Автор: Мищенко А.С. Стернин Б.Ю. Шаталов В.Е.
Теги: анализ высшая математика топология функциональный анализ
Год: 1978
Текст
А.С. МИЩЕНКО
Б.Ю.СТЕРНИН
В.Е.ШАТАЛОВ
ЛАГРАНЖЕВЫ
МНОГООБРАЗИЯ
И МЕТОД
КАНОНИЧЕСКОГО
ОПЕРАТОРА
(Я
А. С. МИЩЕНКО
Б. Ю. СТЕРНИН
В. Е. ШАТАЛОВ
ЛАГРАНЖЕВЫ
МНОГООБРАЗИЯ
И МЕТОД
КАНОНИЧЕСКОГО
ОПЕРАТОРА
МОСКВА «наука»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 7 8
517.2
М 31
УДК 517
Лагранжевы многообразия и метод канонического
оператора. А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин,
В. Е. Шаталов, Главная редакция физико-математи-
ческой литературы издательства «Наука», М., 1978.
В книге излагаются топологические и аналитические
основы теории канонического оператора Маслова для
нахождения асимптотических решений широкого класса
псевдодифференциальных уравнений. Подробно исследо-
вана топология и геометрия лагранжевых многообразий.
Установлены связи между интегральными операторами
Фурье и каноническим оператором. Даны приложения к
нахождению асимптотических решений задачи Коши и
нахождению асимптотики спектров несамосопряженных
операторов.
Книга будет интересна широкому кругу математи-
ков — специалистов по топологии, дифференциальным
уравнениям и функциональному анализу, студентам и
аспирантам математических специальностей.
Александр Сергеевич Мищенко
Борис Юрьевич Стернин
Виктор Евгеньевич Шаталов
ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ
И МЕТОД. КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
М., 1978 г., 352 стр. с илл.
Редактор Ю. П. Соловьев
Техн, редактор Е. В. Морозова
Корректор Н. В. Хрипунова
ИБ № 2044
Сдано в набор 30.01.78. Подписано к печати 24.05.78. Т-11605.
Бумага 84Х108’/з2, тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. л. 18,48. Уч.-изд. л. 17,33. Тираж 5800 экз. Заказ № 4032
Цена книги 1 р. 40 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография изд-ва «Наука», Москва, Шубинский пер., 10.
20203—095
М -------------48-78
053 (02)-78
(С) Главная редакция
физико-математической литературы
Издательства «Наука», 1978
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................ 5
Введение .................................................. 9
ЧАСТЬ I
ТОПОЛОГИ^! ЛАГРАНЖЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Глава I. Некоторые сведения из топологии..........33
§ 1.1. Многообразия и расслоения................33
§ 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности ... 75
§ 1.3. Индекс пересечения подмногообразий .... 90
§ 1.4. Гомотопические группы....................98
Глава II. Геометрия вещественных лагранжевых многооб-
разий ...........101
§ 2.1. Лагранжевы многообразия в гамильтоновом про-
странстве ...........................................101
§ 2.2. Когомологии лагранжева грассманиана . . . 108
§ 2.3. Характеристические классы лагранжева многооб-
разия ...............................................119
§ 2.4. Лагранжево многообразие в общем положении . 127
Глава III. Комплексные лагранжевы многообразия 133
§ 3.1. Грассманиан положительных лагранжевых плоско-
стей ................................................133
§ 3.2. Индекс комплексных лагранжевых многообразий . 141
ЧАСТЬ и
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
НА ВЕЩЕСТВЕННОМ ЛАГРАНЖЕВОМ МНОГООБРАЗИИ
Глава IV. Канонический оператор Маслова (элементарная
теория)...................................................156
§ 4.1. Конструкция элементарного канонического опера-
тора .................................................156
§ 4.2. Коммутация канонического оператора и оператора
Гамильтона . . . v.........................169
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Асимптотика интегралов быстро осциллирующих
функций..............................................186
§ 5.1. Формула асимптотического разложения интеграла
быстро осциллирующей функции............................187
§ 5.2. Метод осциллятора для асимптотического разложе-
ния интеграла...........................................200
§ 5.3. Вычисление членов асимптотического разложения 211
§ 5.4. Применение к неаналитическому случаю и лагран-
жевым многообразиям.....................................221
Глава VI. Канонический оператор Маслова (общая теория) 225
§ 6.1. Существование и единственность канонического опе-
ратора .................................................226
§ 6.2. Гамильтонов формализм и операторы 229
§ 6.3. Коммутация оператора Гамильтона и канонического
оператора...............................................235
§ 6.4. Геометрическая интерпретация операторов Vu и
канонического оператора ....................... 238
Добавление I. ^-преобразование Фурье..................241
Добавление II. Одна абстрактная лемма..................243
Глава VII. Интегральные операторы Фурье (гладкая теория
канонического оператора)..............................246
§ 7.1. Канонические распределения в пространстве Rn . 259
§ 7.2. Канонические распределения на многообразиях 272
§ 7.3. Определение и примеры интегральных операторов
Фурье.......................................284
§ 7.4. Регуляризация задачи Коши.................287
§ 7.5. Теоремы об ограниченности и о композиции инте-
гральных операторов Фурье...............................291
Глава VIII. Некоторые приложения...........................299
§ 8.1. Асимптотические решения задачи Коши . . . 299
§ 8.2. Асимптотика спектра 1/А-псевдодифференциальных
операторов..............................................312
§ 8.3. Системы уравнений...............................331
Литература.................................................344
Предметный указатель.......................................352
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге излагается метод канонического оператора
Маслова для нахождения асимптотических решений
псевдодифференциальных уравнений. Классический ме-
тод ВКБ, названный так по имени его авторов: Вентце-
ля, Крамерса, Бриллюэна, был создан для нахождения
квазиклассических приближений в квантовой механике.
Простота, наглядность и «физичность» этого метода бы-
стро завоевали ему популярность: специалисты по ма-
тематической физике безоговорочно приняли его на
вооружение, и число публикаций, связанных в той или
иной мере с методом ВКБ, к настоящему моменту не
поддается, по-видимому, подсчету.
Альтернативное название метода ВКБ в задачах ди-
фракции— лучевой метод или метод геометрической
оптики — показывает, что приближения в методе ВКБ
строятся с помощью лучей. Более точно, с помощью лучей
строится первое приближение метода ВКБ (выделяется
сингулярная часть), после чего применяются обычные ме-
тоды (регулярной) теории возмущений.
Однако лучевой метод неприменим в точках прост-
ранства, где лучи фокусируются или образуют каустику.
Математически этот факт проявляется в том, что в та-
ких точках амплитуда волны бесконечна. Физики знали
некоторые «эталонные» уравнения (например, уравнения
Эйри), решения которых были определены всюду, вклю-
чая фокальные точки. Естественно поэтому, что первы-
ми и наиболее удачными попытками справиться с труд-
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
ностями, возникающими в фокальных (каустических)
точках, был так называемый метод эталонных уравне-
ний, сущность которого состоит в замене произвольного
уравнения в окрестности фокальной точки некоторым
стандартным («эталонным»). Метод эталонных уравне-
ний привлекает своей простотой и законченностью ре-
зультатов: действительно, даже в окрестности особых
точек решения представляются посредством функций»
значения которых, как правило, протабулированы. Пре-
красным изложением метода эталонных уравнений мо-
жет служить книга В. М. Бабича и В. С. Булдырева [1].
Но метод эталонных уравнений, хорошо работающий в
классических задачах математической физики, оказы-
вается недостаточно общим для того, чтобы получать
асимптотические решения многих интересных задач в
теории дифференциальных и псевдодифференциальных
уравнений с частными производными.
Мощным инструментом для решения задач такого
рода является созданный В. П. Масловым в 1965 году
принципиально новый метод получения асимптотических
решений — метод канонического оператора [1]^ Не вда-
ваясь в сущность метода*), отметим его универсальность.
Метод канонического оператора работает в таких, каза-
лось бы, далеких друг от друга областях, как квазиклас-
сическая асимптотика квантовой механики и проблема
устойчивости разностных схем, задача о распростране-
нии «в большом» разрыва решений гиперболических
уравнений и коротковолновая асимптотика в задачах
дифракции, распространение волн в ионосфере и пробле-
ма существования и единственности в общей теории псев-
додифференциальных уравнений.
Метод канонического оператора вскрыл также топо-
логическую природу известного эффекта о скачке фазы
j См. по этому поводу Введение.
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
якобиана при переходе через фокальную точку. В част-
ности, В. И. Арнольдом [1] был вычислен характеристи-
ческий класс, входящий в условия квантования и реали-
зующий так называемый индекс Маслова на лагранже-
вом многообразии. Индекс Маслова, как и условия кван-
тования, играет основную роль при нахождении асимп-
тотики спектра.
В настоящее время метод канонического оператора
Маслова широко используется как советскими, так и за-
рубежными математиками в различных задачах, связан-
ных с асимптотическими разложениями. Мы здесь хотим
отметить в первую очередь работы В. И. Арнольда [1] —
[4], В. С. Буслаева [1], [2], А. М. Виноградова [1J, Е. М. Во-
робьева [1], Ю. А. Кравцова [2], В. В. Кучеренко [1] —[5],
В. П. Маслова [2], А. С. Мищенко и Б. Ю. Стернина [1],
А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернина, В. Е. Шаталова [1],
Ж. Лере [1], Д. П. Экмана, Р. Сеньора [1], Д. М. Сурио
[1], А. Вороса [1], [2] и др.
С точки зрения метода канонического оператора вы-
зывает большой интерес целый ряд тонких и изящных
исследований по математическим задачам дифракции,
проводимых ленинградскими математиками В. М. Баби-
чем и В. С. Булдыревым [1] и др. (см. библиографию).
Наконец, упомянем еще об одном аспекте, связанном
с каноническим оператором,— о формуле асимптотиче-
ского разложения интеграла быстро осциллирующей
функции. Эта формула играет основную роль при дока-
зательстве инвариантности канонического оператора;
она используется при установлении формулы коммута-
ции псевдодифференциального оператора и быстро
осциллирующей экспоненты и является важным инстру-
ментом теории. Фундаментальные результаты, касаю-
щиеся разложения интеграла быстро осциллирующей
функции методом стационарной фазы, принадлежат
М. В. Федорюку [1] — [3].
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
В недавних работах В. И. Арнольд [1] — [3] исследо-
вал асимптотику интеграла в «неморсовском» слу-
чае и нашел связи порядка убывания с числами Кок-
стера.
Часть I этой книги (главы I, II, III) написана
А. С. Мищенко, главы IV, VI и параграфы 2, 3 главы VIII
написаны Б. Ю. Стерниным, глава V и параграф 1 гла-
вы VIII написаны В. Е. Шаталовым. Глава VII написана
совместно Б. Ю. Стерниным и В. Е. Шаталовым (при
участии В. Г. Ошмяна и В. Е. Назайкинского).
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
В книге излагается построение асимптотических по
малому параметру h решений дифференциальных
(и псевдодифференциальных) уравнений. Эти асимптоти-
ческие решения строятся с помощью метода канонического
оператора Маслова, позволяющего получить не только
локальные, но и глобальные решения рассматривае-
мых уравнений. Целью этого введения является иллю-
страция наиболее важных явлений, возникающих при
построении асимптотических решений l/ft-псевд©диффе-
ренциальных уравнений как с вещественным, так и с
комплексным символом (гамильтонианом). Этим отча-
сти определяется стиль изложения материала во Введе-
нии. Мы излагаем материал «эвристически», не в стро-
гой логической последовательности, опуская иногда не-
которые подробности в определениях и доказательствах
в тех случаях, когда эти подробности имеют технический
характер и приводят к усложнению формулировок. Для
иллюстрации метода мы рассмотрим ряд примеров, на-
чиная с самых простых.
1. В качестве первого примера мы рассмотрим обык-
новенное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами. Именно, пусть
п
Рп(р)=
1=0
— некоторый полином от одной переменной р степени п.
С помощью формальной замены переменной р на опе-
ратор
10
ВВЕДЕНИЕ
в полиноме Рп(р) мы получим дифференциальный
оператор
Р„ (р) = Рп (- th =4 2 а/ (- ih)>
\ / (dxY
с постоянными (зависящими от h) коэффициентами.
Рассмотрим задачу построения решений однородного
уравнения
Рп (р)Ф (X) = (- W = 0. (1)
(dx)‘
В соответствии с методом Эйлера будем искать решение
этой задачи в виде
ф (х) = exp р -j- х} с,
с == const.
(2)
Поскольку
pexpfi — x]c=s —ih — Гехр(— Xxlcl e'XexpZ—Xxlc,
I h J dx|_ (h J J (ft)
то, подставляя функцию (2) в уравнение (1), получим
соотношение
Л.(Р)Ф(*) = ЛДМехр
— %х1с= 0.
ft /
(3)
Для того чтобы удовлетворить уравнению (3), мы долж-
ны потребовать, чтобы число X было решением (алгеб-
раического) уравнения
Р«(М = 0» (4)
которое обычно называется характеристическим уравне-
нием для дифференциального уравнения (1). Мы будем
называть уравнение (4) и аналогичные уравнения, кото-
рые получим в дальнейшем, уравнениями Гамильтона —
Якоби.
Заметим, что в обозначениях, принятых механике,
можно переписать решение уравнения (1) в виде
ф (х) ехр
где функция S(x) =Хх называется действием. Мы будем
и в дальнейшем придерживаться этой терминологии,
ВВЕДЕНИЕ
«
Заметив, что при этом
K = dSfdx,
уравнение (4) можно переписать в виде, совпадающем с
классическим видом уравнения Гамильтона — Якоби:
Pn(dS(x)/dx)=0. (5)
Тот факт, что решением уравнения Гамильтона — Яко-
би (5) является линейная функция, связан с частным ви-
дом рассмотренного уравнения (уравнения с постоянны-
ми коэффициентами). Кроме того, заметим, что решение
уравнения Гамильтона — Якоби (5) существует при всех
х («в целом»); более того, в данном случае мы получили
не асимптотическое, а точное решение уравнения (1).
2. В качестве следующего примера рассмотрим линей-
ный дифференциальный оператор
Ё + Рп (р) = - ih + Рп (- ih 4Л
at \ ах /
с частными производными, где Рп(р) —полином (1). Мы
ввели здесь обозначения
Ё=* — ih — , p=—ih—.
dt дх
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального опе-
ратора
£ Ё+Рп(р)
с начальными условиями специального вида:
{Ё + Рп (р)\ ф (х, 0 =f [- ih рп (_ JL\] ц, t) = о,
L от \ дх /]
ф(х, 0)= ехр[р'
\ах) с0, а, с0 = const. (6)
По аналогии с уравнением (1) ищем решение задачи
(6) в виде
с.
(7)
12
ВВЁДЕНИЁ
Подставляя функцию (7) в систему (6) и учитывая соот-
ношения
Еф (х, t) в — ih. exp 0- (4* 4- У)j с ==
= ёхр0-(4х 4-4*)} 4е»
рф (х, /) = ( — th exp (4x 4- У)} c »
exp (A<jX 4" 4*)} 4^>
получим
[E 4- Pn (p)l Ф (Г, t) = exp (4 (4x 4- У)] (4 4- Pn (4)] = 0,
(. Л J
Эти равенства показывают, что для того, чтобы функция
(7) была решением задачи (6), необходимо потребовать
выполнения соотношений
44-Л>(4) =0, 4=а, с — са. (8)
Первое из них есть уравнение Гамильтона — Якоби для
задачи (6). Если обозначить действие, входящее в форму-
лу (7), через S(x, t):
S(x, i) =%tX+y,
то можно записать уравнение Гамильтона — Якоби в
виде
+ (9)
at \ох J
Соотношение 4 = а дает начальное условие для урав-
нения (9), которое можно записать в виде
S(x, 0) =3о(х) =ах. (10)
Уравнение (9) вместе с начальным условием (10)
представляет собой задачу Коши для нелинейного урав-
нения Гамильтона — Якоби. В рассматриваемом случае
решение этой задачи легко может быть получено непо-
средственно. Именно, соотношения (8) дают выражение
Введение
13
для функции S (x, t):
S (x, t) = ax—Pn (a) t
и формулу для решения задачи (9):
ф (х, 0 = ехр (ах — Рп (а) с0.
Отметим, что и в этом случае получено решение уравне-
ния Гамильтона — Якоби в целом (в виде линейной
функции), а решение ф(х, t), определенное последней
формулой, является точным (а не асимптотическим) ре-
шением задачи (6).
3. Для иллюстрации дальнейших особенностей тео-
рии мы заменим начальное условие в задаче (6)
лее общее. Именно, рассмотрим задачу Коши
[Ё +Pn(p№(x,t) = 0,
на бо-
(11)
(7), с
ф (х, 0) = exp /-i- (М + А,8/)1 Фо 0е)-
[ h J
Будем искать решение в виде, аналогичном
очевидным изменением, связанным с видом начального
условия:
ф (х, t) == ехр (Ххх + М))Ф (*, 0- (12)
(h J
При исследовании уравнения (11) выявляются су-
щественные отличия от двух рассмотренных ранее слу-
чаев. Проведем подстановку функции (12) в уравнение
(11). Для этого используем соотношения
= ехр
dy (x, Q ~l _
dt J
l2~ ih~Z Ф(Х’ 0.
ОТ J
Й (х, 0 = (— ih ехр (Ххх + ф (*» 0 =»
=- ехр (£ (Ххх + У)) Гх1Ф (х, 0 — ih a<p(-r’°1 -
(h J L dx J
= exp Qw 4- У)j — ih -£•] <p (x, /).
14
ВВЕДЕНИЕ
В результате получим
[Е + Рп (/>)] ф (х, 0 = ехр
+ Рп fai — ih — М <р (х, t) = 0, (13)
\ ох /1
где
Начальные условия системы (11) дают
ф (х, 0) = ехр (— кхх I ф (х, 0) = ехр (— ах| ф0(х),
(Л J I h J
и достаточно потребовать, чтобы были выполнены соот-
ношения
Ai = a, • ф(х, 0) =ф0(х).
Заметим теперь, что выражение в квадратных скоб-
ках, стоящее в правой части соотношения (13), представ-
ляет собой полином относительно переменной h с коэф-
фициентами— дифференциальными операторами. Для
вычисления коэффициентов заметим, что рассматривае-
мое выражение
можно получить из функции
(Л2—iAE')+Pn(%—ihp')=F(h) (14)
формальной заменой Е' на d/dt и р' на д/дх. Разложим
функцию (14) в ряд Тейлора по переменной h. Посколь-
ку Рп — полином степени п, полученный ряд Тейлора
обрывается на n-м члене:
" hk л
F(h)=^ = (^+^(М) +
dhk A=o
/ r)P \ n hk (ftp
+/1/_/£-_z^l(x1)H +2 W(p')ft.
\ °P / d?
Если в выражении (14) произвести замену Е' на d/di и
ВВЕДЕНИЕ
15
р' на д)дх, то получим равенство
- ih 4") + Pn (Хх - ih Л') = (*8 + Рп (М) -
\ 2 dt) \ дх )
С учетом последней формулы соотношение (13) мож-
но переписать в виде
_ ihI + (XQ^M^ _
. \ dt др дх J
(-tt)* дкРп д*<р(х,0
= 0. (15)
&=2
Из формулы (15) видно, что с помощью выбора констант
Хь Х2 и функции <р (х, it) нельзя получить точного решения
задачи (11). Однако, приравнивая к нулю возможно
большее число членов в разложении (15), мы получим
асимптотическое по h решение задачи (11).
Таким образом, получим уравнение
х2+ря(М=о (16)
для определения констант Xi и Х2 и уравнение
д<р(х, 0 . дРп (М д<р(х, 0 _ q /1 ух
dt др дх 1 '
для определения функции <р(х, t). Уравнение (16) назы-
вается уравнением Гамильтона — Якоби, а уравнение
(17) —уравнением переноса.
Уравнение Гамильтона — Якоби решается в точности
так же, как и в предыдущем случае. Решение этого урав-
нения записывается в виде
%! = а, Х2 — —Рп (а), S (х, t) = ах—Рп (а) t.
Уравнение переноса можно переписать в более удобной
форме, эквивалентной (17). Рассмотрим на плоскости
(х, t) векторное поле, координаты которого не зависят от
16
ВВЕДЕНИЕ
/ ЭРп \
хи/и равны v= (-— (Xi), 1 (рис. 1); Тогда в левой ча-
\ др /
сти уравнения стоит производная вдоль траекторий век-
торного поля v. Уравнение
переноса может при этом
быть записано в виде
d(p/d/=0, (18)
где d/dt — производная
вдоль поля v. Из уравнения
(18) видно, что функция <р
должна быть постоянной
вдоль траекторий векторно-
го поля v (это обстоятель-
ство объясняет название
«уравнения переноса»: амп-
литуда ф(х, /) функции (12)
переносится вдоль траекторий векторного поля v).
Отметим, что, в отличие от двух ранее рассмотренных
случаев, мы не получили точного решения задачи. Бо-
лее того, правая часть уравнения (11) обращается в
нуль с точностью до членов порядка О (А2). Чтобы по-
лучить дальнейшие члены асимптотического разложения,
нужно искать функцию ф(х, /) в виде формального сте-
пенного ряда по переменной Л:
ф(х,0= (19)
/=0
Как видно из формулы (15), для функции ф0(х, t) мы сно-
ва получим уравнение переноса (18). Нетрудно пока-
зать, что функции ф( (х, f) можно последовательно опре-
делять таким образом, чтобы правая часть в уравнении
(11) имела порядок O(h‘) ^ля любого целого s>0, если
в разложении (19) взять достаточно большую частичную
сумму ряда.
Рассмотрим, например, уравнение для функции
ф,(х, t). Выделяя в уравнение (15) члены порядка ft2,
получим уравнение
dq>i । дРп л х d<pi _ I &рп л х ^фо
ВВЕДЕНИЕ
17
которое с учетом определения производной d/dt может
быть записано в виде
dq>! _ i
di 2 др>[ J дх2 '
(20)
Если определить функцию ф0(х, t) из уравнения (18),
уравнение (20) позволяет вычислить функцию фДх, f)
интегрированием вдоль траекторий векторного поля v.
Рассмотрение членов уравнения (15), имеющих по-
рядки Л3, ......позволяет получить рекуррентную си-
стему для определения функций ф((х, t), причем каждая
следующая функция получается из предыдущих с по-
мощью интегрирования вдоль траекторий векторного
поля V.
4. В качестве простейшего примера уравнения с пе-
ременными коэффициентами рассмотрим нестационар-
ное уравнение для квантовомеханического осциллятора:
Ге + у (х2 + Р2) Ф’(*» 0’= 0. Ф (х> 0) = ехР Фо (А
2 h (21)
Поскольку коэффициенты в уравнении (21) не постоян-
ны, то нет оснований предполагать, что функция S (х, f)
зависеть линейно от х и t. Поэтому асимптотиче-
ское решение задачи (21) будем искать в виде
ф (х, 0 = ехр
’{S(x, 0)Ф(х, 0,
(22)
причем для простоты ограничимся нахождением только
первого члена асимптотики по Л.
При подстановке функции (22) в'задачу (21), как и
ранее, имеем
+ ТТ +1^11ф(х> ° + 0(Л2) = °’
L dt дх дх 2 dx2JJ
ф (х, 0) — ехр [— S (х, 0)1 ф (£, 0) = ехр [— ах!ф0 (х), (23)
18
ВВЕДЕНИЕ
откуда получаем уравнения Гамильтона — Якоби
^+т(х2+(тТН° (24)
от 2 \ \ дх / /
и уравнение относительно функции <р:
о . as дФ(х,о 1 d*s = 0
dt дх дх *2 дх2 Т
(25)
Начальные условия для уравнений (24) и (25) получа-
ются из второго из соотношений (23):
3 (х, 0) = ах, <р (х, 0) = фо (х).
Уравнение (24) Гамильтона — Якоби, как и ранее,
является нелинейным уравнением в частных производных
(не содержащим искомой функции S). Однако, в отличие
от уже рассмотренных случаев, это уравнение не допус-
кает тривиального решения в виде линейной функции
от х. Для решения этого уравнения воспользуемся мето-
дом характеристик. Запишем соответствующую систему
Гамильтона обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, отвечающую гамильтониану Н(х, р) = у(х2+р2):
х = Нр — р, р= — Нх — — х (26)
с начальными условиями
х(0) = хо, р(0) = -^-(хо) = а = р0*). (27)
Систему (26), (27) можно решить явно:
х (х0, 0 = х0 cos 14- a sin t, р (х0, 0= а cos t — х0 sin t. (28)
Из механики известно, что решение 3 (х, t) уравнения
(24) может быть записано в виде
t
3 (х, 0 = So (xe) + J (р dx - Н dt) \xMt), (29)
О
*) Мы пользуемся здесь механическими аналогиями, подсказан-
ными видом уравнения (24).
ВВЕДЕНИЕ
19
где интегрирование проводится вдоль траекторий систе-
мы (28), а х0 (х, /) — функция, определяемая первым из
соотношений (28).
Мы дадим сейчас несколько другую интерпретацию
соотношения (29). Рассмотрим множество точек (х, р),
заданных соотношениями (27), когда х0 пробегает пря-
мую R. Это множество точек есть подмногообразие £0 в
плоскости (х, р) (прямая, параллельная оси Ох). Будем
рассматривать уравнения (28) как соотношения, опре-
деляющие эволюцию многообразия Ц во времени. Не-
трудно видеть, что прямая £0 вращается вокруг нача-
ла координат с постоянной угловой скоростью, так
что вектор х(х0, /), р(х0, t), получается из вектора
(х0, Ро) с помощью ортогонального преобразования с
матрицей
/ cos t sin Л
sin t cost) '
Если изобразить траекторию движения прямой £0 в коор-
динатах (х, р, I), то мы получим двумерную поверхность
£ в R3 (винтовая поверхность; см. рис. 2).
Интерпретируем теперь формулу (29) в терминах
поверхности £. Поскольку функции (х0, I) являются
глобальными координатами на многообразии £, то суще-
ствование решения х0(х, t) первого из соотношений (28)
означает, что мы рассматриваем ту часть поверхности £,
которая диффеоморфно проектируется на плоскость
ВВЕДЕНИЙ
(х, /). Как видно из рис. 2, мы должны ограничиться при
этом значениями переменной t, меньшими чем л/2. Та-
ким образом, в отличие от рассмотренных ранее случаев,
мы не получаем глобального решения уравнения (24).
Мы можем, однако, «поднять» решение 5 (х, t) урав-
нения (24) на поверхность L*). При этом функция S на
поверхности L будет удовлетворять соотношению
dS=p dx—Н dt. (30)
Отметим особо, что решение уравнения (30) существует
на поверхности L уже глобально, т. е. при всех
Рассмотрим теперь уравнение (25). Для упрощения
этого уравнения сделаем подстановку
<р(х, 0 = ф! (х, 0/Кдх/дхй.
Заметим, что уравнение (25) можно переписать в форме
дф 9S Э<р . 1 дф . • дф . 1 d*S
= *L + ±« <p = o,
dt 2 a2
где d/dt — производная вдоль траекторий системы Га-
мильтона (26), спроектированных на плоскость (х, t).
Далее имеем
d 1дх
di
rfd2S dxg
dx2 dxQ*'
Воспользовавшись последним соотношением, проведем
требуемую подстановку
\ . 1 d2S Ф1 _
2 дх2 Vdxldx^
1 1 d2S dr .1 d2S ф!
’ 2 (дх/дх0)№ дхг dXQ + 2 дх* ~
_ / дх \~1/2 </ф1
\ дх J Л
таким образом, к уравнению переноса
0 =
(11 \ у UX[ ихо
_ I dq>i
Удх[дх0 di
Мы приходим,
обозначать функцию S, «поднятую» на поверх-
*) Мы будем <
ность, той же самой буквой S.
ВВЕДЕНИЕ
2<
относительно функции фь
__ о
<и
(31)
которое мы будем рассматривать как уравнение относи-
тельно поднятой на поверхность L функции фР Производ-
ную d/dt можно рассматривать также как производную
вдоль векторного поля
V(H) = p-^- — x~
дх др
д
dt ’
касающегося поверхности L. Однако, в отличие от урав-
нения (20), векторное поле лежит теперь на поверхности
L в фазовом пространстве (х, р, t) (а не в пространст-
ве (х, /)). Отметим, что уравнение переноса в форме
(31) имеет также глобальное решение на поверхно-
сти L.
Несмотря на существование на поверхности глобаль-
ных функций 3, фь мы не можем пока определить гло-
бальное решение ф уравнения (21), поскольку поверх-
ность L при t=n!2 перестает диффеоморфно проектиро-
ваться на пространство (х,/). Однако этими функциями
можно воспользоваться для построения глобального ре-
шения, если в окрестности точки /=л/2 перейти к пре-
образованию Фурье в уравнении (21):
При этом уравнение (21) перейдет в уравнение
[е + |(? + р2)1ф(М) = о,
I £ J
где x=ih д/др. Решение этого уравнения мы будем ис-
кать снова в виде, аналогичном (22):
ф(р,/) = ехр-3(р, 0 ф(р, О
I h )
в окрестности точки / = л/2. Для того чтобы получить ре-
шение, продолжающее решение гр (х, /), полученное ранее,
22
ВВЕДЕНИЕ
необходимо потребовать, чтобы при 0<6</<л/2—д
J
1 ч1/2 р /; -J
— \ exp{ — (S(x, t)dx=*
,2nih / j [h
-DO
= exp Ц S (р, О] ф (p, t). (3 2)
I h )
Соотношение (32), вообще говоря, не может быть вы-
полнено точно. Однако мы можем подобрать функции S
и ф так, чтобы (32) было выполнено с точностью до чле-
нов порядка О (Л); этого достаточно для получения пер-
вого члена асимптотики. Согласно известной формуле
асимптотического разложения, нулевой член разложения
интеграла, стоящего в левой части соотношения (32),
равен
причем аргумент выражения, стоящего под знаком квад-
ратного корня, выбирается равным 0 или —л в зависимо-
сти от знака этого выражения, а функция х(р, t) есть ре-
шение уравнения
dS(x,t)
дх
(33)
относительно х.
Для совпадения правой и левой частей соотношения
(32) с точностью до членов порядка О (Л) нужно поэтому
потребовать, чтобы
S(p, t)^S(x, t) — px\x=xM,
X=X{p,t)
Поскольку на поверхности L имеет место равенство
dSfdx—p, то решение уравнения (33) является функцией
перехода от координат (р, t) к координатам (х, f) на
ВВЕДЕНИЕ
23
поверхности L при б<^<л/2—6. При этом нужно поло
жить S=S—рх на поверхности L. Далее,
При этом аргумент arg др)дхй необходимо положить
равным
arg = atg ~ + arg (— -уу) + га' (34)
uXq ОГ0 \ /
для каждого выбора аргумента функции — дг81дхг.
Таким образом, в окрестности точки л/2 решение
уравнения (21) представляется в виде преобразования
Фурье от функции
5. Перейдем теперь к общему случаю. Для иллюстра-
ции методов, применяемых нами, мы выбрали задачу
Коши, поскольку решение последней наглядно и геомет-
рично демонстрирует идеи и методы, применяемые в ра-
боте. На примере задачи Коши мы хотели бы начать
изложение «с нуля» и построить канонический оператор
непосредственно в процессе решения дифференциально-
го уравнения.
Итак, рассмотрим следующую задачу Коши:
+ Н(х,р,№ = Ъ,
ш
(35)
L.=ехР So (*)} Фо (*)•
Здесь функция H(x,p,t) удовлетворяет оценке
\D^PH (х, р, + \х\ + \р\)т
24
ВВЕДЕНИЕ
при каждом мультииндексе (а, 0), а выражение;
Н (х, р, t)ty(x) означает по определению следующее:
Я (х, р, 0ф (х) = {% [Н (X, р, 0 F^p<p (х)]}|ж=4(,
где
/J (, tl J
R«
a Fp!^x — сопряженное преобразование. Таким образом,
например, р =* — ih д/дх.
Мы будем искать асимптотические при Л->-0 решения
этой задачи в следующем смысле. Функции -ф (х, i, Л) мы
назовем асимптотическим решением порядка г^О, если
при подстановке этой функции в левые части соотноше-
ний (35) мы получим величину порядка О (hr). При этом
величина функции оценивается по норме некоторого
функционального пространства (точные формулировки
смотри в тексте). Для простоты мы будем искать асимп-
тотику второго порядка. Схема решения задачи следую-
щая. Ищем решение задачи (35) в виде
ф (х, t, h) = exp
(7s И
Ф (X, t).
(36)
Подставляя выражение (36) в систему (35), имеем
exp М- S (х, М —ifl4г + н (х> IT ~t7t "Г’ ф (х’
[h J L dt dt \ dx dx }
= O(/i2).
Учитывая, что exp S(x, t) I =0(1), и разлагая полу-
(h J
ченное выражение по степеням Л, получим с учетом (35)
S|/=0 = 50(x), (37)
dt \ dx ) 4
[А + ® А +1 _™_1 ф(х, () = о,
[а др{ дх‘ 2 дх1 дх1 dPi дР, J
фЬ-о^ФоМ-
(38)
Введение
25
Здесь и ниже по повторяющимся индексам предполагает-
ся суммирование.
Для решения уравнения (37) применяем метод ха-
рактеристик. Составляем систему Гамильтона в прост-
ранстве R2 ©Rnp®R/:
х^Нр, р — —Нх, х(О) = хо, р(0) = ^-| . (39)
°Х 'Х=Х0
Пусть х(х0, t), р(ха, t)—решение системы Гамильтона.
Тогда уравнения
х=х(х0,/), р = р(х0, t),
х = (х1.....х"), р = (рх....рп), x0<=R", /e=Rt
определяют многообразие L размерности п+1 в прост-
ранстве R2®Rnp®R? с краем {/=0}. Доказывается, что
на этом многообразии замкнута форма
pidx*—Я(х, р, t)dt=(d.
Поскольку многообразие L односвязно, то форма со точ-
на; кроме того, при t=0 имеет место равенство
= 4х*=р4х‘.
1х=х0
Поэтому существует решение задачи
dS = со |L, S |^=0 =* So (х).
Пусть теперь U — такая открытая окрестность в прост-
ранстве R"®R/+ множества {/ = 0}, на которую одно-
значно проектируется многообразие L, т. е. разрешимы
уравнения х = х(х0,/) относительно х0: х0=х0(х, ?). Тог-
да функция
S (х, () = S' (х„, - (n-i)-S’ (х„ I),
где L->-R2®Rj — проекция, является решением в U
задачи (37).
26
ВВЕДЕНИЕ
Решение уравнения (38) в области U ищем с по-
мощью подстановки
[п? I
Поскольку функция J=DxlDxa удовлетворяет уравне-
нию Лиувилля
°* die \ "Pi I
то для функции ф, заданной на многообразии L, нужно
потребовать выполнения соотношений
[1 + 7^1’-°’ <'“>
где d)dt— ограничение векторного поля
—+ У(Я)=« ————— (4i)
dt Т v 7 dt^dPi dxi dx‘ dPi k
на многообразие L.
Из (39) следует, что d/dt есть производная вдоль тра-
екторий системы Гамильтона (39). Заметим также, что
из способа построения многообразия L следует, что оно
инвариантно относительно векторного поля (41).
Можно доказать, что в окрестности тех точек много-
образия L, для которых проекция имеет особенность,
существует такое множество индексов 7с: {1, 2,..., п},
что уравнения
xz — х1 (хв, t), i е I,
(42)
Pl e Pi (х0, t), j <= 7 = {1, 2, ..., n}\7,
разрешимы относительно x0’
~ Xo P/» 0*
В окрестности таких точек мы совершаем переход в урав-
нении к преобразованию Фурье по переменным х1:
ф (х, t, h) = FI/ft 7ф, (xl, р-J, t, hy, (43)
ВВЕДЕНИЕ
27
при этом для функции ipj получим уравнение
— ih4- Н(х, х', рь р7, = О(ft8), х1 = ih—.
dt dpi *
Аналогично рассмотренному выше, ищем функцию ф/
в виде
ф/ (х‘, р7, t, h) = ехр |у- S/ (/, Pj, 0} I D (X ’ P,~ Ф-
V h J L -
При этом доказывается, что в качестве функции S, мож-
но взять функцию
St(xl, pj, t) =*= (л/1)*^^ t) — x~'(x9, t)pJ{xa, t)},
а функция ф на многообразии L должна удовлетворять
уравнению (40). Здесь jtz: проекция,
л}1 существует в рассматриваемой окрестности в силу
существования решения системы (42).
Обозначим через Ur область на многообразии L, на
которой отображение Л/ невырождено. Чтобы формулы
(36) и (43) определяли одно и то же решение (с точ-
ностью до h) уравнения (35), необходимо, чтобы выпол-
нялось соотношение
ч г Dr I"1/2
— S (X, t)\ ф (X, 0 - =
h J L
— ( /• .Р(Лр-)Г1/2 1
= F^7(exp|l-S/(Zp7>0j[—Ф| + О(й) (44)
в тех точках Uj, где проекция лх невырождена. Оказы-
вается, что (6 односвязном случае) можно так подобрать
аргументы функций --------в каждой из окрестностей Ui,
чтобы соотношение (44) было выполнено* Именно (ср. (34)),
arg -----— и arg---------- в пересечении Uj Г] Uj долж-
Dx0 Dx9
ны быть связаны соотношением
P(?,pr) D(xJ,p-)
, arg ——- — arg —-—4 = 3 argXft + | J\/ л,
Dxa . Dx0 *
28
ВВЕДЕНИЕ
где {1J — собственные значения матрицы
д(—р, , х1‘)
• = Hessx/3, (- S/), /, = Z\J, /3 = J\Z.
Более того, лагранжево многообразие L должно лежать
на поверхности нулевых значений функции Гамильтона
Н(х, р), т, е. /7| Л==0. При этом гамильтоново векторное
поле V(H) автоматически касается лангранжева много-
образия L.
Пусть теперь L — произвольное лагранжево много-
образие в фазовом пространстве R"®Rn, лежащее на по-
верхности нулевого уровня функции Гамильтона Н(х,р).
Допустим сначала, что многообразие L взаимно одно-
значно проектируется на подпространство R”, т. е. х-ко-
ординаты служат системой координат на многообразии
L, а р-координаты являются функциями от координат х,
р = р(х), на многообразии L. В этом случае асимптоти-
ческое решение (с точностью до О (А2) строится по фор-
муле
ф(х) = exp Р-3 (х) ] <р (х),
ГЛ J
где функция действия S (х) находится из уравнения
dS(x) = р dx=pi(x)dxi+.. .+рп(x)dxn, а функция <р(х)
находится из уравнения переноса
di 2 дх1 др{ j
где d/dt — производная вдоль гамильтонова векторного
поля V(H). Разумеется, указанных асимптотических ре-
шений много, и выбор подходящего решения зависит от
начальных или граничных условий.
В общем случае мы не можем утверждать, что на ла-
гранжевом многообразии L х-координаты служат системой
координат. Вообще, если многообразие L размерности п
вложено в фазовое пространство R2®Rn,TO самое большее
мы можем указать локальную систему координат в окрест-
ности каждой точки подмногообразия L. При этом в каче-
стве локальной системы координат всегда можно взять неко-
торую группу координат объемлющего фазового пространства
ВВЕДЕНИЕ
29
R"G)R£, скажем, (х\ ^k,Pik^..........#„). Если же
при этом нам известно, что многообразие L является
лагранжевым, то такую локальную систему координат
(V*, ...» .....pin) можно выбрать так, чтобы
номера (ilt ..., ik) и (tk+1, ..., i„) были дополнительными
друг к другу, т. е. чтобы в качестве координат на лагран-
жевом многообразии не встречались координаты х} и р}
с одинаковыми индексами.
Опустим на некоторое время требование, чтобы функ-
ция <р удовлетворяла уравнению переноса. Тогда, исполь-
зуя локальную систему координат (х‘, ..., хп) на лагран-
жевом многообразии L, можно было бы построить асимп-
тотическое решение в том же виде
4s
ф (х) = е <р,
считая, что 5 — функция на лагранжевом многообразии,
удовлетворяющая уравнению dS=(pdx)/L, а ф — глад-
кая функция, носитель которой целиком лежит в области
многообразия L, где определены координаты (х‘, ..., х").
Если в некоторой окрестности лагранжевого многообра-
зия L приходится брать координаты смешанного типа
(х{«, ..., x‘ft, ptk+1.p,.J = (х1, pj), 1= (ilr T=
= (ift+i, •. •, й)> /ПТ=0, /ЦГ= {!> 2.n}, то в качест-
ве асимптотического решения можно взять функцию
ф (х) = [ехр [j sj ф J , (45)
где S — функция на лагранжевом многообразии, удовлет-
воряющая уравнению
dS = (pi dx1— £ dpy) | L>
а ф — гладкая функция с носителем, лежащим в данной
окрестности. При этом считаем, что выражение, стоящее
под знаком преобразования Фурье, является функцией от
переменных (х1, pj) — координат на лагранжевом много-
образии L.
Теперь мы можем организовать все указанные наблю-
дения следующим образом. Дано лагранжево многооб-
разие L. Покроем многообразие L атласом карт Уъ
ВВЕДЕНИЕ
причем в карте Ui зададим в качестве локальной системы
координат координаты фазового пространства (xJ, pj).
Выберем в каждой карте Ut две функции: удовлетво-
ряющую уравнению
dSi = (pi dx1 — xl dpj) | L,
и <pr, носитель которой лежит в карте. Построим по фор-
мулам (45) функции
ф/ (х) = р1р^хт [ехР S‘ j • Ф/]
как значения оператора Kut на функции Ф,:
ф/ (х) = Kuj (фД
Здесь Dj — некоторые, пока произвольные, гладкие функ-
ции, заданные на каждой карте. Потребуем, чтобы опе-
раторы Kui были «согласованы» на пересечениях карт,
т. е. если носитель функции ф лежит в пересечении карт
игПи„ то
Ку/ (Ф) - Kuj (Ф) = 0 (mod Л2). (46)
Условия согласования (46) с помощью метода стацио-
нарной фазы могут быть преобразованы в некоторые
условия согласования функций действия S, и функ-
ций 1
Оказывается, что для того, чтобы выполнялись соот-
ношения, согласующие операторы К и, на различных кар-
тах, необходимо, чтобы функции S, и D/ удовлетворяли
следующим соотношениям:
Si — S j = xJp7 — х‘рт, (47)
dj _ д(х'г,р1г)
( in I г .'I
ехр[—1/31],
(48)
где 72 = /\/, /,=7\7.
Мы приходим к естественной задаче об уничтожении
препятствий, задаваемых соотношениями (47), (48). Эти
препятствия носят характер одномерных коциклов в тео-
ВВЕДЕНИЕ
31
рии когомологий лагранжева многообразия L. Эти два
препятствия носят название «условий квантования» лаг-
ранжева многообразия L и зависят только от топологи-
ческой структуры многообразия L и способа его вложе-
ния в фазовое пространство R2®R„.
Если условия квантования выполнены на лагранже-
вом многообразии L, то операторы Ки, «согласованы» на
пересечениях карт. Значит, с помощью операторов
можно построить один оператор К, действующий уже на
функциях <р на лагранжевом многообразии L с произ-
вольным носителем, а с его помощью асимптотические
решения искать в виде
ф(х)1=К(<р).
Доказательство всех изложенных фактов можно най-
ти в книге В. П. Маслова [1]. (Заметим, однако, что тер-
минология, принятая в этой книге, несколько отличается
от нашей.)
Приведенные примеры нахождения асимптотического
по малому параметру h решения задачи Коши дифферен-
циального (или псевдодифференциального) уравнения
иллюстрируют общие закономерности метода нахожде-
ния решения. Прежде всего рассматриваются только та-
кие дифференциальные (или псевдодифференциальные)
операторы, которые являются однородными степени нуль
по совокупности переменных (ft-1, д/дх). Класс таких
операторов можно задавать с помощью функции Гамиль-
тона Н(х,р), зависящей от двух групп переменных х=
= (х1, . . . , X"), р= (рь ..., рп). Для того чтобы получить
сам оператор Н(х,р), следует в случае полиномиальной
по переменным р= (р1г ..., рп) функции Н просто про-
извести подстановку вместо переменных рк операторов
—Ih д/дхк, считая операцию дифференцирования первой
операцией, а операцию умножения на функции — коэф-
фициенты полинома — второй операцией. В случае псев-
додифференциальных операторов следует воспользовать-
ся преобразованием Фурье по формуле
Н (х, р) ф (х) {F^y [Н (х, р) Г УДрф (x)]}x=iZ.
Последняя формула дает эквивалентное определение
оператора в случае полиномиальной функции Гамильто-
на Я(х, р) по переменным р.
32
ВВЕДЕНИЕ
Тогда всякое асимптотическое решение уравнения
Н (х, р) ф (х) = 0 связывается с некоторым подмногообра-
зием L, лежащим в фазовом пространстве R"®R«. Фазо-
вое пространство R2®R« имеет координаты (х, р) =
= (х1,... ,хп, pt.рп), а размерность подмногообразия
L равна п, т. е. половине размерности фазового простран-
ства. При этом подмногообразие L не может быть про-
извольным, но таким, что 2-форма
<ss=dp/\dx=dpl/\dxl+dpif\dx2+.. .-\-dpn/\dxn
равна тождественно нулю при ограничении ее на подмно-
гообразие L. Такие подмногообразия L называются лаг-
ранжевыми многообразиями. Оператор К. носит название
канонического оператора.
Таким образом, задача построения асимптотического
решения по заданному лагранжеву многообразию L рас-
падается на две задачи: а) топологическую задачу вычис-
ления условий квантования лагранжева многообразия и
задачу б) нахождения функции <р на лагранжевом много-
образии, удовлетворяющей уравнению переноса и пост-
роения решения в виде значения канонического операто-
ра ф(х) =/<(ф).
В соответствии с указанными двумя задачами мы в
первой части излагаем топологические свойства лагран-
жевых многообразий и способы вычисления условий
квантования. Во второй части излагаются все аналити-
ческие вопросы: построение канонического оператора,
формулы взаимодействия канонического оператора с
псевдодифференциальными операторами и приложения к
различным задачам теории уравнений в частных произ-
водных.
ЧАСТЬ I
ТОПОЛОГИЯ ЛАГРАНЖЕВЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
В этой главе собран набор понятий и теорем из топо-
логии и геометрии, встречающихся в книге. Весь мате-
риал настоящей главы можно разбить на две группы.
К первой группе относятся понятия и теоремы, которые
встречаются в большинстве рассуждений и конструкций.
Ко второй группе относятся такие понятия и теоремы,
которые носят чисто вспомогательный вычислительный
характер. Хотя мы считаем, что эти понятия и теоремы
хорошо известны читателю, но тем не менее мы подроб-
но их излагаем по двум причинам. Первая причина со-
стоит в стремлении сделать изложение как можно менее
зависящим от дополнительной литературы, вторая — в
том, что все изложение материала основано на макси-
мальной эксплуатации «топологического способа рассуж-
дения», позволяющего сделать проблему построения
асимптотик решений уравнений с малым параметром в
целом наиболее прозрачной. Подробное изложение мож-
но найти в книгах Л. С. Понтрягина [2], Н. Стинрода [1],
Д. Б. Фукса, А. Т. Фоменко, В. Л. Гутенмахера [1].
§ 1.1. Многообразия и расслоения
Основным геометрическим объектом, с которым мы
будем работать на протяжении всего изложения, являет-
ся гладкое многообразие. Пусть М— отделимое тополо-
гическое пространство со счетной базой открытых мно-
жеств. Пространство М называется гладким класса С“
многообразием размерности п, если существует покрытие
пространства М открытыми множествами Uit U2,..., удо-
влетворяющее следующим условиям:
2 Мищенко и др.
34
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
• (ГЛ. I
(1) для любого множества U{ существует гомеомор-
физм <р<: Ur^~Vi, где V,—открытая область в п-мерном
евклидовом пространстве R";
(2) если то гомеоморфизм Фл=ф^фГ1 мно-
жества на множество ф,-(£7((~)Ut), полученный
композицией отображений ф-1и ф,-, является С°°-гладким
отображением областей евклидова пространства R”.
Если у — точка многообразия М, y^Uk, то координа-
ты точки ф* (у) eRn называются локальными координа-
тами точки у^М. Пара (Uh, фА) называется локальной
картой многообразия М, а набор карт {(Uh, ф*)} назы-
вается атласом локальных карт многообразия М. Таким
образом, в каждой локальной карте (Uh, фл) координаты
точки ф*(1/), у<=М, определяют некоторые (непрерывные)
функции а* (у), ..., а" (у) в открытом множестве Uk, ко-
торые называются локальной системой координат много-
образия М в карте (Uh, фд). В дальнейшем, для простоты,
мы будем локальную карту ([/*, фк) обозначать через Uk,
считая, что на ней фиксировано отображение ф*. На пере-
сечении иы двух карт Uh, С/, заданы две локальные систе-
мы координат {«(*/)} и {а / («/)}, причем согласно опре-
делению найдется такое гладкое класса С“ отображение
области евклидова пространства фы, т. е. п гладких функ-
ций от п переменных, что
{«/ (У)} = Фа/ (а* (У), .... а" («/)).
Два атласа локальных карт {Uk, фк} и {U,', ф/} на мно-
гообразии М называются эквивалентными, если в пере-
сечении Ukf)U,' локальная система координат {aft {у)}
карты t/* и локальная система координат {а» (у)} кар-
ты U,' связаны тождеством
«л {У) = («s* (у), .... as'" {у))
для некоторых гладких функций При этом говорят,
что переход от одной локальной системы координат к
другой осуществляется с помощью гладкой замены коор-
динат. Условие эквивалентности двух атласов локальных
карт является отношением эквивалентности. Семейство
всех попарно эквивалентных атласов локальных карт на
$ J.1] МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ 35
многообразии М будет называться гладкой структурой
на многообразии М.
Функция f на многообразии М называется гладкой
функцией класса С°°, если функции
f ° фГ: Vk -+ R1, Vk = <р* (Uk) С2Ъп, (1.1*)
являются гладкими функциями на области V\cRn. Опре-
деление гладкой функции f не зависит от выбора атласа
локальных карт данной гладкой структуры на многооб-
разии М.
В самом деле, если {Us, ф$} —другой атлас локаль-
ных карт, то функции f^cp's : V/-*R‘ в окрестности каж-
дой точки области V/ разлагаются в композиции вида
f ° фГ1 = (f ° фГ)0 (ф* 0 Фз ’),
причем отображения f о ф^1 и Ф* о ф' 1 являются гладкими
отображениями. Значит, и функция foq>'s 1 тоже является
гладкой функцией.
Используя композицию (1.1), мы получаем, что вся-
кая гладкая функция f на многообразии М может быть
представлена в виде
№) = £*(«?(*/).....а? (у)),
где gk — гладкая функция от п переменных.
Покрывая многообразие М более мелкими локальны-
ми картами, можно всегда выбрать такой атлас карт
(UK, <р*), что 14^R" для любого k. Более того, можно до-
биться (что менее тривиально) того, чтобы любое пере-
сечение {/<,...<5= ... n^is тоже было гомеоморфно
евклидову пространству.
Рассматривают также более широкий класс объек-
тов— гладкие многообразия с краем. В отличие от много-
образий с краем, многообразия без края будем называть
замкнутыми многообразиями. Гладкое многообразие с
краем — это отделимое топологическое пространство М
с подпространством У и счетным открытым покрытием
Ui, Uz, ... с гомеоморфизмами
которые удовлетворяют следующим условиям:
2*
36
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
(1) если множество U< данного покрытия содержится
в M\N, то соответствующий гомеоморфизм срг-: Ur+Vi
отображает множество U< на открытый шар К в евкли-
довом пространстве Rn; в противном случае задан гомео-
морфизм Ur^Vi, где Vi— полушарие вида
^4<1, xrt>0,
£=••=1
причем множество UtP\N отображается на подмножество
в V(, состоящее из точек, для которых х„=0;
(2) если Ui и Us—два множества из данного покры-
тия и и^и^0, то отображение ф,ф/1=ф« является
гладким отображением множества ф, (С74Р|С7Л) на множе-
ство ф< <иг\и}).
Поскольку гомеоморфизмы ф0- должны переводить
внутренние точки во внутренние, а граничные — в гранич-
ные, очевидно, что если ограничить на множество N те
элементы покрытия J7,-, которые его пересекают, то мно-
жества f/.rW образуют покрытие множества N, опреде-
ляющее на нем структуру гладкого многообразия; оно
называется краем многообразия М и обозначается через
дМ. Поскольку понятие гладкой функции имеет смысл и
в том случае, когда функция определена только в полу-
пространстве R+", то для многообразий с краем опреде-
ляются гладкие замены локальных координат и гладкая
структура на многообразии с краем.
Для гладких многообразий справедливо следующее
утверждение.
Предложение 1.1. Пусть М — гладкое многооб-
разив, {Wk} — некоторое покрытие открытыми множест-
вами, т. е. (JW\=A1. Тогда существуют такие веществен-
ные гладкие функции фл на многообразии М, что
а) О^фДг/) <1, уе=М;
б) зиррф^Н^;
в) 2 Ф*(0) = 1-
Набор функций {фл} называется разбиением единицы,
подчиненным покрытию {1Гк}.
Пример разбиения единицы приведен на следующем
рис. 3.
§ 1-1]
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
37
Разбиения единицы полезны для разложения любой
функции f в сумму таких слагаемых, f= 2 ft, чтобы каж-
i
дое слагаемое Д имело достаточно малый носитель. Для
этого достаточно положить A=<jptf. Совершенно таким же
способом можно разлагать в сумму слагаемых с малыми
носителями и другие объекты — вектор-функции, вектор-
ные поля, дифференциальные формы и т. п.
Рис. 3.
Простейшим примером гладкого многообразия явля-
ется евклидово пространство Rn. В этом случае атлас
карт состоит из одной карты U, совпадающей с самим
пространством R", а локальная система координат в этом
случае есть линейная система координат евклидова про-
странства R" и, следовательно, является глобальной си-
стемой координат на многообразии R".
Одномерных замкнутых многообразий существует все-
го два: вещественная прямая R1 и окружность S1. На
окружности S* не существует глобальной системы коор-
динат. Локальные же системы координат в окрестности
каждой точки xeS* определяются с помощью одного уг-
лового параметра ф, который на всей окружности являет-
ся многозначной функцией, значение которой определя-
ется точкой x<=S‘ с точностью до слагаемого, кратно-
го 2л.
Двумерных замкнутых многообразий — поверхно-
стей— уже существует бесконечно много. Простейшей
поверхностью среди Двумерных многообразий (исключая
евклидово пространство R2) является двумерная сфера
S2, которую можно задавать с помощью уравнения xz +
+y2 + z2 = l в трехмерном евклидовом пространстве. На
двумерной сфере нельзя задать глобальную систему ко-
ординат. Атлас карт должен состоять по крайней мере
из двух карт. Но проще всего задать атлас из шести кар?
38
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
(ГЛ. I
с помощью неравенств х>0, х<0, у>0, у<0, z>0, z<
<0. В каждой из этих шести карт две евклидовы коор-
динаты, не входящие в неравенство, служат локальной
системой координат. Например, в карте х>0 имеем х=
=У1—у2—z2, а в карте х<0 получаем х=—У1—у2—z2,
что дает доказательство гомеоморфизма этих карт на
область в R2, задаваемую неравенством y2+z2<l. Легко
проверить, что функции перехода от одной локальной
системы координат к другой являются гладкими. Так,
например, если в карте х>0 в качестве координат взять
координаты (у, г), а в карте у>0 взять координаты
(х, z), то функции перехода примут вид
у = —’х2'—za,
г = z,
и, значит, являются гладкими функциями при x2+z2<l.
Другим важным примером поверхности служит дву-
мерный тор Т2, который можно определить как декарто-
во произведение двух экземпляров окружности, T2=S1X
XS1, или как двумерную плоскость R2, в которой точки
отождествлены с помощью целочисленной решетки ZX
XZcR2. На торе имеются два многозначных параметра
<pt и <р2> превращающихся в однозначные локальные ко-
ординаты в достаточно малой окрестности каждой точ-
ки хеТ2.
Вообще, многие поверхности можно получать анало-
гично тору, отождествляя точки в R2 с помощью действия
некоторой дискретной группы на плоскости R2.
Существует несколько способов задания многообра-
зия. Простейший из них задает гладкое многообразие в
виде графика некоторой гладкой функции или вектор-
функции. Пусть f: Rn->RM — гладкая вектор-функция,
A'fczRn+’n — ее график, т. е. множество точек вида
(х, f(x)), xeRn, f(x)eRm, R"+m=R"©Rm. Совершенно
очевидно, что множество М является гладким многообра-
зием. Для этого в качестве единственной карты выберем
само множество М, а гомеоморфизм M-*-Rn определим
как ограничение проекции евклидова пространства Rn+m
ко его первое слагаемое Rn.
Другим распространенным способом задания много-
образия в виде подмножества в евклидовом пространстве
$ 1-П
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
39
R" является параметрический способ. Пусть GcR*—
открытое множество, f: G->-R" — гладкое отображение,
являющееся гомеоморфизмом на свой образ Af=f(G).
Тогда множество М является гладким многообразием.
Обычно таким способом задают кривые и двумерные по-
верхности в трехмерном пространстве. Случай графика
вектор-функции является частным случаем параметриче-
ского задания многообразия.
Параметрический способ задания многообразий по-
зволяет нам рассматривать только простейшие многооб-
разия, гомеоморфные области в евклидовом пространстве.
Уже такие простые многообразия, как окружность 3‘ или
сфера $*, невозможно задать параметрически. В общем
случае многообразия задают с помощью уравнения или
системы уравнений в евклидовом пространстве:
fi (х\ .... х") == О,
fk(x\ .... х*)«0.
С помощью одного уравнения (х‘)2+...+ (хв)2—1=0
задается сфера З”-1 в евклидовом пространстве R". Дву-
мерный тор T=SlXS‘ можно задать с помощью системы
двух уравнений в R4:
(х^-Цх2)2—1 =0,
(х3)2 + (х<)2 —1 = 0.
Однако не всякая система уравнений определяет мно-
гообразие. Например, уравнение ху=а задает одномер-
ное многообразие при а=/=0 в двумерном пространстве.
При а=0 решения уравнения ху=0 образуют координат-
ный крест, не являющийся многообразием. Поэтому обыч-
но на систему уравнений налагается требование, чтобы
в каждой точке (xj, ..., х") решения системы выполня-
лись условия теоремы о неявных функциях: детерминант
матрицы частных производных функций fu ..., fk по пе-
ременным xf|,..., xik отличен от нуля:
9fk
ft/*
А
а/*
40
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[гл. i
Согласно теореме о неявных функциях систему урав-
нений можно однозначно разрешить в окрестности точки
(xj.....х") относительно переменных (х’’*, ..., х‘*). Это
значит, что множество решений системы уравнений в окре-
стности точки (xj, ... , х") можно задать в виде графика
вектор-функций
х‘-. = х^ (х,-А+1> .... х(„),
X * — X А (x(fc+1, ..., х>л),
т. е. множество решений системы уравнений является
гладким многообразием. Поскольку выбор координат
(х'1...х'к), относительно которых разрешается система
уравнений, несуществен, то удобнее условие теоремы о
неявных функциях сформулировать в терминах ранга
матрицы Якоби всех частных производных функций
А, •••,/*:
rang
dh .. дх1 .. А дх1
dfi .,
дхп дх"
= k.
В следующем параграфе это условие, а также и сама
теорема о неявных функциях, будет сформулировано в
инвариантных терминах и в более общей ситуации.
В качестве примера снова рассмотрим уравнение сфе-
ры (х1)2 + ... + (хп)2—1=0. Матрица частных производ-
ных в данном случае имеет вид
||2х‘.2х”||.
Ранг этой матрицы может равняться нулю или единице.
Если ранг равен нулю, то 2х‘ = .. .=2х”=0. Поскольку
точка х‘ = ...=хп = 0 не является решением уравнения
сферы, то во всех точках сферы ранг матрицы Якоби
уравнения равен единице. Следовательно, по теореме о
неявных функциях сфера является гладким многообра-
зием.
§ 1.11
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
41
Многие классические пространства являются гладки-
ми многообразиями. Важнейшими среди них являются
матричные группы и их однородные пространства. Рас-
смотрим сначала группу GL(n, R) всех невырожденных
квадратных матриц порядка п. Каждый элемент 4s
<=GL(n, R) является матрицей
аи
detA^O.
°пп
Таким образом, мы можем считать, что группа
GL(n, R) является подмножеством в линейном простран-
стве R" размерности п2 (по числу элементов atj, входящих
в матрицу А). Поскольку матрица А принадлежит груп-
пе GL(n, R), если detA^O, то множество GL(n, R)c
c:Rn’ является открытым множеством. Следовательно,
группа GL(n, R) является гладким многообразием, атлас
карт в котором состоит из одной карты.
Через SL(n, R) обозначается подгруппа группы
GL(n, R), состоящая из матриц А, детерминант которых
равен единице:
detA = l.
Таким образом, группа SL(n, R) определяется как мно-
жество решений одного уравнения det А—1=0. Функция
f(A)=detA—1 является многочленом от переменных
{afj}. Для того чтобы установить, что группа SL(n, R) яв-
ляется многообразием, достаточно установить, что на
группе SL(n, R) градиент функции f(A) отличен от нуля.
Вычислим сначала градиент функции f(A) в точке А—Е,
равной единичной матрице. Обозначим через Ai} матрицу,
полученную из матрицы А путем вычеркивания строки с
номером i и столбца с номером /. Тогда
f (А) =* det А -1 =- 3 (-1 )1+Ч* det Alk - 1.
k=~l
Поэтому
= det =-1, если А — Е.
9а»
42
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
Таким образом, градиент функции f(A) отличен от нуля
в точке А —Е. Пусть теперь A^SL(n, R) —произвольная
матрица. Рассмотрим отображение <р: GL(n, R)->
->GL(n, R), задаваемое формулой
<p(4)=M0-\4.
Отображение ср является гладким гомеоморфизмом. Тог-
да композиция h(A) =f (ср (Л)) является гладкой функци-
ей, причем h(A) =det(i4jM)—l=f(X). Следовательно,
I dh df n „
-— = ——. С другой стороны,
да1/ а,₽ дасф dalf
В частности,
даЦ а,₽ daafi °aif
Поскольку <р является гладким гомеоморфизмом, то мат-
рица Якоби порядка пг, составленная из частных произ-
водных 1^^^ |, является невырожденной. Поэтому
из нетривиальности градиента функции f в точке Е сле-
дует нетривиальность градиента функции f в точке Д».
Мы показали, что градиент функции f отличен от нуля в
каждой точке группы SL(n, R). Значит, по теореме о не-
явной функции группа SL(n, R) является гладким мно-
гообразием.
Перейдем теперь к менее тривиальному примеру —
группе О(п) ортогональных матриц, т. е. матриц А, удо-
влетворяющих матричному соотношению А*А=Е. Здесь
А‘ обозначает транспонированную матрицу. Соотношение
на ортогональные матрицы можно понимать как систему
уравнений на пространстве R"’, состоящую из пг уравне-
ний. Непосредственно в данной системе применить теоре-
му о неявных функциях нам не удастся, поскольку в слу-
чае ее применимости мы получили бы, что множество
решений образует нульмерное многообразие, что невер-
но. Это означает на самом деле, что в системе уравнений
А'А=Е имеются зависимые уравнения. Поэтому вначале
5 1-П
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
43
следует выделить максимальную независимую подсисте-
му уравнений, а для последней проверить условия теоре-
мы о неявных функциях.
Нам такой способ представляется громоздким и не
проясняющим суть дела. Поэтому мы рассмотрим другой
способ, построив в явном виде специальный атлас карт
в группе О (и). Начнем, прежде всего, с построения спе-
циального атласа карт на группе GL(n, R). Рассмотрим
отображение
ехр: Rn‘->GL(n, R),
задаваемое формулой
оо .
ехр(Х)=2
Л=о
Отображение ехр является гладким отображением, при-
чем, если матрицы X и У коммутируют, т. е. XY=YX, то
ехр (Х+ У) = ехр (X) ехр (У).
При этом нулевая матрица 0 отображается в единичную
матрицу Е". ехр(0)=Е. Вычислим детерминант матрицы
Якоби отображения ехр в точке 0. Если У=ехр(Х) , У=
= W.*=llx«ll, ТО
fy/ = (1, если (i, /) = (q, 0),
дх<$ to, если (i, j) =f= (a, 0),
в точке X=0. Следовательно, детерминант матрицы Яко-
би отображения ехр равен единице. Применяя теорему о
неявных функциях к системе уравнений У=ехр(Х), по-
лучаем, что отображение ехр является гладким гомео-
морфизмом в некоторой малой окрестности U нулевой
матрицы. Обозначим через Vs=exp(t/). Обратное к ехр
отображение области Уя в область U обозначим через In:
In(Д) = V (Д-ЕА ЛеУЕ.
& к
Если матрицы Д и В коммутируют, то 1п(ДВ) =
»1п(Д)+1п(В).
Определим на группе GL(n, R) атлас карт {Уд}, по-
ложив УЛ=А-УЖ, <рл: Ул-+и, фд(В) =1п(Д~‘В). Отобра-
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ [ГЛ. I
жения <рх являются гладкими гомеоморфизмами. Следо-
вательно, функции перехода фвфл тоже являются глад-
кими гомеоморфизмами.
Теперь с помощью атласа карт {VA} построим атлас
карт на группе О(п). Пусть PczR"a—подпространство
кососимметрических матриц в пространстве всех матриц
порядка п2. Тогда, очевидно, матрица ехр(Х), ХеР, яв-
ляется ортогональной матрицей. И, обратно, если Ле
еО(п)П1/Е, то 1пА— кососимметрическая матрица. Сле-
довательно, область (/ПРсР гомеоморфно отображается
на открытое множество O(n)(~}VEazO(n). Положим
ГА = О(п)ПКь
фл: WA О (п) П Р, Фл (В) = In (А-'В) = <рл (В).
Мы получаем атлас карт {№А} на группе О(п), причем
функции перехода фвфл являются гладкими отображе-
ниями.
Аналогичным способом можно построить атласы карт
и для других классических матричных групп: GL(n, С),
SL(n, С), U(n) и т. д. Используя экспоненциальное ото-
бражение, для каждой матричной группы строится свое
подпространство в пространстве всех матриц. Так, для
группы SL(n, С) соответствующее подпространство со-
стоит из всех матриц, след которых равен нулю. Для
группы U(n) соответствующее подпространство состоит
из всех косоэрмитовых комплексных матриц.
Покажем теперь, что однородные пространства левых
(правых) классов смежности по некоторой подгруппе
тоже являются гладкими многообразиями. Пусть На
cGL(n, R) —замкнутая подгруппа. Можно доказать, что
тогда существует линейное подпространство PczR"',
окрестность нуля которого Z’QtZ с помощью экспоненци-
ального отображения ехр диффеоморфно отображается
на окрестность единичного элемента подгруппы Н:
exp: BQ VE.
В примерах подгрупп, рассмотренных далее, существова-
ние такого подпространства показывается без труда в
явном виде. Так, например, для случая подгрупп
SL(n, R), О (и), U(n) такие подпространства Р мы уже
указали выше. Таким образом, окрестность единичного
Многообразия И расслоения
45
§ 1-11
элемента Е, точнее, класса смежности [Е] = Н, однород-
ного пространства GL(n, R)/H гомеоморфна (VE-H)IH.
Следовательно, можно ожидать, что пространство (14-
-Н)1Н с помощью отображения In гомеоморфно отобра-
жается на окрестность нуля фактор-пространства Rn2;/P.
Более точно, пусть QgzR"a—алгебраическое дополнение
к подпространству Р, Rrt2=Q®A Рассмотрим компози-
цию
гр: Q Л U VE • Н • Н)/Н.
Нетрудно убедиться, что отображение ф является гомео-
морфизмом, поскольку классы смежности А-Н по под-
группе Н пересекаются с образом exp(QQG) ровно по
одной точке. Таким образом, мы построили одну карту
WE = (14-Н)1Н, фЕ: <Ре=Ф-1. Для построения
всего атласа карт {U4} заметим, что группа GL(n, R)
действует на однородном пространстве GL(n, R)/H и пе-
реводит точку [Е] в любую другую точку. Следовательно,
положив Wa=A-We, фА(х) =Фе(Д-1х), мы получим пол-
ный атлас карт на однородном пространстве GL(n^)IH.
Точно таким же образом доказывается, что и для лю-
бых замкнутых подгрупп GL(n, R) id Gid// однородное
пространство G/H является гладким многообразием. Уже
начиная с размерности три, множество многообразий на-
столько обширно, что оно не поддается какому-либо эф-
фективному описанию, и мы вынуждены ограничиться
только некоторыми классическими примерами многооб-
разий.
Классические примеры однородных пространств име-
ют специальные названия. Так, пространство прямых
евклидова пространства Rn+1, проходящих через начало
координат, называется вещественным n-мерным проек-
тивным пространством и обозначается через RPn. Его
можно представить как однородное пространство клас-
сов смежности группы О(п) по подгруппе 0(1) X О (и— 1):
RP„ = O(n)/(O(l) Х0(п—1)). Важное значение в раз-
личных геометрических исследованиях имеют простран-
ства Gn,k 6-мерных подпространств в евклидовом про-
странстве R"+,t. Это пространство тоже является много-
образием, гомеоморфным O(n-{-k)/(O(n)\O(k)), и на-
зывается многообразием Грассмана или грассманианом.
46
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
По аналогии со схемой определения гладких много-
образий определяются другие топологические объекты,
имеющие название расслоений. Пусть заданы топологи-
ческие пространства Е, В, F и непрерывное отображение
р: Е-+В,
удовлетворяющее следующему условию: существуют по-
крытие {£/«} пространства В и система гомеоморфизмов
<p«: p-‘(t/«)-44XF,
причем следующая диаграмма коммутативна:
т. е. справедливо равенство
Р = ЗТо'фа,
где л — проекция на первый сомножитель. Если обозна-
чить, как и ранее, Uat= то отображения
Фар = (фр | Р’1 (t/ap)) ° (Фа | Р"1 (^ар))-1,
(1-2)
Фар • t/ap X F —>• Uap X F
являются гомеоморфизмами, тождественными по первой
координате.
Набор |= (Е, В, р, F, <ра) называется локально триви-
альным расслоением, Е — пространством расслоения, В —
базой расслоения, F — слоем, а отображения {ф«₽} —
функциями склейки. Если {V₽}—покрытие, более мелкое,
чем покрытие {Ua}, то на нем индуцируются однозначно
свои функции склейки исходного расслоения. Функции
склейки можно понимать как отображения
Фар иа» -* Нотлео (Г, F) (1.3)
в группу гомеоморфизмов слоя F, причем на ф«р налага-
ются такие условия непрерывности, чтобы (1.2) являлось
§ 1.11
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
47
гомеоморфизмом. При этом выполняются условия: для
любой ТОЧКИ
ф₽т (х) Фар (х) = фат (х). (1.4)
Если на пространстве В заданы покрытие {Ua} и функ-
ции (1.3), удовлетворяющие условию (1.4), то сущест-
вует такое локально тривиальное расслоение (Е, В, р,
F, фа), что (1.3) являются его функциями склейки.
Это означает, что локально тривиальное расслоение
можно задавать с помощью функций склейки, не рассмат-
ривая пространства расслоения Е.
С помощью функций склейки (1.2) легко определить
обратный образ расслоения для непрерывного отображе-
ния баз. Именно, если f: Bt-*B2—непрерывное отображе-
ние, £= (Е, В2, р, F, фа) —локально тривиальное расслое-
ние, {фа₽} — его функции склейки, то через f* (I) обозна-
чим локально тривиальное расслоение над пространством
В,, функции склейки которого задаются формулами
ф«0 = фа₽°/
для атласа карт {f-1 (£/«)}.
Простейшим примером локально тривиального рас-
слоения является декартово произведение E=BxF.
В этом случае в качестве атласа карт следует взять одну
карту иа=В. На любом, более мелком атласе карт будут
индуцироваться функции склейки фар, принимающие зна-
чения в тождественном гомеоморфизме. Так, например,
если B=S‘—окружность, a F=I — отрезок вещественной
прямой, то BXF есть престо прямой круговой цилиндр.
Над той же базой В—S' и с тем же слоем F=I можно
построить и другое, уже нетривиальное расслоение. Для
этого разобьем окружность 3‘ на два отрезка Ut =
= {0^ф^л}, U2= {л^ф^2л}. На картах U2, U2 мы
зададим функцию склейки ф12 (тот факт, что Ut и U2 не
являются открытыми множествами, мы для простоты
игнорируем). Положим ф42(0)=1с1, ф12(л) =—id. Тогда
расслоение Е является поверхностью, которая получает-
ся, если склеить у полосы [0, 2л] XI противоположные
ребра ОХ/ и 2лХ/ с изменением направления в отрез-
ке I (рис. 4).
Эта поверхность известна под названием «листа Ме-
биуса». Аналогично можно представить в виде локально
48
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
тривиальных расслоений и некоторые другие поверхно-
Отображение f: В-+Е такое, что pf(x)=x, х^В, на-
зывается сечением расслоения.
Два расслоения (Е, В, р, F, фа) и (Е', В, р, F, <р/)
считаются эквивалентными, если существует гомеомор-
физм h: Е-+Е', образующий коммутативную диаграмму
Меняя покрытие этих двух расслоений на одно, более
мелкое, мы получаем, что функции склейки <ра₽ и ф^ свя-
заны соотношениями
фаз (*) ha (х) = hfi (х) фар (х) (1.5)
для некоторых отображений
ha- Ua->Homeo(F, F).
Если GczHomeo(F, F) —некоторая подгруппа группы
гомеоморфизмов слоя F, а
фа₽(С/а₽) c=G, (1.6)
то мы будем говорить, что задано локально тривиальное
расслоение со структурной группой G. Может оказаться,
что условия (1.6) не выполнены, но становятся справед-
ливыми после применения формул (1.5), т. е. замены на
функции склейки эквивалентного расслоения. В этом слу-
чае говорят, что структурная группа расслоения редуци-
§ 1.1]
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
49
руется к группе G. Если Hcz.G— подгруппа, <ра₽(х),
/za(x)czG, фар(х)еЯ в формуле (1.5), то говорят, что
структурная группа G редуцируется к подгруппе Н.
Одним из важных классов расслоений является класс
вещественных векторных расслоений, т. е. локально три-*
виальных расслоений со слоем векторное пространство
F = Rn и структурной группой линейных преобразований
векторного пространства G = GL(n, R). Если F = Cn, а
структурная группа G = GL(n, С), то говорят о комплекс-
ном векторном расслоении.
Предложение 1.2, У вещественного векторного
расслоения структурная группа GL(n, R) редуцируется
к подгруппе О(п) ортогональных преобразований слоя
Rn. У комплексного векторного расслоения структурная
группа GL(n, С) редуцируется к подгруппе U(n) преоб-
разований слоя Сп.
Пространство Г(£) всех непрерывных сечений вещест-
венного векторного расслоения g естественным образом
образует вещественное линейное бесконечномерное, во-
обще говоря, пространство. Операции сложения двух се-
чений f, g и умножения сечения f на вещественное число
X^R1 определяются в каждой карте. Композиции
- <Pa со
fa' Ua------
ga: ua UaXF^F
являются вектор-функциями на карте Ga. Операции сло-
жения и умножения на число определяются поточечно:
(fa + ga) (я) — fa (*) + ga (*)»
(Xfa)(x) = Va(x).
Мы получаем две новые вектор-функции, по которым вос-
станавливаются отображения
Лс/а+£|с/а:
являющиеся сечениями на Ua,
Остается только показать, что полученные отображе-
ния совпадают на пересечениях карт. Этот факт следует
50
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
из того, что функции склейки являются линейными пре-
образованиями слоя в каждой точке, т. е. сохраняют опе-
рации сложения и умножения на число в каждом слое.
Более того, операцию умножения на число можно рас-
ширить до операции умножения на непрерывные функ-
ции, превратив, таким образом, пространство сечений
Г(|) в модуль над кольцом R(B) непрерывных функций
на базе В.
Например, если £ — тривиальное расслоение, т. е. g=
=BxRn, то пространство сечений Г(£) является попросту
пространством непрерывных вектор-функций, определен-
ных на базе В и принимающих свои значения в простран-
стве Rn. Если п=1, то Г(|) совпадает с пространством
скалярных функций на базе В.
Аналогично, в случае комплексного векторного рас-
слоения | пространство непрерывных сечений является
комплексным линейным пространством и модулем над
кольцом С (В) комплексных непрерывных функций на ба-
зе В. В случае, если В — конечный полиэдр (например,
компактное многообразие), то Г(£) является проектив-
ным R(В)-модулем (соответственно проективным С(В)-
модулем).
Пусть Vit Vz— конечномерные вещественные (соответ-
ственно, комплексные) линейные пространства. Если
AsV^Vi,
— линейные изоморфизмы, то через А1ФАг, А4®А2 обо-
значим прямую сумму и тензорное произведение изомор-
физмов соответственно. Мы получаем, таким образом,
гомоморфизмы групп
GL (n, R) X GL (т, R) GL (n + т, R), (1.7)
GL (п, R) х GL (т, R) -> GL (пт, R), (1.8)
сопоставляющие паре изоморфизмов А,, А2 изоморфиз-
мы А4ФА2 и А,®А2 соответственно. Гомоморфизмы (1.7)
и (1.8) определяют операции над векторными расслое-
ниями. Если g4, |2—два векторных расслоения над про-
странством В с функциями склейки фар и ф«р, то через
|4ф|2 обозначим расслоение с функциями склейки фар®
®фар, а через |4®|2 обозначим расслоение с функциями
склейки фаР®фаР ’
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
51
$ 1.1)
Аналогичным образом, если А<( V) есть i-я внешняя
степень векторного пространства V, то изоморфизм А;
V-*-V определяет изоморфизм АДА): А<(У)->А<(V) внеш-
ней степени пространства, так что получается гомомор-,
физм групп линейных преобразований пространств V и
АДУ). Тогда через А<(£) обозначим векторное расслое-
ние с функциями склейки Л{(фар). Далее, если V*— про-
странство, сопряженное к пространству V, то эта опера-
ция тоже индуцирует операцию над векторными расслое-
ниями. Результат обозначается через £*.
Пусть |2—два векторных расслоения:
51 = (Д1, Рь В, Flt <ра), ^2 = (Еа> Р%> В, Fv Фа).
Пусть f: Et-*E2—послойное отображение, линейное на
каждом слое. Условие линейности, очевидно, можно уста-
новить только для отображения (ф«)— 4, однако, по-
скольку функции склейки являются линейными преобра-
зованиями, то это условие не зависит от выбора индекса
а. Отображение f называется гомоморфизмом расслое-
ния в расслоение g2.
Если гомоморфизм fi lr+%2 является мономорфизмом
в каждом слое, то пространство, составленное из фактор-
пространств слоев над каждой точкой, является локально
тривиальным расслоением и называется фактор-расслое-
нием. Более точное определение заключается в следую-
щем. Пусть {Uа} — атлас карт,
fa- t/aX/*!-►I/aXFj
определяется по формуле
^ф’о/о^р.
Если ф^р = Фа ° (фр)"1 — функции склейки, ТО /афар =фар/р-
Определим функции склейки нового расслояния
со слоем FifFi. Обозначим через На пространство классов
смежности пространства £4X^4 по подпространствам
fa (£/«ХЛ). Можно показать, что для достаточно малой
окрестности Ua пространство На гомеоморфно t/aXF2/Fj.
Таким образом, пусть ga—такой гомоморфизм,
Sa- t^aXFa-♦'t/a'XFi/^'i,
52
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
(ГЛ. t
что в каждом слое ядро гомоморфизма ga совпадает с
образом fa. Тогда существуют и единственны такие го-
меоморфизмы
фаЗ • UX > £4x0 X F %! F^
что диаграмма
U a|3 X F2. £Лхр X F^jFi
| Фар j
^ар X F% —!> V ар X Е2/Fi
коммутативна. Функции фац удовлетворяют всем свойст-
вам функций склейки расслоения. Соответствующее функ-
циям склейки фаз расслоение и называется фактор-рас-
слоением.
Если база векторного расслоения £ является гладким
многообразием М, то можно требовать, чтобы функции
склейки
Ф*,: R)
являлись гладкими функциями, считая группу GL(n, R)
областью в п2-мерном евклидовом пространстве всех мат-
риц порядка п.
Оказывается, что всякое векторное расслоение над
гладким многообразием М допускает гладкие функции
склейки при надлежащем выборе карт и гомеоморфиз-
мов <р*. Это утверждение следует из стандартных теорем
о равномерной аппроксимации непрерывной функции по-
следовательностью гладких функций. Если В=(Е, р, М,
R", фл) — векторное расслоение над гладким многообра-
зием М с гладкими функциями склейки, то пространство
расслоения £ является гладким многообразием, а все ото-
бражения, входящие в определение расслоения, являют-
ся гладкими отображениями.
Сечение f: М-+Е расслоения £ называется гладким
сечением, если в любой карте Uk композиция
Ф* <>(№): t/ft->l/AxR"
является гладким отображением.
Свойство сечения f быть гладким в окрестности точки
х^М не зависит от выбора карты Uh, содержащей точ-
ку х.
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЙ
53
§ 1.11
Важным примером векторного расслоения на много-
образии М является так называемое касательное рас-
слоение. Пусть
f- V^Vt
— гладкое отображение области Vt<=Rn в область V2cz
cR". Через Df обозначим матричнозначную функцию на
Vi, составленную из всех частных производных отобра-
жения f. Если g = fi°f2—композиция двух отображений,
то
(Dg)(x)=Dfi(f2(x)).Df2(x), (1.9)
где в правой части (1.9) стоит произведение матриц
Dfi(f2(x)) и Df2(x).
Пусть М — гладкое многообразие, {(А) — атлас ло-
кальных карт, <pft: L\->-lzhcz:Rn, <pw: 14,——такие же, как
и в определении гладкого многообразия. Тогда матрич-
нозначные функции ф^(х) =£><рм(ф;1(х)) удовлетворяют
условиям (1.4). Легко проверить, что
det i|>w(x) ¥=0.
Следовательно, функции являются функциями склей-
ки некоторого векторного расслоения. Это расслоение на-
зывается касательным расслоением многообразия М и
обозначается через ТМ.
Рассмотрим несколько примеров многообразий и ка-
сательных расслоений. Пусть M = Sl—окружность. Тог-
да в качестве локальной координаты на окружности мож-
но взять одно из значений углового параметра ф. На
пересечении карт мы получим две локальные координа-
ты, которые в силу определения будут отличаться друг
от друга на постоянную функцию, кратную 2л. Следова-
тельно, матрица частных производных (в данном случае
просто производная) равна тождественно единице. Таким
образом, все функции склейки касательного расслоения
TS* тождественно равны единичному гомеоморфизму
слоя R*, и, значит, TS^S'xR1.
Аналогично, можно показать, что на двумерном торе
Т2 касательное расслоение тривиально: T(7’2)=FXR2.
В случае же двумерной сферы S2 касательное расслоение
TS2 нетривиально.
Поскольку пространство ТМ само является гладким
многообразием, то для него имеет смысл говорить о
54
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. 1
касательном расслоении. Пусть
р:
— естественная проекция. Тогда
ТТМ = р'(ТМ)®р'(ТМ).
В общем случае для векторного расслоения | над глад-
ким многообразием М имеет место изоморфизм
Гладкие сечения касательного расслоения ТМ назы-
ваются векторными полями на многообразии М. Каждое
векторное поле X определяет оператор дифференцирова-
ния кольца гладких функций С“ (А1) на многообразии М.
Этот оператор определяется следующим образом. Пусть
Ukc.M— локальная карта, х*, ..., х*— локальная систе-
ма координат в карте Uk. Поскольку расслоение ТМ над
картой Uk гомеоморфно прямому произведению t/*xRn,
то сечение X может быть записано в базисе (е,, ..., еп)
пространства R" в виде линейной комбинации
Х(х) = 2
/—1
где %{(х)—гладкие функции в карте Uk. Пусть fe
eC“(JW)—произвольная гладкая функция на многооб-
разии М. Положим
X(/)(x)^24(x)-g-(x). (1.10)
4=1 *
Значение левой части (1.10) не зависит от выбора ло-
кальной системы координат (х/..х/) в силу опреде-
ления функций склеек расслоения ТМ и правила диффе-
ренцирования сложной функции.
Между прочим, справедливо и обратное утверждение.
Всякий оператор дифференцирования
A: C“(M)->C~(M),
т. е. оператор А, удовлетворяющий равенству
A(f-g)~A(f)g+fA(g),
определяется некоторым гладким векторным полем.
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
55
$ 1.1]
Векторное поле X, имеющее вид Х(х) =е} в локальной
системе координат (х‘, ..., хп), обозначается через d/dxJ.
Значение векторного поля X в отдельной точке xeAf на-
зывается касательным вектором в точке х к многообра-
зию Af, а весь слой касательного расслоения ТМ назьр
вается касательным пространством. С каждым касатель-
ным вектором X в точке х можно связать функционал
дифференцирования Хх: C“(Af)-»-C, определяемый фор-
мулой (1.10), и, обратно, всякий функционал А, удовле-
творяющий равенству
A(fg)=A(f)g(x)+f(x)A(g),
определяется некоторым касательным вектором в точке
хе.М.
Пусть <р: (0, 1}->-Л4 — гладкая кривая. Тогда в каждой
точке <р(/о), О^о<1, естественным образом определяет-
ся вектор, касательный к кривой <р, обозначаемой через
dqldt. Задать этот вектор можно, например, с помощью
функционала дифференцирования
В локальной системе координат вектор, касательный к
кривой <р, задается координатами, равными производным
вектор-функции <р.
Иногда удобно понимать касательный вектор Хх как
«инфинитезимальную кривую» <р, проходящую через за-
данную точку х, т. е. как пучок кривых, проходящих че-
рез точку х и совпадающих с точностью до второго по-
рядка малости по параметру. Тогда, если многообразие
М гладко вложено в евклидово пространство R", то каж-
дый касательный вектор Хх, х<=М, можно реализовать
направленным отрезком в пространстве Rn, начало ко-
торого равно точке xeAfcR". Множество всех касатель-
ных векторов многообразия в точке х порождает линей-
ное многообразие в евклидовом пространстве R", прохо-
дящее через точку х и касающееся многообразия М.
Однако все касательное расслоение, как правило, нель-
зя реализовать в пространстве R", поскольку линейные
многообразия, касающиеся многообразия М в различных
точках, могут иметь непустое пересечение.
56
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
Примером вложения касательного расслоения в евк-
лидово пространство служит линейчатая поверхность в
R3, составленная из прямых, касающихся винтовой линии
(рис. 5).
С каждым гладким векторным полем X на многооб-
разии М можно связать «систему обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений», т. е. зада-
чу об отыскании таких гладких кри-
|\ вых ср, чтобы
U ^(0 = Х(Ф(0). (1.11)
1Л / at
В каждой локальной системе коор-
динат уравнение (1.11) записывает-
ся в виде настоящей системы из п
обыкновенных дифференциальных
Рис. 5. уравнений. Согласно теоремам суще-
ствования и единственности для лю-
бой точки хоеЛ1 существует и единственная такая глад-
кая кривая ф(£, х0), —е^^е, что
Ф (0, х0) = Х0
и выполнено уравнение (1.11). Если М — компактное
многообразие, то е можно выбрать как угодно большим,
так что функция ф(£, х) образует группу преобразований
многообразия М, параметризованную вещественными
числами teR‘:
ф(/1, ф(/2, х)) =ф(/1-М2, х).
Рассмотрим пример векторного поля на двумерном
торе Г2, задаваемого в угловых координатах системой
уравнений
= а, = 6,
dt dt
где а, b — постоянные числа. Решениями этой системы
являются кривые
ф1 = а/ + ф20, ф2 = Ь t + фао.
Если числа а и b рационально соизмеримы, т. е. если
а/Ь — рациональное число, то каждая траектория явля-
ется периодической, т. е. замкнутой кривой на торе Т2,
$ 1.1] МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
57
Если числа а и b рационально несоизмеримы, т. е. а/Ь —
иррациональное число, то каждая траектория образует
плотное множество на торе Т2. В этом случае говорят,
что движение, задаваемое векторным полем, является
условно периодическим.
На гладком многообразии М изучают, кроме вектор-
ных полей, и другие дифференциальные объекты, назы-
ваемые внешними дифференциальными формами.
Внешние дифференциальные формы порядка k опре-
делим как гладкие сечения расслоения Л*(Т(Л4)*). Про-
странство внешних дифференциальных форм порядка k
обозначим через йк(Л4). Если соейА(Л1), Xlt ..., Хк—
векторные поля, то определена гладкая функция со (Хъ ...
.... ХА) как значение сечения со на векторах Xi (х), ...
..., Хк(х) касательного пространства в точке х, посколь-
ку ЛА(Г(ЛТ)‘) = (ЛАТ(Л1))*. Через о^Лсог будем обозна-
чать внешнее произведение двух форм, индуцированное
операцией внешнего произведения векторов во внешних
степенях конечномерного векторного пространства.
Предложение 1.3. Существует и единствен опе-
ратор
d: QA(M)-^QA+t(M),
удовлетворяющий условиям:
а) d((OiA(o2) А<ог4- (—l)deg “'(OiAc/oh;
б) (df) (X) =X(f), где = Q0(M), X — вектор-
ное поле-,
в) d2=0.
П редложение 1.4. В локальной системе коорди-
нат (х*....хп) любая внешняя дифференциальная фор-
ма со степени k имеет вид
© (х) = 2 Л • • • Л dx‘k.
..Чд
В частности, QA(M) =0 при k>n, а любая форма сое
eQA(Af) имеет вид
(ь(х) =f(x)dxl/\ .../\dxn. (1-12)
Если (у1, ..., уп) — другая локальная система коор-
динат, то
<»(х) = f (х) • detll^lldt/1 Д ... /\dyn.
Л dir I -
68
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
Многообразие М называется ориентированным, если
существует такая форма что для каждой точ-
ки хеЛ1 найдется локальная система координат (х‘, ...
..., хп), для которой в формуле (1.12)
f(x)>0. (1.13)
Набор локальных систем координат, удовлетворяющих
(1.13) , называется ориентацией многообразия М.
Например, окружность S* является ориентированным
многообразием, поскольку существует дифференциаль-
ная форма dq>, имеющая* одинаковый вид для любого
углового параметра <р в окрестности каждой точки окруж-
ности S1.
Точно так же на двумерной сфере S2 в каждой из
шести карт, х>0, у>0, z>Q, х<0, y<Q, z<0, диффе-
ренциальную форму можно задать следующими равен-
ствами:
при >0 (0 = 1 Vl-x2-i/2 dx/\dy,
при >0 (0 = 1 /1-02-22 dy /\dz,
при У" >0 (0 = 1 /1—X2—Z2 dz A dx,
при Z < СО СО =; — 1 У 1— х2 — у* dx/\dy,
при «/<0 (0 =з —1 Vl-f/2 —22 -dy/\dz,
при х< СО (0 = — 1 У1 — X2 —Z2 dz Д dx.
Тривиальная проверка показывает, что определение
формы ® согласовано на пересечениях карт и, значит,
согласно определению многообразие S2 является ориен-
тируемым.
Определение ориентируемости можно также сформу-
лировать следующим образом: существует такой атлас
карт, что якобианы замен координат положительны в
пересечении любой пары карт.
Покажем, например, что лист Мебиуса является не-
ориентируемым многообразием. Лист Мебиуса можно
f Ml
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
59
представить себе склеенным из двух прямоугольников t/,
и С73. Введем в прямоугольнике Ut координаты (хь х2),
0<xt< 1, 0<х2<1, а в прямоугольнике U2—координа-
ты («/,, y2), 0<у1<1, О<02<1. Пусть карты Ut и U2
склеены с помощью отображения <р1г:
х \ | (xi + 1/2, х2),
* |(Х1-1/2, 1-х2), 1/2<хх<1.
О < хх <11/2,
Тогда якобиан 9 замены координат равен
д (хи х2)
Д(Уь У*) _ ( 1, 0<хх<1/2,
д(Х1,хг) (-1, 1/2<хх<1,
и, следовательно, меняет знак в различных точках на
пересечении карт.
Более тонкая задача заключается в том, чтобы дока-
зать, что подобная ситуация наблюдается в любом атла-
се карт на листе Мебиуса. Мы опустим это доказатель-
ство.
Если f — гладкая функция на гладком многообразии
М, то df является внешней дифференциальной формой,
т. е. сечением кокасательного расслоения Т*М. Это сече-
ние можно также трактовать как послойно линейное ото-
бражение
df: ТМ-ч-R1
касательного расслоения ТМ в пространстве веществен-
ных чисел R1. Тогда диагональное отображение
Df = (df, f): TM->R‘ X R‘ = TR*
является послойно линейным отображением касательных
пространств.
Указанная трактовка дифференциала функции обоб-
щается на случай произвольного гладкого отображения
многообразий. Отображение f: Mt-+M2 гладких многооб-
разий называется гладким отображением, если в каждой
локальной системе координат многообразий М, и М2
отображение f представляется в виде гладкой вектор-
функции. Условие гладкости отображения f не зависит от
выбора локальной системы координат как в многообра-
зии Mt, так и в многообразии М2.
60 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ [ГЛ. 1
Пусть (х1, ..., хп), (у*, , ут) — локальные системы
координат многообразий Mt и М2 в картах U и V соот-
ветственно. Тогда отображение f имеет вид
у}=Р(х'....х"), / = 1, ...,т.
Рассмотрим матричнозначную функцию
W) = |-^-(x)|. (1.14)
II dxk ||
Функцию (1.14) можно понимать как линейное отобра-
жение
Df: UxXl-»VxRm. (1.15)
Предложение 1.5. Линейные отображения вида
(1.15) определяют гомоморфизм касательных расслоений
Df: ТМ^ТМг,
так что следующая диаграмма коммутативна:
ТМг ТМ*
л м2
Доказательство основано на формальном применении
правила дифференцирования сложных функций.
Отображение Df называется дифференциалом отобра-
жения f. Поскольку мы определили отображение Df ка-
сательных векторов к многообразию в касательные
векторы к многообразию А42, то с его помощью можно
определить отображение пространств внешних диффе-
ренциальных форм
полагая
Г (©) (%!, ..., Xk) (х) = (о (DfXt (fx), ...» DfXk (fx)).
Тогда!
r(d<B) = df*(®).
(1.16)
§ 1.1]
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
61
Отображение f: называется вложением, если f
является взаимно однозначным отображением на замк-
нутое подпространство f(Mt) и Df является мономорфиз-
мом в каждом слое касательного расслоения.
Например, вложение f: [a, ft]->R3 отрезка веществен-,
ной прямой в трехмерное евклидово пространство явля-
ется регулярной гладкой кривой. Условия мономорфно-
сти дифференциала Df в каждом слое сводится к сле-
дующему неравенству: — (0¥=0, t^[a, ft], т. е. вектор
dt
скорости должен быть отличен от нуля в каждой точке
кривой.
Аналогично, условие невырожденности поверхности в
трехмерном пространстве R3, заданной параметрически
как отображение квадрата f: [а, &]Х[с, d]->R3, сводится
df / ч df , ч
к тому, что частные производные — (u, v), — (и, v),
du du
и^[а, 6], d], вектор-функции f(u, и) линейно неза-
висимы. Это условие эквивалентно тому, что матрица
Якоби
df1 df1
du du
df2 df2
du du
df3 df3
du du
отображения f(u, v) = (fl(u, v), f2(u, y), f3(u, у)) имеет
максимальный ранг, т. е. дифференциал Df является мо-
номорфизмом.
Теперь мы введем когомологии де Рама на гладком
многообразии. Оператор d из предложения 1.3 образует
цепной комплекс
Q0(M) Qi(A4) — ... 4 Я„ (М),
т. е. такую последовательность гомоморфизмов, что
Ker* d ZD Im* d,
62
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
(ГЛ. I
где
КегМ = {со: <о ейл(М) и d<o * 0},
Im‘d = d(Q*.1 (М)).
Положим
Hd (М) = Ker* d/Im* d.
Группа На{М) называется группой k-мерных когомоло-
гий де Рама. Условие (1.16) порождает естественные го-
моморфизмы
для гладкого отображения
f:
Существует и другое определение когомологий, год-
ное для любого топологического пространства X. Это так
называемые спектральные когомологии. Пусть на про-
странстве X задано открытое покрытие U={t/a}. Обозна-
чим через Ск(Х, U) группу, элементами которой являют-
ся наборы постоянных функций {faa...ak}, определенных на
всевозможных пересечениях вида Uaa...ak =Uaf].. .Г\иак=Ь
¥=0. Группа Ск(Х, U) называется группой коцепей по-
крытия U, а элементы — коцепями покрытия И. Опреде-
лим гомоморфизм
<?: Ск(Х, U)^C*+i(X, U)
равенством
П+1
(^f)«o -an+i ~ 5 ( 07ao...S/....an+1
/=о
(индекс as с «крышкой» означает, что данный индекс
пропущен). Имеет место равенство
д2=0,
так что, как и в случае когомологий де Рама, можно
определить группы когомологий
Hk (X, U)
$ 1.1] МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ 63
Пусть 93= {VJ—другое открытое покрытие, более
мелкое, чем U. Это значит, что
Kct/a(f>) (1.17)
и поэтому
С (1.18)
Таким образом, соотношение (1.18) определяет отобра-
жение
л: <?(Х,11)->-(?(Х,3),
причем
дп=яд. (1.19)
Условие (1.19) означает, что гомоморфизмы л индуциру-
ют гомоморфизмы
л*: Я*(Х, U)-^7k(X, S). (1.20)
Предложение 1.6. Гомоморфизм (1.20) не зави-
сит от выбора индекса а(Р) для включения (1.17).
Таким образом, мы получаем корректно определен-
ную последовательность групп Hk(X, U), направленную
по включению одного покрытия в другое. Положим
Я*(Х) = 1ппЯ*(Х, U)
"и
и назовем группы Нк(Х) спектральными когомологиями.
Предложение 1.7. Пусть покрытие 11 — {Ua} тако-
во, что все множества Ua.0...ak стягиваемы. Тогда гомомор-
физм
Нк(Х, 11)->Я*(Х)
является изоморфизмом.
Примером такого покрытия может служить следую-
щее покрытие. Пусть X — симплициальный комплекс, т. е.
пространство, являющееся конечным объединением Х=
= UXx замкнутых подпространств Ха, гомеоморфных
а
стандартным линейным симплексам различных размер-
ностей, причем Ха пересекаются по некоторым граням.
Тогда, если е,...е,— нульмерные симплексы, то мно-
жества
64
некоторые сведения из топологии
(ГЛ. i
открыты, покрывают пространство X и удовлетворяют
условиям предложения 1.7.
Если пространство X является гладким многообрази-
ем, то оба определения когомологий совпадают.
Теорема 1.8. Когомологии де Рама На (М) и спект-
ральные когомологии Hk(M) гладкого многообразия М
изоморфны.
Покажем, как можно такой изоморфизм установить
в случае, когда многообразие М представлено как комп-
лекс, составленный из гладких симплексов. Пусть снача-
ла М — ориентируемое многообразие и <oeQn(Af),
dim Л1 = п. Если М является областью в евклидовом про-
странстве R" с координатами (х‘, ..., х"), то согласно
формуле (1.12)
со (х) = f (х) dxl /\ ... Д dxn.
Положим
f со = f ... J /(х) dxrdx2 ... dx". (1-21)
м м
Если (у1....уп) —другая система координат из той же
ориентации, то
и, следовательно, определение (1.21) не зависит от выбо-
ра системы координат в ориентированной области Mcz
czR”. Теперь уже ясно, как определить интеграл формы
со для любого ориентированного многообразия М. Нужно
покрыть многообразие М локальными картами UK, вы-
брать в них локальные системы координат с одной и той
же ориентацией и положить
3 у ».
s (ai,...,as) С/^...aj
Слагаемые по различным пересечениям необходимы для
компенсации повторного интегрирования формы по об-
щим множествам.
Предложение 1.9. Если
ft М^М2
§ 1.1] МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ 65
— гладкое отображение, сохраняющее ориентацию, то
J /•(“)=» J
м, м,
Предложение 1.10. Пусть М— компактное ори-
ентируемое гладкое многообразие с краем дМ, dimAf=n,
соей,,-, (М). Тогда при подходящем выборе ориентации
в дМ справедлива формула Стокса
Jdco = (со. (1.22)
дМ
Доказательство. Для доказательства формулы
Стокса заметим, что формула (1.22) линейна относитель-
но формы (о. Следовательно, если <о = 2 и формула
i
(1.22) справедлива для каждого слагаемого со, в отдель-
ности, то она справедлива и для’ формы со. Поскольку
многообразие М компактно, то существует конечный ат-
лас карт {t/j}, а согласно предложению 1.1 разбиение
единицы {cpj, подчиненное покрытию {(/;}. Тогда форму
со можно представить в виде со= 2 где ®/=ЧМ». Но-
/
ситель формы со; компактен и лежит в карте U}. Поэтому
достаточно проверить формулу (1.22) для каждого сла-
гаемого СО; В ОТДеЛЬНОСТИ. ПОСКОЛЬКУ SUpp С0;С={7;, то и
supp dcdjdJj, а интегралы можно брать по карте Ujt
JJ dco/, J со/= J со/.
M Uj дМ dMfWj
Следовательно, мы можем считать, используя локальные
координаты карты (/„ что интегрирование формы со; про-
исходит по (п—1)-мерному евклидову пространству Rn_‘,
а интегрирование формы doj происходит по полупрост-
ранству R" = {х«^0}.
Таким образом, достаточно доказать формулу (1.22)
для частного случая многообразия R? с краем R<n-‘> и
формы со на нем с компактным носителем.
3 Мищенко и др.
66
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГЙИ
[ГЛ. I
В этом частном случае (и—1)-мерную форму со мож-
но представить в виде
п
® в 2 fa (^i> • • • > %п) dx^ /\ ... /\ dxi /\ ... /\ dxn,
<-=1
где каждая функция X<(xi, ...,%«) имеет компактный но-
ситель. Применяя аналогичные рассуждения, достаточно
проверить формулу (1.22) для случая одного слагаемого
® = Mxi ... x^dXi/X ... /\dx{/\ ... /\dxn,
d® = (X1> .... xn)dXl/\ ... Adx„.
Возможны два случая. Пусть i=£n. Тогда
d® = J ... (—1)м хп) dXi ... dx„=
r" R?
dxi-idxi+i ... dxn f C (—l)‘”l^-dx/'j.
\-00 /
Очевидно, что внутренний интеграл равен нулю в силу
компактности носителя функции %. Значит,
J d®=0.
R"
С другой стороны,
J ®= J ... ... , Хп-Ъ 0) dxrdx2 ... dxi... dx-n,
цп-l R(n-1)
где xn =я 0. Следовательно,
$ ® = 0-
Rn-1
§ I.I]
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
67
Пусть теперь i=n. Тогда
. .. jdxi • • • dxn ((—1) X(Xj, ..., xn-i, 0))=з( 1) J <в.
Rn-1 Rn-1
При подходящем выборе ориентации на Rn-i получа-
ем формулу (1.22).
Формула Стокса (1.22) является обобщением клас-
сических формул вычисления интегралов второго рода по
замкнутым кривым и поверхностям. Если кривая Г рас-
положена без самопересечений в плоскости R2, то соот-
ветствующая формула называется формулой Грина. В са-
мом деле, интеграл второго рода (Р dx+Qdy) по
замкнутой кривой Г можно интерпретировать как интег-
рал дифференциальной формы а=Рdx+Qdy по одно-
мерному многообразию Г.
Пусть Q — двумерная область, ограниченная кривой
Г. Тогда Q является двумерным многообразием с краем,
причем д£2=Г. Тогда согласно формуле Стокса (1.22)
имеем J «о =1 da. Дифференциал da вычисляем стан-
ао я
дартным образом:
da = d (Рdx + Q dy) = dP/\dx + dQ/\dy —
^(^-dx+d^-dy\/\dx+(^-dx + ^-dy)/\dy.
\ dx dy ) \dx dy /
Поскольку dx/\dx=dy/\dy=0 в силу косой симметрии
дифференциальных форм, то
de = dJL dy A dx + %- dx Л dy ~ 2L) dx/\dy.
ду дх \дх ду J
3*
68
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛО. 1И
[ГЛ. I
Тогда
^)(Pdx + Qdy)~ © =» ^d® = ~\dxdy.
г ао а а
Последняя формула и называется формулой Грина.
Аналогично, если замкнутая кривая Г вложена в трех-
мерное пространство R’ и ограничивает двумерную по-
верхность 3, т. е. dS = Г, то интеграл второго рода
$ (Pdx+Qdy+Rdz) мы интерпретируем как интеграл
г
дифференциальной формы (&=Pdx+Qdy+Rdz по мно-
гообразию Г. Тогда, снова применяя формулу Стокса
(1.22), получаем формулу
§(Pdx + Qdy + Rdz)= f d®= ^{(^--^dxdz/ +
Г dsLr S 1
4-(——*L\dydz+(— dzdx\,
\dy dz) \dz dx) f
которая тоже носит название формулы Стокса.
Наконец, если 3 — замкнутая поверхность в трехмер-
ном пространстве R3, ограничивающая некоторую трех-
мерную область V, dV~S, то интеграл второго рода
(£(j) (Р dx dy]+ Q dy'dz + R dzdx)
мы интерпретируем как интеграл двумерной дифферен-
циальной формы
®=Р dx/\dy 4- Q dy/\dz+R dz/\dx
по двумерному многообразию 3. Применяя формулу
(1.22), получаем формулу Гаусса — Остроградского
(6(f) (Pdxdy + Qdy dz -f- Rdzdx) ~ J ® =
= C d® « И C 4- y- + y-) dx dy dz.
J ' J JJ\dz dx dy )
V v
Вернемся теперь к некоторому симплициальному разбие-
нию многообразия М. Пусть е4, ..., е,— нульмерные сим-
§ 1.1]
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
69
плексы, —объединение всех симплексов, содер-
жащих точку в), U ={£/,} Пересечение Uh,„ik—Ujf\...
• • • непусто тогда и только тогда, когда точки ек, ...
, ejk являются вершинами некоторого (единственного)
симплекса. Обозначим этот симплекс через oJo.,.iA. Теперь
мы можем построить гомоморфизм а: й* (М) -> С* (М, U).
Пусть о = Q* (М), Ujt...jk =/= 0- Положим
ai»—ik
Из (1.22) следует
Лемма 1.11. Для (М) справедливо следующее
равенство:
да(<л) =a(d<a). (1.23)
В силу (1.23) гомоморфизм а индуцирует гомомор-
физм
а*: Hd (М) -> Hk\M, U) ж Hk (М).
Теорему 1.8 можно уточнить, утверждая, что гомомор-
физм а* является изоморфизмом.
Покажем, как доказывается теорема 1.8 для одно-
мерных когомологий. Пусть 11 = {С/О) —некоторое покры-
тие. Без ограничения общности будем считать, что мно-
жества Uа и С/аГЦУр линейно связны. Пусть ceC‘(Af, И),
с={са₽}, дс=0, т. е. Сц₽+си+ста=0 для случая, когда
t4f)T#=O. Тогда существуют гладкие функции fa на мно-
жествах Ua, удовлетворяющие условию
— fp(x) = Сор, ХЕ1/(ф. 4 (1.24)
В самом деле, функции fa можно строить последователь-
но, линейно упорядочив все множества Ua покрытия U.
Если для а<а0 функции fa, удовлетворяющие (1.24), уже
построены, то, используя (1.24) для р=ао, получаем, что
функция /а, должна однозначно задаваться на подмно-
жестве U Ua, <itcz.Uav Заменяя, если это необходимо,
вка.
каждое множество Ua на меньшее множество Vac:VaczUa,
(jVa=M, мы можем продолжить функцию fa<> с множе-
а
ства [J Ua, «0 на все множества Ua„. Таким образом, ’
а<а0
70
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
мы имеем набор функций fa, удовлетворяющих условию
(1.24). Пусть &a^dfa, тогда из (1.24) следует, что <ла —
= со₽ на Uat„ т. е. существует форма <о на многЬобразии М
такая, что <й/£7?=<вв. Ясно, что dco=0. Если —другой
набор функций, удовлетворяющих (1.24), то существует
такая гладкая функция на многообразии h, что fa'=fa+h,
xsUa. Тогда со'4-d/i, т. е. со' и и определяют один и
тот же элемент в группе Hd (М).
С другой стороны, если (М) — такая форма, что
d(o=O, то в каждой локальной карте Ua, гомеоморфной
евклидову пространству, найдется такая гладкая функ-
ция fa, что dfa=&. В самом деле, функцию fa можно
задать с помощью криволинейного интеграла
fe(x)=J®, (1.25)
причем кривая [х0, х] полностью лежит в карте Ua. По-
скольку t/a^R”, то интеграл (1.25) не зависит от пути.
ТогДа разность
fa f е
является постоянной функцией на 1/«р, равной, ска-
жем, Са^
Таким образом, мы получим коцепь с={са,}е
eC‘(M, U), дс=О. Мы построили два взаимно обратных
отображения групп Н} (М) и Н1(М).
Мы привели два различных определения когомологий
гладкого многообразия М с вещественными коэффици-
ентами. Существуют и другие способы определения ко-
гомологий, например, с помощью разбиения компактно-
го гладкого многообразия на симплексы. Каждое из опре-
делений имеет определенные удобства в различных
задачах. В настоящем изложении естественно будут воз-
никать спектральные когомологии и когомологии де Ра-
ма. Используя же определение симплициальных когомр-.
логий, можно эффективно указать конечный набор ин-
тегральных условий для разрешимости уравнения Ш>=
вай, где Q — дифференциальная форма размерности k.
Именно, существует такое конечное число подмногооб-
разий Nlt ..., N„ dimNt=k, что уравнение
$ 1.11
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
?1
d<i>=Q разрешимо тогда и только тогда, когда
f Q =j0, 1 < i < а.
A
Если многообразие М разбито на конечное число глад-
ких симплексов, то интегральные условия можно перепи-
сать в виде конечного числа равенств
р=о,
i 0(
где в{ — симплексы размерности k, а — некоторые
числа, не зависящие от формы Q.
В качестве примера вычислим группу одномерных
когомологий окружности S1. Введем для этого в каче-
стве локальной координаты на 3‘ угловой параметр <р.
Тогда всякая одномерная форма © имеет вид <o==f(<p)d<p,
причем функция f(<p) должна быть функцией точки на
окружности, т. е. периодической, f(<р) =f(<р+2л). Если
oy—dg, где g— некоторая функция на окружности 3‘,
т. е. g(<p)—периодическая функция, g(<p) =g(<p+2n),
то получаем уравнение f (<р) = — £(<р) или g(<p) =g(0) +
?
+ у(т)</т. Поскольку
g — периодическая функция, то
О
функция f должна удовлетворять условию
ая
j /(<₽)Жр=0.
О
Всякая периодическая функция f(<p) может быть од-
нозначно разложена в сумму /(ф) ±=Х+Л(ф), причем
«я
J й(ф)г/ф=О, Х=const. Тогда форма Л(<р)*/ф принадле-
О
жит образу дифференциала d, /i(<p)d<pelm d. Таким об-
разом, Каждый класс смежности Ker d/Im d содержит
единственную форму вида X dtp с постоянным множи-
телем %. Следовательно, одномерная группа когбмб-
логий окружности 3* изоморфна группе вещественных
чисел R‘.
42 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ [ГЛ. 1
Рассмотрим другой пример — двумерную сферу S2.
Удобно представить двумерную сферу S2 в виде попол-
ненной комплексной плоскости. Тогда сферу S2 можно
покрыть двумя картами и U2, каждая из которых го-
меоморфна комплексной плоскости С1 с комплексными
координатами z и w, связанными соотношением z=\/w.
— . . и V
Если z=x+ty, w=u+tv, то х= ——-, у =------------———.
и2 + к2 и* + р2
Рассмотрим произвольную 1-форму © на S2, для которой
cfa>=sO. Пусть в картах UltUt форма © имеет вид © =
в Рdx + Qdy, © Pdu + Qdv. Поскольку с/©=0, то
дР dQ дР dQ „ _ .
—— = —. Тогда в каждой карте отдельно форму
ду дх dv ди
© можно представить в виде полного дифференциала
Pdx + Qdy = dfl(x, у), Pdu + Qdv —'df^fu, о).
(*.»)
Для этого следует положить ft (х, у) = J (Р dx+Qdy),
(о.о)
<«.о) _ _
/»(«> f)= f (Р du+Q dv), где интегралы берутся по
(0,0)
произвольным гладким кривым, соединяющим точку
(О, 0) с точкой (х, у) и соответственно точку (0, 0) с точ-
кой (и, v). Пусть <р — такая гладкая функция на сфере
S2, которая тождественно равна единице в окрестности
точки (0, 0) карты U2 и имеет компактный носитель в
карте U2. Тогда в карте Ut функция <р равна нулю в окре-
стности точки (0, 0). Положим £2=фЛ- Хотя функция
[2 определена всего лишь в карте U2, но поскольку функ-
ция имеет компактный носитель в карте U2, то функцию
Ф-/4 можно доопределить нулем, в точках, не принадле-
жащих карте U2.
Тогда форма ©'=©—dg2 тождественно равна нулю
в окрестности точки (0, 0) карты U2. Следовательно, в
карте Ui форма to'=P'dx+Q'dy тождественно равна ну-
лю вне некоторого круга, т. е. при х24-(/2>»/?2 имеем
тождества Р’(х, у)^=0, Q'(x, у) s0. Рассмотрим тогда
решение уравнения </§!=©' в карте СД. Ищем решение
§ 1.1]
МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
73
gi (х, у) в виде
(*.»)
gi(X, у) =* £ (Pz (х, у) dx + Q' (х, у) dy).
(0,0)
деле, значение функции
Рис. 6.
Покажем, что при x2+y2^R2 функция gt постоянна,
т. е. gi(x, t/)=sconst. В самом
Я1(х, у) можно вычис-
лять, интегрируя форму
а' по любому пути, соеди-
няющему начальную точ-
ку (0, 0) с точкой (х, у).
Выберем путь у следую-
щим образом. Пусть у со-
ставим из трех отрезков
y=yty2y3. Путь yt являет-
ся лучом, выходящим из
точки (0, 0) в точку (Р,
0). Путь у2 является от-
резком прямой, соединя-
ющей точки (R, 0) и
(^х2+у2, 0). Путь у, является дугой окружности радиуса
Ух24-г/2, соединяющей точки (Ух24-*/2, 0) и (х, у) (рис. 6).
Тогда все точки путей у2 и уа лежат вне круга радиу-
са R и поэтому
= J (Р' dx + Q' dr/)"=O.
v*v»
VtVs
Следовательно,
gi(x, y) = J(PZ dx + Q' dy) = J (Pz dx + Q' dy) 4-
V Vi
4- J (Pz„dx 4- Q' dy) =« J (Pz dx 4- Q' dy) =* g, (R, 0) = const.
V«V« Vi
Поскольку функция gt(x, у) постоянна вне круга ра-
диуса Р в карте Uit то ее можно однозначно доопреде-
лить в бесконечно удаленной точке значением, равным
этой константе gt(R, 0). Таким образом, функция gt по-
стоянна в окрестности точки (0, 0) в карте U2. Следова-
тельно, на всей сфере S2 выполнено тождество
dgfssa'
74
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
ИЛИ
<B=dg!+dg».
Мы доказали, что в одномерных формах на сфере S2
ядро Kerd совпадает с образом Imd, т. е. Я‘(52)=0.
Вычислим теперь двумерные когомологии сферы S2.
Для этого достаточно описать подпространство всех дву-
мерных дифференциальных форм, являющихся образа-
ми дифференциала d. Покажем, что если f о=0, то
s»
уравнение </й=© разрешимо для некоторой одномерной
формы Q на сфере S2. В каждой из карт (7, и [/, такое
уравнение разрешимо, поскольку форма © имеет вид
©==f(x, y)dxf\dy и можно положить Q=P(x, y)dy, где
Р(х, y) = ^f(x, y)dx.
о
Таким образом, в карте 1/4 найдется такая одномер-
ная форма Q15 что dQi=©; аналогично, в карте Ut най-
дется такая одномерная форма й2, что dQ2=®. Тогда на
пересечении карт (ЛГ)[/2, которое в координатах (х, у)
представляет собой комплексную плоскость с выколот-ой
точкой (0, 0), имеет место равенство d(Qt—£22)=0. Рас-
смотрим замкнутую кривую Г — окружность х2+у2=Я2.
Тогда
С у ^01, j* 0^== у
Следовательно,
f(Qi —Гю = f©=0.
Г У, S’
Таким образом, интеграл формы О4—О2 по любой
замкнутой кривой, лежащей в £7*ПС7Ж, равен нулю. Сле-
довательно, в пересечении С7,ПС/2 разрешимо уравнение
df ==О4;—О2.
Рассмотрим гладкую функцию g в карте С7„ равную
нулю в окрестности точки (0, 0) и единице вне круга
радиуса R. Тогда функция h=gf может быть доопреде-
лена в точке (0, 0) до гладкой функции в карте Ut. По-
ложим Q/seO,—dh. Тогда dQ/=© в карте Ut и Q/ss£22
в карте Ux при x2+y^R\ Следовательно, форма й/.
5 1.21 ТЕОРЕМЫ о ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ 75
может быть продолжена на всю сферу S2 так, чтобы
dQ/=G) на сфере S2. Таким образом, каждый класс
смежности в когомологиях H2(S2) определяется веще-
ственным числом, равным интегралу J to.
з*
Осталось проверить, что на сфере найдется такая
двумерная форма со, что J (о=^0. Положим И картах £/4
и (У2
=а ‘frAdy = du Adv
(Д+** + у2)2'
Нетрудно убедиться, что формы и совпадают на
пересечении карт £/,("] tA- С другой стороны, поскольку
коэффициент dx/\dy формы <о' неотрицателен, то^®'>
>0. Значит, форма <о, со] Ui=&', <o|C/2=<o/z, удовлетво-
ряет всем требованиям. Таким образом, двумерная груп-
па когомологий сферы S2 изоморфна группе веществен-
ных чисел: /72(S2) = R‘.
§ 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности
Теоремы о трансверсальной регулярности или, как их
ещё называют, теоремы об общем положении основаны
на свойствах линейных пространств и их подпространств.
Например, если V — вещественное линейное простран-
ство размерности n, Vt, Уг — два его подпространства
размерностей р и q соответственно, то при p+q>n пе-
ресечение У,ПУг не равно нулю, а размерность dim(V,n
ПГ2) этого пересечения можно оценить снизу числом
p+q—п:
dim(V1DV2) >P+q-n. (2.1)
Более того, при сколь угодно малых сдвигах линейных
подпространств Vt, У2 оценку (2.1) можно превратить в
равенство. В этом случае алгебраическая сумма подпро-
странств Vt и Уг совпадает со всем пространством V. Го-
ворят, что два линейных подпространства и Уг нахо-
дятся в общем положении, если
Vt+Vt=V.
76
Некоторые сведения из топологии
[ГЛ. I
Термин «общее положение» оправдан тем обстоятель-
ством, что вложения VtcV2, V2czVt можно с помощью
сколь угодно малых сдвигов превратить в общее положе-
ние, причем множество вложений пространств Vt и V2 в
V, при которых подпространства и V2 находятся в об-
щем положении, образуют всюду плотное открытое мно-
жество в пространстве всех вложений, а также в про-
странстве всех линейных отображений. Другими слова-
ми, «подавляющее большинство» вложений обладают тем
свойством, что подпространства Vt и V2 находятся в об-,
щем положении. Оказывается, что для нелинейных глад-
ких отображений можно тоже исследовать вопросы, ана-
логичные теории общего положения линейных отобра-
жений. Для этого достаточно рассматривать линейные
аппроксимации гладких нелинейных отображений. Клас-
сическим примером является теорема о неявной функ-
ции. Мы придадим этой теореме, а также всем понятиям,
использующимся в ней, такой инвариантный вид, чтобы
ее можно было обобщить на случай произвольных глад-
ких отображений гладких многообразий.
Пусть задано гладкое отображение
f: М^М2 (2.2)
гладких многообразий, вообще говоря, разных размерно-
стей. Точка xeMi называется регулярной точкой для
отображения f, если дифференциал отображения f
df: ТМ^ТМ2
отображает касательное пространство (TMt)x в точке
хеМ, на касательное пространство (TM2)lw в точке f(x),
т. е. линейное отображение
(df)x: (ТМ2)^(ТМг)Цху
является эпиморфизмом. В локальных системах коорди-
нат в окрестностях точек х и f(x) отображение f можно
изобразить как набор функций
yk=fk(xi, .... xn),
где (х1, ..., х") — локальные координаты многообразия
а («/*, ..., ут) — локальные координаты многообра-
зия М2. Эпиморфность отображения df означает, что
§ 1.21
ТЕОРЕМЫ О ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ
77
(2.3)
ранг матрицы Якоби
I I — I dfk(x'...............х*)
II дх1 I |1 дх1
равен т. Следовательно, ri^m, и должен найтись неко-
торый минор порядка т матрицы (2.3), отличный от
нуля, т. е. координаты (х1, ..., хп) разбиваются на две
группы (хг»,..., х'»>) и (x!m+i, ..., х'п). Совершенно яс-
но, что набор неявных функций
fk(x\ ..., /)-^0
удовлетворяет условиям разрешимости теоремы о неяв-
ной функции для координат (х!>, ..., х'™). Назовем точ-
ку у^.М2 регулярной точкой для отображения (2.2), если
любая точка xef-1(f/) является регулярной точкой для
отображения (2.2). Теорема о неявной функции в нашей
интерпретации может быть сформулирована следующим
образом.
Теорема 2.1. Пусть f: М,-*-М2 — гладкое отобра-
жение гладких многообразий, dim Mt=n, dim Af2=/n,
a y^.M2— регулярная точка для отображения f. Тогда
прообраз f~l(y) точки у^М2 является гладким многооб-
разием размерности (п—tri), гладко вложенным в мно-
гообразие Mt.
Более общая ситуация, в которой работает теорема о
неявной функции, заключается в следующем. Пусть за-
даны три многообразия Mit М2 и N, гладкое отображе-
ние
f: М^М2
и гладкое вложение
<р: N-*M2.
Напомним, что дифференциал dtp является мономорфиз-
мом касательных расслоений
dtp-. TN-+TM2.
Будем говорить, что отображение f трансверсально регу-
лярно вдоль подмногообразия N, если в каждой точке х
прообраза f~l(N) композиция гомоморфизмов
. (ТМ^ * (ТМ^(Х) -> (TM^TN)^ (2.4)
78
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
является эпиморфизмом. Определение регулярной точки
для отображения f в точности означает, что отображе-
ние f трансверсально регулярно вдоль нульмерного под-
многообразия, состоящего из одной точки у.
Условие (2.4) трансверсальной регулярности отобра-
жения f в локальной системе координат, так же как и в
случае регулярной точки, означает невырожденность не-
которого минора матрицы Якоби отображения f. Сама же
теорема о неявной функции может быть интерпретиро-
вана следующим образом.
Теорема 2.2. Пусть f: М,->-Л12 — гладкое отобра-
жение гладких многообразий, <p: N-*-M2 — подмногооб-
разие,
dimAft=n, dimAf2=m, dimW=£.
Если отображение f трансверсально регулярно вдоль
под многообразия N, то прообраз является гладким
многообразием размерности п—m+k, гладко вложен-
ным в многообразие Mt.
Рассмотрим несколько примеров применения теоре-
мы 2.2.
1. Два подмногообразия в общем положении. Пусть
<ph: k=l, 2, — два вложения. Если вложение дь
трансверсально регулярно вдоль подмногообразия Af2, то
будем говорить, что подмногообразия пересекаются
трансверсально или что подмногообразия и Мг нахо-
дятся в общем положении. Хотя в приведенном опреде-
лении вложения <pt и ф2 входят несимметрично, на самом
деле вложения <р2 и <р2 можно поменять местами. Дей-
ствительно, прообразы и ф"1 (Mt) совпадают и
равны пересечению Aftr|Af2. Условие же трансверсальной
регулярности одного вложения вдоль другого подмного-
образия эквивалентно следующему симметрическому ус-
ловию: для каждой точки х, х^А11ПЛ42, выполнено ра-
венство
(TMt)x+(ТМг)х= (ТМ)Х.
Тогда пересечение AfjQAlj на основании теоремы 2.2 яв-
ляется гладким подмногообразием,
dim(AfinAl2) =dim Afj + dim Мг—dim М.
Например, если многообразие М компактно и
dimA4=dimAf1 + dimA42, то пересечение MiDAf2 являет-
§ 1-2]
ТЕОРЕМЫ О ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ
79
ся нульмерным компактным многообразием, т. е. состоит
из конечного числа точек.
2. Трубчатая окрестность подмногообразия. Пусть
<р: Af,->-Af2 — вложение, тогда дифференциал d<p явля-
ется мономорфизмом расслоений
d<p:
который можно разложить в композицию
ТМ^*ТМг->ТМг.
Фактор-расслоение tfTMJTMi называется нормальным
расслоением к вложению ф и обозначается через v(Af1)
или через v(Af,QAf2). Термин «нормальное расслоение»
оправдан следующим утверждением. Пространство нор-
мального расслоения v(Af,) диффеоморфно некоторой
открытой окрестности VcAf2, содержащей подмногооб-
разие А1,. При этом диффеоморфизм
ф: v(Aft)->VGrM2
можно выбрать так, что ограничение Ф1А1, диффеомор-
физма ф на нулевое сечение нормального расслоения
v(AJ4) совпадает с вложением ф, дифференциал 4?ф изо-
морфно отображает касательное расслоение Tv(Af4) к
пространству нормального расслоения v(Aft) на каса-
тельное расслоение TVczTAla, а ограничение Л|> на пря-
мое слагаемое TM^Tv(Aff) совпадает с дифференциа-
лом (Ар вложения ф многообразия Aft в многообразие Af2.
Чтобы свести задачу к теореме 2.2, поступим следую-
щим образом. Введем сначала на многообразии Af2 неко-
торую гладкую риманову метрику, т. е. скалярное про-
изведение в каждом слое касательного расслоения ГА^.
Тогда ограничение ф*ГАГ2 касательного расслоения TAfj
на подмногообразие Af4 разлагается в ортогональную
прямую сумму двух подрасслоений — TMt и его ортого-
нального дополнения (TAfj)-1:
Ф*ТА1г=ТЛ11Ф(7’Л11)-1-.
Непосредственно из определения следует, что нормаль-
'ное расслоение v(Mt) изоморфно ортогональному допол-
нению
80
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
(ГЛ. 1
Пусть хеМ2 — произвольная точка. Риманова метри-
ка в многообразии М2 определяет экспоненциальное ото-
бражение касательного пространства (ТМ2)Х в многооб-
разие Мг:
ехря: (ТМ2)Х-+М2,
которое отображает каждый луч в пространстве (ТМ2)Х
в геодезическую с началом в точке х^М2, а направляю-
щая луча совпадает с касательным вектором к геодези-
ческой в точке х^М2. Совершенно очевидно, что диффе-
ренциал </(ехря) в начале координат является тожде-
ственным отображением. Построим теперь гладкое ото-
бражение
ф: v(Aft)->-Af2.
Пусть —произвольный вектор в точке x^Mt.
Положим
ф(£)=ехр,(х(£))-
Легко проверить в локальной системе координат, что
дифференциал йф отображения ф является изоморфиз-
мом для всех нулевых векторов ^ev(Aft). Следователь-
но, некоторая окрестность t7crv(At1) нулевого сечения
AfiCvfAf,) диффеоморфно отображается в окрестность
VczM2 подмногообразия
В частности, если MtczM2 — гладкое подмногообра-
зие, dimAl^n, dimAfa=/n, то для каждой точки хГ)^М1
существует такая локальная система координат у^х), ...
..., ут(х), что многообразие М2 задается системой урав-
нений
Уп+i (х) ~ 0,
Ут (х) =0.
Рассмотрим, например, в двумерном пространстве R2
окружность S*. которую мы можем задавать уравнением
f(x, у) = (хг+уг—1)=0. Функция f(x, у) является ото-
бражением двумерного пространства R2 в вещественную
прямую R1. При этом точка 0eR‘ является регулярной
точкой, поскольку матрица Якоби функции f(х, у), рав-
ная —\=(2х, 2м), имеет ранг 1 в каждой точке
\ дх ду)
§ 12]
ТЕОРЕМЫ О ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ
81
окружности 8‘. Тогда нормальное расслоение v(S‘) яв-
ляется тривиальным расслоением, равным прообразу ка-
сательного расслоения к прямой R* в точке 0. Очевидно,
что пространство нормального расслоения v(S‘) диффео-
морфно отображается на кольцевую окрестность *У
окружности S1:
V={(x, у): 0<х2+у2<4},
причем одномерный слой нормального расслоения v(8‘)
над точкой (х0, у0) окружности диффеоморфно отобра-
жается на отрезок луча, проходящего через точку (х0,
«/о):
ф: R1 -»R2, ф (/) (— x0’arctg /, — у0 arctg11
\ Л л /
Аналогично, нормальное расслоение к двумерной сфе-
ре 82={(х, у, z): x2+y2+z2—1=0} диффеоморфно окре-
стности У={(х, у, z): 0<x2 + t/2+z2<:4} и диффеоморф-
но прямому произведению S2XR‘.
Перейдем теперь к формулировке теорем, с помощью
которых мы будем отыскивать отображения, трансвер-
сально регулярные вдоль некоторого подмногообразия.
Для простоты будем считать все многообразия компакт-
ными, хотя это ограничение не является существенным.
Прежде всего введем в пространстве всех отображе-
ний многообразия Mt в многообразие Мг некоторую мет-
рику
Р (/, g) =» sup [Рх (f (x), g (x)) + Pa (df (x), dg (x))], (2.5)
где p4 — некоторая метрика на многообразии М2, согла-
сованная с топологией многообразия Мг, а р2 — некото-
рая метрика в кокасательном расслоении Т'Мг.
Если NazM2 — подмногообразие в М2, а отображе-
ние f трансверсально регулярно вдоль подмногообразия
N, то свойство отображения быть трансверсально регу-
лярным вдоль подмногообразия N справедливо для всех
гладких отображений, достаточно близких к отображе-
нию f в смысле метрики (2.5). В самом деле, в локаль-
ной системе координат трансверсальная регулярность —
это невырожденность некоторой матрицы, составленной
из частных производных отображения f. Следовательно,
у достаточно близкого отображения g в смысле (2,5)
82
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
частные производные отображения g близки к соответ-
ствующим частным производным отображения f, и, зна-
чит, сохраняется невырожденность соответствующей мат-
рицы. Компактность всех многообразий позволяет осво-
бодиться от локальной ситуации.
Таким образом, множество всех отображений, транс-
версально регулярных вдоль подмногообразия N, откры-
то в пространстве всех гладких отображений. Оказыва-
ется, что подавляющее большинство отображений обла-
дают свойством трансверсальной регулярности. Точная
формулировка приводится в следующей теореме.
Теорема 2.3 (Том). Множество отображений,
трансверсально регулярных вдоль подмногообразия N,
всюду плотно в пространстве всех гладких отображений
многообразия М{ в многообразие М2.
В доказательстве теоремы 2.3 существенно другое,
более частное утверждение.
Лемма 2.4 (Сард). Пусть f: М^М2 — гладкое
отображение. Множество регулярных точек многообра-
зия М2 для отображения f является открытым всюду
плотным множеством.
Теорема 2.3 следует из леммы 2.4. В самом деле,
утверждение теоремы 2.3 достаточно проверить для та-
ких отображений, для которых свойство трансверсаль-
ной регулярности выполняется всего лишь в окрестности
одной точки y^.Ncz.M2. Но тогда как многообразие М2,
так и его подмногообразие N можно считать евклидовы-
ми пространствами, причем N линейно вложено в М2.
В этом случае, если f: Mi-*-M2 — гладкое отображение,
то трансверсальная регулярность отображения f вдоль
подмногообразия N эквивалентна тому, что начало ко-
ординат в фактор-пространстве MJN является регуляр-
ной точкой для композиции отображений
g= л»/: Mr+M^MJN,
где я: M2-+M2/N — проекция.
Если же f — произвольное гладкое отображение, то,
вообще говоря, начало координат 0<=Af2/Af не является
регулярной точкой. Пусть f(x) = (g(x), h(x)), х<=М2.
Согласно лемме Сарда в сколь угодно малой окрестно-
сти точки O^Mt/N содержится регулярная точка у&
&MJN, ||0—«/|| <6, для отображения g. Рассмотрим
§ 1.2]
ТЕОРЕМЫ О ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ
83
диффеоморфизм •
<р:
для которого
ф(«/)=0, р(ф, td)^2e.
Тогда для композиции g'=qog точка является
регулярной точкой. С другой стороны, отображение g'
разлагается в композицию
g'=nof',
где
f'(x) = (g'(x)> h(x)), xt=M2. (2.6)
Таким образом, отображение f'(x) является трансвер-
сально регулярным вдоль подмногообразия N, а из (2.6)
следует, что
р(Г,П<48.
Утверждение теоремы 2.3 Тома можно усилить. По-
скольку свойство «отображение f является трансверсаль-
но регулярным вдоль подмногообразия» устойчиво отно-
сительно малых деформаций отображения f, то класс
отображений f можно сузить, наложив на него ряд до-
полнительных ограничений. Например, можно заранее
предположить, что отображение f уже является транс-
версально регулярным вдоль некоторого другого подмно-
гообразия. Так, пусть f: — гладкое отображение
многообразий с границей, f(dMi)c.dM2, ф — гладкое вло-
жение многообразия У с границей в М2, причем ф(дА^)<=
czdM2, а дМ2 и N находятся в общем положении. Пусть,
кроме того, отображение дМ2 трансверсально регуляр-
но вдоль подмногообразия dNadM2. Тогда для любого
е>0 существует такое отображение g: Mt-+M2, что
a) g(x)=f(x), если х принадлежит некоторой окре-
стности Vt границы
б) p(g, f)<e;
в) g — трансверсально регулярно вдоль подмного-
образия N.
В самом деле, окрестность V2 границы дМ2 представ-
ляется в виде прямого произведения 1/2=<ЭЛ12хТ0, 1),
а окрестность V границы dN — в виде У=дУХ[0, 1).
Поскольку дМ2 и N находятся в общем положении, то
касательный вектор d/dt, /е[0, 1], к многообразию У
84
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. 1
отображается в ненулевой касательный вектор многооб-
разия М2. Следовательно, в точке уедЛ12ПдМ имеет ме-
сто равенство
(Т dM2)yf(T dN)v= (TMt),/(TN)v.
Следовательно, из трансверсальной регулярности ото-
бражения f | дМ вдоль дМ следует трансверсальная регу-
лярность отображения f|V( вдоль подмногообразия Mt.
Далее следует применить теорему Тома для изменения
отображения f в тех локальных картах многообразия Мь
которые не пересекаются с границей dMt. В качестве
следствия из теоремы Тома приведем следующее утверж-
дение. Под гомотопией отображения f: X^-Y мы будем
понимать такое непрерывное отображение
F- XX [О, 1]^У,
что F(x, O)=f(x), хеХ. Тогда отображения F(x, t) при
фиксированном t называются гомотопными отображе-
ниями.
Из теоремы Тома следует, что каждое гладкое отобра-
жение
f: М^М2
гомотопно отображению g, трансверсально регулярному
вдоль наперед заданного подмногообразия NczM2. При
этом можно считать, что гомотопия между fag тоже
является гладким отображением.
В теореме 2.3 Тома трансверсально регулярные ото-
бражения ищутся в классе всех гладких отображений
одного многообразия в другое. Однако бывают случаи,
когда мы не можем менять отображение f: Mt-*-M2 про-
извольным образом, но должны оставаться все время в
определенном, более узком классе отображений.
Приведем соответствующий пример. Пусть задана
гладкая функция f на гладком многообразии М. Точка
х&М называется критической точкой, если (df)x=O.
В локальной системе координат это условие означает, что
(grad df)x=O или что все частные производные
обращаются в нуль в точке х. Критическая точка х<=М2
функции f называется невырожденной критической точ-
кой, если матрица Hess f, составленная из вторых част-
§ 1.2) ТЕОРЕМЫ О ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ 85
ных производных, невырождена. Это свойство критиче-
ской точки не зависит от выбора локальной системы ко-
ординат. Гладкая функция f на гладком многообразии
называется функцией Морса, если все ее критические
точки невырождены. Функции Морса мы будем исследо-’
вать при изучении интегралов от быстро осциллирующих
функций.
Попытаемся с помощью теоремы Тома выяснить во-
прос, как велик запас функций Морса на гладком мно-
гообразии М. Прежде всего, нам нужно свойство функ-
ции f быть функцией Морса выразить через свойство
трансверсальной регулярности. Оказывается, если диф-
ференциальную форму df понимать как сечение в кока-
сательном расслоении
df: М-+(ТМ)*, (2.7)
то функция f является функцией Морса тогда и только
тогда, когда отображение (2.7) трансверсально регуляр-
но вдоль нулевого сечения Мас.(ТМ)*. Таким образом,
если бы мы захотели применить теорему Тома, то един-
ственное, что можно из этой теоремы получить, заклю-
чается в существовании сколь угодно близкого к df ото-
бражения
g: М^(ТМу, (2.8)
трансверсально регулярного вдоль нулевого сечения Мо.
Однако отображение g, вообще говоря, не является диф-
ференциалом какой-либо функции на многообразии М.
Следовательно, нам нужно искать трансверсально регу-
лярные отображения не в классе всех гладких отобра-
жений (2.8), а в более узком классе отображений вида
(2.7).
Общую задачу мы сформулируем следующим обра-
зом. Пусть задано некоторое множество F гладких ото-
бражений многообразия в многообразие А42. Требу-
ется найти такое условие на множество F, чтобы отобра-
жения из F, являющиеся трансверсально регулярными
вдоль фиксированного подмногообразия AfczAf2, образо-
вывали в F всюду плотное множество.
Множество отображений F мы организуем в виде од-
ного отображения
Л: РХМ^М2,
86
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. t
так что индивидуальное отображение f получается как
ограничение отображения А на fxMt:
=А (f, х).
При таком изображении не исключается произвольная
параметризация множества F.
Известны достаточные условия для того, чтобы мно-
жество PaF трансверсально регулярных отображений
вдоль подмногообразия УетАД было всюду плотным
множеством в F (теорема Абрахама). Мы приведем
частный случай теоремы Абрахама, когда множество F
является конечномерным гладким многообразием.
Теорема 2.5 (Абрахам). Пусть F, Mt, М2 —
гладкие многообразия, NczM2 — подмногообразие,
A: FxMt^M2
— гладкое отображение, трансверсально регулярное
вдоль подмногообразия N. Обозначим через PaF под-
множество тех точек, для которых отображение
f(x)±=A(f,x), ft=P,
является трансверсально регулярным вдоль подмного-
образия N. Тогда множество Р плотно в F.
Выведем теорему 2.5 из леммы Сарда. Поскольку
отображение А является трансверсально регулярным
вдоль подмногообразия то прообраз W—A~l(N)
является гладким многообразием. Пусть fsP. Условие
трансверсальной регулярности отображения f вдоль под-
многообразия N означает, что в каждой точке (Д х)е
eWTKfXMj) дифференциал dA отображения А отобра-
жает касательное пространство (7'(fxAf1)) <Лж> в каса-
тельное пространство (TM2)A{ftX} таким образом, что
DA&T (J х «,)))„.„ + (™)л„,я - (2.9)
Условие же трансверсальной регулярности всего отобра-
жения А в этой же точке (Д х) означает, что
DA ЦТ[Рх «,))„.„) + (ТО)*, я =. (™,)Л(М,.
Касательное пространство T(FxMt) (/ж) распадается
в прямую сумму двух подпространств:
XAf)(M)-(TF)(W®v(IF)(/iX),
S 1.2]
ТЕОРЕМЫ О ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ
87
причем DA отображает подпространство (v(Af))<,x) изо-
морфно на (v(?/))A(/,x), а подпространство в
(TN)a(M.
Покажем, что
T(f X Л41)(^1Ж) 4* (TW)^) 3 У (^ X
В самом деле, если geTто
Тогда ВЛ (g2)e(v(AT))A(/,«) и согласно (2.9) представля-
ется в виде
РЛ(У=-Р(Л)(т|1) + па,
тц е (T(f х М^, (TN)^.
Рассмотрим вектор i'=gi+T]t. Имеем DA(^—g') =
=DA (1,-11.) =^TNAUiX}. Тогда £"=g_g'e(TV)<M).
Таким образом, 5=|1+т|1 + £"> причем ^.^(^(fxAf.)),,^,
lt+l"^(TW) Итак, мы установили, что f&F* тогда и
только тогда, когда подмногообразия JF и fXMt находят-
ся в общем положении. Это условие в точности эквива-
лентно следующему условию: f^F* тогда и только тогда,
когда точка f^F является регулярной точкой для отобра-
жения
л|№: W+F, (2.10)
где л: FxMt-^F — проекция. Согласно лемме Сарда мно-
жество F* регулярных точек для отображения (2.10) всю-
ду плотно в пространстве F. Теорема 2.5 полностью до-
казана.
Теорема 2.5 является частным случаем теоремы Аб-
рахама, формулировка последней отличается от форму-
лировки теоремы 2.5 только тем, что в качестве про-
странства параметров F берется бесконечномерное ба-
нахово многообразие. Но на практике, как правило,
достаточно рассматривать только конечномерные семей-
ства отображений, удовлетворяющих условиям теоремы
Абрахама.
Например, в случае отыскания функций Морса доста-
точно исходную гладкую функцию f на многообразии М
включать в конечномерное семейство функций ft, t&T,
так, чтобы дифференциал функции F(x, был
88 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ [ГЛ. I
трансверсально регулярным вдоль нулевого сечения.
В локальной системе координат в качестве такого семей-
ства следует выбрать семейство
п
/<(*)=*/(•«) +2
Л=0
X = (х1, ...» хп), t=i(t1..tn) е R„.
Совершенно очевидно, что дифференциал отображения
Dft: М х R” -+ (ТМ)*
трансверсально регулярен вдоль нулевого сечения
Мос(ТМ)\ поскольку в стационарных точках хвИ
отображение Dft линейно на (xXRn).
Приведем теперь одно замечательное свойство функ-
ций Морса на многообразии М.
Предложение 2.6. Пусть точка х0^М гладкого
п-мерного многообразия М является невырожденной кри-
тической точкой функции Морса f. Тогда в окрестности
точки х0^М существуют такие локальные координаты
(х‘, ..., хп), что в этих локальных координатах функ-
ция f имеет вид
fix1....Xя) =
~ f (Х„) + (X1)2 + . . . + (xky - (х*+1)2 - ... - (Xя)2.
Доказательство. Достаточно сразу считать,
что функция f является функцией от п независимых пе-
ременных (у\ ..., уп), причем точка (0, ..., 0) явля-
ется невырожденной критической точкой функции f. Это
df
значит, что частные производные (0, ..., 0) равны
нулю.
Рассмотрим матрицу Hessf вторых частных произ-
водных функции f в точке (0, ..., 0). Поскольку матри-
ца Hess f невырождена и меняется при линейных заме-
нах координат как матрица квадратичной формы, то
существует такая линейная замена координат, что в но-
вых координатах матрица Hessf является диагональной
матрицей, на диагонали которой стоят числа =#0. Новые
координаты мы снова будем обозначать через (у*, ...
§ I2J
ТЕОРЕМЫ О ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ
89
..., уп). Рассмотрим разложение функции f(yl, ..., уп)
по формуле Тейлора в виде
f (у1, .. .. Уп) » f (0) + 2 У1У%! (У1.Уп), hi) - ha.
Тогда /iu(0, 0)#=0. Следовательно, если /iH(0, ...
..., 0) >0, то можно ввести новые координаты
,k htkW.......у")
К Ли (У1,
z'=ylVhn(y\ ...» уп) +2 У‘
z2=. у2, ..., zn = уп.
Тогда
f (Л . • • , г") - f (0) + (Z1)2 + 2 z‘z''^ (zl> • • • >z")-
i,/>2
Если /in (0, • • •, 0) <0, то полагаем
z1 = ylV-hu(y'......yn) -2 Ук ............
k>2 V hn (y\ .... j/*)
Z2 art У2, . . . , z" = УП.
Тогда
/(z1....2я) = f (0) - (z1)2 + 2 Mhiiiz1..zn).
В обоих случаях процесс замены координат можно про-
вести по индукции. Предложение 2.6 доказано.
Как следствие из предложения 2.6, мы получаем, что
каждая невырожденная критическая точка функции f
изолирована. В самом деле, поскольку в окрестности не-
вырожденной критической точки х0 функция f имеет вид
п
f(x\ ..., хп) = 2 ±(-Н2 в некоторой системе коорди-
нат, то обращение в нуль одновременно всех частных
производных возможно только в точке х‘=х2= ...
... =хп=0. Таким образом, в целой окрестности точки х0
других критических точек нет. Следовательно, на ком-
пактном многообразии М функция Морса f может иметь
только конечное число критических точек.
90
некоторые сведения из топологии
[ГЛ. I
§ 1.3. Индекс пересечения подмногообразий
В предыдущем параграфе в качестве примера рас-
сматривалась ситуация двух подмногообразий в общем
положении. Пусть <pk: Mfc—*-М, k=:l, 2,— два подмного-
образия в общем положении, т. е. каждое вложение ф*
является трансверсально
t регулярным вдоль друго-
го подмногообразия. В
этом случае пересечение
Afs=M4QM2 является
подмногообразием, раз-
мерность которого равна
dimAfj=dimM4 + dimM2—
— dimM. Если dimA(i+
+ dim M2=dim M, то раз-
Рис. 7. мерность пересечения рав-
на нулю, т. е. многообра-
зие М, состоит из конечного числа изолированных точек
(мы предполагаем компактность одного из многообра-
зий Mh).
Число точек пересечения многообразий М, и М2 может
служить некоторым инвариантом вложений. Более точно
обозначим через indal(Afi, ф4): (M2, <p2)]eZ2 число точек
пересечения Al 1(~'|Af2, приведенное по модулю 2. Тогда
indJ(Af4, ф4): (М2, ф2)] зависит только от гомотопических
классов вложений, т. е. если ф/ — другие вложения мно-
гообразий Mh, гомотопные вложениям фй, £=1, 2, то
ind, [(Mj, фх): (Mt, Ф2)] =• ind2 [(Mi, ф^: (Мв, <p2)f.
Следовательно, в обозначении ind2[(Af1). ф4): (М2, <p»)J
можно не указывать вложений <р4, фг и писать
ind^M,: М2].
Само число точек пересечения не является инвариан-
том гомотопии.
Рассмотрим в качестве примера двумерный тор
T2=S‘xS‘ с координатами — угловыми параметрами ф4
и ф2. Будем называть первый угловой параметр ф4 широ-
той, а второй — ф2 — долготой. Тогда на торе возникает
сетка из двух взаимно ортогональных кривых: кривые
ф4=const являются окружностями, которые называются
параллелями, а кривые ф2=сопз1 — окружности, которое
называются меридианами (рис. 7).
§ 1.3]
ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОДМНОГООБРАЗИИ
91
Каждая параллель пересекается с каждым меридиа-
ном ровно в одной точке, причем пересечение трансвер-
сально. Следовательно, индекс пересечения параллели и
меридиана равен единице. Если мы произведем деформа- .
цию, скажем, меридиана, то число точек пересечения ме-
ридиана (точнее, его деформированного образа) с парал-
лелью изменится на четное число точек (рис. 8).
Рис. 8.
Меридиан
Параллель
В случае, когда меридиан и параллель не находятся
в общем положении, число новых точек пересечения мо-
жет оказаться нечетным, поскольку некоторая пара точек
пересечения при деформации может «слиться» в одну
точку. На рис. 9 показано, что при деформации меридиана
пара точек В' и В" сливается в одну точку В. Оказы-
вается, чтобы построить целочисленный индекс пересече-
ния, необходимо уточнить ряд свойств многообразий и их
пересечений.
Как было сказано в § 1.1, гладкое многообразие М
называется ориентируемым многообразием, если на М
можно выбрать такой атлас карт {Ua} с локальными ко-
ординатами Ха, ..., Ха на них, что в любой точке
матрица Якоби имеет положительный опреде-
литель
дха
Ч
det
(3.1)
92
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
Атлас карт {Ua}, удовлетворяющий условиям (3.1), на-
зывается ориентированным атласом гладкого многообра-
зия М. Два ориентированных атласа {С7а, х«} и {U& Хр }
называются эквивалентными, если матрица Якоби замены
координат в любой точке имеет положитель-
ный определитель
т. е. если объединение атласов {Ua', Ха} U явля-
ется ориентированным атласом. Тогда все атласы карт,
задающие ориентации гладкого многообразия М, разби-
ваются на два класса, в каждом из которых атласы
карт попарно эквивалентны. Таким образом, на ориен-
тируемом многообразии М существуют всего две раз-
личные ориентации.
Если многообразие М связно и ориентируемо, то его
ориентацию можно задавать еще следующим образом.
Фиксируем векторное пространство V размерности п.
Множество базисов (упорядоченных) разбивается на
два класса: два базиса отнесем к одному классу, если
матрица перехода от одного базиса к другому имеет по-
ложительный определитель. Скажем тогда, что эти два
базиса задают в пространстве V одинаковую ориента-
цию. Напротив, если матрица перехода от одного базиса
к другому имеет отрицательный определитель, то отне-
сем базисы к разным классам и будем говорить, что ба-
зисы задают различные (противоположные) ориентации
пространства V.
Рассмотрим в многообразии М локальную систему
координат (ха, ..., Ха)] в карте Ua. Тогда эта локаль-
ная система координат задает в каждом касательном
пространстве (ТМ)Х, x^Ua, базис 1-^—, ——I и
I <4 dxS I
тем самым некоторую ориентацию пространства (ТМ)Х.
Ориентированный атлас {{7а, х*} многообразия М зада-
ет в каждом касательном пространстве (ТМ)*, хеМ,
некоторую ориентацию, не зависящую от карты Ua, со-
держащей точку х.
§ 1-3]
ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОДМНОГООБРАЗИИ
93
Обратно, если х е Ua и в пространстве (ТМ)Х задана
ориентация, то по этой ориентации однозначно выбирается
локальная система координат {x&} так, чтобы базис
( д д ]
J---, ..., ----1 определял исходную ориентацию прост-*
(dr*
ранства (ТМ)Х. Пусть заданы две точки х, у е М, непре-
рывная кривая
<р: [О, ф(0) = х, <р(1)=зг/,
и два базиса (еь .... еп)(=(ТМ)х, (ft, .... fn)(=(TM)v.
Будем говорить, что эти базисы задают согласованные
ориентации вдоль кривой <р, если существуют непрерыв-
ные семейства базисов
.....
причем
ek(0) — ek,
^(1) = /*,
Легко доказать, что для любых двух базисов {et, ...
en}f=(TM)x, {ft, ..., fn}<=(TM)v и кривой <р суще-
ствует такое непрерывное семейство {ejf), ..., е„(/)}е
е(7’А1)ф(<), что eK(0)=eh, а при /=1
базис {ек (1)} или совпадает с {А, ..., f„}, или задает в
пространстве (ТМ)„ противоположную ориентацию.
Пусть в каждом касательном пространстве (ТМ)Х,
х^М, задано по базису {et(x), ..., е„(х)} (непрерыв-
ность по параметру х^М не предполагается!). Скажем,
что эти базисы задают согласованные ориентации, если
они задают согласованные ориентации для любой па-
ры точек х, у^М и любой непрерывной кривой, соеди-
няющей точки х, у. Если задан согласованный набор ба-
зисов касательных пространств в каждой точке хеЛ4,
то многообразие М ориентируемо; при этом базисы
f д д )
J.........—I, задаваемые локальными системами
| дх^
координат в надлежащим образом ориентируемом атла-
се {Ua, *а}, порождают в каждом касательном про-
странстве (ТМ)Х исходную ориентацию.
94
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
Перейдем теперь к изучению индекса пересечения
двух ориентированных подмногообразий Mt, Мг, лежа-
щих в общем положении в ориентируемом многообра-
зии М. Поскольку многообразия Mt и М2 находятся в
общем положении, то их пересечение явля-
ется гладким многообразием. Докажем, что многообра-
зие М2 ориентируемо. Для этого нам необходимо задать
согласованный набор базисов в каждом касательном
пространстве (ТМ)Х, х^М3. Мы имеем следующие равен-
ства:
(TMi)x +(ТМг)х~ (ТМ)Х,
(ТМ^Х(}(ТМ9)Х^(ТМ9)Х.
В пространствах (ТМ)Х, (ТМ,),, (ТМ2)Х уже заданы со-
гласованные ориентации. Фиксируем некоторый базис
{а,....ак}с=(ТМ2)х. (3.2)
Дополним его до базисов
{Д1, ..., о*, 61, ..., bs}6Е(ТМ])Х, (3.3)
fa.....ahCi, ...» ct} е (ТМг)х. (3.4)
Тогда векторы
{сь ..., ct, at,..., ак, bit..., 6.) (3.5)
образуют базис пространства (ТМ)Х. Предположим, что
А#=0, s=^0, /=^0.
В общем положении при условии, что многообразия
Mt и М2 не нульмерны, достаточно предположить, что
а неравенства s^=0, /^=0 выполняются автомати-
чески. Меняя, если это необходимо, знак у вектора blt
мы можем считать, что базис (3.6) согласован с ориен-
тацией многообразия Mt. Аналогично, меняя знак у век-
тора ct, считаем, что базис (3.4) согласован с ориента-
цией многообразия М2.
Рассмотрим базис (3.5). Если этот базис не согласо-
ван с ориентацией многообразия М, то изменим знак у
векторов at, ct, bt. Таким образом, в итоге мы получим
такие векторы, что базисы (3.2), (3.4) и (3.5) имеют
согласованные ориентации с ориентациями многообра-
зий Mt, М2 и М,. Зададим ориентацию пространства
§ 1.3]
ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОДМНОГООБРАЗИЙ
95
(ТМ3)Х с помощью базиса (3.2). Проверка согласован-
ности базисов (3.2) по различным точкам многообразия
М3 тривиальна.
Рассмотрим теперь случай, когда й=0, т. е. dimMs=
=0. Тогда многообразие М3 состоит из отдельных изоли-
рованных точек. Хотя формально нульмерное многооб-
разие не имеет ориентации, мы построим на М3 функцию
е(х), хеЛ13, принимающую значения ±1. Рассмотрим
базисы (3.3) и (3.4), согласованные с ориентацией мно-
гообразий Mt и Мг (векторы {а3} отсутствуют). Тогда
положим е(х) = 1, если базис (3.5) согласован с ориен-
тацией многообразия М, е(х)=—1, если ориентация ба-
зиса противоположна ориентации многообразия М.
Определение 3.1. Пусть Mlt М2с.М3 — два ори-
ентированных подмногообразия в общем положении,
Л13=Л11ПЛ42, dim М3=0.
Положим
ind [Л4а : Mj] = 2 е (•*)
x&\4t
и назовем это число индексом пересечения.
Легко проверить формулу
ind [Л4а: Mj] = (—1 )dlm м' dim Mt ind (Afx: ^].
Индекс пересечения для двух подмногообразий и Мг
в общем положении априори зависит от способа вложе-
ния многообразий Mt и М2. В действительности можно
избавиться от ряда ограничений на вложения многооб-
разий. Например, если вложения
<pft: Мк—>Л4, &=1, 2,
не находятся в общем положении, то можно поставить
и решить вопрос об аппроксимации вложений <рм, Л=1, 2,
другими вложениями q>fe, которые находятся уже в общем
положении, определить индекс пересечения для изме-
ненных вложений и исследовать зависимость индекса
пересечения от способа аппроксимации. Первый вопрос
решается положительно с помощью теоремы Абрахама.
Именно, нам нужно доказать, что в классе вложений
многообразия Af4 в М множество тех вложений, которые
находятся в общем положении с подмногообразием
МЛаМ, образует плотное множество. Чтобы применить
96
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
теорему Абрахама в том виде, как она формулировалась
в предыдущем параграфе (теорема 2.5), нужно вклю-
чить данное вложение <р±: М^М в семейство вложений,
параметризованное гладким многообразием F, причем
должны выполняться условия теоремы 2.5. В качестве
семейства F можно взять, например, вложения, постро-
енные следующим образом. Пусть G — некоторая конеч-
номерная группа диффеоморфизмов многообразия М.
Пусть для этой группы выполнено условие: для любой
точки хеМ2с=А4 отображение
f*. G-+M, fx(g)=g(x), g<=G, (3.6)
является трансверсально регулярным отображением
вдоль подмногообразия М2сМ. Рассмотрим отобра-
жение
A: MtXG-^M,
A(x,g)=g(<Pt(x)), xeMt, gc=G.
Покажем, что отображение А трансверсально регу-
лярно вдоль подмногообразия ЛГ2с=Л4 в окрестности
MiXOczAfjXG. В самом деле, если А(х, 1)=у<=Л12, то
г/=Ф1(х). Далее,
DA (Л(МД X G)(Xil)) Z) DA (Т (х х G)(X(1)) - Dfy (TG^.
Следовательно, из трансверсальной регулярности (3.6)
следует, что
DA (Т (М, х G)(x>1)) + (TMJy = (ТМ)Х.
Осталось только построить группу диффеоморфизмов G.
Рассмотрим нормальное расслоение v (Л42) подмного-
образия М2<^М. Это конечномерное векторное расслоение,
и поэтому существует конечное число сечений st...sw
расслоения v(Af2) таких, что в каждой точке хеМ2 век-
торы {Si(x), ..., sN(x)} порождают слой векторного
расслоения v(JW2). Пусть PG, ..., XN}—такой набор
векторных полей на многообразии М, что ограничение
поля Хк на подмногообразие Мг совпадает с сечением
s*(x). Каждое векторное поле Хк определяет однопара-
метрическую группу Gk диффеоморфизмов многообразия
Mit причем, если tk — параметр группы Gh, то касатель-
ный вектор к кривой y=tk(x), —е^/^е, в точке х сов-
падает с вектором Л»(х). Рассмотрим многообразие
§ 1.3] ИНДЕКС ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОДМНОГООБРАЗИЙ 97
N
G= Г[ Ghi каждая его точка определяет некоторый диф-
k=i
феоморфизм многообразия М2:
(tlt .... М(*)=М4 ... (М*)) •••)•
Легко установить, что отображения вида (3.6) являются
трансверсально регулярными вдоль подмногообразия Af2.
Таким образом, мы установили, что каждое вложе-
ние многообразия Mt в М можно сколь угодно близко
аппроксимировать трансверсально регулярным вложе-
нием вдоль подмногообразия М2. Если мы установим, что
индекс пересечения не зависит от способа аппроксима-
ции, то тем самым корректно определим индекс пересе-
чения двух подмногообразий, не находящихся в общем
положении.
Нам будет более удобным определить индекс пересе-
чения не для вложений, а для произвольных гладких
отображений <р± многообразия Aft в М, трансверсально
регулярных вдоль подмногообразия М2. Если dimAl=
= dim Aft + dim M2, то, как и в случае вложений, прооб-
раз (М2) состоит из конечного числа точек. В случае
ориентированных многообразий М, Aft, М2 каждой точ-
ке х прообраза фГ1 (М2) можно приписать знак ®(х).
Если же dimAf<dimAft + dimМ2, то прообраз ф/(М)
снабжается ориентацией, согласованной с ориентацией
многообразий М, Aft, М2. Таким образом, каждому транс-
версально регулярному вдоль подмногообразия М2 ото-
бражению мы можем сопоставить число
Ы[фх:Л1а]= е(х)-
хедгМщ
Это число зависит только от гомотопического класса ото-
бражения ф1 многообразия М^ В самом деле, если <р/—
другое трансверсально регулярное вдоль подмногообра-
зия Af2 отображение многообразия Mt и отображения ф,
и ф/ гомотопны, то существует гладкое отображение
F: Мг х 1 Mv
Р (х, 0) — ф| (х), х е Мь (3.7)
F (х, 1) = ф^ (х), х g= Ml. (3.8)
4 Мищенко и др.
98
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
Согласно теореме Тома отображение F можно выбрать,
не меняя условий (3.7), (3.8), трансверсально регуляр-
ным вдоль подмногообразия М2. Рассмотрим прообраз
W=F~l(M2). Многообразие W одномерно и состоит по-
этому из конечного числа отрезков и окружностей
(рис. 10).
Граница многообразия W лежит на границе АДХ/,
d(MtXl) = (М,ХО)и(^1Х 1), и равняется объединению
прообразов tpi1 (MOLhPi * (МО- Все точки (pi1 (M2)(J
U<Pi 1 (М2) разбиваются на пары — границы компонент
связности многообразия W. Ес-
ли пара точек хь х2 лежит на
одном краю многообразия
М,Х/, то e(Xi)=—е(х2), а если
на разных, то е(х1)=е(х2).
Отсюда следует, что
ind [<px: М2] = ind [<p2: М,].
Рис ю Нас в дальнейшем будет инте-
ресовать только случай, когда
М, является одномерным связ-
ным замкнутым компактным многообразием, т. е. окруж-
ностью, а Мг — многообразие коразмерности 1. Заметим,
что многообразие М2 не обязано являться компактным
многообразием, достаточно, чтобы его топологическая
граница Л72\Л/2 имела коразмерность >:3.
§ 1.4. Гомотопические группы
Здесь мы кратко сформулируем ряд понятий и тео-
рем, необходимых для конкретных вычислений. Подроб-
ное изложение вводимых здесь понятий можно найти в
книге Фукса, Фоменко и Гутенмахера [1]. При дальней-
шем чтении эти конкретные вычисления можно опустить,
оставив только результаты вычислений.
Все пространства предполагаются гомеоморфными
конечным симплициальным комплексам. Пространство X
называется пунктированным, если в X отмечена точка х0.
Отображение f пунктированных пространств
f: (X, х0)+(Г, у»)
S 1.4J
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
99
должно переводить отмеченную точку х0 в отмеченную
точку у<>, f(x<))=y<). Гомотопия ft отображений пунктиро-
ванных пространств должна сохранять отмеченную точ-
ку ,ft (Хо) =уй.
Множество классов гомотопных отображений £-мер-
ной сферы (Sfc, s0) в пространство (X, ха) обозначается
через лк(Х, х0). В множестве лк(Х, х0) вводится един-
ственным образом групповая структура, лк(Х, х0) назы-
вается ft-мерной гомотопической группой пространства
(X, Xt>). При й>1 группы лА(Х, х0) являются абелевыми.
Если f: (X, х0)->-(У, Уа) —отображение пунктированных
пространств, то оно индуцирует гомоморфизм гомото-
пических групп
fh: лк(Х, x<>)^nk(Y, Уо)-
Пусть р: E-+Y — локально тривиальное расслоение
со слоем F, j: FczE — вложение, xoef, р(ха)=уа. Тогда
существует такой гомоморфизм
д: nk(Y, y0)^nk-t(F, х0),
что последовательность
... л* (F, х0) 4- л* (Е, х0) ak (Y, у0)
' ^k-1 (F, х0) -* л^-1 (Е, Хд) >.. .
точна, т. е. композиция двух последовательных гомомор-
физмов равна нулю, а ядро последующего гомоморфиз-
ма совпадает с образом предыдущего гомоморфизма.
Пусть теперь X — симплициальный комплекс, Ск(Х) —
свободная абелева группа, порожденная всеми ^-мер-
ными симплексами. Если а — ^-мерный симплекс с вер-
шинами e0, ..., ек, то будем писать в— (е0, • • •, ел).
Определим гомоморфизм
d:
положив
d(вд, •.., £&) ( -1)* (^о* • • •» • • • >
Тогда d2=0 и мы можем определить группы
Hk(X) = Ker?d/Im*d,
100
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТОПОЛОГИИ
[ГЛ. I
где
Ker*d -{.<£ С*(Х): dx =0},
Imftd^d(C,+1(X)).
Имеет место следующее утверждение: если лДХ, х0) =0
для j<k, k> 1, то
л*(Х, х0)=ЯДХ)
(теорема Гуревича). Если лДХ, х0)—абелева группа,
то Л1(Х, х0)=Н1(Х) для связного пространства X. В об-
щем же случае
~ х0)/[Я1(Х, *<>)> Я1(^> -'-о)]»
где [л; л] обозначает коммутант группы л, т. е. нормаль-
ный делитель порожденный элементами вида
а, Ь^л.
Спектральные когомологии Нк(Х) пространства X
изоморфны группам Нот(Я|1(Х), R). Последнее утверж-
дение позволяет выяснить, нулевой или ненулевой класс
когомологий определяет дифференциальная форма
мейДА!) на гладком многообразии. Для этого надо
рассмотреть конечное симплициальное разбиение много-
образия М, выбрать (конечный) базис (а,.........аг)
в группе Пусть (&ь .... Ьг)—представители
элементов (аь ..., аг). Тогда каждый элемент 63 явля-
ется линейной комбинацией ^-мерных симплексов много-
образия М, так что корректно определены числа
Y/= f<o.
bi
Для того чтобы форма со определяла нулевой класс ко-
гомологий, необходимо и достаточно, чтобы
у3=0,
ГЛАВА II
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
Основным геометрическим понятием при построении
асимптотических решений уравнений с малым парамет-
ром с помощью канонического оператора Маслова яв-
ляется понятие лагранжева многообразия в фазовом
пространстве. Настоящая глава посвящена систематиче-
скому исследованию тех топологических свойств лагран-
жевых многообразий, которые необходимы при построе-
нии канонического оператора.
§ 2.1. Лагранжевы многообразия
в гамильтоновом пространстве
Пусть <Dr(2h) — вещественное 2п-мерное векторное
пространство с отмеченным базисом (е, — ..., еп,
f\ ..., fn). Пространство Or(2/i) будем называть фазо-
вым пространством. Координаты произвольного вектора
£ефк(2п) мы будем разбивать на две группы: х-коорди-
наты (х1, ..., хп) и р-координаты (plf ..., рп):
п п
В =2 хЧ + 3 р/.
&—1 /г=1
Рассмотрим в фазовом пространстве Фц(2га) внешнюю
дифференциальную форму
п
dp Adx = '>’ dpk/\dxk. (1.1)
' fe=l
Поскольку коэффициенты формы (1.1) постоянны, то в
каждой точке |еФи(2п) фазового пространства эта
102
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ II
форма индуцирует одну и ту же билинейную кососим-
метрическую форму < , > на касательном пространстве,
которое мы можем отождествить с самим фазовым про-
странством Фц(2п). Эта билинейная форма в базисе
(е, f) записывается с помощью кососимметрической мат-
рицы 1п, равной
Определение 1.1. Пусть <р: М-*Фц(2п)—п-мер-
ное подмногообразие в фазовом пространстве. Если огра-
ничение формы (1.1) на подмногообразие М тождествен-
но равно нулю:
<p*(dp/\dx) =0,
то многообразие М называется лагранжевым многообра-
зием фазового пространства Фц(2п).
Частным случаем лагранжевых многообразий явля-
ются линейные подпространства ср: Ь->-Фк(2п), на кото-
рых ограничение формы (1.1) тождественно равно нулю.
Такие линейные подпространства, одновременно являю-
щиеся лагранжевыми многообразиями, мы будем назы-
вать лагранжевыми плоскостями в фазовом простран-
стве Or (2и) .
Совершенно очевидно, что n-мерное подмногообразие
<р: Л1->Фк(2л) является лагранжевым многообразием
тогда и только тогда, когда все его касательные про-
странства Тт(М), т^М, являются лагранжевыми плос-
костями, при вложении dtp: Тт(А1)-*Фи(2л).
Типичным примером лагранжева многообразия явля-
ется график градиента гладкой функции переменных
(х1, ..., хп). Именно, пусть S (х‘, ..., хп) — гладкая
функция, определенная в некоторой области V «-мер-
ного пространства R" с базисом е= (еь ..., е„) и коор-
динатами х= (х1, ..., х"). Рассмотрим вложение
<р: Р->Ф^(2п),
задаваемое равенствами
хк = хк, \ ^k^.n,
(1-3)
pk = — (X1, ... , хп), 1 < k < п.
§ 2.1] МНОГООБРАЗИЯ В ГАМИЛЬТОНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЮЗ
Тогда подмногообразие V является лагранжевым мно-
гообразием. В самом деле, ограничение <p*(dp/\dx) фор-
мы (1.1) в локальной системе координат х= (х1, ..., х")
имеет вид
<р* (dp A dx) =1 4 р —ь A dxk\ =
= у dxk /\dxk+ V (dx1 л dxk + dxk/\dxl)= 0.
В некотором смысле всякое лагранжево многообра-
зие может быть представлено в виде (1.3). Точная фор-
мулировка будет приведена ниже под названием леммы
о локальных канонических координатах.
Пусть /, J обозначают некоторые подмножества ин-
дексов от 1 до и, / обозначает дополнение к /, 1=
— {1, ..., п}—I. Обозначим через R'XRj<=:®R(2n) под-
пространство порожденное векторами {ek, fee/; fl, l^J}.
Соответственно координаты векторов из R'XRj будем
обозначать через (х\ р7). Пусть
Pj • Фц (2/г) -> Rz X Rj
обозначает проекцию фазового пространства Фя(2п)
вдоль дополнительного подпространства RzXRj. Из тео-
ремы о неявных функциях следует, что для подмногооб-
разия ср: М^Фк(2п) координаты (х1, pj) служат локаль-
ной системой координат для многообразия М в окрест-
ности точки /пеМ тогда и только тогда, когда проекция
Р': xHj
является изоморфизмом. Эти же координаты (х1, р7)
являются системой координат (линейной) и для самого
касательного пространства Тт (7И).
Лемма 1.1 (лемма о локальной канонической си-
стеме координат). Для любой лагранжевой плоскости
ср: £с=Фя(2п) существует такой набор индексов Ц что
104
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ. It
проекция
Pj: L ^R7 xRy
является изоморфизмом, т. е. координаты (х1, р7) обра-
зуют систему координат плоскости L.
Доказательство. Рассмотрим проекцию
Р": Or (2п) -> R";
здесь п обозначает множество всех индексов (1, ..., п).
Пусть L'=Pn(L)—линейное подпространство в R",
dim dim L. Совершенно очевидно, что
L = L' ф L", L" = Ker Р", L' с Rn.
Пусть / — такой набор индексов, что проекция
Р1: L'-^R1
является изоморфизмом. Покажем, что тогда проекция
P'f. L-.R! xR7
тоже является изоморфизмом. Для этого достаточно по-
казать, что Кег(Р7)[д=0, поскольку
n = dim L — dim R1 + dim R,.
Пусть geL — такой вектор, что
^©=0.
Тогда координаты вектора £ имеют вид |=(0, х*, р1( 0)
в разложении OR(2n)=R/XR/XRiXR7. В частности,
Р'(|)=0, т. е. Рп(£)=0. Следовательно, geL"czRi, т. е.
xJ=0. Таким образом, |=(0, 0, рг, 0). Поскольку про-
екция Р1: L->-Rr — эпиморфизм, то для любого набора
координат х1 найдется такой вектор tj, что PI(ri)=xI.
Тогда т)=(х/, х1, pt, pj-). Вычислим значение билиней-
ной формы < , > на паре векторов £, т] (см. (1.2)):
<5. П> 3 2 p>^k-
feez
§ 2.1] МНОГООБРАЗИЯ В ГАМИЛЬТОНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ю5
Поскольку для лагранжевой плоскости L значение
<£, т)> тождественно равняется нулю, мы получаем тож-
дество
3 = о
ле/
по переменным х\ откуда следует, что pk=0, k^.1. Таким
образом, 5=0, т. е. КегРу=0. Лемма 1.1 доказана.
Из леммы 1.1 следует, что для любого лагранжева
многообразия <р: Л4->Фц(2п) и любой его точки пи=М
найдется такая окрестность U^m и такой набор индек-
сов I, что в качестве локальной системы координат мо-
гут служить функции (х1, р-) —координаты точки т в
фазовом пространстве Фк(2п). Остальные координаты
(х1, pi) точки т в фазовом пространстве Фи(2и), следо-
вательно, являются функциями от переменных (х1, pj):
х1 = х1 (х1, pj),
Pi =* Р1{х!, р,).
(1.4)
Карта U, на которой в качестве локальной системы ко-
ординат можно взять координаты (х1, р7), будет назы-
ваться канонической картой и обозначается через Ut.
Тогда из леммы 1.1 следует, что на любом лагранжевом
многообразии М существует атлас {£/т} канонических
карт.
Аналогично формулам (1.3) попытаемся найти функ-
цию St(x’, р^), удовлетворяющую равенствам
dSt
дх1
= Pl,
-Z=-x7
(1-5)
Система (1.5) эквивалентна уравнению в терминах диф-
ференциальных форм
dS/’== pidxr<-— xz dpi.
(1-6)
106
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИИ
[ГЛ. II
Здесь
pi dx1 — V pt dxk,
kei
x1 dpy^y^ xl dpi.
Левая и правая части (1.6) являются функциями от пе-
ременных (х1, ру). Поскольку в правой части функций
рг> х7 взяты из (1.4) как координаты точки т лагранже-
ва многообразия М, то, считая функцию S определенной
в окрестности U^m многообразия М, мы можем рас-
сматривать (1.6) как уравнение на дифференциальные
формы на многообразии М в окрестности U:
dSi — ф* (р/ dx' — х1 dpj). (1.7)
Форма
p/dxr — х7 dpj (1.8)
уже определена на всем фазовом пространстве Фд(2п).
Формы вида (1.8) связаны соотношением
р/ dx1 — х1 dpj = р dx — d {pyxl)i
Поэтому на лагранжевом многообразии М правая часть
(1.7) является замкнутой дифференциальной формой и,
следовательно, уравнение (1.7) разрешимо в достаточно
малой окрестности U точки т^М. Таким образом, ло-
кально каждое лагранжево многообразие может быть
представлено в виде (1.5).
Рассмотрим теперь, кроме лагранжева многообразия М
в фазовом пространстве Фя (2п), гладкую функцию Н (х, р)
на фазовом пространстве Фк(2п). С каждой такой’функ-
цией Н можно связать векторное поле V (Н) на фазовом
пространстве Фц(2п), двойственное относительно формы
dp /\dx к дифференциалу dH:
(dp/\dx)(X, V(H))=dH(X). (1.9)
§.2.1] МНОГООБРАЗИЯ В ГАМИЛЬТОНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
107
Функция Н называется функцией Гамильтона, а вектор-
ное поле V(Н) — гамильтоновым векторным полем. Если
dxk dPk )
а X— одно из векторных полей —то из (1.9) по-
d? °Pi
лучаем, что
дН , дН
=----------------------------, а1 =* -----,
a? epi
т. е.
др( дх*
дН д
дх1 dPi
Допустим, что многообразие М лежит на поверхно-
сти уровня функции Н:
Я|Л4=const.
Тогда для любого векторного поля X на многообразии М
dH(X)s=0,
т. е. в любой точке т<=М в касательном пространстве
L=Tm(M) выполнено свойство
<V(//)m,Xm>=0
для любого вектора Xm<=L. Если бы вектор V(H)m не
принадлежал пространству L, то в подходящей системе
координат билинейная форма < , > определялась бы мат-
рицей, у которой некоторый квадратный ящик (п + 1)Х
X (п+1) состоял бы из нулевых элементов, т. е. матрица
билинейной формы < , > была бы вырождена, что проти-
воречит (1.2). Значит,
т. е. векторное поле V (Н) касается многообразия М
или, что то же самое, многообразие М инвариантно от-
носительно векторного поля V (Н).
Обратно, если векторное поле V(H) касается много-
образия М, то для любого векторного поля X на лагран-
108
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ. И
жевом многообразии М из (1.9) получаем равенство
dH(X)=0,
т. е. (d#)M==0, Н\М=const.
Мы доказали следующее утверждение.
Лемма 1.2. Функция Н постоянна на лагранжевом
многообразии М тогда и только тогда, когда гамильто-
ново векторное поле.У(Н) касается многообразия М.
§ 2.2. Когомологии лагранжева грассманиана
Лагранжевы плоскости в фазовом пространстве Фр(2п)
можно организовать в специальное многообразие — лаг-
ранжев грассманиан Полезность такого многооб-
разия связана с тем, что всякое лагранжево многообра-
зие <р:Л4->Фк(2п) естественно отображается в лагранжев
грассманиан G^(Zn). Именно, каждой точке теМ сле-
дует сопоставить его касательное пространство Tm (Л4) е
Полученное таким образом отображение М->
-*Gan(/n) помогает яснее объяснить геометрическую при-
роду различных характеристических класссов на многооб-
разии, одним из которых является так называемый индекс
Маслова — Арнольда лагранжева многообразия М. Для
удобства мы начнем сначала с изучения лагранжева грас-
сманиана комплексного фазового пространства Фс(2п).
Пусть Фс —2п-мерное комплексное пространство, в кото-
ром фиксирован комплексный базис векторов
{e,f} = {elt .... .... /»}.
Пространство Фс назовем комплексным фазовым прост-
ранством. Всякий вектор а£Фс может быть однозначно
представлен в виде линейной комбинации базисных век-
торов {е, [} с комплекснозначными коэффициентами
k !
Числа z\ k=\, ..., и, будут называться z-координатами,
а числа t>h /=1, • • •, пз>— ^-координатами вектора а фа-
зового пространства Фс.
I i.ij
Когомологии лагранжева грАссманианА
109
Положим
zk= хк + iyk, £/ = /?/ + in,, /, k = 1, .... п,
k k с
где х , у , р/, п/| — вещественные числа.
Вещественное линейное подпространство, порожденное
векторами {е, f}, образует 2п-мерное вещественное подпро-
странство пространства Фс. Обозначим его через Or. Та-
ким образом, если aeOr, то
а = 3 + S Р^'-
k i
В этом случае числа xh будут называться х-координата-
ми, a Pj—р-координатами вектора аеФи. В комплексном
фазовом пространстве Фс рассмотрим кососимметриче-
скую комплекснозначную форму <а, &>, задаваемую в ба-
зисе {е, f} кососимметрической матрицей
где Е — единичная матрица размера (пХп). Более того,
положим
<а, Ь) = аЧпЬ,
где через а, b мы будем также обозначать столбцы, со-
ставленные из координат векторов а, b в базисе {е, f};
операция Х-+Х* является транспонированием комплекс-
нозначных матриц. Таким образом, если
а* = (г1, ..., гп, ...U
= (/, ...» z'n, £,..., Q,
ТО
<а, =
А /
Очевидно, что выполнено равенство
<а, &> =—<&, а>.
Определение 2.1. Комплексное подпространст-
во ЛсдФс называется лагранжевой плоскостью, если
a) dime L = п;
б) <а, Ь) = 0 для любой пары векторов a, b^L.
no
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[гл. ii
Предложение 2.1. Пусть АсФе—лагранжева
плоскость, {ait ..., а„} — произвольный комплексный ба- •
зис пространства L, X— матрица размера (пХ2п), со- «
ставленная из координат векторов ....ап в базисе j
{е, f} фазового пространства Ф , т. е. X=(alt ..., ап).
Тогда
ХЧпХ=0,
I
где 0 — нулевая матрица размера (п\п). |
Доказательство очевидно. |
Примером лагранжевой плоскости может служить |
подпространство СпсФс, порожденное векторами е— I
= {е1, , еп}. В самом деле, векторы elt ..., еп образу-
ют базис в пространстве С", а соответствующая матрица
X их координат имеет вид
Тогда
Х*1пХ = || Е, 01| | J е Е 11 Е | = || 0, Е || | Е | = 0.
Пусть С; Фс-*Фс—обратимое линейное (комплекс-
ное) преобразование фазового пространства Фс- Соответ-
ствующая ему матрица размера (2пХ2п) в базисе {е, f}
также будет обозначаться через С.
Определение 2.2. Преобразование С называется
симплектическим или гамильтоновым преобразованием,
если оно сохраняет кососимметрическую форму, т. е. если
<а, &>=1<Са, СЬ),
или, что то же самое, если
СЧпС=1п
Легко видеть, что если Тсфс — лагранжева плос-
кость, С — гамильтоново преобразование, то простран-
ство C(L) тоже является лагранжевой плоскостью.
Множество всех гамильтоновых преобразований об-
разует группу относительно операции композиции преоб-
разований. Обозначим эту группу через GL(2n, 1п).
Предложение 2.2. Пусть £с=Фс — лагранжева
плоскость. Существует такое гамильтоново преобразова-
§ 2.2]
КОГОМОЛОГИИ ЛАГРАНЖЕВА ГРАССМАНИАНА
111
ние C<=GL(2n, /п), что
L-C(Cn).
Доказательство. Введем на комплексном фа-
зовом пространстве эрмитову метрику, считая базис
{е, f} ортонормированным базисом. Таким образом, если
векторы а, йеФс имеют координаты
(д .... д ^ ...» и (Д,:«)
соответственно, то скалярное произведение их определя-
ется по формуле
(а, Ь) = zkz'k + 3 U;-
* /
Пусть теперь £сфс — произвольная лагранжева
плоскость. Тогда существует ортонормированная систе-
ма векторов {at.a„}crL, образующая комплексный
базис пространства L.
Лемма 2.3. Пусть комплекснозначная матрица
ня
размера (пХ2п) такова, что ее столбцы определяют ор-
тонормированию систему векторов {ht, ..., h„) прост-
ранства Фс. Тогда
А*А + В*В=Е, (2.1)
где А*=А1.
Закончим теперь доказательство предложения 2.2.
Выберем в пространстве L ортонормированный базис;
пусть координаты этого базиса образуют матрицу
НЯ
Положим
С = А
в А
112
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ. II
Тогда
die--
А*
-~В*
— В*
— Л*
Л'|| А
—В* В
Л'В—б'Л в'в + Л^Л
(Л* Л + В*В) л*в — вм
Поскольку пространство L является лагранжевой плос-
костью, то согласно предложению 2.2
Х7пХ=0,
или
А‘В—В'Л=0,
откуда получаем, что
А*~В — В*А = 0.
Из (2.1). получаем, что
В'В.+ Л'Л =Е.
Таким образом, используя равенства (2.1),
(2.4), получаем
(2-2)
(2.3)
(2.4)
(2.2), (2.3),
dinc =
In-
Мы установили, что матрица С определяет гамильтоново
преобразование фазового пространства Фс.
Равенство L=C(Cn) легко усматривается из опреде-
ления матрицы С. Предложение 2.2 доказано.
Предложение 2.2 можно истолковать следующим, по-
лезным для нас, образом. Пусть GZn(In) обозначает мно-
жество всех лагранжевых плоскостей в фазовом прост-
ранстве Фс. Тогда получается естественное отображение
0: GL(2n, Zn)->G2n(/„),
которое каждому гамильтонову преобразованию Се
eG£(2n, 7„) сопоставляет лагранжеву плоскость
0(C) = С (Сп).
Предложение 2.2 утверждает, что отображение 0 яв-
ляется эпиморфизмом. Изучим теперь прообразы отдель-
ных точек при отображении 0. Обозначим через Н под-
§ 2.2]
КОГОМОЛОГИИ ЛАГРАНЖЕВА ГРАССМАНИАНА
113
группу группы GL(2n, 1п), состоящую из всех гамильто-
новых преобразований С, переводящих подпространство
С"сФс в себя: С(СП) = СП.
Подгруппа Н состоит из матриц вида
С=|о =
Прообраз каждой точки отображения 0 совпадает с ле-
вым классом смежности группы GL(2n, 1п) по подгруппе
И, т. е. точки множества G2n(In) находятся во взаимно
однозначном соответствии с точками однородного про-
странства левых классов смежности
GL(2n, 1п)/Н.
Отметим, что в доказательстве предложения 2.2 на са-
мом деле содержится более сильное утверждение. Обо-
значим через U(2n, /„) подгруппу группы GL(2n, 1п),
состоящую из всех гамильтоновых преобразований, ко-
торые одновременно являются унитарными преобразова-
ниями. Если матрица
С = А “*||
В А ||
определяет гамильтоново пр’ео'бразование и А*А+В*В=
—Е, то С является унитарной матрицей.
Предложение 2.4. Пространство G2n(In) изоморф-
но однородному пространству левых классов смежности
группы U(2n, /„) по подгруппе H'==HQU(2n, 7„). Под-
группа Н' изоморфна группе U(n) унитарных матриц и
состоит из матриц вида
с = (« я)’ AsUW-
Доказательство. Первое утверждение очевид-
но. Пусть унитарная матрица С имеет вид
С = || А в I
II о (4<)-1|Г
Используя условие С*С = ®.получаемА*А=Е, В = 0.
Предложение 2.4 доказано.
114
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ. II
Чтобы перейти к вещественному фазовому пространст-
ву C>r, нужно считать, что пространство Фя является
подпространством в Фс, порожденным базисом {е, f} над
полем вещественных чисел. Форма <,> на вещественных
векторах, т. е. векторах из подпространства Or, прини-
мает вещественные значения.
Определение 2.3. Пусть т:Фс->Фс — преобразо-
вание, удовлетворяющее условиям т(е*) = еА, x(f/)=/:/,
г (Кх) = Хт (х).
Лемма 2.5. Если L с Фс — лагранжева плоскость,
то 't(L) тоже лагранжева плоскость.
Доказательство. Пусть х, уефс, тогда <т(х),
т(у)>=<х, у). Следовательно, если х, y^x(L), то <х, у> =
= (т2х, xzy}—{xx, ху)=0, поскольку rxeL.
Определение 2.4. Лагранжева плоскость АсФе
называется вещественной лагранжевой плоскостью, если
х (L) = L.
Предложение 2.6. Если ЬсФс— вещественная
лагранжева плоскость, то
a) L Q Фя = Lx, где Lx обозначает подпространство
неподвижных векторов преобразования х;
б) L (~| Фя является лагранжевой плоскостью в Фк;
в) £ = (£ПФк)ФЦЬПФ10-
Доказательство. Утверждение а) очевидно. Для до-
казательства б) достаточно проверить, что dimR(L(~|OR) = п.
Итак, в комплексном векторном пространстве имеется
антикомплексная инволюция х. Если xeLT, то ix^.L’’,
ибо т(гх) =—ixx=—ix. Следовательно, £тГ1»£т=0.
С другой стороны, если xeL, то
а 2 21
т. е. x=y+iz, у, zeL\
Таким образом, L=Lx©iL\ Мы доказали утвержде-
ние в). Поскольку преобразование умножения на число
i обратимо, то
dirriR Z/ — dirriR iL\
т. е.
dimRL — 2dimRLT = 2 dime L = 2n.
§ 2.2] КОГОМОЛОГИИ ЛАГРАНЖЕВА ГРАССМАНИАНА 115
Итак, dirriR I? — п. Предложение 2.6 полностью дока-
зано.
Следствие. Множество лагранжевых плоскостей
в вещественном фазовом пространстве Or находится во
взаимно-однозначном соответствии с множеством веще-
ственных лагранжевых плоскостей в пространстве Фс.
Обозначим множество вещественных лагранжевых
плоскостей через G^(7n). Как мы установили в предло-
жении 2.4, многообразие лагранжевых плоскостей мож-
но представлять в виде однородного пространства
t/(2n, 7„)/G(n).
Обозначим через О(2п, /„) подгруппу О(2п, 7„) =
— U(2n, /„) |~|О (2п), где О(2п) —группа ортогональных
матриц. Пусть, как и раньше, 0: U(2n, In)-^-G2n(In) —
проекция.
Лемма 2.7.
а) 0(О(2ге, 7„)) = G* (7„);
б) О (2л, 7п)П^(л)=О(л);
в) <£,(/„) = О (2л,/я)/0 (л);
г) группа О (2п, 1п) изоморфна группе U (л), а вложе-
ние 0(n)cz0(2n, 1п) при этом соответствует естествен-
ному вложению вещественных матриц в комплексные.
Доказательство. Утверждения а), б), в) мгно-
венно следуют из предложения 2.6. Докажем утвержде-
ние г). Пусть С — вещественное гамильтоново преобра-
зование, СеО (2л). Условие гамильтоновости означает,
что
СЧпС=1п.
Поскольку С^О(2п), то С*=С~1, т. е. соотношение
СЧпС=1п влечет следующее равенство:
1пС=С1п.
Таким образом, всякая матрица СеО (2л, 7„) задает ор-
тогональное преобразование пространства Or, коммути-
рующее с преобразованием 7„. Поскольку преобразование
1п ортогонально, а 7„ =—Е, то на пространстве Or мож-
но определить структуру комплексного «-мерного прост-
ранства, полагая
(Xi + 1%г) Х=Х1Х+Хг/„ (%) ,
116
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ. Н
причем евклидова метрика на Or станет эрмитовой метри-
кой на этом комплексном пространстве. Следовательно,
всякое преобразование С е О (2п, 1п) является унитарным
преобразованием комплексного пространства (Or, /«)•
Обратно, если С — некоторое унитарное преобразование
пространства (Or, /п), то
а) С — ортогональное преобразование;
б) С1п=1пС.
Пусть С, /„ обозначают матрицы преобразований в
пространстве Or с базисом (е, f). Тогда условие С1п—
=1пС дает равенство
СЧпС=1п.
Следовательно, Се0(2п, /„). Чтобы доказать вторую
часть утверждения г), необходимо убедиться в том, что
если C=A+iB — матрица комплексного преобразования
в базисе (et, , еп), то матрица этого же преобразова-
ния в базисе (et, ..., еп, ielt ..., ien) имеет вид
/А —
U AJ '
Лемма 2.7 полностью доказана.
В дальнейшем нам окажется полезным множество
вещественных лагранжевых плоскостей, на которых фик-
сирована ориентация. Таким образом, точками этого но-
вого множества будут пары (L, е), где Ac:<Dr — лагран-
жева плоскость в вещественном фазовом пространстве,
а е — некоторая ориентация на пространстве, т. е. класс
всех базисов, попарные матрицы переходов для которых
имеют положительный детерминант. Обозначим это мно-
жество через Gw (7„). Забывая об ориентации, мы полу-
чим естественное отображение
л: Gw (/„)-> G2„(/„),
являющееся двулистным накрытием.
Лемма 2.8. Пространство Gw (/«) гомеоморфно од-
нородному пространству U(n)/SO(n), где SO(n)cz
czO(n) — подгруппа ортогональных матриц, с детерми-
нантом, равным 1. При этом коммутативна следующая
§ 2.2] КОГОМОЛОГИИ ЛАГРАНЖЕВА ГРАССМАНИАНА Ц?
диаграмма расслоений:
O(n)^U(n)-*G*(In)
t f t
SO(n)->(/(n)^Gf„0(7„)
Лемма 2.9. H1 (G% (In)) = Z.
Вычисление одномерной группы когомологий (In))
основано на регулярном использовании точных гомото-
пических последовательностей для расслоений. Прежде
всего, необходимо перейти к группам гомологий, исполь-
зуя равенство
н1 (G% (1п)) = Нот (Я1 (G^° (/„)), Z),
и с помощью теоремы Гуревича —к фундаментальной
группе n1(G^>(7„)):
Нг (Gt° (In)) = л, (Gi° (/„))/[«!, nJ,
где [ , ] — коммутант рассматриваемой фундаменталь-
ной группы. Тогда, применяя точную гомотопическую
последовательность к нижней строке диаграммы лем-
мы 2.8, получаем следующую последовательность:
я, (SO (п)) лх (U (п)) - Я1 (Gf„° (1п)) - л0 (SO (n)).
Таким образом, необходимо предварительно вычислить
фундаментальные группы пространств SO(n), U(n)f а
также заметить, что л» (SO (п)) =0.
Для группы U (п) снова применяем точную гомото-
пическую последовательность для расслоения
U(n— 1)^О(п)->52"-*.
Здесь отображение U(n)->-S2n~l сопоставляет каждой
унитарной матрице ее первый вектор-столбец. Аналогич-
но, для группы SO(n) используем расслоение
SO(n— l)-*SO(n)->S“-1.
Несложные рассуждения показывают, что
Л, (1/(1)) = ••• =«!({/(«)),
Я1(5О(3)) = .. =n1(SO(n)).
118
геометрия вещественных многообразий
(ГЛ. н
Группы U(l) и 50(3) легко описываются. Первая
является окружностью S1, а вторая гомеоморфна трех-
мерному проективному пространству. Следовательно,
nx(t/(n)) = Z, п>1; лДЗО^)) = Z3, п>3.
Кроме того, 50(2) =5‘, n1(S0(2))=Z; SO(1) = 1,
Л1(5О(1))=0.
Отсюда мгновенно получается, что
rtM°(Z„)) = Z,
причем естественное вложение
индуцирует изоморфизм ^фундаментальных групп.
В частности, пространство Gg (Л) гомеоморфно окруж-
ности S*.
Полезно описать образующий элемент группы
Hl(G% (/„)) некоторым универсальным способом. Для
этого рассмотрим отображение det: t/(n)->5‘. Это ото-
бражение разлагается в композицию
Когда /1=1, отображение det является гомеоморфизмом,
следовательно,
является изоморфизмом. Таким образом, образующий
элемент (G^ (7П)) можно представить как про-
образ дифференциальной формы d<p<=Hl (S1): Un=
= det* (dtp).
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
119
§ 2.3]
§ 2.3. Характеристические классы лагранжева
многообразия
При построении канонического оператора Маслова
на лагранжевом многообразии <р: М->Фц(2п), которое бу-
дет проведено во второй части, на многообразие накла-
дывается ряд ограничений.
Определение 4.1. Пусть <р: М—>Фк(2п) —лагран-
жево многообразие в фазовом пространстве Фц(2п),
— атлас канонических карт на многообразии М.
Для двух наборов индексов I и J введем обозначения:
Л = /ПА 4 = /\Л =
/4 = {1, ...» n}\(/U4
Лагранжево многообразие М называется квантованным,
если выполнены следующие два условия:
а) В каждой карте Ut существует функция Sr, удов-
летворяющая уравнению
dSi -- pidx1 — xfdpj,
а на пересечении двух карт Ui и V} выполнено равен-
ство
= (3.1)
б) Существует такой набор целых чисел Xi, зануме-
рованный каноническими картами, что для каждого пе-
ресечения Ui и Vj выполнено соотношение
5 (Х1*, —'pt)
Г/ — хj — sign-------5— (mod 8). (3.2)
d(Ph,^)
Покажем, что оба условия квантования интерпретиру-
ются как соотношения на определенные классы когомо-
логий лагранжева многообразия М.
Рассмотрим сначала первое условие квантования
(3.1). Если на многообразии М выполнено условие (3.1),
то функции
Ф7 = Sj + x7pj,„ (3.3)
определенные соответственно в картах Vj, принимают
одинаковые значения на -попарных пересечениях.
120
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ. II
В самом деле, для двух карт £7/ и Vj именем
Фу — Sj + х 2Руг 4- х *Рц9
®i=Si + х‘‘р1г + xltp,t.
Тогда
Ф/ — ф/ = Sj — Sz + Pf,xh — Plaxh = 0-
Следовательно, существует общая гладкая функция
S на всем лагранжевом многообразии М, совпадающая
с Ф, в каждой карте Up.
5|[// = Ф/.
Более того,
dS~d<J)i = pdx. (3.4)
Таким образом, если выполнено условие (3.1), то класс
когомологий [р dx], определяемый одномерной замкну-
той дифференциальной формой р dx, тривиален:
[pdx]=0eH‘(^). (3.5)
Обратно, если выполнено условие (3.5), то сущест-
вует гладкая функция S, удовлетворяющая условию
(3.4). Тогда функции S, находим по формулам (3.3).
Итак, первое условие квантования эквивалентно триви-
альности некоторого одномерного класса когомологий
[р dx]^ffl(M) на лагранжевом многообразии М.
Перейдем теперь к изучению второго условия кван-
тования (3.2). Прежде всего отметим, что условие (3.2)
на языке теории гомологий означает, что одномерная
целочисленная коцепь
_ д (х1‘, — р,)
Си = sign—---------7-^, (3.6)
д (р/г, х/з)
определенная на покрытии каноническими картами
{(/J, является коциклом (mod 8) и когомологична нулю
(mod 8). Таким образом, второе условие квантования
лагранжева многообразия интерпретируется как триви-
альность некоторого одномерного класса когомологий в
группе Hl(M, Z8), называемого индексом лагранжева
многообразия,
§ 2.3]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
121
Значение коцепи (3.6) зависит только от расположения
в фазовом пространстве Or (2п) касательной лагранжевой
плоскости Тт(М)сOR(2п) в точке М. Следователь-
но, коцепь (3.5) является прообразом некоторой универ-
сальной одномерной целочисленной коцепи лагранжеву
грйссманиана Gf„ (/„) , заданного на определенном покры-
тии грассманиана Gf„ (Л). Для этого рассмотрим открытые
множества Wj(Z.G%? (1п), состоящие из тех лагранжевых
плоскостей L е G^? (7„), для которых проекция
является изоморфизмом. Согласно лемме 1.1 семейство
открытых множеств SB={TFj} покрывают грассманиан
Gin (In):
UWj=G%(In).
J
Определим на покрытии SB одномерную целочислен-
ную коцепь
a (A— pJt)
ai,j ~ sign----------------г— ,
5(P/t. А
(3.7)
которая на каждом пересечении 1Г/Пявляется ло-
кально постоянной функцией. Чтобы функции (3.7) бы-
ли константами, достаточно заменить покрытие SB на
другое, более мелкое покрытие. Поэтому мы без огра-
ничения общности можем считать, что (3.7) определяет
целочисленную коцепь с постоянными функциями аг> j.
Таким образом,
Ci,j =» ф*(а/,у)-
Оказывается, коцепь j является целочисленным
коциклом, а определяемый коцепью одномерный
класс когомологий [aIf(1п)) равен четырех-
кратной образующей группы Н1 (G^(In))=Z. Тогда
одномерный класс когомологий [СЛ/]еЯ‘(Л1, Z)<=
с//1 (М, R) можно представить некоторой замкнутой од-
номерной дифференциальной формой ®ей‘(М). Можно
выписать в явном виде форму и в произвольной локаль-
ной системе координат (а1, ..., а”) многообразия М.
122
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ. 11
Для этого следует по функциям вложения х=х(а),
р—р(а), многообразия М в фазовом пространстве по-
строить отображение
М“Л G% (/„)?$ S1 С С. (3.8)
Если <х= (а1, ..., а") — локальная система коорди-
нат, то столбцы матрицы
дх
да
др
да
образуют базис в касательном пространстве Тт(М) мно-
гообразия М. С помощью линейной замены координат
(определяемой некоторой матрицей С) этот базис заме-
ним на ортонормированный базис, матрица которого име-
ет вид
др
да
Тогда матрица | ^“ + 1 | является унитарной матри-
цей, а образ точки т^М при отображении (3.8) равен
-CjeS^C.
Образующий элемент в группе Я4(54) представляется
одномерной формой — d<p, где — аргумент комплексно-
2л
го числа в S4czC. Следовательно,
со =* — d In (det ||Э(х+^ I • ck
2л1 \ || да || /
(3.9)
Чтобы избавиться от неопределенной матрицы С, заме-
тим, что
HTI'f1'
§ 2.3]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
123
т. е.
|detC.detp±®
Поскольку det С>0, то
detC=|det|^±^|r1.
I II да ||
(3.10)
Подставляя (ЗЛО) в (3.9), окончательно получаем
(о =2_dinJdet(^±^V I det (3.11)
jti 1 \ да ) I \ да JI J
Тогда второе условие квантования можно записать в
виде серии соотношений
^(о = 0 (mod 8)
v
для любого замкнутого контура у в многообразии М.
Докажем теперь, что целочисленная коцепь (3.7) яв-
ляется целочисленным коциклом. Нужно доказать, что
для трех карт Wh WJf WK выполняется равенство
ai,j + ajfic + а#,! 0. (3.12)
В частности, если К=п, необходимо выполнение
ai.j + aj- + a-f = °. (3.13)
На самом деле, если выполнены равенства (3.13) для
любой пары 1Г7, Wj, то справедливы все равенства вида
(3.12). Для этого заметим, что открытое множество
всюду плотно в пространстве G& (7„). Следова-
тельно, используя (3.13) и подставляя значения коцепи
di, а/, к, Чк, I в (3.12), получаем
- («М + an,l) - (аК.п + - Кй + ап,к) = °-
Таким образом, достаточно доказать (3.13). Имеем
д (Pis */з)
. &xj др,
а.- = slgnT" • «nJ = — Sign------------ .
J,n dxI
124
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ II
Выберем некоторую лагранжеву плоскость Lcz
с=Фц(2п) в пересечении WV'lW'/ГЖ»- Поскольку коорди-
наты х являются системой координат для векторов из L,
то мы получаем линейную функцию
Ph
Ph
Ph
Ph
Рп P12 Pis P14
P21 P22 P23 P24
Рз1 Рз2 РЗЗ Рз4
РП Рп Рп р44
X11
(3-14)
X
Чтобы получить значения aIt 3, aJ: ап_ г, необходимо
произвести в явном виде замены координат. Поскольку
значения аг, 3 локально постоянны, плоскость L выбира-
ется произвольным образом в пересечении трех карт, то
без ограничения общности мы можем предполагать не-
вырожденность различных миноров из матрицы llpjl в
(3.14). Итак, для вычисления at, 3 необходимо координа-
ты (х11, х12, pIz, pl4) выразить через координаты (рГ1, ph,
х1г, х’1). После несложных выкладок получаем
attJ = sign х
х (PsiPuPa — Pz^Qr1
Q'1 (PilP^PlS ~ Р2з)
(p38 — PaiPnPn) Q-1 (Р23 ^Р21РнР1з) +
+ Рз1РпР13 Рзз
. II
о
о
Р31Р11 Р1з Рзз
= sign
II Q
||°
о
“1
Рз2РцР13 — РЗЗ
где Q = рю— PziPiiPiv Для вычисления а,- необходимо
выразить координаты (х1', х1г, pi2, рц) через координаты
(pz„ Pi,, х1’, xli). Имеем
т. е.
Р14 Х
Pzi X1*
Р/, в Рн
Р/8 Рз1
Р13 |1
Рзз ||
(3.15)
§2.3]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
12
Для ап, I получаем
an,i = — sign IPu р12
II р21 Р22
(3.16)
Приводя (3.15) и (3.16) к диагональному виду, полу-
чаем
aj - = sign (раз — р31рнЛз) + sign ра,
а-, = — sign (рм — palPnPi2) — sign ри,
Рис. 11.
т. е. ai,j + а, - + а-, = 0.
Поскольку в определении коцикла а1: } на каждом пе-
ресечении участвуют только те индексы I, для
которых при замене ко-
ординат координаты pi и
х1 меняются местами, то
значение коцикла aIt} не
зависит от размерности п
грассманиана Gs£(In).
Таким образом, для
вычисления класса кого-
мологий [аг, j]eH‘(GSo.
• (7П)) достаточно вычис-
лить этот класс когомо-
логий при п=1. При п=
= 1 лагранжев грассма-
ниан G$° (ZJ гомеомор-
фен окружности S1, пара-
метризованной углом
между осью абсцисс в <Dr(2/i) = R2 и прямой — лагран-
жевой плоскостью, проходящей через начало координат
(рис. 11).
Тогда многообразие О$°
мя картами Wh,
(Л) можно покрыть четырь-
л
~2
Зп
~2
W3 = {<р; л<^ф<^2л},
л
7
126
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИИ
[ГЛ. II
Вычислим значение коцикла по формуле (3.7). На-
пример, в пересечении №1Г1^2 имеем 7={1}, 7=0, Ц=
= {!}, 7»=0. Таким образом, поскольку функция х=
—х{р) возрастает в интервале то
. дх .
a1# = sign—=а 1.
ор
Аналогично показывается, что коцикл аы принимает сле-
дующие значения:
а12=1, а23=1, а34=1, «и—1.
Следовательно, [аы] =4«, где и<=Н1(5')—образующий
элемент.
Рассмотрим в качестве примера одномерное лагран-
жево многообразие М в двумерном фазовом пространст-
ве Фр (2), задаваемое уравнением х2+р2=7?2. Первое
условие квантования эквивалентно тривиальности клас-
са когомологий, определяемого формой £l=pdx. Эта
форма определяет ненулевой класс когомологий, посколь-
ку интеграл формы й по многообразию М отличен от ну-
ля. В самом деле,
Q = ф pdx— W dp /\dx = л7?=^ 0.
М x'+p^R*
Таким образом, первое условие квантования не выпол-
нено.
Второе условие квантования определяется формой со
по формуле (3.11).
Имеем
и = — d In Р-1х+-Ф. I д-(х + ‘Р> Г1) ,
ni , [ да | да | J
где а — угловой параметр окружности
x2-j-p2=7?2, x—R cos a, p=R sin а,
x+ip=Reia, № —iReia.
да
Поэтому
со = —d In (iReia R'1)-d In ela — da.
Jit Jit JI
§ 2.4J ЛАГРАНЖЕВО МНОГООБРАЗИЕ В ОБЩЕМ ПОЛОЖЕНИИ {27
Следовательно,
2Л
(6® = (£—da = —da =s 4 =£ 0 (mod 8).
j j я J я
м м 0
Таким образом, второе условие квантования также не
выполнено.
§ 2.4. Лагранжево многообразие в общем положении
Приведем другой способ вычисления индекса лагран-
жева многообразия <р: М(^.Фц(2п) в фазовом простран-
стве с помощью индекса пересечений. Одномерный класс
когомологий [со] еЯ* (Af), тривиальность которого обес-
печивала выполнение второго условия квантования, пол-
ностью определяется своими значениями на одномерных
циклах. Оказывается, что для «почти» любого лагранже-
ва многообразия эти значения можно определить как
индекс пересечения замкнутой кривой с некоторым под-
многообразием ГсМ коразмерности 1. Мы уже отмеча-
ли в § 1.2, что для вычисления индекса ind[y: Г] замкну-
той кривой у с подмногообразием Г достаточно, чтобы
Г было гладким (не обязательно компактным) многооб-
разием, а его топологическая граница Г\Г имела ко-
размерность 3 в многообразии М.
Обозначим через [Gf„ (/«)]* множество ^всех лагранже-
вых плоскостей Lc®R(2n), для которых размерность
проекции P"(L)cR" равна п—k. В частности, при fe = 0
мы получаем все лагранжевы плоскости, в которых х-коор-
динаты служат системой координат. Проекция Р" сопо-
ставляет каждой лагранжевой плоскости L е [Gf„ (/n)]fc ее
образ Р" (L)— (и— /г)-мерное подпространство в R". Таким
образом, получаем отображение
q: [Gfn (rf->G(n, k),
где G(n, k)—многообразие Грассмана (n—k) -мерных
подпространств в Rn. Прообраз q~l (£) произвольной точ-
ки |eG(n, k) состоит из всех лагранжевых плоскостей
L, q(L) =£. Множество q~l(£) можно описать следующим
128
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ. II
образом. Пусть ср: g~>Rn— произвольное линейное ото-
бражение, a g-’-czR” состоит из всех таких векторов
xeRn, что (х, g) = 0, dim Рассмотрим множество
Qs таких отображений ср, чтобы gJ-±cp(g). Тогда отобра-
жение q является локально тривиальным расслоением
со слоем Следовательно, является много-
образием, размерность которого определяется равен-
ством
dim 10^° (/„)]* = dimG(n, k) + dim = («-*)(« + *+!)
В частности,
dim
At
dim [G*° (/„)]* = + _ i.
2 2
dim [Gf° (In)] - dim [Gf„ (/„)]* = > 3 при k > 2.
Многообразие Gfrt° (7n) является ориентируемым много-
образием. Действительно, поскольку многообразие Gf„ (7„)=
= 77(n)/SO(n), то достаточно показать, что однородное
пространство G//7 левых классов смежности группы Ли
G по связной подгруппе Н является ориентируемым мно-
гообразием. В самом деле, пусть р: G-+GIH — проек-
ция. Пусть g^G, [Hg]=p(g)(=G/H, Dp: TgG-+
-+TP(g}(G/H) —дифференциал отображения p.
Касательное пространство TPG можно представлять
как образ TeG при правом сдвиге, т. е. TeG=Rg(TeG).
Тогда ядро КегТЭр отображения р в точке geG состоит
из векторов Rg(TeH). Пусть VczTeG — подпространство,
дополнительное к подпространству ТеН, (Ten)®V=TeG.
Тогда Kerp=Rg(TeH) трансверсально к Rg(V). Следова-
тельно, Dp изоморфно отображает Rg(V) на TP(gy (G/H).
Требуется только проверить, что если p(g)=p(g'), то L
ориентации Dp(Rg(V)) и Dp(Re-(V)) совпадают.
Рассмотрим элемент h=g'g~i^H. Тогда DP: T^G-*
-*-TP(g}(G/H) разлагается в композицию
Dp
Tg'G^Tfi-ZT^G/H).
§ 2.4] ЛАГРАНЖЕВО МНОГООБРАЗИЕ В ОБЩЕМ ПОЛОЖЕНИИ 129
Следовательно, Dp(Rg, (У))=Ор(Ц#еУ) = Dp(R&>URh-‘(y)).
Таким образом, достаточно проверить, что пространства У
и L/tRh^ (V) с TeG имеют одинаковую ориентацию после
проекции вдоль Те(Н). Поскольку группа Н связна, то
элемент fieН можно соединить непрерывным путем ht с
единицей, причем ориентация при проекции на У
вдоль Те(Н) не меняется при изменении параметра t. По-
скольку Ло = е, Le = Re =s id, то ориентации пространств
V и совпадают, что и требовалось доказать.
Подмногообразие Г' = [G^ (Zn)]1 также является ориен-
тируемым многообразием. Для этого достаточно заметить,
что подмногообразие [G^ (In)]1 можно представить как
множество регулярных точек поверхности нулевого уровня
некоторой функции f: G%° (In)-*#1- Функция f определяется
следующим образом. Как уже показывалось, каждую
ориентированную лагранжеву плоскость L можно опре-
делить ортонормированным базисом {аь ..., a„}cL, а
базис, в свою очередь матрицей координат в фазовом
пространстве Фц(2п):
{alt
Если {аъ .... а'п} — Другой ортонормированный базис в
плоскости L (той же ориентации), а
— матрица
координат нового базиса, то матрицы X и X' связаны со-
отношением Х'=ХС, где С — ортогональная матрица,
det С = 1. Тогда положим
f(L) = det А.
Функция f определена корректно, т. е. не зависит от
выбора базиса в плоскости L. Тогда подмногообразие
[Gm (In)]1 в точности состоит из регулярных точек функ-
ции f, лежащей на поверхности нулевого уровня, т. е.
f (L) — 0, df (L) =f= 0. Соответствующую ориентацию на Г'
обозначим через Г'det. Однако мы введем на многообра-
зии Г' [Gfn (Л)]1 ориентацию другим способом. Точнее,
ориентируем нормальное одномерное расслоение v (Г') под-
многообразия Г' в Gs£ (1п)- Длц этого в каждой точке
5 Мищенко и др.
130
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
(ГЛ. II
LeT' зададим трансверсальное к Г' направление в мно-
гообразии Gfn (In). Пусть LsF' — ориентированная лагран-
жева плоскость, dim Р" (L) = п — 1. Пусть f е L П R„ —
базисный вектор, dim L Q R« = 1. Пусть eeRj—такой
вектор, ортогональный к Pn(L), что <Д е>>0. Если IP-—
ортогональное дополнение в плоскости L к вектору f,
то пространства L(t) =L±®{f+te}, f>0, являются лаг-
ранжевыми плоскостями, причем Pn(L(t)) =R5. Совер-
шенно очевидно, что семейство L(t) не зависит от выбо-
ра вектора f и непрерывно зависит от точки Г'. Таким
Рис. 12.
образом, на многообразии Г' мы получили другую ори-
ентацию, скажем, Г'ша. не совпадающую, вообще говоря,
с ориентацией, задаваемой функцией f. Действительно,
уже в случае п=1 многообразие Г' нульмерно и состоит
из двух изолированных точек. Лагранжев грассманиан
Gf° (Л) можно отождествить с точками окружности х2+
+р2 = 1, считая, что сама ориентированная одномерная
лагранжева плоскость задается вектором с координата-
ми (х, у), конец которого лежит на окружности. Тогда
подмногообразие Г' состоит из двух точек: Л = (0, 1) и
В=(0, —1). Если а — угловой параметр на окружности,
то функция f имеет вид f(a) =cos а. Следовательно, функ-
ция f положительна при х>0 и отрицательна при х<0.
§ 2.4] ЛАГРАНЖЕВО МНОГООБРАЗИЕ В ОБЩЕМ ПОЛОЖЕНИИ 131
Значит, точка А имеет ориентацию (—), а точка В имеет
ориентацию ( + ) для ориентации Г'аеь В случае же ори-
ентации Г'ша обе точки А и В имеют ориентацию (—).
На рис. 12 изображены направления ориентации нор-
мальных расслоений в точках^Л и В при различных спо-
собах ориентации. Условие <f, е»0 эквивалентно dp/dx^Q.
В случае Г'= [Gf° (Z,)]1 С Gf° (Z2) многообразие Г' дву-
мерно и тоже состоит из двух* компонент связности, на
которых ориентации Tdet и
Find не согласованы. Каждая ।
компонента имеет вид поверх-
ности вращения окружности
вокруг прямой, касающейся f \
окружности в некоторой точ- I Y \
ке С (вырожденный тор). Цен- I 1 I
тральная точка С уже пэинад- \ J
лежит (Gf°(Z2)]2 и является
общей границей обеих компо- Рис 13
нент связности многообразия
Г' (рис. 13).
Таким образом, к многообразию Г' = [Gf^ (7га)]х приме-
нима теория пересечений с замкнутыми кривыми.
Функция ind[y: I"] определяет некоторый одномерный
класс когомологий многообразия Gf« (Zn) > не зависящий
по построению от размерности п. Этот класс поэтому до-
статочно вычислить при n= 1, т. е. для Gf°(/1) =S*. В этом
частном случае многообразие Г' состоит из двух точек,
поэтому, если у — образующий цикл, то ind [у: Г/]=2.
Таким образом, для любого лагранжева грассманиа-
на G^n (Zn) и замкнутого цикла у справедливо равенство
Ja)== 2ind[у: Г'].
Чтобы перейти к теории пересечения непосредственно
на лагранжевом многообразии ср: Af->(DR(2n), достаточ-
но предположить, что отображение
dtp: М ->G%'(In) (4.1)
трансверсально регулярно вдоль всех подмногообразий
[G^Vn)]*. Тогда прообраз Г = (dtp)-1 (Г') будет ЯВЛЯТЬСЯ
5*
132
ГЕОМЕТРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ
[ГЛ. II
гладким многообразием коразмерности 1, а его топологи-
ческая граница Г\Г будет равняться объединению
U (/„)]* и иметь коразмерность > 3.’ Покажем,
П>2
что «почти» для всех вложений
ф: М ->Фц(2и)
отображение (4.1) удовлетворяет условию трансверсаль-
ной регулярности вдоль любого конечного набора под-
многообразий.
Л е м м а 4.1. Существует такое сколь угодно близкое к
тождественному каноническое преобразование ф фазового
пространства Or (2п), что композиция фф: А4->-Фк(2п)
индуцирует уже трансверсально регулярное отображение
й(фф): (Л) вдоль конечного набора подмного-
образий.
В самом деле, композиция отображения ф и канониче-
ских преобразований может рассматриваться как общее
отображение А: М х U (п) -> Or (2п).
Рассмотрим «дифференциал» отображения А
dA: MxU(n)-+G%}(In).
Поскольку (/„) =U(n)ю(n), то dA является транс-
версально регулярным вдоль любого подмногообразия в
G»j0 (/„). Далее нужно применить теорему Абрахама.
Таким образом, второе условие квантования можно
записать в терминах индекса пересечения замкнутых
кривых у с особым подмногообразием Г.
Теорема 4.2. Пусть МсФи (2п) — лагранжево мно-
гообразие, находящееся в общем положении в смысле
трансверсальной регулярности дифференциала (4.1)
dtp: M-+G%(In)
вдоль подмногообразий [G^(In)]k, и Г = (cfy)"1 ([G^ (Л1)]1)—
особое подмногообразие коразмерности 1, лежащее в М.
Тогда второе условие квантования эквивалентно сравне-
ниям
ind [у: Г]^0 (mod 4)
для любой замкнутой кривой yczM.
Г Л A В A III
КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ
Геометрия комплексных лагранжевых многообразий
более сложна и требует дополнительного исследования
аналогов аналитических функций. Поэтому здесь мы ос-
тановимся только на тех вопросах, которые можно изу-
чить без привлечения анализа почти аналитических
функций на лагранжевых многообразиях, т. е. ограни-
чимся только геометрией линейных лагранжевых много-
образий — аналогов лагранжевых плоскостей в вещест-
венном случае.
§3.1. Грассманиан положительных лагранжевых
плоскостей
Пусть, как и раньше, 7 обозначает некоторое подмно-
жество натуральных чисел от 1 до п, 7 — дополнение к
множеству I в отрезке натуральных чисел [1, п]. Через С1
обозначим подпространство фазового пространства Фс,
порожденное векторами {ek, k<=I}. Через Су обозначим
подпространство, порожденное векторами {/*, k&}.
Легко видеть, что подпространство (УхС/сФс являет-
ся лагранжевой плоскостью. Пусть
Рг. Фс->С'хС7
обозначает проекцию фазового пространства Фс вдоль
подпространства CzXCr.
Лемма 1.1. Пусть £сФс—произвольная лагран-
жева плоскость. Существует такое множество I, что
P,\L: L->C'xC7
является изоморфизмом.
134
КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. III
Пусть £сзФс—лагранжева плоскость, C^GL(2n,
1п)—такое гамильтоново преобразование, что L =
= С(Ста). Пусть/ — такой набор индексов, что Pj!
->(7X Су-является изоморфизмом. Тогда преобразование
С в разложении Фс=С1хС1хС1ХС7 задается матрицей
вида
Л1 А% ♦ *1
q__ Л3 А4 ♦ *
““ вх в2 ♦ ♦ ’
В3 В4 ♦ *||
причем матрица
!ЛХ Л2
В3 В4
обратима.
Определение 1.1. Лагранжева плоскость называ-
ется положительной, если матрица
Imj 51 2,2 ||Л* Л?Г
II — Afl ~~ ^4 II II S3 В4 II
неотрицательно определена.
Необходимо доказать, что определение 1.1 коррект-
но, т. е. не зависит от выбора набора индексов I.
Лемма 1.2. Пусть комплекснозначная матрица
f || ^2 Л
IIС8 С JI
удовлетворяет условиям:
а) С‘ = С;
б) Im С положительно определена;
в) Im С4 положительно определена.
Тогда матрица
Im
IIЕ ° Г1
II Сз С41|
Ci С2
О — Е
положительно определена.
Доказательство. Пусть
Тогда
с;1- i£)z,
§ 3.1] ГРАССМАНИАН ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ 135
где
Вычислим матрицу
d=-i<‘ чи ° Г-
|| о — е||||с8 с4Ц
Имеем
||Е 0 Ip _ II Е О
IIС3 cj с;1 ’
Р___1т|С1—C2C*1Cs _а
||с4-1Сз -q1 ~
I Bi—~A2B^AiZBa—BaB 1Д4^^4з“}“Д2^^з B^B^^A^Z^—AaZ^
* I BfA^Bt — ZAa Z f
Приведем симметрическую матрицу D с помощью ма-
трицы
к- (Е °\
Мл *)
Тогда
Bi — BaZBa 828^AtZ II
A Di\ в
B^AtZB, Z I
Пусть
^i= Ex °|-
— Z-^B'^ZBg E||
Тогда
__ I ^1 1^4^4 1^4^Ез 0 II
1 1 I 0 z|‘
Нам осталось доказать, что матрица
Н = Bt — BaZBa — B^AtB^AtZBa
положительно определена. Имеем
Я =, Вх _ В8 (1 + BfAtBfAJ ZBS «
- Вх - в^;1 (вл + л4в;\44) zb3 = Bt- в^ва.
136
КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. Ш
Из условия в) леммы следует, что матрица
положительно определена. Поскольку матрица В4 обра-
тима, то матрица Im С эквивалентна матрице*) (D и
K‘DK называем эквивалентными)
Bi — BgB4 О
о в4
т. е. матрица Н положительно определена. Лемма 1.2 до-
казана.
Используя лемму 1.2, мы можем установить коррект-
ность определения 1.1. В самом деле, если CeGL(2n, /„),
то В*=В, и, обратно, если В* = В, то существует матри-
ца С вида
принадлежащая группе GL(2n, 1п). Пусть
О
О
О О
О Е
Е
О
О
Pt~
О 0 — Е О
О — Е О О
— гамильтоново преобразование, записанное в разложе-
нии Фс^С'хС^хСгХС/. Если C<=GL(2n, /„) определяет
положительную лагранжеву плоскость, то найдется со-
гласно определению 1.1 такой набор индексов I, что ма-
трица D=P!C имеет вид
Е О II
в;1!'
*) С помощью матрицы
§ 3.1] ГРАССМАНИАН ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ 137
причем Dt — обратимая матрица, a Im DzDl1 неотрица-
тельно определена. Пусть J — другой набор индексов,
H = PjC
Ht — обратимая матрица. Тогда
Н = PjP?D =
где
K=(/LV)\(W).
Отметим теперь, что из леммы 1.2 следует
Лемма 1.3. Пусть комплекснозначная матрица
q = II Cj Cj II
II С» Ci II
удовлетворяет условиям:
а) С' = С;
б) Im С неотрицательно определена-,
в) матрица обратима.
Тогда матрица
неотрицательно определена.
Доказательство. Пусть С — другая комплёксно-
значная матрица, для которой выполнены условия а), б),
в), D' == Im
Ci
О
С2 ₽?
Е С'3
1-1
. Тогда для любого е > 0 су-
ществует такое 6>0, что если *) ||С—С'||<;6, то ||£>—
—D'||<е. Если матрица D имеет отрицательные собст-
венные значения, то найдется такое число е0>0, что вся-
кая симметрическая матрица D', IIZ)—D'||<e0, тоже бу-
дет иметь отрицательные собственные значения. С дру-
гой стороны, для любого 6>0 найдется такая матрица
С', что ||С—С'||<б, С'* =С', ImC' положительно опреде-
лена. Тогда из леммы 2.2 главы II следует, что матрица
D' положительно определена, a ||Z>—D'||<e0. Противо-
речие доказывает лемму 1.3. Применяя лемму 1.2 к
о
^4
*) В любой норме конечномерного пространства.
138
КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. III
матрице DJD'i, получаем, что 1т77аЯГ неотрицательно
определена. Таким образом, мы полностью доказали кор-
ректность определения 1.1.
Определение 1.3. Множество положительных лаг-
ранжевых плоскостей будем обозначать через Gt„(7n)C
С Gin (I»)•
Опишем пространство G^tln) C-G^ (1п) при п=1.
В этом случае фазовое пространство двумерно, Фс(2) =
= С‘®С1( а лагранжев грассманиан G2n(7n) состоит из
всех комплексных прямых LczC‘®Ct, проходящих через
начало координат. Если (г, £) —линейная система коор-
динат в фазовом пространстве Фс (2), то каждая лаг-
ранжева плоскость L задается уравнением Xz+p£=0;
X, р,еС. Таким образом, (?2(Д) изоморфно комплексному
проективному пространству СР1 или, что то же самое,
расширенной комплексной плоскости CP*=C‘U(oo). Тог-
да подпространство G| (7t) определяется неравенством
Im—^0. Следовательно, G2 (7t) совпадает с верхней
полуплоскостью в расширенной комплексной плоскости,
т. е. гомеоморфно двумерному диску. Таким образом,
пространство G2 (Ц) является стягиваемым пространст-
вом.
Над многообразием G2n(7„) имеется каноническое
комплексное n-мерное расслоение составленное из са-
мих лагранжевых плоскостей. Опишем расслоение бо-
лее точно. Рассмотрим прямое произведение G2n(7„)X
ХФС. В этом прямом произведении выделим подпрост-
ранство EczGin(In) хФс, состоящее из всех точек вида
(L, х) е Gjjn (1п) ХФс. х <= L.
Проекция на первую координату
Gin (7д) X Фс -> Gw (7я)
индуцирует отображение
л: E->-G2„(7„).
Очевидно, что прообразом каждой точки LeG2n(7n)
является подпространство, гомеоморфное п-мерному
комплексному пространству 4. Можно показать, что
§ 3.1] 1 ГРАССМАНИАН ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ 1§9
{£, Ga„(/n), л} является локально тривиальным расслое-
нием со структурной группой U (п).
Это комплексное n-мерное расслоение {£, Ga„(/„), л}
мы и будем обозначать через
Теорема 1.4. Пусть т| обозначает ограничение рао
слоения [А" (£„)]* на подпространство G £,(/„). Тогда су-
ществует аналитическое сечение о: G£,(/n)—и], в каж-
дой точке отличное от нуля.
Доказательство. В случае п = 1 утверждение
тривиально, поскольку G£ (/J—стягиваемое пространство
и, следовательно, любое расслоение с базой Gt (Л) три-
виально. Приведем доказательство в общем случае. На-
помним, что через A”(&,) обозначается п-я внешняя сте-
пень расслоения Поскольку dimE„ = п, то dimAn(gn)=
— dimr|—1. Таким образом, чтобы построить ненулевое
в каждой точке сечение о: Gtn(In) ->Л> достаточно каж-
дой точке х е Gtn (In) сопоставить ненулевой вектор о (х)
внешней степени A"(L) слоя L расслоения |п. Пусть
(Яь ..., ап) —базис векторного пространства L. Тогда
вектор <4 А^Л ... /\ап будет базисным вектором про-
странства A"L. Если (ai, ..., а'п) — другой базис в про-
странстве L, су — 2 da'i, то
<h Л ... Л «в - det(c{) • а{ Д ... Д а'п.
Следовательно, чтобы построить сечение a: G^(t])->-t],
достаточно каждому базису (at, ..., ап) лагранжевой
плоскости L сопоставить ненулевое комплексное число
f(at....ап)
таким образом, чтобы
f (<h, ...» an) det (d)-1 — f (at, .... an),
где (at, ..., at) — другой базис в пространстве L, свя-
занный соотношением
Щ — 2 da'j.
I
140
КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ [Г^. 1Й
Лемма 1.5. Пусть С — комплекснозначная матрица,
С* = С, Im С — неотрицательно определенная матрица.
Если X — собственное значение матрицы С, то
Л е м м а 1.6. Пусть C^GL(2n,In),
C(C)eG^(Zn),
Ч1в:
Тогда
det (Л—/5)^=0.
Пусть теперь (а,, ..., а„) — произвольный базис по-
ложительной лагранжевой плоскости L^Gtn(In),
— матрица координат векторов (аь ..., ап). Положим
f(at,..., ап) =det(4—iB).
Если (йь ..., ап) — другой базис и
— его матрица координат,
ai ~ 3 c'ia{,:
/
то
где С=|с{|. Таким образом,
А =А'С*, В = В'С‘, (А—(В) = (A'—iB')C‘.
Следовательно,
Ж.........an) = f(at.......a„)det(c'-).
5 г'^1 индекс комплексных Многообразий 141
Тайм образом, функция f (at, ..., а„) корректно опреде-
ляет сечение
^2П (Jп) ~Л-
Аналитичность сечения о следует из того, что
а) группа t/(2n,/п) является аналитическим много-
образием, а операция умножения в группе t/(2n, /п) яв-
ляется аналитическим отображением;
б) линейное действие группы U (га) на пространстве
С" является аналитическим действием;
в) расслоение t/(n)->t/(2n, Zn)->-G2n(/n) является
аналитическим расслоением аналитических многообра-
зий;
г) базис (а,, ..., а„) в лагранжевой плоскости L ло-
кально можно выбрать аналитически зависящим от точ-
ки LeG2n(/„);
д) функция det (А—IB) является аналитической
функцией от элементов матриц А и В.
Теорема 1.4 полностью доказана.
§ 3.2. Индекс комплексных лагранжевых
многообразий
Аналогично второму условию квантования для ве-
щественных лагранжевых многообразий в случае поло-
жительных лагранжевых плоскостей можно сформули-
ровать условие квантования на сечение о расслоения т].
Пусть{С^} — множество таких лагранжевых плоскос-
тей LqGJJ/»), что проекция
Plj.
является изоморфизмом. Тогда
и (4 “<&(/«).
Пусть XczGtn (Л) — открытое множество, г; |х—огра-
ничение расслоения т] на X. Если а — ненулевое сечение
расслоения ц|х, то в карте Ut определена функция
142
КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЙ [ГЛ. Ш
Тогда второе условие квантования примет следующей
вид: в каждой карте XQUt можно так выбрать аргумен-
ты arg/j, чтобы в пересечении СЛГ) VK было выполнено со-
отношение
argJ/c — argJ/= ^argX* + |/2|rt, (2.1)
k
где
-V<argXft<i,
At At
Л = /ПА, W\K, h = K\l, 4=7 A*.
a {A*} — собственные значения матрицы
Для того чтобы установить корректность условия
(2.1), достаточно доказать, что собственные значения ма-
трицы (2.2) находятся в нижней комплексной полуплос-
кости. В самом деле, пусть ЬсгФс — положительная лаг-
ранжева плоскость, у которой в качестве координат слу-
жат как координаты (z1, £,), так и координаты (г1, £7).
Условие положительности лагранжевой плоскости озна-
чает, что матрица
— Im
0(CZ> -z7)
(2.3)
неположительно определена или матрица
т™
— Im-----г----
J ^(/,£7)
неположительно определена. Поскольку матрица (2.2)
является главным минором матрицы (2.3), то ее мнимая
часть неположительно определена.
Пусть выбраны аргументы функций Jt. Определим
коцепь C(U, V) канонического покрытия с коэффициента-
ми в пучке ростков гладких функций равенством
C(U, V) = arg Jj —argJ/—3 argAfc —|/2|л,
k
где {A*} — такие же числа, как и в (2.1).
§ З.И ИНДЕКС КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИИ 143
(Л ем м а 2.1.
а) С(У, 0 mod 2л.
б) Коцепь C(U, V) является коциклом.
в) Условие (2.1) справедливо тогда и только тогда,
когда коцикл C(U, V) когомологичен нулю в группе
Я‘(Х, Z).
Доказательство, а) Очевидно, справедливо ра-
венство
Поэтому (2.1) справедливо по модулю 2л.
б) Достаточно доказать коцикличность коцепи
к
Т№ {X*} — собственные значения матрицы (2.2), посколь-
ку эта коцепь отличается от C(U, V) на кограницу. Без
ограничения общности *) можно считать, что одна из
карт есть карта вида Un.
Таким образом, нам нужно показать, что
d(U, V) +d(V, W) +d(W, U) =0,
или, что то же,
aig det д^г '—+ | / | л + arg det9 *• z- +
d(?/s, zr‘) 21 (C/.. CzJ
+ arg det 9 + | /3 + /41 л 0, (2.4)
o (z , z 4)
где под символом arg det соответствующей матрицы мы
понимаем сумму аргументов ее собственных значений,
каждый из которых берется в пределах! — у л, — 1. За-
метим, что последнее определение корректно, поскольку
*) Действительно, условие б) достаточно проверить в какой-
либо точке. Далее, это условие зависит лишь от лагранжевой пло-
скости в данной точке, а следовательно, может быть проверено в
ситуации лагранжева грассманиана, где в окрестности каждой точ-
ки существует неособац карта.
144 КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ? III
f
все матрицы, входящие в выражение (2.4), неположи-
тельно определены как матрицы главных миноров ма-
трицы, взятой с обратным знаком:
Выберем в лагранжевой плоскости такой базис, что-
бы матрица его координат имела вид
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
#11 в12 В18 #14
В41 В42 ^43 В44
в разложении фазового пространства
Фс = х Сл х С/з х Сл х С/, х С/, х С/, х С/г
Для матриц Вы выполнены условия
Buj = Bjk.
Тогда
Влг'".
k=l
Заменяя лагранжеву плоскость на близкую, можно счи-
тать, что все матрицы обратимы. Тогда, полагая
Qks == Bks —
получаем
^22^23
СзЗ — Q32Q22Q23
§3.2}
ИНДЕКС КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
145
Последняя матрица эквивалентна матрице
II -<?£ о
I 0 Q.is
С другой стороны, д(- с -?/4) = (г/з, /*) I ^33 ^34 11 1 Я43 B441| * (2.5)
Матрица (2.5) эквивалентна матрице
Наконец, |<2зз 0 II h в4<|| • (2.6)
д (zr‘, z'*) || ^22 #24 11 II ^42 ^44 11 (2.7)
а матрица (2.7) эквивалентна матрице
11Q22 0 II 0 Ви • (2.8)
Таким образом, надо показать, что
aigdetl ^22 ° || 0 Q33 II — О'1 + 172 ] л 4- arg det 33 0 0 4-
4- arg det | ’г ;i+ | /3 + /413T — 0.
Действительно, нетрудно увидеть, что
1) arg det 4- arg det (—Q;|) = — |/e| л;
2) arg det Q33 4- arg det (— <$)=»— | Z31 л;
3) arg det Qu + arg det (— Qu) = — 141
Сравнивая матрицы (2.5), (2.6) и (2.8), получаем ут-
верждение б) леммы 2.1. Утверждение в) леммы 2. три-
виально.
Теорема 2.2. Пусть XczG3n(In)—открытое мно-
жество, ц. — сечение расслоения т]|х. Условие (2.1) спра-
ведливо тогда и только тогда, когда р/а определяет ко-
гомологичный нулю одномерный коцикл в группе Н1{Х,
Z) на многообразии X- „
46 КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ [ГД. Ш
Доказательство. Достаточно установить, чтЬ ес-
ли ц=ст, то выполнено условие (2.1). Пусть ц=о. Нужно
так выбрать arg чтобы выполнялись условия (2.1). До-
статочно удовлетворить соотношениям (2.1), когда J=n.
В этом случае выберем базис в лагранжевой плоскости
так, чтобы ее матрица координат имела вид
1 °1
0 1 I
в< в21 *
В8 В4II
Тогда матрицы
1гпВ4
неотрицательно определены. Используя вид матрицы X,
получаем
Ji =s det
0 I
в.-г
Bi вг
Вз Bt
• det В;1,
(2.9)
= det Е — I
(2.Ю)
а матрица (2.2) имеет вид
g(C/,.-/») д(21) „
а(Л^,) а(?7)
Выберем аргументы у собственных значений матрицы
в правой полуплоскости, а у собственных значений ма-
трицы В*1—в нижней полуплоскости. Тогда при таком
выборе аргумента мы получаем однозначно определя-
емый аргумент у чисел (2.9), (2.10) и справедливо (2.1).
Выясним, как связаны условия квантования для веще-
ственных лагранжевых грассманианов (/„) и G^'(Zn).
§ 3.2] .
ИНДЕКС КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
147
Существует естественное отображение
Поскольку над пространством (%п(1п) существовало,
ненулевое сечение о: (/«)->я, то над пространством
G%?(In) тоже существует ненулевое ьсечение, являющееся
прообразом сечения а:
л* (о): (% (1п)-+*'&).
С другой стороны, в расслоении ат*(т|) =т]80 можно по-
строить и другое сечение, использующее ориентацию лаг-
ранжевых плоскостей (L, е)еби (7„). Как и для сече-
ния ст, будем строить такую функцию g(ait..., ап) от ор-
тонормированных базисов (at, ..., ап) плоскости L, что-
бы выполнялось соотношение
g («р .... ап) det (с,/)"1 = g (а{.ап), (2.11)
где Uk — ciijCt-/»
i
Для любого вещественного ортонормированного ба-
зиса (щ, ..., ап), задающего ориентацию е на вещест-
венной лагранжевой плоскости LczOr, положим
g(<h, ...» ая) = 1. (2.12)
Очевидно, что условие (2.11) выполняется для любого
другого базиса (<4,..., ап), задающего ту же ориента-
цию е на плоскости L, ибо det(c<j) = 1.
Построенное по формулам (2.12) сечение будем обо-
значать через CTr. Итак, мы имеем два ненулевых сече-
ния:
л‘ст: G^(In)^nso
и
Or' бгп (Inj—^^SO
расслоения т]80. Пусть
f: С х Gfn (In) ~* Лзо
— изоморфизм расслоений, определяемый соотношением
f(X, х) =Хл*ст(х).
148
КОМПЛЕКСНЫЙ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. Ш
Тогда второе Сечение oR задает нам отображение прост-
ранства (7„) в окружность S1:
g: (hn(In)^S\
которое определяется следующим образом. Композиция
отображений f-1o<TR имеет вид
(f-1 ° or) (х) =а (h (х), х), h (х) е С,
причем h(x) #=0. Полагаем
g(x)e M±SS1CC.
1 |AWI
Теорема 2.3.
а) Нг(6^(1п)) = Т.
б) Пусть u„e//‘(Gfn (/„))—образующий элемент.
Тогда в группе //‘(S*)=Z так можно выбрать образую-
щую (S1), что g* (s) = ип.
Теорему 2.3 можно сформулировать еще следующим
образом. Пусть
F: С х G2„ (/„) —> г,
— изоморфизм расслоений, определяемый соотношением
F (А, х) =Хо(х).
Обозначим через t]0 образ
т]0 = F(C‘xGt„ (/„)),
где С’ = С\{0}. Пространство т]0 гомеоморфно С‘ х G+n (/„).
Пусть
о.= (Г-‘)*(«)еЯ‘(т].), (2.13)
где $еЯ‘(С*) =Z — образующий элемент.
Т е о р е м а 2.4 Пусть
о>: л*(п)->п
— отображение расслоений. Тогда
a) <bor (G^n (/n)) cZ По>
б) (coor)’ (ап) = ип.
Для доказательства теорем 2.3 и 2.4 приведем ряд
вспомогательных топологических конструкций.
§ 3.2] Индекс комплексных многообразий 149
Определим вложения
i„: 1/(2л,/„)->1/(2п+2, Л1+1),
iun-. £/(«)->Щп + 1),
tn' Gtn Цп) @Zn+2 (Л1+1)
формулами:
а) если Cst7(2n, In),
q II Ci Сг ||
IIC3 C41|
TO
Ci 0 Cj 0
; (C\ — 0 10 0 .
ln(4 c3 0 c4 0 ’
0 0 0 1
б) если C^U(n), to
(2.14)
в) если LeG2n(/„), to
in (Ь) = in (b)j© {^n+i}-
Пусть
G(n)->G(2n,/„)
задается формулой
0„: G(2n,/„)->G2n(/„)
— проекция, описанная ранее,
0n(C)=C(Cn}.
Тогда
а) Диаграмма отображений
G(n)-^-> t/(2n,/„)-------------->-G2„(/„)
iu !i ! tG
>'n in j«
t/ (Zl > U (2n +2, /п+i) -------^2и+з(Л:+1)
M+1 0n+i
коммутативна.
150
комплексный ЛАгранЖёёы МногоойрАзия |гЛ. Hi
б) in (Ggn (/«)) С Gzn+t (Л|+1Ь
в) Существует изоморфизм
фп= In Ф 1 (in) (ln+i),
причем, если xeL, LeG2n(/n), то
Фп’(*) = ‘п (*) Ф ° е= i„ (L);
если ХеС, то
Фп (М = 0 ф А.£?п+1 in (^<) — in (£) ф {^n+i}.
г) Изоморфизм <рп индуцирует изоморфизм рассло-
ений
Фп= fin-* (in) T|n+1>
где t]„= (Ang„) *, причем
фп={(Ап+1фяох„)-‘}*, (2.15)
где х„: An+1g„->A"+1 (£пФ1)—естественный изоморфизм,
д) Пусть
<?п- Gin din) -*- Т|п
— сечение, построенное по теореме 1.4. Тогда
On ~ фи (in) Оп+1.
Пусть, далее, r|oncrqn — пространство ненулевых век-
торов расслоения т}п, (ц0„) определен равенством
(2.13).
Тогда
Фп (On+i)^— On-
Пусть вложения
i°: 0(п)^0(п + 1),
i^°: SO(n) ->SO{n +1)
определяются равенством (2.14). Пусть
ал: SO (и) -> О (п),
₽„: Ок(п);,->Д(п)
— естественные вложения.
§ 3.2|
ИНДЕКС КОМПЛЕКСНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
151
Тогда следующая диаграмма коммутативна:
so (п)----> О (п)-> и (п)
),SO 1,0 1.1/
I П I П
и мы получаем
n0(f/(n)) =о, Л! (L7(n)) = Z.
Гомоморфизм
$).: ((/(»))-> Л! (t/(n + 1))
является изоморфизмом,
n0(O(n)) = Z2, лх(О(1))=0,
лх (О (2)) = Z, лг (О (n)) = Z2 при п > 3,
а гомоморфизм
(in).: ях (О (п)) -> лх (1 (п 4-1))
при п^З является изоморфизмом.
Далее, л0(5О(п)) =0, гомоморфизм
(а„)л, (SO(п) )^-л(О(п))
является изоморфизмом, а гомоморфизм
(р^лДО^П-мгДЩп))
тривиален.
Переходя к пространствам (7„), получаем
следующую коммутативную диаграмму:
лх(50(п))
(₽Пап)«| 1^”)*
лх (О (п)) -Лх (U (п)) (2 ! 6)
(М»! |(еп).
|«1(О^(/Л))—ъ(Оом)
| а,|
л0(5О’(п))-^->л0(О(п))
<Рпап>»|
152
КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ
[ГЛ. III
Поскольку (рп)# = 0, то эта диаграмма принимает сле-
дующий вид:
Л1(6^(1п))-^-^Л1(СРт(1п))
О Z2
'I
о
Диаграмма (2.16) индуцирует отображение
U (п)/О (n) U (п +1 )/О (п +1)
(Л.)--------*• ^2Л+2 (Al+l)
так что следующая диаграмма коммутативна:
О (л) - ,0 п ->О(п + 1)
ч V |₽п+1
t/(«) п + U(n + l)
ч iG |®«+i
(4 (In) п ->• ^2П+2 (^Я+1)
Таким образом, мы получаем следующую коммутатив-
ную диаграмму гомотопических групп: I
О О
I'
Л1(1/(п)) ——► л, (U (п +1))
I п а0).
(G2n (/п)) > Л1 (Gyl+2 (Al+l))
У (»„). 1
л0(О(«)) —5—>ло(0(« + !))
I I
0 0
J
§3.2)
Индекс комплексных многообразий
153
Поскольку (i^), и (i?), — изоморфизмы, то (t„).—тоже изо-
морфизм. Таким образом, группа л1(С^п(/п)) изоморфна
группе ях (G? (1г)). Пространство G% (/х) легко описывается
в явном виде: это многообразие всех прямых в R2, npoxos
дящих через начало координат, и, следовательно, гомео-
морфно окружности S*. Таким образом,
Следовательно, в диаграмме (2.16) гомоморфизм л.
переводит образующий элемент группы Л1(бш (Л)) в
двукратную образующую группы (/«)). Мы мо-
жем сформулировать следующее утверждение.
Лемма 2.5.
a) /f1(G^°(/n) = Z.
б) H1(<^,(/„)) = Z.
в) Можно так выбрать образующие ип е Hl (G^ (1п)),
vn е Н1 Цп)), что
л*(оп)=2ип,
(in)* (УП+1) — vn,
(in) (^n+1) = un-
г) Пусть
ТП* Ля ”*** vn) Hn+l
— изоморфизм, индуцированный равенством (2.15), a
ORtn> ^2П (In) Лл
— сечение, построенное no формулам (2.12). Тогда
&R,n =* Фп (in) (®₽,л+1)-
Утверждения а), б), в) уже доказаны, а утверждение
г) тривиально.
Доказательство теорем 2.3 и 2.4. Заметим,
что утверждения теорем 2.3 и 2.4 эквивалентны. Доста-
точно доказать утверждение только для п=1. В самом
деле, отображения
gn'
154
КОМПЛЕКСНЫЕ ЛАГРАНЖЕЁЫ МНОГООБРАЗИЯ (ГД. ill
удовлетворяют соотношению
gn — gn+l ° ln •
Поэтому, если
= gn (з),
то
(Un) W«+i = Un == gn 0) = (gn-H ° in)’ (s) = (jn)* gn+1 CO.
Так как («£)* является изоморфизмом, то un+i = gi»+i О) и
теорема 2.3 будет доказана по индукции, если
“1 e gi (s).
Итак, построим отображение gi пространства Gf° (7Х) в ок-
ружность S1. Точка LeGf°(/'1) параметризуется базис-
ным вектором a ^L, aeR2, |a|=l. Сечение ax: Gf°(/])->
определяется своим значением на базисном векторе
ае т|1°» равным (а) = ax + ia*, где
a = М
\М
— координаты вектора aeR2.
Сечение же окд: Gf° (Д) -> т]1° на базисном векторе а
принимает значение
OR.i(a)=l-
Таким образом, функция gf. принимает
следующее значение:
gl(a) = (al + ia2)~i.
Тогда отображение
имеет степень 1, т. е. в'группе Я1 (Gf° можно так
выбрать образующую их/что
g‘(3)= 14.
Теорема 2.3 доказана.
ЧАСТЬ II
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР
НА ВЕЩЕСТВЕННОМ ЛАГРАНЖЕВОМ
МНОГООБРАЗИИ
В этой части мы изложим конструкцию каноническо-
го оператора Маслова. Как уже объяснялось во введе-
нии, мы избрали следующий топологический способ из-
ложения. В фазовом пространстве фиксируется лагран-
жево многообразие L. В каждой канонической карте
многообразия L определяется локальный канонический
оператор, переводящий функции на многообразии L с
носителем в канонической карте в функции конфигура-
ционного пространства. Если локальные канонические
операторы совпадают на пересечении карт, то получает-
ся оператор на всем лагранжевом многообразии L. Одна-
ко, вообще говоря, локальные канонические операторы
в картах не совпадают на пересечении карт и сравнение
двух таких операторов приводит к серии коциклов, кото-
рые могут быть истолкованы как препятствия к построе-
нию глобального оператора.
В главе IV рассмотрены первые два препятствия. При
выполнении условий квантования эти препятствующие
коциклы можно выбрать тривиальными. Соответственно
мы получим глобальный канонический оператор, опреде-
ленный с точностью до первой степени параметра h.
В этой, же главе приводятся формулы коммутирования
канонического оператора с псевдодифференциальным
оператором с точностью до h\
Для того чтобы получить асимптотику решений с точ-
ностью до любой степени параметра h, следует изучить
полный набор препятствующих коциклов к построению
канонического оператора на лагранжевом многообразии.
Для этой цели в главе V выводятся формулы разложения
интегралов быстро осциллирующей функции в ряд по сте-
пеням параметра h. В главе VI строится канонический
оператор и выводятся формулы коммутации канониче-
ского оператора с псевдодифференциальным опера-
тором с точностью до любой степени параметра h.
156
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
Показывается, что других препятствующих коциклов, от-
личных от рассмотренных в главе IV условий квантова-
ния на лагранжевом многообразии, нет, т. е. все высшие
(по степеням параметра й) препятствия несущественны.
Г Л А в А IV
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР МАСЛОВА
(ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ)
§ 4.1. Конструкция элементарного
канонического оператора
1. Канонические коцепи. Обозначим, как и
ранее, через Фя 2п-мерное вещественное пространство с
базисом (et, ..., en, f1,..., fn). Это пространство назовем
вещественным фазовым пространством. Всякий вектор
аеФи может быть однозначно представлен в виде ли-
нейной комбинации базисных векторов (е, f) с вещест-
венными коэффициентами
a=xkek+pkf\
Числа х*, й=1,..., п, будут называться х-координатами,
а числа pk, k — 1,..., п —р-координатами вектора а. Про-
странство Фя мы снабдим структурой вещественного га-
мильтонова (симплектического) пространства, введя в
нем невырожденную дифференциальную форму
ю=</рД(/х. (1.1)
Пусть теперь L — гладкое n-мерное многообразие.
Определение 1.1. Вложение
i: £ Q Фя
многообразия £ в фазовое пространство Фя называется
лагранжевым, если ограничение Га формы а равно нулю,
т. е.
Га = 0.
В дальнейшем лагранжевы вложения мы будем так-
же называть лагранжевыми многообразиями.
§ 4.1] КОНСТРУКЦИЯ КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 157
Пример 1. Пусть Фя — двумерное векторное прост-
ранство. Тогда любая гладко вложенная кривая
/e=la>&]cRit (1.2)
Р = Р(0>
определяет одномерное лагранжево многообразие. В са-
мом деле, поскольку любые два касательных вектора к
произвольной точке кривой (1.2) коллинеарны, то косо-
симметрическая форма (1.1) на них аннулируется.
Пример 2. Рассмотрим в пространстве Or много-
образие, заданное системой уравнений
(х»)г+(р»)2 = 1. k=l,...,n. (1.3)
При п=1 это многообразие определяет, очевидно, окруж-
ность с центром в начале координат. При произвольном п
данное многообразие является прямым произведением п
окружностей, т. е. n-мерным тором.
Докажемлагранжевость многообразия (1.3).Действи-
тельно, поскольку при каждом k существуют либо глад-
кая функция ph=pk(xK), либо гладкая функция хк=
=хк(рк), то в выражении (1.1) при каждом k аннули-
руется каждое слагаемое и, следовательно, и все выра-
жение (1.1).
Обозначим через [п] множество натуральных чисел от
1 до п:
[n]= {1, 2,..., л}.
Пусть /с(л]— произвольное подмножество множест-
ва [и], I — дополнение множества I в множестве [л]:
Определение 1.2. Канонической картой U; лаг-
ранжева вложения V. £ Q Фя мы будем называть от-
крытую односвязную область (носитель карты) UczL и
проекцию
Л/'. U —► R* ф Ry,
являющуюся диффеоморфизмом на открытое множество
Rz ® Ry. где Rz, Ry — арифметические пространства коор-
динат вида (хЧ ..., xk) и соответственно (plft+1, . pta).
Здесь i\, ik+i, („е/.
158
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
Таким образом, в канонической карте лагранжева вло-
жения i: L Q <Dr координатами служат функции (х~, pj),
а области карты Uj записываются в виде уравнений
д/ =х,(хг, pj),
Pi = P/(Z Pj).
Определение 1.3. Каноническим атласом лагран-
жева многообразия L мы будем называть любой его
атлас, состоящий из канонических карт.
Лемма 1.1. На любом лагранжевом многообразии
существует канонический атлас.
Замечания, а) Утверждение леммы можно пере-
фразировать следующим образом. Существует такой
атлас карт, что носитель каждой карты может быть за-
писан в виде уравнений
X1 =» X1 (хГ, Pj),
(1.4)
Pi^Piix1, pj).
б) Для гладко вложенной кривой
x=x(Z), , г
t ё= [а, Ь],
P = P(t),
утверждение леммы очевидно. В самом деле, поскольку
rang(x, р)=1,
где точка означает дифференцирование по параметру t,
то при каждом значении параметра t либо х=у^0, либо
р=#=0. По теореме о неявной функции существуют либо
гладкая функция /1 = /1(х), либо гладкая функция 4 =
= /2(р).
Доказательство леммы 1.1. Рассмотрим про-
извольную точку Z<=L. Ясно, что если в касательной плос-
кости в точке I к многообразию L найдутся канонические
координаты вида (х1, pj), то по теореме о неявной функ-
ции уравнение некоторой окрестности точки I в многооб-
разии L может быть записано в виде (1.4)'.
§4-1]
КОНСТРУКЦИЯ КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
159
Таким образом, аналитическая задача о существова-
нии канонического атласа на лагранжевом многообразии
L в действительности является алгебраической задачей
о выборе канонических координат в лагранжевых гипер-
плоскостях (подпространствах). Эта задача решена в.
лемме 1.1 главы II.
Пусть ц— некоторая гладкая невырожденная мера
на лагранжевом вложении L. Определим две нульмерные
коцепи канонического покрытия (т. е. покрытия, состоя-
щего из канонических карт) многообразия L. Однако, в
отличие от коцепей, с которыми мы встречались в первой
части книги, коцепи, определенные ниже, будут прини-
мать значение в множестве гладких функций. Таким об-
разом, для задания такой нульмерной коцепи f каждо-
му элементу покрытия Ut сопоставляется некоторая глад-
кая функция ft. Граница такой коцепи определяется
как набор гладких функций на пересечении карт
причем
б(/)«=А-Ь в или,
Этот язык, широко используемый в математике, оказы-
вается полезным и в нашем случае.
Итак, выберем на многообразии L некоторый кано-
нический атлас карт и определим в каждой канонической
карте иг, задаваемой уравнениями
/ = / (xz, pj),
Pi = pi(x‘, Pj),
функцию S^x1, pj), называемую действием. Функция
SJ(xI,pj) определяется как произвольное решение урав-
нения
dSt (х7, pj) = pi (х1, р7) dx' — х‘ (x1, pT) dp7. (1.5)
Уравнение (1.5) разрешимо, поскольку в силу лагран-
жевости вложения многообразия L выполнено равенство
d dS = i* (dpt Д dx7—dx'- Д dp7) = i* (dp /\dx) = 0,
а носитель карты Ut односвязен. Отметим, что решение
уравнения (1.5) определено с точностью до вещественной
постоянной.
160
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
Выбрав в каждой карте некоторую постоянную, мы
сопоставим, таким образом, каждому элементу покрытия
Ui гладкую функцию Sr(х1,pj). Это первая наша нуль-
мерная коцепь.
Обозначим через рт плотность меры р относительно
координат (х1, ру) карты Ut, так что в системе локальных
координат карты Ut мера р имеет вид
И == M-/(xZ, Pj)dxr /\dp-j.
Имея в виду, что нам понадобится извлекать квадратный
корень )^р/(х7, ру), припишем плотности р/(х7, Ру) неко-
торое значение argp/(x7, pj) аргумента, 0<argp/<C4n, и
будем считать, что arg )/р/ (xl, pj) — ± argp, (х7, ру).
Таким образом, каждому элементу покрытия Ui мы
сопоставили гладкую функцию у р7 (х7, ру). Это наша
вторая нульмерная коцепь.
2. Локальный канонический оператор.
Определим теперь элементарный канонический оператор
kt, полагая для <peC“(t//) (функции с компактным в
карте иг носителем)
= F*^y ехр (у Sz(xz, py)j р/ (х7, ру) <р (х7, Ру). (1.6)
Здесь Fl/h— 1/й-преобразование Фурье:
F1/A If] (Р) = (fif’ exp р>] f (х) dx.
\ 2m /J ( h )
R"
1/Л-преобразование Фурье, применяемое в нашей теории,
обладает рядом свойств, аналогичных обычному преоб-
разованию Фурье. Необходимые нам сведения о ^-пре-
образовании Фурье приведены в добавлении I главы VI.
Предложение 1.2. Пусть Ui и Uj — две канони-
ческие карты, имеющие непустое пересечение, и пусть
<peC?(Ui П t/j). Тогда существуют такие постоянные
§ 4.11 КОНСТРУКЦИЯ КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 161
6jeR и dji ~ 0 (mod 2л), что имеет место сравнение
й/ф'= ехр Р- fl] 4- -1-dtJ\М (modft). (1.7)
(h 2 )
Сравнение
ф (х, ft) = О (mod ftw)
следует понимать как выполнение системы неравенств
||?ф(х,Л)|^<с(х)Л" (1.8)
для всех мультииндексов а= (ось ..., ап) • Здесь
F — к "Ч „ *
(ах‘)а* • • • (5х") "
|а| = <%!+... +а„, а с(х) — бесконечно дифференцируе-
мая функция, убывающая при |х|->оо быстрее любой
степени вместе со всеми своими производными.
Доказательство. Нам нужно сравнить две
функции:
й/Ф = ехр Szj КЙ/ ф,
kW = ехР (f Ф.
где supp фе^ПС/j. Обозначим If=l\J, IS=:J\I, /4==
=м\лилид-
Поскольку /П/=Л, то, применяя к функциям йгф и
ft/ф 1/Л-преобразование Фурье F^i^ и замечая, что при
этом элементы f, для которых f=0(mod Л), перейдут в
себя, мы получаем, что для доказательства (1.7) доста-
точно сравнить выражения
Fp^xr. ехР (у 5/} WiФ и Fр/ехр Sj} /jv Ф-
Перейдя в последних двух выражениях к 1/Л-преобра-
зованию Фурье F$_P/, получим, что задача сводится к
6 Мищенко и др.
. 162
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
сравнению двух выражений:
7?рл-^ехр{т5/)1/Г1*/ф’ х,г-*Рк (t.9) ехр^у5/}/|*/ф.
Выражение (1.9) в более подробной записи имеет вид
(—1 )U«l/« f [ ехр Р- (<pz„ /•> — <хА, рА»} х
х ехр S/'j Vl*/ Ф dPh dx1’- (1 • 1 °)
Применим к интегралу (1.10) формулу асимптотиче-
ского разложения интеграла быстро осциллирующей
функции. Эта формула утверждает справедливость сле-
дующего асимптотического сравнения:
/ ; \п1* р ( i
I---1 | ехр|—Ф(х,
\2nhJ J v
R"
р) ф(х, р) dp =
ехр [— Ф (х, р (х)) 1 <р (х, р (х))
-----I ' -— (mod h).
Vdet Hess (— Ф (x, p (x)))
(l.H)
В этой формуле через р = р(х) обозначена единственная
стационарная точка функции Ф (х, р) на носителе функ-
ции <р(х, р), т. е. такая точка, в которой градиент функ-
ции Ф (х, р) по переменным р обращается в нуль. Через
Hess (—Ф (х, р (х))) обозначена матрица вторых частных
производных функции —Ф (х, р) по переменным р. Для
определения радикала ydet Hess (—Ф (х, р (х))) аргумент
подрадикального выражения выбирается по формуле
п
aig det Hess (— Ф (х, р (х))) == 2 аг2
&=1
где ^ — собственные значения матрицы Hess(—Ф(х,
p(xj)), аргументы которых выбираются в пределах
$ 4.Ц КОНСТРУКЦИЯ КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 163
3 л
-----n<argXfe^—. Формула (1.11) будет доказана в гла*
2----2
ве V.
Для интеграла (1.10) стационарную точку следует
искать из уравнения
«/>'.’ *'’> - х'"> + =0'
Поскольку (см. (1.5))
dSj = pi (xr, pj)'dx' — xl (xl, p7) dpj,
то уравнения для стационарной точки принимают вид
хг‘ 4- х,г (хг, р7) =0,
(1.12)
—Pi, + Pidxr, р7)^0.
Присоединяя к системе (1.12) тождества
xr>=xr', plt = pit, (1.13)
мы видим, что соотношения (1.12), (1.13) определяют фор-
мулы перехода от координат (х1, pj) к координатам (xJ, pj)
на пересечении Ui П Uj.. В силу этого система (1.12) од-
нозначно разрешима относительно координат х'г, ру
х1* — х1* (xJ, p-j),
< (1.14)
Ph = Ph (xJ, pj).
Далее, поскольку
d(—p ,, xhY ~-
Hess,, (-S,)^ 7 (1.15)
то в точках (1.14) гессиан (1.15) определен и отличен
от нуля.
По формуле (1.11) имеем : •
СГехр /,> _<х/г> > +
\2nhJ JJ (ft ._____________ •
+ Si (xl, р7))\ VЦ/ (xz, p-j) <p (xz, p7) dpltdxh =
6*
164
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
= (—1 )|/,l/s ехр (у (Sz (xJ, p7))lexp Р- <р/з, /’> -
{h J J {h
t ] Ру) <₽(Л p7)
________________(mod h),
причем
1/"^, ar£ Pz 1
arg .....— ---------= —------------— У argXft./j,
j/det Hess (—Sz) 2 2^
где К, и — собственные значения матрицы
Hess^.P/3 (- s' <х''> = ^7 ^'~Г •
Следовательно,
А/ф = (—1)'/а|/® ехр Р- [Sz + <Р/„ х/з> — <х,г, plt> — Sj] х
[h )
X ехр ^arg Pz—arg pj— 2 arg Kk,иj} k/р (mod h).
Таким образом, выражения ct} и du, указанные в
формулировке предложения 1.2, равны соответственно
си = Sz — Sj 4- <pzs, х,3> — (х/г, pi,У,
dzj = arg pz — aig рj — ]►} arg X.*,z./— 141 я.
Для завершения доказательства предложения 1.2 необ-
ходимо установить, что
а) с,} — вещественное число;
б) du кратно 2л.
Покажем, что
dc„=0. ’ (1.16)
В силу (1.5) в пересечении Utr\Uj имеем
dcu = d (Si — Sj+ (рц, xl,y — <pz„ x/2>) =
= pi djc1 — x1 dpj — pj dxJ 4- xJ dpj 4-
4- x’‘ dpt, 4- pi, dx’’ — pi, dxh — xl* dpf,. (1.17)
§ 4.1] КОНСТРУКЦИЯ КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА 165
Из соотношений >
/ = 4U4. /-4U4.
(1.18)
/=*4U4. ^ = 4U4
следует, что все члены в (1.17) взаимно уничтожаются
и справедливо равенство (1.16).
Далее, поскольку
l*/ = Hjdet-L-^-2(-l)|/!1 = ny fj Ч/Л-1)|/,1.(1.19)
то с точностью до числа, кратного 2л, аргументы левой
и правой частей выражения (1.19) равны:
arg |iz = aig |v + 2 аг£ +14’1л (mod 2л).
Предложение 1.2 полностью доказано.
3. Квантованные лагранжевы многооб-
разия и глобальный канонический опе-
ратор. Мы определили две одномерные коцепи кано-
нического покрытия или, короче, канонические коцепи.
1) Коцепь =
Я = </>//’> - <pIt, xl"> + S, - Sj. (1.20)
2) Коцепь с(2) = {с/2)}:
си = _1_ [arg ц/ — arg |v — V arg^.и — 141 л] . (1.21)
|2л I k J
В этом пункте мы докажем, что коцепи (1.20) и (1.21)
являются коциклами.
Предложение 1.3. Коцепь cw является коцик-
лом.
Доказательство. Из (1.18) следует, что
си = (Si+Xx1, р7>) - (Sj +\х7, р7». (1.22)
Таким образом, если определить нульмерную коцепь
с коэффициентами в пространстве гладких функ-
ций, полагая в карте Ut
fi^Si + tx' (х1, р7), р7у,
166
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
то выражение (1.22) представляет собой кограницу этой
коцепи:
cw = df.
В силу известного свойства кограничного оператора
(д2=0) отсюда следует, что кограница дс1 коцепи равна
нулю: дс‘=0. Предложение 1.3 доказано.
П р е д л о ж'е и и|е 1.4. Коцепь с(2) является коциклом.
Коцепь г{сЬ} разлагается в сумму двух коцепей cjy =а
=» а// + Р/л W
а/j = 7Г (arg И/ — arg И А
2Л
1 ’
₽// = — — ( 5J arg U.U + 14
Согласно (2.1) главы III
Pu = arg arg Л.
Таким образом, обе коцепи {а7Д и {р^} являются когра-
ницами, а значит, коциклами. Предложение доказано.
Определение 1.4. Каноническое покрытие {Ur}
называется квантованным, если канонические коцепи с(1)
и ст когомологичны нулю.
Заметим, что класс когомологий коцикла cw не изме-
нится, если изменить функции 3, на константу. Отсюда
следует, что если коцикл с(1> когомологичен нулю, то мож-
но так выбрать (нульмерную) коцепь {ЗЛ, что на пересе-
чении любых двух канонических карт Ur\\Uj будет иметь
место равенство
Sj — 3/ =* <р/з, /’> —xl").
Аналогичное рассуждение можно провести и для ко-
цикла с(2>. Именно, поскольку аргументы плотности меры
определены с точностью до 2nk, то в случае, если коцикл
с(2) когомологичен нулю, можно так выбрать аргументы
плотностей меры в картах иг, что будет иметь место
равенство
arg р,/ —argp.j
| 4.1] КОНСТРУКЦИЯ кАноничёского оНераТора 16?
где 17} — собственные значения матрицы
д(х\р1г)
и — .
Хотя выше мы определили квантованность канониче-
ского покрытия, в действительности это условие является
характеристикой самого лагранжева многообразия. Этот
факт основан на глубокой и важной в топологии теореме
Лере, утверждающей, что классы когомологий многооб-
разия, вычисляемые с помощью покрытий (методом
Чеха), не зависят от выбора покрытия, если у покрытия
все элементы, а также всевозможные пересечения эле-
ментов являются стягиваемыми пространствами. Можно
считать, что наше каноническое покрытие удовлетворяет
указанному условию. Следовательно, условие квантова-
ния, т. е. обращение в нуль некоторых классов когомо-
логий, является в действительности характеристикой са-
мого лагранжева многообразия, и мы вправе дать сле-
дующее
Определение 1.5. Многообразие L называется
квантованным, если его классы когомологий с<1) и с*2)
тривиальны.
.. Теперь мы можем сформулировать первую основную
теорему этой главы о существовании" глобальйого кано-
нического оператора на квантованном лагранжевом мно-
гообразии.
Именно, пусть Н^к — замыкание множества гладких
финитных функций f(x, h) по норме
1Д- sup Ш+И!+Р*)",4.,’'
о<л<1 ’
гдед2—1/й-оператор Лапласа:. , _......
p^-ih^-r
" QX
Пусть, далее, Hi/h — пересечение пространств HlJh:
168
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
Введем в пространстве Hi/h (неограниченный) оператор
Ак умножения на Л-*:
Ak: Н11ЬН1/к, /г =0,1,2,...
Обозначим через D(Ahj область определения оператора
Ак, а фактор-пространство Я1/Л/2) (Л*) — через кНик=
=V71/h(R").
Заметим, что множество D (Л*) состоит из функций f,
для которых выполнено неравенство (1.8) с N=k. Это
позволяет упростить запись некоторых формул, напри-
мер, сравнение (1.7) для квантованных многообразий
может быть переписано как равенство Л/ф=^Ф в прост-
ранстве *//1/'l(Rn).
В этих же терминах мы сформулируем нашу первую
основную теорему о существовании и единственности
глобального канонического оператора Маслова на кван-
тованном лагранжевом многообразии.
Теорема 1.5. Для квантованного лагранжевого
многообразия L существует единственный оператор
k;
совпадающий в каждой карте Ut канонического атласа
с оператором (1.6), т. е. для любой финитной функции
<реС“(1Л) в пространстве *#‘/A(Rn) выполнено равенство
Аф=^ф.
Доказательство этой теоремы вытекает из следующей
леммы.
Лемма 1.6. Пусть L — гладкое многообразие, Эё —
линейное пространство. Предположим, что на многообра-
зии L заданы открытое покрытие {(/<} и семейство линей-
ных операторов kt: СТ (С/<)->-Ж причем kj=ktf для функ-
ций (I/iAt/j). Тогда существует и единствен такой
оператор
k: С(Ь)-^^,
что kf = kif для любой функции
Доказательство этой леммы будет дано в добавлении
II главы VI.
S 4.2]
КОММУТАЦИЯ С ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА
169
§ 4.2. Коммутация канонического оператора
и оператора Гамильтона
1. Формулировка основной теоремы.
Определение 2.1. Гамильтонианом называется
произвольная гладкая функция
И: Or-»R
на фазовом пространстве Or, удовлетворяющая условию
I D*D$H(х, р)|< Са,р (1 + |х| + |р|)т (2.1)
с некоторой постоянной Сар = Са(1(Я) >0 и натуральным
числом т.
Здесь
а1+...+ап дб.+...+Pn
=---------------, —-------------—
(дх1)0* .,. (дх")"” дрр* ... др„"
и <xi,..., а»; ₽i, • . •, рп — произвольные натуральные
числа.
Определение 2.2. Гамильтоновым векторным по-
лем V(H), ассоциированным с гамильтонианом Н, назы-
вается векторное поле
,22)
dpt дх{ дх1 дР[
Здесь, как обычно, по повторяющимся индексам про-
изводится суммирование, i= 1,..., п.
Часто мы будем опускать индексы в выражении (2.2)
и писать просто
(2>3)
др дх дх др
Рассмотрим гладкое вложение
i: £qOr
многообразия L в фазовое пространство Or.
Определение 2.3. Многообразие LczOr называ-
ется инвариантным относительно векторного поля (2 3),
если это поле касается многообразия L;
У(Я)|ьс=Т(Д).
V
170
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
Пусть Н— гамильтониан и
i: LCZOr (2.4)
— лагранжево многообразие, т. е. для любых векторных
полей X, Y^T(L) имеет место равенство
(i*dx/\dp, (X, У)> = 0. (2.5)
Предложение 2.1. Многообразие (2.4) инвариант-
но относительно гамильтонова векторного поля V (Н),
если и только если оно лежит на некоторой поверхности
уровня гамильтониана, т. е.
{i*dH,X} = 0 (2.6)
для любого поля X^T(L).
Доказательство. Покажем прежде всего, что для
любого вектора X^T(L) справедлива следующая фор-
мула:
<dH,X) = (dx/\dp, (V(H),X)>. (2.7)
Действительно, пусть ХеТ(Фк) —произвольное вектор-
ное поле. Вычислим правую часть равенства (2.7). Имеем
<dx/\dp, (У(Н), Х)> = {dx1, V(H)y <dpt, Х> —
- <dZ Х> {dpt, V (Я)>.
Поскольку
Уdx, —У ~Е, Уdx, —У =0,
\ дх / \ др /
ydp,-P\^0, \йр,-^-У==Е,
\ дх / \ др /
где £— единичная матрица, то согласно определению 2.2
выражение (2.5) преобразуется к виду
У— dp + ™ dx, хУ = <dH, Х>.
дх /
Формула (2.7) доказана.
Докажем теперь предложение 2.1. Пусть вначале лаг-
ранжево многообразие (2.4) инвариантно относительно
поля У(Я). Тогда
V(H)\l<=T(L) (2.8)
§4.2]
КОММУТАЦИЯ С ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА
171
и если
X^T(L), (2.9)
то, используя формулу (2.7) и учитывая включения (2.8)
и (2.9), а также лагранжевость вложения i, получаем ‘
Х> « <i*dxAdp. Х)> =0.
Обратно, пусть ае£в—произвольная точка многооб-
разия L и для любого вектора Xee (Т (L))a выполнено ра-
венство (2.6). Вновь используя (2.7), получаем (i*a—
сужение в точку а)
{iadH, Хо> ~ «dx/\dp)a, (V (Н)а, Ха)> «0.
Предположим противное, т. е. что вектор (V (И) )о не при-
надлежит касательному пространству Ta(L) к многооб-
разию L. Поскольку в предыдущем тождестве вектор X.
может принимать произвольное значение из касательного
пространства ТЛ(Ь), то структурная форма (dx/\dp)a
тождественно равна нулю на подпространстве размерно-
сти (п+1), порожденном совокупностью всех векторов из
fe(L) и дополнительным вектором (V(//))e. С другой
стороны, размерность пространства, на котором форма
(dx/\dp)a тождественно равна нулю, не может превосхо-
дить п. В самом деле, фиксируем в касательном прост-
ранстве ко всему фазовому пространству Фд базис
I д д д д \ с
( —, •••♦ ---» ............ • Будем считать его
W дх” дР1 дрп 1
ортонормированным базисом некоторого скалярного про-
изведения, которое обозначим круглыми скобками ( , ).
Тогда форма (dx/\dp)a в базисе (д/дх, д/др) задается
кососимметрической матрицей
л=|_“ *|. (2.10)
Пусть W — такое подпространство касательного прост-
ранства, на котором форма (dx/\dp)a тождественно рав-
на нулю. Тогда для любых векторов X, УеЦ7 получим
равенство
(АХ, У) =0.
Следовательно, пространства- W и AW ортогональны
172
элементарная теорий
[гл. iV
относительно скалярного произведения ( , ), и, значит,
0. Поскольку матрица (2.10) невырождена, то
dim №=dim Л IT. Поэтому 2 dim W^dim Фк=2п, т. e.
dim W^n. Предложение 2.1 полностью доказано.
Предложение 2.2. Пусть лагранжево многооб-
разие i: лежит на поверхности нулевого уровня
гамильтониана Н:
= (2.11)
и пусть Uг—некоторая каноническая карта с координа-
тами (xl,p-j). Тогда, если it: —ограничение вло-
жения i на карту Uz, то для любой функции феС” (Ф)
имеет место формула
i'i [V (Я) ф] = V (CH) i, ф = V (Н/) й
где
д
дх1
.• / дН \ д
1/1------I------.
) др]-
Доказательство. Имеем по определению
•• гт//Е7\ и ••({дН д дН д \ . 1
|/[У(Н)1И = 1/ —-—Т"^_п’г=
др дх дх др J J
дН дф । дН дф _ дН дф _ дН _дф_1 12)
Ъ>1 дх1 др7 дх1 дР1 Фу]
Из условия (2.11) следует, что
i*H = Я (х7, х7(х7, рт), pi (х1, рт), р7) = 0.
= I/
Дифференцируя это равенство по переменным (х1, p-j),
получим следующие равенства для производных дН/дх1,
дН/др7 на L:
дН 'дн dxi дн дР11
1 II 11 ! I — 1
0Х1 дх1 dPi дх1 J
(2.13)
дН _ ~дн дх1 ] дн дР1'
д?7 др‘ ^7.
§ 4.21
КОММУТАЦИЯ С ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА
173
Подставляя значения (2.13) в (2.12), получим
_ ~ дН дх1 t дН др, ~1 дф
Lax7 др1 дР/ *7] дх'1
' дН дх1 , дЯ др, I дф |
др/ дх1 дР1 j ‘
. <дН дф,
hlVm]=i —
(др/ дх1
дН дф
дх1 дР,
дх~1 дх1
Поскольку L — лагранжево многообразие, то (Г (dx/\
Д dp) = 0. В локальных координатах (xz, pj) получаем
др/ дх^
соотношение -------------, и поэтому
др7 дх1
. , ,(дН
h[V(H)W= h\ —
[др,
д , дх~1 д । др7 а ~
дх‘ дх1 дх7 dxl др,
а + ах7 а + др, д ' | _
др-1 дх'1 др7 ap/J j
ф —
дН
На лагранжевом многообразии мы будем иногда пи-
дН дН .* дН .♦ дН „
сать —, —т и т. д. вместо 1-.—, tj—=- и т. д. Предло-
ар/ дх1 1др, Qxi
жение 2.2 утверждает, в частности, что для функции
cp(x/, p7)eC"(i7j) имеет место равенство
ihV(H)<pl-У(Я/)Ф.
Определение 2.4. Оператором Гамильтона Н=
= Н(х,р) называется оператор, действующий на произ-
вольную функцию (9,п) по формуле
Н(х, р)у = {F^yH(x, p)F^}x=y. (2.15)
Используя свойства 1/й-преобразования Фурье (см.
добавление I гл. VI), нетрудно показать, что если гамиль-
тониан Н(х,р) удовлетворяет неравенству (2.1), то опе-
ратор (2.15) продолжается до непрерывного оператора
Н = Н (х, р): H'r'h (Rn) -> (R")
для любого вещественного чиода г.
174
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
Наконец, нам понадобится рассматривать в карте U
оператор Н {х1, х1, plt pj). Этот оператор для каждой
функции ф(х;, Pj) е C^(Ui) определяется по формуле
Р7)|р(/, р,-) "
=F'^ F
Дадим здесь для полноты изложения определение
производной Ли вдоль векторного поля X на много-
образии М дифференциальной формы со.
Пусть gt — локальная однопараметрическая группа
сдвигов вдоль векторного поля X. Тогда, если т — произ-
вольная точка на многообразии М, то по определению
(^х(<о))от = — gt (®4/(л1))|/=0,
где через мы обозначили сужение формы со в точку
Приведем здесь же полезную вычислительную
формулу для производной Ли дифференциальной формы
со степени г:
^х(®) = + d (i‘x(co)),
где ix(co) (У1(..., Уг-i) =со(Х, Уь ..., Уг-,). Символ ix(co)
будет также обозначаться знаком I внутреннего про-
изведения:
tz(co) = X_J®.
Пусть теперь i: L QOr — лагранжево многообразие
и р, — некоторая невырожденная мера на нем.
Определение 2.5. Говорят, что гамильтониан Н
и пара (L, ц.) ассоциированы, если
PH = 0, (2.16)
Прокомментируем теперь условия (2.16). Первое из
условий (2.16) означает, что лагранжево многообразие
должно лежать на поверхности нулевого уровня гамиль-
тониана:
Я|ь=0.
S 4.2]
КОММУТАЦИЯ С ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА
175
Из этого условия, как показано в предложении 2.1, сле-
дует, что многообразие L инвариантно относительно га-
мильтонова векторного поля V (Н) и, следовательно,
имеет смысл дифференцирование меры у на многообра-
зии L вдоль поля V(H). При этом второе из условий
(2.16) означает, что мера постоянна вдоль поля V(H).
Перейдем к формулировке основной теоремы. Рас-
смотрим лагранжево многообразие L с невырожденной
мерой ц на нем и гамильтониан Н, ассоциированный с
парой (L, ц), т. е. такую функцию Н, что i'H=0,
2’v(H)P=0. Пусть k — канонический оператор на лаг-
ранжевом многообразии L с мерой ц.
Теорема 2.3 (основная теорема). Если векторное
поле V(H) нигде не обращается в нуль, то для любой
функции q^C™(L) выполнено сравнение
Н (х, р) k (ф) = — ihk (v (Н) —- Ф (modft2).
\ 2 j
Доказательство основной теоремы будет приведено
ниже.
2. Формула коммутации 1/ft-псевдоди ф-
ференциального оператора и быстро
осциллирующей экспоненты. Рассмотрим га-
мильтониан Н=Н(х,р) и фиксируем некоторое подмно-
жество I индексов /сфг]= {1,2.п}.
Предложение 2.4 Для любых функций q>(xr,pj)&
е С^° (R7 ф Ry), S (х', pj) е С30 (R7 ф Ry) выполнено срав-
нение
Н (xz, х',
Pl
(„ / f dS dS \ . ., fdH d d4 d
= )H X , pj] +lh — ------------------
I \ 9pj dx1 } | fal др-j дрг д/
_ J_ / <PS d*H dtS d*H
2 dx'dx' dPidPt dP-j dPj fai dx^
_ 2 &S d*H \ + SPH
Sx1 dp- d^dpj/ dx? dpj
Ф (х7, pj) (mod ft2).
176
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[гл. iv
Доказательство. По олределению имеем
I(h)=~ И (/, х1, рг, р7) ехр S (х1, р7)\ <р (х1, р7) =
{F^[FZ.-H{X'’X-P'-^F‘-'^X
_. Elik
-F-4
(pi, xl)\dp/H (x{, x1, pi, x
* Jexp {~ "л <'X'1’ pi>+^s (x'l> ^4ф ^г> &dx,/]}- <2, 17)
Rz
Интеграл (2.17) понимается как повторный и, по-
скольку соответствующий кратный интеграл расходится,
не допускает перестановки пределов интегрирования. Это
неудобство мы преодолеем следующим образом. Рассмот-
рим покрытие пространства
..R7®Rz
с координатами (х\ р7) двумя окрестностями, первая из
которых представляет собой открытый диск с центром в
начале координат:
t/i = {|^|2 + |P/|2<M + l/2}, (2.18)
а вторая состоит из точек, координаты которых удовлет-
воряют неравенству
l/J=»{M<|?i|2 + |p/|8<o0}. (2.19)
§ 4.2]
КОММУТАЦИЯ с ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА
177
Если теперь
e4 + e2s®l (2.20)
— разбиение единицы, подчиненное покрытию (2.18) —
(2.19), то, обозначая через Ht и Н2 функции Hi=Hel,
Н2=Не2, мы получим, что интеграл (2.17) разбивается на
сумму двух интегралов
1^)=Ц(Ь)+12(Н),
отвечающих разбиению (2.20).
Оценим вначале интеграл I2(h). Имеем
h СО = —Ц, ехр (-!- [<рг, х'у — <У, pj>]] dx1 dp! х
(2яй)” I h 1 J
Rz XR/
X exp
RzXRy
x Я, (Z x\ pi, pj) <p (x", p'y) dx1' dpj.
Найдем стационарную точку внутреннего интеграла.
Фаза этого интеграла равна
<Р/, х'> — <хг, р,> + S(х1', ру).
Поэтому уравнения для стационарной точки имеют вид
5S (/',₽!)
-р/-0,
дх1
(2-21)
J , gS(x>’P/L) 0
дРу
Поскольку функция S {х1’, ру) гладкая, то
такое число N, что
| max grad > S (х1', ру)\ < N,
х ,Ру
существует
(2.22)
где max в (2,22) берется по всем точкам (х1', р'у) е
esupp<p(x//, ру). Поэтому, если в выражении (2.19)
178
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
положить то система (2.21) решения иметь не
будет. Отсюда следует, что
Z2(ft)=0 (mod/100).
Сосредоточим теперь свое внимание на интеграле
Л (Л), в котором теперь уже можно менять пределы ин-
тегрирования, поскольку интеграл фактически берется
по конечной области и, следовательно, является собст-
венным. Запишем его в виде
,м = (М И?хр и1<г + <"'• х‘-х"> +
4- S (Z, pj-)]) Hi (х1, х1, pIt р,) ф (х'', р^) х
х dx1 dpi dx1' dp^. (2.23)
Применим к интегралу (2.23) формулу асимптотиче-
ского разложения. Фаза интеграла (2.23) равна
Ф:(х7', х\ pi, fa =
= <х', p'i — pj> + <рЛ xr — х’’у 4- S (/', p'i).
Поэтому уравнения для стационарной точки имеют
вид
<М» _ 7 , as(^'>₽7)
. -- “г ~
(2.24)
(2.25)
§ 4.2]
КОММУТАЦИЯ С ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА
179
Докажем, что система^ (2.24) — (2.25) однозначно раз-
решима относительно х1', р7, х1, рг Действительно, изсисте-
мы (2.25) следует, что
Р, = Ру. х/г = / (2.26)
и с учетом (2.26) мы получаем следующее решение си-
стемы (2.24):
Pi = -^(xf, Pi^
дх1
(2.27)
х1- — р1)>.
др7
Проверим, что стационарная точка (2.26), (2.27) не-
вырождена. Запишем матрицу
Hes> J Р, Р1Ф (*' ’ “ “Г- (х1, Р7), (х1, р7), р-Л
* •* др7 дх )
В матрице (2.28) 1 г, 17 обозначают единичные матри-
цы размеров 111 и | /| соответственно, и в незаполненных
клетках матрицы стоят нули. Поскольку детерминант
матрицы (2.28) равен —1, она’невырождена. Применяя
180
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
теперь формулу (1.11) асимптотического разложения
интеграла, получаем
ехр (т1<<г +
+ S (/', Ру)1) (х‘, X1, pl, р7) <Р (х1', р7) х
х dx1 dp/ dx1' dph. = exp (—S (xl, pr)) x
\ h J
XIH+ih
- дН d
_dx> dh
дН d
др/ dx1
1 ( d2S d*H
2 у дх1 дх1 др j др i
I d2S d2H
др7др7 Л7
d2S д2Н \
dx1 dpj dx1 dpj /
д2Н -
л 7 а
дх1 dpj _
Ф (х1, р7) (mod Л2).
(2.29)
Здесь значения функции S и ее производных берутся
в точке (х1, prf, а значения функции Н и ее производ-
/ I dS dS \
ных — в точке I х,------, ---, ру ].
др7 дх1 )
Доказательство формулы (2.29) будет дано в гла-
ве VI, предложение 2.1. Таким образом, предложение 2.4
доказано.
Пусть теперь kt — локальный канонический оператор.
Тогда из предложения 2.4 следует, что справедливо срав-
нение
dSl dSJ „ \ ..1/2 1
17’₽7?' +
д__1 / d2Sz д^Н
дх7 дрт dpt qxI 2 др,др,
то'. U-g-lyUi
dpj dpj qJ ^x7 dx1 dp j dx1 dpj ) dx^dpj J ]
Н (х, р) kfp =5 /г J ц71/2 [ Н | х1,
1 “1/2 Г дН
+ (Лр/ ' —
д дН
§ 4.2] КОММУТАЦИЯ С ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА 181
Определение 2.6. Оператор умножения на
функцию
называется локальным оператором Гамильтона — Якоби
в карте UIt
Определение 2.7. Дифференциальный оператор
1 -го порядка
..-1/2 (дя д дН д ,
д 1 — Iх/ { Z7 —-------------7--0 ---Т Т “ Г
W дР/ дР1 дх' 2 \дх'дх' дР1дР/
+ д2Н _ 2 &S, &н \ | ^1/2
^Pj др- Qxf qx7 дх1 dpj fix' dpf ) dx1 dpj J
называется локальным оператором переноса в карте Ut.
3. Доказательство теоремы 2.3. В этом
пункте мы будем считать выполненными предположения
теоремы 2.3, не оговаривая этого специально.
Предложение 2.5. Локальный оператор Гамиль-
тона — Якоби равен нулю.
Доказательство. По определению функция
S/(x/, ру) является решением уравнения
dSj = Г [pi dx1 — х1 dpj\.
Отсюда следует, что
Таким образом,
/ I dS г dSr \ г
Н х,— --d-, -4, р7 = ГН (х, х1, plt ру) = ГН = 0.
\ др7 дх1 }
Предложение 2.5 доказано.
Предложение 2.6. Локальный оператор перено-
са имеет вид
—
' „2 дхдр J
(2.30)
182
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
где
д2Н _ д2Н
дхдр дх1 dpi '
Доказательство. Согласно определению 2.7
оператор равен
_________________________
I дх' др7 др‘ дх1
_ ± / d2S1 д*н _|_ _£!£?_ д2Н _
2 дх'дх1 дР1дР/ др7др7 дх7
(231)
дх'др7 dx'dpj дх1др7Г
Из формулы (2.31) следует, что оператор может
быть представлен в виде
(ф) = - Г V (Я/) - 4- У (Я/) In И/l ф -
2 / Vs I д2Н №/ д2Н _ 1 дх^х1 fyjdpi др7др7 дх7 дх7 (2.32) дх1 др7 дх1 др{ J дх1 др7
где дН д дН д V (Hi) ~ др/ дх1 дР7 дх1
Преобразуем второе слагаемое в выражении (2.32),
опираясь на следующую лемму, принадлежащую
С. Л. Соболеву.
Лемма 2.7 (Соболев). Пусть в п-мерном про-
странстве R” с координатами а= (а1, ... ,а") заданы
векторное поле X и мера ц, удовлетворяющая условию
Тогда для плотности а меры р (относительно коорди-
нат а) имеет место следующее равенство:
—Xa=odivX. (2.33)
§ 4.2]
КОММУТАЦИЯ С ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА
183
Доказательство. Пусть пэле X имеет в базисе
...» координаты X1, ..., Хп, так что
. Х = Х1—‘: (2.34)
да1
Дифференцируя меру р вдоль поля (2.34), получим, что
5?хР = Xj_J dp + d (X_J p).
Поскольку dp=0, то из последней формулы следует, что
d(X__|р)=0. Тогда, используя явный вид формы
X _J р = Xlo da2 А ... Ada" —
— X2a da1 A da3 A • • • A dan + • • •»
получаем
d(XJp)=s(x»-g- + +X"^r)d«1A ... Ada« +
+ ® f Try + • • • H-da1 A ••• A do-n 0. (2.35)
\ da danJ
Из (2.35) следует, что
Xa=—a divX.
Лемма Соболева доказана.
Формуле (2.33) можно придать следующий вид:
Х(1п о)=—divX.
Применяя теперь лемму Соболева к векторному полю
V(Ht) — дрг дх1 дН д дх7 др7
И ПЛОТНОСТИ Pi, ПОЛуЧИМ , <яи дН 1 — V (Hl) In Р/ =div J_, др, дх1 । &Н дР/ _ д2Н dpj dpj дх1 dpjdx1 — 4- dxi _|_ дх1 др{ дх7 dpj дх1 д2Н дх7 &Н др, дх~дх‘ дрт d^dPl др- '
184
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. IV
Производные от координатных функций многообра-
зия иг по локальным координатам х', p-j мы можем за-
менить на элементы матрицы гессиана функции Sr со-
гласно формуле
dS/ = i* (pr dx1 — xl dpj).
В результате получим
v/t/м d2H d2/z d*st ,
— V(H/)lnpz =------T-----------------h
dPjdx1 дх1 dp, dx'dPj
4. d2fi d'S' — d*H 4- d4i d2S[ _
dx'dx' dx7dp7 dx'dx7 dhdpl
azH d2Sr
----™--------(2.36)
dxr dp, dx'dp7
Подставляя теперь выражение (2.36) в (2.32) и при-
меняя предложение 2.2 (формула (2.14)), мы получим
формулу (2.30). Предложение 2.6 доказано.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Предложение 2.8. Пусть пара (L, ц) ассоцииро-
вана с гамильтонианом Н. Тогда для любой функции
<peC“ (f/i) справедливо сравнение
= — — ~ -^-lq>(mod/i2). (2.37)
[ 2 дх др J
Приступим теперь к доказательству основной теоре-
мы (теорема 2.3). Пусть (L) и — раз-
биение единицы, подчиненное каноническому покрытию
{Ui}. Тогда в силу линейности оператора k мы имеем
— Hk 2 — 3 Hke,q>.
Далее, в силу предложения 2.8
2 Hkefy ss —*7г 2 М* W —у
§ 4.2] КОММУТАЦИЯ С ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА 185
Вычисляя теперь правую часть в выражении (2.37), по-
лучаем
- - ift2 kje, (у (Я)-££-}Ф + ih 3 М {V(Я)е,}.
(2.38)
Вычисляя вторую группу слагаемых в сумме (2.38) и
применяя предложение 1.2, мы получим, что
—ih 2 kjV (Я) et = 0 (mod ft2).
Таким образом, мы получили, что
2 ЯИ - - ift2 kie, [У (Я) - 4 ф =
mod*’ z( 2 дхдр)
^ — ihk [V (Я) — -у^-)ф.
1 ' 2 дхдр)
Теорема 2.3 полностью доказана.
Г Л А В A V
АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ
БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ
В этой главе мы получим формулу асимптотического
разложения по параметру h интеграла быстро осцилли-
рующей функции. Эта формула является техническим
средством при доказательстве теорем о коцикличности
канонического оператора Маслова и его коммутации с
быстро осциллирующей экспонентой. При этом чем с боль-
шей точностью мы хотим построить теорию, тем больше
членов надо уметь вычислять в формуле асимптотическо-
го разложения интеграла. Так, в элементарной теории
канонического оператора (гл. IV) нам было достаточно
первых двух членов разложения. При построении общей
теории (гл. VI) необходимо уметь вычислять все члены.
Традиционным в методе получения асимптотического
разложения является метод стационарной фазы, идея
которого состоит в том, что основной вклад в интеграл
дает окрестность стационарной точки его фазы. Этот
метод, удобный при теоретических рассмотрениях, ока-
зывается, однако, мало пригодным в вычислительном
отношении, т. е. при получении явных формул.
С другой стороны, имеется альтернативный подход
к построению асимптотического разложения быстро ос-
циллирующей функции — так называемый метод осцил-
лятора. Этот метод позволяет получить явные (рекур-
рентные) формулы для коэффициентов разложения, хотя
теоретическое обоснование его применимости (связанное
с оценкой остаточного члена) несколько затруднительно.
Здесь мы используем оба метода, проводя все теорети-
ческие рассмотрения с точки зрения метода стационар-
ной фазы, а формулы для коэффициентов разложения
получаем методом осциллятора.
« 8.1]
ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
187
§ 5.1. Формула асимптотического разложения
интеграла быстро осциллирующей функции
Рассмотрим вещественнозначную гладкую функцию
%(р) от переменных р= (ръ ..., p„)<=Rn с компактным
носителем и комплекснозначные функции <р(х, р)‘
Ф(х, р) от переменных х= (х‘, ..., x"*)eRm и р=
= (рь ..., p„)eRn, являющиеся аналитическими функ-
циями по переменным р. Потребуем, чтобы функция
Ф(х, р) имела неотрицательную мнимую часть на носи-
теле supp х функции х(р), т. е. 1шФ(х, р)^0 для ре
esupp х- Обозначим через Q множество таких точек
xeRm, что найдется точка peR„, для которой выполнены
соотношения
1шФ(х, р)=0, (1.1)
gradpO(x, р) =0.
Точка peR„, удовлетворяющая условиям (1.1) и (1.2),
называется вещественной стационарной точкой функции
_Ф(х, р) при фиксированном значении xeQ.
Потребуем, чтобы уравнение (1.2) имело единствен-
ное решение р=р(х) на носителе функции х(р), а гес-
сиан по переменным р функции Ф(х, р) в точке (х, р(х))
был нёвырожден:
det HesSp Ф (х, р (х)) =/=0.
Обозначим через Ф(х, £) аналитическое продолжение
функции Ф(х, р), £=р-Нт). Тогда в некоторой окрестно-
сти множества Й существует решение £=1;(х) системы
уравнений *)
Фс(хЛ(*))=0, (1.3)
где . ......
ф ГдФ(х,С) дФ (х, g) |
•1^1 ’ J'
Теорема 1.1. Если функции Ф(х, р), <р(х, р), х(р)
удовлетворяют перечисленным выше условиям, то имеет
*) Однозначная разрешимость системы (1.3) будет доказана
ниже.
188
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
место асимптотическое разложение интеграла
ехр (— Ф (х, р) I X (р) ф (х, р) dp =
I h j
ft 4 N
= exp P- Ф (x, £ (x))l 2 hkWk (Ф, <p) (mod hN+1), (1.4)
&=o
где $\(Ф, <p)—функции переменной х, зависящие от
функций Ф(х, £(х)), <р(х, £(х)) и производных этих функ-
ций до порядков 2N и N соответственно.
В формуле (1.4), как и ранее, сравнение
f(x, h)=0 (modftw)
означает, что для любого мультииндекса а= (аъ ..., а„),
|а| =а,1 + .. . + ап^А’, имеют место неравенства
\p*f(х, /i)| = Са(х) hN
с некоторыми положительными гладкими функциями
Св(х), убывающими на бесконечности быстрее любой
степени*), зависящими от а и функции f (но не завися-
щими от Л);
Доказательство. Прежде всего заметим, что
левая часть (1.4) является линейным оператором, при-
мененным к финитной функции х(р)<р(х, р). Следова-
тельно, если это будет необходимо, мы будем считать,
что носитель функции ф сколь угодно мал. Теперь дока-
зательство будем вести индукцией по размерности про-
странства Rn.
Базис индукции. Пусть п=1. Рассмотрим интеграл
1'2 л / / Ч
\ ехр {—Ф (х, р) I ф (х, р) dp. (1.5)
v (h )
Ri
Уравнение для стационарной точки имеет вид
Фс(х, £)=0. (1.6)
*) То есть C«(x)eS(Rm), где S(Rm) —пространство Л. Шварца.
7x(ft, х) = ( —)
V \2nhJ
§5.1]
ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
189
Уравнение (1.6) однозначно разрешимо в некоторой ок-
рестности точки (х0, р(х0)), удовлетворяющей условию
(1.2). Это утверждение следует из теоремы о неявной
функции, поскольку
(*о. ~ Р W)
и
Фрр(Хо, Р (ХО)) =/=0,
а следовательно, в некоторой окрестности множества
(х0, р(х0))
ф«(х, Р¥=0.
Более того, решение £(х) уравнения (1.6) удовлетворяет
условию £(х) =р(х) для ХЕЙ.
Рассмотрим теперь функцию Ф(х, £). Справедливо
следующее разложение:
Ф (х, р) ~ Ф (х, $ (х)) + (р — С (х))2Гф (х, р). (1.7)
Пусть
g (х, Р) = (о - с (X)) /Рф(х,р). (1.8)
Поскольку Рф(х, р) в окрестности точки (х0, р(х0)) от-
лична от нуля, выражение (1.8) допускает выделение од-
нозначной ветви*), и мы зафиксируем некоторый выбор
ветви. Отметим, что в рассматриваемой окрестности
<g(x,p) 0
dp
Рассмотрим теперь функцию
Ф (х, р) = ф (х, р) ВД \
Lap J
Функцию ф(х, р) можно представить в виде
ф(х, р)=ф(х, e(x)) + (p-5(x))F*(x, р). (1.9)
Воспользовавшись равенством (1.8), мы можем пере-
писать выражение (1.9) следующим образом:
ф (х, р) = ф’(х, с W) + в - (1.10)
_______________ V Fф (X, р)
*) На самом деле выражение (1.8) допускает выделение одно-
значной ветви только локально. Мы, однако, всегда можем считать
носитель supp ф функции ф достаточно малым,
190
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. V
pfy Р)
К функции — — можно снова применить раз-
ложение по формуле (1.10). Повторяя разложение N раз,
мы получим следующее разложение:
N ’
ш р) =V+W, ?)• о-in
k=0
Подставляя теперь разложения (1.7), (1.11) с уче-
том (1.8) в интеграл (1.5), получим, очевидно*),
li (х, h) = 7 ехр Р-Ф (х, С (x))j J exp £2 (х, р) j Х|(х, р)х
J Ri
'N }
фА(х)Вл^(x,p)(mod/0
,ft=o J
X
Р)|Х(х, p)dg(x, р).
[ tl )
Здесь % (х, р) — функция с носителем в некоторой окрест-
ности множества (х, р(х)), xeQ.
Рассмотрим выражение
by’/!expfr®(1' ’W)} 5ехр
R.
(1Л2)
Этот интеграл можно рассматривать как интеграл по
контуру у(х) в комплексной плоскости С (с координа-
той |), уравнение которого есть g=g(x, р). Напомним,
что Ф(х, р)=£2(х, р)+Ф(х, £(х)).
Попробуем отыскать область изменения параметра £
так, чтобы в этой области оставалось справедливым не-
равенство
1шФ(х, р) ^0.
♦) Поскольку фаза Ф(х, р) не имеет стационарных точек на но-
сителе функции [1—х(х, р)]ф(х, р), то, интегрируя по частям, мы
получим, что
f ехр/4"Ф (*, PH [1 — X(x,p)]<p(x?p)dps0(mod/i00).
J I h )
Ri
§5.1]
ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
191
Более точно, мы покажем, что поскольку х(х, р)=® вне
достаточно малой окрестности точки £=0, то мы можем
продолжить контур у(х) таким образом, чтобы
1) вне достаточно малой окрестности точки |==0 он
совпадал с вещественной прямой;
2) на этом контуре
1т[£2+Ф(х, £(х))]>0; (1.13)
3) контур у(х) непрерывно зависел от х.
Покажем возможность такого выбора. Начнем с ус-
ловия 2). Пусть Ux — область в комплексной плоскости
g=gI + ig2, в которой выполнено условие (1.13). Имеем
Im [£2 -h Ф (х, £ (х))] = 2^ g. + Im Ф (x, £ (x)).
Ниже мы покажем (лемма 1.2), что существует та-
кая постоянная С>0, что справедливо неравенство
п
Im Ф (х, £ (х)) > С 3 [Im С, (х)]2. (1.14)
1=0
Поэтому область в комплексной плоскости (gi, |2), в ко-
торой выполняется неравенство (1.13), ограничена ги-
перболой
_ Im Ф (г, £(.»•))
biSa —--------~-------
с неположительной константой в правой части. При
хсй область, в которой выполняется неравенство (1.13),
есть область geC|gtg2^0, т. е. 1-й и 3-й квадранты.
Поэтому контур у(х) лежит в области U* и может быть
продолжен однозначно с точностью до гомотопии. Оче-
видно, выбор контуров -у(х) при х^П может быть про-
изведен таким образом, чтобы функция у(х) непрерыв-
но зависела от х.
Замечая теперь, что с точностью до О(й“) функцию
Х(х, р) в интеграле (1.12) можно заменить единицей, и
опуская контур у(х) на вещественную ось (что возмож-
но в силу аналитичности подынтегрального выражения
в области С/х), получим, что интеграл (1.12) равен
const ехр Ф (х, £ (х))}.
192 ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИИ (ГЛ. V
Рассмотрим теперь выражение
(тт)7 ехр (т ф (*> £ (*))] ехР (-И2 <х> Р)] *
\4Ш1 / (Л ; ч) (Л )
Ri
X I1 (X, р) % (х, р) dl (х, р). (1.15)
Интегрированием по частям интеграл (1.15) приводит-
ся по модулю O(h"°) к интегралу (1.12), умноженному
ля
на h , после чего применяется описанная выше проце-
дура. Оценка остаточного члена производится также ин-
тегрированием по частям с учетом неравенства (1.14).
Итак, мы доказали следующую формулу:
n t- i
Л (X, Л) = 2 Wt [Ф, <Р1 hkехр М-Ф (х, £ (х))} (mod (ft"+1)).
(1-16)
Для п= 1 теорема доказана.
Пусть теперь формула (1.4) справедлива для про-
странства п—1 измерения. Докажем ее для пространства
п измерений. Будем рассматривать интеграл /„(х, й) в
окрестности точки х0ЕЙ:
.. /i \п/2 тг
in(x,h) = l—} I eh <p(x,p)dp. (1.17)
\ZJwi / J
Мы утверждаем, что невырожденным вещественным
линейным преобразованием пространства R„ можно до-
биться того, чтобы какой-либо из диагональных элемен-
тов матрицы
HesspO(x0, р(х0))
стал отличен от нуля.
Без ограничения общности можно считать, что
~~ (^о> Р (хо)) 9^0. (1«18)
дР{
§ 5.1]
ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
193
Вновь обозначая переменные интегрирования через р,
запишем интеграл (1.17) в виде
/п(х,/i)=(----1 I dp' I-----) x
4 ’ \2nh) J \2nh J
* f exP It ф (x> Pi> P'>) Ч> (x, pb p') dpv (1.19)
J t n )
Ri
Здесь p'= (p2, ...,pn), так что p= (Pt, p').
Проверим условия теоремы 1.1 для внутреннего ин-
теграла
/ i \1/2 С Г i "I
\ ехР Т ф <х’ Р» Р') ф р1’ Р')dp^
В этом интеграле переменные (х, р') являются парамет-
рами, множество Q={(x, р'(х)) : хеЙ}. Носитель функ-
ции <р(х, pt, р') по переменным pt компактен, а
1тФ(х, pt, р')^0 на носителе функции <р(х, plt р') по
переменной pt. Поскольку уравнение (1.2) имеет един-
ственное решение р=р(х) на носителе функции <р(х, р),
то уравнение
ФР1(х, Рп р')=0, хеЙ,
имеет единственное решение
Pi=Pi(x, р'(х)),
а условие (1.18) означает невырожденность гессиана
функции Ф(х, plt р') по переменной pt. Обозначим через
£=^(х, р')
решение уравнения
Р', £0=0. (1.20)
Тогда, применяя формулу (1.16) к внутреннему интегра-
лу, получим
ехр {1- Ф (х, р1, (х, p'))j 3 A W [Ф, Ф] (mod hN*1).
Обозначим
Ф.(х, р')=ф(х, р', Ь(х, р')). (1.21)
7 Мищенко и др.
194
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
Интеграл (1.19) представляется теперь в виде
vi ь I i \(«—!>/2 Р ( i л
In(x,h)= 3 h(гт) 1 ехР|тф1(х> Р'))х
Л=о \2ЛЛ / rJ I Л J
X И’’ [Ф. <р] dp' (mod ft"41). (1.22)
Проверим выполнение условий теоремы 1.1 для инте-
грала (1.22). Здесь параметрические переменные (х) и
множество й совпадают с переменными (х) и множест-
вом й, введенным в теореме 1.1. Условие на носитель
функции типа <р(х, р') выполнено очевидным образом.
Условие на мнимую часть фазы ФДх, р') вытекает из
приведенной ниже леммы 1.2. Остается показать, что си-
стема уравнений
(х, р') — О, i = 2....п,
dpi
имеет единственное решение при хей.
В самом деле, если хей, то ^(х, р'(х)) =pt(x).
Далее,
IT =^(*.Hx)) + ^(x.P'to)fJ-=0 (1.23)
Ъ d& dPi
для всех /=2,..., и, поскольку второе слагаемое в (1.23)
равно нулю в силу (1.20), а первое — по условию теоре-
мы 1.1.
Проверим выполнение неравенства
det HesSp'Oj (х0, р' (х0)) ^=0, х0 е й.
Для этого рассмотрим определитель *)
detHesSpO = даФ dp* д2Ф даФ • .. даФ (1-24)
dpidp2 д2Ф dp* д2Ф
дрг dpL dp2 dpn
даФ д2Ф даФ
dPi дрп dp2
♦) Все функции в следующих ниже определителях вычисляются
в точке (хо, р (х0)).
5 5.!J
ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
195
С определителем (1.24) мы произведем следующие пре-
образования, очевидно, его не меняющие. Умножим по-
следовательно первый столбец определителя (1.24) на
—, i=2, ..., п, и результат прибавим к i-му столбцу
9pi
(i=2, ..., п). В результате получим определитель
УФ др* УФ УФ dpi др2 УФ dpi Ч/ + ^- др2 < УФ УФ ?Pi др2
др2 дрх
д2Ф УФ + ^- Тдр2 УФ
др„дрх дрпдрг др„ dpi
д2Ф , дСх уф -[
л. Ж _
dpi dpn дРп dpi
д2Ф । dti УФ ' dpn 'др2 др!
dpt dpn
УФ । УФ
др„ dpndpi
(1-25)
Далее, дифференцируя тождество (1.20), мы получаем
в точке р'=р'(х)
УФ , &ф agx _Q др} dpt (1.26)
dpi dpt
Таким образом, с учетом преобразовывается к виду (1.26) определитель (1.25)
Гд2Ф М 0 ... 0
д2Ф д»ф dg2 УФ УФ д2Ф
др2дРх dpi др2 др2др! dPidpn ^dpn dpn dpi =—
д2Ф д2Ф dgx УФ УФ dpn УФ
dpndpLdpndp2 др2 дрп dpi dp*n дрп dpi
52Ф dgx УФ УФ УФ
= ±2. дРг dp2 др2дрх dp2 dp. г дРп др2дрх
д2Ф dgi д2Ф УФ УФ . (1-27)
dpn дрг др2др„др, ^dpndpndpx
7*
196
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
Преобразуем элементы определителя (1.27)’, исполь-
зуя производные функции (1.21). Получим
== Л (ф (*> Р'> & (*> Р'))1 =
uPi dpi
р’’ р » + р’’ РУ г1 • -28>
dPi д&. dpi
Поскольку £, (х, р') — стационарная точка функции
Ф»(х, р', £) (см. (1.20)), то второе, слагаемое (1.28) рав-
но нулю и, следовательно,
ЗФ1 дФ , z » /
-г2- = -г- (х, р , (х, р)).
uPi vPi
Далее,
даФ
ар,. дР!
(х, р (х)) + (х, р (х)) (X, р' (х)). (1.29)
dpi opt- 0Pi др! djp
Используя (1.29), мы получаем, что определитель (1.27),
равный det Hessp4) (х, р(х)), представляется в любой точ-
ке в виде
det Hessp<D (х0, р (х0)) =г
= (*о> Р (хо))det HessP* фх (хо> Р (хо))
М
Теперь из условия det Hess Ф(х, р(х))=^0 теоремы 1.1
непосредственно вытекает, что
det Hessp- Фх (х0, р (х0)) =/= 0.
Итак, все условия теоремы 1.1 выполнены, и мы
вправе применить индуктивное предположение. Имеем
. . . N
X {-^ФДх, V (X))} 2 h^W1^ [фх, w(k1} (Ф, ФП (irod hN"), (1.30)
§5.1]
ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
197
где £'(х) — решение системы уравнений
4-Ф1(>и') = о, 1 = 2.................п.
С другой стороны, Ф4(х, £')=Ф(х, £', £4(х, НУ-
Пусть £=£(х) —решение системы (1.6). Тогда
ф (X, Г (х) (х, О) = 0, i = 2.....п,
Л-ф(хЛ’(х), £1М')) = 0,
^-Ф (х, I' (х), % (х)) = 0, i = 1, ..., п.
Из единственности решения системы (1.6) следует, что
t = r(x), 5i(x)=e1(x,rw) (i.3i)
и поэтому
Ф1 (X, Н = Ф (X, Г (х), £х (X)) = Ф (X, 1(х)).
Подставляя интегралы (1.30) в (1.22), получим
. N N
1п (х, h) = ехр^-Ф (х,£ (х))|2 2 h^’Wfr^, П^Ф, <РП=
N
= ^hl 3 И"'1>[Фх.И1,[Ф.фП(то<1/1ЛГ+1).
Z—о £'+£==/
Обозначая
И°1ф,ф] = з ^•‘’[ФьМ?, [ф,фп,
k^+k^l
получим, снова заменяя £(х) на £(х), ’
In (х, h) = ехр [-Ф (X, С (х)) I у, hkW(ky [Ф, ф] (mod hN+1).
[h
Лемма 1.2. Справедливо неравенство
1шФ (х, £(х)) Пт(£(х))]а.
198
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. V
Доказательство. Допустим сначала, что сущест-
вуют такие функции
Qii(x, р), Re Qu(x, р) #=0,
что для функций
Ik (X, р) (Pl — £z (х)) Qik (х, р) (1.32)
i=k
выполнено соотношение
Ф (х, р) = Ф (х, S (х)) + i (3 £ (х, р) ]. (1.33)
\fe=i /
В этом случае существуют вещественнозначные функции
Р = Р (х),
удовлетворяющие системе уравнений
ReSfe(x, р(х)) = 0. (1.34)
В самом деле, если хеЙ, то, положив р(х)=£(х) =
= Re£(x), мы получим, что |ft(x, р(х))=0. Далее, в точ-
ках (х, р(х)) матрица Якоби системы (1.34) отлична от
нуля, значит, решение (1.34) существует и единственно
в окрестности множества Q. Подставляя значение р =
= р(х) в (1.33), получаем
Ф (х, р (х)) = Ф (х, S (х)) + i 3 (Im lk (х, р (х)))\
т. е.
Im Ф (х, С (х)) = Im Ф (х, р (х)) - (Im & (х, р (х)))*. (1.35)
Обозначим через £(х, р) столбец из функций ВДх, р),
через Q(x, р)—матрицу из функций Q,j(x, р). Тогда
det Re Q (х, р) =/=0. Следовательно,
Im | (х, р (х)) = — Im (S (х)) Re Q (х, р (х)) —
— Im £ (х) Im Q (х, р (х)) (Re Q (х, р (х)))-г х
х ImQ(x, р(х)) =—ImS(x)(ReQ+ImQ(ReQ)-1ImQ)(x, р(х)).
§5.1]
ФОРМУЛА АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
199
Поскольку матрица Q треугольная, то
det (Re Q + Im Q (Re Q) -‘Im Q) #=0.
Следовательно, существует такая константа С>0, что
3 I Im Ъ(х, Р (х)) |2 > I Im &(X) |\ (1.36)
Подставив в (1.35) условие 1тФ(х, р)^0, (1.31) и
(1.36), получаем утверждение леммы 1.2.
Таким образом, осталось только найти функции
Q«(x, р). Заметим, что функции Q№(x, р) достаточно
определить только в окрестности множества точек вида
xeQ, р=р(х). Для посгроения матрицы Q = IIQ«(x, р)||
применим последовательно к переменным (рь р2,...» р»)
формулу разложения (1.7). Тогда
Ф (х, р) = Ф (х, £ (х)) 4- 2 (Р/ - и (X)) (р* - & (х))/« (X, р).
k,i
Поскольку det Hess,® (х, р(х))=?М), то det||F*, t (х, р)||^=0
в окрестности множества Q. Тогда функции (1.32) ищем
рекуррентным процессом при приведении квадратичной
формы
з (Р/ - С/ (X)) (pk - (х)) Fkl (X, р)
k.i
к диагональному виду. Заметим теперь, что матрица Q —
невырожденная треугольная матрица. Далее, из (1.33)
при хей имеем
Im (х, р) = 2 Re (х, р) (х, р). (1.37)
dPldPm °Pl дРт
Пусть вектор Х={А*} с вещественными координатами
таков, что
2^'(х,р)»0. (1.38)
°Pk
Поскольку матрица ||QW|| невырождена, то
S^^(x,p)^0. (1.39)
°pk
200
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
Тогда из (1.37), (1.38) и (1.39) получаем, что
dpkdpl dpk др1
что противоречит условию 1тФ(х, р)^0. Следователь-
но, матрица
dPk
невырождена, что эквивалентно условию
det||ReQw||=/=O,
или
ReQ«(x, р)^0.
Замечание. На самом деле мы доказали более
сильное неравенство. Именно из (1.35) следует, что
Im Ф (х, £ (х)) > Im Ф (х, р (х)) + С (Im £ (х))2,
k—1
где р(х) —решение уравнения (1.34), вычисленное с по-
мощью равенства (1.32):
р (х) = Re £ (х) - Re Q"1 Im Q Im £ (х).
§ 5.2. Метод осциллятора для асимптотического
разложения интеграла
1. Основная идея. В этом и двух следующих па-
раграфах будет изложен метод вычисления членов асимп-
тотического разложения интеграла:
I (X, у, К) =»
= ехр/-^-(—<х, о> 4-Ф(р, u))l Х(и)ф(р, o)do (2.1)
\2nft / J I h )
при следующих предположениях (ср. § 5.1):
i) функции Ф(у, v) и ф(р, о) — комплекснозначные
аналитические функции вещественных переменных к =
= (оь ..., ti„) sRn; параметры х, у суть точки арифмети-
§5.2]
МЕТОД ОСЦИЛЛЯТОРА
201
ческих евклидовых пространств xeRn, г/eR*"; функция
х(о)—гладкая функция, имеющая компактный носи-
тель; <х, о>=х<о<;
ii) функция Ф(у, v) имеет неотрицательную мнимую
часть:
1тФ(г/, v)>0. (2.2)
Обозначим через й множество точек (у, x)<=RmXRn,
которое определяется следующим образом.
Определение 2.1. Точка (х, у) ей, если сущест-
вует такая точка ueR„, что
1) 1тФ(г/, у)=0; (2.3)
2) -x' + g-(t/,v) = 0. (2.4)
При этом точка V, удовлетворяющая (2.3) и (2.4) на-
зывается вещественной стационарной точкой, v = v(x, у).
iii) Решение уравнения (2.4) единственно на носите-
ле функции %(ц).
iv) Гессиан функции Ф(у, v) в точках v(x, у) невы-
рожден:
det Нез8вФ(1/, v(x, y))^Q.
Для удобства вычислений мы включим интеграл (2.1)
в однопараметрическое семейство интегралов
ф (х, у, h, /) =s--------С ехр I —-— [cos fix]2 —
Kl2Asin/1 1
— 2 <x, o> + cos 11 v |2] I exp (— Ф (у, о)! X (v) <p (y, v) dv,
) I h )
(2.5)
параметризованное*) точками комплексной плоскости С.
и вычислим коэффициенты асимптотического разложения
интеграла (2.5). Обозначим через |х|2 скалярный квад-
рат вектора х в евклидовом пространстве R”:
|х|? = <х, х>
*) В дальнейшем область изменения параметра teC будет
уточнена.
202
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
и аналогично через |о|2—скалярный квадрат вектора v
в евклидовом пространстве R„:
|o|* = <v, v).
Сделаем, прежде всего, два важных замечания.
Замечания, а) В точке t=л/2 имеет место следую-
щее равенство:
(х, у, h, -у) = I (х, у, h). (2.6)
б) Как показывает прямой подсчет, интеграл (2.5)
является решением следующей задачи Коши для уравне-
ния Шредингера:
[Л^- = -^Дхф + |х|аф, (2.7)
01
Ф Uo = ехр jy Ф (х,«/)} X (х) ф (х, у). (2.8)
Поэтому для вычисления коэффициентов асимптотиче-
ского разложения интеграла (2.1) мы поступим следую-
щим образом.
1) Используя метод стационарной фазы, развитый в
§5.1, напишем с неопределенными коэффициентами раз-
ложение интеграла (2.5) по степеням h.
2) Подставим полученное разложение в уравнение
(2.7) и начальные условия (2.8). В результате получим
некоторое асимптотическое разложение, коэффициенты
которого суть результаты применения явно выписывае-
мых дифференциальных операторов к неопределенным
коэффициентам, о которых шла речь в 1).
3) Используя уравнение (2.7) и начальные условия
(2.8), мы покажем, что коэффициенты полученного в 2)
разложения должны быть равны нулю. Это доставляет
нам систему дифференциальных уравнений типа Гамиль-
тона— Якоби и переноса, решая которую, мы получим
искомые коэффициенты.
в) Для нахождения коэффициентов с помощью реше-
ния дифференциальных уравнений, о которых говорилось
в 3), необходимо найти область изменения параметра t,
в которой точки t=0 и t=nl1 могут быть связаны путем,
целиком состоящим из точек, в которых применим метод
§ 5.2]
МЕТОД ОСЦИЛЛЯТОРА
203
стационарной фазы (см. § 5.1). К сожалению, отрезок
вещественной оси t,
0</<л/2, Im/=0 (2.9)
(вообще говоря), не удовлетворяет этому условию: в йе-
которых точках отрезка (2.9) стационарная точка фазы
интеграла (2.5) вырождается. Поиски других путей, со-
единяющих точки t=0 и 1=п/2, приводят к расширению
области изменения параметра t до некоторой области
плоскости комплексного переменного и разложения ин-
теграла (2.5) в области комплексного переменного t.
Однако степенная оценка остаточного члена в этой ситуа-
ции уже бессмысленна, поскольку в области Im/<0
каждый из членов асимптотического разложения, как
легко усмотреть, убывает экспоненциально при /г->0. По-
этому естественно попытаться выделить в подынтеграль-
ном выражении убывающую экспоненту и применить
метод стационарной фазы уже к оставшейся быстро ос-
циллирующей функции.
Приступим к выполнению изложенной программы.
2. Обоснование возможности примене-
ния метода стационарной фазы. Прежде всего
найдем область в комплексной /-плоскости, где фаза ин-
теграла (2.5) неотрицательна, т. е.
Im [c°s/|x|2-2<x, t>> + cosf|o|2 + ф(0> J >0 (2 10)
L sin t J
Поскольку 1тФ(о, у)^0, то фаза интеграла (2.5) не-
отрицательна, в частности, в точках /еС, удовлетворяю-
щих неравенству
[m [cos /1 х |2 — 2 <х, t>> + cos /1 о |21 q
I 2 sin t J
Найдем эти точки. Имеем, если /=/1+i/2,
Im [I * 1а cos / — 2 <х, t>> +1 о |2 cos /1 __
[ 2 sin t J
__ — sh (| x |2 ch — 2 <x, o> cos +1 о )2 ch <a) (9 11)
““ 2 [sin2 /j ch312 + cos2 h sh2 /»] • I • J
Очевидно, что для неотрицательности функции (2.11) до-
статочно, чтобы
204
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
a) sh4=^0; (2.12)
б) каждая из квадратичных форм *)
ch 4 (о*)2 — 2xfy cos 4 + ch 4 (х‘)2> i = 1.п, (2.13)
была неотрицательно определена.
Условие б) в свою очередь следует из двух неравенств:
б') ch4>0; (2.14)
б") ch2 4 —- cos2 4 > 0. (2.15)
Нетрудно проверить, что неравенства (2.12), (2.14) и
(2.15) выполняются в области
Im
(2.16)
Преобразуем теперь в области (2.16) интеграл (2.5)
следующим образом. Найдем экстремум (по v) функции
Im
cos И х |2 — 2 <х, t>> 4- cos /1 у |2
2 sin t
(2.17)
В силу формул (2.11) экстремум (2.17) достигается
в точке
v0 = v0(x,t) = x-^i (2.18)
СП 4
и равен
р»/ л _ ~ sh 41 х I2 [ch2 4 4- cos2 4]
' ’ ' 2 ch 4 [sin2 4 ch2 4 4-cos2 4 sh2 4]
Очевидно, (2.18) —точка минимума. Преобразуем теперь
интеграл (2.5) к виду
ехр<—— F*(x, г) г
Ф (х, У, h, 0 =-----------2- £ ехр х
(2nih sin t)n/i J
x J-L | |x|2eos^2<x.C>4-|v|2cos< _ .p. (x> t} + ф 0)]| x
хХ(о)ф(», у) dv. (2.19)
2 sin t
*) В (2.13) суммирование по «повторяющимся» индексам не
предполагается.
§ 5.2)
МЕТОД ОСЦИЛЛЯТОРА
205
Покажем возможность применения метода стационар-
ной фазы (см. § 5.1) к интегралу (2.19). Отметим пре-
жде всего, что мнимая часть фазы
Ф (х, у, о,/) =
= | x |8 cos / —12 <х, p> + kl2cos<t.f.(X| t + фv) (2 20)
2 sin t
интеграла (2.19) неотрицательна:
1шФ(х, у, v, 0
в силу (2.10) и поскольку функция F*(x, t) является ми-
нимумом фазы (2.17). Сделаем еще одно замечание об
уравнении для стационарной точки фазы (2.20). Это урав-
нение имеет вид
— = 6% ctg t + . (2.21)
sin t dui
Заметим прежде всего, что если решение v = v(x, у, t)
системы (2.21) существует, то в силу ограниченности
функций
дФ (у, v) . ,
—, i == 1, ..., п,
dvt
на отрезке [0, л/2]
ЗФ (у, о)
dVi
<Cit
i = l, ..., n,
существует конечный предел
,. х— 64v, (х, t, у)
пт----------1------
t—o sin t
1=1, . .., n.
Другими словами, при
х‘—б'-'иДх, t, t/)->0, i=l........................n. (2.22)
В частности,
limd,/t»/(x, t, y) = x‘, i = 1, ..., n, (2.23)
r-*0
206
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
и мы будем искать решение системы (2.21) именно в
классе функций, удовлетворяющих условию (2.23). Для
отыскания функции v = v(x, t, у) поступим следующим
образом. Умножим обе части системы (2.21) на sin/. По-
лучим систему
х1 = dl,v.- cos t 4- - sin t =1........п. (2.24)
dvi
Заметим теперь, что любое решение системы (2.24) в
окрестности 0^|/|<6 автоматически удовлетворяет ус-
ловиям (2.22). С другой стороны, в области 6^|/|^л/2
система (2.24) эквивалентна системе (2.21), так что ре-
шения систем (2.24) и (2.21) будут совпадать.
Теперь вычислим множество й(. Множество и, сле-
довательно, стационарные точки фазы (2.4) могут быть
получены с помощью следующей процедуры. Рассмотрим
некоторую точку (х0, у)ейж/!. Тогда согласно определе-
нию множества й существует такая точка и», что
Im Ф (г/, t>0) = 0, = 4 '=1........п. (2.25)
Рассмотрим систему Гамильтона для гармонического
осциллятора
х1 = 6llph
Pi = — bijx’, (2.26)
i = 1, ..., п,
с начальными данными
xl(p9, У,О)~Ъ%, (2.27)
P/(«o>i/.O) = 6‘7^^-), (2.28)
Ч/
i = 1, .... п.
Отметим, что начальные данные (2.28) вещественные.
Предложение 2.1. Если
xl = x{(v0,t),
Pi = Pi(v0,t),
i — I, ..., n,
§ 5.2]
МЕТОД ОСЦИЛЛЯТОРА
207
— траектории системы (2.26) с начальными данными
(2.27), (2.28), то
x(va, у, /)еЙ( (2.29)
(при этом стационарная точка есть о0). Более того, если
о0 пробегает все стационарные точки для всех значений
(х0, г/)ейя/2, то множество (2.29) исчерпывает все мно-
жество й(.
Доказательство. Покажем справедливость вклю-
чения (2.29). Из (2.26), (2.27) и (2.28) имеем
х1 (ос, у, 0 = 61/о0/ cos t + - sin t, i = 1...n.
dvol
(2.30)
С другой стороны, прямое дифференцирование по пе-
ременным и фазы (2.4) показывает, что уравнение для
стационарных точек имеет вид (2.21) или с учетом по-
следнего замечания — вид (2.24). Поскольку выражения
(2.24) и (2.30) совпадают, то выполнено условие 2) опре-
деления 2.1 для фазы (2.20). Проверим выполнение усло-
вия 1) определения 2.1. Мы покажем, что стационарная
точка va{, удовлетворяющая уравнению (2.30), является
также решением уравнения
— Im ГИ2со5<^-2<х’ р>+ 1 о I2 cos i 1 _ q i = 1, ..., п,
dv{ [ 2sinf J ’ ’ ’
(2.31)
т. е. является экстремальной (минимальной) точкой функ-
ции (2.17) и, следовательно, совпадает с точкой (2.18).
Отсюда будет следовать, что
| х |8 cos f — 2 <х, p> +1I2 cos 11
2sinf |
F(x,t)
и вместе с (2.25) мы получим, что
Ф(у, t, v, х) |„_ео=О,
т. е. выполнено из условия 1) определения 2.1.
Покажем теперь, что точка v является решением урав-
нения (2.31). Пусть v при данном хей(—стационарная
208
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
точка. Тогда
— [I Х I2 C0S * 2 0> + | Р I2 COS t
dvy L 2sin/
— iF* (x, f) + Ф (v, y) = 0.
Поскольку 1шФ(у, у) ^0, то
= i-1,....
dv.
и, следовательно,
ГIx I2 cos ~Н I»I2 cos t ~| __ q
dv{ [ 2 sin t J ’
i = 1, ... , n*
Последнее уравнение совпадает с уравнением (2.31).
Таким образом, решение уравнения (2.30) действи-
тельно удовлетворяет уравнению (2.31). Используя реше-
ние (2.18) уравнения (2.31), неявное выражение для ста-
ционарной точки фазы (2.20) можно представить в сле-
дующем виде:
V (X (У, V, 0, /)« . (2.32)
СП
Докажем теперь вторую часть утверждения предло-
жения 2.1. Пусть (х0, у)еЙ|. Согласно определению 2.1
это означает, что существует такая точка va, что
1) 1тФ (у0, t, х0, у) = 0; (2.33)
2) ^-(v9,t,x9, t/) = 0. (2.34)
dVi
Из (2.33) следует, в частности, что
1шФ(//, v0) =0.
Выражение (2.34) более подробно записывается в виде
л!, = COS t 4- дф sin
Обозначив
sin t
§5.2]
МЕТОД ОСЦИЛЛЯТОРА
209
имеем
Следовательно, (х(, у) <=Q(. Предложение 2.1 доказано* *
полностью.
Покажем теперь, что стационарные точки (2.32) фазы
(2.20) невырождены. Мы показали, что у фазы (2.20)
имеется такое множество й<#=0, что для всякого хеЙ(
существует вещественная стационарная точка v при всех
t, Imf^O. Докажем, что в области Imf^O, исключая,
быть может, некоторое конечное множество точек *) на
интервале
0<Re/<n/2, Im/=0, (2.35)
якобиан равен
J (t, v, у) = det | б'7 ctg t + v{ I =£ 0. (2.36)
11 dvidoi II
Действительно, уравнение (2.36) можно считать веко-
вым (характеристическим) для матрицы
1^1- <2-37’
Пусть ц,{(у, v)—собственные значения матрицы (2.37).
Тогда нужное утверждение будет доказано, если мы по-
кажем, что уравнение
ctgf=—ц,(о, у) (2.38)
(относительно параметра t) имеет в области Imf^O не
более чем конечное число корней на интервале (2.35).
Для доказательства этого утверждения заметим, что
собственные числа матрицы гессиана функции Ф(о, у),
удовлетворяющей условию (2.2), расположены в верхней
полуплоскости (включая вещественную ось):
Im цДц, у)>0
и, следовательно**),
sgn[—Im (v, у) ]=—1.
*) В действительности, как будет видно, это множество состоит
не более чем из п точек.
♦) Мы считаем, что §gn х=1, х^0чи sgn х=—1, х<0?
210
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
С другой стороны, полагая + получим
sgn Im ctg t = sgn [im eos W^/sin 1 ~
[ sin fj ch i2 + i cos fj sh t2 J
= sgn (cos ch /2 — i sin 4 sh /a) (sin 4 ch 4 — i cos sh 4) =
sgn [— sh t2 ch 4] = 1
в области /2<0. Таким образом, решения уравнения
(2.38) в области /2<0 не существует. На интервале (2.35)
мы имеем следующее уравнение:
ctg/=—р,,(о, у), Im/=0. (2.39)
Пусть pj вещественно (в противном случае уравнение
(2.39) решений не имеет). Тогда уравнение (2.39) имеет
на интервале (2.35) ровно одно решение
t—ti=— arctgpj(v, у).
Поскольку i=l, ..., п, то всегда на интервале (2.35) бу-
дет не более чем п точек tt, ..., tn — нулей якобиана
(2.36).
Обозначим через Г множество точек /еС, удовлетво-
ряющих следующим условиям:
1)
2) t=/=tiy
Выше мы показали, что для /еГ выполнены все усло-
вия теоремы 1.1 и, следовательно, в области Г мы можем
написать следующую формулу асимптотического разло-
жения интеграла:
ф*(х, у, h, 0 =
__ 1 С ехр f i Г | * I2 cos f — 2 <х, о> -Ц t> |8 cos f_
(2л/й sin0rt/2 ' L 2 sin/
— iF* (x, 0 + Ф (У> X (y) cp (v, y)dv.
Именно, согласно теореме 1.1 существуют такие функции
S(x, t, у), ^K{x,t,y),
§ 5.3]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ РАЗЛОЖЕНИЙ
21 1
ЧТО
4>* (х, t, h, у) —
е л N
= ехр S* (х, t, у)\ 2 ifyk (х> У) (mod hN+1).
k=0
Рассмотрим теперь уравнение
zl=bl,Wj cos/ + ^ф^’-— sin/, i = 1, ..., п, (2.40)
' ди>{ ' ’
где
г1 = х1 + iyl, Wj — Vj + itj, j = 1, ..., n.
Из изложенного выше следует, что существует единствен-
ное решение
wj = Wj (z, у, /), /=!,..., п,
уравнений (2.40) для комплексных точек г, лежащих в
некоторой (комплексной) окрестности множества Q(.
§ 5.3. Вычисление членов асимптотического
разложения
Введем следующие определения.
Определение 3.1. Действием S мы будем назы-
вать аналитическую в Г функцию
S(z, t, у, v(xt t, у)) =
= {ф(у, w(t, г, у)) + -L-^cos/|z|2- 2<х, w(t, z, у)> +
4- cos 11 w(/, z, y) |a]} . (3.1)
Определение 3.2. Якобианом J мы будем назы-
вать аналитическую в Г функцию
J(t, у, w(/, z, у)) = detIIdl/cos/ + sin/ дФ(у. toO’j’ у)).II.
|| у
(3-2)
212
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
Определение 3.3. Определим аргумент Arg/ яко-
биана J как однозначную функцию с помощью следую-
щих свойств-.
1) Arg J (Q, у, о(х, 0, у)) =0; (3.3)
2) Arg J(/o, у, v(x, у)) для любой точки /оеГ равен
приращению
Var Aig J (3.4)
<ev[o.41
непрерывной функции kxgl вдоль любого пути у[0, /0],
соединяющего точки t—Out—toU лежащего в Г.
Замечания, а) Поскольку якобиан (3.2) не обра-
щается в нуль в Г, а Г — односвязная область, то опреде-
ление (3.3) корректно, т. е. Arg/(x, t0, у) не зависит от
пути -у[0, /0], соединяющего точки /=0 и / = /0.
б) В области Г корректно определена аналитическая
функция
J"1/2(/, у, w(l, г, у)). (3.5)
Определим теперь аналитические в Г функции ср* (о», t),
k=0,..., N, следующим рекуррентным способом:
Фо - Ф (#. да)>
I
ф* (.У, t, w) = J'1/2 (у, Г, w) {у, t', w) X
о
хф*-1(у, f, u»)df, £>1, (3.6)
где
dz‘ daui ’
п яг я dw, U, г, у) я
Дг = 3—.................i (3.7)
dz1 dz1 dWj
Функции t, у) определяются из соотношения
zl (w, у, t) = i>llWjCost + y). sin t, i — 1, .
•. п,
(3.8)
и подставляются в (3.6).
§5.3)
Вычисление членов разложений
213
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.1.
Тогда имеет место следующее сравнение:
I (х, у, й)«
(mod hN+1),
где
arg i = л/2, arg det Hess (— Ф (у, w (x, , y jj j =
= V argKk(y, v(x,
k=i ' ' ''
Kit ... ,K„ — собственные числа матрицы гессиана
Hess (— Ф (у, v ^х, -у-, ,
причем ——jtCargX*^— и функции S(z, у, t, w), q>*(z, у,
2 2
о>) определены по формулам (3.1) и (3.6).
Доказательство. Запишем разложение интегра-
ла в виде
Ф (х, у, t, й) •= R [ф (г, у, t, й)] =
n
= R exP[-£-S (z, У, 0U"1/2(z> У, t) 2 у' <3,9)
Л=0
где R — операция овеществления аргументов z:
Rf(z, У. У, О
для любой аналитической по переменным z функции
f(z, у, t).
214
ИНТЕГРАЛЫ ЁЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ {ГЛ. V
Легко видеть, что справедлива следующая формула
коммутации:
= i=i, (зло)
дх1 dzl
т. е. для любой аналитической по z функции f(z, t, у)
имеет место равенство
— fl (х, у, t).= — [f (х, у, /)], 1=1....п,
dzl J дх1
в уравнение (2.7).
Подставим теперь разложение (3.1)
Учитывая (3.9), получим
(— ih -%- + Л2Дх — | х |21 (7?ф) (х, у, t, h) =
L ш j
= I — ih — 4- Л2Дг — z2 ф (z, y, t, h).
L dt J
(Через z2 мы обозначаем квадрику (z4)2+...+(zn)2. Это
же относится и к w2 = w2 + .. - + wn, и, вообще, (z, w) =
Обозначая для краткости
S = S(z, y,t), <p*=^(z, у, t),
получим для — ih + А2Дг — г2
выражение:
— — ехр f-i- S^ J'178 (V + ih — (J’1/8) ехр S') х
dt*\h I / dt 4 \h }
1 V=o
/ N \
X
k=0, 1, 2...
z2j ф (z, у, t, h) следующее
(2/i4)~
-±-(VS)2 exp
x (2ft*«p*) - 2 (- A) ex₽ (v S){&hk<pk) (V S V ~
— r1/2 (V S, V S/Apft)} + exp /— s') ДГ1/8 x
2 \ h J
X (2/i%ft)-----exp М-s) J‘l/2(S/i*
SU‘1/2x
§5.3]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ РАЗЛОЖЕНИЯ
215
„ / д д\
где V — (—, —), или
\йгх &"/
- ехр (4 S') J’1/2 (2ЛЧ) Г^- + v «V S)2 + 22)] +
\ Л / L ut 2 J
4- ih ехр (— (SZ?<pft) [ — Г1/2 + — ASA Г1/2 +
\ h ) [ д/ 2
+ (V S, V ,Г1/2)] + ih exp f4- 5) /‘1/2 И +
J \ h J |_ at
+ (V S, V S/iW + V exp (4-s') Д/'1/г (W).
J \ fl J
Лемма 3.2. Функция (3.1) является решением за-
дачи
^. + 2.((V3)» + 2") = 0, />о, (3.11)
Доказательство. Действительно, подставляя
(3.1) в (3.11), имеем
+ + + (3.12)
dt dwt dt 2 dz dwt dz J
Из равенства (3.1) следует, что
d.s^_a>) = _ L. + ctg ,
dwt sin t dwt
что вместе с равенством (3.8) приводит к соотношению
^^ = 0, (=1, ...Гп.
Поэтому уравнение (3.12) может быть переписано в виде
(3.13)
причем в (3.13) дифференцирование производится лишь
по переменным, от которых функция S(z, t, w(t, z, у), у)
зависит явно (т. е. по первым двум группам перемен-
ных). Теперь нужное равенство получается прямой
216
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. V
подстановкой (аргументы у функции w мы опускаем):
J_r__£L + 2<z, +
2 L sin2/ 7 sin2/ sin2/]
Ц sin/J J
Z2 . П / \ COS / w2 1 .
k 2<z, 4-
sin2/------------sin2/ sin2/]
। 1 Г 22 o z . cos / , z2
+ -JT hsr. - 2 <г> w> --7T + T7
2
Покажем, что
lim S (z, w (t, ?, у)) = Ф (у, z).
t->o
Из формулы (2.40) следует, что
Птб^деДг, t, у) = г1, i = 1, ..., п,
и,таким образом,
lim Ф (у, w (t, z, у)} = Ф (y, z).
t-*0
Далее, выражение
cos te2—2<z, w(z, t, i/)>4-cos tw2(z, t, y)
при /-И) мы представим в виде
|z|2—2<z, w(z, t, #)>+|ц|2 + О(/2)
(поскольку при /-*0 cos t = 1 + О (f)). Поэтому
lim —— [cos/г2 — 2 <z, w(z, t, y)) 4- cos/ay2] =
z-»o 2 sin t
= l|m<3-»tf.^»-+|.n0P)- (3|4)
/-.o 2sin/ 2sin/
В силу (2.40)
zl—(Pwift, z, y) =O(sin/) при t->0, /=1, ..., n,
поэтому оба слагаемых в (3.14) исчезают при /->0.
Лемма 3.3. Функция (3.5) удовлетворяет в области
Г уравнению
[— + — VS + (VS, V) ]j'1/2 = 0. (3.15)
L dt 2 J
§ 5.3)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ РАЗЛОЖЕНИЯ
217
Доказательство. Заметим прежде всего, что яко-
биан (3.2) является якобианом динамической системы
2=Яс(гЛ), £-----Нг(г, £),
где
Н (z, С)=22+£2.
Следовательно, якобиан (3.2) равен
J — det
dd (w, у, t)
dWj
где 2*=г‘(ш, t), i=l, ..., п,— «физическая» компонента
траекторий системы
* I дН I О.
2 - а
6 = -^-(z, Э-
дг
Действительно, «физическая» компонента траекторий
динамической системы
•I _ дН _ дН
dz‘
(3.16)
г' (0) = 6%, Ci (0) = б{
равна
г‘ (t, w) = tf'wj cos t + —, i = 1, ..., n.
Поэтому якобиан системы равен
J (у, w, t) = det I = detk'cos/ + ^^sin 11
J | у dWjdWj у
и, следовательно, значение (3.13) в точке w = w(t, z, у)
в точности совпадает с функцией (3.2).
Теперь для доказательства соотношения (3.15) мы
воспользуемся леммой С. Л. Соболева для якобиана
218 ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
J(t, у, w(t, z, у)) системы
(Z, С {t, W z, у))), i = 1, . . . , tl,
Ki
где
£=£(/, w) =s cos t — о» sin t
— импульсная компонента траектории системы (3.16).
Итак, имеем
iln J = lnJ tf г' -
(3.17)
да» a^i
Из (3.17) немедленно следует, что
dr11* 1 j-iH_d_dH_ = 0
dt + 2 д/К(
(3.18)
Поскольку Я = 4- £2 = ——) 4- z2\, to —
2 dz J j
+ = 2-4_(VS, V). Далее,
di di Kt dz1 dt y
dz‘ Kt
Поэтому уравнение (3.15) преобразуется к виду
= VS и
(3.19)
0.
(3.20)
Согласно формулам (3.18) и (3.19) функция (3.5) удов-
летворяет уравнению (3.20).
Лемма 3.4. Функции (3.6) удовлетворяют следую-
щей рекуррентной системе:
±<pk~ -Lj^r^pk.b k>l,
at z
Ф*и.^0> Фо = Ф.
s 5.3] ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧЛЕНОВ РАЗЛОЖЕНИЯ 219
Здесь
ф*=<Р*О/, t, w(t, Z, у)), J—J(y, t, w(t, z, y)),
Д-^J -7-(cm. (3.6), (3.7)), A = A+(VS, V).
£ (dz1)2 di dt
Доказательство очевидно.
Теперь, применяя оператор R, мы получим утвержде-
ние теоремы 3.1, касающееся фазы S и функций
<pft, k=Q, 1, ..., N.
Установим справедливость формулы для аргумента
гессиана фазы.
Лемма 3.5.
Varargdet J (у, t, v(t, х, у)) = цк(у, х),
£=1
где [ii(y, х)..Цп(у, х)—собственные значения мат-
рицы
Hess, (Ф {у, v(x, у , «/)))
л 3
U —
Доказательство. Пусть
Hi (У, о(х, у, /)), ...,ц„(«/, v(x, у, 0)
— собственные значения матрицы
Тогда определитель
det I Sl/ cos t 4- -^5- (у, v (x, t, y)) sin 11|
II uv^uv! ||
равен произведению
J (0 = J (t, У, v {t, x, y)) =
== U (cos/ + рй (у, V (x, t, y)) sin/).
220
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ (ГЛ. V
Обозначим
Zk (0 - Zk {t, У, V (t, х, у)) = cos t 4- щ (у, V (I, х, у)) sin t
и определим argzA(0) и У(О)=Ц zft(0), полагая
argzJO) =0. Тогда в силу определения 3.3 на любом пути
у(0^Г имеем
Arg J (0 = arg Ц zk (0 = arg z* (t).
Л=1 k=l
Заметим теперь, что если /еГ, то
Imz*(/)>0. (3.21)
Действительно,
Im zk (0 = Im [cos 4- it2) 4- (pl 4- ipl) sin 4- i'U] =
= Im [cos / j ch t2 — i sin tv sh t2 4- (H* + Ч*Э x
x (sin ch t2 4- i cos tx sh t2)] =
=f — sin G sh t2 4- pl cos sh /e 4- pl sin ch t2 =
= — sh t2 (sin tt — pl cos ty) 4- pl sin G ch
Поскольку в Г a) sin Л—pftcos Л^0, 6) sh f2^0, в) ch
^0, r) sin/^O, д) p*2^0, то неравенство (4.21) выпол-
нено. Поэтому на комплексной плоскости мы можем сде-
лать разрез (0, —too), т. е. определить —n/2^argzfc(Z) <
<Зл/2. Далее, поскольку zk(n/2)=pft, то при /=л/2 мы
имеем
ArgJ(n/2) = 2 argp*.
k=l
где
—л/2< arg pk^3n/2. (3.22)
Остается только заметить, что в силу формулы (2.6)
я/2, v (х, л/2, у)) =
=» V det Hesse (—, Ф[(«/, v (х,{,л/2,«/)))?
§ 5.4]
ПРИМЕНЕНИЕ К НЕАНАЛИТИЧЕСКОМУ СЛУЧАЮ
221
где
Arg det Hesse (— Ф (у, v (х, п/2, у))) = 2 arg X* (у, х).
Здесь числа
А, (у, v (х, л/2, у))...(у, v (х, л/2, у))
являются собственными числами матрицы
Hess„(— Ф(у, и(х, л/2, у)))
и связаны с собственными числами матрицы
Hessr(®(#, v{x, л/2, у)))
соотношениями
(у, v (х, л/2, у)) = — щ (У, v (х, л/2, у)), k = 1, ..., п.
(3.23)
При этом из (3.22) и (3.23) следует, что
— Зл/2 < arg А* {у, и (х, л/2, у)) < л/2.
Теорема 3.1 доказана полностью.
§ 5.4. Применение к неаналитическому случаю
и лагранжевым многообразиям
Рассмотрим интеграл
7 (х, у, h) ==
= С ехр Ц- [Ф (у, о) — <х, о»] X (о) <р (у, о) dv, (4.1)
\2лА / J I h J
где функции Ф(у, v) и <р(р, у) не предполагаются анали-
тическими. Пусть ш(х, у)—стационарная точка фазы
Ф(*/> V)— <Х, о>:
- Ф (У, w (х, у)) =« х.
Рассмотрим функции
N । г а
Фх (х, v, у) == 2 (у - w (*> у)) ф “>) L-нхж
N , г д 1*
Фх (X, V, У) = 2 “ W to
Л=о
222
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
Функции Ф,(Х, V, у) И <Р1(х, V, у) являются, очевидно,
аналитическими функциями параметра v, причем для
любого мультииндекса а, |а| ^N,
Da^L (х, y,[v) |„=ш(х>г/) = £>“Ф (У, w) \W=M, (4.2)
£>?Ф1 (X, у, V) 1^^) = Р5ф {у, W) l^^). (4.3)
Введем теперь в рассмотрение интеграл
Л (х, y,h)=^
/ \ п/2 (* ( £ 'J
= TV \ ехР — [ф1 (х> и) — <Х 0] у, v)dv.
\2лп / J п, )
Докажем, что точка w — w(x, у) является стационарной
точкой фазы
Ф,(х, у, v)—<х, о>.
Действительно,
М>1 (х, у, у) I _ ЗФ (у, w) I _ х
ди L==tt/(x,y)
Имеем
I (х, у, h) = ехр рр [Ф (у, w (х, у)) — <х, w (х, у)»j х
N
х^^[Ф,Ф1 (mod/iw+1),
k=Q
/1 (X. У, к) = ехр рр [Фг (х, у, w (х, у)) — <х, w (х, у)»j х
N
х^ Л^ИФрф,] (mod hN).
k=0
Поскольку Ф!(х, у, w(х, у)) =Ф(у, w(х, у)), а выраже-
ния Wk зависят только от производных функций Фь ф!
по переменным v в стационарной точке, то, учитывая
(4.2), (4.3), получаем, что разложения интегралов
Цх, у, К) и Л(х, у, h) совпадают. Используя теорему 3.1,
получим, что коэффициенты НРЦФ, ф] удовлетворяют со-
отношениям (3.2), (3.3), (3.4), (3.6).
§ 5.4]
ПРИМЕНЕНИЕ К НЕАНАЛИТИЧЕСКОМУ СЛУЧАЮ
223
Переформулируем полученные результаты на языке
теории операторов. Зафиксируем фазу интеграла (4.1) и
будем рассматривать этот интеграл как оператор, сопо-
ставляющий каждой финитной функции <р(Д и) с ком-
пактным носителем *) некоторую функцию
1(х, у, h) =Дф](х, у, h). (4.4)
С точностью до hN+i оператор (4.4) представляет собой
оператор
/ (Ф) •=* (х, у, h) =
ехр (4" ф
= 1 — V [ф (у, и)] (у, £ (х)) (mod ft^1),
Ydet Hess (— <D (x, £ (x)))
(4.5)
где V — полином no h степени N вида
V=l+D1/i+...+D^. (4.6)
Коэффициентами полинома V служат дифференциаль-
ные операторы
Dk^ 2 (4.7)
|а]<2Л
порядка, не превосходящего 2k, с аналитическими коэф-
фициентами. В формуле (4.7)
_а,+...+ап
/)“ =----X----------.
(до1)®* ... (dvn)an
Оператор (4.4) по линейности распространяется на
элементы вида
Фо+Аф1 + - • . + Л*фл,
следовательно, на такие элементы может быть и распро-
странен оператор (4.6).
Рассмотрим теперь лагранжево многообразие L в фа-
зовом пространстве Or и две канонические карты Ut и
Uj с непустым пересечением Utf]Uj^0. Как и ранее,
введем обозначения: /,=/П/, Is=J\/t, /,=(п]\
*) Если рассматривать функции с компактным носителем, то
множитель % (и) в (4.1) можно опустить.
224
ИНТЕГРАЛЫ БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. V
Пусть SI(xl, pj) —функция действия в канони-
ческой карте Ui, т. е. такая функция, что
dSy (х7, pj) = pi dx' — х7 dpj.
Тогда на пересечении канонических карт рассмот-
рим функцию
Ф = р/зх7’ — х/гр!, 4- Si (xl\ х'\ ph, pti). (4.8)
Полагая у=(х1«, р1з), х=(х'3, ph), у—(хц, ph), предста-
вим функцию (4.8) как фазу интеграла вида (4.1):
Ф = Ф(х, у, v).
Можно проверить, что если функция <p=<p(Pis, х1г, х1',
Рц) имеет носитель, сосредоточенный в пересечении карт
Utr\Ui, то интеграл
у7’+/2' ССехрР (</, /•>-</*, Р/>»1 х
\2лЛ / J J I h J
х ехр Р- Sj (х1, Pj)j ф (х7, Pj) dpi, dx1* (4.9)
удовлетворяет всем условиям теоремы 1.1. Соответству-
ющий оператор V, определенный по формуле (4.5), мы
обозначим через Ул, чтобы подчеркнуть его зависимость
от карт Ui и Vj, на пересечении которых он задан. Опе-
ратор Ун в соответствии с формулой (4.9) будет опреде-
ляться следующим образом:
(_ р-на/* 1+7,1 С С ехр Р (<р/з! /»> _ <ДА х
х ехр М- Si (х1, ру)J Ф (х7, Pj) dpi, dx1* =
1/"det Hess , (— Sz (x* pl))
r •
Vu fcp](mod/i*+1),
где (xj, p|) — стационарная точка фазы Ф.
Г Л А В A VI
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР МАСЛОВА
(ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Цель этой главы — построить канонический опера-
тор Маслова, позволяющий находить асимптотические
решения уравнений с любой степенью точности относи-
тельно параметра h. Результаты этой главы естественно
являются уточнением результатов главы IV, где был
построен канонический оператор Маслова, решающий за-
дачу с точностью до первой степени параметра h.
Техническим средством построения общей теории яв-
ляется, как уже говорилось в предисловии к главе V,
формула асимптотического разложения интеграла быст-
ро осциллирующей функции, содержащая весь ряд чле-
нов по h. Как и в главе IV, построение теории проводит-
ся на языке гомологических препятствий, и мы показы-
ваем, что на квантованном лагранжевом многообразии
существует канонический оператор, согласованный на
пересечениях карт с любой степенью точности. При этом
выясняется, что никаких дополнительных препятствий,
кроме уже изученных в главе IV для определения канони-
ческого оператора, нет, так что единственным условием
существования такого оператора является квантован-
ность лагранжева многообразия.
Два слова о методе построения теории. Существуют
два альтернативных подхода к этой задаче. Первый со-
стоит в построении в каждой канонической карте локаль-
ных канонических операторов, согласованных с нужной
степенью точности на пересечении таких карт. Эти ло-
кальные операторы представляют собой асимптотические
ряды по переменной А, первые члены которых совпадают
с элементарными операторами, введенными в главе IV.
Полученный таким образом оператор (см. § 2 настоящей
8 Мищенко и др.
226
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
главы) будет определен на пространстве гладких финит-
ных функций на лагранжевом многообразии. Можно, од-
нако, попытаться обойтись элементарными канонически-
ми операторами, введя нужную коррекцию в закон пре-
образования функций при переходе из одной канониче-
ской карты в другую. Этот способ приводит, как показа-
но в § 3 настоящей главы, к глобальному каноническому
оператору, определенному на пространстве некоторого
алгебраического пучка, изоморфного, впрочем, обычно-
му функциональному пространству.
§ 6.1. Существование и единственность
канонического оператора
Рассмотрим квантованное лагранжево многообразие
L в фазовом пространстве Or, введенное в первой части.
Напомним, что для задания такого многообразия нужно
фиксировать следующий набор объектов:
a) Or — гамильтоново фазовое пространство с ко-
ординатами
(X, р) = (х1, .... Хп, Рь , рп)
со структурной формой a=dxK/\dpk;
б) i: LczOr — лагранжево вложение многообра-
зия L,
t*(o = 0;
в) невырожденную меру цеА" (L);
г) набор {SJ гладких функций, являющихся в каж-
дой карте некоторого атласа канонических карт {£/,}
многообразия L решением уравнения *)
dSi = i* {pi dx1 — xl dpj},
а на пересечении двух карт игГ\и, удовлетворяющих ра-
венству
Sj — Sz = i* {xhpIt — х/2р/г};
*) Через Z, J мы обозначаем, как_ и раньше, подмножество в
множестве целых чисел {1, ..., п}\ J — дополнение к множествам
Z, Z; Л=/ПЛ Z2=Z\Z, Z3=J\Z, Z4 = J\Z*
§ 6.1]
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
227
д) набор {nJ гладких функций, определенных в каж-
дой канонической карте Ut формулой
.. _ ди
И/= —------>
д (/, pj)
причем аргументы функций выбраны таким образом,
чтобы в пересечении US^Uj для любых двух канониче-
ских карт Ut и U} выполнялось условие
arg ц/ — arg п/ •= 2 аг8 и + I h Iя,
где ХЛ> и — собственные значения матрицы
д (— р,, /3)
—V2--------, —3 т/2 < arg U.rj < л/2.
д(/‘, Р/з)
Рассмотрим линейное пространство многочленов от пе-
ременной h с коэффициентами из кольца C°°(L), т. е. мно-
гочленов вида
+ ... +hkfk. (1.1)
Пространство многочленов вида (1.1), очевидно, обра-
зует кольцо, обозначаемое через C°°(L)[/i]. Рассмотрим в
кольце С“ (£){Л] идеал, состоящий из многочленов вида
hkgk, и обозначим через С°°(£)[й]я фактор-кольцо
кольца многочленов по указанному идеалу. Подкольцо
кольца C°°(L)[/i]w, порожденное многочленами с финит-
ными коэффициентами, обозначим через C“(L){/i]n. Ана-
логично, если UczL — открытое множество, то через
C°°(£/)|7i|w, C“(t7)[/t]K обозначаются соответствующие
кольца, порожденные многочленами вида (1.1), коэффи-
циенты которых принадлежат пространствам C°°(t/)>
Со°° (U) соответственно.
Рассмотрим две произвольные карты Ur и U; много-
образия L. В главе V, § 4, были определены дифференци-
альные операторы
Vu : Cf(Uj П Uj) [h]N + CT (Uj П Uj) [h]N,
8*
228
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
коэффициенты аа которых являются функционалами от
функций Sj, p,j и их производных порядков | р | ^ | а |:
Ь = «.(ЛЛ.
Операторы Vu обладают следующими свойствами:
а) если ф ЕС0“ (U/)'[h]N, то У//ф = <р;
б) если <р €= (U., Q Uj П Uк) [h]N, то VKjoVjj ф= Уд/ф.
Пусть {C/J—некоторый канонический атлас много:
образия L. Существует разбиение единицы {ф/}, подчи-
ненное покрытию {ГЛ}, т. е.
^ф/^1. зиррф/СГ//. (1.2)
Фиксируем такое разбиение единицы. Ясно, что если
цк=0 в точке aeL, то фк(а)=0. Определим теперь ло-
кальный канонический оператор, отвечающий канониче-
ской карте Ut, полагая для произвольного элемента
феС0°° (ГЛЖ
*/Ф = F{ехР (7 •$') Wi 2 • (1-3)
Теорема 1.1. Для лагранжева квантованного мно-
гообразия существует единственный оператор
К: С? (L) [h]N w+1№/A(Rn),
совпадающий в каждой канонической карте атласа {Ut}
с оператором (1.3), т. е. если феСГ (U^lti^, то
К1ф=Яф (mod/iN+1). (1.4)
Доказательство теоремы 1.1 вытекает из следующей
леммы.
Лемма 1.2. Пусть Ut, Uj — две канонические карты
атласа {Г/,}, ф^С” (ГЛГ1ГЛ)|Л]гг. Тогда
Kitp = К}ц) (mod hN+i).
Доказательство. Обозначим через ki оператор,
действующий на произвольный элемент Ф е С£° (ГЛ)
§ 6.21
ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ И ОПЕРАТОРЫ
229
по формуле
й/Ф = {ехр {j S/j Vpi cpj . (1.5)
Тогда
Сравним теперь Кцр и /Сф. Используя формулу асим-
птотического разложения интеграла (1.3) главы V, по-
лучим
Kff = kiVj!<?(modhN^).
Свойства а) и б) операторов У и позволяют заключить,
что
К/Ф = kj VJK (фкф) (mod /iw+l) = К/Ф.
к
§ 6.2. Гамильтонов формализм и операторы ^*z
Рассмотрим некоторую каноническую карту U, мно-
гообразия L и гамильтониан Н=Н{х1, хг, pt, pj) на карте
Ut. В этом параграфе мы определим некоторые линейные
дифференциальные операторы
9Г-
играющие в дальнейшем изложении основную роль. Опе-
раторы будут коммутировать с оператором умноже-
ния на независимую переменную h, и поэтому будем ис-
кать их в виде многочлена по переменной h:
...
Компоненты : С00([//) определимо помощью
рекуррентного процесса. Более того, для операторов 9^1, З5}
будут получены явные формулы. Переходим к процедуре
определения операторов 9^, k—0, 1,2, ... Применим опе-
ратор Гамильтона
Hi = Н (pi, ру, х1, х'\
230
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
где р/ = — ih-?—, х1 = ih , к функции ехр (— S(х1, ру)!*
дх1 dPj \h )
х ф (л/, Pj). Тогда после ряда преобразований (см. гл. IV,
§ 2) мы приходим к интегралу (2.23) главы IV:
+ <Р/, (х' — х'')> + S (х'‘, pj)\{х1, х1, Pl, Pj) х
х ф (x'z, p'j) dx7 dpi dx,ldpj- (2.1)
Асимптотическое разложение интеграла (2.1) имеет вид
(х1 — свободный параметр)
k 1 |az l+IP/l+lpy-Kzft
x H1(xl, x7, Pl, Pj)c*aj S). (2.2)
В формуле (2.2) введены следующие обозначения:
7 dS , i , dS , i .
x (x > Pj), Pi-----V (x > Pj),
fy>j dxr
(2.3)
,1 I '
x' — X , Pj = pl.
Функция Ht(xJ, x1, pIt pj) определена формулой (2.23)
главы IV, символы
= ff»7 д^1 Л
Т /а \Р/ 3"7
Z (dxz)a (^Р/) (др^ 7
обозначают дифференциальные операторы, а\ ръ р;-—
мультииндексы. Наконец, выражения
С% (ф, S) (2.4)
az,₽/.₽7VT ' v '
§ 6.2] ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ И ОПЕРАТОРЫ 231
обозначают многочлены от функций ф, S и их производ-
ных до порядка 2k включительно. Значение правой части
разложения (2.2) берется в точке (2.3).
Дадим алгоритм нахождения коэффициентов (2.4).
Мы будем определять их рекуррентно. Пусть й0 и г-*-
некоторые натуральные числа, г^2^0- Предположим, что
в выражении уже вычислены все коэффициенты для k<
<.k0 и для k=kQ, |а| + |р| <г (для краткости мы обозна-
чили а = а2, Р=(рь Ру)). Вычислим коэффициенты (2.4)
Для
k=ko, |а|-|-|р|=г. (2.5)
Для этого вычислим для произвольного набора (а0, р°) в
= (aj, Ру), удовлетворяющего условию (2.5), выражение
Я/ф/ = Н (pi, pj, х1, х1) ехр S (х‘, p7)J ф (х1, р,) (2.6)
с гамильтонианом
Н (х1, х7, Р1, Pj) - (?)“W? (руД (2.7)
а'ф’1^1
Заметим, что единственная, отличная от нуля производ-
ная порядка г выражения (2.7) есть
Поэтому
^а.₽« = [Я/ ехр М- S (х1, Pj)] ф (х1, Pj) 1 —
L I« J Jjfe0
|a|+|₽l<r 0
Через [ ]», мы обозначили коэффициент при Л*»в раз-
ложении по степеням h выражения (2.6).
Определим теперь операторы Pi, полагая для фе
<=С“(1/7)
Р)[ф]==
= _ 3
I“/I+|₽/I+I₽yl<2*
232
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
где Ckг (S) lip] — Сав (ip, S) определяются описанным
а .Р/.Ру
выше алгоритмом.
Отметим некоторые свойства операторов Р/.
1. Операторы Р/ суть линейные дифференциальные
операторы порядка не выше k.
2. Коэффициенты оператора Р/ суть fполиномы от
функции S/(xz, р7) и ее производных порядка не выше 2k.
3. Для любой функции ф/<=СГ(£Л) имеет место срав-
нение
ptydx', Pj) ~ Н х',
N
= /ifeP/ip/(?, р7) (mod/iv+1). (2.9)
k=0
Вычислим операторы Р* для k = 0, 1. Оператор Р/ вы-
числяется тривиально и, очевидно, равен
as (л/, Р-) dS (х1, Р-) \
—-----Pj Ф/(* , Р/)
др7 дх1 /
для любой функции (Ut).
Для вычисления оператора Р] заметим, что коэффи-
циент при hl = h в выражении (2.9) зависит от производ-
ных функции Н порядка не выше второго и поэтому мо-
жет быть представлен в виде
„ . j дН . п дН . ГдН , , дгН . ,77 д*Н .
дх1 dPi dPf dPidPi dx'dx1
. , д^Н , ,7 д*Н . . д*Н , ,7 д^Н
+ briT~^~ ±bi——±biTr~T-+bi—— •
dx'dpj 11 dPidPj dxidpt
У всех входящих в это вражение функций аргументы бе-
рутся в точке (хг, х1, ръ pj),
— Х,р7), pz = —-(х,р7).
др7 дх1
X
§ 6.2]
ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ И ОПЕРАТОРЫ
233
Нахождение неопределенных коэффициентов а», а/,
aj, • • • и т. д. осуществляется, в согласии с изложенным
выше, путем подбора специальных гамильтонианов.
В следующей ниже таблице 1 приведены список га-
мильтонианов и определенные с их помощью коэффици-
енты. Вычисления, ввиду тривиальности, опущены.
Заметим теперь, что для любой функции
ф^р^еСГ^)
имеет место следующая формула коммутации:
Н (х, р) F 7ф (/, р7) = Fpf^l Hi (х', хт, ph р?)ф (*'> Рг)-
ру-*х
Резюмируя вышеизложенное, мы можем высказать сле-
дующее
Предложение 2.1. Пусть S(x!, pj)—действие в
карте Uj и Н=Н(х, р) —гамильтониан. Тогда для лю-
бой функции феС” (Ui) имеет место следующее срав-
нение:
HF % 7 ехр М- S (х1, р7)) ф (х1, р7) =
Р—~*х п )
= F 7 ехр U S (х'( ру)) (И 4- ih\£
Pj-^x 1ft И дх1
дН д
др/ дх1
1_ / d2S д2Н d2S д2Н _2 d2S д2Н \
2 W дх? dPi дР/ + Эр7 dPj э J дх1 др_ дх7 др/ /
+ й‘Р/1 ф (mod ftw+1). (2.10)
дх7 др- л=«2
Здесь значения функций Н и ее производных берутся
в точке
t dS (х1, Pj) dS i
dp7 *’ dxl(X>P^P7
d2S
и через —----, ... обозначены вторые частные производные
234
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
ТАБЛИЦА 1
Гамильтониан Коэффициент Гамильтониан Коэффициент
1 р7 Pi Р7Р7 PiPj о* о ^•1 * •*? | **4? II II II II II "| О О Qj 1 Qu.l О О I Qj Plpl х7х? XlPj X7Pj _ 1 2 дхг дхг ьн = _1^ 2 др-др^ ,7 1 дх1 dpj = i i
функции S (л/, ру) по параметрам л/, ру, а операторы
Р/ определены формулой (2.8).
Определим теперь полный оператор, полагая
Pl[h] = ^ihkPkJ.
k=Q
Операторы Р/ являются дифференциальными операто-
рами порядка не выше k (см. (2.9)), коэффициенты ко-
торых— гладкие функции. Таким образом, оператор
Pj[/i] корректно определен как оператор из кольца
в себя:
Pi [h]: С°° (Ui) [h]N -> С00 (Uj) [й]„.
В § 6.1 мы для каждой канонической карты Ut опреде-
лили некоторый оператор
Vi [h] = 2 VIK(f>K: (Г (U,) [h]N -> C00 (U,) [h]N. (2.11)
Заметим, что оператор (2.11) обратим, поскольку опе-
ратор УДЛ] разлагается в ряд по степеням h, причем ко-
эффициент при hrj равен тождественному оператору.
§ 6.3] КОММУТАЦИЯ С ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА 235
•Обозначим через р,}/2 [/г] ^оператор
н7’№ = И//^/[Л]. (2.12)
Оператор (2.12) обратим, поскольку он является произ-
ведением обратимых сомножителей, а его обратный
№ = У/1 [h] pj7’ осуществляет отображение
Р7,/2 [h]: (I/,) [h]N С” (Ut) [h]N.
С помощью оператора Pt [Л] и операторов р./ 71 [Л], 1*7’ [Л]
мы определим в карте Ut оператор играющий в тео-
реме коммутации основную роль, полагая
Оператор &i[h] действует из пространства С°°( t/j)[/i]K в
себя:
[h] (Ut) [h]N -> C00 (Ut) [h]N.
§ 6.3. Коммутация оператора Гамильтона
и канонического оператора
В предыдущем параграфе мы определили операторы
0>г, действующие в С°°(С7г)[Л]н и связанные с оператором
Гамильтона формулой (2.10). Нашей дальнейшей целью
является построение такого дифференциального опера-
тора Ф на лагранжевом многообразии L, чтобы выполня-
лось соотношение
ЯЯф = — (mod ЛЛ+1).
Предложение 3.1. Существует такой дифференци-
альный оператор
(^(Dih^^cr^h]^
что если феС°°(Ut)[/z]iV, то ^ps^^mod hN+l).
Доказательство. Покажем, что для любых двух
канонических карт Ut и U} с непустым пересечением
Uir\U}^0 и любого элемента феС“ (игГ\и})[/i]N имеет
место сравнение
^Ф^^Ф (m,od hN+l).
236
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
Пусть 7G— локальный канонический оператор в ка^те
Ит (см. § 6.1). Тогда для любого элемента
имеем
Н (v, р) K/<f> = __________
= Н (х, p}Fp_ ^7fexp^S/ (х1, р^У Ц/ [h] (?, р7)ц>(х1, p7)j==
= F 7Hi (xl, x', pi, pj) exp (St (xl, pj)\ x
p_-*x \h )
X M>7‘ УА (x‘, pj) Ф (x1, pj) = (xxdhN*1) =
= F„ _«7exP (t S/ PA W x
X HzV* l/i] (xf, pj)Pi\yl' [h] (x1, pj) Ф (x‘, Pj) = Ki&rt (V^ pj).
(3-1)
Аналогично получаем, что для любого элемента
ФеСИи/П^Ж
имеет место сравнение
Н (х, р) /С7ф = К^уф (mod (3.2)
По лемме 1.2 для любого элемента
феС“([/1П^)№
имеет место сравнение
Л1ф=Л/ф (mod/iN+1). (3.3)
Тогда из сравнений (3.1) и (3.2) получаем
КЛ&!—^)ср=О (mod/i^1). (3.4)
Действительно, по определению, сравнение
/Стф=^(р (mod/iN+1).
означает, что для любого оператора
р« ^(-i.1)l“'da‘+-+a',/(dxt)a* ... (дхп)ап
§ 6.3] КОММУТАЦИЯ с ОПЕРАТОРОМ ГАМИЛЬТОНА
237
имеет место неравенство
\p“(Kr$-Kjq)\<chN*\ (3:5)
Заметим теперь, что из определения оператора Га-
мильтона следует, что для любого оператора Я(х, р)* и
любой функции ф(х, /г), удовлетворяющей неравенству
1ф ( V, h) I < c1hN+l,
существует такая постоянная сг, что
\Н(х, p)^(x,h)\^c2hN+1. (3.6)
Поскольку оператор раН( х, р) является некоторым опе-
ратором Гамильтона Н (х, р), то из неравенств (3.5) и (3.6)
следует существование такой постоянной са, что
| раН (х, р) {Км - Кя} | < cahN+1. (3.7)
Неравенство (3.7) в силу формул (3.2) и (3.3) влечет
за собой требуемое сравнение (3.4). Очевидно, что из
сравнения (3.4) следует, что
^1ф=^Ф (mod hN+l). (3.8)
Определим теперь оператор Пусть {<рА} — разбие-
ние единицы, подчиненное покрытию {(Л). Положим
’ ^ф = 3 ^МфлО-
Если <р <=С? (Ui) [h]N, то
^ф—^/ф = 2^Мф*ф)—Р/Ф =2-^/) (Флф)- (3-9)
k
Поэтому согласно (3.8) правая часть (3.9) mod hN+i срав-
нима с нулем. Единственность оператора Ф очевидна.
Из определений канонического оператора К, операто-
ра & и формул (3.1) вытекает следующее
Предложение 3.2. Пусть К — канонический опе-
ратор на квантованном лагранжевом многообразии
(L, р,) с мерой ц, и пусть Ф — оператор, определенный в
предложении 3.1.
Тогда для любого элемента феСа>(£)[Л^ имеет мес-
то сравнение
НКч = K&<f (mod^+l).
238
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
§ 6.4. Геометрическая интерпретация операторов V/j
. и канонического оператора
В предыдущих параграфах этой главы мы определили канони-
ческий оператор К (формула (1.4)), причем определение существен-
но зависело от некоторого разбиения единицы (1.2), подчиненного
каноническому покрытию. Можно дать инвариантное истолкование
канонического оператора как оператора, определенного на простран-
стве сечений некоторого алгебраического пучка.
Алгебраическим пучком над топологическим пространством X
называется контравариантный функтор F, который каждому откры-
тому подмножеству U^czX составляет группу Г(Е, №), называемую
группой сечений пучка F над множеством W, а каждому вложению i:
ITicz W2 одного открытого множества W'i в другое, W2, сопоставляет
гомоморфизхм групп
Г(1): Г (Г, 1Г2)+Г(Л UZj),
называемый ограничением сечений пучка F на подмножество W2. Об-
раз сечения s при гомоморфизме Г(/) будет обозначаться через
s | . При этом должно выполняться следующее условие: если мно-
жество W представлено в виде объединения
a
а sa(=r(F, Wa) — такие сечения, что
то найдется такое единственное сечение seT(F, №), что
s\wa = sa-
Примером алгебраических пучков может служить пучок ростков
сечений векторного расслоения g над топологическим пространст-
вом X, В самом деле, если g— векторное расслоение над простран-
ством X, то определим алгебраический пучок g с помощью равен-
ства
r(g, r)=r(g, F),
а для вложения i: гомоморфизм T(i) обозначает обычное
ограничение сечений в расслоении g. Например, если g — одномерное
тривиальное расслоение, то T(g, W) совпадает с пространством не-
прерывных функций на множестве W,
Если X — гладкое многообразие, а g — векторное расслоение, то
мы можем рассмотреть пучок g00 ростков гладких сечений расслое-
ния g:
Г(£°°, F)=C~(g, Г).
Отображением f алгебраического пучка F{ в алгебраический пу-
чок F2 называется система гомоморфизмов
Г(/, F): Г(ГЬ Г)->Г(Г2, F),
§ 6.4]
геометрическая интерпретация
239
коммутирующая с гомоморфизмами ограничений. Другими словами,
для любого вложения i: Wi~+W2 диаграмма
г (Л, » Г (Г2, Г,)
r(F„<)| ] r(F„n
Г (Fn Г2) Г(/Ж)-> г (f2, W2)
коммутативна.
Например: если |2 — де а векторных расслоения над гладким
многообразием X, а А — дифференциальный оператор, отображаю-
щий гладкие сечения расслоения в гладкие сечения расслоения
то оператор А индуцирует отображение алгебраического пучка в
алгебраический пучок .
Если F—алгебраический пучок над пространством X, a W—
открытое подмножество в X, то через F\ W мы обозначим ограниче-
ние пучка F на подпространство W, положив
Г (F | Г, F') = Г (Г, W'), 1Г <= W.
У всякого сечения sczT(F, X) естественным образом определяется но-
ситель сечения.
Алгебраические пучки можно строить методом, сходным с по-
строением векторных расслоений, с помощью функций склейки. Имен-
но, пусть пространство X представлено в виде объединения его от-
крытых подмножеств. Пусть X=|JWa, а над каждым подмножест-
a
вом №а задан алгебраический пучок Fa. Пусть, кроме того, заданы
изоморфизмы пучков
*Pap : Fa Iw'aDW'p ГР । «''al'W
причем выполнено равенство
фруфаЗ = фау
для ограничений трех пучков Fa, F&, F? на множество ^alWpflWy.
Тогда существуют и единственны алгебраический пучок F над про-
странством X и такие изоморфизмы
Я>а : Лх 1га>
что фаЗ='Ф“1Э^а НЗД МНОЖвСТВОМ №аП^₽-
Обозначим через Г(Г, IT) группу, элементами которой являются
наборы сечений {sa: saer(Fa, причем
Фар <sa IIFaH= sp Iw'aQW’pnWV
Нетрудно проверить, что набор групп {Г(Г, №)} и очевидных гомо-
морфизмов ограничения удовлетворяет аксиомам алгебраического
пучка.
Применим теперь язык алгебраических пучков к определению ка-
нонического оператора. С помощью ^рльца C°°(L) |7г]^ и операторов
240
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
Vu можно построить алгебраический пучок, который мы обозна-
чим через C°°(L) [/г] N. Именно, покроем лагранжево многообра-
зие L атласом канонических карт {Ui}. Зададим функцию склейки
по формуле
V/7: С00 (Uj) [h]N\U/r}Uj -+ С00 (Uj) [/г]дг \ujftUj-
Пусть F — алгебраический пучок над многообразием L, соответст-
вующий указанным функциям склейки. Таким образом, существуют
такие изоморфизмы
что V/j — Ф71 оф/. Оказывается, что формулы (1.5) корректно опре-
деляют такой оператор
К: Г(Г, L)-^+7fiM(R”),
что если $еГ(Г, L), supp s^Ui, то
&/Ф/1 (з) = К (s) (mod hN+1).
Отношение оператора К к каноническому оператору К (1.4) опреде-
ляется следующим утверждением.
Предложение 4.1. Каждое разбиение единицы (1.2) инду-
цирует такой изоморфизм
Q: C°°(L)[A]^F,
что
a) Q является локально дифференциальным оператором;
б) Kq)^XQcp(modhN+x).
Доказательство. Пусть {<р/} — разбиение единицы, под-
чиненное покрытию {Ui}. Чтобы определить отображение Q, доста-
точно определить отображение T(Q, Ui) пространств сечений пучков
над открытым множеством W.
Пусть феГ(С°° (А) [А] х, W). Тогда носитель сечения ф/ф лежит
в Ui, т. е.
ф<р/еГ(С°°(£)[Л]», М){Л).
Положим
г (Q, W) (<р) = 5J Г (17. {// A W) (W/),
У/
понимая каждое слагаемое в правой части как сечение на множест-
ве F, порожденное вне носителя сечения нулем. Утверждение а) сле-
дует из соотношения
Г(ф1, ^1Г1^/)ф=Г(ф/, UiftUj) Гиф
для supp
Чтобы доказать, что Q является изоморфизмом, достаточно про-
верить изоморфность гомоморфизмов T(Q, Ui).
ДОБАВЛЕНИЕ I. 1/Л-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
241
Имеем
Г (Q, и,) <р = Г (ф„ ut) VijWj
Операторы Vu, как многочлены по переменной h, имеют в качестве
коэффициента при нулевой степени переменной h тождественный
оператор, т. е. V’u = l + O(ft). Поэтому
T(Q,
где R — некоторый дифференциальный оператор. Поскольку кольцо
C°°(£/i)[ft]N является кольцом усеченных многочленов по Л, то опе-
ратор, обратный к T(Q, Ui)t находится методом неопределенных
коэффициентов. Наконец, утверждение б) непосредственно следует из
определения.
Предложение 4.1 означает, что неинвариантность канонического
оператора К относительно замены разбиения единицы связана с не-
однозначностью выбора изоморфизма Q между пучками С°°(Ь)[Цы
и F. Более того, если мы ограничимся только первыми членами (с ft0)
сечений этих пучков, то изоморфизм Q является единственным, т. е.
и канонический оператор тоже инвариантно определен.
Добавление 1.1/Л-преобразование Фурье
.Пусть fte(0, 1]—координата на отрезке (0, 1]. Мы введем
1/ft-аналоги преобразования Фурье F^h и пространств С. Л. Собо-
лева Hl/h (Rn).
Через Rn обозначим n-мерное арифметическое пространство и че-
рез Rn — его сопряженное, Rn=(R«)*. Определим операторы Лап-
ласа, полагая
п п
Ax = + V,P?,
1=1 1=1
где
д
р. == — ih —г , i — 1, . . . , л,
дх1
х1 = ih -— , i = 1, ...» л.
Пусть теперь k — натуральное число. Введем в пространстве комп-
лекснозначных гладких, финитных в Rn функций f = ..., хп),
гладко зависящих от параметра ft, структуру гильбертова простран-
ства, полагая
(Л g)k = sup ([1 + I X |2+ bx]k'*f, [1+|И2+Д//2Л.
h
242
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
причем
(А £)о = 5 f w
Rn
Соответствующее полное нормированное пространство мы будем обо-
значать через №^(R").
Отметим, что при любом натуральном k в пространство H^h (Rn)
входят, например, функции вида ехр S (х)^ ср (х), где S (х), ср (х) —
гладкие комплекснозначные функции на R", Im S (х) 0. ^-преобра-
зование Фурье мы определим, полагая для любой функции
q>eC0°°(R«)
(, . i \ п/2 р ( i )
—— ехр - — <х,/» <р (х) (1)
лЛ/1 /V /1 J
Rn
где <х, р> = х%.
Формула обращения преобразования Фурье имеет вид
/ t- \п/2 р / t- >
<₽ W = (р) ] (X) = ехр <х, р>| <р (р) dp. (2)
Здесь arg /=л/2.
Для 1/А-преобразования Фурье У71/71 справедлива формула План-
шереля
(А я)о=(^/4 FWg),
которая проверяется прямой выкладкой. Из (1) следует, что для лю-
бого натурального k имеет место следующая формула коммутации:
W1 +1 * I’ + Д/ = 0 + Ар + I * I2)* ^-Р-
Предложение. Преобразование (1) продолжается до огра-
ниченного оператора
pHh. Hyh (Rn) (R„), (3)
являющегося изоморфизмом.
Доказательство. В самом деле, пусть . Тогда
||Ff ||“ == sup ([ 1 + + |p|“]ft/2 Ff, [1 + Др + | p |“] Ff)o =
= sup (F [1 + | x|“ + Д/'2 f, F [1 + |x I2 + Д//2 f)0 =
= sup([l + |x|2 + Д//2Д |1 + | г |2+ Д//2 f)0. (4)
I
ДОБАВЛЕНИЕ II. ОДНА АБСТРАКТНАЯ ЛЕММА 243
( Из (4) следует, что оператор (1) непрерывен и, более того, изомет-
j ричен. Существование обратного отображения следует из формулы
обращения (2). Предложение доказано.
Наконец, определим пространство /Zx^(Rn) как пересечение
I H1/k (Rn) = п (R")
Л—о
всех пространств H^h (Rn) и снабдим его наименее сильной из топо-
логий, в которой отображения
Н1^ (Rn) -> H%h (Rn), f &k/2f
непрерывны для всех k = 0, 1, 2, ...
Добавление II. Одна абстрактная лемма
Лемма. Пусть на многообразии L выбрано некоторое покры-
тие U = {Ui} открытыми окрестностями, на каждом элементе которо-
го определен линейный оператор
C^(U^H
I в линейное пространство Н, причем для любой функции (^41
I имеет место равенство
' Kif=Kjf.
Тогда существует и единствен оператор
К: С£° (L)Я,
сужение которого на пространство С^° (Ui) совпадает с Ki.
Доказательство.
Утверждение 1. Для любой функции (L) и для лю-
бого покрытия {(/<} многообразия L существуют такие функции ft,
Z=l, 2, ...» г что выполнены следующие условия:
i) supp fiCzUrt
г
ii)
I
Доказательство этого утверждения следует из существования
разбиения единицы на гладком многообразии.
Пусть теперь (L).
Определение.
Kf = У Ktft. (1)
244
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
[ГЛ. VI
Утверждение 2. Определение (1) корректно, т. е. не зави-
сит от выбора функций {fi}.
Доказательство. Покажем, что если
stipp i =1, 2.....г, yj д. =0,
то справедливо равенство
Доказательство последнего утверждения проведем индукцией по
числу г. При г=1 нужное утверждение, очевидно, следует из линей-
ности оператора К. Пусть оно справедливо для r=k—1. Рассмотрим
функцию fi, supp fi с: (7Ь и множество
k
^1\U = к
1—2
Поскольку
г k
1=1 1=2
и выполнено включение
k
supp У ft С и uit
‘=8
то f 11 V—0. Следовательно,
k
supp fl С и Vi,
i~2
где = Тогда в силу утверждения 1 существуют' такие
функции Qi, что
k
/1 = 3 qi< supp qi С Vi-
i=2
Поэтому в силу линейности оператора К получаем
k k
1 = 2 1=2
Следовательно,
k k k k
3 KJi = Kih + K(ft = 2 *A + 3 =
t==l i=2 i—2 i—2
k k
=3 - 3 где hi -qi+ft-
i=2 i=2
Добавление п. одна абстрактная лемма 245
Заметим теперь, что из построения функций qi н свойств функ-
k
ций fi следует, что ^<=0. По предположению индукции отсюда
/=2
следует, что
k
3 *л=°-
1=2
Утверждение 2 доказано.
Для доказательства корректности мы предположим теперь, что
функция f представлена двумя разными способами:
i=l j=l
г I
Тогда и линейность оператора вместе с доказан-
f=i /=1
ным выше утверждением показывает, что
3*л-3*а-
1=1 /=1
Корректность определения установлена.
Утверждение 3. Существует не более одного оператора,
удовлетворяющего условиям леммы.
Доказательство. В самом деле, пусть К'— другой опера-
тор, и пусть f<=C™ (L). Тогда в силу, утверждения 1 существует та-
кой набор функций
(MJ = 3^supp^ci/<’
что
к?=2
Поскольку Ki=Ki, то и Kf=K'f. Утверждение 3, а вместе с ним
и лемма доказаны полностью.
Г Л А В A VII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
(ГЛАДКАЯ ТЕОРИЯ
КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА)
Теория интегральных операторов Фурье, возникшая в
конце шестидесятых годов, в настоящее время пережива-
ет бурный расцвет. Десятки работ, появившихся в миро-
вой математической литературе, переизлагают, обобща-
ют, используют теорию интегральных операторов Фурье.
И это естественно. После увлечения эллиптической теори-
ей, повлекшей за собой расцвет теории псевдодифферен-
циальных операторов, возник вначале робкий, а затем все
более сильный интерес к неэллиптической теории —
уравнениям с вещественными характеристиками. Од-
нако техника псевдодифференциальных операторов,
хорошо работавшая в эллиптической теории, оказалась
мало пригодной для решения этого нового круга
задач.
Принципиальная новизна в теории уравнений с ве-
щественными характеристиками заключалась в том, что,
в отличие от эллиптического случая, здесь почти обрат-
ный оператор не является псевдодифференциальным опе-
ратором. Начинаются первые попытки исправить или
как-то дополнить старую технику, с тем чтобы приспосо-
бить ее к новой ситуации. Одной из таких попыток было
привлечение (ко) граничных операторов — по-видимо-
му, первых (нетривиальных) интегральных операторов
Фурье. Затем в ряде работ, главным образом советских
математиков, появляются некоторые обобщения псевдо-
дифференциальных операторов. Вместо линейной фазы
в интеграле Фурье появляется произвольная однородная
функция. Это первый шаг в нужном направлении. Накап-
ливается опыт обращения с такого рода операторами. Це-
ГЛ. VII]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
247
лый ряд задач настойчиво показывает существование не-
которого общего технического аппарата. Будущие инте-
гральные операторы Фурье, появляются в самых, казалось
бы, неожиданных ситуациях, например, при исследовании
преобразования псевдодифференциальных операторов,
индуцированного каноническим диффеоморфизмом фа-
зового пространства и др. Все яснее и яснее про-
глядываются общие принципы новой техники. Остается
сделать еще один шаг. И вот, наконец, в 1971 г. появля-
ется публикация шведского математика Л. Хермандера
[3], в которой излагается математический аппарат, наз-
ванный им методом интегральных операторов Фурье, по-
зволяющий с успехом решать нужные задачи. Новая тех-
ника стремительно развивается, и вскоре интегральные
операторы Фурье завоевывают широкую популярность
среди специалистов. Хлынул поток публикаций по при-
менению и обобщению метода интегральных операторов
Фурье.
Приблизительно аналогичным образом обстояло дело
в другой, казалось бы, далекой области математики —
задаче о построении асимптотических решений уравне-
ний с малым параметром. Старый метод построения
асимптотик — метод ВКБ — давал удовлетворительные
результаты только «в малом» и был совершенно непри-
годен для глобальных рассмотрений. Делались много-
численные попытки обобщить метод ВКБ, приспособив
его к исследованию решений вблизи особых (фокальных,
каустических) точек, и хотя иногда это удавалось сделать
с использованием ряда искусственных и очень тонких
приемов (см., например, Бабич В. М., Булдырев В. С. [1]
и др.), общая схема построения асимптотики в целом бы-
ла неизвестна.
Замечательное решение этой задачи было предложено
в 1965 г. В. П. Масловым, который не только дал общий
метод нахождения асимптотики решения в «целом», но и
выяснил, что целый ряд других классических задач, на-
пример, задача о распространении в «большом» разры-
ва начальных данных в гиперболических уравнениях мо-
жет быть решена его методом. Заметим, что последняя
задача включает, в частности, и задачу построения асим-
птотики решения по гладкости, т. е. задачу, для которой
и был создан метод интегральных операторов Фурье,
248
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Получилось, таким образом, что к моменту упомяну-
той выше публикации Л. Хермандера уже имелся метод
и развитый технический аппарат, адекватный методу
интегральных операторов Фурье. Более того, позднее
выяснилось, что метод канонического оператора Масло-
ва, примененный в ситуации интегральных операторов
Фурье, в точности совпадает с последним. При этом ка-
жущееся различие в окончательной форме является чис-
то внешним: рядом тождественных преобразований ин-
тегральный оператор Фурье может быть приведен к ка-
ноническому оператору Маслова.
Отметим, однако, что методы построения обеих тео-
рий имеют ряд существенных отличий. С этой точки зре-
ния представляет, по-видимому, интерес изложение тео-
рии интегральных операторов Фурье методом Маслова,
тем более что, как нам кажется, последний гораздо про-
зрачнее, геометричнее и позволяет получить ответ в более
законченном виде.
Проиллюстрируем на примере простейшей задачи идеи
и основные понятия метода интегральных операторов
Фурье — Маслова. При этом в изложении мы не будем
стремиться к излишней строгости в тех местах, где эта
строгость могла бы загромоздить техническими подроб-
ностями идейную сторону метода. В частности, здесь со-
вершенно не затронут вопрос об оценках интегральных
операторов Фурье в пространствах С. Л. Соболева. Точ-
ные и строгие формулировки всех понятий и теорем, со-
держащихся в них, читатель найдет в §§ 7.1—7.5.
В качестве первого примера рассмотрим задачу Коши
i^- = tf(p)u,
« lt=o = Ф W’
где Н (р) — псевдодифференциальный оператор с веще-
ственным символом Н(р), не зависящим от х=(х‘, ...
..., х") и положительно однородным порядка 1 по р—
= (ръ ..., рп):
= FP^XH (р) Fx^>.
В частности, р =—1^- . Здесь и далее через Fx.,p мы
ГЛ. VII]
йнтёграЛьныё операторы ФУРЬЕ
249
будем обозначать оператор преобразования Фурье
FX->P [f] = —Ц- f ехр {— i <х, р)} f (х) dx,
кп •
а через Fp^x — оператор обратного преобразования
Фурье.
Метод, который мы применим для решения задачи
(1), не есть метод интегральных операторов Фурье, од-
нако формулы, которые мы получим для решения, по-
служат нам в дальнейшем моделью для построения ре-
шений (в более сложных ситуациях) методом интеграль-
ных операторов Фурье.
Для решения задачи (1) сделаем преобразование
Фурье по переменным х, обозначив гг(р, /) = Fx^JLu]. По-
лучим
“1/=0 =?(?)•
В результате получена задача Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения, решение которой можно
представить в виде
w(p, 0 = Ф(р) е~ин{р).
Решение задачи (1) запишем в следующей форме:
и (х, /) .= Fp-X [ф (р) ехр (— UH (р))] = j К (х, у, t) <р (у) dy,
R"
(2)
где
К (х, у, t) = —!— ехр {i [<р, х — у~> — tH (р)]} dp <>
(2я)п/2 Л
= Fw[exp(iS(x, |,0)], (3)
s(x, в, о = -а 1),
причем сходимость последнего интеграла нужно пони-
мать в пространстве обобщенных функций Z)'(RnXRn)
по переменным (х, у). При этом формула (2) дает реше-
ние задачи (1) в обобщенном смысле при начальной
функции ф(х)еС^° (Rn). Более точное исследование
250
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[гл. vn
пространств, в которых разрешимы задача (1) и анало-
гичные ей задачи, будет дано ниже. Отметим, что фор-
мулы (2) и (3) представляют собой простейший пример
интегрального оператора Фурье.
Рассмотрим теперь более сложную задачу
i^ = tf(/,x,3)«,U|/=0 = q>(x). (4)
Будем искать решение этой задачи в форме, аналогич-
ной (2):
и(х) =» J /С(х, у, t)<p (у) dy,
R”
Подставляя это выражение в задачу (4), получаем, что
для любого начального данного q(y)<=C% (Rn) функция
К должна быть решением задачи
i К (х, y,t)—H (t, х, р) К (х, у, 0 =0,
dt (5)
К(х, у, 0) = 6(х—у)
(оператор Н(х, р) действует только по переменным х).
Мы будем искать не точное решение задачи (5), а так
называемую асимптотику по гладкости. Иными словами,
мы найдем такую функцию К.(х, у, t), чтобы при подста-
новке ее в задачу (5) правые и левые части отличались
на достаточно гладкую функцию переменных х, у, t. Это
позволит провести редукцию задачи (4) к интегральному
уравнению вольтерровского типа.
Приступим к решению поставленной задачи. Прежде
всего представим начальные данные в следующей специ-
альной форме:
К(х, у, 0) 6(x-i/) = a_41/(2n)"/2exp(-i<x, В»]. (6)
Будем искать асимптотическое решение задачи (5) по
аналогии с формулой (3) в виде
К (х, у, t) = F^y [ехр (iS (х, В, /)) В (I) а (х, В, 0]. (7)
причем функция S(x, В. 0 считается однородной по
ГЛ. VII]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
251
переменной % первой степени,
N
o(x,U) = 3 (8)
п=о •
и функции а}(х, t) однородны по £ степени /. Функция
Щ), введенная для устранения особенности при |=0 в
формуле (7), равна 0 в окрестности нуля и 1 в окрестно-
сти бесконечности. Отметим, что изменение функции £(|)
влечет изменение К(х, у, t) на бесконечно гладкую функ-
цию переменных х, у, t.
Легко видеть, что чем больше отрицательная степень
однородности функции а в формуле (7), тем более глад-
кую функцию К(х, у, t) эта формула определяет, по-
скольку интегралы в (7) сходятся тем лучше, чем быстрее
функция а убывает при |||->°о. Поэтому разложение (8)
функции а отвечает разложению ядра К(х, у, t) по глад-
кости.
Подставляя выражения (6) и (7) в задачу (5), по-
лучим
i [ехр (iS (х, & 0 g © а (х, I, /)] =
ut
= H(t, X, р) [ехр (iS (х, ?, /)) £ (В) а(х, %, /)],
(9)
ехр (IS (х, |, 0)) а (х, £, 0) С © =l/(2rt)n/2exp (- i <х, В» £ ©.
(Введение в начальное условие множителя £(£) приво-
дит, очевидно, к изменению начального условия задачи
(5) на бесконечно дифференцируемую функцию.)
Воспользовавшись определением оператора Н(х, р)
и методом стационарной фазы, нетрудно получить ра-
венство
Н (t, х, р) [ехр (iS (х, В, 0) 5 © Ф (х, & 01 =
= ехр (iS (х, 0) С © (Я (О х, -g) —
. \дН [. dS \ д , 1 d*S д*Н 1 .
— I —It, х, —------1-------------+
[5/> • \ дх ) fai 2 dxi дрj dpj
252
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
где операторы Р-г есть дифференциальные операторы по
х порядка г с однородными по £ порядка —г коэффици-
ентами, a F(x, g, t) представляют собой сумму однород-
ных по | функций порядка не выше — N. Подставляя
последнее выражение в (9) и разделяя по степеням
однородности по получим в старшем члене уравнения
для S:
dS г, /, dS\ п
---k Hit, x, — = О,
dt \ дх )
(Ю)
S(x,g,0)~-CU>.
В целях удобства дальнейшего изложения теории мы
будем рассматривать х и £ как независимые переменные,
не обращая внимания на то, что g входит в задачу (10)
в качестве параметра. Иначе говоря, мы будем рассмат-
ривать задачу (10) как частный случай более общей
задачи
(Н)
S(x,U) = S0(x, ?) = -<хЛ>
для специальной функции
H(t, х, у, р, |) =Н(х, t, р),
не зависящей от переменных у и g.
Решение задачи (11) проводится методом характери-
стик. Дадим описание начальных данных этой задачи с
помощью многообразия L, в фазовом пространстве R2n®
®R2n с координатами (х, у, р, g):
L0=[(x, у, р> %) | у = - dSn = х; Р = dS^x' g) .
I 0g ox J
(12)
При этом функция S0(x, £) может быть восстановлена по
многообразию Lo как однородное (степени 1) решение
уравнения Пфаффа на Lo:
dS0 = pdx — у dl.
Отметим, что такое решение существует, так как много-
ГЛ. VII]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
253
образие Ц является лагранжевым,
I dp Д dx + dt /\ dу |L> = О,
и коническим, т. е. вместе с точкой (х, у, р, много-
образие L содержит весь луч (х, у, Кр, ZeR+, где *
। R+ — множество положительных вещественных чисел.
I При этом решение S (х, g, t) задачи (11) при достаточно
I малых t может быть получено следующим образом. Рас-
I смотрим операцию сдвига вдоль траекторий системы Га-
мильтона
! = дН_ __дН ;jW_ g : дН
dPj ’ Р‘ дх1 ' У i! dyi •
! В результате операции сдвига точек многообразия Lo в
j момент t получается новое многообразие Lt. Положим
। L= U Lt. Рассмотрим такой малый интервал значений
t
параметра t, чтобы многообразие L диффеоморфно про-
ектировалось на плоскость (х, £) фазового пространст-
ва. Тогда функция S(x, g, t) может быть получена как
решение уравнения Пфаффа на многообразии L:
dS=pdx—yd%—H(t, х, p)dt.
Для случая системы (10), когда Н не зависит от у, g,
система Гамильтона принимает вид
?= dH d,x,p) > р ,yi =о, t; =0.(13)
dPj дх>
Решение системы Гамильтона (13) с начальными усло-
виями (12) допускает следующую интерпретацию. Рас-
смотрим изоморфизм
। /:r(R2',)=I
[ = Rw ф Rsn-♦ 7* (R") х 7* (Rn) == (R" ф R«) х (Rn ф Rn),
который задается формулой
i(x,y,p, g) = ((x, р), (//,—£)).
Образ j (Lo) многообразия Lo при этом изоморфизме есть
диагональ пространства T*(Rn) X7*(Rn). Сдвиг на фик-
сированное время t вдоль траекторий системы (13) в
254
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЁ
[ГЛ. VII
пространстве 7*(Rn)®r*(Rn) определяет каноническое
отображение
(У, = у, УЛ)),
где X, Р — решения системы (13) с начальными данны-
ми Х(0, у, g) —у, Р(0, у, g) =g. Нетрудно видеть, что j(Lt)
есть график этого канонического отображения.
Если записать уравнение в задаче (4) в виде
Ж (4 х, р, Ё) и = (— i — + Н (t, х, р)\и = 0,
\ dt )
где оператору 3% отвечает символ E+H(t, х, р), Е —
двойственная к t переменная и Е = —i , то можно от-
dt
метить также следующую трактовку многообразия L, ко-
торая понадобится нам в дальнейшем. Вложим много-
образие L в расширенное фазовое пространство R2n+I®
®R2n+1 с координатами (t, х, р, Е), задав новую коорди-
нату Е по формуле
at
Тогда многообразие L, рассматриваемое в этом прост-
ранстве, есть лагранжево многообразие относительно
формы dp/\dx+dE/\dt, лежащее целиком в множестве
нулей символа E+H(t, х, р).
Обратимся теперь к уравнению для функции а0(х, I,
t) (см. формулу (8)). Выделяя в уравнении (9) члены
нулевой степени однородности по g, мы получим уравне-
ние для определения а0:
- + ± + 1 -f \ 1^(х, I, t) = 0,
« др/ дх> 2 dxf dxkdPidpk\
(Н)
а0(х,1, 0) = 1/(2п)"/4.
Пользуясь тем, что многообразие Lt при рассматривае-
мых t диффеоморфно проектируется на плоскость (х, g),
поднимем функцию а0(х, g, t) на многообразие L=(J Lt.
t
Отметим, что при этом
I д . дН д\ _ d п
\dt dpjdxi) 0 Л 0
ГЛ. Vll]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
255
где d/dt— производная вдоль траекторий системы Га-
мильтона (13). Таким образом, задачу (14) можно пе-
реписать в виде
1 d2S д*Н
2 дх1 dx*dpjdpk
р)Цао=О,
(15)
“Л- ~ '
Обозначим теперь
L иУ J
Очевидно, J“4 есть плотность меры относитель-
но координат (х, £). Заметим, что эта мера инвариантна
относительно сдвига вдоль траекторий системы Гамиль-
тона (13). Отсюда можно вывести, что J удовлетворяет
уравнению
at
д2Н
дх1 dpf
d2S &Н
dxidxkdpjdpk д’
(16)
Делая замену функции ао=фо-/_,/2, мы приведем уравне-
ние (15) с учетом соотношения (16) к виду
2 дх^ dpj
(17)
Ф |/=0 =1/(2тг)"/2.
Нетрудно убедиться в том, что решения уравнений Га-
мильтона— Якоби (10) и уравнения переноса (17), по-
лученные описанным способом, являются однородными
функциями переменной Таким образом, мы получили
следующий результат. При тех значениях t, при которых
многообразие Lt диффеоморфно проектируется на плос-
кость (х, |), решение задачи (5) с точностью до более
гладких функций может быть представлено в форме
К(х, у, 0 = F^y[ехр (iS (х,0)$ d)//n(x,g,0<po(x, & 0], (18)
где tn — плотность меры ц, a S и <р0 являются решениями
задач (10) и (17) соответственно.
256
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Рассмотрим теперь вопрос о том, в каком виде нужно
искать решение задачи (5) при тех значениях t, где мно-
гообразие Lt не проектируется диффеоморфно на плос-
кость (х, £). Поскольку, как показано выше, Lt есть гра-
фик канонического отображения, то для каждой точки
а многообразия Lt существует плоскость вида
(X *, . . . , X , • • • » Pint I) = (X , Pj, I),
на которую окрестность точки а многообразия Lt проек-
тируется однозначно (лемма 1.1 гл. II). Здесь (ib
i*+i, ...,i„)—перестановка (1,...,и),/= (ib ..., 4),7=
= (4+b • • •, in) —дополнение к I в множестве [n]= (1,...
..., n). Множество на L с координатами (xJ, p-v t) мы
будем называть канонической картой. Отметим, что рас-
смотренный выше случай отвечает /=(п], 1 = 0. Вычисле-
ниями, аналогичными проведенным выше, нетрудно по-
казать, что в карте иг с координатами (х‘, p-j, g, t) реше-
ние задачи (5) может быть получено в виде
К (х, у, 0 ='
= F^F 7 lexP Vs (х'’ Р7> 0) Б (В, Pj) КЙ/ %], (I9)
РТ
причем функция Sz определяется соотношением
dSi = p/dxl — х1 dp7 — yd1- — H(t, x, p) dt,
ц, есть плотность меры ц относительно координат (хг, pj
g), а функция фо есть решение уравнения (17). Более то-
го, для каждых двух карт Ur и U, можно выбрать ветви
корня, входящего в (19) таким образом, чтобы выраже-
ния (18) и (19) совпадали по модулю более гладких
функций. Отметим тот факт, что функция ф0 становится
функцией, глобально определенной на многообразии L
только благодаря введению дополнительного множителя
Уцл Более того, эта функция удовлетворяет глобальному
на многообразии L уравнению (17).
Остался еще открытым вопрос о том, можно ли вы-
брать ветвь корня Уц./ во всех картах сразу так, чтобы
выражения (19) определяли одну и ту же функцию (по
модулю более гладких функций). Многообразия, на ко-
торых такой выбор может быть произведен, называются
ГЛ. VII] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ 257
квантованными многообразиями. Подробное обсуждение
этого понятия мы проведем в основном тексте главы.
Таким образом, мы получили следующий результат.
Решение задачи (5) по модулю более гладких функций
при всех (х, у, t) можно записать в виде
К. (х, у, t) = 2 F^yF [ехр (iS/) ^КЙ/ Фое/1. (20)
1 рт*х
где суммирование проводится по каноническим картам
U, многообразия L при данном t, а ег — разбиение еди-
ницы, подчиненное покрытию {J/J. Функцию (20) мы
будем называть каноническим распределением, а опе-
ратор (2) с ядром (20) — интегральным оператором
Фурье.
Рассмотрим теперь задачу (4) на замкнутом ком-
пактном многообразии М без края. Все приведенные рас-
суждения без труда обобщаются на этот случай. Однако
следует учесть следующее обстоятельство. Выражение
J К(х, y)f(y)dy не является корректным на многообра-
м
зии М, поскольку оно меняется при замене локальной си-
стемы координат. Однако, если предположить, что f и К
являются плотностями порядка 1/2, т. е. при замене ко-
ординат преобразуются по формулам
/С « У') = К (х (х'), у (у1)) I V* I £ Г',
I ду | дхг |
ди I1/»
f(/WW))|^-| .
то указанное выражение корректно определено на М и
задает плотность порядка 1/2, зависящую от х<=М. Поэ-
тому при рассмотрении этого случая мы будем считать,
что задача (4) рассматривается не на функциях, а на
плотностях порядка 1/2. Переход к случаю функций до-
стигается делением на некоторую стандартную плот-
ность порядка 1/2.
В последнее время теория интегральных операторов
Маслова нашла применение в широком круге вопросов,
связанных с исследованием локальной и глобальной раз-
решимости линейных уравнений, задачами классифика-
ции уравнений, изучением волновых фронтов решений,
9 Мищенко и др.
258
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
построением асимптотик и др. Покажем, например, как
работает техника интегральных операторов в задаче о по-
строении преобразования псевдодифференциальных опе-
раторов, отвечающего каноническому диффеоморфизму
фазового пространства. Как известно, решение этой за-
дачи, данное Ю. В. Егоровым, привело к важным и глу-
боким результатам в теории локальной разрешимости
псевдодифференциальных уравнений.
Постановка задачи такова. Пусть Н^х, р), Н2(х, р)—
два однородных по переменным р символа на
7’*(R») = R"®Rn,
и пусть
g: Z’*R’‘->r*Rn
— однородный канонический диффеоморфизм такой, что
Требуется построить с точностью до гладких функций та-
кой оператор Ug, что
(*» 3) Д = Н2 (х, р). (21)
По аналогии с разобранным выше случаем перехода от
задачи (4) к задаче (5) мы будем искать оператор Ug в
виде
0gu = J К (х, у) и {у) dy. (22)
Rn
Подставляя формулу (22) в (21), получим уравнение для
определения ядра К(х, у):
[Нг (х, р) — Hz {у, £)] К (х, у) = 0. (23)
Решение задачи (23) дается каноническим распреде-
лением на (лагранжевом) многообразии
Ls=/"‘(graph g),
причем в качестве меры выбирается фазовый объем (ин-
вариантность которого гарантируется теоремой Лиу-
вилля).
§ 7.1] КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Нп 259
§ 7.1. Канонические распределения
в пространстве R"
В этом параграфе дается конструктивное описание
некоторого класса распределений в пространстве R”.
Именно, для произвольного квантованного конического
лагранжева погружения в T*R”\{O} = To (Rn) с мерой
р строится оператор К, который мы называем гладким
каноническим оператором на коническом лагранжевом
погружении с мерой. Каноническими называются рас-
пределения, которые принадлежат области значений
оператора К.
Пусть R" — n-мерное арифметическое векторное про-
странство с координатами (х‘...хп). Обозначим через
To(R") кокасательное расслоение к пространству R" без
точек нулевого сечения, снабженное симплектической
структурой *)
о=dpi Д dx‘=dp Д dx.
Определим на пространстве T*(Rn) действие группы R+
положительных вещественных чисел, считая
Х(х, р) = (х, Хр), XeR+.
Пусть L — n-мерное гладкое многообразие, на кото-
ром свободно действует группа R+ положительных веще-
ственных чисел, р — гладкая невырожденная веществен-
ная мера на L.
Определение 1.1. Гладкое погружение
i: L^Tfcn,
перестановочное с действием группы R+ называется ко-
ническим лагранжевым погружением с мерой, если
Г. Обратный образ на L формы и равен нулю:
Г(о=0.
2°. Мера р однородна, некоторого порядка т:
Х*р = Хтр для любого >. eR+. (1.1)
*) Здесь (х1, ..., хп, р\, ..., рп)—естественные координаты в
7*(R").
9*
260
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Определение 1.2. Коническое лагранжево погру-
жение называется квантованным, если индекс ind у про-
извольного цикла у на многообразии L сравним с нулем
по модулю 4 (г. е. ind определяет нулевой элемент груп-
пы
ind у=0 (mod 4) *). (1.2)
Обозначим через й следующую форму на Tj(R“):
Q=pdx=pidXi.
Лемма 1.1. Пусть i — коническое лагранжево по-
гружение. Тогда
ГЙ = 0. (1.3)
Доказательство. Поскольку вектор р касате-
др
лен к погруженному многообразию i(L) и idQ = 0, то
р — _Ji‘dQ = O.
др
Поскольку
р — J dQ == р — | dx / \ dp = pdx,
др ’ др
имеем
Р J i*dQ = i' (pj 4- J ) = l”Q •
др \ др j
Лемма доказана.
Мы будем рассматривать только квантованные кони-
ческие лагранжевы погружения, т. е. такие, для которых
выполнены равенства (1.2), (1.3).
Лемма 1.2. Пусть i — коническое лагранжево погру-
жение многообразия L, — произвольная точка. Су-
ществуют такая окрестность V точки а и такой набор ин-
дексов
1 = {in .... [n] = {1, 2, ... , п},
I ~ {fft+i, • • • > in} —
*) Через ind у обозначается удвоенное значение коцикла С(2),
определенного в § 4.1 на цикле у-
§ 7.1] КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 261
что функции
(X1, p-j) = (х‘>, ... , х\ PiM ... , pin)
образуют локальную каноническую систему координат в
окрестности V. (Здесь и далее мы для краткости пишём
х1 вместо Рх1 и т. д.)
Замечание. Так как коническое множество в То R”
не может диффеоморфно проектироваться на х-пло-
скость p=const, то в случае конического лагранжева по-
гружения^ канонический атлас не содержит карт Uh для
которых 1 = 0.
Пусть Uj — одна из карт канонического атласа. Мера
ц может быть записана в локальных координатах:
И|а/ = IM&'/W/- (I-4)
Из условия квантования (1.2) следует, что в коцепи
{arg ц;} ветви arg Ц/ аргумента плотности меры в раз-
личных картах канонического атласа могут быть выбра-
ны таким образом, что в пересечениях карт UjQUj
argfxz — aigHj^2arg*'* + ^«lJi:(”nod f1’5)
Здесь Zt=Z(V> 72=7\/, IS=J\I, |А|—число
элементов множества /2, Kh — собственные значения мат-
рицы
д (— р,, х/з)
7*-------- , — Зл/2 < arg W л/2.
д (х1‘, р1г)
При вычислении частных производных по х’> и pl2 элемен-
ты ph и х‘> рассматриваются как функции локальных ко-
ординат (х1, pj) в карте Ut
Ph =« Ph Pj)> х'г - *l* Pi)-
В дальнейшем предполагается зафиксированным набор
{arggi}, удовлетворяющий условию (1.5).
Следующая лемма носит технический характер.
Лемма 1.3. Функция p-j) однородна по пере-
менным p-j порядка m — 17|, где пг — порядок однороднос-
ти меры р, (см. равенство (1.1)).
262
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Доказательство. Воспользовавшись равенства-
ми (1.1) и (1.4), получим
= %‘р = V (it; (rz, p-j)) dx1 Д dp-j =
= pt/ (xl, Kp-j) dx1 Д dp-ft, = АУ'р./ (x1, Kp-j) dx1 Д dp-j.
Сравнивая получившееся выражение с (1.4), получаем,
что
А,"У/ (rz, p-j) = (xz, Хр,),
т. e. pi (x1, hp-j) = %<m-lzl)p,z(xz, pj). Лемма доказана.
Определим теперь другую коцепь канонического по-
крытия — действие. Рассмотрим в карте U, функцию дей-
ствия St(x!, pj), которая определяется из уравнения
Пфаффа
dSi = p/dx1 — x^dp-j. (1.6)
Здесь pi = piix1, p-j), x7=x7(x', pj) — функции локаль-
ных координат в карте U/. Уравнение (1.6) разрешимо,
так как форма, стоящая в его правой части, замкнута (ее
дифференциал равен Гео). Функция S, определена с точ-
ностью до прибавления произвольной постоянной. Чтобы
избавиться от произвола в определении функции Sh по-
требуем, чтобы она была однородной функцией степени 1
переменных pj.
Лемма 1.4. Функция
S/ (х1, pj) = —х1 (х7, pj)pj (1.7)
однородна степени 1 относительно переменных pj, и удо-
влетворяет уравнению (1.6).
Доказательство. Так как форма
i*Q = pdx = pjdxf 4- pjdx7
равна нулю на L, то мы можем записать
dS/ = —d (x7Pj) = pdx — d (x7pj) =
— pidx1 -I- p-jdx7—x7dpj — pjdx7 = prfx1 — x7dpj,
т. e. уравнение (1.6) удовлетворяется.
§ 7.1] канонические РАСПРЕДЕЛЕНИЯ в ПРОСТРАНСТВЕ Д'1 263
Функция однородна относительно перемен-
ных pj степени 0: действительно, равенство =
—xl(x^, р7) означает, что для некоторого а х7 = х1 (а), х1 =
= х1 (а), р-{ = pj (а), где х (а), р (а) — функции, задающие
вложение i: Ui-+T*v($n). Полагая 0*«Ха и пользуясь
тем, что i — коническое отображение, получим х7 = х7(0),
х' = х1 (0), Кр7 = р7 (0), т. е. хг(х1, р7) = х7 = х1 (xl, Kpj).
Лемма доказана,
В дальнейшем мы будем опускать подобные доказа-
тельства однородности различных функций.
Из первого условия квантования (1.3) следует, что
функции S, можно выбрать так, что в пересечениях карт
UiClUj выполнены равенства
Sj — Si = x^pi, — х^рц, (1.8)
где /2 и Л — те же множества, что ив (1.5). Легко ви-
деть, что построенные нами функции (1.7) как раз удов-
летворяют этому условию:
— xJpj + х7/?7 = xr<jp7<j = xJ>plt — x‘*ph.
Теперь мы можем определить гладкий канонический
оператор на коническом лагранжевом погружении с ме-
рой. Пусть Ol(L)—пространство гладких однородных
порядка I функций f: L-+-C таких, что множество
л (supp f), где л: L->Z./R+— естественная проекция, ком-
пактно. Пусть O‘(L) — прямая сумма
OZ(L)= ©^'(L),
O‘(Ut) —пространство функций из Ol(L) с носителем в
карте Ut. Пусть гладкая функция %(р) равна нулю при
|р| ^8, и единице при |р| ^е2, где е(, в2 — некоторые по-
ложительные числа, et<e2.
Определение 1.3. Гладким элементарным кано-
ническим оператором Кг в карте Ui называется оператор
Кг. D'jp.n)
(1.9)
264 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ [ГЛ. VII
вида
Л/Ф = F 7Х
Р--+Х1
X {ехр (iSz (xz, р/))рЛр,/ (х1, pj) ф (х1, pj X (р, (х', pj), p7)J-
(1.Ю)
Здесь F? — обратное преобразование Фурье:
Fp_^xlf = (1/2л)'л/* J ехр (ix lpj) f (p-j) dp7.
Значение квадратного корня УцДх1, p.-j) однозначно за-
фиксировано выбором ветви аргумента arg |*/.
Лемма 1.5. Оператор (1.9) по модулю гладких
функций не зависит от выбора функции х(р).
Доказательство. Пусть %'(р) — другая функ-
ция, удовлетворяющая тем же условиям, что и х(р).
Тогда
Крр —Кю <=• Fp__,xl (ехР (lS/ (:(l> Pl?) V(v/> ^z)x
Хф (x1, Pj) (K (pt, Pj) — X (pl, p7))}
— гладкая функция, так как X' (pi, pj).— 7. (pi, pj) =
== X' (pi (xl, pj), pj) —X (pi (x1, pj), pj) — финитная функция
переменных ру.
Следующие две теоремы устанавливают свойства опе-
раторов Ki-
Теорема 1.6. Оператор Ki действует в простран-
ствах
Кг. O1(Ui)-+ №(R")
при s<z—m[2—I (напомним, что пг — порядок однород-
ности меры р).
Теорема 1.7. Коцепь {КД является коциклом по
модулю элементов пространства 77,+‘(R") при
«С-—rra/2«—I, т. е. для любой функции феОД^ПС//)
К/Р —KjTeHs+1(R"), »<— m/2-l. (1.11)
§7.1] КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Rn 265
Так как, очевидно, на многообразии L существует раз-
биение единицы {ег}, однородное, порядка 0, и подчинен-
ное каноническому покрытию, то стандартными рассуж-
дениями получаем
Следствие. Существует единственный оператор
К: О1 (L) -> Hs (R")/№+1 (Rn), з < — m/2 — I,
совпадающий с коцепью {/G}, Он задается формулой
•* S
i
Оператор К называется гладким, каноническим опера-
тором Маслова на квантованном коническом лагранже-
вом погружении L с мерой ц, а распределения вида Ksf —
каноническими распределениями.
Замечание. Как и в главе VI, используя опера-
торы Vu, можно построить операторный коцикл К с точ-
ностью до распределения произвольной гладкости.
Доказательство теоремы 1.6. Вычислим
норму функции (1.10) в пространстве №(Rn). Достаточ-
но проделать это для случая, когда <p (хъ p-j) — однород-
ная функция порядка однородности k^.1. Обозначим
а(х1, р7) = |/p./(xz, Pj)<f(xl, р7) %(pf (x>, р7), pj).
Используя лемму 1.3, получаем, что при больших |р,|
a (xl, p-ft — однородная функция переменных р7 поряд-
ка k 4- • Преобразование Фурье функции Лгр
равно
(К/ф) (р) - Fx/_^{exp (iS (х/, pj)) a (х', р7)}. (1.12)
Рассмотрим выражение (1+р2)’/2(^тф) (р), где
seR — произвольное число. Представим з в виде
s=2V+s1, где N— неотрицательное целое число, а з,^0.
Получим
(1+P2)S/W)(P) =
* (1 + рТ,гРх^р ((I —-+ p}Vexp(iS(xi, PjMx',^)]
/(\ dxi v / I
266
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
= (! + P2)Sil2FxI fexp (iS (xz, p7))('l — (77 4-
pz I \ \dx*
dS \2 n\N 4
4- i (x', p7) j 4- p7j a(xi, pj)j =
= (1 + p2)Sl/2FxZ_^{exp(iS(xz p7))6(xz, p7)}
где b(x', pi) —конечная сумма гладких функций, финит-
ных по переменным х1 и однородных по переменным р7,
порядок однородности которых не превышает числа / =
= k+ (m—\l\)/2+2N.
Вычислим норму функций Кнр в пространстве H‘(Rn):
= J(14-P2)W(pW =
= J (1 4- P2)s* I Pxr^Pi{exp (iS (x1, pj)) b (xl, p7)} \2dp <
< J (1 4- Р7У' I Fx/^ {exp (iS (xz, pj)) b (x1, p7)} \2dp =
= J (1 4- Pj)s' exp {1 (S (xz, pj) — S (у1, р7) — x‘pt + pzpz)} x
x b (xl, Pj) b (y1, pj) dxIdy1dp1dp7 =
= J (1 4- Py)s* exp {i (S (xz, pj) — S (y‘, р7))} b (xz, p7) x
x b (y1, pj) S (xz — y1) dxldyrdpj =
= j* (1 4- РрУ' I b (xf, p7) \2dxrdpj < c J (1 4- ft)SiUdpj.
Последний интеграл сходится, если Si4-/<|7|/2, т. е. ес-
ли s<—k—т/2^—I—т/2. Теорема 1.6 доказана.
Доказательство теоремы 1.7. Пусть функ-
ция <p^Ol(UjPlUj). Введем обозначения:
® = (соь ... ®„) е S"'1, ©й = .
I Р\
При больших |р| Фурье-преобразование (1.12) функций
/Сдр и К/ф может быть записано в виде
XiV (р) = | р | + 2 (— i | р |/2л),/|/2 х _
х ехр (i | р | (— xf(t>i 4- S/ (xz, ®7))} р,/ (xz, ©у) ф (xz (i>7)dxl,
(1-13)
§ 7.1] КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Rn
267
^т*-п
&Ф (Р) = IРI + 2 (— i IР |/2л)и/*х __________
х ехр {i | р | (— xJ<Hj + Sj (л/, ®_))} pj (xj, <о7) <р(Н, (Oj)dx7.
(1.1*4)
Покажем, что при любом # для интеграла (1.13) име-
ет место асимптотическое разложение
| Р | 2 (— i | Р |/2п)'л/2 J ехр {i | р | (— х4о/ + Sj(xl, <о7»} х
X (х7, (dj) ф (х7, (Оу) dx7 =
1{т~п
= IРI * 2 (— i IP |/2л),л/2 J |exp{i | p |(— xjcoj+ Sj (xj, ®7))}x
x 2 фИ^, ®7)1рГ*1^ + #И®> IpI). (1.15)
J
Здесь <pft(xJ, coy) —гладкие функции с носителем в кар-
те Uj,
Фо (xJ, ®7) = уpj (xj, <d7) q> (xJ, <в7),
a Rn(g), \р\) —остаточный член разложения, удовлетво-
ряющий неравенству
|р|)|^С(1+И)-^ (Мб)
где N' — целое число, отличающееся от номера АГ на кон-
станту, не зависящую от параметров т, I и размерности
пространства.
Из существования асимптотического разложения
(1.15) вытекает утверждение теоремы 1.7. Действитель-
но, первый член суммы (1.15) совпадает с (1.14), обрат-
ное преобразование Фурье остальных членов суммы
представляет собой распределение вида /Оф,
феОг"1((71Г)[7/), и по теореме 1.6 принадлежит простран-
ству Hs+i, s<—m/2—/. Наконец, при достаточно боль-
шом # обратное преобразование Фурье функции
Rn(®, \р\ ) также принадлежит Hs+i.
Замечание. Из наших рассуждений следует, что
•на самом деле имеет место более тонкое утверждение,
чем (1.11): разность /Сдр—Kjq всегда может быть запи-
208
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
сана в виде Kj<pi+f, где (fAQf/r), a f — распре-
деление произвольной наперед заданной гладкости. Хо-
тя в формуле (1.15) параметры со = р/|р| связаны уело-
п
вием ®< = 1, т. е. ои=5"-1, нам будет удобнее доказы-
1=1
вать соотношение (1.15) в более общем виде, считая, что
параметры со( независимы между собой. Получающаяся
при этом оценка остаточного члена (1.16) будет локаль-
но равномерной относительно параметров со. Так как
сфера S"-1 компактна, то для oeS”"' оценка будет рав-
номерной.
Обозначая | р | = 1//г, мы видим, что разложение (1.15)
представляет собой хорошо известную теорему о коцик-
личности канонического оператора в l/ft-теории, изло-
женной в главе VI, причем (он, ..., con) играют роль «фи-
зических» переменных, а (—х‘.......—хп) — роль двой-
ственных к со импульсов. Таким образом, для дока-
зательства существования разложения (1.15) — (1.16)
достаточно проверить выполнение условий теоремы о
коцикличности. Иными словами, нужно доказать, что
а) функции S(—rf, y-j) и $,(—г)', y-j) определяют од-
но и то же лагранжево многообразие М в пространстве
переменных (у, г|);
б) эти функции согласованы, т. е.
Si — Sj =- x/z*nz. — Р/‘П/2
(изменение знака по сравнению с (1.14) объясняется
тем, что теперь множества I и I поменялись ролями);
в) функции
(—1)(%(—т)'> #7) и (—П7. t/j)
представляют собой плотности одной и той же меры ц в
координатах (y-j, if) и (y-j, if) соответственно, причем
arg (— 1 — arg (— 1 )'% = V arg ХА + | /31 л (mod 4л),
(1.17)
— ~-<argX*< (arg (—1) « — л),
где X* — собственные значения матрицы
Д (— nz*, У/8)
(у/г, г/’)
§ 7.1] КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 269
Проверка условий а), б), в) сводится к переписыва-
нию формул (1.4), (1.5), (1.6), (1.8) в обозначениях
х=—г], р=у. Докажем, например, формулу (1.17) (это
единственное, что может вызвать некоторые затрудне-
ния). Очевидно, матрица
д (П/з> Уц) = д(Ар/г)
д (уг,. ПЛ) д(Рц,-х1‘)
подобна матрице
д(-Р/,> */з)
д (*'г, р1з)
Преобразование подобия осуществляется матрицей
/2 Л
С<||о -U
Поэтому она имеет те же самые собственные значения
%*. Теперь (1.17) следует из (1.5), так как
л(-|/Ц-Р1 + |/2|-|/3|) =
-n(-|Z| -H|J| + |Z1 — |ZQJ|~|J|4-|7QJi) = O.
Теорема 1.7 доказана.
Перейдем к следующему важному понятию теории ка-
нонических распределений в Rn — понятию ассоцииро-
ванности. Пусть Н — псевдодифференциальный опера-
тор в R” порядка г с вещественным главным символом
Нг(х, р), К. — гладкий канонический оператор на погру-
жении L с мерой ц.
Определение 1.4. Оператор К (и всякое канони-
ческое распределение вида К<р) называется ассоцииро-
ванным с псевдодифференциальным оператором Н, если
выполнены следующие условия:
1°. ГЯГ = О.
2°. ^у(нг)М> — 0.
Здесь 3?v(Hr} — производная Ли вдоль векторного по-
ля V (Hr), V (Йг) — гамильтоново векторное поле, порож-
денное символом Нт.
270
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Теорема 1.8. Пусть К — гладкий канонический
оператор на квантованном коническом лагранжевом по-
гружении i:'L-+TQRn с мерой ц, Я(х, р) —символ, стар-
шая часть которого имеет степень однородности г. Тогда
для любой функции q^Ol(L) имеет место формула ком-
мутации
НКч = К (ГНГ) ср (mod Hs'r+1 (R”)), s < I - m,/2.
Если оператор К, кроме того, ассоциирован с символом
Н(х, р), то
(mod s< — l — m/2, (1.18)
где & — оператор переноса,
к др дх
dJ^±\______1 yi д2Нг
дх др) 2 дх1др.
— [ ф-
Доказательство. Из теоремы 1.7 о коциклич-
ности следует, что доказательство достаточно провести
для случая, когда носитель функции ф сосредоточен це-
ликом в одной канонической карте, т. е.
Кф = J ехр {i (х’р7 + Sz (х7, р7))} у pz (х7, р7) ф (х7, р7) dp7.
(1-19)
Очевидно также, что достаточно рассмотреть случай
Н(х, р)=Нг(х, р). Применяя оператор Н=Н (х, —i—}
\ дх’
к функции (1.19), получим
/?/<Ф = ехр {i (хтр7 + S/ (х1, Р7))}Н ^х7, х7 —
dSi dSi \ , Г-
~~toZ’Pl + Ti> (Х' dpT-
г j UX /
- д д „ /
Здесь Р/=—1Т/>х/ = 1л—• Пусть L — fflx*, х1 —
дг vPj I
dSi - dSi \
~ > Р{ + Pi) > а (х'> Рй ~~ однородная функция
S 7.1] КАНОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Rn 271
степени I. Пользуясь тем, что Н — однородная функция
степени г, можно представить La в следующем виде:
La (х', кр7) = Н (х1, 2- ----(•*', W -» А +
1 у Ъ др7 др7 qxi
dS, \
+ — (х1,1р7), 1р7 а (х1, Кр7) =
дх1 /
= (xl, -i- (х>, р7), - 4- -4 +
X дрт др- А дх1
dSr \
н----- (х1, хр7), Р7 а (х1, pi), X > 0. (1.20)
дх1 /
Разлагая правую часть (1.20) по формулам для 1/А-псев-
додифференциальных операторов, получаем
La (х1, кр7) =
N / • а • я \
х',р7, -+-£, “W'-P/) +
I * <5/ Ь dP7J
+ Rn(x', р7, Х)Х-"-”*+' (1.21)
причем функция Rn (xl, p-j, X) ограничена вместе со всеми
производными равнэмерно поХ. е (0, сю), если (xi, p-j) е V>
где V — произвольное компактное множество в R7 ф Ry.
Сделаем в формуле (1.21) замену ’Kp7=q-[. Тогда имеем
La (xL q7) = X/+r V (x1,—, — )x
' \ К К дх, К dp-
fc=o \ 1 I J
(Q- \ / <7- \
Xl, + Rn xz, -Г Д K~N~1+l+r.
Полагая X=|^7|, мы получаем, что при достаточно боль-
шом X остаточный член в формуле (1.16) убывает как лю-
бая наперед заданная отрицательная степень От-
сюда следует, что для доказательства теоремы можно
применить разложение (1.21) и, таким образом, теорема
1.8 вытекает из теоремы о коммутации в 1//г-теории
(см. гл. VI).
272
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Замечание. Из доказательства вытекает, что раз-
ложение (1.18) можно продолжить. Именно, для любой
канонической карты Ut имеет место равенство
Н/Слр = /сЯф (mod HN (Rn)),
где N сколь угодно велико, а — оператор, старший
по однородности член которого совпадает с Если вос-
пользоваться формализмом операторов Vu, то из опера-
торов можно «склеить» глобальный оператор пере-
носа, удовлетворяющий соотношениям коммутации
(1.18) с точностью (mod//w(Rn)).
§ 7.2. Канонические распределения
на многообразиях
В § 7.1 были определены канонические распределения
в пространстве R". В этом параграфе мы дадим определе-
ние канонических распределений на произвольном мно-
гообразии М. Оказывается, что на многообразии удобнее
работать не с собственно распределениями (функциона-
лами на пространстве функций на многообразии), а с
плотностями распределения порядка 1/2, т. е. с функцио-
налами на пространстве гладких плотностей порядка 1/2.
К определению этих объектов мы сейчас и перейдем.
Определение 2.1. Плотностью порядка aeR на
многообразии М размерности п называется гладкое се-
чение одномерного расслоения слоем которого
над точкой х^М является множество таких отображе-
ний
Р: А'ТхМ^С,
что
Р(^)= |М“Р(Ю. geAXMJeR. (2.1)
Пусть U — координатная окрестность на многообразии
М с координатами хь ..., хп, тогда сечение pet(Qa)
определяет функцию
ffi: U >С
по формуле
f₽(x) = P(^A ... А^). (2.2)
!
I
§ 7.2] КАНОНИЧ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 273
। Если V — другая координатная окрестность на многооб-
' разии М с координатами , хп, то на пересечении
t/fl V получаем
7₽ (х (х)) = р ,\... л =
» \ дх1 дхп )
и. дх\ д л д \
: = Р det — )т-Д ... Д^—),
или, пользуясь (2.1) и (2.2),
~ ~ I дх “
f р (х (х)) = | det — f Р (х). (2.3)
I иХ
Таким образом, плотность р порядка а можно рас-
сматривать как набор {fp} функций, определенных в ко-
ординатных окрестностях многообразия М и удовлетво-
ряющих на пересечениях этих окрестностей условиям
1 склейки (2.3).
Как легко видеть из равенства (2.3), плотности
г, реГ(Яо) —это просто гладкие функции на М, плотно-
сти р<=Г(й4) —гладкие меры на М. Действительно, если
реГ(£21), то интеграл
^fp(x)dx, UcM,
i и
где функция fp(x), представляющая плотность р в ло-
кальной системе координат х4, ..., хп, не зависит от вы-
бора системы координат в окрестности U в силу равен-
ства (2.3). Очевидно также, что если р4 — плотность по-
рядка а, а р2 — плотность порядка р, то р,р2 — плотность
порядка а+р. Естественно поэтому ввести следующее
, определение.
Определение 2.2. Плотностью распределения по-
рядка а называется линейный непрерывный функционал
на пространстве Г0(Й1-а) финитных плотностей порядка
1 —а*).
। Пространство плотностей распределений порядка а
обозначим через Da'(M). Из предыдущих рассуждений
& *) Сходимость в r0(Qi-«) определяется точно так же, как и в
«
274
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
ясно, что имеет место вложение
r(Qa)cPa(M)-
Далее будет рассматриваться только случай a = 1/2.
Через Н{/2 (М) обозначим множество таких плотностей
PsD^Al), что для любой координатной окрестности U
распределение f (х), представляющее плотность Р, принад-
лежит пространству /Лос (J7).
Пусть теперь М — гладкое многообразие размерности
п, Т*М — кокасательное расслоение на А1. Как извест-
но, формы Q и о, выражения для которых в локальной
системе координат (х, р) есть соотвественно €>=pdx и
&=dp/\dx, представляют собой инвариантно определен-
ные формы на Т*М. Поэтому точно так же, как и в § 7.1,
можно определить квантованное коническое лагранжево
погружение
i:
с однородной мерой р степени tn. Пусть (х0, po)^i(L).
Выберем на М некоторую систему координат хь ..., хп в
окрестности U точки х0 и тем самым изоморфизм
X: я-‘(С/)_ГЯ»
(здесь я: Т*М->-М— естественная проекция). Применяя
результаты предыдущего параграфа к погружению
/ = К о i; i-i (л‘1 ([/)) -+ T’R", (2.4)
построим для каждой функции <peO'(i_1(n_‘(t/))) рас-
пределение
К<Р е Hs (U), э< — 1 — т/2,
где К — гладкий канонический оператор на вложении
/ (2.4). Если выбрать в U другую систему координат
(yt,. • •, Уп), то получается другое погружение
J~: Г1 (я"1 (С/))-> T*Rn,
другой гладкий канонический оператор К и другое рас-
пределение .йлреН® (17).
§ 7.2]
КАНОНИЧ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
27b
Оказывается, однако, что имеет место следующая
Теорема 2.1. Распределения [Акр](х) и [лсрДу) оп-
ределяют по модулю один и тот же элемент
пространства Н[/2 ([/), s<—I—m/2.
Стандартная процедура, связанная с разбиением еди-
ницы, приводит к следующему следствию.
Следствие. Пусть дано лагранжево погружение
i: L-+TM
с мерой ц. Существует единственный оператор
К: О1 (L) Hi/г (М), з < - / — m/2,
совпадающий в любой локальной системе координат с
соответствующим оператором вида (2.4).
Элементы пространства 77i/2(M) вида Акр мы будем
называть каноническими распределениями на многообра-
зии М.
Доказательство теоремы 2.1. Мы должны
доказать, что
[/Сф] (X) — [Яф] (у) 1^
\ду
1/2
еЯ (U).
Можно считать, что окрестность UczM достаточно мала,
так что 1 (л—1 (£7)) представляется в виде объединения
г-1 (jt~* (£7)) =1'^й непересекающихся множеств Lk и для
k
всех k ограничение t|£k есть вложение. После этого каж-
дое множество Lh можно рассматривать по отдельности.
Для сокращения обозначений мы будем отождествлять
Lh с подмногообразием i(Lh)czM, а индекс k будем опу-
скать.
Без ограничения общности можно считать, что носи-
тель функции ф лежит в малой конической окрестности
точки (х0, р0), так что
[КФ] (х) = К/Ф (х) (modtfs+1 (U)),
[КФ] (у) = Кя (у) (mod tfs+1((/)).
(2.5)
276
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЁ
[ГЛ. VII
Напомним, что (х1( хп)—х, (ylt .... уп)=у — два
различных набора координатных функций в U,
Км (х) = ехр {i (хгр7 4- S, (х1, р7)))х
х У^1<х', p-j) <р (х1, р7) dp7
„ d*si
Можно считать, что матрица ------- равна 0 в точке
др7др7
(х0, Ро)- Действительно, если это не так, то в силу симмет-
d2S,
ричнэсти матрицы------- у нее имеется отличный от О
др7др7
d2S, т-, dSr
главный минор -----, хс/. Поскэльку —- = хк, то
дРпдРи дРк
уравнение
as, ,
Хи = — {х‘, р7)
дри
разрешимо относительно рх в конической окрестности
точки Г(хе, р0). Это означает, что (х1, хж, р7^ж ) можно
выбрать в качестве локальных координат в этой окрест-
ности и по теореме о коцикличности 1.7 можно записать
Км (*) Ki\yM (х) (mod №+1)
(7(JX обозначим снова через /). Указанную процедуру
будем продолжать до тех пор, пока равенство
dJS,
---— (х°, р0) == О
др7др7 ' ™
не будет выполнено. Обозначим
ф (х, р7) = х1р7 + S7 (х1, Р7), (2.6)
Ф1(У> Р7) = Ф(х(р), р7), (2.7)
где х(у)—функции перехода от системы координат
(%1, ..., хп) к системе координат (yt, ..., уп). Очевидно,
ratlgTTk = rangTT“ = 1^1- (2-8)
дудр7 dxdpj
§ 7.2]
КАНОНИЧ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
211
Изменяя, если потребуется, нумерацию переменных, по-
лучим, что в конической окрестности точки (х0, Ро) из си-
стемы уравнений
(2.9)'
переменные p-j м 'жно выразить как функции от перемен-
ных у, 'qj:
РТ = Р7(У>^1У (21°)
Обозначим теперь
Ф(У,~0т) = Ф1(У, Р/(У,
(2.Н)
Лемма 2.2. В области с координатами
{у1, • • •, Уп> Qi, • •, Рп) многообразие L определяется фор-
мулами
У1 = У1, У1 == У1 (У1,11), q = q (У1, &•
Здесь (у1, q-f) —координаты на L, функции у1 (у1, q-j) оп-
ределяются из системы уравнений
дФ
а функции q{ (у1, q-j) равны
Я1 = <н {у1, yI (yl> ~q$ ’ q1>' 1 = 1 ’
(2.12)
. , п.
(2.13)
Доказательство. Пусть система уравнений
(2.12) — (2.13) имеет решение. Обратимся сперва курав-
нению (2.12). Учитывая (2.9) — (2.11), находим
дФ = ЭФх _ ЙФ1 / д2Ф1 \-i
др-j Qq_ др7 ду-^p-j у
278
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
откуда
дФ1 —
77)) = 0.
дФ ЭФХ
Далее, из (2.16) следует, что — = — , так что
™(х(у),р7 (y,~q7)) = 0,
др7
т. е.
dS,
Х{(у) 4- — (X1 (у), Р7 (у, q7)) = 0.
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Из (2.16) и уравнения (1.6) для t/S, следует, что точка
(х\ р*) = [ х (у), -—('с1 (у), р7 (у, q7), Р1 (у, q^ ) (2.17)
\ д* /
лежит на подмногообразии L. Переходя к координатам
(у, q) по общей формуле замены координат в кокаса-
тельном расслоении, получаем, что координаты точки
(2.17) равны
(У', У') = (у (х*), р*~(у (х*))] = (у, Р*^{У)}
\ ду ! \ ду I
(здесь у(х) —функция, обратная к функции х(у)).
Имеем
* dSi I I \ <ЭФ , ч » 5Ф , ч
Pi = — {х‘, р7) = — (х, р7\ РТ = —7 (х, р7),
дх! дх1 дх1
т. е.
и* - аФ
Р а
дх
(2.18)
Вычислим производную —:
ду
дФ _ ЭФ1 дФ! др7 _дФдх др7
ду ду dp-j ду дх ду др7 ду
(2.19)
§ 7-2]
КАНОНИЧ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ
279
Учитывая (2.18) — (2.19) и (2.15), получаем
ду ду
т. е. точка (у, q) лежит на подмногообразии L. Обратно,
пусть (у, q)<=L. Тогда, проводя все рассуждения в об-
ратном порядке, мы легко получим, что величина q7, оп-
ределенная формулой (2.9), где
/7 = <7-^ (*(#))>
дх1
является решением системы (2.12) —(2.13).
Осталось доказать, что функции (у1, q7) образуют си-
стему координат на L в окрестности точки (х0, ра). Для
этого достаточно показать, что в точке (х0, ро) якобиан
системы (2.12) —(2.13) по
от нуля:
переменным (yj, q) отличен
0
det
— Е
„ д2Ф
(—1) det ~~г- =/= 0.
dy-dq-
д2Ф
dy-jdqj
д2Ф
dy-jdy
Действительно, из (2.6) — (2.11)
д2Ф = д / ЭФ \ = / д । др7 д \
dyjdqZ ~~ ду- J ду7 +fy2dP/J*
/дФд / даФ1 \-i\ др7 даФ1 ( д2фг V
Х \ др7 \дУ/др7 / ) ~ ду7 др7др7 уду7др7 j +
дф, ( д др7 д\ / <ЭаФ| \-1
др7 \ду7 ~ ду7др7у ду7др7 J
Так как (х0, p0)eL, то в точке (х0, р0) — = 0 (равенство
др7
(2.14)). Далее, в этой точке
д2Ф, _ д2Ф _ d2Sj ~ Q
др-{др7 др7др7 др7др7
(2.20)
280
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Поэтому
д2Ф
det ГТТ3-(*0> Ро) = Ь (2.21)
dyldq-
Лемма доказана.
Таким образом, из системы уравнений (2.12) — (2.13)
величины у1 и q выражаются как функции
у7 = у1, (у1, q-j), q = q (у1, ~q7).
Лемма 2.3. Имеет место равенство
чт (у1, ят) = я,-
Доказательство сводится к выкладке:
(у', ят) = — (у> ч-т) =
ду1
= ТТ (У> Ру) + (Р-Р?) -= = (У> Ру) Чт>
W др7 ду1 ду1 1
дф
так как согласно (2.14) —- = 0 на многообразии L.
др-
Следствие. Многообразие L в координатах (у, q)
задается системой уравнений
~ (У, Я-j) = 0, (2.22)
dq7
(У’Ч/) ~ Я/- (2-23)
ду
Итак, набор функций (у1, q-j) образует систему ло-
кальных координат на L в конической окрестности точки
(Хо, ро), поэтому можно считать, что в формуле (2.5)
J — I, т. е.
_ / , х|7|/гр
Е ЛГ/Ф] (У) =(5-) ехР {»(У1Я/ + 5 (У1> -Ш*
х (у1* Чу) (у1, Чу) d4y (inod #S+I (^))-
клнонпч. Распределения на многообразиях
281
§ Г.2]
Функция S удовлетворяет уравнению Пфаффа (1.6) с
заменой х на у, р на q.
Обозначим
¥ (У, Уу) -= У7У у + § (у1, q7).
Лемма 2.4. Существует набор функций Qj (у,
такой, что
1°. (У, Уу) =ф(у, <1у(У,Уу))-
2°. Qy(yl, уЦу'.Уу), Уу) = У7-
Доказательство. Из уравнения Пфаффа (1.6)
для функции S следует, что для точек (у, q)
= (2-24)
ду ду
2X^0 = ^-. (2.25)
dq-t dq-
Поэтому разность 'Т (у, q7) — Ф (у, q7) является постоян-
ной функцией на L, однородной, 1-го порядка, и, следо-
вательно, равна нулю. Из (2.24), (2.25) вытекает, что
W (у,у7)— Ф(У> Уу) имеет на L (т. е. в точках у?=
= yi (У1, Уу)) нуль 2-го порядка. Так как
del А /«А _ « ЗА + о
ду1 dt/dq-
в окрестности точки (х0, р0) согласно (2.21) и — =0 на
dq-t
подмногообразии L, то мы можем записать
Ч(У,УТ)-Ф(У, У7) =(B(y,q7)^-,^-\
\ дд1 дд1)
где В (у, q7) — некоторая гладкая матричная функция.
Функции Qj (у, q7) будем искать в виде
Qy (У, Уу) = Уу + W (у, q7) . (2.26)
282
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
(ГЛ. VII
Тогда
$(y,Q7)-4(y,q7) =
= ф(р. Q7)—ф(р, 77) фф(р, ?7) -Ч(у, q-j) =
= Ф (У, q7+W^}-®(y,q7)-(B(y, р7)^-, =
к д<)7/ \ dq7 dg~t)
[dq-/ dq-/ Д dq/ Ч" dq-/
-(в(У,У7)^-, —L (2.27)
I д</7 °1)
где С (у, q7) — гладкая матричная функция.
В точке (х0, Р«)
р (уЧР, Ру (У, 47»-^} =
d97\dpz dq7J
= (2.28)
0Р7 dq7 dq7 dp-dpj dq-j
в силу равенств (2.14), (2.20). Приравнивая (2.27) ну-
лю, получаем для матрицы W(y, q-j) уравнение
W+W‘CW=B.
Из (2.28) следует, что это уравнение разрешимо в кони-
ческой окрестности точки (х0, р0). Функции (2.26) удов-
летворяют условиям 1° по построению и 2° в силу (2.22).
Лемма 2.4 доказана.
Применим теперь распределение к плотности f:
<-К/Ф, f> = J ехр {г [(xzp7 +S (xz р7)])х
х /Hz (xf, ~р7) ф (р7) f (xl, pj dpjdx =
= J exp {i [(pz, qT) 4- S (У1, <?7)]} ^/(^(p), p7(y, q7)%
x Ф (x1 (p), p7 (p, qT)) f(xT (p), x1 (p)) у I dqTdy. (2.29)
§ 7.2] КАНОНИЧ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ 283
Заметим, что по модулю распределений меньшего по-
рядка распределение Ki<$ зависит только от значений
функций в стационарных точках, т. е. на многообразии L.
Кроме того,
<7у) -= H/G/' ?у)
д(хг,р7)
^(y^q-j)
Лемма 2.5.
д(/,Р7)
д^У1 ,~q7)
Доказательство.
координаты (х1, р7, £/) и (у1, q7, г]у) с помощью формул
дф(х,р-) 7 д8[(хг,р7)
"
др7
dq-
2
Введем в фазовом пространстве
дРу
др7
дФ(х(у),р7(у,у7)) -
Пу=
dS^, д7)
дд7
dq7
Заметим, что
д^,р7,17)
д(х,х,р-)
^(У1. q7, Пу)
д(УГ, У1
= 1.
Поэтому
1 =
д(х',рг17)
/ / др7 \ -1 '
3 / Z / 1 I
5 Г ,р7' Т~ л7
\ \ д<?7 /
д(х‘,^ ,р7)
д (х1, р7, т]7)
др7
dq7
9(у , q-j, п7)
Лемма 2.5 доказана.
д(Л ?у, Пу)
5(р/,р7,Ру)
Эр- -1
в (у1, у1 ,q7)
Э<77
д (х1, х‘
д(х',р7)
3 (/, qr)
Р7>
д<>7
дР1
284
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Подставляя полученное выражение в формулу (2.29)
дх г1/2
и заменяя в этом равенстве функцию f на — f, п>
ду I
лучим
<К/Ф, /> =
= J ехр {/ [</, q7> ф Si (у1, qT)]} рр/ (/, q7) х
х Ф (У1, 9?) f
д (хг, р7)
д(у1, <7,)
—1/2
I дх Г1/2 I дх I
I ду I I ду |
д?7
дуу
dq7dyi=
== <Ктф> f>-
Теорема доказана.
§ 7.3. Определение и примеры интегральных
операторов Фурье
Пусть М, N и i: L-^-Tq (M\N) —гладкие многообра-
зия и квантованное коническое лагранжево погружение
с мерой р, однородной степени т; К — гладкий канониче-
ский оператор на погружении i; функция ср<=(Э!(А).
Определение 3.1. Оператор
Ф: ro(QV8(Al))-*Pvs(A0.
задаваемый формулой
[ФЛ (х) = J 1^Ф1 (х, у) f (у) dy; xeN, уеМ, (3.1)
м
называется интегральным оператором Фурье, ассоцииро-
ванным с погружением i. Функция <р называется симво-
лом оператора Ф.
Замечание 1. Мы рассматриваем операторы, дей-
ствующие в пространствах плотностей порядка 1/2 на
многообразиях; переход к операторам, действующим в
пространствах функций, можно осуществить следующим
образом. Так как расслоение Q1/2 тривиально, то суще-
ствуют гладкие плотности рм, Pn порядка 1/2 на много-
образиях М, N, нигде не равные нулю. Используя эти
§ 7.3] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ОПЕРАТОРОВ ФУРЬЕ 285
плотности, мы можем по оператору Ф построить оператор
Ф = Pn ° Ф ° Рль
который действует из пространства С™ (М) в простран-,
ство Z)'(2V)=£)o (N). Аналогично строятся операторы в
пространствах плотностей произвольного порядка а.
Теорема 3.1. Интегральный оператор (3.1) явля-
ется непрерывным оператором из пространства Н[/г (М)
в пространство при s>l+m/2.
Доказательство. По теореме 1.1 К<ре
X ^). Поэтому утверждение теоремы 3.1 следу-
ет из теоремы о двойственности пространств Соболева.
Замечание 2. В§ 7.5 будет показано, что утверж-
дение теоремы 3.1 может быть значительно усилено, если
погружение i удовлетворяет некоторым дополнительным
условиям.
Приведем теперь несколько примеров операторов, ко-
торые являются интегральными операторами Фурье.
Пример 1. Классические псевдодифференциальные
операторы на многообразии М. В локальной системе ко-
ординат (х‘, ..., х”), n=dim М, любой псевдодифферен-
циальный оператор А может быть записан в виде
[А/] (х) = -i- ехр (i <|, х —1/>) а (х, £) f (у) dg dy, (3.2)
(2л)" J
где а(х, g) — асимптотически однородная некоторого по-
рядка m по переменным g функция, называемая симво-
лом оператора А. Из (3.2) следует, что оператор А пред-
ставляет собой интегральный оператор с ядром
А (х, у) = —- f ехр (i х — у))а (х, Е) d%.
(2л)" J
Обозначим через (х1, ..., хп, у1, ..., уп,
ih, ..., т]я) координаты в Т*(МхМ) ^Т’МхТ'М и зада-
дим лагранжево вложение i: L-+T*(MxM) уравнениями
х=У, £ = —П-
Поскольку подмногообразие L диффеоморфно простран-
ству Т’М, то в качестве локальной системы координат на
286
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
многообразии L можно взять координаты (х1, ..., хп,
£„). Зададим на многообразии L меру ц формулой
n=dx*A... Adx"A^iA • • • A^n.
Пусть К. — гладкий канонический оператор на погруже-
нии i. Тогда имеет место равенство
А(х, у)=[Ка](х, у).
Хорошо известно, что оператор
Л: ^/2(М)->Я^(Л1)
непрерывен при любом s. В § 7.5 мы докажем, что точно
таким же свойством обладает любой интегральный опе-
ратор Фурье, ассоциированный с погружением которое
удовлетворяет следующему условию.
Определение 3.2. Коническое лагранжево погру-
жение
i: L^T\MxN)
называется неособым, если-. 1) dim М = dim N, 2) для лю-
бой достаточной малой конической окрестности VczL
подмногообразие Z(V)czT*(Af х^) диффеоморфно про-
ектируется на Т*М.
Пример 2. Операторы ограничения и коограниче-
ния. Пусть М — гладкое многообразие размерности и,
i: NQM — гладкое подмногообразие коразмерности у.
Тогда определены оператор ограничения
t.: Hrv,t(N). s>v/2, (3.3)
сопоставляющий каждой функции (М) ее ограни-
чение на подмногообразие N, и оператор коограничения
i.: s < О, (3.4)
сопряженный к оператору (3.3). Запишем операторы
(3.3), (3.4) в локальной системе координат (х1, ..., х")
на М (глобализация результата может быть произведе-
на с учетом замечания 1). Пусть многообразие N в си-
стеме координат (х1, ..., х") описывается уравнениями
x?’v+1 =xn"v+2=.. .=х” = 0. Обозначим х'— (х‘,..., xn-v),
х" = (xn-v+l, ..., х"), х= (х', х"). Операторы (3.3) и (3.4)
§ 7.4]
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
287
действуют следующим образом:
[Г/] (%') = 1 /(2л)"/г ехр {I Kt]', х' — у"> — <т]", У"»} х
х f (У', У”) dy' dy" dt]' dt]", (3.5).
li.f] (У', У”) = 1/(2л)п/2^exp(i[<i]', x' — z/'> + <t]", «/’>]}*
x f (x') dx' dv\ dx\". (3.6)
Введем в xT*N координаты (у, tj, x', g'),
(г/, т])^Т*А1, (x', g)^T*N. Операторы (3.5) и (3.6) явля-
ются интегральными операторами Фурье, ассоциирован-
ными с лагранжевым вложением i: L-+T* (MxN), зада-
ваемыми уравнениями
Г=0, х'=/, (3.7)
Лагранжево погружение (3.7) не является неособым,
и в соответствии с этим операторы (3.3) и (3.4) не явля-
ются непрерывными операторами в шкале {Н8}.
§ 7.4. Регуляризация задачи Коши
В этом параграфе мы применим развитую нами тех-
нику для построения асимптотического решения задачи
Коши. Пусть М — гладкое многообразие размерности п.
Рассмотрим следующую задачу:
— + (4.1)
dt \ дх) х '
Ц=о = «<>(*)• (4.2)
Здесь Н (t, х, ——псевдодифференциальный опера-
тор 1-го порядка на многообразии М с вещественным
главным символом Hlf щ(х) —заданная плотность рас-
пределения порядка 1/2 на многообразии М. Задача
(4.1) — (4.2) является частным случаем более общей за-
дачи
_ Х) _ i-L,\ф(/) = о, (4.3)
dt \ дх j
Ф (0) = Фо, (4.4)
288
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
где при каждом фиксированном t
г0р1/1((Л1))->о;/2(М)
— интегральный оператор Фурье на М. Действительно,
для решения задачи (4.1) — (4.2) достаточно в качестве
Фо взять тождественный оператор и положить
и(х, t) =ф(О«0(х).
Займемся решением задачи (4.3) — (4.4). Пусть ядро
оператора Фо имеет вид [Л<р](х, у), х, у^М, где К — глад-
кий канонический оператор на квантованном коническом
лагранжевом погружении i: L-+-T*o (МхМ) с мерой р,
dim L=n, q)eO'(L). Обозначим координаты в T# (AfXAf)
через
(х, р, у, В) = (х1, ..., х", Pi...рп, у1.у*, ..., Е„).
Пусть вложение i задается однородными степеней 1 и О
функциями переменной aeR”:
x=x(a), р=р(а), У=у(а), £=|(а).
Построим лагранжево вложение
/: L х Кт->Г(М х М х RJ).
Рассмотрим систему Гамильтона
£“' (4.5)
—’ Т) = Н1р (т, х (а, т), р (а, т)), (4.6)
ах
= — Hit (Т, х (а, -г), р (а, т)), (4.7)
ах
= = *(«). PU0=P(«)-
Очевидно, ее решение
х(а, т), р(а, т), t(x)=x
§ 7.4]
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
289
есть функция от а нужной степени однородности, и по-
этому функции
х(а, г), р(а, г), у (х, т) = у (а), |(а, т)==£(а),
(4.8)
t (г) = Е (а, г) = —Н (т, х (а, т), р (а, т))
задают коническое квантованное лагранжево погруже-
ние
j: L х R!->Т* (М х М X R1)
(через Е обозначена переменная, двойственная к t). Ме-
ра р на многообразии LxRt задается следующим обра-
зом:
р (а, т) =ip (а) /\dx. (4.9)
Очевидно, что погружение / с мерой р ассоциировано
с символом 3@(х, р, у, Е, f)=E+Ht(x, р). Действи-
тельно, гамильтоново векторное поле Vэе символа <9$
задается формулами (4.5) — (4.7), мера р инвариантна
относительно поля Vж в силу (4.9), /*<3^=0, что следу-
ет из явного вида (4.8) функций, задающих вложение.
Пусть Ki — гладкий канонический оператор на вло-
жении / с мерой р. Положим Ф>(х, у, Z)='[^Ci<p] (х, у, I).
Применяя теорему 1.3 о коммутации, мы видим, что для
того, чтобы решить задачу (4.3) — (4.4) с точностью до
оператора с ядром [/С.ф.] (х, у, t), <pteO'-‘(LxRT)» до-
статочно решить уравнение переноса
$ty(a, т) = 0 (4.10)
с начальным условием
ф(а, 0) =ф(а). (4.11)
Оператор переноса в координатах (а, т) имеет вид
& = 7"— х(а> т)> р(а> т» —
“т 2 г дх* др{
— iH0 (т, х (а, т), р (а, т)),
поэтому решение задачи (4.10) — (4.11) имеет вид
ф (а, т) — ф (а) ехр
+ iH0 dxi.
1 Q Мищенко и др.
290
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Для того чтобы получить в правой части (4.3) оператор
со сколь угодно гладким ядром Л(х, у)^.Н\ необходимо
решить уравнение
^Ф(а, т) = 0, (4.12)
где старший член оператора &N совпадает с & (см. § 7.1).
Каноническая система координат на Z.XRJ в окрест-
ности любой точки может быть выбрана так, чтобы пе-
ременная t входила в число локальных координат. Тогда
при каждом фиксированном t оператор Ф(0 представ-
ляет собой интегральный оператор Фурье на многообра-
зии М. Ядро оператора Ф(0 имеет вид
У<'[К(ф|] (х, у),
где Kt — гладкий канонический оператор на вложении
it, задаваемом функциями
xt (ц) = х (а, 0, Pt («) = Р (а. О.
У«(а)=«/(а), &(«)=&(«)
с мерой р,=ц,(а), функция <pf задается формулой
<р((а)=<р(а, t),
ft— комплексное число, |у(| = 1, зависящее от выбора
аргумента плотности меры на вложении i(.
Итак, доказана следующая
Т е о р е м а 4.1. Пусть
j: xRj)
— лагранжево вложение, задаваемое формулами (4.8),
функция <р(а, т) удовлетворяет уравнению переноса
(4.12). Тогда оператор Ф(0 с ядром [Кф] (х, у, t) удов-
летворяет уравнению
и начальному условию (4.4). Здесь А (/) — интегральный
оператор с ядром А(х, у, Г^Ну^МхМ).
Замечание. Из результатов § 7.5 будет следовать,
что для построения регуляризатора задачи (4.1) — (4.2)
достаточно ограничиться старшим членом решения урав-
нения переноса.
§ 7.5]
ТЕОРЕМЫ ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И О КОМПОЗИЦИИ
291
§ 7.5. Теоремы об ограниченности
и о композиции интегральных операторов Фурье
В этом параграфе мы займемся изучением интеграль-
ных операторов Фурье, ассоциированных с неособыми
в смысле определения 3.2 коническими лагранжевыми
погружениями. При этом, чтобы чрезмерно не загромож-
дать изложения, мы ограничимся изучением операторов,
связанных с каноническими преобразованиями.
Пусть М, N — гладкие многообразия одинаковой раз-
мерности п, g: Т'аМ -»• T*0N — коническое каноническое пре-
образование (т. е. гладкоё отображение, перестановочное
с действием группы R+ и удовлетворяющее условию
g’coyv — ым, где ®дг, сом — канонические 2-формы на T*0N и
Т'„М соответственно). Каноническое преобразование g
индуцирует неособое коническое лагранжево вложение
ig: ТьМ^Т^М х N):
~Р(УЛ))\
здесь (у, g) — координаты в TQM, (х, р) — координаты
в Го х(у, g), р(у, g) —функции, задающие канониче-
ское преобразование g. На Т0М имеется естественная
мера
Н = ... Л^ГЛ^Л ... Л^п (5.1)
(фазовый объем). Как известно, мера (5.1) не зависит
от выбора системы координат (у1, ..., уп) на ЛГ. Мы бу-
дем предполагать, что лагранжево вложение ig является
квантованным.
Определение 5.1. Пусть функция <peOz(T0Af).
Интегральным оператором Фурье с символом <р, ассоци-
ированным с каноническим преобразованием g, называ-
ется интегральный оператор
T(g,4>): ro(Q1/2(^))-*^/8(A0
с ядром
У) = [К<р] (%, у),
где К — гладкий канонический оператор на вложении ig
с мерой (5.1).
ю*
292
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Замечание. Оператор Т(g, ср) определен с точно-
стью до множителя, зависящего от выбора аргумента у
плотности меры ц,.
Операторы Фурье, ассоциированные с канонически-
ми преобразованиями, обладают некоторыми замечатель-
ными свойствами, описанными в двух следующих тео-
ремах.
Теорема 5.1. Пусть g: T\M-+T0N— коническое
каноническое преобразование, Тогда опе-
ратор Т (g, <р) продолжается до непрерывного оператора
Т&ф): — oo<s<oo,
в частности
Т&<р): T(Q1/2(Al))->r(Q1/2(M)).
Теорема 5.2. Пусть gv: Т« (М)-* То (W), T'oN-*
-+T0Y — конические канонические преобразования,
е О1' (Г*„М), ф4еО(’ (Г*оЛ). Тогда имеет место следующая
формула композиции:
Т (&. <Р2) ° Т (glt Ф1) = уТ о gb (g*q>a) Ф1 + тр) + R.
Здесь(Т0М)—некоторая функция, R — опе-
ратор с гладким ядром, у — число, по модулю равное 1,
которое зависит от выбора аргумента у плотностей мер
на вложениях ig„ iga, igaOgl.
Доказательства теорем 5.1 и 5.2 опираются на сле-
дующие две теоремы (теоремы 5.3 и 5.4).
Теорема 5.3. Пусть g — локальное коническое ка-
ноническое преобразование конической области Vcz
cToRn в T*0Rn, — произвольная точка. Существу-
ют коническая окрестность WczV точки а и гладкое
однопараметрическое семейство {gj (е[0, м локальных ко-
нических канонических преобразований окрестности W
такие, что
Г. gi=g\w.
2°. g„ — тождественный диффеоморфизм области W,
либо диффеоморфизм, задаваемый следующими форму-
лами:
go (х1) = — Д ёо (х1) = xl, i = 2, 3.п;
So(Pi)= — Ръ ёо(Р1)=Р1> i=2,3, ...,п.
§7-5]
ТЕОРЕМЫ ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И О КОМПОЗИЦИИ
293
В этих формулах (х1, ..., хп, pit ..., рп) — стандартные
координаты в кокасательном расслоении PR".
Доказательство. Будем пользоваться следующи-
ми обозначениями: (у, £) = (у1, ..., уп, ?х, ..., Е„) — коор-
динаты в (х, р) = (х1, ..хп, pi, .рп) —
координаты в Т« Rn Z) g (V). Пусть (у0, Ео) — координаты
точки а, (х0, р0) — координаты точки g (а). Существуют
набор индексов /С{п} и однородная 1-го порядка по
Pj, £ функция S(xr, pj, t), определенная в конической'(по
Pj, I) окрестности точки (хо, р^, Ео), такая, что
det
&S
дх'д*
д2$
dpjK
Каноническое преобразование g в конической окрестно-
сти точки (уа, go) определяется уравнениями
dS z z с.4 . dS , i 7 dS , г
У “tz" > P p B)> P ‘ 7 > P/t B)> % ~ 7 > Г£)•
dx' °Pj
(5.2)
Таким образом, S(xl, pj, |)—производящая функция
преобразования g. Прежде всего прогомотопируем пре-
образование g к такому преобразованию git которое
(возможно, в меньшей конической окрестности точки
(у0, Во)) может быть задано с помощью производящей
функции Sf(x, £) (т. е. набор индексов I пуст). Так как
|о¥=О, то существует такая матрица С с вещественными
элементами размера 111 Хп, что
Ро7 = С£о.
(5.3)
Положим
, (Рг-С?)2
S (0 - S (х1, Pj, £,t)~S (х\ Р7,& + ( ' . (5.4)
294
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ (ГЛ. VII
Существует такое число (0>0, что при
det (< Р07> &>• 0 ¥=0, (5.5)
дх'Ъ d2S(x',p-,^,t)
др7д1
а при t=t0
det |—ро7, о| =
pPj-Фу ||
= det|zrTT (4 Рог *o) +-—.E I^Q,. (5.6)
||dpydp- I lol |
Равенство (5.5) означает, что функция S(t) является
производящей функцией некоторого локального кониче-
ского канонического преобразования gti определенного
в конической окрестности точки
/ dS(xlQ,p-,^,t) \
——- М = (%Л)
и такого, что gt(y<>, |о) = (хо, р0) (последние равенства
следуют из (5.2), (5.3), (5.4)). Из (5.6) следует, что
уравнение
х' = —~(хг, p7,l,Q (5.7)
Эр7
разрешимо относительно переменных ру в конической
(по ру, £) окрестности точки
(%о, Xq, PQJi 1о» ^о)*
Таким образом, из (5.7) можно выразить р, как функ-
цию
Pj = Pj I) •
Это означает, что набор функций (х, £) образует систему
локальных координат на графике диффеоморфизма
gta=gi в конической окрестности точки (р0, §0). Отсюда
§ 7.5] ТЕОРЕМЫ ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ и о композиции 295
следует, что каноническое преобразование в кониче-
ской окрестности точки (t/0, |0) может быть задано про-
изводящей функцией St(x, |), определенной в кониче-
ской окрестности точки (х0, g0), detlld^i/dxdgll =/=0, р
этой окрестности.
Прогомотопируем теперь преобразование gt к линей-
ному каноническому преобразованию. Так как матрица
невырождена, то существует такой вектор yeR", что
уа=А*(х9+у).
Положим
(х, в, t) = Si (х0, дано:+ <х+v, лг>. t.
Функция Si(x, g, t) удовлетворяет следующим условиям:
det I &>’ VII = det II - ° "S' (х<” Ъ) + tA |,
1 охд% II 1| дхд% |
(х0, Ъ 0 « (1 - n (х0, + МЕ0 =
ОХ ох
- с1
ох ох ОХ
Здесь мы воспользовались тождеством Эйлера для одно-
родных функций
~ (Хо, So> 0 = (1 - 0 (х0, 5о) + tA* (Хо + f) =
os
= О — 0 Уо + iy0 в Уо-
Поэтому функция St(x, g, t) является производящей
функцией семейства {gi(0}> [0, 1], локальных одно-
родных канонических преобразований, определенных в
окрестности точки (t/0, So), причем igi(O)=gl, ^(1) =
—ёг — линейное каноническое преобразование, задавае-
мое производящей функцией
S8(x, S) = <x4-f, Л£>.
Так как группа GL(ti, R) имеет две компоненты связно-
сти, то существует гладкое отображение Л: [0, !]-*•
296
ЙНТЕГРАЛЬНЫЁ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
-+GL(n, R)
Л(1) =
Положим
—1
О
такое, что Я(0) — А и либо Я(1)=£, либо
в зависимости от знака det Л.
Sa (X, U) = <Х + (1 - 0 Л (0 £>.
Функция 8г(х, g, t) задает семейство {&(/)} глобально
определенных конических канонических преобразований.
В частности, это семейство определено в окрестности
точки (у0, |0), причем &(0)=£г, ^(1)^gs — одно из
преобразований, указанных в формулировке теоремы.
Из наших построений следует, что существует непрерыв-
ное семейство отображений {g(0}. te[0, 1], удовлетво-
ряющее условиям Г и 2°, гладкое вне конечного числа
точек tlt ..., t,e[0, 1], причем на множестве [0, 1]\
\{Л, .... А,} все производные — однородные,
степени 1, отображения ToR" и ограничены на
единичных сферах равномерно по [0, 1] \{Л, .... /,}.
Пусть f: [0, I]-*-[0, 1] —гладкая строго монотонная
функция такая, что k=l,..., s, d^f/d^ft^ =
=0 при всех р>0, k= 1, ..., s, f(0) =0, f (1) = 1. Тогда
удовлетворяет всем условиям теоремы. Тео-
рема 5.3. доказана.
Теорема 5.4. Пусть g—локальное коническое кано-
ническое преобразование конической области V С T# R" «
То Rn, (х0, У е V — произвольная точка. Существуют ко-
ническая окрестность W CZ V точки (х0, и псевдодиффе-
ренциальный оператор Н (t) = Н {t, х, — i первого по-
рядка с вещественным главным символом, удовлетворяю-
щие следующим условиям. Для любой функции <ре
^O‘(W) существуют такая функция ф^О'-1^) и та-
кое гладкое семейство {/?<}, /<= [0, 1], интегральных опе-
раторов в R” с гладким ядром, что T(g, ф)==ф(1). Се-
мейство Ф(/) удовлетворяет задаче Коши
— i 4- ф (0 + я (0 Ф (0 = Rt, (5.8)
dt
Фи^Фо. (5.9)
§ 7.5] ТЕОРЕМЫ ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ И О КОМПОЗИЦИИ
297
причем
либо
ф0=(ф+<Р1)(х,
фо - (Ф + Ф1) (х, —»Т") о иг.
(5.10)
(5.11)
Здесь Ui — унитарный оператор в №(Rn), задаваемый
следующей формулой:
....х») =f(—хь хг....хп).
Доказательство. Применяя к каноническому
преобразованию g теорему 5.3, получим семейство gt
однородных канонических преобразований. Рассмотрим
векторное поле в R" следующего вида:
V(x,0 = y-{g(^+'e)orr(0(x)}.
ае
Векторное поле V(x, t) определено в области g(t)W и
является в этой области гамильтоновым, т. е. существует
вещественная функция Hi (х, р, t) такая, что
др дх дх др
Так как поле V(x, t) однородно, то можно добиться,
чтобы функция Hi(x, р, t) была однородной функцией
степени 1.
Продолжим функцию ЯДх, р, t) произвольным обра-
зом на внешность области g(t)W так, чтобы сохранились
ее вещественность и однородность. Положим
H(x1pJ) = H1(x,A0+4i
2Z=! &др{
Оператор переноса (4.12) для символа Я(х, р, t) имеет
вид 0= . Поэтому оператор T(t) = T(g(t), <р) удовле-
di
творяет задаче Коши (5.8) «в главном члене». Подбирая
такую функцию что функция <р+фИ0
удовлетворяет уравнению переноса (4.12) с оператором
устремляя У к ро и суммируя ряд из однородных
функций, получаем утверждение теоремы 5.4.
298
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. VII
Доказательство теорем 5.1 и 5.2 достаточно провести
«в локальной ситуации». Для интегральных операторов
Фурье вида (5.10) и (5.11) утверждения теорем 5.1 и 5.2
очевидны— они следуют из теоремы об ограниченности
псевдодифференциальных операторов в шкале {//i/2} и
теоремы о коммутации 1.8. Поэтому, применяя стандарт-
ные рассуждения метода энергетических неравенств к
задаче Коши (5.8) — (5.9) и используя теорему 4.1, мы
получаем утверждения теорем 5.1 и 5.2 в общем случае.
Пример. Канонические преобразования псевдо-
дифференциальных операторов. Пусть М, N — два мно-
гообразия, Hlf Нг — псевдодифференциальные операто-
ры порядка г на М и N соответственно. Можно постро-
ить интегральный оператор Фурье Ф такой, что с точно-
стью до младших членов выполнено равенство
Н&^ФНг. (5.12)
Впервые этот вопрос изучался Ю. Егоровым (1]. Он по-
казал, что если Ф — интегральный оператор вида
[ФЛ(х) = $ехр{1-5(хЛ)}*(Ю dl
det||-^-|^O,
II дхдЪ, П
и выполнено равенство (5.12), то главные символы опе-
раторов Ht и Н2 связаны каноническим преобразовани-
ем, производящая функция которого есть S(x, £). Сле-
дующая теорема является непосредственным обобщени-
ем этого результата.
Теорема 5.5 Пусть Ф — интегральный оператор
Фурье, ассоциированный с коническим лагранжевым
вложением
i: L->T,MtxN.
Для того чтобы выполнялось равенство (5.12), необхо-
димо и достаточно, чтобы
_ (^1г ® 1лг.— 1м ® Н 2г) ~ 0-
Доказательство немедленно следует из теоре-
мы о коммутации п. д. о. с интегральным оператором
Фурье,
ГЛАВА VIII
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 8.1. Асимптотические решения задачи Коши
1. Канонический оператор Маслова в
расширенном фазовом пространстве. Рас-
смотрим задачу Коши для уравнения
^~dt ~ Н ^Х> Р'
с начальным условием специального типа
ф (х, 0) = ехр (— So (х)\р0 (г), х <= Rn,
\ h )
(1-1)
(1-2)
и применим метод канонического оператора для нахож-
дения асимптотического решения этой задачи. Разуме-
ется, вместо уравнения (1.1) мы будем пытаться удовле-
творить сравнению (mod ft*). С другой стороны, началь-
ные условия (1.2) можно заменить на более общие
условия, когда в правой части (1.2) стоит значение ка-
нонического оператора на некотором лагранжевом мно-
гообразии Lo, вложенном в фазовое пространство Ф=
= Rn®Rn с координатами (х, р) = (х1, ..., хп, рь ..., рп).
Таким образом, ищем функцию ф, удовлетворяющую
сравнению
ih^-== Н (х, р, 0 ф (modhN)
dt
и начальному условию ф| (=о=Кофо, где <р0 — функция на
лагранжевом многообразии L0.v
300
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Введем обозначение —ih—=E. Тогда задача
dt
(1.1) — (1.2) может быть переписана в виде
[Е+Я(х,р,ОП=0, Н=о = *о<Ро- (1-3)
Для решения этой задачи введем расширенное фазо-
вое пространство
Ф'»ГфИ,фК1ф1(1
с координатами (х, р, t, Е) и симплектической формой
dp/\dx+dE/\dt. Функция Гамильтона, отвечающая за-
даче (1.3), равна
Эв(х, р, t, Е)=Е+Н(х, р, t). (1.4)
Нашей ближайшей целью является построение в расши-
ренном фазовом пространстве Ф' квазиклассического
объекта (лагранжева многообразия с мерой), который
будет использован для построения асимптотического ре-
шения задачи (1.3).
Рассмотрим гамильтоново векторное поле, отвечаю-
щее гамильтониану (1.4):
а д д^д д^д
др дх дЕ dt дх др dt дЕ
_ а . ая а дя а ая а П5)
dt др дх дх др dt дЕ
Мы будем иногда обозначать это векторное поле через
d/dx. Предположим, что система Гамильтона, отвечаю-
щая векторному полю (1.5),
х = -^- (х, р, f),
др
p = -%-(x,p,t), (1.6)
дх
Ё~--^(х,р,1),
at
1
§ 8.1] АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 301
(точка означает дифференцирование по параметру т)
имеет решение при при любых начальных дан-
ных. Это означает, что при определена локаль-
ная группа диффеоморфизмов g'idldx) расширенного
фазового пространства, отвечающая- векторному полю
djdx. Именно, если
X == X (Aq, Ро> ^0. ^0* т), Р ~ Р (-^0’ Ро» ^0> А)’ Т),
Е~ Е (х0, Pg, Е д, Zq, т), t = tf) т
— решение системы (1.6) с начальными данными (х0, р0,
Ео, t<>), то
gx(Xo, ро, Ео, Q = (х, р, Е, t).
Рассмотрим теперь вложение начального лагранже-
ва многообразия Ц в расширенное фазовое простран-
ство Ф'. Это вложение определим следующим образом.
Пусть
х=х(а), р=р(а), ае£0,
— функции, задающие вложение i0: £0С;Ф. Тогда вложе-
ние I: зададим с помощью
x=x(a), р=р(а), t=Q,
(1.7)
Е=— Я(х(а), р(а), 0).
Отметим, что вложение Г: £0СФ' зависит от гамиль-
тониана Н(х, р, t) и поэтому не порождается никаким
стандартным вложением. Обозначим через Lt сдвиг мно-
гообразия ЛоСФ' вдоль траекторий системы Гамильто-
на (1.6): Lx—gx(Lo), а через L — фазовый поток много-
образия Lo за время Т: L— (J Lx.
о^т<Т
Сделаем важное замечание о выборе параметра.
В силу последнего уравнения системы (1.6) и начально-
го условия (1.7) имеем x=t на рассматриваемых траек-
ториях. Поэтому мы будем пользоваться обозначениями:
L= (J Lt вместо L— (J Lx и Lt—g*!^ вместо
Lx—gxLQ соответственно. Заметим еще, что решение
302
некоторые Приложений
[ГЛ. VI и
системы (1.6) с начальными данными (1.7)
х = Х(а, 0, р = Р(а,0. Е(а, 0 = Е, t = t
определяет диффеоморфизм многообразия L и многообра-
зия Lo х [0, Т]. Таким образом, если (0J, ..., 0")—систе-
ма координат на открытом множестве t/cL0, то
(Ро> . • •, Ро, 0 — координаты на фазовом потоке карты U,
который является открытым множеством в многообразии
L. Этим обстоятельством мы будем часто пользоваться в
дальнейшем для координатного описания объектов на
многообразии L.
Предложение 1.1. Многообразие L является ла-
гранжевым многообразием в расширенном фазовом про-
странстве, причем <3^|L=0.
Доказательство. Функция 36 является посто-
янной вдоль траекторий системы (1.6), так как
— (х, р, t, Е) =
dx
= dx I*.} = ™Ldx(jL) + ™-d/,(J_) Jr
\dx / dx \dx) dp \dx j
+ ™di(±\+™LdEIA.}..
dt \dx / dE \dx J
dH dH dH dH dH dH Q
dx dp dp dx dt dt
Из формул (1.7) следует, что функция 5^ тождественно
равна нулю на подмногообразии Lo, следовательно,
Для доказательства лагранжевости нужно показать,
что ограничение симплектической формы на многообра-
зие L равно нулю, т. е.
dp/\dx + dE/\dt\L=G.
Покажем сначала, что при каждом значении параметра
/е[0, Т] имеет место равенство
dx A dp + dE A dt \Li s=s 0.
Отметим, что dx /\dp + dp /\dt\L = dx/\dp\L, так
как на многообразии Lt /=const. При /=0 требуемое
§ 8.1] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 3()3
утверждение следует из лагранжевости многообразия Lo
в фазовом пространстве (Ф, dx/\dp) и формул (1.7), за-
дающих вложение. Далее, производная Ли от формы
dp/\dx+dE/\dt вдоль траекторий системы (1.6) равна *)
£dtdx (dp /\dx + dE /\ dt) =
= d(— _Jdp/\dx +dEAdt} +
\ dx /
+ -4- J d (dp Д dx + dE Д dt) =
= — d(O)+0= 0, (1.8)
поскольку
— JdpAdx + dE Adt =
dx
= dp(—}dx — dx( —}dp + dE(—}dt — dt(—^dE^—dtf.
\dx } \dx / \dx / \dx J
Формула (1.8) показывает, что
dx A dp + dt A dE |L = 0.
Пусть теперь m^L — произвольная точка многооб-
разия L, Хт, Ym^TmL — произвольные касательные век-
торы к многообразию L в точке т. Тогда векторы XТП) Ym
разлагаются в суммы
dx dx ’
причем векторы Xm'f Ym' касаются подмногообразия Lt
в точке т.
♦) Если со — дифференциальная форма, а X — векторное поле,
то через XJco обозначается дифференциальная форма Q на еди-
ницу меньшей размерности, значение которой вычисляется по сле-
дующей формуле:
S+1
О (А, • • , А) = 3 (- ....A-кА- • • • > А)-
i=l
Другими словами, форма X Jco — это функция от меньшего числа
векторных полей как своих аргументов, когда один из аргументов
принимает фиксированное значение^ равное векторному полю X,
304
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Тогда
<dp л dx + dE Л dt-, хт, Ym) =
= cdp Д dx + dE л dt-, X'm, y;> 4-
+ 3dp/\dx+dE/\di\,X'„X-
— ИJ dp A dx + dE /\dtj, Ym\ =
= —'Kd3{(X'm)+iidX(Y'm) = 0, (1.9)
так как первое слагаемое в средней части равенств (1.9)
равно нулю по доказанному выше, a rf<5^|x.=,0. Предло-
жение доказано.
Замечание. По построению многообразие L явля-
ется инвариантным относительно траекторий системы
(1-6).
Пусть теперь р0 — некоторая мера на лагранжевом
многообразии Lo и Ко — канонический оператор на мно-
гообразии Ц, ассоциированный с мерой ц0. Очевидно,
что новая мера
p = p0Ad/=p0(a) А^, asL0, (1.10)
на многообразии L является инвариантной относительно
векторного поля d/dr. При этом, если (хро7) — кано-
нические координаты в карте U, многообразия Lo, то
И Но
^Л4р07лл ^Л^ро7
Отметим, что можно выбрать такое покрытие много-
образия L каноническими картами, чтобы функция Е ни
в одной карте этого покрытия не являлась координатой
(это следует из последнего соотношения в (1.6)). Далее,
поскольку каждый цикл в многообразии L стягивается к
многообразию Lo, то квантованность многообразия L яв-
ляется следствием квантованности многообразия £0.
Поэтому на многообразии L определен некоторый кано-
нический оператор К, ассоциированный с мерой р.
Предложение 1.2. Формула
tfU<pl4) = lMw, (ill)
§8.1]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
305
корректно определяет канонический оператор Kt„ на мно-
гообразии Lta для любого фиксированного значения t0
из промежутка [0, Т].
Доказательство. Пусть U г — каноническая
карта на многообразии L с координатами (хг, р7, f),
имеющая непустое пересечение с многообразием £(о. Оче-
видно, множество Ut = U П Lto — открытое множество в
многообразии L(o, а функции (хг, р7) образуют систему
координат в карте Ut„. Пусть <pfri<=C“ (Ut<1)—функция
на многообразии Lt„ <р — произвольное продолжение
функции ф(о до функции из С^° (U). Вычислим правую
часть соотношения (1.11) для функции <р:
IM-,. - (т S' <*' о) X
X )'>, («'. Pj, П I V/yfcfZ Pj, 0<P(Z Pj, <»)] ’
(1.12)
Здесь ejfx1, pj, t)—разбиение единицы, подчиненное
покрытию {Ui}.
Отметим, что дифференциальные операторы VIJt воз-
никающие при сравнении элементарных канонических
операторов в картах иг и U,, не содержат дифференци-
рования по переменной t. Это связано со специальным
видом канонического атласа на многообразии L, при ко-
тором переменная t является координатой в любой кано-
нической карте. Поэтому
Vи (ej (х1, р7, 0 q> (xz, р7, 0)l/=Zo =
= (еу (х7, р7, Q ф,. (xZ, Р7)), (1-13)
где оператор Vfo получается из оператора Vu сужением
коэффициентов этого оператора на подмногообразие
С учетом соотношения (1.13) соотношение (1.12) можно
переписать в виде
= ехр Si" {х1, р7) j У ну’ (xz, р7) х
3 V‘fj (e*j (xr, pj) ф,0 (xz, p7))\ 1 , (1.14)
X (
\Ui(\Uj*0
306
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
где (х1, р7) = S, (х', р7, Q, н/’ (х1, р7) = р/ (х1, р7, t0),
ej (xl, р7) = ej (х1, р7 , /0) — сужения соответствующих
функций на многообразие L(o. Формула (1.14) показывает
независимость правой части соотношения (1.11) от выбо-
ра продолжения <р функции ф(о; таким образом, оператор
К(о определен формулой (1.11) корректно. Покажем те-
перь, что К(о есть канонический оператор, ассоциирован-
ной с многообразием Lfo и мерой pfo, определяемой из
соотношения
P = P/A^, 14-14-f,- (115)
Нетрудно видеть, что семейство функций {в/} являет-
ся разбиением единицы, подчиненным каноническому по-
крытию {[//,/„} многообразия Lt<i. Далее, коцепь {S/’} удов-
летворяет всем условиям, предъявляемым к действию на
лагранжевом многообразии L/o. В самом деле,
dSfi — [dSi\t=ta — \Piixl — xldp7 + Edt]^ =
=' pjdx1 — xldp7, (1.16)
S> - SfJ = IS/ - Sj1/=,o = [х'3р1з = хьр1з-х'‘р/з,
_ <Ь/Д4р7
Аналогично проверяется условие выбора аргументов.
Поскольку в формуле (1.14) аргумент pj’ необходимо вы-
брать равным аргументу р/ (х', р7, /0), то
Arg р/’ — Arg р/ = [Arg р/ — Arg рД=,о =
= [3arg^.d +1Ш (1-17)
где — собственные значения матрицы
д Р/е х1*')
д (х’\ pf>)
(1-18)
§ 8.11 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 307
Учитывая, что в последнее выражение не входит диф-
. ференцирование по t, получаем
Г 2 arg Xfe./jl = 2 arg Kk’.iJ, — 3 л/2 < arg ХЬ/ < л/2,
L k k
где Х&л/— собственные значения матрицы
d (Pie х1’)
д (х1г, ph)
на многообразии L(o.
Таким образом, формула (1.11) определяет в каждой
карте UI:ta локальный канонический оператор, причем
условия (1.16) и (1.17) обеспечивают коцикличность
определенной таким образом операторной коцепи. Пред-
ложение доказано.
Следствие. Можно таким образом выбрать опе-
ратор К на многообразии L, чтобы оператор /С(|(_о был-
равен оператору Ко, входящему в (1.3).
Доказательство. Пусть К — некоторый кано-
нический оператор на многообразии L. Тогда операторы
Ко и К, | (=о являются каноническими операторами на
многообразии Lo. Следовательно, операторы Ко и
отличаются на мультипликативную постоянную вида
ехр р (Ci + yjj , т. е.
/<0 ==' ехр [i (сх + Kt |/=0.
Требуемый оператор К определяется формулой
Следствие доказано.
2. Построение асимптотики решения за-
дачи Коши. Применим теперь построенный оператор
К к нахождению асимптотических решений задачи (1.3).
Будем искать решение в виде
ф(х, t, h) — K<p. (1.19)
Согласно предложению 1.1, замечанию к этому предло-
жению и формуле (1.10) для определения меры ц,
308
Некоторые приложения
[гл. viii
многообразие L с мерой ц ассоциировано с гамильтониа-
ном Ж. Применим формулу коммутации (предложе-
ние 3.1 гл. VI)
Ж (х, р, t,E)ty =
= (Ё + Н (х, р, /)) ф = Ж (х, р, t, Ё) => ih
где & — полином по переменной h, коэффициенты кото-
рого являются дифференциальными операторами:
^»=^»0+Л^»1+ ... (1.20)
Главный член оператора SP имеет вид
=J_______+ ____L^.. п.21)
0 dx 2 дхдр dtdE dx 2 дхдр
Для того чтобы функция ф(х, t, h) удовлетворяла
уравнению (1.1), достаточно потребовать выполнения
условия
= 0 (mod hN). (1.22)
Для решения сравнения (1.22) будем искать функцию
Ф в виде полинома по hi
ф == ф<’> + ЛфМ +/Гф<2> + ... (1.23)
Подстановка выражения (1.23) в сравнении (1.22) дает
с учетом формул (1.20) и (1.21) рекуррентную систему
для определения функций ф(’’:
1_ дЧГ ф(0) = 0, (1.24)
_ dr 2 дхдр
L dx 1 д2Н 1 2 дхдр] (1.25)
Г d L 1 д2Я 2 дхдр 1 ft>l (1.26)
Эта система может быть решена интегрированием
вдоль траекторий векторного поля d/dx, ибо на траекто-
риях этого поля каждое из уравнений (1.24), (1.25),
(1.26) есть обыкновенное дифференциальное уравнение
§8.1]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШЙ
309
первого порядка. Начальные условия для уравнений
(1.24), (1.25), (1.26) получаются из условия (1.2). С уче-
том предложения 1.2 это условие переписывается в виде
Ф(М,лН=0 = *1ф(0) ...и =
= Ко[ф(О) + /1ф(1)+ ... |/о] = *оФо.
откуда получаем
ф(0Ч=о = ф(Ч=0 = °» /¥=0.
Итак, нами доказана следующая теорема.
Теорема 1.3. Асимптотическое решение задачи
(1.3) дается формулой (1.19) с функцией <р, имеющей вид
(1.23), причем коэффициенты <р(0), <р(1,> ... при различных
степенях h определяются из уравнений (1.24) — (1.26) с
начальными условиями
Ф(<” Lo = Фо. Ф(/) 1=о = °’ / + °-
Рассмотрим теперь более подробно построение опера-
тора К (или операторов Kta при всех /ое[О, Г]). Заме-
тим, что оператор Kt„ при каждом должен быть ассоци-
ирован с многообразием Lto и мерой ц(„, определенной
формулой (1.15). Все такие операторы можно получить
из одного из них умножением на константу вида
ехр + -у)|.
Очевидно, значения констант Ct и С2 можно определить
с помощью значений действия и аргумента якобиана в
какой-либо точке многообразия L(o.
Рассмотрим сначала константу С2. Пусть aoeLo — не-
которая фиксированная точка на многообразии £0. Обо-
значим через ato образ g“a0 при диффеоморфизме g*°.
Точка а(о соединена с точкой а0 траекторией {g‘a, 0^
Для определения С2 заметим, что коцепь
S, в силу условий (1.16) определяется глобальной функ-
цией S (неособым действием). В самом деле, определим
функцию S в карте Ut формулой
S=Sz + x7p/. (1.27)
V
310 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. VIII
Условия (1.16) гарантируют тогда независимость S от
выбора карты Ut, а коцепь Sf восстанавливается по функ-
ции S с помощью формулы (1.27). Заметим еще, что
функция S удовлетворяет уравнению Пфаффа
dS=p dx+E dt=p dx—H dt
и поэтому константа С2 определяется из условия
& (а/о) = S° (а0) + j pdx-Hdt,
о
причем интеграл берется по траектории у(о.
Рассмотрим теперь константу СР Ситуация здесь су-
щественным образом отличается от рассмотренной выше,
так как условия (1.17) не позволяют определить гло-
бально неособый аргумент Arg ц. Это обусловлено тем,
что матрица (1.18) невырождена на пересечении карт
и, и Uj, может обращаться в нуль в карте Ur, поэтому
функции argXM.r могут меняться скачком. Исследование
константы мы проведем при следующем упрощающем
предложении *).
Особые точки проекции л: Lio-*R« вдоль R„p образу-
ют подмногообразие многообразия Lta коразмерности 1.
Это подмногообразие мы будем обозначать S<0 и на-
зывать циклом особенностей многообразия Lta.
На каждой компоненте связности множества £(о\2/„
формула
Arg р/° = — Arg arg А-Ь.
k
— Зл/2 < arg < л/2,
где X* — собственные значения матрицы
корректно определяет число, кратное л. Отметим еще,
что
У arg Xl” — л index;.) ,
-J ап—
*) Типа «общего положения».
§ 8.1]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
311
. « дх^ II
где index(<.) — —отрицательный индекс инерции матрицы
(1.28). Функция Argp/° является постоянной вдоль каждой,
кривой, не пересекающей цикла особенностей (J 2<.
о<«Т
Поэтому вдоль кривой у/0 эта функция терпит разрыв
только в точках пересечения с (J 2/. Исследуем измене-
ние этой функции при пересечении
Пусть кривая у, пересекает (J S/
о«<т
.. ., tm. Тогда Arg р/ меняется при
соответствии с формулой
Arg|iM0 = Arg Ц/ + arg Хм =
k
цикла особенностей,
в точках tL, tv ...
переходе точки ti в
А Ч *1
= Arg р,/ — jtindexH
А * J
Arg ц/ — Л1гаех(н
। (• л д*1
+ л. index(-) —
др7
-Ыехн|^|
11 1 ti+0.
дх1
<3р-
11 tt-o
А ^Г0 .
=* Arg |Л + 3tCQ.
— indexH — . (1.29)
IM,..
Здесь мы ввели обозначение
oi = index/.) —
Гр7 .
в i tro
Нетрудно проверить, что формула (1.29) определяет це-
лое число для каждой точки Л-, не зависящее от выбора
карты Uj. __
Если теперь значение t0 таково, что a(oeS(o, то мож-
но определить индекс пути у(о формулой
indyZo--= (л.
>i<h
Тогда формула для определения Arg ц‘» (или, что то же
самое, константы CJ принимает вид
Arg р'‘ (а4) = Arg р° (а0) + л ind
312
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
§ 8.2. Асимптотика спектра
1 /Л-псевдодифференциальных операторов
1. Пакеты лагранжевых многообразий.
В данном параграфе мы рассмотрим применение теории
канонического оператора к построению асимптотики
спектра 1/Л-псевдо дифференциальных операторов с ве-
щественным гамильтонианом. С этой целью мы несколь-
ко обобщим теорию канонического оператора. В частно-
сти, основным объектом для построения канонического
оператора в этом параграфе будет служить не одно
лагранжево многообразие, а некоторым образом пара-
метризованное семейство лагранжевых многообразий.
Такие семейства мы будем называть пакетами лагран-
жевых многообразий.
Перейдем к точным определениям.
Определение 2.1. Пакетом лагранжевых много-
образий мы назовем тройку {L, J(h), где L — ком-
пактное многообразие; J (Л) —семейство конечных мно-
жеств, зависящее от параметра fte(0, 1]; t(M): £->Ф,
/<=/(й),— семейство вложений, для которых при любом
h и j^Jfh.) имеет место равенство
Чп.рйр /\dx = 0. (2.1)
Из условия (2.1) следует, что на многообразии суще-
ствует семейство канонических атласов {С/т}(Л>д. Суще-
ствование такого атласа при каждых h, обеспе-
чивается условием
3 det ’ + а „
/е[п] *
в любой локальной системе координат £.
Нам потребуется усиление условия (2.2). Именно, за-
фиксируем некоторый конечный атлас (К, £г), i=l, ...
..., tn. Назовем пакет лагранжевых многообразий рав-
номерно лагранжевым, если существует такая константа
б >0, что
2
min inf V
i=1’2.'"S^zcrnj
det---------------—
max sup {|Ра1(А,;)х|, | Dai(h,j}p |}]<
*-»♦«..
(2.3)
(2.4)
§ 8.2!
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА
313
для любого мультииндекса а, где {V/} — такое открытое
покрытие L, что V/ компактно вложено в К:
Замечание. В силу соотношения
3 ,м
ZC[n]
д (‘(ft./)* **)7’ ‘(ft./^
2
det — >, --------------------
условие (2.3) не зависит от выбора конечного атласа и
множеств V/.
Определим теперь два функциональных пространства,
необходимых для построения теории канонического опе-
ратора на лагранжевых пакетах.
Определение 2.2. Через С“ (L) обозначим про-
странство, элементами которого являются семейства та-
ких функций /(М)(£), параметризованные параметром
/is (О, 1] и индексом /s/(/i), что производные от функ-
ций семейства по локальным координатам много-
образия L равномерно ограничены по (h, j),
Рассмотрим теперь кольцо полиномов от переменной
h вида
V*
Л=о
где (I) е Ch(L). Обозначим это пространства через
C“(L)[/i]. Множество I пространства Ch(L)[h}, состоящее
из элементов вида
k—N
как нетрудно видеть, является идеалом в кольце Сл° (L) [Л].
*) Заметим, что мы не накладываем никаких условий регуляр-
ности на зависимость t(A,j) от Л и /.
**) Число N' зависит от полинома.
314
Некоторый приложения
[ГЛ. УШ
Определение 2.3. Через C*° (L) обозначим
фактор-кольцо
(X(L)[h]N = C?(L)[h]/L
Введем и зафиксируем на многообразии L некоторую
риманову метрику. Расстояние в этой метрике мы будем
обозначать символом r=r(g, £")•
Лемма 2.1. На многообразии L существует семей-
ство канонических атласов {Нг}м, индуцированных вло-
жениями все карты U которого являются открытыми
шарами. Радиусы этих шаров ограничены снизу положи-
тельной константой, не зависящей от h и j^J(h).
Доказательство. Воспользуемся следующей
формой теоремы о неявной функции. Пусть Fk(xb .... хп,
yit ym), — такая система функций, что
выполнены оценки
dxi
3Pk
%-
Wk
dyjfyi
М, det —
ду,-
б,
равномерно по переменным (хъ ..., хп, yit ...,ym).
Пусть точка (х01 Уо)==(х1О, ..., х„в, yt0, ..., ym0) явля-
ется решением системы Fk(x0, уо)=О. Тогда найдется
такая константа Ст.п, что при
Стп^
| х — х01
A4№m+l
(2-5)
существует единственное решение
yi=yt(x) i=l,2, ..., /п,
системы уравнений
Р1 (Х1> • • • > Хп, ylt ...» Ут) ~ О,
Рт (ХЪ ...» Хп, yit . . . , Ут) — О,
обращающееся в уа при х==х0.
Пусть теперь число а>0 столь мало, что открытый
шар радиуса а относительно метрики г с центром в лю-
бой точке многообразия L целиком содержится в какой-
либо окрестности У/. Очевидно, что для любого числа Ь,
Ь>0, можно выбрать такое число а>0, чтобы открытый
§ 8.2]
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА
315
шар радиуса а относительно метрики г с центром в про-
извольной точке многообразия L целиком лежал в шаре
радиуса Ъ относительно метрики, определяемой в окрест-
ности центра локальными координатами g. Выберем те-
перь число b равным
Л12Л+22П ’
где Л4=тахМа; Ма6 — константы оценок (2.3), (2.4),
а Спп — константа, входящая в выражение (2.5) при
т — п. Предположим без ограничения общности, что
М>1. Докажем, что любой шар радиуса а (в метрике г)
при всех h и допускает в качестве координат
функции i(h,j)Xr и для некоторого /сг[п]. В самом
деле, пусть K«(g0) —такой шар с центром в точке g.
В силу выбора числа а этот шар целиком лежит в мно-
жестве V/ некоторой карты (К, 50• Рассмотрим систему
уравнений
x'-i^x'fe, .... V) = 0,
(2.6)
Р/ • • • > It) = О-
Согласно условию (2.3) найдется такое множество, что
/с=[п],
Кроме того, если мы обозначим
х» = i(h,i)X (|z0, ..., |i„), Ру° — i(h,j)Pj (lz0> • • •, 1ц)>
l;„> • •., |?„) — координаты точки Eo в системе координат
&), то в точке
4(U.......Щ РГо(&---------I")
левые части системы (2.6) обращаются в нуль. Далее,
первые производные левых частей системы (2.6) по пере-
менным х1, p-j равны единице или нулю, а производные
по переменным первого и второго порядка в силу
316
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
условий (2.4) не больше М. Поэтому относительно систе-
мы (2.6) выполнено условие теоремы о неявной функции
при M=N и S, замененном на Уб/2"/г. Теорема о неявной
функции гарантирует, что в окрестности точки разме-
ра (относительно метрики, индуцированной координа-
тами g4)
^пп / Уб \2 _ ^ппб _
М • М2п+1 \2п/2) М2п+22п
система уравнений (2.6) имеет единственное решение.
Но рассматриваемый шар радиуса а в силу выбора а це-
ликом лежит в этой окрестности. Лемма доказана.
Замечание. Фактически мы доказали, что семей-
ство канонических атласов {£Л}(м), Ле (О, 1],
можно выбрать так, чтобы множество носителей карт
этого семейства не зависело от параметра h и индекса
В качестве такого универсального множества
носителей можно взять систему шаров радиуса а (в мет-
рике г). При этом, разумеется, координаты в каждом та-
ком шаре зависят от выбора значений Ле (О, 1] и /е/(Л).
В силу компактности многообразия L из семейства
носителей карт канонических атласов можно выбрать ко-
нечное подсемейство. Мы выберем и зафиксируем такое
семейство Uf, i=l, 2, ..., /. Очевидно, что в каждом
множестве Ut существуют координаты такие, что для
любых Ле (О, 1] и /е/(Л), если х1, ри—канонические
координаты в U{, то
det
д (J, р7)
(2.7)
Нетрудно видеть, что все дальнейшие построения не за-
висят от выбора конечного подсемейства {(/<}, 1=1, 2, ...
.... I.
Следствие. На многообразии L существует такое
семейство конечных разбиений единицы подчи-
ненных покрытию Uit i= 1, 2, ..., I, что производные по
каноническим координатам при каждых Л, /е/(Л) огра-
ничены равномерно по h, j^J(h).
Доказательство. Достаточно рассмотреть одно
разбиение единицы {е(}, подчиненное покрытию Ut. Огра-
§ £.2)
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА
317
ниченность соответствующих производных вытекает из
неравенства (2.7). Следствие доказано.
Определим теперь понятие квантованного лагранже-
ва пакета.
Определение 2.4. Через NIh(U, Z2) с означим •
множество элементов f^C^U), для которых существует
такое целое число k^Z, что
; f—2nk=O(hN)
I равномерно по всем переменным.
। Пусть теперь на многообразии L задано семейство
мер р(Л, j) такое, что плотность мер в каждой локальной
системе координат принадлежит СТ (67).
Определение 2.5. Пакет {L, J (А), i(j> h)} с семей-
ством мер ц(Л> называется квантованным пакетом с ме-
рой, если существуют такие семейства коцепей
и {ArgJi}(ftf j) покрытия {Ui}, что
1) dSi(htj) === (p/dx х dpj),
। 2) Arg — одно из значений аргумента функции
, '’(Л./)?;)
•'/(М ------—---------,
5Н(Л,/)
JJL (S/ _ Sj - xJpj 4- х1р7\ - -X [(Arg - (Arg J)J -
-2 argx* + |Z2[nl (2.8)
k
причем —собственные значения матрицы (1.18),
Hessx^,P/ — 3n/2<aigXft<’n/2.
В силу рассмотрений, проведенных в конце предыду-
щего параграфа (эти рассмотрения переносятся без из-
менений на случай лагранжевых пакетов), коцепи
и ArgJjfi j) можно выбрать указанным образом тогда и
только тогда, когда выполнено соотношение
— р dx + ~ ind у = 2зтй (mod hN) (2.9)
I v
: для любого фундаментального цикла у многообразия L.
L
318
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
2. Канонический оператор на лагранже-
вых пакетах. Пусть {L, /(Л), i(h>3)}— квантованный
пакет, {Ut} — конечное множество носителей канониче-
ских карт. Как было указано в пункте 1, это множество
не зависит от h и j<=J (Л). Определим теперь в карте Uf
локальный канонический оператор. Пусть <р(Л, ;)еСТ (Ui
имеет носитель в множестве U{.
Определим локальный канонический оператор фор-
мулой
Pj а ( fl )
X (хг, Р7)Г1/2Ф(Л./) (х1, Рт). (2.10)
Значение локального канонического оператора на эле-
менте <р(Л ^еС”({7,) —это семейство функций от пере-
менной xeRn, параметризованное параметрами (0, 1]
и j^J(h). Обозначим через Hl/h(Rx) пополнение прост-
ранства функций из C“(Rx), зависящих от параметров
h, j^J (h), по норме
/eJ(ft) „
Через H1/ft(R") мы обозначим проективный предел про-
странств Н^М) при г-> оо.
Оператор l/ft-преобразования Фурье осуществляет
для любого г непрерывное отображение
№Р : (R3 Я‘/А (Rn.₽). (2.11)
Определение 2.6. Через yvZ№/A(R") мы обозначим
такое подпространство пространства f/1/A(R"), что
е NIHilh (R") в том и только в том случае, когда для
любого г
*) Здесь Дх = р2 — «квантовый» оператор Лапласа:
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА
319
§8.?J
причем константа Сг не зависит от h<=(0, 1], j<=J(h).
Через мы обозначим фактор-пространство
NHi,h (R") = Hl/h (Knx)lNIxlhH (R2).
Предложение 2.2. Локальный канонический
оператор (2.10) осуществляет непрерывное отображение
пространств
Ku-- C?(U^NH1/h№).
Доказательство. При четном г имеем
(1 + ^х1р-; +1х I* Н- I Р/|2) ехР х
* Ф(А./> (х > Ру) = 3 > Pj’ h)> (2-12)
*=0
при этом функции Ф* (х1, pj, h) в силу определения про-
странств Ch’lUi) равномерно ограничены пэ Более
того, функции <Dk(xl, pj, h) линейно выражаются через
функции вида x“p’(<p(hij)), |а| + |₽|^г, с коэффициен-
тами, принадлежащими С°°((7{). Следовательно, для лю-
бого четного г £2-норма правой части формулы (2.12)
оценивается через норму ||<р(Л, J|(r> А) с константой, не за-
висящей от А и /е/(А). Кроме того, очевидно, что функ-
ции Ф* имеют компактный носитель. Поэтому Л2-норма
правой части соотношения (2.12) ограничена констан-
той, не зависящей от (А, /). Непрерывность оператора
(2.11) показывает теперь, что
а оператор Кщ непрерывен. Предложение доказано.
Следствие. Оператор Ки{ осуществляет непрерывное
отображение пространств
Ku-. C^(U^h]N^Hllh^.
320
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Доказательство. Требуемое утверждение сле-
дует из непрерывности отображения
hk; ’Я1/А (R")-> S+AH1/A (R"),
которое проверяется непосредственно.
Определим теперь в ситуации лагранжевых пакетов
операторы Vti, аналогичные операторам Vu. Для облег-
чения доказательств нам потребуется несколько иная
запись оператора K.uit полностью эквивалентная (2.10).
Именно,
Ки&М = ехр (-Е S'M (х1, pj) —
pj-*** L h *
----(xl, p7)j \JiM (xl, p7) Г1/2Ф(Л,/) (xl, pj).
Оператор определяемый для любых двух карт Uit
U„ um^',0,
VU : СГ (l/z П \h]N -> СГ (Ut П Щ [l]N,
представляет собой семейство операторов УИ(Л, Более
того, операторы Vn(i, Л) удовлетворяют соотношению
Xu(V/«(Л./)Ф(Л,/) — Ау/Ф(Л>/) = 0 (^) (2.13)
для любой функции ф(л, ({/,(“){/() [/г]лг с носителем
в пересечении tAfWz- Соотношение (2.13) будет выпол-
нено, если выполняется сравнение
ехр $/<*./) (х1, р7)----(Arg J)i(fl.} (х1, р7) j. х
х | Л(Л,/) (х1, р7) Г1/8 (ViiihjWih.n (xl, р7)) =
=p^Lp-p1^ехр 14-Sj^ <Arg
I х L fl )
X I JJ(h,p (XJ, Pj) Г1/2 Ф(Л,/) (xJ, pj) (mod hN). (2.14)
Здесь Ut — карта, отвечающая при данных (h, j) мно-
жеству Vf — карта, отвечающая множеству Ut при
тех же (h, j). Как и ранее, введем множества
Л=7ПЛ /а=7-/1, /з=7-Л, /4--M\(GU4U4).
§ 6-4
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА
321
Тогда правая часть соотношения (2.14) перепишется в
виде
ш|/,+'а| (~№ ехр(т(~x',ph+х',р,>+
/ «/ J t fl *
4-5у(л,/)(хЛ Pj) | [Jj(h,j) (Л Р7)Г1/2Ф(л./) (xj, pj) dxl,dp/, = I.
(2.15)
Применим к интегралу (2.15) формулу асимптотиче-
ского разложения интеграла быстро осциллирующей
функции:
7 = ехр (—хг,р/, + х1гр/, 4- S7(A>y) (х\ х'3, p/t, p/j)j х
х [det Hessx/, (— Sj(h,n (xli, xr‘, pr, pi))}'11* x
N
X 2 wk{{Jjth.j) (xli, x'3, ph, pi))'112 X
/г=о
X Ф(ЛЩ (Хл, /3, Pi„ р/)}+ О (hN)
при х'3 = х'3 (xl, pj), pit = pi, (xl, pj), где x1', pt, — реше-
ние системы уравнений
+ (Л А, -о,
дх1*
/+?!«(/., А Р;,^ = о. (2 16)
ф/,
Как и ранее, проверяется, что решением системы (2.16)
являются функции, определяющие замену координат от
Uj к Ui. Далее, обычные вычисления приводят к фор-
муле
I = ехр' х1зр/, + xl,p/t + Sj (xh, xlt, pi„ pi) —
—l- f (Arg/)y(fti/) + 2 1А(Л,/) (Л Р7)Г1/2 X
J \ k )]
N X [//(ft,/) (x7*, x‘‘, pi„ pJt)]~1/2 X
X 2 (x/*> x,‘> Ph’ Ph)]} 4>(h,i) (X1', xla, pl,, Pj,), (2.17)
11 Мищенко и др.
322
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
(ГЛ. VIII
причем все сравнения понимаются по модулю hN равно-
мерно по (h, /), й<=(0, 1],
Формула (2.17) вместе с соотношениями (2.9) пока-
зывает, что в качестве операторов Ущ),^ при каждых
фиксированных йе(0, 1], /<=/ (й) можно взять операто-
ры Ул, определенные ранее.
Рассмотрим теперь некоторые свойства операторов
VK(M). Мы докажем соотношения
Ущ,./У mii.jM = ф (mod hN),
(2.18)
У щь.рУkUh.jff = V(mod/iw).
Для этого рассмотрим карту Ui как лагранжево много-
образие. Рассмотрим также его покрытие множествами
К=С4ГКЛ. В качестве коцепи S мы выберем коцепь Sj=
=SI+xIpj—xJpj. (Все рассмотрения происходят при
фиксированных (й, /), Uj— тип карты U( при данных
(й, j).) Формула разложения интеграла быстро осцил-
лирующей функции показывает, что операторы
отвечающие Ut, суть дифференциальные операторы с ко-
эффициентами, зависящими лишь от производных функ-
ций Sj. Как было доказано, операторы VtJ удовлетворя-
ют условиям (2.18). Далее, производные функций Sj со-
впадают с производными функций Sj с точностью до
O(hN). Это следует из формулы (2.8), если учесть соот-
ношение
(Arg J)t — (Arg J)j — aI^ + 141я = const-
*
Отсюда следует соотношение (2.18).
Определим теперь локальный канонический оператор
в карте Ut формулой
Kuffy.i) = V, КиУ inh.pei^h,)),
i
^.n^C^(Ui)lli]N. (2.19)
Справедливы следующие утверждения.
§ 821
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА
323
Предложение 2.3. Ограничения операторов
Ku-- C^(Ud{h}N^NHilh^,
Кщ-.
на множество функций из C™(UiT\Ui) [h]N с носителем в
пересечении U£}Ui совпадают.
Теорема 2.4. Существует единственный оператор
К: C^(L)-[h]N-^NH1/fl(^),
ограничения которого на функции из с носи-
телем в множестве Ut совпадают с операторами (2.19).
Доказательство этих утверждений полностью
совпадает с доказательством соответствующих утверж-
дений главы VI.
Перейдем теперь к формулировке теоремы о комму-
тации в случае лагранжевых пакетов.
Определение 2.7. Пакет {L, /(Л), i(ft,;)} с мерой
ц(Л, называется ассоциированным с гамильтонианом
Н(х, р), если существует такая система констант E<h j}
(эти константы мы будем называть энергетическими
уровнями),что
1) £(Л Л равномерно ограничены по Ле(0, 1], /е
2) (х, р) =E(h' Л, и мера p(Jl,}) инвариантна от-
носительно векторного поля V(Н), т. е.
S’ v(H) ц<л, j)=0. (2.20)
Заметим, что требование (2.20) корректно, поскольку
в силу леммы 1.2 главы II многообразие L инвариантно
относительно V(H).
Теорема 2.5. Пусть пакет {L, J (h), i{h, л} с мерой
ц(л,ассоциирован с гамильтонианом Н (х, р). Тогда су-
ществует оператор
Р: C^(L)[h]N^CT(L)[h]N
такой, что Р= J(},
Н (х, р) Кул.п s — »МР(л,/)ф(А,/) + (mod/iw) (2.21)
11
324
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
для функций из Сн (£)[/i]n. При этом операторы P(h,i}
определяются локально при каждых (h, j) так же, как в
§6.2.
Доказательство проводится совершенно анало-
гично доказательству соответствующего утверждения
для индивидуального лагранжева многообразия (§ 6.2).
3. Асимптотика спектра. В этом пункте мы до-
кажем теорему о приближении спектра 1/й-псевдодиф-
ференциального оператора Н=Н(х, р). При этом нало-
жим некоторые требования на оператор Н.
Теорема 2.6. Пусть {L, J(h), —лагранжев
пакет с мерой, ассоциированной с гамильтонианом Н;
E(h,}) — соответствующая система энергетических уров-
ней. Пусть е(л, j», *= ,/> h”, k&%,— система собствен-
ных значений оператора Ф, отвечающая таким собствен-
ным функциям <р(л,ь что нормы в £2(R") функции
ограничены снизу положительной константой, не
зависящей от h^. (О, 1] и (h). Предположим, что
1) Числа epi.n ограничены равномерно по Ле (О, 1] и
2) Производные функции 1)t по локальным коор-
динатам многообразия L равномерно ограничены по h^.
е(0, 1],/е/(Л), Ле^.
3) Существуют такие положительные постоянные С и
N, что
Кн-х/)-Ч<тГ.
где d — расстояние от точки X до спектра spec Н опера-
тора Н. Тогда существует такая константа С2>0, что
множество
Ал — {X | К = Е (л,/) ihB(h,j),k}
лежит в СJiNfM-окрестности множества spec Н при каж-
дом Ле (О, 1].
Доказательство. Применим оператор Н к
функциям <Р(л,j»,*. В силу (2.21) имеем
HK<f(h.p,k =
= Н (х, р) K4(h.D.k = В(л./ЛФ(л./).л —»Мф(л,/),л + ф(Л,/),л =
~ (Еih.i) — ih^ih,i),kK^h,p,k) + Ф(л,/),л- (2.22)
§ 8.2]
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА
325
Напомним, что
В частности,
(2.23)
для некоторой константы С, не зависящей от (Л, /) и k.
Перепишем соотношение (2.22) в виде
[Я — (f — ihe.(h,j),d] ~ (2.24)
Разобьем теперь множество ЛЛ на две части: At и Л2,
где Л^ЛлПэрес Н, Л.2=ЛК—At. Множество At лежит в
любой окрестности спектра spec Я. Докажем, что суще-
ствует такая константа С,, что Л2 лежит в ^^“-окрест-
ности множества spec Я при каждом Ле (О, 1]. Приме-
няя оператор (Я—(E(h, —ihs(ht ,)Л))_1 к соотношению
(2.24) и взяв норму левой и правой частей полученного
соотношения, заключаем, что
< и Х<Р(Л,/)Л |£, = || [Я — (Е(й,/) — йе^,/),*)]"1 х
ЧЧ><М)Л,< , С Ь M-SflN' (2-25>
’ [d(X, spec Я) Iм
где на последнем шаге использована оценка (2.23). Из
соотношения (2.25) получаем при любых /<=7(Л), k^.Bh
следующую оценку:
d. spec Я) < , (2.26)
причем константы в неравенстве (2.26) не зависят от
Ле (О, 1], /е/(Л), k^Bh. Взяв точную верхнюю грань по
ХеЛ2 функции d(X, spec Я) в левой части неравенства
(2.26) и замечая, что при XeAj rf(%, spec Я) =0, по-
лучим
sup d (X, spec Я) < hlNyM .
М/" QQ
Последнее соотношение при Сх = р/ — доказывает
теорему.
326
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Следствие. Пусть выполнены условия теоре-
мы 2.6 и, кроме того, все энергетические уровни E(ht S} ле-
жат в области Е, в которой оператор Н имеет чисто ди-
скретный спектр при каждом (О, 1]. Тогда множество
Л.ь асимптотически приближает дискретный спектр опе-
ратора Н в области Е.
4. Одно замечание о нахождении асимп-
тотики собственных значений дифферен-
циальных операторов. Как мы видели, построе-
ние асимптотики собственных значений (спектра) опера-
торов Гамильтона методом канонического оператора
Маслова состоит из двух этапов. Вначале из уравнений
(условий) квантования находится нулевое приближение,
затем оно уточняется с помощью собственных значений
оператора переноса.
В практике, однако, встречается ситуация, когда
спектр оператора переноса заполняет некоторое всюду
плотное множество, в то время как спектр основного опе-
ратора Гамильтона дискретен. Это приводит к необхо-
димости указания способа выделения дискретной серии
значений оператора переноса. Впервые такого рода про-
цедура была проведена Е. М. Воробьевым для случая
спектра задачи Дирихле уравнения Лапласа в кольце.
Е. М. Воробьев указал некоторое условие вида (2.30)
(см. ниже), позволяющее отбирать конечную серию соб-
ственных значений оператора переноса. В теореме 2.6
получено условие, позволяющее осуществить указанный
отбор для задач общего вида.
Следующий ниже пример показывает, как первые два
требования приводят к выделению дискретной части
спектра оператора переноса. Рассмотрим задачу
на собственные значения для оператора Н(х, р) с га-
мильтонианом
Н (х, р) = — {(рг Xi) 4* К (pl 4- Xg)).
Здесь X — некоторое число. Наиболее интересен случай,
когда число К иррациально. Дальнейшие рассуждения
будут происходить при этом предложении. Гамильто-
ново векторное поле, отвечающее гамильтониану Н,
§8.2]
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА
32?
имеет вид
V(//) = P1A ±кр2 — — х1—------кх2/-.
v дх1 2 дх* dpt др2
Для построения системы лагранжевых многообразий,
инвариантных относительно векторного поля V(H), рас-
смотрим фазовый поток семейства многообразий
вдоль поля V (Н):
xx=ePcosa, Х?=аО,
px==Psina, Р»=0, dimAlp,a = l.
Решение системы Гамильтона
X1 = Pi, А3 * кр2,
рь= — х\ р^ — кх2
с начальными данными на многообразии М°р>а имеет вид
х1 = xjcosf-f-p10sin/, xj=pcosa,
Pi — —xjsin/-j- p10cos/, p10= Psina,
x2 » x? cos kt + p20 sin kt, x02 = o,
= — Xo sin kt + pt0 cos kt, p10 == 0.
Перепишем эти уравнения следующим образом:
x‘=p(cos a cos Z+sinasin t) =pcos (t—a),
pi =—p (cos a sin t—sin a cos t) = —p sin (t—a),
(2.27)
x2=a cos kt, pa='—a sin kt.
Если считать параметры a и t координатами, то уравне-
ния (2.27) определяют систему двумерных лагранжевых
многообразий Л1р, <,, инвариантных относительно вектор-
ного поля V (Н).
Для выписывания условий квантования и последую-
щего решения уравнения переноса полезно явно задать
образующие фундаментальной группы лДЛГр, <,) мно-
гообразий Afp.a. Так как многообразия ЛГр>0 гомеоморф-
ны двумерному тору Т2, то лДМр, о) =Z®Z. Следова-
тельно, образующими этой группы являются:
328
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЙ
[ГЛ. VIII
1) цикл Vi:
X1 — Р cos а, X2 =3 о,
Pi =Р sin а, /?в =0;
2) цикл ув:
х1 = Р, х2 = а cos X/,
pi =0, pa = —о sin at.
Условия квантования дают
P^ = ft(2'i+1) о„ = h(2m +1),
поэтому
£тп=й{(п+1/2)+Х(/п+1/2)}.
Изучим теперь собственные значения оператора пере-
носа. В координатах (А а) векторное поле V(H)=d/dt
(равное оператору переноса 5Э) есть d/dt. Уравнение на
собственные функции и собственные значения оператора
d/dt имеет вид
Решая это уравнение, мы получаем, что
Ф = С(а)ехр(е/),
где С (а) —2л-периодическая функция.
Подберем функцию С (а) так, чтобы функция <р(а, t)
была функцией на торе Af₽, 0. Как нетрудно видеть из
уравнений (2.27), в случае, если значение параметра t
при постоянном значении а изменяется на величину
2л/Х, то цикл Yi переходит в себя. При этом точка с коор-
динатой а переходит в точку с координатой а—2л/Х. Ус-
ловие однозначности функции <p(a, t) на торе AfPjO есть
гл I 2я . , 2я \
Ф(ц, 0 = ф а----- J4-— •
\ А А /
Это приводит к уравнению для функции С (а):
С (а) = С а----- ехр — ,
\ А / \ А /
которое можно переписать в виде
ехр С (а) = ехр (— С (а).
( \ А ОА/| \ А /
(2.28)
§ 8.2]
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА
329
Поэтому функция С (а) должна быть собственной функ-
цией оператора сдвига ехр
/. 2л д
tit-------
\ К да
Собственные функции такого оператора совпадают *с
собственными функциями оператора idlda, а собствен-
ные значения получаются из собственных значений z опе-
ратора id/да подстановкой в функцию ехр Я
этому
Cs (а) = ехр (йа), fes=exp(— seZ.
С другой стороны, по формуле (2.28) собственные значе-
ния оператора сдвига равны ехр Поэтому
и для собственных значений оператора переноса получа-
ется следующее соотношение:
— = —s4-2jw^,
Л Л
или
8s? = i (s + М), s е Z, qe Z. (2.29)
Точки {e,J при s, </eZ образуют всюду плотное на оси R
множество. Однако при больших s производные по пере-
менной а функции С, (а) =exp(isa) велики и поэтому си-
стема собственных функций
q>s,?(a> О = Cs (а) ехр (es?0 = ехр (йа) exp'{i (з 4- hq) t}
не обладает ограниченными равномерно по переменным
s, а производными, если значение s неограничено. Поэто-
му необходимо потребовать, чтобы ls|г^Л, где А — кон-
станта. Далее, поскольку числа |е,д| должны быть огра-
ничены, то из соотношений (2.29) с необходимостью сле-
дует, что
? = О(1), 0=0(1)
(2.30)
330
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
и, следовательно, всюду плотное множество исчезает.
Асимптотика собственных значений при этом имеет вид
Enin — ih?sq == h (п -|-1 /2) 4“ (m “Iе 1 /2) 4- А (з 4“ ^7) =
= h[(n + 3) + l/2]+Kh[(m + q)+\/2], (2.31)
где целые числа пит подбираются так, чтобы
0<Е1<Етп<Е2< + оо. (2.32)
Заметим, что последнее требование является весьма
существенным. Если его не ввести, то по формуле (2.31)
можно получить отрицательные значения для положи-
тельно определенного оператора, что абсурдно. При
s = <7=O(l) это уже не так. Действительно, в этом слу-
чае при малых значениях параметра h правая часть в
формуле (2.31) всегда положительна в силу неравенства
(2.32) для Етп и условия s, q=0(1).
Резюмируем результаты разобранного примера. В не-
которых случаях спектр оператора переноса может обра-
зовывать плотное на оси R множество. Однако собствен-
ные функции, отвечающие таким собственным значени-
ям, не будут ограничены в совокупности равномерно по
системе параметров, определяющей собственные значе-
ния. Следствием этого является неравномерность оценки
расстояния от приближенного спектра до точного. Это
обусловлено тем обстоятельством, что в остаточный член
входят производные собственных функций оператора пе-
реноса не только по параметру траектории гамильтоно-
вой системы, но и по трансверсальным координатам. При
выделении подсистемы собственных значений, собствен-
ные функции которых ограничены в совокупности, проис-
ходит «раздискречивание» спектра; из всюду плотно-
го спектра оператора переноса выделяется подсистема
собственных значений, которая уже не является всюду
плотной.
Несмотря на то, что эти выводы сделаны на основа-
нии рассмотрения конкретного примера, они остаются в
силе и для общего класса задач. Например, все сказан-
ное верно, если уравнение
н(х, р)Ъ^ё$
имеет дискретный спектр при каждом значении парамет-
ра А. При этом, если расстояние между точками спектра
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
331
§ 8.S]
имеет порядок O(hm), нужно рассматривать оператор пе-
реноса 53, выписанный до т—1 члена по h:
& = +113*+ Л.
Это замечание непосредственно следует из теоремы 2.6.
В самом деле, если, например, расстояние между точка-
ми спектра было бы пропорционально Л, спектр операто-
ра всюду плотен на оси и собственные функции, отве-
чающие спектру, ограничены в совокупности, то множе-
ство
£<л, ъ + i^e<\ з), а (2.33)
приближало бы спектр. Выбрав в неравенстве
1е(М),к|
койстанту С достаточно большой, мы получили бы, что
множество (2.33) всюду плотно в отрезке [£1( £2]. С дру-
гой стороны, по теореме 2.6 в СЛ2-окрестности любой точ-
ки этого множества лежит хотя бы одна точка спектра.
Это противоречит тому, что расстояние между точками
спектра пропорционально h.
§ 8.3. Системы уравнений
В этом параграфе мы построим теорию каноническо-
го оператора Маслова, пригодную для нахождения
асимптотических решений для случая систем уравнений,
а также для случая, когда коэффициенты гамильтониана
суть операторы. Этот последний случай встречается, на-
пример, в задачах квантовой химии.
Параграф разделен на две части. В первой изучена
конечномерная ситуация, во второй — бесконечномерная.
Построение теории осуществляется следующим образом.
Считая матрицу (оператор) симметрической (самосо-
пряженным), мы рассматриваем каждое собственное
значение (терм) как гамильтониан, строим для него
канонический оператор и устанавливаем теорему о ком-
мутации. При этом мы предполагаем, что термы не пе-
ресекаются (хотя и могут быть кратными). Другими
словами, мы рассматриваем системы с характеристиками
постоянной кратности. Случай, когда кратность характе-
ристик меняется, несравненно сложнее.
332
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
1. Конечномерная ситу а ци я. Пусть
Lh(x, р, h): Ет-+Ет (3.1)
— гладкое семейство конечномерных операторов (т. е.
матриц), действующих в m-мерном арифметическом про-
странстве Ет.
Коммутация с оператором Гамильто-
на. Предположим, что оператор Lh=U(x, р, h) имеет
вид
Ln = X(x, р) +ftL,(x, р, ti) + O(hN), (3.2)
где Х(х, р) — диагональная матрица:
X (х, р) = diag (Xj (х, р) ® idr,.Xft(x, р) ® idrft). (3.3)
Таким образом,
‘ -А^р)
Мх.рУ-.
Afap)-
:• Ак(р:,р1-..
Любая из функций ХДх, р), i=l, ..., k, являющаяся
собственным значением матрицы Х(х, р), называется га-
мильтонианом или термом.
Обозначим через /С;, 1=1, ..., k, канонические опе-
раторы, ассоциированные с термами Xj(x, р), 1=1, ...
..., k. Легко видеть, что в частном случае, когда в раз-
ложении отсутствует второй член, т. е. выполнено срав-
нение*)
L, = 0 (mod/Iя), А/>1, (3.4)
для оператора
Ко = diag (Ki ® idr„ ..,, Kk ® idrfc) (3.5)
*) То есть следующее ниже сравнение справедливо для любой
функции <р: C£°(Rn)
§ 8.3]
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
333
имеет место следующая формула коммутации:
L* КоФ =я Ц (х, р, h) КоФ = — ihKo&tpfmoi hN). (3.6)
В этой формуле
= diag (&>! ® idrp ..., &k ® idrft) (3.7)
— диагональная матрица, a &i, ..., — операторы пе-
реноса, отвечающие термам AJx, р), ..., Z*(x, р) соот-
ветственно.
В случае, когда оператор Lt(x, р, h) не удовлетво-
ряет условию (3.4), формула (3.6) уже не верна. Тео-
рия возмущений, однако, подсказывает, что нужный
оператор Kh следует искать в виде
К>==Ко + hKf. (3.8)
При этом оператор К' имеет вид
так что в матрице (3.9) на диагонали стоят нули, а в
клетке с индексом (/,) размера (пХг>), /=#/', стоит ком-
позиция дифференциальных операторов
Dll^D4i + hDlll+ ... +hND^
с неопределенными коэффициентами и канонического
оператора Ks.
Применим оператор (3.2) к оператору (3.8), а затем
используем формулу коммутации (3.6). В результате
получим, что можно так подобрать операторы йц, что-
бы формула
Ь*Кл = — t7i,Ko<j(mod/i")
(З.Ю)
334
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
была справедлива в том и только в том случае, когда
Д/^=0, /,/=1......п, 1=1= j (3.11)
Здесь ii'. — лагранжевы вложения. Более того,
прямой подсчет показывает, что главная часть Go опера-
тора G имеет вид
Go— diag (..., (3®j if Ly) (3) idry ...), (3.12)
где LfS — матричные элементы оператора Lh(x, р, h).
Коммутация с оператором Гамильто-
на произвольного вида. Пусть Lh(x, р, h) —
оператор в Ет, и пусть L0(x, p)=L(x, р, 0) —его глав-
ная часть.
Теорема 3.1. Пусть семейство L0(x, р) имеет
полный набор собственных векторов % (х, р), ..., % (х, р),
отвечающих термам Х,(х, р), ..., ХА(х, р), и пусть
%(х, р)—матрица, столбцами которой служат коорди-
наты собственных векторов в пространстве Ет. Если
выполнено условие (3.11), то для оператора
/<л = ХКл (3.13)
имеет место сравнение
LhKh э — i/iX KoG (mod hN). (3.14)
Замечание. Оператор % обладает тривиальным
ядром.
Доказательство теоремы 3.1. Определим
оператор Ll из равенства
1лХ = X (10 + hLi) (mod hN), (3.15)
где Хо =diag (... Ду ® idr/,...).
Тогда в силу (3.13) выполнено равенство LK.h =
= LxK*(modftw); далее, применяя формулы (3.15) и (3.14),
получаем, что
LKk = X (Хо + /i£x) Кл = — ihi KoG (mod hN).
Теорема доказана.
2. Бесконечномерная ситуация. Пусть
Н — гильбертово пространство, скалярное произведение
S8.3J
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
335
в котором мы будем обозначать скобками (,). В про-
странстве Н мы рассмотрим оператор * *)
L0(x, р): Н^Н (3.16)
и предположим, что он имеет изолированное собствен-
ное значение Х(х, p)eR конечной постоянной кратно-
сти г. Пусть, далее, L„ (х, р)—сопряженный**) к
L0(x, р) оператор, имеющий собственное значение
Х(х, р) той же кратности.
Мы предположим, что в пространствах
Хх = Кег [£0 (х, р) — X (х, р) /] = Кег U, (3.17)
71л. = Ker [Lo (х, р) — К (х, р) I] = КегU (3.18)
(/ — тождественный оператор) можно выбрать в каче-
стве базиса собственные векторы
%!....Хп (3.19)
X?, X* (3.20)
операторов Lo и L„ соответственно.
Более того, мы будем считать, что базисы (3.19) и
(3.20) ортогональны:
(Хь X/) - (3.21)
а базис (3.19) ортонормирован:
(Хь Xi) =йц-
Обозначим через Ht (х, р) ортогональное дополнение
пространства Хх (х, р) в Я:
Hx(x,p)®Xj(x,p) = tf.
Лемма 3.2. Имеет место следующее соотношение:
ЯьПЬ-0. (3.22)
*) Для краткости гладкие семейства LQ(x, р) мы будем назы-
вать операторами.
**) Относительно скалярного произведения (,).
336
-Ж-
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Доказательство. Из включений
ЛеЯх, ЛеХх, ио, (3.23)
следует, что
h=a\t, a'eR, (3.24)
и при этом для некоторого k число а*=И=0. Умножая ска-
лярно равенство (3.24) на х*, мы в силу (3.21) получим
(й,х£)=а?, (3.25)
т. е. вектор h имеет ненулевую компоненту в Хх. Поскольку
Хх.1. Ях, т0 вектор й =0.
Лемма 3.3. Для произвольного вектора име-
ет место следующее разложение: .
Ф = Фхх + Фя+> Фхх^Хх, фя+еЯх. (3.26)
;Х X
Доказательство. Если не всякий вектор раз-
лагается в сумму (3.26), то в силу замкнутости прост-
ранств и найдется вектор й=/=0, ортогональный
пространству сумм вида (3.26). Разложим вектор h в
сумму векторов
й ^хх + ^я+» s е (3.27)
X К Тс
и рассмотрим скалярное произведение
0 = (й, Фхх + Фя+) — (Согласно (3.27)) =
= (йХх + йя+, ФХх + фя+) = (йх+, фХх) + (йя>, фХх) +
4~ (йх+, Ф//+) + (йя+, фя+). (3.28)
X к к х
Из определения пространств Хх и Hl и в силу леммы
3.2 второе и третье слагаемые в сумме (3.28) исчезают.
Предположим теперь, что
йх+=#=0.
Хх
Тогда, полагая <рХх — йх+, фя+ =0, мы получим, что
X X
(Ч- '»;) - » (3-30)
А л
(3.29)
§ 8.3]
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
337
(3.31)
что противоречит предположению (3.29). Если же hr+ = О,
то в силу (3.27), (3.28)
hH+ =j= 0.
х
Полагая <ря+ = Ля+, <рхх =0, получим
(Ля+»М=°» (3.32)
X» Л
что противоречит (3.31).
Следствие. Из леммы. 3.2 и леммы 3.3 следует, что
И = Hl ф Хх.
Лемма 3.4. Определен оператор
L0(x,p):Ht^Ht. (3.33)
Доказательство. Достаточно показать, что для
любого вектора hl^Hl и любого вектора х£ <= Хх выпол-
нено соотношение
(Lo(x,p)/£,xJ)=0. (3.34)
Имеем
(Lo (х, р) hl х0 = (hl, L* (х, р) xl) = к (hl xl) =0. (3.35)
Предложение 3.5. Пусть в некоторой точке
(хЛ, ро)
Цх0, ро)=О. (3.36)
Тогда оператор
О'» Р) • Н» (*о» Ро) —Оо» Ро) (3.37)
является изоморфизмом.
Доказательство. а) Мономорфност ь.
Пусть
1о(^Ро)Ф=О, (3.38)
<ре=Я0+(х0, р0). (3.39)
Тогда из (3.38) следует, что
фб=х0(х0, р„), (3.40)
И из леммы 3.2 следует, что <p=Q.
338
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
б) Эпиморфност ь. Заметим прежде всего, что
поскольку 0 — изолированная точка спектра оператора
LQ(x, р), последний имеет замкнутую область значений.
Поэтому
CokerLo (х0, р0) = kerb? (х0, р0) =s 7* (х0, р0). (3.41)
Поскольку
%: n Ht =о, (3.42)
то эпиморфность оператора L0(x0, Ро) доказана.
Определим теперь канонический оператор
Кх : СТ (Мх) -> Я1/Й[(К"), (3.43)
ассоциированный с гамильтонианом Л(х, р). Здесь А!».—
лагранжево многообразие, лежащее на нулевой поверх-
ности уровня гамильтониана Х(х, р). Сужение операто-
ра (3.43) на собственное подпространство в силу со-
отношений
[Ао (х, р) — К\х,гр) /] <р = 0, Хх, (3.44)
i^(x, р) = 0 (3.45)
приводит к следующей формуле коммутации в произ-
вольной канонической карте Ut:
(3.46)
К сожалению, функция У7ф, вообще говоря, не при-
надлежит пространству и чтобы получить формулу
вида (3.46) для сужения оператора Кк на мы испра-
вим его следующим образом. Обозначим через
Ла: Я -> Х%,
(3.47)
Рн+: Н-+Нк
к
проекторы. Очевидно, что РХхфРя+=id//. Тогда для феЯ
имеем (индекс I у V опускаем)
Уф = РххУфН Ря+Уф СхФ + Ря+Уф. (3.48)
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
330
§ 8.3]
Будем искать нужный нам оператор Кк в виде
(3.49)
А
где оператор
(3.50)
— неизвестное пока отображение. Имеем
= LKx — hLKKDPHJr === — ihK^Gq —
— ihK^PH+Vy — hLK;,DPH^ =
= — ihKbGy — ihRxPH^V(p — hK^DP^. (3.51)
Теперь оператор D можно найти из уравнения
-iP^ VxDPHi,
л Л
поскольку V^Lo+hVz.
Вычислим*) главный член 0>t оператора SP'.
З5: (3.52)
Из леммы о коммутации быстро осциллирующей экспо-
ненты и оператора Гамильтона, которая доказывается
дословным повторением рассуждений скалярного слу-
чая, следует, что оператор Ut при hl в разложении
функции
Hi (х1, х', pi, pj) ехр (— sA ср (3.53)
\h ]
равен
U ф== дф _ 3lq дф _ 1/ d*si j d*S> &L0
1 д£ др1 др1 дх' 2 \ др7 др7 дх! дх! <>х! дх1 dPi dPi
—2 —^2--------2 --1-0 Ф — 1‘МФ. (3.54)
*) Мы используем любезно предоставленные нам В. IL Масло-
вым (неопубликованные) записки его лекций.
340
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
- я
дх1 др1
дх1 дх1 дР,дР1
Обозначим LK= [Lo—V] (x, p). Тогда
dtp _ dL^ дф______1/ d2Sj d2LK
dpi dx1 2 dPjdp7 d^dxi
n d*S, &LK 32L, \
2--------------2 — - - <p—iL*<p+V^.
dx1 dpj qxi a?i dp j
(3.55)
Здесь (7/ф — выражение, аналогичное первому слагае-
мому в (3.54), но с заменой выражения LK на X. Поло-
жим теперь
(3.56)
<р= Х(х, р)Кн/,
где %(х, р)е/. Имеем
~ у-Н/+1/г - 4 (-Д- + • • •) Н/+1/г- (3.57)
dx 2 у др^др- J
Поэтому
=
- Wz = - & - i L^i. + ... \
2 \dpj dpj )
d 1 / d-S1
dx 2 \dpj dpj
|]Xe Г___d . 1
I L dx 2 dx dp
+ — — In Ц/ =
2 <ft г
1 / a2s
2 dp7
Далее,
dL\ dtp dLK дф dLK / $ +1/A
""a 7------ I а И*/ Л
dxi dPj dP1 dxi dxl \dpT ;
__dL^ (J_ W+1M y, , +i/2 / dLK dx _ dLK dx
dp/ Удх'Г J 1 \дх7 др7 dpi dx1
§8.3]
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
341
Первые два слагаемых в (3.59) удовлетворяют сравнению
(Н/X = 0 (mod R (Lo)). (3.60)
\дР1 / dx'
/_L х = о (mod R (Lo)). (3.61)
\dx' / др,
В формулах (3.60), (3.61) через R(La) обозначен образ
оператора Ro. Итак,
\\dx' &7 dPl dx'J 2\др7др7 ) dr
i 1 d*% <vl ..+i/2 1/ dLo dX dL0 dx\
2 дхдр J Ц dxl dp7 dpj )
1 / d2S \ , 1 d*X
2 \dp7dp7 ’ ’ ’ I 2 дхдр
Далее, используя равенство
X . (3.62)
dSj — pi dx1 — x' dpj,
(3.63)
получим
dx _ dx | dx d^ ;dx dpy _ dx dx d2S/ । dx d2S/
dp7 dp7 dx7 dp7 dPidPj dP7 dJ ^T^l dPidxldp7’
(3.64)
dx _ dx | dy dxz I dx dp? — dx___dx S! | dx d2Sz
dx' dx1 dx7 dx1 dp{ Qx1 dp7 dxf др/ Qx1
Следовательно,
^ф= ^f/d^dx dZ.udX\ d2Sz /gLoax
1 ' Kd?^7 дР1дхЧ dp/^Wdx'1 2dx7dxT>
, d2Sz / dLgdl______j d^LK \ dLgdx d'2Sj
dx'dx' \ dp,dp/ 2 dp/др/J дх7др/dx'dp?
dL, dx d*S/ / d2Sz d2LK d^LK \
дР I dx'dx' dp7 \dx'dPj dxi dP/ dx' dp- J Г
i 1 d4. v ;T 1
+ <3.65)
342
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. VIII
Продифференцируем теперь тождество U(x, p)x(x, p)=0. (3.66)
Имеем dx , dLx dt ==Qt dx1 dx^ (3.67)
dx? dx1 Л _ 1 dx1 dx1
7 , dLx dx , ^h^t_ = n (3.68)
dpjdp. dpj dpj dpj dpj
d^K X+^A + dx1 dpj = o dPj dx1 ~ (3.69)
dxJ dpj
d2h. v , dLK dx , dLK дХ —q dPi dx1 (3.70)
dx1 dpj й' «Р/
z + ^^- + dx1 dPj = 0 дЪ dx1 (3.71)
dx^ dp-
В формулах (3.67) — (3.71) все сравнения рассматрива-
ются по модулю 2? (jL0) . Поэтому (индекс I у 3 опускаем)
JLo.ax L d2LK xj d*S
dx1 2 dJdx1 ЖЛ/
<32S Г dL° дх 1 dLK dx 1 1 ==
^7 ^7 . di? dx? 2 dx1 dx^ 2 _
= ^7d/>7 W dx1) ’
_ ' dL9 dx ! 1 d2h J d*S
dp/ dpj 2 dpj dpj J ft/ft/
_jdL^dx_____1 dLK dl i dLK dL>\ *
dpj dpj 2 dpj dpj 2 dpj dpj )
d2S = dk d% d2S
др I dx1 dx1 dx1
dx1 dx1
§ 8.3]
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
343
d*S Г dPL% ду_ ду ~| =
дх'др7 [а/ зр/ дх7 dpi др1 дх' _
d2S /____ду_________ ^х ду дЦ ду_ д_Ц ду \ __
дх1 дрт дхг др, др, дх7 + др, дх7 дх7 др, )
d2S дк ду , d2S дк ду
дх'др7 др, дх7
дЬв ду _
др7 дх7 ' дх7‘ др7
_ дК ду dLK dLo gx , dL0 ду
др, дх'
дх7
^Х ду dLK ду
дх1 др7
дх7. др7
дхгдр7 Qx1 dpl
др7 дх7 др7 дх'
dLbdy . 1 дХ дх
др,дх7 2дхдр др7дх7
&S дХду d2S дк ду
Итак,
С/хФ =
_ ^+1/2 f дх___dLody
1 U7 др7 др1 дх1
। дК^ду____dLB ду dL„ ду
дх'др, дРу дх7' др7 дх7 дх'дх' dpjdp-У dx'dp-aJdpj
___1 &S дЬ ду j d2S д\ ду ду дц
дх' др, 2 др7 dp-f Эх7 + дх1 др- др, дх7 + fyl дх7 J ’
dldy dldy f dL0 дк\ . 1 д2Х . dL I
----------------I----------I —|—---------I --- I
дх др др дх \ др др j 2' дх др dh 1А_0
Г d , I dL0 дХХ д 1 а2!
•— I -- —j— I----------I -----------
L dx \ др др I дх 2 дх др
X.
Таким образом,
=
__________1 дП<
др / дх 2 дх др
ЛИТЕРАТУРА
Арнольд В. И.
1. О характеристическом классе, входящем в условие квантова-
ния.— Функц. анализ и его приложения, 1967, 1, № 1, с. 1—14.
2. Интегралы быстроосциллирующих функций и особенности про-
екций лагранжевых многообразий.— Функц. анализ и его при-
ложения, 1972, 6, №3, с. 61, 62.
3. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических
точек, группы Вейля А к, Ьь, Еъ. и лагранжевы особенности.—
Функц. анализ и его приложения, 1972, 6, № 4, с. 3—26.
4. Математические методы классической механики.— М.: Наука,
1974.
5. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1971.
Альперт Я. Л.
1. Распространение радиоволн и ионосфера.— М.: Изд-во АН
СССР, 1960.
АтьяМ.
1. Лекции по А-теории.— М.: Мир, 1967.
Б а б и ч В. М., Б у л д ы р е в В. С.
1. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн.
Метод эталонных задач.—М.: Наука, 1972.
Березин Ф. А.
1. Метод вторичного квантования.— М.: Наука, 1965.
Б о р о в и к о в В. А.
1. Дифракция на многоугольниках и многогранниках.— М.: Наука,
1966.
БреховскихЛ. М.
1. Волны в слоистых средах.— М.: Наука, 1973.
Б р е й н де
1. Асимптотические методы в анализе.—М.: ИЛ, 1961.
Буслаев В. С.
1. Квантование и метод ВКБ.— Труды Матем. ин-та АН СССР,
1970, ПО, с. 5—28.
2. Производящий интеграл и канонический оператор Маслова в ме-
тоде ВКБ.— Функц. анализ и его приложения, 1969, 3, № 3,
с. 17—31.
В аз о в В.
1. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифферен-
циальных уравнений.—М.: Мир, 1968.
ЛИТЕРАТУРА
545
Вайнберг Б. Р.
1. О коротковолновой асимптотике решений стационарных задач и
асимптотике при t—решений нестационарных задач.— УМН,
1975, 30, вып. 2, с. 3—55.
Вайнштейн Л. А.
1. Теория дифракции и метод факторизации.— М.: Сов. радио, *
1966.
В е й л ь Г.
1. Классические группы, их инварианты и представления.—М.: ИЛ,
Виноградов А. М.
1. Алгебра логики теории линейных дифференциальных операто-
ров.—ДАН СССР, 1972, 205, № 5.
Виноградов А. Н., Красильщик И. С., Лычагин В. В.
1. Применение нелинейных дифференциальных уравнений.— М.:
МИИГА, 1977.
Виноградов А. М., Красильщик И. С.
1. Что такое гамильтонов формализм?.— УМН, 1975, 30, вып. 1,
с. 173—198.
Виноградов А. М., Купершмидт Б. А.
1. Структура гамильтоновой механики.— УМН, 1977, 32, вып. 4,
с. 175—236.
ВишикМ. И., ЛюстерникЛ. А.
1. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных диф-
ференциальных уравнений с малым параметром.—УМН, 1957,
12, вып. 5, с. 3—122.
Владимиров В. С.
1. Уравнения математической физики.— М.: Наука», 1975.
Воробьев Е. М.
1. Об одном асимптотическом методе расчета резонаторов.— Труды
МИЭМ, 1968, 4, с. 126—145.
Гельфанд И. М., Ш н л о в Г. Е.
1. Обобщенные функции.—М.: Физматгиз, 1957; 1958. Вып. I; II,
III.
Гординг Л.
1. Задача Коши для гиперболических уравнений.— М.: ИЛ, 1961.
Гинзбург В. Л.
1. Распространение электромагнитных волн в плазме.— М.: Физ-
матгиз, 1960.
Евграфов М. А.
1. Асимптотические оценки и целые функции.— М.: Физматгиз,
1960.
Егоров Ю. В.
1. Канонические преобразования и псевдодифференциальные опера-
торы.— Труды Моск, матем. об-ва, 1971, 25, с. 3—28.
2. О разрешимости дифференциальных уравнений с простыми ха-
рактеристиками.— УМН, 1971, 26, вып. 2, с. 183—198.
Е г о р о в Ю. В., П о п и в а н о в П. Р.
1. Об уравнениях главного типа, не имеющих решений —УМН,
1974, 29, вып. 2, с. 172—189.
ЗоммерфельдА.
1. Оптика.— М.: ИЛ, 1953.
2. Строение атома и спектры.— М.: Гостехиздат, 1956.
346
ЛИТЕРАТУРА
К а р т а н Э.
1. Интегральные инварианты.— М.; Л.: Гостехиздат, 1940.
Кравцов Ю. А.
1. Об одной модификации метода геометрической оптики.— Изве-
стия вузов, Радиофизика, 1964, 7, № 4, с. 664—674.
2. Приближения геометрической оптики для неоднородных сред и
примыкающие к нему асимптотические методы.— В кн.: Анали-
тические методы в теории дифракции и распространения волн,
М., 1967, с. 257—362.
3. Комплексные лучи и комплексные каустики.— Известия вузов.
Радиофизика, 1967, 10, № 9; 10, с. 1283—1304.
4. О двух новых асимптотических методах теории распростране-
ния волн в неоднородных средах.— Акустич. журнал, 1968, 14,
№ 1, с. 3—21.
5. Асимптотическое решение для уравнений Максвелла вблизи кау-
стики.— Известия вузов. Радиофизика, 1964, 7, № 6, с. 1049—
1056.
6. Модификация метода геометрической оптики для волны, проса-
чивающейся за каустику.— Известия вузов. Радиофизика, 1965,
8, № 4, с. 659—668.
К у р а н т Р.
1. Уравнения с частными производными.— М.: Мир, 1964.
Кучеренко В. В.
1. Квазиклассическая асимптотика функции точечного источника
для стационарного уравнения Шредингера.— Теор. и матем. фи-
зика, 1, Ns 3, 1969, 1, Ns 3, с. 384—406.
2. Асимптотические решения уравнения с комплексными характе-
ристиками.— Матем. сб., 1974, 95, Ns 2, с. 163—213.
3. Асимптотические решения системы А ^х, —ih~j при h—A) в слу-
чае характеристик переменной кратности.— Известия АН СССР.
Сер. матем., 1974, 38, Ns 3, с. 625—662.
4. Асимптотические решения задачи Коши для уравнений с ком-
плексными характеристиками.— В кн.: Современные проблемы
математики. М.» Изд-во ВИНИТИ, 1966, с. 41—136, вып. 8.
5. Параметрикс для уравнений с вырождающимся символом.—
ДАН СССР, 1976, 229, Ns 4, с. 797—800.
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М.
1. Квантовая механика, (нерелятивистская теория).— М.: Нау-
ка, 1975.
2. Теория поля.—М.: Наука, 1960.
ЛеонтовичМ. А.
1. Об одном методе решения задач о распространении электромаг-
нитных волн.— Известия АН СССР. Сер. физич., 1944, 8, Ns 1.
Л е р е Ж.
1. Задача Коши.— Математика, 1959, 3 : 5.
2. Дифференциальное и интегральное исчисление на комплексном
аналитическом многообразии.— М/. ИЛ, 1961.
Лере Ж., Гординг Л., Котаке Т.
1. Задача Коши.— М.: Мир, 1967.
2. Лучевое приближение вопросов распространения радиоволн.—
В кн.: Современные проблемы физики, М.: 1971.
ЛИТЕРАТУРА
347
ЛычагинВ. В.
1. Локальная классификация нелинейных дифференциальных урав-
нений в частных производных первого порядка.— УМН, 30, № 1,
1975, 30, вып. 1, с. 101—171.
М а с л о в В. П.
1. Теория возмущений и асимптотические методы.— М.: Изд-во *
МГУ, 1965.
2. О регуляризации задачи Копти для псевдодифференциальных
уравнений.—ДАН, 1967, 177, № 6, с. 1277—1280.
3. Метод ВКБ в многомерном случае. В кн.: X е д и н г Дж., Введе-
ние в метод фазового интеграла, М.: Мир, 1965.
4. Операторные методы.— М.: Наука, 1973.
М а с л о в В. П., С т е р н и н Б. Ю.
1. Канонический оператор (комплексный случай).— В кн.: Итоги
науки. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1973, с. 169—195.
Л4 а с л о в В. П., Ф е д о р ю к М. В.
1. Канонический оператор (вещественный случай).— В кн.: Итоги
науки, М.: Изд-во ВИНИТИ, 1973, с. 85—167.
2. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой ме-
ханики.— М.: Наука, 1976.
Милнор Дж.
1. Теория Морса.— М.: Мир, 1965.
Мищенко А. С., Стернин Б. Ю.
1. Канонический оператор в прикладной математике.— М.: МИЭМ,
1973.
М и щ е н к о А. С., С т е р н и н Б. Ю., Шатало в В. Е.
1. Канонический оператор Маслова. Комплексная теория.— М.:
МИЭМ, 1974.
2. Геометрия комплексного фазового пространства и канонический
оператор Маслова.— В кн.: Современные проблемы математики.
М.: Изд-во ВИНИТИ, 1977, с. 3—39, вып. 8.
Новикове. П.
1. Алгебраическое построение и свойства эрмитовых аналогов
К-теории над кольцами с инволюцией с точки зрения гамильто-
нова формализма. Некоторые применения к дифференциальной
топологии и теории характеристических классов.— Известия
АН СССР. Серия матем., 1970, 34, № 2, с. 253—288, ч. I.
2. Алгебраическое построение и свойства эрмитовых аналогов
К-теории над кольцами с инволюцией с точки зрения гамильто-
нова формализма. Некоторые приложения к дифференциальной
топологии характеристических классов.— Известия АН СССР.
Серия матем., 1970, 34, № 3. с. 475—500, ч. II.
Олейник О. А., Радкевич Е. В.
1. Уравнение второго порядка с неотрицательной характеристиче-
ской формой.— В кн.: Итоги науки. Математический анализ, М.:
Изд-во ВИНИТИ, 1971.
П о н т р я г и н Л. С.
1. Непрерывные группы, изд. 3.— М.: Наука, 1972.
Ж. д е Рам
1. Дифференцируемые многообразия.— М.: ИЛ, 1959.
Рашевский П. К.
1. Геометрическая теория уравнений с частными производными —
М.: Гостехиздат, 1947.
348
ЛИТЕРАТУРА
Руденко О. В., С о л у я н С. И.
1. Теоретические основы нелинейной акустики.— М.: Наука, 1975.
Смирнов В. И.
1. Курс высшей математики.— М.: Гостехиздат, 1951, т. IV.
Соболеве. Л.
1. Волновое уравнение для неоднородной среды.— Труды сейсмоло-
гии. ин-та АН СССР, 1930, № 6.
2. Некоторые применения функционального анализа в математиче-
ской физике —Л.: Изд-во ЛГУ, 1959.
Стернберг С.
1. Лекции по дифференциальной геометрии.— М.: Мир, 1970.
Стернин Б. Ю.
1. Об условиях квантования в комплексной теории канонического
оператора Маслова. Интегральные операторы Фурье.— ДАН
СССР, 1977, 232, № 6.
2. О топологическом смысле условий квантования в комплексной
теории Маслова.— В кн.: Труды семинара С. Л. Соболева, Ново-
сибирск, 1976, с. 141—156, вып. I.
3. О микролокальной структуре дифференциальных операторов в
окрестности точки покоя.— УМН, 1977, 32, выл. 6, с. 235—236.
СтинродН.
1. Топология косых произведений.— М.: ИЛ, 1953.
Тихонова. Н., Самарский А. А.
1. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972; 1977.
ФедорюкМ. В.
1. Метод перевала, М.: Наука, 1977.
2. Особенности ядер интегральных операторов Фурье и асимп-
тотика решения смешанной задачи, УМН, 1977, 32, вып. 6, с.
67—115.
3. Метод стационарной фазы и псевдодифференциальные операто-
ры.—УМН, 1971, 26, вып. 1, с. 67—112.
Ф е р м и Э.
1. Квантовая механика.—М.: Мир, 1965.
Ф о к В. А.
1. О каноническом преобразовании в классической и квантовой ме-
ханике.— Вестник ЛГУ, 1959, 16, с. 67—71.
2. Начала квантовой механики.—М.: Наука, 1976.
Франк Ф., Мизес Р.
1. Дифференциальные и интегральные уравнения математической
физики.—М.: ОНТИ, 1937.
Ф у к с Д. Б.
1.0 характеристических классах Маслова — Арнольда.— ДАН
СССР, 1968, 178, № 2, с. 303—306.
ФуксД. Б., Фоменко А. Т., ГутенмахерВ. Л.
1. Гомотопическая топология.— М.: Изд-во МГУ, 1969.
Функциональный анализ. Под редакцией С. Г. Крейна.— М.: Нау-
ка, 1964.
X е д д и н г Дж.
1. Введение в метод фазового интеграла.— М.: Мир, 1965.
ХермандерЛ.
1. Линейные дифференциальные операторы с частными производ-
ными.— М.: Мир, 1967.
ЛИТЕРАТУРА
349
2. Псевдодифференциальные операторы.— В кн.: Псевдо дифферен-
циальные операторы, М.: Мир, 1967.
3. Интегральные операторы Фурье.— Математика, 1972, 16:1,
с. 17—61; 1972, 16 : 2, с. 67—136.
ХьюзмоллерД.
1. Расслоение пространства.— М.: Мир, 1970.
Э р д е й и А.
1. Асимптотические методы.— М.: Физматгиз, 1962.
Эйнштейн А.
1. К квантовому условию Зоммерфельда и Эпштейна.— Собр.
научн. трудов, М.: Мир, 1966, т. 3.
Andersson К. G.
1. Analytic wave front sets for solutions of linear differential equa-
tions of principal type.— Trans. Amer. Math. Soc., 1973, 177.
2. Propagation of analyticity for solutions of differential equations
of principal type.— Bull. Amer. Math. Soc., 1972, 78, № 3.
Birkhof f G. D.
1. Quantum mechanics and asymptotic series.— Bull. Amer. Math.
Soc., 1933, 39.
2. Some remarks concerning Schrodinger’s wave equation.— Proc,
nat. Acad. Soc. USA, 1933, 19.
В r i 11 о i n L.
1. Remarques sur la mecanique ondulatoire, I.—Phys. Radium,
1926, 7.
2. A practical method for solving Hill’s equation.— Quart. Appl.
Math., 1948, 6.
CaratheodoryC.
1. Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen Erster
Ordnung.—Berlin.: TeuBner, 1935.
С о u r a n t R., L a x P. D.
1. The propagation of discontinuties in wave motion.—Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 1956, 42, № 11.
DuistermaatJ. J.
1. Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding of sin-
gularities.— Comm. Pure and Appl. Math., 1974, 27, № 2.
Duisterm.a at J. J., H 6 r m a n d e r L.
1. Fourier integral operators II.— Acta Math., 1972, 128, № 3, 4.
Jeffreys H.
1. Asymptotic Approximations.—Oxford, 1962.
Helmholtz H.
1. Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd., 1882, 1.
HormanderL.
1. The calculus of Fourier integral operators.— In Prospects in Ma-
thematics, Princeton University Press, 1972.
2. Uniqueness theorems and wave front sets for solutions of linear
differential equations with analytic coefficients.— Comm. Pure
Appl. Math., 1971,24.
3. On the existence and the regularity of solutions of linear pseudo-
differential equations.— L’Enseignement mathematique, 1971, 17,
Ns 2.
350
ЛИТЕРАТУРА
Keller J. В.
1. Diffraction by a convex cylinder.—- Trans. IRE Ant and Prop.,
1956, 4, № 3.
2. Corrected Bahr. Sommerfeld quantum conditions for nonseparable
systems.— Ann. Phys., 1958, 4, № 2.
3. Geometrical theory of diffraction.— J. Opt. Soc. Amer., 1962, 52.
К e 11 e r J. B., L e w i s R. M., S e с к 1 e r B. D.
1. Asymptotic solutions of some diffraction problems.— Comm, pure
Appl. Math., 1956, 9.
К e 11 e r J. B., R u b i n о w S.
1. Asymptotic solution of eigenvalue problems.— Ann. Phys., 1963,
9,№1.
К1 i n e M.
1. Asymptotic solution linear hyperbolic partial equations.—J. of rat.
Meeh, and Anal., 1954, 3.
Kramers H. A.
1. Quantum mechanics.— Amsterdam, 1957.
L a x P. D.
1. On the stability of difference approximations to solutions of hy-
perbolic equations with variable coeffitients.—Comm, pure appl.
Math., 1961, 14, № 3.
2. Differential equations, difference equations and matrix theory.—
Comm, pure Appl. Math., 1958, 21, № 2.
3. Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems.— Math.
J., 1957, 24, № 4.
Lax P. D., Nirenberg L.
1. On stability for difference schemes; a sharp form carding’s inequa-
lity, 1966, 19, № 4.
Lax P. D., R i c h t m у e r R. D.
1. Survey of the stability of linear finite difference equations.—Comm,
pure Appl. Math., 1956, 9, № 2.
L e г a у J.
1. Probleme de Cauchy I.— Bull. Soc. Math. France, 1957, 85.
2. Probleme de Cauchy II.— Bull. Soc. Math. France, 1958, 86.
3. Probleme de Cauchy III.— Bull. Soc. Math. France, 1958, 87.
4. Probleme de Cauchy IV.— Bull. Soc. Math. France, 1962, 90.
5. Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients.—
Princeton.: Inst, for Adv. Study, 1952.
6. Hyperbolic differential equations. Lecture Notes.—Princeton.: In-
stitute for Adv. Study, 1951, 1952.
7. Solutions asymptotiques des equations derivees particulier.—Rome.:
Conv. Intern. Phys. Math., 1972.
8. Solutions asymptotiques et groupe sympletique.— Leet. Notes
Math., 1975, 459.
L u d w i q D.
1. Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem.— Comm,
pure Appl. Math., 1960, 13, № 3.
2. Uniform asymptotic expansion of the field scattering by convex
object at high frequencies.— Comm, pure and Appl. math., 1966,
20, № 1.
Luneburg R. K.
1. Mathematical theory of optics.— Providence.: Brand. Univ. Press,
1944.
ЛИТЕРАТУРА
351
2. Propagation of electromagnetic. Lecture Notes.— New York Uni-
virsity, 1945.
MalgrangeB.
1. Operateurs de Fourier (d’apres Hormander et Maslov).— Seminai-
re Bourbaki, 1971/72, № 411, 24-e annee.
N a g u m о M.
1. Uber das Anfangswertproblem partieller Differentialgleichungen.—
Japan Journ. of Math., 1941—1943, 18.
Nirenberg L., Treves F.
1. On local solvability of linear partial differential equations I. Ne-
cessary conditions. II Sufficient conditions.— Comm, pure Appl.
Math., 1970, 23.
2. A correction to «On local solvability of linear partial differential
equations II. Sufficient conditions».— Comm, pure Appl. Math.,
1971, 24.
О shim a I.
il. Singularities in contact geometry and degenerate pseudo—diffe-
rential equations.— J. of Fac. Sci. Univ. Tokyo, 1970, 1.
Petrovsky I. G.
1. Uber das Cauchysche Problem fur System von partiellen Differen-
tialgleichungen, 1970.
Sato M., Kawai T., Kashi vara M.
1. Microfunctions, pseudodifferential equations.—Proceed of Conf.
1971, Lecture Notes in Math. v. 287.
Schaeffer D., Guillem in V.
1. Maslov theory and singularities.— Cambridge, 1972.
Seneor R., Ecman J. P.
1. The WKB—Maslow method of the harmonic oscillator (to appear
in Arch. Rath. Meeh.), 1970.
SoureauJ. M.
1. The WKB—Maslow method.— C. R. Acad. Sci., 1973, 276.
T r e v e s F.
1. Approximate solutions to Cauchy problems.— I. J. Differential
Equations, 1972, 11, № 2.
2. Hypoelliptic partial differential equations of principal type with
analytic coefficients —Comm, pure Appl. Math., 1970, 23, № 4.
3. Hypoelliptic partial differential equations of principal type. Suf-
ficient conditions and necessary conditions.—Comm, pure Appl.
Math., 1971, 24.
4. A new method of proof of the subelliptic estimates.— Comm. Pure
Appl. Math., 1971, 24, № 1.
5. Concatenations of Second-Order Evolution equations applied to
local Solvability and hypoelipticity.— Comm, pure Appl. Math.,
1973, 24, № 2.
6. Approximate solutions of Cauchy problems.—J. Diff. equat,
1972, 11.
V о г о s A.
1. Semiclassical approximations,— Saclay preprint, D. Ph., June,
1974.
2. The WKB—Maslov method for nonseparable systems.— Saclay pre-
print, D. Ph. July, 1974.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраический пучок 238
Асимптотическое решение порядка г
24
Атлас 34
— канонических карт 105
Векторное поле 54
Вложение подмногообразия в мно-
гообразие 61
Гамильтониан 169
Гамильтоново векторное поле 169
Гомотопия 84
Грассманиан положительных лагран-
жевых плоскостей 138
Группа гомотопическая 99
— когомологий де Рама 61
— коцепей 62
— сечений пучка 238
— спектральных когомологий 63
Дифференциал отображения 60
Дифференциальная форма 57
Индекс лагранжева многообразия 120
— пересечения многообразий 95
Интегральный оператор Фурье 291
Канонический оператор локальный
160, 228
Каноническое лагранжево погруже-
ние с мерой 259
— распределение 275
Карта каноническая 105
— локальная 34
Квантования условия 119
Квантованное лагранжево много-
образие 119
Комплекс симплициальный 63
— цепной 61
Коцепь 62
Коцикл 62
Край многообразия 36
Критическая точка функции 84
Лагранжев грассманиан Н6
Лагранжева плоскость 109
— вещественная 114
— положительная 134
Лагранжево вложение 156
Многообразие гладкое 33
— Грассмана 45
— замкнутое 35
Многообразие лагранжево 102
— ориентированное 58
— с краем 35
Многообразий отображение 58
Общее положение подмногообразий
78
Оператор Гамильтона 173
— Гамильтона—Якоби локальный 181
— интегральный Фурье 284
— переноса локальный 181
— псевдодифференциальный 285
Ориентация 58
Отображение алгебраических пучков
238
Плотность на многообразии 272
— распределения на многообразии
273
Преобразование симплектическое ПО
Пространство однородное 45
— проективное 45
— расслоения 46
Разбиение единицы 36
Расслоение касательное 53
— локально тривиальное 46
— нормальное 79
Расслоения база 46
— обратный образ 47
— слой 46
— эквивалентные 48
Регулярная точка 76
Сечение гладкое 52
— расслоения 48
Символ интегрального оператора
Фурье 284
Система координат каноническая 103
Стационарная точка 201
Теорема Гуревича 100
Трансверсальная регулярность 77
Трансверсальное пересечение 78
Уравнение Гамильтона—Якоби 15
— переноса 15
Фазовое пространство 102
---комплексное 108
Фактор-расслоение 51
Формула Стокса 65, 68
Функция Морса 85
. — склейки 46