толщина теплового
пограничного слоя много меньше характерного продольного размера
обтекаемого тела, то уравнение энергии (14.15) можно упростить так же,
312

как это было сделано с уравнениями движения при выводе уравнений
пограничного слоя. В результате получим уравнение энергии для
пограничного слоя
Введем энтальпию торможения i0 = i+u2/2. Тогда уравнение
(14.16) можно преобразовать к следующему виду:
p^+p^ = l^^V^^fl-^U^Y (14.17)
р дх к ду ду\Рт dyj ду\\ PrJdy\2jJ v J
Для воздуха при температуре —50...300° С число Рг = 0,71...0,72.
Если число Рг принять равным единице, то уравнение энергии
будет иметь вид
d/'o . di0 д ( di0 \ ,Л , * оч
puyx+pvTy=yy{^)- (14Л8)
В такой форме уравнение энергии совпадает с уравнением энергии
для малых скоростей движения, только вместо энтальпии использована
энтальпия торможения.
В случае течения смеси газов к системе уравнений пограничного
слоя надо добавить уравнения диффузии компонентов смеси газов.
Если смесь состоит из двух газов, то уравнение диффузии можно
записать так:
(14.19)
Ci+C2=l.
Здесь сг и с2 — соответственно значения массовой концентрации 1-го
и 2-го компонентов смеси; D12—коэффициент диффузии.
§ 14.5. ПОДОБИЕ ПОЛЕЙ СКОРОСТИ,
ЭНТАЛЬПИИ ТОРМОЖЕНИЯ И КОНЦЕНТРАЦИИ
Система уравнений пограничного слоя имеет вид
ди , ди д ( ди\ dp
ри—\-pv—=— |i— ——;
дх ду ду \ ду I dx
pW^+pt;^=lfii^VA^fl-iUfc^; (14.20)
Р дх V ду ду\?т ду) ду\~\ Pr J ду\2 J J' v J
дс , дс д ( 11 дс
ри—\-pv — = — \
дх г ду dy\Scdy
дри дру_^
дх ду
Если числа Прандтля и Шмидта равны единице (Pr = [iCp/\=l
и Sc = |i/(pZ>)=l), то уравнения энергии и диффузии совпадают
с точностью до обозначений. Если рассматривается обтекание плоской
313

пластины, то продольный градиент давления равен нулю (dp/dx = 0)
и система уравнений пограничного слоя принимает вид
ди , ди д ( ди
г дх г ду дууду
(14.21)
di0 di0 д ( di0
дс , дс д I дс\
puTx+pvey^yyiYy)'
дри dpv_Q
дх ду
Уравнения для продольной составляющей скорости и, энтальпии
торможения /0 и концентрации с совпадают с точностью до
обозначений. Поперечные распределения этих величин зависят также и от
граничных условий. На стенке (при у = 0) uw = 0, c = cw, i0 = iw. На
внешней границе пограничного слоя (при у = о) u=Ue, /о = *ое> с = се.
Введем новую переменную, связанную с локальным значением
толщины пограничного слоя, г\=у/Б. Профили скорости, энтальпии
торможения и концентрации могут быть представлены в виде
Л(л)«£; Mn)=Pf;
Тогда при изменении величины г\ от 0 до 1 функции /ь /2, /3 будут
изменяться также от 0 до 1. Если уравнения, описывающие профили
скорости, энтальпии торможения и концентрации, совпадают с
точностью до обозначений и граничные условия совпадают, то и профили
этих величин в новых переменных должны быть подобными:
u_=i0-iw = c-cw^ (14.22)
Подобие профилей скорости, энтальпии торможения и
концентрации имеет место при Pr = Sc=l и dp/dx = 0 и объясняется подобием
физических процессов переноса количества движения, энергии и
вещества поперек пограничного слоя.
§ 14.6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТРЕНИЕМ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Напряжение трения на стенке определяется законом Ньютона
iw = [i(du/dy)w, а тепловой поток — законом Фурье qyv= —X(dT/dy)w.
Если Рг = 1, то из подобия профилей скорости и энтальпии торможения
в пограничном слое на пластине следует подобие профилей скорости
и температуры торможения:
и T0 — Tw _,
— при Ср = const.
ие T0e-Tw
314

На стенке скорость потока uw = 0, и при Рг=1 температура торможения
на стенке равна температуре стенки: TQw—Tw. Если профили скорости
и температуры торможения в пограничном слое подобны, то трение
и тепловые потоки на стенке также связаны между собой. После
некоторых преобразований для xw и qw с учетом подобия профилей
скорости и температуры торможения можно получить cfw = 2Stw, где
Stw = qw/(peUeCp(T0e—Tw)) — число Стантона, определяющее
безразмерную величину теплового потока на поверхности обтекаемой стенки,
a cfw = 2xw/(peUl) — безразмерный коэффициент поверхностного трения.
Для расчета тепловых потоков на поверхности пластины
используется число Нуссельта Nuw = ax/A,w, где a—коэффициент
теплоотдачи, связанный с тепловым потоком соотношением qw = oi(T0e—Tw);
х—расстояние от передней кромки пластины; Xw—коэффициент
теплопроводности газа при температуре стенки. Тогда уравнение
связи между безразмерными коэффициентами трения и тепловых
потоков можно переписать так:
4 = c/wRew/Nuw = 2 при Рг=1. (14.23)
Последнее соотношение носит название параметра аналогии Рей-
нольдса между трением и теплопередачей в ламинарном пограничном
слое на пластине при Рг=1.
§ 14.7. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Уравнения пограничного слоя представляют собой систему
нелинейных уравнений в частных производных и не имеют
аналитического решения. Наиболее общим методом решения этих уравнений
является численный метод с использованием ЭВМ. Чаще всего для
этого используются конечно-разностные методы. Кроме того, в
некоторых случаях система уравнений пограничного слоя может быть
сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Это
так называемые подобные решения уравнений пограничного слоя.
Они играют большую роль в анализе свойств пограничного слоя
и при построении приближенных методов расчетов. Для решения
инженерных задач часто используют приближенные методы расчета
пограничного слоя с применением интегрального уравнения количества
движения.
В настоящее время для решения уравнений пограничного слоя
широко используются численные конечно-разностные методы. Часто
применяют неявные разностные схемы и метод прогонки [70]. Задача
ставится следующим образом. Система уравнений для двумерного
течения пограничного слоя в несжимаемой жидкости имеет вид
ди ди 1ф , д2и
Uir+VT=—:r+v^>
дх ду р ах dyz
дх ду
с граничными условиями u = v = 0 при у = 0 и u^Ue при у-юо.
В сечении х0 должен быть задан профиль продольной составляющей
и{хо,у)- Профиль вертикальной составляющей скорости v(x0i у)
в начальном сечении х0 может быть найден следующим образом. Из
(14.24)
(14.25)
315

уравнения неразрывности (14.25) найдем — = — —. Подставив это
ох оу
выражение в уравнение движения (14.24), получим
dv , ди 1 dp , д2и ,л л Л,ч
-и- +v- = - - -f + v— . (14.26)
о у о у р dx oyz
Если в сечении х0 известен профиль величины и (у) = а1(у), то,
следовательно, известны и профили величин — =а2(у\ = Яз>
оу v ' р dx
Тогда уравнение (14.26) принимает вид обыкновенного
дифференциального уравнения относительно вертикальной составляющей скорости
в сечении х = х0:
ал \-a2v — a-x-\-aA. (14.27)
dy
Решив численно это обыкновенное дифференциальное уравнение, можно
найти профиль v(y) в сечении х0. Теперь задача состоит в том,
чтобы найти решение в сечении х1=х0-\-Ах.
Уравнение (14.24) перепишем в обобщенной форме:
af+b^l(df)+e. (14.28)
дх о у оу \ оу J
В случае, когда рассматривается уравнение пограничного слоя
в несжимаемой жидкости, входящие в него величины будут
соответственно
f—u, а = ц, b = v, d=v, е= — (dp/dx)/p.
В такой же форме могут быть представлены уравнения
пограничного слоя в сжимаемой жидкости, уравнение энергии, уравнение
диффузии.
Введем в плоскости х, у прямоугольную сетку х — х0-\-пАх
и у — тАу, где га = 0, 1, 2, 3, ...; и = 0, 1, 2, 3, ....
Рассмотрим численный метод решения задачи о пограничном
слое конечно-разностным методом с использованием неявной
шеститочечной разностной схемы (типа схемы Крэнка — Никольсона).
Шаблон этой разностной схемы показан на рис. 14.3.
Значения функции / в точке га, п обозначим /JJ,. Введем
вспомогательную сетку с полуцелыми точками.
. Дифференциальное уравнение пограничного слоя
-\-ф—/77 +1 аппроксимируется в точке л+1/2, га, обозначен-
-т-
т+ 1/2 ной звездочкой на рис. 14.3.
_L?!ll ^ _1/7 В полуцелых точках будем вычислять ко-
^~ / эффициенты
п+1/2 ип+Ц2 ^п еп+1/2
п+' Производные, входящие в дифференциальное
Рис. 14.3. Разностная схе- уравнение (11.28), аппроксимируем следующими
ма (5=0,5) разностными соотношениями:
316
п \п+1

л
\
У_ ..л
ъ.
Г4 т
п
п+1
т+1
т-1
Рис. 14.4. Разностная схема (s = 0)
-т+1
т-1
п+1
Рис. 14.5. Разностная схема (s=\)
дх
^Г1/2(Л+1-Л)/Ах;
by ~ 2А>-
[S{f»m++\-f"mt\) + {\-S) {Гт+1-Я-1)]',
(14.29)
~ Г Л" +1 / Л» + 1 /*»» + 1 \
1-5г
""ж- 1/2 \fm ~f m-l) J+ -rxL^"i+l/2(./ !n+l — /m) —
A>-2
-rfl-i/2(/i-/i-i)];^=^+1/2.
Здесь принято, что
яГ1/2~(аГ»+<+1)/2; Л-+1/2*(*Ь+6"+1)/2;
e"m+1/2~(e^+e"„,+ 1)/2; rf"m+-\/2« (^+-\ + C+J)/2; (14.30)
"ш+1/2^("Гл +"w+i)/2; «Ui+i/2^ ("m + "I!i+i)/2;
rfi-i/2*№ + «.-i)/2.
В общем случае коэффициенты а, 6, d, е являются функциями
решения /. В сечении с номером п решение fn известно, а в сечении
я+1 решение fn + 1 неизвестно. Уравнение (14.28) в общем случае
является нелинейным уравнением. Чтобы с помощью
конечно-разностного метода свести это дифференциальное уравнение к системе
линейных алгебраических уравнений, уравнение (14.28) надо сначала
линеаризовать. Для этого нужно приближенно вычислить
коэффициенты я, b, d, е в сечении и+1. Это можно сделать методом
последовательных приближений. Если шаг Ах мал, то в первом
приближении можно принять, что /£,+ 1~/m> и вычислить все
коэффициенты в сечении и+1. Можно также в первом приближении
вычислить коэффициенты я, b, d, е в сечении хп + 1, используя линейную
экстраполяцию значений этих коэффициентов по их значениям в
сечениях хп-х и хп. Поскольку теперь все функции a, b, d, е на п+\
слое и соответственно на промежуточном слое известны, то это
означает, что уравнение (14.28) линеаризовано.
В разностные соотношения (14.29) входит величина S—весовая
функция. Величина S может меняться от 0 до 1. Если »S=0, то мы
имеем дело с явной четырехточечной разностной схемой первого
порядка по х с шаблоном, изображенным на рис. 14.4. При S=\
получаем неявную четырехточечную разностную схему первого порядка
по х с шаблоном, приведенным на рис. 14.5. Если 5=0,5, то мы
имеем дело с неявной шеститочечной схемой второго порядка по
х (типа схемы Крэнка—Николсона) с шаблоном, показанным на
317

рис. 14.3. Чисто неявная схема с 5=1 более устойчива по отношению
к ошибкам счета и имеет меньше ограничений на шаг в продольном
направлении Ах, однако она имеет первый порядок аппроксимации
по х. Разностная схема с 5=0,5 имеет второй порядок аппроксимации
в направлении х, но в некоторых случаях во время счета по этой
схеме наблюдается немонотонное решение. Чтобы повысить качество
решения, иногда вводят весовую функцию 5=0,7 так, что схема
становится ближе к чисто неявной и имеет порядок аппроксимации
между первым и вторым.
Подставим разностные соотношения (14.29) в дифференциальное
уравнение (14.28). В этом уравнении неизвестными функциями будут
функции/J,+1i,/m + 1,/!Jl-1i. Сгруппируем коэффициенты при неизвестных
функциях и получим систему линейных алгебраических уравнений
следующего вида:
-Amf^\+Bmn+1-Cmfnmt\=Dm9 (14.31)
где индекс т изменяется от 0 до М. Значение га = 0 соответствует
условиям течения на обтекаемой поверхности, а значение М равно
числу узлов разностной сетки. Параметры потока с индексом М
соответствуют параметрам потока на внешней границе пограничного слоя
и известны из расчета невязкого течения. Коэффициенты Ат, Вт, Ст,
Dm зависят только от решения на предыдущем слое п, коэффициентов
дифференциального уравнения (14.28) и шагов разностной сетки Ах и Лу:
(jn + i ип+ц:
"ш+1/2 От
„и+1/2 ///" + 1 Ип+1 \
D ат | О/ ат+1/2 , "m-1/2 \ .
. / lh+1/2 jn+1 \
c-5(w+^j; (14-32)
-П+1/2/-И [
Dm = e"m+1'2+^-^-(l-S)\
un+l/2 Jn
°m I rn rn \ "m+1/2 I rn
~2д^ (J m+l—J m-l) др~и«+1"
-fm) + д^/2 (fm-fm- l)j-
Матрица коэффициентов этой системы линейных алгебраических
уравнений имеет трехдиагональный вид. Для решения систем линейных
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей разработан
эффективный метод прогонки, который является частным случаем
более общего метода Гаусса. При использовании метода прогонки
для решения этой системы производится значительно меньше
арифметических операций, чем при использовании метода Гаусса.
В методе прогонки принимается, что существует связь
Л+1=^иЛ++11+/г», (14.33)
которая называется прогоночным соотношением, а коэффициенты
Ет и Fm называются прогоночными коэффициентами. С помощью
прогоночного соотношения (14.33) можно исключить из уравнения
(14.31) неизвестную величину fm-i'.
318

/л + 1 гр гп + 1 | 17
т-1—^m-lj т 1~гт-1'
Тогда
~ ^т/т +1 + Bmfm ~ Ст\Ет _ ifm + Гт _ ! ) = 2)ш.
Разрешим это уравнение относительно неизвестной /J,+ 1:
/71+1 Am /71+1 | Ап+^т^ж-! П/1 Q/П
Сравним уравнение (11.34) с прогоночным соотношением (14.33)
и получим рекуррентные соотношения для прогоночных коэффицентов
Ет=в Ас\ ; Fm=DBm+CcFE~l■ (1435)
^т — ^т^т-1 ^т—^т^т-1
С помощью этих соотношений можно выразить прогоночные
коэффициенты в узле с индексом т через прогоночные коэффициенты
в предыдущем узле с индексом т— 1. Из граничного условия
на стенке в узле с индексом т = 0 известно /о+1. В частности,
если рассматривается уравнение пограничного слоя для продольной
составляющей скорости w, то на стенке при у = 09 т = 0 величина
fo+1=uo = 0. В этом случае прогоночное соотношение на стенке
имеет вид fo+1=E0fn1+1+E0 и может быть справедливым при
т = 0 только в случае Eo = Fo = 0, так как величина f\+1 заранее
неизвестна и в общем случае /\+1ф0.
По значениям величин Е0 и F0 в узле с индексом т = 0 можно
с помощью рекуррентных соотношений (14.35) последовательно
вычислить прогоночные коэффициенты Ет и Fm в узлах с индексами т от
1 до М— 1. Этот процесс называется прямой прогонкой. В узле
с индексом М решение /Ц,4"* известно из верхнего граничного условия.
В случае, когда рассматривается уравнение пограничного слоя для
продольной составляющей скорости и величина uM=Ue, т. е. скорости
невязкого течения на внешней границе пограничного слоя. С помощью
прогоночного соотношения (14.33) можно последовательно найти
решение в предпоследнем узле т = М— 1 и во всех других узлах
сетки, вплоть до обтекаемой поверхности:
/л +1 17 /"я+1 I J7 • /71+1 J7 /71+1 | 17
M-1—^M-lJ М -Г-ГМ-Ь JM-2 — ^М-2/м-1~Г^М-2>
Этот процесс называется обратной прогонкой. Таким образом, в
первом приближении найдено решение на п+\ слое.
После того как определены все значения функции /= м, поперечную
составляющую скорости можно вычислить из уравнения неразрывности
(14.25), которое заменим разностным уравнением
tCV/2 = iC+1/MA>VA^ 04.36)
В узле т = 0 поперечная составляющая скорости Vq+1/2 = 0 в
соответствии с граничным условием на стенке при j; = 0. С помощью
уравнения (14.36) можно последовательно вычислить иЦ,+ 1/2 во всех
узлах с индексами от т—\ до т — М на полуцелом слое я+1/2.
Теперь можно сделать следующее приближение. Зная решение
на и-И слое, с помощью уравнений (14.30) снова вычислим
коэффициенты a, b, d, е и повторим решение. Такие последовательные
приближения, или итерации, надо повторять до тех пор, пока
319

изменение решения на п+\ слое не станет по абсолютной величине
меньше заданной погрешности s. Существуют и другие разностные
методы решения уравнений пограничного слоя.
§ 14.8. ПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Уравнения двумерного пограничного слоя зависят от двух
геометрических переменных х и у и записываются в частных
производных по этим переменным. Большой практический и
теоретический интерес представляет определение условий, при которых
можно перейти от решения уравнений пограничного слоя в частных
производных к решению обыкновенных дифференциальных уравнений,
зависящих от одной переменной. Это возможно, если существуют
такие течения, когда решение уравнений пограничного слоя зависит
не от двух переменных х и у, а от одной, являющейся комбинацией
этих переменных, например у/х. Действительно, существуют так
называемые подобные решения, в которых профили скорости в
различных сечениях отличаются только масштабом растяжения значения
скорости и и поперечной координаты у, а форма профиля скорости
остается неизменной в безразмерных координатах, например в
координатах u/Ue и у/Ъ, где Ue=Ue (х) — скорость невязкого течения
на внешней границе пограничного слоя, а 5 = 5 (х) — толщина
пограничного слоя. Если существуют такие течения пограничного слоя,
в которых профили скорости в новых безразмерных координатах
в любом сечении по х описываются единой кривой, то можно
ожидать, что для таких течений уравнения пограничного слоя в частных
производных сводятся к обыкновенному дифференциальному
уравнению. Определим такие течения.
Используем систему уравнений (14.12) для двумерного
стационарного пограничного $слоя несжимаемой жидкости в размерных
переменных. Введем функцию тока \|/ таким образом, чтобы
выполнялись соотношения
«-£; р—?. 04.37)
ду дх
Теперь уравнение неразрывности тождественно удовлетворяется,
а уравнение пограничного слоя принимает вид
Зф д^__д^ д2ф dUe д3\|/
ду дхду дх ду2 dx ду
иу V у с/усу тт и^е , V Ч* (ЛЛ ооч
Зф 5\|/ л л дФ тт
с граничными условиями —i = _l = o при у = 0 и —->Ue при у->со.
Введение функции тока позволяет свести систему уравнений
пограничного слоя к одному уравнению третьего порядка в частных
производных. Это уравнение следует привести к безразмерному виду.
Введем постоянные масштабы: L — характерная длина, например длина
обтекаемой пластины; U^ — характерная скорость, например скорость
невозмущенного набегающего потока. Введем число Рейнольдса
Re = U^L/v. От размерных переменных х и у перейдем к безразмерным
переменным
320

* L' W
Если используется поперечная координата rj^^^/Re, то уравнения
пограничного слоя не зависят от числа Рейнольдса. Решение уравнений
пограничного слоя в этих переменных также не зависит от числа
Рейнольдса, а влияние этого числа на пограничный слой сводится к его
жатию или растяжению пропорционально 1/^/Re. Тогда можно
записать выражение для толщины пограничного слоя 5(x)~g(x)L/N/Re,
где g(x)— заранее неизвестная безразмерная функция от х,
определенная с точностью до коэффициента пропорциональности. Функция
тока имеет размерность объемного расхода. Приведем ее к
безразмерному виду следующим образом:
ф=/($, ^UnLgMly/Re, (14.39)
где /(£, ц) — безразмерная функция тока, зависящая от новых
безразмерных координат ^ и т|. Если выражение для функции тока
(14.39) подставить в уравнение пограничного слоя (14.38), то получим
дифференциальное уравнение в частных производных относительно
безразмерной функции тока
/"4a//" + p(l-/'2)=^g2(/'^-/"|), (14.40)
где f = dfldr\; Г = д2/}дт\2; f'" = d3/Jdr\3.
Через аир обозначены следующие функции от х:
Величины аир зависят только от х и не зависят от г).
Граничные условия принимают вид /=/' = 0 при г| = 0 и /' -> 1 при
г|-*оо. Уравнение (14.40) является еще одной формой записи уравнений
пограничного слоя в частных производных.
Обычно в теории пограничного слоя распределение скорости
невязкого течения вдоль обтекаемой поверхности считается заранее
известным и ставится задача расчета течения в пограничном слое
около стенки. Чтобы найти условия, при которых уравнения
пограничного слоя в частных производных сводятся к обыкновенному
дифференциальному уравнению, надо решить обратную задачу: из анализа
уравнений пограничного слоя найти такое распределение скорости
невязкого течения вдоль обтекаемой поверхности, чтобы решение
уравнения пограничного слоя зависело только от поперечной
координаты г) и не зависело от продольной координаты £) = x/L, т. е.
чтобы решение было автомодельным. Надо также найти такие невязкие
течения около обтекаемого тела, которые давали бы нужные
распределения скорости вдоль обтекаемой поверхности. Предположим,
что подобные решения существуют. Это означает, что функция
/ в этом случае зависит только от г] и не зависит от £, правая
часть уравнения пограничного слоя (14.10) обращается в нуль, а в левой
части уравнения единственными допустимыми функциями а(х) и Р(х)
11 Зак 150
321

будут функции а = const и (3 = const. Тогда все члены этого уравнения
будут зависеть только от г\9 и оно примет вид обыкновенного
дифференциального уравнения
Г' + а#'' + Р(1-/'2) = 0. (14.43)
Для решения поставленной обратной задачи надо найти вид функций
Ue/Uao = q>(x) и g=g(x).
Для этого используем два обыкновенных дифференциальных уравнения
(14.41), (14.42), которые можно совместно проинтегрировать по х.
После интегрирования получим
(UJU^g^ila-tyix/L), (14.44)
(UJU„y-* = Kg\ (14.45)
где К—постоянная интегрирования. Для определения функций UJU^
и g(x) решим два алгебраических уравнения (14.44) и (14.45), получим
C/e/f/00 = ^2/(2a-P)[(2a-(3)(jc/L)]P/(2a-P), (14.46)
g = J(2v-$){xlL){UeIU„)-*i\ (14.47)
Рассмотрим случай, когда 2а — Рт^О. Учитывая, что функция g(x)
введена с точностью до числового значения коэффициента
пропорциональности, не ограничивая общности решения, примем
а= + 1. Кроме того, обозначим т = Р/(2 —(3) или Р = 2га/(т+1). Тогда
запишем
Un \\+т LJ
Учитывая, что К= const, т = const, £/«,= const, L = const, получим
I Ue=Cxm, (14.48)
где С=const.
Для распределения скорости вдоль обтекаемой стенки (14.48)
возможны подобные решения уравнений пограничного слоя и замена
системы дифференциальных уравнений пограничного слоя в частных
производных обыкновенным дифференциальным уравнением
/'"+#" +р(1-/'2) = 0. (14.49)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение было выведено
в 1931 г. В. М. Фокнером и Сильвией Скэн [98] и носит их имя.
Решение этого уравнения зависит только от одной переменной г|.
Если использовать выражение (14.47) для функции g(x) и подставить
его в выражение для г|, то получим
г|=- /Re,^-, где Rex = ^.
х\] 2 v
Решения уравнения (14.49) называются автомодельными или
подобными решениями уравнений пограничного слоя. Это означает, что
в любой точке обтекаемой поверхности профиль скорости в
переменных f' = u/Ue и г] описывается одной и той же кривой. Например,
если пограничный слой на обтекаемой поверхности описывается
322

подобным решением и известно, что в одной
из точек по х имеет место отрыв пограничного
слоя, то это означает, что в любой точке
обтекаемой поверхности профиль скорости
соответствует отрывному.
В природе существуют невязкие
несжимаемые течения, в которых распределение скорости
на обтекаемой поверхности описывается
формулой (1448). Это обтекание клина с углом Рис 146 Клиновое тече.
раствора ря невязким несжимаемым однород- ние
ным потоком (рис. 14.6). Поэтому подобные
решения для Ue = Cxm иногда называют «клиновыми решениями».
Особый интерес представляет предельный случай обтекания клина
нулевого угла раствора (р = 0), т. е. случай обтекания пластины. Тогда
т = 0. Течение пограничного слоя около пластины описывается
уравнением
/"'+#" = О, (14.50)
а поперечная координата г|—формулой
Второй интересный случай—это обтекание клина с углом раствора
я, т.е. поперечное обтекание пластины при Р = т = 1. Распределение
скорости около критической точки поперечно обтекаемой пластины
описывается формулой Ue = Cx, а течение в пограничном слое —
уравнением
7"'+#" + (1-/'2) = 0. (14.52)
Кроме «клиновых решений» существуют и другие подобные решения
уравнений пограничного слоя.
Рассмотрим методы решения уравнения (14.49) со следующими
граничными условиями: /=/' = 0 при г|=0 и f'-*l при г|-юо.
Решение уравнения (14.49) с заданными граничными условиями
имеет некоторые особенности. Во-первых, это уравнение нелинейное:
перед величиной f" во втором члене уравнения стоит коэффициент
/, зависящий от решения уравнения, поэтому его не удается решить
известными аналитическими методами и приходится решать численно.
Во-вторых, эта задача краевая: при г|=0 заданы два граничных
условия и одно условие при rj-юо, область решения полу бесконечная.
Для решения этого уравнения применялись различные методы.
Наиболее просто оно решается конечно-разностным методом с
использованием процедуры прогонки, описанной в § 14.7.
Метод прогонки разработан для решения линейных
дифференциальных уравнений второго порядка. Для того чтобы линеаризовать
уравнение (14.49), используется метод последовательных приближений.
Введем переменную u=f и для к + 1-го приближения заменим
уравнение (14.49) системой уравнений
wi'+i+/*4+i + P(l-wk"k + i) = 0, (14.53)
fk = ]ukdr\. (14.54)
11 о
323

Введем обозначение v = uk и в дальнейших преобразованиях
опустим нижние индексы с указанием номера приближения. Разбив
область интегрирования по переменной г\ на М отрезков с шагом
Аг|=/г и заменив входящие в уравнение производные разностными
аналогами со вторым порядком аппроксимации, получим
"l+1~2Ar""1-/<"'V"1+P(i-^)=o, (14-55)
где /—номер узла разностной сетки. Это уравнение можно представить
в обобщенной форме
-Aiui+i-\-Biui-Ciui-1=Di, (14.56)
где Л,= 1+/,Л/2; 2*, = 2 + pA2t;,; С,= 1-/,й/2; D{ = ^h\
Полубесконечную область интегрирования приближенно заменим
конечной. Верхнюю границу интегрирования зададим приближенно.
Примем, что в точке i=M выполняется верхнее граничное условие
UM=\. Затем систему линейных алгебраических уравнений (14.56)
можно решить методом прогонки, описанным в § 14.7. После этого
методом численного интегрирования по формуле трапеций или
Симпсона можно решить уравнение (14.54) и найти распределение
функции f(y\). Тогда (А:+1)-е приближение будет выполнено. Если
приближения не сошлись с заданной точностью, нужно перейти
к следующему приближению. Если приближения сходятся недостаточно
хорошо, то используется весовая функция. В уравнение (14.55) вместо
очередного приближения подставляется линейная комбинация двух
предыдущих приближений:
v = Suk + (\-S)uk-1. (14.57)
Величина S выбирается путем численных экспериментов в диапазоне
0<S<1.
В качестве примере рассмотрим приближенный расчет
пограничного слоя в критической точке при (3=1. Зададим положение верхней
границы пограничного слоя г\м = 4 и выберем шаг интегрирования
Ат| = /г=1. В качестве начального приближения (к = 0) примем, что
скорость во всех узлах равна скорости на внешней границе
пограничного слоя Ui=l. Проинтегрировав по г\ распределение скорости,
найдем, что в начальном приближении /* = г|г-. Вычислив коэффициенты
А, В, С, D, Е, F, выполним прямую прогонку. С помощью обратной
прогонки рассчитаем распределение скорости в первом приближении
(udk=i и> проинтегрировав численно это распределение, найдем
значения функции (/дк=1 в узлах сетки. Решение представлено
в табл. 14.1.
Таблица 14.1
i
0
1
2
3
4
fi-r\i
0
1
2
3
4
А
1,5
2,0
2,5
""
В
3
3
3
~~
с
0,5
0
-0,15
~"
Е
0
0,15
0,6666
0,75
_
F
0
0,3333
0,3333
0,25
~
"{
0
0,8333
1
1
1
В данном расчете D — 1 для всех /.
324

Используя разностную схему второго порядка аппроксимации,
находим производную скорости на обтекаемой поверхности
u'i=0 = 2{u1-u0)/h-(u2-u0)/(2h)= 1,1667. (14.58)
Точным решением этой задачи будет и[=0 = 1,2326. Отличие первого
приближения от точного решения составляет 5,7%. Если надо
уточнить решение, то следует уменьшить шаг h вдвое и повторить
расчеты. Если точность расчетов конечно-разностным методом с
использованием разностных схем второго порядка аппроксимации
недостаточна, то прибегают к методу «стрельбы». Краевая задача
заменяется задачей Коши, недостающее граничное условие при г| = 0
подбирается таким образом, чтобы граничное условие на верхней
границе удовлетворялось с заданной точностью, а уравнение Фок-
нера — Скэн интегрируют методом Рунге — Кутта высокого порядка
аппроксимации или другим подходящим методом. Для решения
уравнения (14.49) использовался также метод последовательных
приближений и др.
В силу относительной простоты решения задачи автомодельные
решения уравнений ламинарного пограничного слоя служат удобным
объектом изучения свойств пограничного слоя: влияния градиента
давления, сжимаемости, отрыва пограничного слоя. Наиболее
исследованным случаем течения является пограничный слой на плоской
поверхности.
§ 14.9. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ
Рассмотрим задачу обтекания вязким газом полубесконечной
пластины (см. рис. 14.1). На внешней границе пограничного слоя
скорость течения невязкого потока принимается постоянной и равной
скорости невозмущенного набегающего потока. Невязкое течение
около пластины принадлежит к классу клиновых течений Ue = Cxm,
где m = 0; P = 2m/(m+l) = 0. В этом случае уравнение Фокнера — Скэн
для пограничного слоя на плоской пластине принимает вид
/'"+#" = 0 (14.59)
с граничными условиями /=/' = 0 при rj = 0 и f'->\ при г|-юо. Эта
краевая задача для полубесконечной области может быть решена
методом прогонки, как это было сделано для случая пограничного
слоя в окрестности критической точки при Р = 1. Поскольку уравнение
(14.59) нелинейное, задача решается с использованием
последовательных приближений. Эта задача может быть решена и другими
численными методами. Впервые задача о пограничном слое на
полубесконечной пластине была решена Блазиусом в 1908 г. методом
разложения решения в ряды в окрестности обтекаемой стенки
и в окрестности внешней границы пограничного слоя. Окончательное
решение задачи находилось путем сопряжения полученных рядов
в промежуточной точке внутри пограничного слоя. Решение уравнения
пограничного слоя для случая обтекания полубесконечной пластины
представлено в табл. 14.2. На рис. 14.7 показан график распределения
продольной составляющей скорости поперек пограничного слоя.
325

Таблица 14.2
Л
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
и/U.
0
0,0939
0,1876
0,2806
0,3720
0,4606
0,5453
Л
1 м
1,6
1,8
.2,0
2,2
2,4
2,6
u/Ue
0,6244
0,6967
0,7610
0,8167
0,8633
0,9011
0,9306
Л
1 2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
u/U.
0,9529
0,9691
0,9804
0,9880
0,9929
0,9959
0,9978
Л
1 4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
u/Ue
0,99888
0,9994
0,9997
0,9999
0,9999
Рассмотрим особенности полученного решения. Из анализа
системы уравнений пограничного слоя (14.8) на стенке при у = 0, где
выполняются условия прилипания uw = vw = Q, следует соотношение
pdx V ty2Jw'
(14.60)
которое носит название первой контурной связи. Если уравнения
пограничного слоя продифференцировать по у, то на стенке будет
выполняться соотношение
=о,
(14.61)
которое называют второй контурной связью. На пластине dp/dx = 0,
и из уравнения для первой контурной связи следует (д2и/ду2)„ = 0.
Если разложить в ряд по степеням у продольную составляющую
скорости в пограничном слое и учесть, что на стенке uw = 0, то
получим
мг(ё)/+^(Р)/4+- •
Вблизи стенки форма профиля продольной составляющей скорости
в пограничном слое на плоской пластине почти линейная (см.
рис. 14.7). Это обстоятельство может быть использовано при
построении приближенных методов расчета пограничного слоя на плоской
пластине.
Рассмотрим, как выглядит профиль вертикальной составляющей
скорости в пограничном слое на плоской пластине. Из уравнения
неразрывности (14.8) следует dv/dy —
= —ди/дх. На стенке в силу условий
прилипания ww = 0 и (du/dx)w = 0.
Следовательно, на стенке (dv/dy)w = 0
и 1^ = 0. Таким образом, вблизи
обтекаемой стенки течение близко к
слоистому. На внешней границе
пограничного слоя Ue=U00 и (ди/дх)е = 0.
Следовательно, и (ди/ду)е = 0. Поскольку на
внешней и внутренней границах
пограничного слоя производные от
вертикальной составляющей скорости по
поперечной координате равны нулю, профиль
вертикальной составляющей скорости
S п
Рис. 14.7. Профили скорости в
ламинарном пограничном слое на
пластине
326

имеет S-образную форму (см. рис. 14.7). Вертикальную составляющую
скорости можно найти, зная решение уравнения (14.59):
На внешней границе пограничного слоя вертикальную составляющую
скорости находим численно из уравнения (14.62):
ve/Uoo=0,Z604/JUoox/v.
Напряжение трения на пластине xw = [i(du/dy)w. Производную
(du/dy)w можно выразить через производную /£:
ди\ _ d(u/Um) Uooy/lte_f„ Un /Re
tyJw d(>>/*),/Re/2 xjl x V 2 '
Величина /^ определяется из полученного численного решения
уравнения (14.59): /^ = 0,4695 = 0,332^2. Тогда xw = 0,332\iUO0^/nRQ/x.
Вычислим безразмерную величину местного коэффициента трения:
_ т„ _ 2 -0,332^1^ VRe_ 0,664
Cfw~^UlJ2 рйй J^e
Таким образом, вдоль пластины cfw изменяется пропорционально
1/-ч/х. При х-+0 величина c/w->oo. В окрестности х = 0 уравнения
пограничного слоя теряют физический смысл, так как толщина
пограничного слоя перестает быть малой величиной по сравнению
с длиной пластины х.
Полное сопротивление пластины
i
Х= Z? J xw dx,
о
где Ъ — ширина пластины.
Напряжение трения на стенке можно записать так:
_0,332цС/ос
где ^ = 0,332|1(7оолУ?7оо/у. Тогда
Х=ЪА\х-112йх = 2ЪА^~1.
о
Полный коэффициент сопротивления пластины
_ X _ Tbyfl- 0,332цU^JUjv _ 1,328
Cx~pUibl/2 pUibl/2 7r^
Это выражение называют законом сопротивления Блазиуса для пластины.
Отметим, что коэффициент полного сопротивления пластины равен
удвоенному коэффициенту местного трения в конце пластины. Несмотря
на то, что местное значение коэффициента трения cfw стремится
к бесконечности при х->0, полное сопротивление пластины имеет
конечное значение для любого значения /, отличного от нуля.
327

§ 14.10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТОЛЩИНЫ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
14.10.1. Толщина вытеснения
Поскольку скорость внутри пограничного слоя меньше, чем
в невязком течении, то расход в пристеночной области ниже, чем
в невязком потоке в том же сечении. В качестве меры уменьшения
расхода вводится толщина вытеснения 5*. Рассмотрим течение в
пограничном слое. Выделим контрольный объем (см. рис. 14.1). Тогда
можно записать соотношение для расхода
00 00 X
peUeb*=S peUedy-$ pudy = \pevedx, (14.63)
0 0 0
из которого определим толщину вытеснения
ОО X
О О
В несжимаемой жидкости (р = const) это соотношение упрощается:
'■-/ы*
(14.65)
Через левую границу контрольного объема втекает больше
жидкости, чем вытекает из него через правую границу. Избыток
жидкости вытекает из контрольного объема через его наружную
границу. Таким образом, под влиянием вязкости на внешней границе
пограничного слоя появляется вертикальная составляющая
скорости, которую можно определить, продифференцировав по х
уравнение (14.64):
d4-=V-. (14.66)
dx Ue V }
Запишем теперь уравнение для линии тока в стационарном плоском
течении
% = *-. (14.67)
ах и
Из уравнений (14.66) и (14.67) следует, что уравнение для толщины
вытеснения (14.64) описывает линию тока нового невязкого потока,
возникшего под воздействием пограничного слоя на внешний невязкий
поток, который за счет влияния вязкости «оттесняется» от обтекаемой
поверхности. Толщина вытеснения 5* может быть использована
в случае, если необходимо оценить степень воздействия пограничного
слоя на невязкий поток, например, если нужно вычислить истинное
число Маха сопла сверхзвуковой аэродинамической трубы. Можно
рассчитать контур сопла для заданного числа Маха без учета влияния
вязкости, затем рассчитать распределение толщины вытеснения Ь*(х)
вдоль контура сопла и расширить его на толщину вытеснения о*.
В этом случае истинное число Маха будет близко к заданному.
328

Чтобы вычислить 5* на пластине, умножим уравнение (14.65) на
(llx)y/ite/2:
Учтем, что f' = u/Ue; r\=(y/x)y/Re/2, и перепишем это выражение так:
5* /Re г
— / — = lim
х \ 2
л V *■ г|-юо
(l-f')dr]=lim(r]-f).
т\-+оо
Функция г\— f известна из решения задачи о пограничном слое на
плоской пластине. Следовательно, можно вычислить зависимость
г|—/=ф(г|). При г|>2 еще внутри пограничного слоя величина Л~/
практически достигает асимптотического значения, равного 1,72Лу2.
Следовательно,
67*=l,72/VRe-
Из уравнения (14.12) известно, что b/x = 5/y/Re. В случае
пограничного слоя несжимаемой жидкости на плоской пластине
5*^5/3.
14.10.2. Толщина потери импульса
Скорость движения жидкости внутри пограничного слоя
меньше, чем в невязком потоке вне пограничного слоя, и количество
движения соответственно меньше. Мерой этого уменьшения будет
толщина потери импульса д**, которая определяется соотношением
peU2eb** = ]pu(Ue-u)dy,
о
где ри — поток массы в пограничном слое; Ue — и—разница между
скоростью внешнего невязкого течения и скоростью внутри
пограничного слоя. Толщина потери импульса определяется соотношением
ои
l-*.)*-
о
Для несжимаемой жидкости (р = const)
»-fc'-£)*
о
Эта величина может быть вычислена так же, как и толщина
вытеснения 5*. Тогда для случая течения пограничного слоя
несжимаемой жидкости около пластины получим
5** _ 0,664
х yjfc'
329

В ламинарном пограничном слое несжимаемой жидкости толщина
потери импульса 5** составляет около 1/8 толщины пограничного
слоя 5. Толщина потери импульса характеризует интегральную
потерю количества движения на всем протяжении пластины от
сечения х = 0 до сечения х = / и связана с полным сопротивлением
трения пластины. При обтекании пластины потоком вязкой
несжимаемой жидкости коэффициент полного сопротивления трения
пластины равен удвоенному значению безразмерной толщины потери
импульса: сх = 2(Ь**/х).
§ 14.11. ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ И ТЕПЛООБМЕНА
НА ТЕЧЕНИЕ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В общем случае задача о влиянии сжимаемости и
теплообмена на течение ламинарного пограничного слоя решается
численно. Для этого можно использовать изложенный выше конечно-
разностный метод расчета. Однако для числа Прандтля Рг=1
и линейной зависимости вязкости от температуры существуют
способы замены переменных, с помощью которых уравнения
пограничного слоя для сжимаемого газа можно преобразовать к виду,
близкому к виду уравнений пограничного слоя для несжимаемой
жидкости. Такие преобразования координат были предложены
А. А. Дородницыным, К. Р. Иллингвортом, К. Стюартсоном.
Переменные Стюартсона имеют вид
Х=
\
с у
\iia-±dx; Y=^Udy;
/>о flo ао J Ро
0 (14.68)
C/=f2M; 5=^-1.
ае he
Большими буквами X, Y, U, S обозначены параметры в плоскости
преобразованного течения несжимаемой жидкости; маленькими
буквами—переменные в физической плоскости сжимаемого течения.
Зависимость вязкости от температуры опишем с помощью линейной
формулы Чепмена — Рубезина:
^ = \-, (14.69)
Цо *0
где А, — коэффициент пропорциональности. В этих формулах индекс
«е» относится к параметрам невязкого течения на границе
пограничного слоя, а индекс «О» — к параметрам торможения этого течения.
Параметры торможения постоянны во внешнем невязком потоке,
поэтому они используются в качестве характерных значений. В
определение переменных Стюартсона (14.68) входят следующие величины:
р—давление; а — скорость звука; р — плотность; и — скорость; /—
энтальпия; /0 — энтальпия торможения; х, у — продольная и поперечная
координаты в плоскости сжимаемого течения; X, Г, U—продольная
и поперечная координаты, а также скорость в плоскости
преобразованного течения несжимаемой жидкости; S—безразмерная функция
энтальпии торможения.
330

Запишем уравнения пограничного слоя для установившегося
двумерного течения сжимаемого газа:
уравнение неразрывности
^+^ = 0, (14.70)
дх ду
уравнение количества движения
ди t ди dp t д ( ди\ ,л . _1Л
риз-х+риУу=-Тх+Ту{^у)' (14Л1)
уравнение энергии
di , di dp д ( \i di\ , /ди\2 /1 л „ЛЧ
pu— + pv—=u—+— —— +H- — • (14.72)
P dx F dy dx dy\?rdyj ^\dyj v J
С помощью переменных Стюартсона можно преобразовать эти
уравнения к виду, близкому к виду уравнений пограничного слоя
для несжимаемой жидкости. Тогда, если принять, что число Прандтля
Рг=1, то получим уравнения
^+^=0, (14.73)
дХ dY к J
vdU du^ иди.н s\ + Vo^, (14.74)
dX dY e dXy } ° dY2' K J
UdA+V™ = v0^2 (14.75)
8X dV ° BY2 v J
(14.76)
с граничными условиями
U(X,0)=V(X90) = 0 при 7=0;
U-*Ue{X\ S^O при 7-»oo.
При наличии теплообмена на стенке задается величина
преобразованной энтальпии торможения:
S(X,0) = Sw при 7=0, (14.77)
Если поверхность теплоизолированная и тепловой поток к стенке
равен нулю, то задается условие
' dS
. =0 при 7=0. (14.78)
ду '
14.11.1. ПОДОБНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
СЖИМАЕМОГО ГАЗА
Наиболее удобно выяснить характер влияния сжимаемости
и теплообмена на течение ламинарного пограничного слоя для случая
подобных решений. Аналогично тому, как это было сделано для
пограничного слоя несжимаемой жидкости при отсутствии
теплообмена, для течения сжимаемого газа можно найти такие законы
распределения скорости во внешнем невязком потоке, для которых
331

уравнения пограничного слоя в частных производных удается свести
к обыкновенным дифференциальным уравнениям и решить их. Это
можно сделать, если распределение скорости во внешнем невязком
потоке задать в виде
^u=Ue = CXm (14.79)
и ввести новую автомодельную переменную
Тогда уравнения пограничного слоя в частных производных
преобразуются в обыкновенные дифференциальные уравнения:
/'"+#" = Р(/'2-1-£), (14.81)
Sn+fS' = 0. (14.82)
Здесь /—безразмерная функция тока; f'=U/Ue — безразмерная
скорость; f" = d(U/Ue)/dr) — безразмерная производная скорости; Р =
= 2/w/(m+l), где т—показатель степени в формуле (14.79) для
распределения скорости внешнего невязкого потока.
Случай 5=0 соответствует течению ламинарного пограничного
слоя около теплоизолированной поверхности. При S—0 система
уравнений (14.81), (14.82) совпадает с уравнением Фокнера — Скэн
(14.49) для несжимаемой жидкости. Граничные условия для системы
уравнений (14.81), (14.82) принимают вид
/(0) =/'(<>) = 0, S(0) = Sw при Л=0;
/'->1, S-+0 при г|-»оо.
Решение системы уравнений (14.81), (14.82) зависит от параметров
Р и Sw. Параметр р связан с показателем степени в формуле для
распределения скорости внешнего невязкого течения, который зависит
от параметров сжимаемого течения:
_ 1 due t0 1
ие dx te аере
aepedx. (14.83)
В работе К. Коэна и Е. Решотко, кратко изложенной в [98],
система уравнений (14.81), (14.82) решена методом последовательных
приближений на ЭВМ типа IBM-604 для различных комбинаций
параметров р и Sw. Сейчас задачи такого типа чаще всего решаются
либо с помощью метода прогонки, либо методом «стрельбы», когда
на стенке подбираются значения недостающих граничных условий
/^ и S'w. Решается задача Коши для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, вплоть до некоторого значения т|==г15>
которое принимается за внешнюю границу пограничного слоя. В этой
точке проверяется выполнение граничных условий /'=1, 5=0, которые
в точном решении должны выполняться при г| -> оо. Если эти условия
не выполняются, то задаются новые значения /^ и S'w и процедура
повторяется. В результате решения определяются зависимости /, /',
332

S от координаты г\. Переход к переменной у в физической плоскости
сжимаемого течения можно осуществить путем следующего
преобразования:
р0а0 /2 X
у = - / Vo—
peae\lm+\ Ue j
- dr\, (14.84)
О
гае i-(l + S(„))-CS/» С!-*™^.
Число Ce=Ue/Umax представляет собой отношение скорости потока
к максимальной скорости изоэнтропического истечения газа в вакуум.
При изменении числа Маха от нуля до бесконечности число
Се изменяется от 0 до 1. Профиль температуры в физической
плоскости определяется формулой
'_Л , Y-1 ЛД2 Vl_L ?\У~1 A/T2/V2
1 = М + L_L Ме2 1(1+5)-^ MJ/'2. (14.85)
Если принять, что г|5 = гЬ гДе /=0,99, то надо взять входящий
в формулу (14.84) интеграл в пределах от 0 до г\5.
В зависимости от параметров р и Sw можно выделить
следующие режимы течения. Если р<0, то течение замедленное
и решение неоднозначное. Одно решение соответствует
присоединенному течению в пограничном слое, а другое — отрывному
с областью возвратного течения в пристеночном слое. Значение
Р = 0 соответствует течению около плоской пластины с нулевым
продольным градиентом давления. При Р^О решение единственное,
течение присоединенное, ускоренное. Случай Р=1 соответствует
двумерному течению около критической точки. Значение Р = 2
соответствует случаю предельно ускоренного течения при w = oo в классе
подобных решений с распределением скорости в невязком потоке
типа Ue = CXm.
При изменении температурного фактора Sw возможны
следующие случаи течения. Значение Sw= — l соответствует течению
около предельно холодной стенки с температурой Tw = 0 К. Если
*SW<0, то поток обтекает относительно холодную стенку.
Значение Sw = 0 соответствует течению около теплоизолированной
поверхности. Если Sw>0, то поток обтекает относительно горячую
поверхность.
14.11.2. Пограничный слой сжимаемого газа
на полоской пластине
Изучение пограничного слоя на плоской поверхности играет
важную роль в теории пограничного слоя. Описанные выше подобные
решения позволяют выяснить характер влияния сжимаемости и
теплообмена на течение в ламинарном пограничном слое на плоской
пластине. При обтекании плоской пластины продольный градиент
давления равен нулю и Р = 0. В этом случае решение уравнения
(14.81) не зависит от 5 и совпадает с соответствующим решением
для несжимаемой жидкости. Решение для S при любых Sw также
известно, так как при Рг=1 и dp/dx = 0 имеет место подобие профилей
-=-. ззз

скорости и энтальпии торможения. Воспользовавшись уравнениями
(14.84), (14.85), можно перейти от плоскости X, Y для преобразованного
несжимаемого течения к физической плоскости х, у для течения
сжимаемого газа и выявить характер влияния числа Маха и
температурного фактора Sw на течение сжимаемого пограничного слоя
на плоской пластине. С помощью этих соотношений можно найти
зависимость толщины пограничного слоя 5 от Ме и Sw:
К
(14.86)
где К=[ \+у—М2е )(l+0,34334£,w-0,52448Ce2).
Таким образом, толщина пограничного слоя увеличивается
с ростом числа Маха примерно пропорционально М2 и линейно
растет с ростом Sw. На рис. 14.8 показано, как изменяются
профили скорости в пограничном слое с изменением числа Маха для
случая Sw = 0.
При больших числах Маха толщина пограничного слоя на
пластине существенно увеличивается, что приводит к изменению
области применимости классической теории пограничного слоя.
Под воздействием толщины вытеснения 5* внешний
сверхзвуковой поток фактически обтекает не плоскую, а выпуклую
криволинейную поверхность, и во внешнем невязком потоке перед
пластиной возникает ударная волна, которая вдали от пластины
постепенно ослабевает и вырождается в характеристическую
линию. За ударной волной вблизи пластины образуется слой
сжатого газа толщиной D. Внутри слоя сжатого газа за ударной
волной течение неоднородное. Классическая теория пограничного
слоя на плоской пластине применима только в том случае, если
отношение толщины прграничного слоя к толщине слоя сжатого
газа много меньше единицы: b/D «с 1. Толщину слоя сжатого газа
за относительно слабой ударной волной в сечении х можно оценить
так: Z)/x^tga~sina~l/Me, где ос—угол наклона ударной волны
вдали от поверхности. Толщину пограничного слоя в сжимаемом
газе при больших числах Маха на основании формулы (14.86)
можно оценить так:
и/(/о
0,6
0,2
\и=0/2/
J
1/
У
/,
/
V
Тогда - *
D
Если параметр x<^h то применима
классическая теория пограничного слоя.
Если % ~ 1, то надо учитывать
взаимодействие пограничного слоя с почти
невязким внешним потоком. Поскольку
параметр % сильно зависит от числа
Рис. 14.8. Влияние числа Маха на МаХа' Т0 ПРИ М^4 В0 МН0ГИХ случаях
профили скорости в пограничном следует учитывать вязко-невязкое вза-
слое на пластине при Sw = 0 ИМОДеЙСТВИе.
О
8
334

14.11.3. Влияние градиента давления и теплообмена
на течение ламинарного пограничного слоя
Расчеты показывают, что толщина пограничного слоя в
ускоренных потоках уменьшается с ростом параметра р при постоянном
значении параметра Sw.
Рассмотрим влияние связанного с градиентом давления параметра
Р на течение в пограничном слое. На рис. 14.9 показаны профили
скорости в пограничном слое на относительно холодной стенке при
£^=-0,8 для разных значений параметра р. В ускоренных течениях
при Р^О решение единственное и профили скорости незначительно
отличаются друг от друга. Это свойство профилей скорости в
ускоренных течениях используется в приближенном интегральном методе
расчета пограничного слоя — методе эффективной длины. В этом
методе принимается, что профили скорости в ускоренном пограничном
слое можно приближенно описать профилем скорости на плоской
пластине. В замедленных течениях при р<0 существуют два решения:
для безотрывного течения в пограничном слое и для отрывного
течения с обратными токами около обтекаемой поверхности. Кроме
того, есть одно единственное решение, при котором трение на стенке
xw равно нулю.
Профили величины S(r\), связанной с энтальпией торможения,
изображены на рис. 14.10 для разных значений параметра р при
постоянном значении величины £„,= —0,8. Профили величины S(r|)
монотонны для всех р. При Р^О решение однозначное, при Р<0
для замедленных течений существуют два решения: для отрывного
и безотрывного течений в пограничном слое. Представляет интерес
рассмотрение вопроса о подобии профилей скорости и энтальпии
торможения. На рис. 14.11 представлены графики зависимости S от
/' для разных Р при Sw=—0,8. Для пограничного слоя на плоской
пластине при Р = 0 имеет место линейная зависимость между S и /',
т. е. наблюдается подобие профилей скорости и энтальпии торможения.
При р>0 течение ускоренное, графики зависимости S от/' нелинейные
и полного подобия полей скорости и энтальпии торможения нет.
Однако при р>0 и Sw<0 графики функции S от /' не слишком
отклоняются от соответствующей зависимости для Р = 0, и в
приближенных инженерных методах расчета ускоренных течений
ламинарного пограничного слоя на холодных поверхностях иногда принимают,
Рис. 14.9. Профили скорости для подоб- Рис. 14.10. Профили параметра энтальпии
ных решений уравнения пограничного торможения S для подобных решений урав-
слоя: нений пограничного слоя:
*—существование двух решений * — существование двух решений
335

Рис. 14.11. Связь между полем скорости и полем
энтальпии торможения для подобных решений
уравнений пограничного слоя
Рис. 14.12. Зависимость величины/£ от параметра
р для подобных решений уравнений пограничного
слоя ° °>в 1fi Р
что поля скорости и энтальпии торможения подобны. В замедленных
течениях при Р<0 такого приближенного подобия нет, а зависимости
S от /' существенно нелинейные.
Согласно закону трения Ньютона напряжение трения на стенке
пропорционально поперечному градиенту скорости:
.. (ди\ ( д(и/ие)\ f„
На рис. 14.12 показаны графики зависимости безразмерного
поперечного градиента скорости /£, на обтекаемой поверхности
от параметра Р для нескольких значений Sw. На рис. 14.12
справа от вертикальной Ьси расположена область ускоренных
течений для Р^О, а слева — область замедленных течений для р<0.
В области замедленных течений при Р<0 существуют два решения:
выше горизонтальной оси расположена область присоединенных
безотрывных течений, а ниже этой оси — область отрывных течений
с обратными токами вблизи обтекаемой поверхности и
отрицательным значением силы трения на стенке. Для случая обтекания плоской
пластины при р = 0 и всех значениях Sw величина /'^ = 0,332^/2 =
= 0,4695. При Р<0 параметр Sw существенно влияет на /^.
В области ускоренных течений это влияние сильнее для горячих
поверхностей при Sw>0 и слабее для относительно холодных
поверхностей при Sw<0.
Влияние параметра Р на интенсивность теплообмена в ламинарном
пограничном слое удобно выразить в виде зависимости параметра
аналогии Рейнольдса (см. уравнение (14.23)): А = (cf Re/Nu)w =
= 2n/(-S'w/Sw) от В (рис. 14.13).
Здесь c/w = 2xvv/(pw U\) — коэффициент трения на обтекаемой
поверхности; Rew = pwUeX/[iw — число Рейнольдса; Nuw = OLX/'kw = (dT/dY)wx
xX/(T0—Tw) — число Нуссельта, где ос— коэффициент
теплоотдачи; Xw — коэффициент теплопроводности газа, обтекающего
поверхность. В случае обтекания плоской пластины при р = 0
параметр аналогии Рейнольдса А—2 для всех значений Sw. При Р^О
336

Рис. 14.13. Зависимость параметра аналогии
Рейнольдса А от величины р для подобных
решений уравнений пограничного слоя
параметр Sw существенно влияет на
параметр А.
Пограничный слой в основном
рассматривался на горизонтальной
поверхности. Если рассматривается
пограничный слой на криволинейной
поверхности, например на профиле
крыла, то вводится криволинейная
система координат, связанная с
поверхностью и нормалью к ней. Если
толщина пограничного слоя мала по
сравнению с радиусом кривизны
обтекаемой поверхности, то система
уравнений пограничного слоя на
криволинейной поверхности не отличается
от системы уравнений на
горизонтальной поверхности и может решаться теми же методами.
§ 14.12. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Рассматривается задача о ламинарном пограничном слое,
возникающем при поперечном обтекании кругового цилиндра. Введем
систему координат, связанную с обтекаемой поверхностью цилиндра.
Координату х будем отмерять от критической точки вдоль обтекаемой
поверхности цилиндра, а координату у по нормали к обтекаемой
поверхности. В методе Блазиуса скорость невязкого течения на
внешней границе пограничного слоя представляется в виде ряда
относительно переменной х. Пусть
Ue(x) = u1x+u3x3-\-u5x5 + u1x1 + ....
Четные степени опущены, так как для отрицательных значений
х величина U также должна быть отрицательной. Найдем производную
dUe/dx — u1 + 3u3x2 + 5u5x* + ....
Затем найдем величину
Ue((/Ue/dx) = ulx + 4u1u3x3 + x5 (бихЩ + Зи^ + х1 (8и1и3-\-8и3и5)+ ....
Рассмотрим уравнения пограничного слоя для несжимаемой жидкости,
выраженные через функцию тока (14.38). Вместо координаты у введем
безразмерную координату
Ц=У Же = у- [^±*=у h. (14.87)
х v ху] v у v
Здесь в качестве характерной скорости при вычислении значения
числа Рейнольдса использована величина utx, где их—коэффициент
первого члена разложения скорости внешнего невязкого потока в ряд
по х. Будем искать решение уравнения пограничного слоя в виде ряда
^ = y/^i[uixf1(r{) + 4u3x3f3(r[) + 6u5x5f5(r[)+ ...].
337
А
— 6
— и
2
\
-Н-1
/л
fe
i у
0
-W,
-0,8
^-1£_
ОМ 1,6 в

Подставив эти ряды в уравнение пограничного слоя (14.38) и приравняв
нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
/i"+/1/j+(i-/i2)=o,
/зЧ/1/з-4/1/'3 + 3/з/; + 1=0;
g'5+fig5-6f'lg'5 + 5ng5 + l=0; (14.88)
А/5/Ч/1й;-6/1А/5 + 5/;А5+1-8(/'з2-/з/5) = 0;
с граничными условиями
fi=f'i=f3=f'3=g5=g'5=h5 = h'5 = 0 при Л = 0;
/i = l, /з = 1/4, g'5 = l/6, А'5=0 при п->оо.
В первые два уравнения системы (14.88) не входят конкретные
значения коэффициентов ии и3, и5,..., связанные с разложением в ряд
конкретной зависимости скорости внешнего невязкого течения от
х для рассматриваемого частного случая течения. Если эти
коэффициенты не входят в систему уравнений, то и решения будут носить
универсальный характер, независящий от конкретного вида функции
Ue=Ue(x). Чтобы сохранить универсальность решения, начиная
с третьего уравнения вводятся новые функции вида
f5=g5 + (ul/^lU5))h5.
Дифференциальные уравнения для функций g5, h5, ... теперь не зависят
от коэффициентов ии и3, и5, ... разложения в ряд конкретного
распределения скорости внешнего невязкого течения, и решение
системы уравнений (14.88)—универсальное.
Первое уравнение системы (14.88) нелинейное и тождественно
уравнению Фокнера — Скэн для течения около двумерной критической
точки при (3=1 и т—\. Все уравнения, кроме первого,— линейные.
В качестве коэффициентов в уравнения входят решения только
предыдущих уравнений, так что эти уравнения можно последовательно
решить одно за другим, результаты решения затабулировать
и применять для расчета различных типов двумерных течений
пограничного слоя.
Применим этот ряд для расчета ламинарного пограничного слоя
на поперечно обтекаемом цилиндре. Для распределения скорости
невязкого несжимаемого течения на поверхности цилиндра радиусом
R существует решение
Ue = 2U00sin(x/R) = 2Ucx
*/Л-1(*/Д)3+...
Достаточно точная аппроксимация синусоиды получается только, если
взять разложение синуса в ряд до члена с (x/R)9 включительно.
Если рассчитывать течение только до точки отрыва, то достаточно
отрезка ряда до (x/R)1. На рис. 14.14 показано распределение
безразмерного коэффициента трения вдоль обтекаемой поверхности. При
некотором значении угла фотр коэффициент трения обращается в нуль
и пограничный слой терпит отрыв. Если использовано разложение
338

? USo/2
Ч
г
О 20 W 60 80 100 \ ц>°
%тр
Рис. 14.14. Распределение
безразмерного напряжения трения вдоль
поверхности поперечно обтекаемого
цилиндра
в ряд до (x/R)1, то ф0Тр= 108,8°, если
же до (x/R)9, то фотр= 109,6°.
К. Хименец произвел тщательные
измерения распределения давления на
цилиндре и экспериментально
определил положение точки отрыва
(фотР)эксп = 81°. Расхождение теории
и эксперимента объясняется тем, что
в действительности пограничный слой
и след за цилиндром оказывают
влияние на внешнее почти невязкое
течение, особенно вблизи точки отрыва.
Если в качестве распределения
скорости внешнего невязкого течения
около цилиндра вместо теоретической
зависимости Ue = 2Uo0sm(x/R) использовать полученное
экспериментальное распределение скорости и рассчитать положение точки
отрыва, то получим фотр = 82°, что хорошо согласуется с
экспериментами.
Ряд Блазиуса неоднократно применялся для расчета пограничного
слоя. Л. Хоуарт применил этот метод к расчету пограничного слоя,
где скорость невязкого течения на внешней границе задается функцией
Ue=Uo0 — ах. Ряд Блазиуса был применен также для расчета течения
на волнистой стенке. Для расчета пограничного слоя на двух волнах
потребовалось разложить скорость внешнего потока в ряд до (хД)39,
где X — длина волны. Применение ряда Блазиуса ограничено тем,
что для представления произвольного распределения скорости надо
использовать много членов ряда. С ростом числа членов ряда
функции fi надо вычислять со все большим числом значащих цифр,
так как при суммировании членов ряда погрешности расчета быстро
накапливаются. Ряд сходится медленно для замедленных течений
[69, 79]. Решение сильно чувствительно к малым погрешностям
в распределении скорости невязкого течения, особенно вблизи точки
отрыва.
§ 14.13. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
14.13.1. Интегральное уравнение количества движения
для пограничного слоя
В приближенных интегральных методах расчета ламинарного
пограничного слоя используется интегральное уравнение количества
движения. Это обыкновенное дифференциальное уравнение, в отличие
от системы уравнений пограничного слоя Прандтля в частных
производных. Запишем систему уравнений пограничного слоя в
следующей форме:
ди ди т, dUe д ди
pu— + pvT=peUe—+-[i-,
ох о у ах ov о у
(14.89)
дх ду
(14.90)
339

Умножим уравнение (14.90) на величину и и сложим полученное
уравнение с уравнением (14.89). После некоторых преобразований
получим уравнение
д(ри2) v^v)_9eUdUe { cfr
дх ду е dx ду
Найдем производную
Hp»Ue)_pi[dUe [ lTJ(pu)
дх дх дх
(14.91)
(14.92)
Умножим уравнение неразрывности (14.90) на Ue и найдем последний
член в уравнении (14.92):
и,
д(ри)
-и,
e(Pv) _ d(Pvut)
дх ду ду
Подставив это выражение в уравнение (14.92), получим
д(риие) | d(Pvue) _ дие
дх ду дх
(14.93)
Вычтем уравнение (14.91) из уравнения (14.93) и получим выражение
d(pu(Ue-u)) + d(pv(Ue-u)) +< у \dU. = _^
дх ду ^ е е ' дх ду'
Проинтегрируем последнее уравнение по у:
00 00 СЮ с»
^(р«(^-«))*-|^(рт(^-«))*+|(р.«/.-р«)^*=-||*.
0 0 0 О
I (14.94)
В первом члене уравнения (14.94) пределы интегрирования не зависят
от х, поэтому можно поменять местами операции интегрирования
и дифференцирования и переписать уравнение (14.94) так:
д
дх~
ри (Ue — u)dy + pv(Ue — u)
+
dUe
~dx~
(peUe-pu)dy=-T
. (14.95)
Из определения интегральных толщин потери импульса 5** и
вытеснения 5* следует:
00 00
peUia**=lpu(Ue-u)dy; peUeo*= j (peUe-pu)dy.
О о
Подставим эти выражения в уравнение (14.95) и получим интегральное
уравнение количества движения
±(peUtb") + peUeb*d-^^
(14.96)
Если для первого члена уравнения (14.96) использовать формулу для
производной от произведения функции и рассмотреть случай р = const,
340

то получим интегральное уравнение количества движения для
несжимаемой жидкости в следующей форме:
U^+{26" + S')uJ^=^. (14.97)
ах v ' dx р
Если ввести понятие формпараметра Н=д*/Ь** и разделить уравнение
(14.97) на Ug, то получим еще одну форму интегрального уравнения
количества движения
£+р+<*-£- <14-98>
О характере коэффициента трения Crw не было сделано никаких
предположений, поэтому уравнение (14.98) применимо как для
ламинарного, так и для турбулентного пограничных слоев.
Интегральное уравнение количества движения (14.96) связывает
коэффициент и формпараметр с толщиной потери количества движения
и продольным градиентом скорости невязкого течения на внешней
границе пограничного слоя. Местные характеристики профилей
скорости и других параметров непосредственно в это уравнение не входят.
Запишем уравнение движения для пограничного слоя в
несжимаемой жидкости
ди , ди тт dUe , д2и /1 л ОГкЧ
"te+^r^ir+V (14-99)
Умножим это уравнение на величину и и проинтегрируем его по
у от 0 до оо. После некоторых преобразований получим так
называемое уравнение первого момента уравнения количества движения
или интегральное уравнение механической энергии
£1|м(С/е2-м2)^=ц
2
у ) dy. (14.100)
о о
Величина p(Ul — и2)/2 — механическая энергия, теряемая в пограничном
слое из-за понижения скорости течения. Величина \х(ди/ду)2
представляет собой энергию единицы объема, преобразующуюся в течение
единицы времени в тепло вследствие трения. Введем понятие толщины
потери механической энергии 5***
Ulb*** = ]u{U2e-u2)dy.
о
Тогда уравнение (14.100) можно переписать так:
00
v 2
!(tf.'6->2v
f) dy. (14.101)
О
Это уравнение иногда называют теоремой механической энергии
пограничного слоя. Впервые оно было выведено советским ученым
Л. С. Лейбензоном в 1935 г.
Умножив уравнение (14.99) на и2 и проинтегрировав полученное
уравнение по у, получим интегральное уравнение второго момента.
341

Умножая последовательно уравнение (14.99) на ип, т. е. повторив все
операции п раз, получим уравнения высших моментов. В. В. Голубев
показал, что бесконечная система интегральных моментов эквивалентна
системе дифференциальных уравнений пограничного слоя в частных
производных.
Интегральное уравнение количества движения используется для
разработки однопараметрических интегральных методов расчета
пограничного слоя. Если добавить к нему первый момент уравнения
количества движения, то можно построить двухпараметрический
интегральный метод расчета пограничного слоя; если добавить
уравнения высших моментов, то можно построить
многопараметрический метод расчета пограничного слоя.
14.13.2. Интегральные методы расчета ламинарного
пограничного слоя
В инженерной практике широкое применение нашли
интегральные методы расчета пограничного слоя, основанные на
применении интегрального уравнения количества движения для пограничного
слоя (14.98). Это обыкновенное дифференциальное уравнение, и
решение его менее трудоемко, чем решение системы уравнений
пограничного слоя в частных производных. Известными в этом уравнении
являются распределение скорости вдоль обтекаемой поверхности
U(x) и dUJdx, полученные из расчета невязкого течения около
обтекаемого тела. В уравнение (14.98) входят три неизвестные
функции: 8**, Н=Ь*/Ь* , cfw = 2xw/\peUe). Решить одно уравнение
с тремя неизвестными величинами можно только в том случае,
если эти величины зависят от одного параметра и эти зависимости
известны. Из величин 5**, dUe/dx и v можно образовать безразмерный
параметр
1 к = ^^. (14.102)
v dx
Предположим, что в первом приближении решение зависит только
от одного этого параметра:
Н=Н(к); cfw = cfw{4 (14.103)
Если эти зависимости известны, то интегральное уравнение количества
движения может быть решено и пограничный слой приближенно
рассчитан. Интегральные методы, в которых используется это
предположение называются однопараметрическими. Известные
интегральные методы расчета пограничного слоя отличаются друг от друга
в основном способом задания зависимостей (14.103). В методе
Польгаузена принимается, что профиль скорости в ламинарном
пограничном слое можно приближенно описать полиномом четвертой
степени. В интегральных методах Кочина — Лойцянского и Коэна —
Решотко для получения зависимостей (14.103) использованы точные
решения уравнений пограничного слоя для частного случая
распределения скорости вдоль обтекаемой поверхности вида Ue(x) = Cxm,
т. е. так называемые подобные решения. Для расчета турбулентного
пограничного слоя чаще всего используются зависимости, полученные
экспериментальными методами.
342

14.13.3. Интегральный метод Польгаузена для расчета
пограничного слоя
В методе Польгаузена (1921 г.) принимается, что профиль
скорости в ламинарном пограничном слое можно приближенно описать
полиномом четвертой степени
ulUe=f(r\) = ai\ + bi\2 + cr\3 + cT\\ (14.104)
где г\=у/Ь, 5 — толщина пограничного слоя в сечении х. Для
определения неизвестных коэффициентов а, Ь, с, d используются
следующие граничные условия. На стенке при г|=0 величина /=0
в силу условия прилипания. Принимается, что на стенке
удовлетворяется уравнение пограничного слоя в частных производных (первая
контурная связь (см. уравнение (14.60)))
"(f).-"-?- (14105)
На внешней границе пограничного слоя при ц = 1 величина/= 1, так как
в этой точке скорость течения в пограничном слое равна скорости
невязкого течения. Принимается также, что сила трения на внешней
границе пограничного слоя равна нулю и, следовательно, /'(1) = 0
в соответствии с законом трения Ньютона. Кроме того, вводится
дополнительное условие /"(1) = 0 при т| = 1, определяющее гладкость
сопряжения профилей скорости в вязком и невязком потоках. Введем
безразмерную величину
v dx
Тогда после подстановки граничных условий в полином для профиля
скорости (14.104) получим а = 2 + Х/6; b=-X/2; с=-2 + Х/2; d=\-X/6.
Подставив эти величины в уравнение (14.104), получим следующее
выражение для профиля скорости:
f{4) = u/Ue = F(4) + XG(r\)9 (14.106)
где ^(Л)=1-(1-Л3)(1+Л), а 0(у]) = ц(\-ц)3/6.
Величина X в уравнение (14.106) для профиля скорости входит
линейно. Профили скорости образуют однопараметрическое семейство,
зависящее от одного безразмерного параметра X, который
выражает отношение сил давления к силам трения. На плоской
пластине dUe/dx = 0 и профиль скорости ламинарного пограничного слоя
на плоской пластине соответствует Х = 0. В точке отрыва f'w =
= [d(w/C/e)/dr|]w = 0, следовательно, а = 2 + ^/6 = 0. Таким образом,
точке отрыва ламинарного пограничного слоя соответствует значение
Х= —12. При А,>+12 внутри пограничного слоя / > 1 и применение
полинома (14.104) для приближенного описания профиля скорости
в пограничном слое теряет физический смысл. Подставив найденное
распределение скоростей (14.104) в выражения для толщин вытеснения,
потери импульса и безразмерного напряжения трения, получим
1
8*_ГЛ_"\<У_3_А-.
J ~ J \ ~~йе) 1Г~Т0 120'
о
343

6**
6
1
Г"
v.
и
(
и>
и<;
\ <^_з?
' б 315
X
945
Щ} (14Л07)
х-^ = 2 + Х/6.
Для определения неизвестного заранее параметра X и функции
5(х) можно использовать интегральное уравнение количества
движения (14.98). Толщина пограничного слоя 5 и параметр X не входят
непосредственно в уравнение количества движения (14.98). В это
уравнение входит величина 5**, поэтому удобно использовать
параметр
v dx dx
отличающийся от параметра X только заменой толщины пограничного
слоя 5 на толщину потери количества движения 5**. Здесь введено
обозначение Z=5**2/v. Между х и X существует связь:
"-^M^-sr^} <14,08)
Учитывая уравнения (14.107), (14.108), можно ввести зависимости
Я=575"=Л(х);
°"-^(?)=Л(4
(14.109)
цС/, \iU. \ 5
Введем еще одно обозначение
F(x) = 2/2(x)-4x-2x/i(x).
Тогда интегральное уравнение количества движения (14.98) можно
представить в виде
dz=m. (14.П0)
dx Ue к '
Функция F(x) — универсальная и может быть вычислена раз и навсегда.
В дифференциальное уравнение (14.110) входит только одна неизвестная
величина Z, и его можно численно проинтегрировать по х и найти
зависимость величины Z от текущей координаты х. Зная эту
зависимость, с помощью уравнений (14.102), (14.107)...(14.109) можно
рассчитать распределения вдоль обтекаемой поверхности таких величин
как напряжение трения, толщина пограничного слоя, толщина
вытеснения, толщина потери количества движения и другие
характеристики ламинарного пограничного слоя. Дифференциальное
уравнение (14.110) — нелинейное, и в общем случае его следует решать
численно.
В передней критической точке Ue = 0, следовательно, уравнение
(14.110) будет иметь физический смысл, если в этой точке F(x) = 0.
Это условие выполняется при х = 0,0770 и Х = 7,052. На плоской
пластине dUe/dx = 0, и тогда х = 0 и jP(x) = 0,4698. Для случая
ускоренных течений (dUe/dx > 0) между значениями х = 0 и х = 0,0770
функцию F(x) можно приближенно аппроксимировать прямой
344

F(yt)&a-b(yt), (14.111)
где a = 0,4698» 0,47; b = 6. Если линейную зависимость (14.111)
подставить в дифференциальное уравнение (14.110) и выразить величины
Z и х через 5** и dUe/dx, то это дифференциальное уравнение
может быть проинтегрировано в замкнутой форме. В результате
получим
Ueb"2 _ а
v ~ иъ~1
иье~Ых. (14.112)
о
После подстановки числовых значений а и Ь
х
ul J
dx. (14.113)
о
Таким образом, расчет ламинарного пограничного слоя с
помощью интегрального метода Польгзаузена сводится к простой
квадратуре. После интегрирования получим зависимость 5**(.х), с помощью
которой можно последовательно рассчитать зависимости х(х), Х(х)9
5(х), 5*(х), cfw(x), которые определяют основные характеристики
ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости.
В качестве примера расчета рассмотрим ламинарный пограничный
слой на плоской пластине, где Ue(x) = const. В этом случае уравнение
(14.113) можно проинтегрировать:
Ued**2/v = 0,470*.
В результате получим приближенное решение
8"/x = 096S6y/v/Uex.
Соответствующее точное решение Блазиуса выглядит так:
Ь**/х = 0,664 jv/Uex.
Отличие приближенного решения от точного составляет около 3,3%.
Погрешность расчета зависит от выбора формы профиля скорости.
На примере пластины удобно выяснить влияние формы профиля
скорости на результаты расчета пограничного слоя интегральным
методом. Рассмотрим, как влияет выбор формы профиля на
коэффициент сопротивления трения плоской пластины. Точное значение
величины c/vv-v/rRe= 1,328. Если применить интегральный метод расчета
и использовать линейный профиль скорости f(r\) = r\, то получим
c/wV/Re= 1,155 с погрешностью по сравнению с точным решение
з 1
около 15%. Если использовать кубический полином f(r\) = - т\ — - г)3,
то получим cfwy/ Re =1,292 с погрешностью около 2,5%. Если
применить полином четвертой степени Польгаузена
/(г|) = 2г| — 2г|3 + г|4, то получим c/vv>/Re= 1,372 с погрешностью
около 3,2%. Выбор формы профиля не слишком сильно влияет на
решение.
Другим важным случаем течения является пограничный слой
в окрестности критической точки, где Ue = Cx. В самой критической
345

точке (при х = 0) С/е = 0. Основное дифференциальное уравнение метода
Польгаузена (14.110) при С/е(0) = 0 имеет смысл только в случае
F(x) = 0, что выполняется при х = 0,0770 и А, = 7,052. Таким образом,
в критической точке
yi=iO_au1== 0j077q /14 { 14ч
v dx
Введем определение Re=Uex/v= (Cx)x/v. Тогда из уравнения (14.114)
получим
— У^ = Уо^770 = 0,278.
X v v
Согласно точному решению величина (8**/х)ч/ке = 0,292.
Погрешность приближенного решения составляет около 5%.
Однако не во всех случаях метод Польгаузена дает хорошие
результаты. Согласно экспериментальным данным Г. Б. Шубауера
отрыв пограничного слоя на поперечно обтекаемом эллиптическом
цилиндре с отношением полуосей я/6 = 2,96 происходит в точке
л:/£=1,99, где Ь — малая полуось цилиндра, а набегающий поток
направлен вдоль большой полуоси. Согласно же расчету пограничного
слоя по методу Польгаузена отрыв пограничного слоя на
эллиптическом цилиндре не происходит. В этом случае следует применять
другие методы расчета пограничного слоя.
14.13.4. Интегральный метод расчета сжимаемого
ламинарного пограничного слоя с учетом теплообмена
Неоднократно делались попытки улучшить интегральные
методы расчета ламинарного пограничного слоя и распространить
их на течения сжимаемого газа с учетом теплообмена. Н. Е. Кочин
и Л. Г. Лойцянский в 194£ г. предложили вместо однопараметрического
семейства профилей скорости в виде полиномов четвертой степени,
как это сделано в методе Польгаузена, использовать однопарамет-
рическое семейство профилей скорости из точных решений для
ламинарного пограничного слоя, которые были найдены для случая
невязкого течения около обтекаемой поверхности с распределением
скорости вида Ue(x) = Cxm (так называемые подобные решения) [58].
В 1956 г. К. Коэн и Е. Решотко предложили и детально разработали
интегральный метод аналогичного типа для течения сжимаемого газа
с учетом теплообмена, который нашел широкое применение на
практике [98].
В методе К. Коэна и Е. Решетко принимается, что число Прандтля
Рг = 1, вводится линейная зависимость динамической вязкости от
температуры по формуле Д. Чепмена и М. Рубезина (14.69) и
используются переменные К. Стюартсона (14.68). В плоскости
переменных Стюартсона X, Y уравнения пограничного слоя в частных
производных принимают вид, близкий к виду уравнений пограничного
слоя для несжимаемой жидкости. В этой плоскости преобразованного
несжимаемого течения интегральное уравнение количества движения
записывается так:
^ + ^(Яп + 2)5-п=^(^).. (14.115)
346

Здесь использованы следующие определения в плоскости переменных
Стюартсона X, Y: толщины потери количества движения
8К =
и А и„
dY
и толщины вытеснения
5Ь =
\- — + S)dY.
и.
Здесь S=i0/i0e—l, i0—энтальпия торможения, /0е — энтальпия
торможения во внешнем невязком потоке; //п = 5п/§п — формпараметр;
Ue — скорость на внешней границе пограничного слоя в
преобразованном несжимаемом течении; U'eX = dUe/dX—продольный градиент
скорости на внешней границе пограничного слоя в преобразованном
течении; (U'Y)w=:(dU/dY)w — поперечный градиент скорости на
обтекаемой поверхности в преобразованном течении; v0 — кинематическая
вязкость при температуре торможения; индекс П относится к
параметрам преобразованного течения. Введем обозначения
l=+{dU/dY)wb**/Ue;
N=2[n{Hn + 2) + l] = N{n, Sw).
Теперь интегральное уравнение количества движения (14.115) можно
преобразовать к виду
-Ut±{n/U'tX) = N. (14.116)
Далее примем основное предположение, используемое в однопарамет-
рических интегральных методах расчета, что при постоянном значении
температурного фактора Sw = i0w/i0e—\ поверхностное трение, тепловой
поток, формпараметр и профили скорости и температуры зависят
только от одного параметра я, связанного с продольным градиентом
скорости на внешней границе пограничного слоя и квадратом толщины
потери количества движения. Если в качестве однопараметрического
семейства профилей скорости и температуры при заданном значении
температурного фактора Sw использовать подобные решения,
полученные К. Коэном и Е. Решотко с учетом теплообмена для случая
распределения скорости во внешнем невязком потоке вида Ue = CXm,
то можно вычислить функции /=/(«); Нп = Нп(п); А=А(п), где
^ = c/wRew/Nuw — параметр аналогии Рейнольдса, для разных значений
температурного фактора Sw.
Это можно сделать следующим образом для величины /. Запишем
выражение для величины / в следующей форме:
/=5H/at/\ =5Н /Rem+1 / d(UIUe)
Ue\dYjw X V 2 \d[(Y/X)jRe(m+\)/2]
-Щ /Re^/;e (14.117)
347

Запишем уравнение для потери количества движения
8й-|£ i-£i".
Умножим это выражение на величину J Re /X и получим
5Ё /ке^А:
f'{l-f')di].
Подставим это выражение в уравнение (14.117) и получим
/=/:
f'{\-f')d4 = l{%Sw).
Так же можно получить выражения аналогичного типа для функций
Яп, пу A, N, связывающие эти функции с подобными решениями
уравнений пограничного слоя:
Яп
о .
]f(\-f)dr\
"-'<£ -v:/-s
ffV-fV*) (-P);
tf=2[/i(tfn + 2) + /].
В области ускоренных течений функцию N(n) можно
приближенно линеаризовать и представить в виде N^A + Bn, где А и В
выбираются для каждого значения температурного фактора Sw так,
чтобы линия N=A + Bn проходила через соответствующую точку
для течения около пластины (и = 0) и через точку, где JV=0,
соответствующую критической точке обтекаемого тела. В этом
случае дифференциальное уравнение количества движения (14.116)
можно преобразовать к виду
и<тЛ^)=А+Вп
и после интегрирования свести к уравнению
х
-в dU.
dX
n=-Au:
U*~ldX.
(14.118)
(14.119)
348

Если от переменных Стюартсона перейти к переменным х, у в
физической плоскости течения, то это уравнение примет вид
x/L
"{F,{z))-A{i)"Mi"l{^'ui"''(i)-
О
где
к_ Зу-1 . pf=Ldpe 1
2(y-l)' Ре dx уМ2е.
Величина >4 = 0,44 для всех значений Sw9 а В является функцией
температурного фактора Sw. С помощью уравнений (14.118) и (14.119)
можно рассчитать ламинарный пограничный слой сжимаемого газа
на обтекаемой поверхности с учетом теплообмена. Порядок расчета
следующий. Вначале рассчитывается невязкое течение около
обтекаемой поверхности и находятся распределения вдоль нее величин р(х),
Ме(х), Ue(x), ае(х), а0(х)9 Ue(x). Затем путем численного
интегрирования уравнений (14.118) или (14.119) находятся распределение
величины п{х) вдоль обтекаемой поверхности и распределения
связанных с ней величин /, #п, А в зависимости от х. Далее можно
найти распределение коэффициента трения вдоль обтекаемой
поверхности по формуле
(c/4/Re")w = 2/V(x/L)P'(/0/^)/«
и распределение числа Нуссельта по формуле
(Nu/yRe")w = (c/v^)w/^.
Рассмотрим два примера расчета. В первом случае выпуклая
поверхность, описываемая уравнением y/L = 0,05(x/L)(2 — x/L),
обтекается сверхзвуковым набегающим потоком с М = 3. Течение около
обтекаемой поверхности в этом случае ускоренное. Во втором случае
этот же поток обтекает вогнутую поверхность, описываемую
уравнением y/L = 0fl5(x/L)2. Течение около обтекаемой поверхности
в этом случае замедленное. Используется линеаризованный
интегральный метод расчета ламинарного пограничного слоя при значении
числа Прандтля Рг=1. Результаты расчета коэффициента трения
(c/N/Re)w для разных значений температурного фактора представлены
в табл. 14.3. Для сравнения через косую черту даны результаты
расчета пограничного слоя численным методом.
Таблица 14.3
Тепловой режим стенки
Холодная
Адиабатическая
Горячая
Ускоренное течение
0,680/0,679
0,877/0,876
1,031/1,048
Замедленное течение
0,645/0,662
0,406/0,475
0,256/0,386
Видно, что интегральный метод наиболее пригоден для расчета
пограничного слоя в ускоренном потоке на охлаждаемой стенке
и дает худшие результаты для замедленного потока на нагретой
стенке.
349

14.13.5. Интегральный метод эффективной длины
для расчета ламинарного пограничного слоя
В области ускоренных течений профили скорости в
пограничном слое не слишком сильно отличаются от профиля
скорости в пограничном слое на плоской пластине. Это
обстоятельство позволяет упростить метод расчета пограничного слоя. В
интегральном методе эффективной длины принимается, что
свойства пограничного слоя в данной точке обтекаемого тела такие
же, как на плоской пластине такой длины, при которой толщина
потери энергии на пластине равна толщине потери энергии в
рассматриваемой точке тела. Из анализа интегрального уравнения
энергии для ламинарного пограничного слоя может быть получено
выражение для эффективной длины пластины в случае плоского
течения [68 ]
X
\f>„U„dx
х,Фф = ^— (14.120)
и в случае осесимметричного течения —
X
$pwUeR2dx
Х^°-^ЛЖ' (14Л21)
где R — радиус обтекаемого тела, измеренный перпендикулярно к оси
симметрии. Зная величину хЭфф и решение задачи о ламинарном
пограничном слое на пластине, можно определить значения
коэффициентов трения и теплоотдачи в данной точке обтекаемого тела
и другие свойства пограничного слоя.
В качестве примера рассмотрим ламинарный пограничный
слой на круглом конусе с полууглом раствора при вершине 9К.
В сверхзвуковом потоке на конусе Ue = const, /?е = const, pw = const,
i? = .xsin0K. Тогда
§x2s'm2QK-pwUedx
^эфф "
;c2sin29K-pw£/e 3
= -x. (14.122)
Найдено, что длина эффективной пластины в 3 раза меньше
длины образующей конуса. Поскольку толщина пограничного слоя
b~^/x, то можно сделать вывод о том, что толщина ламинарного
пограничного слоя на конусе в у/3 раз меньше толщины пограничного
слоя на пластине, длина которой равна длине образующей конуса.
Так какJ коэффициент поверхностного трения cfw~\/y/ReW9 где
Rew = pwUex/[iw, то коэффициент трения на конусе в л/3 раз больше
коэффициента трения на пластине, длина которой равна длине
образующей конуса. Такое же соотношение имеет место между
тепловыми потоками на конусе и на пластине одинаковой длины,
т. е. qWK — у/ ~>(]wnn.
350

§ 14.14. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ТРЕХМЕРНЫХ
И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛАХ
14.14.1. Уравнения трехмерного пограничного слоя
Трехмерный пограничный слой — наиболее общий случай
течения в пограничном слое. В трехмерных пограничных слоях
скорость течения имеет три составляющие, которые зависят от всех
трех координат. Трехмерные пограничные слои возникают при
обтекании тел произвольной формы, при обтекании осесимметричных
тел под углом атаки и в других случаях. Пограничный слой на
осесимметричном теле, обтекаемом под нулевым углом атаки, и
двумерный пограничный слой на пластине являются частными случаями
трехмерных пограничных слоев.
Для расчета трехмерного пограничного слоя на обтекаемом теле
вводится криволинейная система координат, связанная с поверхностью
обтекаемого тела. Ось у направляется вдоль нормали к обтекаемой
поверхности. Направление оси х обычно связывают либо с
направлением линий тока невязкого течения на обтекаемой поверхности,
либо с характерными линиями этой поверхности, например с
образующими тела вращения, когда рассматривается обтекание таких
тел. Ось z выбирают вдоль направления местной нормали к осям х и у.
Чтобы вывести систему уравнений для трехмерного пограничного
слоя следует записать систему уравнений Навье — Стокса в
криволинейной системе координат, связанной с обтекаемой поверхностью, и
принять, что толщина пограничного слоя намного меньше характерного
размера тела и характерных радиусов кривизны обтекаемой
поверхности в рассматриваемой точке. Далее, как и при выводе уравнений
пограничного слоя для двумерного течения, следует произвести оценки
членов уравнений Навье — Стокса и отбросить малые члены. В
результате получим следующую систему уравнений трехмерного ламинарного
пограничного слоя [3, 4, 68, 81]:
ри du du pw du , , 2_ \ др д ( ди
hi дх ду h2 dz hi dx ду\ ду
ри dw dw pw dw , 2 , к _ * fy , ^ / ^w
hx дх ду h2 dz h2 dz ду\ ду
i ap+ap+ i £:+ik +jk 0; (14 123)
hi ox oy h2 dz
pu di
hi dx
di . pw di 3 /, ar\ , 1 dp , 1 dp , [fdu\2 , (dw
+ OV — + - = — A,— H—u — H—w — +u — +
P ду h2 dz dy\ dyj hi dx h2 dz \\dyj \
\dyj J
Здесь p=p(x, z); ku k2 — геодезические кривизны линий x = const
и z = const, ki= -, k2 = -, где hu h2—коэффициенты Ламе,
hih2 dz hih2 dx
связывающие приращения длины элемента с приращениями координат
соотношением
ds2 = h\dx2 + dy2 + h22dz2.
Если пограничный слой тонкий по сравнению с характерной длиной
и характерными радиусами кривизны обтекаемой поверхности, то
351

др/ду = 0 и давление поперек трехмерного
пограничного слоя принимается
постоянным.
Распределение давления р на
поверхности обтекаемого тела и градиенты
давления др/дх и dp/dz определяются заранее
из расчета невязкого течения около
обтекаемой поверхности. В качестве примера
трехмерного течения стационарного
пограничного слоя рассмотрим пограничный
слой на косообтекаемом некруговом
цилиндрическом теле бесконечного размаха
Рис. 14.15. Схема к задаче (рИс. 14.15). Введем систему координат,
о трехмерном течении в погра- СВЯзанную с поверхностью обтекаемого
ничном слое г? г
тела. Ось z направим вдоль образующих
цилиндрической поверхности, ось х—по направлению нормалей к
образующим обтекаемой цилиндрической поверхности, ось у — по
направлению нормали к обтекаемой поверхности.
Для этой системы координат из уравнений (14.123) получим
следующую систему уравнений для трехмерного ламинарного
пограничного слоя в потоке несжимаемой жидкости:
ди , ди , ди
u — + v—+w — =-
дх ду dz
dw , dw , dw
и — + v — + w — =
ox ду dz
1 dp , d2u
f_-j- у •
p дх ду2 '
1 dp , d2w
p dz ду2 '
(14.124)
ди dv dw _ Л
дх ду dz
с граничными условиями u = v = w = 0 при у = 0 и u->Ue, w-+We
при у -+ оо. 1
Распределение давления в невязком течении около обтекаемого
тела должно быть заранее рассчитано, поэтому градиенты др/дх
и dp/dz следует считать известными функциями. При We = 0
и w = 0 система переходит в известные уравнения для двумерного
пограничного слоя.
Наиболее простой случай трехмерного пограничного слоя имеет
место, когда Ue=Ue(x) и We — const, т.е. при косом обтекании
цилиндра или стреловидного крыла бесконечного размаха.
Распределение давлений на теле в невязком потоке определяется уравнением
Бернулли
Если We = const, то
/7 + iP(t/e2+^e2) = COnSt.
p dx dx
1 dP n
и —т- = 0.
p dz
При обтекании цилиндра бесконечного размаха решения во всех
сечениях по z одинаковые и производные по координате z равны
нулю. Тогда система уравнений для трехмерного пограничного слоя
упрощается и принимает вид
352

ди ди_тт dUe. д2и г
дх ду дх ду2'
dw dw d2w /1 л юс\
MT" + t;T- = vTTJ (14.125)
дх ду ду2
дх ду
Граничные условия остаются прежними, т.е. u = v = w = 0 при
у — О и u->Ue9 w -* We при >> -> оо.
Скорость w входит только во второе уравнение этой системы.
Первое и третье уравнения для компонент скорости и и v не зависят
от и% и их можно решать отдельно. Решение будет таким же, как
и в двумерном случае.
Таким образом, задача разделяется. Сначала решается задача
для компонент скорости и и ь\ после этого из второго уравнения
можно определить компоненту скорости и\ Это уравнение линейное
относительно величины и>, что сильно упрощает решение задачи.
Рассмотрим косое обтекание цилиндрического тела с
эллиптическим поперечным сечением. Устремим длину поперечной оси эллипса
к нулю и получим случай косого обтекания пластины. В этом случае
Ue{x) = const и Ue^ = 0.
дх
Первое уравнение системы уравнений пограничного слоя (14.125)
становится тождественно равным второму с точностью до замены
обозначений и и w. Следовательно, решение этой системы имеет
вид и(х, y) — w(x, j'H^oo/Woo)- Таким образом, косое обтекание
(боковое скольжение) не оказывает никакого влияния на развитие
пограничного слоя. В этом случае профиль скорости целиком лежит
в одной плоскости.
14.14.2. Косое обтекание бесконечного цилиндра
Основной особенностью общего случая течения в
трехмерном пограничном слое является несовпадение направлений линий
тока внутри пограничного слоя и на его внешней границе, возникающее
из-за нелинейности уравнений. Появляются так называемые вторичные
течения.
В качестве примера рассмотрим задачу о пространственном
пограничном слое вблизи лобовой критической линии разветвления
косо набегающего на цилиндр потока. Вдоль этой линии и = 0. На
цилиндре бесконечного размаха критическая линия располагается по
образующей цилиндра. Вблизи критической линии в невязком потоке
на внешней границе пограничного слоя Ue — Cx, We=Wo0. Введем
переменную r\ = (y/x)yfRe, где RQ=Uex/v = Cx2/v. Будем искать
автомодельное решение уравнений трехмерного ламинарного
пограничного слоя вблизи лобовой критической линии. Если автомодельные
решения существуют, то уравнения в частных производных можно
свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям вида
/'"+/Г + (1-/,2) = 0;
J •/•/ V J ) (14.126)
li Зак. 150

с граничными условиями f=f'=g = 0 при г| = 0 и /'->1, g-> I при
г] -* оо. Здесь принято, что f'(r)) = u/Uei g(r\) = wjWe.
Первое уравнение системы (14.126) совпадает с ранее
рассмотренным уравнением (14.52) для случая поперечного обтекания цилиндра
без угла атаки (автомодельное клиновое решение для Р=1 и т=\).
Решение этого уравнения было получено численно и затабулировано.
В частности, на обтекаемой стенке /^= 1,2326.
Функция g(r\) может быть определена путем непосредственного
интегрирования второго уравнения этой системы. Это уравнение
линейное. Преобразуем его так:
g"/g'=-f,
или
rf(lng')/*l=-/
После интегрирования получим
m£'=-J>r,+lnCi-
о
После потенциирования —
g^Qexp^-J/rfnY
Это уравнение проинтегрируем еще раз и получим выражение
g=C1]exV(-]fdr{)dr] + C2.
о \ 0 /
Константу С2 можно определить из граничного условия на стенке
g = 0 при г|=0: С2 = 0, а константу Сх—использовав граничное условие
на внешней границе пограничного слоя g->l при г\ -> оо: Сх =
= 1/J expl — \ fdv[ Jdr\. Тогда решение имеет вид
о V о /
^^) = Qexp(-J/rfn)rfn)/Qexp^-|/rfn)Ai).
На стенке g'w = 0,5705. Направление линий тока внутри пограничного
слоя зададим углом у между касательной к линии тока и осью х:
Y = arctg- = arctg| ^*М
{■
Cxf(r\)m
Значение y = yw при г|=0 соответствует так называемой предельной
линии тока на поверхности обтекаемого цилиндра. Линия тока
называется предельной, так как на самой поверхности u = v = w = 0
и никакого тока на самом деле нет. Величина у -> yw при ц -> 0.
В определение величины yw входит отношение (g/f')w. На стенке
g=f' = 0 при г) = 0 и это отношение представляет собой
неопределенность вида (g//')w = 0/0. Эту неопределенность можно раскрыть по
правилу Лопиталя: (g/f')w^>(g'lf")w при т| —► 0. Поскольку g'w = 0,5705,
а/^= 1,2326, то yw = arctg(0,463W^I(Cx)). Во внешнем невязком потоке
у->уе при г] -> оо и ye = 3.vctg(WO0/Cx), т. е. углы yw и уе по величине
не совпадают.
354

Таким образом, профиль скорости не лежит в одной плоскости,
как в двумерном течении, а имеет винтообразную форму. Вдоль
обтекаемой поверхности образуется так называемое вторичное течение,
направление которого существенно отличается от направления
невязкого потока на внешней границе пограничного слоя.
При исследовании вторичных течений вблизи обтекаемой
поверхности внутри трехмерного пограничного слоя принято выделять линии
растекания и линии стекания. Линия растекания представляет собой
предельную линию тока на обтекаемой поверхности. Соседние с этой
линией предельные линии тока по обе стороны направлены от нее.
В двумерном течении аналогом линии растекания является течение
вблизи критической точки. Вблизи линии растекания также, как
и в окрестности критической точки в двумерных течениях, тепловые
потоки и напряжение трения достигают максимальных значений.
Линия стекания представляет собой предельную линию тока на
обтекаемой поверхности, к которой с обеих сторон направлены
соседние линии тока. Линия стекания является аналогом точки отрыва
в двумерном течении.
14.14.3. Ламинарный пограничный слой
на осесимметричных телах
Уравнения ламинарного пограничного слоя на осесим-
метричном теле вращения, обтекаемом потоком несжимаемой
жидкости под нулевым углом атаки, являются частным случаем
уравнений для трехмерного ламинарного пограничного слоя (14.122).
Рассмотрим ламинарный пограничный слой на осесимметрично
обтекаемом теле вращения. Направим ось х вдоль образующей
поверхности тела вращения, а ось у— перпендикулярно к оси
х. В этом случае система уравнений для осесимметричного течения
несжимаемой жидкости в ламинарном пограничном слое на
удлиненном теле вращения имеет вид
ди , ди , ди 1 dp , д2и
-+м--Ы?-=—-f + v—.
ot ох ду р ах oyL
(14.127)
дИ) | аи,0
дх ду
где R = R(x) — зависимость радиуса тела вращения R, измеренного
вдоль нормали к оси симметрии, от расстояния х, измеренного
вдоль, образующей тела вращения. При выводе уравнений ламинарного
пограничного слоя несжимаемой жидкости на осесимметричном теле
принимается, что толщина пограничного слоя 8 очень мала по
сравнению с величинами х и R, т. е. 8«хй b<t:R. При выполнении
этих условий можно принять, что давление поперек пограничного
слоя практически постоянное и др/ду = 0.
Система уравнений пограничного слоя на осесимметричном теле
вращения по своему типу мало отличается от системы уравнений
для пограничного слоя на плоской поверхности, и практически все
методы решения систем уравнений пограничного слоя, разработанные
для плоских течений, применимы и для осесимметричного течения.
Более того, существует преобразование переменных, предложенное
Е. И. Степановым (1947 г.) и В. Манглером (1948 г.), позволяющее
12*
355

записать уравнения пограничного слоя для осесимметричного тела
вращения в форме, соответствующей уравнениям пограничного слоя
на плоской поверхности. Рассмотрим это преобразование. Введем
новые переменные х, у, w, tJ, связанные со старыми переменными
х, у\ w, v следующими соотношениями:
x = $R2dx; y = Ry\ Ue=Ue; й = и; v = v/R + R' yu/R2. (14.128)
о x
Выразим старые производные через новые переменные:
— = R2—+R'xy—• — = Д—.
дх дх х ду'* ду ду
Подставив эти выражения в систему уравнений (11.127) для
стационарного течения, получим
-дй -дй_ jj dUe д2й#
дх ду е dx ду2'
^+? = 0. (14.129)
дх ду v '
В новых переменных система уравнений для стационарного
ламинарного пограничного слоя на осесимметричном теле имеет
такой же вид, как и система уравнений пограничного слоя для
плоского тела. Граничные условия одинаковые как для плоского,
так и для осесимметричного течений.
Рассмотрим применение преобразования Степанова — Мангле-
ра к решению задачи о пограничном слое на конусе. В
случае сверхзвукового невязкого течения около конуса можно
принять, что скорость невязкого течения на поверхности конуса
Ue — const. Будем отсчитывать расстояние х от вершины
конуса вдоль его образующей, а радиус конуса R(x) будем
измерять перпендикулярно к оси. Тогда R(x) = xsmQK — ax, где a = sin0K,
9К — полуугол раствора конуса. Используем теперь преобразование
Степанова — Манглера
x = $R2dx = a2x3l3; y = Ry = axy. (14.130)
о
Будем рассматривать конус и пластину одинаковых длин, так
что х — х. Тогда из соотношений (14.130) получим ax = yJ3. Вычислим
напряжение трения на поверхности конуса
(ди\ (дй\ ду
Учтем, что Twnn = |iw(-^) —поверхностное напряжение трения на
пластине, а ду/ду = ах = ^/3. Тогда
^K = V/3xwn„, (14.131)
т. е. поверхностное напряжение трения на конусе в ч/3 раз больше,
чем на пластине такой же длины. Аналогичным образом можно
356

определить интегральные толщины пограничного слоя 5* и 8** на
конусе. Действительно, y = Ry. Но на конусе R = х sin 0К = ах = <N/3.
Тогда, если >> = 8*, то 5* = 8^/^/3 и 51* = 8пЛ/уЗ, т. е. интегральные
толщины пограничного слоя на конусе в ^/3 раз меньше, чем на
пластине такой же длины.
Преобразование Степанова — Манглера демонстрирует
принципиальную возможность сведения решения задачи об осесимметричном
ламинарном пограничном слое к задаче о соответствующем плоском
течении. Однако при численном решении уравнений для пограничного
слоя на осесимметричном теле оно используется редко, так как
мало облегчает численное решение задачи.
357

глава 15 ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
§ 15.1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Опыты показывают, что при высоких значениях числа
Рейнольдса ламинарное течение в пограничном слое теряет
устойчивость и становится турбулентным нестационарным течением. Задача
о турбулентном пограничном слое в строгой математической
постановке еще не решена. Однако в инженерной практике с турбулентными
течениями приходится сталкиваться чаще, чем с ламинарными. Для
расчета турбулентных течений в настоящее время применяются теории
и методы, основанные на использовании экспериментальных данных
и эмпирически найденных закономерностей.
Первое систематическое экспериментальное исследование перехода
ламинарного упорядоченного течения в турбулентное хаотическое
движение воды в круглых трубах было выполнено О. Рейнольдсом
в 1883 г. Было найдено, что этот переход происходит примерно при
одном и том же значении числа Рейнольдса, названном критическим
числом Рейнольдса
ReKp = (£/cpd/v)Kp,
где Ucp—средняя по сечению скорость течения в трубе; d—диаметр
трубы; v — кинематическая вязкость рабочего тела. Оказалось, что
если Re < 2300, то течение в трубе остается ламинарным, устойчивым.
Значение критического числа Рейнольдса существенно зависит от
условий входа в трубу, шероховатости трубы, уровня пульсаций
потока в трубе. В других экспериментальных исследованиях путем
последовательного уменьшения всех возмущающих течение факторов
удалось повысить критическое значение числа Рейнольдса вплоть до
40 000.
О. Рейнольде высказал предположение, что переход ламинарной
формы течения в турбулентную связан с потерей устойчивости
ламинарного упорядоченного движения жидкости в трубе. При
Re<ReKp возникающие в потоке возмущения затухают, а при Re>ReKp
возмущения нарастают, и в результате течение становится
неупорядоченным турбулентным. Устранение наиболее сильных возмущений
приводит к затягиванию области существования ламинарной формы
течения и увеличению ReKp в несколько раз. Переход ламинарного
течения в развитое турбулентное течение происходит не мгновенно.
Между точкой потери устойчивости и областью развитого
турбулентного течения находится область переходного нестационарного течения,
размеры которой достаточно велики и соизмеримы с областью
ламинарного течения.
Аналогичным образом протекает явление перехода ламинарного
течения в турбулентное в пограничном слое на плоской пластине
358

Рис. 15.1. Схема перехода от
ламинарного течения к турбулентному
в пограничном слое на пластине:
1—турбулентное ядро; 2—ламинарный
подслой
Ламинарныи
слой
\\ЧЧ\\\\\\\\\\Ч\ЧЧ\Ч\\Ч\\\Ч\\\\ЧЧЧЧЧЧЧЧ
Переходное
течение
Турбулентный
слой
—-^,
1 ^/
У
о
ол
0,8 и/0а
Рис. 15.2. Профили скорости в
ламинарном (/) и турбулентном (2)
пограничных слоях
(рис. 15.1). Условно можно выделить y/cfl
три характерных участка течения на
пластине. В передней части пластины
и вблизи передней кромки течение 06
ламинарное, упорядоченное. На
некотором расстоянии от пластины
при достаточно большом числе Рей-
нольдса течение теряет устойчивость
и имеющиеся в потоке возмущения 0 \
начинают нарастать. Теоретические
исследования этой области течения
методами линейной теории
устойчивости и экспериментальные
исследования показывают, что из всего
спектра возмущений вначале
наиболее интенсивно начинают
развиваться двумерные колебания
определенной длины волны, которые принято
называть волнами Толмина — Шлих-
тинга, однако амплитуда этих возмущений в момент потери
устойчивости мала и интегральные характеристики
пограничного слоя, такие как трение, тепловой поток, толщина
пограничного слоя, практически такие же, как в области ламинарного
течения.
Далее вниз по потоку от точки потери устойчивости расположен
участок переходного течения. На этом участке нарастает
интенсивность волн Толмина — Шлихтинга, возбуждаются и нарастают
колебания более высокой частоты и постепенно возмущения
принимают трехмерный хаотический характер. При этом в некоторых
условиях возможно образование отдельных турбулентных «пятен»,
перемежающихся участками относительно мало возмущенного
течения, которые затем сливаются в полностью неупорядоченное
турбулентное течение. Длина переходного участка зависит от многих
параметров течения, но по порядку величин соизмерима с длиной
участка ламинарного течения. В области переходного участка
изменяются характеристики осредненного течения, нарастает
толщина пограничного слоя, профиль скорости становится более
наполненным по сравнению с профилем скорости в области
ламинарного течения (рис. 15.2), увеличиваются коэффициенты
трения и теплоотдачи.
Дальше вниз по потоку за участком переходного течения
расположена область развитого турбулентного течения. В этой
области толщина пограничного слоя продолжает расти, а
безразмерный коэффициент поверхностного трения cf начинает
уменьшаться по мере удаления от передней кромки пластины
(рис. 15.3).
359

0,004
0,002
0,001
N^cpo
10s
<'
10°
107
10°
10*
RE
Рис. 15.3. Зависимость
коэффициента трения от числа
Рейнольдса в ламинарном
и турбулентном слоях:
/ — ламинарное течение; 2 —
турбулентное течение; 3 — переход;
О—экспериментальные
значения; обобщение
экспериментальных значений,
теоретические значения
§ 15.2. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
В ТУРБУЛЕНТНОЕ
Проектирование летательных аппаратов требует знания
условий возникновения турбулентного течения, начала и конца
переходного участка, законов изменения напряжения трения и
теплообмена в этой области и влияния на эти условия основных
определяющих параметров. Такие исследования ведутся как
теоретическими, так и экспериментальными методами. Найдено, что
сильным источником возмущений является передняя кромка
пластины и эти возмущения, возникающие в области полностью
ламинарного течения, могут оказаться одной из основных причин
генерации волн Толмина — Шлихтинга и дальнейшего развития
турбулентного течения. На развитие течения в переходной области
влияют следующие основные параметры и особенности течения:
1) число Маха потока М; 2) градиент давления dp/dx; 3)
температурный фактор TW=TW/T0; 4) продольный градиент
температурного фактора dTJdx; 5) характеристики шероховатости обтекаемой
поверхности — высота, шаг, форма расположения бугорков; 6)
пульсации внешнего потока; 7) интенсивность и спектр акустического
воздействия на пограничный слой; 8) наличие твердых частиц
в потоке, типа пыли и др. Влияние всех этих факторов на переход
ламинарного течения в; турбулентное еще не изучено полностью.
Исследования показывают, что на гладкой теплоизолированной
пластине в дозвуковом потоке при числах Рейнольдса Rex<3-105
переход ламинарного течения в турбулентное не происходит. При
тщательном устранении основных турбулизирующих факторов
критическое число Рейнольдса перехода может быть увеличено в
несколько раз. С ростом числа Маха в области дозвуковых чисел
Маха число Рейнольдса перехода на гладкой теплоизолированной
пластине уменьшается. При достаточно больших сверхзвуковых
числах Маха (М>3) трудно отделить влияние числа Маха от
влияния других определяющих параметров. В частности, результаты
экспериментов на неподвижных моделях в аэродинамических трубах
и экспериментов на свободно летящих моделях в неподвижном
воздухе отличаются друг от друга. На холодной стенке с постоянной
температурой поверхности число Рейнольдса перехода обычно
увеличивается, а на горячей — уменьшается. При переменном вдоль
поверхности температурном факторе число Рейнольдса перехода
увеличивается, если тепловой поток на поверхности направлен
к стенке, и уменьшается, если тепловой поток направлен от стенки.
В ускоренном потоке при отрицательном градиенте давления
переход, как правило, затягивается. Возможно даже явление
обратного перехода, когда развитое турбулентное течение в сильно
360

ускоренном потоке, например в сопле Лаваля, ламинаризируется.
В замедленных потоках, на сильно шероховатых стенках и при
увеличении интенсивности пульсаций потока вне пограничного слоя
число Рейнольдса перехода уменьшается.
В инженерных расчетах пограничного слоя часто пренебрегают
протяженностью переходного участка и приближенно принимают,
что область ламинарного течения заканчивается так называемой
точкой перехода, где число Рейнольдса равняется числу Рейнольдса
перехода Re = Ren, а за точкой перехода сразу следует область
развитого турбулентного пограничного слоя. Число Рейнольдса
перехода Ren определяется с помощью экспериментальных данных,
которые всегда имеют ограниченную область применимости. В
качестве примера можно рассмотреть формулу Мишеля, приведенную
в книге [76],
Re;*= 1,174(1 + 22400/ReJcn)Re°;I46, (15.1)
где Re**=£/e5**/v— число Рейнольдса, рассчитанное по толщине
потери импульса; Rex=Ues/v — число Рейнольдса, рассчитанное по
продольной текущей координате s вдоль обтекаемой поверхности.
Пограничный слой считается ламинарным вплоть до той точки,
где текущие значения Re** и Rex удовлетворяют формуле (15.1).
Эта точка принимается за точку перехода. Формула не учитывает
влияние теплообмена на переход и имеет ограниченную область
применимости.
Для оценки критического числа Рейнольдса используют число
Re**=C/e5**/v, построенное по локальным значениям скорости на
границе пограничного слоя и толщине потери импульса. По
экспериментальным данным на гладкой теплоизолированной пластине
эта величина изменяется примерно от 600 до 1400 в зависимости
от степени турбулентности потока вне пограничного слоя. В
ускоренных потоках с отрицательным градиентом давления вдоль обтекаемой
поверхности эта величина больше, а в замедленных — меньше. Для
оценки положения точки перехода на шероховатых холодных
поверхностях часто используют следующий прием. Рассчитываются
коэффициенты теплоотдачи в ламинарном и турбулентном пограничных
слоях на всем протяжении обтекаемой поверхности. Принимается,
что пограничный слой ламинарный в той области течения, где
коэффициент теплоотдачи, рассчитанный по теории ламинарного
слоя, больше, и соответственно турбулентный там, где коэффициент
теплоотдачи, рассчитанный по теории турбулентного слоя, больше.
Как правило, такой способ позволяет правильно оценить направление
влияния на число Рейнольдса перехода таких определяющих
параметров, как число Маха и температурный фактор. Состояние
пограничного слоя и положение точки перехода существенно влияют на
сопротивление трения обтекаемого тела, интенсивность теплообмена,
положение точки отрыва пограничного слоя.
§ 15.3. РАЗВИТЫЙ ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Если течение вне пограничного слоя стационарное, то,
несмотря на хаотические турбулентные колебания течения довольно
высокой частоты, внутри развитого турбулентного пограничного слоя
профили продольной составляющей скорости, измеренные трубкой
361

полного напора, сопротивление трения обтекаемого тела и
интенсивность теплообмена практически не изменяются с течением времени.
Если судить по этим суммарным характеристикам, то развитый
турбулентный пограничный слой ведет себя качественно также, как
стационарный ламинарный пограничный слой, но наличие в
пограничном слое внутренних турбулентных пульсаций приводит к тому, что
его количественные характеристики совершенно иные.
Профиль осредненной продольной составляющей скорости в
турбулентном пограничном слое существенно более наполненный, чем
в ламинарном при одинаковых условиях течения. Поперечный градиент
скорости на обтекаемой поверхности (du/dy)w и напряжение
поверхностного трения xw в турбулентном пограничном слое соответственно
также существенно больше (см. рис. 15.2). На обтекаемой поверхности
скорость потока равна нулю (ww = 0), и пульсаций скорости на самой
стенке нет. Поэтому вблизи обтекаемой стенки в турбулентном
пограничном слое течение ламинарное и образует ламинарный подслой.
Профиль осредненной скорости внутри ламинарного подслоя почти
линейный. Вблизи внешней границы пограничного слоя находится
турбулентное ядро потока, где пульсации велики, их линейный
масштаб может быть соизмерим с толщиной пограничного слоя.
Между турбулентным ядром и ламинарным подслоем расположена
область переходного течения. В разных областях турбулентного
пограничного слоя наблюдаются разные закономерности развития
течения.
Для анализа закономерностей развития турбулентного течения
его удобно разделить на среднее и пульсационное. Параметры
осредненного течения обозначаются черточкой сверху, а пульсационная
составляющая — штрихом. Таким образом, мгновенное значение
каждого параметра запишется в виде и — й-\-и\ v = v + v'9 р=р+р' и т. д.
Осредненное значение параметра турбулентного течения, например
скорости, можно определить так:
1
Ат
udx,
где т — время. Величину интервала интегрирования Ат надо выбирать
достаточно большой по сравнению с характерным периодом
турбулентных пульсаций, чтобы процедура осреднения не зависела от
времени. При этом получим, что средние значения пульсационных
составляющих равны нулю: й' = 0; £' = 0; р' = 0 и т. д., а средние
значения средних величин равны самим средним величинам: й = й,
v = v; р=р.... Средние значения произведений средних величин на
пульсационные равны нулю: w'w = 0, v'v = 0, pfp = 0, ..., однако средние
от произведений пульсационных величин, измеренных в одной и той
же точке, не могут быть равны нулю: и'и'фО, u'v'^O, .... Ненулевое
значение средней величины от произведения двух пульсационных
величин говорит о том, что между этими величинами существует
связь, или корреляция. Корреляция может иметь место и между
пульсационными величинами, измеренными в двух соседних точках;
это зависит от расстояния между точками и характерного размера
пульсации потока.
362

§ 15.4. УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
О. Рейнольде предположил, что хаотическое турбулентное
движение жидкости принадлежит к классу нестационарных течений,
описываемых уравнениями Навье — Стокса. Подставим в систему
уравнений Навье — Стокса, записанную в форме
du du2 д (uv) д (uw)
dt dx dy dz
dv д (vu) dv2 д (vw)
dt dx dy dz
dw d(wu) d(wv) dw2
dt дх ду dz
dp
dx
dp
dy
_d_p
dz
+ цАм;
+ цДи>;
(15.2)
du ,dv dw _ ~
dx dy dz
параметры потока, выраженные через их осредненные и пульсационные
составляющие, и произведем осреднение по времени с учетом правил
осреднения, записанных в предыдущем параграфе. В результате для
описания осредненного турбулентного течения получим следующую
систему уравнений Рейнольдса:
-du , -du , - ди
puTx+vYy+we-z-
-dv , -dv - dv
U—+V—+W—
ox dy dz
- dw , - dw , - dw
U — +V — +W —
dx dy dz
-/+цДи-р
ox
du'2 d(u'v') d(u'w')
dx dy dz
= -/+|iAu-p
dy
= -/+цЛ^-р
oz
d(u'v') dv'2
dx dy
d(w'v')
dz
d(u'w') d(v'w') dw'2
dx dy dz
(15.3)
du dv dw _ ~
dx dy dz
По сравнению с системой уравнений (15.2) в системе уравнений (15.3)
для осредненного турбулентного течения появились новые члены,
которые можно рассматривать как компоненты тернзора
дополнительных напряжений, связанных с пульсациями потока. Если в системе
уравнений (15.3) произвести упрощения таким же способом, как это
было сделано при выводе уравнений двумерного ламинарного
пограничного слоя, то получим систему уравнений для турбулентного
-пограничного слоя
-du , -dv Uo d2ii d(u'v')
dx dy p ax oy dy
8l+dl=o.
dx dy
(15.4)
363

Система уравнений (15.4) является незамкнутой, так как в нее
входит выражение для напряжения турбулентного трения
тт=— pwV, (15.5)
для описания связи которого с параметрами осредненного течения
требуется дополнительная информация. Строгой теории для описания
этой связи нет, и для расчета турбулентных течений применяются
приближенные методы, в которых тем или иным способом
используются экспериментальные данные.
В 1877 г. Ж. Буссинеск по аналогии с законом трения Ньютона
для ламинарного течения предложил в качестве гипотезы формулу
для турбулентного напряжения трения
т^-р^ = Л^, (15.6)
ду
где А — определяемый экспериментальным путем коэффициент
кажущейся турбулентной вязкости. Однако в отличие от динамической
вязкости ц величина А зависит от распределения скорости в
пограничном слое. Вблизи обтекаемой стенки в ламинарном подслое величина
А равна нулю и возрастает по мере удаления от стенки. Аналогичным
путем можно ввести понятие кажущейся кинематической турбулентной
вязкости е:
тт = Р8^. (15.7)
§ 15.5. ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ ПРАНДТЛЯ
Л. Прандтль предложил связать пульсационные
составляющие потока со средними значениями следующим образом.
Рассмотрим два слоя жидкости внутри турбулентного пограничного слоя,
расположенные на небольшом расстоянии Ау друг от друга.
Предполагается, что комок жидкости, так называемый моль,
перемещающийся благодаря пульсации из одного слоя в другой в направлении
у, сохраняет составляющую импульса в направлении х на протяжении
отрезка /, названного длиной пути перемешивания. Тогда можно
оценить пульсацию скорости и' как разность между средними
скоростями в двух соседних слоях, расположенных друг от друга
на расстоянии /:
и'~й(у2)-й(у1)ъ1^-.
Если возникло пульсационное движение в направлении х, то при
столкновении комка жидкости с другими комками неизбежно возникает
пульсационное движение в направлении у. Прандтль предложил
считать, что пульсация скорости в направлении у пропорциональна
пульсации скорости в направлении х, т. е. v'~ur. Тогда можно
принять, что в несжимаемой жидкости v'^u'ldu/dy и u'v'~12(дй/ду)2.
Если включить коэффициент пропорциональности в неизвестную пока
величину /, то можно записать выражение для турбулентного
напряжения трения
364

xT= — pu'v' = pl2(du/dy)29
или
Ф/2
дй
Ту'
(15.8)
(15.9)
так как при изменении знака ди/ду должен хменяться знак величины
тт. Тогда выражение гт = /2 — имеет смысл кажущейся кинематической
\ду\
турбулентной вязкости, которая должна быть положительна.
Таким образом, вместо неизвестной величины цт введена
неизвестная величина /, которая не может рассматриваться как
физическая константа. Однако во многих случаях удается с
использованием экспериментальных данных установить связь между
длиной пути перемешивания I и другими параметрами задачи. Теория
пути перемешивания позволила удачно решить ряд практически
важных задач. Эта теория является полуэмпирической теорией
и имеет ограниченную область применимости, так как в ней
существенным образом использованы экспериментальные данные.
Теория пути перемешивания связывает эффективную турбулентную
вязкость только с локальными характеристиками осредненного
течения и неполностью отражает предысторию развития турбулентного
потока.
§ 15.6. ТУРБУЛЕНТНАЯ ВЯЗКОСТЬ В СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЯХ
В случае смешения двух плоских однородных потоков со
скоростями U1 и 13г между ними развивается пограничный слой
смешения шириной Ь. При больших числах Рейнольдса этот слой
турбулентный и к его анализу может быть применена теория пути
перемешивания Прандтля. Однако более удачным оказалось
применение к анализу струйных течений так называемой новой теории
Прандтля. Он предложил принять, что по всей ширине струи длина
пути перемешивания / постоянна и пропорциональна ширине струи
Ь, а поперечный градиент осредненной скорости в турбулентном слое
смешения можно оценить так: дй/ dy~(U2 — U1)/ Ь. Тогда турбулентную
вязкость в струйном слое смешения можно оценить следующим
образом:
= п/2
Р/2
'рь21¥^~рь\и2-иг\.
Если ввести эмпирический коэффициент х, то выражение для
|iT выглядит так:
цт = хр6|172-£/1|, (15.10)
а ет = цт/р = хй|С/2-С/1|.
Согласно новой теории Прандтля кажущаяся кинематическая
турбулентная вязкость ет постоянна поперек сечения слоя
смешения и изменяется вдоль слоя смешения с изменением Ь
и \132 — 13±\. Новая теория Прандтля для турбулентных
струйных течений широко используется для решения инженерных
задач.
365

§ 15.7. СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Исследования показывают, что развитый турбулентный
пограничный слой можно в поперечном направлении разделить на
внутреннюю пристеночную часть, составляющую около 20% толщины
турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости на
теплоизолированной поверхности, и на внешнее турбулентное ядро,
составляющее около 80% толщины пограничного слоя. С ростом числа
Маха потока толщина внутренней части' растет, а внешней —
уменьшается.
При описании течения во внутренней части турбулентного
пограничного слоя принимается, что она не испытывает влияния
невязкого течения вне пограничного слоя. Тогда можно использовать
в качестве определяющих параметров величины xw, ц, р, у. Введем
величину wt = v/t~7p, имеющую размерность скорости, и используем
ее в качестве характерного масштаба скорости для анализа
турбулентного пограничного слоя. Величина их носит название
динамической скорости. В качестве масштаба длины выберем величину v/wT
и введем безразмерные скорость и/их и расстояние от стенки yuT/v.
В этих безразмерных координатах можно описать профиль скорости
во внутренней части турбулентного пограничного слоя: u/ux=f(yux/v).
Эта зависимость называется законом стенки и показана на рис. 15.4.
Непосредственно около стенки в ламинарном подслое профиль
скорости почти линейный вплоть до значений yujv, при которых
наблюдается переход ламинарной формы течения в турбулентную.
Опыты показывают, что между вязким ламинарным подслоем и
турбулентным течением расположена переходная область, но в
приближенных расчетах часто полагают, что переход происходит скачкообразно
при уиТ/Vttll.
Для анализа течения во внутренней части турбулентного
пограничного слоя выше области вязкого подслоя может быть использована
формула Прандтля для турбулентного трения
'""4s
Эксперименты показывают, что на небольших расстояниях от стенки
можно принять, что 1&Ку, где К=0,4, a tt~tw. Тогда
du_
Ту~~
Ку Ку
(15.11)
После интегрирования уравнения (15.11) и некоторых преобразований
получим логарифмический профиль скорости (закон стенки)
и/иг
30
го
10
о
366
Ь^
^^
пЬЛ*
iD~&
У3^
Y^-
Ц(у"г/и)
Рис. 15.4. Профиль скорости в турбулентном
пограничном слое:
О — экспериментальные значения; закон
стенки (см. уравнение (15.12))

- = A\g?^ + B. (15.12)
Ux V
Сопоставление уравнения (15.12) с экспериментальными данными
дает значения ^4 = 5,6; В = 4,9.
Внутренняя часть турбулентного пограничного слоя слабо
реагирует на изменения течения на внешней границе, такие как изменение
числа Рейнольдса и градиента давления, и логарифмический профиль
скорости можно рассматривать как универсальный, не зависящий от
числа Рейнольдса и градиента давления.
Степень шероховатости обтекаемой поверхности существенно
влияет на профиль скорости во внутренней части турбулентного
пограничного слоя, если средняя высота элемента шероховатости h соизмерима
с толщиной вязкого подслоя, и слабо влияет, если uxh/v<5. Форма
профиля скорости на шероховатой поверхности в координатах и/их
и yux\v остается логарифмической с примерно тем же углом наклона,
что и на гладкой поверхности, но сдвигается в сторону от стенки
с ростом средней высоты элементов шероховатости к.
Внешняя часть турбулентного пограничного слоя по своим
свойствам близка к турбулентным струям, и в первом приближении
можно считать, что длина пути перемешивания / и эффективная
кинематическая турбулентная вязкость ет в этой области мало
изменяются с увеличением расстояния от обтекаемой поверхности.
Свойства течения во внутренней части турбулентного слоя, в частности
динамическая вязкость ja и шероховатость стенки, слабо сказываются
на профиле скорости во внешней части турбулентного слоя. Поэтому
в качестве характерных параметров течения выберем величины их,
у, 5 и опишем профиль скорости во внешней части турбулентного
пограничного слоя зависимостью
В турбулентном пограничном слое несжимаемой жидкости с нулевым
продольным градиентом давления, например на плоской пластине,
функция F носит универсальный характер, не зависит от продольной
координаты х, числа Рейнольдса и степени шероховатости поверхности.
Функция носит название закона дефекта скорости и изображена на
рис. 15.5.
Для расчета эффективной турбулентной вязкости Ф. Клаузер
предложил формулу
[iT = kpUeb\ (15.13)
близкую по структуре к формуле (15.10) Прандтля для турбулентных
струйных течений. В этой формуле А: = 0,0168 — коэффициент
пропорциональности; р — плотность; Ue—скорость на внешней границе
турбулентного пограничного слоя; 5* — толщина вытеснения,
00
5*= |(1-«/ад.
о
Внешняя граница между турбулентным пограничным слоем и
невязким потоком не является гладкой. В этой области отдельные
турбулентные пульсации перемежаются участками относительно
спокойного течения (так называемый надслой). Для уточнения турбулент-
367

(Ue-u)/u
ut
10
r^
<1
К
ной вязкости в этой области в
формулу (15.13) вводится эмпирический
коэффициент перемежаемости у:
|хт = ЛрС/в6>9 (15.14)
где у = (1 + 5,5(у/6)б)_1. Формула
Клаузера (15.13) является
приближенной, и коэффициент к не может
считаться универсальной величиной
для всех случаев течения.
В практике применения
приближенных методов расчета
турбулентных течений используются степенные
профили скорости вида
«/#. = (>>/б)1'", (15.15)
где п&1 для Re*<107. С ростом числа Рейнольдса величина п слабо
увеличивается.
-2 -%5 -1 -0,5 О
0,5
Ц(у/<?)
Рис. 15.5. Профиль скорости в
турбулентном пограничном слое:
О—экспериментальные значения;
закон дефекта скорости
§ 15.8. МЕТОД СЕБИСИ —СМИТА
В современной инженерной практике для расчета
турбулентного пограничного слоя в сжимаемом потоке с учетом теплообмена
широко применяются различные модификации метода Себиси — Смита
[76], в котором существенным образом использованы идеи Прандтля
и Клаузера для описания внутренней и внешней областей
турбулентного пограничного слоя. В этом методе во внутренней части слоя
на гладкой поверхности кинематическую турбулентную вязкость иред-/
лагается описывать формулой
°т.внутр *
УпУ.
(15.16)
Здесь нижний индекс «внутр» означает, что величина ет>внутр относится к
внутренней части турбулентного пограничного слоя 0'^у^уС9 где ус —
граница внутренней области, которая будет определена позже.
Зависимость величины / от поперечной координаты описывается формулой
l=Ky(l-txp(-y/A))9
где К—коэффициент, /£=0,4; А—постоянная длина демпфирования,
которая определяется зависимостями
,1/2
А = 26
v/7V.
N=
(l-exp(ll,8iC)) + exp(ll,8i>*w
и* ах их
Если через обтекаемую поверхность нет вдува (v*w = 0), то
#=(1-11,8/?*)1/2.
Если нет вдува и отсутствует продольный градиент давления
(dp/dx = 0), то N=l9 A = 26v/uxr В формулу (15.16) входит уп —
коэффициент перемежаемости, учитывающий расстояние
рассматриваемого сечения х от точки перехода хп. Этот коэффициент определяется
соотношением
368

X
, - • • ■ dx
уп=1-ехр
Здесь коэффициент G рассчитывается по формуле
G = 8,33'104(tf2/v2)Re-1*34.
Коэффициент у учитывает перемежающийся характер турбулентности
на внешней границе пограничного слоя,
у = (1 + 5,5(^о)6)-1,
где у0 — координата точки у, в которой u/Ue — 0,995.
Во внешней части слоя кинематическая турбулентная вязкость
описывается другой формулой:
ет.внешн = а $(Ue-u)dy\yny (15.17)
I о I
при Ус^у^Ь. Нижний индекс «внешн» означает, что это выражение
относится к внешней части турбулентного пограничного слоя. Иначе
эту формулу можно записать так:
ет. внешн = осС/е5*уПу. (15.18)
Как и в формуле Клаузера (15.13), постоянная а при Re5«>5000
принимается равной 0,0168, а при более низких значениях Re5..
а = 0,0168 [1,55/(1+П)],
где n = 0,55[l-exp(-0,243z}/2-0,298z)], z1 = (Re5«/425)-l при Re5->425.
Граница между внутренней и внешней областями турбулентного
пограничного слоя находится в точке у=уС9 где ет.Внутр —8т.внешн- Для
определения положения точки перехода хи может быть использована
формула Мишеля (15.1) или какой-либо другой метод.
Рассчитанная по методу Себиси — Смита кинематическая
турбулентная вязкость используется в уравнениях турбулентного
пограничного слоя в частных производных, которые обычно решаются численно
конечно-разностным методом. Результаты расчетов турбулентного
пограничного слоя согласуются с экспериментальными данными в тех
областях определяющих параметров, где справедливы использованные
в данном методе эмпирические зависимости.
§ 15.9. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ
Турбулентный пограничный слой на плоской пластине
принадлежит к классу течений, наиболее обстоятельно изученных как
экспериментальными, так и теоретическими методами. Л. В. Козловым
[44, 45] с помощью плавающего датчика были проведены
одновременные измерения напряжения поверхностного трения и тепловых потоков
в турбулентном пограничном слое при различных значениях чисел Рей-
нольдса, Маха и температурного фактора. Результаты этих
исследований с учетом экспериментальных данных других авторов хорошо
обобщаются следующими степенными эмпирическими формулами:
6Vw==0,085Rev;;0'29+0'01,8Re«f^39fe°'2, (15.19)
369

где c/vv, Rew—коэффициент поверхностного трения и число Рейнольдса,
рассчитанные при отнесении определяющих параметров к температуре
стенки Ту,. При этом имеет место следующая связь между параметрами
cfw, Rew и Су, Re, рассчитанными по температуре Те на внешней
границе пограничного слоя:
Cfw
*ew
_ 2xw
_pwUex_
м
= Re
в
IiHi
Tw\iw
Использование Tw в качестве характерной температуры вместо
температуры Те на внешней границе пограничного слоя приводит
к тому, что оказывается легче обобщить экспериментальные данные
и учесть влияние числа М и температурного фактора на напряжение
поверхностного трения. Величина cf определяется по формуле cf =
= =—, где F—измеренная датчиком сила трения; S—площадь
SypM /2
подвижной пластины датчика; y = Cp/Cv — отношение удельной
теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при
постоянном объеме; р—среднее статическое давление в месте
расположения подвижного элемента датчика; М — местное число Маха
на внешней границе пограничного слоя. Отношение
T0e/Te=l+rT{y-l)M2/2 = Tei
где Т0е — равновесная температура стенки; Те — температура на
внешней границе турбулентного пограничного слоя; гт—коэффициент
восстановления в турбулентном пограничном слое, гт^^/Рг (для
воздуха гт»0,88 при М>1 и Rew>5-105). Параметр Те учитывает
влияние числа _М на коэффициент поверхностного трения c/vv.
Величина Twe=Tw/T0\, — температурный фактор, который
учитывает влияние величины и направления теплового потока в стенку
на коэффициент поверхностного трения. Анализ формулы (15.19)
показывает, что с ростом числа Рейнольдса влияние Rew на
коэффициент поверхностного трения уменьшается. В случае Twe=l и М = 0
наиболее интересный для практики диапазон чисел Re от 105 до
1010 можно разбить примерно на пять участков, в пределах которых
величину Сг можно описать следующими простыми формулами:
1) Re=105...106, c, = 0,042Re-°'18;
2) Re=106.
3) Re=107.
4) Re=108.
5) Re=109.
.107, cf = 0,0322Re-0'16;
.108, cf = 0,023Re"0'14;
.109, c, = 0,016Re-°'12:
.1010, cf = 0,011 Re"0'16.
В работах Л. В. Козлова даны оценки погрешности и области
применимости формулы (15.19). Она применима в диапазонах
105<Rew<109, 0<М<10, 0,l<rw<3 с максимальной погрешностью
до ~15%, которая относится к крайним значениям указанных
диапазонов параметров.
В приближенных инженерных методах расчета часто используется
зависимость
су = 0,0592 Re"0'2
в диапазоне 5 • 105<Re< 107.
370

Измерив тепловые потоки в турбулентном пограничном слое на
этой же экспериментальной установке и учтя экспериментальные
данные других авторов, Л. В. Козлов получил следующую
эмпирическую формулу:
8и = 0,0296Ке;°'2Рг-0'57Г^39(1+г(у-1)М^/2)ОД1, (15.20)
где Stw—число Стантона, характеризующее местное значение
безразмерного теплового потока, проникающего в тело, Stw = qw/[pwUeCp(T0e —
— Tw)]9 qw— размерное значение теплового потока; Ср —
удельная теплоемкость при постоянном давлении; Tw — температура
обтекаемой поверхности; Т0е — равновесная температура
теплоизолированной поверхности, обтекаемой турбулентным
пограничным слоем; Rew и Prw — числа Рейнольдса и Прандтля,
рассчитанные по параметрам потока на стенке; Twe=Tw/T0e — температурный
фактор.
Интегральные уравнения количества движения и энергии в
турбулентном пограничном слое имеют такой же вид, как и в случае
ламинарного пограничного слоя, но в правых частях этих уравнений
стоят значения ттн, и qrw для турбулентного пограничного слоя:
£(pe^e25**)+pe^5* = TTVV, (15.21)
^(р.^.('о.-^)вт) = ^. (15.22)
Здесь 9Т= _Р^_ *о *» fiy—толщина потери энергии, i0— энтальпия тор-
J PeUe he~lW
О
можения, i0e—равновесная энтальпия торможения для турбулентного
пограничного слоя. В интегральном методе эффективной длины для
турбулентного пограничного слоя приближенно принимается, что
тепловой поток в данной точке тела qTW можно принять таким же,
как на плоской пластине такой длины, что толщина потери энергии
0Т на пластине равна толщине потери энергии в рассматриваемой
точке тела. Тогда в правую часть интегрального уравнения энергии
(15.22) может быть подставлено эмпирическое выражение для qTW на
плоской пластине это уравнение может быть проинтегрировано и после
некоторых преобразований получены выражения для эффективной
длины пластины хэфф в случае двумерного плоского течения —
X
\pwUedx
^ФФ = 0—— (15.23)
и в случае осесимметричного течения —
]R5'A(x)pwUedx
^эфф"
(x)P»Ve
(15.24)
где R(x) — отсчитанный перпендикулярно к оси симметрии радиус
обтекаемой поверхности [3,68].
371

Идею метода эффективной длины можно представить себе
следующим образом. Криволинейный контур обтекаемого тела заменяется
ломаной линией. Приближенно принимается, что на прямолинейных
отрезках давление постоянно и турбулентный пограничный слой по
своим свойствам такой же, как на плоской пластине с постоянным
давлением. Принимается также, что в точках излома при переходе
от одного отрезка прямой к другому сохраняется значение суммарной
потери энергии, но поскольку изменяются давление и другие параметры
потока при переходе к новому отрезку прямой, то изменяется
воображаемое положение начала пограничного слоя на пластине —
эффективная длина. Рассчитав величину л-эфф по эмпирическим
формулам (15.23) или (15.24) для турбулентного пограничного слоя на
плоской пластине, можно рассчитать коэффициент поверхностного
трения cfWT и число Stw.
В качестве примера рассмотрим расчет величины хэфф для конуса
с полууглом раствора при вершине 9К. В сверхзвуковом потоке на
конусе Ue~const, р = const, pw = const, R = xsinQK, где x—расстояние
от вершины конуса до рассматриваемого сечения, измеренное вдоль
обтекаемой поверхности. Для круглого конуса
J*5'4(sineK)5/4<*x
Таким образом, турбулентный пограничный слой на конусе такой
же, как на пластине, длина которой составляет 4/9 длины образующей
конуса. Учитывая, что cfWT~Re~x'2~x~$2~(Q,44x)~°'2i получим
C/WK = c/wnJI/0,44°*2== 1,175с/1ЯИ.
Метод эффективной длины дает хорошие результаты при расчете
турбулентных пограничных слоев в ускоренных потоках на холодных
поверхностях. В замедленных потоках результаты расчетов менее
точные. С помощью метода эффективной длины нельзя рассчитывать
положение точки отрыва турбулентного пограничного слоя в
замедленных потоках.
Предложенный В. С. Авдуевским метод эффективной длины [3,
68] хорошо работает в области отрицательных и нулевых градиентов
давления, но не позволяет рассчитать параметры турбулентного
пограничного слоя вблизи точки отрыва. В методе эффективной
длины в правой части интегральных уравнений для турбулентного
пограничного слоя используются эмпирические критериальные
зависимости коэффициента трения cfyv и коэффициента теплового потока
Stw (числа Стантона) от основных определяющих параметров для
случая dp/dx = 0. Можно приближенно рассчитать поведение
турбулентного пограничного слоя вблизи точки отрыва, если ввести
в эти функции еще и эмпирическую зависимость от безразмерного
градиента давления Г = г—.
peUtdx
Запишем интегральные уравнения движения и энергии для плоского
и осесимметричного турбулентных пограничных слоев в сжимаемом
газе при положительном градиенте давления:
372

ax
(15.25)
— = EF°.
dx
Здесь введены следующие обозначения. Координата х изменяется
вдоль образующей обтекаемой поверхности:
У=(Я'ре£/е25")5/4;
• \ О5-26)
Z = RlpeUe{i0e-Qb**fr
где Rj = Rj(x)—радиус обтекаемой поверхности, отсчитанный от оси
симметрии, индекс 7 = 0 для пограничного слоя на плоской поверхности,
у=1—для осесимметричного течения; р — плотность; Ue—скорость;
5** — толщина потери количества движения; ioe^^p^oe — равновесная
J PeUe\iw-ioe
энтальпия торможения. Величина р = 0/5**, где 0= -i—( ———)dy.
J PeUe\iw-ioe/
о
В уравнениях (15.25) использованы обозначения Я° = #/#+, D° =
= D/D+, F° = F/D+, где Н—формпараметр, Я=5*/$**;
D—эмпирическая функция, пропорциональная коэффициенту трения на обтекаемой
поверхности; D+ — эмпирическая функция, пропорциональная
коэффициенту трения на плоской пластине при безразмерном градиенте
давления Г = 0; F—безразмерная эмпирическая функция,
пропорциональная тепловому потоку в стенку.
Индексами «е» отмечены параметры на границе пограничного
слоя; «w» — параметры течения на обтекаемой поверхности; « + »—
параметры течения на плоской пластине при Г = 0.
Входящие в систему уравнений (15.25) величины определяются
соотношениями
a^H+U'./U.; b^-R^p^U^D*;
7
ХЛ , У-1лл2
1+1—-М'
ГД 2
0,49 / 1N 0,137
T-U>r2.
2
D + =W29(±-J ^+,TMe2YJ ; (15.27)
E=RlD +Pr-27/*o/^ pi/8Re-i/4gPw£/e(i0c_Ai,);
0 = 6/8",
где индексом «1» обозначены параметры в начальном сечении
пограничного слоя; штрих означает дифференцирование по х.
Эксперименты на теплоизолированной поверхности показывают,
что безразмерный градиент давления Г по мере приближения к точке
отрыва увеличивается вплоть до некоторого максимального значения
Г,пах> а затем за точкой отрыва уменьшается. Вводится обозначение
i =Г/Гтах, и путем анализа и обработки экспериментальных данных
о поведении турбулентного пограничного слоя вблизи точки отрыва
в условиях взаимодействия турбулентного пограничного слоя со
373

1,6
и*
0
0,4
00 7*°
Рис. 15.6. Зависимости безразмерных
параметров D° и F° от параметра Г° для
турбулентного пограничного слоя:
х —экспериментальные значения;
обобщение экспериментальных значений
Рис. 15.7. Зависимость безразмерного
параметра Я° от Г° для турбулентного
пограничного слоя:
х —экспериментальные значения;
обобщение экспериментальных значений
скачками уплотнения строятся эмпирические зависимости #°(Г°),
/)°(Г°), F°(T°), показанные на рис. 15.6, 15.7 (для течения около
теплоизолированной поверхности). Величина Гтах^ 0,023 при изменении
числа М набегающего невозмущенного потока в диапазоне от 2 до
3,3. Это значение Гтах относится к турбулентному пограничному
слою в области больших положительных градиентов давления,
возникающих при взаимодействии скачков уплотнения с турбулентным
пограничным слоем. Следует отметить, что функции #°(Г°), £>°(Г°),
F°(T0) в области Г>0 неоднозначные. Существуют ветвь D°>0
в области безотрывного присоединенного течения и ветвь, где Z>°<0,
в области возвратного течения за точкой отрыва. По абсолютной
величине максимальное значение коэффициента трения в области
возвратного течения составляет около 20% этой величины на плоской
пластине при Г = 0. При увеличении Г от 0 до Гтах значение
безразмерного теплового потока примерно на 10% ниже, чем на
плоской пластине, а в зоне возвратного течения примерно на 23%
ниже, чем на плоской пластине. В области присоединенного течения
до точки отрыва функцию #°(Г°) можно приближенно
аппроксимировать зависимостью Я°=1+0,1Г°, а в области возвратного
течения функция Н° быстро увеличивается по мере удаления от
точки отрыва в связи с ростом толщины области отрывного течения.
По форме зависимости #°, D°, F0 от Г° для турбулентного
пограничного слоя очень похожи на аналогичные зависимости для
ламинарного пограничного слоя, полученные при построении
интегрального метода расчета ламинарного пограничного слоя в работе
К. Коэна и Е. Решотко [98].
§ 15.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В теории длины перемешивания Прандтля турбулентная
вязкость жестко связана с локальным значением поперечного градиента
средней скорости и практически не зависит от предыстории развития
374

турбулентного течения. Это обстоятельство ограничивает область
применимости теории длины перемешивания Прандтля. Ее трудно
применять для анализа развития почти изотропного турбулентного
течения или течений с внезапными изменениями параметров потока
на внешней границе турбулентного пограничного слоя. В 1942 г.
академик А. Н. Колмогоров, а затем независимо от него в 1945 г.
Л. Прандтль предложили новую теорию турбулентных течений, в
которой принимается, что турбулентная вязкость зависит от кинетической
энергии турбулентных пульсаций: к = (и'2 + v'2 + w'2)/2. Исходя из идеи
Рейнольдса о том, что пульсационное турбулентное течение
описывается уравнениями Навье — Стокса, можно из анализа этих уравнений
вывести дифференциальное уравнение для переноса кинетической
энергии турбулентных пульсаций к. Это уравнение позволяет учесть
конвективный перенос энергии турбулентных пульсаций вместе со
струйками жидкости, порождение турбулентной энергии за счет
взаимодействия вязкого течения с высокоэнергетическим основным
потоком и диссипацию энергии турбулентных пульсаций за счет
действия молекулярной вязкости.
В 1965 г. впервые модель турбулентного течения такого типа
была разработана Г. С. Глушко [33] и успешно применена к расчету
турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости на плоской
пластине в областях ламинарного, переходного и турбулентного
участков. В последующие годы это направление усиленно развивалось
в работах Г. С. Глушко, А. Н. Секундова, Б. Лоундера, К. Хайталика,
П. Брэдшоу и др.
Наибольшее распространение в настоящее время получила
предложенная Б. Лоундером [60] двухпараметрическая модель (к—е) и ее
модификации. Из соображений размерности следует, что эффективная
кинематическая турбулентная вязкость должна быть пропорциональна
произведению характерной скорости на характерный масштаб. В
качестве характерной скорости выберем величину к1/29 а характерный
масштаб L удобно связать со скоростью диссипации энергии
турбулентности 8. Тогда, учитывая, что
vt~kll2L; e~k3l2/L,
можно ввести соотношения
v, = C^2/e, T = C,{k2/e)fyp,
где Сц—эмпирический коэффициент пропорциональности. Принимая
предположение о том, что турбулентное течение описывается
уравнениями Навье — Стокса и его можно представить как сумму ос-
редненного и пульсационного движений, можно вывести уравнения
переноса для величин /сиг
-дк , -дк 1 a/pvyaA, (дй\2
(15.28)
_Эб -де 13 / pv,y Зе\ _ е [дй\ „ ре2
p"s+py37=?4^^J ei*pv,w е2^-
Значение показателя степени г = 0 соответствует плоскому течению,
а г= 1—осесимметричному течению. В уравнения (15.28) входят пять
375

эмпирических констант, числовые значения которых подбираются из
условия наилучшего соответствия результатов расчетов турбулентных
течений и экспериментальных данных. В частности используются
следующие значения констант: Сц = 0,09; Се1 = 1,43; Се2 = 1,92; ак=1;
а8=1,3. Этот набор констант позволяет удовлетворительно
рассчитывать многие турбулентные течения, но не является универсальным.
Для расчета сложных турбулентных течений может потребоваться
введение поправок к этим константам. Кроме модели (к — е)
существуют другие модели для описания турбулентного течения, в
частности, более сложные модели, включающие в себя уравнения для
переноса компонент тензора напряжений Рейнольдса и др.
376

ГЛАВА 16. ОТРЫВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
§ 16.1. ПОНЯТИЕ ОТРЫВА ПОТОКА И ТИПЫ
ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Большое влияние на изменение аэродинамических
характеристик летательных аппаратов оказывает возникновение и развитие
около них отрывных течений. Отрывные течения очень многообразны,
они могут быть стационарными и нестационарными, ламинарными
и турбулентными, двумерными и пространственными. Отрывные
течения являются одной из наиболее сложных областей динамики
вязкой жидкости [53, 93, 94, 98]. Рассмотрим процесс возникновения
отрыва пограничного слоя на примере обтекания под углом атаки
профиля крыла (рис. 16.1). На верхней подветренной стороне профиля
давление имеет максимум в передней критической точке, а затем
понижается до минимального значения в средней части профиля,
далее начинается постепенный рост давления. Скорость невязкого
течения на поверхности профиля равна нулю в передней критической
точке, потом повышается до
максимального значения в точке
минимума давления, а затем
уменьшается по мере приближения к
задней кромке профиля.
Рассмотрим теперь, что
происходит внутри пограничного слоя
той части профиля, где давление
вдоль обтекаемой поверхности
повышается. На внешней границе
пограничного слоя скорость потока
равна скорости невязкого течения
и уменьшается до нуля по мере
приближения к обтекаемой
поверхности. В силу малого запаса
кинетической энергии пристеночные
слои жидкости в области
положительного градиента давления
тормозятся сильнее, чем внешние слои,
и профили скорости быстро
становятся S-образными (рис. 16.2).
В какой-то точке скорость
пристеночного слоя жидкости
уменьшается до нуля, и примыкающая к
обтекаемой поверхности предельная
линия тока отделяется от нее. Эту
ТОЧКу называют точкой отрыва Рис. ]6Л. Схема отрыва пограничною
течения. Вниз по потоку от этой слоя на профиле крыла
377

Рис. 16.2. Графики профилей скорости потока
в окрестности точки отрыва пограничного слоя
77777777777777777777777777777Г?
точки на поверхности профиля в пристеночной части пограничного
слоя появляется обратное течение, направленное навстречу
направлению скорости внешнего невязкого потока.
Поскольку скорость . в области обратного течения имеет
отрицательный знак, то и трение на стенке в силу закона трения
Ньютона становится отрицательным iw = \i(du/dy)w<0. В самой точке
отрыва напряжение касательного трения обращается в нуль: xwS = 0.
Это свойство отрывного течения использовано в методе масляной
пленки для определения положения точки отрыва. В области
присоединенного течения масляная пленка за счет сил трения движется
вниз по потоку по направлению к точке отрыва. В области обратного
течения масляная пленка движется навстречу, и в окрестности точки
отрыва накапливается масло, и появляется хорошо заметная полоска.
Поскольку в точке отрыва поверхностное трение равно нулю,
то в силу закона трения Ньютона в точке xs величина (du/dy)w = 0.
Профили скорости в окрестности точки отрыва принимают вид,
показанный на рис. 16.2. Характер распределения скорости в
окрестности точки отрыва может быть использован для определения
положения точки отрыва с помощью Т-образного насадка полного
давления. Измерения ведутся с помощью дифференциального
манометра, и точка отрыва определяется как точка, где полные напоры
прямого и обратного пристеночных течений равны. Если насадок
имеет заметные размеры по сравнению с толщиной пограничного
слоя, то он сам влияет на течение в окрестности точки отрыва,
так что положения точек отрыва, определенные разными
экспериментальными методами, могут не совпадать. Есть и другие методы
определения точки отрыва: метод нитей, метод флажков и т. д.
Появление обратного течения означает, что вместе с этим течением
вверх по потоку передаются возмущения навстречу направлению
внешнего невязкого течения и это противоречит параболическому
характеру уравнений пограничного слоя Прандтля. Эти уравнения не
применимы вниз по потоку от точки отрыва.
Разнообразные типы отрывных течений изучены в неодинаковой
степени. Наиболее изучены стационарные двумерные отрывные течения.
С точки зрения удобства анализа эти течения можно условно разделить
на три крупные группы.
1. Отрыв пограничного слоя на хорошо обтекаемых
телах типа профиля крыла или диффузора реактивного
двигателя. В этих случаях интересуются главным образом условиями
существования безотрывного обтекания. Для решения этой задачи
разработаны критерии отрыва пограничного слоя. Часто ставят
задачу так спроектировать профиль крыла или диффузор
реактивного двигателя, чтобы отрыв пограничного слоя не возникал в
заданном диапазоне определяющих параметров течения. Задача
рассматривается с точки зрения классической теории пограничного
378

Рис. 16.3. Схема отрыва погра- < '■
ничного слоя при взаимодейст- \.
вии его со скачком уплотнения
М>[
\\\\\\\\\\\\\\\\\\ЧЧ\\Ч\Ч\Ч\Ч\\Ч\\\
^v /у' Вязкое
М > 1 ^^^г /лечение
Z^--^^ —
слоя. Сначала рассчитывается невязкое течение около обтекаемого
тела и определяется распределение давления по его поверхности.
Затем для заданного распределения давления рассчитывается
пограничный слой и выявляются критерии возникновения отрыва. Обратным
влиянием пограничного слоя на внешнее невязкое течение обычно
пренебрегают.
2. Отрыв пограничного слоя под воздействием
самоиндуцированного положительного градиента
давления на обтекаемом теле. В этом случае учитывается обратное
влияние пограничного слоя на внешний невязкий поток. В результате
взаимодействия пограничного слоя и внешнего невязкого потока на
обтекаемом теле индуцируется распределение давления с
положительным градиентом, что приводит к возникновению отрыва пограничного
слоя. Такой случай течения имеет место, например, при взаимодействии
скачка уплотнения с пограничным слоем (рис. 16.3).
Если на плоскую поверхность в невязком сверхзвуковом потоке
падает скачок уплотнения и отражается от нее, то в точке падения
скачка уплотнения давление повышается ступенеобразно. Градиент
давления в этой точке становится бесконечно большим. Возникшее
возмущение давления по дозвуковой части пограничного слоя
распространяется вверх по потоку. Пограничный слой утолщается,
увеличивается толщина вытеснения и во внешнем невязком потоке
возникает течение сжатия перед точкой падения скачка уплотнения на
пластину. На обтекаемой сверхзвуковым потоком вязкого газа
поверхности индуцируется плавное повышение давления вместо
скачкообразного при невязком обтекании. Если индуцированные на поверхности
градиенты давления велики, то возникает отрыв пограничного слоя.
3. Отрыв потока за кормой плохо обтекаемых тел,
а также случаи отрывных течений, когда положения
точек отрыва или присоединения потока фиксированы,
связаны с особенностями геометрии обтекаемых тел, например, отрыв
потока за плоским уступом на гладкой поверхности.
§ 16.2. КРИТЕРИЙ ОТРЫВА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В § 14.2 был описан вывод уравнений пограничного слоя
на основе сравнительной оценки величин членов уравнений Навье —
Стокса в предположении, что толщина пограничного слоя намного
меньше характерной длины обтекаемого тела. Из чего следует, что
379

величина продольного градиента давления dp/dx в пограничном слое
ограничена и не может по порядку величин превышать величину
члена уравнения, описывающего поперечный градиент напряжения
трения. Для ламинарного пограничного слоя с точностью до порядка
величин можно записать соотношение
dp д2и ие
Разделим это соотношение на его правую часть и получим
T_(dp/dx)62
Если величина Г по порядку величин существенно превосходит
единицу, то уравнения пограничного слоя теряют физический смысл
и их нельзя применять для расчета вязкого течения около стенки.
Эксперименты показывают, что в этом случае обычно имеет место
отрыв ламинарного пограничного слоя. Величина Г может быть
использована в качестве критерия отрыва ламинарного пограничного
слоя. Численное значение критерия отрыва Г5 определяют путем
точных и приближенных расчетов течения в пограничном слое вплоть
до точки отрыва. Критерий отрыва Ys является безразмерной
величиной и зависит от числа Маха потока, температурного фактора
и других условий течения. При вычислении величины Г5 в качестве
характерного линейного размера вместо условной толщины
пограничного слоя Ъ может быть использована толщина потери количества
движения 5** или толщина вытеснения 8*.
Для определения значения критерия отрыва ламинарного слоя
можно использовать численные расчеты автомодельных решений для
уравнений ламинарного пограничного слоя с распределением скорости
невязкого потока несжимаемой жидкости на обтекаемой поверхности
вида Ue — Cxm и различных значений параметров теплообмена Sw = (iw/
i0e)— 1, где iw—энтальпия обтекаемой поверхности; i0e—энтальпия
торможения невязкого потока на внешней границе пограничного слоя,
описанные в гл. 14. Расчеты проводились для значения числа Прандтля
Рг=1 и линейной зависимости вязкости от температуры по формуле
Чепмена и Рубезина (14.69). В процессе расчетов определялись условия
возникновения отрывного течения для разных значений параметра
теплообмена Sw. Воспользовавшись преобразованием Стюартсона,
можно определить влияние числа Маха невязкого потока и
температурного фактора Sw на величину критерия отрыва по формуле
Г5=и^(1+1гм'2)"2-
Здесь значение величины Г5 рассчитано по толщине потери количества
движения 5** и продольному градиенту давления dp/dx для условия
возникновения отрывного течения, а также с использованием значений
скорости и вязкости на внешней границе пограничного слоя. В правую
часть формулы входят значения температуры стенки tW9 температуры
торможения t0e и числа Маха Ме невязкого потока на внешней
границе пограничного слоя. Величина п связана с распределением
скорости на внешней границе невязкого несжимаемого течения и
определяется из подобных решений уравнений пограничного слоя. Известно,
380

что при возникновении отрыва численное значение величины п = 0,1335
для значения параметра теплообмена Sw = — 1. Это значение Sw
соответствует случаю обтекания предельно охлажденной поверхности
с температурой стенки tw — 0 К. На теплоизолированной поверхности
при Sw = 0 отрыв пограничного слоя возникает при « = 0,0681, а на
горячей поверхности при 5W= + 1 « = 0,047. Отсюда следует, что
численное значение критерия отрыва уменьшается с ростом
температуры стенки и увеличением Ме на внешней границе пограничного
слоя. Увеличение температуры стенки и числа Маха на внешней
границе пограничного слоя приводят к уменьшению плотности и
скоростного напора в пристеночных слоях пограничного слоя. Слои
газа с низким скоростным напором отрываются при меньших
значениях параметра Ts.
Численное значение критерия Г5 зависит также от предыстории
развития пограничного слоя. При решении уравнений пограничного
слоя с распределением скорости на внешней границе пограничного
слоя Ue=Cxm отрыв возникает одновременно во всех точках
обтекаемой поверхности при Г5 = 0,0681 для Ме = 0 и Sw = 0. Если
ламинарный пограничный слой развивается на плоской пластине
и скорость на внешней границе пограничного слоя убывает по закону
типа Ue—U0 — bx, то, согласно расчетам Хоуарта, в точке отрыва
Г5 = 0,084.
В критерии отрыва Г8 входит только первая производная скорости
давления вдоль обтекаемой поверхности, а предыстория развития
ламинарного пограничного слоя грубо учитывается введением
в Г5 толщины потери количества движения 5**. Для оценки влияния
крутизны падения скорости внешнего невязкого течения на критерий
отрыва Г8 были рассчитаны условия возникновения отрыва для
случая распределения скорости невязкого потока на обтекаемой
поверхности вида U=U0 — bxn для значений я = 1, 2, 4, 8 [82]. Расчеты
показали, что величины Г5 соответственно равны 0,084; 0,092; 0,103;
0,119. Таким образом, на величину критерия отрыва существенное
влияние оказывает не только первая производная скорости невязкого
течения на обтекаемой поверхности, но и вторая производная. Чем
круче падает скорость невязкого течения, тем труднее оторвать
обладающий большой инерцией пограничный слой и тем больше
величина Г5.
Для грубой оценки численного значения критерия отрыва могут
быть также использованы приближенные интегральные методы расчета,
в частности метод Польгаузена, который дает значение Г5 = 0,1567
при Ме = 0 и Sw — 0. В качестве примера рассмотрим отрыв
ламинарного пограничного слоя на слабоволнистой теплоизолированной стенке
в потоке несжимаемой жидкости [69, 79]. Невязкое течение около
слабоволнистой стенки рассчитывается с использованием линейной
теории, а пограничный слой и условия возникновения отрыва тремя
методами: 1) с помощью разложения решения в ряд Блазиуса; 2)
конечно-разностным методом; 3) с применением критерия отрыва,
определенного по методу Польгаузена. Расчеты позволяют определить
номер волны и минимальное значение безразмерной амплитуды волны
а0, при которых впервые на поверхности возникает отрыв, а также
безразмерную координату точки отрыва xs. Координата точки отрыва
и амплитуда волны отнесены к длине волны. Согласно расчетам по
первому методу на первой волне отрыв может возникнуть в точке
381

л:5 = 0,6125 при минимальном значении а0 = 0,011, по второму методу —
в точке xs = 0,6925 при а0 = 0,0065, по третьему методу — в точке
jcs = 0,52 при а0 = 0,0032. Если течение на первой волне безотрывное,
то на второй волне отрыв согласно расчетам по первому методу
может возникнуть в точке xs=l,6 при я0 = 0,0055, по второму — в
точке jcs=1,45 при а0 = 0,002...0,003, по третьему — в точке xs = 1,515
при а0 = 0,0011. При использовании критерия отрыва толщина
пограничного слоя и толщина потери количества движения
рассчитываются для случая течения на плоской пластине без учета влияния
волнистости, а величина dp/dx берется из расчета невязкого течения
около волнистой поверхности. Такой способ значительно проще
первых двух, тем не менее позволяет дать оценку положения точки
отрыва и условий возникновения этого явления на волнистой
поверхности.
В случае отрыва турбулентного пограничного слоя молекулярная
вязкость оказывает слабое влияние на условия возникновения отрыва,
а изменение количества движения в окрестности точки отрыва
турбулентного пограничного слоя уравновешивается силами давления.
Предыстория развития вязкого пограничного слоя характеризуется
тем, что в качестве характерного линейного размера выбирается
толщина вытеснения 5*. Построенный таким образом безразмерный
продольный градиент давления принимается за критерий отрыва
r _(dpjdx)b*
На теплоизолированной поверхности при Sw = 0 и Ме = 0 критерий
отрыва имеет численное значение Г5г = 0,015. Эксперименты
показывают, что с ростом числа Маха величина TST плавно уменьшается.
Достоверных количественных данных обо всех условиях течения,
влияющих на отрыв турбулентного пограничного слоя, существенно
меньше, чем для ламинарного пограничного слоя.
§ 16.3. ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ
САМОИНДУЦИРОВАННОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ГРАДИЕНТА
ДАВЛЕНИЯ НА ОБТЕКАЕМОМ ТЕЛЕ
Рассмотрим сверхзвуковое обтекание вязким газом клина,
прикрепленного к плоской поверхности (рис. 16.4). В невязком газе
перед клином образуется косой скачок уплотнения. Распределение
давления в окрестности излома обтекаемой поверхности принимает
ступенеобразную форму. Положительный градиент давления в точке
излома становится бесконечно большим. В вязком газе вдоль
обтекаемой поверхности нарастает пограничный слой. Из теории
пограничного слоя известно, что ламинарный пограничный слой не
может выдержать бесконечно большой градиент давления и течение
должно перестроиться. На самой обтекаемой поверхности скорость
потока равна нулю, а в пристеночной области течение дозвуковое.
Благодаря наличию области дозвукового течения возмущения давления
передаются от точки излома вверх по потоку, пограничный слой
утолщается, во внешней невязкой области возникает течение сжатия
382

\xf=xs \Хг \х3-хя\х+-хн
Рис. 16.4. Схема отрыва ламинарного пограничного слоя перед клином, прикрепленным
к обтекаемой поверхности
и, на обтекаемой поверхности вверх по потоку от точки излома
индуцируется плавное повышение давления вместо ступенеобразного.
Если угол клина мал и индуцированный положительный градиент
давления невелик, то отрыв пограничного слоя не возникает, если
градиент давления большой, то вверх по потоку от точки излома
возникает отрыв пограничного слоя, а в окрестности точки излома
появляется область обратного течения. На некотором расстоянии
вниз по потоку от точки излома оторвавшийся поток присоединяется
к обтекаемой поверхности. В окрестности точки присоединения потока
наблюдается течение сжатия, и давление повышается. Наибольшие
положительные градиенты давления наблюдаются вблизи точек отрыва
и присоединения пограничного слоя. В невязком потоке в этих
областях характеристики одного семейства пересекаются и образуются
скачки уплотнения. Вдали от обтекаемой поверхности эти скачки
уплотнения сливаются в общий лямбдаобразный скачок. Картины
течения около клина в вязком и невязком газах существенно
различаются. Скачок уплотнения, возникающий около точки отрыва,
называют критическим скачком уплотнения, а отношение давления
за этим скачком к давлению перед ним — критическим отношением
давлений.
Отрыв пограничного слоя под действием скачков уплотнения
встречается в разных ситуациях. Одним из первых такой случай
отрыва пограничного слоя наблюдал в 1939 г. А. Ферри в местной
383

М<1
/ М>1
*£??///&
а)
М>1
Рис. 16.5. Схема отрыва пограничного слоя на профиле крыла:
a—M<i; б — М>1
М>1
Рис. 16.6. Схема отрыва пограничного
слоя в сопле двигателя при истечении
струи в среду с большими
противодавлениями
Рис. 16.7. Схема отрыва пограничного
слоя в диффузорной части реактивного
двигателя при нерасчетном режиме
работы воздухозаборника
сверхзвуковой зоне на профиле крыла, обтекаемом околозвуковым
потоком воздуха. В сверхзвуковом потоке скачки уплотнения вызывают
отрыв пограничного слоя на подветренной стороне крыла (рис. 16.5).
Отрыв пограничного слоя может возникать в соплах двигателей при
работе в среде с большим противодавлением (рис. 16.6). В этом
случае скачки уплотнения входят внутрь сопла и вызывают отрыв
пограничного слоя. Тяга *двигателся при этом падает. Отрыв
пограничного слоя под воздействием скачков уплотнения может происходить
в каналах диффузоров реактивных двигателей и аэродинамических труб
(рис. 16.7). Отрыв пограничного слоя может происходить на корпусе
летательного аппарата под воздействием сильно расширяющейся
струи, истекающей из сопла двигателя в пространство с пониженным
давлением (рис. 16.8).
М>/
^^
Рис. 16.8. Схема отрыва
пограничного слоя на корпусе ЛА
под воздействием струи
двигателя, истекающей в
пространство с низким давлением
384

§ 16.4. ОТРЫВ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
В конце сороковых годов в СССР и других странах были
начаты интенсивные исследования взаимодействия скачков уплотнения
с пограничным слоем. Большой вклад в результаты этих исследований
внесли академик Г. И. Петров и его сотрудники. На основе анализа
большого числа экспериментальных данных были установлены
некоторые общие закономерности, присущие этому явлению.
Было найдено, что если падающий на пограничный слой скачок
уплотнения слаб, то отрыва пограничного слоя не происходит, но
давление на обтекаемой поверхности перераспределяется. Вместо характерного
для невязкого газа ступенеобразного повышения давления в точке
падения на сгенку скачка уплотнения наблюдается достаточно плавное
повышение давления. Если нтенсивность воздействующего на
пограничный слой возмущения превышает некоторую критическую величину,
то возникает отрыв пограничного слоя и перед точкой отрыва вне
пограничного слоя возникает скачок уплотнения, не предусмотренный
теорией невязких течений (см. рис. 16.4). Этот скачок уплотнения был
назван критическим скачком, а отношение давления за этим скачком
к давлению перед ним было названо критическим отношением давлений.
Оказалось, что критическое отношение давлений не зависит ни
от интенсивности возмущения, вызвавшего отрыв, ни от его типа:
угла клина, интенсивности падающего на пограничный слой скачка
уплотнения, величины противодавления при отрыве пограничного слоя
внутри сверхзвукового сопла.
Однако картина течения в области отрыва пограничного слоя
и величина критического отношения давлений существенным образом
зависят от состояния пограничного слоя, от того, ламинарный это
слой, турбулентный или переходный от ламинарного к турбулентному.
Критическое отношение давлений в случае турбулентного режима
течения в пограничном слое в пределах точности экспериментальных
данных зависит от числа Маха перед точкой отрыва и рода газа.
Полученные в работах Г. И. Петрова и его сотрудников
экспериментальные данные о величине критического отношения давлений для
воздуха и турбулентного состояния пограничного слоя можно описать
эмпирической зависимостью
(/>2//>i)«p = 0,713Me + 0,287, (16.1)
где Ме перед точкой отрыва изменялось
в пределах от 1,5 до 4 (рис. 16.9). При
Ме< 1,3 отношение давлений даже в
прямом скачке уплотнения относительно
невелико. Эксперименты показывают,
что при Ме<1,3 скачки уплотнения
оказываются настолько слабыми, что не
могут вызвать отрыв турбулентного
пограничного слоя. Кроме (16.1)
существуют и другие эмпрические зависимости
для {p2lPl)Kp [53, 93, 94].
Если критическое отношение
давлений не зависит от интенсивности и типа
возмущения, вызвавшего отрыв турбу-
(P2/Pl)*p
•У
У
>?
• <"
>*
1 2 J 4- М
Рис. 16.9. Зависимость
критического отношения давлений от числа
М для турбулентного
пограничного слоя:
#—экспериментальные точки;
— эмпирические формулы (16.1)
385

лентного пограничного слоя, то картина течения вниз по потоку от
точки отрыва и линейные размеры области обратных токов
существенно зависят от этих параметров. В качестве примера рассмотрим
картину турбулентного отрывного течения, возникающего перед
клином, прикрепленным к обтекаемой поверхности (см. рис. 16.4). Если
угол клина достаточно большой, то вверх по потоку на некотором
расстоянии от точки излома обтекаемой поверхности возникает точка
отрыва турбулентного пограничного слоя, за которой образуется
клинообразная область обратных токов с почти прямолинейной
внешней границей, так называемый «жидкий клин». Угол раствора
этого жидкого клина слабо изменяется с ростом числа Маха перед
точкой отрыва и составляет около 11... 13°. Если высота клина
невелика, то точка присоединения оторвавшегося потока расположена
вблизи верхней точки клина. Характерная длина области обратных
токов, измеренная от точки отрыва до точки излома, определяется
высотой и углом клина, а также углом жидкого клина, и слабо
зависит от толщины пограничного слоя перед точкой отрыва.
Если высота клина намного больше толщины пограничного слоя
перед точкой отрыва, длина области отрывого течения
пропорциональна толщине пограничного слоя 8 (или толщине вытеснения 8*)
и слабо зависит от высоты клина. В этом случае положения точек
отрыва и присоединения определяются только процессом
взаимодействия вязкого и почти невязкого потоков и его принято называть
случаем «свободного взаимодействия». Попытаемся следующим
образом оценить зависимость длины области отрывного течения от
угла клина Р и Ме невязкого потока перед клином для случая
полностью турбулентного пограничного слоя на обтекаемой
поверхности. Известно, что наиболее круто давление в области
взаимодействия растет в окрестностях точек отрыва и присоединения.
Максимальная величина градиента давления в точке отрыва турбулентного
пограничного слоя определяется критерием отрыва следующего вида:
Если градиент давления и величина Г8Т в области взаимодействия
ограничены, то увеличение угла клина и соответственно коэффициента
давления Срк в конце области взаимодействия на поверхности клина
должно приводить к увеличению размеров области взаимодействия
и области отрывного течения. Для грубой оценки длины области
отрывного течения применим критерий TST ко всей области
взаимодействия. Примем, что приращение коэффициента давления АСр~Срк,
Ах~1, Ь = $о равно толщине пограничного слоя перед точкой отрыва.
Кроме того, если угол (3 не слишком велик, а Ме достаточно
большое, то в соответствии с линейной теорией можно приближенно
принять Срк~(3/Ме. Применив критерий TST ко всей области
взаимодействия, получим
//80~Р/Мв.
Использовав эти соображения для обработки экспериментальных
данных, можно получить для оценки длины области обратных токов
следующую эмпирическую зависимость:
386

l = gexp [0,182(Р-Р')]. (16.2)
Здесь /—расстояние от точки отрыва до точки излома; 50—толщина
турбулентного пограничного слоя перед точкой отрыва; Ме — число
Маха перед точкой отрыва; р — угол клина в градусах; (3* = 27° —
экспериментальная постоянная.
Появление области отрывного течения перед клином существенно
изменяет суммарные характеристики сопротивления обтекаемого тела.
Максимальный коэффициент сопротивления в невязком потоке
достигается при увеличении угла клина до (3 = 90° (ступенька). В вязком
турбулентном потоке на пластине перед ступенькой возникает
клинообразная область отрывного течения (жидкий клин) с углом раствора этого
клина около 11... 13°. В области отрывого течения давление на лицевой
поверхности ступеньки меньше, чем в соответствующем невязком
потоке. Эксперименты показывают, что при увеличении угла клина (3
коэффициент сопротивления клина увеличивается до тех пор, пока точка
присоединения потока не приблизится к верхней кромке клина. Это обычно
имеет место при углах порядка 50...70° в зависимости от отношения
высоты клина к толщине турбулентного пограничного слоя перед
точкой отрыва. При дальнейшем увеличении угла клина (3 коэффициент
сопротивления клина уменьшается. Это явление иногда используется
для снижения волнового сопротивления летательных аппаратов в свер-
хзуковом потоке. Перед торцом обтекаемого тела устанавливается
игла. В вязком потоке около иглы образуется конусообразная область
отрывного течения — «жидкий конус», волновое сопротивление которого
существенно меньше, чем волновое сопротивление торца.
Для приближенной оценки тепловых потоков в области отрыва
турбулентного пограничого слоя можно использовать эмпирические
зависимости:
Nucp«0,009Re°'e8, (16.3)
а/аср*0,3(х//)-°'7. (16.4)
Здесь Nucp = acp//A,, где аср— средний коэффициент теплоотдачи во
всей области отрывного течения от точки отрыва до точки
присоединения, соответствующий суммарному тепловому потоку в этой
области; /—расстояние вдоль внешней границы области отрывного
течения от точки отрыва до точки присоединения; X—коэффициент
теплопроводности газа; Rewe = pvv Uel/\xw, где pw и \х—соответственно,
плотность и вязкость, рассчитанные по температуре стенки Tw;
Ue — скорость невязкого течения на внешней границе области
отрывного течения; х—расстояние, отсчитанное от точки присоединения
отрывного течения к поверхности клина вдоль его поверхности по
направлению к точке отрыва.
§ 16.5. ОТРЫВ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С НЕВЯЗКИМ
СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
В случае взаимодействия турбулентного пограничного слоя
со скачками уплотнения давление в области точки отрыва повышается
довольно круто (на длине около двух — трех толщин пограничного
13!
387

слоя), а в случае отрыва ламинарного пограничного слоя повышение
давления происходит гораздо более плавно на протяжении десятков
толщин пограничного слоя.
В соответствии с идеями Д. Р. Чепмена, Д. М. Кюна, Г. К. Лар-
сона можно следующим образом проанализировать характер течения
в области взаимодействия ламинарного пограничного слоя с внешним
невязким потоком [93]. Примем, что толщина вытеснения 5*
определяет воздействие ламинарного пограничного слоя на внешний невязкий
поток и распределение давления в окрестности точки отрыва
определяется распределением толщины вытеснения Ь*(х). Согласно линейной
теории сверхзвуковых течений, изменение давления Ар в сверхзвуковом
потоке связано с изменением угла отклонения потока Л9 формулой
Введем величину ACp = Ap/(peUe/2) и получим
АС, = -Д=.
Здесь р — давление на обтекаемой поверхности; ре, Ue, Ме — плотность,
скорость, число Маха в сверхзвуковом потоке на внешней границе
пограничного слоя. Принимаем, что изменение давления происходит
плавно, изоэнтропически, без скачков уплотнения.
Принимается, что изменение угла отклонения потока связано
с ростом толщины вытеснения
Ae~(rf87«bc)~(8S/A/).
Здесь 5 J — толщина вытеснения в точке отрыва; А/—характерная
длина области вязкого взаимодействия перед точкой отрыва. В точке
отрыва коэффициент давления Cp — CpS, тогда ACp~CpS и
С^~(2/УЩ^)(5£/Д/). (16.5)
Оценим величину (5*/А/) из анализа течения пограничного слоя
вблизи стенки. Выпишем уравнение пограничного слоя
ди ди _ dp дх
дх ду dx ду
На стенке u = v = 0 при у = 0. На стенке уравнение пограничного слоя
имеет вид
dx \dy)w
Разделим это уравнение на величину peUl)2 и получим
(16.6)
dCD I dCf
dx \ ду
За характерный поперечный размер примем толщину вытеснения
А;>~5*, а за характерный продольный размер—длину области вязкого
взаимодействия А.х~А/, тогда из последнего уравнения (16.6) получим
приближенное соотношение
388

AC„ I ACf
л/ v «• ' - (16-7)
Для приближенных оценок примем, что в окрестности точки
отрыва ACp~CpS, ACf~Cfw.
Тогда из (16.7) следует соотношение
(5*/Д/)~ CfJCpS.
Подставив это выражение в уравнение (16.5), получим
CpS~<CjJCfS)ljMl-\
или CpS~y/cJ^{Mj-l)-4\
Так как C/w~Re~1/2, то
C^-RM^-ljRe]"1'*.
Сопоставление полученного выражения с экспериментальными
данными для величины коэффициента давления CpS в точке отрыва
ламинарного пограничного слоя на теплоизолированной поверхности
показывает, что зависимость CpS от Ме и Re можно описать
эмпирической формулой
CpS = 0,93[(Mj-l)Re]-1^, (16.8)
а соответствующую зависимость для коэффициента давления
СрР в области «плато давления» в окрестности точки излома
обтекаемой поверхности формулой
Cpp=l,67[(M?-l)Re]-1^. (16.9)
Расчеты и эксперименты показывают, что отрыв ламинарного
пограничного слоя на теплоизолированной поверхности перед клином
не возникает, если коэффициент давления на поверхности клина
Срк<2,3[(М*-1)Щ-1» (16.10)
На конусе ламинарный пограничный слой в ^/3 раз тоньше,
чем на плоской пластине при одинаковых параметрах течения на
внешней границе пограничного слоя. Эксперименты показали, что на
тонких конусах коэффициент давления в области развитого отрывного
течения в ^/Ъ раз больше, чем на плоской пластине, т. е.
Срркон= 1,67^/3 [(М |-1) Re]"1/4. (16.11)
При отрыве ламинарного пограничного слоя на плоской пластине
с прикрепленным к ней клином коэффициенты давления
CpS и Срр практически не зависят от величины угла клина р. Однако
в случае свободного взаимодействия (когда высота клина намного
больше высоты точки присоединения над плоской пластиной) длина
зоны отрывного течения / существенно зависит от угла клина (3.
Можно следующим образом оценить зависимость длины зоны
отрывного течения от угла клина (3 или от связанного с ним значения
коэффициента давления на клине в невязком потоке Срк. Известно,
что давление в области взаимодействия наиболее круто растет
в окрестностях точек отрыва и присоединения, а в области развитого
отрывного течения градиент давления мал (область плато давления).
389

Максимальная величина градиента давления в точке отрыва
определяется критерием отрыва
Г,-£4~1Г *>/*»• (16.12)
ox \iUe ах v
где z—характерный поперечный размер для ламинарного пограничного
слоя.
Если для приближенных оценок принять предположение, что
течение в пограничном слое и области отрывного течения можно
грубо описать однопараметрическим семейством профилей, то
градиент давления в точке присоединения также определяется критерием
Г5. Величина Г5 ограничивает максимальный градиент давления
в области взаимодействия вязкого и невязкого потоков. Поэтому
увеличение угла отклонения клина Р и соответственно коэффициента
давления Срк вниз по потоку от точки присоединения приводит
к увеличению области взаимодействия и длины области отрывного
течения настолько, что внутри нее не превышаются максимально
допустимые значения градиента давления. Для грубой оценки длины
области отрывного течения применим критерий Г5 ко всей области
взаимодействия. Тогда приращение коэффициента давления АСр~Срк,
поскольку Ср в области взаимодействия изменяется от нуля до
СрК на расстоянии Дх~/—длины области взаимодействия. Когда
область отрывного течения невелика, то за характерный поперечный
размер z можно принять толщину вытеснения 5 о перед точкой
отрыва пограничного слоя. Тогда из соотношения (16.12) получим
оценку
//5o~CpKVRe-
Таким образом, если течение в области взаимодействия полностью
ламинарное, то величина //8* растет с ростом величины Сркч/Ке.
Развитие отрыва ламинарного пограничного слоя на тонком
конусе с присоединенной к нему конусообразной «юбкой» происходит
таким же образом. На рис. 16.10 показаны экспериментально
измеренные зависимости величины //5* от Re на поверхности конуса для
разных значений р— угла отклонения потока в точке соединения
конуса и юбки. Эксперименты проведены с тонким конусом с
полууглом раствора 5° при М = 7,1 на поверхности конуса. При малых
значениях Re величина 1/Ь*0 растет с ростом Re вплоть до некоторого
значения Re = Re*, при котором в конце области отрывного течения
происходит переход ламинарного течения в турбулентное. При Re>Re*
зависимость //5 о от Re терпит излом и //5 о начинает уменьшаться
с ростом числа Re. Величина / измерялась от точки отрыва до
точки излома обтекаемой конической поверхности. Для диапазона
Re<Re*, соответствующего полностью ламинарному течению в
области отрывного течения, экспериментальные данные можно описать
эмпирической интерполяционной формулой
//5* = Лехр(СркЛДе/Я), (16.13)
где
Л = 1+0,1((1/Ме)- (1/7,1)), В=41.
Анализ экспериментальных данных показывает, что при Re>Re*,
когда в конце области взаимодействия имеет место переход от
390

Рис. 16.10. Зависимость безразмерной длины
области ламинарного отрывного течения на
конусе с юбкой от числа Рейнольдса для
М = 7,1:
ф, О, Д, х, D, ■, А, н экспериментальные точки
для разных значений (3
ламинарного течения к
турбулентному, изменение //5 о с ростом Re
происходит таким образом, что ReL,
рассчитанное по расстоянию L,
измеренному вдоль границы зоны
отрывного течения от точки отрыва до
точки присоединения, и по
параметрам невязкого потока на внешней
границе отрывного течения в зоне
плато давления, остается почти
постоянным. В результате Re>ReL
приводит к уменьшению величины 1/Ь*0.
При больших числах Рейнольдса,
когда течение перед точкой отрыва и во
всей области взаимодействия становится полностью турбулентным,
величина //5 о слабо зависит от Re. Величину числа Рейнольдса
перехода ReL от ламинарного течения к турбулентному в конце
области отрывного течения можно приближенно оценить по
эмпирической формуле
ReL = 7-104exp[0,67(M-l)]. (16.14)
Здесь число М измерено перед точкой отрыва пограничного слоя
на теплоизолированной поверхности в диапазоне чисел М<7,1, а число
ReL рассчитано по параметрам невязкого потока на внешней границе
отрывного течения и расстоянию L между точками отрыва и
присоединения.
§ 16.6. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛАМИНАРНОГО
ОТРЫВНОГО ТЕЧЕНИЯ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Наиболее общим методом расчета ламинарного отрывного
течения, возникающего в сверхзвуковом потоке под воздействием
скачков уплотнения, является численное решение полной системы
уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа.
В качестве примера рассмотрим решение задачи о возникновении
области ламинарного отрывного течения перед ступенькой в
сверхзвуковом потоке [63]. На рис. 16.11 показана рассчитанная численно
картина линий тока в области ламинарного отрывного течения,
образующегося перед уступом на плоской пластине в сверхзвуковом
потоке при N1^ = 2,3 и Re = 720. Число Рейнольдса рассчитано по
параметрам внешнего невозмущенного потока и высоте уступа. Задача
решалась методом установления с использованием неявной конечно-
разностной схемы расщепления, предложенной В. М. Ковеня,
Н. Н. Яненко.
Численное решение полной системы уравнений Навье — Стокса
является пока весьма трудоемким процессом и требует довольно
I/**
о г ч б д юб Re
391

Рис. 16.11. Картина линий тока ламинарного
отрывного течения перед уступом, численно
рассчитанная с использованием полной
системы уравнений Навье — Стокса [63 ]
длительного времени работы ЭВМ. Поэтому метод численного
решения полной системы уравнений Навье — Стокса в настоящее
время еще не стал основным рабочим инструментом исследования
отрывных течений.
Нашел применение асимптотический метод расчета отрывного
течения [64], позволяющий рассчитывать относительно небольшие
области ламинарного отрывного течения при больших числах Рей-
нольдса. В § 16.2 показано, что вблизи точки отрыва продольный
градиент давления достигает наибольших значений во всей области
применимости уравнений пограничного слоя, а величина трения на
стенке в точке отрыва обращается в нуль. Из анализа величины
членов системы уравнений Навье — Стокса при Re-> оо можно
сделать вывод, что в окрестности точки отрыва внутри пограничного
слоя силы инерции уравновешиваются в основном силами давления,
т. е. основные процессы течения во внешней части ламинарного
пограничного слоя управляются уравнениями Эйлера для невязкого
течения. Однако в условиях сплошной среды на самой поверхности
стенки всегда выполняются условия прилипания, в том числе и при
Re -»оо. Для описания течения в пристеночной области следует
применить уравнения пограничного слоя. Таким образом, строится
трехслойная модель течения в окрестности точки отрыва. Внешняя
область течения соответствует внешней области невязкого течения
в классической теории пограничного слоя и управляется уравнениями
Эйлера. Средняя область имеет поперечный размер, соизмеримый
с толщиной пограничного слоя в классической теории Прандтля.
Профиль скорости в этой области далеко вверх по потоку от точки
отрыва близок к профилю в пограничном слое Прандтля. Однако
вблизи точки отрыва принимается, что течение в этом завихренном
слое управляется уравнениями Эйлера для невязкого течения.
В третьем пристеночном слое течение вязкое, и управляется оно
уравнениями пограничного слоя Прандтля. Все компоненты скорости
на самой стенке принимаются равными нулю. Пристеночный слой
тонок и скорости по всей его толщине невелики, поэтому в первом
приближении для описания течения можно использовать в нем
уравнения пограничного слоя для несжимаемой жидкости. Увеличение
толщины пограничного слоя индуцирует повышения давления во
внешнем сверхзвуковом потоке. Совместное решение задачи о течении
во всех трех слоях позволяет рассчитать распределение давления
на обтекаемой поверхности как перед точкой отрыва, так и в
некоторой окрестности за точкой отрыва. На рис. 16.12 показаны
результаты расчетов коэффициента давления Ср при различных
числах Маха М^ в точке отрыва (7) и в области плато давления
(2) вниз по потоку от точки отрыва. Асимптотические методы
392

нашли применение для анализа
особенностей разных типов отрывных течений.
Широкое применение для
приближенного расчета течения в области отрыва
ламинарного пограничного слоя нашли
более простые интегральные методы
решения уравнения ламинарного пограничного
слоя совместно с приближенным описанием
внешнего невязкого потока. В настоящее
время таких методов существует несколько
[36, 56 и др.]. Рассмотрим основные
особенности приближенного расчета
отрывного течения перед клином, прикрепленным
к обтекаемой поверхности (см. рис. 16.4).
Cpffe
1,6
0,8
1А
2
1
^
м
Рис. 16.12. Зависимость
коэффициентов давления в точке
отрыва (7) и в области плато
давления (2) от числа М, рас-
Для выполнения приближенных расчетов считанные асимптотическим ме-
все течение делится на ряд отдельных тодом [64]
областей. Принимается, что от начала пластины при х = 0 до
некоторого сечения х = х0 можно применять классическую теорию
пограничного слоя Прандтля. Согласно этой теории сначала
рассчитывается невязкое течение в предположении, что пограничный
слой бесконечно тонкий. Затем рассчитывается течение внутри
пограничного слоя, считая, что распределение давления по обтекаемой
поверхности известно из предыдущего расчета. На участке от х = х0
до х = х4 распределение давления на обтекаемой поверхности
определяется взаимодействием вязкого и невязкого потоков. При х>х4
принимается, что вязко-невязкое взаимодействие слабо влияет на
распределение давления, и при х>х4 можно использовать методы
классической теории пограничного слоя. Внутри области
взаимодействия выделены характерные точки: хх—отрыва, х2 — излома обтекаемой
поверхности, х3 — присоединения оторвавшегося течения. Для описания
течения в области взаимодействия используется следующая система
уравнений:
!(рС/25-)+6-!=т„,
сЮ _ dp ч/М;-1
ds ds pyMl
dY _o dx
ds ds
(16.15)
(16.16)
(16.17)
Здесь s — расстояние вдоль обтекаемой поверхности; (3 — угол клина,
прикрепленного к обтекаемой поверхности; 9 — угол наклона
поверхности, образованный границей толщины вытеснения, по отношению
к оси х\ Y—расстояние до этой поверхности по нормали к оси
х: y=j>-b57cos9.
Уравнение (16.15) представляет собой интегральное уравнение
количества движения для пограничного слоя и используется для
приближенного описания вязкого ламинарного пристеночного течения,
включая и область обратных токов. Для решения этого уравнения
здесь использован интегральный метод Коэна и Решотко, кратко
описанный в гл. 14. Этот метод позволяет установить связь градиента
давления во внешнем невязком потоке dp Ids с параметрами течения
393

в пограничном слое — толщиной потери количества движения 5**,
температурой стенки tw, параметром интегрального метода п и
другими величинами:
Ф = _
ds (5
»„ив
(16.18)
Принимается, что течение в вязком слое вместе с областью обратных
токов для заданного постоянного значения температурного параметра
Sw= (tw/t0e) — 1 описывается однопараметрическим семейством
профилей для подобных решений ламинарного пограничного слоя
и параметр п является только функцией от форм параметра
#п = 8п/$п- Нижний индекс означает, что расчет ведется в плоскости
преобразованного несжимаемого течения с использованием
переменных Стюартсона.
Уравнение (16.16) описывает в линейном приближении невязкое
течение на внешней границе пограничного слоя, а уравнение (16.17)
определяет связь между углом отклонения внешнего потока Э и
изменением толщины вытеснения. Система уравнений (16.15)...(16.17) вместе
с уравнением (16.18) приближенно описывает взаимодействие вязкого
и невязкого потоков, в процессе которого вырабатывается градиент
давления на обтекаемой поверхности dp/ds.
Для заданного значения угла клина (3 положение точки начала
взаимодействия х0 заранее неизвестно и зависит от условий течения
в конце области взаимодействия в точке х4. Если принять, что вниз
по потоку от точки х4 вязко-невязким взаимодействием можно
пренебречь, и в области х>хА можно применять классическую теорию
пограничного слоя, то в точке х — х4 можно поставить следующие
условия:
(dp/ds)4 = 0 и 04 = (3. (16.19)
Параметры течения в точке х = х0 могут быть найдены из расчета
течения в области 0^х^хо методами классической теории
пограничного слоя. Таким образом, чтобы рассчитать течение в области
взаимодействия х0^х^х4, надо решить краевую задачу для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями
в точках х0 и х4. Поскольку положения
Cfw,Cp точек х0 и лг4 заранее неизвестны, то
удобнее решать обратную задачу: задать
значение х = х0 и методом стрельбы,
задавая различные значения угла клина (3,
найти такое значение (3 для заданного
х0, при котором на поверхности клина
будут удовлетворяться граничные условия
(16.19) в некоторой точке х, которую
0\' *^\Ц.—1==£=^-—тЛ примем за точку х = х4. Для обратной
задачи выполнение условий (16.19)
означает, что повышение давления в точке
х = х4 соответствует повышению давления
в изоэнтропическом течении сжатия при
отклонении потока на угол (3, и
одновременно dp/ds = 0 при х = х±. Поиск
нужного значения проще всего осуществить
/J-X
с*
з ffw
5 /
— x/L
Рис. 16.13. Распределение
коэффициентов давления и трения
в области ламинарного
отрывного течения перед клином,
рассчитанные интегральным
методом
394

методом деления отрезка пополам (методом бисекции). Таким
образом, относительно просто решается краевая задача для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера
расчета ламинарного отрывного течения перед клином на рис. 16.13
показаны продольные распределения величин С*Р=СРV(M2 — 1)Re
и CfW вдоль оси х для угла клина Р = 7,3° при М0 = 2 и Re = 2,6-105.
Метод применим для расчета относительно небольших областей
отрывного течения.
§ 16.7. ОТРЫВНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЗА ПЛОСКИМ УСТУПОМ
На практике часто приходится сталкиваться с такими
отрывными течениями, когда положение точки отрыва или точки
присоединения (или обеих точек сразу) фиксировано. Это обычно
связано с особенностями геометрии обтекаемого тела. Рассмотрим
некоторые примеры таких течений.
1. Отрыв пограничного слоя перед уступом или
щитком с большим углом отклонения. В этом случае
фиксировано положение точки присоединения, а положение точки
отрыва свободно определяется условиями вязко-невязкого
взаимодействия (рис. 16.14, а).
2. Отрыв перед щитком, укрепленном на короткой
пластине. Точка отрыва достигает передней кромки пластины.
В этом случае фиксирована точка отрыва, а положение точки
присоединения определяется условиями вязко-невязкого взаимодействия
(рис. 16.14,5).
3. Отрывное течение за кормой клина или
конуса. В этом случае фиксировано положение точки отрыва
(рис. 16.14, в).
4. Отрыв за плоским уступом. В этом случае
фиксировано положение точки отрыва (рис. 16.14, г). Это наиболее простой
для анализа случай отрывного течения с фиксированной точкой
отрыва. Для этого случая Корст [93] разработал приближенный
метод расчета.
6) *)
Рис. 16.14. Различные схемы отрывных течений с фиксированными положениями точек
отрыва или присоединения
395

16.7.1. Физическая картина течения за плоским уступом
Рассмотрим сначала обтекание плоского тела с полукруглой
кормовой частью сверхзвуковым потоком газа. В области кормы
внешний невязкий сверхзвуковой поток и пограничный слой
разворачиваются в течении разрежения. Затем внешний поток и
пограничный слой должны снова развернуться в течении сжатия в сторону
направления невозмущенного набегающего потока. Однако пограничный
слой без отрыва может выдержать только относительно небольшой
положительный градиент давления. Поэтому в области кормы
происходит отрыв пограничного слоя. В окрестности точки отрыва возникает
скачок уплотнения, аналогично тому как вблизи точки отрыва перед
клином возникает критический скачок уплотнения. Скачок уплотнения,
возникающий перед областью отрывного течения за уступом, носит
название краевого скачка уплотнения. Интенсивность этого скачка
растет с ростом числа Маха потока. При небольших значениях
М интенсивность краевого скачка уплотнения невелика, и в расчетах
им пренебрегают. За точкой отрыва развивается обширная
клинообразная область отрывного циркуляционного течения вплоть до точки
присоединения оторвавшегося потока. В окрестности точки
присоединения направление потока круто изменяется, и возникает хвостовой
скачок уплотнения. Изменим форму тела, добавив к полукруглой
корме участок плоского среза. Качественно картина течения не
изменится. Сохранятся все элементы: волна разрежения, краевой скачок,
отрывная область, хвостовой скачок. Если мы устремим радиус
закругления кормы к нулю, то получим течение за плоским срезом.
Однако и в этом случае сохраняются все перечисленные выше элементы
донного течения, в том числе и краевой скачок уплотнения, так как
роль эффективной обтекаемой поверхности играет толщина вытеснения,
которая не может терпеть излом. Кроме того, в экспериментах кромка
уступа всегда имеет какое-то технологическое закругление. При
относительно небольших числах Маха набегающего на уступ потока
краевой скачок вырождается в характеристику, и его можно не
учитывать при построении приближенной теоретической модели течения.
В общем случае для расчета течения в донной области надо
решать полную систему уравнений Навье — Стокса или уравнений
Рейнольдса для турбулентного течения. Численные эксперименты
такого рода трудоемки, затруднен анализ характера влияния на
течение основных определяющих параметров, так как результаты
расчета представляются в виде числовых полей, а не аналитических
зависимостей. Поэтому очень полезны приближенные методы расчета.
Среди приближенных методов расчета давления в донной области
наибольшее применение нашел метод Корста для случая
турбулентного течения около плоского уступа.
16.7.2. Метод Корста
В методе Корста все течение разбивается на несколько
отдельных областей (рис. 16.15). Принимается, что в областях 7,
2 около кромки параметры течения разрежения можно описать
соотношениями для течения Прандтля — Майера.
Принимается, что все течение за уступом можно разделить на
невязкое внешнее течение и вязкое циркуляционное течение. Для
396

Рис. 16.15. Схема отрывного течения за плоским
уступом:
0--область возмущенного набегающего потока; У —
параметры потока перед уступом; 2—параметры течения
непосредственно за уступом; 3—параметры течения непосредственно
перед хвостовым скачком уплотнения; 4 — параметры течения
за хвостовым скачком уплотнения
приближенного анализа внешнего невязкого течения принимаются
следующие предположения:
1. Граница невязкого течения прямолинейная.
2. В схеме Корста прежде всего предполагается, что во всей
области отрывного течения от кормового среза до хвостового скачка
уплотнения донное давление постоянно и равно р^—Рг^Ръ (индексы
взяты из рис. 16.15).
3. Разворот потока около кромки кормового среза происходит
в течении разрежения Прандтля — Майера. Краевым скачком
уплотнения в первом приближении пренебрегают. В дальнейшем его можно
учесть в рамках модели Корста. Она для этого оказывается достаточно
гибкой.
4. Повышение давления в точке присоединения оторвавшегося
слоя происходит скачком в косом хвостовом скачке уплотнения. Эта
схема в невязком потоке может осуществляться при различных
значениях донного давления рд, т. е. в рамках теории невязкого газа
решение является неоднозначным. Если задать величину рц<рн, то
невязкое течение можно полностью рассчитать. В методе Корста
предполагается, что величина донного давления определяется из
условий присоединения оторвавшегося слоя смешения. Рассмотрим
течение в пограничном слое смешения, возникающем на границе
раздела между невязким потоком и отрывным течением за кормовым
срезом. Давление во всей области отрывного течения предполагается
постоянным, а сверхзвз'ковое невязкое течение на внешней границе
пограничного слоя смешения однородным и прямолинейным.
Внутри зоны отрывного течения существует циркуляционное
течение малой скорости. Максимальное число Маха внутри области
замкнутого циркуляционного течения обычно не превышает 0,3...0,4.
Между невязким потоком и областью отрывного течения развивается
вязкий пограничный слой смешения, в котором надо учитывать
касательные напряжения трения. Течение в этом случае можно
рассчитать методами теории пограничного слоя. Внутри слоя смешения
выделим линию равной массы, которая разделяет массу газа,
циркулирующую внутри области отрывного течения с малой скоростью,
от газа с более высокой скоростью, проходящего через хвостовой
скачок уплотнения дальше вниз по потоку.
Идея Корста заключается в том, что преодолеть повышение
давления в хвостовом скачке уплотнения и пройти через него может
газ только в такой струйке тока, в которой полное давление больше
или равно давлению за хвостовым скачком уплотнения:
{Ро])з>Р* или (p0j/p)3=PJP3-
Это выражение—и есть условие Корста. Индексу относится к
параметрам течения на разделяющей линии тока. Здесь принято, что рл=р2=р3.
397

В методе Корста предполагается, что в области отрывного течения
за кормовым срезом устанавливается такое значение рд, при котором
на линии равной массы выполняется условие Корста. Чтобы найти
линию равной массы, необходимо рассчитать слой смешения. Для
приближенного расчета слоя смешения принимается следующая
упрощенная схема течения:
1. Будем считать, что начальная толщина слоя смешения у
кормового среза равна нулю.
2. Слой смешения изобарический и автомодельный, т. е. давление
в слое смешения постоянное, и профиль скорости в разных сечениях
слоя смешения описывается одной и той же зависимостью в
координатах подобия.
3. Скорость циркуляционного течения пренебрежимо мала и может
быть принята равной нулю.
Течение внутри пограничного слоя описывается уравнениями
ди ди д2и
pw—+pi;—=ЦТ—,
дх ду ду1
дри .dpv__Q
дх ду
Здесь |iT = 8Tp, jit—эффективный коэффициент турбулентной вязкости;
8Т—эффективный коэффициент кинематической турбулентной вязкости.
Граничные условия: u->U2 при у-* + со и w->0 при у-> — оо.
Введем переменную т\==у/Ь. Из экспериментов известно, что Ь~х/<з.
С учетом этого вводится новая переменная т\ = ау/х.
Экспериментальные данные показывают, что для случая течения в донной
области при Т0(у) = const зависимость а от М2 можно описать
формулой
а=12 + 2,578М2.
Если ввести функцию тока вида v|/= U2xf(y\), где/(г|) — безразмерная
функция тока, и ввести связь между 8 и а вида
a=l/(2>/e/(J72^))=l/(2>/Mp2^2^)),
то уравнение пограничного слоя смешения в частных производных
можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению вида
/"' + 2/Г = 0.
Это уравнение нелинейное, и его следует решать численно. Однако
его можно линеаризовать относительно внешнего невязкого потока,
если принять, что в первом приближении /'«1, /~г|- Тогда уравнение
пограничного слоя сведется к линейному уравнению
f'" + 2r\f=09 (16.20)
а граничные условия примут следующий вид:
1. На границе с невязким потоком u-+U2 при j>->-|-oo и ф =
= м/£/2=/'->1 ПрИ Г|-> + 00.
2. На границе с внутренней областью циркуляционного течения
предполагается, что скорость обратного течения равна нулю: z/-»0
при ;;-► —оо и <р=/'-*0 при г\^> — оо. Решение линеаризованного
уравнения (16.20) с такими граничными условиями можно выразить
через интеграл ошибок
398

егГ(Л) = (2/^)|е-^л-
О
Профиль скорости внутри пограничного слоя описывается выражением
9 = tt/tf2 = 0,5(l-erf(Ti)),
поскольку erf(r|)-» + l при г|-»оо (г|>2,5) и erf(rj)-> — 1 при
г|-> — оо (г| <2,5). Кроме того erf(r|) = 0 при г|=0 и, тогда ф = 0,5.
Таким образом, граничные условия удовлетворяются. Решение
линеаризованного уравнения пограничного слоя не удовлетворяет точно
интегральному уравнению количества движения для слоя смешения.
Для того, чтобы удовлетворить уравнению количества движения,
вводится смещение начала координат ут для вязкой струи по
отношению к системе координат для невязкой струи и смещение
Г[т = оут/х в автомодельных координатах. Выпишем теперь уравнение
количества движения
p2Ul{ys-ym)= / pU2dy.
В этой формуле слева — количество движения невязкого течения,
втекающего в слой смешения, справа — количество движения слоя
смешения. Величина уъ— расстояние до верхней границы слоя.
Умножим уравнение количества движения на величину o/(p2U2x) и
приведем это уравнение к безразмерному виду
(l-Ci)cp2^
Лб-Л»
1-с1ф2
(16.21)
Здесь использованы следующие соотношения: (p = u/U2, р/Р2 = 1>
7о/Г02 = 1, Т/Т0=\-С\ p/p2 = (p/pT)(pT2lp2) = {\-Cl)/{l-Ch2),
C2 = (u/Umax)2 = (p2Cl, где С—число, равное отношению скорости
в точке к максимальной скорости истечения газа в вакуум для
температуры торможения газа в данной точке. Выпишем теперь
уравнение расхода газа, протекающего выше линии равной массы
уj в слое смешения:
?5
Р2и2(Уь-Ут) =
pudy
или в безразмерной форме
ч5
ч8
Лб-Л»,
— <pdr\-
Р2
\-cW
(16.22)
В формуле (16.22) слева — расход газа, вытекающего из невязкого
течения в слой смешения, справа — расход газа во внешней части
слоя смешения, отделенной от циркуляционной зоны линией равной
массы с координатой г},-.
Приравняем правые части уравнений (16.21) расхода и (16.22)
количества движения и получим следующее соотношение:
399

Чб
^6
Ф^Л _
y2dr\
\-cW
(16.23)
Разобьем левый интеграл на два и перепишем уравнение (16.23)
Л5 "П; Л5
Ф^Л
Ф^Л
ф2<^Л
1-с1ф2
(16.24)
Введем обозначения
Ji(c2)-
1-с1ф
^5
Г^Ь, МСг) =
Ф2^Л
1-С22ф2
•Мл* С2) =
Ф^Л
i-cicp2
Тогда уравнение (16.24) примет вид
J3{y]j,c2)=j1(c2)-J2(c2y
(16.25)
В этом интегральном уравнении неизвестной является величина
r\j—координата линии равной массы. Уравнение решается численно.
В качестве (р(г|) выбирается функция cp = -(l+erf(r|)). Задается
достаточно большое значение щ с заданной степенью точности так,
чтобы ф(г}5)^1. Достаточно обычно г<б>2?5. Затем задается значение
координаты линии равной массы r\j9 вычисляется значение интеграла
/з(Лл С г) и проверяется выполнение уравнения (16.25). Если оно не
выполняется, то задается новое значение ц^ Таким образом, уравнение
(16.25) решается путем подбора величины г];- с использованием,
например, метода бисекции.
В результате такого решения для заданного значения С2 находятся
величины r\j и ф; —(1/2)(1+erf(r)j)). Проведя расчеты для разных
значений С2, можно построить зависимость ф7- = фу(С2). Зная скорость
Ф;- на разделяющей линии тока, можно рассчитать давление
торможения на ней
Р УЗ
^i-c^p-^ц-
Т-1
М?
V
Y-1
Величина М] связана с величиной С] соотношением
СЫМ?(у-1)/2)/(1 + М?(у-1)/2).
Для того чтобы рассчитать донное давление за уступом, решается
обратная задача: задается число Маха М2 в невязком потоке на
границе слоя смешения, вычисляется Съ определяется величина
скорости на разделяющей линии тока ф;, затем находятся значение
Cj = Cjtyj и величина Mj = 1С)/ [(у — 1) (1 — С])~\. Далее рассчитывается
давление торможения на линии равной массы
Ы/>)з=0-с,2Г/<г-1>-
Приравнивается давление за хвостовым скачком полному напору на
линии равной массы (условие Корста)
400

Р4__1 Ръ
Р* \Р/ъ
По отношению давлений на хвостовом
скачке уплотнения
£! = _JL M3Sin2s3-J—г
/>з 7 + 1 Y+1
находится величина угла наклона
хвостового скачка уплотнения е3, затем
величина угла отклонения потока
а3 в хвостовом скачке уплотнения по
соотношению
ctga3 = l^
ы\
M3sin2e3 — 1
1 tge3
Рд/Рн
0,8
0,6
0,<*
0.2
1 1,5 2,0 2,5 3,0 Мн
Рис. 16.16. Зависимость
относительного давления в донной
области от числа Маха:
О, V—экспериментальные точки
21
—J r^w О
Зная угол поворота потока а3 и число Маха М2 = М3 по соотношениям
для течения Прандтля — Майера можно определить параметры
набегающего потока перед кормовым срезом MH = MX и p2/Pi=PzIPh>
Таким образом, обратная задача решена. Если провести
систематические расчеты для разных значений М2, можно построить зависимость
/7Д//;Н = /'(МН).
Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными
показано на рис. 16.16. Эксперименты согласуются с расчетами по
методу Корста.
16.7.3. Давление в донной области за клином
в сверхзвуковом потоке
Из анализа модели течения Корста следует вывод о том,
что на донное давление в первом приближении влияют только
параметры внешнего потока перед задней кромкой, а предыстория
потока влияет мало, если пограничный слой перед кормой тонкий.
Если это положение справедливо, то давление за клиньями с
различными углами полураствора можно оценить, зная зависимость
донного давления от числа Мн за плоским уступом. Сделаем это
так. Рассчитаем параметры течения на клине по формулам для
косого скачка уплотнения. Затем найдем параметры течения на
«эффективной» плоской поверхности, параллельной направлению
набегающего потока, мысленно пристраиваемой к клину, считая, что
течение около линии излома соответствует течению Прандтля —
Майера. Затем по методу Корста или по известным экспериментальным
зависимостям донного давления от М набегающего потока за уступом
можно определить величину />Д//>Э=/(МЭ), где рэ — давление на
эффективной поверхности; Мэ —число Маха на эффективной поверхности.
Далее искомая величина определяется из соотношения
Рн Рз Рк Рн
где рк — давление на поверхности клина.
Эта модель течения в донной области позволяет оценить влияние
числа Маха набегающего потока на донное давление за клином.
401

Ра/Рь
р
20°
т
^М
т—
ОЛ
0,6
0,8
1~1/Мн
Такие расчеты были проведены и
обнаружено интересное явление.
Величина ра/рн за клином при увеличении
числа Маха сначала уменьшается,
а затем начинает быстро расти и
становится больше единицы. Возникает
донная тяга (рис. 16.17). Это связано
с тем, что при гиперзвуковых
Мн набегающего потока на клине
Мк растет медленно. Тогда
P*=P*Ei=f(MK)& const.
Рк Рэ Рк
В то же время величина отношения
давлений рк/рн на скачке уплотнения
перед клином растет
пропорционально М*. В итоге общий уровень давления около клина, в том числе
и давление в донной области, повышается пропорционально Mjj,
и донное давление увеличивается вплоть до появления донной тяги.
Естественно, что сила донной тяги много меньше силы волнового
сопротивления клина.
Метод Корста позволяет также оценивать влияние на донное
давление за клином и уступом таких параметров течения, как толщина
пограничного слоя перед кормовым срезом, отношения удельных
теплоемкостей y = Cp/Cv, интенсивность вдува и др.
Метод Корста приближенный и не дает полного совпадения
расчетных и экспериментальных данных во всех случаях, но обычно
правильно отражает направление влияния различных параметров
течения на величину донного давления.
Рис. 16.17. График, характеризующий
влияние числа Маха на донное
давление за кормой клина
402

глава 17. СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
§ 17.1. НЕРАСЧЕТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ СТРУИ
Рассмотрим основные элементы физической картины течения
одиночной нерасчетной сверхзвуковой струи, распространяющейся
в спутном сверхзвуковом потоке. Вначале, чтобы несколько упростить
задачу, рассмотрим невязкое течение струи, а затем рассмотрим
влияние вязкости на картину течения. Будем считать, что внешний
спутный поток обтекает тело цилиндрической формы, в кормовой
части которого установлено сопло. Из сопла истекает струя с
равномерными полями скорости и другими параметрами в выходном сечении
(рис. 17.1). Внешний сверхзвуковой поток также равномерный,
параллельный оси струи. Параметры внешнего потока отмечены индексом
н, параметры струи—индексом а. Давление на срезе сопла ра может
отличаться от давления во внешнем спутном потоке рн. Ести ра=Рн,
то струю принято называть расчетной, если рафрп, то струя называется
нерасчетной. Течение в струе существенным образом зависит от
величины отношения давлений п=ра/ри, которое называется степенью
нерасчетности струи. Если п>\, то струю принято называть
недорасширенной, а если п<\, то перерасширенной. Если число Мн>0, то
струю принято называть спутной, если Мн = 0, то струю называют
затопленной.
§ 17.2. СТРУКТУРА НЕДОРАСШИРЕННОЙ СТРУИ
Основные элементы структуры недорасширенной
сверхзвуковой вязкой струи изображены на рис. 17.1. В продольном
направлении струю принято разбивать на три крупных участка:
начальный, переходный и основной. Начальный участок примыкает
к срезу сопла. На начальном участке около оси недорасширенной
струи образуется область течения разрежения, ограниченная внутрен-
Начальныи участок Переходный участок
Рис. 17.1. Схема течения нерасчетной струи:
1 — внутренний скачок; II — граница струи; III — внешний скачок
403

ним висячим скачком уплотнения I. В наружном спутном
сверхзвуковом потоке перед начальным участком струи образуется внешний
скачок уплотнения III. Между внутренним и наружным скачками
уплотнения I и III расположен слой сжатого газа. С внутренней
стороны слоя сжатого газа движется поток, прошедший через сопло
и внутренний висячий скачок уплотнения I. С внешней стороны слоя
сжатого газа движется спутный сверхзвуковой поток воздуха. Внутри
слоя сжатого газа в невязкой струе расположена граница раздела
между внутренним и внешним потоками—граница невязкой струи
П. Поскольку скорости потоков с обеих сторон границы невязкой
струи II различны, то в вязкой струе вдоль границы II нарастает
вязкий пограничный слой смешения (ламинарный или турбулентный).
Внутренние скачки уплотнения I имеют бочкообразную форму, и дуги
скачков вдали от сопла пересекаются на оси струи, а затем пересекают
границу невязкой струи И. Область течения от среза сопла до
сечения, где внутренний скачок I пересекает границу невязкой струи
II, принято называть начальным участком нерасчетной струи (или
первой «бочкой»).
За начальным участком расположен переходной участок струи,
где наблюдается еще одна или несколько бочкообразных структур
(вторая бочка и т. д.), похожих по форме на структуру начального
участка. По мере продвижения вдоль переходного участка вязкой
нерасчетной струи скачки уплотнения и волны разрежения становятся
слабее и поле давления постепенно выравнивается. Сечение, где
давление поперек струи можно с достаточной точностью считать
постоянным, принимается за начало основного участка струи. На
основном участке струи течение считается полностью изобарическим,
и изменения поля течения определяются в основном вязкостью.
Следует отметить, что иногда в приближенных расчетах принимают
постоянным давление за начальным участком, и так называемое
«изобарическое сечение»^ начала основного участка помещают в конце
начального участка струи. Далее рассмотрим подробнее структуру
отдельных областей струи.
§ 17.3. ТЕЧЕНИЕ ОКОЛО КРОМКИ СОПЛА
В случае, когда ра>рн, поток около кромки сопла должен
развернуться в сторону спутного потока, чтобы на границе струи
(линии раздела между струей и спутным потоком) давление со
стороны струи рга было равно давлению со стороны спутного потока
Рг.н (рис. 17.2). В небольшой окрестности среза сопла течение можно
считать почти плоским и со стороны
струи соответствующим течению Пра-
ндтля — Майера около выпуклого тупого
угла. От кромки сопла в сторону
оси струи распространяется веер ха-
рактеристик.
"^ЩШГ/i^^^Z Отклонение границы струи в сто-
ф а ^-^^— роиу спутного потока сопровождается
образованием в этом потоке косого
скачка уплотнения III. Если принять,
кромки"соплмсм. условные^обо"- чт0 течение в малой окрестности кромки
значения к рис. 17.1) сопла практически плоское, то угол
Рис. 17.2. Схема течения около
404

отклонения границы струи можно рассчитать следующим образом.
Если угол отклонения границы струи осг не слишком велик, то для
расчета течения можно использовать линейное приближение. Тогда
коэффициент давления на границе струи со стороны внутреннего
потока равен
Cp = {pT-pa)j{9aUll2) = 2vTljMl-\
или
Pr-Pa=-yaPa^a^rU/M2a-\. (17.1)
Аналогичным образом можно рассчитать давление на границе струи
со стороны внешнего потока
Рг~Рп= +УаРнМ1*г/у/Щ^1. (17.2)
Вычтем уравнение (17.1) из уравнения (17.2) и получим выражение
( JaPaMi YhAiMh \
тогда
«r=(„-i)/(n^L+-^L\
V VMM y/Mi-iJ
где п—Ра/Рн- Таким образом, найдено, что в ближайшей к краю
сопла области невязкого течения величина угла поворота границы
струи определяется параметрами Ma—UJaa, Mn=UJaH, п—ра/рн,
la = {CpICv)a, y* = {Cp/Cv)H.
Следует ожидать, что эти параметры будут определять характер
поля течения не только около среза сопла, но и дальше вниз по потоку.
С ростом степени нерасчегности п угол отклонения границы
струи осг растет и может достигнуть такого значения, при котором
во внешнем невязком потоке возникает отошедшая ударная волна.
В вязком потоке на наружной поверхности обтекаемого тела под
воздействием сильной ударной волны происходит отрыв пограничного
слоя (рис. 17.3), вблизи кромки сопла образуется область отрывного
течения. При дальнейшем увеличении п растут оег и длина области
отрывного течения, которое может распространиться вплоть до
переднего носка тела. При последующем увеличении степени
нерасчетное™ зона отрывного течения дальше вверх по потоку
перемещаться не может, и начинает расти угол наклона границы области
отрывного течения а0. При больших значениях п перед обтекаемым
телом может возникнуть отошедшая ударная волна. Таким образом,
вязкость существенным образом влияет на все поле течения, и в число
определяющих параметров следует включить число Рейнольдса
Rea = pa£/ara/|in, где га — радиус сопла на срезе; \ха — коэффициент
динамической вязкости потока на срезе сопла.
Рис. 17.3. Схема течения около кромки сопла
с учетом возникновения отрыва пограничного слоя
на корпусе Л А

§ 17.4. НАЧАЛЬНЫЙ УЧАСТОК НЕДОРАСШИРЕННОЙ СТРУИ
Рассмотрим теперь картину течения невязкого газа вниз
по потоку от среза сопла. При больших степенях нерасчетности
струи вниз по потоку от среза сопла вблизи оси струи возникает
течение очень похожее на течение от сферического источника. Если
имеется сфера радиусом гкр, вдоль нормали к поверхности которой
растекается во все стороны газ, и скорость газа на поверхности
сферы равна скорости звука, то из уравнения неразрывности следует,
что на расстоянии г от сферы
pwF=(pwF)Kp,
где pvv—плотность тока; F~r2—поверхность сферы. Далее
ркр w F X г т-*оо \] 7+1 г г2'
так как при г->оо величина Х-*^/(у+\)/(у—\). В течении разрежения
скорость w стремится к максимальной скорости истечения в вакуум,
имеющей конечное значение wr _ да -»wmax = ^/2yR Т0 / (у — 1), где
Т0—температура торможения потока. Тогда можно записать, что
р/ркр~1/г2, т.е. плотность в таком потоке падает обратно
пропорционально квадрату расстояния от центра сферы.
Из-за наличия течения разрежения вблизи оси давление вдоль
границы невязкой струи II (см. рис. 17.1 и 17.2) должно падать.
Чтобы выполнялось условие равенства статических давлений по обеим
сторонам границы невязкой струи II, давление в спутном потоке
вдоль этой границы также должно уменьшаться. Это возможно в том
случае, когда граница невязкой струи II будет выпуклой в сторону
внешнего спутного потока. Тогда с внутренней стороны границы
струи II течение приближенно можно рассматривать как квазиплоское
обтекание вогнутой стенки. В этом случае в сверхзвуковом потоке
характеристические линии одного семейства сходятся. Пересечение
характеристик приводит к возникновению внутри струи висячего
скачка уплотнения I бочкообразной формы.
В конце начального участка струи бочкообразный внутренний
висячий скачок уплотнения I пересекается с осью струи, а затем
этот скачок пересекает границу струи II и выходит во внешний
спутный поток.
Область течения от среза сопла до точки пересечения внутреннего
скачка уплотнения I с границей струи II принято называть начальным
участком сверхзвуковой нерасчетной струи. Поскольку течение в струе
сверхзвуковое и область влияния возмущений от наружного спутного
потока ограничена снаружи внутренним висячим скачком уплотнения
I, то параметры течения разрежения около оси не зависят от степени
нерасчетности струи п. Течение в этой области такое же, как и при
истечении невязкой струи в вакуум.
§ 17.5. СЛОЙ СЖАТОГО ГАЗА И СЛОЙ СМЕШЕНИЯ
Между внутренним и внешним скачками уплотнения I и III
(см. рис. 17.1) расположен слой сжатого газа. За скачками уплотнения
I и III плотность, давление и температура повышаются. Параметры
течения в слое сжатого газа (в отличие от области течения разрежения
406

вблизи оси) зависят от степени нерасчетности п, так как от степени
нерасчетности зависят интенсивности скачков уплотнения. При больших
степенях нерасчетности через слой сжатого газа проходит подавляющая
часть расхода газов, вытекающих из сопла.
Выше рассматривалось как зависят параметры течения в слое
сжатого газа около границы струи от параметров наружного спутного
потока и параметров струи в ближней части начального участка
около кромки сопла. Граница между наружным и внутренним
потоками (граница невязкой струи II) лежит внутри слоя сжатого
газа. В невязком газе отдельные слои газа движутся друг около
друга без трения, поэтому граница струи в невязком газе представляет
собой линию тангенциального разрыва. На этой линии поперек слоя
сжатого газа терпят разрыв скорость потока, число Маха, плотность,
температура, отношение удельных теплоемкостей, молекулярный вес
газа, а давление и угол наклона линий тока изменяются непрерывно.
В вязком газе вдоль линии тангенциального разрыва развивается
пограничный слой смешения двух потоков. В вязком газе в слое
смешения все параметры течения при переходе через границу струи
изменяются плавно. При малых числах Рейнольдса течение внутри
слоя смешения ламинарное, а при больших значениях числа Рейнольдса
в нем осуществляется переход от ламинарного течения к
турбулентному. При достаточно больших числах Рейнольдса течение во всем
начальном участке струи оказывается полностью турбулентным.
Толщина слоя смешения, развивающегося вдоль границы струи, с ростом
расстояния от среза сопла х растет. Если слой смешения ламинарный,
то толщина слоя смешения 5 растет с уменьшением Rea, рассчитанного
по параметрам течения на срезе сопла, примерно пропорционально
Ь~\/^/Кеа. Таким образом, Rea входит в число основных параметров,
определяющих течение ламинарной струи. Если течение турбулентное,
то толщина слоя смешения практически не зависит от Rea.
§ 17.6. ПЕРЕХОДНЫЙ И ОСНОВНОЙ УЧАСТКИ СТРУИ
После пересечения внутренних скачков уплотнения I с осью
струи давление за точкой пересечения резко возрастает, и общий
уровень давления в примыкающей к оси струи области течения
может оказаться примерно в 3—4 раза больше давления во внешнем
потоке при больших значениях п.
Приближенно можно рассматривать течение между осью струи
и ее границей в сечении, где оканчивается начальный участок, как
истечение новой нерасчетной струи из некоторого своеобразного сопла
в неравномерный спутный поток. Поскольку степень нерасчетности
этой новой струи может быть достаточно большой (например, около
4 при степени нерасчетности исходной струи порядка 106), то
образуется новый бочкообразный скачок уплотнения и картина течения
оказывается качественно похожей на течение на начальном участке
струи, т. е. появляется вторая бочка. Иногда может образовываться
3, 4 и более бочек.
Однако эффективные степени нерасчетности для последующих
бочек очень быстро стремятся к единице, распределение давления
вдоль оси выравнивается, и уровень давления в поле течения становится
почти постоянным и равным давлению в спутном набегающем потоке
рн. Течение в струе становится изобарическим.
407

Слои смешения, нарастающие вдоль границ струи, смыкаются.
Это смыкание слоев смешения может произойти в областях 1, 2,
3 и т. д. бочек в зависимости от параметров п и Rea. Область
течения, где давление практически постоянное и слои смешения уже
сомкнулись, принято называть основным участком нерасчетной струи.
Область течения, где существенную роль играет бочкообразная
структура струи, называется переходным участком.
После того, как давление в струе выровнялось и стало постоянным
и равным /7Н, дальнейшее развитие струи происходит полностью под
влиянием вязкости. Действительно, если струя невязкая, то каждый
слой струи будет скользить вдоль другого слоя, не оказывая на
него никакого влияния. Профиль скорости в струе не будет зависить
от расстояния х. Смешения слоев жидкости и переноса количества
движения, энергии и вещества в поперечном направлении в невязком
потоке не происходит. В вязком потоке идет перенос в поперечном
направлении, и имеет место смешение слоев жидкости. В результате
этого смешения в потоке постепенно выравниваются профили скорости,
температуры и концентрации. На оси потока скорость, температура
и концентрация постепенно приближаются к соответствующим
значениям во внешнем потоке. В силу законов сохранения количества
движения, энергии и массы толщины динамической, тепловой и
диффузионной вязких струй с ростом х увеличиваются.
§ 17.7. РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ В СТРУЕ
Эксперименты показывают, что с ростом числа Маха сопла
Mfl и степени нерасчетности струи длина начального участка струи
растет как в случае затопленной струи, так и струи,
распространяющейся в спутном сверхзвуковом потоке.
Оценим характер зависимости линейных размеров струи,
использовав закон сохранения количества движения. Количество
движения струи равно \
Ja = {paU2a+pa)d2a=padt(\+yaMt)-
Если за характерный линейный размер струи принять длину начального
участка L, то количество движения воздействующего на струю
спутного потока можно оценить величиной
Jn=PuL2 (1+YhMh2).
Если окружающая среда оказывает на струю влияние, то можно
принять, что величины JH и Ja одного порядка, т. е. JH~Ja. Тогда
' V Р» (7hMJ+1) V V УнМн2-Н
Если рассматривается истечение струи в затопленное пространство,
т.е. Мн = 0 и увМд»1, то
L/da~Ma^/yn.
Длина начального участка струи прямо пропорциональна Мя и у/п.
Результаты экспериментов, проведенных в широком диапазоне
параметров [5], показывают, что при Мя=1,0...3,6
£Я = [0,8 + 0,085(Мя-2,1)2]Мвч/л-0,5.
408

В случае спутной струи при больших значениях Ма и Мн длина
начального участка струи определяется выражением
£Я~(ма/мн)У*.
С ростом числа Маха спутного потока Мн длина начального участка
струи уменьшается.
Рассмотрим, как изменяется газодинамическая структура струи
с изменением определяющих параметров п и Мн при значениях
М0 около 3 и Rea порядка 10б, характерных для многих
экспериментальных исследований в аэродинамических трубах. Для упрощения
анализа влияния различных факторов на течение струи полезно выделить
некоторые характерные режимы течения. Условные границы режимов
течения будем определять по мере возникновения новых
аэрофизических явлений, изменяющих газодинамическую структуру струи.
В качестве первого следует выделить режим течения струи, когда
скорость спутного потока существенно дозвуковая (Мн<1). Наиболее
характерной особенностью этого режима течения является наличие
прямого скачка уплотнения в конце начального участка и наличие
относительно большого числа бочек в переходном участке струи,
которое зависит от степени нерасчетности струи и вязкости течения.
В некоторых случаях можно наблюдать более десяти бочкообразных
структур.
В качестве второго режима течения следует выделить область
течения, где величина Мн изменяется приблизительно в диапазоне
от 0,8 до 2. Это режим трансзвукового внешнего течения и малых
сверхзвуковых скоростей внешнего потока. В этом режиме внешний
поток существенным образом влияет на течение в струе. С ростом
Мн диаметр центрального почти прямого скачка уплотнения
уменьшается и при Мн>2 становится пренебрежительно малым по
сравнению с поперечным размером струи. При Мн>2 течение практически
во всей струе можно считать полностью сверхзвуковым.
К третьему режиму можно отнести область течения при Мн>2,
когда течение во всей струе полностью сверхзвуковое (см. рис. 17.1).
Для всех трех режимов при ж 100 характерно безотрывное обтекание
корпуса модели вблизи кормового среза. При «>100 струя расширяется
настолько, что перед ней может возникнуть отрыв турбулентного
пограничного слоя, наросшего на модель.
Четвертый режим течения соответствует изменению п от 100 до
1000. Под воздействием сильно расширившейся струи на модели
возникает отрыв турбулентного пограничного слоя. С увеличением
степени нерасчетности п размеры отрывной зоны растут, что
обуславливает некоторое ее влияние на параметры течения в струе вблизи
среза сопла, особенно в слое смешения.
При л > 1000 и постоянном давлении на срезе сопла течение во
внешнем потоке становится менее плотным и пограничный слой
ламинаризуется, а течение в струе остается турбулентным, т. е.
переход от ламинарного течения к турбулентному происходит где-то
в конце области отрыва пограничного слоя.
Изменения п от 103 до 105 можно отнести к пятому режиму.
В этом диапазоне изменения п в области начального участка струи
может осуществляться переход от полностью турбулентного течения
при п около 103 до полностью ламинарного течения при п около
409

105. На основном участке струи течение может оставаться полностью
турбулентным.
До п порядка 105 и Rec~105 ламинарный слой смешения на
большей части начального участка струи еще достаточно тонок по
сравнению с толщиной слоя сжатого газа между скачками уплотнения
во внешнем спутном потоке и висячим скачком уплотнения внутри
струи, так что для расчета слоя смешения можно в первом
приближении применять методы теории пограничного слоя и не
учитывать вязкое взаимодействие между ламинарным слоем смешения
и почти невязким спутным потоком.
При и>105 толщина ламинарного слоя смешения в примыкающей
к соплу ближней части начального участка струи становится сравнимой
с толщиной слоя сжатого газа. Вязкое взаимодействие между
ламинарным слоем смешения и спутным потоком или струей может оказывать
сильное влияние на параметры течения в ближней части начального
участка струи. До я~107 толщина скачков уплотнения в области
максимального диаметра начального участка по оценкам еще мала
по сравнению с толщиной слоя сжатого газа, а за скачком уплотнения
еще остаются области почти невязкого течения, поэтому в первом
приближении для расчетов можно пользоваться моделью сплошной
среды. При и>107 течение в струе становится настолько разреженным,
что, по-видимому, уже нельзя пользоваться моделью сплошной среды
без существенных поправок.
Выделенные режимы и границы между ними являются, конечно,
условными, и каждый режим плавно переходит в другой. Выделение
определенных режимов и типов течения позволяет в каждом отдельном
случае несколько упростить постановку задачи исследования струи
и создать соответствующий данному режиму метод расчета. В
частности, для расчета струи до п~\(У можно применять методы,
базирующиеся на использовании полных и параболизованных
уравнений Навье — Стокса. Примененный метод решения параболизованных
уравнений Навье — Стокса требует, чтобы во всем потоке скорость
была сверхзвуковой. При Мн>2 в потоке практически нет прямых
скачков уплотнения и зон дозвукового течения, так что можно
применять параболизованные уравнения Навье — Стокса.
§ 17.8. ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАБОЛИЗОВАННЫХ
УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ —СТОКСА ДЛЯ РАСЧЕТА
СВЕРХЗВУКОВОЙ ЛАМИНАРНОЙ СТРУИ
В СВЕРХЗВУКОВОМ СПУТНОМ ПОТОКЕ
В общем случае течение вязкого газа в струе описывается
уравнениями Навье — Стокса. Однако при достаточно больших числах
Рейнольдса основные особенности газодинамической структуры
начального участка струи относительно слабо зависят от числа Рейнольдса
и могут быть приближенно описаны уравнениями Эйлера для невязкого
течения, за исключением вязкого слоя смешения, развивающегося
вдоль границы струи II (см. рис. 17.1). Течение в узком слое смешения
может быть описано с помощью уравнений Прандтля для
пограничного слоя. Тогда при достаточно больших числах Рейнольдса систему
уравнений Навье — Стокса можно упростить, сохранив в ней члены,
описывающие течение невязкого газа, и члены, описывающие течение
в пограничном слое. Упрощенную систему уравнений Навье — Стокса
410

для сжимаемого теплопроводного газа в цилиндрической системе
координат в размерной форме можно записать так:
^+^ = 0, (17.3)
дх ду
ди ди др д ( ди\ ,лп АЛ
риугх+риу^-уух+^у1-у)' (17-4)
dv , dv dp , д /4 ди\ /in с\
р^_+р^_= _;,_+_(^_), (17.5)
дС„Т , дС„Т др , др , (ди\2 , а/ дТ\ .,_„
Здесь w, t> — компоненты вектора скорости; р — плотность;
Г—температура; р — давление.
В проекции уравнения количества движения на ось у (17.5) оставлен
член (4/3) [iy(du/dy), который в полной системе уравнений Навье —
Стокса определяет толщину ударных волн, параллельных оси х.
Сохранение этого члена в выбранной системе уравнений способствует более
точному описанию вытянутых вдоль оси х скачков уплотнения в струе
и не нарушает параболических свойств системы уравнений. Кроме
того, к этой системе уравнений надо добавить уравнение состояния
p = pRT
и уравнения, описывающие зависимость коэффициентов вязкости
|i и теплопроводности X от температуры Т.
Рассматривается случай, когда осесимметричная струя
распространяется в однородном спутном потоке. Поэтому в качестве граничных
условий на оси струи могут быть поставлены условия симметрии.
На внешней границе струи должно быть поставлены асимптотические
граничные условия однородного спутного потока. Как и при численном
решении задач пограничного слоя предполагается, что асимптотические
граничные условия с достаточной точностью можно удовлетворить
на некотором конечном расстоянии от оси ун.
В начальном сечении л: должны быть заданы профили параметров
струи. Тогда принятую систему начальных и граничных условий
можно записать так.
Начальные условия при х = х0
и(х09у) = и(у), Т(х0,у)=Т(у),
v{x0,y) = v(у), р(х0, у) =р{у).
Условия на оси струи при ;> = 0
|(л-,0) = |(х)0) = |(л-)0) = ,(х,0) = 0.
Условия на внешней границе при у=ун
"(*,.Ун) = Ин Т(х,ун)=Тк
v(x, Ун) = »н = 0 р(х,ун)=рн.
Для аппроксимации дифференциальных уравнений в частных
производных выбраны неявная четырехточечная разностная схема
411

первого порядка по направлению х и второго по направлению у.
Запишем дифференциальные уравнения в частных производных в
общем виде
— + Ъ—■ = —(d—W'
дх ду ду\ OyJ
(17.7)
где под / могут подразумеваться и, v, Т; коэффициенты a, b, d,
е — известные функции от у.
Наложим на поле течения равномерную прямоугольную сетку
и пронумеруем точки в направлении х от 0 до п, я+1 и т.д.,
а в направлении у от 0 до т, т+\ и т.д. Заменим частные
производные разностными соотношениями:
дх~
Ах
ду
2Ау
ду\ ду
1
:[(db+1 + rfb+1)(/bVi-/l+1)-
2(Ау)2
Тогда можно написать разностное уравнение, соответствующее
дифференциальному уравнению (17.7), в следующем виде:
—" А т) т + 1 Н" В m.f л
П fn+1 _ гл
^ mj т- 1 *-* т,
где А, В, С, D — функции коэффициентов a, b, d9 е. Полученные
системы линейных алгебраических уравнений для и, v, Т, р решались
поочередно независимо одна от другой методом скалярной прогонки.
Так как система уравнений нелинейная, то после получения
решения на /?+1-слое, коэффициенты уравнений рассчитывались заново
и решение на п +1 -слое снова пересчитывал ось. Как правило, делалось
не более 1 итерации. Методические расчеты показали, что решение
полностью сходится после 3 итерации, но итерации требуют много
машинного времени. С точки зрения экономии машинного времени
и повышения точности расчетов выгоднее делать только одну итерацию
и уменьшать шаг в направлении х.
В качестве примера расчета струи на рис. 17.4 представлены
рассчитанные распределения давления р/ра в зависимости от
безразмерного расстояния вдоль оси струи х/Гп для значений п от « = 0,714
до я = 2,5 при Ма = 2,5; Мн = 2, Rea=10\
Рис. 17.4. Зависимость
распределения давления
от безразмерного
расстояния вдоль оси
ламинарной струи для различных
степеней нерасчетности:
—•— уровень давления
в спутном потоке

По мере течения струи с п>\ вниз по потоку от начального
течения в сторону внешнего потока с более низким давлением
начинает распространяться волна сжатия, а в сторону оси струи
распространяется волна разрежения, за которой следует волна сжатия,
соответствующая внутреннему «висячему» скачку уплотнения,
образующемуся при истечении недорасширенной струи в спутный
сверхзвуковой поток. В сечении х/га&\ волна разрежения достигает оси
струи, и давление вдоль оси начинает понижаться. На некотором
расстоянии вниз по потоку волны сжатия, соответствующие висячему
скачку уплотнения, достигают оси струи, а давление вдоль оси
начинает повышаться.
Область максимума давления соответствует области,
расположенной за пересечением на оси струи висячих скачков уплотнения (за
так называемой первой бочкой). После области максимума давления
следует область течения разрежения, за которой расположен
следующий максимум давления (вторая бочка). При /7 = 0,83 второй
максимум выражен слабее, а при п ^ 1 при распространении струи
в спутном сверхзвуковом потоке его почти нет. Расстояние до точки
пересечения висячих скачков уплотнения увеличивается линейно с
ростом у/п. На некотором расстоянии от начального сечения давление
на оси становится почти постоянным. Для рассмотренных случаев
течения это расстояние примерно в два раза больше расстояния до
точки пересечения скачков уплотнения на оси струи.
Сечение, за которым давление в поле течения струи почти
постоянное, принято условно называть «изобарическим». Для расчета
от струи вниз по потоку от этого сечения можно применять обычные
методы теории пограничного слоя и пренебречь изменениями давления
в поперечном сечении струи, что сильно упрощает задачу. Все расчеты
проводились для случая полностью сверхзвукового течения как в струе,
так и в спутном потоке.
§ 17.9. О ВЛИЯНИИ ВЯЗКОСТИ НА ТЕЧЕНИЕ
НЕДОРАСШИРЕННОЙ СТРУИ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕЙСЯ
В СПУТНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Представляет интерес исследование влияния числа Рейноль-
дса на течение в струе. Для исследования этого влияния проведены
численные расчеты распространения ламинарной недорасширенной
струи в спутном сверхзвуковом потоке при различных числах Рей-
ноль дса и рассмотрены основные режимы течения.
При распространении недорасширенной ламинарной струи в
спутном сверхзвуковом потоке воздуха вдоль линии тангенциального
разрыва, разделяющей струю и спутный поток, развивается вязкий
слой смешения. При больших числах Рейнольдса слой смешения
тонкий и оказывает влияние на поле течения только в узкой области
вблизи границы струи. По аналогии с методами теории пограничного
слоя на твердом теле можно предполагать, что в области этого
режима течения вязкость слабо влияет на поле давления и развитие
вязкого слоя смешения может рассчитываться по заданному полю
давления, найденному методами теории невязкого газа.
С уменьшением числа Рейнольдса толщина слоя смешения растет
и становится сравнимой с толщиной слоя сжатого газа между
413

г*,Дг* Рис. 17.5. График,
характеризующий влияние
числа Рейнольдса на
изменение величин г* (сплошные
линии) и А г* (пунктирные
линии) вдоль оси
ламинарной струи:
1 — Re, = 0,353-102; 2— Rea =
= 0,105 -10s; 5 —Rea = 0,353x
xlO3; 4—Refl = 0,353-104
0 40 80 J
внутренним висячим скачком уплотнения в струе и головной ударной
волной, возникающей перед сильно недорасширенной струей. В
результате вязкого взаимодействия слоя смешения с внешним невязким
потоком начинает изменяться поле давления в струе. Это явление
можно сравнить с взаимодействием пограничного слоя у переднего
края плоской пластины с внешним сверхзвуковым потоком.
Дальнейшее уменьшение числа Рейнольдса приводит к сильному
расширению слоя смешения, так что ударная волна во внешнем
спутном потоке смыкается с внешней границей слоя смешения.
Границы названных режимов течения зависят от параметров струи
на срезе сопла и параметров внешнего невозмущенного потока.
Для исследования влияния вязкости на течение в струе были
проведены численные расчеты с использованием параболизованных
уравнений Навье — Стокса для случая истечения струи воздуха из
сопла при Ма = 3,0 в спутный поток воздуха с Мн = 2,4 при п = 5.
Число Рейнольдса Refl, рассчитанное по параметрам потока на оси
струи у среза сопла и радиусу струи в начальном сечении, изменялось
от 0,353 • 102 до 0,353 • 104. Отношение статической температуры
спутного потока к температуре на срезе сопла задавалось равным
единице.
На рис. 17.5 показано, как изменяются вдоль оси характерный
радиус струи г* (сплошные линии) и толщина слоя смешения Лг*
(пунктирные линии). В качестве характерного радиуса струи г* выбрано
расстояние от оси до точки, где энтальпия торможения
Jo = 0,5(JOH + JOa). Индексы айн относятся соответственно к
параметрам потока на срезе сопла и во внешнем невязком течении. В невязкой
струе со слоем смешения нулевой толщины линия г*(х/га) совпадает
с линией тангенциального разрыва между струей и спутным потоком.
Величина Аг* характеризует толщину слоя смешения и равна
расстоянию между точками Jo = JOa + 042(JoH-JOa) и /О=Л>а + 0,8(/Он--«Л>а).
В области основного участка струи, где слои смешения сливаются
друг с другом и профиль энтальпии торможения становится близким
к автомодельному, величина Аг*яг*. Позициями от 7 до 5 на
рис. 17.5... 17.8 обозначены результаты расчетов при различных числах
Рейнольдса (7-Refl = 0,363 • 10*; 2-Rea = 0,105 • 10\ 5-Rea = 0,353 • 103,
414

Рис. 17.6. Влияние числа
Рейнольдса на изменение
относительной
избыточной энтальпии
торможения ф вдоль оси
ламинарной струи (см.
условные обозначения
к рис. 17.5)
О 40 80 л
4 — Rea = 0,353 • 104, 5 —Rea=oo). Результаты расчетов показывают, что
при больших значениях Refl слои смешения тонкие (Ar*<g:r*) и не
смыкаются на всем исследованном участке струи. С уменьшением
Rea темп роста величины Аг* вдоль оси струи сильно увеличивается,
кривые г* и Аг* быстро сближаются, а расстояние от среза сопла
до основного участка струи уменьшается. Влияние Rea сильно
сказывается на положении границы струи г*. С уменьшением Refl
струя становится значительно шире.
Рассмотрим, как изменяется относительная избыточная полная
энтальпия ф = (/0—JoH)/(Joa — Л>н) вдоль оси струи (рис. 17.6). Если
в струе осуществляется подобие полей энтальпии торможения и
концентрации при Рг= 1, то эти же графики характеризуют и распределение
концентрации вещества вдоль оси струи. Пока на оси струи ср=1,
слои смешения еще не сомкнулись, и внутри струи существует ядро
неперемешавшегося с окружающим струю спутным потоком воздуха
течения. Если ср<1, то слои смешения сомкнулись и вещество
внешнего потока проникает до оси струи.
С уменьшением Refl расстояние до основного участка струи
уменьшается. В рассмотренном случае течения при Rea<0,105 • 103
смешение захватывает и область начального участка струи, лежащую
между бочкообразными скачками уплотнения (если их положение
рассматривать в невязком газе при Rea = oo), а при Rea = 0,353 • 102
слои смешения смыкаются почти у среза сопла. Таким образом, при
Rea~102 характер течения в струе резко изменяется. При Rea>102
на начальном участке струи существует ядро почти невязкого течения
и слои смешения разделены. При меньших значениях Refl происходит
резкое изменение характера течения. Слои смешения смыкаются,
и ядро почти потенциального течения практически полностью исчезает.
Вещество внешнего потока проникает до оси струи уже на расстоянии
нескольких радиусов сопла от его среза. В этом режиме течения
разбухший пограничный слой струи поглощает висячие скачки
уплотнения, и его внутренняя граница достигает оси струи.
Рассмотрим теперь, как под влиянием изменения числа Рейнольдса
изменяются профили газодинамических параметров струи в сечении
х/га=\0, близком к середине начального участка струи.
На рис. 17.7 показано распределение статической температуры
в сечении х/га=\0. С уменьшением Rea размывается разрыв
температуры вблизи границы струи. Если при Refl = 0,353 • 104 профили
04
Г 7
415

T/TQ
1,0\
0,8
0,6
0,ч
ОЛ
J
2у
&
I
и £\
4
#;
Щ
Рис. 17.7. График,
характеризующий влияние
числа Рейнольдса на
профили статической
температуры поперек
ламинарной струи:
7~Re0O = 0,353-102, 2 —
Ree=105-103; J — Rea =
= 0,353 -105; 4— Rea = 0.353x
x 104, 5 — Refl = oo
О
Фа
температуры в слое сжатого газа близки к профилям температуры
в невязком потоке (Refl = 0), то уменьшение Refl на порядок
приводит к существенному перераспределению температуры во всем
слое сжатого газа.
На рис. 17.8 показано также влияние чисел Рейнольдса на профили
относительной избыточной энтальпии торможения ф в том же сечении
при разных значениях Rea. При Rea = oo слой смешения бесконечно
тонкий (наблюдается разрыв энтальпии торможения). При Rea = 0,353 • 104
ширина слоя смешения невелика по сравнению с шириной слоя сжатого
газа в струе и во внешнем спутном потоке, но уже при Rea = 0,105-103
слой смешения занимает существенную часть слоя сжатого газа, и это
явление необходимо учитывать при расчетах струй.
Таким образом, в струе можно условно выделить три режима
течения в зависимости от отношения толщины слоя смешения
к толщине слоя сжатого газа. Если это отношение мало, то влияние
вязкости на начальном участке струи сказывается главным образом
в узком слое смешения* вблизи границы струи. Этот режим течения
в пределе при Refl-»oo включает в себя невязкое течение. В
аэродинамических трубах при проведении экспериментов в условиях,
близких к этому режиму течения, обычно происходит переход
к турбулентному течению в слое смешения.
При умеренных значениях числа Рейнольдса, когда толщина слоя
смешения становится сравнимой с толщиной слоя сжатого газа,
0,6
Of*
0,2
Г<^
%
шл
1
*
ш
ч
\
\ X
(1
1
\[
№
^
/
У/га
Рис. 17.8. График,
характеризующий влияние
числа Рейнольдса на
профили относительной
избыточной энтальпии
торможения ф поперек
ламинарной струи (см. условные
обозначения к рис. 17.1,
17.7)
416

между скачками уплотнения возникает режим взаимодействия слоя
смешения струи с внешним сверхзвуковым потоком. В этом случае
вязкость существенно влияет на все поле течения в слое сжатого
газа и на положение границ струи.
При малых числах Рейнольдса, когда внешняя граница слоя
смешения смыкается с головной ударной волной, а длина начального
участка (длина первой бочки) становится меньше расстояния до точки
слияния слоев смешения, влияние вязкости на течение струи становится
определяющим.
§ 17.10. НЕДОРАСШИРЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНАЯ СТРУЯ
В СПУТНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
С использованием параболизованных уравнений Навье —
Стокса возможно проведение численных исследований особенностей
течения сверхзвуковых нерасчетных турбулентных струй,
распространяющихся в сверхзвуковых спутных потоках, с использованием
формул эффективной турбулентной вязкости, полученных из анализа
экспериментальных данных. В рассматриваемом течении существенную
роль играет взаимодействие вязкого слоя смешения, развивающегося
вдоль границы раздела между струей и спутным потоком, с
окружающим струю невязким течением. Это явление похоже на
взаимодействие пограничного слоя на пластине с обтекающим ее сверхзвуковым
потоком и связано, главным образом, с эффектом вытеснения. При
истечении струи газа в сверхзвуковой спутный поток с пониженным
давлением струя расширяется, во внешнем потоке возникает скачок
уплотнения, и внутри струи образуются сильные бочкообразные скачки
уплотнения I (см. рис. 17.1).
Интенсивность висячего скачка уплотнения внутри струи
усиливается с ростом расстояния от сопла. В результате плотность газа
вблизи границы струи оказывается намного больше плотности газа
в струйках, прошедших через сильный висячий скачок уплотнения I.
Внутри струи образуется область течения разрежения, и подавляющая
часть расхода струи проходит через вязкий слой смешения
(заштрихованная область на рис. 17.1). Струйки газа высокой плотности
размываются в слое смешения, и возникает эффект оттеснения границы
струи II от оси, аналогичный эффекту, возникающему при
взаимодействии пограничного слоя на пластине с внешним потоком.
Для описания турбулентной недорасширенной струи использованы
параболизованные уравнения Навье — Стокса, в которых вместо
значений коэффициентов вязкости \х и теплопроводности X для ламинарных
течений использованы эмпирические зависимости для эффективных
значений \х* и X*, соответствующих турбулентным струйным течениям.
Преимущество этой системы уравнений состоит в том, что она
описывает не только течения невязкого газа и пограничного слоя,
но и учитывает эффекты вязкого взаимодействия. Условия в начальном
сечении, граничные условия на оси и во внешнем потоке, метод
решения использовались так же, как и в предыдущих параграфах
для ламинарной струи.
Законы развития турбулентных течений в настоящее время изучены
не полностью, поэтому большое внимание уделяется построению
полуэмпирических методов расчета турбулентных струй [2, 32 и др.],
необходимых для проведения практических расчетов.
14 Зак. 150
417

Экспериментальные данные показывают, что в первом
приближении можно считать, что величина ji* для развитого турбулентного
движения в струе слабо зависит от чисел Рейнольдса и Прандтля.
На основании обработки результатов расчетов и
экспериментальных данных получена приближенная интерполяционная формула для
величины эффективной турбулентной вязкости и*
ц* = 0,014рС/вАг*фк((1-Аг*/О + |1-то|(Аг7О) + ц, (17.8)
где /с = 0,5 —0,3^/^10/(^*0+ 1); \i — вязкость ламинарного течения в
данной точке; Ua — скорость на оси в начальном сечении струи;
Аг* = 1^0,2—^0,8 1- Здесь у0,2=У в точке, где U=UH + 092(ua-uH)9 а у0,8=У,
где и = ин + 0,%(иа — ин). Величина rno = (UH/Ua)x=0 в начальном
сечении при х = 0. Для полностью развитого автомодельного профиля
скорости на основном участке осесимметричной струи Аг*жг , а на
начальном участке А г =b (Ь — ширина зоны смешения). Иногда
для определения ширины слоя смешения удобнее использовать
профили энтальпии торможения или концентрации. Для улучшения
соответствия между результатами расчетов и экспериментальными
данными в формулу (17.8) для и* можно ввести коэффициент
перемежаемости у = у (у / га).
На основном участке струи Аг*&г* и при к=1 формула (17.8)
для \i* будет соответствовать формуле Прандтля (15.10), при к = 0
величина \х* будет зависеть только от начальной разности скоростей
(ин — иа)х=0 и не будет зависеть от текущей разности ин — иа, т. е.
величина эффективной турбулентной вязкости будет постоянной,
зависящей только от начальных условий течения и характерного
размера струи А г*.
Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными
показывает, что для затопленных струй (ш0 = 0) и для т0, близких
к нулю, величина к «0,5, а для следов при га0>1 величина к«0,2.
Можно также использовать и другие приближенные модели
турбулентного течения. Представляет интерес сопоставить результаты
расчетов турбулентной струи при п>\ с расчетами невязких струй
и с экспериментальными данными.
На рис. 17.9 для сравнения показаны экспериментально измеренный
трубкой Пито безразмерный профиль полного напора п=р'о/рон
Pi/Рон
Рис. 17.9. График
профилей рассчитанных и
измеренных полных
напоров поперек
турбулентной струи (см. условные
обозначения к рис. 17.1):
# экспериментальные
точки; расчет невязкой
струи; + расчетные точки
0 2 4 б в У/Га Для турбулентной струи
418
Wrr^
/
с
н-
4
i
1
4
А
% ч
*+.
ж
4К4*!
Г*
гг^«
fc.-t.
*+
1 -1
ж
•■}■ -|

7 rfl|/5T
^^А«у-*Н>^—>
<■*«! , А ,
-------^3e?
•а х!
• •
X А А*
0 4 J ^ 7, J 10 *_ х
Рис. 17.10. Границы турбулентных и невязких струй при разных степенях нерасчетности п:
#-«=10 1
х—л =100 > г*(у/га) для турбулентной струи;
А—л = 500 J
1— «=10 "I
2—«=100 > граница невязкой струи
3—«=1000J
(полный напор, измеренный в струе, отнесен к полному напору
спутного потока) и результаты расчета соответствующей турбулентной
струи при «=11, Ма = 3,15 на срезе сопла и Мн = 3,11 во внешнем
спутном потоке в сечении — = 0,75 (/ск — расстояние от среза сопла
до точки пересечения висячих скачков уплотнения в конце начального
участка струи). Там же сплошной линией нанесены результаты
расчетов течения невязкого газа. Вблизи границы струи II расчет
невязкого течения дает разрывные значения полных напоров, а в
турбулентной струе образуется турбулентный слой смешения. За висячим
скачком уплотнения I внутри слоя сжатого газа остается некоторая
область почти невязкого течения, не вошедшего в слой смешения.
Ширина слоя смешения почти такая же, как ширина слоя сжатого
газа, и его влиянием на профили параметров течения в поперечных
сечениях струи нельзя пренебречь.
х у
На рис. 17.10 в координатах £ = —— и г]=—— проведено сравнение
Гау/П fay/"
рассчитанных границ турбулентных струй и границ струй, рассчитанных
методом теории невязкого газа (сплошные линии 7, 2, 3). Расчеты
турбулентных струй проводились для Ма = 3,0 на оси в начальном
сечении струи и Мн = 6,0 во внешнем спутном потоке для значений
п от 1 до 500. В качестве границы турбулентной струи выбрана
линия г* = г*(^). Максимальные длина начального участка струи
и радиусы вязкой и невязкой струй близки и растут с ростом
п пропорционально у/п9 поскольку они зависят, главным образом,
от количества движения и расхода струи, истекающей из сопла.
В невязком газе с ростом п в области течения, расположенной
за максимальным радиусом, граница струи отклоняется в сторону
оси, так как все больший расход проходит через тонкий слой газа
14*
419

Рис. 17.11. Границы
турбулентной струи в
автомодельных координатах
(r'/rjy/n и (х,'га)^п:
— « = 3,96; «=10;
«=100; « = 500
raW
высокой плотности вблизи границы струи. В турбулентной струе этот
тонкий слой газа высокой плотности размывается, и для пропуска
того же расхода газа граница турбулентной струи отклоняется в сторону
внешнего спутного потока но сравнению с границей невязкой струи.
Границы турбулентной струи в координатах £, и г| остаются почти
автомодельными при изменении п, что согласуется с
экспериментальными данными для начального участка турбулентной струи.
Границы невязкой струи неавтомодельны в этих же координатах.
С ростом п граница невязкой струи все больше отклоняется к оси.
При малых значениях п граница струи невязкого газа расположена
близко к кривой г*(£) для турбулентной струи, т. е. эффект
взаимодействия при небольших значениях п выражен слабее. Это связано
с тем, что в невязкой струе с ростом п увеличивается разница
между плотностью вблизи границы струи и вблизи скачка уплотнения
из-за роста интенсивности висячего скачка уплотнения. Вязкость
сильно влияет на диаметр струи в конце начального участка. При
« = 500 диаметр вязкой струи почти вдвое больше диаметра невязкой
струи при 72=1000.
Течение турбулентной струи остается почти автомодельным в
координатах ^ и г) и дальше вниз по потоку за начальным участком
струи (рис. 17.11). При /7 = 4 за начальным участком струи хорошо
выделяется второе расширение струи (вторая бочка). При гс>10 линия
г* не имеет второго максимума, характеризующего вторую бочку.
При ««50 слои смешения смыкаются сразу за начальным участком,
и усиление влияния вязкости способствует быстрому размыванию
второй бочки. Однако расчеты показывают, что течение в этой
области не является еще полностью изобарическим. Дальше вниз по
потоку за областью второй бочки на основном участке струи давление
почти постоянно, и недорасширенная струя почти такая же, как
расчетная изобарическая турбулентная струя, истекающая из сопла
с диаметром в yjn раз большим, чем нерасчетная струя.
В теории пограничного слоя течение струи при п = 1 полагается
полностью изобарическим. Расчет поля течения невязкого газа в струе
при п = 1 приводит к аналогичному результату, если в начальном
420

сечении струи вертикальная составляющая скорости равна нулю
и давление постоянное. Использование упрощенных уравнений Навье —
Стокса позволяет учесть взаимодействие вязкого и невязкого потоков
и рассчитать возникающее в результате взаимодействия поле давления
струи.
В результате развития поля давления в рассчитанном случае
течения во внешнем потоке возникает волна сжатия, а в сторону
оси распространяется волна разрежения. На начальном участке струи
давление сначала падает, затем повышается (первая бочка), на
основном участке появляется небольшое разрежение вблизи оси.
В результате при п = 1 распределение давления вдоль оси струи
становится качественно аналогичным распределению давления при
л>1. Однако количественные изменения поля давления не слишком
велики.
§ 17.11. ВЯЗКАЯ СТРУЯ БОЛЬШОЙ СТЕПЕНИ
НЕРАСЧЕТНОСТИ
Для расчета вязкой струи большой степени нерасчетности,
где имеет место взаимодействие вязкого слоя смешения с почти
невязким потоком с одной стороны и воздушным спутным потоком
с другой, можно использовать метод расчета с явным выделением
внутреннего и наружного скачков уплотнения. Экспериментально
в аэродинамических трубах было установлено, что при низких числах
Рейнольдса ReH для спутного потока, соответствующих условиям
полета на больших высотах, когда степень нерасчетности п может
достичь величин порядка 105...107 и более, ширина слоя смешения
становится соизмеримой с шириной слоя сжатого газа, но сами
скачки уплотнения продолжают оставаться достаточно тонкими по
сравнению с толщиной слоя сжатого газа, что позволяет их в первом
приближении заменить поверхностями разрыва.
Тогда все поле течения на начальном участке струи можно
разбить на области вязкого течения, отделенные друг от друга
скачками уплотнения (рис. 17.12). В областях, расположенных между
осью струи и внутренним скачком I и в слое сжатого газа между
скачками уплотнения I и II, течение можно описать параболизованной
системой уравнений Навье — Стокса.
Предполагается, что газовая струя, вытекающая из сопла, и
воздушный спутный поток, смешиваясь, представляют собой бинарную
Рис. 17.12. Схема струи
большой степени
нерасчетности (см. условные
обозначения к рис. 17.1)
уА
Иг!
hi1
Ч—Начальный участок
Переходный
участок
_Основной
участок
421

смесь, поэтому в области между скачками уплотнения система
уравнений Навье — Стокса дополняется уравнением переноса вещества
двухкомпонентного газа.
Чтобы представить систему упрощенных уравнений Навье —
Стокса в безразмерном виде, все параметры отнесены к
соответствующим параметрам на оси струи в плоскости среза сопла, а линейные
размеры отнесены к начальному радиусу эффективной одиночной
струи га.
Тогда систему параболизованных уравнений Навье — Стокса в
цилиндрической системе координат можно записать так
ди . ди 1 др . д f \iy ди\ /пп\
ри,_+р,,_____,_+_^__), (17.9)
рцу* + р,уЬ=*у£+>Ы*\ (17.10)
дх ду уаМ^ дх dy\3RQadyJ
дН дН_ д ( \ху дн\ д ( и2а ( 1 _ v уу d(u2 + v2)\
РЫУ дх PVy ду ду\Кеа?гду) ду\2На\Рт 'Ree ду )
+|(ё(^>--»->|> "'•»)
дс t дс д ( [iy т дс\ ,лп 10Ч
puy — +pvy — = — [ -^—Le — , (17.12)
v J дх v ' ду дДЯеаРг ду) v '
йр, dp 2
puyrx+pvyTy=-p
']■
s_M+s_M I (1713)
дх ду ' v J
p = pRT> ha + hH = H-u-^-. (17.14)
Здесь ha—теплосодержание струи; hH — теплосодержание воздуха спут-
ного потока; величины и, v, h, р, Т, р — отношения местных значений
параметров к соответствующим значениям на оси струи в плоскости
среза сопла, а местные значения продольной и поперечной координат
отнесены к радиусу сопла.
В качестве граничных условий при решении задачи во внутренней
области струи между осью и внутренним висячим скачком уплотнения
были поставлены следующие граничные условия:
1) на оси струи использовалось условие симметрии
|(*. 0)=^*, 0)=|М) = ф, 0);
2) перед внутренним висячим скачком уплотнения принималось
равенство нулю вторых производных по у, т. е. по существу
принималось предположение о линейном характере изменения функций
вблизи границы этой области:
д2и, ч д2Н/ ч д2р, ч d2v / ч д2с( ч л
ар(*> yJ=^(x> yJ=e?(x' yi)=ap(x- *)=^(*. *)=°-
422

Уравнения решались на каждом шаге по х последовательно,
независимо одно от другого численным методом скалярной прогонки.
Для аппроксимации дифференциальных уравнений была выбрана
четырехточечная неявная схема второго порядка по направлению
у и первого порядка по направлению х. Вначале находилось решение
системы уравнений во внутренней области (0 — 1). Затем определялись
условия течения в крайних точках наружной области (2 — 5) следующим
образом. Предполагая, что вдоль скачков уплотнения существует
тонкая область невязкого течения и что на скачках уплотнения
выполняются условия Рэнкина — Гюгонио, а за скачками уплотнения
выполняются уравнения Эйлера для невязкого газа, по параметрам
потока перед скачками и по углу наклона скачка определяются
параметры течения за скачком. Затем проверяется выполнение
уравнений для невязкого течения в точках у2 и у5 за внутренним
и внешним скачками уплотнения. Для этого находятся величины
невязок:
п ди , ди , др
^2ы = Р г^тУг — Л- РгОгУгу+Уг-^,
n dv , dv , dp
■R2v=p2U2y2-^c+P2V2y2J- + y2y,
^2н=Р2"2;;2^-Ьр2^2^2^-5
D 0Р , ^Р , 2
-#2p = P г^тУт. ^ + P2^2^2 J~ + P 2
buy dvy
дх dy
]
Аналогичным образом рассчитываются величины R5u, R5vi R5h,
R5p. Если X^2i = ^2tt + ^2D + ^2H + ^2P<£ и Z^i^e, гДе 8"~малое
число, то величины и2, v2, p2J Н2 и и5, v5, Н5, и5 принимаются
соответственно за граничные значения для области (0 — 5). Если
невязки оказываются больше г, тогда снова подбирается угол наклона
соответствующего скачка уплотнения. Поскольку система уравнений
Навье — Стокса нелинейная, то проводились итерации на каждом
шаге, обычно не более трех.
Описанный выше алгоритм позволяет рассчитывать параметры
как ламинарного, так и турбулентного течений в начальном участке
струи до пересечения висячего скачка уплотнения с осью струи. При
расчете параметров ламинарного течения вязкость ц определялась
как функция температуры по формуле Сатерленда. Для турбулентного
течения использовалась следующая модель: во внутренней области
(0 — 1) между осью струи и внутренним висячим скачком уплотнения
величина \х рассчитывалась по формуле Сатерленда, а в наружной
области (2 — 5) — по эмпирической зависимости для эффективного
значения турбулентной вязкости ц* (17.8).
За точкой пересечения скачков уплотнения на оси струи удобнее
пользоваться описанным ранее «сквозным» методом расчета парабо-
лизованных уравнений Навье — Стокса без явного выделения скачков
уплотнения, так как интенсивность скачков уплотнения в этой области
существенно меньше.
В качестве примера применения метода расчета вязкой струи
с выделением скачка уплотнения проведен расчет струи воз-
423

yAv
2,5-Ю3
Хш
Уш
il
^ш
*ч^7
т
xvvvo^
»
У0,99 '#t*"°
/tf-/tfJ
^•/Z?J
J0-70J
V^z
Рис. 17.13. Картина течения ламинарной струи для степени нерасчетности /?=107,
Refl=106
духа, истекающей в спутный сверхзвуковой поток, и воздуха
при /2 = 0,1 -108. Число Маха на срезе сопла равнялось Ма = 5,
число Маха спутного потока Мн=10, отношения удельных теп-
лоемкостей струи и спутного потока были равны ун = уа=1,4.
Угол наклона стенки сопла к оси у плоскости среза был равен
10°. Число Рейнольдса потока струи было равно Rea = pauara/\ia =
= 0,1 -107.
На рис. 17.13 представлены результаты расчета положения скачков
уплотнения, границ струи, пограничного слоя. Сплошными линиями
показаны положения висячего скачка уплотнения I и скачка
уплотнения III. Светлыми точками и пунктирными кривыми показаны
положения соответствующих скачков уплотнения, рассчитанных
методами теории невязкого газа. Скачки уплотнения III во внешнем
потоке в вязком и невязком газах практически совпадают в пределах
точности расчетов. Положения внутреннего висячего скачка
уплотнения I в вязком и невязком потоках также очень близки, но не
совпадают полностью.
Здесь же показаны положение границы раздела III между струей
и спутным потоком воздуха и положение теплового пограничного
слоя смешения (заштрихованная область). Интересно отметить, что
слой смешения почти целиком сдвинут в сторону внешнего спутного
потока по отношению к границе невязкого течения. Между скачком
уплотнения и слоем смешения остаются достаточно широкие области
почти невязкого течения, что оправдывает применение
использованной здесь модели вязкого течения струи с явным выделением
скачков уплотнения. Толщина слоя смешения достаточно большая
и почти на всем протяжении начального участка сравнима с толщиной
слоя сжатого газа между наружным и внутренним скачками
уплотнения.
В качестве примера поперечного распределения параметров
течения струи рассмотрим профиль плотности в сечении xjra= 14900,
расположенном вблизи максимального диаметра начального участка
струи (рис. 17.14). В невязком газе вблизи границы струи III
наблюдается пик плотности, равный p/pfl = 2,61 • 10~6. В вязком газе
максимум плотности размывается и достигает только величины
0,5-10~6, т.е. примерно в 5 раз ниже, чем в невязком газе. Пик
плотности вблизи границы струи связан с тем, что струйка тока
424

0,5-Ю'
1000
2000
4000 y/ra
Рис. 17.14. Поперечное распределение плотности в вязкой струе в сечении х/га= 14900
при и=107:
результаты расчетов вязкого газа; результаты расчетов невязкого газа
вдоль внутренней стороны границы струи не пересекала сильного
внутреннего скачка уплотнения I. В областях струи, расположенных
вне слоя смешения, профили плотности в вязком и невязком потоках
согласуются между собой.
§ 17.12. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУИ
В СПУТНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Рассматривается задача об истечении нескольких близко
расположенных струй в спутный сверхзвуковой поток. Течение как
вне струй, так и между отдельными струями остается сверхзвуковым.
Недорасширенная сверхзвуковая ламинарная струя,
распространяющаяся в спутном сверхзвуковом потоке, индуцирует в нем возмущения
давления. Если в спутном потоке распространяется несколько
параллельных струй, то индуцированные поля давления взаимодействуют
друг с другом. Это приводит к
возникновению в потоке некоторых эффектов,
характерных для пространственных струй,
истекающих из многосопловых блоков.
Течение пространственной сверхзвуковой
струи вязкого газа при достаточно больших
значениях числа Рейнольдса можно описать
с помощью системы параболизованных
уравнений Навье — Стокса, в которой сохранены
члены, описывающие течение невязкого газа,
и члены, описывающие течение в
пограничном слое, как это было сделано ранее
для одиночной осесимметричной струи.
Примем, что струи и спутный поток
распространяются вдоль оси х, а оси у и z
перпендикулярны потоку (рис. 17.15). Тогда
система параболизованных уравнений Навье —
Рис. 17.15. Система координат для пространственной
вязкой струи, истекающей из 4-х соплового блока
в сверхзвуковой спутный поток
425

Стокса для ламинарного пространственного потока однородного
по составу газа в общепринятых обозначениях размерных величин
примет вид
дри dpv ,dPw_r\
dx dy dz
ди , ди , ди
дх
dz
"fa ty\^ty) + lkyidz
dv dv dv dp , d /4 dv
' dx
д /2 dw
"dy\3^~dz
H(
dw , dw , dw
pus7x + pvTy + pwJI-
dw\ д ( dv
dp d /4 dw
"dz d~z{ 3 ^~dz~
d /2 dv\ , d ( dv\ d ( dw\
v dx K dy v dz dy\ dy J dz\ dz
(17.15)
(17.16)
(17.17)
(17.18)
+
UP г fy г ^Р 4
dx dy dz 3
dv\2 /dw\2 dv dw
dy J \ dz J dy dz
+
+*($)'+»№+»(*+??
dz dy J
(17.19)
(17.20)
(17.21)
ц = Й1о(Г/Го)3/2((Г0 + С)/(Г+С)),
где ji0=16,8-10-6H-c/M2, C=110K при Г0 = 273 К.
Предполагается, что взаимодействующие между собой струи
распространяются в безграничном однородном спутном потоке
воздуха, струи расположены симметрично относительно осей у, z, поэтому
в качестве граничных условий на осях у и z могут быть заданы
условия симметрии. На внешней границе струи должны быть
поставлены асимптотические граничные условия. Предполагается, что
асимптотические граничные условия с достаточной точностью
удовлетворяются на некоторых конечных расстояниях уп и zH от оси х.
В начальном сечении струи должны быть заданы поля р(у, z),
u(y,z), v(y,z), w(y, z), T(y,z).
Тогда принятую систему начальных и граничных условий можно
записать так.
В начальном сечении струи х = 0
и(0, у, z) = u0(y, z), T(Q,y,z)=T0(y,z), v(0, у, z) = v0(y9 z),
/?(0, y, z)=p0(y, z), u>(0, y, z) = w0(y, z).
На оси симметрии в направлении z
£(*, у, 0) = £(*, у, 0)=f (х, у, 0)=£(*, у, <» = *(*, у, 0) = 0.
426

На оси симметрии в направлении у
jy(x> °> z) = %(x> °> z) = ^"(*' °> z)=|(x' °' z) = v(x> °> z)=0-
Условия на внешней границе
и(х, у, zH) = u(x, уН9 z) = uH,
v{x,y, zH) = v(x,yH, z) = vH,
w{x, У, zH) = w(x, уи, z) = wH,
T(x,y, zH)=T(x,yH, z)=TH,
р{х,У, zH)=p(x9yH9 z)=pH,
Приведем систему уравнений (17.15)...(17.21) к безразмерному
виду. Для этого отнесем все параметры к соответствующим значениям
на оси одиночной струи в плоскости начального сечения, а координаты
х, у, z к радиусу одиночного сопла га.
Для улучшения использования разностной сетки введем
переменный шаг по направлениям у и z. Для этого введем новые
переменные
5 = jc, Ti=*"1ln(l+fcy/6), C = £-1ln(l+ycz/5),
здесь 5(х)—граница сеточной области, которая задается функцией
вида:
Ь(х) = а0 + а1х~1/ъ + а2х~1/2-\-аъх+а4гх2.
Коэффициенты этой функции подбираются путем пробных расчетов
таким образом, чтобы граница трехмерной струи всегда находилась
внутри счетной области.
Полученная система уравнений обладает свойствами
параболических уравнений, т. е. если известно решение в некотором сечении £ь
то может быть построено решение в сечении ^2 = ^1 +А*-
Для решения полученной системы уравнений использован метод
переменных направлений, в основу которого положен принцип
построения разностной схемы для многомерных уравнений из
одномерных схем. Суть его заключается в том, что в сечении
я+1 вместо полной системы уравнений решается система с двумя
неизвестными переменными £, и т|, а в сечении п + 2 решается
система с другими двумя независимыми переменными Е, и £.
Для этого в сечении л+1 каждое из уравнений системы (17.15)...(17.21)
следует представить в виде
а в сечении п + 2 эти же уравнения представим в виде
В этих выражениях под / могут подразумеваться функции и, v, w,
Г, а коэффициенты al9 а2, bl9 b2 и др. должны быть известными
функциями ОТ £, Т|, £.
427

Для того, чтобы уравнение неразрывности можно было
представить в аналогичном виде, добавим в его правые части
дополнительные члены
где коэффициент q подбирается путем численных проб настолько
малым, чтобы введение дополнительных членов не влияло на решение
в пределах заданной точности. Добавление в уравнение неразрывности
этих дополнительных членов аналогично регуляризации решения путем
сглаживания рассчитанных значений плотности.
Для аппроксимации дифференциальных уравнений выбрана неявная
разностная схема первого порядка точности по направлению £ и
второго порядка по направлениям г\ и £. Полученные системы
алгебраических уравнений для w, v, w, Г, р решались поочередно независимо
одна от другой методом скалярной прогонки.
Для иллюстрации особенностей пространственного течения
нескольких параллельных струй рассмотрим результаты численных
расчетов распространения четырех симметрично расположенных струй
в спутном сверхзвуковом потоке. Расчеты проводились для значений
степени нерасчетности «=1,0; 1,25; 2,5; 5,0. На оси одиночной струи
в начальном сечении Ма = 2,5. Во внешнем потоке Мн = 2,0 при
Refl = 0,35 • 103. Скорости в поперечных направлениях v и w полагались
равными нулю по всему начальному сечению. Разнос сопел, который
определялся отношением расстояний между осями сопел,
расположенных по диагонали, к диаметру одиночного сопла, равнялся 2,83.
По мере распространения одиночной струи вниз по потоку
в сторону внешнего спутного потока и в направлении к оси
х компоновки в области с более низким давлением начинают
распространяться волны сжатия. Вдоль оси одиночной струи давление
падает. В сечении x/rj=3,5 при « = 2,5. Волна сжатия достигает оси
компоновки и отражается в сторону внешнего потока. Давление
вдоль оси компоновки начинает повышаться и растет примерно до
сечения х/га = 5,5. Далее давление вдоль оси падает, так как за
отраженной волной сжатия следует волна разрежения.
Рассмотрим изотермы температуры торможения Т0. Так как
статическая температура в начальном сечении была принята
постоянной по всему полю, то изотермы Т0 представляют собой
концентрические окружности с центром на оси одиночного сопла.
На рис. 17.16 представлены изотермы Т0/Т0а = const для « = 2,5
при х/га=№. Видно, что изотермы вытягиваются вдоль оси z и,
соответственно, вдоль оси у, т. е. в направлении между струями.
Этот эффект выражен тем резче, чем выше степень нерасчетности
каждой одиночной струи, и его возникновение связано с
взаимодействием полей давления между соседними струями. В верхней части
прямоугольника картина изотерм симметрична нижней части.
Следует отметить, что при расчетном истечении (« = 1) вязких
сверхзвуковых струй поля давления имеют сложный пространственный
характер. При распаде тангенциального разрыва в первоначально
изобарической струе возмущения скорости и температуры
распространяются под влиянием вязкости в поперечном направлении. Из
закона сохранения массы следует, что появление возмущений про-
428

у/ъ
О 2 4 6 z/ra
Рис. 17.16. Картина линий постоянной относительной температуры торможения в сечении
х/га=\0 пространственной ламинарной струи при степени нерасчетности п = 2,5
дольной составляющей скорости должно сопровождаться появлением
поперечных составляющих скорости, следовательно, сопровождаться
изменением направления линий тока и появлением возмущений поля
давления. В результате поле давления первоначально изобарической
струи при п = 1 становится таким же сложным, как при п> 1, но
интенсивность возмущений давления при п — 1 значительно слабее.
Поэтому и при п — 1 изотермы Г0 вытягиваются в направлениях
у и z (между струями), но несколько слабее, чем при « = 2,5.
Расчеты показывают, что истечение недорасширенной струи из
четырехсоплового блока в спутный сверхзвуковой поток имеет
существенно пространственный характер не только на начальном, но и на
основном участках струи, где течение почти изобарическое.
Пространственный характер течения струи сохраняется достаточно долго даже
при относительно небольших значениях числа Рейнольдса, когда
начальные особенности течения струи быстро размываются под
влиянием вязкости.
Современные численные методы позволяют изучать многие типы
пространственных струйных течений, встречающихся в технических
задачах.
429

глава 18. ОСНОВЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГАЗОВ
С ОБТЕКАЕМЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Механика разреженных газов изучает явления, при которых
отношение средней длины свободного пробега молекул / к
характерному макроскопическому размеру L явления не будет исчезающе
малым. Такие условия реализуются, например, при движении
летательных аппаратов в верхней атмосфере Земли или других планет
Солнечной системы; в самих атмосферах планет и комет [119]; при
входе в атмосферу метеоритных тел; в вакуумных аэродинамических
установках и испытательных комплексах, в которых моделируются
космические условия полета летательных аппаратов [48] и т. п. Метод
газодинамического описания течений газов, основанный на уравнениях
Навье — Стокса, становится не справедливым для таких условий. При
описании подобных явлений используются молекулярные
представления о структуре среды. Фундаментом механики разреженных газов
является кинетическая теория газов и взаимодействия газов с
поверхностью твердого тела.
Кинетическая теория устанавливает закономерности,
определяющие макроскопические явления в системах на основе гипотезы
о молекулярном строении этих систем, и динамические законы
движения отдельных молекул. Молекулярные представления позволяют
построить уравнения движения газа и определить граничные условия
на обтекаемой поверхности тела.
Гипотеза о том, что система состоит из молекул, обоснована
для газообразных систем (см. гл. 1, [43, 47, 95]). Физическая система,
представляющая собой совокупность огромного числа однородных
элементов-молекул, находящихся в движении и взаимодействующих
между собой и с поверхностью тела, называется газом.
Рассмотрим ряд предпосылок, определяющих некоторую модель,
так называемый газ Болъцмана. Большинство газов при обычных
условиях, как показывают эксперименты, подчиняется законам боль-
цмановского газа.
§ 18.1. ПОЛОЖЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
В основе кинетической теории газов лежат следующие
положения:
1. Система состоит из большого числа молекул, свободно
перемещающихся относительно друг друга под воздействием внешних
полей или по инерции от столкновения до столкновения. Короткий
промежуток времени, в течение которого молекулы, сближаясь,
взаимодействуют, называется временем столкновения /ст, а процесс
взаимодействия — столкновением.
430

Рис. 18.1. Элементарные объемы в
физическом (а) и скоростном (б)
пространствах:
#—молекулы выделенного класса со
скоростями от £ до £+*/£; О — все остальные
молекулы; А—движение пробной частицы в
газе
2. Пусть L—характерный линейный размер объема газа или
аэродинамический размер тела, движущегося в газе. Элементарный
объем газа А К с линейным размером Axt<^:L содержит такое
огромное число молекул, что по ним возможно статистическое
осреднение. Такие объемы назовем макроскопически бесконечно малыми.
Величины, полученные осреднением по всем молекулам объема Л К,
называются макроскопическими. Все средние величины в первом
приближении остаются неизменными в пределах AV.
3. Линейные размеры молекул (эффективный диаметр d) составляют
величину порядка 10 см, поэтому являются малыми по сравнению
со средним расстоянием между молекулами r*»d (рис. 18.1), так что
d<$c«"3<$cA.Xi<$cL. Здесь п—число частиц в единице объема.
4. Каждая молекула газа (или атома кристаллической решетки
твердого тела) является центром некоторого силового поля. Силы
взаимодействия между молекулами проявляются лишь при их
заметном сближении. Само взаимодействие молекул характеризуется
эффективным сечением столкновений а, представляющим собой
эффективную площадь препятствия, которым оказалась одна частица для
другой. Для модели упругих шаров a = nd2, где d—радиус сечения
столкновений, равный сумме эффективных радиусов сталкивающихся
молекул (см. рис. 18.1, 18.3).
5. В газе время столкновения очень мало по сравнению с временем
движения молекул, вероятность взаимодействия одновременно трех
431

и более молекул пренебрежимо мала. На больших высотах эта
тенденция усиливается. Поэтому в разреженном газе существенны
лишь парные столкновения молекул.
6. От столкновения к столкновению молекула пробегает путь,
называемый свободным пробегом молекул. Длина этого пробега
изменяется случайным образом. Выполняя операцию осреднения,
можно найти средний свободный пробег молекул I.
Пусть имеется газ, состоящий из молекул с сечением столкновения
а. Его концентрация равна п. Выделим среди частиц газа «пробную»
молекулу (см. рис. 18.1). Пусть g— средняя относительная скорость
пробной молекулы. Сталкиваясь с другими молекулами, она дает
ломанную траекторию. За время At выделенная молекула проходит
путь Atg и «опишет» объем, равный AV—gAto. Так как в единице
объема имеется п частиц, то в выделенном объеме находится nAV
молекул. Но этому числу молекул соответствует число столкновений
пробной молекулы с другими частицами в А К. Частота столкновений
частиц равна vx = agn. Разделив путь, пройденный выделенной
молекулой за время At, на число столкновений, испытанных ею, получим
l&gAtfogAta)"1 &(пс)~1. Более строгий вывод показывает, что для
модели упругих сфер
/=-Д—■ (18.1)
v'2wa
Итак, средний свободный пробег молекул зависит от их
концентрации и величины сечения столкновений. Из (1.24) и (18.1)
следует, что
1 = 1п{2пткТу>- (18'2)
7. Движения любых двух молекул, кроме только что
столкнувшихся, рассматриваются! как независимые {гипотеза молекулярного
хаоса).
Эти положения определяют некоторую модель газа и лежат
в основе больцмановского уровня описания. Проверка справедливости
положений кинетической теории осуществляется сравнением ее
результатов с экспериментами [47].
18.1.1. Столкновение частиц в газе
Рассмотрим упругое столкновение двух молекул с
одинаковыми массами и известным потенциалом взаимодействия Ф(г).
В процессе взаимодействия выполняются законы сохранения импульса
и энергии
l + li-l' + l'i, %г + *,\ = \,2 + %?, (18.3)
где £, _£i — скорости молекул с массами m = mi перед
столкновением; £', £i—скорости молекул после столкновения. Обозначим
^с = (1/2)(^ + ^1) — скорость центра масс (центра инерции)
сталкивающихся молекул. Из (18.3) видно, что столкновение не влияет на
скорость центра масс. Уравнения можно записать в виде
x|/ + \h=^' + \|/i, (18.4)
432

Рис. 18.2. Параметры столкновений
частиц:
I — плоскость отсчета угла г; II —
плоскость столкновения
где \|/£—соответственно масса,
импульс, энергия частицы. Эти
значения \|/t- называют сумматорныма
инвариантами. Пусть относительная
скорость частиц до и после
столкновения
g = l-lu f = I'-Si. 08.5)
С учетом (18.5) из (18.3) следует
Ыс + 0,5£ li = lc-0,5£ (18.6)
Относительно центра масс^ско-
рости до столкновения равны \ — \с
и ^i~^c. Уравнения (18.6)
показывают, что эти скорости
параллельны в системе центра масс.
Поскольку Ф(г) зависит от расстояния между частицами, а сами частицы
являются точечными центрами сил, то сила взаимодействия между
ними при столкновении расположена в плоскости, содержащей скорости
до столкновения в системе центра масс. Скорости после столкновения
можно найти из уравнений (18.3) и (18.5)
S' = |c + 0,5f, |i = |c-0,5g'. (18.7)
Значит, скорости после столкновений также параллельны в системе
центра масс. Таким образом, в системе центра масс задача о
столкновении двух молекул свелась к задаче о движении одной частицы
с приведенной массой тс = тт1(т-\-т1)~1 в центральном силовом
поле SF{r\ центр которой совпадает с началом координат (рис. 18.2,
21.4, а). Скорость этой частицы с массой тс вдали от силового
центра численно равна g и направлена вдоль прямой, отстоящей на
расстоянии Ъ от силового центра. Величину Ъ называют прицельным
расстоянием.
Из закона сохранения энергии (18.3) следует, что величина
относительной скорости молекул не изменяется, т. е. |g| = lifl- Кроме
того, из закона сохранения момента количества движения [88]
вытекает, что Ь — Ъ'. Следовательно, скорости после столкновения
(см. (18.7)) зависят от изменения направления вектора относительной
скорости g—угла поворота % в плоскости столкновений, ориентация
которой определена углом 8. Угол поворота % находится из решения
задачи о движении частиц с потенциалом взаимодействия Ф(г)
и имеет вид
X = Tt-20o,
(18.8)
1 = 6
dr
1-
2Ф(г) tf_
mcg2 г2
где В0 — угол, соответствующий минимальному расстоянию гп
значение которого определяется из уравнения:
20(rmln) h2
1-
- = 0.
mcg"
433

Для различных потенциалов Ф(г) можно найти 0О и, следовательно,
угол %. Формула (18.8) для молекул со степенным законом
взаимодействия преобразуется к виду
db Г ^ „2 п 1
j0 —
о
^/l-.p-.fv-ij-i^/x)-1' L2(v-l)^J
™cg
(18.9)
где b = b/r, b0 = b/rmin. Значение b0 определяется из уравнения
l-Fg-(v-l)-1(5"0/x)v-1 = 0.
Если модель молекулы — твердая сфера, то (см. рис. 21.4, б)
Go = 0 = arcsin(6/d),
'2arccos(b/d) при b^d, (18.10)
0 при b>d.
Выражения (18.7) удобно записать в виде
|' = |с + 0,5*й; |i=|c-0,5g/T, (18.11)
где п — единичный вектор вдоль направления g'=£'(%, е).
Столкновение частиц характеризуется рядом сечений столкновений.
Дифференциальное сечение для столкновения с параметрами удара
b и 8 определяется в виде о£%, g)d£l = bdbde. Здесь dQ,—элемент
телесного угла около вектора g' (см. рис. 18.2). Величина о(%, g)dQ
численно равна площади элемента поверхности в плоскости,
нормальной к g. Поскольку молекулы рассеиваются в интервале между
углами х и х + б?Х> то этот интервал определяет рассеяние
в dQ = sin %d%ds, и
* а(*.*)=нпх
1*1
\d%\
Полное сечение столкновений определяется с помощью
интегрирования по пространству
4л я
°г= J <т(х, g)du = 2n$g(%, g)sinxd%. (18.12)
о о
Поскольку величина оТ является бесконечной для
реалистических моделей молекул (интеграл расходится), вводятся
эффективные сечения столкновений. Это дает возможность использовать
модель твердых сфер при установлении эффективного сечения
столкновений для других моделей. Так, для твердых сфер
диаметром dw и d0, когда dwo = 0,5 (dw + d0) (см. рис. 21.4,6), можно
получить
Ь = dwo sin 0 = dwo cos (x/2), \db/d%\ = Q95dwo sin (x/2);
4n (18.13)
°{bg) = dwo/4, oT=$ o(%,g)dQ. = ndlr0.
о
Из (18.13) следует, что дифференциальное сечение не зависит от
X для этой модели, а их рассеяние — изотропно и все направления g' —
равновероятны. При dw — d0 — d oT = nd2.
434

Применение ат для других классических моделей требует
отбрасывания (усечения) дальних столкновений, приводящих в общем
случае к очень малым отклонениям (малым углам %). Подобное
усечение можно проводить с помощью ограничения по b = bmax или
по углу отклонения %. Тогда эффективное полное сечение определяется
следующим образом [38]:
ьчд)
ат = 2п J bdb = 2n[b*2{g)/2]. (18.14)
о
В полярной системе координат с осью g плотность вероятности
распределения углов % и в
&{%, е) d%ds = ?^Y) sin ld%dz.
Тогда плотность распределения по Ъ и 8
0>(Ъ, e)dbde = 2bf2f = 0>(b)0>{z)dbde.
Угол 8 равномерно распределен в интервале от 0 до 2%.
Прицельный параметр Ь, распределенный от 0 до b*(g), имеет
плотность 2b/b*2(g). Следовательно, по значению параметра b из
(18.8) вычисляется угол % при фиксированной величине g. Для модели
твердых сфер вычисление % упрощено
&{Ъ z)d%de = (4n)~1sm%d% = c—.
Значит вектор #, входящий в формулу (18.11), для модели твердых
сфер является изотропно распределенным случайным вектором (в
исходной системе координат он также имеет изотропное распределение).
Процесс столкновения молекул характеризуется рядом сечений
столкновений для различных видов взаимодействия (по отношению
к изменению импульса, энергии, других параметров). Так, изменение
скорости после столкновения в системе центра масс равно g(\— cosx).
Введем эффективное сечение потери импульса [43]
4л оо
a(1)(g)=Ja(x, g)(l-cosAx)^ = 27ij(l-cosx)6^.
о о
Это сечение называется транспортным сечением. Эффективное сечение
порядка А выражается
o{A)(g) = 2n](\-cos %)bdb.
о
Легко убедиться, что для твердых сфер a(1)(g) = 7id2, а для молекул
со степенным законом взаимодействия
a^(^) = 2^r2(v~y]^^(A)(v). (18.15)
L mcS J
Некоторые значения A{A)(v) приведены в табл. 18.1.
Из табл. 18.1 видно, что при разных значениях А порядок сечений
одинаковый. Поэтому для качественных оценок часто используется
какое-либо одно эффективное сечение для рассматриваемого газа.
435

Таблица 18.1
V
5
13
^(1)(v)
0,298
0,321
A{2)(v)
0,308
0,279
Модель
Максвелловские молекулы
Жесткие молекулы
Для оценки изменения сечения столкновений в зависимости от
относительной скорости используем связь среднего пробега молекул
/ с вязкостью \i (см. (1.22)) 1=(9п/8)1/2\х[р(кТ/т)112 J_1. Тогда для
твердых сфер с учетом (18.1) можно получить а = Б%/Гц"1, где
В=[4/(9к)у^. Воспользовавшись формулой Сатерленда (1.26), найдем
cr = ai
гх т+тс
(18.16)
где Г1=273К. Из формулы (18.16) следует, что если Т»ТС, то
сечение столкновений a«const, т. е. при больших температурах или
больших энергиях взаимодействия сечения столкновений практически
не изменяются. Если Т«ТС, то а~1/Г, т. е. обратно пропорционально
квадрату относительной скорости частиц.
При Г^ЗООК для азота (и воздуха) а = 4,5*10"
см", аргона-
a(Ar)=4,2-10 15 см2, гелия — сг(Не)=1,4-10 15 см2. Сведения о сечениях
столкновений частиц различной физической природы приведены в [88].
18.1.2. Функция распределения скоростей молекул
Рассмотрим некоторое пространство, заполненное газом из
однородных частиц. Выделим около фиксированной точки А (х, у, z)
элементарный объем dV=dxdydz. Этот объем мал по сравнению
с размерами пространства, вдоль которого происходит заметное
изменение свойств газг!. В то же время этот объем содержит
достаточно большое количество молекул, необходимое для
статистического анализа. Это означает, что внутри этого элементарного объема
параметры газа в среднем одинаковые по объему. Пусть в нем
в момент t содержится N молекул, тогда N—ndxdydz, где п — const —
концентрация частиц вблизи точки Л. В общем случае п = п(х, у, z).
Скорости молекул в dV различны и образуют непрерывный
спектр случайных величин. В dV всегда можно найти несколько
молекул с практически одинаковыми скоростями, например
от Е,х до ^х + ^л., от £у до ty + d^y, от £z до £, + </£*, (18.17)
где ^х, £у, ^z — составляющие скорости этих молекул. Пусть число
таких молекул dN. Воспользуемся положениями теории вероятности,
рассматривая число молекул Аг, как общее число испытаний, a dN—
благоприятное событие. Тогда
N ndV
(18.18)
Это выражение определяет вероятность того, что взятая наугад
молекула из этого объема будет иметь скорость, составляющие
которой удовлетворяют условию (18.17). Величина d^ = d^(tX9 £>, £z)
зависит от скорости, около которой выбран интервал d%. Например,
436

рассматривая равновесное состояние газа при нормальных условиях,
вряд ли можно найти большое число молекул с очень малыми или
очень большими скоростями по сравнению со средней скоростью
частиц. С другой стороны, d& прямо пропорционально интервалам
d^X9 d^y, d^z. Тогда
dP = Fdttxd£„ditx = Fdt (18.19)
где F—функция, зависящая от выбранных значений £х, £у, ^z;
dt0 = d£3Xd£)yd£)Z. Сопоставляя (18.18) и (18.19), получим, что ожидаемое
число частиц, выделенных в объеме V, равно
dN=nFdt)Xd^>y d^z dx dy dz.
Здесь F=^F(^X, £y, £z, x, y9 z, t) — функция распределения скоростей
молекул, представляющая собой плотность вероятности обнаружения
в момент t в элементе физического пространства dV^ (построенного
около точки х, у, z) молекул со скоростями от £ до ^) + dt>. Отметим
важное свойство
N N N
Учитывая, что
+ 00
VdN=bnFd£dV= IftnFd^xd^ydbzdxdydz,
— СО
получим
lllnFd^d^d^dV }Z
\Fd%=\. (18.20)
N ndV
Условие (18.20) есть условие нормировки. Вместо функции F часто
используется функция f=nF. Тогда
n-MnFdZ-Mfdi (18.21)
— со — СО
18.1.3. Макроскопические характеристики газа
Если известна функция распределения скоростей, то можно
вычислить любые макроскопические парметры газа (р, р, Т и т. п.).
Вычисление этих параметров сводится к осреднению ряда динамических
свойств всех молекул, находящихся в элементарном объеме dV
в данный момент времени.
Определим составляющую массовой скорости потока их. Полное
число частиц в элементарном объеме равно ridV=_N. В объеме dV
выделим молекулы со скоростями от £, до ^Л-d^. Их количество
равно dN=fdl)dV. Умножим это выражение на £х. Тогда среднюю
составляющую массовой скорости их можно получить, проведя
операцию осреднения всех N молекул в объеме dV:
Л N ndV п
$,/</£. (18.22)
437

Аналогично выражаются через / составляющие видимой скорости
газа иу и uz. Составляющие скоростей молекул £х, £л ^z можно
представить в виде суммы составляющих^ видимой скорости газа
и отклонений от этих средних значений (^ = w + C):
L)X = Ux-j- L,x, С>у = Uy -j- y^y, Sz = ^zTtz.
Здесь CX9 Cy, Cz составляющие тепловой скорости молекул, причем
|Я Qfd^xd^,d^ = JJJ CtfdCxdC,dC, = 0 (i=x, у, z).
— оо — 00
Поскольку температура газа связана со средней кинетической
энергией теплового движения молекул, ее можно определить по
формуле
+ 00
~Ъпк
-(C2x + C2 + C2)fdCxdCydCz. (18.23)
Давление в газе, согласно определению его в кинетической теории,
выражается через / следующим образом:
1 + °°
p=-m\l\{C2x + C2y + C2z)fdCxdCydCz. (18.24)
- 00
Составляющие теплового потока qx и напряжение трения
ри определяются с помощью / (рассматривается одноатомный
газ; для многоатомного газа необходимо учитывать внутреннюю
энергию) в виде
+ 00
Ci™(C2x + C2 + C2)fdCxdCydCz, (18.25)
Pij = rn^CtCjfdCxdCydCs (i*j). (18.26)
- 00
Составляющие температуры
7^ = ^, Туу = ^ Tzz = ^, (18.27)
у/П у/П у/П
где
+ 00
Pu = mSI$CffdCxdCydCM.
- 00
Если газ в объеме dV находится в равновесии, то компоненты
главных напряжений ри не зависят от направлений и все составляющие
температуры совпадают. Компоненты Pij = 0 и #; = 0.
18.1.4. Кинетическое уравнение Больцмана
Решение задач механики разреженного газа сводится к
нахождению функции распределения скоростей молекул, являющейся
основой статистического описания газа. В общем случае для ее
определения обращаются к уравнению Больцмана. Это уравнение
438

получается из баланса частиц выделенного класса в элементе объема
физического пространства. При его выводе принимается, что время,
в течение которого происходит столкновение частиц, мало по
сравнению с рассматриваемым временем dt. Среднее число столкновений
пропорционально произведению функций распределения
сталкивающихся частиц. Это положение указывает на отсутствие корреляции между
двумя выделенными группами частиц (гипотеза о молекулярном
хаосе). При выводе интегрального члена не учитывается
пространственное изменение функции распределения на расстояниях порядка
диаметра молекул d.
Выделим в больцмановском газе, состоящем из одноатомных
молекул массой га, около точки А (х, у, z) элемент физического
пространства dV=dxdydz (см. рис. 18.1). В нем в момент времени
/ содержится «dF-частиц, где п — числовая плотность молекул в точке
х, у, z. Скорости всех молекул различны по величине и направлению.
Из числа «JF-частиц выделим молекулы, у которых значения
составляющих скоростей лежат в интервале значений соответственно
ОТ Ъх, Ьу, ^г ДО £* + </£*, £>y + dt>y> £>z + dtoz-
Изменение числа молекул выделенного класса за время dt может
быть вызвано следующими причинами. Во-первых, движением молекул,
в результате чего некоторое количество молекул выделенного класса
покинет объем dV, а некоторое с такими же скоростями поступит
в dV. Во-вторых, действием внешнего поля массовых сил, в результате
чего часть молекул объема dV может изменить за время dt свою
скорость и пополнить класс выделенных молекул, а с другой стороны,
некоторое число молекул выделенного класса может так изменить
свою скорость под действием внешних сил, что выйдет из числа
выделенных. В-третьих, в результате столкновений могут исчезать
молекулы выделенного класса (при взаимодействии с другими
молекулами у них изменяется скорость), или наоборот, при столкновениях
молекул, ранее не входивших в выделенный класс, могут появляться
молекулы со скоростями, лежавшими в указанном интервале значений.
Вычислим изменения числа молекул выделенного класса за счет
движения частиц в направлении оси х. Слева от dV (см. рис. 18.1)
имеется какое-то количество молекул, скорости которых лежат в
выделенном интервале значений. Те молекулы, которые находятся на
расстоянии Zyxdt, обязательно попадут за время dt в элемент dV.
Таким образом, все молекулы с выделенными значениями скоростей,
находящиеся в объеме ^xdtdydz, за время dt непременно попадут
через левую грань dydz в dV и пополнят класс выделенных частиц.
Число этих молекул в объеме ^xdtdydz равно (f)xdliXd£iydb)Zb)Xdtdydz.
Через правую грань dydz молекулы выделенного класса будут покидать
dV. Число уходящих молекул через правую грань вычисляется
аналогично (f)x+dxdl)Xdt)ydl)Z'^xdtdydz. Используем разложение в ряд
Тейлора и опустим малые члены второго и более высоких порядков.
Тогда число уходящих частиц через правую грань dydz можно
представить в виде [(f)x + (df/dx)dxld^£>xdtdydz, где
dt) = dl)Xd't>ydt)Z—элемент пространства скоростей (см. рис. 18.1).
Разность между числом поступающих и уходящих частиц равна — £>x(df/
dx)d%dVdt.
Аналогичным образом можно рассмотреть потоки выделенных
молекул через грани dxdy и dxdz. Сумма разностей между числом
поступающих и уходящих частиц через грани dV будет равна
439

d^dVdt. (18.28)
При определении изменения числа частиц выделенного класса
в dV за счет действия внешнего поля массовых сил принимается,
что на каждую единицу массы молекулы действует сила, составляющие
которой равны X=d^x/dt, Y=d£>y/dt, Z=d£)Z/dt.
Выполняя процедуру, аналогичную рассмотренной выше (но
в пространстве скоростей), можно получить
d%dVdt. (18.29)
Изменение числа молекул выделенного класса в dV за интервал dt
^d%dVdt. (18.30)
С учетом (18.28), (18.29) и (18.30) можно получить балансовое
уравнение
%+l.T+bT+b'T+XW+YW+ZW-J> (18-31)
dt дх * ду dz д^х д^у d\z
где /—член, учитывающий влияние столкновений. Конкретный вид
члена J в этом уравнении зависит от потенциала межмолекулярного
взаимодействия Фп(г).
Рассмотрим столкновение молекулы выделенного класса £ (или
^-молекулы) с молекулой класса £х (или ^-молекулой}, после
которого частицы приобретут соответственно скорости £' и ^\.
Их относительная скорость до столкновения g — ^ — ^i- Прицельные
параметры столкновения заключены в диапазонах b, b + db и 8,
8-f-de (см. рис. 18.2 и 21.4). При столкновении между данными
частицами за время от f до t + dt СгмолекУла окажется внутри
объема, _площадь основания которого равна bdbdz, а высота—gdt.
Число ^-молекул в dV в момент t равно fid£ildV (согласно
определению функции распределения). Поскольку с каждой Ci~
молекулой из этого числа связан элементарный объем gbdbdedt,
то их полный^ объем равен f1gbdbdsdb)1dVdt. Из-за малости
db9 dz, dt и d\ принимается, что рассматриваемые элементарные
объемы не перекрывают друг друга и в каждом из^ них не
содержится более_^ одной ^-молекулы. _ Так как число ^-молекул
в dV равно ^fd£,dV, то_^ ff^gbdbdzd^d^dVdt определяет число
столкновений ^-молекул с ^-молекулами при прицельных параметрах
Ь, 8 в элементарном объеме dV за время dt. Тогда общее
число столкновений ^-молекул со всеми ^-молекулами при
произвольных прицельных параметрах b и 8
_^ + оо 2л Ьтах
J-d\dVdt=\\\\ ] ffigbdbded^df-dVdt, (18.32)
- оо О О
где J~ — интеграл прямых столкновений частиц, определяющий
скорость уменьшения числа хмолекул класса С в единице
объема за единицу времени в точке А(х) физического
пространства из-за столкновений этих молекул с частицами всех других
классов.
дх ду dz
д^х dt,y д£,г
440

/ После удара
Передударом\
а)
г1^' £>' 7:'*
Л? fit ft/
\
ы
/ \
< \
л? 1
ю
Рис. 18.3. Прямые (а) и обратные (б) столкновения молекул
Существование второго типа столкновений (рис. 18.3) — обратных
столкновений частиц (используется принцип обратимости
механического движения) приводит к появлению в dV частиц класса £.
Подобно тому, что / является функцией распределения для ^-молекул,
/' и // используются при обозначении функций распределения для
молекул классов £' и ^\ соответственно. Столкновение ^'-молекул
с ^i-молекулами с прицельными параметрами Ъ и 8 приводит
к образованию молекул со скоростями £ и £х. Проведя анализ,
аналогичный тому, который определяет (18.32), получим
2л Ьт
(18.33)
/ + rf$rfKA=JJJJ J f'flgbdbdzd^d^dVdt,
- оо О О
где / + —интеграл обратных столкновений частиц. При выводе (18.33)
принималось, что d£i'd%'1=d£dZ)1 (согласно теореме Лиувилля), g'=g9
b' = b и е'= 8. С учетом того, что J=J+ —J~, полный интеграл
столкновений Больцмана равен
•/= Ш Т Г (f'fi -ffi) gbdbdzd^ . (18.34)
- оо О О
Выпишем ^некоторые свойства этого интегрального оператора.
Пусть ф = ср(£) — произвольная молекулярная характеристика газа.
Умножая / на ф(0 и интегрируя по всему пространству £, после
преобразований можно получить следующие выражения (обозначенные
через /ф) [88, 95]:
+ оо + оо 2nL;
Л=
^-<p')(f'f;-ffi)gbdbdBd^di
оо - оо О О
J^l^'-^ffigbdbdzdX.di
Л
-(949i-9-9i)//igWWedCi^C
(18.35)
где ф', ф'х—значения функций ф и фх после столкновений.
Окончательно, подставляя (18.34) в (18.31), получим
441

dt дх • ду dz д^х д^у д^г
+ со 2пЬт
I
(f'f;-ffi)gbdbded^.
(18.36)
Уравнение (18.36) является основным уравнением кинетической
теории и называется уравнением Болъцмана. Оно представлено
дифференциальным оператором D(f), описывающим изменение / за счет
релаксации, конвекции и ускорения молекул внешним полем, и
интегральным оператором /(/), определяющим скорость изменения / из-
за столкновений молекул. Связь между скоростями молекул до
и после их столкновения определяется Ф(г). Для молекул со степенным
потенциалом (вводя вместо b переменную Ь*) и в виде твердых
сфер (у которых d—диаметр молекул, 0—угол между направлением
линии удара и вектором относительной скорости g) выражение для
интеграла столкновений примет соответственно вид
+ оо 2л bmax
/(/)=[4J8T(v-l)/m]^-1'JJJJ J (/71'-//1)*<v-5,/,v-1)AVAVerfCi,
"°° ° (18.37)
где
b* = b {mg2[4K{v-l)yi}lllv-1);
+ оо 2л я/2
J(f)=UU Hf'f(-ffx)gd2sinecosQdQdzd^. (18.38)
- оо О О
Уравнение Больцмана можно записать и в интегральной форме.
Рассмотрим для простоты одноатомный газ и положим, что внешние
массовые силы отсутствуют.
Выделим в момент времени
r<5 t в некотором элементарном
цилиндрическом объеме dV—dAdh,
-dV построенном около точки х, класс
молекул со^ скоростями в
интервале от \ до tt + dt) (рис. 18.4).
Образующая этого цилиндра
параллельна вектору скорости £,
а основание dA перпендикулярно
к нему. Число молекул в dV,
имеющих указанный диапазон
скоростей, равно f(£,x,t)d%dV.
Рассмотрим момент времени t0,
предшествующий г, т. е. t0<L
Тогда все молекулы класса !;,
находящиеся в объеме dV,
располагались бы в некотором
объеме dV1 на расстоянии ^(t — t0)
при условии, если бы
отсутствовали столкновения ^-молекул
с частицами других классов.
Поскольку d\ в пространстве
скоростей является элементом более
Рис. 18.4. Схема к выводу уравнения
Больцмана в интегральной форме
442

высокого порядка малости, чем элемент dV, то можно принять, что
dV_x=dV^ Число ^молекул в dVx равно /(£, х0, t0)d^dV или
/(£, х—!"(/ —10), t0)d^dV. Если бы не было столкновении, то число
молекул в dV и dVx было бы одинаковым (при свободном движении
молекул вдоль траекторий число их не меняется) и /(£, х, t)
=f(^,x — ^(t—t0),t0). Однако на пути £(t — t0) молекулы испытывают
столкновения, и часть из них за рассматриваемый промежуток времени
теряет свою скорость £ Но из-_за столкновений молекул других классов
происходит пополнение этих ^-молекул вдоль луча ее.
Рассмотрим теперь промежуток времени t0<ts<t. В этот момент
времени элементарный выделенный объем определен координатой xs.
Суммарное изменение числа ^-молекул из-за столкновений в точке
xs за время dt составит величину J(^, x — ^(t — ts), t5)d^dVdt, где
J—интеграл столкновений. На всем участке от t0 до t изменение
числа частиц класса С за счет столкновений равно
\j(lx-^(t-ts\ts)dUvdts.
'о
Составим тогда следующий баланс частиц:
/(£ х, *)=/(£ *-£('-'о), t0) + ]j(l x-%(t-u\ ts)dts. (18.39)
Уравнение (18.39) представляет собой интегральную форму записи
кинетического уравнения. Она может быть различной, например, [43, 47 ]:
f(x, С, t)=f(x09 Со, 'о) ехр - J vs(xs, С U) dts +
+ j/s+(xs, С, ',)exp|-Jv2(*2, t h)dt2\dt„ (18.40)
'о L ts J
где
x0 = x-Z3(t-t0),
£ = *-£(*-*,),
x2 = x-%(t-t2);
v£—частота столкновений в точке xt в момент времени tt; t0<ts<t;
ts<t2<t\ J*—интеграл обратных столкновений, вычисленный в точке
xs в момент времени ts. Интегральное уравнение (18.39) или (18.40),
в отличие от уравнения (18.36), пригодного для произвольного
потенциала Ф(г), справедливо лишь для молекул газа с конечным радиусом
взаимодействия. Оно содержит также сведения о функции распределения
/(Jc0, С, *о) в начальный момент времени и на границе рассматриваемой
области (включающей и поверхность обтекаемого тела, если луч ее
пересекает его в момент времени /0)> занимаемой газом.
18.1.5. Локальное равновесие газа
Согласно Н-теореме Больцмана изменения состояний газа,
обусловленных межмолекулярными столкновениями, осуществляются
+ сю
таким образом, что Я-функция (Н=к \\\ flnfdl) уменьшается и до-
- 00
стигает минимума только для такого состояния, при котором
443

f'fi—ffi=0. Это условие соответствует однородному равновесному
состоянию газа, т. е. свойства газа не изменяются по времени
и остаются неизменными во всех точках пространства, занятых этим
газом. Следовательно, функция распределения / зависит только от
£. Уравнение Больцмана для этого случая принимает вид
4-оо 2л Ьт
'=ИП J {f'f{-ffi)gbdbded^=0
(18.41)
или
f'fi=ffv
(18.42)
Производя логарифмирование (18.42), получим (см. (18.4))
ф' + \К=ф + фь (18.43)
где \|/' = ln/'; \|/i=ln/i'; \|/ = ln/; i^ln/i.
Условие (18.43) выполняется, если функции v|/f являются линейной
комбинацией сумматорных инвариантов (см. п. 18.1.1):
ml2
\nf=blm + b2xm^x + b2ymZoy + S2zmZ,z + b3—-
или
/=ехр blm + b2xmZyx + b2yml>y + b2Zml)Z + b?)
т^'
(18.44)
Пять постоянных (5Ь Ъ2Ь 53) можно выразить через п, Т, их, иу, uz,
если воспользоваться формулами (18.21), (18.22), (18.23) и др. Вводя
(18.44) в эти формулы, можно получить уравнения, решение которых
позволяет найти неизвестные коэффициенты и, следовательно, вид
функции распределения
/м —
I п
(2ккТ/т)3'2
ехр
d+c2 + c2z
2кТ/т
(18.45)
*Z > ИХ5 "'З"
-составляющие мак-
где Сх —ц* иХ9 L-y — tjy иу, Cz — ц2
роскопической скорости движения газа в системе координат х, у, z.
Эта функция распределения скоростей молекул впервые была найдена
Максвеллом и носит его имя.
Подставляя максвелловскую функцию распределения (18.45) в
формулы для qi и ptj, получаем qi=pij = 0. В газе, находящемся
в равновесном состоянии, отсутствуют напряжения трения и тепловые
потоки.
С помощью формулы (18.45) можно вычислить для равновесного
состояния такие параметры хаотического движения молекул газа, как
средняя квадратичная скорость теплового движения молекул у/С^,
наиболее вероятная скорость молекул Ст, средняя тепловая скорость
молекул С. Значение JC^ определяется следующим образом:
{Cl + С2У 4- Ci)fdCxdCydCz
1/2
= y/3kT/m. (18.46)
Из (18.46) следует, что давление р = рС2/3=пкТ. Значение
Ст соответствует тому значению скорости, которым обладает наи-
444

большее число молекул. Следовательно, Ст определяется из условия
экстремума функции /С2, т. е. из д(/С2)/дС=0:
пС2
_дС(2пкТ/т)ъ>2
Дифференцируя (18.47), получим
с2 2
20 .е 2кТ/т_ С
2кТ/т =0.
(18.47)
1С
е IkT/m — Q^
[InkTImf12 (2пкТ/т)3/2 2кТ\т
Отсюда Ст = (2кТ/т)1/2. Средняя тепловая скорость частиц газа,
представляющая собой среднюю _арифметическую скорость молекул
газа, определяется по формуле С=[8кТ/(кт)у/2.
18.1.6. Общее уравнение переноса
и уравнения механики сплошной среды
Из уравнения Больцмана можно получить уравнения,
описывающие поведение макроскопических параметров газа, являющихся
моментами функции распределения. Пусть функция ф = ф(^л., £,у, ^z) —
некоторый молекулярный признак (например, импульс mff, энергия
-т^2 и т.п.). Умножим обе части уравнения Больцмана (18.36) на
функцию (pd^xd^yd^z и затем проинтегрируем каждую часть по всем
значениям $х, ^,Дг; (X=Y=Z=Q) [47]:
^ dt ^
«ия>|^е+
[^ф^С+^.ф^С=
фЛ/£. (18.48)
Поскольку переменные х, у, z и £х, £у, £z являются независимыми, то
уравнение (18.48) можно преобразовать к виду
*'dy+h{]*-'d4+h
^yfdt\+jz
4>Z>Jd$j =
+ оо + оо 2л со
vif'fi-ffJgbdbdBd&dl
(18.49)
-оо-со О О
Величины |ф/г/£=ф, |^хф/</£=^хф и т. п. являются
макроскопическими характеристиками газа. Уравнение (18.49) называют общим
уравнением переноса. Впервые оно было получено в 1868 г.
Максвеллом.
Пусть ф = т. В этом случае из (18.49) следует
^fd^=mjfd^=mn = p'i
S^yfd^m^ifd^pui,
где i — x, у, z; щ—составляющие макроскопической скорости газа.
445

Используя тот факт, что при столкновениях молекул их масса
не изменяется, можно показать, что
+ 00 + 00 2п оо
j,=l(m-m') J J jj{f'fl-fA)gbdbdzd^d^O.
-00-00 О О
Таким образом, при (р = га из (18.49) вытекает следующее
уравнение:
др dpux dpuy dpuz __ ^
dt дх ду dz
Это уравнение есть уравнение неразрывности. Положим теперь ф = га£,-,
где i=x9 у, z. В силу того, что при столкновениях суммарный импульс
молекул не изменяется, правая часть (18.49) обращается в нуль.
В результате можно получить уравнения движения газа
dux _ дрхх дрху дрХ2
Р dt дх ду dz '
duy __ друх друу dpyz
dt дх ду dz
duz __ дргх dpzy dpzz
dt дх ду dz
dw dui , дщ , дщ , дщ
где —=—+их —+uv —+uz —; uXi wv, uz—компоненты макроскопиче-
dt dt дх y ду dz
ской скорости газа; pxx, pm pzz, pxy=pyXi Pxz^Pzx, Pyz^Pzy— компоненты
тензора напряжения.
Пусть <p=-wi(£2 + £y+£z)- В этом случае правая часть уравнения
(18.49) обращается в нуль, так как при столкновениях суммарная
энергия частиц не изменяется. После несложных преобразований
получим уравнение энергии
jt{pE) + ^{puxE+uxpxx + uypxy + uzpxz) + —(puyE+uxpy^
+ fo{PUzE+UxPzx + UyPyz + Uzp„) + ^ + £ + -£ = 09
где E=CvT+-(ul + uy+uz); CV = (3/2)R—изохорная теплоемкость;
#jo qy> 4z—составляющие теплового потока; Т=—(Pxx+Pyy+Pzz)—те-
3pR
мпература газа.
Полученные пять уравнений являются фундаментальными
уравнениями механики сплошной среды. В представленной здесь форме эти
уравнения незамкнуты, так как кроме пяти неизвестных р, их, иу, uz
и Т они содержат еще неизвестные функции рху, pxz, pyz, рхх, руу,
Ях, qy, Qz (величина pzz выражается через Т и рхх, руу). Всего тринадцать
неизвестных функций. Для замыкания системы уравнений необходимы
дополнительные связи между первыми пятью и остальными восемью
функциями. В континуумной механике тензор напряжений предполага-
446

ют пропорциональным тензору скоростей деформации (закон Стокса),
а вектор потока тепла—градиенту температуры (закон Фурье). При
этом используются дополнительные предположения об изотропности
и однородности среды, что позволяет все коэффициенты, связывающие
компоненты тензоров, выразить через два коэффициента вязкости.
Однако законы Стокса и Фурье являются частными и применимы
лишь тогда, когда средняя длина свободного пробега молекул
исчезающе мала по сравнению с характерными размерами задачи.
В общем случае необходимо обращаться к уравнению Больцмана.
Из уравнения (18.49) можно получить необходимое число
макроскопических уравнений, задаваясь различными функциями
§ 18.2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ГАЗОВ
С ПОВЕРХНОСТЯМИ
Изучение процессов взаимодействия газов с обтекаемыми
поверхностями основано на молекулярно-кинетических представлениях
[16, 47, 72]. Для построения функций взаимодействия, описывающих
эти процессы, необходимо знать механизм взаимодействия молекул
газа с поверхностью твердого тела. Эти функции входят в граничные
условия для уравнения Больцмана.
18.2.1. Физическая картина взаимодействия
Структура твердого тела характеризуется определенным
закономерным расположением атомов (молекул, ионов и т. п.) в
пространстве. Различается ряд кристаллографических систем. У чистых
материалов, например, характерными структурами кристаллических
решеток являются объемноцентрированная кубическая решетка—ОЦК
(Fe, Mo, Та, W и др.), гранецентрированная кубическая решетка—ГЦК
(Al, Ni, Си, Ag, Аи и др.) и гексагональная решетка плотной упаковки
(Mg, Ti, Re и др.). Расстояния между атомами в кристаллических
решетках для различных веществ колеблются в пределах нескольких
ангстремов 3—5 А (1 А°= 10~8 см). Атомы твердого тела находятся
в связанном колебательном движении около своих положений
равновесия, амплитуда которых при обычных температурах примерно на
один-два порядка меньше межатомных расстояний. Между атомами
решетки существуют определенные силы взаимодействия.
При описании взаимодействия частиц газа с атомами поверхности
чаще используются потенциалы Леннарда — Джонса и Морзе. При
этом необходимо рассматривать динамику не отдельного атома
поверхности, а целого ансамбля взаимосвязанных частиц (рис. 18.5).
При столкновении частицы газа, скорость которой £ь с поверхностью
возможно ее отражение с изменением или без изменения внутреннего
состояния со скоростью £г (рассеяние), выбивание частиц,
принадлежащих телу или адсорбированным элементам (распыление),
физическая или химическая адсорбция частицы на поверхности или внедрение
ее в тело (захват). Происходит также процесс массоотделения частиц
растворенного газа и атомов поверхности обратно в поток.
Поскольку поверхность тела является сильно шероховатой (по
сравнению с молекулярными размерами), то молекула газа, попав
447

Рис. 18.5. Физическая картина
взаимодействия молекул газа
с атомами поверхности
твердого тела:
1 — атом поверхности; 2 —
адсорбированная частица; 3 — внедренная
частица; 4—рассеяние; 5—
распыление; б—массоотделение
во впадину, может испытать многократные столкновения с
атомами решетки прежде, чем она снова вернется в газовую среду.
На поверхности тела часто формируется ряд слоев
адсорбированных молекул. Они могут занимать как всю поверхность, так и
ее отдельные участки. Как известно, вероятность образования
таких слоев зависит от времени пребывания молекул газа на
поверхности, плотности потоков частиц, падающих на нее, и т. д.
Взаимодействие молекул с поверхностями, покрытыми слоем
адсорбированных молекул, оказывается отличным от процессов, происходящих
на чистой поверхности. В общем случае характер взаимодействия
газовых частиц с обтекаемой поверхностью зависит от многих
параметров [16, 48, 72].
18.2.2. Граничите условия для функции распределения
Граничные условия (для внешних и внутренних течений)
содержат на одних границах функцию fm для газа вдали от
обтекаемого тела, а на других границах — функцию fr для отраженных
частиц, определяемую из законов взаимодействия молекул с
обтекаемой поверхностью. Газ в набегающем невозмущенном потоке
со скоростью С/,» характеризуется _максвелловской функцией (см.
(18.45)), где « = «оо, Т^Т^, С = £ — £7те. Вид функции /г зависит от
механизма взаимодействия молекул с атомами кристаллической
решетки твердого тела.
Пусть в момент времени / около единичного элемента dA
поверхности тела имеется молекула, которая налетает на него со
скоростью в диапазоне от ^ до \{ + а%{ (рис. 18.6). Если механизм
взаимодействия известен, то можно рассчитать и_ вероятность того,
что молекула, имевшая скорость в диапазоне от t)i до %t + d%i9 после
удара о поверхность в уточке xw отразится от нее со скоростью
в диапазоне от ^г до С*+^?г- Обозначим эту вероятность ^(^,
%r) = Kdt)r, где K=K(xW9 £,., £г, /) — функция рассеяния, вид которой
зависит от энергии падающих частиц, физико-химических свойств
газа и поверхности, обработки поверхности, количества адсорбционных
слоев и многих других факторов. Если поверхность не поглощает
частицы газа, то число падающих частиц выделенного класса на
448

единичный элемент dA в единицу
времени равно числу частиц,
покидающих dA за этот промежуток
времени. Тогда на единичную площадку
упадет -(^л)/»^ (здесь
п—внешняя нормаль к dA). Часть этих
молекул — (^)in)faoa%iKa%r отразится от
элемента dA_ со скоростями в
интервале от ^г до £,r + d^r. Полное
число частиц, отраженных от dA
в единицу времени со скоростями от
£г до ?, + </£,:
- JJJ (Ztf/nKd^dt. (18.50)
Число отраженных частиц, выраженное
через функцию распределения fr, равно
(?Ж(^,?Г, ОС (18.51)
С учетом (18.50) и (18.51) можно получить
Рис. 18.6. Падающий и отраженный
потоки частиц на элементе
поверхности
fr(xW9 ?r, t)= JJJ K(xw, %t, £„ /)/«A (18.52)
(1{л)<0
где /ooCxw, £,-, t) — функция распределения для молекул, падающих на
единичный элемент_^dА, положение которого задано xw и внешней
нормалью п\ fr(xw, %r, t) — функция распределения скоростей
отраженных молекул в точке xw поверхности тела; K—\\—{t)in)\l{l:)rn)'\
К—ядро рассеяния. Функция К должна удовлетворять требованию
J Kd^r=l, показывающему, что полная вероятность, с которой
падающая молекула отразится обратно со скоростью £г, равна 1,
и условию теплового равновесия /м(?г) = J ^/м(С.)^?1> определя-
, й,я)<о
ющему, что fr для отраженных частиц равна /м, если /оо=/м при
Гда, равной температуре стенки Tw. Функция К в общем случае
зависит от параметров, характеризующих термодинамическое
состояние поверхности и ее структуру. К числу этих параметров относятся:
|i = га/га l5 \ia==ma/mi—соответственно отношения массы частицы газа
к массе атома поверхности и массы адсорбированной частицы к массе
атома поверхности; Ф7(г) — потенциалы взаимодействия частиц газа
с атомами поверхности и адсорбированными молекулами;
EilEnttTilTy» — отношение потока энергии падающих частиц к потоку
энергии частиц, соответствующих температуре Tw. Функция К зависит
также от отношения средней энергии адсорбции частиц к энергии
связи атомов в поверхностном слое поверхности; характеристик
кристаллической решетки (типа решетки, расстояния между атомами
решетки, энергии связи); характеристик шероховатости (например,
A/5i—среднее отношение высоты гребня шероховатости к ширине
его основания) и т. п.
Условие (18.52) определяет наиболее общую форму представления
граничного условия на обтекаемой поверхности. Описание взаимодействия
IS Зак. ISO
449

потока разреженного газа с поверхностью твердого тела основано на
прямом численном моделировании этого процесса. Оно может
проводиться различными способами, но сводится к моделированию движения частиц
газа и поверхности. Математически оно описывается системой
дифференциальных уравнений Ньютона [72]:
»»^=-1>Фл (i = l, 2, .... N), (18.53)
где mi — масса /-ой частицы; rt—радиус-вектор z-ой частицы;
Фу,-—потенциалы внешних сил и сил взаимодействия, действующих
на частицу; N—число частиц, участвующих в моделировании. Процесс
моделирования связан с интегрированием системы (18.53). Задается
расположение атомов в поверхностном слое решетки и в
адсорбционном слое. Для определения характера взаимодействия с
поверхностью часто можно ограничиться одной падающей частицей (атомом)
газа и рассмотреть некоторое число атомов решетки и адсорбционного
слоя. Система уравнений (18.53) интегрируется на ЭВМ с различными
вариантами начальных условий для падающей частицы. Результаты
расчетов могут быть представлены в виде таблиц функции
распределения отраженных частиц, коэффициентов аккомодации,
индикатрис рассеяния и т. п. Метод позволяет вести расчеты с шероховатой
поверхностью. Однако, поскольку такая задача связана с учетом
многократных столкновений частицы, то существенно усложняется
решение и необходима модификация численных алгоритмов.
Таким образом, граничные условия на твердой поверхности,
обтекаемой потоком разреженного газа, на больцмановском уровне описания
могут быть представлены с помощью задания ядра рассеяния, функций
распределения отраженных частиц или коэффициентов аккомодации.
18.2.3. Модели 1 взаимодействия газа с поверхностью
Определение точного вида функции распределения для
отраженных молекул связано с большими трудностями. Достаточно
большое число параметров, определяющих ядро рассеяния, затрудняет
использование граничного условия в форме (18.52). Наряду с решением
задачи в полной постановке моделируется сама функция К.
Схематизация столкновительного процесса взаимодействия приводит к
сокращению определяющих параметров. В простейших моделях
предполагается, что молекулы, ударяющиеся о поверхность, либо
отражаются от нее, как упругие шары (зеркальное отражение), либо
испускаются с максвелловским распределением и температурой Тг,
отличной от Tw (рис. 18.7). Тогда
Щ,, ?r) = (l-flt)6(?l> ?г)-Й1/.(?г)(?,и).
Здесь
f. = [2ti {kTJm)2] -1 ехр [ - m tf/{2kTrj],
где Ь(х)—дельта-функция; дт, пг, Тг — макроскопические параметры.
Вводится сама зеркально-диффузная функция распределения
fr = ^-ax)fi{xw, %г-г%гл >) +
+ axnr(2nkTr/m)-3/2Qxp[-m^/(2kTrJ]. (18.54)
450

Рис. 18.7. Зеркально-диффузная схема отражения молекул от поверхности твердого тела:
а—зеркальная схема отражения; б—диаграмма распределения плотности потоков молекул,
отраженных от поверхности тела при диффузной схеме
Аппроксимирующая функция состоит из двух слагаемых. Первое
слагаемое в правой части (18.54) учитывает молекулы, которые
отражаются от поверхности зеркально, а второе—диффузно.
Коэффициент ах, называемый коэффициентом диффузного отражения,
представляет собой долю молекул, отражающихся от поверхности
диффузно. Величина 1— ах представляет собой долю молекул,
отражающихся зеркально. В случае зеркального отражения, если после
него молекула имеет скорость ^г, перед столкновением с поверхностью
ее скорость будет (см. рис. 18.7) ^i = ^r — 2^rnп, где п — единичный
вектор, нормальный к поверхности.
При диффузном отражении от поверхности считается, что
молекулы разлетаются так, что распределение плотности потоков частиц
по различным направлениям отвечает закону косинуса. Если величину
плотности молекулярного потока от стенки по различным
направлениям изобразить в виде стрелки (см. рис. 18.7), то конец этой стрелки
опишет сферическую поверхность. Этому закону и соответствует
второй член (18.54).
Физический смысл ах можно интерпретировать по-другому. С этой
целью сравним тангенциальный импульс pix, приносимый падающими
молекулами, и тангенциальный импульс ргх, уносимый отраженными
молекулами. Суммарный импульс тех частиц, которые отражаются
диффузно, равен нулю. Зеркально отраженные частицы в сумме
уносят импульс, равный (1— ax)pix. Разность Р1Х—рГТ=Рн — (1—ах)р1х =
= axpix, откуда следует
_Рн-р„
(18.55)
Из (18.55) следует, что ах представляет собой долю
тангенциального импульса, переданного стенке падающими молекулами. На
этом основании коэффициент ах называют коэффициентом аккомодации
тангенциального импульса. С его помощью можно определить
суммарный тангенциальный импульс отраженных молекул, если известен
импульс падающих частиц.
Величину Тг подбирают таким образом, чтобы принятая
аппроксимация для/г правильно определяла суммарную энергию отраженных
молекул. При этом используют опытные данные о термическом
коэффициенте аккомодации (приспособления) молекул к условиям на
стенке. Термический коэффициент аккомодации ае представляет долю
15*
451

потока энергии, отданного падающими частицами поверхности, от
потока энергии, который мог быть передан поверхности, если бы
молекулы полностью аккомодировали к условиям на поверхности тела:
яе = ~, (18.56)
где Ei9 Ег—потоки энергии падающих и отраженных молекул;
Ew—поток энергии, которым обладали бы отраженные молекулы
при полной аккомодации. Когда молекулы полностью аккомодируют
к условиям на поверхности, отраженные частицы образуют максвел-
ловский газ, находящийся в тепловом равновесии с этой поверхностью.
Тогда температура газа для отраженных молекул равна температуре
поверхности Tr = Tw. В этом случае ах = ае=1. Другой предельный
случай—все молекулы отражаются зеркально. При этом ах = ае = 0.
Действительные значения ах и ае лежат между этими предельными
значениями. К настоящему времени для определения коэффициентов
ах, ае проведено огромное количество экспериментов. Однако надежных
данных пока еще далеко не достаточно [16]. Взаимодействие газов
с реальными конструкционными поверхностями указывает на более
сложный характер этого механизма. Например, используется на
практике схема взаимодействия Ночиллы [11]. Она соответствует
хорошо известной функции распределения скоростей Максвелла со
сдвигом по скорости в качестве функции распределения скоростей
отраженных частиц и отказом от предположения о равенстве
температуры отраженного газа температуре поверхности. Вводится
предположение о неполной термической аккомодации частиц на
поверхности. Функция распределения скоростей отраженных молекул в схеме
взаимодействия Ночиллы имеет вид
fN~(2nkT^my^XP
(l-uN)2
2kTN/m
(18.57)
и зависит от четырех параметров nN, TN, -UN, 0N, характеризующих
концентрацию, температуру, величину и направление скорости
отраженного от поверхности газа (рис. 18.8). Поскольку функция
распределения отраженных частиц определена в полупространстве £г„>0,
то параметры функции распределения nN, TN, UN, 0N не являются
в точности концентрацией, температурой, величиной и направлением
скорости отраженного потока, а лишь определяют их через следующие
соотношения [И, 102]:
(О>о к
(ОГ)>0 к
(OD>o п
ur = {unr + uiy/2, 0r = arctg —,
452

в °r-
Г1
150
no
90
60
JO
^
Щ
^T^v^
ff2
i
f Alf""
^2ущ9г
Тт^
Ю ^^
I
oo—*^
I i I
9Sn
5
J
2
1,0
0,6
0,6
0,*
0,2
0,1
0=$n
JO
60
90
no
150
**.°
Рис. 18.8. График зависимости угла 0Г от параметра QN (а) для схемы взаимодействия
Ночиллы (б)
2
pr=-S2N(2er-mnru2),
_nN(2kTN/m)
г кп/
J2{SNn) + Jo{SNn)(l+{)\
■>Nn-
*bjVr —
UN sin 0N
UN cos 0X,
Nt (2kTNlm)112'
00
где Ja(x)= J (x+Oaexp( — t2)dt — специальные функции [12]; j—число
— x
степеней свободы. Из приведенных выше формул видна связь между
углом 9Г (определяющим направление массовой скорости отраженного
потока частиц) и параметром 9N: 0r = arctg {/х (SNn) [J0 (SNn) SNn] ~1}.
На рис. 18.8 приведен график зависимости 0r=/(9N) для различных
значений параметра SN=UN/(2kTN/m)1/2. Видно, что лишь при SN^>1
9, = 9w.
453

а)
Рис. 18.9. Индикатрисы
рассеяния для двух материалов
с различной поверхностной
структурой:
О, •—эксперимент А. В. Ата-
маненко [11]: рабочий газ
N2 (75%) и N (25%); 5^ = 5,6
(£/да = 4 км/с); 7V = 300 К; Tw/Tn =
= 0,42, а—стеклоподобный
материал: при \|/,= 0, 5^ = 0,168,
9* = 85°; при vl/,= 40°, SN =
= -0,206, 9*=103°;
б—сильношероховатый материал: при
vJ/(. = 0, 5** = 0,172, G/v = 92°; при
iK = 40°, 5W=-0,301, % = Ж
6)
На основе обширных опытных данных, полученных с помощью
молекулярных пучков частиц, установлены значения параметров fN для
различных материалов, которые условно разделены на пять групп [И, 62]:
1. Стеклоткань (стеклоткань на подложке).
2. Теплозащитные материалы (керамика, углепластик, композиты).
3. Эмаль (поверхности, покрытые эмалью).
4. Металл (вне зависимости от способа обработки).
5. Стекло (кварцевое стекло и т. д.).
Эти материалы им&от различную поверхностную структуру. На
рис. 18.9 показаны результаты обработки экспериментов для 5-й
JNn
<
0,5
о1
-0,5
-1.0
о
I
•
I
>^
о —-
о
• •
X
♦
о
•
•
I
о.
Ч
-—-^^ •
0,5
Ло
30
60
Фс°
Рис. 18.10. Зависимость SNn и ае от угла падения \j/,- для различных материалов:
• —стеклоподобный материал; О—сильношероховатый (типа ЭВТИ); □—АМГ анодированный,
♦ —Д16Т анодированная; ▼—эмаль белая; х—керамика; Н сталь прокатная, Л—ЭВТИ
454

■V
0,2
0,1
0
0,1
по
1 ^~~*^^^'
^^v 7^\,
^-*~~—""""^
*^ т
^^^""■"-^ ;
^"""■■"^х.
^^\ ^
^^
Рис. 18.11. Зависимость SNx(a)
и SN (б) от угла падения v|/,- для
различных материалов:
7 — стеклоткань; 2—эмаль; 3 — металл; 4—
стекло
ь»
0,6
0,3
^4^
К^^^^
<f^T
*
4^^* г
1
J0
^
*;
fe
группы — стеклоподобных материалов и 2-й
группы—сильношероховатых материалов при различных углах падения потока частиц на
плоскую пластину. Точками отмечены результаты эксперимента,
а сплошными линиями—интегральные индикатрисы потоков массы.
Этот эксперимент показал преобладание зеркальной компоненты
в отражении для первого материала и обратно-зеркальной для второго.
На рис. 18.10 изображена зависимость одного из параметров
схемы Ночиллы SNn от угла \|/f для различных материалов, полученная
в результате обработки индикатрис потоков массы. Наблюдается
удовлетворительное совпадение этих данных. Сплошной линией
представлены результаты аппроксимации зависимости SNn =
= 0,1 — 1,4(\|/,-/180°). На этом же графике представлены опытные
данные по коэффициенту аккомодации энергии для указанных условий
испытаний: видно, что ае уменьшается с увеличением \|/,-. На
рис. 18.11, 18.12 представлены зависимости, позволяющие установить
Рис. 18.12. Зависимость угла 0
угла падения v|/t- (см. условные
обозначения к рис. 18.11)
Вы,
91)
50
0
■50
100
1?П
/А
У
-
-
, 4-
J 4
30
60
Фь:
455

a) S)
Рис. 18.13. Нормированные индикатрисы потоков массы отраженных частиц при
различных углах падения ф, для двух групп материалов:
а—стекло; б—эмаль
количественные значения параметров ночилловской схемы
взаимодействия, от угла \|/f. Параметр SN определяется как SN = (SNn + SNX)1/2.
На рис. 18.13 в качестве примера показана трансформация
индикатрис для двух групп материалов при различных углах
падения \|/;.
В расчетах аэродинамических характеристик тел различной формы
и полей газодинамических функций около них необходимо учитывать
отличие опытных условий обтекания на стендах от натурных.
Различные модели взаимодействия обсуждаются в [16, 72, 119].
18.2.4. Определение плотности и температуры
отраженных потоков
Пусть функция распределения для отраженных потоков
частиц имеет вид
fr = nr{2nkTJm)-3'2exp[-mtf/{2kTr)l (18.58)
где пг, Тг — концентрация и температура газа, молекулы которого
уходят от поверхности тела. Значение пг определяется из
условия непротекания Nt = Nr (Nt, Nr — падающие и отраженные
плотности потоков молекул), причем захват частиц на поверхности
отсутствует, т. е.
J (Cn)frd^r=- J (£,й)/^?1- (18.59)
(£гЯ)>о (С,*)<о
Подставляя (18.58) в (18.59), получим nr = N{ [2nm/(kTr)]1/2, где
Nt= J (C^Oyi^Ci — число частиц, падающих в единицу времени на
(С,ю<о
единицу поверхности тела.
Установим связь между Тг и ае для одноатомного газа, для
которого учитывается только энергия поступательного движения
частиц. Используя (18.54), вычислим Ег и Ew (см. (18.56)). Количество
молекул, уходящих в единицу времени с единичной площадки dA
456

(см. рис. 18.6^ и имеющих скорость в интервале значений Efr, jfr + dfjfr,
равно ^mfrd^r. Эти молекулы уносят (l/2)m^£rn/rdfr. Суммарный
поток энергии для молекул всех классов, покидающих поверхность:
Er = f l-mtfbnfrdC. (18.60)
(£я)>о
Подставляя в (18.60) функцию (18.54), получим
^г = (1-лт)^ + атт«г(2т11/2)-1(2А:Гг/т)3/2.
Поток энергии, уносимый молекулами при полной аккомодации (ах=ае=\,
Tr=Tw), E^mn^ln^-^lkTn/m)3'2, где n^NdlnKkTJm)]"
Подставляя Ег и Ew в (18.56) и учитывая условие Nt = Nr, i
1/2.
получим
т'-11-%)ш,+5т» (18'61)
где Et= J ££п (1/2) m£2/i^?i— поток энергии падающих на поверх-
Г
ность ча
молекул
(С,я)<0
ность частиц. Если ят = яе, то Tr=Tw. С учетом внутренней энергии
г'-211-?)1£)щ+гг- (18-62)
§ 18.3. ПОДОБИЕ И РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЙ
РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
При моделировании условий движения аппаратов в
разреженной среде необходимо установить и выбрать определяющие
критерии подобия. Возможный класс подобных течений и теплообмена
определяется из математической постановки задачи на уровне функции
распределения /, т. е. из системы кинетических уравнений и условий
однозначности [5, 31, 40, 43, 48, 55].
18.3.1. Критерии подобия
Обсуждение вопросов подобия без значительной потери
общности выводов проводится применительно к классу задач внешнего
обтекания тел потоком, состоящим из одноатомных частиц.
Невозмущенный поток характеризуется равновесной максвелловской
функцией распределения /«,. Взаимодействие молекул описывается
степенным потенциалом Ф(г) = Кг~(у~1\ где К, v — постоянные, зависящие
от природы и состояния газа. При рассеянии молекулы, ударяющиеся
о поверхность, отражаются от нее по зеркально-диффузной схеме
с температурой Тг, отличной от температуры поверхности Tw. На
поверхности тела происходит массоотделение частиц.
Приведем уравнение Больцмана и граничные условия к ^безраз-
мерному виду, положив x = x/L9 S = f/0, п = п/пао, g=g/C„ | = £/С„
Г=Т/Т*, ?=/С*/паэ, F=F/H9 m = m/m(X). Здесь п^, т^—концентрация
457

и масса частиц в невозмущенном потоке; g = |?— Ci l> ?i—скорость
частиц, сталкивающихся с молекулами заданного класса со скоростями
f; F—внешняя массовая сила, действующая на каждую молекулу;
L, 9, Н—характерные длина, время и внешняя сила; С+ = (2кТ,/та0)1'2',
Г«—характерная температура процесса. Безразмерные уравнения
Больцмана и граничные условия записываются следующим образом:
1. Кинетическое уравнение
oi]a/, ?dft 1 #з/_ в
Здесь
аЯ+«В+й'«-Е'«^ <18й)
-оо О О
2. Граничное условие в невозмущенном потоке
/ю=я-3/2ехр{- i (Ij-Sj)2} (j=x9 у, z). (18.64)
3. Граничные условия на поверхности
/г = (1-ат)/да+йтЯг(тсГг)-3/2ехр(-?г2/Гг), (18.65)
7м = (2/71)(тм/Гм)2^мехр{-тм?2/Гм}. (18.66)
*Н1—h<of g У ,*+-*
Здесь
2 f ?h/e^ Ч ""
4. Уравнение формы аппарата
* 4(xw, j;w,zw) = 0.
Здесь J(f,fi) — больцмановский интеграл столкновений; 8, b = b/L —
прицельный угол и прицельное расстояние при столкновении молекул;
/i, /'— функции распределения скоростей молекул, которые после
столкновения приобретают скорости £i и %'; ?м — функция
распределения для частиц массоотделения (см. Q9.146)); Ух—функция
распределения скоростей молекул класса Ё^; В= [2у/2кА{2)(у — I)]"1, где
A (2)(v—1)^0,3 — параметр, входящий в формулу для эффективного
сечения столкновений aQO=27c [4(v— 1)KKmg*)]21^'^ A (2'(v — 1); ят,
ае — коэффициенты аккомодации тангенциального импульса и энергии;
Sj = S00cos<pj, где j=x, у, z; coscp,-—направляющие косинусы для
вектора массовой скорости #„; ^да=>/у/2М00; tM=TJT„ t„=Tw/T„
tr=Tr/T*; Sh = L/(C,0)— аналог числа Струхаля; Fr = mC2/(HL) —
аналог числа Фруда (если H/m=g* — ускорение свободного падения, то
Fr = С2/(g„ •!/)); S=Uo0/(2kT*/mO0)1/2—скоростное отношение; y = Cp/Cv;
SM = (NM0/noo)C~1/2 — параметр массоотделения; пт—концентрация
газа в невозмущенном потоке; Nm0 — исходная интенсивность
массоотделения; ты = ты1тю — отношение массы частицы массоотделения
к массе невозмущенной частицы; Kn = 1/L = (^/2 ию и^Ьу1 — число
Кнудсена. Подобие в разреженном газе при условии геометрического
подобия объектов, одинаково ориентированных относительно вектора
458

скорости невозмущенного потока, при принятой схеме взаимодействия
молекул^ с поверхностью выполняется при равенстве Kn, S, Fr, Sh,
tu> *r9 tW9 у, ae, aT, v, SM, mM, m и др.
В общем случае схема отражения частиц газа может быть
иной. Поэтому для обеспечения подобия условий взаимодействия
частиц на поверхности необходимо учитывать дополнительные
определяющие параметры. К ним относятся, например, параметры,
характеризующие подобия по структуре поверхности (тип
кристаллической решетки, энергию связи и т. п.), ее обработке
(шероховатость поверхности), рабочему газу (тО0=таэ/тк, та = та/тк, Ea/Ew,
Ea/Et, где индекс «а» относится к адсорбированным атомам,
«к» — к атому поверхности) и т. д.
Следовательно, подобие процессов в разреженном газе, помимо
указанных ранее условий, осуществляется лишь тогда, когда обтекаемая
поверхность модели выполнена из того же материала, что и натура,
обработана одинаковым с ним образом (или имеет такое же покрытие),
причем температуры их поверхностей должны быть идентичны.
Соответствующие потоки газа должны иметь одинаковые скорости
и температуры и состоять из одних и тех же молекул (т. е. должны
быть одного химического состава). Эти требования с точки зрения
моделирования являются весьма строгими. Согласно этим требованиям
моделирующий и натурный потоки могут отличаться лишь
плотностями, которые должны быть обратно пропорциональны
характерным размерам обтекаемых объектов.
С помощью моментов функции распределения можно установить
ряд определяемых чисел, необходимых при исследованиях. Запишем
выражение компоненты массовой скорости и-3 в безразмерном виде
при Т*=Тъ
+ 00
Sj (2кТс
■к.)"2 «JJ.
IjLdi
где п = п/по0. При условии, когда Т*=Т0 и Sa3^>\, 2ЯТ0&и1>(у—1)/у,
из определений компоненты массовой скорости, локальной плотности
теплового потока в тело qj=Qj/A(Qj—поток тепла) и касательной
силы р^, действующей на поверхность тела А, следует
+ 00
\1/2
о _ ""J _ '***./ / г \ _ "^j I У
n^ilRTo)112 nnuAy-l
"оо^оо VY_1
St =
4i
Vj
(1/2)Роо(2ДГ0)3/2 (1/2)Роо£/3Ду-1

Роз/2
c..= Pij =-
lJ Poo2RT0A (1/2) p^U^A
2(7-1)
+ c
-Я.
— ОС
+ 00
I
— 00
mCjC2fO0dC,
mCiCjfxdt,
где SO0 = UO0/(2kTO0/mO0)1/2, St, ctj—аналоги чисел M^, Стантона,
коэффициента силы соответственно. Аналогичным образом вводятся
и другие определяемые числа. При соблюдении подобия значения
459

определяемых чисел Sj9 St, ctj и др. в натурных и модельных условиях
должны быть одинаковыми.
Число Кп можно выразить через число Рейнольдса, если
воспользоваться формулой для вязкости газа, состоящего из молекул
со степенным законом взаимодействия, \^ = В1 (ктТ+)1,2/о+, где
2-v
Jg1 = 5-4v-iv/7i/r[4-2/(v-l)], а Г [4-2/(v-1)] —гамма-функция:
Кп =
Jin» o.L В, V 2 Re^ ц,
Здесь Re00 = p00C/00L/LX00. Поскольку La„/La00 = (7;/roo)0) и во многих
случаях 0,5<со(Г)<1, из этой формулы следует, что
Кп-± ^кТ1". (18.67)
Характерная температура Г*, входящая в (18.67), может быть
различной. Если Г1)[=7,00, то Kn = j5f1 (y/2)1/2(Mo0/Re0O). Если же
7>rw Kn=— Д^рЛ . При числах Мю»1 и со=1 из (18.67),
В, у 2 Re,» \TJ
когда (Г0/Г00)1/2«М00 [(у-1)/2]^ следует
Кп = — /у(у~1)м-
Вх V 4 Reco
Для описания гиперзвуковых течений воспользуемся числом
Re0 = po0UO0L/ii0 (Re0 = Rec»(Hoo/^o))) где \i0 = \i0(T0). Поскольку
ixj\x0 = (TJT0r, то
Li-кя ii It 1 I ~, 1 /t\(°~1I2
(18.68)
Если Г„ равно T0 или Tw, то соответственно
1 /7 1
)
со-1/2
(18.69)
(18.70)
Такие критерии, как а0 (введенный Шерманом и др. [117]), S^/Kn^
[43] и 1/Knw (предложенный Бейкером и Чарватом и независимо
от них Кинслоу и Поттером [117]), с точностью до коэффициентов
совпадают с критерием 1/Кп при со=1 (см. (18.70))
а0ъ 0,250 Г— Re
/ \ш-1/2
—«0,298 Re ' Гу
Knw
460

где Re0 = Rew(|avv/^0)- Параметр разреженности Чженя [117]
Кг2=^—!- — — —
при со=1 равен Кг2= [(у— l)/(4y)]Re0. Он аналогичен критерию (18.69).
18.3.2. Режимы динамических и тепловых процессов
в разреженном газе
В зависимости от значения числа Кнудсена,
характеризующего степень разреженности среды, уравнение Больцмана описывает
три основных процесса переноса в газах. Условие Кп->0 указывает
на близость к равновесию в газе из-за огромного числа столкновений
молекул, способствующих выравниванию неоднородностей
макропараметров. Этот режим соответствует режиму протекания тепловых
и динамических процессов в сплошной среде и описывается уравнениями
Навье — Стокса. При Кп->оо газ настолько разрежен, что
столкновениями между молекулами на расстояниях порядка L можно пренебречь.
Этот режим течения является свободномолекулярным. Два предельных
режима разделяет переходный режим течения разреженного газа.
В него входят почти свободно молекулярный режим, учитывающий
только первые столкновения частиц, и режим скольжения, в котором
степень разреженности среды еще мала и отличие от навье —
стоксовской среды незначительное.
18.3.3. Границы областей механики разреженных газов
Когда среда рассматривается как континуум Навье — Стокса,
на поверхности движущегося тела выполняются условия «прилипания»,
т. е. uw = 0 и температура газа у поверхности тела равна температуре
этой поверхности Т„. С увеличением степени разрежения они перестают
выполняться. Вблизи стенки в слое, толщина которого равна средней
длине пробега lw (см. рис. 1.2), можно различить два класса молекул —
отраженные частицы уходят от стенки, другие—к стенке из газового
потока. Первые в среднем не обладают тангенциальным импульсом
(если принять диффузную схему отражения), т. е. для этой группы
молекул макроскопическая скорость движения ихЛ=0. Вторая группа
несет некоторый тангенциальный импульс, т. е. у этих молекул
макроскопическая скорость uXf2>0. Скорость видимого движения есть
осредненная скорость молекул всех классов. В слое газа (слое
Кнудсена), который примыкает к поверхности тела и имеет толщину,
равную среднему свободному пробегу отраженных частиц /w, эта
скорость имеет величину 0<u<uXi2- Следовательно, видимая скорость
газа вдоль поверхности тела в связанной системе координат на
самой поверхности всегда отличается от нуля. Поток газа скользит
по поверхности. Однако величина скорости скольжения зависит от
степени разрежения среды. Когда длина свободного пробега частиц
мала по сравнению с размерами тела или толщиной пограничного
слоя скорость скольжения приближенно может быть оценена
следующим образом щя1(ди/ду)у=0. При /-»0 скорость скольжения ws->0,
а слой Кнудсена становится исчезающе малым, и это условие
переходит в условие полного прилипания. Аналогичные рассуждения
461

приводят к выводу о том, что и температура газа на поверхности
тела Ts также отличается от температуры самой поверхности Tw.
Разность этих температур («скачок» температуры) приближенно может
быть определена как AT=Ts-Twxl(dT/dy). При /->0 ДГ->0, т.е.
выполняется условие полного прилипания.
Граница области континуума Навье — Стокса с условиями полного
прилипания определяется из следующих соображений. С точки зрения
погрешности расчетов аэродинамических характеристик и теплоотдачи,
которая требуется для практических целей, допустимо принять условия
полного прилипания, если скорость газа us и температурная разность
AT—TS—TW составляют величину по крайней мере на два порядка
меньше, чем соответственно скорость Vm на внешней границе
пограничного слоя и разность T^ — Tw, где Тт— температура на
внешней границе слоя. Таким образом, границей применимости теории
пограничного слоя без учета скольжения и скачка температуры
является условие
_iff_<o,01; ifZZi<0,01.
,-/ оо А оо -* w
Если учесть, что
fa^U* dT_d(T-Tw)^Tm-Tw
ду Ъ ' ду ду 6
где 5—толщина пограничного слоя, граница применимости теории
континуума определяется из условия
^<0,01. (18.71)
о
Толщина пограничного слоя 8 меняется вдоль обтекаемого тела,
и, следовательно, не все части пограничного слоя равноценны с точки
зрения применимости теории пограничного слоя. Например, вблизи
передней кромки пластины, где слой 5 тонок, эффекты разреженности
будут большими, а вдали от передней кромки эти эффекты ослабевают.
Из теории ламинарного пограничного слоя (при малых плотностях
газа Re малы и поэтому режиму скольжения предшествует режим
ламинарного пограничного слоя) известно, что 5»4,64.x Re ^2. Тогда
V^ Мм^^001 (1872)
г, ^v^yRi^;
где ^2-^/2-4,64^; Re00fJC = p00l700j(:/ji00; С=(|я,/ц00)(Г00/Г,)
—постоянная Чепмена — Рубезина при T*=TW. Если числа Мда малы, T*=TW,
то соотношение, определяющее границу континуума:
^J^jgO.Ol. (18.73)
При числах Mqo^I характерной является толщина вытеснения 8*,
и из отношения //8* следует, что граница области сплошной среды
определяется соотношением (см. (18.72))
М^1. (18.74)
462

Например, режим гиперзвукового обтекания затупленного тела
(например, охлажденной сферы, диаметр которой равен D) потоком
сплошной среды наступает при числах
%^£<0,13 или Reo = f^-)^>300,
где Re00fD = peoJ7GOZ)/»i00> Re0 = pooUo0D/ii0, C^{]^I^){TJTQ\ 7>Г0.
При обработке данных для режимов обтекания, близких к континууму
Навье — Стокса, широкое применение получил так называемый
параметр разрежения или параметр взаимодействия [108, 109, 110, 117]
При_ T^=TW9 Uw^Hoo этот параметр подобен (18.74). Если Г„=Г0,
то К оо ~ Re о 11 , и он совпадает с параметром гиперзвукового вязкого
взаимодействия x = M^/N/Re00 [108, 109]. В этом случае из формулы
(18.72) следует при п = 2
ма
п.
Bi v/r^>«
1/2
Vy(y-i) i
м-
V Reoo,;
Определим приближенно границу свободномолекулярного режима,
ограничиваясь классом задач внешнего обтекания. Пусть в
разреженном газе с характерной длиной свободного пробега 1т движется
твердое тело с аэродинамическим размером L (рис. 18.14),
удовлетворяющим условию /m/L»l. Это условие указывает на то, что для
большинства молекул невозмущенного потока (О-молекулы),
падающих на тело, предыдущее столкновение с другими частицами
происходит на расстоянии г порядка 1т от него. Также и большинство
молекул, отраженных поверхностью (^-молекул), первый раз
сталкивается с другими молекулами на расстояниях г>1т от тела.
Числовая плотность PF-молекул по мере удаления от тела изменяется
пропорционально Ь2/1„ и быстро понижается. Столкновения,
происходящие на больших г из-за малой плотности отраженных частиц,
не оказывают уже существенного влияния на характеристики
набегающего потока. Кроме того, вероятность попадания на тело частиц,
образующихся в результате первых столкновений, очень мала,
поскольку они рассеиваются во всех направлениях. Следовательно, если
Рис. 18.14. Схема обтекания тела сво-
бодномолекулярным потоком:
• — Ж-молекулы; О — 0-молекулы, Э —
О ^-молекулы первых столкновений
463

большинство отраженных молекул будет проходить без столкновений
расстояние /m^10L, то их влияние на набегающий поток будет
пренебрежимо малым, т. е. функция распределения молекул газа
возмущается твердым телом несущественно. Иначе говоря,
столкновения О- и W-молекул, происходящие в окрестности твердого тела,
не оказывают заметного влияния на его аэродинамические и тепловые
характеристики. Таким образом, в качестве границы применимости
теории свободномопекулярного обтекания можно принять условие
->Ю, (18.75)
где lw = lm—средняя длина свободного пробега Ж-молекул в среде
О-молекул.
Из кинетической теории следует
lw= UW , (18.76)
"о Gow Sow
где п0—концентрация О-молекул (по^п^, здесь п^—концентрация
частиц невозмущенного потока); lw = lw(Tw); aow = oO0(T+/TO0)1'2 (ц^/
ц*)—сечение столкновений О- и Ж-молекул; uw—скорость отраженных
молекул, зависящая от характера взаимодействия частиц с поверхностью
и температуры тела Tw; gow—средняя относительная скорость О-
и И^-молекул перед столкновением. Подставляя (18.76) в (18.75), получим
Т=^^\Т.) ^=тУ^{г„) [т.) *Ш (18'77)
Здесь принято, что uw&(kTw/m)1/2 и g0W^(kT^/m)1/2. При Мот<1
Т* = Тао = Т0 = Т„ из (18.77) следует, что граница свободномолекулярной
области определяется условием
i Vt^>10 (1878)
Если M о, »1, Г„=Г0 и со =1/2, эта граница определяется формулой
v5^.^/2>io (18.79)
-#i Re»
или
ТлРт^'2^10' (18-8°)
где tw=Tw/T0. Если М00^>1, Г* = Г0 и со=1, из (18.77) вытекает
следующая формула для границы свободномолекулярной области:
или
^/2>10. (18.82)
Границы областей течений разреженного газа, вычисленные для
различных зависимостей |1^ = цДГ#), показаны на рис. 18.15. Здесь же
нанесены полетные траектории ряда летательных аппаратов.
464

Ma.
Область
сйоёодномолекулярного
режима
Область
континуума\
Навье-Стокса\
с условиями
„ полного
прилипания"
Wz 103 Ю* W5 106 W7 ^e^=/re0(pff/pj
Рис. 18.15. Границы режимов течений разреженного газа и режимные траектории:
5} 1—«Спейс Шаттл» (STS-5); 2—аппарат с использованием аэродинамического торможения; 3 — низкоорбитальные аппараты-спутники; 4—«Буран»

ГЛАВА 19. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ ОБЛАСТЬ МЕХАНИКИ
РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
§ 19.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
При низкой плотности газа, когда Kn-юо, вероятность
столкновений между молекулами настолько мала, что интегральным
членом J(f) в уравнении Больцмана можно пренебречь. Кинетическое
уравнение принимает свободномолекулярную форму D(f) = 0.
Газовая среда, в которой отсутствуют столкновения частиц между
собой, называется кнудсеновским газом. Определяющим в таком газе
является взаимодействие молекул с обтекаемыми поверхностями.
Задача сводится к определению траекторий молекул, сталкивающихся
с телом.
Пусть^в момент времени /0 функция распределения задана^ в ^иде
/1 *0 =/(•*> С *о)- За время t она станет равной f\t=f(x — х\ С_?'> 0>
гДе х' и £' удовлетворяют уравнениям (x'(t0) = Q, ^'(t0) = 0):
f-£ §-F(x,ttY (19.1)
Вдоль траекторий молекул, определяемых уравнениями (19.1),
функция распределения / постоянна, т. е. общее решение уравнения
Больцмана
f(x,Cto)=f{x-x',Z-?,t).
Вид функции f(x, С 0 определяется начальными, граничными
условиями. Рассмотрим около» выпуклого тела в точке гв физического
пространства молекулы, скорости которых определены в интервале
от Ef до С+^С Влияние этих молекул на макроскопические
характеристики потока в точке гв (рис. 19.1) можно наглядно представить,
вычерчивая траектории в направлении к выпуклому телу или назад
к невозмущенному газу и используя соответствующую функцию
распределения на границах. Если скорость jf такова, что траектория,
проведенная через точку гв в обратном направлении £, не пересекает
тело, то функция распределения для этих молекул та же, что и на
бесконечности f^. Если же соответствующая траектория пересекает
тело и вектор jf направлен от него, то функция распределения равна
функции _f(r) для отраженных от поверхности тела частиц. Все
векторы £г для отраженных частиц образуют конус влияния с телесным
углом Qr при вершине гв. Остальное пространство скоростей вне
этого конуса составляет телесный угол 4тг — Qr и относится к векторам
молекул ^оо, летящих к точке В из бесконечности. Функция
распределения в любой точке поля течения
/"=/«, М0+/А ®. (19.2)
Здесь
466

Рис. 19.1. К определению структуры свободномолекулярного течения около тела:
I — зона перед торцевой поверхностью тела; II—зона около боковой поверхности тела

Следовательно, в свободномолекулярном течении функция
распределения разрывна в пространстве скоростей. Если известен вид
функции распределения, можно провести расчеты обмена импульсом
и энергией между кнудсеновским газом и поверхностью тела. Эти
расчеты могут оказаться весьма сложными (особенно при исследовании
обтекания тел вогнутой формы).
§ 19.2. ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
19.2.1. Свободномолекулярное течение Куэтта
Наиболее важные свойства свободномолекулярного
обтекания тела рассматриваются на примере простейших типов течений,
в которых границы имеют чрезвычайно простой вид.
Рассмотрим простое течение Куэтта между плоской неподвижной
пластиной с температурой Tw2 и пластиной с температурой Twl,
движущейся со скоростью £/«, и расположенной при y = L (рис. 19.2).
Пусть L значительно меньше, чем средняя длина свободного пробега
частиц одноатомного газа /, заключенного между этими
непроницаемыми безграничными пластинами, т.е. Kn = //L^>l. Подобная схема
течения моделирует в известной мере обтекаемую поверхность
аппарата, движущегося со скоростью U^. Нижнюю поверхность можно
рассматривать как некоторую воображаемую поверхность,
расположенную в газе.
Отражение от пластин диффузное, с полной аккомодацией
энергии. Функции распределения для молекул, отраженных с
поверхностей:
f1=nwl(2nkTwl/m)-3'2exp{-[{?,x-Ua0)2 +
+ ^2](2£rwl/m)"1}, ^<0, (19.3)
/2 = «w2(2^rw2/m)-3/2exp{-[^2 + y + ^2](2/:rvv2/m)-1}, ^>0.
\ (19.4)
При L<^c/ молекулы, отраженные от пластин, не сталкиваются
в газовом слое. В каждом элементарном объеме внутри слоя имеются
две группы молекул, одну из которых составляют частицы, отраженные
от пластины 7, другую — от пластины 2. В пространстве скоростей,
© п . Т . И?
'/////////////slZlijTzJ, //////////////
4w2 * TwZ
")
А и»
&uwA
/
Tw1 . №w1
ATH
'wZ
f)
Рис. 19.2. Схема свободномолекулярного течения Куэтта (а) и изменения параметров
для этого течения в слое между пластинами (б)
468

характеризуемом координатами £х, £у, ^z, существует два
полупространства, для которых функции распределения различны. Для
полупространства £>у>0 функция распределения описывается формулой
(19.4), для ^<0 — формулой (19.3). Границей этих полупространств
является плоскость ^у = 0, т. е. поверхность разрыва функции
распределения в пространстве скоростей. Функция распределения в любой
точке между двумя пластинами (см. (19.2))
/=(/i)*,<o+(/2k>o. (19.5)
Уравнение Больцмана запишем в виде D(f) =toy(df/dy) =0
или
У — an — со
(19.6)
где константа С1=пиу = 0, поскольку из условия непроницаемости
обеих поверхностей следует, что иу = 0 при у=у (О, L). Значения
nwl и nw2, входящие в (19.3) и (19.4), можно выразить через
концентрацию молекул (см. (19.5)):
+ оо + со О + оо
П —
f(Ktxdttyd^z=-
(2nkTwl/m)312
— 00
+ l£ + ti-]{2kTwllm)-1}dZ+
exp{-[(!U-t/oo)2 +
-00—00 — 00
(2nkTw2/m)
+ 00 + 00 + 00
I jexp{-[^
+¥y+
+ 00 0 +00
? 1
+ tf]{2kTw2/m)-1}d^=UnWl + nW2)
В стационарном режиме число частиц, падающих на поверхность
(например, первую пластину) в единицу времени, равно числу
отраженных. Поэтому из уравнения (19.6) следует, что
+ 00 + 00 + 00 +00 0 +00
\,htt>&&,+
\и,
fi^/fl;z = 0.
(19.7)
-оо — со — 00
— оо 0 — оо
Подставляя в (19.7) функции (19.3) и (19.4), получим
"w1V^^ = «w2>/^2- Поскольку n=(nWl + nw2)/2, то
2" у/т^2 _ 2пу/т\^1
(19.8)
/rwl+N/rw2 _ y/Tm+y/Tw.
Найдем импульс, который переносят частицы в направлении оси х:
[kfl
— 00 ^
Воспользовавшись формулой (19.8), получим
_pU00^2kTwlTw2/(n
с / i
y/Twl+JTw2
469

Видно, что касательное напряжение зависит от Twl,
Tw2 и Uao, причем на верхней пластине оно имеет знак,
противоположный направлению £/«,. Коэффициент трения
С fm —
2У2
2РУХ =
При ^да-^оо c/m-*0 на обеих поверхностях.
Отношение касательного напряжения в свободномолекулярном
потоке при диффузно отражающих поверхностях к напряжению трения
для течения Куэтта в сплошной среде (TWi = Tw2) будет
<-/т _
^
Rea
2^/щм0
5яКпа
гпр Kn - 16^М°° v-C"
где кп да — , у — —.
При вычислении моментов относительно функции распределения
запишем макроскопическую скорость их и температуру газа Т в слое:
+ 00 + 00 О + 00
"х=="1Я^х/^="[11 |(Cjc+t/a>)/i^l
=?"•
(19.9)
— 00 — 00 — 00
+ mt/2a)/(3A:)) +
г-я P*
(19.10)
Если Twl = Tw2, то из (19.9) следует, что ux=U^I2. Если же
£/оо = 0, из (19.10) можно получить T=^/TwlTw2. На границе между
поверхностью и газом существует скачок в значениях температур.
Аналогично и скорость газа в непосредственной близости от стенки
не равна скорости движения пластины. Максимальных значений
эффекты скольжения достигают в свободномолекулярных условиях.
Этот результат при принятых условиях иллюстрируется на
рис. 19.2, где ATwi, ATw2 — скачки температуры; Awwl, Auw2—скачки
скорости на пластинах. Пунктирные линии на графиках соответствуют
решениям при Кп^-^О. Удельный тепловой поток (поток энергии)
через слой газа, вызванный движением молекул,
+ 00
Ш
Cyfdl = nk
Jtw1tw
'у/Т^ + у/Т,
■Twl[l +
.(19.11)
Когда Soo = Uoo/ ^/2kTwl/m = 0, то (19.11) имеет вид
8А:
qy — nk — \JTwiTyv2 (^/rw2 —\/Twi) —p /— [yjTw2 — ^jTwl),
(19.12)
где p—давление газа в слое между пластинами. Формула (19.12)
пригодна для расчета экранно-вакуумной теплоизоляции. Для многоатомных
470

молекул формулы для расчета
характеристик газовых прослоек даны в [47].
Пусть tw = ^/Twl/Tw2. Тогда,
изменяя Twl и rw2, по формуле (19.12)
можно получить [89]
\qy\ = nk^{Tw2yi2tw\\-
-tw\ =
ь
1,0
0,5
_ а>=0,5
^Ч
/л
Г 1 1
"—0\
I Лч
// /
1/ /
/
1г
Г .1 1
или
qy = \qy\lqW2 = tw\l-twl (19.13)
3/2
О 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 tw
Рис. 19.3. Зависимость теплового
потока от температурного фактора
tw в слое газа при свободномолеку-
лярном режиме
где qw2 = nk — (Tw2)
Из (19.13) следует, что при увеличении большей температуры
значение qy монотонно растет (рис. 19.3, линия I). При /w->0 и
переходе через значение tw = 1 величина qy немонотонно изменяется
с падением меньшей температуры. Следовательно максимального
значения тепловой поток к пластине I достигнет не при Twi -> О,
а при rwl=0,25 или /„, = 0,5 (линия II). Когда Twl=0, тепловой
поток обращается в нуль. Такое поведение потока энергии молекул
связано с уменьшением энергии частиц, покидающих холодную
пластину при падении tw = (Twl/Tw2)i/2, увеличивая тем самым
значение теплового потока к этой стенке. В то же время концентрация
этих молекул nwl растет (см. (19.8)), вследствие чего уменьшаются
концентрация nw2 и количество молекул, летящих от нагретой
пластины к холодной.
Для сравнения на рис. 19.3 приведены также зависимости
нормированного теплового потока qy/(qw2Kny/K/8) для континуумного
режима, вычисленного по закону Фурье [47, 89]. Здесь Kn = (15/4)|ix
x(Tw2)[nmL(kTw2/m)i/2]. С увеличением перепада температур (tw>\),
т.е. \tw—1|, монотонно растет тепловой поток qy. В зависимости
y^w2 = {TITw2Y значения показателя принимались ю = 0,5 (твердые
сферы) и со=1 (максвелловские молекулы).
19.2.2. Свободномолекулярное течение газа
через отверстие
Рассматривается стационарное течение газа через отверстие
в бесконечно тонкой перегородке толщиной L0, разделяющей две
камеры, при условии, что размеры отверстия существенно меньше
характерных размеров камер и средних длин свободных пробегов
в них. Если давление газа в этих объемах различное, но одинакова
температура, то движение газа через отверстие при указанных условиях
называется эффузионным течением. Поступление молекул из одной
камеры в другую не осложняется их взаимодействием с поверхностью
канала длиной L0, поскольку 1^>R, и в то же время / мала по
сравнению с характерными размерами камер. Молекулы, влетевшие
в камеру, после ряда столкновений (на больших расстояниях от
отверстия) с другими молекулами или со стенкой приходят в
равновесие с газом в камере. Вдали от отверстия газ в каждой камере
471

а)
V
Рис. 19.4. Схема свободномолекулярного течения газа через отверстие (б); схема для
определения потока молекул между элементарными площадками (а)
находится в равновесном состоянии и определяется параметрами
рг и рт, Тг и Гоо, рг и рот (рис. 19.4).
Пусть происходит стационарное течение газа через круглое
отверстие площадью A = kR2 в вакуум, где числовая плотность частиц
«оо=0 (/оо=0). Газ в камере вдали от отверстия находится в
равновесном состоянии и описывается максвелловской функцией
/г =
(2nkTr/m)3'2
\
ехр
«+«+52
2kTr/m j(^>o)'
/ю = 0 й,<0).
Макроскопические характеристики течения в сечении х = 0:
ilrw
(2пкТг/т)3/2
+ 00 + 00 + 00
ш
е-т^/<2*Г>^='„г.
О — оо — оо
+ 00 + 00 + 00
О - оо - оо
Свободномолекулярный поток массы через площадь А
определяется как
Gm = Amnrw их — Атпг у/кТг/(2кт) = Арг(у/2ккТг/тУ1. (19.14)
При Лоо#0 можно определить
Gm = A{prT;'i2-p^T-Jl2){2nklm)-\
Сравним отношение потоков масс в свободномолекулярном и контину-
умном течениях. Известно, что Gc = mn+u*A, где п* = пг[2/(у—\)]1Ку~1)
472

и u* = {2ykTr/[m(y+l)]}1/2—параметры в критическом сечении в
плоскости отверстия. С учетом (19.14) можно найти
Gm_ 1 /Y+iYY+1)/[2(7-1)1
Прежде чем описать структуру течения около отверстия, в общем
случае зависящую от его формы, определим поток молекул между
воображаемыми элементарными площадками dA и dA', расположенными
в неподвижном газе с максвелловским распределением fr (см. рис. 19.4).
Зисло молекул, скорости которых лежат в интервале от £ до
£ + </£, пересекающих за время dt площадку dA в заданном
направлении, будет
£ cos 9Л dAfr d^x d^ d^z = £ cos 9 dt dAfr $2 dQ d^,
где £, 0, ф — полярные координаты для скоростей молекул (см.
рис. 19.4,6); dQ = sin 0 dd dy—элементарный телесный угол,
построенный около заданного направления, в который поступает поток молекул
от площадки dA. Проинтегрировав это выражение по £е0...оо,
получим общее число молекул, проходящих за единицу времени от
площадки dA в заданном направлении к dA'\
где dCl = dA'cosQ'/rl. Если проинтегрировать (19.15) по всем 0еО...тс/2
и фе0...2я, то суммарный поток молекул через dA будет равен
dNr = nry/kTr/(2nm)dA. (19.16)
Выражения (19.15) и (19.16) позволяют рассчитать потоки частиц
между элементарными площадками dA и dA' в свободномолекулярных
условиях.
Макроскопические параметры течения около отверстия (перед
и за ним) определяются таким же образом, что и в сечении отверстия.
Но функция распределения в различных точках поля течения имеет
различные поверхности разрыва в пространстве скоростей. В
произвольной точке В (х, у, z) около круглого отверстия числовая плотность
п= J frdbdbydb= J nr(2nkTr/my^2e-^ri(2kTr)^2dad^
причем интегрирование по скоростям ведется только с теми скоростями
частиц, которые достигнут точки (х, у, z) в пределах телесного угла
8. Здесь dQ. = dAcosQ/r2. Поскольку геометрия эффузионного течения
через отверстие с радиусом R идентична потоку молекул с
максвелловским распределением, диффузно отраженному от передней стенки
тела с тем же радиусом (см. рис. 19.1), то
оо 2п R
ПТ
(2пкТг/т)3'2
£2е-"*?/<2*Гг)^
cos0! , л пг
аА=-
г\ 4я
Х^Ф
А
RidRi Q(r, ф)
(xl + Rl)312 An " ( * '
473

"'"xJJxJy ^
1,00
0,75
0,50
0,25
0
n
w
..I
i _э
-4 -3 -2 -/
a
Рис. 19.5. Распределение макропараметров газа вдоль оси отверстия:
круглое; прямоугольное (A/L = 0,1); квадратное (Л/L=\)
где r\ = x\ + Rl\ Rj = R21+R2. + 2R1R2cosФ'i с1А = Я1с!Я1с1Ф; x1 = r1cos91.
Интеграл Q(r, ф) может быть записан в форме
Q(r, ф) = {Л0(аь a2)-cosa1sina2iro(ai)}^
ГСОБф
(19.18)
Sin 0L1 =
I 4r sin ф
r2 + 2rsin9+l
; tga2 =
4 sin ф — 1 '
где аь a2 — аргументы, выраженные через полярные координаты
г, ф, отсчитываемые от центра отверстия; -Tc^Fofai)— полный
эллиптический интеграл первого рода; Л0(а15 ос2)—лямбда-функция
Хьюмена.
Вдоль оси симметрии x(x>0, r\ = x2 + R\) уравнение (19.17)
принимает вид
xdQ)
RtdRi nr
(Я2 + х2)3/2=:2
1-
(l+x2)1'2
(19.19)
где x = x/R. При определении распределения плотности в камере при
х<0 можно воспользоваться формулой
п(х<0)= { frd\xd\ydt,%- { frd^d^yd^.
Схема вычислений других макроскопических параметров течения
аналогична приведенной. На рис. 19.5 представлены результаты ряда
вычислений макропараметров вдоль оси отверстий различной формы,
плотности n = n/nri скорости йх = их/[8кТг/(пт)]112, термодинамической
температуры Т=Т/ТГ, продольной и поперечной температур ТХ=ТХ/ТГ
и Ту = Ту/Тг. Здесь x — xjR — для круглого отверстия, x = x/(L/2)—для
прямоугольного (L — длина (ширина), И — высота) и квадратного
отверстий [47]. При /оо^О, п^ФО полученные результаты можно
обобщить, используя принцип суперпозиции для свободномолекуляр-
ных потоков.
474

*§ 19.3. ПОЛЕ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ВЫПУКЛОГО ТЕЛА
Выпуклое тело, движущееся в сильно разреженном газе
(Кп->оо), является источником невзаимодействующих между собой
потоков молекул, отраженных от него и создаваемых в процессе
массоотделения самой его твердой поверхностью. Эти потоки
участвуют также в образовании собственной внешней атмосферы аппарата.
Рассматривается структура стационарного течения около тела
в зонах I и II (см. рис. 19.1), поверхность которого может поглощать
частицы набегающего потока и испускать в процессе массоотделения
частицы различных классов. Частицы газа, поступающие со скоростью
ит под углом 0 в плоскости х'О'у' на тело (индекс оо), полностью
аккомодируют на поверхности, частично поглощаются (индекс п)
и отражаются (индекс г) диффузно с любого элемента поверхности
с температурой Tw. Отраженные молекулы и частицы массоотделения
(индекс м) уходят на большие расстояния, не испытывая столкновений
друг с другом и с частицами набегающего потока. Функция
распределения в произвольной точке пространства х = х(х, у, •£)
f pyTJ .fex-t/„8ine)2+fe,+ i/,cose)2+«)l г ^G
Jco~(2nkTJm)^eXP\ ТкТ^к у ^"оо,
/х (2nkTJm)^2\ 2kTJm J' ^^"*'
где х = г, м; ^х — скорость частиц класса х; £1^, Qx—телесные углы,
в которых лежат векторы скоростей частиц, пришедших в точку
х из бесконечности и от тела.
Определение поля плотности, скорости, плотности тока и т. д.
около тела сводится к вычислению моментов функции распределения
Ш8(0/4= Ш 8 (£)/.</£+ (1-Цп) Ш s(£)/,<£+ Ш 8(£)/-4"> (W.20)
где 5(^) — молекулярная характеристика. Если 8(£)=1, то числовая
плотность частиц в произвольной точке определяется концентрацией
падающих, отраженных молекул и частиц массоотделения
w(^//i00(^=l + (l-|in)[wr(^//ico(x)] + [iiM(^//i00(f)], (19.21)
где |1п = ^п/^оо—коэффициент захвата, равный отношению потоков,
поглощенных стенкой и падающих на нее. Из условия баланса
потоков на стенке следует, что Nr = (l—\in)Nao—плотность потока
отраженных частиц.
Зона I. Общее число молекул N^, падающих на единицу площади
передней стенки в единицу времени, равно
^00= J 77^/оо^*^^г = «с*/g^x(Ssine), (19.22)
- сю — оо — 00
х(я) = ехр( — a2) + y/na(l+erfa), erf# =
exp(-f2)A.
Поток отраженных молекул и частиц массоотделения, ушедших
от стенки, аналогичен эффузионному потоку через отверстие. Число
475

отраженных молекул, уходящих через единицу площади отверстия
в единицу времени (см. (19.16)),
О — оо — оо
Из условия сохранения частиц на поверхности следует, что
концентрация отраженных частиц
n^H-ViJnny/TJTrXiSsmQ). (19.23)
Числовая плотность отраженных частиц на поверхности
тела (х = 0)
+ 00 + 00 + 00
*r.w= J J J /,</$= (l/2)/Ir.
(19.24)
Поскольку плотность эффузирующих частиц в произвольной точке
вычисляется по формуле (19.17), то при помощи уравнения (19.23)
можно получить следующую формулу для расчета распределения
плотности отраженных частиц перед телом:
nr{x)/n^=(l-iin)^TJTrX{Ssmd)[Qr(r, <р)/ (4тс)]. (19.25)
Вдоль оси симметрии уравнение (19.25) принимает вид
^-^^-•('-Hjf
2 V Тг
x(Ssin9)(l-cosP), (19.26)
где Р—полуугол при вершине конуса, основанием которого является
передняя поверхность, а высота равна расстоянию до рассматриваемой
точки на оси. На поверхности тела при x/R — O плотность отраженных
частиц в (19.26) совпадает со значением nrtW в (19.24).
Удельный поток частиц при массоотделении равен QM = kN^T^, где
+ 00 + 00 + 00
N»= J J J txfudt = nmy/kTJ{2wn), (19.27)
0 — oo - 00
где nM—концентрация частиц массоотделения. Следовательно, их
плотность на поверхности
1
1
/2кт
"2 М 2кТыу/кТы/{2тп) 2 (кТыу»>
где Qm—заданный удельный поток частиц, м3-Па/(м2-с).
Распределение плотности этих частиц перед телом и вдоль оси х имеет
соответственно вид
«мЙ «м 1
«оо «оо 2
«м(х)_«м QM
«оо «оо
1 *
(1+х2)1/2
(г,
471
«м 1
(1-cosp).
(19.28)
476

Используя (19.22) и (19.27), получим
lr=^/?x(Ssin9)=rK/?x(Ssina)'
где ц м — параметр массоотделения, равный отношению потоков частиц
массоотделения и невозмущенной среды. Его можно записать в виде
Лм = Ло + Л* + Ла> где i)o = N0/Na09 4g = Ng/NO0, r\a = NaINao —
соответственно коэффициенты массоотделения частиц при: обезгаживании,
десорбции и взаимодействии химически активных компонент
атмосферы с поверхностью. С учетом г|м получим
*м {x)/noo = 4^T00/TMx{Ssin9)0,5(1 -cos р).
Распределение плотности газовой компоненты в произвольной
точке и вдоль оси симметрии перед телом, имеет соответственно вид
^ = i + (i-ii-),/^x(s™e)5^+4^x(5eine)H=^,
n{Z)ln„ = l+^S^[{l-iia)/^r + J}J^]{\-cosV). (19.29)
Формула (19.29) получена при 5»1, 0 = 90°, когда п00(х) = пой —
£eQx
По данной методике проведен расчет поля плотности перед
торцевой поверхностью тела, при обтекании его потоком газа
(основных компонент атмосферы) на околоземных орбитах
(#= 160...1000 км) при 17=8 км/с, 9 = 90°, rw=!Tx=1000 К, _ цп = 0,
с равномерно газящей поверхностью при им(Я2)=1,2-108 см .
Параметры верхней атмосферы определялись по модели CIRA-72 для
среднего уровня солнечной активности [105]. На рис. 19.6 представлены
результаты вычислений для отраженных частиц (см. (19.26)) и частиц
массоотделения (водорода (см. (19.28) при nao = naoN2)' Видно, что
"/•А- пм/л,
О 1 2 3 4- Л//Г О 1 Z 3 x/R
а) 5)
Рис. 19.6. Относительная концентрация отраженных молекул {а) и частиц массоотделения
(б) в зависимости от xjR по оси тела в зоне I:
02; N2; Аг; О; Не
477

50° Ь0°30о20°Ю0
7 6 5Ь321\
\*«\ У4^
Рис. 19.7. Распределение
относительной плотности частиц
различных классов перед
торцевой поверхностью цилиндра
пг{х) на поверхности в 10...20 раз превышает плотность п^.
В отличие от континуумного обтекания в свободномолекулярных
условиях перед телом отсутствует поверхность сильного разрыва
(ударная волна). Перед передним торцом тела образуется область
повышенной концентрации частиц за счет медленно движущихся
отраженных молекул и частиц массоотделения, имеющих тепловые
скорости, пропорциональные Tw, по сравнению с быстрыми частицами
набегающего потока. На расстояниях более чем 20 R от тела
концентрация пг становится ничтожно малой по сравнению с п^.
Такое условие и было принято при оценке в п. 18.3.3 границы
свободномолекулярного режима обтекания. На рис. 19.6,5 пунктиром
для сравнения отмечена относительная плотность отраженных частиц
азота. При Я^ 700 км для расчетных условий эффект массоотделения
становится определяющим.
На рис. 19.7 приведен универсальный график, определяющий
распределение относительной плотности частиц всех рассматриваемых
классов «x(^) = «x(x)/«oot гДе и = г, м, x = x/R, y=y/R. Вычисленные
значения линий постоянной плотности «r(.x)/«oo в атмосфере
кислорода и азота для указанных выше условий обтекания приведены
в табл. 19.1.
Таблица 19.1
\. линия
газ \.
о2
N2
1
19,68
18,40
2
17,72
16,55
3
15,75
14,72
4
13,78
12,87
5
11,81
11,04
6
9,84
9,20
7
7,88
7,36
8
5,90
5,51
9
3,94
3,68
10
1,97
1,84
11
1,18
1,10
Чтобы определить необходимую суммарную относительную
концентрацию частиц n(x)/riao в заданной точке x/R на оси перед
телом, воспользуемся рис. 19.6. Например, для азота на высоте 700 км
в точке x/R=l,34 на оси относительная концентрация отраженных
частиц Иг/иоо = 3,68, частиц массоотделения (водорода)—ям/«оо = 5,3.
Согласно формуле (19.21) в точке x/R=\,34 на оси перед телом
п(х)/поо = 9,98. Следовательно, и значение для линии 9 на рис. 19.7
соответствует этой величине 9,98. На этой высоте для азота
Лсо = 1,8-105 см"3, значит и(х)= 1,8 • Ю6 см-3.
478

Зона II. Расчет поля плотности около цилиндра выполняется по
следующей схеме: разбивают на прямоугольники (отверстия) боковую
поверхность тела (при условии, что 2nRL = hbiL, где 5i—число сторон
многоугольника, описанного около сечения цилиндра) и производят
суммирование потоков частиц в заданной точке поля течения (см. рис. 19.1).
Пусть 5»1 и 6 = 90°. Плотность частиц в произвольной точке
пространства xi, у и zi в зоне II, эффузирующих из одного прямоугольного
отверстия длиной L и высотой h, определяется следующим образом:
+ 00
лх(х) =
I ы*1
cos02^2_ Qn(jc1, уi, Z\)
2 ^* A '
2 4я
(19.30)
где
iM*. yu z^arctg(£4^%^i-arctg&+0'5H^-°'5i")-
■j-.P-^-Jt.L)1'»
• у^а+ъ-х^у2
arctgлр-ii+w-)"1 +a tgйИ,^1" •
Здесь
x = r, м; x1=x1/h; yi=yi/h; z1=z1/h;
L = L/h; (1/4)(1+L2) = 7"; 7+r? = rf;
fi=rjh\ rl = xl+yl+zl;
02 — угол между нормалью к элементарной площадке dA2 и отрезком
г2. При Х!=7!=0 из (19.30) следует, что распределение плотности
частиц вдоль оси yi = rx равно
-+ = - arctg——
71 2—-
к R
L/R
-G3W
Поскольку ^ = (1-^)^ и nr = (l-\in)nouy/YjTr9 то4
5» n*(xi>yi>zi)
т
4ти
или
"xW_i
/-f -arctg
71 Л
L/Л
ш»
где D = (l—[in)—для отраженных частиц и D = r\M—для частиц массоот-
деления. Расчеты показали, что для указанных выше условий обтекания
на боковой поверхности плотность отраженных частиц не превышает
(0,5...0,7)«да. Поля течений около ряда тел рассмотрены в [47].
§ 19.4. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ
ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
В свободномолекулярном режиме молекулы, отраженные от
выпуклого тела, уходят на большие расстояния, не сталкиваясь друг
с другом (см. рис. 18.14). Вероятность вновь попасть на тело для
молекул, испытавших столкновения, ничтожна. Поэтому взаимодей-
479

ствие каждого элемента поверхности выпуклого тела с невозмущенным
потоком рассматривается вне зависимости от любых других элементов
его поверхности.
§ 19.4.1. Потоки импульса и энергии на элементе
поверхности
Рассматривается обтекание выпуклого тела потоком газа
при отсутствии внешних сил. Состояние газа в невозмущенном потоке
является равновесным. Условия на поверхности тела (схема отражения,
температура поверхности, коэффициенты аккомодации и т. п.)
считаются известными.
Зеркально-диффузная схема отражения. Выделим элемент dA на
поверхности тела, обтекаемого стационарным свободномолекулярным
потоком (рис. 19.8). В связанной с ним системе координат ось
х направлена вдоль внутренней нормали. Функция распределения
падающих частиц описывается максвелловской функцией
fe-g00cos»f)2 + fey+g,osin9i)2 + ^'1
IkT^jm J'
где С/да — вектор скорости невозмущенного потока, расположенный
в плоскости у Ох. На элементе dA задана его температура Tw.
Поверхность тела не поглощает частицы. Массоотделение частиц
также отсутствует. Для расчета интегрального силового и теплового
воздействий на поверхность тела при свободномолекулярном обтекании
нет необходимости в общем случае знать функцию распределения
/г. Необходимо лишь знать локальные коэффициенты обмена
импульсом и энергией или связанные с ними коэффициенты аккомодации.
Выделим из всех молекул, поступающих на элемент dA, частицы,
скорость которых изменяется от £ до %-f-dl. Эти частицы обязательно
Л
/ \
/ \
Рис. 19.8. Схема обтекания выпуклого тела (а) и его элемента (б)
480
/.=
(InkT^/m)3
-ехр

попадут на элемент dA за бесконечно малый промежуток времени
dt, если будут находиться внутри воображаемого объема \xdtdA.
Число частиц выделенного класса, находящихся в этом объеме, равно
t^dtdAfndbdbydb. (19.31)
Проитегрировав (19.31) по всем возможным значениям £ и разделив
результат на dtdA, можно найти общее число молекул, поступающих
за единицу ^времени на единицу площади элемента:
+ 00 +00 +00
1кТ
W= I I I ktUd^d^yd^n» J-^x(Sn). (19.32)
x{Sn) = exp(-S2n) + JnSn{l+erfSny,
Здесь Sn=Un/(2kTJm)112, Un = \ U^ sin0£| = | C^cosxM. Функция x{Sn)
в (19.32) равна:
а) для ^элементов поверхности тела, обращенных навстречу потоку
(проекция Uoo на внутреннюю нормаль к dA—положительная величина):
(19.33)
б) для элементов, находящихся в кормовой (теневой) части тела
(проекция 0^ на внутреннюю нормаль к dA—отрицательная
величина):
X(^) = exp(-^n2)-^^(l-erf^). (19.34)
Выражение (19.34) следует из (19.33) при замене угла \|/f на
7i + \|/;. Умножив (19.31) на m^x/(dAdt), m^y/(dAdt), (\/2)m^2/(dAdt)
соответственно и затем проинтегрировав результат по всем значениям
скоростей, получим следующие соотношения, выражающие потоки
нормальной, тангенциальной составляющих количества движения и
энергии поступательного движения частиц, приносимые ими за единицу
времени на единицу площади элемента:
Pni =
rn£>x£>xfaodZ,=
PocUl 1
О - оо - оо
y/nsii
snX{sn)+Y(l+Qrfs»)
, (19.35)
+ 00 +00 +00
Pxi
0 - оо - оо
+ 00 +00 +00
E'i =
-m£2 £*/«,</£=
2 2^/nSi
0 — oo — oo
(19.36)
xjfs^W,)-^exp(-S„2)j. (19.37)
Многоатомные молекулы помимо поступательной энергии обладают
и внутренней энергией. Тогда, умножив (19.31) на величину внутренней
энергии молекулы газа jkT^/2 и проинтегрировав по всем возможным
значениям скоростей, получим поток энергии, приносимый молекулами
16 Зак 150
481

в единицу времени на единицу площади элемента, связанный с
внутренней энергией многоатомных молекул:
+ 00 +00 +00
«-Ш*
kT^xfxd^=^Ul
J
-x(s»),
2 4^Sl
О — oo — oo
где у = (5 — Зу) / (у — 1)—число внутренних степеней свободы, y = Cp/Cv.
Суммарный поток энергии падающих молекул на элемент dA в единицу
времени
Е{ = Е\ + Е'(--
РсоС/3а
sl+^W(sn)--^{-st)\.
2 2Jisll\~w'y-K
При 1/^ = 0 это выражение упрощается
Ex = px[(y+l)/(y-l)-](SK)-^(kTJmy>\
Суммарные значения нормального напряжения Рп, касательного
напряжения Рт и удельного теплового потока qw в стенку должны
учитывать вклад соответствующих потоков рп„ рхг и Ег, вызванных
отражением молекул от элемента поверхности. Тогда
Pn = ^lPni + ^2Pnw, Л=Аг-/?тг = ^зАь
Qw = Et — Eri
(19.38)
(19.39)
где ^i = l, ^2=PnrlPnw\ Er = E'r + E"—поток энергии, который уносят
отраженные частицы от элемента dA. Из определения коэффициентов
аккомодации (нормального (ап), тангенциального (ят) импульсов,
энергии поступательного движения (а'е) и внутренней энергии молекул (а'е)):
ап =
Pni-Pnr
аг = -
-Ртг
Е\-Е'г
аР=-
е'1-е:
(19.40)
Pni—Pnw | ' Pxi E'i — E'w E'l—E'l
следует, что Х3 = ах, pnr = (l—cin)Pni + ^nPnw' В (19.40) входят значения
pnw, E'w, Е„, представляющие потоки нормального импульса, энергии
поступательного движения и внутренней энергии частиц, отраженных
от поверхности, при условии, если бы они уходили с максвелловским
распределением:
fw = nw(2nkTw/m)-3<2exip{-ti/(2kTwlm)}. (19.41)
В формулах (19.40) и (19.41)
О +00+00
m^xfwd£=p"Ui 1
2 2S
— оо - оо - 00
О +00+00
F' =
2 2 V*S* Т°
•ХМ,
— оо - оо — 00
El = l5-^lkTwNi = (,-U
Nt = Nw; Nw = nw[kTw/(2nm)Y'2.
482

Формулы для Рп, Рх и qw можно записать в виде
Pn = (2-an)pni + anpWi Px = axpxii (19.42)
д„ = а'в{Е\-Е'„) + а"е(Е?-Е1). (19.43)
Если а'е = а'е = ае, то
Если при диффузном отражении частицы газа (теряющие свою
массовую скорость) описываются максвелловской функцией
распределения и уходят от нее со скоростью теплового движения при заданном
значении ае, то коэффициенты в (19.38) равны: Х1=Х3 = 1
- bW-fr-ш
sl+
(Т-1) 2X(S„)
у«.у\
Из (19.42), (19.43) следует
Р*и2 1
Р =-
2 S
^^(г-^+^^х^ + е^П+егГЯ.]}, (19.44)
#«.=
2 2^2, 1L
. 2 5 >>тА\„( 5-у
ае\ Sio+--2—- \+-а
2 T„J 2 *\у-\
--д'еехр(-^)1
При а'е — а'е = ае выражение (19.46) примет вид
(19.45)
(19.46)
Qw-
p„Ul ае
2 2^/isl
о2 (Y+1) Tw у
00 2(7-1)7^-1)
X(S„)-iexp(-Sn2)f. (19.47)
Для гиперзвукового обтекания, когда Sa0'^>l, Sn^>\, из (19.44),
(19.45) и (19.47) получаются следующие простые выражения при
0<\|/f<7c/2:
Рп = ^^Ш-ап)2со82^ + ап
к(у-\)
1/2 / \ 1/2
совфЛ, (19.48)
Px = l ^4k l^^sinvl/fcosvl/b
^ = |^у- UeCOSvU 1—Г— —
(19.49)
(19.50)
Из этих выражений видно, что локальные характеристики зависят
не только от ориентации элемента dA и характеристик взаимодействия,
16*
483

но и от значения температурного фактора tw=Tw/T0. Если TW=T^
и ап = ах = ае = 1, то
Л, = (Роо^/2)2со821|/ь
(19.51)
Л = (рао^5>/2)ап2фь
^ = (Роо^»/2)со8ф4. (19.52)
При TW=T0 (приближенно соответствует условиям испытаний в
аэродинамических установках) в отличие от предыдущего случая
отраженные от поверхности частицы дают вклад в результирующие потоки
нормального импульса и энергии. Вклад касательных напряжений
в общем балансе всех сил, действующих на выделенный элемент,
в обоих случаях остается одинаковым.
По теории Ньютона при S^»1
(Л)с=^2со8Ч*
2 (19.53)
(Л)с=Ыс = 0.
Сравнение показывает, что ньютоновское приближение совпадает
с теорией свободномолекулярного течения только для Рп при условии
я„ = 1, T00 = TW (см. (19.51)). Согласно теории Ньютона все отраженные
молекулы движутся вдоль поверхности тела с неизменной касательной
скоростью, в то время как по кинетической теории поверхности
передается также и тангенциальный импульс. Если рассматривается
зеркальная схема отражения и ап = ах = 0, то Р„ = 2(Р„)С, а касательное
напряжение равно нулю, как и в модели Ньютона. На рис. 19.9
показаны зависимости, вычисленные по (19.44) (рис. 19.9, я), (19.45)
(рис. 19.9,6), от угла \|/f для передней и задней сторон элемента dA
при ае = ап = ах=\9 Ги,/Гоо=0,5. Безразмерная величина Рп1{р^и2^12) при
больших Sm слабо зависит от T^jT^. Если учесть также потерю
тангенциального импульса по модели Ньютона, то PT/(p00i7^/2) = sin2\|/i.
О согласовании этой зависимости с (19.45) и (19.53) с (19.44) можно
судить по графику на рис. 19.9 при З^-юо (линия 1). Величина
Л/(Роо^«/2) не зависит от температуры поверхности. Из (19.51)
и (19.52) следует, что для любого тела при \|/; = 0, ап = ах = ае=\, S^»!
1 PndA J qwdA
с — A = 1 г — () St— А — 1
Сха (\I2)9„UIA Z'Cya U' М (Uljp.UlA-1'
где A=$dA — площадь миделя тела.
Для теплоизолированного элемента поверхности (qw = 0) можно
найти равновесную температуру Те. Для одноатомного газа (у = 5/3)
из выражения (19.47) получим формулу
те=тО0п + ^-+1-\\-
ш[
2 4[_ X(S„)exp(S2n
Здесь функция в знаменателе при любых S^ всегда не менее единицы
и, следовательно, для любого элемента поверхности, обращенного
навстречу потоку, равновесная температура Те больше температуры
газа при адиабатическом торможении Г0, т. е.'
Ге>Г0 = Г00{1+[(у-1)/у]^2аэ} =^[1+0,8(^/2)].
484

■А."Л)^
ычм
1,5
1,0
0,5
[ J>~-0,5
10 /%^\
I I I I I I I ПИП
NssN^. >*w I.....1. 1 j—
0 +30 + 60 ±30 -во -зо о
Рис. 19.9. Локальные
коэффициенты нормального и
касательного напряжений в
зависимости от угла \|/f при
различных ^:
1—теория Ньютона для гипер- Q $
звукового течения '
О +30 +60 +90
Передняя сторона {
Задняя сторона
О
ф. °
Л
Из-за определяющей роли соударений в газе при адиабатическом
торможении часть энергии потока расходуется на работу против сил
давления. При свободномолекулярном обтекании молекулы
взаимодействуют непосредственно с поверхностью тела и могут передать ей
необходимую долю энергии молекул.
Формула для вычисления коэффициента восстановления
температуры элемента dA с учетом (19.47) примет вид
2у
si(y-i)/y (y+i)
1 +
2SI
1-
X(S„)exp(S2n)
При Sn »1 для любого элемента dA, обращенного навстречу
потоку, г = 2у/(у+1). Этот результат отличен от континуумного
значения коэффициента восстановления гс < 1.
Истинная температура тела должна определяться из
условия баланса всех источников тепла на его поверхности. Если
необходимо учесть сорбционно-десорбционные характеристики по-
485

верхности тела, вводятся коэффициенты цп, г|м и анализ ведется
по указанной схеме.
Иной механизм взаимодействия газа с поверхностью изменяет
значение локальных характеристик Рп, РХ9 qw [107, 119].
Схема взаимодействия Ночиллы. Как отмечалось, параметрами
функции распределения fN являются nN, TN, UN, 9N. Сведения о них
достаточно ограничены (см. § 18.2).
Комбинируя выражения для потоков падающих и отраженных
молекул, определим суммарное силовое воздействие на элемент dA
в свободномолекулярных условиях для данной модели взаимодействия
газ—поверхность [107]. Сначала вычислим силу сопротивления и
подъемную силу, приходящуюся на единицу площади dA, найдя потоки
нормальной pni и касательной pxi составляющих импульса, приносимого
падающими молекулами в единицу времени на переднюю сторону
единичного элемента (см. рис. 19.8):
Xai=pnicos^i+pTismy\fi,
(19.54)
Yai=pnism\\fi-pxicosy\fi,
Pxi=^—
cos^sin^{eXp(/-^2) + (l+erf^)l,
где \|/i — угол между внутренней нормалью и направлением скорости
ПОТОКа! Он == о оо cosvj/;. Тогда
[ ^ V "П (19.55)
Поток частиц, отраженных от единичной площадки в единицу времени:
Nr = nN[kTN/{2nm)y'2x{SNn),
где SNn = SNsinQN = SNcos\\tN, SN=UN/(2kTN/m)1/2, \|/N = 90-0N.
Силовое воздействие от потока отраженных частиц, приходящееся
на единицу площади, вычисляется по формулам
Хаг= ~ {pnrcos^i-p^sin^i),
Уаг =-(Pnr Sin \|/£ +pxr COS \|/;)
или
Y _ p„Ul{ B^ X(Sn)
Гя*.х(&гя) + ^ (1 + erf SNn)\cos \|/,
2 Vv^Sco X(^iv-)
-SN [sin i|/„x(SNn)] sin\|/A\ (19.56)
sin\|/£ +
у __PaoUl( B1'2 X(S,
■* ar
1 V^Sco WNn) (J_ 2
+ SN[sm^N%(SNn)]cosy\f\\ (19.57)
486

где Bil2 = (2kTN/m)1/2/Um. Тогда аэродинамические силы для передней
стороны единичного элемента с учетом формул (19.55), (19.56)
и (19.57)
/тС^со
X COS
2 %(SNf
у/п ^(l+erfS,,
^-(^sin^sin^^
Y = p00^ x^ [в112\(sn + ^ (1 +e-^
af 2 у^Д LvNn 2
(19.58)
%{sNn)
x sin\|/i-f- (iS,Nsin\J/N)cos\|/i
+^81П*<-Шш}' (19'59)
/, ^ ■ (Y+l) , V^^(l+erf^)] 1 (y+l)
(l-e2H 1 + 777-: t + —-——— f+e,
5=
25i(y-l) 2Sixfo)
! 5J 2(y-l)
2 (Y+1) уя^и(1+егГ^
N + 2(y-l) 2X(5Nn)
(19.60)
где Sw=Uao/(lkTwlm)ll29 а2 = [££(\|/|)-^г]/[£,(ф4)-£||,]— коэффициент
аккомодации. Формула (19.60) получена для передней стороны <sL4.
Для теневой стороны значения £п и SNn в (19.60) заменяются на
Sn= —Soo cos \|/i и ^п= — »SNcosi|/N соответственно, а параметр В
становится при этом параметром В. Значения параметров 5#,
\\fN приведены в § 18.2.
Для того, чтобы найти аэродинамические силы, действующие на
заднюю (теневую) сторону элемента dA9 в формулах (19.54)...(19.59)
необходимо заменить угол \|/f на л; + \|/;. Окончательно суммарные
аэродинамические коэффициенты для единичного элемента dA с двумя
сторонами (т. е. тонкой пластины)
+ erf(5N„)
2Ш В"2+^\ #/Л} + -^_ (cosv|/Ncos^-sin^sint)x
x[%(Sn)B^ + X(Sn)B^l
(19.61)
„..**^,+*6te,«-*gi«+e„Sl.)
+
5;
x(Sm) 0
2Sa
X(^n)^l/2_|_
x(sN
B112
+-
■(со8^8т^ + 8т1|/^со81|/,)[х(^)^1/2 + х(^)^1/2].
(19.62)
Экспериментальное изучение индикатрис рассеяния частиц,
коэффициентов передачи импульса позволило авторам работ [11, 62] на
основе модели Ночиллы установить ряд коэффициентов, отражающих
характер взаимодействия газа с различными материалами. В этом
487

случае коэффициенты, входящие в известные формулы (19.38),
примут вид
*i = l, ^2 = 1+Н-1/22500^я1 + 6я1^(Гв)/Г1,)1/2,
Л,3 = 1+flxi+ 26xi [(ф|/я)-0,25)]. (19.63)
Значения параметров anli axU bnl, bxU представленные в табл. 19.2,
получены для режима £00 = 5,6, 7^/7^ = 0,42. Учтена обнаруженная
связь между значениями силовых характеристик взаимодействия потока
газа с образцами материалов и их физико-химическими свойствами:
микрошероховатостью и т. п. (см. § 18.2).
Таблица 19.2
Материал
Стеклоткань
Керамика
Эмали
Металлы
Стекло
Я„1
0,018
0,063
0,073
0,162
0,165
«ti
-0,043
-0,017
-0,010
-0,089
-0,103
bnl
0,104
0,081
0,057
0,039
0,091
bxl
0,070
0,041
0,126
0,055
-0,080
19.4.2. Аэродинамические характеристики выпуклых тел
С помощью выражений (19.38), (19.39), (19.44), (19.45), (19.47)
и (19.63) определяются локальные характеристики Рп, Рт, qw для
различных схем взаимодействия. Интегрируя их по всей поверхности
тела, можно вычислить аэродинамические характеристики выпуклого
тела произвольной формы, а также общее количество тепла,
поступающего (или уходящего) через его поверхность.
При расчете этих характеристик для тела сложной геометрической
формы (составленного, например, из простых (базовых) геометрических
элементов) в свободномолекулярных условиях обтекания необходимо
учитывать эффект интерференции, вызванный переотражением молекул
между элементами, и эффект затенения одних элементов тела другими.
Для условий, когда So0^>\, эффектом интерференции из-за его малости
можно пренебречь. При таком приближении определение необходимых
характеристик тела сводится к методу численного интегрирования
по его поверхности, как отмечалось, соответствующих признаков
молекулярного взаимодействия.
Геометрическая форма тела аппроксимируется, как правило,
набором базовых элементов (Ф=1...П) поверхностей не выше второго
порядка. Сам базовый элемент аппроксимируется с помощью набора
«к» элементарных площадок ААК. Для каждой площадки (панельки)
по уравнению нормали к ней и вектору скорости строится локальная
система координат. Все молекулярные признаки (например, силовые
характеристики) при интегрировании по поверхности переводятся
затем на базовую систему координат, связанную с телом.
Учет эффекта затенения одних элементов поверхности тела
другими можно вести на основе модели геометрической оптики. От
каждой элементарной площадки ААК проводится прямая линия,
направленная в сторону, противоположную вектору скорости
набегающего потока £7о,. Если эта прямая пересекает какой-либо элемент
488

тела, то молекулярные признаки для данной площадки не учитываются.
Для этого решается система уравнений
-^кФ \X\v9 Ум>> zwj = и, X = Xw и oq г,
где xw — координата рассматриваемой площадки. Метод
этот^действителен при 5оо ^> 1. Кроме того, если выполняется условие U^n< О,
где п — единичный вектор внутренней нормали к элементу ААК, то
этот элемент исключается из дальнейшего рассмотрения при расчете
характеристик тела при гиперзвуковом обтекании.
Коэффициенты аэродинамических сил и моментов определяются
следующим образом:
ci = l /' 2 = У , ч У Цг)&ЬАк li=x, у, z\
м п 1 л*ф
Ф = Рпп + Рхх.
Здесь Fi9 Mt—составляющие аэродинамической силы и момента,
действующие на тело; A, L—характерные площадь и длина; Я,
т — единичные _ векторы внутренней нормали и касательной к dA
в плоскости (£/«,, •«); Рп, Рт—нормальная и касательная составляющие
силы, действующие на единичную площадку; г}—радиус-вектор,
определяющий положение элемента ААк в выбранной базовой системе
координат; £(г)—коэффициент, учитывающий затенение одного элемента
тела другим (£(г)еО, 1.). Расчет аэродинамических характеристик тела
сложной геометрической формы для свободномолекулярных условий
обтекания требует разработки соответствующего алгоритма, программы.
Программная реализация алгоритмов осуществляется на основе
принципов структурного и модульного программирования [67, 119].
Для тел простой выпуклой формы £(г)=1. Результаты
интегрирования для ряда элементов (пластины, шара, конуса, цилиндра,
полусферы и т. п.) содержатся в работах [16, 22, 43, 47, 52]. Приведем
некоторые из них для зеркально-диффузной схемы отражения.
Бесконечно тонкая пластина. Силовое воздействие от потока
набегающих частиц, приходящееся на единицу площади, равно (см.
рис. 19.8 и 19.10)
Ха/ = Рп cos \|/f + Рт sin \|/;,
(19.64)
Yaf = Рп sin \|/,- — Л cos \|/f.
Подставляя (19.44) и (19.45) в (19.64), можно получить для передней
поверхности пластины
^/ = £^^r{^cos^(l+25„2)(l+erf5n) + ^50Ocos4iX
х ехр (- s,2)+|feV'2 cos v|/f [^S„ (1 +erf S„)+
+ exp(-52)]+a„50Osin4i[S„(l+erf5„) + -Lexp(-5n2)]j. (19.65)
V" J
489

При определении вклада в сопротивление от задней стороны пластины
угол \|/^ в (19.64) и (19.65) изменяется на rc + i|/,-. Окончательно
суммарный коэффициент сопротивления для плоской пластины
^■ха
^s0
■ [2 (2 — ап) cos 2 \|/f — 2ах sin 2 \|/f] +
+ ^^feY/2cos4I + cos^.erf5/J[2(2-an)x
x(cos2v|/l+^T) + 2«Tsin2v|/I-
(19.66)
Подобным образом можно найти и другие характеристики для
пластины
cva = v -<>п-<4sin ^cos ^еХр^_^2) +
/я5а
+■
Г /т \1/2
s Л"( т^"/ sin ^ cos ^'+tsin ^erf 5" ^ х
2(2 — ап — tfT)cos2\|/£ +
2-яи
St =
ае Y+1
^5. 4?
[х(5я)-7^5я],
г = -
Г —Г
__У_ U,, x/^cosil/ferf^
(19.67)
(19.68)
(19.69)
Здесь ci = Fi[(l/2)p00t/J)J[]~1, где Л—площадь пластины в плане;
^>t = Q\cp^O0Uo02A{Te— З^)]"1, где Q — суммарный тепловой поток через
обе обтекаемые поверхности абсолютно теплопроводной пластины.
Из сравнения формул (19.61), (19.62) и (19.66), (19.67) следует, что
первое решение при SN = 0 и а2 = 1 соответствует максвелловской
схеме отражения при TN=TW; при S00^>\, SN = S00, v|/N = v|/f и а2 = 0 —
зеркальному отражению.
Для гиперзвуковых течений при ап = ах = 1 аэродинамическое
качество может быть аппроксимировано выражением
г суа г . , /гЛ1/2 1
Следовательно, при S^ ^> 1 К стремится к очень малому значению.
Если же я„ = ят = 0, из (19.66) и (19.67) получим, что K^tg\\ft. Это
означает, что для подобной схемы взаимодействия возможны значения
К, соответствующие значениям аэродинамического качества в кон-
тинуумном режиме.
При \|/i = 90°, ап = ах = ае=\ из (19.66)...(19.69) следует
^ха
2 , Суа=09 St=7+1
yfast
r =
27
4Y ^sj 7+1
490

Рис. 19.10. Зависимости
аэродинамических характеристик бесконечно тонкой
пластины от угла 0,- для различных схем
отражения в свободномолекулярных
условиях обтекания. Расчетные
результаты (Херлбат, Шерман) [107]:
1—зеркальная схема (500 = 100, SN = 0, а2 = 0);
2—диффузная схема (£да = 100, SN = 0, аг = \);
Модель Ночиллы: 3 — 500 = 100, 5^=10, а2 = 0
и 4 — $00 = 10, S* = 2, я2 = 0,75
О 10 20 30 40 S0 60 70 дО 0Ь°
На рис. 19.10 приведены результаты расчетов по формулам
(19.61) и (19.62). Линия 1 определяет аэродинамические
характеристики пластины для полностью зеркальной схемы отражения
[ап — ах = а2 = 0), а линия 2—для диффузной схемы отражения от
холодной стенки (Sw=Uoo/(2kTw/m) = l,07\). Здесь же приведены
характеристики пластины, рассчитанные для модели Ночиллы
(кривые 3, 4\ 5^ = 7,071). Видно, что они существенно зависят от
параметров модели. С уменьшением а2 увеличивается импульс
отраженных молекул и растут как сопротивление, так и подъемная
сила пластины. Качество для зеркальной схемы становится очень
большим при малых 0£; для диффузной схемы значения К малы
при любых 0f.
Поперечно обтекаемый круговой цилиндр. Для определения
сопротивления прямого кругового цилиндра длиной L (рис. 19.11),
обтекаемого свободномолекулярным потоком (см. схему на рис. 19.11),
Рис. 19.11. График зависимости коэффициента
сопротивления цилиндра от числа S^ в свободно-
молекулярном потоке:
теория свободномолекулярного обтекания; # —
эксперимент на гелии (Столдер, Гудвин, Кригер [43])
14
11
10
в
6
4
2
\ • Уа
■ \ ш
I
Ч
1
0,д
ЬЬ
2,4 Зоо
491

перпендикулярно его оси, вычисляется сила, приходящаяся на элемент
поверхности этого цилиндра dA = RLdQl:
+ п/2
Ха = 2 j* (PnsinQ1 + PxcosQ1)RLdQ1,
-л/2
где R = D/2— радиус цилиндра. Проведя интегрирование, получим
^ха
п312ап ТУ
\/2)PooUlDL 45^ \Tt
1/2
+
*(^*<"-т''^
+ i+5!
'•'?+'■?
(19.70)
где In(x) — модифицированная функция Бесселя 1-го рода и-го порядка;
сила сопротивления отнесена к площади поперечного сечения цилиндра
A=DL. Характеристики теплообмена цилиндра
St =
e_=Mv±])exp(-^,x
*iIo(S-f) + Sl
^тЬт
']
(19.71)
(19.72)
где тепловой поток Q отнесен к полной поверхности цилиндра
Al = nDL (полагается, что L/D^$>1). При S^^l формулы
(19.70)...(19.72) упрощаются (an = ax = ae=l, rw = const)
сяв = 2 +
п312( 7\
45оо V Тс
1/2
25 J,' 2тгу ' Y+l
Сфера. Для свободномолекулярного обтекания сферы радиуса
Я (рис. 19.12), примем в качестве dA кольцевой элемент его поверхности
dA = 2nR2o,os>§1d§1 (см. схему на
рис. 19.12), так что
^Ara = (P„sine1+PTcos01)2K^2cos01^01.
Интегрируя по Q1e[l^ — %/2), (я/2)]
это выражение, получим
Ха
(\/2)p„UlnR2
2SI
_(2-an + ax))4Sl> + 4Sl-\ ,
2SX
1 1,5 2
Рис. 19.12. Зависимость сха для
сферы от 5да
492
:erfSe+?^exp(-Sy} +
+ -
2jnan
35e
1/2
(19.73)

si=^iiiH^4*"+i>rf4 <i9-74>
Y+l
2S2+1
2CTTSaD
500exp(-52w)K-1/2 + (4S2a)+l/2)erflS0C
(19.75)
Формулы (19.73)...(19.75) становятся особенно простыми при
Soo^>\ (я„ = ят = яе=1; rw = const),
3 S„\T„J Si' 8y ' y+l
На рис. 19.12 приводятся кривые зависимости сха для сферы при ^=1 и
различных значениях T^IT^. Измерения, проведенные в верхней атмосфере
Земли, показали, что у стабилизированных вращением тел сха=2...2,36.
Прямой круговой конус при нулевом угле атаки. Характеристики
конуса при ап = ах=\, Tw = const равны
cxa = exp(-Slsm2$)
:+гЫ*Г
.y/nS^ sin р 2S2. \Т^ J
+
1+^+£sinpl^)1/2j
+ [l+erf(50Osinp)]
c„=-7i-«p(-S5))-(l+^r)(l-erfSe))+
+^(r)1/2^^(l-erf500)-exp(-tS2a))],
(19.76)
St = «e-^-X(^ooSinp),
4yV7c5co
j 2 c;„2p)
(19.77)
(19.78)
r_ Т (2tS20 + l)x(^o0siii(3)-exp(->S2a
Y+l 5j,x(5„sinP)
Здесь cJca = Arfl[(l/2)p00t/J)(7i6/2/4)]"1; d—диаметр основания конуса; (3 —
полуугол при вершине конуса (sinP = ^/(2L) (см. схему на рис. 19.13); L—
длина образующей конуса; схц—коэффициент силы, учитывающий вклад
дна в сопротивление конуса; St = Q[^pO0UO0cp(Te—Tw)(ndL/2j]~1; Q —
суммарный тепловой поток в боковую поверхность конуса; ndL/
2 — боковая поверхность конуса; Те—равновесная температура боковой
поверхности, реализующаяся при qw = 0.
Тепловой поток в донную поверхность конуса равен
_4d*p„Ul(2y12 1 /Г 2 (y+l) Т у 1
У* 4 2 \жу) ySLJL 2(r-l)rOT + Y-lJ
x[exp(-5i)-4/^5co(l-erf500)]-0,5exp(-Sy}.
При S^sinP»! формулы (19.76)...(19.78)
c*°=2+£*Mk
1/2
+-
1
2y K y+l
(19.79)
493

с*а На рис. 19.13 показана картина
изменения сха (отмеченная
сплошными линиями) в зависимости от
Р и S* при S^S^TJTj-1'2^.
Расчетные кривые соответствуют
нулевому углу атаки при я„ = дт = 1.
Штрихпунктирная линия на графике
определяет области дозвуковых и
сверхзвуковых значений 5,n = 5,00sinp.
Видно, что гиперзвуковое приближение
можно эффективно использовать при
SO0>5 для конусов с р>20°. Влияние
величины Sw на значение сха при
Sqo-юо можно установить по кривым,
отмеченным пунктирными линиями
на рис. 19.13. Случай Sw = co
соответствует абсолютно холодному ко-
Рис. 19.13. Коэффициент сопротивле- ничвСКОМу Телу (Tyv/To0=0), при КО-
ния конуса в свободномолекулярном TQ коэффициент сопротивления
потоке при нулевом угле атаки ^ о тт V-
(ял=ят==1 \ш])у сха не зависит от р. При TW9 равной
равновесной температуре Те (Sw =
= 1,41), вклад отраженных молекул в результирующий импульс
увеличивается и приводит к повышенному значению сха для
неохлажденного тела. Заштрихованная область на графике соответствует
значениям коэффициента сопротивления сха для спутников — тел
конической формы.
О влиянии температурного фактора на коэффициент
сопротивления конуса можно судить по графику на рис. 19.14. Здесь
Kn0 = l0/d, где /0 = 3,2ц (Г0) [poo {2пкТ0/т)~1/2] ~ *.
Экспериментальные данные согласуются со свободномолекулярной теорией
(см. (19.79)). t
На рис. 19.15, 19.16 показаны аэродинамические
характеристики ряда базовых элементов летательного аппарата,
вычисленные методом интегрирования. Зависимости коэффициента
сопротивления симметричного параболического профиля крыла
cxa = Xa[(l/2)po0U2ebc]~1 (см. схему на рис. 19.15, а) от S^ при 0 = 0
и 10° приведены на рис. 19.15, а. На графике для сравнения даны
/
\^^ j
ы^
1 1
-J
-2
-7
О
494
J Т„/Т0
Рис. 19.14. График влияния температуры
поверхности конуса на его коэффициент
сопротивления (Р = 45°):
I — теория свободномолекулярного обтекания
(а„ = ах=\); опытные данные (рабочий газ — воздух
[108]): О —Кп0 = 7,15, Моо = 10,9, 7*0 = 296 К;
Л—Кп0 = 5,47, М0О = 10,9, Г0 = 471 К; 7,
2—сопротивление, обусловленное давлением и трением на
поверхности конуса от потока падающих молекул
соответственно; 3—доля сопротивления давления от потока
отраженных частиц

9=10°
тш»
cxa=(Q=10°)
cm=(0-0°)
10
а)
15
-QUO
Рис. 19.15. Графики
зависимости аэродинамических
характеристик симметричного профиля
крыла от So, (ап = ат = ае = 1,
7^/7^ = 0,76, с = с/6 = 0,1 [103])
зависимости при 0=10°: для плоской пластины — линия 1,
ромбовидного профиля (с = 0,1) — линия 2 и зависимость, вычисленная
по модели Ньютона для рассматриваемого профиля (линия 3).
График зависимости суа от »S00 при 6 = 10° представлен на
рис. 19.15,6. Для сравнения здесь же указаны данные для пластины
(линия 1). Результаты расчетов по коэффициенту момента тангажа
cm = M[(l/2)pO0Ul0b2c]~* для рассматриваемого профиля приведены
на рис/ 19.15, в. Здесь линия 1 относится к плоской пластине,
а 2 — к теории Ньютона для рассматриваемого профиля. Значения
коэффициента сопротивления осесимметричного корпуса
параболической формы cxa = Xa[(l/2)po0Ul0dL]~1 (см. схему на рис. 19.16)
в зависимости от Sm при 9 = 0 и 10° приведены на рис. 19.16.
Кривая 1 соответствует расчетным данным, вычисленным по теории
Ньютона.
495

Рис. 19.16. Зависимость коэффициента сопротивления
осесимметричного корпуса сха от S^(а„ = ах = ае=\,
7^/7^ = 0,76, d/L = 0,\ [103])
15 Soo
§ 19.5. СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ОБТЕКАНИЕ
НЕВЫПУКЛЫХ ТЕЛ
При описании обтекания тел невыпуклой формы
учитывается, что отраженные от поверхности молекулы могут вновь попасть
на нее, передав импульс или энергию (рис. 19.17). Выделим элемент
невыпуклой поверхности dA с внешней нормалью п. На него падают
молекулы невозмущенного течения газа, векторы скоростей которых
лежат внутри телесного угла D^, под которым видна с dA область
невозмущенного течения, описываемого функцией распределения
/it00 максвелловского типа. На элемент dA поступают также частицы
после отражения от других участков поверхности тела. Векторы
скоростей этих молекул .лежат в телесном угле 2л — О,^, функция
распределения для них —fUr. Из условия сохранения плотностей
потоков молекул на поверхности тела следует [47]
J (ln)frd^-\ J (|и)/,.„4+ 1 (Wi,dl\ (19.
1")>0 Чей* |e(27t-nj J
80)
{Ъ»)>0 Че«х |e(27t-nj
где/г — функция распределения скоростей отраженных частиц
(принимается ае = ап = ат=\)
fr{xX) =
пг(х)
[2ккТ„{х)/т]3'2
ехр
2kTw(x)/m
(19.81)
Здесь Ту(х) — заданное распределение температуры на поверхности
тела; пг\х) — числовая плотность частиц, которая в общем случае
неизвестна из-за свободномолекулярной аэродинамической
интерференции. Подставляя (19.81) в левую часть (19.80), получим, что число
частиц, покидающих единицу площади элемента dA = dA (х) за единицу
времени, равно
Nr (х) = nr (х) [kTw (x)l(2nmj]1/2. (19.82)
Для определения плотности потока частиц, уходящих с других
участков поверхности тела, выделим некоторый элемент dA', положе-
496

0
ос/ >^/
Jf dA
Рис. 19.17. Схемы обтекания полусферы свободномолекулярным потоком
ние которого определяется условием dA' = dA'(x') (см. рис. 19.17).
Тогда число молекул, летящих с dA' на единицу площади элемента
dA за единицу времени (см. (19.15)):
dNAA = nr(x')
2пт
' cos 0'cos 9
1ф2
dA\
где h = \x — x1\ — расстояние между dA и dA'. Произведя
интегрирование плотностей потоков со всех элементарных площадок, получим
NAA (х) = J nr(х') [kTw(х,)/(2тст)]1/2 G(х, х') dA', (19.83)
А
где G(x, x') = cos0/cos0(7c/i2)-1; А—поверхность тела, видимая из
элемента dA. Плотность потока частиц, поступающих из
невозмущенного потока:
Nn(x)^nao[kTao/(2nm)y,2I(x)9 (19.84)
I(x) = (\/n) J L(Zl)cosddQ,
где
L(Zj = (l+Z?)exp(-S2OT) + ^z/^
Z^Z^S») [47].
Подставляя (19.82), (19.83) и (19.84) в (19.80), получим
Nr(x) = I(x) + $Nr(x')G(x, x')dA\ (19.85)
Nr(x') = nr(x')
kTw(x')
2кт
1/2
, Nr{x) = Nr(x)
2nm
1/2"
Данное уравнение является уравнением Фредгольма второго рода.
Здесь Nr(x') представляет поток частиц, отраженных с единицы
площади элемента dA' в единицу времени. Уравнение (19.85)
преобразуется к виду
U/2
пг(х) =
1х)
DM*)]1'
,-+
пг(х')
ТА*')
ТМ)
G(x, x')dA\
(19.86)
где ?lr = nr/nOD; Tw = Tw / 7^. При Tyv=Tao = const для всей поверхности
уравнение (19.86) можно записать следующим образом:
497

nr(x) = I(x) + § n(x')G(x, x')dA'.
Подобные уравнения могут быть записаны для произвольных
молекулярных характеристик (потоков импульса, энергии и т. д.). Как
известно, плотность теплового потока к телу равна разности энергий,
приносимых и уносимых молекулами:
qw = d2Q/ (dAdt) = Еъ (х) + ЕАА (х) - Ег (х),
Еаа{*) =
y+l\kTw{r)
у-1
Nr(x')G(x, x')dA',
{&)^f*dZ+N„{x)r-jkT„
(19.87)
Er(x) = Nr(x)(^±
kTw(x)
где d2 Q—количество тепла, поступающее в тело за время dt через
элемент dA. При qw = 0 из (19.87) можно получить
Е'г(х) = Ео0(х) + $E'r(x')G(x, x')dA', (19.88)
А
где Е'г—поток энергии, уносимый отраженными частицами с единицы
элемента dA за единицу времени при равновесной температуре Те.
Нормальный и тангенциальный импульсы, передаваемые единице
элемента dA:
Рп{х)=Рп,аэ+Рп,А+РпУ> Рт{х)=Рт,оо+Рт,А>
(19.89)
где p„f00, рх,ао—соответствующие импульсы, передаваемые частицами
невозмущенного потока * элементу dA; pntA, pXtA—соответствующие
импульсы, передаваемые частицами, отраженными от других участков
поверхности; рп>г — реактивный импульс. Определив число молекул
со скоростями в диапазоне от % до С+^С поступающих с элемента
dA' на элемент dA, и умножив это число молекул на £cos0,
можно найти нормальный импульс, который эти молекулы передают
элементу dA:
тпЛх
^ехр
2kTw(T)/m
^4cos 0 cos Q'dA'd^dQ, (19.90)
[2ккТ„(х>)/тУ>2
где dQ = dAcosBh~2—телесный угол, под которым виден элемент
dA с dA'. Интегрируя (19.90) по всем 4> можно найти величину
нормального импульса, передаваемого рассматриваемыми частицами
единице поверхности элемента dA
(3/2)mnr(x')kTw(x')cos2dcosd'(mKh2)-idA'. (19.91)
Окончательно, интегрируя (19.91), получим нормальный импульс,
передаваемый молекулами единице площади элемента dA,
приходящими со всех участков поверхности тела
рп§л(х) = -тjnr(x')[kTw(x')Im]cosQG(x, x')dA'. (19.92)
2 A
498

Импульс, переданный молекулами, уходящими с элемента dA, равен
Л.г(3с) = т \ ^2nfrd^=nrkTw(x)/2. (19.93)
(Сй)>о
С учетом (19.91) и (19.92) выражение (19.89) можно записать
Pn(x)=pn>o0{x)+Pn,r(x) + 3$Pn,r{x')cosQG(x, x')dA'. (19.94)
А
Вычисление Рх(х) производится аналогично Р„(х). Таким образом,
решение уравнения Фредгольма (или системы
уравнений)—необходимая часть анализа свободномолекулярных течений с интерференцией.
В случае сложных форм расчеты становятся настолько математически
трудно разрешимыми, что требуются иные методы.
19.5.1. Течение газа между цилиндрами
Рассматривается изотермическое течение газа (М«:1) между
круглыми цилиндрами (рис. 19.18, а). Перед рядом цилиндров и за
ними газ находится в равновесных состояниях, описываемых макс-
велловскими функциями fc и fB, при плотностях частиц пс и пв,
температура T=TC=TB=TW и давлениях рс>Рв- Схема отражения
частиц от стенок цилиндров—диффузная, функция распределения
отраженных частиц fr—максвелловского типа.
Течение газа между цилиндрами определяется из условия
наложения двух молекулярных потоков из объемов С и В. Для элемента
цилиндрической поверхности dA можно записать с учетом
интерференции баланс падающих и отраженных частиц
dNAr = dNAA + dNCA,
где dNAr = nr(x) dA — поток частиц от элемента dA; nr(x) —
7у 2пт v
плотность отраженных частиц; dNAA — поток к dA частиц, отраженных
Рис. 19.18. Течение газа между цилиндрами в свободномолекулярных условиях
499

от поверхности второго цилиндра; dNCA— поток частиц из объема
С к элементу dA. Полное число частиц, вылетающих в канал из
объема С, приходящихся на единицу высоты z, составляет
Nc = nc[kT/(2nm)Y,2tR1, где R1—радиус цилиндра; t = (s1/ Rx)>2;
s1—поперечный шаг.
Для определения dNAA на поверхности второго цилиндра
выделяется элемент dA'. Поток частиц от него в телесный угол, под
которым с dA' виден элемент dA, равен
,о /-,ч ГкТ dA'cos Q' dA cos в ,,ЛЛ ч
d2NAA = nr{x') - —, (19.95)
\j 2nm п h2
где h2 = (x — х')2 + (у —y')2 + (z — z')2 — расстояние между dA и dA';
0 и 0' — углы между h и нормалями к dA и dA'. На элемент dA
поступают частицы только с определенной части поверхности второго
цилиндра. Поверхность первого цилиндра разбивается на следующие
зоны (рис. 19.18, б): I зона—0^9^90i = arcsin(2^1/^1);
II зона — Фо1^Ф^Фо2 = 'л: — arcsin(2i^1/.y1); III зона — ф02<Ф^л:.
Расстояние /*, углы 0 и 0' для зоны II равны:
h2 = R\ [(сОБф — С08ф')2-Ь(8тф + 8И1ф' — t)2 — (z/i^i)2],
cos 0 = (R11 h)\_t sin ф — 1 + cos (ф + ф')] = lx l2 + mx m2 + n1 n2,
cosQ' = rlr2+m'1m'2+n'1ri2 = (Ri / h)[tsm(p' — 1+со8(ф + ф')],
где
x = R1cosq>,
x' = RiCOS(p',
y = R1sin<p,
y' = s1 — R'1sin(p'.
Здесь ll9 m1, nx\ l'l9 m'l9 n\—направляющие косинусы отрезков ОС
и О'С соответственно; /2, т2, п2; /2, т'2, п'2 — то же для h — [H2jt
+ z2)1/2, Н2 = (х — х')2 + (у—у')2 в системах координат х, у, z и х',
у', z'. Угол ф' для элемента dA\ с которого может поступать поток
на dA, определяется следующим образом (см. рис. 19.18, б):
ф/2 = ф/1 + 2Р; <pi=(7c/2)-p-a; ф2 = (т1/2)+р-а;
Р = arccos (y^cos 2 ф -f (t — sin ф)2)"*; а = arctg [cos ф / (t — sin ф)].
Отсюда
9i = 9min = (^/2) — arccos Гсо82ф + (^ —sinф)2] ~1/2 —arctg(-^^- ),
(H
Ф2 = Фтах = (^/2) +arccos [cos2ф + (г-sin ф)21"1/2-arctg(-^^- ).
x ' L v ' J W-smq)/
С учетом формул (19.96) выражение (19.95) принимает вид
d2N =п (ф') /----— [^'пф~1+С08(ф + ф/)][/51пф/-1+С08(ф + ф/)]^
АА г\Ч> )yj2nm п [(cos9-cos9')2 + (sin9 + sin9'-r)2 + (z/JR1)2]2 Х
х dtp'd(z/ Rt).
500
(19.96)

Суммируя поток по всем dA\ можно получить
+ 00 Ф',_
1 ГкТ
" dNAA = - l^dA
лг(ф')^(ф, ф', z)d(p'dz,
AT(q>, ф\ z)
[tsiny—\ +со5(ф4-ф')] [/sin ф'— 1 +соз(ф + ф')]
[(сОЭф —С08ф')2 + (81пф + 51пф'—/)2 + Z2]2
Интегрируя по z = z/R1, можно получить
ф'2
1 / kT
dNAA = - —dA
2\l 2nm
/ ,\ [tsiny — 1 +соз(ф + ф')] [f втф'—1 + cos((p + (p'J]d(p'
Г^ ' [(сОЭф —С08ф')2 + (81пф + 81пф' —/)2]3/2
где значения ф'х и ф'2 определяются по формулам (19.96).
Для вычисления dNCA вводится контрольная поверхность Fc (см.
рис. 19.18, а) и выделяется элемент dAc. Поток от него на dA
dNlA = nc^
kT dArcosQ,dAcosQ7
2nm
nhl
(19.97)
где hc—расстояние между dAc и dA. С учетом того, что
hi = R2l[(\-cos(p)2-j-(tg(pa-sm(p)2 + (z/Rl)2]; dAc = (R1/cos2<pa)dyadz;
C0S9i=- T,
1 {hc/Ri)9
cos
fi _С08ф(1— С08ф) + 8Шф(1§фа — 8Шф)
2 (hj^). '
выражение (19.97) примет вид
2 kT dA [cosi\>(\—cosц>)-\-sin(pitgip—sinц)J](\—cosц>)
dNcA~nc / : dq>adz.
\j 2lim К [(1— С08ф)2 + (1§фя — 8Шф)2 + 22]2С082фа
Суммируя поток со всех dAc, можно получить
dNCA = nc
kT dA
2nm n
/(ф, фа, z)d<padz.
Здесь
/(ф, Фа, Z)
_ [С08ф(1 — С08ф) + 8Шф^фа — 8Шф)](1 — COS ф)
[(1-С08ф)2 + (1§фа-8Шф)2 + 22]2С082фа
Интегрирование (19.99) по z позволяет получить
(19.98)
(19.99)
/ кТ
dNCA = nc -—dA
V 2nm
[cos ф (1 —cos ф) + sin ф (tg фа —sin ф)] (1 —cos ф
2С052фа[(1-С05ф)2 + ^фа-5Шф)2]
з/2 dq>a,
где (см. рис. 19.18, а)
Ф^ах = агс1ё[8Н1ф-ь(1 — со8ф)^ф'1],
Ф ™in = arctg [sin ф — (1 — cos ф) ctg ф] .
(19.100)
501

Из уравнения баланса частиц получается следующее интегральное
уравнение:
Ф2
Лг(ф) = /(ф)лс + -
лг(ф')а:(ф, ф')Лр'-
Если ввести со(ф) = яг(ф)/ис> это уравнение запишется в виде
СО(ф) = /(ф) + ;
со(ф')АГ(ф, ф')^ф'.
(19.101)
Здесь
К(ц>, ф') =
[^Шф-Ь соз(ф + ф') — 1] [rsin9' + cos(9 + 9/)—1]
[(cos ф — cos ф')2 + (t — sin ф — sin ф')2 ]3/2
Фа
/Ы = 1 f [cos<p-l+sinq>tg<p,](l-
W' 2 J С082фа[(1-С05ф)2 + (1Вфа-
— СОвф)
8Шф)2]
3/2rf<P«-
Уравнение (19.101) является одинаковым для всех трех зон, но
с разными граничными значениями ф'^ ф'2, ф™1п, Ф™ах- Для II зоны
9i и ф72 вычисляются по (19.96), а ф™1п и ф™х — по (19.100). Для
III зоны ф™ах = ф™1п и 7(ф) = 0. На эту поверхность частицы не могут
попадать прямо из объема С. Возьмем точку в зоне III (см.
рис. 19.18,а). С учетом x1 = p1cosy\f1=x'1 = R'1cosq>'1 получим
С08ф! =
cosxj/i
cos(\|/$ — ф)
или ф^агссоэ
COS\J/!
cos(v|/1 —ф)
Угол \|/А соответствует точке пересечения касательной с
окружностью второго цилиндра. Уравнение касательной в полярных
координатах (p1=R1 [cos^— ф)]-1) подставим в уравнение для
окружности
-Ш i 7^0О8(ф1-=) + /2=1.
cos^ (v|/i — ф) cos(\|/i —<р) V 2j
(19.102)
Решая это уравнение, получим значение \|/1} а затем <р\ и ф'2.
Углы ф™п и ф™ах для I зоны определяются из (19.100), как
и для II зоны. Значение ф1 соответствует значению для II зоны.
Угол ф2 находится аналогично тому, как определялся угол ц>\ для
III зоны: ф2 = агссо8 [cosi|/2/cos(\|/2 —ф)]. Угол \|/2 находится из решения
(19.102). При О^ф^л решению (19.102) удовлетворяет наибольший
по модулю корень в I зоне и наименьший — в III зоне. Для
рассматриваемых зон корни уравнения имеют вид
0,5(/2-l)-fsin9
\|/1=-^8 + 7c — arcsin
v|/2=-<[5-f arcsin
V0,25(/2 + l)2-/(f2-l)sinq>.
0,5(/2-l)-/sin9 "1
V0,25(/2+l)2-r(r2-l)sin9J
502

Здесь
5=-
- arcsin
t cos ф — 0,5 (t2 — 1) sin 2(p
V0,25(/2+l)2-r(r2-l)sin9.
Анализ показал, что при t>2 ядро интегрального уравнения К(ц>, ф')
непрерывное и положительное. На границах интегрирования К((р, (р') = 0
и со(ф) = 0. Это позволяет назначить новые пределы интегрирования
[0, тс] в (19.101), упрощающие дальнейшие математические
преобразования. Действительно, ядро интегрального уравнения имеет вид
*(Ф, Ф'К
а(Ф, ф')%, ф')
2 [совф — С08ф')2 + (Г — вШф — 8Шф')2]3/2 '
где я(ф, ф/) = /8тф + со8(ф-Ьф/)— 1, £(ф> ф') = /8тф' +со8(ф + ф') — 1.
Ядро К(ср, ф')>0, когда я(ф, ф')>0, &(ф, ф')>0 одновременно. На
границах или я = 0, или Ь = 0.
Вводя новую переменную z2 — \.%^a в /(ф) и полагая (z2 —8тф)х
х(1— cosф)"1=tga, после преобразований получим
/И.
_2 + Г2-3/5тф + гсо5ф(/2-2/8тф)1/2
2(\ + t2-2tsin<p)
Здесь /(ф)=1 при ф = 0; /(ф) = 0,5(1+cos ф) при t-+co.
Задача решения интегрального уравнения Фредгольма второго
рода (19.101) формулируется для О^ф^тс, t>2 следующим образом:
со(ф) = /(ф) + |(о(ф,)А:(ф, ф')dy'.
(19.103)
Здесь
^(ф,Ф')=^ 2
U
- 1-/зтф + гсо8ф(г2-2/8тф)1/2 |
l-f2--2fsin<p J при О^ф^ТС
при тс — arcsii
д(я>, ф')%, ф') 1
>8ф-со8ф')2+(г—втф—sinф')2]3/2J при а>
arcsin (2//),
при тс — arcsin(2//)^^TC,
►0Л6>0,
в остальных случаях.
Для выбора метода решения определим норму оператора правой
части уравнения (19.103). Из теории функций следует, что
\Tu—Tv\\ =max
[о.*]
и(ф')*(ф, фУф' + /(ф)-
1>(ф')А:(ф, ф')Ар' + /(ф)
= тах
[о,«]
-Ф')]*(ф> <pW
^тах
[0,я]
«(ф,)-^(фО
|[,(ф0-
о
K(<p,<s>')dA<\\u(<p')-
503

п
-и (ф') || max < \ K(q>, ф')^Ф f\^\\u-v\\L, (19.104)
о
где L—норма оператора. Для ее определения преобразуем К(ц>, ф'),
учтя, что tgZ2 = (cosф — cosq)')/(t — sinф — этф'):
К(® (р')-] cosz2SJn((p-z2)sin((p' + z2)
^ '2 t — sinz2 — sincp'
мах
Отсюда следует, что 0<У£(ф, ф')^ [2(/ — 2)] \ При ф = ф' = л/2 К=Кг
(наибольшая интерференция между цилиндрами). При t-+co К->0,
л
т.е. интерференции нет, |со(ф') К((р, ф')^ф'->0, а со(ф) = 0,5(1 Ч-соБф).
о
Это решение соответствует значению /(ф) при /->оо. Из (19.104)
следует, что
L = max
[о,«] J
#(ф, ф')Лр\ (19.105)
о
Рассмотрим Ф(ф) оператор правой части (19.105). Вычисление
_. , ч dz2 sin((p' + z2W(p'
Ф(ф), производимое с помощью подстановки —-— = -^ -,
cos z2 cosz2(f —sincp —sinq)')
дало
—r—— —— при О^ф^агсэтШЛ,
ф(ф)=
smcp при агс8т(2/*)<ф^я —arcsin(2/f),
/2+l-2rsinq>
Г f-sin(p + c<k(p(/2-2rsiti(p)1/2
2 f2 + l-2rsincp
при я — arcsin(2//)^^^rc.
Ф(ф) симметрична относительно ф = тс/2 и достигает в этой точке
максимального значения, равного l/(f—1). Эту величину можно
считать L — нормой оператора правой части уравнения. (19.104) (см.
(19.105)). Норма L<\—сжимающая, поэтому уравнение (19.103) можно
решать методом итераций. Процесс итерации будет сходящимся при
всех г>2. За нулевое приближение исходной функции принимается
значение /(ф).
Так как при каждом приближении со£(ф) интеграл в (19.103)
вычисляется с ошибкой меньше b1 = z(t — 2)2/ [t{t— 1)], то справедлива
оценка ||со — ю£|| ^ [1/(^ — 2)]||ю£ — coJJ-i \\+Ь1 (t— l)/(t — 2). В процессе
итераций выполняется условие \\(o*k — (£>l-i II ^е2(г — 2)11 для того, чтобы
погрешность вычисления со(ф) была меньше заданной (е=10~3)
в расчетах. Вычисление интеграла осуществляется методом трапеций
с погрешностью
8 ^zfh\(k2-k,)_zf(k2-kly_ я3
6 6Nl \2(t-2)9
где Zf=[2(t — 2)]~1—максимум функции К(ц>, ф'); li = (k2 — kl)/Nl —
шаг интегрирования; &i=0, k2 = n—интервалы значений ф;
504

Nx>{n*t{t-\)l [128(t-2)3]}1'2 —
число шагов на этом интервале.
Вычисление со(ф) производилось
для г = 2,5...30. Некоторые
результаты расчетов показаны на рис. 19.19.
Функция со(ф) обладает следую- о75
щим свойством: со (ф) = 1 — со (тг — ф).
Для t = 2
со =
1 при 0^ф<я/2,
0 при 7С/2<ф<7и.
Для нахождения сопротивления
цилиндров определяется суммарный
расход газа между ними с учетом
к—*"00 х\Ч
3 ^
7t/2
*%°
Рис. 19.19. Нормированная плотность
Г частиц на поверхности цилиндра в за-
обратного потока отраженных частиц висимости от угла ф
в объеме С и потока молекул из
объема В я С. Число частиц, падающих на dAc с dA, равно
dN2AC = nr(q))
кТ dAcos$1dAczo$,§1
2nm п hi
Суммируя поток со всех dA на dAc, получим
+ со <р™ах
I— Г Г
dNAC = nM)J^^~ \ I{q>,q>a,z)dq>adz,
— со Ф2"п
где /(ф, фа, z) определяется из выражения (19.99). Интегрируя по z,
можно получить
dNAC = nr(q>)
кТ dA
2шп 2
[с08ф(1 — COS ф) + Sin ф (tg фа — 8И1ф)](1 — СОБф) ,
С082фа[(1-С08ф)2 + (1§фа-5Шф)2]3/2 °*
Обратный поток с поверхности цилиндров в объем С, приходящийся
на единицу z, равен
Пег
NAC = Ri
Лг(ф)Р1(ф)£/ф.
Здесь
Л(ф) =
[С08ф(1 — С08ф) + 5Шф(1§фа — Sin ф)] (1 — С08ф) , _«w \
cos2(pa|-(1_COS(p)24.(tg(pfl_sin(p)2-|3/2 «Ф«- Ш
Угол фо2 = я —arcsin(2/r), а ф™1п и ф™ах находятся по формулам (19.100).
Расход газа из объема С составит
/ кТ
NcB = Nc-NAC = nc hr-Rit
V 2nm
\ —
С0(ф)/(ф)^ф
505

Аналогично вычисляется поток из
В в С. Суммарный расход между
цилиндрами на единицу z равен
Nm = NCB-NBC =
= {nc-nB)l^itR1(p02W)
Рис. 19.20. Зависимость коэффициента
Клаузинга от параметра /
где W= 1 ■
со (ф) /(ф) <йр —
коэффициент Клаузинга. Расчет коэффициента W проводился на ЭВМ
методом трапеций для / = 2,5...30 с погрешностью 0,05%. На
рис. 19.20 сплошной линией представлены результаты вычисления
W. Точками указаны экспериментальные значения W, полученные
в опытах при Кп>3.
Зная коэффициент Клаузинга, можно определить массовый расход
Gm и число Эйлера Еиш для течения газа между цилиндрами,
приходящееся на один ряд пучка цилиндров:
Gm=W
Рс-Рв
у/2ккТ/т
F,
Eum =
Ар
_ /8тс 1 (/-2)
;1/2)рм2 V ~yWM t '
где F=s1z = tR1z—входное поперечное сечение; и — средняя скорость
газа в узком сечении Fmin = z(s1—2R1).
19.5.2. Гиперзвуковое обтекание полусферы
Рассматривается обтекание полусферы гиперзвуковым
потоком газа («So, »_f) в свободномолекулярных условиях [47]. Пусть
вектор скорости U^ направлен параллельно оси симметрии полусферы
(см. рис. 19.17), а температура ее поверхности 7V = const. Схема
отражения молекул-диффузная. Функции распределения для
набегающих и отраженных потоков частиц
/»=
(inkT^/m)'-
fr =
(InkTJmf
7JeXP
7iexP
fe.-t/,)2+S,a+<;i
IkTJm
2kTw/m
Из рис. 19.17 следует, что 0 = 0', /z = 2rscos0, где rs — радиус полусферы.
Ядро интегрального уравнения (19.85) здесь G(x, x') = (4nrs2)~1=const.
Подставляя его в уравнение (19.85), получим
^r(f) = 7V00(f) + (47irs2)-1C1, C1 = JiVr(Jc')A4/,
(19.106)
где А = 2кг*. Умножив (19.106) на dA и проинтегрировав по всей
поверхности полусферы, получим
С1=^ооЕ + ^(4яг52)"1С1, (19.107)
506

+ 00 + 00 +00
Nx(x)dA = nr2s
/k-T V/2
x(500) = exp(-5i) + y^S0O(l+erf500),
где A^ooj; — число молекул невозмущенного потока, поступающих через
входное сечение площадью ти-2 на всю вогнутую поверхность
полусферы А за единицу времени. Подставляя N^ в (19.107), получим
d = 2rcr2 пх [kTx/(2twi)] 1/2 х(S») •
Число отраженных частиц Л^лл, поступающих на единицу площади
произвольного элемента вогнутой поверхности за единицу времени,
равно NAA = {\l2)na0[kT^I(2nm)]x(SO0). При S„»\
^^ = 0,5/100 £/„, (19.108)
^oo(^) = «oot/oocosa, (19.109)
^oo="oof/ooCOsa(mC/^/2), (19.110)
где Nqo (х) — плотность потока частиц невозмущенного течения;
cosa = x/rs; х—координата элемента dA.
Подставив в (19.106) выражения (19.108) и (19.109), получим, что
число молекул, уходящих с единицы площади элемента dA в единицу
времени:
#,(*) = ?!«, */«, (0,5 + cos a). (19.111)
Тогда из (19.82) с учетом (19.111) найдем
«r = «oo^oo(0,5 + cosa)[A:rw/(2Km)]1/2. (19.112)
Определим силу, действующую на единицу поверхности в точке
* = ^3 У = ® (см. рис. 19.17). Тогда из (19.92) с учетом G(x, х')
и (19.112) следует
PnA^mn^uJ^1^^ |(0,5 + cosa)cose0A4'. (19.113)
А
Здесь
в0 = 0,5(тс-а), cos 0О = sin (а/2) = [0,5(1 -cos а)]1/2.
Поскольку cosа = х'/г8, dA' = rsdx'd(p, где ф—угол, отсчитываемый
в плоскости yaza от оси уа, то (19.113) после интегрирования примет вид
PnA = (9/20)pooUQO{nkTw/m)1'2. (19.114)
Из (19.93) с учетом (19.112)
Pnr = {3j2IA)9ouU^{nkTJmyi\ (19.115)
Подставляя (19.114) и (19.115) в (19.89), получим
р _pjul
2 + s,
s„\tJ J'
eo-v^ + ^W
507

Если поверхность теплоизолирована Tw=Te, то
Ри = Р^<|2 + 3,8
2(7-1)
у+1
1/2
Окончательно коэффициент сопротивления полусферы равен
с»=ш£Ь^=2+т(т:)1'г' (19Л16)
где iv^e—результирующая сила, действующая на всю вогнутую
поверхность; е=1,06у/п. Подставляя теперь (19.108) и (19.111) в (19.87),
получим
Er = n„U„(0,5 + cosa)[(y+l)/(y-lj]{kTJ2),
£Ail = 0,25n00C/00[(Y+l)/(Y-l)]fcrw.
С учетом (19.110), (19.117) из (19.87) следует
(19.117)
гт i U„ y+l kTw
^w = p00£/a)cosa(1———
(19.118)
Пусть поверхность полусферы является теплоизолированной (<7W = 0).
Тогда из интегрального уравнения (19.88)
Е'г(х) = Е„{х) +
4nri
E'r{x')dA'
можно найти Е'г(х). Решая данное уравнение аналогично тому, как
было решено (19.106), получим
E'r(x) = 0,5nODmU3co(0i5 + cosa). (19.119)
Поскольку после решения (19.88) можно найти равновесную температуру
*
Тв(5!) = Е'г{х)
»жШ
то, подставляя в это выражение (19.111) и (19.119), получим
_mUjfy-\
е к U+i
2у \Ui
— —^ = const.
У+1/2С,
(19.120)
При ^»1 U2J(2CP)=T„ [(У-1)/2]М^ = Г0 и Те=Т02у/(у + 1). С
учетом (19.120) запишем (19.118) в виде
qw = pmCpUxcosar^)(Te-Tw). (19.121)
Интегрируя (19.121) по всей вогнутой поверхности, получим
суммарный поток тепла
q^PooU^Cp(^)n^(Te-Tw)
или
Чъ =
Яъ
9<oUi
-™;
1 /У+1
~S2Ay-\
(19.122)
508

Рис. 19.21. Сопротивление (а) и
теплоотдача (б) полусферы в свободномолеку-
лярном потоке:
расчеты по формулам: а — (19.116), б —
(19.122); расчеты по методу
статистического моделирования (ап = ах = ае = 1, у = 5/3
[47]), 1 — TJT^l; 2—TJTn = \0
Сха
в
6
ч
г
t
\
_\ •>
_. L,
2
1 1 1
в 12 16 Sa
а)
На рис. 19.21 сплошными линиями представлены результаты
расчетов по формулам (19.116) и (19.122) для различных значений
Tw/TO0. При числах SO0>5 они хорошо согласуются с данными,
полученными методом статистических испытаний.
Из анализа полей макроскопических параметров можно рассчитать
следующее распределение концентрации п, плотности тока рих и
температуры Т вдоль оси х перед полусферой
>i=i+*1(x)v^500(r00/rw)1/2.
~рйх=\-к2{х),
(19.123)
р
:Sl + l+JnSt
кг(х)
'-ux(x)Sl
ki{x) = [2 + x
'+iK
i
' сЗ/2
1 +
k2(x) = -
1 1
1+:
1-х'
+ -
:+^ + (х2
*зАу
Здесь п^п/Пъ, pux = pux/(pO0Uoo), x = x/rs, х1=(\+х2), р = р/р00,
ux — uxIU^, Т=Т/ТО0. При х=\ получим, что кх=2,33 и к2 — 1. Если
х = 0, то &! = 1 и А:2 = 7/6. На рис. 21.5, а зависимость (19.123)
представлена графически пунктиром.
Обтекание других тел невыпуклой формы обсуждается в [47].
На рис. 19.22 показано сравнение коэффициентов сопротивления ряда
вогнутых тел (сплошные линии на графике) с характеристиками для
выпуклых тел (пунктирные линии). Интерференционный эффект
практически исчезает при 5'00>9.
Рис. 19.22. Коэффициенты сопротивления
вогнутого полуцилиндра, полусферы и клина в сво-
бодномолекулярном потоке:
Расчеты Уимберли: / — цилиндр; 2—сфера; 3 — клин
(со = 45°)
J
2
1
^ч*,
^=
t=-=
"7~1
=Р=п
ZJ
10 Soo
509

§ 19.6. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Расчет аэродинамических характеристик ЛА основан на
методе статистического моделирования свободномолекулярных потоков
или методе Монте-Карло [22, 28, 67, 102, 119]. Описание поведения
системы газовый поток — Л А, содержащей огромное число молекул,
производится с помощью многократного разыгрывания на ЭВМ
некоторого моделирующего процесса, формирующего случайный
результат. Поскольку в свободномолекулярных потоках отсутствуют
столкновения между молекулами, то их траектории не зависят друг
от друга и моделируются последовательно. На основе обработанной
статистической информации определяются с требуемой погрешностью
соответствующие моменты функции распределения — аэродинамические
коэффициенты сил и моментов.
19.6.1. Основные положения метода
При моделировании потоков частиц в окрестности аппарата
строится контрольный объем, например, (рис. 19.23) в форме
прямоугольного параллелепипеда, полностью включающего ЛА, или
контрольная поверхность (входное сечение канала, грань параллелепипеда,
в плоскости которой располагается входное сечение и т. п.).
На ЛА, установленным под углом атаки а, набегает поток частиц
с массовой скоростью U^, функция распределения которого имеет вид
fao = nn{2idcTJm)-3i2exp{-[(b-aUao)2 +
+ (^-6С/00)2 + (^-сС/00)2][2*Г00/т]-1},
rje а = cos ах, 6 = cosoCj,, c = cosaz — направляющие косинусы для вектора
Uю- Проведем моделирование потоков молекул одного сорта,
поступающих в объем. Элементарные потоки частиц, уходящих (т. е.
стартующих) в единицу времени с элементарной площадки dA
соответствующих боковых поверхностей параллелепипеда, внутренние
/ ^
А
?
/
V
/
\/
0
У
ь
//
/ //
L 7/
У/ \
/A v
^А
/£
=~(/оо
k /
/У\
ь*
^
\(Х
l
ТГ*~ / х
Nx/
Рис. 19.23. Контрольный объем
для численного моделирования
молекулярных потоков
510

нормали к которым совпадают с направлениями осей Ox, Оу, Oz,
определяются по формуле
dNj = Zsjfoud£>xd£)ydZ3ZdA(j=x, у, z).
Здесь скорости_частиц, уходящих^с поверхностей, находятся в диапазоне
от £ до £ + </£. Полагая, что |;- = ^ (IkT^\тул"
Здесь
Здесь
Здесь
(Ь-Т V/2 ~ ~ ~ ~ ~
Щ х И„ШУ Л (У Л OU) d\xd^yd^dA.
/x(L) = 2[x(«S0O)]-1Lexp[-(I;c-a50O)2],
Л(1,) = я-1/2ехр[-(|,-М00)2], (19.124)
Л(|г) = я-1/2ехр[-(|2-С500)2];
^J х^ШУ/ЛУ/Ли^*^^.
Л(|х) = я-1'2ехр[-(1;,-а5со)2],
/,(l,)=2[x(We>)]-1|,exp[-(|,-We))2], (19.125)
Л(|,) = я-1'2ехр[-(|,-с5в>)2];
(tT \l/2 _ ^ _ ^ ^
^J X K)/: (I,)/, (4,)/. (Ы d^d^d^dA.
/,(1,) = я-1/2ехр[-(|я-в5<0)2],
/z(y = n-1/2exp[-(|,-W0O)2], (19.126)
/z(t) = 2[X(c500)]-1iexp[-(Iz-c5co)2].
Полное число частиц, поступающих в единицу времени в
контрольный объем с граней параллелепипеда, перпендикулярных оси Ох:
где знак минус относится к потоку с грани, внутренняя нормаль
к которой противоположна оси Ох; Ах — площадь граней. Суммарный
поток частиц в контрольный объем равен
Вероятности ухода частицы с соответствующих граней параллелепипеда
tm^Nj/N^ U=x, У, z, -х, -у, -z). (19.127)
Вероятность старта частицы газа со скоростью | с элемента dA
поверхности Ах, внутренняя нормаль к которой совпадает по
направлению с осью Ох;
Л, = ^,/^,=Л(1х)Л(1У)Л(1.)^^4,^А4Мх. (19-128)
Аналогичным образом записываются вероятности старта частицы
с элемента dA других граней со скоростью |. Случайные величины
511

|х, |у, |z определяются (генерируются) в соответствии с плотностями
распределения вероятностей (19.124)...(19.126).
Грань параллелепипеда, с которой стартует частица, определяется в
соответствии с вероятностями (19.127). Если, например, частица стартует
с грани, внутренняя нормаль к которой противоположна по
направлению оси Ох, то после генерации компоненты скорости £х ее знак
меняется на противоположный. Координаты точки старта частицы на
соответствующей грани генерируются по равномерному закону
распределения. В соответствии с (19.128) плотность распределения вероятностей для
координат точки старта частиц с поверхности грани равна \\А- (j=x,
у, z). Например, для граней, перпендикулярных оси Ох, ее можно
представить как l/Ax = (l/yk)(l/zk), где ук и zk—длины ребер граней.
При моделировании потоков частиц, отраженных от поверхности
и уходящих с поверхности тела в процессе массоотделения, необходимо
определить плотность вероятности скоростей частиц газа в этих
потоках. В случае диффузного отражения поток отраженных частиц,
имеющих заданную скорость £г, от элемента dA в направлении
(ф, i|/) в местной сферической системе координат имеет следующий вид:
^г = лД2т1/сГг/т)-3/Чг3^^
Полное число частиц, отраженных в единицу времени от элемента
dA, равно Nr = nr[kTrlQiim}\112 dA. Тогда вероятность отражения
частицы со скоростью £г в направлении (ф, \|/) равна
Цг=™и = 1 (IkTJmy^^e-^/^^^hm^cos^d^dcpd^
=Я1)/МЯфИ1^Ф> (19.129)
/(Ir) = 2lr3e-^,
^(ф) = (2тг)-1, (19.130)
/(\|/) = 2sin\|/cos\|/.
Здесь l=^l(2kTrlmyi2. _
Случайные величины £г, ф, \|/ генерируются в соответствии с
плотностями вероятностей (19.130). Вероятность ,ухода частицы
массоотделения от поверхности Л А со скоростью £м в направлении (ф, v|/)
в сферической системе координат определяется аналогично (19.129),
(19.130), если в эти формулы вместо |г подставить |м.
Геометрическая форма аппаратов и его частей аппроксимируется
набором кусков поверхностей второго порядка At(x, у, z) = 0. Для
пробной частицы случайным образом в соответствии с плотностями
вероятностей типа (19.124)...(19.126), (19.127) разыгрываются
координаты точки старта пробной частицы с поверхности контрольного
объема и компоненты ее скорости, определяющие направление
движения частицы в счетном объеме. Последовательно вычисляются
траектории пробной частицы, пока она не вылетит из объема. Решая
уравнение траектории пробной частицы r = r0-\-^0t (F0 — координата
точки старта), совместно с уравнениями поверхностей тела находим
точки пересечения траектории частицы с поверхностью. Если точек
пересечения нет, то принимается, что частица вылетела из счетной
области. В точке гх (соответствующей min/^^) в соответствии
с принятой моделью взаимодействия и схемой моделирования
512

отраженных потоков (или потоков массоотделения) разыгрываются
величина и направление вектора скорости Ъ,г для отраженной
частицы^ (см. (19.129), (19.130)). Строится траектория ее движения
Во всех случаях попадания частиц на поверхность суммируются
соответствующие молекулярные признаки (импульс, энергия и т. п.),
передаваемые каждой пробной молекулой при соударении и отражении
(или массоотделении). После проведения необходимого числа
испытаний накопленные молекулярные признаки осредняются и определяется
математическое ожидание соответствующего молекулярного признака.
Аэродинамические характеристики вычисляются следующим образом:
т- — 1 —
1 (1/2)РооС/2теЛф£ф N'
ci9 т{—коэффициенты сил и моментов в связанной системе координат;
VJi9 Vjr—скорости падающих и отраженных частиц; А„
L,—характерные площадь и длина; г}—радиус-вектор точки падения частицы на
поверхность; N^—суммарный поток частиц, поступающих в единицу
времени через контрольную поверхность; N—общее количество частиц,
участвующих в моделировании.
Основываясь на положениях метода статистического моделирования,
выведем формулы для коэффициентов сил бесконечно тонкой пластины.
Коэффициент сх может быть представлен следующим образом при
ап = аТ = ае=\ [102]:
(т У2 -
(т V'2
+ m ^А^_ Nx2(2kTJmr, (19.131)
где Nxl, Nx2— плотности потоков частиц для передней (индекс 7=1)
и задней (индекс /=2)_ поверхностей пластины (см. рис. 19.10);
\ixi = £,ixj (2 к Т^ /т)" 17\ \rxj=^rxj (2k Тп/тУ1/2 — проекции на ось
х нормированных скоростей частиц^ падающих и отраженных от
передней и задней поверхностей; J?(%ixj)9 Jt(&rXj), —математические
ожидания указанных скоростей частиц. Плотность вероятности
случайной величины ^„-проекции нормированной скорости частиц
невозмущенного потока на внутреннюю нормаль к поверхности (направление
п совпадает с положительным направлением оси х) (см. (19.124))
/(^) = 2[х(5„)]-Ч,пехр[-(^„-5„)2],
где Sn = Sx = Saocosy\fi — изменяется от 0 до оо. Поскольку математичес-
00
кое ожидание случайной величины \in равно Л(&in)= J \inf (£in)d\in,
о
то для проекции b>ixj
513

J?fcixi)=+- 7 : = Sx+y/n(\±,x), (19.132)
^lxJ> ~ 2X(±SX) x~ 2X(±SX) V J
где верхний знак относится к 7=1, а нижний — к 7 = 2. Математическое
ожидание проекции нормированной скорости отраженных частиц
равняется «^(^rn) = «/#(£rcos\|/r), где v|/r—угол между вектором
скорости отраженной частицы и нормалью п.
В силу независимости случайных величин £г и \|/г
Л(1гп) = Л(1г)Л(сов>\,г). (19.133)
С учетом (19.130) математические ожидания в (19.133)
о 4
я/2 2
J?(cos\\fr) = 2 J cos\|/rsin\|/rcos\|/rdi|/r = -.
о 3
Тогда *dt(Ztrn) = y/n/2. С Учетом направления и
•*(S,xi)=-^, -*(Sr«2) = ^- (19-134)
Плотность потоков частиц на переднюю и заднюю поверхности
N*>=n*> (ST'2*^*)^- (19Л35)
Подставляя (19.132), (19.134) и (19.135) в (19.131), получим
+ 2(cos2v|/, + ^J erf (S. cos ф,).
Так как сХ(1 = сх cos \|/,—су sin \|/,-, то [см. для сравнения (19.66)]
'*. = -£- exp(-S2,cos4,)+^ (^У/2С08Ч< +
V™5» °° V«>/
+ 2 cosv|/f Л + ^ J erf (5^ cos^).
Аналогичным образом можно получить и формулу для суа, если
представить Cj, следующим образом:
су = т mZuU. (2^Гсс/'и)1/2(^1+^х2), (19.136)
где М{&'\ Mi^ry) — математическое ожидание проекций
нормированных скоростей падающих и отраженных частиц на ось у:
^(^) = n-1/2+f^exp[-(^-^)2]rf^ = 5,= -5(„sinvl/i, (19.137)
- 00
514

^r(^ry) = ^r(^)^r(sin\|/r)^r(cos9r) = 0.
(19.138)
Здесь фг — азимутальный угол в сферической системе координат,
связанной с поверхностью.
Подставляя (19.135), (19.137) и (19.138) в (19.136), получим
2 sin ф,-
ехр (- S „ cos2 \|/f) — 2 cos \|/f sin \|/£ erf (S^ cos \|/t.).
Разработка программной реализации алгоритмов расчета
аэродинамических характеристик тел осуществляется на основе принципов
структурного и модульного программирования. Каждый программный
комплекс составляется из необходимого числа модулей. Они
подразделяются на базисные и функциональные. В базисные модули входят
программные датчики псевдослучайных чисел, модули возобновления
старта частиц и т. п. К функциональным модулям относятся
геометрические модули, модули построения контрольной поверхности, модуль
построения траектории движения частиц, модуль учета затенения
одного элемента тела другим, модуль расчета аэродинамических
характеристик и т. д. Погрешность вычисления характеристик тела
различной формы зависит от количества частиц, участвующих в
моделировании [22].
На рис. 19.24 в качестве примера показан график зависимости
коэффициента сопротивления полусферы (схему выпуклого тела см.
на рис. 19.24) от ее положения по отношению к вектору скорости
о зо бо 90 120 то ipL;
Рис. 19.24. Коэффициент сопротивления
полусферы в свободномолекулярном
потоке для различных схем отражения
(расчеты Берда):
1 — диффузная; 2—зеркальная
Рис. 19.25. Аэродинамические
характеристики цилиндра с конусом и крыльями
при 7^/7^ = 0,36, 5оо(Ги,/Г0О)-1/2=10,
ап = ах — ае=\\
• — расчеты для S^ = 6; расчеты при
A/*,-»») [47]
-0,016
-0,008
-0,004
О 20 60 100 ПО а,0
515

потока. Расчеты проведены по методу Монте-Карло для свободно-
молекулярных условий при 5^ = 7, Tw/Tao = 0,2.
Возможности метода Монте-Карло иллюстрирует также рис. 19.25,
где представлены результаты расчетов аэродинамических характеристик
аппарата сложной геометрической формы с учетом интерференции
(см. рис. 19.23). Расчетные данные отнесены к характерной площади
А + = пЬ2, L = 5/l5 (Z)/2) = /1=/2 = /3, где D—диаметр цилиндра, /х
и /2 — стороны изолированной консоли крыла, /3—длина конической
части корпуса. Полуугол раствора конуса 0К = 45°. За характерный
линейный размер принималась величина L. Некоторые отличия
в результатах, представленных на рис. 19.25, вызваны тем, что расчеты
проводились для М -* оо без учета тепловой составляющей скорости
молекул набегающего потока.
19.6.2. Моделирование непрерывных случайных величин
При статистическом моделировании процессов переноса на
ЭВМ требуется генерировать случайные величины с заданным законом
распределения. Для формирования последовательности случайных
чисел, имеющих заданный закон распределения, используется
последовательность равномерно распределенных в отрезке [0; 1 ]
случайных чисел. Она генерируется на ЭВМ с помощью программных
датчиков псевдослучайных чисел (вычисленных по некоторому
алгоритму). Для получения случайных чисел с определенным законом
распределения используется метод исключения Неймана [22].
Пусть случайная величина £ имеет плотность вероятности f(x)
и необходимо генерировать случайные величины £1? £2, £3> ••• с данной
плотностью. Если область определения случайной величины не
ограничена, то можно перейти к усеченному распределению на отрезке
[а; Ь]9 так, чтобы вероятности попадания случайной величины
Е; в интервалы (— оо; d) и (Ь, оо) были бы как можно меньше.
Схема генерирования следующая. Выбирается случайная величина,
равномерно распределенная на отрезке [a; b]\ Zil = a-\-Rfi(b — a).
Генерируется случайная величина ^2 = Rf2 [max/(jc)], где Rfl и Rf2 —
случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0; 1].
Если ^2>/(^i)> повторяется схема генерации, в противном случае
принимается £) = £)1. Можно доказать, что принятые значения случайной
величины £ распределены с плотностью вероятности f(x) [22].
Для генерирования случайных чисел, равномерно распределенных
на отрезке [0; 1 ], используются программные датчики псевдослучайных
чисел. Метод выработки псевдослучайных чисел состоит в нахождении
некоторой функции Ф, отображающей множество целых чисел
хк + 1=Ф(хк). Часто применяют функцию Ф(х) = а1х + с1(тод.2к\ где
к—количество разрядов, отведенных в памяти ЭВМ для двоичных
целых чисел. На основе методов теории чисел даются рекомендации
по выбору параметров ах и сг. Датчик URAND преобразует
последовательность целых чисел [119] Уп+\—а1упЛ-с1{mod2к) при
п ^ 1 в последовательность чисел с плавающей точкой на отрезке [0; 1 ].
При моделировании набегающих и отраженных потоков частиц
используются функции плотности вероятности случайных величин
вида (см. (19.124) и (19.130))
f{x) = [2/%(aS)]xe-ix-aS)1 при хе[0, оо), (19.139)
516

f(x) = n~1/2e-{x-aS)2 при xe(-oo, + oo);
f(x) = 2x3e~x2 при xe[Q, oo),
/(x) = 2sin.xcos* при xe[0, тс/2],
f(x)=(2n)-K
Для (19.142) и (19.143) введем кумулятивные функции
т=
2sin\|/cos\|/tf?\|/ = - (1— cos2\l/), F((p)-
т
d<p
In
_ Ф
In
(19.140)
(19.141)
(19.142)
(19.143)
Приравнивая их случайным числам Rf, получим
^/1= ^ 0 ~cos2\|/), v|/ = - arccos(1 — 2Rf 1),
Rf2 = q>/(2n), ф = 2яЛ/2,
где Rfl и i?/2—равномерно распределенные случайные числа на
отрезке [0; 1 ], моделируемые, например, датчиком случайных чисел
URAND.
Подобная процедура для функций (19.139)...(19.141) невозможна.
На примере функции (19.141) рассмотрим иной подход. Для ^а
вводится такое ограничение, чтобы диапазону скоростей от 0 до
£тах соответствовало не менее 99% отраженных частиц, т. е.
dN
~N
= 2fSe3cap(-5j)£/Se = [l-exp(-Se2)(l+5j)]&-
где £>0L/(2kT/m) = Sa. При Samax = 3 dN/N=0,99S. Далее вводится
нормированная функция распределения f*(Sa)=f(S(l)/f(S0,opt), где
/(5аор1) = тах [f(Sa)] находится из условия df(Sa)/dSa = 0. Тогда,
как отмечалось, с помощью Rfl находится величина Sa = S0LmaxRfl.
Затем определяется значение f*(Sa). Генерируется еще одно число
Rf2. И если f*(Sa)>Rf 2, то значение Sa принимается. Если указанное
условие не выполняется, то процесс выбора Sa повторяется.
19.6.3. Элементы алгоритма расчета полей течений
При расчете полей течений около аппарата сложной
геометрической формы необходимо в отличие от выпуклого тела учитывать
различные механизмы массопереноса частиц (рис. 19.26). Для свобод-
номолекулярных условий обтекания ограничимся рассмотрением бес-
столкновительных механизмов переноса (рис. 19.26, п. 4...7). Пусть
набегающий поток газа описывается максвелловской функцией
распределения
/.
(InkT^/m)*2
ехр <-
IkT^/m
(19.144)
Отражение частиц от поверхности происходит, например, по
диффузной схеме с функцией распределения:
/r(£*w) =
*r(*w
[2nkTr(xw)/mY>2
ехр
tf
2kTr(xw)/m
(19.145)
517

Рис. 19.26. Механизмы массопереноса частиц около элемента Л А:
1—набегающий поток; 2—поверхность тела; 3—источники массоотделения; 4 — прямой мас-
соперенос от источника; 5—вторичный массоперенос при переотражении от поверхности; 6—
отражение набегающей частицы; 7—переотражение; 8 — рассеяние при столкновении частиц
массоотделения; 9—рассеяние при столкновении частиц набегающего потока с частицами
массоотделения; 10—рассеяние при столкновении частиц набегающего потока с отраженными частицами;
11—возвратные потоки частиц
Функция распределения частиц при массоотделении имеет вид
/.(С. ^)-2„^;;5(L.). -р {-ш$ж\- (»•■*»
где TM(xw), ты—температура и масса частиц массоотделения;
Nm0(xw)—исходная плотность потока частиц массоотделения в точке
xw на поверхности тела (без учета интерференционных и возвратных
потоков):
где nM0(xw)—исходная концентрация частиц массоотделения в точке
Функция распределения частиц в произвольной точке х (см.
рис. 19.26, точка В) в окрестности тела имеет вид
Г/,, Се4я-Пг,
U, Сеа-^м(ЯмеОг),
где Qr и DM—телесные углы с вершиной в точке х, опирающиеся
на видимую часть поверхности тела Qr и на ее массоотделяющую
часть DM.
Определение газодинамических параметров потока (плотности,
плотности потока и т. д.) в точке х в окрестности тела сводится
к вычислению соответствующих моментов функции распределения:
518

б(£*)=ffjs(C*)/«*С=_ JJJ s(C*)/.</£+
-oo fe4n-Qr
+ JJJ8(£> *)(/,+/-)<*£+ Ш 8(£, *)/,</£ (19Л47)
где^ 5(£, jc) — молекулярная характеристика газа. Если, например,
8(£, jc)=l, то из (19.147) следует, что числовая плотность частиц
в произвольной точке х в окрестности тела равна (см. (19.21))
Алгоритм расчета следующий. Тело помещается в контрольный
объем (см. рис. 19.23). На его поверхностях разыгрывается старт
пробной частицы, ее отражение от тела (с заданной вероятностью захвата).
При определении места их попадания на поверхность тела подсчитыва-
ется количество частиц Nrj9 рассеянных элементом поверхности
площадью Aj. Величина Nrj/N (N—количество частиц, участвующих в
моделировании) является оценкой относительного потока частиц с /-го
элемента поверхности аппарата—Nf/N^ (Nr—поток с /-го элемента,
a N^—суммарное количество частиц, поступающих в единицу времени
в контрольный объем). Из условия сохранения частиц на поверхности
можно определить концентрацию отраженных частиц пг для каждой
элементарной площадки. Для частиц массоотделения алгоритм расчета
пм для каждой элементарной площадки на поверхностности такой же,
за исключением того, что старт частицы массоотделения происходит
от поверхности с вероятностями, пропорциональными плотностям
потоков частиц массоотделения Nm0(xw). Вероятность ухода данной
частицы со скоростью £м в направлении (ф, v|/) в местной системе
координат определяется по формулам вида (19.129), (19.130).
Расчет ведется в два этапа: статистическое моделирование потоков
и определение концентраций отраженных частиц и частиц
массоотделения от элементов поверхности; интегрирование по поверхности
тела с целью определения поля плотности в его окрестностях.
В точке В(х) около поверхности числовая плотность отраженных
частиц равна (см. (19.17)):
яг(*)=Я1/г^С=1?и,(^)(2яЛГг/т)-3'2е-«Ч2*г^гЧП^ =
$бПг
1
4л
"JE^2!l dA. (19.148)
Здесь rr = const по поверхности тела; dd = dA cos\|//r2; r2 = \x — xw\29
а интегрирование ведется по видимой части поверхности А из точки
х\ xw—радиус-вектор точки на поверхности аппарата; \|/ — угол между
г и нормалью к элементу поверхности. Суммарный поток частиц,
поступающих в контрольный объем
ЛГ0О=и0О[*:7'0О/(2я1и)]1'2Х1,
Xz = Fx[1(aSo0) + x(-aSm)-]+Fy[X(bSx) + x{-bSx)-] +
+ F,[x{cSco) + x(-cSx)l
519

где п^, Т^—концентрация и температура частиц невозмущенного
потока; га — масса частиц; я, Ь, с—направляющие косинусы для
вектора массовой скорости; Fx, Fy, Fz — площади соответствующих
граней контрольного объема. Поток частиц, отраженных элементом
А,, равен Nr^nr[kTrK2nm)yf2AJ или Nr/Na,=nr(tr)ll2Aj(nooXzy^
Jyrj/N, где tr—TT\T^. Заменяя в (19.148) интегрирование
суммированием, при — (я/2) ^ v|/j?<(я/2) можно получить
!^= ь_^М (19.149)
где Г:—расстояние между у'-ым элементом поверхности и точкой х.
Для частиц массоотделения числовая плотность в точке х равна
Wm(x>, UAr^os,^
4п
где интегрирование ведется по массоотделяющей части поверхности
тела Ас9 видимой из точки х. Поскольку функция распределения для
продуктов массоотделения имеет вид (19.146), то формулу для
определения пм (х) методом статистического моделирования можно
записать
*м(*)_ А у NuJco8^j по ism
пи0 4nN^ rj ' ^ADV)
II /-.ч,. ,-», „ ,-x/ kT ^2
м0~ ~7 \nMO\Xw)"^c, nMO\Xw) — NMo\Xw)
где 7VMJ.—число частиц массоотделения, стартовавших су-го элемента.
Числовая плотность частиц в точке х в окрестности тела равна
Щ = 1 + Щ + »^Л» . (19.151)
Из (19.151) следует, что для определения концентраций отраженных
молекул и частиц массоотделения в окрестности тела, необходимо
оценить методом статистического моделирования величины NJN^
и ^м/^оо (см. (19.149) и (19.150)).
Результаты расчета массопереноса полусферы по приведенному
алгоритму рассмотрены в § 21.3.
§ 19.7. ХАРАКТЕРНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
19.7.1. Молекулярные потоки на экранированном теле
Рассматривается стационарное обтекание ЛА квадратного
сечения и тонкого экрана, установленного перед ним, гиперзвуковым
свободномолекулярным потоком газа (рис. 19.27). Скорость Um
направлена вдоль оси х. Функция распределения невозмущенного потока
имеет вид
520

Рис. 19.27. Схема аппарата с эк- Рис. 19.28. График зависимости относительной
поверхностной плотности потока N частиц от
параметра экранирования А/а
раном
J 00
ехр<-
(k-tf.)'+«+«
(19.152)
(inkT^lmf2 ~"г [ IkTJm
где «да, Гда — концентрация и температура невозмущенного потока.
Поток частиц, падающих на элемент dB экранированной поверхности
(с координатами х = х0 + х19 О, а), определяется из условия
N. = N-N19
N= Т 7 7 U. </?=*«, [кТ„ /(2™)] ^,
О — оо - оо
где N—поток частиц, приходящих в единицу времени на единичный
элемент поверхности тела dB при отсутствии экрана; N1—число
частиц, которые упали бы на dB в единицу времени, если бы не
были задержаны экраном:
«.Ф
*! =
{ { ^-'?=»-(£;)
*Г„ \1/2 2
Здесь
0 -4.Ф ,,(^)
sTn
■V
Л =
LexpK2)
ЛЛ-а>
erf^^expf-^-^)2]^!^,
(19.153)
где lL = Ztj(2kTao/m) 1/2; j=x, у, z. После преобразований выражение
(19.153) запишется в виде
1 ы2 = оо
/t = i J {l-exp[-p2(xr-l)2x-2]}erf(pF)exp[-(p-50O)2]Jp)
Z сох=0
где x = x/a; (3 = ^2; i=A/x; x/(x7—l) = x/(A — a).
Вычисление Jx проводилось no методу Симпсона с автоматическим
выбором шага на ЭВМ ju™ £7^ = 8 км/с, 7^ = 1000 К и различных
значений параметров х, t при со1=0, со2 = 14. На рис. 19.28 в виде
521

зависимости N=N^/N=<p(A/a) представлены результаты расчетов.
Точками на графике отмечены значения N для x/L = 0,584 и 1,0
при х0 = 0.
Двумерная постановка задачи (при £; =0) позволяет получить
аналитическое выражение для N. Значение N\ в рассматриваемой точке
N,-
U„d^z=nAkMm(\-j2
Здесь
+ 00
J2= I ^exp(-£22)erf
^(^>-5~
d\z.
Интегрируя выражение по частям, получим
(19.154)
Л = :
"«erf
Ус
А-а
-erf(500)+
ехр
<*с=
-yl+ly^-Sl
dy,l
где
^[тГа) = У>- ПУСТЬ ^-(А-аУх; т1=у,-5ш/(1+Л?);
2\.
уэ2 = П2+2£00г|/(1+£?) + 52да/(1+^)2, тогда
Л = г
1 | 2 .__.. / SUf
ехр
\+к\
-«./(!+*?)
exp[-r|2(l+fc2)]fifr|-erfS 1.
Перейдя к новой переменной а==г|^/Г+&|, этот интеграл можно
записать
•/2=^7ТПехР
Sj,*?
1+erf
После подстановки (19.155) в (19.154) получим
erfS^- (19.155)
"■-"-(=n{[,+""J-7bi
ехр -
1+/:?
1+erf
лД+^Л
Следовательно, число частиц, падающих в единицу времени на
элементарную площадку dB экранированного аппарата, равно
*-(£)И(ь
(1+erfSeo) —
е 1+fcU 1+erf
Относительное значение этой величины определяется по формуле
„=,-!{(!+„fSJ--J=
1+А:?
ехр(-^М 1+erf *'
^A+^
.(19.156)
522

На рис. 19.28 показано сравнение расчетных данных по (19.156)
(сплошные линии на графике) с предыдущими вычислениями на ЭВМ.
При N=0,05 на элемент dB в точке x/L = 0,584 поступает лишь 5%
частиц от N, что соответствует квадратному экрану со стороной
2А = 5а.
19.7.2. Тело оптимального удлинения
По заданным параметрам течения (S^, п^, Т^) и известной
форме тела можно найти такие геометрические параметры, чтобы
его сопротивление было минимальным. Пусть тело (см. рис. 19.27)
установлено в свободномолекулярном потоке под нулевым углом
атаки по отношению к U^ (экран, показанный пунктиром на схеме,
отсутствует).
Пусть ап = ах=ае=\. Геометрия тела определяется условием: его объем
V* = 4a2L = const. Необходимо найти такое удлинение X = L/2a = L/D,
при котором сила сопротивления такого тела была бы минимальной.
Суммарная сила, действующая на тело:
Ха = Р1А1-Р2А2 + РМъ,
(19.157)
где Ри Р2—нормальное напряжение, действующее на переднюю
и заднюю торцевые части площадью A=Ai=A2 соответственно;
Pj^Pji+Pjw* 7=Ь 2; Px = axpxi=pzx;
Рх—касательное напряжение на боковой поверхности площадью А3.
Функция распределения для набегающих частиц /ю аналогична (19.152),
а для отраженных частиц fw — (19.41). Тогда
+ 00 + 00 +00
Ри =
rnblfndl^PnkTJmjx
0 — оо — 00
+^e-S-°+(j+^)(l+erfS00)
О +оо +оо
Р"~ I J
rnblfndl^PaokTJmjx
-оо - оо — со
_^е"*- + ( 1+55,1(1-erf Sx)
+ 00 +00 +00
\\\
- оо — ос О
rn£>JE>xf«>dZ> = {p«>kTJm) -^,
1/2
*-4f)l"±^Jf)™[i±**sA
D ^°° РосЛ^оо J _ S*> I Тл
где знак плюс относится к А1 и знак минус к А2. Результирующая
нормальная сила Р, действующая на аппарат, равна
523

Р = (Р1-Р2)А=4а2рюкТюВ/т,
JB = 251e"5" + (l+25yerf5CD+N/^50O(rw/r0O)1/2.
Тогда из (19.157) можно получить
Xa = (PookTJm) {О'В+ЛВ, Г ID}.
Минимизируя это выражение, получим
dXJdD = {paJiTJm) (2DB - 42», V'/D 2) = О
или D = (2B1V'/B)il3. Окончательно
^opt—г
ч7яя«
1+^4 erf^ +
2\Га
1/2
Sm->0, то X,opt = 2 + (7c/2)(rw/r00)1/2. Если 5а
Если Л'оо-»0, то Aopt = ^ + W^)Uw/i'm)x/A. Ьсли Д'т-*оо, то
^oPt = ^oo + W2)(rw/roo)1/2
Поиску оптимальных аэродинамических форм посвящены работы
[12, 97]. На рис. 19.29, в качестве примера, приведены результаты
приближенного анализа отклонения от оптимальных удлинений
орбитальных систем типа «Салют» и «Скайлэб». Их геометрические
формы являются осесимметричными и состоят в основном из
состыкованных торцами круглых цилиндров (доля конических
поверхностей мала). Поскольку различного рода уступы создают эффекты
интерференции, затенения одних элементов конструкции другими,
которые в первом приближении взаимокомпенсируются, то для
упрощения расчетов использовалась контрольная поверхность в виде
окаймляющей систему выпуклой цилиндрической оболочки. Вектор
скорости набегающего потока направлен вдоль продольной оси
системы, а £00 = 10. В качестве наиболее правдоподобной принималась
следующая тримодальная схема отражения [12]: ad = 0,8, аг = 0,1,
Рис. 19.29. График зависимости Xa=f{L) и схема Л А.
А — «Апполон»; SK — «Скайлэб»; С — «Союз»; СА — «Салют»
524

я2 = 0,1 и Tw = Tou = l. Здесь adi аг—доля диффузно и обратно
отраженных молекул; az — доля частиц, отражающихся от поверхности
по зеркальной схеме.
На рис. 19.29 изображено поведение Xa = XJXaopi в зависимости
от L = L/Lopt, где XQt0pt—минимальная сила сопротивления для той
же формы поперечного сечения тела при его длине Lopt. Из графика
видно, что для станции «Салют» значение 7 = 0,29 указывает на
возможность уменьшения его сопротивления на 47%, в то же время
для станции «Скайлэб» (7 = 0,22) этот запас равен 78%. Система
«Салют» с пристыкованными двумя аппаратами «Союз» оказывается
ближе к оптимальной (7 = 0,46; Ха=1,\9). Расчеты, выполненные для
комбинации аппарата «Апполон» со станцией «Скайлэб», дают
следующие значения: 7 = 0,38; ^ = 1,31. Вырожденные случаи ad=l,0;
Tw/TO0 = 0 и яг=1,0, когда силовое воздействие отраженных молекул
соответственно максимально и минимально, дают одинаковые значения
оптимальных удлинений (табл. 19.3).
Таблица 19.3
Орбитальная система
«Салют»
«Скайлэб»
«Салют» + «Союз» + «Союз»
«Скайлэб» + «Апполон»
L
0,34
0,26
0,53
0,44
Ха
1,38
1,60
1,12
1,22
Необходимо отметить, что в районе экстремума зависимость
силы сопротивления от длины системы очень слабая и становится
гиперболически нарастающей только при L<0,5. Если длина тела
в два раза меньше оптимальной, то его сопротивление увеличивается
только на 15%. Дальнейшее уменьшение длины тела приводит
к резкому росту сопротивления.
19.7.3. Свободномолекулярные зонды
Для измерения параметров течений разреженных газов
широко используются закономерности взаимодействия тел различной
формы со свободномолекулярным потоком [48]. Рассмотрим один
из преобразователей потоков — тонкостенный зонд сферической или
цилиндрической формы с малым отверстием диаметром d (см. схему
на рис. 19.30). Зонд представляет собой выпуклое тело, и поэтому
отраженные от его поверхности молекулы не могут попасть в
отверстие. Он имеет такие размеры, что режим его обтекания является
свободномолекулярным (Ъ«/оо). Размеры отверстия много меньше
средней длины свободного пробега молекул как в набегающем потоке,
так и в резервуаре зонда. Размеры отверстия малы также по
сравнению с размерами резервуара, но велики по сравнению с
толщиной тонкой стенки 5. Пусть температура стенок зонда Tw всюду
одинаковая. Функция распределения для молекул, входящих в зонд,
имеет вид, соответствующий /оо в п. 19.4.1.
Если зонд ввести в поток, то через некоторое время в его
полости установится давление, величина которого будет зависеть от
525

Pf/Poo
2,0
1,0
wo
0
20
W
60
во
100
ПО ПО 160 фь°
Рис. 19.30. Сравнение теоретических и экспериментальных значений давлений для
свободномолекулярного зонда (опытные данные [48]: 500 = 0,72, Кп00 = 6,8):
#—левая сторона; О — правая сторона; Л—5*00 = 0,389, Кп^^У; V — Sm = 1,44, Кп>5
параметров набегающего потока и ориентации отверстия относительно
Uоо. При этом число молекул набегающего потока, влетающих через
отверстие в измерительную полость, будет равно числу молекул,
вылетающих из нее.
Число молекул набегающего потока, проходящих за единицу
времени через единицу площади отверстия (см. (19.32)):
+ 00 +00 +00
#oo= [ [ [ \ЛЖ = nm[kTJ{2nm)]!'2x
J J J
0 - oo - 00
xx^oocosil/;);
Поскольку отверстие мало, то газ в полости зонда находится
в равновесии и оно не нарушается из-за незначительного потока
влетающих через отверстие частиц. В рассматриваемых условиях
функция распределения для вылетающих из отверстия частиц
описывается максвелловской функцией fw (см. (19.41)) с температурой стенки
Tw. Так как направленного движения молекул газа в полости нет
(5*00 = 0), то число молекул, вылетающих из зонда за единицу времени
через единицу площади отверстия:
О +00+00
#i =
^«/^ = ni[*7-w/(2jwt)]l/2-
(19.158)
-оо — 00 — 00
526

Из условия равенства потоков N^ = Nt можно получить выражение
для давления в зонде
/>i=M^/^o)1/2x(SooCosiW), (19.159)
где Рю, Гда—давление и температура газа в невозмущенном потоке;
ри Tw—давление и температура газа в полости зонда. Если #00 = 0,
то из (19.159) следует известное в кинетической теории соотношение
Pi/Poo^ [TJT^Y12, описывающее явление термодиффузии, вызванное
разностью температур в системе.
Отношение давлений Pi/Pa» измеренное с помощью цилиндрического
свободномолекулярного зонда при различных угловых положениях
отверстия относительно направления потока, показано на рис. 19.30.
Расчеты по (19.159) для различных чисел S^ нанесены на графике
сплошной линией и хорошо согласуются с опытными данными для
большинства углов, подтверждая положения теории зонда с отверстием.
Пусть /?0>т есть величина давления в зонде при \|/£ = 0, а р^т —
величина при \J/£ = тг/2. Тогда из (19.159) следует
Po,m=Poo{T1/T00)1l2{exp(-Sl) +
+ v^S„[l+erfS00]}, (19.160)
P^m^P^TJT^2. (19.161)
Разделив выражение (19.160) на (19.161), получим, что давление
в зонде с отверстием подчиняется соотношению
^o.»=JP..»{exp(-S,y + >/^5'co[l+erfS00]}. (19.162)
При Sqq»! из (19.162) следует, что
М00=(27Гу)~1/2(Ро,шКт).
Сравним это выражение с формулой Релея для континуумных
условий при Мда»!
11/2
Мт =
1 / ЛИ
а+1/ р«
МТ-'(^ТЬ"'-
где р02—давление за скачком уплотнения, измеряемое с помощью
приемника давления торможения.
На рис. 19.31 приведена зависимость, вычисленная по формуле
(19.162) при 8/d->0. Здесь же показано влияние конечной толщины
стенки зонда на рост Ро,т/р*,т, вызванный тем, что часть молекул
при столкновении со стенками короткого канала, длиной 5 и
диаметром d, возвращается в измерительную полость зонда.
Таким образом, если зонд (его схема дана на рис. 19.32)
представляет собой трубку типа стандартного приемника давления
торможения, причем L«/00, то при установлении соотношения между
давлением невозмущенного потока и давлением в измерительном
объеме рх необходимо учитывать, что в трубке молекулы газа
многократно сталкиваются со стенками. Часть из них может не
достигнуть измерительной полости и вернуться в набегающий поток.
Число молекул, покидающих измерительный обьем через трубку
длиной L во внешнюю среду в единицу времени через единицу
площади (nd2/4), равно N~ =NiW(0, Z^, где Nt—вычисляется по формуле
(19.158); W(Sa, = 0, l1=L/a) — определяет долю молекул, вылетевших из
527

Ро,т/Р*;>
p-tWr*
Рис. 19.31. График зависимости
давления в зонде с отверстием
от относительной
молекулярной скорости Sm при различных
значениях' bjd
О 0,2 0,¥ 0,6 0,6 1 Soo
Рис. 19.32. Зависимость нормированного давления в зонде с трубкой от числа Sm при
\|/f = 0 (опытные данные [47]):
расчет по (19.164); расчет по (19.162) при /х=0; + трубка с /j =25, О — трубка с /j = 100
канала, от общего числа частиц, влетевших в этот канал. Этот
параметр характеризует вероятность прохождения частиц и называется
коэффициентом Клаузинга W= lim N~/Ni. Тогда, число частиц, вернув-
шихся в измерительный объем, равно Л^ [1 — W(0, /jA. Аналогично
поток молекул из внешней среды, попавший в полость N+ =NO0W(SCX)i
lu \|/j), где W{SO0i lu y\ft) — коэффициент Клаузинга для частиц газа,
поступающих в полости зонда через трубку. Число частиц, не
прошедших за единицу времени через единицу площади в зонд из-за
столкновений со стенками канала, равно Noo\_\~W(SO0i /ь \|/t)].
Поскольку свободномолекулярные потоки частиц рассматриваются
независимо друг от друга, то из условия баланса потоков частиц
в сечении трубки следует TV^/A^ = Ж(0, l\)IW{SMi lu \|/f) или с учетом
уравнения состояния
Pi=P«{TJTnyih{S„cosb)4(Sw lu И (19.163)
Вычисленные значения функции ^(S^, /l5 \|/f) содержатся в работах
[47, 48]. Для бесконечно длинной трубки ^-юо при нулевом угле
атаки \j/j = 0 установки зонда формула (19.163) принимает вид
"-p-fe)'"fe+i)[exp(-s9+
Н-У^о (1 +erf S^ + ^l + erf S„)\.
(19.164)
Имеющиеся экспериментальные данные хорошо согласуются с
результатами теории зонда (см. рис. 19.32).
528

ГЛАВА 20. ПЕРЕХОДНАЯ ОБЛАСТЬ МЕХАНИКИ
РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ
В переходной области, где неприменимы положения механики
сплошной среды и свободномолекулярных течений, необходимо
непосредственно обратиться к уравнению Больцмана—математической
модели разреженного газа. Строгая математическая постановка при решении
задач связана с применением уравнения Больцмана (или системы
уравнений для смеси газов) при соответствующих условиях однозначности.
§ 20.1. УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Для одноатомного газа при отсутствии массовых внешних
сил кинетическое^ уравнение, которому удовлетворяет функция
распределения /(х, |, f) (см. (18.36)):
5/7^ + С(Э//35) = 7[/,/1]. (20.1)
Здесь
/[/,/i]=frfCi^cr[/'(Jc> £', t)ft(x, Сь *)-/(* С 0/i(* Сь ')], (20.2)
£' = 0,5[(C+Ci)+S4 Ci=0,5[(C+Ci)-H-
Здесь g—относительная _ скорость сталкивающихся частиц, g = | g \
(g=C—^i); С d и С'» £i—векторы скоростей частиц до и после
столкновения в точке х\ п — {sin6cose, sin0sine, cos9}—единичный
вектор в направлении рассеяния частиц, причем п параллелен
if (lg'l = I if I); 0, е—углы рассеяния частиц (О^б^тс, 0<е<2я);
do = o (g, 0) dn—дифференциальное сечение упругих столкновений
(dfl = sin(WfWe). Левая часть уравнения (20.1) связана с изменением
функции распределения из-за релаксации и пространственного переноса
газа. В правой _части—нелинейный интегральный оператор,
действующий на f(x9 £, t) из-за столкновений молекул газа друг с другом.
Он содержит два интеграла столкновений различной математической
структуры. Для молекул—упругих шаров с конечным сечением
рассеяния v(g) = $o(g, 0)дпФоо интеграл столкновений можно записать
в виде разности двух сходящихся интегралов
J[f>A>J+ [/.AW [/.Л]- (20-3)
Здесь
J? [f,fi]4ff'i8*"£i> J~ [/.A]=/Vi [Л], vx [/1]=J/1*a(g)4i,
где Vif/i]—частота столкновений. Для уравнения Больцмана решены
далеко не все общие математические проблемы, касающиеся условий
существования и единственности решения задачи Коши для
пространственно-неоднородного случая и краевых задач [24]. Начальные
условия устанавливаются из физической постановки задачи и считаются
529

известными, если задана функция /=/(;?, £, Г=+0). Граничное условие,
соответствующее кинетическому описанию, записывается в
соответствии с принятой схемой взаимодействия молекул газа с обтекаемыми
поверхностями (см. п. 18.2.2).
В рамках кинетического подхода математическая постановка
класса стационарных задач об обтекании ЛА одноатомным газом
при диффузной схеме отражения (и отсутствии внешних сил и мас-
соотделения) записывается следующим образом:
Закон межмолекулярного взаимодействия
Ф = Ф(г).
Кинетическое уравнение Больцмана
Граничное условие в невозмущенном потоке
(2nkTm/m)3'2 r \ TkTJm
Граничное условие на поверхности
,__ пг г (С)
Jr (2пкТг1тУ'2&ХР[ 2кТг/т
Условие непротекания
j Цп)/Г4г=- j (£<й)/<<£.
(£,я)>о (С,я)<о
Уравнение формы аппарата
Здесь nm9 Гда, U^ — числовая плотность, температура и вектор
скорости набегающего невозмущенного потока соответственно; Тг,
пг—температура и концентрация отраженных частиц соответственно.
§ 20.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Анализ и решение уравнения Больцмана сопряжены со
значительными трудностями, которые обусловлены большим числом
независимых переменных в многомерном пространстве х, £, t, сложной
структурой интеграла столкновений J[f,fi], его нелинейностью и
высокой кратностью, равной пяти. Сложный вид краевых условий,
в том числе и разрывность функции распределения в пространстве
скоростей, также затрудняют разработку численных алгоритмов при
решении задач в переходной области.
20.2.1. Точные методы
Простейшим точным решением кинетического уравнения
Больцмана является абсолютная максвелловская функция распределения
с постоянными макроскопическими параметрами п, Г, и
530

где Cj—составляющие тепловой скорости частиц, Cj = t>j—uj(j=xi у, z).
Локалъно-максвелловская функция, имеющая вид (20.4), но с
переменными макропараметрами, также обращает в нуль J [/, fx ]. Однако
дифференциальный оператор D [/] уравнения налагает определенные
ограничения на изменение этих величин от х и /, т. е. п = п(х, /),
Г=Г(х, /), и = й(х, t). Такие максвелловские распределения описывают
равновесные состояния газа или более общий класс состояний,
удовлетворяющих условию равенства нулю тензора напряжений и
вектора теплового потока.
Построено нетривиальное точное аналитическое пространственно-
однородное решение уравнения Больцмана для максвелловских молекул
и базирующееся на Фурье-преобразовании функции распределения [24].
Кинетическое уравнение для максвелловских молекул (у которых Ф (г) =
= К1/г4', функция gi=g<j(g, 0) не зависит от g, поскольку o(g, 6)~l/|g|)
имеет вид
dt ^дх
dngi (^) [/' (CO/i (С;)"/©/! (Ci)] 4i> (20.5)
где (gn/g) = cos 6 = цx. Полагая ф (£, х, t) = \ е ~l^f (х, £, 0 d^9 умножим
(20.5) на ехр( — ilcQ и проинтегрируем по скоростям
|+Й-'[ф.фЫ«-*'[/.лК.
(20.6)
Замена J[f,fi] на упрощенный интегральный оператор /[ф, ф]
облегчает нахождение решения преобразованного уравнения (20.6) для
ф. Присутствие смешанной производной не позволяет достаточно
эффективно использовать указанное качество при решении
пространственно неоднородных задач. Существенное упрощение достигается
при рассмотрении пространственно однородной задачи (релаксации
максвелловского газа)
IWu/a
(20.7)
f\,-o=fo®, J/o®4=l, |СМСК=0, К2/о(1)^=3- (20.8)
Выражения (20.8) — начальные условия, удовлетворяющие
условиям нормировки. Учитывая уравнения сохранения числа частиц,
импульса и энергии, решение /(^, /) задачи (20.7), (20.8) будет
удовлетворять тем же требованиям для всех t>0
j/(£*K=i, S&{it)di=o, js7(C,0«£=3,
(20.9)
а соответствующая максвелловская функция распределения имеет _вид
Ум© = (2я)~3/2ехр( — %2/2). Переходя к Фурье-представлению ср(£, t),
можно получить вместо (20.7) и (20.8)
k + kn \ /k-kit
ф(—-, t ф —--, t
^ = /[9^1 = 1^(1)
k = \lc\, с начальными условиями
ф|г=о = ФоЙ = 1/о(С)ехр{-£С}^ Фок-о=1,
-<р(£, /)ф(0, t)
5фо
= 0,
а^ро
,(20.10)
= 3
531

f(*L,t)
1,0
о,в
0,6
0,2
-Л
«Л*
?\^\
7/e
1 Prr»
= J0
■L.
/5
7** i -
и с Фурье-аналогами краевых условий
для ф(&, /) при £=0 (см. (20.9))
*<>=>. m -^
£=0
= -3.
£=о
/2
/6
Рис. 20.1. БКВ-решение для макс-
велловского газа
Максвелловская функция
преобразуется к виду ф(£, оо) = ехр( — к2/2), а
соответствующее обратное преобразование
выглядит _так /(С 0 = (2л)"3J ф (£, 0
ехр х (|£|) *#с, в предположении, что
данный интеграл сходится. Относительная
простота уравнения в Фурье-представлении
(20.10), связанная со снижением
кратности интегрирования (до двух) и
упрощением J [/, /i ], позволила получить ряд новых результатов для
уравнения Больцмана: свойства симметрии нелинейного уравнения
и соответствующий им класс автомодельных в Фурье-представлении
решений; свойства линеаризованного уравнения; систему моментов
всех порядков нелинейного интегрального оператора; асимптотические
при | £ | -> оо и t -> оо свойства решения /(£, t) задачи Коши для
нелинейного уравнения и т. п. [24]. Из них выпишем лишь немак-
свелловское точное решение нелинейного кинетического уравнения
Больцмана
^')-ни[1-
з ~ , Л2
2 2т
expi-^
где т=1-0(О, е(0 = еое-х<, t>0; Ь = (тс/2) J gl (ц^О-ц?)^; f=
= (1— т)/т; т — безразмерное время. Функция /(£, О должна быть
положительной, поэтому необходимо, чтобы 0<90<(2/5). Функция
/(С О— БКВ-решение (Бобылев — Крук-Ву) [99]. На рис. 20.
^приведена относительная функция распределения /(£, 0=/(£» 0//м(£) в за"
висимости от модуля скорости в различные моменты безразмерного
времени т^. На рис. 20.1 т1=2Х,1(/+г0); Хх — Х/29 Q0 = exp(2X1t0)
и г0—характерное время релаксации. Наблюдается неравномерный
характер изменения функции/(С О ПРИ ее стремлении к равновесному
максвелловскому значению /(С оо)=1, вызванный медленной
релаксацией высокоэнергетического «хвоста» функции распределения. Класс
точных решений позволяет исследовать особенности столкновительной
релаксации при всех значениях скоростей молекул.
20.2.2. Асимптотические методы
В уравнении Больцмана, записанном в безразмерном виде
^[/]=(1/е)7[/,/1], (20.11)
имеется параметр в, совпадающий с числом Кнудсена. Если он
достаточно мал, можно искать решение в виде асимптотического ряда
/=/(0) + в/(1) + 82/(2) + .... (20.12)
Имеются различные методы такого представления решения уравнения
Больцмана. Подстановка (20.12) в (20.11) приводит к системе интег-
532

ральных уравнений (согласно методу Гильберта, Чепмена — Энскога
[43, 88]). У большинства применяемых разложений членом нулевого
порядка (при е = Кп = 0) является локальная максвелловская функция
/(0) с газодинамическими параметрами п, и, Т, удовлетворяющими
уравнениям Эйлера для сжимаемого газа. В отличие от метода
Гильберта, где функция распределения разлагается по целым степеням
8, в методе Чепмена — Энскога помимо этого / зависит от х, t лишь
через газодинамические параметры. Тогда в первом приближении на
основе первых двух членов ряда можно получить
/=Ч4^чМ'Ш^(ад-^Х'Э1-(20ЛЗ)
Здесь Cj = lj-Sj; Sj = Uj/(2kT/m)1/2: 5jk—дельта-функция. Из (20.13)
следует, что длина свободного пробега / (частицы — упругие шары)
должна быть малой по сравнению с расстоянием, на ^котором
происходят характерные изменения Т и Sj. Функция /->/(о>, если
значения макроскопических градиентов температуры и скорости
приближаются к нулю. Первое приближение (20.12) приводит к уравнениям
Навье — Стокса, второе—к уравнениям Барнетта и т. д.
Разложение Гильберта и Чепмена можно рассматривать как
асимптотические решения уравнения Больцмана при е -> 0. Однако
они неприменимы в точках, лежащих в кнудсеновских слоях (толщиной
порядка е) и т. п. [92]. С позиции кинетического подхода уравнения
Эйлера и уравнения Навье — Стокса являются моментными
приближениями уравнения Больцмана, определяющими систему из пяти
макроскопических уравнений сохранения. Первая система уравнений
справедлива в пределе Кп = 0 и описывает изоэнтропические течения газа,
вторая система предназначена для чисел Кп «1 и описывает течение
вязкого газа.
При рассмотрении задач с достаточно большими числами Кп
нельзя полностью пренебречь межмолекулярными столкновениями
в газе. Для построения решений подобных задач (режим обтекания
в них отличен от свободномолекулярного) можно воспользоваться
формальным разложением функции распределения по целым степеням
е=1/Кп в ряд типа (20.12). Однако появление логарифмических членов
(еIn8, 821п8 и т.д.) в асимптотике приводит к затруднениям при
реализации такого пути. Другой подход основан на методе
интегральных итераций f(n)—V[ftn-i)]- Форма интегрального оператора
V может быть разной [16]. Начальным приближением является
свободномолекулярное решение.
В рамках теории первых столкновений частиц (не обращаясь
к уравнению Больцмана) получены приближенные решения для ряда
характерных задач [43, 46, 67]. Асимптотические решения по другим
определяющим параметрам, в том числе входящим и в условия
однозначности, даны в [16].
20.2.3. Моментные методы
Они основаны на аппроксимации функции распределения /,
устанавливаемой в соответствии с физическими особенностями
рассматриваемой задачи. Во многих приложениях требуется найти лишь
низшие моменты функции распределения. Они обладают пониженной
533

чувствительностью к виду / и допускают определенную свободу
в выборе принятой формы функции распределения. Данный подход
напоминает метод Кармана — Польгаузена в теории пограничного
слоя, базирующийся на аппроксимации профиля скорости
(температуры).
Моментные методы подразделяются на дифференциально-момент-
ные и интегрально-моментные [47]. В дифференциально-моментном
методе этап I определяет выбор аппроксимации /. Для граничных
задач ее вид должен учитывать разрыв / в пространстве скоростей,
существующий всегда, по крайней мере вблизи поверхности (в
кнудсеновском слое). Этап II связан с формированием моментных
уравнений, с помощью которых находятся макроскопические
параметры, входящие в аппроксимацию /ив общем случае
зависящие от координат физического пространства и времени.
Исходным является уравнение переноса молекулярных характеристик.
Этап III — нахождение решения полученной системы
дифференциальных уравнений для макропараметров с условиями
однозначности. Интегрально-моментный метод позволяет перейти от
интегрального уравнения для / к системе интегральных моментных
уравнений [16, 43].
Имеется ряд принципиальных затруднений в реализации данного
подхода в задачах высокой размерности.
20.2.4. Численные методы
Их можно условно классифицировать на следующие методы:
регулярные, основанные на решении модельных кинетических
уравнений и самого уравнения Больцмана методами вычислительной
математики (конечно-разностные схемы, квадратурные формулы
и т. п.);
статистического моделирования, основанные на применении
метода Монте-Карло для моделирования на ЭВМ течений разреженных
газов с помощью набора модельных частиц, не обращаясь
непосредственно к решению кинетических уравнений. С помощью квадратурных
формул Монте-Карло производится также вычисление интегралов
столкновений для нахождения / прямым интегрированием уравнения
Больцмана.
А. Рассмотрим более подробно некоторые регулярные методы
[75, 90, 95]. Последовательность модельных уравнений можно получить
из уравнения Больцмана с помощью аппроксимации интеграла
столкновений. Он заменяется приближенным выражением
Q{f,lav) = Q + -v.f.
Здесь Q(f, £, яф)—модельный оператор столкновений; яф — набор
макропараметров; Q + —приближенный оператор обратных столкновений;
v*— приближенная частота столкновений. Оператор Q определяют из
условия равенства некоторого числа моментов (ср = 1, £,•, ^,^-, ^^^,
...) от приближенного и точного интегралов столкновений
J срб (/, С. О 4= IФ^ [/, Л ] <€ (20.14)
или
{cpe+rf£={cp/+<£ J<pv,</£=Jcpvlu£
534

где к—номер приближения. Q+ можно записать в виде
G + =v,/+, r=foW°4a^Ca + a^CaC^a^yCaC^C^..^ (20.15)
Здесь
/0 = п(2пкТ/т)-ъ/2ехр(-С2), С^С^кТ/т)-1*2, <5=С-">
где /о—локально максвелловская функция. Последовательно полагая
в (20.14) <р=1, Са, СаСр и представляя /+ в виде разложения по
полиномам Эрмита с локально максвелловской весовой функцией f0,
ограничиваясь вторым приближением (к = 2), можно получить
модельное уравнение БГК (Бхатнагора — Гросса—Крука)
f+clH(/o_/)' v*=^' (20Л6)
где р—давление и ц—вязкость для псевдомаксвелловского газа
(состоящего из молекул-шаров с сечениями столкновений, обратно
пропорциональными относительной скорости сталкивающихся частиц).
В этом случае частота столкновений v* = $figo(g)a%i равна р)\л и не
зависит от относительной скорости.
В БГК-модели Рг = 1. Учет действительного значения Рг приводит
к уточнению БГК-модели—замена f0 локально анизотропным
трехмерным гауссовым распределением. Такой путь в плоском случае
приводит к эллипсоидальной модели Холуэя [40, 43]:
v,^Pr, f = i
\х ' (2я) m(axxayyazz-a2xyazz) т
xexpf- ^(5*-ц*)2 _. axx&y-Uy)2 %j ^a^-u^y-Uy)!
1 2(axxayy~aly) 2{axxayy-a2xy) 2azz [axxayy-aly) у
где aij = (\-a)(kT/m)bij+(a/n)$&i-ui)fej-Uj)fai (i,j=x, y, z),
— 0,5<а<1, я = (Рг-1)/Рг. Когда «=-0,5, Pr = 2/3.
В третьем приближении с помощью (20.15) (порядок
аппроксимации обусловлен количеством ненарушенных низших моментов
J[f,fi]), ограничиваясь представлением/+ по свернутым полиномам
Эрмита, можно получить кинетическое уравнение, называемое s-
моделъю [95]
!+е|=м/+-л v.=jf (20.17)
/+=/o{l+(4/5)(l-Pr).aCa[C2-(5/2)]}, ъ = (11п)1СгС2/£,
где st — нормированный тепловой поток. При Рг=1 s-модель переходит
в БГК-модель. Модельные уравнения существенно проще исходного
уравнения Больцмана, так как не требуют вычисления интеграла
столкновений высокой кратности, обеспечивают возможность вести
расчеты без запоминания массивов значений функции распределения,
позволяют эффективно применять конечно-разностные методы. Но
эти уравнения обладают и определенными недостатками. Так,
входящая в модель частота столкновений не учитывает зависимости от
скорости молекул, в ряде случаев знак приближенной полиномиальной
функции /+ может измениться на противоположный. Указанные
дефекты моделей особенно заметны при описании потоков газа
535

с большими неоднородностями. Учесть их можно соответствующими
модификациями.
В основу методов решения стационарных одномерных и плоских
задач положен итерационный подход
^«( J^ )-V*(fc-l)(/(fc-l)—/(*))»
(20.18)
где значения v* и /+, зависящие от / через макропараметры,
вычисляются по А;—1-приближению. Новые значения определяются
интегрированием уравнения конечно-разностным методом или
методом характеристик. Для вычисления интегралов,
определяющих макропараметры, используют регулярные методы (Симпсо-
на и т. д.). Численное решение для модельных уравнений
можно получить и при помощи метода интегральных итераций,
используя (20.17).
В качестве расчетного примера на рис. 20.2 приведена для ^-модели
зависимость (кривая 1) локального коэффициента трения плоской
пластины cf = 2xXy(poaUl)y1 от параметра разреженности
M„(Ce/ReWi,)4 где Re^^p^x/^; Ceo = [»i(rw)/ji(roo)J(rco/rw) —
постоянная Чепмена — Рубезина. Наблюдается удовлетворительное
согласие расчетных и опытных данных. Поведение сf в переходной
области указывает на существование при M^^^l немонотонности
в законе трения, предсказанной ранее теорией первых столкновений
частиц у тонких тел [43, 109]. На графике нанесены также зависимости,
вычисленные по свободномолекулярной теории, теории пограничного
слоя (cf = 0,664 Re „У2). Линия III, вычисленная для N100 = 5,79,
соответствует теории слабого взаимодействия ламинарного пограничного
слоя с невязким потоком [31]
£>мй
Ъ*0х
Рис. 20.2. Локальный коэффициент трения плоской пластины, обтекаемой разреженным
газом под нулевым углом атаки (N£«, = 5,5, у = 1,4):
I — свободномолекулярный предел (ат = ае=1); II—теория пограничного слоя; III—теория слабого
взаимодействия; IV — теория сильного взаимодействия, 1—расчет, выполненный для л-модели;
2—метод Монте-Карло: а—у = 5/3, б—у = 4/3 [83]; 3 — уравнения Навье—Стокса с условиями
скольжения [83]; опытные данные: 4 — Б.Б.Старикова (Моо = 5,79, Tw=r0 = 293K, у = 1,4) [80];
5 — Моулика (Мда = 5,5, TW=T0, у =1,4 [28, 123])
536

Здесь
Хо = М3а
Со
»(Т0) Tw
1/2
1/2
Л(о),
Р*=Ро%о> Со
_и(7о) Т'оо
где с/л =0,664 и /?о = 0,470, вычисленные для TW=T0, |Д~Г; Хо —
параметр взаимодействия. Линия IV вычислена для N100 = 5,79 по
формуле для пограничного слоя с учетом его сильного взаимодействия
с невязким потоком и граничными условиями скольжения [25]
Mlcf = cf,0%^(\-c\xmIM«,)-
Здесь
X / 5
VReoo.x
с/,о = ч//^ф"(0),
с1/=-9р/0^т1/[4ф"(0)],
где с г о = 0,5442; с\ = 0,344 для 7^=7^; у =1,4; y/C^=h
Наряду с регулярными методами для решения модельных
уравнений разработаны итерационные методы статистического
моделирования [40]. Для (20.16) вводится итерационный процесс вида
e^=v4^)[T(£> л{?)-/{к+1)1
дх
(20.19)
позволяющий свести краевую задачу к уравнению типа Фредгольма
второго рода. Здесь М^% и Jt+—моменты функции распределения.
Вероятностный подход к интегральному уравнению обеспечивает
построение процесса случайных блужданий при решении на каждой
итерации методом пробных частиц.
Рассмотрим некоторые примеры использования данного подхода.
На рис. 20.3 представлена картина изменения профиля числовой
м^
*N
[У
ьи
1
Не^ЭОО А
200\ SjH(\
100\\ Jrf/ I
£±^^/tt
i l
г /
'^-2000
-—1000
— /
i
2,0
1,8
1,6
1Л
1,2 (x'+R)/R
Рис. 20.3. Профили плотности на линии торможения перед сферой (М00 = 3,8, TW=T0,
рабочий газ — аргон, у = 5/3):
I — теория скачков уплотнения (Re^-^oo); II — теория свободномолекулярного режима (Re№-+0);
опытные данные [120]; • — расчет по методу Монте-Карло при Rea.= l00 (М.С.Иванов)
[40]; —О——решение уравнений Навье — Стокса с условиями скольжения [61]
537

сха / сха,т
Рис. 20.4. Коэффициент сопротивления сферы в разреженном газе при Мю«:1:
I—свободномолекулярная теория (Г^Г,», у=1А а%=ае=\); II—закон сопротивления Стокса для
сферы; 7—расчет по методу Монте-Карло (Ю. И. Хлопков) [90]; 2—расчет по теории первых
столкновений [112]; 3—нормированная зависимость коэффициента сопротивления сферы, полученная
методом моментов (20.48); 4—расчеты по интерполяционной формуле Шермана [92]; 5—решение,
полученное на основе упрощенных уравнений Навье — Стокса с условием скольжения [116]; 6, 7,
8—опытные точки [116]
плотности Я=и/и да на линии торможения у сферы (см. схему на
рис. 20.3) в зависимости от чисел Рейнольдса. Расчет методом
Монте-Карло в области сильных градиентов согласуется с опытом.
Вычисление профиля по уравнениям Навье-Стокса приводит к
некоторому отличию Я по толщине скачка. Для сравнения на графике
показана зависимость, полученная по соотношению Ренкина—Гюгонио
для режима сплошной среды. С уменьшением RQO0 = pQ0UO0R/\xO0
ударная волна размывается и при Re^^O исчезает полностью. Это
предельное решение вычислялось по формуле Уила
й=\+\ /^{[l-(l-Jc-2)1/2]exp(-x2sy+4/^500erfc(-x500)F0(x)}.
Здесь
F0(x) = [(l+2Jc3)-(l+2x2)(Jc2-l)1/2](3Jc2)-1,
где x = (x' + R)/R (в точке x = R, х' = 0); 5'00 = С/00(2А:Г00/т)"1/2.
На рис. 20.4 приведены графики зависимости cxa/cxatTn для сферы
от Кп. Линия 1 построена по результатам расчета [90]
коэффициента сопротивления сферы сха в переходном режиме при малых
скоростях, отнесенного к свободномолекулярному значению сха>т. Эти
результаты найдены из решения линейного интегрального уравнения
Фредгольма (полученного при линеаризации уравнения Больцмана,
у которого функция распределения /=/м + Ф» гДе Ф—малая добавка),
к которому применена стандартная процедура Улама—Неймана. На
графике приведены результаты работ [41, 92, 112, 116] (см. п. 20.3.2).
Б. Прямое численное интегрирование уравнения Больцмана основано
на более строгом подходе [10, 75]. Метод при различных его
538

модификациях для задач произвольной размерности базируется на
следующих положениях: дискретная аппроксимация искомого решения
в фазовом пространстве сеточной функцией f(xh £р, 6)\ конечно-
разностная замена дифференциального оператора переноса^ D [f] на
узлах сетки {хь f) при любых значениях переменной £«; расчет
интегрального оператора / [/*, /i ] в каждом узле сетки {xh £р, f)
методом Монте-Карло. Индексы /, j, Р, £ определяют номера ячеек
по физическому х, у и скоростному р пространствам, а также по
времени.
При решении уравнения Больцмана используется итерационный
подход. Применяется метод стационарной итерации, консервативный
метод расщепления физического процесса на каждом шаге (свобод-
номолекулярный перенос—пространственно однородная релаксация).
Консервативный алгоритм — численная (математическая) модель
кинетического уравнения с условиями однозначности, которая на
газодинамическом уровне обеспечивает выполнение разностных законов
сохранения в целом (числа частиц, суммарного импульса и энергии)
[10]. Схема расщепления строго следует из уравнения Больцмана,
хотя нет сейчас доказательства сходимости расщепленной задачи
к решению кинетического уравнения.
В методе стационарной итерации используется неявная схема
(двумерная задача).
р /fflp~/i-t.j.p.i & /S!c}.p-//,y)-i,p_ T+(k-i)_v(k-i) m П010Л
^X,P Ax ^y,f* A^ u'p V1.U,P/UP> \£V-A>)
где %х>р>0, £у>р>0, Ax = xi — xi-1 и Ау=у( — yi-1—шаги по
пространственным координатам; к—номер итерации. Вычислительный
алгоритм сводится к решению системы алгебраических уравнений
и правой части J[f, fx].
Схема расщепления имеет вид (двумерная задача)
fh,-m+^ Ais-tn»+^ ш-/p-v,=0> ^ р>0, ^ р>0, (20.21)
?^*=^=т1.» fii.il (20-22)
/Ь,Р=/Ь.Р(1+^Ы- (20.23)
Здесь At—шаг по времени; 2F\%i^— полином с неизвестными
коэффициентами, определяемыми из условий сохранения на этапе
релаксации. Свободномолекулярный разлет описывается уравнением (20.21),
пространственно-однородная релаксация — (20.22) и полиномиальная
коррекция, реализуемая на каждом шаге,— (20.23). Эта коррекция
обеспечивает устойчивость счета, подавление вычислительных ошибок,
сокращение времени счета. В (20.20) необходимая точность решения
связана с увеличением числа розыгрышей и числа точек в скоростном
пространстве. Итерационная схема в целом более экономична при
решении стационарных задач в переходной области (при Кп>1).
Для уменьшения времени счета, идущего на вычисление множества
пятикратных интегралов столкновений, разработана консервативная
процедура, минимизирующая их необходимое количество в задаче
[57]. Пространство скоростей разбивается на ряд подобластей
(ячеек большой размерности), где производится полиномиальная
539

Сха
J
г
1
\
Е
АЯ^
,
I I
/
Кп
Рис. 20.5. График зависимости коэффициента
сопротивления поперечно обтекаемой пластины от
числа Kn0O = /0O/L(M0O = 2,31, TW=T0):
I — свободномолекулярный предел (ат = ае = 1); II — кон-
тинуумный предел (у =1,4); • — прямой численный метод
(Е. Ф. Лимар [57]): молекулы—упругие шары, 7=1,4;
А, О — опытные данные Кудевилля и др., полученные
по разным методикам (у =1,4) [96]; расчеты Е. М. Шахова
при решении s-модельного уравнения [96]:
расчеты, выполненные для максвелловских молекул, ц~Г,
Рг = 2/3; расчеты, выполненные для молекул —
упругих шаров, ц~Г1/2, Рг = 2/3
аппроксимация частей интеграла столкновений. С помощью решения
системы линейных уравнений, коэффициенты в которых есть
трехкратные интегралы, а свободные члены — восьмикратные интегралы,
определяются параметры аппроксимации а™, Ь™, входящие в j+{k~1)
и v(*~1). Интегралы вычисляются методом Монте-Карло. Алгоритм
обеспечивает при вырождении ячейки в фазовом пространстве переход
к методу стационарной итерации и позволяет с помощью линейных
интегральных уравнений, у которых независимая функция
р?—молекулярный признак высокого уровня, перейти к
последовательности модельных уравнений Больцмана (см. (20.17)).
На рис. 20.5 отмечены значения коэффициента сопротивления
сха поперечно обтекаемой пластины длиной L для различных чисел
Кнудсена Kn = /00/L, вычисленные по прямому методу. Эти расчетные
данные сопоставлены с экспериментом и численными решениями
^-модели. Для сравнения на графике линией I отмечено значение
cxattn пластины для свободномолекулярного режима, а линией II —
континуумного обтекания, выраженного через давление торможения
за прямым скачком уплотнения р02:
__ 2(7-1)
у(у+1)
(т+i)2
2(7-1)
у
"у-1
2у _ 1
у_
"у-1
Другой способ сокращения времени счета предложен В. В.
Аристовым и основан на построении численного решения уравнения
Больцмана с регулярным интегрированием в операторе столкновений,
не обращаясь к процедуре Монте-Карло. Использование кусочно-
постоянной аппроксимации / в пространстве скоростей позволяет
точно проинтегрировать J\f, ft] по двум угловым параметрам
столкновений и построить достаточно простой алгоритм. Метод
опробован на задаче об изотропной релаксации.
Методы прямого численного интегрирования уравнения
Больцмана, специализированные процедуры обеспечивают получение
достаточно надежных решений для широкого класса аэродинамических
задач, могут служить эталоном при разработке и апробации новых
подходов и методов решения кинетического уравнения.
В. Методы статистического моделирования течений разреженных
газов наиболее эффективные среди численных методов [18, 22, 28,
38, 39]. К ним относятся метод пробных частиц (МПЧ), основанный
на специальном итерационном процессе для уравнения Больцмана,
и метод прямого статистического моделирования (МПСМ),
основанный на физической модели (больцмановского) газа, которая была
положена в основу нелинейного кинетического уравнения.
540

Строгое обоснование МПЧ получил в работе Ю. Н. Григорьева,
М. С. Иванова и др. [40], где показана прямая связь численного
процесса случайных блужданий, предложенного Хэвилендом, с
соответствующей краевой задачей для уравнения Больцмана. Стандартные
приемы линейного статистического моделирования использовались
в итерационном алгоритме и при построении стационарного метода
статистического моделирования уравнения БГК (см. (20.19)).
Модификация МПЧ, снижающая требования к объему памяти
ЭВМ, разработана в [27, 28]. Около тела выделяют расчетную
область Г и затем разбивают ее на пространственные ячейки,
характерный размер которых меньше средней длины свободного
пробега молекул /. В каждой ячейке запоминаются числовая плотность
газа л, вычисленная в предыдущей итерации, случайный вектор
скорости £х и координаты одной полевой молекулы. В ячейке
в процессе счета очередной итерации накапливается суммарное время
пребывания пробной молекулы в ней. Генерирование Ё^ проводится
из условия, чтобы в каждой ячейке плотность вероятности вектора
Ci равнялась нормированной функции /(Ci)/«> где /(Ci) — функция
распределения молекулярных скоростей в ячейке. В качестве начального
приближения задаются параметры невозмущенного потока,
определяемые функцией распределения /«,. Генерирование пробных молекул
на границе Г также производится в соответствии с /да. На заданных
начальных полях плотностей п{ и скоростей Eflti (i—номер ячейки)
моделируются случайные блуждания пробной молекулы на фоне
полевых частиц. Поскольку в ячейке запоминаются параметры только
одной полевой молекулы, то в процессе счета ее скорость должна
меняться так, чтобы частота появления скоростей из некоторого
малого объема скоростного пространства была пропорциональна
функции распределения. Это происходит, если в процессе движения
пробной молекулы выбирать ее скорость через равные интервалы
времени. В эти моменты времени скорость пробной молекулы
фиксируется в соответствующей пространственной ячейке в качестве
новой полевой скорости, а старая полевая молекула начинает двигаться
в качестве новой пробной частицы. Таким образом сохраняется
суммарный импульс и энергия, двух молекул. При движении пробной
частицы со скоростью ^ через ячейку за время A t вероятность
столкновения с полевой молекулой Efi равна noAtg, где g = |C— Cil>
a==0"(g)—сечение столкновения^ Безусловная вероятность столкновения
этих молекул равна (noAtg) [f(^i)/n]=f(^1)aAtgi а полная вероятность
столкновения пробной молекулы в данной ячейке определяется в
процессе осреднения по множеству пролетов пробной молекулы через
ячейку с одинаковой скоростью ^ при различных полевых скоростях ^
Этим обеспечивается необходимое моделирование частоты
столкновений и закономерностей распределения скоростей сталкивающихся
частиц. Консервативность метода достигается изменением скоростей
обеих молекул при их столкновении, чтобы обеспечить выполнение
законов сохранения общего импульса и энергии системы молекул.
Вычисление параметров газа в произвольной ячейке проводится с
помощью операции осреднения соответствующих молекулярных
признаков по суммарному времени пребывания пробных молекул в этой
ячейке. Аэродинамические характеристики тел также определяются
541

Рис. 20.6. Поле плотности около плоской пластины (^^=4; Кпоо=0,5; 7^ = 2,47^;
7 = 5/3; р~Г1/2; молекулы—твердые шары; ят = дв=1):
метод Монте-Карло [27]- вариант МПЧ — В.М.Власов, вариант МПСМ—А.И.Ерофеев,
В. А. Перепухов; j-модель — Е. M. Шахов [90, 96]; метод МПСМ—схема мажорантной
частоты (расчет Е. В. Титова)
суммированием соответствующих признаков. Метод допускает
применение различных моделей частиц, а также реализацию параллельного
(одновременного) движения многих пробных молекул. Результаты
реализации варианта МПЧ представлены на рис. 20.6.
Широкое распространение получил МПСМ. Существуют
различные схемы реализации этого метода. Они базируются на том, что
описание и поведение реальной системы газ — аппарат заменяется
имитационной моделью обтекания, составленной из конечного числа
N модельных частиц (описывающих газовую среду), уравнений или
числовых массивов (описывающих геометрическую форму аппарата)
и численных алгоритмов, реализующих методы Монте-Карло. На
ЭВМ численное моделирование или численный эксперимент
осуществляется методами статистических испытаний, не решая
непосредственно уравнение Больцмана. Основу численных алгоритмов
составляет метод расщепления и построения строго марковской модели
для процессов столкновений [19, 38]. Идеи расщепления успешно
применяются при решении уравнений Эйлера и Навье — Стокса
(методы «крупных частиц», «потоков» и т. д.). Общий принцип
расщепления по физическим процессам следующий. Моделируемая
среда заменяется системой из ЛГ-частиц. (жидкими частицами для
сплошной среды и молекулами для дискретной), которые в
начальный момент времени распределены по ячейкам эйлеровской
сетки в координатном пространстве согласно начальным данным.
Процесс изменения такой системы за время At разделяется на
два этапа: изменение внутреннего состояния подсистем, находящихся
в ячейках, полагая частицы неподвижными («эйлеров» этап для
сплошной среды и столкновительная релаксация для дискретной),
542

и последующее смещение всех частиц пропорционально их скорости
и времени At без изменения внутреннего состояния («лагранжев»
этап для сплошной среды, свободномолекулярный перенос для
дискретной). Необходимые характеристики вычисляются после
установления процесса во времени.
Численный алгоритм строится следующим образом. Область
течения разбивается на ячейки малого объема Кр, а временной
промежуток [0, /] заменяется дискретной сеткой /х = хДг, х = 0, 1 ...к.
В момент времени /х в ячейке j содержится JV(x, j) молекул. Они
определены векторами координат {х1? ..., xn(k, j)} и скоростей {jfl9
..., Eftf(x, j)}. Полное число частиц в расчетной области равно 7V(x) =
= Е N(n, j). Состояние всей модельной системы TV-частиц в каждый
момент времени описывается бЛ^-мерным вектором {R, @} = {xl9 £l9 ...
...xN, ^N}. В момент времени / = 0 состояние модельной системы
характеризуется вектором {Д{0), 6(0)} в соответствии с начальной
функцией распределения /(Зс, £, 0) для ЛГ(0)-частиц. Решение начально-
краевой задачи для уравнения Больцмана заменяется расчетом
эволюционного процесса для модельной системы на временном шаге
At, который расщепляется на последовательные этапы.
Этап I: § = /(Гр, /U (20.24)
где /*р(5, £, tyi)=f$.
Этап II: ^+^ = 0, (20.25)
dt ^ дх v '
где /р(3с, С, /х)=/р (X, С *x+i).
На I этапе моделирование процесса столкновений частиц в каждой
ячейке проводят независимо. Скорости молекул после столкновений
вычисляют с использованием законов сохранения импульса и энергии
частиц, а координаты молекул не изменяют. На II этапе производят
перемещение всех молекул в соответствии с их скоростями в заданный
момент времени и шагом по времени Ал На этом же этапе
моделируют процесс взаимодействия частиц с границами расчетной
области (аппарата), а также генерируют новые частицы, входящие
в рассматриваемую область течения. Таким образом схему прямого
моделирования на каждом временном шаге сводят к
последовательному решению уравнения Больцмана для пространственно однородной
релаксации (I этап) и свободномолекулярного течения (II этап).
Полагая, что на каждом этапе существует точное решение, можно
показать, что решение (20.24), (20.25) сводится к решению нелинейного
уравнения Больцмана при Af->0 [19, 38].
Реализация пространственно однородной релаксации является
определяющим моментом в методе. На этом I этапе совокупность
частиц в ячейке рассматривается как TV-частичная модель Каца [19].
Модель Каца описывает релаксацию системы из конечного числа
TV-частиц в пространственно однородном случае. При этом состояние
модели рассматривается только в ^пространстве скоростей и
характеризуется 3 TV-мерным вектором <3(*) = {!;t ... £w}> а эволюция этой
543

модели является строго марковским процессом. Основное кинетическое
уравнение для функции /цг, %^)
которое пгж 7V-> оо^ и предположении о молекулярном хаосе /2 (/, Ci»
C2)=/i(^ £i)/i(*> ?г) переходит в уравнение Больцмана без
конвективной составляющей.
Применение принципа расщепления в МПСМ по сравнению с его
использованием в прямом численном интегрировании уравнения
Больцмана не требует вычисления / на каждом шаге по времени. Состояние
модели {R, €)} в момент времени t5 = 6At определяется координатами
и скоростями всех Л^-частиц. Выполняя осреднение по реализованным
траекториям TV-частичного случайного процесса можно вычислить как
/, так и требуемый от нее момент в заданное время t. Таким
образом, в методе осуществляется аппроксимация уравнения
Больцмана: производится расщепление дифференциального оператора £>[/]
по физическим процессам и замена в каждой ячейке пространственно-
однородного уравнения Больцмана моделью Каца. Следовательно,
моделирование столкновительного процесса сводится к монте-карлов-
ской реализации эволюции iV-частичной модели или
аппроксимирующего его процесса.
Существуют различные численные схемы реализации: «счетчик
времени» Берда [22]; схема приближенной реализации N-частичной
модели Каца [19]; урновая схема моделирования [101]; схема Нанбу,
построенная на статистической интерпретации уравнения Больцмана
при определенных условиях представления/[38]; схема мажорантной
частоты [38, 39] и др. Эти схемы имеют различную степень
теоретического обоснования, обладают определенными достоинствами,
эффективностью и недостатками. Базируясь на положениях общей
теории методов Монте-Карло, построен алгоритм [39] на основе
вероятностной трактовки интегральной формы основного
кинетического уравнения. Распространение принципа мажорантной частоты на
пространственно неоднородный случай привело к созданию
экономичных схем моделирования, исходя из основного кинетического уравнения
для JV-частичной функции распределения.
В качестве примера на рис. 20.7 представлены результаты расчетов
по схеме Берда эволюции функции распределения в ударном слое
на линии торможения перед сферой диаметром D. Показана функция
распределения компоненты молекулярной тепловой скорости в направ-
+ 00
лении движения F(CX) = JJ FdCydCz в различных точках х = х/D. При
входе в ударный слой F(CX) начинает отличаться от максвелловского
распределения, вычисленного при 7V Максимум ее смещается вправо,
хотя местная средняя скорость потока йх = их(2кТ00/т)~112 близка
к скорости невозмущенного потока С/00 = 5,00(2А:Г00/т)1/^. Вблизи точки
торможения возникает почти бимодальное распределение. Состояние
газа в этом случае значительно отличается от равновесного и большая
часть кинетической энергии молекул приходится на продольное
направление х. Кинетическая температура в направлении х равна
19Гад, вертикальном направлении у— 7,2Гте и направлении z—6,6Гда
при температуре сферы Tw, равной 117^. МПСМ является статистиче-
544

ПС*)
* СхШГоо/т
Рис. 20.7. Функция распределения на линии торможения у сферы (Кп = /да ID — 0,26;
5оо = 5; TW=T0 [84] для нормированной скорости Сх/^/ikT^/m):
х— jc=1,83, ых = 5,00; ■, х=0,84, йх = 4,85; ф, Jc = 0,50, ых = 3,92; +, х = 0,17,
мх=1,69; А—максвелловское распределение
ским, и поэтому вычисленные значения будут некоторыми оценками
истинных значений этих параметров. В общем случае погрешность
расчета зависит от размера ячеек, интервала времени, числа
частиц и т. д.
Важным для вычислительной механики разреженных газов является
обоснованность численных методов и полученных результатов. Для
этого используются, например, экспериментальные средства и методы,
позволяющие вести измерения на больцмановском уровне [48].
С помощью их можно произвести измерение самой функции
распределения. На рис. 20.8 сопоставлены результаты по структуре скачка
Л,,^
Рис. 20.8. Измеренные и вычисленные значения функций распределения в прямом скачке
уплотнения:
а—w = 0,285; б—« = 0,565; О—/j.: А—/|i > —• — расчетные данные по модели Мотт —
Смита; расчетные данные, полученные с помощью МПСМ
545

уплотнения, полученные различными методами [114]. Плоская ударная
волна была образована перед насадком диаметром 7,6 см с
заостренными кромками, установленным в свободной гиперзвуковой струе
гелия с N1^ = 25, истекавшей в вакуум через отверстие диаметром
Змм из форкамеры с параметрами /?0 = 20 • 103 кПа и Г0 = 296К.
Определение функции распределения по параллельным (продольным)
/ji и поперечным f± атомным скоростям (по отношению к направлению
течения) осуществлялось на основе измерения интенсивности
эмиссионной линии 501,567 нм атомов гелия (переход 31Р-*21 S),
возбужденных электронным пучком. На графиках функции нормированы по
отношению к их максимальному значению. Видно различие форм
двух функций и их зависимость от параметра п = (п — п1)/(п2 — п1),
характеризующего положение ударной волны. Здесь пх и п2 определяют
числовые плотности частиц равновесных потоков до и после скачка
уплотнения. В отличие от формы /±, распределение/J носит
бимодальный характер. Если численные результаты, полученные с помощью
МПСМ (сплошные и пунктирные линии), дают точное описание
молекулярного движения частиц в сильно неравновесных газовых
потоках, то значения, вычисленные по модели Мотт — Смита,
указывают на определенное количественное различие в данных и форме
/±, /j|. Вместе с тем, метод Мотт—Смита дает вполне согласующиеся
с экспериментом значения толщины очень сильной ударной волны [97].
§ 20.3. ОДНОМЕРНЫЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
20.3.1. Течение Куэтта в переходной области
Для решения данной задачи применим метод моментов [47,
97, 103]. Взаимодействие молекул с поверхностью приводит в общем
случае к появлению вблизи нее разрыва функции распределения
в пространстве скоростей. Она может быть аппроксимирована
бимодальным двухпоточным распределением
f=M (20.26)
Здесь
f(x, 0=a1(x)/1(x, 0+Pi(2)/2(S, U
Дх, 0=M*)/i(X, 0+р2(2)/2(Х, 0,
где al5 $1з а2, Р2—неизвестные функции влияния; пи Ть их — функции,
зависящие от координат пространства. Граничные условия
при x = xw:&1(xw)=l, j*i(xw) = 0, /i(5w, ?)=/*,(£);
при х->оо:а2(оо) = 0, |32(оо)=1, /2(оо, ?)=/«,(С).
Если a1 = p2 = l) a2 = $i=0 при всех х, то вид / упрощается и
соответствует модели Лиза [97]. Похожая форма / была ранее предложена
Мотт — Смитом при расчете структуры ударной волны, полагавшим,
что / изменяется непрерывно в физическом (внутри скачка уплотнения)
и в скоростном пространствах и может быть представлена в виде
линейной комбинации равновесных функций /х и f2, описывающих
однородные состояния газа перед скачком и за ним [43, 97].
546

Рис. 20.9. Зависимость нормированного коэффициента трения от числа Кнудсена для
плоского течения Куэтта:
la— Мда«0; 16 — Моо = 3; II — свободномолекулярный предел; 1 — верхняя пластина; 2—нижняя
пластина; 3...6—решения модельного кинетического уравнения (tw = twl = \) [95] при: S^-^0,
Рг = 2/3—линия 3, Sao —5 (Рг = 2/3 — линия 4, Рг=1—линия 5); 5*00 = 10, Рг = 2/3—линия 6; 7—опытные
данные Культо
Схема плоского течения Куэтта показана на рис. 20.9. Пластина
1 движется с постоянной скоростью С/да, нижняя 2—неподвижна.
Взаимодействие между молекулами газа со средней числовой
плотностью «да соответствует максвелловской модели. Молекулы
отражаются от пластин диффузным образом (ах = ае=1). Уравнение переноса
для течения Куэтта
jy Ui%yfd£=*UiJ\.f, /,К=ДФь (20.27)
где <i£==d^xd£,//^z; <Pi = (Pi(£) — функция молекулярных скоростей.
Поверхность разрыва / в пространстве скоростей определена плоскостью
£,у = 0. Аппроксимирующая функция распределения
ft =
п-Ау)
[2**7i0>)/m]3'2
ехр
R»-tt«.i(y)]2+$;+5«2
2кТ{(у)\т
(20.28)
Здесь, _когда i—\, /=/i для £>у<0 и когда /=2, /=/2 для £у>0;
£) = й + С. Для определения неизвестных функций п((у), uxi(y\ Г;Ы
необходимо получить шесть уравнений моментов, используя (20.27).
Поскольку ф! = 1, Ф2 = ^х? Фз = ^>>, Ф4 = ^2 — инварианты столкновений,
то Дф^О. При ф5 = £х£у и ф6 = 0,5^Д2
Ац>5= -[(nkT/mjii'^p^y, A(p6=-[(nkT/m)[i~i] [(2/3)^ + ихрху + иуруу]
для максвелловских молекул, где вязкость газа
^ = [2кТ1(ЗА2)-][т1(2К,)У'2.
547

л(2 = 1,3682; Ki—постоянная в законе Ф = К1г~4; рху, руу,
qy — компоненты тензора напряжений и тепловой поток. Все
макроскопические величины вычисляются через разрывную функцию
распределения / (см. (20.26)) по правилу
+ 00 + СО О + СЮ + оо + со + оо
Ф, = Я|Ф^?= J 1 I Ф,Л</£+ \ \ I Vifidl (20.29)
— 00 —00 — 00 — 00 —оо О —оо
Тогда, например, с учетом (20.29)
+ 00
,е* 1,
— 00 ~
Рху=т ядд^/С=« Ш(«»+сяк,/</?=
с /-jf nluxl+n2ux
пх+п2
=m(i)' [**
^2Wx2-«lVriW^l]'
После ряда преобразований получим систему уравнений моментов
п1у/Т1=п2^/т2~9 п1у/Т1(йх2'-йх1) = Си
П1Т1+п2Т2 = С29п1у/Г1[Т2-Т1ЦуМЪ^
^т^ + у^^
+ «2?2«х2)-^ ^[CiMi(n1uxi+n2ux2)-2C2C3(nl+n2f]=Qi
rii = Г,- _ ^
и.=— 7\ =— v=~;
^oo ^ mn^yj 2kTw2
где nO0 = (\/L)$ndy — заданная средняя плотность газа; Сь С2,
о
С3 — постоянные интегрирования. Когда T1 = T2 = Tyvl = Tw2 = Г
и М^= [С/^(у/сГ/т)-1 ]<$:!, то система уравнений сводится к виду
dy
Граничные условия:
548
uxl~Ux\ — Cl>
(Wxl+Wx2)=-Kn 1С1.
при >>=1 wxl = l,
при у = 0 йх2 = 0.
(20.30)
(20.31)

Решение системы (20.30) записывается следующим образом:
Й»1=(1/2)[С11-С1(1/Кп)^-С1],
^-(l^tCn-dfl/Kn^ + d],
2Кп
С,=
С ц — —Ci.
1+2Кп'
Безразмерные массовая скорость и напряжение трения определяются как
Кп 1
-+-
1+2Кп 1+2Кп
У>
_ \Рху\ _
2Кп
Cf (l/2)mnmU200 yjny Мю l+2Kn'
(20.32)
(20.33)
где pxy/[pooU00^kT/(2nm)] = C1. При числах Кп->оо из (20.32) и (20.33)
можно получить решение для свободномолекулярного режима
их,м = {Щи„9 Cftm = j2/(ny)M~l. Когда Kn-*0 uXte = (y/L)Un,
с г c = 2Re001 (ReO0 = pa0UO0L\i *), т. е. соответствуют решению уравнений
Навье— Стокса. На рис. 20.9 приведены значения cf, вычисленные
по формуле (20.33) и нормированные на cf „ для
свободномолекулярного режима, когда tw=Twl/Tw2 = l и М~,«:1. Для этих условий
линией 3 отмечено решение кинетической модели [95]. Точками 7 на
графике отмечены опытные данные Культо при /w=l [103]. Здесь
же приведены зависимости, полученные для нелинейного случая при
различных значениях tw, равных соответственно 1, 2 и 4 (при tw=l
решения совпали с (20.33)) с помощью представления бимодального
распределения в виде (20.26) [103]. Для сравнения на графике линиями
I (tw=l) отмечены результаты решения уравнений Навье — Стокса
с условиями прилипания
Cf,г
с/ _U , tw2 ( (у-1)
Twi
РгМ*ЛКп.
Рассмотрим течение Куэтта, когда число М^ произвольное [95].
Пластины расположены при у — + L/2 и у = — L/2 и движутся со
скоростью С/,» в противоположных направлениях (см. рис. 20.9).
Средняя концентрация молекул задана и определена как ««,=
+ L/2
= (1/L) j* ndy. Функция распределения f(y, £) удовлетворяет модель-
-L/2
ному уравнению (см. (20.17))
Здесь
*>Н<г-л
f+=fo\l+]{l-Pr)syCy
(20.34)
-=1
f " -™t r2\ r»2_(^-»J2+^+^2
549

где /о(У>?) — локально-максвеловская функция. Отражение молекул
от пластин—диффузное, коэффициенты аккомодации ае = ах=\:
Ul-(2nkTwi/m)^eK1?^ С^)>С^- ът^т ' (2(U5)
Jw2~(2nkTw2/mY" V[ ^w2>> Cw2_ 2kTwllm '
в которых значения nwl и nw2 находятся из условий непротекания
J $,/*!<*£+ 1 $,/</?= О при ,= +L/2,
J %,fd%+ \ t,fw2d%=0npuy=-LI2.
Умножая (20.34) последовательно на ф = 1, <^у, £х, £>2 и производя
интегрирование по всему пространству скоростей, можно выписать
систему уравнений сохранения, которая после интегрирования имеет вид
РиУ = Ду/^С=0, Pyy = m№2yfd%=C1,
1 _ (20.36)
pxy = m$E)X£>yfd%=C2, uxpxy + qy = -m^y^2fd^=C3,
где qy = -mn(2kT/m)312syi Сь C2, Съ — постоянные интегрирования.
Приведем (20.34) и (20.35) к безразмерному виду, выбирая в качестве
масштаба длины — L/2, концентрации—п^, температуры — Tw2,
скорости— (2kTw2/m)1/2, вязкости — 1^2(^2) (ниже штрихи, определяющие
безразмерные величины, опущены):
/wl=/ W43/2eXP("" ^v2vl)5 /w2=-3i|exp(— Cl2).
Здесь x'1—безразмерная частота, связанная с числом Кнудсена:
\г„ ^.2. / 1 16 \iw2
Ь' WZ y/2n„ndl2 5 мп„г(г*кТ„г1ту1»
1 _4 л Г 1 . у - (2kTw2/m)3l\
*w2 J2hTw2/m
f -* w2 -1, - Яоо 1
lw2~~Z, A> "со" A-
Tw2 «oo
Введем вместо f(y, Q три функции
х(>%У=Ш-+^2)/^*^---
550

Основные макропараметры определяются через них следующим
образом:
+ 00 +00 +00
л= J (dd^y, пих = J \|/<a?£yj пиу= j ^yCud^y,
— 00 — 00 — 00
+ 00 +00 +00
РхУ= j bytyd^y, руу= J ^ytod^y, pxx+pzz= j" %d^y-nu2Xi (20.38)
— 00 — 00 — 00
c3=i J (x+$5fflHA, у=^(р,х+р„+/>..)■
— 00
Умножая (20.37) последовательно на 1, £x, (£, + £?) и интегрируя по
£х, £z от —оо до +оо, получим уравнения для со, \|/, %
^к-«* ^4<++-*> ^-^+"^ (Ж39)
ш+=ю0|1+^(1-Рг)^сТс5-Л|,
\|/+=Mjcco + , x+=K+/w)co++^(l-Pr)/w^C„
где tw=T/Tw2. Граничные условия для со, \|/, %
~(ntwl)
„wl = 2 ( j- j | $,©</$, при y = + 1, (20.40)
coW2 = ^exp(-^), \l/w2=-5'ooCOvv2,
Xw2 = (l+5'^)C0>v2.
0
л„2=-2я1/2 J Z,y(ud^y при ^=-1. (20.41)
^wl"Uf W^i/2eXP( — £y/*wl)» ^wl — ^оо^Ъ Xwl— (^wl +^00)^1 •
Здесь
Здесь
Решение о течении Куэтта зависит от чисел S^, twh Kn, Рг
и связано с определением макроскопических параметров (20.38),
являющихся моментами от функций со, \|/, %. Последние удовлетворяют
уравнениям (20.39) и граничным условиям (20.40), (20.41). Метод
численного решения кинетических уравнений (20.39) основан на
итерационной процедуре типа (20.18). Решения для сжимаемого течения
Куэтта при линейной зависимости \i = \x(T) представлены на рис. 20.9
и 20.10. При больших iSoo наблюдается немонотонное поведение
CfjCfttn в зависимости от числа Кнудсена. Подобное изменение
напряжения трения аналогично особенностям гиперзвукового обтекания
тонкой пластины в околосвободномолекулярном режиме. Значение cf
сначала достигает максимума, превышающего свободномолекулярный
предел из-за увеличения числа частиц, падающих на поверхность
551

*/(Ф)
КО
0,5
\//и'/и«
1/
Ain=0,2
к 1
Kn-^-\AJ
\\
i i i_1.LjL
/
Рис. 20.10. Профили скорости и
температуры для сжимаемого
течения Куэтта при различных числах
Кнудсена (5^ = 5, /w=l):
I — свободномолекулярный предел;
расчеты при Рг = 2/3;
Рг=1
О 0,5 1,0 1 4- в 1Z 16 20
а) 5)
в режиме первых столкновений, а затем уменьшается до значения
при Кп->оо. Этот максимум зависит от S^, \х, tw, Рг.
Профили их = их(у) на рис. 20.10,а практически не зависят от Рг.
По ним можно проследить за трансформацией скачка скорости
\ujuj)= [их(у = +L/2)-Uao ]/UO0. Для указанных чисел Кп на
рис. 20.10,6 показано распределение температуры в слое газа.
Когда Uоо = 0, задача о течении Куэтта переходит в задачу
о теплопередаче между неподвижными параллельными пластинами
из-за различия их температур. На рис. 20.11 сплошной линией,
практически совпадающей с линией 7, изображен нормированный
тепловой поток qy/qy,m, вычисленный по формуле (20.36) для молекул-
шаров (]i = \i(y/T)) при Рг=1, twl = Twl/Tw2 = 4 ]95] в зависимости
от приведенного числа Кнудсена Kji, = (l/3)(l + fwi1/2 + /i/i2)Kn. Здесь
qym—тепловой поток при свободномолекулярном режиме. Точками
отмечены данные, вычисленные на основе разных подходов для
широкого диапазона значений twl. Здесь же дано сравнение расчетов
с экспериментами, полученными для малых температурных перепадов.
Наблюдается удовлетворительная корреляция всех результатов с
помощью следующей аппроксимирующей формулы [66]:
Чу
Кп,
0,4Рг + Кп.
-0,045exp(-4,331g2Kn#).
10
0,в
0,6
о,*
0,2
0
I
i i i
1
1
10д
10й
10
-1
10'
Кп„
(20.42)
Рис. 20.11. График теплопередачи через плоский слой разреженного газа:
I—свободномолекулярный предел; II — континуумный предел Фурье; III — решение уравнений
Навье —Стокса, fwi=4 (А. Н. Бишаев, В.А.Рыков); / — расчеты по (20.42); МПСМ: О —/w,=4
и • — /„1 = 16 (К. В. Николаев [66]); Т— twl=4 (Берд [95]); о—twi=4 (Е. Ф. Лимар, Е. С. Седова,
В. Е. Яницкий); метод прямого численного интегрирования уравнения Больцмана: Ч—*wi=4
(Е. Ф. Лимар и др.); □ — /wl = l,43 (Ф. Г. Черемисин [47]); опытные данные [47]: +—аргон,
яе = 0,826, rwl = 1,013; О —азот, ае = 0,76, /wl = 1,013; V —воздух, ае«0,95, /wl = 1,1...1,2
552

Формула (20.42), отмеченная линией 1 на графике, пригодна
для чисел \<tyvl<\6 при ае=1. При температурном факторе,
мало отличающемся от единицы, тепловой поток в плоском
слое разреженного газа в переходной области с учетом
атомности газа и аккомодации энергии ае можно определить по
формуле [47 ]
-1
Чу _
Яу,т
1+-
1
15 2-деЯКп
(20.43)
Эта формула получена с помощью моментного метода в
линеаризированной постановке и хорошо согласуется с опытными данными при twl&\.
Здесь В=\ для одноатомного газа и В= 38/45—для двухатомного газа.
Подход, основанный на вариационном методе с сопряженной
функцией, показал, что при промежуточных числах Кп наблюдается
немонотонная зависимость qy от температуры холодной пластины,
характерная для свободномолекулярного режима (см. (19.13) и [89]).
20.3.2. Обтекание сферы
Рассматривается изотермическое обтекание сферы радиусом
R потоком разреженного газа при t/00«:(2^r/m)1/2 [41]. Вводится
аппроксимирующая функция распределения
ft-
(2пкТ/т)3/2
ехр
IkTjm
(20.44)
Здесь
wr, i = Urf t cos 0, we, i — UBt i sin 0 (i = 1, 2),
где /i — функция распределения для отраженного потока молекул,
векторы скоростей которых лежат в области I; f2 — функция
распределения для молекул невозмущенного набегающего потока, векторы
скоростей которых лежат в области II (рис. 20.12). Используются: г,
0, ю—сферическая система координат в физическом пространстве; £,
\|/, а—система координат в пространстве скоростей (£ ==£?+ £в+4«);
Рис. 20.12. Обтекание сферы
разреженным газом в
переходной области
553

nh игЛ, we,i — неизвестные функции координат гиб. Поскольку игЛ и
щг1^(2кТ/т)1/2 и Mj,^:!, то (20.44) линеаризуется
ft =
(2пкТ/т)
з/2 ) 1+2 ^-^z (wr, j cos \|/ 4- we> £ sin \J/ cos cr) J> exp'
IkTjm
IkTjm
Из равенства потоков падающих и отраженных диффузным образом
частиц следует {п2 = па0 — концентрация невозмущенных частиц)
пх = пт (l+y/nm/VkT) К cos02),
cos 02 = sin 0 sin 0Х cos a + cos 0 cos 0^ x — r/R,
cosOi^xsi^vlz + Acosij/, A = (l—x2sin2\|/)1/2,
sin01=;x;sin\|/cos\|j —Asinij/, V— —Uri2\x=u
где V—нормальная составляющая скорости падающих частиц на
поверхности сферы. Обобщенное уравнение переноса макроскопических
характеристик в сферической системе координат
~[г2»<Ф,5г>]+^5^[»ЬвЯ<ф|§.>]+^А[я<ф^].
1
г sin еде
rsin0 да)
дЪ
+
п (ctg0U-^e)
дер.
U(ctg0^co + UJ^ \]} = Афь
где Аф^ вычисляется для максвелловской модели газа, причем
^оо = (Цоо/рс») [nrnKlkT^)]112. Все средние значения от любой функции
Ф; определяются по правилу
4-оо 2~a 2поо я 2яоо
-сю 0 0 0 2_a ° °
1 £ £
cosa = -, tga = ^, со8\|/ = -^.
Для определения wr>£, щл выбираются следующие моментные
уравнения, соответствующие ф£ = 1; ^г; £>&; %г£е:
1 ^ г 2 /t \ 1 . * ^
[sin9«<^>] = 0,
^^2»<^>]+^п1^[5теп<^дв>]-1[«<и>+«<^>]=о,
х2 дх
+с1ёеп<^^г>-и<^Чв>] = -^(^)1,2«<^^>,
где Kn = /00/i?. Сохраняя в выражениях для моментов только линейные
относительно М^ члены, можно получить систему дифференциальных
уравнений
554

£+1(Лз+е3)-з!У._ U)=o,
д
Ur„\2--
+ -3(U9.-Ur.) = 0,
д_
fa
+1 (£/,_-£/r_) = 0,
5
~- [i?3+e3]+3c/e
Kn u xA 10 Kn
*\ 2x2 2jc4
где
7?з = C/r+ — £/r_ sin3oc, 03 = £/e+ —C/e_ sin3a, sina = 5/x,
Ur± = Url±Ur2, Ue± = UB1±UQ2, 5 = (x2-l)1/2.
Общее решение этой системы дифференциальных уравнений
Ur-=ki+k2/t,
UQ- = -k1+k2t,
Ur+=2-^-^4+C2+k2{-j2
х ЗКпх3
3e(9,-L)-f(v,-L
5
+
+ ' (4х2 + 1)—— V-^-i- Д4,
Зх3 v ' хКп 10 Кп *'
(20.45)
х 6Кпх3
и^=~-^Л-с^кА^Е[^^)-р^^г
X
__LJ.(8x3-l) + i-^ -^i-04,
6Knx3 v J Kn jc 10 Kn *
где
D ~ / x 7 1 \ , 5 a x2 1
К4 = Ь{з~Тх-^)+27-T+^'
Q ~ / 2jc 13 1 \ 5a 2x2 1
04 = 5 \-T+^x-^)-^—+6x->;
t = (2x2 — l)1/29 a/ = arccos(xv/2)~1, (p = arcsin(l/x),
где F и £—эллиптические интегралы первого и второго рода. Для
нахождения постоянных интегрирования используются граничные условия
и» sin в да 2 2 ЗКп 4Kn U
2л«г>.
> при х-> оо, (20.46)
«оо COS О
-2J7»,
555

2«<^r>
«oo COS 0
+ K=0,
= 2Ci-
~3Kn
+ C2 + &;
("V^ +
3Kn 2Kn
+
3Kn 2Kn
2C/rl = 2C1-^+C2 + *2f-v/2£ +
f при л-->1, (20.47)
-fci+fc2-
12 Kn"
= 0,
где ^ = 3£'(l/4/2)-ir(lv/2)^ 1,623. Первое условие в (20.47) определяет
условие непроницаемости, а остальные—условия диффузного
отражения молекул от поверхности сферы. Из (20.45) с учетом (20.46)
и (20.47) следует
k1 — V—k2l к2=—-
К
1
6Kn V2
-4-2
+ 2£/те
5 + У2С"
4V2
ЗКп
Сопротивление сферы имеет вид
я
Ara = 27c^2mJ(-«<^r2>cosO + w<^^e>sin0)JC=1sine^0 =
(inkT
1/2
/|шюЛ2Ц2*1+=к)=-^цв)Л^[2*1+=К
Параметр К можно представить в виде
= 5,94.
(20.48)
(20.49)
1+-
6Кп
Из формулы (20.48) с учетом (20.49) сопротивление сферы при числе
Кп -* оо соответствует свободномолекулярному решению
Xa,m=-(^Y\n„R24-Ux(2+A (20.50)
На рис. 20.4 сплошной линией 3 отмечена зависимость (20.48)
от числа Кп, где сха = Ха/ [(1/2)р^ U^nR2 ]; сха>т—коэффициент
сопротивления сферы для свободномолекулярного обтекания при
диффузном отражении частиц и М^-^О (см. (20.50)). Точками 6—8
отмечены результаты опытов Милликена [116] (точки 6 относятся
к сферическим каплям масла в воздухе, точки 7—шеллака в воздухе
и точки 8—ртути в воздухе). Линией 4 на этом графике отмечены
расчеты по интерполяционной формуле Шермана
сХа = сХа,т[1 + (сха,т/сха,е)]-1 [92], где сха,с = 12/Re^ — решение Стокса,
Re да = р да t/даЛ/Цоо. Здесь приведено также решение Бассета (линия 5)
556

для малых Мда и Re да, полученное на основе уравнений Навье-Стокса
(в упрощенной форме Стокса) с условием скольжения, выраженным
с помощью коэффициента аккомодации а [116]:
_ 12 /1+2яКп\
Cxa~R^\\+3aKn)'
Здесь а = (2 — а)/а. В расчетах принималось, что а=\.
При М ^> 1 обтекание сферы исследовалось рядом методов [27,
55, 62]. Один из них основан на численном решении модельных
уравнений. Двухатомный газ, обтекающий сферу, описывается
функцией распределения скоростей частиц f0(x, ^) и функцией распределения
вращательной энергии частиц fi(x, £), которые удовлетворяют системе
модельных кинетических уравнений:
^^=-gr^r1(/X-/*)+-^fl-i)(/i,-/A) (А = 0, 1); (20.51)
где
/'о=/м(Г,)[1-^в«(Г,)],
/го=/м(Г)[1-«>о?!а«(Г)],
Л=А:Г,/м(Г,)[1-^а((Г() + (1-6)?^м], b^mQKp.kT,),
f\ =kTfu(T) [1 -а>о??в,(Г) + а>1 (1 -5)«J6, ], b^mQKpkT),
,_, 2 , А шсЛ ,„ 2 , Л mC2\
а'(Г') = 15 *'•' {Г2кТ,)> ai(T) = V5 bi {ГШ)>
fM(T) = n(2nkT/my3l2exp [-mC2l(2kT)], Q^-щ,
ц(Г,) = ц(Г.)^3/Ф(0, \K'.) = 0,767+0,233*f1'6exp[-l,17(*,-l)],
з *(!,) 9t, тг[ ,тг (т,\2~\
Здесь Г„ Г, и #•, q\—температуры и компоненты потоков тепла
соответственно, связанных с поступательными и вращательными
степенями свободы; щ—компоненты макроскопической скорости;
tt = Tt/T*; Т* = Ф0/к; Ф0—глубина потенциальной ямы; \i(Tt)—вязкость
газа, соответствующая потенциалу Леннарда-Джонса; \х(Т>)—вязкость
газа при Г* (для кислорода Г* = 113,5 К, для азота Г« = 91,5 К);
1/5=1,55; со0 = 0,5 и сох =0,286 для кислорода и ю0 = 0,2354, 0^ = 0,3049
для азота; zf1—доля неупругих столкновений, вычисляемая на основе
классического описания вращательных степеней свободы; а = 0,461,
6 = 0,5581, с = 0,0358 для кислорода и а = 0,4504, 6 = 0,6878, с = 0,0556
для азота. Макропараметры, выраженные через /0 и fx:
n = \f0dl nu^^Jodi (3/2)kTt = (\/n)\(mC2l2)f0di
^S = jQ(wC2/2)/0di q't-SQAdl, pt = nkTt9 p = nkT,
kTr = (lln)Sfxdi (5/2)kT=(3/2)kTt + kTr.
Граничные функции распределения в невозмущенном потоке и на
поверхности тела имеют вид
для (5, и)<0:
557

{2KkTJmYi2
/О = „_,,„, ,,„,3/2 eXP 1~ ^ f' Jl=kTooJo,
для (£, «)>0.4
JOw —
2kT„
m^2
(2nkTJm)^ CXP 1 2*^ ^' f^-kT»f°™
2nm \
1/2
(^«)/o^,
(1,й>)<0
где Tw—температура сферы. Принималось, что коэффициенты
аккомодации энергии для поступательных и вращательных степеней
свободы равнялись единице. Приведем уравнения (20.51) и граничные
условия к безразмерному виду, положив в качестве характерных
параметров: радиус сферы R, скорость (IkT^/m)112, плотность л~,
температуру Т^, давление п^кТ^, поток тепла (m/2)na:)(2kTa0/m)3'i,
причем
Ъ — Чг+Чь Jo- /o> /i —^—/ь кп~т:» ^UJ-
»iW)
4r
q\
2кТ<,
-3/2
01 =
"со *ГИ
2А:Га
Z)
-3/2
T
nC^oo)' "* ' (т/2)л«Д m J 'J l (m/2)n00\ m
Здесь /0O = (16/5)|i(770O) [«00(2тсА:тГ)1/2]"1; Z> = 27?. Тогда безразмерные
уравнения и граничные условия после несложных преобразований
запишутся в следующем виде (черточки у безразмерных параметров
опущены):
где
fo=fM{Tt)[l-q\ai{Tt)l Л=/м{Т)[1-щд'МТ)1
Л = Гг[Го + 2(1-8)/м(7;)^С,(/|2?)-1],
Л = Г[/Ь + 2со1(1-5)/м(Г)^С,(«Г2)-1],
(20.52)
15 «л2 V2
5 3
-Г=-Г,+ Гг, pt = nTu р = пТ,
4 1 а 1
Vr = 7—Т—, V,
4 1 а Л 1
a + Z>£+c
и/тл_Г2/з Ф(*). 7=з адщ_т;
^ f' ' ЩВТ,)9 х 4 (BTty6 BTt + S Tt
/o = 7i-3/2exp(-C2), Л=/0 для (£Я)<0,
/ow = "w(^^w)"3/2exp(-^2/rw), fiw = Twf0w для (С,Я)>0,
«w=-2(7i/rw)1/2 J (?,Я)/0</£.
(£,й)<0
(20.53)
558

Вдали от сферы заданы и=1, Tt=Tr=T=l, Sao = (y/2)1,2Mao.
Макропараметры определяются следующим образом:
n = \f0dl nu, = lbf0di Г( = [2/(Зи)]|С2/о<,
Г, = (1/"НЛ<€ 9i = jQCVorf?, Ф = 1Ы<%.
Уравнение для одноатомного газа можно получить из (20.52) при
zj~1==0. Решение задачи об обтекании сферы сводится к решению
системы (20.52) с граничными условиями (20.53) и зависит от параметров
5оо, Kn, Tw=Tw/Tao и В=Т00/Т*. Численное решение строилось методом
характеристик с шагом вдоль характеристики Ax = 0,05i?. Кинетические
уравнения решались с помощью интегральных итераций. При расчете
течений с очень большими М^ и холодной поверхностью для
вычисления моментов функции распределения, трехкратных интегралов
по скоростям вместо метода Монте-Карло использовались регулярные
формулы повторного интегрирования, построенные на основе знаний
о конкретных свойствах функции распределения [55].
Вычисления коэффициента сопротивления для сферы, выполненные
для одно- и двухатомного газов при Кп>0,3, показали совпадение
их значений с погрешностью ошибки вычислений при_ условии равенства
определяющих параметров задачи Kn, S^, В и Tw. Например, для
^00= 4, В=2,4, Tw = 6 значения сха для одноатомного (индекс—1)
и двухатомного (индекс—2) газов равны:
Кп .
Чха, 1
сха,2
3,6;
2,58;
2,60;
1,2;
2,35;
2,40;
0,6;
2,19;
2,24;
0,3
2,15
2,19
При Кп = 0,3, £ = 0,26, Tw = 28 и ^=9 сха>1=2,\6 и сха>2 = 2,08. Следует
полагать, что неупругие столкновения оказывают меньшее влияние на
перенос импульса по сравнению с их вкладом при переносе энергии
и расчете тепловых потоков. Причем, по-видимому, наибольшее влияние
неупругие столкновения на сопротивление тела вносят на режимах,
когда Кп-»0.
При рассмотрении гиперзвуковых течений характерными
параметрами являются: температура поступательных степеней свободы
в точке торможения Т0 = Тт Г1 + (2/ 5) *%], число Рейнольдса Re0 =
= p00f/00D/(i(r0), температурный фактор tw=Tw/T0 и В0 = Т0/Т*. При
Soo ^> 1 кинетические уравнения и граничные условия принимают вид
(черточки у безразмерных параметров опущены):
16 {5у* 1 j,(B0)r (2/5) Sj l2'3
Ll+(2/5)52J '
где
Re0=-
Sji\2J Kn„X'3 ф(Д)
JtU^JW . _Зяф(Д0Г,) 9B0Tt Tr\ T (Tr
li[I,> ll ф(Д„Г.) ' -1 4 (ВоГ,)1'6 BoT-, + 8 T, |_ + ТГ \Т,
fo=fi = 4b-j5l2)4by)b{b) Для (С, ")<0,
/0и. = "«.(л^)~3/2ехр {-%21к}, flw=tj0w для (С и)>0,
559

nw=-2{n/twy2 J (С n)fodt
(?, Я)<0
где \L(Tt) = ti(Tt)/pL(T0), рг=Рг1{па,кТ0\ T=T/T0. Коэффициент
сопротивления сферы определялся по формуле
*»=4-1 [^„(e)cose+^T(0)sine]sin0^e,
«Ь=о 0
где рпю рпх—нормальное и касательное напряжения, действующие на
элемент поверхности сферы. Расчеты, выполненные при больших Мю,
показали, что при умеренных и больших числах Кп величина сха практически
не зависит от zx. Коэффициенты сопротивления сферы при больших Мх
или Soo для двух- и одноатомных газов приближенно равны, если
совпадают значения Re0 и tw. Здесь для двухатомного газа Re0 и tw определены
по температуре адиабатно заторможенного одноатомного газа.
Проведенное исследование можно выполнить, используя
температуру торможения двухатомного газа. Обозначим ее (Т0)2 =
= Г0Л1+(2/7)5г2о]. Тогда (Re0)2, вычисленное по (Т0)2, связано с
(Reo)b определенным по температуре торможения одноатомного газа
\T0)l = T^ll+(2/5)Sl]:
При больших Sn отношение ^[{Тч)2ВШ[{То)1В]^19 [(Г0)1/(Г0)2]2/3^
«1,25, поэтому (Re0)2^1,25(Re0)i. Сравнение результатов расчетов
для обоих газов следует производить по какой-либо температуре
адиабатного торможения Т0) входящей в Re0 и tw.
Сопоставление численных результатов для сферы диаметром
D (см. схему на рис. 20.13) с экспериментальными данными приведено
сха
0,6\ I I I 1 I
1(Г2 W~1 10° Ю1 Wz Re о
Рис. 20.13. Зависимость коэффициента сопротивления сферы от числа Рейнольдса:
\а—свободномолекулярное решение для неохлажденной сферы при /w=l, \б—свободномолекулярное
решение для охлажденной сферы при /w = 0,2; II — континуумное решение для гиперзвукового
обтекания сферы; III—решение уравнений Навье — Стокса при tw=\ [55]; опытные данные для
неохлаждаемой сферы—Го = 300...600 К, воздух [108]: □, О, + , А—Мда = 8,65...8,69; Л—Мто = 9,15;
х—Мда = 10,39; V, D, О—Моо = 10,3...13; опытные данные для охлаждаемой
сферы —Г0 = 300...3000 К [47]: ♦ —Моо = 5; /w = 0,2; Т— Мво = 10, /„ = 0,12; А—Мда = 5, /„ = 0,18;
■ —решение уравнений Навье — Стокса с условиями скольжения (В. К. Молодцов, В.В.Рябов
[61]) •—расчетные значения для 500 = 6,34, tw=\
560

на рис. 20.13. Точками на графике отмечены расчетные значения
сха для #00=6,34, tw=l (при £ = 2,4 и i?=0,26 [55]), хорошо
согласующиеся с результатами экспериментов, причем Re0 = (Re0)2
вычислялось по температуре адиабатического торможения
двухатомного газа — азота.
Опытные данные по сха на рис. 20.13 представлены для различных
значений tw=Tw/T0 и Re2 = p0O£/0OZ)/|i2, где вязкость газа 112 = 1^2(^2)
определена по температуре за прямым скачком уплотнения Г2. Но
поскольку при Soo»1 \i2(T2) = \i(T0), то Re2 = Re0. Для сравнения
на рис. 20.13 линиями II и I отмечены предельные значения
коэффициента сопротивления охлаждаемой и неохлаждаемой сферы для
гиперзвуковых условий обтекания двухатомным газом, вычисленные
соответственно по следующим формулам:
/г+ЛГ(т+1)'|
С V 2Y / L 4у J
(20.54)
(20.55)
Формула (20.54) определяет значение сха при континуумном обтекании
сферы по модифицированной теории Ньютона, а формула (20.55)—для
свободномолекулярного режима обтекания при ае — ах=\. Сплошными
линиями отмечены зависимости cxa=/(Re0) для различных значений
tw, описываемые эмпирической формулой [47]:
^a = cxa,c + (cxa,M-cXfl,c)[H-0,16(Re0^0'1)y']-1,
(20.56)
Re0 =
PooU^D
Re 00 С
С,=
И^оо) Т0
и(*о) [(у-1)/2]М2да' * ц(Т0)Тл9
где для у =1,4 cXfl>c = 0,917 и cXfl)W = 2 + 0,63/J/2
х = 0,8 +
0,2
l+0,lReo'
N
0,8
0,6
0ft
0,2
3 А
- о /
^ 2v
- J0
ф 4 о
- в &а
А £Д
/ i i
/ т
/ VL;
/ B-d^BB
Х^ТиФ
.. . _| 1.
4*
л—
/
^fl 1_
—Г
/L
^Lf&^i
<Уп V п.
J«*^aS
РТц кг
в 7
• 8
▼ 9
• 10
7 //
© 12
в 13
а 15
I ®
т 17
1
_i 1
о
0,2
0,4 0,6 0,6 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Z
Рис. 20.14. Средний коэффициент теплоотдачи сферы для дозвуковых, сверхзвуковых
и гиперзвуковых потоков в переходной области:
I — свободномолекулярный предел; II — континуумный предел; опытные данные [46]: 7— Моо = 0,1;
2—0,17...0,239; 5 — 0,29—0,31; 4 — 0,37...0,406; 5 —0,559...0,592; 6 — 0,64...0,69; 7 —2,24...2,75; 8 —
2,78...3,56; 9—4,0...6,0; 10—6,2...6,35; 7/ —4,9.. 5,4; 12 — 5,6...6,0; 13 — 6,8. .7,35; 74—7,8...7,85; 75 —
8,1...8,7; 76—9,05...9,7; 77—результаты исследований В X Авлеевой
561

Результаты измерений теплоотдачи сферы в переходной области
динамики разреженных газов представлены на рис. 20.14 в виде
зависимости N=f(Z) [46], где
^_ Nu + Nuc
2Nuc
(20.57)
Num + Nuc' Num + Nuc'
Nuc = 2-f0,03Pro'33Reo'54 + 0,35Pr°'356Re0'58,
Nuw = ae(Y+l)(4Y2M2a))-1PrRe5(y, Me),
5(y, MOT) = 0,5YM2o+(0,5y)1/2M>rfc[(0,5y)1/2Mj + 0,5erf[(0,5Y)1^
Здесь Re = p00t/00Z)/ji; Рг = цсрД; Nvl = olD/X; a—коэффициент
теплоотдачи; Nuc, Num — числа Нуссельта для сферы при континуумном
и свободномолекулярном обтекании (при ае=\), причем числа ц, X,
Рг при M^^l определялись по температуре торможения Т0. График
содержит результаты многочисленных экспериментальных
исследований для дозвуковых, сверхзвуковых и гиперзвуковых условий обтеканий
сферы при различных значениях tw: Кавено (точки В); Ю. А. Кош-
марова и С. Б. Свирщевского (точки А); Дрейка и др. (точки 7, 8);
Эберли (точки 9) Ю. А. Кошмарова и др. (точки 10); Ю. В.
Никольского и др. (точки 11—7(5); В. X. Авлеевой для чисел М^ = 3,6...4,2
(вертикальный отрезок) и N1^=4,8...6,1 (пунктирный вертикальный
отрезок). Все опытные данные располагаются в виде корреляционной
полосы, асимптотичной к предельным режимам течения разреженного
газа. Опытная зависимость N=f(Z) описывается аппроксимирующей
формулой:
yV=Z[l+(0,5Z)e]-\
где (3 = 3/2. Степень согласования формулы, представленной сплошной
линией, с опытными данными видна на графике. Формула применима
для вычисления средних коэффициентов теплоотдачи сферы при
М00 = 0,1...9,7, tw = 0,6... 1,06 для любых режимов обтекания сферы
потоком двухатомного разреженного газа.
Результаты сопоставления опытных измерений равновесной
температуры сферы для различных чисел М^ представлены на рис. 20.15
O,0J 0,06 0,1 0,3 0,6 1,0 J а 6 10 {2/1-1)
Рис. 20.15. Средний температурный коэффициент восстановления для сферы в переходной
области при дозвуковых, сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях разреженного газа:
I — свободномолекулярный предел; 4...16 — см. условные обозначения к рис. 20 14;
/7—М^ = 2,56. .2,60, 18 — 2,55. .5,63; 79 — 7,45...7,97; 20 — 3,6...3,8, 21 -3,9. 4,2. 22 — 4,8.5,2; 23 —
5,6.. 6,1
562

Pw(B)/Pw№
Ofi
0
^v
- \k
l± *L L
л' n' л
1,0
08
Ofi
Oft
0,2
0
-
■sjj
B\
\J_
Lk
/f T
- /°^^
St гЛ>° т
I \L/\ I I 1 I I I I 1 1 11 L_J_L_lJ
10*
RBc
Рис. 20.16. Распределение нормальных
и касательных напряжений по
поверхности сферы при различных режимах
обтекания:
I — свободномолекулярное решение; 1 — кривая
зависимости, вычисленная по cos20;
О —Re«, = 31,6; Л —125; # — 520
Рис. 20.17. Зависимость протяженности
вихревой зоны и положения кольцевого вихря
в ней от числа Рейнольдса (опытные
данные —Танеда [121])
в виде зависимости r—f(Z), где r = {r — rc)l{rm — rc);
г = (Те— 7"00)/(Г0 — Гда); re, rm—коэффициенты восстановления
температуры в континуумном и свободномолекулярном потоках (см.
(19.75)). Значение гс = 0,908 получено экстраполяцией зависимости
r=/(>/Re00/M00) в области малых значений параметра разреженности.
На рис. 20.15 помимо данных, соответствующих обозначениям
рис. 20.14, приведены результаты работ Р. Дрейка и др. (точки 17,
18); Эберли (точки 19); Ю. А. Кошмарова и др. (точки 10, 17, 18,
19); В. X. Авлеевой (точки 20...23); Ю. В. Никольского и др. (точки
12—15). Зависимость r=f(Z) во всем диапазоне режимов течения
разреженного газа при Моо = 0,37 9,65 описывается формулой,
представленной на рис. 20.15 сплошной линией ((3 = 2):
г = {1+4,5[(2/2Г)-1]Р}-1.
Сравнение расчетных и экспериментальных распределений
нормальных и касательных напряжений по поверхности сферы для
различных Кп и S^ указывает на их удовлетворительное согласие
[55, ПО]. Так, распределение рпп (Q)/pnn (0) слабо зависит от параметров
S^, Кп, tw, где Pnn^Pw — нормальное напряжение, действующее
на элемент поверхности сферы с нормалью п в направлении
п. Здесь 0 — угол, отсчитываемый от передней критической точки,
в которой 9 = 0. На рис. 20.16, а приведены распределения напряжений
на поверхности сферы, полученные в экспериментах с помощью
весового плавающего элемента при М00 = 3,3...6,2, tw=Tw/T0 = \,
у=1,4 (воздух) [ПО]. При Re00 = p00 f/ooZ)/^oo<30 профили pw(Q)/pw(0)
для данных условий обтекания сферы практически соответствуют
563

свободномолекулярному распределению. Для сравнения линией 1 на
рис. 20.16, а отмечена кривая, соответствующая зависимости cos20.
Из рис. 20.16, б видно, что максимальному значению коэффициента
трения C/ = xw [(1/2) pool/»], нормированному на с/?т, соответствует
угол 9 = 45°. Опыты по распределению касательных напряжений
xw на сфере показали, что при Яе^^ЗО существует безотрывное
обтекание сферы. При HO^Re^^O положение точки отрыва
локализовано при 95 = 60...70°. Это подтверждается и исследованиями
[121, 122]. За сферой при Re00 = 24 образуется область замкнутых
линий тока, в которой находится стационарный кольцевой вихрь,
циркуляция которого определена внешним течением. О развитии
протяженности замкнутой вихревой зоны (см. схему на рис. 20.17) и положении
кольцевого вихря в этой зоне в зависимости от Re^ можно судить по
графику на рис. 20.17. При Re^HO кольцевой вихрь начинает впервые
совершать слабые колебания. С увеличением ReOT амплитуда колебаний
вихря растет, и часть газа из завихренной области сносится вниз по
потоку. Течение становится нерегулярным. График зависимости угла
отрыва потока 0S (угол 0S см. на схеме рис. 20.18, а) от Re^ приведен
на рис. 20.18, а. Исследование структуры течения и отрыва трехмерного
пограничного слоя при обтекании сферы с помощью численного
решения нестационарных уравнений Навье — Стокса для несжимаемой
среды показало, что главную роль в определении типа отрыва
играет пара вторичных вихрей с положительной и отрицательной
циркуляцией, расположенных вблизи поверхности сферы [121]. О
влиянии Мда на положение точки отрыва потока на сфере' можно
судить по данным Ф.С.Воронина, приведенным на рис. 20.18, б.
Эмпирическая кривая (линия 1) определяет значение 0S для следующих
условий обтекания сферы: 0,25<Мда<4; 3 • 105<Reoo<3 • 106. Ее
экстраполяция в область больших чисел М^ позволяет построить
приближенную единую зависимость угла отрыва потока 0S от
Мда для чисел Reоо = 2-104...3-106. Эта зависимость отмечена на
рис. 20.18, б пунктирной' линией. Исследования [110] показывают,
что при М00 = 3,3...6,2 и Re^^OO положение точки отрыва
соответствует значению 9S»70°.
60
30
1
0
ю1
10 г
а)
/0jRb
Рис. 20.18. Графики зависимости угла отрыва потока от числа Рейнольдса (а) и от
числа Маха (б):
а: • — опытные данные Танеда [122]; численное решение уравнений Навье — Стокса [121]:
— Шираяма и др.; ■—Прупачер и др.; А—Римон и др. Т—Хамелек и др.;
б: А—М0О = 3,87...4,14, Re^ = 129...513; V —Мда=4,64...4,98, Re0O = 105...240; О — Мда = 6,88...7,60,
Reoo = 215...515; # — Мда = 9,36.. .9,58, Re00 = (l,8---4,75)-104, 1 — опытная кривая, полученная для
0,25<Мда<4, 3-105<Reoo<3-106
564

§ 20.4. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЛОКАЛЬНОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Существующие численные методы расчета течений
разреженных газов в переходной области достаточно сложны при
проведении ряда оперативных, инженерных расчетов и оценок.
Распространение получили полуэмпирические приближенные методы
аэродинамического расчета тел в гиперзвуковом потоке разреженного
газа, основанные на гипотезе локальности взаимодействия [16, 17,
18, 30, 74]. Они не связаны непосредственно с решением уравнения
Больцмана и соответствуют макроскопическому уровню описания.
Предполагается, что потоки импульса р и энергии q на каждый
элемент поверхности аппарата, отнесенные к (1/2) р^ £/£,
определяются местным углом падения \|/ = \|/ (а£ —£/«>) независимо от его
формы. Здесь п — внешняя нормаль, Um — вектор скорости
невозмущенного потока. Зависимости аэродинамических коэффициентов
сил, моментов и теплоотдачи от угла \|/ аппроксимируются простыми
функциями с небольшим числом параметров. Задача разделяется на
два этапа: установление функций формы, неизменных при всех
режимах обтекания, и определение коэффициентов режима,
одинаковых для всех форм ЛА.
При гиперзвуковых скоростях можно принять, что при 7С/2<\|/<7Г
/?(v|/) = 0. Для 0<\|/<я/2 на передней^части тела проекции р на оси
Oxayaza:p=pxax0+pyay0-\-pzaz0, Xq^U^/Uo,. Введем местную
скоростную систему координат хау*0, взяв орт у*0 в плоскости (Я, U^) по
формуле — п = х0 cos \|/+у о sin \J/. Тогда у0 у *0 = — пу /sin \|/, z0 У о = ~ nz /sin \|/
и на изотропной поверхности pya=pya( — ny/sm\\r), pza=pya(—nz/siny\f).
Нормальная и касательная составляющие р связаны с компонентами
Рха и Руа СООТНОШеНИЯМИ
Pn=pxacos\\f+p*ydsin\\f,
Л =Рха Sin \|/ -р*а COS \|/.
Для аппроксимации рха, р*уа можно использовать отрезки разложений
по {cos2A;\|/} с весами cos\|/ и sin \|/cos2 \|/ соответственно. Применяется,
например, приближение [16]
pxa = cosy\f (Х0 + Х2 cos2\(/), pya = \io sin\|/ cos2\J/, (20.58)
где Xki \х0—коэффициенты режима (к = 0; 2). Для компонент Рю
Рх получаются аналогичные разложения с весами cos2\|/ и sin \|/ cos \(г.
Одним из основных условий выбора подходящих разложений является
осуществление непрерывного перехода к предельным по Кп режимам
обтекания. Так, для свободномолекулярного режима обтекания
выпуклых тел теория локального взаимодействия является точной [16]
(см. (19.51)). В континуумном режиме положим Рт = 0, а для вычисления
Рп (\|/) есть ряд формул по теории Ньютона (см. (19.53)).
Для произвольного выпуклого тела, обтекаемого гиперзвуковым
потоком разреженного газа со скоростью U^, его аэродинамические
характеристики определяются следующим образом:
1
pdA, mt — —
{rxp)dA, (i=xa,y„za). (20.59)
565

Здесь r = rw — г0 — радиус-вектор; rWJ г0—радиус-векторы точки
поверхности тела и точки, относительно которой определяется момент
соответственно (момент вычисляется относительно начала координат);
A, L—характерные площадь и длина тела (A = nR2, R — радиус
миделя тела); А +—площадь поверхности тела, обращенная к
набегающему потоку.
Подставляя в (20.59) зависимости (20.58), устанавливая также
связь рха и р*уа с \|/ на поверхности А + , можно вычислить
аэродинамические характеристики для осесимметричных тел
сха = ,^0сх,0 + '^2сх,2> Суа ~ И-Осу,0> cza — V>Ocz,0>
т2а = Х0т{£0 + Х2т(£2 + \ЬоГПу,)о,
где (fc = 0;2)
cos\|/cos/::\|/<L4, сУг0--
Я-
cos2 y\fdА,
А +
Ь
cos2 \|/dА,
(20.60)
1
AL
1
_ycos\|/cosA:\|/^, ту% =
"XL
I
хпу cos2 y\fd А.
A +
Интегральные величины (20.60) определяются заданной формой тела,
его положением в потоке и не зависят от режима обтекания.
Коэффициенты же режима Хк, \х0 не связаны непосредственно с формой
тела, а зависят от чисел Kn, М, tw = Tw/T0, других критериев подобия
и параметров потока. Причем эффективное число Кнудсена (или
Рейнольдса) вычисляется по характерной длине L+=^/A^ или по
осредненному по углу атаки а размеру
а*
L+ (а) da или
"■±1
А+ (а)
1/2
da.
(20.61)
Коэффициенты режима определяются по экспериментальным
данным, измеряя непосредственно Рп и Рх на теле, или по опытным
значениям локальных, интегральных аэродинамических характеристик
любого тела — сха, суа и т. п. Существуют разные алгоритмы для
этого [17]. Поскольку зависимости с{ от Кп при больших числах
M^ для многих выпуклых тел имеют одинаковый характер, можно
использовать экспериментальные зависимости вида (см. (20.56))
Ci = cUc + (cUm-cUc) Ф (х), (20.62)
Ф(х) =
1
2я
e~t2<2dt,
где ct с, cUm — предельные значения с{ при Кп -> 0 и Кп -> оо; х = (1пКп-Ь
+ а*)/сг*; а*, а,— параметры, характеризующие положение и размах
566

переходной зоны по Кп (по данным опытов для конусов, например,
«„=1,05, а* = 0,975). Рассчитав для заданной формы тела параметры
(20.60) и определив из экспериментов коэффициенты Хь (i0, можно
найти искомые аэродинамические характеристики.
Рассмотрим вариант приближенного локального метода
аэродинамического расчета тупых тел в переходном режиме
гиперзвуковых течений, ограничиваясь простыми выражениями и
полагая, что отражение молекул от поверхности—диффузное,
а у =1,4 [30]:
Рп = Х0 cos 2 v|/ + Хх cos \|/,
(20.63)
Рт = \i0 cos \|/ sin \|/.
Здесь Х0, Xl9 |i0—коэффициенты режима, которые аппроксимируются
следующими зависимостями от Re0 и температурного фактора
К = TWIT0:
X^z^xp [-(ОД25 + 0,078tw) Re0i3*,], (20.64)
Яе0,Эф=10-АКе0, Д=1,8(1-/*)3, A = tg9, Zl = (ntw^
ц0 = 3,7 У2 [Re*-f6,88exp (0,0072Re, -0,000016 Re,2)] "1/2, (20.65)
Re, = (Re0/0))[(3/4)/>v4-l/4]~0'67.
Здесь Х0 = 2; Re0 = р,» U^Lj [\х (Т0) ] — число Рейнольдса, в котором
вязкость газа определяется по температуре торможения;
L—характерный размер; £эф=10~Л£; ю=1,5 для вытянутых тел типа конуса;
9 — характерный угол полураствора тела (для конуса 0 = 6fc, для
полуконуса 0 = 9к/2, для сферы 9 = тс/4). Здесь при Re0 -+ 0 из (20.65)
следует, что |х0 = 2, т.е. получаем формулу для Рх при свобод-
номолекулярных условиях обтекания. При сравнительно больших
Re0 значение \х0 следует теории Фэя и Риддела для
ламинарного пограничного слоя в окрестности критической точки у
затупленного тела.
Для определения аэродинамических коэффициентов необходимо
проинтегрировать выражения (20.63) по поверхности тела. Для
тел простой формы оно выполняется в элементарных функциях
[30]. В случае кругового конуса с полууглом раствора 8К,
расположенного под углом а, коэффициенты сопротивления и подъемной
силы равны
сха — cos а [(2 — \х0) sin2 0К cos2 а/(Q +
+ X1smQKcosoLg(ti) + ii0h(Q],
(20.66)
суа = c*g & {(2 — Цо) cos а sin 2 вк [C0S 2 а/ (Q ~
-g (ЭД + Ь, sineK [cos2 ag (С)-А (С)]}.
Здесь коэффициенты сха и суа отнесены к скоростному напору
и площади A=nR2, где R—радиус основания конуса. Функции от
^ = tg0Kctga вычисляются по формулам
1/2
567

/(9=1+Ci, ?(Q=i+C2, a (c)=i при c^i,
/(C) = K-1{(l+Ci)("-arccosC) + r1[(H/6) + Ci]C3},
^(g = 7r-1[(l+C2)(n-arccosC) + Ci^3],
/г(С) = я-1 [я —агссовС + ^'Чз].
> при £<1,
где Ci=3/(2C2), С2 = 1/(2С2), Сз = (1-С2)1/2-
На рис. 20.19 приводится сравнение расчетных и опытных значений
сха> Суа Для конуса с 0К=15°, обтекаемого гиперзвуковым потоком
воздуха. Расчетные данные, отмеченные на графиках пунктирными
линиями 7, 2, 3, вычислялись по формулам (20.66) при А,0 = 2, со =1,5,
a Re0 — по длине конуса L для опытных точек, отмеченых на рисунках.
Наблюдается удовлетворительное согласие численных и
экспериментальных данных, в том числе и по немонотонной зависимости суа от
Re0. Здесь же указаны предельные теоретические значения
рассматриваемых характеристик при Reo->0 и Re0-»oo.
Особенности применения теории локального метода в переходном
режиме обтекания при малых углах атаки, для тонких тел, с учетом
поперечной кривизны поверхности тела и т. п. обсуждаются в [17].
Можно отметить, что для описания немонотонных зависимостей ct от
Кп в интерполяционной формуле (20.62) вместо Ф (х) вводятся
качественно близкие функции.
Экспериментальные и численные сведения о коэффициенте сха для
различных неподобных тел, учет осредненной информации об
ориентации поверхности тела относительно вектора скорости набегающего
потока Uoo позволили ввести корреляционную зависимость отнор-
мированного аэродинамического коэффициента [(ct — cifC)/(ci>m — citC)] =
= Ф„ от параметра Д„ которая при x1=lgA»> —1,25 аппроксимируется
формулой [35]:
Ф„ = 0,7 exp (-0,57 k!-0,228 xf); (20.67)
AHt = Re0^w0'1sina1)t, sina* = (l/;4 + ) J (UO0n)dA=A2IA.
A +
Здесь sina,-
°>5\J±JJ
-среднее значение синуса местного угла атаки,
характеризующего наклон поверхности тела
к направлению вектора £/«,; п —
единичный вектор внутренней нормали
к поверхности; А2 — площадь
проекции поверхности тела на плоскость,
перпендикулярную вектору £/«, (схема
на рис. 20.20); Re0 = p00c700L+/ [ц (Г0)];
Рис. 20.19. Графики зависимости коэффициента
сопротивления (а) и коэффициента подъемной
силы (б) кругового конуса от Re0 при 9К=15°
и а=15°:
I — теория свободномолекулярного обтекания при
ах = ае—\, Моо=10: а — tw=\\ 6—tw^0,5; II—теория
Ньютона (Моо = 10), III — теория гиперзвукового
обтекания с учетом слабого вязкого взаимодействия
(В П. Провоторов) [30]. a — tw=\; 6—tw = 0,\;
опытные данные при М0О = 11..13 [83]: О — tw—\;
3__/w = 0,42. .0,53, A—rw = 0,09..0,15
568

Рис. 20.20. Зависимость функции Ф, от
параметра А,:
ф, О — пластина бесконечного размаха (Моо = 10,
а=15...90°, tw=\ и /w = 0,l [28]); А, Д—конус
(0,= 10°, Моо = 10, а = 0...20°, /w=l
и /w = 0,l—А. И. Ерофеев [35]): ■, D—сфера
(N4^ = 17, /w=l—М. С. Иванов [35]; М.,^15,
/w = 0,02 —Ю. И. Хлопков [35])
Ъщм*>
о,з V
L* = (l/A2) J hdA—эффективный характерный размер тела (для пло-
А2
ских, осесимметричных тел или близких к ним); h — местный
поперечный размер площади проекции А2. Кривая, вычисленная
по этой формуле, приведена на рис. 20.20. Вокруг нее
группируются точки, соответствующие численным значениям сха для простых
тел, обтекаемых гиперзвуковым разреженным потоком одноатомного
газа. Темные точки относятся к значению /w=l, светлые — к tw<l.
Значения сха,т определялись для диффузной схемы отражения.
Вычисление cXOtC производилось с помощью теорий Ньютона и
скачков уплотнения. Подобным образом коррелируются вокруг этой
кривой результаты экспериментов (на графике они не показаны).
Вычислив предельные по режимам значения соответствующих
коэффициентов ct можно с помощью зависимости (20.67) определить
аэродинамические характеристики выпуклых тел в переходной области
при МдаО»!.
Результаты подобного расчета для гиперзвуковых условий
обтекания тел приведены на рис. 20.21. Здесь Re0 вычислялось по длине
тела L. Значение сха для тел рассчитывалось при tw = 1 (причем угол
атаки для конуса был равен а = 20°). Коэффициенты суа и mza конуса
получены при /w«0,l. Точками отмечены экспериментальные данные
[83]. Видно, что расчетные зависимости для широкого класса
выпуклых тел находятся в согласии с опытными и численными
данными. Однако этот приближенный
расчет не позволяет воспроизвести
известную немонотонность
суа=/(Кс0) для конуса при tw=l.
Положения теории локального
взаимодействия вошли в практику
вычислительной аэродинамики
разреженных газов. Напомним, что модели
и методы локального взаимодействия
успешно применяются в механике
сплошных сред (метод скачок —
разрежение, метод касательных конусов,
теория Ньютона и ее модификации
и т. д.).
Рис. 20.21. Аэродинамические характеристики
тел простой формы в переходной области:
I — континуумный предел для конуса (теория
Ньютона); 7 —конус (9К=10°); 2—клин (6КЛ = 20°, а = 0°);
3 — пластина (а = 20°, //L = 0,1, t— толщина пластины);
метод Монте-Карло [35]: — • — у = 5/3; 7 = 7/5, * л * * % и
Моо = 10,9; Ф, О, V, х—опытные данные [83] 10'г 10° 101 Юг Ю3 f0*Rea
ьо
0,5
0
"*^Я==^^>-
1<^
i i
а =20°
• •
...- ..i.. ,...L.
•
•
/<Z
569

ГЛАВА 21. ТЕЧЕНИЯ, БЛИЗКИЕ
К СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫМ
При описании течений сильно разреженного газа при Кп > 1
необходимо учитывать первые столкновения отраженных и
невозмущенных частиц потока [16, 43, 46]. В алгоритмах расчетов течений
с учетом потоков собственной внешней атмосферы ЛА требуется
также определять взаимные эффекты рассеяния частиц набегающего
потока с частицами массоотделения [67, 104]. В общем случае такие
почти свободномолекулярные течения характеризуются рядом
критериев подобия.
§ 21.1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕПЛООТДАЧИ
И СОПРОТИВЛЕНИЯ ТЕЛ В ОБЛАСТИ ПЕРВЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
Рассматривается приближенный метод, базирующийся на
положениях теории межмолекулярных столкновений [46]. Пусть сфера
радиусом R обтекается дозвуковым потоком газа при почти сво-
бодномолекулярном режиме (Кп>1, М00<1, tw=Tw/T0ttl).
Вероятность вторичных или многократных столкновений молекул в
окрестности тела пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью первых
столкновений молекул невозмущенного потока (О—молекул) и
молекул, уходящих с поверхности тела (W-молекул). Принимается, что все
точки поверхности сферы испускают с единицы ее поверхности одно и
то же количество Ж-молекул (в общем случае это могут быть и
молекулы массоотделения). Ж-молекулы движутся от поверхности тела по
нормали со скоростью u(W), определяемой температурой Tw при
полной аккомодации энергии частиц (яе=1). Скорости молекул после
столкновений определяются из законов соударения упругих шаров.
Учитываются только поступательные степени свободы. Для условий
М00<1 ОЖ-молекулы первых столкновений движутся с наиболее
вероятной средней скоростью £> = \u(OW)\ = \u(0)\tt{2kT00/m)112, где т —
масса молекулы. Концы векторов вероятных скоростей О PF-молекул,
проведенных из рассматриваемой точки пространства, образуют
сферическую поверхность — индикатрису рассеяния вероятных скоростей
OW-молекул (рис. 21.1). Одна часть CW-молекул (пучок А-молекул)
направляется к сфере, а другая—рассеивается в пространстве вокруг
тела. Число столкновений О- и Ж-молекул в каждой точке
пространства (а также число образующихся О Ж-молекул) определяется на
основе введения средней длины свободного пробега Ж-молекул lw(Tw)
(см. (18.76)). Для условий М00<1 и fw«l /w(rw)«/00(7,00).
Из геометрических соотношений и условия, что любая из скоростей
OW-молекул равновероятна, доля 5 от общего числа образующихся
в рассматриваемой точке ОЖ-молекул, приходящаяся на А-молекулы,
570

определяется из отношения площади
участка сферической поверхности
индикатрисы рассеяния скоростей OW-
молекул к общей поверхности
рассеяния (г — радиус-вектор
рассматриваемой точки поля течения) и равна
5 = 0,5(1 -jl-iR/r)2). Поток И^-мо-
лекул является расходящимся, и из-за
столкновений W- и О-молекул
пространственная плотность W-молекул
с расстоянием от поверхности сферы
уменьшается.
Рассмотрение баланса числа
молекул, пересекающих в единицу
времени единицу шаровой поверхности
радиуса г, приводит к уравнению
d(N(r)4nr2)=-y4nr2N(r).(2\A)
Плотность потока W-молекул в любой
ется интегрированием (21.1)
N(r) = N(W)(*Yexp
Рис. 21.1. Схема обтекания сферы
в области первых столкновений:
О — 0-молекулы; • — ^-молекулы; Э —
OW-молекулы первых столкновений
точке пространства определя-
r-R
(21.2)
где N[W) — плотность потока частиц, покидающих поверхность сферы.
Число столкновений йГ-молекул с О-молекулами в единичном объеме
dV=4nr2dr около рассматриваемой точки составляет согласно (21.2)
B(W)
-теч-?
(21.3)
В результате столкновений О- и РК-молекул образуется 25(Ж)-молекул
первых столкновений в единице элементарного объема около
рассматриваемой точки. Из общего числа столкновений только часть их
приходится на столкновения между W- и О-молекулами, скорости
которых направлены к телу. Поэтому при определении А-молекул
и ослаблении потока импульса или энергии, приносимой О-молекулами,
этот факт учитывается введением соответствующего коэффициента.
Например, для сферы его значение равно 1/3 ввиду хаотичности
движения молекул (поскольку число молекул, движущихся в каждом
из трех взаимно перпендикулярных направлений, равно 1/3 от их
общего числа; в плоском случае число молекул, движущихся в каждом
из двух взаимно перпендикулярных направлений, равно 1/2). Число
А-молекул, падающих на единицу поверхности сферы, составит величину
ои
N(A) = 4^\2B(W)\b4nr2dr-
_N(W)
К
(l-Vl-p-2)e-K(P_1)^p.
(21.4)
571

Здесь N(A) — число OW-молекул, падающих на единицу поверхности
сферы в единицу времени; p = r/i?; K=R/iyv.
Для малых чисел К (теория верна при условии, что К мало)
приближенное вычисление интеграла в (21.4) дает следующий
результат:
Щ*1-К. (21.5)
N{W) 6 v J
Учтем теперь экранировку сферы отраженными от нее молекулами.
Рассмотрение баланса О-молекул в элементарном объеме dV на луче
г приводит к уравнению
и[0)Ш^в{\¥). (21.6)
Вычисление числа 0-молекул, поступающих на сферу, сводится
к интегрированию (21.6). Подставляя выражение (21.3) в (21.6) с учетом,
что N[0)—u{0)n{p) и п{0) — число О-молекул в единице объема,
получим
NINm R
I
dN(0)_ 1
N(W)~~3b
l
ИЛИ
Nm ~ 3"
К
т)2^-^*
р-2е-К(р-1)^р (217)
Здесь Nm&N(W) — число молекул, поступающих в единицу времени
на единицу площади сферы при свободномолекулярном обтекании;
N(0)—число молекул, падающих в единицу времени на единицу
площади тела в направлении луча г. Для малых чисел К из (21.7)
следует
^И* 1-1*. (21.8)
Количество W-молекул, уходящих с единицы поверхности сферы
в единицу времени, можно определить из условия N(W) = N(0) + N(A).
Тепловой поток от сферы q — E[0)-\-E{/S) — E[W) определяется
разностью между энергией, приносимой О- и А-молекулами, и энергией,
уносимой Ж-молекулами. Для рассматриваемых условий с учетом
(21.5) и (21.8) получим
±=1-^. (21.9)
Здесь qm—средний удельный тепловой поток от сферы при
свободномолекулярном обтекании; К= R/l^ =(2Кп00)~1—критерий,
пропорциональный обратному числу Кнудсена, вычисленному по диаметру
сферы D = 2R.
Расчетные данные сопоставлены на рис. 21.2 с опытными
результатами. Зависимость (21.9), нанесенная на графике в виде сплошной
линии, удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными.
Тепловой поток от сферы при почти свободномолекулярном обтекании
572

ч/ч»
',0
0,8
0,6
ОЛ
~-
-
~ V
Vy/
J i
X
_., 1
f£j& х о v
1 1 1 1 1 1 1 1 1
/
ПА /
.„.] 1, JL--L- 1, J ..1. ,
0,1
ОЛ
0,± 0,6 0,8 1,0
1,0
Ь,0 6,0 Кп^
Рис. 21.2. Сравнение результатов аналитического решения о теплообмене сферы с
экспериментальными данными при больших числах Кнудсена:
I—свободномолекулярный предел; опытные данные при fw«l,06 (Ю. А. Кошмаров, С. Б. Свирщев-
ский [46]); V — Мсо = 0,204.-0,238; х —0,286...0,310; О— 0,370...0,406; D—0,559...0,592; Д —
0,640...0,675
меньше, чем при свободномолекулярном режиме. Границу свободно-
молекулярного режима для сферы при указанных условиях обтекания
можно определить на основе (21.9). С точностью до 1% она
соответствует условию M^/Re^ И, поскольку KnQO = l,5(M00/Re00)
и RQ00 = pa,u(0)D[i-1.
Аналогичным образом можно установить, что средний удельный
тепловой поток от тонкой пластины бесконечного размаха при
М да < 1 и tw £ 1
-g-S 1-0,091 Ц2К1Ч
qm Кпго
где qm—средний удельный тепловой поток от пластины при
свободномолекулярном обтекании; Kn00 = /00/L; L—длина пластины.
Подобный подход позволяет найти соответствующие поправки
и к коэффициентам аэродинамических сил для тел простой формы
в свободномолекулярном потоке [43, 46, 47].
Метод, основанный на непосредственном применении уравнений
Больцмана для максвелловских молекул рассмотрен в [112]. При
больших числах Кнудсена, при которых процессы столкновений частиц
в потоке газа оказывают малое влияние на характер изменения
функции распределения, сама функция распределения может быть
представлена в виде
/=/<°> + (/)//)/(1) + ...
(21.10)
Подставив разложение (21.10) в уравнение Больцмана, записанное
для стационарного течения при отсутствии внешних сил, получим
|[3/<0)/d*] = 0, |[e/<1>/aic] = 0,075(Z>//)^1(x, |), ... . (21.11)
Первое уравнение в (21.11) описывает свободномолекулярное течение.
Столкновительный интеграл Ех{х, £), входящий во вторую кнудсенов-
скую итерацию, может быть записан в виде ряда
£1(хД) = (2я)-3'2ехрГ-1^] t а<£..<Т..,
L - J к = о
573

Асл/,
-0,10 Р
-0,05
Acy/c,
у,т
-0,10
-0,05
Рис. 21.3. Поправки к свободномолекулярным
решениям, вызванные однократными
столкновениями молекул при почти свободномолекулярном
обтекании ЛА
где i, j, к — изменяются от 1 до 3;
^цк... — трехмерные полиномы Эрмита
7V-rcu порядка, являющиеся функциями
лпг £; а^к—коэффициенты, зависящие
от
от х
Ж ijk...'
Ujk..
~~N\]
й\Ж^Е,{хХ\
юо т <х:
После выполнения соответствующих
процедур, связанных с вычислением
коэффициентов a(2)(N=2) интегралов в выражениях, определяющих
результирующий импульс, действующий на элемент поверхности, было
найдено, что коэффициент сопротивления сферы в почти свободно-
молекулярном потоке равен
Сха/Схв,ж= 1-^(^оо )/Кп,
(21.12)
где сха,т—коэффициент сопротивления сферы в свободномолекулярном
потоке; Кп = /00/£) — число Кнудсена, вычисленное по диаметру сферы
D; вфю) — функция, численное значение которой:
5в 1<Г5; 10"4; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0
BiSao) 0,149; 0,149; 0,150; 0,150; 0,151; 0,153; 0,154; 0,155; 0,156; 0,154; 0,152; 0,148
Все вычисления сха основывались на положениях, когда температура
сферы равна температуре невозмущенного потока, а отражение
молекул соответствует диффузной схеме. На рис. 20.4 линией 2 отмечены
результаты вычислений сопротивления сферы по формуле (21.12) для
очень малых значений Sao = \0~5. Видно, что теоретические расчеты
удовлетворительно согласуются с данными опытов Милликена при Кп>0,5.
При расчете гиперзвуковых течений, близких к
свободномолекулярным, необходимо учитывать ряд характерных длин свободного пробега
частиц [43, 67, 104]. На рис. 21.3 в качестве примера для таких
условий обтекания представлены поправки Асх (линия 7) и Асу (линия
2) к коэффициентам сх и су тела сложной геометрической формы
(см. рис. 19.23) за счет однократных столкновений отраженных частиц
с частицами набегающего потока. Вычисленные с помощью метода
Монте-Карло, эти поправки Acx = cXttn — cx и Асу = су>т — су отнесены
к соответствующим значениям аэродинамических коэффициентов при
свободномолекулярных условиях обтекания cXttn и сУуЩ. Видно, что
поправка к сх не превышает 11%, а к су — 8% от их свободномо-
лекулярного значения.
§ 21.2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
МАССОПЕРЕНОСА ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА
При расчете параметров газовой составляющей собственной
внешней атмосферы ЛА при больших числах Кнудсена необходимо
учитывать рассеяние отраженных молекул и частиц массоотделения
на молекулах набегающего потока, столкновения отраженных молекул
574

и частиц массоотделения между собой и с частицами своих классов,
эффекты захвата частиц поверхностью и т. п. (см. рис. 19.26). Если
для тел простой формы возможны аналитические решения, то для
расчета ЛА сложной геометрической формы необходимы лишь
численные подходы. Особенно трудоемкими становятся процедуры
определения границ телесных углов, в которых находятся скорости
отраженных или массоотделяющихся частиц, в заданной точке поля
течения. Переход к интегрированию по поверхности Л А, когда область
интегрирования определяется в процессе счета, несколько упрощает
нахождение искомого решения [67, 119].
Вычисление возвратных газовых потоков к поверхностям ЛА за
счет межмолекулярных столкновительных процессов частиц различных
классов и за счет эффектов интерференции (при переотражении частиц
от поверхностей) может быть основано на методе статистического
моделирования. Пусть Ж-молекулы (отраженные или уходящие в
процессе массоотделения от поверхностей) движутся в среде, состоящей
из О-молекул. Скорость Ж-молекул принадлежит диапазону vw,
vw + dvw, а скорость 0-молекул— v0, v0 + dv0. Их относительная
скорость gow — Vo — Vw (см. рис. 21.4, а). Прицельные параметры
столкновения заключены в диапазонах b, b + db и е, 8 + tfte. При
столкновении между этими частицами за время dt Ж-молекула окажется
в элементарном объеме, площадь основания которого равна bdbds,
а высота gowdt. Суммируя эти объемы, получим
dA=f0gowbdbdzdv0dVdt, (21.13)
где dV—элементарный объем; f0, fw — функция распределения для
О- и РК-молекул;
f -п ( "о У/2ехпГ wo(fr-ft°)2l
/о-По{ь±т-0) expL ^~~ J'
Г „ ( т* У/2~™Г mwVw~\
a) f)
Рис. 21.4. Схемы столкновений частиц
575

rjje m0, mW) T0, Tw — массы и температуры О- и Ж-молекул;
и^—вектор скорости невозмущенного потока. Полное число W-
молекул в объеме dA равно fwdvwd\. Поскольку эта величина
определяет также число столкновений в объеме dV за время dt О-
и W-молекул, то
fwdvwd\ =f0fwg0Wbdbdedv0dvwdVdt.
Число столкновений между О- и Ж-молекулами в единицу времени
в единице объема равно
dlow =fofwgowbdbdzdv0dvw. (21.14)
Тогда их полное число столкновений
hw = \\\\fofwgowbdbdzdv0dvw. (21.15)
Здесь частицы класса О могут быть частицами набегающего потока,
либо частицами массоотделения или отраженными молекулами, если
моделируются столкновения частиц только заданного класса. В общем
случае средняя длина свободного пробега Ж-молекул в среде 0-частиц
lw=—. (21.16)
low
В случае моделирования столкновений частиц массоотделения
(или отраженных частиц) с частицами своего класса, подставляя
в формулу (21.16) значение средней тепловой скорости частиц этого
класса и выражение для Iow, можно получить известную формулу
для шаров-частиц (см. (18.76))
/„=_*_, (21.17)
G()Wg0Wn0
где oow = nd2—сечение столкновений частиц, диаметром d. Если
набегающий на тело поток гиперзвуковой, то Uaoy>vw и при
моделировании процессов столкновений набегающих молекул и частиц
массоотделения (или отраженных частиц) средняя длина свободного пробега
молекул массоотделения (или отраженных частиц) определяется по
формуле (21.17) при gow^U^ — Vy? и значении oow.
Среднюю длину свободного пробега частиц массоотделения (или
отраженных частиц) на частицах набегающего потока, имеющих
конечную массовую скорость 0^, можно получить, воспользовавшись
разложением Iow в ряд Тейлора в приближении первого порядка
(молекулы-шары диаметром d) [124]
/o = /0/i. (21.18)
Здесь
Зя 1
/i =
v [1 -f-erf(5,0 cos \|/i)](N/7i5,^ + cos \|/,)-|-cos \|/f( —- 1 exp(-SoCos2\|/,)
l0 — — 9 s0 —, °° u/2, Sw
где vj/f—угол между вектором U^ и внутренней нормалью к
поверхности в точке массовыделения (или отражения).
576

Число dTV-молекул, выбывающих из потока интенсивностью N(r)
в результате столкновений, в слое толщиной dr равно (см. (21.1))
dN= —N(dr/lw). Если через сечение г = 0 проходит №-молекул, то
интенсивность потока в сечении г равна N=N°Qxp( — r/lw). Число
частиц, испытывающих столкновения между сечениями г и r + dr,
равно dN= — 7V°exp( — г I lw)\_dr j lw\ а вероятность того, что молекула
пройдет без столкновения расстояние г и столкнется в элементе dr,
равна d0>(r) = lw1 ехр( — r/lw)dr. Таким образом, плотность вероятности
средней длины свободного пробега 0>(г) = 1цг1 ехр( — r/lw).
Если сталкивающиеся О- и Ж-молекулы представляют собой
твердые упругие шары диаметром d=d0 — dw, а прицельное расстояние
& = fl?sin0 (рис. 21.4,5), тогда (21.14) можно записать в виде
dIow=fofwSowd2 sindcosddddedv0dvw.
Поток диффузно отраженных или массовыделенных частиц
элементом поверхности dA со скоростью vw в направлении (ф, \|/) в
сферической системе координат равен
dNw = nw[mw/(2nkTw)Y/2 ехр[ — mwv2v/(2kTw)~] Vw sin\(/x
' х cos y\fd\\rdq> dvw dA.
Число данных частиц, прошедших через сечение площадью dA в единицу
времени, на расстоянии г от элемента поверхности
dNw(r) = exp( — r/lw)dNw. Следовательно, концентрация частиц массо-
выделения (или отраженных молекул), уходящих с элемента поверхности
dA со скоростью vw в направлении ф, v|/ на расстоянии г от dA равна
xsin y\r cos y\fdtyd(pdvw. (21.19)
Число столкновений в объеме dV=dAdr в единицу времени между
частицами набегающего потока, имеющими скорость v0, и частицами
массо отделения (или отраженными частицами), уходящими с dA со
скоростью vw в направлении ф, \|/, геометрические параметры
столкновения которых принадлежат интервалам b, b + db; е, e + de на
расстоянии г от элемента dA, равно dI0W = dAdnw{r)/dt, где dA
определяется по формуле (21.13). Используя формулы (21.19) и (21.13),
можно записать
dl0w = Bw(2 sin \|/cos\|/d\|/)(2 sin 9cos QdQ) [(2тс)"* dy] [(2я)"xdz\ x
-^^]^0}[2К^ехр(-К^)^ж]х
x[(l/lw)Qxp(-r/lw)dr]dA. (21.20)
Здесь
Vw = vw(2kT}V/mw)~1/2, Bw = (2vw)~1 gowlwn0nwd2 yfn(2kTw/mwy/2.
Интегрирование (21.20) позволяет получить Iow — полное число
столкновений частиц набегающего потока с частицами массоотделения
(или отраженными частицами), уходящими с элемента поверхности
dA в единицу времени. Вероятность такого столкновения равна
T)=dIow/Iow.
577
т0 W2
2пкТ0
ехр

Для гиперзвуковых условий обтекания dk = npgowbdhdzdVdt,
lw определяется по формуле (21.17), Bw = nw\kTwl(2nmwy\112
и I0W = nwBwdA. В этом случае
г] = (2 sin \|/ cos \|/rf\|/)(2 sin 6 cos QdQ) [(2л)"1 dip] x
х[(2тс)-1^8][2К^ехр(-^)^Кж][(1//тг)ехр(-г//ж)^].
Величины в скобках перед знаком дифференциала представляют собой
плотности вероятности соответствующих случайных величин.
В силу независимости событий вероятность того, что Ж-молекула
(частица массоотделения или отраженная частица), покинувшая в
направлении ф, \|/ со скоростью Vw поверхность тела, столкнется на
расстоянии г от этого тела с (9-молекулой, имеющей скорость v0,
и при этом параметры столкновения s, 0 будут лежать в диапазонах
s, e + de; 0, 0 + J0, равна
где
/(x|/) = 2sinv|/cosi|/, /(Ф)=1/(2тс), /(е)=1/(2я), (21.21)
/(x) = 2sin 0 cos 0, f(r) = (l/lw) exp {-r/lw)9
f{Vw) = 2V3wexp(-V2w).
Здесь f(v0) — плотность вероятности скорости частиц набегающего
потока (соответствует максвелловской функции с U^^O),
f(Vw) — плотность вероятности скорости частиц массоотделения (или
отраженных частиц). Цри моделировании столкновений случайные
величины \|/, ф, v0, Vv/, г, 8, 0 генерируются в соответствии
с плотностями (21.21), (21.22). Соответствующая средняя длина пробега
частиц может быть определена по формулам (21.16)...(21.18).
§ 21.3. МАССОПЕРЕНОС ОКОЛО ПОЛУСФЕРЫ
В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
По алгоритму § 21.2 определим параметры массопереноса
около вогнутой полусферы. Набегающий поток описывается
максвелловской функцией распределения с массовой скоростью U^,
направленной вдоль оси ха полусферы (см. рис. 19.17). Схема
взаимодействия частиц с поверхностью—диффузная с полной термической
аккомодацией. Влияние задней поверхности полусферы не учитывается.
Молекулы—упругие шары диаметром d. Для свободномолекулярных
условий относительные плотности отраженных молекул и частиц
массоотделения на оси ха полусферы равны (см. п. 19.6.3)
, ч_Кг(*а)_ Xl yNrjCOS^j
Пг[Ха) пл 4N(tw)4*2j' (г/г.)2 '
M*«) = ^ = il^^, (21.23)
имо 2#Y (r/rs)2
nMOdAc, Ac = 2nr2,
«мО=т
Ac
578

Рис. 21.5. Расчет концентраций отраженных молекул
и частиц массоотделения около полусферы
где пм0 — исходная плотность частиц
массоотделения с элемента dAc (без
интерференции); N—полное число частиц, участвующих
в моделировании; Nrj и NMJ—число
отраженных и массовыделенных частиц у'-ым
элементом поверхности полусферы. При подсчете
этих потоков частиц учитывается
многократное переотражение частиц говерхностью
полусферы. Для расчета величин Nrj и NMJ
поверхность полусферы делится на площадки
AAj = г^ sin QLjAoLАф, где ф — азимутальный
угол в сферической системе координат,
отсчитываемый от оси z; Ац> = 2к/кс; Аа = я//С.
Количество интервалов кс и /с выбирается
так, чтобы обеспечить необходимую точность
расчета.
На рис. 21.5, а сплошной линией
представлены результаты расчетов величины
К {*а) = [йг (ха) — 1 ] t J/2 S ^г в зависимости от
ха = ха/г8 (^00 = 5; tw=Tw/To0 = l), используя (21.23). Пунктирной линией
обозначена кривая, вычисленная по формуле пг(х) = у/пк1(ха) (см.
(19.123)). Видна согласованность расчета с аналитическим решением.
Распределение концентрации пм(ха) приведено на рис. 21.5, б (сплошная
линия).
За счет столкновения отраженные и частицы массоотделения
могут вернуться на поверхность. В то же время часть частиц
набегающего потока не попадает на эту поверхность. Эти эффекты
приводят к изменению значений Nrj и NMJ. Для определения влияния
столкновительных процессов на плотность частиц газа проводятся
соответствующие расчеты. При Кп00 = 5, Гн,/Г00 = 1, S^^S режим
обтекания соответствует почти свободномолекулярному, поскольку не
выполняется условие Кп00(Ги,/Г00)1/25~1»1.
На рис. 21.5 точками обозначены расчетные величины пг(ха)
и йм(ха) Для отраженных и массовыделенных частиц соответственно
с учетом их однократных столкновений с частицами набегающего
потока. Видно, что этот эффект проявляется на расстоянии двух-трех
значений ха от поверхности полусферы. Однократные столкновения
частиц могут привести к 20% увеличению относительных плотностей
частиц на оси полусферы по сравнению с их свободномолекулярными
значениями.
Относительный суммарный возвратный поток на поверхности
аппарата
Мь _ мы _■_ ^ьм ■ Nbr Nbj
Nm0 Nm0 Nm0 Nm0 Nm0'
Здесь индекс м относится к частицам массоотделения; г—к
отраженным; /—к частицам набегающего потока; индексы Ы, Ьм, Ъг —
соответственно к массовыделенным частицам, которые возвращаются
на поверхность за счет столкновений: с набегающими частицами,
с частицами своего класса, с отраженными частицами; Nm0—заданный
пР (ха)
579

(исходный) поток частиц массоотделения; Nbj — возвратный поток
частиц газа на поверхности аппарата из-за аэродинамической
интерференции. Для свободномолекулярных условий его можно найти,
решая интегральное уравнение баланса локальных потоков на
поверхности.
Так как при больших числах Кнудсена частицы массоотделения,
возвращающиеся на поверхность, испытывают в среднем одно или два
столкновения с частицами набегающего потока, то Nbi/NM0~vMil/CM,
где vMi — частота столкновений массовыделенных и набегающих
частиц; См = (2кТм/тм)1/2 — наиболее вероятная величина тепловой
скорости частиц массовыделения; 1/См—характеризует время нахождения
частиц массоотделения в окрестности аппарата. При
£.= Ui/(2kTi/ т^112»I частота столкновений vMl=gMiGM^^ UiOMinu
где gMi — относительная скорость частиц массоотделения; aMi—сечение
столкновений частиц массоотделения с частицами набегающего потока.
Тогда
Nbi ni<jMiUil __ SiM
NM0(2kTJmMyi2 KniM'
где SiM=Uil(2kTM/mM)1/2; KniM — число Кнудсена для частиц
массоотделения. Возвратный поток частиц массоотделения Nbh
обусловленный их столкновениями с набегающими частицами, может быть
записан [67,104]
^=Ск-(-у/2^(1!у/2, 21<24)
где ск—коэффициент, численное значение которого зависит от формы
поверхности; амЬ аи — соответственно сечение столкновений частиц
массоотделения с набегающими и набегающих частиц между собой;
ть Ti — масса и температура частиц набегающего потока; шм,
Ты — масса и температура частиц массоотделения; Ut—массовая
скорость; Knii = lii/L = (y/2oiiniL)~i—число Кнудсена для частиц
невозмущенного потока; L — характерный аэродинамический размер; lii9
щ—средняя длина свободного пробега и концентрация частиц
набегающего потока. Возвратные потоки частиц массоотделения к
поверхности аппарата зависят от характерного числа Кнудсена. К ним
относятся потоки, вызванные явлением саморассеяния NbM, и потоки,
связанные со столкновением частиц массоотделения и отраженных
частиц Nbr:
*^«—= — = ч/2а п L
-NmO Кпмм /мм
—«-— = 7-= ! Н CFMr/!rL, (21.25)
Nm0 Кпмг /мг \ mrJ
гДе амм, амг—соответственно сечение столкновений частиц
массоотделения и отраженных частиц с частицами массоотделения; пм,
пг—концентрация массовыделенных и отраженных частиц; /мм, /мг —
соответственно средняя длина свободного пробега массовыделенных
частиц и частиц массоотделения в поле отраженных. Выражение
(21.25) получено для числа Кнудсена Кпмг при условии равенства
температур ТМ = ТГ.
580

i/кпц
Рис. 21.6. Зависимость возвратного
потока частиц к полусфере от параметра
5i/Kn„
Рис. 21.7. Распределение относительных
локальных потоков частиц,
возвращающихся к телу
Как отмечалось, величины возвратных потоков для полусферы
получены методом статистического моделирования. Поверхность
полусферы—распределенный источник, равномерно испускающий
частицы по диффузному закону при TM = TW. На рис. 21.6 представлены
результаты расчета относительного возвратного потока Nb/NM0 в
зависимости от St/Кпц при aMi/Gii = mJmi=Ti/TM = mM/mr=TM/Tr=l;
St = 5; KnMM = KnMr=l; Nbj = Q. Сплошная линия — аппроксимационная
зависимость, полученная по методу наименьших квадратов. Расчеты
возвратных потоков за счет столкновений показали, что NbM/NM0
и Nbr/NM0<z:Nbi/NM0.
На рис. 21.7 линией 2 представлен локальный поток Nb(<x),
отнесенный к его среднему значению Nb в зависимости от угла
а между внутгзенней нормалью в данной точке поверхности полусферы
и вектором (Уда. Расчеты локальных потоков проведены при тех же
параметрах, что и суммарные № = 5, Knh=5). Для сравнения на
рис. 21.7 представлены: линией 3 — зависимость, полученная для сферы
при Кпмм = 0,5 (остальные параметры те же) методом прямого
статистического моделирования (для сферы cfc = 0,092 в (21.24)) [104];
пунктирной линией 4 — зависимость для сферы, полученная при
решении модельного кинетического уравнения [67]; линией 1 —
расчетные данные для цилиндра, полученные методом прямого
статистического моделирования при Kn« = 20, KnMM = 2,5, St = 5 (для
цилиндра cfc = 0,36 в (21.24)) [104]. Видно, что для полусферы величина
возвратного потока наибольшая при малых углах а, поскольку
внутренняя поверхность полусферы дает более концентрированный
поток частиц массоотделения и отраженных молекул, чем внешняя
выпуклая поверхность. Эта особенность позволяет использовать
полусферу в качестве спутного экрана, позволяющего снизить воздействие
загрязняющих потоков собственной внешней атмосферы аппарата на
его поверхности.
581

ГЛАВА 22. ТЕЧЕНИЯ СЛАБОРАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
Для описания потоков при малых степенях разрежения часто нет
необходимости обращаться к кинетической теории. Одним из
направлений исследований таких течений является их изучение на
макроскопическом уровне, с использованием модели сплошной среды [25,
43, 47, 58, 61, 97, 123]. В качестве математической модели широкое
распространение получила полная система уравнений Навье—Стокса
или их асимптотические варианты (параболизованные уравнения,
уравнения Прандтля, уравнения Озеена и т. п.) с граничными условиями
скольжения и температурного скачка. Если характерные числа Кнудсена
настолько малы, что при исследовании течений газа применяют
уравнения сплошной среды с граничными условиями скольжения, то
такой класс течений может быть назван течением со скольжением.
§ 22.1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА ОБТЕКАЕМЫХ
ПОВЕРХНОСТЯХ
Введем скорость скольжения и температурный скачок в
граничные условия при подходе, связанным с применением какой-либо
формы уравнений механики сплошной среды для малых чисел
Кнудсена. Используем подход на уровне функции распределения [43],
позволяющий установить в слабо разреженном газе макроскопические
граничные условия для уравнений Навье — Стокса на поверхности
тела, при выполнении которых решение этих уравнений вне кнуд-
сеновского слоя совпало бы с решением уравнения Больцмана при
заданных соответствующих кинетических условиях на этой поверхности.
Поскольку функция распределения навье—стоксовского приближения
представляет решение уравнения Больцмана только на некотором
удалении от поверхности, то для того чтобы сформулировать
корректные граничные условия для уравнений Навье — Стокса
необходимо учесть процессы, происходящие в слое Кнудсена.
Около обтекаемой поверхности всегда имеется слой толщиной
порядка длины свободного пробега молекул /—слой Кнудсена (см.
п. 18.3.3), течение в котором описывается кинетическим уравнением.
Выделим две зоны (рис. 22.1, см. схему): внутреннюю — слой Кнудсена
толщиной порядка /, и внешнюю—с характерным размером L. Пусть
их отношение s = //L<^:l. Для плоской задачи о стационарном течении
газа модельное уравнение Больцмана имеет вид (черточки над
безразмерными переменными опущены)
ФФ^-f). (22.1)
582

У
2,0
Область континуума
Навье-Стока
0,1 О
оо
Рис. 22.1. Нормализованные профили отклонения скорости в кнудсеновском слое:
ф, Л, х —опытные данные: 5=0,15...0,2 при ;~=5, /=1,15 см, 7^ = 300 К [118]; О—метод
прямого статистического моделирования (данные Берда: Кп = 0,2, 5=0,2 [113]; •••, , — —
решение модельного кинетического уравнения (данные Мориниши и др., ••• Кп = 0,2, 5=0,5;
Кп = 0,1, 5=1; —• — Кп = 0,05, 5=1 [113]); / — решение линеаризованного модельного
уравнения с учетом зависимости частоты столкновений от скорости для модели твердых сфер
(Лойялка [113]); 2—метод Монте-Карло (С.Л.Горелов, М.Н.Коган [113, [118])
Для кнудсеновского слоя введем новую переменную Ух=у/г. Тогда
^§-+*xl=n(fo-f)- (22.2)
Для внешней и внутренней зон решение уравнений (22.1) и (22.2)
можно представить в виде соответствующих рядов по малому
параметру г
/=F<°>(*, у, О + еТ^Ч*, у, С) + ..., (22.3)
1=1{0){х,Уи С)+/(1)(*> ^i> 0 + ... • (22.4)
Граничные условия для/(к)(х, yl9 £) во внутренней зоне на поверхности
при уг=0 определяются из условия непротекания
где fti fr—функция распределения, описывающие потоки падающих
/ и отраженных г частиц. Разложение (22.3) представляет собой ряд
Гильберта [43, 88]. Первый член внешнего разложения F{0)
соответствует равновесному распределению, второй член ^(1) — навье —
стоксовскому приближению. Для построения граничных условий при
j->0 для F{°) и F(1) на внутренней границе внешней зоны необходимо
обеспечить условия сращивания решений в зонах, т. е.
/<0>(^оо) = ^°>(0), f"(yi-+oo) = F^(0)+yid-^... . (22.5)
Два первых члена разложения (22.4) (в навье—стоксовском
приближении) могут быть найдены из приближенного решения задачи в слое
Кнудсена. Функция распределения внутри слоя ищется в виде
/(х,С)=/оо(^С)(1+ф), ф(х,*) = 0(е), (22.6)
583

/оо(£ С) =
л(*,0)
zexP
2А-Г(;с, 0)//и
[2idfcr(x, 0)/w]3/2
где/00(3с, £)— некоторая равновесная функция распределения,
постоянная поперек кнудсеновского слоя. После введения (22.6) в уравнение
(22.2) и его линеаризации ищется функция ф(х, ух). В такой постановке
задачи об определении скачка температуры и скорости разделяются.
Каждая из них сводится к решению соответствующих интегральных
уравнений.
После нахождения решения кинетического уравнения в кнудсенов-
ском слое и использования условий сращивания (22.5) можно найти
следующие макроскопические граничные условия во внешней зоне
, пч 2-ятц(х,0)/ " ч1/2
ат п(х, 0)\ткТ(х, 0),
к дих(х,0) ^ k /2кТ(х,0)\Шд\пТ(х,0)
ду
1
дх
АТ=Т(х, 0)-Tw =
2-к3ае
1/2
Х(х9 0)
(2к)3'2п(ху0)
дТ(х, 0)
(22.7)
(22.8)
\Т(х, 0))
где Т(х, 0)=TS; ц, X—вязкость и теплопроводность газа; ах,
ае—коэффициенты аккомодации (при яе->0 формула (22.8) непригодна);
&i> ki> ^з—числовые коэффициенты, значения которых в общем
случае зависят от допущений, принятых при решении уравнения
Больцмана в кнудсеновском слое; Tw — температура поверхности;
у—координата, отсчитываемая от стенки по нормали. В первом
приближении граничные условия (22.7) и (22.8) можно записать в виде
и,=Н^1
д\пТ
к1^+к2у/Ш^^
&T=TS-TW
2-къае 15п . (дТ
Ое 128 \ду
(22.9)
(22.10)
где кх = 1,012, А:2 = 0,42, къ = 0,827. Формулы (22.9) и (22.10) получены
в предположении, что отражение является диффузным, а значение
ае близко к единице. Величины us и Ts в (22.7)...(22.10), определяющие
граничные условия на поверхности для уравнений Навье — Стокса,
не являются истинными значениями скорости и температуры у
поверхности, т. е. они отличны от истинных кинетических условий на
обтекаемой поверхности — на внутренней границе кнудсеновского слоя.
Результаты измерений профилей скорости, проведенные в
кнудсеновском слое около плоской стенки, позволяют выявить отличие
истинного профиля скорости от газодинамического. На рис. 22.1
показаны зависимости отклонения скорости (u1—us)l(du/dy)O0 от у=у/1,
отмеченные точками (#, Л, х), которые были найдены по
разности между экспериментальными значениями и теми значениями,
которые соответствуют линейному профилю в сдвиговом течении.
Эксперименты велись на воздухе у плоской полированной алюминиевой
пластины. Точки (#) получены при (du/dy)o0 = 12,32-102 (см/с)//, точки
584

(Л)—11,94-102 (см/с)//, точки (х) —7,57-102 (см/с)//. На рис. 22.1 дано
также сравнение опытных данных с различными численными
решениями задачи о течении со скольжением (задачи
Крамерса—течения Куэтта с одной плоской стенкой). Результаты вычислений,
основанные на решении модельного кинетического уравнения,
указывают на зависимость дефекта скорости от числа Кнудсена [113].
В отличие от разреженных потоков в сплошных газовых течениях
средняя длина свободного пробега (или толщина слоя Кнудсена)
/^10~5см. Поэтому поправкой на скольжение можно полностью
пренебречь, и на поверхности выполняются условия полного
прилипания (ия = 0 и ДГ=0).
§ 22.2. ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ
КНУДСЕНА
Рассматривается стационарное изотермическое течение газа
между двумя бесконечными плоскостями, из которых первая движется
со скоростью С7да, а вторая—неподвижна. Все производные по
направлениям х и z, а также градиент давления др/дх равны нулю.
Пусть характерные числа для течения Куэтта определены условиями
Kn00 = /00/L<:l и М00 = ^00/(уА:Г00/т)1/2<$:1. Уравнения Навье — Стокса
и граничные условия для данного течения
дрчу _ q д_
ду ' ду
дих
ду
-О, ^ = 0, (22.11)
ду
w*=4tlпри *=о*
(22.12)
Ux=U„-lao\j^J при y = L,
где 1О0 = (\6/5)(2пткТо0)~112(\хо0/пО0)— средняя длина свободного
пробега молекул — твердых сфер. Из (22.11) и условия непротекания
следует, что риу = const = 0 (или иу = 0) и р[х, у) = const. Уравнения
и граничные условия в безразмерной форме принимают вид
йх = Кпю(|=) при v = 0, йя=1-Кпю(|^ при j?=l, (22.14)
где .y=j>L; ^ = ^17^; Ц = |1Цоо; Kn00 = /C0/L. Интегрируя (22.13), получим
ду \i
(22.15)
или
йх=^у + С2, (22.16)
где Cl5 С 2—постоянные интегрирования, которые определяются
с помощью подстановки (22.14) в решение (22.16):
C2 = K*Jd£) =КПоо^, С1= —1_. (22.17)
\dyjw j.i - l+2Knx
585

С учетом (22.17) макроскопическая скорость газа и напряжение трения
определяются следующим образом:
1
у
+-
кПсг
1+2КП.» L 1+2Кп
СГ
2
ReT
1
(22.18)
(22.19)
(l/2)peC/i Re^l+^Kn*
где рху = \х(дйх/ду); RQ0o = Pa,U00L/[i00. При Кп^О из (22.18) и (22.19)
можно получить континуумные решения (см. формулы в п. 20.3.1).
При числах КПоо-юо из формулы (22.18) можно найти свободно-
молекулярное решение'^/^00 = 1/2. Из (22.19) в этом случае следует,
что с/ = (5/8)(2я/у)1/2/М0О. Оно отличается от решения для cfm на
коэффициент 5/8.
Течение Куэтта для слабо разреженного газа с учетом теплообмена
между пластинами при произвольных числах М^ рассматривается в [97].
§ 22.3. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ
ПРИ НИЗКИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
Использование системы уравнений Навье — Стокса с
корректными макроскопическими граничными условиями скольжения при
описании течений разреженного газа обеспечивает во многих случаях
получение надежных численных решений в переходной области, вплоть
до режимов, при которых длина свободного пробега молекул
становится сопоставимой с характерным размером рассматриваемой задачи
[25, 43, 61, 97, 123].
Исследование обтекания плоской пластины гиперзвуковым потоком
разреженного газа представляет собой классическую задачу, которая
охватывает весь спектр режимов течений разреженного газа от
свободномолекулярного (или почти свободномолекулярного) до кон-
тинуумного. На рис. 22.2 представлена структура течения вблизи
передней кромки, которая может быть описана только методами
кинетической теории. Существенно ниже по потоку можно выделить
зону сильного взаимодействия, где вязкий слой ограничен сверху
ударной волной, а невязкий слой отсутствует. Если влияние вытеснения
Кинетическое
описание
течения Нонтинуумное течение
У*
М*о>>/
у ^op^fjl—-——— Недязное течение
Пограничный слой
Сильное Слабое
дзаимодейстдие дзаимодейстдие
^^^^^>^^^^^
Скольжение на стен не ' Прилипание на стенне
I I Смешан- I
7 \ 2 \ ный слой Гиперзвунобое дзаимодейстдие
Рис. 22.2. Режимы течений при гиперзвуковом обтекании плоской пластины потоком
разреженного газа:
1 — почти свободномолекулярное обтекание, 2—переходной режим обтекания
586

пограничного слоя достаточно мало, то на поверхности реализуется
зона течения со слабым взаимодействием пограничного слоя с невязким
внешним гиперзвуковым потоком. В этих зонах применимы хорошо
развитые методы теории гиперзвукового сильного и слабого
взаимодействий [25, 31, 91]. Выше по потоку от зоны сильного
взаимодействия существует зона, где ударный и вязкий слои смешиваются
и становятся неразличимыми.
Данная картина обтекания пластины разреженным газом должна
быть дополнена всегда присутствующим около ее поверхности кнуд-
сеновским слоем толщиной порядка длины свободного пробега.
Течение в этом пристеночном слое описывается лишь уравнением
Больцмана. В рамках применимости уравнений Навье — Стокса он
может быть учтен постановкой соответствующих граничных условий
скольжения. Течение же около передней кромки длиной порядка
/ может быть исследовано только на основе кинетического подхода
(например, метода прямого статистического моделирования [19, 28,
83]). Эффект скольжения можно не учитывать лишь на расстояниях
х»/ от передней кромки, где применимы, например, уравнения
пограничного слоя. Они, как известно, следуют из уравнений Навье —
Стокса, в которых пренебрегают членами не только порядка 1/Re,
но и членами порядка 1/Re1/2 [43]. Разбиение течения из зоны
является достаточно условным. В общем случае следует всюду
пользоваться уравнением Больцмана.
В [123] проведен численный расчет гиперзвукового вязкого
обтекания разреженным газом плоской пластины с острой передней кромкой.
Использовались полные уравнения Навье — Стокса, запись которых
в векторной форме для плоского нестационарного течения имеет вид
Здесь
dt дх ду
(22.20)
U--
р '
рих
РЩ
Е J
, F=
<?=
- pux
P + Pul-pxx
PUxlly-PXy
-Eux+pux + qx-
' риу
PUxUy-PXy
P+PU^-Pyy
- Eiiy +
puy + qy-uxpxy-
~
"xPxx "yPxy -J
-
-UyPyy-
>
/? = (y-l)pe,
где 8 — удельная внутренняя энергия газа, z = cvT. Тензор касательных
напряжений и вектор теплового потока определяются следующим
образом:
(duxi дих:\ 2 дихк 0 - дТ
FlJ ^\dxj dxi] 3Р дхк 1р Чз dxj
На поверхности выполнялись следующие условия скольжения:
'2-аЛ( У \1т(дТ
7 / дих
ду
TS=TW +
1,996
Y+1/PrV ду
(22.21)
587

IE Ж
Рис. 22.3. Расчетное поле течения:
/ — ударная волна; I, II, III — расчетные области
где /0O = l,256y1/2[[i0O/(pooCoc)]; ае&\; Ts—температура газа на
поверхности (ее температура равна Tw). Расчетная область (рис. 22.3)
простирается от зоны невозмущенного набегающего потока перед
пластиной до зоны сильного взаимодействия. Каждый участок с
вычислительной сеткой различного шага содержит по 31
равномерно расположенному узлу в направлении х и, соответственно,
21 узлу по у. В некоторых зонах сетки частично перекрывают
друг друга.
Решение системы уравнений (22.20) с граничными условиями
(22.21) проводилось по конечно-разностной схеме Мак-Кормака в
каждом внутреннем узле расчетной сетки. Эта явная схема имеет второй
порядок точности по координате и времени. Параметры течения
в каждом граничном узле определялись следующим образом. Вдоль
границы расчетной области I, через которую поступает поток, были
заданы постоянные по времени условия набегающего потока. Для
каждой следующей расчетной области входные граничные условия
определялись по выходным параметрам предыдущей расчетной
области. Переменные параметры потока на верхней и выходной границах
определялись экстраполяцией по данным во внутренних узлах сетки.
Как указывалось, на поверхности (нижней границе) выполнялись
условия скольжения. Кроме того, нормальная составляющая скорости
принималась равной нулю, а оставшиеся переменные (pw, pw)
определялись также экстраполяцией значений параметров во внутренних
узлах, используя уравнения сохранения. Решение в каждой области
определялось методом установления.
Рис. 22.4...22.6 содержат типичные
результаты исследования. На рис. 22.4
дано сравнение рассчитанного
давления на поверхности пластины
р„ с экспериментальными
результатами [123], полученными для воздуха.
Видно, что расчетная кривая вблизи
Рис. 22.4. Распределение давления вдоль
поверхности пластины (M т = 10,15, у = 1,4,
Pr = 0,72, rw/ro==0,l)
I — теория сильного взаимодействия (Чжен и др.
[123]); II — свободномолекулярный предел; 1 —
численное решение уравнений Навье — Стокса с
условиями скольжения (Таннехилл и др. [123]);
2—экспериментальные данные (Беккер, Бойлен [123])
10г 101 10° 10 ~1 10-г х
588

«*/"<
Рис. 22.5. Зависимость нормированной
скорости скольжения газа у пластины от
параметра разрежения:
/—решение уравнений Навье — Стокса с
условиями скольжения (Таннехилл и др. [123]); 2 —
экспериментальные данные (поправка на «эффект
отверстия» не производилась [123]); 3—решение
методом Монте-Карло [84]
0,5 1,0 1,52,0
Рис. 22.6. Сравнение профилей плотности
у передней кромки пластины (М00 = 12,66,
у =1,4; Рг = 0,667, Tw/T0 = 0,0835):
—О— решение уравнений Навье — Стокса
с условиями скольжения (Таннехилл и др.
[123]); расчет методом Монте-Карло
(Вогениц и др. [123])
передней кромки при числах Кнудсена Кпоо = /ю/х«20 близка к сво-
бодномолекулярному решению. Здесь х = х/1ао—расстояние вдоль
пластины. Далее вниз по потоку давление pw превышает свободномо-
лекулярный предел, имеет немонотонный характер и в окрестности
значения параметра сильного взаимодействия % = М^ V^ = 0,2
(Коо = М00 (С /Rex)1/2—параметр разрежения, C=(\iw/\iao){Tou/Tw) —
постоянная Чепмена — Рубезина; Rex = p00/700x/|i00) асимптотически
приближается к характеристике, вычисленной по теории сильного
взаимодействия. Такой характер изменения давления вдоль поверхности
пластины (тонкого тела) обусловлен существованием на нем различных
зон течения. Значения pw для двух предельных режимов вычислялись
по формулам [48, 123]
(лЫи, = (1/2)[1+(^/Г00)1/2],
(^/^oo)5/ = (v^Y/2)[(Y-l)/(T+l)][0,664+l,73(rw/ro)]x.
Здесь (pw/Poo)si соответствует теории сильного взаимодействия (Чжен
и др.); Ры, Т^—статическое давление и температура в невозмущенном
потоке. На рис. 22.5 приведен график изменения скорости скольжения
в зависимости от параметра V^. Условия обтекания пластины
идентичны тем, которые даны на рис. 22.4. Расчетные результаты
при указанных значениях V^ согласуются с экспериментальными
данными [123]. Они показывают, что скорость скольжения в начале
зоны сильного взаимодействия составляет около 10% от характерной
скорости обтекания U^.
Графики, приведенные на рис. 22.6, позволяют установить характер
трансформации профиля плотности р* = р/рс0 в направлении х.
Результаты расчетов, полученные разными методами, согласуются между собой.
Эксперименты [108, 109] в области умеренных значений параметра
разрежения Кда позволили выявить ряд особенностей теплообмена
и сопротивления тонкой пластины при дозвуковых, сверхзвуковых
и гиперзвуковых скоростях.
В опытах [109] с помощью набора пластин измерялись
нестационарным методом средние коэффициенты теплоотдачи as = Qz[(Г0 — Tw)А~\~х9
589

0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
ОЛ
0,1
0,2
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,01
0,01
2s/ ,
/
/
/
Л1
/*"~
/ ^
//
„'' .
/-зИР'.Э
/2р
у
а
/
А
I
''
~-Х—>
А
'.4
/
:—
А
/
л
\
1
Н"
т^ч—
i /
V
/
/ /
У /
Л
1 б
-к"
J—^
*
\
7
~Т~
X-/Z7
0,1
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1
I 1
0,2
Ш^(фе„)Ъ
4 5
oz от параметра разрежения для плоской
Рис. 22.7. Зависимости чисел Стантона St,
пластины (Мго = 6±0,1, ^ = 0,61+0,015):
/ — безградиентный пограничный слой (ц~Г, Рг = 0,71); 2—теория сильного взаимодействия (Рг=1,
у=1, Дорренс [109]); 3— теория нестационарной аналогии взрывной волны (Кп8 = 0,172 [109]);
расчет по формуле (22.23): линия 4 — Кп8 = 0,883, линия 5 — Кп5 = 2,083; 6 — зависимость
St0 = Sto(M00/Re^/2) для бесконечно тонкой пластины; 7—свободномолекулярный предел при Кп5-юо;
8—зависимость Ste от/ [M/(C/Re0)1/2 ] для бесконечно тонкой пластины при Моо = 6 и rw = 0,61;
9 — теория свободномолекулярного обтекания для бесконечно тонкой пластины; 10 — значения St0,
полученные методом экстраполяции
где <2L — суммарный тепловой поток, поступающий в модель;
A = 2Lb — площадь продольно-обтекаемых поверхностей пластины; Ь,
L—длина и размах пластины; Г0, Tw—температура торможения
и температура поверхности пластины. По измерениям параметров
набегающего потока (р^, £/«,, Т^, ^(Г^)) вычислялись значения
Sto^az/fp^Cp), Кп6=1,26у1/2М00/(5ДеД Re00 = p00C/006/jx00, tw =
= TW/T0 и параметра 5, = 5/6. Результаты одной из серий опытов
представлены на рис. 22.7 в виде зависимости St0£=/(MQO/ReJ0/2).
Каждая серия состояла из нескольких групп опытов (кривые I, И).
Каждая группа характеризуется постоянным значением статического
давления в набегающем потоке р^ и, соответственно, постоянным
Кп5 и охватывает эксперименты при помощи набора из пяти моделей
пластин, имеющих разные Ъ и 5* — относительные толщины. Суммарный
тепловой поток в модель можно представить как сумму потоков
590

через продольно-обтекаемые поверхности и через переднюю кромку
(потоки тепла через заднюю и боковые кромки были пренебрежимо
малыми)
Qz = aL(T0-Tw)A + OLb{T0-Tw)A8i (22.22)
где АЪ = ЪЬ—площадь поперечно-обтекаемой поверхности пластины;
а, а5 — соответственно коэффициенты теплоотдачи на поверхностях
А и Аъ. Из (22.22) следует:
St0,i = Sto + 0,55,St0,6, St0 = a/(p00^700cp), St05 = a5/(Poo U^c,).
Поскольку в каждой группе опытов величина 5* изменялась от
модели к модели, то формулу для зависимости St0,m>i=/(M00/ReJ0/2),
соответствующей свободномолекулярному режиму обтекания, можно
представить в виде (у = CP/CV= 1,4)
^/^ (Мад/Ке^/^
Здесь
л Тт l+0,2rmM
оо
т~Т0 l+0,2Mi ' ш6 Го 1+0,2М^ '
где Tmi ТтЛ — равновесная температура для ^-поверхности и передней
кромки при свободномолекулярном обтекании; rm,
гш>6—температурный коэффициент восстановления для продольно- и поперечно-
обтекаемой пластин в свободномолекулярных условиях. Зависимости
(22.23) для каждой группы опытов представлены на рис. 22.7 линиями
4, 5. При наибольших значениях параметра разрежения опытные
данные практически совпали с теорией свободномолекулярного
обтекания при яе=1. На рис. 22.7 нанесены также для сравнения
зависимости, рассчитанные по разным теориям.
Из рис. 22.7 видно, что для каждого фиксированного числа
Moo/Rej/2 можно получить набор значений St од, соответствующих
разным 5+, т. е. St0,i=/(5+). Эти зависимости использовались затем
для получения St0 при 5->0. Опытная зависимость St0=/(M00/Re J/2),
отмеченная на рис. 22.7 линией 6 выходит при M^/Re ^/2>2 на
свободномолекулярный предел (Кп5-»оо).
Вклад теплового потока, поступавшего через кромку в Q2 при
Кп5>1 пропорционален толщине кромки. Теплоотдача кромки в
опытах соответствует свободномолекулярному режиму. Практически
отсутствовало влияние продольно-обтекаемых поверхностей пластины
на характер течения перед кромкой. Теплоотдача
продольно-обтекаемых поверхностей пластины конечной толщины в рассматриваемой
области такая же, как теплоотдача бесконечно тонкой пластины.
Влияние возмущения, вносимого кромкой, на теплоотдачу продольно-
обтекаемых поверхностей пластины практически отсутствовало.
Некоторое объяснение этому можно дать, если рассматривать
условия почти свободномолекулярного обтекания пластины. В облаке
молекул, уходящих с поверхности кромки, ослабляется поток молекул
невозмущенного течения, падающий на пластину. Это должно
приводить к уменьшению поступлений энергии, т. е. к уменьшению
теплоотдачи. С другой стороны, из-за столкновений молекул
невозмущенного течения с отраженными от кромки молекулами образуется
поток молекул первых столкновений к пластине. Этот поток увеличи-
591

0,09
0,08
0,07
0,0b
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
w
Aba ,
V
/
/
/
/
4
A
//
i^r.
is
г/Ь
i
4 —■=?
5k
T^
_
^-—
М«хГ->,0
M~,=tf
K^Fw
—
0,1
0,2 0,3 Ofi 0,6 0,Q 1,0
2 J 4 5
Рис. 22.8. Зависимости Ste = Ste [M^C/Re^)1''2] для различных чисел M^ {tw = 0,79±0,02)
линии:
1 — Мсо = 7,8, 2 — Ыго — 6, 3 — N100 = 3,8; теория безградиентного пограничного слоя (ц~Г, /w = 0,79,
Рг = 0,71): 4а—Моо = 3.8; 46—Мю = 7,8; 5 — теория сильного взаимодействия (у =1,4; Рг=1 [109])
вает поступление энергии с падающими молекулами. Два
противоположных эффекта могут при определенных условиях
уравновешивать друг друга. Из приближенного анализа в рамках первых
столкновений следует, что при Моо~3...5 влияние противоположных
эффектов, обусловленных кромкой, взаимно компенсируется.
Для вычисления Ste, определяемых через разность температур
Te—TWi использовались данные, полученные методом экстраполяции,
и экспериментально найденная зависимость г = (Ге— Т)(Т0 — Т)'1 от
параметра M^C/Re^)1'2, где C = ii(Tw)r[[i(T)Tw]~i. Зависимость
Ste=f[Maj/{C/Reaa)1/2] для М^б и fw = 0,61 отмечена на рис. 22.7
линией 8. Линия 9 на графике соответствует свободномолекулярному
решению для бесконечно тонкой пластины.
Для различных чисел Маха при ги, = 0,79 зависимости
Ste=/[M00/(C/Re^)1/2], полученные в опытах, представлены на
рис. 22.8. На графике нанесены также зависимости для безградиентного
пограничного слоя при больших скоростях газового потока и для
свободномолекулярных условий обтекания пластины.
Рис. 22.9 содержит опытные данные (см. точки на рис. 22.9) при
N1^ = 0,642 и /^1,09 в виде зависимости StE=/(M00/ReO0/2), где
St2 = Q [р оо Uоо ср(Tw — Те>е)А] ~х, Те%х—средняя равновесная
температура модели. Каждая линия (пунктир) на графике соответствует
фиксированному значению 5, т. е. Кп6. Опытные зависимости для
каждого значения Кп5 по мере увеличения параметра разрежения
выходят на соответствующие зависимости для свободномолекулярного
обтекания пластины различной толщины 5 (штрихпунктир)
Stw,E — St„
;ЫН
+st
mf
K-h
8,^0,746 (Мм/Re ip/2)2
2 MM Kn8
Tm,L _Tmi_\+0,2riM2oo , « f,
'To9 ' T0 l+0,2Mi l ' J)'
592

Рис. 22.9. Теплоотдача тонкой пластины в дозвуковом потоке разреженного газа:
/ — кривая теплоотдачи бесконечно тонкой пластины; 2 — свободномолекулярный предел (Кп5-юо,
у=1,4, яе=1); 3 — теория пограничного слоя; опытные зависимости: 4 — Мда=0,670; 5 — Мда = 0,399;
б — 0,224; 7—значения чисел Stp, полученные методом экстраполяции
Здесь Tmtf, ТтЛ—соответственно, равновесная температура для
задней кромки и суммарная для свободномолекулярных условий;
rf—коэффициент восстановления температуры для задней кромки при свобод-
номолекулярном режиме; /2 определялось из условия теплового баланса:
_Stw?m + 0>55,(Stm,8r5 + Stm/r/)
1 ' Stm + 0,55,(Stm,5 + StM/) '
где Stm, Stm6, Stw/—соответственно, число Стантона для
^-поверхности, передней и задней кромок при свободномолекулярных условиях
обтекания. Если 5*-»0, то f£--»fm.
По опытным данным для каждого фиксированного числа
Мсо строились зависимости StI=/(51)!), позволившие осуществить
экстраполяцию в сторону 5„->0 и получить данные для бесконечно
тонкой пластины (точки 7). Опытная зависимость Ste=/(M00/Re00/ )
выходит с увеличением параметра разрежения на зависимость,
соответствующую свободномолекулярному обтеканию (линия 2). При
малых разрежениях опытная зависимость приближается к зависимости,
соответствующей безградиентному пограничному слою (линия 3). На
этом рисунке нанесены также опытные данные по теплоотдаче
бесконечно тонкой пластины для различных чисел Маха, расчетные
зависимости для континуумных (линии из точек) и
свободномолекулярных (штрихпунктир) условий.
Аналогичным образом получены данные по сопротивлению
бесконечно тонкой пластины, обтекаемой гиперзвуковым потоком
разреженного газа при нулевом угле атаки [108]. Эти данные
представлены на рис. 22.10. Как и в результатах по распределению
давления и по теплоотдаче тонкой пластины в диапазоне чисел
ОД^Моо/Яе^^Ю (здесь число Рейнольдса Re00 = p00l700^/|i00),
наблюдается превышение значения сха = Ага[(1/2)расС/^0Л1]"1
(At—площадь пластины в плане) над свободномолекулярным решением
СхЯ,т = [2/(лу)]1/2М^1. При Moo/ReiP^O.OS приведенные данные
согласуются с расчетными значениями, вычисленными по континуумной
теории сильного взаимодействия [108]:
593

Рис. 22.10. Сопротивление
тонкой пластины в
зависимости от параметра
разрежения:
I — теория сильного
взаимодействия (Ли, Нагаматцу [108].
a— TJT0 = 0,6; 6— Tw/To = 0,S),
II — свободномолекулярный
предел (Моо = 20...25); опытные
данные [108]: # — Моо = 20...25;
rw/r0 = 0,6...0,8; 0-Мда =
= 7,0 ..7,5, rw/ro = 0,8; D —
М0О = 5,8, TJTo = \,0
M^/Re
M5/ = 2c/ = 8c/0C3^(M00/yRe00)3/2,
где cs — cxa\2— средний коэффициент трения; С=(|и00/|1с)(Гс/7100) —
постоянная Чепмена—Рубезина; |лс, Тс—стандартные значения
параметров на уровне моря; cf0 = cf0(Tw/Т0) — функция, зависящая от
температуры [108].
Задача о течении вязкого газа около сферы при малых числах
Рейнольдса также рассматривалась в рамках уравнений механики
сплошной среды [61]. Численное решение основано на консервативной
конечно-разностной схеме, аппроксимирующей полную систему
уравнений Навье — Стокса. Используется криволинейная ортогональная
система s, п, ф, где s—координата, отсчитываемая вдоль контура
тела в меридиональной ^плоскости; п — нормаль к поверхности тела;
Ф — азимутный угол. Уравнения движения вязкого теплопроводного
газа записываются в следующей векторной форме (указан
безразмерный вид):
3U
=i/ir*
(22.24)
dt rH\ds 1 дп 2 dcp 3
p=—p*.
Y
Векторы, входящие в (22.24), для осесимметричного течения
имеют вид
U--
р (иу sin д — uxcosQ)
р (их sin д + иу cos 0) cos ф
pE
F* =
0
0
(-/>9<p+/>)sin<p
0
, (22.25)
F,
-pux
{Psn-puxuy) smQ-(pss-p-pul)cos 9
[{Pss —p — P "J) sin 9 — (psn — puxiiy) cos 9] cos ф
. 4s + ux (pss -p) + uypm - uxpE
594

F7 =
(22.25)
-puy
{pnn-p-pUy)sinQ-(psn-puxuy)cosQ
[(psn-puxuy)smQ + {pnn-p-pu^)cosQ~\cos(p
_ 4n + uxp5n + uy (pnn -p) - UypE
Здесь 0 — угол между направлением невозмущенного потока и
касательной к контуру сферы в меридиональной плоскости; г,
Н—коэффициенты Ляме. Безразмерные величины, входящие в (22.24), (22.25),
определяются следующим образом: линейные размеры отнесены к
радиусу сферы R\ компоненты скорости их, иу, направленные в сторону
возрастания координат s, и, отнесены к скорости невозмущенного
потока С/да; плотность р —р^; давление р и компоненты тензора
— ~"" ком-
напряжении pss, рп
Арф — P U J,; энтальпия h = ср Т— U
Poo^L
коэффициент
поненты вектора теплового потока qs, qn-
вязкости (i—\i*~U%?. Число Рейнольдса определялось по радиусу
сферы Re = pO0UouR/\i*, ji = Ae, E=(h/y) + Q,5(]u*+u*)9 y = Cp/Cv.
Расчетная область определялась как часть плоскости s, л,
ограниченная осью симметрии, поверхностью сферы и некоторым контуром
N(s), достаточно удаленным от тела. На части этого контура со
стороны набегающего потока задаются условия, соответствующие
стационарному невозмущенному течению. На остальной части этого
контура принимается, что нормальные производные от искомых функций
равны нулю. На оси симметрии учитываются условия симметрии
течения. На поверхности сферы задаются граничные условия скольжения,
условия непротекания, а также условие равенства нулю теплового
потока при расчете обтекания теплоизолированной сферы.
В численных расчетах использовались итерационные схемы —
аналоги метода переменных направлений и разновидность метода
Зейделя [61].
Основные черты этих численных схем расчета поясняются с
помощью модельного дивергентного уравнения
ди д ( ди ,
-A(cg + A + q>),
(22.26)
где а>0, о0, b, d, g, ф — некоторые заданные функции х, у, и.
Первая конечно-разностная схема уравнения (22.26) — одна из схем
метода переменных направлений, имеющая вид:
,.*+0,5 ,.к
Ч^и=[ЬхиГо,5ЦЬуи)К
0,5т
- = (М*+0,5 + (М
fc+1
(Lxu)
/с + 0,5.
4 + 0,5;"
„fc + 0,5
*i-0,5j-
+
/ I ITU.JJ i —( — V.J/ 1
hi I hY hl
+ 0,5(b4+o,5j + \bUo,5j\)[un?j5 + 0,5{u4+u-uU2j)] +
+ 0,5{bUo,sj-\b!+o,5j\)(ub+O'5+V>4»b-u*-u)-
-0,5(ftJ_o,5J+|6f-o.SJl)[«*y+o-s + 0,5(«*y-«?+u)]-
-0,5(6?-o,5J-l*?-o,5Jl)[«f-+i0;5 + 0(5(M?_u-uf-2,.)]+gf+0,5j-gf-o.5].
595

Выражение для оператора (Lyu)k записывается подобным образом.
Параметры т, hx и h2 — размеры разностной сетки по координатам
/, х, у, соответственно. Решение на каждом временном слое
определяется с помощью метода прогонки.
Для численного расчета модельного уравнения (22.26) (в котором
д/ду = 0 и g = 0) вторая разностная схема
l+a—\ +a— = a -2 + b
\ h0J t0 2h0 t0 Ло
2h0
при счете от левой границы к правой и
—=а —
-2иУ
Ч
hi
± + Ь-
-illi — М, + 2
2Л0
при счете от правой границы к левой (левая граница соответствует
i=0). Здесь т0 и h0—шаги разностной сетки по координатам / и х.
Обе схемы безусловно устойчивые.
В результате численного решения полной системы уравнений
Навье — Стокса авторами [61] получен ряд характеристик,
описывающих сверхзвуковое и гиперзвуковое течения разреженного газа около
сферы. Коэффициент сопротивления сферы вычислялся следующим
образом:
^ха
{p„Ul/2)(KR2
= 4 \{р sin 0 +psn cos 0) cos ddd.
Расчетные данные по сха сферы хорошо согласуются с экспериментом
(см. рис. 20.13). О влиянии граничных условий скольжения на
характеристики поля течения у передней части теплоизолированной сферы
можно судить по расчетным данным, показанным на рис. 22.11.
Граничное условие скольжения аппроксимировалось с помощью
выражения
uxjo~-
_2-aJy-ln\^(hl0)
a.
У 2
рю :Ы,о+;(7~
Цю 1 Л<+1
PioRe si+i—Si-x
где ах—коэффициент отражения. Вычисления проводились в
нормированных координатах Z> = s, r\=n/N(s), область интегрирования
в переменных £, т\ представляла собой прямоугольник. Разностная
схема и решение строились на равномерной сетке в пространстве
их>Р
P>cf
^>ч^
*z
^с^
■~ч
i^^~"
0 0,3 0,6 q 0 0,25зг 0,5ж
a) S)
Рис. 22.11. Влияние типа граничных условий на расчетные параметры для
теплоизолированной сферы (у =1,4, Рг = 0,72)
596

(£, т|). Использовалась сетка 1хт — 31x30, где /—число внутренних
узлов разностной сетки по координате £; т — по координате г\.
Исходные данные: N1^ = 10, Re = 5,64, со = 0,75, ят=1. На рис. 22.11,а
показаны безразмерные профили касательной составляющей скорости
йх и давления р на линии 5 = 0,838. Сплошные кривые соответствуют
условиям скольжения, пунктирные — прилипания. На рис. 22.11,5
представлены расчетные данные по безразмерному давлению р и
коэффициенту трения cf вдоль поверхности сферы. Видно как изменяются
значения их и р для различных граничных условий на участке от
невозмущенной области течения до поверхности тела. Наряду с
уменьшением степени возмущения внешнего потока скольжение понижает
значение давления и трения на самой поверхности сферы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1976. 888 с.
2. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй. М.: Наука, 1984. 717 с.
3. Авдуевский В. С. Метод расчета пространственного турбулентного пограничного
слоя в сжимаемом газе//Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1962. № 4. С. 3—13.
4. Авдуевский В. С. Расчет трехмерного ламинарного пограничного слоя на
линиях растекания//Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1962. № 1. С. 32—42.
5. Авдуевский В. С, Иванов А. В., Карпман И. М. и др. Течение в сверхзвуковой
вязкой недорасширенной струе//Изв. АН СССР, МЖГ, 1970. № 3. С. 63—69.
6. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика
и теплообмен. В 2 т., М.: Мир, 1990. Т. 1. 384 с; Т. 2. 728 с.
7. Анфимов Н. А. Ламинарный пограничный слой на химически активной
поверхности//Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1962. № 3. С. 3—12.
8. Аржаников Н. С, Мальцев В. Н. Аэродинамика. М.: Оборонгиз, 1956. 483 с.
9. Аржаников Н. С, Садекова Г. С. Аэродинамика ЛА. М.: Высш. шк., 1983. 360 с.
10. Аристов В. В., Черемисин Ф. Г. Решение одномерных и двумерных задач для
уравнения Больцмана. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1987. 48 с.
11. Атаманенко А. В. Восстановление параметров функции распределения
отраженных молекул по измерениям сил и индикатрис рассеяния в молекулярном потоке //Учен.
зап. ЦАГИ, 1987. Т. 18. № 3. С. 69—78.
12. Атаманенко А. В., Мусанов С. В. Минимизация сопротивления орбитальных
станций/Прикладные вопросы аэродинамики летательных аппаратов. Киев.: Наук.
думка, 1984. С. 24—27.
13. Атлас газодинамических функций при больших скоростях и высоких
температурах воздушного потока/Ю. А. Кибардин и др. М.: Госэнергоиздат, 1961. 328 с.
14. Атмосфера: Справочник (справочные данные, модели)/Редкол. Ю. С. Седунов
и др. Л.: Гидрометеоиздат, 1991. 509 с.
15. Аэродинамика частей самолета при больших скоростях/Под ред. А. Ф. Доновэна
и Г. Р. Лоуренса. М. Л.: ИЛ, 1959. 702 с.
16. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми
поверхностями. М.: Наука, 1975. 344 с.
17. Баранцев Р. Г. Квазилокальная теория для тонких тел//Тр. 9-й Всесоюзной
конференции по динамике разреженных газов. Свердловск: Изд-е УГУ, 1987. Т. 1.
С. 113—121.
18. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред.
М.: Наука, 1984. 520 с.
19. Белоцерковский О. М., Ерофеев А. И., Яницкий В. Е. Прямое статистическое
моделирование задач аэрогазодинамики//Успехи механики. 1982. Т. 5. № 314. С. 11—40.
20. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К. Аэродинамические производные
летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М.: Наука, 1975. 424 с.
21. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном
потоке газа. М.: Наука, 1971. 767 с.
22. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981. 320 с.
23. Березин Ю. А., Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Об одной неявной схеме расчета
течений вязкого теплопроводного газа//Численные методы механики сплошной среды.
Новосибирск.: Изд-е ИТПМ СО АН СССР, 1972. Т. 3. № 4. 128 с.
24. Бобылев А. В. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и теория
релаксации максвелловского газа//Теоретическая и математическая физика. 1984. Т. 60.
№ 2. С. 280—310.
25. Богачева А. А., Галкин В. С. Сильное взаимодействие на пластине с учетом
скольжения и пристеночного скачка температуры//АН СССР, Инженерный журнал,
1962. Т. 2. № 2. С. 231—238.
26. Булах Б. М. Нелинейные конические течения газа. М.: Наука, 1970. 343 с.
598

27. Власов В. И. Консервативный вариант метода пробных частиц (Монте-
Карло)//Численные и аналитические методы в динамике разреженных газов. М.: Изд-е
МАИ, 1986. С. 81—85.
28. Власов В. И., Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины
потоком разреженного газа//Тр. ЦАГИ. 1979. Вып. 1974. 40 с.
29. Вознесенский Э. Н., Немченко В. И., Самсонов Н. А. Взаимодействие сильно
недорасширенной струи газа, истекающего из канала с примыкающей поверхностью//Тр.
20-й научной конференции МФТИ, 1974. Сер. Аэрофизика и прикладная математика.
М.: Изд-е МФТИ, 1975. Ч. 1. С. 48.
30. Галкин В. С, Ерофеев А. И., Толстых А. И. О приближенном методе
аэродинамического расчета в разреженном газе/Динамика разреженного газа и молекулярная
газовая динамика//Тр. ЦАГИ, 1981. Вып. 2111. С. 27—35.
31. Галкин В. С, Жбакова А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики
пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке и вопросы моделирования
в вакуумных аэродинамических трубах//Тр. ЦАГИ. 1970. Вып. 1187. 48 с.
32. Гиневский А. С. Теория турбулентных струй и следов. М.: Машиностроение,
1969. 400 с.
33. Глушко Г. С. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине в
несжимаемой жидкости//Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, 1965. № 4. С. 13—23.
34. Голубев В. В. Труды по аэрогидромеханике. М. Л.: Гостехиздат, 1957. 979 с.
35. Горенбух П. И. Корреляция коэффициентов сопротивления выпуклых тел
в гиперзвуковом потоке разреженного газа//Аэродинамика, тепло- и массообмен
в разреженном газе. М.: Изд-е МАИ, 1987. С. 51—55.
36. Елькин Ю. Г., Нейланд В. Я. О расчете характеристик ламинарных зон
отрыва//Инженерный журнал. 1965. Вып. 5. № 5. С. 238.
37. Здункевич М. Д. Расчет турбулентного пограничного слоя в высокоэнтальпийном
потоке//Учен. зап. ЦАГИ, 1980. Т. 11, № 1. С. 105—109.
38. Иванов М. С, Рогазинский С. В. Метод прямого статистического моделирования
в динамике разреженного газа.— Новосибирск: Изд-е ВЦ СО АН СССР, 1988. 118 с.
39. Иванов М. С, Рогазинский С. В. Экономичные схемы статистического
моделирования течений разреженного газа//Математическое моделирование, 1989. Т. 1.
№ 7. С. 130—145.
40. Иванов М. С, Черемисин Ф. Г. Численное моделирование течений разреженного
газа//Механика неоднородных систем. Новосибирск: Изд-е ИТПМ СО АН СССР.
1985, С. 281—306.
41. Иванов С. Г. Медленное движение сферы в разреженном газе//Прикладные
вопросы аэродинамики летательных аппаратов. Киев: Наук, думка, 1984. С. 9—10.
42. Каримов А. X. Матрица аэродинамических коэффициентов влияния для крыла
произвольной формы в плане при сверхзвуковых скоростях//Изв. вузов, Авиационная
техника, 1971. №4. С. 107—110.
43. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. 440 с.
44. Козлов Л. В. Экспериментальное исследование поверхностного трения на
плоской пластине в сверхзвуковом потоке при наличии теплообмена // Изв. АН СССР,
Механика и машиностроение, 1963. № 2. С. И—20.
45. Козлов Л. В. Экспериментальное определение закона теплообмена для
турбулентного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке//Исследование теплообмена
в потоках жидкости и газа. М.: Машиностроение, 1965. С. 91—109.
46. Кошмаров Ю. А., Свирщевский С. Б. Теплоотдача тела при почти свободно-
молекулярном дозвуковом обтекании. Тепло- и массообмен между потоками и
поверхностями. М.: Изд-е МАИ, 1976. Вып. 351. С. 45—50.
47. Кошмаров Ю. А., Рыжов Ю. А. Прикладная динамика разреженного газа.
М.: Машиностроение, 1977. 184 с.
48. Кошмаров Ю. А., Рыжов Ю. А., Свирщевский С. Б. Экспериментальные методы
в механике разреженного газа. М.: Машиностроение, 1981. 200 с.
49. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Изд-е
АН СССР, 1961. 427 с.
50. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М.:
Физматгиз. 1963. Т. 1. 560 с; Т. 2. 727 с.
51. Красилыцикова Е. А. Тонкое крыло в сжимаемом потоке. М.: Наука, 1978. 223 с.
52. Краснов Н. Ф. Аэродинамика. В 2 ч. М.: Высш. шк., 1976. Ч. 1, 383 с; Ч. 2. 368 с.
53. Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н., Калугин В. Т. Аэродинамика отрывных течений.
М.: Высш. шк. 1988. 351 с.
54. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 730 с.
55. Ларина И. Н., Рыков В. А. Исследование обтекания сферы двухатомным
разреженным газом//Численные методы в динамике разреженных газов. М.: Изд-е ВЦ
АН СССР, 1979. Вып. 4. С. 52—68.
599

56. Лиз Л., Ривз Б. Сверхзвуковые отрывные и присоединяющиеся течения. Ч. 1.
Общая теория и применение ее для анализа взаимодействия скачка уплотнения
с адиабатическим пограничным слоем // Ракетная техника и космонавтика, 1964. № 11.
С. 22—39.
57. Лимар Е. Ф. Численный метод решения уравнения Больцмана//Численные
и аналитические методы в динамике разреженных газов. М.: Изд-е МАИ, 1986. С. 43—47.
58. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.
59. Любимов А. Н., Русанов В. В. Течение газа около тупых тел. М.: Наука,
1970. Ч. 1. 287 с.
60. Методы расчета турбулентных течений/Под ред. В. Колльмана. М.: Мир,
1984. 463 с.
61. Молодцов В. К., Рябов В. В. О применении уравнений Навье — Стокса для
описания сверхзвукового течения разреженного газа около сферы//Учен. зап. ЦАГИ,
1979. № 6. С. 30—35.
62. Мусанов С. В., Омелик А. Н., Фридлендер О. Г. Определение аэродинамических
характеристик выпуклых тел в свободномолекулярной области на основе эмпирических
коэффициентов передачи импульса//Динамика разреженного газа и молекулярная
газовая динамика. Тр. ЦАГИ, 1985. Вып. 2269. С. 67—76.
63. Мышенков В. И. Численное исследование передних и донных отрывных
течений//Тр. 8 Всесоюзной школы-семинара по численным методам вязкой жидкости.
Новосибирск, 1981. С. 160—163.
64. Нейланд В. Я. Асимптотическая теория взаимодействия и отрыва пограничного
слоя в сверхзвуковом потоке//Механика и научно-технический прогресс. Т. 2. Механика
жидкости и газа. М.: Наука, 1987. С. 128—145.
65. Некрасов А. И. Собрание сочинений. М.: Изд-е АН СССР, 1961. Т. 1. 443 с;
1969. Т. 2. 706 с.
66. Николаев К. В. Влияние вдува на теплопередачу в разреженном газе//
Аэродинамика, тепло- и массообмен в разреженном газе. Тр. 8 Всесоюзной конференции
по динамике разреженных газов, М.: 1987. С. 31—35.
67. О методах расчета параметров собственной внешней атмосферы летательных
аппаратов/Ю. А. Рыжов, М. П. Бургасов, К. Н. Кузовкин, С. Б. Свирщевский//Аэротер-
могазодинамика в разреженных потоках. М.: Изд-е МАИ, 1988. С. 3—24.
68. Основы теплопередачи в авиационной и космической технике/Под ред.
В. К. Кошкина. М.: Машиностроение, 1975. 623 с.
69. Пасконов В. М., Сопруненко И. П. Пограничный слой на слабо волнистой
стенке//Численные методы в газовой динамике. М.: Изд-е МГУ. 1963. С. 117—122.
70. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование
процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 286 с.
71. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом/К. И. Бабенко,
Г. П. Воскресенский, А. Н. Любимов, В. В. Русанов. М.: Наука, 1964. 505 с.
72. Пярнпуу А. А. Взаимодействие молекул газа с поверхностями. М.: Наука,
изд-е ВЦ АН СССР, 1974. 192 с.
73. Ракогон Ю. Г. Некоторые результаты экспериментального исследования течений
воздуха в круглых трубах при малых числах Рейнольдса//Тр. 20-й научной конференции
МФТИ, 1974. Сер. Аэрофизика и прикладная математика, Ч. 1. М.: Изд-е МФТИ,
1975. С. 133—139.
74. Расчет аэродинамических характеристик тел сложной формы в промежуточной
области/В. М. Котов, Е. Н. Лычкин, А. Г. Решетин, А. Н. Щелконогов//Численное
моделирование в аэродинамике. М.: Наука, 1986. С. 115—124.
75. Рыков В. А., Черемисин Ф. Г., Шахов Е. М. Численные исследования по
динамике разреженных газов//Журнал вычислительной математики и математической
физики, 1980. Т. 20. № 5. С. 1266—1283.
76. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир, 1987. 590 с.
77. Седов Л. И. Методы подобия и размерностей в механике. М.: Наука, 1967. 386 с.
78. Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат,
1955. 520 с.
79. Сопруненко И. П. Пограничный слой на волнистой стенке//Изв. АН СССР,
Механика и машиностроение, 1962. № 2. С. 131 —133.
80. Стариков Б. Б. Нормальные и касательные напряжения на пластине, обтекаемой
разреженным газом//Динамика разреженного газа. Новосибирск: Изд-е Института
теплофизики СО АН СССР, 1980. 4.2. С. 98—103.
81. Стр>минский В. В. Уравнения трехмерного пограничного слоя в сжимаемой
жидкости на произвольной поверхности /Изд-е ДАН СССР, 1957. Т. 114. № 2. С. 271 —
275.
82. Тани И. Решение уравнений ламинарного пограничного слоя и вопросы
теплопередачи/Под ред. Г. Гертлера и Б. Толмина.— М.: Госэнергоиздат, 1960. С. 165—172.
600

83. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой
формы гиперзвуковым потоком разреженного газа/В. Н. Гусев, А. И. Ерофеев,
Т.В.Климова и др.//Тр. ЦАГИ. 1977. Вып. 1855. 43с.
84. Теоретическое и экспериментальное исследование сверхзвукового обтекания
разреженным газом тел простой формы./Ф. Вогениц, Г. Берд, Д. Бродуэлл, X. Рангол-
диер.//Ракетная техника и космонавтика, 1968. № 12. С. 182—190.
85. Турбулентность./Под ред. П. Брэдшоу. М.: Машиностроение, 1980. 343 с.
86. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика. М.: Наука, 1964. 814 с.
87. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М.: Гостехиздат, 1953. 463 с.
88. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах.
М.: Мир, 1976. 556 с.
89. Фридлендер О. Г. Теплопередача в сильно разреженном газе//Изв. АН СССР,
Механика жидкости и газа. 1980. № 1. С. 195—198.
90. Хлопков Ю. И., Шахов Е. М. Кинетические модели и их роль в исследовании
течений разреженного газа//Численные методы в динамике разреженных газов. М.:
Изд-е АН СССР, 1977. Вып. 3. С. 37—80.
91. Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.
92. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. 496 с.
93. Чжен П. Отрывные течения. В 3 т. М.: Мир, 1972. Т. 1.—299 с; Т. 2.—280 с;
Т. 3.—333 с.
94. Чжен П. Управление отрывом потока, М.: Мир, 1979. 552 с.
95. Шахов Е. М. Метод исследования движений разреженного газа. М.: Наука,
1974. 208 с.
96. Шахов Е. М. Обтекание пластины потоком разреженного газа // Численные
методы в динамике разреженных газов. М.: Изд-е ВЦ АН СССР. 1973. Вып. 1.
С. 102—146.
97. Шидловский В. П. Введение в динамику разреженного газа. М.: Наука,
1965. 218 с.
98. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.
99. Эрнст М. X. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и близких
кинетических уравнений//Неравновесные явления: Уравнение Больцмана, М.: Мир.
1986. С. 60—131.
100. Эшли X., Лэндал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных
аппаратов. М.: Машиностроение, 1969. 318 с.
101. Яницкий В. Е. Стохастические модели совершенного газа из конечного числа
частиц. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1988. 56 с.
102. Aerodynamic characteristics of a standart corrugated body in a free-molecular
flow/Yu. A. Rijov, K. N. Kuzovkin, S. B. Svirschevsky, A. V. Atamanenko//17 International
Symposium on Rarefied Gas Dynamics. VCH Verlagsgesellschaft mb H, Weinheim, FRG,
1991. P. 1442—1449.
103. Beck J. W. Aerodynamic Coefficients of Wings and Fuselages in Rarefied Gas
Flow//The Fluid Dynamics Aspects of Space Flight. AGARDograph, 1966.—V. 1. № 87.
P. 95—116.
104. Bird G. A. Spacecraft Outgas Ambient Flow Interaction//Journal of the Spacecraft
and Rockets, 1981. V. 18. № 1. P. 31—35.
105. CIRA 1972. Berlin: Akademie-Verlag. 1972. 450 s.
106. Hedin A. Selecting a Model of the Neutral Atmosphere.—AIAA 90—0293.—5 p.
107. Hurlbut F. C, Sherman F. S. Application of the Nocilla Wall Reflection Model
to Free-Molecule Kinetic Theory//The Physics of Fluids. 1968. V. 11. № 3. P. 486—496.
108. Koppenwallner G. The Drag of Simple Shaped Bodies in the Rarefied Hypersonic
Flow Regime//AIAA Paper, 1985. №0998. 7 p.
109. Koshmarov Yu. A, Svirschevsky S. B. Studies the Leading Edge Bluntness Effect
on the Heat Transfer of a Plate in the Low Density Transitional Flow Regime. Rarefied
Gas Dynamics. Porz —Wahn: DFVAR-Press, 1974. V. 2. P. D6—1—D6—12.
110. Krylov A. A., Panov B. F., Starikov В. B. Experimental Study of Normal and
Tangential Stress on the Surface of Simple Shape Bodies // Rarefied Gas Dynamics. N. Y:
Plenum Press, 1985. P. 495—502.
111. Kutler P. A. Perspective of Theoretical and Applied Computational Fluid Dynamics.
AIAA Journal, 1985. V. 23. № 3. P. 328—341.
112. Liu V. C, Pang S. C, Jew H. Sphere Drag in Flows of Almost-Free Molecules // The
Physics of Fluids, 1965. V. 8. № 5. P. 788—796.
113. Morinishi K., Oguchi H. A Computational Method and its Application to
Analyses of Rarefied Gas Flows // Rarefied Gas Dynamics. University of Tokyo Press,
Japan, 1984. V. 1. P. 149—158.
114. Muntz E. P. Rarefied Gas Dynamics // Annual Review of Fluids Mechanics, 1989.
V. 21. P. 387—417.
601

115. Neuwland G. Y., Spee В. M. Transonic airfoils: recent developments in theory,
experiment, and design // Annual Review of Fluid Mechanics, 1973. V. 5. P. 119—150.
116. Phillips W. F. Drag on a small sphere moving through a gas//The Physics of
Fluids, 1975. V. 18. № 9. P. 1089—1093.
117. Potter J. L., Miller J. T. Sphere Drag and Dynamics Simulation in Near-
Free-Molecular Flow//Rarefied Gas Dynamics. N.Y.: Acad. Press, 1969. V. 1. P. 723—734.
118. Reynoldls M. A., Smolderen J. J., Wendt J. F. Velocity Profile Measurements in
the Knudsen Layer for the Kramers Problem//Rarefied Gas Dynamics. DFVLR-Press,
Porz-Wahn, Germany, 1974. V. 1. P. A. 21 —1—A. 21 —14.
119. Ryov Yu. A., Svirschevsky S. В., Kuzovkin K.N. VEGA Spacecraft Aerodynamics
in the Gas-Dust Rarefied Atmosphere of Halley Comet. Rarefied Gas Dynamics: Space-Related
Studies. Progress in Astronautics and Aeronautics. V. 116. Washington. D.C.: AIAA. Inc.,
1989. P. 23—39.
120. Russel D. A. Density Disturbance ahead of a Sphere in Rarefied Supersonic
Flow //The Physics of Fluids, 1968. V. 11. № 8. P. 1679—1685.
121. Shirayama S., Kuwahara K. Patterns of Three Dimensional Boundary Layer
Separation//AIAA Paper, 1987. № 461. P. 1 — 10.
122. Taneda S. Studies on Wake Vortices. III. Experimental Investigation of the
Wake Behind a Sphere at Low Reynolds Numbers//Reports of Research Institute for
Applied Mechanics, 1956. V. 4. № 16. P. 99—105.
123. Tannehill J. C, Mohling R. A., Rakich J. V. Numerical Computation of the
Hypersonic Rarefied Flow Near the Sharp Leading Edge of a Flat Plate//AIAA Paper,
1973. № 200. P. 1 — 13.
124. Whitfield D. I. Mean Free Path of Emitted Molecules and Correlation of Sphere
Drag Data//AIAA Journal. 1973. V. 11. № 12. P. 1666—1670.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Основные обозначения 5
Глава 1. Основные физические закономерности течений 7
§ 1.1. Молекулярная структура газов и жидкостей 8
§ 1.2. Макроскопические параметры и функции состояния среды .. 11
§ 1.3. Переносные свойства газов и жидкостей 14
§ 1.4. Уровни описания течений. Основные модели сплошной и
разреженной сред 18
§ 1.5. Взаимодействие среды с обтекаемыми поверхностями.
Аэродинамические силы, моменты и тепловые потоки 20
§ 1.6. Аэродинамическое проектирование летательных аппаратов и их
поверхностей. Программное обеспечение 22
§ 1.7. Физические параметры планетных атмосфер и космической среды 26
§ 1.8. Характерные условия движения летательных аппаратов 33
Глава 2. Основы кинематики сплошной среды 37
§ 2.1. Методы кинематического исследования движения сплошной
среды 37
§ 2.2. Линии и трубки тока. Уравнение расхода 40
§ 2.3. Уравнение переноса масс (уравнение неразрывности) 42
§ 2.4. Движение жидкой частицы сплошной среды 44
§ 2.5. Понятие о вихревом и безвихревом течениях 48
§ 2.6. Циркуляция скорости 49
Глава 3. Динамика сплошной среды 50
§ 3.1. Теоретическая модель сплошной среды 50
§ 3.2. Классификация сил, действующих на частицу сплошной среды.
Напряженное состояние элементарного объема жидкости 51
§ 3.3. Соотношение между напряжениями и скоростями деформаций.
Закон трения Стокса 55
§ 3.4. Уравнение переноса количества движения. Уравнения Эйлера
и Навье—Стокса 57
§ 3.5. Уравнение переноса полной энергии 60
§ 3.6. Полная система уравнений, описывающих движение сплошной
среды 63
§ 3.7. Начальные и граничные условия 64
§ 3.8. Подобие явлений в аэрогидромеханике 65
3.8.1. Понятие о подобии явлений 65
3.8.2. Критерии, числа подобия 65
3.8.3. Структурные формулы для аэродинамических силы и
момента 68
§ 3.9. Упрощенные уравнения движения вязкой среды. Роль числа
Рейнольдса 70
§ ЗЛО. Интегрирование уравнений, описывающих движение сплошной
невязкой среды 72
3.10.1. Интегралы уравнения переноса количества движения 72
3.10.2. Интеграл уравнения переноса полной энергии 75
Глава 4. Основы аэрогидростатики 77
§ 4.1. Уравнения равновесия жидкостей и газов и их интегрирование 77
§ 4.2. Основной гидростатический закон 78
§ 4.3. Давление тяжелой жидкости на наклоненную плоскую фигуру.
Центр давления 79
§ 4.4. Давление жидкости на замкнутую поверхность. Закон Архимеда 80
§ 4.5. Равновесие и устойчивость равновесия тел, плавающих на
поверхности жидкости 82
§ 4.6. Равновесие земной атмосферы 83
Глава 5. Вихревые движения сплошной среды 84
§ 5.1. Возникновение вихрей 84
§ 5.2. Вихревая линия и вихревая трубка. Напряженность вихря.
Теорема Стокса 84
603

§ 5.3. Теорема Кельвина 86
§5.4. Теоремы 1 ельмголыда 88
5.4.1. Первая теорема Гельмгольца о вихрях 88
5.4.2. Вторая теорема Гельмгольца 89
5.4.3. Третья теорема Гельмгольца 89
§ 5.5. Влияние вихря на окружающую сплошную среду 90
§ 5.6. Определение поля скоростей по заданному полю вихрей.
Обобщенная формула Био — Савара 92
§ 5.7. Скорости, индуцируемые вихрем (отрезком вихревого шнура,
вихревым кольцом) 93
§ 5.8. Взаимодействие вихря с движущейся средой 95
§ 5.9. Вихрь в вязкой сплошной среде 96
Глава 6. Потенциальные течения несжимаемой среды 99
§ 6.1. Общие вопросы потенциального установившегося движения 99
6.1.1. Постановка задачи об определении силового воздействия
идеальной несжимаемой среды на твердое тело 99
6.1.2. Основные свойства потенциальных течений в односвязной
и многосвязной областях 100
6.1.3. Метод наложения потенциальных потоков. Потенциалы
простейших течений 104
6.1.4. Примеры применения метода наложения потенциальных
потоков 107
6.1.5. Аэродинамические сила и момент, действующие на
обтекаемую твердую замкнутую поверхность. Парадокс Д'Алам-
бера 109
§ 6.2. Плоское потенциальное движение идеальной несжимаемой
среды 111
6.2.1. Функция тока и ее свойства 111
6.2.2. Комплексный потенциал и комплексная скорость 112
6.2.3. Связь плоской гидродинамической задачи с теорией функций
комплексного переменного 114
6.2.4. Примеры комплексных потенциалов (простейшие плоские
потенциальные потоки) 114
6.2.5. Обтекание окружности плоскопараллельным потоком
несжимаемой среды 118
6.2.6. Сила и момент, действующие на цилиндр произвольной
формы. Формулы Жуковского — Чаплыгина 120
6.2.7. Примеры Ьпределения силы и момента, действующих на
обтекаемое тело 121
6.2.8. Расчет обтекания плоских контуров методом конформных
отображений 123
§ 6.3. Постулат Жуковского — Чаплыгина 125
§ 6.4. Обтекание профиля Жуковского 127
§ 6.5. Метод отражения при расчете течений несжимаемой среды 129
Глава 7. Применение метода особенностей к исследованию обтекания тел потоком
невязкой несжимаемой среды 132
§ 7.1. Потенциалы непрерывного распределения источников, стоков
и вихрей 132
§ 7.2. Метод вихревого слоя в задачах обтекания произвольных
плоских контуров 135
§ 7.3. Тонкий профиль в несжимаемом потоке 137
§ 7.4. Понятие о подсасывающей силе 140
§ 7.5. Обтекание тела произвольной формы 142
§ 7.6. Элементы теории крыла конечного размаха 145
7.6.1. Вихревые модели крыла конечного размаха 145
7.6.2. Основы теории вихревой несущей нити 147
7.6.3. Метод дискретных вихрей в теории крыла конечного размаха 152
7.6.4. Представление интенсивности вихревого слоя на несущей
поверхности полиномами 154
Глава 8. Одномерные течения и скачки уплотнения в газе 157
§ 8.1. Особенности механики сжимаемой среды 157
§ 8.2. Уравнения движения невязкого нетеплопроводного газа.
Критерий потенциальности установившегося течения газа 159
§ 8.3. Одномерные изоэнтропические течения газа 161
604

8.3.1. Уравнения для одномерного изоэнтропического течения газа 161
8.3.2. Зависимость параметров потока от его скорости, чисел
М и X 162
8.3.3. Зависимость изменения площади сечения струи от скорости
потока 167
§ 8.4. Течения газа с поверхностями сильного разрыва 167
8.4.1. Поверхности разрыва скорости в жидкости и газе 167
8.4.2. Интегральная форма уравнений газовой динамики 168
8.4.3. Условия динамической совместности 169
8.4.4. Классификация разрывов в газе 170
8.4.5. Ударная адиабата 171
8.4.6. Условия термодинамической совместности 172
8.4.7. Определение параметров потока за скачком уплотнения . 174
8.4.8. Системы скачков уплотнения 178
8.4.9. Взаимодействие и отражение скачков уплотнения 179
8.4.10. Скорость распространения ударной волны 181
Глава 9. Плоские и пространственные течения невязкого газа с большими
возмущениями 182
§ 9.1. Основное уравнение газовой динамики 182
§ 9.2. Характеристики уравнений плоского и осесимметричного
течений газа 183
§ 9.3. Численный расчет параметров потока методом характеристик 189
§ 9.4. Некоторые точные решения уравнений газовой динамики .... 193
§ 9.5. Обтекание заостренных тел с присоединенной ударной волной 198
9.5.1. Круглый конус в сверхзвуковом установившемся невязком
потоке газа при нулевом угле атаки 198
9.5.2. Обтекание круглого конуса сверхзвуковым потоком при
ненулевом угле атаки 201
§ 9.6. Обтекание затупленных тел с отошедшей ударной волной .. 203
9.6.1. Особенности сверхзвукового обтекания затупленных тел .. 203
9.6.2. Методы решения задачи об обтекании затупленных тел
сверхзвуковым потоком ; 205
Глава 10. Плоские течения газа с малыми возмущениями 209
§ 10.1. Метод возмущений и линеаризация уравнений газовой
динамики 209
§ 10.2. Упрощение дифференциальных уравнений околозвуковых
течений газа 212
§ 10.3. Профиль крыла в линеаризованном потоке 213
10.3.1. Силы и момент, действующие на профиль 214
10.3.2. Обтекания тонкого профиля крыла дозвуковым потоком
(М00<Мкр) 214
10.3.3. Профиль крыла в линеаризованном сверхзвуковом потоке 218
10.3.4. Профиль крыла с минимальным волновым сопротивлением 222
10.3.5. Тонкий профиль в околозвуковом потоке газа 224
Глава 11. Пространственные течения газа с малыми возмущениями 227
§ 11.1. Крыло конечного размаха в линеаризованном потоке 227
11.1.1. Силы и моменты, действующие на крыло конечного
размаха 227
11.1.2. Крыло конечного размаха в дозвуковом потоке газа .... 228
11.1.3. Особенности обтекания крыла конечного размаха
сверхзвуковым потоком. Классификация кромок крыла 231
11.1.4. Постановка задачи об обтекании крыла конечного размаха
сверхзвуковым потоком 233
11.1.5. Метод источников и стоков в теории крыла конечного
размаха в сверхзвуковом потоке 235
11.1.6. Численный метод расчета аэродинамических характеристик
тонких крыльев при сверхзвуковых скоростях 240
11.1.7. Критерии подобия при обтекании тонких трапециевидных
крыльев линеаризованным потоком 243
§ 11.2. Применение метода малых возмущений к расчету обтекания
тонких тел 248
11.2.1. Численные методы расчета аэродинамических
характеристик летательного аппарата как тела сложной формы .. 248
605

11.2.2. Метод расчета аэродинамических характеристик
летательного аппарата, основанный на учете аэродинамической
интерференции его поверхностей 250
Глава 12. Неустановившиеся движения сплошной среды 258
§ 12.1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды в
подвижной системе координат 258
12.1.1. Скорость и ускорение в подвижной системе координат 258
12.1.2? Уравнения, описывающие движение сплошной среды в
подвижной системе координат 260
12.1.3. Интегралы уравнений движения 261
12.1.4. Уравнения для потенциала скорости 262
§ 12.2. Движение твердого тела в несжимаемой среде 264
12.2.1. Потенциал скорости при произвольном движении твердого
тела в несжимаемой среде 264
12.2.2. Аэродинамические силы и момент, действующие на твердое
тело 266
12.2.3. Метод определения суммарных аэродинамических
характеристик твердого тела по кинетической энергии среды 269
12.2.4. Методы определения потенциалов <pf 273
§ 12.3. Частные случаи движения тела. Произвольное движение
эллипса и пластины в жидкости 274
§ 12.4. Неустановившееся движение профиля и крыла конечного
размаха в несжимаемой среде 278
12.4.1. Вихревая модель твердого тела, движущегося в идеальной
несжимаемой среде 278
12.4.2. Вихревая модель тонкого профиля крыла, движущегося
с малыми возмущениями в несжимаемой среде 280
12.4.3. Метод дискретных вихрей в задаче о движении тонкого
профиля в несжимаемой среде 284
12.4.4. Неустановившееся движение крыла конечного размаха в
несжимаемой среде 287
Глава 13. Вязкие течения сплошной среды 290
§ 13.1. Уравнение Навье — Стокса для несжимаемой жидкости 290
§ 13.2. Слоистые течения 291
13.2.1. Течение в плоском канале 291
13.2.2. Течение Куэтта 292
13.2.3. Течение $ Пуазейля в круглой цилиндрической трубе 292
§ 13.3. Ползущие течения 294
§ 13.4. Постановка задачи численного решения уравнений Навье —
Стокса 297
§ 13.5. Численное решение задачи об истечении вязкого газа из
цилиндрического канала в вакуум 300
Глава 14. Теория ламинарного пограничного слоя 306
§ 14.1. Пограничный слой в вязкой жидкости и его свойства 306
§ 14.2. Вывод уравнений пограничного слоя несжимаемой жидкости 307
§ 14.3. О характере влияния числа Рейнольдса на решения уравнений
пограничного слоя 311
§ 14.4. Уравнение энергии для ламинарного пограничного слоя .... 312
§ 14.5. Подобие полей скорости, энтальпии торможения и
концентрации 313
§ 14.6. Связь между трением и теплопередачей в пограничном слое 314
§ 14.7. Конечно-разностный метод решения уравнений пограничного
слоя 315
§ 14.8. Подобные решения уравнений пограничного слоя 320
§ 14.9. Ламинарный пограничный слой на пластине 325
§ 14.10. Интегральные толщины пограничного слоя 328
14.10.1. Толщина вытеснения 328
14.10.2. Толщина потери импульса 328
§ 14.11. Влияние сжимаемости и теплообмена на течение ламинарного
пограничного слоя 330
14.11.1. Подобные решения для пограничного слоя сжимаемого газа ... 331
14.11.2. Пограничный слой сжимаемого газа на плоской пластине 333
14.11.3. Влияние градиента давления и теплообмена на течение
ламинарного пограничного слоя 335
606

§ 14.12. Применение рядов для решения уравнений пограничного слоя 337
§ 14.13. Интегральные методы решения уравнений ламинарного
пограничного слоя 339
14.13.1. Интегральное уравнение количества движения для
пограничного слоя 339
14.13.2. Интегральные методы расчета ламинарного пограничного
слоя 342
14.13.3. Интегральный метод Польгаузена для расчета
пограничного слоя 343
14.13.4. Интегральный метод расчета сжимаемого ламинарного
пограничного слоя с учетом теплообмена 346
14.13.5. Интегральный метод эффективной длины для расчета
ламинарного пограничного слоя 350
§ 14.14. Пограничный слой на трехмерных и осесимметричных телах 351
14.14.1. Уравнения трехмерного пограничного слоя 351
14.14.2. Косое обтекание бесконечного цилиндра 353
14.14.3. Ламинарный пограничный слой на осесимметричных телах 355
Глава 15. Турбулентный пограничный слой 358
§ 15.1. Возникновение турбулентности 358
§ 15.2. Переход ламинарного течения в турбулентное 360
§ 15.3. Развитый турбулентный пограничный слой 361
§ 15.4. Уравнения Рейнольдса для турбулентного пограничного слоя 363
§ 15.5. Теория пути перемешивания Прандтля 364
§ 15.6. Турбулентная вязкость в струйных течениях 365
§ 15.7. Структура турбулентного пограничного слоя 366
§ 15.8. Метод Себиси—Смита 368
§ 15.9. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине 369
§ 15.10. Дифференциальные модели турбулентности и численные
методы расчета турбулентных течений 374
Глава 16. Отрывные течения 377
§ 16.1. Понятие отрыва потока и типы отрывных течений 377
§ 16.2. Критерий отрыва пограничного слоя 379
§ 16.3. Отрыв пограничного слоя под воздействием
самоиндуцированного положительного градиента давления на обтекаемом теле 382
§ 16.4. Отрыв турбулентного пограничного слоя под воздействием
скачков уплотнения 385
§ 16.5. Отрыв ламинарного пограничного слоя при взаимодействии
с невязким сверхзвуковым потоком 387
§ 16.6. Методы расчета ламинарного отрывного течения в
сверхзвуковом потоке 391
§ 16.7. Отрывное течение за плоским уступом 395
16.7.1. Физическая картина течения за плоским уступом 396
16.7.2. Метод Корста 396
16.7.3. Давление в донной области за клином в сверхзвуковом
потоке 401
Глава 17. Струйные течения 403
§ 17.1. Нерасчетные течения струи 403
§ 17.2. Структура недорасширенной струи 403
§ 17.3. Течение около кромки сопла 404
§ 17.4. Начальный участок недорасширенной струи 406
§ 17.5. Слой сжатого газа и слой смешения 406
§ 17.6. Переходной и основной участки струи 407
§ 17.7. Режимы течения в струе 408
§ 17.8. Применение параболизованных уравнений Навье — Стокса для
расчета сверхзвуковой ламинарной струи в сверхзвуковом
спутном потоке 410
§ 17.9. О влиянии вязкости на течение недорасширенной струи,
распространяющейся в спутном сверхзвуковом потоке 413
§ 17.10. Недорасширенная турбулентная струя в спутном
сверхзвуковом потоке 417
§ 17.11. Вязкая струя большой степени нерасчетности 421
§ 17.12. Пространственные струи в спутном сверхзвуковом потоке 425
607

Глава 18. Основы кинетической теории и взаимодействия газов с обтекаемыми
поверхностями 430
§ 18.1. Положения кинетической теории газов 430
18.1.1. Столкновение частиц в газе 432
18.1.2. Функция распределения скоростей молекул 436
18.1.3. Макроскопические характеристики газа 437
18.1.4. Кинетическое уравнение Больцмана 438
18.1.5. Локальное равновесие газа 443
18.1.6. Общее уравнение переноса и уравнения механики сплошной
среды 445
§ 18.2. Элементы теории взаимодействия газов с поверхностями .. 447
18.2.1. Физическая картина взаимодействия 447
18.2.2. Граничные условия для функции распределения 448
18.2.3. Модели взаимодействия газа с поверхностью 450
18.2.4. Определение плотности и температуры отраженных потоков 456
§ 18.3. Подобие и режимы течений разреженных газов 457
18.3.1. Критерии подобия 457.
18.3.2. Режимы динамических и тепловых процессов в разреженном
газе 461
18.3.3. Границы областей механики разреженных газов 461
Глава 19. Свободномолекулярная область механики разреженных газов 466
§ 19.1. Общие положения теории свободномолекулярных течений .. 466
§ 19.2. Одномерные стационарные течения 468
19.2.1. Свободномолекулярное течение Куэтта 468
19.2.2. Свободномолекулярное течение газа через отверстие 471
§ 19.3. Поле течения около выпуклого тела 475
§ 19.4. Свободномолекулярное обтекание выпуклых тел 479
19.4.1. Потоки импульса и энергии на элементе поверхности ... 480
19.4.2. Аэродинамические характеристики выпуклых тел 488
§ 19.5. Свободномолекулярное обтекание невыпуклых тел 496
19.5.1. Течение газа между цилиндрами 499
19.5.2. Гиперзвуковое обтекание полусферы 506
§ 19.6. Метод статистического моделирования 510
19.6.1. Основные положения метода 510
19.6.2. Моделирование непрерывных случайных величин 516
19.6.3. Элементы алгоритма расчета полей течений 517
§ 19.7. Характерные задачи для свободномолекулярных течений .... 520
19.7.1. Молекулярные потоки на экранированном теле 520
19.7.2. Тело оптимального удлинения 523
19.7.3. Свободномолекулярные зонды 525
Глава 20. Переходная область механики разреженных газов 529
§ 20.1. Уравнение Больцмана и граничные условия 529
§ 20.2. Методы решения кинетического уравнения 530
20.2.1. Точные методы 530
20.2.2. Асимптотические методы 532
20.2.3. Моментные методы 533
20.2.4. Численные методы 534
§ 20.3. Одномерные и пространственные течения 546
20.3.1. Течение Куэтта в переходной области 546
20.3.2. Обтекание сферы 553
§ 20.4. Введение в теорию локального взаимодействия 565
Глава 21. Течения, близкие к свободномолекулярным 570
§ 21.1. Методы расчета теплоотдачи и сопротивления тел в области
первых столкновений 570
§ 21.2. Численное моделирование процессов массопереноса при
больших числах Кнудсена 574
§ 21.3. Массоперенос около полусферы в гиперзвуковом потоке ... 578
Глава 22. Течения слаборазреженного газа 582
§ 22.1. Граничные условия на обтекаемых поверхностях 582
§ 22.2. Течение Куэтта при малых числах Кнудсена 585
§ 22.3. Методы исследования обтекания тел при низких числах
Рейнольдса 586
Список литературы 598

шшшшшшвшшя
■ЦП
ГИДР
МАШИНОСТРОЕНИЕ